Ευκλείδης Β 106 by demi de

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τεύχος 106 - Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2017 - Ευρώ: 3,50 e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ Γενικά Θέματα 1 Αριθμητική και Γεωμετρική επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων ............ 50x12 x2=1230 Tα Μαθηματικά στην … Αρχαιολογία! .......................... 6 Δυο ακόμη αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος ........................... 9 Ερωτήματα γύρω από τους δίδυμους πρώτους αριθμούς ....................... 10 Μαθηματικές Ολυμπιάδες ................................................................................ 13 Homo Mathematicus ........................................................................................... 19 Α΄ Τάξη Άλγεβρα: Εξισώσεις - Ανισώσεις, ...................................................................... Γεωμετρία: Παράλληλες Ευθείες Παραλληλόγραμμα Εγγράψιμα ...............

25 28

Β΄ Τάξη Άλγεβρα: Τριγωνομετρία Πολυώνυμα, ..............................................................

Εξισώσεις της μορφής h(x)+γx+δ= a x + b όπου h(x) κατάλληλη συνάρτηση και α,β,γ,δ R, α>0, n å Ν*-{1}, ....................................................... Γεωμετρία: Εμβαδά, ............................................................................................ Κατεύθυνση: Ευθεία - Κύκλος, ......................................................................... Ενδιαφέρουσες συνέπειες μιας άσκησης του Σχολικού βιβλίου .....................

40 44 47 50

Γ Τάξη Γενική Παιδεία: Στατιστική,............................................................................... Κατεύθυνη: Ασκήσεις Ανάλυσης, ...................................................................... Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων για τα (Α.Ε.Ι) Παλαιοτέρων Εποχών, ...... Χρήσιμες Επισημάνσεις - Ασκήσεις, ................................................................. Ανισότητα Bernoulli ...........................................................................................

52 54 61 63 66

Γενικά Θέματα Μαθηματικά και Λογοτεχνία. ............................................................................. Το Βήμα του Ευκλείδη, ....................................................................................... Ευκλείδης Προτείνει, ... .......................................................................................

70 72 77

Κάθε Σάββατο γίνονται ΔΩΡΕΑΝ μαθήματα, Στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. Θυμίζουμε ότι: Ερωτήματα σχετικά με τα θέματα Διαγωνισμών υποβάλλονται στην επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι, εύχομαι ο νέος χρόνος να είναι για όλους ένας χρόνος υγείας, ευτυχίας και προκοπής. Ειδικά στους μαθητές για τους οποίους αρχίζει πλέον να εντατικοποιείται η προσπάθεια για τις τελικές εξετάσεις, εύχομαι να ευοδωθούν οι στόχοι τους μέσα στον καινούργιο χρόνο. Κάποιες αντικειμενικές δυσκολίες δεν μας επέτρεψαν να σας εξασφαλίσουμε την έγκαιρη λήψη του 1ου τεύχους σε έντυπη μορφή και γι' αυτό περιοριστήκαμε στην αποστολή του υπό ηλεκτρονική μορφή, προκειμένου να έχετε γνώση του περιεχομένου του πριν από το Συνέδριο της Λευκάδας. Η επόμενη προσπάθεια μας θα είναι να ολοκληρώσουμε μέσα στον Φεβρουάριο την ταυτόχρονη συμπλήρωση και των δύο τελευταίων τευχών. Οποιαδήποτε αξιόλογη εργασία συναδέλφου η μαθητού από το πανελλήνιο θα είναι ευπρόσδεκτη και άμεσα δημοσιεύσιμη σε κάποιο από τα δύο αυτά τεύχη, των οποίων το περιεχόμενο έχει κυρίως επαναληπτικό χαρακτήρα. Ευχαριστώ εκ των προτέρων όλους όσοι συνδράμουν σ' αυτή μας την προσπάθεια. Ï ðñüåäñïò ôçò ÓõíôáêôéêÞò ÅðéôñïðÞò: Ãéþñãïò Ôáóóüðïõëïò Ïé áíôéðñüåäñïé: ÂáããÝëçò Åõóôáèßïõ, ÃéÜííçò Êåñáóáñßäçò Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι:

Α΄ Λυκείου [Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης], Β΄ Λυκείου [Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης, Απ. Κακκαβάς], Γ΄ Λυκείου [Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 11 Νοεμβρίου 2017 Θαλής: Ευκλείδης: 20 Ιανουαρίου 2018 Αρχιμήδης: 3 Μαρτίου 2018 Προκριματικός: 31 Μαρτίου 2018 Μεσογειάδα: 1 Απριλίου 2018 Εξώφυλλο:

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr π πΕπιτροπή Συντακτική

ΔΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: Ανάργυρος Φελλούρης ÄéåõèõíôÞò: Ιωάννης Τυρλής

Εκτελεστική Γραμματεία Πρόεδρος: Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò Αντιπρόεδροι: Åõóôáèßïõ ÂáããÝëçò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Μέλη: ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 8005

Εικαστική σύνθεση

ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò Βλάχος Σπύρος Γιώτης Γιάννης Åõóôáèßïõ ÂáããÝëçò ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò ÊáñêÜíçò Âáóßëçò Êáôóïýëçò Ãéþñãïò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Êáñäáìßôóçò Óðýñïò Êïíüìçò ¢ñôé Κουλουμέντας Φώτης ÊõñéáæÞò ÉùÜííçò Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò

• Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.

Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô. Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò Μανιατοπούλου Αμαλία ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò ÌÞëéïò Ãåþñãéïò Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò Μπρούνζος Στέλιος Ìþêïò ΧñÞóôïòΧ Παπαπέτρος Βαγγέλης Óßóêïõ Ìáñßá ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò ÓôñáôÞò ÃéÜííçò

Ôáðåéíüò Íéêüëáïò Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò ÔæåëÝðçò ¢ëêçò Tουρναβίτης Στέργιος ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò ÔóáãêÜñçò ÁíäñÝáò ÔóáãêÜñçò Êþóôáò Τσιφάκης Χρήστος Τσουλουχάς Χάρης ÔõñëÞò ÉùÜííçò ÖáíÝëç ¢ííõ ×áñáëáìðïðïýëïõ Ëßíá ×Ρéóôüðïõëïò ÈáíÜóçò ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Øý÷áò ÂáããÝëçò

Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50

• Ïé óõíåñãáóßåò, [ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο εισηγητής. ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00 Tï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: (1). Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 (2). Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK (3). Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. (4). Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

. . . . . 2017

, 9 2 2018

. . . , 25 2018, 10.00 , ! " 1 #$ % & ' ( ! ) ' " !*! ( ! 13 , " ! ). 1. ! ". . ! 2017 2. # ! ! $ % ! 2017 3. & ' ! 4. &! ! , ! ! ". . 5. &! ( ! ! 2018 6. 7. ' $ ! ! % ! ) 8. * $ ' ( % 1/3 . . ., % ' %9 % % ! 2017 % !! ) 2018), !

11 : 2018 9 10 ) ; ! < =* ' < "%' , , ) , . )> = ) > ? ' @ < A 9 . ., > ? '#9 ) > ? '#9 9 < = 9 2017, ) C) > ? '#9 ? 2018 % "

9 D > ? 9 ) ) 9 " ! !;" @! < # #) 9 >> ! 9 " ' 9 9, www.hms.gr. $ ) % 5 * $ 5 ! 6 # :

106 .2/1

========================================================================= ) @> A' 5 ! ' ; < ( ) & (! ). 5 ; < $ ' , ! $ ! = ' , % ! < < ! ) , ' ! !! ! < ! , $ ! ! ' . > $ ! . ! ' , ! ' 800 1100 .?. â&#x20AC;&#x2122; < $ . 5 ! Abu Muhammad ibn Musa al'Khowarizmi (780 â&#x20AC;&#x201C; 850 .X), = 5 ) (< < ) ) - ; !$ 5mar al'Khayyam (1048 â&#x20AC;&#x201C; 1131 .X), = * ! $ ! Rubaiyat ( % ). $ ! D < < ) Al-Al-jabr W'al mugabalah, al' Khowarizmi 820 .? al' Khayyam 1100 .?. 5 Omar Khayyam !! ) E ! < , * ! ! $ ' ! < < (1070), % ! $ ! < ' , % % ) & , $ = = ' % $ , < [1]. al'Khowarizmi al'Khayyam l-Khowarizmi ' Â« ! Â» < < ' Â« ! < Â»1. < < < ! ' ! $ ' [3]. : ! < < $ % ! ! ! ' , % , x2+<x+! = 0. > $ $ $ ! . > $ -? = < % ' ' < ) !% < : 1) x=c, 2) x= bx, 3) x2 = c, 4) x2+bx=c, 5) x2+a = bx, 6) x2 = bx+c ( al' Khayyam ! 1). : b c ! (b) < $ (c). 5 ' ! ! ' !A< 9 ( ), F 9 (x) A?;! (x2). ! ' % < < < % : x2+10x = 39, x2 +21 = 10x 3x+ 4 = x2 [1]. 5 ' = ' % ! $ . " $ $ < ' ) ) , "al-jabr" "al-muqabala". x > "al-jabr" % , , : ) ! ' $ . $ ! ' x2 = 40x â&#x20AC;&#x201C; 4x2 ! 5x2 = 40x. x > "al-muqabalah" : ! ! ' . $ ! ' x2 +14 = x+ 5 ! x2 + 9 = x.

> ' J ;L % ' Algebra % < ' al-jabr. > < ' ) = ! ! < l-KhwÃ¢rizmi Â«HisÃ¢b al-jabr wâ&#x20AC;&#x2122;al-mugÃ¢balahÂ», < < ! ! ) ! ) ! 830 .? $ Â« ! ! Â» Â« % = ! ' ! Â» $ $ Â« ' Â» [1]. ' al-jabr ( ! % ' Â« ' Â». < < , ! 825 .?, Â«Kitab hisab al-adad al-hindiÂ» $ $ Â«P ! # $ Â» ) 12 J Â«Algoritmi de numero IndorumÂ», l-KhwÃ¢rizmi # $ D ) 1 9 0 % . To < < < $ $ $ < " . : % ! ) $ % , = $ ' ' . ) % = Â«&%

! ... Â», -? ! ! ) ! ' J 5L#S 5 Â« $ $ ! ! Â». 106 .2/2

---------------------------------------------------------------------------------------- "' G ;' ) > ?;! *! D * ;! ------------------------------------------------------------------------------------

: < < l-KhwÃ¢rizmi $ !-% ! < , $ % $ ! < < % , ' ! < $ ! ! ' ! , $ . = Â« Â» < " ) [1]. : < < ! ) , !% $ < , ! $ ! ) ! ! , ! , $ ' < $ ) ! # $ [5]. > ! < % ! !- > < )# ! < = >-& F' # % [4]. 5 l-Khwarizmi ! < % ' , # $ = , $ ! ! ! ' % % . : < < ) < % ) , % % $ . 5 ! ) % . , ' $ < . 5 $ % ! < ! . $ ! , ! ' x2+10x=39 ! ) [4]: "â&#x20AC;¦ 10 39 . : 39 ( ); . ! 10. # 5, 25, 39 64. $ 8. % , 5 3. , 9. # ". : < $ $ ) x2+bx=c ( x2 +10x =39), !b % < ' [5]: & , , , 2 2 2 b2 b b c . , c, c . & $ , 4 4 4 A

b $ , 2

b2 b c . $ ( 4 2

Â§ b2 bÂ· ) Â¨ c Â¸ . Â¨ 4 2 Â¸Â¹ Â©

$ < B < (1600 .?), < 2, $ ;. 13901 < ; (; < Y , 98). 5 l-KhwÃ¢rizmi $ ' ! $ ! < ! ! ( = ) $ ! < % . > ! % ' ! ! ! ! < [5].

: < < < ! < al-KhwÃ¢rizmi

! ! ( $ ), ' x2+10x=39, l-Khwarizmi ! (x2), $ ! , $ ( ) 10x $ . : % ! = $ ! , 39. x2 +10x = x2 +2Â&#x2DC;5x = =(x+5)2 â&#x20AC;&#x201C; 25 = 39. 5 < $ ! 39+25=64

(x+5) 8. %

! x = 8 5= 3. 106 .2/3

---------------------------------------------------------------------------------------- "' G ;' ) > ?;! *! D * ;! ------------------------------------------------------------------------------------

> $ , , ! . * ! ÂŤ ! Âť, $ ! % . 5 # $ , 800 600 .?., % $ ! ÂŤ ! Âť ! 2 ( ), ; < , 400 .?., < , , ! ! , $ ! $ < ' & , $ 300 .?., ! , , ! , $ < ' . "O ( l-Khwarizmi) . , ' , al'Khwarizmi $ * ' # â&#x20AC;?[4]. 5 = ! $ ' = % < < ! ! $ $ [5]. ! ! = ! $ % , 5 ! , ! ) : " ! ' . / ! . ! (jabbre maqabeleh) 5 6 ! ! 77 * ' # " [2]. > ! < Omar Khayyam ! . * ! ! ' ( $ Al-Khwarizmi) ! $ ! ) $ % , ( ! = ##.14) $ % < ' . ; < ## % $ 3, % % " $ ! ", < ! $ < ' ; < VI ! ) $ < ' . 5 5 6 < < ## % $ $ , % = Van der Waerden [3], < . ##.5 = $ ! , $ ! ##. 6 $ $ ) ! . > ##. 11 ($ ! ) % % = $ < ' = . * ! : ÂŤ< $ ! ' $ , ! $ Âť ! ' : 1 1 ( x)=x2, x2 + x 2 = 0 = D 1 5 D 1 5 . 2 2 > $ < = , [1]. > 4 ! -

: < ! ! ) ! Sulbasutram Baudhayana [2]. ÂŤSulbasutramÂť ÂŤ % Âť % ! ) ( 600 .?.) !% $ ! % = < . : ! < < $ $ ! ! % $ ! , ) !% $ ! % ! , Sutra. : Sutra 54 ' : ( $ ÂŤ Âť ÂŤ ! Âť). ÂŤ# = , $ . > ( ) ! ) ( ) . (* ! ! ! % ! ). ? $ ( ! ) $ ( ! ). @' ' . B $ , ($ Sutra 51) ' Âť [2]. & $ ! ! Soutra 54 3

5 ## < < % % ! , ##.11 ##.14 ( ! = ) % $ % . , < < , % = $ < ! % (ÂŤ < % Âť / , $ $ < $ , ' ! ! $ ), % % ! $ $ < ' . 4 > ' x2+ x= 2 x( +x)= 2 $ ) $ < . < < % % ! $ ! $ < ' . > ' $ x +x, $ $ ) ! 2. ) $ ) $ $ , < % ##.6. 106 .2/4

---------------------------------------------------------------------------------------- "' G ;' ) > ?;! *! D * ;! ------------------------------------------------------------------------------------

' : * ! ! ; " ".5 ( , ;)

" ^. % = ! ^S>. : > = . 5 $ $ $ ' [1] !% < : 1 1 ! ! ; % EB= D 2 +( ) 2 = 5 . 2 2 1 1 1 D( 1 5) . ^ = ^ = ; = D 5 D 2 2 2 % < % $ ##. 11 ($ ! ÂŤ ! Âť). > ! "= ' " * ! , = $ ) % $ , ##.11

VI.30 ) ) ! . ) van der Waerden, & $ < < ! < % ! $ ! $ < ' ! $ % ! D ) % . ; < , F @' ! ' = , H=x ! % . " % $ ) ! < . ` $ $ < ! = , !! . % ) . & $ ) ! < ! , ! â&#x20AC;&#x153; $â&#x20AC;? * , % ! $ !! [3]. , $ < ' , $ ! ! ! ! < ! ! ! . 5 !% < ! ' 2 < % ) = ! 1.500 .?, ! ) % < ! ! , ! ! < $ ! < ' . > % ' < . 5 $ % = ! $ = Cardano Girard. > ! = Descartes ! $ Wessel, Argand Gauss $ = $ < ' . * $ Vieta Harriot ) ! ! ! ! ' 2 < . > % % % ' ' ! ! = $ < ' % % . $ ! $ ÂŤ ! Âť # $ !! ) < < Y , 94, ! ' $ < .

> ? $ [1] L.Bunt-Ph. Jones -J.Bedient (1981): 5 = % $ , ) E 6 , $ . . * , . [2] Henderson D.W.: Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, $ $ . www.math.cornell.edu/~dwh/papers/.../geomsolu.html [3] B.L.van der Waerden (2000): > ) , * $ . [4] Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (biography), $ $ : www-history.mcs.stand.ac.uk/.../Al-Khwar [5] * $ (2012): > E ! < -? = , " ! " â&#x20AC;&#x201C;" * ! % $ ÂŤ" $ $ ! Âť, : * * . . [6] :h. Heath. (2001) : # , ##, S , . . *.

106 .2/5

50x12 x2=1230 Ta â&#x20AC;¦ ! ;A!! F , ! 6 â&#x20AC;&#x201C; % , * / ! ?;? $ ' ? , % ' , , , ..... % ! . > : ) , , % ! % ! .... : $ ) % ' ) ! ! ! . * ' = % ! $ ! , ) = ! ) % % ! $ $ $ % ! ( , $ ) (Barcelo & Bogdanovich 2015). 5 $ â&#x20AC;&#x2DC; â&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x2DC; â&#x20AC;&#x2122; $ $

( ! ) ) , , , % ! % , < , % ! . ., $ , , , < , ! . . > Â« Â», * ! = ' ) ) . Â&#x2020; â&#x20AC;&#x2DC; â&#x20AC;&#x2122; "'#9 , ' ! . 5 $ ' ! ( ! ! ) % < < . : $ , $ $ $ ) . 5 , < ' ) ) , < , % ! () , ?) % ) â&#x20AC;&#x2DC; ' â&#x20AC;&#x2122; $ % ' ' , Â&#x2021; % , % â&#x20AC;&#x2DC; â&#x20AC;&#x2122;. & % ! - ! ! $ . ! $ $ % ! ) , = % . $ ! % ( % ! ), ! , $ ) % Â&#x2021; . $ â&#x20AC;&#x2DC; â&#x20AC;&#x2122;, , , â&#x20AC;&#x2DC; â&#x20AC;&#x2122; ! < $ ' ' $ ! $ . > $ - !! $ ! , Â« Â», - ! , ! , $ ) $ % $ ! : % ! S % ! , ! , # : % . $ ! % ! ) $ ) ! $ ) ( , ). > ! $ ) ! $ ) $ < , , $ ' , % ! % , (J = 2007). : % ' . ) $ ) ) % ! < % ! , ! , , < $ % < = % , ! 1. % .%. ! ! % , % ' ! = . * $ $ ! $ % % ) % ! < $ $ = % $ (cultural heritage). : $ ! = < J ! , < = ) $ , . 1

! = ! , % , % < . * ( >?# "' ) = % % , ) % < . 106 .2/6

---------------------------------------------------------------------------------- 50x12 x2=1230 T " ' A ! â&#x20AC;¦ = > ? ! -------------------------------------------------------------------------------

& ! $ ! ( '.1) = % !

% ! < x DULTPR9DW PZQ C 14 VH2VWR x Â&#x161; y &U QRX y o 1 14 x, y (1)

" $ , % % -14 (x) ! % ! (y) = -14 (x, y). % ) % % ! < $ % ! % .% D , , , , ! % ! .%. !! , ! , % ! % , . ., ' , * , , , " ) J ! , * -* ' , J ! , . ) < ?' : 1) * $ % ) % ! ) S 1650 .? % ! ( %.1) (* $ , 2008) % $ ! . " ! % ! ) % % ! % : 1) ( ! ) , 2) ! ! $ ' ( ' ) R T r0 1 T T0

D T

T T0 arctan T T0 . ` ! R( ) % -

' (x0,y0) ! , 3) ! % $ , 4) D , 5) < 6) < . 5 ! ! % ! ! = ! $ . &

$ ! ) = ! ) $ % , $ $ % % ! % , % ! $ % % ? ;' # ) # ) , < % ! $ % .

( ) (<) (!) %.1. ) ; !! ' <) ; !! , !) , ! ! ) , !! = = ! ) ( * $ 2008). 2) % ! < % ! ) ( %.2). ! ) ! < ! ) = ! !! = ! (log-normal). % $ ' / $ Log-Norm ' !! = ( ) % ) ! < % ! ) % ! ' ! ) % % / % ! ( '.2) Â§ Â§ Â§ x Â·Â· Â§ x Â·Â· Â¨ ln Â¨ Â¸ Â¸ Â¨ ln Â¨ Â¸ Â¸ b Â© c1 Â¹ Â¸ b 2 erfc Â¨ Â© c 2 Â¹ Â¸ (2) L x;a, b1 ,c1 ,d1 , b 2 ,c 2 ,d 2 a 1 erfc Â¨ Â¨ Â¸ Â¨ 2 d1 2 2 d2 2 Â¸ Â¨Â¨ Â¸Â¸ Â¨Â¨ Â¸Â¸ Â© Â¹ Â© Â¹

106 .2/7

%.2 ; % ! ) $ < . J ' ) < % . ? ! D ! . ( %.4) ) $ % ( ! < ) ) ) ! 2 Â&#x2020; Fick. ( '.3). > ' ! !

! C $ ! ( % ) % t ! ! < $ $ x. ÂªÂ§ wC Â· w 2C Âº (3) D Â«Â¨ Â¸ Â» wx 2 Â¼ Â¬Â© wt Â¹ ' ! = ' ! ) ) % ) ) = , ! ' (t) ! D ( '.4). 3)

Â§ Â· Â¸ 1.128 2Â¨ Ci Cs Â¨ 0.177kCi Â¸ Â¨1 Â¸ Cs Â© Â¹ t (4) 2 Â§ dc Â· 4Dseff Â¨ Â¸ Â© dx x 0 Â¹ ` t % ! , Ci ! ! ) , Cs ! , b,a 3 < , Ds,eff ! $ % . (J = 2007)

%.4 ! D . ? Â&#x2021; $ . ~3.100 ? % % ! ! = ! 30.000 .

% #B# 23 B 2018 Â«C B % ' Â». G ! > ? $ Barcelo, J.A & Bogdanovich, I ( .)(2015) athematics and Archaeology. CRC Press Taylor & Francis Group, Florida, USA. Gareth, W (1982) Mathematics in Archaeology. The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 13, No. 1, pp. 56-58 (Mathematical Association of America) Kendall D.G (1969) Some problems and Methods in Statistical Archaeology, World Archaeology, 1, 61. J = , # (2007) 6 % ! . $. : - ." $ , 2 $.( ) 4, .312-340) * $ , (2008) * $ % ) % ! ) S 1650 ? % $ ! . : < C ' % ' # $ , (#. J = .), $. Gutenberg, ). 16, 483-516, 106 .2/8

#' ) ) < D 99 ( " ? ; ' 9 . > 9 1 )#< D / ( " ? ; ' 9 " ! ! ; ; . & $$YA %* *

, Y ; ;Y, ; Y < Y ;, +

% . &%% : A $Y%Y $ $*Y $%* ! ˆ *ˆ , $ ˆ ' *ˆ ( ' )). E : Y;Y=!, Y=; $ 1 1 Y Y= <, : 1 1 2½ $* A ' * ' ( $*$ ') E ° ° 1 2 1 2 2 2 $ ') ¾ J E ( $*$ ') ($%$ 1 1 2° 2 2 J ( $%$ ') $B A 'B' °¿ 2 2 1 1 1 1 2 D *' $$Y * *' $$Y %' ' %'

D E2 J 2 D 2 2 2 2 2 2 )#< D / ( " ?? ; ; ' 9 2 ($%') § $% · J2 : ! ;", " " ;

: , ¨ ¸ ($%*) © %* ¹ D2

Γ΄

A΄

B΄

($*') § $ $* · E2 ($%') ($*') J 2 E2 . E E ¨ ¸ %* ¹ D2 ($%*) © % ($%*) ($%*) D2 D2 ($%') ($*') J 2 E2 ($%* *) J 2 E2 J 2 E2 1 J 2 E2 D2 $%*) *) D2 ($% ($%* D2 D2

=#> : $

' * ! S S S S (5 ( , < $ ) ) % < < . $ )

A $ ' ! ! .

( > ' ( '#9 !!#9 ' "

> ! ' $ $ ! ) “ ! = ! ””. ! ! ) ' % $ 5 ! % ! == !

: % ( < ) ) !

! ' ! < 3 $ (! ). : $

% ! 9

2 $ ! . > ' 9 $ $ 32

. 5 ) 2 ( $ !! ) ? ( % ! D % ! ).

? 4=22 0 ? o (x-2). & D 2(x-2). : % D '' . '

% ! ! $ ) ! ! . 5 !! (x-1) 2 $ (x-1) . &

: x2 = [3 + 2(x--2)] + (x-1)2 ! = . 9 G >$ ! 99, Y 2016-2017 7 2 .J.

« » 10 06 .2/9

. ! 9 ) > #) > 9- ! , " ! ! ! , # # , # $ 2. % : 3,5 5,7 101, 103 .! . & # , ! ! . !! , . .

! ! # # . ' â&#x20AC;&#x2122; . * !! # . + # $ : /1, /1 + 2 # /2, /2 + 2 # /x, Px + 2 , /xd 3P1+2; % : (3, 5) , (5, 7)

(11, 13) . 6 11 d 3 Â&#x2DC; 3 + 2 ( # ). 8!! : (5, 7) , (11, 13) (17, 19) . 6 17 d 3 Â&#x2DC; 5 + 2 ( # ). + ! : (599, 601) # , (617, 619) (641, 643) . 6 641 < 3 Â&#x2DC; 599 + 2 641 < 1799 ( # # 1158). @ A B/& ! ! # # # , A! â&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x2122; $ Â« Â» $ # ! . D A Â« Â» : . ' $ $ . % /x>3P1+2. B /xd3P1+2 ! Â« ! Â» # . F ! A ! , (599,601), G $ , (617, 619) (641, 643) # , !! $ # # 603

1799. H ! # , ! /# Pafnuty Chebychev (% H ), # H , # ! : # /,

# [/ + 2, 2/â&#x20AC;&#x201C;1]. B , ! # . J $ : /1 # , # , [/1 + 4, 3/1 + 2]. K! ! Â« Â» $ : + (/1, /1+2)

# (/2, /2 +2) # . J $ xLx yLy . 1. * $ xL , # /1. * $ x , #

/1 + 2. H $ yLy. * $ yL

# /2 $ Oy

! # /2 + 2. H $ , $ ! # . , â&#x20AC;&#x2122; Â« Â» # # # â&#x20AC;&#x2122; A !! ! , .

, #

106 .2/10

-------------------------------------------------------------------------------- ; ' ?@ ; )# 9 < < ' 9 ) * 9 "' @9 -----------------------------------------------------------------------------

# , !! ! $ .! . H A !

4 P1 P2 P1P2 1

(1). D P2 , P2 2 Px , Px 2 . * A !

! : E1

2P1 2 2P2 2

Px # , P1, P2 Px . + A :

2P2 2 2Px 2

E2 E1

4 P2 Px P2 Px 1

(2).

