Nando 1 - Module 1 Inzicht in getallen - inkijk methode

GETALLENLEER & ALGEBRA

wat je al kunt

–enkele voorbeelden opsommen van natuurlijke getallen, decimale getallen en breuken –natuurlijke getallen, kommagetallen en eenvoudige breuken lezen

–rekenen met procenten

wat je leert in deze module

–kennismaken met verschillende soorten talstelsels en hun ontstaan op een tijdlijn aanduiden –de voorstelling van de verschillende getallenverzamelingen gebruiken

–de benaming van verschillende getallenverzamelingen gebruiken

–getallen onderling vergelijken –getallen afronden op een gewenste nauwkeurigheid –verhoudingen, procenten, kansen en schaal berekenen –het begrip schaal gebruiken –de evenredigheidsfactor bepalen van figuren die op schaal getekend zijn of van grootheden die evenredig zijn

Inhoud Instap

1Ons talstelsel

2Getallen ordenen

3Soorten getallen

4Afronden

5Verhouding, procent, kans, schaal en evenredigheidsfactor

Signaaloefeningen

Differentiatietraject Studiewijzer

in de kijker

Je kunt getallen uit getallenverzamelingen ordenen.

wiskundetaal

–tiendelig positiestelsel –natuurlijke getallen –gehele getallen –rationale getallen –venndiagram –deelverzameling –verhouding –procent –kans –schaal –evenredigheidsfactor –symbolen n , z en q –symbolen ∈, ∉, ⊂ en ⊄ –symbolen <, >,⩽ en ⩾ –implicatiepijl ⟹ –equivalentiepijl ⟺

Instap

Opdracht 1

Bekijk de foto’s en tabellen aandachtig.

Ingrediënten voor 3 coquilles:

1/2 wortel

1/4 selder

1/4 prei

1/2 sjalot

1 el bieslook, fijngehakt

3 sint-jakobsvruchten

100 ml kippenbouillon

150 ml room peper - zout

Waarvoor gebruiken we getallen?

Verzamel de getallen uit de collage die bij elkaar horen in groepen.

a)Bedenk een naam voor de groep.

b)Geef enkele voorbeelden van getallen die tot deze groep behoren.

Naam:

groep 1

groep 2

groep 3

Voorbeelden:

Naam:

Voorbeelden:

Naam:

Voorbeelden:

Naam:

groep 4

Voorbeelden:

Opdracht 2

• Deel de figuren in groepen in.

• Omkring alle figuren die tot eenzelfde groep behoren met eenzelfde kleur.

• Leg je indeling uit aan de rest van de klas.

• Houd er rekening mee dat ook een nieuw figuurtje binnen een van je groepen geplaatst moet kunnen worden.

1 Ons talstelsel

1.1 Geschiedenis van de getallen

Onze cijfers en getallen hebben niet altijd bestaan. Er waren vroeger verschillende andere telsystemen. Het oudste talstelsel dateert van meer dan 4000 jaar geleden. In het Oude Egypte werd meer dan duizend jaar gebruik gemaakt van hiëroglyfen. Ze maakten gebruik van volgende symbolen:

Om te achterhalen welk getal de Egyptenaren bedoelden, moet je gewoon de som maken van alle symbolen die je ziet. De plaats waar de symbolen staan, is niet belangrijk. Daarom is dit talstelsel een additief talstelsel.

Maak kennis met een erg bijzonder getal: de nul. In de tijdsbalk onderaan zou je nul mogen schrappen, want het jaar nul heeft nooit bestaan. Het getal nul was al bekend in de vijfde eeuw, maar werd pas effectief ingevoerd in de zeventiende eeuw. Dat gebeurde van zodra het Romeins talstelsel vervangen werd door ons tiendelig stelsel.

Voorbeelden

= 1432

Vanaf het jaar 200 voor Christus begon men Romeinse cijfers te gebruiken. Het duurde tot de 18de eeuw alvorens ze verdrongen werden door onze huidige Arabische cijfers.

De Maya’s hadden een vrij ingewikkeld talstelsel. Er worden drie symbolen gebruikt in hun twintigdelig stelsel. Het symbool onderaan tel je op met het twintigvoud van het symbool erboven. Het symbool daarboven wordt vermenigvuldigd met 360 (en niet met 400!). De Maya’s hadden een positiestelsel. Net als bij ons talstelsel is de plaats van de symbolen erg belangrijk. 200

Onze huidige cijfers zijn met 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Hiermee kunnen oneindig veel getallen gemaakt worden. Deze cijfers waren er al vanaf de tiende eeuw, maar konden de Romeinse cijfers pas in de 18de eeuw verdringen.

Het tijdperk van de vernieuwing startte met het invoeren van de West-Arabische cijfers.

1216

De Brugse wiskundige Simon Stevin voerde de kommagetallen in, evenals de woorden wiskunde, meetkunde en sterrenkunde. Je vindt zijn standbeeld op het Simon Stevinplein in Brugge.

Computers rekenen niet in ons tiendelig stelsel, maar in het veel eenvoudigere tweedelig stelsel of binair stelsel. Daar worden enkel de symbolen 0 en 1 gebruikt. Ons getal 2 komt overeen met het binaire getal 10. Ons getal 3 is in de binaire wereld 11. Ons getal 4 komt overeen met het binaire 100.

Voorbeelden

3

1.2Ons talstelsel

Bij het tellen gebruiken we getallen. Ieder getal bestaat uit één of meerdere cijfers .

Om oneindig veel getallen te kunnen maken, gebruiken wij 10 cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.

Voorbeeld

Het getal 2058 bestaat uit de cijfers 2, 0, 5 en 8.

We noemen ons talstelsel het tiendelig stelsel of decimaal stelsel.

De plaats of positie van een cijfer in een getal is van belang. Ons talstelsel wordt daarom een positiestelsel genoemd.

Voorbeeld

2

1

Schrijf de cijfers van het getal 846,27 op een correcte manier in de tabel.

honderdtallen (H)tientallen (T)eenheden (E)tienden ( t) honderdsten ( h)

Noteer het kleinste en het grootste positief getal dat je kunt vormen met 3 cijfers.

