Θέματα Θαλή 2012-2013

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ος

73

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2012

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.

2. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές.

3. Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα.

4. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις (3) ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9-12 περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μια ώρα από την έναρξη της εξέτασης.

5. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου.

6. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται.

7. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 34, 106 79 Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα , εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών.

8. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε.

9. Ο «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ» θα διενεργηθεί στις 12 Ιανουαρίου 2013 και η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 23 Φεβρουαρίου 2013 στην Αθήνα. Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην Ε.Μ.Ε. θα επιλεγεί με προκαθορισμένη διαδικασία η εθνική ομάδα, που θα συμμετάσχει στην 30η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Μάιος 2013), στην 17η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Ιούνιος 2013) και στην 54η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ιούλιος 2013).

10. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν με την εθελοντική τους συμμετοχή στην επιτυχία των Πανελλήνιων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

11. Παρακαλούμε τον Πρόεδρο της ΤΝΕ να αναπαράγει με τα ονόματα των επιτηρητών την ευχαριστήρια επιστολή του Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και να την παραδώσει στους επιτηρητές.

Για το Διοικητικό Συμβούλιο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Ο Πρόεδρος Γρηγόριος Καλογερόπουλος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Ο Γενικός Γραμματέας Εμμανουήλ Κρητικός Λέκτορας Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” 20 Οκτωβρίου 2012 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

⎛ 5 ⎞ 2 ⎞ 44 39 ⎜ 11 ⎟ ⎛ − ⋅⎜ ⎟ Α = ⎜ 18 − ⎟ : 5⎠ 5 5 ⎜ 3+ 6 ⎟ ⎝ ⎝ 11 ⎠ Πρόβλημα 2

Αν ο κ είναι πρώτος θετικός ακέραιος και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των ακεραίων 12, 30 και 54, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του κ και της παράστασης:

3−κ 2 : 2 Β= 1 κ κ− 2 2−

κ

Πρόβλημα 3 Ένας ελαιοπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιού 800 κιλά. Για την καλλιέργεια του ελαιώνα του ξόδεψε 407 ευρώ και για τη συγκομιδή του καρπού από τις ελιές του ξόδεψε 1050 ευρώ. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι 2,5 ευρώ το κιλό και κατά την πώληση του λαδιού υπάρχουν κρατήσεις σε ποσοστό 6% πάνω στην τιμή πώλησης. (α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του. (β) Αν επιπλέον το ελαιοτριβείο (εργοστάσιο που παράγεται το λάδι) κρατάει για την αμοιβή του το 8% του παραγόμενου λαδιού, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στον παραγωγό μετά την πώληση λαδιού για την κάλυψη των εξόδων του. Πρόβλημα 4

ˆ = 60D και ΑΓ = 3 ⋅ ΑΒ . Παίρνουμε σημείο Ε πάνω στην Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α 2 ˆ τέμνει το πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΕ = ΑΒ . Αν η διχοτόμος της γωνίας Α ευθύγραμμο τμήμα BΕ στο σημείο Δ, να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΓ. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες

Καλή επιτυχία!

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” 20 Οκτωβρίου 2012 Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Κ=

x 2 ⋅ y 4 ⋅ z 6 ⋅ 2182

3 ⋅ (13 ⋅ 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 9 2

3

2

)

3 −1

, αν είναι x = 2−10 , y = 4−8 , z = 8−6 ,

και να αποδείξετε ότι είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού. Πρόβλημα 2 Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α οι αριθμοί 3 και -3 είναι λύσεις της ανίσωσης 4 x − 5α + 2 < α ( x − 3) + 2 (α − 1) . Πρόβλημα 3 Αν το εμβαδόν Ε του χωρίου ΑΒΔΓ του διπλανού σχήματος 1 του εμβαδού του κυκλικού δακτυλίου που ισούται με το 12 ορίζεται από τους κύκλους ( Ο, α ) και ( Ο, β ) , 0 < β < α , να ˆ και την τιμή της παράστασης: βρείτε τη γωνία ω = ΑΟΒ 3

3 ⎛ ⎞ Σ = ⎜ 2ημ 2ω − συν 2ω ⎟ .

