Σχολικό βιβλίο Ανάλυσης Α Δέσμης by demi de

Συγγραφική ομάδα:

ΚΑΤΣΑΡΓΥΡΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ.

Καθηγητής μαθηματικών Ε::αρβακείου Πειραμ. Λυκείου.

ΜΕΝΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝIIΝΟΣ

•

Καθηγητής μαθηματικών 100υ Λυκείου

IlΑΝΤΕΛΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓιΟΣ

•

Καθηγητής Ε.Μ. Πολυτεχνείου

Πειραιά ΣΟΥΡΛΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ·

Καθηγητής μαθηματικών 20υ Λυκείου Καλλιθέας

ΠΡΟΛοrΟΣ Το βιβλίο αυτό προορίζεται για τους μαθητές της Γ Ι Λυκείου . Η συγγραφή του έγινε σύμφωνα με το πλαίσιο αναλυτικού προγράμματος του Πα ιδαγωγικού Ινστιτούτου. Το περιεχόμενό του αποτελεί μία εισαγωγή στη Μαθηματική Ανάλυση, η ο πο ία παρέχε ι τα πιο ισχυρά εργαλεία για τη μελέτη και την επίλυση προβλημά των που απασχολούν τα Μαθηματικά, τη Φυσική, την Τεχνολογία , τη Βιολογία, ΠJ'! Οικονομία, τις Κο ινωνικές και άλλες Επιστήμες. Η έννοια του ορίου, στις διάφορες μορφές του, κυριαρχεί σε όλα τα κεφάλαια .

Α υτό είναι φυσι/(ό, αφού είναι απαραίτητ η για να ορισθούν οι βασικές έννοιες της Α νάλυσης (Παράγωγος και Ολοκλήρωμα) με τις οποίες μποροuμε να κατα νο ή σ ο υμ ε τις «μ ι κρές» μεταβολές μια ς συνάρτησης, (π.χ . τ η στιγμιαία ταχύτη

τ α ενός κινητού) ή να βγά λουμ ε συμπεράσματα για τη συνολική συμπερ ιφορά uιας συνάρτησης, (π.χ. για τη μορφή της τροχιάς ενός κινητού).

Οι ορι σμοί, ο ι πρ οτάσεις και τα θεωρήματα διατυπώθηκαν με την πιο εύχρηστη μορφή τους, η οποία δεν είναι πάντοτε και η πιο γενική . Από τις αποδείξεις πα

ρατίθεντα ι οι πλέον διδακτικές και όσες υποδεικνύουν μεθόδους επίλυσης προ βλημάτων. Επίσης, αρκετές αποδείξε ις προτάσεων αλλά και χαρακτηρ ιστικών παραδειγματων, που παρουσιά ζουν ι δ ι α ίτερ ο ενδιαφέρον, παρατίθεντα ι στο πα ράρτ ημα. Συνιστούμε στους μαθητές με ι δι α ίτερο ε νδ ι α φέρο ν στα Μαθηματικά να τι ς μελε τήσουν. Τέλος, αποδείξεις με αυξημένη δυσκολία παραλείφθηκαν. Αναλυτικά το περιεχόμενο του βιβλίου κατά κεφάλαιο έχει ως ε ξ ή ς :

•

Το πρ ώ το κεφάλαιο περ ιέχει, κυρίως, μ ια σύντομη επανάληψη γνωστών εν νοιών, την έννοια τ ης φραγμένης συνάρτησης και τη σύνθεση συναρτήσεων .

•

Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο του άξονα των πραγματικών αριθμών και δίνονται οι πιο χαρακτηρι

στικές ιδ ι ό τη τές του . Τέλος, ορίζεται το σύνολο ίR και οι πράξεις μεταξύ των στοιχείων του.

•

Σ το τρίτο κεφάλαιο δίνεται η έννοια της συνέχειας μ ιας συνάρτησης. Ο ι ιδ ιό τ ητές της παρουσιάζονται ως άμεση συνέπε ια των προτάσεων του προηγούμ ε νου κεφαλαίου .

•

Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται η συμπεριφορά των συναρτήσεων στο άπειρο .

•

Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη των ακολουθιών οι οποίες αντιμετωπί ζονται ως ειδική περίπτωση συναρτήσεων. Η έννοια της υπακολουθίας εισά γεται για να χρησιμοποιηθεί, κυρίως, στο κριτήριο μη σύγκλισης. Τέλος, με τη βοήθεια των ακολουθιών ορίζεται η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση.

•

Στο έκτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της παραγώγου η οποία χρησιμοποιεί ται σε πολλές πρακτικές εφαρμογές καθώς επίσης και στη μελέτη των συναρ τήσεων.

• Το έΒδομό κεφάλαιο περιέχει την έ ννοι α του ολοκληρώματος και τις εφαρμο γές του. Στο τέλος του κεφαλαίου αυτού γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις.

•

Στο τέλος του βιβλίου παρατίθεται παράρτημα με ορισμένες αποδείξεις Οι συγγγραφείς αισθάνονται την ανάγκη να ευχαριστήσουν:

τους κριτές κυρίους Γιοχάλα Ιωάννη (σχολικό σύμβουλο), Δέμη Απόστολο

(καθηγητή Β/θμιας εκπαίδευσης), Λασκαρίδη Κωνσταντίνο, (Καθηγητή Ε.Μ. Πο λυτεχνείου), Μπάστα Ιωάννη (Καθηγητή Β/θμιας εκπ/σης), και Παπαϊωάννου Λουκά (καθηγητή Β/θμίας εκπ/σης) , που με τις εύστοχες παρατηρήσεις τους συ νέβαλαν στην αρτιότερη εμφάνιση του βιβλίου και στην παιδαγωγικότερη πα

ρουσίαση της ύλης .

τον κ. Θεοδωρακόπουλο Βασίλειο (πρώην σύμβουλο του Παιδαγωγικού Ιν

στιτούτου) για τις γλωσσικές παρατηρήσεις του στο βιβλίο. Τέλος, οι συγγραφείς θα νοιώθαμε υποχρεωμένοι απέναντι σε κάθε συνάδελ φο, μαθητή ή οποιονδήποτε άλλον, για τις τυχόν παρατηρήσεις ή υποδείξεις που

θα ήθελε να κάνει με σκοπό την καλύτερη επανέκδοση του βιβλίου . Οι παρατη ρήσεις και οι υποδείξεις αυτές παρακαλούμε να απευθύνονται προς το Παιδαγω γικό Ινστιτούτο, Μεσογείων

396, 153

ΙΟ Αγ. Παρασκευή. Ιούνιος

1992

Οι συγγραφείς

κεφάλσιο πρώτο

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.0

Εισαγωγή

Στην παράγραφο αυτή καταρχήν υπενθυμίζουμε ορισμένες έννοιεξ, σχέσεις και πράξεις που αφορούν τα σύνολα και είναι γνωστές από προηγούμενες τάξεις . Στη συνέχεια ορίζουμε τη διαφορά και το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων .

Το σύνολο, κατά τον

Cantor,

ορίζεται ως συλλογή από ορισμένα τελείως κα

θορισμένα αντικείμενα ή επινοήματα του νου μας που τα θεωρούμε ως μια ολό τητα. Τα αντικείμενα ή επινοήματα αυτά ονομάζονται στοιχεία του συνόλου. Δεχόμαστε την ύπαρξη συνόλου που δεν έχει κανένα στοιχείο, το κενό σύνολο, που το συμβολίζουμε με (2).

Τα σύνολα θα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα Α.Β •... .Χ και τα στοι χεία των συνόλων . μ ε πεζά. α.β , ... , χ. Υ. Στα σύνολα χρησιμοποιούμε τους παρα κάτω συμβολισμούξ : χεΑ

Το στοιχείο Χ ανήκει στο σύνολο Α.

xeA

Το στοιχείο Χ δεν ανήκει στο σύνολο Α .

Ας Β: Το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β, που σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β.

Α = Β : Τα σύνολα Α και Β είναι ίσα' αυτό συμβαίνει, όταν. και μόνο όταν. Α ς Β

και ΒςΑ .

AUB :

Η ένωση των Α και Β. δηλαδή το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν

στο Α ή στο Β. Συμβολικά:

AUB=!

χ/χεΑ ή χεΒ

j 7

Η τομή των Α και Β, δηλαδή το σύνολο

AnB:

όλων των - σ τ ο ιχεϊω ν που ανήκουν

cυ .,

συγχρόνως στο Α και στο Β. Συμβολικά:

~iI .

[

AnB== (

Χ / χεΑ και χεΒ J

ι Οταν δεν υπάρχει κοινό στοιχείο στα σύνολα Α και Β, δηλ . όταν Α

eι ,

τα σύνολα Α και Β ονομάζονται ξένα μεταξύ τους. Τέλος, ορίζουμε:

Τη διαφορά του συνόλου Β από το σύνολο Α.

Α \Β=={ χ/χεΑ και xiB

δηλαδή το σύνολο όλων των στοιχείων του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο Β . Το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β.

Ι Α χΒ== [ (Χ,Υ) / χεΑ και ΥεΒ J δηλαδή το σύνολο που έχει στοιχεία τα διατεταγμένα ζεύγη (Χ,Υ) με κ ε Α και

ΥεΒ. 'Οταν Α = Β, τότε το καρτεσιανό γι~μένoA χ Β γίνεται Α χ Α και συμβολίζεται Α \ π.χ.

IR2 == (

(Χ,Υ) /

xEIR

και YEIR j ,

fJ Πραγματικοί αριθμοί Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

έχει ως υποσύνολα.

j, των φυσικών αριθμών, 1,0,1,2,3, ... j των ακέραιων αριθμών,

- το σύνολο ΙΝ==( 0,1,2, ... .ν, ... -

το σύνολο Ζ == ( ... , - 2, -

το σύνολο

Q== [

ρ/ρ

=7' μεΖ, νε-Ζ ν*Ο J των ρητών αριθμών και

το σύνολο των άρρητων αριθμών που περιέχει αριθμού; όπως οι Π = 3,1415 .. ., e == 2,718 ... Όταν τα παραπάνω σύμβολα ΙΝ, Ζ,

στα σύνολα αυτά δεν ανήκει το Ο, π.χ . Ζ*

και

IR έχουν == Ζ \ {Ο}.

.J2, 3f f ,

έναν αστερίσκο, τότε

Παραθέτουμε με συντομία τις πιο χαρακτηριστικέξ ιδιότητες των πραγματι κών αριθμών:

α. Ιδιότητες διάταξης

•

Αν α ε β και β ε γ, τότε α ε γ

•

αεβ

α+γsβ+γ

•

αεβ

α - γ ε β 'γ, όταν γ>Ο

•

α ~β

<==::;),

α ' γ;:::β . γ, όταν γ <ο

•

Αν α ε β και γsδ, τότε α+γsβ+δ

•

Αν Ο κ α ε β και O<γ~δ, τότε α·γ~β ·δ

• Αν •

α,

ειναι ομοσημοι, το τε α

Αν α, β θετικοί και ν εΙΝ*, τότε ακ β "

Ι - Ι ;:::α

ακβ

• Αν Ο<α<β και ν εΙΝ τότε _1_ >_1_ -

α"

β"

β. Απόλυτη τιμή

Μια έννοια η οποία παίζει σημαντικό ρόλο στην Ανάλυση, γιατί συνδέεται στενά με την έννοια της απόστασηξ , είναι η απόλυτη τιμή

ΙαΙ =Ι

α,~τανα;:::o

-α, οταν α<Ο

για τη ν οποία ισχύουν οι ιδιότητες:

• .Jα2 = ΙαΙ

·I-tl=* ·llαι -ιβ ll slα±βls!αl+lβ/ • Ixl <δ = - δ < Χ < δ, ·Ιχl>δ = χ>δ ή Χ<-δ, • Ix-xol <δ = Χο-δ< Χ<Χο+δ,

όπου δ>Ο

Αν Α και Β είναι δύο σημεία του άξονα με συντεταγμένες α και β αντιστοίχωξ, τότε η απόσταση των σημείων Α και Β είναι:

d(A,B) = [β - α] Επομένως η

Ixl

δίνει την απόσταση του σημείου Α με συντεταγμένη Χ από την

αρχή του άξονα, δηλ. Ι χ\ =

d(A,O). 9

γ. Διαστήματα

Αν α,β εIR, με α κ β, τότε ονομάζουμε διαστήματα του

ή απλά διαστήματα

με άκρα τα α και β κάθε ένα από τα παρακάτω σύνολα:

(α,β) =!

α <Χ <β Ι ανοιχτό διάστημα

----.,g-----o-'~

[α,β]=! χεIR/α:::;χ:::;β Ι κλειστό διάστημα

--,~i-----",,-J~

xEIR /

[α,β) = ! Χ ε IR / α ε Χ < β (α,β] =! x EIR / α <χ:::;β

j κλειστό ανοιχτό j ανοιχτό - κλειστό «

διάστημα - -......~----....ι;c διάστημα

---ig:>-----......--.

Αν α ε Έ, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα του από τα σύνολα:

(-οο,α)=! xEIR/x<a

(α,+οο)=! χεIR/χ>α

. (- οο,α]=! χεIR./χ:::;α

[α,+οο)=! x EIR/x~Q Ορίζουμε ακόμη

με άκρο α κάθε ένα α ο

•

(- 00,+ oo)=IR

δ. Φραγμένο υποσύνολο του

•

__•

Ένα μη κενό υποσύνολο Ε του

θα λέμε ότι είναι άνω φραγμένο, όταν υπάρ

χει ένας πραγματικός αριθμόξ Μ τέτοιος, ώστε για κάθε κ ε Ε να ισχύει χ:::;Μ.

Ο αριθμός Μ ονομάζεται άνω φράγμα του συνόλου Ε .

•

θα λέμε ότι είναι κάτω φραγμένο, όταν υ

πάρχει ένας πραγματικός αριθμόξ

Ένα μη κενό υποσύνολο Ε του

m τέτοιος, ώστε για κάθε κ ε Ε να ισχύει

Χ ~ m. Ο αριθμότ;

•

ονομάζεται κάτω φράγμα του συνόλου Ε.

Αν το σύνολο Ε είναι άνω και κάτω φραγμένο, τότε λέμε ότι το σύνολο Ε είναι φραγμένο.

Για παράδειγμα, το σύνολο

,5) είναι άνω φραγμένο , το (- 9,π] είναι φραγμένο.

σύνολο

[ - 3, + (0)

είναι κάτω φραγμένο και το σύνολο

Στα Μαθηματικά εμφανίζονται προτάσειξ, ισότητες ή ανισότητες, με μια λέ

ξη ισχυρισμοί, οι οποίοι εξαρτώνται από ένα φυσικό αριθμό ν και τις οποίες εδώ θα συμβολίζουμε με ρ(ν),

q(v), ... ,

Π.χ.

ρ(ν):

2 '>ν

ι Εστω ότι θέλουμε να εξετάσουμε για ποιους θετικού; ακεραίου; ισχύει η ανι σότητα ρ(ν):

2' > ν

Ε ύκο λα διαπιστώνουμε ότι η ρ(ν) α ληθεύει

γ ι α ν = Ι , α φού

2 ' > 1,

για ν= 2, αφού

22>2 ,

για ν= 3 , αφού

23>3 .

Υποψια ζόμαστε ότι η ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικο ύ ; ακεραίου ς . Αυτό όμως είναι αδύνατον να αποδειχθεί, μ ε τον παραπάνω τρόπο, αφο ύ οι θ ετικοί ακ έραιοι είν αι άπειροι.

Για να αποδείξουμε ότι ένα ς ισ χυρισμό τ; ρ( ν), νε ΙΝ* , είναι αληθή ς, συνήθω ς

χ ρη σι μ ο π οιού μ ε τη μέθοδο της μαθηματικής επ αγ ωγή ξ?' , σύμφωνα με την οποία: α) Αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμόξ ρ(1) είν αι αληθής, β) Υποθ έτοντας ότι ο ισχυρισμόξ ρ(κ) είναι αληθής αποδεικνύουμε ότι και ο ισχυ ρισμός Ρ(Κ

+ 1)

είναι αληθής,

τότ ε ο ισχυρισμόξ ρ(ν) είναι α ληθής για κάθε θετικό ακέραιο ν. Έτσι, γ ια να αποδεί ξο υμε ότι η ανισότητα

2 > V

ν ισ χύει για όλους το υς θ ετι

κο ύξ α κεραίους , εργα ζόμαστε ως ε ξή ς :

Για ν

=] η ανισότητα αληθεύει, α φ ού 2 ' > 1

Υποθ έτουμε ότι η ανισότητα α λη θ εύει για ν

= κ εΙΝ *,

δη λαδή ό τι η 2 > κ είν αι

αληθής. Θα πρέπει ν α αποδείξο υμε ότι α ληθ εύει και για ν

+ 1,

δη λ α δή ότι

ισ χύει 2 ' + ' > κ +] . Πρ ά γμ ατι, μ ε την υπ όθ εση ό τι

2' > κ

έχου με

2 "1 = 2'·2 >K·2~ K +] Ε πο μένως η α νισότητ α

2 >ν V

ισχύει για κάθε ν εΙΝ * .

Στη σ υ ν έχει α μ ε τη μέθοδο τ η ς μα θηματικής ε π αγ ωγ ή ς αποδ εικνύο υμε μια ση μαντι κή ανισ ότητα, που ισχύει στο σ ύν ο λ ο των πραγματικών αριθμώ ν :

Για α >

- ]

και κάθε ν Ε ΙΝ * ισχύει η αν ι σ ό τ η τ α

Bernoull i:

(1 + α) " ~ 1 + ν α.

(11

Η μ έθοδ οτ, τητ; μαθημ α τι κή τ; επ αγωγήτ; σ τηρί ζεται στο παρακάτω αξίωμα των φυσικω ν αρ ιθμών:

Αν γ ια κάποιο υ ποσύ νο λο Μ των θε τικών ακ εραίων !Ν* ι σ χ ύ ου ν :

(i)

l ε Μ κ αι

(ίί) α ν ν εΜ, τό τε και ν+ Ι εΜ ,

)

τ ό τε Μ

= !Ν ' , 1I

Από δειξη

Για ν = Ι η α νισότητα προ φανώτ; α ληθεύει , α φ ού (Ι Υποθ έ τουμ ε ό τι η α νι σ ό τ η τ α α ληθε ύει γι α Θα

απ ο δ εί ξο υμε

ότι

α υτή

(Ι Πράγματι , ε π ειδή (Ι

α ληθ ε ύει

α) " Ι ~ Ι

α) ' ~ Ι

(κ

κ α και

+ α ) 1 ~ 1 + lα.

V=K EIN*, για

δη λ. (Ι +α) '~1 + κ α . Ι,

δη λαδή

ότι

ισχ ύει

+ l)a.

1+ α >

Ο , έχ ο υ μ ε

(1 + α) " 1 = (Ι + α) ' (Ι + α ) ~ (1 + κα)(1 + α )= 1 + (κ + Ι )α + Kα '~ Ι + ( κ + Ι)α, α φού K α~ ~ O. Επομ ένω ξ , σ ύμφω ν α με τη μαθηματική επαγωγή, η ανισότητα

BernouJli

ισχύει

γι α κά θε νεΙΝ*.

Πα ρ στ ηρ ή σ ε κ;

1. 2.

Η α νισότητα 2 ' >ν καθώ ς και η ανισότητα

8ernouII i

ισ χύουν και γ ια ν =Ο.

Αν κα τά την από δε ιξ η το υ β ή μ ατος (α) τη ς ε π αγωγ ήτ; α ντί τ ο υ

p(l )

αποδ ε ί

ξ ου με τη ν α λήθ ε ια το υ ισ χ υρισμο ύ ρ(ν ο ) γ ια κάπο ιο ν ο > Ι , τό τ ε με την επα

γ ωγή θα έ χ ο υμ ε α πο δ εί ξ ει ό τι ο ισ χυρισμ ό ς ρ(ν) είν αι α λη θή ς γι α κ άθε ν ~ ν. ,

Γ-~--

ΑΙ ομάδα

ί Ι

Να γράψε τε σε μο ρφή δια στή ματος ή ένω σ η ; δ ι ασ τ η μ ά τ ω ν τ α σ ύν ο λα :

ί) Ι χ / Ι χ + 31< 2 J

iiί) Ι ω /

ί ν) Ι χ / Ιχ -α ! <ε, ε> Ο 2.

ΡΙ < :

!">

Οj

ίί) [ χ / (χ + Ι ) ' < ε , ε> Ο

ίίί) Ι x/(x- 2)~> 1\1, Μ >Ο

ίί ) 3-δ <χ<3+δ

ίiί) - 3 + δ < χ < } '

.;:,

Γ ι α κάθε \'Ε ΙΝ * να α π οδ είξετε μ ε τ η β οή θ ε ια τ ης ανι σο τ η τατ; Bc rnl~ll !l i ό τι : ί)

Ι2

jx -

Ν α γ ρά ψετε μ ε τη β οή θεια της α πόλυ τ η; τιμής τι ς ανισώ σει ς : ί ) 2 - ε < χ < 2 +ε

ν) [ χ /

3ω \ > 3 J

Ο μ ο ίω τ; τ α σύ νο λα:

ί) lx /X ~-5 <O j 3.

\2-

5\'> 4v

ίί)

7"+ 3">8v

ίίϊ) 7 -'< - '-

6ν

Ομάδα

~ ε νεΙΝ* να αποδείξετε ότι: ί)

]

-Ι-

2 + ...+ ν =

ν(ν -Ι-

---'--'-'---'--.::..!-

Αν αν. ι = ~- , α, = Ι, τότε για κάθε νεΙΝ* να αποδείξετε ότι ισχύουν: ίi) α ,<2

,, -~ -- .

3) Να αποδείξετε ότι: ί) Α ν α

ii)

» },

τότε υπάρχει θ > Ο τέτοιο, ώσ τε α " > νθ γ ι α κάθε ν ε ΙΝ*

, Αν Ο<α <l, τότε υπάρχει θ>Ο τέτοιο, ώστε α "<-]- για κάθε νεΙΝ*.

νθ ------- --

1.1 Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Στις προηγούμενετ; τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της πραγματικής συνάρτησης

πραγματικής μεταβλητής ή, πιο απλά, πραγματικής συνάρτησης, καθώς και ορι σμένες χαρακτηριστικές ιδιότητέξ της. Στο κεφά λαιο αυτό υ π ε ν θ υ μ ίζ ο υ μ ε τον ορισμό της πραγματικήξ συνάρτησης, επαναλαμβάνουμε γνωστές έννοιες και με λετάμε πιο συστηματικά ορισμένες ιδιότητες των πραγματικών συναρτήσεων.

Ορισμός ι Εστω Α ένα υποσύνολο του

IR. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πε f, με την οποία κάθε στοιχείο κ ε Α αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο Υε IR. Το Υ ονομάζεται τιμή της f στο χ και συμβολίζεται Υ = f(x). δίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Για να εκφράσουμε τον κανόνα αυτό, γράφουμε :

•

f(x)

Το σύνολο όλων των στοιχείων του

IR,

που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός

(τουλάχιστον) στοιχείου του πεδίου ορισμού Α , ονομάζεται σύνολο τιμών της

συνάρτηση; και συμβολίζεται με f(A), δηλαδή

• ]3

f(A)=! YEIRj

υπάρχει χεΑ τέτοια, ώστε y=f(x)

+00

f(x) -

•

+00

Ι(Α)

Το γράμμα Χ, που εκφρά ζει το οποιαδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της

•

ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή.

Το γράμμα Υ, που εκφρά ζει το αντίστοιχο στοιχείο του χ στο

f(A),

ονομάζεται

f(x) = Υ

ονομάζεται

εξαρτημένη μεταβλητή.

•

Κάθε στοιχείο χ του πεδίου ορισμού Α, για το οποίο ισχύει αρχέτυπο του Υ.

Είναι φανερό ότι κάθε στοιχείο Υε [(Α) μπορεί να έχει περισσότερα από ένα αρ χέτυπα (Σχ .2) .

Σχ.2

•

Η τιμή

f(x)

τη ς Γ στο Χ συνήθως ε κφ ρ ά ζετ α ι με μια παράσταση της ανεξάρτη

της μεταβλητής Χ, π.χ . [(x)=x + ν'~ Στις περιπτώσεις αυτές αντί να λέ-

με « Η συνάρτηση f με f(x) = χ +..JXi=T » , για συντομία θα λέμε «Η συνάρτη ση Γ(χ) =χ+ ν'χ 2 - 1 -» ή πια απλά « Η συνάρτηση x+ ~ » .

Σε μια τέτοια περίπτωση, ως πεδίο ορισμού τητ, από τα υποσύνολα του

στα οποία η παράσταση

θα θεωρούμε το «ευρύτερο»

f(x)

έχει νόημα. Έτσι π.χ.

το πεδίο ορισμού της f(x) = χ + v!JZ2-=-l είναι το Α = ( - οο , - 1] U [1, + ω). •

Το σύνολο γράφημα

χεΑ

G(f)=! (x,f(x»)/ της f.

Πολλές φορές το γράφημα

j, που είναι υποσύνολο

του

IR 2 ,

ονομάζεται

G(f) μπορεί να παρασταθεί πάνω στο καρτεσιανό f.

επίπεδο, οπότε παίρνουμε τη γραφική παράσταση της

Ένα σημείο Μ(Χ,Υ) του καρτεσιανού επιπέδου ανήκει στη γραφική παράστα ση της

όταν και μόνο όταν, Υ =

f(x).

Υπάρχουν όμως και συναρτήσειξ, για τις οποtεςη παράσταση αυτή δεν μπο ρεί να γίνει, π.χ. η συνάρτηση

Dirichlet

f(x) = [ Ο, ό,ταν χ ρ,ητό ς Ι, οταν χ αρρητος

•

'Οταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησητ;

τότε η

f είναι τελείως

καθορισμένη, γιατί

Το πεδίο ορισμού της

είναι το σύνολο των σημείων του άξονα χ ι χ τα οποία

είναι προβολές των σημείων της γραφικήξ παράστασητ; της

πάνω στον άξο

να χ' χ (Σχ.3).

Μπορούμε να βρούμε για κάθε κ ε Α την αντίστοιχη τιμή που φαίνεται στο σχήμα

f(x)

με τον τρόπο

! . .' . ,

Σχ. 3

Σχ.4

Ακόμη μπορούμε να βρούμε το σύνολο τιμών της f που ε ί ν αι το σύνο λο των .

σημείων του άξονα Υ'Υ, τα οποία είναι προβολέτ; των σημείων της γραφικής παράστασης της

πάνω στον άξονα Υ'Υ (Σχ.5).

Από τον ορισμό της συνάρτηση; προκύπτει ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς

τον άξονα Υ ' )' τέμνει τη γραφική παράσταση της

σ ε ένα το πολύ σημείο

(Σχ .6) . Υ

Ι .... -ι--- - -

f(A)

4 - - - - - Ο

Σχ. 6

Σχ. 5

Όταν λέμε «η συνάρτηση

•

είναι ορισμένη στο σύνολο Ε», εννούμε ότι το Ε

είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της

•

Ακόμη όταν λέμε ότι «η συνάρτηση

είναι ορισμένη στο κ,», εννοούμε ότι το χ ο ανήκει στο πεδίο ορισμού της

Τέλος, όταν γράφουμε

f(x o ) αυτόματα θεωρούμε ότι η f ορίζεται στο Χ ο '

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Εύρεση πεδίου ορισμού

2x -l

α. Η συνάρτηση f(x) =

χ+2

ορίζεται όταν Χ

σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της είναι Α =

+ 2 '* Ο,

δηλαδή όταν χ'*

- 2, που

IR \ Ι - 2} .

β. Η συνάρτηση f(x) = ν'5= Χ ορίζεται όταν 5 - χ ;::0, δηλαδή όταν χ :55, που ση μαίνει ότι το πεδίο ορισμού της είναι Α = ( - 00 ,5]. 2.

Εύρεση συνόλου τιμών

α. Η συνάρτηση f(x) =_χ_ έχει πεδίο ορισμού Α = IR \ {- 2}. Για να προσδιοχ+2

ρίσουμε το σύνολο τιμών τηξ, αναζητούμε τις τιμές του Υ, για τις οποίες η εξίσωση f(x) = Υ· έχει, ως προς Χ, λύση στο IR \ {- 2}. Η εξίσωση αυτή διαδοχικά γράφεται χ

- - =Υ χ+2

Υχ+2Υ=Χ

(1-Υ)χ =2Υ

(1)

=Ι

= 2,

Για Υ

η εξίσωση

(1)

γίνεται Ο· χ

που είναι αδύνατη. ι Αρα

Για Υ* 1 η εξίσωση

(1)

έχει λύση χ =~ , που ανήκει στο ]- Υ

γματι, αν χ = -2, θα έχουμε ~ = -2 =

1- 21 . Πρά-

ffi. \

2Υ=2Υ-2 =

Ι-Υ

16! f(A)

0= -2,

που εί

= IR,

αφού

ναι αδύνατο. Επομένως η

. ρ . Η συναρτηση

έχει σύνολο τιμών

χ2 + χ - 3

f(x) =

f(A) = IR \ (] J. έχει

χ +χ+2

πεδίο

ορισμού

το

χ + χ + 2 > 0 για κάθε xEffi..

Για το σύνολο τιμών αναζητούμε τις τιμές Υ, για τις οποίες η εξίσωση έχει, ως προς Χ, λύση στο 2

χ +Χ-3 Χ

+χ+

=Υ =ΥΧ +Υχ+2Υ=Χ +χ-3

Για Υ = Ι η εξίσωση Ι ιi

f(x) =

Η εξίσωση γράφεται

IR.

(Υ-Ι)Χ +(Υ-

J)x+2y+3=0.(2)

(2) γίνεται Οχ + ΟΧ + 5 = Ο, που είναι αδύνατη . ι Αρα 2

f(A).

Για Υ *] η εξίσωση

(2)

έχει λύση στο

IR,

όταν η δια κρίνουσα Δ είναι ~ Ο ,

δηλαδή

(Υ

_ 1)2_

4(Υ- 1)(2Υ

+ 3 )~O

(y-l)( -7Υ-13) ~O

Επειδή όμως ] ιi f(A) , το σύνολο τιμών της f είναι

13 ---

f(A) =

:5Y:51.

' 1).

Α' Ομάδα ·

Να βρείτε το

f(x

+ h) - f (x)

i) f(x) =2x -1

για κ

άθ

ε μια απο τις σ υναρτησεις :

ίί) f(x) = 2χ 2 - 3χ + 1

ίίί)

f(x) =

χ + _ 1_ χ

Να πρ οσδιορίσ ετ ε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

ί) f( x)

χ -2

= -2χ 2""-'--s--'x=--+- 3 -

ίί) f(x)= J~

ν)

1 f(x)= - . ~x2- 4

iiί)

νί)

f( x)

.Jχ--.:]

= ---'-'----=--

f( x) =

χ -2

~ -

-- x

χ +2

~ Να ~ρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών τητ; ~υνάρτησης f με γραφική παρασταση :

3 -

- --- - -

-1

-2 ν)

νί)

'---_.:......._------_._---- - - _ ._---- ----- - -. _--18

! _______ ______1

k ι

Να γράψετε χωρίτ; απόλυτες τιμές τις συναρτήσεις: ίi) f(x) = 3xlx - I1

i) f(x)=' 16-2xl

ίίi) f(x) =

χ-Ι

ίν)

1-2χ + Sx -71 2

f(x)

-χ + 2

=Ι

χ +3

,'1Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν , τα κοινά σημεία των αξόνων με τις γραφικέι; παραστάσεις των συναρτήσεων: ί)

2χ 2+χ-3

ίί) f(x) = _ 2_

f (χ) = --=..:---c-.:.-=--..:'--2χ -1

iiί)

χ -Ι

f(x) = Ι -

2ημχ

χ-3

ν)

f(x)=-χ

Να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρ τήσεων:

Ι ίi) ;h

f(x)=~ χ-Ι

f(x) =

και

χ 2 3χ + και -

g(X)=-

g(X) =

~χ

~ Να προσδιορίσετετο σύνολο τιμών των συναρτήσεων: ,

ί)

Ι i

f(x) =

3χ - ι χ-2

ίi)

f(x) =

3χ 2: 5χ χ

ίίί)

-4

f(x) =

Ι ι

ημ 2χ + συν 2 χ

ίν) [(x)= ~ + ~

Ι .· Στο διπλανό σχήμα, σύμφωνα μ' ,σ νόμο του Ι

•

Ohm , ε ί ν αι. E=]R. Αν Ε = 1Ο0 Volt και , . , 2SΩ < R < SΟΩ ποιες είν αι ο ι δυν ατες τιμ ε ς τη ς ε-

Ι ι

,Ι

! ντασητ; ι ο, Απιρσε. "

Ι Ι

Να εκφράσετε τον όγκ ο

κήτ; επιφανείας του .

Ι 10. Σύμφωνα με το νόμο του 'ι

. L.

V ενός

Boyle,

κύβου, ως συνάρτηση του ε μ β α δ ού Sτης ολι-

η πίεση Ρ και ο όγκος

V ενός

αερίου συνδέο-

νται με τον τύπο Ρν = 800. Αν δίνεται ότι 100s V s 200 , π οιες είναι οι δυνατές

τιμές της πίεσης; .

Δίν εται κανονικό πολ ύγωνο εγγεγρ αμμ ένο σε κ ύκλο ακτίνας

11.

Αν η κε ν τ ρ ι κ ή

το υ γω ν ί α είναι χ Γad , να βρείτε τον τ ύπο του ε μ β α δ ού το υ πο λ υγώνο υ ως σ υ νάρτηση του Χ .

12. Σύρμα μήκουτ; f κόβεται σε δυο κομμ άτια με μήκη χ και f - Χ . ΤΟ πρώτο κομ μάτι κάμπτεται σε σ χήμα τετρα γώνο υ και το δεύτερο κάμπτετα ι σε σχήμα κύ κ λου . Να βρείτε το άθροισμα των εμβα δών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του

-q'

Χ.

Ομάδα

ι. Ι Nq προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: '() f ( Χ ) = -1-- + - 1- ι ημκ

συνκ

>-.

· 2. Ά~α προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων :

.'.".~

ΙJ'ι'(Χ) = 5 +

ι vx_ 1

ίΟ f(x) = ..}4 -.,JX- 5 .

Αν f(x) = 2χ' + αχ + β και g(X) = (α 2 + 2)χ 1- 3χ + α 2 - 6, να προσδιορίσετε τις

τ}μές των α. β. ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f,g να έχουν κοινά σημεία }ίά νω στον άξονα Υ Ύ και στην ευθεία χ

, 4.

Αν για τη συνάρτηση

ισχύει

ί) να βρείτε τη συνάρτηση

= 2.

xf(x) + Γ( -

=Χ

γ ι α κ άθε χ ε

IR,

ίί) να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της

χ)

' Ενα χά ρτινο κουτί σ χήμα τος ορθογωνίου πα

ραλληλεπιπέδου έχει βάση τετράγωνο π λευ-

ράς Χ cm και όγκο 324 cm

•

Το υλικό της βά

σης κοστίζει 2 δρχ. ανά cm " ενώ το υλικό

των άλλω ν πέντε εδρών κοστίζει Ι δρχ . ανά

cm'. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του Χ .

Στο διπλανό σ χήμα δίνονται ΑΒ και Γ Δ

== 4.

= 3, ΑΓ = 7

Να εκφράσετε το εμβαδόν του

γραμμοσκιασμένου χω ρ ίο υ ω ς συνάρτηση του χ

= ΑΜ, όταν το Μ κινείται πάνω στο ευθύ

γραμμο τμήμα ΑΓ.

'--- - - - - - -- - - - - -- -- -- - - - _.._--- -- - - - - - - -' 20

1.2

Μερικές βασικές συναρτήσεις

Στην παράγραφο αυτή παραθέτουμε με συντομία μερικές χαρακτηριστικέξ συ ναρτήσειξ και τις γραφικές παραστάσεις κάποιων ειδικών περιπτώσεων τους.

•

Πολυωιιυμlκή ' συνάρτηση

πολυιiJνυμο

Είναι η συνάρτηση της μορφής

Ρ(») = αν χ ν+αν_ιχ ν-Ι+

...

+αιχ+αο, όπου α. , α ,

Το πεδίο ορισμού της Ρ είναι το

IR.

... ,avEIR

και νεΙΝ .

Αν α ν *0, τότε το ν ονομάζεται βαθμός της

πολυωνυμικήξ συνάρτησηξ.

Ειδικές περιπτώσεις:

Υ/

yt 11"

ι-. χ

α>Ο

Σταθερή συνάρτηση Πεδίο ορισμού :

f(x) =c IR

Πολυωνυμική συνάρτηση Πεδίο

σύνολο τιμών: [ο]

Q<O

Jου βαθμού

f(x) = αχ + β, α *0 ορισμού: IR, σύνολο

τιμών :

Σχ. 1

Υ χ

a>O

a <o Η συνάρτηση

Πεδίο ορισ μού: lR, σύνολο τιμών: [Ο, α>Ο

f(x) = ακ ', α *0

+ 00). Πεδίο

ορισμού :

σύνολο τιμών : ( - 00 Ο] α<'

Σχ .3

0>0

0 <0 Η συνάρτηση f(χ)=αχJ , α:#:Ο

Πεδίο ορισμού:

IR,

σύνολο τιμών:

<D Ρητή συνάρτηση Είναι μια συνάρτηση της μορφής

R(x) = Ρ(Χ) Q(X) , όπου Ρ(χ) και

Q(X) είναι

Το πεδίο ορισμού της του παρονομαστή

Ειδική

πολυωνυμικές συναρτήσεις .

R(x) είναι το IR, εκτός από τις ρίζες του πολυωνύμου

Q(X).

περίπτωση:

~y χ

0 >0

Η ρητή συνάρτηση [(x) =~ , α:#:Ο Χ

. Πεδίο

ορισμού:

JR.

σύνολο τιμών:

Σχ. 5

IR·

Φ ΤρuyωvομεΤΡ:f1.ές

'i.HJYOPTillJEif;

Οι βασικέξ τριγωνομετρικέξ συναρτήσεις είναι οι ημκ, συνκ , εφκ. Επισημαίνουμε ότι για τις τριγωνομετρικέτ; συναρτήσεις που ακολουθούν η α νεξάρτητη μεταβλητή χ εκφράζεται πάντοτε σε ακτίνια και όχι σε μοίρες . *.

Η συνάρτηση

f(x) = ημκ

πεδίο ορισμού: σύνο λο τιμών:

f(x) = συνκ

πεδίο ορισμού:

σύνολο τιμών :

[- 1,1]

[- 1,1 ]

Η συ νάρτηση ~x ) = εφx πεδ , 011 ·

;fX / χ =F ΚΠ + ~ ;i-' EZ I σύνο λο τιμώ ν:

Σχ.7

Σχ.8

Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών

παραστάσεων

μπορούμε

να σχεδιάσουμε

τις γραφικές παραστάσεις ενός μεγάλου α ριθμο ύ συναρτήσεων. Για παράδειγμα:

•

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

fx) = lx l= [ (

χ,

αν κ ε Ο

-χ,

αν κ κ Ο

δίνεται στο διπλανό σχήμα

Προφανώς η

•

έχει πεδίο ορισμού το

κ α ι σύνολο τιμών το [Ο,

Σχ.9

+ (0).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Χ2

[( ) '

χ =

[

-4χ+12,

αν-Ι<χ<2

αν

2::5 χ<4

(Σχ .Ιθ)

α π ο τε λε ίτ αι από το τμήμα της παραβολής Υ = χ σ τ ο διάστημα

)' = -

4χ

+ 12

[ - 1,2) και από το τμήμα της ευθείας

στο διάστημα

π εδ ίο ορισμού το διάστημα μών

( - 4,4].

[2,4) . Προφανώς έχει

[ - 1,4)

και σύνολο τι Σχ. 1Ο

•

Η γραφική παράσταση τη ; συνάρ τηση .;

ΙΥ

αν χ >Ο

f(x)=- =

ΙΧ!

αν Χ<Ο

αποτελείται από το τμήμα της υπερβο

λής Υ = _1_ στο διάστημα (ο, + 00) χ

και

Υ=

από

το

τμήμα

τις

-.-L στο διάστημα

υπερβολή;

Το πεδίο ορισμού της είναι το το σύνολο τιμών της το (ο,

•

,Ο) . IR *

και Σχ.11

+ 00).

Η γραφ ική παράσταση της συνάρ τησηξ

f(x) = __1__ ΙΧ

-) Ι

προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικήξ παράστασητ; της συνά-

ρτησης h(x) =

κατά μία μονάδα προς τα δεξιά (Σχ.Ι 2).

Ομοίως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης

g(x) =

ι χ + 11

προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράσταση; της συνάρτηση;

h(x)= _1_ κατά μια μονάδα προς τα αριστερά (Σχ .Ι 3).

Ixl

έχει πεδίο ορισμού το

το ίδιο διάστη μα (ο,

JR \

[Ι] και η

g το JR \ Ι -

Ι], ενώ έχουν σύνολο τιμών

+ 00) . Ι Ι

! Ι

Ι ι

.! Ι Ι Ι ο

Σχ. 1 2

-1 Σχ.13

1.3 •

Ισότητα και πράξεις μεταξύ συναρτήσεων

Ισότητα συναρτήσεων Ας θ εω ρήσ ο υ με τις σ υ να ρ τήσει ς

f(x) _

χ -ι

- χ +χ+ 2

κ αι

π ου έχουν το ίδιο πε δίο ορισμού Α =

IR .

g(X) =

χ- ι"

Παρατη ρούμε ότι για κάθε χ εΑ ισ χύουν :

δηλαδή οι δύο συναρτή σεις έχουν τ ο ίδιο πεδίο ορισ μού και για κάθε κ ε Α τις

ίδιες τιμέξ . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι συναρτή σεκ; f,g είναι ίσες και γρά φουμε

f = g.

Ε π ο μένω ς

Ι έχουν το ίδ ιο πεδίο ορισμού Α

[= g όταν

και

για κάθε κ ε Α ισχύει

f(x) = g(X)

Αν οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες στο Ε και για κάθε χε Ε ισχύει f(x) = g(X), τότε λέμε ότι είναι ίσες στο σύν ο λο Ε.

f(x) = χ 2 και g(X) = x lx l, που έχουν πεδίο ορι σμού το IR , δεν είναι ίσες . Είναι όμως ίσες σ το [Ο, + 00) , γιατί για κάθε χ ε[Ο, + 00) Για παράδειγμα,

ι σχύε ι

('.1. συναρτή σεκ;

f(x) = g(X).

πιση ς ο ι σ υ ν αρ τησ ει ς

έχει πεδίο ορ ισ μού το

•

f (χ ) = χ

χ-ι

και

g(X) = χ + 1 δ εν είναι ίσες , αφ ού η f

IR \ ! 11 και η g τ ο IR . Είναι ό μως ίσες στο IR \ 111 .

Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων Για τις συναρτή σεις Γ,

που έχουν πεδία ορι σμού Α και Β αντιστοίχως με

Α ΓΙ Β *- 0 ορίζουμε ως άθ ρ ο ισ μα

f + g,

δ ιαφο ρ ά

f - g,

γινόμενο

f ·g

και

πη λίκο

f g

τκ; σ υ ν αρτή σ ει ς με

(f + g)(X) = f(x) + g(X)

(f - g)(X) = f(x) - g(X)

(f · g)(X) = f (x) ' g(X)

(_rg )(x)=~ g(X) 25

Το πεδίο ορισμού των τριών πρώτων είναι το σύνολο Α n Β, ενώ της ---.L το g

σύν ο λο Α

n 13

εκτός από τις τιμές του χ που μηδενίζουν τον παρονομαστή 2

g(x).

Ι Ία παράδειγμα, οι συναρτήσεις f(x) = - χ + 3χ - 5 και g(X)= 2χ - χ έχουν κοι ν ό πεδί ο ορισμ ού το

IR,

οπότε:

(f' +g)( x) =n x)+g(x)=(-x

2+3

x-5)+(2x 2- x)=x 2+2x-5, για κάθε x EIR,

(Ι' , g)(X) = nX)g(X) = (- χ 2 + 3χ - 5)(2χ 2 - χ) = - 2χ· + 7x J -13x 2 + 5χ , για κάθε xEIR,

) ( χ)= g(X) Γ(χ) (---.L g .~ ( Ι

)(χ) =~ f(x)

-x2χ2~3x-5 - χ

για κάθε

2~ 2_x

για κάθε x EIR, αφού για κάθε x EIR είναι f(x):;tO

+ 3χ - 5

xEIR \(0,1. 2

J, αφού

g(O)=g(1-)=O, 2

Επ ίσητ; για τις συναρτήσεις f(x) = χ 2 , g(X) = ν'Τ=-χ2 , με πεδία ορισμού IR και [ - J , 1]

αντιστοίχως,

το άθροισμα

(f + g)(x) = χ 2 + v'Ι=XΤ- ,

η διαφορά

(f - g)(x) = Χ 2 - ν'Ι=ΧΤ- και

το γινόμενο

(fg)(x) = χ 2 ν'! -Τ έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα

ΤΟ πηλίκο

)(χ)=

το διάστημα το πη

λ'

ικο

(~ f )(χ) .f1 [- 1,0)U(O,I]

[- 1, Ι] = R n [ -

όμως έχει πεδίο ορισμού Ι , Ι), αφού

7 ·

εχει πε

αφού

g( -

Ι)

= g(1) = Ο,

δ'

f(O)=O .

---.-----'1

Να χαράξετε τις γραφικέξ παραστάσειξ των συναρτήσεων : Ι)

ενώ

ΙΟ ορισμου το συ νο

Γ ΑΙ Ομάδα 1.

Ι, 1].

χ-Ι

f(x)=-/ Χ - Ι/

+2χ

ίί)

f(x)=x lxl

Να χαράξετε τις γραφικέξ παραστάσεις και από αυτές να προσδιορίσετε το σύ νο λο τιμών των συναρτήσεων: -2χ-l, χ<1

x~1

.. [( χ) = [ 2, 11) Ι,

χε71

xf/. 7L

ίiί)

f(x) =

χ<ο

O.sx<1 x~1

3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f, αν η γ ραφική τη ς παράσταση είναι:

2.....- - - - -

-2

ί)

-1

ίί )

ί iί)

ίν)

Να εξετάσετε σ ε ποιες από τις παρακ άτω περιπ τώσεις είναι

f =g. Στις περιπτώ

σει ς που είνα ι f :;: g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνα τ ό υ ποσ ύνολο τ ο υ στο οποίο ισχύει f(x)

ί)

f (X)= X

ίίi)

f(x) =

ίν) f( x) =

+ lxl

2 χ -

κα ι

g( x) -- ~ Ι χ Ι -1 '

νX+T+-JX

-JX

και

g(X)

Να βρείτε τις συναρτήσεις ί)

f( x)

2χ + Ι Ι -χ

g( X) =

και

;;+ 1-

χ-3

g(x ) = χ +2

- .;;:-,

~ι-

= ν-χχf

+ g , f .g 2

κ αι

IR,

= g(x).

. χ +2 g(x ) = -- - , χ - Ι

και _ f_ αν g

..) 11

f( ) = χ

Ι-

2- lxl

και

g(X) -

IXI . .- 3 2

χ -4

_ _ _ _______ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _J

και

χ- Ι

g(X) = -χ

Ι.

Ομάδα

Να χαράξετε τη γρ α φ ικ ή παράσταση τη ς σ υ νάρτησηι;

(

f(x) =

Ιχ+

21 + Ι χ -

ι Ι και

με τη βοήθειά, της να βρ είτε το σύνο λο τιμών τ ης.

Αν f(x)

3χ+ Ι,

2Χ+, 4

Χ:52 χ >

[- Χ +3 , _ 3χ+ Ι ,

και g(X) =

χ< - Ι

> -

χ_

να χαράξετε τη γραφική π αράσταση τη ς συνάρτησης

f +g

και απ ό αυτή να πρ οσ-

_ διορίσετε το σύνολο τιμ ών της .

1.4 Σύνθεση συναρτήσεων

Θεωρούμε τις συναρτήσεις

•

f : Α -

και

g :

IR .

Αν f(Α)ς,Β, τότε

στο

τυχαίο

στοιχείο κ ε Α,

με τη

βοήθεια

της

Γ,

αντιστοιχίζουμε το

f(x) ε f(A) ς; Β και - - στο f(x), με τη βοήθεια της g, αντιστοιχίζουμ ε το g(f( x)) EIR.

-ΙΧ>

+ΙΧ>

Σχ. 1

Με τον τρόπο αυτό ορίζεται μια ν έα συνάρτηση με πεδίο ορισμο ύ το Α, η ο

ποία σε κάθε κ ε Α αντιστοιχϊζει το g(f(x)) . Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται σύν θεση της f με την g και συμβολίζεται gof. 'Ετσι

Αν

f :

ΠΙ,

g :

με [(Α)ς: Β τότε η σύνθεση της

IR,

με την

είναι η συνάρτηση

gof:

πι

(got)(x) = g( f(x»)

Π Α ΡΑΔ Ε Ι Γ Μ ΑΤΑ

. Η συνάρτηση h(x) = 5ημ 2 χ - 3ημχ, που έχει πεδίο ορισμού το IR, μπορεί να θε ωρηθεί ως σύνθεση των συναρτήσεων

[(χ)=ημχ, χεΠΙ Πράγματι, επειδή

και

g(X)=5x 2-3x, xEIR

f(lR) = [ - 1,1] ς IR, η

σύνθεση

gof

ορίζεται στο

IR και

για κά

θε χεΠΙ έχουμε

(gof)(X)= g( f(x») = g(η μκ) = 5(η μχ)2 - 3(η μκ) = 5η μ 2 χ - 3η μκ = h(x) _. Οι συναρτήσεις f(x) = 2χ - Ι και g(X)= χ 2 + 2 έχουν πεδία ορισμού Α = IR και Β = IR αντισ τοίχως. Επομένως ορίζονται: i) Η σύνθεση gof στο Α = IR και για κάθε Χ ε IR είναι

(got)(X) = g(f(x») = g(2x - Ι) = (2χ - lγ + 2 = 4χ 2 - 4χ + 3 ίi) Η σύνθεση fog στο Β = IR και για κάθε χ ε IR είναι (fog)(x) = f(g(x») = f(x 2 + 2) = 2(χ 2 + 2) -} = 2χ 2 + 3. Γενικά, αν δύο συναρτήσεις

f,g

είναι τέτοιεξ, ώστε να ορίζονται οι

τε δεν είναι απαραίτητο να ισχύει

•

fog και gof,

gof = fog.

Αν το f(Α) δεν είναι υποσύνολο του Β , τότε θεωρούμε το σύνολο

i) Αν Α '

Α'

Ι κεΑ /

f(X)EB).

* 0 , τότε με gof συμβολίζουμε τη σ υνάρτηση g( f(x») με πεδίο ορι

σμού το Α '.

ii) Αν Α ι = 0 , τότε δεν ορίζεται σύνθεση τη ς f με την g. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις

f(x)= JX -} και g(X)=~ έχ ουν πεδία ορισμού Α

Α ' =Ι

XE[O, +oo) / J x -IE[-I,I] 1=1 XE[O, +oo ) /-I$. JX"-I$.1 1=[0,4J ·

που είναι διάφορο το υ

(gof)(x)

•

= [Ο, + 00) και Β = [ - Ι, Ι] αντιστοίχως , οπότε

0 . ' Ετσι

για κάθε χε[0,4] είναι :

= g(f(X») = g(Jx - ι) = .J)=-(V';

Αν

f, g, h· είναι τμι::ις συναρτήσειξ και (hog)of και ισχύει: ho(gof) = (hog)of

- 1)2 = .J2JX-~;

ορίζεται η

ho(gof)

. τότε ορίζεται και η

Παρατήρηση Σ τκ; α σ κ ή σε «; για τον πρ οσδιορισμό τη ς σύνθεσητ; δεν θα ε ξε τ άζο υ μ ε αν f(Α) ζΒ , α λ λ ά θ α βρίσκουμε κατε υ θ είαν το Α ' όπως στο τελευταίο παράδειγμα.

τό

[ομάδα Ι ~ η Α, Ι

f,,) " >+ 5

και g(x) " \Χ\. να βρείτε την τιμή

ίί) Αν [(χ)=ημχ και g(x)=3x

να βρείτε τις τιμές

Υ' Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις

i) f(x) = 2χ - 3

και

fog

εοο = 4χ - Ι,

Να βρείτε τη συνάρτηση

gof,

(gof)(4)

και

gof,

αν

ίί) f(x) = 2χ 2 - 1 και

g(X) = συνκ

αν

και g(X) = ~

i) f(x) =.;;:+l

(fog)(O).

και

g(X) = - - χ-9

Αν f(x) =_1_ και l(χ)=χ, αληθεύει η ισότητα fof=I; χ

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

~$'<.

Να εκφράσετε τη συνάρτηση

ί) f(x) = ημ(3χ

2χ),

iί)

ως σύνθεση δύο ή τριών συναρτήσεων, αν

f(x) =

συνϊημ»)

iίί) f(x) = 2ημ 3_1_ , χ

Ομάδα

..γ, Αν για κάθε xeIR ισχύει f(x-1)=x

,.)(

Αν

f(x) = 3χ - 4 και g(X) = fog = gof.

αχ

+ β,

να προσδιορίσετε το f(x) και το f(x+ 1).

να βρείτε συνθήκη μεταξύ των α, β, ώστε να

ισχύει

ΧΔίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού IR. Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει

ι~ 30

gof = fo!!,

να αποδείξετε ότι

f(x) = Χ,

ΧΕ IR.

Δίνονται οι συναρτήσεις l(χ) = Χ και f(x) = αχ + β 2χ-α

ξετε ότι οι συναρτήσεις

fof

με α

2+2β*0.

και Ι είναι ίσες στο σύνολο .IR \

Να αποδεί-

{-}- )

1.5 Μονότονες

συναρτήσεις

Έστω μια συνάρτηση

•

f :Α -

IR και EC Α.

Θα λέμε τότε ότι

f είναι αύξουσα στο Ε, όταν για κάθε χ ι, Χ2εΕ, με χι <Χ2 ισχύει f(x I)$f(X2)

•

(Σχ.Ι)

η f είναι φθίνουσα στο Ε, όταν για κάθε χι , χ 2 εΕ , με χ ι <Χ2 ισχύει [(Χ ι) ~f(X2)

(Σχ.2)

Σχ. 1

•

η f είναι γνησίως αύξουσα στο Ε, όταν για κάθε χι, χ 2εΕ, με

XJ <Χ2 ισχύει [(Χ ι)< f(x 2)

( Σχ. 3 )

• η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Ε, όταν για κάθε χι, Χ2 εΕ, με χι <Χ2 ισχύει [(Χι»

f(x 2)

(Σχ.4)

f(X2) -

-1- - Ι

Σχ.3

μονότονη στο Ε , όταν η

• γνησίως

Χ1

Σχ.4

Γενικότερα, μια συνάρτηση

•

ονομάζεται

είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Ε και

μονότονη στο Ε, όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Ε .

Η μονοτονία των συναρτήσ εων μπορεί εύκολα να αναγνωρίζεται από τη γρα φική τους παράσταση, εφόσον αυτή είναι γνωστή. Για παράδειγμα, από τις γραφικέτ; παραστάσε«; των βασικών συναρτήσεων της παραγράφου ΙΞ προκύπτει ότι:

Η συνάρτηση

f(x) =

αχ

+β

είναι:

γνησίω ς αύξουσα στο

IR,

όταν α

γν η σ ίω ς φθϊνουσα στο

IR,

όταν α <ο

και

2. Η συνάρτηση f(x)=ax 1 , α>Ο, δεν είναι αύξουσα ούτε φθίνουσα στο IR. Είναι όμως γνησίωξ φθίνουσα στο ( - 00 ,0 ] και γνησίως αύξουσα στο [Ο, + 00).

3. Η συνάρτηση f(x) = αχ ) είναι:

IR, όταν

γνησίως αύξουσα στο

α> Ο

και

γνησίως φθίνουσα στο

IR,

όταν α <ο.

4. Η συνάρτηση f(x) = ~ , α> Ο, είναι: χ

γνησίως φθίνουσα στο

(- 00 ,0)

κω

γνησίως φθίνουσα στο (Ο,

+ 00)

Σημειώστε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της

αφου για Χ ι <

Ο <χ 2 ,

]

lσχυεlΧΙ

] , δ η λ α δ'η - α < Ο <Χ2

JR*,

< Ο <α- .

ΧΙ

Χ2

Το είδος της μονοτονίας μιας συνάρτησης f σε ένα σύνολο Ε, μπορεί να πρσσ- . διοριστεί και από το λόγο μεταβολής της

αφού μπορούμε να αποδείξουμε ότι η

είναι:

Αύξουσα στο Ε, αν, και μόνο αν, λ~O Φθίνουσα στο Ε, αν, και μόνο αν, λ ε Ο. Γνησίως αύξουσα στο Ε, αν, και μόνο αν, λ>Ο Γνησίως φθίνουσα στο Ε, αν, και μόνο αν, λ<Ο.

Για παράδειγμα, αν

f(x)=xlx l, xEIR

ο λόγος μεταβολήξ της 32

(Σχ .5), τότε για κάθε χΙ,

είναι λ = Χι ! χι ! - Χ1 ! Χ21 χι

Χ2

X2EIR

με Χ Ι*Χ2 ,

Α ν χ ι, Χ ιΕ ( - ω , Ο], τότε λ

δη λαδ ή η

Αν χ ι , Χ 1 Ε

[Ο ,+ 00 ) ,

-XI ~+X Z ~

ΧΙ

Χι

είναι γ νησίως α ύ ξο υσα στο

τ ο τε

00,0].

X: ι ~-x , ~ . χι

είν α ι γ νη σ ίως αύξουσα στο [Ο,

+ 00 ) .

Α ν χ ι <0<Χ 1, τότε χι - Χ1 <ο κα ι λ =

Ε π ο μέ νω τ; η

>0 .

είναι γνη σίως αύξουσα στο

IR =

( - 00 ,Ο ] υ [Ο,

Σχ.5

+ 00).

αρατηρήσ ει ς Το γεγονός ότι μια συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνο υσα σε δ ύο διαστήματα

Α και Β δεν σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φ θ ί νο υσα και στην έ νω σ η των διαστημάτων Α υ Β (Β λέπε παράδειγμα

4).

Υπ ά ρχουν σ υνα ρ τ ή σει ς π ου δεν είναι μονότονες σε κ ανένα υποδιά σ τη μ α του πε

δ ίου ορισμ ού τους, π . χ. η συνάρτηση Dirichlet

f(x) = [ Ο , ~ταν χ ~ητός

Ι , οταν χ αρρητος

1.6

Φραγμένες συναρτήσεις

Πολλές φορές είναι απαραίτητο να γνωρίζου ιιε κατά πόσο

: μ ια

συνάρτηση παίρνει πολύ με

·,άλε ς ή πολύ μικ ρές τιμές . Α πό τη γραφική

πα ρ ά στ αση

τ ης σ υ ν ά ρ τησ η ς

(Σχ . Ι ) διαπιστώνουμε ότι η

_ χ2 + Ι

f(x) =

μπορεί να πάρει τι

μέ ς οσοδήποτε μικρέξ , αλλά δεν μπορεί να πά ρει τιμές μεγαλύτερες από το

αφού για κάθε

xEIR ισχύει f(x) = -

Χ 2 + 1 :::5

Με άλλα λόγια το σύνολο τι μώ ν της νω φραγμένο από το

είναι ά Σχ. 1

Ανάλογα, από τη γραφική παράσταση της

g(x) = χ

1, (Σχ.2),

διαπιστώνουμε ότι η

μπο

ρεί να πάρει τιμές οσοδήποτε μεγάλες, αλλά δεν μπορεί να πάρει τιμές μικρότερετ; από το

- 1,

αφού για κάθε χ ε IR ισχύει

g(x)=x 2 - 1 ~ -1. , Με άλλα λόγια το σύνολο τιμών της είναι κάτω φραγμένο από το

- 1.

Σχ. 2

Τέλος, καμιά

όπως είναι γνωστό,

τιμή

f(x) = ημκ

της

συνάρτησης

(Σχ.3) δεν είναι μικρό

τερη από το

- 1 ούτε

ρη από το

δηλαδή το σύνολο

μεγαλύτε

τιμών της είναι φραγμένο τόσο

από κάτω όσο και από πάνω. Τα

παραπάνω

μας

οδηγούν

στους ορισμούς: Σχ.3

Μια συνάρτηση

•

f :

IR λέμε

άνω φραγμένη, όταν υπάρχει Με Έ τέτοιο, ώστε για κάθε χεΑ να ισχύει

•

f(x) :;;; Μ

κάτω φραγμένη, όταν υπάρχει να ισχύει

•

ότι είναι:

φραγμένη, όταν υπάρχουν να ισχύει

mEIR τέτοιο, f(x) ~ m

ώστε για κάθε κ ε Α

m, M EIR τέτοια, ώστε m :;;; f(x) :;;; Μ

για κάθε κ ε Α

Ο αριθμός Μ, καθώς και κάθε μεγαλύτερος του, ονομάζεται άνω φράγμα της ενώ ο αριθμός

καθώς και κάθε μικρότερότ; του, ονομάζεται κάτω φράγμα της

Αν Ε είναι ένα υποσύνολο του Α και η ανισότητα τότε λέμε ότι η

ισχύει για κάθε χεΕ

είναι άνω φραγμένη στο σύνολο Ε.

Ανάλογα λέμε ότι η συνάρτηση όταν το σύνολο

f(x):;;; Μ

f, f.

είναι κάτω φραγμένη ή φραγμένη στο ΕςΑ ί

f(E) είναι κάτω φραγμένο ή φραγμένο αντιστοίχως.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση -

f(x) = -1-1 χ-

(Σχ.4).

είναι άνω φραγμένη στο διάστημα

(- 00,1)

από το Μ=Ο, αφού για κάθε

χ ε( - 00,1) είναι _1_ <ο χ-Ι

είναι κάτω φραγμένη στο διάστημα

(Ι,

+ ω)

από το

xE(l, + ω)

Ο , αφού για κάθε

είναι _1_ >0 χ-Ι

Σχ.4

δεν είναι ούτε άνω, ούτε κάτω φραγμένη .

Για τις φραγμένες συναρτήσεις ισχύει:

Πρόταση Μια συνάρτηση

f :

- IR

ε ί ν αι φραγμ ένη στο Ε

== Α ιαν , και μόνο αν , υπάρ

χει Κ > Ο τέτοιο, ώ σ τε για κάθε χ ε Ε να ισχύει Ι f(x) Ι ::5 Κ. Α πόδειξ η

- Αν για κάθε χεΕ ισχύει Ι f(x) Ι ::5 Κ, τότε -K::5f(x)::5K, που σημαίνει ότι η f είναι φραγμένη στο Ε.

Αν η

εtναι φραγμένη στο Ε, τότε για κάθε κ ε Ε ισχύει m~f(x)~M.

Για ένα Κ, με

Im\ ~K

και \ Μ! ~K ισχύουν:

- K::5m::5K

και

Κ::5Μ::5Κ

Επομένως για κάθε κ ε Ε ισχύουν :

Κ::5 m:5 f(X):5 Μ:5 Κ ή

Κ:5 f(X)::5 Κ ή

\ f(x) \ :5 Κ. •

Για παράδειγμα η συνάρτηση [(X)=~2 είναι φραγμένη, αφού για κάθε xEIR .

ισχύει:

Από τους παραπάνω ορισμού; προκύπτει ότι μια συνάρτηση f δεν είναι άνω φραγμένη στο Ε, όταν για κάθε Μ>Ο υπάρχει κ ε Ε τέτοιο, ώστε f(x»M. Ανάλογα ισχύουν και για μη κάτω φραγμένη συνάρτηση. 35

1.7 Ακρότατα •

συνάρτησης

ι Οταν υπάρχει σημείο χ ο του π εδίου ορισμού Α μια ς συνάρτηση ξ

τ έτοιο , ώ ·

στ ε γ ια κάθ ε ΧΕ Α να ισχ ύει τότε λέ μ ε ότι η συν άρτηση

τιμή

•

παρουσιά ζει στο σημ ε ίο χ ο ελάχιστο, με ελ άχ ισ τr

f(x o ) '

'Οταν υπάρχ ει σημ είο χ ο του πεδίου ορισμ ού Α τη ς συνάρτηση;

τ έ τοιο, ώ

στε για κάθε Χ Ε Α να ισχύει τότε λ έ με ότι η σ υν άρτηση

μή Αν η

παρουσιά ζει στο σημ είο χο μέγιστο, με μ έγιστη τι

f(xo ) ' f

παρουσιάζει μ έγιστο ή ε λάχιστο στο χ ο, τότε θα λέ μ ε ότι η

παρουσιά ζει

στο χ ο ακρότατο. Για παράδειγμα :

χ'

στο, μ ε μ έ γιστη τιμή

Η σ υνάρτηση

f(x) =

+Ι

(Σ χ .Γ , §

1.6) παρουσιά ζει στο σημ είο χ ο = Ο μέγι

Η συνάρτηση f(x) = x ~ - Ι (Σχ.2, § 1.6) παρουσιάζει στο σημείο χ ο = Ο ελάχι!

στο μ ε ελάχ ι σ τ η τιμή

- 1.

Εί ναι φανερό ότι μια σ υνάρ τηση είναι δυνατόν να π αρουσ ιά ζει μέγιστο ή ε λ ά χιστ ο σε π ερ ι σ σό τ ε ρ α από ένα σημεία . Για παράδ ειγμα , η συνάρτηση ημκ παρο υ

'ζ ε ι

σια

-3π-

μ εγιστο στα σημει α

5π 2π ' -2-

... , ενω.

'ζ

παρουσια ει ε

λ'αχιστο

στα σημει

-7π2

Μια σ υν άρτηση , η οπο ία παρ ουσι ά ζει μ έγιστο , είναι άν ω φ ρ αγ μ έ νη , μ ε ένα ά ν

φ ρ άγ μ α τη μέγιστη τιμή . Επίση ς μια συνάρτηση η οποία παρουσιάζει ελάχιστε είναι κά τ ω φραγμένη , μ ε έ ν α κάτω φρά γμα την ελ άχ ι σ τ η τιμή.

Το αντίσ τ ροφο δεν ισχύει π. χ . η συνάρτηση ~ είναι κάτω φραγμένη απ το μηδ έν, εν ώ δ εν υπ άρχει

xoEIR*, στο οπο ίο η συνάρτηση να παρουσιάζει ελ

χιστ ο . Ανά λο γα ισ χύο υν και για τις ά νω φρα γμ ένες συναρτήσεις.

_________

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

--!Ι

ΑΙ Ομάδα

Ν α μ ε λ ετήσετ ε τη μονοτονία των παρ ακ άτω σ υ ναρτήσεων κ αι να επι βεβ αιώ σε τε την α πάντ η σ ή σ ας γ ραφικά .

iί) 36

f(x ) = _ 2_

χ - Ι

ίii)

;

f(x) ={ x~ χ

χ2

χ<Ο

. ίν) f(x) = { - 2X ~ 3 ,

x~O

χ<Ο x~O

Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι φραγμένες :

ί)

. ίί) f(x) =

f(x) = - 51x l + 2,

ίίί) f(x) = ημχ - 3συνχ

ψ:+l ,

2χ

2+3

ίν) [(x)=~, Ixl + 2

3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι φραγμένη στο σύνολο Ε, αν

Ι) ίίί)

f(x) =~] , χ-

f(x) =

2χ-

Ε = [2,3),

χ+]

, Ε = (2,5)

Με τη βοήθεια της γραφικήξ παράστασης να εξετάσετε αν η συνάρτηση

είναι

φραγμένη στο σύνολο Ε, όπου:

ί) ίί)

<5.

χ+2

f( x)

Ε=( -4, -

2) U ( -2,0),

---=-]-, E=(0,])U(I,2). Ιχ -

Να προσδιορίσετε τα ακρότατα τω ν σ υναρτήσεων:

ί)

f(X)= - ] - ,

f(x) = - 31x l + 4,

ίί)

f(x) = 5χ - 3, χ ε[ - 1,3),

ίίί)

f(x) = --/9 - χ 2

Με τη βοήθεια της γραφικής παράσταση; να προσδιορίσετε τα ακρότατα των σ υναρτήσεων :

ί)

- ] <χ<Ο

f(x) = - 21Χ - 11+ 3,

Ο:5χςji:

Β' Ομάδα

1,'

ί) Αν οι συναρτήσεκ;

f,g

είναι γνησίως αύξουσες στο σύνολο Α, να αποδείξε

τε ότι και η συνάρτηση

f+g

είναι γνησίως αύξουσα στο Α .

ίί) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(χ) =χ

2+ημχ

είναι γνησίως αύξουσα στο

"Ι) Αν οι συναρτήσεις

f,g

είναι γνησίως αύξουσες στο σύνολο Α και για κάθε

κ ε Α είναι f(x) >0 και g(X»O, να αποδείξετε ότι και ή συνάρτηση [. g είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

iί) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x) = χ

2εφχ

είναι γνησίως αύξουσα στο

(Ο,-} )

1Ι

Αν οι συναρτήσεις

νάρτηση

ΙΙ

f,g

είναι γνησίως μονότονες στο

IR, να

αποδείξετε ότι η συ

gof είναι

ί) γνησίως αύξουσα, αν

f,g

έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας

ίί) γνησίως φθίνουσα, αν

f,g

έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας

Τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησηξ F(x) = - 2(3χ 3 + 5)3 + 7;

, 4.

Η ημερήσια παραγωγή

πηγαδιών άντλησηξ πετρελαίου είναι

4:000

βαρέλια.

Για κάθε νέο πηγάδι που ανοίγεται η ημερήσια παραγωγή κάθε πηγαδιού μειώ νεται κατά

βαρέλια. Να εκφράσετε την ολική παραγωγή ως συνάρτηση του

αριθμού χ των νέων πηγαδιών. Να βρείτε τον αριθμό των νέων πηγαδιών, ώστε να έχουμε τη μέγιστη ημ ερήσια παραγωγή .

,--------.-------~- ---- -----

... _ -- -_ .

Υπενθυμίζουμε ότι: Μια συνάρτηση Γ

είναι «ένα προς ένα», όταν για κάθε

ΧΙ *Χ2,

αν

t6τε [(Χι) * [(Χ 2),

ή, ισοδύναμα, αν

[(Χ ι)

= [(Χ2)'

τότε

χι

= Χ2'

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει

ότι για

f :

μια «ένα προς ένα»

συνάρτηση

δύο διαφορετικά στοιχεία Χι,

Χ2 εΑ έχουν πάντοτε διαφορετικέτ; εικόνετ; ή, ισοδύναμα, κάθε στοιχείο

YEf(A)

έχει έ

να μοναδικό αρχέτυπο (Σχ.Ι). Αυτό σημαίνει ότι:

Σχ. 1

Ι ----.-l

1.8 Συνάρτηση "ένα προς ένα" . Α ντίστροφη συνάρτηση

Χι, Χ 2εΑ ισχύει:

Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα χ ι χ τέμνει τη γραφική παράσταση μιας «έ να προς ένα» συνάρτησηξ το πολύ σε ένα σημείο (Σχ.2).

Επομένως η

δεν είναι «ένα προς ένα» (Σχ.3), όταν

υπάρχουν χι, χ 2 ε Α , με χι

:;t:x 2 για

τα οποία ισχύει

f(x,)= f(X2)

Σχ . 2

Αν

IR είναι

Σχ. 3

μια « έν α προς ένα » συνάρτηση, τότε μπορούμε να ορίσου

μ ε τη συνάρτηση

f-I : f(A) -

IR,

του σε κάθε στοιχείο YEf(A) αντιστοιχίζει το μοναδικό αρχέτυπο του κ ε Α και ο νο μ άζε τ αι αντίστροφη της

Στην περίπτωση αυτή ισχύει:

f - l(y)=x=f(x)=y

Για μια «ένα προς ένα» συνάρτηση f : Α -

IR εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύουν:

[- ιυ(Χ))=χ για κάθε Χ ξΑ

f(f Ι(Υ»)=Υ γιακάθε

YEf(A)

Υπ ενθυ μ ίζο υ με ότι: Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που

είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία Υ = Χ, δηλαδή τη διχοτόμο της Ιης και 3ης γω ν ίω ; των αξόνων.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της

f(x) = ~

= [3, + 00)

έχει πεδίο ορισμού Α

και

είναι «ένα προς ένα », αφού για κάθε

χι ,Χ2 εΑ με

έχουμε

f(x I ) = f(X2)'

{ΧΙ - 3 = .JX2 - 3 ,ή Χι = χ 2 . Επομένως ορίζεται η

αντίστροφή

f - ! : f(A) -

της

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι

f(A) = [Ο ,

+ 00).

Τέλος, για κάθε Υε[Ο,

+ 00),

έχουμε

,.0 /

Αυτό σημαίνει ότι

f - ι (Υ) = Υ + 3. 2

Επειδή συνηθίζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή να συμβολίζεται με χ και η εξαρ τημένη μεταβλητή με Υ, από τα παραπάνω προκύπτει ότι η αντίστροφη συνάρ τηση της

είναι η

f-i : [0,+,00) -

IR, με f - I(x)=x 2+3

Επομένως η γραφική παράσταση της

είναι συμμετρική, ως προς την ευθεία

Υ=Χ, της γραφικήξ παράστασης της συνάρτησηξ Υ=χ 2+3, X~O. Η επόμενη πρόταση εκφράζει, μεταξύ άλλων, τη σχέση μεταξύ μονότονων και «ένα προς ένα » συναρτήσεων:

Πρόταση α) Αν μια συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της,

τότε είναι « έν α προς ένα». β) Η αντίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μο νότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας.

Απόδειξη

α) Έστω η συνάρτηση

IR και χι, Χ2 ΕΑ, με Χι

::f.X 2. Επειδή η

είναι γνη

σίως μονότονη, ο λόγος μεταβολής

λ=

f(xI)- f(X2) Χ Ι -Χ 2

είναι διάφορος του Ο, οπότε θα είναι και

Επομένως η

είναι «ένα προς ένα » .

f(xI)- f(xz)::f. Ο,

δηλ.

f(X j)::f. f(X2)'

β) Έστω ότι η Γ

: Α -

IR είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

Ας υποθέσουμε ότι η αντίστροφη [-ι της

[

δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε

θα υπάρχουν Υι, Υ2Ε[(Α) με

Υι<Υ2 και [- I(ΥI);:::Γ Επειδή η

[

Ι(Υ2)'

είναι γνησίως αύξουσα έχουμε :

Ψ- Ι(Υ ι));:::Ψ-I(Υ2)), δηλαδή ΥI;:::Υ2, που είναι άτοπο, αφού υποθέσαμε Υι <Υ2'

Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση Γ Ι μιας γνησίως αύξουσατ; συνάρτηση;

είναι επίσης γνησίως αύξουσα.

Ανάλογα αποδεικνύεται η πρόταση και για γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο Α.

•

Γι α παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = χ

είναι , όπως έχουμε παρατηρήσει, γνη σίω ς αύξουσα στο

IR, οπότε και η αντί

σ τ ρ ο φή της

[ - Ι (χ) = Ι

3-JX,

t -\f~,

αν χ;:::Ο

αν χ<Ο

είναι γνησίωτ; αύξουσα στο

IR.

(Σχ.5) .

Σχ. 5

_________

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

r-=-- - - - -.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - ----. Α' Ομάδα

Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι

«Ι -

Ι »;

ί) f(x) = 2χ + 3 χ+1

ίίί) f(x) = _ χ 2 + 7 , x~O

ίν) f(x)

= Ixl + ι

Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση, για όσες από τις συναρτήσεκ; της προη γούμενητ; άσκησης αντιστρέφονται .

Ποιες από τι ς συναρτήσεις

μ ε γρα φικέ ς παραστάσεις, που δίνο νται στα πα

ρακάτω σχήματα , αντιστρέφονται;

Στις περιπτώσεις που η ΓΙ ορίζεται , να χαράξετε τη γραφική της παράσταση .

,.' /

ί)

ίί)

ο ίίί)

ίν)

ο ν)

νί)

Β' Ομάδα

]..

ι-Jα αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεκ; αντιστρέφονται και να βρείτε την αντιστροφή τους.

]r.

Να βρείτε τη συνάρτηση Γ " ι και να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συ νάρτησηξ Γ, όταν

ί) f(x) = ~ ~x .a.

iί) f(x) =

Αν (χ)=2χ+3 και

3";;:

g(x)=3x-5,

να βρείτε τις συναρτήσειξ:

ίί) r-Iog- I,

i) (fog)-I,

Τι παρατηρείτε;

_ _ __ _ _

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 10υ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Γ' Ομάδα

ί) Αν οι συναρτήσεις

f : IR -. IR και g : IR -. IR είναι gof είναι «Ι-Ι» .

«Ι-Ι», να αποδείξετε

ότι και η συνάρτηση

ii) Αν η συνάρτηση f : IR -. IR είναι «1 - 1», να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση

F(x) = (r(X) γ + 2f(x) - 3 είναι « 1 - Ι» .

Αν οι συναρτήσειτ;

f,g

έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ισχύει

(f + g)(x) . [(f + g)(x) - 2]= 2ί (f · g)(x) - Ι] για κάθε ~EA, να αποδείξετε ότι f = g.

Αν για τη συνάρτηση

Ι f(x I ) -

f(X2)

f : IR -. IR

ισχύει

Ι ~_Ι_ ,Ιχι -Χ21 για κάθε χι, 2

X2EIR

με

Xl=FX2

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) -~ είναι φθίνουσα στο IR. 2

Δ'

ινεται η

'f() χ =

συναρτηση

4χ 3- Ι

ί) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση Γ ι . ii) Να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και

ΓΌ

Αν

f(x)=

χ< 1

+Ι,

χ ,,= 1

χ+ Ι

να μ ε λετήσ ετ ε τ η μονοτονία τη ς και να προ σδ ιο -

ρίσ ετε α ν ορίζεται τη σ υνά ρτη σ η Γ ι .

Δί νεται η σ υ νά ρ τ η σ η

f(x)

Ixl + Ι

Να α ποδε ί ξετε ό τι η Γ είν αι φρ αγ μένη κα ι γνη σίω ; αύ ξο υσα στο

Αν για τη συν ά ρτ η σ η

ισ χύ ε ι

f(xy) = f(x) + f(y)

γι α κά θε

IR.

x,y E IR* ,

να απ ο δ ε ί ξ ετ ε ότ ι

ί ) Γ( Ι)

=ο

ίί)

) = - f(x) . και

f(+

ίίί )

.f(x'') =

νΓ(χ) για κάθε ν ε ΙΝ *.

8. Δ ίνεται η συνάρτηση Γ(x) = x+ ~ ί) Ν α α ποδ ε ίξε τε ό τι

f(x) > Ο

γ ι α κάθε χ ε IR

ίί) Να απ ο δ εί ξ ε τε ότι η Γ είν αι « Ι

Ι ». Α

Στ ο δ ι πλ α νό σχήμ α δίνον ται ΒΓ

ΑΔ

=6.

= 10 κ αι

Ν α εκφ ρά σετ ε το ε μ β αδ ό ν

τ ο υ ορθογωνίου Κ Λ Μ Ν ως σ υν άρτη ση τ ο υ χ

= ΚΛ .

Για ποια τ ιμ ή

τ ο υ χ το ε μ β α δ όν α υτ ό γ ί νετα ι μ έγιστο και ποια ε ίναι η μ έ γιστ η τιμή του;

11 Ν

κεφάλσιο δεύτερο

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ

2.1

xoEIR

Γενικά

Σ το κ εφ ά λ αιο α υτ ό ορίζουμ ε την έννοια το υ ο ρ ί ου σ υν άρτησης και μ ε λετάμ ε

ο ρ ι σ μ ένε ς από τις ιδιότητε ς του. Η έ νν ο ι α το υ ορίο υ είν α ι θεμελιώδη ς για την Α νάλυση, γιατί πολλέ ς από τι ς βασικ έ ς έν ν ο ιε ς των Μαθηματικών, τη ς Φ υσική ξ α λλ ά και άλλω ν επ ι σ τ η μ ώ ν μόνο μ ε τη βοήθει ά το υ μπορο ύ ν να οριστούν και να κατανοηθούν. Στις προηγούμεν ε ς τά ξει ς εί χαμε μια πρώτη προσ έγ γιση τη ς έννοια ς το υ ορίου . Έννοιε ς όπω ς η στιγμιαία τα χ ύτητ α , το ά θ ρ οισμα απείρων όρων γεωμετρική ς

προόδου με λόγο λ, ΙλΙ

e =2,71 ...

<Ι,

η δύναμη α', μ ε α >0 και τ άρρητο και ο αριθμός

ο ρ ί σ τ η κ αν ως όρια συναρτήσεων ή ακολουθιών.

Στην παράγραφο αυτή , με απ λά α λ λά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα και

με τη βοήθεια της γεωμετρική;εποπτείας, θα επιχειρήσουμε μια κα λύτερη προ σ έγγιση της σημαντική; αυτής έννοιας, ώστε να γίνει κατανοητός ο αυστηρός μαθηματικόξ ορισμός , πο υ θ α δοθεί στην ε πό μενη π α ρ άγραφο .

