Matematicas by Diego García Castaño

CURSO

PREUNIVERSITARIO

MATEMÁTICAS (CLASES TEÓRICAS)

POR

D. GARCÍA

CASTAÑO

Licenciado en Ciencias Matemáticas

EDICIÓN

MADRID

MATEMÁTICAS (Curso Preuniversitario)

Por

D. GARCÍA CASTAÑO Licenciado en Ciencias Matemáticcos

Pedidos al autor: Avda. Donostiarra, 2 4 - l l ^ - ó . 0 Teléf. 2 45 20 61 MADRID

Dep贸sito Legal M - 149984964

Otoprint Tet, 1 46 47 U M A D R ( D

PROLOGO (13 edición) Esta en el ánimo de los que orientan la enseñanza de la Ma temática en España el aplicar efectivamente las conclusiones de la Sesión Internacional sobre "Metodología y Didáctica déla Matemática", celebrada el año pasado en Atenas* de las cuales destacamos las siguientes: 7-§!. Teniendo en cuenta la importancia de la Matemática para el desarrollo de la sociedad, los alumnos deben tener unaformacion suficiente, especialmente en los siguientes temas: Espacios Vectoriales; Cálculo Diferencial e Integral; Estadística. Se consideran como elementos esenciales en la exposición de la Matemática la Teoría de Conjuntos y Relaciones, Los alumnos de las secciones literarias deben conocer fundamentos de estas materias,,

los

9-, Cada país debe proceder a la modernización de sus cursos de Matemáticas, lo mas rápida y profundamente que le pe£ mitán sus posibilidades,, 10§. Los exámenes deberán evolucionar para no impedir el pro greso de los programas. En el Cuestionario de Matemáticas del cursoPreuniversita rio se advierte ya una tendencia hacia estas conclusiones. En la actualidad, el alumno de Preuniversitario no está todavía su fucientemente formado para seguir un camino rigurosamente moderno, A medida que se vayan introduciendo en los Cursos del Bachillerato algunos conceptos de Algebra Moderna (Grupo, Anillo, Cuerpo, Relaciones Binarias. „ „ ), el alumno ira llegando al Preuniversitario con una base previa cada vez mas so lida„ Por el momento, nos hemos visto obligados a suavizarla modernidad de exposición de algunas cuestiones que pudieran chocar excesivamente al alumno no preparado. Por ello, estu diamos desde un punto de vista clasico el numero natural y el numero entero (sin embargo, damos el método de definición moderna de este ultimo en los ejercicios 2 y 3 de la lección 4§ y en el ejercicio 6 de la lección 6^). Para el número racional utilizamos ya una definición por abstracción, considerándolos elementos del conjunto Q = Z x Z/. = , quedando definida la reía

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c i o n ( = ) d e e q u i v a l e n c i a de la s i g u i e n t e f o r m a : {a» b) •"- {c5, d 5 <~~-^> a« d » b n cH e m o s c r e í d o c o n v e n i e n t e ia u t i l i z a c i ó n en a l g u n a s l e c c i o n e s de l a s n o t a c i o n e s y s í m b o l o s d e l A l g e b r a M o d e r n a

que p r o p o r c i o n a n una g r a n c o n c i s i ó n y p r e c i s i ó n a l a s d e f i n i c i o n e s y a l o s t e o r e m a s , i n t e n t a n d o con ello que l o s a l u m n o s s e va y a n f a m i l i a r i z a n d o con el m o d e r n o l e n g u a j e de la M a t e m á t i c a . En l a (6^ 3 2) e s t u d i a m o s el c o n c e p t o de r e l a c i ó n b i n a r i a . En la t e o r í a de i a d i v i s i b i l i d a d en el a n i l l o Z de l o s n ú m e r o s e n t e r o s , h e m o s s u b r a y a d o la d e s c o m p o s i c i ó n l ó g i c a d e l o s teor e m a s en: h i p ó t e s i s , t e s i s y d e m o s t r a c i ó n , lo que c o n s i d e r a m o s de g r a n v a l o r f o r m a t i v o p a r a el a l u m n o , H e m o s i n c l u i d o el e n u n c i a d o del t e o r e m a de R o n c h é , definien do p r e v i a m e n t e lo que e s una m a t r i z y su c a r a c t e r í s t i c a . De e s te m o d o , c o n s e g u i m o s h a c e r un e s t u d i o s e n c i l l o de la i n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a de l o s s i s t e m a s l i n e a l e s con d o s o t r e s i n - c o g n i t a s y de l a c o n d i c i ó n de c o m p a t i b i l i d a d de l o s s i s t e m a s . l i neales homogéneos. En l a s L E C C I O N E S P R A C T I C A S que t r a t a n de c u e s t i o n e s e s t u d i a d a s en el B a c h i l l e r a t o h e m o s o m i t i d o a l g u n a s d e m o s t r a c i o n e s , ya c o n o c i d a s d e l a l u m n o , l i m i t á n d o n o s , en o t r o s c a s o s , a i n i c i a r la d e m o s t r a c i ó n o a s e ñ a l a r el m é t o d o m á s a p r o p i a d o para realizarla, L a e s t a d í s t i c a v i e n e d e s a r r o l l a d a en el t e m a t e ó r i c o de "Va riable Estadística Bidimensional; Regresión y Correlación" y en l a s L e c c i o n e s P r a c t i c a s VI y VII, l l e g a n d o h a s t a el p r o b l e m a de c o n t r a s t a r una h i p ó t e s i s e s t a d í s t i c a . P a r a el e s t u d i o de l o s m o v i m i e n t o s y t r a n s f o r m a c i o n e s g e o m é t r i c a s s e g u i m o s s i e m p r e una m i s m a m a r c h a g e n e r a l : a) Definición., p a r t i e n d o d e l h o m o l o g o de un punto c u a l q u i e r a del plano o d e l espacio,, b) E s t u d i o de l o s p u n t o s , r e c t a s y p l a n o s d o b l e s , si l o s hay 0

5 - J

c) Rectas y planos en general., d) D e t e r m i n a r si el conjunto de t r a n s f o r m a c i o n e s o movimien tos en cuestión constituye o no un grupo,, e) Deducción de su ecuación analítica, cuando se t r a t e de un movimiento o t r a n s f o r m a c i ó n en el plano,, f) Relaciones del movimiento o transformación con otros estudiados.

La inversión en el plano nos proporciona una d e m o s t r a c i ó n sencilla del t e o r e m a de Ptolomeo, que incluímos en (75, 8) de Geometría. En la lección 105 de Geometría repetimos algunas d e m o s t r a ciones, ya conocidas por el alumno, sobre las c a r a s y ángulos diedros de un t r i e d r o , que son i n t e r e s a n t e s por su aplicación a los triángulos e s f é r i c o s . Como novedad p a r a los a l u m n o s , les m o s t r a m o s la aplicación de las fórmulas de los triángulos e s féricos rectángulos al calculo de los ángulos d r i e d r o s de una pj. r a m i d e r e g u l a r , proponiéndoles en el ejercicio 1 de la lección 13? de Geometría una cuestión análoga, como es la de calcular el ángulo diedro de un poliedro regular. T e r m i n a el libro con unas nociones de Cosmografía, en las que hemos intentado, como en el r e s t o de la obra, la máxima concisión, subrayando la aplicación p r á c t i c a de estos conocí mientos, con el fin de dar un c a r á c t e r formativo a este estudio. Se incluyen p r o b l e m a s r e s u e l t o s al final de las lecciones, a fin de a c l a r a r los conceptos teóricos y a d i e s t r a r al alumno en su aplicación. Se proponen además algunos p r o b l e m a s , en su mayoría seleccionados entre los propuestos en los examenes de Madurez del Curso P r e u n i v e r s i t a r i o , Madrid, 20 Septiembre de 1« 964, PROLOGO (25 edición) En el c u r s o 1„ 965-66 ha entrado en vigor el nuevo plan de estudios p a r a el p r i m e r c u r s o de las Facultades de Ciencias y E s

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cuelas Técnicas Superiores; hemos notado en sus programas de matemáticas (Algebra Lineal y Calculo) una gran modernización que nos lleva a modificar el enfoque de la mayoría de los temas de Algebra, y de algunos de Geometría de este Cur so Preuniversitario^ con el fin de dar unidad a la enseñanza de la Matemática en ambos cursos. Las clases prácticas se podrán desarrollar con ayuda del li bro : Matemáticas (clases practicas), en el cual hemos cola — borado con nuestro amigo don Luis Js Mateo López (ingeniero Agrónomo). EL AUTOR

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LECCIÓN 1.a NUMERO NATURAL -o1. - C o n j u n t o s , d e t e r m i n a c i ó n y definiciones., - L a n o c i ó n de conjunto la c o n s i d e r a m o s en a l g e b r a c o m o p r i m i t i v a ; t o d o s sab e m o s lo que e s un conjunto de p e r s o n a s , s i l l a s , e t c . . , , p e r o no lo d e f i n i m o s , y a que si lo h i c i é r a m o s e n t r a r í a n c o n c e p t o s que a su v e z t e n d r í a n que d e f i n i r s e , y s i g u i e n d o a s i s u c e s i v a m e n t e , c a e r í a m o s con s e g u r i d a d en un c i r c u l o v i c i o s o que e v i t a m o s s e n t a n d o c o m o p r i m i t i v a o b á s i c a l a n o c i ó n de conjunto» P o d e m o s d e t e r m i n a r un conjunto, b i e n n o m b r a n d o o e s c r i biendo s u s e l e m e n t o s (método a n a l í t i c o o p o r e x t e n s i ó n ) , o b i e n dando un c r i t e r i o que nos p e r m i t a a s e g u r a r si un e l e m e n t o p e r t e n e c e o no al conjunto (método s i n t é t i c o o p o r c o m p r e n s i ó n ) „ Un e j e m p l o d e l p r i m e r m é t o d o lo t e n e m o s al p a s a r l i s t a en una c l a s e ^ y d e l segundo al d e c i r , p o r ejemplOj el conjunto de l o s españoles. C o m o n o t a c i ó n p a r a r e p r e s e n t a r el conjunto A de t o d o s los n ú m e r o s p a r e s e s c r i b i m o s A j x í x - 2\ , y l e e m o s "conjunto A de l o s e l e m e n t o s x , t a l e s que x = 2 ; p a r a i n d i c a r que 4 p e r t e n e c e a A, p o n e m o s 4£A (£ se l e e " p e r t e n e c e a " ) . El conjunto que no t i e n e e l e m e n t o s lo d e s i g n a m o s p o r $, y se le l l a m a conjunto v a c i o , L/Os s i g n o s de i m p l i c a c i ó n ( = > • ) , y e q u i v a l e n c i a (< >) se l e e n " i m p l i c a " y " s i y solo s i " r e s p e c t i v a m e n t e , y l o s cuantific a d ó r e s u n i v e r s a l (y), y e x i s t e n c i a l ( •]), " p a r a todo e l e m e n t o " y " e x i s t e al m e n o s un e l e m e n t o " . Si B e s un conjunto tal que (Vx)(x6B) > xCA, d e c i m o s que B es un subconjunto o p a r t e de A, y e s c r i b i m o s B c A (el signo c: i n d i c a " c o n t e n i d o e n " ) . Al conjunto de t o d a s l a s p a r t e s de A lo e x p r e s a m o s c o m o P ( A ) , y si d o s de e l l a s no t i e n e n e l e m e n tos c o m u n e s se l l a m a n d i s j u n t a s . Dos conjuntos A y B son i d é n t i c o s (A=B) cuando x ( A <^-> x£B„

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Cuando tachemos uno de estos signos vistos lo l e e r e m o s como su negación. 2„ Correspondencia entre dos conjuntos: Función y aplicación. L l a m a m o s correspondencia F del conjunto A e n B , y e s c r i bimos F:A-»B a una regla tal que a x€A se le asocia un subconjunto F ( x ) c i B ; F(x) es el conjunto de las imágenes de x, y x el antecedente de todos los elementos de F(x). Sea A c A el conjunto de los antecedentes de los elementos del conjunto B, es d e c i r x ( A ——r> F(x)=t=jZf, y B c A , el conjunto de las imágenes de los elementos de A, o sea: c c É B ^ ^ ^ [(;[x)(x€A): F(x) = « ] . Si a x£Aj se le asocia un solo elemento de B, la c o r r e s p o n dencia se llama función; si ademas Ai = A tenemos una aplicación del conjunto A e n B , (A veces se toman como sinónimos, los conceptos de aplicación y función). Son de d e s t a c a r las siguientes c l a s e s de aplicaciones: 1. Inyectiva o inyección, cuando (x, y i A)(x4 : y)=^ > F(x)=t=F(y)„ II. Sobreyectiva o sobr eyección, si B = B , se suele l l a m a r en tonces aplicación de A sobre B. III. Biyección, cuando se verifica I, y II simultáneamente: si A=B la biyección recibe el n o m b r e de t r a n s f o r m a c i ó n y si hacemos c o r r e s p o n d e r a cada elemento consigo mismo,tenemos la t r a n s f o r m a c i ó n idéntica o identidad. Las aplicaciones que no sean de ninguna de e s t a s c l a s e s , las l l a m a m o s simplemente "aplicaciones en". Dadas dos aplicaciones F:A -»B; f:B ~*C l l a m a m o s producto (o) de las aplicaciones F y f, y e s c r i b i m o s fo F : A-*C, a la correspondencia definida de la siguiente forma: [f o F ](x) = f [ F (x)]

(1)

Es evidente que es o t r a aplicación. Si una correspondencia asocia un antecedente con sus imágen e s , la correspondencia i n v e r s a de esta, por definición, aso-

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cia los m i s m o s e l e m e n t o s , pero el antecedente pasa a s e r imagen y v i c e v e r s a ; según esto, si F es una biyección, F " 1 (inversa de F) también es una biyección. Al igual que en las aplicaciones, en las funciones caben d e s t a c a r las inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, 30 - Producto c a r t e s i a n o de conjuntos. Relación b i n a r i a . - L l a m a m o s producto c a r t e s i a n o de los conjuntos A j x , a , y } y B | z , P J , al conjunto A X B { ( X

J Z

) ;

(xj);

(OC,

z);

(a,p); ( y , z ) ; ( y , P) |

cuyos e l e m e n t o s , son a su vez p a r e j a s de elementos el p r i m e ro del conjunto A y el segundo del B, El conjunto C |(x, z); (a, ¡3); (y, z)]c:A X B está compuesto por los elementos del conjunto A X B que tienen la propiedad P de s e r las dos l e t r a s del m i s m o alfabeto (griego o latino). Esta pro piedad P establece sobre los elementos de los conjuntos A y B una relación R que l l a m a m o s relación binaria, porque dados dos elementos uno de A y otro de B se puede a s e g u r a r que están relacionados o no, según la relación R; por s e r ( x , z ) ^ C e s c r i b i mos xRz que se lee "x esta relacionado por R con z" 0 Cuando A = B , decimos que R es una relación de equivalencia definida en el conjunto A, si cumple las siguientes propiedades: I. Reflexiva. II. Simétrica» III. T r a n s i t i v a .

(Vx)(x£A): xRx (Vx)(l/ y)(x, y€ A): xRy = 5 > yRx (Vx)(V y) (V z)(x, y, z í A): (xRy)(yRz) = > xRz

T e o r e m a : Toda relación de equivalencia R definida en un conjun to A,, nos p e r m i t e clasificar sus elementos en subconjuntos disjuntos ( c l a s e s ) , formado cada uno de ellos por un elemento cual quiera de A y todos sus equivalentes, (si el elemento es x l a c l a se la r e p r e s e n t a m o s por C x ). En efecto: Si dos c l a s e s C x { u6AJ uRxj y Cy {v(A j vRyj tienen un elemento z común, coinciden, pues (ív)(vCC y ) ==> v ( C ya que :

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( v R y ) ( z R y ) ( z R x ) i S ^ ( v Ry)(yRz)(zRx)ÍEÍ> (vRz)( Z Rx)ÍSÍ>vRx y con d e m o s t r a c i ó n análoga d e m o s t r a r í a m o s que (Vu^uCC^) ^=>uCCL, Las implicaciones a n t e r i o r e s (II) y (III) nos dicen que todos los elementos de una c l a s e son equivalentes entre sí\ Al conjunto de todas las c l a s e s de equivalencia se le llama conjunto cociente, y se le r e p r e s e n t a por A/R. Si una relación binaria R, cumple además de las propiedades I y III, la siguiente: IV. A n t i s i m e t r í c a (Vx)(V y)(x, y £ A):(xRy)(yRx) =$> x - y se l l a ma relación de orden; si dos elementos x e y están relacio nados por una relación de este tipo e s c r i b i m o s x < y ó y < x (< se lee "precede a" o " a n t e r i o r " ) Si (Vx)(V y)(x, y CA) = ^ > xRy (es decir x < y 6 y < x), d e c i rnos que R es una relación de orden total> y en caso c o n t r a r i o relación de orden p a r c i a l . 4, Numero natural, - El conjunto A decimos que es equipotente o cardinable con B, cuando se puede encontrar una biyección F:A-»B. Esta relación de equipotencia Tí" es una relación de equivalencia, en efecto: I. II.

A 71 A

basta t o m a r como biyección F la identidad (1§, 2)„

A. A B ==> B K~A pues si existe la biyección F:A -*B s a b e mos (l^, 2) que F " :B~*A también es una biyección,

III. (A^B)(B^C) = ^ > A7¡C ya que dadas las biyecciones F:A~>B y f:B^C, , por (1^, 2) f o F es una biyección del conjunto A en el C. Según el t e o r e m a d e m o s t r a d o en (1§, 3), se pueden e s t a b l e c e r c l a s e s de equivalencia (equipotencia) de conjuntos, que nosotros l l a m a r e m o s n ú m e r o s n a t u r a l e s y r e p r e s e n t a r e m o s con los signos 0 , 1 , 2, 3, . , , ; es d e c i r , numero natural es lo que tienen de común todos los conjuntos que p e r t e n e c e n a una m i s m a c l a s e . En p a r t i c u l a r en la clase 0 está únicamente el conjunto vacío 0; en la clase 1, por ejemplo, el conjunto A { x}; a d e m á s , están

-Sitodos los conjuntos equipotentes con el. En lft claee 2, está conjunto B {x,yj , y todos sus equipotentes.

L l a m a r e m o s n u m e r o cardinal de un conjunto al número natur a l que r e p r e s e n t a la c l a s e que contiene a dicho conjunto, 'así', por ejemplo, Car ($)~0. A partir-de esta definición, podemos e s cribir: A 7TB < = > Car (A) = Car (B)

(1)

Car (A) lo l e e m o s "cardinal del conjunto A". E m p l e a r e m o s los siguientes notaciones N (0,1, 2, , . . j y N fl, 2 , , a o ] , p a r a designar el conjunto de los n ú m e r o s n a t u r a l e s , según entre o no el c e r o . Todo conjunto A. tal que ATTN*, d i r e m o s que es numerable» 5. Operación interna definida en un conjunto.- L l a m a m o s operación interna * definida en un conjunto A, a una aplicación F:A.XA -» A; a la imagen del elemento (x,y)(x,y£A) lo designamos como x * y. E s t a operación interna * en el conjunto A deci mos que e s : I. Asociativa. Si

(Vx)(yy)(Vz): x * (y *z) = (x*y)*z

entonces e s c r i b i r e m o s x * y * z. IL Conmutativa.

ÍVx){Vy): x*y = y * x

Si se verifica la igualdad x*y = y-x-x solo p a r a algunos p a r e s de elementos de A, los elementos de cada uno de estos p a r e s se llaman p e r m u t a b l e s . Cuando un elemento e£A es tal que (V x)(x6A): x * é = e * x ~ x decimos que e es elemento neutro de dicha operación, es único pues si e x i s t i e r a otro E t e n d r í a m o s E'*e = e *E = E = e. Se dice que un elemento x ^A tiene elemento s i m é t r i c o r e s p e c to a la operación interna •*, cuando ( ] x ' ) ( x ' íA): x * x' =x'*x=e; si todos los elementos del conjunto A tienen s i m é t r i c o dicho conjunto se dice que es s i m e t r i z a b l e r e s p e c t o a la operación i n t e r na #-„

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Todo elemento x ( A , tal que: (Vy)(Vz)(y» z ( Á ) : (x*y = x * z ~

> y = z)

(V y)(tfz)(y, z €A): (y*x = z * x = = £ > y = z) se le llama regular r e s p e c t o a la o p e r a c i ó n * ; si solo cumple la p r i m e r a simplicación es regular por la izquierda, y si cumple nada m á s la segunda regular por la d e r e c h a , si todos los elementos de A. son r e g u l a r e s d i r e m o s que existe en este c o n junto r e s p e c t o a esta operación "ley de simplificación". El elemento neutro e cuando empleamos notación aditiva ( + ) lo designamos por c e r o , y cuando sea multiplicativa (*) por l y le l l a m a r e m o s elemento unidad. El elemento s i m é t r i c o x ' , con notación aditiva lo e s c r i b i r e m o s (-x) y lo l l a m a r e m o s opuesto, y en la multiplicativa x~*- e i n v e r s o ; las operaciones (+) y (>) m i e n t r a s no digamos o r d i n a r i o s nos r e f e r i m o s a operaciones arbitrarias. Pueden existir dos operaciones i n t e r n a s * y 0 definidas en el conjunto A; entonces d i r e m o s que la o p e r a c i ó n * es d i s t r i b u tiva por la izquierda o por la derecha r e s p e c t o a la operación 0, según se verifique: <

III.

(Vx)(Vy)(Vz): x*(y0z) = (x*y)0(x*z) {fx)(Vy)(Vz}:

(x0y)*z = (x-x-z )0(y*z)

6. Suma de conjuntos y de n ú m e r o s n a t u r a l e s . - L l a m a m o s sum a de los conjuntos A(x,y, z} y B ja* ¡3} a otro conjunto (A+B) í x , y , z a, (3} , formado agregando a los elementos de A los de B„ Como un numero natural se puede c o n s i d e r a r como numero cardinal de un conjunto, d a r e m o s a p a r t i r de estos las definiciones y propiedades de las operaciones con n ú m e r o s n a t u r a l e s . A s í p u e s , por definición Car (A) + Car (B) = Cai-(A+_B) es d e c i r , si C a r (A) = a y Car (B) = b , entonces Car (A+B)=a+b. A p a r t i r de e s t a s dos definiciones, obtenemos l a s siguientes

-11propiedades de la operación (4j en el conjunto N: 1. Asociativa. Como A + (BfC) 1 (A+B)+C ya que al s e r A + -f (B+C)~{A-i-B)-r C según la definición de suma de conjuntos ? la biyección F:A-i-(B + C)-*(A+B)+C puede s e r la identidad (!§,2) Podemos pues, e s c r i b i r por (1) de ( H , 4 ) : Car = Car [(A+B) r C]y por (l)

[A + ( B T C ) J -

Car (A) + Car (B+C) = Car (A+B)+ Car (C) y otra vez por (1) Car (A) + [ C a r (B) + Car (C)] = [Car (A) + Car (B)> Car (C) y sí Car (A) = a. Car (B) - b y Car (C) = c, podemos e s c r i b i r : a + (b+c) = (a + b) + c II. Conmutativa, - Considerando otra vez la aplicación idénti ca tenemos: A. -r B l\ B + A, y operando de forma análoga a la a n t e r i o r s a c a m o s que a + b = b + a. Como Car (A + 0) - Car(0 J- A) = Car (A) y sabemos (Ia-, 4)que Car (0) - 0, según (1) podernos e s c r i b i r : C a r (A) + Car (0) = Car (0) + Car (A) = Car (A) °

Sea

a + 0 = 0 +

(2)

esto nos indica que el n ú m e r o c e r o es el elemento neutro de la operación {+) en el conjunto N de los números n a t u r a l e s ; este mi m e r o es a d e m á s el único elemento, del conjunto N que tiene sim é t r i c o r e s p e c t o a e s t a operación. Ley de simplificación: (Va)(tfb)(Vc) (a, b , c CN): a+b=a+c = > b = c ya que Car (A+B)=Car(A + C)==> A+BAA + C==> BTfC = > C a r ( B ) =Car(C). 7. - Producto de n ú m e r o s n a t u r a l e s . - L l a m a m o s producto de los n ú m e r o s n a t u r a l e s a = Car (A) y b ~ Car (B) al n ú m e r o natural p = Car (A X B), es d e c i r : Car (A) . Car (B) = Car (A X B)

(1)

-12E s t a operación (•) tiene las siguientes propiedades: I. Asociativa. Tenemos que A X (BXC)?t(i\X B ) x C ya quepo demos c o n s i d e r a r la biyección F:AX (BXC)-»(AXB)XC que tiene por imagen del elemento [ x ; ( y , z ) ] ( A x ( B X C ) el elemento í ( x , y ) ; z ] ( ( A X B ) X C . A s í p u e s , apoyándonos en (l) de (1^,4) y en (1) s a c a m o s : a ( b c ) = (ab) c II. Conmutativa. Al s e r AXBfiBXA por existir una biyección F : A X B -*• B XA que al elemento (x, y) 6 A X B le asocia el elemento (y,x)^B X A , tenemos: a . b =b . a Si c o n s i d e r a m o s el conjunto ijoq, se verifica: Car (A XI) = Car (I X A) = Car (A) o sea

a o1=1. a =a

(2)

que nos indica que el numero 1 es el elemento unidad (neutro) de la operación interna ( •) sobre el conjunto N, es además el único elemento inversible de este conjunto r e s p e c t o a esta ope ración. Las operaciones (+) y (•) que hemos definido a n t e r i o r m e n t e , cumplen las propiedades: III. Distributivas, Tenemos que AX(B+C) AAXB+AxC ya que AX(BXC) E A X B + A X C y por lo tanto la aplicación F : AX (B+C)-*AXB + AXC puede s e r la identidad. Entonces C a r [ A X ( B + C ) ] = Car (AXB+A>C) según (1) de (l§,4). Aplicando (l) y (1) de (1&, 6), t e n e m o s : a (b + c ) = a b + a c de forma análoga a la que hemos d e m o s t r a d o la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, se d e m u e s t r a la de la suma r e s p e c t o al producto.

-138„ Método de inducción completa. - Si c o n s i d e r a m o s una p r o piedad P(n) dependiente de nf N, tal que: L P(ri) se verifica ( c o r r i e n t e m e n t e en los p r o b l e m a s s e r a h = 0, h = 1). II. (Vi)(itN) si el v e r i f i c a r s e P(h+i) = > v e r i f i c a r s e P(h+i+l) entonces P(n) se verifica (V n)(n£ N)(n > h). La justificación de este método es evidentes pues ligando la I y la II podemos e s c r i b i r : p(h) = > P(h+I) = = > P(h+2) =^¿> . „ . Ejercicio 1: Dada una relación de equivalencia R en un conjunto A, si un subconjunto suyo B JXjy, z , t , „ . „ , u , v , w i e s t a formado por elementos tales que cada uno es equivalente con el s_i guiente„ ¿ Podemos a s e g u r a r independiente de n = Car (Bj, que el p r i m e r o y ultimo elemento son equivalentes? Vamos a d e m o s t r a r que sí ? pues: L Tenemos que (xRy)(yRz) = r > xRz según III de (l§, 3). I I . Si (xRy)(yRz)(zRt). t . (uRv) = > xRv„ entonces: [|xRy)(yRz)(zRt)„ . . (uRv)l (vRw) =$> (xRv)(vRw) = > xRw, Se observa pues la necesidad de este método, p a r a g e n e r a l i zar las propiedades que se definen en álgebra,, 9» Operaciones i n v e r s a s . - La diferencia a-b de dos n ú m e r o s na t u r a l e s a y b si existe es un número natural c, tal que: a - b - c <=?==$> a. - b + c

así,, pues» formada la tabla de s u m a r , b a s t a r á localizar en la fi la correspondiente al numero b el numero a, entonces la coium na donde se encuentre este n ú m e r o e s t a r á encabezada por c. El cociente a/b de los números naturales a y b si e x i s t e , es un numero natural q, que viene determinado por la siguiente equi-

-14-

valencía => a = b * q c o n s t i t u i d a l a t a b l a de m u l t i p l i c a r , se s i g u e p r o c e d i m i e n t o analogo al a n t e r i o r ; si e x i s t e q e n t o n c e s d e c i m o s que n a e s m ú l t i plo de b " o b i e n que n b d i v i d e al a " de f o r m a s i m p l i f i c a d a s e e s c r i b e a.~b y b j a r e s p e c t i v a m e n t e . EJERCICIOS 2 lB D e t e r m i n a r a n a l í t i c a m e n t e el conjunto A{x[x - 4 x + 3 = 0] da= do en f o r m a s i n t é t i c a . 2, Dada l a c o r r e s p o n d e n c i a F:A {x, y ¡, z}-*B(as p} 3 t a l que F(x)=cc, F(:y) ~ p , F ( z ) = oc, se p i d e : a) E x p l i c a r p o r qué F e s una aplicación,, b) ¿ Oue c l a s e de a p l i c a c i ó n e s ? 3 0 H a l l a r el p r o d u c t o F o f de l a s a p l i c a c i o n e s de N en N , t a l e s que F(x) ~ x y f(x) ~ x + l„ 4, D e m o s t r a r que la r e l a c i ó n de p a i s a n a j e en el conjunto de e_s panoli-.'s e s de equivalencia„ ¿Oue r e p r e s e n t a c a d a e l e m e n t o del conjunto c o c i e n t e ? 5„ D e m o s t r a r que la r e l a c i ó n "divide a" en el conjunto N e s de orden, y clasificarla» 6,.. C l a s i f i c a r l a s s i g u i e n t e s c o r r e s p o n d e n c i a s F:N~*N a)

F(x) =

3x 2

3X4

7 0 Sea

F(x) =

F(x) = x

1 1 + 1X2 2X3 +

+ n(n + 1)

-15a) Calcular S p a r a n = 1, 23 3S 40 n

b) Observados los resultados de a) calcular la suma del segundo m i e m b r o de S , demostrando por inducción, la fórmula obtenida u c) Calcular

lim S „ n n -» oo

(E. P , )

8„ D e m o s t r a r por inducción la fórmula de las p e r m u t a c i o n e s n-arias, P = n t n -o-

-16LECCION 2.a CONCEPTO DE SEMIANILLO -o-

1„ - O p e r a c i o n e s s o b r e P ( R ) . - Según (l?rs l) P ( R ) t i e n e c o m o e l e m e n t o s a t o d o s l o s conjuntos A , B , C , o o » c : R ; al conjunto R le l l a m a r e m o s conjunto r e f e r e n c i a l o u n i v e r s a l , , V a m o s a e s t u diar las siguientes operaciones: I, Unión, L a unión (U) e s una o p e r a c i ó n i n t e r n a definida en el conjunto P ( R ) , t a l que d a d o s dos de s u s e l e m e n t o s A y B s e e n g e n d r a o t r o V = AÜB (AUB s e l e e "A unión B") definido d é l a siguiente forma: V = AUBf , x | x € A ó

xíB)

(1)

que p e r t e n e c e a P(R)< L a " 0 " que h a y d e n t r o de l a l l a v e t i e n e s e n t i d o i n c l u s i v o , y h a y que d i s t i n g u i r l a de la e x c l u s i v a "0 o „ „ 0" que s e o b t i e n e al d e c i r "0 x ( A o x ( B " ; en n u e s t r o c a s o s e a d m i t e que x £A y xCB a l a v e z , en el s e g u n d o c a s o no„ E s t a o p e r a c i ó n (u) t i e n e l a s s i g u i e n t e s , p r o p i e d a d e s : a) I d e m p o t e n t e (V A)[A Í P ( R j : AU A = A b) A s o c i a t i v a

(yA)(VB)(j/C) [ A, B , C £ P ( R j : AU(BUC) =" (AUB)uC

c) C o n m u t a t i v a (VA)(VB) [A, B ( P ( R ) ] :

AUB = BÚA

que s e p u e d e d e m o s t r a r f á c i l m e n t e , a p a r t i r de l a d e f i n i c i ó n (1), o c o m o i n d i c a r e m o s al final de e s t a p r e g u n t a . II. I n t e r s e c c i ó n . L a m a m o s i n t e r s e c c i ó n (fl) de conjuntos a una o p e r a c i ó n i n t e r n a definida en el conjunto P f R ) , que h a c e c o r r e s p o n d e r a c a d a p a r de e l e m e n t o s A y B , d e P ( R ) o t r o e l e m e n t o I = A ilB, t a m b i é n de P ( R ) tal q u e : I = AHB íx ! x ( A

x £B j

(2)

-17Esta operación { H) goza de las m i s m a s propiedades que la unión.

Vamos a d e m o s t r a r la p r o piedad distributiva de la ( u ) r e £ pecto a la (íl) es d e c i r : AUfBHC) =(AUB)n(AUC)

(3)

T e n e m o s , por las definiciones (1) y (Z): x ([(AUB)n(AUC)] =>[(»£ A o x ( B ) y ( x ( A

=>[x(AUB o

x£C)]=Hx(A

x(AUC] o

(xíB

x^C)]

> [xCAU(BDC)] por lo tanto (AüB)D(AUC) crAU(B n c )

(4)

Además si x([AU(Bnc)] =>[(x£A

xíB)y

=^[x(A

o (x(By

x(C)]

—->

(x ÍA. o x ( C ) ] = * x í ( A U B ) n ( A U C ) ] f

es d e c i r : AU(Bnc)cz(AUB)n(AUC)

JLas

(5)

inclusiones (4) y (5) nos d e m u e s t r a n la igualdad (3)„

III» Diferencia^ La diferencia (-) de conjuntos es una o p e r a ción interna definida en P(R) tal que, dados dos de sus ele mentos A y B l l a m a m o s diferencia de los m i s m o s , a otro e l e mento D = A - B , definido de la siguiente forma: D = A-B ¡ x l x f A

x^B¡

que p e r t e n e c e a P(R). A p a r t i r de las definiciones I, II y III podemos e s c r i b i r :

-18-

Car (AUB) = Car (A) + Car (B) - Car (AflB) En el diagrama de Venn, fig„ 1-2^, tenemos que el conjunto V = AUB es el conjunto que está rayado de alguna forma; el I = = AflB el conjunto rayado doblemente, y el D = A-B el conjun to rayado como el A, exceptuando el rayado doblemente Es prac tico para problemas, considerar los conjuntos A íl, 2j } B [2, 3} y - R ¡ 1 , 2, 3 , 4 } s i e n d o : 1=A-B,

2 = AHB,

3^B-A,

4 = R - ( A U B ) .

2, Estructura algebraica., - Al definir una o varias operaciones internas en un conjunto (1§, 5), y dar las propiedades de estas operaciones, hemos determinado lo que llamamos estructura algebraica, del conjunto respecto a estas operaciones. Los conjuntos que tengan una misma estructura algebraica, tienen respecto a dichas operaciones unas mismas reglas de operar, con esto obtenemos una simplificación en los razonamientos„ Estudiaremos respecto a una operación, las estructuras alg^e braicas de semigrupo y grupo (5§,l); respecto a dos operado nes: Semianillo (2*, 3), anillo (5^, 4) y cuerpo (115-, 5); estas estructuras algebraicas no aparecen de forma caprichosa, ni tampoco las propiedades que cumplen, ya que por ejemplo si un conjunto A es un grupo respecto a la operación * , quiere decir que en el tiene siempre solución la ecuación de primer grado con una incognitaj y pensando en los conjuntos que respecto a una operaciontienenesta importante propiedad, se definió la e¿ tructura algebraica de grupo,, Las estructuras algebraicas de semianillo, anillo y cuerpo son generalizaciones de los conceptos de | numero natural, (+) y {")} , (numero entero, (+) y (• )] y {numero racional, (+) y(»)f; asi pues en el concepto de semianillo no le daremos a ninguna de las dos operaciones una propiedad, que no se verifique en N respecto a la suma o al producto, 3. - Concepto de semianillo.._- Llamamos semianillo a todo conjunto A no vacio, tal que dadas dos operaciones internas, por ejemplo (+) y (• ), verifique las siguientes propiedades:

-19' I. Asociativa. fr'x)(yy)(yz)(x, y, z€ A): x+(y+z)=(x+y) + z (+).IL Conmutativa. (Vx)(Yy)(x,y £A): X + y = y + X I , Existencia del elemento cero (]0){0CA)(yx):x+O = 0+x = x (•) (IV, Asociativa (Vx)(Vy)(Vz){x,y, z CA): x(yz) = (x y) z

M-)]

V. Distributiva del (.) r e s p e c t o a la (+):(Yx)(Vy){tyz)(x, y, z(A); x(y+z) = xy + xz VI. Distributiva de la (+) respecto al (") : (Vx)0/y){'tfz)(x,y, z ^A):(x+y)z=xz+yz

Si ademas r e s p e c t o a la operación (•) cumple la propiedad conmutativa, el semianillo se l l a m a conmutativo, y s i tiene ele mentó unidad, se llama semianillo con elemento unidad. E i c o n junto N r e s p e c t o a las operaciones (+) y ( -) o r d i n a r i o s , tiene ejs t r u c t u r a de semianillo conmutativo con elemento unidad. -O

EJERCICIOS 1. D e m o s t r a r la propiedad distributiva de la (fl) r e s p e c t o a la (U). 2. ¿Por qué en el semianillo [A, (+),(-)}no existen elementos opuestos, de todos los elementos del conjunto A? 3. Calcular Car (AUBUC), en función de los c a r d i n a l e s de los siguientes conjuntos: A , B , C , A r ¡ B , BHC, CHA y A ¡\B HC . 4„ Si en un examen que consta de dos p r u e b a s , han sido declarados aptos en la p r i m e r a el 7 9 % de e x a m i n a n d o s , y en la segunda el 57 %. ¿ E n t r e que tantos por cientos e s t a r á n los declarados aptos en ambas p r u e b a s ? 5. ¿Tiene e s t r u c t u r a de semianillo, r e s p e c t o a las operaciones (U) e (fl), el conjunto P(R)? 6. E x p r e s a r el conjunto A^B (x | o x ( A o x ( B J , en función A.UB y AflB. _0_

LECCIÓN 3;

-20-

SISTEMAS

NUMERACIÓN

-o-

1, - Sistema de numeración, - La finalidad de estos s i s t e m a s es darnos una idea exacta de los elementos (numero cardinal) que tiene un conjunto, p a r a esto hay que disponer de unos s i g nos con sus correspondientes denominaciones, p a r a poder e s c r i b i r l o s y n o m b r a r l o s ; como la composición de los conjuntos es tal que dado un conjunto con un numero cualquiera de e l e - m e n t o s , existen conjuntos m á s extensos,es imposible atribuir un signo y una p a l a b r a distinta p a r a cada numero c a r d i n a l , por lo tanto, elegimos un conjunto determinado de signos y con ellos solamente mediante unas c i e r t a s r e g l a s , r e p r e s e n t a m o s todos los n ú m e r o s c a r d i n a l e s , es lógico que nada m a s unos pocos se r e p r e s e n t a n por un solo signo. El s i s t e m a que se emplea o r d i n a r i a m e n t e es el d e c i m a l , don de las unidades simples se agrupan de 10 en 10, p a r a f o r m a r las unidades de segundo orden o d e c e n a s , e s t a s se agrupan de 10 en 10, p a r a f o r m a r unidades de t e r c e r orden o centenas, Es d e c i r , 10 unidades de un orden da lugar a una unidad de o r den superior en este s i s t e m a , en el cual elegimos como conjun tos de signos el ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 j ; después del 9, los n ú m e r o s en este s i s t e m a se forman cogiendo estos signos de dos en dos; p r i m e r o el 1 en p r i m e r a posición empezando por la izquierda, y en segunda posición todos los d e m á s por el orden en que están a n t e r i o r m e n t e , es d e c i r , 10,11, 12, . . , 19; después la p r i m e r a cifra de la izquierda la ocupa el 2 y la segunda • todos los d e m á s también en el m i s m o orden a n t e r i o r o sea 20 , 21, 22, . . . , 29 y a s í hasta agotar todos los de dos c i f r a s , d e s - pues con t r e s cifras igual, etc. . . . Del m i s m o modo que hemos elegido el conjunto de signos ant e r i o r e s , se puede h a c e r con un conjunto cualquiera de signos, por ejemplo con el 0 , 1 , 2, 3, 4 y entonces la sucesión de los núm e r o s n a t u r a l e s sef-ía 1, 2, 3,4,10,11,12,13,14, 20, 21, 22, 23, 24, 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 , 1 0 0 . . . este s i s t e m a se llama d e b a

-21-

se 5 (por que los signos distintos en base 10, son cinco), y aquí" basta agrupar 5 (en base 10) unidades de un cierto orden, para obtener otra de un orden superior. Se observa que mientras el sistema de numeración sea inferior al de base 10 podemos apro vecharnos de parte de los signos empleados en este sistema, si el sistema supera al de base 10, además de coger todos los em pleados en dicha base, utilizamos letras por orden alfabético , por ejemplo en base 13, la sucesión de los números naturales es 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , a, b, c, 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 la, Ib, le, 20, 21, . . . En este sistema cada trece unidades de un orden, completa otra de un orden inmediato superior, y los signos distintos o simples son 13. Si el sistema de base 13 fuese el que se emplease en la vida corriente se crearían tres signos con sus correspondientes nombres, ademas de los diez ya existentes. De lo escrito anteriormente, vemos que el 5 (base 10) enba se 5 y el 13 (base 10) en base 13, se escriben con el símbolo 10; tenemos, pues, que en el sistema de base n este numero se ex presa por el 10, es decir, n = 10, . (1). (n Ejemplo : ¿Cómo se escribe en las bases, 7 y 12 el numero 23 base 6, a partir de las definiciones anteriores? En base 6 tenemos 0,1, 2, 3,4, 5,10,11,12,13,14,15, 20, 21,22,23. ti tt !T 7 0,1, 2, 3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16, 2o, 21. tt !l 1! 12 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , a,b, 10,11,12,13. Por lo tantb, " ( 6 = 21(7 = 13(12 El subíndice que ponemos a cada numero indica la base, esto se hace para todos los sistemas menos para el decimal, por ser el que más se emplea. El sistema de numeración romano no tie ne interés algebraico. 2. - Expresión polinomica de un numero. - Si n es un numero na tural, mayor que la unidad; vamos a demostrar que c u a l quier numero natural M > n se puede poner de forma única como suma de potencias de n, de la siguiente forma: 2 3 k M = a + a.n + a_n 4- a0n +. . . -fa, n (l) v o 1 2 3 k '

-22-

siendo a , a., a_ . a_ , 0 „„ a. , m e n o r e s que n„ o 1 2' 3 k Nuestro problema radica, pues, en e n c o n t r a r a ,a , a t a p a r a ello e s c r i b i m o s M de la siguiente forma: 2 k-i, M = n (va n + a ^ n + a^n -K . , -f- a, n )+a 1 2 3 k o

f 00 ,,a

en la que r e s a l t a m o s que a es el r e s t o de dividir el numero M e n t r e el n, por lo que d e t e r m i n a m o s a . Llamando M al cociente a n t e r i o r , podemos e s c r i b i r : k-2 a0n + +.. , , + a, n M,L1 = n(a„+ a^n )+ a1 ¿ 5 k igualdad que nos indica que a queda determinado como r e s t o de la división de lvr¿ e n t r e n. Llamando ahora Vt^ al nuevo c o ciente, y poniéndolo en la forma: k-3 M = n (a + a n+. . . + a n " )+ a ? podemos calcular a, , como resto de dividir M~ e n t r e njsiguien do de e s t e modo l l e g a r í a m o s finalmente, a: M, =n k-1

a. + a, ., k k-1

de aqui s a c a m o s que a es el r e s t o de dividir el penúltimo cociente M, , e n t r e n, y a„ es el ultimo cociente, rpues la divi k-1 . k sion no se puede seguir por s e r a. < n. T e n e m o s , p u e s , que las operaciones que hay que r e a l i z a r pa ra e x p r e s a r M en la forma (l), son las que siguen: n M M l— n n a o a 2 n 1 a2 M, M

k-1 a k-1

3, - Cambio de b a s e . - Teniendo en cuenta la formula. (1) de (3^, 2), 'vamos a p a s a r : a) El numero M que esta expresado en base 10, a base n.

-23-

P a r a esto e s c r i b i m o s : 2 k 2 k M=a +a,n+a„n +. . . + a . n = (ao+a,. 10 + a „ . 10 + . . . +a_ 10 ),' = o 1 2 k 1 2 k '(ti = a. -. . . a~a a , k 2 1 o(n H e m o s tenido en c u e n t a (1) de (35:, 1). Como l a s a. son l a s m i s m a s de l a p r e g u n t a a n t e r i o r t e n e m o s : R e g l a p r á c t i c a . - P a r a p a s a r de b a s e 10 a una b a s e n c u a l q u i e r a , b a s t a d i v i d i r el n u m e r o por n, el c o c i e n t e o b t e n i d o , n u e v a m e n te d i v i d i r l o p o r n; y a s i ' s u c e s i v a m e n t e h a s t a e n c o n t r a r un c o c i e n t e m e n o r que n. L a s c i f r a s en b a s e n s e r á n l o s r e s t o s ob t e n i d o s y el u l t i m o c o c i e n t e , o r d e n á n d o l o s de i z q u i e r d a a d e r e cha y d e s d e el u l t i m o c o c i e n t e , u l t i m o r e s t o , p e n ú l t i m o r e s t o , . o . , primer resto. b) P a s a r el n ú m e r o a, . . . a „ a a a b a s e 10. k 2 l.o^ P a r a ello e s c r i b i m o s s e g ú n (l) de ( 3 § , l ) 2 k a, . . . a_ a, a , = (a +10 a,+ 10 a, +...+10 a, ) - a +a n + k 2 1 o(n o 1 ¿ k'n o 1 2 k + a_n + . . . + a, n 2 k y b a s t a p a r a r e s o l v e r la c u e s t i ó n que nos o c u p a , e f e c t u a r t o d a s l a s o p e r a c i o n e s d e l segundo m i e m b r o . P a r a e v i t a r e s t o , n o s fi j a m o s que el segundo m i e m b r o e s el v a l o r n u m é r i c o del polinomio: _ , P(x) = a + a n x + a~x +, . . + a, ,x o 1 2 k p a r a x = n. P o r lo que d i c h a s o p e r a c i o n e s se r e d u c e n a a p l i c a r la r e g l a de Ruffini, y el u l t i m o t e r m i n o que o b t e n e m o s e s el nu m e r o M buscado. Es decir: a

Vi n„ a, k

n) a

a, a k - 2 " •a2 1 o n. b . . , n. r n, p n. q a

. p \ q

donde b =a

+ n a ,

c = a,

+ n b , . . , , p = a ? + n , r , q-a.+n, p

-24-

M =a

+ n. q

Regla p r á c t i c a , - P a r a p a s a r de base cualquiera a base 10, se ponen las cifras del numero de izquierda a d e r e c h a en el mis mo orden que se encuentran en el n u m e r o , y se aplica Ruffini, siendo la n a n t e r i o r la b a s e donde está expresado el n ú m e r o , y el último numero obtenido el número buscado. P a r a p a s a r de una b a s e a otra, lo h a r e m o s por intermedio del s i s t e m a de base 10, Ejemplo: En el ejemplo de (3^,1) hemos visto que 23>= 21^,; vamos a comprobarlo con e s t a s dos últimas r e g l a s ; p a r a esto pasamos 23. a b á s e l o , o sea: (6 2 (6)

—

3 12 —

, luego

y a h o r a p a s a n d o 15 d e b a s e 10 a b a s e 7, 15 7 —• , e s d e c i r , 1 c

con lo que queda comprobado que 23,

^tu

~ 15

tenemos: 15 = 2 1 .

- 21,

4, Suma y producto de n ú m e r o s n a t u r a l e s en una b a s e cualquier a , - Según las definiciones (1) de (1^, 6) y (1<*, 7) p a r a efec tuar e s t a s o p e r a c i o n e s , pueden p a s a r s e todos los n ú m e r o s ab a s e 10^ efectuar la suma o el producto en esta b a s e , y el r e sultado p a s a r l o a la b a s e en que estaban expresados los suman dos o f a c t o r e s . No obstante, no se debe seguir este método, ya que s u m a r o multiplicar en cualquier b a s e es tan sencillo c o mo en base 10; por ejemplo, si al s u m a r en b a s e 5 las unida— des de p r i m e r orden de v a r i o s sumandos nos da 23, nosotros pondremos 3 que s e r á n las unidades de p r i m e r orden del r e sultado, el 2 se s u m a r a con las unidades homogéneas con él que son exactamente las de segundo orden, y así 5 se sigue con la suma de las d e m á s unidades; p a r a el producto el razonamiento es análogo; Ejemplos: Efectuar la siguiente suma:

-25-

'(7

V '(7 O

Excepto en c a s o s muy sencillos, p a r a efectuar un p r o d u c to de n ú m e r o s n a t u r a l e s , c o n s t r u i r e m o s p r e v i a m e n t e la ta bla correspondiente. Efectuar el siguiente producto: 3

3 2 3 115 15 0

1 4 2 3

3 5 5

4 4 2

1 4 0

0 0

V 5

la tabla s e r a

1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 3 4 2 3 4 4 10 12 10 13 20 12 20 24 14 23 32

5 5 14 23 32; 41,

'(6

Con un poco de p r á c t i c a en la suma se puede p r e s c i n d i r d é l a tabla c o r r e s p o n d i e n t e . Según las definiciones (1§, 9) las operaciones i n v e r s a s s u s - t r a c c i ó n y división, pueden r e a l i z a r s e en cualquier b a s e , sabiendo s u m a r y m u l t i p l i c a r , en dicha b a s e . Ejemplo: 4

- 3 1 4 3 1

1 0

4 (5

3 2 3 0 1 'í± (4 1 2 1 3 1 2 0 (4 0 3 1

0 0 1

5. Importancia del s i s t e m a de numeración base 2. - En las c a l culadoras e l e c t r ó n i c a s , tiene una gran utilidad el s i s t e m a diádico (base 2), ya que en é s t e , sólo hay dos cifras 0 y 1, que se pueden acoplar a los dos estados que puede p r e s e n t a r una válvula e l e c t r ó n i c a , según pase o no por ella c o r r i e n t e .

-26Los datos hay que p r e p a r a r l o s p a r a introducirlos en esta cal culadoras e l e c t r ó n i c a s , pero no hace falta e x p r e s a r l o s en base 2, ya que la calculadora hace esta operación automáticamente. E s fácil concebir que se puedan r e p r e s e n t a r a d e m a s del c e ro y el uno en e s t a s calculadoras e l e c t r ó n i c a s , l e t r a s al igual que en el s i s t e m a Morse se r e p r e s e n t a n mediante el punto y la raya. 6. Aplicación r e g u l a r frente a las operaciones definidas en dos conjuntos, - Si en los conjuntos A y B están definidas las ope_ raciones i n t e r n a s (*) y (o) r e s p e c t i v a m e n t e , decimos que la aplicación F;A ^ B es r e g u l a r o compatible frente a dichas operaciones cuando: (Vx)(Vy) (x,y, ( A ) :

Ffx-x-y) = F(x) o (F(y)

Esta operación recibe el nombre de homomorfismo de A en B. Si F es sobreyectiva se llama homomorfismo de A sobre B y los conjuntos A y B decimos en ambos casos que son homomor fos 0 Cuando F es una biyeccion recibe el nombre de i s o m o r f i s m o . Cuando A'^~B el homomorfismo y el isomorfismo se llaman , endomorfismo y automorfismo, r e s p e c t i v a m e n t e . Dados los conjuntos A ÍO, 1, 2, 3,10,11, . . .] y B ( 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, . .}» formados por los signos que se emplean en los s i s t e m a s de base 4 y 10, o b s e r v a m o s que la biyeccion F:A -* B que asocia a cada elemento de A el que ocupa su m i s m a p o s i - ción de B, es r e g u l a r r e s p e c t o a las operaciones (+) definidas en A y en B según (1) de (1^, 6), lo m i s m o pasa respecto a l a s operaciones (•), por lo que tanto r e s p e c t o a las operaciones (+) como ( *) los conjuntos A y B son i s o m o r f o s : Las propiedades a l g e b r a i c a s de los conjuntos A y B r e s p e c t o a las operaciones (+) y (.•) s e r á n las m i s m a s ; si 3 por ejemplo , la operación (+) tiene l a s propiedades asociativa, conmutativa, existencia del elemento neutro, . , . en el conjunto A; la o p e r a ción (+) en el conjunto B tiene las m i s m a s propiedades.

-27-

Ejercicios r e s u e l t o s : 1?. Con un s i s t e m a de p e s a s de 1 Kgs, 3 pesar 48 Kgs. (Se pueden poner pe Kgs. , 9 Kgs. , 27 Kgs. , sas en los dos platillos). Solución:

48 18 0

3 16 1

3 5 -1

2 -1

3 1

por lo tanto según (1) de (3?r, 2), tenemos: '48 = 0 + 1. 3 + (. -1) 3 2 + (-1)3 3 +L 3 4 que podemos ponerlo en la forma: 2 48+3

3 +3

4 =3+3,

2 3 luego en un platillo se ponen l a s p e s a s de 3 y 3 , y en el otro platillo l a s p e s a s de 3 y 3 . 2°. En los s i s t e m a s de numeración de b a s e s n y n+1, un núme ro esta r e p r e s e n t a d o por 435/ y 326/ ,-. r e s p e c t i v a m e n t e . Hallar n y la expresión del número en el s i s t e m a decimal,. Solución: Pasando los n ú m e r o s 4 3 5 / n y 326/ >•» a b a s e 10 tendré m o s que d a r á n el m i s m o n ú m e r o , por lo tanto: 2 5 + 3n + 4n simplificando tenemos: n cuyas soluciones son

2 = 6 + 2(n+l) + 3 (n+1)

- 5n - 6 = 0

n = 6,

n2=-l

y como toda b a s e de numeración es mayor que 1, solo sirve n - 6. P a r a p a s a r el número a b a s e d e c i m a l b a s t a aplicar Ruffini: 4 6 4

3 5 24 162 27 167

-28-

e n c o n t r a m o s p u e s , que 4 3 5 , , = 326,„ = 167 (6 (7 -o-

EJERCICIOS 1. En una r e u n i ó n hay v a r i o s ( m á s de uno) h o m b r e s , m u j e r e s y n i ñ o s . E n t r e e s t a s p e r s o n a s r e ú n e n 24 p e s e t a s , a p o r t a n d o 5 p t s , c a d a h o m b r e , 2 p e s e t a s c a d a m u j e r , y una p e s e t a c a d a niño. El n u m e r o de m u j e r e s e s m a y o r que l a s u m a d e l n u m e r o de h o m b r e s y n i ñ o s . Se p i d e : a) H a l l a r l o s n ú m e r o s de m u j e r e s , h o m b r e s y n i ñ o s de l a r e u nión, b) L o s t r e s n ú m e r o s o b t e n i d o s en a) s e c o n s i d e r a n c o m o c i f r a s de un n ú m e r o N> e s c r i t o en un s i s t e m a d e n u m e r a c i ó n de b a s e n, ¿ E n qué o r d e n h a y que c o l o c a r l a s c i f r a s y c u a l ha de s e r l a b a s e n p a r a que el n ú m e r o N s e a el m e ñ o r p o s i b l e ? E s c r i b i r N en el s i s t e m a d e c i m a l . 2 3 2. ¿ C u á n t o s s i s t e m a s de p e s a s d e 1 Kg, , 5 K g s . , 5 K g s . , 5 K g s . , . . . s e n e c e s i t a n p a r a p e s a r 1. 328 K g s . ? 3. L a s u m a de l o s n ú m e r o s 53 y 62/ . e s c r i t a en el s i s t e m a d e c i m a l , e s 92. H a l l a r l a s d o s b a s e s x , y. (E. P . ) 4. ¿ E n qué s i s t e m a d e n u m e r a c i ó n , l o s n ú m e r o s 123, , 140, y 156, f o r m a n p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a ? C a l c u l a r l a r a z ó n d e l a progresión. (E. P . ) 5 t Se e s t a b l e c e un s i s t e m a S de n u m e r a c i ó n , c u y a s c i f r a s son l a s 26 l e t r a s del alfabeto l a t i n o , con" l a s s i g u i e n t e s e q u i v a lencias: a = 0, b = 1, c = 2, d = 3, , . , , y = 24, z = 25. Se p i d e : a) R e p r e s e n t a r en dicho s i s t e m a el n ú m e r o 1965, e s c r i t o en el s i s t e m a d e c i m a l , - b} E x p r e s i ó n en el s i s t e m a d u o d e c i m a l ( b a s e 12) del n ú m e r o e x p r e s a d o en el s i s t e m a S p o r : P R E U . (E.P.).

-29-

6, ÂżCuĂĄntas cifras puede tener en el sistema diĂĄdico un numero de cinco cifras en base 8? -o-

-30-

LECCION 4.a NUMERO ENTERO -o

2 1. El n u m e r o e n t e r o . - Si s o b r e el conjunto N e s t a b l e c e m o s l a r e l a c i ó n (~), definida de l a s i g u i e n t e f o r m a : (a, b) - (c, d) < = = > a + d = b + c

(1)

O b s é r v e s e que el signo ( = ) d e l segundo m i e m b r o de l a equiv a l e n c i a e s el definido en (1) d e (1§,4). P o d e m o s d e m o s t r a r que d i c h a r e l a c i ó n (=) e s de e q u i v a l e n c i a . En e f e c t o , s e v e r i f i c a n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s : I. R e f l e x i v a : ( a , b ) - ( a , h ) p u e s a + b = b + a y a que a , b £N y s e v e r i f i c a II de (15, 6). II. S i m é t r i c a : (a, b) = ( c , d ) •~^-> ( c , d ) = ( a , b ) p u e s en el c o n junto N s e v e r i f i c a l a s i g u i e n t e i m p l i c a c i ó n : a+d = b+c = = > c + b = d + a III. T r a n s i t i v a :

[(a,b) = (c,d);

s e g ú n II de (19-, 6),

( c , d ) = ( m , n)] =£> (a, b)= (m, n)

b a s t a a p l i c a r (1), y s u c e s i v a m e n t e l a s p r o p i e d a d e s d e s e r l á o p e r a c i ó n (+) en el conjunto N una o p e r a c i ó n i n t e r n a , a s o c i a t i v a , c o n m u t a t i v a y e x i s t i r e n él l a ley de s i m p l i f i c a c i ó n , r e s p e c t o a esta operación. Al conjunto c o c i e n t e N / = l e l l a m a m o s conjunto .Z de l o s n ú meros enteros. Según (1) una c l a s e de e q u i v a l e n c i a s e r á p o r e j e m p l o ( ( a , b ) , ( a - 1 , b - l ) , („a-.2, b ~ 2 ) , . . ,} p o d e m o s p u e s l l e g a r a que el r e p r e s e n t a n t e de d i c h a c l a s e tenga nulo a l m e n o s uno de l o s dos e l e m e n t o s , que c o m p o n e n el n ú m e r o e n t e r o . Según s e a a > b , a=b, a < b t e n e m o s (a-b¿ 0), (0, 0) y (0, b - a ) , e s d e c i r , que todo núm e r o e n t e r o t i e n e u n a d e e s t a s t r e s f o r m a s (p, 0), (0, 0) y(0ep), l l a m a d a s canónicas, siendo p ^ N .

-31Los números e n t e r o s de la forma (p, 0), los d e s i g n a r e m o s por +p; los (0,p) como - p ; los p r i m e r o s forman el conjunto Z y los segundos el Z", designamos por Z al conjunto Z exceptuado el (0, 0) y todos los de su clase 0 2. Suma de n ú m e r o s e n t e r o s . - La operación (+) en el conjunto Z de los n ú m e r o s e n t e r o s , la definimos mediante la s i guiente igualdad: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(1)

La operación (+) d e l - p r i m e r m i e m b r o , es distinta de la operación (+) del segundo m i e m b r o que quedo definida en (1^, 6). La suma de n ú m e r o s e n t e r o s definida en (1), goza de las siguientes propiedades: I. Asociativa, pues (a,b) + [(c,d) +(m , n)j = (a,b) + (c + m,d+n) : = [ a + (c+m), b+ (d+n)] = [(a+c)+m 5 (b+d) + n ] = (a+c, b+d) + + (m, n) = [(a, b) + ( c , d ) ] + (m, n). hemos aplicado la propiedad asociativa de la operación (+), en el conjunto N„ .II, Conmutativa, Tenemos que (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) = = (c + a, d + b) = (c,d) + ( a , b ) . donde hemos utilizado la propiedad conmutativa de la o p e r a - cion (+), en el conjunto N. Según la definición (l) y por (2) de (Ia-, 6), podemos e s c r i b i r (a,b) + (0,0) * (0,0) + ( a , b ) = (a, b) que nos indica que el elemento neutro, de la operación (+), el conjunto Z es el (0,0).

