Ευκλείδης Α 106 by demi de

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏ ÐÅÑÉÏÄÉÊÏ ÐËÇÑÏÖÏÑÇÓÇÓ

ãéá ôï ãõìíÜóéï

Åõêëåßäçò

Τεύχος 106 Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2017 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Ιστορία των Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

«Plimpton 322» μια Βαβυλωνιακή Πινακίδα 3.700 ετών Τσικοπούλου Στάμη ...................................................

= Γ΄ Τάξη Ο παντογράφος και οι εφαρμογές του. 1

Μαθηματικά στον Κόσμο

Χ. Μάλλιαρης, Π. Αρδαβάνη ........................................... 24

Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Γ΄

Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου ...................................... 28

Μαθηματικά και Τέχνη Άννα Παπαδάκη

.......................................................... Τα Μαθηματικά προβλέπουν ................................

Τι πίτσα να διαλέξουμε;

5 9

Επιμέλεια Σπύρος Φερεντίνος ........................................ 12

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ................................... 29

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα

Εφτάψυχες γάτες, τετραπέρατοι σκύλοι και άλλα τρισχαριτωμένα

Μαρίνης Στέλιος ........................................................... 33

= Α΄ Τάξη Προβλήματα Αριθμητικής - Πάντα Επίκαιρα και Ενδιαφέροντα

Οι Πύργοι του Ανόι

Επιμέλεια: Νάνσυ Κυριακοπούλου ................................... 14

= Β΄ Τάξη Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Στέλιος Μαραγκάκης, Ανδρέας Τριανταφύλλου .................. 36 Αυτό το Ξέρατε; Μαθηματικά Ανάλεκτα ............... 39

Μαθησιακό Προφίλ των Μαθητών

Νικολόπουλος Γιάννης .................................................. 41

Επιμέλεια: Τζίφας Νίκος, Κωνσταντινίδης Άρης, Λαγός Γιώργος .... 19

Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Β΄

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου ..................................... 23

Η Μέτρηση της περιφέρειας της Γης

2ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΥ............................................ 44

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Συντακτική επιτροπή του Ευκλείδη Α΄ ............................. 49

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34, 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: ÁíÜñãõñïò Öåëëïýñçò ÄéåõèõíôÞò: ÉùÜííçò ÔõñëÞò ÅðéìÝëåéá ¸êäïóçò: Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ

Êùäéêüò ÅË.ÔÁ: 2054 ISSN: 1105 - 7998

Ðñüåäñïò: ÊåÀóïãëïõ ÓôÝöáíïò Á´ Áíôéðñüåäñïò: ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò Â´ Áíôéðñüåäñïò: Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò ÌÝëç: ÁëáöÜêç Óôáõñïýëá ÁñäáâÜíç Ðüðç Βιτζιλαίου Μαρία ÄïñãéÜêç ÉùÜííá Èåïäùñüðïõëïò Èñáóýâïõëïò ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ Êùíóôáíôéíßäçò Áñéóôåßäçò Ëáãüò Ãåþñãéïò Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò

Μακρυνιώτης Στυλιανός-Ηλίας Ìåíäùíßäçò Ãåþñãéïò Ìïñöïðïýëïõ Ìáñßá ÌðáêÜëçò ÁíáóôÜóéïò Ðáëáéïãéáííßäçò ÄçìÞôñéïò Παπαδάκη Άννα Παπαδάκη Δώρα Óßóêïõ Ìáñßá Ôæßöáò Íßêïò Ôóéêïðïýëïõ ÓôÜìç Öåñåíôßíïò Óðõñßäùí ÁðïêåíôñùìÝíïé óõíåñãÜôåò ÁíáóôÜóéïò Ðáôñþíçò (ÐÜôñá) ÃéÜííçò ÈùìáÀäçò (Èåó/íßêç) Ãéþñãïò Ñßæïò (ÊÝñêõñá) Ãéþñãïò Ôóáðáêßäçò (Áãñßíéï) ÅéñÞíç ÐåñéóõíÜêç (ÊñÞôç) ÃéÜííçò ÑÜëëçò (×ßïò) Μαρία Ρουσούλη (Καστοριά)

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί / ές αναγνώστες αναγνώστριες. Ευχόμαστε ευτυχισμένη και δημιουργική χρονιά για το 2018. Στο τεύχος αυτό συνεχίζουμε την προσπάθεια με στόχο το περιοδικό να γίνεται όσο το δυνατόν περισσότερο ποιοτικό, περισσότερο ελκυστικό, περισσότερο ουσιαστικό. Υπάρχουν δεκάδες πολύ ενδιαφέρουσες πληροφορίες σχετικές με τα Μαθηματικά και τις εφαρμογές τους στον κόσμο τις οποίες φιλοξενούμε στη στήλη Μαθηματικά Ανάλεκτα. Συνεχίζουμε την στήλη Μαθηματικά και Τέχνη η οποία, με βάση τα μηνύματα που πήραμε, είναι μια ιδιαίτερα επιτυχημένη επιλογή. Τέλος, όπως θα παρατηρήσετε, τα κείμενα για τα σχολικά Μαθηματικά αναφέρονται τόσο στο περιεχόμενο του αναλυτικού προγράμματος του σχολείου όσο και σε εφαρμογές των Μαθηματικών. Θα χαρούμε ιδιαίτερα να έχουμε τη δική σας γνώμη και τις δικές σας προτάσεις. Εκ μέρους της Συντακτικής επιτροπής του περιοδικού Ο πρόεδρος: Στέφανος Κεΐσογλου Ειδικός γραμματέας του ΔΣ της ΕΜΕ τ. Σχολικός Σύμβουλος

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

ÉÄÉÏÊÔÇÓÉÁ ôçò ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÔÁÉÑÅÉÁÓ Óôïé÷åéïèåóßá - Óåëéäïðïßçóç: ÅËËÇÍÉÊÇ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ÅÔÁÉÑÅÉÁ Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού • Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. • Ïé óõíåñãáóßåò, ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êôë. ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç A´”. ¼Ëá ôá Üñèñá õðüêåéíôáé óå êñßóç ÔéìÞ ôåý÷ïõò: åõñþ 3,00 ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (10,00+2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ=åõñþ 12,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 10,00 Ôï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: 1. Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 2. Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK 3. Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å.