•

Θεωρούμ ε τη συνάρτηση

(χ + , (χ) = 1 + συνκ , 2

αν χ < Ο

αν x~O

με γ ρ α φ ι κ ή παράσταση που φαίνετ αι στο σχήμα (Ι).

Παρατηρούμ ε ότι:

Καθώς το Χ , κινούμενο με όποιον δήποτε τρόπο

πάνω

στον άξονα

χ' Χ, πλησιάζει το σημείο

το

... f =. 1 ι

f(χ -

f(x)

κινούμενο πάνω στον άξονα

Υ'Υ, πλησιάζει τον πραγματικό α ριθμό

---1-, Ι

-- -

Ο'Γ

- .ι-

X --Π

~· - · · Χ

Σχ . 1

Στην περίπτωση αυτή γράφουμε

Ii'1J

f(x) = 1

Χ-Τ

και διαβά ζουμε:

«Το όριο της f(x), όταν το χ τείνει στο ;

,είναι 1» .

Γενικά:

ι Οτα ν οι τιμές μιας συνάρτησης

προσεγγίζουν έναν πραγματικό αριθμό

e, κ

θώς η ανε ξάρτητη μεταβ λητή χ προσεγγίζει, με οποιοδήποτε τρόπο , ένα ση Χ " του ά ξονα Χ ι Χ, τότε γ ρ ά φ ο υ μ ε

Iim f(x) =

Χ - Κο

και διαβάζουμε

« Το όριο της f(x), όταν το Χ τείνει στο χ ο είναι «Το όριο της f(x) στο χ ο είναι 6>.

6> ή

Ας αναζητήσουμε τώρα το όριο της

στο σημείο χ ο = Ο.

Παρατηρούμε ότι: ι Οταν το χ τείνει στο μηδέν α

πό δεξιά , δηλαδή όταν χ>Ο, οι τιμές

της

πλησιά ζουν

πραγματικό αριθμό

τον

ενώ

f ( χ) -

ι Οταν το χ τείνει στο μηδέν α

-- Ι

πό αριστερά, δηλαδή όταν χ <ο, οι τιμές της

πλησιάζουν τον

πραγματικό αριθμό

•

χ ----Ι'

+-._-

Γενικά ,

ι Ι Χ

Σχ.2

όταν οι τιμές μιας συνάρτησηξ Γ προσεγγίζουν τον πραγματικ ό αριθμό

fI ,

καθώ

το χ προσεγγίζει το Χο> με οποιονδήποτε τρόπο, από μεγα λύτερεξ τιμές (δηλα-

δή με Χ> Χ ., ) , τότε γ ρ ά φ ο υ με

lim f(x) = f ) :'; -

και διαβάζουμε « το όριο της

ξιό όριο της f στο Χ" είναι

': 0 +

f(x), όταν το Χ τείνει στο χ ο +, είναι f I » ή « το δε

e» . I

Ενώ,

όταν οι τιμές της

f προσεγγίζουν τον πραγμαιιικό αριθμό f2 , καθώς το Χ προσεγ

γίζει,το Χ", με οποιονδήποτε τρόπο , από μικρότερες τιμές (δηλαδή με Χ

< Χο),

τότι

γράφουμ ε

lim f(x) = ίΊ. Χ - Κο

και διαβάζουμε (. το όριο της f(x), όταν το Χ ιι. ινει στc Χα-, είναι f 2 » ή (. το αριστερό όριο της f στο χ ο είναι f 2 ». . 46

Μ ε τους παραπάνω συμβολισμούξ, για το παράδειγμά μας έχουμε : και

lim_ f(x) = 3 χ -ο

Στην περίπτωση αυτή, που είναι

lim f(x)

χ -Ο -

Ιίιη

f(x) = 2

χ -ο

-=1=

lim f(x) ,

χ -Ο +

λέμε ότι δεν υπάρχει

lim f(x) χ-Ο

Γενικότερα,

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f δεν προσεγγίζουν κάποιον πραγματικό αριθ μ ό , καθώς το χ προσεγγίζει το χ ο με οποιονδήποτε τρόπο, τότε λέμε ότι η

δεν

έχει όριο πραγματικό αριθμό.

Παρατηρήστε ότι στο σημείο χ ο = ~ ,όπου υπάρχει το όριο της f, ισ χύει

lir.n.

Jim f(x) =

f(x) = 1

Χ-Τ

χ-_

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση

•

[(x)=~ χ2 -

που έχει πεδίο ορισμού Α = 1R \ ( ο.: Για κάθε κ ε Α η

]. ----- --..1.ί4:ιI=---=ι:~::::!::====::... χ

f(x) γράφεται

[(x)= _X~=_]_ Χ(Χ-Ι)

Από τη γραφική της παράστασης (Σχ.3) παρατηρούμε ότι

Jim f(x) = ] χ- ι

δηλαδή, η

Σχ. 3

στο σημείο Ι έχει όριο αν και δεν ορίζεται στο σημείο αυτό.

χημ-, χ

ι Εστω ακόμη η συνάρτησ η

•

f(x) =

το

1R .

Παρατηρούμε ότι για

x-=l=O

]

η οποία έχει π ε δ ίο

αν Χ=Ο

2 ορ ισμού

αν

κάθε

x EIR*

ισχύουν

f(-x)=f(x)

και

Ιχ η μ + Ι :slx l, που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς 'τ ο ν ά ξονα Υ Ύ και για χ -=1= Ο βρίσκε ται μεταξύ των διχοτόμων Υ = χ και Υ=

χ των γωνιών των αξόνων (Σχ.4) . Από το

σχήμα συμπεραίνουμε ότι

lim f(x) = .\ - 0

Παρατηρούμ ε ότι το όριο της συνάρτηση; στο Ο δ εν ε ξαρτάται από την τιμή της

στο Ο , α λ λά απ ό τις τιμές της

κοντά στο χ ο = Ο.

Σχ.4

Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι :

Για να αναζητήσουμε όριο μια ς συνάρτηση;

σ ' ένα σημείο Χ ω πρ έπει η

να

ορίζεται οσοδήποτε κοντά στο Χο -

Το χ ο μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησηξ , όπως π.χ. το

Xo = ~ (Σχ.l) και το χο = Ο (Σ χ.2) ή ν α μην ανήκει σ ' αυτό, όπω ς π.χ. το 2

xo=l -

(Σχ.3).

Η τιμή της συνάρτηση; στο χ ο, όταν υπάρχει, μπορ εί να εί ν α ι ίση με το όριό της στο χ ο, όπωτ; π.χ .

π . χ.

2.2.

στο Xo= ~ 2

(Σχ .Ι)

ή διαφορετική απ' αυτό όπω ς

στο χ ο=Ο (Σχ.4) .

Ορισμός του ορίου '

Στην προηγούμενη παράγραφο αναζητήσαμε το όριο μιας συνάρτησητ; με τη βοήθ εια της γραφικής της παράστασηξ. Χρησιμοποιήσαμ ε όμως ε κ φ ρ ά σ ε ι ς ό

πως «η

f(x)

προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό

6>,

« τ ο Χ τείνει στο κ, », οι ο

ποίες πρέπει τώρα να διατυπωθούν σε μαθηματική γλώσσα. Από τα προηγο ύμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι στην αναζήτηση του

ορίου μιας συνάρτηση;

δεν μας απασχολεί αν αυτή ορίζεται ή όχι στο σημ είο

Χ ο' Εκ είνο που μας ενδιαφ έρει είναι η f να ορίζεται οσοδήποτε κοντά στο χ ο

δηλαδή η

να ορίζεται σ ε σύνολο της μορφής (β,χο)υ(χ ο,γ) ή (β,Χ ο) ή (χ ο,γ) .

Αρ χικά θα ασχοληθούμ ε μ ε συναρτήσ ειτ; που είναι ορισμ ένε τ; σε σύνο λο της

U ( χ ο,γ) ή, > 0, που στο

χο

+ α),

πιο απλά, της μορφή ς ( Χ ο

XoE IR και α

εξής θα το συμβολίζουμε γ ια συντομία με υ(Χο,α).

α, Χ ο )

U (χ ο ,

μορφής (β,Χ ο)

όπο υ

Προφαν ώ ς ισχ ύει :

Έ σ τ ω μι α σ υν άρτηση

. Οπω ς

ορ ισ μέ νη σ ε έν α σ ύ νο λο τη ς μορ φή ς υ(χ ο,α )

ε ίδ α με , όταν γράφου με

lίm f(x)= P, EEIR, Χ - Χο

ενν ο ο ύ μ ε ό τι:

' Ό τ αν το χ τ είνει στο χ ο , μ ε χ"* χο, το f (x) π λησιάζει το Ρ,

Η απόσταση Ι f(x) - Ε Ι του

δη λαδ ή ό τι

f(x)

από το eμπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρή , αρκεί

να πάρουμε την απόσταση Ι χ - xol του χ απ ό το Χα θ ετική και αρκετά μικρή

Η Ι f( x) -

ή ισοδ ύ ν αμ α

el μπορεί να γίν ει μικρότερη από οποιονδήποτε θ ετικό αριθμό ε, αρκεί

ν α πάρουμε χ από το π ε δίο ορισμού τη ς

f, για τα οποία ισχύει θ < Ι χ - xo l < δ για

α ρ κ ε τ ά μικρ ό δ.

"[χου με λο ι πόν οδη γη θ ε ί στ ον ακ ό λουθο ορισμό :

j Ορισμός , Ε σ τ ω μι α συνά ρτη ση f ο ρισ μένη σ ε έν α σ ύνολο τη ς μορφή ς υ (χο ,α ). ~ Θα λέ μ ε ό τι η Γ έχει στ ο σημείο Χ " όριο Ρε IR και θ α γράφου με i 1

για κ ά θε ε > Ο υπά ρχει δ > Ο τ έτοιο, ώ σ τε

Ii m

f(x) = Ε,

όταν

ΙΙ

για κάθε χ " μ ε Ο < \ χ - χ " l < δ να ισ χύει

If(X)- el <E Στ ο εξή ς ό τ α ν γ ρ άφ ο υμε Iim f(x) =

θ α θ εωρούμ ε ότι η f ορίζεται σ ε σύνο λο

:1] ':; μορ φή ς U(x,,, α) , υ π ά ρ χ ε ι το όριο τη ς

f στο Χ" και εί ν αι

·:. '-1. ε σ η συνέπε ι α το υ ορ ισμού είν αι ο ι ι σοδυν α μ ίες :

l ί m Γ( χ ) =Ε

Jim [r( x) '( -1(0

κ αι

:...'1

Iim f(x) = Ε

Ρ] = Ο

Iim ,1 (- :'<0

Iim [ - f ( x)] = "'-"0

στ ον π αραπάν ω ορ ι σ μό αντικαταστήσουμ ε τ ο

Ι f(x) -

el = ο

(Ι)

U (x,,,a) μ ε δι άστημα τη ς

- :.ρφή ς ( χ ,,, χ " + α ) και τ ην 0 < Ι χ - Χ" Ι < δ με τη ν χ" < χ < χ" + δ, πα ίρ νουμ ε τ ον

ρισμό του

δηλαδή του δεξιού ορίου της f στο χ ο , ενώ, αν αντικατα-

lim f(x),

Χ -Χο

στήσουμε το υ(χο,α) με το (χο-α, Χο) και την 0< Ix -xol <δ με την χο-δ<χ<Χοl

παίρνουμε τον ορισμό του

δηλαδή του αριστερού ορίου της f στο xoJ

lim f( x),

Χ-Χ

ο-

Τα δύο αυτά όρια λέγονται πλευρικά όρια της

Στο εξής, όταν γράφουμε της μορφής (χ ο , χ ο

+ α),

στο Χ ο -

« lim f(x) = Ρ», θα θεωρούμε ότι η f ορίζεται σε σύνολ Χ -:-Χο +

και ότι το δεξιό όριο της

στο χο, υπάρχει και είναι

Για το αριστερό όριο ισχύουν ανάλογα.

Η σχέση μεταξύ των πλευρικών ορίων και του ορίου μιας συνάρτησης στο φαίνεται στην επόμενη πρόταση.

Πρόταση

Για μια συνάρτηση

ισχύει η ισοδυναμία

lim f(x) = Ρ

Χ -Χ ο

lim f(x) = Iim f(x)

χ ..... χ ο -

?'ο-Χ ο

= Ρ.

Η απόδειξη παρατίθεται στο παράρτημα.

Σημείωση Αν μια συνάρτηση

είναι ορισμένη σε ένα διάστημα (α.κ.), ενώ δεν ορίζεται σ

διάστημα της μορφής (χο,β) , τότε, όταν λέμε «όριο της αριστερό όριο της

Αν μια συνάρτηση

στο χ ο, δηλ . το

στο κ,», εννοούμε τ

lim f(x). Χ - Χο -

είναι ορισμένη σε ένα διάστημα (χο,β), ενώ δεν ορίζετα

σε διάστημα της μορφής (α, Χ ο ) , τότε όταν λέμε «όριο της

το δεξιό όριο της f στο χ ο, δηλ. το

στο κ, » εννοούμ

lim f(x).

Χ- Χ

ο+

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = ~ έχει πεδίο ορισμού το

A=(-oo,-1]U[l, +oo),

οπότε

lim f(x) = lim f(x) χ- Ι

χ-Ι

και

lim f(x) = Iim f(x)

χ- - ι

χ - -Ι -

Για το όριο μιας συνάρτησης αποδεικνύεται ότι:

Πρόταση

Αν μια συνάρτηση

έχει στο σημείο χ ο όριο, τότε αυτό είναι μοναδικό.

Η απόδειξη της πρότασης παρατίθεται στο παράρτημα .

Η πρόταση αυτή μας επιτρέπει να γράφουμε την ισότητα lim f(x) = ε, τη ν ο χ-χ

ποία ως τώρα χρησιμοποιήσαμε για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις .

Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύεται ότι για κάθε α)

lim χ-χο

β)

χ=χ ο ,

lim Χ- Χ

C=C,

xoEIR

ισχύουν:

cEIR

Απόδειξη

α)

, Εστω

ε> Ο. Αναζητούμε ένα δ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ με

να ισχύει

Ix-xol <ε.

Ιχ

- Χο Ι < δ

Είναι φανερό ότι αρκεί να επιλέξουμε δ::5:ε '(Σχ.I).

y=:I,~ Χ

•

Χο - δ

χο

Χο+δ

χ. ,

Σχ. 2

β) , Εστω ε> Ο. Αναζητούμε ένα δ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ με 0< Ιχ - x~1 < δ να ισχύει Ι C -

cl < ε. Αυτό όμως ισχύει πάντοτε, αφού c- c= Ο. Επομένως μπο

ρούμε να επιλέξουμε ως δ οποιονδήποτε θετικό αριθμό (Σχ .2).

Π Α ΡΑΔ Ε Ι ΓΜ ΑΤΑ Ι

1. Να αποδειχθεί ότι lim (χ ημ__ ) = ο . -0

Απόδειξη

Έ σ τω ε>Ο. Αναζητούμε δ>Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ με

0< Ixl

<δ να ισχύει

Ιχ η μ + -οl=lχ ημ + Ι<ε. Επειδή για κάθε

xEIR*

ισχύει !χ η μ + 1::5: Ixl (Ι), αρκεί να είναι

Ix l <ε.

Αν

λοιπ όν επιλέξουμε ως δ έναν οποιονδήποτε θετικό αριθμό με δ::5: ε , τότε το δ εί ναι κατά λληλο .

Π ρ άγ μ ατι , αν Ο<IΧI<δ::5:ε, λόγω της (Ι) έχουμε

Ιχ η μ+ Ι <ε που σημαίνει ότι ~ί.:ι2 (χ η μ + )=0 51

Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης

f(x) =

J.!L στο σημείο Ο. χ

Λύση Η συνάρτηση Για Χ ε ( -

έχει πεδίο ορισμού

00 ,Ο)

είναι

IR"' .

οπότε

f(x) = - 1,

lim f(x) = - 1.

χ .... ο -

Για χ ε(Ο,

+ 00)

είναι

οπότε

f(x) = 1,

------φ' -1

li!1] f(x) = 1 χ- ο

Επ ειδή της

Αν

lim f(x) =1= lim f(x),

.\_ 0 ·

.\ -0

σ ύμ φωνα με τ η ν πρ ό τ αση (Ι), δεν υπ άρχει το ό ρ ι

στο σημείο Ο.

f(x) - 2 + x2-21xl 2(χ

- 2)

να απο

δ ειχ θ" ει

οτι

Ι'1m f() χ = 3 χ -Ι

Απόδε ιξη Το πεδίο ορισμού της στο

είναι το

IR \ [2j.

οπότε η

είναι ορισμένη

U(2,2) = (0,2) U (2,4).

Για κάθε χ ευ(2,2) η

f(x)

γράφεται

f(x) =2+

l-2χ

2(χ

- 2)

=_1_ 2

χ +2.

Έστω ε>Ο . Ανα ζητο ύμε δ>Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ ευ(2,2)

με 0<IΧ -21<δ , να ισχύει:

If(x) -31<E

Αν

ή I+Χ+2- 31<ε ή

ε π ιλέ ξ ου μ ε δ

θετικό

με

δ:5 2ε ,

l-t - ι / < ε ή τότε

το

είναι

IΧ - 2 1 < 2ε (Ι) . κατάλληλο ,

αφού

0< Ι χ -21 <δ, λόγω της (Ι ) , έχουμε Ι f(x) -31 <ε. Επομένως

Iim f(x) = 3.

,- 2

Παρατηρήσε ι ς

Γενικ ά, η επι λ ο γή τ ου δ εξα ρ τά τ αι από τη ν ε π ιλογή το υ ε , ό πως π . χ. φαίνετα στο παρά δ ε ιγμα

Από το σχήμα

3 απ ό την ανισ ότητα δ:5 2ε . 3. γίνεται φανερό ό τι αντί το υ

δ που επι λέξαμ ε θα

μπορού

σαμ ε να επιλέξουμε οποιονδήποτε θετικό αρι θμό δ ι μικρότερ ο από το δ .

Έτσι, στα παρακάτω, για να απλοποιήσουμε τι ς εκφράσεις μας, θα θεωρούμε

ότι το δ είναι τέτοιο, ώστε, αν Ο<!χ-χ,,!<δ, τότε χευ(χ ", α) .

Ι Ι Ι ι

Ι Ι

δ'

•

δ'

•

Σχ.3

Η επιλογή του α στο σύνολο υ(χ,,,α) συνήθως δεν έχει ιδιαίτερη σημασία α

φού εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι η συμπεριφορά της

κοντά στο Χ " . Ω

στόσο σε ορισμένες περιπτώσεκ; χρειάζεται να επιλέξουμε το α έτσι, ώστε να μας διευκολύνει στις πράξεις. Έτσι στο παράδειγμα

(3) επιλέξαμε

στο σύνολο U(2,2) η συνάρτηση παίρνει την απλή μορφή f(x) =

= 2, γιατί

+ 2. Εί-

ναι φανερό ότι θα μπορούσαμε ως α να επιλέξουμε οποιοδήποτε θετικό αριθ-

μό μικρότερο του 2.

---------- ΑΣ Κ Η Σ Ε Ι Σ

- -- --

- -- - -

ΑΙ Ομάδα

Να «μαντέψετε » το

Iim f(x)

και να βρει-

>';- :'(0

τε το

f(xo) ,

εφόσον υπάρχουν, όταν η> γρα-

φικη παράσταση της συνάρτησης

είναι:

ο ί)

Χο = 2

--------------- ~---~ 53

------:1

ίί)

ίίί)

2. Για τις παρακάτω συναρτήσεις να χαράξετε τις γραφικεξ παραστάσεις και με τη βοήθειά τους να « μ α ν τ έ ψε τ ε» , εφόσον υπάρχει , το lim f(x). Χ - Χο

ί) f(x)=lxl-3

Ι -6 ίίi) f(x) = l 2χ

και

ίί) f(x) = Ιχ -ΙΙ

Χο=Ο

Ι,

χ:ς2

χ>2

και

χ -Ι

Χο =

ίν) f(x) = 32χ - 6

- 2χ

και

χο

= Ι

Χο = 2

Να χαράξετε τις γραφικέ ς παραστάσεις των σ υναρτήσεων

f(x)

IxlC2x-l) χ

και g(x) = 2x~ χ-2

lim f(x),

liin f(x),

·χ-ο

χ -ο-

και με βοήθεια του ς να μαντέψετε τα όρια:

Αν η συνάρτηση

lim g(x),

lim g(x)

χ- 2

χ - 2-

έχει πεδίο ορισμού

,3]

και γραφική παράσταση που φαί

νεται στο διπλανό σχήμα, να εξετάσετ ε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρ ισμού ; είναι αληθείς. Ι)

lim f(x) = χ- -

ii) lim f(x) δεν υπάρχει χ -2

ίίί)

lim f(x) =

χ -2

ίν)

lim f(x) = 3 χ- ι -

ν)

νί)

lim f(x) x- J +

lim f(x) = χ -ο

=3 Ι

-1

Ν α συ μ πληρώ σετ ε τ ο ν π α ρ ακάτ ω πίνα κ α :

Ο < l χ - χ ,,/ < δ

ΧΕ υ(χ ,,,δ )

Χ Ε ( α , Χ ,, )

0 <I Χ+21 < 5

U (χ ο , β)

x E U(2, 3)

x E ( -3,I) U( I,5) 0 < Ix l < θ

Αν γ ια κ άθε Χ μ ε 0 < Ι χ - 21< Ι ισ χ ύει Ι Γ( χ) - 41 < ο , Ι ποιοί α πό τ ο υ ; π αρ α κ άτ ω ισ χυρ ισμο ύ ς ε ί ν αι αληθε ίς;

ί) Αν

I Χ 21 <1

τ ό τε Ι Γ( Χ) -41

ίί) Αν 0 < IΧ - 21< 1

τότε

ίίί) Αν

τότε Ι Γ(χ)

IΧ -21 <

1,2

!f (x) -41 < 0 ,2 - 4 1 < 0, 1

ίν) Α ν 0 < I Χ-2 1 < Ο,3 τ ότε Ι Γ(Χ)-41 7.

< 0, 1

Χ ρη σ ιμο π ο ιών τα ς τον ο ρ ισ μό τ ου ορ ίου ν α α π οδείξετε ό τι ί) lίπι

5χ

Ι)

= - 4

3χ

ii) lίm

\- 1

+2 2

\- 2

Β' Ομάδα Ι.

Ν α Γ1 π ι 3είξε τ ε ό τι : ί)

ίί)

l ίm Γ(χ)

.χ- \; ()

lim

h- {)

Γ(χ) = f

χ -ο ·

lim Γ( χ ο + h) = f

lim

Γ( - Χ )

χ-ο -

Αν γ ι α τη συν ά ρ τηση Γ ι σ χύ ει

Ι Γ(χ) - Γ(Υ) Ι

κ ·Ι χ - yl για κ άθε Χ, )'Ε IR, όπου κ > 0 σταθερός

ν α α ποδείξε τε ό τι

lim Χ -Χ ο

Γ(χ)

= Γ(χ ο)

για κάθ ε Χ ο Ε

IR.

2.3

Ιδιότητες των ορίων

Οι ορισμοί που προηγήθηκαν μας δίνουν τη δυνατότητα να διαπιστώσουμε α

ένας αριθμός

eείναι όριο μιας συνάρτησης. Στην πράξη όμως, συνήθωτ; είναι α.

νάγκη να προσδιορίσουμε το όριο μιας συνάρτησης. Οι προτάσεις που ακολο θούν μας παρέχουν τη δυνατότητα αυτή.

Πρόταση

Αν lim

1 g(x)=O και για κάθε Χ, με χ ευ(χο,α) ισχυει' Ι f(x) Ι :s:;g(x),

.\ - . \11

τότ ε

lim f(x)=O Χ-Χο

Απόδειξη Έστω ε>Ο.

Επειδή

lim g(x) =

Ο, υπάρχει δ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ με

0< Ιχ -

χσl

<δ

Χ -Χο

ισχύει Ι g(x) Ι <ε. Αν επιλέξουμε το δ:s:; α, τότε για κάθε Χ με

Ι f(x) Ι

:s:; g(x) = Ι g(x) Ι < ε,

0< Ιχ -

ΧσΙ

δ ισχύουν

δηλαδή Ι f(x) Ι < ε,

που σημαίνει ότι !~~ f(x) = Ο 11

Π ΑΡ Α ΔΕΙΓ Μ Α

Να αποδειχθεί ότι Iίm (χσυν-Ι- ) = ο χ-ο

Απόδ ε ιξη

Για κάθε xEIR* ισχύει Ιχσυν-+- l=ιχ llσυν-+- I:S:;IX I. Επειδή

lim ,-ο

Ixl = Ο,

από την προηγούμενη πρόταση προκύπτει ότι

lim

(χσυν-Ι- ) = Ο

•

Πρόσημο ορίου και συνάρ τησης

χ -ο

Το πρόσημο του ορίου μιας συνάρτησης

σε ένα σημείο XOJ μας δίνει, όπως

φαίνεται και από την πρόταση που ακολουθεί, χρήσιμες πληροφορίες για τη συ μπεριφορά της

« κ ο ν τ ά» στο Χσ'

Πρόταση

Αν

2 lim f(x)=f και f * O, τότ ε υ π ά ρχει δ ο θ, τέτ οιο ώ στ ε για κάθ ε χ, με

Χ - Χο

,\", U(,\,.. (i). οι τιμέ ; "(.\) να είνα ι ομό σ η μετ; του Ι', δηλαδή α) αν

('> 0,

τότε

β ) αν

1'<0,

τότε ,'(χ) <Ο

1'(.\»0

':"π ό δ ι ι ξ η

Εσ τω

1' >0 ,

.. αθε .\,

με

Επειδή !~~,

γι α ε = ~

Ι χ - χ,,1 < δ να ισχύει '

(' < 1.\<+ '() (' - ('

~ -1

'.Ό λ ο

f(.\) = ('

11'(.\) - 1'1 <

ι Ι

στο σ υ-

U(x,,, δ).

Α ν εφαρ μό σου με την (α) για τ η συνάρ τ ησ η

υπ ά ρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε για

Ο < -ι' < f() 31' δ η λ αηη δ ' Γεί θ ετ ικη' χ< - , ε ινα ι

> 0,

- f

π ρο κύ π τε ι η (β ) ,

• Πράξεις μεταξύ ορίων Γι α τις π ρ ά ξ ει ς μεταξύ ορίων ισχύε ι:

Πρόταση Αν

Iim f(x)=I'

και

f,mEIR, τότε:

lim g(x) =m. \ - \"

α)

Iim [f(x) + g(x)] -= ι' + m, \: - \.\

β)

lim [ C' f(x)] = c '

για κάθε σταθερό CE IR,

\ -\.\

γ)

li m [ f(x) . g(x) ] = \ - ' ,\

, δ) Ι 1m \-\"

- f(x) -

g(x )

= -

e,m

e, ,

ο ταν

- ~ ~ ε ι ζl. .τε ι δ ή υπάρχουν τα όρια

(' κα ι m

. .:! ο π ο ί ο ορίζονται οι συναρτήσειτ;

":-

στο χ ο, υπάρχει σύνολο τ ης μορφ ής υ(χ,,,α)

f και g, οπότε έχουν νόημα οι πράξεις μετ α

τω ν συναρτήσεω ν ,

α) Έστω ε>Ο.

Επειδή lim f(x) = ε, για ε ι = ~ > Ο υπάρχει δι> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ , - 'ο 2 . με Ο<lχ-χοl<δ ι , να ισχύει

If(x)-fl

<-}

(l)

Ομοίως, επειδή lίm g(x) = m, για ε ι = ~ > Ο υπάρχει δ 2 > Ο τέτοιο, ώστε , -'ο 2 για κάθε χ με 0< Ιχ - xol < δ, να ισχύει (2) Επομένως, αν θέσουμε δ=mίη (δ ι,δ2 1 , τότε για κάθε χ με Ο<lχ-χοl<δ ισχύουν συγχρόνωξ οι (Ι) και

Ι [f(x) + g(x)] - (ε + m) Ι

= Ι (f(x) -

οπότε ισχύουν οι ανισότητες

(2),

η + (g(x) -

m) Ι

:51 f(x) - εΙ + Ι g(x) - m Ι < i + i

=ε

Ι [f(x) + g(x)] - (ε+ m) Ι <ε Αυτό όμως σημαίνει ότι

lim [f(x)+g(x)] =i+m Χ - Χο

β) Αν

c=O,

η ισότητα είναι προφανής. Υποθέτουμε ότι

c;i:O.

Έστω ε>Ο.

Επειδή lim f(x) = ε, για ε ' = -ι εl >0, υπάρχει δ>Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ c

Χ - Χο

με

0< Ix-xol

<δ να ισχύει

Ι c· f( x) - c· εΙ < ε, που σημαίνει ότι lim Χ - Χο

[C' f(x)] =c· ε

Οι αποδείξεις των (γ) και (δ) παρατίθενται στο παράρτημα.

ΤΟ όριο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων .

και

g μπορεί να υπάρχει ,

ακόμη και στην περίπτωση που τα όρια των

υπάρχουν. Για παράδειγμα, αν

f(x) = Α χ

και

g(x)

lim ~ = Iim ( -

ενώ όπως είδαμε δεν υπάρχουν τα όρια των

και

στο Ο.

,- ο

g δεν

Ι) =

Ι και

,-ο

και

= - Α , τότε:

lim [f(x) + g(x) ] = Ο, ljm [f(x)g(x)] = lίm ( - 1) = ,- ο

, -ο

g(x)

χ -ο

Ι, ι

Ιεριπ τώσεις (α) και (γ) τη ς πρόταση ς

(3)

ισχύουν και για οσεσ δή πο τε , πεπε

μ έ ν ο υ πλήθουξ. συναρτήσειξ .

~ ε K ρ ιμ έ ν α ισχύει:

Πόρισμα

Αν Iim f I(x) =fIEIR, .. . , lim f,( x) = ( EIR, τότε ισχύουν :

α) Iim [a tft(x) +.o. +a,.f,.(x)] =a ,f, + . .. + a ,.I',.,

a t, ... ,a ,.E IR

β) ΙίΠΊ [ fI(x)Hx) ... f,.( x)]= e,e~ ... ( ·\ - " 0

e και ν Ε ΙΝ*,

Ειδικότερα, όταν lim f(x) =

τότε

γ) Ιίω [f(x)] "=I' " , - ·\: ο

Η εφαρμογή του πορίσματο ς στα πολυώνυμα δίνει: Αν Ρ(χ),

είναι δύο πολυώνυμα, τότ ε ισχύουν:

Q(x)

α)

Iim Χ -Χ

Ρ(χ)

Ρ (Χ ο ) , για κάθε Χ " Ε

β) lίm QP(X» = Ρ(Χ ο) , για κάθε Χ" ε IR με Q(x ,,) ο , - 'ο

(χ

Q( xo)

δειξη Εστω Ρ(Χ)

ανχ "

+ αν -

ιχ ν - Ι

α ,χ + α ο. Ε πειδή

ύ μφωνα με το πόρισμα (γ), ισχύει

Iim

χ'

lim

χ,Η για κάθε Κ Ε ΙΝ *

Χ -" ο

Χ-'< ο

πο μένως lim Ρ(χ) = lim (ανχ ν+αν _ι χ ν - ' + . .. + α ι χ + αο) = Χ-Χ

Χ -Χο

= lim (ανχ ν) + lim (αν _ ιχ ν - ι)+ ... + Ιί!11 (α ιΧ) + lim Χ -Χο

= α•

[:ιτειδή

Iim Q(x) = Q(x o )

Χ-Χο

lim xV+av_Ilim xv-t+ .. . + a, lim Χ - Χα

Χ- Χ ο

lim

Ρ(χ)

'-"0

lim Q(x) Χ- Χο

χ+αο

1(-"'0

* Ο, σύ μφωνα με την πρόταση 3 (δ), έχουμε

Χ-"ο

im~ ' = -"ο Q( x)

Jι:-X"

)(-):0

-~ - Q( xo)

•

αο

1ΑΡΑΔΕΙΓ ΜΑΤΑ

Ι. Να υπολογιστούν τα όρια:

ί)

Iίm (-3χ 3+2χ χ- -

ίί)

2+2),

Iίm

[(2χ 2

_1)85 _

5(3χ 2_

2)92]

.-1

Λύση

Γα όρια, σύμφωνα με τα παραπάνω, υπάρχουν και είναι:

i) lim (-3x 3+2x 2+2)=-3(-1) 3+2(-lf+2=7 . •- - ι

ii) lίm [(2χ 2 - 1)85_ 5(3χ 2 - 2)92] = lίm (2χ 2 - 1)85- 5lίm (3χ 2 _ 2)92 = χ-ι

Χ-Ι

=(lίm(2X2-1)] -5[lίm(3X2 - 2)]

χ- 1

,- Ι

• -1

=185_5'192= -4 .

~. Να υπολογιστούν τα όρια: ϊ)

Iim - - -

ίί)

.-2

Iίm

και

. - -Ι

ίίί) Iim χ .-1

2-3χ+2

χ2 - 1

Λύση

ί) Επειδή 23- 5 = 3 *0, υπάρχει το όριο και είναι · Ι ιηι

,-2

-5

23-5

ii) Επειδή 2 + ( - 1)2 = 3 *0, υπάρχει το όριο και είναι

lim χ-

") .11

συναρτηση

- Ι

[() χ Χ =

Παρατηρούμε ότι η

( _1) 3_2(_1) 2 - 3 2+(-1) 2 = -3-

- 3χ 2 Χ -ι

=-1.

έχει πεδίο ορισμού Α =

δεν ορίζεται στο σημείο χ ο

IR \ r -

Ι, ι J•

= Ι και μάλιστα μηδενίζετ

τόσο ο παρονομαστής όσο και ο αριθμητής . Για κάθε κ ε Α η συνάρτη γράφεται : (Χ

Ι)

χ-2

(Χ

+ Ι)(χ-Ι)

2)(Χ

χ+ Ι

οπότ ε

χ2

3χ

lim -----:-χ- Ι

+- 2

Χ2- Ι

= lim

,- ι

(χ

(Χ

+ 1)

Να υπολογιστεί, αν υπάρχει, το όριο της

f(x) =

(1- 2χ)\

χ<l

x~l

[

χ 2 _ 2χ

στο χ ο =

Λύση

Αν χ <

1, τότε f(x) = (l - 2χ) 3, οπότε lim f(x) = lim (l - 2χ) 3 = ( - 1)3 = - 1 χ -Ι -

Αν κ » Ι, τότε f(x)=x Ε π ο μένω ς

2-2x,

Χ- Ι "

οπότε lim f(x)= lίm (x -2x)=1-2=-I. 2

χ- Ι +

χ -Ι+

lim f(x) = ---, 1 χ- ι

Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της

f(x) =.l.!.±.!l χ+1

(χ 3 + 2) στο σημείο χ ο = -1

Λύ ση

έχει πεδίο ορισμού

IR \ ! -

Ι} και γράφεται

< -1 χ> -]

- χ ---, 2

'χ

f(x) = ο ότε

' χ3 + 2,

[

lim f(x) = lim (- χ 3 - 2) = 1 - 2 = -ι Ι

χ-

- 1-

χ-

και

lim f(x) = lim (χ 3 + 2) = - 1 + 2 = ]

χ- - Ι

.χ - - Ι

Επ ο μ ένω τ; δεν υπάρχει το όριο της lίm

f(x)

χ--Ι-

στο σημείο χ ο = -

αφού

lim f(x)

χ- - Ι+

- . Αν Iim (f(x)+3x-2)=5, να αποδειχθεί ότι Iim f(x) = -2. χ -3

χ -3

λύση θέτ ου με Ε -ειδή

g(x) = f(x) + 3χ - 2,

lim g(x) = 5,

οπότε

f(x) = g(x) -

3χ + 2.

έχουμε

χ-3

1- 3

f(x) = lim g(x) -lim χ -3

χ- 3

(3Χ -

2) = 5 - 7 = - 2

Να υπολογιστεί, αν υπάρχει, το όριο της

x-x~~~lxl

f(x) =

στο Χ ο = l .

ύ ση

ο πεδίο ορισμού της Ό Χ ο = Ι,

ηει την απ

f είναι το Α = IR \ [ - 1, Ι}. Επειδή ζητάμε το όριο στο ση U(l,I)=(O,I)U(l,2), όπου η συνάρτηση

επιλέγουμε το σύνολο

λ οπσιημενη .

. Γ() χ - 24 +Ι3χ χ =

μορφη

lίm f(x) = lim χ- ι

χ- Ι

χ+Ι

= -

4- ,

χ+ Ι

1+ 1

οποτε

2 61

Πρόταση

4 Αν lim f(x) = Ε, EEIR, Χ -Χ α

JόJ,.ε

lim !f(x)I=IEI

-;7/

Απόδειξη Επειδή

Ilf(x)I-IEI

/::;1 f(x) - ΕΙ

και

Ι f(x) - ΕΙ = Ο,

lim '1(-';:0

έχουμε και !~~ (Ι f(x) I- ιeι) = Ο, δηλαδή !~~ Ι f(x) Ι = Ι ΕΙ · • Για πάράδειγμα,

}~I~.\ 1- XJ + 2χ -71 ~ }~I~\ (- χ 3 + 2χ -7) Ι "'- ι - 31= 3

Το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει πάντοτε. Πράγματι, για τη συνάρτη

f(x) = Α

ισχύει

lim Ι f(x) Ι = lim ~IX Ι = lim Ι = 1, χ -ο

χ -ο

χ-ο

ενώ είναι γνωστό ότι η f δ

έχει όριο στο Ο.

Αν

f=O, τότε, όπως προκύπτει από τις ισοδυναμίες (1) § 2.2 ισχύει και το αν

στροφο της πρότασης, δηλαδή ισχύει:

lim f(x)=O

lim If(X)1 = 0

Χ- Χ α

Πρόταση

Χ- Χο

α) Αν lim f(x) = Ε, EE!R και για κάθε Χ, μέ χ ευ(Χο,α) είναι ·\ -

'\:0

f(x) ~ Ο,

τότε

lim f(x) ~ Ο Χ- Χ

β) Α ν lίm f(x)=f, lim g(x)=m, ,\ - ' υ

e,m E!R και για κάθε Χ, με χ ευ(Χο,α) ε ίν

Χ - \( ο

f(x) ~ g(X), τότε lim f(x) ~ lim g(X) χ -Χα

Χ - Χα

Από δ ε ι ξη

f <Ο,

Αν υποθέσουμε ότι

)

τότε σύμφωνα με τη ν πρόταση

τοιο, ώστε για κάθε χ ευ(χο ,δ ) να ισχύει

Αν θέσο υ με β

f(x) ;e: Ο

και

(2),

υπάρχει δ> Ο τέ

f(x) <ο.

= min [ α . δ ] , τ ότε για κ άθε χ ε υ (χο, β ) θα ισχύουν f(x) < Ο , που είναι αδύνατο . Ε π ομένως f ;e: Ο.

συγχρόνωτ;

) Είναι Iim [f(x)- g(x)]= f-m και για κά θε χευ(χο, α) ισχύει f(x) ':"' g(x) ;e: O. Χ-Χο

Ε π ο μέ νως σύμφωναμε τ η ν (α ) π ε ρ ίπ τω σ η θα είναι f -m;e:O ή f ;e: m.

• ρόταση

Αν για κάθε Χ , με Χ έ υ (χο , ά) είναι f(x) ;e:O και Jim f(x) = Ι', eE IR , τότε

α) Γενι κό τερ α για κ εΙΝ , με

β)

Iim ...ffW = Jl K;e:2 ,

ισχύει

Iίm kJΠXΓ =

kJl

χ-χ ο

όδ ε ι ξη

φωνα με την π ρόταση 5α είναι

f ;e: O,

οπό τε έχου ν νόημα οι ρίζες .

- Αν f > O, τότε 1...ffW ' Ο μω ς

Iim ' -"ο

- Jl

Ι"= J~- flf νf(χ) +ν

Ι f(x) - el = Ο, οπότε και !~~ Iim ...ffW

λν

e= ο δηλ.

~f If(X) - f l .

(...ffW -

Jl )= Ο, που σημαίνει

=Jl

lim f(x) = Ο , τότε για ε> Ο , υπάρχει δ> Ο τέτοιο , ώσ τε για ·1(-

κ ά θε χ με 0< / χ - Χ ο / < δ να ισχύει f(x) <ε ' ή ...ffW <ε, που σημαίνει ότι

lim \ /f(x) = Ο. \ - Χ

Η α π ό δ ειξη παρατίθεται στο παράρτημα .

•

! ~ : :" Δ E I Γ M A TA

u π ο λογιστ εί το Jim f(x), αν f(x) = 3 .JX2+2. χ-5

Επειδή χ 2 + 2 > Ο και lim (χ 2 + 2) = 27 > Ο , έχουμε χ -5

lim f(x) = lim J.jX2+2 = \llim (χ 2 + 2) = J.j27 = 3. χ-5

χ -5

2. Να υπολογιστεί, αν υπάρχει, το όριο της f(x) =

Για Χ =

3 μηδενίζεται

.Jx 2 + 16 - S χ-3

ο αριθμητής και ο παρονομαστής της

(.JX2+Ί6) 2 _ 52

(Χ -

στο σημείο χ.,

Για κάθε Χ =Ι:- 3 είναι

χ -9

3)( JX2+Ϊ6 + 5)

χ+3

(x-3)(.Jx + 16 + 5) 2

.J x + 16 + 5

Επομένως χ+3

lim f(x) = lim --===--χ -3 x- 3 .JX2+T6 + 5

3 +3

.J9+T6+5

Κριτήριο της παρεμβολής

•

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ότι

η γραφική παράσταση της στο χ ο

κοντά

βρίσκεται ανάμεσα στις

γραφικέξ παραστάσεις των συναρ τήσεων

και

Η θέση αυτή μας

δίνει τη δυνατότητα να υπολογί σουμε το όριο της

στο σημείο Χο '

Κριτήριο Παρεμβολής

Αν • h(χ) :;; f(χ) ::ς g( χ) για κάθ ε Χ , μ ε χ ευ(χ,,, α)]

• lim h(x) = lim g(x) = Ρ, Ρε IR Χ - Χα

τοτε !~~ f(x) - Ρ

Χ-Χα

Απόδε ιξη

Για κάθε χε υ(χο,α) ισχύει Ι [(χ) - h(x) Ι

f(x) - h(x):;; g(x) - h(x) .

Επειδή lim g(x) = Ρ και Ιίω h(x) = Ρ, έπεται ότι lim [g(x) - h(x)] Χ- Χ

Χ -Χο

= Ο.

Χ- Χο

Επομένως , σύμφωνα με την πρόταση 1, είναι και lim [f(x) - h(x)] = Ο . χ - χ.ο

= 3.

Αρα, από την ισότητα f(x) = [f(x) - .h(x)]

lim f(x)

Χ -Χα

+ h(x)

lίm [f(x) - h(x)]

Χ - Χα

προκύπτει ότι

+ lίm h(x) = Ο + f = f. • Χ - Χο

Ι Α ΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α

~α αποδειχθεί ότι !~~ (χ 2 συν+

)=0

πό δ ε ι ξ η Π ρ άγ μ α τι , γ ια κά θε

-χ 2 Επειδή

xE IR *

::;; χ 2 συν-Ιχ

ισχύει

::;;χ 2 •

Iim χ 2 = lίm (- χ 2 ) = Ο. χ-ο

χ -ο

" μφωνα με το κριτήριο π αρεμβολήξ, έχο υ με

(χ 2συν-Ι_ ) = Ο

lim χ -ο

Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων

' Οπωτ; φαίνεται στο διπλανό σχήμα. για κάθε χ ε [ο. ~ ] ισχύει ημχ::;; χ.

Εξάλλου για χ ε[ - ~ ,ο] Ι

είναι - χ ε [ο. ~

,,/ Ι

ό τ ε η μ ( - Χ ) ::;; - Χ ή - η μ χ ::;;- χ .

~ ομένως για κάθε χε [ ισ χύει

Ιημ χ l::;; ΙχΙ .

ϋ.ος . για Ixj ~ ~ Ι ::;; 1< ~

-+ .--}-]{-

/ι

~ χ

ισχύει προφανώς

::;; [κ ] , δη λαδή ισχύει

Ι ::;; lχ Ι για κάθε

Μ/

(Ι)

xEIR

Σχ. 1

ωε τη βοήθεια της ανισότητας (Ι) αποδεικνύονται τα παρακάτω χαρακτηριστι

ό ρια :

ι Για κάθε

xoEIR α)

ισχύουν:

lim Χ -Χ α

ημκ = ημ κ,

β)

lim

συνκ = συνκ ,

Χ -Χ α

Απόδ ειξη α) Όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία για κάθε Χ,

lημχ-ημΧοI=2Iσυν x~Xo 1.lημX~Xo 1::52I ημχ -;σ

xoEIR ισχύει

1::52\

X~Xo \=Ix- χa l,

δηλαδή

Ο ::5 [ η μκ - ημχοl ::5IΧ Επειδή

Ιχ -

lim

xol = Ο,

- xol

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ισχύει

Χ- Χο

lim

(ημκ

Χ-Χο

ημχ ο)

=Ο

lim

ημκ

= ημκ,

x-~

β) Η απόδειξη είναι ανάλογη .•

lim~ =1

χ-ο

Απόδ ε ι ξ η

Για Ο < χ < ~

από τον τριγωνομετρικό κύκλο (Σχ.Ι) έχουμε: εμβ(τριγ.ΟΑΜ) <εμβ(τομ.ΟΑΜ) <εμβ(τριγ.ΟΑΝ),

Τ ' ι 'ημχ<τ Χ<τ ·1·εφχ

ι. η Ι < -χ - < -ημκ

1111χ συνχ<--.:.ι.ι:::..:.

συνκ

1 < .

ημκ σ κ κ εφκ

και επειδή ημκ ο θ

(Ι)

Για - ~ <Χ<Ο. οπότε 0< -χ< ~ , ισχύει συν(-χ)< ημ~~x) <1 ή συνx<~ <Ι. χ

Επομένως για Κάθεχε(- ~ Επειδή

lim συνκ = συνθ = χ- ο

,o)u(o. ~ )ισχύει η (Ι) .

Ι, από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι

3π---~aπ

5π

2.5

Όριο σύνθετης συνάρτησης

Με τις ιδιότητες που αναφέραμε ως τώρα προσδιορίζουμε το όριο απλών συ ναρτήσεων . Αν όμως θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο μιας πιο σύνθετης συ-

νάρτησης, όπως π.χ, ~ί~ [ημ(2Χ ] + ~ )] οι προηγούμενες ιδιότητες δεν εφαρ μόζονται ,

Στην περίπτωση αυτή ισχύει η επόμενη πρόταση.

Πρόταση Δίνονται οι συναρτήσεις

Αν lim f(x) == u o , f(x)

u == f(x)

και Υ == g(u).

* ιι, για χ * χ ο και

Ιίηι g(u)

== f, τότε

]jm g(f(x))= lim "g(u) == f Χ - Χο '

U-U o

Η απόδειξη παραλείπεται .

ΠΑΡΑΔ ΕΙ Γ ΜΑΤΑ

Να αποδειχθεί ότι :

Iim

χ - ",!!",

χ--

Απόδειξη

Πράγματι, η συνάρτηση

ημ(x-~ ) 3

f(x) ==

είναι η σύνθεση των

χ --

υ==x-~ 3

Εξάλλου

lim

χ - "!!,, 3

(Χ - ~ ) == ο ' χ - ~ 3 3

*Ο

και Y==~ u

για χ * ~ 3

και

lim!ll:!:!:! == 1, οπότε u-O u

σύμφωνα με την πρόταση έχουμε

ημ(x-~ ) 3 . ημυ lim _ _ __ _ - 11m -.:.u:::.=..- == 1

x- .lL. J

u -O

χ- -

3 67

α απο

1m ημ 3Χ δ θεί ό Ι'.-0 ειχ

ει

-_. Ο.

τι

Απόδειξη Πράγματι, η συνάρτηση

f(x) =

ημ 2 3 χ ---'-IJι::....==-.χ

γράφεται f(x) =

ημ 1 3 χ

3χ

,οπότε όπ

και προηγουμένως, έχουμε

Iim3 ημ χ

=lim3~ =

3χ

. -0

υ-Ο

3lίm (~ .ημu) =3·1 ·0=0. U υ-Ο

"Α' Ομάδα

Να βρ είτ ε τα όρια:

ί) lim (2-3x+4x -x 2

χ- -

iίί) lim (χ 6 + 1 ) 3 ,

ii)lim(x 2+x-I)I7,

)

χ- Ι

Να βρείτε, αν υπάρχει, το

lίm

f(x) ,

χ- - Ι

όταν:

Χ -Χ ο

[

χ<Ο

χ =ο

ίi) f(x) = ~

και Χο=Ο

χ>ο

ίίί) f(x) =

l χ l (χ + 2)

' x'l=

και χ ο = Ο

-2χ

ίν)

f(x) =

χ= ο

+ 1 ,

xs 3

Χ- 4,

χ> 3

κ αι χ ο =

χ< -Ι

χ + Ι. 2

χ+

Jxl sl

3 ,

χ> 1

και

•- 0

Ixl

συν(χ 2 - 2)]

iί)

ίiί)

Jim (χη μ_- + 2χ 2 - 3)

Αν

1im f(x) = 4, να βρ είτ ε το lίm g(x)

lim .- 2

ή Χο = - Ι

[(χ - 2)(3 + ημ_l- )] • Χ

. -0

χ -2

ί) g(x) = 3(f(x») 2- 5

όταν,

χ- 2

iί) g(x)= ( f(x) + 2)(f(x)-3)

iiί)

Χο = Ι

Να βρείτε τα όρια :

i)lim[ 2x _ x

!2f(X) - 11 Ι g( Χ) = --'--;_~----J

(f(χ)γ + ι

--------------~

Να βρεί τε τα όρια :

ίί) lίm

χ-2

χ-13χ--6χ

Ιί m

χ-Ι

xJ - 8

11--

2χ - 3 Χ + Ι --.,....::...---'---'1 1

ίν)

iiί) J im-~~

ν ί)

χ _ Ι

lim _ _-,----, - Ι

1--1χ2

Ι ί πι (χ + 3) ,1- 27

νll)

χ-ο

...) Ι 1m ' (2Χ - 2-

νιιι

χ -2

χΙ) + -ι

ί χ)

χ ,

x J+x 2-5x_2 lim -------,.--=:..:..=....--=:.... 2 χ -2

χ -4

Να βρ ε ίτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρ χουν :

Ι)

lim

,- -

]

ίν) Iim χ- ]

.JX2+6x+9

ii)Jim 2 I χ-I / + /χ

χ+3

χ -2

15- 3xl- 13x -

Ιχ

ν) lim l χ

χ Ι _]

χ -2

ίίί) Jim Ιχ - 221- χ

+ 21

2-6

χ -Ι

2xl 2

Να βρείτε τα όρια :

3 - -/Χ 9- χ

ί ) lί m -=------"-'-'χ-η

ίν) lίm ], - 0

ίi)

_ .Jj .>. .I:..-+--'h'----_ V -"-'--l -_1_1 h

-jX+9 - 3 lim ----::L...:..:-:.....::...----=:χ-Ο

Ι ίm χ -2

---'-----'---'---

ν)

νϊί) Iim J~_\/x , χ> ο h-O

x J/ 2

- ..J 8 2

Χ -

νϊίί) lim

χ -2

ίii) lim Ι χ- Ο

νί)

.JI-Xϊ χΙ

lim χ -2

..JX -.'2 - .JXϊ - 3χ + 2 -Jx2 - 4

Να βρείτε τα όρ ια :

ίί) lim χ-Ο

j) li m ~ ., - 0 χ . + 2χ

Αν α , β Ε ~ και

f(x) =

ακ

βκ

} 2

ημχ

..JX+4- 2 Ι ,

χ:::;2

χ>2

να απ οδ είξετε ό τι δ εν υπάρ χει

lim f(x) χ-2

Γ 10.

Αν

να αποδείξετε ότι

lim JQL = fE IR, χ- ο

lim f(x) = χ-ο

Β ' Ο μάδα Ι.

Να β ρείτε τα όρια : ν

, -Ι

χ -

ίί ) Ι ί m - - - - - ' -____=_,- 4 (χ_ 4) 1

ίν) Iim

X- 4

χ - 1 6_

x - .J'X - 2

6ν'2Χ+ϊ - Ι

•

χ - χ

ν) Ι ί m -----'' -='--'----'------0-

, - ι 3 Χ -25 -

"') Ι 1m . 111

x -4.Jx + 4

j) I i m ~

χ-ο

Α ν f(ε) είναι ο βαθμ ός του πολυωνύμου Ρ ( χ) = εχ 2 + χ - Ι , να εξετάσετε αν υπ άρ χει τ ο l ί m f(ε) κ αι ν α κάνετ ε τη γ ρ αφ ικ ή παράσταση τη ς σ υν ά ρτησης

r.-O

Να βρείτε το lίm

f(x),

αν

.1(- )

ίί ) Iim f(x) + Ι = 2

ί) lίm (f( x) - 2x 1 +x- ]) = 4

χ-3

χ -3

Χ -

ίί ί ) lίm f(x) - 2χ ,- 3 2χ -

Αν η συνάρτηση f είναι ά ρ τια και Iim (f( x) + 3χ + 4) = 5 να βρείτε το Iim f(x) χ-2

Αν

Ν α β ρ ε ί τε τ α ό ρ ι α

lim JQL = 5 χ-1 χ - 2

και

lim [ g(x)(2x , -1

') Ι lm . ημ ι -3Χ- . , -ο

ί ί)

ημ κ

Δινε ται η σ υνάρτηση

f(x) =

χ-

x -IO)] =3 ,

Iim

ημ χ

ημα

χ -α

[ αχ + 2β ,

να βρείτε το

-1

Iim [r(X).g(X)] '-1

" 0) Ι' ημ (χ - 2) 111 ιπι χ- 1 .JX2 + 5 - 3

x S: 1

χ + βΧ + 2 α , 1

χ >1

Να βρείτε τι ς τιμέ ς των α , β , ώστε η γ ρ α φ ική της παράστα ση να διέρχεται απ ό

το σημ είο Α ( 2 , 2) και να υ π ά ρ χει το

Iim f(x) χ -ι

Αν

f(x) =

2Χ 2 + αχ + β

ΧS - 1

3x+l

-I<χ<2

χ 2- βχ + α - 2 .

υ πάρχουν τα

)im f(x) χ- - ι

να βρείτε τις τιμές τω ν α .β , ώ στε να

χ ;::: 2 και

Jim f(x) χ -2

2.6 Η έννοια του άπειρου ορίου Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ι

f(x)= - Ix-_-I-I (Σχ .I), ο π ο ί α είναι ορισμένη

σύνολο τ ης μορφής lΙ - α , l ) υ Ο , l + α ) ,

οπ ότ ε έχει νόημα να εξετ ά σου με ν υ πάρχε ι το όρ ιο τ η ς 70 Χ .

1+δ

Π α ρ α τ η ρ ού μ ε ότι καθώς τ ο Χ τείνει σ τ ο Ι οι τιμές

f(x) αυξάνουν α περιόρ ιστα κ αι

?ί -ο ντ α ι μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ .

Πράγματι , αν Μ>Ο , τότε επειδή lim lx -I I =O, για ε =_1- >0 υπάρχει δ>Ο ., - )

τέτ ο ιο , ώ σ τε για κ άθε Χ με

Ιχ

/ χ - Ι Ι <_1_ Μ

Ι]

δ να ισχύει

<=>

_ -::η ν περίπτωση α υτή λέ μ ε ότι η συν ά ρτηση

· Ι 1m

υ με

Γενι κ ό τ ε ρ α για μια συνάρτηση

Ι Ι χ - ΙΙ

Ix - Ij

>Μ

f(x» M

f έχε ι στ ο Χ. = 1 όρ ιο =

+ 00

και γρά-

+ 00

ορισμ ένη σε ένα σύνολο της μορφής υ(χ.,α) 0-

ίζου μ ε:

• lim f(x) =

+ 00,

όταν γ ια κάθε Μ> Ο, υπάρχει δ> Ο τέτοιο, ώσ τε για κά-

χ - Χο

θε Χ με Ο<lχ -χ. l<δ να ισχύει f(x»M.

• lim f(x) = -

00,

όταν για κάθε Μ> Ο, υπάρχει δ> Ο τέτοιο, ώ στε γ ια κά-

Χ-:<ο

θε Χ με Ο< ΙΧ - χο !<δ να ισ χύει

f(x) <

Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν Χ - Χ .

-Μ . και Χ -Χο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

f(x) =

Αν

4 2 (χ - 2)

να αποδείξετε ότι

Iim f(x) . -2

= + 00.

Απόδειξη Πράγματι, για κάθε Μ> Ο έχουμε

(χ-2)

f(x»M <= ---2,---->Μ <= 0«χ-2)2<- <= 0<IΧ-21<

rπ

(1)

lY<

Επομένως, αν επιλέξουμε δ = ~ (ή 'οποιοδή ποτε θετικό αριθμό μικρότερ από το ~), τότε για κάθε Χ,με 0< I Χ - 2 1 <δ, λόγω της (1) ισχύει που ση μαίνει ότι

f(x»M ,

lim f(x) = + 00. χ -2

Τα σύμβολα

+ 00

και

00,

όπως εισάγονται με τους προηγούμενουςορισμούς,

είναι διαφορετικά μεταξύ τους και δεν είναι πραγματικοί αριθμοί. Στις ιδιότητες και στις πράξεις με τα σύμβολα αυτά θα αναφερθούμεπαρακά τω . ι Οπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων, ισχύουν:

lim f(x) = + 00 <= lim_ f( x) = lim+ f(x) = + 00 Χ -)(ο

Χ-Κο

lim f(x) = -

Χ- Χ ο

Αν για μια συνάρτηση

lim f(x),

Χ -Χο

•

lim f(x) = lim f(x) = -

Χ-Χσ -

Χ -);ο

ορισμένη σε σύνολο της μορφής υ(Χο,α) τα

lim f(x) , Χ - "ο

πεπερασμένα ή άπειρα, είναι διαφορετικά μεταξύ τους ή ένα τουλά-

στον από αυτά δεν υπάρχει, τότε λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της

στο Χ • •

Για τα άπειρα όρια ισχύουν οι προτάσεις του παρακάτω πίνακα. Στον πίνακα παραλείπουμε το χ-χ. κάτω από το

lim,

το οποίο όμως υπονοείται.

Ι.

όταν και μόνο όταν,

lim f(x) = - 00,

2. Α ν lim f(x) =

+ 00

3. Αν lim f( x) =

+ 00

κ αι

lim g(x ) =

κ αι

lim g( x) = -

- 00,

τότε

lim[ - f(x)] = + 00

lim If(X)1 = + 00, lim

+ 00 ,

= +00

+ 00

τ ότ ε

lim [ f(x) + g(x) ] =

00,

τότε

lim [f(x) + g(x )] = -

κα ι lim g(x )=fE IR,

τ ότ ε

lίm [f(x) + g(x )] = + 00

6. Αν lim f(x) = - 00 και lim g(x)=fE IR,

τότ ε

lim [f(x) + g(x )] = -

Αν

lim f(x ) = -

5. Αν lim f(x) =

Αν

Αν lίm

Αν

+ 00

κ αι

lim g(x) = +

00,

τότε

lim [f(x)g( x)] =

f(x) = - 00

και

lim g(x) = - 00,

τότ ε

lim [f(x)g(x)] = + 00

και

lim g(x)= -

τότ ε

Iim [ f(x )g(x )] = -

lim f(x) =

lim f(x) = +

00 ,

10. Αν lim f(x) = + 00 κ αι lim g(x) = fE IR*,

τότ ε

lim [r(x)g(x)]

=ι + ~ , αν ;> Ο

κ αι lim g(x) =fE IR*, τότ ε

lim [ f(x)g(x)] = [ -

ή - 00,

τότ ε

lim -

13. Αν lim f(x) = f, lim g(x) = Ο και g(x) > 0(1),

τότ ε

lim J1& = g(x)

14. Αν lim f(x) =f, lim g(x) = O και g(x) <0(1),

τότ ε

Iimf(J<)

+ 00

11. Αν lim f(x) = -

00 , αν

<ο

οο .αν Ι> Ο

+ 00 , αν

f< O

;

12. Α ν lim g(x) =

+ 00

I g(x)

;

15.

iiιι:, -"" !

Αν

f(x) :5 g( x)(/) και

ρκει να ισ χύ ει γ ι α

' θε

κα

ΧΕ

limf(x) = + 00 , lim g(x) = - 00,

τότ ε τότ ε

g(x)

00,

αν f > O

00 ,

αν f < O

=1 -~ , αν 1> 0 + αν f < O 00 ,

limg(x) = + 00 limf(x) = - 00

υ (Χ ο , α ) 73

ΠΑΡΑΑΕ ΙΓΜΑΤΑ

Να αποδειχθούν οι ισότητες

α)

lίl~ι εφχ

β)

lίψ+ εφχ = - 00 ι -

Ι -Τ

Απόδε ιξη

Είναι εφx=~ και lim ημx=ημ~ =1>0 συνκ

χ-Τ

)

α) Για κάθε χ Ε (ο,~ είναι συνκ > Ο και Iί~ συνκ = συν ~ 2

χ -_

Ο οπότε σύμφω-

να με τη πρόταση 13 του πίνακα έχουμε lίm εφκ = lίm ~ = + 00 ,,_ ~-

x-~

συνκ

β) Για κάθε χ ε ( Π ,π) είναι συνκ κ Ο και lίI!l συνκ » χ -!!' 2

φωνα με την πρόταση 14, έχουμε liI!l εφκ = liI!l ~ = χ - !: 2

Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο της

x-~ 2

f(x) =

χ Ι +Χ+

οπότε σύμ-

auv-1!- =0, 2

00.

συνκ

Χ-Ι

στο σημείο χ ο = Ι.

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισ μού Α = IR \ Ι 11 και lί m (Χ 2 + Χ χ- Ι

Για χ > Για χ

<Ι

είναι χ - Ι

και

είν αι χ

<Ο

και

lim

χ - ι·

( χ - Ι)

Iίm (χ - Ι)

)(- 1-

Επομένως δ εν υπάρχει όριο τη ς

= Ο, =

οπότε

Ο , οπότε

στο σημείο χ ο

+ 1) = 3 > 0.Iim f(x) =

χ - ι·

+ 00

lim f(x) = -

00.

χ-)-

Ι, αφού

lίm

f(x) *- Iim f(x)

χ -Ι '"

χ - Ι ·-

2.7 Το σύνολο JR Θεωρούμε το σύνολο iR = IRU Ι -ω, + 00 J. Επεκτείνουμ ε τη γνωστή διάταξη του Για τ α

00,

+ 00

και κάθε

Ι74

aEIR

< α,

και στο σύνολο

IR,

ισ χύουν :

α< +

00 ,

< + 00

ως εξής :

Η διάταξη αυτή είναι φυσική συνέπεια των ορισμών της παραγράφου Με βάση τις ιδιότητες των άπειρων ορίων , (πίνακας παραγρ .

επίσης τις πράξεις του IR στο

iR , ως

1. +00 + (+00)== +00

- 00 + (-00)=-00

2. +00 +

- οο + α = - οο ,

+00

3. (+00)'(+00)=+00 4.

. α.(

-00

+00

για κάθε αεIR

(-00) '(-00) = +00

+ 00) = (+ 00 ' όταν α>Ο Ι - 00, όταν α<Ο

5. -α- - -α- == Ο,

2.6.

επεκτείνουμ ε

εξής:

Πράξεις στο

α==

2.6)

(+00) '(-00)= -00

α·(-οο)=

( - 00 ' + 00,

όταν α

όταν α<Ο

για κάθε αεIR .

Μπορούμε εύκολα με παραδείγματα να διαπιστώσουμε οτι οι πράξεις

Ο ·(±οο),

(+00) + (-00),

±οο ' +00

δεν είναι δυνατόν να οριστούν, γιατί δεν έχουν τιμή μονοσήμαντα ορισμένη.

Για παράδειγμα lίm ι~ χ-ο ~ χ

' 0 μως Ι 1m · (3 2'" + χ -ο

α) ==

· + - - - 3 2 ) == Ι ιπι χ

και

+ 00

χ -ο

-3 == - 00 . lim-2 χ-ο

α.

Ε πειδή το α μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, η πράξη

( + 00) + ( - 00) δεν

είναι

ο ν ο σ ή ι ι α ν τ α ορισμένη .

Αν άλογα παραοειγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές. Σ τις περιπτώσεις αυτές λέ με ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή.

--_._-' .~- ~-~ .

_.. -

. _~ .

__._-----_._---------..._-- - ---

ΑΙ Ομάδα

Στα παρακάτω σχήματα να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρ τησης

ώστε να ισχύει

Iim f( x) = +

ί)

χ-2

και

lim f(x)

\ - 21

· 00

(Σ χ .ί )

ii) lim f( x) = - 00, lim f(x) = 2 \-2

\ -2

και Γ(2) iiί )

lim f(x)

=Ι

(Σχ . ί ί)

12 Ι

\ -2 και Γ(2)

= 2.

Ι Ι

(Σχ . ί ίί)

Ι ί)

ίίί)

ίί )

Μ ε τη β οή θεια του ορισ μο ύ να α ποδ εί ξε τε ότι :

') Ι Im ' - Ι, = ι .\ - 0

+ 00

11 )

. '

[1m -

- 9

-, =

Ν α βρείτε , εφ ό σ ο ν υπά ρχουν, τα π α ρ α κ ά τω ό ρ ια

Ι) Ι'1m ι

4 - 5χ , - 2) -

") Ι.

111m

<- 2 3 (χ

. l' ίν)

\-Ω

(Ι - χ

x -J χ

ι)

- ---τ χ

ν)

3χ + J 2

lim(_1 ,- ο

ίίί) Iim Ι Χ + 21- 7...-

- 6χ + 9

-_ Ι l χl

νίίί ) lim 3χ - 7 , - ο συν χ

. 00

\ - - ι ( Χ + I)-

χ~

<- .J

)

νί) Ι ί m

χ Ι _ .9

χ - Ι

--,--'-,-

< -ο χ ) +2χ Ι

.lχΙ Ι'Im - 3 -χ χ-ο

ημ κ

Β' Ομάδα

Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

ί) lim

- 9

χ-4

χ..[Χ- 2χ -

iί) lίm

χ-]

4..jX+ 8

χ-4

- -- - -

Χ-3..[Χ+2

Αν λ, μεΙR, να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

λχ 2+ 2χ+ μ

ii) Iim ----"'---'-~....:.....<.'-χ-ο

Αν lim f(x) = + α> ή - α> και lίm f(x)=fEIR, να αποδείξετε ότι lίm g(x)=O

Να βρείτε το

Χ-"ο

g(x)

Χ-"ο

lim f(x),

Χ-"ο

αν

χ-2

") Ι.l m f(x) - = 2

') Ι.I m 2χ-8 . - - =+00 η-α> χ - 2 f(x)

χ-2

ίii) lim [f(x)(2x 2 - 1ο)] = + α>

α>

χ-2

------ Γ Ε Ν Ι Κ ΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 20U ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Γ' Ομάδα

Στους παρακάτω ισχυρισμού; υπάρχει κάποιο λάθος . Ποιο είναι αυτό; ί) Αν για κάθε χε υ(3,δ) ισχύει

f(x) ~ g(x)

και

lim g(x) = Ο, χ- 3

τότε

lim f(x) = Ο χ-)

ίί) Αν υπάρχει το lim (f(x)+g(x»), τότε lim (f(x) +g(x»)= lim f(x)+ lim g(x) Χ- "ο

ίίί) Αν lίm Ι [(χ) Ι

= 5,

Χ -Χ ο

Χ-"ο

τότε

lim f(x) = 5 Χ- "ο

ίν) Αν για κάθε χε(2- ,6) ισχύει 2

Χ- "ο

Χ - "ο

lim f(x) = - 5 Χ- Χο

g(x) ~f(x)~h(x)

και

lim g(x) = lίm h(x) =f τότε χ-2

χ -2

lim f(x) = f χ -2

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούτ; είναι αληθείς και ποιοι είναι ψευδείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας .

ί) Αν lim...[f(;) = f, τότε lίm f(x) = e2 χ-ο

iί) Για κάθε συνάρτηση

χ-ο

που ορίζεται σε σύνολο της μορφής υ(χο,α) ισχύει

lim f(x) = f(xo ) Χ -Χ

ίίί) Αν ίν) Αν

lim

Χ -Χο

JQ.L g(x)

=0,

τότε

lim f(x)=O

Χ-Χ ο

lim f(x)=f >O, τότε σε κάθε σύνολο της μορφή ς υ(3,δ) είναι f(x) >0. χ- 3

ν) Αν

lim Χ - .'"

Ι f(x) Ι = Ο, τότε

lim f(x) = Χ -'ο

νί) Αν για κάθε χ ε υ(2,δ) ισχύει

και lίm

h(x):::;; f(x):::;; g(x), lim g(x) = 8 χ -2

h(x) = - 6,

χ- 2

-6:::;; lim f(x):::;;8

τότ ε

χ -2

Να βρ είτε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια :

i)Jim Ιχ-α l-Ιχ+αl ,α >Ο χ-Ο

ίίί)

Iim χ- Ι

ΥΧ- λ (χ-Ι)

Αν f(x) =

Αν

lίm X - Xn

Αν

.Jx2 -

f(x) - f ----'---'-f(x) + f

lim -

χ 2-5χ +4 ---::-- - - -=

χ- Ι x.J}ι.:'" 3χ +

, λε IR.

2αχ+ 2α 2

Ixl - α

, να βρείτε το Iim f(x) για κάθε a EIR χ -α

Ο, να αποδ είξ ετε ότι

α !Χ +2 1 +β Ι χ -4 1-2 [() χ = 2 ' χ

iί)

- 5 χ+ 6

να

lίm

Χ- Χο

f(x) =

ρειτε τις τιμες των α,

,ωστε

11m f(x) = 10. x -J

κεφάλοιο τρίτο

ΙΥΝΕΧΕΙΑ ΙΥΝΑΡΤΗΣΗΙ

Μια ακόμη σημαντική ιδιότητα των συναρτήσεων, που μας δίνει χρήσιμεξ πλη ροφο ρ ίες για τη συμπεριφορά τουξ, είναι η συνέχεια.

Στην καθημερινή ομιλία, όταν λέμε ότι μια διαδικασία είναι « συνεχή τ;» , εννο ύμε ότι αυτή γίνεται χωρίς διακοπή. Στα Μαθηματικά η έννοια της συνέχειας δε διαφέρει και πολύ από την παρα π άνω περιγραφή.

3.1 Ορισμός της συνέχειας Για να αποφύγουμε εξεζητημένες περιπτώσεις , θα περιορίσουμε τη μελέτη μας όνο σε συναρτήσεις με πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

Θεωρούμε τις συναρτήσει;

f, g, h με γ ρ αφ ικές παραστάσεις, που δίνονται στα

αρακάτω σχήματα:

----Γ

----f

----8 ι

Ι Ι

Χο

Σχ.

Σχ.2

Σχ.3

Παρατηρούμε ότι οι γραφικέξ παραστάσεις των νώ η γραφ ικ ή πα ρά σ τασ η τ ης

g, h

διακόπτονται στο χ ο , ε

δε δ ιακό πτ ετα ι. Εί ν αι ε π ο μ ένως φυσ ικό να ο ν ο

μ ά σ ου με συνεχή στο χ ο μόνο τη συνάρτηση

f. 79

Εποπτικά διαπιστώνουμε ότι: Η

ορίζεται στο κ, και

lim f(x) = f(xo ) ο

Χ -Χ

g ορίζεται στο χ ο και Iim g(x) = Χ-Χ

e* g(x

o) .

ορίζεται στο χ ο και δεν υπάρχει το όριο της στο σημείο αυτό.

Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε :

ορισμοα ι

Έστω μια συνάρτηση

ορισμένη στο διάστημα Δ και Χ οΕΔ. Θα λέμε ότι τ

είναι συνεχής στο χ ο , όταν ισχύει lίm χ

f(x) = f(xo )

Τονίζουμε ότι η συνέχεια έχει νόημα μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της σι νάρτησης.

Αν η συνάρτηση

έχει πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ. και χ ο είναι το αριστ

ρό άκρο του Δ, τότε ο ορισμός Ι είναι ισοδύναμος με την ισότητα

Iim f(x) = f(xo )

Χ-Χο -ι.

Αν το κ, είναι το δεξιό άκρο του Δ, τότε ο ορισμός

1 είναι

ισοδύναμος με τη

ισότητα lίm Χ-Χ

ο -

f(x) = f(xo )

Αν λάβουμε υπόψη μας τον ορισμό του ορίου ο παραπάνω ορισμός διατυπα νεται ως εξής:

Ορισμός

'Εστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ΧοΕΔ.Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο χ ο , όταν για κάθε ε>Ο υπάρχει δ>Ο τέτοιο, ώστε για κάθε Χ με Ιχ-χοl<δ, να ισχύει

Ι f(x) - f(xo ) Ι < ε ι Οταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τη Α, τότε λέμε ότι η f είναι συνεχής. ι Οταν όμως αυτό συμβαίνει σε κάθε σημεί ενός υποσυνόλου Ε του Α, τότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο Ε. Αν μια συνάρτηση της, τότε λέμε ότι η

f δεν είναι συνεχής σε ένα f είναι ασυνεχής στο Χ ο '

σημείο χ ο , του πεδίου ορισμο

Είνα ι φανερ ό ότι η

lim f(x) = lim f(x) :;:. f(xo )

\ - Χο -

(Σχήμα

2).

\ --' 0 -

Ι ίαι

-lim. f(x):;:. \ - '0

f(x)

( Σχή μα

\ --' ('1

Δεν υπάρχει ένα τουλάχ ιστον από τα πλευρικά όρια .

Συνέχεια βασικών συναρτήσεων

Πολ λές α πό τι ς σ υ ναρτήσε ι ς που σ υν αν τ ήσ α μ ε ως τώρα είναι συνεχείς .

Ετσ ι:

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση εί ν αι συν εχή ς. ύ για κ άΟε xoEIR ισ χ ύει

lim

Ρ (Χ)

= Ρ (χ ,,).

, - 'ι,

Κάθ ε ρητή συνάρτηση είναι συνεχή ξ,

ύ για κ άθε Χο Ε IR . με Q(x,,) :;:, Ο. ισ χύει lί m ~

Ρ( χ,,)

\-\" Q(x)

Q(x,,)

Οι σ υ ναρτήσ ει ς ημ χ και σ υν χ εί ν α ι συνε χ είς .

ύ για κάθε Χο Ε IR ισ χύ ο υν

lim

.'(- ' ο

η μκ

= ημκ;

Ρ ΑΑ Ε Ι Γ ΜΑΤΑ

και

lίm σ υνκ \ - "η

= συνκ., .

~ α μελετηθεί ως προς τη συν έχεια η συνάρ

τηση

χ 1 - 1. όταν χ < 2

f(x) = [

-3χ+9.

όταν x~2

λύσ η κ ά θε χ < 2 η σ υνάρτηση έχε ι πολυω νυ τή μορ φή κ αι κατά σ υνέπεια είν α ι σ υν ε

' :; στο

δ ιάστημα

. + 00) η

. iSto

f είν α ι ασ υνε χήξ στο χ ο ό τ α ν:

,2).

Στο δ ιά σ τη μ α

σ υ ν ά ρτηση ε ίναι σ υ νε χή ς γ ια το ν

λόγο . 81

Απομένει λοιπόν να μελετηθεί η συνέχει ά της στο σημείο χ ο

= 2.

Επειδή

lίm

χ-2 -

f(x)= lίm (x 2 - 1 ) =3 , lim f(x)= lim ( - 3χ + 9) = 3 καιf(2)=-3 '2+9= χ -2 -

έχουμε

lίm

f(x) = 3 = f(2),

χ -2

Επομ ένως η

χ-2+

χ -2 +

δηλαδή η

είναι συνεχή; και στο χ ο

= 2.

είναι συ νεχήξ:

ημχ

Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

Ο<Χ<

f (x) =

x>~

συν τ,

- 2

Λύση

Αν χ ε[ο, ~

τότε

f(x) = η μχ, Υ

που είναι συνεχήξ .

Αν χε ( ~ , + α», τότε [(χ)=συνχ, που είναι επίσης συνεχής. Γ

, ια το σημειο χ ο

= 2π

. ισχύουν:

lim f(x) = π -

Χ -Τ

lίm

π-

ημ κ

= 1,

Χ-2"

lίm Jt-t

f(x) = Iim π+-

χ - -

συνκ

= Ο,

χ - -

που ση μαίνει ότι δεν υπάρχει το ό ρ ιο της f στο ση μείο χ ο = ~ • οπ ότε η f ε ίν αι σ υ νε χή ξ στ ο ση μ ε ίο αυτ ό .

3.3

Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις

Πρόταση

Αν οι σ υ ν αρτήσει;

ί) f+g,

ji )

f,g

είνα ι συνεχείξ σ το χο , τότε και οι σ υναρτήσ ει ς :

α· f, α εIR ,

ίiί) f·g,

ίν) _f_ ότ αν g(xo) :;t: O(l) g

ε ίνα ι συνε χείς στο Χ ο '

( 11

Παρατ ηρήστ ε ό τι }~o g(x) =g(xo)*O. οπό τε σύμφωνα μ ε την πρόταση 2 τητ; § 2'

δ ιάστημα (Χ ο - δ, Χ ο+δ), όπ ο υ . g( χ)*Ο .

ω:::άΜ

Απόδ ειξη Επειδή οι

f,g

είναι συνεχείς στο χ ο θα ισχύουν

lim f(x)

= f(Xo)

και

lim g(x)

Χ-Χα

= g(x o) ,

Χ -Χ α

οπότε

lim (f + g)(x) = lίm (f(x) + g(x») = lίm f(x) Χ-Χ

Χ -Χ

Χ- Χ

f +g

που σημαίνει ότι η

Οι αποδείξεις των (ϊϊ),

+ lίmg(x) = f(Xo) + g(x o )

= (f + g)(x o )

Χ -Χο

είναι συνεχής στο Χ ο '

(iii)

και

(iv)

είναι ανάλογες .

•

ι Αμεση συνέπεια της προηγούμενης πρότασης είναι ότι :

Οι συναρτήσεις εφκ και σφτ είναι συνεχείξ, αφού η καθεμιά είναι πηλίκο συνεχών συναρτήσεων .

Πρόταση

Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο χ ο , τότε

(i) Η συνάρτηση Ι fI είναι συνεχής στο Χ ο '

(iί) Η συνάρτηση

kff

είναι συνεχής στο χο, όταν f(x o) ~o.

Η απόδειξη είναι συνέπεια των ιδιοτήτων των ορίων και παραλείπεται . Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = συνάρτηση

2χ-1

χ+2

είναι συνεχής.

Επίσης η συνάρτηση

f(x) =

Ι είναι συνεχής, αφού η

~ , με πεδίο ορισμού

συνεχής, αφού η συνάρτηση 3χ

κά'θε χε[

+-2Ι

2Χ

+Ι

00 ),

είναι

είναι συνεχής στο διάστημα αυτό και για

(0) είναι 3χ+ Ι ~o.

Το αντίστροφο της προτάσητ;

f(x)'= [

(ί) δεν ισχύει . Π .χ . η συνάρτηση

- Ι,

όταν

x ~o

όταν

χ <ο

δεν είναι συνεχής στο ση μείο χ ο = Ο, αφού

lim f(x) = - 1

χ-ο -

και

lim f( x) = ] .

x-o~

Ενώ η συνάρτηση Ι f(x) Ι είναι συνεχής, αφού είναι η σταθερή συνάρτηση 1. 83

Η πρόταση που α κ ολουθεί μ ας δίνει τη δ υνατ ότητα ν α μελετήσουμε τη σ υ νέχεια μ εγάλο υ αριθμού σ υναρ τήσεων .

Πρόταση

(Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης)

Αν η σ υνάρτηση Γ είν αι συνεχή ς σ το Χα και η συνάρτηση [(Χο), τό τε κ αι η σ ύνθεσή τ ους

gof

είν α ι συνεχή ; στ ο

είν αι σ υνεχή ς στ ο Χα.

Η α π ό δε ιξη π αρ αλείπ εται .

Για πα ράδειγμα , η συνάρτη ση [(χ) = ημ~ l είναι συνεχή ς, αφού είναι σύν χ -

θεση

των σ υνε χώ ν συν αρτή σεων Υ= η μ υ

κα ι

u =-- . χ- Ι

- - -.......-........----- ΑΣ Κ Η Σ Ε Ι Σ--------- ... " ΑΙ Ομάδα

Να βρείτ ε τα σημ εία ασ υνέχεια ξ

τω ν σ υν αρτήσεω ν των οποίω ν

η γραφική πα ράσταση δ ίνετ αι

σ τ α π αρ ακ άτ ω σ χήματα :

-1 Ο

-1 ί)

Ι ι

-1

Ι Ι

3·

J ίί ί)

(

Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο χ ο τις συναρτήσεις: χ2 _ 1

ί)

f(x) =[

--,

2χ _1.