Kleinste:

Vul aan.

In 640 791is 4 het cijfer van de

is 1 het cijfer van de

is 0 het cijfer van de

is 6 het cijfer van de

is 9 het cijfer van de tientallen

is 7 het cijfer van de

Grootste:

2 Getallen ordenen

Deze symbolen ken je nog uit de basisschool:

notatie = ‘is gelijk aan’

≠ ‘is niet gelijk aan’ of ‘is verschillend van’

< ‘is kleiner dan’

> ‘is groter dan’

De volgende symbolen zijn nieuw: notatie ⩽ ‘is kleiner dan of gelijk aan’

⩾ ‘is groter dan of gelijk aan’

Voorbeelden

We zeggen:

0,5 is kleiner dan 1.

We noteren: Uitleg:

0,5 < 1

7 is groter dan 3. 7 > 3

3 is kleiner dan of gelijk aan 8. 3 ⩽ 8 want 3 < 8 4 is groter dan of gelijk aan 4. 4 ⩾ 4 want 4 = 4

Merk op

2 < 6 is een ware uitspraak.

36 ⩾ 101 is een onware of valse uitspraak. Verwerkingsopdracht

Omkring de letters bij de ware uitspraken. Welk woord vormen ze?

Als je voor het symbool < een verticaal streepje plaatst, krijg je |< Dat lijkt op de ‘K’ van ‘Kleiner dan’.

Letters:

Woord:

3 Soorten getallen

3.1 De verzameling van de natuurlijke getallen

Bekijk de afbeelding gedurende één seconde en bedek ze dan.

definitie Een natuurlijk getal is een telresultaat.

Kun je in deze zeer korte tijd zien hoeveel pepertjes er precies staan?

Dat lukt niet: je zult de pepers moeten tellen!

notatie De verzameling van de natuurlijke getallen krijgt als symbool n

n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Merk op

De drie puntjes geven aan dat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn.

De natuurlijke getallen kun je voorstellen in een venndiagram of op een getallenas .

Dit diagram noemen we een venndiagram.

symboolvoorbeeld

∈ 2 ∈ n

∈ x ∈ n

∉ -3 ∉ n

2 is een natuurlijk getal. of

2 is een element van n .

x is een natuurlijk getal, x behoort tot n of

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

-3 is geen natuurlijk getal. of

-3 is geen element van de verzameling n .

3.2De verzameling van de gehele getallen

Met natuurlijke getallen alleen kun je niet alle bewerkingen uitvoeren. In het dagelijkse leven heb je vaak nog andere getallen nodig.

• Als je de bewerking 4 - 6 uitvoert (met ICT), is het resultaat -2. Dat is geen natuurlijk getal.

Bekijk opnieuw de temperatuurgrafiek van Washington uit de instap.

• Wat is de gemiddelde maximumtemperatuur in Washington voor de maand juli?

• Wat is de gemiddelde minimumtemperatuur in Washington voor de maand januari?

Een temperatuur kan dus positief, maar ook negatief zijn. -2, -4, 31, 107 noemen we gehele getallen.

-2 is een negatief getal. ‘-’ is het toestandsteken . 31 is een positief getal. ‘+’ is het toestandsteken.

Bij positieve getallen mogen we dit toestandsteken weglaten : +31 = 31.

• 0 is een bijzonder getal. Het is zowel positief als negatief. + 0 = -0 = 0

• De strikt positieve gehele getallen zijn 1, 2, 3, 4, …

• De strikt negatieve gehele getallen zijn -1, -2, -3, -4, …

notatie De verzameling van de gehele getallen krijgt als symbool z

z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Je kunt de gehele getallen voorstellen in een venndiagram of op een getallenas.

Er zijn oneindig veel gehele getallen.

Merk op

De verzameling van de natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen.

De verzameling van de gehele getallen is geen deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen.

3.3De verzameling van de rationale getallen

Gehele getallen alleen zijn niet voldoende om alle hoofdbewerkingen mee uit te voeren.

Voorbeelden

• 1 : 2 = 0,5 en 0,5 is geen geheel getal.

• Als je één taart verdeelt in 4 gelijke stukken, stellen we dit voor met de bewerking 1 : 4.

Voer je deze bewerking uit (op je rekentoestel), dan is het resultaat 0,25.

Dit is geen geheel getal.

• In de instap vind je de volgende getallen: 3,60; 1 4 ; 1,58; 16,95 …

Deze voorbeelden zijn allemaal rationale getallen. Een rationaal getal is een getal dat je kunt noteren als een breuk met in de teller een geheel getal en in de noemer een geheel getal dat niet nul is.

notatie De verzameling van de rationale getallen krijgt als symbool q

Er zijn oneindig veel rationale getallen.

Ieder rationaal getal kun je op twee manieren noteren: in breukvorm en in decimale vorm.

Rationale getallen voorgesteld in een venndiagram:

0 ∈ n 0 ∈ z 0 ∈ q

-3 ∉ n -3 ∈ z -3 ∈ q

5 6 ∉ n 5 6 ∉ z 5 6 ∈ q

Rationale getallen voorgesteld op een getallenas:

Merk op

n ⊂ z

z ⊂ q

n ⊂ q

Elk natuurlijk getal is een geheel getal. n is een deelverzameling van z

Elk geheel getal is een rationaal getal. z is een deelverzameling van q .

Elk natuurlijk getal is een rationaal getal. n is een deelverzameling van q .

3.4 Het gebruik van de implicatiepijl

Soms zijn er verbanden tussen twee beweringen of feiten .

Voorbeeld 1

Bewering a : Ik heb 1 lesuur wiskunde. Bewering b : Een lesuur duurt 50 minuten. Is er een verband tussen deze twee beweringen?

WAAR

notatie ⟹ (de implicatiepijl ) a ⟹ b

Als je 1 lesuur wiskunde hebt dan duurt de les 50 minuten.

Uit bewering a volgt bewering b. De bewering a impliceert de bewering b

Dit lees je als: ‘Als a, dan b ’

Als een lesuur 50 minuten duurt, dan heb je een les wiskunde.

