Сборник норм. и прогр. сопровождения по уч. предмету "Математика" by diskpgiro

Министерство просвещения ПМР ГОУ «ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ»

Сборник

нормативного и программного сопровождения по учебному предмету «Математика» Рекомендовано Министерством просвещения ПМР

Тирасполь 2009

ББК 74.202 (4ПМР) С23

В подготовке данного пособия принимала участие рабочая группа в следующем составе: Ликий А.А., гл. методист по математике ГОУ «ПГИРО»; Медянцева А.А., учитель математики высшей квалификационной категории Тираспольской гуманитарно-математической гимназии; Шинкаренко Е.Г., старш. препод. кафедры математики и методики преподавания математики ПГУ им. Т.Г. Шевченко; Савицкая Л.С., начальник нормативно-информационного отдела Тираспольского УНО, учитель математики высшей категории; Суходол Л.И., учитель математики высшей квалификационной категории Дубоссарской СОШ № 5; Молдавская Н.Л., учитель математики высшей квалификационной категории Бендерской гимназии № 1; Лесниченко Е.И., учитель математики высшей квалификационной категории Слободзейской СОШ № 2

С23

Сборник нормативного и программного сопровождения по учебному предмету «Математика»: Пособие. — Тирасполь: ГОУ «ПГИРО», 2009. — 306 с. — Тираж 160 экз. ББК 74.202 (4ПМР)

МИНИСТЕРУЛ ЕДУКАЦИЕЙ АЛ РЕПУБЛИЧИЙ МОЛДОВЕНЕШТЬ НИСТРЕНЕ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ПРИДНІСТРОВСЬКОЇ МОЛДАВСЬКОЇ РЕСПУБЛІКИ

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПРИДНЕСТРОВСКОЙ МОЛДАВСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ПРИКАЗ 12.05.2009 г.

№ 547

О введении в действие решений Коллегии от 30.04.2009 г. В соответствии с Законом Приднестровской Молдавской Республики от 27 июня 2003 года № 292-3-111 «Об образовании» (САЗ 03-26) в действующей редакции и на основании Указа Президента Приднестровской Молдавской Республики от 28 февраля 2007 года № 188 «Об утверждении Положения, структуры и штатного расписания Министерства просвещения Приднестровской Молдавской Республики» (САЗ 07-10), с изменениями и дополнениями, внесенными Указами Президента Приднестровской Молдавской Республики от 26 мая 2008 года № 314 (САЗ 08-21), от 16 сентября 2008 года № 591 (САЗ 08-37), от 03 марта 2009 года № 142 (САЗ 09-10), приказа Министра просвещения Приднестровской Молдавской Республики от 03 ноября 2004 года № 1359 «Об утверждении Положения о Коллегии Министерства просвещения» приказываю: 1. Утвердить и ввести в действие решения Коллегии Министерства просвещения от 30.04.2009 г. по следующим вопросам: 1.1. «Об утверждении государственных образовательных стандартов начального профессионального образования» (приложение 1); 3

1.2. «О переутверждении государственных образовательных стандартов общего образования» (приложение 2); 1.3. «Проект Концепции исторического образования в организациях образования ПМР» (приложение 3), 2. Разрешить ГОУ «Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко» открыть специальность: — 210106 «Промышленная электроника». 3. Контроль за исполнением настоящего приказа по вопросу 1.1 возложить на начальника управления профессионального образования и кадровой политики СИ. Токарева; по вопросам 1.2, 1.3 возложить на начальника управления образования Т.П. Глушкову; по вопросу 2 возложить на начальника управления инспектирования Т.В. Смык. Министр просвещения

М.Р. Пащенко

МИНИСТЕРУЛ ЕДУКАЦИЕЙ АЛ РЕПУБЛИЧИЙ МОЛДОВЕНЕШТЬ НИСТРЕНЕ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ПРИДНІСТРОВСЬКОЇ МОЛДАВСЬКОЇ РЕСПУБЛІКИ

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПРИДНЕСТРОВСКОЙ МОЛДАВСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ПРИКАЗ 10.04.2006 г.

№ 314

О введении в действие решений Коллегии Министерства просвещения от 29.03.2006 г. Согласно п.2.4 Положения «О Коллегии Министерства просвещения Приднестровской Молдавской Республики» (приказ Министра просвещения № 1359 от 3 11.2004 г.) приказываю: 1. Утвердить и ввести в действие решения Коллегии Министерства просвещения от 29.03.2006 г. по вопросам: 1.1. Итоги НИР и НМР, выполненных в 2005 году по заказу Министерства просвещения (приложение 1). 1.2. Выполнение ГЦП «Учебник» за 2002–2006 гг. Концептуальные основы ГЦП «Учебник» на 2007–2011 годы (приложение 2). 1.3. Состояние муниципальной системы физического воспитания и спорта Слободзейского района (приложение 3). 1.4. Утверждение Базисного учебно-развивающего плана общего образования республики (приложение 4). 5

2. Разрешить Рыбницкому политехническому техникуму ведение образовательной деятельности по профессиям «Мастер по техническому обслуживанию и ремонту машинотракторного парка», «Повар». 3. Контроль за исполнением настоящего приказа по вопросам 1.1, 1.2, 1.4, 2 возложить на Первого заместителя министра Гелло В.А.; по вопросу 1.3 — на заместителя Министра Суринова В.Г. Министр просвещения

М.Р. Пащенко

Базисный учебно-развивающий план общего образования Пояснительная записка I. Общие положения 1. Базисный учебно-развивающий план (далее — Базисный план) общего образования является основополагающим элементом Государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и полного (среднего) общего образования (далее — общего образования) и конкретизирует правовые основы государственных гарантий прав граждан на бесплатное общее образование. 2. Базисный план является нормативным актом, устанавливающим: а) перечень учебных дисциплин; б) объем учебного времени, отводимого на освоение содержания образования по годам обучения, классам и учебным дисциплинам; в) объем учебных, развивающих и коррекционных занятий исходя из типа и вида образовательного учреждения, образовательных потребностей граждан и особенностей контингента обучаемых; г) объем максимальной учебной нагрузки обучающихся в соответствии с СанПиНами; д) общий объем бюджетного финансирования учебного плана для образовательного учреждения соответствующего типа и вида. 3. Базисный план разработан в соответствии с Законом Приднестровской Молдавской Республики «Об образовании» (САЗ 03-26), на основе образовательного стандарта Приднестровской Молдавской Республики в сфере общего образования (принят Постановлением Верховного Совета от 21.05.1999 г. № 160), с учетом формирования единого образовательного пространства с Российской Федерацией, в рамках государственных минимальных социальных стандартов в области образования в ПМР (утверждены 7

Постановлением Правительства Приднестровской Молдавской Республики от 14.04.2000 г. № 132) и является одним из основных государственных нормативов для государственных, муниципальных и аккредитованных негосударственных образовательных организаций в сфере общего образования. 4. Базисный план и разрабатываемые на его основе Примерные учебноразвивающие планы для различных типов и видов организаций образования, реализующих общеобразовательные программы, позволяют создать условия для получения общего образования различного уровня направленности, обеспечить развитие, коррекцию и социально-педагогическую реабилитацию различных категорий обучаемых. II. Структура Базисного плана 5. Базисный план включает пояснительную записку и сетку часов. 6. Сетка часов состоит из: а) инвариантной части, включающей обязательный перечень учебных дисциплин и обязательную норму количества часов по каждой дисциплине в разрезе классов, позволяющую реализовать обязательный минимум содержания основных образовательных программ общего образования; б) вариативной части, включающей ученический и школьный компонент, что позволяет реализовать цели и задачи образовательного учреждения, учитывая его специфику, а также создает условия для удовлетворения образовательных, индивидуально-творческих, оздоровительных и познавательных потребностей личности обучаемых, способствует их всестороннему развитию и социализации в современном обществе. 7. Для организации предпрофильной подготовки учащихся и ранней профилизации в 9 и 10 классах дана трехуровневая разбивка часов. Первая цифра обозначает количество часов, выделенных на изучение предмета на базовом уровне, вторая и третья цифры — количество часов, которое можно выделить на изучение предметов на повышенном или углубленном уровне. 8. Учебная дисциплина «Иностранный язык» изучается со 2 класса, при этом увеличено общее количества часов на ее изучение (со 2 по 9(10) класс на 6 часов). Предложенный объем учебного времени достаточен для освоения иностранного языка на функциональном уровне. 9. Учебная дисциплина «Окружающий мир (человек, природа, общество)» изучается в 1 и 2 классах по 1 часу в неделю и в 3 и 4 классах — по 2 часа в неделю. Предметная область является интегрированной. В ее содержание дополнительно введены развивающие модули и разделы социальногуманитарной направленности, а также элементы безопасности жизнедеятельности. 8

10. Дисциплина «Информатика и информационно-коммуникационные технологии (ИКТ)», направленная на обеспечение всеобщей компьютерной грамотности, изучается в 3–4 классах в качестве учебного модуля в рамках учебного предмета «Технология (труд)» или за счет часов вариативной части Базисного плана и с 8 класса — как самостоятельный учебный предмет. 11. Часы, отведенные в 1–2 классах на преподавание учебных дисциплин «Искусство (ИЗО)» (1 час в неделю) и «Технология (Труд)» (1 час в неделю), по решению образовательного учреждения могут быть использованы для преподавания интегрированного учебного курса «Изобразительное искусство и художественный труд» (2 часа в неделю). 12. Учебная дисциплина «Обществознание» изучается с 6 по 11(12) класс. Предметная область является интегрированной, построена по модульному принципу и включает содержательные разделы: «Общество», «Человек», «Социальная сфера», «Политика», «Экономика» и «Право». 13. Учебная дисциплина «Основы безопасности жизнедеятельности» вводится для изучения на основной ступени общего образования. На ее освоение отведен 1 час в неделю в 8 классе. Часть традиционного содержания предметной области, связанной с некоторыми правовыми аспектами, перенесена в учебную дисциплину «Обществознание». 14. Предметная область «Технология» в начальной школе может быть представлена 2 вариантами: — I вариант — трудовое обучение; — II�� вариант — интегрированные курсы «Математика и конструирование» или «Изобразительное искусство и художественный труд». Эта же предметная область «Технология» в основной школе может быть представлена курсами «Технология» (с разделом «Черчение» в 8 классе) или «Трудовое обучение». Профессиональная ориентация может быть реализована как отдельным курсом в 8–9(10�� ) классах (при наличии учебных программ), так и соответствующим разделом в учебной программе курса «Технология» или «Трудовое обучение». 15. Вариативная часть, состоящая из ученического и школьного компонента, включает: 15.1. Учебные занятия, которые предназначены: а) для проведения консультаций и занятий, направленных на ликвидацию пробелов в знаниях учащихся, сдачу зачетов и отработок (индивидуальные и групповые занятия); б) для углубленного изучения отдельных разделов, введения новых учебных курсов, организацию учебно-исследовательской работы с учащимися, проявившими особый интерес и способности в изучении определенного 9

предмета. Учебные курсы и факультативы организуются только при наличии соответствующего кадрового и программно-учебно-методического обеспечения и с учетом желания учащихся и их родителей (законных представителей) и в соответствии с Инструкцией «Об организации занятий вариативной части учебного плана в общеобразовательных учреждениях ПМР» (принята приказом Министра просвещения от 22.08.2002 г. № 558); в) в сельских школах (при отсутствии нормативной наполняемости классов) для деления классов (классов-комплектов) на подгруппы при изучении официальных языков и трудовом обучении. 15.2. Развивающие занятия, которые предназначены для организации новых форм образовательного процесса, обеспечивающего реализацию индивидуально-творческих, оздоровительных и познавательных потребностей детей. Занятия активно-двигательного и поискового характера могут быть организованы в форме кружков, секций, детских объединений, клубов, творческих групп и т. д. 15.3. Учебные и развивающие занятия осуществляются в соответствии с расписанием второй половины дня (вне учебных занятий) и проводятся согласно рабочим календарным планам, утверждаемым администрацией образовательного учреждения или соответствующим программам, разрешенным к использованию в ПМР. Комплектование групп обучаемых (других организационных форм) проводится на добровольной основе, согласно заявлению учащегося или его родителей (законных представителей). Группы могут формироваться на разновозрастной основе и иметь непостоянный количественный состав. 15.4. Учебные и развивающие занятия финансируются в зависимости от количества групп, согласно количеству часов в соответствующем классе и исходя из норм наполняемости групп (в соответствии с Инструкцией «Об организации занятий вариативной части учебного плана в общеобразовательных учреждениях ПМР»). Предусматривается формирование разновозрастных групп при проведении учебных и развивающих занятий. В этой связи разрешается использование вакансий часов вариативной части в отдельных классах на соответствующие занятия в других классах, однако, при этом не должны превышаться нормы максимально допустимой учебной нагрузки на обучаемого. Продолжительность одного учебного или развивающего занятия должна составлять до 45 минут. 15.5. В 9(10) классе часы вариативной части Базисного плана, отведенные на учебные курсы, факультативы и групповые занятия рекомендуется использовать на организацию предпрофильной подготовки учащихся. 16. Практическая подготовка предусматривает различные формы организации производительного труда учащихся (участие в сельскохозяйственных или ремонтных работах, благоустройстве территории, помощи престарелым 10

и т. п.). Вопросы, связанные с организацией производительного труда, решаются Советом или педагогическим советом образовательного учреждения по согласованию с родительским комитетом образовательного учреждения. От участия в трудовой практике освобождаются учащиеся, имеющие соответствующее заключение врача (справка ВКК). Конкретные формы, сроки и порядок организации трудовой практики определяются образовательным учреждением самостоятельно или в договоре с базовым предприятием (другим юридическим или физическим лицом). Возможно использование времени, выделяемого на трудовую практику, для посильного участия обучающихся в ремонте и благоустройстве образовательного учреждения. При этом нормы рабочего времени для обучающихся определяются действующим законодательством ПМР, организация труда, осуществляется в соответствии с Законом ПМР «Об охране и безопасности труда» (от 8.06.1993 года) и Правилами по технике безопасности и производственной санитарии при трудовом обучении и летних практических работах учащихся 9–10�� (�� 11�� ) классов общеобразовательных школ в сельскохозяйственном производстве. III. Организация образовательного процесса 17. Нормативные сроки освоения образовательных программ в сфере общего образования — 11(12) лет для очной формы обучения и 12(13) лет для очнозаочной формы обучения, в том числе по ступеням общего образования: а) начальное общее образование — 4 года; б) основное общее образование – 5(6) лет; в) среднее (полное) общее образование — 2 (3) года. 18. Продолжительность учебного года (без учета каникул) составляет 33 (в 1-х классах), 34 (в остальных классах) учебные недели. 19. Учебный годовой график образовательного учреждения разрабатывается на основании следующей структуры организации образовательного процесса: 19.1. Начало учебного года 1 сентября, завершение учебных занятий во всех классах 25 мая следующего календарного года. 19.2. Учебный год делится на четыре учебные четверти, в промежутках между которыми проводятся каникулы: а) осенние — 7 календарных дней (с 1 по 7 ноября включительно); б) зимние — 11 календарных дней (с 31 декабря по 10 января включительно); в) весенние — 7 календарных дней (с 25 марта по 31 марта включительно); г) для учащихся 1-х классов устанавливаются дополнительные недельные каникулы в середине февраля. 11

19.3. Промежуточная аттестация проводится с 26 по 31 мая включительно, а в 10 классах с углубленным изучением отдельных предметов, лицейских и гимназических классах при введении 3-го экзамена промежуточная аттестация продлевается на 3 дня. 19.4. Итоговая аттестация в 9(10) классах проводится с 1 по 12 июня включительно, а в 11(12) классах начинается с 1 июня и заканчивается не позднее 22 июня. 19.5. В случае необходимости орган управления, в ведении которого находятся вопросы образования, может вносить изменения в структуру и содержание организации образовательного процесса. 20. На I ступени общего образования предусматривается единый режим работы (в рамках пятидневной учебной недели) для организаций образования всех уровней. 21. Реализация учебного плана в классах �� II�� , �� III�� ступени общего образования массовых школ предусматривает режим шестидневной учебной недели. Реализация учебного плана в классах �� II�� , III�� ступени организаций образования повышенного уровня обеспечивается в соответствии с фактической нагрузкой и с учетом Санитарных правил и норм (САЗ 05-18). 22. Продолжительность урока в классах I ступени: 40 минут в 1-х классах; 45 минут во 2–4 классах, в классах II–III ступени — 45 минут. 23. Перечень учебных дисциплин, при изучении которых осуществляется деление классов на группы, и порядок деления установлен Государственными минимальными социальными стандартами образования (утверждены Постановлением Правительства Приднестровской Молдавской Республики от 14.04.2000 г. № 132). IV. Требования к рабочим учебным планам образовательных учреждений 24. Рабочие учебные планы образовательного учреждения разрабатываются на основе Базисного учебно-развивающего плана. 25. Рабочие учебные планы на новый учебный год рассматриваются и принимаются на педагогическом Совете образовательного учреждения не позднее 15 мая текущего учебного года, согласовываются с учредителем (органом управления образованием) и утверждаются руководителем образовательного учреждения не позднее 15 июня текущего года. 26. На титульном листе учебного плана должны быть следующие записи: а) дата принятия на педагогическом совете; б) дата согласования с УНО; в) дата и номер приказа его утверждения. 12

27. На основании рабочего учебного плана осуществляется: а) планирование педагогической нагрузки педагогическим работникам, которая после согласования с профсоюзным комитетом образовательного учреждения доводится под роспись до сведения каждого работника перед его уходом в очередной отпуск; б) составление основного и второго расписания занятий на новый учебный год; в) формирование перечня учебных и развивающих занятий вариативной части и подготовка их ресурсного обеспечения; г) проектирование годового плана работы образовательного учреждения. 28. При согласовании рабочих учебных планов образовательное учреждение обязано предоставить сетку часов и свою пояснительную записку к ней. 29. В сетке часов инвариантная часть должна соответствовать инвариантной части Базисного учебно-развивающего плана, а вариативная часть предельно конкретизирована с указанием видов и названий учебных и развивающих занятий и распределением их по классам. 30. Образовательное учреждение после утверждения рабочего учебного плана не в праве вносить в него изменения в течение учебного года без согласования с учредителем (органом управления образования).

14 5

История

Химия

Физика и астрономия 2

География

Биология

Природоведение

Окружающий мир

Информатика н информационнокоммуни-кативные технологии

Математика

Официальный язык (рус, молд., укр.)

Родная литература (рус, молд., укр.)

Количество часов в неделю по классам

ИНВАРИАНТНАЯ ЧАСТЬ

Иностранный язык (англ., нем., фр., исп.)

Родной язык (рус, молд., укр.)

Учебные предметы (10)

3-4-4 3-4-4

2-2-2 2-2-2

2-3-4 2-3-4

2-2-2 2-2-2

2-2-3 2-2-3

1-2-3 1-2-3

5-6-7 5-6-7

3-4-5 3-4-5

2-3-4 2-3-4

3-4-5 3-4-5

2-3-3 2-3-3

БАЗИСНЫЙ УЧЕБНО-РАЗВИВАЮЩИИ ПЛАН общего образования в Приднестровской Молдавской Республике

базовый

10(11) 11(12)

0/34

0/35

Трудовая деятельность (в днях)

Общий объем учебного плана

1 1

Развивающие занятия активнодвигательного и поисково-творческого характера по выбору учащихся

Групповые занятия, учебные курсы и факультативы

до 10 до 10 до 10 до 10 до 10 до 10

0/35

2-1-0 2-1-0

2-3-3 2-3-3

1-1-2 1-1-2

ВАРИАТИВНАЯ ЧАСТЬ (УЧЕНИЧЕСКИЙ И ШКОЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ)

0/32

Максимальная учебная нагрузка на одного уч-ся при пятидневке/шестид- 20 23/25 23/25 23/25 0/31 невке, не более

2 32

2 29

ИТОГО (в том числе — академиче20 ская нагрузка)

Технология, труд

Основы безопасности жизнедеятельности / Начальная военная подготовка

Физическая культура

Музыка

Изобразительное искусство

Обществознан не

0/36

33/35

2/2

0/36

33/35

2/2

Примерные учебно-развивающие планы для профильного обучения на III ступени общего образования (средняя школа) в ПМР Пояснительная записка Среднее (полное) общее образование — завершающая ступень общего образования, призванная обеспечить функциональную грамотность и социальную адаптацию обучающихся, содействовать их общественному и гражданскому самоопределению. Эти функции предопределяют направленность целей на формирование социально-грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющей себе потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути. Эффективное достижение указанных целей возможно при введении профильного обучения, которое является системой специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования. Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, когда за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности обучающихся, создаются условия для образования старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. При этом существенно расширяются возможности выстраивания обучающимся индивидуальной образовательной траектории. Переход к профильному обучению позволяет: — создать условия для дифференциации содержания обучения старшеклассников, построения индивидуальных образовательных программ; обеспечить углубленное изучение отдельных учебных дисциплин; установить равный доступ к полноценному образованию разным категориям обучающихся, расширить возможности их социализации; — обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников общеобразовательных организаций, реализующих программы среднего (полного) общего образования к освоению программ высшего профессионального образования. 16

Принципы построения Базисного учебного плана для �� III ступени �� общего образования основаны на идее двухуровневого (базового и профильного) компонента государственного стандарта. Исходя из этого, учебные дисциплины могут быть представлены в учебном плане образовательного учреждения и (или) выбраны для изучения обучающимися либо на базовом, либо на профильном уровне. Выбирая различные сочетания базовых и профильных учебных дисциплин и учитывая нормативы учебного времени, установленные СанПиНами, каждое образовательное учреждение, а в принципе и каждый обучающийся вправе формировать собственный учебный план. Такой подход оставляет образовательному учреждению широкие возможности организации одного или нескольких профилей, а обучающимся – выбор профильных и элективных учебных дисциплин, которые в совокупности и составят его индивидуальную образовательную траекторию. Базовые общеобразовательные предметные области – учебные дисциплины, направленные на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся. Базисный учебный план предполагает функционально полный, но минимальный их набор. Обязательными базовыми учебными дисциплинами являются: «родной язык», «литература», «иностранный язык», «математика», «история», «физическая культура», а также интегрированные учебные дисциплины «обществознание (включая экономику и право)» и «естествознание». Остальные базовые учебные дисциплины изучаются по выбору. Профильные общеобразовательные предметные области – учебные дисциплины повышенного уровня, определяющие специализацию каждого конкретного профиля обучения. Так, «физика», «химия», «биология» являются обязательными учебными дисциплинами в естественнонаучном профиле; «литература», «родной язык» и «иностранный язык» – в филологическом профиле; «обществоведение», «право», «экономика» и др. – в социальноэкономическом профиле и т. д. Совокупность базовых и профильных общеобразовательных учебных дисциплин определяет состав компонента базисного учебного плана. При профильном обучении обучающийся выбирает не менее двух учебных дисциплин на профильном уровне. В случае, если предметные области «математика», «родной язык», «литература», «иностранный язык», «история», входящие в инвариантную часть БУРПа, изучаются на профильном уровне, то на базовом уровне они не изучаются. Элективные учебные курсы – обязательные учебные дисциплины по выбору учащихся из компонента образовательного учреждения. Элективные учебные курсы выполняют три основные функции: 17