ÂŤPlimpton 322Âť

3.700

========================================================================= 24 2017 Historia Mathematica,

! , " #$ $ , % % & & & ÂŤPlimpton 322Âť. $& "

, % & $ , % ' ( . ) " . * # , ' # . * . ! # &" 12,7x8,8 # 2 . # ' & , Îź # $ Îź , Îź ' , # 60 $ ) ÂŤPlimpton 322Âť

$ , & ( #) 15 % " %# 60. #' & # $ # Îź # . # , % # , Îź # $ # $ , '# Îź Îź Îź # & . ! & # ' ( & #) & 38 . ) ÂŤPlimpton 322Âť $ 1900 & # , & , ( , # & % " $ : # *" . ! $ , # $ $ $ (2400-2100 .;.), # # , % % . # $& $ , #" & & , <# , ČŞ Č É&#x2039;É&#x2019;É&#x20AC;É&#x2C6;Č˝É? Č§É&#x17D;Č˝É&#x2039;É&#x2C6;É&#x2018;ÇĄ É&#x160;É&#x201A; É&#x2019;É?É&#x17D;É&#x2021;É&#x2C6;É&#x203A; É?É&#x2019;É?É&#x2030;É&#x203A; : # , # . ) o 1922, *" " , Florida. O Plimpton 1936, & & & , Columbia = $ # > % & > % & ; #$& . 106 .2/1

! *" "

Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦ Â«Plimpton 322Â» ! 3.700 " # Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦Ç¦ ) #" 322 Plimpton ( & #$ & # ) $& $ Î¼ # Î¼ . ! # ' 1822 1762 .;, # & 1000 ( , (580- 496 .;). & , # #$ ' , $ # . ) & Otto Neugebauer, : & Brown University. 1940 " % Abraham Sachs % % & # # "Plimpton 322" # & , Î¼ Î¼ Î¼ # $ # Î¼ . , , # @ # ' $ : # & # & . D & & , " $ %&'" ' ! , $ . # # , : (3,4,5), (6,8,10), (9,12,15), (8,15,17)... < & .E., # # & & . G % , $ . I# ' & a2+b2=c2 & . ! > % %# 10, ' , & %# 60. ! 60, $& , @ > % % # " # ( 60 , , 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 10 2 5). # " ( %#" ' # #), 1 # , # # 1, 2, 3,...,15. ( ).

& & # & . ! # # # & ) 1 # : 119, (120), 169, 2 : 3367, (3456), 4825, â&#x20AC;¦ ) 1 # & ( & & 1, % 0,99166666). L & # & % & ,

& 1. ) Î¼ 4 . # & ( ) # # & . ' #$ & & : I # ' & & & # Î¼Î¼ Î¼ ; G $ > % Î¼ (c/a)2 & ; > % Î¼ Î¼ % # & # Î¼ # & Î¼ & (4601, 4800, 6649). R' # Î¼ , 1.500 , I ; ! #$ & " ,

, " & & ' # Í³ S % : https://theconversation.com/written-in-stone-the-worlds- firsttrigonometry-revealed-in-an-ancient-babylonian-tablet-81472). 106 .2/2

ÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚ ÂŤPlimpton 322Âť ! 3.700 " # ÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚÇŚ & , # # & . ÂŤ Plimpton 322 , 15 . , , . ! " P322 Âť, " S # $ ,

! S Daniel Mansfield Plimpton 322.

D ' S # $ @# # , # # , â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;? # & % % & . ÂŤ# , , $ . % , & . $ ' .

$ " , . ( . ) . ) ", S . Mansfield,

, #

. ÂŤ , Historia Mathematica, " , * $ "

$ . ( " Âť.

! Plimpton 322,

( #) .

) ' % % & & % # , . S # # & # , $ , & & , # % & & . ! & & " , ' ( , & #$ , #$ , ( ') * V , 120 .;. ! W ' & & . # & , ÂŤ Âť & r. ) , . ! W & & 106 .2/3

3600. & & #@ , , & & 1, & & (sin), (cos) $ - & > % & & ' # #. (tan). ! , ' # @ $ . ( &

# & & & . I

& & & > % & & " . W & & & # % & P322. W & # Larsa $ ; 1762 .;. + ' * )" , & $- " * ' " ". 5 " * "'" -*, ! )' ) * " ) * # % " 8 , *, ' !"* . ! " : â&#x20AC;&#x153;) * $ 3000 , , * $ . $ $ " ( $ ( & ) ) # # , $ $ Â». Â«

Â». & , > % ( & & $ . & - " !" )$" - '"$" " " . ) & ' & ') "* % # " * ' % " ' * " * * ') : "* " " " - '"; -* * % # " * " - - $ & ! . %' 5

- Daniel F. Mansfield & N. J. Wildberger : Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica, https://www.journals.elsevier.com/historia-mathematica/ http://www.telegraph.co.uk/science/2017/08/24/3700-year-old-babylonian-tablet-rewriteshistory-maths-could/ http://scinews.eu/ta-nea-tis-epistimis/558-mia-arxaia-tampleta-vavylonion-ksanagrafei-tinistoria-ton-mathimatikon-kai-deixnei-oti-den-aneptyksan-protoi-oi-ellines-tin-trigonometria www.youmagazine.gr/.../o-pio-palios-kai-pio-akrivis-trigonometrikos-pinakas-18737/

106 .2/4

Op art. > ) ! " * ; . ============================================================================= ? > ! $ , . Edgar Degas, 1834-1917, & ! ( $ $ # ' Â«% &Â» Â« %# Â»; ]

" ; = # # ' ; # . ) $ & & $ # % . * # . ! $ $ # $ & , , @ . ) * , # , & " @ ; ) "& $ , & # & , @ . = # # , "& $ , # , , % " , # & % . # & $ & & " G & # # " . $ # # , , . $ # & # # # " @ $ # # , , # ' & , & , $& ' !! "& $ G & . D - & " % # & . I , & , # , % # & , & , . & # & # $ ; > " # % # $ .

, # . 106 .2/5

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- @ $ -) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) $ & #" Op Art (Optical Art), $ /"& $ . ] 1960 & $ & # @ & . I # & & # & , & " . > " $& , & & # & & # & , & . ! Op Art # $ # â&#x20AC;&#x153;Timeâ&#x20AC;? 1964, "& $ â&#x20AC;&#x153;The responsive eyeâ&#x20AC;?. > & & Victor Vasarely(9/4/1906-15/3/1997), ÂŤ{ % Âť. ] & Jesus-Rafael Soto, Cruz Diez, Julio Le Parc, Agam, Bridget Riley # . $

Op Art. 1) Josef Albers (1888-1976) G "& #$ & . # % , $# . '40 #, & , $ & "& $ # & # # $ . I & '60 '70, # Op Art, OpArt. ( & ÂŤ$ Âť # & . ) $ # $ #" : ÂŤD #% # $ %# #" , # "& # Âť (ÂŤWhen you really understand that each color is changed by a changed environment, you eventually find that you have learned about life as well as about color.Âť) & , . S @ . * # $ # $ #, # % . * ' $ # & . , #" # $ . " #, ' @ #

& # &

* Josef Albers # & , & # % . ! & # & # & 1000. & . ; # # & , $ # , # " , %# . 106 .2/6

"& $ "

# & , # & & & # & % # # & . 2) Victor Vasarely (1906-1997) ! Victor Vasarely ! "& #$ . ! & 12 , & Op Art. $ ' : , & @ , . R $ $ # # . G Vasarely % & & . I Â&#x20AC; $ : & # & " & $ . # , $#% . # & , & &' $ & . $& ÂŤ Âť. O Vasarely $ #" . ) , $ & # , # & # , # #" #$ $ . ; % # & # & & , % , , & # # , # & & $ , @ $& & % . @ "5 ' % " !" & # Op-Art , #" # & & G # . # & #" # , % " & # , & # # # , . ! $ #' G S # .