NIET WAAR

Voorbeeld 2

Uit bewering b volgt niet noodzakelijk bewering a Het is voldoende om één tegenvoorbeeld te vinden om een verband als niet waar te beschouwen. Tegenvoorbeeld : ook een les Frans duurt 50 minuten. Het is dus niet noodzakelijk zo dat je bij een lesuur van 50 minuten een les wiskunde hebt.

Bewering c : Ik verbruik elektriciteit. Bewering d : Mijn smartphone wordt opgeladen.

NIET WAAR

WAAR

Voorbeeld 3

Als ik elektriciteit verbruik, dan wordt mijn smartphone opgeladen. Tegenvoorbeeld : als je elektriciteit verbruikt, kan er ook gewoon een lamp branden.

Als mijn smartphone wordt opgeladen, dan verbruik ik elektriciteit.

In symbolen: d ⟹ c

Eerste bewering: x ∈ n Tweede bewering: x ∈ z

WAAR

NIET WAAR

Voorbeeld 4

Als x een natuurlijk getal is, dan is x een geheel getal.

In symbolen: x ∈ n ⟹ x ∈ z

Als x een geheel getal is, dan is x een natuurlijk getal. Tegenvoorbeeld : -3 is een geheel getal, maar geen natuurlijk getal.

Bewering e : x is even. Bewering f : x + 2 is even.

WAAR

WAAR

Als x een even getal is, dan is x + 2 een even getal.

In symbolen: e ⟹ f

Als x + 2 een even getal is, dan is x een even getal.

In symbolen: f ⟹ e

Merk op

Bij het laatste voorbeeld stellen we vast dat e ⟹ f en f ⟹ e.

Dit wil zeggen dat e en f gelijkwaardige (equivalente) uitspraken zijn. We kunnen dit korter schrijven met de equivalentiepijl : e ⟺ f.

2 6

Zet een kruisje bij elke ware uitspraak.

… is een … natuurlijk getalgeheel getal rationaal getal

-5 17 5 12 6 3

-39

Zijn volgende uitspraken waar of niet waar? Duid aan.

waarniet waar waarniet waar

a) 4 2 ∈ n f) 3 2 ∈ q

b) -7,5 ∈ z g) -1 ∈ z

c)6,125 ∈ q h) n ⊂ z

d)0 ∈ q i) z ⊂ q

e) π ∈ q j) n ⊂ q

2 7

Volgt uit de eerste bewering de tweede bewering?

Zo ja, noteer het verband met de implicatiepijl. Zo nee, noteer een tegenvoorbeeld.

eerste beweringtweede bewering

Voorbeeld 1 x = -2 x < 0ja: x = -2 ⟹ x < 0

Voorbeeld 2 x > 0 x = 5neen: x zou ook 4 kunnen zijn

eerste beweringtweede bewering

a) x > 27 x > 0

b) x < 14 x < 11

c) x ∈ q x ∈ z

d) x > 5 x > 10

e) x = 0 x ∈ q

f) x ∈ n x ∈ q

4 Afronden

4.1 Afronden op een gekozen nauwkeurigheid

Afhankelijk van de situatie moeten resultaten soms afgerond worden op een bepaalde nauwkeurigheid.

Bij het betalen in euro werken we op 2 cijfers na de komma (0,01 nauwkeurig). Bij het meten van een lijnstuk werken we op 1 mm nauwkeurig.

Hoe rond je af op een gekozen nauwkeurigheid ?

methodeSTAP 1: Kijk op welke nauwkeurigheid je moet afronden.

STAP 2:Kijk naar het cijfer dat na de gevraagde nauwkeurigheid komt.

•Is dit cijfer kleiner dan 5, dan rond je af naar beneden.

•Is dit cijfer gelijk aan of groter dan 5, dan rond je af naar boven.

notatie ≈

Dit lees je als: ‘… is afgerond …’

Voorbeelden

Rond 12,382 af op 0,1 nauwkeurig:

12,382 ≈ 12,4.

Rond 12,382 af op 0,01 nauwkeurig:

12,382 ≈ 12,38.

TIP

Zet een stippellijn na het cijfer van de gevraagde nauwkeurigheid.

• Afronden op 0,1 nauwkeurig.

0,3 492 wordt 0,3. (naar beneden afronden)

• Afronden op 0,01 nauwkeurig.

4.2Zinvol afronden op basis van de context

Gianni wil een tablet kopen van 245 euro. Elke week kan hij 20 euro sparen.

Na hoeveel weken kan Gianni de tablet kopen?

Om dit probleem op te lossen voer je volgende bewerking uit: 245 : 20 = 12,25 In onze context moet het antwoord naar boven worden afgerond.

Antwoord : Gianni kan na 13 weken de tablet kopen.

Verwerkingsopdrachten

Rond de getallen af op de gevraagde nauwkeurigheid.

getal op 0,1 nauwkeurigop 0,01 nauwkeurigop 0,001 nauwkeurig

27,0924

8,9999

12,7825

Kato wil flesjes water van 20 cl overgieten in een grotere fles van 1,5 l. Hoeveel flesjes kunnen er volledig worden overgegoten?

5 Verhouding – procent – kans – schaal

5.1 Een rationaal getal als verhouding

Voorbeeld 1

Om 12 cupcakes te maken heb je volgende ingrediënten nodig:

• 125 gram roomboter

• 125 gram kristalsuiker

• 125 gram zelfrijzend bakmeel

• 2 eetlepels melk

• 2 eieren

Om te weten hoeveel cupcakes je kunt maken met 3 eieren, maak je gebruik van verhoudingen.

: 2 x 3

aantal eieren

21 3 Met 1 ei kun je 6 cupcakes bakken. aantal cupcakes

12618Met 3 eieren kun je 18 cupcakes bakken.

: 2 x 3

De verhouding van het aantal eieren tot het aantal cupcakes is 1 6 = 2 12 = 3 18 = 4 24 =

Voorbeeld 2

In een klas van 23 leerlingen zitten 10 jongens en 13 meisjes.