— «надстройки» профильной учебной дисциплины, когда такой дополненный профильный учебный предмет становится в полной мере углубленным (а образовательное учреждение (класс), в котором он изучается, превращается в традиционное общеобразовательное учреждение с углубленным изучением отдельных предметов); — развивают содержание одной из базовых учебных дисциплин, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных дисциплин на профильном уровне или получить дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена по выбранной предметной области; — способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека. Реализация Примерного плана предусматривает шестидневную учебную неделю. ПРИМЕРНЫЕ УЧЕБНЫЕ ПЛАНЫ для некоторых возможных профилей Учебные предметы

Кол-во часов (в неделю) за два года обучения

Физико-математический профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык

Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык

4 6 4

История Обществознание (включая экономику и право) Естествознание Физическая культура

6 4 6 4

Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Математика

4/4

Информатика и информационно-коммуникативные технологии

Физика

3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность

Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

76/4 2 2 84

Физико-химический профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык

История Обществознание (включая экономику и право) Биология География

2 4 6 4 6 4 2 2

Физическая культура

Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык

Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Математика Физика Химия 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

4/4 12 10 6 10 76/4 2 2 84

Химико-биологический профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература

2 4 6

Иностранный язык История Обществознание (включая экономику и право) География Физика Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности

4 6 4 2 4 4 4/4

2. Профильные учебные предметы Математика Химия Биология

12 6 6

76/4 2 2 84

Биолого-географический профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык История Обществознание (включая экономику и право) Физика Химия Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Математика География

2 4 6 4 6 4 4 2 4 4/4 12 6

Биология

76/4 2 2 84

Социально-экономический профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык Информатика и информационно-коммуникативные технологии История Естествознание Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Математика

2 4 6 4 2 6 6 4 4/4

Обществоведение Экономика Право География

12 6 6 2 6

Максимальная учебная нагрузка

76/4

4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся

Общий объем учебного плана

Социально-гуманитарный профиль 1. Базовые учебные предметы Второй официальный язык Иностранный язык Математика Экономика Естествознание Мировая художественная культура Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Родной язык Родная литература История Обществоведение Право 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

4 4 10 1 6 2 4 4/4 6 10 8 6 4 7 76/4 2 2 84

Филологический профиль 1. Базовые учебные предметы Второй официальный язык Математика История Обществознание (включая экономику и право) Естествознание Мировая художественная культура Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности

4 8 6 4 6 2 4 4/4

2. Профильные учебные предметы Родной язык Родная литература Иностранный язык Второй иностранный язык 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

6 10 12 4 6 76/4 2 2 84

Информационно-технологический профиль

(как пример одного из возможных вариантов реализации технологического профиля) 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык История Обществознание (включая экономику и право) Естествознание Физика Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Математика Информатика и информационно-коммуникативные технологии 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия

2 4 6 4 6 4 6 4 4 4/4 12 8 12 76/4 2

Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

2 84

Агротехнологический профиль

(как пример одного из возможных вариантов реализации технологического профиля) 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык Математика История Обществознание (включая экономику и право) Физика Химия Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Биология Основы агрономии* Основы животноводства* Сельскохозяйственная техника* 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

2 4 6 4 8 6 4 4 2 4 4/4 6 4 4 4 10 76/4 2 2 84

* — Профильный учебный предмет на основе элементов государственного стандарта начального профессионального образования.

Индустриально-технологический профиль

Направление – электротехника / радиоэлектроника (как пример одного из возможных вариантов реализации технологического профиля) 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык Математика Информатика и информационно-коммуникативные технологии История Обществознание (включая экономику и право) Естествознание Физическая культура Начальная военная подготовка/Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Физика Технология (включая электротехнику и радиоэлектронику* 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

2 4 6 4 8 2 6 4 6 4 4/4 10 9 7 76/4 2 2 84

* — Профильный учебный предмет на основе элементов государственного стандарта начального профессионального образования. Художественно-эстетический профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык

2 4 6 4

Математика История Обществознание (включая экономику и право) Естествознание Физическая культура Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Мировая художественная культура Профильные учебные предметы искусства* 3. Элективные учебные предметы Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

8 6 4 6 4 4/4 6 12 10 76/4 2 2 84

* — Профильные учебные дисциплины выбираются образовательным учреждением в зависимости от направления подготовки. Оборонно-спортивный профиль 1. Базовые учебные предметы Родной язык Второй официальный язык Родная литература Иностранный язык Математика История Обществознание (включая экономику и право) Естествознание Начальная военная подготовка/ Основы безопасности жизнедеятельности 2. Профильные учебные предметы Физическая культура Основы безопасности жизнедеятельности 3. Элективные учебные предметы

2 4 6 4 8 6 4 6 4/4 8 4

Учебные дисциплины, предлагаемые образовательным учреждением, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность Максимальная учебная нагрузка 4. Вариативная часть (ученический компонент) Учебные курсы, факультативы, групповые занятия Развивающие занятия активно-двигательного, поисково-творческого характера по выбору учащихся Общий объем учебного плана

20 76/4 2 2 84

* — Профильные учебные дисциплины на основе элементов государственного стандарта среднего профессионального педагогического образования

Общая характеристика учебного предмета «Математика» Основная школа Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точные названия блоков): арифметика; алгебра; геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В своей совокупности в них отражен богатый опыт обучения математике в нашей стране, они учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаются и взаимодействуют в учебных курсах. Арифметика призвана способствовать приобретению практических навыков, необходимых для повседневной жизни. Она служит базой для всего дальнейшего изучения математики, способствует логическому развитию и формированию умения пользоваться алгоритмами. Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, 28

периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры. Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства. Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности — умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления. Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность: — развить �� представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру; — овладеть символическим языком алгебры, выработать формальнооперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач; — изучить �� свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей; — развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами; —�� получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер; 29

—�� развить логическое мышление и речь – умение логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; — сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений. Цели Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: — овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; — интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей; — формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; — воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии. Место предмета в Базисном учебно-развивающем плане ПМР Примерная программа основного общего образования (�� 5–9�� классы) по математике рассчитана на 875 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 90 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий. Так как продолжительность учебного года (без учета каникул) в ПМР по БУРП составляет 34 учебные недели, то резерв свободного времени сократится до 65 часов. Таким образом, распределение учебных часов по классам следующее: 30

Количество часов в год (по классам) Всего 6 7 8 9

Название

5 Базисный учебно-развивающий план образова170 170 170 170 170 тельных учреждений ПМР Примерный учебный план (годовой)

170 170 170 170 170

Примерный учебный план (недельный)

850 850 25

Необходимое количество часов в неделю по программе Уровень изучения Базовый уровень

Предмет

5 кл. 6 кл.

7 кл.

Математика

I в. учеб. плана –

Алгебра

–

Геометрия

–

– – – – – –

– – – – 4 2

Профильный Математика уровень Алгебра Геометрия Углубленный Математика уровень Алгебра Геометрия

II в. учеб. плана – I четв. – 5 II–IVчетв. – 3 I четв. – 0 II-IVчетв. – 2 – – – – 5 2

8 кл.

9 кл.

–

– – – – 5 3

Примечание. В связи с тем, что сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 кл». / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, издание 3-е, 2002–2004 гг. не переработан в соответствии с новыми государственными стандартами, то целесообразно использовать данный сборник с учетом содержания государственного образовательного стандарта и примерных программ по математике. Учебно-методические комплекты В учебно-методический комплект (УМК), необходимый для обучения математике, должны входить: — учебник как ведущий элемент УМК; — дидактические материалы (задачники, рабочие тетради, карточки и т. д.); — книга для учителя (или методические рекомендации). 31

УМК может быть дополнен: вспомогательной литературой, публикациями в периодической печати (журналы «Математика в школе», «Математика для школьников»; газета «Математика» — приложение к газете «Первое сентября»), материалами по использованию компьютера в обучении. Перечень учебно-методических комплектов, рекомендованных управлением образования и науки к использованию в учебном процессе в учреждениях образования на 2009/10 учебный год: 1) 5–9 классы — (см. приложение 1. «Инструктивно-методическое письмо «О преподавании математики в 2009/10 учебном году в общеобразовательных организациях ПМР»); 2) 5–9 классы — углубленное изучение математики (см. приложение 2. «Инструктивно-методическое письмо «О преподавании математики в 2009/10 учебном году в общеобразовательных организациях ПМР»).

Предмет

Математика 5–6 кл.

Кол-во часов в неделю

Программа (название, автор, год издания)

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 кл», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике МиниДорофеев Г.В., Ша- стерства образования РФ. рыгин И.Ф. Математика. 6 кл. М.: Просвещение, 2004

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика. 5 кл. М.: Просвещение, 2004

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике МиниВиленкин Н.Я. и др. стерства образования РФ. Математика. 6 кл. М.: Программы. Математика. 5–6 классы / Авт.Мнемозина, 2004– сост. Жохов – М.: Мнемозина, 2007 2006

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. М.: Мнемозина, 2004– 2006

Учебник (название, автор, год издания)

базовый уровень 5–9 классы

Тематическое планирование по математике: 5–6 кл.: кн. для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006

Газета «Математика» (приложение к газ. «1 сентября»). № 11, 2006. Программы. Математика. 5–6 классы / Авт.-сост. В.И. Жохов. – М.: Мнемозина, 2007

Примерное авторское календарнотематическое планирование и контрольные работы, зачеты

Перечень программ и учебников по математике

Математика 5–6 кл.

Алгебра 7–9 кл.

Газета «Математика» (приложение к газ. «1 сентября»). № 12, 2006. Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., и др. Алгебра. 7 кл. М.: Просвещение, 2000– 2006

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., и др. Алгебра, 9 кл. Просвещение, 2000-2006

Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5-6 кл.: Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2004. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Примерные программы по математике Министерства образования РФ (см. примечание 2). Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Зубарева И.И., Морд- Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007 кович А.Г. Математика. 6 кл. М.: Мнемозина, 2004–2006

Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл. М.: Мнемозина, 2004–2006

Алгебра 7–9 кл.

Мордкович А.Г. Алгебра. Ч. 1, 2. 8 кл. М.: Мнемозина, 2004– 2006

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ. Авторская программа в журнале «Математика в школе». № 5, 2003. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Дорофеев и др. Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 9 кл. М.: Просвещение, 2004–2006

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике МиниДорофеев и др. стерства образования РФ. Математика. Алгебра, Программы для общеобразовательных функции, анализ данучреждений. Алгебра. 7–9 классы / Сост. Т.А. ных. 8 кл. М.: ПросвеБурмистрова. – М.: Просвещение, 2008 щение, 2004–2006

Дорофеев и др. Математика. Алгебра. 7 кл. М.: Просвещение, 2004–2006

Мордкович А.Г. Алгебра. Ч. 1, 2. 9 кл. М.: Мнемозина, 2004– 2006

Мордкович А.Г. Алгебра. Ч. 1, 2. 7 кл. М.: Мнемозина, 2004– 2006

Газета «Математика» (Приложение к газ. «1 сентября»). № 12, 2006. Журнал «Математика в школе». № 5, 2006. Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Газета «Математика» (Приложение к газ. «1 сентября»). № 12, 2006. Журнал «Математика в школе». № 5, 2006. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Геометрия 7–9 кл.

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7–9 кл. М.: Просвещение, 2000– 2006

ПогореловА.В. Геометрия. 7–9 кл. М.: Просвещение, 2000– 2006 Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ. Программы для общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Газета «Математика» (приложение к газ. «1 сентября»). № 13, 2006. Программы для общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Газета «Математика» (приложение к газ. «1 сентября»). № 13, 2006. Журнал «Математика в школе». № 5, 2006. Программы для общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Предмет

Алгебра 7–9 кл.

4–5

Кол-во часов в неделю

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.Н. Алгебра. 9 кл. Учебник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004– 2006

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.Н. Алгебра. 7 кл. Учебник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004– 2006 Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.Н. Алгебра. 8 кл. Учебник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004–2006

Учебник (название, автор, год издания)

Примерное авторское календарнотематическое планирование и контрольные работы, зачеты

Журнал «Математика в школе». № 10, 2006

Журнал «Математика в школе». № 5, 6, 2005

Сборник «Программы для общеобразователь- Журнал «Математика в школе». ных школ, гимназий, лицеев: Математика. № 6, 9. 2004 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ.

Программа (название, автор, год издания)

углубленный уровень 7–9 классы

Алгебра 7–9 кл.

Мордкович А.Г. Алгебра. 7–9 классы. Методическое пособие для учителя, М.: Мнемозина, 2004. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл. Учебник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004–2006

Тематическое планирование по математике 8–11 кл. с углубленным изучением математики. Бурмистрова Т.А. (книга для учителя). М.: Просвещение, 2003

Тематическое планирование по математике 8–11 кл. с углубленным изучением математики. Бурмистрова Т.А. (книга для учителя). М.: Просвещение, 2003 Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике МиВиленкин Н.Я., Вилен- нистерства образования РФ. кин А.Н. и др. Алгебра. Программы для общеобразовательных 9 кл. М.: Просвещение, учреждений. Алгебра. 7–9 классы / Сост. Т.А. 2004–2006 Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра. 8 кл. М.: Просвещение, 2004–2006

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.Н. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8–9 классов. М.: Просвещение, 2004–2006

Алгебра 7–9 кл.

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ. Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл. Задачник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004–2006

Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл. Учебник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004–2006

Мордкович А.Г.. Алгебра. 9 кл. Задачник для классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2004–2006

Авторское тематическое планирование. Журнал «Математика в школе» № 6, 2006. Стр. 28. Мордкович А.Г. Алгебра.7–9 классы. Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 2004. Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

2 – 7 кл. ; 3 – 8 кл. 3 – 9 кл.

Геометрия 7–9 кл.

ПогореловА.В. Геометрия. 7–9 кл. М.: Просвещение, 2000–2006 (дополнительные главы)

Атанасян Л.С. Геометрия. 7–9 кл. М.: Просвещение, 2004–2006 (дополнительные главы)

свещение, 2004–2006 Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ Программы для общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7–9 классы / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008

Александров А.Д. и др. Сборник «Программы для общеобразовательГеометрия. 8 кл. М.: Про- ных школ, гимназий, лицеев: Математика. свещение, 2004–2006 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике МиАлександров А.Д. и др. Геометрия. 9 кл. М.: Про- нистерства образования РФ

Газета «Математика» (приложение к газ. «1 сентября»). № 13, 2006. Тематическое планирование по математике 8–11 кл. с углубленным изучением математики. Бурмистрова Т.А. (книга для учителя). М.: Просвещение, 2003. Журнал «Математика в школе». № 5, 2006

Газета «Математика» (приложение к газ. «1 сентября»). № 13, 2006.

Примерное количество контрольных работ и зачетов

Алгебра (углубленное изучение)

Алгебра

Математика

Предмет Класс

Автор учебника

Вид работы

Ко-во часов 3 4 5 – – 15

Виленкин Н.Я. и др.

к/р

2 –

Виленкин Н.Я. и др.

к/р

–

к/р

–

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф.

зачет тест к/р

– – –

– -– –

7 3 1

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф.

зачет

–

тест

–

Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

к/р

–

Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

к/р

–

Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.

к/р

–

Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.

к/р

–

Макарычев Ю.Н. и др.

к/р

–

Макарычев Ю.Н. и др.

к/р

–

Макарычев Ю.Н. и др.

к/р

–

Мордкович А.Г.

к/р

–

Мордкович А.Г.

к/р

–

Мордкович А.Г.

к/р

–

Дорофеев Г.В. и др.

зачет

–

Дорофеев Г.В. и др.

зачет

–

Дорофеев Г.В. и др.

зачет

–

к/р

–

к/р

–

к/р

–

7 8 9

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. (изд. «Мнемозина») Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. (изд. «Мнемозина») Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. (изд. «Мнемозина»)

Виленкин Н.Я. и др

к/р

–

Виленкин Н.Я. и др

к/р

–

Геометрия

Атанасян Л.С. и др.

к/р

–

Атанасян Л.С. и др.

к/р

–

Атанасян Л.С. и др.

к/р

–

Погорелов А.В.

к/р

–

Погорелов А.В.

к/р

–

Погорелов А.В.

к/р

–

Примечание. Если в 7 классе геометрия ведется со II�� четверти, то количество контрольных работ следующее: Класс 7

Автор учебника

Вид работы

Кол-во часов 2

Атанасян Л.С. и др.

к/р

Погорелов А.В.

к/р

Примечание. При введении итоговой аттестации в 9 классе по алгебре в новой форме в начале учебного года необходимо в каждом классе (5–9 кл.) провести входные контрольные срезы по стержневым линиям курса математики за предыдущий период обучения в любой форме: традиционная контрольная работа или тест. Необходимо предусмотреть в тематическом планировании контроль знаний учащихся по основным стержневым линиям математики в каждом классе. Система мониторинга уровня обязательной подготовки учащихся по наиболее важным темам базового компонента математики рекомендуется проводить в форме теста или самостоятельной работы (время проведения 5–20 мин). Класс 5 6

Тема проводимого контроля Действия с обыкновенными дробями Действия с десятичными дробями Действия с обыкновенными дробями Действия с отрицательными и положительными числами Решение уравнений Формулы сокращенного умножения Решение систем уравнений Три признака равенства треугольников Степени с натуральным показателем

Квадратный корень Квадратные уравнения Решение неравенств Степень с целым показателем Решение дробно-рациональных уравнений Теорема Пифагора Квадратичная функция Решение неравенств Решение систем уравнений 2 степени и задач с помощью систем уравнений Прогрессии Степень с рациональным показателем, корень n-ой степени Комбинаторные задачи

Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точное название блоков): арифметика; алгебра; геометрия; элементы комбинаторики, теория вероятностей, статистика и логика. Введение элементов статистики и теории вероятности, элементов логики становится обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Учителям математики необходимо учитывать это при составлении календарно-тематического планирования. В помощь учителю предлагается отражение элементов статистики и теории вероятности, элементов логики в учебно-методических комплектах основной школы (см. табл. 1 «Инструктивно-методическое письмо «О преподавании математики в 2009/10 учебном году в общеобразовательных организациях пмр» ).

Предпрофильная подготовка учащихся основной школы Профильное обучение математике должно представлять собой сложную систему, которая строится на принципах гуманности и открытости. В профильной дифференциации обучения математике можно выделить три этапа. Первый этап (5–7 классы) — это этап формирования профильных интересов. Здесь вырабатывается сознательный выбор уровня учебной деятельности (базовый, продвинутый, творческий); в процессе соревнований, игровой и учебной деятельности формируются познавательные интересы и мотивы познания учащихся. На этом этапе важную роль играют разнообразные формы внеклассной работы по предмету: кружки, турниры, конкурсы, олимпиады и вечера занимательной математики. 43

В связи с этим учителям рекомендуется за счет школьного компонента добавить один час и проводить предпрофильную подготовку учащихся. Класс 5 6

5–6 7–9

Издательство, год издания Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., М.: Просвещение, Наглядная геометрия. 5 Велиховская В.Л. 2006 Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., М.: Просвещение, Наглядная геометрия. 6 Велиховская В.Л. 2006 Ходот Т.Г. Математика. 5–6: Наглядная М.: Просвещение, геометрия: Книга для учителя 2008 Шарыгин И.Ф., ЕрганНаглядная геометрия. 5–6 М.: Дрофа, 2002 жиева Л.Н. Вернер А.Л., Ходот Т.Г. М.: Просвещение, Стереометрия 2006 Автор

Пособие

Второй этап (8–9 классы) — это этап становления профильных намерений. Здесь реализуется разноуровневое изучение курса математики по стандартным учебным планам, уделяется усиленное внимание внеклассной работе учащихся, организуется самостоятельная работа, соответствующая их индивидуальным наклонностям, проводится целенаправленная работа по профессиональной ориентации учащихся. Такая структура профильного обучения математике позволяет наиболее полно учесть индивидуальные особенности учащихся с помощью коллективных форм обучения, обеспечить единство уровневой и профильной дифференциации обучения математике. В рамках реализации профильного обучения становится «нормой» его начальная составляющая – предпрофильная подготовка учащихся. Реально оценить свои возможности учащимся 9 классов помогут курсы по выбору. Учитель может использовать программы, рекомендованные Министерством образования РФ, Министерством просвещения ПМР, ГОУ «ПГИРО». Учитель имеет право самостоятельно составить программу элективного курса по математике, утвердив ее на школьном педагогическом совете или в УНО. Например, для создания элективного курса можно использовать пособие «Стереометрия. 7–9 кл.» авторов А.Л. Вернера и Т.Г. Ходот (М.: Просвещение, 2006 г.) .