χ<2

3χ+ Ι

x~2

χ-Ι

και

•

f(x) =

iί)

Χο = 2

• Χ=Ι

3 3χ

και

f(x) =

-3

ίν)

χ ο= -2

f(x) =

ημκ + χ

Χ:50

και Χο=Ο

-"-"''-'-::'2....:..:.....

χ=-2

και Χο=1

-2 • χ> Ι

2χ+l ίίί)

χ<1

χ>Ο

Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν

2χ ί)

f(x) =

Ixl :51

•

ii) f(x) =

Ixl>1

i) f(x) =

χ2

Χ:5 -Ι -1< Χ:52

-χ +5

χ>2

χ<2

Ο χ

2x l - 3 f(x) =

ίί)

2_4

χ>2

χ-2

ίίί)

ημχ

χ =2

---

χ-Ι

.JX-I

Χ:51

χ>1

χ<Ο

f(x) =

x~O

συνκ

lχ -11 2

ίν)

χ*1

χ-Ι

f(x) =

χ=1

Να προσδριορίσετε την τιμή του α, ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις:

ί) f(x) = [

2x 1 - x -1 χ-Ι α

3Η4,

Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσειξ: 3χ-2

αχ -4

χ*]

χ=:;4

ii) f(x) =[

x.JX-8

Χ=Ι

4-χ

χ>4

Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς:

ί) f(χ)=ημ~

ii) f(x) =

συνίημκ)

iiί) f(x) = ημ(3χ J

2χ)

ίν) f(x) = συν(3χ 2 - 1)5

ν)

2χ-1

[( Χ) = η μ--=-='----=3χ+

'-- --_._- -- -- - - ---- _ .- .----- - - -

i; i

νί) f(x) = 3ημ 2(2Χ + 7) - 4

---.l

Ι) f(x)=

χ ημ~ ,

") f() χ =

ιι

Ι χημ_Ι

Χ=Ο

Μια εταιρεία καυσίμων καθορίζει τις παρακάτω τιμές πετρελαίου ανάλογα με την ποσότητα παραγγελίας.

Ποσότητα

Τιμή

Κόστος

χ lίt

ανά λίτρο

εξυπηρέτησης

Ο<Χ$ΙΟΟ

113 δρχ. ι

1Ο0<Χ$2ΟΟ χ >200

]500

δρχ.

]800

δρχ.

100

δρχ .

2800

δρχ .

ί) Να βρ είτε τη συνάρτηση Κ(χ) που εκφράζει το κόστος για προμήθεια χ lίt πετρελαίου. iί) Να βρείτε τα σημεία ασυνέχειαξ της Κ(χ) και ν α κάνετε τη γραφική της παράσταση.

ίiί) Να βρείτε την τιμή της ποσότητας α σ ε

lit

ώστε Κ(200)

Κ(200

+ α).

Να ε ρ μη νεύ σ ε τε τι παριστάνει το α.

Β' Ομάδα

Αν

f(x) =

.JX2- 7Χ+Τ6 - .J6 (χ _

5)..j χ + ]

, χ * 5, να προσδιορίσετε την τιμή του α , ώστε

,χ =

να είναι συνεχής στο σημείο χ ο = 5 .

,χ <2

Αν

f(x) =

να είναι σ υνεχής .

3χ

- 5- α

,2 $ χ < 3, να ε ξετάσετ ε α ν υ π ά ρ χει τιμή του α, ώστε 2α 2 χ + 4αχ - ] 5 • χ;::: 3

αχ' - β

Αν

f(x) =

3χ

βx ~ - α.

Χ$ Ι

,Ι

< χ $ 2,

χ >2

να βρείτε τιμές των α,β ώστε

ί) η

iί) η

Αν

να είναι συνεχής σ το Ι και σ το

f να' είναι συνεχής στο Ι κα ι ασυνεχή ς στο 2.

_[ 3Χ ~ -(λJ+ Ι)Χ+ Ι, x~ 1 f (Χ) ] 2 • 2χ - (λ + μ ) χ + λ, χ > Ι

να βρείτ ε τι ς τιμές των λ .μ ε IR ώστε η

f να είναι συνεχής στο χ ο = Ι και η γραφική της παράσταση να δ ιέρχετα ι από το σημ είο Α(2 ,15) .

3.4

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

Οι συνεχείξ συναρτήσεις έχουν κάπ ο ιετ; χαρακτηρ ι στ ικέτ; ιδιότητεξ που είναι χ ρ ή σ ιμ ε ς για τις εφαρμογές . Οι ιδιότ ητετ; αυτές ε ποπτικά είναι προφανείξ, ο ι α ποδείξε ις τους ό μωξ ,

γ ενικά είνα ι δύσκολεξ.

• Θεώρημα Bo/zano Στο δ ιπλανό σχήμα έχουμ ε τη γρα

ιιβ)

φ ική παράσταση C μιας συνεχο ύξ συ νάρτ ησηξ

στο [α,

β] .

Επε ιδή

1. i

θα --+--:;r--,f--l-----τ-----f.:!-..L---. ο

τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σ ημείο .

Ι( α)

Συγκεκριμ ένα ισχύ ει:

Θεώρημα

Β (β , l (β ))

ξ'

τα

σημεία A(a,f(a») και Β (β , f( β ») βρίσκο ν ται ε κα τέρωθεν του άξονα χ ' χ η

(1)

Αν μια συνάρτηση

• είνα ι συνεχή ς • f(α) ·f(β) <Ο

στο διάστημα [α,β] κ α ι

τότε υπάρχει (τουλάχιστον) έ ν α ξ ε ( α , β ) τ έτοιο, ώστε [(ξ) = Ο

δηλαδή η εξίσωση

f(x) = Ο

έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (α.β) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ · Ι . Να αποδε ιχθεί ότι η εξίσωσ η

2 ημχ

3συνχ = Ο

έχε ι μ ια τουλάχιστον ρίζα

στο (θ, π) .

Απόδει ξη Η

συνάρτηση

f(x) =

2ημχ

+ Ξσ υν«

f(0)=0+3 =3 >0, Επ ομένως η εξίσωση Ζημ »

ε ί ν αι

σ υνε χή τ;

[(π) =0 -3 = 3συνχ

= Ο έ χε ι

-3 <0,

στο

δη λ .

διάστημα

[Ο ,π ]

και

f(O)·f(n) <O .

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (Ο,π) .

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ~ + 3 = ~ έχει τουλάχιστον μια θετική ρίζα.

Απόδειξη

Πράγματι, η -ε ξίσωση γράφεται ~ + 3 -.Jx- = Ο. Θεωρούμε τη συνάρτηση χ

f(x) = ~ + 3 -,,;χ. Με δοκιμές διαπιστώνουμε ότι χ

f(9)=~ +3-3=~ >0 και f(16)=1 +3-4<0, οπότε f(9)·f(16)<0. 9 9 8

Επειδή η

r είναι και συνεχήτ; στο διάστημα [9,16],

της εξίσωσης στο

υπάρχει τουλάχιστο γ μια ρίζα

(9,16).

Παρστηρήσεκ;

1. Το θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας f(x) = Ο. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν και περισσότερες της, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. ι Οταν η συνάρτηση

της εξίσωσης από μία ρίζες

δεν είναι συνεχήτ; στο [α,β], δεν είναι απαραίτητο να

υπάρχει ρίζα της εξίσωσης

f(x) =

Ο, όπως φαίνεται στα σχήματα

και

Υ Ι(β)

ο Ι(α)

Από το θεώρημα του

. Ι

Ι(β)

-------

Σχ. 2

Σχ. 3

Bolzano

προκύπτει ότι μια συνεχής συνάρτηση

πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι ρίζες της

διατηρεί

f χωρίζουν το

πεδίο

ορισμού της .

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της

για τις διάφορες

τιμές του Χ. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:

Βρίσκουμε τις ρίζες της

Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες , επιλέγουμε

έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της

είναι και το πρόσημο της

στον αριθμό αυτό . Το πρόσημο α υτό

στο αντίστοιχο διάστημα.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης

f(x) = -

ημκ-ι-συνκ,

Υπολογίζουμε τις ρίζες της

f(x) =

ε [Ο, 2π].

Ο στο [Ο, 2π].

Έχουμε

ημκ-ι-συνκ = Ο ~ ημκ = συνχ ~ εφκ = Ι ~ χ = ~ ή χ = ~ 4

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγ χου του προσήμου της

σε

κάθε διάστημα.

(-1L4'

Διάστημα

(ο, ~)

Επιλεγμένοι;

---.1L

3κ

αριθμός Χο

-Ι

2 -

Πρόσημο

Επομένως, στα διαστήματα (ο, -t) (-t, ~π) είναι f(x) > ο.

( 54ft ,

[(Χα)

,( 54π , 2π)

είναι

2π)

f(x)

< Ο, ενώ στο διάστημα

~ Θε6ι.;ρημο. εϊt;j,~6με(J1vς Υψψ;' Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος

Bolzano,

είναι γνω

στό ως θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής και δίνει εποπτικά αυτό που συνήθωε; εν - νο ο ύ με με τον όρο συνεχής συνάρτηση ή συνεχής καμπύλη.

θεώρημα (2) Αν μια συνάρτηση

•

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και

• [(α)

* f(β),

τότε για κάθε αριθμό

μεταξύ των

ξ ε(α,β) τέτοιο, ώστε [(ξ)

(α) και

(β) υπάρχει (τουλάχιστον) ένα

= k. 89

Απόδειξη Ας

υποθέσουμε

οπότε

[(α)

ότι

[(α)

< k < [(β)

< [(β),

(Σχ.4).

Ι(β)

Θεωρούμε τη συνάρτησΦΞl~X) - k)l ο ποία είναι συνεχής στο [α,β] και για την ο ποία ισχύουν g(α)

= [(α) - k <ο

και

g(β)

1(0)

= f(β) - k >0,

δηλαδή g(α)' g(β) < Ο. Επομένωξ, σύμφωνα με το θεώρημα

zano,

Ο ξ'

- k=

Ο, δηλαδή [(ξ) =

Στα παρακάτω σχήματα

ξ"

Σχ.4

υπάρχει ξε(α,β) τέτοιο, ώστε

g(ξ) = f(ξ)

k. •

5 και 6 φαίνεται ότι η

μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης

Bol-

εικόνα ενός διαστήματος Δ

είναι διάστημα.

\ \

f(Δ)

'(~)._- ~ Ι

.-- Τ-~- - 1----,

ι χ

ο Δ

Σχ.6

Σχ. 5

Πράγματι με τη βοήθεια του θεωρήματοςτης ενδιάμεσηςτιμής αποδεικνύεταιότι: Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτη σης

είναι διάστημα. Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι σταθερή στο Δ, το

f(Δ) είναιμονοσύνολο.

Είναι φανερό ότι αν η

είναι συνεχή ς και μονό τονη στο Δ = [ α ,β], τ ότ ε

• f(Δ) = [f(a), f(β)], αν f αύξουσα (Σχ.8) . • f(Δ) := υ(β), [(α)], αν f φθίνουσα (Σχ .9). 90

1(0) \-[\ Υ

l(β) '1 f(Δ~ -~ ~, .••• -~ ,Ι'

, ~

Ι(β) - - - ';- .•- .... ""' ,,

1(0) ) _ _

Ι(Δ)j

' '' β

ο"

Σχ.9 Παρατήρηση

Γενικότερα αποδεικνύεται ότι αν

είναι συνεχής και μονότονη στο Δ

f(Δ)

= (Iim f(x) , lim f(x»,

αν η

f είναι

• f(Δ)

= (Iim f(x) , lim f(x»,

αν η

f είναι γνησίως φΟίνουσα

•

Θ Θεώρημα Μέγιστης

= (α,

β) τότε:

γνησίως αύξουσα

ΕJιάΧiU"iτμ; Υφής 1\"Υ ' ' \ 1

- .- --

Στο σχήμα (7) παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει ελά χισ τη τιμή στο Χε και μέγιστη τιμή στο Χμ ' ο

Γενικά ισχύει:

Θεώρημα

(3)

Α ν μια συν άρτηση Ι ' ε ι να : σ υ νε χή ; στο κλειστ ό δι άστημα [α,β ], τότε υπάρ χουν δ ύο τουλάχιστον σημ εία κ'" κ" ε[α,β] τέτ οια, ώστε να ισ χύει f(χ ε)sf(χ)sf ( χ μ ) , για κάθε χ ε[ α,β ] ,

δηλ αδή η

παίρνει στο [α,β] ε λ ά χ ι σ τ η τιμή Γ(χ ε ) και μ έγιστη τιμή

f(x,,).

Επισημαίνουμε ότι το προηγ ο ύμενο θεώρημ α ισ χύ ει μόν ο στην περίπτωση

κλειστών διαστημάτων . Για παράδειγμα η συνάρτηση . Γ(χ) = _1- είναι συνε χ

χή ς στο διάστημα (Ι ,2), όμωτ; σε κανένα σημεί ο του διαστήματος δεν πα ίρ νει μέ γιστη ο ύτε ελάχ ι στη τιμή .

Η επόμενη πρ όταση συ νδέει τη συνέχεια και τη μονοτονία. Πρόταση Αν μια συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη και σ υνεχή τ; σε ένα διάστη

μα Δ, τότε η αντίστροφή της Γ ι είναι συνεχήτ; στο f (Δ). Η απόδ ει ξη παραλείπ εται , Υπ ενθυμί ζουμε ότι η

f -1

υπάρ χε ι, αφο ύ η

ε ί ν αι γνησίως μονότονη .

Γ--ΑΤ Ο μ ο'δα- "------ '-----------

στημα (~ , ~ )

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημκ = 2 - 2χ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διά6

Αν

f(x) = 2(Χ -

α)(χ - β) + 3(Χ - β)(χ - γ) + 5(χ - α)(χ - γ) και α < β < γ, να αποδεί

ξετε ότι η εξί σ ω σ η

έχ ει ρίζες πρα γματικέ τ; και άνισ ες.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ

Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

iiί) f(x) = 2χ 2

4χ, χε[] ,3]

Αν η συνάρτηση

f είναι

6 = 4χ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

ίί) Γ(χ)=ημχ+εφχ, χ ε[ο,--;-]

ί) f(x)=~, χε[I,3]

ίν) Γ(χ)=συνχ-χ 2 , χ ε[ο,+]

συνεχή τ; στο διάστημα [α.β] και

f(a)

=1= f(β), να αποδείξετε

ότι υπάρχ ει τουλάχιστον ένα χοε(α,β), ώστε f(xo) = f(a) + f(β)

Ι !

iι

f(x) = Ο

Αν η συνάρτηση

είναι σ υν εχής στο διάστημα [Ο, Ι],

α, βε(Ο , Ι), να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f(O) = α και f(1) = β, όπου f(x) = Χ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο

διάστημα (Ο, Ι).

! !

ι Ι

Ιι Ι ι

Να βρείτε το πρόσημο της σ υνάρτησης

για όλες τις πραγματικέξ τιμές του Χ ,

όταν: ί)

ίίί)

f(x) f(x)

= χ + 2χ - χ - 2 = συν(χ+π), χ 3

ε (-π, π)

ίί)

ίν)

f(x) = f(x) =

χ 4 -9 χ 2

ημκτσυνκ.

ε [Ο , 2π]

Β' Ομάδα

Ι ι

i Ι

Σχεδιάστε μια οποιαδήποτε γραφική παράσταση συνάρτησηι; ορισμού Α

= [0,2]

που έχει πεδίο

και ικανοποιεί τις συνθήκες:

ί) Η f είναι συνεχήξ, έχει μέγιστη τιμή 3 και ελάχιστη τιμή ο.

ίί) Η f είναι συνεχής στο [0,2), έχει ελάχιστη τιμή Ο και δεν έχει μέγιστη .

iiί) Η f είναι συνεχής στο [0,2), δεν έχει ελάχιστη τιμή αλλά έχει μέγιστη τιμή 3.

ίν) Η f είναι συνεχής στο (0,2), παίρνει τις τιμές Ο και 2, αλλά δεν παίρνει την "πι,υιι . . _

v) Η f,είναι συνεχή; στο [0,1)U(l,2], έχει μέγιστη τιμή και δεν έχει ελάχιστη

Γ:

τιμη,

vi)

είναι συνεχήξ στο

(0,2)

και παίρνει μόνο τιτ; τιμέτ;

και

vli) Η f είναι συνεχή; στο [0,1) U (1 ,2] και δεν έχει μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή .

Να αποδ είξετ ε ότι:

' ιΙ) η ε ξ ισωση

(Ι

ii)

χ 8+3

IO + l

X ' -----'----'---- + - - - = Ο εχει χ-]

χ-2

' μια του λ αχισ τον ρι'ζ α στ ο δ ιαστημα

,2).

η ε ξίσωση ~ + ~ = Ο έχει μια τουλά χιστο ν ρίζα στο διάστημα -

4χ

3 χ- π

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ ν = α , α > Ο και νε ΙΝ * έχει μία μόνο θετι κή ρίζα.

Να αποδ είξετε ότι, για κάθε λ Ε IR, η εξί σωση ημκ - ημ λ = ~ 2

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 5

χ έχει μία

(O,-f ].

Αν οι συναρτήσ ειτ; f,g είναι συνεχείξ στο [α,β], f(a) ::;g(a) και f(β) :eo: g(β), να α- Ι ποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ΧοΕ [α , β ) τέτοιο, ώσ τε Αν για κάθε χ Ε [Ο, Ι] ισχύει ο::; f(x)::; Ι και η [Ο,]], να αποδ είξ ετ ε ότι υπάρχει

'-----_.

______

f(xo) = - .

f είναι συνεχή; στο διάστημα

xoE[O,IJ τ έτοιο, ώ σ τε f(xo) =x ~ , ν ΕΙΝ*.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 30υ ΚΕφΑΛΑIΟΥ

ΓΙ Ομάδα

ί αx ~ +3βx-5 1.

Α ν Γ( Χ)= Ι

>"". Ι .

x~1

να προσδιορίσ ετε τ«; τιμ έτ; των α ,β εlR,

Χ= !

ώστ ε η Ι' να είν αι συνεχής .

' Ε σ τ ω σ υνάρτηση

για την ο π ο ί α ισ χύ ει Ι'(ΧΥ )

= f(x) + f(y)

γ ι α κάθ ε Χ,Υ Ε

IR*

Να αποδείξετε ότι αν η f είναι σ υνεχή ; στο σημείο χ ο = Ι , τ ότε η f είναι συνε χή τ; στο

IR* .

_.• -4

L,)

'Εστω συνάρτηση

f γ ι α την οποία ισ χύ ουν

f(x+y) = f(x)f(y)

για κ άθ ε

X,y ElR

κ αι

f(O)*O

Να αποδ είξετε ό τι

ί) Αν η f είν αι σ υνεχήτ; στ ο χ ο = Ο, τό τε η f εί ναι σ υνεχή; στ ο ίi) Α ν η

είναι συν εχή; σε οποιοδήποτε σημ είο α Ε

συνεχήτ; στο

με

[( α)

IR .

Ο, τό τ ε η

είν αι

IR . ..........

Αν η σ υνάρτηση

r εί ν αι σ υνεχή ξ στο

[α,β] και

f(a) *0 να αποδείξετε ότι, υ πά ρ

χει έ ν α τουλάχιστο ν ΧοΕ(α,β) τέτοιο, ώστε

f (a)

+ [(β)

β-α

ρ.

Αν γ ια κάθε Χ Ε[ -1 ,1] η

συνεχή ς και ισ χύει χ 2+ ( f(χ)γ = Ι, να αποδεί διατηρεί σταθερό πρ όσημ ο στ ο διάστημα (- Ι, Ι ). .

Αν οι σ υναρτήσ εις

ε ί ν αι συνεχείξ στο διάστημα

ξετε ότι η συνάρτηση

[(β)

f,g

r είναι

[α , β ],

[( α) =

να αποδεί ξετε ότι υ π ά ρχ ε ι ένα τ ο υ λά χιστ ο ν χ ο Ε [α,β ) τ έτοιο, ώσ τε

g(p)

και

= g( a ) , f(xo ) = g(Xo ) '

'Ενας πεζοπ όροτ; ξεκ ινάε ι απ ό το

χεί λ ο ς Α

ενότ;

φ α ρ α γγ ιο ύ

στις 8.00 π . μ. και φ τ ά νει στην άλλη ά κ ρ η Β στις

4.00 μ.μ .

Δι α -

νυκ τε ρεύε ι ε κ εί κ αι ! η ν άλ λη μ έρα ξε κ ινάε ι απ ό τ ο Β στι ς

8.00

π.μ . και φτ άνει σ το ση με ίο

Λ στις

4.00 μ . μ .

α κο λ ουΟώντα ς

την ίδ ια δι α δρομή . Να αποδ εί

ξετ ε ότι υ π ά ρ χε ι έ ν α τ ου λά χι στον σημ είο του φαρα γγι ο ύ στο οπ ο ί ο β ρίσκεται τη ν ίδια ώ ρ α κ αι τι ς δ ύ ο ημ έρε ξ .

8. Ν α αποδ είξετε ότι κ ά θ ε χρονική στιγμή υπ ά ρ χει ένα τουλά χιστον ζεύγος α ντι - ' δι αμ ετρικώ ν σημείων του ισημ ερινού της γη ς με την ίδια θερμο κρ ασία . (Θεωρούμ ε τη συνάρτηση θε ρ μ ο κ ρ α σ ί ας κατ ά μή κο ς τ ου ισημ ερ ιν ο ύ σ υ νε χή) .

Ιπροσδιορισμός ρίζας μιας εξίσωσης (με προσέγγιση) Το θεώρημα Βοίεετιο εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας μιας εξίσωσης σε ένα διά στημα. Ο προσδιορισμός μια ς τέτοιας ρίζας μπορεί να γίνει με όση προσέγγιση

θέλουμε με τη βοήθεια της μεθόδου που ακολουθεί.

Μέθοδος της διχοτόμησης των διαστημάτων

•

Δίνεται μια συνάρτηση

συνεχής σ το [ α ., β ι ], για την οποία ισχύει

(αι)f(β ι) <ο. Έστω f(α l)<Ο<f(β ι) και ρ ε ι α ,

β ι) η ζητούμενη ρίζα .

Η μέθοδος εφαρμόζεται σε διαδοχικά βήματα:

Διχοτομούμε το διάστημα [α . , βι ].

Αν η ζητούμενη ρίζα Ρ είναι το μέσο μ ι του [α., βιJ, τότε η αναζήτησή μας τε λειώνει .

Αν όχι, τότε το Ρ βρίσκεται σε ένα από τα διαστήματα [α ., μ ι], [μ ι , β ι] (η δια

πίστωση γίνεται με την εφαρμογή του θεωρήματος Βοίεετιο), το οποίο συμβο λίζουμε [α2, β2J . Διχοτομούμε το διάστημα [α2.

P2J.

v=1

Αν η ζητούμενη ρίζα ρ είναι το μέσο μ2 του Ια .,

PlJ,

τότε η αναζήτησή μας

τελειώνει. Αν όχι, τότε το Ρ βρίσκεται σε ένα

από τα διαστήματα [α Ζ, μΖJ, [μΖ,

pzJ ,

το οποίο συμβολίζουμε [α), β )J. ο,

Τα βήματα αυτά φαίνονται στα σχή

ματα Ια, Ιβ και 1γ.

v=2

β,

v=3

Συνεχίζονταξ αυτή τη διαδικασία, μετά από ν βήματα, βρίσκουμε το μέσο μ του διαστήματος [αν, βν] για το οποίο ισχύουν:

δηλαδή το μ, απέχει από τη ρίζα Ρ απόσταση μικρότερη από

(β, -αι).

Αν θέλουμε το μ, να απέχει (διαφέρει) από τη ρίζα Ρ απόσταση μικρότερη του ι

ε, τότε κάνουμε τόσα βήματα ν ώστε να είναι

β, -Υαι 2

<ε.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι μια καλή προσέγγιση της ρίζας Ρ είναι

το μέσο μ, του διαστήματος [αν. βΥ]'

Για παράδειγμα, να λυθεί προσεγγιστικά η εξίσωση χ

ρίζουμε ότι μια ρίζα είναι η .J2). 2 Η συνάρτηση f(x)=x -2 είναι συνεχής στο

- 2 = Ο (της οποίας γνω

διάστημα [1,2] και

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος

f(1)f(2) <ο,

δηλ .

Bolzano.

ι Εστω ότι θέλουμε να βρούμε την προσέγγιση της ρίζας για ε

= Ο,Ο!.

Τότε, σύμ

φωνα με τα παραπάνω, πρέπει να κάνουμε τόσα βήματα ν, ώστε να ισχύει

22~ 1 <0,01 Αυτό σημαίνει ότι

<=:>

2 v> 100

<=:>

ν";? 7.

βήματα είναι αρκετά για την επιθυμιτή προσέγγιση.

Πράγματι: ν=l

α,=

[(α,)<Ο

'Αρα ...)2 ν=2

ε[l ,

α2=

[(α2) <ο ν =3

α3=1.25 f(α3) <ο

β l=2

μι =

[(βι»Ο

f(μl) =

1.5 (1.5) 2- 2 = 0.25> Ο

1.5] β2

= 1.5

f(β2) β3

f(μ2)

= 1.5

f(β 3)

μ2 =

= (1.25) 2- 2 = - 0.4375 <ο

μ3=1.375

f(μ3)

1.25

= (1.375)2 - 2 = - 0.109375 <ο

Τα επόμενα βήματα δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

αν

βΥ

μν

1 2

1.00000 1.00000 1.25000 1.37500 1.37500 1.40625 ].40625

2.00000 1.50000 1.50000 1.50000 1.43750 1.43750 1.42187

1.50000 1.25000 1.37500 1.43750 1.40625 1.42187 1.41406

3 4 5 6 7

Επομένως το μ7 = 1.41406 είναι μια προσέγγιση του από 0.01. 96

.J2

f(μ v)

0.25000 - 0.43750 - 0.10938 0.06641 - 0.02246 0.02171 - 0.00043

με διαφορά μικρότερη

Πρόγραμμα εύρεσης ριζών με διχοτόμηση διαστημάτων (BAS/C) Παραθέτουμε εδ ώ ένα πρόγραμμα με τη βοήθεια του οποίου μπορούμε εύκολα αι γρήγορα να προσδιορίσουμε τις ρίζε ς μια ς εξίσωσης, της μορφή ς

Nf(x) =

Ο όπου

FN f

το όνομα τη ς συνάρτησηξ στη γλώσσα των

f(x) = Ο Computers.

Το πρόγραμμα εφαρμόζεται και δίνει απάντηση, όταν η συνάρτηση

τις προϋποθέσεις του θεωρήματος

Bolzano

f ικανοποιεί

σ ' ένα διάστημα [α , β).

10 REM ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΕ ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ 20 REM « Α Λ ΛΑΞ Ε ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΗ 40 DEF FNf(X) = ... » 30 REM « ΓΙ Α ΝΑ ΤΑΙΡΙΑΞΕΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΟΥ ». 40 DEF FN f(x)=x7 2 - 2 100 INPUT « Α Ρ Ι ΣΤΕ Ρ Ο ΑΚΡΟ»; Α 110 INPUT « Δ Ε Ξ ΙΟ ΑΚΡΟ»; D 120 INPUT « Α Ρ Ι Θ Μ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ»; Ν 200 MESO = (Α + Ο) /2 210 PRINT " α" ;" . ";"d; " ";"FNf (meso)";" ";"MESO " 300 FOR J = 1 ΤΟ Ν 310 MESO = (Α + D)/2 320 PRINT Α; " ";D; " ";FNf (MESO) 330 IF (FNf (Α) > Ο ΑΝΟ FNf (MESO) > Ο) ΤΗΕΝ Α = MESO 340 IF (FNf (Α) > Ο ΑΝΟ FNf (MESO) < = Ο) ΤΗΕΝ D = MESO 350 IF (FNf (Α) < =0 AND FNf (MESO) >0) ΤΗΕΝ D=MESO 360 IF (FNf (Α) < = Ο AND FNf (MESO) < = Ο) ΤΗΕΝ Α = MESO 370 ΝΕΧΤ J 380 MESO = (Α + Ο ) /2 400 PRINT Α; " "; Ο;" ";FNf (MESO) ;" ";MESO 500 INPUT ΘΑ ΕΠΑΝΑΛΑΒΕΙΣ; (Ν /Ο)" ;Α$ 510 IF Α$="Ν " OR Α$= 'Ό" ΤΗ ΕΝ 100 520 END Ok.

Εφαρμόζοντας το παραπάνω πρόγραμμα για την εξίσωση χ στημα

[0,2],

!Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ Ο

d -1

FNf (meso)

2 1 2 .25 1 1.5 - .4375 1.25 1.5 - . 109375 1.375 1.5 6.640625Ε-02 1.375 1.4375 - 2.246094Ε-02 1.40625 1.4375 2. 172852Ε-02 1.50625 1.421875 -4.272461Ε-04 1.414063 1.421875 1.063538Ε-02 1.414063 1.417969 5.1Ο025Ε-03 1.414063 1.416016 2.335549Ε-03 1.414063 1.415039 9.539127Ε-04 1.414063 1.414551 2.632141 Ε-04 ,1.414063 1.414307 -8 .2016Ε-05 i1.414185 1.414307 9.059906Ε-05 11.4 14 185 1.414246 4.291536Ε-06 il .4 14185 1.414215 -3.886223Ε-05 11.4142 1.414215 -1 .72855Ε-05 11.4 14208 1.4]4215 - 6 .43 7 3 02 Ε - 06 11.4 14211 1.414215 - 1 . 0 7 2 8 8 4 Ε - 06 1] .4 14213 ].414215-2

ΙΘΑ ΕΠΑΝΑΛΑΒΕΙΣ;(Ν/Ο)? ί

! ' Ετσι βρίσκουμε ως ρίζα το 1.414214 .

Ι ι ι

Ι Ι

2 = Ο στο διά

βρίσκουμε μια προσ έγγιση της ρίζας της,που ως γνωστό είναι το

)2 .

MESO

1.414214

κεφάλαιο τέταρτο

ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

4.1 Ορισμοί Στα προη γούμ ενα μελετήσαμ ε τη σ υμπεριφορά των συναρ τήσ εων κοντ ά σε έ να σημείο Χ ο Ε IR. Για συναρτήσεκ; των οποίων το πεδίο ορισμο ύ δ εν είναι φρα γ μ έ νο είναι απαραίτητη και η μ ε λέτη της σ υμ περιφορά ς το υ ς για τιμέ ς το υ Χ

οσοδήποτε μεγά λε ς ή οσοδήποτε μικρέ ς ή , όπω ς πιο απλά λέ με , η συμπεριφορά τους στο άπειρο. Η συμπεριφορά των συναρτήσ εων στο άπειρο παρουσιάζει ιδιαίτ ερο ενδι αφ έ ρον γ ι α τη μελ έτη φυσικών φαινομένων, όπως π .χ . της ταλάντωση ς μιας χορδή ς

που θεωρητικά σταματάει « σ ε άπ ειρο χρόνο », ενώ πρακτικά ο παραγόμενο ι; ήχο ς γίνεται αντιληπτός για ένα με γά λο, αλλά πεπ ερασμένο , χρονικό

διάστημα.

Για παράδειγμα α ς θεωρήσουμε τη

συνάρτηση

1 f(x) = 1 + χ

1+ε ______ 1

που είναι ορισμένη στο σύνολο (ο,

~ 1 -ε

+ 00) (Σχ.Ι)

Από τη γραφική παράσταση της

δια

πιστώνουμε ότι, καθώς το χ αυξάνει α

περιόριστα,

το

f(x)

προσεγγίζει τον

αριθμό Ι. ι Οπως και σε προηγούμενες περιπτώσεις, η

διαπίστωσή μας αυτή

μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Σχ.1

Για κάθε ε> Ο υπάρχει Κ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ με χ> Κ να ισχύει

If (x) - Ι Ι <ε.

προκύπτει ότι αρκεί να πάρουμε Κ ~_l_

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το όριο της

+ 00,

όταν το χ τείνει στο

είναι

και γράφουμε

lim f(x) = χ -

Γενικότερα, για μια συνάρτηση

+ (ΧΙ

f ορισμένη σε ένα διάστημα της ιιορφής (α , + 00)

ορίζουμε:

• lim f(x) = (ε IR, χ -

•

+ ω

με χ> Κ να ισχύει Ι f(x) - f\ < ε

lim f(x) = + 00, χ-

Q:I

όταν για κάθε Μ> Ο υπάρχει Κ> Ο τέτοιο , ώστε για κάθε Χ, με χ> Κ, να ισχύει

• lim f(x) = χ-

όταν για κάθε ε>Ο υπάρχει Κο θτέτοιο, ώ στε για κάθε Χ,

+ω

00,

f(x) >

Μ.

όταν για κάθε Μ> Ο υπάρχει Κ > Ο τέτοιο, ώστε για κάθε Χ, με χ> Κ, να ισχύει

f(x) < -

Μ.

Από τους παραπάνω ορισμού; προκύπτει ότι: Για κάθε θετικό ακέραιο λ ισχύουν

ιiίηΧ ' =+οο + 00

α)

β)

lim --\--

χ-

+OC>

=ο

Απόδειξη

Οι συναρτήσεκ; χ ' και --\-- είναι ορισμένες στο (ο, + 00). χ

α)

Έστω Μ>Ο. Αναζητούμε Κ>Ο τέτοιο, ώστε για κάθε , :>Κ να ισχύει

χ '>Μ

χ> '../Μ

Επιλέγουμε Κ = '.JM, οπότε, σύμφωνα με τον ορισμό, έχουμε lim χ λ = χ-

β)

Η απόδειξη είναι ανάλογη .

π.χ. lim χ 2 = χ - +οο

+ 00 , lim χ -+οο

χ5 =

+ 00

•

+ 00, lim

χ -+ οο

3 Χ

=0; lim χ - 2 = ο . χ-+οο

Τα όρια (α) και (β) ισχύουν και για λ θε_τικό οητό,

π.χ. lim

χ - + οο

100

3-JX2 = lim χ 2 /) = + 00 , x-+e»

lim

Χ -+ο;>

--;-3-::::==-

Iim

χ-

σο

-k- =0. Χ

+ 00.

Στην περίπτωση που η συνάρτηση φής

eE 1R, όταν για

• lim f(x) =

κάθε ε> Ο υπάρχει Κ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ,

el < ε

με χ < _ Κ, να ισχύει Ι f(x) -

• lim f(x) = χ-

είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορ

00 ,β) ανάλογα ορίζουμε:

χ- -

f(x)

+ 00,

όταν για κάθε Μ> Ο υπάρχει Κ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ,

με χ <

- 00

• lim f(x) = -

00,

χ- - οο

_ Κ,

να ισχύει f(x)

> Μ.

όταν για κάθε Μ> Ο υπάρχει Κ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε χ,

με χ< -Κ, να ισχύει f(x)

-Μ.

Από τους τελευταίους ορισμούς προκύπτει ότι : Για κάθε θετικό ακέραιο λ ισχύουν α

. Ι1m

)

χ- -. οο

_ (

+ 00, - .. 00,

Π.χ. Iίm χ 4 = + 00,

όταν λ άρτιος

lim x J = -

lim

00,

χ --οο

X --Qo

β)

• • οταν λ περιττος

X-

Iίm ~ =0.

=0,

6 Χ

-QO

lim

χ- -

χ--φ

ΠΑ?ΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να αποδειχθεί ότι Iim ιι -

αι

2χ -- 1

Απόδειξη Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα (ο ,

Έστω

ε> Ο.

Αναζητούμε

Κ> Ο

τέτοιο,

+ (0) .

ώστε

για

Ε λέ πι

ότι

εγουμε

2χ

+ σο

- 1 Χ

. θε

οποτε για κα

lim χ-

ΚΙ = -

χ>

ισχυει

Ι χ

κάθε

<ε

να

ισχύει

2Χ - Ι 1 ...:...:.:---''χ

χ>Κ

Χ> -. ε

21 <

ε , που σημαινει

=2 .

2. Να αποδειχθεί ότι Iim (x J + 3) = χ -

- 00

Α πόδειξη Έστω Μ> Ο. Αναζητο ύμε Κ> Ο τέτοιο, ώστε για κάθε Χ, μ ε χ

χJ + 3< - Μ

ΧJ < - Μ - 3

χ< -

Κ , να ισχ ύει

3-JM+3 101

ΕπιλέγουμεΚ = 3~ , οπότε σύμφωνα με τον ορισμό, έχουμε lim (χ + 3) = - 00. 3

χ -

/ΧΙ

4.2

Ιδιότητες των ορίων στο άπειρο

Οι γνωστές ιδι ότητες των ορίων στο Χ ο Ε IR , η πρόταση της § 2.5 και η παρα τήρηση τη ς σελ .

90,

ισχύ ο υν και στην περίπτωση των ορίων στο άπειρο . Αρκεί ο ι

συναρτήσεις να είναι ο ρ ισ μ ένες στα κατάλλη λα σύνο λα . Για το λόγο αυτό δ εν τι ς επ α ναλα μ β άν ου με .

Ενδεικτικά αναφέρουμε μόνο τις παρακάτω, για να φανεί πώς διαμορφώνεται η διατύπωση τους στην προκειμένη περίπτωση .

Αν lim g(x)=O και για κάθε χ>α ισχύει !f(x)! ::;g(x), τότε lίm f(x)=O

•

.Ί( - + οα

χ-+οο

• Αν για κάθε χ> α ισχύει h(x)::; f(x) ::;g(x) και lίm g(~) = Ε, lίm h(x) = Ε, τότε )ι-

lίm χ -

•

Τέ λος , ο πί να κας τη ς σ ε λί δα ς

+ 00

+ οα

χ-

f(x) = Ε

ισ χύει και στην π ερίπτ ωση τω ν ορίω ν στο

ά πε ιρ ο .

ΠΑΡΑΔΕ1ΓΜΑΤΑ

1. Να αποδειχθεί ότι lim ~ = ο χ-

+ GCI

Απόδειξη Πράγματι, για κάθε

xEIR * = ( - 00 , ο) υ (ο, + (0)

ισχύει

!7'I::;R · Ε πει δ η· Ι Im χ-

ι 1 -ι

' . = Ο , επεται οτι

και

Ι·ιπι ~ -- Ο

χ-

+ 00

Απόδειξη

2. Να αποδειχθεί ότι Iim (2χ χ -

+ CIO

Sx + 7) = + 00

Πράγματι, για χ::#:ο μπορούμε να γράψουμε 2x3 -5x+7 =2x 3(1- ~ +~ ) 2χ

Επειδή lim

, -+ <»

102

lim

.χ- + <»

(2χ 3) =

+00,

2χ

και lίm (l -~ +~)=l-O+O =I , έχουμε .χ -+<»

(2χ)-5χ+7)= Χ-+ lίmο> [2x3(1 -~ 2χ

2χ

+2,)]= lim (2xJ ) ' lim 2χ '

χ- +<»

Χ -+ο>

(I-~ 2χ

+2,)= +00 2χ '

Να αποδειχθεί ότι

3 2

Jίm + 00

χ-

Απόδειξη Εργαζόμενοι ανάλογα έχουμε

>L-

2+ 2χ -7 ----2χ - Χ + 5 3χ

lim + '"

3(1+----L. -~) 3χ 3χ 2

= lim χ- + 00

3 2

+~) 2χ

2(1--1

2χ

Γενικότερα ισχύει:

Πρόταση

α)

lίm

Ρ(χ)

αν '

χ- + οο

!im )( -

β) lim ~ =~. lim ~

χ -+ οο

+00

Q(x)

β,

χ -+ οο

ΧΙ(

Απόδειξη α) Για κάθε Χ

μπορούμε να γράψουμε

Ρ(χ) ~ α .« , ( Ι + -.!!'-" _ Ι

α ,.

χ'

+~ 'χ\. )=α,χ " α,

g(x)

(1)

~------~----~-------------

g(x) Επειδή

lίm g(x) = Ι + Ο + .. .. + Ο = 1 και το χ - + οο

ίσο με αν ' lίm χ ', λόγω της χ-

(1),

+ c:ιo

lim )( -

lίm ανχ ν υπάρχει στο

"- + 00

και είναι

έχουμε Ρ(χ)=α ν·!im χ

χ - +οο

+ 00

β) Κάθε ρητή συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α ,

+ 00)

με κατάλληλο α (μεγαλύτερο από τη μεγαλύτερη ρίζα του παρονομαστή). Όπως και στην

(1),

για κάθε χ*Ο μπορούμε να γράψουμε

Q(χ)=β κχ Κg ι(χ), με

lim gI(x)=1+0 + ... +0 =1, χ -

+ 00

οπότε ~

Q(x)

_ α νχ νg(χ) - β κχΚgι(χ)

(2)

Επειδή υπάρχει το lim βανΧ : στο iR και Iim &f&.( = .Ι, = 1, λόγω της (2), χ -+ οο

κχ

χ- + οο

Χ)

έχουμε ιω

, pfx\ Ι' . ανχ m~= l m - ΙI χ- +'" Q(X) χ - +___._β ,χ '

~. Iim βlζ

Παρατήρηση: Η πρόταση ισχύει και όταν χΜια σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος

χ- +00

•

κ"

- 00 . Bolzano

και της προηγούμενη,

πρό'τασηξ είναι η παρακάτω χαρακτηριστική ιδιότητα των πολυωνύμων περιτ τού βαθμού.

Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Απόδ ε ι ξη

Έστω το πολυώνυμο Ρ(Χ) = ανχ

+ α ν - ιχ ν -Ι + .. .+ αιχ + α., αν;;ι!:Ο και ν περιττός.

Αν α .ο-Ο, σύμφωνα με τα παραπάνω είναι

lim χ--οο

Ρ(χ)=α ν'

Iim

ν=

- 00

και

χ - -οο .

Iim χ - +οο

Ρ(χ)=α ν'

lim

ν=

+ 00

χ -+οο

Επομένως, υπάρχουν α, βεIR τέτοια, ώστε Ρ(α) <ο και Ρ(β)

>0,

δηλαδή για

την πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(χ) ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος

Bolzano

στο διάστημα [α.β]. Υπάρχει λοιπόν οπωσδήποτε μια πραγματική ρίζα

του πολυωνύμου,

Αν αν <ο, η απόδειξη είναι ανάλογη .

•

ΠΑ Ρ Α Δ ΕΙ ΓΜΑΤΑ

1.- Iim ( -2x J + x 2 -1)= -2· lim (x J)= -2'(+00)=-00 χ- + οο

χ -+οο

- lim (5x 6 - x 4+2x 2 - x + I ) = 5 · lim χ 6=5'(+0Ο)=+0Ο χ --οο

- lίm + χ-

χ -- οο

2 = - 3

'11m

χ - + '"

χ2 -Ζχ

- Iim - cc

= - 3· lim -;χ - -αι

χ-

=- -

= - 3 lim X --cxI

χ 3 = - 3 . ( - 00)= + 00

- lim χ-

2. Να υπολογιστεί το όριο Iίm vl4x z + χ - 3 χ -

::'00

Λύσ η

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού Α=( 104

00, - l ] U [+

, + 00).

Επειδή lim (4χ 2 + χ - 3) = 4·lim χ 2 = + ω, είναι και lim ν'4χ 2 + χ - 3 = + ω )C - ± oa

χ - ±οο

χ - ± οο

Να βρεθούν τα όρια:

Ι) Iim (ν'4χ 2-χ+Ι χ-

-2Χ)

iί) Iίm (ν'4χ 2 - Χ + 1 - 2Χ) ,- + OD

- 00

Λύση

i) Επειδή

lim ν'4χ 2 - χ + 1 = + ω (όπως παράδ . 2) και Iim (2χ)= - ω, έπεται χ-

-οο

χ --

lim (ν'4χ 2- χ+1 χ-

-2Χ)= lim .J4X 2_ ~ - lim (2χ)=+ω-(-ω)= +ω χ-

CIO

ίi) Επίσης lim ν'4χ 2 - χ + Ι χ-

οο

+ 00

χ-

= + ω και lim (2χ) = + ω, οπότε για την εύρεση χ-

του ορίου lim (ν'4χ 2- Χ + 1 - 2Χ) δεν μπορούμε να εργαστούμε όπως στην χ.!..

+ co

περίπτωση ί), γιατί οδηγούμαστε σε απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:

f(x)= (.Υ'4Χ2_χ+ 1-2χ)(.Υ'4χ2-χ+ 1 +2Χ) .Υ'4χ 2-χ+ Ι +2χ

-χ+Ι

.j4X2_X+ 1 +2χ

χ( -Ι ++ ) /xl Η

~4-+ + 7 +2χ

είναι ορισμένη στο (Ο,

Επομένως

lim 'f(x) χ-

+ OQ

ω), όπου γράφεται

-1+0 "';4-0+0+2

-1 4

- 1+ - 1 f(x) = _ ;=== = ==-_ _ 14__1_ + _1_2 +2 ν χ χ χ

105

Ι.

Με τη βοήθεια του ορισμού, να αποδείξετε ότι:

Iim 5χ - 4

\- +

••

11)

11m -

ν)

= +

ίίί)

(Χ)

3χ +4

lim χ -

-(Χ)

CIΩ

(Χ)

Να βρείτε τα όρια :

Iim (2χ' -5χ+7)

\_ +

ίν)

ίί)

CIΩ

ν)

(ΧΙ

νί) lim '- -00

Iίm 1(-

5χ ~ 3

2Χ'

Iim

νίί)

2χ +χ'+3χ

χ-

+ 00

- 3χ + 7

"')

νιll

3χ+6

-φ

ίχ) Jim ~-x+t χ) lίm (χ + Ι _χ - 5Χ ) χ - 2 ., - + 2χ - J 2χ + 4

, -

ίίί) lίm ~·x+T

lίm (2x - x'+5-3x J ) '( -

lίm (ν'3Χ'+5 +ν'Χ '-χ+3) χ -

νί)

=+(Χ)

CXI

5 -2 IΧ-41

Iim χ -

lίm \- -

χ2 _ 1 - -

.χ-" ο:ι

χι

Ι'1m ν'25χ -- - - '+3 - -

' -.00

- 9

Ι.1m (χ-+-5 2

χ-

3χ

- 00

3 -χ-+-

)

Να βρείτε τα όρια :

ί) lim (~ - 5χ) χ-

ίί) lίm (";Χ 2- 4χ - Χ)

+ 00

ν)

lim χ-

- 00

ili)

+00

Jt-

Jim

(V!)x2_ X

+ 3Χ)

'1- - 00

215-xl +3 lχ-41 +8

νί) . lim χ-

(\&+1 - J,J;:)

+ 00

Β' Ομάδα Ι,

Να βρείτε τα όρια :

') Ι·1m

ili)

jXΠ-.JX

lίm

ί)

106

)

- χ ημ-

χημ

Iim χ-

L- _

-JXf+5+x

Να βρείτε τα όρια : 2χ

~+x

lim χ - - οο

+~ -2χ)

(vx 2 + x + J

χ- +φ

ii)

χ-+ οο ...;x+T-~

ii)

cι:ι

...."._.__.__._--'

Iim χ- +

.._ ._ _

.~~,

.. ...... ~.~

..jiJ+X-x

r--··-------------· - - - - - - -- - - - Ι

ίίί) Ιίιιι (ημ",Γχ+'ι -ημν/~)

χ- +

ίν)

c:o

Iim

χ - -+ ω

(χ η μ Ρ _Ι_ ) , ρ εΙΝ*. Χ

[

. Ι

Ι ι

Αν

Ι ί)

Iim χ-

- <Χι

r(x) =

r(x)

λε IR, να βρείτε το

2χ " - χ + 3

- --

ίί )

--'--

χ- Ι

Αν μ εlR , να βρείτ ε τ ο

r(x) = -

f(x)

μχ + 3 χ + 2 2χ+6

a E IR, να βρείτε τ α ό ρ ι α :

Iim (~ =--5~ +7

xνX2+l "------

+αχ)

ίiί) Γ(χ) = ν/4χ 2 - χ -2χ

μ (χ 2 1 χ) - ( χ 2 + 3)

Ι ί

= ---'---':--:-----'--"' - -'----=-' μ 2 χ 2 _ χ (χ + 3) + 2 .

ίί) Iim χ -

οο

+ 00

(.JX2 +x+T

+ ν/χ " - χ + αχ )

Ιι

Να προσδιο ρ ί σετε τις τ ιμ ές των α .β ώστ ε

lim .\ -- +

ί ί) Γ( χ )

λΧ) , όταν

αν

lim r(x) ,

'\- + 00

Αν

.χ - ,

χ - Ι

ί)

lim (r(x) ,'\-

(ν/αχ 2 + ~- - ν/~~ +βx~ ) = Ι

ται α π ό τη σ υνάρτηση

Ρ(Ι) --, .2. · 2(Ι- I~:+1 'Ρ ο , όπου ρο ο αρχικό; πληθυσ μόξ των ψαριών. 3 (ι - Ι)" + Ι

Μ ετ ά ι έτ η από τον καθαρισμ ό ε νό ς π ο ταμού ο π ληθυσμ ός Ρ ιι) των ψαριών δίνε

ί) Να β ρεί τε τα

lim

Ρ(ι) και l ί m Ρ( ι) και ν α ε ρ μ η νεύ σετε τα α ποτ ε λέσματα .

ι- Ι

ίί ) Ν α βρ είτ ε τα l ί m 1-3

!-~

Ρ ιι) και

Ρ(ι) κ αι ν α ε ρ μ ηνεύ σετε τα α π οτ ε λέσματα .

lim

ι - + χ

Η συχ νότ ητ α ενός ε κ κ ρε μ ούτ; εξ α ρ τά τα ι απ ό τ ο μ ήκος του

r και

δίνεται από τη συνάρ τηση ν(Ι) = .

σταθ ερ ό ς . Να βρείτ ε τα

l i Πl ν , ι'-υ

και

l ίrn

1'- .

οο.

όπου κ > 0 ν ( I' )

κ αι

! !

-2Ul.(lLUiL

να

ε ρ μ ηνεύ σ ε τε τα αποτελέσ ματα.

( \

ι.

_. \

...._

._....__ _ ~

Ι Ο7

, --ι

κεφάλαιο πέμπτο

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΙ· ΟΙ ΙΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5.1

aX,lo9ax

Γενικές έννοιες

Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με συναρτήσει ς των οποίων το πεδίο ορισμού ή ταν ένα διάστημα

ένω σ η διαστημάτων . Στο κεφά λαιο αυτό θα ασχο ληθούμε

με μια ειδική κατηγορία συναρτήσεων, των οποίων το πεδίο ορισμού είναι το σύ νολο των θετικών ακεραίων ΙΝ*, τι ς οποί ες ονομά ζουμε ακολουθίες. Γενικά :

Μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνο λο ΙΝ* των θετικών α κεραίων ονομά ζεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή πιο απλά ακολουθία.

Σημείωση: Αντί των γραμμάτων

f,g,h, . ..

για την ακολουθία θα χρησιμοποιο ύμε

τα γράμματα α.β.γ ...

Για την ακολουθία α

ΙΝ*

οι τιμές

α(I), α(2), ... , α(ν), ... συμβολίζονται α ι , α 2," " αντιστοίχωξ και ονομάζονται !ος, 20ς , ...

α ,ο , .. .

νιοστός ή γενικός όρος της ακολουθίας .

Συνήθως την ακολουθία α θα τη συμβολίζουμε

(α "α 2,α" .. ·Ι ή (αν) νεlΝ* ή (α ν ) Επειδή η ακολουθία είναι συνάρτηση, πολλές φορές γράφουμε και α ,ο = α(ν), νΕ ΙΝ*.

ι Αμεση συνέπεια της ισότητας των συναρτήσεων και του ορισμού της ακολου θίας είναι: Δύο ακολουθίες (α .) και (β,.) είναι ίσες, όταν για κάθε-ν Ε IJ"~* ισχύει α, = β., Παραδείγματα και γ ρ α φ ι κ έξ παραστάσεις ακολουθιών έχουν μ ε λετηθεί στην Β ' Λ υ κείου.

109

Πολλές από τις έννοιες που έχουμε μελετήσει στο

κεφάλαιο και αφορούσαν

τις συναρτήσει; μπορούν να διατυπωθούν και για τις ακολουθίες. ι Ετσι:

Μια ακολουθία (αν) είναι

• •

άνω φραγμένη, όταν υπάρχει Με Έ τέτοιο, ώστε για κάθε νεΙΝ"* να ισχύει α ν :5 Μ

•

κάτω φραγμένη, όταν υπάρχει

m EIR

τέτοιο, ώστε για κάθε νεΙΝ"* να ισχύει

ay~m

•

φραγμένη, όταν υπάρχουν

m, MEIR

τέτοια, ώστε για κάθε νεΙΝ"* να ισχύει

Για παράδειγμα , η ακολουθία

- (- 2 -

ν)

είναι άνω φραγμένη, αφού

2 <ο για κάθε ν εΙΝ"*,

(Ζ ") είναι κάτω φραγμένη , αφού 2 ν~2 για κάθε ν εΙΝ"*,

-(+)

είναι φραγμένη, αφού

0<+

:51

για κάθε νεΙΝ"* και

..... (( -l) ν ν) δεν είναι ούτε άνω, ούτε κάτω φραγμένη .

•

Μια ακολουθία (αν) είναι

•

αύξουσα, όταν για κάθε

VEIN* ισχύει

•

φθίνουσα, όταν για κάθε νεΙΝ"* ισχύει

•

γνησίως αύξουσα, όταν για κάθε νε ΙΝ* ισχύει

α"

•

γνησίως φθίνουσα, όταν για κάθε ν εΙΝ* ισχύει

α ν>αν + l .

αν~αν tΙ,

< α. , ι.

Γενικά μια ακο λουθία ονομάζεται μονότονη, όταν είναι αύ ξουσα ή φθίνουσα , και γνησίως μονότονη, όταν είναι γ νησ ίως αύ ξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Για παράδειγμα, η ακολουθία

[ Ι ,4,9 ,... ν 2 , •••

είναι γνη σ ίω ς αύξουσα,

r -3, -6, -9, ... , -3ν, ( -1,1, -1 ,...,( -Ι) ",

είναι γνησίως φθίνουσα και δεν είναι μονότονη .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΑ

1. ΙΙΟ

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία αv= ν-;ρμν ,ν εΙΝ* , είναι φραγμένη.

Απόδειξη Για κάθε ν εΙΝ* ισχύει

ν+7lημνl 3"

Επειδή

3" = (1 + 2)" ~ 1 + 2ν

(ανισότητα Βεηιουίίί), έχουμε

lα"I::::~ < ν +7ν =4 , 1 +2ν

2ν

που σημαίνει ότι η ακολουθία είναι φραγμένη .

2. Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία αν = _ν_ είναι γνησίως μονότονη . l+ν

Απόδειξη Για κάθε ν εΙΝ* ισχύει ν+

α,, +,-α,,=~

1 - - - - - > 0'

ν+Ι

( ν+1)(ν+2)

που σημαίνει ότι α., ι> α", δηλαδή η ακο λουθία είναι γνησίως αύξουσα.

3. Να εξεταστεί αν η ακολουθία 0.-= -" , ' ν εlΝ*, όπου e ο γνωστός αριθμός e

του

Euler (e = 2,71 ...),

είναι

ί) μονότονη ,

ίί) φραγμένη.

Λύ σ η ί) Για κάθε ν ε ΙΝ* ισχύει

~ =-

---

αν

(\1+ l)e " =~::::~ vcV+' ve ve

=-.L < 1, e

e" και επειδή οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί, έχουμε α. , ι

< α ν,

δηλαδή η

ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα .

ίi) Η ακολουθία (αν) έχει θετικού; όρους και είναι φθίνουσα. Επομένως για κάθε νε

ΙΝ *

ισχυει

ο <α ν:::: α, = - 1 , e

που σημαινει οτι ειναι φραγμενη.

11 )

5.2

Όριο ακολουθίας

Το πεδίο ορισμού μιας ακολουθίας είναι το σύνολο ΙΝ*, που δεν είναι άνω φραγ μένο. Έχει λοιπ όν νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της ακολουθίας στο άπειρο, δηλαδή όταν το ν-

+ 00.

Στο

κεφά λαιο περιοριστήκαμε στη μελέτη

συναρτήσεων με πεδίο ορισμού ένα διάστημα. Επειδή οι ακο λουθίες δεν είναι ο ρισμένες σε διάστημα , κρίνουμε σκόπιμο να επαναλάβουμε, κατάλληλα διαμορ φωμένο, τον ορισμό του ορίου για ακολουθίες.

Ορισμός

Θα λέμε ότι η ακολουθία (αν) έχει όριο το

REIR και θα γράφουμε

lim av=R, ν-

σο

όταν, για κάθε ε ο Ο, υπάρχει νοεΙΝ* τέτοιο, ώστε για κάθε ν > ν, να ισχύει

Ια ν - ει <ε . Πολλές φορές αντί

αν =

Iim

γράφουμε

lim

αν =

ν- +ω

eή

ακόμη

αν

e, ονομάζεται συ e. Στην περίπτωση που e=Ο

Μια ακο λουθία η οποία έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό

γκλίνουσα. Λέμε τότ ε ότι η ακολουθία συγκλίνει στο η ακολουθία ονομά ζεται μηδενική.

Ορισμός

α) Θα λέ μ ε ότι η ακολουθ ία (α ν) έχει όριο το

αν =

lim ν-

+ 00

lim

αν =

+ 00

+ 00 ή

και θα γράφουμε

αν

+ 00,

οα

όταν , για κάθε Μ>Ο, υπάρχει νο εΙΝ* τέτ οιο, ώστε για κάθε ν > ν,

ν α ισ χύε ι β)

Θα

αν> Μ .

λ έ με ότι η

lim

v- +

αν

ακο λουθία

= -

(α ν)

lim

αν

έ χ ε ι, ό ρ ιο το

= -

αν

00 -

και θα γράφουμε 00 ,

όταν, για κ άθε Μ >Ο , υ πά ρχει νοΕ ΙΝ * τέτοιο, ώσ τε για κάθ ε ν > ν,

να ισχύει

αν <

Όταν μια ακολουθία δεν συγκ λίνει ή έχει όριο το

+ 00

ή -α>, τότε λέ μ ε ότι

η ακολο υ θία αποκλίνει ή είναι αποκλίνουσα. Στους π αραπάνω ορισμού; δ εν μα ς ε ν δ ι α φέ ρ ε ι η συμπεριφορά πεπερασμένου πλή θ ο υ ς ό ρ ω ν, γιατί μπορούμε να πάρουμε το V o αρκ ετά μ εγάλο, ώστ ε οι όροι

αυτο ί ν α μην παίρνουν μέρος στις ανισότητ ες l αν - eι <ε ή αν>Μ ή α;«; -Μ .

112

Με ά λλα λόγια , γ ια οπ οιοδήπο τε σταθερό κ Ε ΙΝ * ισχύει η ισοδυναμία

(*) που σημαίνει ό τι η ύ π α ρξη κ αι η τιμή του ορίο υ μιας ακο λουθία ς δεν επηρεά ζε ται, αν διαγρ ά ψο υμ ε π επ ερασμένο π λή θο ς -:Ι μ ω ν . Ας θ εωρήσουμε μια συνάρτηση

+ 00),

ορισμ ένη στο διάστημα (Ο,

και σε κάθε ν ε ΙΝ * . Τότε η συνάρ τηση με τύπο

f(x)

επο μέ νω ς

και π εδίο ορισμού το ΙΝ * είναι

μια ακο λουθία την οποία θα συμβο λίζο υμ ε ( f(Y») . Για παράδ ειγμα , στη συνά-

ρτηση

f(x) =

χ + 1

αντιστοιχεί η ακολουθία

f(v) = --,--2

ν + 1

Η παρακ ά τ ω πρ όταση μα ς δί νει τη δ υν ατ ότητα να προσδιορ ίσουμ ε τ ο όριο μια ς ακο λο υ θία ς χρησιμοποιών τα ς τι ς π ροτάσ ει ς τ ου 40 υ κ ε φα λ αίο υ .

Πρόταση Για μ ια συνάρτηση

Αν

ορισμέ νη στ ο δ ι ά σ τ η μ α (ο ,

lim f(X) = CE:ιR, χ -

τ ότε

+ (0)

ισ χύ ει :

lim f(v) = C

Η απόδ ει ξη π αρα λείπεται .

Για πα ράδειγ μα , έχουμε lίm(νημ~ . Π ραγματι,

αν

θ' εω ρ η σ ο υ μ ε

)= 1

τη συναρτηση

f ( Χ ) = χημ 1 Χ

τ ότ ε

ημ -

οπότε

Ιίm(νημ~ ) = 1

Επίσης α ν ε φ α ρ μ ό σ ου με τ η ν προη γο ύμ ενη πρόταση για τι ς συ ναρτή σ ει ς Χ

ι.

και

- Ι)

,ο π ου

λ θ ε τικ ος .

ρ η τ ο ς,

εχο υ με:

Χ '

lim ν = λ

+ 00

κ αι

l ίm _1_. =0 ν'

r.ι]ρατηΡiΙσεις ί) Αν μ ια συ νά ρ τ η σ η

ορίζεται σ ε έν α δ ιάστ η μα τη ς μ ορ φή ς (α ,

η ακο λ ο υ θί α με γε νικό ό ρο

f(v)

+ 00) ,

τότε

ορίζε ται προφα νώ ς γ ια τα ν ε ΙΝ * , μ ε ν > α.

Π . χ .Α νf( χ) = --}Χ-= Γ, τ ότε η ακο λουΟία f(v) = --}v- 7- ορίζεται για ν ~7 . Ι

ίί ) Το α ν τ ί σ τ ρ ο φ ο τ ης πρ ότ αση ς δεν

ι σχύε ι. Για πα ράδ ε ιγ μ α , η σ υ ν άρτηση

Ο, αν xEIR \ ΙΝ ( Σχ . l )

δε ν έχε ι όρ ιο σ το

α κολο υ θ ία

5.3

•

Ι , αν χεlΝ

f(x) =

+ 00 ,

ε νώ η

(f(v») σ υγ κλίνει

σ το Ι.

•

Σχ.1

Ιδιότητες των ορίων ακολουθιών

Οι γ νω σ τές ιδιότητ ε ς των ορίων σ υναρτήσ εων που μ ε λετήσ αμ ε στ α προηγού μ ε να ισ χ ύ ο υν κ αι για α κολουθ ίες . Ε ν δ εικτικά αν αφέ ρ ου με τι ς παρα κάτ ω ιδιό τη

τε ς, που ισ χύο υ ν εφόσον δεν εμφανίζονται ' απροσδιόριστ ες μορφές:

Αν Iima,, = fEIR, Ι ίm β ,. = m EIR , τό τε

• lim(a,. + β.) = lima,. + l ίmβ ,. = f + m • lίm (α ,.β ,.) = lima,.· Ιίmβ ,. = fm

· (α,.) Iima" = - f , οταν , • Ι 1m - - =----=..:..:='β, Ιίmβ ,. m

m* Ο .

• lim ( α ,γ = (Ι ί πια.) " = Ι' '-, λ ε ΙΝ Για τι ς ακο λ ο υθίε ς, ε κ τός α π ό τκ; γ νω σ τέτ; ιδι ότητ ε ς των ορίων , ισ χύει κ αι η πα

ρ α κ άτ ω πρό τα σ η , π ο υ α ποτελε ί ΚΡΙΤΙ1ΡΙΟ σύγκ λισης ακο λου θ ίων .

Πρόταση Κ ά θ ε μ ο νό το ν η κα ι φ ρ αγ μ ένη α κολουθ ία ε ί ν αι σ υ γ κ λ ίν ο υσα .

Η α πόδ ε ιξ η τ ης π ρ οτ ασης παρατίθ ετα ι σ το π α ρ ά ρτημ α. Σ η με ιώσ τ ε ό τ ι δ εν αρκ εί η ακο λουθ ία ν α ε ί ν αι φραγ μέ νη για να σ υγκ λ ίν ει ,

π . χ . η ακ ο λ ο υθ ί α με γεν ι κό ό ρ ο α , =( -Ι ) '" ενώ ε ίν αι φ ρ αγ μέ νη, δ εν σ υγ κ λί νει .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Ι. Να

απο

δ ειχ Ο ε ι·

οτι η ακο

λ ο υ θ ια '

α,

( -ν 1) ' !lH =ί +2 ν- •

νε

ΙΝ* ,

ειναι μη

δ ε ν ι κ η. .

Απόδε ιξη

Επειδή για κάθε ν εlΝ* είναι ια,. I= 1 · ] ' =Ο ' -, Ι Im,

ν -

11 4

εχου μ ε

Ι Im ' .a ,. = Ο .

( - Ι) " η μν Ι ~ --:---=--ν ) + 2ν

< _ 1_, ν-

και

2. Να υπο λογιστεί το Iίm( Λύση

- _ .-

ν 2 + Ι -ν !

Για κ άθε ν ε ΙΝ* είν α ι -Jv 2 + 1 -ν= -":"-":"":--":" V-V2+ Ι + ν

.JV2+l

+ν

ΕπειδήΙim(~ +ν)=+ 0ο , έχουμε lim(-Jν2 +I- ν)=l ίm Γ. Ι . ν ν2 +

5.4 1.

J +ν

Χαρακτηριστικά όρια αν Ι λΙ < Ι

lίm λ ' =Ι Ο, Ι

+ 00,

αν λ> 1

Απόδει Εη

•

Αν λ = Ο , η ισότητα είναι προφανής.

•

Αν λ > Ι, τ ότε υ π ά ρ χει θ

τ έτοιο, ώ σ τε λ

Επειδή λ "= (Ι + θ) " ~ Ι + ν θ> νθ και

•

Αν Ο < l λ l <l , τότε ιh

> 1,

οπότε

= Ι + θ.

lim(ve) = + limW

00 ,

= +

έπεται ότι και lίm λ "=

00 .

Ι ι

Ι λΙ '

Π. χ.

lim(

-f

)" = 0, lim+

lim '\!a

=1 , α > Ο

lim ",..Ιν-

Ο ι απο δ είξε ι ς των απόδειξη τ ο υ

=0, lim

2,3

και

Αν

π "=

00 ,

lim x,, =

lίm e"= +

±οο, τό τε

00 .

•

ι ) Χ" = e lim (1 + Χ"

παρατίθ ενται στο παράρτημα, ενώ παραλείπεται η

5.5 Η έννοια της υπακολουθίας Αν [ α ., α 2 ,' '' ' α" , ... 1 είν αι μια ακο λο υθία , τότε κάθε επιλο γή ά π ειρ ω ν όρων τη ς

με τη σειρά π ου εμφανίζονται είναι μια υ πακσλουθία τη ς ακολουθίας (α .), π . χ . ο ι ακ ολο υθ ίετ;

J 15

είναι δύο υπακολουθίες της (α.), που τι ς συμβολίζουμε με (α~,. _I)

και

(α ~,.)

αντιστοίχωξ.

Ισχύει η επόμενη πρόταση, την οποία παραθέτουμε χωρκ; απόδειξη

Πρόταση α) Αν μια ακολουθία έχει όριο, τότε και κάθε υπακολουθία τη ς έχει το ίδιο όριο .

β) Αν για μια α κολουθία υπάρχουν δύο υπα κολουθίες που έχουν διαφορετι κά όρια, τότε η ακολουθία δεν έχει όριο .

Για παράδειγμα,

Η ακολουθία με γενικό όρο (ι

++)"

έχει όριο το

οπότε και η ακολου-

2\'

θία (ι + 21ν) έχει όριο το Η ακολουθία α ,

= Ι + (-

ι) " δεν έχει όριο, γιατί α .,

-Η ακολουθία α,.=ημ( ν

2π

α.,· _ι

ακο λουθία

a lv- I

5.6

= ημ(4ν - 1)-

-(2ν-l)

α ,.

ενώ α ~,.

) δεν έχει όριο , γιατί α~,.=ημνπ =O

=ημ(2νπ

= (-

- -

)= -

= 0- ο.

Ο, ενώ

Ι.

1) "ν δεν έ χει όριο γιατί, α . ,

2ν

00 ,

ενώ

00.

Σχέση ορίου συνάρτησης και ορίου ακολόυθίας

Η επόμενη πρόταση δίνει ένα εύχρηστο κριτήριο για την ύπαρξη ή μη του ο ρίου μιας συνάρτηση ς .

Πρόταση

Μια σ υνάρτηση Γ έχε ι στο σημ είο χ ο όριο

ακο λου θία (Χ ;.), με X,.:;t: Χ " και Χ ,. -

PEIR, αν , και μόνο αν, γ ι α κάθε

Χ" ισχύει f(x,.) -

Ρ.

Η απόδειξη της πρόταση; παραλείπεται. Η πρόταση ισχύει και όταν Χ "

= +

.ή Χ"

= -

και άμεση συνέπειά τη ς ε ίνα ι το

επόμενο κριτήριο μη ύπαρξης ορίου συνάρτησης.

] 16

Αν υπάρχουν δύο ακολουθίες (α ν) και lίm [(α ν ) "*

lim

και (β .),

Από την προηγούμενη πρόταση και το όριο

lim χ -

.. 00

(ι

+_1_)' =e

με lίm αν = lίm β , = XoEJR

f(β v), τότε δεν υπάρχει το όριο της

της

f στο Χ ο ·

§ 5.4 προκύπτει

και

Π Α ΡΑΔ Ε Ι ΓΜ ΑΤΑ

1. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = ημκ , δεν έχει όριο στο

+ 00.

Απόδειξη

Πράγματι, για τις ακολουθίες (νπ) και (2νπ + ; ), . οι οποίες έχ ουν όριο το + 00,

ισχύουν

lim f(vn) = !im ημ(νπ) = Jim 0= Ο

και

lίm ψνπ + -}) = lim ημ(2νπ + ; ) = lίm Ι = Ι Επομένως δεν υπάρχει το όριο της f στο

00 .

117

Να α ποδειχθεί ότι η συνάρτηση

f(x) = η μ

δεν έχει όριο στο σημείο χ" = ο

Απόδε Jξη Πρ ά γμ ατι, γ ια

)

τις ακολουθίες (2~-; και

Ι π

που συγκλίνουν στο

2 πν + -

ι σ χύο υ ν

l ίπι

f(_I_. ) = lί ιη

η μ (2πν) = lim Ο = Ο και

2πν

fl-1 -

lim

Ζπν

+ .n-

Ιίιη ημ(2Π\' +

- =

; ) = l ίΠl J = J

Επομένω ς δεν υ πά ρχει το όρ ιο τη ς Γ(χ) = ημ-' - στο Ο . χ

- - Α Σ Κ Η Σ Ε / Σ ->'c"'-'''''''''-"",-~"""=.",=="""",,,,,,,,,->i

ι.

_ _

ΑΙ Ομάδα

.....-., ... ...-

....

_ ---------

- ..

Π οιε ; απ ό τι τ; π α ρ α κά τω α κ ο λ ο υθί ε .; ε ί ναι φ ρα γμ ένεξ:

Ι'

•

+(-

Ι) '

ι ) α , = -- -ι'

1' \') α , = - \' + Ι

Να μ ε λετή σ ετ ε τη μ ο νοτ ο νία τ ω ν ακο λ ο υ θι ών

=-=-J \ ,-+ Ι-

ί) α ,

ίί) α,

" ')

= \ 'ν : + Ι

111

.ίν)

\ .

2 + -α , =. _ 5

ν+1

ν) α ,. = -

3 · ν!

Ν α βρ εί τε τα ό ρ ι α τ ω ν α κολουθ ιών

ίι )

= - ( -- ι) '"2ν : + Ι

ίί ) α ,.=

,.) Ι' " ν ." ί \ '

7' . ι

2ν : - ν + 1 , 2ν

3ν'

1+2 + ... + ν =--3ν-• :

νί ί) α =--- ' -

11 8

( - Ι) ',,

α ,. = -- · -

Ι'

' ii ί ) α , =

2 ,, - 1 + 3' -=----4 '· ....- J ''--.

ί ίί ) α ,. =

ν ί ) α,

.J4v' - ν +2 -- 2

Ι ' + 2' + ... + v' -" -=-----'--'=----'..: ( Ι !- ν)(5ν + 2)

ίχ) α, = ( ι + -+.- (

Ι -t.

. οτι . Αν δινεται

] )'" e . οτ. αν Χ"

IIm( Ι + -.-

χ \.

να β ρείτε τ α ά ρ ω τ ω ν α 1';0 -

00 ,

λουθ ιών

ί)

7ν

0.,. = ( J +

ίί) 0." = ( 1

-7 )"

Αν I i m~ = f >O , να α ποδ είξε τ ε ότι

α,

β ,.

Ηί)

0. ,. =

111

(- -- 2 )" ν+ Ι

β ,.

Β' Ομόδα

Ι :: Α ν α,. =Ο ,3η ...1 να απ οδείξετε ότι lim 0.,,=_1_ . 3

~ ν ψη φί α

. ] - σ υν " χ . . . . Α ν α ,.= ! I m --,-- , ν E IN ~ να β ρ ειτ ε το ο ρ ιο τ η ς α κο λουθια ς η μκ

, ·0

β ,.

Να α π οδ ε ί ξ ετ ε ό τι ο ι π αρα κ ά τ ω α κο λ ο υ θί ε ς δε ν έ χ ουν ό ριο

i) 0.,. =

ί)

ν'

α,

=( 2ν + 1

3ν + ]

,-ο

0.,. =

(4ν + 2 3ν +

ϊί)

.Iim ,-ο

(ε φ_!-

ί ίί)

)

Iί m χ -

(σ υ ν κ)

<Χι

Να βρ ε ίτε τ α ό ρ ια των α κ ο λουθιών

νη μ

L --

ίiί ) α "

Ν α απο δείξε τ ε ό τι δ εν υπ άρ χου ν τ α π αρακάτω ό ρ ι α

ί) Iί m (ημ ~) 6.

iί) α" = 2ν !~υν(π ν)

Ι ) 'ν

2ν+

Να β ρε ίτε τα ό ρ ια τω ν ακο λ ουθ ι ώ ν

α, = 2 ' η μ+

ί ί)

0.'. =

._.

2 + ημ ν (

2 + η μν

, , >• .

•• _

. ..

• • _• .

• • -

- - -. • - - - -

- - -- - -

J 1 ~

5.7 Η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση •

Εκθ ετική συνάρτηση με βάση

Στ ην Β ' Λυκείου ορίσα με τη δύνα μ η α ', μ ε α >Ο και α '=

x EIR, ως εξήξ:

α "' .

Jim

όπου ρ , είνα ι μ ια δεκαδ ική προσέγγ ισ η του Χ με ν δεκαδ ικ ά ψ ηφία . Γε νι κ ό τε ρ α αποδ ε ικνύ εται ότι: Αν α τ- Ο,

x EIR

κα ι

(q,)

μια οποιαδήποτε ακολουθία ρ ητών αρ ιθμών με

q,. -

τ ό τε η ακολουθία (α η ,) έχε ι όριο π ά ντο τε τον ίδιο αρ ιθμό, τον οποίο συμβολί ζούμ ε με α ', δηλαδή:

Αν α >Ο,

x EIR τότε α'

= lim α ".

όπου (ο.) μια οποιαδήποτε ακολουθία ρητών αρ ιθ μώ ν με

Ο α ριθ μός α ', α>Ο και

q,. -

x EIR. είναι μ ο νο σή μ α ν τ α ορισμένοξ και θετι κός . Γ ια τι:;

δυνά μ ε«; μ ε πραγ μα τ ικού; εκθέτει; ισχύουν όλε ς οι ι δ ι ότητε ς τ ω ν δυνάμεων μ ε ρητο ύξ εκθέτες.

Για α > Ο και α

*- Ι

η συνάρτηση

IR μ ε f(x) = α '

f : IR -

ονο μά ζετα ι ε κθε τ ι κή σ υ ν άρ τη ση μ ε β άση α.

Αποδ ε ικνύετα ι ότι η εκθετικ ή συνάρτησ η

•

Είναι γ νη σ ί ω ς φθίνουσα ό τ α ν Ο

Iim

•

α ' =Ο

και

lim '1-

lim \ -

•

f( x) = α'

Ε ίναι γ ν η σ ίω ς α ύ ξουσα όταν α > Ι

α '=

+ 00

,;ο

κα ι

= +

00.

όταν α > Ι

(Χ:Ι

lim .\ -

α'

<α< Ι

α '=Ο

ό ταν Ο

<α < Ι.

Είναι συνεχής . ι Ε χ ει σύνο λο τιμών το (Ο ,

+ 00).

Είναι « έ ν α προς έ ν α» , αφο ύ ε ί ν αι γ ν η σ ίως μ ο ν ό τονη .

Η γρα φική παράστασ η τ ης ε κ Οε τι κ ής συνάρτηση τ; δ ί νε τα ι στα σχήματα Ι και

120

~.1

~.2

• Λογαριθμική συνάρτηση μ ε βάση α Ε πε ιδ ή η εκθετικ ή συνάρτ ησ η

= α', Ο

f(x)

α "* Ι , ε ίν αι « έ ν α π ρος ένα » , υπάρ

χει η αν τίσ τροφή τη ς

f" ' : (0, +

IR,

00) -

μ ε Γ'( χ) = lοg"Χ

η οποία ονομά ζετα ι λο γα ρ ι θμ ική σ υνάρτηση μ ε β άση α .

Η τιμή

f "(β) = !οgαβ , ονομάζε τα ι λογάριθμος του αριθμού β ως προ ς βάση α.

Ι Ι ρ ο φ α ν ω τ; ι σ χ ύ ει

Υ = α'

χ=

log"y,

δηλαδή α '''~α ' = Υ, π ο υ σ η μ α ίνει ότι lo gnY είναι ο αρ ιθμός σ τ ο ν οποίο πρ έπε ι να υ ψ ω θ ε ί ο α γ ια ν α π ρ ο κ ύ ψ ε ι ο Υ.

Η λογαριθ μ ική σ υ ν ά ρ τηση

!ognx,

ως αντίστροφ η τ ης α ',

•

Έχε ι π ε δ ίο ορι σ μ οί> τ ο (Ο,

·ι

Είνα ι γνη σ ίως αύξουσα , ό ταν α>

Ε ί ν αι γνη σ ίωτ; φθίνουσα, όταν Ο

•

και σύνολο τι μών το

IR.

Ι .

Είνα ι σ υ ν ε χή ξ

lim log nx = -

•

+ 00)

χ - Ο·

Iim lo g"x - +

κα ι

lim lo gnx = + \- +

και

\ -0 '

Η γραφ ικ ή παρά στασ η τ ης

00 ,

lim !og"x =-oo, \_ ..-

όταν α > Ι .

οο

ό τανΟ <α< Ι .

α-

lo gnx εί ναι συμ μετρική της γ ρ α φ ι κή ς παράστασ η ς

της Υ = α ' ως προ ς τη διχοτό μο της Ι η ς και 3 ης γωνία ς των αξόνων ( Σχ .3 και 4) . Για τ η συνάρτησ η

!o g"x ισ χύ ουν ο ι γνωστές α πό τ η Β ι Λυκείου ι διό τη τε ς των

. λογαρίθ μων .

121

/ / /

/ /

/ / "", / /

/ χ

/ /

/ α >1

0 <0 <1

Σχ.4 @

εf.!{θε7Τitt'rj (Jg}{/6Jp)~t-g~TJ1 ε~ ·'

[ ι

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον γ ια την Ανάλυση και για τι ς εφ α ρμογ ές παρο υσιάζ ει η ! εκθετική συνάρτηση

Eule r. Θυμίζουμε e = lim (ι + L)'. Ο αριθμό; e είναι άρρητος και ε ίναι e = 2,71828 . Χ _ . οο

με βάση τον αριθμό

του

ότ ι

Η συνάρτηση e'ονομάζεται απ λώς εκθετική συνάρτηση. Ε π ειδή

e> 1 η

σ υ ν άρτηση

έχει όλες τις ιδιό τητες τ ης εκθετικής α ', με α>

Θ Η λσΥαΡiθμική σuvάΡ"Fηση !2ιλ: Μια ά λ λη σ υν ά ρτηση πο υ επ ίσηξ παρ ο υσιά ζει εν δι αφέ ρ ον .γ ι α την Ανά λυση και

για τις εφα ρ μ ογές τη ς είν αι η λογ α ρ ιθ μι κή με βάση τ ο ν αριθμ ό e, δη λ . η log,x,

τ ην ο π ο ία ο νο μάζου με λ ογ αριθ μι κή συνάρτηση κα ι τη σ υμβ ο λίζουμε ,Π Χ. Ο αριθ μ ός Ιηβ ονο μ άζε τ α ι φυσικός λ ογ ά ρ ι θ μο ς του β.

Επ ει δή

e> 1 η

σ υνάρτηση

In x έχε ι ό λ ε ς τι ς ι δι ότητ ε ς του logox, με α > 1.