4 ⎝ ⎠ Πρόβλημα 4 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΔ = α cm και ΑΒ < ΑΔ . Η κάθετη από την κορυφή Β προς τη διαγώνιο ΑΓ την τέμνει στο σημείο Ε. Αν ισχύει ότι ΕΓ = 2 ⋅ ΑΕ , να βρείτε: (i) το μήκος της πλευράς ΑΒ. (ii) Το εμβαδόν του κύκλου που περνάει και από τις τέσσερις κορυφές του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες

Καλή επιτυχία!

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” 20 Οκτωβρίου 2012 Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρεθούν οι ακέραιοι x που είναι ρίζες της εξίσωσης x ( x − 2 ) = 24 και το

τετράγωνό τους δεν είναι μεγαλύτερο του 25. Πρόβλημα 2 Να απλοποιηθεί η παράσταση: Κ (α , β ) =

α 3 + β 3 − α 2 + β 2 + (αβ + β 2 ) (α − 2β ) 2 (α + β ) − α − β

,

αν α + β ≠ 0 και α + β ≠ 1 . Πρόβλημα 3 Δίνεται η εξίσωση

x 2 + 2λ x + λ 2 − 1 = 0 . Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες μεγαλύτερες του -5 και μικρότερες του 2 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 20. Πρόβλημα 4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = α και ΑΒ = ΑΓ=2α . Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή Γ προς την πλευρά ΑΒ τέμνει την ευθεία της διχοτόμου ΒΔ στο σημείο Ε. Η ευθεία ΑΕ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες

Καλή επιτυχία!

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” 20 Οκτωβρίου 2012 Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα 1 Αν α ≠ 0 και −1 < α < 1 , να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α Κ = −1+ α , Β όπου 1+ α 1−α 1+ α 1−α Α= + , Β= − .

1−α 1+ α 1−α 1+ α Πρόβλημα 2 Δίνεται η εξίσωση :

x 2 − 2κ x − 1 + κ 2 = 0 . Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου κ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες στο διάστημα ( 0,5 ) με άθροισμα τέταρτων δυνάμεων ίσο με 82. Πρόβλημα 3 Να προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς ακέραιους x, y και z για τους οποίους ισχύει ότι x y z = = 2012 x + 3 2012 y + 5 2012 z + 7 και το άθροισμα των τετραγώνων των x, y και z είναι διαιρέτης του 747. Πρόβλημα 4 Δίνεται κύκλος c(O, R) , τυχούσα χορδή του AB (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο M του μικρού τόξου AB . Οι κύκλοι c1 ( A, AM ) και c2 ( B, BM ) τέμνουν το κύκλο c(O, R) στα σημεία K και N , αντίστοιχα. Οι κύκλοι c1 ( A, AM ) και c2 ( B, BM ) τέμνονται στο σημείο T . Να αποδείξετε ότι το σημείο T είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου KMN . Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες

Καλή επιτυχία!

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΘΑΛΗΣ” 20 Οκτωβρίου 2012 Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση 1 1 1 1 2011 + + + ⋅⋅⋅ + = .

1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + x 2013 Πρόβλημα 2 Αν οι γραφικές

παραστάσεις

των

συναρτήσεων

f ( x ) = ax 2 + bx + c

και

g ( x ) = cx + b , όπου a, b, c ∈ \, a ≠ 0 , διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο, έχουν ένα

μόνο κοινό σημείο, να βρείτε τη συνθήκη που ισχύει μεταξύ των παραμέτρων a, b, c καθώς και το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων. Πρόβλημα 3 Να προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς x, y και z για τους οποίους ισχύει ότι x y z = = 2012 x + y 2012 y + z 2012 z + 7 και το άθροισμα των τετραγώνων των x, y και z ισούται με 147.

Πρόβλημα 4 Δίνεται κύκλος c(O, R) , τυχούσα χορδή του BC (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο M του μικρού τόξου BC . Οι κύκλοι c1 ( B, BM ) , c2 (C , CM ) τέμνουν το κύκλο c(O, R) στα σημεία K , N , αντίστοιχα, και οι κύκλοι c1 ( B, BM ) , c2 (C , CM ) τέμνονται στα σημεία A και M . Η παράλληλος από το σημείο M προς την BC τέμνει τους κύκλους c1 ( B, BM ) , c2 (C , CM ) στα σημεία T , S , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AM , KT , NS περνάνε από το ίδιο σημείο.

Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες

Καλή επιτυχία!