Todo elemento (a, b) £ Z tiene elemento opuesto, ya que (a,b) + (b,a) = (a + b,b+a) = (0, 0) pues en la clase donde esta el (a+b, b t a ) el r e p r e s e n t a n t e es el (0, 0) según la pregunta a n t e r i o r , Si (a ( b) + (c,d) = (a,b) + (m,n) —•-•••:--—> (c,d) = (m, n) y esto lo

-32-

d e m o s t r a m o s a p l i c a n d o s u c e s i v a m e n t e (1), (1) d e ( 4 ^ , 1 ) , y l a s a s o c i a t i v a s c o n m u t a t i v a y la ley de s i m p l i f i c a c i ó n de la o p e r a c i ó n (+) e n e l c o n j u n t o N ; p o r l o t a n t o , t o d o n u m e r o e n t e r o , es r e g u l a r p o r la i z q u i e r d a ; de i g u a l f o r m a v e r í a m o s que e s regul a r p o r l a d e r e c h a , e s d e c i r , r e s p e c t o a l a o p e r a c i ó n (+) e n e l conjunto Z existe ley de simplificación. 3. P r o d u c t o d e n ú m e r o s e n t e r o s . - D a d o s d o s n ú m e r o s (a,b) y (c,d) t e n e m o s , por definición que: ( a , b ) . ( c , d ) = ( a c + b d , ad -f b e )

enteros

(1)

L a s p r o p i e d a d e s que v e r i f i c a e s t a o p e r a c i ó n en el conjunto Z, son: I . A s o c i a t i v a p u e s ( a , b ) [ ( c 5 d ) ( m , n) ] = ( a , b ) ( c m + d n , c n + d m ) = [ a ( c m + d n ) + b ( c n + d m ) , a ( c n + d m ) + b { c m + dn)] = = [ ( a c + b d ) m + (ad + b c ) n 7 (ad + b c ) r n + ( a c 4- b d ) n] = = ( a c + bd , ad + b e ) ( m , n) = [ ( a , b ) • ( c , d) ] ( m , n) h e m o s a p l i c a d o a d e m á s d e l a d e f i n i c i ó n (1) l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s : L a d i s t r i b u t i v a d e l (<>•) r e s p e c t o a l a (+), a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a d e l a (+), d i s t r i b u t i v a d e l a (+) r e s p e c t o a l (»); t o d a s e l l a s en el conjunto N. II. C o n m u t a t i v a

( a , b ) ( c , d ) = (ac + b d , ad + be) = = (ca + d b , cb + da) = ( c , d ) - ( a , b )

nos h e m o s a p o y a d o en la d e f i n i c i ó n (l), y en l a s p r o p i e d a d e s ~ c o n m u t a t i v a s d e l • ( • ) y d e l a (+) e n e l c o n j u n t o N . P o r (1), t e n e m o s : (a,b)(l,0) = (l,0)(a,b) = (a,b) q u e n o s d i c e q u e e l n ú m e r o e n t e r o (1, 0 ) , o c u a l q u i e r a d e s u c i a se de e q u i v a l e n c i a c o m o p o r e j e m p l o el ( m + l , m ) , e s el e l e m e n to u n i d a d . ' Q p e r a c i ° , n e s i n v e r s a s . I s o m o r f i s m o de Z en N , O r d e n a - ción. - L a d i f e r e n c i a de dos n ú m e r o s e n t e r o s (a,b) y (c,d) d a d o s en e s t e o r d e n v i e n e definida de la siguiente f o r m a :

-33-

(a,b) - (c,d) - (a,b) + (d,c) y el cociente, si existe en Z es otro número entero (m, n) que: (a,b) 1 (c,d)

= (m,n)

tal

(a,b) = (c, d)(m,n)

La biyeccion del conjunto Z en N,' que asocia al numero entero (p, 0) ~ +p el número natural p, es un isomorfismo de Z + en N, tanto r e s p e c t o a la operación (+) como al producto, pues: L

(p, 0) + (q, 0) = (p+q, 0) luego a: (p, 0) + (q, 0) -» p + q,

es d e c i r , que la imagen de la suma, es la suma de las i m á g e nes, II.

(p,0) >(q,0) = (p»q,0) luego a: (p, 0) • (q, 0) -, p . q.

La relación (>) es una relación de orden total en el conjunto Z, la d e m o s t r a c i ó n es trivial teniendo en cuenta que (a,b) > (c,d) < = > ( a , b ) - (<;,d) ft Z

EJERCICIOS 1. - R e p r e s e n t a r gráficamente cada uno de los elementos del conjunto Z == N ^ / =, (Considérese cada elemento (a,b) de N como un punto del plano, de a b s c i s a a y ordenada b)„ 2. - D e m o s t r a r las propiedades de la (+) y del ( ») en el conjunto Z + , sin necesidad de hacerlo por separado. 3. D e m o s t r a r que la suma y el producto de dos c l a s e s de equivalencia (números e n t e r o s ) , no dependen de los r e p r e s e n tantes de dichas c l a s e s que se elijan, 4. Apoyándonos en las f o r m a s canónicas de los n ú m e r o s enter o s , d e m o s t r a r las r e g l a s de los signos p a r a el producto, 5. D e m o s t r a r las propiedades distributivas en el conjunto Z, operando con n ú m e r o s de este conjunto en formas canoni cas.

-34-

LECCÍON 5. a C O N C E P T O S DE G R U P O Y DE ANILLO -o-

^ Concepto de semigrupo y g r u p o . - Decimos que un conjunto A ¡x,y, z , , . „ ] no vacío, tiene e s t r u c t u r a algebraica de s e migrupo o que es un semigrupo, r e s p e c t o a la operación inte£ na (*), si cumple la siguiente propiedad; L Asociativa.

(Vx)(i/y)(yz)(x, y, z € A): x*(y*z) = (x*y)*z

Si cumple a d e m á s , las propiedades: IL Existencia del elemento neutro: (]e)(e£A)(Vx): x * e = e*x = x III» Existencia del elemento s i m é t r i c o : (Vx)(]x' )(x' £A) : x * x ' = x'-*x = e el conjunto A es un grupo respecto a la operación (•#), diciendo se de el que es abeliano si se verifica: IV, Conmutativa. (Vx)(Vy)(x, y íA) : x * y = y * x . Si la operación (•*) es la (+) o el (•}, d i r e m o s que el grupo es aditivo o multiplicativo r e s p e c t i v a m e n t e . Si los elementos de A | F , í , qp, . . .} son t r a n s f o r m a c i o n e s , t e nemos por (1) de (15, 2). <p 0 (f ° F) = (cp o f) o F

pues

[q>Q(f o F)](x) =cp [(£ o F)(x)] =<p|f [ F (X)]¡ [(cpo f)o F ] = {<po f)[ F(x)]=<p{f [F (X)]¡ por lo tanto respecto a la operación (o), el conjunto A de t r a n s f o r m a c i o n e s , es un semigrupo; como consecuencia podemos a s e g u r a r que un conjunto A de t r a n s f o r m a c i o n e s es un grupo r e s p e c t o a la operación (o) t si cumple nada m á s las propiedades II y III. Cuando un conjunto A es un grupo, lo designamos c o r r i e n t e mente por G, y si tiene un número finito de e l e m e n t o s , a este

-35-

numero se le llama orden del grupo G. 2, P r o p i e d a d e s del grupo. - Sea el grupo {G, •} t e n e m o s : I. Ley de simplificación: (Vx)(Vy)(Vz)(X,yf zCG) :

** l **) = >

x =y

En efecto de la p r i m e r a tenemos (xz) z~ = (yz)z ; x(z z ) = x = y. La segunda se d e m u e s t r a de forma análoga. II, (Si x, y £G)( ] z)(z CG): xz = y basta o p e r a r de la siguiente forma: x

(x z) = x

y; (x

x) z = x

1. z = x~ y; z = x"** y el alumno o b s e r v a r á que en esta d e m o s t r a c i ó n , se han hecho uso de todas l a s propiedades de grupo y solamente de e l l a s , de a h i l a alusión que hicimos en (2§, 2) sobre la r e l a c i ó n íntima entre {G, • ] y la resolución en general de la ecuación de p r i m e r grado en G, definida por xz = y siendo x e y d a t o s . De forma análoga c a l c u l a r í a m o s t en la ecuación tx = y. P a r a que t = z, (Vx) y (tfy) el grupo tendría que s e r abeliano. 3.

Subgrupo. - Un conjunto AczG siendo |G , • j un grupo, se dice que es un subgrupo de G si tiene a su vez e s t r u c t u r a a l gebraica de grupo, r e s p e c t o a la operación (•) del grupo. T e o r e m a : Si Ac=G siendo JG, *i un grupo, y (¥x){Vy)(x,y (A) =^==> x y - 1 íA (1); A es un subgrupo de G. En efecto: «*

I. P o r e s t a r Ac:G, A es un semigrupo, pues (Yx)(Vy)(Vz)(x, y, z £A): x (yz) = {xy)z ya que (x,y, z ( G ) y G es un grupo. II. Haciendo y = x en (1) tenemos que xx III „ Tomando x = 1 en (1) tenemos l . y "y" un elemento cualquiera de A.

(A es d e c i r 1 €A.

£A o sea y

i A, siendo

Como si x , y £A =5> x. y £A, el producto (;•') es una o p e r a - cion interna en el conjunto A. _.,_,, . ¡ - 2 -1 o 1 2 i , Si x t G tenemos que A (. . . , x , x , x , x,x , . . . j es un sub-

-36grupo de G, llamado "subgrupo cíclico del elemento x", 4. Anillo, Dominio de integridad, - D i r e m o s que un conjunto A | x , y , z, . „ c | no vacio, posee e s t r u c t u r a algebraica de anillo, r e s p e c t o a las operaciones i n t e r n a s (+) y (•) si se v e r i fican las siguientes propiedades: I. Asociativa. (yx)(Vy)(yz)(x, y, z CA): x+(y+z)=(x+y)+z

(+)

II, Conmutativa. (yx)(Vy)(x,y £A): x + y = y + x, III. Existencia del elemento c e r o (]0){0GA)(tyx): x+Q=0+x = x IV, Existencia de elemento opuesto (Vx)(j-x)(~xíA): x+(-x) = = {-x) + x = 0

(••){V. Asociativa (Vx)(Vy)(Vz)(x, y, zCA): x (yz) = (xy)z

VI. Distributiva del (°) r e s p e c t o a la (•+•): (Vx)(Vy)(Vz)(x,y, z£A): x(y+z)= xy + xz 711. Distributiva de la (+) r e s p e c t o al ('*): (¥x)(Vy)ftz)(x,y, z€A): (x+y)z=xz + yz

El anillo |A, +, • } es un grupo abeliano aditivo, y un semigrupo multiplicativo, la propiedad introducida r e s p e c t o al se mianillo es la IV de la existencia del elemento opuesto. Si un anillo tiene las propiedades conmutativa y existencia del elemento unidad r e s p e c t o a la operación ( •), t e n d r e m o s r e s p e c tivamente las e s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s de anillo conmutativo y anillo con elemento unidad. En un anillo cualquiera el producto de un elemento x £A por el elemento c e r o , da c e r o , pues: x (y + 0) = x. y + x. 0

y por otro lado, podemos e s c r i b i r x(y 4- 0) = xy es d e c i r , xy + x. 0 = xy = xy + U y aplicando la I de {5§, 2) al grupo ¡A, +¡ t e n e m o s : x • 0 =0

-37-

No es c i e r t o el r e c i p r o c o , pues hay anillos donde el p r o d u c to de dos n ú m e r o s distintos de c e r o nos da c e r o , estos facto r e s se dicen que son v e r d a d e r o s d i v i s o r e s de c e r o . Si el anillo es conmutativo y no tiene v e r d a d e r o s d i v i s o r e s de c e r o se l l a ma dominio de integridad. 5. P r o p i e d a d e s del anillo y dominio de integridad. - Respecto a la o p e r a c i ó n (+) cumplen las propiedades I y II de (5^, 2). I. Estudiemos la regla de los signos p a r a el («), t e n e m o s : por un lado xf 0 = 0 y por otro x. 0 = x [y+(~y)]= xy + x(-y) luego xy + x (-y) = 0 y como xy + [-(xy)] = 0 s a c a m o s : xy + x ( - y ) = xy + [ - ( x y ) ]

y aplicando I de (5§, 2) al grupo, {A, +j, tenemos: x(-y)= -(xy); de modo análogo d e m o s t r a r í a m o s que x ( - y ) = - (xy); (-x)(-y) = xy

II. La ley de simplificación r e s p e c t o a la o p e r a c i ó n (-), es v á lida (yz)(zíA)(z4 : 0) J si dicho anillo A no tiene v e r d a d e r o s d i v i s o r e s de c e r o . Tenemos que xz = yz =*=> xz +i ~(yz) ] = yz + [ ~(yz)j= 0 es d e c i r ,

0 = xz + (-y)z = [x + (-y)] z y como uno de los dos factores ha de s e r c e r o y z^O, encontra mOS

x + (-y) = 0 = - > x + [(-y) + y ] = 0 + y

o sea x =y 6. Subanillos. Ideales. - Un conjunto Bc:A siendo {A, +, •] un anillo, se dice que es un subanillo de A si tiene a su vez e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a de anillo, r e s p e c t o a las operaciones (+) y (•) del anillo. T e o r e m a : Si BciA siendo (A, +, ».} un anillo y (tfx)(Vy)(x, y,£ B)=> > [xy, x - y ( B] ; B es un subanillo de A.

-38-

P o r e s t a r B c A , tenemos que r e s p e c t o a la (+) se verifican l a s propiedades asociativa y conmutativa, respecto al ( - ) l a a s o ciativa y r e s p e c t o a la {+) y (•) las dos d i s t r i b u t i v a s . Las propiedades III y IV de la suma (5?-, 4), se d e m u e s t r a n de forma análoga a la II y III de (5Q, 3), cambiando la notación multiplicativa por aditiva. L l a m a m o s ideal a todo subconjunto I de un anillo A que cumple las siguientes propiedades: I. (Vx)(Vy)(x,y€l) = > x - y ( I . II. (Vx)(Vy)(x€I)(y€A) = >

(xy,yx£l)

Según el t e o r e m a a n t e r i o r tenemos que un ideal de un anillo, es un subanillo. 7. Homomorfismo entre grupos y entre anillos, - Dados los gru pos ÍG, • ] y ÍG* *} decimos que una aplicación F:G -^G' es un homomorfismo de G en G* si se verifica: I.

(Vx)(Vy)(x,y€G):F(x.y) = F(x)*F(y) los elementos F(x. y), F(x) y F(y) p e r t e n e c e n al conjunto G :

Análogamente d i r e m o s que dos anillos ¡A, +, •) y {A',-*,0 } son homomorfos, cuando existe una aplicación F:A-»A/ que v e r i fica, l a s dos siguientes propiedades: I. (V'x)fry)(x,y(A): F(x + y) - F(x) * F(y) I I . (Vx)ífy)(x,y€ A> F(x. y) = F(x) o F(y) Al igual que en (35, 6), según la c l a s e de la aplicación F , e s te homomorfismo puede t o m a r las denominaciones de: homo — m o r f i s m o s o b r e , i s o m o r f i s m o , endomorfismo y automorfis — mo. EJERCICIOS 1. D e m o s t r a r que el semigrupo {G, * } , si cumple que (Vx)(3x')(x'CG>: x * x ' = e

y (]e)(Vx)(x€G): x*e=x

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es un grupo; Dado x d e m o s t r a r que x ' es único» 2. D e m o s t r a r que en todo semigrupo (x*y)' = y'*x'.„ Apoyándose en esta propiedad, d e m o s t r a r que si en un grupo JG,-*} se verifica que (fc)(x€G) : x ' = x, dicho grupo es abeliano, 3. Si un grupo [G, * ] es de orden p a r , d e m o s t r a r que hay un numero p a r al menos dos, de elementos que verifican la pro piedad de s e r x* = x. Construir las tablas de la operación (•) p a r a los grupos de orden 6. 4. D e m o s t r a r que la i n t e r s e c c i ó n de v a r i o s subgrupos de un grupo, es también subgrupo de dicho grupo, 5. Si A. jx, y, z, . . . ] , es un subgrupo del grupo (G, • } , y definimos el producto de un elemento t CG por A de la siguiente forma: t. A =-,{tx, ty, tz,„ . . } . D e m o s t r a r que si t„ A. y s.A tienen un elemento común enton ees t„ A = 8„ A. 6. D e m o s t r a r que la relación (~) definida sobre un grupo(G, • } de la siguiente forma: x = y (A) <

> x y" i A

es una relación de equivalencia, si A. es un subgrupo de G. 7. D e m o s t r a r que el orden de todo subgrupo de un grupo G, es divisor del orden de dicho grupo (Teorema de Lagrange), 8e Si un elemento de un anillo {A, +, • } es i n v e r s i b l e , d e m o s t r a r que no es v e r d a d e r o divisor de c e r o . 9. D e m o s t r a r que en un homomorfismo e n t r e grupos, se r r e s p o n d e n los elementos neutros y s i m é t r i c o s . -o

co-

-40-

LECCION 6.a NÚMEROS CONGRUENTES -o1. N ú m e r o s c o n g r u e n t e s , - Dos n ú m e r o s x e y p e r t e n e c i e n t e s al conjunto Z , s e d i c e que son c o n g r u e n t e s m o d u l o m , (m ( N ), y lo e s c r i b i m o s m e d i a n t e l a n o t a c i ó n : x~y(m) Cuando al d i v i d i r x e y e n t r e m , o b t e n e m o s r e s t o s i g u a l e s , es d e c i r : x =m q + r y = m q? + r

(1)

A p a r t i r de e s t a definición v a m o s a d e m o s t r a r el s i g u i e n t e T e o r e m a : L a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a que d o s núm e r o s x e y s e a n c o n g r u e n t e s m o d u l o m , e s que la d i f e r e n c i a entre ellos sea múltiplo del modulo. a) E s n e c e s a r i a , p u e s si x E y ( m ) , s a c a m o s r e s t a n d o m i e m b r o a m i e m b r o l a s i g u a l d a d e s (1) q u e : x

Y = m (qx - q 2 ) = m

b) Es s u f i c i e n t e , ya que si s e v e r i f i c a x - y = m = m q y d i v i d i m o s T! y" e n t r e m , e s d e c i r , y = m h + r ; s i n m a s que s u s t i t u i r e s t e v a l o r en l a igualdad a n t e r i o r , e n c o n t r a - mos: x = m h +mq

+ r - m ( h + q) + r

que n o s i n d i c a que el r e s t o de d i v i d i r x e n t r e m , e s t a m b i é n por s e r r < m , luego: X:

.y (m)

2a - Suma, de c o n g r u e n c i a s » P r o d u c t o de una c o n g r u e n c i a p o r un n u m e r o , - D a d a s d o s c o n g r u e n c i a s r e s p e c t o a un m i s m o -

-41xnodulo, vamos a d e m o s t r a r que sumando m i e m b r o a m i e m b r o e s t a s congruencias obtenemos o t r a congruencia r e s p e c t o a d i cho modulo, es d e c i r : Xj- V^m)

=> x + x =y, + y , ( m ) 1 2 1 2

x^y2(m)!

D e m o s tracion. "-Por hipótesis x -y = m y x -y = m, si su m a m o s m i e m b r o a m i e m b r o e s t a s dos igualdades, obtenemos: x +x

- (y + y ) = m + m = m

pues la suma de múltiplos de un n u m e r o , es múltiplo de dicho n u m e r o , según se ha visto en c u r s o s a n t e r i o r e s , t e n e m o s , pues : x

+ x

2 ~ yl

+ y

2^m)

Luego p a r a dos congruencias la implicación se verifica, ¿Se v e r i f i c a r a , p a r a un numero cualquiera de congruencias? P a r a d e m o s t r a r que se verifica s i e m p r e supongamos: XjEy^m),

x2=y2(m),.„.,

E h 4

yh4(m)' ^Sy^m), ...

y que la ley se verifica p a r a el caso de h-1 congruencias,o sea: x x +x 2 +, . . + x h _ 1 =y 1 +y 2 +. . . +y h _ 1 (m) como

, ,

Sin m a s que s u m a r e s t a s dos ultimas congruencias, obtenemos: x x + x 2 +. . . + x h _ 1 + XjE y1+Y2+° • - + y b - l + y h ^ m ^ que nos indica que se verifica p a r a h, congruencias, por lo tan to, queda d e m o s t r a d a en general esta propiedad por el método de inducción completa (1§, 8). Corolario,, De lo a n t e r i o r sacamos que: xEy(m)

> n x E n y (m)

-42-

siendo n un numero n a t u r a l . Basta p a r a ello e s c r i b i r n congruencias igual a la x = y(m) y s u m a r l a s , 3„ Producto de congruencias. Potencia. - Análogamente vamos a d e m o s t r a r , que x^y^m) X

> i x ^ ^ yyy^m)

2Ey2^m)

Demostración. P o r hipótesis x =y + m X X

1 2 ~ yiy2

luego

y x =y + m , o sea: XjX ~ y y (m)

P o r el método de inducción completa, de forma parecida a como hemos hecho en la pregunta a n t e r i o r , se puede demos t r a r en general esta propiedad. Corolario., De lo a n t e r i o r XEy(m) = > x ~ y (m), donde n e s u n numero n a t u r a l , p a r a d e m o s t r a r esto b a s t a e s c r i b i r x E y ( m ) n veces, y multiplicarlas miembro a miembro, 4- División de una congruencia por un número» - Vamos a d e m o s t r a r que se pueden dividir los dos m i e m b r o s de una con gruencia, por un n u m e r o divisor de ambos y p r i m o con el •y 3

modulo, x =: y(m) x = h =x „ h y = h =y . h

^=>{x1r:y1(m)

m c d(m, h)=] Demostración* De la hipótesis x - y = h (x -y ) ~ m y como h es primo con m, x-)~y.-i - ró, e s decir s x = y (m) 0 En el caso de no s e r h p r i m o con el modulo, esta t e s i s no se podría a s e g u r a r a p e s a r de que podría s e r c i e r t a , 5. Relación de congruencia» - La relación de congruencia (=) r e s p e c t o a cualquier módulo m, verifica evidentemente las siguientes propiedades:

-43-

I) R e f l e x i v a , II) S i m é t r i c a .

(Vx)(x€Z): x = x ( m ) t (v/x)(Vy)(xJ y í Z):

x = y ( m ) ====3> y=x(rn).

III) T r a n s i t i v a . (Vx)(Vy)(yz)(x, y, zCZ): [ x = y ( m ) y E z ( m ) ] = » x E z ( m ) , L a r e l a c i ó n de c o n g r u e n c i a e s p u e s una r e l a c i ó n de e q u i v a lencia» 6« C l a s e s r e s i d u a l e s . - L o s r e s t o s p o s i b l e s al d i v i d i r un n u m e r o x ( Z entré m, son: ^j 1? ¿» ->¡ » > • • n j o o . k) o . .

(m-Xy,

El conjunto de todos l o s n ú m e r o s que d a n el m i s m o r e s t o r a l d i v i d i r l o s p o r m , f o r m a n u n a c l a s e r e s i d u a l que r e p r e s e n t a r e m o s con el s í m b o l o r (se l e e c l a s e r e s i d u a l r ) , s e p u e d e n , p u e s ? c l a s i f i c a r en c l a s e s ( r e s i d u a l e s ) todos l o s n ú m e r o s del conjun to Z , e s t o lo s a b í a m o s d e s d e el m o m e n t o en que se vio en l a p r e g u n t a a n t e r i o r que l a r e l a c i ó n de c o n g r u e n c i a e r a una r e l a c i ó n de e q u i v a l e n c i a ; h e m o s f o r m a d o , p u e s , el conjunto c o c i e n te Z / m de l a s c l a s e s r e s i d u a l e s m o d u l o m , c u y o s e l e m e n t o s son:

E s t e conjunto t i e n e r e s p e c t o a l a s o p e r a c i o n e s (+) y (•) d e f i n i m o s de la s i g u i e n t e f o r m a : a) r + s - t

que

s i e n d o t el r e s t o de d i v i d i r r + s e n t r e m

b ) 7 . s = p"

p "

r . s

las siguientes propiedades: I. E x i s t e n c i a de l o s e l e m e n t o s n e u t r o s de la s u m a y d e l p r o ducto? que son r e s p e c t i v a m e n t e l a s c l a s e s 0 y 1„ Pues

(] 0)(Vr)(0, r £ — ) : r r O = 0 + r = r m (ri)(Yr)(Í,rC—): r . 1 = 1 . r = r m

II, Dada una c l a s e r e x i s t e su o p u e s t a ( m - r ) s en l a s u m a y a que

(y r )(]Zr^.)( ; » m - r ^~) : ^ + (m-r) = 0 m-r

-44-

III, Propiedad conmutativa r e s p e c t o a la suma y al producto, es d e c i r : - -

(l/r)(Vs)(r, s Cm— ) : r + s ™ s + r (V;)(V5)(r" f 5C^) : r . i =: i . ? m IV „ Propiedad asociativa» rv Z (Ví)(Vi)(Vt)»i?,i,tC±.) : (í+5) + t = í + (S+t)

(Vr)(Va)(¥t)(f,¡,^):(í.5).t=f. (¿t) v 7 m V. Propiedad distributiva del producto r e s p e c t o a la suma y de la suma r e s p e c t o al producto (Vr)V5)(Vt)(?,5,tC-): r (s rn (Vr)(tfs)(ft)(r\i,-U-): fs + m Cuyas d e m o s t r a c i o n e s , se reducen a l a s junto N, y r e s p e c t o a las operaciones (+) y

+"t) = ? S + ? t ' t). v = s r + t í ' m i s m a s en el con(".) o r d i n a r i o s .

Luego las c l a s e s r e s i d u a l e s poseen e s t r u c t u r a de anillo conmutativo con elemento unidad. Cuando el modulo e s 5 e s t a s propiedades, podemos c o m p r o b a r l a s en las siguientes tablas de s u m a r y m u l t i p l i c a r : 1

—••••.<-

(

-45-

En la tabla de m u l t i p l i c a r , vemos que en este caso de modulo 5 se verifican a d e m á s de las propiedades a n t e r i o r e s la (VÍXjr'1)^?"*^-): r0r_1=l m Esto nada m a s pasa cuando el modulo es un numero p r i m o , en este caso el conjunto Z / m tiene e s t r u c t u r a algebraica de cuerpo (11^, 5 )„ VI.

VIL Si el modulo m no es p r i m o , se puede descomponer c o mo producto de dos n ú m e r o s p y q m e n o r e s que el, por lo tanto p. q = Ó Se da, p u e s , el caso que siendo las dos c l a s e s distintas de 0 nos da su producto 0 } tenemos entonces que p y q son verdade^ ros d i v i s o r e s de c e r o , es el caso de las c l a s e s r e s i d u a l e s 2 y 3 cuando el modulo es 6. Como notación en una tabla a la fila que hay por a r r i b a de la línea doblemente rayada la llama remos'fila s u p e r i o r " y a las o t r a s : primera,, „ . segunda. . . ; las columnas las d e s i g n a r e m o s : columna de la izquierda, p r i m e r a , s e gunda, , , 74 Sistemas de n ú m e r o s incongruentes. - Dos n ú m e r o s se di cen que son incongruentes modulo m, cuando pertenecen a distintas c l a s e s r e s i d u a l e s . Un conjunto de n ú m e r o s de este tipo forman lo que l l a m a m o s s i s t e m a de n ú m e r o s incongruentes, y en el caso de s e r exactamente m el s i s t e m a se llama comple to. T e o r e m a , Si multiplicamos los n ú m e r o s U,

£,

J , o c . ,

flj

« • . j

K, „ „ „ , ^m — i j

por un numero "y !r p r i m o con el modulo m, y a estos p r o d u c tos les sumamos un numero e n t e r o , cualquiera x, vamos a d e m o s t r a r , que el conjunto A de n ú m e r o s : A j 0o y + x, 1. y + x, 2. y + x-, „ „ «, , h y + x, . . . , k y +x, . „., (m-l)yhq forma un s i s t e m a completo de n ú m e r o s incongruentes modulo m. P o r haber m n ú m e r o s nos b a s t a con d e m o s t r a r que dos cua

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l e s q u i e r a de ellos son incongruentes modulo m „ Sean, por ejem pío, el h y + x,y el k y + x, tenemos: k y + x - ( h y + x ) = y (k-h) + m pues "y" es p r i m o con m , y por lo tanto, tendría que s e r rh el k-h p e r o esto no puede s e r , pues tanto k como h son m e n o r e s que m„ Tenemos: k y + x ^ h y + x (m) y por lo tanto,tienen distinto r e s t o . 8, - Congruencia de F e r m a t . - Si en los elementos del conjunto A de la pregunta a n t e r i o r hacemos x - 0, tenemos que los r e s t o s de dividir los n ú m e r o s : O.y, l. y, 2 . y , . . . , h . y , ... , k. y, ... , (m-1). y entre m son 0,l,2,t..íh,,.„,kí..,ím-l aunque no tienen por que s e r en este orden, a s i , p u e s , p o d e mos e s c r i b i r : 1. y = 5{m) 2. y =h (m) (m-1). y ~ 3(m) si los r e s t o s de dividir 1,'y, Z, y, . . . , (m-l). y son, por ejemplo, los n ú m e r o s 5 , h , . „ , , 3 r e s p e c t i v a m e n t e ; multiplicando e s t a s congruencias, tenemos: 1 . 2 . . . (m-1). y

= 1 . 2 . . . (m-1) (m)

y si m es p r i m o absoluto, dividiendo los dos m i e m b r o s de la congruencia por 1. 2. „ . (m-1), tenemos según (6§,4): m-l_ ( , y = 1 (m) que es la llamada congruencia de F e r m a t . Ejercicio r e s u e l t o . - Hallar el r e s t o que se obtiene al dividir 234bbi e n t r e siete.

-47-

Solución: P a r a e l l o v e m o s que

23 E 1 (7) 23l~

2(7)

2 3 2 - 4(7) 2 3 3 E . l (7) luego 23

El (7) y c o m o 4561 = 3„1520 + 1

t e n e m o s que

... 23^

y como

t b

=1 _2

multiplicando m i e m b r o a m i e m b r o , 23*Dbl

(7) (?)

resulta:

= 2

(7)

l u e g o el r e s t o pedido e s 2„ EJERCICIOS 1„ D e m o s t r a r que l a s o p e r a c i o n e s {+) y (•) s o b r e el conjunto—t no d e p e n d e n de l o s r e p r e s e n t a n t e s de c l a s e que s e t o m e n , 2. H a l l a r el r e s t o de d i v i d i r 24 3C D e m o s t r a r que 23

e n t r e 19»

-7n-4 = 7,

4 0 D e m o s t r a r que el conjunto Z / 4 t i e n e e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a de a n i l l o , c o n m u t a t i v o , con e l e m e n t o u n i d a d . (Se h a r á u s o de l a s t a b l a s de l a s o p e r a c i o n e s (+) y (• ) en dicho conjunto),, -o-

-48-

LECCION PRACTICA

COMBINATORIA ORDINARIA Y CON

REPETICIÓN

-o-

1. - Variaciones o r d i n a r i a s . - Dados m elementos a,, a_, . » . ,a —'——: : . . .. .+ 1 ,£ . m l l a m a m o s variaciones n - a r i a s sm repetición u o r d i n a r i a s (n < m ) , de estos m e l e m e n t o s , a los diferentes grupos que se pueden f o r m a r tomando n elementos distintos de e n t r e los m d a dos, de modo que dos grupos d i r e m o s que son distintos, cuando uno de otro se diferencien en algún elemento o en el orden de colocación de los m i s m o s . El n u m e r o de grupos (Variaciones), lo r e p r e s e n t a r e m o s con el símbolo Vm, n„ A p a r t i r de la definición, nosotros podemos f o r m a r las v a riaciones n - a r i a s de m elementos, por ejemplo, vamos a form a r las variaciones' t e r n a r i a s de los cuatro elementos a,, a , a.-, y a . , t e n e m o s : 3 } 4 a a a a a a a a a a a a i 2 3 i 2 4 aia3a2 i 3 4 alVz i 4 3 aâ a~ aââ, a - a . a., a_a.a a^&.a., aâ.a^ 213 ¿ 1 4 231 234 241 243 a a a a a a a a a a a a a a a a a & 3 i 2 3 i 4 3 2 I 3 2 4 3 4 2 3 4 i a

a a a 4aia2 4 i 3 a4a2ai P o r lo tanto, V - = 24 - 4. 3. 2,

4a2a3

4a3ai

P o r inducción completa se d e m u e s t r a que V . . . (m~n+l).

4a3a2

= m(m-l), . .

¿Cuántos grupos empiezan por ak en el cuadro a n t e r i o r ? v e mos que empiezan por a.-, todos los grupos de la p r i m e r a fila, y si nos fijamos con los dos elementos que llevan d e t r a s v e m o s que son las v a r i a c i o n e s b i n a r i a s de los elementos a ? , a y B. Por lo tanto, tienen a en p r i m e r a posición de la izquierda V = = 6, lo m i s m o pasa con el a~, a., y a En la segunda posición también se r e p a r t e n las 24 posiciones a p a r t e s iguales é n t r e l o s elementos a , a , a y a ; lo m i s m o p a r a la t e r c e r a posición. -

-49-

Podíamos haber aplicado el "postulado de indiferencia" p a r a v e r los grupos que tienen el a., en p r i m e r a posición de la izquierda, este postulado dice: Si ninguna de las a , a , a , a , tienen privilegio sobre las d e m á s , en cualquier posición habrán las m i s m a s a , a ? , a y a por lo tanto, si en total hay V4 3 c a da una ocupará la posición 1^, 2<* y 3§ un níímero de veces igual 4 4,3 Este sencillo razonamiento nos p e r m i t e r e s o l v e r el siguiente e j e r c i c i o : Hallar la suma de todos los n ú m e r o s de t r e s c i - fras que se pueden f o r m a r con las cifras 1, 2, 3, 4, sin repe t i r s e ninguna. El grupo 123 como numero es distinto del 132 y del 143, resut ta por tanto que dos n ú m e r o s se distinguen en el orden de colocación o en alguna cifra, son, p u e s , v a r i a c i o n e s t e r n a r i a s de las cuatro c i f r a s , 1, 2, 3 y 4. Como V4 3 = 24 según hemos v i s to antes y en cada columna hay 24 = ¿ c i f r a s iguales al 1, 2, 3 y 4 al ponerlos en posición de s u m a r l o s , r e s u l t a que las cifras de las unidades s i m p l e s , d e c e n a s , centenas suman cada una 6 (1+2+3+4) = 60; luego,la suma de todos los n ú m e r o s s e r á : S = 60 + 60.10 + 60,10

= 60.111 = 6660

Al f o r m a r las v a r i a c i o n e s t e r n a r i a s de cuatro elementos a , 2 3 y a 4 J leyéndolas por filas, o b s e r v a m o s que si l e e m o s ios subíndices como n ú m e r o s

? a

123 < 124 < 132 < 134 < 142 < 143 < 213 <• , . < 432 estos van creciendo; aunque el orden de formación lógicamente podría s e r cualquiera, se suele elegir é s t e , y, si por ejemplo, preguntamos ¿que lugar ocupa la v a r i a c i ó n a^ a . a ? nos r e f e r i m o s a su posición al f o r m a r l a s según este c r i t e r i o . 2. V a r i a c i o n e s con repetición. - Dados m elementos a, , a _ , . . . a . :—c — ^ 1 2 m llamamos v a r i a c i o n e s n - a r i a s con repetición de estos e l e - m e n t o s , a los distintos grupos de n elementos, entre los cuales pueden haber elementos repetidos, tomados de los m dados con la condición, de que un grupo se distinga de otro en algún e l e mento o en el orden de colocación de los m i s m o s . En este caso

-50la relación entre los n ú m e r o s m y n puede s e r cualquiera, y el símbolo que r e p r e s e n t a el numero de grupos de esta clase V' Igual que en el caso de las v a r i a c i o n e s sin repetición, a partir de la definición podemos calcular V' sin m á s que formarl a s , sean los elementos a a a , . a

2al

Sai

a a

f 2

332

2a3

luego V^ 2= 9 = 3 . P o r inducción completa se d e m u e s t r a que V'

- m .

XXl ^ Ti

También aquí se puede aplicar el postulado de indiferencia, y el c r i t e r i o de ordenación que d i m o s . Ejercicio r e s u e l t o : a) ¿Cuantos n ú m e r o s de dos c i f r a s , distintas de 4, 5 y 6, pueden f o r m a r s e en base 7? - b) C a l c u l a r su suma en dicha b a s e . Solución: Como dos n ú m e r o s son distintos cuando se diferencian en al guna cifra, o bien teniendo l a s m i s m a s c i f r a s , en el orden de colocación de e s t a s ; se t r a t a de v a r i a c i o n e s que ademas son con repetición, pues según el enunciado, por ejemplo, el nú m e r o 33/ es uno de los que se piden. L a s cifras que se pueden e m p l e a r son 0 , 1 , 2 y 3. 2 Los n ú m e r o s que pueden f o r m a r s e , son pues: VA 7- 4 =16, menos los que empiezan por 0 que son según el postulado de indiferencia ¿2 , = 4, luego: a) Son 12 n ú m e r o s . 4 b) Sumando incluso los que empiezan por 0, tenemos que las unidades simples s u m a r a n : 4(1 + 2 + 3 ) ( ? = 33(?; las unidades de segundo orden, s e r á n también 3 3. , luego la suma Sx = (33 + 33.10) í 7 = 363, y

-51a esta S hay que r e s t a r l e la suma de los 4 n ú m e r o s que empie zan por c e r o que son 00, 01, 02, 03: es d e c i r , que la suma S que nos piden e s : S = 3 6 3 { ? - 6 , ? = 354

Ejercicios: L - Con las cifras 0 , 1 , 2, 3 y 4 ¿Cuántos n ú m e r o s de s e i s c i fras pueden f o r m a r s e ? Hallar la suma de todos ellos ( E . P . ) 2. - ¿Cuántas aplicaciones, pueden r e a l i z a r s e del conjunto A [l, 2,3] en sí* m i s m o ? ¿Cuántas t r a n s f o r m a c i o n e s ? 3. P e r m u t a c i o n e s o r d i n a r i a s . - Dados m elementos a , a ^ . a l l a m a m o s p e r m u t a c i o n e s o r d i n a r i a s de estos elementos, a los distintos grupos que pueden f o r m a r s e , entrando s i e m p r e to dos los elementos dados sin r e p e t i r s e , es d e c i r , cada uno de estos grupos consta de m elementos distintos. P o r lo tanto, dos permutaciones se distinguen solamente en el orden de coló cación de los e l e m e n t o s . El numero de grupos que pueden f o r m a r s e , lo r e p r e s e n t a r e m o s por el símbolo E^, y coincide según la definición con el de V m m . T e n e m o s , p u e s , P

= m ( m - l ) . , . ( m - m + l ^ m f m - 1 ) . . . 3. 2. l=m! m m, m ' 4„ Ordenación y clase de las p e r m u t a c i o n e s . - A p a r t i r de la de finición v a m o s a f o r m a r las permutaciones de los elementos a , a , a , son: a a

i 2a3

a a

i 3a2

2aia3

2a3ai

3aia2

3a2ai

en las que hemos empleado el m i s m o c r i t e r i o de ordenación, que en el caso de las v a r i a c i o n e s . Ejemplo: ¿Qué lugar ocupa la permutación a„a a a-a al for_ m a r según el orden convenido las p e r m u t a c i o n e s de estos cinco elementos ? A la permutación a,a a a a.J.le p r e c e d e n todas las que e m p i e tn por zan po: los elementos,

-52-

a a aj 3 1

que son 4! = -24 í a que son 4! = 24 '«« '» 3! = 6 a . a , a. a, " " 1! = 1 13 2 14

luego ocupa el lugar 56. L l a m a m o s permutación principal, a la p r i m e r a que escribimos al f o r m a r l a s ordenadamente, o sea, a la que tiene todos sus subíndices en orden c r e c i e n t e . Si formamos las permutaciones con los m elementos a,a^. ..a 1 ¿ y elegimos una de e l l a s , por ejemplo l a a , a , . , a , „ a . „ a g d e c i m o sm que a forma inversión con a si h > k, en caso c o n t r a r i o , e s de_ c i r , h < k decimos que forma p e r m a n e n c i a . Decimos que una permutación es de clase p a r , cuando el num e r o de inversiones que SQ forman con todos sus elementos es p a r , sino se verifica esto la permutación es de c l a s e i m p a r . P a r a contar las inversiones que forman los elementos de una permutación, hay que contar las que engendra un elemento con todos los que le siguen. Ejemplo: La permutación e s c r i t a a n t e r i o r m e n t e a a a a a es de c l a s e p a r , ya que el numero de inversiones es 4S Se d e m u e s t r a que al c a m b i a r entre si dos elementos a dentro de una permutación, esta cambia de c l a s e .

5, P e r m u t a c i o n e s con repetición, - Dados m elementos entre los cuales hay a,(3,ys . « . , T , elementos iguales r e s p e c t i v a mente a los a , b , . „ „ , t, l l a m a m o s p e r m u t a c i o n e s con repetición de estos m e l e m e n t o s , a los diferentes grupos que se pueden f o r m a r de extensión m, que se distinguen, c l a r o e s t á , en el or den de colocación de los m i s m o s , El n u m e r o dé grupos obtenidos de esta forma, se r e p r e s e n t a por el símbolo p ' ,v' "** > siendo a+ (3+ „ „ „ + T= m. m Vamos a f o r m a r las p e r m u t a c i o n e s con repetición de los cinco elementos a , a , a , a ? , a , tenemos : a

2a2ala!ai

3 a

l 2aia2al

2ala2aiai

a a

i 2aiaia2

2alala2al

a a a

l l 2a2al

2aialala2

a 3 a

a a

a 2 a

l i 2ala2 V l l

a a

i i

2 a

2a2

-53-

luego

P' 5

= 10 =

3I2Í

s e d e m u e s t r a que a , p , . . . T_

a!fJ.!... T í

6„ F o r m u l a d e L e i b n i t z , - P a r a c a l c u l a r l a

potencia

( x 1 + x ^ + , . 0 + x ) = (x n 4-x_+.„. +x )„ . . . (x, 4-x„+ + x )(L)nos 1 2 n' 1 2 n '1 2 n f i j a m o s , que al m u l t i p l i c a r e s t o s m p o l i n o m i o s i g u a l e s d e l s e gundo m i e m b r o , o b t e n e m o s el conjunto de t é r m i n o s p o s i b l e s , con m f a c t o r e s o r d e n a d o s c a d a uno d e uno de l o s m p o l i n o m i o s , asi p u e s el t e r m i n o g e n e r a l de e s t e d e s a r r o l l o es del tipo OL] (Xn

x . x¿¡ . . x siendo a + a+ . . . + a = m 1 2 n 1 2 n ¿ C u a n t a s v e c e s a p a r e c e r á e s t e t e r m i n o , e n e l d e sarrollo ó x +x +

( l 2 **'

+ X

a-i ao «n C o m o e l o r d e n d e l o s f a c t o r e s x x „'.„ x.x-x_. . . x_„ . . x x . . . x 11 1 22 2 n n n no a l t e r a el p r o d u c t o , s e p o d r a n e n g e n d r a r Jr m

-77"i~z~~z 77~T t é r m i n o s d e l t i p o x n x „ . . . x OLFOíroc! 1 2 n H. 2 ° • ° n al m u l t i p l i c a r e n t r e si, los m polinomios del segundo m i e m b r o d e (1). P o r lo t a n t o , t e n e m o s : ( x + x +•. . . +x )

1 2

v~ = \

CL.,a7t . . . a = 0

s i e n d o oc + a . , . + 1 2

mf 1 2 n X X X a.lQL!...a ! l 2 " * n 12 n

= m.

a n

4 E j e m p l o : D e s a r r o l l a r (x + y - z) „ ¿ 4

Tenemos:

(x+y-z) v

4r !

= \

¿ a,(3,Y=0

—.

Cí

- x

a?p? Y í

v y

-54-

con cc + p+Y = 4„ Las descomposiciones del numero 4 en tres su mandos son: 4+0+0, 3+1+0, 2+2+0, 2+1+1, por lo tanto: ,4 4 4 4 4» 3 3 3 3 3 3 . (x+y-z) =x +y + z + -ry (x y-x z+y x-y z-z x-z y) + +

4t , 2 2 2 2 2 2, 4 ! , 2 ' 2 x > y + x z +y z ) + 2 T \ X Yz~y x z 2 2f (

+ z

2 xy)

7C Permutaciones circulares» - Si en una circunferencia señala mos m puntos, y en cada uno de ellos colocamos un elemento de los a a . . a ; si distinguiésemos los puntos entre sí" estos elementos se podrían colocar de m! formas; pues bien, llamamos permutaciones circulares a los diferentes grupos que se pueden formar con estos m elementos situados en esos m puntos sin distinguir estos puntos. El numero de p e r m u t a ciones circulares de m elementos, lo representamos, con el símbolo P m Dada una ordenación de los elementos ai, a£, ° ' a m s ° b r e dichos m puntos, podemos formar m grupos variando los elementos sobre los puntos pero no el orden entre los elementos, estos m grupos según la definición dada es una sola permuta cion circular, por lo tanto:

P° = (m-l)í m Ejercicio resuelto. - Una ciudad tiene sus calles formando cuadricula, las calles que van de norte a sur se designan por A,B, C, . „ . y las que van de oeste a este por 1, 2, 3, . . . ¿Cuántos caminos mínimos hay para ir de la confluencia de las calles A y 1, hasta la de las calles F y 4? Solución:

FIG. / - I

• • • • •

• • • •

-55-

P a r a i r desde el punto (-A,l) al ( F , 4 ) , el camino s e r á m í n i mo s i e m p r e que nos vayamos constantemente acercando al (F,4), p a r a esto hay que r e c o r r e r cinco manzanas en la dirección W-E y t r e s en la dirección N-S, llamando H a los t r a m o s r e c o r r i dos en la p r i m e r a dirección y V a los r e c o r r i d o s según Ja s e gunda dirección r e s u l t a , p u e s , que los caminos mínimos s e r á n del tipo HVVHHHVH donde s i e m p r e entran 5 veces H y 3 veces V: por lo tanto, los caminos son en total w 5, 3 8? P = - 5A En la figura están señalados los c a m i n o s , H H H H H V V V , y V HHHVHVH. EJERCICIOS 3 7 10 Dada la potencia indicada: (x -2x-l) se pide: a) Expresión del término general de su d e s a r r o l l o , b) Calculo de los eoe ficientes de los t é r m i n o s de grado diez en dicho d e s a r r o l l o . (E. P . ). 2, D e t e r m i n a r la ultima cifra de la potencia 17 siendo n el num e r o de orden que c o r r e s p o n d e a la permutación 53179, supuestas ordenadas en forma c r e c i e n t e todas las p e r m u t a c i o nes que pueden f o r m a r s e con las cifras 1, 3, 5, 7, 9. (E. P . ). Permutando de todos los modos posibles las cifras de 111223 se forman distintos n ú m e r o s que o r d e n a r e m o s de m e n o r a m a y o r . ¿Cuantos n ú m e r o s r e s u l t a n ? ¿ Ou e numero ocupa el lugar 50 en esa ordenación? (E. P , ). ¿Cuamtos n ú m e r o s m a y o r e s que un millón pueden e s c r i b i r se con las cifras 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4? Calcular su suma (E„ P.) Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 7 sé forman n ú m e r o s de cinco c i fras que no tengan ninguna repetida; se pide: a) Numero total de n ú m e r o s que se pueden f o r m a r , b) Numero de ellos, que son múltiplos de 4 y los que son múltiplos de 2. c) Nu m e r o de ellos que son múltiplos de 11„ d) E s c r i b i r el m e - -

-56nor y el mayor de los múltiplos de 11„ (E. P , ) 6,

¿Cuantas quinielas se pueden hacer que tengan cinco v a r í a n t e s ? (se consideran como variantes la x y el 2). * 2 4 7, D e s a r r o l l a r por la formula de Leibnitz (x -2x+3) . 3 3 6 8, ¿Cual es el t é r m i n o independiente del d e s a r r o l l o (x - —+5)? 8C- Combinaciones o r d i n a r i a s . - Dados m elementos a,, a_,«.&. — T . . ..1.^.2 m l l a m a m o s combinaciones n - a r i a s (n < m) sin repetición u ord i n a r i a s de estos m e l e m e n t o s , a los diferentes grupos que pueden f o r m a r s e de n elementos tomados de entre los m d a dos, de modo que se distinguen unos de otros en algún elemento» El numero de grupos que se forman se e x p r e s a mediante el símbolo C m n . A p a r t i r de esta definición podemos f o r m a r las combinaciones b i n a r i a s de los elementos a , a , a y a . : a

1a4 a^ a_ ¿ 3 ¿ 4 a 3 a4 por lo tanto, . 4 • 3 c.4 ,'¿ : 6 =¿~ • 1 Como al p e r m u t a r los n elementos de todas las combinaciones se engendran las v a r i a c i o n e s n - a r i a s de dichos m element o s , tenernos: V m? n m, n Pn a

operando después de haber multiplicado n u m e r a d o r y denominador por (m-n)í encontramos C m

mí (m-n)!n!

,m. ^n>

que es lo que l l a m a m o s numero combinatorio.

-57-

Se d e m u e s t r a n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s d e l o s n ú m e r o s combinatorios: l

[ }

~ <m-n'

V i

;

[

}

n+1}

a p a r t i r de e s t a segunda p r o p i e d a d p o d e m o s c a l c u l a r con c o m o didad los e l e m e n t o s del triángulo a r i t m é t i c o o de Tarta.gliac

W m+1 n+1

* n > + - - - + v i J+ i

"w m n

m-1 r

n+l n

n n

9. C o m b i n a c i o n e s c o n r e p e t i c i ó n , •• D a d o s m e l e m e n t o s a , a *.„ . .. ,a se l l a m a n c o m b i n a c i o n e s n - a r i a s con r e p e t i c i ó n ae m e s t o s m e l e m e n t o s , a los distintos g r u p o s de n e l e m e n t o s r e petidos o no, t o m a d o s de e n t r e los m d a d o s , de modo q u e d o s g r u p o s s o n d i s t i n t o s c u a n d o d i f i e r e n e n a l g ú n e l e m e n t o . E l num e r o de g r u p o s de e s t a c l a s e s e r e p r e s e n t a p o r el s í m b o l o C' m, n E j e m p l o : V a m o s a f o r m a r l a s c o m b i n a c i o n e s b i n a r i a s c o n repe_ ticion de los e l e m e n t o s a , a y a . a, a. i

a„

i a

a_ a„

¿ a

2 2

í a

5 a

2 3 3a3 , y ,3+2-1.

es decir,

„, C

• 3 , 2o -= "° -" ( -3

2 7

)

Se d e m u e s t r a q u e m, n

m+n-1, n

E j e r c i c i o r e s u e l t o . - H a l l a r e l n ú m e r o N d e t é r m i n o s q u e tie> ne un p o l i n o m i o c o m p l e t o h o m o g é n e o de g r a d o n con m v a r i a bles* n

Solución: El polinomio s e r á : ir ^X^ , X ,

U I

, ,,X

J — \

a. , a„»... ' 0 ^ 0

a 1 2

a i

2*"

m m

-58-

donde l a notación del segundo m i e m b r o indica que dicho m i e m b r o e s una s u m a d e t é r m i n o s e n e l que C a r e p r e s e n t a el coefic i e n t e q u e d e p e n d e d e l t e r m i n o o s e a d e l a s a-(l, 2, . , „ , m ) ; l a p a r t e literal d e un t e r m i n o e s : c,; a l «2 m (a1 («2 ( V 1 ¿ m i l 1 ¿ ¿ ¿ m m m con l a c o n d i c i ó n d e que a

4- a^+„ , . + a = n , ¿ m

p u d i e n d o s e r n u l a s a l g u n a s d e e s t a s oc.-(i - 1, 2, „ . . , m ) , e i n c l u so t o d a s m e n o s u n a , e n cuyo c a s o e s t a v a l e e l n u m e r o n. D i c h o e s t o , t e n e m o s que el n u m e r o d e g r u p o s que s e p u e d e n f o r m a r c o n l o s v a r i a b l e s x , x , „ „ , , x m^ e n t r a n d o n e n c a d a g r u p o , p u l'"2' V diendo r e p e t i r s e y aist: diendo repetirse y distinguiéndose un grupo de otro por lo menos en un elemento, e s , = = (m+n-l v m,n n > EJERCICIOS 1„ Disponiéndose de 6 libros diferentes para premiar a los cua_ tro alumnos mejores de una clase. Hallar de cuántas formas pueden distribuirse esos libros, de modo que a cada uno de esos cuatro alumnos les corresponda un libro por lo menos. (E.P.) 2. Un conjunto A esta formado por los 12 elementos distintos a.(i=l, 2, 3, . . . ,12). Se quiere formar otro conjunto B con 7 de aquellos elementos, en lps siguientes casos: a) En B se incluye el a , pero no el a . b) Se incluye el a., y no el a „ c) no se incluye ni el a ni el a~. d) En B no pueden estar a la vez el a y el a_. ¿Cuántas formas posibles hay de obtener el B en cada uno de los cuatro casos anteriores? {E. P. ). 15 3. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo de (x-y+z) ? -o-

-59-

LECCION 7.a TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD I. P r o p i e d a d e s del m. c. d. y m s c m. de v a r i o s —7—i

números. -o1. Máximo común divisor de dos n ú m e r o s . - L l a m a m o s máximo común divisor D de dos n ú m e r o s a y b, y lo e x p r e s a m o s m e diante la notación m. c , d . (a,b) = a A b = D, al mayor divisor común a dichos n ú m e r o s , es decir: a/lb = D <==> [(D | a)(D ( b ) ) = > D ^ D ] Si un numero no tiene m á s d i v i s o r e s que el m i s m o y la unidad se le llama p r i m o , y cualquier potencia suya se llama n ú m e r o primario. A p a r t i r de la definición a n t e r i o r , podemos calcular el 36 A 42 = 6

p a r a ello e s c r i b i m o s todos los d i v i s o r e s p r i m a r i o s de 36 que forman el conjunto A j 1 , Z, Z , 3 , 3 }y los de 42 el conjunto B (2,3,7} Los d i v i s o r e s p r i m a r i o s comunes a ambos conjuntos definen el conjunto I i n t e r s e c c i ó n de los dos a n t e r i o r e s , t e n e m o s : AHB = I ¡ 1 , 2, 3}

por lo tanto, el mayor divisor común a los n ú m e r o s a y b s e r á el que tiene como d i v i s o r e s p r i m a r i o s los de I, o sea, el 6. 2. Introducción al calculo del m. c. d. de dos n ú m e r o s . - A partir de la definición de aftb lo hemos calculado en la pregun ta a n t e r i o r , no obstante puede r e s u l t a r penoso el e s c r i b i r s e todos los d i v i s o r e s p r i m a r i o s de ambos n ú m e r o s p a r a poder en c o n t r a r i o , esto nos lleva a estudiar un método m á s cómodo de calcularlo que se apoya en los siguientes l e m a s .

-60-

L e m a I: Los d i v i s o r e s comunes al dividendo y divisor de una di visión, son también d i v i s o r e s del r e s t o . Es d e c i r , sí a > b y dividimos a entre b } tenemos: a = bq + r a =c b =c Demostración. rifica la t e s i s .

En efecto, pues al ser r=a-bq, y bq=c, se v e -

L e m a II: Los d i v i s o r e s comunes al divisor y r e s t o , son divisor e s del- dividendo. a = bq + r" b - c 1 ——> a = c r =c j

D e m o s t r a c i ó n . Como a=bq+r por hipótesis, y bq=c, se cumple lo que queríamos d e m o s t r a r . 3. Cálculo del aAb. Algoritmo de Euclides. - A p a r t i r de los l e m a s a n t e r i o r e s , es fácil d e m o s t r a r el siguiente t e o r e m a fundamental p a r a el calculo del aAb. T e o r e m a fundamental. El m. c . d . del dividendo y divisor, dé una división,es el m i s m o que el del divisor y r e s t o . E s d e c i r , tenernos que: a = bq + r ==5> aAb = b Ar Demostración. Los l e m a s I y II d e m o s t r a d o s a n t e r i o r m e n t e , nos dicen que los d i v i s o r e s comunes a los p a r e s de n ú m e r o s (a,b) y (b, r) son los mismos* por lo que tendrán el m i s m o m . c. d. d i chos p a r e s , es d e c i r , aAb - bA r. Asi, p u e s , si nos piden hallar aAb, efectuamos las siguien tes o p e r a c i o n e s . a - bq + r r <b r b = rq + r, l<r r r -riq2+r2 2 < r] r q +r r3<r2 (1) V 2 3 3 r

k-l=rk %+l+rk+i r,k == D . q k + 2

k+l<rk

k+r

-61-

hasta llegar a división exacta. ¿Es s i e m p r e posible llegar a una división exacta? Vamos a d e m o s t r a r que sí, pues al s e r r > r, > r_ > r_>. . . >r. >r =D 1 2 3 k k+1 los r e s t o s van decreciendo y como son todos n ú m e r o s natura l e s , e n c o n t r a r e m o s r e s t o c e r o , a lo sumo, en la división r - e s i m a después de la a = bq + r. Si aplicamos el t e o r e m a fundamental, a cada una de e s t a s div i s i o n e s , tenemos; aAb = bA.r bAr = r / \ r . rAr = r Ar r

iAr2=

ZAr3

A r = r A r, k-1 • k k k+1

P o r lo tanto, podemos e s c r i b i r : aAb

P e r o r^-AD = D, bién a r^ ya que la dente que no puede pues por lo menos

k« = rk

pues D se divide a s í m i s m o , y divide t a m última división ha dado r e s t o c e r o , y es evi h a b e r un D^> D que divida a ambos números, a D no lo divide.

L a s divisiones (1), en la p r á c t i c a se realizan con el siguiente esquema:

k-l

k +l

^k+f r

^k+2 k-H

que se llama algoritmo de Euclides. De lo a n t e r i o r se deduce la siguiente: Regla p r á c t i c a , - P a r a hallar aAb = D, se divide a entre b , e s t e

62-

n ú m e r o e n t r e r , . , . h a s t a e n c o n t r a r un d i v i s o r D que e n g e n d r e r e s t o c e r o , e n t o n c e s e s t e u l t i m o d i v i s o r e s e l aAb. Si aAb = 1, d e c i m o s que a y b son p r i m o s e n t r e s i . Ejemplo:

84A66

= 6S p u e s 84

6 0 le 72 4, P r o p i e d a d e s del m . c, d. de dos n ú m e r o s . m . c, d. de v a r i o s ,

15, Todo d i v i s o r de a

y h*¡ e s d i v i s o r d e l aAb: -•——> aA.b = c

D e m o s t r a c i ó n , De l a s i g u a l d a d e s (1) de l a p r e g u n t a a n t e r i o r , y a p l i c a n d o r e i t e r a d a m e n t e el lerna I de (75, 2), t e n e m o s que r = c , r x = c, r 2 - c 3 . „ . , r k = c, r k + 1 = D = c

25, El r e c í p r o c o del t e o r e m a a n t e r i o r t a m b i é n e s c i e r t o , si t e n e m o s : , j . {a = d a A.b = d -•=> 11> = d

pues

D e m o s t r a c i ó n , De la u l t i m a igualdad de l a s (1) de (75, 3), Si D=d s a c a m o s r = d , de la a n t e r i o r y. t e n i e n d o en c u e n t a el l e m a II de (75, 2) r^_^ = d , de igual f o r m a r k _ 2 = á ) . . . . r =d , r=d, b=d y a=b c o m o queríannos d e m o s t r a r , , De e_stas d o s p r o p i e d a d e s o t e o r e m a s d i r e c t o y r e c í p r o c o sac a m o s el s i g u i e n t e c o r o l a r i o p r a c t i c o : El conjunto de l o s d i v i s o r e s c o m u n e s a d o s n ú m e r o s a y b e s i d é n t i c o al conjunto de l o s d i v i s o r e s del aAb de d i c h o s n ú m e r o s . E s t a p r o p i e d a d n o s p e r m i t e c a l c u l a r el m . c . d . de v a r i o s n ú m e r o s , pues cada dos n ú m e r o s pueden quedar r e p r e s e n t a d o s pa r.a e s t e c á l c u l o p o r el m . c . d . de e l l o s . Asi, p u e s , el m . c . d . de v a r i o s n ú m e r o s se puede r e d u c i r a c a l c u l a r el m . c . d , de d o s . 35, Sí m u l t i p l i c a m o s d o s n ú m e r o s a y b p o r o t r o , el aAb de e s -

-63-

tos dos n ú m e r o s queda multiplicado por este n u m e r o . a/\b = D =$> ahAbh = Dh Demostración. En efecto, pues las igualdades (1), al multipli c a r i a s todas por h, nos indican que ah A bh = bh A rh bh A rh = rhA r h ' rhA r h = r hAr h r, n h A r h = r, hADh k-1 k k y el r, hADh - Dh por razonamiento análogo al que hemos hecho en la pregunta a n t e r i o r . Corolario 19, Si h =— r e s u l t a — Á — = — m m m m en este c a s o , hay que imponer una condición r e s t r i c t i v a a m y es la de .ser divisor común de los n ú m e r o s a y b. a b C o r o l a r i o 29. Según esta propiedad los n ú m e r o s a = - r v b = — , , Í D ' I D L son p r i m o s entre si, pues A A b =D D D D 5. T e o r e m a de Euclides. - Si un numero divide al producto de dos n ú m e r o s , y es p r i m o con uno de ellos, divide al o t r o . a. b = él i

=?=$> b

= c

aAC = l j D e m o s t r a c i ó n . P o r la hipótesis y por la propiedad 3? de l a p r e gunta a n t e r i o r ab A cb - b además como ab = c según la hipótesis y cb = c, r e s u l t a por la propiedad 1^ de la pregunta a n t e r i o r , d e m o s t r a d o este t e o r e — ma. 6. Mínimo común múltiplo de dos números.,- L l a m a m o s mínimo común múltiplo M de dos n ú m e r o s a y b, y lo e s c r i b í -

-64-

mos con la notación m. c. m. (a, b) = al/ b = M, al menor múltiplo común de dichos-números. Vamos a calcular 2\'3 apoyándonos en esta definición. Para ello formamos los conjuntos A {l, 2, 2 ,3] y Bjl, 2, 2- , 2 ] de los divisores primarios de a y b; y efectuando la operación unión entre ellos encontramos el conjunto V ~ AU-B | 1, 2, 2 ,2 , 3} de los divisores primarios de M, por lo tanto M = 1. 2°. 3 = 24. 7; Introducción al cálculo del mínimo común múltiplo de dos y varios números. - Al igual que dijimos para el cálculo de aAb de dos números, resulta poco práctico calcular el avb de dos números a y b a partir de la definición, vamos, pues, a demostrar los siguientes lemas. Lema I: Si un numero es múltiplo de dos, es múltiplo del m . c . m. de dichos números. Tenemos: K =á K = í>

^> K = M

Demostración. Si al dividir K entre M, no diera división exac ta,el resto de la división, según el lema I de (?§-, 2) seria múltiplo de a y b, y esto no puede ser, ya que dicho resto es menor-que el divisor M de la división. Lema II: El reciproco también es cierto, pues, si se verifica K ~ íví, tenemos que: K =á y

K =b

ya que M = á y M. = b por definición. 8. Cálculo del m. c. m. de dos y varios números. - El producto del ayb por el aAb es igual al producto a. b de dichos números. Tenemos: a Ab = D j _ w , ,A =^=^ M. D = a.b

a yb =MI Demostración: Consideremos el número K = —— , por ser — v b , . • — números enteros resulta que K = a y K = b, es decir K=M según el lema I de la pregunta anterior.