Het aantal jongens en het aantal meisjes van deze klas verhouden zich als 10 tot 13. of

De verhouding van het aantal jongens tot het aantal meisjes is 10 13 .

De verhouding van twee getallen a en b (met b ≠ 0) noteren we met de breuk a b

Verwerkingsopdracht

10

Druk de gegevens uit met een verhouding.

a) Op school zijn 63 van de 80 leerkrachten vrouwen:

b)In een voetbalploeg worden 11 van de 15 spelers opgesteld:

c)In de klas zijn 11 van de 25 leerlingen lid van een jeugdbeweging:

d)Een winkelier koopt een jas in voor € 65 en hij verkoopt hem voor € 99.

De verhouding van de inkoopprijs tot de verkoopprijs:

De winst verhoudt zich tot de inkoopprijs als:

7

5.2Een rationaal getal als procent

In de basisschool loste je al vraagstukken op waarbij je gebruik maakte van procenten.

Als je met procenten werkt, reken je eigenlijk met rationale getallen. Er zijn meerdere manieren om een procent van een getal te berekenen.

• Je kunt het percentage omzetten naar een decimaal getal.

15% van 200 wordt 0,15 · 200 0,15 · 200 = 30

• Bij sommige percentages (10%, 20%, 25%, 50% …) kun je handig rekenen. Deze methode kun je ook gebruiken bij het schatten van je resultaat.

50% van 90 wordt 90 : 2 90 : 2 = 45

Vanaf nu gebruiken we een punt (∙) als maalteken in plaats van een x. Op deze manier ontstaat er geen verwarring met de letter x

• Je kunt ook gebruik maken van een verhoudingstabel zoals in het voorbeeld hieronder.

Voorbeeld

Sammy krijgt 30% korting op een jas van 250 euro. Hoeveel euro korting kreeg Sammy?

Vraagstuk begrijpen : 30% korting krijgen betekent dat je voor elke 100 euro die je moet betalen, 30 euro korting krijgt.

Vraagstuk oplossen : Je plaatst de gegevens in een verhoudingstabel.

Antwoord : Sammy krijgt 75,00 euro korting.

Merk op

• Je kunt ook onmiddellijk de korting berekenen als volgt: 0,30 250 = 75,00

• Je kunt ook op een andere manier de verhoudingstabel weergeven.

Bereken.

a)35% van 100 is

b)9% van 4000 is

c)10% van 1500 is

d) 75 % van 2800 is

e)25% van 440 is

f) 60% van 60 is

g)50% van 780 is

h)250% van 500 is

2 12

Zet de gelijke uitspraken in eenzelfde kleur.

2 13

Saïd krijgt 20% korting op het fitnessabonnement dat normaal 320 euro kost. Hoeveel euro korting krijgt Saïd?

5.3Een rationaal getal als kans

Een kans wordt ook uitgedrukt met een breuk.

Kans = hetaantalmogelijkhedenvandegebeurtenis hettotaleaantalmogelijkheden

Voorbeeld 1

Als je een muntstuk opgooit, dan is de kans dat je munt gooit 1 op 2.

De kans dat je kop gooit, is ook 1 op 2.

Een muntstuk heeft immers twee kanten: kop en munt.

De kans dat je kop of munt gooit, is 1 2 of 0,5 of 50%.

Voorbeeld 2

Als je met een eerlijke dobbelsteen werpt, dan is de kans dat je een vijf gooit 1 op 6.

Een dobbelsteen heeft namelijk zes kanten.

De kans is 1 6 of 0,166…

Verwerkingsopdracht

14

Je trekt 1 kaart uit een spel van 52 kaarten. Hoe groot is de kans op het trekken van …

a)een ruiten 3?

b)een schoppen kaart?

c)een klaveren dame?

d)een 7?

e)een rode kaart?

ruiten/koeken klaveren harten schoppen

10

TIP

In een spel kaarten zijn er 13 kaarten van eenzelfde soort.

5.4 Schaal en evenredigheidsfactor

Een landkaart, foto of tekening zijn vaak kleinere weergaven van de werkelijkheid.

Met een schaal kun je aangeven hoeveel keer de werkelijkheid kleiner of groter is weergegeven.

Voorbeeld 1

Een schaal van 1 : 10 000 betekent: een lengte van 1 cm op de kaart komt overeen met een lengte van 10000 cm of 100 m in werkelijkheid.

5 2

afstand op de kaart in cm 1 510

werkelijke afstand in cm 1000050000100000

· 5 · 2

Met 10 cm op de kaart komt in werkelijkheid 100 000 cm of 1 km overeen.

Met een schaal kun je ook aangeven hoeveel keer de werkelijkheid groter of kleiner is weergegeven dan de afmetingen op een tekening, foto …

Voorbeeld 2

Een meikever kan 20 mm tot 30 mm lang zijn. Als we een meikever met een lengte van 25 mm op schaal 3 : 1 tekenen, dan moeten we de kever weergeven met een lengte van 75 mm of 7,5 cm.

De lengte van de kever op de tekening is drie keer de werkelijke lengte. We zeggen dat de evenredigheidsfactor 3 is.

Voorbeeld 3

We merken op: 5 20 = 1 4 = 10 40 = 25 100

De verhouding van de lengte van de zijde van een vierkant en de omtrek van het vierkant is constant.

De zijde en de omtrek van een vierkant zijn evenredige grootheden

Er geldt: z = 1 4 p → evenredigheidsfactoris 1 4

Of: p = 4 z → evenredigheidsfactoris4

Hierbij is p de omtrek en z de zijde van het vierkant.

Verwerkingsopdrachten

Vul de tabel aan.

Een gebakje kost € 3. Vul aan als je steeds dezelfde gebakjes koopt.

a)prijs in euro = × het aantal gebakjes

b)de evenredigheidsfactor is

Signaaloefeningen

Vul aan.