F Vasarely Â G . ) % ( @ $ ) # . # Vasarely # # % # & # , & @ . Vasarely 1964,Planetary Folklore 106 .2/7

) â&#x20AC;&#x2122; # , % , # & & & $ . S # % ( # & ), # % # , # #$ # . " ! G F I & % % . ! % # & . I Vasarely # 5 ÂŤ% Âť % , # # # & . " , # $ % # & $# , # % . I # % % # # . Vasarely 1988, Hexa 5 # , % & & # & , # "& $ # % , @ % . " ! ) S # , S %# I , $ # & % % & >' G' G # & I . * & # blog : http://taeikastikastinekpedeysi.blogspot.gr/ L & , Op-Art, # & , # # # # . ' . G & & : ) , â&#x20AC;Ś. %' 5 1. https://el.wikipedia.org/wiki/ 2. https://www.artsy.net/gene/contemporary-op-art 3. http://www.theartstory.org/movement-op-art.htm 4. https://www.widewalls.ch/op-art-artists/victor-vasarely/ 5. http://artmagazine.gr/art-history/art-history/item/2763-op-art 6. http://taeikastikastinekpedeysi.blogspot.gr 7. http://stua.tumblr.com/post/15948934485

106 .2/8

% % Ian Stewart Â¨! Â&#x201E; Â¨ 39-43. # & % @ . L & # & & # & , . & % @ @ R , # & . G " @ # ' % , & R .

% @ & , $ & R Î¼ G . (! % # # % @ Â· & & % & & , %

Î¼ . * # , & , , , $ , " ) , % @ . ! Î¼ # Î¼ # & - , & , " Î¼ % @ . , & % % @ & $& # & , # # & . I , Î¼ % @ # Î¼ . ! & % % @ . , #" . W & ' , # # . S % # $ ' : , # , # , # Î¼ % , # % $ $ . * & # & , # % , , & & ' & . L # # # &$ , , #$ % . ) % # . # Î¼ Â« & Â» # & : $ , Î¼ Â«% #" @& Â», ! Î¼ " # , # & & # 106 .2/9

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ @ $ ' - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Î¼ . ! # # #" "& Î¼ , , . D ' ' # # , #" % $ & @ $& , % " & ' ' # & % # . D , % & # & $ , & $ " # # & # & Î¼ & $ , & ' & $ , # $ $ & # % # ' $ # D ; $ # , #" & " & & " $ . L# & # , $ # # , , # . I , # , $ # " . L , # # , # % $ # & ' # $ # & Î¼ % & Î¼ % # % . Î¼ # #, " Î¼ , " ' #, Â« Â» .' $ # , & Î¼ . L # # , & % , Î¼ # " . S # $ #. & $ # # Î¼ . # . * $ # 17 & % # @ & # & $ $ , # . D # & , # & . - & # & Â« Â» Î¼ - ' @ & # $ Î¼ $ Â« Â», # # . , $ # Â« Â» $ & $ # $ , ) # # $ ' $ % % # Â&#x2026; , 106 .2/10

% ' # # Î¼ % @ .

G @ , . D, , & , & . ) &' $ Î¼ # $ & . ! # Â«Î¼ % @ Â», % Î¼ % @ # #" Î¼ Î¼ & & . I , # # ' , # Î¼ #. G # , # # @ % ' $ , # # # & $& # .

) $ ' $ , & # ' . ) $ $ , & " # $& $& . * % - Î¼# Â« Â» -, ' & Î¼ $ . S # # , . & # $ . ! Î¼ : % , # .

D & L > Lewis CarrolI,

# $

% ! '

( ! ! ! ) * . 106 .2/11

; ================================================================ - " ' * H"'" * * # & % # % # & $ 2 & $ G # 2 & $ ' # # . % #" & # & & ' # # & 1 cm2 # , 1 cm2 # . ) #" « & # » $

$ ( # # $

$ # ). I % # # % # & $ & . & % # & $ # # % . >IK @ : ( $ % % > G , # PISA). %

$ # , # , # $ # . ) 15 cm " 20 . ) 30 cm " 40 , )

$ ; %) , $ ; * % I= 2, ( # ) 3,14 $ % I= 2. 1 * '& *: G & , % 1 cm2 # . G % 1 cm2 # % % cm2 " # % . ) % : I1 = 2 = 3,14 (15)2 = 706,5 (cm2). ) # % : I2 = 2 = 3,14 (30)2 = 2826 (cm2). * 1 cm2 : 20 / 706,5 = 0,028 = 2,8 # / cm2 * 1 cm2 # : 30 / 2826 = 0,011 = 1,1 # / cm2 I & , $ # # , $ 1 cm2 . 2 * '& *: G & , % cm2 # 1 ( #" 1 ) . G % cm2 # #" 1 % % cm2 " # . 106 .2/12

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! -F "; -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 #" : 706,5 / 20 = 35,325 cm2 # 1 #" : 2826 / 30 = 94,2 cm2 I & , $ # # , $ 1 #" . > ' ' . ; #" ' & & % , # $ , # # , 2 $ . * # , $ # # ,

#" , # $ # # , $ #" #" # , & # , % # # 45 cm " 60 ; I'â&#x20AC;&#x2122; # % , (I= 2) $ y=ax, % . * ( $ # ) #$ #' G , & # , # 2 $ . G # $ " . G # : Â«( #" 30 # % % . 20 % % ;Â» # 30 . 20 = 600 #, @ , & ; ) # 2 & % $ # & $ . & # ;

)

! # , # , & # â&#x20AC;¦

106 .2/13

>' ' $ * - > ' ! 5-' ========================================================== - " : Q ' = # % # & , #" $ . " % . * % # & S , & $ # #, #" $ . ! $ # $

& . 7 , " , .

8 , "

. $ " $ 7 $ , $ . 9 $ $ .

) # x # , ' & , % # & . # & #" & % # &

: #" $ % #" ' & $ %# ' . ' % * % % * ! . 1) S # ( $ ) " 12 . I #" " 8 # & . ! # 7 . & ; > - ' 5 ' #

' $ F 1 . " 12 " 12 .

( .

8 12 # 8 4 1 . 12 3 1 3 ! # ! # 7 # , 3 3 7 . , 21 . x * " 12 1 1 % x=28. 21 12

( &

[

106 .2/14

----------------------------------------------------------------------- >' ' $ * - > ' ! 5-' ---------------------------------------------------------------------

> ' ' : I # & # ' & # & x " # % . 2) S ( ) ' & > .

* > 8 10 . ' , # ; > - ' 5 ' # * > 8 10

' $ F @ 1 8 @ 1 10 9 (60 ) @ 1 1 8 10 40 * # 1 40 @ 60:9 #, # $ ( # ) 40×(60:9) #.

+ ! ! ( 8 12 . S 2 3 & & 3 4

. ;

/ )!: . ' % * $ '" * &$" *. ( # 3.000 kg #

& 5€ 3€ .

# 4 € . " 200 €. # # # ;

> - ' 5 ' # #

& 5 € 3 € # 3.000 # # # 4 € " 200 €

' $ F ( & # 5€ ( ) E #' 5×3.000=15.000€ I ' 4×3.000=12.000€ ] 12.000+200=12.200€ < & 15.00012.200=2.800€

106 .2/15

----------------------------------------------------------------------- >' ' $ * - > ' ! 5-' ---------------------------------------------------------------------

# 2.800â&#x201A;¬ # 3â&#x201A;¬ 5â&#x201A;¬ # 2â&#x201A;¬ & . I & # & 3â&#x201A;¬ 2.800:2=1.400 #. + ! 1) # ' : # $ # # # , 6â&#x201A;¬ # $ # " , # 10â&#x201A;¬. # # 30 , ' 140â&#x201A;¬ ; 2) ( & 12 # # # , # # % 29 . ! .