-65-

Podemos e s c r i b i r K = M. h siendo h un numero entero; la tesis quedará verificada si d e m o s t r a m o s que h = 1. P a r a esto nos fijamos en la igualdad a n t e r i o r

de donde

., . a M , ° b M , , — = T ~ • n = h y y— = — ,h = h D b D a

y como

son p r i m o s según el c o r o l a r i o 22 de (7^,4), el único divisor co mún que tienen es la unidad, es d e c i r , h = 1. Según esto

V66 = | f 4 f = 924.

Ejercicio r e s u e l t o . - Hallar dos n ú m e r o s , n y n' , que sean pro porcionales a 3 y 5 y tales que el producto de su m . c. d.p 0 r s u m e c . m 0 sea 15360o ¿Cuál es el logaritmo de la diferencia n'-n, si la base es 0, 5? Podemos e s c r i b i r : n „ 3 n» ~ 5 n s n'=15360-

de donde n=96 y n' =160

Así, pues: Log

0 5^ n ' ' n ^

= 1Og

0 564= "

EJERCICIOS L D e t e r m i n a r todas las soluciones posibles del s i s t e m a : x + y - 400-, x Ay =

20... (E. P . ) (o 2. La suma de las t r e s cifras de un numero es 20; si de e s e n u m e r o se r e s t a 205 y se divide la diferencia por 2; se obtie —

-66-

ne por resultado el n u m e r o formado por las cifras del p r i m e r o e s c r i t a s en orden inverso» Encontrar el n u m e r o , (E„ P . )„ 3C Dos n ú m e r o s n a t u r a l e s A y B al dividirlos por dan de cociente 8 y 15 r e s p e c t i v a m e n t e , a) Hallar ros sabiendo que la suma de su m„ c c d0 y su m. c, b) D e t e r m i n a r los v a l o r e s que debe tener m en la 2 . . x -(m+l)x- m + p

su m„ c. d0 esos n ú m e m. es 726. expresión

p a r a que sea positiva p a r a todos los v a l o r e s de x, sabiendo que p es la sexta parte de la diferencia de los n ú m e r o s A y B, (EoP0) 4. Se tienen las congruencias 9815 = 575(m), 442^142(m) calcular todos los v a l o r e s posibles de m a (E-. P . )„ 5„ Hallar t r e s n ú m e r o s n a t u r a l e s a, b, c sabiendo.: 15) Que tomados dos a dos tienen como m 0 c. d„ 17, 22) Que a+b+c = 255. 3°) Que el m. c„ m,, de a , b y c es igual a 1785„ Comprobar que los n ú m e r o s obtenidos pueden s e r las longitu des de los t r e s lados de un triangulo, y d e t e r m i n a r el valor del ángulo opuesto al lado mayor (E„ P„ )0 60 D e m o s t r a r la siguiente implicación: a^^

=1 ==r=i.-(a 1 +b 1 )A[(a 1 +b 1 ) 2 + a ^ ] =1

(E. P . )

Hallar dos n ú m e r o s sabiendo que su m, c . d . es 1201 y la diferencia de sus cuadrados 345600 ¿Cuántas soluciones hay? (E P.). 70 D e m o s t r a r en general la siguiente propiedad distributiva: aA (bv c) = (a/\b) \¡ (a AC). (El alumno se apoyara en la propiedad distributiva de la o p e r a ción (D) r e s p e c t o a la (u) en el conjunto P(R), y en los conjuntos de los d i v i s o r e s p r i m a r i o s de los n ú m e r o s a, b y c). o-

-67LECCION 8.a

TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

II. Numero y suma de los d i v i s o r e s de un numero -o-

1° " Calculo del m . c, dD y del m . c. m. de v a r i o s n ú m e r o s d e s compuestos en sus factores p r i m a r i o s , - Todo divisor N de un numero N ¿'a«„

bP.„. tT,

. * solo puede tener en su descomposición en factores p r i m a r i o s los n ú m e r o s , a , b , 0 . . , t con exponentes iguales o i n f e r i o r e s re_s pectivamente a los números a, § , „ „ „ , T D Es d e c i r , « ñ T, N= a b .„ . t

SÍend

0^al^a,0^P1^P,...f0<T1<T

con la posibilidad de que alguno de ellos e incluso todos losa , • § , „ , „ , T, sean nulos* La justificación de lo a n t e r i o r es t r i v i a l , pues de no s e r de esta forma la división no d a r í a exacta,ya que habrían factores en el denominador que no se simplificarían con los del n u m e r a d o r . P o r lo dicho antes se deduce la forma de obtener el m . c . d , y el m . c s m „ de v a r i o s n ú m e r o s , descompuestos en factores p r i marios, El máximo común divisor de v a r i o s n ú m e r o s descompuestos en sus factores p r i m a r i o s se obtiene multiplicando todos los factores p r i m o s comunes a ellos elevados al m e n o r exponente. La justificación de este calculo es idéntica a la que hemos dado a n t e s . El mínimo común múltiplo de v a r i o s n ú m e r o s descompues tos en sus factores p r i m a r i o s se obtiene multiplicando todos los factores p r i m o s comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

-682 E j e m p l o : C o m o 84 = 2 „ 3„ 7 y 66 = 2„ 3„ l l s t e n e m o s : 84A66 = 2. 3 = 6;

84V 66 = 2 . 3, 7.11 = 924

2„ - N u m e r o , s u m a y p r o d u c t o de l o s d i v i s o r e s de un n u m e r o , H e m o s v i s t o que si el n u m e r o N = a

b ...t

e s un d i v i s o r d e o t r o N = a . o ... t T } s e v e r i f i c a que a

l s e g ú n e s t o en N a t i e n e que s e r una de l a s oc+1 p o t e n c i a s v e m o s .en el conjunto A ja , a , a

que

, a , „ „. , a a j

e l b una de l a s p o t e n c i a s que tiene el conjunto B(b , b ,b ,b „ „..bp] y el t f i n a l m e n t e una de l a s T+1 p o t e n c i a s de T{t , t , t , t , ( < t ) t | El n ú m e r o c a r d i n a l d e l conjunto de l o s d i v i s o r e s d e l n u m e r o N, s e r á el n ú m e r o c a r d i n a l d e l conjunto P = A X B X . „ .X T y c o m o : C a r (P) = C a r (A). C a r ( B ) . . . C a r (T) p o d e m o s e s c r i b i r n = num a de d i v i s o r e s de N=(a+l)(p+l)..,, (i? +1) Según el r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r , t e n e m o s que al m u l t i p l i c a r los polinomios (a°+ a X +a 2 +. . . + a o t )(b°+b 1 +b 2 +. . . + bP ). . . ( t ° + t í + t 2 + . . . + t* ) en el s e g u n d o m i e m b r o , n o s v a n a p a r e c i e n d o como, s u m a n d o s Oí

e x a c t a m e n t e t o d o s l o s d i v i s o r e s de N= a b . . . t , p o r lo t a n to, t e n e m o s : a^-l b P+1 -l t T+1 -l S= Suma de l o s d i v i s o r e s de N = — ° —:—r-..0 T~ a-1 b-1 t-1 y a que e a d a uno de l o s p o l i n o m i o s d e l p r i m e r m i e m b r o , e s s u m a de l o s t é r m i n o s de una p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a , ,

-69-

JLa i m p l i c a c i ó n x j N = > — ¡N n o s j u s t i f i c a , l a s i g u i e n t e i g u a l dad N x

N N y ••• z

p o r lo q u e e l p r o d u c t o p = x , y . , , z d e l o s d i v i s o r e s d e Ns v i e n e dado por la siguiente fórmula: n p = p r o d u c t o de los d i v i s o r e s de N = ^ N ,

s i e n d o n c o m o a n t e s , e l n u m e r o d e d i v i s o r e s d e TsT. Ejercicio resuelto, a ) Se d e s i g n a p o r S a l m e n o r n u m e r o q u e t i e n e 15 d i v i s o r e s p o s i t i v o s , y por D la b a s e del s i s t e m a de n u m e r a c i ó n en que t r e s n ú m e r o s en p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a se e s c r i b e n , 216, 222 y 2 2 6 , b) C a l c u l a d o s

S y • D r e s o l v e r el s i s t e m a :

Ja + b = S (a

= D

/• 14 2 4 Solución: S h a de s e r del tipo a o b i e n d e l t i p o a «, b , d e l p r i m e r t i p o e l m á s p e q u e ñ o e s S. ~ 2 y d e l s e g u n d o S ? = 2 „ 3¿ p o r lo t a n t o , e l S b u s c a d o e s : S = S 2 = 144 Cálculo de D 2 2 2 , - 216, = 226, - 222, D (D (D °(D (D o sea:

2 + 2D + 2D - 6 - D - 2 D = 6+2.D+2D

¡ -2-2D-2D

d e d o n d e D = 8„ Calculo de a y b

a + b = 144] a Ab = 81

dividiendo m i e m b r o a m i e m b r o , la p r i m e r a entre la segunda a

+ b

= 18

-70-

s i e n d o a y b p r i m o s e n t r e s í , p o r lo t a n t o : a

=1 ,

b =17 , 1 '

= 5 ,

b =13 , 1

b , =11 1

y las soluciones son: a = 8 . 1 - 83

a = 8 . 5 = 40,

a = 8 . 7 = 56

b = 8 .17 =136, b = 8 .13 =104,

b = 8 . 11 = 88

EJERCICIOS 1. Dada l a d e s c o m p o s i c i ó n en f a c t o r e s p r i m o s N = 2a 3 P 5 Y , hal l a r el n u m e r o y la s u m a de s u s d i v i s o r e s p a r e s . ( E , P . ). 2„ Dados l o s n ú m e r o s 91 y 271, e n c o n t r a r t o d o s l o s m ó d u l o s r e s p e c t o de l o s c u a l e s e s o s n ú m e r o s son c o n g r u e n t e s . (EP, ) a 3 y b 3, D a d a l a d e s c o m p o s i c i ó n en f a c t o r e s p r i m o s N = 2 3 5 7 , h a l l a r el n u m e r o y el p r o d u c t o de s u s d i v i s o r e s m ú l t i p l o s de 4„ Se c o n s i d e r a el conjunto C f o r m a d o p o r todos l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s que t i e n e n d o c e d i v i s o r e s y solo d o c e . Se p i d e : a) 0 H a l l a r m ^ C tal que s e a el m e n o r de t o d o s , b) C a l c u l a r a y b , s a b i e n d o que: 1 a + bi = 2n 2 TI e o s 5¿ -f i s e n 5 m m donde m , e s el n u m e r o h a l l a d o en a ) , e i la unidad i m a g i n a r i a . (E.P.). -o-

-71LECCION 9.a TEORÍA

D E LA

DIVISIBILIDAD

III„ C r i t e r i o s de divisibilidad -o1„ C r i t e r i o g e n e r a l de divisibilidad. - L l a m a m o s c r i t e r i o de d i visibilidad por h/.. en dicha b a s e , a la condición n e c e s a r i a y suficiente que nos p e r m i t e a s e g u r a r , que un numero en e s a base es divisible por h, , sin necesidad de efectuar la división. Sea el numero N, = a a . . . . a 0 a , a r t =(a +10a,+10 a_+.,. + 10 (k n n-1 2T1 0 / k v o 1 2

,+10n a ), n-l rík

Dividimos l a s s u c e s i v a s potencias de 10, entre h, t p a r a s i m plificar no pondremos los subíndices en e s t a s o p e r a c i o n e s : 10 = h q + r 2 10 = h q + r o o

10* =hq 10

+r , n-l n-l =h q + r n n

Sustituyendo estos v a l o r e s en la expresión a n t e r i o r :

V [a o +! V h VV+a2<h V r 2 ) + - + a JVri» ta J h V r n)]( k = ={a +a r + a r +...+a . r +a ^ n +h) / 1 o l í 2 2 n - l n-l n n '(k

(1) '

Llamando M, =(a + a, r + a.-? +.„.+a +a r ) (k o 11 2 2 n-l r n-l n ny(k s a c a m o s , que la condición n e c e s a r i a y suficiente p a r a que el nu m e r o N, sea divisible por h, , es que lo sea el numero M,, , pues (1) s e puede e s c r i b i r : * ^

-72-

V = M(k + h k

<2>

2. Restos potenciales, - L o s r e s t o s potenciales de n modulo m, son los sucesivos r e s t o s que se obtienen al dividir l a s potencias n° n , n , . „ . por el numero m. P a r a calcular con comodidad estos r e s t o s , v a m o s a demos t r a r los siguientes l e m a s : Lerna I: Si al dividir n e n t r e m da de r e s t o r , podemos e s c r i bir : n ^ r (m)„ La d e m o s t r a c i ó n es t r i v i a l , pues al dividir r entre m da co mo cociente c e r o y r e s t o el m i s m o que al dividir n entre m , o sea r . L e m a II. - Si nE r (m) y r < m,podemos a s e g u r a r que el r e s t o que r e s u l t a de dividir n e n t r e m es r En efecto, por hipótesis n = m + r = m . q + r Con estos dos l e m a s , m a s las propiedades (6^, 3), b a s t a h a l l a r el r e s t o de dividir n entre m , pues p a r a n , n , . . „ los res^ tos los s a c a m o s por las propiedades c i t a d a s . Como los r e s t o s pueden s e r por defecto o por exceso, nosot r o s e l e g i r e m o s en cada caso el m e n o r , teniendo en cuenta que cuando sea por exceso lo afectaremos del signo m e n o s . Ejemplo: Restos potenciales de 16 modulo 7. 16°= 1 (7);

1 6 ^ 2 (7)

16 2 E 2 2 E - 3 (7); 16 3 =1 (7) P a r a v e r que 16=2 (7) h e m o s efectuado la división de 16 e n t r e 7 y nos ha dado r e s t o 2; p a r a la segunda 16 E - 3 (7) hemos elevado al cuadrado los dos m i e m b r o s de la segunda congruencia, y después hemos puesto por s e r menor el r e s t o por exceso con signo negativo, teniendo en cuenta la igualdad r , +r = ,. . .. , . i 1/4 o /^\ defecto, exceso = divisor; p a r a c a l c u l a r por ejemplo 16 = 2 (7) m u l t i p l i c a r í a - mos m i e m b r o a m i e m b r o la segunda y c u a r t a congruencia.

-73-

Al calcular los r e s t o s potenciales a n t e r i o r e s o b s e r v a m o s que además de 1 6 ° E 1 ( 7 ) , hay otro valor 16 ™ 1(7) a p a r t i r del cual^ empiezan a r e p e t i r s e los r e s t o s de 16 modulo 7, enton ees: ( 1 6 3 ) | 1 (7)

(16 3 ) 3 - 1 (7) etc„ , . . . ;

al p r i m e r exponente distinto de c e r o que da r e s t o 1, al dividir la potencia c o r r e s p o n d i e n t e entre el modulo, se le llama gaujs siano, en este ejemplo» tenemos que el gaussiano de 16 modulo 7, es „ 3. 3U Cálculo del r e s t o por el c r i t e r i o de divisibilidad. - La igual dad (2) de (9^,1), e x p r e s a d a en base 10, e s : N =M+h de donde hemos sacado que la condición n e c e s a r i a y suficiente p a r a que el numero N sea divisible por h es que se verifi que M = h. T e n e m o s , pues, que N-M = h, es d e c i r , que N= M (h), esta congruencia nos pone de manifiesto que el resto de dividir N entre h, es el m i s m o que el de dividir M entre h„ Ejemplo, ¿Que r e s t o da al dividir 1031 entre 3? Este r e s t o s e r a el m i s m o que el de dividir M = l + 0 + 3 + 1=5 entre 3, es d e c i r , 2. Ejercicio r e s u e l t o . - Hallar los c r i t e r i o s de divisibilidad por 6/ 7 y 11/.-. en el s i s t e m a de numeración de b a s e 7. Una vez ob tenidos, r e s o l v e r las siguientes cuestiones: a) ¿Es divible por 6,

u ll/_ el numero 4251644, 2

b) En caso de no s e r l o , sustituir la cifra 2 por o t r a , para que el n u m e r o que r e s u l t e sea divisible por 6, y ll/_. Solución: Dividimos las s u c e s i v a s potencias de 10. entre 6, no ponemos subíndices p a r a simplificar la notación. 10°= 1(6)

;

10^1(6)

y 11, ;

-74-

El gaussíano es 1, y la condición N. y S, p a r a que un numero en b a s e 7 sea divisible por 6, : M = (a + a + a +. . . + a ), = 6, 0 1 2 n (7 (7 que la suma de sus cifras sea múltiplo de 6, . 0 1 V 10 =1 (11); 10= -1(11); 10 ¿ E1 (11) El gaussíano es 2, y la condición N. y S„ p a r a que un n u m e ro en base 7 sea divisible por H/ 7 : M = ( a o - a 1 + a E - a 3 + „ . + (-l)nan)(7=l\7 que la suma a l t e r n a d a de sus cifras en dicha base, sea múltiplo de ll/ 7 » Aplicación al numero 4251644. „ ( 4 + 2 + 5 + 1 +6+4+4) f 7 ;= (6+2) ; (4-4+6-1+5-2+4). =(11+4) luego dicho numero no es divisible por 6,

ni H/7«

P a r a que fuera por 6, h a b r í a que sustituir el numero 2 por 6 o por 0,ya que así" quedaría: 4^51644 = (6 + Q ) ( ? = 6 ( ? , de e s t a s dos posibilidades nada m á s nos s i r v e el 6, p a r a que el nu m e r o sea divisible por 11,,,„ 4651644,

= (11 + 11)

= 11

EJERCICIOS 1. Obtener el c r i t e r i o de divisibilidad por 7 en el s i s t e m a deci mal» Aplicación» Dado el numero n a t u r a l . a = 123 x 45 obtener x a fin de que sea a divisible por 7. (E.

-752. Hallar el c r i t e r i o de divisibilidad por 3 de un numero e s c r i to en base 2. D e t e r m i n a r si el n u m e r o e s c r i t o en base 2, de 128 cifras de las cuales son distintas de c e r o aquellas que ocupan l u g a r e s de orden potencias de 2, a p a r t i r de la d e r e cha, es divisible por 3, y caso de no s e r l o , hallar el r e s t o de su división por 3 (E. P . ). 3. Se tiene el n ú m e r o N = 3 y 4x. Calcular x e y, de modo que N =28"« Obtener todas las soluciones. (E, P . ). 4. E s t a b l e c e r los c a r a c t e r e s de divisibilidad de un número por 4, y 7, en dicha base 8. Aplicar estos c a r a c t e r e s p a r a d e t e r m i n a r en dicho s i s t e m a el mayor y el menor número de cuatro c i f r a s , divisibles a la vez por 4 y por 7. (E. P . ). -o-

-76-

LECCION 10.a ECUACIONES

DIOFANTICAS

-o1. E c u a c i o n e s d i o f a n t i c a s l i n e a l e s c o n d o s v a r i a b l e s . - D a d a l a ecuación ax + by = c (1) d o n d e as b y c s o n n ú m e r o s n a t u r a l e s , l l a m a m o s p r o b l e m a diofántico a c a l c u l a r las soluciones e n t e r a s de la m i s m a . Si a A b = D , t e n e m o s q u e l l a m a n d o a = a . D y b =b podemos

escribir, D-(a x + b y ) = c

p o r lo t a n t o c = D 0 A s i , p u e s , d i v i d i e n d o a m b o s m i e m b r o s d e (l) p o r D , tramos : a . x -f b , y = c 1 V i siendo a

y b

encon-

n ú m e r o s p r i m o s entre sf (7^,4).

Zu R e s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n a x +_ b y = c „ -*-

•*•

Si encontramos una solución (x , y ) con n ú m e r o s e n t e r o s se v e r i f i c a r á a„x + b,y -' c,, y restando m i e m b r o a m i e m b r o la , 1 o— 1 o 1 ecuación dada y esta ^ ( x - x ^ + ^ (y-y Q ) = 0 de donde a

i^X"Xo^ = ± V y o " y ^

entonces b divide al producto a (x-x ) y como es p r i m o con a , según el t e o r e m a de Euclides (7e,5), divide a x - x , por lo tan to, e s c r i b i m o s : x - x =Xb. (3) o 1 asi, pues,

-77-

x =x

+ Áb, 1

sustituyendo el valor (3) en (2) y o + Xa.1 O b s e r v a m o s , q u e el problema se reduce a calcular la solu- ción p a r t i c u l a r (x }y ) y entonces dando a A. cualquier valor ent e r o tenemos todas l a s soluciones. P a r a h a l l a r la solución (x . y ), o b s e r v a m o s que los númeo o ros, vr I , ¿ , „ , . , a r l forman un s i s t e m a completo de n ú m e r o s incongruentes modulo a y según (6^, ?), también lo forman: : + Ob., c Í L b , , , . , c

i(a-l)b

(4)

si son todos positivos, por lo tanto, uno de ellos c, + y b, es múltiplo de a , 1 o 1 A s í encontramos y ( N y como consecuencia o x

=•

o 1

En el caso de la sucesión (4) con el signo (-), si no son todos positivos, puede s e r que no encontremos múltiplo de a ,e_s to nos indica que y ^ N j pero se puede encontrar y ( Z despejando la x de (10§, Y) y dándole a "y" v a l o r e s negativos. Observación p r á c t i c a : En las ecuaciones a x + b y = c, p a r a hal l a r la solución (x , y ), i n t e r e s a despejar la incógnita que ten ga menor coeficiente * sea por ejemplo: c

y b

x = 'i

y dar valores a ' y

hasta que el cociente del segundo m i e m b r o

-78-

sea un numero entero, entonces conocemos yQl y por lo tanto, xQ0 En el' caso del signo (+), basta d a r l e a "y" los v a l o r e s n a t u r a l e s comprendidos entre 0 y a , - l t con la seguridad que ob tenemos una solución^ Ejemplo: Resolver la ecuación 2x - 3y - 3„ 1 e r método: F o r m a m o s el s i s t e m a completo de n ú m e r o s incongruentes modulo 2 3 + 0o 3

3 + 1. 3

siendo el segundo» el que es 2 . es d e c i r } y i

•'

= 1, la x °

6. =— = 3 °

luego la solución general es x = 3+ 3A y =1+ 2 X 22 método: Despejamos 3 + 3y x =

tanteando se ve fácilmente que el p r i m e r valor de y que hace que "x" sea un numero entero es y = 1, por lo tanto, tendría — mos la solución general igual a la a n t e r i o r . 3, Ecuación diofántica de segundo grado con dos variables» - Vamos a estudiar únicamente la ecuación de segundo grado 2 2 siendo a ( N , x -y = a5 Esta ecuación la podemos e s c r i b i r en la forma (x+y)(x-y)= a el p r o b l e m a se reduce pues a descomponer "a" en producto de dos f a c t o r e s , y como los n ú m e r o s (x+y) y (x-y) son de la m i s ma paridad, según vemos en el siguiente cuadro: y par par par i m p a r i m p a r par impar impar X

x+y x-y par par impar i m p a r impar impar par par

-79-

d e s e c h a m o s las descomposiciones que no verifiquen esta propie dad. T e n e m o s , pues, que si a = b. c siendo b y c de la m i s m a parí dad b +c f

2 2 Ejemplo: Resolver x -y = 36. Podemos e s c r i b i r (x+y)(x-y) = 36, 1 = 180 2 = J2 e 3 = 9. 4 - 6. 6 , de donde las soluciones, las obtendremos al c o n s i d e r a r , (x + y)(x - y) = 18. 2 = 6. 6 son:

,. , n x-=10; y =8; x^= 6 JZ= 0

4. Ecuación pitagórica, - Se llama ecuación pitagórica a l a e c u a cion x + y

(x,y, z ( N )

(1)

Si encontramos la solución (x , y , z ), también lo s e r á (Ax , A y , AzQ) p a r a cualquier valor natural de A, basta p a r a compro b a r i o multiplicar los dos m i e m b r o s de (1) por A , Si x Q Ay A z = D; i n t e r e s a r á p a r a no p e r d e r soluciones dividir x 0 , y 0 , z 0 entre D, y si los cocientes de e s t a s divisiones son (XQ, y ' , z¿j) las soluciones que se engendran de aquí sondel tipo((j,x_, juy' , fiz J ) que contienen a todas las (A. x , A y , Az )„ El problema es equivalente pues, a encontrar las t e r n a s (x' , y* , z' ) de n ú m e r o s p r i m o s entre sí, que sean soluciones de(l) , ya qtxe las o t r a s soluciones se encontrarán a p a r t i r de e s t a s multiplicándolas por un p a r á m e t r o A . La ecuación (1) nos indica que x¿ e y 0 tienen que s e r ambos de distinta paridad ya que si fueran x¿ e y' p a r e s , e l z' seria también par y, por lo tanto, los numergs ( x ¿ , y ¿ , z ' ) no s e r í a n p r i m o s entre si, tampoco pueden ser x^ e y^ i m p a r e s , ya que en este caso el p r i m e r m i e m b r o de (1) s e r í a 4 + 2 y el número

-80-

z' no podría s e r par ni i m p a r , ya que su cuadrado s e r i a 4 6 4+1 respectivamente. Supongamos x^ i m p a r ; la ecuación (1) p a r a la solución (x'G, y ' , z^), podemos e s c r i b i r l a de la siguiente forma: ; o

+ yX z - y )= o

El problema se reduce en ir dándole a x* v a l o r e s i m p a r e s descomponiendo x ' f en dos factores p r i m o s entre sí" p , q , pues si tuvieran algún factor común z

+ y

o y

- y

en consecuencia lo tendrían z' e y' , y por lo tanto x' , es decir, la t e r n a (xJ , y' , z¿) tendría un máximo común divisor distinto de 1. Asi, pues, las soluciones son: 2 ,

P -<L,

=p q

p o

t- q 2

Con la condición de s e r pAq = 1 y x impar. o .La p r i m e r a solución es p = 3 x

q - 1, es decir y

z -- D . O

EJERCICIOS L Dada la ecuación diofántica: 7x -12y- 13 se pide: a) Hallar to das sus soluciones pertenecientes al anillo Z de. los n ú m e r o s e n t e r o s . - b) En el plano c a r t e s i a n o x . y d e t e r m i n a r todos los puntos cuyas coordenadas son las soluciones de la ecuación diofántica dada, que se hallan en el i n t e r i o r de la circunfe rencia de centro (10,10) y tangente a los ejes de coordenadas. (E. P„).

-81-

Kn una división el divisor, cociente y r e s t o dan r e s p e c t o del modulo 11, los r e s t o s ó, 8 y 3 r e s p e c t i v a m e n t e . Calcular el dividendo sabiendo que es el mayor numero de cinco cifras que cumple e s t a condición, en el s i s t e m a decimaL (EL P , )„ Hallar las soluciones e n t e r a s de la ecuación: (x-y) -5x = - x - y + 5„ - a) Calcular las r a í c e s de la ecuación: 4

x + 3x - 2x - 2x + 12 - 0 sabiendo que 1-i y por tanto su conjugada, son rafees de e s ta ecuación,, ( E . P , ) . P a r a abonar una factura de 403 pts, se entregan d ó l a r e s y dan la vuelta en francos. Calcular los d o l a r e s entregados y los francos que han devuelto (1 dólar = 60 pts, y 1 franco = = 11 p t s . )a (E. P 0 ). Resolver la ecuación llx + 15y - 878. - a) en Z; b) en N . ( E t R ) Calcular todos los triángulos rectángulos que tengan un c a teto de 75 c m s . de modo tal que la medida de sus t r e s lados r e p r e s e n t a números p r i m o s entre sí°0 ¿Cuantos hay si no se impone esta ultima condición? -o-

-82-

LECCION 11.a NUMERO

RACIONAL

L - N u m e r o r a c i o n a l , - Si e n el c o n j u n t o Z X Z d e f i n i m o s l a r e l a c i ó n d e i g u a l d a d (=), d e l a s i g u i e n t e f o r m a ; • ( a , b ) = ( c , d ) < = = > a. d = b . c e s f á c i l v e r q u e d i c h a r e l a c i ó n ( = ), e s d e e q u i v a l e n c i a , y a verifica las siguientes propiedades: I„ R e f l e x i v a , (4§,3).

p u e s {a, b) = (a } b),, y a q u e a b - b a s e g ú n II

(1) que de

II, S i m é t r i c a , s i ( a , b) = ( c , d ) ==£> ( c , d ) = ( a , b ) p u e s s i ad = = b e , e n t o n c e s , cb = d a p o r la m i s m a p r o p i e d a d a n t e r i o r „ III. T r a n s i t i v a , = ( m , n)

s i [ ( a , b) = ( c , d )

( c , d ) = ( m , n)] = = > { a , b ) =

p o r h i p ó t e s i s ad = be y en = d m y a p l i c a n d o s u c e s i v a m e n t e l a s p r o p i e d a d e s , d e s e r e l (* ) e n el c o n j u n t o Z u n a o p e r a c i ó n i n t e r n a , a s o c i a t i v a , c o n m u t a t i v a y e x i s t i r e n Z r e s p e c t o a l (») ley de simplificación, t e n e m o s : an = b m , Al c o n j u n t o c o c i e n t e Z X Z / = l e l l a m a m o s c o n j u n t o Q d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s . El n u m e r o r a c i o n a l ( a , b ) , s u e l e p o n e r s e en la f o r m a — » b 2 0 - S u m a d e n ú m e r o s r a c i o n a l e s . P r o p i e d a d e s . - L a (+) e n e l conjunto Q viene definida de la siguiente f o r m a : ( a , b) + ( c , d ) = (ad + b e ,

bd)

(1)

e s t a o p e r a c i ó n (+) e n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , go za de l a s siguientes p r o p i e d a d e s : L A s o c i a t i v a . T e n e m o s q u e ( a , b ) + [ ( c , d ) f ( m » n ) ] = (a, b) + + ( e n + d m , d n ) = [ a(dn) + b ( c n + d m ) , b (dn)] =

-83-

= [(ad * b c ) n +

( b d ) m , ( b d ) n ] = [ ( a , b ) + ( c , d ) ]+ ( m , n ) .

h e m o s a p l i c a d o l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s en el conjunto Z: a s o c i a t i v a d e l ( • ) , y l a s d o s d i s t r i b u t i v a s d e l (=) r e s p e c t o a l a ( + ) y viceversa. II. C o n m u t a t i v a . P u e s ( a , b ) + ( c , d ) - (ad + b e , b d ) = ( c b + d a , db)= = ( c , d) + ( a , b ) . N o s h e m o s apoyado en l a s p r o p i e d a d e s c o n m u t a t i v a , to a l a s o p e r a c i o n e s (+) y (* ) e n el c o n j u n t o Z ,

respec-

E l e l e m e n t o n e u t r o d e l a o p e r a c i ó n (+) e n e l c o n j u n t o Q e s e l (0,1), y todos s u s i g u a l e s , o s e a , los del tipo ( o , h ) ; en efecto, p o r (1): ( a , b ) + (0,1) = (0,1) + ( a , b ) = ( a , b ) Dado ( a , b ) £ Q , existe ( - a , b ) ( Q tal que: ( a , b ) 4- ( - a , b ) - ( - a , b ) + ( a , b ) = ( 0 , 1 ) e s d e c i r , todo n u m e r o r a c i o n a l t i e n e o p u e s t o . Si ( a , b ) + ( c , d ) = ( a , b ) + ( m , n) = >

( c , d ) = ( m , n)

b a s t a p a r a d e m o s t r a r e s t a i m p l i c a c i.ó/•n , s u m a r a l o s d o s m i e m b r o s ( - a , b ) , y a p l i c a r I; p o r l o t a n t o , t o d o n u m e r o r a c i o n a l e s r e g u l a r p o r la i z q u i e r d a , de igual f o r m a v e r í a m o s que es r e g u l a r p o r l a d e r e c h a , e s d e c i r , r e s p e c t o a l a o p e r a c i ó n (+) e n e l conjunto Q e x i s t e ley de simplificación» 3. - P r o d u c t o de n ú m e r o s r a c i o n a l e s . - D e f i n i m o s l a o p e r a c i ó n (• ) e n e l c o n j u n t o O, m e d i a n t e l a i g u a l d a d : ( a , b ) • ( c , d ) = ( a c , bd)

(1)

T e n e m o s , p u e s , en el c o n j u n t o de l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s de la o p e r a c i ó n (•): I. A s o c i a t i v a , e s d e c i r :

( a , b) [ ( c , - d ) v ( m , n) ] - ( a , b ) ( c m , dn) =

= [ a ( c m ) , b ( d n ) ] = [ ( a c ) m , (bd)n] = [ ( a , b ) ( c , d ) ] ( m , n ) ,

-84-

hemos aplicado la propiedad asociativa del producto, en el c o n junto Z. II. Conmutativa, pues (a, b)(c, d)=(ac, bd)-(ca, db) - (c, d)(a, b) , ya que se cumple en 2 , la propiedad conmutativa del pro ducto. El elemento neutro de la operación (« ) en el conjunto O es el (1,1), y todos sus iguales, es d e c i r , los del tipo (h,h); en efecto, por (1): (a,b) • (1,1) - (1,1) • (a,b) = (a,b) Dado (a, bj^O, existe ( b , a ) ^ Q que cumple la siginente propie^ dad: (a,b)(b,a) =(b,a)(a,b) = (1,1) o sea, todo numero racional, excepto el elemento neutro (cero) de la suma, tiene i n v e r s o . Con d e m o s t r a c i ó n análoga a la de la pregunta a n t e r i o r , demos t r a n a m o s que existe ley de simplificación en Q r e s p e c t o a la operación (• ), excepto p a r a el c e r o . 4« - Operaciones i n v e r s a s . Ordenación. - Las operaciones inve_r sas de la (+) y (* ), son la diferencia (-) y cociente (:) r e s — pectivamente, y quedan definidas de la siguiente forma: (a,b) - (c,d) = (a,b) + ( - c , d )

ía,b):(c,dHa,bHd,c)

Dados dos n ú m e r o s racionales (a,b) y (c,d) d i r e m o s que (a,b) > (c,d) <=í> (a,b) - (c,d) = (m, n) siendo m, n ( Z

m, n ( Z ,

La ordenación de los n ú m e r o s racionales la r e a l i z a m o s la siguiente forma:

-85-

( 0 , 1 ) - (1,1) -

(1,2)

(1,3)

-(1,4)

(1,5)

-(1,6)

(-1-2)

^(4,3)

^(4,4)

(4,5)

^(4,6)

(2.1) " ( 2 , 2 )

(2,3)

' (2,4) "

(2,5)

(2,6)

(-2,5)

(-2,6)

(3,5)

(3,6)

H.J)

í-2,1)

(-2,2) ^ (-2,3) " (-2,4)

(3,1) "' ( 3 , 2 ) " ( 3 , 3 )

(3,4)

es decir: (0,1); (1,1); (1,2); (-1,1);; (2,1); ( - 1 , 2 ) ; (1,3); (1, 4); (4 f 3);. . . . C u a l q u i e r n u m e r o r a c i o n a l ( a , b ) a p a r e c e r á en e s t a s u c e s i ó n , y t e n d r á un l u g a r d e t e r m i n a d o en la m i s m a . Así* p u e s (1^,4), el conjunto de los n ú m e r o s r a c i o n a l e s e s n u m e r a b l e , ^• ~ C o n c e p t o de c u e r p o , - D e c i m o s que un conjunto K, no v a c i o tiene e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a de c u e r p o , r e s p e c t o a l a s oper a c i o n e s i n t e r n a s ( + ) y (• ), si se c u m p l e n l a s s i g u i e n t e s propiedades: 1, A s o c i a t i v a : (Vx)(Vy){tfz)(x, y, z ( K ) : xf (y+z) =(x-ty) + z II , C o n m u t a t i v a : ( f x ) ( í y ) ( x , y í K ) : x + y = y -f x (+>

llí. .Existencia d e l cero:(]0)(0 tK)(yx): x+0=0+x = x IV , E x i s t e n c i a d e l e l e m e n t o o p u e s t o : ( ^ ) ( Í - x ) ( - x C K ) : x+(-x)~(-x)+x - 0 V. A s o c i a t i v a : (yx)(Vy)(¥z)(x, y, z CK): x ( y z ) = (xy) z

(•)

VI t E x i s t e n c i a del e l e m e n t o unidad:(']l)(l(;K)(yx):x, 1-1. x ~ x V i l . E x i s t e n c i a en K del e l e m e n t o i n v e r s o : (Vx)(x*0)(}x" 1 )(x" 1 ^K):x,x~ i -x" 1 x=l VIII. P r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a del (• ) r e s p e c t o a la (+):

y (•)

(^x)(tfy)(Vz)(x,y, z £ K ) : x(y4z) = xy + x z XI . P r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a de la ( + ) r e s p e c t o del (- ): (Vx)(Yy)(Yz)(x,y, z f K): (x-fy)z - xz + yz

-86Si a d e m á s , cumple la propiedad: (• ) { X.

Conmutativa: (yx)(Vy)(x, y íK): xy = yx

el cuerpo se llama conmutativo. Las r e g l a s de o p e r a r en un cuerpo, son las m i s m a s que en un anillo, teniendo ademas la ley de simplificación r e s p e c t o a la operación (• ), excepto p a r a el c e r o . PROBLEMAS 1. - Si una fracción o r d i n a r i a irreducible z~ , es tal que su denoD

minador b no tiene d i v i s o r e s p r i m o s distintos de 2 y 5, su fracción decimal correspondiente tiene un numero finito de c i f r a s , teniendo tantas cifras d e c i m a l e s como indica el mayor exponente del 2 á del 5. 2. - D e m o s t r a r las r e g l a s p a r a encontrar las fracciones gene r a t r i c e s , de los d e c i m a l e s periódicos puros y m i x t o s . 3. - Encontrar — V T , en función del (A) y del (V ) de n ú m e r o s de Z.

•

4. - D e m o s t r a r que el conjunto Z y el A i. . „ ; (x, 1); (y, 1);.. .]c:Q, donde están todos los n ú m e r o s racionales con segunda componente 1» son isomorfos r e s p e c t o a las operaciones (+) y (° ) definidas en Z y Q, 5. - D e m o s t r a r que si un anillo, tiene un numero finito de e l e mentos y no contiene v e r d a d e r o s d i v i s o r e s de c e r o , es un cuerpo. -o-

-87-

LECCION PRACTICA II TRIGONOMETRÍA. NÚMEROS COMPLEJOS -o-

1. - R a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . - Sea la c i r c u n f e r e n c i a , t r a z a d a con c e n t r o en el v é r t i c e 0 de un ángulo a, unidad; si A e s l a p r o y e c c i ó n d e l punto B s o b r e OC, y l a s t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n c i a en l o s puntos C y E, e s c r i b i r p o r definición que A

C¡A

AT-,

Fig.l-II, y radio CD y E F podemos

^rN

s e n a = 7O^B; = A B ; coso¡ = — — = OA; tag a - OA ^rr = ^77; OC = CD; OB seca =

OB = OD; c o s e c a = AB

OA AB

ctga

OF OE

OF;

EF = EF OE

de e s t a s d e f i n i c i o n e s t e n e m o s que

taga =

sena eos a

c o s e c a:

Fig.l-II

sec 1

sen a

1 CL-

eos a

y ctga =

tg a

P o r el t e o r e m a de P í t a g o r a s a p l i c a d o al t r i á n g u l o O A B , A B + + OA = OB y l a s d e f i n i c i o n e s d a d a s a n t e r i o r m e n t e , e n c o n t r a m o s la f o r m u l a f u n d a m e n t a l de la t r i g o n o m e t r í a 2

2 s e n oc + e o s <x~ 1 y d i v i d i e n d o a m b o s m i e m b r o s de e s t a igualdad p r i m e r o p o r s e n a,y d e s p u é s p o r e o s a, s a c a m o s que sen a -

tagoc

i1 + tag

— ü . „ n i_«_.

cosa =

_1 1 + tag' a

-88-

2„ - V a l o r e s de l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s de á n g u l o s n o t a b l e s , 0°

30°

sen a

eos a

tag a

sec a

cosec a ctg a

co ,

60°

45°

f3" 2

90° 1

u: 2

2 1 2

2]¡T 3

2V3" 3

2 3

3» - R e l a c i o n e s e n t r e r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , a) Cuando l o s á n g u l o s son c o m p l e m e n t a r i o s : O b s e r v a n d o que el ángulo B del t r i á n g u l o OAB e s 90° - a., p o d e m o s escribir: sen a = e o s ( 9 0 o - a);

Cosa=

sen ( 9 0 o - a)

y de a q u í s a c a m o s t g a = ctg ( 9 0 o - a); s e c a = c o s e c (90 o -o:); c o s e c a= sec(90°-c$; c t g a ^ tg ( 9 0 ° - a)„ b) Cuando los ángulojs son i g u a l e s y de s i g n o s c o n t r a r i o s : f i j á n d e n o s a h o r a en l o s t r i á n g u l o s i g u a l e s OAB y O A B ' , tenemos: s e n (- a) - - s e n a ; e o s (- a) = c o s a y de e s t a s o b t e n e m o s : t g ( - ° 0 - - tg «; s e c ( - a ) = s e c a ; c o s e c (-a) = - c o s e c a; c t g ( - a) = -ctgoc c) Si l o s á n g u l o s son s u p l e m e n t a r i o s : De l o s t r i á n g u l o s i g u a -

-89-

les OA.B y O A ' B " sacamos sen (180o- «)= sen al eos (180o- a ) = = - cosa y como consecuencia tg(180°-a)= - tg al sec(180°- a)" - sec OÍ; cosec(180°-a)= cosec a ; ctg (180o- a) ~ - ctg a. d) Cuando los ángulos difieren en 90° o en 180°,tenemos: o sen(90° 4- oj=cos fx;cos(90°+\x) = - sena; tg(90° + a)---ctg a;sec(90i-a) ~- cosec a; cosec (90° + i¿) = sec a; ctg (90° í -x)~- tg a. sea (180°tc¿) = -sena;cos (180° + a) = -cos a; tg(180°-i-a) = tg a ;sec(180°+«): = - sec a; cosec (180° -f y.) ~ - cosec o; ctg (180o-5 a) = ctg a . 4, - Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos - Proyectando sobre el eje ÜB; dos quebradas de igual resultante obteníamos en cursos anteriores ? las siguientes formulas: sen(afp)- senacos j3+ eos asen ¡3; sen («-B)=sen«cos B-cosff sen(3 cos(a-l-$)- c o s a c o s (3-sen asen [3; eos (a-p)-cos a eos (3 + sen a sen[3

(!)

)

dividiendo estas igualdades p o r columnas m i e m b r o a m i e m b r o , y dividiendo d e s p u é s el n u m e r a d o r y denominador p o r el p r o d u c t o e o s a e o s 6, t e n e m o s : , „» t g a + te(?• „• _, t g a - t g 6 tg (ot+p) -rr . I t s í a - 6 ) - — 5 - •&+* v n 1 - tgatgp *" ' 1 + tg^tgi^ o y de estas igualdades haciendo I ) a= (3? tenemos: 2 2 , „ 2 „ 2 sen ¿a - 2 sen óteos OÍ; eos ¿ot- eos a -sen a = 1-2 sen a ~2 eos ot_1

1-tg a De la segunda fórmula de este grupo haciendo 2a~ a, mos:

Sen

,-* / 1-cos a = + ;

2 - V—T~

-\ /1+ eos a

°»2 ±V—z

; tg

saca-

-\ / 1-cos a

I = i V TT^TT'

-90-

29) H a c i e n d o ct-f |3 = A y a -• ¡3= B , o b t e n e m o s s u m a n d o o r e s t a n do c o n v e n i e n t e m e n t e d o s d e l a s c u a t r o f ó r m u l a s (1): A , r> -> +B A-B _ , A+B A , sen A + sen B-'Z sen ———eos —-— ; eos A + cos B = Z eos

„ , A+B A-B . „ senA - s e n B = Z c o s — s e n — ; c o 8 A - c o s B = - 2

A-B eos —r—

A+B A-B e n T s e n T

5, Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. Si además de A - 90° nos dan dos datos del triángulo OAB rectángulo siempre que no sean los otros ángulos» Fig. 1 -II* las mismas definiciones de las razones trigonométricas nos permi ten resolver dicho triangulo. En el caso de ser el triangulo obli cuánguio, se presentan cuatro casos distintos para r e s o l v e r . Las fórmulas a aplicar según vimos en cursos a n t e r i o r e s , son: 1§) Dados los t r e s lados. teA-1/(p-b)(p-c).

2 "Y p(p^a)

tUg

W(p-a)(p.c) . t g C ,/(p-a)(p-b)

2"V

p(p-b)

2 ' V p(p-c)

Z§r) Dados dos lados a y b , y el ángulo A opuesto a uno de ellos. Por el teorema de los senos calculamos B, luego: C = 180° - (A+B),

a sen C sen A

35) Si dan los lados a y b y el ángulo comprendido C. De las formulas A

+ B =

ano

£ 2

v y

AlB _ (a-b) ctg % ^ 2 a +b

calculamos A y B; y por el teorema de los senos bailamos c. 45) Se conoce el lado a y los ángulos B y C relativos a este lado. Los lados b y c los calculamos por el teorema de loo senos; y el ángulo A como suplemento de la suma B + C de los dos ángulos dados.

-916. - N ú m e r o s complejos. - Llamamos numero complejo, a un par (a,b) de n ú m e r o s r e a l e s dados en un cierto orden; deíi nimos la igualdad suma y producto de la siguiente forma: (a,b) = (c,d) <í=¿> a -• c,b - d. (a, b) + (c, d) = (a + c, brd); (a3 b)< (c, d) ~ (ac-bd, ad+bc). El alumno puede d e m o s t r a r fácilmente que el conjunto C de los números complejos, tiene e s t r u c t u r a algebraica de cuerpo. Según lo dicho hasta ahora, podemos poner: (a,b) = (a, 0)+(O f b)=(a,0)-r(b, 0). (0,1) = a + bí

(forma binomica).

donde hemos llamado i = (0,1), por lo tanto: i 2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) - - 1, i = - i , i =1 y a p a r t i r de aquí se r e p i t e n l o s v a l o r e s de las potencias de la unidad imaginaria ic Existe una correspondencia biunivoca entre los n ú m e r o s com piejos a + bi y los puntos (a,b) del plano, llamados afijos de dichos n ú m e r o s , Fig 0

2-II

El modulo m del numero com piejo a + bi, es el número real

¡n m =Va

i + b

que en la Fig„ 2-II r e p r e s e n t a la longitud del segmento OC; se llama argumento a de dicho número complejo, al ángulo positivo que la s e m i r r e c t a de origen 0 que contiene al punto C forma con el semieje positivo OX. Según esto podemos e s c r i b i r : a + bi = m (cosa+ i seno;) (forma factorial o t r i g o n o m é t r i c a ) . Según las definiciones dadas al principios podemos poner:

-92-

(a+bi}i-(c+di) = (a+cj4(b4d)i ; (a+bi). (c4di)=(ac.-bd) + (ad+bc) i que equivale a sumar o multiplicar binomios, teniendo en cuenta que i = - I. La división la efectuamos de la siguiente forma: a + bi _ (a 4 bi),. (e-di) _ (ac 4 bd)4(-ad + bc)i c 4 di • 2 2 2 2 c

<: 4 d

habiendo multiplicado numerador y denominador por c-di. que se llama conjugado del número complejo c 4 di, En forma t r i gonométrica, tenernos: m(cosa4 i sen a)*

M(cosp 4 i senp)- mMLcos(«Tp)ti sen (wfP)j

m(cos«4- i sen o) m 777 ^7~~ ñ\ ~ T, M ( C O S P 4 i sen

, ri- . - _•¡ cos(cc-p)+i s e n OÍ-^

La. f ó r m u l a d e M o i v r e , c o n o c i d a p o r e l a l u m n o ,

dice:

l m ( c o s o : + i s e n nc)¡ ~ m ( e o s n a4 i s e n na ) nos p e r m i t e hallar la raízn-osima del n u m e r o complejo a4bi, del siguiendo modo: n n V a 4 b i - V ' M ( e o s p 4 i sen|3) -• m ( c o s o : 4 i s e n a ) donde m =

'/M V a -

~ n

dando a k l o s v a l o r e s 0,1, „ , „ , n-1; hay, pues, n r a í c e s n - é s i m a s d e un n ú m e r o c o m p l e j o . P a r a p r o b l e m a s e s c ó m o d o u n a vez conocido el valor d e a p a r a k - 0, dividir 360°, entre n e ir sumándole este numero a «hasta completar n valores.

-93EJERC1CIOS /

1„ Dada la ecuación, x + 7x -S ~ 0 se pide: a) Hallar sus seis rafees, b) R e p r e s e n t a r gráficamente los dos triángulos cuyos v é r t i c e s (de cada uno) son ios afijos de igual módulo de las r a í c e s , de la ecuación dada, c) Calcular el á r e a de uno de dichos triángulos. ( E ( P . ). Z, Dado el triángulo ABC cuyos lados miden AB = 13, CA = 14, CB - 15, se toman como ejes de coordenadas: la r e c t a CA , como eje y, la m e d i a t r i z del segmento CA corno eje x. Se pide: a) Calcular las coordenadas de B (abscisa de B positiva). b) Hallar un polinomio cuyas r a i c e s tengan por afijos los puntos A, B, C, D siendo D un punto tal que la figura ACBD sea. un t r a pecio i s ó s c e l e s , (Témese como eje real el x y como eje i m a ginario y). 3, Los coeficientes de los t é r m i n o s T n , T 41, T ,? que o c u - pan los l u g a r e s , n, n+1, n+2 en el d e s a r r o l l o de (a+b) estan en p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a . Se pide: a) Calcular n sabiendo que n < 7. b) Calcular dos números complejos sabiendo que 1) Su diferencia es un numero real., II) La p a r t e real de su suma es igual a n - 3 , siendo n el valor hallado en a). 111} Su producto es igual a -51 + 8i, (E„ P . )* 4. De un cuadrado ABCD se conocen los números complejos re presentativos del v é r t i c e A, que es L+2i y de su opuesto C , que es 9 + 6i. Se pide: a) Calcular el número complejo correspondiente al vector libre AC, b) Calcular el número complejo correspondiente al vector libre AM = MB siendo M el centro del cuadrado, c) Hallar los números complejos correspondientes a los v e c t o r e s l i b r e s MB y MD, d) Calcular los n ú m e r o s complejos cuyos afijos son B y D. (E, P . ). -o-

-94-

LECCION 12.£ DETERMINANTES

DE S E G U N D O Y TERCER

ORDEN

• o-

1. - Determinantes de segundo orden. - Al conjunto de n ú m e r o s , ordenados de la siguiente forma: a 11

'21

"12 L 22

le l l a m a m o s determinante de segundo orden, que está formado por las filas: 1§ (a a ) y 2§ (a a ? 7 )> Y P o r l a s columnas: /au\

"12

y 2S

¡a

V a 2l/

a 22,

si nos fijamos, el p r i m e r subíndice indica la fila en que se encuentra el elemento y el segundo la columna, a s i , pues, el ele mentó a?, está en la 2§ fila y en la 1^- columna. P a r a r e f e r i r J

Cxi

nos indistintamente a la fila o columna, empleamos la denominación de línea, La diagonal principal es el conjunto de todos los elementos que tienen iguales los dos subíndices, la otra diagonal se l l a ma secundaria. P o r definición, el valor de un determinante de segundo o r den e s : a

il a 21

a a

i2 22

11 a 2 2

21 a l 2

(1)

P r o p i e d a d e s i n m e d i a t a s , a p a r t i r de la definición, son: I, Al c a m b i a r las filas por las columnas c o r r e s p o n d i e n t e s , el valor de un determinante no v a n a , pues esto equivale a cambiar entre si en (1) los elementos a _ y a , con lo cual el segundo m i e m b r o no v a r í a .

-95-

II„ Al cambiar dos líneas paralelas entre sí, el determinante cambia de signo pero no de valor absoluto» Esta propiedad es cierta pues lo dicho equivale a cambiar entre sí las diagonales, y entonces (1) cambia de signo. III. Si dos lineas paralelas son iguales, el determinante es nulo; ya que las dos diagonales principal y secundaria son iguales. •IV. Si un determinante de 29 orden tiene una línea de ceros, el determinante es nulo, esta propiedad es evidente. Las demás propiedades de los determinantes de segundo orden, las veremos con los determinantes de tercer orden. 2. - Determinantes de tercer orden. - Al conjunto de números 11 L

a.31

a.3 2

se le llama determinante de t e r c e r

13 L

(2)

33 orden.

P o r definición, l l a m a r e m o s m e n o r c o m p l e m e n t a r i o d e l elem e n t o a ¿ ; a l d e t e r m i n a n t e d e 29 o r d e n q u e r e s u l t a d e t a c h a r e n (2) l a f i l a i y l a c o l u m n a j . Se l l a m a adjunto d e l a ^ , a s u m e n o r c o m p l e m e n t a r i o a f e c t a do d e l signo m á s , o m e n o s s e g ú n q u e i + j s e a p a r o i m p a r . Es decir, cuando la suma de los subíndices de un elemento e s p a r , su adjunto y m e n o r c o m p l e m e n t a r i o coinciden. Ejemplo: El m e n o r complementario del elemento

2 3

a x 11

a. 12

'31

, y su adjunto A

El valor d e l d e t e r m i n a n t e (2), p o r definición, se obtiene co m o s u m a d e p r o d u c t o s d e l o s e l e m e n t o s d e u n a l i n e a (fila o c o lumna) p o r sus adjuntos. D e s a r r o l l a n d o , p o r e j e m p l o , p o r l a 15 f i l a :

-96-

11 a a

+ a13

a a

il ll

í a

-a.12

12 12" ' i3 13~ il a

x a

' iia22a33+ai2a23a31+al3a21a32~ai3a22a3r a

33a2iai2

a. a a 11 32 23

(3)

h e m o s obtenido así" l a r e g l a de S a t r u s , que c o m o v e r n o s dice», que p a r a d e s a r r o l l a r un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n , b a s t a p o n e r t r e s s u m a n d o s f o r m a d o s e l p r i m e r o p o r el p r o d u c t o de l o s e l e m e n t o s de l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , y l o s o t r o s d o s c o m o p r o d u c t o de l o s e l e m e n t o s de c a d a p a r a l e l a a l a d i a g o n a l p r i n c i p a l p o r el e l e m e n t o o p u e s t o . Y o t r o s t r e s s u m a n d o s i d é n t i c o s a e s t o s p e r o r e s p e c t o a l a d i a g o n a l s e c u n d a r i a , a l o s que c a m b i a m o s de s i g n o . 3, - P r o p i e d a d e s de l o s d e t e r m i n a n t e s de t e r c e r o r d e n , Las p r o p i e d a d e s e s t u d i a d a s p a r a l o s d e t e r m i n a n t e s de s e g u n d o o r d e n , son v a l i d a s p a r a l o s de t e r c e r o y el a l u m n o p u e d e c o m p r o b a r l a s a p l i c a n d o , el d e s a r r o l l o (3). L a s e n u n c i a - m o s: L Al c a m b i a r filas p o r c o l u m n a s en un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n , e s t e no c a m b i a de v a l o r . II „ Al c a m b i a r d o s l í n e a s (filas o c o l u m n a s ) e n t r e si* en un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n , é s t e c a m b i a de signo a u n que no de v a l o r absoluto,, IIL

Si d o s l í n e a s p a r a l e l a s son i g u a l e s en un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n , e s t e es n u l o . _ IV. Si un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n t i e n e una l í n e a de c e r o s , e s nulo ( b a s t a d e s a r r o l l a r el d e t e r m i n a n t e p o r los e l e m e n t o s de e s a l i n e a ) . V, Si en un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n , u n a l í n e a t i e n e t o d o s s u s e l e m e n t o s m ú l t i p l o s de ^ , p o d e m o s s a c a r d i c h o nú m e r o m u l t i p l i c a n d o a un d e t e r m i n a n t e igual al a n t e r i o r -

-97-

con d i c h a l i n e a d i v i d i d a p o r A. „ En e f e c t o : s e a el d e t e r m i n a n t e 11 a a

Aa, 12

31^a32

i3 23 33

= - A.a.

12 a

= A- a12

+ a 22

+ A. a 22 a

33 a

3i 33

'21

il a 21 a 31

2ia23

i3 = \

•Aa

32 a

i2 a 22 a 32

i3 23 a 33 a

VI. Si un d e t e r m i n a n t e de t e r c e r o r d e n , t i e n e d o s l i n e a s p a r a l e l a s p r o p o r c i o n a l e s , el d e t e r m i n a n t e e s n u l o . En e f e c t o , s e a el c o e f i c i e n t e de p r o p o r c i o n a l i d a d A, t e n e m o s : a a a

Aa 11

22Xa21

32Aa31

- \

= 0

p u e s eHte u l t i m o d e t e r m i n a n t e , t i e n e d o s c o l u m n a s i g u a l e s . VII. L a s u m a de d o s d e t e r m i n a n t e s de t e r c e r o r d e n 3 que t i e nen d o s filas ( c o l u m n a s ) i g u a l e s , se puede e x p r e s a r divec t a m e n t e m e d i a n t e o t r o d e t e r m i n a n t e , que t i e n e d i c h a s dos filas ( c o l u m n a s ) i g u a l e s que l a s a n t e r i o r e s , y l a r e s t a n t e con e l e m e n t o s s u m a de l o s e l e m e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s de l o s d e t e r m i n a n t e s s u m a n d o s ; v a m o s a d e m o s t r a r que 11

ilb12

21b22

31b32

31.

+ b

b +

a a

P a r a e s t o b a s t a d e s a r r o l l a r el d e t e r m i n a n t e d e l s e g u n d o m i e m b r o p o r l o s e l e m e n t o s de l a 2§- c o l u m n a , y v e m o s que s e d e s c o m p o n e en l a s u m a de l o s d o s que hay en el p r i m e r m i e m bro.