Px 1 (3). P1 1

! , # # ,

! A # A (3). F # #

% ! A # :

(3, 5) (5, 7) (11, 13)

(5, 7) (11, 13) (17, 19)

(11, 13) (17, 19) (29, 31)

3 3 2,5

(17, 19)

(29, 31)

(41, 43)

(29, 31)

(41, 43)

(59, 61)

(41, 43)

(59, 61)

(71, 73)

(59, 61) (71, 73)

(71, 73) (101, 103)

(101, 103) (107, 109) % 1.

Px 1 P1 1

1 3

5 7

1,7 1,5

! # # ( # # ), !! A! , ! ! . * ! A # ! . @ A B/& # ! . B , Â« Â», ! A ! ( $ )

! . !! ! < 3 # # 3. @ ! ! ! ( ), # ! ! 1. % $ ! A # ! 3. @ $ ! . :

Px 1 d 3 Â&#x; Px d 3P1 2 (4). + # , P1 1

# , G A (4). @ A Â« ! Â» â&#x20AC;&#x2122; . * , # ! ! . . PW , 5W 2 ! , !! .! . !# # . D !! G # , G ! A! $ : Â«@ A .

# # ! # , # . H

5D # 5N #. H 5D 5N # . K! / # # . % Â»; 106 .2/11

-------------------------------------------------------------------------------- ; ' ?@ ; )# 9 < < ' 9 ) * 9 "' @9 -----------------------------------------------------------------------------

"! #, ! A! # , 2 # ( ! # ). A ! F1 # ' 2 ! # . â&#x20AC;&#x2122; A A! '1 ' 2 # , '1 ' 2 # . + $ # :

2 '1 ' 2 25N '15D 5 ! '1

5 25N 5D

(5).

B (5) # ( A ! 2 ) $ . '1 # ! # . % :

>'1 >'1

11, 5 47, 5D 3, 5N 7@ >'1 101, 5 1823, 5D 347, 5 3911, 5D 11, 5N 47@ .! .

17, 5N

53@

* !! # ( ),

5 5D 5N # . K .1 $ : H '1 5, 5D , 5N . % : >'1 3, 5 19, 5D 3, 5N 5@ >'1 3, 5 67, 5D 7, 5N 23@ .! . (5),

'1 # 5D , ! A Pc Pcc 2 5N 2 5N1 (6). B (5)

A Px ! 3P1 2 # , . * : 51 Px / / ( ), ! ! . H . . ! .! . H ! ! , ! $ , # !! # , G !! . D ! # : + $ # 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56

52 53 55 1 (7). 51 54 56

+ : 52 53 55 51 54 56 Â&#x; 52 51 54 53 56 55 (8).

53 , 54 # 55 , 56 # , ) = ; A 51 , 52 # . Q ,

! # # # 51 t 3 . % : * $ # (5,7), (11, 13), (17,19). $ # (179,181), (191,193), (197,199). # !! ! , $ , # : (9419, 9421), (9431, 9433), (9437, 9439) .! . 8 A ( ) ,

$ : * $ # # # , ! # # (7), # # , ) = ; A # # . (H ! # # , # # ). R ! (7) ! 1 # . !# , ! .

@ A $ 5, 5D , 5N $ : '1 t 3 Â&#x; '15D t 35D Â&#x; 25N '15D t 35D 25N . H # ! / ( 5). 8 P t 35D 25N .

106 .2/12

" ' ?;!! ' " ' %9 :> ') : ) A< 99

) ) ?;! '*! 9 E.M.E. E

78 8 !!" &'# % % ("$ $&)'# +& , + &#%' '# #$ % ("% % % $&) “' ( !"#” 11 * 2017 : >@ 9 ;! " 'A ;! : : ( # > ' 1 , ) ) ! 9 "%%> ! = ' ) 9 16 1 ) 9 %! $ > # ) =! < ) < $ ) %= ! ) DD ! #> ! < = #! . ! ) =! < < 90 > ) AA 'A A< ) F A" ??' ' 11 ) < $ %9, ! < ! #! #> > ) < $ %99 ! ) D !! % "'# > ) *!; @ + .

x $ , x . H ! $ !

16x . K K 11 , !

90 11 1 45 11 # 90 11 . * # * 16x 90 11 , x , . 16 8 * # ! $ ! # . ( # > ' 2 " @! A< 9 (x, y, z) ;! "'*! ) !

% 99 *

x2 4y 2 9zz 2 4x 4y 12z 6 0 @ ' (x 2 4x 4)) (4y 2 4y y 1) (9z 2 12z 4) 3 (x 2) 2 (2y 1) 2 (3z 2) 2 3 # # . B 2 2 2 2 (2y 1) (3z 2) 1 . (x 2) 8 x 3 x 1 x 2 1 x 2 1 ° ° ® 2y 1 1 2y 1 1 ® y 1 y 0 °3z 2 1 3z 2 1 ° z 1 / 3 ( ) z 1 ¯ ¯

(3,1, 1), (1,1, 1)), (3, 0, 1), (1, ( 0, 1) .

( # > ' 3 % = ' ) *!! 9 # 9 $ %9 $ "%> ' M $ 9 ' $ A G A$ ' " # M $ 4. ) < ! >A= << ! # " # % ) ') @' ! ? AM ' ) 9 < ' # # ! < ! #! ) # 9 )# 9 %% 9 2, 3,, 4, 5, 6,7, 8,, 9. @ * # # G

10 06 .2/13

------------------------------------------------------------------------------------ " ' ?; ;! ' â&#x20AC;&#x201C; " " ' %9 :> > ') A< 9 ---------------------------------------------------------------------------------

G 4 G 9

! ,

N t 1 . ! ! N 0 G

9 # # . G G G !.3+ 1, 3.

!! ! 3, !

6 9. ! 0 5 5. , 4 !! G 4..

4 49 94,

4. 8, 4. $$ 22,3,â&#x20AC;¦., 9 . ' ! !

2,7. ' 2 ! G

4. 94 7 994 7, .

( # > ' 4 )> A à¢¢à¢£ )> @ ??*! G, " ; @' ' (< < $ ## )# '% 9 G) " ( ) ) ) !A )# !

$ ! ) A>> > G. : @ > 9 C1 () %= %! '% ! )

%'! !

. : @ > 9 C 2 () %= %! '% G ! G) %'! ! G . : : " 9

%'! ! ! " ( ) ' ( ! = . ! %> 99 " 99 %'! ! ' ' , ! ) < D

# ?;! ( ! #)> ! ) > ?

' <## ! ' 9 à¢» 9 )> A A9 G. @ % # $ HDU ! . H D"F ! ( o Ë&#x2020; DF,D" ! C1 ). ) B 60 , D"F D o Ë&#x2020; Ë&#x2020; K ( ! ) ! . K 60 . 1

Ë&#x2020; / 660R . 8

D"F F !! ! 2 0% 0* 0% % 0* %* * D 0. 0/ . 2 2 2 2 2

Ë&#x2020; K ! / 1

* 3

Ë&#x2020; 5Ë&#x2020; 1 60R . 8 ///"', /

H/% ! ( 1 R 7Ë&#x2020; 60 ). H ! /U" !!! ! ( %Ë&#x2020; /Ë&#x2020; 1 5Ë&#x2020; 1 60R ).

10 06 .2/14

------------------------------------------------------------------------------------ " ' ?; ;! ' – " " ' %9 :> > ') A< 9 ---------------------------------------------------------------------------------

8 H/% !

! : 75 7 7/ /5 7/ $% %

H A # H/% : 753

§ 3D · ¨ ¸ © 2 ¹ 4

D D 2

3D . 2

9D 2 3 . 16

: : ( # > ' 1 x 3 x 1 0 , ! ) < D # ! FF 9 ! " "'#9 ! F 9 D ; 9 10 2 D ; 99 x 4x 5x 3 0. @ $ x 3 x 1 0 , U z 0 : U3 1 0 U3

1 (1).

(*)

U 1

U9 U

UN3 3U2 3U 1 U9

U 1 3U2 3U 1 U9

3U2 4U 2

U 1

4U 2 U U10

3 U3 4U2 2U U10

4U2 5U 3

ሺ‫כ‬ሻ ɇɐɖɠɂɇɇ ߩ ് Ͳ.

( # > ' 2 ˆ 45q . : @ > 9 C (*, *$ ) (() %= %%! G ! >%9 ?;! G ( = G) ' ' $ * !! G ) %' '! ! ) % 9 ' . : ) ? ? ''%! 9 @ @ > 9

?*! G (% ; ; C%*' ) %' '! ! CG ' ) < D # A)> G ! >%9 )%F ) < ?* *! 9 %'! ! A" . @ H ޿߁߂ ! , ߁޿ ߁߂ ! ‫ܥ‬௰ . 8 : R ˆ 'ˆ $ 45 (1) 2

* 4 H 'F ! , ' 'F ! C'. 8 : (ˆ 'ˆ 1 (2)

ˆ % H ! "' F ! C'. 8 $ ˆ ( . 8 : ˆ 67,5D (ˆ % (3) 10 06 .2/15

-------------------------------------------------------------------------------- " ' ?;! ' – " ' %9 :> ') A< 9 -----------------------------------------------------------------------------

ˆ 'ˆ *ˆ 1 45D . (1),(2),(3) : $ 2 8 "F//' , ! "' F ! . * $ D"F # . H "' ! , " =F' ( # ! ) 'F=' ( C'). 8 ! "' "' . ˆ 'ˆ 'ˆ 67,5q 'ˆ 1 45q , ! 'ˆ 2 22, 5q 8 " 1 1 2 ˆ 'ˆ " 67,5q 22,5q 90q . 1

( # > ' 3 ) < D # , ? A" Q t 2 , "'#9 $

Q7 Q6 Q5 1 ! @!" 9. Q2 1

@ ! $ :

Q 7 Q 6 Q5 1 Q5 Q 2 1 Q 2 1

1 Q5 Q 4 Q 2 1

Q5 Q 2 1 Q 2 1 Q 4 Q 2 1

1 ª¬ Q 4 Q 1 Q 1 Q 1 º¼

1 Q 1 Q 4 Q 1 .

Q 7 Q 6 Q5 1 Q 1 Q 4 Q 1 . 2 Q 1 4 ' Q t 2 Q 1 t 3 Q Q 1 Q Q3 1 1 t 2 7 1 15 , . $

( # > ' 4 ! %! " ?*! ) >> >#? '' ) "' ' ' < @ @ '

! "' ' 9 ) '% . ( ! >A= < ! ' ' 9 9 < ?;! ; @ + x,y ! # !! ! . A xy 2(x y) (1). H

d (1). + d 2

x 2 y2 . ! A ! d x 2 y2

(1)

(x y)2 2xy (x y)2 4(x y) .

6 (x y) 2 t 4xy ( (x y)2 t 0 ) ! (1) 4xy

2 8(x y) , (x y) t 8(x y) , x y t 8 . (2)

J x y t d 2

(2)

t 2 4t (t 2)2 4 t (8 2)2 4 32 .

! ! 4.

32 ,

G : ( # > ' 1 G !A f : \ o \ )A = D \ % * : f D 0 f f x xf x D, ? A" x \ .

#> 9 9 < ! %9 '%9 ' ' ' < ! !A ) ! ) < < '%!

) > ' 9. @ J x D ! A : f f D Df D D f 0 D. (1)

' x 0 ! A : f f 0 0 f 0 D f D D, 106 .2/16

-------------------------------------------------------------------------------- " ' ?;! ' – " ' %9 :> ') A< 9 -----------------------------------------------------------------------------

f D 0 D 0 .

' D 0 f : \ o \ f 0 0 f f x xf x , x \ . @ A! A , f x x c , c \. H :

f xc x xc xc

x c 1 x c

x c 1 c2

c 1 c2 c 1 0 c

1r 5 . 2

0, x d 0 ° 8 f x ® 1 5 °¯ x 2 , x ! 0. ( # > ' 2 @! > ;! ) ?' *! "'*! ! ) < 9 F 9 9 D ; 9 x7 x6 x5 1 0 . @ +

x 7 x 6 x 5 1 x 5 x 2 1 x 2 1

x 5 x 2 1 x 2 1 x 4 x 2 1

1 x 5 x 4 x 2 1

1 ª¬ x 4 x 1 x 1 x 1 º¼

1 x 1 x 4 x 1 .

H ! # x 2 1 . , ! # x 4 x 1 , D \ # D 4 D 1 0 D D 3 1 1 0 D D 1 D 2 D 1 1 0 f D 1 0 .

K D d 0 D t 1 f D D D 1 D 2 D 1 , f D 1 ! 0 . ' 0 D 1 D 4 ! 0, D 1 ! 0 D4 D 1 ! 0. .

: x 7 x 6 x 5 1 0 x 2 1 x 1 x 4 x 1 0 x 1 0 x

( # > ' 3 ˆ 36o . : @ > 9 C * , *$ () %= %! G ! >%9 ?;! G ( = G) ' A 1 ! G ) %'! ! ) % 9 ' . : ) ? ? ''%! 9 @ > 9

?*! G (% ; C2 ) %'! ! C1 ' . ) < D # ! < = #' 9 9 ˆ # G $A) ! ) ? ? ''%! @ > ?*! G. ?;! 9 A @ H 'F ! , ' 'F ! C1 . 8 : ˆ 'ˆ $ (1) . 1

H 'F ! , ' 'F ! C1 . 8 : Eˆ 'ˆ ( 2) . 2

ˆ H ! "' F ! C2 . 8 $ B Eˆ . 8 : (ˆ %ˆ (3) . ˆ ˆ ˆ (1),(2),(3) : $ ' * 36q . 1

8 "F//' , ! "F ' ! # (" 'F) . 8 "' ! . F ! ˆ. A "' ! # "' A 106 .2/17

* 5 Ë&#x2020; %*Ë&#x2020; ( 72q , !! ! "F//' % ! "' Ë&#x2020; Ë&#x2020; "' . $ '1 *Ë&#x2020; 2 *Ë&#x2020; 1 36q *Ë&#x2020; 2 "', F' ( ( ) F' . ( # > ' 4 89

? ! 9 "' @9: 98 , 89 . 99 @ (1 #) 9) 89

J $ 98 ! 89 . 9 ! 8 , $ : 1

! 9

8 !9 Â&#x153; 8

1 98

Â&#x153;8

!9Â&#x153; 8

Â§8Â· 4Â&#x2DC;Â¨ Â¸ Â©9Â¹

!3Â&#x153;8

!3Â&#x153; 4

Â§8Â· 6Â&#x2DC;Â¨ Â¸ Â©9Â¹

Â§8Â· H# $ 6 Â&#x2DC; Â¨ Â¸ ! 1 Â&#x153; 2 Â&#x2DC; 3 Â&#x2DC; 224 ! 316 Â&#x153; 225 ! 315 Â&#x153; 25 ! 33 , , Â©9Â¹ . 89

2 9 #) 99. J $ 98 9

! 89 . U U ! , $

88 ln 9 ! 99 ln8 . \ # \ # ! , $

ln 88 ln 9 ! ln 99 ln 8 Â&#x153; 89 ln 8 ln(ln 9)) ! 98 ln 9 ln n(ln 8) . ln(lln 9) ! ln(ln 8) 89 ln8 ! 98 ln9 Â&#x153; 8 , $

89 ln9 2277 2ln3 226 ln3 ! Â&#x153; . ! Â&#x153; ! 98 ln8 3166 3ln 2 315 ln 2

226 ln 3 !2! ,

# . % , $ 15 3 ln 2 2ln 2 ln 4 ! ln 3 . J $ #

Â§ 25 Â· 226 225 2Â· Â§ 32 2 1 ! Â&#x153; ! Â&#x153; Â¨ 3 Â¸ ! 1 Â&#x153; Â¨ Â¸ ! 1 , . 27 3 315 3155 Â© 7Â¹ Â© Â¹

9 ? >@ 48. Z ! n ,b 2 2 2 3 D b n NDL D b n . # A49. Z !

x, y, z

# # ! !

x y z 1, x y z 1, 1 x 3 y3 z3 1 . : G39. ! "' F ! "'F !! ! # #

.. 'F = "' = F. !

' Ë&#x2020; Ë&#x2020; . %*' . Z A A $%* 2

10 06 .2/18

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS B Homo Mathematicus ! , !! G $ A! $ : 1) H @ , 2) % , 3) %

! @ # , 4) % , 5) % ! # ! # @ # . ! : / ? , E ' * , B % , B$ ? , B *

I. " #$% &; ! '% â&#x20AC;&#x2122; ( % # D# F . U , ), - !! G # , $ # , ! - !! . ! * , @ ÂŤ ( $ $ 4 : ! " % ) * , ! + -!+ &, ! ) / 3 / & ! ); . # " * / $ (lateralization) ! :& ! B ! ! , !! "speculative" . % ' ! Sperry The Split Brain Experiments â&#x20AC;&#x201C; https://www.nobelprize.org/educational/medicine/splitâ&#x20AC;&#x201C;brain/background.html,

Nobel . & A ÂŤ Âť J . G â&#x20AC;&#x2122; ! A # ! # # , ! $ , ! corpus calosum. J # ! A! . -

! ! $ . % # G , ÂŤ J %! ! Âť $ $ # ' # . * ! # A A! #

Harry A. Whitaker(Ed) Contemporary Reviews in Neuropsychology. 1988, Springerâ&#x20AC;&#x201C;Verlag. x Bradshaw, J. C. & Nettleton, N. C. 1981 The nature of hemisphere specialization in man. Beha. Brain Sci. 4, 51â&#x20AC;&#x201C;91. x K. Hugdahl Symmetry and asymmetry in the human brain x Eran Zaidel, Marco Iacoboni (Eds) The Parallel Brain: The Cognitive Neuroscience of the Corpus Callosum, 2003. x Jamie I.D. Campbell Handbook of Mathematical Cognition. x Michael S. Gazzaniga (Eds.) Handbook of Cognitive Neuroscience. x V. S. Ramachandran Encyclopaedia of the Human Brain.:

% ' I ? , ' . . & ) $ !:! ) ! !% %!* $) % !%$< ) ! / " ) K # , !! # A , ! ! ! ! , # ! $ # . Â&#x2021; ! $ ! " " " ! " # ÂŤ Âť ! (F . . ! Alvin Toffler)

% A ! J # . : Â&#x2030; Jose L. Fiadeiro Categories for Software Engineering, Â&#x2030; Prakash Panangaden Probabilistic Relations, Â&#x2030; Ernstâ&#x20AC;&#x201C;Erich Doberkat, Stochastic Relations: Foundations for Markov Transition Systems. Chapman & Hall, 2007.: @ internet "Applications of Category Theory", ! G ! # # .

106 .2/19

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO O MATHEMA ATICUS -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. #$% & ! ! " ) 3% / ' / - . H A ! ! , J.E. Coh hen: Math !! !! emattics is biolog gy's next miicroscope, only o better; ! , ! A . # - biolo ogy is mathematics' nexxtphysics, only better, ! , J - PLO OSBiology 2 (2004) ( No.122. D # Â« Â«H @

Â» ( ! A ! ! , ! AA " ! , "

, " ! )

- R @ # , A -

! Â» * ,

: hhttps://www.dropbox.com m/s/q2x2zykk0iw9wn49/C Cohen_Math h_%26_Bioloogy.pdf?dl=0 0, A : Â« E

$ ! $ ( )) . ? , ' ' 22000â&#x20AC;&#x201C; 5000 , ' ' .

' % ' 3 1000 ! ' -

' '

. %

, ! ' ''

. ?

$ ' $ ' $ $ ' Â».

% " , & $ $ %! " . " "+ /% " $ 3< Â« /)) % 3 $ +!% " !% " Â» ( * $ % %" $) ! '% , ( ! ) A AA! D Â«(;9 ' ' %) ) ) < ' ' Â». U !! G # # , . * # #

$ 1. ! # ( $% Stewarrt ! " + +! Â«F @,

, # "',

! "', : "2.@'+ '2."@ â&#x20AC;&#x201C; @2."' = =@".@'."' Â» . ( ) 2. ! # ( $% Stewarrt ! <( ! ! Â«F ,

L "' L"L' 'L

. @@L : 2

( $%L.( 0*L ( $*L.( %0L ( $0L.( %*L ( %0L.( 0*L.( %*L Â»

. (A) (

{ : " =( ""L LL), @' =(@' ''L@L), ' = =( ''L L), "@ =("@@ @L"L), @ =( @ @@L L), "' =("''L"L) } . '' ! -3 ; % G ,

; Â«... # #

â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; # # ! # % ! ! ( ) % !! # ! # % # !! *

!# ...Â» [ $ ]

10 06 .2/20

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO O MATHEMA ATICUS -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. % << / !*% $ $ '+ -$

(Z 105), , , $ " " ! ( ! :: Â« , $ ;Â» $ ). & $ $ # â&#x20AC;&#x201C; !! $ (2017) @ # . * A A # ! , ! # 2 ( ), ! A $ $ (

, x -x e +e f(x) = 2 !. 332) 2 H #

$ x. - e +e ! ! : f( ) = 0 = 2 2

â&#x20AC;&#x2122; : = ln

2 +1

* $ ! Cf , : x= x=â&#x20AC;&#x201C; , $ ( ( #

Â« Â» !! A ).. ! # # !1 = fL( ) !2 = fL(â&#x20AC;&#x201C; ). $ !1.!2 = â&#x20AC;&#x201C;1 , $ . H # $ !

, x= x= â&#x20AC;&#x201C; , ! # # .

Â³

1+ ÂªÂ¬f c x ÂºÂ¼ dx = 2 ( ! 2

# 2). [ : Â«https://physi Â« icsgg.me/2017 7/06/28/ â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; /Â»]

V. " & ) $) $) &:! â&#x20AC;&#x201C; / / !* " 1! #3% : " " < $ ( ) % %3 %! ! & ! . C. Escheer", $) / / " ) !* ! '% # # 34 % !! * @ @ % .@. U ""7' B. C. Escher". H . @

' ,

1 ' * ! Â&#x201C; , # # Â«... ! $ ...Â», A! G . Â«...> '

Â«C C '

B Â» ' Escheer. W $

' . % "@ " # !

$ ! !

!! !! !

. # , $

# ! ' -

' $ 6 @ $ B

$ $ & & $ 26 = = . ''6 @ @ B '', , !

" " B $ $ ,

$ ,

, '

' ! " $ ". B ! M.C. M Escher : Â«B

! $ '

B . % ' $ $ , ' ' Â»...

10 06 .2/21

2! #3% : Gottfried Wilhelm Leibniz (1.7.1646â&#x20AC;&#x201C;14.11.1716), &A > =A ! '% ! \ H ! ( R ), ! , Gottfried Wilhelm Leibniz, <;'%! )# ' < $ ) . #?; %>> M 9 =* , < ' @ ' < !%= 9. ) * '% 9 Â«H 2016 ! # 300 - ! . Leibniz Leibniz. O Leibniz $ Â« ! Â» ! , ! ! 17 # , ! # G , !! A ! - ! # , ! , , ! , , ! ! ! , , ! Newton - ! ! ! ! , - ! $ , ! , , ! . B ! !! G Leibniz !# A ! ! A , # A ! . + A # , # # # A ( 1678). (Â«1â&#x20AC;&#x201C;1Â») # # ( A ! ), !! ! ( 1686). B !# , characteristica universalis, ! $ ! # , ! # . % ! ! 17 # (!. . Descartes 1629). ' Leibniz # G A ! . J ! Leibniz A ! G , ! # # A ! , #

! G ( ! Hobbes) # . ! $

, !! Leibniz

! A ! !# ! ! # . * ! (Kurt GÃ¶del) , ! Â« LeibnizÂ» $ ! -

! ! . Gottlob Frege # ! ! Leibniz 1880: Â« Leibniz G , !! . + # $ ! , !! ! , !

$ . ,

# A , Â».

4! #3% : " : %! %3 $" /% " @ "! , ! 3 ! ! " $ ! '% ! ! * . H A ( ), ! A! , L U , ' A , $ !! , . ' : Â« @ ' $ , ! $ ? % $ ? ! $ $ ' ' $ .'. C , Z $ . . 1 ' $% . + ! " A ! . ' ! â&#x20AC;&#x201C; , " ' # ' '" . *

'" '"L='"

' L=' . @

106 .2/22

& $ $ '" L'"L 1 # (%'%) Ë&#x2020; Ë&#x2020; L ) . %L*$ ! ( '= L', '"='"L) ( %*$ # "= L"L. + ", L"L A ! . 2 ' $% . A, B, ' 3 ! , ! A , ", ' â&#x20AC;&#x2122; server. J ! !! !

$ , ", '. @ A ! ;

& $ $ # "', A ( ! ) 3 ' $% . - ", "', ' . %

"' ! G - !! ! - ! ; ! # #

! ! & $ $ ! # # ( # ) 6 ! . H # ! # # â&#x20AC;&#x201C; ! # # . 4 ' $% . + % ! % , " % ", %" . * " x, "y, .

@ $ A! # ! % ;

& $ $ % " / " 2 # ('%') : % "= " /, " , %" = "/. ! , %= /. B A/ ! %. [" A! : Â« ! ' L "L U Â», . F", 1999]

V. + ) â&#x20AC;&#x201C; +$ !* ) 1 . ! % " ) ! !* % 3 ! $ /% "

'. D (J ! +R ! ), $ , # video ... ! ! ' . ' , $ !! : Â«B # EUPHRATES, , -

A ! Kurimu Urabe B B ! !! ! Â». H

video A :

https://thalesandfriends.org/el/2017/11/15/horografiaâ&#x20AC;&#x201C;geometrikonâ&#x20AC;&#x201C;sximaton/

2 . !3 $ ! "%$+3 "

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; / , B ' # Â&#x2022;# ( H Bodleian A A! % $ @ # % D , â&#x20AC;&#x2122; , ), : !

! www.geekd.gr/ $ / â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; ' â&#x20AC;&#x201C;

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; ' â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; 106 .2/23

3 . John Forbes Nash & ...

! ! ! U#! ! A ! , , Nobel, ! John Forbes Nash. * John F. Nash ( ...."Beautiful Mind"), Princeton 1950. [ : https://newsly.social/22988/11â&#x20AC;&#x201C;amazingâ&#x20AC;&#x201C;factsâ&#x20AC;&#x201C;aboutâ&#x20AC;&#x201C;nobelâ&#x20AC;&#x201C;laureate]

4 . '+!-$ + "/ $

! Z D !! (* ), - Â&#x2013; + â&#x20AC;&#x153; ! A â&#x20AC;?, A A # : â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;? â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;?. Â&#x2013; @ . Â&#x2013; " A , â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;? $ Â&#x2013; ! $ ! $ . !# . # ; [ :http://www.eviaportal.gr/content.asp?ID=49335] ]

5 . + + ! + ! Stephen W. Hawking

H #A , & $ Cambridge ! F A Stephen Hawking. * , Stephen W. Hawking 12 [ : https://thalesandfriends.org/el/2017/12/19/iâ&#x20AC;&#x201C;diatriviâ&#x20AC;&#x201C;touâ&#x20AC;&#x201C;hawkingâ&#x20AC;&#x201C;stoâ&#x20AC;&#x201C; diadiktio/]

6 . ! A "! B'% , ! 2017: ^ D ), Kip Thorne, Rainer Weiss Barry Barish, $ LIGO A # â&#x20AC;&#x201D; # 8! Â&#x161; . ^ ) D ! ! " ), , H \ !, @ ! / @ ! ' ! G

! A ! ! # # . ^ $), ÂŤF D % # K ! Âť (ICAN). B ICAN 2007 " , # G * @ F % # K ! , 468 # 101 # .