; / )!: . R @ >K K TQ #" % , $ # $ #. % 1) Â« x

" 7 Â». 1) # $ ' # 20 . ( ' 15 . 11. 5 80%; > - ' 5 ' # 5 11 15 * 80% = EI )

' $ F x 5 , 11+x. & 15+5=20 / & = 80/100 * . (11+x)/20=80/100

' ' : E % % , . ' # & # 23% 23 , * 1+ =1,23 100 23 =0,77 & . # & *= Â· ' 1100

2) ( $ 5â&#x201A;¬ . L # % 20% $ 80%. $ ; > - ' 5 ' # $ 5â&#x201A;¬ 20% L 80% = EI )

' $ F ( #) 5Â· â&#x201A;¬. 0,8 1,8 xâ&#x201A;¬ 0,8Â· Â·x=1,8Â·5Â· 106 .2/16

----------------------------------------------------------------------- >' ' $ * - > ' ! 5-' ---------------------------------------------------------------------

+ ! x #" # 6â&#x201A;¬ @ # 15â&#x201A;¬ . # @ & #' & 25%, ; x @ # # 15â&#x201A;¬ " 87,5% . * # , # @ , 25% %# . #" ( ), , #@ # ; x % #" # 6â&#x201A;¬ @ 15â&#x201A;¬ . " 87,5%, # # @ ; / )!: $ 2. $" ' " . 1) * $ ' . ! 2 9 1 â&#x201A;¬ 2 1 7 . ! > 1 3 & # â&#x201A;¬. ! G 3 â&#x201A;¬. 5 10 >;

> - ' 5 ' #

' $ F

! 2 1 â&#x201A;¬ 9 2

# ,

$ # #.

! > 1 & # 1 â&#x201A;¬. 3 5

# $ ,

$ # #.

2 1 5 (8 7 ! > " 9 3 9 2 1 1 â&#x201A;¬ 1 â&#x201A;¬) 1 1 3 =0,3â&#x201A;¬ . 9 3 2 5 2 5 10

! G 3 7 â&#x201A;¬=3,7â&#x201A;¬. 10

* 5 +0,3â&#x201A;¬+3,7â&#x201A;¬ 9 . ] 4 4â&#x201A;¬ 9

2) ( # 0,8 â&#x201A;¬ . D 3 4 & # & . # ' # 20.000â&#x201A;¬ . L# # #

. # # #; 106 .2/17

----------------------------------------------------------------------- >' ' $ * - > ' ! 5-' ---------------------------------------------------------------------

> - ' 5 ' #

' $ F

# 0,8 â&#x201A;¬

x 0,8Â·x .

3 & # & L 3 Â·0,8Â·x =0,6Â·x. ] 4 4 1,4Â·x .

# ' ] ' 1,4Â·x+20.000â&#x201A;¬ # 20.000â&#x201A;¬ # 1,4Â·x+20.000â&#x201A;¬ = 2Â·0,8Â·x=1,6x # # 20.000 =1,6x-1,4x=0,2x.

+ ! ! G

3 $ " . S &

35 $ "# . @ , # & ;

@ ' % G" " ' * ' *. 1) 15 . ' # 18 & # 9, # & . ; " &: I . #

, $ # , # # $ &

# & # . %# % S=2 G # G GS & G=GS=42. * # I ( ) = 51 51+15=66.

>'& : % x 7 . >'& "5 ' % *: 14 ] 44 . ) # ] # ] ; ) # ] 2/3 ; 106 .2/18

! " # ==================================== - " : 8 5 * Q *, ! * ?' *, %&* G #'% *

G & " > $ %&'" $"#' . $& , # & : Â« " !& " ' %# )" " '$ % ' %# , " $' " !# " ' %# ) * $" "* " '-* .Â» I# # %, & & , # & : Â¨ 2 = 2+%2Â¨, #" > $ %&'" & .

G # x, @, & , â&#x20AC;&#x2122; Â¨x2+@2 = &2Â¨ > $ %&'" ' ! . # 8, 15, 17 # : 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172. # & # 50 '# . 3, 4, 5 6, 8, 10 9, 12, 15

5, 12, 13 10, 24, 26 12, 35, 37

7, 24, 25 9, 40, 41 20, 21, 29

8, 15, 17 16, 30, 34 15, 36, 39

# & # $ & " ' # & $ & , % # # # . , # , #" $ & . L # @ , # , # . E # & # . , % > % & # Plimpton 322, 1600 .;. # # ' & & (1679, 2400, 2929).

) % #$ . E & $ , # & , # & " $ . 106 .2/19

---------------------------------------------------------------- ! " # ------------------------------------------------------------ # , % $ # . % Â¨ Â¨, # & " & . Â¨ Â¨ # " # .

I# & & Â¨ ! *Â¨ '

& , " & Â¨ Â¨ & & 3& , 4& 5 # & . & # , $

32+42=9+16=25=52 # # # , , & & # , % % #' 8 & " '$ %# , " '$ % ' " - & "% "' " ' . # . I & $ , %

" % & # . G # # , ( # # , . . ), # $ 4. & #$ # &: 1 I ' # # & . . (8,15,17). 2 * # # & " â&#x20AC;&#x2122; , >, G, S, # . # : >=8cm, >G=15cm GS=17cm.

3 S # S # , S @ # . ( S), >, G # %#" # #. 106 .2/20

---------------------------------------------------------------- ! " # ------------------------------------------------------------ 4 # & #

. G # ( S). ! # >. # # & " , & >G, : >=8cm, >G=15cm G=17cm. ( # # # " # & . 5 ! $ 4 & # & , # & & $ >, & .( ( & ). D & > & >G . #% # # , % % & & & # , & % # . L :

, , % ' # " '# " &* ' %# G > $ %&'" & ! ! ) " 2+%2= 2, & " ' % " '$ %# , " '$ % ' " - & " ' " * . ) ' 5 > $ %&'" $"#' $ # &. G # $ #' # , " * * '& * * &$" * "' *, # , ' 5 '& . I % ' & # # . G # : Â¨ ' 5 > $ %&'" $"#' Â¨ * & " # $ , # $ # .

" * 1 6, $ & $ & # .

106 .2/21

---------------------------------------------------------------- ! " # ------------------------------------------------------------x

7 8 $ & & .

7. I & 9 cm,12 cm, 18 cm & ; 8. # $ @ 408 cm, # 306cm, 525cm. I # # ; x 9-10 % y.

11. % % & 17cm # # 15 cm. 12. ! 6 cm, %# 8cm. % % . 13. # & # # . % ;

14. I & # & ;

15. ( & >G 12cm, 35cm 37cm. % # & % >G; 106 .2/22

! $ #. %. ============================================================== - " -5 * "W % R- 1 ) S 1125 " % . G # 1, 1125, 5, 15 . .

. % . R- 2 ) $ $ . G # & >G 32 SI{ 38 $ & SI{ % >G. I & # ; E & & >G >= G=10 >G=12. & & SI{ SI=S{=10 I{=16. = % # . * ; %# # & # & % % %# & $ ;

7 . x 11 13 ; @ # 15 $ . S : x # # @ . %

x %# , %, , .