Α πό τα παραπ άνω πρ ο κ ύπτ ει ό τι:

• Η αντ ί στ ροφ η τη ς e' είναι η Ιη χ • y=e ' <= χ =lηΥ · • a = e I " " γι α κ ά θ εα ε( Ο,+ οο) . • a ' =e ,I"a, γ ια κ ά θε x EIR, αφού a ' = (el"a)·' =e,i"a Σημ είωση:

f( x) > Ο .

122

Μ ε βά σ η

τα

π α ρα πά ν ω ορ ίζου με Γ(χ) φ ι , )

= e 'PI ψo rI' ) γ ι α κ ά θ ε Χ , μ ε

= ..""""""'."...._

ΑΣΚΗΣΕΙΣ =-~~""" .

-- - -- -- ---- - -

Α ' Ομάδα Ι.

Να β ρείτ ε τ ο πεδίο ορισμ ο ύ τ ων συ να ρ τ ήσ εω ν:

ί) 2.

f (x) = (] + --;- )

ίί ) f(x) = Ιη ( ~ χ

+ 6χ)

Ν α βρ είτ ε τ ο σύνολ ο τιμ ώ ν τ ω ν συν αρτήσεων:

ί ) Γ(κ ) ~ e" • ι 3.

iί) 'Γ(Χ) = 21ηκ - 3

= Ι +e '

Γ() 3e ' + ] Χ = ---e' + 2

Ν α απ ο δείξετ ε ό τι είναι σ υν ε χε ίς ο ι σ υναρτήσε ι ξ :

ίί ) Γ(χ) = lη( χ 2 + χ - 2)

ίiί) Γ(χ) = χ ) \ . ι

Ν α με λετήσ ετ ε ω ς π ρο τ; τ η σ υν έ χεια τι ς σ υ ναρτήσειξ :

χ2 -

ί)

2 •

Γ( χ ) = iΙ I.~ X - χ . χ

" ') 111

, ί ) f(x) = e 2, " .. I

ίίί ) Γ(κ) = I,n ( Ι - e' )

Ν α προσδ ιορίσε τ ε την α ντίστ ροφη συ νάρτ ησ η τ ης Γ , ό τ αν : ί) Γ( χ )

ίί ) Γ( χ) ~ Ι η(χ 2 + e)

- Ι .

e' + 2

χ ::; 1

ίί) Γ(κ) =

I< x< e

[

x ~ e

lη(κ 2

χ <Ο

+ 1)2,

x~ o

Να β ρεί τε τα ό ρια

ί)

Iim χ -

ίί)

Iim χ -

CIO

σο

e" ι + 2

e'+ ]

ίίί) lim [( 2 χ - 3)lnx] \ - 0·

Β ' Ομάδα Ι.

Ν α βρείτε τ ο

l ίm Ίι; -

. c ' +2 ' - ι ι ) Γ( χ ) = , ο ' 2 '

f(x) , αν

... 00

ίί) Γ( χ) = α ' - Ι + 4 ' , α > Ο

•

α'

Να βρ ε ίτ ε τα ό ρ ια των α κ ολουθ ιω ν :

Ι ) α , = 2 Iπ(3 ν) - lη ( ν 2 ίίί ) α ,

+ 4' +1

= Ιη ( ν + ημ ν ) -

+ Ι ),

2lην ,

ίί) α ,- = 31π ν - l η ( 2ν 2

ν+ Ι)

ί ν) α , = I n ( .J~"+I - ν)

Να μ ε λ ετήσ ετ ε τη μο νοτονία τ ω ν α κολουθ ιών :

α,. = ι π-ν-, v+ 1

") i1

α ,.=

Ι n- ν -+ Ι 2ν

2.1

. Να βρείτε τα όρια των ακολουθιών:

a,. :=e~

Ι .

\.J

a,. = .e ~

a,.=e~

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 50U ΚΕΦΑΛΑ ΙΟΥ

Δ ί νεται η συ νάρτ η σ η Γ(χ)

I - .JX

= Ιπ ---.:...~:....::.. )+.Jχ

ί ) Να βρ εί τε το πεδίο ορ ισμού τ η ξ . ίί ) Να βρ ε ίτε το σ ύνο λ ο τιμ ών τηξ . ίί ί) Να προσ διορ ίσετε , ε φόσ ον υ π ά ρ χε ι , την αντ ίσ τρο φή τη ς σ υνάρτηση . ί ν ) Να αποδ εί ξε τε ότι ε ίνα ι συνεχή ς και να βρείτε το l ίm Γ(χ) . '( - ι

Α\' λ ε

( - 2,0) U (Ο,

-Ι- (0), να βρείτε το όριο τ ητ; α κολουθίας

α,. = (~ ±l..- )" 2ν +

ί ) Α ν μ ία α κ ο λουθ ία (α ,.) είναι α ύξο υσα και μη φ ρ α γ μέ νη άνω, να απ οδείξετε ότι l ίm α ,. = -Ι- 00

ii)

Να βρείτε το όριο τητ; ακολουθίας (α.), με α... 1 = Ja,. ~ -Ια ,. +

Δ ί νε τ α ι η ορίζουσα ν τ άξης Να βρ ε ίτ ε το

lίm

α,

]

μ ε λ- Χ > -Ι και χ :#:Ο

α,

S. Θεωρού με το τ μ ήμ α τη ς παραβο λήτ; Γ(χ) τ; x ~ , Χ Ε [ Ο , 1] ί ) Αν ν ΕΙΝ*, να υ πολογίσετε τα αθροίσματα

ί ί) Αφού δώσετε τη γεωμ ετρι κ ή ση μ ασ ία των ε" Εν και παρατηρήσετε ότι γ ια τ ό

124

ε μ β α δ ό ν Ε (σχ . J) ισ χ ύ ει ε , $ Ε $ Ε ,. γ ι α

κά θε νΕ ΙΝ*,

Ι Ε=)

ν( ν -Ι- ] )(2ν -Ι- Ι)

( .

Δίν ετα ι οτ ι Ι - + 2 - -Ι-

... +Υ

να

αποδ είξ ετε ό τι

6 . Αν Ε ,. το εμβαδόν του κανον ικού ν-γωνου που είναι εγγεγραμ ένο σε κύκλο ( ο, R) και Ε', το εμβαδόν του π ε ρ ιγ εγ ρ αμ μ έ ν ο υ στον κ ύκ λο κανον ικού ν-γώ νου

ί ) Να εκφρά σετε τα Ε ,. , Ε

ως συνάρτηση του αριθμο ύ ν των πλευρών του

π ο λυ γ ώ ν ο υ.

ίί ) Αφού π αρ ατηρήσ ετ ε ό τι για το ε μ β α δ ό ν Ε του κύ κ λου ισχύε ι Ε,.:$ Ε:$ Ε '", να α ποδε ίξετε ό τι Ε = π R 2 .

Στο διπλα νό σ χήμα τ ο τρίγ ω ν ο

AB"r " είναι

ισό-

πλευρο πλευ ράς α. Αν Β ι ,Β 2 , Β

...

μ έ σ α των Α Β ,,,Α Β ι ,ΑΒ 2 , . .. .

αντισ τοίχως και Γ ι ,Γ 2 , Γ

μ έ σ α τω ν

.. .

ΑΓ",Α Γ ι,Α Γ 2 , ... αν τισ τοίχως ί ) Ν α υπολογίσετε το μήκος ι , τ ης γ ρα μμής Β οΓ ι Β 2Γ,Β, ... Β 2ν ίί ) Ν α β ρε ί τ ε το

lim \'_ + 00

Ι ,.

Β# ο ~-------------" Γ

/ 25

κεφόλαιο έκτο

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜ ΟΣ

6.1

Εισαγωγή

Δυο μεγά λα προβλή μ α τ α που απασχόλησα ν του; μ α θη μ α τ ι κ ού; από την αρ χα ιότ ητα ωτ; τκ; αρχές του 1 7 0υ α ιώνα ή τ α ν ,

το π ρ ό β λη μα τ ης εφαπτ oμtνης , δηλα δή τι θα ονομά ζου με εφα π το μένη μιας κα

μ πύλη τ; σε ένα ση μείο της κα ι πώτ; μπορού μ ε να την προσ δ ιο ρίσουμε .

το πρ όβ λη μα τη ς τ οχύτη τα ς. δηλαδή τι θα ονο μ άζουμε τ α χύτητα ενότ; σώμα

τος του οποίου η κίνηση δεν είναι ομαλή Π .χ . στην ελεύθερη πτώση ενό; σώμα τοτ; τι θα λέμε τ α χύτητ α μια οποιαδήπο τε χρονική στιγμή ;

Τα προβλή μ ατα αυτά οδήγησ αν τ ουτ;

Ncwton

κ αι LeibnΊZ στην ανακά λυ ψη ΚΟΙ

ανά :π: τυξη ενότ; νέου δυναμικού κλάδου Τα/ν Μ α θηματικών , που ονομά σ τηκε Δια φ ο ρ ικός Λ ογισμό ς . Η μεγά λη επ ιτυχία τω ν

Newton

και

Leibniz ήτ α ν ό τι

α νακά

λυ ψ αν τη βαθ ιά εσω τερι κή σ χέση που συ νδέει τα προβ λήματα αυ τ ά . Ωσ τό σο πρέπ ε ι ν α επ ισημά νου μ ε ότ ι ο Δ ια φ ορικό ς Λ ογ ι σ μ ό; δεν είνα ι έ ργο μ όνο των

Newton

και

Leibniz.

Στη ν π ρ αγ μ α τικότ η τ α είναι το αποτ έλεσμα μιατ;

μ ακρόχρονη ; προσ π ά θειατ , η οποία ξε κ ίνησε α π ό του; ΑΡ χαfους ' Ελλη νες, πρ ιν από

2.000

χρόνι α .

ιο Το πρόβλημα της Εφοπrομέvης Από την Ευ κ λείδει α Γεωμετ ρία είναι γνωσ τό ότι εφ απ το μένη ενό τ; κύκλου σε ένα σ η μείο τ ου Α, λέ με τη μ ονα δι κή ευθεί α του επιπέδου του , η οποία έχει μ ε τον κύ κ λο έν α μό νο κοινό σημ είο , τ ο Α . Είναι φανερό ό τι ο ορ ισ μό τ; α υτότ; δεν μπορεί να γενικευθεί, ώστε να δίνει την εφ απτο μένη κ άθε καμπύλτ κ; Ο, α φού τότ ε οι ευθε ίες (ε) (Σχ .Ι κ α ι σ α ν να χαρα κ τηρισ τούν ω τ; εφαπ τό μενε τ τη τ;

2) θα

μ πορού

σ τ ο Α, ενώ τι (εΖ) (Σχ .3) όχι. Αυ

τό ό μω τ; δε θα ήταν σϋμ φω νο με τη ν εποπτι κή εικόνα που έχουμε για την εφαπτομένη.( Σχ.3 - Σ'χ .4)

Υ Υ

'",

Υ = 1.

Υ =-

1 χ .2

Σχ . 1

Σχ . 3

Σχ, 4

(

Στ α παρακάτω , για τη μ ελέτ η του π ρφβλήματοτ; τητ; εφα π τομένης, θα περιοοι- ] στοϋμε σε κ α μπύλες που είνα ι γραφικέτ; π αρ ασ τ ά σεκ; συνα ρ τήσεων .

' Εσ τω Υ = Γ( χ) μ ια συνεχήτ; συνάρτηση μ ε γρ αφ ι κή π α ράστ α σ η C, A(x...f(x,,» ένα σ τ α θερό σ ημ ε ίο τητ; C κ α ι M(x,f(J(» ένα α κόμη ση μείο τ η τ; με χ ;t: Xo (Σ χ . 5 κα ι

6).

Τα σ ημ εία Α ,Μ ο ρίζουν τ η ν ημ ιευθεία ΑΜ τ ητ; ο π οίας ο συντε λε στ ή ς διεϋθυν σ ητ; είν αι ο λόγ ο ς μεταβο λή ς της

ή Τ Ο πηλί κο δ ιαφ ο ρών

λ(χ) = f( x) - ( Κο ) χ

Ότ αν το σ η μείο Μ

•

(Ex .S κα ι 6)

•

κ ινείται πάνω στη

ρό σ ημείο Α από δεξιά, δη λα δή ό τ αν χ -

πλησιάζοντ ας το σ ταθε

τ,", τότε η η μ ιευθεϊ α Α Μ μπο ρ εί

ν α πάρει τ η ν ορι α κή θέ ση Α Ν . Αυτό συμ βαίνει ό τ α ν υπ άρχει το

l2χ

Iίm

f(x) - f(&)

. - ....

χ -χ.,

Αν το ό ριο α υτό είνα ι πρ αγ ματικ ό τ; αριθ μ ότ, τότε εκφ ρ άζει το συντελ εσ τ ή διεύ θυ νση ; τ ητ; ημ ιευ θείω ; Α Ν .

:"..

- ~

ι ι

-__ ~. / / Ν - -::: ~ ~ --------: (,j

,,- - -,

Σχ .5

•

ι !(xl - Ι(χ ο)

---=-- ---

)

/'~ :

\""~'..- '" .• '

. (. )(.Ι(χ)

Σχ .6

" Οτ α ν τ ο σ η μείο Μ ( Σχ . 5 και

κινείτ α ι πά νω σ τη

ρ ό σ ημείο Α α π ό αριστερά , δη λαδή ό τ αν χ -

πλησ ιά ζοντ α; το σ τα θε

Χ ο- , τότε η η μιευθεία ΑΜ μ π ο

ρεί να πάρει τη ν ο ρια κή θέση ΛΑ . Αυτό σ υμβαίνει όταν υπά ρχει το

Iim

f(x)

. - ...-

f(xo)

Χ-Χο

Αν το όρ ιο αυτό είναι πρ αγ ματι κ ό τ; αριθμότ , τ ότε εκφ ρ άζει τ ο συ ντ ελ εστ ή δ ιεύ θ υνση; τητ; ημ ιευθεία τ; ΑΑ .

" Οτ α ν υπάρχουν οι ο ρια κέ τ; ημιευθεϊετ; Α Ν , ΛΑ κ αι είναι αντ ι κεϊμενετ; ημ ιευ θείε ς ( Σχ . 6) . π ου ση μ αίνει ότι

lim f(x) ~ -Jo·

(χ,,)

'" lίm

χ -χ"

---'0-

f(x)

f(x.,)

χ - χ"

τότε ονομ ά ζουμε εφα π τ ομένη της C σ τ ο σ ημείο A(x".f(x,,») τη ν ευθεία (ε) που ο ρίζετ α ι από τη; η μ ιευθειεε Α Ν κα ι ΛΑ .

Αν το χ.. είνα ι ά κ ρ ο του πεδίου ορισ μού τη; Ι, τότε εφωτωμένη τη τ; γραφική τ; πα

ράστ αση τ; τητ; f στο A(x.,. f(x.,» ονο μά ζου με τη ν ευθεία που είνα ι φορέα ς τη τ; α ντ ίστοιχη τ; ο ρ ια κήτ η μιευθείω ; .

•

Το ιτρόβλημο της ταχύτητος Ένα υλι κό σ η μ είο Α κινείται πάνω σε μια ευθεία χ 'χ την ο ποία θεω ρού με ως

ά ξονα . Έ σ τω

5 : ι-

5ω η συνάρτη ση θ έσης του ση μείου Α , δηλαδή η συνά ρ τηση

τη τ; οποίας η τιμή

5(1) δίνει

τη συντ εταγμένη τ ου Α τη χρονική στιγμή τ .

Τι θα ονομ άζου με τα χύτητα του Λ τη χρονι κή σ τιγ μή ι..:

129

Γνωρίζουμ ε ότι η μ έ ση τ α χύ τητ α του Α σ τ ο χρονικό δ ιά σ τη μ α (Ι Ο , Ι], με ι

*to

είναι το πηλίκον τητ; μετ ατόπ ιση; τ ου Α πάνω σ τον άξονα χ ' χ προτ; τ ον αντί στοιχο χρόνο. δη λαδή

5(t) - 5(1,) ι

Α π ό την ε μ πειρία γνωρίζουμε ό τι ό σ ο πιο κοντά σ τ ο 10 μετρ ήσου μ ε τ η μέση τα χύτητα . δ ηλαδή ότα ν

100 τόσο αυτή προ σεγγίζει μ ι α ορισμ έ νη τιμ ή. Τη ν

1 -

τι μή αυτή ονο μάζουμε στιγ μιαία ταχύτ ητα τ ου σημε ίου ή ρυθμ ό μεταβο λή ς τ ητ; μετα τόπιση;

• Ετσι

του σημείου τη χρονική στιγμ ή ι, κα ι τη συμ βολίζου με υ(Ι~) .

έχουμε :

υ(t,,) = ιίm 5 (t) -5(t,,) ι -ι"

6.2

ι -ι .

Η έννοια της παραγώγου

Στη ν προσπάθειά μας να λύσουμε τα δυο προηγού μενα προβλή μα τ α . τ α ο ποία σε πρώτη ματιά φαίνοντα ι τελείω; διαφο ρε η κ ά , κ αταλήγουμε κ α ι στκ; δυο περ ι -

πτωσε«; να α να η τησου με το οριο του π η

λ ηω ' δ ια φο ρ ω, ν f(x)-f(x · ) υ

μ ιας σ υ-

χ - '" να ρ τ η σ η τ;

f. ΤΟ

όρ ιο αυτ ό εκφ ράζει τη ν εσωτερ ι κή σχέση π ου συνδέε ι τ α δυο προ

β λήματ α κα ι αποτελεί το κύρ ιο στοιχείο του Δ ιαφορι κ οϋ Λ ογισ μού . Για μ ια σ υνά ρ τ η ση

ο ρισ μ ένη σ ' έν α δ ιάσ τημα Δ κ αι χ" ε Δ . η αναζή τη ση τ ου

ορίου αυτού έ χει νόη μ α , αφού το πηλί κο δ ιαφορών

είνα ι μια συνάρτ η ση ορ ι σμένη στο δ ι ά σ τη μ α Δ

\ !X.J(JJ.

Ορ ισμ ός ' Β σ τ ω μ ια σ υνάρτηση

ορισμένη σε ένα διάστη μ α Δ κ αι χ"ε Δ.

Θα λέμε ότι η συνάρτηση

είναι παρ αΥωγίσι μη στο χ". όταν υπάρχει το

Iί m

f(x ) - f(x,,)

.-."

χ -χ"

κ α ι είν α ι πραγμ ατι κ ό τ; αριθμότ . Το ό ριο αυτό ονομάζετ α ι παράγ ω γος τ η; στ ο χ" και σ υμβολίζετ α ι μ ε

[ ' (χ,,) .

", Το σ ύνολο αυτό είνα ι τη; μορφή ;; (σ , χ,,) υ Ι '\ο , β ) όταν τ ο "" δεν είνα ι ά,φ ... τΟ\) δι α σ τ ή μ α το;; ,\ ι\ (, .. , β ), όταν είναι δεξιό ή α ντ ίο τφι χα αρισ τερό ά •ωο του διασ τή μ α το; Δ.

είναι τη ; μ ο ρφή ;; ( α ,'. ) ή

130

Επομένως

[Ι (χ.,)

f(x) -

= lim

[("ο)

Χ -Χ ο

, -~

ΤΟ όνο μ α παράγωγος στο παραπάνω ό ριο δόθηκ ε από τον

G. W . Leibniz (1677)

ο οποίος το σ υμβόλιζε μ ε

..!!.!ΝΙ " ~ "σ dx Ο συμβολισμό c

είν αι μ εταγε νέστερ ος και οφείλετα ι στον

f' (xo )

J .L. Lagrange

(1772) . Π ρ οφα νώ ς ,

Αν τ ο χ ο δεν είναι ά κ ρο του δ ιαστ ή μ α τος Δ , τ ότε κα τ ά τ α γνωστ ά από τα ό

•

ρια , η

είνα ι πα ρα γωγίσιμη στο χ ο , ότ αν

lim χ-'ο

κα ι μόνον όταν , υπάρ χουν τα

f(x) •

[("ο)

και ε ίνα ι ί σο ι π ραγματι κο ί αριθμοί.

•

Αν τ ο χ ο είναι αριστ ερ ό ά κρ ο τ ου π εδ ίου ο ρ ισμ ού Δ, τότε ω ς παρά γωγο τ η ς σ το χ ο θεωρούμ ε το

f(x) - f(xo )

lίm

'- '0'

•

εφοσον υπάρχ ει κα ι ειναι

π ρ άγ μ α τ ι

Χ - Χο

κό ς αριθμός, δη λα δή

•

Ο μοίως, α ν το χ., είναι δεξιό ά κ ρ ο του πεδίου ορισμού Δ, τότε θεωρούμε ['(",,) ~ lίm

.-"""

Χ -Χ ο

......... ...

εφό σον υ πάρχε ι και ε ίνα ι π ραγματ ικό ; αριθμό τ ;

Π ολλές φορές είνα ι χρήσιμη η αντικατάσταση τη ς διαφορά ς χ- χο* Ο με

κ αι τητ; δια φοράς

f(x) - f(x,,) χ -

ή Δχ

μ ε ΔΓ(Χ ,,) ή ΛΥ. Τότε προφ ανω τ; ισχύουν .

Χο

h -

Δχ -

Ο,

ο π ότε για τη ν ( Ι (Χ ο ) έχου με τις "π α ρακά τω προφανείς ισ ό τητες Ι" '(Χ ,,)

= Πω

("(χ ) -

f{x,,) =

ΔΓ( χ,,) Λκ

χ - χ"

= lim Λχ _Ο

= Π ω f(x " + h ) - f(x,,) 1, - (1 h

f(xo + Δχ) - [<&,) Δχ

= Iim ~ Λ. _ο

Δχ

τ κ; οποίε ς θα χρησιμοποιούμε κα τά περίπτωση , χωρ ι; ιδιαίτερο σχόλιο.

]JJ

Π Α Ρ ΑΔ Ε Ι Γ Μ ΑΤΑ

Ι . Α Υ « χ) '" Χ Ι

β ρ εθ εί η

+ 1 να

μ η σ ι: κά θ ε σημείο Χο Ε

( ' ( - Ι ) και να απο δ ειχ θ εί ό τι η f είν αι π α ρα γ ω γίσ ι

Il .

Απ ό δ ει ξ η

Για χ *- - Ι έ χου με

•

= x l+ I - (- I ) I - 1

[ (x) - f( -I )

( - 1) =

ο π ότ ε Γ

f(x) - f( - I )

lίm

= Ii m

χ- ( - ι)

= χ- Ι ,

χ + 1

χ -(- 1)

(χ - Ι ) =

- 2.

,- - 1

Ομ οίωτ; για χ:;ι!: χ., έχουμε

•

= χ : + 1 - Χ/ -1

Ι'( χ) - Γ(χ,, )

χ -χ.,

χ - χ.,

ο πότε

f ' (x,,): Iίm Δη λαδή η

= lim (x + x,,) = 2x

f(x) - f(x,,)

Χ - Χ"

' - '<>

πα ρ α γωγίσιμη σε κά θε σημ είο

r είναι

για κάθε x"e lR.

. - ""

x.,e IR.

Υίσιμη στο σημείο 2. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτ ηση f(x) =.JX δεν εί ναι παραΥω χ. > Ο . Ο . εν ώ εί ναι παραγω γί σιμη σ ε κάθ ε σημ είο

Απόδειξ η

•

Για χ

,*0,

έχου με

f(x ) -f(O) χ -ο δη λαδή η

•

=-.:JL. ",, _,_ , ...;χ

οπότε li m

f( x) -

. -o ~

f<o)

χ -Ο

δεν είναι π α ραγωγί σ ιμη σ τ ο Ο .

Για κ άθε χ.. , χ ε (Ο ,+

00),

με

x;;t: x".

f(x) - [(χ, )

Π-,(Χ.

χ - χ,

ισ χύει χ

χ.,

(χ - χ,)( Π+ νΓχ:)

οπ ότ ε

Π+ νΓχ: δη λα δ ή η Ι32

r είνα ι

παραγωτίσ ιμη σ ε κάθε Χοε (Ο ,

+ ~) .

ι · "" Ι 1m . _0+

0:0 .JX = + '

Να εξετ αστεί αν η

f(x) :::

χ'

χ :::::; Ι

3Χ - 2 ,

είναι παραγωγϊσηιη στ ο χ.. =

χ >1

Λύ σ η

•

Για χ

<Γ,

έχου με

Ι(Χ)

χ- Ι

•

χ,

1( 1) =

= x ~ + x + Ι , οπότε

χ- Ι

lim χ -Ι

l(χ)- I( I )

χ- Ι

Για χ >I , έχου με

Ι(Χ)-Ι(Ι)

= 3x - 2 - 1

Χ- Ι

3 (χ

Χ -Ι

Ι)

Ι( Χ )

χ -Ι

f(I) 1

Β πομένω τ

f ' (I )=lirn f(x)- f( 1) δηλ α δή η

6.3

;;;3,

χ- Ι

' - 1

είνα ι πα ραγωγίσιμη στο χ ο = Ι .

Παραγωγισιμότητα και συνέχεια

Σ τη ν παρά γραφο αυτή εξετάζου με αν υπ άρχει κ άποια σχέση μεταξύ τω ν εν νοιών συνέχεια και π α ρ αγωγ ισ ιμότητα.

Η συνάρτηση

f(x) = Ixl

σ υ νεχή τ; σ το ση μείο χ ο

=Ο

είναι πρ οφα νώ τ;

( Σχ . Γ) .

" Ομωτ;

!xl - ο

ο lίm_ Ixl ._0 χ -ο

ιi ω ._0 ·

χ -ο

Iίm ~ = 1 και

χ _ο +

lim ~ "" _ 1,

.-0 -

δηλαδή δεν υπάρχει όριο του Ιχ! ο χ -ο

Ο , που σημαίνει ότι η σιμ η στο χ ο

, στο

δεν είναι παρ αγωγί-

Σχ .1

ο.

ΤΟ παρ ά δειγ μ α μα τ; οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μ ια σ υνά ρτη ση μ πο ρεί να είναι σ υνεχή ς σε ένα ση μείο χωρ«; ν α είνα ι κατ ' αν άγ κη κ α ι π α ραγωγίσ ιμη σ' αυ τ ό . Ι σ χύει όμως το αντίστροφο , δηλαδή Π ρότα σ η Αν, μ ια συνάρτηση

είναι πα ραΥωΥίσιμη στ ο χ ο , τότε είναι σ υνε χή ς σ τ ο Χο.

ι.υ

Απόδειξ η

Αρ κ εί να α ποδείξουμε ότι

Iim f(x) =: f(x",) s_..,

lim s_...

( f (K) - [(x",)~ =: Ο .

Γι α Κ*- Χο έχουμε

[(χ) _ [(χ,,) = [(χι - [(Χ,) Χ

Επειδή η

• (Χ - χ,,),

(Ι)

χ"

είναι παραγωγί σ ι μη σ το κο , υ πάρχει τ ο

Iί m s_...

f(x) - ( χ,,) =: (' (χ",) Χ -Χο

κα ι είνα ι ένας πραη ια τικό τ; αριθ μός . Έτ σι λόγω τη ; (Ι ) έχουμε

lim ([(χ)- [(χ,,» = [ '(χ,,) ·Ο .Ο .

•

.-~

ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑ

Να π ροσ δ ιο ρ ιστ ούν τα α. β ε ΙΙ, ώ στε η συνά ρτ ηση

f(X)=!

, αν x ~ Ι

ω.:+β , να ε(\'αι π α ρ αγ ω τίσιμη στο χ..=

αν τ

Λύση Θέλου με η

να είνα ι π α ραγωγίσι μη σ τ ο Χο =:

Κα ταρ χή ν η

π ρέπει να είνα ι σ υ

νεχήι; στο Χο = Ι , δηλ α δή

lim f(x) =: lim f(x) =f(l )

s- j ·

' Ετ σ ι η

γράφετα ι

s_ l _

f(x) =

' ! κ

α ' l + β =: ] '

αν

αχ +(Ι -α) ,

x:s Ι

αν χ > I '

β= l - α

( Ι)

οπότε

lim f(x)-f(l ) = lim x _ 1 = lim (χ Ι + Χ + I ) = 3 J

~ -I -

Iίm .- 1·

Επ ο μένω α , η β.

- 2.

χ- Ι

f(x) -f(l) Κ- J f

χ -Ι ·

= Iim

Χ - Ι

.-1 ·

κ αι

χ- Ι ·

αχ+ (Ι - α ) - 1 Χ

Iί m .-1 '

αΙ χ

Ι)

= α.

είναι π αρατωγϊσ ι μη στ ο Ι αν α = 3 , οπό τε λόΎω τ η τ; (Ι ) έ χου με

,. .

"~.

ΑΙ Ομάδα

Να βρείτε την παράγωγο τητ; συνάρ τησητ; Γ στο ση μείο Χο, όταν

ίΟ f(x) = ~ , και Χο=- 2

i) ((x) = x _ 3x, και Χο =- 1 l

ίίί) f(x) = η μ 2'1

κ αιΧο=Ο

Να εξετάσετε αν η

ί)

είν α ι παραγωγίσιμη στο Χο , όταν

, <2

(('1)=12'12+'1, 9χ. -8,

ίν) f(x ) = ~ καιχ ο = 1

ίί) f(x) = Ι ~

και Χο = 2

x~ 2

νχ - 3

,s3 »3

και

'10 =3

Ομοίως όταν

i) ('1) =21'1 - 11 και Χο = Ι

ίίί ) f(x) = .J 2x - 8 4.

Ανη συνάρτηση

και Χο = 4

ίν} f(x) = '~ και '10 = Ο

f είναι συνεχής στο Ο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = xf(x)

είναι π σραγωγίσ ιμη στο Ο.

Α ν για τ η συνάρτηση

f ισχύουν [(0) = 3 κ αι [ ' (0) =2, να β ρείτε την g '(O), ότ α ν

ίί) g(x) = f(x) - .....lf(x)

Ο g(x) = 2'1 2 [(χ) - Χ

Αφού μελετήσ ετε ωτ; προτ; τ η συνέχεια σ το χ ο τκ ; παρακάτω σ υναρτήσειτ, να

εξετά σ ετε α ν είνα ι παοωωγισιαεε στο Ζ

ί) [(χ) = 1 3 χ , Χ<Ι ί ί ί)

και

(x) =xlxl

Αν η συνάρτηση

lίm

f( x) -

καιχ,, = l

x~ι

2x J ,

f(X)= 13X- 61+ 2

κα ι χ,, = 2

'10=0 είναι π αραγωγίσιμη στο ση μείο α>Ο, να βρείτε τ α όρια :

(ία)

.jX-..[α

ίί)

8. Αν[(χ) =! χ +α , x:sI

ίί )

'10.

β~ . χ >1

lim , -ο

( fω)' - (f( α») ' .jX- ..j(i

να βρείτε τι τ; τιμές των α, β για τιτ; οποίετ; η

r είνα ι

π αραγ ωγίσιμη στο Ι.

135

Β ' Ομάδα

Ι.

A\' f(xl = τ ηση

ι ι(χ)ημ - ,

-\ *,0

:'Ι

κ α ι gΙO) = g ' ( O) =O , να α π οδείξετε όη η συνά ρ-

χ ", ο

εί να ι παραγωγίσ ι μ η στ ο Ο .

Α ν η σ υνά ρ τη ση

f ε ίνα ι πα ρ αγωγ ί σι μη σ το :'Ι'" να α π οδείξετε ότι κ α ι η συ-

νάρτηοη &(Χ ) = [ [(~)

Γ (χ,,) ( Χ - Χ,, ) • Ι ( χ,,) ,

Δυτται η συνάρτηση τκ; ο ποίε.; η

Αν

f(x) = η

Ν α β ρείτ ε τι; τ ιμ έ.; τ ου α για

χ -+α-

f ίί' είνα ι πo ρα-y<ιιyiσιμη σ το Ι .

α x ~ + β x -+ 3 .

Χ< ι

2 xl + yx + 2

Χ-

είναι παραγωγίσιμη στο Χ" .

,3:'1~ - α ~:'I4 •,

f(XI,",1

ί ) είνα ι σ υντ χή τ; σ το

Χ :$ Χ"

Χ > Χ"

να βρ είτ ε τ κ; τι μέ τ; τω ν α,

f είνα ι σ υνεχής σ τ ο Ι και Iim

f(l .. hl

ότι η

f είναι

να

α π οδε ί ξετ ε

lim ~ .. 4 να ο-ο

.'1.

α ποδείξετε

f ' (O) = 4.

Αν η συνά ρτησ η (( χ

γι α τι ; ο ποα;

πα ραγωγ ισ ιμ η στο Ι .

Αν η συνάρτηση Γ είναι πα ραγωγίσιμη στο Ο και ότι

f( I ) = O !(αι

...5,

0-0

εί ναι πα ρα γοη ίσ ι μ η στο Ι .

Λ ν η συνά ρ τησ η

ότι

11,

, .11. >1

εί ναι παρα ηωγίσι μη στο Ι

κ α ι γι α κά θε

X.yE IR·

ισχίιει

' }') = f(X) + fΙΥ ) . να α π οδείξετ ε ότι η f είνα ι π α οωωγισιμ η σε κά θε σημείο

x.,E IR- , ~~

""r.

Α ν η σ υνά ρτηση

f είνα ι π αραγωγίσ ι μ η στο Ο κα ι για κάθε :\,yE IR ισχίιι:ι ίΊ: χ + }')= f(x) -+ f(y) + 5Χ Υ . να απ οδεί ξετε ό τι η f είνα ι π α ρ αγωγίσ ι μ η σε " όθε ση μείο χ"ε IR.

. Α ν η συ νά ρ τ η ση [ εί ναι παρα γωγισ ι μη σ τ ο α κα ι

η συν άρτηση [ Ι] είν α ι π αρα γωγί σιμη στο α .

136

f(a ) ""O.

να α π οδεί ξετε ό τι κα ι

6.4

Εξίσωση Εφαπταμένης

Μ ε βάσ η τα προηγού μενα μ π ορούμε τ ώρα να δώσ ουμε την εξίσωσ η τη τ; εφ α

πτομ ένητ τη τ; γραφ ι κή; παρά σταση ; μ ια ς σ υνά ρτηση; f σ τ ο ση μείο A(~,f(x..» . Στην π αράγραφο

6. 1 είδα με

ότι οι οριακέτ; η μιευθεϊετ; ΑΝ και ΛΑ ( ΣΊ . 5 κ α ι

υπάρχουν, όταν υ π ά ρχουν τα όρια

.-.. l ίm

(:'Ι: ) - (Χ,.) 'i, -

•

Iim

"οι

χ. .

ΓΙ-χ)

Ι{χ.,)

χ...

,-\.,'

Α ν η f ειναι πα ραγωγίσιμη στο .:ι.. τ ό τ ε ορίζε ται η εφαπ τομένη στο ση μείο Α κ α ι ο συντελεστή; διεύθυνσή ; τη τ; είναι, λ=

[(χ)

lim

[(χ,)

~ [ ' (χ.)

χ - χ.

Ε πο μένωτ; η εξίσωσ ή τη; είνα ι

y -[(x.) ~[ ' (x.) ·(x - x.,)

y ~ [(x.,)+ [' (X.)· (X-x.,)

Ο συντελεσ τή ; διεύθυνση; ( '(χ.,) τη τ; εφαπτο μ ένη ς τη τ; Ύραφι κής π α ρα σ τ α

ση ; τη ς

r στο σημείο Α ονο μάζετ αι ε

πίση; κα ι κ λίση τη ; Υ ρ αφι κής πα ρά σταση ς τ ης ση της

στο :ι. ή πιο α π λά κλί

r στο σημείο

χ. .

Αν ω είνα ι η γωνία που σχη ματ ίζει η εφαπ το μένη αυτή με τον άξονα χ 'χ . τ ότε προφανώτ; ισ χύει

[ ' (χ.) ~ εφω . Γι α παράδειγμα, η κ λ ίση τη ;

f(x) =X l + Ι σ το ση μείο χ.. = - Ι είναι f ' (- 1) = - 2 (§ 6.2 παρ α δ. Ι ), οπ ότ ε η

Σχ . 1

•

εξίσωσ η τη; εφαπτο μέ νη; τη τ; στο ση

!~O "J\( - I , 2) είνα ι Υ -2= - 2 (Χ+ Ι) ή

•

Aν/jτo 11m f(x) - Ι(χ.,) . - ..

χ -χ",

είναι + ο:ι ή

Υ = - 2χ .

οσ και η f είναι συνεχής στο χ. ι τότε

-dί αντ ι κ εί μενα; η μιευθειε.; ΑΝ και Α Λ είναι κα τακόρυφες κα ι η εξίσ ω σ η τητ;

εφα π τ ο μ ένητ; στο A(x..,f( x,,») είν αι

Ι .'-'

Για παράδειγμα . σ τ; θεω ρή σουμε τη συνάρτηση

Ι _ ~. ..ιχ

f (x)=

•

αν x ~ O

αν χ <Ο

Παρατηρούμε ότι η

•

είνα ι συνεχή τ; σ το Ο και

.-..

Iim

.-.. lίm

Ι(χ)

· = Ι1m -

- 1(0)

.-0·

χ-Ο

Ι(χ)

..ιχ

"" .-(1lίm - ..fΞX' = Iίm

- 1(0)

χ -Ο

.-ο-

= + 0:>

~ -χ

= Ι lm -

.-(1-

Σ χ.2

..ι - χ

= + o:>

δηλαδή lίm f(x) - f(O) = + 00 . που σημαίνει ότι η εφαπτομένη τητ; γραφικήτ; χ- Ο

.- 0

παράστασ η; τη;

σ το ση μείο

0(0.0) είνα ι η

ευθεία

:<=0.

δηλαδή ο ά ξονας Υ'Υ.

Π α ρα τη ρή σ τε ότι οι ορ ιακέε θέσ ει; τω ν η μιευθειών Ο Μ . ΟΝ (Σχ .2) είνα ι οι α ντ ι κεί μενετ; ημιευθεϊετ; Ο}' κ α ι ΟΥ ' αντ ιστ οϊχωτ; οι οποίες ορ ίζουν τη ν ευθεία χ

•

r σ το

Α ν για μι α συν εχή συνά ρ τ η ση

.-. .. lί m

Ι(χ)

Ι( χ.,)

ση μείο χ. ε Δ. υπ άρχουν τα όρ ια

.-...Iim

χ - χ.,

= 0.

Ι(χ)

Ι(χ.,)

χ -χ.,

πεπερασ μ ένα ή άπειρ α κ αι είναι διαφορε τικά , τότε το σημ είο A(X..f(x.,») νο μ άζε ται Υω\'ια κό σημείο τη; Υ ρ αφι κής παράσταση; τ ητ; κό ση μείο της

(Σ χ .3 κα ι

4).

Στα γωνια κ ά σημ εία . προφα νώτ; δεν ο ρίζετ αι εφ ωτ τ ο μένη.

Για παρά δειγμα, α ν

g(x) =

τ ό τε η

2 X . Ι χ

X:S l χ>1

(rx·J)

είνα ι σ υνε χή ς στο Ι κα ι Ν

lim IJ8

g(x) - $(1) χ

= Iim .- 1 -

= Iim

.- 1-

(χ + 1)= 2. ενώ

r ή πιο απλά γ ω νια

Σχ.3

_ Ι -Ι

Iίm g(x) -g(I ) "" lim

~-1 +

το

χ,- ι

A (I, l )

.- 1 '

lim

χ -Ι

. - 1+

(-=..!..) =- 1, δηλαδή Χ

είναι γωνια κό σημείο τη; g

κ αι συνε πώ ς σ ' αυ τό δεν ορίζετ αι εφα-

νι

πτομένη της γ ραφι κ ής παράσταση ς

τητ;

Ομοίως αν f(x) = .JiXΓ (Σχ.4), τό f είναι σ υνε χής σ το Ο και

τε η

,rx

f(- x)- - f(O) Ι - - = Ι l' m ~= Ι I' m -",, + ι:x>

I,'m

χ_σ+

χ-ο

f (x) - (ο)

I, ._0 -

χ- ο

δη λα δή το

. _0'

" ..::fΞi... = Ι 1m ' = Ι 1m - - -Ι

.-0-

0(0,0)

χ -Ο '''[χ

χ_ ο _

..ι-=χ

είναι γωνια κ ό σημ είο τη τ;

= - 00,

Σ χ.4

και σ υνεπώ ς σ ' α υ τό δεν ορ ίζετα ι

εφαπτο μένη τη τ; γρ α φ ική ς π αράσ τ ασ ης τ ης Γ,

-~ ~~

j>.'

ΑΣ ΚΗΣΕΙ Σ

.'='~'

'T~'

Ομάδα

'-/ Ι.

Να βρείτε τ η ν ε ξίσωση τη; εφαπ τ ο μένη τ; τη τ; γ ρ αηική ; π αρά στα ση ; τ η τ; συνάρ

τ ησ η τ; f σ το ση μ είο τ ητ; A(xo,f(x,,»), ότα ν ί ) f (x) =2x ! ,

ί ίί ) f(x) = η μ

και χ,, = - Ι

κ αι "ο = Ο

ίί) Γ(χ) =..l... ,

κα ι χ,, = 2

ί ν) Γ(x) = ~ και χ,, = 3

Να π ροσδιορ ίσ ετ ε τα σημ εία των π α ρ α κά τω γ ρ α φι κών π αρ α στά σ εων , σ τ α ο π οί α δεν ορ ίζετα ι εφα πτομένη.

(ί)

, ._---~-~-~~ Ι.Ν

--,

Ηίl)

HV)

, , ι

,, -,,, ,, , , ---1--, Ι

___

Γ-

•

Να βρι-iτ ε . α ν ορίζετ αι. τη ν εξίσωση ηκ; εφαπτομένη ; της γραφι κήτ; π α ράοτ α σ ητ; τ ητ;

σ το κοινό τη ; σ η μείο μ ε ΤΟ\' ά ξονα Υ ~-. οτ αν

\:$0 σΟ

iiI

f(X)= 1ημ~ + 3 2χ ' f

Ν α εξετ άσετε α ν ορίζε ται r.φ α π τ ομ ένη τ ητ; Υραφικ ής παράστ αση; τη ; συναρ τη

ση ; Γ σ το σημείο τητ; Λ { .\.. .• Ηχ .. »). ό τ αν ί ) [(χ Ι =- ' , χ:

και

, . =0

Η ί) f( x) == ,(Ι .χ - 31 και Χ,ο = 3

ί \ ) Γ( _χ)

,,-,

\ <1

= = , __

και Χ,• •

- , χ- [

Λ ν Γι , ) = α ,~ + βΧ. να βρεί τ ε τκ; ημέ .; τ ω ν α.β γι α τις οπ οίε.; η γ ρα φ ι κ ή παρά σ τασ η τ η ; Γ ετα στο σημείο τη ; Λ(Ι .5 ) εφαπ τομ τνη μ ε κλίση

β ' Ο μάδ α

"'\.

Λ \' η συνάρ τ η σ η

f είναι π τριτ τή " οι η κ λίση τ η; στο σημ εί o ,~ είναι

να β ρείτε την κ λί σ η της Γ στο σ η μείο

- 1.

-I ~()

Αν ,r,j.[ "-+

Γ-/

•

να α ποδείξετε ότι ορίζεται εφαπ τομένη

- J.,fI 4,

Tη~ 1ραφική; :ιιαράοτασής τητ; στο σημείο A(~ ' - ~ ) και σχηματίζει με τον άξονα χ ' χ γωνία

-1- .

Να αποδείξετε ότι η Υραφική πα ρά στα ση τητ; συνά ρτησητ; ((χ)=συνχ σ το ση

3'.

μείο Α(+ ,ο) έχει εφαπτομένη, που σχηματίζει με του; άξονες τρίγωνο εμβα.

δ 00

, -

;. Αν f(x) =

αχΙ + β,

•

χ<Ι

' ν α βρεΙ τε τκ ; τι μές των α .β,Ύ για τκ; οποίες η γρα -

x ~l

φι κή τη τ; π αρά σ τ αση έχει σ το ση μ είο A( l ,f(l) εφαπτομένη παράλληλη στη ν ευθεί α 4Χ - Υ -2 = Ο .

___.J

Παράγωγας συνάρτηση

6.5

Ότα ν μ ια συνάρ τ ηση

είνα ι π α ρα γωγϊσιμ η σε κάθε ση μείο του πεδίου ορι

σ μ ού τητ; Δ , τ ότε λέμε ότι η

είνα ι παραγ ω γίσιμη .

' Ο τα ν α υτό συ μβαίνει σε κάθε σημείο ενό τ; υπ ο συνό λου Ε τ ου Δ ι τ ό τε λέμε ότι η

είνα ι π αραγ ωγίσιμη στο Ε.

Για παρά δειγ μα

f(x) = χ 1 + Ι είνα ι napayroyiOIHll (§6.2. πα ράδ . 1).

ενώ .

η f(x) = .JX είνα ι π αραγωγίσι μη στο (ο, Αν Δ ' είν αι τ ο υπο σ ύνο λο του Δ . όπου η

(

+ 0:» (§6.2, π α ράδ . 2). είνα ι π α ραγωγίσιμη, τότ ε σ ε κ ά θε

κ ε Δ ι μ πο ρούμ ε να α ντισ τοιχίσου με τ ην πα ρά γωγο Ι " (χ) . Μ ε τ ο ν τ ρόπο α υτό ο ρ ίζε τ α ι μ ι α νέα σ υνάρ τη σ η με πεδίο ο ρ ι σ μού το Δ

γωγος της f 1\ πιο α πλά παράγωγος τη; βά ζετα ι « Γ τ ό νο φ

Αν Υ

= f(x),

Υ ' 1\ k

«ντ ε

' , που ονομά ζε ται πρ ώ τ η

συμβολίζεται με Γ ' 1\ ~~ και δια

π ρο τ; ντε χ » .

τό τε η π α ρά γωγω ; τη τ;

γ ράφετ α ι επ ί σ ητ;

1\ ~ 1\ ~ f(x) ι'ι ακόμη dx

πα ρά-

( dd '

)r,j 141

• 1.

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Η συνάρ τ ηση Ηχ) =(' ι είναι παραΥα/ Υίσ ι μη κ αι

Πρ ά γμ α τι, α ν χ" είναι τ υχαίο ση μείο του

f(x) - f (x,,)

τ ότε για χ

IR,

χ" ισχύει

c-c

~ --- = Ο ι χ-χ"

χ - χ"

οπότ ε

.-.

f(x) -

Iim

Η συνά ρ τ ηση

r(X) '" χ ι

Ι(χ,,)

~ o. δηλαδή

f( x) - f(x 2 ) Κ

.-. 3.

Η f( ,~

Ι(χ,,)

χ -χ"

'" ν ", " ε Ι, · . μ r. ν

χ.,

οπότε

f(x) -

•

είναι π αρ αγωγίσι μη και

Πρά γμ α τι . α ν χ" είναι τυχαίο σημείο τ ου

Iim

(C)'

χ- χ"

χ - Κο χ - χ.,

.-. Iί m

IR,

τότε για Χ 4: χ., ιο χύει

=1,

Ι, δη λαδή (χ) '

•

Ι , ε ί να ι πα ραΥα/Ύ ίσ ι μ η και

Ι (χ') ' = νχ ν - Ι Ι Π ρ άγ μ α τι, αν Χο είναι τ υχα ίο ση μείο του

f(x) -

( χ -χ" χχ ' - Ι

Ι(χ,)

χ - χ"

τ ό τε γι α Χ*Χ ο ισ χύει

IR,

+ X· -1x,,+ ... + χ.,ν -ι ) Χ

χ"

οπό τε

'-. Iim

f(,) - Ι(χ,,)

δηλαδή

, - χ"

.-.

"" Jim {X · - ' +X , - lx., + ... + x"V- ') "' x.,. - t + x.,. - r + .. .+ x." -t,,,

( χ ' ) ' = νχ ' - Ό

•

4. Η συνάρτηση f(X) "" .jX ι χε [Ο , + 00) είναι παραγωγισιμη στο (ο, + 00) και

για κάθε χ ε(Ο, + 00)

1r::;-

2ν χ

Η α πόδειξη έγινε στη παράγραφο

f(x) = ημχ

Οι σ υν αρ τήσ ει;

(α) Π ρ άγμα τι , για κ άθ ε

και g(X)

6.2,

π α ράδ .

= συντ

είν αι πα ρ αγ ω γίσιμες και

(α)

(η μ χ) , = σ υνπ

(β)

[συ νε} ' ~ -ι η μκ

x e IR

κ αι

h :;t: D ισ χύει

2 f (x

+ h) -

ημ(χ + h) -ημχ

f(x)

x +h

-=-2

ημ

·auv x + h + x

2 -=-_ _

ημJL 2

J!.. 2

h 2

η μ

Επειδή

κω

lim συν(χ +....h... h_ O 2

)"" συνε,

έχου με

2 f( x + h) - f (x )

f ' (Χ) = lim

ο-ο

"" l

'σ υνχ = συνχ

( β ) Ο μ οίωτ; έχου με

g ' (x) = lim ο- ο

ι.

g(x

+ h) -

g(x)

""lim Η

_ 2ημ"!!" . η μ(χ + h )

"" 1m

~_ o

συν(χ

+ h) -

σ υνχ

h h

ημ

h Ζ

"" -

ι ' η μ χ = - η μχ .

143

Η συνάρτηση

r(x) =lnx,

χ ε(Ο , +

(0) είναι παραγ ωγίσιμη και

(lnx) ' ~ _I χ

Πράγματι , για κάθε

f(x + h}

xe(O, + (0)

και

με χ

h *0,

+ h >O

ισχύει:

f(x)

," Επειδή Iim ( ι + --)

h -O

και η συνάρτηση Ιτα είναι συνεχής, έχουμε

1im In(, +-~ Ι )" :lnlίm h- O h_ O h

( 1)" 1+ - ~ -

=lne;;; 1,

οπότ ε

f ' (χ) ;;; lim f(x + h) - f(x) Η

. -

· 1· -

•

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - - - - - - - - -'Ι

~' ::ά::παρακάτωσυναρτήσειτ; ναβρείτε'ηνπαράγωγο σημείο όταν Ι 0' 0

i) [(x) = x ~

και χ ο = - !

ίί ί) [(χ) =συνχ κ α ι χσ= ..Ε.... 6

l-144

ίί) [(x ) = ~ κ αι χ ο = 4

ίν)

f(x) = Inx

και χ ο =

,,,

ΙΙ

2 .--~~· βΡ;ί'~~ό;~υ ορίζεται, την παρ~γωΎO των συναρτήσεων

ί)

("')=1x~

• Χ <Ι ..j;: . x ~l

ίίΗ (Ι",) - Ι

χ,

,, ,

ίί ) Γ(Χ) = ! ημτ, χ <Ο χ

χ,

,< 2

ί,, )

•

Χ 2:0

'ι

2 x~ 3

f (x) =

2 , , , , >3

.11. 2:2

Α ν ε είναι η εφα π τομένη τη τ; παραβολή ; Υ =χ στ ο σημ είο τη ; Α( -2,4) , να β ρείτ ε τ η ν εξίσωση τη ; εφοπτομένη; τη; πα ρα βολήτ; που είνα ι κά θετη σ τη ν ε.

i) Να απ οδείξετε ότι δεν υ π ά ρχουν δύο διαφορετι κέτ; εφαπτόμενες τη τ; π α ρα

βο λής )' = χ : που να είνα ι π α ράλληλες .

ω l σ χίιε ι το ίδ ι ο γ ι α τη γρ αφική π αρά στα σ η τητ; συναρτηση τ f(x) = x';

Ι Β' Ομάδα !.........

Να α ποδείξετε ότ ι οι εφ α π τό μενετ; τ ητ; γρ αφι κή .; π αράσταση; τ η τ; σ ψνάρτησ η τ;

·"' ~ ' r(,) . I .r,χ

τκΌ

στα

..Δ ·

κοινά της σημ εια μ ε τη ν εισει α

x -Sy+ 6 .. 0

ει-

OSx< 6

να ι ..:άθετεζ.

2. Να αποδείζετε ότι α πό το ση μείο "'( α . β) με β <α 2 διέρχοντ αι δυο τφαπ τόμενε.; τη.; παρα βσλήτ; Υ=:< : .

Λν το Ρ είναι σημείο τη; ευθείας Υ = - - '- , τότε οι τφαπτόμενετ; αιιτές είναι κά θεπ.ς .

Να αποδείξετε ότι

ί l Η εφα πτομ ένη τη ; l..:α μπ ίιλης ), _ .,' σε οποιοδή π οτε σημ είο τ ης Μ { α ,α ' ) , α ~u έ χει με αυτ ήν "ο ι ά λλο "01\'6 σ η μείο Ν ε κ τό τ; από το Μ . ίί l Η εφ α πτομένη σ το σημ είο Ν έ χει " λ ίση τε τ ρ α π λά σ ια τη; κ λ ίσ ης τ η; εφ α π τ ομ ένη τ; στ ο Μ .

~--

-- - - -- - --

6.6

Κανόνες παραγώγισης

Στα παραπάνω παραδείγματα χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό για να υπολογί σουμε τη ν παράγωγο ορισμ ένων στοιχειωδών συναρτήσεων . Οι προτάσεκ; που

ακολουθούν μας δίνουν τη δυνατότητα να υπολογίσουμε τκ; παραγώγου; και ά λ· λω ν πιο πολύπλοκων συναρτήσ εων .

Στα παρακάτω θεωρούμε συναρτήσεκ; με πεδίο ορισμού Δ, που είναι διάστημα ή ένωση διασ τημάτων .

,φ ΠαΡilΥωγΩtΊ. αθρσίσματος

Πρόταση

Αν οι συναρτήσεκ; f, g είνq.ιπ α:!ρ~α~Ύ~ω~Ύ~ί= σ3 , μΞ'~ζ~σ~'~O,-"X~oE~Δ τότε και η συνάρτηση

f + g είν α ι παραγωγίσιμη στο χ ο και ισχύει

(f + g) ' (Χ ο ) = f ' (χ.) + g' (Χο )

Για χ ε Δ, με Χ*Χο ισχύει

(f + g)(X)- (f

f (x) + g (X) - f(x

+ g)(x. )

g (x.,)

Επ ειδή ο ι συν αρ τήσει;

f,g

Χ - Χ

είναι παραγωγίσιμε ς σ τ ο χ."

lim (f + g)( x) -(f + g)( x,,) = lίm f (x) - f(x,J χ - χο

χ -χ

Χ -Χο

Χ -Χ ο

+ Iίm

f(x) - f (x o )

χ-χ.,

χ - χ"

έχουμε

g(X)-g(Xo )

Χ - Χο

g (X) - g (x.,)

Χ-Χ

= f '(x,,)+ g' (x,,)

που σ η μα ίνει ότι

(f + g)' (Χ ο ) = f' (χ.) + ε: (Χ ο ) Π ρ οφ α νώ ξ , α ν σι

f, g

είναι παραγωγ ισίμες στο Δ, τ ότε για κάθε χε Δ ισ χύει

(f(x) + g(X»' =f' (x)+ g ' (X) Αν οι

f], f2, •• ••

Ι, είναι π α ραγωγίσ ιμες στ ο Δ , τ ότε γενικ ότερα ισ χύει

(f I + f2+ ... + f. )' (x)=fI ' (χ ) + f2' (x)+ ... + fx'(x).

κ εlΝ ·

Για π α ράδειγ μ α. έχου με:

•

(χ l + ημ χ) ' = (Χ Ψ

(η μκ }' = 5 χ 4+ συνκ

, xe IR

• (lnx + συνκ + χ Ι + 2)' = (lnx) ' + (ουνε) " + (χ Ι)' + (2) ' = _1_ - ημχ + 3χ 2 • χ> Ο. χ

146

Παράγωγος γινομένου

Πρόταση

Αν οι συνα ρ τή σεκ;

f ·g

f. g είνα ι

παραγωγίσ ι μετ; στο χ"ε Δ , τότε και η συνάρτηση

είναι παραγωγίσ ι μη σ το χ" και ισ χύει :

(f . g) ' (χ,,): [ ' (χ,,)' g(x,,) +

[(χ,,)

. g ' (χ,,)

Απόδειξη Για κ ά θε χ ε Δ , με XφX~ , ισ χύει

([ . g)(X) - ([ . g)(x,) = [(ΧΙ ' g(X) - [(χ,) ' g(x,,) = x- x~

= f( x) ' g(X) -

f(x,,) ' g(X) + f (x,,) ' g(X) - f(x,,)' g(x,,) χ

χ"

= f(x) - f(x,) . g(X) + f(x,,) . g(X) - g(x,) • χ-Χο

οπό τε επει δή οι

f,g

χ - χ.,

είναι

πα ραγωγίσ ιμε ς άρ α

και συνεχεκ; σ τ ο χ" έχου με

Iίm (f · g)(x) - {f . g)(x. } = lί m f (x} - « χ,,) . \im g(x} + f( x.) ' Iίm g(x) - g(x,,) = .-...,

' - '0

χ -χ.

χ~

: [ ' (χ,,) ' g(x,,) + f( x,,)' g ' (χ,,) . Αν οι

f,g

, -...

' - 'ο

χ-χ.

•

είναι πα ρα γωγίσιμετ; σ το Δ , τό τε για κ άθε χ ε Δ ισχύει :

(f(x) .g(x)) ' = f '(x) 'g(x) +f(x) 'g '(x) Για πα ρά δε ιγμα, έχουμε

(ΧΙnχ) '

= (χ) ' lηχ + χ(lηχ) ' = Inx + Ι ,

χ ε (Ο,

+ σο) .

Ανάλογος τύποτ; ισ χύει κ αι για περισ σ ότερο; α πό δύο συνα ρτήσει; π .χ. , για τ ρευ; παραγω γίσιμ α; συ να ρ τ ή σ εκ ; ισχύει:

([(χΙ , g(x)' h(x)' = [ ' (χ) . g(x)· h(x) + [(χ) . g ' (χΙ, h(x) + [(χ) . g(x) ' h ' (χ) Για παράδειγμα, έχουμε

(χ ! Inx ημχ) ' = (χ !) ' lπ x ημχ + x 1( lnx) ' ηω; + χ Ιlnx(η μχ) ' =

= 2xln x η μ τ + χ η μχ + χ ΙΙ πχσυνχ

Αν η

είνα ι παραγωγίσι μη στο Δ κα ι

a eIR,

τότε α π ό τ η ν πρόταση

(2),

προ

κύπτει ο τύποτ;

Ι [(α ' ι)(χ») , = α ' Ι' (Χ) Ι Για π αράδε ιγμα, έχ ου με

•

Παράγωγος ΠηΜκου

Πρόταση

Αν οι σ υ ναρ τ ήσ ει; f,g είν α ι παραγωγ ίσιμετ; στο Χο ΕΔ κα ι ο ι συνα ρτή σ εισ

' -Ι

-t

εινα ι π α ρ α γω γι σ ιμ ε ς σ τ ο Χ"

g(xo) *,0,

τότε και

κ α ι ι σ χ υει:

;)(-.g!. )' (χ• ) = -[g(x,, g' (X )] , p

)

'" ( ~ )'ιΧο) ~ f ' (χ,) . g(G\~:jIo) ' g'(χ,) Η α πόδειξη π αραλε ίπετ α ι .

Α \' οι f .g είνα ι πα ραγωγίσιμ ετ ΟΤΟ Δ και γι α κάθε α ε Δ , είνα ι g(X);t:O, τ ό τε

(_1_)'_ - g' (x) ---r.wJT g(x) (ίί) (...&L)' = ...r.!&· g(x)- f(x) · g' (x) g(x ) [ g(x)] ' ( ij

•

Για πα ρ ά δειγμα , έ χου με

_1_ )'__ (χ ' + ι - (x ' +I) ~ ( χ ' + 1)'

- 4χ'

- (χ'+ I) Ι ' xe IR

_1_ ' χ l- ΙηΧ' 2Χ I η~ ) ' = (lnx) ' · x l - lnx· (x 2 ) ' = _::χ__-,--_ _ (

χ'

148

(XI) 1

χ'

1 -2Ι ηχ χ'

, ω- ο.

Παρατήρηση Το άθ ρο ισ μα, το γινό μενο και το πηλί κο δ ύο συνα ρτήσεων μ πορεί να είναι πα ρα γωγ ίσιμη συνάρ τη ση ακόμη κα ι ό ταν κ αμιά από α υτ έ τ; δε ν είνα ι π α ρ αγωγί σι

μη . Γι α πα ρ άδειγ μ α ο ι συνα ρτή σ εκ; f(x) :

1+ Ιχ\

και g(x): Ι - Ix l δεν είνα ι

παρα γωγίσιμ ε ς στο ο. ' Ο μω ς σι ουν αρ τή σεκ; (f + g)(x) :

( _ ff )(x)

• 1.

2, (f · g)(x) : 1- χ 2 κα ι

:1) : - 1, είναι παραγωγίσιμες στο ο.

(11 : 11

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Κάθε. παωω νυμική συ ν άρ τη ση είναι π α ραγωγίσιμη και ισχύει:

(α .ε " + α . _ I Χ · - 1 + ... + a lX + α ο ) '

να .χ · - Ι + (ν- 1)α ν _ l χ · - 1 + ... + α l .

π. χ . ( - χ ) + 2Χ ' -2) ' : - 3 χ 1 +4Χ .

2. Κάθε ρητή συνάρτηση QP(X) ( χ)

, π .χ.

(

είναι παραγωγίσιμη

(χ 1 + Ι ) '(Χ - Ι) - (Χ - Ι ) '(χ 1 + Ι)

χ' + Ι )

2x(x -I) -(x + l) (Χ _ 1)2

(χ _ Ι} Ι

χ -Ι

Η συνάρτηση

(χ) :χ - ν,

xeR*,

ν εlΝ* είναι παραγωγίσιμη και

(χ _ ν ) ' : _νχ - ν -ι

Π ράγμα τι, έχ ου με ( x ~ ')

_ (χ : ,' - νχΙ ' : (Ι) -χ-; ' : ~ χ Χ ν

-ν

---

χ., 1

_ νX ~ ν - 1

' Ο πως είδα με (βασικό; συναρτήσει ; Ι) ισχύει (x V ) ' :νχ · - Ι και για ν ε ΙΝ ·, οπό τε γενικ ότ ερα ισ χύε ι

Ι (x

V ) '

: KXv - 1, x ElR· , Ke:Z

Παρατηρήστε ό τι ο τελευτ αίος τύποτ; ισχύει και Ύ1α κ : ο, α φού (χ ο ) ' : (l ) ' = O : O - XO ~I

Η συνά ρτηση

f( x) "" εφτ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει:

(εφχ )

: - -,συν χ

ΙΟΙ '!

Πράγματι. για κά θε χ από τ ο πεδίο ορ ισ μ ού τη τ; εφκ , έ χου με , . ' 2 2

(εφ x) Ι ""(~)

(ημχ) ' σ υνχ - η μΧ ' (συνχ )

συνπ

ο uv χ +ημχ

συν Ζχ

Ομοίω ς η συνάρτη ση

f(x) "" σ φε

ουνΖχ

είν α ι παραγωγίσ ι μη και ισχύει

(α φχ ) ,

ΠΑΡΑΔ ΕΙΓΜΑΤΑ

Να βρεθεί η παράΎωΎος των συναρτήσ εων Ι + ημχ

ί ί) (χ )

ι) ((χ)

χσυνχ

Λ ύση ί ) Γι α κά θε χ ε(Ο .+

f '(x)

=(χΊηχ

)

χ2 + 1

έχου με

oc ) 2

ι = (χ Ιηχ) ' (χ Ι + Ι) _ (χ 2 + ι) ' x 21nx (χ Ι + I ) l

(2xlηx + x)(x 1 + l) -2χ Ι Ιηχ _ (χ Ι + 1) 2 -

2xlπx+ x ' +x (χ Ι

+ 1)1

ίί)Για κάθε χε ΣR · \

ΚΠ + ; • κε:Ζ

{

έχουμε

f t(X) =( l +ημχ ) ' = Ο+ ημΧ) "χσυνχ- Ο + η μχ}(χουνχ) ' κ αυνκ

= χσυν Ι χ - (Ι

+ ημ χ)(συνχ - χημ χ)

"" χσυν 2 χ - σ υνχ + χημχ -ημ χσυνχ + χη μ 2 χ

χ 0 υν χ Ι

χ Ι σ υν Ι χ

χ+ χη μχ- συνχ - η μχσυνχ.

( χ- συνχ )'Ο +η μχ)

χΙσυΥ 2χ

Αν

χ Ι σ υν Ι χ

ΧΙ ( Ι _

f(x)= x ·g(x) + -

- . g(x.) :3.

g(X)

η μ 2 χ)

. και g ' ( :ι.) =Ο να υπαλοηστεί η Ι '(χ.,)

Λύση Ε πειδή η

είναι π αραγωγίσιμη σ το χ., και

ι' ι><,,) • ..!!.. (χ " οιχ» 1 dx

Ι - Σο

+ ..!!.. (_Χ_ )Ι dx

g(X)

150

η ( 'Ι χ.,) υπάρχει κ αι ε ίν α ι

Σ - Χο

= g(x.,) + x,,"g' (x.,) + g( x.,) - Xo ·g '(x,,) ι Ι{χ,,)

g(x.,) = 3 *0,

= 3+ Χ., ο + 3- Χο '0 = --.!.Q.... 9 3

:'ΙιΙ α βρ εθ ο ύν σι τ ιμ έ ς τ ου χ ο γ ι α τι ς οποίε ς ο ι γ ρ αφ ι κές πα ραστάσ εκ; των συ

να ρ τ ήσ εω ν f(x) == αχ ι + βΧ + γ κα ι 2(Χ ) = β Χ ! + αχ + γ , με α "* β. έχ ο υν σ τα σ ημ εία A(x o.f(x.,»). 8 (Xo.g(x. o») π αρ άλλ ηλ ε ς εφαπ τό μ ενετ .

,.... , , ΟΙ ο υ ντελεσ ω; διεΎΘVνσ ης των εφα π τ ο μένων στα Α , Β είνα ι Γ ' (Χ ο )

== 20 Χ .. + β

κ αι

g '(x., ) == 2 β χ.. + α,

Για να είναι αυτ έ; π α ράλληλες πρέπ ει

2α χο + β = 2βχ.. + α

α ντιστοίχωε .

f ' (x..) =g ' (x.,)

2(α - β)χ ο == α - β ή

χ.,= + . αφοό α -β*Ο.

ΑΣ Κ Η ΣΕ ΙΣ

,---Α ' Ομόδα Ι.

Ν α β ρεί τ ε τ ην π αράγωγο τ ω ν σ υνα ρτήσεων:

ίίί)

ί ί ) f( x ) ~ x ) + ln x + .J5 ί ν ) f(u) = ]nu + ημ~

ν)

g(t)

=.Jt + συνι

, Ι

>Oj

νί) f (x) ", Inx + .JX - 7

f(x ) ~ ημ χ + l η 5

Ν α β ρείτ ε τ ην εξ ίσωση τητ; εφωι το μ ενη; της γ ραφι κή; παράσ ταση ; τ η ; συνάρ

τηση τ; f στο σ η μείο A (~. f(~ )) . ότ α ν i ) f( x) = x ' + x -6 3.

και

~- - l

ίί ) f(χ )=η μχ+ουv",

Να βρείτε τ α σημεία τη τ; παραβολήτ; Υ _

+Χ

και

x..=~ 4

4 σ τ α οποία οι εφα1tτόμε"tς τη ;

δΙΙρXOVΤOl α π ό τ ην α ρχή των αξόνων .

Να β ρεί τε τη ν π αράγωγο των συνα ρτήσεω ν : ί)

f(x) = Ι π χ συντ

•

ίί) f(Χ) = 5ημχ - ~ 3

ί\') f(ψ~ J;: (η μ χ + σ υν χ )

ίίί) 5(1 ) = υο ι +...!....,.1 1

\'J Ηφ=( χ ' - χ)ημχ

νί)

g(t) "' tlnt+5 t )

νίί ί) f(x) '" χ Ι ";;: Ι ιυ;

Γι α τκ ; παρακάτω συνσρτήσει τ; να β ρείτ ε τη ν π αρά γωγο στ ο ση μείο χ ο

ί ί) [(χ) = {χ ' -2 χ) ν;

ίίί ) f(χ) =ημχ συν",

κα ι

και

χ., = 4

x., = ~

8. _ 151

Να βρείτε τη ν ε ξί σω ση τη; εφ α π τ ομέ νη τ; τη τ; γ ρα φι κή τ; παράσταση τ; τη τ; σ υ

νάρτησητ; i)

παράλληλη στην ευθεία Υ _

f(x) =

- χ, + - χ.

που είναι

+ χ

ί ί ) κάθετ η στη ν ευθεία Υ " 2 χ

Ιl)

χ <ο

2..[Χ + :ι(

- 6.

f(K) =

Ι (χ + 7)ημκ, 2

xsO

x Jσuvx + 7 κ .

» 0

,Χ <!: Ο

Όμ οίω τ; για τκ; συνα ρτήσειτ;

χ +4

ίν) νίί)

+- -

f(X) . - ' η μτ

ίίί) ((κ) • ..ι;: +

ί ί ) P(V) " ..f... , c στ αθερά

i) f( κ) ,. :3Χ"--'::-:-Ο

Χ-

- '-

Να βρείτε. όπου ορίζεται . τη ν π αράγωγο των συνα ρ τή σ εων

χ2 -

f( x) >: ..l...

ν ) ( χ) = εφχ - ,

συνχ

νΙ)

g( X)= -

χ'

'"'

f( x) =

Α ν η συνάρ τη ση

είναι π αρα γωγίσιμη στο

IR.

να βρείτ ε τη ν πα ράγωγο των συ

ναρτή σεων

11) g(X) =

10.

Αν f(xl = 2(x + Ι ) και B(X)= ~+ Ι χ- Ι

κ α l , ' . lσ1ΟΟ

11.

ν Χ- !

iίί) ι{X) =~

1+ Kf(K)

-.Ι' + IJ-~

, ,χ

ν Χ+ 1

•

να βρείτε τκ; συναρτήσεκ;

f' = g' ;

Ν α β ρείτε τ α σημεία τη τ; γ ραφl κή ," π αράσ ταση τ; τη τ;

σ τα οπ οϊα σι εφαπτά με

νες είναι πα ρ ά λλη λες σ τον άξονα χ ' χ, όταν

Ι) f( x) = x - -

11) f(X) " ~

Σύ μφωνα μ ε το νό μο τη τ; παγ κόσ μ ια τ; έλξη ι;.η δύνα μ η δύο σ ωμάτ ων που βρίσκοντα ι σε α π όστ α σ η

α π ό τον τ ύ π ο

f ; k·

ml ·m.

,;;

•k

S:!

f(x) = 2.....±...L χ

π ου ασκ είται μ ε τ α ξίι

κ αι έχουν μά ζt '" ηη,

σ τ α-

θερά . Να βρείτε την παράγα/)'Ο df . d, Ι

ίil)

χ'

12.

ι: - - - ~ - - '

m;;.

δίνετ αι

---.

13.

Αν Υ " 5χ + Ι + ..1... , , να αποδείξετε ότι για κάθε χ ε IR- ισχύει

Β ' Ομάδα

Να β ρείτε τ ην εξίσωση τη τ; &φα χ τομένης τη τ; γραφι κή ς πα ρά στ αση τ; της συνάρ

τησητ; f{x} = χ Ι - χ π ου διέρχεται απ ό τ ο οημείο Α{ - 2,2 ).

Να υ πολσΥίσετε τ α α θροί σ μ α τ α

Ι ) SI"' I + 2x + J x1... ... +ΝX~ - 1

νε lΝ -

ίί ) S: ,", 2x+ 4x J+ 6x s + ... + 2vx lν - I •

Α"

f(x) =

ημ τ

ώσ τε ( ' (Χο )

-+ -.lL συν»

ν ε ΙΝ - .

να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Χο Ε (Ο,.2!.... ) '1έ'1ΟΙΟ, 2

.. ο

4. Α ν C 1, C2 οι γρ αφι κέτ; π α οασ τ άσ ευ; των συνα ρτή σεων f(x) a x1 -4x + 5 κα ι g(x) .. x 2 + 2x - 4 αντιστοιχωα, να α π οδείξετε ότι η εφσπτομένη της C1 στο ση μείο A{3,f(3» εφά π τεται και σ τη C l • S. Α ν τ ο πολυώνυ μο ((χ ) =α . χ · +α . _ι χ · - Ι + . . . + α ιχ+ α ο • α.*Ο έχει ρίζες p l, ΡZ •. .. . ο.ε IR, να απ οδείξετ ε Μι τια κά θε χ π ου είναι δι αφορετικό α π ό τκ; ρί ζι.; ισ χιίεl

~ f(x)

=_'_ Χ -Ρ l

+_'_ + .. . +_1Χ - Ρ:

χ - ρ.

Να βρείτε τκ; τιμές τ ων α . β . γ. δ για τκ; οχοί.ες η γραφική π α ράσ τ ασ η τη ;

συνάρτηση ; f{x) = αx J + βχ : + γχ + δ διέρχε'1α ι αΧό τ α ση μεία 0(0 ,0) , Α(Ι, Ι ) και οι εφα πτ όμενες της σ τ α σημεία αυτά είναι π α ράλληλες στον ά ξονα Χ 'Χ .

7. Να αποδείξετ ε ότι η εφακτομένη τη .; υπερβολή; Y= ~ α* Ο σε ο ποιοδήπο

τΓ. σ ημ εί ο τ η; ,\ι δεν έ χει ά λ λο κ οινό ση μ είο μ ι: τ ην υ πτ ρ βαλη ε κ τ ο τ; α πό το

\1 .

Να βρείτε ης τιμέτ; των α .β για τ κ; οποίες οι γραφικές π α ραστσσ εκ των σ υ

να ρτήσ εων ( Χ Ι =

3χ2 + χ + Ι

κ αι g(X) = 2χ

+ αχ + β

διέρχονται από

ση μείο σ'1 Ο οπ οίο έχουν κοινή εφα πτομένη μ ε συντελεσ τή διεύθυνση τ;

'10 ίδιο 2.

L 153

6.7

Παράγωγας αύνθετης-αντίατροφης συνάρτησης σο

(J , . . .. ..: "

Α ν με τη βοή θει α των προηγούμενω ν κ α νό νων παραγώγ ισ ητ; προσ π α θή σουμ ε

υπολογί σουμε τις παραγώγου; των σ υναρ τή σεων f(x) = (χ Ι - 2χ + ι ) ' και g(x)= ln(x I + ι ) . θα δι απ ιστώσουμε ότι ο υ π ολογι σ μ ό .; των ( '( Χ ) κα ι g '(X ) είναι VQ

πολύ ε πί πονο τ.

Για τ ον υπ ολογισ μό τω ν παραγώγων σ υνα ρ τήσ εων όπω ς 0 \ παρα π άνω. π ου εί να ι σ ύνθεσ η άλλων σ υνα ρ τήσ εων , ισ χύει η ε π ό μ ενη π ρότ α σ η τ η τ; οποία ς η από δει ξη παρ α λείπετ αι .

Πρόταση

Αν η συν άρ τη σ η σ ιμη σ τ ο

f(x),

είνα ι πα οαγωγί σιμη σ το χ κα ι η σ υνάρ τ ησ η

g είνα ι παρ αγωγϊ gof εί να ι π α ραγωγίσι μ η στο χ κα ι ισ χύε ι (gof) ι (χ ) = ι ' ( f(x» . ( Ι ( χ) l l )

τότ ε κ α ι η σύνθεσή του;

Επ ιση μαίνουμε ότι στον παρα πάνω τύπο με g ' (f( x» εννοούμε το ~ Ι du

Μ ε τη βοή θεια τη τ; προη γούμενη ; πρότασ ης, γι α μια σ υνάρ τηση

p . fI . )

παρα γωγίσ ι

μη σ ε διά σ τημ α Δ προκύπτουν :

[(ιω)- J' ~ ν(ιω) '"

-Ι ' ι ')

π .χ , [ ( χ ) - 2 χ + 1)' ] ' = 8 ( χ -'- 2 χ + 1 ) "( χ ' -2 χ + 1) ' "' 8 (χ'- 2 χ + 1) ' ( 3 Χ :- 2)

._)[ν'ι, , ) ]' ~ 11

Ι ',,) 2.j«i) ,

[(, »0

ΠοΧ . (f,ZΞ+!)' ~ (, ' . Ι ) -

2 , χ : +1

ίίί) [ ημ Ι( ,1

2, 2 ,lχ : +1

=-.."==,,

J' = συ ,' Ιl χ)" Ι ' Ι ,)

Π . χ . [η μ (3 Χ : -2 )) ' =-σ υ\'( 3Χ :- 2)- ( 3 Χ : - 2 ) ' = 6 χ - συν( 3χ : - 2)

J' '" - ημΙ(\ ) " ( ' ( χ) [ σ ι)\' ~(x ' + Ι) J' '" 2σ υ ν( χ -' + ι ) - [ συν(χ -' + ι )] ' =

ί,-) [σ ι , ,'Η χ ) π .χ ,

= - 2 σ υ ν( χ' + Ι) ' η μ ( χ ' + Ι) ,(χ ' + Ι) ' =- - 3 χ!η μ [ 2 ( Χ ' + 1)].

,,, Εί\'ο, α υ τονόη τ ο όη η σύνθεσ η " ρtlltI να oρίζtτo ι σε διάσ τημ α 1100 l,εριέ ιt:Ι- το σvy «εο.: ριμtvo ~ .

'54

Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης

•

Πρόταση

Α ν η συνά ρ τη ση

f είναι γνησ ίως μονότ ονη και παραγωγίσιμη στ ο δι άσ τη μα f '(x.,):;t; O, χ.,ε Δ , τότε υπάρ χει η συνάρτηση f - I κα ι είνα ι παραγωγϊσιμη f(x.,) .

Δ με στ ο

Η απόδειξη παραλείπετ α ι. Με τη βοήθεια των προτάσεων ( Ι) και

(2) υπολογίζουμε τυ; παραγώγου; μ ε ρι

κών ακό μ η βα σικών συναρτή σεων .

Παράγωγο, βασικών συναρ τήσεων

• 1.

/11

Για κ ά θ ε x ER,ιo ισχύει

('nlxl)' : ' Χ

Π ράγματι , για χ >Ο έχουμε (lnx)' ",,-'- που ισχύει. χ

Επίσης για χ < ο έχουμε (lnlx l) ' "" (In( _ χ») ' :; (- Χ) , - χ

:χ

Γενικότερα ισχύει

(ιη l f(Χ) I ) ' ~ ~ « 1) π .χ . (lηIΙ -χ Ζ I) ' "" 1.

Z) (l -X

Ι -Χ Ι

Η ε κθ ετι κή συνά ρτηση

' ""

( Ι) - lχ

l _χ 1

x :;t; :!: 1

είναι π αραΥωΥίσιμη κα ι ισχύει :

(c ') ' ""e' Π ράγμ α τι η e' είναι παραγωyiσ ιμη ω; α ντίσ τροφη 1ne' "" x έχου με (lne ') ' ""(Χ) 'ή (Ine') ' "" 1 Σύ μφωνα ό μως μ ε τον τ ύ π ο

Γενικότερα ισχύει

1nx και

επε ιδή ισ χύει

(1) είνα ι

'ρ'" , oπότε ~ 'ρ ' ." (Ine' ) ' = ~ = ι

τητ;

(e') ' = e'

ι«

3. Η σ υνάρ τηση f(x ) "" α ', (α > Ο και

Q :;f: 1) είν αι π α ραγ ωγίσ ιμη και ισ χύει :

(α ') ' "" α' · Ιυα Π ράγ μ α τι , γ ι α κ ά θε

x e IR ισχύει a' ""e,I"\

οπότε σύ μφωνα με το ν τύπ ο

έχου με

(α ' ) '

Η σ υν άρ τηση χ Τ ,

""(e,In") ' ""e,In" . ( ΧΙη α ) ' "" α ' - Ι υα

x e (O, + 00 ) (r eR)

είν αι παρ αγ ω γίσιμη κα ι ισ χύει :

Επειδή για κ άθε χ ε (Ο , + 00) ι σ χύει χ τ "" e ( χ Ι)'

tIn" έχ ου με

= (e, ·lnx) ' ""e,ln' . (τ. Ιn χ)' ""χ Τ • ....!.... "" τχ ' -Ι . χ

Ο τύπο τ; αυτ ό τ; γενι κεύε ι π ρο η γού μεν ο που ίσχυε γι α ακέ ραιο ε κθέτ η .

Π.4ΡΑΔΕIΓΜΑΤΑ Ι . Ν α υπο λο γιστο ύν οι π α ρ άγω γ ο ι τ ω ν συναρτή σεων

i)f(x) ""VX -

, i) Ε π ειδή

f(x) ""xJ

ίί)

f(x) =e I H

ημπ

, - χ - 2" για κ άθε χ ε (Ο, + (0). ισχύει

-'-) ' ( --'-) ' f ' (x) = (χ 3 - Χ 2

Ι "!"' - ι 1 -..!...- 1 Ι Ι _2"" 3X J +2 Χ 2 "" 3 Χ _2.3 + 2 Χ 2 =

1 1 = 3{!-χΤ + 2x"JX 2

ii)f '(x) ",, (e l'" ημ κ] ""(e I+: ) ημχ + e Ι +< (ημ κ) = 2x; Ι ~ ' ημ χ + e l Η σ υνχ = ""e l H ίίi) Ε πειδή

( 2χη μχ +συνχ)

x' ''''e,In,

έχουμε

(Χ') ' = (e' I"' }, = e' In'(x lnx) , "" X '( l . ιηx + x . ~ ) "" Χ '(1 + Inx).