7$ & *% * http://www.lifo.gr/print/buzz/172928, ! : 1. F $ $ A # . B ! #A , #

!! . V . & $ $ ! " ' ! -3 ; " A !

@ , & % , , # % " ! , 1919 ( ). H , % ' .

' Z ! \ Z ! * !! , [ $: ÂŤW # $ B $ # $ ! B

Âť, ! $ 29â&#x20AC;&#x201C;11â&#x20AC;&#x201C;19]

106 .2/24

) @" ! AD 9: \ . U , \ . H , '. D !

" - "

;! ;! ! ! A

? G. ) '

_ 1 : > " ) A ; D ; (1 x 2 ª1 x § x 3 · º « ¨ 1¸ 2» 2 1

"' @). 3 © 12 ¹ ¼ ¬ 4 @ : % # ! ! # D% # 12. + : x 2 §1 x x 3 · ¨ 1 2¸ 2 1 3 12 © 4 ¹ x 2 1 x x 3 3 2 3 4 12 x 2 1 x x 3 12 5 12 12 12 3 4 12 4 x 2 3 1 x x 3 60 4x 8 3 3x x 3 60 74 37 8x 74 x x 8 4 ! '# : J !! ! ! D% . B ! 3 . _ 2 : > " ) A ; ) ' D ; : O 2 x 1 x 5O 3 4 5 3x

@ : : O 2 x O 2 5Ox 3x 4 5 3x O 2 x 5Ox 3x 3x O 2 5 4 O 2 x 5Ox 6x O 2 9 x O 2 5O 6 O 2 9 1

% : O 2 5O 6 0 O 2 O 3 0 O ^2,3` F # : x ' O 2 : 1 x 0 22 9 0x 5, $ x

' O

3 :

1 x 0 3

9 0x 0, $ ! . x ' O z 2 O z 3 : O 3 O 3

O2 9 O 3 x x 1 x O 2 O 3 O 2 O 3 O 2

( : H !=3 A E ! =A=0 A A # ! D

O 3

_ 3 : > " ) A ; > ' 4 x 1 2 3x 11x 2 D ; : 1

2 x 1 x 3 x 4x 3 + : p1 x 1, p 2 x 3, @ :

x 1 x 3

8 D% p1 , p 2 , p3 x 1 x 3

p3 x2 4x 3

' (1) x z 1 NDL x z 3 . + ! !

\ ^ 1, 3` . * :

x 3

x 1

4 x 1

x 1

2 3x x 3

11x 2 x 1 x 3

4 x 1 x 3 x 1 2 3x 11x 2

4 x 2 x 3x 3 2x 2 3x 2 3x 11x 2 4x2 4x 12x 12 2x 2 3x2 3x 11x 2 x2 4x 12 0 2

B $ (2) 2 ' 4 4 1 12 64 ! 0 x1

4 64 2 1 4 8 4 2 2

4 8 2

12 2

2 !

(1), . _ 4 : > " ) A ; D ; . x 2 1 x 2 3x 2 0 2 °x 1 0 ° x 1 x 1 0 ® @ : 1 ® 2 ¯°x 3x 2 0 ¯° x 1 x 2 0

x ^1, 1` NDL x ^1,2` x ^1, 1` ^1,2` x 1 _ 5 : ! x1 , x 2 F 9 9 D * 9 x 2 5x 3 0 9 :i) x1 x 2

! ) > ? " @! ) Aii) x 1 x 2

iii) x12 x2 2 iv) x13 x2 3 @ : % # ' 25 12 13 ! 0. 8 $ 5 5 E VIETA : i) x1 x 2 D 1

106 .2/25

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- _>? ? ! ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ii) x1x 2

J D

iii) x12 x22 iv) x13 x23

3 3 1 2 x1 x2 2x1x2 52 2 3 25 6 19

x1 x2 x12 x1 x2 x22

5 19 3 5 166 80

_ 6 : ) > " ! ; 2x 1 2x 2 x 1 ! 1 1

3 3 4 ) N 9 !%9 >@ 9 ;! ! * ;! 2x 6 3x 1 ! x " @!. (2) (2), (3) ) > " 4 2 3x 155 t 0 3 . 2 x 4 2 ?) D A ! )A = ! !%9 % 9 >@ 9 ; ;! ! * ; ;! (1), (2), (3 3). @ : ) ' (1) : D D%(3, 4)=12 2x 1 2x 2 x 1 112 ! 12 2 1 12 : 1 12 3 3 4 4(2x+1) – 4(2x 2) 2 > 12 + 3(x x 1) 8x + 4 8x + 8 > 12 + 3x 3 3 3x> 4 8+12 3 3x> 3 x x<1 3 ) ' (2) : D%(2,4) = 4 :

22x 6 3x 1 ! 4x 4 4 2 2x 6 ! 44x - 2(3x 1) 2x 6 ! 4x 6x 2 8 2x 4x 6x ! 6 2 4x ! 8 x ! x ! 2 4 ' (33) : D D%(1,2) = 2

2 4

> " @! 1 2x 1 ! 3 x 2

3x 15 t 2 0 2 4 x 4 (3x 15) t 0 4x 16 6 3x 15 t 0

4x 3x t 15 16 x t 1 ! (2), (3)

> 1, f

?) ! (1), (2), (3) > 1, f f,11@ > 1,1@ !! x ], x ^0, 1` .

) A ;

! * 9

3 | x 2 | 4 6 2 | x 2 | |2 x| 2 III

4 2 3 3x 2 x 1 i @ : 1) + : I 4 2 x x 1 ii !! i 3x 2 4x 4 x ! 6 3 5 ii 3x 3 2 x x 4

((i), (ii)

H 2) + : + II 2x 1 ! 3

2x 1 2

2x 1 y ° 2x 1 y ° 2x 1 ! 2 ® y ® °¯ y ! 2 °y ! 3 2 ¯ 2x 1 ! 2 2x 1 2 2x x !3 3 1 2x 1 x ! x 2 2 2 x x 2

x 2 y x 2 ° ,,, ® 3y 4 6 2y y °® 2 °¯ y 0 ° 2 3 ¯ 4

x 2 0 , . _ 8 : !! ! ) A 9:

. (x x)

3 2 2 x 4 2

x 3 , / (x)

2 x 1 x 3

, )(x)

x 1 4

) 9 '%9 x ? 9 ) ) 9 ) A (x) ) !

! ' 2. ) 99 '%9 x ? 9 ) ) 9 ) A (x) !

) >@@ 1. ?) 99 '%9 x ? 9 ) ) 9 ) A (x) ) ! >A= ! !

' 1 ) >@ !! ' 3. @ : ) B D(xx) A 2 . (x) ! 2

. (x) ! 2 x 3 ! 2 !! : x 3 2

x 3 ! 2 x 2 3

x ! 2 3 x 1 x ! 5 -1 x 1 _ 77 1) " @! '%9 x ) ) > " @@ ! 3x 2 2 x x 1 9 <@ @ ! * 99: I

4 3

x 5

x ! 5 x f f, 5 1,1 5, f

) B U(x) ! 1

/ x d 1 . x z 3 , U(x)

106 .2/26

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- _>? ? ! -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

/(x) d 1

2 x 1 x 3

d 1 2 x 1 d x 3

x > 2, 4@ ^ 2` ) H f x ' ! 0, S U1 U2

7 2

2 x 1 d x 3 2 x 1 d x 3

# 7 > 2, 4 @

_ 11 : ! *! ' $(x) x2 3x 2. ) > " D ; (x) = 0. ) ! (x) > 0 ! )> ) " ) A :

4 x 4 x 1 d x 6 x 9 3 x 10 x 8 d 0 ° x y ° x y ® 2 ® ¯°3y 10y 8 d 0 ¯° y 4 3y 2 d 0

x y 2 ° ® 2 d x d 4 x d 4 4 d x d 4 3 ° d y d 4 ¯ 3 ?) B R(x) ! 1

! 3, 1 d ) (x) d 3 . !! 1 d ) (x) d 3 1 d x 1 4 d 3 °1 d x 1 4 °½ ° x 1 t 5°½ 5 d x 1 d 7 ® ¾ ® ¾ °¯ x 1 4 d 3°¿ °¯ x 1 d 7°¿

x 1 t 5 ½ x 1 d 5 x 1 t 5½ ® ¾ ® ¾ 7 d x 1 d 7 ¿ ¯ x 1 d 7¿ ¯ ° ½ x d 4 x t 6 ° 6 d x d 4 6 d x d 8 ® ¾ ¯° 6 d x d 8 ¿°

x 2 x 3

x 1 x 4

@ : ) H (x) F=1>0 x1 = 1 x 2 = 2

) (x)>0 x2 3x 2 0 x 1 x 2 0 1 x 2

?) (x)>0 1<x<2, x 1>0, x 2<0, x 4<0, x+3>0 x 2 x 3 x 2 x 3 5 8 % x 1 x 4 x 1 x 4 3 _ 12 : ! D ; O - 2 x 2 2O x 2O 3 0 . ) ? ) 9 '%9 ) ?' @ "' @ >, D ; %= <@ 9 F 9. ) ! x1, x2 A! 9 F 9 9 D ; 9, ! >@ ! ! ; |x1 + x2 + 4|>2. @ : ) + :

' 2O 2 4 O 2 2O 3 4O2 4 2O2 7O 6 _ 9 : " > R * ! ; : O 2 x 5O d 4O 2 Ox (1) ) ! <@! , ) > " @ ? A" x. @ : + : 1 O 2 x Ox d 4O 2 5O

! ! +1 x d ! 4! + 5 . ' -

: ! ! +1 0 GKODG ! = 0 !

1 .

) ! = 1, 0x d 1 , . ) ! = 0, 0x d 0 , x \ . H ! O 1 . _ 10 : ) 9 !%9 >@ 9 ;! ) A ; ! * ;!: 4 x 2 d 0 (1) x 2 2x 8 d 0 (2) ) ! "' 1, 2 ! F 9 ;!@' f x 2x 2 7x 1 # ! < D # "'#9 S= 1+ 2 ! @! > ;! !*! >@ ;! ;! <@ ! * ;!. @ : ) 1 x2 t 4 x t 2 x d 2 x t 2

2 x 2 x 4 d 0 2 d x d 4 8 2 d x d 4 , !

4O 28O 24 . ' $ O z 2 F=0. !! ' 0 O 2 7O 6 0 O 1 O 6 0 O 1 O 6, 2. ) $ O z 2 F>0. !! ' ! 0 O 2 7O 6 0 O 1 O 6 0 1 O 6 H ! ! 2

: O 1, 2 2,6 . 8

x1 x 2

2O O 2

: | x1 x 2 4 |! 2

2O O 2

2O 4 !2 O 2

6O 8 ! 2 3O 4 ! O 2 O 2

3O 4

! O 2

3O 4 ! O 2 2

9O 2 24 16 ! O 2 4O 4 2! 2 5! 3 ! 0 O 1 O !

3 . 2

O 1, 2 2,6 , ! §3 · | x 1 x 2 4 |! 2 O ¨ , 2 ¸ 2, 6

106 .2/27

!! -

# " $ " â&#x20AC;&#x201C; # % â&#x20AC;&#x201C; &

=A> 9 A!! 9 1 ' * ! , & 9 (. $A 9 3 ' U D B ' < ^ $ C , ' $ Â«http://mathematica.gr/forum/Â» , . * $ $ . _ $ â&#x20AC;&#x2122; $ & _ . _ 1 .

?;! C ) )A!; = ' 9 =@ : AB=DC. ) > ? ?;! ". ( A! 9 $ ! < 9) @ 1. BE A DC , Ë&#x2020; 30o Â&#x; EB AB DC A 2 2 Ë&#x2020;C 45o Â&#x; CE EB Â&#x; DE EB Â&#x; Â&#x2018;EDB 45o Â&#x; T 450 300 150 .

( =A> 9 A 9) @ 2. D !

SDC S,B DC. H Ë&#x2020; %CS 45o 60o 105o Ë&#x2020; ABC 180o 30o 45o 105o . +

8 : A BC SCB(AB SC, BC CB, n SCB) n . 8 Z Ë&#x2020; 30q Â&#x; SB Ë&#x2020; A ABC Ë&#x2020; DC Â&#x; BD BC Â&#x; BDC 45o Â&#x; Ë&#x2020; 45o 30o 15o . Ë&#x2020; A T BDC

( 9 ? A 9) _ 2 . #)> ?;! ABC 9 )> %9 BC NDL CA " ; @' ' D,E ! =;9 ' CE=2BD. ! n . n 30q ! ?;! DAE ADE ( 9 ? A 9) @ 1. D !

Ë&#x2020; Ë&#x2020; 60 x MË&#x2020; ADZ . H BAD C$=

DE AZ . AE Ë&#x2020; Ë&#x2020; ($= MË&#x2020; . (=$ +

+ : A BD

A C Z, 3 * 3 ,

BD ZC Â&#x2018;ACZ 600 . H# , M CE EM MC CZ MZ Â&#x; Â&#x2018;EZC 900 Â&#x;

106 .2/28

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

Â&#x2018;CEZ 300

2M Â&#x; M 150 Â&#x; x 450 . ( =A> 9 A 9) @ 2. @ ! . Ë&#x2020; + CEZ 30o Â&#x; CZ x Â&#x; DZ D 2x AE k, D $% %C CA EZ A BC,EK A AD , KEZD G

Ë&#x2020;| Ë&#x2020; C |B . 2 (G * ? 9 9) @ 2. U G ESDB

Ë&#x2020; Ë&#x2020; DBS DES x Â&#x; Â&#x2018;SDE Â&#x2018;PDA , DE DP,SD SD Â&#x; ESD PSD Â&#x; y x . ( =A> 9 A 9) @ 3.

Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; Â&#x; KZ & AC EZK EDK 30q ZEC KE y Â½ Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; DKZ DAC ZÂ&#x; Â¾ $ !! DEZ DE 2y Â¿

y k Â&#x;k y 2Â&#x; k 2y Ë&#x2020; Ë&#x2020; 45q . 45q Â&#x; DKZ 45q Â&#x; Z ( =A> 9 A!! 9)

AKE ~ EZD Â&#x;

Ë&#x2020; Ë&#x2020; DAE Z

_ 3 . AD ! < = #' 9 > ! @ ?*! ABC S,P ! ) >%9

;! B, D 9 AD,AC ! =;9. D # : n DPS n. DBS ( !A 9 ! A! 9) @ 1. + BS DP, AC E, H .

Ë&#x2020; Ë&#x2020; A A Ë&#x2020; EPS Ë&#x2020; Ë&#x2020; SHC 900 Â&#x; ESP Â&#x; ASEPÂ&#x; 2 2 Ë&#x2020; Ë&#x2020; Â&#x; ABDE G . Ë&#x2020; SED SAP BAD Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; Â&#x; DBS Ë&#x2020; Ë&#x2020; . 8 : DBS SAE SPE DPS

@ DT A AB $ ! # â&#x20AC;¦ ( ;;;) ( =A> 9 A!! 9) @ 4. 8!! ! ! .. ( ;;;)

(G * ? 9 9) Ë&#x2020; Ë&#x2020; @ 5. AK A BC Â&#x; KAD x DBS x (

$ ! ) Â&#x; Ë&#x2020; Ë&#x2020; A Ë&#x2020; Ë&#x2020;D A Â&#x; 5$ AKDP HJJU \LPR Â&#x; PKD 2 2 Ë&#x2020; A Ë&#x2020; Ë&#x2020; , AKDP G Â&#x; PKD PAD 2

106 .2/29

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

Ë&#x2020; 450 ) Â&#x; T 2M . 2(Z 450 ) 2(AMC ) & $A !

@,/, D . Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; (1) !! " MPB NPB APC R Ë&#x2020; Ë&#x2020; MË&#x2020; 90 TË&#x2020; MË&#x2020; MPB M 1 o Ë&#x2020; $PC 90 MË&#x2020; Â&#x; 90R TË&#x2020; MË&#x2020; 90o MË&#x2020; Â&#x; T 2M . ( : +

8 ,

Ë&#x2020; Ë&#x2020; Â&#x; K,S, P SKD PKD ( =A> 9 A 9) y.

Ë&#x2020; Ë&#x2020; (2), APC % # DPC APC Â&#x; DPC Ë&#x2020; MPC Ë&#x2020; Ë&#x2020; MPC Ë&#x2020; 180o Â&#x; M,P,D MPB 1 , 2 Â&#x; DPC

_ 4 . " ?*! >%9 ?;! ABC(AB=AC) A" )# ! $ A < A' CM %'! ! ) ! P. Ë&#x2020; Ë&#x2020; < D # AMC BMP. (G * ? 9 9) @ 1.J ABDC.

Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; (1). " MPB NPB APC Ë&#x2020; Ë&#x2020; MË&#x2020; 90R TË&#x2020; MË&#x2020; !! MPB M 1 o Ë&#x2020; 90 MË&#x2020; Â&#x; 90R TË&#x2020; MË&#x2020; 90o MË&#x2020; Â&#x; T 2M . $PC @ 2. + O BC G A # ABC #

# APC .

H CAM, ABN , MBP, NBP, # : n ANB n BMP n MPB Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; . AMC NPB APC 3 ' # ! ( $% : n APM n.

=% ;! ?;! *! MCB ( !A 9 ! A! 9) )A! ) # " * ' ) G * ? OP NDL PM / /AC OM n GOP

Ë&#x2020; T 900 PMH 900 (1800 2Z)

, GOM POM Â&#x; MG MP BP AG Â&#x153; BP PO AG GO AMG BMP . ( 9 ? A 9) _ 5 . ! " ?*! >%9 ?;! AB*(Â&#x2018;B 900 ) ?? ? '%! 9 @ > 9 ' %! K. D # A* AB BK . ( A! 9 $ ! < 9) @ 1. J L ! AC 106 .2/30

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

@ 3. \ ! ( ;;;)

# KL / /BC .

% # , K # n 45q LCB n ,

ABC . 8 , KBC KLCB (KL & BC) ! . * # KB LC (1). KC n KCB n (2). Ë&#x2020; , KCL C

@ 4. ' !

BC P .

( ; ! >< ) (K, KA)

H KLCB ! , (2)

n KCL n KCB n KLB n , G . 8 , KBL n KLB n (3). KBL n C n Â&#x; ABK n ALK n (4). Ë&#x2020; 45q ABK , ALK

% ! (3), (4) n ALB n Â&#x; AB AL (5). ABL (1), (5), AB BK AL LC AC , . . . (: % 9 ?!#9) @ 2. + D, E ! AC, AB KH / / AC , HZ / / BD .

KP .$ KC Â&#x; TË&#x2020; 22,5q . % # n APC n 67,5q Â&#x; AC PC (1) . PAC Ë&#x2020; Ë&#x2020; TË&#x2020; 45R TË&#x2020; 22,5R Â&#x; K PKB KBC

BK PB (2) . + AB BC ! (1) (2) : AC PC PB BC BK AB . ( 9 ? A 9)

H # ! ZAH, EBK , AH BK (1) . AC 2AD 2AE 2(AB r) AB AB 2r

(1)

AB AH Â&#x153; AC AB BK . (G * ? 9 9)

@ 5. AB, B , # P # BP BK . R K*, KP, PC . ! PBK Â&#x2018;KPB Â&#x2018;BKP 22,50 ( Â&#x2018;PBK 1350 ). Ë&#x2020; Ë&#x2020; K KCB ACK 22,50 .

PBK* G . Ë&#x2020; 450 . 8 CPK

106 .2/31

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

' . ! < = #' 9 ;! n DHC n , %'! 9 )> %9 AB, AC P, EHB, T ! = .

* # PAC ! Â&#x; Â&#x; AP AC Â&#x; AB BP AC Â&#x; Â&#x; AB BK AC . ( A! 9 $ ! < 9) @ 6. + CÂ&#x2022;=Â&#x2022; =B =x. J ! $ 2x x r r 2 , ! x r(1 2)

! AS ! < = #' 9 ?*! , < D # SP ST . ( !A 9 ! A! 9) Ë&#x2020; Ë&#x2020; @ 1. APT ATP ! Ë&#x2020; Ë&#x2020; AP AT # EHP,THD, AS PT . (G * ? 9 9) Ë&#x2020; A Ë&#x2020; Ë&#x2020; @ 2. + : AKB 90o KAD 90o 2 Ë&#x2020; A Ë&#x2020; Ë&#x2020; S 90o KAB Ë&#x2020; Ë&#x2020;SÂ&#x; E/ 90o Â&#x; AKB E/ 2 Â&#x; HK H/ Â&#x; 57 A ./ Â&#x; $S PT Â&#x; SP ST . H K { / { + ( ;). _ 7 .

# BHE, BA* . % HE BE r 2 r Â&#x; Â&#x; AC AB 2x r x r x 2x Â&#x; x r( 2 1) . ( ; ! >< ) @ 7. $ C= "+ Â&#x2022; r (% ), ",D,Â&#x2022; ( ;). + "="C= D 2 Â&#x; E $C D 2 Â&#x; $= =C =$ 2 $ !! E D 2 2D E E D D . r BE W $C 2 2 2 8 : D 2 Â§ D 2Â· $% $= r D Â¨Â¨ D Â¸ D 2 $* 2 2 Â¸Â¹ Â© (& 9 $A 9) _ 6 . @M BD, CE ?*! ABC %'! !

" ?;! x . ( 9 ? A 9) @ 1. J $ : '' + ABC D # AB AD

n BAC

n 2 Â&#x2DC; BDC

2 x . H AB AC .

+ , !! C' AC # AB ACc . H B , C' D A !

106 .2/32

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

nc 2 Â&#x2DC; BDC nc ( . 8 BAC nc x . ), BDC n x , C { Cc

K BDC

. ' A! ,

* ! ABE,

E A

C AB. J $ D , C n 40o (1) . 6 ADC * ! ADE n 160o 60o 100o DAE o o n 180 100 40o (2) ADE 2 (1) (2) n 40o . . + ! AEC ! AEC, n 2 Â&#x2DC; ABC n 2 Â&#x2DC; 20o EA EB AEC 8 EA EC EA EB , B , A C A n 2 Â&#x2DC; ACB n 2x ! E . 8 AEB ( ), x 30o . ( !@ 9 < '#) > 9) @ 2. R ! BCD # ! KB, KC.

H KBC ! , ( !

n 60o , BKC , A n 30o ) . $ BDC B K, A BD. H K A BD. F ! KE BD. * # # KEB : n KBA n ABE n 40o 10o 50o . KBE n BKA n 40o , D= " 8 KBA

CK=CB CK D", ! n KCB "CK. 8 x 30o . 2 ( 'A 9 G>A 9) @ 3. @ C', C BD,

H ! BCCc(20q ,80q ,80q ) , !

DCCc , ! CcAD(140q , 20q , 20q ) ! CcCA(80q ,50q ,50q ) . + , x 80q 50q 30q . ( =A> 9 A!! 9) _ 8 . ; # > @9 ?*Ë&#x2020; 100o " ; @' ! ABC ' ?;! $ 9 A Ë&#x2020; Ë&#x2020; ' P, * BP BA ABP 2ACP 2x. ) > ? ?;! x.

(G * ? 9 9) @ 1. % P . + P' Â&#x2018;B # BPc AB A' A BC. 6 Â&#x2018;PcBAc 60o BPc BAc ,

+BAcPc ! . AcB AcPc AcC o o Â&#x2018;PcBC 20 , Â&#x2018;PcAcC 40 .

106 .2/33

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

AC 60q

AB BP KP KA KC , KAC ! . (! ), n AKP n PKC n AKC (1)

n 2PAC n 2x 20q 2x 4x 20q Â&#x; 2PCA x 10q . (: % 9 ?!#9) @ 4. % T C n ACP n x, AP. U , ATP

Â&#x2018;AcPcC 70o 8 o Â&#x2018;BPcC 130 . 8 Â&#x2018;BCPc 180o 130o 20o 30o Â&#x2018;PcCA 10o . F ! Â&#x2018;ABPc 2Â&#x2018;ACPc 20o . * # ! Pc { P x 10o. (G ?# 9 > 'A! 9) @ 2. R BM ! BAP G . B CP BM T .

n 2ATP n , BA BP ,

2x ABP ", H /, B APT AC BA BP BT ,

BAT ! . n ABP n PBT n 2(TAP n ATP) n 60q ABT n Â&#x; APT n 150q Â&#x; APC n 150q . 2(180q APT) n 30q x , 8 , APC , PAC

n 90q x . ! BAP , BAP * G , n BAP n PAC n 30q x 90q x 100q BAC q Â&#x; x 10 . (: % 9 ?!#9) _ 9 . >%9

?;! ABC(AB AC) , $% !; @M 9 BE ! ) % 9 AB ) 9 B " ; * ' Z n 24q !

% * : BE BZ EC . ! CBE n. ! BCZ ( 9 ? A 9)

@ 1. + H BE # BZ BH, Ë&#x2020;

HE EC. CBE 240 , H ABT, ACT "= C, AT=AT, n BPT n 50q BAT

! 660 .

Ë&#x2020; ATC Ë&#x2020; ! ATB Ë&#x2020; ATM Ë&#x2020; ATB 180o ( # â&#x20AC;&#x201C; A! * ! ' LU . ! , '. F , J. $ , F. D , '. H ! , 1 ! 71, n PCB n PBT n 40q xË&#x2020; 40q 2xË&#x2020; . BPT n PCB n PBT n 40q xË&#x2020; 40q 2xË&#x2020; 50o BPT 80o 3x Â&#x; x 10o ( 9 ? A 9) @ 3. % K # APC . ! BAP , n 90q x , BAC n 100q , BAP

n x 10q (1). PAC H ABP, AKP ! AP ! , ( BA=BP, , KA KP ! ) Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; . AKP ACP 2x ABP * ! , #

Ë&#x2020; Ë&#x2020; BHZ BZH 210 o o o Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; HBA 66 24 42 EHC ECH 450 . Ë&#x2020; 66o 45o 21o BHCZ 8 HCB Ë&#x2020; Ë&#x2020; BHZ 210 . G # BCZ (G * ? 9 9) @ 2. J ABC $ Ë&#x2020; ! 45o EC EB . # # C

106 .2/34

________________________________

G ;' ? ! _______________________________

BCD, BCE BD CE n EBC n 24o . DCB

BD ABE ! ABD 10 .

@ 2. R ! BCE, E # . % # E BC, A . AE BC, ! AE n. BAC

H , ZD BZ BD BZ EC BE !

CDZ # ! . n 45o DCB n 45o 24o 21o . O : BCZ (nikkru) _ 10 . ; @' %! >%9 ?;! ABC ' ?;! $ 9 Ë&#x2020; 20q . ! )> A AC A ) ! ' ' D * AD BC . ! n x. ?;! ABD (: % 9 ?!#9) @ 1. R ! ADE.H ABC, BAE ( "= ", = D=BC, o o Ë&#x2020; Ë&#x2020; ) BAE 20 60 80o ABC BAE ! .

n EAC n 10o . EAB H o o n 80 EBC n 60 , ABC n 20o .