R- 3 ) S #

R- 4 ) # & : 1 1 4 42+32=52 1 3 3 1 1 8 82+152=172 3 5 15 1 1 12 122+352=372 5 7 35 %# # & # & # 2 # , 1 @ $ 2 @ $ %, 2+%2= 2 R- 5 ) I % %# $ , , $& $ # # % . $ & & . ; 106 .2/23

& ! # ! # . ================================================================ +. @ ' *, >. '! ! G & # , > G , " # % & % . % # # #" , # % % # # $ , "

$ G & # .

R ' & . ! , ' %' 5 X' . * « @ » G & # ; * #$ R & ; K %' 5 * X' ! R & ' & . (" '# 1 .; 1 .; . I # " , . ! #$ R & & ! F %' 5 * ( ' * "%-$ *) & $ & .

& ( $ & #' )

# & ( # $ & & #% & ). ! # % $ & & & . S #% # & & 106 .2/24

& ! # ! #

& $ # # & $ $ ( & & ). D # # & $ " $ & " . 'F " ! %' 5 : * 1630 L $ # (Christoph Scheiner) #$ , % & . ; & "& #$ # $ & # , . # % $ # $ .

$ %' 5 ! #$

$ : $ ( & & ) ( & ). # & & . #% & %# & $ . # " ( %# ), I # # G % .

# & G & . !>VS >! >V # , >V=VG >!=! . * & !S SVG ( ;) ' & $ G # 180 ( ;) # G # S. G 2 & >G. = & & S 1 >G !S. , G S G #@ & # . @ $ # @ $ http://photodentro.edu.gr/lor/handle/8521/2289 . 106 .2/25

& ! # ! #

! #$ " & & # & , & . D & $ , #$

: K. # # #$ ( G: I). $ # ( ) # ' , . G # , 3 $ 3 $ & .

* " " - %' 5 : ) #$ x2, x3,x4 x5 ' : * # & 12mm # 3mm # . * & % & :

> $& : ) $ (Pivot 2). * & $ % # & %

L video #% & : https://www.youtube.com/watch?v=I_k6RszuRXY K %' 5 * %' 5" : = ' & #$ 3 & ). . ., * *" $ , " #$ . )

# , # $ & . ! # #@ # 1804 # Â« $ Â». $ & !!! 106 .2/26

& ! # ! #

K ) -* * %' 5 *. K ) -* * $ ' , # laser. ; " @ #" @ % . I & & $ %# $ . " '% * 8" & & ) ' % ) & - '$' & ' &%' .

; #" % & # , &

. ; & % , , , , % & # & . = # & ' # % # . $ # $ , & $ # . ! #" , # , & & # % , . F " %' 5 : #$ % G # S, $ $ & ; @ % # ( % S # G), $ $ & ; $ # & !; AB=40cm, AO=10cm, BG=40cm BV=10cm > %-*: Â«R & ' , # ( % # $ Leiden MS B MS L)Â»

106 .2/27

>' ) ' - $- % & *. F G ============================================================== - " -5 * "W % > ' % - & "* '# ' $ . , , , , % 2 . 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 â&#x20AC;¦... @ )' ' ' :

& , %

# " & 4 . Â·%=7 # " & & , % : ( =1 %=7) ( =7 %=1) # 2 " . 3 . 1) G , % Â·% â&#x20AC;&#x201C; 3% + -10=0. & , %. 2) ! , % 2-%2+4%=15. % # " & . 3) , %, 2, #" # =( +2)2+(%+2)2-2Â·( +%)-8. ' # & , %. : > ' % " & "* * ' " *. 4) S # . #@

# 283Ã&#x2014;279 . #@ # # ( ). 5) G x, y, z k : 2x+y+z=3k x+2y+z=4k x+y+2z=5k % @ $ & # & x2+y2+z2

" * $" " ) * 105 1) ) ii) 2 +% 2 = Â&#x2DC; % . ( " # = %= 2 2) $ # & x2=y+ y2=x+ (x-y) Â·(x+y)=(y-x) # x=y x2-x= # =(x-1)Â·x

& x . xÂ&#x152;y y+x=-1 & y=-x-1 x2+x+1- =0. I # ' & . G # =3 x=1 x=-2 " y. 3) 9.991=10.000-9 = 1002-32=97Â·103 # # 97 103 . !

# 9.991 $ & $ & . 4) : + Â&#x2DC; =24 ' & 2 +100 â&#x20AC;&#x201C; 2.400=0 100 " =20. 106 .2/28

================================================= ' : ' ( !

78 # )*'++,*-&/ )", -1&/ (-)45*-/ &/ / ) )", ) -1) โ & ")+,/โ 11 Q " ' 2017 K " * $" G >'& 1 Q % " " * ' $ * ' *: 2 2 ยง 10 3 15 3 ยท 8 ยง 1 ยท 3 ยธ ย 2 $ ยจ ยจ ยธ . 3 ยจ 23 22 ยฉ 4ยน 3 ยธยน ยฉ 2 ยง 10 3 15 3 ยท 8 ยง 1 ยท 2 ยง ยง 10 ยท3 ยง 15 ยท3 ยท ย 2 3 ยง 8 ยท2 4 2 3 ยธ 2 $ ยจ ย

ยจยจ ยจ ยจ ยธ ยธ ยจ ยธ ยธยธ ยจ ยธ

3 ยจ 23 22 ยฉ 4ยน ยฉ 2 ยน 3 ยธยน ยฉ ยฉ 2 ยน ยฉ 3 ยน ยน ยฉ

5 ย 2 4 4

53 ย 2 16 16 0 ย 2 0 0. 3

>'& 2 ! & ) ' % G K " " " " ' . ' - * GK - " " , !" F" " & : ( ) " $" G " $" ' * " " - *

. ห ห 300 , !" F" " & K " ! ) & * * % * 2*$ ( ) 2$* ห . %$* ( ) I & >G >! %# >, *$ *% 2$ 2%, G ! # >, G! # >. I & # > , S = S>. ห ห 30D , '$* 60D . I & ( ) * & SG G $*' ห ห 2$* ห ห , ! & %$* ห . '$2 '$* 60D 30D 30D 2$*

1 106 .2/29

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- @ $ % -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

>'& 3 K G #'% * %&' " - & F * 1200 " '# ) ' * "' " " 5&' * ' $- " * F * (H> ). @" '& $" H> 24% " * F *

1200 " '#, 5 " '# " " 12 & "* "* !& " *. Q '" " & & $" * !& *, " # * " ' $ " &% !& " 5% " & *. 24 * Â&#x201E; : 1200 Â&#x2DC; 12 Â&#x2DC; 24 288 , " Â&#x201E; 100 : 1200 288 1488 . ! & : 5 7440 1488 Â&#x2DC; 74, 4 . 100 100 ) G : 1200 288 74, 4 1562, 4 , # : 1562, 4 :12 130, 2 . >'& 4 K " ' ; 5 * $" &* -' * ! '" " 9 % ' 8 " & $" - & ' '# ; 5 & ' "' ' * !"F " 5 8. Q '" " & * * ! * ' $ * . . S : x ! $ @ $ 5 @ $ x * # & @ $ & 15 x 9 x 3 . ] 5553. x !