Итоговая аттестация учащихся основной школы

Итоговая аттестация учащихся в новой форме по алгебре В связи с введением профильного обучения в общеобразовательных учреждениях для объективной итоговой аттестации учащихся 9 классов в ближайшие год–два будет введен экзамен по алгебре в новой форме для выпускников основной школы. Работа рассчитана на выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных 10 классов. В связи с тем, что раздел «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» становится обязательным компонентом школьного образования и включен в стандарт 2004 года, решается вопрос о введении его в экзамен (2–3 задания). Согласно требованиям госстандарта к уровню подготовки выпускников основной школы учащиеся должны уметь: — проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений; — извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; — составлять таблицы, строить диаграммы и графики; — решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения; — вычислять средние значения результатов измерений; — находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; — находить вероятности случайных событий в простейших случаях; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге; — распознавания логически некорректных рассуждений; — записи математических утверждений, доказательств; 45

— анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц; — решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости; — решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов; — сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией; — понимания статистических утверждений. (Примерный банк заданий см. в приложении 1.) Дополнительная литература по подготовке учащихся к экзамену по вероятностно-статистическому материалу 1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика, 5–9 кл. – М.: Дрофа, 2002. 2. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики. // Математика в школе. 2002. № 4. 3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования» // Математика в школе. 2003. № 3. 4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События, вероятности, статистическая обработка данных // Математика (приложение к газете «Первое сентября», 2002. № 34, 35, 41, 43, 44, 48. 2003. № 11, 17). 5. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе. 2003. № 3. 6. Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников схоластике // Математика в школе. 2003. № 4. 7. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики в курсе математики 7–9 классов основной школы // Математика в школе. 2003. № 3. 8. Ткачева М.В. Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и др. // Математика в школе. 2003. № 5. Учителям математики основной школы необходимо в первую очередь изучить «Инструктивно-методическое письмо о преподавании математики в 2007/08 уч. году (ж-л «ПВП» № 3, 2007), в котором рассматривается спецификация экспериментальной работы по алгебре для выпускников 9 классов общеобразовательных организаций, где указаны цели, структура, критерии оценивания работы. 46

При составлении работ используется кодификатор, разработанный ФИПИ. При этом некоторые элементы содержания детализированы в целях обеспечения более точной характеристики экзаменационных заданий, а также с учетом стандартов 2004. При подготовке учащихся к выпускным экзаменам необходимо отрабатывать общие универсальные приемы и подходы к решению задач. Чтобы учащиеся справлялись с первой тестовой частью, необходимо учитывать следующее: 1) начинать выполнение теста лучше с просмотра всего теста, определить легкие для ученика задания. Именно эти задания выполнять первыми; 2) использовать «спиральное движение» по тесту, то есть начиная с самого легкого задания для ученика, заканчивая – более сложным, для того чтобы за 60 минут ученик справился с наибольшим количеством заданий; 3) необходим жесткий самоконтроль времени выполнения заданий; 4) задания первой части не требуют подробных объяснений или оформления. При выполнении второй части работы учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записывать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования. Жестких требований по оформлению решений второй части не предъявляется. Исправления и зачеркивания, если они сделаны аккуратно, не являются основанием для снижения отметки. Чтобы получить высокие результаты в средней школе, нужно добиться успешного овладения теми результатами, которые формируются в основной школе. К таким важным результатам обучения математике в 5–6 классах и алгебре в 7–9 классах относятся умения: — выполнять вычисления с обыкновенными и десятичными дробями, — преобразовывать многочлены, алгебраические дроби, степени с целыми показателями и квадратные корни, — решать линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения и неравенства, — читать свойства функций по их графикам, исследовать отдельные свойства функций аналитически.

Итоговая аттестация учащихся в новой форме по геометрии Итоговая аттестация в новой форме по геометрии предлагается учащимся 9 классов по выбору. Желательно, чтобы учащиеся классов с углубленным изучением математики (при 3-часовой программе по геометрии) сдавали данный экзамен по выбору. Назначение экзаменационной работы – оценить общеобразовательную подготовку по геометрии выпускников 9 класса общеобразовательных учреждений с целью их государственной (итоговой) аттестации. Результаты экзамена могут быть использованы при приеме учащихся в профильные классы старшей школы. Работа состоит из 3 частей, которые различаются по содержанию, сложности, числу и форме включаемых в них заданий. В работе используются три типа заданий: с выбором ответа из четырех предложенных вариантов, с кратким ответом в виде некоторого числа или последовательности чисел, с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи В соответствии с принятой структурой и содержанием работы часть 1 включает 8 заданий, соответствующих уровню базовой подготовки. Задания посильны для учащихся, подготовка которых отвечает этому уровню. Часть 2 включает 5 заданий повышенного уровня сложности. Они составлены на материале, предлагаемом как на экзамене в школе за курс основного общего образования, так и на вступительных экзаменах в ссузы, и отвечают минимуму содержания основной школы. При их выполнении от учащихся требуется применить в несколько измененной ситуации знание конкретных математических методов, известных им из школьного курса. В задании № 13 требуется провести доказательные рассуждения, методы проведения которых достаточно отрабатываются в школьном курсе геометрии. Часть 3 включает два задания высокого уровня сложности. С целью обеспечения более тонкой дифференциации учащихся, имеющих высокий уровень математической подготовки, уровень сложности этих заданий различен. Первое из них – планиметрическая задача на комбинацию геометрических фигур, при решении которой выпускники должны применить чертеж, привести решение. При выполнении этого задания требуется применить способ решения, процедура которого достаточно отработана и, понашему мнению, не нуждается в обосновании. Поэтому и критерии оценки выполнения этого задания учитывают только правильность выделенных шагов решения, но не включают требование к их обоснованию. Второе задание требует от учащегося умения делать дополнительные построения и самостоятельно конструировать метод решения. Этим заданием 48

проверяется и умение учащихся проводить доказательные рассуждения при решении задач, ссылаясь на известные теоремы. Поэтому при его выполнении требуется обосновать ключевые моменты приведенного решения. Экзаменационная работа по геометрии состоит из пятнадцати заданий, за выполнение которых максимально можно получить 20 баллов. Восемь из пятнадцати заданий соответствуют базовому уровню сложности. Все они представлены в первой части работы. Их верное выполнение позволит набрать 8 баллов. Выполняя задания первой части, учащиеся демонстрируют знание конкретных определений и теорем школьного курса геометрии, а также овладение предметными умениями, воспроизводя их в знакомых учебных ситуациях. Выполнение этих заданий позволяет зафиксировать достижение выпускником уровня обязательной подготовки по курсу геометрии основной школы, наличие которой принято оценивать положительной отметкой «3». Для получения отметки «4» ученик должен выполнить не только задания базового уровня. Во вторую часть работы включены задания повышенного уровня сложности, три из которых (№ 9–11) оцениваются в один балл. За выполнение каждого из заданий № 12 и № 13 можно получить не более двух баллов. Таким образом, за успешное выполнение всех заданий второй части можно максимально набрать 7 баллов. В случае выполнения этих заданий можно говорить об овладении учеником знаниями и умениями по предмету, способами деятельности и демонстрации этого овладения в измененной учебной ситуации. Для получения отметки «5» необходимо еще выполнение хотя бы одного из заданий с развернутым ответом. В этом случае ученик демонстрирует не только умение использовать имеющиеся знания и известные методы для решения различного рода задач, но и умение самостоятельно конструировать способ решения задачи, проводить доказательные рассуждения, обнаруживая возможности для использования известных теорем. Работу с тестами необходимо начинать с 5 класса. Для этого рекомендуется использовать следующую литературу: 1. Тесты. Математика. 5–11 кл. / Сост. Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А. и др. М.: Олимп, Издательство АСТ, 2000. 2. Математика: контрольные работы для 5–6 классов общеобразовательных учреждений: Кн. для учителя / Сост. Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова, Н.В. Сафонова. М.: Просвещение, 2005. 3. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е. Алгебра: Тесты для 7–9 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2000. 4. Журнал «Математика в школе». 2004. № 6, 10. 2005. № 4. 5. Газета «Математика», приложение к газете «Первое сентября». 49

Литература, необходимая учителю математики при подготовке обучающихся к выпускным экзаменам в 9 классе в новой форме, а также для индивидуальной работы обучающихся Банк литературы для подготовки к экзамену по алгебре 9 класса в новой форме 1. Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике (Приказ МО от 19.05.98 № 1276). 2. Обязательный минимум содержания среднего (полного) общего образования по математике (Приказ МО от 30.06.99 № 56). 3. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование. 4. Дорофеев Г. В. и др. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике. — М.: Дрофа, 2000. 5. Кузнецова Л. В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. — М.: Дрофа, 2004. 6. Журнал «Математика в школе». 2006. № 1. 7. Кузнецова Л. В. и др. Сборник для подготовки к итоговой аттестации по алгебре в 9 классе. — М.: Просвещение, 2006. 8. Алгебра. 9 класс. Пособие для самостоятельной подготовки к итоговой аттестации 2006 / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2005. 9. Учебно-методическая газета «Математика» (приложение к газете «1 сентября») 2006. № 9. 10. Карташева Г.Д. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Геометрия. 9 кл. (к уч. Л.С. Атанасяна и др.) — М.: ИнтеллектЦентр, 2007. 11. Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. Тематический контроль. Алгебра. 9 кл. — М.: изд. Интеллект-Центр, 2007. 12. Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбаков Н.В. и др. Сборники тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Геометрия. 9 кл. (к уч. А.В. Погорелова). — М.: Интеллект-Центр, 2007. 13. Крайнева Л.Б. и др. Сборники тестовых заданий для тематического и обобщающего контроля. Алгебра. 9 кл. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 14. Беленкова Е.Ю., Лебединцева Е.А. Задания для обучения и развития учащихся. Алгебра. 9 кл. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 15. Задания по математике для подготовки к письменному экзамену по математике в 9 классе. 5-е изд. / Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушина. — М.: Просвещение, 2005. (серия «Итоговая аттестация»). 16. Блинков А.Д., Мищенко Т.М. Геометрия. Сборник заданий для проведения экзамена в 9 кл. — М.: Просвещение, 2005–2006. 50

Банк литературы для подготовки к экзамену по геометрии 9 класса в новой форме 1. Блинков А.Д., Мищенко Т.М. Геометрия: сб. заданий для проведения экзамена в 9 кл. — М.: Просвещение, 2007 (серия «Итоговая аттестация»). 2. Аверьянов Д.И., Звавич Л.И., Пигарев Б.П., Рязановский А.Р. Геометрия: Сборник задач для проведения экзамена в 9 и 11 классах. — М.: Просвещение, 2008 (серия «Итоговая аттестация»). 3. Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. и др. Сборники тестовых заданий для тематического и итогового контроля: Геометрия. 8 кл. (к уч. А.В. Погорелова). — М.: Интеллект-Центр, 2007. Геометрия. 9 кл.. (к. уч. А.В.Погорелова). — М.: Интеллект-Центр, 2007. 4. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М., Лудина Г.Б., Захарова Г.А. Задачник-практикум. Геометрия (к уч. Л.С. Атанасяна и др.). 7 кл., 8 кл., 9 кл. — М.: Интеллект Центр, 2007. 5. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М., Лудина Г.Б., Захарова Г.А. Задачник-практикум. Геометрия (к уч. Погорелова). 7 кл., 8 кл., 9 кл. М.: Интеллект Центр, 2007. 6. Карташева Г.Д. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Геометрия. 9 кл. (к уч. Л.С. Атанасяна и др.) — М.: Интеллект Центр, 2007. 7. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М. Тематический контроль по геометрии (к уч. А.В. Погорелова). 7 кл., 8 кл., 9 кл. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 8. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М. Тематический контроль по геометрии (к уч. Л.С. Атанасяна и др.). 7 кл., 8 кл., 9 кл. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 9. Экзамен по геометрии в новой форме в 9 классе // Математика в школе. 2006. № 6; 2007. № 2. ; 2007. № 3. 10. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем курс геометрии. 3-е изд. испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2004. 11. Аверьянов Д.И., Звавич Л.И., Пигарев Б.П. и др. Геометрия: сб. задач для проведения экзаменов в 9 и 11 кл. — М.: Просвещение, 2005. 12. Зив Б.Г. Задачи по геометрии для 7–11 классов. — М.: Просвещение, 2006. 13. Мищенко Т.М. Геометрия: обобщающее повторение курса планиметрии: 7–9 кл. Рабочая тетрадь. — М.: Экзамен, 2005. 14. Шарыгин И.Ф. Стандарт по математике: 500 геометрических задач. М.: Просвещение, 2005. 15. Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии: 7 кл. – М.: Экзамен, 2005. 51

16. Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии: 8 кл. – М.: Экзамен, 2005. 17. Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии: 9 кл. — М.: Экзамен, 2005. 18. Александров А.Д. и др. Геометрия: учеб. для 8 кл. школ с углубл. изучением математики. — М.: Просвещение, 2002. 19. Александров А.Д. и др. Геометрия: учеб. для 9 кл. школ с углубл. Изучением математики. — М.: Просвещение, 2004. 20. Зив Б.Г., Некрасов В.Б. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса с углубленным изучением матемаитки. — М.: Просвещение, 2004. 21. Зив Б.Г., Некрасов В.Б. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса с углубленным изучением матемаитки. – М.: Просвещение, 2004. 22. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7–9 кл. – М.: Дрофа, 1997. 23. Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии. – М.: Дрофа, 1999. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт: —�� планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов; — решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска путей и способов решения; —�� исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач; —�� ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; — проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования; —�� поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии. Результаты обучения Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых 52

является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.

Старшая школа базовый уровень При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи: — систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач; —�� расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей; —�� изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач; —�� развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления; — знакомство с основными идеями и методами математического анализа. Цели Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; 53

— развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности; — овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; — воспитание средствами математики культуры личности; отношения к математике как части общечеловеческой культуры; знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: — построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин; —�� выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента; —�� самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт; —�� проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений; —�� самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников. Результаты обучения Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и 54

умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания. профильный уровень В профильном курсе содержание образования, представленное в основной школе, развивается в следующих направлениях: — систематизация сведений о числах; формирование представлений о расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе построения нового математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений; —�� развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем; — систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи; —�� расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях; —�� развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире; — совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях; —�� формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе. Цели Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов; — овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных 55

естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; — развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности; — воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса. Место предмета в Базисном учебно-развивающем плане Принципы построения Базисного учебно-развивающего плана для 10–11 классов основаны на идее двухуровневого (базового и профильного) государственного стандарта общего образования ПМР. Профильную дифференциацию обучения математике в старших классах можно осуществлять созданием трех курсов математики: — для профилей гуманитарного направления (курс А); — для профилей технического и естественнонаучного направлений (курс В); — для профилей физико-математического направления (курс С). При этом все специфические особенности профиля и конкретного контингента учащихся реализуются в курсах по выбору, путем организации самостоятельной, индивидуальной и внеклассной работы. Необходимое количество часов в неделю по программе Уровень изучения

Учебный план Предмет I в.

Профильный

Базовый

Математика

10 класс II в.

11 класс III в.

I в.

II в.

III в.

–

3 2

Геометрия

–

2,5 (в I полуг. – 2; во II полуг. – 3) 1,5

–

2,5 (в I полуг. – 2; во II полуг. – 3) 1,5

Математика

–

Алгебра и начала анализа

Геометрия

Алгебра и начала анализа

Углубленный

Математика

–

Алгебра и начала анализа

Геометрия

Примечание 1. Право окончательного выбора варианта планирования, числа уроков, отводимых на изучение каждой темы курса, остается за учителем. В связи с введением итоговой аттестации в форме тестирования по математике в 10–11 классах на базовом уровне целесообразно использовать третий вариант планирования. Примечание 2. В связи с тем, что сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», издание 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002 г. – 2004 г. не переработан в соответствии с новыми государственными стандартами, то целесообразно использовать данный сборник с учетом содержания государственного образовательного стандарта и примерных программ по математике Министерства образования РФ. Примечание 3. Составлять календарно-тематическое планирование учителю необходимо с учетом авторского планирования и опираться на сборник «Планирование по математике для 10–11 кл.»: пособие для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006. Учебно-методические комплекты Выбор учебников и пособий для старшей школы необходимо осуществлять в соответствии с Перечнем базовых учебников, Перечнем учебников, рекомендованных МП ПМР и ГОУ «ПГИРО» к использованию в учебном процессе в учреждениях образования в данном учебном году. Необходимо также учитывать дополнения, включенные в инструктивно-методическое письмо «О преподавании математики в 2009/10 учебном году в общеобразовательных организациях ПМР». Обращаем внимание руководителей ОУ и учителей математики, что в 2009/10 учебном году и в следующем году допускается использование УМК под редакцией Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.» и Алимова Ш.А. «Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.» на базовом и на профильном уровнях. Но в дальнейшем необходимо переходить на учебники, соответствующие федеральному компоненту стандарта 2004 года профильного уровня (с 2007 г. и далее).

Кол-во часов

Математика

Алгебра и начала анализа (базовый уровень)

Предмет

10 класс – 2,5–3 ч 11 класс – 2,5–3 ч

58 Программа, (название, автор, год издания)

Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа. 10 кл., 11 кл. М.: Просвещение, 20042006

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. М.: Просвещение, 2000–2006

Башмаков М.И. Математи- Сборник «Программы для общеобразовака. 10–11 кл. М.: Просвещение, тельных школ, гимназий, лицеев: Мате2004–2006 матика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Колмогоров А.Н. Алгебра и на- Примерные программы по математике Мичала анализа. 10–11 кл. М.: Про- нистерства образования РФ (см. примечание 2 на с. 57) свещение, 2004–2006

Учебник (название, автор, год издания)

10–11 классы

Перечень программ и учебников по математике

Примерное авторское календарнотематическое планирование и контрольные работы, зачеты Профильное обучение. Темат. планирование по математике для 10–11 кл.: Пособие для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006

10 класс – 1,5–2 ч 11 класс – 1,5–2 ч

10 класс – 4 ч 11 класс – 4 ч

Геометрия (базовый уровень)

Алгебра и начала анализа (профильный уровень)

Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 10 кл., 11 кл. М.: Мнемозина, 2004–2006 Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. Ч. 1, 2.10 кл. М.: Мнемозина, 2004– 2006. Алгебра и начала анализа. Ч. 1, 2. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004–2006

Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа. 10, 11 кл. М.: Просвещение, 2004-2006

Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10–11 кл. М.: Просвещение, 2004–2006 Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 кл. М.: Просвещение, 2004–2006 Александров А.Д. и др. Геометрия. 10–11 кл. М.: Просвещение, 2004–2006 Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. М.: Просвещение, 2004–2006 Профильное обучение. Темат. планирование по математике для 10–11 кл.: пособие для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006 Журнал «Математика в школе». 2003. № 6, 8

Сборник «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004

Сборник «Программы для общеобразова- См. в задачнике к учебтельных школ, гимназий, лицеев: Математи- нику ка. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Примерные программы по математике Министерства образования РФ (см. примечание 2 на с. 57). Программы. Математика. 5–6 классы. Алгебра. 7–9 классы. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы / Авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2007

Профильное обучение. Темат. планирование по математике для 10–11 кл.: пособие для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006

Геометрия (профильный уровень)

Алгебра и начала анализа (углубленный уровень)

Геометрия (углубленный уровень)

10 класс – 4 ч 11 класс – 4 ч

10 класс – 5 ч 11 класс – 5 ч

10класс – 3 ч 11 класс– 3 ч

Профильное обучение. Темат. планирование по математике для 10–11 кл.: пособие для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006 Профильное обучение. Темат. планирование по математике для 10–11 кл.: пособие для учителя / Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2006

Атанасян Л.С. и др. Сборник «Программы для общеобразоваГеометрия 10–11 кл. М.: Просве- тельных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнещение, 2004–2006 цова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. Александров А.Д. и др. Примерные программы по математике МиГеометрия. 10 кл., 11 кл. М.: Про- нистерства образования РФ (см. примечасвещение, 2004–2006. ние 2 на с. 57)

Журнал «Математика в школе» № 6, 8-2003г.

Никольский С.М. и др. Примерные программы по математике МиАлгебра и начала анализа. 10 кл. нистерства образования РФ (см. примечаАлгебра и начала анализа. 11 кл. ние 2 на с. 57) М.: Просвещение, 2005

Атанасян Л.С. и др. Сборник «Программы для общеобразоваГеометрия 10–11 кл. М.: Просве- тельных школ, гимназий, лицеев: Матещение, 2004–2006 матика. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, Погорелов А.В. Геометрия 10–11 кл. М.: Просве- 2002–2004. Примерные программы по математике Мищение, 2004–2006 нистерства образования РФ (см. примечаАлександров А.Д. и др. ние 2 на с. 57) Геометрия 10–11 кл. М.: Просвещение, 2004–2006 Виленкин Н.Я. и др. Сборник «Программы для общеобразоваАлгебра и математический ана- тельных школ, гимназий, лицеев: Математилиз. 10 кл. ка. 5–11 классы», изд. 3-е / Сост. Г.М. КузнеАлгебра и математический ана- цова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002–2004. лиз. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004– Примерные программы по математике Ми2006 нистерства образования РФ (см. примечание 2 на с. 57)

Примерное количество контрольных работ и зачетов Количество часов 1,5 2,5 3 4 5 – 7 8 8 – – 7 8 8 – – 6 8 8 9 – 6 8 8 8 – 7 7 8 – – 6 6 6 – – – 8 – –

Предмет

Класс

Автор учебника

Алгебра и начала анализа

10 11 10 11 10 11 10

Алимов Ш.А. и др. Алимов Ш.А. и др. Никольский С.М. и др. Никольский С.М. и др. Колмогоров А.Н. и др. Колмогоров А.Н. и др. Мордкович А.Г.

к/р к/р к/р к/р к/р к/р к/р

Мордкович А.Г.

к/р

–

Дорофеев Г.В. и др.

к/р+с/р

–

17 21

Мордкович А.Г.

к/р

–

Мордкович А.Г.

к/р

–

Виленкин Н.Я. и др.

к/р

–

Виленкин Н.Я. и др.

к/р

–

10 11 10 11

Башмаков М.И. Башмаков М.И. Мордкович А.Г. Мордкович А.Г.

Атанасян Л.С. и др.

10 11

Погорелов А.В. Погорелов А.В.

к/р к/р к/р к/р к/р зачет к/р зачет к/р к/р

– – – – 5 4 6 3 4 6

– – – – 6 – 7 – 6 6

5 6 8 8 – – – – – –

5 6 – – – – – – – –

Геометрия

10 11

Александров А.Д. и др. Александров А.Д. и др.

к/р к/р

4 4

– –

Геометрия (профильное и углубленное изучение)

Александров А.Д. и др.

к/р

–

Александров А.Д. и др.

к/р

–

Алгебра и начала анализа (профильный уровень) Алгебра и начала анализа (углубленное изучение) Математика

Геометрия

–

Примечание. Данная таблица составлена на основе авторских тематических планирований.