EBA H AEB ADB , # BA , BE BC AD n EBA n 20o . BAD 8 : x

n EAB n 10o . ABD ( !@ 9 < '#) > 9)

@ 3. D !

ABE (B, E AC) ADB, BCE # Ë&#x2020; Ë&#x2020; DBA CEB x.

Ë&#x2020; !! , AC AE,CAE x 100 .

106 .2/35

Ë&#x2020; 400 Â&#x; AEC 700 Â&#x153; (G * ? 9 9)

' ) @" ! AD 9: ". D , *. U , \ . H , . D A

B _ 1

( โ # $ $

;! ? G. ) ' & > A! ) ' > 0,6S@ :

ยงxยท ! !A f(x) = 2 1 + 4VXQ ยจ ยธ , ยฉDยน >0 9 ) 9 ? $ ) A %'!

! AD ! yโ y ' (0,9). ) . G = 3: ) ! ) < 9 !A 9 f. ?) ! '%? ! >A= '

9 f. ยง Sยท <) ! )A = , ' x ย ยจ 0, ยธ ? ยฉ 2ยน

! ) f(x) ? ! '%? . ) ? ! ? $ ) A 9 f < A ' )>A 9 ' 9 ) #< . @ ) A ย Cf ย f(0)=9 ย 2D 1 4 9 ย D 3 ) ' D 3 f : 1 ยงxยท f x 5 4VXQ ยจ ยธ , Z . 3 ยฉ3ยน 2S 2S 6S . A 7 1 Z 3 ?) ' x ย R : x x 1 d VXQ d 1 ย 4 d 4VXQ d 4 ย 3 3 x ย 5 4 d 5 4VXQ d 5 4 ย 1 d f x d 9 3 !! 9=f(0) 1=f(3 ). 8 max f x 9 min f x 1 .

ยง Sยท <) @ x ย ยจ 0, ยธ f x max f x ย ยฉ 2ยน x x x 4 ย VXQ 1ย ย 5 4VXQ 9 ย 4VXQ 3 3 3 x S ย 2NSย x 6NS, Nย = . K 0 x ย 3 2 S 1 0 6 NS ย 0 N , ย . 8 12 2 ยง Sยท x ย ยจ 0, ยธ # ยฉ 2ยน f x max f x .

x x/3 x/3 4 x/3 5+4 x/3

0 0 1 4 9

3 /2 /2 0 0 5

3 โ 1 โ 4 1

9 /2 3 /2 0 0 5

6 2 1 4 9

_ 2 ! !A f x 3 2KP 3x . ) ) < D # !A f %= ) < 2S T 3 ) '%? ! >A= '

9 !A 9 f. ?) >@ ! D ; f x 1 <) i. ! @) 9 !A 9 g, # ! Sยท ยง g x f ยจ x ยธ 6ยน ยฉ ii. 9 ' '%! 9 ;! !*! ' ;! ;! ? $ *! ) A ;! ;! ! ;! f, g. iii. ( )# ) )A!; !A ' ;! f,g %= ! ' '%! ) ! < A ' ยงS ยท ยจ 2 , Sยธ ; ยฉ ยน @ ) ' f x 3 2KP3x =3, 2S 2S Z 3 ) ' x ย R : 1 d KP3x d 1 ย 2 d 2KP3x d 2 ย 3 2 d 3 2KP3x d 3 2

ย 5 d f x d 1 . 5

ยงSยท f ยจ ยธ. ยฉ2ยน

ยงSยท 1 f ยจ ยธ ยฉ6ยน

max f x 1

min f x 5 .

?) f x 1 ย 3 2KP3x 1 ย 2KP3x 2 S ย KP3x 1 ย 3x 2NS ย x 2

106 .2/36

2 NS S ,Nย ] 3 6

______________________________________

_>? ? !

Sยท Sยท ยง ยง <) i) g x f ยจ x ยธ 3 2KP3ยจ x ยธ 6ยน 6ยน ยฉ ยฉ Sยท ยง 3 2KP ยจ 3x ยธ 3 2VXQ3x 2ยน ยฉ ii) f x g x ย 3 2KP3x 3 2VXQ3x

ย KP3x VXQ3x 1

VXQ3x 0, KP3x r1, (1) . VXQ3x z 0, : S S 1 ย HM3x 1 ย HM3x HM ย 3x NS ย 4 4 NS S ย x , Nย = , ( ;) 3 12 S NS S ยงS ยท iii) x ย ยจ , S ยธ ย Sย 2 3 12 ยฉ2 ยน 5 11 ย N ย N 2 . ' =2 4 4 2S S 9S 3S 9S ยง 3S ยท x f ยจ ยธ 3 2KP 4 3 12 12 4 ยฉ4ยน

Sยท S ยง 3 2KP ยจ 2S ยธ 3 2KP 3 2 4ยน 4 ยฉ ยง 3S ยท $ ยจ , 3 2 ยธ . ยฉ 4 ยน _ 3 2KP 2 x 5 ! ) A $ . 2VXQx 1 ) ? ) 9 '%9 x F ) A . ) >@ ! D ; = 3. ?) 9 >@ 9 9 ) )A!; D ; 9 ) 9 ! ! < A ' (2), 3)). @ ) ' : 2VXQx 1 z 0 1

!! 1 ย VXQx z

1 2

S S ย x z 2 NS r , N ย ] 3 3 S ) ' x z 2 NS r , N ย ]

: =3 3 2KP 2 x 5 ย 3 ย 2KP 2 x 5 3 2VXQx 1 ย 2VXQx 1 ย 2 1 VXQ 2 x 5 6VXQx 3 ย ย VXQx z VXQ

ย 2VXQ2 x 6VXQx 0 ย 2VXQx VXQx 3 0 ย

S ย VXQx 0, ( VXQx z 3) ย x NS , Nย ] 2

______________________________________

S 3S 2 3 5 5S S N ย N 2 ย x 2S ย x . 2 2 2 2 _ 4 ! ) > *! ' P(x) x4 VXQ2T ย x3 3VXQT ย x2 2x 1 ' Tย \ . ) ! x 1 ! ) A? ! 9 ) > ;!@' P(x) , ! < D # : 2VXQ 2 T 3VXQT 1 0 . ) ! x 1 ! ) A? ! 9 ) > ;!@' P(x) , ! " '

?) x ย 2S,3S ย 2S NS

Tย > 0, S @ . @ ) H xโ 1 P(x)ย P(1)=0 ย 1 VXQ2T 3VXQT 1 0 ย ย 1 2VXQ 2 T 1 3VXQT 1 ย 2VXQ 2 T 3VXQT 1 0 (1) ) + : ยญVXQT Z ยฐ ย ยฎ 2 ยฏ2Z 3Z 1 ยฐZ 1 Z ยฏ

ยญVXQT

1 ย ยฎ

1ย 2

S 2 NS VXQT VXQ ย 3 S S T 2 NS T 2 NS T 2 NS , N ย ] . 3 3 1 T 2 NS , Tย > 0, S@ ย 0 d 2NS ย 0 d N d 2 S ย N 0 . T 2 NS , : 3 S 1 2 Tย > 0, S@ ย 0 d 2 NS d S ย d N d ย N 0 3 6 6 S T 2 NS , 3 S 1 4 Tย > 0, S@ ย 0 d 2 NS d S ย d N d ,

3 6 6 ย . S H ! Tย > 0, S@ A =0 T 3 _ 5 ! ) > *! ' P(x) x 3 Dx 2 5x E ' D, E ย \ . ) ! ) > *! ' P(x) %= F 1 )#> ) 9 < 9 ' x 2 ! ! ' โ 4 ! D , E ย \ . ) ! D 2 E 6 # : > " D ; P(x) 0 (i) ย VXQT 1 VXQT

106 .2/37

1 ย T 2

______________________________________

_>? ? !

> " ! ; P(x)>6â&#x20AC;&#x201C;2x (ii) @ ) : P 1 0 Â˝ 1 D 5 E 0 Â˝ ÂžÂ&#x; Âž P 2 4 Âż 8 4D 10 E 4 Âż D E

x3 2x2 3x ! 0 Â&#x153; x x2 2x 3 ! 0 Â&#x153;

Â&#x153; x x 1 x 3 ! 0 Â&#x153; x Â? 1,0 Â&#x2030; 3, f

-1

_ 6 ! ) > *! ' P(x) 2x 3 Dx 2 E x 2 ' D, E Â? \ . ) ! ) > *! ' P(x) %= ) A? ! x 2 )#> ) 9 < 9 ' x 1 ! ' â&#x20AC;&#x201C;6, ! D, E Â? \ . ) ! D 5 E 1 ! > " D ;

P x 0 ! ; P x >0. ?) > " D ; 2 !3;+5 '2;+ !;â&#x20AC;&#x201C;3=0 (1) [0, 2)). @ ) : P 2 0 Â°Â˝ 16 4D 2E 2 0 Â˝ ÂžÂ&#x; Âž P 1 6 Â°Âż 2 D E 2 6 Âż

4D 2E 18Â˝ D 5Â˝ ÂžÂ&#x; Âž D E 6 Âż E 1 Âż ) ' =â&#x20AC;&#x201C;5, A=1 : P x 2x 3 5 x 2 x 2

Horner A : P x x 2 x 1 2x 1

2 â&#x20AC;&#x201C;5 1 â&#x20AC;&#x201C;2 2 4 â&#x20AC;&#x201C;2 2 2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1 0 1 8 P x 0 Â&#x153; x Â? 2,1, 2 Â&#x;

Â§ 1 Âˇ ÂŠ 2 Âš

P x ! 0 Â&#x153; x Â? Â¨ ,1Â¸ Â&#x2030; 2, f

1 +

+ +

1 Â&#x153; 2VXQ 2 Z 5 1 VXQ 2 Z VXQZ 3

i Â&#x153; x3 2x 2 5x 6 0 @ Horner A : i Â&#x153; x 1 x 2 x 3 0 Â&#x153; x Â?^1, 2,3` 1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;5 6 1 1 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;6 1 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;6 0 3 2 $ !! ii Â&#x153; x 2x 5x 6 6 2x ! 0

-1 2

?) @ ZÂ?> 0,2S

D 2 Â˝ Â˝ ÂžÂ&#x; Âž 4D E 2 Âż E 6 Âż 3 2 ) ' = â&#x20AC;&#x201C;2, A=6 : P x x 2x 5x 6 Â&#x;

______________________________________

0Â&#x153;

Â&#x153; 2VXQ 3Z 5VXQ 2 Z VXQZ 2 0 Â&#x153; ÂVXQZ x Â°ÂVXQZ x Â&#x153;ÂŽ 3 Â&#x153; Â&#x153; ÂŽ 2 ÂŻ2x 5 x x 2 0 Â°ÂŻP x 0 1Â˝ Â Â&#x153; VXQZ x NDL x Â? ÂŽ2,1, Âž Â&#x153; 2Âż ÂŻ 1 Â&#x153; VXQZ 1 VXQZ 2 Â 2S 4S Â˝ ( VXQZ z 2) Â&#x153; ZÂ? ÂŽ0, , Âž ÂŻ 3 3 Âż _ 7 ! ) > *! ' P(x) x4 x 3 Nx 2 x O ' N , O Â? \ . ) 9 '%9 ;! N , O Â? \ * ) > *! ' P(x) %= F 1 ) A? !

x 2 . ) G N 7 O 6 ! > " : D ; P x 0 . (i) P(x) Â&#x201E;0. (ii) ! ; x 5 @ ) : P 1 0 Â˝ 1 1 N 1 O 0 Â˝ ÂžÂ&#x153; Âž 16 8 4N 21 O 0 Âż P 2 0 Âż 7 Â˝ Âž 6 Âż ) ' =â&#x20AC;&#x201C;7, !=6 : P x x4 x3 7x2 x 6 Â&#x153;

N O 1 Â˝ N ÂžÂ&#x153; 4N O 22 Âż O

(i) Â&#x153; P x 0 Â&#x153; x4 x3 7x2 x 6 0 . Horner A : P x 0 Â&#x153; x 1 x 2 x 1 x 3 Â&#x153; x Â?^1, 2, 1,3` . @ x z 5 (ii) Â&#x153;

5 P x t 0 Â&#x153; 2

x 5 x 1 x 2 x 1 x 3 t 0 Â&#x153;

Â&#x153; x Â?> 2, 1@ Â&#x2030;> 1,3@ Â&#x2030; 5, f . _ 8 ! ) > *! ' P x 4x3 E x 4D 2 1 ' D , E Â? \ â&#x20AC;&#x201C;1 Â&#x2020; Â&#x2020; 1. ) ! ) > *! ' P(x) %= ) A? ! x 1 # : i. $ A ! ii. < D # ' ( , ) ! ) >

106 .2/38

___________________________________ ______

_>? ? !

iii. ! >>A= ' ) ') ! )A . ) G =33 ! > " D ; P(x) P =0 . ?) #> F @? ( , )) ' . % , ? ) ) D ; ; P(x) =0 0 %= #99 9 F 9 x0 1 A>> 9 % 9 F 9 9 ) ) 9 ! . @ ) i) P 1 0 4 E 4D 2 1 0 E 4D 2 3 (1) ii) U (1) @ ( ,A) ( A ! y 4x 2 3

iii) % # 4D 2 t 0 4D2 3 t 3 E t 3

=0 . B ! A 3 =0. ) ' A=3, =0 :: P x 4x 3 3x 1

P x 0

x 1 2x 1

1 0 ®x 1 x GLSO U ]D

2 ¯

?) + : 1 d D d 1 D d 1 D 2 d 1 0 d 4D 2 d 4

3 d 4D 2 3 d 7 3 d E d 7 E ^3, 4,5,6,77` ' A=3,44,5,6,7 A

=0, r

1 , 2

2 3 , r , r1 2 2

§1 · § 1 · @ ( ,A) = ¨ , 4 ¸ , D, E ¨ , 4 ¸ ©2 ¹ © 2 ¹ !! x1 0,x2 1 . =#> : = A ' ' = "

@ ! < ! ' D ; 99 ' ?!* @ ' )# ! G * ? . #) > @

! A # # * ! "L» 11 / 12 / 20117 # #

$ . $ f(xx)=0, $

# :

__________________________ ___________ ____

f x 0 f x 0 y 0 f x 0 y 0 Z 0 .! . + ! x i # ( xi , yi ) ( xi , yi ,Zi ) .! . $

# . . °x2 3 4x2 2 2 NOS . . x 3 2 x x 3 2 x 0y ® 2 °¯ y y * # A A # # ! $

$ : B : h(x)) =2 2x – 3 x +1 g(x)= x

f(x)=2x2 – 33x +1. ! ! f(g(x)), g(x)

xi (=y) f(x), ! x = xi 2xi2 – 3xi +1=0. + * A ! : h(x))=0 f(g(x)))=0 g(x)==xi, f(x xi) =0 KP x x i ½ KP x x i ½° ° ¾ 1 ¾ x=1 2 2x i 3x i 1 0°¿ x i 1 x i 2 °¿ 1 x= . K ! : .!. 2 KP x y ½ h(x)= =0 2 ¾, 2y 3y 1 0¿ y

# f(x)=2xx2 – 3x +1, ! . F ! ! # # $ h(x)= =0, , !! $ x==y, y 22y2 – 3y +1= =0, ! y {1, {

1 }. 2

!# # , . . h(x)<0. ' ! ! f(gg(x)) <0 , g(x) = x xi (=y) f((x)=2x2 – 3xx +1 . KP x x i °½ * A ! : h(x))<0 ¾ 2 2x i 3x i 1 0°¿ KP x x i ½ 1 ° ¾ < x <1 .!. ., 1 2 x i 1° 2 ¿ xi y.

10 06 .2/39

D * 9 9 ' $ 9 h x Jx G

Dx E #) h x

A>> > !A D , E , J , G Â? \ , D ! 0 , Q Â? `* ^1` .

! * $) & !), * !) * , $ . ( A< ?' 1: > " D ; : ln x x 1

@ : (1) A

x 3

0, f .

x 0 1 . !

h x ln x

h(1)=0

x 1 ! x 3 Â&#x153; x 1 ! x 3 Â&#x153; x2 x 2 ! 0 Â&#x153; x 2 x 1 ! 0 Â&#x153; x ! 1, x 1 x 3 Â&#x153; 0 x 1 . 2

ÂÂ°ln x ! ln1 0 # " x ! 1 Â&#x; ÂŽ Â&#x; ln x x 1 ! x 3 , . 0 x 1 Â&#x; Â°ÂŻ x 1 ! x 3 Â&#x; ln x x 1 x 3 .$ % 1 Â&#x153; x 1

ÂÂ°ln x ln1 0 ÂŽ Â°ÂŻ x 1 x 3

& % " , " %% % . ( A< ?' 2: > " D ; 3x 1 x 3 (1) @ : % %

. (1) A > 3, f .

1 " " x t . ' 3 x 0 1 . * " . + "

h x x 1

x 3 h x 2x 2 , " h 1 0 "

( A< ?' 1 - : x 1 ! x 3 Â&#x153; x ! 1 , x 1 x 3 Â&#x153;

1 d x 1 . # " : 3

ÂÂ°h x h 1 0 1 Â°Âh x ! h 1 0 Â&#x; h x x 1 x 3 . x !1Â&#x; ÂŽ Â&#x; h x x 1 ! x 3 d x 1 Â&#x; ÂŽ 3 Â°ÂŻx 1 x 3 Â°ÂŻx 1 ! x 3 / " , x 0 1 . x & " " ÂŤ % " ;Âť. + " 2x 2 %% " h x h 1 0 % "

x 0 1 " " - . + . 4 " " . . " 3 h x x 2 1 , x 1 Â&#x2DC; x 1 , 2 x 1 1 .% . " : 3

x 2 x 2 x 3, x 1 Â&#x2DC; x 1 x 1 x 3, 2x 1 x x 3

h x x 1 x 3 . & " x 0 1 " . 4 ( A< ?' 2 " x 1 %% Jx G 106 .2/40

------------------------------------------------------------------------------------------- " ' A ? ! ----------------------------------------------------------------------------------------

1 d x 1 . 4

3 "

3x 1 ! Jx G ! x 3 x ! 1 3x 1 Jx G x 3 Jx G 2x

. .

h x 2x x 3 h x " h 1 0 . 4 - " " :

x 2

2x 1

x 3,

2 x 1 2x 1

x 1 Â&#x2DC; x 1 2x

x 3,

1 3 x - %% Jx G 2 2

; ( A< ?' 3: > " D ; x Â&#x2DC; x 2 1

x 1

@ : + " % [ 1, f) % x 0

h x 2x 1

x 3 .% .

1 3 x ( ;). # 2 2

4 Jx G : x 1., 2x,

x 3, ln x 2x

0 :

x 1 (1), h x x x " ( ;) h 0 0

1 3 1 Â Â Â°x ! Â°x ! ! 2x 1 ! x 1 Â&#x153; Â® 2 4 Â&#x153; x ! 0 2x 1 x 1 Â&#x153;Â® 2 Â° 4x 2 4x 1 ! x 1 Â° x 4x 3 ! 0 Â¯ Â¯ 1 3 Â 1 Â°x t ! 1 1 Â&#x153; 1 d x Â® 2 4 Â&#x153; 1 d x d x 0 Â&#x153; 1 d x 0 . 2 Â° 2 2 Â¯ x 4x 3 0

ÂÂ°h x ! h 0 0

Â&#x; h x 2x 1 ! x 1 Â°Â¯2x 1 ! x 1 Â°Âh x h 0 0 1 d x 0 Â&#x; Â® Â&#x; h x 2x 1 x 1 . / 1 Â&#x153; x Â°Â¯2x 1 x 1

# " : x ! 0 Â&#x; Â®

:! &: x ! 0 Â&#x; 2x 1 ! x 1 ! 1 Â&#x; 2x 1 ! x 1 ! x 1 2 ! x 1 Q 1

1 2

1 d x 0 Â&#x; 2x 1 x 1 1 Â&#x; 2x 1 x 1 x 1 x 1

1 Q

4 : x Â&#x2DC; x 2 1

x 1 , = 3, 4, 5, â&#x20AC;¦

x 1 % . Q

x 1 Â&#x153; x

x Â&#x2DC; x 2 1 ! Q x 1 Â&#x153; x ! 0 x Â&#x2DC; x 2 1 Q x 1 Â&#x153; 1 d x 0, = 2,3,4, â&#x20AC;¦

4 % " x 0 0 , % x x %% h x

" h 0 0 , 2x 1 %% %% %

Jx G â&#x20AC;&#x2122; h x . # " :

x 3 2x 1

x 1,

x 5 3x 1

x 1,

( A< ?' 4: > " D ; : x 3 2x 11

2 x 2x 4

x 1,

x 1

2x 3

3 2

@ : + " [ , f) % x 0

. + " h x 2x 3 " h 2 0

106 .2/41

2 . *

2x 3 h x x 3 8 ,

------------------------------------------------------------------------------------------- " ' A ? ! ---------------------------------------------------------------------------------------4 3 2x 3 ! 4 2x 3 Â&#x153; 2x 3 ! 2x 3 Â&#x153; 2x 3 Âª 2x 3 1Âº ! 0 Â&#x153; 2x 3 ! 1 Â&#x153; x ! 2 Â¬ Â¼ ÂÂ°h x ! h 2 0 3 2x 3 4 2x 3 Â&#x153; x 2 . # " x ! 2 Â&#x; Â® Â&#x; h x 2x 3 ! 4 2x 3 4 2 ! 2x 3 2x 3 Â°Â¯ ÂÂ°h x h 2 0 3 d x 2Â&#x;Â® Â&#x; h x 2x 3 4 2x 3 . / 1 Â&#x153; x 2 . 4 2 Â°Â¯2x 3 d 2x 3 1

:! &: x ! 2 Â&#x; 2x 3 ! 1 Â&#x; 2x 3 ! 2x 3 4 Â&#x; 2x 3 ! 4 2x 3 , 1

1 3 1 d x 2 Â&#x; 0 d 2x 3 1 Â&#x; 2x 3 d 2x 3 4 Â&#x; 2x 3 d 4 2x 3 % . 2 7 . . x 2 x 5 4 2x 3, x 2 Â&#x2DC; x 2 2x 3 4 2x 3, 2 x 2x 7 4 2x 3 % .

( A< ?' 5: > " D ;

x 3x 1 x 1

3x 1 .

1 3

@ : + " [ , f) x 0

0 . *

x '#< x 1 " , " % . 1 Â 1 Â 1 Â°x ! 3 Â°x ! 3 Â&#x153;Â® Â&#x153; x ! 0 , 3x 1 3x 1 Â&#x153; x 0 . > : 3x 1 ! 3x 1 Â&#x153; Â® 3 Â° 3x 1 2 ! 3x 1 Â°3x 3x 1 ! 0 Â¯ Â¯ . h x

1 h 0 0 x ! 0 Â&#x; h x ! 0 d x 0 Â&#x; h x 0 3 " h x .

ÂÂ°h x 0 ÂÂ°h x ! 0 1 Â&#x; Â&#x; h x 3x 1 ! 3x 1 d x 0 Â&#x; Â® / : x ! 0 Â&#x; Â® 3 Â°Â¯3x 1 d 3x 1 Â°Â¯3x 1 ! 3x 1 Â&#x; h x 3x 1 3x 1 . $ % 1 Â&#x153; x 1 . 1

:! &: x ! 0 Â&#x; 3x 1 ! 1 Â&#x; 3x 1 ! 3x 1 2 Â&#x; 3x 1 ! 3x 1 , 1

1 1 1 d x 0 Â&#x; 0 d 3x 1 1 Â&#x; 3x 1 d 3x 1 2 Â&#x; 3x 1 d 3x 1 % . 3 x 3x 1 # . . 2 x x 1 KPx 3x 1 3x 1 % .

3x 1 ,

( A< ?' 6: > " D ; x 3 x 7 x 2 5 (1) @ : " '#< ( Dx E

x 2 5 ) . 7 " . x 0

2 1 Â&#x153; h x x 1

x 2 5 , "

Â x ! 1 Â x ! 1 Â&#x153; Â&#x153; x ! 2 , x 1 x 2 5 Â&#x153; h 2 0 x 1 ! x 2 5 Â&#x153; Â® 2 Â® 2 Â¯ x 2x 1 ! x 5 Â¯ x ! 2 Â x t 1 x 1 Â® 2 Â&#x153; x 1 1 d x 2 Â&#x153; x 2 . 2 Â¯ x 2x 1 x 5 106 .2/42

------------------------------------------------------------------------------------------- " ' A ? ! ----------------------------------------------------------------------------------------

ÂÂ°h x ! h 2 0 Â&#x; h x x 1 ! x2 5 # " : x ! 2 Â&#x; Â® 2 Â°Â¯ x 1 ! x 5 ÂÂ°h x h 2 0 x 2 Â&#x; Â® Â&#x; h x x 1 x 2 5 . / 1 Â&#x153; x 2 Â°Â¯ x 1 x 5

2 .

" " x 3 8 "

g x g 2 0 % % " x 0 2 . " " : x 1 x 5

x 2 5, ln x 1 x 1

2x 2 x

x 1 Â&#x2DC; x 1 x

x 2 5,

x2 5

x 2 5 %

( A< ?' 7: > " D ; : 3 x 2 x 3 4 x 3 (1) @ : x 0 2 " , [ 2, f) . " ( x+

x 3 ), " " " .

> : 1 Â&#x153; h x x 3 4 x 3 h x

x 2 " h 2 0

x 3 ! 4 x 3 Â&#x153; x 3 ! x 3 Â&#x153; x 3 Â&#x2DC; x 2 ! 0 Â&#x153; x ! 2 . # " : 2

ÂÂ°h x ! h 2 0 Â&#x; h x x 3 ! 4 x 3 . / 1 Â&#x153; x x ! 2 Â&#x; Â® 4 Â°Â¯ x 3 ! x 3 1

2 .

:! &: x ! 2 Â&#x; x 3 ! 1 Â&#x; x 3 2 ! x 3 4 Â&#x; x 3 ! 4 x 3 % .

: x 3 x 3 8 4 x 3, 2x 2 x 3 1 4 x 3 . =#> : = A ' A) 9 < ? 9 . .(. 4 " % " % . ! ! # Â«# % @BÂ» Q P

4/12/2017 % D QÂ&#x2DC;U

PÂ&#x2DC;U

QÂ&#x2DC;P

D = D " E.#. . " % " " " . # ! #> " ) )> ! #, " " " " " " P

. " " D Q = P N P P N Q DP t 0 . ' % = (1), D Q = D O , Q Q O

DP = O D N . , â&#x20AC;&#x2122; :

QÂ&#x2DC;O

(DP )QÂ&#x2DC;O = O (D N )QÂ&#x2DC;O ,

% DPÂ&#x2DC;O = D NÂ&#x2DC;Q , (1) Â&#x; Â&#x2DC;%= Â&#x2DC; . 4 : P Q

N O

P1 U

D Â&#x2DC;D =D Â&#x2DC;D

N1 U

= D

N O

Â&#x2DC; D = D Â&#x2DC;D = D N

P 1 N 1

P 1 N 1 U

P1 U

=D Â&#x2DC;D

N1 U

P Q

=D Â&#x2DC;D

N O

PÂ&#x2DC;N P N Â&#x2DC; Â§ PQ Â· Â§ P Â· O Q P N O Q PÂ&#x2DC;N QÂ&#x2DC;O PÂ&#x2DC;N QÂ&#x2DC;O Q O O DQ D D D = = D = D = D = = .%. . (-% F. Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ Â© Â¹ Â© Â¹ F % Â«G D @ " * " /% - % 82 83,

QÂ&#x2DC;U

1975). # %% DPÂ&#x2DC;U = Q DP t0 %% DP t 0. % <0 . $ " :

DP = D Q , %%

DP =

( D)P = ( D) Q .