-98-

VIII, Si a los elementos de una fila (columna), de un d e t e r m i nante de t e r c e r orden, se le suman los elementos correjs pondientes de las o t r a s dos filas (columnas) multiplica das por dos n ú m e r o s A. y [i, el determinante no v a r i a . En efecto, por la propiedad a n t e r i o r y por la V. au+

Aa12+na13

21+ Aa22+|ia23 a^, + Xa__ + H a . , 31 3¿ 3i

2 +X

13 +(i

21 a 2 2

31 a 3 2

' a i2

il ai2 ai3

2ia22a23

3ia32

ya que los otros dos son nulos, por t e n e r dos columnas iguales. 4. Determinante de Vandermonde. - L l a m a m o s determinante de Vandermonde, al siguiente d e t e r m i n a n t e : 2 1 a a A = u2 b c P o r (12§, 3„ VIII) podemos r e s t a r de cada columna la a n t e r i o r multiplicada por a, nos queda: *1 1 1

0 b-a c-a

0 b-ba c -ca

= (b - a) (c - a)

b-a b-a

b. (b-a)

c-a c-a

c, (c-a)

1 b 1 c

= (b-a)(c-a)(c-b)

Ejercicio r e s u e l t o . - Calcular, sin d e s a r r o l l a r , el valor determinante: -5 - 4 - 3 2 3 4 0 1 2

-5 - 4 2 . 2 0 1

-3 2 2

1 1 2 2 0 1

1 2 2

= 0

del

-99-

En p r i m e r l u g a r , h e m o s m u l t i p l i c a d o l o s e l e m e n t o s de la 1§ fi la p o r 0 y l o s de l a u l t i m a p o r -1 y se l o s h e m o s s u m a d o a l o s de la 2§. D e s p u é s , en el d e t e r m i n a n t e o b t e n i d o h e m o s m u l t i p l i c a d o l o s de la 2<* fila p o r 3 , y l o s de l a u l t i m a p o r (-1), y s e l o s h e m o s s u m a d o a l o s e l e m e n t o s de l a l'§, o b t e n i é n d o s e un d e t e r m i n a n t e con d o s filas p r o p o r c i o n a l e s y , p o r lo t a n t o , n u l o . EJERCICIOS 1. D a d a l a e c u a c i ó n :

1 1 1

1 1 x 1 = 0 1 x2

se pide;

a) T e n i e n d o en c u e n t a l a s p r o p i e d a d e s de los d e t e r m i n a n t e s , ha l l a r una s o l u c i ó n de l a e c u a c i ó n d a d a sin d e s a r r o l l a r el determinante del p r i m e r m i e m b r o . b) H a l l a r l a s r e s t a n t e s s o l u c i o n e s de d i c h a e c u a c i ó n . c) Si x y x

s o n d o s r a i c e s d i s t i n t a s de la e c u a c i ó n d a d a ,

ha-

l l a r la e c u a c i ó n de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a p o r l o s p u n t o s ( x r 0 ) , ( x 2 , 0 ) , (1,3). ( E . P . ) , 1 2x 2. H a l l a r a) El v a l o r de l a i n t e g r a l I = dx , 2 •1 +3 \j x b) L o s v a l o r e s de x que s a t i s f a c e n a l a e c u a c i ó n 15 35 7

-17 40 8

23 65 13

x +

2 0 1

1 2 1

x + m =0

siendo m el v a l o r de I a n t e r i o r m e n t e o b t e n i d o . (E, P , ), 3.

a) En v i r t u d de l a s p r o p i e d a d e s de l o s d e t e r m i n a n t e s , y s i n d e s a r r o l l a r , e s t a b l e c e r l a igualdad s i g u i e n t e : 1 1 +a 1 1+b

a o

o b

1 0 1 b

11 + a o 11

1 1

b) D e m o s t r a r p o r g e n e r a l i z a c i ó n de lo a n t e r i o r , que

-100-

+a 1 1 1+b 1 1 1 1

1 1 1+c 1

1 1 1 = abcd + bcd + acd + abd + abe 1+d

c) Directamente, sobre el anterior determinante, sin acudir por tanto, a su desarrollo, establecer que al p e r m u t a r dos de las l e t r a s , el determinante no varĂa, ( E . P . )â&#x20AC;&#x17E; 4. Resolver la ecuaciĂłn X

2x + 1

Zx+1

3x - 1

3x-l

6x - 1

efectuando, precisamente, las transformaciones que se esti' men convenientes en el determinante. (E. P . ). -o-

-101-

LECCION 13. SISTEMAS DE

ECUACIONES

-o-

1. - S i s t e m a s l i n e a l e s d e e c u a c i o n e s , , - L l a m a m o s s i s t e m a l i n e a l d e e c u a c i o n e s , a u n c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s , d e l s i g u i e n t e tipo: a

ilXl

ZlXl+

2+'

22X2+

+ a, x = k, ln n 1 4-a ri x = k _ ¿n n 2 (1)

irr[

X +a

m2X2+

T Euw . r . X

mn' n m n n ú m e r o s (y , y , . . „ , y ) q u e s u s t i t u i d o s e n l u g a r d e l a s inco?g n i t a s ( x i j X i , „ . „ x ), v e r i f i q u e n t o d a s l a s e c u a c i o n e s d e (1) f o r m a n u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a ; s i e s t e t i e n e u n a , i n f i n i t a s o ninguna s o l u c i ó n , el s i s t e m a e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o , c o m p a tible i n d e t e r m i n a d o o incompatible,, 2„ - T e o r e m a s d e e q u i v a l e n c i a d e s i s t e m a s , - D o s s i s t e m a s s o n equivalentes, cuando tienen las m i s m a s soluciones. Para s i m p l i f i c a r e n lo q u e s i g u e , a d o p t a r e m o s l a s i g u i e n t e n o t a c i ó n : x

a;L ilT x„ * + a¿2

+ a- x ín n

k.. i

T e o r e m a I. En un s i s t e m a l i n e a l de e c u a c i o n e s , p o d e m o s p r e s c i n d i r de toda e c u a c i ó n que r e s u l t e de s u m a r m i e m b r o a m i e m b r o las r e s t a n t e s , multiplicadas por unos ciertos nume ros. Es decir: F = 0 F0 = 0

) <£=

( F F

= 0 =0

F = 0 m \ .1 F + \ , F , + . , . + \ F - 0 J ¿ ¿ ¿ m m

= 0

-102-

Toda solución del primer sistema, por verificarse las m pri meras ecuaciones del mismo, es también solución del segundo; y toda solución del segundo sistema lo es del primero, pues la ultima ecuación del primer sistema, se verificara ya que X. 0 + A_. 0 + 3 . .+ X o0 = 0 1 2 m Teorema II: En un sistema lineal de ecuaciones, podemos sustituir una ecuación por otra, formada sumándole a la misma las restantes ecuaciones multiplicadas por unos ciertos números, O sea:

F = 0> F1 = 0 o

r E = 0 na <9

k-f°

3-1= °

F.+ \ F , F. = 0 i 1 . F* = 0 • < = * i 1+1

F,+.oe+\F.

- ¿

,+X.

i-l i - l

F . +...+ X F

i + l i x+ l

m m

1+1

= 0

F = 0 m

, /» Toda solución del primer sistema lo es del segundo, pues en este se verifica para dicha solución la ecuación nueva, es d e cir, 0 + X . 0 + /V . 0+,..+X. ..0+ X. . 0. + ...+X .0=0;

í-i

i+i

y toda solución del segundo sistema lo es del primero ? ya que al sustituir en F.+ X F+X F +...+X. F +^ F +_+A F = 0 i 11 2 2 í-l i-i i+l í+l m m los valores ceros que adquieren F,, F_, „ „ , . F. , , F. 1f . 0 . SF 1 2 í-l i+l m para la citada solución, tenemos que F=0 para dicha solución i

Estos dos teoremas son validos para sistemas de ecuaciones en general, ya que en las demostraciones, no nos hemos apoyado para nada, en la particularidad de ser lineales. 3. - Eliminación de incógnitas, - Haciendo uso de los teoremas

-103-

a n t e r i o r e s p o d e m o s e l i m i n a r i n c ó g n i t a s (método de r e d u c c i ó n ) , operando convenientemente; si l o g r a m o s e l i m i n a r l a s todas m e nos u n a , p o d r e m o s c a l c u l a r su v a l o r , y a p a r t i r de e l l a i r e n c o n t r a n d o todos .los d e m á s n ú m e r o s que c o m p o n e n la s o l u c i ó n , o soluciones del s i s t e m a . Cuando p o d a m o s e l i m i n a r t o d a s l a s i n c ó g n i t a s , e n c o n t r a r e m o s una r e l a c i ó n e n t r e l o s c o e f i c i e n t e s , que es la c o n d i c i ó n ne c e s a r í a que h a n de c u m p l i r e s t o s p a r a que el s i s t e m a tenga sol u c i ó n , si a d e m a s e s s u f i c i e n t e s e le l l a m a " r e s u l t a n t e del s i s tema". 4. - M a t r i c e s , O p e r a c i o n e s . - L l a m a m o s m a t r i z A de d i m e n s i ó n m . n s o b r e un c u e r p o c o n m u t a t i v o K, a un conjunto de m . n e l e m e n t o s de dicho c u e r p o , d i s t r i b u i d o s en m filas y n c o l u m n a s , de la s i g u i e n t e f o r m a : a_..

a ~ i „ . a.

"11 ~ 1 2 ' u ' ~ l n \ , a^T a^~. „ „ a„ I se v e r i f i c a que Af. K r A = 21 . 22 2n ^ a a ... a mi m 2 rnn/ En el conjunto M {A, B , C, . „ „] de l a s m a t r i c e s , las siguientes definiciones:

adoptamos

I. Dos m a t r i c e s A y B de l a m i s m a d i m e n s i ó n m . n d i r e m o s que s o n i g u a l e s , si y solo s í l o s e l e m e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s de a m b a s lo s o n , e s d e c i r : A = B < = > tfi(y'j)(if JEN*, i < m , j < n ) : a . . = b . . II, L l a m a m o s s u m a de d o s m a t r i c e s A y B de la m i s m a d i m e n sión m 0 n, a o t r a m a t r i z C = A + B tal que: (Yi)(Vj)(i,j€N ; i < m , j < n ) : c

=ar+b

ejemplo: M 0

2 -3\ 7 4

/-8 4 6 1 2 - 3 5

III. El p r o d u c t o de dos m a t r i c e s A y B , cuyo n u m e r o de c o l u m

-104-

n a s d e l a m a t r i z A c o i n c i d e c o n el n u m e r o d e f i l a s d e B , e s o t r a m a t r i z C que t i e n e el m i s m o n u m e r o de filas que A, y de c o l u m ñ a s que B ; de m o d o que: (yi)(Vj)(i,j£N*

i <m,

c , = a „ b , .+a

j <n)

ij.

íl Ij

b.i,.jfc. b . ¿j

ejemplo: •1

4 0

-4 16 8

-1 2

7 1 13 6 -16 -3

I V , E l p r o d u c t o deÁ£K p o r u n a m a t r i z A, e s o t r a m a t r i z c u y o s e l e m e n t o s son los de A m u l t i p l i c a d o s por X . ejemplo:

~1 5

12 18

6 27,

-3 15

L l a m a m o s m a t r i z c u a d r a d a , a l a que t i e n e el m i s m o n u m e r o de filas que de c o l u m n a s , lo que d i g a m o s a p a r t i r de a h o r a se r e f i e r e a m a t r i c e s de este tipo, V . Si l a m a t r i z I t i e n e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e u n o s , s i e n d o to dos los d e m á s elementos nulos, podemos e s c r i b i r segúnIII: (VA)(ACM): A«I = I. A= A a l a m a t r i z I, se le l l a m a p u e s f m a t r i z u n i d a d . VI. L l a m a m o s m a t r i c e s adjunta A y t r a s p u e s t a A ' de la A, las siguientes: /A A A ^ 1 1 ^ 2 1 ' * -"Vnl A 1 2 A 22 „ . . A ^ 2 A =

A§=

11 a !2

21"-anl a 22",an2

A,- An . . . A l n 2n nn/

a, a_ , , , a ln 2n nn V I I . S e g ú n l a s p r o p i e d a d e s III y I, p o d e m o s e s c r i b i r e l s i s t e m a l i n e a l d e e c u a c i o n e s (1) d e (13§, 1) d e l a s i g u i e n t e f o r ma: /

a 11 a

12* . al n *2Í',a2n

a m

bien

A . X ' = K'

-105-

llamando X = (x_ x„ . . . x ) y k = (k, k_ . „ .k ). 1 2 n 1 2 m 5. - Resolución de sistemas lineales de ecuaciones. - Suponemos conocidos por el alumno los métodos de reducción,sus titucion e igualación para resolver sistemas lineales de ecuacio nes, asi pues estudiaremos aquí solamente la regla de Cramer, Lema I: Dado un determinante 11 a

12 a

a 31

'32

23 33

Vamos a demostrar, que la expresión E = a + a„~A es igual a cero. En efecto = a

UA l l+

Z lA 2 1

A + a.??A

31 A31

y como E se diferencia de ¡A j solo en que cambiamos a , a a^,-. por a , a??> a--- podemos escribir:

a 12

'22

a 23

13 =0

por tener este determinante la primera y segunda columnas igua les„ Podemos pues, afirmar: "El producto de los elementos de una línea, por los adjuntos de otra paralela a ella, es nulo". Lema II: Considerando [A| t 0 y apoyándonos en el lema ante- ri'or y en III, IV, V y VI de (135-, 4), tenemos: AXA=AXA= A

21 A

de donde

A A

31 A A 32

lA l 1 22

IA A

23 A

s.3 j\

-106-

R e g l a de C r a m e r , - Según VII de (133:, 4), un s i s t e m a l i n e a l de t r e s e c u a c i o n e s con t r e s i n c ó g n i t a s , p o d e m o s e x p r e s a r l o ma~ t r i c i a l m e n t e de l a s i g u i e n t e f o r m a : /

u\ I V

a 12

y m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s p o r la i z q u i e r d a p o r A c a m o s: A. A 31 \ /An 21 ÍA A A Á A A 22 32 12 k. A A \ \ A A A 33 3 23 13

sa-

\A\

-T3

de donde: A

k 4-A k +A k 11 1 21 2 31 3

K/ ¿! k:

x. =

11 a A

12 l

22 2

32 3

21 a 31

a 12

22 '32 1 k

2 k 3

13 L

11 21 a 31 l

13 23

k + A ^ k + A k 13 1 23 2 33 3 A

12 L

C a r a c t e r í s t i c a de una m a t r i z . E n u n c i a d o d e l t e o r e m a de Rouche. -

Si en la m a t r i z A de (13^,4) s u p o n e m o s m < n, l o s d e t e r m i n a n t e s de m a y o r o r d e n ( c o n s e r v a n d o l a s filas y c o l u m n a s ) , que p u e d e n f o r m a r s e con l o s e l e m e n t o s de d i c h a m a t r i z son de o r den m ; si t o d o s e s t o s d e t e r m i n a n t e s ( m e n o r e s de o r d e n m ) son n u l o s , al i g u a l que todos l o s m e n o r e s de o r d e n

-107-

m - 1 , m - 2 , . . 0 , m - j + 1, p e r o e x i s t e uno p o r lo m e n o s de o r d e n m»j d i s t i n t o de c e r o , la c a r a c t e r í s t i c a de l a m a t r i z A s e r a p o r definición e s t e n u m e r o m - j , lo e x p r e s a r e m o s d e j a s i g u i e n t e f o r m a : C(A) = m - j . Ejemplo: A

2 0 4

3 1 6

C(A) ~ 2, p u e s to-

d o s l o s m e n o r e s de t e r c e r o r d e n son n u l o s , ya que son p r o p o r c i o n a l e s la p r i m e r a y t e r c e r a f i l a s ; y e x i s t e n m e n o r e s de s e - • gundo o r d e n tal c o m o el 1 2 = 2 * 0, -1 0 P a r a e s t u d i a r con toda g e n e r a l i d a d el s i s t e m a (1) de (13§, 1) , consideramos las siguientes m a t r i c e s :

A =

a„ \ / a . a ,,, » „ a, K. ln I / 11 12 m 1 a 21 a 22* * * a 2 n y B = a 21 a 22- • • a 2 n k 2 a

l2'

m2*

mn y t e n e m o s ( T e o r e m a de R o u c h é ) : C(A) = C(B) = j compatible

\a a A.. \ mi m ¿

a k mn mi

n (n° de i n c ó g n i t a s ) d e t e r m i nado, k < n

indeterminado

C(A) * C ( B ) incompatible Si la c a r a c t e r í s t i c a de a m b a s m a t r i c e s e s h, se e l i g e n l a s h e c u a c i o n e s de donde s e ha s a c a d o e l m e n o r de o r d e n h d i s t i n t o de c e r o , dejando en el p r i m e r m i e m b r o solo l a s i n c ó g n i t a s c u y o s c o e f i c i e n t e s e s t á n en dicho m e n o r , y e n t o n c e s se r e s u e l v e el s i s t e m a p o r C r a m e r c o m o si l a s d e m á s i n c ó g n i t a s f u e r a n pa metros.

-1087. Sistemas homogéneos, - Si en el s i s t e m a (l) de (135, 5) h a c e m o s k = k^ = k* = 0, tenernos el siguiente sistema: to 1 2 3 /

a 21

33/

3Í

, a 31

í0\

1 /

que l l a m a m o s homogéneo. En este s i s t e m a C(A) - C(B), pues la columna de c e r o s que diferencia la m a t r i z B de la A, no puede intervenir en un dete_r minante qiie sea distinto de c e r o . En estos s i s t e m a s homogéneos, e m p l e a r e m o s la siguiente no tación especial: I 3 (n2 de incógnitas) incompatible C(A) = C(B) = | < 3 c o m p a t i b l e < ¡ A [ = o es d e c i r , que estos s i s t e m a s d i r e m o s que son incompatibles a p e s a r de tener una solución, o sea la x = x = x^ = 0, que la tie nen s i e m p r e . 8„ Interpretación g e o m é t r i c a de los s i s t e m a s lineales de ecuaciones con dos y t r e s v a r i a b l e s . I. Sea el s i s t e m a

22/

x y

(i)

donde cada una de las ecuaciones r e p r e s e n t a una r e c t a , y estudiemos los siguientes c a s o s : a) C(A) = C(B) = 2 según el t e o r e m a de Rou,ché el s i s t e m a es compatible determinado., y las dos r e c t a s del s i s t e m a (l) se cor tan. b) C(A) = C(B) = 1, el s i s t e m a es compatible indeterminado, las r e c t a s por lo tanto coinciden. c) C(A) = 1, C(B) = 2 el s i s t e m a es incompatible, y las r e c t a s son p a r a l e l a s .

-109-

II, En el s i s t e m a : 11 a 21

*23

'31

a 32

'33

1 '

(2)

pueden p r e s e n t a r s e los siguientes c a s o s : a) C(A) - C(B) ™ 3

el s i s t e m a (2) r e p r e s e n t a t r e s planos con un solo punto común.

b) C(A) = C(B) = 2

los t r e s planos tienen una r e c t a cornun,

c) C(A) = C(B) = 1 los t r e s planos coinciden, d) C(A) = 2, C(B) = 3 los planos son p a r a l e l o s a una m i s m a r e c ta, pudiendo haber dos de ellos p a r a l e l o s si hay algún menor de segundo o r d e n d e l a m a t r i z A nulo, en este caso el otro plano los c o r t a r í a . e) C(A) = 1, C(B) = 2 los t r e s planos son paralelos,, Ejercicio r e s u e l t o : Hallar el valor de a, que hace compatible al s i s t e m a : a 3

3 2

2 1 : a

/X \

a ¡ \ y 1.

1Í

(1)

Sustituido el valor de a en el s i s t e m a , r e s o l v e r l o . .

X»

La condición de compatibilidad e s : a 3 2

2 2 a a 3

= - a

+ 18a - 35 = 0

y la única solución r e a l a = - 5. -5 3 _ 19 + 0 , re3 2~ sulta que las soluciones de (1) según (13^, 6), son las del sistema: Sustituido a = - 5 en el s i s t e m a como

-110-

-5 3

3 2

fx | _ f2 |

\y¡

"1-51

e s d e c i r : x = 1, y = - 1. EJERCICIOS 1. Dado el s i s t e m a :

( ( m - l ) 2 x + ( m 2 - l ) y = (m+1) 2

j(2m-l)x + (m+1) y = m - 1

s e p i d e : a) D i s c u t i r l a s c o n d i c i o n e s de c o m p a t i b i l i d a d , i n c o m p a t i b i l i d a d o i n d e t e r m i n a c i ó n , s e g ú n l o s v a l o r e s de m . b) R e s o l v e r el s i s t e m a en l o s c a s o s en que s e a p o s i b l e , c) ¿ E x i s t e algún v a l o r de m , p a r a el c u a l l a s e c u a c i o n e s del si_s t e m a r e p r e s e n t e n dos r e c t a s p a r a l e l a s ? (E. P . ). Z, T r e s h o m b r e s A , B , C y s u s t r e s e s p o s a s D, E, F ( e n u n c i a d a s en c u a l q u i e r o r d e n ) v a n al m e r c a d o y c o m p r a n un c i e r t o n u m e r o de objetos» C a d a p e r s o n a p a g a p o r c a d a objeto un n u m e r o de p e s e t a s i g u a l al n u m e r o de o b j e t o s que c o m p r a . Ca da h o m b r e g a s t a 63 p e s e t a s m a s que su e s p o s a . A, c o m p r a 23 o b j e t o s m a s que D y B c o m p r a 11 o b j e t o s m a s que E. ¿ Q u i e n e s l a e s p o s a de c a d a uno de l o s h o m b r e s A , B , C ? (E. P . ). 3. Dado el s i s t e m a :

(m+2)x + (m+3)y = 6 |(3m+l)x + 3 m y

se p i d e : a) C a l c u l a r m de m o d o que l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a verifique a la e c u a c i ó n x - y = 2„ b) C a l c u l a r d i c h a s o l u c i ó n . (E.P.) T> j i • * A • i a x + (2a-b)y = a+b-3 Dado el s i s t e m a de e c u a c i o n e s : •< _ , . [ 5x + 4y = 1 se p i d e : a) C a l c u l a r a y b de m o d o que el s i s t e m a p o s e a i n f i n i t a s soluciones^ b) Si M ( a , b ) h a l l a r el l u g a r g e o m é t r i c o de M cuando el s i s t e m a dado e s i n c o m p a t i b l e (E. P . )„ 5. E n c o n t r a r c u a t r o n ú m e r o s c o n o c i e n d o su s u m a , a; su p r o ducto b f la s u m a de l o s d o s ^ p r i m e r o s , c y la s u m a de l o s in v e r s o s de l o s d o s ú l t i m o s , d. D i s c u s i ó n . ( E . P<, ). A 4.

-111ax + 2z = O 6. Dado el s i s t e m a ^ ay - z = a . Calcular los v a l o r e s de, x.+ 3y+z = 0 a 13) Para que el s i s t e m a no tenga solución; 29) P a r a que ten ga infinitas soluciones, (E« P . )„ Í3x+2y+6z=0 7„ D e t e r m i n a r el valor de m, p a r a que el s i s t e m a J 2x+y+mz = 0 I x t3y-2z = 0 sea compatible. Obtener la solución general de este s i s t e ma. (E. P . ). . <<•

8. D e m o s t r a r que el conjunto de las m a t r i c e s de dimensión m X n, tiene e s t r u c t u r a de grupo abeliano aditivo,, 9, D e m o s t r a r que el conjunto de las m a t r i c e s c u a d r a d a s , es un anillo r e s p e c t o a l a s operaciones (+) y (•) definidas en (13^,4) -o-

-112-

LECCION PRACTICA III DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN -o-

** - Función. - L l a m a m o s " v a r i a b l e " a una cantidad, que puede adquirir todos los v a l o r e s de un conjunto llamado "campo de variabilidad" de la m i s m a . Si solo puede t o m a r un valor, esa cantidad se dice que es una "constante". Decimos que la variable "y" es función de la variable x, cuando al dar v a l o r e s a esta ultima estos r e p e r c u t e n en la p r i m e r a . A la variable "y" se le llama también variable dependiente o función y a la x variable independiente. Lo r e p r e s e n t a m o s con la notación y = f(x) donde la f llamada " c a r a c t e r í s t i c a " de la fun cion indica las operaciones que hay que hacer con la x y c o n s tantes p a r a e x p r e s a r la función y» 2 P o r lo tanto s si y - 3x -6 la r e p r e s e n t a m o s por y = f(x), r e sulta que f(x-3) = 3(x-3) 2 - 6. La función y - f(x) se llama uniforme si a cada valor que le demos a la x r e p e r c u t e en uno solo de la función "y", si le cor r e s p o n d e n m a s d i r e m o s que es multiforme. El campo de variabilidad de la variable x, se llama campo de definición de la función. Cuando la "y" esta despejada la función viene dada en forma explícita, y en caso c o n t r a r i o en forma implícita. Los polinomios se llaman funciones racionales e n t e r a s , y el cociente de dos polinomios función racional. D i r e m o s que z = f(y) es una función de función si la "y" depen de a su vez de otra variable x. es d e c i r , es y = F(x). 2Q Función i n v e r s a , - Dos funciones.y = F(x) y x=f(y) se dice que son i n v e r s a s cuando p a r a un valor x =x 0 la p r i m e r a toma el valor y = y y p a r a este la segunda vuelve a dar el valor

-113-

x = x0„

Si tenemos la función y = e su función i n v e r s a es x = L y (1) (L se lee logaritmo neperiano), pero como nosotros tomamos s i e m p r e "el eje horizontal p a r a la variable independiente que denominamos x, r e s u l t a que cambiamos en (l) la "y" por la " x " tenemos pues, que la función i n v e r s a de y = e es la y = L x ; s e gün esto tenemos que dos c u r v a s que r e p r e s e n t e n a dos funciones inversas» son s i m é t r i c a s r e s p e c t o a la b i s e c t r i z y = x„ 3„ Limite de funciones, - El limite de y = f (x) p a r a x tendiendo a X Q (X -*x^^ s e d j c e q U e e s m cuando dado un 0 0 y tan pequeño como queramos t podemos encontrar un 5 tal que pa ra todos los v a l o r e s de x que verifican la condición x - x j < b O"

tenemos que j f(x) - m [ < e; lo que hemos dicho, se e s c r i b e de la siguiente forma: lim f(x) - rn x ->x 0 Si m = f( x 0 ) ^ a í u n c i ° n y

f( x )

continua en el punto x = x 0 .

En c u r a o s a n t e r i o r e s se d e m o s t r a r o n dades : l i m [ F(x) -r f (x) ] = x *^xo lim [ F(x) • f(x)] = x -» x'o „ , . TF\~ — lim f(x) m

las siguientes p r o p i e L + m L • m siendo

m +0

Llamando xlira -+x0

, . F(x) = L

xlim -x

. . f(x) - rru

Las formas indeterminadas que se pueden p r e s e n t a r son: 0

-114y p a r a h a l l a r el límite de los tipos ~ e -^~ aplicamos la regla de L'Hopitalj que viene dada por la siguiente igualdad: i-

F(x)

lim

F'(x)

/•• =

lim

-,• ;

(

t(x) f (x) K N x->x ' x-»x0 ' p a r a que se pueda aplicar esta regla 3 tienen F(x) y f(x) que cum plir el requisito de t e n e r derivadas finitas en un entorno delpun to x Q y, que e s t a s no se anulen simultáneamente. Si la indeterminación es del tipo °o _ oo e s c r i b i m o s : 1 1 £ x

( ) j" F W

F(x) - f(x) =

F(x) . f(x) 0 y queda del tipo ™ Si el limite da 0o oo , ponemos: F(x) . f(x) = F(x)

* f(x)

quedando del tipo — • Los t r e s tipos que quedan se reducen a e s t o s , sin m á s que to mar logaritmos. El numero " e " viene definido de la siguiente forma: e - lira (l -f—) X —»oo

= lim

(1 + x)

x-*°°

40 Infinitésimos. - Se dice que una función es un infinité simo pa ra x -» x . , si lim f(x) - 0o x - xQ Dos infinitésimos p a r a x -> x , f(x) y F(x) son equivalentes si v F(x) 1 lim ; / = 1„ x x -* x rto f(x) ' En un l i m i t e , se puede sustituir un infinitésimo que está c o -

-115-

mo factor de toda una expresión no existiendo a p a r t e m á s s u m a n d o s , por otro equivalente; damos algunos infinitésimos jun to con sus equivalentes, así" pues., para x ~* 0 los infinitésimos sen x, tg x, a r e sen x, are tg x ? L(l+x) son equivalentes con el infinitésimo x, P a r a x~*l son equivalentes Lx y* (x-1). P a r a x ~*0 son equivalentes 2 1 - eos x, y — Ejemplo: Hallar: ,.

2 sen x - sen 2x

lim x -0

= m

tenemos sen x - sen x eos x rn = l i m

x -» 0

x -• 0

= lim x

-»o

,. = l i m*

--3

senx(l-cosx) 1 u ~r3 = x

Hemos sustituido sen x y (1- eos x) , por sus infinitésimos equivalentes, 5. - Derivada y diferencial de una función. - Dada una función y = f(x)„s l l a m a m o s función derivada de esta al siguiente límite: Um

Ax~>0

AJL

lim

ÍÍ2L+A2HÍ2I

= f > (x)

Ax~*0

si existe y es finito. Si este límite y s = f* (x) lo tomamos en el punto x = x 0 , s u valor se llama derivada de la función en este punto y coincide con el coeficiente angular de la tangente geo m é t r i c a en ese punto a la curva que r e p r e s e n t a y= f(x)„ L l a m a m o s diferencial de la función y ~ f(x) al siguiente pro ducto dy = fs (x) á x , y a p a r t i r de aquí tomando y = x s a c a m o s que Ax - dx, asi pues,

-116-

dy = fs (x) dx 6. - C u a d r o de d e r i v a d a s , -

eos X

tg x

y -sen f ,í,?v

J +10

vr logk x f(X)-F(X)

xLk"

f'(X)-F(X) +

F'(X)-f(x)

are eos x

f'(x)-F(x)-F'(X)>f(X) [F fx;j*

a* e*

V*-* 2 /

yr^xz 1 1+ x2

a* La

are. ctg x

/+ x2

are sec x are cosec x

eos X

tg x

arctg

sef22X

- cosec x ctg x

are sen x

lo €

f (X) F(X)

sen X

sec x

cosec x t

( " - * $ x)~

O C C »A,

f X

cos¿x

- (i I rfn x\-

2 Vx

ctg x

kx "

X —

*Vx 2 -i í

x Vx'-i

Si en l a c o l u m n a " y " s u s t i t u í m o s x p o r f(x), en l a c o l u m n a y ' hay que s u s t i t u i r x p o r f(x) y, a d e m á s , el r e s u l t a d o hay que m u í t i p l i c a r l o p o r f' (x) ( d e r i v a d a de una función de función). E j e m p l o . E n el c u a d r o de d e r i v a d a s l e e m o s y = a r e s e n x y

e n t o n c e s la d e r i v a d a de y = a r e s e n f(x), según lo que h e m o s dicho a n t e s s e r a ;

-117-

7, - Crecimiento y d e c r e c i m i e n t o : Máximo y mínimo. - Una fun ción y = f(x), es creciente en el punto x - x 0 , cuando £' (x ) > 0; en el caso de s e r f' (xQ) < 0 la función es d e c r e ciente en este punto. Si f' (x )- 03 la curva que r e p r e s e n t a la función y = f(x) tiene en este punto tangente horizontal o sea p a r a l e l a al eje ox; si a d e m á s p a r a este valor de x se cumplen las siguientes condi clones: f"(x 0 ) = f"' ( X Q ) = . . . = ín~\x0)

- 0

y f n (x o ) +0

, Mf < t > 0 tenemos un mínimo siendo n par y f (x J i , ., ,, ^ . 7 o' < 0 máximo, en el caso en que n sea i m p a r , ni hay máximo ni minimo 0 Corno caso p a r t i c u l a r si f3 (x^) ~ 0 y f"(x ) + 0, hay máximo cuando esta es negativa, y mínimo si es positiva. Es i n t e r e s a n t e en muchos problemas h a c e r la discusión de máximo o mínimo a p a r t i r de la p r i m e r a derivada; h a b r á máxi mo en el punto de a b s c i s a x - x 0 de la curva cuando la p r i m e r a derivada pasa de positiva a negativa, al p a s a r la x de v a l o r e s i n f e r i o r e s a x a s u p e r i o r e s al m i s m o ; hay mínimo cuando la p r i m e r a derivada pasa de negativa a positiva., 8. - Concavidad y convexidad: Punto de inflexión, - Decimos que una curva de ecuación y = f(x) es cóncava o convexa en un punto x = x Q j si se verifica que f"(x ) es mayor o menor que c e r o , entendiendo por cóncava o convexa cuando l a c u r va m i r a hacia el infinito positivo o negativo del eje OY. Tiene un punto de inflexión en el punto x ~ x si se verifica o f"(x 0 ) = 0, y, ademas. , . . . = fJnI"-i L(x o ) -, 0 y f n (x o ) * 0 ¡ f"'(x,) = fJV, (x o )= siendo n i m p a r .

-1189« Integral- definida de una función. - Sabemos, por la regla de B a r r o w , que (

f(x) dx = [F{x) ] b - F(b)-F(a.)

donde:

j W - - £{x).

Esta i n t e g r a l , r e p r e s e n t a el á r e a e n c e r r a d a entre los s e g mentos de ordenadas c o r r e s p o n d i e n t e s a los puntos de la c u r va de a b s c i s a s a y b, la curva y el eje OXa El volumen engendrado por este trapecio mixti lineo, al g i r a r a l r e d e d o r del eje OX, viene dado por

y el que engendra la m i s m a á r e a al g i r a r a l r e d e d o r del eje OY, es igual a

La longitud de la curva y - f(x) entre sus puntos de a b s c i s a s a y b , Viene dada por la siguiente formula: *h

VI+

y el á r e a que d e s c r i b e la curva, al g i r a r a l r e d e d o r del eje OX, es: 1

=Zn

eje OY, S

0Y=2n

/ 2 yVl+y' dx

a será: x Vl+y

10o - Integrales i n m e d i a t a s . - Con el cuadro de derivadas y

-119-

o b s e r v a c i o n que h i c i m o s a c o n t i n u a c i ó n ( d e r i v a d a s de una func i ó n de función), p o d e m o s e s c r i b i r d i r e c t a m e n t e el v a l o r d é l a s siguientes integrales indefinidas: n

M x

dx ~ M J

dx = M _ 2X+1

dx = L f(x) + C; e j e m p l o

dx = L(x 2 +x+17) + C

+XT17

f(x) . f (x) a + C; e j e m p l o f (x) a dx : L a

£' (x) s e c f(x)

k+1

3 e

3x dx= e

+ C

tg f(x) dx = s e c f(x) + C n

£ ív) dx 2x dx \ ' ¿ => - a r e s e c f(x) + C e j e m p l o f(x) V f(x) -1 (x +3)V(x + 3)^-1 = a r e s e c (x

+ 3) 4- C

Donde C, r e p r e s e n t a una c o n s t a n t e c u a l q u i e r a . El a l u m n o p o d r a f o r m u l a r s e m á s i n t e g r a l e s i n m e d i a t a s , m á s que s a b e r con a g i l i d a d el c u a d r o de d e r i v a d a s .

sin

11 „ I n t e g r a c i ó n p o r s u s t i t u c i ó n y p o r p a r t e s , a) Dada la i n t e g r a l / f(x) dx, e s p o s i b l e que al c a m b i a r de va r i a b l e , m e d i a n t e la r e l a c i ó n x - cp (t) la i n t e g r a l / f [ <p(t)]<p'(t) dt s e a m a s s e n c i l l a que la p r i m e r a , e n t o n c e s i n t e r e s a h a c e r e s t a sustitución. Ejemplo: dx u

2 _r~z2 Va + x

sustituimos x = a tgt, tenemos 1

eos

t 2

sen

+ C

dt = -

sen t

-120-

Si en la integral apa rece Va ~x x = a sen tc

interesa hacer el cambio

dt f (x) • F(x)]= f(x)d F(x) + F(x)d f(x)

b) De la sacamos que

esta fórmula^ llamada de integración por partes, interesa apli caria cuando no ¿siendo sencilla la integral del primer miembro, lo sea la del segundo,. Ejemplo: ©

Lx dx

J1 hacemos

Lx = f{x)

entonces

x dx =d F(x)

de donde

3 a í(x) ~-~

F(x) - x

luego aplicando la fórmula (1). tenemos: 3

r LJX

x Lx dx ~[———-\ u

-| €

3 3 e 3 _ e _ J- r x _ J __ e _

2 K

~~ 3 ~ 3

1 e

3 e _ J.

1~ 3 " 9

EJERCICIOS 1. - En una circunferencia de radio r, se consideran dos áreos consecutivos cuya suma es un cuadrante, y cuyos ángulos centrales respectivos miden a y u/2 - a (0 < a< — ), Hallar: a) El máximo de la suma de sus cuerdas. b) El máximo del área del triangulo determinado por los extremos de dichos arcos. (E. P„ ).

-121-

2, - Calcular lim

(y x +x+l - x); y siendo r, el numero ín-

x -* oo

verso del limite anterior, calcular a de modo que sea incompatible el siguiente sistema de ecuaciones: ax - 6y = 5a - 3 j rx + (a-7)y=-7a+29[

(E.P.)

3, Dos nadadores, colocados en puntos opuestos de dos calles de una piscina de 90 m , de longitud, comienzan a nadar simultáneamente a lo largo de la piscina. Uno a 3 m / s y el otro a 2 m/s. a) (Cuantas veces se encontraran en 12 minutos, suponiendo que no pierdan tiempo en las vueltas? b) Representar gráficamente los movimientos de los dos nadadores tomando en el eje x los espacios recorridos y, en el eje y, los tiempos. ( E . P . ) . 4„ Dada una esfera de radio r, se pide: a) Calcular el volumen mínimo de los conos de revolución circunscritos a la esfera. (La esfera es interior al cono y tangente a la base y a la superficie lateral), b) Razón del área total y del volumen del cono al área y volu men de la esfera, respectivamente. (E, P. ). So Dada la equivalencia: x-1 A . B . Cx _ +— + — o Á n 4 X

2 + X

2 X

¿ X +1

D + ~~o

s e

pide:

¿ x + 1

a) Calcular A.,BtC y D. - b) Utilizando el resultado anterior, calcular

dx „

( E . P . ).

X +x

¿Cuántos números (n) de cinco cifras se pueden escribir, empleando únicamente las cifras impares, sin repetir en cada numero ninguna cifra? a) Calcular su suma, b) Encon trar el valor de la derivada de la función

, n+x =y-—-- p a r a x = p ,

siendo el numero n el de la p r i m e r a p a r t e del problema y

P =| [fsiffffrrr.'j 3

(E, P. ).

7, Dada la función: y = a x + bx +cx + d que admite el máximo (-1,1) y el mínimo (2, -2)„ Se pide: a) Calcular a , b , c y d„ b) Coordenadas del punto de inflexión de la curva r e p r e s e n tada por la ecuación dada, c) Representación gráfica de la curva,- (E. P„ )„ 8, Sabiendo que los r e s t o s de la división de un polinomio P(x) por (x-3) y por (x-1) son 58 y 6, r e s p e c t i v a m e n t e , se pide : a) Calcular el r e s t o de la división de P(x) por (x-3) 0 (x-fl), b ) Hallar el á r e a del recinto limitado por la curva y= x^ —. — 19x + 88 el eje xx> y la b i s e c t r i z del p r i m e r cuadrante, 9« Se sabe que sen x •= A+B eos 2x5 Se pide: a) Derivar esta igualdad» simplificarla y c a l c u l a r B en la igualdad que r e sulta, b) Conocido B calcular A en la igualdad dada (para ello sustituyase x 3 por algún valor conveniente)» c) Sustituyendo en la igualdad dada A y B por los v a l o r e s hallados, calcular sen x dx (E„ P . ).

vo 10, Un triangulo i s ó s c e l e s ABC S rectángulo en A, en el cualAB= = AC - 1 gira a l r e d e d o r de un eje BX situado en su plano y que pasa por el v é r t i c e B sin a t r a v e s a r el triangulo* Se pid e : a) El volumen engendrado por e s t e triángulo en función del ángulo a que forma la hipotenusa BC con el eje BX, b) D e t e r m i n a r a de m a n e r a que haga máximo el volumen engendrado y obtener la expresión de este volumen, (E„ P , )„ 11„ Se tiene la función y = í x , (x > 0) y se pide: a) D e r i v a r l o g a r í t m i c a m e n t e la ecxiacion que relaciona x e y„ b) Calcular m á x i m o s y mínimos de la función y, estudian-

-123-

do los i n t e r v a l o s de c r e c i m i e n t o y d e c r e c i m i e n t o , (E„ P . )„ 12. Sabiendo que el p r e c i o de un d i a m a n t e es p r o p o r c i o n a l al c u a d r a d o de su p e s o s d e m o s t r a r que, p a r t i e n d o el d i a m a n te en d o s , d i s m i n u y e su valor„ ¿ C o m o ha de h a c e r s e e s t a p a r t i c i ó n p a r a que l a d e p r e c i a c i ó n s e a m á x i m a ? (E. P . )„ •ir» ^ J i - i • 13„ Dada l a e q u i v a l e n c i a

x +1 —~ ~ 3 2 , X -X a) O b t e n e r A , B y C „ - b) C a l+X-1 cular

Bx + C r + —~ x-1 x + 1 d2x , ( ,' E p ) _ x) + 1 [ ü/

P3 X3 -X 2+X-1

3 14„ D i b u j a r el a r c o de c u r v a x - y + 1 c o m p r e n d i d o e n t r e p u n t o s A y B , siendo - ¿ l a o r d e n a d a de A y ¿ l a de B a

los

b) Si C t i e n e p o r c o o r d e n a d a s (0, - ¿-), la l í n e a f o r m a d a p o r el a r c o AB y el segundo AC e n g e n d r a , al g i r a r a l r e d e d o r del eje y, u n a s u p e r f i c i e que t i e n e f o r m a de j o f a i n a . Calcul a r los l i t r o s de c a p a c i d a d de e s t a si s e han m e d i d o en d e c í m e t r o s l a s a b s c i s a s y o r d e n a d a s de los puntos d a d o s . (E„ P.). 3 2 15„ a) La función y = ax +bx +cx + 2 t i e n e l o s c o e f i c i e n t e s ente r o s , p o s i t i v o s y m e n o r e s que 10: C a l c u l a r e s o s c o e f i c i e n t e s a , b y c s s a b i e n d o que l o s v a l o r e s que t o m a e s a función p a r a x ~ - 1, x = 0, x = 1, x = 2 son todos e l l o s c o n g r u e n t e s m o d u l o 5e b) C a l c u l a r el v o l u m e n de l a f i g u r a e n g e n d r a d a , a l g i r a r alr e d e d o r del eje de l a s x , el r e c i n t o l i m i t a d o p o r e s e m i s m o e j e , p o r l a g r á f i c a de l a función a n t e r i o r , y p o r l a s r e c t a s x = 1 y x = - L (E c P , )„ 2 2 16„ Se t i e n e la e l i p s e 2x + 3y = 20„ C a l c u l a r l o s v o l ú m e n e s de l o s c u e r p o s o b t e n i d o s g i r a n d o e s a e l i p s e a l r e d e d o r de s u s e j e s de s i m e t r í a . (E, P c )«, -o-

-124-

LECCION PRACTICA IV TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO • o-

!„ ~ Signo d e l t r i n o m i o de segundo g r a d o , - V a m o s a r e p r e s e n t a r la función ax

-i- bx ! c

C o r t e con l o s e j e s ; para x = 0 para y = 0

y ~ c - b í ' f b ~4ac x 2a

Si b > 4 ac. c o r t a en d o s puntos al eje y = 0„ 7 Si b"< 4ac no c o r t a a dicho

e e

Si b = 4ac e s t a n g e n t e al eje y = 0„ ••

Simetrías L a c u r v a e s s i m é t r i c a r e s p e c t o a la r e c t a x

_b 2a

p u e s al a p l i c a r l a s f o r m u l a s (1^,4) de g e o m e t r í a , la c u r v a se t r a n s f o r m a en si m i s m a s Crecimiento y decrecimiento: Máximos y mínimos, y ' ~ 2 ax + b Si a > 0 t e n e m o s y ' > 0 p a r a x > - - r ~ ; y* < 0 p a r a x < - —— " P a r a a < 0 2a i r 2a p a s a al r e v é s . p a r a x - —— hay m í n i m o si a > 0, y m á x i m o s i a < 0 , C o n c a v i d a d y c o n v e x i d a d : P u n t o s de inflexión, _, ,, ^ fpara a > 0 y n > 0, Concava, Como y =2a f _ ^ ^ _ ' ^ A _ para a < 0 y " < 0, Convexa»

-125-

No hay puntos de inflexión. Con el estudio hecho hasta ahora, podemos r e p r e s e n t a r lafun cion y = ax + bx + c, Tenemos: ->o

negativo ^— \ Positivo ^ ,

1 §

/ Positivo ~

Ejercicio r e s u e l t o : Estudiar mediante la p r i m e r a derivada los máximos y m í n i m o s , si existen, de la curva:

Solución: Tenemos y' - ——z j

que se anula p a r a x - - 1 , x =1;

(x +1)

Vamos a ver si hay máximos o m í n i m o s , para ello nos fijamos que el denominador de y' es s i e m p r e positivo, por lo que el signo de esta s e r a el mismo que el del trinomio de segundo grado del n u m e r a d o r z - x 2 + 1. Como este trinomio tiene a < 0, y corta al eje OX p r e c i s a mente en los puntos x = - 1, x_ = 1, podemos s a c a r las siguientes conclusiones: y ' pasa de negativa a positiva en el punto x = - 1, y hay (lección P r á c t i c a 111,7), un mínimo; en X£ = 1, hay un máximo»

-126-

EJERCICIOS \, Hallar los v a l o r e s de m p a r a los cuales se hace positivo el trinomio: (m-2)x +2 (2m-3)x + 5 m - 6 , cualquiera que sea el valor de x (E. P« )» -o-

-127LECCION 14.a DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS • o-

1„ - D i v i s i ó n de p o l i n o m i o s con una v a r i a b l e . - El p r o b l e m a de d i v i d i r el p o l i n o m i o m rw \ , m-1, D(x) = a x + a,x +oao+a ,x+ a m o 1 m-1 l l a m a d o d i v i d e n d o s e n t r e el p o l i n o m i o d i v i s o r d(x) = b x + b„ x o 1

+ „ „0 + b ,x + b , n-1 n

c o n s i s t e en e n c o n t r a r d o s p o l i n o m i o s l l a m a d o s c o c i e n t e q(x) = c x o y resto

+ c,x 1

+0 , „ +c, ,x+ c, n-1 h

. . k , k-1 r í x ) = d x + d,x +. . . + d. _x+ dn o 1 k-1 k

tales que: m, m-1 . n , n-1 , , , . h a x +a.x + „ „ „ -i-a ,x+a =(b x +b,x + 00<)+b _x+b).(c x + o 1 m-1 m o 1 n-1 n- o + ctx 1

h-1

. k k-1 +...+C. -.x+c, )+d x +d,x + i o . d . ,x+d, h-1 n o 1 k-1 k

s i e n d o k < n. Sea m ^ . n , L o s t é r m i n o s de m a y o r g r a d o de l o s dos m i e m b r o s son i g u a l e s 9 p o r lo t a n t o : m , n+h a x =b ex o o o d e donde a , • * o a =b c o s e a c = -— „ o o o o b o p o r o t r o lado m = n + h, es d e c i r s h = m-n„ L u e g o c o n o c e m o s el p r i m e r t e r m i n o d e l c o c i e n t e , d a d o s

los

-128-

polinomios dividendo y divisor. T e n e m o s p o r lo a n t e r i o r : . , a h __ o_

°°

b 0

a x o

m-n

"b o

que n o s i n d i c a que el p r i m e r t é r m i n o d e l c o c i e n t e , s e o b t i e n e d i v i d i e n d o el p r i m e r t e r m i n o del d i v i d e n d o e n t r e el p r i m e r o del divisor, a A l m u l t i p l i c a r -— x „ d(x) y r e s t a r l o del D(x), e n c o n t r a do m o s el dividendo p a r c i a l : a D f x ) = D(x) - - 2 x m " n o d ( x ) = 1 bQ , m» , , m ' - l , ... , = a x +anx + „ „c + a , ,x + a , o 1 m-1 m* de g r a d o i n f e r i o r a m , c o m o m á x i m o m - 1 , si e s t e g r a d o s u p e r a o e s igual al g r a d o n del d i v i s o r , se h a c e la m i s m a o p e r a ción anterior resultando , . m* , . a x a » h-s _ o __o m-n s b x11 b_.

y a s i s e g u i m o s , h a s t a e n c o n t r a r un d i v i d e n d o p a r c i a l l l a m a d o r e s t o , tal que: r í x ) = d x -f- d , x o 1

+ ..<,+ d, , x + d. d e g r a d o k < n „ k-1 k °

20 - U n i c i d a d d e l a d i v i s i ó n d e p o l i n o m i o s , - D a d o s l o s p o l i n o m i o s D(x) y d ( x ) n o p u e d e n e x i s t i r d o s c o c i e n t e s q(x) y q ' ( x ) d i s t i n t o s , p u e s e n t o n c e s t a m b i é n lo s e r í a n r(x) y r* (x) y t e n d r í a m o s a p a r t i r d e l a s d o s s i g u i e n t e s i g u a l d a des: D(x) = d ( x ) q(x) + r ( x ) D(x) - d ( x )

q'(x)4r'(x)

que d ( x ) [q(x) - q* ( x ) ] = r ' (x) - r ( x )

pero esto no puede ser, ya que el primer miembro es un poli-

-129-

nomio de grado s u p e r i o r al del segundo m i e m b r o . 3„ - D i v i s i ó n d e un p o l i n o m i o p o r x-a, R e g l a d e R u f f i n i . - A p l i c a n d o l a s c o n s e c u e n c i a s s a c a d a s en (14^,1), t e n e m o s : m m_l m-2 a x + a,x + a.x to 1 2 -ex o

.+ a

m-1 + c ax o m-1 m-2 1 2 m-.L m-2 ^c x i- e ax i

/ , x + a J/ m-1 ni

x - a m~l m-2 c x + nx + 0 ,+c o 1 m-1

m-1

m-2 2

m-1

*•

^x + a ,x+ a m-2 m-1 m 2 -c x + c ^ax m-2 m-2 c x+ a m-1 m -c .. x i c ., a m-1 m-1 R donde c c

= a , c = c a + a., c^c.a.-i-a,..,, o l o 1 2 1 2

,-c , r ,a + a m-1 m-2 m-1

R = c

_a + a m-1 m

que s u e l e d i s p o n e r s e , de la siguiente f o r m a : o

1 2 m-1 m a) c a c,a 0 . „ c „a c .a ' o 1 m-2 m-1 c c. c. c R o 1 2 m-1 L l a m á n d o s e a e s t a f o r m a de c a l c u l a r los coeficientes del co c i e n t e , y el r e s t o , r e g l a de Ruffini. Si e n l a i g u a l d a d :

-130D(x) s (x-a) q(x) + R h a c e m o s x = a, tenemos: D(a) = R propiedad llamada t e o r e m a del r e s t o que nos dice que "el r e s to de la división de un polinomio D(x) e n t r e x - a s es el valor nu m e r i c o D(a) de dicho polinomio p a r a x = a1! o sea que p a r a que un polinomio sea divisible por x - a , basta que dicho polinomio se anule p a r a x = a, ya que entonces el r e s t o es c e r o . Ejemplos: 19. El polinomio x -a es divisible por x-a» y p a r a que lo por x + a ha de s e r n p a r .

sea

29„ El polinomio x + a no es divisible por x - a , y lo es por x + a cuando n es i m p a r . Ejercicio r e s u e l t o : El polinomio P(x) dividido por x-2 da de r e s to 6; al dividirlo por x + 1 da de, r e s t o - 3 , y al dividirlo por x - 1 , el r e s t o es -5„ Calcular el r e s t o de la división de P(x) por el producto (x-2)(x + l)(x-l)> Solución .-Tenemos P(2) = 6, P(-l) = - 3., P(l) = -5

F(x)"=(x-2)(x+l)(x-l) Q(x) + Ax 2 * Bx + C de aquí

P(2) - - 6 = 4 A + 2 B + C P(-l)=-3 = A - B + C P(l) = . 5 = A + B + C

y resolviendo este s i s t e m a de t r e s ecuaciones con t r e s incogni tas encontramos A ~ 4, B - - 1, C = - 8? luego tenemos que el r e s t o R(x) = 4x -x - 8. EJERCICIOS 3 3 3 L Dado el polinomio x +y + z - mx yz se pide: a) Hallar m de modo que sea divisible por x + y + z4 - b) Hallar todas las soluciones e n t e r a s y positivas de la ecuación diofántica:

-131x

3 3 + y + z - 3 xyz = O

(E. P . )• 3 a) Calcular el r e s t o R de la división del polinomio x -x+ 22 por el binomio x + 2„ - b) Calcular el séptimo t e r m i n o T de la p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a , cuyo p r i m e r termino es 1458 y c u yo t e r c e r t e r m i n o es 162. c) Calcular x, en la siguiente expresión: _3 x

siendo los v a l o r e s R y T los obtenidos en a) y b) respectiva mente» ('E» P . )0 4 3 2 , Dado el polinomio x - x + x + ax + b, - a) D e t e r m i n a r a y b de modo que se anule p a r a x = 1 y p a r a x -—Z0 - b) Sustituyendo a y b por los v a l o r e s obtenidos, r e s o l v e r la ecuación que r e s u l t a de igualar a c e r o dicho polinomio, c) Calcular el producto de todas las r a í c e s obtenidas y la suma de los productos que pueden f o r m a r s e con dichas r a i c e s , tomadas t r e s a t r e s . (E„ P„ )„ Efectuar la división de x - a por x - a , y hallar la condición p a r a que el r e s t o sea nulo» (E. P„ ). Contestar a las siguientes p a r t e s : 13) Dividiendo s e p a r a d a mente un polinomio en x, por x~5 y por x+ 2, se obtienen los r e s t o s 15 y 1, r e s p e c t i v a m e n t e . ¿Cual es el r e s t o de la división de dicho polinomio por (x-5)(x+2) - 29) Estudio y r e p r e s e n t a c i ó n g e o m é t r i c a de la función y = (x-5)(x+2) - 39. Á r e a del recinto limitado por la curva y = (x-5)(x+2) y la rec ta y = 2x + 5, (E, P„ ). -o-

-132LECCION 15.a PRINCIPIO DE IDENTIDAD <o-

L - Descomposición factorial de un polinomio. - Sea el polinomio P(x) = a x + a, x + ceí + a ,x + a o 1 n-1 n que se anula p a r a n v a l o r e s distintos de x, es d e c i r , P(x ) = P(x^=... = P(x ) = 0. Según el t e o r e m a del r e s t o (145-, 3), al dividir P(x) entre x-x el r e s t o de esta división s e r á P(x ) = 0, por lo que podemos es cribir: P{x) = (x-x ) Q (x)=(x-x )(a<x +„.„) (1) de aquí s a c a m o s que P(x 2 )=(x 2 -x l ) 0^2)=

y como xJf x , t e n d r e m o s : Q 2 (x 2 ) = 0, por lo que según el t e o r e m a del resto Qx(x) = (x-x 2 ) Q 2 (x) y sustituyendo este valor en (1), e n c o n t r a m o s : P(x) = (x- X l )(x-x 2 )

Q 2 (x) = (x-x 1 )(x-x 2 )(a o x I V + . . ' . )

Como P ( x 3 ) = ( x 3 - x 1 ) ( x 3 - x 2 ) Q 2 (x 3 )y Xy^x , x^ x^

resulta:

aplicando otra vez el t e o r e m a del r e s t o Q 2 (x) - (x-x~) Q.,(x)s y

-133-

llevando este valor a (2), obtenemos: P(x) = (x-x 1 )(x-x ¡2 )(x-x 3 ) Q 3 W = (x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 )(a o x n "+_ 0 ) Operando de esta forma llegamos a P(x) = v(x-x.)(x-xA . , . x(x-x )(a x + b) x ' l'v 2' n-1 o

(3)

y como P(x ) = x(x -x,)(x -x„) c , „ .v (x -x ,)(a x +b) = 0 v n' n 1 n 2' n n-l' v o n x 4= x . , n

x + x - . . . x 4= x n-1 n n

resulta a

x + b =0 n

por lo tanto, aplicando el teorema del resto a x + b = (x-x )a r o n o con lo que sustituyendo este valor en (3), tenemos el polinomio P(x) descompuesto en factores, de la siguiente forma:

2. - Polinomios idénticamente nulos. - Un polinomio se dice que es idénticamente nulo, cuando todos sus coeficientes y el termino independiente son ceros, Teorema. - Si un polinomio n . n-1 n-2 P(x) = a x + a, x +a~x +. . „ + a .x+a v ' o 1 2 n-1 n se anula para más valores de x que grado tiene, es decir s P(X][) = P(X¡}=. . , = P(Xn) = P(Xn+1) = . . . =P(Xm)=:0. El polinomio P(x) es idénticamente nulo. En efecto, por anularse para x . , x , „ . . x , tenemos: 1 2 n P{x) = a ( x - x W x - x A . . (x-x ) o 1 2 n y como también se anula por ejemploy para el valor x=x

, en-

-134-

contramos: P(x donde

) = a (x ~x,)(x - x „ ) . . , (x - x )=0 o m 1 m ¿ m n

-x_ + 0, m i

p o r lo que a

-x + 0 , , , , , x m

~x m

* 0 n

=0,

El p o l i n o m i o P ( x ) , queda r e d u c i d o a: i

P(x)=a, x + a_x +..,+a _x+a =a 1 (x-x,)(x-xJ,,. ( x - x , ) f 1 2 n-1 n 1 1 2' n-1' el c u a l s e a n u l a t a m b i é n , p o r e j e m p l o p a r a el x=?x , p o r lo que P (xx

)=a (x -x )(x -x ) . . . (x - x ) 1 m 1 m 2 rn n-1

y debido a que x - x . + 0. x - x ^ O , , , . , x - x ,4=0, t e n e m o s m i rn 2 m n-1 que

Siguiendo de e s t a f o r m a t e n d r e m o s que P ( x ) , si c u m p l e l a s c o n d i c i o n e s i m p u e s t a s en e s t e t e o r e m a , e s i d é n t i c a m e n t e n u lo. 3, P o l i n o m i o s i d é n t i c o s , - Dos p o l i n o m i o s del m i s m o g r a d o , se d i c e que son i d é n t i c o s c u a n d o t i e n e n t o d o s l o s c o e f i c i e n t e s y el t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e i g u a l e s . T e o r e m a : Si d o s p o l i n o m i o s _/ \ n, n-1 , m+1 m m-1 P(x) = a x +a .x +.,.+a flx +a x +a , x +..,4gLxfa n n-1 m+1 m m-1 T o Q(x) =

xm+b

x^^-^.+b.x+b m m-1 1 o Son t a l e s que a d q u i e r e n el m i s m o v a l o r n u m é r i c o , p a r a m á s v a l o r e s de x que g r a d o t i e n e el m a y o r , e s d e c i r : P(x.) =Q( X l ); P ( x J = Q ( x . ) , . . . , P ( x )=Q(x ) , . . . , P(x )= Q (x ) 1 1 2 2' m m n n P(X

n + l > = Q < X n+l>' • • • P <*k> =

<Xk'-

L o s d o s p o l i n o m i o s son i d é n t i c o s . En e f e c t o , el p o l i n o m i o D(x) = P(x)-Q(x)= a x +a ,x n n-1

+.„.+

-135-

+ a

,,x m+1

m+1 i +(a

-b

, m, , . , , \ , -, x m~l )x +(a _-b _)x +...+(a -b )x+a -b m m4 m-r 11 o o

se anula para x , , x . , „ , ) x 1 , ya que: 1 2 k D(x x ) = P ^ ) - Q(x1) = O f ...,D(x k )=P(x k )-Q(x k )=0 Por lo tanto D(x) es idénticamente nulo, y podemos poner a — a ., = , „ , -a n n-l m+1

— U

a —D ^ a . ^b , ^»,. ? a.~b, ? a = b m ni m~l m-i i i o o

que nos confirma la proposición. 4„ - Método de coeficientes indeterminados. - Este método se apoya en los teoremas a n t e r i o r e s , y consiste en e s c r i b i r una expresión, por ejemplo, un polinomio P(x) en otra for_ ma por ejemplo: f(x,a . a , „.. , a )f pudiendo haber en este caso tantas constantes a , a , . „ e)a por calcular (indecer — minadas), como grado tiene el polinomio mas una. En efecto., nosotros podemos poner: 4 x + lo x + 3 = (m x + n) + p como el p r i m e r miembro y el segundo, son el mismo polinomio puesto en diferente forma, adquieren el mismo valor numérieo para cualquier valor de x, por (15^, 3) son idénticos, podemos, pues, d e s a r r o l l a r el segundo miembro e igualar los coeficientes de x de x y el término independiente de ambos m i e m b r o s , con lo que encontramos el siguiente sistema: m

2mn = 16 2. n +p = 3 que nos permite calcular las incógnitas m, m = +2,n = - ~ = + 4, por lo tanto s

2 4 x

nyp,

p = 3 - 16 = - 13

2 + 16 x + 3 - (2x + 4) - 13

-136-

E j e r c i c i o r e s u e l t o : P o r el m é t o d o de l o s c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s e n c o n t r a r l o s v a l o r e s de A, B y C que v e r i f i c a n l a igualdad: 6 ^ , B x C + (x-l)(x-2)(x-3) x-1 x~2X" + x--3 Solución: M u l t i p l i c a n d o l o s d o s m i e m b r o s p o r el d e n o m i n a d o r del p r i m e r o , t e n e m o s : 6 = A ( x - 2 ) ( x - 3 ) + B ( x - l ) (x-3) + C ( x - l ) ( x - 2 ) de donde

-> 6 = (A+B+C) x + ( - 5 A - 4 B - 3 C ) x+6 A, + 3B+2C

método

para x = 1 para x - 2 para x = 3

6 = 2A 6 = -B 6 = 2 C

•— " ^ >

29 método» I d e n t i f i c a n d o : A + B + C =0 5 A. 4 - 4 B + 3 0 0 6 A + 3 B + 2C=6

A = 3 B=- 6 C = 3 A = 3 B=-6 C = 3

EJERCICIOS 4

1, Dado el p o l i n o m i o x +4x -x -lOx + 6 (1) s e s u s t i t u y e en e l p o r z+h, a) D e t e r m i n a r h en y = (z+h) 4 + 4 (>ví-h) 3 -(z+h) 2 -10(z+h}+6

x (2)

de m o d o que s e o b t e n g a un p o l i n o m i o en z s i n t e r m i n o de t e r c e r g r a d o , - b) E m p l e a n d o el r e s u l t a d o de a ) , r e s o l v e r l a ecuación que s e o b t i e n e a n u l a n d o e l p o l i n o m i o (1), c) R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e la c u r v a (2) p a r a el v a l o r de h obtenido en a)„ (Se supone - 2 < z < 2). (E„ P , ). 2. D a d a la i g u a l d a d • &

= _ 2 . e 1A 5x -i-5x-10

+ x-1

— x+2

(1)

v ;

s e p i d e : a) C a l c u l a r a y b de m o d o que se v e r i f i q u e la i g u a l d a d (1). - b) D e t e r m i n a r A , de modo que s e a c o m p a t i b l e el s i g u i e n -

-137ax + 3y + z = 0 te s i s t e m a homogéneo x - by + \z - 0 x + 2y - 2z = 0

siendo a y b los n ú m e r o s calculados en a) 4 (E„ P . )<.