Для получения достоверной информации об уровне подготовки десятиклассников необходимо в начале учебного года по основным разделам курса 61

алгебры основной школы провести входной контрольный срез по стержневым линиям курса математики за предыдущий период обучения в любой форме: традиционная контрольная работа или тест. Необходимо предусмотреть в тематическом планировании контроль знаний учащихся по основным стержневым линиям математики в 10–11 классах. Система мониторинга уровня обязательной подготовки учащихся по наиболее важным темам базового компонента математики рекомендуется проводить в форме теста или самостоятельной работы (время проведения — 5–20 минут). Класс

10–11

Тема проводимого контроля Входной контроль по ЗУНам основной школы Тригонометрические функции Решение тригонометрических уравнений и неравенств Исследование тригонометрических функций Основные свойства функций Производная Применение производной к исследованию функции Теорема о трех перпендикулярах Применение производной к исследованию функции Первообразная Корень n-ой степени и его свойства Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств Элементы теории вероятности Решение задач на комбинацию тел.

Распределение профилей по уровням обучения Уровень обучения

Базовый

Профиль

Кол-во часов Кол-во за 2 года часов обучения в неделю

Универсальный (непрофильное обучение)

340

Социально-гуманитарный

340

Агротехнологический

272

Индустриально-технологический (направление — электротехника/радиотехника)

272

Оборонно-спортивный

272

Примечание

Допускается увеличение до 5 уроков в неделю за счет ш ко л ь н о го компонента

Филологический Базовый — для г у м а н и т а р н о й гуманитарный направленности художественноэстетический Профильный Физико-математический

272

4 4 4

408

Социальноэкономический

408

Информационнотехнологический

408

Естественнонаучный – физико-химический – биолого-химический – биолого-географический

408

Допускается увеличение до 12 уроков в неделю за счет ш ко л ь н о го ком п о н е н т а с учетом эл е кт и в н ы х курсов

В старшей школе построение курса предлагается в форме последовательности тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной математике, геометрии. Примерный учебный план независимо от профиля включает две составляющие: 1. Инвариантную часть: базовые общеобразовательные курсы – курсы, обязательные для всех обучающихся во всех профилях обучения. Предмет «Математика» — не менее 4 часов в неделю. 2. Вариативную часть: профильные курсы – курсы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Предмет «Математика» — не менее 6 часов в неделю. Выбор математики на профильном уровне обязателен. Предмет «Математика» Количество часов в год Вариативная часть Инвариантная часть Базовый уровень Профильный (гуманитар. пр.) (универ. пр.) уровень БУРП образовательных организаций ПМР Всего

136

170

204

Если преподавание предмета осуществляется на базовом уровне гуманитарной направленности, необходимо учитывать две особенности: 63

1. Курс «Математика» изучается в форме двух предметов «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия». В этом случае изучение предмета ведется традиционно, используя учебники базового уровня. Учащийся получает в аттестат две отметки по двум предметам. 2. В содержании математического образования старшей школы новым является введение линии «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» (см. примерное тематическое планирование 10–11 кл.) При преподавании математики в профильных классах (6 часов математики) необходимо рассмотреть вопрос о переходе к блочно-модульному принципу планирования учебного процесса, от классно-урочной системы к лекционнопрактической. (Пример планирования см. в приложении 2.) Методика проведения уроков, лекций, семинаров, практикумов — в книге Моревой Н.А. «Современная технология учебного занятия». — М.: Просвещение, 2007. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: —�� проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; —�� решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач; —�� планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера; — построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом; —�� самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт. Результаты обучения Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, 64

III линия

II линия

I линия

и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс средней (полной) школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания. Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней. При выборе учебников следует обратить внимание на наличие тем и разделов «Вероятность» и «Статистика», которые внесены в «Стандарты математического образования». Нецелесообразно использование тех учебников и пособий, которые не содержат полного дидактического комплекта. Оптимальным комплектом, наиболее полно обеспечивающим реализацию основных содержательнометодических линий математики базовой школы, является комплект под редакцией А.Г. Мордковича. Новое издание этого комплекта является полным и доработанным в соответствии с требованиями нормативных документов. Преподавание математики в области ведется по трем основным линиям: 5–6 классы

7–9 классы

10–11 классы

Виленкин Н.Я. и др. Макарычев Ю.Н. и др. Колмогоров А.Н. Алгебра Математика Алгебра и начала мат. анализа Дорофеев Г.В. и др. Математика

Дорофеев Г.В. и др. Алгебра

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала мат. анализа. 2. Никольский С.М. Алгебра и начала мат. анализа. 3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала мат. анализа

Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика

Мордкович А.Г. Алгебра

Мордкович А.Г. Алгебра и начала мат. анализа

Учебно-методический комплекс под ред. Ш.А. Алимова не рекомендован к использованию. Однако в школах, где используется данный УМК в целях соблюдения преемственности в 8, 9 и 11 классах необходимо закончить данную линию, а в 7 и 10 классах не выбирать данный комплекс. Геометрия в основном ведется по учебнику Л.С. Атанасяна. Данная линия является доработанной в соответствии с требованиями нормативных документов. 65

Образовательные учреждения должны выбирать программы и УМК на старшей ступени образования в соответствии с профилем классов. При отборе содержания и методики профильного изучения математики необходимо ориентироваться на примерные программы и требования к уровню подготовки учащихся (базовый, профильный, углубленный). На изучение математики на базовом уровне (гуманитарная направленность) предусматривается 4 часа в неделю. Материал, соответствующий обязательному минимуму содержания, в этом случае можно изучать как в рамках интегрированных курсов математики (по учебникам математики А.Г. Мордкович), так и попредметно: «Алгебра и начала анализа» в объеме 2,5 часов в неделю и «Геометрия» в объеме 1,5 часов в неделю. Изучение математики в профильных классах имеет свою специфику: каждый профиль включает инвариантное ядро содержания, определяемое государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования, и вариативную составляющую, определяемую профилем обучения. Курс математики в классах гуманитарного профиля должен обеспечить усвоение учениками минимума знаний. Акцент в содержании математического образования делается на раскрытии роли математики как элемента человеческой культуры, развитии у школьников образного представления о математических явлениях и закономерностях. Курс математики в классах общеобразовательного профиля дает представление о роли математики в современном мире, способах применения математики в технике и в гуманитарных сферах. Содержание курса математики естественнонаучного профиля ориентировано на тех учащихся, которые выбирают области деятельности, где математика играет роль аппарата, средства для изучения закономерностей окружающего мира. В классах школ и лицеев с углубленным изучением математики содержание курса ориентировано на продолжение образования и профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Элективные курсы для учащихся профильной школы С целью создания условий для осуществления дифференциации и индивидуализации содержания обучения старшеклассников, помимо профильных общеобразовательных предметов, вводятся элективные курсы, обязательные для посещения учащимися по их выбору. Издательство «Просвещение»: 1. Шарыгин И.Ф. Решение задач. 10 класс. Серия «Профильная школа. Математика». 66

2. Шарыгин И.Ф. Решение задач. 11 класс. Серия «Профильная школа. Математика». 3. Жаферов А.Ж. Задачник. Математика. 10–11 классы. Издательство «Дрофа» — учебные пособия и методические рекомендации (с тематическим планированием на 35 и 70 часов) в серии «Элективные курсы»: 1. Гомонов С.А. Замечательные неравенства. 10–11 классы. Учебное пособие. 2006. 2. Гомонов С.А. Замечательные неравенства. 10–11 классы. Методические рекомендации. 2006. 3. Гетманова А.Д. Логические основы математики. 10–11 классы. Учебное пособие. 4. Гетманова А.Д. Логические основы математики. 10–11 классы. Методические рекомендации. Все указанные курсы математики, как и курс математики для обычной школы, должны: — содержать все основные линии традиционного курса математики, a также вероятностно-статистическую; — иметь ярко выраженную прикладную направленность, учитывающую профильные интересы учащихся. Отличаться эти курсы должны не столько номенклатурой учебных вопросов, сколько стилем изложения (уровнем обоснования, абстрактности, общности и т. п.). Другими словами, они должны быть ориентированы на разные типы мышления, на развитие разных видов деятельности. Каждый из этих курсов, отдавая предпочтение развитию учащихся, в частности развитию их мышления и воображения, может делать это разными способами. Такой подход позволит в максимальной степени использовать профильные интересы и намерения в обучении математике. Он в наибольшей степени будет способствовать утверждению деятельностных, активных методов обучения.

Подготовка выпускников к государственной итоговой аттестации Учителям математики, начинающим работу в 10 классе и готовящим выпускников к итоговой аттестации, необходимо в начале учебного года получить достоверную информацию об уровне подготовки десятиклассников по основным разделам курса алгебры основной школы и своевременно органи67

зовать работу по ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Этой цели служит организация вводного повторения материала курса алгебры 7–9 классов. Вполне понятно, что решить проблему ликвидации пробелов в знаниях десятиклассников по курсу алгебры основной школы только с помощью организации вводного повторения не удастся. Поэтому целесообразно организовать еще и индивидуальное повторение, учитывающее пробелы в знаниях и умениях конкретного ученика, и с помощью диагностических работ систематически фиксировать продвижение старшеклассника по пути достижения уровня запланированных требований. Итак, для успешной подготовки к итоговой аттестации в старших классах необходимо целенаправленное вводное повторение разделов курса алгебры 7–9 классов (математики 5–6 классов) и систематический мониторинг продвижения отдельных учеников по ликвидации пробелов за основную школу по темам: 1. Решение квадратного уравнения, биквадратного уравнения. 2. Нахождение области определения выражения. 3. Решение систем уравнений и неравенств. 4. Вычислительные ошибки. 5. Способы разложения выражения на множители. 6. Решение текстовых задач. Вместе с тем не стоит забывать, что курс алгебры и начал анализа отличается не только преемственностью с курсом математики 5–6 классов и курсом алгебры 7–9 классов, но и преемственными связями между различными разделами внутри самого курса. Поэтому для обеспечения прочного овладения всеми выпускниками основными элементами содержания, изучаемыми в старшей школе не только на базовом, но и на повышенном уровне, нужно проводить систематическое повторение пройденного. Во многих учебниках, входящих в Перечень базовых учебников ПМР, такое повторение обеспечивается системой упражнений, рекомендованных для домашней работы. Обычно эти упражнения достаточно объемны, трудоемки и требуют письменного выполнения. Одним из возможных альтернативных путей организации текущего повторения может быть использование в ходе обучения устных упражнений. Устные упражнения традиционно включаются в учебный процесс на уроках математики в основной школе, но, как показывает практика, недостаточно используются в старших классах. Устные упражнения, проводимые обычно в начале урока, имеют своей основной целью актуализацию знаний, необходимых для последующего объяснения учителя. Вместе с тем они могут выполнять и другие функции, например, использоваться для первичного закреплении материала, при опросе (фронтальном и индивидуальном). 68

При разработке содержания и формы представления устных упражнений следует позаботиться об обеспечении простоты «технических» преобразований и вычислений, необходимых для их выполнения. Этот подход позволит сосредоточить внимание учащихся на смысловой стороне их выполнения, то есть на определении метода их решения. Кроме того, простота технической стороны устных упражнений позволяет с их помощью моделировать различные нестандартные ситуации применения тех или иных знаний (теоретического материала), в которых центр тяжести сосредоточен на конструировании нового метода и не осложнен сопутствующими (второстепенными) деталями. Так, подводя учащихся к поиску решения нестандартного уравнения, можно в устных упражнениях обсудить сущность соответствующего метода решения, например, на заданиях типа: — решите уравнение cos x = x 2 + 1, π — решите уравнение sin x = ( x − ) 2 + 1 . 2 Таким образом, учитель сможет связать учебный материал из различных разделов курса, обеспечивая, с одной стороны, систематическое повторение, а с другой стороны, мотивируя более подготовленных учащихся к решению задач повышенной сложности. Отдавая должное вводному и систематическому текущему повторению, нельзя переоценить важность и значение итогового повторения, в ходе которого осуществляется систематизация знаний по мере изучения всего курса. Для повторения на уроках, при индивидуальной работе с учащимися необходимо использовать следующий материал по темам: Задания для повторения и самостоятельной работы уровня А, В, С Тригонометрические выражения. Единый государственный экзамен. Математика. Тригонометрические функции. Методика подготовки: Кн. для учителя / Сост. Л.О. Тригонометрические уравнения Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская. — М.: Просвещение, 2005. Журнал «Математика в школе». 2005. № 6 Тема

Корни

степени

Функция Единый государственный экзамен. Математика.

y = n x . Иррациональные урав- Методика подготовки: Кн. для учителя / Сост. Л.О.

Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская. — М.: Просвещение, 2005. Журнал «Математика в школе». 2005. № 9 Степени. Показательная функ- Единый государственный экзамен. Математика. ция. Показательные уравнения и Методика подготовки: Кн. для учителя / Сост. Л.О. неравенства Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская. — М.: Просвещение, 2005. Журнал «Математика в школе» 2005. № 9 нения

Логарифмы. Логарифмическая Единый государственный экзамен. Математика. функция. Логарифмические урав- Методика подготовки: Кн. для учителя / Сост. Л.О. нения и неравенства Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская. — М.: Просвещение, 2005. Журнал «Математика в школе». 2005. № 10 Функция, производная и перво- Единый государственный экзамен. Математика. образная Методика подготовки: Кн. для учителя / Сост. Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская. — М.: Просвещение, 2005. Журнал «Математика в школе». 2005. № 8 Геометрия. Планиметрия

Единый государственный экзамен. Математика. Методика подготовки: Кн. для учителя / Сост. Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская. — М.: Просвещение, 2005. Журнал «Математика в школе». 2004. № 3; 2007. № 2; 2006. № 9

Геометрия. Стереометрия

Важным вопросом является подготовка выпускников к тестированию. Одна из основных проблем состоит в том, что второй год значительный процент выпускников не владеют даже минимумом содержания, предусмотренным программой по математике. Учителям математики необходимо обратить особое внимание на технику тестирования. Для этого необходимо использовать тесты, подготовленные центром тестирования г. Москва 2002–2008 гг. При разборе заданий части С учителю необходимо учитывать ошибки, допущенные учащимися в прошлые годы. Учитель вправе самостоятельно составлять контрольно-измерительный материал . При подготовке к экзамену рекомендуем использовать следующую литературу (новые издания): 1. Некрасов В.Б., Гущин Д.Д., Жигулев Л.А. Математика: Учебносправочное пособие. Серия «Готовимся к ЕГЭ–2008». — М.: Просвещение, 2008. 2. Единый государственный экзамен: Контрольно-измерительные материалы по математике: 2007–2008 — М.: Просвещение, 2008. 70

3. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. Краснянская К.А. и др. Единый государственный экзамен: Математика: Методика подготовки (серия единый государственный экзамен). — М.: Просвещение, 2007. 4. Денищева Л.О., Михеева Т.Ф., Карюхина Н.В. Учимся решать уравнения и неравенства. 10–11 кл. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 5. Иванов М.А. Математика без репетитора: 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. — М.: Вентана-Граф, 2002. 6. Клово А.Г., Калашников В.Ю. и др. Пособие для подготовки к Единому государственному экзамену по математике. — М.: Центр тестирования МО РФ. 2004, 2008. 7. Лысенко Ф.Ф., Калашников В.Ю., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. Математика. Подготовка к ЕГЭ, подготовка к вступительным экзаменам. — Ростов-на-Дону: Сфинкс, 2004. 8. Лысенко Ф.Ф., Калашников В.Ю., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. Математика. Подготовка к ЕГЭ, подготовка к вступительным экзаменам. — Ростов-на-Дону: Сфинкс. 2004, 2005. 9. Математика. Контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. — М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004. 10. Рязановский А.Р., Мирошин В.В. Готовимся к ЕГЭ. Математика. Решение задач повышенной сложности. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 11. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ–2007 / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2007 (пособие для самостоятельной подготовки учащихся). 12. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся. ЕГЭ– 2007. Математика. — М.: Интеллект-Центр, 2007. 13. Учебно-тренировачные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика / Сост. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. — М.: Интеллект-Центр, 2004. 14. Журнал «Математика для школьников» (подписной индекс 80866). 15. Журнал «Математика в школе». 2004. № 2, 3, 7; 2005. № 1, 2, 6–10; 2007. № 2, 3 (рубрика «Единый государственный экзамен»). 16. Газета «Математика» (приложение к газете «1 сентября»). 2006. № 5, 7, 8; 2008. № 2, 4 17. Газета «Математика» (приложение к газете «1 сентября»). 2008 № 9 (урок разноуровневого обобщающего повторения). Для совершенствования процесса преподавания математики в старших классах рекомендуем: — изучить основные вопросы содержания «Общего перечня контролируемых вопросов содержания ЕГЭ» (кодификатор); 71

— использовать при повторении в 11 классе школьного курса «Алгебра и начала анализа» блочно-модульное структурирование учебного материала; — осуществлять предварительную подготовку учащихся и учителей к тестовой форме контроля начиная с пятого класса. Подготовка школьников к участию в олимпиадах по математике Одним из важнейших аспектов деятельности учителя является организация работы с одаренными детьми — подготовка к предметным олимпиадам. В отличие от задач школьной математики, в которых проверяются вычислительные навыки учащихся, задачи олимпиад основаны на логике, на способности построения логической конструкции. Поэтому в олимпиадных задачах требуется обоснование какого-либо математического утверждения. Часть таких задач начинается со слов: «Докажите, что…». В некоторых задачах вначале требуется угадать числовой ответ, а затем обосновать его. К такому классу относятся, например, задачи «оценка + пример», начинающиеся со слов: «Найдите наименьшее (наибольшее) число n, удовлетворяющее условию…». Во всем мире огромной популярностью пользуются сборники олимпиадных задач Всероссийских, а также Санкт-Петербургской и Московской олимпиад, ежегодно пополняющих копилку олимпиадных задач новыми, авторскими идеями. При этом особо выделяются задачи по геометрии и комбинаторики. Успешное выступление в олимпиаде предполагает: а) психологическую готовность школьника к выполнению нестандартных заданий, отказ от стереотипных подходов, тем более что задания следующего этапа олимпиады заметно превосходят по сложности задания предыдущего этапа; б) математическую одаренность, то есть способность к построению нестандартных логических конструкций; в) высокие «спортивные» качества участника — умение собраться, сконцентрироваться на выполнении нескольких заданий за непродолжительное время олимпиады; г) «математическую грамотность» участника – умение в строгих математических терминах записать в работе решение задач; д) успешное и полное овладение школьником изучаемых разделов математики. Подготовить ребенка к олимпиаде можно не только в специализированной школе. Есть множество способов организации олимпиадной подготовки на 72

соответствующем уровне, доступные школьному учителю математики. Это, прежде всего, факультативные занятия и индивидуальная работа с учеником как на уроках, так и во внеурочное время. Для проведения таких занятий важно правильно составить индивидуальную программу работы с ребенком. Она должна быть направлена на развитие самостоятельной деятельности учащегося под руководством учителя. В процессе обучения эта программа может корректироваться в зависимости от способностей и первоначальной подготовки учащегося. Особенности подготовки и проведения школьной олимпиады Школьная олимпиада проводится для учащихся 5–11 классов в один день. Рекомендуемое время на проведение олимпиады: для 5–6 классов — 2 урока, для 7–8 классов — 3 урока, для 9–11 классов — 4 урока. Вариант должен содержать 4–6 задач разной сложности. Желательно, чтобы задания охватывали все разделы школьной математики, изученные к моменту проведения олимпиады. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. В качестве сложных задач рекомендуется включать в вариант задачи, использующие материалы, изучаемые на факультативных занятиях. Например, по темам: четность, делимость, принцип Дирихле, логика, игры, комбинаторика. Подготовка заданий и их проверка осуществляются учителями математики, руководителями кружков и факультативов (школьными методическими объединениями учителей математики). По итогам Республиканской олимпиады 2008 года члены жюри отметили, что результаты, показанные участниками олимпиады, свидетельствуют о необходимости дальнейшего совершенствования работы учителей математики с одаренными детьми, особенно в сельских общеобразовательных учреждениях. Жюри предлагает следующие рекомендации учителям для подготовки учащихся к олимпиаде по математике: — больше времени уделять логическим рассуждениям при решении задачи; — не пренебрегать геометрией (в связи с подготовкой к ЕГЭ), четче выделять определения, признаки, свойства фигур и тел; — изучать с учащимися методы, которые не входят в программу школьного курса — метод математической индукции, теорию делимости. Необходимо учить школьников очень внимательно знакомиться с условием задания. Предлагаем некоторые литературные источники, которые помогут целенаправленной работе педагога со школьниками: 73

1. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. — М.: МФТИ, 2003. 2. Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика: Всероссийские олимпиады. Выпуск первый. — М.: Просвещение, 2007. 3. Агаханов Н.Х., Терешин Д.А. Математика: Международные олимпиады. Выпуск первый. — М.: Просвещение, 2007. 4. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Всероссийская олимпиада школьников по математике. — М.: АПКиППРО, 2005. 5. Агаханов Н.Х., Терешин Д.А., Кузнецова Г.М. Школьные математические олимпиады. — М.: Дрофа, 1999. 6. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1986. 7. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров: Аса, 1994. 8. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. — М.: Наука, 1982. 9. Леман А.А. Сборник задач Московских математических олимпиад. — М.: Просвещение, 1965. 11. Спивак А.В. Математический праздник. Ч. III. — М.: Бюро Квантум, 2001. 12. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука, 1975. Электронные источники для подготовки учащихся к олимпиадам http://www.mccme.ru/olympiads/mmo/ — московский центр непрерывного математического образования. Московские математические олимпиады. Задачи окружных туров олимпиады для школьников 5–11 классов начиная с 2000 года. Задачи городских туров олимпиады для школьников 8–11 классов начиная с 1999 года. Все задачи с подробными решениями и ответами. Новости олимпиады. Победители и призеры олимпиад. Статистика. http://olympiads.mccme.ru/regata/ — математические регаты. http://olympiads.mccme.ru/matboi/ — математический турнир математических боев. http://olympiads.mccme.ru/turlom — турнир имени М.В. Ломоносова. http://kyat.mccme.ru/ — научно-популярный физико-математический журнал «Квант». http://abitu.ru/distance/zftshl.html — заочная физико-математическая школа при МФТИ. http://attend.to/dooi — дистанционные олимпиады. http://aimakarov.chat.ru/school/school.html — школьные и районные математические олимпиады в Новосибирске. Задачи для 3–11 классов с 1998 года по настоящее время. Без решений. Раздел занимательных и веселых задач. 74

http://zaba.ru/ — олимпиадные задачи по математике: база данных. Около 8000 задач школьных, региональных, всероссийских и международных конкурсов, олимпиад и турниров по математике. Многие задачи с ответами, указаниями, решениями. До 2001 года (включительно). Возможности поиска. http://homepages.compuserve.de/chasluebeck/matemat/task_1.htm — задачи некоторых математических олимпиад и турниров. Задания региональных (Москва, Урал, Луганск, Волгоград и др.) и других (МФТИ, Соросовская и т. д.) олимпиад по математике, а также математических турниров (Ломоносовские игры) для 6–11 кл. Указания и решения доступны зарегистрированным пользователям. http://www.shevkin.ru — проект Shevkin.ru. Задачи школьных математических олимпиад.