(2)

iv) (e""' ) ' = σ ?" . (ημχ) ' = e η~'συνχ_

l . ~α βρ εθ εί η πα ράγ ωγ ω; τη ς συνάο τη ση τ f(x ~= ο

χ =Ο

Λύση Για κάθε

έχουμε

x EIR*

(χ ιη μ+) = (χ)' ημ+ + χ 1 (ημ+ ) = 2χημ+ + χ Ι (συν-;- )-(-;-) ' = Ι

= 2 χη μ

- σ υ ν

Για το σημε ίο χ ο

[(χ) χ

=Ο

έχο υ με

[(Ο) Ο

Επειδή Ιχ ημ+ ! ::5 l χ l και ~ί~ Ixl = 0 \\ ,~

έχουμε Ιίω(,ημ-Ι Η) χ ο.

/_';-;-';~Ξ'9="7'-:,-,-+--+"

Δη λα δή

f '(O) = Hm

, -"

1(,) -

[(Ο)

χ -Ο

Επ ο μ ένως

[ ,(χ) =(

2χη μ...!...

- σ υ ν χ

χ=Ο

#1 Το σύμβολο Leibniz

Το σύμβολο του Leibniz ..i!... μας δίνει τη δυνατότ ητα να εκφράσουμε ορι dx σ μ ένους τ ύπου τ; εποπτι κότερα . Για π α ρ ά δε ιγμ α , ο τύπος που δίνει τη ν π αρά γω

γο τη τ; σύνθεση; y=g(f(x») των συναρτήσεων u = f(x)

γράφετα ι

και Υ =

g(U)

.-.ΦL

157

Στην περίπτωση τη; σϋνθεση τ; y""g(f(h(X»)) των τριών συναρτήσεων ν=

h(x), u = f( v) και Υ = g(U)

η παράγωγο α, με διαδοχική εφ α ρ μογή τ ου προηγούμενου τύ που, γράφεται

..l!L =..l!L . .J!!!... ..Jh... dx

Με τη μορφή αυτή τητ; διαδοχική; πα ραγώγιση; ο κανό νας τητ; παραγώγιση τ συν θετης σ υνάρτηση ; ονο μ άζε τα ι και κανόνω; τη ; αλυσίδας.

Προσοχή! Το σύμβο λο ..l!L δεν είναι πηλίκ ον. Παρατηρήστε όμως ότι στου; dx

τ ελευταίου; τϋ π ουτ; συμπ εριφέρετα ι ως πηλίκον.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ Κ αν όν ες παραγώγιση ς

( f(x) !g(x»)' = f ' (x)! g ' (x) (, .f(x» ' =" f' (x)

(- '- ) , _ - g ' (x) g(x)

---r.wJ'

( f( x) . g(x») ' = f' (x)' g(x) + f(x) ' g' (x)

(...fuL)'_ f' (x) 'g(x) - f( x) 'g ' (x) g(x) [ g(x) ] , (gol) , (Χ) = g ' (f(x») ' Ι " (χ)

158

Π α ρ άγ ω γοι βασικ ών συναρτήσ εων

Π α ρ άγ ω γ οι σύνθετων συ ναρτ ήσ εων

=Ι

(Χ ') ' =νχ . - ι ,

([f( x)]'j '

VE IJ',l -

= ν[ f(Χ)Γ '. f' (χ)

(ν'Χ) ' = 2 ~ για κάθε χ >Ο χ

(.Jf(x) ) ' = ( '(χ)

(ημ χ ) ' = συνπ -

(ημf(χ ») ' = ouvf{x) ' ( ' (χ)

(συνκ} '

(Ι nχ)

σΟ

[σ φκ]

(In1f(X)!)' = f;X} f ' (X)

1 =-σ υν !χ

(εφf(,) ) ' =

- 1 =-.

(σφΓ(χ) )'

η μ -κ

Ι•

σ υνΤα)

-, ι

ημ 'I(Χ)

. f '(x)

. f ' (x)

(e ') ' = e'

(ι= (I ") ' = ι= r"l. f ' ( χ)

( ο ' ) ' ::=' O"lno

(0 '1'))' = a I"r. Ιο α - [ ' (χ)

(χ ') ' ::=. T x, ~r .

f(x ) > 0

(Inf(,») , = f; , )' f '(,), f(x) > 0

(Ι Ψ I) ' = _ 1

(εφχ )

(ouvf(x») ' = - ημf(χ)-f ' (χ)

η μχ .

=-,

2 .JT\x'ί

τε

IR .

σΟ

(lf('I] ') ' = t [ fΙχ)Γ' . (' Ι,), f(,» O

159

_________

Α Ι Κ Η Σ ΕΙΣ

Α ' Ομάδα Ι.

Α ν για τ«; σ υνα ρ τήσω;

[ (1) = Ι,

g(l) =2,

r,8

ισ χύουν

( ' ( 1) = 4,

κα ι

( ' (2) = 8

g ' ( 1) =3,

να β ρείτε τ ην π αρ άγωγο των συναρτήσεων

(og

και

gof

στο ση μεί ο Χ ο • ι .

Να βρείτ ε τη ν πα ράγωγο των σ υναρ τή σ εων

ίίί ) f( x) = Ι η (χ Ι - Ι )

ίί ) Φ. ) ~ η μ (3χ - 5) ί ν ) f( x) '" 3η μ lx

νΙ ! ) (χ)

= - 3,- - -1

( , -2

Χρησιμοποιώντατ; την ισότητα .J;; = l :ιι\.

\'0

βρείτε την παράγωγο των σψνα

ρτήσ εων

Ηί)

i) ( χ)= lχ - 11. χ ,* 1

f (x) :: x · j3x - SI.

χ ,.,1.. 3

Να β ρείτ ε τη ν JII αράΎωγο των συναρτή σ εων

i) ( x) = ~

ίί )

f (x ) =

e' +c " 2

ί ί ί) ( ιι) = 2 ' +χ :

ί ν)

f(x) = c'· lnx

"ί Ι) f(x) _ x lιι '

Να β ρείτε, ό που ορίζετ αι, τη ν πα ράγωγο των συνα ρ τή σεων

Η ( x)= x ~- ~

Ιν) (Χ) = ~ . ημχ 6.

ίΟ τω =

+..ι;;

ίίί) (χ) = ~

ν) ( χ ) .. ~2x - 6

Σύμφωνα μ ε τη θεωρί α τη; σχετ ικότητ ας, η μάζα με ταχύτη τ α υ είναι

ffi

m ενό ς σώ ματος

που κ ινείτ αι

m ~ ~l - ~ Να βρείτε την χαράΥωΥΟ dm du

'~.

Για μια συνά ρτηση

που είναι παραγωγίσιμη στο

rn., να

απ οδείξετ ε ότι

i) Αν η f είναι άρτια , τότε η συν άρτηση f ' είν αι περιττή ίί) Αν η

είναι περιττή, τότε η συνάρτηση

Αν η συνάρτη ση

f είναι

π α ρ αγωγίσιμη σ τ ο

είνα ι άρτια

rn., να βρείτε την πα ράγωγο των συ

ναρτήσεων ο

g(x) ;:

f(η μχ)

ίΟ g(x) ;: ημ (f(χ»)2

ίίί) g (X) = [ f( συνχ) ] 1

Β ' Ομόδα

Να βρείτε την παρ άγωγο των συναρτή σεων

~ f(x): ~ 2.

Αν f(χ) =ημ 'χ · συν(νχ) κα ι

g(x) =

συν 'χ. ημ(νχ) , ν ε~ ·, ν2: 2 να αποδείξετε ότ ι

ίί) ...E.L = νσυν' -Ιχ · συν(νχ + χ) d,

Να β ρείτε τ α σημεία τητ; γραφικήτ; πα ρ άσταση ; τη; συνά ρτησ ητ; Ι

f(χ) :τ ημ2χ + ημ Χ ,

Χ Ε (Ο,2π)

στα οποία η εφα πτομένη τη; είναι κάθετη στην ευθεία χ

+ Υ - 2 = ο.

161

6.8

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

, Εχουμε δει προηγουμένωε ότι αν

μια συνά ρτη ση

f είναι παρατωτϊσ ιμη

σ το διά

στημα Δ ι τότε ορίζεται μια νέα συνάρτη ση {' ή .J!L • που ονομάζεται π ρώτη dx

π α ράγ ωγ ος τητ;

με πεδίο ορισ μού το Δ .

Α ν η νέα συνάρτηση Γ ' είναι π αρ αγωγίοιμη στ ο σημείο "ο , τότε λt με ότι η συ νάρτη ση

είναι δυο φο ρ ές π aρ αΥωΥίσι μη στ ο ση μείο χ" .

Η π αΡά-Υωγος τη; Γ στο χ.. ονο μάζετα ι δεύτερ η n: α ράΥωΥ ος ή π α ράγωγ ος δ τύ τερη; τάξης τη;

στο χ.. κα ι συμβολίζεται με

d'f(",) dx'

f "( x.)

d' 1 f(x) Ι . _..,. dx

Π ροφανώς είναι

f '(x)-f'(",) χ - ",

Όταν η συνάρτηση

(

είναι δυο φορέτ; παραγωγίσ ι μη σ ε κάθε ση μείο του πε

δίου ορ ισ μού τητ; Δ , τότε λέμε ότι η

είναι δυο φο ρές παραγωγίσιμη .

Όταν αυτ ό συ μ β α ίνει σε κά θε σημείο ενό ς υ πο συνό λου Ε του Δ ι τ ότε λέ με ότι

είναι δυο φο ρές παραγωγϊσηιη στο Ε .

Αν Δ , είναι το ευρύτερο υποσύνολο του Δ σ το οποίο η

r είνα ι δύο φορές

ραγωτισ ιμη, τότε μ πορούμε σε κάθε ση μείο χ ε Δ •• να αντιστοιχίσ ουμε τη ν

πα

r-(x).

Μ ε τον τ ρό π ο αυτ ό ορίζεται στ ο Δ ι . μ ια νέα συν άρ τη σ η , που συμ βολίζετ αι με

Γ " και ονομάζεται δεύτε ρη παρ άΎ ω Ύο ς τη ς f. Αν Υ ;:

f(x),

τότε για τ ην

f N(X) επίσητ; τράφο υμε

dΧ Ι

κ αι δι α βάζουμε « ντε τετ ράγωνο τητ;

ή f

d 1 f(x) dx Ι

προς ντε χ τετ ράγωνο » .

Είναι φανε ρό από τον ορισ μό ό τι

[ " = (f ' ) '

=..!!(~ )=..!!.'!... dx dx dx:

Α νά λσΥα ορίζοντ α, κα ι ο, π αράγα/Ύο, 3ης. 4η ς κ . τ λ. τά ξη ς οι ο ποϊετ αντιστοίχως συμ βολίζοντ αι:

[''' ή

d'f

dx J

d' f

dx· •...•

•

f'" ή

d' f dx'

ΠΑ ΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Για τη συνάρτηση

f' (x);:vx· 1. 2

f(x) ;:x·.

ν> 3

έχου με

f "(x) ;:v(v - l)x· - :.

f ())(x) =v(v - l)(v -2)x · - J •

Για τη συνά ρτη ση

έχουμε

f(x) = e'

f ' (χ) = fU(x) = f(J)(x) = ... = f (V)(x) = e".

Για τη συνάρτη ση

f ' (χ) =

α '· Ιεα ,

Για τις συνα ρ τ ή σεκ;

g ' (X)=

=α ' · (Ι ε α) ", (ί) f(χ)= η μχ

f ~ (x) = -ι η μτ,

i) f ' (x) = ouvX, ίί)

(α>Ο κ αι α *l ) έχουμε

f(x) = a ' ,

fU(x )

-ι ημα ,

gU(X)=

f (J)(x) = και

α - . (ιη α) ! , . . . ( ίί )

g(x)= συνκ

έχου με

-ι συνκ , . . .

f (]}(x) =

-ι σ υνκ ,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ομόδα

Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων

X+-l 2 i') f(x) -_ 2x

(32)' / ~ ..1,)Ι() χ = χ+

Να προσδιορίσετε ση μ εία χ" για τα οποί α ισ χύει

Αν η συνάρτηση

g είναι

δυο φοΡές παραγωγίσιμη στο

παράγωγο τητ; συνάρτησης , ,'

"(χ \

i) f(x) = ~ < χ

f"(x,,) =O.

IR,

όταν

να βρείτε τη δεύτερη

όταν

prf(x)= g(e' )

ιu> f(x) = x ' g(x ~)

~ Αν οι συναρτήσε« f,g είναι δυο φορό; παραγωγίσιμες στο Ο και f '(O)= - 1, g '(0) =6, να β ρείτε την

d ' (xf(x) + xg(X» Ι •• 0 dx~

Να βρείτε πολυώνυμο τ ρίτου β α θ μού τέτοιο , ώστε

[(0) =4,

f ' ( - 1)= 2,

[~ (2) =4

κ αι

r J)(l) = 6 163

Β' Ομόδα

Ι . Να αποδείξετε ότι η παράYα/ΎO~ ν τάξης (νε lN'·) τητ; συνάρτηση;

f(x) : _ Iχ

δίνεται από τον τύπο

Ό μοίωτ; για τη συνά ρτηση

Γ(χ) ""ημ τ

όη ισ χύει

r>l(χ) = ημ( ν; + χ) . 3.

Ν α εξετ ά σετε αν η συνάρτηση

6.9

VEIN'.

είναι δυο φορέι; παραγωγίσιμη στο χ,,;; Ι , όταν

Γ(Χ> =! )('+3χ + 2. >< 1 χ . + Sx • x~ 1 1

Η παράγωγας ως ρυθμός μεταβολής

Στη ν α ρ χή τ ου κεφαλαίου α υτ ού, μ ε

' '11

βοήθεια της συνά ρτηση ; θέση;

δώσ αμ ε την έννο ια του ρυθμού μετ α β ο λή ; τητ; μετατόπιση; νο ι . Συγ κε κ ρ ι μ ένα είδα με ότι ο ρυθμότ; μεταβολή; του

5(t) ωτ;

5(t),

προε το χρό

τη χρονική στιγ μή [ ο

δηλα δή η στιγ μ ια ία τ α χύτ ητ α του υλικού σημείου τη χρονική σ τιγμή Ιό . είνα ι τ ο

lίm 1-...

Ί:aiiA t

5 (1)- 5 (1. ) · ; 5 ' (ι.) t

ΙΟ

1,.d, αν δύο μετ αβλητά μ εγέθη Χ,Υ σ υνδέονται με τον τύπο Υ;; f(x) κα ι

η συνά ρ τη ση

είναι παραγωγίσι μη στο χ" . τ ότε ονο μάζουμε ρυθ μό μεταβο λή ς

του) ως προς χ στο σημείο χ" τη ν παράγωγο

f ' (χ,,) .

Ανά λοτα με τα μεγέθη που συνδέει η συνάρτη σ η Γ, Π .χ . πληθυσ μό-χρόνο . πληθωρισ μό-χ ρόνο. ταχύτητα-χρόνο Κ . Τ .λ . η π α ράγωγοτ

f ' (x,,) ε κφ ράζει αντι

στοίχωτ; το ρυθμό α ύξη ση ; ή ελά τ τωσ η; του π ληθυσμού , το ρυθμ ό αύξηση ; ή ελάττωσης του π ληθω ρισμ ού , το ρυθ μό αύξη σης ή ελά τ τ ωση ; τητ; ταχϋτητατ; (ε π ιτά χυνση) του σώ ματοτ, Κ . Τ . λ . Γt α παράδειγμα :

Είνα ι γνω σ τό ότι στη ν ελεύθε ρη πτώση ενό τ; σώ ματοτ; η ταχύτητα κάθε χρονι κή στιγμή t δίνεται απ ό τ ον τύπο υω μ ια οπ ο ια δή ποτε χρονική στιγ μ ή

ση

164

g τη; βα ρϋτη τα τ .

= gt. είναι

Επ ομένω ς ο ρυθμω ; με ταβο λή ; τη ς ,

u '(t)= (gt)' = g,

δηλα δή η επιτάχυν

Επ ίσ η ς είναι γνω στό ότι τ ο η λεκ τ ρικ ό ρεύμα ο φείλε ται σ τη μ ετακίνησ η η λε

κτρονίων μ έ σ α σ ε έναν α γωγ ό .

s Θ-

•

e--ι.. Αν Δ Q =

μή

Q(t) -Q(lo )

είνα ι τ ο φορτ ιο που

του αγωγού στο

διέρ χετα ι

χρονι κό διάσ τημα Δ ι

απ ό

μια

κάθετη

το

= ι - t o • τότ ε ω τ; μέση ένταση

το υ ρεύμα το τ; σ το δ ι άστ η μ α [ι . ,ι] ο ρίζε ται το π η λίκο

= Q(t)

Δι

Q(t o )

- Ιο

Το όριο του πηλί κο υ αυ τ ού , όταν Δ ι -Ο. είναι η ένταση Ι τ ου ρεύμα τοξ , που δια ρ ρ έε ι τον α γωγό , τη χ ρ ονι κή σ τιγ μ ή ι. ' δη λαδή

ι Ετσι η έντ α ση Ι τ ου ρεύματ ο τ; π ου διαρρέει έν αν αγωγό είνα ι ο ρυθμότ; μ ετα βο λή ς του φο ρτ ίου

που διέρ χεται α πό μ ια κ άθετη δ ια τομή του αγωγού .

ΕΦ Α ΡΜ Ο ΓΕΣ Ι. Η έν τ ασ η του η λιακού φωτός μέσα σ ε μια λί μνη ελαττώ νεται με το β άθο ς χ σύμ-

•

φωνα με τον τύπ ο Ι(χ ) = lot' ~ ! , όπ ου 10 είναι η έντασ η τυυ φ ωτός στ ην επιιράνεια τ ης λίμνης . Να υπολογιστ εί σ ρυθμός μεταβο λής του Ι ω ς π ρος χ . Σε π σιό β άθος ο ρυθμός με τ αβο λή ς θ α μηδενιστεί,

Λύ ση Σύμφωνα με τ α προη γού μενα , ο ρυθ μ ω ; μεταβ ολής σ ε β άθοτ; χ είνα ι

- ~ • ( -2 Χ) ' =

~ = Ι ,« Ζ

Επειδή είναι

- 21

Ioe

- ~2 =

- 21

lim ~ = lim ( _ _1_ 10_ 1_ ... dx , - ~ ... 2 ~

,- ~

I ~ .,Je' .

)=..=..1 2

Iίm _ 1_ = 0, ο ρυθμότ;

, - ~ ", ..[e'

μεταβολή τ; μηδ ενίζεται σ ε πολύ μεγά λο βάθος .

165

Α \' κα τά τ η χ ρ ο η Κ I) στι γμ ή

η ακ τίνα

σ φα ιρ ικοό μπαλονιο ύ που φσ υ

[\'11';

cm σ κώντι ι.ί\'αl 5 cm και ο ρ"Ομό.; αl)ξησης τη.; α κτίνα; τηιι είναι 2 • " ο Ι.. ..("c

π ο λογ ι στ ι: ί (Ι ρ υθμό .; μ ε ταβο λή ; 10" όγκοι, τ ου κατά τιι χ ρ ο νι κή στι γ μή Ι . ' Λύση Η ακτ ίνα τ ε ί να ι σ υνά ρ τ η σ η τ ω το υ χρόνου ι , ο πότ ε ο όγ κω ; ν εί να ι επίσ ητ; σ υνά ρτησ η τ ου χ ρό νου μ ε τ ύπο

νω ; + ψω) '

. - _ .- - ~~.:: -:

Ο ρυθ μ ο.; α ύξησ η ς του όγ κου "ατά τ η χ ρο νικ ή

0 1Ί Υμ ή ι.. δ ί νετα ι α π ό τ η ν π α ρά γ ωγο

ν ' ( ι..) = 4 11( Τ( I,,)) : . r ' (Ι.,) Α πό

τα

δ εδ ομ έ ν α

τ ου

π ρο β λ ή μ α το τ;

ε ίν αι

τ(ι ,,) :. 5cnl "σι τ ' (ι,, ) = 2 9!! . Επομ έ νω .; ο ζητού μενα; ρυθμ οτ; αύξηση τ; είναι

V'(I,,) = 4 -n - S: .:!. = 200n ~' ηl

scc

Κ ά τ ω από lι ρ lσ μΤ. \' τ,ς συνθ ή κη; έ νll σώ μα

π (ι λ λιτ σ ι μ ε τ έτοιο τρόπ ο ώ στε 'ι

θέσ η του σι: κι'ιΟ Γ. χ μο \' ι κ ή στι γμή Ι 'ιΙ' (' \'0 δ ί ν ΓοΤΙΙ Ι α π ό τον τύπ ο

S(I) = 20IIvt ,

πυυ το SΙO μετρ ι έται σ ι μονάδ α ; ενότ; ά ξο να . Ν« βρεθ εί η ταχύτ η τα li:tLI 'ι

[π ιτο χ , . ,- σ η

το " σ ωμα τ υ.;

τ η χρον ι κή

_ στι γ μ ή

2π

1. = - 3 -

'i('C ,

Λύσ η

Η τ α χύ τ η τ α κατ ά τη χρο νι κή σ τι γμή ι ε ίναι

~lΠ

) "" -

3Π

:!η μ (_2

) = - 2 · ~ = - ,\''J

u(t) ""S ' (t) "" .

2 ημΙ , ο π ότ ε

μ ονά δετ; α νά εοο. 1LlJ.J.:ιL.I.lJ,(h'1.tlJ.J.'.LL

Η επ ι τ άχυνσ η κ ατά τη χρονική σ τιγ μή ι είναι ο ρυθ μό; μετ αβολ ή; τ ητ; τ αχύ τ η τ α τ; δ ηλ αδή

γ( ι ):::υ ' ( ι ) -= - 2 συνt ,

5::: 5(t)

- 7-

Γ'

μονά δα ανά sec ~ _ - - /

οπ ότ ε

-4.

Ι,

,' ,J

Το κόσ ω.; πα ρ α γω γ ή; Κ{χ ) και η τ ιμ ή π ώ λ η ση ς ΙΙ ( Χ ) • .\ μο,"ά δ ω ν ε ν ό ς πρ οϊ6 ντ οτ; συνή θ ω .; εί ν αι σ υ να ρτ ήσ ει ; τ η ; μορφή ς:

Κ ( \ ) = α + β χ - γ χ : + δ ., Ι. α , β . γ , δ θετικοί

:\0 PptOri

iN>'

και

Ω ( x) = λ~ .

πό τ ε ο ρl ιΟμ ό ς μεταβο λή ; τ ου κ έρ δοι«; Τ(χ)

[Ι( Χ )

λ σ ταθ ερά . κ ω ε ί ν α ι θ ε τι -

κός (δεχ ό μαστ ε ό τ ι η ανεξάρτ ητη μ εταβλ η ~ή χ δ ιατρ έχ ει διάστ η μα) , Εφαρμο γή γι α

Κ(Χ) = + XJ - 20x l + 6oox + 1000 και π(χ) = ·nο". Λ ύσ η Ο ρυθ μό; μ ε τ α βολ ή ; του κέρδοικ; είναι

Τ ' Ιχ ) = Π ' (χ)

- Κ ' ( χ ) = λ - 3 δχ 2 + 2γχ - β : - 3 δ χ 2 + 2γ χ + λ - β.

επ ειδή - 3 δ < Ο . το τρ ιώνυ μο - 3 δ x ~ + 2γ x + λ- β γ ίνετ α ι θετικό ό τ α ν Δ > Ο και τ ο χ βρίσκ ετα ι μ ε τα ξύ τω ν ριζώ ν ρ , κ α ι ρ- , δηλαδή ρ ,

< Χ < ρ. .

Μ ε ά λλα λόγι α α ν η π α ρ α γωγή α υξηθεί ή ελαττωθεί π έρα απ ό κά πο ια όρια. τ ό τε ο ρυθ μ ότ; με ταβολή; τ ου κ έρδου τ γίνετ α ι αρνη τ ι κότ ; Ε φαρμ ογή : Ο ρ υθ μό τ; μ ε τ α β ο λή ; τ ου κέρδουτ; ε ίναι

T'( ,) ~ - , '+ 40,- Ι80 ~ - (, - 20 - ν'220 )(, -20 + ν'220 ).

που είνα ι θετικά; για κάθε χ με

_ _ _ __ _ __ _

χ ε (20 - .../220. 20 + .../220 )

ΑΣ ΚΗ Σ Ε ΙΣ

Α ' Ομάδα Ι.

Ν α ε κφρά σε τε το εμβα δόν Ε ενό:; ισοπλώροιι τριγώνου ω; συνά ρτηση του ύ1j/OUζ

υ και να βρείτ; το ρυθμό μεταβολή:; του Ε ω~ προτ; το u1tlo:; υ για u -·./3 . 2.

Η θέσ η ενό τ; κ ι νη τ ού πά νω 1'1 & έναν ά ξονα τ η χρ ονική στιγ μή ι

sec δί νεται

από

τον τύπ ο,

S([) =I J

_..1.... Ι :+ 151 + 4,

Os ls5

ίΙ Να βρείτε τη ν α ρχ ική ταχύτητα του κινη τ ού

ίί ) I l οια χρονι κ ή στ ι γ μή η τ α χύτ η τ ά του είν α ι

μονάδες ανά

scc;

Η α κτίνα μ ιας σ φαιρική; μπά λας α πό χιόνι δίνετ α ι απ ό τον τύ πο

O:S1 5 +

r .. 7 -

2ι ,

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγ κου της μπάλας ως προτ;

ΤΟ χρόνο ι .

Ι 67

Μ ια βάρκα σύρετα ι στη ν α

ποβάθρα με ένα σχοινί π ου διlΡXετα ι από μια τροχαλία Γ και βρίσκεται σε ύψος

,. ., -_ - _'"::>_--

m ο κ6 την επιφάνεια της θά λασ σας . Να βρείτε τη ν τα χ6τητα τητ; βάρ κα ς τη χρο vική σ τιγμή ι" που απέχει

α π ό την α ποβάθρα

κ αι

ι-

,..,

_ -

Ε Ι·

_ "' ι,....

.... 1-

Α_ _ ...... ": __ ~ ::;....!..&

.......... ......

0 ,8 m/ sec.

,.. - -

-_ ---_

r ,.... _ ~

η τα χύτητα του σ χοινιού εί ναι

Ι Ι

;οι

~...,

......

Οι διασ τάσεις χ ,Υ ε νός ορθογωνίου α υξάνουν ωτ; προτ; τ ο χρόνο με ρυθμ ό

3 cm/sec

κα ι

2 cm/scc

vτιoτOΙXω<;. Ν α βρείτ ε τ ο ρυθμ ό μετ αβολή τ; τ ου εμ

βα δού Ε ωτ; προτ; τ ο χρόvo Ι κα τά τη χρονική

στιγμ ή 10 1(00 οι διαστάσεις του είναι χ '"

30 cm

και

Υ ,, 40 σπι .

Έστω χ

> Ο κα ι Ε το ε μ βαδό του τριγώνου ΟΑΒ

που ορ ίζουν τα σ η μεία

Α(χ ,Ο) και

B(O,lnx). 4 cm j sec, να βρείτε εμ βαδού Ε ότα ν x=S ο ηι ,

0(0,0),

Α ν το χ. μεταβά λλετ αι με ρυθμό το ρυθμό μεταβολή; του

7. Α ν η ε πι φάνε ια μ ιας σφα ί ρας αυξάνετα ι με ρυθμό 10 cm1/ sec.• να β ρείτε το ρυθμό με τον οποίο αUΞά. νετα ι ο &yιcoς αυτή; όταν r = 85 cm

n Β ' Ομάδα ι.

' Ενα ς άνθρωπο; βαδίζει με τα χύτητα

2 m /~ec

έχοντ α ς στραμ ένο πά νω του έναν π ρoβ oλtα

π ου β ρίσ κ ε τ αι σ ε ύψω;

12 m από τ ο

έδ αφος .

Ν α βρείτε το ρυθ μ ό μεταβολήτ; τη τ; γωνία ς θ= Κ Π Α ωτ; προ; το χρόνο τ κατ ά τη τρονι

κή στιγ μή ι... που Ο άνθρωπό; α π έχει απ ό τη ν ωτακορυφη ΠΚ απόσταση

168

9m.

- - - -5--

" Ενα τ; πεζοπόρο; ξε κινάει απ ό το ση μείο Α και βα Β

δίζει γύρω απ ό μια κυ κλι κή λίμ \-η ακτίνας

2 km με στ αθερή 'τ αχίιτη τα 3 km/h. Να β ρείτ ε τ α ρυθμό μ ε

•

ταβολή ς του μήκους τ η τ; χορδής ΑΒ «κ; _ ΡΟζ το χρόνο t κατά τη χρονική στιγμή ι, που η γωνία

θ είνα ι ίση μ ε

-t .

•",

' Ενα αε ρο π λά νο κινείτα ι με σταθερή ταχύτητα

•Ι

360

km / h και σε ύψοτ; 3 km από το έδαφοτ. Αν τη ~

Ι ι

νική σ τιγμή (ο η οριζόντιο από σ τ α ση του αερο π λά νου α π ό έναν π αρατηρητή Π είνα ι ΠΚ

2 km.

να

βρείτε τ ο ριιθμ ό μεταβολή ς τη τ; yωνi ας θ = Α Π Κ τ η

χρονι κή στιγμ ή ι;

• _ _ _ _ ..JK Ι .

6.\10 Θεμελ ιώδη Θεωρήματα ταυ Δ ιαφαρ,καύ Λαγιαμαύ \ • Γενικά· ορισμοί Στ α Μ α θη μ ατι κ ά , σ τ η Φυσ ική . στη ν Τεχνολογία κ αι σ τα Οικονομ ικά , π oλλtς φο ρέ τ; ε μ φ ανίζοντ α ι π ρ οβ λή μ ατ α προ σδ ιο ρισ μού τ ητ; μ εγα λύτερη ; ή τ η ς μ ι κ ρό τ ερητ; τ ιμή ς ενός μεγέΟ ους . Π . χ .

Π ώ τ; θα επι λέ ξουμε τη θέσ η τη τ; γέφυ ρ α τ; Γ Δ ,

του δι π λ α νού σχή αατ οτ; ώσ τε η δι αδρομ ή Α ΓΔΒ μ ε τ α ξίι των εγ κα τ ασ τ άσεων Α κα ι Β να είν αι ελ άχι σ τ η;

Δ Β

169

Π ο ι α πρέπει να είναι η παρα γωγή και η τιμ ή ενότ; β ιομηχα νικού π ροϊόντοε,

ώσ τε να έχου μ ε τ ο μέγιστο κέρδοε :

Π ροβ λή μ ατ α όπωτ; τ α παραπάνω συνή θω τ; ανάγονται στον προσδιο ρισμό τη;

μ έΥιστης ή τ ητ; τλάχιστητ; τιμήτ; μ ια τ; σ υνάρτηση; μ ε την οποία είνα ι δυνατόν να ε κφ ράζετ α ι τ ο μ έγ εθο τ; α υτ ό .

Ορ ισμ ός Μια συνά ρτηση

f με π εδίο ορ ισμού ένα διάσ τη μα Δ,

λέμε ότι παρουσιάζει στο

χ" ε Δ

•

τοπικό μέγιστο, ότ αν υπ ά ρ χει δ > Ο τέτοιο . ώστε για κάθε

•

τοπικό ελάχιστ ο, όταν υπάρχει δ >Ο τ έτοιο , ώστε για κάθε

χ ε(χ,, -δ , χ,,+δ)ΠΔ

xε (x,, - δ , Xo + δ)rΊ Δ

να ισχύει

f(x) sf(x,,). (X) ~( x,,)

Ότ αν μια συνάρτηση Γ παρου σ ιά ζει στο ση μείο χ.. τοπικό μέγιστο ή τ οπικό ελά χισ το, τότ ε λέμε ότι η Γ πα ρουσιά ζει στη θ έση ή στο σημείο Χο τοπικό ακρ ό τατο . Η τιμ ή (χ,,) ονο μ άζετ αι τοπικό μέγιστο ή το πικ ό ελάχ ιστο τητ;

(

αντι

σ τοίχω τ ;

Σε ση μ εία τ οπικ ών α κροτάτων αντ ιστοιχούν ση μεία τη; γραφική; πα ράστασητ;

μ ιατ; συνά ρτηση ; ό πως πα ρου σ ιάζοντ αι στο σ τ . Ι . Υ

Σχ . 1

Είναι φ ανερό ό τι τ α α κ ρότ ατ α (ολικά), όπωτ; ορίσ τη καν σ τ η π α ρ άγραφο

1.7

είναι κ αι Τ Οπικά ακρότ ατα . Το α ντ ίσ τ ροφο δε ν ισ χ ύει . Π α ρα τη ρήσ τ ε ότι:

' Ενα

τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο

π .χ , f(χ ,»f(χ ό )

(Σχ .l) .

Τα άκρα α, β τ ου διασ τή ματοτ; Δ μ π ο ρεί ν α είναι ση μεία το π ικών ακροτάτων τη τ;

170

(Σχ .Ι).

Τα σ η μ ε ία του διαστήματα; Δ που δεν είνα ι άκρα του ονομάζο ντα ι εσω τ ερ ι κά

σημεία 1: 0υ Δ . Για έν α εσωτ ερικό ση μείο χο εΔ υπάρ'Χ,ει πάντοτε ένα δ> Ο τέ τοιο . ώστε (Χ ο - δ , χ ο Δ =: [α , β )

+ δ) C Δ,

όπως φαίνεται και στο σχή μα , όπου

κ αι χο ε (α ,β) . Δ

... α

Χο - δ

λ~

β 3Q x~+ δ

• Θεώρημα Ferma t Η επό μενη πρότα ση εκφρ άζει την αναγ κ αία συνθήκη για να είναι ένα εσωτερι Κ'(> ση μείο τ ου πεδίου ορισμού μκκ; συνάρτη σ η; Γ, ση μείο τοπικού ακοοτάτου.

θεώρημα Αν μια συνάρτη ση

f :

π α ρουσιά ζει σ το ε σωτερικό σημείο Χο του δια

στή ματω ; Δ τοπ ικό ακρό τα το και ειναίπ αρ αγωγίσ ι μ ή'Β το Χο, τότε -

.--

Α πό δ ε ι ξ η

Έ σ τω ότι η f π α ρουσ ι άζει σ τ ο χ ο τοπικό μ έγισ το . Τότε υ π ά ρ χει δ ρ θ , τέτ οιο , ώστ ε ( ΧQ - δ , Χο+ δ )

Δ, (α φ ο ύ τ ο χ ο είναι εσω τε ρι κ ό σημ είο) κ α ι για κ ά θε

χ ε(χο -δ, Χο+δ) να ισχύει

f(x ) =S f (xo )

t'(x) -f(Xo)=SO

Επομένως

• αν χε(χο -δ.Χο). τότε f (x)

f(& )

Χ - Χο

•

αν χ ε(χ ο, Χ ο +

Επειδή η

δΙ ,

τότε

[(Χ)

[(Χ.)

~O. ενώ :$0.

Χ -Χ ο

είναι πα ραγωγισι μη στο χ ο ισ χύου ν

, f ' (x e) =: lίm χ - ", -

που ση μαίνει ότι

f(x) -f(xo)

εθ

Χ - Χο

f '(xo)=O .

και

•

ηαροτηρήαεκ:

1. ΤΟ αν τίστ ρ οφ ο του θεω ρή ματος δεν ισχύει, αφού γι α J τη συνάρ τησ η Ι{χ ) = x ι σχύει Γ ' (Ο) =: Ο χωρυ; αυτ ή ν α

π α ρουσ ιάζε ι τ οπι κ ό ακ ρό τα το στο εσωτερι κό σ ημείο Ο (Σ χ .2).

Σχ . 2

171

Μ ια συνά ρτη ση είνα ι δυνα τόν να πα ρουσιά

ζει τοπι κό ακρότατο σ' ένα σ η μείο Χιι ιω ρίς να είνα ι παραγωγίσ ιμη σ' αυτό. Για πα ρά

δεη μα , η συνάρτη ση

f(x)

Ι ΧΙ δεν είναι

παραγωγίσι μη στο Χο=Ο, αλλά παρουσιάζει ελάχ ι στο στο σ η μ ε ίο αυτό (Σι.3) .

Σχ .3

Τέλος , όταν το σ η μείο το πι κού α κρο τάτο υ

είναι ά κρο του δ ια στή ματος ο ρ ισμού τη ; συνά ρτ η σητ, τότε η παράγωγο; μπορεί να

μη μ η δενίζετ α ι σε αυτό , π . ι . η συνά ρτηση

f(x) =

χΙ

+ Ι, ~- Ι

παρουσιάζει τοπι κό μέγ ι

στο στο σ ημεί ο Χο

- 2#0.

(Σι .

- Ι . ενώ

f'(x) =

(- Ι)

4).

Σχ.4

Γ ια μ ια συν εχή σ υ νά ρτηση ι σχό ε ι

τα ε σ ωτε ρ ι κά σ η μεία χ του διαστήματος Δ , ό που

Ο ονομάζονται στάσιμα σημε ία τ η ς !' ''. Τα στάσ ιμα ση μ εία καθ ώ; κα ι

τα σημε Ια στα ο πο ία η ( δε ν ε ίναι παραγωγίσψη ο νομάζονται κρ ίσιμα σημεία τη ς

Επομένως :

Ότα ν μ ια συ νάρτ ησ η (ε ίνα ι π αρ αγωγί σιμη σ το δι ά στη μ α (α ,β ), τότ ε τ α ση μ εία το πι κών ακ ροτ άτ ων θα αν αζη τ η θούν μ ετ α ξύ των σ τ ά σιμων σ η μείων τ η τ; Ι, δηλ α δή μετ α ξύ τω ν σ η μείων μηδ ενισ μού τη τ; π α ρ αγώγου .

Σ το σχή μα

5 φ αίνοντ αι

δ ιάφο ρες μ ορφέ τ κ ρ ίσιμων ση μείων μ ια ς σ ονεχουτ; σ υ

νά ρ τ η σ η ς .

( Ι) Ο οροτ; σ τάσιμ ο σ η μείο ιιρσήλθι; (ι ιι ό το ότι στη συνάρτ ηση θέση :; η lι ορό'ΥωΥα; & ι<φρόζει την τα χίιτ ητο του

172

..τινη τού,

O1!oio

σ τη ν ιιερi ιιτιooη αυτ ή εί,'ΟΙ ο.

Υ εφαιιτομενη

εφαπτομ ένη

εφ αητο μένη

, Ι

Σ χ. 5

Α π ό α υ τά τ α σ , β , γ. δ. ζ είναι θέσ εκ; τ ο π ικώ ν ακ ρο τ άτ ων ενώ τ α α , β , ε, ζ, η, είναι σ τ ά σιμα σημεί α . Α π ό τ α π ρο ηγού μεν α γίνετ α ι φανερό ότι :

Οι θέσε «; των π ιθ αν ώ ν τυ π ικ ώ ν ακροτάτω ν μ ια τ; συνεχούτ; συνάρτηση; π εδίο ορισμού Λ

f με

[ α .β ], ε ί ν αι τα κρίσιμ α ση μ εία της κα ι τ α άκ ρα τ ου Δ.

Έτσ ι, γ ι α μια συνάρτ ηση

π ου είν αι ουνεχή τ; σ ' έ να δ ιάστη μ α Δ = [ α.β] έ χου με

το σχεδιάγρ α μ μα : .

Θέοεκ; π ιθανών τ ο π ικ ών ακ ροτάτ ων

' Α κ ο α διαστή μ ατ ος

_____

~ KΡίσιμα

______ Σ τ ά σιμα ση μεία

(f ' (χ ) = ο)

ση μεία

~ Σημεία όπου δεν υπάρχει η

f '(x)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Ι . Να βρ εθούν τα κρίσιμα σ ημεία τ ω ν συν α ρτ ή σε ω ν

χ2 ίί)

f(x) =

χ< ] x ~1

173

Λύ σ η

Ε πειδή η Γ είναι παοαγωγϊσιμη, τ α μό να κ ρ ί σ ι μα σημεία είναι οι ρίζες της

εξίσωσητ;

f ' (x}=O <=>-

δηλαδή τ α χ , = Ο κ α ι χ Ζ =

12χ ' +24 χ : = Ο <=>-

12x1(x + 2}= O.

- 2.

ίί) Για κά θ ε χ=l:- J , η

είνα ι π α ρ α γωγ ίσ ι μη με

. <1

2. (' (χ) =

_ _1_

( Η εξίσ ω ση

.> 1

f ' (x) = O είν α ι

2 χ =Ο ,Χ < I ,

ι σ ο δύ να μ η μ ε

χ =Ο

Ε ξ ά λλου στο σ η με ίο χ

=Ι

η ( είνα ι σ υνε

χής κα ι μ η π α ραγωγ ίσηι η

(§ 6.4).

Επο μένω τ; τ α κ ρ ίσ ιμα σ ημ ε ία τητ; είνα ι

•

χ l = Ο κ αι χ ι = l .

Είναι γ ν ω σ τό από τη Φ υσι κ ή ότι το ύ ψ ος ξεύετ αι

h. σ ε μέτρα.

ενός βλήματος που ε κτ ο

κατακάρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ.

αnό τον τύπο h(t) '" υ.Ι -

gI Z άπου

m/ sec

δ ί νεται

ο χρόνος σε sec. Να βρεθεί η ΙΡΟ\'ική

στιγμή ι. κα τά την οποία η ταχ ύτητα του βλήματος μη δ ενίζεται . Λύση Η συνάρτ ησ η

h(t) είνα ι

π α ρ αγωγίσι μη ε πο μένωτ; ζη τά με τα σ τά σ ι μ α ση μεία τη ς,

δη λ . τ ι; ρίζες τη τ; εξίσω ση ς

h ' (t) = O

υ. - ιι= Ο.

(Ι)

Η ( Ι) έχει μια ρίζα την t = J:!a.. . g

, Αρα η τα χύτητα του βλή ματοτ; μηδενίζεται όταν Ι =...EL . g

•

Θεώρημα

Ra/fe

Α ιτ ό τα ποοηγοϋ μ ε να γίνετα ι φ α νε ρ ό ό τι τα σ ημεία μ η δενισ μού τ η '; π α ρ αγώ γου μ ια ς σ υν άρτη σ η ; Γ π α ρ ου σ ιάζουν ι δι α ί τ ερο ενδ ιαφερον για τη μελέτ η τη ς , α φού ως γνωσ τόν απ οτελούν θέσεκ; πιθ ανών α κ ροτάτω ν τηο . Σ τ α σημεία αυτ ά

f '(x}=O, που γεω μετρικά ση μα ίνει ότι η εφα π το μένη σ τα αντίσ τ οιχ α σ η ιιεία τητ; γραφική ; π-άράστα σης ττις Γ, είναι π αρ ά λλη λη στο ν ά ξονα χ ' χ . Στο Σ χ.6

ισ χύει

ό π ου ισ χ ύει Γ(α)

(β ) η ύπα ρξη τέτο ιω ν σ η μ είων ε π ο π τικά είν α ι π ρ οφανή ε .

εφαπ τ ο μεν η

, , r- - -- -- - Ι

ψ,ιιβl)

, Ψ , ι(,ι) ι Ι

Ι ι ι

ξ,

Σχ.6

ΤΟ θεώρημα του

Θε ώρημα

Rolle

που ακ ο λο υθεί επι βεβαιώ νει τη διαπίστωσή μας αυτή

Rolle

Αν μια συνά ρ τηση

είν αι

i) συνεχής στο κλειστό διάστημα [α , β;.... ί ί) παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (α,β) και ί ίi) Πα) = [(β), τότε υπάρχε ι ένα τουλάχιστον σ η μείο ξ ε ( α, β) τέτ οιο , ώστε [ '(ξ) =Ο .

Απόδειξη

•

Αν η συνά ρτησ η

•

Αν η

είναι σ ταθ ε ρ ή στο [α.β] , τότε Γ ' (ξ )= Ο για κ ά θε ξ ε [ α, β] .

δεν είνα ι στα θ ε ρή , τότε. επειδή η

είν αι συνεχής σ τ ο [ α, β], σύ μφων α

με το θεώρη μ α μέγιο τηο-ελάχιστη τ; τιμή τ; υπά ρ χουν ση μεία χ" χ" ε{α, β) τέτ ο ια, ώσ τ ε για κά θε χ ε [α ,β ] να ισχύουν

Τα ση μεία Χ" Χ μ δεν μ π ο ρ εί ν α είναι τα δυο άκρα του διαστή ματ οτ; [α, β], δ ιότι Π . χ . α ν ήτ αν Χ,

α κα ι Χ μ = β , τότε θα ήτ αν

f(a) = [(χ.) < f(, , ) = [(β) π ου ε ίνα ι αδύνατ ον, α φ οϋ ( α ) ::: (β). Ε πο μένως ένα τουλάχιστον α π ό αυτά είναι εσω τερικό σ η μείο του διαστή μ ατοτ; έστω το Χε ' Επ ε ιδή η

ώ ρη μ α

Ferma t ,

ι σ χύει

παρουσιάζει ακρότατο σ το Χ< Ε(α , β ) , ού μφωνα μ ε το θε

f '(x,) :::O,

δηλαδή το χ, είναι το ζητ ούμενο σημείο ξ .

•

Π ΑΡΑΔΕι ΓΜ ΑΤΑ

Να εξετασ τεί α ν γ ια τις παρακάτω συναρτήσεκ ισχύουν οι προ ϋ ποθ έσω ; τ ου θεωρή ματα ;

Ro IIe. Στις π εριπτώ σεις ( ' ( ξ) "" Ο .

π ο υ ισχύουν , να υπολογιστούν τ α ξ γ ια

τ α ο ποία ι σ χύει

175

ί) f(x) = ~ , χ ε Ι - 1,1] ίίi) « χ) = Ι χJ,

ί ί) f(x) =x J ,

ίν)

χ ε { - 2,2 J

χ ε [ - 2,Ι ] , - χ+ 2,

f(X) = {

3χ

•

- l s xS O O<x sl

Λύση

i) Η

f(x) = ~ . είναι συνεχή; στο [ - Ι , Ι J, παρωωησιμη σ το (- 1,1) με

( ' (χ) =

.J~ χ

I - xl

. και ισxUει f( - Ι ) = f(l) = Ο. Επομένωτ; ισχύουν οι προϋποθέ

σεκ; του θεωρήματ οτ , ο πό τε υπάρχει ξ ε (

f ' (ξ) =Ο =

-ξ

Π- ξ'

- 1,1)

τέτοιο, ώ στ ε

ξ= Ο

iί ) Eίναι f( - 2) *f(l), δηλα δή δεν ισχύουν οι προϋποθέσεκ; του θεωρή μ ατοτ; (πα ρατηρήστε ωστόσο ότι η ίiί)H

f(x) = Ixj

f ' (x) = 3xl μηδενiζετα ι σ το Ο ε ( - 2.1» .

δεν είνα ι π α ραγωγίσ ιμη στο Ο ε( - 2 , 2) , δηλαδή δεν ισ χύουν οι

π ροϋπ οθέσει; του θεωρήμ ατος .

ίν) Η

δεν είναι συνεχή ; σ τ ο Ο ε Ι -

1.1J. δηλαδή

δεν ισχύουν οι προϋποθέσει; τ ου

θεωρήματ οε .

Να α ποδ ειχθεί ότι η εξίσω σ η συντ

+ Ι =χ

έχει μια μόνο ρίζα στο δ ιάστη μα

Α πόδ ε ι ξη

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = συνπ + Ι - Χ, η οποία στο [ο.

; ]είναι συνε-

χής και ισχύει f(0) ·1 ; ) = 2(1- ; ) <ο. ' Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano,

υπ άρχει μια τουλάχιστον ρίζα τητ; f στο (ο, ~ ). Αν υποθέσουμε ότι

υπάρχουν δύο ρίζες Ρι ,Ρι στο (ο, ~

), τότε ({ρ ι )= ηΡ2}= 0'

ποιεί τ κ; προϋποθέσ ει; του θεωρή μ α το-;

τέτοιο, ώστε f '(x,,)=O ή 176

RoIIe

Επειδή η f ικανο

σ το [Ρ "ΡΖ ], υπ άρ χει χ" ε (Ρ I ,Ρ2 )

ημχ,,= - Ι , που είναι άτοπο, αφοϋ Χοε(ο. ; )_

Επομένωτ; η εξίσωση συνπ + Ι = χ έχει μία μόνο ρίζα στο (ο, ~

•

θεώρημα Μtαης Τιμής ταυ διαφαρικού λογιαμού

ΤΟ θεώρημ α που ακ ο λουθεί απ οτελεί γενί κευση τ ου θεω ρή μα τοτ;

Rolle . Λόγω

των π ο λλών και ση μ αντικών εφα ρ μογων του θεωρείται ένα απ ό τα πλέον θε με

λιώδη θεω ρή μ α τ α τητ; Α νά λυσης .

Θεώρημα Μέσης Τιμής

r είνα ι

Αν μ ια συνά ρτη ση

i) συνεχή; στο κλειστό διάστημα [α ,β] και

ί ί) παι1lJ.γωγiσιμη στο ανοι·ΧΤ6 - διάστημα<~,β), τ ότ ε υπά ρ χει ένα τουλά χιστον σημείο ξ ε (α, β ) τέτοιο . ώσ τε

f'(ξ)= f(P) - f(a)

β -α

f(β) - f(α) =f' (ξΧβ - α)

(1)

Απόδ ειξη

Θεωρούμ ε τη συνάρτηση

g(x) = f(x) -

f(p ) - f {a) β -α

η οποία είναι συνεχή; σ το [ α . β] , παρ α

γωγiσ ιμη στο (α, β) με

g '(x) =f '(x )-

(χ -α)

'Ψ."β)) ι

f(p) - f(a)

β-α

, Ι

και ισχύει

g(a ) = f(a) = ι(β) .

υπ άρχει ξ ε (α, β) τέτ οιο, ώστε

g '( ξ) =Ο, δηλαδή

f '(ξ)_f(β) -f(α) =0 ή f'(ξ)=f(β)-f(α) β

Ψ·Ι,.))

Επο μένωτ; σύμφωνα με το θεώρη μ α

Rolle

Ι Ι

•

Ι ξ.

ξ,

β- α

11'

Γεωμ ετρι κ ά το θεώρη μ α υποδηλώνει ό τι υπάρχει ένα σημείο τητ; γρ αφ ικήτ; π α ρ ά σ τ α σ η τ; τητ;

όπου η εφα πτομένη τη τ; είναι π αρ άλληλη στη χο ρδή Α Β .

" Οπ ω τ; κ αι στο θεώρημ α του

Rolle είναι

δυνατ όν να υπά ρχουν περισσότερα ση

μεία ξ , που ικανοποιούν την ισότητα (Ι).

ΠΑΡ Α ΔΕ ΙΓΜΑΤΑ

Ι . Να αποδειχ θ εί ότι για κά θ ε α , β ε Ιι ισχύ ει

l η μβ

ημα ]

:S ι β -

α] .

Απ όδειξη

•

Αν α ::: β , η ανισ ότη τ α είναι προφανήτ;

•

Α ν α *β . έστω Π .χ . α

< β.

τότε η συνάρτηση

f(x) ::: ημτ

είναι συνε χή; σ το ( α .β)

κ αι παρ ατωγίσ ιμη σ το ( α .β) . Επο μένω τ , σϋ μφων α με τ ο θεώ ρη μ α Μ έσ η τ; Τι μή ς , υ π ά ρχει ξ ε ( α, β) τέτ οιο . ώστε η μ β

[ η μ β - η μ αΙ = l (β- α ) Ι l αuνξΙ s [ β Ν α α πο δ ειιθ εί ό τι

η μα « συνξ · (β

α ), οπότε

α] .

x+l :sc· :sxc · + I.

χ εΕ

Α π όδ ε ι ξ η

•

Αν χ

τότε η ανισότ η τα χ

> 0.

x::se' - I::sxe'

Τι

Για τη συνάρ τηση f(t) ::: (

+ Ι :Sc' ::sxe' + I:s e' - l

::se'

Ι γράφετ α ι

(1)

ισ χύουν οι ποοϋποθέσεκ; του θεωρή μα τος Μ έσ η ς

Τιμή ς σ το [Ο ,Χ ], οπό τ ε υ πάρχει ξ ε (Ο , χ) τέτ ο ιο, ώ σ τε

e'- eO

-=::-~'- = Ι ' (ξ ) χ

Ε πειδή η

e' - l χ

= .'

(2)

είναι γνησίωτ; αύξουσα και Ο <ξ < χ , έ χουμε

eO<et <e' •

(λόγω τη; (2)

1< c' -I < τ" χ

Α ν ε κ θ, τότε η α π όδειξη είναι α νάλογη, μόνο π ου τώρα χρη σ ι μοπο ιού με τ ο διάσ τ η μ α [χ . Ο].

•

Αν χ ::: Ο . η ανισ ό τη τα γίνετ α ι Ο

''"

+ Ι ::SeO::s Ο · eO+ Ι

πο υ ισ χύει .

Α ' Ομάδα

ι.

Να βρείτε συνθή κη μεταξύ τω ν α,β αν η συνάρτη ση

f(x) '"

πα -

ρουσ ιάζει τοπικό ακρότατο σ το ση μείο χ,, = - ι.

Να προσδιορίσετε τ α κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων

i) f(x) = -

ll) f(x)= 2Ix-I I+ 3

Να β ρείτ ε τκ; θέσ εκ; των π ιθανών ακροτ άτων των συνα ρτήσ εων

ίίί)

f(x) - 3'

-lη3 ~

ίν)

f(x) =..::lΚ (3 3

2χ)

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ Ι - 3χ + α =0 έχει το πολύ μια ρίζα σ τ ο διάσ τη μ α(- Ι,Ι).

5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση )χ ' - xJ = 5 έχει μια μόνο ρίζα στο διάστη μα (1,2). 6.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ '+ αχ + β = Ο, α >Ο έχει μια μόνο πραηιατική ρίζα .

Να εξετάσ ετε ποια; από τις π αρακάτω συνα ρτήσω; ικανοποιούν τκ; προϋ ποθέ σεκ; του θεωρή ματοτ; Μέση; Τιμή ς στο διάστη μα Ι

ίίί)

i) f(x) _ lx 2 _xl

Ι.

Να α π οδε(ξετε ότι Ύ\α κάθε

- 1,1].

x,ye lR μ ε 11) e'<

f(X) =1 4-X),

Χ:Ι= Υ ισ χOOuν:

e' - e' Χ -Υ

<e"

I xl :ιt: Ι

3 • ι χι- ι

αν

Χ< Υ.

,Ο ' Ομ όδα

Αν η συνά ρτη ση ( είναι συνε1.ή ς σ το [α .β] και (α) " ( β) , να α π οδείξετ ε δη η

(έχει tνσ τ ουλά1.ιστον κρίσιμο σημείο στο (α, β).

Αφού διαπ ιστώσετ ε ότι ισ χϋουν οι προϋποθέσει; του θεωρήματοτ; RoIle για τη f(x) '" χη βχ στο διάστη μα [Ο,π ] , να α ποδείξετε ότι η εξίσωση εφχ '" - χ

συνά ρτηση

έχει μια τουλάχισ τον ρίζα στο (Ο,π).

3. Να α ποδείξετε ότι η εξίσωση 3 αχ Ι+ 2βχ s= α+ β έχει μια τουλάχ ισ τον ρίζα σ το διάστημα (0, 1). 4.

Αν η συνάρτη ση

( ' (χ)* Ι για κ ά θε

x"e(O,J) 5. Αν

είναι παρωωγισιμη στο διά στη μ α

[0,1)

XE[O, JJ.

με Ο« (χ) < 1 κα ι

να αποδεί ξετ ε ότι υπ ά ρχει μόνον ένας αριθμ ό; τέτοιοτ . ώστε ( χ") '"' χ,, .

~ + !!L:.L + .. . + .J!L +~ =O, νε ΙΝ*, να αποδείξ ετε ότι η εξίσωσ η ν+ Ι ν 2

α.,χ ' + α, _ IΧ ' -1 + ... + α lx+~,", O έχει μ ια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).

Αν η συνάρτη ση ( είναι συνεχήξ στο διάστη μ α

για κά θε χε (Ο,4), να αποδείξετε ότ ι

[0,4], ((0) = 9:s:( 4):s2 1.

και

2:S ( '(x) :SS

Σ' tναν αγώνα δρόμου δυο αθλη τlς τερματί ζουν ταυτόχρονα . Να α π οδείξετ ε

ότ ι υ π ά ρ χει μια τουλάχιστον χρονική στη μή ι, κατά τη διά ρκεια του αγώνα που έχουν τη ν ίδια ταχύτητ α .

Να α ποδείξε τε ό τι:

ί) 2 -~ 2

-· 9.

ΙΙ) ouvlz!18

< _1_

+ .!!.Π.. . 36

Να αποδείξετε ότι: η

'"ο

< In2< ..!

, - Ι

- - - :s Inx:sx - 1

Υια κάθε χ ε (Ο,+

00)

ii)lim ~ ",,1 ο- Ι χ- Ι

6.11 Συνtπειες

του θεωρήματος Μtσης Τιμής

Γνωρίζουμε ότι η παρά γωγος μιας σ ταθερή; συνάρτηση; είναι μηδέν . Μ ε τη βοήθεια του θεωρή μα τοτ; Μέση ς Τιμής αποδεικνύουμε ό τι ισXUΕι και το αντί στροφο.

Συγ κε κρ ιμένα ισχύει

Πρόταση

Α ν η συνά ρ τηση

είνα ι σ υνεχής ο ' ένα διάστημα Δ και για κάθε εσωτ ε ρι κό

σημείο χ εΔ είνα ι ( '( Χ) "" ο. τ ότε η

είνα ι στα θερή σ το Δ .

Α πόδειξη Έστω χ.. ένα σταθερό σημείο τ ου δ ια σ τ ή ματος Δ . Τότε γι α κάθε π ε Δ μ ε χ ;t- x".. Π .χ . χ >χ", η συνάρτη ση

ικανοποιεί τκ; προϋποθέσει; του θεωρήματοτ ;

Μ έσης Τιμ ή ς στο διά σ τη μ α Ιχ... χ ] . Ξπο μένωτ; υπ ά ρχει σημείο ξε (χ" , χ) τ έ τοιο,

ώσ τ ε

f(,) - ffx.) = Επειδ ή

f ' (ξ) == Ο

Ι '(ξ)(,

χ.) .

έχου με

f(,) π ου σημαίνει ότι η

Ι(χ.)

=Ο

f(,) = f(x.),

είναι σταθερή στο Δ .

' Α μεση σ υνέπεια της π ρότασης είναι το επ όμενο πόρισ μα, στο οποίο θα ανα φερθοϋμε συχνά στα επό μεν α .

Πόρ ισμα Αν οι συναρ τή σει;

f.g

κ ό ση μείο χ εΔ ισχύει

είναι συνεχεκ; σ ' ένα δ ιά σ τη μ α Δ κ α ι για κ άθε εσωτερι

( '(x) =g '(x).

τότε υπάρχει μια στα θερά

f(x) = g(x) + c

τέτο ι α , ώσ τε

για κάθε χ εΔ .

Απόδ ειξ η

Η συνάρ τη ση f - g είν αι συνεχή ; σ τ ο Δ και για κάθε ε σ ω τε ρι κό σημείο χε Δ ισχύει ( f(x) - g(x ») ' "" f '(x) - g ' (Χ) "" ο οπότε. σϋμφωνα με την πρότα ση (ο , η συ νάρτηση f - g είναι σ ταθερή στο Δ , δηλαδή

f( x)- g(X) == C

για κάθε χ εΔ .

f( x)= g(X)+ C

•

Πα ρα τη ρ ήσε ις

<,_ " ,

Από τα π ροηγού μενα γίνε ται φανερό ό τ ι υ π ά ρ χουν άπειρετ; συναρτήσ εκ; με τη ν ίδια παρά γωγο . Αυτ έτ; διαφέ ρουν μ ετα ξύ του τ; κατά μ ία σ τεθερά σ. (Σχ. I) .

Σχ . 1

181

Η πρότ α ση κ αι τ ο πόρισ μ α ισ τ ϋοϋν.σ ε διάσ τη μα ~K αι όχι σ ε ένω σ η δ ιασ τ η

μάτων. Π .χ. για τη συνάρτηση αλλ ά η

f(x)= (

δεν είναι σταθε ρή στο

- ~ : :~~ ισχύει f'(x)=O για κάθε χε ΙΙ·

IR · .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Ι . Ν α π ροσδιο ριστεί η συνάρτηση

f:(O, + (Χ)

( l (:ιι;) ,, _I- και

•

για την ο ποία ισχύουν

f(e) = 3

Λύση

Για κάθε χε(Ο, + σο) ισχ(ει φωνα με το πόρισμα έχουμε

Επειδή

f(e) =3,

έπεται ότι

Eπoμtνως (' (χ) :: (1nx)' , οπότε σύμ

(1nx)' = _1_ .

•

f(x)= lnx + σ.

Ine + c = 3

l + c= 3

2. Να απΟΟαχθείόπ για μια συνάρτηση Ι: Η Ι'

<=> I(X) = tt",

c = 2.

Άρα

f(x)=ln x +2.

R ισχύει

σ σταθερά

Απόδειξη

• ' Εστω (' = f. Αν F(x) = (~~) , xe R, τότε για κάθε χεΙι, είναι

F' (.) ~ f ' (')e' - f(.) · (o') '

= f(')e' - f(' )e'

(e ')2

οπότε F(x)= c που σημαίνει 2ψ..:c ή ο

=0,

ο"

f(x) = οε",

σταθερά.

• ' Εσ τω f(x)=ce ', τότε f ' (x) : (ce' )' = ce'= f(x) για κάθε xeR. δηλαδή f ' = f.

'"'

• Μ ο νοτο νία συ ναρτήσε ω ν

Α π ό τη γραφική πα ράστ α ση τ η ; σ υνάρ τη σ η ;

Ι'(χ ) = χ : ( Σχ. 2 ) δ ιαπ ι σ τώνουμε ό τι : Στ ο δ ι ά σ τ η μ α

Γ ' (χ)

(- 00,0) ,

ό που η

παράγωγο;

2χ εί να ι αρ νητική . η σ υνάρ τ η ση ι' είνα ι

Υ " η σίω ς φθίνοοσ α. Στ ο διά σ τη μ α (ο,

+ 00),

θε τι κή, η σ υνά ρτηση

ό που η Γ' ( χ)

f είνα ι γ " ησίως

2χ είναι

α ύξουσα .

ο Σ χ .2

Γενικά ισ χύει

Πρόταση

Για κάθε συνάρτ ηση

συνε χή σ το δ ιά σ τη μ α [ α. β ] ι σ χύο υν :

ί) Α ν

f ' (x» O γι α

κ ά θε χ ε ( α ,β) , τ ότ ε η

είνα ι γνη σίως α ύξουσα σ τ ο [α . β]

ίί ) Α ν

f '(x) < O γι α

κ ά θε χ ε(α , β) , τ ό τ ε η

είνα ι γνη σ ίω ς φθίνουσ α στ ο [ α . β ] .

Απόδε ι ξη

Για δ υο ο π ο ια δήπ οτε χ "χ : ε ( α,Ρ Ι , μ ε Χ , θεωρή μα τα; ΧI έ σ η ς Γ ιμ ή τ; σ το

(X "X: J.

< X~ . η f

ι κ α νο π ο ιεί τκ ; π 'ροϋ π ο θέσεκ; τ ου

Ε πομ ένω τ υ πάρχει ξε ( χ"χ; ) τ έτ οιο , ώσ τε

f( , , ) - f(,,): Ι '( ξ) · (" - Χ ,),

Ε π ε ιδή f ' ( ξ»Ο κ α ι Χ 1 - Χ , >Ο , έχου μ ε π ο υ σ η μ α ίνε ι ό τι η

f(x:) - f(x,»O

f(x ,) -::: f(x:),

ε ίνα ι γ νη σ ίω ς α ύ ξο υ σ α στο [ α.β ] .

ί ί) Λ να λογ α διαπ ισ τώνουμε ό τι η

είνα ι γνησίω τ; φθίνου σ α σ το

[a, pJ.•

Παρ ατη ρή σεις: Ι . Η π ρό τ ασ η

(2) ισ χ ύε ι

κ α ι σ τη ν π ε ρ ίπτ ω σ η π ο υ το διά σ ηι ιι α είν αι τ η τ; μ ορφ ής

( α ,β) ή (α ,β) ή (α . β ) . Έ τ σι , π .χ , η συν άρτησ η IΙ χ ) = ν'χ

(Ο, + 00) και για κάθε χε (Ο, + 00) ισχύει f ' (x) :::: φωνα μ ε τ η ν πρόταση

(2) ,

Το ανη σ τροφο τη τ; πρό τ αση ;

είνα ι συνεχή; στο

I ~ > 0. Επομένωτ, σύμ

2"r:x

είν α ι γνη σίωτ; α ύξ ου σ α σ το [ Ο ,

(2) δεν

+ 00 ).

ισ χύει για.τ ί γ ι α παρ άδε ιγ μα , η σ υνάρ τη

ση f(x)= χ ' ε ίνα ι γνη οίω.; α ύξουσ α στο ( - Ι , Ι Ι χωρί ς ό μωτ; να ισχύει f ' (x) > 0 σ το ( - 1, 1), α φού ( ' (0) = 3 · 0 )= 0 .

183

ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜ ΑΤΑ Ι . Να r.ξι;tαστri η μονοτονία Τα/ ν συναρτήσεων:

ί)

f(x) :::: In- I- ,

ίί) ((χ) : εφχ, χ ε (

- ~ .-f- )

ίίί) Hx) ι: ~

Λύσ η

ί) Επειδή για κάθε χε(Ο. + 00) ισχύει Ι'(χ) ""( _ 1m ) ' :::: _ _ 1- <ο, χ

γνησιω τ; φθϊνουσ α στο (Ο,

ίί) Επειδή για κάθε χ ε ( -

'Τ ) ισχΟΟ

;

είνα ι σι ", <-'"!ής στο διάστημα

Γ ' (χ) ::::

,", 1 - χ 1

f ' (x) = _ I ,-

> 0,

σ υν χ

. ;

Ι ,Ι ) και για κάθε χ ε( - Ι , l) έχουμε

ο πότε

• Γ ' (χ) > 0 σ το ( - Ι .θ), που ση μαίνει ότι η

• f '( x) < O στο (0,1),

είναι

+ cισ ).

η συνάρτηση εφχ είναι Υνησίως αύξουσα στο ίίί) Η

που ση μαίνει ότι η

r είναι γνησίω;

αύξουσα στο

είναι γνησϊω τ φθίνουσ α σ το

[ - 1,0].

[0,1].

="ία μελtτηθ εί η μονοτονία τω ν συναρτήσεω ν

ίi) Hx) =:: ~ 1 +χ

Λ ύ ση

ί ) Η συνά ρτη ση f είναι παραγωγίοιμη . με Το πρόσημο τη;

λών τη;

r. Στον πίνακα σημειώνουμε, με κατάλληλα βέλη, τα δια στήματ α, ό

π ου η συνά ρτη ση

f' f

'84

f' (x)=x 2 - 3x + 2.

δίνεται, κατά τα γνωσ τά , σ τον παρακάτω πίνακα μεταβο

είνα ι μονότονη .

+ , .-?

I ~I

Επο μ ένως η

είναι γνησίως αύξου σ α σ τα διαστήμα τα

και γνη σίω τ; φθίνου σ α στ ο διάστημ α

Το π ρόσ η μο τ ητ;

κ αι η μ ον ο τονία τη τ;

f' f

Ε πο μένως η

φαίνοντα ι σ τον πίνακα ;

+ ω

Ι /Ι

"---~

f είνα ι γνη σίως φθίνουσ α στα διασ τήματα ( - 00, - Ι ] και [ Ι ,

κ αι γ νη σ ίω ς αύξουσ α σ το διάστ ημα

- Ι

- ω

( - 00, 1 J και [2, + 00)

[1,2J.

Να αποδεί ξετ ε ότι γ ια κάθε

xeR

+ 00)

[ - 1,1] .

ισχύει

e' ~ 1 + Χ .

Λύση Θεω ρ ούμε τ η σ υνάρ τη σ η

f(x) = c' - 1 xe IR ισχύει f ' (Χ) = e' - Ι .

και γι α κ άθ ε

•

Ε πειδ ή για κάθε κ κ Ό είναι νουσ α σ το

( - 00 .Ό ] ,

+ 00).

f ' (x) = e' - I > 0,

f είνα ι γνη σίωτ; χ ε ( - 00,0 ] ισ χύει ή

xeIR

e ' - I - x~ I - I - O

ισ χύει

φθί 4

e '2: 1+ x

η συνά ρτ η σ η

π ου ση μα ίνει ότι για κ άθε χ ε{Ο ,

f(x ) ~ f(O) Ε πομ ένω τ; γ ι α κά θε

η συν άρ τηση

e ' - I -x ~ I - I - O

Ε π ειδή γ ι α κάθε χ >ο είνα ι ξουσα σ τ ο [ Ο,

f '(x) =e ' - I < ο,

π ου σ ημαί νει ό τι για κάθε

f(x ) ~f(O)

•

Χ, η ο ποία είναι π α ραγωγ ί σ ι μη στο

+ 00)

είναι γ νη σ ίωτ; αύ ισχύει

e' ~ I + x

e '~ l + x.

Α Σ ΚΗ ΣΕΙ Σ

•

Α ' Ομάδα Ι.

Αν για τις σ υνα ρτ ή σ εκ ;

f,g ισχύουν f '(x) = g(X) κα ι g ' ( χ) =: - f(x) γι α

κά θε χ ε

IR ,

να απ ο δεί ξετ ε ότι η συνάρτησ η ( f( χ)γ + (g ( Χ)γ είνα ι στ αθερή . 2.

Α ν f(χ ) = ...ι;;+:Ί , να βρείτ ε σ υνά ρτη ση g για τη ν οποία ισχύει g( - 3) =: 1 κ α ι

g' (x) =: f' (x) γι α

κάθε

xe lR. .

185

Ν α β ρείτ ε τη συνά ρτηση

Ι) ( '(χ) = _Ι_ 2-1,

ότ αν

για κάθε χ ε (Ο, + 00) και f(4) = Ι

ίί) ( ' (χ) = ημχ + χσυνχ για κάθε

xe lR

και

f (+

ίίί ) f ' (x)= e' · (Ι + Χ) για κάθε xe lR κ αι f(O) .. -

f(xl =

ίί ί )

f(x) =-

iiί)

f(x) = - , -

,,) f( x ) = "jX ~ -4X

Ομο ίω ς για τ κ; συναρτ ήσει ξ :

ίl

j,, )

Ν α βρείτε τα δι α σ τή μ ατ α μονοτο νιω; των συναρτ ήσεων

ί ,,)

)=0

..) f() Χ

fIx) =c' -X

f(x) = x'

,'>

=-10, ,-

f(x) = In(inx) -

Ι πχ

Να β ρείτ ε τ κ; τ ιμ ές του α για τκ ; οπ οίες η σ υνάρ τηση ((χ ) = 2Χ ! + α χ : + fix + 5 εί IR .

να ι γ νη σ ίωτ; αύξουσ α σ το

•

,Α

,,, Ι

Β ' Ομάδα Ι.

Ν α α π οδεί ξετε ό τι κ α τ ά την ελεύθερ η π τώση ε νός σ ώμ ατοτ; μάζα ς ηι , τ ο άθροισμα τητ; δυνα μ ι κή ::; κ α ι τη τ; κινη τική τ; του ενέργειας πα ρα μ ένει

σταθερό.

Ν α λύσ ετε τ κ; εξισ ώσεις

Αν

-'-8 ,

7/7/6 /777

f(xl = χ' - 4χ + 2. να αποδείξετ ε ό τι η εξίο ωση f{x) = O έχει δυο μ όνο πρα γ

μ ατικές και άνισες ρίζες .

186

Ι'ν για τ κ ; συναρτη σευ ;

. ,g

ισχυει I \VJ

g\v/

και

ιΧ ι >

ιΧ

για κ αυε χ "' .... ' να

αποδείξετ ε όΊ Ι

ί)

f(x)<g(x)

για κάθε Χ Ε(

ίί )

f(x»g(X)

για κάθε Χ Ε(Ο.

Α ν η συνάρτη ση ποδείξετε ότ ι

+ cιo) .

f είναι αύξουσα κα ι π αρωωγίσι μη σ ΊΟ διάσ τη μ α (α ,β ), να α

f ' (x) 2::0 για

κάθε ΧΕ( α, β ).

i) Α ν γ ια κ ά θε χ ε lR ισχύει

CΙO,O) κ α ι

πα ρα σ τ ά σ εκ; των

f,g

f ' (x» O κα ι g' (x)< O να

αποδεί ξετε ότι οι γ ρ α φ ι κ έτ;

έχ ουν το π ολύ ένα κοινό σημ είο .

ί Ο Να αποδείξετε ιτι οι γραφικές πα ραστάσεκ; των συνα ρ τή σεων

f(x) = e' + 2χ

και g(X)" τ " - .. 3 t xouv Ινα μ όνο κοινό σ ημ είο που β ρίσ κετ αι σ τον ά ξονα

Υ 'Υ · Α ν για τ η συνάρτηση

ισχύει

f '(x,,»O

και η συνά ρτ ησ η

είναι συνεχή ς σ ΊΟ

χ". να απ οδείξετ ε ότι υιιιάρχ,ει διά σ τημα της μορφήτ; (χ,,-δ , χ,,+ δ) σ τ ο οποίο η

6.12 •

είναι γνη σ ίως αύξουσα .

Προσδιορισμός ακρατότων τιμών συναρτήσεων

Κριτήριο 1 η ς παραγώγου Μ ε τη βοή θει α τ ω ν π ροτά σ εω ν των π ροηγουμένω ν π αραγρ άφων θα επ ιδιώξου

μ ε να προσ διορίσου με τ α σ η μεία Τ Ο ΠΗ.:: ών ακ ροτάτων μιας σ υνεχοϋ; συνάρτη ση τ;

r που είναι ορισ μένη σ ε α νοικτό διάστημα . Είχαμ ε παρατηρήσει ότι τα π ιθανά

ακρό τατα πρέπ ει να αναζητηθούν μεταξύ των κρίσιμων σημείω ν τητ; Ι .

f(,,) =1

Θεωρού με τ η σ υνάρτηση

Εύ κ ο λα δια πιστ ώνουμε ότ ι η

πα ρα γωτίσιμη και το χ . σχύει Γ ' (Ο)

•

αν τ<

- 1

αν x ~ - I

(Σχ .

δεν είναι

Ο. όπου ι

Ο.

Π α ρ α τη ρούμε ότι

είν α ι

συνεχή ; κ α ι ότι τα κρίσ ιμ α ση μεία τητ;

είνα ι το Χ ο = - Ι . όπου η

"-; 2.

r είναι

γνη σίω ς αύξουσα σ τ ο γνη σ ίως φθί νουσα στο

((-

0:>. -

Ι ),

ι , ο) και

πα ρουσ ιά ζε ι τοπ ικό μ έγιστο στο χ,, = - Ι .

γνησίω-; φθίνουσα στο

σίως αύξουσα σ τ ο (ο.

+ 0:»

Ι ,ο). τνη κ αι π αρουσ ιάζει το πι κό ελ άχισ το στο Χ ,

= Ο.

187

Γενικά ι σ χύει

Πρόταση

Έ σ τω μία συνάρ τη σ η f ορι σμένη στο (α , β ) κα ι συνετή; στο x~ ε ( α,β ) .

i) Α ν η f ε ί να ι γνη σ ίως α ύ ξουσα σ το (α ,χ., ) και γνη σίωτ; φθ ίνουσα στο ( χ ..,β) , τ ότ ε τ ο

f( x,,) είναι

μ έγιστο τητ;

στο (α .β) .

ίί) Α ν η Γ εί ν α ι γ νη σ ί ω τ; φ θ ίν ου σα στο( ο ,Χ,,) και γνησίωτ; α ύ ξ ο υ σ α στο (χ",β) , τ ότε τ ο

n x,,) είν α ι ελ άχισ τ ο τ ητ; f στο (α , β) .

Α πόδ ε ι ξ η

ί ) Αν υποθέσου με ό τι το « χ,,) δεν είναι μέγιστο, τότε οό υπά ρχει '1ε ( α,χ.,)υ (χ"" β) με ( '1) > Γ(χ,,) (Ι) ' Γ: σ τ ω γ Εια, Χ ,,). • • •• •

Ε π ειδή η Γ ε ί να ι γνησίως α ύξο υ σ α

κ,

στο ( α , Χ,, ) , γ ι α κάθε Χ Ε( γ ,χ ,,) θα ι σ χ ύε ι Γ(γ ) < Γ( χ ), ο πότε λόγω τη τ; (Ι) ε ίν α ι

f( "",) < f( y) < Ι'( Χ) ,

γι α κ ά θε χ ε(γ , χ,,).

Ε πειδ ή η Γ είνα ι ουνεχήτ; στ ο χ." έχου με ΓΙ χ..) δ ηλα δ ή ΓΙχ,,)

< f (y) ~

(Ιχ) :::: (χ,,).

lim

'--..,

ΓΙχ,, ). π ου είνα ι άτοπο.

Α ν γ ε ( χ ,,, β ) τ ότε μ ε α νά λογουτ; σ υ λ λογισμούτ κατα λή γου μ ε επ ίσ η τ; σ ε άτ ο πο . Ε πομ ένωτ; τ ο Γ(χ ,,) είναι μ έγιστο . ίί ) Η απ όδε ιξη ε ίνα ι ανάλογη

•

Σημ εί ωση : Η πρότ α ση ισχύει κα ι ότα ν η μονοτονία δεν ε ι να ι γνή σ ι α.

, Αμ εσ η

σ υνέ π ει α τ η ; ποόταση.; αυτήτ; και τ ητ; πρό τ ασ η ;

(2) § 6 .1 Ι

εί να ι τ ο α

κ ό λφυθο :

Θεώρημα ( 1 ης παραγώγου) ' Ε σ τω μ ια συνάρ τη σ η Γπ αρ α γωγϊσ ιμ η στο (α . χ ..) υ( χ., .β) κ αι συνε χ ή ; στο χ., .

ί) Αν

ίί) Αν

( '(Χ»

f '( ) χ

Ο για κά θε χ ε(α •.χ,,)

<ο

f ' (x) < O '1 ια '( ) ο f χ > γ ια

(β) • τοτε το ( χ,,) ειναι τ οπ ι κό μεγι σ το

γ ια κ α

ε Χ Ε χ."

κάθε χ ε(α. χ,,)

.. Ο

κα

. . .. ( . β ) ' τοτ ε τ ο Γ{χ,,) εινα ι τοπι κο ελά χ ι σ τ ο

ε Χ Ε Χ",

ίίί) Α ν η Γ δια τη ρε ί πρόσ ημ ο στο (U.XjI) υ το π ι κό ακ ρότατο κ α ι η

(xtl.6)

τότε το

f(xo)

δεν ε ί να ι

είνα ι γνη σιω; μ ο νότονη στο (α .θ).

Παρα τ ήρ ηση:

Σύμφωνα μ ε το παραπά νω κρ ι τ ή ριο . για μ ια σ υνάρτηση Γ, η ο ποία εί να ι συνε

l ής στ ο δ ιά σ τ η μα ( α .β) . τ α σ ημ εία του (α. β ) εκατέρωθεν τ ων οποίων η πα ρά τωγο τ; Γ αλλάζει π ρόσημ ο είναι θέσει ; τοπ ι κών ακοο τάτ ων .

]88

ΠΑΡΑΔΕ Ι Γ ΜΑΤ Α Ι. Να βρ εθο ύν τ α τ ο π ι κ ά ακ ρότατα τ ω ν συναρ τήσ εων :

,, ) ιι χ ) 1i

,-.ι

= - ,

]

Λύ ση

ί) Ε π ειδ ή η

f είναι

παρα γωγισ ωη , τ α τοπ ικά α κρότα τ α α να ζη- ούνται μετα ξύ των

ριζών τ ητ; εξίοωοητ; ( ' (;<) = 0 πρ ό ση μ ο τη ς

3;< 1-3=0 . που ε ίνα ι

κα ι η μο νοτονία τητ;

- Ο<>

Ι'

χ 1 = - Ι . χ: = Ι . ΤΟ

+ 0<>

)u \

/ '

φ αίνον τ α ι σ τον π ίνακα

Τ .ε.

Ε ίναι φ ανερό ότι η Υ.