3a Un estudiante observo durante los d días de sus vacaciones que a) Llovió siete v e c e s , por la mañana o por la t a r d e , -b) Llovió una sola vez cada mañana o tarde lluviosa. - c) Si llovió por la tarde no llovió por la mañana de aquél día. -d) hubo cinco t a r d e s c l a r a s y seis mañanas c l a r a s . Se pide:a) Averiguar el numero de días de vacación. - h) Descomponer en factores lineales el polinomio:P(x) = x^-5x + 4x y d e t e r m i n a r los v a l o r e s de x p a r a los cuales P(x) < 0„ (E„ P , ). 4 3 2 4„ Dado el polinomio x -8x + a x r bx + 1. Se pide d e t e r m i n a r a) a y b p a r a que dicho polinomio sea cuadrado perfecto,, - b) Hallar todas l a s r a í c e s del polinomio que r e s u l t a al s u s t i - tuir a y b por los v a l o r e s hallados en a). (E. P . )„ 5. Se tiene la identidad —; rr— = — + ~- y se pide: a) Calcu r x(x+2) x x+2 — l a r los v a l o r e s de l a s constantes M y N. - b) obtener la funcion primitiva de -,—• •. que se anula p a r a x = L (E. P , ), 6. D e t e r m i n a r un polinomio P(x) de t e r c e r grado divisible por x+1, y tal que al dividir por x - 2 , x - 3 y x - 4 , los r e s t o s sean iguales. Calcular las soluciones de P(x) = 0. (E, P, ). 7. Descomponer la fracción r~r en suma de dos fracciones cu¿77

yos denominadores son 13 y 23. (E, P . ), 8. El numero 46578 = 70803, se pide: a) Calcular n„ - b) D e s {n 4 componer 7x + 8x^-46575 en producto indicado de cuatro factores de p r i m e r grado y coeficientes complejos. (E. P , ). -o-

-138-

LECCION

PRACTICA V MÁXIMO C O M Ú N DIVISOR DE

POLINOMIOS

-o-

1„ - Divisibilidad de polinomios. - Dados los polinomios D(x) y d(x), decimos que d(x) es divisor de D(x), cuando al dividir D(x) entre d(x) el r e s t o es c e r o , es d e c i r : D(x) = d(x) , q(x) A p a r t i r de esta definición se d e m u e s t r a n l a s siguientes p r o piedades: I. Si un polinomio d(x) divide a otro D(x), también divide a e_s te, el polinomio k, d(x); siendo k una constante cualquiera. IIc Todo polinomio D(x) es divisible por una constante k„ III. Un polinomio se dice que es p r i m o , cuando no admite m á s d i v i s o r e s que constantes o el m i s m o afectado de constan t e s , por lo que todo binomio ax + b es p r i m o . 2. - M. C. D0| de m o n o m i o s ^ - Hemos dicho antes en la propie dad I que todo divisor de un polinomio, en p a r t i c u l a r mono mió, se obtiene a excepción de una constante, esto nos indica que p a r a hallar el m. c. d. de dos monomios, por ejem ^

5 2 3 3 4 m. c . d , (21 x y z , -3x y z t) - D(x) nos hemos de fijar solamente en la p a r t e l i t e r a l de los m i s m o s ; p a r a hallarlo lo h a c e m o s como si se t r a t a r a de números e x p r e sados como producto de sus factores primos^ es d e c i r , eligiendo las l e t r a s comunes elevadas al menor exponente. T e n e m o s , pues:

„

D(x) = kp x , y , z p a r a cualquier valor de k, es d e c i r , el m . c 0 d . de dos m o n o mios no es único. 3. - M. C, Dc de polinomios, - L l a m a m o s m. c. d, de dos polino-

-139-

mios al polinomio de m a y o r grado que divida a a m b o s , por lo tantos el r r u c . d . de dos polinomios se obtiene también a exce£ cion de una constante. Si el m . c . d . de dos polinomios es una constante, d i r e m o s que son p r i m o s e n t r e sí". Es de notar que el papel de la constante en esta t e o r í a , es el m i s m o que el de la unidad en la divisibilidad n u m é r i c a . Cálculo del nx c . d . de dos polinomios: 1

método: Sea por ejemplo, .4 3 2 3 2 . , . m. c . d . (x + 2 x - 4 x • - 2x + 3, x + x - x-l)=D(x) Aplicando el algoritmo de Euclides a estos dos polinomios, te tenemos:

X4+ 2 x 3 - 4 X 2 - 2 X + 3

X 3 - 3 X2 - X + 3 -X -4X2

"í

X + 1

x2-í

+ X

- X -1

-x3

- X 4 - X 3 + X2 + X

-X

X + 1

+ X + f

+ X x2

- 1

-x2

por lo tanto: D(x) = k (x -1). P a r a no o p e r a r con coeficientes f r a c c i o n a r i o s , podemos muí tiplicar cualquier divisor o dividendo e incluso dividendo par cial o r e s t o por una constante, ya que en lo único que va a in — fluir en el m. c.d, de los dos polinomios es en una constante. En el ejemplo a n t e r i o r , hemos dividido el r e s t o por (-4) par a p a s a r l o como d i v i s o r .

-1402° método: Consiste en poner los polinomios en forma factorial, (15§,1), p a r a esto hay que calcular l a s soluciones de la ecua- cion que r e s u l t a de igualar a c e r o el polinomio de menor g r a d o , y a v e r i g u a r que soluciones de e s t a s , satisfacen a la ecuación que r e s u l t a de igualar el otro polinomio a c e r o , 3 2 + Tenemos x + x ~x~l = 0, tiene la solución x = 1, rebajando el grado mediante la r e g l a de Ruffini nos queda la ecuación de segundo grado ? x + 2x + 1 = 0, que tiene como soluciones x = - 1 y la ecuación

x_ = -1

- , , , n x + 2x - 4x - 2x + 3 = 0 tiene también la solución x = 1, vamos a v e r si posee la solu- cion - 1 , doble, p a r a esto ponemos: 1 2 - 4

-2

-1 1 -1

-1 -5 0

5 3 5

-3 0

-1 -1

que nos dice que tiene la solución 3

-1 s i m p l e , por lo tanto:

x + x -x-1 = (x-l)(x-l(x+l)= (x-l)(x -1) x + 2 x - 4 x - 2 x + 3 = (x~l)(x+l)(x +2x-3) = (x -l)(x +2x-3) 4

el m . c , d . se obtiene tomando solamente los factores comunes elevados al menor exponente, e n c o n t r a m o s : D(x) = k ( x 2 - 1) P a r a este segundo método, es importante s a b e r que toda s o lución entera de una ecuación es divisor cjel termino indepen diente de la m i s m a , y que toda solución f r a c c i o n a r i a tiene el n u m e r a d o r divisor del t é r m i n o independiente y el denominador del coeficiente del término de mayor g r a d o .

-141-

EJERCICIOS la Se dan dos polinomios , , 4 3 2 , . 3 2 A(x) = x -2x -14x -2x-15; B(x) = x ~2x -15x se pide:

a) Calcular A(x) ^B(x) = D(x); b) Resolver la ecuación D(x)=0; c) R e s o l v e r A(x) = 0, (E. P , ). 3 , 3 2. Resolver las ecuaciones x -7x - 6 = 0, x -3x+ 2 = 0 s a b i e n do que tienen una r a í z común. (E,, P„ )„ -o-

-142-

LECCiON PRACTICA VI FRECUENCIA Y PROBABILIDAD -o-

1„ - F r e c u e n c i a absoluta y relativa de un suceso. - Si al t i r a r un dado 60 v e c e s , el numero 1 ha salido en la c a r a superior 8 v e c e s , su frecuencia absoluta n es 8, y su frecuencia r e l a tiva h viene dada por la fracción J3_ _ _2_ 60 " 15 Al hecho de l a n z a r el dado le l l a m a m o s fenómeno, cada una de las a l t e r n a t i v a s 1, 2, 3 , 4 , 5 , 6 s u c e s o s elementales o indes componibles, y al conjunto de las 60 experiencias población o universo. El fenómeno de l a n z a r un dado al a i r e , cumple las siguientes propiedades*. L Al t i r a r el dado, no es posible p r e d e c i r el resultado que se va a obtener. P u e s es imposible fijar exactamente las con diciones iniciales del lanzamiento v p a r a obtener un c i e r t o resultado. II. Cualquier variación que se produzca, por insignificante que sea al l a n z a r el dado, nos puede h a c e r v a r i a r t o t a l mente el r e s u l t a d o . IIL Si el dado está bien construido, al lanzarlo un n u m e r o n muy grande de v e c e s , la frecuencia relativa n. h. = - * i

del suceso 1 tiende a e s t a b i l i z a r s e hacia un numero fijo (ley de a z a r ) , llamado probabilidad de que se obtenga el suceso 1, al lanzar el dado. Todo fenómeno que tenga e s t a s t r e s c a r a c t e r í s t i c a s , se l l a m a fenómeno a l e a t o r i o . P o r definición, sacada del concepto de frecuencia,, l l a m a m o s

-143probabilidad de un suceso (elemental o compuesto), al cociente entre los casos favorables partido por c a s o s posibles. ,, 1 En el caso a n t e r i o r P(l) = •7 . Ejemplo: Probabilidad de que al s a c a r una c a r t a de una baraja de 52, sea un t r e s . ,-» _ c a s o s favo r a b i e s casos posibles

4_ 52

1 13

La probabilidad de un suceso s c u m p l e evidentemente la siguiente desigualdad 0 ^ P(s) ^ 1; el valor 0 indica que el suceso es imposible, y el 1 que es seguro. La s u m a de las probabilidades de dos s u c e s o s c o n t r a r i o s es la unidad, ya que la probabilidad de que al e x t r a e r una c a r t a de la baraja sea un 3, o una c a r t a distinta del 3 es la unidad, pues es seguro que uno de los dos s u c e s o s se verifica: p 3

( ) = 52 y

<* )

5¿

lue

s°:

P (3) + P(*3) = 1. 2. - Sucesos incompatibles. Probabilidad total, - Dos s u c e s o s decimos que son incompatibles, cuando no pueden efectuarse simultáneamente, por ejemplo, los s u c e s o s c a r a y cruz al l a n z a r una moneda al a i r e . Si un suceso s se descompone en otros m a s elementales s_, s-j . o o s, incompatibles tenemos que su probabilidad total es : P(s) = P(s ) + P(s )+. . . +P(s.) Ejemplo: 5.

Probabilidad de que al t i r a r un dado salga un 2 o un

3 e - Sucesos independientes. Probabilidad compuesta. - D e c i - raos que son independientes, cuando la realización de uno no implica la del otro.

-144-

La probabilidad compuesta P de que se realicen a la vez, o sucesivamente dos sucesos independientes, es igual al producto de las probabilidades de cada uno„ Ejemplo: Probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire se paradamente, en la primera salga cara y en la segunda cruz. P=

± ±± 1 ' 2= 4

- Tablas de frecuencias, - En un proceso estadístico el pri mer paso que damos consiste en recoger los datos de una variable cuantitativa (notas o años de los alumnos de una clase o de un colegio), y después se resumen en tablas que pueden ser: a) TfíBLÑ DE FRECUENC/ÑS

Numera de alumnos

x¿

b) TfíBLR DE FRECUENCIÑS fíGRUPRDÑS

tf amero de alumnos

Intervalo de edad

15— n

161

H-

205

/9— 2/

2/ — 2 3

í 2

23 — 25

25—27

27—29

En la segunda tabla llamamos clase o intervalo a cada uno de los apartados; su "amplitud" se obtiene restando dos limites inferiores o superiores consecutivos, y al punto medio de cada clase le llamamos "marca de clase". Se aconseja estadísticamente que el numero de clases no sea inferior a 5 ó 6, ni superior a 20, Llamamos recorrido a la mayor oscilación, o sea, a la diferencia entre los datos mayor o menor estudiados.

-145C) TÑBLfí DE FRECUENCIRS RELfíTfVÑS

Notas

tli de alumnos

Cf) TñBLfí DE FRECUENCIÑS fíCUMULfíDRS

Fr. relativa

1:36

4'. 36

4 5

Unos

Alumnos

Hasta 77

161

366

10:36

446

4:36

498

s w

3:36

2'36

505

H 36

t* 27

507

2:36

508

1: 36

Tora LIS

36 1

Las r e p r e s e n t a c i o n e s m a s usadas en e s t a d í s t i c a son: Diagra ma de b a r r a s , h i s t o g r a m a de frecuencias y polígono de frecuen c i a s , de las cuales el alumno ya tiene conocimiento. El conjunto de n ú m e r o s de las tablas e s t a d í s t i c a s i n t e r e s a r £ ducirlo a unos cuantos que nos den idea de la composición del m i s m o , estos n ú m e r o s son entre o t r o s : a) La media a r i t m é t i c a Ex. n. - „ X

En-

Sx.n. _

b) La mediana que es el valor de x. que deja el m i s m o numeró de observaciones a n t e r i o r e s , que siguientes a el. c) La moda, que c o r r e s p o n d e al valor m á s frecuente de x.. d) La v a r i a n z a

2 _

S (x. - x)

e) La desviación típica que es la r a í z cuadrada de la v a r i a n z a .

-146f) La desviación media 2¡x. - xl n. m =

i i

2 n. i

Ejercicio r e s u e l t o : De una baraja de 40 c a r t a s tomamos cua tro al a z a r , Se pide: 19) Probabilidad de que e s a s c a r t a s sean una de cada palo. 29) De que dos sean de Oros y las o t r a s dos de Espadas, 3?). De que dos sean Reyes y las o t r a s dos Caballos, 49) De que ninguna sea de O r o s , Solución: 40 40 P

30 39

20 38

10 37

4? 10 2Í2Í 40

9 39

10 38

3 2 f 2 r " 4 0 **39 30 40 *

29 39

28 38

9 37

4 3 38 '' 37 27 37

EJERCICIOS 1. De una baraja de 52 c a r t a s , se toman 5 c a r t a s . Calcular probabilidad de que sean 3 reyes y 2 a s e s .

2„ De una baraja de 40 c a r t a s se sacan cuatro c a r t a s ¿Oué probabilidad hay de s a c a r una de cada palo? ¿Y de s a c a r una de copas, e s p a d a s , bastos y o r o s , por este orden? 3„ En una l o t e r í a los billetes están numerados consecutivamente desde el 0000 al 9999. Calcular la probabilidad de que qb tenga el p r i m e r p r e m i o alguno de los n ú m e r o s que solo tengan t r e s cifras distintas, tales como: 0094, 8550 s 9676, 3283, ÍE P ) -O-

-147-

LECCION 16/ VARIABLE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL; REGRESIÓN Y CORRELACIÓN • o-

1„ - Variable estadística bidimcnsional. - Si en un fenómeno e s tadístico, •consideramos dos c a r a c t e r e s del m i s m o mediante un par de números x e y, tenemos una variable estadística bidimensional» y el conjunto de todos estos p a r e s forman loque l l a m a m o s s e r i e estadística doble» El proceso de estudio que efectuamos con una s e r i e e s t a d í s tica doble, comprende los siguientes a p a r t a d o s : a) Confección de una tabla estadística p a r a tomar datos» ejemplo: T alias y Años x 15 1,60 17 1,70 17 •1,61 16 1,65 21 1,68 1,78 19 18 1,72 22 1,75 o o

por

b) f o r m a r 1a nube de puntos; y IJ899 ff849

1,799 1,749

•••• •••*

1,699

•

• •

1.649 1,60

-148-

c) Construir la tabla de correlación: Tallas en metros

/¡ños

(K)

19-21

21-23

Tota les

15-17

17-19

1,60-1,649

1,65-1,699

(y)

1,70-1,749 1,75

-1,799

1,80

-1,849

23-25

7 13

1,85-1,899 TOTÑLES

MEDIÑS

1,64

1,68

25-27

15 1,71

1,76

1,80

1,64

1,72

Para hallar las medias, empleamos como valores del carácter "y", las marcas de clase correspondientes» El conjunto de valores (x ,y ) junto con sus probabilidades P(x-x Q ,y ~ yQ) se llama distribución bidímensional y los valores x = x 0 junto con P(x-x ) distribución marginal de las x, de modo análogo se de fine la distribución marginal de las y. La notación P(x~xo) se lee probabilidad de ser x - x , 20 - Momentos de una variable bidimensionaL - Por definición llamamos momento (k,h) de la variable bídimensional respecto al origen, al siguiente numero: k h Ex, y. n. 0

k,h

2n. i

Asi, pues, tenemos: 2x,n. 0

1,0

Sn.

Sx.y.n.

2y.n.

= x;

0,1

Un. i

= y; 0

í i i

1,1"

Sn.

Los momentos centrales vienen referidos a las medias x e y así°pues, el momento central (k,h) de la variable bidimensio nal, es:

-1492(x.-x) (y.-y) n. M

P o r lo tanto,-, 2 (x.-xjrt jyj;

1,0

Sn.

E x, n. =

Sn.

S n.

k,h

Sn.

ín.

de igual modo d e m o s t r a r í a m o s que M

= x - x = 0

0,1

S(x.-x) n. M 2,0

= S = v a r i a n z a r e s p e c t o a la x

Sn.

x, d e s a r r o l l á n d o l a , tenemos: 2 ,-2^ S x. n. - 2xJ]x.n,+ x S n. i i

í i

2,o

Al momento M M

Sn.

1,1

°2,0-X

(1)

se le l l a m a covarianza y su valor e s :

1,1

E~n~

°1,1"X

(2)

30 - Regresión lineal. - Este problema consiste en ajustar una nube de puntos a una r e c t a r de ecuación y - ax + b, con la condición de que la suma de los cuadrados de los segmentos A.B. p a r a l e l o s al eje OY sea mínima (método de los m í n i m o s cuadrados), el valor P.A. es el observado y el P . B . el e s t i m a 1 1

do„

1 1

A¿(xify£)

2í.(x¿, a.K¿+b)

Si el segmento A.B. fuera paralelo al eje OX obtendría m o s o t r a r e c t a de r e g r e s i ó n , la p r i m e r a es la de y sobre x y la segunda es la r e c t a d e r e g r e s i ó n de x sobre y.

Como B.A.= P.A. - P . B . = i i i % i i = y . - a x . - b la función F ( a , b ) = 1 1 FIG.1-16* - S(y.-ax.-b)^n.1 de dos variar ^ i i bles es la que q u e r e m o s hacer mínima y p a r a ello hay que anular sus dos p r i m e r a s derivadas r e s p e c t o a las dos v a r i a b l e s de que depende, asi pues: P

-150-

F' (a,b) = S2{y.-ax.-b)(-x.)n.= 0 a

i i

F' (a,b) = 2 2{y.-ax.-b)(- ±¿n.= 0 b

D e s a r r o l l á n d o l a s y poniéndolas en función de los momentos respecto al origen, e n c o n t r a m o s :

°l.l-b;-a02.0"° = 0

y - b - a x y sustituyendo

= í 2 + S 2 según (1) de (16*, 2),

0 ¿1r j

obtenemos después de r e s o l v e r el s i s t e m a a n t e r i o r : 0 a -'

- x y 1,1-

donde hemos sustituido 0 y calculamos también:

1,1

- x y, por M , según (2) de (1.6? , 2) ; M x

b - v S

P o r lo tanto, la ecuación de la r e c t a de r e g r e s i ó n de y s o b r e x es

es de o b s e r v a r que esta r e c t a p a s a por el punto (x,y), que se llama centro de gravedad de la nube de puntos. De modo análogo obtendríamos la r e c t a de r e g r e s i ó n de x so b r e y que e s :

-1514„ - C o r r e l a c i ó n . - Es indudable, por ejemplo, la dependencia que hay entre el precio del periódico y el nivel económico medio de un p a í s , e s t a s v a r i a b l e s están pues relacionadas aunque esta dependencia no sea la m i s m a que la funcional materna tica, se le llama dependencia a l e a t o r i a o estocástica 0 L l a m a m o s c o r r e l a c i ó n , al grado de dependencia a l e a t o r i a ; y al numero que nos indica esta dependencia "coeficiente de co r r e l a c i o n " ; nosotros e s t u d i a r e m o s solamente el coeficiente de c o r r e l a c i ó n lineal. Si efectuamos una t r a s l a c i ó n de ejes de modo que el nuevo origen sea el punto (x y) r e s u l t a que los momentos 0 =]VL y la r e c t a de r e g r e s i ó n (16^, 3) tendrá por ecuación: M

11 x;

la suma de los cuadrados de las distancias A.B vendrá dada i i por 2 2 (y.-

11 ,2 2 11 r~ x.) n,= S . E n , - 2 ~~j~ M,,. ir 2n.+ M

Sn.-

n.=S En. 1i y i

Donde hemos llamado

M R

S En. = x

n =S 2 Sn.(l-R 2 ) y i

2 2

(1)

s s

i x y/

S S x y

El numero R es por definición, el coeficiente de c o r r e l a c i ó n , debido a que nos da una idea del ajuste de la nube de puntos a l a r e c t a de r e g r e s i ó n , pues fijándonos en la expresión (1) vemos que el p r i m e r m i e m b r o no puede s e r negativo, y por no s e r l o tampoco los n ú m e r o s 2 S y En. del segundo m i e m b r o r e s u l t a que y

-1522 1 - R

2 > O

de donde

< 1,

o sea

-1 < R < 1 ;

e s t a n d o p a r a R = +1 l a nube de p u n t o s s o b r e l a r e c t a de. r e g r e s i รณ n , hay una t o t a l d e p e n d e n c i a a l e a t o r i a l i n e a l . Si R = 0 l a s v a r i a b l e s d e c i m o s que e s t รก n i n c o r r e l a c i o n a d a s , p e r o no p o d e m o s a s e g u r a r que no e x i s t a d e p e n d e n c i a ya que pue de h a b e r l a no s i e n d o l i n e a l . EJERCICIOS 1. Dada l a nube de p u n t o s (1, 3); (-2, 5); (_i, 0); (7, 2) h a l l a r l a s dos r e c t a s de r e g r e s i รณ n , y e s t i m a r el v a l o r de la o r d e n a d a p&rt x = 3 en a m b a s . 4 2 2 20 D e m o s t r a r que si en una nube de p u n t o s S - 20 S + O = / 2w 2. ^ x 11 x 11 = (0,, - S ) ( 0 . -S,J la r e c t a de r e g r e s i รณ n de y s o b r e x , es 20 x 02 1 p a r a l e l a a la b i s e c t r i z del p r i m e r y t e r c e r c u a d r a n t e . 3. H a l l a r el c o e f i c i e n t e de c o r r e l a c i รณ n de l a nube de p u n t o s d e l p r o b l e m a 1. -o-

-153-

LECCION PRACTICA VII DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL •o-

1, - Distribución d i s c r e t a y continua. - Una distribución que solo se estudia p a r a v a l o r e s aislados de x decimos que es di_s c r e t a ; llamándose continua- cuando tiene v a l o r e s de x p a r a todo el campo de los números reales» Definirnos como ''función de frecuencia" de una distribución d i s c r e t a , a una función f(x) tal que p(x = X Q ) = f(x Q ) En el caso de s e r la distribución continua, se llama "función de densidad" de la distribución. D i r e m o s que F(x) es "función de distribución" de una distribución, cuando:

cierta

p (x < x ) = F(x ) — o o La media o e s p e r a n z a m a t e m á t i c a de una distribución d i s c r e ta viene dada por: x = Ex f(x)

(1)

y la varianza por S

=2(x-x)

f(x) = Ex f(x) - x

(2)

Si la v a r i a b l e es continua:

n +oo li = E(x)

-foo t

x f (x) dx ; a =

(x- \i) f(x)dx

2o - Distribución binomial. - Es la distribución que c o r r e s p o n de a pruebas r e p e t i d a s , con probabilidad constante. Si tenemos un dado, la probabilidad de s a c a r un numero múltiplo de t r e s es p =— ; y la de s a c a r el suceso c o n t r a r i o q = -? .

-154-

en cualquier experiencia que hagamos, estas probabilidades son siempre las mismas.

Consideramos como variable el número de veces que sacamos múltiplo de tres, asi pues, en una experiencia esta varia ble adquiere los valores oyl con probabilidades q y p, Si efectuamos dos lanzamientos la variable toma los valores 0,1 y 2 2 2 con probabilidades q , 2pq y p respectivamente, si efectuamos n experiencias f la probabilidad de sacar x números múltiplos de 3 e s : ,n, x n-x f s f(x) = lx) p q siendo f(x) la función de frecuencia de la distribución binomial, La función de distribución en este caso es: x r x q n-x F(x) = V "~~£fn, )pX

Calculo de la media. - La media según (1) de la pregunta anterior, es: x

= X5G

( x ) = (%) P ^ " +z Q P q11" +.-»+n(")pn=np(q+pf"=np

ya que p + q = 1. Calculo de la varianza, - Aplicando la fórmula (2) de la pregunta anterior ^— x 2 f_x n 2 2 s.2

= SZ ( ) - ' p

x=o x=o 2 „, , n-2 . ,n-l, n-1 r n-1. _, ,n-L x f(x) = np [ q +2 ( 1 )pq +...+n(^ 1 )p ] =

y como \ »

mil

x=o

= ^ [ q " - 1 * [1+(Z-1)] (n{1) pq' h2 +...+ tl+{n-l)] £ ) p' V l ] = = np[(q + p) encontramos

+ (n-l)p (q+p)

]= np + n p - np

2 . . S = np (1-p) = n p q ,

-1553- - D i s t r i b u c i ó n n o r m a l , - Es una distribución continua cuya función de densidad es: .

Í*

_Í*L 2 o2

f(x) =

ofzH p a r a d e t e r m i n a r a y ¡a, nos apoyamos en la condición r\ -j-oo

f (x) dx = 1 resultando s e r a y \i la desviación típica y la media de dicha dis tribucion,por eso en la formula en lugar de poner dos constant e s , hemos empleado ya e s t a s letras» y

Fis.l-VIl

u-er

/ "

Vamos a r e p r e s e n t a r la curva 2

y =

a V2 TC C o r t e c o n l o s ej e s

x = 0

y =

^f27T

La r e c t a y = 0 es asíntota. Crecimiento y d e c r e c i m i e n t o (máximos y mínimos):

-156-

y --

y»

3 ___

af2

=- —

- (x_w

n mJ2tzAz

• e

2 2 2 [a -(x-n)

luego p a r a

x < ¡i

la curva c r e c e

y para

x > |i

la curva d e c r e c e

entonces tenemos que p a r a x ~ ¡a hay un máximo. Puntos

de inflexión (concavidad y convexidad):

y " = 0 implica x = \i + ° luego existen dos puntos de inflexión cuyas ordenadas son igual e s al numero

Esta curva es conocida con el nombre de campana de Gauss, 4. - M u e s t r e o . - Texto de una hipótesis e s t a d í s t i c a , - E s t i m a ción. - Si de una población o universo (familias r e s i d e n t e s en Madrid), nos i n t e r e s a conocer u n cierto c a r á c t e r (media de hijos por familia) esto r e s u l t a r í a muy laborioso si se intentara hacer mediante un estudio completo de la po blacion en cuestión; o t r a s veces este estudio es imposible o muy costoso; en ambos casos lo que hacemos es elegir una m u e s t r a y c a l c u l a r , por ejemplo, la media S x. n. — 1 1 x = , 1 n que se a p r o x i m a r á al valor del " p a r á m e t r o ¡itT de la población, p e r o no tiene por que coincidir exactamente con el, ya que incluso al c a m b i a r de m u e s t r a obtendríamos distintos v a l o r e s pa r a x ; al valor x , que viene en función de los elementos x. de la m u e s t r a , se le llama estadístico o " e s t i m a d o r de V¡\ Una condición indispensable en el m u e s t r e o (estudio por m u ©

-157t r a s ) , es el- no tener ninguna tendencia o sesgo al elegir las m u e s t r a s ; en el ejemplo que venimos citando p a r a fijar i d e a s , lo que h a r í a m o s s e r í a e n u m e r a r las calles de Madrid al igual que l a s c a s a s y viviendas, y entonces haciendo uso de una "tabla de n ú m e r o s a l e a t o r i o s " (cuya confección podría h a c e r s e to mando nota de los n ú m e r o s p r e m i a d o s en la l o t e r í a ) , se elige la m u e s t r a ; es bastante probable que esta m u e s t r a sea r e p r e sentativa del conjunto. En la vida o r d i n a r i a empleamos el método del m u e s t r e o , al p r o b a r un bolígrafo antes de decidirnos a c o m p r a r l o , al hojear un libro p a r a v e r si nos puede i n t e r e s a r su lectura» El m i s m o análisis de sangre es un estudio por m u e s t r a s , Si e l i g i é r a m o s un numero grande de m u e s t r a s de n familias cada m u e s t r a , y h a l l á r a m o s la media de hijos de cada m u e s t r a , podríamos con estos e s t i m a d o r e s f o r m a r una distribución de frecuencias r e l a t i v a s ; si aumentamos aun m a s el numero de m u e s t r a s , ésta distribución antes citada se c o n v e r t i r í a en una distribución de probabilidad, que l l a m a m o s "distribución mués t r a l del e s t i m a d o r " . Llamando x, s^ y s a la media, v a r i a n z a y desviación típica ( e r r o r de m u e s t r e o ) , de esta distribución,se pueden d e m o s t r a r las siguientes f ó r m u l a s : 1°) Muestreo con r e e m p l a z a m i e n t o (un elemento de la población puede e n t r a r v a r i a s veces en la m u e s t r a , ya que cada vez se devuelve a la población). 2-

x = \ii s

a2 = —

o • ;

ín

Siendo (i, y o los p a r á m e t r o s de la población, y n la extensión de la m u e s t r a , 29) Muestreo sin r e e m p l a z a m i e n t o (el a la población),, 2 p-n o2 x = \i ; s = —— . ; s p-1 n

elemento no se devuelve n p-n a -\¡—- • — Vp-1 yiT

donde p r e p r e s e n t a la extensión de la población. Vamos a c o m p r o b a r esto en un caso sencillo; sean t r e s familias únicamente l a s que componen la población, y suponga -

-158m o s que están compuestas por 2, 4 y 6 hijos* los p a r á m e t r o s \i , o?" y a en este caso valen: 4;

3 y

Hagamos ahora todas las m u e s t r a s de extensión dos, y halle m o s sus m e d i a s , 15c Con r e e m p l a z a m i e n t o . Las m u e s t r a s son (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4,2), (4,4), (4, 6), (6,2), (6, 4) y (6, 6) y sus medias 2, 3, 4, 3, 4, 5 } 4 , 5 y 6 que forman la distribución m u e s t r a l del e s t i m a dor, tenemos p u e s , aplicando (Lección P r a c t i c a VII, l): n;

4 =- =

s =

VT"f2

29., Sin r e e m p l a z a m i e n t o . Las m u e s t r a s son (2,4), (2, 6), (4, 2), (4, 6), (6, 2), (6, 4) y l a s medias 3, 4, 3, 5,4, y 5 por lo tanto* encontramos como v a l o r e s de la media, v a r i a n z a y desviación típica de la distribución m u e s t r a l de la media los siguientes: x = 4 = [i > s

2 3

3-2 3-1

Í2 P o r lo que las formulas a n t e r i o r e s se cumplen p a r a este c a so particular,, Sea o no n o r m a l la distribución de una población, podemos c o n s i d e r a r como tal a la distribución m u e s t r a l de la media cuando n > 30; sí la población tuviera también d i s t r i b u ción n o r m a l , r e s u l t a r í a que la curva Fig„ 1-VII s e r i a m á s acha tada que la F i g . 2-VII, esto nos indica que hay m a s densidad a l r e d e d o r de x en esta ultima distribución.

Fig. 2-VII

-159-

Si conocemos la desviación típica o de una distribución n o r mal (en caso c o n t r a r i o , se calcula a p a r t i r de una m u e s t r a de extensión n > 100) y q u e r e m o s v e r si un valor x puede s e r la media ¡i de la población (contraste de una hipótesis estadística), lo que hacemos es hallar la media x, de una m u e s t r a , por ejem pío, de extensión 50 ? y si este valor e s t u v i e r a fuera de los intervalos:

" ár

; +2

"?to

) y (; 3

- #r

; +3

vtü

)

es considerado e s t a d í s t i c a m e n t e como significativo el p r i m e r hecho, y como muy significativo el segundo, de que x no es la media de la población, en el prime r caso se r e c h a z a la hipóte sis con un nivel de significación del 5 % y en el segundo del 1 % o sea, con un coeficiente de confianza del 95 % y del 99 % r e s pectivamente, EJERCICIOS L - ¿Que probabilidad hay de s a c a r 7 unos, al t i r a r un dado 12 veces? 2a - Si c o n s i d e r a m o s una m u e s t r a de 1000 tornillos como r e p r e sentativa de una producción en s e r i e s y en ella hemos encontrado 11 defectuosos ¿Que probabilidad hay de encontrar se 23 defectuosos, en una m u e s t r a de 50 tornillos? 30 - Sabiendo que la desviación típica de las tallas de una pobla cion es o = 0,15, y que con una m u e s t r a de 64 p e r s o n a s de dicha población hemos obtenido una media x -1,72„ ¿Que coeficiente de confianza (95 % o 99 %) s nos r e c h a z a la hipo t e s i s de que dicha población tiene una talla media x = 1, 76? -o-

-161LECCION 17 TRASLACIÓN EN EL PLANO -o-

1. Espacio v e c t o r i a l . - L l a m a m o s vector AB al segmento orientado de origen A y e x t r e m o B , la d i r e c c i o n d e este vector vie ne d e t e r m i n a d a por la r e c t a que le contiene o por cualquier r e c t a p a r a l e l a a esta, el sentido del vector va de A hacia B y el modulo es la longitud del segmento AB„ Dos v e c t o r e s a y b son equipolentes, y e s c r i b i m o s a ~ b ? si tienen la m i s m a dirección, sentido y modulo; es d e c i r , dos vec t o r e s equipolentes o pertenecen a una m i s m a r e c t a o están en rectas paralelas. La relación (~) en el conjunto A j a , b, c, , . „} de los vector e s fijos del plano, es una relación de equival ene i a, pues fácil mente se d e m u e s t r a que cumple las siguientes propiedades: a) Reflexiva:

()¡ ~a)(a€A.): a ~ a

b ) S i m é t r i c a : ( y a)(ytT)(a, b*£A): a ~ b

= > b ~a

c) T r a n s i t i v a : (Va)(yS)(yc)(a,ff,c CA): [(a~S) y (ft~c)] = = > a ~ ¿ * Obtenemos así* el conjunto cociente V = A/*, {u, v*, wf „ „ } forma do por l a s c l a s e s de equivalencia que la relación (~) a i m p r i m i do al conjunto A; a cada una de e s t a s c l a s e s s por ejemplo u € V, la l l a m a m o s vector libre,, Definimos en el conjunto V la operación (+) de la siguiente for rna: u + v = s siendo s un vector libre r e p r e s e n t a d o por el vec torjfijo AC, el cual lo hemos obtenido eligiendo un r e p r e s e n t a n te AB del vector l i b r e u, y después trazando por el punto B un r e p r e s e n t a n t e BC del vector l i b r e v „ Esta operación (+) en el conjunto V goza de las siguientes pro piedades: I. Asociativa. (V~u)(V v)( Kw)(u, v*, w €V>: ü+(v+w) = (u+v)+w Como podemos c o m p r o b a r en la fig, 1.17^,

-162-

FIG.1-17SII. Existencia del vector l i b r e o( V, por s e r la c l a s e de los v e c t o r e s fijos en los que el origen y e x t r e m o coinciden» tenemos: ( ] o ) ( n i ) f u ( V ) : ^ ^ ^ ^ u . III. Existencia del vector opuesto (-u) de cualquier u£V, pues dado este ultimo p a r a obtener el p r i m e r o basta c a m b i a r l e el sentido, ya que:

(Vu) (3-u)(- u ev): u + ( . m M ^ + tf = b* IV„ Conmutativa, (Vu)(Vv)(u,v€V): u + v = v + u como podemos c o m p r o b a r en fig.2-17» Dado el cuerpo conmutativo de los núm e r o s r e a l e s {R? +,-j y el grupo abeliano aditivo de los v e c t o r e s l i b r e s del plano jV 9 +¡ ; definimos el (•) de un numero r e a l X por un vector l i b r e v» de la siguiente forma: —»

—»

X. v = p

siendo p un vector l i b r e que tiene la m i s m a dirección que v, sentido igual u opuesto según que X sea positivo o negativo» v ademas p = h ¡ v Veamos que se verifican l a s siguientes propiedades: V.

(Vu}(Vv)(V^)(u 9 .v£V)(ACR):X(u + v) = Xu+Av a

-163Esta propiedad queda d e m o s t r a d a aplicando el t e o r e m a de Thales. VI.

( Vu)(VM(V^)(^V)(x, l i í R): (U\x)u =\u + ,¿u.

VIL

(fu)( V

M R ) : M ^ ) = (X ^) u;

X)(VJI)(U€V)(X,

VIII. (Vu*)(7Uv)(KR): l . u

= u.

E s t a s t r e s ultimas propiedades son sencillas de c o m p r o b a r , y las dejamos a cargo del alumno. Todo grupo abeliano aditivo, tal como el ( V , + }, que r e s pecto a un cuerpo conmutativo {R, + , • } , verifica las propie dades V, VI, VII y VIII se le llama espacio v e c t o r i a l sobre dicho cuerpo, los elementos del grupo abeliano se llaman v e c t o r e s , y a los del cuerpo conmutativo e s c a l a r e s es d e c i r , el e s pacio vectorial sobre un cuerpo es una generalización del conjunto de v e c t o r e s del plano, de la operación (+} de los m i s m o s y de la operación (• ) de un numero r e a l por un vector. —» —*

Dada una b a s e [i, j} del espacio vectorial V fig. 3-17§, siendo

p(*>y)

p2 Ai

= I 7 I = I.

y apoyándonos en las propiedades a n t e r i o r e s , podemos e s c r i b i r : 1

OP=OP + P P = 0 í i + 0 : § = x i + yj

j fc.

C-

(1)

— * •

L l a m a m o s componente de un vector a los numeros(v , v ), que e x p r e s a n a. FIG.3-17 el modulo de los v e c t o r e s que r e s u l tan al p r o y e c t a r l o sobre los e j e s , por lo tanto: 0\

- v

i + V

p a r a que dos v e c t o r e s de V sean iguales, b a s t a que lo sean sus componentes. 2. T r a s l a c i ó n . - Es una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva Tr»:R -» R tal que dado un vector u ^ V , a todo punto A £ R^* le hacemos corresponder otro A' £ R^, de modo que:

-164-

OA' = 61. + u

(1)

E s i n m e d i a t o v e r que si r e s p a r a l e l a o c o i n c i d e con l a r e c t a que c o n t i e n e al v e c t o r u, se verifica:T¿¡* (r) = r , d e c i m o s en t o n c e s que l a r e c t a r e s d o b l e , con lo que e x p r e s a m o s que c o i n c i d e con su h o m o l o g a . C o n s i d e r e m o s el conjunto

T í T-», T-* , T-», 1 u v w

} de l a s trajs

laciones del plano, tenemos: A

u >A' T ., o V

v * A" T-» u

C o m o p o r (1) p o d e m o s e s c r i b i r O A " = O A ' + v = (OA + u) + v = = OA* + (u + v) e n c o n t r a m o s : T_» o T-> = T ^ -» V u u+v o s e a que el p r o d u c t o de d o s t r a s l a c i o n e s e s o t r a t r a s l a c i ó n , que t i e n e c o m o v e c t o r de t r a s l a c i ó n l a s u m a de l o s v e c t o r e s de l a s a n t e r i o r e s . La e s t r u c t u r a algebraica piedades:

{T, o ¡ goza de l a s s i g u i e n t e s p r o -

I. A s o c i a t i v a . E s d e c i r : (V T_)(V T_*)(V T - ) : T - o v(TV o T-)=(TU ° T ^7) o T _ u v W w v u W V u p u e s (u + ~v) + w = u+(v+w) s e g ú n I de l a p r e g u n t a a n t e r i o r , II. E x i s t e n c i a de l a t r a s l a c i ó n unidad T_>, p u e s : o (JH, )(V TU) : T - o TU = T_* o TU = T-» J o7 u u o o u u y a que o + u = u + o = u s e g ú n II de l a p r e g u n t a a n t e r i o r . III. E x i s t e n c i a de l a t r a s l a c i ó n - i n v e r s a de t o d a t r a s l a c i ó n T u d e l conjunto T , y a que s e r í a T -•, p u e s : -u

-165-

(YT-)(]J •u'

T _ ) ( T ^ f T ) : T_o T , - T _ o T„> = T_> -U -U' -u u u -u o

e s t o e s c i e r t o por s e r u + (-u) ~- (-ti) -t- u - o según III de la p r e gunta 1„ IV. C o n m u t a t i v a , p u e s : ( Y T U ) ( V T U ) : TI, O U

T_ VL

v -^

—>

y a que s a b e m o s p o r IV de l a p r e g u n t a 1 que u + v = v + u. Si a p l i c a m o s (1) t o m a n d o O ( o , o ) , A ( x , y ) , A ' ( x ' y ' ) y u(u ,u ), t e n e m o s a p o y á n d o n o s e n (1) de (175-1) que: x'i f y'j = x i + y j + u i + u j x y i g u a l a n d o l a s c o m p o n e n t e s de l o s v e c t o r e s de a m b o s m i e m b r o s , s a c a m o s l a s e c u a c i o n e s a n a l í t i c a s de l a t r a s l a c i ó n : X

= X

+ u

y + u y

(2) o s e a

/l u

/1\ x

0 1/ y/ y A p l i c a n d o e s t a s e c u a c i o n e s (2) v e m o s que la t r a n s f o r m a d a de una r e c t a no d o b l e en una t r a s l a c i ó n , e s o t r a p a r a l e l a a e l l a , pues: \

ax + by f c = 0

•- a (x' -u ) + b ( y ' -u ) + c = 0 x y o s e a que l a s p e n d i e n t e s son m = m ' = - — . Una t r a n s f o r m a c i ó n que c o n s e r v a l a a l i n e a c i ó n y ordena ción de p u n t o s , l a s d i s t a n c i a s y l o s á n g u l o s d e c i m o s que e s un m o v i m i e n t o o t r a n s f o r m a c i ó n de i g u a l d a d , p o r lo tanto l a t r a s l a c i ó n en el p l a n o e s una t r a n s f o r m a c i ó n de i g u a l d a d , y d i r e m o s que e s d i r e c t a p o r p o d e r r e a l i z a r s e sin s a l i r s e d e l p l a n o . Ejercicios resueltos, 19) D a d a s d o s c i r c u n f e r e n c i a s 0 y 0 ? , t r a z a r una r e c t a s p a r a l e l a a u n a r e c t a r , de m o d o que la s u m a de l a s c u e r d a s AB

-166-

y CD sea igual a una longitud m Solución:

F/G.4-77*

En los p r o b l e m a s g e o m é t r i c o s de c o n s t r u c c i o n e s , n o r m a l mente se supone el problema r e s u e l t o , y a p a r t i r de e s t a supo sición se sacan l a s propiedades que nos p e r m i t e n después cons t r u i r la figura que nos pide el p r o b l e m a . Si en un p r o b l e m a de e s t a índole o m i t i é r a m o s , la forma de p e n s a r que nos ha llevado a l a s propiedades que aplicamos par a c o n s t r u i r lo que nos pide el problema, p a r e c e r í a (aunque lo comprobemos) muy artificioso. En el p r o b l e m a que nos ocupa, suponemos el p r o b l e m a r e suelto y p r o y e c t a m o s O sobre las r e c t a s s y r , sus proyecciones son E y O ¡ ; hacemos lo m i s m o con C>2 siendo sus p r o y e c ciones F y O' . B ' es la proyección d e B y C la de C. P r o p i e d a d e s que s a c a m o s de suponer el p r o b l e m a r e s u e l t o ; la longitud BC se puede conocer pues e s igual a B ' C por p a r a l e l a s comprendidas entre p a r a l e l a s y B'C

=0'0^-

(O'B'+C'O^)

donde Q[ Q'z se conoce; por s e r O^ B' = EB y C'O!, = C F , teñe mos: (V B ' + C ' O ^ = EB + CF ~ * | pues-.

-167-

AE> EB = —

_,_ Cu CT---J-

Corno ya conocemos la longitud del segmento BC3 aplicamos a la circunferencia O- una traslación CuO^'cuyo vector es de modtxlo igual a la longitud del segmento BC, entonces la circun ferencia O? se ha transformado en la O" y el punto C en el B , el C no lo conocíamos pero el B ahora si } pues es una de las in tersecciones de la circunferencia Q y la O^ (el punto G nos da otra solución). Nada más queda trazar por B una paralela a r y tenernos el problema resuelto; trazando por G una paralela a la recta r, obtenemos otra solución. Discusión del problema: El problema admite dos, una o ninguna solución, según sean las circunferencias O^ y O", secantes, tangentes o exteriores. A 3 2 22) Hallar la ecuación de la curva transformada de la y -x =0, mediante una traslación que hace corresponder al origen 0(0,0) el punto 0'(1,1). De las ecuaciones analíticas de la traslación tenemos: x =x -v - x » 1 ; y =y - v =y -1 x y sustituyendo en la ecuación de la curva dada, tenemos después de cambiar x' e y* por x é y , ya que esto es cuestión de nota3 2 . 2 y - x - 3y + 2x + 3y - 2 = 0 EJERCICIOS 1. Dada una recta r y una circunferencia C, determinar un segmento AB que cumpla las siguientes condiciones: 15) Que A pertenezca a la circunferencia; 22) B a la recta r; 32) Que el segmento AB tenga dirección y longitud dados. Discusión. (E.P. ). 22). El vector que define una traslación en un plano tiene por pro yecciones sobre los ejes coordenados OX y OY respectivamente, -2 y 3, Hallar las coordenadas del transformado de A(5, 2), mediante esta traslación. Hallar también la transformada de la recta x/3 + y/2 = 1 (E, P, ).

-16835 D e m o s t r a r que el conjunto de las m a t r i c e s de dimensi贸n 3*. 2 solare un cuerpo conmutativo K, tiene e s t r u c t u r a algebraica de espacio vectorial禄 -o-

-169-

LECCÍON 18

SIMETRÍAS

EN EL

PLANO

• o-

1. Simetría c e n t r a l , - Es una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva S_: R~* _ 2 ¿ -» R tal que dado un punto P ( a , b ) fijo del plano R a c u a l quier punto A(x,y) de dicho plano se le hace c o r r e s p o n d e r otro A ' ( x ' y ' ) del m i s m o , de modo que: (1) PA PA' Según e s t a definición s i P í r tenemos que S (r) = r y por lo tanto la r e c t a r es doble: 2 , . Cuando en una t r a n s f o r m a c i ó n S (A) = A, decimos que es involutiva. De (1) s a c a m o s : PO + o l ' = ÁP = AO + OP, o sea

OA'-OP^OP-OA

y aplicando (1) de (17^-1) obtenemos: _~>

_»

.->

—

•

—

•

—

x ' i + y * j - ( a i + b j ) = a i + b j - (x i f y j ) e igualando las componentes de los v e c t o r e s de ambos m i e m b r o s , tenemos las ecuaciones analíticas de la s i m e t r í a c e n tral. 1 \ / 1 0 0 \ /l\ J x = 2a - x (2) es d e c i r x 2a -1 0 x y' = 2b - y 2b 0 - 1 / y/ y/ Haciendo uso de e s t a s ecuaciones (2) y razonando de modo análogo al de la t r a s l a c i ó n , s a c a m o s que la t r a n s f o r m a d a de una r e c t a no doble, en una s i m e t r í a c e n t r a l es o t r a p a r a l e l a a ella. La s i m e t r í a c e n t r a l es una t r a n s f o r m a c i ó n de igualdad d i r e c ta , pues c o n s e r v a la alineación y ordenación de puntos, l a s d i s tancias y los ángulos y se puede r e a l i z a r sin s a l i r s e del plano mediante un giro de 180°.

-170-

2, S i m e t r í a a x i a l . - E s una t r a n s f o r m a c i ó n , b i y e c t i v a a :R -* R fig. 1-18?-. t a l que d a d a una r e c t a e ~ ax + b y + c = 0, c u a l es ¿LX +¿y +c=o

•FIG. 1-18* q u i e r punto A(x, y) s e a s o c i a c o n o t r o A ' s i t u a d o e n l a p e r p e n d i c u l a r p o r A a l a r e c t a e, de m o d o que s i e s B el p i e de d i c h a p e r p e n d i c u l a r se verifica: BA' = - BA Como A

->-A'

(1)

A, t e n e m o s que o e (A) = A, e s d e

c i r , esta t r a n s f o r m a c i ó n es involutiva. P o r l a d e f i n i c i ó n (1) s a c a m o s

qae:

a ( r ) = r <••--> [ r í e e i\£e G (A) = A « = > e

o b i e n que r = e ]

Si u n a r e c t a c o r t a al e j e , c o m o e s t e punto e s d o b l e , s u h o m o loga r* t a m b i é n p a s a p o r e s t e punto d e c o r t e y e s fácil v e r p o r i g u a l d a d d e t r i á n g u l o s que el eje e e s b i s e c t r i z d e l ángulo que f o r m a n r y r ' } una r e c t a r jle s e t r a n s f o r m a a p a r t i r d e la de fin.icíón (l) en r ' { e, h a c i e n d o el eje e el p a p e l de p a r a l e l a m e d i a de l a b a n d a d e p l a n o d e t e r m i n a d a p o r a m b a s r e c t a s r y r ' . F i j á n d o n o s en fig. 1-18* t e n e m o s B^-~

, ^~^~)

por ser

-171-

punto m e d i o del s e g m e n t o A A* , c o m o a d e m á s e s t á s o b r e el eje e , v e r i f i c a su e c u a c i ó n , e s d e c i r : x+x* A A

» i

y' -y

y p o r s e r AA J_ e:

Y S" • + c = 0

+ b

(2)

-x^ j —- x = —

p a r a c a l c u l a r x ' , y* de e s t e s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s , o p e r a m o s de la siguiente forma: x

-x

2=x

x' = x + \ a )

es decir

(3)

y* ~ y + ^b y l l e v a n d o e s t o s v a l o r e s a la p r i m e r a e c u a c i ó n de (2), e n c o n tramos: _ ax -f by + c ¿ *•" " 2 2 a + b que s u s t i t u i d a en (3), n o s d a : !

(b - a )x - 2aby - 2ac

x -

+ b. _ 2

(4)

/ -2abx+(a -b .) y - 2 be i y 2 , 2 a + b

que son l a s e c u a c i o n e s a n a l í t i c a s de l a s i m e t r í a a x i a l , en f o r ma matricial tendremos: 1

\y'i

i =

-2ac 2L2 a +b -2bc 2 , 2 a +b

0 2 2 b -a 2 2 a +b -2ab 2 , 2 a +b

-2ab 2 , 2 a +b a

-bi

2 , 2 a +b

(5)

-172. La s i m e t r í a axial es una t r a n s f o r m a c i ó n de igualdad i n v e r sa» pues p a r a r e a l i z a r l a hay que s a l i r s e del plano^ se puede r e a l i z a r de la m i s m a forma que p a s a m o s una hoja de un l i b r o . 3„ Producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes p e r p e n d i c u l a r e s . Si los ejes coordenados no son los de s i m e t r í a efectuamos un cambio de ejes de r e f e r e n c i a p a r a que lo sean; los ejes 0, e ^9 = y = 0 y por (5) de la e x y e 2 , s- e* r. á—n rpues — . ^eT -= ~x -~ ~, pregunta a n t e r i o r podemos e s c r i b i r 1 X

(

l 0 0

0 0 1

0 -1 0

0 0 0 1 0 0 0 -1

de donde ,"

/ 1

o\ o

o o

o -1

-1

0 0 Ij

1 0 0 0 -1 c 0 0 -1

\YÍ

i X

y comparándola con la forma m a t r i c í a l (2) de (18^,1) tenemos que e

=^0 e

o o-e

O sea, que el producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes pe£ p e n d i c u l a r e s , es una s i m e t r í a c e n t r a l de centro el punto de c o r t e de dichos ejes, 4„ Producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes p a r a l e l o s . - R a zonando de modo análogo al de la pregunta a n t e r i o r , elegi mos como ejes de s i m e t r í a s e, = x - c = 0. e 0 = x + c = 0# 1 2 ' las ecuaciones m a t r i c i a l e s de dichas s i m e t r í a s a x i a l e s , son: ' 1' 1 0 0] M 0 0 / 1 1 '1 » 1 3 x X + 2c -1 0 1 0 X -2c y x"

ly!

y"j

a s i pues: 1 ti

x y"|

1 0 0 - 2 c -1 0 0 0 1

1 2c

o o|

4c 0

1 0

0 1

'M X

-173-

que c o m p a r á n d o l a con l a f o r m a m a t r i c i a l (2) de (17&3 2) n o s d i ce que e, || e„ ==> a

111 2

° o

- T-*

s i e n d o u f - 4 c , 0)

O s e a : el producto' de d o s s i m e t r í a s a x i a l e s de e j e s l o s e y e e s una t r a s l a c i ó n de v e c t o r p e r p e n d i c u l a r (ya que x - c = 0 y x + c = 0 son p a r a l e l o s al eje OY y t o r d e t r a s l a c i ó n al p r o y e c t a r l o s o b r e dicho eje t i e n e n e n t e c e r o ) , s e n t i d o d e l e a l e y m ó d u l o el d o b l e d e cia entre dichos ejes.

parale a los ejes el v e c compo-la distan

Ejercicios resueltos: 19. C o n s t r u i r un t r i á n g u l o , c o n o c i e n d o d o s l a d o s a y b y l a m e d i a n a m r e l a t i v a al t e r c e r l a d o . F i g . %-lü*.

BZA'

C" FIG. 6 -AS£-

Solución: A p l i c a m o s una s i m e t r í a c e n t r a l de c e n t r o el punto m e d i o D del lado A B , l o s pun t o s A, B y C s e t r a n s f o r m a n en l o s A ' B* y C ; s e h a f o r m a d o el p a r a l e l o g r a m o A, C, B y C ' , p o r lo t a n t o , l o s l a d o s o p u e s t o s son i g u a l e s y e n el t r i á n g u l o ACC 1 s e c o n o c e n l o s t r e s l a d o s que son a, b y 2 m „

L a c o n s t r u c c i ó n que pide el p r o b l e m a d e s p u é s de lo dicho a n t e r i o r m e n t e s e h a r á de la s i g u i e n t e f o r m a : Se c o n s t r u y e el t r i ángulo ACC* , s e t o m a el punto m e d i o D del lado C C ' , s e une con A y se l l e v a DB = DA que ya s e c o n o c e , s e une B con C y t e n e m o s c o n s t r u i d o el t r i á n g u l o ABC» 29. D a d o s d o s p u n t o s A y B , s i t u a d o s en un m i s m o s e m i p l a n o r e s p e c t o a l a recta, r , e n c o n t r a r s o b r e e s t a un punto C t a l , que l a s s e m i r r e c t a s de o r i g e n C que c o n t i e n e n A y B for m e n á n g u l o s i g u a l e s con l a r e c t a r . F i g . 7-18^. Solución: B a s t a p a r a ello h a l l a r el s i m é t r i c o d e l punto A r e s - -

174pecto a la r e c t a r , sea este A' t r a z a m o s la r e c t a definida por A' y B esta corta a la r e c t a r en el punto C que b u s c á b a m o s , en efecto:

A' • \

^£ N s£?

Los ángulos a y a ' son iguales por s i m e t r í a , el ángulo a' y (3 por opuestos por el v é r t i c e , luego a y ¡3 iguales como nos pro poníamos d e m o s t r a r .

FIG.7-18*

Este problema se podría haber enunciado de l a s siguientes formas: a) Encontrar el punto donde tiene que incidir un rayo lumino so, sobre un espejo plano» p a r a que pasando por A lo h a g a t a m bien por B„ (Operamos en el plano perpendicular al plano del espejo, que contiene a los puntos A y B). b) E n c o n t r a r el camino mínimo que nos p e r m i t e p a s a r de A a B , mediante una quebrada de v é r t i c e en r. l a quebrada mínima s e r á ia definida por los segmentos AC y CB, pues cualquier otra por ejemplo, la ADB es m a y o r , ya que su longitud es la m i s m a que la de la quebrada A* DB pues AD ~ A ' D por sirnetría 6 y ésta supera a¡ segmento A' B „ que tiene igual longitud que AC f CB, 29) Simétrico del punto A(l, 2) respecto a la r e c t a 2x-ry-3=0„ Aplicando las formulas de la ¡simetría axial, t e n e m o s :

32) Ecuación de la circunferencia s i m é t r i c a de la 2 x

2 -fy

- 4x - 6y + 4 = 0

r e s p e c t o al punto 0(-l, 3); aplicando las fórmulas r e l a t i v a s a la simetría central, tenemos: x = - 2 - x* ,

y = 6 - y*

sustituyendo estos v a l o r e s en la ecuación de la circunferencia

-175-

dada tenemos, después de operar: x2 + y 2 + 8x - 6y + 16 = 0 esta ecuación sale con x* e y ' p e r o nosotros la damos en x e y porque la circunferencia nueva está referida a los m i s m o s ejes que la p r i m e r a , y solamente como notación a los puntos de la t r a n s f o r m a d a les llamábamos con x J e y' . EJERCICIOS 1. Dada la ecuación: 7x - 15y = 82 (l) se pide: a) hallar las soluciones e n t e r a s y positivas de la ecuación a n t e r i o r ; b) Calcul a r las coordenadas del punto s i m é t r i c o del P ( 2 , 3) en la si m e t r i a cuyo eje es la r e c t a (1). (E. P . ). 2. Se e s c r i b e n los n ú m e r o s n a t u r a l e s en la forma indicada el siguiente cuadro: 1

2 3 4 3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10 Se pide: a) D e m o s t r a r que l a s s u m a s de los n ú m e r o s que figu r a n en una m i s m a horizontal del cuadro, es un cuadrado perfec to. - b) Calcular l a s coordenadas del punto de la r e c t a r:3x-5y= = 5 en el que incide un rayo luminoso, que partiendo del punto .A(1,2) y reflejándose en la r e c t a r pasa después de reflejado por B(3,4). (E. P . ). 3. Sea A el afijo de 3+i en el plano de los n ú m e r o s complejos, Se pide: a) El numero complejo cuyo afijo es el punto B, s i m é t r i c o de A r e s p e c t o de la b i s e c t r i z del p r i m e r cuadrante, b) Hallar el numero complejo y su afijo C de la suma del numero complejo 3+i y el numero complejo de afijo B. c)Vo lumen del cuerpo engendrado al g i r a r 360° el triángulo OAB alrededor de O C 2 2 . 2 2 4. Dadas l a s c i r c u n f e r e n c i a s x +y -8y+12 = 0 y (x-6) +y = 8 , hallar g r á f i c a m e n t e , por el método de las s i m e t r í a s , los segmentos cuyos e x t r e m o s estén cada uno en una de ellas y,

-176-

siendo perpendicular a y = x, tengan su punto medio en esta r e c t a . Obtener la ecuación de la r e c t a sobre la cual se halla uno de estos segmentos. (E„ P . }4 5S ¿A quien es igual el producto de dos s i m e t r í a s c e n t r a l e s ? ¿Y el producto de una s i m e t r í a c e n t r a l por una axial? ¿Es conmutativo este ultimo producto? -o-

-177-

LECCION 19 GIROS EN EL PLANO -o-

. , 2 1. Giro en el plano. - Es una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva G a (0):R-* -•R^ tal que dado un punto 0 fijo del plano, cualquier otro punto A se t r a n s f o r m a en otro A' , de modo que O A' = O A transformándose el semiplano re en el n *. El ángulo a, que de_ finen las s e m i r r e c t a s de origen 0 que contienen a A y A" se llama ángulo de giro, Fig. 1-19-, Esta t r a n s f o r m a c i ó n de igualdad es d i r e c t a .