$ @ $ 5 $ # 8 @ $ x. * # & @ $ & 18 x 9 x 0 x 9 . ] : 5580, 5589, 5850, 5859, 8550, 8559. x ! $ # @ $ 5

$ 8 @ $ x. * # & @ $ & 21 x 9 x 6 . ] : 5886, 8586, 8856. x ! $ @ $ 8 @ $ x. * # & @ $ & 24 x 9 x 3 . ] 8883.

G G >'& 1

' $ &* " $" &* -' *, % " " * ' $ * ' *: 2Q Â§ 10 2 Q 1 15 2 Q 1 Â· 8 Â§ 1 Â· 2 Q 2 Â¸ $ Â¨ Â&#x2DC; Â¨ Â¸ 2018. 2017

2 Q 1 Â¨ 22 Q 1 Â¸ 22 Q Â© 4Â¹ 3

Â© Â¹ ( 2Q 2 Q Â§ 10 2 Q 1 15 2 Q 1 Â· 8

2 Â§ 1Â· Â¸ 2017 $ Â¨ Â&#x2DC;

Â¨ Â¸ 2018 2 Q 1 2 Q 1 Â¨ 22Q Â© 4Â¹ 3 Â¹Â¸ Â© 2 2Q 2Q Â§ Â§ 10 Â·2Q 1 Â§ 15 Â·2Q 1 Â· 2 Â§ 8Â· Â§ 4Â· Â¨Â¨ Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ Â¸Â¸ Â&#x2DC; 2017 Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ 2018 Â© 3Â¹ Â¹ Â© 2Â¹ Â© 1Â¹ Â©Â© 2 Â¹

2Q 1

Â&#x2DC; 2017 4

4 2018 2Q

52Q 1 Â&#x2DC; 2017 2018 52Q 1 52 1 20172 2018 2

24 Â&#x2DC; 52Q 1 Â&#x2DC; 20172 2018 24 Â&#x2DC; 52Q 1 Â&#x2DC; 4068289 2018. 106 .2/30

>'& 2 " &* ) * '$ % ' %' " " ! " !# "*, 1 " -* '"*, ) * '$ % ' %' .

$ * 3 # " " -*. * " !& $" " * * " " " & " !& $" ' * *. '"* "* " !& 80 . ., '" " " !& * *. ! #" A,B % # # # , . ( & 2 x # . * $ & , 3 2x # . I , $ % & & 80 . , (2x) Â&#x2DC; % 80. D & ,

$ 9% . I & % # # x$ x(9%) 9x% 9 Â&#x2DC; 40 360 . I & % 360 80 440 . . >'& 3 G' 5 " $" & -' )' # * & "* 5 '-* $- " ; 5 6 5 ' ; 5 4. Q ' ! ' " " " ) ! & $" & -' ' " %' ; " * ! '" " & " ! & "' & "' * & * -' * 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9. $& $ #@ $ # @ $ 4 @ $ 6 $ , & N t 1 $ . & N 0 # @ $ 6 & $ . ! #@ # @ $ & $

.6+4 = .3+3+1 = .3+1, 3. I & # # 3, 6 9. I 0 5

5. I & 2,3,â&#x20AC;¦., 9 . G " # 2,4,7,8. G 4 @ $ 4, @ $ 64. ! 2 8, # 7. I 664 7 & @ $ 6664 2, 4 , 8 7, " .

>'& 4 ! & ) ' % G " & " ' " ' * . ) D G " '$ %# ' &%' " " ' %' . 2 ( ) N !" F" " & $' $( . ( ) Q % " " ' " " ! ' %# G. ( ) (1 * '& *) ( & # $ # >G ) & # SI & {. * ) # # >G, >) = )G. I { # # >G # # SI. I & # >S{), ){IG , >) = S{ )G = {I. I & S{ = {I. ( { # # SI, S = I.

106 .2/31

2 (2 * '& *) * & >S GI $%

$* D %'

D , 2

& , $

Ë&#x2020; $%'

Ë&#x2020; *%' Ë&#x2020; $%* 60D 90D

Ë&#x2020; %*( Ë&#x2020; Ë&#x2020; . $*% $*(

I & & >S GI , $' $(. ( ) $& $%' $%+ %'=+ $'= ,

$%+

1 D D 3 Â&#x2DC; Â&#x2DC; 2 2 2

D2 3 , %'=+

D D Â&#x2DC; 2 2

D2 , $'=

1 D D D 3 Â&#x2DC; Â&#x2DC; 2 2 2

3 1 8

D2 3 D2 . 8 8

D2 . 8 0

, )

2 * :0 ! 1 1 D D D2 D , $%'

Â&#x2DC; %' Â&#x2DC; \R9

Â&#x2DC; Â&#x2DC; 2 2 2 2 8 2 ( $'* $%* %'* $%' . D &

$%' $%+ %'=+ $'=

]

$%*

$'*

D 3 1 Â&#x2DC;DÂ&#x2DC; 2 2

D2 3 , %'*

$%* %'* $%'

D 1 Â&#x2DC;DÂ&#x2DC; 2 2

D2 3 D2 D2 4 4 8

D2 , $%'

D2 , 8

D2 2 3 1 8

" * % 4

47. > # & & # ' & 49 9 .

48. x y

4 x 2 y 2

14 , x 3 y3 .

A49. S ' & D 1 x 2 2Dx 2 0, . ( ) = # ' & \ ; ( ) > ' & . Ë&#x2020; 90D . E & I # & > G32. S >GS $ G> = GI { # & G> > = {. ' & SI{ .

106 .2/32

' 6 # ! #, < ================================================================== G' 5" - * @ ' * Â«) . ) ...Â» K!. * ! # & $ ' . , , % , ' . ) #

$ ' . G # # ' " . " ' & $ # & & . E , â&#x20AC;&#x2122; # #. , & " & . K % "* " "5 ; )"* " ' -' & & #$ , & & # # # . ( &

, - - & # & # . ! & # , % Â« & Â» # : #! ' Â« #Â» . ' # Â« #Â» # , $ # . I $ Â« #Â»

$ $ % . L# & Â« #Â» # Â« Â», 6,5,4 3 ! # & & Â&#x2026; & &

' & $ # #, % #. ! # $ $ â&#x20AC;¦ $ $ . ' " & '

# & . . # #. S # # , # , # . # , $ #" & . . three tri, # tricycle # ( ) ' & decameron! ( , & , ' # . ! # Â« % #Â», # % . , @ : #' ' # & : 106 .2/33

-------------------------------------------------------------------- 5 ; )"* % "*, " ' -' ' ) ' - ----------------------------------------------------------------

. * / " ' %. * / " ' # Â« Â» . * / " ' % . # %# (10/20) . # (20/20), ! S . . 10 # # , % . 1. S ( % ' & ' # ) 2. S ( & " ) 3. S ( 366 ). 4. S % ( & # ) 5. S 6. I'# ( & # , % & ) 7. I'# ( @ & # & & # & # ) 8. I'#@ ( # & ) 9. I$ #" ( @& ' ) 10. I$ #@ 11. ( & #, & ) 12. # (% L ) 13. # $ 14. "# ( ) 15. * # 16. * ( ' ) 17. * % ( % ' $# & ) 18. * 19. * # ( & #) 20. * ( # )

* ! " #' * " * 1. ( ) ! & â&#x20AC;&#x201C; $ . 2. ( ) @# 18 & # . * # # # % " ! * " . G # % & & # % : * , , . " ! 3. ( ) L# , L & V , % , & # $ # : Â«calo luna novellaÂ» . $ # ' Â« Â» . D , Â&#x201E; % , # %

$ = .