106 .2/43

) ( ' $ $ ( + , )

>%' = 9 ) > A9 â&#x20AC;&#x201C; F % 1 %' : / 5 Â« Â» 10.3 % - -% . + " %

- -% % " . ) < D # ' <#! !#9 ) F ! ' ? !#' ! 9 ' 9 )# 9 ' ) A>> > 9 )> %9 ) ! )# '% 9 A>> 9 )# . )#< D

3 3 3 ( Â&#x2DC; Âª W3 W D W E W J Âº Â¬ Â¼ W D W E W J W 3 3 3 ( Â&#x2DC; Âª W3 W D W E W J Âº Â¬ Â¼ (2 3 3 3 W3 Âª W D W E W J Âº Â¬ Â¼ (

/% - " 3 x3 y3 z3 x y z 3 x y y z z x

W D W E W J = 3

W D W E W J 3 W D W E W E W J W J W D

W3 3DEJ

W3 3DEJ . !

> " @J', @, J' - ; @K D . # " B L 4, F " ', @J , 4F %% % " - " . / .. % 0. Â&#x2DC; %= 0( Â&#x2DC; %* , 0. 0( %* %= Ë&#x2020; Ë&#x2020; , " Z*% " KJ@, #F4 ( MKE , " %% %" 4F, 'J @J). 2 %' : $ " % F % 1974. ) > ? A" ' : UD Â&#x2DC;UE Â&#x2DC;UJ UÂ&#x2DC;UE Â&#x2DC;UJ U Â&#x2DC;UJ Â&#x2DC;UD UÂ&#x2DC;UD Â&#x2DC;UE 6 U2 UD2 UE2 UJ 2 )#< D : " " U

( , W

( ( ( , UE , UJ W D W E W J % 2 (Â&#x2DC; W D

(Â&#x2DC; W2 : 6 W D W E W J W W E W J

( Â&#x2DC; W E

W W D W J

( Â&#x2DC; W J

W W E W D

W3 W3 3JDE

3JDE 3 Â&#x2DC; 4R Â&#x2DC; ( 12R ( ( ( 3 %' : $ " E % ' 4 &% 1985. @ - % " % " % , " %% % % . ) < D # ? !#' ! <@ )> *! !#9

?*! ! )A! ' ? >@ )# ? !#' ! ;! < '% ;! ?? ? ''%!

) ? ? ''%! @ > . )#< D : " : E J ! D Â&#x; E J D ! 2 D Â&#x; 2 W ! 2D Â&#x; 6

Â&#x; W ! D Â&#x; 4R Â&#x2DC; U Â&#x2DC; W ! 4R Â&#x2DC; U Â&#x2DC; D Â&#x; D Â&#x2DC;E Â&#x2DC; J 4R Â&#x2DC; E ! 4R Â&#x2DC; U Â&#x2DC; D Â&#x; Â&#x2DC; E ! 4R Â&#x2DC; U Â&#x2DC; D Â&#x; E Â&#x; D Â&#x2DC;E Â&#x2DC; J ! 4R Â&#x2DC; U Â&#x2DC; D Â&#x; E Â&#x2DC; J ! 2R Â&#x2DC; 2U

#) 9: J EJ ! 2R Â&#x2DC; 2U, DEJ ( EJ ! 2 2 , > , -+ > . 4( W x 4 D D Â&#x2DC; J ! 2R Â&#x2DC; 2U D Â&#x2DC;E ! 2R Â&#x2DC; 2U . & DE EJ JD t 12RU . 4 %' : ! ?;! G ' > . ; @' < = #' G ' 9 G D E

% * %+ . ! < A' 9 2

%'! , ! ) < D # 1 i) %'+

$%* ii) %'.0 $.+*

106 .2/44

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G ;' ? ! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

)#< D : i) S " %'

JD . E D

$ " @'+, @J " @ . JD D E %'+ %' %+ D E 2 1 / JD 2 $%* %$ %* 1 $%* . 2 ii) : D ! E 2D !E D E D D D! ! %* ! %+ ! %0 . $ 2 2 + - 4 J, %'.0 %'+ +.0

! %'+

1 $%* +.0 $*0 +.0 $.+*

2 5 %' : % E4& 1961, & . $ %" . Weitzenböck. E4& % «! @ - ». % … ; , ? ' )> *! ?*! ) ' <#! ! . ) < D # D 2 E 2 J 2 t 4 3 ( . (# =@ # ; )#< D : + " %% % * 4 . 1 * ' " 2E2 2J2 D2 4PD2 2E2 2J 2 2D2 3D2 4PD 2 . 2(D 2 E2 J 2 ) (D 3) 2 (2P D ) 2 . -

" x2 y2 t 2xy x D 3 y

2PD ,

(D 3)2 (2PD)2 t 2 D 3 2PD ,

% (D 3)2 (2PD )2 t 4 3 D PD . V " P D t XD 4 3 D P D t 4 3 D XD

4 3 D PD t 4 3 2( / : 2(D2 E2 J2 ) t 4 3 2(, D 2 E2 J 2 t 4 3 ( 6 %' : To " % - -% J " @B L " <. @ , '. %, . % , '. F . ! 12 % 77. ' A" ! ) !

G " ?;! ?*! G “ ) # ” %! 1

?;! ' ' <#! $%* . ) > ? @! 3 ?;! 9 ?*! G. )#< D : > " @J @J 4 @ <. ! " 1 %01 $%* . S " J<. + <4 3 " @J<, % : 1 %01 *10 $%* 1 . 3 ! $*1 $%* %01 *10

1 1 1 $%* . 3 3 3 1 1 1 1 / 1 $1 $* $% $* $1 $% . 2 3 2 3 2 %1 $% . $ J4< 3 D " . " @ " % ,J,4,< $% %1 %0 %* 2 1 3 $% $% %* %* $% 2 %* 2 . 3 2 4 4 * " " @J - 1 $*2 %*2 . % 4 1 $* %* , 2 % 30R . % % * 60R .

$%* $%* $%*

#) 9: B D @J, KP% KP$1

$B* E

$B* KP 2 % DKP%

$B* . D

% % BJ " ( %% % ) . > :

106 .2/45

BMN

AB*

%0 %1 1 %1 %$ 3 %* %$ 2 %$ %1 2

%$B 3 3 3 D 3D D ย %$B %0 ย ย $B* %0 2 2 2 2 4 4 D 1 $B* 4 1 ห 30R / : KP 2 % ย KP% ย % 2 D D 4 R ห * 60 . < % J *ห 30R , Bห 60o . 1 { A . ย

7 %' : To " % % - -% J " L " % , *"

] , 10.2. ! )%F G ' A 9 =4, G =8 ' ) A>> > 9 )> %9 =5, G=7. " ' <#! G . )#< D : ! %% % ' 'J 4.$ @4' %% % . / @4= '=5. # '4= @=4. > % 4J='J '4=8 4=4. ! @4 % @J'.

ย D 2 t D E J D E J ย

ย D 2 t 2W 2E 2W 2J ย D 2 t 4 W E W J

& " E2 t W D W J J 2 t W D W E . / D 2E2 J 2 t 64 W D W E W J , 2

DEJ t 8 W D W E W J . ' ; : + %

IO R 2 2RU 1 , E & @J " ' I2 ,R 2RU 2 . 4 2

(2) - ! % * " J " @B L " : . % โ J. ' โ . ' % โ . F โ J. $ % , / 11, % 153 : ' I2,R ,0 ย ,$ 0* ย ,$ 01KP11

,' KP$1

01 ย ,'

2RU

# % % 2 ย 1 NDL 1 ย R t 2U . + - - 0* ย ,$ 01 ย ,' , %

,$ 01 โ ,' 0* " " " " ' E, J4<. 9 %' : A" ?;! G =@ : DE EJ JD t 4 3( )#< D : J x, y, Zย \ x

1 * ' '*2 ย " %'2 %*2 2ย %02 2 '*2 82 ย %'2 2 ย %02 %*2 ย %'2 2 ย 52 72 2 2 - %' 33 . ^ " " @J' " : 15 33 33 1 33 1 15 33 ย ย ย 2 2 2 2 3 ... 2 6 . $ " @', @J' $%' $% $%' 4 $%' 1 D . / ย ย ย %*' '* %*' 8 %*' 2

%*'

ย

$%' %*'

%*'

1 2 3 $%*' %*' . 2 2

3 3 ! $%*'

ย 2 6 12 6 . 2 8 %' : ) < =" # A" ?;! G =@ : R t 2U . Euler. R t 2 U

)#< D : DEJ t 2 ( , 4(

8( , DEJ t 8 W D W E W J . W 2 D 2 t D 2 E J ย 2

DEJ t

x y Z

3 xy yZ Zx

x y Z2 xy yZ Zx 1ยช 2 2 2 x y y Z Z x ยบยผ t 0. ยฌ 2 2

/ x y Z t 3 xy yZ Zx 1 2

x 2 y 2 Z2 t xy yZ Zx

! " (1) % :

DE EJ JD t3 DEย EJ EJย JD JDย DE ย 2 2 DE EJ JD t3DEJ D E J ย DE EJ JD t3ย 4(Rย 2W 2

V " R t 2U . / 3 ย 4(R ย 2W t 3 ย 4(ย 2Uย 2W ย ย 3 ย 4(R ย 2W t 3 ย 4(ย 2Uย 2W ย 3 ย 4(R ย 2W t 3 ย 16(2 ! DE EJ JD t 3 ย 16( 2 , : 2

DE EJ JD t 4 3( . x Weitzenbรถck % % . " (2) : D2 E2 J2 tDE EJ JD, D2 E2 J2 t 4 3(.

106 .2/46

/ #4 6 7 6 '

$ – 8 "

_ 1 : ! @ > 9 C ' D ; x2+y2=4 ' (1,3). ) ) < D # )# A? ! <@ $ ) #' ! 9 ) 9 ! @ > .

) ! , ' ) $ 9 *! ;! $ ) '%!;! ' ! @ > , ! ) < D # D ; 9 ! : x+3y=4. G) " )# )# ! " . ) " D ; 9 < = #' 9 ?;! 9 . ) " '' # ' ;9 ) 9 ! . ) " ' <#! ?*! . @ : ) & % &(0,0) =2. # 20 10 ! U . / 4 " % . # " 4 % . y

(1,3)

Λ B x΄

M΄

y΄

) > " (x1 ,y1) @(x2 ,y2) . & " " C @ 1:xx1+yy1=4 2: xx2+yy2=4 4 x1+3y1=4 x2+3y2=4. "

x+3y=4 % " @. / @. " . / @: x+3y=4. G) # @:x+3y –4=0, |1 9 4 | 3 10 d(M, AB) . 5 10 ) J " J "

4& 4@. # " OM: y=3x. ) + 4& @. @ L " @,&4 % y 3x §2 6· : ® . # / ¨ , ¸ . > ©5 5¹ ¯ x 3y 4

) @> ;! ! ! 4B( ,%) 4 " 1 1 N 2 °° 2 5 °°N 5 @ : ® . , % ® O 3 6 3 ° °O °¯ 2 5 °¯ 5 § 1 3· / 0B¨ , ¸ . © 5 5¹

2 10 . 5 " &@4 : 3 10 2 10 60 /%2 0/ /2 . > 5 5 25 60 1 6 6 /% . # (0$% 0/ 2/% . 5 2 5 _ 2 : ! ! " 9 1:4x –y+3=0, 2: 2x+y+3=0 3:x+2'y –3=0, ' Թ. ) ! ' ' ? ! )

9 " 9 < % = ! )# < ' .

) G '=0, ! ) < D # ' ' 9

;! " *! 1, 2, 3 = ' F ! ' > ?*!

?;! . G) " @! D * 9 ;! < = #';! ;! " *! 1, 2. @ : ) @ A " 1, 2 % 4x y 3 0 . > ( –1, –1). $ ® ¯2x y 3 0 3 % " 3. # –1 –2 –3=0 = –2.

) J =0 3: x=3. > " @ 1 3. L 4x y 3 0 - @(3,15). # ® x 3 ¯ ) # 2/ d(O, AB)

2x y 3 0 % ® - x 3 ¯ J " JJJG 2, 3. # J(3, –9). # $% 4,16

JJJG $* 4, 8 . > : JJJG JJJG JJJ G JJJG $% $* 7 85 n JJJJJJJJJJJ VXQ $%, $* 0, JJJJGG ... 85 | $% | | $* | " @ J -% . G) > 4(x,y) " "

106 .2/47

____________________________________ 1

" ' A ? !

2 , d(M, 1 ) = d(M, 2 ) (1).

# 1 ย

| 4x y 3 | 17

| 2x y 3 | 5

5 17 y 3 ย 4 5 2 17 x 5 17 y 3

ย

ย 4 5 โ 2 17 x

5 17

0 2

0 3 .

& (2) (3) . _ 3 : ! @ > 9 C ' D ; x2+(y โ 2)2=4. " @! D * 9 ;! $ ) '%!;! @ > ) < % = ! )# ' (3,1). @ : & % F(0,2) =2. O L (3,1) : x=3 :y โ 1=%(x โ 3). A :x=3, d(K, )=3เต , x=0 % . > " :y โ 1=%(x โ 3)ย %x โ y+1 โ 3%=0. + % | 2 1 3 | d(K, H) U ย 2 ย 5O 2 6O โ 3 0 2 1 ยง 3 2 6 3 2 6 ยท O ย ยจยจ O ยธยธ . 5 5 ยน ยฉ & 3 2 6 14 6 6 x y 0 : 5 5 3 2 6 14 6 6 x y 0. 5 5 _ 4 : ! ! ' (1,2), ( โ 3,4), G(5,6 ). ) ) < =" # , ,G = ' F !

?;! .

) " D ; ) ? ? ''%! @ > ?*! . G) " D ; @ > ) ! '# ! 9 ) ? ? ''%! @ >

?*! F )A!; ! " :x+y+1=0 x < ' 9 4. JJJG JJJG @ : ) # : $% 4,2 , $* 4,4 JJJG JJJG det $%, $* 24 z 0 . # " ,@,J

" .

) > " C % . & C " C: x2 + y2 + Ax + By + J=0, 2 + @2 โ 4J>0. + " % " ,@,J ยญ 5 $ 2% * 0 ยฐ % . > : ยฎ25 3$ 4% * 0 . ยฐ 61 5$ 6% * 0 ยฏ L -

___________________________________

4 38 65 . , B * 3 3 3 680 # $ 2 %2 โ 4* ! 0 . + " 9 4 38 65 0ย % x 2 y 2 x y 3 3 3 2 2 2ยท ยง 19 ยท 170 ยง ย ยจx ยธ ยจy ยธ 3ยน ยฉ 3ยน 9 ยฉ G) O % " C ยง 2 19 ยท K ยจ , ยธ . d F ยฉ3 3 ยน , % A

% , : U2

ยงOยท d2 ยจ ยธ . ยฉ2ยน

2 19 1 3 3 # d 4 2 %=4. @ 2 =6, % " : 2

2ยท 19 ยท ยง ยง ยจx ยธ ยจy ยธ 3ยน 3 ยน ยฉ ยฉ

36 .

_ 5 : ) < D # D ; y 2 3x 2 โ y 3x( โ 2y) 0 ' N ย 0, f

) A! 2 ) A>> > 9 " 9.

) " )# *! ;! " *!. G) " D ; 9 ' ) A>> > 9 *! ;! " *!. @ : ) # : y2 3x2 โ Ny 3x(N โ 2y) 0 ย

ย y 2 3x 2 โ Ny 3Nx 2 3xy 0 ย ย (y 3x) 2 N(y 3x) 0 ย

ย (y โ 3x)(y 3x N) 0 1 . + (1) H1 : y โ 3x

y โ 3x N 0 . & 1, 2 %% % O H1

O H2

3 ( N z 0) .

) @ 1, . . N N . &(0,0). # d H1 , H 2 d 2, H 2

2 2 G) @ 2, . . (0, ). + %% % " 1, 2

ยง Nยท 0 ยจ 0, ยธ ยฉ 2ยน

%% % 1, 2 " O 3. N # " P : y โ 3x. 2 _ 6 : ; @' 9 @ > 9 C1: (x โ 2)2+(y โ 7)2=225 C2: (x+4)2+(y+1)2=25.

106 .2/48

____________________________________

" ' A ? !

) < D # @ > $A) ! ; A.

) 9 ! ?'%! 9 ' ) $ 9. G) ! D ; 9 ! 9 $ ) '%! 9 ;! <@ @ >;!. ) " D ; 9 $ ) '%! 9 C1 ) ! ) A>> > ! " <: x – 2y + 4 = 0. @ : ) & % C1 F1(2,7) 1=15 % C2 F2(–4,–1)

2=5. # : .1.2

2 4 7 1

# 1 – 2=10. / % " .

) > " 4(x1,y1) . # : JJJJJG JJJJJG .10 3. 20 (x1 – 2, y1 – 7) 3(x1 4, y1 1) (x1 – 2, y1 – 7) (3x1 12, 3y1 3) (x1= –7 y1= –5). # " 4( –7, –5). G) H F14 4. # : 4 3 O .10 O H . + " : 3 4 3 y 5 – (x 7) 4y 3x –41 . 4 ) > " %% % . + 1 " y x E 2 C1 d(F1, )= 1. + " x – 2y + 2- = 0. > : | 2 14 2E | 15 d . 1 , P U1 5 15 5 15 5 E 6 ). 2 2 ! C1 %% % 1 15 5 15 5 . y x 6 x 6 – y 2 2 2 _ 7 : ! " : y=5x –15 )

%'! 9 AD ! 9 ' , . )# (4,7) $% ! ' ) A>> > ! )

%'! 9 AD ! 9 G, . " ' <#! ) F G . @ : J - yBy x=0 " . @ $ 0, –15 . J - xBx y=0 " . @ @(3,0).+ %% %

4 "

P : y – 7 5(x – 4) y 5x – 13. > " J, ' yyB . (E 6

___________________________________

13 @ " *( ,0) ' 0, –13 . 5 | 5 3 0 13 | 26 X d(B, *') , 13 26 13 26 . AB 234 3 26 *' 5 $% *' X 28 . > : ( $%*' 2 5 _ 8 : ! D ; 9 " 9 ) < % = )# ' :(0,0)

' ' 9 ) ) %= !A' 9 " 9 1:4x –y+1=0 2:4x –y+9=0 ! %= ' 9 8. @ : O & x=0 ( ) y=%x, O \ . H x=0 1, 2 (0,1), @(0,9) . # @=8 " x=0 . + y=%x 1, 2 O z 4 . @ F,L y=%x 1, 2 . y Oz4 ° y Ox y Ox ° # : ® ® ® ¯ y 4x 1 ¯ O 4 x 1 °x °¯

O O 4 . 1 O 4 9O O 4 . 9 O 4

y Oz 4 ° y Ox y Ox ° # : ® ® ® ¯y 4x 9 ¯ O 4 x 9 °x °¯ 9O · O · § 1 § 9 / . ¨ , , ¸ / ¨ ¸, ©O 4 O 4¹ ©O 4 O 4¹

# : ./ 8 ./ 2 2

64 2

15 § 8 · § 8O · . ¨ ¸ ¨ ¸ 64 O 8 ©O 4¹ ©O 4¹ / x=0 _ 9 : < =" # A?;! ) %= %! (3,4) ' )> A ) 9 " 9 1: x –2y+3= ! ' < # '

A?;! ) %= <@ )> %9 ) ;! " *! 2 : x+2y+9=0 3: x+2y+5=0. @ : @ - #1 . (1

4d 2

d . , H1

2 5 . 5

16 . O H2 5

O H3

1 Ǥ 2

/ 2, 3 " % . @ 2, . . 4(1, –5). # d H 2 , H3

> ( 2

106 .2/49

d 2 H 2 , H3

d 0 , H3

4 . 5

16 . / #1=#2. 5

-/ / 4 #3 * * !@ 9 G A!! 9-' ! / 3 %..163 : ,. & %* Â&#x153; E J 2D, E & . > " #, ' " % AB B, A K " , BE *' O1 , O 2 . & ! EA '$ JG JJG JJJG e1 ,e2 , e3 , " JJJG JJJG JJJG " " 2$, 2%, 2* , : JG JJJG JJG JJJG O1O 2 Â&#x2DC; 2$ Â&#x2DC; e1 O 2 Â&#x2DC; 2% Â&#x2DC; e2 O1 Â&#x2DC; 2* Â&#x2DC; e 3 OZ O1 O 2 O1 Â&#x2DC; O 2

% %= x , #! = =' E i , i 1, 22,3, 4,5 :

)#< D : *

! y| B'

*= . W *(

x|, y| x| ! $ , : x

. . 1 x| JJJG JJJG JJJJG JJJG %= x BZ / $! : // Z' Â&#x; %= % x Â&#x2DC; =' =' JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG Â&#x;OZ O OB x Â&#x2DC; O' 2= Â&#x; 1 x OZ OB B x Â&#x2DC; O' 1

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGG JJJG $ 2' Â&#x; % : *' O2 '$ Â&#x; 2' 2* O2 2$ JJJG JJJG JJJG JJJ JG JJJG JJJG 2* O 2$ 2 Â&#x; 1 O2 2' 2* 2 O2 2$ Â&#x; 2' 2

1 O2 2 Â§ JJJG O O O Â· JJJG JJJG O JJJG ! 1 Â&#x;Â¨1 1 1 2 Â¸2= 2% 1 2* O2 2$ Â&#x; O2 Â¹ O2 Â© JJJG JJJG JJ JJJG JJJG O O 2$ O 2% O 2 1 2 2 1 2* Â&#x; 2= O1 O 2 O1O 2 JG JJG JJG JJJJG O1O 2 Â&#x2DC; 2$ $ Â&#x2DC; e1 O 2 Â&#x2DC; 2% % Â&#x2DC; e 2 O1 Â&#x2DC; 2* 2 Â&#x2DC; e3 Z OZ 1

O1 O 2 O 1 Â&#x2DC; O 2 JJJG JG JJJG JJG JJJG JJG 2$ 2$ $ Â&#x2DC; e1 , 2% 2 2% Â&#x2DC; e 2 , 2* 2* Â&#x2DC; e3 , x # $ E $ JJG ? ., JG JJG JG JJG JG e1 ,e2 ,e3 e2 ,e3 E? & : % 2 { % ,

(1 ( ( ( E O1, 4 O2 , 5 x Â&#x; 1 (2 , 4 (3 , (2 (3 O2 O1 E4 (5 ( E ( (4 Â&#x; 1 4 5 ( 2 (3 ( 4 1 !: x O1 O 2 x E1 E5 E1 E 5 (2 ) O1 Â&#x; ( 2 (3 ( 4 E 2 E3 E 4 O1 & : 2 E E E E E E E E 1 Â&#x; 1 4 5 1 5 Â&#x; 4 5 5 Â&#x; O1 O2 x O1 O2 x O1 Â§ 1 1Â· Â§ 1 1Â· E E5 Â&#x2DC; Â¨ Â¸ Â&#x; 4 O 2 Â&#x2DC; Â¨ Â¸ Â&#x; Â© O1 x Â¹ E 5 Â© O1 x Â¹ O Â&#x2DC; 1 O2

Â§ 1 1Â· 1 . Â&#x; O2 Â&#x2DC; Â¨ Â¸ Â&#x; x 1 O2 x Â© O1 x Â¹

E4 O2

? 2 x, JJJG

AZ JJJG JJJJG & ! AB, A* .

JJG JG

JJJG JJG

JJJG

e1 // BA, e3 // B* , 2 { * ,

JJJG

e1 // * A, e2 // * B . % % 2 { % , G G G G JJJG O O %$ O1O2 Je1 O1De3 1 2% e1 O1B*e33 2 1 Â&#x; %= O O O O O1 O2 O1O2 1 2 1 2 _ 1: " ! ! ? !" " *

' ' , ! ! ) A>> > ) ' ' )> A

?*! G ).=. // G. )A A! : = { . , O1 O 2 1 (2)Â&#x; JG JJG JJJG J Â&#x2DC; e1 D Â&#x2DC; e3 D D . = { , , O1 %. , O2 3 E J

JJG (2)Â&#x; %,

JJG JJG JJJG ., %, %.

106 .2/50

JG JJG DJ e1 e 3

D E J

JG JJG DJ e1 e3

JG JJG DJ e1 e 3

JeJG DeJJG 1

___________________________________ ____

2D E J Â&#x2DC; J

" ' A ? !

JG 2 J E D Â&#x2DC; D JJG Â&#x2DC; e1 Â&#x2DC; e3 , 6W " : JJG JJJJG JJG JJG ., & %* * Â&#x153; ., & e3 Â&#x153; 2D E J 0 Â&#x153; E J D . 2

+ 1

( 9 x -

# # " # 0 / !/ ! / # " K{I. " ## # " ! !!" " ! . x J D E ,

(B & VXQ%

D 2 J 2 E2 2DJ

2 J

D 2 J 2 2D

+ 2

G G G G O2J e 2 O1 E e3 , e 2 / / AB, e3 / / A* . O1 O2 O1O2 G JJJG G JJJG } : AB J e 2 , A* E e3 JJJG JJJGG JJJG G G G G B* $* * $% E e3 J e2 J e 2 E e3 . G G JJJG J e2 E e3 , # : AK 3 JJG JG JJG EJ e2 e3 JJJJG JJJG JJJJJG Â&#x; ., A, . $, $. $ 2W 2E D J Â&#x2DC; J JJG 2J D E Â&#x2DC; E JG Â&#x2DC; e3 . Â&#x2DC; e2 6W 6W # : JJG JJJJG JJG JJJG KI / / B* Â&#x153; det KI ,B* 0 Â&#x153; JJJG A=

EJ Âª 2E D J 2J D E Â¼Âº 0 Â&#x153; 6W Â¬ Â&#x153; EJ E J 2D 0 Â&#x153; 2D E J Â&#x153;

)A A! : ' " $ & JG JJG JJJG J e1 De3 ( ;).

%. . 3 VM* VM% Z { H , O1 . %" : , O2 VM$ VM$

2DJJ

' ; : # O { A . C

( = : ;"! # G e3 / / %* # "" !$ !/ JJG JJJG ., / / %* Â&#x153; 2E D J _ 2: " ! ! ? !" " , * ' ' , ! !! ) A>> > ' )> > A

?*!

G, ( "# # ! # ) ).=. //

4DJ 3D 2 4J 33D . 2DJJ 2J " : Â&#x2122; 4J ! 3D / $ & Â&#x2122; 4 J 3D / / & Â&#x2122; 4 J 3D / & & .