In het getal 137 402 …

a)is 3 het cijfer van de

b)is 4 het cijfer van de

c)heeft 1 de waarde van d)heeft 7 de waarde van Bepaal in het tiendelig talstelsel …

a)het kleinste natuurlijk getal dat uit 2 cijfers bestaat.

b)het grootste natuurlijk getal dat uit 3 verschillende cijfers bestaat.

c)het grootste oneven natuurlijk getal dat uit 4 verschillende cijfers bestaat.

3

Vink de ware uitspraken aan.

a) 7 9 < 5 9 f) -5 < -4

b)16,52 > 16,53 g)99 ⩽ 100

c)222 > 22 h) 0,94 ⩾ 0,49

d) -72 < 80 i)18 656 ⩽ 18 565

e) 1 2 = 0,5 j) 2 3 = 2,3

Plaats de getallen op de juiste plaats in het venndiagram.

z

q

n

6

Volgt uit de eerste bewering de tweede bewering ?

Zo ja, noteer het verband met de implicatiepijl. Zo nee, noteer een tegenvoorbeeld.

eerste beweringtweede bewering

a) x < -5 x < 0

b) x > 0 x ∈ n

c) x > 15 x > 10

d) x > 100

x is een getal dat bestaat uit 3 cijfers.

a)Rond de getallen af op de gevraagde nauwkeurigheid.

>>> Verder oefenen: D15 t.e.m. D24

getal op 0,1 nauwkeurigop 0,01 nauwkeurigop 0,001 nauwkeurig

14,6891

0,0109

5,9819

b) In een busje kunnen 20 mensen. 410 mensen moeten naar een andere locatie gebracht worden. Hoeveel busjes zijn er minstens nodig om alle mensen op hetzelfde ogenblik te vervoeren?

>>> Verder oefenen: D25 t.e.m. D30 7

Druk de gegevens uit met een verhouding.

a)In een klas zijn 4 van de 24 leerlingen ziek:

b)Een boer heeft 25 koeien en 10 varkens.

De verhouding van het aantal koeien tot het aantal varkens:

De verhouding van het aantal varkens tot het aantal koeien:

De verhouding van het aantal koeien tot het totale aantal dieren:

c)Op een test behaalde je een score van 37 op 40:

>>> Verder oefenen: D31 t.e.m. D35

9

Bereken.

a)25% van 240

b)40% van 3000

c)15% van 300

e)125% van 80

f) 95% van 160

g)100% van 978

d)80% van 90 h)200% van 600

10

In oktober tankt Brent zijn benzinetank twee keer vol.

De eerste keer betaalt hij € 1,460 per liter. Bij de tweede tankbeurt is de prijs met 5% gestegen.

Vul de tabel aan.

Je werpt één keer met een eerlijke dobbelsteen. Hoe groot is de kans op het gooien van …

a)een zes?

b)geen drie?

c)een zeven?

d)geen drievoud?

e)een even aantal ogen?

f) een natuurlijk aantal ogen?

In een studentenkot is de afstand tussen de binnenmuren 1 en 3 in werkelijkheid 6 m.

a)Op welke schaal is het plan getekend?

b)Wat is de werkelijke afstand tussen de binnenmuren B en C?

c)Wat is hier de evenredigheidsfactor?

Differentiatietraject

In het getal 91 375 …

a)is 3 het cijfer van de …

b)is 7 het cijfer van de …

c)heeft 1 de waarde van …

d)heeft 5 de waarde van …

Er gebeurde heel wat vandaag. Iemand won met EuroMillions 15 000 000 euro.

De prijs van frisdranken stijgt met 5%. De voetbalwedstrijd Club Brugge – Anderlecht eindigde op 2–1.

Maak van deze drie feiten een mini-journaaluitzending zonder gebruik te maken van getallen. Eindig met een creatief weerbericht.

Bepaal in het tiendelig talstelsel …

a)het kleinste even natuurlijk getal dat uit 4 cijfers bestaat.

b)het grootste even natuurlijk getal dat uit vier verschillende cijfers bestaat.

c)het kleinste even natuurlijk getal van 4 cijfers dat uit de cijfers 6, 7, 8 en 9 bestaat.

d)het grootste even natuurlijk getal van 4 cijfers dat uit de cijfers 6, 7, 8 en 9 bestaat.

e)het grootste natuurlijk getal van 3 cijfers dat uit de cijfers 3, 5 en 8 bestaat.

Noteer het kleinste en het grootste natuurlijk getal dat je kunt vormen door de volgende 3 cijfers precies één keer te gebruiken.

a)3 en 5 en 7

b)0 en 2 en 9

Talstelsels kennen een lange geschiedenis. Hieronder vind je het getal 64 voorgesteld in verschillende talstelsels. Kleur het getal in de overeenkomstige kleur.

Op sommige gebouwen wordt het bouwjaar aangegeven in Romeinse cijfers. Noteer telkens in welk jaar het gebouw werd afgewerkt.

a)

b)

Welke getallen worden hier als hiëroglyfen weergegeven?

a) b) c) d)

a)Welke getallen worden hier in het talstelsel van de Maya’s weergegeven?

I) II) III)

b)Hoe noteer je twintig volgens de Maya’s?

Groepsopdracht

Het binair talstelsel, het Griekse talstelsel en het hexadecimaal talstelsel zijn nog drie andere voorbeelden van hoe getallen opgebouwd kunnen worden. Kies als groep één van deze talstelsels. Zoek hoe ze opgebouwd zijn. Leg aan je medeleerlingen uit hoe je onze getallen omzet naar dit talstelsel.

Een natuurlijk getal bestaat uit 5 verschillende cijfers. Als er drie cijfers uit de rij 4, 6, 8 en 3 in het getal verwerkt zijn, wat is dan het verschil van het grootste en het kleinste getal dat je kan vormen?

Noteer in symbolen.

a)5 is kleiner dan 8.

b)0 is kleiner dan 3.

c)5,8 is groter dan 5,78.

d) 1 2 is gelijk aan 2 4

Welke uitspraken zijn waar?

a) 2 3 = 4 6

b) 16,5252 < 16,53

c) 11989 > 11998

d) 16656 ⩽ 16565

e) 1 8 = 0,125

f) 6 < 7

g)99 ⩽ 99

h)0,454 ⩾ 0,455

i) 85 < 80

j) 14 7 < 17 9 ⩽ 16 8

Op de getallenas rechts werd telkens een aantal getallen aangeduid. Met welke opgave links komt deze overeen? Maak de passende verbinding.