$ @ bisextus #

. 4. ( ) ! G # Â&#x2018; Â«S % Â» (1757 - 1831) ( 106 .2/34

-------------------------------------------------------------------- 5 ; )"* % "*, " ' -' ' ) ' - ----------------------------------------------------------------

# , & Â&#x201E; . 5. ( ) # @ % '

, #

= . " . 6. ( ) L ' ' # '. ' ' .

Â«# , '# Â» # %% % " & . 7. ( ) ! I'# & Â&#x2026; sextans . * ' 60 1/6 $ . 8. ( ) I # ! %#" '#@ ' @ S . 9. ( ) L & # # ' ! " $ & " #. I & " . $ # ' ($ #"â&#x20AC;&#x2122; & # < % ) ' $ #" . 10. (%) * $ # Â« Â». ! # $ #@ %

. . . 11. ( ) & # : #, . Â« Â» , , $& #. D & $ $ & , , . 12. ( ) " $& $ ' L % . 13. (%) I # . $ , # $ . 14. ( ) $ # # ' & . ! â&#x20AC;&#x2122; , & & # S # , $ $ # 10 ! &% 1769. * & $ # "# % #. {# # % . + "# " "# ( "# ) % 10 10 . 15. ( ) & , $ # $ # ' # . # & - & , $ #' ' -# # & ( # ) . 16. L & ( ). ! ' # : G (> #, , , S ). L $ ' , ' ! 17. ( ) * Â« % Â» . ( % # . 18. ( ) # ' & # # & , & . # # @ #" , ' . 19. (%) * # , % # #% , # . 20. ( ) Â« Â» # # & & ( & ). D & # # & , % % * . ) $ Â« * Â» @# % % . 106 .2/35

& < ! ) $ ============================================= - * @ ' % *, !'- * ' 5 ! , # E. Lucas, 1883. # & %# , . %#"

%# $ .

! $ , $& # & : 1) L# $ # $ - * & ! * . 2) , !" " '- " # & . 3) ' ' , # # &

. ! , . ' , #" # & # ' .

1 #

2 # &% 3 G . , .

4 * 5 * #" . . 106 .2/36

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- K > '% & ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6 * 7 &% . . # & % , # # . < & # #; S , # % . E $ % & , # # $ # & .

, &%. * %# , &% . S . # #" , ' .

( - &%), . Â&#x2018; â&#x20AC;&#x2122; #" 3 ( ) . ( $ #" , 1 ( ) . $

( - &%), ( #" 3 ( ) . 8 ;). I & # # 3 + 1 + 3 = 7 & . , # , , # ; # $ (7 ), # (1 ). * (7 ). # 7 + 1 + 7 = 15 .

S $" 5 ' ' $- - - ! , " 5-' ') & * * ! * " &* & " " " , # # . @" 106 .2/37

" # " " ! ' , - * " 5-' * & * ! * & !" "' ' , # # # . ! % " '& '% & %" '5 " $ * ! *, ) ' 8 " " ! - ' , - " 1 ! ( "% "' ! ) " * & * 1 ( - %& "' *) ! *. -)" $- " $# * ' 5 '" . ( ! ! - ,

! ! , ! ). ( % & & #" # & :

2 2 3 2x2 1 2 1 3 7 2x2x2 1 23 1 4 15 2x2x2x2 1 24 1 5 5 31 2x2x2x2x2 1 2 1 S #" # $ # 2 , $ # $ 1.

: * $ * 8 ; , < , . 64 ,

, " - . < , ,

[ % $ % ! " % " $ &*. Q 8" " & " 5 ' 64 ! ! # !" " )'& ; # #" 1Â Â , 60 x 60 = 3.600 . S 24 x 3.600 = 86.400, 30 x 86.400 = 2.592.000, 12 x 2.952.000 = 31.104.000 . ! & & #" $ # & 64 : 2 x 2 x 2 x â&#x20AC;Ś x 2 x 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 , 2<2<2<2<2<2...<2<2<2<2 1 264 1

16 4

1 216 <216 <216 <216 1

64 $ , ,

) ! ! .

# ) â&#x20AC;Ś13.700.000.000 ) G 3.000.000.000 ) "& # & G $ 1.000.000.000 ! # & # # & G 500.000 S % # & : http://www.telemath.gr/mathematical_telegames_hanoi/ http://www.math.toronto.edu./mathnet/games/towers.html http://math.bu.edu./DYSYS/applets/hanoi/hanoi_more.html http://www.eggraid.net/games/anoi.php http://ludusmentis.blogspot.gr/2011/01/hanoi.html/ http://chemeng.p.lodz.pl/zylla/games/hanoi5e.html : http://www.wolframalpha.com/input/?i=tower+of+hanoi # & & $ " . ( 0 ! 106 .2/38

) $ = ; )

5 -' * $ & "* ' ! F ' & " - *. 1) K $ & "* ! 8 $ # . # > S % 1996 # L # # . * # % $ SIDS. # : # 1998 # % # & . & $ L $ & & & . ! V ( ) % % . ! # "& % $ 1 8.543, % $ # 1 73.000.000, #

$ " ! * ' , &

$ & % 1999. * 2001 S . ] G # > , $ , " & & $ @ # DNA & % $ . # # L # $ " # 2003. : 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Sall 2. https://www.theguardian.com/society/2007/mar/17/childrensservices.uknews 2) $ & ! -) %" -$ ! -' . I $ & # % # . * @ #

# #' & .

' # , ' $ % 23 # . # # & # 2 # # # & & % . ] 23 30 35 40 45 50 50% 71% 80% 88% 93% 97% I $ # & % 35 # , & , ' # # # # 2 # . http://antikleidi.com/2013/01/15/birthday-problem/ # : https://betterexplained.com/examples/birthday/birthday.html 3) 500 ! 5 '" -* "* % ' . ( %# 500 $ '& 106 .2/39

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ & \-' "; @ $ " --------------------------------------------------------------------------------------------------------

& terabyte. ( 500 . S ' # # %# . 500 ; ) # % $ # ' %# . # ' $ ; G # & & . & % % Jeffrey S. RosenthalÂ¨ . ! & & Â¨ %#" 4.000

# 75

# 50,2% '

. # & 500 19 50,2% @ " " " ! 5-' & "'% ! * ' : & % % $ . ) Apple % # & Ipod. ) $ # # @ , & #

# # , # . L $ ÂŤ Âť & Apple, o % *" . ( & Â¨ "$ - Leonard MlodinowÂ¨) 4) ') " * ; * # 2016

, Frank and Sullivan, %# # LI <IV SA " 20% & # & $# # . & ' ' # 20%; !