στ ο Χ , = - Ι παρουσ ιά ζει τ οπ ι κό μέγιστο , το f( - Ι) =

στ ο χ ) = Ι π αρουσ ιά ζει τοπ ι κό ελάχιστο , τ ο

ίί) Ε πεl δ ή η

( 1) = -2

είν αι π α ρ αγ ωγί σ ι μη , τα τ ο π ι κ ά ακρότ α τ α α ν α ζη τ ούντ αι μ ε τ α ξύ των

ρι ζών τ η τ; εξίσ ωσ η; [ ' (;< ) = 0

χ · _ 4;< 1 =0

να ι οι Χ ι '" Ο ( δι π λή ) , χ : = - 2 και Χ , = 2. Το πρόα/ii:ί'ί)τ/ζ Γ ' και η μονοτονία τητ;

- 2

- Ο<>

Ι'

+ .,---Τ

x l(;< - 2)(x + 2) =0, π ου εί

r φαίνονται

Ο Ο

στον πίνα κα :

ι~ ~ I

τ. ε .

Πα ρ α τη ρή σ τ ε ότι ε κ ατέρωθεν τητ; διπ λή ς ρίζας Ο τ ητ;

ενώ

f ' (χ)

+ 0<>

/' ~ ο το πρ ό σ ημ ο της

δεν αλλάζει.

Είναι φανερό ότι η Γ,

189

στο Χ2 = - 2 παρουσ ιάζει τοπικό μέγιστο , το

στο

παρουσ ιάζει τοπικό ελάχιστο το

ίίί ) Η σ υ νά ρτηση

f ' (x) = 2x - J Χ

~ , ενώ

f ( - 2) =

f (2) = -

είν αι πα ραγωγίσιμη μ ε

2(χ ' -4) J Χ

2( Χ' +2)(Χ - Π)(Χ + Π )

J Χ

ΤΟ π ρό σ η μο της Γ ' και η μονοτο νία τ η ς

- -/2

- ω

[' [

φ αί νο νται στ ον π ίνακ α

-/2

+ 00

t - ο + I ./ 'f J- ~Iτ.ε. .> τ.ε. +

Παρατηρήστε ότι το πρόσημο τ η ς Γ Ι εξα ρτ άτ α ι και απ ό τη ρίζα Ο του π α ρονο μαστή τ η α . Είναι φανερό ό τι η

στο χι = - ..[2 π αρ ουσιά ζει το πικό ελάχιστ ο , το Γ( -

στο χ ι = .j2 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, το f(.j2) = 4.

.J2-) = 4.

αλλά κ α ι

2. Ν α π ρ ο σδ ιορ ισ τ ούν τα τοπι κά ακρότατα της συν ά ρτ ησ η; f(x) = l χ - 11. 2

Λύση Η σ υνάρτηση γράφεται

2 f(X) =! x _ 1 , Ι είνα ι συνεχή τ; σ το

_ χ2 ,

2χ, - 2χ ,

[' [

190

'<,

Ι , Ι ) με

αν χ ε( - οο , -ι) υ(ι , + οο)

- Ι

IR \ ! -

α νχ ε( -I, I) .

κα ι η μονοτονία τ η τ;

-ω

(0 )

α ν χ ε ( - Ι ,Ι )

και π αρ αγωγ ίσι μη στ ο

f I(X) =[

Το πρόση μο τητ;

α ν χ ε ( -οο, - ι]υ[ ι.+

;;

τ .ε .

φα ίνοντ α ι σ τον πίνακα

+ 00

/ τ I~ ." .

τ. ε .

Γ: π cψ έ \'tI) ζ

=- Ι

τ ο π ικό ελ άχ ιστο . τ ο f( - Ι)

=Ο

τ ο π ι κ ό μ έγισ το .

στο

στο χ :

στο χ , = Ι

π αρουσ ιά ζε ι ,

11 f

το (ο)

το π ι κό ελ ά χισ τ ο , το

=Ο

f( I) = O

- 1

Το κόστο τ τη ; η μερ ή σια ; παραΥ ωΥής χ μ ονάδω ν ενός β ισμηχα\' ΙΚΟ ίι προϊό ντο ς

είναι Κ(χ) =

t ,J-

20x J + 600χ +

JOΙΗ) σε χιλιάδες δραχμές. O:s x :s 105, Η τίσ-

π ρ άξη α πό τ η ν πώ λησ η των χ μ ον ά δω ν ε ί ν α ι Π (χ ) =420, -2, ) σ ε χ ιλιάδ ε ς δ ρ αχ μέ τ . Να β ρ εθ εί η ημε ρ ήσια π α ρ αγ ω γή

τ ου ερ γοσ τασίου , γ ια την οποία

τ ο κέ ρ δος Υ ί\ττ α ι μέΥισ το .

Λ ύ ση

1'0

κέ ρδο.; του ε ργ ο σ τ α σ ίου δ ίνε τ α ι από τ η συνάρτ ησ η

f(,) = Ε ίναι

Π (Χ) - Κ(χ) =

t χ ' + 1 8Χ !

1 80χ -

οπ ό τε

f '(x) = - x! + J6x- 180.

1000,

OS x :s 105

( '( Χ) = Ο <=:> χ = 6

χ =30.

Το πρόσημο τ η; Γ ' και η μ ονοτ ονία τη ; Γ φαίνονται στ ον π ίνακα

σ τ ο σ η μ ε ίο Χ ,

σ το σ η με ί ο Xl

Ι /Ι

τ .ε.

Π α ρα τ η ρού μ ε ό τι- η σ υνά ρ τησ η

• •

105

τ .μ .

f•

= 6 πα ρου σ ιάζει τ ο πι κό ελ άχιστο • = 30 π αρουσ ιάζει τ ο πι κ ό μ έγι σ το, το (30) = 800.

Ε ξά λλου σ το ά κ ρ ο Ο . ε ίνα ι ( Ο) νοτ ονία τητ; Γ, τ ο

( 30)

= - 1000< f(30) , ο πότ ε .

ό πωτ; φ αίνε ται απ ό τ η μ ο

είνα ι μέγιστο .

Αυτό ση μ α ίνει ότι τ ο εργοσ τ ά σ ιο ε π ιτυγχάνει το μ έγιστο κέρδοτ; μ ε παραγωγή

μονάδων τ η ν η μέρα .

' Ενα νησάκι απ έχ ει

3 km α π ό

μ ια ευθύγ ρ αμμη ακτή και π ρ ό κει τ α ι να συνδ εθ εί

]91

με υποσταθ μό τ η ς ΔΕ Η που βρίσ κ εται στο σημείο Γ τ ης ακτή; (β λέπ ε σχήμα).

Να βρ εθε ί το ελάχ ισ το κ όσ τ ω ; σύνδ εση τ ; αν κάθε χ ιλιό μετρο υ π όγειας σύνδε ση ς κοστίζει

500.000

δρ χ . , εν ώ κ άθ ε χιλιό μετ ρ ο υποβρύχιας σύνδ εσ η ξ κοστίζει

300.000

δ ρχ .

,km

•

1Qk m

Λύ ση Έστω Β το ση μείο τη; ακτή τ; απ ' όπου θ α αρχίσει το υ π ο β ρύχ ιο καλώδιο, οπότε

η απόσταση ΒΝ είναι (ΒΝ) "" ..JXϊ+9 . Επομένωτ; το κόστος τητ; σύνδεσητ; θα είναι

K(x) = SOO.OOO,Jx l + 9 + (l O- x)300.000 Κ α ) "" ΙO J( S ,Jx z + 9 - 3χ + 30) ,

O.:::;: x :s: ΙO .

, Εχο υμ ε 2sx 1

9(χ 2 +9)

(5Χ + 3-../ χ " +9}-..fX1+9 Ι 6χ " - 8 1

( 5Χ + 3 -..fXϊ+9).JXT+9

Ο .:::: χ .:::;:

ΤΟ π ρ ό ση μ ο τ η τ; Κ ' κ αι η μονοτονία τ ητ; Κ φ α ίνο ντ α ι στ ο ν πίν α κα ,

, Κ' Κ

192

ελ

+ /Τ

Επσμένωξ , για χ =

K(~ ) = ΙO~(5~~~

= 2,25 km

το κόσ τοτ; είναι ελάχιστο και ίσο με

+9 - 3 ' ~ +30)=10'(5-~ _ 247 +30)=

= 10<' 42 = 4 . 200 . ω(} δ ρ χ .

Κριτήρια 2ης παραγώγαυ

•

" Ο τ α ν η σ υνάρτ η ση

f είνα ι

π αρ α γωγίσ ιαη σ το διά σ τ η μ α (α ,β) ,τα τοπ ικ ά α κ ρό

τατα , ό πωτ; έχου με α ναφέρει , θα α ναζη τηθούν μετα ξύ των στ ά σ ι μων ση μείων της . ΤΟ κ ριτή ρ ιο τη τ; Ι η τ; παρα γώγου εφα ρ μ ό ζε τ α ι όταν ε κ ατέρωθεν του χ ο είνα ι δυ ν α τόν να προσδιορ ίσουμ ε δ ι αστή μα τ α όπου η [ Ι α λ λά ζε ι π ρό σ η μο .

" Ό τ αν ο π ρ οσδιο ρισ μότ; τ έ τοιων δ ι αστ η μ ά τ ω ν είνα ι δύσ κολος ή α δ ϋν ατοτ , τ ό τ ε είν α ι δυνατ ό ν να μας βοη θήσ ει το παρ ακάτω θεώρη μα π ου αποτελεί το κ ρι τ ήρ ιο τη; 2ης παραγώγου .

θεώρημα ( 2 η ς παραγώγου ) ' Εσ τω μ ια σ υνάρτ η σ η

π αρ αγωγ ϊσι μη σε ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ κ α ι χ ο ε σ ω τερι κ ό

ση μείο τ ου Δ γ ι α τ ο ο πο ίο ι σ χύε ι [ Ι (Χ ο ) =

(} κ αι υπ άρχει η [" (Χ ο ) '

j) Α ν [ - (Χ ο ) < (} , τότ ε το [(Χ ο ) είν α ι το π ι κ ό μέγισ το . ίί ) Α ν

f-(;l(o» O,

τ ότε το

f( x..) είνα ι τοπ ικό ελά χισ τ ο .

Απόδειξη ΕΠ Ειδή

f ' ( χ,,) = Ο

έ χου μ ε

[ ' (Χ ) -

[ Ι ( χ9)

χ - χ"

Iίm .J:.:QL

, - ...

χ - χ.,

η Αν f·(x,,) <O, τότε Iim -.Ι.:.ί&- < ο, οπότε, σύμφωνα με την π ρόταση 2 ' - "0

τ η τ; §

2.4,

Χ -

χ..

υπ ά ρχει δ >Ο τ έ τοιο . ώσ τε

Α π ό τ η ν α νισ ότη τα α υτή π ρο κύ π τε ι ό τι

•

α ν χ ε( χ,, - δ,χ ο ) , τότε

f '(x»O,

•

α ν χ ε ( χ", χ,, +δ ) , τότε

f I (x)< O.

ενώ

Επ ομ ένως, σ ϋμφωνα μ ε τ ο κ ρ ιτήρ ιο τη ; Ι η τ; π α ρα γώγου .ντο

f(x,,) είναι

το

π ι κό μέγισ τ ο .

ίί)Η απ όδειξη είνα ι ανά λογη .

•

Παρατηρήαεις

Σε ένα στάσι μο ση μείο χ". όπου

f ' (xJ= O. είναι

δυνα τόν να ισχύει κα ι f~ (x,,) = O,

οπότε τ ο κρ ι τή ριο τη τ; 2 η ς π α ρ αγώγο υ δεν μ π ορεί ν α εφα ρμο σ τεί . Στ κ; π ερι πτώσ εκ; αυτε τ; μπο ρο ύ μ ε να κατ α φϋγ ο υμ ε στο κ ριτ ήρ ιο τ η τ; l η ς πα ρ αγώγου . Έτσι

π .χ .

γ ια

τη

συνάρτ η σ η

f(x) = x'

( '(Ο) =Γ(Ο)= Ο. Επε ι δή ('( χ)< Ο γ ια χ ε

f(O) είναι 2.

είνα ι

('( Χ)= 4Χ ' ,

f '(x)= 12x1 •

(_ 00 , Ο) και f'(x»O για χ ε (Ο.

οπότε

00). τ ο

τοπ ι κό ελάχ ιστο .

Υπάρ χει κριτ ήριο που α ν αφ έ ρετ α ι στ ο π ρό σ η μο π α ρα γώγ ου α νώτ ε ρη ; τ ά ξη ς . το ο ποίο δεν θα πα ρουσ ιάσου μ ε εδώ.

Π Α Ρ ΑΔ ΕΙΓΜΑΤΑ

Ι . Να β ρεθ ο ύν τα τ οπικά ακ ρότατα τη ; συνάρτ ηση ; (Χ ) =Χ ' -2Χ :. Λ ύ ση

f '(x) = 4 χ ) - 4 χ "" 4χ( χ 2 - Ι) = 4χ( χ - Ι )(χ + Ι) και Ι -(χ) Επειδή η f ε ίν α ι πα ραγωγίσιμη , τ α κρ ίσιμα ση μ ε ί α τη ; είν α ι οι ση τ; Γ ' (χ ) = Ο . δ ηλαδή χ ι = Ο. XJ = ] κ αι χ ι = - 1. Επειδή • fW (O) "" - 4 < 0, το f(O) = Ο είναι τ ο π ικ ό μ έγισ τ ο . • fW {]) =,,8>O, τ ο f(l) :::: - Ι είνα ι τ ο πικ ό ελάχ ιστο. • f ~( - Ι ) = 8 > 0. τ ο f( - Ι ) "" - Ι είνα ι το π ικό ελάχισ το .

=1 2 χ

Είναι

Ν α βρ ε θ ού ν τα τ οπ ι κά ακρ ότατα τ η; συνά ρ τ ησ η ; (( χ) = χ- 2 η μχ .

ρίζες τ η τ; εξίο ω

O<x < l n

Λύση Ε ί να ι

f ' ( χ) = ι f ' (x) = O

2σ υνχ

και

f"(x) =

2ημ χ .

-= 1 - 2 σ υνχ = Ο -= συνχ = + -= χ=; ή χ = 53Π

ο πότε

Ο l'

Ε ξ άλλου έχου μ ε

• r"(--'3!... )=2 ημ....!!.... 3 χ ισ το τη τ;

• f"( S3n

=../3 > 0 • οπότε το

(--'3!... ) = ....!!.... - ../3 είνα ι το πικό ελά3

ε νώ

) =2 η μ 5

3Π

π ικ ό μ έγισ τ ο τη τ;

=- $

< ο, ο πότε

(5;

n ) = S3

+../3 είναι το

f. 194

ΑΙΚΗΙΕΙΙ Α ' Ομάδα Ι.

Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συνα ρτήσεων

ίΗ} ( x) = x~ ίν ) ( ΧΙ '"

"ίί) ( Χ) = e"'.

Ό μ οίω τ; για τις συναρτή σει;

ί ) f(x) = Ix l

ii) f(X) = I' 4χ -2

ίίί) Γω =Ι χ + 4χ - 16,"χ < 3 5 - ~. x ~3 2

• χ<1

(χ - 2)(χ - 3 ) , x~ l

2.,J;.

~3 --

για κάθε Χ Ε (Ο. + οι»

ί ί ) σ υντ > J - ~ γι α κάθε χ ε (Ο, + 00)

Ν α β ρεί τε τα τοπ ικά ακρότατα των συναρτήσεων

ί)

4x l

Να α π οδείξετ ε άτι ισχύουν

ί)

f(x)

4,'

x J _ x+ 2

ίi) Γ(x) = xημ.x +σuνx .O<x <2π

iίί )

f(x) =(lx! ...3x)-e'

Να απ οδείξετε ότι απ ό όλα το ορθογώνια με τη ν ίδια περ ίμετ ρο, τ ο τετράγωνο έχει τ ο μ έγ ιστο εμβαδό ν .

" Ενατ; γεω ργό τ; θέλει να κ τίσει μ ια α π οθήκη

σε σχήμα ορθογωνίου με εμβαδόν 100 m l • Ν α β ρεί τ ε τκ; διασ τάσεις π ου πρέπ ει να έχει η βάση τ ητ; απ οθήκη τ , ώσ τε τ ο κόστο; κα-

r-, "-J

τασκευής τη τ; να είναι το ελά χισ το δυνατό .

" -" _Υ ~ ~'::::==~-':===:' •

'Ενα τρα ίνο κατα ναλώνει για καύσιμα ~ δρα χμέτ; την ώρα. όπου υ η ταχύτη τ ά τον σε

km/h.

Α ν τα υπ ό λοιπα έξοδά τ ου είναι

1601) δραχ μ ές

τ η ν ώ ρα.

να βρείτ ε πο ια π ρέ πει να είν αι η ταX(rςη τα τ ου για να Ι(α λύψει α πόστα ση

540

μ ε το ελά χ.ισ το δυνα τό κόστοε .

19'

Μ ια ώ ρα μ ετά τη λήψ η χ

mg r ενόζ

α ντ ι π ι φε ηκ ού η μ είωση τη; θερμοκ ρα σία ;

ενά; α σ θε νού; δίνετ αι α π ό 'τ η συνάρτη ση

0 < )«

Τ( :ι.: ) = χ · _ --

Να βρείτε ποια πρέ πει να είναι η δόση χ του αντ ιπ υρε τικυύ, ώσ τε ο ρυθμός με τ αβολή ς τη τ; μ είωσ η ; της θερμοκρασιστ; ω.; προ.; Χ , να γίνει μέγιστ ος ,

Β ' Ομ ά δα Ι.

Ν α β ρεί τε τ κ; τιμ ές των α , β για τκ ; οποίε.; η σ υνά ρτ ησ η r(x) '" αχ ) + px l ~ Ι 2 χ π α ρουσι άζει τοπικά ακρότ α τα στα σ η μεία χ ι

= -

Ι κ α ι χι

= 2.

Να καθορίσετε

το είδ οτ; τω ν ακρότα των .

Να α π οδείξετε ότι Υι α κ άθε κ , ve L"i με K ,\' ~ 2 η συνά ρτηση rIX)=X ~ (X - I) ~ έ χει ένα τ ουλά χιστον το π ι κό ελάχιστο .

Α \' Λ , Λ ' είναι ση μεία τητ; γρα φική ,; πα ρ άστα ση; τη; συνά ρτησ η τ;

8 .\~ + 4 να βρείτε τκ; θέσεκ ; των ση μείων Β , Β '

των ισοσκελών τ ριγώνων

QA B κα ι

ΟΑ ' Β ' του σλήμ α τος, "(\0 τι ; oΠoiε; το άθροισμα των εμ βαδών του; n oiPνεI τη μί:Υιστη τιμή. Υ

-χ

Κ - - - -;;-

Μ ια βιομη χα νία α να ψυκτι κ ών θtλει

\'0

κ ατα σ κευά σει

μ εταλλικά κυ λι νδρικά κουτιά π ου να έ χουν ορισμέ νο όγ κ ο ν , Να β ρείτ ε το ύψ ο ς

ση τ; του κουτιού, ώστε το κόσ τοτ; π ρομ ήθει α; τη τ; λα

""-- - . . . . .... _r _ _Ι

'96

h κα ι τη ν α κ τ ίνα r τη τ; βά

μαρίνα ς να είναι όσο το δυνα τόν μι κ ρότερο .

, :, " ιι· t, ..

,,, ,

Θέλουμε να κ α ια σ κωσσου μ ε ένα στ άδιο όπωτ; στο δι π λα νό σ χ ή μα μ ε π ερίμ ετρο

7 14 m.N a βρείτ ε τη ν α κτί

να '\; του η μ ιιω κλ ι κ οίι μ έρο ικ; ΤΟΙΙ , ώ σ τε το ε μ β α δ όν του να εί ναι μ έγι σ τ ο .

Από ένα ν κορμ ό δtντρoυ με διάμετρο

3 d m θέλουμε να

κατασ κευάσουμε μ ια δο

κό με κάθετη τομή ορθογώνιο διασ τάσεων

Χ, Υ

dm.

Α ν η αντοχή τη ; δο κού είναι ανά

λογη του εμ βαδού χ . Υ, να βρείτε τκ; δια στάσεε; τη ; α νθε κ τ ικ ότερη; δοκ ού ΠΟ\) μ πορούμ ε \'0 κα τα ο "ευάσouμε .

Θέλουμε

\'0 κατασκευάσ ουμ ε ένα κανά

λι ΤΟ1) ο ποίου η κ ά θετη δι αιομή φα ίνετ αι σ τ ο διπ λανο σχ ή μ α . ό που Α Β =ΙΗ ' : Ι " Δ = α . Ν α προσδιορίσε τε τ η

γωνί α θ. ώ σ τε το κα νά λι ν α μετ α φέ ρ ει τη

μέγιστη δ υνατή ποσό τ η τα νε ρού .

Σώμα βά ροικ; Β σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο από μια δύνα μη

F που σχη μα τίζει Υω ο'ίο θ με

το επίπεδο . Αν το μέτ ρο τη; δύναμ η; είναι

,· Β κημ θ

+ συνθ

ό π ου Ι( ο σ υντελεστ ή; τριβήξ., να βρείτ ε τη γωνία θ . ώστε το μ έτ ρο τη ς δύνα μητ; F \ '0 Υί \'εΤ ΟΙ ελά χισ τ ο.

Κυρτές συνσρτήσεις

6.13

Σημεία καμπής

Όπως είδ α με σ τ α π ρ οη γού μ ενα , το π ρ όσ η μ ο τη τ; π αρ α γώγου μια ς σ ψ νά ρτ η σ ητ; Γ μ α τ; δίνει π λη ρο φ ο ριετ γι α τ η μ ο νο τ ο νία τη ς Γ. " Ο πω τ φ αινε τ αι σ τ α σ χ . Ι ( α . β .γ

η μο νοτονία μ ι α τ; σ υ νάρ τησ η; Γ. δεν α ρ κεί γι α να κ α θορ ισθεί ε η α κ ρ ι

βώ ; η μορφή τητ; γ ραφ ι κ ή τ; τη ; π αράστ α ση τ ; Π . χ . ο ι ο υνα ρτή σεκ; των σχη μά τω ..' lα κ α ι ι β είνα ι και ο ι δύο γνη σίω τ; α ύξουσε τ . ωσ τόσο έχουν διαφορε τική μορφή .

197

)

(

(α)

(β)

(γ)

Σχ . 1

Σ τη συνέ χεια θα δού με ότ ι το πρ όσ η μ ο τη ; δεύτερ ητ; π α ρ αγώγου δίνε ι επ ιπλέον πληροφορίε ς γι α τ η μ ορφή τ η τ; γ ρ αφ ι κ ή ς π αρ ά στ α σης μιας ο υ νάρτησητ . Θεω ρ ούμ ε τ η γραφ ική π α ρ άστ α σ η τ ητ; σ υνάρτ ησητ; [(χ ) =η μχ,

χ ε Ι Ο, 2π).

(Σχ . 2)

--Oζ"",~ - - Β

Ι Ι Ι ι

~-=-,,"' -.:=-

Σ χ.2

Π α ρ α τ η ρ ού με ότι η μορφή τητ; εκ ατέρω θεν του χ

•

π ε ί να ι δια φ ορετ ι κή κ α ι ό τι :

Κα θ ώ ; το χ αυ ξ ά νει σ τ ο [ θ; π] , η κ λίσ η [ Ι (χ) ::. εφω τ ης βεβαιώ νεται κα ι α π ό την πα ρά γωγ ο Γ' (Χ)

ελαττ ώνετ α ι. Αυ τ ό επι

σ υ ν» , η ο πο ία είναι γνησ ίως φθίνο υ

σ α στο διά σ τ ημ α α υτό .

•

Κα θώ ς τ ο

αυ ξάνει σ το [π ,2 π), η κ λίση

f ' (x) = εφω

της Γ α υ ξά νει . Αυτό ε πι

βεβαιώ νε τα ι κ α ι α πό την π αράγ ωγο Γ ' ( χ) = σ υν» , η ο π ο ία είναι γνη σίωτ; αύξου σα σ το δ ι άστη μα α υτό . Ο ι π α ρ ατ ηρήσεκ; α υτέτ; μας οδ ηγούν σ τον ο ρισ μό:

Ορ ισμ ός

Έ στ ω μια συνά ρτ η ση

ί ) Λ έμ ε ό τι η

συνεχήτ; στο [ α.β ] κ αι παραγωγί σιμη σ τ ο (α .β) .

είναι κυρ τ ή ή στ ρέφει τ α κοίλ α π ρω; τ α άνω στο { α, β}, α ν η

Γ ' είν αι γνη σ ίω τ; αυωυσα σ τ ο (α .β ) .

ί ί) Λέμ ε ότι η η

19>

είνα ι

κο ίλη

ή στ ρέφει τα κοίλα π ρ ος τα κ ά τω στ ο [ α, β}, αν

είναι γνη σίως φθίνουσ α σ το (α ,β) .

Ι1 . χ , 1] συνάρτηση ημχ σ τ ρέφει τα κο ίλα προτ; τα κά τω στο δ ιάστη μ α [ Ο,π], ενώ στρέφ ει τ α κ οί λ α προ τ; τ α ά νω στο διά σ τ η μα [ π, 2π ]. Η ε π ό μ ε νη π ρότ αση μας δίνε ι ένα εύ χρ ησ το κ ριτήρ ιο για τη ν κυρτότη τ α σ υ νά ρτηση .; κα ι είν αι ά με ση συνέ πε ια το υ ορισ μού Ι και τ η ; πρό τασ ητ

Πρ όταση

2 (§ 6. 11).

Έ σ τω μι α συν ά ρτ η σ η

συν εχ ή τ; στο [ α , β ] και δυο φ ο ρές π α ρ αγωγ ίσ ιμ η σ το

( α , β) . ί) Α ν

f "(x» O στο

(α . β ), τ ότ ε η Γ σ τ ρέφει τ α κ ο ί λ α π ροτ; τα άνω σ τ ο { α . β ] .

ί Ο Α ν Ι' '' (Χ )< Ο σ τ ο (α, β) , τότε η Γ στρέφει τ α κο ί λα π ρο ς τ α κά τω σ τ ο [ α ,β ] .

Γ ι α τ η σ υ νά ρ τη ση

•

f(x) = η μο;

σ το δι ά στη μ α (Ο , π ) είν α ι

έχ ου με Γ"(Χ )

f" (x) =

= -

η μπ . Επ ο μ ένωτ;

-ι η μκ κ θ , οπότε η

στ ρέφε ι τ α κο ίλ α πρ ο ς τα

κ ά τ ω στο [ Ο , π] , ενώ

•

στο διά σ τ η μα ( π ,2 π ) είν αι τ α άνω σ το

f"(x) =

- η μ χ > Ο , ο πό τε η

ο τ ρέφε ι τα κ ο ίλ α προ ς

[n ,2nJ.

Παρατήρηση

Ο ο ρι σ μό ς (1) κ αι η π ρότ α ση (1) ισχύουν κα ι στι τ; π εριπ τ ώσ εκ ; π ου α ν τ ί [ α. β ] ε χου με τ α δια στ ή μ α τ α [ α.β ) ή (α. β ] ή ( α . β ) . Στ ο σχ ,

•

π α ρ α τ η ρού μ ε ότι:

Σε κ άθε σημ ε ίο τ η τ; γρ α φ ι κ ή ς παρ ά σ τα ση τ που α ντιστο ι χεί στο διά σ τ η μα (Ο ,π ) η εφαπτο μένη τ η τ; β ρ ίσκετ α ι « π ά νω »

•

α πό τ η γ ρ α φι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η.

Σε κά θε σημείο τ η τ; γ ραφ ι κή ; πα ρά σ τ α σ η τ; π ου α ν τιστ οι χεί σ τ ο δι ά στ η μα (π,2 π ) η εφ α πτο μένη της βρίσκε ται «κ άτω» από τ η γ ρ αφι κ ή παρά στ ασ η .

Απο δε ικνύετ αι ό τι αν μ ια σ υνά ρ τ η ση f στ ρέ φ ε ι τα κο ίλα προς τα άνω (α ντιστο ί χως προς τα κάτω) σ' ένα δ ιάστη μα Δ , τ ότ ε η εφαπτομένη τη ς γ ραφ ι κ ής π α ρά στα ση ς τη ς

f σε

κάθε σημε ίο του Δ βρίσ κ εται «κάτω" (αντ ιστοίχως «πάνω») α πό

τη γ ρα φ ι κ ή τη ς πα ράσταση .

•

Σ το ση μείο Α( π , Ο) η εφα πτ ομ έ νη « δι α πε ρ ν ά» τη γρ αφι κή π α ρ άσ τ α σ η τ ητ; Γ, η οποία αρ ισ τερά του Α σ τρέφ ει τ α κοίλα πρ ος τ α κ ά τ ω , ενώ δεξιά του στρέφει τ α κ ο ίλα π ρο ς τα άνω . Το ση μ είο α υ τό ο νο μά ζετ α ι σημείο καμπ ής τητ; γ ρ α φι κή ς πα ράστα σητ; τητ;

Γενικότε ρ α ο ρίζου με:

199

Ορισμ ός

Έ να ση μείο P(x.... f(x,» ονομά ζετ α ι ση μείο καμπ ή; τη τ; γρ αφι κή ; παράστ ασ η; τη ; Γ, ό τ αν

ί ) Η f ε ίνα ι σ υνε χήτ; στο X~ I ', ί ί) Υπάρχει η εφ α π τ ο μέ νη τητ; γ ρ αφ ι κή τ; παραστ αση τ; τη τ; f στ ο Ρ κα ι ί ί ί ) Η f στ ρέφει τ α κοίλα προ τ; τ α άνω αρ ι στ ε ρ ά του Χ" κ α ι προ ς τα κά τω δεξιά τ ου χ" ή αντ ισ τοόφωτ.

Όταν το Ρ(Χ ο • f(Xιι») είναι σημείο καμπής της γραφική; πα ράστα σης τη; Ι, τότε

λέ με ότι το Χ" είνα ι θέ ση σ η μ είου καμ π ή ; τ ητ; f. ε ιδι κό τ ερα , ότα ν τ ο Χ" εί να ι και σ τ ά σ ιμ ο σ ημείο . δ η λαδή Γ ' ( Χ ο ) = Ο . τότε λέ με ό τι έ χ ου με ένα σ ημ είο καμ π ή ; με ορ ιζό ντια εφα πτο μ έ νη.

Στ ο σ χ . 3 φ αίνοντ α ι όλες οι περιπτώσεκ; σημ είου κ αμ π ή τ . Π α ρ α τη ρ ή σ τ ε ότι έ-

o ~άτ ω

ορ ιζόντια

ο-

ο'

ο": οι;αμπής

να σ ημ εί ο μ πορεί να είνα ι σ η μείο κ α μπ ήτ; τη ; γ ρα φ ι κή .; πα ρά σ ταση ; τ η τ; ότ α ν

r κα ι

εφα π το μένη τ η τ; σ ' α υτό ε ίνα ι κα τ α κ όριφ η.

Η πρόταση π ου α κ ο λουθεί μα τ; διευ κ ο λύνει στο ν πρ ο σ διορ ι σμ ό των πιθανών ση μ είων κ α μ πής .

Πρ ό τα ση

2 Αν το p( x...f(Xo» είνα ι ένα ση με ίο κα μπ ή; τ η; γ ρ αφικ ήτ; π α ράσ τ α σητ; τ ητ; Γ, ~ τε . f ~(x,,) =O

δε ν υ π ά ρ χ ε ι Γ " σ το χ" .

•" Β υπόθεση (ί) θο ι α οοοοσε \'(υΙ O ραλειφ(lεi yιo ti εμιιεριtΧετ ο ι σ τη (ίί). Ι ·ρά φι η οι;ι; όμωζ σκοκ ηιω; για να τονιστ εί η σημ ασ ία ττΚ συνtxι;ιo ςστις θέσει; των σημείων ι.:ο μ ιι ή ς.

'200

Απόδειξη

• •

Αν δεν υπάρχει Γ" στο Χω τότε η πρότ ασ η ισχύει. Αν υ π ά ρ χ ει η ["(Χ,,), τότε η Γ ' είναι συνεχ ή; στο Χ, ..

' Έ σ τω ότι η γ ρ α φ ι κ ή παράστασ η τ ης Γ στρέφει τα κ οίλ α προ ; τα ά νω στο ( Χ .. - δ,

X..J και προτ; τα κάτω στο [Χ ,,, Χ"

+ δ),

Α υ τ ό ση μαίνε ι ότι η Γ είν αι γ νη

σ ίωτ; α ύξο υσα σ το ( .χ " - δ,Χ,,) και γ νησίωτ; φθ ίνουσ α στο ( Χω Χ" είναι κ α ι συνεχήτ; Χ "' σ ύμφωνα με τ ην π ρόταση τητ; π ικό

μ έγι σ τ ο σ το

Χ" .

Ε π ο μ ένω τ ,

σ ύμ φωνα

§ 6. 12,

+ δ) .

με τ ο θεώρημ α

Επε ι δή η Γ '

παρουσιά ζει το

Fermat,

έχου μ ε

( η '( ,, ) ~O ή r' (x, ) ~ O . • Από την πρό ταση

2 προκύπτει ότι :

Ο ι θέσεκ; των σημείω ν κα μπή ς μι α ς σ υνά ρτησ ητ; α να ζητούνται μ ετα ξ ύ των ρ ι ζΙ;Ν τητ; εξίσωσης

f "(x) =O

κα ι των σημ ε ίω ν του πεδ ίου ορισ μού τ η ς Γ, σ τα ο

ποία δεν υπά ρχει η Γ " .

' Ε σ τω X a σημείο του πεδ ίου ο ρισμού τητ;

•

Αν το Χ" είν αι μ ίζα τ η ς

λάζει π ρ ό σ η μο ε κ α τέρ ω θεν του χ,,, σ ύμφωνα με την π ρ ό τ ασ η

(1)

και η Ι " αλ

f"(x) =O

τ ό τε ,

και τον ορι

σ μό (2) , το χ" είναι θέση σημε ίο υ καμπή; τη τ; Γ . Για παράδειγμα, το Ο είναι θέση ση μείου κ α μπ ήτ; τ η; Γ(χ) Γ " (Ο) =Ο ,

= χ -' (Σχ .4 ), f "(x) = 6x <0,

αφού ι σ χύο υ ν αν

κ κΟ

Σχ.4

κ αι

Γ " (χ) =6χ > 0 , α ν κ ο- Ο.

•

Α ,' δ εν υ π άρχε ι η Γ " σ το Χ" κα ι η

α λ λrtζr.ι π ρ όσ η μο ε κ ατ έρω θ εν τ ου Χ ,,, τό

τε, σ ύ αφω να μ ε τη ν π ρόταση (Ι ) και το ν ορισμό

(2) , το χ " είν αι θέση ση μείου

καμ πήτ; τη τ; Γ, αν στο σημ ε ίο Ρ ( χ" , Γ( χ,,» ) υ π ά ρ χ ε ι εφαπτομένη της γ ρα φικ ή τ; π α ρ ά σ ταση τ; τ ητ; Γ. Υ

Για π αράδειγ μα, το Ο είναι θέση σημείο υ κα

μπή τ; τητ;

f(x) = xlx \ (Σχ.5 ), αφού

δεν υπάρχει η

ισχ ύουν

[ "(0),

f"(x ) = - 2 < 0 , f "(x) = 2> 0, α ν χ>Ο

αν

κ κΌ

και

υ π ά ρ χε ι εφαπτ ο μένη τ ητ; γ ρ α φ ι κ ή ς παρ ά -

, στασητ; της [στο σ η μείο (0,0), η ευθεία Υ = ο.

Σχ. 5

201

•

-,,

Τ έλος , αν η Ι " δ ι α τη ρεί τ ο ίδιο π ρόση μο ε κα τ έρ ωθ εν τ ου τότητ α τητ;

•

τό τ ε δεν α λλά ζε ι η κυρ

εκατέρωθεν του χ". Επο μένωτ;

το χ ο δεν είνα ι θέση σ ημείου κα μ π ή; τητ; Γ,

Γι α πα ράδεημα, το Ο είνα ι θέση πιθα νού ση

μείου κ α μπ ή ; τητ;

fW (O) = Ο.

f(x) :

Ωστόσο το

(0,0)

IR · . δη λαδή

. Σχ .6

δεν είνα ι ση μείο

κα μπ ή τ , α φοϋ f " (x) : 12x χε

•

x ~ (Σ χ . δ) . αφού 1

για κάθε

> 0,

η Ι " δεν α λ λάζει πρόσημο ε

κ ατ έρωθε ν του Ο.

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ ΑΤΑ Ι . ~α π ροσδ ιο ριστ ούν τ α διαστή ματα ό που ο ι συναρτήσ ω; β)

. ε ( - ~2 '2~ )

εφχ ,

g(x ) =

στρέφουν τα κοίλα π ρος τα άνω ή πρω ; τ α κάτ ω και να βρεθ ούν τα σημεία κα μ π ή ς των γ ρα φι κών τ ου; π αρασ τ άσ εω ν.

Λ ύση

Ι'(

α) Είναι

)

χ; -χ

Το πρόσ η μο τη ς

•

- -χ

4 f"

- Ι

Ι'

Επομ ένω ς η

f " (x) : x J- x : x(x -I )(x + Ι ) .

φ αίνετ αι στον πίνακα

- ~

κα ι

Ι"-./" Ι ~ Ι

σ .Κ .

σ. Κ.

σ .Κ .

( - 00, - 1], 10. 11.

Τα

παράσ τ ασ η;

(- '

κ αμπ ή τ;

) . (0.0)

τη τ;

και ( ι .

γρ αφι κήτ;

-;;; ). αφού f "( -

λ άζει πρόση μ ο ε κ ατέρωθεν τ ω ν

β) Είνα ι g ' (χ) =

202

σ τρ έφε ι τα κοίλα π ροτ; τα ά νω στ α δια στήμ ατα

ενώ π ρφτ; τα κ άτω στα δ ιαστ ή μ ατα σημ ε ία

+ ~

σ υν :χ

και g W(X) =

Ι. ο. ι .

2ημχ

σ υν 'χ

Ι) :

τ η τ;

[ - 1,0],

(Ι,

+ σc).

f είν α ι προφ ανώτ; τ α

0. f W(O) = O. fW (I )== O και

α λ

Στο διάστη μα ( - ~ , ο) ισχ ύει α φ ού η μκ < ο και συνπ

> 0,

οπότ ε η

τ α κοίλα π ρος τα κάτω στο -

g U(x ) <O,

στρέφει

~ ,ο).

Στο διάστημα (ο,Ξ ) ισχύει gU(X» O, αφού ημ κ

κ α ι συνκ

> 0, οπότε η g στρέφει τα

λα προς τα άνω στο [ο, ~

-'!.Ι

-~ ' ι

'ι

κοί

Ση μ είο κ αμπής τητ; γραφι κ ής παρ άστασητ τητ;

είν αι το

Ι ι

0 (0,0), αφού g" (O) ; O και η g" αλλάζει

πρό σ ημο ε κ α τέ ρωθεν του ο .

_________

Α Σ Κ Η Σ Ε ΙΣ

Α Ι Ο μάδα

Ν α β ρείτε τα διαστήματ α όπου η συνάρτηση

στρέφει τ α κοίλα π ρος τ α άνω

ή προς τα κάτω και να προσδιορίσετε, α ν υπάρχουν, τ α ση μεί α κ αμ π ή ς, όταν

ίΟ f(x} = _I_, ' _ _ I_,' 20 12

ίίί)

f (x) =

ν ί)

f(x) = e-;

,+4

, ί ν ) f(x ) = xc '

Ν α β ρείτ ε τα ση μ εί α κ α μ πή τ; τω ν γ ρ α φικών παραστάσεων των συναρτ ήσεων

f(x) =xlxl

ίί) f(X) =! - h , χ<Ο .;;: ,

x ~o

Να βρείτ ε τη ν τιμή τ ου α για τ η ν οποία το σημείο Χ ο = Ι είνα ι θέση σημ είου κ α

μπής τητ; συνάρτηση; f(x} = αχ " + _1 ,_

, .

4. Να β ρείτε τις τιμ έτ; των α.β για τκ; ο π οίο; η συνάρτηση f(x) =x J + αχ Ι + βχ + 2 έχει τοπ ι κ ό ακρότα τ ο σ το Χ ι = - 2 κα ι ση μείο καμπή τ; σ το χ,, = Ι .

203

Β ' Ομάδα

Να β ρείτε τκ; τιμ έζ των α .β για τκ; οπ οίες η γραφική π α ράσ τα ση τη; συνά ρτηση ;

f(x) :a.,J;:

Ιχει σημείο καμπής το Α( I,4) ,

Α ν για τκ; σψνα ρτήσεκ;

(, 8 ισ χύουν

f-(Χ»

Ο Ύ\α κάθε χ ε Δ ,

γι α κάθε χ ε (Δ), να αποδείξετε ό τι η συνάρτηση

gof είνα ι

g ' (,,» O και g-(X»O κυ ρτή στο διάστημα

Δ.

Α Ι.' η σ υνάρ τηση

f ε ί να ι τρει; φορέ τ; π α ρ αγω γίσ ιμ η στο IR κ αι ισ χύ ουν:

f "(O) = 0 κ αι f ' >'(.\) > 0 γ ιιι κ ά θε XE IR*, ,. στ ρέφει τ α κοθ, α π ρο ς τ α κάτω σ το διά σ τ η μ α ( - 00, 0 1, κοί λα π ρος τ α ά νω στ ο δι άσ τ ημ α (Ο , + ω ).

να αποδείξετε ότ ι η ενω στ ρέφε ι Η'

6.14

Ασύμπτωτες

" Ο τ α ν μ ε λε τά μ ε μ ι α σ υνά ρτηση )' ::0.

f(x)

τ ητ; οποία τ; το π εδίο ορ ι σ μ ού ή το σ ύ

νολο τιμ ών ή και τα δΟΟ δεν είν αι φ ρ α γ μ έ να , τότ ε είνα ι δύσκο λο να κ ατα νο ηθε ί η σ ψ μπ ερ ιφορά τ ητ; γ ι α πο λύ μ εγά λετ; ή π ο λύ μ ικρ έτ; τ ιμέ ς τ ω ν χ κ α ι Υ, Σ τυ ; π ερ ι πτωσ εκ; αυτέ τ; ανα ζητού μ ε ευθείετ; οι ο ποίες , γ ι ' αυτέ τ; τ κ ; τιμ έτ; των« και Υ , να προσεγγί ζουν ικα ν ο π ο ιη τι κ ά τ η γρ αφι κή παράστ αση τ η ς μά ζο ν τα ι «σύμπτωτετ; τη ς γ ρ α φι κή ς πα ράσ τασ η ; τ ητ;

•

f . Ο ι ευθείε.; α υτέτ; ονο

f, Υ

Α ς θεωρ ή σ ουμε τη συνά ρ τ ησ η ι

Ι χ - ' Ι ( Σχ . l ) τ ητ;

οποι α τ;

Α = ( -

τό σο

oc, I) U (l, +

λο τιμ ώ ν

το

π εδίο

ο ρισ μού

σο ). όσο κ αι το σ ύνο

f(A) "" (Ο . +

οσ) δεν ε ίνα ι φραγ

μ ένα σ ύνολα. ο

Π α ρ α τ η ρ ού με ότι :

Σ χ ,1

το , η

έχε ι όριο τ ο μ η δ έν κα ι η γ ρ α φ ι κ ή τ η τ; παρ ά

σταση π ρ ο σεγγ ίζει τ ην ευθ εία Υ

Ο, η οπο ί α λέγ ετ α ι ορ ι ζόντια ασύμπτω τη τ ητ;

" Ο τα ν χ -

σο ή Χ -

γ ρα φ ι κ ή τ π α ράσ τασητ; τητ; Γ, ενώ

204

- " Οταν χ

Ι , η f έχει όρ ιο το

+ 00

και η γ ραφική τ η τ; πα ρά σταση προσεγγίζει

Τ'1\' ευθεία χ = Ι , η οποία λέγετ α ι κ α τ ακό ρυφη ασύμ πτω τη τ η τ; γ ραφ ική ς παρά σ τά σ η ; τ ητ;

Γενι κότ ερ α θ α λέμε ότι

• Η ευθε ί α Υ = β είναι οριζόν τια α σύμπ τω τη τητ; γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ άστ αο ητ; τη τ; Γ, ότ α ν

Jίm Γ(χ) =β

,- , •

.- .. Iim

{( χ) =β .

Η ευθεία χ = α είναι κατακόρ υφ η ασύμπτωτ η τ η τ; γ ρα φ ι κή ς παρά στα σ η ; τη τ; Γ, ό τ αν ένα τουλάχιστον από τ α όρια

Iim ΓΙΧ) ,

lim

, _α '

•

f(X)

είναι

+ 00

, - α -

' Εσ τω τώρα η ευθεία Υ = λΧ + μ και P(x,f(x ) ση μείο τη τ; γ ραφ ι κή τ; π α ρά στ α σ ητ; τη ; Γ (Σχ .2) . Α ν τ ο μ ή κ ο τ;

(ΡΑ) = ] Γ(χ) - Αχ - μ Ι έχει ό ριο μηδέν κ α θώς τ ο χ -

+ 00

00, τ ό τ ε κ α ι

τ ο όριο του (ΡΒ) είναι ε π ίση ς μηδέ ν, αφοϋ

(P B) S( PA).

Σχ .2

Α υτ ό ση μαίνει ό τ ι η γ ρ α φι κ ή π α ρ ά στ αση της f π ρο σ εγγίζει τη ν ευθεία )' = Α , < α θώτ; τ ο χ -

+ 00

+μ

00 .

Ο δ η γού μ α σ τε έ τ σ ι στ ον ορ ι σ μό:

Η ευθεία Υ = λΧ + μ είνα ι ασύμπ τ ω τη τη τ; γ ραφι κή ; παράσ τ αση τ; τη τ; Γ , α ν

lim (r( χ ) - λ χ -μ) = Ο , - , ..

.-- .

Jim ( r(Χ) - λχ -μ) = Ο.

Η α σ ύ μ π τ ωτ η Υ = λΧ + μ είν αι ο ριζό ντια α ν λ = Ο , ενώ α ν λ

'* Ο ονο μά ζεται πλά γ ια

ασ ύμ π τωτ η .

Ο π ρο σ δ ιο ρι σ μό τ των πλάγιω ν κα ι ορ ιζό ντιω ν α ο υωττ ώτων της τρα φι κ ή τ; π α οά σ τ α σ η ; μ ι α ς συν άρ τ ησ ης γίνε τ αι μ ε τη βοή θεια τη τ; πα ρα κάτ ω πρότ αση τ :

205

Π ρότα ση Η ευθε ία Υ

λΧ

+μ

είναι ασύμπτωτη τ η τ; γ ρ α φ ι κ ή τ; παραστασητ; τ η ; Γ, ό ταν ,

και μόνο ότ αν.

Iίm -fu.L = λ ε lR

0-'"

και

Iim . - . ..

(f(χ) - λχ) =μ ε lR

Iίm .l!.&. = λε IR

lim .-..

0- - ..

(f(χ ) -λχ) =μ elR

Η α π όδειξη π αρα λείπεται.

Π ΑΡΑ Δ ΕΙΓΜΑΤ Α

Να βρ ε θ ούν ο ι ασύμπτω ω; των γ ρ αφι κώ ν παραστάσ εων τω ν συναρ τ ήσεω ν :

ί)

"") 1I

f (χ)

- ,Ι - = Ο

κα ι

f( x ) = _ , 1χ

+Ι

=-χχ --+2Ι-

Λ ύσ η ί ) Επ ειδή

Ι·

ιηι

,- ... χ

Ι ιηι · - , Ι-

.- - ..

= 0.

η ευθεία Υ = Ο είνα ι οριζόντια

ασύμπτωτη τη ; γραφικητ; πα ρ ά . σταση τ;

τη τ;

Π ροφα νώς η

f. προσ εyyiζει τη ν

+ Q;t

ευθεί α Υ=Ο κα θώ-; τ ο χ κ α ι κ αθώτ; το χ -

- cx> (Σχ .3) .

Κ ατ ακό ρυφε.; ασ ϋμπ τωτα; δεν έχει α φοϋ δεν υ π ά ρ χει το ιο ώσ τε

lim f(x) = + cx>

cx> Σχ .3

.- ~

Ι ι

206

•

Xoe lR τέ

ί ί)Είνα ι

χ- ι

Iim - -- :: . .. χ+ 2

Iίm 2....=.l....

. - -.

= 1.

χ+2

Ι και

οπότε η ευθεία Υ =: Ι

_ __ - - 1- _

είναι ορ ιζόντια α σ ύμ π τ ω τ η τη; γρ αφι

κή ς παραστασητ; Για τη ρ ίζα χ

= - 2

τητ;

Υ = !..

τ ου παρονο μ αστ ή

έχου με

· Ι,m

χ- Ι - ;; -

ι» , (\l(J)

•_ _l ' χ + 2

Ι'

χ- ι Im - ::: + 00 ,

που σημαίνει ότι η ευθεία χ ::: προσετγϊζει τη ν ευθεί α χ =: -

Σ χ.4

. - - l " χ+2

2 είναι κ ατ ακόρυφη α σύμπ τωτ η τητ; C. η 2 κα ι από δεξιά και α πό α ριστ ερά ( Σ χ.4) .

Να αποδ ειχθ εί ό τι η γ ρ αφ ι κή παράσταση τη ; χ ' χ ασϋμπ τ ω τ η , καθ ώ ς το χ --

f(x) = ε"

οποία

η μτ έχει τον ά ξ ονα

+ 00 .

Για κάθε χ ε lR ισ χύει If(x)1 = I~ Ι ~..!... e'

Επειδή .-lίm ~ . ... c

= 0,

έχουμε .-lim (Χ) =Ο, που ση μ αίνει ότι η ευθεία Υ = Ο είνα ι , ..

ασϋ μπ τωτη τη τ; γ ρ α φι κ ήτ; παρά σταση; τ ητ; Γ. κα θώ ς το χ -

+ CXI ( Σ χ . 5) .

- -Ί

-- -- -

--- - -

,. -,'

,..

'-ο

/ /

Σ χ .5

,' Ο πως φαίνετα ι α πό το σχή μ α, η γραφι κή π αράσταση μ ιας συνά ρτηση; είναι δυ

ν α τ ό ν να τέ μνε ι μ ια α σύ μ πτω τή τητ; κ αι μ ά λ ιστα σ ε ά πειρα σημεία .

207

Ν α βρ εθούν οι ασύμ π τ ω τ ι:ς τ ης γ ρ αφι κής π α ρ άσ τ ασης της συν άρ τ η ση ;

f(x) = ...!l!L , -Ι

Λ ύση Ε π ε ι δή

lim

και

f(x) = +oo

._ Ι '

l ί m f(χ) = -οο , η ευθεί α χ =! είναι κ α τα κό-

._ ι -

ρυφη ασύ μπτωτη τ ητ; γραφι κ ής π α ράστασητ; τη ς

Εξάλλου έχο υ με

lim

, _ '00

...l!!L = χ

lim

xlx l

= lim

. - .", χ ( χ - Ι)

_Χ_

,- .Οο χ - ι

δηλαδή λ = 1 και

:. 1,

lίm (f(Χ) - λΧ) = . -Iίm (Μ - Χ)= χ Iim (χ _χ -χ Ι + χ ) = , Iίm _Χ_ +'" χ - Ι _ + ", _ + 00 χ - Ι 2

χ _ +",

δηλαδή μ

Ι , οπότε η ευθεία Υ

γ ρ α φι κή τ; π αράστασ ητ; τητ;

= λΧ + μ

ή Υ

κ α θ ώ τ; τ ο χ -

=χ+

= 1,

Ι είν α ι πλάγ ια α σ ό μ π τ ωτη τη ;

+ 00 .

Α νάλογα έχου με

lίm ffiΩ _

_ ,.,

- ι , δηλαδή λ = - ι και

οπότε κ α ι η ευθεία Υ ση ς τ η ς

r.καθώ ς

= -

το χ -

- !

lim (f(Χ) - λΧ) = , lim (~ _ _ ", _ _ ", Χ

+ x) = - ι,

είνα ι π λάγ ι α α σ ύμ π τ ω τη τ ης γ ρ αφι κ ής π αρά στα

- 00 .

Μελέτη και χάραξη γραφικής παράστασης μιας σα νάρτησης

6.15

Στα π ροηγούμ ενα μά θ αμ ε πώς να βρί σ κ ουμε τ α δια στήμ ατα μονοτ ονί α ι; μια ς συνάρτησης Γ, τ α τοπ ικά τη τ; ακ ρό τ ατ α , τα διαστή ματα σ τ α οποί α αυτή σ τρέφει τα κοί λα π ρο τ; τα άνω ή προς τα κ ά τ ω κ α θώτ; και τα σ ημεία καμ πή τ; τητ; γρ α φ ι κήτ; τητ; παράστα σητ . Οι γνώ σει ; αυ τές , αν συνδυαστούν με μ ε ρικά; α κό μη που απο κτήσα με σε π ροη γού μενες τά ξεις , μα ς δίνου ν τη δυνατότητα να χα ρά ξου με τη γ ρα φι κή παρ άστα σ η μια τ; συνάρτησητ; με ικ ανοποιητι κή α κ ρίβεια . Προ τ ού προχωρήσουμε στη χά ρ α ξη της γραφ ικήτ; π αράστα ση τ; μια τ; σ υνάρτ η ση τ; Γ, είν αι απα ραίτητο να συγκεντ ρώσου με όλες τκ; α ναγ κ α ίε ; πλη ροφ ορίες , να κά νουμε όπως λέμε τη μελέ τη τη ς

Η δια δι κα σ ία αυτή α κολουθεί τ α βήμα τ α :

Ι. Προσ διορίζουμε τ ο π εδ ίο ο ρισ μού τη ; Α .

2. 3. 4.

Αναζητούμε συμμετρίες ( άρ τια . π εριττ ή , π ερ ιοδ ι κή) . Εξετάζο υ με τη συ ν έ χειά τη ς σ το Α. Βρίσκουμε τις πα ραγώγ ους τ ο π ρ όσημό τους .

20R

f ' και ( Ι~ όπου αυ τ έ.; υπ ά ρχ ουν.κα ι π ρ οσδ ιο ρ ίζουμε

l1ροσδιορίζουμε τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τ η;

Προσ διορίζουμε τα κοίλα και τα σημεία καμ πή ; (αν υ π ά ρ χ ουν) της γ ραφι κή ς π α ράσ τ αση; τη ;

7. 8.

(αν υπάρχο υν ) .

Βρίσκουμε ης α σύμ π τω τ εε , α ν υπ ά ρχ ουν. Εντ οπίζουμε . αν υπά ρχουν. τ α ση μεία τομή ς της γραφ ι κή ; π α ράσταση ; με του;

άξονΕς . Σημείωση : Π ολλά α πό τ α παραπάνω στοιχεία μπορούν να συγκεντρωθούν σε έ να ν πίνα κα. ο οποίος ονομάζετ α ι π ί ν α κω; μ εταβο λώ ν τ ης ί.

ΠΑΡΑΔΕΙΓ ΜΑΤΑ

Να γίν ει η με λέ τη και η γ ρ αφι κή παράσταση τ ων συναρ τήσ εων

Λύση ί)Η Γ έ χει πεδίο ορισμ ού το

κα ι είνα ι συνεχή τ .

Για κάθε xe lR ισ χύει f είναι περιττή, οπότε η γρα φική

f( - Χ)= - χ ) + 3 χ = - f(x) , που σημαίνει ότι η

τητ; πα ράστασ η έχει κέντρο συ μμετρία τ; τη ν αρ χή των α ξόνων .

Έχουμε

( '(,, )= 3 ,, 1 - 3= 3 ( χ - 1 )( χ+ l)

Το π ρόση μ ο τω ν

και

κ ροτάτων κ αι των ση μείων καμ πή; τ ητ;

- ω

[' Ι(,

Έτσι η

φαϊνοντ αι στον π ίνα κα :

[

f "(") =6,, .

και Γ" , η μονοτ ονία . τ α κο ίλα, οι θέσ ει; των τοπικών α

τ .μ .

+ω

+ +

1"- J

σ.κ

τ .ε .

Είνα ι γνη σίως α ύξουσα στα δ ια στή μ ατ α

( - 00, - 11. ( 1, + 00)

κα ι

γνησ ίωτ; φθίνουσ « στ ο δ ιά σ τη μ α

- -

[- I , IJ,

Π α ρ ουσ ιάζει σ τ ο χ ι μ έγ ι σ τ ο .

Χ:

το

( -

τ οπ ικ ό

Ι)

= - Ι το πι κό = 2 κ αι στο

ελ ά χ ι σ το .

το

- ..n - 1

[(1) ~ -2 ,

Στ ρέφει τα κοίλα π ρο ς τ α κάτω στο διάστη μ α

οα ,OJ κ α ι π ροτ; τ α

άνω σ τ ο δι ά σ τ η μα [Ο,

. Ε χει

σημείο καμπήτ . τ ο

(0.0).

Σ χ .1

'09

Π α ρατη ρούμ ε ό τι

Iim f(x) =

+ co,

,- ~ ..

lim f(x ) = - co και ότι η γραφ ι κή παρά -

, - - ...

σταση τη τ; f τέμνει τοικ; άξονες σ τα σημεία (- ../3 .0). (0.0). (../3 .ο).

ί l )Η

f έχει πεδ ίο ορ ισ μού το IR κα ι είνα ι συνεχή τ . Για κ άθε xe IR ισ χύει

( - Χ) = ( - χ) 4 - 2( _ χ ) 1 = f( x),

που σημ α ίνει ό τι η

είναι άρ τια, ο πό τε η γ ρ α

φι κ ή τ η τ; πα ρ ά στ α σ η είνα ι συμ μετ ρ ι κή ωτ; προ τ; τον ά ξο να Υ 'Υ. 'Βχουμε

( ' (χ)= 4χ ) - 4χ = 4χ(χ 2 - 1)= 4χ (χ - Ι )(χ + Ι)

κα ι

Jr ).

[Ο(χ) = 1 2χ ' - 4 = l ψ' - + ) = lψ - * )(χ+

Το π ρόσημο τω ν Ι " , Ι " , η μ ονο τονία . τα κοίλα . οι θέσ ει ; τ ων τ οπικ ών α κ ροτά τ ων κα ι των σ η μ είων κ αμ πή τ; τητ; Γ φ αίνονται σ τ ον πίνα κα :

[ο

[

Έτσι η

- Ι

Τ.ε .

+ +

+ ο

-../3

,f3

/σκ/τ.μ "". "'-σ .Κ .

τ .ε.

+ φ

+ +

{- Ι.Ο], [ Ι . + co) και γνη σίωτ; φθίνου ( -co.- I ]. (Ο . Ι) . Π α ρουσ ιάζει στ α χ ι = - Ι κ αι Χ1 = 1 τοπ ι κά ελ ά χισ τ α τ α f( - Ι) = ( Ι ) = - Ι κ αι

Είνα ι γνησίως α ύξουσα στα δια σ τή μ α τα σα στ α διαστή ματα

σ το Χ3= 0 τοπι κό μέγιστ ο τ ο

f(O) = 0.

Στρέφει τα κοίλα προτ; τα άνω στ α διαστή ματα [-

J-r.

ράσταση έχει σημεία καμπήτ; τα (- ~3· '

-%)

τα κοίλα προτ; τα κάτω στο διάστημα

210

-*]. (J)

*"] ( - co.

, + co),

και η γραφική τη; πα

και

(J-r. -%).

Για χ =Ο..είνα ι Υ =

X1(x l _ 2) = 0

ενώ η

f(O) =0,

f(x)=O

Χ =Ο ή X= ..f2

0:.=

ή χ = - ..j2 _Επομένωτ; η γραφική παρά σταση τ ητ; f τέμνει του; ά ξονες στα ση

μεία 0(0,0), Α( -

..;2 .ο) και Β(..;2 .σ) ,

Τέλος , παρατηρούμε ότι

'" Γ(χ) = + 00 και .-Jim- '" f(x) = + 00.

lim χ

Σχ . 2

Μ ε τη βοήθεια των παραπά νω χαράσσουμ ε τη γραφ ική παρά σταση (Σχ .2) .

Ν α γίνει η μελέτη και η γ ρ αφι κή π αράσταση τ η; συνάρ τ ηση ;

f (x) =:

χ' --.,,"=c: ..,rx+1

Λύσ η

f έχει πεδίο ορισμού Α = ( - 1, + 00) και είναι συνεχή τ ; ' Β χουμ ε

Η συνά ρτ ησ η

2x..JX+l -

χ'

-::-:=c: 2.JX+l

χ(3χ

2(χ +

χ+ Ι

+ 4)

κω

1)112

ΤΟ π ρό σημ ο των Γ ' κα ι Ι " . η μ ο νοτο νία, τ α κοί λα κα ι οι θεσ εκ; των α κρότατω ν τη; Γ φαίνο ντ αι σ το ν πίνα κα :

- Ι

'Ε τ σ ι η

+ 00

.,:-

"'--

+ ελ .

Ε ίναι γνη σ ίωτ; φθίνουσ α στο Πα ρ ουσιά ζει στο χι

=Ο

ι .Ό ] κ αι γνη σίωτ; αύξουσα στο

τ οπι κ ό ε λά χισ τ ο, το

\0, + 00)

f(O) = Ο

Στ ρέφει τ α κο ίλα προτ τ α άνω σ ε όλο το π εδ ίο ορισμ ού τη ς , οπό τε δεν έχε ι σ η μ είο κα μπ ή τ ; Υ

Επειδή

lίm

. _ - 1'

f(x) = + 00,

η ευθεία χ =

Ι είναι κ α τα -

κό ρυφ η ασ ύμ π τ ω τη τητ; γρα φι κήτ; πα ρ άσ τ ασητ . Τέ λο ς η γ ρ αφι κή π α ρά στ αση δ ιέρχετα ι από το ση μ ε ίο

0 (0,0) .

\ lε βάσ η τ α π α ρ απάνω χ αρ άσ σουμ ε τη γ ρ αφ ι κή π α ρά σ τ α σ η τ η ς

( Σ χ .3) .

" Ι <1

-1

Ο Σ χ .3

2 11

χ'

Να γίν ει η μελέτ η κ αι η γ ρ αφ ι κή παράσ ταση τ η; συνά ρ τησ η ; Ι(Χ)

Λύση Η σ υνά ρ τηση Ι, έχει πεδίο ορισ μού το

κ α ι είν α ι συνεχή ε .

Είναι π ε ριττ ή. π ου ση μαίνε ι ότι η γραφική τη ; πα ράσταση έχει κέντρο συμ μετρίω ; τη ν α ρχή των α ξόνων .

f ' (χ)

Εξά λ λου έχου με

Το π ρόσ η μ ο των

f',

x 1(x l + 3)

2χ(3 - Χ Ι)

(χ l +I) Ι

(χ 2 +. 1) 1

Ι " , η μονοτονία , τα κ οίλα . ο ι θέσ εκ; των σ η μείω ν κ α μπή ; τη τ;

φα ίνοντ αι στον πίνα κα :

- ,{3

-φ

,{3

+ φ

Ι'

Ι"

'/ λ/ λ/λ/

' Ετ σ ι η Γ:

Είνα ι γνη σ ίωτ; α ύ ξουσα σ το

IR Στρέφει τα κοίλα προτ; τα άνω στα διαστή ματα ( - οο , - ν'Γ Ι , [O, ../3J , ε ν ώ π οοτ; τ α κάτω σ τα διαστήματ α (- 3 .0), [../3 , + oc). Η γραφι κή τητ; πα ρά σταση έχει τρία σ ημεία κα μπή ; τ α

r.-

3-./3 )ι

Α - ν3 ι -4-

(

r.- 3..[3- ) 0 (0.0) και ιJ -ι ν 3 ι - 4 - .

Επειδή lim .-fu.L • _ : ..

=._Iim! .. _χ_'_ : χ1 + χ

/ /

, Ι

και .~T.. (f( x) - ι ' Χ)= .~ΙP.. ~: ι η γρα φ ική παράσταση τητ;

=0 /

μ π τω τη τη ν ευθεία Υ = Χ .

/ /

f(x) == 0 <=> χ =Ο. η γρα φι κή π α ράσταση τη τ; f διέρ χεται απ ό το 0(0,0).

Επ ειδή

Με βά ση τα παρα πάνω χαρά σσουμε τη γραφική π αράσ τ αση τητ;

212

-!3

/ /

έχει α σ ύ

( Σχ .4) .

/ /

Σ χ .4

4. Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x) = Χ + _ 1-

και να σχεδιαστεί η τραφι κή τη; πα

ράσταση .

Λύση Η συνάρτη ση

έχει πεδίο ορισμού το

Είναι περιττή , αφοϋ

χ) =

( -

και είνα ι συνεχή ε .

JR*

- f(x) για κ ά θε XEJR*, ο πό τε η τραφ ική τητ; π αράστα

ση είνα ι συμμετρική ως προτ; τη ν αρχή Ο .

Εξάλλου έχουμε

( ι(χ) = I _ _ Ι; : ~X'-':'i-C'I,-- "" (χ - I)(Χ + 1) χ!

και

χ2

f "(x) =.2. χ'

Το πρόση μο των Γ Ι και Ι", η μ ο νοτονία , τ α κοίλα και οι θέσεις των τοπικών α κροτάτων τητ; Γ, φαίνοντ αι στον πίνακα .

-Ι

-φ

'" f'

+ φ

τ.,,~ T~τ. ε . /

Έτσ ι η Γ:

Είναι γνη σ ίω τ; αύξουσα στα δ ια στή ματ α

[ - 1,0), (0, 1]. Π α ρουσιάζει στ ο χ ι "" - 1 τ οπικό

( - 00, - 1],

Ι Ι,

+ (0 )

κ α ι γνη σ ίω; φθί

νου σ α στα

κ ό ελάχιστο , το Γ(l) =

μέγι σ το , το

Στρέφει τα κοίλα ποοτ; τα κάτω στο διάστημα διά στη μα (Ο,

Ε πε ιδή

l ίm

+ 00

κα ι

lim f(x) = -

, _0_

αο ϋμπτωτη . Ε ξά λλου

Iim

.....!!&-

lim

(Γ(Χ) - Χ) = .-lim - ':...

,-:...

,- !. ..

ευθε ία Υ

= Iim .- ~

κα ι

κα ι στο χ ι

=Ι

τοπι

(- 00 ,0), ενώ

π ρω ; τα ά νω σ το

+ (0) . Το (0,0) δεν είναι σημείο καμ πήτ , α φού η Γ δεν ορ ίζετα ι σ το Ο.

f(x) =

. _0'

[( - 1) = - 2

οπότε η

χ είνα ι π λάγια ασ ϋμπτωτη τητ;

γ ρα φ ι κή τ; πα ράστασ η; τη τ; Γ.

Τέλος , η γραφι κή π αρ ά στα σ η δεν τέμ νει τ ου; άξο νες .

Μ ε β ά ση τα παραπά νω χαράσσ ου με τη γ ρ αφι κή παράστ αση τ η τ;

( Σχ . 5 ) .

00,

ευθεία

χ =Ο είναι

κατα κόρυφη

_________

Α Σ ΚΗΣΕΙΣ

Α ' Ομάδα Ι.

Να βρείτε ΤΙζ ασϋμ πτωτ ε τ; των γ ρ αφι κών π α ρ ασ τά σ εων των σ υναρτή σεων

f(x) = 2χ -1

ίί) f(x) =...!1J!!...

, +3

ίί ί)

f(x) '"

χ,

- 10

χ -2

Ομοίως των σ υνα ρτή σ εων

x 1 +2x

f(x) '"

ίΟ

, -ι

ίίί )

f(x) =

Να κ άνετε τη μελέτη και τη γραφική παράστασ η των συνα ρτήσεων

Ο μ οίως των συναρτήσεω ν ί)

x l - 4x + 5

f(x) =

ίΟ

, -2

f(x) '"

Β ' Ομ ά δα Ι.

Να βρείτε τ κ; σσϋμπτωτ ε.; τω ν γ ρ αφ ι κώ ν παραστάσεων των συναρτήσεων

ίί)

ί) Hx)- ~ 2.

Να β ρ είτε τη ν τ ιμ ή

f( x) _ xyxr+I χ- ι

τ ου α , ώστε η γ ρ α φ ι κή

f(x) = Χ

2χ + (α + I )Χ - 2

παράσ τ αση

τη; συνάρτ ησητ;

χ- ι

καθώτ; τ ο

+ <».

Να κάνετε τη μελέτη κα ι τη γ ρ αφική πα ράσταση των συναρτήσεω ν

ί ) (χ) = _Ι_ Χ(Χ + Ι)

2Ι 4

να έχει ασ ύμ πτωτη την ευθεία Υ = 2χ -5

ίί)

- 2χ+ Ι

f(x) = --"= 'i-'-

6.16

Απρααδιόριατες μαρφές

Όπως είδαμε στα π ροηγού μενα

Κανόνας

de L'Hospita /

εφα ρ μοτή τητ; ιδ ιότητ α ε του ο ρίου πηλίκο υ

για τον υπολογισ μό ορίων τη; μορφή; lim ~ • o e iR δεν είναι πάντοτε δυνα , -σ

g(x)

τή , αφού πoλλtς φορέτ; οδηγεί σε απροσδιόριστη μ ορφή . Για παράδειγμα ,

εφ α ρ μ ογή τητ; ιδ ιότη τα τ του ορίου π ηλίκο υ στο lί m

c' - l

._0

οδηγεί σ την απ ροσδιόριστη μορφή ~

η μπ

Για τα ό ρ ια πη λί κου. που οδη γούν σε απ ροσδιόριστη μο ρφή, ι σ χύουν οι επ ό μ ενοι

δίιο κα νόνετ που είνα ι γνωστ οί ως κ αν ό ν ες

1ας

L ΉΟS Ρ ί ta l.

κανόνας: ( μορΦή ~ )

Αν lίm

f(x) = 0,

χ - ο

oe iR, κα ι υπά ρχει το Iίm ( Ί(χ) , πεπερασμέ

Iim g(x) = O,

χ-α

, -α

(χ )

νο ή ά πειρο, τ ότ ε

· ~ f' x' ι Im Χ _Ω

κανόνα ς: ( μορφή

20<;

Α ν Iί m

f(x) ::

+ 0;0,

' -σ

g(x )

f " x' = Ι'I m ~ , -" g ' (χ)

:: )

lim g(x) ::::

+ 00 ,

a e iR,

K αt υ πα ρχει το

,-ο

περασμένο

I·1m .Q&. ι , _α

(χ)

πε-

άπ ε ιρο . τ ό τε

Iim M

. - . g(x)

= Iim .L.!!! . - . g ' (x)

Οι αποδείξει ; παραλείπονται. Αν

a eIR.

0 2ος

0\ κανόνετ; ισχύουν κ α ι όταν χ -

καν

όνατ νας ιστϊ ισχυει

α ' ή :οι

έ + 00 , - - -00

κα ι για τις μο ρφ ς

+00

αΜ.

• - - -00 . -

Π ρ ο σ οχή : Σ τον π αραπ άνω κα νόνα δεν π ρέπ ει να γίνετ αι σ ϋγχιση μετα ξύ των

πηλίKων ...f.:.ί& και (l!& )' g ' (X) g(X)

ΠΑΡΑΔΕ Ι Γ Μ Α

Μ ορφές ~

•

· e' -Ι . Ι.,m-0

2.1im

±~

- --

κα .

χ'

Αν

0 >0,

(, '-Ι) '

= lim

.-0

( l-συνχ) '

= lί m .-0

," =

. - + .. χ

.-+Iίm

= lίm ~

(;ιι 2) ,

lim -

τότε

: Iί m -

(Χ) '

.- 0

Ι -συν"

. -0

±~

2χ

. _0

(~ .' } '

2 .-0

ασ "

4(χ)

= Ι

=...!.. lim....!lJ!!..

= IIm - - = +OCI

.- . ..

Γενι κ ότε ρα

Αν

και κ >Ο, τότε

« >0

Αν κ > Ο. τότε

Iim . _ ...'"

In~ χ

._t.. -,",lίm

lim ( , : ,

, - .....

(lΩ~)~'

= Iim

Ι- '"

(χ

· Im

)' = +~ χ

Ι - - -= .-+ KX ~ - I

Ι 1m ·

. - ... .. Κ Χ '

Σε μερικέτ; π ερυτ τώσεκ; όπως σ το παρακ άτω π α ράδειγ μ α , χρειάζεται να εφ α ρ μόσουμ ε τον κα νόνα

6. Iim

c' -x - l χ'

.-0

L ΉΟSΡ ίtaΙ π ερισσότερα; φορέε .

= Iim . -0

(e' - X- ι ) ' (x 1 ) •

"" Ι lm - - - = - ,m ,

._0

c' - )

2χ

Ι·

._0

(, ' - Ι ι ' (χ) ι

. e' Ι I.m =._0

Α νά λ ογα . η εφα ρ μ ογή των ιδιοτήτω ν του ο ρ ίου γι νο μένου κα ι του ορίου αθροί

οματ ο τ. οδηγούν στυ; απροσδιόριστετ; μορφέτ; Ο · ( ~ α:». (- 00) + ( + (0 ) α ντ ιστοί

χως . Τέλο ς, η α ναζή τη σ η ο ρίων σ υναρτήσεων τ ητ; μ ορφ ή τ; (f(X» P" οδηγεί στ κ ; α προ σ δι ό ρι στ ε τ; μ ορ φέτ; (ΧΙ Ο, ο α κα ι Ι · , Όλες αυτέτ; οι μορφέ τ; μπ ορούν να με τ α τ ραποϋν έτ σι, ώσ τε τ α αντ ίσ τοιχα ό ρ ια να μ πορούν να υπολογι σ τ ού ν μ ε τη βοή

θεια τ ων δ ύο π ροηγούμενων κα νό νω ν , Στα π α ρ α δείγ μ ατ α που ακολο υθο ύ ν θα παρουσ ι άσου με τουτ; μηχα νισμούε Ε φ αρ μογήτ; των κα νόνω ν αυτ ών σ ε κάθ ε μ ια απ ό τ κ; παραπ ά νω μ ο ρ φέε . Στη ν ε π ί λυση τω ν παραδε ιγ μ ά τ ων , χάριν απλότ ητατ, εφα ρ μόζου με κ ατευθεί αν του; κ α νόνες

216

L Ή Ο S Ρί ta l.

• .\ 1 0 ρ φ ές 7.

Αν κ

· Ι 1m

' -11 '

θ-

>0,

(χ

( :!: cc )

τότε

'ι π χ) ", Ι"1m lnx ( μ ορφη. - ~) '" Ι'Im ~ (lπχ) , ;;: Iim ,-Ο ' Χ - . + σο , -Ο ' (χ - ' )

,- ο'

= lim

, -ο '

8. lim

,- .~

.'(

[χιη( ι + _ 1_.

- κ,χ

.. ,

( - -κΙ x') ~O

ιπ( ι + -'-)

)) = lim

,_. ~

(μορφή...Q... ) == ο

[ln(I+-'-)]' χ (+)

11m

,-. ~

( ι + ~ )' Ι

ι + χ

•

+ cc - cc

Μο ρ φή

9. Iim

,_. '"

(χ - l πχ ) = ,_lim [χ( ι ~ • .., χ

)] = + σο . (Ι -ο) = +

(π α ράδειγμα 5)

10. lim χ ' = lim (c""') , -ο '

, -ο'

Ε π ει δ ή

•

Ιί ω

(πα ρ ά δειγ μα

(xlnx) =O

, -ο ·

Μορ φή

7),

έχου με

lim ,-ο '

cc)"

11. lim (Ι + 2 χ ) ' ' = Iim e ,- . " '"

,-.

•

Επειδή Iim lη(I +2x)(μoρφή~) = lim [In(I + ~,,)r χ

, _ • .,

Έχου με

•

Μ ορφή

12.

ιi ιη

x' =e ~ = Ι

, _...

(χ)

= Iim

, _. ..

_2_ ~ o 1 + 2χ

...

lim (1 + 2x)" = co= l . ,-

1" (Ι + χ ) -'=

• _0'

Επειδή

lim e-

' ·' .

, - ο'

.lim

ο φχlη( 1

+ χ) ::

[ ηη , _ υ

.~ ,

1" (1 + Χ ) εφπ

211

[ ι " ι ι + ,! ] '

- - - - -

[εφχ ] '

lim

•_ 0'

6.17

::;

>+1

lίm ,-Ο'

O lιν ' x

Γ, έχουμε

(I+ .\ ) ~"' =C ' =C .

Διαφαρικό συνάρτησης

ι Ε στ ω μ ια συνάρτ ηση Υ

= f(x)

π α ραγωγί σ ιμ η σ το χ κα ι

h = Δκ

Ο μι α οποιαδή

ποτε μ ε τ αβ ο λή του χ η οποία δ ε ν εξ αρτ άτα ι α π ό το Χ . Ο νο μ ά ζο υμ ε δ ιαφ ο ρ ι κό τ ης

σ το σημεί ο χ κο! συ μβ ολ ί ζου μ ε

df(x)

τ ο γινό μενο Γ ' (χ)

ή Γ Ι ( χ ) . Δκ ,

δ ηλαδή

d f(x) = dy =

[Ι ( χ ) .

Πα ρ α τη ρούμε ό τι η τιμή του δ ια φ ο ρι κού

(Ι)

[ Ι (Χ )ΔΧ

df(x)

στα χ και α πό τη ν τυχα ία επι λεγ μένη μ ε ταβ ο λή

εξαρ τ άτ αι απ ό την τι μή τ ης

h = Δχ ,*0 ταυ f(x) = χ είναι

Χ.

Γι α παρ άδειγμα το διαφ ο ρι κό τ ητ; συν άρτ ησητ;

d Χ = ( Χ) ' Δ Χ = ] ·Δ χ = Δχ Ε πο μ ένω ς στην (Ι) μ πο ρ ούμε να α ντικα τασ τ ή σουμ ε τ ην τ υ χ αία μ εταβολή Δχ

του χ μ ε το διαφο ρικό

τητ; ο υν άρ τ η ση τ

df(x) =

[Ι

f(x) =x ,

οπότε η

(1) γρ άφε τ α ι

(2)

(x)dx

Απ ό την τελευτ α ί α ισό τ η τα π ρο κ ύ πτ ει ο συ μ β ολισ μότ;

Leibn iz

τη τ; π α ρ αγώγου ,

δ ηλαδή

[' ( χ) =

d f( x )

ή πιο απλά Υ ' =....!!.L dx

Π ρ ο φ α νω τ; ισ χύει

~ -=li m dx

Μ ε τη βοήθει α τη τ;

(2)

-\ '-0

π ροκύπτουν οι επό μεν οι τύ π οι, π ου είναι α ν άλογο ι με

τ ου τ; «αν όνετ; πα ρα γώγ ιση τ :

d(c) = O, c

στ αθε ρ ά,

d( f . g) = gd f + fdg

d(f ±g) =df ± dg d(J:...) = gdf -fdg g g'

Α ν r(χ ) ~ g (ψ ») , τ ότε dflχ ) ~g ' ( u (Χ » ) ·uΊ Χ)d Χ.

218

Γεω μετρ ι κή ερ μ η ν εία του δ ιαφο ρ ι κ ού Έσ τω μ ια σ υνάρ τηση ραγωγίσ ι μ η

στο Χ"

και

(Σ χ .1) π α

χ - χ..

= Δ χ .;t: Ο μ ια ο πο ιαδήποτε μ εταβολή τ ου Χ . η ό π ο ια δε ν εεα ρ τ α τ α ι απ ό το χ" . ι-ι εξίσωσ η τη ι, εφ α π τομ ενητ; τ η ς

f στο σημείο p(x...f(Xo») είνα ι Υ = t"( x,,) + f '(x,,)(x - χ,,) ή μ ε α νεξά ρτη τη μ εταβ λητή το h είνα ι Υ = [(,ο) + [ '(,οΙ ' h (3), γραφι κή; παράσ ταση; τη ;

, "ot-- - ---':-- - -",-L=-xo +h

Ιχ . 1

Π α ρα τη ρού μ ε ότι :

._0

Hm (M(,,-j -f '(,,-J 'h) = lim (f(,,- + hj - f(,,-) - f ' (,,-Ih) = Hm h( f(,,- + h) -f(x,) - Ι ' Ι"-Ι) = ο , ([ '(,.) - ι '(,.ι) =ο, h

h _O

h * 0 η δ ιαφο ρά Δ Ι(χ.,) = f(x., + h) - «χ,,) 'φοσ εγγ ίζι:ταl ικανοπο ιητι κά απ ό το γινό μΗΟ' ( ' (χ.) . που είναι τ ο δι αφορικό τ η τ; f σ το Χο . Αυτ ό σ ημαίνει ότι για πολύ μ ι κρά; τιμές του

h:'

Ε π ομ ένωτ; μ π ο ρούμ ε να τ ράφουμε Μ(,,-) ~

( 'r,,) , h

(4)

Απ ό το σ χή μα (Ι) προ κύπτει ό τι

( Κ Μ) = ! Δ Ψ.Ι ! οπότε λόγω τ ητ;

κα ι

( ΚΤ) = Ι Υ .; f(J<.J Ι = Ι ι(,.Ι + Ι ' r, .Jh - [('.Ι Ι = Ι Ι ' (' . ) ' h Ι

(4) έ χ ουμε ( Κ Μ) ~ ( ΚΤ) . που σημαίνει ότι το ευθύγ ρ α μ μο τ μή

μ α Κ Μ μ π ορεί να α ντικαθίσταται απ ό τ ο ευθύγρα μ μ ο τμήμα ΚΤ ή ακόμη ό τι το τμήμ α P~I τη τ; γρ αφι κή τ; παράσταση ς τη τ;

μπορεί να α ντικαθίστα τ αι α π ό το

τ μήμ α ΡΤ τητ; εφαπτο μένητ; μ ε ικα νο π οιη τι κή π ρο σέγγι σ η . Παρατήρηση Α πό τη ρικο

(2)

προκύπτ ε ι ό τι για ένα σημ είο ε, του πεδίου ορ ισ μ ού τη τ;

d f(x..)= f '(x..)dx είνα ι

μια γ ρα μ μ ι κ ή σ υνά ρ τη ση τ ου

dx.