Использование компьютерных технологий на уроках математики В настоящее время компьютер на школьных уроках применяется достаточно широко и разнообразно. В связи с этим появилась возможность в режиме реального времени разворачивать перед учеником наглядные картины сложнейших геометрических объектов, показывать динамику различных процессов, исследовать какую-либо учебную ситуацию, оперативно контролировать и корректировать знания учащихся. Перечень сайтов, полезных учителю математики http://www.ed.gov.ru – Сайт Министерства образования РФ; http://www.obrnadzor.gov.ru/attestat/ — федеральная служба по надзору в сфере образования (государственная итоговая аттестация школьников); http://www.ipkps.bsu.edu.ru – Белгородский региональный институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов (см. раздел «Виртуальный методический кабинет. Математика»); http://www.prosv.ru — сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»); http:/www.mnemozina.ru — сайт издательства «Мнемозина» (рубрика «Математика»); http:/www.drofa.ru — сайт издательства «Дрофа» (рубрика «Математика»); http://www.profile-edu.ru — рекомендации и анализ результатов эксперимента по профильной школе. Разработки элективных курсов для профильной подготовки учащихся. Примеры учебно-методических комплектов для организации профильной подготовки учащихся в рамках вариативного компонента. 75

http://www.edu.ru — центральный образовательный портал, содержит нормативные документы Министерства, стандарты, информацию о проведение эксперимента. http://www.ed.gov.ru — на сайте представлена нормативная база: в хронологическом порядке расположены законы, указы, которые касаются как общих вопросов образования так и разных направлений модернизации. http://www.ege.edu.ru — сервер информационной поддержки ЕГЭ. http://www.internet-scool.ru — сайт интернет-школы издательства «Просвещение». Учебный план разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены Интернет-уроки по алгебре и началам анализа и геометрии, включают подготовку к государственной итоговой аттестации. http://www.intellecctntre.ru — сайт издательства «Интеллект-Центр» содержит учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике, сборники тестовых заданий. http://www.shevkin.ru — проект Shevkin.ru. Задачи школьных математических олимпиад. Дидактический материал к УМК Никольского. Рекомендуемые электронные учебники (новинки) 1. Открытая математика. Алгебра. 7–9 кл. Соответствует программе курса математики для общеобразовательных учреждений России. ФИЗИКОН. 2. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра. 7–9 кл. Выпуск 2. Версия для школьника. М.: Просвещение–МЕДИА (все задачи школьной математики). 3. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра. 10–11 кл. Выпуск 2. Задачи и теоретический материал охватывают практически все изучаемые в старшей школе темы. Программа построена с учетом развития профильного обучения. М.: Просвещение–МЕДИА (все задачи школьной математики). Разработано методическое пособие для самостоятельной работы учащихся 10 классов с этим диском и печатным учебником А.Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа 10–11». 4. Математика 5–11. Практикум. Учебное электронное издание. Новые возможности усвоения курса математики. В состав диска входят задания и теоретические сведении по основным разделам, изучаемым в средней школе. Для 5–6 классов предлагаются задания по отработке вычислительных навыков, элементам геометрии. Для 7–9 классов помимо задач по алгебре и геометрии включены виртуальные лаборатории по основам теории вероятностей и математической статистике. М.: Дрофа, 2003. 76

5. Вероятность и статистика. 5–9. Практикум. Электронный практикум предназначен для изучения основ теории вероятностей и математической статистики. На диске представлены 9 виртуальных лабораторий, учебное пособие содержит 200 задач по теории вероятностей и статистике. М.: Дрофа, 2007. 6. Решаем задачи из учебника. Алгебра. 9 класс. Это пособие поможет школьникам разобраться в решении большинства задач из учебника «Алгебра. 9 класс» под редакцией С.А. Телековского. Программа не предлагает готовых ответов, а помогает понять принципы решения задач. М.: Просвещение–МЕДИА. 7. Готовимся к ЕГЭ. МАТЕМАТИКА. Решение экзаменационных задач в интерактивном режиме. — М.: Просвещение–МЕДИА. Приложение 1

Учебно-методический комплекс учебного предмета «Математика» 1. Общие положения Учебно-методический комплекс предмета — это совокупность нормативных, организационных и методических документов, спроектированных на основе программно-целевого подхода, взаимосвязанных единой методологией и организацией преподавания конкретной учебной дисциплины. Учебно-методический комплекс предмета разрабатывается на основе проекта образовательного стандарта и образовательной программы по учебному предмету. 2. Структура учебно-методического комплекса 2.1. Учебно-методический комплекс математики как учебной дисциплины включает комплекты документов: — нормативно-инструктивное обеспечение преподавания учебной дисциплины «Математика»; — программно-методическое и дидактическое обеспечение учебного предмета; — материально-техническое обеспечение преподавания предмета; — мониторинг учебной дисциплины. 2.2. Программно-методическое и дидактическое обеспечение преподавания математики. 77

Программа учебной дисциплины является системообразующим компонентом УМК. Остальные элементы носят в нем подчиненный характер и создаются в соответствии с программой. Под учебной программой подразумевают модель (проект) учебного курса, в которой определено содержание образования и способы организации его усвоения учащимися. Учебные программы подразделяются на типовые (утвержденные МП ПМР) и рабочие программы, которые утверждаются региональными органами управления образованием или педагогическим советом школы (как правило, это программы элективных курсов и спецкурсов, реализуемых за счет школьного компонента БУРП ПМР). Типовая программа обеспечена учебно-методическим комплектом, включающим: — учебные пособия для учащихся (учебники, тетради на печатной основе, справочники, сборники задач и упражнений, пособия для поступающих в вузы, учебная и научно-популярная литература); — методические пособия для учителя (стандартные и общие методики, проблемные методические руководства, периодические издания, пособия для контроля образовательных достижений учащихся). — электронные пособия (электронные учебники и другие цифровые ресурсы). Важным компонентом учебно-методического комплекта является учебнотематический план. 2.3. Учебно-тематическое планирование учебного процесса. Учебно-тематический план — документ, позволяющий спланировать учебно-воспитательную работу по теме, распределить учебное время на реализацию всех модулей учебного процесса (изучение нового учебного материала, совершенствование знаний и умений учащихся, контроль усвоения содержания), отобрать рациональные формы организации учебной деятельности учащихся, основные методы и приемы работы. При создании учебно-тематического плана необходимо: — продумать обучающий, развивающий и воспитывающий потенциалы темы; — определить ее образовательные задачи по трем направлениям (обучения, воспитания, развития); — уточнить чередование основных дидактических целей и соответственно типов уроков; — выбрать форму организации и методы, используемые на том или ином уроке; — определить виды и формы контроля результатов обучения. 78

Виды учебно-тематического планирования: 1. Полное. 2. Неполное (поурочное планирование, представляющее перечень уроков по темам). Требования к учебно-тематическому плану Учебно-тематический план должен включать: 1) название темы; 2) время, отводимое программой на ее изучение; 3) учебно-воспитательные задачи, которые необходимо решать учителю в процессе ее преподавания; 4) номер урока (в общей нумерации уроков и номер урока в данной теме); 5) тему урока; 6) форму учебного занятия (лекция, семинар, практикум, зачет и др.) или тип урока (уроки усвоения новой учебной информации; уроки формирования практических умений и навыков учащихся; уроки совершенствования и знаний, умений и навыков; уроки обобщения и систематизации знаний, умений и навыков; уроки проверки и оценки знаний, умений и навыков учащихся); 7) задачи урока (обучения, воспитания, развития); 8) планируемые результаты обучения, воспитания, развития; виды и формы контроля результатов обучения (виды контроля: предварительный, текущий, тематический, итоговый; формы контроля: контрольная работа, дифференцированный индивидуальный письменный опрос, самостоятельная проверочная работ, тестирование, математический диктант, письменные домашние задания, компьютерный контроль и т. д.). 2.4. Дидактическое обеспечение учебного процесса наряду с учебной литературой включает: — учебные материалы иллюстративного характера (опорные конспекты, схемы, таблицы, диаграммы, модели и др.); — учебные материалы инструктивного характера (инструкции по организации самостоятельной работы учащихся); — инструментарий диагностики уровня обученности учащихся (средства текущего, тематического и итогового контроля усвоения учащимися содержания математического образования); — варианты разно уровневых и творческих домашних заданий; — материалы внеклассной и научно-исследовательской работы по предмету (перечень тем рефератов и исследований по учебной дисциплине, требования к НИР, рекомендуемая литература). 2.5. Материально-техническое обеспечение преподавания учебного предмета «Математика» должно быть ориентировано на реализацию 79

Государственного образовательного стандарта по математике (для основной средней школы, базового и профильного уровней полной средней школы). 2.6. Мониторинг учебной дисциплины. — мониторинг уровня обученности учащихся по предмету; — мониторинг уровня развития учащихся (сформированности основных видов познавательной деятельности учащихся, в том числе и их творческого потенциала); — индекс развития познавательного интереса учащихся к изучению предмета; — самодиагностика профессиональных умений и навыков учителя.

Приложение 2

Учебно-методический комплект (УМК) элективного курса Программа элективного курса Учебное пособие для учащихся (учебники, справочные материалы, хрестоматии и др.) Рабочая тетрадь / задания для самостоятельной работы учащихся (задачник, практикум) Методическое пособие для учителя (разработки учебных занятий) Инструментарий контроля образовательных достижений учащихся

Приложение 3

Программа элективного курса 1. Название элективного курса (дисциплина, класс преподавания, общее количество учебных часов). 2. Пояснительная записка 2.1. Аннотация (название, основное содержание, для кого предназначен курс). Краткая аннотация должна показать привлекательность курса для учащихся, родителей, школьного сообщества в целом. 2.2. Место элективного курса в образовательном процессе: – место элективного курса в соотношении с базовыми и профильными общеобразовательными предметами; – межпредметные связи, реализуемые при изучении элективного курса; – общеучебные и профильные умения и навыки, развиваемые при изучении элективного курса; – способы развития познавательного интереса и профессионального самовыражения, организации досуга учащихся; – учет регионального компонента содержания образования. 2.3. Цели и задачи изучаемого курса. — для чего изучается курс, какие потребности субъектов образовательного процесса удовлетворяет? — в соответствии с целями формулируются задачи изучения курса: что необходимо для изучения курса? Над чем конкретно предстоит работать учителю и учащимся при изучении курса? 2.4. Краткая характеристика основных теоретических и/или методических идей, положенных в основу курса (концепции курса, теоретических положений, ключевых понятий). 2.5. Определение и обоснование состава и последовательности основных разделов (тем) курса. 2.6. Обоснование особенностей методики преподавания элективного курса. 3. Содержание и организация процесса обучения 3.1. Название учебных тем (разделов) и время на их изучение. 3.2. Основное содержание изучаемого учебного материала (факты, понятия, термины, представления, законы, теории, идеи). 3.3. Демонстрационные эксперимент, лабораторные работы и практические занятия. 81

3.4. Требования к результатам обучения (компетенции, знания, умения, навыки, способы деятельности, которыми должен овладеть ученик в границах темы (раздела). 4. Методы и формы обучения Ведущие методы преподавания элективного курса: – методы поискового и исследовательского характера, стимулирующие познавательную активность учащихся, тренинги, лабораторный эксперимент, реферативные и экспериментальные исследования, проектно-исследовательская деятельность, развивающая творческую инициативу учащихся; – интерактивные методы, (эвристические методы, учебный диалог и полилог, метод проблемных задач, деловые игры); – самостоятельная работа учащихся с различными источниками информации, включая Интернет-ресурсы. Формы организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальные, групповые, коллективные. Формы учебных занятий: интерактивные лекции с последующими дискуссиями, семинары, уроки с элементами моделирования ситуаций и деловыми играми, экскурсии, практикумы, нетрадиционные уроки (альманахи, презентации, «круглые столы», уроки решения ключевых задач, интегрированные уроки, уроки защиты творческих проектов и др.). 5. Планируемые результаты обучения В разделе указываются формируемые знания, умения, компетенции, способы деятельности, ценности, представления. 6. Формы, методы, инструментарий контроля образовательных достижений учащихся, критерии оценки Контрольная работа, итоговая конференция, зачет, отчет об исследовании, итоговое тестирование, зачетный практикум, защита творческих проектов, итоговый контроль в форме презентации образовательных достижений (самостоятельно подготовленных рефератов, докладов, сообщений и т.д.), отчет о выполненной практической работе, портфолио как набор образовательных продуктов (реализованных проектов) ученика. 7. Учебно-тематический план (УТП) УТП отражает основное содержание всех разделов (тем) курса с указанием бюджета времени на их изучение, формы учебных занятий, основные методы преподавания, включая образовательный продукт (сообщение, опорный конспект, домашняя практическая работа, тезисы, доклад, реферат, отчет 82

о практической работе, исследование или экскурсии, решенные проблемные задачи, структурно-логические схемы, проект, прибор, модель, макет, таблица, препарат, схема устройства, эссе, поделка и т. д.). 8. Рекомендуемая литература для учителя и для учащихся (основная и дополнительная). 9. Материально-техническое оснащение курса (оборудование, реактивы, электронные пособия, Интернет-ресурсы). Приложение 4

Банк заданий для учащихся 9 классов по теме

«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» Задания для части 1 №

Содержание задания

У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных плаща. Сколько у него вариантов одеться по-разному? Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 0, 2, 4, 6? В конференции участвовали 30 человек. Каждый с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек? В классе 25 человек. Сколькими способами можно двух из них делегировать на школьную конференцию? В расписании уроков на вторник для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день? 6. Спортсмен сделал 40 выстрелов и попал по мишени 32 раза. Определите относительную частоту попадания спортсмена по мишени В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год.

2 3 4 5

6 7

Марки Продано штук

130

800

420

100

300

Автомобили марок А, В, С – отечественные, D�� и Е – иностранные. Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет автомобиль иностранной марки (выразите вероятность в процентах) 8

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 50 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

По статистике на каждые 1000 лампочек приходится 2 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? 10 Имеется 80 лотерейных билетов, из них 20 — выигрышные. Какова вероятность проигрыша? 11

Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? 12 В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдет девочка? 13 Буквы слова СОБЫТИЕ перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что снова получится это же слово? 14 В таблице приведены расходы семьи на питание в течение недели. День

Пн

Bт

Cр

Чт

Пт

Сб

Вс

Расходы (в руб.)

210

200

190

220

190

245

250

а) Каков средний расход в день (среднее арифметическое) на питание? б) Чему равен размах этого ряда данных? 15 Десять детей из младшей группы спортивной школы по плаванию участвовали в соревнованиях в 50-метровом бассейне. В их списке, составленном по алфавиту, записаны следующие результаты: 54 с, 31 с, 29 с, 28 с, 56 с, 30 с, 43 с, 33 с, 38 с, 36 с. Найдите медиану ряда и размах. 16 В течение четверти Таня получила следующие отметки по физике: одну «2», четыре «3», шесть «4» и три «5». Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда

Содержание задания 17 В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если русский язык и литература должны стоять рядом? 18 Монету подбрасывают 10 раз подряд и каждый раз записывают, что выпало – орел или решка. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться? 19 Из нечетных цифр составляют всевозможные числа, содержащие не более четырех цифр. Сколько существует таких чисел? 20 Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, 7 из которых оказались помеченными. Сколько примерно рыб в пруду? 21 Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что в сумме выпадет 5 очков? 22 Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что на них выпадут разные числа?

23 Из Наташиного класса, в котором 25 учеников, по жребию выбирают двух дежурных. Какова вероятность, что Наташа будет дежурить? 24 Сколькими способами группу из 10 человек можно разбить на 2 группы, содержащие 2 и 8 человек? 25 Буквы слова КУБИК перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью снова получится это же самое слово? 26 В урне 10 шаров белого и черного цвета. Вероятность, что среди двух одновременно вынутых из нее шаров оба будут черные, равна 1/15. Сколько в урне белых шаров? 27 Фишку наугад бросают в квадрат со стороной 1, и она попадает в некоторую точку М. Какова вероятность того, что расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25? 28 Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, радиус которого 5 см, пролетит через решетку? 29 На диаграмме показаны результаты выпускного экзамена по математике (оценка и процент получивших ее учеников). Найдите средний балл этого экзамена. На 5 20%

На 3 30%

На 4 50%

30 В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора: Возраст (сколько лет)

Число участников

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану возрастов участников хора

государственный образовательный Стандарт общего образования по математике Пояснительная записка Конституция Приднестровской Молдавской Республики, признавая высшую ценность человека, его прав и свобод, провозглашает как одно из неотъемлемых ― право каждого на образование. Одним из важнейших инструментов реализации конституционных гарантий и права человека на образование являются государственные образовательные стандарты (ст. 41 Конституции Приднестровской Молдавской Республики). Государственные образовательные стандарты вводятся в систему нормативного правового обеспечения развития образования на основе Закона Приднестровской Молдавской Республики «Об образовании», статьи 6–9. Государственные образовательные стандарты ― конвенциональная норма (правила политической практики, которые неукоснительно соблюдаются и считаются обязательными), отражающая общественный договор между семьей, обществом и государством. Государственные образовательные стандарты выступают инструментом организации и координации системы образования, служат ориентиром ее развития и совершенствования, критерием оценки адекватности образовательной деятельности целям и ценностям образования. Государственные образовательные стандарты обязательны для применения и соблюдения всеми образовательными организациями Приднестровской Молдавской Республики, реализующими основные образовательные программы независимо от организационно-правовой формы. Государственные образовательные стандарты определяют: — требования к структуре и содержанию основных образовательных программ; 86

— требования к результатам освоения основных образовательных программ; — требования к условиям реализации основных образовательных программ. Требования государственного образовательного стандарта являются основой для разработки государственной системы оценки качества образования. Математическое образование в системе общего среднего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Целью обучения математике является не только и не столько изучение математики, сколько развитие универсальных (общих) способностей, умений и навыков, являющихся основой существования человека в социуме. В этом смысле математика является главным гуманитарным предметом в школе: заниматься математикой необходимо для интеллектуального здоровья так же, как заниматься физкультурой – для здоровья телесного. Современный этап в развитии школьного математического образования можно охарактеризовать двумя принципиально важными факторами: — принятие государственного стандарта математического образования; — предстоящий переход старшей школы на профильное обучение. Каждый из этих фактов является определяющим при обновлении сложившейся системы обучения математике как в основной, так и в старшей школе.

СТАНДАРТ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ базовый уровень Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: — овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; — интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей; — формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; — воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научнотехнического прогресса.

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ Арифметика Натуральные числа. Десятичная система счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком. Дроби. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части. 88

Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной. Рациональные числа. Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Степень с целым показателем. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный. Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие о корне n-ой степени из числа1. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись корней с помощью степени с дробным показателем. Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними. Этапы развития представления о числе. Текстовые задачи. Решение текстовых задач арифметическим способом. Измерения, приближения, оценки. Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Представление зависимости между величинами в виде формул. Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя — степени десяти в записи числа.

Алгебра Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений 1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников.

вместо переменных. Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования выражений. Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями. Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях. Уравнения и неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители. Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в целых числах. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств. Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств. Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической. Решение текстовых задач алгебраическим способом. Числовые последовательности. Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Cложные проценты. Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций. 90

Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост. Числовые функции, описывающие эти процессы. Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей. Координаты. Изображение чисел очками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой. Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

Геометрия Начальные понятия и теоремы геометрии. Возникновение геометрии из практики. Геометрические фигуры и тела. Равенство в геометрии. Точка, прямая и плоскость. Понятие о геометрическом месте точек. Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства. Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Многоугольники. Окружность и круг. Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений. Примеры разверток. 91

Треугольник. Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между величинам сторон и углов треугольника. Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность Эйлера. Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция. Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число π; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. 92

Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Площадь четырехугольника. Площадь круга и площадь сектора. Связь между площадями подобных фигур. Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса. Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол между векторами. Геометрические преобразования. Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятие о гомотетии. Подобие фигур. Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на построение: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей. Правильные многогранники.

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей Доказательство. Определения, доказательства, аксиомы и теоремы; следствия. Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы. Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Пятый постулат Эвклида и его история. Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий. Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. 93

Требования к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики ученик должен знать/понимать2: — существо понятия математического доказательства; примеры доказательств; — существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов; — как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач; — как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания; — как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа; — вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов; — каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики; — смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;

Арифметика

уметь: — выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем; — переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней десятки;

2 Помимо указанных в данном разделе знаний, в Требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений.

— выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений; — округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку числовых выражений; — пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот; — решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентами; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — решения несложных практических расчетных задач, в том числе c использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера; — устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления с использованием различных приемов; — интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений;

Алгебра

уметь: — составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные; — выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений; — применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни; — решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы; — решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы; 95

— решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи; — изображать числа точками на координатной прямой; — определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства; — распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов; — находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей; — определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств; — описывать свойства изученных функций, строить их графики; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах; — моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры; — описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций; — интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами;

Геометрия

уметь: — пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира; — распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение; — изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур; — распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их; — в простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел; — проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами; 96

— вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них; — решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии; — проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования; — решать простейшие планиметрические задачи в пространстве; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — описания реальных ситуаций на языке геометрии; — расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы; — решения геометрических задач с использованием тригонометрии; — решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства); — построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир);

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь: — проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений; — извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики; — решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения; — вычислять средние значения результатов измерений; — находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; — находить вероятности случайных событий в простейших случаях; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: 97

— выстраивания аргументации при доказательстве (в форме монолога и диалога); — распознавания логически некорректных рассуждений; — записи математических утверждений, доказательств; — анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц; — решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости; — решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов; — сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией; — понимания статистических утверждений.