–

Noteer alle natuurlijke getallen die voldoen aan de volgende voorwaarden.

a)

b)

c)

Omcirkel alle natuurlijke getallen. Onderlijn alle gehele getallen. Kleur alle rationale getallen groen.

+7 82,3434 6 2

16

Maak telkens een correcte ‘als … dan …’-uitspraak.

a) Ik woon aan de kust. Ik woon in Blankenberge.

18

19

b) Ik eet een appel. Ik eet fruit.

Plaats in elk gebied van het venndiagram drie getallen.

c) Ik zwem elke week. Ik doe aan sport.

d) Het is zaterdag. Het is weekend.

17 …

z q n

a)Hoe lees je deze implicatie? x < 10 ⟹ x < 20

b)Hoe lees je deze implicatie? y ⩾ 0 ⟹ y is een positief getal

c)Schrijf in symbolen door gebruik te maken van de implicatiepijl.

‘Als x kleiner is dan -9, dan is x kleiner dan -7’.

d)Schrijf in symbolen door gebruik te maken van de implicatiepijl.

‘Als y groter is dan 20, dan is y - 2 groter dan 18’.

Plaats de getallen op de juiste plaats in het venndiagram.

8;0,3;15;

2 1 ; 2; 4;0; 8 16 ;3,33; 6 3

20

Volgt uit de eerste bewering de tweede bewering?

Zo ja, noteer het verband met de implicatiepijl. Zo nee, noteer een tegenvoorbeeld.

eerste beweringtweede bewering

a) x ∈ z x ∈ q

b) x ∈ n x - 4 is een negatief getal.

c) x > -100 x ∈ z

d) 11 > 9 en 9 > 3 11 > 3

21

Onderzoeksopdracht

Binnen welke getallenverzameling(-en) kunnen we een implicatiepijl plaatsen tussen volgende beweringen?

eerste beweringtweede bewering

x < 1000 x ⩽ 999

22

23

Vul de tabel aan door een kruisje te zetten bij elke ware uitspraak.

• a

z q n

• f • d • c

• e • b

… …

… is een … natuurlijk getalgeheel getal rationaal getal a b

c d e

f

Zoek alle natuurlijke getallen die voldoen aan volgende drie voorwaarden: -23 < x ⩽ 8en x ⩾ -7en x < 11

24

Vind zelf nog enkele voorbeelden van ware en valse uitspraken waarbij een implicatiepijl gebruikt wordt. De voorbeelden hoeven niet noodzakelijk wiskundig te zijn. HET

Welke opgaves werden correct afgerond op 2 cijfers na de komma (nauwkeurigheid 0,01)?

a)1,234 ≈ 1,23

b)8,387 ≈ 8,39

c)13,935 ≈ 13,93

d)4,293 ≈ 4,29

e)25,891 ≈ 25,9

f) 83,666 ≈ 83,67

a)Welke opgaves hebben als resultaat 12,4? Vink aan.

12,39 afgerond op 0,1 nauwkeurig

12,40 afgerond op 0,1 nauwkeurig

12,35 afgerond op 0,1 nauwkeurig

≈ betekent ‘… is afgerond …’

12,44 afgerond op 0,1 nauwkeurig

12,45 afgerond op 0,1 nauwkeurig

12,47 afgerond op 0,1 nauwkeurig

b)Welke opgaves hebben als resultaat 25,0? Vink aan.

24,92 afgerond op 0,1 nauwkeurig

24,99 afgerond op 0,1 nauwkeurig

25,04 afgerond op 0,1 nauwkeurig

25,44 afgerond op 0,1 nauwkeurig

24,999 afgerond op 0,001 nauwkeurig

24,95 afgerond op 0,1 nauwkeurig

Rond de getallen af op de gevraagde nauwkeurigheid.

getal op 0,1 nauwkeurigop 0,01 nauwkeurigop 0,001 nauwkeurig

38,395

2,9211

17,555

Flor krijgt 20 euro om te besteden op zijn verjaardag. Hij wil graag iets drinken en hij merkt dat een drankje 1,50 euro kost.

a)Hoeveel drankjes kan Flor maximaal bestellen?

b) Flor nodigt 3 vrienden uit om samen iets te drinken. Hoeveel drankjes kunnen ze elk drinken?

Mamadou gaat tanken in een tankstation. Hij tankt 45 liter brandstof. Momenteel is de prijs per liter 1,417 euro. Hoeveel euro moet Mamadou betalen voor deze tankbeurt?

Maak vooraf een schatting.

In een rekenblad kun je bij de opmaak van een cel bepalen hoeveel cijfers er worden weergegeven. Het rekenblad toont dan het gevraagde aantal cijfers, maar onthoudt het echte getal.

Je kunt in een rekenblad ook wiskundig afronden tot op een aantal cijfers. Het rekenblad toont het afgeronde getal, maar onthoudt ook dat afgeronde getal.

Bereken hoeveel er moet betaald worden voor alle tankbeurten in augustus. Toon aan dat er op het einde van de berekening tussen beide methodes een verschil is van 1 eurocent.

tankbeurten augustus aantal liter pompprijs

methode celopmaak methode wiskundig afronden getoond onthouden door rekenblad getoond onthouden door rekenblad

1 aug. 43 1,40360,33 60,329 60,33 60,33

9 aug. 42 1,408

17 aug.44 1,412

24 aug.44 1,412

31 aug. 41 1,417

32

Druk uit met een verhouding.

a)De helft van de leerlingen van onze klas studeert dagelijks meer dan één uur.

b)Twee derde van het aantal inwoners van onze gemeente sorteert het afval prima.