το διαφο

Δ η λα δή έχει γ ραφι

κ ή παρ άστ α σ η μια ευθεί α που είνα ι πα ρά λλη λη στη ν εφ α π τομ ένη τ η τ; γρ α φι κ ή τ;

π α ρά στ α σ η ; τη τ; Γ σ το σ ημ είο (x".f(xo »).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Ι . ~α βρεθεί κατά π ροσέγγιση η μεταβολή της συνάρτηση; Hx) = ~ . όταν το

χ αυ ξάν ε ι α πό το

στ ο

3.2. 219

Λύση

Για κάθε χ ε lR· είναι

f '(x) =(-;r- ) = - ; ,

Ότ α ν το Χ αυξά νετ αι απ ό το

σ το

έχου με Δ χ

3,2

= dx = 3.2 - 3 = 0.2.

Επομένως Δ f(3) = ( ' (3) , 0.2 = - ;7 · 0.2 = - 2~0 ' που σημαίνει ότι η τιμή τη τ; συνάρτησητ; f ελαττώνεται περίπου κατά 2~0 . 2. Να υπ ολογιστεί με προσέγγιση η

V6 .

Λύ ση

Α ν f(x) = !JX. τότε γ ια χ ο = 8 και χ = 6 έχ ουμ ε h = x - xo = 6 - 8 = - 2. Εξάλλου Δ Γ(χ,,)

Γ( χ"

ο πότε

+ h) - f( x.,).

Δf(8) =f(8 - 2) - f(8) = V6 -ZΓs = V6 - 2 Σύμφων α όμω τ; με τον τ ύπο Δ Γ( χ,,) =: Δf(8)

Επειδή

= (' (8) · h

f '(x,,) ' h έχου μ ε (2)

, • =1χ -+=3!..fY:i"

εινα ι

r '(8) · h = "2 , ( - 2) = - 0, 166

(3)

f ' (x) = (ZtX ) '

Ε π ομ ένω τ; απ ό τ κ; ι σ ό τη τ ε τ; ( Ι)

ΖιΤ - 2

- 0. 166

(2)

και

!J6

_________

(Ι )

=::

ΑΣ

(3)

έ χ ου με

2-0. 166

~'6

=::

Η Σ Ε ΙΣ

Α ' Ομάδα Ι.

Να βρείτε τ α παρακάτω όρι α

i) lim ~ . -1 χ - ι ί ~)

lin1 <-Ο

220

χ +ημ3χ χ - ημ3ιι:

11)

lίm , -ο

\ ) lim , -ο

α' - Ι

x+l- e'

1,834

Ιίί)

.lim _0

\ ί) lί m ,- ο

ο" η μπ

σ υ νχ

3Χ :

Ομ οίως τα ό ρια

Ι)

j\ )

...

ίί )

lim

lim In(1 ":' χ) , - - .. ln (1 +e - ')

lί m

(r.φ χ ·

lim

Inx)

,-ο '

f( x) = L

ii)

f(x) =

+ 21nx

, -,

···1 ,, ' "' II I f() ; Χ

Να βρείτε το διαφορικό τη ; συνάρτηση; f στο σημείο χ" για ί l f(I[) ;(2x +e ') ~

ίίίl

Να β ρείτε τι; ασύμπ τ ωτα; τ ων γ ραφι κών π α ρα σ τ άσεων των συναρ τή σεων j)

νΙ

,.,

lίm

,-...

κα ι

dx = - ' -

' 000

όταν

χ..,= 0

~ α χ ρη σιμ οποιήσετε τ ο διαφορι κό για να εκτι μή σετε τη μεταβολή της συνάρτη

σης f{X)=xT ί) Ό τα ν το χ α υξά νει απ ό το

στο

ί ί) Ότα ν το χ ελα ττώνετ αι απ ό το

34 στο

0,9

Να χρησιμοποιήσετε το διαφορι κό για να υπολογίσετε με προσέγγιση τη "; 104

Β ' Ο μ άδ α Ι.

Να βρείτε τ α πα ρα κ άτ ω όρ ι α ί)

lim

&φ

,_ ο

ίΗ)

.. -

ί ί)

lim (- '- _ - ' - ) ,-ι Inx χ- Ι

ί \' )

lim

.-0

συ ν(α χ)

συν(βχ )

" "

Iim ,~ . - . .. e

Ο μ οίω; τα όρια

, ίJ

ίί) ,_lίm. '" (ι + ~)'

lίm χ 7

,- - '"

, ϊίί} . -lim• .

(1 .-'- )' χ

ί\' )

...

lί m {e ' + JI)7

221

Να κ ά νετε τ η μ ελέτ η και τη γραφική παράσ τ αση των συναρτήσεων

ί ί ) f( x):: In(x : ... Ι)

ί) f(x) = xe 7"

-Ι . Λ" f(Χ)2 Ι :~: - Ι

ί) Η

O<x;t:!

να απ οδείξετε ότι χ = Ι

•

ίl) Γ ' (Ι ) = _ - '-

εί ναι σ υνε χής

Να π ροσδισρίσετε τκ; rIμ t.; των α .β , ώστε η συνάρτηση

,s-

Ι +ασυνχ ,

f(x) =

να είναι παρατωτίσιμη στο

» -π

Xo=-f

f (x) =

Δίνετ αι η σ υνά ρ τηση

συναχ

β'

σψνβτ,

με α. β ρ Ό .

,+}

Να β ρεί τε τκ; τιμtς τ ων α, β για τκ; οποίες η γραφικ ή πα ράσ τ α σ η τητ; Γ διtΡXε·

ται από το σημείο Α( - Ι

και η r είναι παραγοηίσιμη στο ο.

ΓΕ ΝΙ ΚΕΣ ΑΣΚ ΗΣ Ε ΙΣ 60 υ Κ Ε ΦΑΛΑΙ ΟΥ

Γ' Ομάδα Ι.

" Ε σ τω συνά ρτηση

που είναι π α ραγωγίσιμη στο ση μείο α .

ί ) Να αποδείξετε ότι

ίί ) Αν η συνάρτ ησ η

11m α lf(:ιι) -χlf(α) = α:f' Ια) - 2αf(α).

.-.

, -α

είναι π α ραγωγίσιμ η στ ο α , να β ρεί τε το

l ί m g(a)f(x ) - g( x)f(Q) χ -α

Αν C" .

είναι οι γραφικέτ; παραστάσεκ; των συναρτήσεων

f(x) x

...

,Χ

και gΙχ)=2χ l+6 χ -α α ντ ιστοίχως, να βρείτε για π οια τιμή του α η εφαπτομ έ

νη τητ; C. στ ο σημείο Μ( Ι , ιι l) εφά πτεται κ αι στη C:.

Α,' (Ι') _ P(x) . j οω] , όπου Ρι:>ο l. Q(x) πολιωνυμο " βαθμού "οι η συνάρ τηση

εί να ι π αρα γωγ ίσ ιμη στ ο

IR.

να α π οδεί ξετε ό τι κ ά θε π ραγ μ α τι κή ρίζα του

Q{.\ j μ ε βα θ μό πολ λ α π λότητα :; Ι είναι κ αι ρί ζα του Ρ{ χ ).

j) Αν I'Ι χ )

..ίνα ι

π ολυ ώ νυμ ο β α θμ ού ν ~ 2 . να αποδείξε τ ε ότι

f( x ) = (X - p)1' nI xJ <=> f {p ) ", f ' {p ) ", O

ίί ) Να αποδείξετε ότι το (χ - 1)1 εί να ι παρσ γοντ σ.; του πολυωνύμου (x )"' νx · · I _ :ιι ~ - I _ (ν 2+ 1)x+ ν : - ν+ 2 .

νΕ I1'ιΙ μ ε ν 2:2

ίίί) Να β ρεί τε τ κ; τιμ ές των α ,β για η ς ο π οίες το (χ - Ι) : είναι πα ρά γον τω ; του ν ε lΝ μ ε \' 2:2

f(x) = ax :V+ Px· " + 4,

α Χ : + βΧ + 3 .

Α ,' (:ιι ) _

o πoiες η

είναι δυο φορέτ; πα ραγωγίσιμη σ τ ο

J.-

)(s 2,

• 11. > 2

να βρείτε η ς τιμ έ:; τω ν α ,β ,Ύ γι α η ;

Στη θεωρία της σχετικ ότητ ω; ο νόμοτ;

F =m..~ dl

F = my

αντ ικ αταθίστατ αι απ ό το νόμο

( κ" όπου υη ταχύτητα ενότ; σώμα τοτ. σι, η μάζα του όταν υl

ι --

αυτ ό εί ναι ακίνητο και

η τα χύτ ητα του φω τός . Να απ οδεί ξετε ότι

"'" 7. " Ε να

δοχείο που έχει σ χή μα κώνου με ακ τίνα βά ση ς

κα ι ύψ~ .ι

τ ο Υεμ ίζοιιμε νερό . Α ν Ο ριιθ μ ός μεταβολή ;

του όγκου του νερού είνα ι 2 ~ , να βρείτε το ρυθμό ηηη

μ ε τα β ο λή ς του ύψου;

τ η τ; στάθμ η ; του νερού τ η χρο-

νική στιγ μ ή 10 που το ύ ψ φ; τ η ; στ άθ μη τ; τ ου νερού είν αι

h '" 2m.

Αν η συνά ρ τηση

κ αι

για κάθε χε ( α, β) , να α ποδείξετε ότι για κάθε :ιι " χι ε l α ,β ) μ ε

χΙ

m :5 f '(x) :!S M

< χ:

εί ναι σ υνεχή ς σ το δι ά στημα [ α . β] , l'Ι αραΥωΥίσ ιμη στο (α ,β)

ισ τϋα

223

' Ε σ τ ω σψναρτήσεκ; ι. ε συνεχε Ις στο [ α . β ι κ αι παραγωγ ισι με.; στ ο (α , β) . Α ν ισ χ ύουν

f(Q) =

f( β ) = Ο,

ι(α Ι ' ι{β)

και

Γ ' (X)g(X)

- f(x)g ' (χ) ,* 0

γι α κά θε χ ε( α ,β ) ,

να απ οδείξετ ε ότι υπάρχει ένα τουλά χ ισ τ ον Jι" E (α , β ) τέτοιο , ώστ ε

10.

g(x.,);.O .

Α ν για τι :; συναρτήσει; (,ι ισ χύουν (Ο) ;. ο, ι (Ο) ;. Ι ,

[ ' (χ) = εω

κα ι ι ' (χ )

f(x) .

ίΙ)

= - f(x) για

ημε και

κάθε χ ε

IR,

να αποδείξετε ό τι:

g(X) = συνπ ,

, 1Ι .

ί) Να βρείτ ε τα διαστή ματα μονοτονία τ τη τ; συνάρτηση ; f(x) = x.e-;ίί ) Ν α αποδείξετε ότι για κάθε χ. Ε(Ο,

12.

' Βνα πλοίο Π Ι βρίσκε ται

30 km

+ cι»

ισχύει χ ' 2:

c:"

Ι.

α να το

λικ ά α πό ένα σημ είο Ο και κινείτ α ι δυ τικά μ ε ταχύτητ α

15 km/h .

' Ενα άλλο

πλοίο τ η ν ίδι α χρονι κή σ τιγ μ ή βρ ίσκε

ται

20 km

βόρει α από τ ο Ο κα ι κι νείτα ι

νότια με τα χύτητ α

15 km / h.

Να βρείτε

ύσ τερα από π όσ ο χρόνο η απόστ ασή

τουτ; γίνετ αι ελάχιστ η .

13.

ί ) Για μια σ υνάρτηση

f που είνα ι

παραγωΥίσιμη σ ' ένα διάστη μα Δ και στρέφει

τα κοίλα προς τα άνω σ το Δ , να α ποδεί ξετε ότι για κάθε χ ι. χ: εΔ με χ ι '*χ: είνα ι

ί ξετε ότι για κα θε

(e o + 2)'

a EIR-

κ αι νε Ν - ισχύει

+ (c - - + 2)">2 ·3 '.

d'f(x)

d, '

15.

Α ν μ ια συνά ρτ η σ η

f είνα ι

τρεκ; φορές π α ραγωγίσιμη σ ' έ να διάστη μ α Δ κ αι για

τ ο εσωτερικ ό ση μ είο χ., του Δ ισχύει f~ ( x,, ) =O και τι το χ. είναι θέσ η ση μείου κ α μπ ής τητ;

224

= (χ + v)e' .

f(J)(x,,) .;t: O, να α π οδεί ξετ ε ό

16. Ν α βρεί τ ε σ ημ είο τη ; πα ραβο λή τ; :/= 2 Χ τ ου ο ποίου η από σ τα σ η α π ό το σ η μ ε ίο Α (Ι .4) είναι ελά χισ τη .

17.

Α ν για τ η συνάρ τηση Γ υιtά ρχεl δεύτερη π α ρά γωγτκ; κα ι είνα ι συνεχη τ. να α π οδείξετε όη

tim f(x +h) -2f(; ) +f(x -h) b _O

18.

= f"'(x}.

Σ ' ένα πείρα μα τύ χης η π ιθα νότη τ α Ε πιτυχία :; είναι Ρ και α π οτυχ ία ς Ι - ρ . Α π ό τη θεωρία τ ων πιθανοτή των είνα ι γνωσ τό ότι η πιθανότητα να έχοιι με κ ε π ιτυ

χίες σ ε ν επαναλήψεις του πειράματο-; δίνετ αι α π ό τον τύπο

f(P)= ( ;

}Ρ ' (Ι -Ρ) '- - \ Ο < Κ <\Ι. Ο <ρ <Ι

Ν α βρείτε τ ην τ ιμή τ ου Ρ , ώστε η π ιθανό τ η τ α αυτή να είνα ι μέγισ τη .

115

κεφάλαιο έβδομο

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

7.1

Εισαγωγή

Στο

κεφάλαιο αναφερθήκαμε σε δύο μεγάλα προβλήματα που οδήγησαν

στην ανακάλυψη του Διαφορικού Λογισμού. Ένα άλλο μεγάλο πρόβλημα που απασχόλησε τους μαθηματικούς και οδήγησε στην ανακάλυψη ενός ακόμη κλά

δου των Μαθηματικών, του Ολοκληρωτικού Λογισμού, είναι το πρόβλημα του εμβαδού, δηλαδή: Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πώς υπολογίζεται αυτό;

ι Ολοι έχουμε μια εμπειρική ιδέα της έννοιας του εμβαδού ενός χωρίου. Στο

κεφάλαιο αυτό θα δώσουμε το μαθηματικό ορισμό της έννοιας αυτής. Επειδή για τους ι Ελληνες η εύρεση του εμβαδού ενός χωρίου απέβλεπε στο να βρεθεί ένα τετράγωνο ισοδύναμο με το χωρίο, δηλαδή τετράγωνο ίσου εμβα

δού, μιλάμε ακόμη και σήμερα για τετραγωνισμό του επίπεδου χωρίου. ι Οταν ένα χωρίο είναι πολύγω

νο, τότε αυτό μπορεί να διαιρεθεί σε τρίγωνα και επομένως να υπο

λογιστεί το εμβαδόν του.

Η δυσκολία εμφανίζεται όταν έ να τουλάχιστον τμήμα της περιμέ τρου

του

χωρίου

είναι

μια

καμπύλη, Π.χ. όταν ζητάμε το εμ

βαδόν του χωρίου (Α), που περι κλείεται από τη γραφική παράστα ση μιας συνάρτησηι; Υ =

f(x),

τις ευ

θείες Χ = α, Χ = β και τον άξονα Χ ι Χ (Σχ.Ι).

Σχ. 1

227

Το πρόβλημα του εμβαδού ενός χωρίου μελετήθηκε από τον Αρχιμήδη !"

(287-212

π.Χ. ), ο οπο ίοι; υπολόγισε τέτοια εμβαδά με μια μέθοδο, που αποδίδε

ται στον Εύδοξο

(408-355 π .Χ.)

και είναι γνωστή ως « Μ έ θ ο δ ο ξ της εξάντλησης».

ι Ετσι μπορούμε να πούμε ότι ο Αρχιμήδη; έθεσε τις βάσεις του Ολοκληρωτι κού Λογισμού . Βέβαια για τον Αρχιμήδη ήταν δεδομένο ότι το εμβαδόν ενός επι πέδου σχήματο ς υπάρχει και η προσπάθειά του απέβλεπε μόνο στον υπολογισμό και όχι στον ορισμό του εμβαδού. Με τη μέθοδο αυτή προσεγγίζουμε το χωρίο με ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο, του

οποίου το εμβαδόν είναι ορισμένο. Επιλέγουμε ένα δεύτερο εγγεγραμμένο πολύ γωνο , το οποία περιβάλλει το πρώτο, οπότε παίρνουμε μια καλύτερη προσέγγι ση του δοθέντος χωρίου. Εργαζόμενοι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε τελικά να « εξ α ν τλή σ ου μ ε» όλο το χωρίο και να πάρουμε ως εμβαδόν του το όριο των εμ

βαδών κατάλληλα επιλεγμένων εγγεγραμμένων πολυγώνων με αυξανόμενο αριθμό πλευρών.

Ο Αρχιμήδης εφάρμοσε με επιτυχία τη γενική αυτή μέθοδο για τον κυκλικό δί σκο και για παραβολικά χωρία. Με βάση τη μέθοδο της εξάντλησηξ, διατυπω μένη με σύγχρονη ορολογία, για το εμβαδόν

του κυκλικού δίσκου εργαζόμαστε ως ιεξής:

•

Εγγράφουμε στον κύκλο ένα κανονικό πο

λύγωνο π ι, π.χ. ένα τετράγωνο (Σχ.Ζ)',

•

Διχοτομούμε τα τόξα, που αντιστοιχούν στι ; πλευρές και με κορ υφέτ; τα σημεία αυτά και

τις κορυφέξ του τετραγώνου κατασκευάζου με ένα κανονικό οκτάγωνο Π 2 Κ.Ο .Κ.

Συνεχίζονται; τη διαδικασία αυτή κατασκευ άζουμε μια ακολουθία εγγεγραμένων κανονι κών πολυγώνων (π .), με εμβαδά ε..

•

Σχ. 2

Στις κορυφές κάθε εγγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου φέρνουμε εφαπτόμε νες του κύκλου. Έτσ ι παίρνουμε μια ακολουθία περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων (Ων), με εμβαδά Εν (Σχ.2).

•

Η ακολουθία (εν), όπως κατασκευάστηκε, είναι αύξουσα και φραγμένη, ενώ η ακολουθία (Εν) είναι φθίνουσα και φραγμένη. Επομένως συγκλίνουν και μά λιστα , όπως αποδεικνύεται, έχουν το ίδιο όριο, το οποίο ονομάζουμε εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου, δηλαδή Ε=

Iim ε ν= Iim

ν -+ ώ

ν - +ω

Εν

Εξάλλου είναι φανερές οι ανισότητες:

εν$Ε$Ε"

' 11

ν=

1,2, ...

Ο Λ ρ χ ι μ ή δ η ; θεω ρε ίτ αι , ω ; ο μ εγα λ ύτ ε ρ α; ' Ελ λ η να ; Μ α θη μ α τ ικ ό ; κ αι μα ζί μ ε τους

N e\\ιo l1 κ αι (ι ,Ηι , ς ω ; ένα ; α π ό του ; μ εγ αλ ύ τ ε ρ ο υ ; μ αθη μα τ ι κ ο ύ ; του κ ό σ μ ο υ .

228

Στο διάστημα που μεσολάβησε από την Αρχαιότητα μέχρι και τις αρχές του αιώνα υπολογίστηκαν με επιτυχία τα εμβαδά και άλλων σχημάτων. Σε κά περίπτωση όμωξ, χρησιμοποιήθηκαν τεχνικέτ; που ανταποκρίνονταν στο επι πρόβλημα. Η μεγάλη επιτυχία του Ολοκληρωτικού Λογισμού ήταν ότι

!,,"'"'JVL''-,

αντικατέστησε αυτές τις ειδικέξ διαδικασίες υπολογισμού του εμβαδού με μια

μέθοδο. Από τον παραπάνω ορισμό του εμβαδού του κυκλικού δίσκου οδηγηθήκαμεστην ιδέα να ε φαρμόσουμε κάτι ανάλογο για τον ορισμό και

τον

υπολογισμό του

εμβαδού

και

άλλων

χωρίων.

Για παράδειγμα, ας επιδιώξουμε να υπολο

γίσουμε το εμβαδό του παραβολικού χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά-

σταση της συνάρτησηξ χ=Ο, χ=

f(x) =χ

τις ευθείες _~~::::z..::::z..;""",;""",;""",...........;"""';"""'.....L--;. .

[0,1]

σε

και τον άξονα χ/χ (Σχ.3).

Χωρίζουμε το διάστημα

Σχ. 3

ίσα υποδιαστήματα

[0,+], [+ ,+], [+ ,+], [+,1]. Με βάσεις τα μήκη των υποδιαστημάτων αυτών και ύψη τις τιμέτ; της συνάρτη σηξ στα αριστερά άκρα τους κατασκευάζουμε ορθογώνια, όπως στο σχήμα 4α.

Τα ορθογώνια αυτά ορίζουν ένα πολύγωνο Π4, που περιέχεται στο χωρίο και έ χει εμβαδόν

ε4 = (0) 2 . _1- +(_1_)2._1_ +(~ \2._1_ +(_3_)2._1_ =_1_.( 12+22+32 ) 4

4 J

Με βάσεις τα μήκη των υποδιαστημάτων αυτών και ύψη τις τιμές της συνάρτη σης στα δεξιά άκρα των υποδιαστημάτων αυτών κατασκευάζουμε ορθογώνια,

όπως στο σχ. 4β. Τα ορθογώνια αυτά ορίζουν ένα πολύγωνο π 4 , που περιέχει το χωρίο και έχει εμβαδόν

Ε 4 = (_1 )2. _1 4

(~ )2 . ~ 4

(l )2 . .Ι, +(-±-)2. ~ = _1 . ( 12 + 22 + 32 + 42 \4 4 4 4 4 42

)

-1

-2

3 4

4 Σχ. 4 α

3 4

Σχ.4β

229

Γεν ικό τε ρ α , α ν χω ρ ίσ ου με το διά σ τ η μ α [Ο , Ι] σε ν ί σ α υποδιαστήματα

και κατασ κευάσο υμε τ α α ντίστοι χα πο λύγωνα π, (ΣΧο5α) και Π , (Σχ .δβ). Τα ε μβαδά εν, ε. των Π ,. , Π ,. αντιστοί χω ς είναι: 2 1 εν=(Ο)'-

1 + .. . + (_ ν __ Ι )2

1 + (2)2 + (1)2 ._ -

0 -

2 = _1_ ο( 1+ 2 + ... + (ν - Ι )2 ) = _1_ . ν(ν-Ι)(2ν-l) ν ν 6 ν3 2

.( 1+2

... +ν

ν(ν

)=+

1)(2ν

+ 1)

)

Υ Υ

-1

~=1

Σχ . 5 α

~ =1 v

Σχ .5 β

Επειδή

lim Υ-

+ 00

εν =

lim ν-

lim Ε ν = lim

Υ- +

v- + 00

ν(ν -1)(2ν

ν(ν+ 1)(2ν+

Ι)

και

ορίζουμε ως εμβαδόν του χωρίου το κοινό όριο των ακολουθιών εν και Εν' __

_ _ _ _ _ _

230

--~ .

. -

, ,,

•

Συμβολισμός Σ (σίγμα) Πριν προχωρήσουμε στη μελέτη μας θα υπενθυμίσουμε το σύμβολο Σ (σίγ

μ α) που ματ; επιτρέπει να γράφουμε με συντομία εκτεταμένα αθροίσματα. ν

Το άθροισμα α, + α, + ... + αν το συμβολίζουμε με Σ α, και διαβάζουμε « ά θΚ ==

ροισ μ α των αριθμών α .. από κ

έως κ

= ν».

Για το ίδιο άθροισμα μπορούμε

α κ ό μ η να γράφουμε ν

Σ α, ή

Σ α,

λc ι

μ== ι

Οι γνωστέ ς ιδιότητες των πεπερασμένων αθροισμάτων

ίi) (α ,

β l)+ (α.

+ β2) + ... + (α ν+ βν)=(α l + α2 + ... + αν) + (β l + β2+ .. . + βν)

με το παραπάνω σύμβολο γράφονται: ν

Ι)

Σ (λακ) = λ Σ α .. κ =Ι

ii)

Σ (α, + βκ) = Σ α, + Σ βκ

κ=Ι

κ = 1

Αν α l=α 2= ... =α ν=α, τότε Σ α=α+α + ... +α=ν·α. κ = Ι

7.2

Το ορισμένο ολοκλήρωμα

Είμαστε πλέον έτοιμοι να δώσουμε το θεωρητικό πρότυπο της μεθόδου που χ ρ η σι μο π οιή σ α με προηγουμένως για να ορίσουμε το εμβαδόν ενός χωρίου . ι

π ω ς θα δούμε παρακάτω μπορούμε να εφαρμόσουμετην ίδια μέθοδο για τον ορι σμό και άλλων μεγεθών, όπως π.χ. του έργου μιας δύναμης, του όγκου ενός στερεού Κ.Τ.λ.

Έστω το κλειστό διάστημα [α,β]. Ονομάζουμεδιαμέριση του διαστήματος [α.β]

κ άθε πεπερασμένο σύνολο σημείων Ι χο , Χι,···, κ, ] του [α,β], για το οποίο ι σχύουν α = κ, < Χ ι < ... < Χ ν _ ι < Χ ν = β και τη συμβολίζουμε Με τη διαμέριση Ρ, έχου με χωρίσει το διάστημα [α,β] σε ν υποδιαστήματα

Στη μελέτη που ακο λουθεί θα χρησιμοποιούμε διαμερίσεις Ρ, με ισομήκη υπο διαστήματα, για τα οποία ισχύει

Δχ=χκ-χκ _ ι

β-α ν

Κ=

1,2, ... ,ν. 23 1

Έστω μια συνάρτηση Γ συνεχή ς στο διάστημα [α.β] και μια διαμέριση Ρ,: α=Χο< Χ I<

... <Χν _ I<Χν=β .

Σε κάθε υποδιάστημα δ , του [α.β] υπάρχουν

δύο σημεία ε, και μ, στα οποία η Γ παίρνει την ελάχιστη τιμή της [(εκ) (Σχ.Ι α) και τη μέγιστη τιμή της [(μ,) (Σχ .Ι β). Υ

Σχ. 1 ο

Σ χ. 1 β

Ονομάζουμε

•

ανώτερο άθροισμα της [στο διάστημα [α,β] για τη διαμέριση Ρ, το ά θ ροισμα

•

κατώτερο άθροισμα της [στο διάστημα [α.β] για τη διαμέριση Ρ, το άθροισμα

K= l

S. = [(ε ι) . Δκ + [(ει) . Δχ + ... + [(εν) . Δχ = Σ f(ε,)' Δκ Με τον τρόπο αυτό ορίζουμε δύο ακολουθίετ; πραγματικών αριθμών,

την ακολουθία των κατωτέρων αθροισμάτων (ε.) , νε Ν", και

την ακολουθία των ανωτέρων αθροισμάτων (S y), νε ΙΝ * ,

για τις οποίες ισχύει Sν::SS ν, ν=I,2, ... , αφού για κάθε κ=1,2, ... ,ν είναι [(ε,)

. Δχ::::: [(μ ,) . Δκ

Ισχύει η επόμενη πρόταση, της οποίας η απόδειξη παραλείπεται

Πρόταση

Αν η συνάρτηση Γ είναι σ\J:ΥεΧ!Ί g' στο [α.β], τότε οι ακολουθίετ; (ε.) και

(Sy)

συγκλίνουν στον ίδιο πραγματικό αριθμό 1, δηλαδή ισχύει:

lim Sy= lim ν-

+ 00

v- +

ε,

= 1(1)

( Ι ) Αποδει κνύεται ότι η . τρόταση ισχύει και για κάθε άλλη ακολουθία διαμερίσεωντου [α ,β] στις ο ποίες τα υποδιαστήματα δ, δεν είν αι ισομήκη, αρκεί το μέγιστο από τα μήκη Δκ, να έχει όριο το μηδέν, ό ταν το ν τείνει στο

232

+ 000

Η πρόταση ισχύει και για ορισμένες συναρτήσει; που δεν είναι συνεχείς. Εμείς όμως θα περιοριστούμε στη μελέτη μόνο συνεχών συναρτήσεων. Παρατηρείστε την ομοιότητα των παραπάνω με τα αναφερόμενα στα εγγεγραμ μένα και περιγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα (L1-~

υνομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της

θιών

στο [α,β) το κοινό όριο των ακολου

(Sv) και (ε.), το συμβολίζουμε

J: και διαβάζουμε «ολοκλήρωμα της

Επίσης λέμε ότι η συνάρτηση

f(x)dx από α εως β».

είναι ολοκληρώσιμη στο [α.β].

Τα α και β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης.

Το σύμβολο της ολοκλήρωσης Leibniz

το

χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον

είναι ότι:

1675.

ι Αμεση συνέπεια της πρότασης

Κάθε συνάρτηση

συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] είναι ολοκληρώσιμη σε αυτό .

•β

•

Το ολοκλήρωμα Ιf(Χ)dΧ είναι ένας πραγματικό; αριθμός, που εξαρτάται μόνο από τη συνάρτηση

f και το

διάστημα [α.β]. Για το λόγο αυτό τα ολοκληρώματα

(β f(x)dx και rβf(t)dt παριστάνουν τον ίδιο αριθμό.

~α •

Jα

Το ολοκλήρωμα !:f(X)dX, όπως ορίστηκε, προϋποθέτει, ότι α<β. Επεκτείνουμε ΤΟΥ ορισμό του ολοκληρώματος και στην περίπτωση που α ~ β ως εξής:

Αν α=β, τότε

[f(X)dX=O. [β

Αν α> β, τότε Ι f(x)dx •α

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι = !~ x

ια

= -Ι f(x)dx . •β

2d.x.

Λύση Στην εισαγωγή έχουμε ασχοληθεί με την υπολογισμό του εμβαδού του αντίστοι χου παραβολικού χωρίου.

Τα εμβαδά εν του εσωτερικού και Εν του εξωτερικού πολυγώνου δεν είναι τίπο τε άλλο παρά το κατώτερο άθροισμα ε, και το ανώτερο άθροισμα

νάρτηση

f(x)=x

στο διάστημα

για τη συ-

[0,1].

Επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι

jοlx

2dx

= _1_ .

• Έστω μια συνάρτηση

ορισμένη στο [α,β], μια διαμέριση

α=ΧΟ<ΧΙ<"'<Χν-ι<Χν=β με Δχ=χκ-χ κ _ ι=

β-α ν

κ=1,2 ... ν

και ξι,ξ2, ... .ξ, οποιαδήποτε σημεία του [α,β], με χκ-ι::;ξκ::;χ" Κ=

1,2, ... ,ν.

" Xv-1

Χο=α

Ονομάζουμε άθροισμα

Riemann

της

στο [α,β] το άθροισμα ν

R" = [(ξι) . Δκ + [(ξ2) . Δχ + ... + [(ξν) ..Δκ = Σ [(ξκ)Δχ κ

Το σύνολο [ ξι,ξ2, ... .ξ,

(Σχ.2)

·,·1

j, με Χ κ Ι ::;ξκ:5Χ" κ = l,,2... ,ν, ονομάζεται σύνολο ενδιά

μέσων σημείων της διαμέρισης Ρ". Για μ ια συνάρτηση

που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] προφανώς ισχύου

~. Υ

οπότε έχουμε ν

Σf(ε κ)Δ Χ:5 Σ [(ξκ)ΔΧ:5 Σ [(μ,,)Δχ κ=1

κ:

= J

δηλαδή

234

-\ Γ

κ=1,2, .. . , ν

Από τις τελευταίες ανισότητες και την πρόταση

Πρόταση

προκύπτει ότι:

Για μια συνάρτηση

που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] ισχύει:

y~~", R

l:f(X)dX

Λόγω της πρότασης

(2) το ορισμένο ολοκλήρωμα της f Riemann της f στο διάστημα [α,β].

και ολοκλήρωμα

από α έως β ονομάζεται

Από τα προηγούμενα γίνεται φανερό ότι για μια συνεχή συνάρτηση

το

lim ε, = lim ν-

ν-

Σ [(ξ κ)ΔΧ Ι(

είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ξι, ξι, .. . ,ξν της διαμέρισης Ρι. Για το λόγο αυτό μπορούμε να επιλέγουμε ως ξ κ τα άκρα των υποδιαστημάτων [ Χ, -- ι ,

Έτσι αν π.χ. επιλέξουμε ως ξ ; τα δεξιά άκρα, έχουμε

xKJ.

ξκ = α + κ β - α , κ = 1, 2, ... , Υ, οπότε ν

ί:f(Χ)dΧ= ν~~",[β~α .

t [(α+Kβ~α)]

(1)

Ανάλογοι; τύ πο ς ισ χύει στην περίπτωση που ε π ιλέγ ου με τα αριστερά άκρα των υπ ο δ ι α σ τ η μά των.

ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ

Να αποδειχθεί ότι Ι:cdx = c · (β - α)

Απόδε ι ξ η

i) Α ν α

= β,

η ισό τητα είναι π ρο φα νής.

iί) Αν α < β, τότέ'επειδή η f(x) = c είναι συνεχή ς στο [α ,β], σύμφωνα με την πρό ταση

έχουμ ε

ι : cdx= j:f( X)dX= ν~~oo = c·

(β

[t [(ξκ) · ΔΧ]

ν~~oo [~~ α

α)

ίίί) Αν α ο β, τότε ι βCdΧ = ια

CdX=

)r β

- c(α- β) = c(β- α)

Ειδικότερα , αν c = Ο, τότε ~β Odx = Ο.

c] =

}!~oo [β~ α

. vc] =

Να αποδειχθεί ότι

α2

xdx=-L- - - -

i) Αν α = β η ισότητα είναι προφανής. Ιί) Αν α

< β,

τότε επειδή η συνάρτηση

με τον τύπο

xdx = lim

ν-+α>

lim V--ι-Q:)

lim

ν- + α>

f(x) =

χ είναι συνεχής στο [α ,β], σύμφωνα

έχουμε:

(1)

[β - α . Σ f (α + κ β - α )] = ν

'01

lim

Υ-·+α>

[β-α ·(Σ α+β-α . Σ κ)) ν

K=l

[~- α . Σ (α + κ β - α )] = ν

K~I

1\=1

[β-~ .(να+~ .ν(ν+Ι»)]=(β_α)α+(β-α)2 ν

=.l?-~ _~ 2 2

• • • α" [ 2 dX=-3-· 3. Να αποδειχθεί οτι: Jox , aER.

Ι) Αν α = Ο η ισότητα είναι προφανήξ.

ii) Αν α>Ο, τότε επειδή η συνάρτηση f(x) με τον τύπο

(1)

oc-::

χ είναι συνεχήξ στο [Ο,α], σύμφωνα

έχουμε:

2 11:\ZdX = lim [Q. . t f (K'~. )1 = lim [Q: . Σ κ • α\;: ) = 1/0 \,~+ω ν Κ=] ν J ν-+,,-,Ιν _"

ΟΙ l) .Σ'" Κ'Ι= J

.. Γα] = ιυτι ν-ο τ οο ν

~ α

Ηί) Αν α <ο , τότε

236

\ x~dx =

ιΌ

•

[α]

ν{ν+ 1)(2ν-"- 1)

11m [~ ... -\.-----~._,-ν-ο ~ οο v 6

ι" Ο

'.• ,

i x 2dx

1=α-' .

Εφαρμόζουμε για το ολοκλήρωμα r\2dx= lim

)α

ν-+ '"

J:2dX

τον τύπο (1) και ανάλογα έχουμε

[-α,Ε f(a_K~)]=_a3 ν K ~' ν 3

Επομένως

7.3 Η έννοια του εμβαδού επιπέδου χωρίου Η μέθοδος της εξάντλησης, ό

πως αυτή εφαρμόστηκε στην εισα γωγή για τον υπολογισμό του εμβα

δού παραβολικού χωρίου μπορεί με τη βοήθεια του ορισμένου ολοκλη ρώματος να

χρησιμοποιηθεί για

τον ορισμό του εμβαδού του χω ρ ίου (Α) , που περικλείεται από τη γραφική παράστ αση μιας συνεχούς συνάρτηση; χ

=β

και

τι ς ευθείες χ

τ ον

ά ξονα

χ ' Χ.

= α,

(Σχ . Ι

γραμμοσκιασμένο χωρ ίο).

Χν - 1 x~

=β

Σχ. 1

Σημεί ω ση

Ό τ αν υπ ολογίζου με τα εμ βαδά τέτοιω ν χωρίων , οι διαιρέσει τ; των α ξόνω ν ε κ φράζου ν μ ή κ ο ς .

γ π οθέ του με ό τι γ ι α κ ά θε χ Ε [ α , β] ισ χύει π ερίπτ ωσ η που δ εν ισχύει Σ ε κά θ ε δια μέ ρ ισ η

f(x) 2:0,

α = χο < χ , <

f(x) 2: Ο .

Τ ο εμβαδ όν του χωρίου Α στ η ν

θ α μ ε λε τη θεί αργότερ α. <χ ,, = β το υ [α.β] μπορο ύμε να αντιστοι χί

...

σ ουμ ε, όπως κάναμε κ αι για τη συνάρτηση χ , τ ο εσωτερικό πολύγωνο π" και 2

τ ο ε ξωτερι κό π ολύγω νο Π " ( Σ χ . l) .

Το π , α ποτελείτ αι απ ό τα ορθο γώνια μ ε βάσεις Δ κ

= ΧΚ

Χ Κ - Ι και ύψη f(ε κ ) '

Επομ έν ω ς το εμ βαδ ό ν το υ ε ί ν αι

δ η λ αδή το κ ατώτ ερο ά θ ρ οι σ μ α τ ης

σ τ ο [α, β) γ ι α τη δ ιαμέ ριση Ρ ,..

Αν ά λ ογ α, το ε μβ αδόν το υ Π ,_ εί ναι

S.. = [ίμ ι )Δ χ δη λα δ ή το α νώτ ερο άθ ρο ισμα τ η ;

+ Γ(μ ~)Δx + ... + [( μ ,.)ΔΧ \ f

Ο Τ Ο [α .β] γι α τ η διαμ έριση Ρ , .

Επειδή η συνάρτηση

ως συνεχής, είναι ολοκληρώσιμη στο [α,β] υπάρχουν τα

όρια

lim +

ντ-

ε,

και

lim Sv ν-

και είναι ίσα με το ολοκλήρωμα

ι: f(x)dx. Ορίζουμε ως εμβαδόν του χωρίου Α το κοινό όριο των ακολουθιών (5,) και

(Sv),

δηλαδή το ορισμένο ολοκλήρωμα ι: f(x)dx. Π ΑΡΑΔΕΙΓ Μ ΑΤΑ: Να υπολογιστούν τα εμβαδά Ε(Α) και Ε(Β) των χωρίων Α και Β (Σχ.2 και

3).

ο Σχ.2

Σχ. 3

Λύση Ι) Επειδή

c >0

και η

f(x) = c

είνα ι συνεχής στο [α.β] έχουμε

Ε(Α) = J: cdx = c(β - α), που συμφωνεί με το γνωστό τύπο του εμβαδού ορθογωνίου. ίί)Ανάλογα η συνάρτηση Ε(Β)=

f(x)=x

είναι συνεχής και θετική στο [α.β], οπότε έχουμε

1 xdx=α 2

(β2_ α2)=_ (β-α)(β+α),

που συμφωνεί με το γνωστό τύπο του εμβαδού τραπεζίου.

238

7.4

Ιδιότητες του ολοκληρώματος

Στο τρίτο κεφάλαιο έχουμε αποδείξει ότι αν οι συναρτήσεις

f .g

είναι συνεχείς

στο διάστημ α [α .β] , τ ότε και οι συναρτήσεις

f± g.

λ · f (λεJR).

[ν. J:.

If\. [ . g.

(g(x):;t:O,

χε [α.β]) και \fΓ (f(x)~O. χε [α,β])

είναι συ νε χ εί ς στο [α .β].

Επομένως είναι ολοκληρώσιμες στο [α.β ]. Ειδικότερα ισχύουν οι ε πόμενες ιδιότητες που διευκολύνουν το ν υπολογισμό ολοκ ληρωμ ά τ ων .

•

Γραμμικότητα του ολοκληρώματος

Πρόταση Αν

f.g

είναι σ υνεχείς στο [α.β] και λ. μ ε IR , τότε ισ χύουν

ί) Ι:(λ' f(x) + μ . g(X))dx = λ J:f(X)dX + μ Ι:g(x)dx .β

jαλ . f (x)dx = λ

ii)

Ιβ

α f(x)dx

Από δ ε ι ξ η

ί) Αν Ρ ν είναι μ ια δια μέριση του [α . β] και [ ξl ,ξ2 .... . ξ, ] είναι ένα σύνολο εν δ ιά μ εσ ων ση μείων της, τότε α πό τις ισό τητες (λ ·

f + μ . g)(ξ,) =

. f(ξ ,) + μ . g(ξ ,).

κ=

1.2•...' ν

παίρνουμε

= λ Σ Γ(ξ,)ΔΧ

θροισμάτων

(1)

f,g

(1)

" '-" Ι

K o:: j

Ε πειδή ο ι συνα ρτή σ εις

+ μ Σ g(ξ ,)Δχ

είν αι ολοκληρ ώ σιμ ες υπάρχο υ ν τ α ό ρ ια τ ων α

και ισχύει

που σύ μ φωνα με την πρό τ α σ η

τη ς π α ρα γρ . ϊ. 2 σ ημαίνε ι ό τι

lβ [λ' f(x )+ μ . g(x) ]dx = λ ί

,α

ii)Πρ ο κ ύ πτ ει από τ ην

f(x)dx+

(i)

για μ = Ο .

μr

Ια

g(x) d x

• 239

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜ ΑΤΑ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

Ι)

ίί)

j:(2X-7)dX, 3

ίίί)

j:(X2-SX+2)dX,

,' 3

(3χ - 2ημχ + 3)dx + \ (2ημχ + 2x)dx

,\ \

, \

Λ ύ ση Σύμφωνα με την πρόταση

l(i)

και τα παραδείγματα της παραγρ.

3(2x-7)dx=2 \3 xdx-7 \3 dx=2'-32_12 \ \ Ι 2 \

Ι)

7.2

έχουμε

-7'(3-1)=8-14=-6

23 22 10 =- -5'- +2 ·2=-3 2 3

ίίί) \ >χ - 2ημχ + 3)dx + 1:(2ημχ + 2x)dx = 1>χ - 2ημχ + 3 + Ζημκ + 2x)dx = =

13 (5Χ + 3)dx = 5 [3xdx + 3 [3 dx = 5 ,32ι

Jι

12 + 3(3 - 1) = 26 .

Να προσδιοριστούν οι τιμές του β ώστε να ισχύουν οι ισότητες

2β

ίί)

-2xdx= -48.

J Λύση Σύμφωνα με την πρόταση l(ίί) και τα παραδείγματα της παραγρ.

ί)

β , . 2X"dx=72 ο

\β 2 x 2dx=72

-2xdx= -48

ίί) β

240

\2β

-2

β 2= 16

ιβ

β' 2·- =72

xdx= -48

3 '-

β=Ν4 .

(2β) 2

-2[-2-

β=4 ή β= -4.

β2 J -2 = -48

7.2

έχουμι

Π ρόταση

Αν μια συνάρτηση

είναι συνεχής στο διάστημα Δ και α.β.γε Δ, τότε ισχύει

J:f(X)dx = E(X)dx + J:f(X)dx Η απόδειξη παραλείπεται.

ΠΑΡ ΑΔ ΕΙΓ ΜΑΤΑ

Να αποδειχθεί ότι

Απόδειξη

Σύ μ φωνα με την πρόταση

και το παράδειγμα

της παραγρ .

7.2

έχουμε

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 1= [2 (lxl+2!x-11)dx

J-1

Λύσ η Σύμφωνα με την πρόταση

1= r

ο . (ιΧ ! + 2 1Χ -

J-

= \ [, -Ι

Ο(

,- j

1!)dx +

έχουμε

Ι ι ( Ixl +21Χ -

,ο

I I)dx +

(2{ΙΧ Ι + 2 !Χ -

I I)dx =

x-2(x -1)]dx + \1[X-2(X-l)]dX+ \2[X+2(X -l)]dX= ,ο

3χ + 2)dx + \'1( - χ + 2)dx + \2 (3χ ,ο

2)dx =

- 3. 02- ( _1) 2 + 2[0 _ ( _ 1)] _ 12- 02 + 2(1_0)+3. 22- 12 -2(2-1 )=l..? 2 ' 2 2 2

241

Μονοτονία του ολοκληρώματος

•

Πρόταση 3

,/ ~ Για δύο σ υναρτήσ εις f ,g σ υνεχείς στο διάστημα [α , β ] ισχύουν : .1\,.";)

,Ι .

Αν για κάθε χΕ[α,β] είναι

iί) Αν για κάθε χ ε[α,β] είναι

f(x) '"

Ο, τότε

f(x)dx;.,

τότε

f(x) :::;g(X) ,

Ia f(X)d X:::;

Iσg(X )dX .

Από δειξ η ί) Γι α κά θε διαμ έ ριση, Ρ" του [ α. β] και κ ά θε σ ύν ο λο ενδ ιά με σων σημ είω ν τ ητ

Ι ξι, ξ2, .. . ,ξ" J είναι Δx~ O και [(ξ,)~O, Κ = 1,2, .. . .ν. ' Ετσι έχουμε Σ [(ξ,)Δx ~O , ο πό τε και

iί ) Ε πει δή

ο :::;

g (x) -- f(x) ~ Ο, α πό τ η ν (ί) π ρο κύπ τ ει

[g (X) - f( x)]dx =

Ι"

j.β g(x)dx "

ι β f(x )dx

lβ

,α

ίίί) Ε πειδή για κ άθε χ ε [ α ,β ) ισχύουν οι α νισότητες

και οι συνα ρτήσεις

έ χ ο υμε

που σημα ίνει ότι

242

f(x)

(Ρ

Ι f( x)d x :::; α g(x)dx

- ι f(x) Ι:::; f(x):::; Ι f(x ) Ι

και Ι f(x) Ι είναι ολοκλη ρώσιμεξ, σύμ φωνα με την (ίί)

Παρατ~ρηση

Πολλές φορές εμφανίζονται ολοκληρώματα της μορφής Στην περίπτωση αυτή οι ανισότητες της πρότασης

Πράγματι για το ολοκλήρωμα J ~XdX δεν ισχύει η 1

J~XdX

= 1-+ =+

(3)

(iii),

X2 r f (X)dX JXI

όπου χι >Χ2.

δεν ισχύουν.

αφού

και J~IXldX= - I:XdX= - +

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Να αποδειχθούν οι ανισότητες

ί)

( 1 (X 1 _

J -2

3χ + 2)dx ~ Ο

Απόδειξη

Ι ) Επειδή χ

- 3χ + 2 = (Χ - l)(x - 2), έπεται ότι για κάθε χε [ - 2,1] ισχύει

x2 - 3x+2 ~ O, οπότε και (Ι (x 2-3x+2)dx~O. J-

ίi)Eπειδή

ισχύει χ

x 2+ 2 :=:; 2x 2 + 1 2

<= x2~1

I x l ~ l , έπεται ότι για κάθε χ ε[1,3]

+ 2::5 LX 2 + 1, οπότε σύμφωνα με την πρόταση 3Οί) έχουμε

(3(χ 2 + 2)dX::5 (3 (2χ 2 + l)dx.

Jι

. Jι

Να αποδειχθούν οι ανισότητες π /2

ίί) ο

Απόδειξη

i)Επειδή για κάθε χε [ Ο, π ) ισχύει l χ 2 σ υνχ Ι :5χ 2 , από τις ανισότητες (ίί) και (ίίί) της πρότασης

(3)

έχουμε

243

iί)Eπειδή για κάθε χ ε[ο, ~

]

ισχύει 1 +~μ 2x ~+ από την πρόταση 3(ίί)

έχουμε 1t12

1t12

-0)=:

+dX=+.(~ ο

• Θεώρημα μέση ς/ τιμής το υ ολ οκλ ηρωτικο ύ λο γισμο ύ Με τη βοήθεια της πρότασης

(3)

μπορούμε τώρα να αποδείξουμε το επόμενο

θεώρημα, που είναι γνωστό ως θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού.

Θεώρημα Αν μια συνάρτηση

ί) Υπάρχουν m, ii)

είναι συνεχής στο [α,β], τότε:

τέτοια, ώστε m(β-α)$ 1>(Χ)dΧ$Μ(β-α).

M EIR

Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε[α,β] τέτοιο, ώστε

.β

Ι f(x)dx = [(ξ)(β - α),

Απόδειξη ί) Αν

m ,M

είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή τη ς

για κάθε χ ε[α ,β ] ισχύο υν

Επ ομένως σύμφωνα μ ε ' τ η ν πρόταση

r β mdX::5 \' β f(x)dX::5 \' β Mdx

ια

ίί) Επε ιδή α

<β

f στο

διάστημα [α ,β], τότε

m$ f(x)$M.

. (1

έ χο υ με

ή m(β - α) $ rβ f(x)dX::5 Μ(β - α) Ja

η (ί ) γ ρ άφετ αι

rβ

β-α

m ::5 - - J f(x)dx$M , Ι

,' JJ

• Α ν nl = i\' , τ ό τ ε -- ι Γ( χ ) d χ = Γ( Χ , ) = Γ( χ ,, ) (όπου Γ( χ,) = ω και f(x,, ) = 1'\'1) β .- α

•

Αν

m :;t: I\'l ,

β Ι .. - α

244

.. ο.

τ ότε επ ει δή η σ υνά ρτη ση Γ είναι σ υνεχήτ; σ το [α , β ] κ αι ο αριθμ ό ;

τιμή ε της Ι', \ Γ(Χ)dΧ βρίσ κεται μεταξύ τη ; ελάχιστη; και μέγισ τη;

, α

σ ύ μ φωνα μ ε το θεώρημα τη ς ενδ ιάμεση ; τιμή ς (§

3.4);

υπάρχει ξ ε[α,β ] τέτοιο ,

ώστε

(β

[(ξ)

= -1-.

Γεωμετρική

β- α

ία

] α f(x)ΆX

f(x)dx

= [(ξ)(β -

•

α)

ερμηνεία

Έσ τω η σ υνε χή ς σ υ ν άρτηση

γι α την οπο ί α ισ χ ύ ει [(x ) ~O , γι α κά θε χ ε [ α, β) .

Είναι γνωστό ότι το ολοκλήρωμα ορίζει η γραφική παράσταση της

r:f(X)dX f,

εκφράζει το εμ,βαδόν του χωρίου που

οι ευθείες Χ

= α, χ = β

και ο άξονας χ ' Χ.

= f( X) Γ

Ι Ι

ΑΙ

ΟΙ ι

Ι β

t--------

β - Q

- - - - - - -t

Σ το παραπ ά νω σχήμ α το εμ β α δ ό ν τ ω ν μπλε χω ρ ίω ν ε ίν αι ί σο μ ε το ε μ β α δ ό ν

' 11

τ ων κόκκ ινων χωρίων . Αυτό είν αι φανερό αφού το εμ β α δόν \ fΊΛ)dχ είναι ~ (J

ίσ ο μ ε το ε μ β α δ ό ν Γ(ξ} ( β

- α) το υ ορ θογω ν ίου ΑΒ ΓΔ .

ΠΑΡΑΔΕΙ Γ Μ ΑΤΑ:

Να αποδειχθούν οι ανισότητες

ί)

2+X-l)dX:51

-1:5 1:(X

Απόδ ειξη

ί)

Η σ υνά ρ τηση f(x) =x :+x- l είναι γνη σ ίω ς α ύ ξο υσ α στο [0,1] , αφού

f ' (x) = 2x +l> O. ή - 1 :5 f(X) :5 1, - 1' (1-0):5

Επ ο μένως

για

κ άθε

χε [Ο , I]

ισ χύουν

f(O):5 f(x) :5f(1)

ο πότε από το θεώ ρη μ α μ έση ς τιμή ς έχουμε

l' l(χ: + χ -1 )dx:5] . (1 -0) ή , ο

-1:5 \ I(X 2 + X- l )dX:5 1 ,ο

ίi) Η συνάρτηση

f(x) = e - χ είναι γνη σ ίω ς φθίνουσα στο συνεχή ς και για κάθε χ> Ο ισ χύει [ Ι(χ) = _2xe - x2 <ο .

+ 00),

[Ο,

αφού είνο

Επομένως γι α κάθε χε [ Ο, Ι] ισχύει

οπότε

e -I::;e - / ::;eo,

e -I(l-O) ::;

Ιe -}dΧ ::; Ι (l - Ο) ή ~ - I ::; f~e - x2dX::; 1

Ι ι

Α Ι Ομάδα

Ι Ά 1.

Αν μ ια συνά ρτηση Γ είναι συνεχής στο δ ιάστημα

[ - 1,1]

και (ε .),

ακ ολουθίες των κατωτέρ ων και α νωτ έρω ν αθροισμά των τη ς

(Sv) είν αι

οι

αντιστοίχω ς, να

εξετάσετ ε αν είναι δ υνατ όν να ισχύου ν οι ισότη τ ες

ί)

lim

v- +

οσ

8v =

ίί)

8, lim Sy=4 ν-

+ 00

lim ν-

α::

ε,

= lim Υ-

+ 00

Sy = 6

και

Sv= 2ν + 7; + 2 2

5ν·

Με βάση τον ο ρισμ ό τ ου ο ρι σ μένου ο λοκ ληρ ώ ματο ς κατ ά γίσετε τα ο λοκληρ ώμα τα,

[c2X + 3)dx

Μ ε βάση τι ς ι δ ιότ ητεξ ν α υ π ολογί σετε τα ολοκ ληρώμ α τ α

ί) 1:(5X+4)dX

iίί) 1~IX - 2IdX Υ

Ν α υ πο λογ ίσετε το ε μ β αδόν του χω ρίου π ου π ε ρι κ λείετ αι α π ό τη γ ρ α φι κ ή παράσ τ αση τη ς σ υ νάρτηση ς

f(x) = Χ 2 - 4χ + 5, τις ευθείες Χ = 1, χ = 4 και τ ο ν άξ ονα Χ Ι Χ .

246

Riemann , να

υ πολ ο

~. Να αποδείξετε ότι

2 5 J 1 \+ dx+2 - , - dx= 2 +3 3 χ" + 3

1J. χ

Ν α α ποδείξ ετε ό τι

1 ί1\I - )

=:;

ί e- 1 dx=:; e -l ι

Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει [f(X)dX = Ο με α < β, να αποδείξετε ότι υ πάρχει ξε[α, β ] τ έτοιο, ώ στε f( ξ)

= Ο.

~ Αν για κάθε χε[α,β] ισχύει f(x»O και η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι

f(x)dx >

Β ' Ομάδα

Με βά ση τον ορι σμό του ορισμ ένου ο λοκληρώ μα τος κατά

ξετε ότι \

Riemann , να

α π ο δ εί-

l :e Xdx =e P--e a.

Αν Ο < α< β , να αποδείξετε ότι

Να αποδείξετε ότι

I l Π(χ 2ημχ - συν-Ι_ )dΧ ,=:;~ +π

, ο

χ+

ίi)

=:;

[5 ,{-; :': -Τ dx =:; {6

)2~ Χ + 1

\S.

Αν

"" . να

2+ f(X) = [- X 2X+ 3, χ<2 -x+S , χ;::2 β ρείτε το εμβ αδόν του χω -

ρ ίου π ο υ περ ικ λείεται από τη γρ α φική παρ άστ αση τ η ς ΙΌ τις

ευθείες χ ξ ο να

= \ \.

Ι , χ

και τον ά

-,--'.J 247

\ . Αν f(x) =

i) f(t)<

1 , 1 +χ 2

να απσ

για κάθε

Να αποδείξετε δη

δ ει'ξ ετε στι .

lim

tE[x ,x + 1],

χ>Ο

ίi)

1im ( χ-- + 00

Χ+

f(t)dt) =

[~ Jr(V't + ημt)dt] = ο ο

χ-- + c» χ

7.5

Αρχική συνάρτηση· Αόριστο Ολοκλήρωμα

Αρχική συνάιππσπ

•

Πολλές φορές στην πράξη εμφανίζονται προβ λήματα η λύση των οποίων α παιτεί πορεία, κατά κάποιο τρόπο , αντίστροφη της παραγώγισηξ. Για παράδειγ μα, αν λ ά β ει κανείς υπόψη τριβή, βάρος , καύσιμα κ.λπ., τότε η ταχύτητα υ(ι)

ενός κινητού είναι δυνατόν να υπολογιστεί πειραματικά , οπότε τίθεται το ε ρώτημα:

Ποια είναι η θέση

S(t)

του κινητού κατά τη χρονική στιγμή ι;

Στα Μαθηματικά αυτό σημαίνει να προσδιορίσουμε τη συνάρ τηση

S(t) για

την

οποία να ισχύει

. S ' (t) =

υϊι)

Οδηγηθήκαμε λοιπόν στο εξής θεμελιώδες πρόβλημα της Ανάλυσης: Δίνεται μια συνάρτηση

ορισμένη στο διάστημα Δ και ζητείται μια συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο Δ τέτοια, ώστε για κάθε χ εΔ να ισχύει

F' (Χ) = f(x) Η ζη τ ο ύ μ ενη συνάρτηση F ονομά ζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα συνάρ

τηση ή και αντιπαράγωγος της

στο διάστημα Δ.

Από τον τρόπο που ορίστηκε η αρχική συνάρτηση εύκολα διαπιστώνουμε ότι:

Πρόταση Αν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση

της

σε ένα διάστημα Δ , τότε υπ άρ

χουν άπειρε ς και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις τη ς μορφή ς και μόνον αυτές .

241\

F + c, c E IR,

Απόδει ξ η

•

Αν

F είναι

μια αρχική συνάρτηση της

F+c

•

είναι μια αρχική συνάρτηση τη ς f, αφού (F(x)+c) ' = F' (x) = f(x). Αν G είναι μια άλλη αρχική συνάρτηση τη ς f στο Δ, τότε για κάθε

χε Δ

στο Δ, τότε για κάθε

cEIR και

ισ χύο υν

F ' (χ) = f(x)

και

G ' (Χ) = f(x),

οπότε

G' (Χ) = F' (χ) Αυτό όμως σημαίνει, ότι υπάρχει μια σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε κ ε Δ να ισχύει

G(x) = F(x) + c

Παρα τήρηση Επισημαίνουμε ότι κάθε συνάρτηση δεν έχει απαραίτητα μια αρχική,

π.χ,

ηf(Χ)=[Ο' χ::::;Ο 1,

χ>Ο

δεν έχει αρχική συνάρτηση .

Με τη βοήθεια του πίνακα των παραγώγων, που έχουμε παραθέσει στο

Κε

φάλαιο , μπορούμε να βρούμε αρχικέι; συναρτήσεις μεγάλου αριθμού συναρτήσε ων. Για παράδειγμα , από την ισότητα (ημκ)

, = συνκ, xEIR,

συμπεραίνουμε ότι μια αρχική της συνκ είναι η συνάρτηση ημκ.

Εξάλλου, ά μεση συνέπεια των κανόνων παραγωγιση; είναι και οι παρακά τω ιδιότητες που διευκολύνουν τον υπολογισμό αρχικών συναρτήσεων:

Αν

και

είναι αρχικέ ξ σ υ ναρτήσεις των

και

αντιστοίχως, τότε:

i) Η α ' F είναι αρχική συνάρτηση της α' f, iί) Η

F+ G

είναι αρχική συνάρτηση της

αεIR .

f + g.

249

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΡΧ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣ ΕΩ Ν Συνάρτ ηση Γ(χ )

Μια αρχι κ ή τη ς

F(x) = c,

f(x ) =

F(x)

Γ(χ) =χ ', ν ε ΙΝ*,

α ε IR

Γ(χ) = χ" ,

f( x)= -

c στα θ ερ ά

=Χ

x E IR,

I _. χ ,ο ! ι F( x) = _

\ !-

F(x) = _ I_

ν +Ι

Ι}, χ >Ο ,

χ < Ο ή χ> Ο

. x" +1

α + Ι

F(x) = ln \x l

ι*>

f (x ) = σ υ ν χ f( x) =

F(x)

ημ χ

συ ν χ

F(x) = -

f (x) = - συ ν»

f (x ) = -

= η μχ

F(x ) =

-2

εφκ

<*)

σφ χ

F(x) = -

1*1

ημ Χ

f(x ) = e

f(x) = α ',

(*) Η

250

F( x) = e' Ι

Ο<α*l

1= είν αι αρ χ ι κή σ υν ά ρ τη σ η τ η ;

F (Χ) =- 'α ' Ιnα

r σε

κ α τά λ λ ηλ ο δ ι ά σ τ η μ α κ άθε φ ο ρ ά .

ΠΑΡΑΔΕΙ ΓΜΑΤΑ

Να βρεθούν οι αρχικές συναρτήσεις των

ii) f(x)

= -L + συνκ, χ

Λύση

i) Μια αρχική συνάρτηση της χ 2 είναι η χ2

2 . Επομένως

και μια αρχική της χ είναι η χ3

μι α αρχική της

f είναι η F(x) = 3'"3 -

χ2

=χ -

χ2

2 ' ενω το

σύνο λο των αρχικών της είναι οι συναρτή σεις Χ

- - +C cEIR 2 '

ίί)Μια αρχική της ~ είναι η lnlxl και μια αρχική της συνκ είναι η ημκ , χ

Επομένως μια αρχική της

f είναι η F(x) = Ιιι \xl + ημκ , ενώ το σύνολο των αρχι

κώ ν της είναι

InJxl +ημχ+c ,

cE IR,

ίii)Η σ υνάρτηση f γ ρ άφετ αι f(x)= e ·e

χ<Ο

χ >Ο

x l12 • Μια αρχική της e' είναι η e X και

3 της χ

112

ειν αι η

-Χ 2 3 2

= -2 3

2 -2 ,+ι F (χ ) = e 'e , +τ Χ 2 =e

-22. Ε πομενως '

-2

+τΧ 2 ,

•

ενω

μι α αρχικη τη ς

το

•

σ υνο ο

των

f ειναι '

αρχικων της ειναι

c EIR

2. Από τις αρχικές συναρτήσεις της f(x) = Χ 1/ 3 να προσδιοριστεί εκείνη της οποίας η γραφική παράσταση περνά από το σημείο 0,2) . Λύση

Μια α ρχι κή συνάρτηση της f(x) = Χ 1/ 3 είναι η 1. χ . Ι3 και το σύνολο των αρχι 4

κών της είναι ~ χ. Ι3 + c,

c EIR. 251

Η ζη τού μενη αρχική σ υν άρ τηση

F(x) = -

π ο υ σημαίνει ότι

π ρ έ π ει να ι κα ν ο π ο ιεί τη ν

3 3 41J 4 ·1 +c = 2 ή "4 +c= 2

F(I) =2

J+-

5 C="4 '

Ν α βρεθούν όλες οι συναρτήσεις Υ = f(x) για τις οποίες ισχύει dd Y = 3 χ 2 - s.

Στη συνέχεια να προσδιοριστεί ε κ είν η , της οποίας η γ ρ αφ ι κή παράσ ταση δι έρ χεται από το σημείο Α( -1 ,3).

Οι συναρτήσεις Υ =

f(x) είναι

αρχικές τη ς 3χ 2

x J -5x+c, Η συ νάρτηση

f που η

Επομένως είναι οι συναρτήσεις

cE IR.

γ ρ α φική τη ς παράστασ η διέρ χεται απ ό το σημ είο Α(

πρέπ ει να ικανοποιεί την ισότητα

f( -1)=3 Επομένως είναι η

•

( - 1)J- 5( - 1)+c = 3

f(x) = x J -

c= -l .

5 χ - Ι.

Να βρεθεί μια αρχική των συναρτήσεων ηματ , συνακ και

(ημακ)

= συναχ

1 -

προκ ύπτει ό τι μια αρ χική τ ης σ υν α κ είναι η

lL '

(a:;t:O).

(~ ημαχ) ' = συνακ,

η μα κ.

Ομοίως από την ισότητα

(συνακ) " = -αημαχ ή (-~ συναχ) ' =ημαχ προκ ύπτει ότι μια αρχική της

•

Από την ισ ότητα

(ημακ) ι = ασυναχ

•

ημα κ

είναι η

-α

Από την ισότητα

(ε '") ι

αε'"

προκ ύπ τ ει ότι μ ι α α ρ χι κή τη ς

252

(~eax)

e ax είναι

eILX, -1 e αχ . α

συναχ.

- 1,3),

• Αόριστο Ολ οκλ ήρωμα Ονο μ άζου με αόριστο ολοκλήρωμα της

στο διάστη μα Δ το σύνολο των αρ χικών

ναρτήσεών της και το συμβολίζουμε Jf(x)dx, δηλαδή

1f(x)dx = F(x) + ο, C ε IR

(1)

Π ρ οφ α νώ ς ισχύει

f ' (x)dx

~ f(x) Η, <Ε 1R

τo_.σύμβO~Ι στις τελευταίεξ ισότητες δεν σημαίνει απαραίτητα ολοκλήρωση , αφ ο ύ υπά ρχουν σ υναρτήσει ς που έχου ν.Q,Ρ Χl1ς ές .ςυ,ιγα ρ τή σει ς χωρίς να είνα ι ο λο

~λή'Ρώσιμες, . ' Οπως θα δούμε στηνεπόμενη παράγραφο , -στηv 'πεpίπτη)(Ί~

η συνάρτηση

είναι σ υνεχής στο Δ, τότε οι αρχικές της δίνονται με τη βοήθεια

τ ο υ ορισμ ένο υ ο λο κληρώμ ατ ο ς .

Τα α όριστ α ο λοκλη ρ ώματα των σ υ να ρτήσεων του παραδείγματος

J(+ + συνΧ)dΧ= lιι (χ l + ημχ+ c, J (eX+ I+ ΝX)dX= ex +I+ 1- x~ + c,

cEIR,

(1) ε ίν αι:

χ >Ο ή χ <Ο.

cE IR

Πρ ακτική οδηγία Η ισό τη τ α

( 1) μπορ εί ν α ελέγχετ αι

με παραγώγιση , όπω ς φαίνετ αι στο παράδειγμα:

253

Γ-Ι

Α' Ομάδα

Να βρείτε τις αρχικέξ συναρτήσεις των ί) f(x) = 2χ 2+ 5χ + 4

ίί) f(x) = χ..;;.

ίν )

f ι

i ,

f(x) = Ζημ κ -

ν) f(x) = χ + 5χ + 3

3σ υνχ

ί)

νι

ημ 3 χ2- 2

f( χ ) -_

Να βρείτ ε τη σ υνάρτηση

αν

ί) f'(χ) = η μχ+ 2συνχ και f(~ )=6 ίίί) 3.

f "(x) =6x+2, f(1)=5

ίί)

και

f ' (x) = e' - e - '

f(O) = 4

και f(2)=7 ίν) Γ" (χ) = __1_, , χ > Ο, Γ ' (e) = Ο και Γ(l χ -

Να βρείτ ε τι ς αρχικές συναρτήσ εις των

ί) f(Χ)=2ημ(5Χ +~ ) 4.

χ ε (Ο, π)

ημ Χ

ίί)

f(x) = 2e 3' + ι

ίίί) f(x) = _2_

3 χ +6

Να βρείτ ε τα ο λοκ ληρώματ α

ίί) 1 3χ2 -:Χ + 5 dx

ί) 1(3χ 2 - Χ + 4)dx

''') j .JX+ ι d 111

ν)

ίν) 1 (2- --h ) 2dx

j(e' + a uvx)dx

νί) j (2ημχ + συνκ + 3)dx

Β ' Ομ ά δ α

Να β ρ είτε τις αρχικές συναρτήσ εις τ ω ν ίί)

ίν)

254

f(x) = σ υν χ -

χη μχ

χ+2

f(x) = ----;=Ξ=:=;=:::=;;;_ .J x2 + 4χ + 7

ν) f(x) = Ι - ~ηx χ.

ίίί)

f(x) = xe' + e'

----- -

- -

χ+3

---------- -- -- -- -- -----

Να βρείτε τ α ολοκ ληρώματα

ίi) Ι

ί) Ι εφ2χdΧ, χ ε ( -~ ,~ )

-ι

χ- +6χ+5

"')Ι

111

Να βρείτε τη συνά ρτηση f αν για κάθε χ ε (Ο , + 00) ισ χύει

- --dx Ι 1+ e - X f' (x) · e f (X)=2x + Ι

και η γραφική της παράσταση στο σημείο Α( 1,f(l») έχει εφαπ τομένη με συντ ελε-

' δ ιευ' 8υνση ς -3 .

στη

Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f"(x) = 12x \

7.6

και η εφαπτο

μ ένη της γ ρ αφικής τη ς παράστ α σητ; στο ση μ είο τη ς Α(1 ,l ) έχει σ υντ ελεστή διεύ θυνσης

Η ύπαρξη μιας αρχικής συνεχούς συνάρτησης

Σε αντίθεση μ ε την εύρεση της π αραγώγου, υπάρχουν σχετικά πολύ λίγοι κα νόνες για να υπολογίσουμε γρήγορα μια αρχική . Εδώ θα παρουσιάσουμε έναν τ ρ ό π ο για να υπολογίζουμε μια αρχική συνεχούς συνάρτησης, ο οποίος μάλιστα

δίνει παραστατικά την εσωτερική σχέση που συνδέει την παράγωγο με το ορι σμένο ολοκλήρωμα ,

Για μια συνεχή συνάρτ ηση νάρτησ η

F :

στο διάστημα Δ, φραγμένο ή μη, ορίζουμε τη συ

με τύπο

F( x) = [f(t)dt,

χεΔ,

όπου α είναι ένα αυθαίρετο α λλά σταθερό σημείο του Δ. Για παράδειγμα, αν

f(x) = Χ, F(x)=

Δ x

Jα

= (-

00,

+ (0)

και

td t= - (χ 2 _α 2 ) ,

α ε Δ, τότ ε

χεΔ

Το επόμενο θεώρημα εξασφαλίζει αφενός την ύπαρξη μιας αρχικής συνάρτησητ; και αφετέρο υ μα ς δίνε ι τη δ υνατότητα υ π ο λ ο γι σ μ ο ύ της για κάθε συνεχή συ νάρτηση.

Θ εώρ η μ α

Αν η συνάρτηση

είναι συνεχή ς στο διάστημα Δ και α εΔ, τότε η συνάρτηση

F(x) = [ f (t)dt , ε ίναι μια αρχική συνάρτηση της

χε Δ,

στο Δ, δηλ .

F'(x)=f(x)

για κάθε χεΔ .

255

Η απόδειξη παρατίθεται στο παράρτημα. ι Αμεση συνέπεια του θεωρήματος

(1)

είναι:

dd ([f(t)dt) = f(x), x

χεΔ.

(1)

Στα προηγούμενα οι έννοιες ορισμένο ολοκλήρωμα και αρχική συνάρτηση ορί στηκαν με εντελώς διαφορετικούς τρόπους ..Ωστόσο'το θεώρημα (1)αποδεικνύει ότι προκειμένου για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε διάστημα Δ οι δύο αυτές έννοιες συνδέονται μεταξύ τους.

Εξάλλου, η ισότητα

(1) δηλώνει

ότι η ολοκλήρωση αποτελεί, κατά κάποιο τρό

πο, πορεία αντίστροφη της παραγώγισης.

1. Να υπολογιστεί μια αρχική της συνάρτησης f(X) = χ • 2

Σύμφωνα με το θεώρημα

(1)

για α

μια αρχική της

είναι η

F(x) = r\2dt=1 (X J _ I J ) = 1 (XJ_l). J1 3 3 2.

Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

iί) f(x) = σntdt

iίί) f(x) = ι:ημtdt

Ι) Η συνάρτηση .J[+X2 είναι συνεχής στο JR, οπότε σύμφωνα με την ισό τητα (1) ισχύει f' (Χ) =.J[+X2 . iί)H συνάρτηση τα

(1)

lnx

είναι συνεχής στο (ο,

+ (0),

οπότε σύμφωνα με την ισότη

έχουμε

(Χ) = d~ ([ιntdt) = :χ ( - J~lntdt) = -lnx.

ίiί)Aν g(x) = J~ημtdt, τότε σύμφωνα με την ισότητα

(1)

ισχύει g'(χ)=ημχ.

Εξάλλου για κάθε xEJR είναι f(x) = g(x2) , οπότε f' (Χ) = g' (χ 2 ) . (χ 2 )' = 2χημχ 2 • 256

/'Σ~o επόμενο θεώ ρη μ α , που είναι γνωστό ως θεμελιώδες θεώρημα του ολοκλη

'ρωτικού λογισμού, φαίνεται η ιδιαίτερη ση~ασία"της~q.ιιχ.ικiΙζ.Q~ιν..<iρ:ιηση~στ·ον

~ oλoγισ μ ό των ορισμένων ολοκληρωμάτων . Θεώρημα Αν

F είναι

2 μια αρχική τη ς συνεχούς συνάρτησης

f στο

διάστημα Δ και α,β εΔ,

τότε

Ι: f(x)dx = F(β) -

F(a)

Απόδειξη

Σύμφωνα με το θεώρημα (1), μια αρχική της f στο Δ είναι η συνάρτηση Επομένως, υπάρχει μια σταθερά

τέτοια, ώ σ τ ε για κάθε κ ε Δ να ισχύει

[f(l)dt=F(X)+C. Για χ

=α

(1)

παίρνουμε

0= [ f(l)dt = F(a )+ C, οπότε η

[ f(l)dt

(1)

δηλ.

c=-F(a),

γ ρ ά φ ετ α ι

Ι: f(t)dt = F(x) Από την τελευταία ισότητα για χ

=β

F(a)

παίρνουμε

J:f(l)dt=

F(β) - F(a)

Πολ λές φορές για να απλοποιήσουμε τις εκφράσει ς μας συμβολίζουμε τη δια

φορά F(β) - F(a) με [F(χ)]β, οπότε η ισότητα του θεωρήματος (2) γράφεται: α

β α

f(x)dx = [F(x)]

β α

Πρακτική οδηγία

ι Οταν θέλουμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρ τησης

στο διάστημα [α.β], βρίσκουμε πρώτα μια οποιαδήποτε αρχική συνάρ

τηση τη ς

και ύστερα εφαρμόζουμε το θεώρημα

2. 257

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

Ι, = [ 1 x

ίί) Ι = [ 2 (3χ 2 Χ + l)dx,

3dx,

J-2

)-2 π

ίίί) 13 = J ~ cruvxdx,

ί)Ι

ίν) 14 = J~

=[E]l =1_(-2)4 J

-2

(l +

ημ2Χ)dΧ.

=_~ 4

... ) Ι 3=ημx~=ημπ-ημ6=-2 [ ]π π 1

111

-1 συν2χ είναι αρχικέτ; των συναρτήσεων και ημ2χ αντιστοίχως. Επομένως η χ -1 συν2χ είναι μια αρχική συνάρτηση

ίν) Οι συναρτήσεις χ και

της

1 + ημ2χ,

οπότε

2. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης _Χ_ και μετά να υπολογιστεί το ημκ

ολοκλήρωμα J

Έχουμε

(

ημχ - χσυνχ dx

ημ2χ

~ ) ' _(χ)'ημχ-χ(ημχ)' ,"_ημχ-χσυνχ ημχ

ημ2χ

που σημαίνει ότι μια αρχική της

258

ημ2χ

- χσυνχ ημ2χ

ημχ

' είναι η

ημκ

Επομένως

ημκ ~

(2ημx-~συνx dx=[_X_]2 =_2

j~6

ημ Χ

6_= π π 2 ημ6

ημ-

_~ =~ 3

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα J-~ συν 2 χdΧ

Λύση

Η συνάρτηση συνκ είναι συνεχής και ισχύεt',συν 2χ = 1 + συν2χ \'"

Επομένως π

j-Ί συν χ

....... .

r 2 1 + συν2χ dx = r 2 1. dx + 1. r 2 d χ = j-Ί 2 j-Ί 2 2 -Ι συν2χ χ =

J-

1 (Π Π) +-1 [ημ2χ]2 =π +-1 [ημπ -ημ( =- +2 2 2 4 -Ί 2 4

7.7

π) ]

π =-. 2

Εφαρμογές του θεμελιώδους θεωρήματος

Στην παράγραφο αυτή θα παραθέσουμε μερικές εφαρμογές του θεμελιώδους θεωρήματος σε προβλήματα των Φυσικών , Κοινωνικών και άλλων Επιστημών.

Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε το ρυθμό μεταβολής QQ και την αρχική τιμή dt

Qo (για t = t o)

ενός μεγέθους

Q(t) .

Στα προβλήματα αυτά υποθέτουμε ότι ο ρυθ-

μός μεταβολής QQ είναι συνεχής συνάρτηση του ι, οπότε σύμφωνα με το θεμε dt

λιώδες θεώρημα έχουμε

r t Q ι (u)du = Q(t) - Q(t o)

j to

Q(t)=Qo+

Ι t Q'(u)du

jto

και επομένως (1)

259

Για παράδειγμα, α ν ένα κινητό κινείται πάνω σε άξονα και χ(ι) είναι η σ υντε

ταγμ ένη , υϊ τ ) η τα χύτητα και γ(Ι ) η ε π ιτάχυνσή του, τότε επειδή Χ ι (t) = υ ι ι), λόγω τ ης

(1),

έ χ ο υ με

x(t) = Χ

r ι u(u)du, ο + ]r 1ι0Χ ι (u)du = Χο + ]1 0

(2)

που εκφ ρ άζει τη θέση του κινητού π ά νω σ τον ά ξονα τη χρονική στιγμή ι , ότ αν κατά τη χ ρ ονι κή στιγμή ι ο το κινητό ήταν στο σημείο Χο ' Ανά λογα για την τ α χ ύ τ η τ α έχο υ μ ε

u(t) =

υ, + r ι υ ι (u)du = υ, + r ι y(u)du J ι,

(3)

jto

όπ ου υ, η ταχύτητα του κινητ ού κατ ά τη χρονική στιγμή Ι Ο ' Σ τ ο σχήμα

1 γίνετ αι

φανερό ό τι το διάστημα

S S = SI + 5 ~ + 5" ό που

νικό δ ιά σ τ η μ α [ιο ,ι ] είν α ι

11 u(u)du -

5 2 = Χ(Ι ι ) - x(U = χ ο +

u(u)du =

J ΙΖ

[ο

ι,

Jt 2

u(u)du =

Iu(u)ldu ,

J i1

ι,

u(u)du - Χ"

ι.,

Ε πο μένως

JI2 u(u)du = \1 1 u(u)du + J10 u(u)du =

Χα -

\ [ο

5, = x( t) - x(U = Χ" +

που διανύει το κινητό στο χ ρ ο -

Ι Ι' u(u)du = Ι ΙΟ

u(u)du = Ι1

Ι' Ι

Ι u(u) Ι du .

'Ι

Ι Ι u(u) Ι du χ Ι) = Χ( Ι ο )

•t

Χ( Ι2) ι Ι

u(ι) ~

(

x(t) U (Ω~O

i ι

53 •

Uf)~O

•

Χ(Ι ι ) Ι

)

81 Σχ. 1

ΠΑΡ Α ΔΕΙΓ ΜΑΤΑ

1. ι Εν α κινητό κινείται π άνω σε άξονα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε η ταχύτητά του Z κάθε χρονική στιγμή t να είναι υω = t - t - 6 (σε m/sec). , Ι) Να προσδιοριστεί η θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t = 4 sec. , αν κατά

τη χρονική στιγμή

Ο ήταν στην αρχή των αξόνων , δηλ . χ ο = χ(Ο)

= Ο.

ίi) Να υπσλογιστεί το διάστημα που διάνυσ ε το κινητό στο χρονικό διάστημα

[0,4 ].