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ по математике базовый уровень Пояснительная записка Статус документа. Примерная программа по математике составлена на основе республиканского компонента государственного стандарта основного общего образования ПМР. Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса. Примерная программа выполняет две основные функции. Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета. Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся. Примерная программа является ориентиром для составления авторских учебных программ и учебников. Она определяет инвариантную (обязательную) часть учебного курса, за пределами которого остается возможность авторского выбора вариативной составляющей содержания образования. При этом авторы учебных программ и учебников могут предложить собственный подход в части структурирования учебного материала, определения последовательности изучения этого материала, а также путей формирования системы знаний, умений и способов деятельности, развития и социализации учащихся. Тем самым примерная программа содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителей и авторов учебников, предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса. 99

Структура документа. Примерная программа включает три раздела: пояснительную записку; основное содержание с примерным распределением учебных часов по разделам курса; требования к уровню подготовки выпускников. Общая характеристика учебного предмета. Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точные названия блоков): арифметика; алгебра; геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей стране, учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаются и взаимодействуют в учебных курсах. Арифметика призвана способствовать приобретению практических навыков, необходимых для повседневной жизни. Она служит базой для всего дальнейшего изучения математики, способствует логическому развитию и формированию умения пользоваться алгоритмами. Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры. Геометрия — один из важнейших компонентов математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства. Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усили100

вающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности — умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления. Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность: — развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру; — овладеть символическим языком алгебры, выработать формальнооперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач; — изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей; — развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами; — получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер; — развить логическое мышление и речь — умениия логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; — сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений. Цели Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: 101

— овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; — интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей; — формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; — воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии. Место предмета в Базисном учебном плане для образовательных учреждений ПМР. Согласно БУРП ПМР на изучение математики на ступени основного общего образования отводится не менее 875 ч из расчета 5 ч в неделю с 5 по 9 класс. В примерной программе предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 90 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности. В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт: — планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов; — решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения; — исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач; — ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; — проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования; 102

— поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии. Результаты обучения. Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки выпускников и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ (875 часов)

Арифметика (250 ч)

Натуральные числа. Десятичная система счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком. Дроби. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части. Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной. Рациональные числа. Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Степень с целым показателем. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный. 103

Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие о корне n-ой степени из числа1. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись корней с помощью степени с дробным показателем. Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними. Этапы развития представлений о числе. Текстовые задачи. Решение текстовых задач арифметическим способом. Измерения, приближения, оценки. Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов окружающего нас мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем нас мире. Представление зависимости между величинами в виде формул. Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя — степени десяти в записи числа.

Алгебра (270 ч)

Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования выражений. Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена. 1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников.

104

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями. Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях. Уравнения и неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения, Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители. Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в целых числах. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств. Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств. Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической. Решение текстовых задач алгебраическим способом. Числовые последовательности. Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Cложные проценты. Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост; числовые функции, описывающие эти процессы. 105

Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей. Координаты. Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой. Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

Геометрия (220 ч)

Начальные понятия и теоремы геометрии. Возникновение геометрии из практики. Геометрические фигуры и тела. Равенство в геометрии. Точка, прямая и плоскость. Понятие о геометрическом месте точек. Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства. Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Многоугольники. Окружность и круг. Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений. Примеры разверток. Треугольник. Прямоугольные, остроугольные, и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между величинам сторон и углов треугольника. 106

Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность Эйлера. Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция. Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, равенство касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число π; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Площадь четырехугольника. Площадь круга и площадь сектора. Связь между площадями подобных фигур. 107

Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса. Векторы. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол между векторами. Геометрические преобразования. Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятие о гомотетии. Подобие фигур. Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на построение: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей. Правильные многогранники.

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей (45 ч)

Доказательство. Определения, доказательства, аксиомы и теоремы; следствия. Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы. Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Пятый постулат Эвклида и его история. Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий. Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. Резерв свободного учебного времени — 90 часов.

108

Требования к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики ученик должен знать/понимать2: — существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств; — существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов; — как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач; — как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания; — как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа; — вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов; — каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики; — смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации; Арифметика уметь: — выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем; — переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней десятки; — выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных 2 Помимо указанных в данном разделе знаний, в Требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений.

109

случаях значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений; — округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку числовых выражений; — пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот; — решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентам; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — решения несложных практических расчетных задач, в том числе c использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера; — устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления, с использованием различных приемов; — интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений;

Алгебра

— изображать числа точками на координатной прямой; — определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства; — распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов; — находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей; — определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств; — описывать свойства изученных функций, строить их графики; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах; — моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры; — описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций; — интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами;

Геометрия

уметь: — пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира; — распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение; — изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур; — распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их; — в простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел; — проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами; — вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения 111

тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них; — решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии; — проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования; — решать простейшие планиметрические задачи в пространстве; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — описания реальных ситуаций на языке геометрии; — расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы; — решения геометрических задач с использованием тригонометрии; — решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства); — построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир);

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь: — проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений; — извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики; — решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения; — вычислять средние значения результатов измерений; — находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; — находить вероятности случайных событий в простейших случаях; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге; — распознавания логически некорректных рассуждений; 112

— записи математических утверждений, доказательств; — анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц; — решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости; — решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов; — сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией; — понимания статистических утверждений.

113

Примерное тематическое планирование учебного материала по математике базовый уровень по учебнику Виленкина Н.Я. и др. «Математика»

(М.: Мнемозина, 1997 и последующие годы издания)

5 класс Вариант А: 5 ч в неделю, всего 170 ч Вариант Б: 6 ч в неделю, всего 204 ч Пункт учебника

Содержание материала Повторение курса математики начальной школы

§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ШКАЛЫ

Обозначение натуральных чисел

2 3 4 5

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник Плоскость. Прямая. Луч Шкалы и координаты Меньше или больше Контрольная работа № 1

3 2 3 4 1

3 3 4 4 1

§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Сложение натуральных чисел и его свойства Вычитание Контрольная работа № 2 Числовые и буквенные выражения Буквенная запись свойств сложения и вычитания Уравнение Контрольная работа № 3

5 4 1 3 3 4 1

6 5 1 4 4 5 1

§ 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

6 7 8 9 10

114

Кол-во часов А В

Умножение натуральных чисел и его свойства

12 13 14 15 16

Деление Деление с остатком Контрольная работа № 4 Упрощение выражений Порядок выполнения действий Квадрат и куб числа Контрольная работа № 5 § 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

5 4 1 4 3 2 1

6 5 1 5 4 2 1

Окружность и круг

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Правильные и неправильные дроби

Контрольная работа № 6

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Деление и дроби

Смешанные числа

Сложение и вычитание смешанных чисел

Контрольная работа № 7

§ 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Десятичная запись дробных чисел

Сравнение десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей

Приближенные значения чисел, округление чисел Контрольная работа № 8

3 1

§ 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

34 35

3 4 1 4 5 3 1

3 5 1 5 6 4 1

36 37 38

Умножение десятичных дробей на натуральное число Деление десятичных дробей на натуральное число Контрольная работа № 9 Умножение десятичных дробей Деление на десятичную дробь Среднее арифметическое Контрольная работа № 10

115

§ 4. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ

Формулы Площадь. Формула площади прямоугольника Единицы измерения площадей Прямоугольный параллелепипед Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда Контрольная работа № 11

3 3 3 2 3 1

4 4 3 2 4 1

§ 8. ИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ИЗМЕРЕНИЙ

17 18 19 20 21

39 40

Микрокалькулятор Проценты Контрольная работа № 12

2 5 1

3 6 1

Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

42 43

Измерение углов. Транспортир Круговые диаграммы Контрольная работа № 13 Итоговое повторение курса математики 5 класса Итоговая контрольная работа

3 2 1 14

4 3 1 18

Пример итоговой контрольной работы1 Вариант 1 * 1. Выполните действия: а) 21 · 192 + 11 988 : 37; б) (1,09 – 3,8 · 0,15) : 2,6. 2. Один тракторист может засеять за один день поле площадью 22,9 га. Второй — на 8 га больше. Сколько дней потребуется двум трактористам, чтобы засеять при совместной работе поле площадью 215,2 га? 3. Площадь поля прямоугольной формы равна 28 га. Его длина 700 м. Вычислите ширину поля. ** 4. Постройте угол, градусная мера которого составляет 25 % развернутого угла. В данных контрольных работах приняты обозначения: * — задания базового уровня сложности; ** — задания повышенного уровня сложности, выполняемые в два-четыре шага; *** — задания высокого уровня сложности, требующие применения знаний в нестандартной ситуации. 1

116

*** 5. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Их скорости равны 11,5 км/ч и 13,5 км/ч. Через 0,8 часа расстояние между велосипедистами было 95,8 км. Найдите расстояние между городами. Вариант 2 * 1. Выполните действия: а) 17 · 214 + 20 496 : 48; б) (2,07 – 3,5 · 0,14) : 7,9. 2. На одной мельнице можно обработать за один день 10,2 т зерна. На другой — на 3 т меньше. За сколько дней можно обработать 104,4 т зерна, если использовать одновременно обе мельницы? 3. Площадь лесного участка прямоугольной формы равна 27 га. Его ширина 300 м. Вычислите длину участка. ** 4. Постройте угол, градусная мера которого составляет 60 % прямого угла. *** 5. Из двух поселков, расстояние между которыми равно 103,8 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Скорость одного 65,5 км/ч, другого — 60,5 км/ч. Какое расстояние будет между мотоциклистами через 0,6 часа после их выезда?

6 класс Вариант А: 5 ч в неделю, всего 170 ч Вариант Б: 6 ч в неделю, всего 204 ч Пункт учебника

Содержание материала

Кол-во часов А

Повторение курса математики 5 класса

§ 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

117

Наименьшее общее кратное

Контрольная работа № 1

§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ 8

Основное свойство дроби

Сокращение дробей

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Контрольная работа № 2

Сложение и вычитание смешанных чисел

Контрольная работа № 3

§ 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ 13

Умножение дробей

Нахождение дроби от числа

Применение распределительного свойства умножения

Взаимно обратные числа

Контрольная работа № 4

Деление Контрольная работа № 5

5 1

Нахождение числа по его дроби

Дробные выражения

Контрольная работа № 6

§ 4. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ 20

Отношения

Пропорции

Контрольная работа № 7

Прямая пропорциональная зависимость

Масштаб

Длина окружности

Контрольная работа № 8

22 (I часть) 23 24 (I часть)

118

22 Обратная пропорциональная зависимость (II часть)

24 Площадь круга (II часть)

Шар

Контрольная работа № 9

§ 5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 26

Координаты на прямой

Противоположные числа

Модуль числа

Сравнение чисел

Измерение величин

Контрольная работа № 10

§ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 31

Сложение чисел с помощью координатной прямой

Сложение отрицательных чисел

Сложение чисел с разными знаками

Вычитание

Контрольная работа № 11

§ 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 35

Умножение

Деление

Рациональные числа

Свойства действий с рациональными числами

Контрольная работа № 12

Раскрытие скобок Коэффициент Подобные слагаемые

3 2 3

Контрольная работа № 13

Решение уравнений

§ 8. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 39 40 41 42

119

Контрольная работа № 14 § 9. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые

Координатная плоскость

Столбчатые диаграммы

Графики

Контрольная работа № 15

Итоговое повторение курса математики 6 класса Итоговая контрольная работа

Пример итоговой контрольной работы1 Вариант 1

* 1. Выполните действия: 0,5 – 2 7 :  1 + 1 3  . 8 6 4

2. Для уроков математики и русского языка шестиклассники купили 231 тетрадь. Из них 6 были в клеточку. Сколько тетрадей в линейку купили 11 шестиклассники? 3. Решите уравнение 3х – 4 = 5. ** 4. Постройте отрезок КМ, где К (–1; 6), М(3; –2). Запишите координаты точек пересечения его с осями координат. 5. В магазин завезли печенье двух сортов. Количество печенья первого сорта составляет 6 количества всего печенья. Печенья второго сорта 11 привезли на 20 кг больше, чем первого сорта. Сколько печенья привезли в магазин? *** 6. Длина прямоугольника равна 20 см, а ширина 15 см. На сколько процентов уменьшится его площадь, если длину уменьшить на 6 см?

В данных контрольных работах приняты обозначения: * — задания базового уровня сложности; ** — задания повышенного уровня сложности, выполняемые в два-четыре шага; *** — задания высокого уровня сложности, требующие применения знаний в нестандартной ситуации. 1

120

Вариант 2

 1  3 1 * 1. Выполните действия:  – 1  · 1 –  + 2,5. 

9

 5

4

2. Фермер собрал 552 т сахарной свеклы. На сахарный завод вывезли 23 собранного урожая. Сколько тонн сахарной свеклы осталось вывести? 24 3. Решите уравнение 8 + 5х = 23. ** 4. Постройте отрезок ВС, где В(–2; –5), С(4; 1). Запишите координаты точек пересечения его с осями координат. 5. В шестом классе двенадцатилетних учеников на 4 больше, чем одиннадцатилетних. Число двенадцатилетних учеников составляет 4 числа всех 7 шестиклассников. Сколько учеников в таком классе? *** 6. Длина прямоугольника равна 15 м, а ширина 8 м. На сколько процентов увеличится его площадь, если ширину увеличить на 6 м?

по учебнику Макарычева Ю.Н. и др. «Алгебра» (М.: Просвещение, 2006)

7 класс Вариант А: 3 ч в неделю, всего 102 ч Вариант Б:5 ч в неделю в I четверти, 3 ч в неделю во II–IV четвертях, всего 120 ч Вариант В: 4 ч в неделю, всего 136 ч Номер параграфа 1 2 п. 1–5 3 п. 6–8 4 5 6 п. 12–16 7

Содержание материала Выражения Преобразование выражений Контрольная работа № 1 Уравнение с одной переменной Контрольная работа № 2 Статистические характеристики Функции и их графики Линейная функция Контрольная работа № 3 Степень и ее свойства

Количество часов А 5 4 1 7 1 3 4 6 1 6

Б 5 5 1 8 1 4 6 7 1 7

В 8 5 1 8 1 4 6 10 1 7

121

8 п. 18–23 9 10 п. 25–28 11 п. 29–30 12 13 п. 32–36 14 п. 37–38 15 16 п. 40–45

Одночлены Контрольная работа № 4 Сумма и разность многочленов Произведение одночлена и многочлена Контрольная работа № 5

5 1 4 6 1

6 1 4 6 1

7 1 5 7 1

Произведение многочленов Контрольная работа № 6 Квадрат суммы и квадрат разности

1 4

1 5

Разность квадратов. Сумма и разность кубов

Контрольная работа № 7

Преобразование целых выражений

Контрольная работа № 8 Линейные уравнения с двумя переменными и их системы Решение систем линейных уравнений Контрольная работа № 9

Повторение

Итоговая контрольная работа

Пример итоговой контрольной работы1 Вариант 1 1°. Найдите значение выражения 1 х3 + 3у2 при х = –2, у = –1. 4 2°. Решите систему уравнений х + 2у = 11, 5x – 3y = 3. 3°. Разложите на множители: а) 3х2 – 30x + 75; б) 3а2 – 3b2 – а + b. 4. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 2,5 ч. Но он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 2 ч. Найдите длину пути.

1 В данных контрольных работах знаком «°» отмечены задания, направленные на проверку достижения уровня обязательной подготовки.

122

5. Решите уравнения: a) 4х + 8 – 2х – 3 = 1; 3 4 б) 5х – 6х2 = 0. 6. Решите графически уравнение х2 = 3 – 2х. Вариант 2 1°. Найдите значение выражения 1 а2 + 3b3 при a = –3, b = –2. 3 y – 3х = –5, 2°. Решите систему уравнений 2у + 5х = 23. 3°. Разложите на множители: а) 5a2 + 20а + 20; б) х – у – 2х2 + 2у2. 4. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2 ч. Но он ехал со скоростью, превышающей намеченную на 3 км/ч, и поэтому на весь путь затратил 1 2 ч. Найдите длину пути. 3 5. Решите уравнение: a) 5х – 78 – 4х + 6 = 1; б) 3х2 + 4х = 0. 5 3 6. Решите графически уравнение х2 = 2х + 3.

8 класс Вариант А: 3 ч в неделю, всего 102 ч Вариант Б: 4 ч в неделю в I полугодии, 3 ч в неделю во II полугодии, всего 118 ч Номер параграфа

Содержание материала

Кол-во часов А

Рациональные дроби и их свойства Сумма и разность дробей Контрольная работа № 1

6 5 1

6 6 1

Произведение и частное дробей. Функция у = xk и ее свойства Контрольная работа № 2

Действительные числа

Арифметический квадратный корень. Функция у =√ х и ее график

1 2 п. 1–4 3 п. 5–8

123

6 п. 9–16 7 п. 17–18 8 9 п. 19–23 10 п. 24–26 11 п. 27–29 12 п. 30–32 13 14 п. 33–38

Свойства арифметического квадратного корня

Контрольная работа № 3

Применение свойств арифметического квадратного корня

Контрольная работа № 4 Квадратное уравнение и его корни

1 3

1 4

Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета

Контрольная работа № 5

1 6 1

1 8 1

Неравенства с одной переменной и их системы

Контрольная работа № 8 Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа Приближенные вычисления Контрольная работа № 9 Сбор и группировка статистических данных Наглядное представление статистической информации Повторение Итоговая контрольная работа

4 1 2 3 7 1

5 1 2 3 9 1

Дробные рациональные уравнения. Графический способ решения уравнений Контрольная работа № 6 Числовые неравенства и их свойства Контрольная работа № 7

Пример итоговой контрольной работы1 Вариант 1 1. Решите неравенство 5(3х – 2) – 8 (2х + 1) > 6. 2. Упростите выражение (√6 + √2 )√6 – 2 √27. 3 1   2 1 3. Упростите выражение  2 : . + 2   x – 9 3x – x  2х2 + 12х + 18 4. Два велосипедиста выехали одновременно из поселка в город, находящийся на расстоянии 48 км. Скорость одного из них была на 1 км/ч больше 1 Каждый вариант контрольной работы разделен на две части: до черты — задания обязательного уровня, после черты — задания более высокого уровня.

124

скорости другого, и поэтому он приехал в город на 12 мин раньше. Определите скорость каждого велосипедиста. 5. При каких значениях х функция у = 16 – 5х принимает положительные 3 значения? Вариант 2 1. Решите неравенство 3(2х – 1) – 4(х + 3) > 5х 2. Упростите выражение (√12 + √2 )√3 – 0,5√24.

5 1  х 3. Упростите выражение  . +  : 2 2 2х – 20х + 50 25 x x 2 5 – – 5   4. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и 30 км против течения, причем на путь по течению реки она затратила на 30 мин меньше. Скорость течения реки 3 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде? 5. При каких значениях х функция у = 11 – 2х принимает отрицательные 3 значения?

9 класс Вариант А: 3 ч в неделю, всего 102 ч Вариант Б: 4 ч в неделю, всего 136 ч Номер параграфа 1 2 3 п. 1–7 4 5 п. 1–8 6 п. 12–14 7 п. 15–17 8 п. 18–20

Содержание материала Функции и их свойства Квадратный трехчлен Квадратичная функция и ее график Контрольная работа № 1 Неравенства с одной переменной Уравнения с одной переменной Контрольная работа № 2 Системы уравнений с двумя переменными Контрольная работа № 3 Арифметическая прогрессия Контрольная работа № 4 Геометрическая прогрессия Контрольная работа № 5

Кол-во часов А 4 3 8 1 6 5 1 11 1 6 1 6 1

Б 4 3 8 1 7 5 1 12 1 8 1 7 1

125

9 10 п. 21–24 11 п. 25–27 12 13 п. 28–32 14 п. 33–36

Степенная функция 3 4 Корень n-й степени Контрольная работа № 6 1 Степень с рациональным показателем – Контрольная работа № 7 – Тригонометрические функции любого угла 5 Основные тригонометрические формулы 5 Контрольная работа № 8 1 Формулы сложения и их следствия – Контрольная работа № 9 – Комбинаторные задачи. Перестановки, размещения, соче8 тания Вероятность случайного события 3 Контрольная работа № 10 1 Повторение 15 Итоговая контрольная работа 2

4 5 1 6 1 6 7 1 12 1 8 3 1 18 2

Пример итоговой контрольной работы1 Вариант 1 2 1°. Сократите дробь 4х – 2х . 6х 2°. Решите неравенство 5х – 7 ≥ 7х – 5. 3°. Решите уравнение х2 – 10х + 25 = 0. 4°. Сравните: 56,78 · 106 и 5,687 · 107. 5°. Решите систему уравнений 5х + у = –2, 7х – у = –10. 6°. Постройте график функции у = 7х – 5 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше –40. 7. В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов. 8. Моторная лодка проплыла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. 1 В данных контрольных работах знаком «°» отмечены задания, направленные на проверку достижения уровня обязательной подготовки.

126

17 + 2√24 . √24 + √2 (х + 4)2 10. Решите неравенство 2 ≤ 0. х –9 9. Сократите дробь

Вариант 2 2 1°. Сократите дробь х + 2х . 7х 2°. Решите неравенство 3х – 8 ≥ 8х – 3. 2 3°. Решите уравнение х – 14х + 49 = 0. 4°. Сравните: 4,567 · 109 и 45,76 · 108. 5°. Решите систему уравнений 3х + у = 13, 4х – у = 15. 6°. Постройте график функции у = 6х – 7 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше –49. 7. В арифметической прогрессии второй член равен 11, а разность равна 30. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов. 8. Моторная лодка проплыла против течения реки 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. 16 + 2√39 9. Сократите дробь . √13 + √3 (х + 7)2 10. Решите неравенство 2 ≤ 0. х – 36

по учебнику Погорелова А.В. «геометрия»

(М.: Просвещение, 2000 и последующие годы издания)

Номер пункта

7 класс

Вариант А: со II четверти 2 ч в неделю, всего 50 ч Вариант Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Содержание материала § 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Кол-во часов А Б 9

127

1–4

Геометрические фигуры. Точка и прямая. Отрезок. Измерение отрезков

5–7, 18 Полуплоскости. Полупрямая. Угол. Биссектриса угла

Откладывание отрезков и углов. Контрольная работа № 1.1* (на 20–25 мин)

9, 25, 10

Треугольник. Высота, биссектриса и медиана треугольника. Существование треугольника, равного данному

11–13

Параллельные прямые. Теоремы и доказательства. Аксиомы

–

Контрольная работа № 2.1

–

Смежные углы Вертикальные углы

2 –

2 2

15, 11-13

Вертикальные углы. Параллельные прямые. Теоремы и доказательства. Аксиомы

–

16, 17

Перпендикулярные прямые. Доказательство от противного

Контрольная работа № 1.2 (2.2)

§ 3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Контрольная работа № 1.3 (2.3)

Обратная теорема. Свойство медианы равнобедренного треугольника

Третий признак равенства треугольников

Контрольная работа № 1.4 (2.4)

–

§ 2. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ 14 15

20, 21 22, 23

24, 26 27

Первый признак равенства треугольников. Использование аксиом при доказательстве теорем Второй признак равенства треугольников. Равнобедренный треугольник

§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 29 29, 30 30, 31

Параллельность прямых Параллельность прямых. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признак параллельности прямых

* В номерах контрольных работ первая цифра означает номер варианта планирования, вторая — порядковый номер работы.