33

Druk uit met een verhouding. Gebruik hierbij zo klein mogelijke (natuurlijke) getallen.

a)85% van de leerlingen heeft thuis internet.

b)In een rusthuis zijn 7 van de 77 bewoners ziek.

c)In een winkel zijn 15 van de 97 producten uitverkocht.

d) In een straat wonen 90 gezinnen. Van 20 van deze gezinnen begint de familienaam met de letter V. Van 17 van deze gezinnen begint de familienaam met de letter D.

Wat is het aantal gezinnen waarvan de familienaam niet begint met de letter V of de letter D?

a)Geef 2 andere getallen die zich verhouden zoals 7 en 11.

b)Geef 2 andere getallen die zich verhouden zoals 18 en 54.

34

a)Zoek twee getallen die zich verhouden als 3 tot 4 en waarvan de som 70 is.

b)Zoek twee getallen die zich verhouden als 3 tot 4 en waarvan de som 280 is.

33

Onderzoeksopdracht

a)Zoek de verhouding van de lengte tot de breedte van dit blad.

b)Zoek de verhouding van de lengte tot de breedte van een A3-blad.

c)Plooi een A4-blad netjes in de helft. De grootte van dit halve blad noemen we A5.

Zoek ook hier de verhouding van de lengte tot de breedte.

d)Trek een passende conclusie.

36

Sommige breuken kan je snel naar een procent omzetten. Duid de overeenkomstige breuken en percentages aan in een eenzelfde kleur.

37

Wat hoort niet thuis in het rijtje? Verklaar.

38

Bereken.

a)25% van 1000 is …

b)19% van 400 is …

c)100% van 100 is …

d)8% van 2300 is …

e)35% van 500 is …

f) 70 % van 70 is …

g)50% van 120 is …

h)250% van 480 is …

39

Bereken.

a) 21 % van 240 is

b)12% van 900 is …

c)6% van 1100 is …

d)4% van 375 is …

e)1% van 9270 is

f) 102 % van 1250 is …

g) 55 % van 880 is …

h)99% van 1700 is …

40

Los volgende vraagstukken op.

a) In de plaatselijke speelgoedwinkel heb je een kortingskaart van 15%. Hoeveel zal je uiteindelijk moeten betalen als je voor 84 euro speelgoed uit de rekken hebt gehaald?

b) Nadat je op de veiling een schilderijtje kocht (voor € 750 euro), zegt de veilingmeester dat er nog 16% veilingkosten moeten bijgeteld worden. Hoeveel zal je uiteindelijk moeten betalen?

41

Op het etiket van een kippenragout met rijst en groenten vinden we volgende informatie in verband met de dagelijkse voedingsrichtlijn.

Bereken de dagelijkse voedingsrichtlijn voor kcal, suikers, vetten, verzadigde vetten en natrium.

Iedere portie van 250 g bevat van de dagelijkse voedingsrichtlijn

42

Bereken en vul aan.

a) … % van 500 is 90.

b) % van 55 is 33.

c) % van 250 is 400.

d)39% van … is 429.

e)780 is 75% van

f) 25% van 50% van 9600 is

43

44

In deze reclamecampagne wordt beloofd dat de consument het bedrag zal betalen zonder 21% BTW. Stel dat je een computer zou willen kopen, die normaal 742 euro zou kosten. Hoeveel kost deze computer nu?

BTW21% WEG!

Vul aan met twee keer hetzelfde getal.

… % van 120 is hetzelfde als 120% van …

Druk volgende kansen uit als een verhouding.

a) Je gooit met één dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat je een zes gooit?

b) Je gooit met één dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat je een even aantal ogen gooit?

c) Je gooit met één dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat het aantal ogen groter is dan 3?

d) Je gooit met één dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat het aantal ogen groter is dan 6?

Druk volgende kansen uit als een verhouding. In een normaal spel kaarten zitten 52 kaarten: 13 ervan zijn harten (rood), 13 ervan zijn ruiten (rood), 13 ervan zijn schoppen (zwart) en 13 ervan zijn klaveren (zwart).

De 13 kaarten zijn telkens 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, boer, dame en heer. Je trekt willekeurig één kaart.

a) Hoe groot is de kans dat je een rode kaart trekt?

b) Hoe groot is de kans dat je een harten kaart trekt?

c) Hoe groot is de kans dat je een 7 trekt?

d) Hoe groot is de kans dat je een harten aas trekt?

e) Hoe groot is de kans dat je een kaart trekt met een even getal erop?

f) Hoe groot is de kans dat je een kaart met een afbeelding van een persoon trekt?

Noteer telkens met een breuk.

a) Tom is een jongen uit klas 1A. In die klas zitten alle leerlingen per twee. De klas bestaat uit 13 jongens en 11 meisjes. Hoe groot is de kans dat Tom naast een jongen zit?

b)In je klas zitten 20 leerlingen. De juf duidt willekeurig iemand aan. Hoe groot is de kans dat jij dat bent?

c) In je klas zitten 20 leerlingen. De juf duidt (voor een mondelinge proef) vier leerlingen aan. Hoe groot is de kans dat jij daarbij bent?

d) Je moet één cijfer raden. Hoe groot is de kans dat je dit cijfer juist raadt?

e) Geert verzamelt één exemplaar van elk euromuntstuk. Hij neemt één willekeurig muntstuk uit zijn verzameling. Hoe groot is de kans dat dit een muntstuk van 2 euro is?

48

49

Druk volgende kansen uit als een breuk. Je gooit met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat het totaal aantal ogen gelijk is aan …

a)2?

b)6?

c)12?

d) 18?

Druk volgende kans uit als een breuk. Je gooit met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat het totaal aantal ogen een even getal is?