260

Λύση

ί) Από το ν τύπο

(2)

και ε πειδή ι,

=Ο

έχου μ ε

Χ(4) =χ ο+ u(t)dt=O + (t 2-t-6)dt = [~ - ~ - 6t] = _32 . Jο

ίί) Επίσης έχουμε S = J: It2 _t -6 Idt. Εξάλλου t

- t - 6:::;0 <=

ι ε[ -

2,3],

ο πότε για κάθε t E[O,3] είναι t - t - 6:::;0 και για κάθε ι ε [3,4] είνα ι ι 2-Ι-6 ~0 . Επομένως

3(-t 2+t+6)dt + J4(t 2 - t - 6 ) d t = [ -~3 + ~2 + 6t] 3+[~3 -~2 -6t] 4=49

1ο

Ο ρ υθμό ς αύ ξηση ς εν ός π λη θ υσμο ύ μικροορ γ α νισμ ών τη χ ρ ο ν ι κή στιγμή

t ε ί

ναι Ν ο 2 tln2 , ό π ου Ν , ο π ληθυσμό ς κ ατ ά τ η χ ρον ι κή στιγμή t = Ο . Ν α βρεθεί ο πλ η θυ σ μός

N(t)

μι α οποια δή π οτ ε χρον ι κή στιγμή ι .

Λύση Σύμφω να με την ισότητα

N(t) =

(1)

έχουμε

Να + ΙΝσ!n2 · 2' dx = Νο + N

d •.

' 4$$4·

''M''....WO ...,.

n2 2'dx =

"'"""*"

Νο + N

ΑΣΚΗΣΕ ΙΣ

oln

1~2 . 2'Ι =

_ _:r.ii!IIi!J

Α ' Ομάδα

Αν για κ άθε τονία ς τη ς

xEIR

ισχύει

f(x) = j' Xt-t ι e

dt,

να βρείτε τα διαστήματα μονο

' " Αν .η συνάρτη ση f είναι σ υνεχής σ' ένα διάσ τη μα Δ και για κάθε α . β. κ ε Δ ισ χυο υν -. F(x) = [f(t)d t ν α αποδείξ ετε ότι η σ υνάρτηση

και

F- G

G(x) = [f(t)dt

είναι σταθ ερή στο Δ .

261

1\---.-----.".-.-. Ι

_ - -.._-_ -

.-- - -.---- --

- ,

Να βρ~ίτε δύο παραγωγίσιμες συνα ρτή σεις f οι οποίες για κάθε XE IR ικανοποιούν Ι

τη ν ισοτητα :

;

jχ f(t) dt

(r(x) γ

ι Ι \ Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο και η γραφική της παράσταση διέρχεο

ται ~πό τα σημεία Α( - Ι ,3) και 13(2,8) να βρείτε το

J 2,[ ' (x)dx .

j Ι \.

Να υπολογίσετε τα ολο κληρώματα π

ίίί)

") j23t --5 d t JI t

ίν)

[ ' (2e ' - 3x)dx

ν) . .. , χ (χ - 2)(Χ

ί ί)

+ 2)d x

f (x ) =

νί)

(Ζσυνκ - 5ημχ)dχ

[2(2Χ _ Ι

-2χ 2 + 3 ,

χ<Ο

e' +2 ,

χ;;::Ο

-χ-

,' j

Β ' Ομάδα

~ Α ν για κάθε χ ε (Ο, + 00) είναι να αποδε ί ξετε ό τι

g (X) =O ,

g(X) =

ι dt + J-;: - ι- , d t , j' I +t, I+ t " -

- ,

χ >Ο .

1\ \

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και για κάθε χΕ IR ισχύει

·1

1\ ι

να βρείτε την τιμή

" f(t) d r = Jο

f(4).

Να αποδείξετε ότι για κάθε x E IR ισχύει

!r!d r =

'2 xlx!

.α

~, μ" ε/N' να αποδείξετε όn__I~_·_+_X_-_~_)_d_X_:=_l_.. 262

κημι π«),

Να βρείτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [o,~ ]και για την οποία ισχύει 2

[f(t)dt=2 ημχ-;-l, αE[O,~ ]. Ποια πρέπει να είναι η τιμή του α;

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση Ι' με συνεχή παράγωγο στο διάστη

'Ενα κινητό κινείται πάνω σε άξονα και η ταχύτητά του σε cm τη χρονική

μα

[1,4],

για την οποία να ισχύουν

f'(x)2:3, f(I)=

-Ι

και

f(4)=7.

sec

στιγμή t δίνεται από τον τύπο θέση του στον άξονα είναι χ ο

τη θέση του κινητού όταν

u(t) = 2t

= x(t o ) = t = 3 sec

_Ι . Αν τη χρονική στιγμή Icm,

να βρείτε:

και

Η) το διάστημα που διανύει από τη χρονική στιγμή t o στιγμή

to = Ο

= Ο sec

μέχρι τη χρονική

t = 3 sec.

263

ΜΕΘΟΔΟ/ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Με τη βοήθεια του θεμελιώδους θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού

ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος J:f(X)dX ανάγεται στον προσδιο ρισμό μιας αρχικής συνάρτησης της

Ενώ οι κανόνες παραγώγισης μας δίνουν

τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την παράγωγο κάθε στοιχειώδουο'" συνάρτη σης, κάτι τέτοιο δεν είναι πάντοτε δυνατόν στην ολοκλήρωση. Π.χ. για τις συναρτήσεις

ημκ

- - , e -χ

-- ,

lnx

e ax -,

που είναι ολοκληρώσιμες, οι αρχικέξ τους

δεν είναι στοιχειώδειξ συναρτήσεις. Οι μέθοδοι που ακολουθούν στηρίζονται σε γνωστούς κανόνες παραγώγισης και μας δίνουν τη δυνατότητα να υπολογίζουμε ολοκληρώματα ορισμένων συ ναρτήσεων. Θα παραθέσουμε εδώ, χωρίς εκτεταμένες ερμηνείες, τη μέθοδο της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης και τη μέθοδο της ολοκλήρωσης με αντικα τάσταση.

7.8

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στον κανόνα της παραγώγισης γινομένου συναρ τήσεων και περιγράφεται με την επόμενη πρόταση.

Πρόταση Αν οι συναρτήσεις [β

f,g

έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β),τότε β

J α f(x)g' (x)dx = [f(x)g(x) Ι

-α [β

(x)g(x)dx

(Ι) Στοιχειώδης συνάρτηση είναι κάθε συνάρτηση που προκύπτει από πολυωνυμικές, εκθετικές και τριγωνομετρικέτ; με τις αριθμητικές πράξεις, τη σύνθεση και την αντιστροφή.

265

Απόδειξη Η σ υνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο [α . β ] και ισχύει

[ .g

(f(x) . g(x») Ι πο υ σημα ίνει ότι η

[ Ι • g και

[ .gΙ

[. g είναι

= f(x) . g Ι (χ) + [ Ι (χ) . g( X) μια αρχική της

[. g Ι + [ Ι . g.

( 1) Εξάλλου οι συναρτήσεις

είνα ι σ υνεχείς στο [α ,β ], οπό τ ε σ ύμφωνα με τ ο θεμελιώδες θεώρη

μ α του ολο κλη ρω τι κ ού λογ ισ μ ού ισ χύει [β

Ja(f(x) g ' (χ) + [ Ι (X)g(x»)dx = [ f(Χ)g(Χ)Ι β

Ιβ

ιβ

Γ] β

) α f(x )g Ι (x)d x +

α f Ι (x)g (x)d x =[f(x )g (x.)Ι

\ f(x)g Ι (x)d x = tf(X)g(x)

ιβ - J [Ι (x)g(x)dx α

Η αντίστ οιχη π ρ ό τ α ση για το α όριστ ο ο λοκ λήρωμ α έ χει τη μ ο ρ φή:

~ A

ν ο ι συ ν αρ τ η σ ε υ ;

[ ,g έχ ' ουν

συ νε χ εκ; π αραγω γουξ σ ε

' (f(x)g ' (x)dx = f(x) g(x) - jΓ Ι (x)g(x) d x,

Ι Ι

δ '

ι ασ τ η μ α

,Τ ΟΠ

χ Ε Δ. _

Πρακτική οδηγία Για ν α εφα ρμ όσο υμ ε την κα τά π α ρά γ ον τ ετ; ολοκλή ρω σ η γ ι α ένα γ ινό μ ενο σ υ

να ρ τ ή σ εω ν θ α πρέπει να θεω ρήσ ουμε έναν από τ ους π αρ ά γο ντ ε ξ ως π α ρ άγωγο ε:

μιας σ υνάρτησητ;

Π Α Ρ ΑΔ ΕΙ Γ Μ ΑΤΑ

Ν α υπ ολ ογι σ τ ού ν τ α ολοκληρώματα: π

ίί)

i) \ xe' dx, , (Ι

χημΧdΧ

Λύσ η

i) Για το γιν όμεν ο xe ' μ πο ρ ούμ ε να Θεω ρήσ ουμ ε g Ι (Χ) = e ' κ αι f(x) = Χ , ο πό τ ε

1xexdx =!rlX(e X)ldX=[xe • ,)1 [ Ι (x) Ie xdx=e - 11 e"d x=e-- [eX 11I =e-e+}'=1 Jο Ο JΟ ο ιο 1ο X

266

ίΟΓια το γινόμενο κημκ θεωρούμε π

g ι (Χ) = ημκ,

[

οπότε

g(x) = -

συνκ. Επομένως,

) ο χημΧdΧ = - ) ο κ(συνκ) dx = - κσυν» ο + ) ο (Χ) auvxdx = π

=0+ J:

συνΧdχ=[ημχ]: =ημ~

-0=1.

Επισήμανση Είναι φανερό ότι η ολοκλήρωση κατά παράγοντες πρέπει να εφαρμόζεται κα

τά τέτοιο τρόπο, ώστε το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στο δεύτερο μέλος του τύπου να είναι απλούστερο από το αρχικό. Έτσι π.χ. στο παράδειγμα (i) αν αλ λάξουμε το ρόλο του χ και του

(Ι

(Ι x( 2)1

)OXeXdX= )Oe

dx=

οδηγούμαστε στην ισότητα

[ 2e Χ]Ι 1 (Ι 2e χ 2 0-2 )ox

Xdx,

στην οποία το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι πιο σύνθετο από το αρχικό.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

2e X d x =

2(e

X)1

JX 2e

XdX'

dx=x 2e x - J(X 2)1 e X d x = X 2e X-2JXe X d X =

= x 2e x - 2 JX(eX)1 dx= x 2e x - 2xe x + 2] (Χ) ι eXdx = = x 2,e

X -

2xe x + 2 jeXdx = x 2e x - 2xe x + 2e x + c.

Για τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματοτ; μπορεί να απαιτηθεί διαδοχική ε φαρμογή του τύπου, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

)οημχ (e x) ' dx = [eΧημχ1a - )ο(ημχ)' eXdx = eαημα - Ο -

(α

[α

j:eΧημΧdΧ

[α

Joσυνκ eXdx =

=eαημα- \:συνχ (e X) Ι dχ=eαημα-teΧσυνχl: + \:(συνχ), eXdx= = eαημα -

eασυνα + 1 - j:eΧημΧdΧ= eαημα - eασυνα + 1- Ι

267

οπότε

21 = eαημα - eaauva + 1

1=1 (eαημα - eaauva + 1)

Για α = ~ το ολοκλήρωμα είναι 2

Jο

e'ημχdχ=-

(e"2 + 1)

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά σταση της

f(x) = Inx,

τις ευθείες χ

1= [xlnXdX

= 1,

και τον άξονα χ' Χ. Υ

Για

xE[I,e]

είναι [(x)=lnx~O, οπότε το

εμβαδόν του χωρίου δίνεται από το ορι-

σμένο ολοκλήρωμα Ε = J:II1XdX.

Επομένως,

e Ι dx = e- (e -1) = 1. Ε = ( (Χ)' lnxdx = [XII1X] e- ι x(ll1x) , dx = e - \e χ. ~ ,ι ] J] ,ι ο

Επισήμανση Ορισμένες φορέξ, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, δεν εμφανίζεται γινό μενο συναρτήσεων. Στις περιπτώσε«; αυτές το ρόλο του ενός παράγοντα μπορεί

να παίξει τι σταθερά

268

7.9

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση (αλλαγή) της

μεταβλητής Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στον κανόνα της παραγώγισης σύνθετης συ νάρτησης .

•

Στην πράξη συνήθως ζητάμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

j>(X)dX,

στο

οποίο διαπιστώνουμε ότι είναι σκόπιμο να κάνουμε αλλαγή μεταβλητήξ.

Για παράδειγμα, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος I~~2X+3 dx γίνεται απλούστερος αν θέσουμε

2x+3=u

u- 3

Χ=-2-' οπότε

(U -

1 du. dx= -2-3)' dU=2

Πράγματι, τότε το ολοκλήρωμα παίρνει την απλή μορφή 1 [λ)U du, όπου τα νέα όρια κ,λ προσδιορίζονται από την ισότητα

2χ

2 JK + 3. Συγκεκριμένα,

γιαχ=Οείναιu=2·0+3=3, δηλαδή κ=3 και για κ ε- Ι είναιu=2·1+3=5, δηλαδή λ =

Επομένως έχουμε ]

r\/2X+ 3 dx=l j5)U du =11 U 10 2 3 2 -3 • 2

Π25 - )27 3

Η μέθοδος που εφαρμόσαμε στο προη γούμενο παράδειγμα γενικεύεται ως εξής: Έστω

μια αρχική συνάρτηση της

στο [α.β] και φ(u) μια συνάρτηση

«1-1»

με συνεχή παράγωγο στο διάστημα Δ και [α.β] ~φ(Δ).

Αν θέσουμε χ = φ(u), τότε η συνάρτηση F(φ(u») είναι αρχική της f(φ(u»)' φ' (ιι), αφού

[F(φ(u)] ι =F'(φ(U»)'φ'(u)=f(φ(U»)'φ' (U) Επομένως αν κ,λ είναι τέτοια, ώστε α

= φ(κ)

και β

= φ(λ),

τότε ισχύουν

[f(Χ)dΧ=F(β)-F(α)=F(φ(λ»)-F(φ(κ»)= [[F(φ(U»)], du= [f(φ(u»)φΙ(Η)dU , Εχουμε Αν χ

λοιπόν αποδείξει:

f(x)

είναι συνεχής στο [α, β] και με τη βοήθεια μιας «Ι-Ι» συνάρτησης

φ(υ) αντικαταστήσουμε τη μεβαλητή Χ με τη μεταβλητή

διαφορικό

με το διαφορικό φ'

(u)du,

και το

τότε ισχύει:

Γf(Χ)dΧ= [f(φ(u»)φΙ(Η)dΗ όπου τα όρια κ,λ ορίζονται από τις ισότητες α

= φ(κ)

και β

φ(λ).

269

ΠΑΡΑΔΕΙ ΓΜΑΤΑ Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Λύση

Θέτουμε χ = ημυ = φ(υ) , υ ε[ - ; .

ομοιω ς εχουμε κ = -

-2 '

,; ]. και

Επειδή η συνάρτηση φ(υ) είναι « Ι - Ι», dx = φ ι (u)du = συνudu. .

Επομένως

J ~ 1~ dx =

•

I-~ .)1- ημ-ιι . συνudu = I_~ συν'ικίιι =;

(§ 7.6

παραδ.

Πο λλές φορές εμφανίζονται ολοκληρώματα τη ς μορφή ς

Ι :f(φ(χ») . φ ' (x)dx, όπου η φ έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] και η f είναι συνεχής στο φ([α,β]). Η περίπτωση αυτή είναι μια ε ιδ ι κ ή περίπτωση της προη γο ύμε νη ς , όπου μας « υ π ο δ ε ι κ νύε τ α ι» να κάνουμε την α ντικατάσταση

u = φ(χ),

οπότε

ενώ τα ν έ α όρ ια της ολοκλήρωση ς είναι φ( α) και φ(β).

, Ετσι,

αν

είναι μια αρχική συνάρτηση τη ς

ι φ(β)

φ (α )

j f(φ(χ»)φf (x)dx =

270

ισχύει ο τύπος

f(u)du = F(φ(β») - F(φ(α»)

du = φ ι (x)dx,

Στην πράξη για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος j :f(φ(χ»)φ Ι(Χ)dΧ αντι κα θισ το ύμε το φ(χ) με

και το δι αφο ρικό φ ι

(x)dx

με το'

du,

ο πότε έχουμε

[(φ(χ»)φ Ι (x)dx = f(u)du, Επομ ένω ς τ ο πρ ό βλη μά μα ς αν άγεται στον προσδιορισμ ό μια ς α ρ χική ξ συνάρ τηση ς τ ης

f(u).

Τυπικ ά γ ι α τ ο α ό ρ ιστ ο ο λ ο κλήρω μα μ π ο ρ ο ύ μ ε να γ ρ ά φ ου με

\ f( φ(χ»)φ ι (x)dx = Jf(u)du = F(u) + c = F( φ(χ») + c

ΠΑΡΑΔ Ε Ι Γ Μ ΑΤ Α Ι. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

")j

ί) j χσυν(3 -χ 2 ) dΧ,

-2

l+χ

dx,

ίii) ημτσυνκώ , Λύση

Θα ε π ιδιώ ξου με να φέρ ου με τις συναρ τήσειξ στη μ ορφή f( φ(χ»)φ ι (χ) για να εφαρ μό σου με τον τ ύπ ο.

ι) • χ σ υ v( 3

1 - x -)dx = - 2

Jr συν(3

χ 2) .

(3 - χ '" ) ι dx

Θέτουμ ε 3 - χ 2 = u, οπότε (3 - χ 2 ) ι dx = du κ αι επομ ένως

ι uv(3 -x 2)dx = - -1 Ι συνudu= - 1 ημu +c= --ημ(3 1 - χ 2) + c Ixa J . 2) 2 2 ~

ίi) \ ~ dx = l l + x· 2 ,

](1 +Χ)

dx.

Ι+χ-

Θέτουμε 1 +x 2= u , οπότε

(1 + Χ 2)' dx =du

κα ι επομένως

ί χ d Χ = -1 Ι -1 d \1=-1 1n Ι u Ι + C= -1 ]n 'I1 + x·, ιI+ c = -j Ι llt1+x Ι 2, 1---:;}+ C

J l + x·

2 Ju

271

Ομοίως έχουμε:

ίii) ]ημχσυνΧdΧ= Ιημχ(ημΧ)'dΧ= Ιν)

]UdU=

~2 +c=± η μ 2 χ+ c, (υ=ημχ)

x 1 u+c=-e 12 xe x2 +'dx = -lJ (χ 2+1) ι e 2 +ldx = -Ι] eUdu=-e +l + c , (u=x 2 + l ) X

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

ί)

1_ r_ dX, ) αΧ+β

ίi) ] ημιατ + β)dΧ,

u:;t:O

Στις περιπτώσεις όπου η συνάρτηση, της οποίας ζητάμε το ολοκλήρωμα, έχει

τη μορφή f(αΧ+β) κάνουμε την αντικατάσταση υ=αΧ+β, οπότε dx=+ du.

ι Ετσι έχουμε την ισότητα Ι f(ux + β)dΧ = ~ 1f(u)du . . ι)

) -1- dx=1)1 1 - du=-!nlul ακ-ι β α u α

1 +c=-!nlαχ+βι +c. α

iί) )ημ(αχ + β)dΧ=~ ]ημUdU =~ (- συνu) + c = -~ συνιακ + β) + c. 3.

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: π

ί) I = Ι:νΓι+Χ dx

ίi) Ι = ): εφχdχ

ίiί) 13= 1:x..J4-X2 dx

ιω ση

ί) Ι , = )o.Jl+ x dx= Jo..JT+X (Χ+ Ι)' dx Θέτουμε

ιι=r

οπότε φ(Ο)

3 4

Ψ(3)Wdu=[U2]

JΨ(ο)

272

u = φ(χ) = 1 + Χ,

=.!..2 3

.1 2

_l 3

=14. 3

και φ(3)

= 4.

Επομένως

ίΟ1 2=

εφχdχ=

Θέτουμε

ΙΙΙΙΧ ~ dx= -

Ο συνκ

u = φ(χ) = .

φ(Ο)

dx=

υ.!.

.!.

_1 (2 (4- x 2) ' .J4- x 2 dx 2 )0 2

.JU du = -

ΤΙα μια συνάρτηση

1 J4 .JU du = [-1 U312 ]4 =8 -1 JΟ.JU du=2 4 2 Ο 3 Ο 3

που είνάι συνεχής στο

Αν η f είναι περιττή, τότε

ί) ( α f(x)dx = ( Ο f(x)dx + (αf(x)dx = ι .,

ι,

!Ο

-α

[( _

-α

- α

- α [( -

f(x)dx = Ο

Χ)( - χ)' dx +

= 21:f(X)dX,

(αf(x)d x = )0

(υ = -χ)

ι-α [( .

x)dx +

Γοαf(-Χ)Ο(-Χ) ' dΧ+ !:f(X)dX=

f(- x)dx+ \:f(X)dX= -

f(x)dx +

Ο.

( α f(x)dx = 2 (αf(x)dx

= - l:f(U)dU+ l:f(X)dX = O,

α f(x)dx = \0

α,α], να αποδειχθ εί ότι:

ι.,

Γο

[af(X)dX =

ίί) Αν η f είναι άρτια, τότε

u = φ(χ) = 4 - χ , οπότε φ(Ο) = 4 και φ(2) = Ο. Επομένως

ίί)

13= - -1 Ι φ(2) . 2 φ(Ο)

συ νκ

\"2 -1 du= \ ι -1 du= [ ] ι =lnl-1n-1 =ln2. Ιnυ

iί01 3= (2x.J4 -x 2 )0 Θέτουμε

(συνκ)" dx

-1 du= -

συνκ, οπότε φ(Ο) = 1 και φ(~ ) = 1 ο Επομένως

~~ ) Ι=

x)dx +

l αf(x)dx = Ο

lαf(x)dx = ιαf(u)du + ιαf(x)dx = Ο

(υ = - Χ) 273

Δίνεται η συνάρτηση

f(x) =

2x-l ---=-=-=-----(χ

-l)(x + 2)(χ - 3)

i) Να προσδιοριστούν οι τιμές των Α,Β,Γ, ώστε να ισχύει Α

2x-l

+ 2)(χ -

(χ -l)(x

-χ-Ι -+- +Χ-- -3 χ+2

ίί) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

r ]

2x-l

(Χ - l)(Χ + 2)(Χ -

d 3)

Λύ σ η ί) Κάνο υμε απα λοιφή παρονο μαστώ ν, οπότε έχ ο υ μ ε

2χ - 1 = Α (χ

2χ-Ι = χ (Α + Β

6) + Β (χ 2 -

+ Γ)+ Χ( -

4χ +

3) + Γ(χ + Χ - 2)

Α-4Β+ Γ) -6Α

+ 3Β -2Γ

Η τελευταία ταυτότητα μας οδηγεί στις ισότητες

Α+

Β+

Γ=

Α -4Β +

Γ=

2, - 1

- 6Α + 3 Β- 2 Γ=

ίi) Η συνάρτηση

- --

+ 2)(χ - 3)

2χ - 1 J)(x +

2)(Χ -

= - l. ln ix - l i- l.

274

1 3 '

Β=- -

1 2

Γ= - .

γράφεται

2χ-Ι

(χ .- Ι)(Χ

'j (χ -

1 6 '

Α =--

οπό τε

1 - -1 ._3

χ - Ι

. _-

χ+2

, 1

-ι--

'--, χ- 3

οποτε

1 \' - -1 dx+ -1 ι -1- dx= dx= - -1 [-1 - dx-6 J 3 , +2 2 - 3

χ- Ι

In1Ix + 2I+ l. ln lx -3 1+c . .

Ι χ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ;

----~- - -- -- - --~- -~ -

--~~~

Ι ΑΙ Ομάδα

Να υπολογίσετε τ α ολοκληρώματ α

ί)

κσυνκσκ

ίί)

(2Χ + 1)e' dx

Να υπο λογίσετε το εμβαδόν του

χωρίου που περικ λείεται από τις

γραφικέτ; παραστάσεις των συναρ

τήσ εων

f(x) = - 2χ 2 + 2,

" .,.

....

g(x) = lnx, Ι

τους άξονες χ ι Χ, Υ ι Υ και την ευθεία

x = e. 3.

Να β ρείτε τη συνάρτηση f του συνόλου Ι , ότ αν i) 1= \

χ 2 συνχdχ και

iί)

f(O) = 2

1= \

(χ 2 + I)e 'dx και

[( 1) = 7e.

Ν α υπολογίσετε τα ολοκ λη ρώμ ατ α π

ίί) Ι ι

ίίί) Ι: συν(2X +~ )d X ίν) \:2 dX X

e ' +2dx

- 1

Ομοίω ς τ α ο λο κ ληρ ώματα 3

iί)

1ο .JX2+ί6

ν) \~ ημ 2xau vxdx

νι

-(1nx) - dΧ

Αν η συνάρτηση [είναι συνεχής στο [0,1], να αποδείξετε ότι

[[(1-

x)dx = [f(X)dX

Αν α. β τ- Ο, να αποδείξετε ότι

1:"(1-χ)βdΧ = [χ (1 β

x)"dx

275

Να υπο λογίσετε τα ολοκληρώματα

") 13- 3χ- -d 2

ί) Ιx~ dx

ιι

o ~

Ομάδα

Αν ι, = Ι (Ιτα)"dx , νε ΙΝ*, να αποδείξετε ότι για κάθε ν ~ 2 ισχύει lν = χ(1nχ)" -νΙν_ι ' Να υπολογίσετε το

Αν η συνάρτηση

f(a) =

f έχει

\ (1nx)Jdx

συνεχή δεύτερη παρά γωγο στο διάστημα [α,β] και ισχύει

f(β), να αποδείξετε ότι

J:xf "(x)dx = βf' (β) - af ' (α) 3.

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

" ')

111

2χ- 5

]

Ο χ -5χ+6

] 1

2χ + 1

Ο χ -5 χ + 6

]

11)

ίν)

dΧ

ΙΥ

ο χ

Jο

5 χ+6

17χ + 31 d Χ

J ,

χ--5χ+6

Ομοίω ς τα ολοκληρώματα

ί) Jημκσυνδκώ;

ίί)

\ auv7xauv3xdx

Να αποδείξετε ότι

Αν οι σ υναρτήσ ει ς ισ χύ ο υ ν

~ 276

f(a ) =

f(β)

2 1 + η μχ

--=--:.....:J..!=.:..:...συνκ

]Ο Ι +

eXdx = e"2

f,g έχουν συνεχή δεύτ ερη π α ρ άγωγ ο = g(a ) = g(β) = ο , να απ ο δ εί ξετ ε ό τ ι

] f" (x)g(x)dx =

1~ f(x)g" (x)dx

σ τ ο δι άσ τη μ α [ α .β] και

Αν I = J~εφVΧdΧ, νεΙΝ*, να αποδείξετε ότι για κάθε ν:::::3 ισχύει

I v = - - - Iv _ 2 ν-Ι

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

••

11)

1-2

7.10

συν

4Χ

- dx 2

Εφαρμογές του ολοκληρώματος

Στην παράγραφο αυτή χρησιμοποιούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα για να υπο

λογίσουμε διάφορα μεγέθη, όπως εμβαδόν διάφορων χωρίων, όγκο στερεών από περιστροφή και έργο δύναμης.

Στην παράγραφο

7.3

έχουμε ορίσει το εμβαδόν ενός επιπέδου χωρίου Α, που

περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας μη αρνητικής και συνεχούς συ νάρτησης

τον άξονα χ ι Χ και τις ευθείες χ = α, χ = β. Με τη βοήθεια του ορισμού

αυτού και των ιδιοτήτων των ολοκληρωμάτων θα υπολογίσουμε τα εμβαδά και άλλων χωρίων.

α) Εμβαδόν χωρίου που ορίζεται από μια συνάρτηση Έστω συνάρτηση Ι) Αν

f(x);:::O,

συνεχής στο [α,β].

για κάθε χε[α,β], τότε όπως είδα

με στην παράγραφο

7.3

το χωρίο Α (Σχ.Ι) έχει

εμβαδόν

Ε(Α) = l:f(X)dX

Σχ. 1

277

ίί ) Αν

f(x):::;O ,

!:f(X)dX :::;0,

γ ι α κάθε χε [ α , β ] ( Σχ.2), τότ ε

y = - f(x)

οπότε το ολοκλήρωμα αυτό δεν εκ

φρά ζει το εμβαδόν του χωρίου Α. Το χωρίο Β, πο υ είναι συμμ ετρικό του Α ως προς τον άξονα Χ ι Χ ,

ορί ζεται από τη γραφική παράσταση της σ υνε

χούς σ υνάρτηση ς

τι ς ευθείες Χ

- f,

= α,

=β

κ αι

το ν ά ξ ο να χ ' Χ. Επομ ένω ς σύμφων α με την π ερ ί -

π τ ω σ η (i) έχει εμβαδ όν

Ε(Β) = Ι:

Υ = t(χ)

f(x))dx = -

Σχ. 2

Ι: f(x)dx.

Επειδή τ α χω ρ ία Α και Β έχ ουν ίσ α εμβαδά ( ω ς ίσα γ εω μ ετ ρ ι κ ά σχήμ ατα) , το

χ ω ρ ίο Α έχει εμ β α δόν

Ε(Α) = ίίί) Αν η συνάρτηση

n(X) dX

είναι κατά τμήματα θετική και αρνητική στο [α,β] (Σχ.3),

τότε το ε μ β α δόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου Α που π ερικλείεται από τη γρα φ ικ ή παράσταση τ ης

τι ς ευ θείε ς Χ

= α , Χ = β και το ν άξ ον α Χ ι Χ, είναι ί σ ο με

το ε μ β αδ ό ν του χω ρ ίου που περικ λείεται απ ό τη γ ρ αφική παράστ αση τη ς Ι τη διακ εκομμ ένη γ ρ α μ μή ) τις ευθείε ς Χ

= α,

=β

( με

και το ν άξον α Χ ι Χ .

Επομέ νω ς

Ε(Α) = Ι: ι f(x) Ι dx χ

ή , πιο α ν α λ υ τικ ά , γ ι α τ η σ υν ά ρ τηση το υ σ χήματ ο ς γ

ι σχύει

ι [ ι Ε(Α) = j/(X)dxj/(X)dx + j/(X)dx. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ χ

Ν α υπο λογιστεί το ε μβ α δ ό του χωρίου που π ε

ρικλείεται από τη γραφική παράσταση της συ f(x) = χ 3 , τις ευθ είες χ = - 2, χ = 1 και

νάρτησης

τον άξονα χ ι Χ.

Λύση Έ χ ουμε

Ε= J 121x 11 dX= [ / - X )dX+ J> JdX = -[ ~4 3

278

J::[ ~4 ι

17 4

- - -

- 8

2. Ν α υπο λογιστεί τ ο ε μ β αδ ό τ ο υ γ ρ αμμο σ κιασ μένου χωρίου του διπ λανού σχήματο ς .

Λ ύ ση

Υ Υ = ημ χ

' Εχ ο υ μ ε

[ 2Π

[2n

Ε = ) ο l ημχ ldχ =) οη μΧ dΧ - Jnη μΧdΧ ~

== [ -

συνχ]

r- συνχ] ι

2π

== Π

συνπ + συνΟ + συν2π - συνπ = 4.

3. Ν α υπ ολ ο γισ τεί το ε μβ αδό Ε τ ου κυκλικού δίσκου χ 2 + Υ 2 = ρ ' , Ρ >0 Λύση Το η μικ ύ κ λιο (κ ι) είναι γ ρ α φ ι κή π α ρά σ ταση τη ς σ υνά ρτηση ; ι~ , -,

Υ= ν ρ· -χ ·

[(x) = ~ρ " -x ", χ ε[ -ρ, ρ ).

Ε ίν αι φα νερό ότι Ε = 2Ε ι , ό π ου Ε ι το ε μ βαδό ν του ημικυκ λίο υ .

Ε πειδή

f(x) ~ O Ει =

' ρ

για κάθε χ ε [ ,---

ρ,ρ ), έχου με

. \/ Ρ " - Χ "

(1)

dx,

.' ~ μ

Θέτ ουμε χ = ρημu=g(u) , υ ε[ -

Ε πειδή η

,~.), οπότε

;

gείναι « Ι - !» στο [-; , ; ] , g( -;)= -ρ και g(; )=ρ,

έχου με

Ε ι = Ι "2 Υ' Ρ " - ρημ >ιι

. pauvud u =

[ "2 ρ [ συνιι ί ρσυνυ

J-} Π

! "2

, d

= - Ι ρσυνυ J

dx=pauvudu .

"\"2 υ=ρ ,, _ι

σ υν2υ du == Ρ " [~ + ημ2υ ] 2" = 2

279

β) Εμβαδόν χωρίου μεταξύ των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων Για τον υπολογισμό του εμβαδού του χω

ρίου Α, που περικλείεται μεταξύ των γρα φικών παραστάσεων δυο συνεχών συναρτή σεων

f, g

και των ευθειών χ = α, χ = β δια

κρίνουμε τρεις περιπτώσεις.

Ι) Αν για κάθε χε[α,β] ισχύει

f(x)

~ g(X) ~o

(Σχ.4), τότε το ζητούμενο εμβαδόν Ε(Α)

είναι η διαφορά των εμβαδών των χω

Σχ.4

ρίων που ορίζουν οι γραφικές παραστά σεις των συναρτήσεων, οι ευθείες χ = α, χ = β και ο άξονας χ' Χ. Επομένως το ζη

τούμενο εμβαδόν είναι

Ε(Α) = J: f(x)dx -

J>(X)dX = J:(f(X) - g(x))dx χ

Σχ.5α

ii)Αν για κάθε χε [α,β] ισχύει

f(x) ~ g(x),

χωρίς

να είναι θετικές (Σχ.5α), τότε επειδή οι

f,g

εί

ναι φραγμένες υπάρχει πραγματικόξ αριθμότ;

k τέτοιος, ώστε για κάθε χε[α,β] να ισχύει f(x) ~ g(X) ~ k. Για τις συναρτήσεις F(x) = f(x) - k και G(X) = g(X)- k (Σχ.5β) ι σχύουν οι προϋποθέσεις της προηγούμενη; πε

ρίπτωσης και επειδή τα εμβαδά των χωρίων Α -α4-0------~-~

και Β είναι ίσα, έχουμε

Ε(Α) = J: (F(x) -

Σχ.5 β

G(x) )dx = J:(f(x) - k - g(x) + k)dx = J: (r(x) - g(x))dx.

Επομένως

Ε(Α) = J: (f(x) 2ΧΟ

g(x))dx

iiΟΑν η διαφορά

f(x) - g(x)

δεν έχει στα

θερό πρόσημο στο [α,β] (Σχ.6), τότε

το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου Α είναι

Ε(Α) = Ι: ι f(x) - g(x) Ι dx χ

ή πιο αναλυτικά για την περίπτωση του σχήματος

Σχ .6

ισχύει

Ε(Α) = 1:(f(x) -

g(x))dx +

Ι:(g(x) -

f(x))dx .

Π Α ΡΑΔ Ε Ι Γ Μ ΑΤΑ

Να βρεθεί το εμβαδόν Ε του γραμμοσκιασμέ νου χωρίου του διπλανού σχήματος.

Λύση

Τα κοινά σημεία των παραβολών Υ = χ

και

Υ = 2χ - χ έχουν συντεταγμένες τις λύ σ εις του 2

συστήματος 2

Y= X fΥ = 2χ -

Χ2

δηλαδή είναι τα σημεία

Υ=χ

2χ 2 - 2χ

0(0,0)

κα ι

=Ο

Υ= χ

χ(χ-1)

=0 ,

A(l , 1)

Επειδή γι α κάθε χ ε[ Ο , l], είναι 2.χ -χ

2;::::χ 2,

έχου με

Ε= f l(2X-X 2_X 2)dX=2f\x-X 2)dX=2[X 2 _ ~]I =1 Jo

3 ο

Να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλίεται από τις καμπύλες Υ

= ημτ,

Υ = συνχ και τις ευθείες χ = Ο και χ = ~

Η τετμημένη χ ι του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης χ

συνκ = ημκ , χε (ο, ~

28\

δη λα δή χ ι

' Ε τ σ ι το ζη τού μενο ε μ β α δό είναι

Ε = Ει + ε, = J : (συνκ - ημχ)dχ + ~ (ημκ π

= [ημχ + συνχ]4 + [ -

συνκ - ημκ

()

Επ ειδή ε ίν αι Ε ι =

Ec ,

a uvx)d x

1: = 2Υ12 -

λόγω σ υμμετρία ς , θα μ π ορο ύσ α με ν α υπολογίσου μ ε το

ως ε ξή ς π

Ε = 2Ε ι = 2 \ '4 (συνκ - η μΧ)dΧ ,

Κ .Τ . λ .

()

3. Να βρ εθεί το εμβ α δ ό του χωρίου που περικλεί εται από την παραβολή Υ = την

ε φ α π τ ο μέ ν η τη ς στο σημ είο

":1

( 1, 1) και τον άξ ο ν α χ Ι Χ.

Λίισ η Η ε φ α π τ ο μ ένη σ το ση μ είο (Ι ,]) έ χ ε ι ε ξ ί σωσ η

}' - ] = 2(χ -

Ι) ή

)' = 2χ -

Ι και

τέμνει τον άξονα χ Ι χ στο ση μείο (~,o) .

Ε πο μ ένως το ε μ β α δ ό που ζη τάμε είν α ι Ι

Ε =Ε, + Ε Ζ = ! : X CdX+!~ .

282

C (x - 2x + ]) dx Ε,

]

-"2

= ]2

Τ .μ .

Για ν α υπο λογ ίσουμ ε το ν όγκο στερεών από π ερι στρο φή θα εφαρμόσο υμε τ η Μ έ θ ο δ ο τ ης εξάντ λη σης, όπως και στην περίπτωσ η το υ ε μ β α δ ού το υ ε π ιπέδ ου χωρίο υ.

Δ ί νεται μια συ νάρτηση σταση της Γ , οι ευθε ίε ς χ

σ υνεχή ς στο διάστημα [α.β] (Σ χ . 7) . Η γ ρ α φ ι κή παρά

= α,

=β

και ο ά ξονα ς χ ' χ ορί ζο υν έ να χωρ ί ο Α .

Θ εωρ ο ύμε ότι το χωρίο Α περιστ ρ έφε τ αι γύρω α π ό τ ον ά ξ ο να ν ' \. ι)πι'1Τ Ι : δια γρά

','u

1: \ ' (1 σ τ ε ρ εό (Σχ .8) .

ο Σχ .7 Σχ. 8

Π ε ρ ι γ ρ ά φ ο υ μ ε , χ ω ρ ί ς ιδιαί τ ε ρη α υσ τη ρ ό τη τ α, τ υ ν ΤI)ι)~ι ' \ ' ~ι )/. Ι)Ίω ι lι1\ ' τ οι . ι)

γ κ ου το υ στερ ε ο ύ πο υ δημ ιο υρ γή θηκ ε α π ό Τ 1)\' περ ι σ τ ρο φή α υ τή .

Θεωρο ύμε τη δ ια μέ ρ ι σ η Ρ "

α = Χ"

< Χ ι < Χ : < Χ . < \ . .ε,

β τ ο υ δια σ τή μα τ ο ; Ι α .β Ι .

Όπω ς φ αινετ αι και σ το σ χ ήμα 9α ε γγρ ά φο υ μ ε στο σ τ ε ρ ε ό κ υ λίνδ ρ ου.; μ ε α κ ι ί -

νες βάσ εως f(x ,) και ύ ψ η Δ κ ., των οποίω ν ο όγ κ ο ; εί ν αι π(Γ(Χ ,») :Δχ , . Επομ έ νω ς ο σ υν ο λικό ; όγκ ο ι; των κυ λινδρ ω ν α υ τών είναι

v" = πυ(α»)'( χ ι

- α)

+ π(Γ( χ ,») 2( χ: -

Χ ,) + π(Γ( χ:»)'(χ, - Χ :)

+ π(Γ(χ .» )Ίβ -

χι).

π ο υ ε κ φ ρ ά ζε ι το κ ατώτερο άθροισ μ α της συνά ρ τ η σ ης π υ( χ » )' για τη δια μέ ρ ι ση Ρ" , Α νά λο γα ο σ υνολι κ ότ; ό γκο ς τω ν κ υ λίνδρ ων το υ σχήμ α το ς 9β. που περιβά λ λο υν το στ ερ ε ό, ε ί ναι

ν , = πυ( χ ι ) ) '( x l

α) + πυ(χ :) ) '(Χ : - Χ ι ) + πυ( χ , ) ) '( χ, - Χ :)

που ε κφ ρ άζει το α νώτερο άθροισμα τη ς σ υνάρτηση ς

+ π(Γ(β) )'(β -

π( f(x»)'

Χι ),

για τη δ ια-

μ έριση Ρ" .

Σ χ . 9α

....

......

.... 283

'Οπως και στο εμβαδόν επιπέδου χωρίου οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι ό ταν το πλήθος των σημείων διαμέρισης αυξάνει οι αντίστοιχοι όγκοι έχουν ό-

ριο ένα σταθερό αριθμό, το ολοκλήρωμα της π ([(χ)γ στο διάστημα [α,β] που δί νει τον όγκο

του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή του χωρίου Α

γύρω από τον άξονα χ' Χ, δηλαδή

Να υπολογιστεί ο όγκος σφαίρας ακτίνας Γ.

Αν Α είναι το χωρίο που περικλείεται από

το ημικύκλιο Υ = ~Τ2 - χ 2

και τον άξονα

Χ'Χ, τότε η σφαίρα προκύπτει από την πε ριστροφή του χωρίου Α γύρω από τον άξο

-Γ

να Χ'Χ.

Επομένως έχει όγκο

Υποθέτουμε ότι ένα υλικό σημείο κινείται πάνω σε μια ευθεία την οποία ταυτί ζουμε με τον άξονα χ' Χ, υπό την επίδραση μιας δύναμης με διεύθυνση τη διεύ θυνση του χ' χ και μέτρο που εξαρτάται μόνο από τη θέση χ του σημείου, δηλαδή το μέτρο της είναι μια συνεχής συνάρτηση του Χ.

Ζητάμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης κατά τη μετακίνηση του υλικού ση μείου από το σημείο χ

=α

στο σημείο χ

= β.

Αν η δύναμη είναι σταθερή με μέτρο

f(x) = F

(Σχ.lO), τότε, όπως είναι γνω

στό, το έργο της δύναμης μεταξύ των σημείων αυτών είναι

W=F

(β-α), δηλαδή α

2Χ4

Σχ. 1 Ο

\~FdX

Αν η δύναμη δεν είναι σταθερή αλλά το μέτρο της είναι μια συνάρτηση

f της

απόστασητ; Χ του υλικού σημείου από την αρχή Ο (Σχ.Π), τότε θεωρούμε μια διαμέριση Ρ,

α=Χο<Χι<

...

β-α

<χν=β του [α,β], με Δχ=χκ-χχ _ ι=--, κ=1,2... ν. ν

Υποθέτουμε ότι σε κάθε ένα από τα διαστήματα δ, = [ΧΚ-Ι,Χ Κ ] η δύναμη είναι σταθερή με μέτρο Ρ,

= f(x K ) ,

οπότε το έργο της στο δ κ είναι [(χκ)Δχ.

... =

a=x o

X v-1

Σχ. 1 1

Επομένως το συνολικό έργο του συστήματος των δυνάμεων Ρ, είναι το ά θροισμα

το οποίο για μεγάλες τιμές του ν προσεγγίζει ικανοποιητικά το έργο της δύνα μης στο διάστημα [α.β]. Το τελευταίο άθροισμα είναι το άθροισμα

Riemann

της

τρ οποίο, κατά τα

γνωστά, τείνει στον πραγματικό αριθμό

J>(X)dX

που ονομάζεται έργο της δύναμης

στο διάστημα [α,β].

Να βρεθεί το έργο που απαιτείται για την τοποθέτηση ενός δορυφόρου μάζας

σε ύψος

πάνω από την επιφάνεια της

γης.

Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης είναι

M'm F(r)=k 2r

όπου Μ η μάζα της γης,

η ακτίνα της γης και

r = R + h.

Επομένως το ζητούμενο έργο είναι

R+ h \

[ l]R + h (1 1) kMmh dr=kMm -~ R =kMm R - R+h = R(R+h)

285

ΑΙ Ομάδα

Να υ πολογί σετε τ ο ε μβα δό ν τ ο υ χωρίου π ου περικ λείετ αι α π ό τη γ ραφι κή π α

ρ άσ τα σ η τ ης σ υ ν άρτ ηση ς Γ, το ν άξον α χ ' χ κ αι τις ευθε ίε ς χ

Ι) f(x)

= χΙ + 2

ίί) f(x)

= χΙ -

ί) f(x) = -x

και

l+4x

f,g

όταν

3χ

όταν

g(x)=x l -4x+6

ίί) f(x) =x

και

g(X)=X+ 1

Να υ π ο λ ογ ί σ ετε το ε μβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γ ρ αφική πα

ράσταση της σ υνάρτηση ς f(x) =

= ο , χ = 2,

Να υπολογί σετε το εμβ αδόν του χωρίου που περικλείεται α π ό τις γραφικές πα ρα στά σεις των σ υναρτή σεω ν

ίίί) f(x) = 2x

χ Ι + 2χ + 3 κ αι την ευθεία 2χ - Υ - Ι

=Ο.

Αν Α εί ναι το χωρίο που περι κλείεται α πό τη γραφική παράσταση τη ς f(x) = τι ς ευ θ είες χ

= ο, χ = 1 και τον άξ ον α χ / χ, να βρείτε την τιμή του α ώ σ τ ε η ευ θ εία

χ = α να χω ρίζει το Α σε δυο ισ οεμβ α δι κ ά χω ρία .

·5.

Να υ πολογί σετε τον όγκο τ ου στε ρεού που π ρ ο κύπ τει απ ό την π ε ρισ τρο φή γύ ρω από τον άξονα χ ' χ του χω ρί ου πο υ π ε ρ ι κ λείετ αι από τ η γ ραφική π α ρ άστα-

ση της f(x) = J;. 6.

, τον

άξονα χ ι Χ και την ευθεία χ = 4.

Να υ πολογί σ ετε τον όγκ ο του σ τ ερ εού π ου π ρ οκ ύπ τει α π ό την π ε ρ ι σ τ ρ ο φή γ ύ ρω από τον ά ξονα χ ι χ τ ου χω ρίου π ο υ π ε ρ ι κ λείε τ αι α π ό τ η γραφική παρά στα

σ η τ ης f(x) = ε ", τον άξονα χ / Χ και τις ευ θ είε ς χ = -

Η δύναμη

ρίου κ ατά χ

χ=

που απ αιτείται για την επ ιμήκυν σ η ενός ελ ατ η

είν αι

F = kx, k σταθερά . Αν δύναμ η F = 5dyn 1 cm, να βρείτε το έρ γο που κα επ ιμ ήκυνση του ελα τηρίου κ ατά 3 cm.

επιμηκύνει το ελατήριο κατά τανα λώνεται γι α

Β/Ομάδα

Να υ π ολογί σετε το εμβαδόν του χω ρ ί ο υ π ου π ερικλείεται από τη γραφικ ή πα ράσ τ αση τη ς σ υνάρτησης

f(x) = lnx , τ ο ν άξονα Υ ι Υ και τις ευθείες Υ = - 1, Υ = 1.

Να υπολογίσετε το ε μ β αδόν του χωρίου π ου περ ικλείεται από τι ς γραφ ικές πα ραστά σ εις των σ υν αρτ ήσ εων

286

f (x) = ημ κ , g(x) = - σ υνκ κ αι τις ευθείες χ = ο , χ = π .

Αν ε είναι η εφαπτομένη της γραφικήσ παράσταση; στο σημείο Α(Ι

,e),

της συνάρτηση;

f(x) = e'

να βρείτε το ε μ β α δ όν του χωρίου που περικλείεται από τη

την ευθεία ε , τον άξονα χ ' Χ και τη ν ευθεία Χ = -

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χω

ρίου του διπλανού σχήματος.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικ λείεται

ί) από τις παραβολές /

= - χ +4

και Υ 2 = Χ

ίί) από την παραβολή Υ2 = Χ + Ι και την ευθεία Χ - Υ - Ι

Αν Α

είναι

το

χωρίο

που

περικλείεται. από

= ο.

τη γραφική

παράσταση

της

f(x) = ~ , τις ευθείες Χ = Ι, Χ = 3 και τον άξονα Χ ι Χ, να προσδιορίσετε ευθεία χ.

Υ = α που να χωρίζει το Α σε δύο ισοεμβαδικά χωρία.

Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή, γύ ρω από τον άξονα Χ ι Χ, του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστά-

σεις των συναρτήσεων f(x) = Χ 2 και 8.

g(X) = j;.

Όταν ένα αέριο διαστέλλεται σ ' έναν κύλινδρο ακτίνας τ, η πίεση Ρ που α σκείται μέσα στην επιφάνεια

δηλαδή Ρ

= ρ(ν). Να

S του

κυλίνδρου είναι συνάρτηση του όγκου του ν,

αποδείξετε ότι το έργο που παράγεται κατά τη διαστολή

του αερίου από όγκο ν ι σε όγκο ν 2 είναι

νι

\ r

PdV

Jνι 9.

~-- - χ ----~ Δυο ηλεκτρόνια που βρίσκονται σε απόσταση Γ απωθούνται με μια δύναμη

F = Κ2 ,κ σταθερά. Το ένα ηλεκτρόνιο είναι ακίνητο ενώ το άλλο κινείται πάνω Γ

στην ευ θεί α που τα ενώνει . Να βρείτε το έργο που παράγει η

F όταν η

απόσταση

των ηλεκτρονίων από Γ ι γίνεται Γ 2 .

287

7.11

Διαφορικές εξισώσεις

ο Γενικά Κατά τη περιγραφή διαδικασιών τη ς Φυσικήξ

της Τεχ νολογίας, της Βιολο

γίας, της Οικονομίας ακόμη και της Λογικήξ οδηγούμαστε συχνά σε σχέσεις με ταξύ μιας συνάρτησηξ Υ, των παραγώγων της Υ'

μεταβλητής Χ , π.χ.

Υ ! =3ΧΥ ,

Υ" , ..

και της ανεξάρτητης

Υ" +2Υ' + y = e'.

Παραδείγματα που οδηγούν σε ανάλογες σχέσεις είναι τα επόμενα:

1. ' Εχει

αποδειχθεί πειραματικά ότι ο ρυθμό ς μεταβολής ως προς το χρόνο του

πληθυσμού Ρϊι) μιας κοινωνίατ; (ανθρώπων, βακτηριδίων κ.λπ .), η οποία δεν επηρεάζεται από εξωτερικού; παράγοντεξ , είναι ανάλογοι; του πληθυσμού, δηλαδή

= αΡ(ι)

dP dt

Ρ' = αΡ ,

α θετική σταθερά

(ι)

Γνωρίζουμε ότι αν ένα σώμα κατά τη χρονική στιγμή t = Ο έχει θερμοκρασία

Το, η οποία είναι μεγαλύτερη από τη θερμοκρασία α του περιβάλλοντοξ, την

οποία θεωρούμε σταθερή, τότε το σώμα εκπέμπει θερμότητα προς το περι βάλλον και ψύχεται.

ρυθμό

dT , dt

ράς τω

dT dt

' Εχει

διαπιστωθεί πειραματικά ότι το σώμα ψύχεται με

ο οποίος σε κάθε χρονική στιγμή

είναι ανάλογος της διαφο

α, δηλαδή

= _ k(T(t) - α)

Τ' = - k(T - α),

k θετική σταθερά

(2)

Ονομάζουμε διαφορική εξίσωση, κάθε εξίσωση που περιέχει μια άγνωστη συ

νάρτηση , κάποιεξ από τις παραγώγου; της και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Π .χ. διαφορικέτ; εξισώσεις είναι οι εξισώσεις (1) και (2) καθώτ; και οι Υ! =2ΧΥ ,

γ' +2Υ '

+y=e'.

Ονομάζουμε τάξη της διαφορικήξ εξίσωσης τη μεγαλύτερη από τις τάξεις των

παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωση. Π .χ. η τάξης ενώ η

Υ " +2Υ'

+y=e '

Υ' =2χΥ 2

είναι πρώτης

είναι δεύτερης τάξης .

Το πρόβλημα, που θα μας απασχολήσει είναι ο προσδιορισμότ; όλων των συ ναρτήσεων Υ =

f(x),

τηση

που ικανοποιεί τη

Υ=

f(x),

οι οποίες ι κ α νο π οιούν μια διαφορική εξίσωση. Κάθε συνάρ διαφορική εξίσωση

διαφορικής εξίσωσης.

Για παράδειγμα η διαφορική εξίσωση Υ' =2χ

288

(3)

ονομάζεται λύση της

έχει λύσεις τις συναρτήσεις

Υ=χ όπου

c είναι

μια σταθερά. Αυτό διαπιστώνεται

εύκολα, αφού (χ 2 + c) ι

= 2χ.

'Όπως είδαμε στο

παράδειγμα μας, γενικά μια διαφορική εξίσω ση έχει άπειρες λύσεις (Σχ.Ι).

Θα λέμε ότι η οικογένεια των συναρτήσεων Υ= όπου

f(x,c)

(4)

διατρέχει ένα υποσύνολο Κ του

IR,

εί

ναι η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης Υι

= φ(χ,)ι)

όταν για κάθε οε Κ η ρικής εξίσωσης

(4) είναι

(5) λύση της διαφο

Σχ. 1

(5).

Η λύση που παίρνουμε για κάθε συγκεκριμένη τιμή της

c ονομάζεται μερική λύ

ση της διαφορικήξ εξίσωσης.

Υ = χ 2 + ο,

Για παράδειγμα οι συναρτήσεις ση της διαφορικήξ εξίσωσητ;

Υ=χ

. Συχνά

και για

(3)

2-1

c ε IR, αποτελούν τη γενική λύ c = - Ι παίρνουμε τη μερική λύση

όμως ζητείται να βρεθεί εκείνη η μερική λύση

f(x),

που η γραφική της πα

ράσταση περνά από ένα συγκεκριμένο σημείο (Χο,Υο) του καρτεσιανού επιπέδου,

δηλαδή η λύση που ικανοποιεί την ισότητα

f(x o) = Υο'

Την ισότητα αυτή ονομά

ζουμε και αΡΧΙΚΙ1 συνθήκη του προβλήματος. Για παράδειγμα η μερική λύση της εξίσωσης, Υ ι συνθήκη

f( -

Ι)

= 2χ που ικανοποιεί την αρχική

βρίσκεται ως εξής:

Στη γενική λύση Υ = χ

+ ο, θέτουμε χ = - 1 και Υ = 3, οπότε έχουμε 3=(-I)2+ c ή 3=I+c ή c=2. Υ =χ

Επομένως η ζητούμενη μερική λύση είναι η

(Σχ.Ι)

ι Όταν μια διαφορική εξίσωση μπορεί να γραφεί με τη μορφή

g(y)' Υ'

= f(x),

τότε λέμε ότι έχουμε μια διαφορική εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών, από το γεγονός ότι μπορούμε να χωρίσουμε τα Υ' και Υ από το Χ. Π.χ. η διαφορική εξίσωση

-'Υ

= 2χ

(1)

είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος της είναι πα-

ράγωγοτ; ως προς χ της συνάρτηση; Ο(Υ(Χ») = _1. , ενώ το δεύτερο μέλος της Υ

2 Χ9

είναι η παράγωγοι; της συνάρτησης F(x) = χ 2 • Επομένως έχουμε

[G(Y(x»)]' = [F(x)]' ή πιο απλά G'(y)=F'(x). Αυτό σημαίνει ότι οι

G ή

G(y)=F(x) +c

και

διαφέρουν κατά μια σταθερ ά ο, δηλαδή

-Υ

=χ

Υ=

Επομένως η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

Για c = - Ι

, λ υση '

παιρνουμε τη μερικη

(1)

-x2 + c

είναι Υ= - -21- . χ

= - - 2Ι--Ι . Χ

Η παραπάνω μέθοδος επίλυσης μπορεί να εφαρμοστεί για όλες τιτ; διαφορικέξ εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών, ως εξής: Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης

•

Προσδιορίζουμε μια αρχική

G(y)

g(y)' Υ ' της

= f(x)

g(y)

και μια αρχική

F(x) τικ; f(x) , οπότε

η διαφορική εξίσωση γράφεται

G'(y)·y' =F'(x)

•

[G(y(x»)] ' = [F(x)] ,

Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι

G( y) = F(x) + c

•

(*)

Λύνουμε την

(*) ως προς Υ και παίρνουμε την Υ ως συνάρτηση της χ και της

σταθεράς

δηλαδή τη γενική λύση.

Πολλές φορές η διαφορική εξίσωση

g(y) . ~ dx

= f(x) γράφεται με τη συμβο

λική της μορφή

g(y)dy = f(x)dx από τη οποία προήλθε η γραφή της ισότητας

(*)

με τη μορφή

Ι g(y)dy = Ι f(x)dx + ο, όπου τα αόριστα ολοκληρώματα αντιπροσωπεύουν μια αρχική και όχι το σύνο λο των αρχικών .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση e Y dy - χ - χ 3 = Ο και να βρεθεί η μερική dx

λύση για την οποία ισχύει Υ(Ο)

290

= 1.

Λύση Η εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών και γράφεται e Y

dy =χ+χ 3

dx Μια αρχική της

Επομένως

e Y είναι η e Y και μια αρχική της χ + χ 3 είναι η -

(e Y) ' = (~2 +

~. ) '

χ2

χ'

+- . 2 4

οπότε η γενική λύση είναι

Επειδή Υ(Ο)

από τη γενική λύση παίρνουμε

1 = Ιn(Ο + c)

c = e,

οπότε η ζητούμενη μερική λύση είναι η

2. Ν α λυθεί η διαφορική εξίσωση

ΥΥ ι

+ (l + Υ2)ημχ =

ο.

Λύση Η εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών και γράφεται

~ ' Υ ' = - η μχ

1 + Υ2

~dy= -ημΧdΧ, Ι+Υ

οπότε

] 1: /

d Y=]

-ημΧdΧ+C ή 12

ln(y 2+ Ι) = 2συνχ + c

!(Υ2+ Ι ) '

dy= _

Υ2 + 1

ΙημΧdΧ+C

Επομένω ς η γενι κή λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι

Υ = ± ;Je <'e20U vx-1

η'

Υ=

+ ./ ' e2ouvx _ I

_ν C ι

c ι >0

Παρατηρήσεις

Η γενική λύση δεν είναι απαραίτητο να δίνεται με μια μόνο ισότητα .

Στο παράδειγμα διατρέχει το

αντικαταστήσαμε το

IR, το e< διατρέχει

το (Ο ,

eC,cEIR,

με το CI

>0,

αφού όταν το

οο).

291

Με τ ον ό ρ ο στα θερά c εννοού με κ ά θε πραγμα τικ ό α ριθ μό c,για τ ον οπ οίο η ισ ότητα (*) έχει νόημ α . Στ ο τελευτα ίο παρ άδειγμ α η δ ι αφ ορική ε ξίσω ση ο ρί ζετ αι για κ άθε χ ε IR. Επομ ένως,η σ τα θερ ά c πρέπει να είναι τέτοια , ώ σ τε για

κά θ ε x EIR ν α ι σχύει ec - Zou," ~ Ι = e o

c +2cruvx ~0

c~2

CI ~ e Z .

3. Να λυ θεί η διαφορική ε ξίσωση Ρ ι (t) = αρω ( π α ρ άδ ειγ μα 1, Γενικά) . Λύση Η εξίσω ση είναι χωρ ιζόμενων μεταβλητών. Επειδή το Ρ (ι ) ε κ φ ρ άζει πληθυσ μό είναι Ρ ι ι ) > Ο, ο π ό τε η εξίσωσ η γ ράφε τ αι

Ι . Ρ ' =α

Μ ια α ρχι κή τη ς

είναι η InΡ και τη ς α είν αι η αι, οπότε έχουμε

InP (t) = at+ c, c EIR,

P (t) = e αt + c, c EIR,

P (t)=e c' e αt, cE IR.

Επομ ένως η γενική λύση της δια φορι κή ς εξίσω σης αύ ξη σ ης του π ληθ υσμ ού είν αι

P (t) = C I • e αt ,

>Ο

Αν ο πληθυ σ μότ; μιας κοινωνίας κ ατ ά τη χ ρονική στιγμή

t=Ο

είναι Ρο , τότε π ρέ

πει να ισχύει Ρ ο= Ρ(Ο) = c ιe α . ο = C ι • Αυτό σημαίνει ότι για την κοινων ία αυτή η συ

νάρτηση π ο υ δ ίνει τ η ν αύξηση του πληθυ σμού είναι :

P(t ) = Po'e αt ,

ι εΟ

(1)

Σχόλιο:

Επε ιδή η τελε υταία ε ξίσ ωση παρουσι άζει ι δ ιαίτ ε ρ ο ενδ ιαφερον θα τη σ χολι άσουμ ε λίγο . Στην εξίσωση (1 ) σημαντι κό ρόλο παίζε ι η σταθερά α , την ο π ο ία μπορούμε να υπο λογ ίσο υ με ω ς εξής :

Αν ο πληθυσ μός σε μια άλλ η χ ρ ον ική στιγμή

P Ειδικότερα αν

'=P

αl

ε ίναι Ρ , τό τ ε

"Ρ ,

at , =l n-

Ρο

Ρ,

ι,

Ρο

α= - Ι π-

είναι ο χρόνος , διπλασιασμού του πληθυσμού , δηλαδή Ρ ,

α = -l in2

= 2Ρ ο ,

τότε

Εδ ώ κ α ι αρκετά χ ρόνια ε ίν αι γνωστό ότ ι ο π λ η θυσ μός τη ς γης δ ιπλασ ιάζετα ι κ ά θ ε

Επομένως ,σύμφω να με τον τελευτα ίο τύπο,η σταθερά α ισούται με α=-~Ίπ2

35 χ ρό νια .

= 0, 02.

35 1986 ή τ αν 5 δ ισε κα τομμ ύρια . Επομένως μετά t χρόνια από το 1986, ο πληθυσμός της γης θα είναι P(t)= 5 · 10 ge O,02t . Το έτος 2501 ο πληθυσμός της γης , σύμφωνα με τον τ ελευ τ αίο τ ύπ ο, θα είναι 148 τρ ισεκατομ μύ ρια. Η στερεά επιφανεια της γης είναι 149 τρ ισεκατομμύρ ια 2 m • Αυτό ση μαίνει ότι τότ ε σε κά θε άνθρωπο θα αντιστο ιχεί μόνο 1 m 2 γης. Από τα στοιχεία τ ο υ Ο.ΗΕ π ρο κύπτ ε ι ότι ο π ληθυ σ μό ς τη ς γης τ ο

Η πρόβλεψη αυτή είναι φοβερή , δε λαμ β άν ει όμως υπό ψη τη ς ό τι δ ιάφορο ι άλλο ι παρ άν ο ντες (επιδημ ίες , έλλε ιψη τροφήο , απροθυμ ία τε κνοποίησης κ . ά .) δεν θα επιτρέψουν τέτοι ες αυξήσεις. Επίσης πρέπει να επισημανθεί ότι εξισώσε ις αυτής της μορφήο ισχύουν γ ια περιορι σμένα χρονικά περ ιθώρια Π.χ . ένας παράγων που αλλάζε ι οπωσδ ήποτε ε ίνα ι ο συντελεστής α.

292

Ο σχολιασμόςανήκει στον φορικών εξισώσεων

Prof. Dr. Harro Heuscr και είναι γραμμένος στο Gewoehnliche Differentialgleichungen.

Να λυθεί η διαφορική εξίσωση Τ ι

= - k· (Τ -

α) (παράδειγμα

βιβλίο του των δια

Γενικά) και να

προσδιοριστεί η μερική λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη Τ(Ο)

= Το.

Λύση Η διαφορική εξίσωση γράφεται

1 Τ-α

·Τ

=-k

Μια αρχική της _1_ είναι η lnlT - α] = Ιn(Τ - α) (επειδή Τ - α >0) και μια αρχι Τ-α

κή της

- k

είναι η

- kt.

In(Τ(t)-α)= -kt+c

Επομένως ισχύει

T(t)-a=e- kt + c

Τ(t)=α+eCe-kt, cEJR.

ι Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα η γενική λύση της εξίσωσης γράφεται

Τ(t)=α+cιe- kΙ, cj>O Για ΤΟ

την αρχική συνθήκη Τ(Ο) = ΤΟ από τη = Τ(Ο) = α + Cje = α + Cj, δηλ. Cj = Το - α, οπότε η T(t) = α + (ΤΟ - α)e -kt

Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος ίω, που διαρέει ένα κύκλωμα πηνίου αυτε

παγωγής

ωμικής αντίστασης

γενική

λύση

παίρνουμε

ζητούμενη λύση είναι

και με σταθερή ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε> Ο,

ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση

Ε = L . di + iR

L . di = Ε - iR dt

(1)

Να προσδιοριστεί η ένταση ί του ηλεκρικού ρεύματος, αν ί(Ο)

Για ί

*-:

= Ο.

παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών 1

--.--E-iR dt L

_1_di=_1dt E-iR L'

-_I-lnIE-iRI =_1t+c j

Rt IE-iRI=e-r ·e- cjR

οπότε

I -

l- .- di = E-IR

Ι_Ιdt+cj L

Rt IE-iR!=C2e- L, 293

Επομένως

Rt . Ε + -Cze --L

E-iR= ±cze- r

1=-

R - R

Τελικά η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων είναι

+-e R

l=~

(2)

c*O

Επειδή η ένταση του ρεύματος κατά τη χρονική στιγμή t = Ο είναι ί(Ο) = Ο, θέτου με στη

(2)

τις τιμές αυτές και υπολογίζουμε την σταθερά

0= Ε +~ eO

Έτσι

C= -Ε

Στην περίπτωση αυτή η μερική λύση είναι

ί=~ (l-e-~) Η σταθερή συνάρτηση ί = ~ είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης Ε )' L. R

(

Ε- R Ε R ,η

"δ εν

οποια ομως

(1),

αφού

, λ'υση.

προκυπτει απο τη γενική

Παρατηρήσεις 'Οταν μια εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών έχει τη μορφή Υ' = f(x)g(y), τό

τε κάθε συνάρτηση της μορφής Υ = Ρ

όπου Ρ

είναι ρίζα της εξίσωσης

g(y) = Ο, είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης. Όπως π. χ. στο τελευταίο πα-

'δ ειγμα

ρα

η συναρτηση

Ε R

Η διαφορική εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών μπορεί, αν αυτό διευκολύνει τις πράξεις μας, να γραφεί και με τη μορφή

g(y) = f(x#

f(x)x'

= g(y),

όπου η Υ θεωρείται ανεξάρτητη μεταβλητή και η χ εξαρτημένη μεταβλητή. Ο τρόπος εργασίας και στην περίπτωση αυτή είναι ο ίδιος.

294

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' Ομάδα

Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις

ί) Υ'

=x+e- x

iii)

ΧΥ'

-Υ,

χ>ο

Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση ΥΥ' =2x.Jy 2+9 , xEIR, όταν για χ=Ο εί ναι Υ=4.

Να βρείτε τη συνάρτηση Υ =

Υ' = _Υ 2ημχ και

f(x)

f'(f)

για την οποία ισχύει

ίί)Υ'

ΧΥ

Να λύσετε την εξίσωση

και

f(O) = 1.

ίν) Υ' =(1 +Υ)συνχ και

ίίί) ~ =_1_, x~1 και f(1)=2 1 -ί-Χ

=e x - y

(1 + ημΧ)Υ' = συντ,

χε(Ο,π)

f(;) = 2

και μετά να βρείτε τη

συνάρτηση που είναι λύση της και έχει γραφική παράσταση που τέμνεται με την ευθεία 2χ + 2Υ - π

=Ο

Να βρείτε τη συνάρτηση

στον άξονα χ' Χ.

f που η

γραφική της παράσταση διέρχεται από το ση

μείο Α(l,I)iκαι η εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε 'σημείο .τητ; 'Μ(Χ,Υ), 2

χ >0. έχει συντελεστή διεύθυνσης Υ 3

•

Σε μια σταθερή οικονομία η αξία μιας τηλεόρασης μειώνεται συνεχώς με ρυθ

μό που είναι ανάλογος της τιμής της. Αν μια τέτοια τηλεόραση πωλείται δρχ. και η αξία της αξία της

χρόνια αργότερα είναι

120.000

160.000

δραχμές, να βρείτε την

χρόνια μετά την πώλησή της.

Ομάδα

Να λύσετε τις διαφορικέξ εξισώσεις

ί)Υ'·εφΧ=Υ, xε(o,~), ii)eY'y'=lnx,x~e,

αν για x=~ είναι Υ=2.

ανγια

x=e

είναι ν ν Ι.

295

2. Να βρείτε συνάρτη ση Υ = f(x) για τη ν οποία ισχύει Υ ' = Υ

Υ και η γρα

φική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(Ο,+ ). 3.

Αφ ού θέσ ετε Υ =

ux , όπ ου u συνά ρ τηση του Χ , να β ρείτε τη συνά ρ τη ση Υ = f(x),

όταν

i) ΧΥ ' =Χ + Υ,

χ>Ο

και

f(e) =0

Αν Υ = Υ(Χ) είναι ο αριθμός των οικογενειών που έχουν ετήσιο ει σόδημα τουλά χιστον Χ εκατομμύρια δραχμέξ,

είναι

= -

1 < χ < 20,

τότε η σχέση που συνδέει τα Χ ,Υ

κ . Υ , κ σταθερός αριθμός . Αν σε μια κοινωνία Χ

300

οικογένειες

έχουν ετή σιο εισ ό δη μ α τουλά χιστον

10.000.000 δραχμέξ, ενώ 1200 οικογένειες 5.000.000 δραχμέ ξ , να βρείτ ε πόσες οικο τουλάχιστον 2.000.000 δραχμές .

έχουν ετή σιο εισ ό δη μ α τουλάχισ τον

γένειε ς έχουν ετή σιο εισόδημα

______

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 70 υ

ΚΕφΑΛΑIΟΥ

Γ' Ομάδα

'· 1.

Αν ο ι συναρτήσει ς

f ,g είναι συνεχεί ς στο διάστημα [ α , β ], να αποδείξετε ότι

βα f(x) . g(x)dx )2~ \ βα (f(x)) 2dx · \ βα (g(x)) 2dx

( \

(Ανισ ό τητα

Αν η συνάρτηση

f(x)

296

Schwarz)

είναι συνεχής και για κάθε

x EIR ισχύει

2Χ + Ι

g(t )d t ,

να αποδείξετε ότι

[ ' (χ) = 2g(2x + 1) - g(X).

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

[ ( IX!+3IX-I1)dX

Αν Ι\'= f

x\'euxdx, aEIR*

ει το Ι\' με το 5.

1\, -1

και μετά να υπολογίσετε'τ ο

[-1,1],

να αποδείξετε ότι

ίί) r"χf(ημχ)dχ = ~ ("f(ημχ)dΧ Jo 2 Jo

Να υ π ολ ογί σετε τα παρακάτω όρια

(~ [ Χ .Jt ημ.Jt

χ-ο + χ

Α ν γ ι α κάθ ε

με α

+β

x E IR

iί)

dt)

η σ υν άρτηση

lim (_1_ [Χ χ - 3 Χ - 3 J3

dt)

είν αι σ υν ε χή ς και ισ χύ ει

Ο, να αποδ εί ξετ ε ό τι

ημt

f(x)dx= - -r

α+β

f- 2

a f(x) + βf( -

Χ)

=γ,

Να. υ πο λ ογ ί σ τε τα ολοκληρώματα

ί)

10.

χ σ υνχ

I~f(ημχ)dχ = f:f(aUVX)dX

i) 'lim

. --9 .

\, - 1

Αν η συνάρτηση Γ είναι συνεχής στο π

\' - 2 - - ημ

Jx 4e uxdx.

Αν Ι\' = jημ \' ΧdΧ, ν εΙΝ, να αποδείξετε ότι για κάθε ν~3 ισχύει Ι \'= -ν - -Ι

και ν εΙΝ,με ν~2, να βρείτε τη σχέση που συνδέ

- - dx Jο Ι + e x

ίί)

[2 e

" '< + ' -' ~A

Σε σφαίρα ακτίνας R ανοίγουμε μια οπή με άξονα μια διάμετρό της και ακτίνα ΑΒ = Ρ (ρ

e -X

J - --dx

< R). Να υπολογίσετε τον όγκο του

__~~ ---

/1\ Ρ

- - - -0- - r - 'βi-

στε

ρεού που απομένει

297

-_.~L.,---11.

Ένα σώμα μάζας

__---

κινείται σε άξονα υπό την επίδραση μια ς δύ ναμη ς

Να

αποδεί ξετε ότι το έργο πο υ παρά γει η δ ύναμη κατά την μετακίνηση του σ ώμα τος από τη θέση χ ι στη θ έση Χ1, είν αι ίσ ο με τη μεταβο λή τη ς κινητική ς του ε

νέργειας'.

·12.

ί) Να βρείτ ε σ υ νάρτηση

y =f(x)

γι α τη ν ο π οία ισχύει ΧΥ ' =χ + 2Υ , χ> Ο και

η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( Ι , - ~ ). ίί) Να υπολογίσετε το εμβαδ όν του χω ρί ου που περ ικλείεται από τη γ ρ α φι κ ή παράσταση της

13.

του ά ξονα χ 'χ και την ευθ εία χ =5.

Να λύσ ετ ε τις εξισώσεις.

, ,

i)y ' - y = ylnx

________

Δ' Ομάδα 1.

Χ-Υ'

χ+ι

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

---ι

Στους παρακάτω ισχυρισμούς υπάρχει κάποιο λά θο ς . Ποιο είναι αυτό; Δικαιο λογήστε την απάντησή σας .

ί) Αν για κάθε χ που ανήκει σ ' ένα σ ύνολο Δ ισχύει

f' (χ»Ο, τότε η f

είναι γνη

σίως αύξουσα στο Δ.

ίί) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ' ένα εσ ωτερικό σημείο

·1

χ ο ενός διασατήματος Δ, τότε

f' (Χο ) = Ο .

ίίϊ) Αν για κάθε χ που ανήκει σ ' ένα σύνολο Δ ισχύει σταθερά

τέτοια, ώστε

ίν) Αν μια συνάρτηση

f(x)=g(x)+c,

f ' (χ) = g' (Χ),

τότε υπάρχει

κεΔ

στο σημείο χ ο ενός διαστήματος Δ είναι παραγωγίσι

μη και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, τότε

f' (Χο ) =

Ο.

»,

ν) Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει σημείο καμπής (xo,f(x o τότε f " (Χ ο ) = Ο.

νί) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f"(x o) = Ο, τότε το σημείο (xo,f(x o» είναι ση μείο καμπής της γραφικής παράστασης.

298

vii) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ, τότε γιακάθε α,βεΔ

ισχύει jJ:f(X)dXj ~ ί: ι f(x) Ι dx. 2.

f(x) =

Δίνεται η συνάρτηση

i t

χ + 1, χ < ο

-2χ+ 1,

x~o

i) Να τη μελετήσετε ως προς τη συνέχειά της και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

ίί) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

τις ευθείες χ =

Δίνονται οι συναρτήσεις

f(x) =

- 1,

χ: 1 και

και τον άξονα χ Ι Χ.

g(X) = αχ + (α +

ί) Να βρείτε την τιμή του α.ώστε το ακρότατο της

)χ, α ε IR*.

να βρίσκεται στην κατα

κόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

ίί) Αν α =_1_ , να αποδείξετε ότι υπάρχει κοινό σημείο των γραφικών παρα 2

στάσεων των

f, g,

στο οποίο αυτές έχουν την ίδια εφαπτομένη.

f(x)=i αχ

Δίνεται η συνάρτηση

2+4,

χ<2

x~2

2+βχ,

ί) Να βρείτε τις τιμές των α, β αν η

είναι συνεχής και οι εφαπτόμενεξ της

γραφικής της παράστασης στα σημεία με τετμημένες

- 1

και

είναι πα

ράλληλες.

ii) Για τις παραπάνω τιμές των α.β, να προσδιορίσετε τα τοπικά ακρότατα της f.

Δίνεται η συνάρτηση

f(x) = --:---

ί) τα διαστήματα μονοτονίας της

Να βρείτε

ίί) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

τις ευθείες Χ=

-1,

Δίνεται η συνάρτηση

ί) Να αποδείξετε ότι η

χ=

f(x) =

και τον άξονα χΙχ.

3χ2 ,

χ<

3 -,

x~l

είναι ολοκληρώσιμη.

ίί) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου (Α) που περικλείεται από τη γραφική πα ράσταση της

την ευθεία χ =

και τον άξονα χ Ι Χ.

299

ί ί ί ) Να βρείτε τ ον όγκο του στ ερ εού που προκύπ τει απ ό τη ν π ερ ιστροφή του χ ω ρ ίου ( Α ) γύ ρ ω από τον ά ξονα χ ' Χ .

Αν για κάθε χε [Ο, + (0) είναι

f '(x»O

να α π ο δε ί ξ ε τε ότι γ ια κάθε χ ε ( Ο ,

+ (0)

και

F( x) = ['f(t)dt, J (J

·F(x) < F ' (x).

ισχύει χ

Δ'

ινεται η

συναρτη σ η

[() In x χ =- -

Να 'προσδιορίσετε τα σημεία καμπή ς τη ς γραφική ς παράστασητ; τη ς f .

ί ί ) Να βρ εί τε σ υ νάρτηση Υ =

g(x)

γ ι α τ ην ο ποί α ι σ χύει Υ ' =

τη ς παρ άσταση δ ιέρχεται από το σημ είο (Ι

ί) Ν α βρ είτ ε συν ά ρ τησ η Υ

= f(x) για

f(x)

και η γρ αφ ικ ή

,3).

τη ν ο π οί α ισχύει Υ'

= (χ + 2)e'

κα ι [(Ο)

= Ι.

ίί) Ν α υπ ολ ογίσετε το ε μ β αδ ό ν τ ου χωρί ο υ που περικ λείεται από τ η γραφική παράσ ταση τ ης

10.

τ ους ά ξο νε ς χ' Χ , Υ' Υ κ αι τ ην ευθεί α Χ = Ι .

Να βρείτε το διάστημα [ α,β] στο οποίο το ολοκλήρωμα

[(-x

+ X+ 2)dX

παίρ νει μ έγιστη τιμή.

ί ) Ν α απ ο δ είξετε ό τι για κάθ ε

11.

ίί )Αν για κάθε

xE IR

ι σχύ ει

x EIR ι σ χύει α '~x+ 1, α >Ο , ν α απ οδ είξετ ε ότι a = e.

ίί ί ) Να βρ είτε το εμβαδόν τ ου χωρίου π ο υ π ερικ λείεται απ ό τι ς γ ρ α φ ι κές παρα

στ άσεις τ ων συναρτήσ εω ν

f(x) = e' · (χ 2 + 2) ,

τη ν ε υ θ ε ία χ = Ι και το ν ά ξο να Υ Ύ

12.

g(x) = χ 3 + χ 2 + 2χ + 2,

Η θε ρ μ οκ ρ α σία Θ ενό ς σ ώματο ς , που βρίσκεται σ ε περιβά λ λο ν θερμοκρασ ία ς Τ

< Θ,

μ ειώ νεται μ ε ρυθμ ό ανά λογο ω ς ανά λογο τη ς δ ι αφ ο ρ άξ Θ-Τ .

i) Ν α προσδιορίσετε τη θ ερ μοκ ρα σ ία Θ(ι) τ ου σώμ ατος ως συνά ρ τη ση του χρό νου

iί) Αν τη χρο νική στιγμή ι

= Ο είναι Θ = 3Τ και μετά

10 sec είν αι Θ = 2Τ , να = 20 sec.

τε τη θ ερμο κρασία του σ ώμα το ς τη χρ ονική στιγμή Ι ίί ί) Να βρ είτ ε τ ο

Iim ι-

300

+ cr

Θιτ ) και να ε ρ μ η νεύ σε τε τ ο α π ο τ έ λεσμα .

β ρ εί

13.

' ' Δινεται η συναρτηση

f( χ) =--2lnx Χ

ί) α) Να βρείτε τις ασ ύμπ τωτετ; της γραφικής παράστασης της

β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της

και να προσδιορίσετε τα ακρότατά τηξ.

iί) α) Να βρείτε τις τιμές των α.β ώστε η συνάρτηση

αΙπχ+ β

να είναι αρ-

χική της Γ.

β) Να βρείτε το

Iim Κ-

Ε(κ), όπου Ε(κ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περι-

κλείεται από τη γραφική παράσταση τητ; f τις ευθείες χ = Ι, χ = κ>

1 και

τον άξονα χ ' χ.

014.

Αν για τη συνάρτηση

ισχύουν

5f'(x)+3f(x)= 10 ί) Να προσδιορίσετε την

για κάθε

xEIR

και

f(O) =0

iί) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα

ράσταση της

τις ευθείες Υ = ~ . χ = 5 και τον άξονα Υ ' Υ. 3

301