_____________ _ _____________ ___________

JJJG

JJG JJG J Â&#x2DC; VM% Â&#x2DC; VM* Â&#x2DC; e1 D Â&#x2DC; VM$ $ Â&#x2DC; VMB Â&#x2DC; e 3 VM$Â&#x2DC;VM% VM%Â&#x2DC;VM M* VM*Â&#x2DC;VM M$ 1 (i) (+ * ? @ .33 !JJJG JJJG JJJG 7). .+ %+ %. J Â· JG Â§ D Â· JJG Â§ DÂ&#x2DC;VM$Â&#x2DC;VM* * Â¸ Â&#x2DC; e3 , Â¨ J Â&#x2DC; VM%Â&#x2DC; VM* Â¸ Â&#x2DC; e1 Â¨ D 3Â¹ 3Â¹ Â© Â© JJJG JJJG J VM* 0 " : .+ & %* * Â&#x153; .+ & e33 Â&#x153; J Â&#x2DC;VM%Â&#x2DC;V 3 1 V Â&#x2DC; VM* Â&#x153; VM% Â&#x153; HM% Â&#x2DC; HHM* 3 . 3 _ 3: " ! ? ! !" " , * ' ' ! ! ) A>> > ) ' ' )> A

?*! G ).=. // G. JJG JJJG )A A! : > ! BI, BH " " # " : JG JJG D e1 e3 JJG JJG JJJG DJ +, B, B+ 2W JG J JJG J Â&#x2DC;VM%Â&#x2DC;VM*Â&#x2DC; e1 DÂ&#x2DC;VM$Â&#x2DC;V VMB Â&#x2DC; e3

2 Â&#x; %+

Â§ J Â· JJG Â· JG Â§D VM* Â¸ Â&#x2DC; e1 DÂ&#x2DC; Â¨ VM$Â&#x2DC; VM% V Â¸ Â&#x2DC; e3 J Â&#x2DC; Â¨ VM%Â&#x2DC;V Â© 2W Â© 2W Â¹ Â¹ JJG JJJG D " +, & %* Â&#x153; +, & e 3 Â&#x153; VM% Â&#x2DC; VM* 2W 2W 2 Â&#x153; HM% Â&#x2DC; HM* . D

106 .2/51

) ) @" ! AD 9: . ! , C. " , . " , 0. @ #!

)

6 9

;! ? G. ) ' , > A!

_ 1 "' > ? <% ' " *! %! < ?*! ' !: 9, 19, 18, 6, 15, 20, 7, 13, 11, 12. ) > ? @!: ) @ 9 9 "' > ? 9 ) < A' 9 9 "' > ? 9 ?) '% ' 9 "' > ? 9 @ : ) % / 10 / & $ ! : 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 18, 19, 20. - : R x max x min 20 6 14 . x 5 x 6 12 13 12,5 ) G # ! : G 2 2 ?) G / : 10

Â¦x i 1

130 13 10

10 _ 2 ! "' > ? !#9 ' " 4 )# 5 ' " ' ! 12 10 15 12 ! " @!: ) )%') 9 "'#9 ! ?!; F ' # '% "' > ? ! 12. ) H < A' 9 9 "' > ? 9. ?) H ) )# > 9 "' > ? 9. <) A! ) ! D > * "' > ? A 3 ' !A< 9 #> ' " ' , ! " @! !% '% ' ) )# > . @ : ) J x L / , , x 12 Â&#x153; 5

Â¦x

12 Â&#x153; Â¦xi 60 Â&#x153;12 10 15 12 x 60 Â&#x153; Â&#x153;i1 5 i 1 x 60 49 Â&#x153; x 11 ) @ ( ) " / $ ! : 10, 11, 12, 12, 15, " G x 3 12 . 1 5 2 ?) " : s 2 xi x

Â¦ 5i1

14 5

_ 3 ) ')> ;" ' >#? #> " 9 ) ! 9 =! ;! â&#x20AC;&#x201C; = *! =! ;!: xi 5 10 15 20 @! >

fi % 20

Fi%

xi!i

x2i

x2i!i

12 85 40

) " '% ' < A' 9 9 ! ' 9. ?) " ) )# > S. ! : ( Â¦ x i Q i )2 1 S2= [Â¦ xi2 Q i ] 23,69 # 4, 87 . v v @ : ) % " # / xi 5 10 15 20 @! >

!i 8 12 14 6 40

i 8 20 34 40

fi % 20 30 35 15 100

Fi% 20 50 85 100

xi!i 40 120 210 120 490

x2i 25 100 225 400 750

x2i!i 200 1200 3150 2400 6950

C4=40 /

Â¦Q

40 =40 " -

i 1

/ " . " f1%=20= F1%, ! f1=0.2 Â&#x153; Q1 0.2 Â&#x153; Q1 0.2 Â&#x2DC; Q 0.2 Â&#x2DC; 40 8 Â&#x153; 11 8 . Q Q 12 1 2 11 Q 2 8 12 20 , f2 2 0.3 . Q 40 * f2%=30 F2%=F1%+f2%=20+30=50, F3%=35. F4%=15. , F4%=100 Q3 QÂ&#x2DC; f3 40Â&#x2DC; 0.35 14 13 12 Q3 20 14 34 ! Q4 Q Q3 40 34 6 . 4

) x

1Âª 2 2 2 2 2 10 12 11 12 12 12 12 12 15 12 ÂºÂ¼ 5Â¬

1 14 ! s > 4 1 0 0 9@ 5 5 L " " .

X 3 15 s y

<) ' & Y

?) "

Â¦x

Â&#x2DC; Qi

i 1

Q x 20 x 21 Q

490 12.25 40 10 15 25 12.5 2 2

(Â¦ x i Q i ) 2 1 1 4902 [Â¦ xi2Qi ] [6950 ] ... 23.69 v v 40 40 * s 23.69 4.87 s2

106 .2/52

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ' A ? ! G -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

_ 4 Â&#x2C6; ; ) 9: 2 12 17 16 13 19 8 1 0 10 9 7 18 14 12 15 14 19 11 7 ) A! #? '' =! ;! #? '' " *! = *! =! ;! $ @ ) * ' < ) ) )A!; < < '%! 4 >A 9. ) ' " < A' 9 9 ! ' 9 ?) ! < ?' ' ? !%9; @ : ) " # # R=Xmaxâ&#x20AC;&#x201C; Xmin=19â&#x20AC;&#x201C;0=19, " " ! ! -

c R 19 4.75 | 5. N

* ! : [0,5), [5,10), [10,15), [15,20]. % " # / >A 0â&#x20AC;&#x201C;5 5â&#x20AC;&#x201C;10 10â&#x20AC;&#x201C;15 15â&#x20AC;&#x201C;20 @! >

xi 2.5 7.5 12.5 17.5

!i 3 4 7 6 20

i 3 7 14 20

fi % 15 20 35 30 100

Fi% 15 35 70 100

xi!i 7.5 30 87.5 105 230

x2i 6,25 56.25 156.25 306.75

x2i!i 18.75 225 1093.75 1837.5 3175

# / :

) " " / &

# | 12,3. ?) s2

(Â¦ xi Qi )2 1 1 2302 [Â¦ xi2Qi ] [3175 ] ... 26.5 v v 20 20 4

Â¦x Â&#x2DC;Q i

%" s

5.15 , x

26.5 s x

5.15 11.5

230 11.5 20

i 1

0.448 44.8% , ! #

# . _ 5 ! %! < ?' ' ?%" 9 25 D% ' # A" ' ;! ) ;! ! 300 ;!

?*!;! 9 3700. ! < < '%! > " @! ! ! ! ! ' ! ) # ;! ) ;! ) ! !A' 9 '%9 ) 10 14 ) 8 18 ?) 6 16 25

@ : =25,

Â¦Xi 300, i 1

Â¦X

2 i

3700 , " -

i 1

# : 4

Â¦x

Â&#x2DC; Qi

300 12 Q 25 (Â¦xi Qi )2 1 1 3002 s2 [Â¦xi2Qi ] [3700 ] ... 4 , v v 25 25 ! s 4 2 . - " # " " !

" : x

i 1

20 (xi)

/ & & # / :

x â&#x20AC;&#x201C;3s

12.3

20 (xi)

x â&#x20AC;&#x201C;2s

x â&#x20AC;&#x201C;s

x +s

x +2s

x +3s

) 68% " ! 10 14 ) 63.35% " ! 8 18 ?) 97.35% " ! 6 16

106 .2/53

8 $ " ) $ $ 9 "

$ "

)

F $% 9 ; 9 â&#x20AC;&#x201C; 3 @ ' , 2 @ ' " _ 1 ! !A f : \ o \ ' @) 1 Â 2 ,x Â° x Â&#x2DC; ' x f x ÂŽ 2 Â° 2 ÂŻ 2x 1 , x t . ! f ! ) ?;? ' x0 ! ) < D # =0 =1. . ) < D # f ! ) 9 ) Â&#x152;) "% 9 " ; ' 9 Rolle A" < A ' 9 ' $ 9 ÂŞ 1 Âş 1 1 , ÂŤ Âť , Â? ] ^0, 1` . ) 1 )

ÂźÂť ÂŹÂŤ ?. ) < D # Cf %= A) 9 $ ) #' ! 9 ) ! ) A>> > 9 ! x x. <. 9 @') ; 9 9 Cf . @ . H f " x 0 Â&#x; G f Â&#x; lim f x

x 0

x o

1Âˇ Â§ lim Â¨ x 2 Â&#x2DC; Â¸ xÂš ÂŠ

lim f x Â&#x;

x o

2 lim ÂŞ 2x 2 1 Âş 1

ÂŹ Âź

x o

z 0 , : 1 Â&#x; 2 Â&#x2DC;

2 2 1 Â&#x; 2

2 Â§ 1 Âˇ 2 Â&#x2DC; Â¨ 2 Â¸ 1 " ! " , ÂŠ Âš 2 Â§ 1 Âˇ 2 Â&#x2DC; Â¨ 2 Â¸ 0 1 t 0 . * =0 ÂŠ Âš 1Âˇ 2 Â§ 2 x Â&#x2DC; Â¸ 1 . 1 Â&#x; xlim Â¨ o ÂŠ xÂš 1 2 2 1 1 ! x2 Â&#x2DC;

x2 d x2 Â&#x; x d x2 Â&#x2DC; d x x x x

T lim x x o0

lim x x o0

0 , " " -

1Âˇ Â§ " : lim Â¨ x 2 Â&#x2DC; Â¸ 0 . x o0 xÂš ÂŠ

* 1 Â&#x; 1

0Â&#x; 1

' , +1 1 1 1 1 Â&#x; < +1Â&#x; ! N N 1 NS N 1 S

1 , x<0, " x !/ # ! ÂŞ 1 Âş 1 ÂŤ , Âť , Â? ] ^0, 1` ÂŤÂŹ " 1 " ÂťÂź Â§ 1 Âˇ 1 " Â¨ , Â¨ " 1 " Â¸Â¸ ÂŠ Âš " 2 Â§ 1 Âˇ Â§ 1 Âˇ f Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ " 0 ÂŠ " Âš ÂŠ " Âš . : f x x 2 Â&#x2DC;

Â§ Âˇ Â§ Âˇ 1 1 f Â¨ 1 " 0 Â¸ Â¨ Â¨ 1 " Â¸ Â¨ 1 " Â¸Â¸ ÂŠ Âš ÂŠ Âš * f " " W" / / Rolle. ?. " ( ) # " & !/ Â? ] ^0, 1` "! Â§ 1 Âˇ 1 $ Â? Â¨Â¨ , Â¸Â¸ & f c $ 0 . " 1 "

ÂŠ Âš * "! !" $ f c $ 0 , " !" " " ! x?x. <. G f \ , " # " . " x>0, f x 2x 2 " " 2 / #

1 . x L " f y Ox N . x<0 : 1 1 2

f x x x 1 x h g x

1 x x x x 1 u g x

u, h u

. x u u g x 0 lim h u lim 1 ! xlim o f u o0 u o0 u f x

1Â&#x; O 1Â&#x; * lim h g x 1 Â&#x; lim x o f x o f x 1 Â&#x; f x Ox f x x x 2 x g x , x 1 u 1 u u u, u

g x

x u2 u u2 " . x<0 : f x x 2

106 .2/54

------------------------------------------------------------------------- " ' A @" ! 9 G - 9 !A> 9 ----------------------------------------------------------------------

g x 0 lim u # ! xlim o f u o0

" #

u u '

0 0.

u '

1 Â&#x2DC; 0 0 Deâ&#x20AC;&#x2122; u o0 2 Hospital " / lim u 0 " lim M1 u

u o0

lim g x 0 Â&#x; lim ÂŹÂŞf x x ÂźÂş 0 Â&#x; 0 u o f * f " ! " y=x. _ 2 u o f

Â&#x2C6; ; f : \ o \ ' ) ?;? ' !A ? ! ) =@ ! f c x x 2 x ? ' >0, ?>0 + +?<0. . ) < D # f ! ) 9 ) Â&#x152;) "% 9 " ; ' 9 Bolzano < A ' [0,1]. . ) < D # f ) AF ) # '%? f,1 ) # >A= 1, f . ?. ) )A!; # ! #= > A; > ? ! )A! 9. <. D A ! )A = ! ,> Â? \ *

lim f x >x

x o f

Â&#x; 2 4 ! t 0 Â&#x; ' ! 0 . 2

1 Â§ u 1 Âˇ Â¨ Â¸ 1 u

2ÂŠ u Âš

Â&#x; 2 4 ! 4

* $ x 2 x 0 # L # L " " "! . ?. $! f ? x x 2 x Â&#x;

3 2 x x x # , >0. 3 2 lim f x lim x 3 f * x o f x o f 3 lim f x lim x 3 f , " f # x o f x o f 3 ! <. % ! L ! f " f y O Â&#x2DC; x N . " # f " 3 / # " . * # "! , Â? \ & lim f x Ox N 0 . f x

x o f

_ 3 Â&#x2C6; ; f : > 1,4@ o \ ' ) ?;? ' !A ' f 1 1 . ! ? $ ) A

9 f $ ! ) A ; = ' # :

@ . G f? [0,1] " f c 0 ! 0 f c 1 0 . * f? " " W" / / Bolzano [0,1]. . + `. Bolzano "! x1 Â? 0,1

f c x1 0 . G $ "

f c x 0 L x1 " # &

x 2 x f c 0 ! 0 , f c 1 0 , / # # L x 1 , x 2

Df? 1 0 Â&#x; x1 1 x 2 , " f, " L " " f f x1 x2 x f?(x) + 0 0 +

f(x)

2 #) 9: - & x x # 2

' 4 . !: 2

, !0

0 Â&#x; Â&#x; ! ! 0 Â&#x; Â&#x; E ! D J Â&#x; E2 ! D J

. ' > ! f ;9 ) 9 ! ' ! ! < A ' [-1,4]= . . ) < D # f ! ! %M ' ! = < A ! ! $ 9. ?. ! Â? >1,4@ ! ) < D # )A = ' ! < $ ) '%! 9 Cf ) ! ) A>> > ! " y= x. <. ) < D # ' (0,3) < ! ? $ ) A 9 f. . >@ ! D ; : f c x 1 x 3 . @ . f c x ! 0 !/ x Â? ( 1, 4) Â&#x; f n Â&#x161; . . f n Â&#x161; A Â&#x; f "1 1" Â&#x; f k . " # " !

" y=x f? / " ! " !

106 .2/55

----------------------------------------------------------------------------- " ' A @" !! 9 G - 9 !A> 9 ------------------------------------------------------------------------

_ 4 ! ! ! 9 f : 0, f o \ g : \ o \ ' @ @) 9:

x2 x2 Â§ 3 Âˇ x3 x g x e x ln x ,

2 Â¨ÂŠ 2 Â¸Âš 6 2 . ) < DD # f ! >

0, f . ) < D # g ! ?! ;9 @D \ . ?. ' ' ') 9 9 g. <. ) < DD # < ! )A = ! ' A x1 ,f x1 B x2 ,g x2 * $ ) f x

?. " # Â? >1, 4 @ f ' A , $ f c x " # , # f? ÂŤ1-1Âť. * "! " C f " " ! y= xx # . <. J B Â? Cf . - f 0 3 . G f "

[ 1,0]. + "

`.>.-. [ 1,0], " "! $ Â? 1 ,0

&f 0 f 1 3 1 f c $

2, # # f c($$) 2 1 0 1

" ! ! " , f?(x)=2 Â&#x153;x=0. x . `

h x f c x 1 x 3 . - " # h [00, 5], # " " " / x 1 f?. ('

x 1 Â?> 1,4@ Â&#x153; 1 d x 1 d 4 Â&#x153; 0 d x d 55)

To x 0

L h # 1 "

h 1 f c 0 1 3 2 1 3 0 G L x 0 1 #

# h $$ [0,5], !/ x1,x2 Â?>0, 5@ " : : x1 ! x 2 Â&#x; f cn

x1 1 ! x 2 1 Â&#x;

f c x1 1 ! f c x 2 1 Â˝Â° Âž x1 ! x 2 Â°Âż

'%! 9 Cf ! ! ) A>> > > ! $ ) ) '%! 9 Cg . @ 3 Âˇ x2 1 x2 Â§ . J : J f c x x Â&#x2DC; Â¨ ln x Â¸ Â&#x2DC; 3 6 2Âš 2 x ÂŠ 2 3 x x x2 x ln x x x ln nx x . 2 2 2 2 1 f cc x ln x x 1 x ln x x 0 , x # ln x d x 1 x . * f . x . $! : gc x e x 1 t 0 ,

e x t x 1 x=0. * , g n Â&#x161; f, 0@ Â&#x2030; > 0, f \ . ?. : gcc x e x 1

gcc x 0 Â&#x153; e x 1 0 Â&#x153; e x

1Â&#x153; x

gcc x ! 0 Â&#x153; x ! 0 gcc x 0 Â&#x153; x 0

Â&#x; f c x1 1 x1 ! f c x 2 1 x 2 Â&#x;

Â&#x; f c x1 1 x1 3 ! f c x2 1 x2 3Â&#x; h x1 ! h x2 . 2 9 #) 99 ( ? $ ) A ): G y= f c x 1 L " y=f?(x) " # $ ! ! 1 " ! y= =-x+3 #

+(1,2). G $ " h(x)=0 # L x 0 1

* g

>0, f

f,0@

# " +(0, g(0)) # # +(0,1). <. " # $ f c x1 z gc x 2

!/ x1 ! 0 x 2 Â? \ , # # :

f c 0, f Â&#x2C6; gc \ Â&#x2021; . Â&#x203A; G f [0, +f)Â&#x; Â&#x; f? p [0, f) Â&#x; f c 0, f

liim f c x , limm f c x

. xo f o

x o00

lim m f c x "

x o f f

x2 Â§ ln x 1 1 Âˇ x2 Â¨ Â¸ 2 x 2Âš ÂŠ x > Deâ&#x20AC;&#x2122;Hospittal ( f c x xl n x x

10 06 .2/56

------------------------------------------------------------------------- " ' A @" ! 9 G - 9 !A> 9 ----------------------------------------------------------------------

>0, f

f ln x 1 lim 0 ) ! lim x o f x o f f x x Â§ 1Âˇ lim f c x f Â&#x2DC; Â¨ Â¸ f . $! x o 0 ÂŠ 2Âš ln x x2 x . lim f c x " f c x

1 x o0 2 x > Deâ&#x20AC;&#x2122;Hospital ( f ln x ) ! lim lim x 0 x o 0 x o 0 1 f x lim f c x 0 . * f c 0, f f,0 . " -

f?(0)=1. * Â&#x2C6; # " +

" , gc x t 0 !/ x Â?\ Â&#x; g' \ Â&#x17D; >0, f Â&#x;

! , / "! É&#x152; $ , & f f

f f

f c $ t 1, " t1Â&#x;

x o0

f c 0, f Â&#x2C6; gc \ Â&#x2021; .

_ 5 ! !A f : \ o \ ) ?;? ' ' f(0)=0 g : \ o \ . : ? $ %9 ) A 9

;! f g $ ! ! ) A ; = ' :

0,f 0 # # +(0,0).

K x f x x, x Â? \

K c x f c x 1 t 0, !/ x Â? \ x=0. * $ \ , " : Â&#x161; t Í˛ Â&#x; K x t K 0 Â&#x; f x x t 0 Â&#x; f x t x ?. = , f f , "

f f

z , " `.>.-. # !-

Â&#x; f f t . Â&#x203A; ' & g p > 0, f , "

D 1 t 0 Â&#x; D Â&#x; g 1 d g 2 (1) D4 1 2D2

1 t 2D2 t 0 Â&#x;

" " , f c x t 1 ! 0 Â&#x; f n Â&#x161; \ , " 1 0 Â&#x; f 1 f 0 0 Â&#x; f 1 0 , (2) . ' > ! f ;9 ) 9 ! # ' ') 9. . ) < D # : f x t x ? A" x t 0 ?. ! , Â? \ , < D # f f t . <. ? " @! "' : $ f 1 Â&#x2DC; g 4 1 %

f 1 Â&#x2DC; g 2

H x M p x

p x x 1 u,

u o0

x o 1

lim f x f x

x o f

+ x f c x 1 f x 1 1,

lim u 0 f ' 0 f 0 1 1 0 1 0

. ) > ? # : lim ÂŞ g x Â&#x2DC; f c x 1 f x 1 1ÂźÂş x o 1 ÂŹ . < D # :

Â&#x;AtB .

M u f c u f u 1 . ! lim p x 0

* : (1),(2) Â&#x; f 1 Â&#x2DC; g 4 1 t f 1 Â&#x2DC; g 2 2

f .

F. < D # !A h ' @) : 1 Â Â°Â° g x 2 , xz0 h x ÂŽ x Â° 1 , x 0 Â°ÂŻ < ! ! ! = 9 x0 0 . @ . " " ! f? " " f f,0@

" " ! f ? " " x 0 0 f?(0)=1. *

lim M p x 0 Â&#x; lim H x 0 , " " ,

x o 1

lim g x l1 ! 0 , lim g x l2 ! 0

x o 1

" lim g x H x l1 Â&#x2DC; 0 0 x o 1

lim g x H x l2 Â&#x2DC; 0 0

x o 1

* lim g x H x 0 . x o 1

2 9 #) 9: (> # )x(q

) . x>1, " x 2 ! x,

`.>.-. ÂŞÂŹ x, x 2 ÂşÂź / "! [ Â? x, x 2 ,

106 .2/57

----------------------------------------------------------------------------- " ' A @" !! 9 G - 9 !A> 9 ------------------------------------------------------------------------

f x2 f x

> 9 ' < @

?*! G

! = !! ?' ) "% (x xo , f c(xo )) . @ . G # & $$ : y x

f ' $ t 1 .

x2 x * f x 2 f x t x 2 x (1) " #

lim x 2 x f, /

x o f

lim f x 2 f x

x o f

f G (1) " " !-

" & ( ). F. " Cg # " & 1 x 0 Â&#x;

1 1 g x ! Â&#x; g x ! 0 Â&#x; 2 2 x ! 0 Â&#x;

g x x

1 2 0

1 g x 1 1 2 0 g x Â&#x; g x 0 Â&#x; x 2 2 h x 0 0 ,

lim h x 1 Â&#x; h x ! 0 ! x 0 x o0

g x

0 , "

1 2 ! 0 ! x 0

! 0 , ! " . x _ 6 Â&#x2C6; ; f : [0, 2] o R ' !A

, <@ $ $ %9 ) ?;? ' . ! ? $ ) A 9 f c

" " ?*! G G ) A ; = ' 9 ==@ : f c(0) f c(2) f c(1)) # :

" / " " 0,1 2,0

* 1 Â&#x2DC;0 Â&#x; 1 1 2 0 Â&#x; 2 1 Â&#x; . %" $ 2 1 y x 1. # $ 2 Cf c # & , 1 f c x x 1 , # $ $ 2 x1 Â? 0, 2 .

1 ` ! h x f c x x 1. H h 2 > 0, 2@ !!/ & ( f c # # "

). " " , h 0 f c 0 1 0 , # f c 0 f c 2 f c 1 d 1 h 2 f c 2 ! 0 ,

# f c 2 ! f c 0 t 0 . " / &

Bolzano " "! x1 Â? 0, 2 , & : h x1 0.

. G ! f c > 0, 2@

" f c 0 f c 2 f c 1 " "

f c 0 f c 2 # ! f c . " # f c " ` & >

â&#x20AC;&#x201C; ! ! - " " "! x 0 Â? 0, 2 , & : f c x 0 max f c x . "! C x 0 ,f c x 0

. ) < D # Cf %' '! < ??*!

%! >A= ! ' . ) ) < D #

)A = %! % >A= ! x 0 Â? (0, 22) % * ' (xo , f c ((xo ))

9 C f c !! ! )> % ! )> A G. ?. G x 0 ; ; ' 9 ( )) :

i) ) >> ? # lim $ h , #) ho0

ÂŞf c x0 h ÂźÂş ÂŹÂŞf c x0 h ÂşÂź $ h ÂŹ 4h ii) Â&#x2C6;! ' (x((t), y(t)) #) ) x(t) ' ) 2

?;? ' ' !A , ! ! ? $ $ ) A 9 f c . !

"'# ' ' -

" " " " , # # ! " " . ?. " & ( ) x 0 / f c " # x 0 Â? 0, 2 f c " -

mat : f cc x 0 =0 .

, " `. Ferm i) J : f c x0 h f c x0 h f c x0 h f c x0 h

Â&#x2DC; h

h 4 c c f x0 h f x0 h

: lim h o0 4 f c x 0 f c x 0 2f c x 0 f c x 0

(1). ( 2 4 4 # " & f c ).

10 06 .2/58

------------------------------------------------------------------------- " ' A @" ! 9 G - 9 !A> 9 ----------------------------------------------------------------------

$! :

f c x0 h f c x0 h

f c x0 h f c x0

@ . !/ x Â? \ : f c x t ln Â&#x2DC; x 1 Â&#x; ln Â&#x2DC; x t ln Â&#x2DC; x 1 (1)

f c x0 h f c x0

h h f c x0 h f c x0

f cc x 0 0 , & lim h o0 h f c x0 h f c x0 f c x0 h f c x0

L h

h h c c f x0 u f x0

u , " u = h, u " : lim L h lim O u f '' x 0

h o0

* lim

u o0

f c x0 h f c x0 h

0 (2). h " (1) (2) " " : f c x0

lim h 0 Â&#x2DC; 0. h o0 2 h o0

Â? 0,1 , ln 0 (1)Â&#x; x d x 1

!/ x Â? \ Â&#x; lim x d lim x 1 , " !