FIG.

1-19^

Puntos dobles: Si el ángulo de giro es nulo todos los puntos del plano son dobles, tenemos la identidad. En caso c o n t r a r i o , no hay puntos dobles a excepción del 0„ Rectas dobles: En el p r i m e r caso a n t e r i o r todas son dobles, en el segundo ninguna. T r a n s f o r m a d a de una r e c t a en g e n e r a l : La t r a n s f o r m a d a de una r e c t a que pasa por 0, por la definición, es o t r a r e c t a que t a m bién pasa por el; en general p a r a hallar la t r a n s f o r m a d a de una r e c t a , Fig„ 1-19-, se t r a z a por Q la perpendicular a esta r e c t a ,

-178-

s e a A el píe de d i c h a p e r p e n d i c u l a r , a p l i c a n d o el g i r o a e s t a s dos r e c t a s , la s e m i r r e c t a de o r i g e n 0 que c o n t i e n e A, se t r a n s f o r m a en l a s e m i r r e c t a de o r i g e n 0 que c o n t i e n e As , c o m o r ' ha de s e r p e r p e n d i c u l a r a e s t a u l t i m a s e m i r r e c t a p o r el punto A' l a p o d e m o s t r a z a r . C o m o OA = OA* r e s u l t a q u e 0 e s t á e n l a b i s e c t r i z d e l á n g u l o P o s e a en la b i s e c t r i z de l o s á n g u l o s defin i d o s p o r r y r' d o n d e c o n c u r r e n s e m i p l a n o s h o m ó l o g o s e n e l g i r o . El c e n t r o de giro por la definición e s t á en la m e d i a t r i z del s e g m e n t o definido por dos puntos h o m ó l o g o s . El c u a d r i l á t e r o O A A ' B t i e n e d o s á n g u l o s r e c t o s p o r lo t a n t o a+$= 180° y ? c o m o a ' + J3 = 180° r e s u l t a a = ce, e s d e c i r , " E l á n g u l o q u e for_ m a n l a s r e c t a s r y r ' h o m o l o g a s en un g i r o , e s i g u a l al á n g u l o de g i r o " . 2„ G r u p o d e l o s g i r o s c o n el m i s m o c e n t r o . - E l c o n j u n t o | Q , G« , Gy . „ A d e l o s g i r o s c o n e l m i s m o c e n t r o 0 f o r m a n u n g r u p o , r e s p e c t o a l a o p e r a c i ó n (o) p u e s s e v e r i f i c a n l a s t r e s propiedades: I. E l p r o d u c t o d e d o s g i r o s G^ o Gn-con e l m i s m o c e n B t r o s es o t r o g i r o G Q con dicho centro, Fig, 2-19-, II. E x i s t e n c i a d e l g i r o u n i d a d , E x i s t e un g i r o GQ t a l , q u e al m u l t i p l i c a r l o p o r o t r o cualquiera G^se verifica: o 1

FIG. 2-19 -

G/y° G -G =G = G a o a-fo o+a a

III. E x i s t e n c i a de g i r o i n v e r s o o Dado un g i r o G a e x i s t e o t r o G tal que:

o G a = Gao G

= G

Aí

,: G, v - G^ {- a)+ a o

E n e f e c t o : b a s t a c a m b i a r e l s e n t i d o a l á n g u l o d e Ga p a r a e n c o n tt r a r e l g i r o G ¿ , m a n t e n i e n d o e l m i s m o <c e n t r o . C o m o ade> mas cumple la propiedad:

-179d) Conmutativa: G

P° «V 0 * 0

G G

f a+f%a

pues la suma de ángulos tiene la propiedad conmutativa, r e s u l ta que el grupo de los giros con el m i s m o centro es abeliano. 3„ Determinación del centro de g i r o . .1. Dados los puntos A y B y sus homólogos en un giro A'y B', p a r a hallar el centro del giro basta t r a z a r las m e d i a t r í ees de los segmentos A A* y B B ' y el punto de corte es el ce ntro buscado., II. Dados los puntos A y A ' homólogos en un giro, al igual que r y r ' junto con los semipianos que se c o r r e s p o n d e n , p a r a hallar el centro del giro basta t r a z a r la m e d i a t r i z del segmento AA' y la b i s e c t r i z de los ángulos definidos por r y su homologa r ' , donde c o n c u r r e n los semipianos homólogos. III, Dada la r e c t a r y su homologa r ' en un g i r o , al igual que s y s' ; p a r a hallar el centro de giro t e n d r e m o s que cono c e r los semipianos homólogos tanto en el p r i m e r p a r como en eí segundo, entonces b a s t a t r a z a r las b i s e c t r i c e s c o r r e s p o n d i e n t e s a los ángulos donde c o n c u r r e n dichos semipianos, y donde e s t a s se corten es el centro de giro que b u s c a m o s . 4. Relación de unos movimientos con o t r o s . L "El produ.cto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes c o n c u r r e n t e s , es un giro de centro el punto de corte de los e j e s , de ángulo de giro el doble que el que definen los e j e s , y sentido del p r i m e r eje al segundo 1 '. En efecto, en la fig. 3-19-, hemos aplicado dos s i m e t r í a s axiales p r i m e r o la de eje e^, que nos pasa de A a A' , y d e s pués la s i m e t r í a de eje e2¡ que t r a n s f o r m a A' en A", P a r a d e m o s t r a r que el producto, o resultado de aplicar e s tas dos s i m e t r í a s axiales es un giro nos b a s t a con d e m o s t r a r que ¥ A: OA ~ OAM .

-180-

0 FIG.3- }9*

La igualdad a n t e r i o r es c i e r t a pues 0A = OA y 0A' = 0A"por las s i m e t r í a s a x i a l e s , en consecuencias OA = OA", Como los ángulosay a* al igual, que los (3 y {3* son iguales, r e sulta que el ángulo de giro es el doble que el que forman los ejes de s i m e t r í a . El sentido, fig. 3-19-* se ve que es el que va del p r i m e r eje e al segundo e~. II. El producto de dos g i r o s Ga (ángulo de giro oí sentido cont r a r i o al de las agujas del r e l o j , es d e c i r , d i r e c t o y centro 0 ) y Gj3 (ángulo de giro (3 sentido d i r e c t o , y centro Oj no cumple la propiedad conmutativa, y en ambos c a s o s , es d e c i r , dependiente del orden del producto da otro giro. En efecto, fig„ 4-19-, efectuemos el producto de Ga o G a para ello y apoyándonos en la propiedad anterior descompone- m o s el giro Ga, en el producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes e, y el 0 0 en este orden, este giro nos pasa de A a A" por intermedio de A*; el giro Gn se descompone en el producto de s i m e t r í a s de ejes 0 0 y e en es£e orden, nos pasa este gi ro de A" a A11' por intermedio de A ' . En r e s u m e n , el producto de estos dos g i r o s G^o G a nos pasa de A a A'"-, pero si nos fijamos este producto equivale al de l a s s i m e t r í a s axiales de

-181de ejes e y e y por lo visto a n t e s , este producto es un giro de centro 0 punto de c o r t e de ambos e j e s , y ángulo doble del ángulo que forman ambos e j e s , el sentido es del e. al e_.

F/G.4-19*

El producto Ga o Ga lo efectuamos de forma análoga pero con los ejes e~ y 0 0 p a r a el giro de centro 0 ? , y los ejes 0 0 y e . p a r a el giro de centro 0 tenemos que este nuevo producto, equivale al producto de las s i m e t r í a s axiales de ejes e y e . , por lo tanto es el giro de centro 0 ángulo dos v e c e s Y Y sentido de e., e e.. En uno de los p r o b l e m a s r e s u e l t o s v e r e m o s que el producto de dos giros de distintos c e n t r o s , no s i e m p r e es otro giro sino que puede d a r una t r a s l a c i ó n . P o r lo visto antes tenemos que los giros con distinto centro no forman grupo. 5, Ecuación analítica del giro en el plano. - En la fig. 5-19^, sea 0(a 3 b) el centro de g i r o , un punto A(x,y) se t r a n s f o r m a

-182-

en el A ' ( x ' , y ' ) el ángulo d e g i r o e s a y su s e n t i d o d i r e c t o , En el t r i á n g u l o OAB, t e n e m o s : AB = y - b ,

OB = x - a A' (x',y)

F/G.5-19% en el t r i á n g u l o OA' C

y son:

A ' C = y' - b,

OC = x * - a

en el p r i m e r t r i á n g u l o AB = OA senco OB = OA coso) en el segundo A ' C = OA* sen(a+(A>) ~ OA'senoícos<Jü + OA' c o s a s e n o o OC = OA'cos(a+<o) = OA'cosacosw - O A ' s e n a s e n w Sabiendo que OA' = OA y s u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s (1) en (2 t e n e m o s , las siguientes ecuaciones analíticas del giro. >

y -

a = ( x - a ) c o s a - (y-b) s e n a b = ( x - a ) sen&f (y-b) c o s a

-183y por lo tanto en forma m a t r i c i a l s e r á n :

a(l~cos a)+b sena

cosa

-sena

b ( l - c o s a ) - a sena

sena

cosa

/l \ x y¡

Ejercicios resueltos. 19. D e m o s t r a r que el producto de dos giros de distintos c e n t r o s y sentidos, y ángulos iguales, es una t r a s l a c i ó n . Si el ángulo de giro es de 60° y la distancia de los centros de 4 c m , c a l c u l a r la amplitud de la t r a s l a c i ó n producto. Figur a 6-19^.

FIG.6-19?-

C o n s i d e r e m o s los giros Ga y G a de c e n t r o s , 0 y 0 el p r i m e r giro suponemos que es de amplitud a al igual que el del segundo, sentidos directo el p r i m e r o e inverso el segundo. Bajo este supuesto podemos efectuar el p r i m e r giro como producto de l a s s i m e t r í a s axiales de ejes eT y 0 0- en este orden y el segundo gi ro lo descomponemos en las s i m e t r í a s de ejes 0 0 y e„ en es te orden, v e m o s que el p r i m e r giro nos pasa de A a A " p o r int e r m e d i o del A*; el segundo nos p a s a de A" a A"' por i n t e r m e dio también de A' . Este movimiento se podía h a b e r hecho m e -

-184el producto de las dos s i m e t r í a s axiales de ejes e, y e2¡ y c o mo estos son p a r a l e l o s r e s u l t a una t r a s l a c i ó n según se demos tro en (18^,4), Como sabemos por (18§, 4) el modulo del vector t r a s l a c i ó n es doble que la separación de los ejes de simetría» tenemos que es el doble de O ? B calculando este valor en el triangulo OCLB en el c a s o a r 60°, t e n e m o s : módulo del vector de t r a s l a c i ó n = 2- 0 ? B = 2 0,0^° sen 30° = 4 t 22) Hallar la eciiación de la curva t r a n s f o r m a d a de la hipérbola equilátera x° y = 6, mediante el giro de centro 0(1,1) angu lo de giro de 90° y sentido d i r e c t o . De las ecuaciones analíticas (3), tenemos: y - b = -(x J -a) sena+ (y* -b) cosee x - a = (x' -a) c o s a + (y* -b) sena donde hemos cambiado a por -a ya que los g i r o s que nos pasan de A a A ' y de A' a A solo se distinguen en el sentido del angu lo, sustituyendo a = 1, b = 1 y a = 90°, t e n e m o s : 2

- x x =y llevando estos v a l o r e s a la ecuación de la curva dada, encont r a m o s la ecuación de la curva t r a n s f o r m a d a , que e s : xy - 2y + 6 = 0 f

EJERCICIOS 1. Dos r e c t a s a y b se cortan formando un ángulo de 90°. Tomando las r e c t a s a y b como ejes de a b s c i s a s y o r d e n a d a s , r e s p e c t i v a m e n t e , se considera el punto P que¿ en este s i s t e m a , tiene por coordenadas ( 4 , - 3 ) . Se pide: a) si S a y Sv son las s i m e t r í a s r e s p e c t o de a y b r e s p e c t i v a m e n t e , cal cular las coordenadas del punto P " transformado del punto P en el movimiento producto de la s i m e t r í a S a por la simet r í a S-fo, b) Calcular el ángulo del giro equivalente al produc to de S a por S^. c) Si P ' es el s i m é t r i c o de P r e s p e c t o de

-185S a , calcular el volumen del cuerpo de rotación obtenido al gir a r el triangulo P P ' P " a l r e d e d o r de la r e c t a a un ángulo de 360° (E. P . ). 2. A un triangulo equilátero ABC se le aplica una rotación de centro A y amplitud 90°, en sentido positivo, Se pide; ,a)Des componer dicha rotación en producto de dos s i m e t r í a s , sien do el eje de la p r i m e r a la altura del triángulo relativa al l a do BC. b) Designando por e la longitud del lado del triángulo y por B* y C' los puntos r e s p e c t i v a m e n t e homólogos de los v é r t i c e s B y C, en el giro; calcular el á r e a del trapecio BCC B „ ( E . P . ) , 2 3. Dada la parábola y = 4x y su homologa en el giro de centro el origen de coordenadas y amplitud 90°, c a l c u l a r el á r e a comprendida entre a m b a s , (E. P 3 ). 4. C o n s t r u i r un triángulo equilátero que tenga un v é r t i c e en el origen de c o o r d e n a d a s , otro en la r e c t a y = 4 y el t e r c e r o en la circunferencia de ecuación (x+3) -I- ( y - 4 ) ¿ = 9* (E. P . ). 5. Un movimiento inverso del plano, hace c o r r e s p o n d e r a l a s e m i r r e c t a de origen A(l, 0), situada en el eje de a b s c i s a s y d e sentido positivo, la s e m i r r e c t a de origen A' (2, 2) situada en la b i s e c t r i z del p r i m e r y t e r c e r cuadrante y toda ella en el p r i m e r c u a d r a n t e . Se pide: a) Hallar una s i m e t r í a axial y un giro, de cuyo producto r e s u l t e el movimiento dado, b) Hallar una t r a s l a c i ó n y una s i m e t r í a axial, que al multiplic a r l a s nos den dicho movimiento, c) Hallar en el movimiento dado la circunferencia homologa de la que tiene por cen tro el punto B(3, -1) y de radio 2. (E. P„ ). 6. Sea una circunferencia de centro C(0, 2) y radio 3. 19) D e t e r m i n a r {analítica o gráficamente) el centro de giro igual al producto de dos s i m e t r í a s axiales que t r a n s f o r m e n C(0, 2) en C* (5, 0) y este en C"(5, -3). 29) D e t e r m i n a r la c i r cunferencia t r a n s f o r m a d a de la p r i m e r a en e s t e g i r o . 7. ¿Que t r a n s f o r m a c i ó n de igualdad obtenemos al multiplicar una t r a s l a c i ó n por un giro? ¿Es conmutativo este producto? -o-

-186-

LECCION 20 RAZÓN SIMPLE DE TRES PUNTOS -o-

1. R a z ó n s i m p l e de t r e s p u n t o s . - D a d o s t r e s p u n t o s -A, B , C so b r e u n a r e c t a o r i e n t a d a , s e l l a m a r a z ó n s i m p l e de e s t o s t r e s p u n t o s y s e e s c r i b e en l a f o r m a (ABC) a l c o c i e n t e : AS AC e s t e v a l o r e s i n d e p e n d i e n t e d e la unidad que s e e l i j a , y sentido.

del

C a m b i a n d o el o r d e n d e l a s l e t r a s s e o b t i e n e n en t o t a l s e i s r a z o n e s s i m p l e s ; v a m o s a c a l c u l a r c i n c o de e l l a s en función de l a r e s t a n t e , s u p o n g a m o s que é s t a e s (ABC) = y, t e n e m o s : (ACB) - ¿

(BAC) -

B C

BA+AC

AC ~

i -y_i

F i j á n d o n o s que al c a m b i a r e n (ABC) l a s d o s u l t i m a s nos ha dado su i n v e r s a , t e n e m o s que: (BCA) = X J L Í y

= 1

letras

_I y

P o r cumplir la m i s m a propiedad, r e s p e c t o a la a n t e r i o r cal culada. L a (ACB) y l a (BCA) t i e n e n la p r i m e r a y u l t i m a l e t r a s c a m b i a d a s , y una e s igual a l a unidad m e n o s l a o t r a ; c o m o e s t o ult i m o p a s a con l a (CAB) y (BAC), t e n e m o s : (CAB)

=~— 1-y

p o r ú l t i m o , c o m o la (CBA) y l a (ABC) t i e n e n la p r i m e r a y última cambiadas, tenemos: (CBA) = 1 - y

-187Dados: A (a) y B(b) solamente hay un punto al que c o r r e s p o n da una razón simple (X.AB) - y conocida, en efecto, tenernos por definición

y - (X.AB) * XB £ £ =bJ^H? - x

(1)

de donde x

=•

a cada valor de y c o r r e s p o n d e , por lo tanto, uno solo de x s de la igualdad (l), vemos que a cada valor de x¡, le c o r r e s p o n d e uno solo de y; debido a esta correspondencia biunívoca, dados A(a) y B (b) p a r a d e t e r m i n a r la posición de un punto X se pue de dar su a b s c i s a x, o bien el valor y de la razón simple (XAB) llamada coordenada b a r i c e n t r i c a , Z„ Representación gráfica de la razón simple. - P a r a ver la va riacion de la razón simple, vamos a hallar la r e p r e s e n t a cion gráfica de (1) de la pregunta anterior„ a - x Y ~ b - x C o r t e s con los ejes: Fig. 1 -20 a

FIG.1-20±

-188ja

x = O,

y = — <1

y - 0,

x =a

pues a < b

Asíntotas p a r a l e l a s a los e j e s : para

x -»c«

y =1

y -»oo

x =b

Asíntotas g e n e r a l e s :

y = mx +

m = lim

-1- =

X -* oo

lim X*-*co

=0 bx-

luego no hay. Crecimiento y d e c r e c i m i e n t o (máximos y mínimos): y

~ < o

ya que

a < b

(b-x) por lo tanto, la función es s i e m p r e d e c r e c i e n t e y no hay m á x i mos ni m í n i m o s . 3» La razón simple es un invariante en una proyección, solamente si esta es p a r a l e l a , - Vamos a d e m o s t r a r que (ABC) = = ( A ' B ' C ) solamente cuando r y s s fig, 2-20§, son p a r a l e l a s . En efecto: Á r e a triángulo "

PAB = - P A . P B s e n a = - A B . h PAC = | P A . P C senp= j AC,h

dividiendo m i e m b r o a m i e m b r o , t e n e m o s : B ¡AT>r>\ P ^ * sena ( A B C ) =-^ -^ = — —

haciendo lo m i s m o en los triángulos P A ' B * y P A ' C ' encontramos: / A »ts» r *\ A ' B > PB* sena A C PC senp entonces,

-189-

,BC) = ( A ! B ' C )

PR =^-||

PR' |H.

F/G, 2-ZO'

y como el ángulo en P es igual p a r a los triángulos PBC yPB'C* estos son s e m e j a n t e s , e s decir., los ángulos en B y C iguales r e s p e c t i v a m e n t e a los ángulos B* y C ' , lo que nos indica que las r e c t a s r y s son p a r a l e l a s , 4. Razón doble de cuatro puntos, Cuaterna a r m ó n i c a . - Dados cuatro puntos A5 B , C y D sobre una r e c t a orientada, se llama razón doble de estos cuatro puntos, y e s c r i b i m o s (ABCD) al siguiente cociente: fABCD) { A C D ) V xi^u) - ( B C D )

AC AD

• £ C _ AC-BD "BD~AD.BC

La razón doble es un invariante en una proyección cualquier a , según puede d e m o s t r a r como ejercicio el alumno razonají do de forma análoga a la que hemos seguido en la pregunta an t e r i o r con la razón simple de t r e s puntos. Si la ra?;ón doble (ABCD) = -1 se le llama cuaterna a r m ó n i ca., y decimos que los puntos C y D están s e p a r a d o s a r m ó n i c a mente por los puntos A y B„ Ejercicio r e s u e l t o : 19} Hallar las ecuaciones p a r a m é t r i c a s de una r e c t a definida por los puntos A(x »y ) y B(x , y ) fig, 3-2Q§, con p a r a m e -

-190-

t r o x l a r a z ó n s i m p l e (XAB) c a m b i a d a d e s i g n o .

(*i < yJ

A p l i c a c i ó n de e s t a e c u a c i ó n p a r a m e t r i c a p a r a c a l c u l a r las c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o de un t r i á n g u l o c o n o c i d a s l a s c o o r d e n a d a s de s u s v é r t i c e s . Solución, t e n e m o s : (XAB) * £ £ • = - A XB p o r el t e o r e m a de T h a l e s x

XA XB y por tanto,

operando

x o

A -

x 4- A.xn o 1 x =• 1 + A.

I (1)

t e n e m o s p o r el m i s m o t e o r e m a a n t e r i o r X A y - y XA L

XB de d o n d e ,

de aquí y j - y

= - X

-191-

(2)

l a s e c u a c i o n e s (1) y (2) f o r m a n lo que s e l l a m a e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s de l a r e c t a . C o o r d e n a d a s del b a r i c e n t r o c o m o a p l i c a c i ó n de l a s f ó r m u l a s (1) y (2), Sea el t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s son A(x , y ), B(x , y A C ( x ? # y ? ) , El punto m e d i o M ( m , m ) d e l s e g m e n t o BC define con el punto A una r e c t a cuya e c u a c i ó n p a r a r n e t r i e a e s :

x + A.m o o " 1+K

y +Am. 3

' y =

como X

m = o

2 3

m,=

1 + A.

(3)

V" Y2 2

Si G e s el b a r i c e n t r o t e n e m o s : « A~ (GAM) =

GA _ - 2, GM =

luego A. = 2 s u s t i t u i d o s t o d o s e s t o s v a l o r e e en (3) e n c o n t r a m o s l a s c o o r d e n a d a s del b a r i c e n t r o que son: x + x, + x„ y + y, + y„ J 7 o 1 2 ' o l 2 y X = = EJERCICIOS 1, A p l i c a n d o l a s e c u a c i o n e s p a r a m e t r i c a s de l a r e c t a , h a l l a r l o s p u n t o s de t a n g e n c i a de l a s t a n g e n t e s t r a z a d a s d e s d e el punto ( 0 , - 2 ) , a l a p a r á b o l a y = 2x2, 2, H a l l a r el conjugado a r m ó n i c o d e l punto C ( 3 Í 0 ) Í r e s p e c t o p a r A(1,0), B ( 5 , 0 ) .

3, D e m o s t r a r que (CAB) = (DBA) ==*• OC = - OD s i e n d o O punto m e d i o de Á B ,

-o-

-192-

LECCION 21 TEOREMAS DE MENELAO Y CEVA • o-

1. T e o r e m a d e M e n e l a o , - Dado el t r i á n g u l o A B C , fig. 1-215 y l a r e c t a r que c o r t a a l o s l a d o s , a, b y c , o a s u s p r o l o n g a - ' c i o n e s en l o s p u n t o s E , F , D, r e s p e c t i v a m e n t e , s e v e r i f i c a : ( E B C ) • ( F C A ) . (DAB) = 1 e n e f e c t o , t r a c e m o s p o r C una p a r a l e l a al l a d o c d e l t r i á n g u l o d a d o , que c o r t a a r en el punto G„ De l a s e m e j a n z a

d e l o s t r i á n g u l o s F C G y FAD F C _ CG FA ~ AD De la s e m e j a n z a de l o s ECG y EDB EB _ DB EC " CG multiplicando m i e m b r o a miembro las dos ultimas igualdades, encontramos :

FC FA

EB EC

DB AD

de aquí:

FC FA

EB EC

AD DB

el p r i m e r m i e m b r o , sin t e n e r en c u e n t a el signo e s (EBC) * ( F C A ) - ( D A B ) p o r lo tanto el v a l o r del p r o d u c t o de e s t a s t r e s r a z o n e s s i m p l e s en v a l o r a b s o l u t o e s la u n i d a d , n o s b a s t a p a r a d e m o s t r a r el t e o r e m a de M e n e l a o e s t u d i a r el signo d e l p r o d u c t o de e s t a s t r e s r a z o n e s s i m p l e s , en l a fig. 1-21§, t e n e m o s : (EBC) < 0, (FCA) > 0, (DAB) < 0

-193por lo tanto e s positivo e igual a (+1). Hay que t e n e r en cuenta que tina razón simple, cuya p r i m e r a l e t r a e s t á e n t r e l a s o t r a s dos, es negativa pues en el cociente que la r e p r e s e n t a el n u m e r a d o r tiene distinto sentido (signo) que el denominador. 2. Recíproco del t e o r e m a de Menelao, - Si t r e s puntos E* F* , D' e s t á n r e s p e c t i v a m e n t e sobre los lados a, b , c o sus prolongaciones y verifican la relación: ( E ' B C ) • ( F ' C A ) • (D'AB) - 1

(1)

v a m o s a d e m o s t r a r que están alineados; en efecto, c o n s i d e r e m o s la r e c t a definida por E* y F ' , esta r e c t a c o r t a r á al lado c en un punto D , podemos e s c r i b i r por el t e o r e m a de Menelao : (E' BC) • ( F ' CA) . (DAB) = 1

(2)

de (1) y (2) s a c a m o s : (D'AB) = (DAB) y como hemos d e m o s t r a d o en (20§r,l), que dados dos puntos A y B a cada valor de ia razón simple c o r r e s p o n d e un solo punto, tenemos: D' = D con lo que queda d e m o s t r a d o el r e c í p r o c o del t e o r e m a de Mene lao. 3„ T e o r e m a de Ceva, - Dado el triángulo ABC, fig, 2-21§ y un punto P , l a s r e c t a s PA, P 3 y PC cortan a los lados a , b y c o a sus prolongaciones r e s p e c t i v a m e n t e en los puntos E, D y F que cumplen la siguiente relación: (DCA) • (FAB) • (EBC) = - 1 en efecto, apliquemos al triangulo AFC cortado por BP el t e o r e m a de Menelao, t e n e m o s : (DCA)* ( B A F ) . (PFC) = 1

(1)

hagamos lo m i s m o con el triángulo BFC cortado por A P , tenemos:

194-

(EBC) « (PCF)-(AFB)=1

(2)

multiplicando m i e m b r o a. m i e m b r o (1) y (2), teniendo en cuenta que (PCF)- (PFC) = 1 p o r ser una la i n v e r s a de la o t r a , y que (BAF)« (AFB) = - (FAB) e n c o n t r a m o s ; (DCA)(FAB)(EBC) = - 1 4. Recrproco del teorema, de Ceya. - Sí t r e s puntos E*, D* , F* .t situados r e s p e c t i v a m e n t e en los lados a, b , c, o en sus p r o longaciones. de un triángulo ABC, verifican la condición : (D'CA)'(F'ABHE'BC)í-l

(3)

tenemos que las r e c t a s E ' A , D ' B , F ' C se cortan en un punto. En efecto, t r a c e m o s las r e c t a s BD' y CF* que se c o r t a n en un punto, unimos este nuevo punto con A y donde c o r t e la r e c t a ésta a la r e c t a a le l l a m a m o s E , por el t e o r e m a de Ceva : (D*CA)-(F'AB)-(EBC)= -1

(4)

comparando (3) y (4) tenemos E ' - E con lo que queda d e m o s t r a do el r e c i p r o c o del t e o r e m a de Ceva, Ejercicio r e s u e l t o . D e m o s t r a r , aplicando el r e c í p r o c o del t e o r e m a de Ceva, que las b i s e c t r i c e s i n t e r i o r e s de los ángulos A, B y C de un t r i á n gulo, fig. 3-21^, c o n c u r r e n en un punto (incentro),

-195P o r el t e o r e m a de la b i s e c t r i z in t e r i o r , podemos e s c r i b i r l a s t r e s siguientes igualdades:

<VaBC> = " F (V b CA) = - 5 (V AB) - - c a y multiplicando m i e m b r o a m i e m b r o e s t a s igualdades, t e n e mos: (V BC)(V, CA)(V AB) = - 1 a b ' c y por el r e c í p r o c o del t e o r e m a de Ceva, queda d e m o s t r a d a la proposición, EJERCICIOS 1. D e m o s t r a r que si t r e s puntos E , D , F situados r e s p e c t i v a mente sobre los lados a , b , c o sus prolongaciones, de u n t r i ángulo ABC están alineados, también lo están sus s i m e t r i eos E ' D ' F S r e s p e c t o a los puntos medios de l o s lados a , b , c de dicho triangulo r e s p e c t i v a m e n t e . ¿Si se c o r t a n en un punto las r e c t a s AE,-BD y C F ; s e r á n c o n c u r r e n t e s también l a s r e c t a s AE ? BD* y CF* ?

2. D e m o s t r a r , aplicando el t e o r e m a de Ceva, que las b i s e c t r i ees e x t e r i o r e s de los ángulos A y B de un triángulo, concur r e n en un punto (exincentro), con la b i s e c t r i z i n t e r i o r del ángulo C -o-

-19 6-

LECCION 22 HOMOTECIA EN EL PLANO •o-

1, H o m o t e c i a en el p l a n o , - E s una t r a n s f o r m a c i ó n b i y e c t i v a 2 2 H(0,K) : R - R t a l que dado un punto 0 fijo d e l p l a n o , fig. l - 2 2 § , c u a l q u i e r o t r o punto A, se t r a n s f o r m a en o t r o A ' a l i n e a d o con 0 y A de m o d o que:

s i e n d o K un n u m e r o d i s t i n t o de c e r o l l a m a d o r a z ó n de h o m o t e cia,, P a r a K p o s i t i v o l o s p u n t o s A y A* e s t á n en una m i s m a s e m i r r e c t a de o r i g e n 0, s i K e s n e g a t i v o s e e n c u e n t r a n en d i s t i n t a s s e m i r r e c t a s r e s p e c t o a 0. P a r a K = 1 t e n e m o s l a i d e n tidad, y p a r a K = - 1 la s i m e t r í a c e n t r a l . P u n t o s d o b l e s : Si K = 1 t o d o s son d o b l e s . Si K + l , el ú n i c o punto doble e s el 0, c e n t r o de homotecia. R e c t a s d o b l e s : Si K = 1 son t o d a s , y en c a s o c o n t r a r i o t o d a s l a s que p a s a n p o r el c e n t r o de h o m o t e c i a , p u e s si A e s un pun to de una de e l l a s s e t r a n s f o r m a en o t r o A ' a l i n e a d o con 0 y A y, p o r lo tanto de l a m i s m a recta.

FIG. 1-229-

T r a n s f o r m a d a de una r e c t a en g e n e r a l : Sea l a r e c t a definida p o r l o s p u n t o s A y B , V a m o s a v e r que su t r a n s f o r m a d a e s o t r a r e c t a y a d e m á s p a r a l e l a a e s t a . En e f e c t o : A y B se t r a n s f o r m a n en A ' y B ' . L a r e c t a r y r ' s o n p a r a l e l a s , p u e s :

9A1 - OB' OA

" OB

-197por ser ambos cocientes iguales a K. Además si transformamos C en Cl tenemos que r y r " son paralelas por lo mismo de antes y como r' y r " pasan ambas por A'y son paralelas a r tienen que coincidir» Luego el transformado de C estará en la recta paralela a r trazada por Af ; es decir todos los puntos transformados de una recta están sobre otra paralela a la primera. 2. Transformada de una circunferencia. - Sea la circunferen cia de centro 0 , fig. 2-22§; en la homotecia de centro 0 y razón K, dicho punto se transforma en 0' tal que:

FIG.2-22* Si A y B s e t r a n s f o r m a n e n A ' y B ' , t e n e m o s p o r h o m o t e c i a : 0A? 0A = K

0B* 0B = K

y p o r el t e o r e m a de T h a l e s , 0A' 0A p o r lo t a n t o

0' A* 1 =K 0 A 1

0^ B ' 0B* 0B " 0 B = K

O'A'

O'B'

0 A "

0 B

y como 0 A ~ 0B

(1)

-198-

resulta

O' A ' = 0 ' B ' 1 1 P o r lo tanto todos los puntos homólogos de los de la c i r c u n ferencia dada son puntos que equidistan de 0' transformado del 0 en dicha homotecia, es d e c i r , que la t r a n s f o r m a d a de una circunferencia, es o t r a circunferencia. " P o r la propiedad (l) tenemos que la razón entre dos s e g mentos homólogos en la homotecia es p r e c i s a m e n t e , la razón de homotecia". De aquí tenemos que si los polígonos de lados a , b , c , . , , , m y a* , bs t c* , . , . , m ' son homoteticos y los segmentos homólo gos r e s p e c t i v a m e n t e por el orden anterior^ se verifica?" T¿- - JL ~ JiL - £ -

- HL - a -Ib -fe -k..-fm

* •* '

_ Zp

a + b + c + 0„.+m

_ p___

es d e c i r , "La razón e n t r e los s e m í p e r í m e t r o s o p e r í m e t r o s de dos polígonos homoteticos es igual a la razón de homotecia",, Si hallamos el homologo del punto T en dicha homotecia, ten d r e m o s que e s t a r a en la circunferencia 0' , y como nada m á s puede tener un homologo T ' la r e c t a 0T s e r á también tangente a la circunferencia t r a n s f o r m a d a , en consecuencia "el cent r o 0 de homotecia d i r e c t a o positiva se obtiene como i n t e r s e c ción de las tangentes e x t e r i o r e s a a m b a s " ; como los r a d i o s son segmentos homólogos en esta homotecia, tenemos que la razón e n t r e los radios coincide con la razón de homotecia. Haciendo el m i s m o razonamiento con M y M' o b s e r v a m o s que e s t a s circunferencias se t r a n s f o r m a n una en o t r a mediante una homotecia de razón negativa exactamente - r J / r , según comprobamos a p a r t i r de la semejanza de los triángulos 0 MH y O'M'H, y de centro H punto de i n t e r s e c c i ó n de las tangentes i n t e r i o r e s ; a este punto se le l l a m a centro de homotecia inver sa o negativa. Cuaterna a r m ó n i c a definida por los puntos 0,H, 0 , 0' 00 H0 OH : 1

< W"-5o| Hof=f" - 7 - - -

tenemos,

-199-

3° Las homotecias con el m i s m o centro forman grupo. - El con junto H ( H , H 2 , H , , . , . ) de las homotecias del plano c o n el m i s m o centro forman grupo r e s p e c t o a la operación (o) ya que se cumplen las t r e s siguientes propiedades: L El producto de dos homotecias H,(0,K } y H (0,K ) con el m i s m o centro es otra homotecia H-(0,K K~ ) , Pues al aplicarle al punto A la p r i m e r a homotecia encont r a m o s el punto A' tal que

Si le aplicamos al punto A s la segunda homotecia, podemos escribir: f]A"

b a s t a p a r a d e m o s t r a r n u e s t r a proposición multiplicar m i e m b r o a m i e m b r o las igualdades (1) y (2), pues obtenemos:

= K1K2

luego podemos p a s a r d i r e c t a m e n t e del punto A al A" mediante la homotecia H (0,K K ). IL Existe la homotecia idéntica pues b a s t a que sea K = 1, es decir es la H(0,1), III. Existe la homotecia i n v e r s a de una dada: pues si consider a m o s la homotecia H(0,K) s existe su i n v e r s a H (0,K~*) ya que el producto de ambas da la t r a n s f o r m a c i ó n idéntica,, Como ademas cumple la propiedad: IV. Conmutativa: P u e s dadas las homotecias H (0„K ) y H„(0 S K ). v e m o s que H„o H = H o H¿, ya que el producto H^o H, hemos visto en I que es o t r a homotecia de centro 0 ¿ X y razón K K ? . En el segundo m i e m b r o o sea en el producto H o H ? p a s a m o s de A a A y de A a A por lo tanto,

-200-

= K. 2

de aquí s

K2Ij

(4)

es d e c i r , el producto de e s t a s dos h o m o t e c i a s , nos da también una homotecia de centro 0 y razón K K , comparando (3) y (4) tenemos que A" = A . 4. Producto de homotecias con distintos c e n t r o s . - En la figura 3-225 al aplicar la homotecia H, (01S,K-) el segmento AB se t r a n s f o r m a en el A' B ' y este mediante la homotecia H (0 , K ) en el segmento A n B M . Tenemos que por s e r el segmento AB y A ^ B " p a r a l e l o s al ^ ^ son p a r a l e l o s entre eu P o r lo tanto» al unir A con A " y B con B " si es 0, el punto de c o r t e de e s t a s dos r e c t a s se verifica: 0 3 A" =

0 B"

o¡i- = - = K 3

luego

el producto de dos homotecias de c e n t r o s distintos es o t r a h o motecia, de centro 0 y razón K.,; en el caso que las r e c t a s AAU y B B " sean p a r a l e l a s el producto de dos homotecias es una t r a s l a c i ó n , por lo que las homotecias con distinto centro no fo_r man grupo. Vamos a calcular K.. en función de K y K , P a r a ello, las dos p r i m e r a s homotecias e s c r i b i m o s : A'B* __ = K AB l

A"B" A*B*

por

• 2

y multiplicando m i e m b r o a m i e m b r o e s t a s dos igualdades, t e nemos: A ! Í B" "AB"" Kl K2 y como esta es la razón e n t r e dos segmentos homólogos en la

-201-

h o m o t e c í a r e s u l t a n t e , t e n e m o s K- = K , K ? , L o s c e n t r o s 0i»0_ y O3 e s t á n a l i n e a d o s , en e f e c t o : c o n s i d e r e m o s la t r a n s f o r m a d a de l a r e c t a 0 0 ? en el p r o d u c t o de l a s h o m o t e c i a s H ? o H . , en l a s d o s e s doble por pasar por ambos cen- t r o s , es d e c i r , se c o n s e r v a doble en e s t e p r o d u c t o que e s igual a la h o m o t e c i a H J 0 , , K ^ ) y en c o n s e c u e n c i a ha de p a s a r p o r su c e n t r o 0-,e

FIG. 3-22*

5. R e l a c i o n e n t r e l o s c e n t r o s de h o m o t e c i a de t r e s c i r c u n f e r e n D a d a s t r e s c i r c u n f e r e n c i a s 0 , 0 y 0 p o r c a d a dos cias, t e n e m o s un c e n t r o de h o m o t e c i a d i r e c t a o p o s i t i v a y o t r o de h o m o t e c i a i n v e r s a o n e g a t i v a , l o s c e n t r o s de h o m o t e c i a d i r e c t a e s t á n l o s t r e s a l i n e a d o s p o r lo a n t e r i o r m e n t e v i s t o , ya que el p r o d u c t o de l a s d o s p r i m e r a s da ía t e r c e r a . El p r o d u c to de d o s h o m o t e c i a s i n v e r s a s da una h o m o t e c i a d i r e c t a , p o r lo t a n t o , d o s c e n t r o s de h o m o t e c i a i n v e r s a , e s t á n a l i n e a d o s con el de h o m o t e c i a d i r e c t a c o r r e s p o n d i e n t e al t e r c e r c e n t r o de h o m o tecia inversa, 60 E c u a c i ó n a n a l í t i c a de la h o m o t e c i a , - Sea el c e n t r o de h o m o t e c i a P ( a , b ) , fig„ 4 - 2 2 5 , y l a r a z ó n de h o m o t e c i a K, el punto A(x,y) s e t r a n s f o r m a en A ' ( x ' , y ' ) ; si t r a z a r n o s p o r A, .A' y P p a r a l e l a s al eje de o r d e n a d a s y a d e m á s p o r P la p a r a l e l a al eje de a b s c i s a s , t e n e r n o s : PA? PA como

PB' PB

PB' =x' - a A'B' ~y' - b

A'B AB = K ; PB = x - a ; AB = y - b

de e s t a s i g u a l d a d e s y de (1) s a c a m o s :

= a + K (x - a)

X t

= b + K (y - b)

-202-

A ^

P(a,b)

J^^ ^1

i i

FIC,4-22^¿>. .

que son l a s e c u a c i o n e s a n a l í t i c a s de l a h o m o t e c i a . En f o r m a m a t r i c i a i s / 1 \ y"

tendremos: / 1 a(i-K)

0 K

0 \

\ b(l-K)

/ 1

Ejercicios resueltos: 12c D a d a s dos c i r c u n f e r e n c i a s s e c a n t e s 0 y 0 t r a z a r p o r uno de l o s p u n t o s de c o r t e A, una s e c a n t e t a l , que d e t e r m i n e c u e r d a s que una s e a el doble que la o t r a , (figo 5 - 2 2 5 ) ,

B a s t a p a r a ello a p l i c a r una h o m o t e c i a de c e n t r o A y r a z ó n - 2 , 6 + 2„ En la p r i m e r a h o m o t e c i a la c i r c u n f e r e n c i a 0 s e t r a n s f o r m a en C y e s t a c o r t a a l a 0 en un punto M ' t a i que al u n i r lo con A n o s d a una de l a s s o l u c i o n e s M M* d e l p r o b l e m a , en e f e c t o : El h o m o l o g o d e l ptlnto M e s t á en la r e c t a M A y en l a c i r c u n f e r e n c i a C p o r lo tanto e s M ' » en c o n s e c u e n c i a : AM¿ AM 1

-203-

por lo que prescindiendo del signo AM 1 = 2 i\M , Si con centro en A aplicamos la homotecia de razón 2, l a c i r cunferencia de centro 0 se t r a n s f o r m a en la C , , que c o r t a a la circunferencia 0 en el punto M "tal que al unirlo con A nos da la solución, p a r a c o m p r o b a r l o el razonamiento es análogo al a n t e r i o r . 22, Calcular la ecuación analítica de la curva homotetica de la elipse: 2 ? 4

en la homotecia de centro el origen y razón Z. Solución, Las ecuaciones quedan reducidas a: x = a +~ (x5 -a) -— x* 1 1 3 y = b + - (y -b) = - y * sustituyendo, encontrarnos: x

y. . = - i +- -*— 16 36

EJERCICIOS De un c u a d r i l á t e r o ABCD se conocen los v é r t i c e s A, B v C f la longitud d del lado CD; se sabe que AC es una diagonaLSe pide: a) Hallar el lugar geométrico de los vértices^ D, de to dos los c u a d r i l á t e r o s que verifican las condiciones dadas, b) Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las diagonales BD, en dichos c u a d r i l á t e r o s ; c) Hallar el lugar geométrico de los puntos m e d i o s de los segmentos cuyos ex t r e m o s son los puntos medios de las diagonales AC y BD,de dichos c u a d r i l á t e r o s , (E. P , ). Dado un triangulo ABC, cuyo b a r i c e n t r o es G, cia de centro G y razón - -¿, se pide: a) Hallar mado del triángulo ABC en la homotecia dada, r e c t a s homotéticas de las a l t u r a s del triángulo

y la homoteel t r a n s f o r b) Hallar las ABC (consi-

-204-

d e r a d a s como r e c t a s ) , c) Como consecuencia, d e m o s t r a r que el b a r i c e n t r o , el o r t o c e n t r o y el c i r c u n c e n t r o de un triangulo están en la m i s m a r e c t a , (E„ P . ). 3. Unapirámide VABC tiene la a r i s t a VB perpendicular al p l a no de la b a s e ABC, La a r i s t a VC mide 65 cm y el triángulo de la b a s e ABC, es rectángulo en A, su lado AB mide 15 c m y tangente ABC ~ 4 / 3 . Se pide: a) Calcular el volumen del cono, que proyecta desde V, la circunferencia i n s c r i t a en el triángulo ABC. b) En el plano ABC se toman como ejes de coordenadas las r e c t a s AC y A S . Hallar las coordenadas del centro de la c i r c u n f e r e n c i a homotética de la c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a al triángulo ABC, en la homotecia plana de cen tro A y razón - f „ (E, P , ), 2 2 4, Dada la circunferencia de ecuación: x 4-y -6x = 0 se pide: a) Ecuación de la figura homotética en una homotecia cuyo cen tro es el origen de coordenadas y razón - 5 / 3 . b) Coordenadas del centro de la homotecia de razón negativa que t r a n s forma la circunferencia a n t e r i o r en la dada. (E. P . ). 5 0 Calcular l a s coordenadas de los c e n t r o s de las dos h o m o t e d a s , que t r a n s f o r m a n la circunferencia x 2-fy 2 -8x-2y +1= 0. en la circunferencia x^+ y " 1« (E, P . )» 6. Los sucesivos v é r t i c e s de un c u a d r i l á t e r o convexo son A , B , C , D , y O es la i n t e r s e c c i ó n de los lados AB y CD, a) Si AB se c o n s e r v a fijo, pero CD gira alrededor de O, p e r maneciendo i n v a r i a b l e s las longitudes OD y DC} deducir el lugar geométrico del puntó P , i n t e r s e c c i ó n de los lados AD y BC, indicando las c a r a c t e r í s t i c a s del lugar pedido, b) En el caso de s e r e s e c u a d r i l á t e r o rectángulo en D y C, y los lados AB, AD y CD m e d i r 10 c m s . , 9 c m s y 6 c m s , r e s p e c tivamente, h a l l a r la figura homotética de ese c u a d r i l á t e r o , tomando como centro de homotecia el punto O y como razón 2 / 3 , determinando a d e m á s el á r e a de la nueva figura,(E.P.). 7. En una circunferencia dada se tienen los puntos fijos A y B , tales que el a r c o AB sea de 90°. En el otro a r c o AB de graduación igual a 270° se mueve un punto M r e c o r r i é n d o l o totalmente. Se pide: a) Lugar geométrico del b a r i c e n t r o Gdel

-205-

triángulo móvil AMB. b) Lugar geométrico del ortocentro H del triángulo AMB. (E. P. ). 2 2 8„ Dada la circunferencia de ecuación x + y = 4x, obtener: a) La ecuación de la circunferencia homotética de la anterior, en la homotecia de centro el origen de coordenadas y razón ¿r. b) El á r e a comprendida entre ambas. (E„ P. ), 9. H a l l a r los elementos d e t e r m i n a n t e s del producto de una homotecia por una traslación» -o-

-206-

LECCION 23 SEMEJANZA EN EL PLANO

Definición de semejanza en el plano,, - L l a m a m o s semejanza en el plano al producto de una homotecia por un movimiento o t r a n s f o r m a c i ó n de igualdad. En la fig, l - 2 3 § , tenemos que el c u a d r i l á t e r o ABCD se t r a n s f o r m a mediante una homote cía H (0,K), en el A ' B ' C ' D * y este mediante un movimien-

F1G.1-23*D"

to en el A " B " C f ' D ' \ Los dos p r i m e r o s son homotéticos; el s e gundo y el t e r c e r o iguales y el p r i m e r o y t e r c e r o s e m e j a n t e s . De l a s propiedades v i s t a s en la homotecia los lados del p r i m e ro y segundo son p r o p o r c i o n a l e s con razón de p r o p o r c i o n a n dad K, la m i s m a que la de homotecia, y como los lados del segundo y t e r c e r o son iguales, podemos e s c r i b i r : K=

A"B" AB

B " C n C"D" DMA" BC

(1)

-207-

Es d e c i r , que dos c u a d r i l á t e r o s (polígonos), si son semejant e s tienen sus lados p r o p o r c i o n a l e s . Los ángulos A y A' son iguales por lados p a r a l e l o s . De igual m a n e r a v e m o s que l o s a n gulos B, C, D son r e s p e c t i v a m e n t e iguales a los ángulos B ' , C , D' y como los ángulos A", B " , C", D", son iguales a los A' ,B* C'D* en consecuencia: A = A"

B = B"

C =C"

D = D"

(2)

por lo tanto, dos c u a d r i l á t e r o s (polígonos) semejantes tienen to dos sus ángulos iguales, 2, C r i t e r i o s de semejanza de t r i á n g u l o s . - Dos t r i á n g u l o s , par a que sean semejantes han de r e u n i r las condiciones (l) y (2) de la pregunta a n t e r i o r , es d e c i r , tener todos sus lados p r o p o r c i o n a l e s y sus t r e s ángulos iguales. No hace falta c o m p r o b a r que se verifican todas e s t a s condi ciones p a r a s a b e r si son s e m e j a n t e s ; l a s condiciones n e c e s a r i a s y suficientes en numero mínimo que se p r e c i s a n p a r a a s e g u r a r que son semejantes es lo que l l a m a m o s " c r i t e r i o s de s e mejanza de t r i á n g u l o s " . I, Dos triángulos ABC y A . ' B ' C fig. 2-23^ que tienen los án gulos A y B iguales r e s p e c t i v a m e n t e a los ángulos A ' y B* son semejantes. A',

FlG. 2 -233-

P o r s e r los ángulos A y A' iguales según la h i p ó t e s i s , pode^ m o s llevar el ángulo A' sobre el A, el punto B* c a e r á

-208»

sobre el lado AB, sea el punto B " y el C en el C"; como los ángulos B 1i= B'=B resulta que el segmento B"C" es paralelo a BC por lo tanto, aplicando

H(A, K = •£§,,) los triángulos ABC y AB"C" son homoteticos, y como el AB"C" se ha obtenido a p a r t i r del A.'B'C* mediante un movimiento,resulta que los triángulos ABC y A' B ' C son semejantes. II. Sí dos triángulos tienen los ángulos A y A.J iguales y los l a dos correspondientes a estos ángulos proporcionales, son semejantes. En efecto, llevamos, fig. 2-23^, el ángulo A' sobre el A. ya que por hipótesis son iguales, los puntos B ' y C' caen sobre los lados AB y AC respectivamente en los puntos B " y C". Por hi potesis A*B' "AB"

A'C ~A~T

AB" ~AB

áonáe

AC" ~~AC

por lo tanto, por el teorema de Thales B"C" es paralela a BC, con lo que queda demostrado este c r i t e r i o . III.

Si dos triángulos tienen los t r e s lados respectivamente pro porcionales, son semejantes.

Llevamos, fig. 2-235, el lado A ' B ' sobre el AB sea AB", y el A ' C ! sobre el AC sea AC". El triángulo AB" C" es semejante con el ABC ya que por hipótesis: A'B' AB

A'C AC

de" donde

AB" AB

AC" AC

es decir, B"Clf por el mismo motivo anterior, paralelo a BC, Los triángulos AB"C" y A ' B ' C serán iguales si d e m o s t r a mos que B ' C ' es igual a B"C", para ello vemos que por hipoteSÍS!

A ' B ' AfC B'C! AB AC BC y por la semejanza de los triángulos AB"C" y ABC, escribi mos;

-209-

AB" AB

AC" AC

B"C BC

mediante estas dos igualdades, teniendo en cuenta que los lados ABTÍ y AC" del triángulo AB"C" y l o s A ' B ' y A'C- del A5 B ' C son respectivamente iguales, encontramos: B"C" = B'C J que es lo que nos faltaba par& demostrar este criterio, 3„ Centro de semejanza directa.- El producto de una homotecia por un movimiento o transformación de igualdad nos da una semejanza, directa o inversa, según lo sea la transformacion de igualdad. Se llama centro de semejanza directa a un punto del plano que sirve de centro de homotecia y de giro, para pasar de una figura a otra semejante. Sean los segmentos AB y A ' B ' , fig„ 3-23?-, homólogos en una semejanza a la que determina, siendo homólogos de A y B respectivamente los puntos A'y B' , Para calcular el centro de so_ mejanzia directa prolongamos el segmento A?B* hasta que corte al AB en el punto P, y trazamos las circunferencias definidas por P, A y su homologo A* ; y por P, B V su homologo B* , estas circunferencias se cortan, en P y además, en otro punto C que vamos a demostrar que es el centro de semejanza directa. Nos basta para ello con de-mostrar que los triángulos CBA y CB'A' son semejantes:El ángulo a = a* por ser ambos suple mentarlos del Y , ya que el cuaAf— drilátero PBCB' está inscrito en la circunferencia 0 , los angulosa = (3 ' por ser inscritos FIG.3-2321 u e abarcan el mismo arco en la circunferencia 0 . De esta semejanza resulta que los ángulos en C de los trian guios antes citados son iguales, por lo tanto, tomando estepun to como centro de giro podemos llevar el lado CB* sobre elCB y el lado CAf sobre el CA, el segmento A'B J se transformará

-210-

en uno paralelo al lado AB pues a= a* y p ~ p' » luego aplicando una homotecia de centro C y razón la misma que la de seme janza, al segmento transformado del A ' B ' obtendremos el seg mentó AB. Así", pues, C sirve de centro de giro y de homotecia para pa sar de una figura a su semejante, luego es el centro de seme janza directa. 4. Las semejanzas forman grupo,. - El conjunto S (S,, S T . S Í . . , ) de las semejanzas del plano respecto a la operación (° ) fojr man un grupo ya que se cumplen las tres propiedades siguientes: I. El producto de dos semejanzas S (K.)f S2ÍK2) es otra semejanza S3(KjK2). donde las K-(1 = 1» 2, 3), son las razones de semejanza. En efecto, de la figura f pasamos mediante la semejanza Si(Ki) a la f' = K,.f(l) y dé esta nueva figura f mediante la semejanza STÍK^) a la f" verificándose f" = K^.f (2). Sin más que sustituir (1) en (2) tenemos f" = K^K^í", igualdad esta ultima que nos indica que podemos pasar directamente de f a f" mediante la semejanza Si (íCK^), es decir S~o S ~ S~* II0 Existe la semejanza unidad: Basta que sea K = 1, esto se obtiene mediante el producto de una homotecia de razón 1 por un movimiento que en este caso es Ja identidad. -1 -1 III. Dada una semejanza S(K) existe otra semejanza S (K ) tal que su producto da la identidad, pues en el producto la razón por ser el producto de las razones vale_l por lo tan to, f se transforma en £. Como ademas cumple la propiedad: IV. Conmutativa: Pues S„° S = So S_ ya que según I tenemos: S2o sx = S3(K1K2) y Sf S 2 = S^K^ K¿ y 7 vemos que S = S A) p o r s e r K , , K „ = K_ 0 K„. 3 4 1 2 2 1 El grupo { S, o } es abeliano.

-211Ejercicio r e s u e l t o , 19) Dados A(-l, 0 ) y A ' (_L, l), homólogos en una semejanza di r e c t a , al igual que B(l ? 0) y B J (2, 2) se pide: a) El centro de semejanza, que t r a n s f o r m a el segmento AB en el A.' B* , b) T r a n s f o r m a r el punto C(0» -1), en e s t a semejanza, efectuando el producto del giro por la homotecia que da lu gar a é s t a , mediante el centro de semejanza. Solución : a) Según hemos visto en e s t a lección el centro de semejan za d i r e c t a , se obtiene como i n t e r s e c c i ó n de las c i r c u n ferencias que pasan por los puntos 0, A. y A.* fig, 4-23?cuya ecuación e s : 2 x

2 +y

, +x - 3y = 0

y la circunferencia que pasa por los puntos 0 , B y B ' cuya ecua cion e s :

2 x

2 + y

„ - x ~ 3y = 0

i G. 4-2.3

-212resolviendo el s i s t e m a definido por e s t a s dos ecuaciones y eli giendo la solución distinta del 0(0, 0), o sea el P(0, 3), encon t r a m o s el centro de semejanza d i r e c t a . b) El ángulo de giro que hay que efectuar es a* ángulo formado por las r e c t a s definidas por los puntos PA* y por los puntos PA, Como t g p = 3 y tgy = - 2 r e s u l t a tg a = 1, por lo tanto a = 45°. Aplicando l a s ecuaciones del giro de centro P(0, 3) y ángulo 45° al punto C(0, - l ) , t e n e m o s : x ' = a + (x-a) cosoí - (y-b) s e n a - 2y2 y ? = b + (x-a) s e n a + (y-b) eos a= 3 -2 Y~2 aplicando a este punto C (2V*2, 3-2V2) la homotecia de centro P(0, 3) y razón K = -*-- q u e e s i a razón e n t r e los segmentos homólogos en la semejanza A ' B ' y AB: x " = a + K (x? - a)• = 2 y " = b + K (y' - b ) =1 luego el punto transformado del C(0, -1) en la semejanza efectuada de esta forma es el punto C (2,1). EJERCICIOS 1, El cuadrado ABCD, siendo A(0, 0), B ( - | , 0 ) , C ( - | , | ) , D ( 0 , | ) se t r a n s f o r m a , mediante una semejanza d i r e c t a de centro S(6,0) en el polígono A ' B ' C D 1 , siendo A ' ( 0 , 6 V 3 ) . a) Dibujar A ' B ' C ' D ' . - b) D e t e r m i n a r un giro y una homotecia cuyo producto en el orden dado, sea la semejanza d a d a , c) Calcular el ángulo del giro y la razón de homotecia, cuyo producto e s la semejanza dada. (E. P . ) . 2. Desde un punto P , v a r i a b l e de una s e m i c i r c u n f e r e n c i a de día m e t r o AB = 2r, se t r a z a n l a s p e r p e n d i c u l a r e s PC y P D a l d i a m e t r o AB y a la tangente en B a la circunferencia r e s p e c t i v a mente. Se pide: a.) E x p r e s a r en función de r y de AC = x, el volumen V del cuerpo engendrado al g i r a r el trapecio APDB,

-213alrededor de AB. - b) tomando r = 1 , estudiar la variación de la función: y = — . (E.P.). Dado un triángulo ABC de lado a = 5 cm, cuyo p e r í m e t r o es de 15 c m s , y cuya b i s e c t r i z del ángulo A divide al lado a en dos segmentos que se hallan en la razón 2 / 3 , se pide: a) Calcular los o t r o s dos lados, b) Estudiar la función y = = log (x -mx + n) en la que m y n son la mitad del m a y o r y del m e n o r número ? r e s p e c t i v a m e n t e de los obtenidos en a). Dado el cuadrado LMNP, se llaman Q , R , S 3 T a los r e s pectivos puntos medios de los lados LM, MN3 NP y P L . Se pide: a) Calcular el ángulo del giro n e c e s a r i o p a r a colocar en posición homotética los cuadrados LMNP y QRST, - b) De t e r m i n a r el centro del giro que t r a n s f o r m a el vector LQ en e i RN, - c) D e t e r m i n a r el centro y calcular la razón de la semejanza que t r a n s f o r m a el vector TQ en. el vector MN. (E.P.). Un segmento rectilíneo AB, de longitud constante C, se mué ve en un plano de modo que sus e x t r e m o s , A y B , se apoyan constantemente en los ejes XXS e YY' , r e s p e c t i v a m e n t e , siendo estos ejes ortogonales e n t r e sí", Se pide: a) L u g a r g e o m é t r i c o del punto M de i n t e r s e c c i ó n de las p a r a l e l a s a los ejes t r a z a d a s por A y B . - b) Comprobar que el pie, P , d e la perpendicular trazada, por M a la r e c t a AB, tiene sus c o o r denadas (x,y) p r o p o r c i o n a l e s a a^ y b^ } r e s p e c t i v a m e n t e , siendo (a, o) l a s coordenadas de A., y (o,b) las de B . -o-

-214LECCJON 24 INVERSIÓN EN LA RECTA Y EN EL PLANO -o-

1. Inversión en la r e c t a o involución. - Involución o inversión en la r e c t a es una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva tal que dado un punto Qfq), fig, 1-24 , fijo de la m i s m a , cualquier o t r o p u n to X de ella se t r a n s f o r m a en otro X' de modo que QX.QX'

= p.