50

Voor een goed doel betaal je voor één tombolabiljet 5 euro.

a) Vul volgende tabel aan.

aantal tombolabiljetten 1 345812

prijs in euro

b)Vul aan met de juiste getallen. prijs aantaltombolabiljetten = … … = … … = … … = … … = … … = … …

prijs in euro = … × aantal tombolabiljetten de evenredigheidsfactor = …

51

Een plan van een living is getekend op schaal 1 : 50.

a) Als men op schaal 10 cm meet, wat is dan de werkelijke afmeting?

b) Vul aan.

afmetingopschaal afmetinginwerkelijkheid = … …

afmeting op schaal = … × afmeting in werkelijkheid

de evenredigheidsfactor =

Madurodam is een Nederlandse miniatuurstad in Den Haag. De gebruikte schaal is er 1 : 25. Dit park trekt jaarlijks meer dan 600000 bezoekers.

a) Als een beeldje van een bepaald persoon in Madurodam 7 cm meet, hoe groot is deze persoon dan in werkelijkheid?

b) Vul de tabel aan.

afmeting op schaal 4 cm 1 m3 m 75 cm20 cm werkelijke afmeting

c) Vul aan:

afmetingopschaal werkelijkeafmeting = … … = … … = … … = … … = … …

de evenredigheidsfactor = …

54

Vul volgende tabel aan.

1

55

42 millimeter

Gegeven:

1 : 3500

1 : 3000000

Hier zie je het display van een smartwatch. In de tekening staat de hoogte van het display. Bepaal op welke schaal de smartwatch werd weergegeven.

afmetingopschaal werkelijkeafmeting = 1 10000

Gevraagd: Vul aan:

De werkelijke afmeting = … × de afmeting op schaal

De afmeting op schaal = … × de werkelijke afmeting

56

Onderzoek of de straal van een cirkel evenredig is met de omtrek van deze cirkel.

Wiskundetaal

Zoek eerst het correcte woord voor de gegeven omschrijving. De eerste letter krijg je telkens cadeau. Daarna zoek je dat woord in de puzzel. Heb je alle woorden gevonden? Dan kun je met de resterende letters een vraag vinden. Noteer deze vraag en geef een antwoord.

Het getal 854 bestaat uit drie … C . . . . . .

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 zijn voorbeelden van … getallen. G . . . . .

Het aantal mogelijkheden van een gebeurtenis delen door het totale aantal mogelijkheden. K . . .

Het symbool < lees je als ‘is … dan’. K . . . . . .

Een … getal is een telresultaat. N . . . . . . . . .

Getal dat zowel positief als negatief is. N . .

Getallen die je als breuk kunt schrijven, zitten in de verzameling van de … getallen. R . . . . . . . .

Dit wordt vaak gebruikt op een kaart of in een atlas om de werkelijkheid verkleind weer te geven. S . . . . .

Omdat in ons talstelsel 10 cijfers gebruikt worden, is ons talstelsel een … stelsel. T . . . . . . . .

Om een getallenverzameling voor te stellen in een schema gebruik je een … V . . . . . . . . . .

HONATUURLIJK

KLEINERKELVS

VENNDIAGRAMR

GILEDNEITAEE

ELISSTUIEHNF

ELEHEGPLRCOJ

RATIONALESCI

ENTVANTIEN?C

De verborgen vraag:

Antwoord op deze vraag:

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik ken verschillende talstelsels en kan de opbouw van ons talstelsel plaatsen in de geschiedenis. Ik ken de notatie van getallen in ons tiendelig positiestelsel.

Ik kan getallen onderling vergelijken en gebruik maken van de relaties = , <, >, ⩽ en ⩾

Ik ken de symbolische voorstelling van de verzamelingen n , z en q . Ik ken de betekenis van de implicatiepijl en kan uitmaken of een uitspraak waarbij een implicatiepijl gebruikt werd, waar of vals is.

Ik kan vraagstukken oplossen i.v.m. schaal. Ik kan de evenredigheidsfactor bepalen bij schaal en evenredige grootheden.

ONTHOUDEN BEGRIJPEN TOEPASSEN ANALYSEREN EVALUEREN CREËREN

Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum

Ik ken verschillende talstelsels en de opbouw van ons talstelsel.

4 Vergelijk cijfers met letters en getallen met woorden.

verwerking: 1, 2, 3 signaal: 1, 2 differentiatie: 1 t.e.m. 10

Ik kan getallen onderling vergelijken. Ik kan werken met de symbolen = , <, >, ⩽ en ⩾

Als je voor < een verticaal streepje plaatst, krijg je |<. Dat lijkt op K, de eerste letter van 'kleiner dan'.

verwerking : 4 signaal : 3 differentiatie: 11 t.e.m. 14

Ik ken de symbolische voorstelling van n , z en q en ken de betekenis van de implicatiepijl ⟹

Geef enkele voorbeelden van natuurlijke, gehele en rationale getallen. ⟹ kan je lezen als ‘als … dan …’

verwerking: 5, 6, 7 signaal: 4, 5 differentiatie: 15 t.e.m. 24

7 2

8 2, 3

Ik ken benaderingstechnieken om zinvol af te ronden.

Maak gebruik van de context om zinvol af te ronden.

verwerking: 8, 9 signaal : 6 differentiatie: 25 t.e.m. 30

Ik kan werken met verhoudingen.

Een verhoudingstabel kan hierbij erg handig zijn.

verwerking: 10 signaal : 7 differentiatie: 31 t.e.m. 35

Ik kan werken met procenten.

Om vlot te rekenen kan je procenten omzetten in decimale vormen.

Zo is 10% = 0,1.

verwerking: 11, 12, 13 signaal: 8, 9 differentiatie: 36 t.e.m. 44

Ik kan werken met kansen.

Een kans kan steeds als een breuk worden weergegeven.

verwerking: 14 signaal: 10 differentiatie: 45 t.e.m. 49

Ik kan vraagstukken oplossen in verband met schaal. Ik kan de evenredigheidsfactor bepalen bij evenredige grootheden en bij schaal.

Eigenlijk betekent evenredigheidsfactor net hetzelfde als schaal.

verwerking: 15, 16 signaal : 11 differentiatie: 50 t.e.m. 56

13

14 7

Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx en Roger Van Nieuwenhuyze Met medewerking van Anneleen Bradt

Herdruk 2022/1427 - Bestelnummer 94 606 0010 (module 1 van 20)

ISBN 978 90 4863 467 5 - KB D/2019/0147/83 - NUR 126

Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure en Karakters Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge

15 7

17 7

18 12