! x o f

" , lim x o f

x o f

f lim x 1 f . x o f

" >1. . J x t x 1 !/ x Â? \ . ` ! h x x x 1 . !/ x Â? \ h x t h 0 , " x 0 0 / " # x 0 0 R, " h " , " ` & Fermat : h c 0 0 Â&#x; 0 ln 1 0 Â&#x; ln 1 Â&#x; e . ' & e e x t x 1 !/ x Â? \ . " " , !/ x ! 0 : f D g x x Â&#x; f g x x Â&#x; e g x x

Â&#x; g x lnx , x ! 0 .

ii) - > k 1 f c x " -

Ec t

1 Â&#x2DC; Â&#x2DC; 1 f c x t 1 f c x t Â&#x; 2 f cc x t Â&#x2DC; xc t . -

t 0

: E t

" x t 0

Ec t 0 f cc x t 0 Â&#x2DC; xc t 0

x 0 : f cc x 0 Â&#x2DC; x c t 0

0 Â&#x2DC; x c t 0 0 _ 7 ! ! ! 9 f : R r R ' f (x) ! x

(0 } 1) g : 0, i r R . ! =@ :

f f(x) w ln Â&#x203A; (x 1) ,

xÂ&#x2019;R

?. f x e x Â&#x; f c x e x Â&#x; f cc x e x ! 0 , " f R . " " , 1 1 Â&#x; gcc x 2 0 g x ln x Â&#x; gc x

x x !/ x>0, " g 0, f . <. " C f (0,1) y f 0 f c 0 x 0 , # # y 1 1 x 0

! y x 1 . " Cg (1,0) y g 1 gc 1 x 1 , # # y 0 1 x 1

! y x 1 . % " ! Cf ,Cg /& "

B 1,g 1 " ! :

(f D g)(x) ! x ? A" x " 0 # : . ) < D # " 1 . . ! < D # g(x) ! ln x . ?. ) < D # f ! g > . <. = < A 9 Cf Cg "*9 9 $ ) #' ! 9 9 ' (0,f(0))

(1,g(1)) ! = . . ! ? Â&#x2019; R >0 ! ) < D # :

? e 2

A 0,f 0

w2 . 106 .2/59

------------------------------------------------------------------------- " ' A @" ! 9 G - 9 !A> 9 ----------------------------------------------------------------------

. " # $ :

e ln t 2 . 2

- 1 " ! " K ,e C f " @ ,ln Cg . " " # -

$ K@ t 2 " , " " ( 1) ( 2), " , 2 ,@ / ( ;).. _ 8 Â§ ÂŠ

DÂˇ

! ' @ > Â¨ 0, Â¸ ' < A' 2 Âš

l !" ' @ % * 1%& ÂŞ )Âş ' " Â&#x2019; ÂŤÂŤ0, ÂťÂť . ! =x("), =y("). ÂŹ 2Âź 10 x(") ! > Â&#x2019; R, # : lim "r 0 "

?. G " & > : P / 10 10 / 10 / 10 1 / /

L ! |(/) " " : Pc / 10 / / Pc / 0 Â&#x153; / / 0 Â&#x153; / / Â&#x153;

" Â§ SÂˇ Â§ "Âˇ , / Â? Â¨ 0, Â¸ . " " , Â¨ 0, Â¸ 4 ÂŠ 2Âš ÂŠ 2Âš ! ( /) / ( /) $ ( ;) " " 2 * / ! Â&#x; / 4 4 2 " 2 / !

4 2 2 " ! /, / ! " / ! 2 4 2 " /, / & / 2 4 * , ! |(/) " " / , " " " > 4

$ , # > . y / y /

f y / , " <. J : 1 y /

u u f u

. . ) < D # : x(") ! Â&#x203A; !" , y(") ! Â&#x203A; '" . 1 u . < A' ! ) ?' - ! lim y / lim Â&#x2DC; / 0 lim f u

/ o0

u o0 / o0 # "'# >. 0 ?. ) < D # ) ' 9 (") # " # . ?*! ? ! '%? # ! 0

'% ' > . 1 u y(") '(y(")) u u '

1 u u <. ) > ? lim . T f1 u

" r 0 1 !(y(")) u 1 u ' u @ u . + / & > : 0 0 . + lim f1 u

u o0 x / x /

1 / Â&#x; x / Â&#x2DC; / Deâ&#x20AC;&#x2122;Hospital " , / lim f u 0 , u o0 y / y /

" lim f y / 0 Â&#x; y / Â&#x2DC; /. % / / o0 10 / g /

. / , =#> : / - " Pc / 10 / / / " 10 / / Â&#x2DC; g / Â&#x; lim 10 / 0 Â&#x2DC; limg / Â&#x; / o0 / o0 " # 10 Â&#x2DC;1 0 Â&#x2DC; Â&#x; 10 Â&#x; 10 > =10, : Â§ "Âˇ Â§" "Âˇ 1 Â¨ 0, Â¸ 2 Â¨ , Â¸ . 10 10 / / 1Âş ÂŞ 4 ÂŠ Âš ÂŠ4 2Âš lim lim ÂŤ 10

10 Â&#x2DC; 0 0 Âť / o0 / o 0 / / Âź ÂŹ 106 .2/60

/: # : ( ;

) '%> : G * ? 9 . #) > 9 G ;' . .(. = % ! 9 â&#x20AC;&#x201C; & ' = ! 1939 ( >%' = 9 ) > A9- !) - # / $ ! } > .>.'. 1939 $ : ) < =" # ' <#! ) ! #9 ?*! G @ ) 9 ! ! 9 # ) ? ? ''%! @ > ) ' 9 ) '% ?*! %= ! 9 $A9 9 )#< 9 ;! M*! G ( " @ ?*! ). # / $ & . - & ; / # " !" " " , # , k!$ â&#x20AC;¦ # " # $ / # # , $ & ,

! / # & . / & Nagel " % , % , % !/ " / . ' / " # $ # ( " ). , k ? # , Ë&#x2020; 'Ë&#x2020; 90R . J 2$ A '( # $ $ 1 1 Ë&#x2020; Ë&#x2020; *Ë&#x2020; . * Ë&#x2020; $ % A?% / / *( ( !/ ) Â&#x; B 1

Ë&#x2020; Ë&#x2020;, $ *Ë&#x2020; 1 . $!

!k Â&#x; 'Ë&#x2020; 1 % " 1 R R Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; Ë&#x2020; $1 '1 *1 % 90 , %(* 90 . / , / " " : Â«C ! Â» J $ & , Â&#x20AC;, k . " / & Nagel % , % , % !/ Â&#x20AC;, , Â&#x20AC; . 1 1 1 1 1 1 $%* $(2= %(2' *'2= Â&#x2DC;2$Â&#x2DC;(= Â&#x2DC;2%Â&#x2DC; '( Â&#x2DC;2*Â&#x2DC; '= Â&#x2DC; R Â&#x2DC;(= Â&#x2DC; R Â&#x2DC; '( Â&#x2DC; R Â&#x2DC; '= 2 2 2 2 2 2 1 Â&#x2DC; R Â&#x2DC; (= '( '= . 2 -& " # & . } ! , / / . q ! / G & $ " â&#x20AC;¦ - G $ & . !/ / !" / & . - k G , Â&#x20AC;, . 1 Â&#x2DC; R Â&#x2DC; =( (' '=

J " & !k : +%*

2 L " / . - , G # ! " " " ! "

. " 1 1 1 1 +$% +$* +$ Â&#x2DC; %' +$ Â&#x2DC; *' +$ Â&#x2DC; %' *' +$ Â&#x2DC; %* . T k! ! 2 2 2 2 , # # !L $ " - â&#x20AC;¦ J " / +$ 2R Â&#x2DC; VXQ$, =( %* Â&#x2DC; VXQ$ . 1 1 J " : $%* +%* +%$*

Â&#x2DC; =( (' '= Â&#x2DC; R Â&#x2DC; +$ Â&#x2DC; %* 2 2 106 .2/61

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %' ( > % ;! *! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 =( (' '= R 2RVXQ$ %* =( (' '= R R VXQ$ %*

2 2 2 1 1 R =( (' '= R =( R (' '= =( . 2 2 - & , " / … x " , ! " # $ +$ 2R VXQ$, =( %* VXQ$ . " / & G " " ($ ($ KP+1 +$ . " / & +$ KP+1 " " ($ VXQ 180D $

($ J VXQ 180D $

$% 0 +1 * " !/ . + "& " J VXQ 180D $

2R KP* VXQ$ +$ +$ +$ 2R VXQ$ . " KP* KP* =( $( =( & , " " VXQ 180D $ =( %* VXQ$ . %* $% %* - & , " $ !" " k " # $ " $ & . / !/ " … * , " ! } "! , " # / " k , $ ! "! !k ! $ " …

_>? , ( > =! 1957 – ) ? A$ – ? !#' ( " ? 9: q ) ' 2 !: ;" / # / $ &

x 2 2 x 0 "

z 0 , # L $1 , $ 2 " ! . J L $1 " , # #

$ 2 $1 . # / : 2 2 2 $1 2 2 2 . 2

)#< D 2 # $ : 4 2 2 $1 4 2 2 ,

$1 $ 2

2$1 $ 2 $1 $ 2 $1 $1 $ 2 2$1 $ 2 , 2

$12 $ 2 2 $1 $ 2 $1

(1)

$1 $12 $ 2 2 (2).

!" L # "

/ , : $1

i , \

2 2 , " !

! " , $ 2 $1 .

* $1 , $ 2 \ , " 2

$1 2

$ 1 $ 2 $ 1 $ 2 $1 ,

$12

$ 2 2 . (1) " , :

$1 $ 2 ,

$1 $ 2 , ! $ 2 $1 , "

. $! (2), : $12 $12 $ 2 2 , 0 $ 2 2 " ,

z 0 $1 $ 2 z 0 $ 2 z 0 $ 22 ! 0 . ( : # " / : $1 , $ 2 \ , / " / / / ! / ? @ . 106 .2/62

! *! 9 #) > 9

: ' , ) ) ! #' $ A ;! " ' A. " ' A @' > . 1)

> > / !, / , ! , L " " / " . > ! " !, $ " / " " " / " , ! " # . G " " ! L " " " / " , " ! " # / . J " > / !, !" # " k # & / " # . T > / ! " " / " , , " , " , " " ! L / / /! . !, # " / " " L " ! > / @ , " # L "! . \ " !#

, !

" " ( " ! L ). G ! , " ( . ? @ , # 71). # "! " " . " !#

! : f(x)= x , ! " ! #

. T ! : f(x)=1/x . 2) ' > / ! !

! . !" # " k , / " # . \ " !#

, ! " . ! & # " , # "

/ . > "

/ " . J " !" # " k ( ! ) / L & " , " !/ . " ! , : «' / & & x # "

& / & », : « " ». 3) ! / " " " k : !

/ !, / " " " " # $ / ," / , "! # (# !, !/ ! " / ! # / $ " ! ) " " # # ! . " # / " " " & " "! , # ! / " / # / ! . > ! ! " #

) " " L / ! C L / D \ !L $ xQ D ( ). - ! L D t 0 " ! ' '#! ! F . >" ! L . ( $ $. ' L 9; & $ $. % / 3 -3( # # , $ : x 2 9 ). ( $ $. - " ! 9 ; 106 .2/63

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G % ) $%& ) - ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

& $ $. - / 3( # # , / >0 E 2 9 ): 9 3 ( 9 r3 ). ) ' ( 1990 " " ) " L L ! & / & # " / . " !#

, # : 3 8 L : 3 ( 8)

2 ( " , # : ,

/ L : i , " i !# .). ' / ! # " ! " , " , " & " & (# ! / ) " # ' . J , " 1990 " " !, ! ( ! $ ) / & > / & ! !. / , !, ! " > / & ! / & & " " !. 1

?) # , " !#

, : ( 8) 3 ( .

? @ , # 72). # 3

! [ " ! : 3 2i 2 , VXQD iKPD 3

< ! %= ! !# ' ].

9 1) ( ) : ) ?' "' , , ? ", #) ">0, )> @! ! =% : ? ? ? ? (1) 3 1 " "2 " ) < D # "%! 9 )# 9 "' @9: | |, | | |?| ! ' # 9 ". @ . " # : t| | | | , t| | | />0, " (1), : /3 ! / 2 / t /2 (| | | |) /(| | | |) | | /3 /2 | | /2 | | / | || | / | | | || |! 0

/2 (/ | |) / | | (/ | |) | | (/ | |) ! 0 (/ | |) /2 / | | | | ! 0

/ | |! 0 | | / . T # : | | </ | | </.

2) ( ) > " ! ; : 2(2x 1) 3 6 x x 2 (1). @ . - / & x \ , " : 6 x x 2 t 0 . J : 6 x x 2 t 0 x 2 x 6 d 0 2 d x d 3 . * , : > 2,3@ . > x , : ª º ° 2(2x 1) t 0 (1) « 2(2x 1) 0 (2) ® (3) » 2 2 «¬ °¯ 4(2x 1) 9 6 x x »¼ 1 1 ) J : (2) 2x 1 0 x . " # x , : 2 d x . 2 2

1 1 2x 1 t 0 °x t °x t ® ® ) J : (3) ® 2 2 2 2 ¯ 4(4x 4x 1) 54x 9x 9x °x 2 x 2 0 ° ¯ 1 x 2 ¯

106 .2/64

1 d x 2 , # . 2

ÂŞ 1 Âˇ ÂŞ1 Âˇ Â&#x201E; + " L : ÂŤ 2, Â¸ Â&#x2030; ÂŤ ,2 Â¸ ÂŹ 2 Âš ÂŹ2 Âš

> 2,2 .

3) (G ) ; @' !A f : (0, f ) o \ ' f (x) x1/ x . 1) < ' ' ! ! 9 # 9 f. 2) N ) < D # , ? A" x ! 0 , =@ : xe d e x . 3) ! ' ? >@ )# 9 "' @9: ! ! , ! 1, 2, 3,... 4) ) < D # , ? A" ', ! Â? ` %! 9 )# 9 "' @9: ! ' ' # 9 9 @ .

! !

1 Â§ ln x x Âˇc 1) J , !/ x ! 0 : f c(x) Â¨ e Â¸ ÂŠ Âš Â ! 0, 1 1 ln x Â° = xx Â&#x2DC; ÂŽ 0, 2 x Â° 0, ÂŻ

Â§ x1 ln x Âˇc Â¨e Â¸ =â&#x20AC;Ś ÂŠ Âš ! x<e ! x=e ! x>e

Â&#x203A;

* : f nÂ&#x161; 0,e @ , f p >e, f x=e ! ( ) , : f (e) e1/e .

2) !/ x>0, : f (x) d f (e) Â&#x; x1/x d e1/e Â&#x; x1/x

d e1/e Â&#x; x e e x . xe

3) !/ Â? ` : f ( ) 1/ . " # : 0 1 2 e 3 4 ... , " "! , : f (1) f (2) f (3) ! f (4) ! f (5) ! ... " # f (2) f (3) ( : 2 3 3 ), " " / : , 1,2,3,... 3 3 . ln ln Â&#x; ln d ln 4) ) J : d . " # t 1 , : 0 d ln d ln Â&#x; d 3 3 Â&#x; d d 3 Â&#x; d 3.

) J > . T" " , : d 3 3 Â&#x; 3 3 .

# "; + 105 # 61 * 7, $ 2f x ln ef x 2

# f x ln 2 â&#x20AC;&#x2122; " # !k : ln 2 Â? 1, f , & : 2 e 3 Â&#x; ln 2 ln e 1 ln 3. G $ " " # / ". . : 2f x ln 2ef x 3 & # f x ln 3 Â? 1, f

" # 55 * 3, f D \ f D

106 .2/65

2,1 ,

Bernoulli !@ 9 G A!! 9-' G Bernoulli . ;"! (> / ! ` - / ? @ . 269). ' !L # !

: J x ! 1. - r Â&#x201E; r 0 r ! 1 , 1 x t 1 xr Â&#x201E; 0 r 1 1 x d 1 xr r

' $ <* %' ! x )#< D G ! f x

r 2

1, f

. " ,

r 0 r ! 1 , f cc x ! 0 " f . ! " " ! f !/ x Â? ' "! " " 0,1

$ . G " $ y 1 rx x Â? ' : " !/

1 x

t 1 rx

x 0 . x 0 r 1 , f . " !L ! " . + " !L ! & # ! & Bernoulli. > " ] D ; x log 9x 1

)A! G ! f x log 9x 1 " # Â§ 1 Âˇ Â¨ , f Â¸ . " $ # 9 ÂŠ Âš L . ' x 0 0 L $ . $ !L "! ! L . x log 9x 1 Â&#x153; x Â&#x2DC;1 log 9x 1 Â&#x153;

Â&#x153; log10x

log 9x 1 Â&#x153; 10 x

G ! 1 9

x 6 xÂˇ Â§ xÂˇ Â§ x 1 Â¨ 1 Â¸ Â¨ 1 Â¸ , x Â?> 1,3@ 3 ÂŠ 24 Âš ÂŠ 36 Âš )A! 1

1 Â§ xÂˇ2 Â§ xÂˇ Â§ xÂˇ G $ ! : Â¨1 Â¸ x 1 6 Â¨1 Â¸ Â¨1 Â¸ . ÂŠ 3Âš ÂŠ 24Âš ÂŠ 36Âš } " & Bernoulli : 1

" -

# !

f cc x r Â&#x2DC; r 1 Â&#x2DC; 1 x

1 x

> " D ; :

9x 1 . 9x 1 "

1 1 x 1 Â§ x Âˇ2 Â&#x201E; Â¨1 Â¸ x 1 6 d1 Â&#x2DC; 1 Â&#x2DC; x 2 2 3 6 ÂŠ 3Âš 4

xÂˇ Â§ xÂˇ x x Â§ Â&#x201E; Â¨ 1 Â¸ Â¨1 Â¸ t 1 4 Â&#x2DC; 1 6 Â&#x2DC; 2 24 36 ÂŠ 24 Âš ÂŠ 36 Âš " !/ 2

x 0 . > " D ; : 4 1 x 4 1 x 4 , x Â?> 1,1@ )A! ' / 1 1 # L $ . G # / ! : 1 1 1 1 x 4 1 x 4 4 " # x ! 1 0 1 4 L Bernoulli : 1 1 1 1 1 x 4 1 x 4 d 1 Â&#x2DC; x 1 Â&#x2DC; x 2 4 . * 4 4 $ # . > " \ D ; x2 2 3 . 1 x 3 1 x x2 1 )A! G $ " # > 1,1@ 3

1 x 3 1 x

x2 2

x2 1 1

1 1 x 1 x 2 3 3

x2 1 t 2 .

x 1 x 1 x 1 * " " x2 2 3 1 x 3 1 x 2 , # # x 0 . ' x2 1 " " $ . 3

1 x 3 1 x

Bernoulli 1 9 t 9 x 1

x 0

x 1 . * $ x1 0 x 2 1 .

> " D ;

1 x 3 1 x 3 d1 2

2 .

0 # L .

106 .2/66

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! # Bernoulli ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5

1 1 x2 1 1 x2 5

2 , x Â? > 1,1@

1 1 n m m ! 1. 1 m 1 n m n m n ! D ,b,c ! 0, D b c 1 , # n

)A! 1 2 5

1 1 x

G $ ! : 1 1 x ' x 0

1 2 5

0 # L . T-

1 x 2 ! 1 1 x 2 ! 1 . * L (3) :

1 x

1 1 x2 2

1 5

1 d 1 Â&#x2DC; 1 x 2 5 1 d 1 Â&#x2DC; 1 x 2 , " " / 5 1 2 5

# # x r1 .

1 x2

) < = # x ! 0 Â&#x; 3 1 x 1

x 3

! 1 1 x

1 2 5

1 x

)A! " Bernoulli 1 r Â? 0,1 . 3 ! x1 , x 2 ," , xn Â? 0,1 # =@ :

1 x1

1 x2

1 x4

1 x3

1 x1

Â&#x2DC; 1 x 2 Â&#x2DC; 1 x 3 " 1 xn ! 2

)A! " Bernoulli : 1

1 x1 x Â&#x2DC; 1 x 2 x Â&#x2DC; 1 x 3 x

" 1 x n x1 ! Âˇ Â¸t Âš

G A" n Â? ` * ! ) < = # 2n 1

2n 1

tn2n

)A! 2n Â§ 2n 1 Âˇ G ! Â¨ Â¸ t 2n 1 . J ÂŠ n Âš 2n

ÂŞ Â§ 1 ÂˇÂş Â§ 1Âˇ ÂŤ1 Â¨1 n Â¸Âť t 1 2n Â&#x2DC; Â¨1 n Â¸ 2n 1 ÂšÂź ÂŠ Âš ÂŹ ÂŠ

) < D # ? ) < ) $ @9 1 1 m !1 "' @9 m , n ! 1 =@ : n m 1 n 1 )A! " Bernoulli : 1 1 m n 1 m n 1 , 1 n m 1 " : n m

1 1 ÂŞÂŹ1 b c ÂźÂş 3 d 1 Â&#x2DC; b c Â&#x; 3

J : 3 1 b c

1 Â&#x; D Â&#x2DC; 3 1 b c d D Â&#x2DC; D b c 3 1 b 3 1 c D d b Â&#x2DC; b Â&#x2DC; c D , 3 1 c 3 1 D b d c Â&#x2DC; c Â&#x2DC; D b , " " / 3 ! D3 1 b c b3 1 c D c3 1 D b d D b c 1 ( 1 `

1 x

t 1 nx 1 , n Â? `* ^1` , x t 1

x ` . y 1 x t 0 . (1) : y n t 1 n y 1 (2)

D b n

- (2) # : Â§Â¨ D ÂˇÂ¸ t 1 n Â§Â¨ D 1 ÂˇÂ¸ b b ÂŠ

Âš

ÂŠ

Âš

D D D t 1 n Â&#x2DC; n n 1 t b nD bn n b b b n

Â§ x Âˇ Â§ x Âˇ Â§ x Âˇ Â§ x ! Â¨1 1 Â¸ Â&#x2DC; Â¨1 2 Â¸ Â&#x2DC; Â¨1 3 Â¸"Â¨1 n x1 ÂŠ x2 Âš ÂŠ x3 Âš ÂŠ x 4 Âš ÂŠ x x x t 2 1 Â&#x2DC; 2 2 "2 n 2n . x2 x3 x1

Â§ 2n 1 Âˇ

Â¨ Â¸ ÂŠ n Âš

D3 1 b c b3 1 c D c3 1 D b d 1 (:> ') A< );! 9 2005) )A!

Dn t n D n 1 Â&#x2DC; b , D t 0 , b ! 0 b n 1

3 . - " "

D b . $ ! # $) (3) # !+ "-! % $ ' $ Rado $ 3< $ ' $ AMGM. 1 D1 D2 " Dn , Gn D1D2 "Dn n ` . An n . " D1 , D 2 ," , D n ! 0 , n Â? `* . '

nA n n 1 A n 1

D1 D2 " Dn D D2 " Dn 1 n 1 Â&#x2DC; 1 n n 1 n Gn Dn . " (3) / : D An , b An 1 Gnn 11 nÂ&#x2DC;

An n t n Â&#x2DC; A n n 1 A n 1 A nn 11

" : Dn

G nn G n n 1 1

106 .2/67

# #

An n Gnn t A nn 11 G nn 11

ยง An ยท ยง A n 1 ยท p p p q q q

!/ n ย `* ^1` - d D1 D2 " Dn p ย b1 b2 " bn q ยจ ยธ tยจ ยธ ยฉ Gn ยน ยฉ G n 1 ยน )#< D $ " Rado " ยพ D1 , D 2 ,", D n # n A " " " / n n / b1 , b 2 ,", b n # , Gn . , " ! : ยพ ! " D1 , D 2 ,", D n n n 1 ยง A n ยท ยง A n 1 ยท A1 1 , " " A n t G n ! " b1 , b 2 ,", b n ยจ ยธ tยจ ยธ t" t G1 ยฉ G n ยน ยฉ G n 1 ยน # ! # , / 1 D1 D 2 " D n Dk t D1D 2 " D n n , # # D n 1 D1 D 2 " D n t n

D 1D 2 " D n

( 2

" 1 x d 1 rx , r ย 0,1 y 1 x y r yr r 1 d 0 *

ย Dย b ย Dย b ย Db

qย

1 Dp 1 ย q 1 d 0 ย p b p

1 p

ยง 1ยท q ยจ1 ยธ ยฉ pยน

p 1 p

1 q

D2 " Dn

p ย ยฆ Di

1 p p

ย b

b2 " bn

1 q q

q ย ยฆ bi

!/ k ย ^1,2,",n` .

i 1

> " / ! n " / Hรถlder :G : G p q 2 > ' A! ' !:

Dp p 1 bq ย d0ย p p

D1b1 D2b2 " Dnbn d

d D12 D22 " Dn2

D D b 1 bq ย d 0 ย Db d d0 p p p q p 1 p

b2 " bn

i 1

1 1 p ย Dp bq ย d0ย p p

" : ยงยจ D q ยทยธ 1 ย D q 1 1 d 0 ย D

Dk ย bk

p b

p p

k ย ^1, 2,", n` . b " Young :

+ (*) / 1 Dp p r y " p ! 1 D,b ! 0 q , p bq p 1 ยฉb ยน

D 2 " Dn bk

1 p

ยง p 1 ยท 1 , " / ยธ . _ ยจq ย p ยฉ ยน p q D b 1 1 , D,b ! 0 , 1, p !1 Dย b d p q p q

& / " $ ' $ ! Young > Young " # Hรถlder # # x : : Hร LDER ย ; D1 , D 2 ," , Dn ,b1 ,b 2 ," ,bn =#! 9 ) ?p . ' "' p ! 1 q p 1 ) < D ' !: D1b1 D2b2 " Dnbn d

1 2

ย b12 b22 " bn2

D D " D ย b t D b D b " D 2

2 1

1 2

b 22 " bn2 t

( ' $ ! Cauchy ) ย ; x1 , x 2 ," , xn ! 0 D b . ) < D ' # 0 x D d x b #) Db z 0 1

ยง x1D x2D " xnD ยท D ยจ ยธ , xb n ยฉ ยน

ยง x1b x2b " xnb ยท b ยจ ยธ n ยฉ ยน

)A! " x D , x b ! 0 , "

" # $

xb t 1. xD 1

106 .2/68

xb xD

1 ยง x 1b x 2 b " x n b ยท b ย ยจ ยธ n xD ยฉ ยน

> " / ! " : b b b b d1D d2 D " dn D t n x1 x 2 " xn n, D

Â·b Â¸ Â¸ Â¹

Â· Â¸ Â¸ Â¹

1 b

Â· Â¸ Â¸ Â¹

1 b

Â· Â¸ . Â¸Â¸ Â¹ D

x1D x 2 D " x n D xD

n Â&#x;

n 1 1 "

1 Â&#x;

d1 1 d 2 1 " d n 1

b D

0 Â&#x;

d n 1 . " -

b D

1 x 2 D ,", d n D 1 x n D . " Bernoulli : b Â Db b Â°d1 1 x1 D t 1 Â&#x2DC; x1 D Â° b b Â° D b Â°d2 1 x2 D t 1 Â&#x2DC; x2 . Â® D Â°" Â° b Â° Db b Â°dn 1 xn D t 1 Â&#x2DC; xn D Â¯

Â· Â¸Â¸ Â¹

xnb xD

x 1b xD b

# #

x1b x 2 b " x n b

d D d2 D " dn D Â&#x; 1 n b

xb xD

b b

Â· xb t 1 Â&#x; xb t xD . Â¸Â¸ t 1 Â&#x; xD Â¹

: %! x1 ,x2 ,",xn ! 0 , 2 ! 1 ! 1 Â&#x;

1 x1 , d 2 D b

," ,d n D b

d1 D d 2 D " d n D n Â&#x2DC; xb

ÂºD Â» Â» Â¼

x 2b

d2 D

Â· Â¸Â¸ Â¹

d D d2 D " dn D " # 1 t 1 / : n

x1 x 2 " x n 0 , " : x1 d1 1, x 2 d 2 1,", x n

b D

d1 d 2 " d n

d D d2 D " dn D # # 1 t1. n

> ) >A ' . . . . ! ". # ! $ % & '% % . 1. : % , ( . )*, 2. ' + % , 3. -/ 0

% , 4. 0 ' + % & + &%. 5. & - % â&#x20AC;&#x201C; % â&#x20AC;&#x201C; - $ % , 6. ' & ' 7 & - % - $ % , 7. & 9 Ba; nach, 8. & % + & , 9. $7 &% % &%, 10. ' @ % 7% ( 7% #7 &%, 11. ' &% @ % 7% 7% $7 &% % $7% % &% '%&% \ n 7 %+ 0 7% % &% $7; &% &% Banach Hilbert, 12. -

' 7% -

' % &%. ( + : Fountas ; - 7% â&#x20AC;&#x201C; -C (D ) 106 .2/69

" ' A ? =! G% ;! Â&#x201C; Â&#x201D;9 Â&#x201C; =A @= 1 " / ??%> ) !<A?