-VF——V^— FIG.1-24* Si p es m a y o r que c e r o , los puntos X y X' están en una m i s m a s e m i r r e c t a de l a s dos en que divide a la r e c t a el punto Q y entonces la involución se dice que es hipérbola. Si p es m e nor que c e r o están en diferentes s e m i r r e c t a s y se l l a m a e l í p tica. Cualquier punto que fuera doble, coincidiría con su ho mologo, entonces de QM.QM' = p ? si M = M' s a c a m o s QM =pu De donde:

QM = + W , es d e c i r , que hay dos puntos dobles M y M^ en el caso en que p sea mayor que c e r o y ninguno en el caso de que p sea m e n o r que c e r o . En esta t r a n s f o r m a c i ó n no puede s e r p = 0 ya que a todo punto de la r e c t a le c o r r e s p o n d e r í a el punto de a b s c i s a ce r o , y, por lo tanto, la t r a n s f o r m a c i ó n no s e r í a biyectiva. Vamos a d e m o s t r a r que la cuaterna formada por los puntos (M M - X X ' ) es a r m ó n i c a : J.

¿*

En efecto: P ™ a (\A

Twf Y V M -

•

'" M Q+QX'

Q+Qx>

•

M 2 Q+QX

( M Q+QX

) (-MQ+QX')

•

(MQ+QX»){~M9+QX )

-215-

M^QX'-QX) - -i 2, Ecuación analítica de esta transformación, - De la definición y observando la figura, tenemos: (x-q)(x* -q) = p

de donde

xx' -q(x4x' }-fq -p-0

(1)

Esta ecuación (l) es la ecuación analítica de la involución. Nosotros la hemos escrito conociendo el centro Q de la involu ción y su potencia p; en. general esta ecuación se da de la siguiente forma: xx' + B(x + x* ) + C = 0

(2)

y se pide calcular el centro, la potencia, los puntos dobles, et cetera. Para ello, podemos seguir dos métodos: a) identificar la (2) con la (I) ; de donde: 2 q = - B; p =B - C y los puntos dobles tienen como abscisas q + V~1?T~ b) Como si un punto es doble, x = x' , tenemos que la (2) queda en la forma. x + 2 B x + C=0, de donde

2 B -C

Tenemos de esta ecuación que la suma de las abscisas de los puntos dobles: x- + x = - 2 B. Como Q es el punto medio del segmento que definen estos puntos dobles: X + X l 2 B q=

Conocidas las abscisas x y x ? de los puntos dobles y la qdel centro de involución, tenemos: 2

P - C ^ - q) •

-216Un p r o b l e m a que se p r e s e n t a muchas veces es dados los pun tos X^ (x^) y X.(x ) junto con sus homólogos X ' ( x ' ) y X* (x f ) e n c o not r a ro'la ecuación (2); p a r a esto b a s t a c a l c u l a r B y C me diante el siguiente s i s t e m a : x x 5 + B (x 4- x ' ) + C = 0 o o o o x, x ' -f B x(x, + x ' ); + C - 0 11 1 1 Si contamos un haz de c i r c u n f e r e n c i a s , fig. 2- 24 í ¿,(conjunto de c i r c u n f e r e n c i a s en el que dos c u a l e s q u i e r a de ellas tie nen el m i s m o eje radical e ) p o r una r e c t a se engendra una involución de centro el punto de c o r t e de la r e c t a r con el eje r a dical e«)-

FfG.2-24* La r e c t a r c o r t a al eje e en el punto Q luego este punto tiene igual potencia r e s p e c t o a todas las circunferencias del haz, QC - Q C 5 = Q D - QD' = QE.QE'=...= p, luego vemos que estos productos son constantes y por lo tanto los homólogos de C, D, E, . . , en la involución de centro Q y potencia p , la de e s t e punto respecto a cualquier c i r c u n f e r e n cia , son C* , D* , E*, . . . Ejemplo: Dados los puntos M(2, 0), N(14, 0) y P(14,5), s e cons_i d e r a n los dos p r i m e r o s como dobles de una involución hiperbó lica definida en el eje de abscisas., Se pide: a) La a b s c i s a del punto central y la ecuación de la involución. b) La d e t e r m i n a c i ó n analítica del conjugado d e l punto A(4, 0) en

-217-

dicha involución, a) Tenemos: q =

2±H

= 8

luego

Q(8,0),

de donde P = (x r q) 2 = (2-8)2= 36 por lo tanto la ecuación de la involución es según (1) xx' - 8 (x + x' ) + 28 =0 b) Sustituyendo en la ecuación de la involución x = 4 encontramos x' = - 1, luego el homologo del punto A(4, 0) es el A' (-1,0). 3. Inversión en el plano. - Es una transformación biyectiva 2 2 1(0, p): R —>R tal que dado un punto 0 fijo en el plano, figura 3-24^ cualquier otro punto A del mismo se transforma en otro A' de modo que 0, A y A' están alineados y se verifica que el producto 0A. 0A? = p siendo p un numero distinto de cero , por el mismo motivo que explicábamos en la involución; si p es mayor que cero los dos puntos A y A' están en la misma semirrecta de origen 0, en caso contrario, en distinta. El punto 0 no tiene homólogo en la inversión en el plan r/6.3-24± no, y se llama centro o polo de la inversión. Puntos dobles: Todos los puntos que disten de 0 la distancia V^T, ya que el producto de 0A. 0A* , si A está a esta distancia, es igual a p, cuando A' == A. Esta circunferencia, lugar geométri co de estos puntos, es doble y sus puntos también son dobles, se le llama circunferencia principal, de autoinversión o auto-conjugada. Circunferencias dobles, no de puntos dobles: Todas las ortogo-

-218nales a la de puntos dobles, ya que si B, fig, 3-24^,, es un punto de una de ellas 0 , su transformado es el punto de corte de la r e c t a OB con ella m i s m a , o sea, el B ' , ya que por potencia del punto 0 r e s p e c t o a dicha circunferencia 0B„0B' = OC = p„ E s to nos indica que todo punto de esta circunferencia se transforma en uno de la m i s m a y por lo tanto es doble. 4 ^ T r a n s f o r m a d a de una r e c t a que no pasa por el centro de inversión^. - De las r e c t a s del plano F las que pasan por 0 son evidentemente dobles. L a s que no pasan por 0, vamos a d e m o s t r a r que se t r a n s f o r m a n en una circunferencia que p a s a por 0. En efecto, fig. 4, 245 f sea r la r e c t a dada y 0 el cen t r o de inversión. T r a z a m o s por 0 la perpendicular a v Sea A el pie de dicha perpendicular. Hallamos su t r a n s formado que es el A' . Cual quier punto t r a n s f o r m a d o de uno de los de la r e c t a di visa al segmento 0A* bajo ángulo r e c t o . En efecto, si B J es el t r a n s F/8.4-24* formado de B, 0A.0A' = = OB OB* = p» nos dice que los puntos A, A ' B y B* son concíclicos,, P o r lo tanto, el cua d r i l á t e r o formado por estos puntos e s t á inscrito en una c i r c u n ferencia y sus ángulos opuestos suman 180°; como el ángulo en A es de 90° el ángulo en B ' de dicho c u a d r i l á t e r o vale 90°, es decir que B ? divisa^ como queríamos d e m o s t r a r , a 0A1 bajo ángulo r e c t o , siendo B un punto genérico de la r e c t a r , sin nin guna p a r t i c u l a r i d a d , esta condición que cumple su homólogo la c u m p l i r á n todos los puntos homólogos de los de la r e c t a , o sea, que los puntos en que se t r a n s f o r m a n los puntos de l a r e c t a e s tan en la circunferencia de d i á m e t r o el segmento 0A* „ Esta transformación es involutiva ya que 0A. 0A1 ~ p nos indica que A se t r a n s f o r m a en A* y 0A' c 0A = p, que A' se t r a n s forma en A, Entonces, si la t r a n s f o r m a d a de una r e c t a que no pasa por el centro de inversión» es una circunferencia que pasa por este punto, la t r a n s f o r m a d a de una c i r c u n f e r e n c i a que pasa por el centro de inversión es una r e c t a que no pasa por di

-219-

cho c e n t r o . P a r a p r o b l e m a s i n t e r e s a f i j a r s e q u e l a l i n e a que u n e e l c e n t r o de i n v e r s i ó n con el c e n t r o de la c i r c u n f e r e n c i a e s p e r p e n d i cular a la recta» D e l a i g u a l d a d OA, OA' - OB, OB* ~ p s a c a r n o s q u e OA OB'

OB OA'

y c o m o e l á n g u l o e n 0 e s c o m ú n a l o s t r i á n g u l o s OAB y O A ' B ' , f i g . 4-24**, r e s u l t a n s e r s e m e j a n t e s p o r l o t a n t o A' B ' AB

OA' OB

o sea 0A„OA' OA.OB

0Ao0B

de donde A'B* = p

AB OA. OB

(1)

igualdad de la que h a r e m o s uso p a r a d e m o s t r a r el t e o r e m a de P t o l o m e o ( 2 4 5 , 8), 5, T r a n s f o r m a d a d e una c i r c u n f e r e n c i a en g e n e r a l . - Sea 0 el c e n t r o d e i n v e r s i ó n , fig 0 5 - 2 4 ^ , y l a c i r c u n f e r e n c i a d e c e n tro 0 la dada.

F1G. 5-24

T r a z a m o s la r e c t a 0Aa Los homólogos de A y B s e r á n A' y B '

-220-

Tenemos: 0A.0A' = 0B.0B* = p

(1)

Y por la potencia de 0 r e s p e c t o a la 0 , 0A . 0B = p

(2)

Dividiendo la (1) por la (2), tenemos: 0A? 0B' p OB " 0A " p esto nos dice que los puntos B y A tienen como homólogos r e s pectivamente A' y B ' en una homotecia de centro 0 y razón ^ . Tenemos p u e s , que los puntos con " p r i m a " i n v e r s o s de los "sin p r i m a " son también homotéticos,, P o r lo tanto, la i n v e r s a de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia. L a s tangentes en A y B ' s e r á n r e c t a s homologas en e s t a homotecia y por consiguiente p a r a l e l a s . Es d e c i r , los ángulos a iguales. P o r el m i s m o motivo, los ángulos fJ son también igua les y el triangulo CBB' i s ó s c e l e s pues a = P debido a que en el triángulo PAB, PA = P B ; el punto C está en el eje radical por tener igual potencia r e s p e c t o a las dos c i r c u n f e r e n c i a s , propie dad ésta que la enunciamos de la siguiente forma: Las tangen tes a las c i r c u n f e r e n c i a s 0 y 0 en dos puntos B y B ' homólogos en la inversión se c o r t a n en un punto del eje radical de d i chas c i r c u n f e r e n c i a s . P o r s e r las c i r c u n f e r e n c i a s 0 y 0 homotéticas, la tangente común T T~ pasa por 0 y como el transformado de T está e n e s t a r e c t a y en la circunferencia 0 , r e s u l t a s e r el T_, P o r lo tanto,

0T..0T, =p.

Homólogos de los c e n t r o s 0 , 0 : Los triángulos 0T,0' y 00 T son s e m e j a n t e s . P o r lo tanto

•

-221-

o sea,

oo2.oo'

0T2=p.

Hemos obtenido el homologo de 0 trazando la perpendicular por T. a la r e c t a OCL. 1 1 De igual modo apoyándonos en la semejanza de los triángulos 00 T y 00' T s a c a m o s que el homologo de 0 se obtiene trazando la perpendicular desde el punto T ? a la línea 00 , Dos r e c t a s , una pasando por los puntos D y B y la o t r a por sus homólogos D' y B s en una inversión de centro 0 y potencia p se cortan en un punto E del eje radical de ambas circunferenc i a s . En efecto, 0D.0D' = 0 B , 0 B * = p , nos asegura que los puntos D, D ' . B y B ' son concíclicos. Entonces, la potencia del punto E r e s p e c t o a e s t a circunferencia será: EB . ED = E B ? . ED J lo que nos dice que E está en el eje radical» 6, La inversión en el plano c o n s e r v a los ángulos. - En la figura 5-24§ } los ángulos or y p e r a n iguales, es d e c i r , que la tangente en el punto A y en el punto A' forman el m i s m o án~

F/G. 6-24Z

-222-

gulo con la r e c t a OA, o sea, que el ángulo formado por la r e c ta OA que p a s a por el c e n t r o de inversión y el a r c o AB es igual al ángulo formado por la r e c t a homologa de la OA que e s ella m i s m a y el arco A' B* homologo del AB. Resumiendo, lo d e m o s t r a d o hasta ahora nos afirma que la inversión en el c a s o p a r t i c u l a r de r e c t a que p a s a por 0 y a r c o c o n s e r v a el ángulo, D e m o s t r e m o s esto en el caso m a s g e n e r a l . Sean los a r c o s a y b . Fig„ 6~24»a Se c o r t a n en el punto A. Sus homólogos a' y b* se c o r t a r á n en el punto homologo del A, o sea, en el-A*. Dichos puntos,por s e r i n v e r s o s están alineados con 0; apoyándonos en el caso par_ ticular anterior los ángulos a y oc' son iguales al igual que los ángulos Py P' . P o r lo tanto, como y y 5.son s u p l e m e n t a r i o s de las s u m a s t e los ángulos & + P y »' + P ' r e s u l t a que son iguales. 7. Ecuación analítica de la inversión. - Sean P ( a , b ) , fig. 7-24^, el centro de i n v e r s i ó n y el punto A(x,y) que vamos a t r a n s f o r m a r l o en la inversión de centro el punto P y potencia p conocida. P o r la definición P A . P A ' = p, y por la semejanza A'(x'f) de los triángulos PAC y P A ' D , t e ~ nemos: PA _ _PC PA' PD ' multiplicando y dividiendo la prim e r a fracción por PA y teniendo en cuenta que PA, P A ' = p, se ob-

FlG. 7-24*-

tiene: JPA P

x - a x

de donde X

~a ' P

x-a 2

(x-a) + fy-b)

Podemos e s c r i b i r también , por la semejanza antes dicha PA _ AC_ _ P A ' "" A ' D ;

(1)

-223-

y multiplicando y dividiendo como antes la p r i m e r a fracción por PA e n c o n t r a m o s ; d e s p u é s de o p e r a r : y

.y^b.

=b+p

,(x-a) + (y-b)

(2)

Las ecuaciones analíticas de la inversión (1) y (2) se reducen en el caso en que P coincida con 0 origen de coordenadas a l a s siguientes: 3

X ,

=p x

}

=p x

+ y y

Como esta t r a n s f o r m a c i ó n es involutiva p a r a calcular el x é y en función de x ' e y ' b a s t a s u s t i t u i r en las formulas a n t e r i o r e s las l e t r a s que llevan p r i m a s por las sin p r i m a s y v i c e v e r sa, 8. T e o r e m a de P t o l o m e o . - Sea el c u a d r i l á t e r o i n s c r i t o A, B, C, D, fig. 8, 245;, si aplicamos.una inversión de centro A y potencia igual a un n u m e r o p cualquiera, los homólogos de los puntos B , C y D s e r á n B ' C y D* los cuales e s t a r á n en la r e c t a r t r a n s f o r m a d a de la circunferencia 0, Según (l)de Í24§, 4). B

^ABTÁF5 C'D'

= P

AB.AC

AC. AD

y sustituyendo e s t o s v a l o r e s en B*D J = B'C* + C ' D ' tenemos; BD BC CD = AB . AD AB . AC AC.AD a h o r a multiplicando los dos m i e m b r o s por AB, AD, AC nos queda: BD • AC = B C • AD + CD-AB

-224-

AB'

^- D'

FI&8-24*

esta igualdad es lo que se llama teorema de Ptolomeo, que nos dice, que "el producto de las diagonales de un cuadrilátero ins crito convexo, es igual a la suma de los productos de los la — dos opuestos", 9. Problemas de tangencia, - La inversión, utilizada convenientemente, es un método práctico para los problemas en los que se pida trazar curvas que corten a otras bajo ángulos constantes, en particular ángulo cero (tangentes), Se utilizará este método cuando sea fácil construir la figura inversa de la que se pide hallar, y en cambio no sepamos coas truir la solución directamente; entonces el problema se reduci rá a deshacer la inversión para encontrar la figura pedida, y como la inversión es una transformación involutíva basta para ello aplicarla de nuevo, Ejemplo: Trazar una circunferencia tangente a otra 0, fig, 9245-, y a una recta r en un punto P, Solución: Supongamos el problema resuelto. Aplicando la inversión I(P,p)» donde el numero p es la po tencia del punto P respecto a la circunferencia 0; tenemos que tanto la recta r como la circunferencia 0 son dobles» por el contrario la circunferencia solución por pasar por P y ser tan gente a la circunferencia 0 y a la recta r, se transformará en una de las rectas punteadas, que son tangentes a la circunfe--

-225-

FIG.9-24* O y p a r a l e l a s (ángulo cero) a r„ El problema se reduce a encotitrar l a s i n v e r s a s de dichas r e c t a s , p a r a ello unimos A. y B con P y encontramos los pun tos A' y B ' de tangencia de las circunferencias soluciones con la dada 0, trazando las r e c t a s 0A' y OB' hallamos los c e n t r o s C y C de las dos c i r c u n f e r e n c i a s solución. Ejercicio r e s u e l t o . - Tomando como centro de inversión el orjf gen de coordenadas y potencia p = 63 h a l l a r : 19, La ecuación de la circunferencia i n v e r s a de la x^ + y - lOx + 21 = 0, 29) . Coordenadas del punto inverso de cada uno de los c e n t r o s de di chas c i r c u n f e r e n c i a s . 19) La circunferencia dada tiene centro 0,(5,0) y los puntos de c o r t e con el eje 0X vienen dados por x¿-10x + 21 = 0, es de c i r , son A(7,0) y B{3, 0), Los puntos A* (9* 0 ) y B ' (21, 0) son di ame t r a í m e n t e opuestos en la circunferencia que b u s c a m o s , por lo tanto, el centro de ésta es el punto 0 (15,0) y su radio r = 6, luego su ecuación (x-15) 29)

2 0)

+y y

=36

°Z<f

,0)

-226-

EJERCICIQS L Dado el numero 431, escrito en el sistema decimal, se pide: a) Hallar la expresión: dcbam de dicho numero en el siste ma de base cuatro, b) Dibujar los afijos de los números com piejos a+ic y d+ ib, calculando el área de la figura trans¿b_r mada de la recta determinada por dichos afijos, en la inve_r sión cuyo polo es el origen de coordenadas y su potencia 16. (E.P. ). 2, Dadaís las circunferencias secantes, de centros 0 y 0' setra za por uno de sus puntos de intersección P, una recta que las vuelve a cortar en los puntos distintos A y A' , respectivamente. Se pide: a) Trazar por P una recta que corte a las circunferencias en otros dos puntos distintos, M y Ms res pectivamente, que sean concíclicos con A y A', b) Si los ra dios de las dos circunferencias miden 3 cms. y 5 cms. res pectivamente, y si la distancia entre los centros es de 7 cm, calcular la medida del segmento cuyos extremos son P y el punto medio del 00\ (E.P,). 3, Se designa: Por P la condición de que una circunferencia pa se por un punto dado; por r la condición de que una circun ferencia sea tangente a una recta dada; por C la condiciónde que la circunferencia sea tangente a una circunferencia dada. Tres de las condiciones anteriores determinaren general, un numero finito de circunferencias. Se pide: a) Expresar por símbolos tales como PPP, Prr, rCC, . . . todos los casos posibles de determinación de circunferencias mediante las condiciones dadas y calcular el numero de casos posibles, b) Resolver el caso representado simbólicamente por PrC. (E. P.). 4, Dados dos puntos fijos y distintos, A y B de un plano, se define la siguiente correspondencia, T: Dado un punto M del plano, el homologo M' = T(M) es el punto de intersección de la perpendicular a la recta MA en A con la perpendicular a la recta MB enB.Se pide: a) ¿Existen posiciones particulares de M para las cuales no esté unívocamente determinado el punto M? ¿Cuale s son? . - b) Hallar la posición límite del pun-

-227-

to M' , homologo del M, cuando M tiende hacia A moviéndose s o b r e una r e c t a que p a s a por A, - c) Hallar el lugar g e o m é t r i c o del punto M' = T(M) cuando M d e s c r i b e una circunferencia que p a s a por A y B , (E. P . ). 5. Dado el triángulo equilátero ABC , de lado igual a 2, se cons truyen: el a r c o c i r c u l a r BC de centro A y el a r c o c i r c u l a r AC de centro B 0 Se t r a z a la s e m i c i r c u n f e r e n c i a de diame tro AB situada en el semiplano que contiene a C. Los a r c o s BC y AC juntamente con la s e m i c i r c u n f e r e n c i a forman un tri ángulo curvilínea. Se pide: a) T r a z a r la circunferencia tangente a los t r e s lados del triangulo curvilíneo (empléese el método de inversión), b) Calcular el radio de la circunferencia i n s c r i t a en el triángulo curvilíneo. (E. P . ). , 2 2 o 6. Dada la circunferencia C: x + y - 2 x - 4 y + 4 = 0 y l a r e c a r : £ - 2 y + 2 = O, - a) Hallar la ecuación de la circunferencia C3 que pasa por el origen de coordenadas, y por los puntos de i n t e r s e c c i ó n de C y r. - b) Hallar el centro de la inver — sion de potencia positiva que t r a n s f o r m a C e n C ' , y el v a lor de e s t a potencia. (E. P . )„ 7. L'a r e c t a r pasa por los puntos A(4 f 0) y B(0, 3), Una-inversión con centro en el origen de coordenadas 0¡ t r a n s f o r m a e s a r e c t a en una circunferencia que pasa,por B, y que c o r ta al eje de las x en el punto C. Hallar la potencia de la inv e r s i ó n y l a s coordenadas de C. - b) A, la circunferencia obtenida a n t e r i o r m e n t e se le-aplica u n a homotecia de centro A que t r a n s f o r m a C en 0. Hallar la pendiente de la tangente en dicho punto 0 a la circunferencia t r a n s f o r m a d a . (E. P . ), 8. Se da una circunferencia C de centro O, tangente eri B a una r e c t a r. Un punto A. de esa circunferencia es centro de una homotecia, cuya razón es ¿. a) En e s a homotecia» d e t e r m í nese la figura Cr, homotetica de la dada, y unidos los puntos B ' y O ' , homólogos de los B y O, esta r e c t a c o r t a adei»a« a C en M, y en N a la r e c t a r a D e m o s t r a r que el c u a d r i l á t e r o AMNB es inscriptible en una circunferencia, b). Si el radio de la circunferencia dada es 7, 5 c m s , y la distancia AB = 12 c m s , d e t e r m i n a r la medida del segmento BN. (E.P.)

-228-

9. Dada la r e c t a r de ecuación y = 4, s e a C la figura i n v e r s a de r en la inversión de polo el origen de coordenadas y poten cia 16, y r ! la homologa de r en la t r a s l a c i ó n , definida por el vector de componentes (0, ~l}„ Calcular el á r e a comprendida en t r e C y r* . (E, P . ). 10» JLos puntos A y B , de coordenadas (0,5) y (0,12), r e s p e c t i vamente, son i n v e r s o s en una inversión de polo el origen de coordenadas. Obtener el centro y el radio de la circunferen cia i n v e r s a de aquella otra cuya ecuación e s :

(x-|-)E +

2 y

=i(E0P.).

11. P o r el origen de coordenadas de un s i s t e m a c a r t e s i a n o rectangular pasan c i r c u n f e r e n c i a s , que contienen a los puntos P(d, 2), Q(d, -2); a) d e t e r m i n a r sobre la figura i n v e r s a de una de e s a s c i r c u n f e r e n c i a s , la correspondiente a d = 1, en una inversión de centro 0 y de potencia 30, los puntos, si existen, desde los cuales se vea dicha curva bajo un ángulo de 60°. b) Siendo r = 1 el radio del círculo inscrito en un t r i ángulo rectángulo de ángulo B = 60° y determinados los s i m é t r i c o s I a , Ijh, e I c del incentro I respecto a la hipotenusa a, y los catetos b y c , hallar los v a l o r e s de los lados de aquel triángulo rectángulo, el de los segmentos I a Ib e T a l c , a s f c o mo los ángulos del triángulo I I, I „ (E. P . ). abe 12. Hallar el producto de las inversiones L o I , sabiendo que I w (0,pj) e l 2 ( 0 , p 2 ) . ¿Se verifica la i g u a l d a d ! - o I = I o £ ? -o-

-229-

LECCION 25 TRASLACIÓN

SIMETRÍAS Y GIROS EN EL ESPACIO -o-

1" T r a s l a c i ó n en el espacio, - El conjunto V \u3 v, w, „ „ .} de los v e c t o r e s l i b r e s del espacio s es un grupo abeliano r e s p e c t o a la operación (-r) definida de igual forma que en (17^,1); r e s pecto a la operación (») de un n u m e r o r e a l por un v e c t o r , y a la (+) a n t e r i o r cumple las propiedades V, VI, VII y VIII de (17^,1),

P(x,%z)

Dada una b a s e j i , j , k} del espacio vectorial V, figs. 1-25% siendo j i = j j ¡= k j = 1 , y apoyándonos en las definiciones a n t e r i o r e s , podemos e s c r i b i r : O P = OP + P P S O P + P P + OP 4 =OP 2 +OP 3 +OP 4 ,

es d e c i r : OP

=xi+yj+zk

(1)

L l a m a m o s t r a s l a c i ó n en el espacio a una transformación bi yectiva T->: R -* R° tal que dado un vector u ( V , a todo punto A.(x» y, z) £R le hacemos c o r r e s p o n d e r otro A' (x* , y* , z' )6R de modo que:

230-

(2)

OA' •= O A + u

De la definición (2) si T-»(r) - r la r e c t a r contiene al v e c t o r u o es p a r a l e l a a él, lo m i.us m o pasa si T-*(n) = n, siendo n un pía u

no.

Si el vector u(u >u , u )3 tenemos que (2) según (1) se puede e s c r i b i r de la siguiente forma: x s i + y J j + zs k - (x+u )i f (y+u ) j + (z + u ) k por lo tanto, las ecuaciones analíticas de la t r a s l a c i ó n en el e£ pació son: x'

=s X

+ u

0 0 0\ \1 1 0 Ó X 0 0 u y 0 0 1/ uz

/1 X

y + u

z + uy z

o bien

/l X

y \

A p a r t i r de e s t a s ecuaciones vemos que: TU 5 } ? ase + by + cz + d = 0 — u *• a(x ~u )+b(y -u )+c(z -u ).+d=0 es d e c i r que un plano no doble se t r a n s f o r m a en otro paralelo a él, pues los coeficientes de x, y, z son proporcionales respectivamente a los de x ' j y ' j Z * . Una r e c t a en el espacio viene dada como i n t e r s e c c i ó n de dos planos^ y como e s t o s se t r a n s f o r m a n en o t r o s p a r a l e l o s , r e s u l ta que la r e c t a dada si no es doble se t r a n s f o r m a en o t r a p a r a lela. . /• Esta t r a n s f o r m a c i ó n c o n s e r v a la alineación y ordenación de puntos, las d i s t a n c i a s , ángulos y sentido. 3 3 20 S i m e t r í a c e n t r a L - Es una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva S :R -*R tal que dado un punto P ( a , b , c ) fijo del espacio R , cualquier punto A(x s y ? z) se t r a n s f o r m a en otro A s (x s sy*, z ' ) del m i s m o , de modo que

•r-=i

=r>

P A ' ='- PA

(

-231Segun esta definición sí P6 r3 n se verifica que S (r) = r , S (n) =71, es d e c i r r'yn son dobles; e s t a t r a n s f o r m a c i ó n es in~ v&Lutiva* pues (VA) S (A) = A. De (1) s a c a m o s : OA! - OP»= OP - OA y aplicando (1) de la p r e gunta a n t e r i o r , obtenemos las ecuaciones analíticas de la s i m e t r í a c e n t r a l en el espacio,, que son: x'

Y1 = z'

2a 2b 2c

/ x

- X ^

Si P ( 0 , 0 , 0), s e r á n

\ z

/-l 0 0 -1 0 0

0 0 -1,

P a r a hallar el t r a n s f o r m a d o de un plano, vemos que: S mx + ny + pz.H* q ~ 0 — 2 - ^ m { 2 a - x 3 )+n(2b-y J )+p(2c-z' )+q - 0 es m n P o t r o plano p a r a l e l o al p r i m e r o , pues >m -n -p Con razonamiento análogo al de la pregunta a n t e r i o r se d e m u e s t r a que una r e c t a , se t r a n s f o r m a en o t r a p a r a l e l a a ella. Esta t r a n s f o r m a c i ó n es involutiva, c o n s e r v a la alineación y ov_ denacion de puntos, la,s distancias y los ángulos p e r o cambia el sentidoj cosa é s t a que se puede o b s e r v a r en la fig„ 2-25§, supo níéndonos situados en el punto B con los pies d i r i gidos hacia 0 y mirando a la r e c t a AC, vemos que el sentido es de d e r e c h a a i z quierda; por el c o n t r a r i o s situándonos en el punto B con los pies dirigidos t a m bien hacia 0 y m i r a n d o a F/G.2-25& A'C'd sentido es de izquiejr da a d e r e c h a . 3„ S i m e t r í a r e s p e c t o a un plano. - L l a m a m o s s i m e t r í a r e s p e c to al plano xy, fig„ 3-25§, a una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva o

• • R

tal que a cualquier punto A(x,y, z) del espacio R

se le asocia

-232-

otro A ' f x ' y ' z ' ) de modo que A A l xy y si e s P = AA'H xy se verifica: A(xty,z)

PA* = - PA

(1)

Sin m á s que fijarnos en la figura 3-25^' encontramos las ecuaciones analíticas de la s i m e t r í a especular (respecto a un plano en este caso el xy):

A'(x',y'z')

= X

y* = y FIG. 3-25*

z r

y en forma m a t r i c i a l

(2)

x a'/

1 0 0 1 0 0

- -z \

-1 1

u Y

l a s s i m e t r í a s r e s p e c t o a los planos yz } zx tienen como ecuacio nes a n a l í t i c a s , las siguientes: / x

•1

0 0

0 1 0

0 0 l\

y \ z

1 0 0

0 -1 0

0\ 0

/x y

De la definición (1) sacamos las siguientes conclusiones: T o dos los puntos del plano de s i m e t r í a son dobíes ? las r e c t a s y planos p e r p e n d i c u l a r e s al plano de s i m e t r í a también son dobles; los razonamientos de las t r a n s f o r m a d a s de r e c t a s se reducen a razonamientos de s i m e t r í a s axiales en el plano perpendicular al de s i m e t r í a que contiene a la r e c t a que q u e r e m o s t r a n s f o r m a r , siendo el eje de dicha s i m e t r í a la i n t e r s e c c i ó n de ambos planos. Aplicando las ecuaciones (2), si un plano es paralelo al de si o

xy_ k que también es p a r a l e l o ; si el pía metria z = k z = no c o r t a al de s i m e t r í a como esta r e c t a de corte es doble se t r a n s f o r m a en otro plano que la contiene, pudiéndose c o m p r o b a r

-233-

que el plano de s i m e t r í a es el plano b i s e c t o r de uno de los d i e d r o s formados por ambos, Esta t r a n s f o r m a c i ó n es involutiva, conserva la alineación y ordenación de puntos, las distancias y los ángulos y cambia al igual que la s i m e t r í a central el sentido, 4, Simetría axial, - L l a m a m o s s i m e t r í a axial r e s p e c t o a l a r e c ta O Y a una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva

f{A(x,y,z)

tal que dada una r e c t a y = OY , cualquier punto A(x, y, z), fig. 4-25?, se asocia con otro A' (x* , y ' , z' ) situado en la pejr pendicular por A a la r e c t a O Y, de modo que si e s P el pie de dicha p e r p e n d i c u l a r , se verifi ca: PA'

y' z

= y = - z

por lo tanto las ecuaciones analíticas en forma m a t r i c i a l de o , O , O , son: y

xM y \z7

/-I 0 i 0

(1)

Observando los triángulos PA A y PA*A* e n c o n t r a m o s las ecuaciones analíticas r e s p e c t e al eje OY:

h'Myiz')

FIG.4-25*

0 01 \x\ 1 0 y 0 -li zj

x • 1

I10 -10 00\ 0 0, -lj

/ :

1 f ° °\ = 0-1 0

«7

lo 0 1/

X >

/x\ y

respectivamente. En esta s i m e t r í a axial son dobles: Los puntos del eje de s i m e t r í a , y todas l a s r e c t a s y planos p e r p e n d i c u l a r e s al m i s m o . S i r l O Y y rflOY = $ se t r a n s f o r m a en o t r a r e c t a r M j r , b a s t a para verlo comprobar que la s i m e t r í a axial r e s p e c t o a OY en este caso coincide con la s i m e t r í a c e n t r a l en el plano que con-

-234-

tiene a r y es perpendicular al eje de s i m e t r í a , y centro el pun to de corte de este plano con dicha r e c t a OY, Esta transformación es involutiva, .conserva la alineación ordenación de puntos, las d i s t a n c i a s , ángulos y sentido,

5, Giro, - Llamarnos giro de eje OZ, fig, 5-25§, y amplitud a , a una t r a n s f o r m a c i ó n biyectiva G a (OZ^R-^KR , tal que cual quier punto A(x,y, z) se t r a n s forma e n o t r o A ' ( x ' y ' z ' ) de modo que ambos están en el plano perpendicular por A al eje OZ, y s i es P el punto de A'0í',¡fiz') corte de este plano con este eje se verifica:

A(x,y,z)

PAS = PA siendo ángulo (PA,PA?)=ct

At(^,yt0)

de esta definición y de (3) de (19-, 5) , s a c a m o s las ecuaciones analíticas del giro en el e£ pació, que son:

FIG.5~25* x* = x cosoc- y s e n a j y' = x sen<x+ y cosoc > o sea: y

/ c o s a - s e n a Q\ senacos« 0 \ 0 0 1

y z

Además del eje de g i r o , y de los puntos del m i s m o son dobles los planos p e r p e n d i c u l a r e s a el. Esta t r a n s f o r m a c i ó n conserva la alineación y ordenación de puntos, las d i s t a n c i a s , los ángulos y sentido. 6. Producto de s i m e t r í a s , - Veamos a quien es igual el produc too o o , tenemos según (25§,3): xy yz x 0 o (xfylz)^(x,,y,,z'): 1 o y' 5 0 1 z si ahora aplicamos o s t e n e m o s : ^ xy

-235-

I x"\

\ z"¡

/l 0

0 1

0\ 0

y z

por lo tanto, /l

O-w-cr ° CJ

(x,y,z)-^

^(x

y ,z»):

y z

o\ /-l 0 0\ 1 0 o 0 4/ \0 0 1/

y por (25§,4) tenemos que: o ° o xy yz

luego, el producto de dos s i m e t r í a s e s p e c u l a r e s de planos perp e n d i c u l a r e s es una s i m e t r í a axial de eje la r e c t a de c o r t e de estos dos planos; se puede c o m p r o b a r fácilmente que este pro ducto es •conmutativo, 2 a C o r o l a r i o : oa o a ~ (cr__oa_Jo(a^oo_ oo ) = o .= rrrr o ( ° _ ^ ^ ° yx zx' y

yx'

= O o o = o . yz zx z

o sea, el producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes perpendicul a r e s es o t r a s i m e t r í a axial, de eje la r e c t a perpendicular al plano definido por ambos por su punto de c o r t e . Es fácil d e m o s t r a r que el producto de dos s i m e t r í a s especul a r e s de planos que forman un ángulo a, e s un giro de eje la r e c t a de i n t e r s e c c i ó n de a m b o s , aplitud 2 ce y sentido del pri~~ m e r plano que se aplique al segundo. Se r a z o n a r á g e o m é t r i c a mente ¿sobre p l a n o s , p e r p e n d i c u l a r e s a la i n t e r s e c c i ó n de a m b o s , reduciéndose la d e m o s t r a c i ó n a la que hicimos en I de (19^, El producto de dos s i m e t r í a s e s p e c u l a r e s de planos p a r a l e l o s , t r a s l a c i ó n siendo el modulo del v e c t o r t r a s l a c i ó n el do ble de la distancia entre los dos planos, dirección perpendFcular a los m i s m o s y sentido del p r i m e r o que se aplica al s e es una

-236-

gundo„ Se razonara geométricamente sobre planos perpendiculares a ambos, reduciéndose la demostración a la que hicimos en (185,4), EJERCICIOS 1. Dado el triedro tr ir rectángulo de aristas x, y, z se consideran las simetrías S , S , S cuyos ejes son aquellas aris tas, a) Calcular S o S . b) Si I es la transformación iden tica., demostrar que el conjunto A {i, S , S , Sz] es un grupo respecto a la multiplicación de transformaciones» - c)For mar la tabla de multiplicar de dicho grupo. (E. P, ). 2, Determinar el movimiento del espacio igual al producto de dos simetrías respecto de ejes secantes, a) Aplicando el re sultado anterior determinar el producto: Szo S o S de tres simetrías respecto de tres ejes x,y ( z aristas de un triedro trirrectángulo, (E. P. ). -o»

-237-

LECCiON 26 GEOMETRÍA SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA -o-

1„ Triángulo esférico. - Llamamos triángulo esférico a la inter_ sección de un triedro con vértice en el centro de la esfera , con esta superficie. Las caras del triedro interceptan en dicha esfera arcos ABS BC y AC, fig. 1-26^ que son los lados del triangulo esférico. La medida de estos lados es la misma que la de la cara correspondiente del trie dropes decir, la medida del lado AB es la del ángulo central que abarca el arco AB, o sea, el ángulo AOB, Los ángulos del triángulo esférico son FIG. 1 -26* iguales a los ángulos diedros del triedro, es decir, el ángulo A, por ejemplo, es el diedro definido por los planos que contienen a las caras OAB y OAC. 2„ Relación entre los elementos de un triángulo esférico, - Vamos a estudiar la variación de la suma de los lados y ángulos de un triángulo esférico, viendo antes las relaciones de desigualdad entre los lados de un triangulo esférico, que por lo dicho antes, serán las mismas que existen entre las caras de un triedro, I, Toda cara de un triedro es menor que la suma de las otras dos, y mayor que su diferencia» En efecto, sea el triedro de aristas a,b,c, fig* 2-26^= Supongamos que existe una cara ac que sea la mayor, des- pues veremos que si no es a s i l a demostración es trivial," l l e vamos un ángulo igual a la cara ab sobre la cara ac; sea el de^ finido por las rectas a y AD; entonces, llevando sobre la arista b el segmento AE = AD, tenemos que ios triángulos ABD y ABE son iguales^ pues tienen el lado AB común» el AE = AD y el ángulo comprendido es el mismo, Sacamos como consecuen cia que el segmento DC es menor que EC, pues en caso contra rio se verificaría en el triángulo BEC que el lado BC sería ma

238-

yor que la suma de los otros d o s . Los triángulos ADC y AEC tienen dos lados iguales; por lo tanto, s í D C es menor que EC, los ángulos en A de estos triángulos tendrán la m i s m a relación de desigualdad, es de c i r , ángulo DAC m e n o r que ángulo be; y como el ángulo DAC es i g u a l a la diferencia del ángulo ac y ab, p o demos e s c r i b i r : ac - ab < be FIG.2-26*

y sumando a los dos m i e m b r o s de la desigualdad ab, e n c o n t r a mos ac < ab + be propiedad que nos dice que una c a r a de un t r i e d r o es menor que la suma de las o t r a s dos y mayor que su diferencia. Si no hay una c a r a m a y o r que l a s o t r a s , la propiedad es ciejr t a , pues por lo menos hay o t r a igual a ella. Aplicado al triángulo esférico tenernos que'Un lado es menor que la suma de los o t r o s dos y mayor que su diferencia" . II» La suma de las c a r a s de un t r i e d r o es menor que cuatro r e c tos. En efecto, en la figura a n t e r i o r nos fijamos en el t r i e d r o bea* donde a' es la s e m i r r e c t a opuesta de a; las c a r a s de este t r i e dro son b a ' •= 180°~ab; c a ' = 180°~ac; y b e ; por la propiedad an t e r i o r podemos e s c r i b i r ; be < ba 7 + c a ' ,

o sea

be < (180°- ab) +(I80°-ac) De donde be + ab 4- ac < 360° = 4 R 3, T r i e d r o polar de uno dado. - Dado el t r i e d r o mnp, fig, 3-26^

-239-

se l l a m a t r i e d r o polar de él al m ' n ' p * que s e h a obtenido de l a si g u i e n t e f o r m a : l a m* e s l a p e r p e n d i c u l a r a l a c a r a np p o r el v é r t i c e d e l t r i e d r o d a d o ; p* y n s l a s p e r p e n d i c u l a r e s p o r el m i s m o punto a las caras mn y mp, respectivamen te. Según e s t o y el p l a n o definido p o r las s e m i r r e c t a s m ' p s e s perpendj. c u l a r a la a r i s t a n del p r i m e r o , Sean r y s l a s r e c t a s i n t e r s e c c i ó n de e s t e plano con los de l a s c a r a s np y rnn r e s p e c t i v a m e n t e ; corno los ángulos formados por las semí r r e c t a s r y m* y s s y p* s o n d e 9 0 ° FIG. 3-26* e l d i e d r o (3 d e a r i s t a n d e l p r i m e r o y la c a r a m ' p ' del polar son suple m e n t a r i o s . De la m i s m a f o r m a d e m o s t r a r í a m o s que la c a r a nf p ' y e l d i e d r o a d e a r i s t a m a l i g u a l q u e l a c a r a m ' n 1 y el d i e d r o Y de a r i s t a pv t i e n e n la p r o p i e d a d de que su s u m a e s 180°, E s c r i b i m o s ^ p u e s : m'p* + M80°

n'p'+a

180

m* n* +Y

180

(1)

C o m o t a m b i é n m ' n* p ' t i e n e c o m o t r i e d r o p o l a r a l m n p , p o demos escribir: mp+¡3* --180°

np+a*

=180°

m n + Y'= 180°

(2)

S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s (l) e n l a d e s i g u a l d a d 0 < m ' p ' 4- n ' p ' + m'n d e m o s t r a d a en la p r e g u n t a a n t e r i o r s

< 4R

tenemos:

0 < 1 8 0 ° - P + 1 8 0 ° - a + 1 8 0 ° - Y < 4R de donde 0 < - ( a + p + Y) +

6R < 4R

m u l t i p l i c a n d o p o r (-1) s a b e m o s q u e c a m b i a e l s i g n o d e l a des_i g u a l d a d p o r lo que e n c o n t r a m o s : 0 > (<x+ p+Y) + 6R > - 4 R

-240-

y sumando 6R a cada uno de los miembros de esta desigualdad, obtenemos, finalmente: 6 R > c t + P + Y> 2R que nos dice que la suma de los ángulos diedros de un triedro está comprendida entre dos y seis rectos. Traducida esta pro piedad a los triángulos esféricos, podemos afirmar que "La suma de los ángulos de un triángulo esférico está, comprendí da entre dos y seis r e c t o s " . Si dos caras de un triedro son iguales, lo son también los driedio s opuestos a estas caras. En efecto, basta trazar el pía no bisector de arista donde concurren las dos caras iguales ; aplicando luego la simetría especular respecto a este píanosla mitad del ángulo diedro se transforma en la otra mitad; y la arista de una de las dos caras iguales por la que no pasa el plano bisector se transforma en la otra arista de la otra cara igual por donde tampoco pasa dicho plano; es decir, las aris tas de las caras iguales que no están en el plano bisector, son homologas en dicha simetría especular, o sea, están en un pía no perpendicular al bisector. Entonces, el ángulo formado por una de las caras iguales y la tercera cara desigual del triedro se transforma en el ángulo diedro formado por la otra cara igual y la t e r c e r a cara desigual, es decir, se verifica que son iguales los ángulos diedros opuestos a las caras iguales. "Si un triángulo esférico tiene dos lados iguales, sus á n g u los opuestos son también iguales", Pasando al triedro polar, esta propiedad se convierte en la siguiente: Si dos diedros de un triedro son iguales, las caras opuestas también lo son; expresada esta,propiedad para l o s t r i ángulos esféricos, podemos decir que , "Si un triángulo esférico tiene dos ángulos iguales sus lados opuestos, también son iguales". 4. Igujaldad de triedros y triángulos esféricos. I. Si dos triedros tienen respectivamente iguales dos caras AVByBVC, fig. 4-26,5, c o n l a s A ' V ' B ' y B ' V ' C y el

-241ángulo diedro que definen, son iguales, En efecto, basta llevar la a r i s t a V ' B ' sobre la VB, los die-dros, por ser iguales podemos hacerlos coincidir; por lo tanto, los planos definidos por V'B'A* y V ' B ' C se superpo nen con los planos de las car a s VBA y VBC, respectiva mente. Además, por ser igua les las dos caras p r i m e r a s a las dos segundas, coinciden también las aristas V'A'yV'C* con las VA y VC por lo tan to, queda pues demostrado que FIG. 4-26* son iguales. Podemos decir , entonces que "Dos triángulos esféricos que tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido, son iguales". II. Si dos triedros tienen iguales una cara y los dos diedros contiguos, son iguales. En efecto, los triedros polares de estos dos tendrán das caras iguales y el ángulo diedro comprendido; por lo tanto, serán iguales. Entonces, y apoyándonos en las formulas que ligan caras de un triedro con ángulos diedros de su polar, sacamos lá igualdad de los triedros primeros. Tenemos, pues, que "Dos triángulos esféricos que tienen un lado igual y los ángulos correspondientes a él iguales, son iguales". III. Dos triedros que tienen sus caras iguales, son iguales. En efecto, tomamos las distancias V'A* = V' B ' = V ' C ' iguales a VA = VB = VC. Entonces, la proyección de V' sobre el plano definido por A.'B'C* es el circuncentro del triángulo A* B'C*, ya que el lugar geométrico délos puntos de un plano que equidistan de un punto del espa ció es una circunferencia de centro la proyección de este punto sobre dicho plano. El mismo razonamiento r e s pecto al punto 0 proyección de V sobre el plano definido

-242-

p o r ABC; como los triángulos VAB, VBC, V A C . y V ' A ' B ' , V ' B ' C * , V ' A ' C * son iguales por tener dos lados y el ángulo comprendido iguales, r e s u l t a que los t e r c e r o s lados AB, BC , CA, son iguales a los A* B ' , B * C ' f C ' A ' . Es d e c i r , los t r i a n gulos ABC y A ' B ' C ' son iguales. Además OV = O ' V * , ya que se pueden c a l c u l a r sus v a l o r e s en los triángulos rectángulos VOB y V ' O ' B ' i g u a l e s , pues VB - V ' B ' , por construcción y OB = O ' B ' por s e r los radios de l a s c i r c u n f e r e n c i a s c i r c u n s c r i t a s a los triángulos ABC y A ' B ' C ' que son iguales. Asi, p u e s , con todas e s t a s consecuencias sacadas llevamos el t r i a n guio A ' B ' C sobre el ABC, pudiendo hacer coincidir O con O' , y la longitud OV con O ' V ; por lo tanto, un t r i e d r o se superpondrá sobre el otro y quedará d e m o s t r a d o que son iguales. Refiriendo e s t a propiedad a los triángulos e s f é r i c o s tenemos : "Dos triángulos e s f é r i c o s que tienen t r e s lados iguales, son igua les". IVo Dos t r i e d r o s que tienen sus ángulos d i e d r o s iguales son i g u a l e s . Basta p a s a r al t r i e d r o polar de cada uno y el razonamiento es el m i s m o que en el segundo c a s o . Así pues "Dos triángulos e s f é r i c o s que tienen sus t r e s ángulos iguales, son i g u a l e s " . -o-

-243-

LECCÍON 27 EXCESO ESFÉRICO

TRIÁNGULOS POLARES -o

1. E x c e s o e s f é r i c o . - L l a m a m o s e x c e s o e s f é r i c o 2E de un poli gono de n l a d o s , a l v a l o r : 2E = A,+ A„+ . . . + A - ( n - 2 ) 180° 1 2 n s i e n d o A , A , , . , , A l o s á n g u l o s d e l p o l í g o n o . El e x c e s o esfei r i c o v i e n e e x p r e s a d o p u e s en g r a d o s o r a d i a n e s » En el c a s o p a r t i c u l a r de un t r i á n g u l o , t e n e m o s : 2E = A + B + C - 180° 2. T r i a n g u l o p o l a r de uno d a d o . - Si t e n e m o s un t r i e d r o m n p , fi g u r a l - 2 7 § , y su t r i e d r o p o l a r m* n ' p ' y h a l l a m o s la int e r s e c c i ó n de e l l o s con una e s f e r a de c e n t r o V, e n c o n t r a mos dos triángulos esféricos A B C y A ' B ' C que p o r d e f i n i c i ó n - d e c i m o s que s o n polar e s el uno d e l otro„ Según ejs t a c o n s t r u c c i ó n , (26^,1) y (1) y (2) de (26§, 3), p o d e m o s escribir: B + b ' = 180°

A + a'= 180° C+c'=180°

B'+b = 180o

A'+a =180* C'+c=180°

E s t a s seis igualdades nos l i gan l o s l a d o s y á n g u l o s de un t r i a n g u l o e s f é r i c o , con l o s án g u l o s y l a d o s de s u t r i á n g u l o F/GJ-27Spolar. 3. Á r e a de un t r i á n g u l o e s f é r i c o . - Sea el t r i á n g u l o e s f é r i c o -

-244-

ABC» fig. 2~27§, y la esfera de radio R; si s u m a m o s l a s á r e a s de los husosr (ABA», A C Á ' ) ; ( B A ' B \ B C ' B*); ( C B C , C A C ) de amplitudes A, B y C r e s p e c t i v a m e n t e , t e n e m o s : 2 2 nR 2 A R (A + B + C) S = 90° , TXR B ,nR C n +

90° „„' —

90°

900

Considerando el á r e a del segundoihusocomo la suma de l a s á r e a s de los triángulos esféri eos ABC y BA*C* ya que los t r j ángulos ABC y A ' B ' C son igua l e s , pues fijándonos en la figur a 2~27§ la medida del lado BC y del B ' C * es la m i s m a , o s e a , a ; con los otros dos lados ra»o n a r í a m o s de igual f o r m a , asi pues toda el á r e a considerada en S está en la s e m i e s f e r a s u p e r i o r de borde la circunferencia AC f A,' C, recubriéndola toda una sola v e z , excepto en el triangulo esférico ABC que lo hemos considerado t r e s veces, asi pues, tenemos:

FIG.2-2V

S = á r e a de la s e m i e s f e r a + 2 S ABC O sea: —

(A + B + C) = 2nR S

+2 SABC

de donde:

ABC l80^(

A + B

+ C

180

°)

nR E 90°

Si los ángulos se e x p r e s a n en r a d i a n e s : SAO^

= R 2 (A + B 4- C - n ) = 2 R

-245-

Noción de ángulo solido, - Llamamos ángulo solido de un poliedro, de un cono, . . . al conjunto de puntos del espacio interiores a los mismos. Su medida viene dada por el área del polígono esférico, 'casquete. «, . que intercepta en ellos una esfera de centro el vértice del poliedro, cono, . . . y radio R, Si R = 1 la medida del ángulo solido decimos, por definición, que viene expresada en estereoradianes. Apoyándonos en la formula del área de un triángulo esférico, podemos calcular la de un polígono esférico sin más que descomponerlo en t r i ángulos , tendremos: 2

n R

S ÍA +A + +A -fn-2H80°l= ~—— A, A , . . . A 1809 L V 2 + '*' n {n ¿>LW J 90° 1 2 n en radianes: 2 2 SA A . =R [A,+A#Í+...A -(n-2k]= 2R E v A t A_... A 1 2 n ' ^ 1 2

EJERCICIOS Sabiendo que el área de un triángulo esférico equilátero, es igual a un circulo máximo, calcular los ángulos de dicho tri ángulo. (E. P. )c Calcular el ángulo solido de una superficie cónica, que al trazar un plano perpendicular a su eje a distancia 8 cm. del vértice a interceptado una circunferencia de radio 8 Y"3/3l Si un triangulo esférico ABC sobre una esfera de radio dos metros, tiene un área de 7 m , ¿Qué volumen tendrá la pirámide esférica de vértice el centro de la esfera y base di cho triángulo?

-246-

LECCÍON 28 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA.GRUPOS DE BESSEL ~o-

1„ P r i m e r grupo de B e s s e L - Sea el triángulo esférico ABC, figura l-28§3, sobre una esfera de radio R. Proyectarnos A so b r e el plano OCB y sea A s su proyección. Si t r a z a m o s el plano que con tiene a AA* y es perpendicul a r al segmento OC, c o r t a r á a la c a r a OAC según el s e g mento AD y a la c a r a OBC ,. según la r e c t a definida por DA*. En el triángulo r e c t á n gulo OAD, recto en Df AD=. = Rsen b, ya que el ángulo AOC F/G.t-28es l a m e í j i ( 3a del lado AC del triángulo esférico; y OD =.R eos b. P o r s e r el ángulo ADA* igual a C , ya que es una sección r e c t a del diedro formado por las c a r a s AOC y BOC,

DA? = AD • eos C = R sen b - c o s C La quebrada ODA'A tiene como resultante OA, es d e c i r , proy O A = proy OD + proy DA' + proy

A'A

(1)

Esto se verifica independiente del eje e sobre el que se proyecta. Sí lo proyectarnos sobre el eje OB, e n c o n t r a m o s : p r o y . OA=R eos c; proy OD=OD. eos a=R eos b. eos a; proy DA* = = DA* sen a - R sen b eos C sen a;proy A' A = 0 . y sustituyendo estos v a l o r e s en (1), t e n e m o s : R eos c ~ R eos a eos b + R sen a sen b eos C s es d e c i r : eos c = eos a eos b -f sen a sen b eos C Si cambiamos los v é r t i c e s de forma que C este en la posi- -

-247-

ción del A y lo p r o y e c t a m o s al igual que hicimos con este¡ operando de forma análoga, obtendríamos: eos a = eos c eos b + sen c sen b eos A Haciendo lo m i s m o con el B: eos b = eos a eos c + sen a sen c eos B E s t a s t r e s formulas componen lo que l l a m a m o s p r i m e r g r u po de Besselc 2„ Segundo grupo de BesseU - Aplicando al triangulo polar la S£ gunda formula del p r i m e r grupo» c o s a ' = eos b ' eos c ! + s e n b ' s e n c ' eos A'

(1)

y como por (27^, 2) a8 = 180°-A; b ' = 1 8 0 ° - B ; c* = 180°~C ; A' =180°-a Sustituyendo estos v a l o r e s en (l), t e n e m o s : cos{180°-A)=cos(180O-B)cos(180O-C)l-sen{l80O-B)sen(180O-C)cos(180OOperando eos A = - e o s B eos C + sen B sen C eos a A nálo garriente: eos C = - eos A eos B + sen A sen B eos c eos B = - eos A eos C + sen A sen C eos b E s t a s t r e s formulas completan el segundo grupo de Bes s e l . 3 0 T e o r e m a de los senos, - En el triangulo ADA'

tenemos:

AA' = AD sen C = R. sen b sen C

(1)

y en el triángulo AA* E que esta formado por el lado AAS y l a s i n t e r s e c c i o n e s del plano que contiene a A A* y es perpendicular a OB con l a s c a r a s OAB, OBC, se verifica: AA* = AE sen B = R sen c sen B Igualando (1) y (2), obtenemos: R sen b sen C = R sen c sen B.

(2)

-248-

o sea:

sen C sen c

sen B sen b

(3)

si cambiamos los v é r t i c e s A y C , e n c o n t r a m o s por el m i s m o razonamiento a n t e r i o r , sen A _ sen B (4) sen a sen b de (3) y (4), sacamos el teorema de los senos:

sen A sen a

sen B sen b

sen C sen c

que l l a m a m o s t e r c e r grupo de B e s s e l . 4. Cuarto grupo de B e s s e l . - Si en la p r i m e r a formula del p r i m e r grupo sustituimos eos a por su valor expresado m e d i a n te la segunda formula del m i s m o grupo, y sen a del grupo t e r c e r o , tenernos: eos c = (eos c eos b + sen c sen b eos A)cos b + , sen A sen c _ Z + sen b — eos C - eos c eos b + sen C + sen c s e n b eos b eos A + sen -A sen c sen b cotg C •2 , Pasando eos c eos b al p r i m e r m i e m b r o , tenemos después de sustituir: 2 2 1 - eos b = sen b y dividir ambos m i e m b r o s por el producto sen b sen c, sen b cotg c = eos b eos A + sen A c t g C Igual podíamos haber hecho en la m i s m a formula de la que hemos partido con eos b y sen b y hubiéramos obtenido o t r a formula del tipo a n t e r i o r , y como en el p r i m e r grupo hay t r e s f o r m u l a s , s a l d r á n l a s s e i s siguientes: — ' — • • • -

sen b ¡ ctg c

•

' • * • • • • *

•

— — • - • » •

•

i -•

=cos b . eos A+sen A* ctg C

sen b . ctg a = eos b • eos C+sen C' ctg A

•

-249-

sen a • ctg b - eos a

<• e o s C -f

sen Ooctg B

sen a * ctg c = eos a * eos B + sen B'Ctg C sen c * ctg a = eos c * eos B -f- sen B »ctg A sen c " ctg b = eos c • eos' A + s e n A . ctg B Que componen lo que designamos cuarto grupo de Bes sel. -o-

-250. LECCIÓN 29 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS o

1. F o r m u l a s p a r a la resolución de triángulos rectángulos. -Pentágono mnemotecnico de Neper, - Supongamos que A - 90°, • Entonces, sustituyendo en los cuatro grupos de B e s s e l : sen A = 1

eos A. = 0

ctg A = 0,

obtenemos: eos a = eos c eos b 0 = - c o s B c o s C + s e n B s e n C eos a I sen B sen a sen b sen b cotg c = ctg C

^cos C = sen B eos c sen C eos b sen C sen c s e n b ctg a = c o s b c o s C

sen c ct g a = eos c eos B

sen c c t g b = ctg B (l) Con e s t a s diez fórmulas podemos r e s o l v e r cualquier triángu lo esférico rectángulo. De la formula (1) v e m o s que si b es agu do también lo es B, ya que sen c es s i e m p r e positivo pues c es_ tá comprendido e n t r e 0 o y 180° # luego en todo triángulo r e c t á n guio a lado agudo se opone ángulo agudo y viceversa» Lo m i s m o p a s a si es obtuso. Todas e s t a s formulas podemos e s c r i b i r l a s apoyándonos en la regla mnemotecnica de Neper, Sea el pentágono, fig, 1-29^: El coseno de cada elemento es igual al pro ducto de las cotangentes de los elementos contiguos, o de los senos de los elemen tos opuestos. 9°'~c

Fié. 1-29*

90<> b

2S Calculo de los ángulos d i e d r o s de una p i r á m i d e r e g u l a r , Supongamos una p i r á m i d e r e g u l a r de n c a r a ^ , fig. 2 - 2 9 - , de a r i s t a l a t e r a l m y a r i s t a de la b a s e d. Con centro en D, t r a z a m o s una esfera que corta a la a r i s t a VD en el punto B , a la a r i s t a DE en el punto C y a la r e c t a definida por HD en

-251el punto A, Se nos ha formado pues* el t r i ángulo esférico ABC; llamando: AB = c

BC=a

AC = b

Vamos a calcular los elementos de dicho triángulo. En el triangulo VDE, tenemos : eos a ~ 2 m b es la mitad del ángulo del polígono regul a r de n lados de la b a s e , o sea, b

90° (n-2) = n

900

180° n

A ~ 90°; B es 3a mitad del diedro que forman dos c a r a s l a t e r a l e s consecutivas de la p i r á m i d e ; C es el ángulo diedro que forma una c a r a l a t e r a l con la b a s e . Aplicando el pentágono de ÍJep e r y el c r i t e r i o c o r r e s p o n d i e n t e , e n c o n t r a m o s : sen b = sen a

sen B

despejando sen B , tenemos: 2m eos

sen B =

180° n

^ 4 m 2-d2

y también: eos C = ctg a„ tg b =

fW-d

Ctg 180° n

Cálculo del ángulo diedro de un poliedro r e g u l a r , - Sea V un v é r t i c e de un poliedro r e g u l a r , fig i 3-29~, 0 el centro del m i s m o y P el centro de una de sus c a r a s ; si con centro en V t r a z a m o s una esfera que d e t e r m i n e el triángulo e s férico ABC» tenemos: 180° C = 90°; A n / F/G. 3-29$-

-252-

s i e n d o n el n u m e r o de a r i s t a s c o n c u r r e n t e s en un v é r t i c e d e l poliedro; 180o CB^SOUm^ m

s i e n d o m el n u m e r o de l a d o s d e u n a cara.

_180

90°~AC

S0°-CB^

FlGA-29*

d e donde

A p l i c a n d o N e p e r , fig. 4-29*?, al t r i. a* n guio r e c t á n g u l o A B C , o b s e r v a n d o que B e s l a m i t a d d e l ángulo d i e d r o 6 que f o r m a n dos c a r a s c o n s e c u t i v a s , t e n e mos: 180° 5 180° eos = s e n -r • s e n n 2 m

P a r a p r o b l e m a s , s e r á i n t e r e s a n t e r e c o r d a r el s i g u i e n t e c u a dro:

Poliedros Regulares

E x a e d r o o cubo . . . . Octaedro. Icosaedro „ . . . . . . .