128

31, 32

Признак параллельности прямых. Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

–

Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

–

Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника

–

Контрольная работа № 2.6

–

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

–

33, 34 35, 36

Прямоугольный треугольник. Существование и единственность перпендикуляра к прямой Контрольная работа № 1.5 (2.5) § 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

38, 39 40, 41 42–44 45–47 48, 49

Окружность. Окружность, описанная около треугольника Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник Что такое задачи на построение. Построение треугольника с данными сторонами. Построение угла, равного данному Построение биссектрисы угла. Деление отрезка пополам. Построение перпендикулярной прямой

Итоговое повторение

Пример итоговой контрольной работы Содержание. Смежные и вертикальные углы и их свойства; признаки равенства треугольников (произвольных и прямоугольных); углы при параллельных прямых с секущей и их свойства; сумма углов треугольника; свойство углов равнобедренного треугольника; расстояние от точки до прямой. Вариант 1 1. Найдите все углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если разность.двух из них равна 20°. 2. Докажите, что в равностороннем треугольнике любые две медианы равны. 3. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Докажите, что середина отрезка АВ равноудалена от а и b.

129

Вариант 2 1. Найдите все углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма двух из этих углов равна 140°. 2. Докажите, что в равностороннем треугольнике любые две биссектрисы равны. 3. Докажите, что середина отрезка CD равноудалена от параллельных прямых с и d, на которых лежат его концы. Вариант 3 1. Найдите все углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из них равна 320°. 2. Докажите, что в равностороннем треугольнике любые две высоты равны. 3. Через середину О отрезка АВ проведена прямая CD, причем ∠OAD = ∠ОВС. Докажите, что точка О — середина отрезка CD. Вариант 4 1. Найдите все углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 160°. 2. Докажите, что если в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна высоте, опущенной на боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний. 3. Через середину О отрезка АВ проведена прямая CD. Докажите, что если ∠ODA = ∠ОCB, то О — середина отрезка CD.

8 класс Вариант А: 2 ч в неделю, всего 68 ч Вариант Б: 2 ч в неделю в I полугодии, 3 ч в неделю во II полугодии, всего 80 ч Номер пункта

Содержание материала § 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Кол-во часов А

–

38, 39

Окружность. Окружность, описанная около треугольника

–

40, 41

Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник. Контрольная работа № 1* (на 20–25 мин)

–

130

§ 6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

50–52

Определение четырехугольника. Параллелограмм. Свойство диагоналей параллелограмма

–

50, 51

Определение четырехугольника. Параллелограмм

–

52, 53

Свойство диагоналей параллелограмма. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

–

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

–

54–56

Прямоугольник. Ромб. Квадрат

57, 58 59 60

Контрольная работа № 1.2 (2.1) Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника Трапеция Теорема о пропорциональных отрезках Контрольная работа № 1.3

1 3 3 2 1

1 3 3 – –

60, 61

Теорема о пропорциональных отрезках. Построение четвертого пропорционального отрезка

–

Контрольная работа № 2.2

–

§ 7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 62–64

Косинус угла. Теорема Пифагора. Египетский треугольник

65, 66

Перпендикуляр и наклонная. Неравенство треугольника

Контрольная работа № 2.3

–

Изменения синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла

–

Контрольная работа № 2.4

–

67 68, 69 70

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике Основные тригонометрические тождества. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов Контрольная работа № 1.4

§ 8. Декартовы координаты на плоскости 71–73 74–76

Определение декартовых координат. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками Уравнение окружности. Уравнение прямой. Координаты точки пересечения прямых

131

77–79

Расположение прямой относительно системы координат. Угловой коэффициент в уравнении прямой. График линейной функции

–

77–80

Расположение прямой относительно системы координат. Угловой коэффициент в уравнении прямой. График линейной функции. Пересечение прямой с окружностью

–

Определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0 до 180° § 9. ДВИЖЕНИЕ

82, 83, Преобразование фигур. Свойства движения. Поворот. Парал86, 87 лельный перенос и его свойства

–

82, 83

–

1 –

1 1 2

84, 85 86

Преобразование фигур. Свойства движения Симметрия относительно точки. Симметрия относительно прямой Контрольная работа № 1.5 (2.5) Поворот

87, 88

Параллельный перенос и его свойства. Существование и единственность параллельного переноса

–

89, 90

Сонаправленность полупрямых. Равенство фигур

–

§ 10. ВЕКТОРЫ 91,92

Абсолютная величина и направление вектора. Равенство векторов

93–95

Координаты вектора. Сложение векторов. Сложение сил

–

Разложение вектора по координатным осям

–

Контрольная работа № 2.6

–

Итоговое повторение

96, 98

96–98 99

132

Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов Контрольная работа № 1.6 Умножение вектора на число. Разложение векторов по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов

Пример итоговой контрольной работы Содержание. Определения параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции и равнобокой трапеции; признак параллелограмма (теорема 6.1); определения косинуса, синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; теорема Пифагора; значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45° и 60°; соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α; катет, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на соs α; катет, противолежащий углу α�� , равен произведению второго катета на �� tg�� α�� ); формула для координат середины отрезка и формула для расстояния между точками, заданными своими координатами. Вариант 1 1. Стороны прямоугольника равны 2,7 см и 3,6 см. Найдите диагональ этого прямоугольника. 2. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С — прямой, катет АС = 3 см и ∠A = 60°. Чему равен угол В данного треугольника? Найдите гипотенузу и катет ВС треугольника. 3. Дан четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(0; 8), B(–6; 0), С(2; –6), D(8; 2). Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом. Вариант 2 1. Дан ромб, диагонали которого равны 2 дм и 4,8 дм. Найдите сторону этого ромба. 2. Дан прямоугольный треугольник DEF, у которого угол D — прямой, катет DE = 4 дм и ∠F = 30°. Чему равен угод Е данного треугольника? Найдите гипотенузу и катет DF треугольника. 3. Даны три первые вершины параллелограмма ABCD: А(1; 3), В(2; 5), С(5; –2). Найдите координаты четвертой вершины D. Вариант 3 1. Дана равнобокая трапеция, основания которой равны 1 дм и 4,2 дм. Найдите боковую сторону трапеции, если расстояние между ее основаниями равно 3 дм. 2. Дан треугольник ABC, у которого известны два угла: ∠А = 60°, ∠С = 45° — и сторона АВ = 4 дм. Найдите сторону АС этого треугольника. 133

3. Дан четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(0; 3), В(–6; 0), С(2; –6), D(8; 2). Докажите, что этот четырехугольник является ромбом. Вариант 4 1. Дана равнобокая трапеция, основания которой равны 3,5 см и 1,3 см, а боковая сторона равна 6,1 см. Найдите расстояние между основаниями трапеции. 2. Дан треугольник DEF, у которого известны два угла: ∠D = 30°, ∠E = 45° — и сторона DF = 8 см. Найдите сторону DE этого треугольника. 3. Дан четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(0; 8), В(–6; 0), С(2; –6) и D(8; 2). Докажите, что данный четырехугольник является прямоугольником.

9 класс

2 ч в неделю, всего 68 ч

Номер пункта

Содержание материала §11. ПОДОБИЕ ФИГУР

Кол-во часов 16

100, 101 Преобразование подобия. Свойства преобразования подобия

102, 103 Подобие фигур. Признак подобия треугольников по двум углам

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. Признак подобия треугольников по трем сторонам

106

Подобие прямоугольных треугольников

107

Контрольная работа № 1 Углы, вписанные в окружность

1 2

108

Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Контрольная работа № 2

104, 105

§ 12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 109 110, 111 112

Теорема косинусов

Теорема синусов. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами

Решение треугольников

Контрольная работа № 3 § 13. МНОГОУГОЛЬНИКИ 113–115

134

Ломаная. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники

1 17 3

116 117 118 119 120

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников Построение некоторых правильных многоугольников Подобие правильных выпуклых многоугольников Длина окружности Радианная мера угла Контрольная работа № 4 § 14. ПЛОЩАДИ ФИГУР

121, 122 Понятие площади. Площадь прямоугольника 123

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника. Формула Герона для площади треуголь124, 125 ника 126

3 1 3 3 3 1 20 3 3 3

Площадь трапеции

Контрольная работа № 5

127

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

128

Площади подобных фигур

129

Площадь круга

Контрольная работа № 6

Итоговое повторение курса планиметрии

Пример итоговой контрольной работы Работа содержит задания на подобие и решение треугольников (два первые задания), а также на вычисление длины окружности в площади круга (третьи задания). Вариант 1 1. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки 9 см и 15 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 12 см больше другого. 2. Найдите утлы треугольника со сторонами 16 см, 30 см и 34 см. 3. Найдите длину окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а.

135

Вариант 2 1. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки 11 дм и 14 дм. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 25 дм. 2. Угол между сторонами треугольника, равными 15 дм и 17 дм, равен 28°. Найдите остальные углы и сторону треугольника. 3. Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной а. Вариант 3 1. Диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника. Докажите, что эта диагональ есть среднее пропорциональное между основаниями данной трапеции. 2. Даны две стороны треугольника а = 5 см и b = 8 см, а также угол α = 35°. Найдите его третью сторону и два угла. 3. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной a. Вариант 4 1. Основания трапеции равны а и b. Сумма углов трапеции при основании а равна 90°. Найдите расстояние между серединами оснований данной трапеции. 2. Даны сторона треугольника a = 8 м и его углы β = 45° и γ = 65°. Найдите остальные две стороны и угол треугольника. 3. Найдите длину окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной а.

по учебнику Атанасяна Л.С. и др. «геометрия»

(М.: Просвещение, 1990 и последующие годы издания)

Номер параграфа

7 класс

Вариант А: со II четверти 2 ч в неделю, всего 50 ч Вариант Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Содержание материала

ГЛАВА I. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 1, 2

136

Прямая и отрезок. Луч и угол

Кол-во часов А Б 7

3 4, 5 6

Сравнение отрезков и углов Измерение отрезков. Измерение углов Перпендикулярные прямые Решение задач Контрольная работа № 1 ГЛАВА II. ТРЕУГОЛЬНИКИ

1 2 1 1 1 14

1 3 2 1 1 17

Первый признак равенства треугольников Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Второй и третий признаки равенства треугольников Задачи на построение Решение задач Контрольная работа № 2

3 3 3 2 2 1

3 3 4 3 3 1

ГЛАВА III. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Признаки параллельности двух прямых

Аксиома параллельности прямых

Решение задач

1 2 3 4

Контрольная работа № 3 ГЛАВА IV. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 1

Сумма углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Контрольная работа № 4

Прямоугольные треугольники

Построение треугольника по трем элементам

Решение задач Контрольная работа № 5

3 1

Повторение. Решение задач

137

Пример итоговой контрольной работы1 Вариант 1 1. Прямая d пересекает отрезок КМ в его середине — точке В. Найдите расстояние от точки К до прямой d, если расстояние от точки М до этой прямой равно 56 см. 2. В окружности с центром О и радиусом 2 дм проведена хорда АВ на расстоянии 10 см от ее центра. Найдите углы треугольника АВО. 3. Даны две параллельные прямые d и b и секущая т. Биссектриса одного из внутренних углов, образованных прямыми d и m, составляет с прямой b угол в 37°. Найдите углы, образованные прямыми d и b и секущей т. 4. Угол при основании равнобедренного треугольника меньше 60°. Сравните длины основания треугольника а, боковой стороны b и высоты h, проведенной к основанию. 5. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от концов данного отрезка. Вариант 2 1. Прямая b пересекает отрезок DE в его середине — точке К. Найдите расстояние от точки Е до прямой b, если расстояние от точки D до этой прямой равно 6 см. 2. В окружности с центром О проведена хорда AM на расстоянии 6 см от ее центра. Найдите углы треугольника АМО, если AM = 12 см. 3. Даны две параллельные прямые k и т. и секущая b. Биссектриса одного из внутренних углов, образованных прямыми b и т, составляет с прямой к угол в 25°. Найдите углы, образованные прямыми k и т и секущей b. 4. Угол при основании равнобедренного треугольника меньше 30°. Сравните длины основания треугольника d, боковой стороны т и высоты k, проведенной к основанию. 5. На данной прямой найдите точки, равноудаленные от данной точки. Вариант 3 1. Прямая а пересекает отрезок ВК в его середине — точке О. Найдите сумму расстояний от точек К и В до прямой а, если расстояние от точки В до этой прямой равно 5 см. 1 Каждый вариант контрольной работы разделен на две части: до черты — задания обязательного уровня, после черты — задания более высокого уровня.

138

2. В окружности с центром О и радиусом 4 дм проведена хорда АВ так, что угол АСВ равен 120°. Найдите высоту ОН треугольника АВО. 3. Даны две параллельные прямые т и b и секущая k. Биссектриса одного из внутренних углов, образованных прямыми k и т, составляет с прямой т угол в 94°. Найдите все углы, образованные прямыми т и b и секущей k. 4. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 100°. Биссектриса смезкного с ним внутреннего угла делит треугольник на два треугольника. Найдите углы получившихся треугольников. 5. Во внутренней области неразвернутого угла найдите точки, равноудаленные от сторон угла. Вариант 4 1. Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине — точке О. Найдите АС, если BE = 11 см. 2. Два угла треугольника равны 33° и 22°. Найдите третий угол. 3. Луч ОК — биссектриса угла АОВ. Найдите угол АОВ, если угол ВОК равен 12°. 4. Из точки Л к прямой т проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС так, что угол CAB равен 30°. Найдите ВС, если АС = 8 см. 5. Существует ли треугольник со сторонами 5, 6 и 17 см? Ответ обоснуйте.

8 класс Вариант А: 2 ч в неделю, всего 68 ч Вариант Б: 2 ч в неделю в I полугодии, 3 ч в неделю во II полугодии, всего 85 ч Номер параграфа

Содержание материала Вводное повторение ГЛАВА V. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Кол-во часов А Б – 2 14

Многоугольники

2 3

Параллелограмм и трапеция Прямоугольник. Ромб. Квадрат Решение задач Контрольная работа № 1

6 4 1 1

139

ГЛАВА VI. ПЛОЩАДЬ 1 2 3

2 6 3 2 1

2 5 1

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Контрольная работа № 4

Площадь многоугольника Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции Теорема Пифагора Решение задач Контрольная работа № 2 ГЛАВА VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

1 2 3 4

Определение подобных треугольников Признаки подобия треугольников Контрольная работа № 3 Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

ГЛАВА VIII. ОКРУЖНОСТЬ 1

Касательная к окружности

Центральные и вписанные углы

3 4

Четыре замечательные точки треугольника Вписанная и описанная окружности Решение задач Контрольная работа № 5

3 4 2 1

ГЛАВА IX. ВЕКТОРЫ

–

– –

2 4

–

– – 4

1 1 7

1 2 3

140

Понятие вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач Решение задач Контрольная работа № 6 Повторение. Решение задач

Пример итоговой контрольной работы Вариант 1 1. Найдите высоту и площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см. 2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК = 6 см и КС = 3 см. Найдите периметр параллелограмма. 3. В трапеции ABCD углы A и В прямые. Диагональ АС — биссектриса ∠A равна 3√2 см. Найдите площадь трапеции, если острый угол CDA равен α. 4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK. 5. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с острым углом α, если радиус описанной окружности равен R. Вариант 2 1. Найдите сторону и площадь равностороннего треугольника, если его высота равна 8 см. 2. Диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите периметр и площадь ромба. 3. Диагональ АС равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне CD, угол CAD равен β. Найдите площадь трапеции, если AD = 8 см. 4. В параллелограмме ABCD АВ = 6 см, AD = 8 см. Точка К лежит на стороне ВС и СК = 4 см, точка F лежит на стороне CD и CF = 3 см. Отрезок KF пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите АР : PC. 5. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с острым углом α при вершине, если радиус описанной окружности равен R. Вариант 3 1. Найдите сторону и площадь квадрата, если его диагональ равна 8 см. 2. Стороны равнобедренного треугольника равны 5,5 и 6 см. Найдите высоты треугольника. 3. Острый угол ромба равен α, а бόльшая диагональ равна d. Найдите периметр и площадь ромба. 4. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 6 и 10 см. Диагональ АС, равная 32 см, пересекает диагональ BD в точке К. Найдите КС. 141

5. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию с основаниями 2а и а, если радиус окружности, описанной около нее, равен а. Вариант 4 1. Найдите стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 6 см и составляет с одной из сторон угол 60°. 2. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 1 и 4 см. Найдите катеты треугольника. 3. Высота ВН параллелограмма ABCD делит сторону AD на равные отрезки АН и HD. Найдите периметр параллелограмма и диагональ BD, если ВН = = 4 см, а угол BAD равен α. 4. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К. АК = 8 см, ВК = 6 см, площадь треугольника AKD равна 64 см2. Найдите площадь треугольника СВК. 5. В треугольник ABC со сторонами АВ = 5 см, ВС = 8 см, АС = 9 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке К. Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы ВМ.

9 класс Номер параграфа

Варианты А и Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Содержание материала Вводное повторение ГЛАВА IX. ВЕКТОРЫ

1 2

Понятие вектора Сложение и вычитание векторов

2 3

Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач

2 1 1 2

3 3

ГЛАВА X. МЕТОД КООРДИНАТ 1

142

Кол-во часов А Б 2 2

Координаты вектора Решение задач Контрольная работа № 1 Простейшие задачи в координатах

Уравнения окружности и прямой Решение задач Контрольная работа № 1

ГЛАВА XI. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 1 2 3

Синус, косинус и тангенс угла Соотношения между сторонами и углами треугольника Скалярное произведение векторов Решение задач Контрольная работа № 2

ГЛАВА XII. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА 1 2

1 2

3 2 '

3 2 1

3 6 – 2 1

3 6 4 3 1

Правильные многоугольники Длина окружности и площадь круга Решение задач Контрольная работа № 3

4 4 3 1

ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЯ

4 4 3 1 2 8

4 4 3 1 2 11

Понятие движения Параллельный перенос и поворот Решение задач Контрольная работа № 4 Об аксиомах планиметрии Повторение. Решение задач

Пример итоговой контрольной работы за курс геометрии 7–9 классов Отметка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий. Вариант 1 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 44°. Из произвольной точки основания проведены отрезки перпендикулярно биссектрисам углов при основании, пересекающие боковые стороны треугольника. Определите углы образовавшегося четырехугольника. 143

2. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбраны точки Р и Q так, что ВР = PQ = ОС, отрезки AQ и DP пересекаются в точке М и площадь ΔPMQ равна 1 см2. Найдите: а) площадь ΔAMD; б) площадь параллелограмма ABCD. 3. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD = 6 см, ВС = 4 см. Биссектриса ∠BAD пересекает отрезок ВС в его середине и перпендикулярна прямой CD. Найдите: а) углы трапеции ABCD; б) площадь трапеции ABCD. 4. Точки А, В, С, D лежат на окружности в указанном порядке и делят окружность в отношении АВ : ВС : CD : DA = 3 : 4 : 3 : 2. Известно, что АВ = 2 см. Найдите диагонали четырехугольника ABCD. 5. Из точки М к окружности радиуса 2√3 см проведена касательная МТ, где Т — точка касания, и секущая, отстоящая от центра окружности на расстоянии √3 см. Известно, что секущая пересекает окружность в точках А и Б, причем AM < ВМ и ВТ — диаметр окружности. Определите радиусы окружностей, описанных около ΔАМТ и ΔВМТ. 6. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены правильные треугольники. Определите площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с центрами построенных треугольников, если диагональ данного квадрата равна 4√2 см. Вариант 2 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Из произвольной точки основания проведены отрезки параллельно биссектрисам углов при основании, пересекающие боковые стороны треугольника. Определите углы образовавшегося четырехугольника. 2. В трапеции ABCD основание AD в 2 раза больше основания ВС. На основании ВС выбраны точки К и М так, что ВК = КМ = МС, отрезки AM и DK пересекаются в точке О и площадь ΔКОМ равна 1 см2. Найдите: а) площадь ΔAOD; б) площадь трапеции ABCD. 3. В параллелограмме ABCD основание AD = 8 см. Биссектриса ∠BAD пересекает отрезок ВС в его середине и образует с прямой CD угол 30°. Найдите: а) углы параллелограмма ABCD; б) площадь параллелограмма ABCD. 4. Точки А, В, С, D лежат на окружности в указанном порядке и делят окружность в отношении АВ : ВС : CD : DA = 1 : 4 : 3 : 4. Известно, что АВ = 3 см. Найдите диагонали четырехугольника ABCD. 144

5. Из точки Л к окружности радиуса 3 см проведена касательная АВ, где В — точка касания, и секущая, пересекающая окружность в точках М и С, причем AM < АС и ВС — диаметр окружности. Хорда ВМ равна 3√3 см. Определите радиусы окружностей, описанных около ΔВМА и ΔВАС. 6. На сторонах правильного треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Определите площадь треугольника, вершины которого совпадают с центрами построенных квадратов, если сторона данного треугольника равна 2 см. Вариант 3 1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 72°. Определите углы, которые образует диагональ прямоугольника с его сторонами. 2. В трапеции ABCD стороны ВС и AD — основания, причем ВС : AD = = 1 : 2. Прямая СМ, параллельная АВ, отсекает от трапеции треугольник CMD, площадь которого равна 7 см2. Найдите площадь трапеции. 3. Биссектриса ∠А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К и продолжение стороны CD в точке М. Известно, что ВК : КС = 3 : 1 и СМ = 2 см. Найдите периметр параллелограмма. 4. Две окружности имеют общий центр, а их радиусы 6 и 12 см. Определите: а) хорду большей окружности, касающейся меньшей окружности; б) в каком отношении эта хорда делит длину большей окружности. 5. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 12 см. Определите: а) наименьшую диагональ этого шестиугольника; б) площадь шестиугольника. 6. Около треугольника с углами 40°, 60°, 80° описана окружность. Определите углы треугольника, вершины которого совпадают с серединами меньших дуг, стягиваемых сторонами данного треугольника. Вариант 4 1. Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 44°. Определите угол между диагоналями прямоугольника и угол, который образует диагональ прямоугольника с другой стороной. 2. В трапеции ABCD стороны ВС и AD — основания, причем ВС : AD — 1 : 2. Прямая ВК, параллельная CD, отсекает от трапеции треугольник АВК, площадь трапеции равна 63 см2. Найдите площадь треугольника АВК. 3. Биссектриса угла С параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке О и продолжение стороны АВ в точке Е. Известно, что АО : OD = 2 : 3 и АО = 4 см. Найдите периметр параллелограмма. 145

4. Две окружности имеют общий центр, радиус меньшей окружности равен 4 см, а хорда большей окружности, касающейся меньшей окружности, равна 8√3 см. Определите: а) радиус большей окружности; б) в каком отношении эта хорда делит длину большей окружности. 5. Наименьшая диагональ правильного шестиугольника равна 5√3 см. Определите: а) наибольшую диагональ этого шестиугольника; б) площадь шестиугольника. 6. Около треугольника с углами 30°, 70°, 80° описана окружность. Определите углы треугольника, вершины которого совпадают с серединами меньших дуг, стягиваемых сторонами данного треугольника.