"> ` " G # !

! !/ . - ! " ! / . % ! # " " ! ' # ! > !

" % . Â&#x152; " " " ! , & " $ , " !k " ! . > # : Â«* / " # " " ! # " " # / !/ % ;Â» !, " ! . - / / ' " " " " ! " " . % > 9, / , " " . . . Â« ! ! Â», " ! . Â«( > ?!* Â», "! , & ! : Â« !;Â» Â«> ! Â», "! # . G ( & " ) . > ! " ( > ?!* , " " > @> , " " . T" " , " / / ! , " / ! . ' ! / !, . - !# > 9 # % $ % ! . - " ! "! " !" , / . G , " , . J / ! "!/ !/ " . Â« & # / ! Â», " . Â«` # . ` & . . .Â» % > 9 # # ! " " / & , # # &

! " / !

/ 2. / ( > ?!* # k / # !" " . ' 1 2

% . J , , " ! / 10. - }, , " ! / 1.000 . 106 .2/70

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ G% ;! 9 =A @= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

" > / . G " " # ! / : «` " », " . % , $ & : «% »3. + & ! # / " " # !, > 9 "! : « »4. % > 9 , k " k ! ! " !, " " ! # ! , ( > ?!* " " " , ! " # @ " 9. % $ . - , " L L , " " "! . G L ! $ . " " "" . % @ " 9 , ! # # $ , " " # / , , ( > ?!* " ! " k " # } # L " " > . ! !" k , / " # / & " " ! ! . / " ! . . . / ( > ?!* > . . . ` ( > ?!* ! T > 9 # ! " ! " L , k / : " ! )A! ;! ? ; % ? ! ."5 G " / ( > ?!* 9, ! !" " , " / # #

# ! " "' & ". % @ " 9 # $ # " # > 9 " / ! " . % > $ $ "

/! ! : "- & " " / & , ! " $ " !# , '! , ! # , > . + & " " ! , # " & " , # " ' ! " ." % " " " "

$ : "- & " " / & , ! " $ " !# , '! , ! # , > . + & " " ! , # ! # " " ' " ." " " ! ! # , / &" # . J , > 9 " " ! " # / " ! . J" " 0 / & , . 3

' " " # "& " # !. 5 G " ! " / . 4

106 .2/71

'9 9 $ $ $ ,,

" : G A!! 9 9 â&#x20AC;&#x201C; ???%> 9 "

ÂŤ Âť Âť

Bolza ano ; ; 9 . < 9 ! ! !" k " # & ÂŤ ! Âť â&#x20AC;&#x2122; " ÂŤÂŤ ! Âť / " " # !/ ÂŤ & Âť. #& / " / ! x0 " # ÂŤ ! x0 Âť, " # ÂŤ # P f : A o \ ! x0 ÂťÂť, " . " k k " "

! k , ! f : > a, b @ o \, a b, > a, b @ , " ! "

" /

/ . - ! f : a, b o \ , a b, a, b [ Â? a, b lim f x

x o[

f [ z 0, 0 ! ! [ / f x f [ ! 0,

0 #& : ! ! / ""! x0 Â? a, b " f x0 f [ ! 0. f : > a, b@ o \ > a, b @ T

min f x M

k Â? >T , M @ "! ! ! x Â? > a, b @ & f x

maax f x ,

k . > ! "

" " # & ! f : > a, b @ o \, a b +

> a, b@ >T , M @. / " / / /

Bolzano, # ! & , > ! , / / / ! . - " & " / " / /

" / " " " " ! . Bernarrd Bolzano ((1781-1848): B

, Z , Z & &

$ ! 7 . # # $ ! !$ # ? / $ & . $ $ $ % , $$= '

% . % E : ÂŤ# ÂŤ ? Âť 1804, ÂŤ_ ÂŤ $

Âť, ÂŤParad doxes in the infiniteÂť ÂŤ% - ÂťÂť. %' 1 . ) ! ' !A f : > a, b@ o \ , a b !! ! = 9 1-1 > a , b @ , # #!

=#!! 9 x0 Â? a ,b " A ' D@ ;! #!;! ;! f a f b .

) ! ' !A f : > a, b@ o \, a b ! ! = 9 1-1 > a , b @ ,

# " ! ?! ;9 ' !# ! > a , b @ .

G) ! ' !A f : a, b o \, a b ! 1-1 ! = = 9 < A ' lim f x

x oa

a, b , a b

@D ! A B ??! ;9 $" " ! ! A lim m f x B , # ! ?! ;9 @ xo ob

10 06 .2/72

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' > < --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B A.

@ : ! "

f a z f b x0 Â? a, b

f a z f x0 f x0 z f b , " " / ! 1-1.

) ` " / f a f b / ! / # ! " "

" # $ f a f x0 f b . J f x0 d f a f b . ! / & # ! & / "! x1 Â? x0 , b " f x1

f a . " #

a, ! a Â? x0 , b " !

! "

f 1-1, " " x1

x0 Â? a, b Â&#x; a x0 b Â&#x; a Â? x0 , b .

! "

" /

f a f b d f x0 . * f a f x0 f b . L

" # f b f a , x0 Â? a, b

f b f x0 f a .

) ` " / f a f b / " # $ ! $ . # # " # $

x1 , x2 Â? a, b , & x1 x2 ,

f a f x1 f x2 f b . J " x1, x2 Â? a, b , & x1 x2 . " " &

& " x2 Â? a, b Â&#x; f a f x2 f b 1 x1 Â? a, x2 Â&#x; f a f x1 f x2 2 . "

1 , 2

a x1 x2 b Â&#x; f a f x1 f x2 f b # #

! $ > a, b @ . T " / f b f a " # ! / . G) J A B. ;" / "! x1 , x2 Â? a, b , x1 ! x 2 A K1 K2 B , " K1

f x1 K2

f x2 . - " #

f # ! > x2 , b /

>K2 , % . " # x1 Â? x 2 , b / : f x1 K1 Â? >K2 , % , & K1 ! K 2 " !

! " . ' / " ! " "! . * ! x1 , x2 Â? a, b , &

a x2 x1 b, A f x2 f x1 B,

# # f $ . T " # / B A. %' 2 . ) ) < D # )A = !A f : \ o \ % * f 3 x f x 1 x3 x 1 ,

? A" x Â? \ .

) Â&#x2C6; ; !A f : \ o \ % * f 3 x f x 1 ) < D # A" < A ' f [

k f a l f b

k l

> a , b @ , a b,

x 3 x 2 , ? A" x Â? \ .

)A = %! >A= ! [ Â? a , b % )

, ! k,l ) ?' %9 " %9 % 9 * kl > 0.

@ : ) L " & " / "

106 .2/73

\, # ! "

L . G " " # / & Bolzano. % L ! f : \ o \ / x0 Â? \ . + x 0 L "

L " P t

t 3 t 1 x03 x0 , t Â?\ 3 ,

" & # "

L " L 3 , # "! " "

L , " ! # " # . r0 L

3 ,

f x0

r0 . & " f 3 x0 f x0 1 r03 r0 1

x03 x0 . " ! " / f 3 x f x 1 x3 x.

) ! / " # $ ! \. x0 Â? \ 3 f x0 f x0 1

x03 x0 4 .

3 3 " 2 , 4 f x f x0 f x f x0

ÂŞÂŹ f x f x0 ÂşÂź ÂŹÂŞ f 2 x f x f x0 f 2 x0 1ÂźÂş

x3 x03 x x0 ,

x x0 x2 xx0 x02 1 5 .

" ! " ! a 2 ab b 2 , a, b Â? \ / # .

1 1ÂŞ 2 2a 2 2ab 2b 2

a b a 2 b 2 ÂşÂź t 0, ÂŹ 2 2 0, a b 0. " # " ! " a 2 ab b 2

" # a 2 ab b 2

a 2 ab b 2 1 t 1, a, b Â? \. > ! # " " 5 " "

0 d f x f x0 ÂŞÂŹ f 2 x f x f x0 f 2 x0 1ÂşÂź x x0 x2 xx0 x02 1 " " 0 d f x f x0 d x x0 x 2 xx0 x02 1 , lim x x0 x 2 xx0 x02 1 0, ! " xo x 0

" " lim f x f x0

xo x 0

f x0 . * f x

0 lim f x

xo x 0

\. ` & ! g : \ o \, g x

f x

kf a lf b

. G k l

! \ , ! # ! > a, b@ , f

\ " " / . #& "

g a

f [

l ÂŞÂŹ f a f b ÂşÂź , g b

k l

/ &

k ÂŞ f a f b ÂşÂź ÂŹ Â&#x; g a g b

k l

Bolzano,

kl ÂŞ f a f b ÂşÂź ÂŹ 0. 2 k l

kf a lf b

. k l

%' 3 . ! )A = ! = 9 !A f : \ o \ ' lim f x

xo0

[ Â? a, b

0 lim f x

x o f

f , ' !

Â§ xÂˇ < # f Â¨ Â¸ ! f kx ? A" x Â? 0, f ? A" k Â? 0,1 , # ) < D # ? ! ÂŠkÂš

=#! m Â? 0, f )A = ' ! #9 % 9 a % 9 * ! )A = r Â? > a , a 1 ' f r

m f a d m f a 1 .

@ : /

1 k

u , u ! 1 k

1 Â§xÂˇ . - f ux ! f Â¨ Â¸ !/ u ÂŠuÂš

106 .2/74

x Â? 0, f !/ u Â? 1, f . " x1 , x2 x1 ! x2 ! 0, $ " " / /

x1 x2

x1 ! 1. x2

l 2 , l ! 1, "

Â§ lx Âˇ f ÂŞÂŹl lx2 ÂşÂź Â&#x; f x1 ! f Â¨ 2 Â¸ Â&#x; f x1 ! f x2 ÂŠ l Âš f $ 0, f . T f # # ! . J m / f x1

f l 2 x2 Â&#x; f x1

/ . " # ! , / "! / x0 ! 0 " f x0

a x0 / 0 d a d x0 a 1 " # f $

0, f ,

" r

/ f a d f 0 f a 1 , # # f a d m f a 1 ,

x0 Â? > a, a 1 .

f r

%' 4 . ! ! <@ ! 9 f : \ o \ g : \ o \ % 9 * f ! ! ?! ;9

@D \ , ! = 9 \ f f x

1 xg y g x 1 yg x g y , ? A" h x

f x e

g x

e x , ? A" x Â? \ ? ! g ! =@

x , y Â? \ . ) < D # !A h : \ o \ , '

, %= ' >A= ! ) ?' F \ .

@ : ! / " " # " g x . G # /

! g x g y

x, y Â? \. ;" / g 0 z 0. - y

x Â? \, ÂŞÂŹ1 xg 0 ÂşÂź g x

x y g x g y " & !/ 0 " g x g 0 xg x g 0 , !/

g 0 z 0 I !/ x Â? \, ! x

I " " 0 z 0 " !

! " . * g 0

x Â? \. " h x

f f ( x0 ) e x0 ! 0 Â&#x; f x1 e x0 ! 0 .

0. - y

" /

1 " g 0

0 " g x 0 !/

f x !/ x Â? \. x1

1 . x g 0

f x0 f

f 0 0 ,

f f 0 1 Â&#x; f 0 1 Â&#x; 0 1 " !

! " . * / f 0 z 0. " /

f x t 0 !/ x Â? \, f 0 t 0 f 0 z 0 ! f 0 ! 0. - " f x t 0

f ( x) t f (0) ! 0 , !/ x Â? \ / f $ . " x " e t f 0 !/ x Â? \ , x t An f 0 , !/ x Â? \ x An f 0 1 " / An f 0 1 t An f 0 , 1 t 0 " !

! " . * / "! x2 Â? \ & f x2 0 2 . " # f $ , " 1 , 2 ! / & Bolzano / "! x0 Â? x1 , x2 " f x0 0 # # h x0 0. f

f : \ o \ ) ! ! = 9 @D \

%' 5 . ! ! ! 9 g : 1,1 o \ ' g x

? A" x Â? 1,1 .

x 1 g x

I ,

? A" x Â? 1,1 f f g x

) ) < D # g ! 1-1, 106 .2/75

g 2 x 1 ,

) ) < D # D ; f g x

g x , " %= >A= ! ' >@ 1,1 .

@ : ) J : g x1

g x2 Â&#x; g x1

Â&#x;

Â&#x; x1

g x1

g x2

1 g x1

1 g x2

g x2 Â&#x; 1 g x1

1 g x2

x2 ! g 1-1.

) ! / " # L & ! g . ` # $ !/ y Â? \ $ g x

y i L x Â? 1,1 J x 0 L i # # g x 0 y . - Â y Â°1 y , y t 0 Â° x0 , y # ÂŽ Â° y ,y 0 Â°ÂŻ1 y

y 1 y

I Â&#x; y

x0 1 y Â&#x; x0

' &

y y 1 Â&#x; 1 1 , # # x0 Â? 1,1

1 y 1 y x0 " / i # # g x0

/ # $ x

) y t 0 x0 t 0 . J g x0 t . -

y x0 1 y Â&#x;t Â&#x;t I Â&#x; t x0 1 t t 0 Â&#x; t x0 1 t Â&#x; 1 x0 t x0 Â&#x; t y 1 x0 1 1 y ) y 0 x0 0. J g x0

x0 Â&#x;p 1 x0

y 1 y Â&#x;p y 1 1 y

y Â&#x; g x0

y * & g \.

Â x0 t t 0 ÂÂ° x0 t t 0 x0 Â° - : I Â&#x; t x0 1 t Â&#x; ÂŽ x0 Â&#x; t Â&#x;ÂŽ 1 x0 ÂŻÂ° t x0 1 t

Â° t 1 x 0 ÂŻ

y . g x0 t. 1 y

y 1 y y 1 1 y

g x , x Â? 1,1 $ f y

y Â? \ , # $ !/ y Â? \ "! x Â? 1,1 & g x

" 1 " " f " f

f y

t f y t y ,

p. - I Â&#x; p x0 1 p t 0 Â&#x; p x0 1 p Â&#x; 1 x0 p x0 Â&#x;

" $ : J x0

$ f g x

y Â&#x; g x0

y 2 , !/ y Â? \. J f y t y, !/ y Â? \, y 2 t y !/ y Â? \, f $ \ " !

! " .

* / "! y1 Â? \ " f y1 y1 , # # f y1 y1 0 2 . T " # / "! y2 Â? \, & f y2 y2 ! 0 3 . " 2

h : \ o \, h x

" f y0

3 ,

" # !

f x x, \ , " / & Bolzano / "! y0 Â? \

y0 " # y0 Â? \ / "! x0 Â? 1,1 y0

x0 , f g x0

g x0 .

106 .2/76

g x0 , /

O Ευκλείδης προτείνει ...

«G

# !

/ &

) > ' >@ 9 " $

" ». . R. HALMOS

280 ( &: 101) C # / d # "

(%,R) &

(01 , 1 ) : d 1

" # (R 1 ) 2 x 2

x 2 (R 1 ) 2 4R 1 12

1 (4R 1 ) . R(R 2 1 ) ( & - ! – / ). @

R 2 2R 1 R 2 2R 1 12

1 (4R 1 ) , (3) ! :

13 (4R 1 ) R(R 2 1 )

( & - & – - " )

R 2 2R 1 12 R 2 2R 1

% > !:

1 (4R 1 ) . R(R 2 1 )

–

' ,` ! - ! – '! , | # >" – ! , & " " – >

, & C ! – + , ! - " !# . 281 ( &: 101)

C / R : ° x 2 y 6 4 3y 2 ® 2 °¯ y x 6 4 3x 2 ( & " " – >

) ( – ! ) %

" / & Euler, !/ , : R 2 2R 1 %012 (1). G # ! %01 !/ @ # +` # d . * , `@ (2), & `@ k 2 & I1`% . "

L " " " 2 2 " : x t y t . > 3 3 ! # $ & " : x 2 y 2 x y 4( 3y 2 3x 2) (x y)(x y 1)

2 ( `%)( `01 )( %01 ) %01

( / x

12 ) 0 3y 2 3x 2 12 y , x y 1 !0. 3y 2 3x 2

(x y)(x y 1

& I1`% , : d 2

12(y x) 3y 2 3x 2

x x

y # $ :

x x 6 4 3x 2

%01 )

2 (R 1 x)(R 1 x)(x R 1 )(x R 1 ) x 16

(x 2 x 6) 2 16(3x 2)

1 [(R 1 ) 2 x 2 ][x 2 (R 1 ) 2 ] (3). 2 x2

(x 2) 2 (x 2 2x 17) 0 x

x 4 2x 3 13x 2 60x 68 0 2

x 2 2x 17 ! 0 , !/ x R .

106 .2/77

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ : > < 9 ( ! … -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

@ % > !: # 0 ! – / ,

" (3), (4) " : ( @ ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

| # >" – ! , " #

@ % > !: ! – ' ,

– ! , & !/ – !

0 ! # – / , | # >" –

' , ` ! - ! – '! ,

! , & - & – - " , &

! – ' , & C ! –

C ! – + , –

+ , / C – !# .

! .

282 ( &: 101) " L ! ,

( ) ,@ , .

283 ( &: 101 ) 1) J ! f :[a, b] o R " : f (a) f (b) 0 f cc(x) 0 , !/

- /

x [a, b] . C # / f (x) ! 0 , !/

@ . C ( @ ) ( )2 . # / : ( ) 2

x (a, b) .

- ! # # : (x, y) (2, 2) .

( & " " – >

). (` ! - ! – '! )

" ' # & 1) , / 2 : (1). @ @ / 2

(

2 ) . 2

2) ! g :[a, b] o R g cc(x) 0 , !/ x [a, b] , # / g(b) g(a) g(a) (x a) g(x) ,

!/ b a x (a, b) .

( – ). ( ! – ' ). 1) f cc(x) 0 , !/ x [a, b] " f c / [a, b] . " f

" " W" / / ROLLE ! "! x 0 (a, b) , & f c(x 0 ) 0 ( x 0 # f c

/ [a, b] ). J , : (2). @ @ # . / / / / . " (1),(2) 1 J : ( @ ) ( ) ( @) 1 2 1 1 1 ( ) 2 ( 1 2 ) 2 2 2 ( @ ) (3). + "& , ( )

2) , G :

" & @ , @ : @ @ (1) 1 1 @ @ @ (4). "

x [a, x 0 ) f c(x) ! f c(x 0 ) 0 ® ¯f c 2 [a, x 0 ) x (x 0 , b] f c(x) f c(x 0 ) 0 . ® ¯f c 2 (x 0 , b] + "& , ! f ?! ;9 @D [a, x 0 ] ?! ;9 $" ! [x 0 , b] . * , :

x (a, x 0 ] f (x) ! f (a) 0 ® ¯f / [a, x 0 ]

x [x 0 , b) f (x) ! f (b) 0 . ® ¯f 2 [x 0 , b] - !, f (x) ! 0 , !/ x (a, b) . 2) J ! f [a,b] g(b) g(a) f (x) g(x) g(a) (x a) . b a

106 .2/78

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ : > < 9 ( ! â&#x20AC;Ś -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G f # " ( g) : f cc(x) gcc(x) 0 , !/ x Â? [a, b] f (a) f (b) 0 . * , f " " " / " & , " f (x) ! 0 , !/ g(b) g(a) x Â? (a, b) , # # g(x) ! g(a) (x a) , b a

!/ x Â? (a, b) . @ % > !: & " " â&#x20AC;&#x201C;

, | # >" â&#x20AC;&#x201C; ! , ` ! - ! â&#x20AC;&#x201C; '! , â&#x20AC;&#x201C; ! Â&#x2018; , & !/ â&#x20AC;&#x201C; ! ' , ! - " â&#x20AC;&#x201C; !# . 284 ( &: 101) a,b Â? R b ! a ! 1 k /

/ , " # / : ln b (k 1)x e 1 2(k 1) dx ! ( b k a k ) , (x z 0) . x k e 1 ln a

Âł

( & " " â&#x20AC;&#x201C; >

). ( ! â&#x20AC;&#x201C; ' ) e(k 1)x 1 y k 1 1 ex y , y 1 ex 1 y k y k 1 ... y 1 .

y y Â&#x;

... y 1 ! (k 1)

(k 1)x

1 ! (k e 1 x

ln b

Â&#x;

k 1

Âł

ln a

k 1

Âł

k 2ÂŞ xÂş (k 1) Â&#x2DC; ÂŤ e 2 Âť k ÂŹÂŤ ÂźÂť ln a

k ( k 1) 2

& x, ! , , # ! 0 . # , : 0 4 (ab a1b1 a 2 b2 )2 (a 2 a12 a 22 )(b2 b12 b22 ) 0 2

a a1 a Â&#x153; 1 b b1 b1

a2 a a2 b2 b b2

0 (Lagrange)

, " : a a1 a1 a 2 a a 2 0. b b1 b1 b 2 b b 2 - , : S [ (a 2 a12 a 22 ) (x

ab a1b1 a 2 b 2 2 )] . a 2 a12 a 22

0 , S b 2 b12 b 22 "

& !/ â&#x20AC;&#x201C; ! ' ,

k x e 2 dx

286 ( &: 101)

C " # / : k

ln b ln a 2(k 1) Â&#x2DC; (e 2 e 2 ) k

â&#x20AC;&#x201C; ! Â&#x2018; , ` ! - ! â&#x20AC;&#x201C; '! , & !/ â&#x20AC;&#x201C; ! ' . /

" "

" % &

& , : 2. 2) / G &

& , : 4 2 2 2 . 2 2 2 ( & - ! â&#x20AC;&#x201C; / ).

285 ( &: 101)

# , S, # !/

@ % > !: | # >" â&#x20AC;&#x201C; ! ,

k 1)y 2

@ % > !: | # >" â&#x20AC;&#x201C; ! ,

1) ! a,a1 ,a 2 # !

S ( b 2 b12 b 22 ) 2 .

2(k 1) ( b k a k ) , # # , L . k

(a 2 a12 a 22 )x 2 2(ab a1b1 a 2 b 2 )x b 2 b12 b 22

! Â&#x2018; .

1 dx ! (k 1) Â&#x2DC; e 1 ln a ln b

( & " " â&#x20AC;&#x201C; >

) : S (ax b) 2 (a1x b1 ) 2 (a 2 x b 2 ) 2

! â&#x20AC;&#x201C; ' , â&#x20AC;&#x201C; ln b

â&#x20AC;&#x201C; !# )

"! ! , :

k x 1)e 2

(k 1)x

& " ! S ! , " S (ax b) 2 (a1x b1 ) 2 (a 2 x b 2 ) 2 .

2) a

" Cauchy y k y k 1 ... y 1 k 1 k k 1 ! y Â&#x2DC; y Â&#x2DC; ...y Â&#x2DC; 1 Â&#x; k 1 k

" a, b, a1 , b 1 , a 2 , b 2 Â? R

( ! â&#x20AC;&#x201C; ' )

" " " /

106 .2/79

% G ! & ,

0G 2

" " $ & . " ,

2 2 4R 2 (4) .

" / " ! %0 G0. " / & Euler L : %0 2 R 2 2R (1). > / " 0G ( " " ! )

" 0-

Â&#x; 0

0- 2 0 0 4R

2 2 2

" #

(2). 2 2 2R (3). "

1. % Â? (0, ) Â&#x153; %0 Â&#x153; %0 2 2 (1) R 2 2R 2 0 Â&#x153; ( ) 2 2 1 0 R R Â&#x; 1 2 ( !0) . R R

+ "& ,

( " ) : 0 4R

G 2 Â&#x2DC; %>

1 4

2 2 2 2

: Â&#x161;

0 2 G 2 2 0 Â&#x2DC; G G 0 # . 0G 2 16R 2 2 2 4R 2 2 2 2 16R 2 2 2 2 4R 2 [4 2 2 2 4

2 2 2 2 ] 4R 2 [4 2 2 2 2 2 2 4 ( )] 2 2 2 2 2 2 4R 2 [4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 ] R 2 [16 2 2 Â&#x2DC; 2 2 2 2 (1 ) 4 ( )] R 2 [32 2 2 2 4 ] 2 2 2 2 2 2 4R Â&#x; 0G 2

2. H Â? (I, ) Â&#x153; G0 Â&#x153; G0 2

2 (4)

4R 2 16R 2 2 2 2 4R 2 2 2 2 4 2 2 2 . 2 2 2

@ % > ! : / C â&#x20AC;&#x201C; !# ,

& - & â&#x20AC;&#x201C; - " , ` ! - ! â&#x20AC;&#x201C; '! , & C ! â&#x20AC;&#x201C; + , &

106 .2/80

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ : > < 9 ( ! â&#x20AC;¦ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

" " â&#x20AC;&#x201C; >

, | # >" â&#x20AC;&#x201C; ! , ! - " â&#x20AC;&#x201C; !# .

313. R, "

, , & ( : : 311. % Â&#x161; Â&#x161; , % , & , & : % 3 3

, " # / : R 3 d d 3 Â&#x2DC; ( ) 2 . 2 2 2 2 ( & " " â&#x20AC;&#x201C; >

)

Â&#x161;

% %

, " # / 314. |( , ) k

. Â&#x2DC; Â&#x2DC; 2 6 6

x 2 y2 2 2

( & - & â&#x20AC;&#x201C; - " )

k | !$ , 2 2 Â&#x2DC; | Â&#x2DC; c| , " , ? # / : ( c) 2 2

312. / , , 1,

" # / : . 2 1 2 1 2 1 d 2

! ! 0

k . ( & - & â&#x20AC;&#x201C; - " ). ***

' ; ( & G " â&#x20AC;&#x201C; ! )

7: < ,

" 9" 9" " 100 '$

%' % % &% 7% $% +

/ % Â« Â» % +' 0 ! " , ( 7% % %7%. # $ % , & %$ % % + ' % , % # 0 % ' % % +

%/ % % G& &% 'I &% &% 7%. ( % & % " ' ' $ 100 .

106 .2/81