G ;! & # & # 20 & , $& $ . ! Frank and Sullivan " $ # & $ . * , " , 13 # & 10.000 . D # "&

. ! # $ # # & 13 . https://www.space.com/32793-intelligent-alien-lifeprobability-high.html 106 .2/40

======================================================================= Q & * G * -I & * # : Â« S # Â» 105. 106 # # I & & $ , * $ & # I % . , # & $ # S # $ #, # # (3) # $ (3) 3699/2008 I I & " : Â«& # % % # # Â». G & " # ,

@ , " . ; ! #' & " # & , $ # $ . )

# & & : x ; x I % SI -=; x ( & / # & % " ; x * $ # $ ; G & " % * , * & , Â&#x201E; ; , # G & , $ # Â&#x201E; ] % . # # % # & #

. I $ # # $ .

$ " # I # # # ; #. ! & # # $ &

' & " G , , ! & @ , < S ' & : . > " , "* ! "* " '" 8 $ ; * DSM-V ( & ) I S I #. & # & : & , # & , % , % [1]. ] # & I S # Â&#x2022; & & # & . # , &

@ $ & , &

$ $ . S & # G & ' # [2]. * " % % # & # & I % . I $ & # & $ , % & & ' & # . ) 106 .2/41

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- @ $ & >' 5 @ $ # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

" $ % & & # $

' # . % ' $ â&#x20AC;&#x2DC; & â&#x20AC;&#x2122; , & , & % % , % & & , # # & , $ # ' [3]. & # , $ , % . & , # & Â« Â» Â« Â», Â« @ Â» Â« Â», Â«% Â» Â« $ Â», Â« Â» Â« Â».

# : S # www.dyslexia.gr _ * @ * * # $ " I / , " #

% ( , ) [4]. I

#, & , , $ , & . . . & & , & # & E & , # & S & & { & & % # & , [5], % & % # & $ . ) I ( .I) ' & $ & # , # $ # & # & .

# & # # '& &

& . H # ' .I. ' # & #" 4 [6]. ) .I '# # # ' . D & # #. I & " # '

& ' , # 15 . ( #' S G # . I $ # . # & % ' â&#x20AC;&#x2DC; # ' â&#x20AC;&#x2122; ' % & . * ' & $ '# # % [7]. I # ' $# %# # # %# , % .

# % I . L # % " . 106 .2/42

"F & "* * % * @ $ [8]. * # , #" , $ & , , , $ . . . I : ) ' # #' % , %) $ , ) % & [9] / $ " . K ) ' & , # @ / # . I , # #" , $ & & # & % % & & % & & #' & . #" & , & $ # & , @ , [10]. #" % & # & & . * " $ # $ % % . & , $# # # # & %# % . "' * % / # & $ . $ , & % % # # . I % $ ' ' $ . & " / / # % # % Â&#x2026; . ) $ â&#x20AC;&#x2DC; E) : L! V!Â&#x201E;:<â&#x20AC;&#x2122; # # I # , & ' . I / # S . = # ' # #$ Â&#x2026; "& # . D %# " : * & # @ , " , & # # [11]. %' 5 -* 5 '-*: [1] V (2013). American Psychiatric Association. Diagnostic and statistical manual of mental disorders (5th edition). Arlington, VA: American Psychiatric Publishing. [2] Dehaene, S. (2011). The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. Oxford University press. Revised and Updated Edition. [3] Rousselle & NoĂŤl, (2007). Basic numerical skills in children with mathematics learning disabilities: A comparison of symbolic vs non-symbolic number magnitude processing. Cognition, 102. [4], [8] Geary, (1993). Mathematical disabilities: Cognitive, neuropsychological, and genetic components. Psychological Bulletin, 114. [5] Andersson & Ă&#x2013;stergren, (2012). Number magnitude processing and basic cognitive functions in children with mathematical learning disabilities. Learning and Individual Differences, 22. [6] Alloway, T.P., Gathercole, S.E., Willis, C., Adams, A. (2004). A structural analysis of working memory and related cognitiveskills in children. Journal of Experimental Child Psychology. [7] Siegler, S.R. (2006). $ #. : I Gutenberg. [9] Bryant, D. P., Bryant, B. R., & Hammill, D. D. (2000). Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weaknesses. Journal of Learning Disabilities, 33. [10] L # , G., # , G. (2011). # # & & & ' & & . . # 3 I I . [11] Kandel, I. (2008). " . I L . 106 .2/43

, # # # 4 # 2 4> *)/-& 1&?>()++&>

" $ "* $ % ' "* G "' > 03- @ @ ' > 17.01 G ! I 2 G L , $ 1975. $ # 2017-18, $ 279 # 30 .

$ , I , $ . * 2015-16 > #' . 2016-17 G #' . ! & #$ # & . «( . < < . # " < . # . 8 7 . = % ( 7 ( 2300 . < - $ $ " . 9 $ $ $ .»

«8 & 7 # , " , * $ ( 7 > $ ? #

» >T @ I K I K R Q Q > I H I G # > % '# I #% & # , , , # , $ # $ " . 106 .2/44

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ @- ' * "' 5-'" * * G * ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L # '# 800 > % , #, $ $# . # & # " & IË&#x2020; 7, 2q $ . ! I 1) G " # I G & . 2) G " $ & " I # 480 .; $ (384 .;. â&#x20AC;&#x201C; 322 .;.) 3) I @ & $ ' % . 4) S & # # , & E @ ; (640 .;. â&#x20AC;&#x201C; 546 .;.) H % 5 " ' $ " & ' $- " 7,2 '"*. < & - '# , I % . ] & #" . D & - '# 5000 # # 805 km. ! I $ : & $=7,2 ' 805 km & 360 ' ; >K KG @K GTQ

@ K K\K ( K\K @K I ) 7,2

805 km

360

L ( $ )

L=805 Â&#x2DC;

360 =40.250km 7,2

" " " * * $ 1 $ # #. ( # % , % $ & " . $ Geogebra " & . ; # " 106 .2/45

% % % $ Geogebra " $ . # Â #' S. . , % % Denis Guetz ÂŤ * >

106 .2/46

106 .2/47

@ $ -*-@ $ ' "* " " ) '&%' I # .-G & G.- G& *.-G {.- I #% E.- .-> >.-{& S.; L.- S.- . â&#x20AC;&#x201C; L . â&#x20AC;&#x201C; G # L.- ; L.- ># .-L .- L <.-S L. - â&#x20AC;&#x201C; . 106 .2/48

# @

=============================================================== & " ' 1) S 7 ) # 3 " 5 . 2 # 3 " 10 ; ( $ $ Brian Bolt < " . 9 # 9

2) R # ' 2 3 G & # # # . ! G $ % ' & & # ,

# : ) ! @ & ) ) # # 55Â & G ; 3) : 62 52 = 11, 562 452 = 1111, 5562 4452 = 111111. & # # # #@ # . G # 11111111

1111111111; % % #@ . 4) ( # 0,3 , 0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 , 0,8. & 6 # & & # # 1,8 4 " # 3 $ . 5) S # # & :

2018 2017 2016 4 3 2 . % 3 , , , ... , , , 2 3 4 2016 2017 2018

# 1.

" * " ) * 105 4 # # . = # & 5 % , & , & $ . ( ;)

1) ) #

2) $ # 5 # . 3) ) 4 3 . 4) 471.471 7, 11 13 471, . 471.471 1001. 5) D # 6, # % 1

# 5 # + % = . 106 .2/49