Θαλης Γ Γυμνασίου 1998-2011

mathematica.gr

Θέματα Μαθηματικών διαγωνισμών Ε.Μ.Ε Θέματα διαγωνισμού "ΘΑΛΗΣ" Γ΄ Γυμνασίου

1998 – 1999

1/8

mathematica.gr

1999- 2000

2000 – 2001

2/8

mathematica.gr

2001 – 2002

3/8

mathematica.gr

2002-2003

4/8

mathematica.gr

2003 – 2004

5/8

mathematica.gr

2004-2005

2005-2006

6/8

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 210 3616532 - 2103617784 - Fax: 210 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 210 3616532 - 2103617784 - Fax: 210 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 ος

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4

⎛ 3⎞ 4 4 ⎜− ⎟ ⋅2 −3 + x 2⎠ ⎝ , 1. Δίνονται οι παραστάσεις: A = 0 ⎡⎣1 − (−1)2009 ⎤⎦

2

⎡(−2) 2 + (−1) 2 ⎦⎤ x ⎣ + .

B= 5 2

Αν είναι A = B , να προσδιορίσετε την τιμή του x .

Μονάδες 5

2. Το σημείο Α( −λ + 2, 4λ − 1) ), όπου λ θετικός ακέραιος, βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων Oxy . Να βρεθούν: (α) ο θετικός ακέραιος λ , (β) το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΟΑ και (γ) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΟΒΑΓ , όπου Β, Γ είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο Α στους θετικούς ημιάξονες Ox και Oy, αντίστοιχα. Μονάδες 5 3. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ = α , ΑΔ = 2α και τέσσερα ημικύκλια εξωτερικά του ορθογωνίου. Ο εξωτερικός κύκλος έχει κέντρο το σημείο τομής Ο των διαγωνίων του ορθογωνίου. Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εμβαδόν Μονάδες 5 του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

4. Αν ισχύει

45ν ⋅ 22ν = 900 , όπου ν θετικός ακέραιος, να βρεθεί η τιμή της παράστασης 6ν Α = 2003 ⋅ (−1)ν − (−1)ν +1 + 4 ⋅ (−1)ν + 2 . Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 71ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2010 Γ΄ Γυμνασίου 1. Αν x + y = 3 ⋅ ( −2 )

2

6

−4

⎡⎛ 3 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 3 ⎞ 6 ⎤ και y − w = ⎢⎜ − ⎟ ⎥ ⋅ ⎢⎜ − ⎟ ⎥ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης: ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ Α = 7 x + 10 y − 3w − 87 .

4

2. Να βρείτε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό, αν γνωρίζετε ότι ισχύουν όλα τα παρακάτω: (α) Το ψηφίο των μονάδων του είναι πολλαπλάσιο του 4, (β) Το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων του, (γ) Το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι διαιρέτης του 5 , (δ) Το ψηφίο των χιλιάδων του είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων του μειωμένο κατά 1. ˆ = 1200 . Στο εσωτερικό της γωνίας Α φέρουμε 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ημιευθείες Αx και Αy κάθετες στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ, αντίστοιχα που τέμνουν την πλευρά ΒΓ ˆ = 1200 , ΑΕΔ ˆ = 600 και το ύψος ΑΗ έχει μήκος 2 3 στα σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα. Αν ΑΔΒ

μονάδες μήκους, τότε: α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισόπλευρο. β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. γ. Να βρείτε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ.

4. Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά 2ρ .Ονομάζουμε Χ1 το χωρίο που

αποτελείται από τα τέσσερα κυκλικά τμήματα του κύκλου C ( Ο, ΟΑ ) που ορίζονται από τις

χορδές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ. Επίσης ονομάζουμε Χ 2 το χωρίο που βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου C ( Ο,ρ ) και εσωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

α. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου Δ ( Ο,ρ, ΟΑ ) που ορίζεται από τους κύκλους C ( Ο,ρ )

και C ( Ο, ΟΑ ) . β. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά Ε ( Χ1 ) και Ε ( Χ 2 ) των

χωρίων Χ1 και Χ 2 , αντίστοιχα, έχουν λόγο

Ε ( Χ1 ) Ε ( Χ2 )

13 .

5 γ. Να προσδιορίσετε την ακτίνα x του κύκλου C ( Ο, x )

μεγαλύτερο του

που χωρίζει τον κυκλικό δακτύλιο Δ ( Ο,ρ, ΟΑ ) σε δύο κυκλικούς δακτύλιους ίσου εμβαδού. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 72ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” 19 Νοεμβρίου 2011 Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Αν   101 :103 ,   105 :107 και   101 1000 να βρείτε την τιμή της παράστασης:

  6         

2

Πρόβλημα 2 Να βρεθούν οι ακέραιοι που επαληθεύουν και τις δύο ανισώσεις:

x x 5  2 2 4

και

x 3 2x  9 2   x.

4 8

Πρόβλημα 3 Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy δίνεται ότι η ευθεία

   με

εξίσωση

y   3  1 x  2  , όπου  ,  πραγματικοί αριθμοί, είναι παράλληλη με την ευθεία   με εξίσωση y  2 x και περνάει από το σημείο   2,8  . (α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς  και  . (β) Να επαληθεύσετε ότι τα σημεία   4, 4  και   1, 2  ανήκουν στην ευθεία    και να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ.

Πρόβλημα 4 Στο διπλανό σχήμα τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι τετράγωνα. Το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει πλευρές που εφάπτονται του κύκλου C  ,   στα σημεία Α, Β, Γ και Δ. (α) Να βρείτε το άθροισμα 1 των εμβαδών των τεσσάρων χωρίων που βρίσκονται εσωτερικά του κύκλου C  ,  

και εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. (β) Να βρείτε το άθροισμα  2 των εμβαδών των τεσσάρων χωρίων που βρίσκονται εσωτερικά του τετραγώνου ΕΖΗΘ και εξωτερικά του κύκλου C  ,   .

(γ) Να αποδείξετε ότι

1 4  . (Θεωρείστε ότι   3,1415 ). 2 3

Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες

Καλή επιτυχία!