N9 d e l a d o s N5 de a r i s t a s de una c a r a c o n c u r r e n t e s en un v é r t i c e n m 3 4 3 5 3

3 3 4 3 5

4* R e s o l u c i ó n de t r i á n g u l o s r e c t i l á t e r o s . - D e c i m o s que un t r i ángulo e s r e c t i l á t e r o c u a n d o t i e n e un lado de 9 Ó ^¡Supongamos a = 9 0 ° . E n t o n c e s e o s a = 0, s e n a - 1, ctg a = 0. S u s t i t u y e n d o e s t o s v a l o r e s en l o s c u a t r o g r u p o s de B e s s e l , encontramos:

-253-

0=cos c eos b + s e n c . s e n b cosA

feos c = sen b eos C eos b = sen ., sen < sen A = sen

eos A = - eos B eos C . sen C j sen A = S sen c

c eos B B rb

0= eos b eos C + sen C ctg A

ctg b = sen C ctg B

ptg c = sen B ctg C

0 = eos c eos B + sen B ctg A

WQo-Á

Al igual que en los triángulos rectan gulos, aquí tenemos el siguiente penta gono, fig, 5-29§„ En el que aplicamos el m i s m o c r i t e r i o del a n t e r i o r .

90"~c

90°~B

FIG. 5-29$

EJERCICIOS

1, Dado el triángulo esférico equilátero ABC, de lado igual a 60° sobre una superficie esférica de radio 1, , se pide: a) Calcular el coseno del ángulo A. - b) el coseno de 3A. - c) El exceso es^ férico del triángulo ABC. - d) El á r e a del triángulo ABC. (E 0 P.). ' 2e El t e t r a e d r o r e g u l a r OABC tiene de a r i s t a 1 m . Calcular, el á r e a del triángulo esférico que el t r i e d r o del t e t r a e d r o de v é r t i c e 0 d e t e r m i n a en la esfera de centro 0 y radio 1 m . Caí cular también el á r e a del triángulo esférico polar. (E. P „ ) . 3. En una e s f e r a de 1 m. de d i á m e t r o se tiene un triángulo esfé rico ABC equilátero, cuyo p e r í m e t r o es re r a d i a n e s . Calcular a) Exceso esférico del triángulo A / B ' C ' polar del ABC. -b) Á r e a del triángulo esférico A* B* C*. (E. P„ )„ 4. De un triangulo esférico t r a z a d o en una e s f e r a de |1» ó, m . de radio se conocen: B = 108<> 32'

C = 71° 52 J

A. = 90°.

Se pide: a) R e s o l v e r el triángulo; b | Hallar su superficie en dm ; c) Volumen de la p i r á m i d e e s f é r i c a con v é r t i c e en el

-254centro de la e s f e r a y base el triángulo, (E0 P . ). 5C En un octaedro r e g u l a r de 20 cm. de a r i s t a , c a l c u l a r : a) El diedro formado por dos c a r a s contiguas; b) el radio de la es fera i n s c r i t a ; c) El á r e a total y el volumen de este cuerpo. 6. Calcular el á r e a y el diedro básico de una p i r á m i d e pentago nal r e g u l a r , cuya b a s e tiene de lado 5 m e t r o s y el diedro for^ mado por dos c a r a s l a t e r a l e s consecutivas es de 120°, 7. Calcular: a) El á r e a de un triángulo esférico ABC cuyos l a dos tienen 6,583 mu ; 8,512 m . y 10*622 m . de longitud, r e s pectivamente» sabiendo que el radio de la esfera es 8 m, -b) El á r e a del triángulo rectilíneo A B C - c) El volumen del t e t r a e d r o OA.BC, siendo O el centro de la esfera, ( E . P , ) . -o-

-255»

LECCIÓN 30 APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA A LA ESFERA TERRESTRE -o1, F o r m a de l a T i e r r a . - L a f o r m a de la T i e r r a h a sido d e s d e m u y antiguo objeto de e s t u d i o p a r a el s e r h u m a n o ; la u l t i m a c o n c e p c i ó n que t e n í a m o s de l a m i s m a e r a a p r o x i m a d a m e n t e l a de un e l i p s o i d e , a u n q u e en r e a l i d a d por l a s d e f o r m a d o n e s de l a T i e r r a ( m o n t a ñ a s ) , ha de c o n s i d e r a r s e n a d a m á s que en s e n t i d o t e ó r i c o , p u e s e s t e e l i p s o i d e s e c o n s i d e r a pa s a n d o u n a s v e c e s p o r e n c i m a de la s u p e r f i c i e l i b r e de los m a r e s y o t r a s p o r debajo de a l g u n o s n ú c l e o s m o n t a ñ o s o s , El c u e r p o l l a m a d o T i e r r a en e s t a c o n c e p c i ó n s e le l l a m a geoide. Con l a s t í l t i m a s i n v e s t i g a c i o n e s que se h a n podido h a c e r g r a c i a s a l o s s a t é l i t e s , a r t i f i c i a l e s , p a r e c e s e r que l a f o r m a de e l i p s o i d e no s e a d a p t a d e m a s i a d o a la f o r m a d e l a T i e r r a y s e ha l l e g a d o a l a c o n c l u s i ó n de que su f o r m a e s p a r e c i d a a una pera. 2-, D e f i n i c i o n e s p a r a el e s t u d i o de la p o s i c i ó n de un punto d é l a T i e r r a . - P o l o s t e r r e s t r e s : Son l o s p u n t o s donde el eje de r o t a c i ó n de l a T i e r r a c o r t a a la m i s m a , Se d e n o m i n a n polo no£ t e ( P n ) y polo s u r ( P g ) . El p l a n o p e r p e n d i c u l a r al eje de g i r o de la T i e r r a p o r el c e n t r o d e la m i s m a i n t e r c e p t a con e s t a el ecuador t e r r e s t r e . M e r i d i a n o t e r r e s t r e . - E s el s e m i c í r c u l o i n t e r s e c c i ó n de la su p e r f i c i e t e r r e s t r e con c u a l q u i e r s e m i p l a n o que t i e n e al eje de g i r o de la T i e r r a c o m o b o r d e . P a r a l e l o : L l a m a m o s p a r a l e l o t e r r e s t r e al c í r c u l o i n t e r s e c c i ó n de l a esfex*a t e r r e s t r e con un p l a n o p a r a l e l o al plano del e c u a dor. D i s t a n c i a m í n i m a e n t r e d o s p u n t o s de l a T i e r r a : Es el a r c o de c í r c u l o m á x i m o que p a s a p o r e s o s d o s p u n t o s . Se le l l a m a o r t o d r o m i c a y l o s á n g u l o s que f o r m a con l o s m e r i d i a n o s v a n v a r í a n do e x c e p t o si s e s i g u e un m e r i d i a n o o el ecuador..

-256-

Loxodromica, - Es una línea que forma ángulo constante (rumbo) con los meridianos, normalmente los barcos siguen arcos de loxodromica. 3, Coordenadas geográficas o terrestres. - Las coordenadas geográficas o terrestres son: Longitud (L) de un punto A de la Tierra, fig, 1-30?, es el arco OM, siendo 0 el punto de corte del meridiano de Greenwich con el ecuador, y Mdon de el meridiano que contiene a A corta al mismo. Podemos también decir que la longitud de un punto de la Tierra es la medida del ángulo diedro for_ FIG. 1-30Ps mado por los semiplanos que contie nen al meridiano de Greenwich y al meridiano del punto A de la Tierra que consideramos. La longitud geográfica varía de 0o a 180° E. y de 0° a 180° W. Se mide sobre el Ecuador. Latitud (<?) es el arco MA de la figura. Su variación es de 0o a 90° N„ y de 0o a 90° S, se mide sobre cualquier meridiano. Por lo dicho anteriormente vemos que hay correspondencia biunívoca entre los puntos de la esfera terrestre y el par de nu meros representados por la latidud y longitud. Dada la l o n g i tud de un punto, conocemos su meridiano; si ademas damos su latitud conocemos el paralelo donde está situado, la intersec ción nos da el punto. 4C Distancia entre dos puntos de la Tierra, - Dados los puntos A(L , 9 ) y B (L , <P ), fig. 2-30§ vamos a calcular su distan cia sobre un arco de ortodromica. Este problema se reduce a resolver el triángulo esférico P n BA siendo, fig. 2-30* P B = 90- <p_ n 2

P A = 90°-9,; P - L - L„« n 1 2 n 1

Para no tomar el signo mas o menos , tomamos las latitudes S y las longitudes W con signo "menos". Vamos a considerar los siguientes

casos:

-257-

l " 2 = °° n el p e n t á g o n o de N e p e r c o r r e s p o n d i e n t e , fig. 3 - 3 0 § nos p e r m i t e e n c o n t r a r la distancia d e n t r e los puntos A y B en función d e s u s l a t i t u d e s , e s d e c i r : e o s d = sencp

senq>„

II. El punto A. e s t á s o b r e e l e c u a d o r t e r r e s t r e , e s d e c i r , el t r i á n g u l o P BA e s r e c t i l í n e o p u e s P A = 9 0 ° n n

FIG. 2 -30 *

180°-B AB*d

AB=d

90°~%

90°-(LrL2)

F/G.3-30*

90°-A

FtG.4-30*

A p l i c a n d o e l p e n t á g o n o de N e p e r , fig, 4 - 3 0 § , o b t e n e m o s : eos d = eos cp„

cos(h.-h9)

Aunque e n e s t e c u r s o no v e m o s la r e s o l u c i ó n d e t r i á n g u l o s e s f é r i c o s c u a l e s q u i e r a , i n c l u i m o s sin d e m o s t r a r l a s f o r m u l a s g e n e r a l e s ( p r e p a r a d a s p a r a el c á l c u l o l o g a r i t m i c o ) p a r a el c a l culo de l a d i s t a n c i a e n t r e A ( L . , <P.) y BÍL/-, <P~). <P, tg

A + B

eos 9 sen

+ <P 1 2

ctg

rL2

-258-

• *

sen A-B _ JZ1 eos

2 *1 .+

1" L 2

De a q u í calculamos los ángulos A y B y por el t e o r e m a de los senos siendo d = a r c o AB, t e n e m o s : sen (L - L A c o s qp_ sen d = — -• sen A donde todo es conocido menos d que lo h a l l a m o s . El triángulo P n B A , en la m a y o r í a de los p r o b l e m a s s e r á rectángulo o rectilátero* Entonces, aplicamos los pentágonos m n e m o t é c n i c o s , como hemos hecho antes. En el caso de s e r i s ó s c e l e s se descompone en dos triángulos rectángulos igua les y si

son ángulos notables aplicamos la formula: eos d = sencp sen cp + eos cp cos<í> cos(.L - L ? ) P a r a hallar la diferencia h en h o r a s e n t r e los dos puntos A y B de la T i e r r a , tenernos: h =

15°

(con los signos de l a s longitudes, se sigue el m i s m o c r i t e r i o a n t e r i o r ) , siendo m á s t a r d e en el punto situado m á s al E, esto lo j u s t i f i c a r e m o s en (35§, 2). Ejercicio r e s u e l t o : Calcular la distancia d e n t r e dos ciudades A y B, situadas en el paralelo de 60° N, sabiendo que sus longitudes son a m b a s E y de 10° y 30° r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d é r e s e el radio t e r r e s t r e de 20000/n K m s , Solución: El triangulo P AB es en este caso i s ó s c e l e s , y, por lo tanto se puede descomponer en dos triángulos rectángulos -

-259-

>o iguales de los que se conocen el lado Pn A - P n B = 90-60°= 30°, y el ángulo P^ = 10°. Mediante el pentágono de Neper relativo a triángulos rectángulos sacamos:

d sen — ~ sen 10o- • sen 30° de donde

d = 90

^ ^

EJERCICIOS En el paralelo terrestre de latitud igual a 60° N se tienen los puntos A de longitud 30° Oeste y B de longitud 30° Este y se pide: a) Medida lineal en Kms, del arco de paralelo AB, - b) Resolver el triángulo PAB, siendo P el polo norte terrestre, para obtener el coseno del arco AB de circunferencia máxima, c) En posesión de una tabla de logaritmos calcular la graduación del arco AB de círculo máximo y su medida lineal en Kms. (E. P. ). Hallar la distancia media sobre la superficie terrestre, de dos puntos de la misma de coordenadas A(239 N, 60° E), B(57° 6' S, 30° W). (E, P. ). Las coordenadas geográficas dedos lugares situados sobre la superficie terrestre supuesta esférica, son respectivamente: A{23° 42'E, 62° 18'N) y B(113° 42' E, 18° 26' E). Hallar a) La diferencia de hora solar entre ambos lugares, b) La distancia esférica entre A y B y el área del triángulo esférico PAB, siendo P el polo norte, c) El volumen del cono que tiene por vértice el punto A y por base el ecuador. (E. P0 ). -o-

^260-

LECCION 31 COORDENADAS ASTRONÓMICAS -o-

10 D e f i n i c i o n e s . - E s f e r a c e l e s t e . - E s una e s f e r a c o n c é n t r i c a con l a e s f e r a t e r r e s t r e de r a d i o i n d e t e r m i n a d o ? donde s u p o n e m o s p r o y e c t a d o s t o d o s l o s a s t r o s » En r e a l i d a d ^ e s t o s no s e e n c u e n t r a n en una e s f e r a p u e s s u s d i s t a n c i a s a l a T i e r r a s o n m u y v a r i a d a s p e r o el poco p o d e r t e l e m é t r i c o del ojo h u m a n o e s el que c a u s a l a i m p r e s i ó n de que t o d o s e l l o s s e e n c u e n t r a n s o b r e una e s f e r a , que es la que c r e a m o s t e ó r i c a m e n t e p a r a n u e s t r o estudio» P l a n o d e l h o r i z o n t e „ - L l a m a m o s plano d e l h o r i z o n t e en un p u n to de l a T i e r r a al p l a n o t a n g e n t e a l a e s f e r a t e r r e s t r e en e s e punto» L a i n t e r s e c c i ó n de e s t e plano con la e s f e r a c e l e s t e n o s d a un c i r c u l o que l l a m a m o s h o r i z o n t e n a t u r a l o s e n s i b l e . V_ertical_de un l u g a r 0 - (Punto de l a T i e r r a ) . - E s l a r e c t a p e r p e n d i c u l a r en un punto de l a T i e r r a a l plano d e l horizonte,, E s t a r e c t a , p o r lo t a n t o , p a s a p o r el c e n t r o de la m i s m a . L o s puntos de c o r t e de l a v e r t i c a l del l u g a r con la e s f e r a c e l e s t e se l l a m a c é n i t (Z), fig» 1-31§ 9 el v i s i b l e p o r el o b s e r v a d o r y n a d i r (N) el opuesto» P o l o s d e l m u n d o , - Son l o s p u n t o s donde c o r t a a l a e s f e r a c e l e s t e la p r o l o n g a c i ó n d e l eje de g i r o de la T i e r r a (eje d e l m u n d o ) . Se l l a m a n polo n o r t e c e l e s t e (P n ) y polo s u r c e l e s t e (P K 7), s E c u a d o r c e l e s t e , - E s el c í r c u l o i n t e r s e c c i ó n d e l plano d e l e c u a d o r t e r r e s t r e con la e s f e r a c e l e s t e . Lo de s i g n a m o s p o r Q.Q*. H o r i z o n t e r a c i o n a l , - E s el c i r c u l o no. i *JÍ i n t e r s e c c i ó n de l a e s f e r a c e l e s t e con el plano p e r p e n d i c u l a r p o r el c e n t r o de l a T i e r r a a l a v e r t i c a l

-261-

dellugar. Lo denominamos por HH* „ Meridiano c e l e s t e , - Son todos los s e m i c í r c u l o s m á x i m o s tienen por e x t r e m o s los polos del mundo „

que

Meridiano del lugar. - Es el círculo que pasa por los polos del mundo y además por el cénit y nadir. Meridiano s u p e r i o r del lugar, - El horizonte divide en dos semi círculos al meridiano del lugar,, llamándose meridiano superior del lugar al que contiene el cénit. Punto norte c a r d i n a l del observador, •- El horizonte c o r t a en dos puntos al meridiano del lugar, llamándose punto cardinal norte de estos dos* al m a s próximo al polo norte c e l e s t e ; el otro pun to es el punto cardinal s u r . Línea meridiana,, - Es la línea que une los puntos norte y sur c a r d i n a l e s ; la línea i n t e r s e c c i ó n del horizonte (al hablar de horizonte sin especificar si es natural o racional, nos r e f e r i m o s s i e m p r e al racional), con el ecuador c e l e s t e es la línea éste(E) -oeste (W)c Vamos a d e m o s t r a r que esta ultima linea y la línea m e r i d i a n a son perpendiculares,, En efecto, la linea Z - N e s p e r pendicular a la linea E - W debido a que es perpendicular al pía no del horizonte» P o r otra p a r t e , la linea E- W es perpendicular también al eje del mundo, ya que este es perpendicular al plano del ecuador. Entonces el plano definido por l a s r e c t a s ZN y el eje del mundo es perpendicular a. la línea E-W; y como la línea m e r i d i a n a se encuentra en este plano, tenemos demost r a d a la. perpendicularidad antes dicha» Sentido retrogrado.-» Es el que llevan en su movimiento a p a r e n te los a s t r o s , es d e c i r , de este a oeste,, El sentido directo a s tronómico es el c o n t r a r i o al a n t e r i o r , o sea s el que lleva la T i e r r a en su movimiento r e a l de W a E. Ze P r i m e r s i s t e m a de coordenadas astronómicas„ - El p r i m e r s i s t e m a de coordenadas es el llamado de coordenadas h o r i zontales, acimutales o altacimutales„ Las coordenadas en e s t e s i s t e m a son: acimut (A) y altura fh)0 Fig„ 2-31?, Círculos que d e t e r m i n a n la posición del a s t r o , son el v e r t i -

-262-

cal del astro y el almicantarat. Llamamos círculo vertical, a todo semicírculo que tiene corno extremos el cénit y el nadir, Almicantarat es todo círculo paralelo al horizonte. La intersección de arabos nos sitúa en la esfera celeste al a_s tro A.

Para fijar el vertical del astro damos un numero A llamado "acimut" que es el arco SM de la figuras o sea el ángulo diedro definido por los pía nos que contienen al meridiano del lugar y al vertical del astro» El sentido de esta coordenada es retrogrado y por lo tantos su variación de 0o a 360°. Se mide sobre el horizonte y a partir del punto cardinal sur. La altura h de un astro fija el almicantarat del mismo, en la figura es el FIG. 2~31 * arco MA , se mide sobre cualquier ver tical y en particular sobre el meridiano del lugar3 su variación es de 0o a 90° y de 0o a -90 , a veces suele decirse que su va>* riación es de 0o a 90° altura y de 0 o a 90° depresión. En este sistema el plano y eje de referencia son el horizonte y la vertical del lugar, 3„ Segundo sistema de coordenadas astronómicas. - Sistema de coordenadas ecuatoriales horarias,, En este sistema los círculos que determinan la posición del astro A, son, fige 3-31^: Meridiano celeste o círculo horario, que es un semicírculo con extremos en ios polos del mundo. Paralelo de declinación^ que es un círculo paralelo al ecua dor celeste. La intersección de estos dos círculos nos da la posición del astro0 - En este sistema las coordenadas son: ángulo horario (H) y declinación (§)„

263El ángulo h o r a r i o nos fija el círculo h o r a r i o del a s t r o , en la figura es el arco Q ' N , siendo su origen Q s el punto donde el. ecuador c o r t a al meridiano su p e r i o r del lugar. Q

Su sentido es r e t r o g r a d o y sxi v a r i a ción, de 0 o a 360°, Se mide s o b r e el ecuador c e l e s t e , Y depende del punto de la T i e r r a donde nos e n c o n t r e m o s , -

La declinación del a s t r o nos d e t e r mina su p a r a l e l o de declinación, es el FIG.3-31* a r c o NA, se mide sobre un meridiano c e l e s t e cualquiera^ en p a r t i c u l a r f sobre el meridiano del lugar, Su variación es de 0 o a 90° N0 y de 0 o a 90° Sa Esta coordenada es independíente del punto de la T i e r r a donde estemos sitúa dos 0 E l plano de r e f e r e n c i a es el del ecuador y el eje de r e f e r e n cia e s eje del mundo. Los a s t r o s en su movimiento aparente d e s c r i b e n p a r a l e l o s de declinación; el Sol, que en el movimiento diurno suponemos teo r i c a m e n t e que d e s c r i b e un p a r a l e l o de declinacion s es el único a s t r o que cambia de declinación, pasando de declinación positi va, de 23°^27* el día 21 de Junio (solsticio de verano) a declina cion 0 o el 22 de Septiembre (equinoccio de otoño o punto Libra); disminuye su declinación hasta -23° 27* el día 21 de d i c i e m b r e (solsticio de invierno); aumentando a p a r t i r de entonces su d e clinación hasta l l e g a r a 02 el 21 de m a r z o (punto v e r n a l s punto A r i e s o equinoccio de p r i m a v e r a ) . El Sol s en su movimiento anual s r e c o r r e un círculo máximo llamado eclíptica, los puntos de i n t e r s e c c i ó n de este circulo con el círculo del ecuador (declinación 0 o ), son los equínoc cios y al punto A r i e s por donde pasa el Sol el 21 de m a r z o s lo l l a m a m o s con la notación (Y)„ La r e c t a perpendicular al plano de la eclíptica por el centro de la T i e r r a c o r t a a la esfera c e l e s t e en los polos P y P ' , f i g 0 5-31§r, de la eclíptica, ©

4, T e r c e r s i s t e m a de coordenadas a s t r o n ó m i c a s , - Sistema de

-264-

coordenadas ecuatoriales fijas o urano gráficas. Las coordenadas en estesijs tema son la ascensión recta (a) y la declinación» fig„ 4-31§0 La declinación ya está definida en el sistema anterior, y el astro queda determinado por los mismos circuios que en el segundo sistema. La ascensión recta es el arco yN, Su origen es el punto Aries, su sentido directo y varia de 0 a 360 , se FIG.4-31 mide sobre el ecuador, y determina el ** cfrculo horario del astro. El plano y eje de referencia en este sistema son los mismos que en el sistema anterior,, Estas coordenadas no dependen del punto de la T i e r r a donde estamos situados,, 5. Cuarto sistema de coordenadas astronómicas, - Sistema de coordenadas eclípticas, Los circuios que nos dan como intersección la posición del astro en este sistema, son: Máximo de longitud, que es todo semicírculo con extremos en los polos de la eclíptica. Paralelo de latitud, que es todo cír culo paralelo a la eclíptica, - Lascoordenadas en este sistema son longitud (A) y latitud (P), fig. 5-31*. La longitud de un astro determina el máximo de longitud del mismo. Es el arco YE Su sentido es directo. Va ría de 0 o a 360°, Se mide sobre la eclíptica y a partir del punto Aries,,

FIG. 5 OÍS

Latitud de un astro, la cual nos fi ja el paralelo de latitud del mismo,

-265e s el a r c o PA 0 Se mide sobre un máximo de longitud» Su variación es de 0 o a 90° y da 0 o a - 9 0 ° , El plano de r e f e r e n c i a es el plano de la eclíptica y el eje de r e f e r e n c i a el eje P P^ 0 E s t a s coordenadas son invariables al c a m b i a r de un punto a otro de la T i e r r a , -o-

LECCIÓN 32 TRIANGULO

ASTRONÓMICO »o-

1„ Triangulo astronómico^ - Se llama triángulo a s t r o n ó m i c o o de posición al triángulo esférico P ZA ,fig. i-32*, cuyos e l e - mantos (lados y ángulos) podemos e x p r e s a r por la definición de las coordenadas astronómicas^ T e n e m o s , pues? r e c o r d a n do e s t a s definiciones que: P A. 90 o - 5 n 1 90 o - h Z A Q 1 7\ ' que es lo que l l a m a m o s distancia ze<^ |\ nital„ \ *^l \ \ i \

x—-—

1 ^"^x/M

A r e p r e s e n t a al a s t r o . Vamos a d e m o s t r a r que el a r c o P Z =r 90° ~cp„ Siendo cp la latitud del lugar,,

Sabemos por la definición de l a t i tud de un lugar de la T i e r r a que es FIG.1-32'el ángulo que forma. la v e r t i c a l del lugar con el plano del ecuador, por lo tanto,, en la figura el ángulo Q* OZ es igual a cp y como el ángulo q>3 está formado por la dos p e r p e n d i c u l a r e s a los lados del ángulo a n t e r i o r , también v a l d r á la latitud del lugar, con lo que queda d e m o s t r a d o que o % Z . 90 - 9 , Los 'ángulos del triángulo astronómico, son: Z = 180 o - A Pn = H el ángulo A no tiene expresión sencilla en función de l a s cuatro coordenadas de los dos p r i m e r o s s i s t e m a s a s t r o n ó m i c o s , se le l l a m a ángulo p a r a l á c t i c o . Vemos que dadas l a s coordenadas del p r i m e r o segundo s i s tema por intermedio de la latitud del lugar, podemos e n c o n t r a r

-267-

l a s d e l segundo o p r i m e r o , a p o y á n d o n o s en la r e s o l u c i ó n t r i g o n o m é t r i c a del triángulo a s t r o n ó m i c o , es d e c i r :

incluímos sin d e m o s t r a r

las formulas generales:

P r i m e r c a s o . - D a t o s : A, h¡ cp „ I n c ó g n i t a s ; Hs o „ R e s o l v i e n d o el t r i á n g u l o a s t r o n ó m i c o del que s e c o n o c e n d o s l a d o s y el ángulo c o m p r e n d i d o s t e n e m o s : cp - h

e o s ~~r—

A + H tg

2 A- H 1 2

9-rh

s e n "•--•

cp - h s e n — *

cp-fh - • t g eos De a q u í c a l c u l a m o s H y A y p o r el t e o r e m a de l o s s e n o s 90° -S eos 6=

s e n A.» c q s h sen H

Y d e m o s t r a m o s los casos p a r t i c u l a r e s s i guientes: h

I 8 A. = 90 , e n t o n c e s el p e n t á g o n o d e N e p e r ¿ fig 0 2 - 3 2 9 , nos p e r m i t e e n c o n t r a r l a s siguíentes formulas:

FIG.2-32Id0°-H

sen h

sen 5 = sen

ctg II ~ e o s cp „ tg h

90o-f

90°~$ 4 f

90"-(180'- A)

90°~A1 FIG.3-32*

II „ h ~ 0„ e n t o n c e s el t r i a n g u l o P ZA, e s r e c * «i '* N I tilatero, pues ZA, = 90° - h = 90 o » 1 el p e n t á g o n o de N e p e r s e r á el de l a figur a 3-3 2**-1 y t e n d r e m o s :

-268-

s e n 6 = costp, c o s ( 2 8 0 ° . A ) ctg H - sen.1? c o t g A Segundo c a s o 0 - D a t o s : H 9 5,9 „ I n c ó g n i t a s : A.¡ h. E n e s t e , nuevo c a s o l o s d a t o s d e l t r i á n g u l o a s t r o n ó m i c o son t a m b i é n d o s l a d o s y el ángulo c o m p r e n d i d o ; p o r lo t a n t o , b a s t a r e p e t i r lo a n t e r i o r ? p a r a l a s f o r m u l a s g e n e r a l e s , , N o s o t r o s p o d e r n o s r e s o l v e r el t r i á n g u l o P ZA-, en l o s c a s o s en que s e a r e c t á n g u l o o r e c t i l a t e i J c o m o en l o s c a s o s p a r t i c u l a r e s a n t e r i o r e s » i s ó s c e l e s o b i e n t e n e r d a t o s quts s e a n á n g u l o s n o t a b l e s . C o n s i d é r e n s e e n p a r t i c u l a r l o s c a s o s l, H * 90 o » H. 6 - 0 que e l a l u m n o e s t u d i a r a de m o d o a n á l o g o a c o m o h e m o s h e c h o en el p r i m e r c a s o , y c o m p r o b a r a l a s s i g u i e n t e s f ó r m u las: s e n h = s e n cp s e n 6 tg (180° -A) = ctg 5 cos9

II.

s e n h -• e o s q> e o s H tg A r. t g H sen<p

E j e r c i c i o r e s u e l t o : Si un l á p i z de 7 S 5 c m s , s. e n . p o s i c i ó n v e r t i c a l p r o y e c t a una s o m b r a de 10 c m s , , p a r a l e l a a l a s a c e r a s d e una c a l l e d e d i r e c c i ó n E~W a l a s 16 h o r a s so * l a r e s ¿ Q u é d e c l i n a c i ó n t i e n e el Solj y que l a titud el l u g a r ? 90°-f/ 180°-A \90°-h

P o r e s t a r el Sol en el plano v e r t i c a l que c o n t i e n e a la l í n e a E - W , t e n e m o s que el A= 90°. A\ El ángulo h de l o s r a y o s s o l a r e s (o a l t u r a d e l Sol), s e r á : 7,5 0j 75 d e donde te. h = 10 h

3 6 ° 52*

-269O

Finalmente* como son las Ib horas: H=4„ 15 •• 60°. El triángulo B^ Z A , fig. 4-32^, es rectángulo pues: Z = 1 8 0o..on° ° - 9 ( r = 9.o0 ,

90°-S

H*60l

Aplicando Neper, fig. 5»3Z^# tenernos: A-^W r

Píg 5-32^

e s

eos-36° 52' sen 60°

0,8001

n r i

„ft

0,8660

decir: 6 ;= 2?.° 30*

coscp=ctg

36°52».ctg60

= !, 3335-0,5774 ~- 0, 7700

de donde: <P = 3 9 ° 38 s

EJERCICIOS ¿Que ángulo forma con la línea meridiana una calle que a las 18 horas solares, no arroja sombra sobre sus aceras y la latitud del lugar y declinación del Sol son de á$° ¿5" y 12°8S respectivamente ? ¿Qué hora es en un lugar de Latitud 42° 45* si un lápiz de 20 cm, en posición vertical arroja una sombra de 32 cm, sabiendo que es el día del equinoccio da otof.o?

-270-

LECCIÓN 33

APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA A LA ESFERA CELESTE. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS -o1. T r a n s f o r m a c i ó n de coordenadas. - En la lección a n t e r i o r pa s a m o s de l a s coordenadas del p r i m e r s i s t e m a a l a s del s e gundo y v i c e v e r s a . Vamos ahora a r e l a c i o n a r l a s c o ordenadas de los dos últimos s i s t e mas» P a r a ello 3 y fijándonos en el H' triángulo P P A, fig. 1-33», t e ñ e mos: Pn Pe = £ <?' o

siendo e la inclinación de la eclíptica que es de 23° 2 7 ' . P e A = 90° - 0 . L l a m a m o s hora s i d é r e a h^al arco T

FIG. 1-33-

Los ángulos de e s t e triangulo son: ángulo e n P g -90° - \ angu lo en P = 90° + a si son l a s 6 h o r a s sidéreas^ el ángulo en A no lo podemos e x p r e s a r fácilmente en función de e s t a s coordena das 0 En este triángulo tenemos al igual que en el a s t r o n ó m i c o . P r i m e r c a s o : Datos: 6 , a-t e « Incógnitas: A , (3 „ Tenemos:

9Q°-5-£

90°-A+ A

eos-

( 9 0«o "+OÍ)

90°-6+e

Ct§

eos 90°-5-e tg

90 -A-A

sen sen -

90°-6+e •ctg

(90°+ a)

-271-

D e e s t a s f o r m u l a s c a l c u l a m o s A,y p o r e l t e o r e m a d e l o s s e nos p . D e m o s t r a m o s a h o r a l a s f o r m u l a s de los s i g u i e n t e s ca sos particulares: L 90°- (3

CL- 0 e n c u y o c a s o e l t r i á n g u l o P e P ^ A e s r e c t á n g u l o , p u e s el ángulo en el P ^ = 90° + a = 9 0 ° , a p l i c a n d o el p e n t á g o n o d e N e p e r d e l a fig„ 2 - 3 3 * encontramos las siguientes formulas:

90°~\ ' s e n p = e o s £„ sen& 90a- £

tgA

FtG.2-33* 90°+X

II. 5 = 0 el t r i á n g u l o P g P ^ ^ e n e s t e c a s o e s qo°-fl r e c t i l á t e r o y p o r el p e n t á g o n o de Ne p e r , fig„ 3-33& 3 o b t e n e m o s : s e n P ¡= sen, a. e o s (90°+oc)

90°-/

90°-(90*+<t)

~ s e n e , tg 5

F/G.3-332-

tg X = c o s e ,

tgoc

Si l o s d a t o s s o n A, p , y e „ p o d e m o s c a l c u l a r r e s o l v i e n d o e l t r i á n g u l o P P A l a oc y 5 d e l a s t r o . R e s u é l v a s e e n l o s c a s o s l ) X- 0 , II) p = 0 . ' Comprobando las siguientes formulas: s e n 5 ~ eos e senp

sen 6 ~ sene

tg(90° +a) =

g(3 sene

tg a

senA

e o s £ , tg A

H e m o s pasado p u e s , del s i s t e m a de coordenadas ecuatoría l e s fijas al de c o o r d e n a d a s eclípticas y v i c e v e r s a por i n t e r m e dio de e , es d e c i r :

K&) —

(K P)

V a m o s a v e r como se puede p a s a r de los dos p r i m e r o s síste m a s a los dos últimos» P a s a m o s m e d i a n t e la h o r a s i d é r e a que e s e l a r c o Q* Y = h , s i e n d o Q* e l p u n t o d e c o r t e

-272.

del meridiano s u p e r i o r del lugar con el ecuador. T e n e m o s , pues, de l a s definiciones dadas p a r a el ángulo h o r a r i o (H) y pa r a la ascensión r e c t a (a) que: h = H f a„ P o r lo tanto, si nos dan la hora s i d é r e a podemos conocer a si se conoce el ángulo h o r a r i o . Queda p u e s , resuelto el paso de los dos p r i m e r o s s i s t e m a s a los dos últimos de la siguiente forma: h , Jb . ,) - e^ ( , (3) (Ah) -+*- ( H , b ) — l^ (a X En el triángulo Y S N , fig. 1-33?-, rectángulo en N, cuyo ángu lo en Y es 23° 27* , el lado yS = A., el lado YN =ot, e l NS ~b, siendo A.a.6, la longitud, ascensión r e c t a y declinación del Sol en un día del año, resolviéndolo podemos e n c o n t r a r uno de estos t r e s nume r o s conocido uno de ellos u Ejercicio r e s u e l t o : Calcular la longitud y ascensión r e c t a del Sol s un día de p r i m a v e r a en que su declinación es o = 12° 23*16!' Solución: En el triángulo rectángulo YSN„ fig. 1-33?-, conoce m o s Y = 23 27* y NS ~ 12 23'*16u, aplicando Neper, s a c a m o s : s enct=

ctg 23° 27'. tg 12° 23*16'' , sen 12° 23'16" senA= o •— sen 23 27' de donde a - 30° 25' 14"

\ = 32° 37' 36"

EJERCICIO 1. La ascensión r e c t a de una e s t r e l l a de 30 de declinación, a las 9 h o r a s , de t i e m p o ' s i d é r e o , es 75° 0 Calcular la a l t u r a de e s a e s t r e l l a s o b r e el horizonte en el momento en que su acimut es de 90°. (E. P . ). -o«

-273-

LECCION 34 MOVIMIENTOS DE LA TIERRA -o-

I ^ y e s de Kepler, - Los movimientos de los planetas» y en par t i c u l a r l o s d e la T i e r r a , se rigen por las siguientes l e y e s . a) Los planetas d e s c r i b e n ó r b i t a s elípticas a l r e d e d o r del Sol, ocupando este uno de los focos de dicha elipse, b) En tiempos iguales el radio vector del planeta b a r r e á r e a s iguales; podemos d e c i r pues que los planetas tienen veloci dad a r e o l a r constante; esto implica que la velocidad de un planeta sea mayor cuando m á s c e r c a e s t a del SoL c)Si dos planetas t a r d a n t, y t? en d e s c r i b i r sus ó r b i t a s elípticas de s e m i e j e s m a y o r e s a y a ? , se verifica

2U P l a n e t a s i n t e r i o r e s y e x t e r i o r e s . ^ Un planeta decimos que es i n t e r i o r cuando e s t á m á s c e r c a del Sol que la T i e r r a 3 ¡son i n t e r i o r e s pues Venus y M e r c u r i o ; todos los d e m á s son exteriores. Un a s t r o i n t e r i o r tal como M e r c u r i o , estando alineado con el Sol y la Tierra» puede ocupar la posición M de la. fig„ 1-345 y entonces d e c i m o s que está en conjunción interior o inferior; o bien en la posición M^ diciendo entonces que está en conjunción e x t e r i o r o superior,, Vi

FIG. 1-34*

-274-

Un astro exterior, como por ejemplo Júpiter esta en oposición cuando ocupa la posición J de la fig, 1-345 y esta en conjunción en la posición J . 3. Revolución sidérea y sinódica.- El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol, es lo que llama- naos revolución sidérea. La revolución sinódica es el tiempo que emplea un planeta, en describir una vuelta aparente alrededor del Sol, estando el observador en la Tierra., Es lógico que la revolución sinódica es mayor que la revolución sidérea, para los planetas interiores. A la revolución sidérea de la Tierra se le llama año trópico, siendo este hoy día de 365, 242217 días s apreciándose en él una disminución, de medio segundo cada 100 años, JLa Tierra tiene un movimiento de rotación alrededor de un eje, este movimiento real de la Tierra es el que nos da la impresión de que la esfera celeste y, por lo tanto» todos los a s tros giran alrededor de ella (movimiento diurno de los astros). 4. Precjesion de los equinoccios y nutación, - La longitud de una estrella crece con el tiempo» esto se explica por el movimiento del eje del mundo que describe un cono cuyo eje es el de la eclíptica; debido a esto el Sol encuentra al punto Aries antes de r e c o r r e r 360°3 este tiempo que tarda el Sol en pasar dos veces consecutivas por el punto de Aries se le llama año trópico que es por lo tanto menor que el tiempo que tarda en describir la eclíptica. Este fenómeno se conoce con el nombre de "precesión de los equinoccios",, Mientras el eje del mundo va describiendo el cono anterior , describe a su vez unos 1405 conos más pequeños debido a l a atracción de la luna, llamándose a este fenómeno "nutación". -o-

-275-

LECCION 35 DÍA SIDÉREO, SOLAR Y SOLAR MEDIO, EL CALENDARIO -o-

1. Día sidéreo. - Llamamos día sidéreo al tiempo que tarda la T i e r r a en dar una revolución alrededor de su eje, o bien, al tiempo que tarda un punto fijo de la esfera celeste en pasar dos veces consecutivas por la misma posición. P a r a la medida del tiempo sidéreo se considera el punto a r i e s , diciendo que son las Oh. Om, Os. de tiempo sidéreo cuando este punto de la esfera celeste pasa por el meridiano su perior del lugar, esta dividido en 24 horas, cada hora en 60 mi ñutos y cada minuto en 60 segundos. 2„ Día solar y día solar medio, - Día solar es el tiempo que tai: da el Sol en pasar dos veces consecutivas por el meridiano del lugar. Como el Sol se atrasa respecto a cualquier punto fijo de la esfera celeste aproximadamente cuatro minutos re sulta que el día solar es más largo que el día sidéreo. A un valor medio de los días solares del año es a lo que llamamos día solar medio, que es el que empleamos en la practi* ca. La división es la misma que en el día sidéreo. El tiempo medio viene definido por un Sol ficticio que recor r e el ecuador con movimiento uniforme, a este Sol ficticio se le llama Sol medio. El Sol verdadero y el Sol medio no coinciden en su paso por el meridiano del lugar, llamándose "ecuación del tiempo" a lo que hay que sumarle o r e s t a r l e en un instante al tiempo verdadero para obtener el tiempo medio., esta cantidad puede llegar a valer 16 minutos. La hora solar media solamente es la misma para todos los puntos de un mismo meridiano, para evitar la confusión de hora con tanta variación, se establecen 24 husos de 15 de amplitud cada uno, asi pues dentro de cada huso tienen la misma hora.

-27Ó-

España pertenece ai huso 0, cuya hora viene dada por la hora del meridiano medio de este huso (meridiano de Greeirwich); Italia está en el huso 1 por lo tanto» cuando en Italia son por ejemplo las 10 horas» en España son las 9 horas. Si damos la vuelta a la Tierra» anotando en un reloj calenda rio la hora de cada país, resultaría que cuando llegásemos al punto de partida, e'ate marcaría una fecha mas que la que es en realidad. 3, Duración del día y de la noche, - Al decir día nos referimos ahora al tiempo que el Sol se encuentra por encima del hori zonte, y noche al tiempo que el Sol se encuentra por debajo del mismo. En la fig„ 1~35§ el Sol recorre el pa rale.lo de declinación CDS.B , siendo el punto C donde está el Sol en el momento del "orto" o salida;<Df cuando el Sol se encuentra sobre el meridiano del lugar,, o sea, las 12 horas solares; S el ^ocaso", es decir, el instante en que el Sol deja de verse; B media noche, F/G.í'35-

j j a altura máxima que adquiere el Sol viene dada por el arco HD=HQ + + QD, y como HQ - P^Z = 90 - <p y QD = 6 , tenemos:

max Este razonamiento sirve para cualquier astro aunque no sea el Sol. En el triángulo P Z S, podemos encontrar el valor del ánguP t es decir,H,que representa el arco DS, o sea, la duración de mediodía. Como dicho triángulo es el astronómico, sabe naos lo que valen sus lados y sus ángulos; debido a que el SOL (S) está sobre el horizonte, h = 0 o , es decir, arco ZS = 90° ; el triángulo es rectilatero; aplicando el pentágono de Neper,fi

-277-

gura 2-35^,

-90°+A

encontramos:

}

90°-S

FIG.2-35* eos(180 -H) = tg cp tgó

El crepúsculo astronómico-es el intervalo de tiempo que transcurre desde que el Sol tiene altura cero (orto u ocaso), hasta que tiene 18 de depresión o viceversa. Sí un astro es circumpolar (visible siempre), su declinación ~P

4, Calendario. - En (34£, 3) hemos dicho que el año trópico tie_ ne actualmente 365, 242217 días, es decir, 365 días, 5 ho r a s , 48 minutos' y47, 5 segundos; asi pues para que los m e ses tengan una característica especial suya, el año civil de be tener esta misma duración; el calendario romano que es el origen del nuestro tuvo muchas variaciones, llegando en tiempos de Julio Cesar a una gran confusión, pues existía un defasamiento entre el año civil y el año trópico aproxima damente de t r e s meses, Reforma Juliana: P a r a poner de acuerdo el año civil con el tro pico Julio Cesar, añadió 85 días al año 46 antea de Jesucristo, y estableció el año tal como está hoy dia, haciendo bisiestos los años múltiplos de 4. A pesar de esto, cada 400 años existía un defasamiento 3,12 días a favor del año Juliano.

278-

Reforma g r e g o r i a n a : El Concilio de Nícea (año 325), cor rigió el defasamiento que ya se había acumulado por esta c a u s a , sin solucionarlo p a r a el futuro^ cuestión esta que llevó a cabo el Papa Gregorio XIII (Reforma g r e g o r i a n a ) p a r a lo cual quito 10 días del m e s de Octubre de 1. 5 82 que se habían acumulado d<es de el Concilio de Nicea, y estableció que los años múltiplos de 100. solo fueran b i s i e s t o s aquellos que divididos por 100 sean múltiplos de 4; por lo tanto, el e r r o r ha quedado reducido a 0,12 días cada 400 años, Ejercicio r e s u e l t o : Hallar el tiempo que ee visible un a s t r o en un lugar de l a t i tud <P = 29° 18* 32", si su declinación e s 5 = 44° 19' 18". Solución: De la fórmula cos(180°-H) = tg 29°18*32". tg 44°19'18" encontramos: H = 151° 16' por lo que el tiempo que es visible el a s t r o e s : 2H = 302° 32* <é=á> 2.0 h 10 m 5 S EJERCICIOS 1. Calcular el tiempo que el Sol se encuentra s o b r e el horizon te en un punto de la T i e r r a , de 45 de latitud n o r t e , el día del solsticio de v e r a n o , (sen 23° 27* = 0, 39794). (E. P , ). 2, Calcular razonadamente mediante la figura c o r r e s p o n d i e n t e , la a l t u r a que alcanza el Sol, al p a s a r por el m e r i d i a n o de un lugar de latitud 40 N el día en que la declinación del Sol es de 20°N. 30 D e t e r m i n a r razonadamente e n t r e que v a l o r e s ha de e s t a r comprendida la latitud de un l u g a r , p a r a que la s o m b r a de una p e r s o n a , al p a s o del Sol por el meridiano del l u g a r , tenga longitud nula dos v e c e s al año. H a l l a r la latitud de un l u gar p a r a que lo m a s a r r i b a dicho suceda una sola vez al afío, (E.P.)4. Un m a r i n o calcula una noche la altura de la estrella polar,

-279-

que ¡son 45 „ Sabe que el Sol se ha puesto,a las 7 h„ de la tarde y d e s e a h a l l a r la declinación Sol en el instante de s u p u e s ta «pomo la calcula? (E, P . ) , 5„ Considerando el período comprendido e n t r e los años 1601 y 2000, ambos inclusive, se pide: a) ¿Cuantos años hay en di cho período, que son b i s i e s t o s según el calendario j u l i a n o , y que no lo son según el g r e g o r i a n o ? b) ¿Cuál es el valor m e dio del año gregoriano expresado en d í a s ? , c) Siendo 1 año trópico = 365,242217 días m e d i o s , ¿Cuántos años d e b e n t r a n s c u r r i r p a r a que se cometa un e r r o r de un día en el calenda rio g r e g o r i a n o ? (E. P e ). 6. Sabiendo que el p r i m e r o de Marzo de 1801 ha sido domingo, c a l c u l a r , que fecha c o r r e s p o n d e r á al p r i m e r domingo de Marzo del año 5472 de nuestro c a l e n d a r i o . (E0 P . )„ -o-

-281ÍNDICE Prologo I edición» »'

Pag 1 3

Lección I EL NUMERO NATURAL 1. - Conjuntos, determinación y definiciones; 2„- C o r r e s pondencia e n t r e dos conjuntos: Función y aplicación; 3 5 Producto c a r t e s i a n o de conjuntos. Relación binaria;.4. El n u m e r o n a t u r a l ; 5, Operaciones internas definidas en un conjunto;6„ Suma de conjuntos y de n ú m e r o s n a t u r a l e s ; 7 . Producto de n ú m e r o s n a t u r a l e s ; 8. Método de inducción completa; 9. Operaciones i n v e r s a s ; E j e r c i c i o s . . . , « .

Lección 2§ CONCEPTO DE SEMIANILLO 1. Operaciones sobre P(R);2. E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a ; 3. Concepto de semianillo; E j e r c i c i o s . . „ . . . „ „ , . , .

Lección 35 SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1. Sistema de numeración; 2. Expresión polinómica de un n ú m e r o ; 3 . Cambio de b a s e ; 4 . Suma y producto de nume ros n a t u r a l e s en una base cualquiera; 5. Importancia del s i s t e m a de numeración base 2; 6T Aplicación r e g u l a r fren te a l a s o p e r a c i o n e s definidas en dos conjuntos; Ejercí Lección 4^ NUMERO ENTERO 1. El n ú m e r o entero;2. Suma de n ú m e r o s e n t e r o s ; 3 . P r o ducto de n ú m e r o s e n t e r o s ; 4. Operaciones inversas*. I s o morfismo de Z + en N* . Ordenación; E j e r c i c i o s . . . . . . Lección 5§ CONCEPTOS DE GRUPO Y DE ANILLO

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Pág. 1. Concepto de semigrupo y grupo; 2. P r o p i e d a d e s del gru po; 3. Subgrupo; 4„ Anillo, Dominio de integridad; 5. P r o piedades del anillo y dominio de integridad; 6„ Subanillos, Ideales; 7„ Homomorfismo e n t r e grupos y e n t r e anillos; Ej

Lección 6^ NÚMEROS CONGRUENTES 1. N ú m e r o s congruentes; 2. Suma de congriiencias. P r o d u c to de una congruencia por un n u m e r o ; 3. Producto de con g r u e n c i a s . Potencia; 4. División de una congruencia por un n u m e r o ; 5. Relación de congruencias; 6. C l a s e s residua les;7, Sistemas de n ú m e r o s incongruentes; 8. Congruencia de F e r m a t ; E j e r c i c i o s . . „ . , . . , . . . „ . . . . . . . . 40 Lección P r á c t i c a I COMBINATORIA ORDINARIA Y CON REPETICIÓN 1, V a r i a c i o n e s o r d i n a r i a s ; 2 . Variaciones con repetición;3. P e r m u t a c i o n e s o r d i n a r i a s ; 4. Ordenación y c l a s e de las p e r m u t a c i o n e s ; 5. P e r m u t a c i o n e s con repeticxón;6„ Forrnu la de Leibnitz; 7. P e r m u t a c i o n e s c i r c u l a r e s ; E j e r c i c i o s ; 8 . Combinaciones o r d i n a r i a s ; 9. Combinaciones con repeti Lección 7^ TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD-I. P r o p i e d a d e s del m . c . d . y m . c. m, 1, Máximo común divisor de dos n ú m e r o s ; 2. Introducción al calculo del m . c.d„ de dos n ú m e r o s ; 3. Cálculo del aAb Algoritmo de Euclides; 4. P r o p i e d a d e s del m. c . d . de dos n ú m e r o s , m . c . d . de v a r i o s ; 5. T e o r e m a de Euclides; 6. Mínimo común múltiplo de dos n ú m e r o s ; 1. Introducción al cálculo del mínimo común múltiplo de dos y v a r i o s nú m e r o s ; 8. Cálculo del m . c. m . de dos y v a r i o s n ú m e r o s . -

-283-

Lección 8^ „. », pag TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD: II. Número y suma de los d i v i s o r e s de un n u m e r o 1„ Calculo del m . c. d. y del m . c. m. de v a r i o s n ú m e r o s descompuestos en sus factores p r i m a r i o s ; 2. N u m e r o , suma y producto de los d i v i s o r e s de un número ¡Ejercicios, . . 67 Lección 9TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD: III C r i t e r i o s de divisibilidad. 1. C r i t e r i o g e n e r a l de divisibilidad; 2. R e s t o s potenciales; 3. Cálculo del r e s t o por el c r i t e r i o de divisibilidad; E j e r cicios „ . 71 Lección 10^ ECUA CIONES .DIOFANTICA S 1. Ecuaciones diofánticas lineales con dos v a r i a b l e s ; 2. Resolución de la ecuación a x + b,y = c-,; 3, Ecuación diofántica de segundo grado con dos v a r i a b l e s ; 4, Ecuación pitagó rica; Ejercicios . -76 Lección U§ NUMERO RACIONAL 1. N u m e r o racional; 2. Suma de n ú m e r o s r a c i o n a l e s . Prop i e d a d e s ^ . Producto de n ú m e r o s r a c i o n a l e s ; 4. Operaciones i n v e r s a s . Ordenación; 5. Concepto de cuerpo; Ejercí cios , 82 Lección P r á c t i c a II TRIGONOMETRÍA. NÚMEROS COMPLEJOS 1. Razones t r i g o n o m é t r i c a s ; 2, V a l o r e s de l a s r a z o n e s t r i gonometricas de ángulos notables; 3, Relaciones e n t r e razones t r i g o n o m é t r i c a s ; 4. Razones t r i g o n o m é t r i c a s de la suma y de la diferencia de dos ángulos; 5, Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos; 6. N ú m e r o s com piejos; E j e r c i c i o s , 87

-284-

Lección 12§

Pag.

DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN 1. D e t e r m i n a n t e s de segundo orden; 2. D e t e r m i n a n t e s de t e r c e r orden; 3. P r o p i e d a d e s de los d e t e r m i n a n t e s de 33 orden; 4, Determinante de Vandermonde; E j e r c i c i o s . . „

Lección 13§ SISTEMAS DE ECUACIONES 1. S i s t e m a s lineales de ecuaciones; 2, T e o r e m a s de equivalencia de s i s t e m a s ; 3„ Eliminación de incógnitas; 4, Ma t r i c e s . Operaciones; 5. Resolución de s i s t e m a s lineales de ecuaciones; 6. C a r a c t e r í s t i c a s de una m a t r i z , Enun ciado del t e o r e m a de Rouche; 7. S i s t e m a s homogéneos; 8, Interpretación g e o m é t r i c a de los s i s t e m a s lineales de ecuaciones con dos y t r e s v a r i a b l e s ; Ejercicios, , „ ,

101

Lección P r á c t i c a III DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN 1 . Función; 2. Función i n v e r s a ; 3. Límite de funciones;4. Infinitésimos; 5. Derivada y diferencial de una función; 6. Cuadro de d e r i v a d a s ;7, Crecimiento y d e c r e c i m i e n t o ; Máximo y mínimo; 8„ Concavidad y convexidad: Punto de inflexión; 9. Integral definida de una función; 10. Integrales inmediatas; 11. Integración por sustitución y por p a r t e s . -*-J" J v? i

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Lección P r á c t i c a IV TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO 1. Signo del trinomio de segundo grado; E j e r c i c i o s , . . .

124

Lección 14^ DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 1, División de polinomios con una v a r i a b l e ; 2 . Unicidad de la división de polinomios; 3, División de un polinomio por x - a , Regla de Ruffini; E j e r c i c i o s , . . . . . . 127

-285Lección 15^ PRINCIPIO DE IDENTIDAD

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1. Descoinposicion factorial de un polinomio; 2. Polinom i o s idénticamente nulos; 3. Polinomios idénticos; 4. Me todo de coeficientes indeterminados; E j e r c i c i o s

132

Lección P r á c t i c a V MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS 1. Divisibilidad de polinomios; 2. M, C, D. de monomios; 3. M. C, D. de polinomios; E j e r c i c i o s . . „

138

Lección P r á c t i c a VI FRECUENCIA Y PROBABILIDAD 1. F r e c u e n c i a absoluta y relativa de un suceso; 2C Sucesos i n c o m p a t i b l e s . Probabilidad total; 3. Sucesos independientes. Probabilidad compuesta; 4, Tablas de f r e cuencias; E j e r c i c i o s . .

142

Lección 16^ VARIABLE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN, L Variable estadística bidimensional; 2, Momentos de una v a r i a b l e bidimensional; 3. R e g r e s i ó n lineal; 4. C o rrelación; Ejercicios. .

147

Lección P r á c t i c a VII DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL 1. Distribución d i s c r e t a y continua; 2. Distribución binomial; 3. D i s t r i b . n o r m a l ; 4. Muestreo. Texto de una hi pótesis e s t a d í s t i c a . Estimación; E j e r c i c i o s . . , „ . . . .

153

Lección 179TRASLACIÓN EN EL PLANO. 1. Espacio v e c t o r i a l . - 2. T r a s l a c i ó n .

Ejercicios

. . .

161

-286-

Lección 18^ SIMETRÍAS EN EL PLANO Pag. 1. S i m e t r í a c e n t r a l ; 2, Simetría axial; 3. Producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes p e r p e n d i c u l a r e s ; 4. Producto de dos s i m e t r í a s axiales de ejes p a r a l e l o s . E j e r c i c i o s . , . . 169 Lección 19GIROS EN EL PLANO L Giro centro; de unos giro en

en el plano; 2. Grupo de los giros con el m i s m o 3. Determinación del centro de giro; 4. R e l a c i ó n movimientos con o t r o s ; 5. Ecuación analítica del el plano; 6. Ejercicios. „ 177

Lección 20-, RAZÓN SIMPLE DE TRES PUNTOS 1. Razón simple de t r e s puntos; 2. Representación gráfica de la razón simple; 3, La razón simple es un invarian te en una proyección, solamente si é s t a e s p a r a l e l a ; 4. Razón doble de cuatro puntos. Cuaterna a r m ó n i c a . E j e r cicios „ „

186

Lección 21§ TEOREMAS DE MENELAO Y CEVA 1. T e o r e m a de Menalao; 2. Recíproco del t e o r e m a de Menelao; 3, T e o r e m a de Ceva; 4. Recíproco del t e o r e m a de Ceva, E j e r c i c i o s . . 192 Lección 22§ &QMQTECIA EN EL PLANO 1. Homotecia en el plano; 2. T r a n s f o r m a d a de uña c i r c u n ferencia; 3. Las homotecias con el m i s m o centro forman grupo; 4. Producto de homotecias con distintos c e n t r o s ; 5. Relación entre los c e n t r o s de hamotecia de t r e s c i r c u n f e r e n c i a s ; 6, Ecuación analítica de la homotecia. E j e r c i cios 196

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Lección 233: SEMEJANZA EN EL PLANO

Pag

1. Definición de semejanza en el plano; 2. C r i t e r i o s de s e mejanza de t r i á n g u l o s ; 3. Centro de semejanza d i r e c t a ; 4 . Las semejanzas forman grupo. E j e r c i c i o s . . . , 206 Lección 24^ INVERSIÓN EN LA RECTA Y EN EL PLANO I. Inversión en la r e c t a o involución; 2. Ecuación analítica de e s t a transformación; 3. Inversión en el plano; 4. T r a n s formada de una r e c t a que no pasa por el centro de inver- sion; 5. T r a n s f o r m a d a de una circunferencia; 6, La inversión en el plano c o n s e r v a los ángulos; 7. Ecuación analíti ca de la inversión; 8. T e o r e m a de Ptolomeo; 9, P r o b l e m a s de tangencia. E j e r c i c i o s , . . . . . . . „ . . , . . , . . . , „ 214 Lección 25^ TRASLACIÓN, SIMETRÍAS Y GIROS EN EL ESPACIO 1, T r a s l a c i ó n en el espacio; 2, Simetría c e n t r a l ; 3. Sime t r í a respecto a un plano; 4, Simetría axial; 5. Giro; 6. P r o ducto de s i m e t r í a s . E j e r c i c i o s , , . . . , . . , « 229 Lección 26^ GEOMETRÍA SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA L Triangulo esférico; 2. Relación entre los elementos de un triangulo e s f é r i c o ; 3. T r i e d r o polar de uno dado; 4. Igual dad de t r i e d r o s y triángulos e s f é r i c o s . E j e r c i c i o s . . . . . 237 Lección 27§ EXCESO ESFÉRICO. TRIÁNGULOS POLARES 1. Exceso esférico; 2. Triángulo polar de uno dado; 3.Área de un triángulo esférico; 4. Noción de ángulo sólido. E j e r cicios , , . 243 Lección 283TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA. GRUPOS DE BESSEL

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Pág. 1, P r i m e r grupo de B e s s e l ; 2. Segundo grupo de B e s s e l ; 3. T e o r e m a de los senos; 4, Cuarto grupo de B e s s e l , Ejercicios. «

246

Lección 29RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. F o r m u l a p a r a la resolución de triángulos rectángulos; Pentágono mnemotécnico de Neper; 2. Cálculo de los ángulos diedros de una p i r á m i d e r e g u l a r ; 3. Calculo del an guio diedro de un poliedro r e g u l a r ; 4. Resolución de t r i ángulos r e c t i l á t e r o s . E j e r c i c i o s .

250

Lección 30§ APLICACIÓN,DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA A LA ESFERA TERRESTRE 1, F o r m a de la T i e r r a ; 2. Definiciones p a r a el estudio de la posición de un punto de la T i e r r a ; 3. Coordenadas geográficas o t e r r e s t r e s ; 4. Distancia entre dos puntos de la Tierra. Ejercicios „ 255 Lección 313-

COORDENADAS ASTRONÓMICAS 1. Definiciones. E s f e r a c e l e s t e ; 2. P r i m e r s i s t e m a de co ordenadas a s t r o n ó m i c a s ; 3, Segundo s i s t e m a de coordena das a s t r o n ó m i c a s ; 4. T e r c e r s i s t e m a de coordenadas a s t r o n ó m i c a s ; 5. Cuarto s i s t e m a de coordenadas a s t r o n ó m i cas. Ejercicios „ .

260

Lección 32§ TRIANGULO ASTRONÓMICO 1. Triángulo a s t r o n ó m i c o ; E j e r c i c i o s . . . . . . . . . .

266

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L e c c i o n 3 3§ • APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA A LA CELESTE 1, T r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s . E j e r c i c i o s

¿ Pag, ESFERA 270

L e c c i ó n 34^ MOVIMIENTOS D E LA TIERRA 1. L e y e s de K e p l e r ; 2. P l a n e t a s i n t e r i o r e s y e x t e r i o r e s ; 3, R e v o l u c i ó n s i d é r e a y s i n ó d i c a ; 4, P r e c e s i ó n de l o s equinoccios y nutación. Ejercicios

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L e c c i ó n 35§ DÍA S I D É R E O . SOLAR Y SOLAR MEDIO. E L C A L E N D A RIO 1. Día s i d é r e o ; 2. Día s o l a r y d í a s o l a r m e d i o ; 3. D u r a cion del d í a y de l a n o c h e ; 4, El C a l e n d a r i o , E j e r c i c i o s . -o-

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