146

примерная Программа для 5–7 классов с недостаточной математической подготовкой Пояснительная записка Характеристика целей и содержания курса. Основными целями обучения математике в 5–6 классах с недостаточной математической подготовкой являются: приобретение базовой подготовки по математике; формирование практически значимых знаний и умений; интенсивное интеллектуальное развитие средствами математики на материале, отвечающем особенностям и возможностям данной категории учащихся. С учетом этих целей и откорректировано содержание обучения математике в указанных классах. Основное содержание курса математики 5–6 классов составляет материал арифметического и геометрического характера. В отличие от действующего курса его можно охарактеризовать как арифметико-геометрический. Рассмотрение алгебраического материала (использование букв, упрощение буквенных выражений, решение уравнений) откладывается на более позднее время, чем это делается сейчас: конец 6 и начало 7 класса. При этом по объему он занимает значительно меньшее место и уровень его ниже. При изучении арифметики основное внимание уделяется формированию широкого круга практических навыков вычислений (прочные навыки выполнения действий над сравнительно небольшими числами, приемы прикидки и оценки результатов действий, проверка результата на правдоподобие и др.), а также обучению решению несложных, но достаточно разнообразных по ситуациям текстовых задач. Вообще, текстовые задачи, решаемые арифметическим способом, выступают как важнейшее средство развития школьников и становятся одним из основных видов упражнений. Из рассмотрения в курсе 5–6 классов исключается и переносится в 7 класс арифметический материал, связанный с понятием пропорциональности. В 7 классе будут продолжены также формирование навыков вычислений с рациональными числами, работа с процентами. Кроме того, произведено некоторое перераспределение арифметического материала между 5 и �� 6�� классами. Так, введение понятия процента отнесено к 6 классу, основное свойство дроби рассматривается в 5 классе. Меняется роль геометрического материала в курсе 5–6�� классов. Он перестает быть обслуживающим арифметико-�� aл�� гебраические вопросы и приобретает самоценное значение. Увеличивается его доля, расширяется круг 147

рассматриваемых вопросов, полнее используются его возможности в развитии качеств мышления школьников. Основное внимание уделяется накоплению учащимися опыта геометрической деятельности, развитию их пространственных представлений, глазомера, наблюдательности, заинтересованности в дальнейшем изучении геометрии. Геометрические понятия возникают в естественном контексте из практической деятельности и ассоциируются со зрительным образом. Их рассмотрение не предполагает формализации, однако способствует накоплению достаточно большого объема геометрических знаний и развитию геометрического мышления. Изучение систематического курса геометрии в 7 классе начинается со второй четверти. Организация учебного процесса. Объем изучаемого материала позволяет принять небыстрый темп продвижения по курсу. В 5 и 6 классах отводится достаточно времени на отработку основных умений и навыков, отвечающих обязательным требованиям, на повторение, в том числе коррекцию знаний за начальную школу. Отработка основных умений и навыков осуществляется на большом числе несложных, доступных учащимся упражнений. В то же время это не означает монотонной и скучной деятельности, так как курс наполняется заданиями, разнообразными по форме и содержанию, позволяющими применять получаемые знания в большом многообразии ситуаций. Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития продуктивной умственной деятельности — дети учатся анализировать, замечать существенное, подмечать общее и делать несложные обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, обучаются приемам организации мыслительной деятельности и др. Важнейшее условие, позволяющее правильно строить учебный процесс, сделать обучение эффективным и доступным, заключается в том, чтобы в каждой теме выделять главное и исходя из этого четко дифференцировать материал: вычленять те задачи, которые должны отрабатываться и выполняться многократно, и те, которые служат другим целям (развитие, пробуждение интереса и др.) и в соответствии с этим не должны дублироваться. Такое различие следует сделать явным и для учащихся. Организуя учебный процесс, нужно постоянно иметь в виду следующее: учебная деятельность должна быть богатой по содержанию, требовать от школьников интеллектуального напряжения, в то же время обязательные требования, особенно на первых порах, должны быть очень невелики по охвату материала и, безусловно, доступны детям. Важно, чтобы школьники поверили в свои силы, испытали успех в учебе. Именно учебный успех в этом возрасте может стать сильнейшим мотивом, вызывающим желание учиться. 148

Важным для достижения успеха является стиль работы, который установится в классе. Желательно, чтобы этот стиль можно было охарактеризовать словами «доброжелательное обсуждение». Все возникающие проблемы надо спокойно и детально обсуждать с учениками. Нельзя, например, ограничиваться замечанием: «Неверно». Надо убедительно показать, что ответ неверен, обязательно выяснить, в чем ошибка, как сделать правильно, что было бы, если бы так или иначе было изменено условие, и т. п. Учеников не следует подавлять. Мотивацией учения должны быть не наказание и страх получить плохую отметку, а поощрение, похвала за малейшее продвижение, чувство удовольствия от преодоления препятствия (коллективно, совместно с учителем). Усвоение материала будет более эффективным, если опираться на особенности соотношения конкретного и абстрактного мышления данного контингента учащихся. В соответствии с этим на уроках умственная деятельность должна подкрепляться конкретной материальной деятельностью. Значительное место, особенно при изучении геометрического материала, должны занимать упражнения, в которых требуется начертить, перерисовать, измерить, найти на рисунке или предмете, вырезать, разрезать, составить фигуру и др. Это позволит стимулировать развитие у учащихся наглядно-действенного мышления и на его основе в дальнейшем образное мышление. Интеллектуальное развитие непосредственным образом связано с развитием речи. Поэтому важным и непременным принципом работы является внимание к речевому развитию: учащиеся в классе должны много говорить и записывать. Oни должны объяснять свои действия, вслух разъяснять свои мысли, ссылаться на известные правила, факты, высказывать �� до�� гадки, предлагать способы решения, задавать вопросы. �� Heoб�� ходимо поощрять их к этому. Желательно, чтобы вопросы и замечания типа: «Почему?», «Как можно объяснить?», «Как ты думаешь?» — постоянно звучали на уроках. Решение текстовых задач составляет значительную часть деятельности школьников при изучении математики. Поэтому следует извлекать из этой работы как можно больше в плане обучения и развития. Основным методом решения задач в 5–6 классах является арифметический метод. При этом задача может решаться по вопросам, по действиям с пояснениями, составлением выражения. Не надо жалеть времени на то, чтобы вопрос или пояснение были записаны. Полезный прием, который следует практиковать, — предлагать детям пересказывать условие задачи своими словами. Это помогает лучше уяснить связи между данными, удержать условие в памяти. Следует поощрять решение задачи разными способами. Полезно также предлагать детям придумывать задачи, добавлять к задачам вопрос: «А что еще можно было бы узнать?» Иными словами, хорошо, чтобы каждая задача стала предметом обсуждения. 149

Серьезное внимание следует уделять развитию общеучебных умений учащихся. Так, например, необходимо целенаправленно формировать навыки самоконтроля. Следует обучать школьников приемам проверки своих действий (сложение можно проверить вычитанием, обнаружить наличие ошибки в вычислениях прикидкой и др.). Еще одно условие, выполнение которого помогает развитию продуктивной мыслительной деятельности учащихся, — это систематическое решение несложных нестандартных задач. Решение задач такого рода является обязательным элементом обучения, так как при этом учащиеся овладевают разнообразными приемами мыслительной деятельности. Заметим, что степень самостоятельности учеников при решении указанных задач не так уж важна (для многих это может оказаться непосильным). Главное здесь — осознание каждым учеником приема решения, с помощью которого получен ответ. Необходимо учитывать, что у школьников данной категории, как правило, ослаблен интерес к учению, в их поведении может преобладать пассивность. Поэтому с самого начала надо всеми средствами вовлекать их в активную учебную деятельность. В 5 классе этому, например, способствуют матема тические игры, которые надо широко использовать в обучении (отгадывание числа, кто получит в сумме сто и т. п.). Надо дать возможность детям побывать не только в роли учеников, но и обучающих. Таким образом, доступная интересная деятельность, ощущение успеха, доброжелательные отношения — вот непременные условия эффективной работы с детьми, имеющими недостаточную математическую подготовку.

Требования к математической подготовке учащихся 5 класс1 В результате изучения курса учащиеся должны: — читать и записывать натуральные числа и десятичные дроби, сравнивать два числа; 1 Преподавание ведется на основе учебника «Математика, 5» Н. Я. Виленкина и др. (М.: Мнемозина, 1995 и последующие годы издания) с использованием комплекта «Обучение математике в 5 классе с недостаточной математической подготовкой»: «Арифметика», «Геометрия», «Подумай и реши», «Пособие для учителя» Л. В. Кузнецовой, С. Б. Суворовой и др. (М.: Галс Плюс, 1993 и последующие годы издания) или по учебному комплекту «Математика, 5» под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина (М.: Просвещение, 1994 и последующие годы издания).

150

— выполнять письменно сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел и десятичных дробей; выполнять простейшие устные вычисления; — определять порядок действий и находить значения числовых выражений; — решать несложные текстовые задачи арифметическим способом; — распознавать на рисунках и моделях геометрические фигуры (линии, прямоугольный параллелепипед, куб), соотносить геометрические формы с формой окружающих предметов; — овладевать практическими геометрическими навыками: изображать геометрические фигуры и тела; измерять длину отрезка и строить отрезок заданной длины; оценивать «на глаз» размеры предметов; знать единицы длины и площади; вычислять площади прямоугольника, квадрата, фигур, составленных из прямоугольников; — комментировать ход решения задачи; пересказывать содержание задачи, выделяя известные данные и постановку вопроса; составлять простейшие фабульные задачи, решаемые с помощью заданного действия.

6 класс1 В результате изучения курса учащиеся должны: — правильно употреблять термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи: натуральное, целое, дробное число, положительное и отрицательное число, обыкновенная дробь, десятичная дробь; — сравнивать два числа; изображать числа точками на координатной прямой; — выполнять арифметические действия с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами; — выполнять простейшие вычисления «в уме», в несложных случаях делать прикидку и оценку результата вычислений; — понимать смысл понятия «процент», находить в простейших практических ситуациях несколько процентов от числа;

1 Преподавание ведется на основе учебника «Математика, 6» Н. Я. Виленкина и др. (М.: Мнемозина, 1996 и последующие годы издания) с использованием комплекта «Обучение математике в 6 классе с недостаточной математической подготовкой»: «Арифметика», «Геометрия», «Пособие для учителя» Л. В. Кузнецовой, С. Б. Суворовой и др. (М.: Галс Плюс, 1994 и последующие годы издания) или по учебному комплекту «Математика, 6» под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина (М.: Дрофа, 1995 и последующие годы издания).

151

— решать несложные задачи арифметическим способом, в том числе на нахождение нескольких процентов числа и дроби числа; — распознавать на рисунках и моделях геометрические фигуры (отрезок, прямая, луч, прямоугольник, квадрат, треугольник, окружность); соотносить изученные геометрические формы с предметами окружающей обстановки; — понимать смысл терминов «параллельные прямые», «перпендикулярные прямые», «симметричные фигуры», «ось симметрии»; распознавать изученные отношения в окружающей обстановке; — овладеть практическими геометрическими навыками; изображать фигуры и тела; измерять отрезки и углы, строить отрезки и углы заданной величины; вычислять площади прямоугольников и фигур, составленных из прямоугольников, объемы прямоугольных параллелепипедов и куба, а также тел, составленных из единичных кубов; — комментировать процесс решения задачи; воспроизводить в свободной форме для конкретных случаев наиболее употребительные правила; делать в ходе пояснений ссылки на известные свойства и признаки.

7 класс Арифметика и алгебра1 В результате изучения курса учащиеся должны: — выполнять действия с рациональными числами, вычислять значения числовых выражений; — овладеть понятием процента, находить несколько процентов числа, процентное отношение двух чисел; — иметь представление о прямой и обратной пропорциональных зависимостях; уметь устанавливать прямую пропорциональность по условию задачи, понимать свойства прямо пропорциональных величин и применять их при решении задач; — понимать смысл термина «пропорция», выражать любой член пропорции через остальные; — усвоить основные термины, связанные с буквенными выражениями, уравнениями, функциями, правильно употреблять их, понимать в речи учителя, в постановке задач;

1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 7» Ю. Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение, 1990 и последующие годы) с использованием комплекта «Обучение математике в 7 классе с недостаточной математической подготовкой»: «Математика», «Пособие для учителя» Л. О. Денищевой, Л. В. Кузнецовой и др. (М.: Галс Плюс, 1995).

152

— составлять несложные буквенные выражения и формулы по условиям задач, выполнять прямые вычисления по формулам, находить значения буквенных выражений при заданных значениях букв; — выполнять действия со степенями с натуральными показателями; — выполнять сложение, вычитание и умножение многочленов, разложение многочленов на множители вынесением общего множителя за скобки, применением формул сокращенного умножения; — решать линейные уравнения и простейшие системы двух линейных уравнений с двумя переменными; строить графики линейных функций; — находить значения линейных функций по формуле и по графику. Геометрия1 В результате изучения курса учащиеся должны: — распознавать на чертежах, рисунках и моделях основные фигуры (отрезки, лучи, прямые, углы, треугольники, окружности, круги); различать виды углов (прямые, острые, тупые); виды треугольников (остроугольные, тупоугольные, прямоугольные, равнобедренные, равносторонние); — овладеть практическими геометрическими навыками: изображать геометрические фигуры схематически; выполнять чертежи по условию задачи; измерять длину отрезка и строить отрезок заданной длины; измерять величину угла и строить угол заданной величины; — научиться решать несложные задачи на построение с помощью циркуля и линейки (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трем сторонам; деление отрезка и угла пополам); — решать несложные задачи на вычисление и доказательство с использованием изученных свойств; проводить аргументацию в процессе решения задач.

1 Преподавание ведется на основе учебника «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанасяна, В, Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. (М.: Просвещение, 1990 и последующие годы издания).

153

Примерное тематическое планирование для 5–7 классов с недостаточной математической подготовкой Математика 5 класс

(5 ч в неделю, всего 170 ч) 1. Вводные уроки (10 ч) Интенсивная коррекция знаний и умений учащихся за курс начальной школы: техника счета, таблицы сложения и умножения, простейшие письменные вычисления, основные арифметические задачи («больше на...», «меньше на...», «больше в...», «меньше в...» и т. п.). Решение развивающих задач. 2. Натуральные числа (60 ч) Чтение и запись многозначных чисел. Сравнение натуральных чисел. Координатный луч. Сложение и вычитание многозначных чисел. Свойства сложения. Умножение натуральных чисел и его свойства. Деление натуральных чисел. Разложение на множители. Порядок действий. Решение примеров на все действия с натуральными числами. Квадрат и куб числа. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. Решение текстовых задач. Простейшие приемы прикидки и оценки результатов вычислений, использование их для обнаружения ошибок «на глаз». Линии: виды линий, прямая, луч, отрезок, ломаная; длины отрезка и ломаной. Многоугольники: прямой угол, виды многоугольников, треугольник и его виды, прямоугольник. Решение развивающих задач. 3. Обыкновенные дроби (25 ч) Доли и дроби: содержательная работа с моделями (изобр жение, сравнение, дробление, сложение и пр.). Обыкновенная дробь. Изображение дробей на координатном луче. Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби. Деление и дроби. 154

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Смешанные числа, их сложение и вычитание. Основное свойство дроби. Многогранники: понятие о многограннике, параллелепипед, куб. Решение развивающих задач. 4. Десятичные дроби (60 ч) Чтение и запись десятичных дробей, разряды десятичной дроби. Изображение десятичных дробей на координатном луче. Сравнение десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение и деление десятичных дробей. Упражнения на все действия с натуральными числами и десятичными дробями. Среднее арифметическое. Приближенные значения чисел. Округление. Простейшие приемы прикидки и оценки результатов вычислений с десятичными дробями и их применение для обнаружения ошибок. Решение текстовых задач. Площади: понятие площади, единицы измерения площадей, площадь прямоугольника, площади фигур, составленных из прямоугольников. Решение развивающих задач. 5. Повторение курса (15 ч).

6 класс

(5 ч в неделю, всего 170 ч) 1. Вводные уроки (10 ч) Действия с натуральными числами. Понятие дроби. Действия с десятичными дробями. Решение задач. 2. Делимость чисел (10 ч) Делители числа, кратные числа. Признаки делимости 10, на 5 и на 2. Простые числа, решето Эратосфена. Разложение числа на простые множители. Объемы: понятие объема, объем прямоугольного параллелепипеда, вычисление объемов тел, составленных из прямоугольных параллелепипедов. 3. Обыкновенные дроби (50 ч) Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дроби к новому знаменателю. Сравнение дробей. 155

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Примеры сложения и вычитания смешанных чисел. Умножение и деление дробей, умножение и деление дроби на натуральное число, умножение и деление смешанных чисел. Все действия с обыкновенными дробями. Решение текстовых задач. Нахождение дроби числа и числа по его дроби. Окружность и круг. Радиус и диаметр окружности и крута. Представление о цилиндре, конусе, шаре. 4. Действия с обыкновенными и десятичными дробями (25 ч) Запись десятичной дроби в виде обыкновенной. Переход от обыкновенной дроби к десятичной. Примеры на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Примеры вычисления значений дробных выражений. Понятие процента. Нахождение нескольких процентов величины. Решение задач на проценты. Угол. Острые, прямые и тупые углы. Измерение и построение углов. Углы в многоугольнике. 5. Положительные и отрицательные числа (35 ч) Целые числа. Положительные и отрицательные числа. Изображение чисел ла координатной прямой. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Модуль числа. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Перпендикулярные и параллельные прямые. Расстояние между параллельными прямыми, расстояние от точки до прямой. Параллелограмм. 6. Буквенные выражения и уравнения (30 ч) Буквенные выражения. Составление выражений по условию задач. Числовые подстановки и буквенные выражения. Формулы периметра и площади прямоугольника, объема прямоугольного параллелепипеда. Упрощение буквенных выражений. Уравнение. Корень уравнения. Решение простейших уравнений. Осевая симметрия. Фигура, имеющая ось симметрии. Фигуры, симметричные относительно прямой. Координатная плоскость. Определение координат точек, построение точек по их координатам на координатной плоскости. 7. Повторение (10 ч)

156

Арифметика. Алгебра 7 класс

(I четверть — 5 ч в неделю, II, III и IV четверти — 3 ч в неделю, всего 120 ч) Арифметика (15 ч) Решение примеров на все действия с рациональными числами. Переход от обыкновенной дроби к десятичной. Решение задач на проценты. Отношения. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Алгебра (105 ч) 1. Выражения и их преобразования. Уравнения (20 ч) Числовые выражения и выражения с переменными. Простейшие преобразования выражений: приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Решение линейных уравнений с одним неизвестным. Решение задач составлением уравнений. Пропорция и ее свойство. Уравнение, имеющее вид пропорции. 2. Линейная функция (11 ч) Координаты точки на плоскости. Примеры функциональных зависимостей. Примеры графиков реальных зависимостей. Нахождение значений функций по формуле. График прямой пропорциональности. Линейная функция и ее график. 3. Степень с натуральным показателем (12 ч) Понятие степени с натуральным показателем. Вычисление значений степеней. Свойства степени с натуральным показателем. Одночлен. 4. Многочлены. Формулы сокращенного умножения (20 ч) Многочлен. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы (а ± b)2 = а2± 2аb + b2, (а – b)(а + b) = а2 – b2. 5. Разложение на множители (15 ч) Вынесение общего множителя за скобки. Применение формул сокращенного умножения к разложению на множители. 6. Системы линейных уравнений (17 ч) Система линейных уравнений с двумя переменными и ее графическая интерпретация. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение задач методом составления систем уравнений. 7. Повторение (10 ч)

157

Геометрия 7 класс

(со II четверти 2 ч в неделю, всего 50 ч) 1. Начальные геометрические сведения (9 ч). Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков и углов. Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы, их свойства. Решение задач. 2. Треугольники (13 ч). Равные фигуры. Равные треугольники. Первый признак равенства треугольников. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник, его свойства. Второй и третий признаки равенства треугольников. Основные задачи на построение. 3. Параллельные прямые (9 ч). Признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых. Решение задач. 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника (14 ч). Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника. Неравенство треугольника. Остроугольный, тупоугольный, прямоугольный треугольники, свойство острых углов прямоугольного треугольника. Признаки равенства прямоугольных треугольников, построение прямоугольных треугольников. Решение задач. 5. Повторение (5 ч).

158

СТАНДАРТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; — развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе; — овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; — воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

159

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ Алгебра Корни и степени. Корень степени n > 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем1. Свойства степени с действительным показателем. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования. Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников.

160

Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробнолинейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Начала математического анализа Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона–Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

Уравнения и неравенства Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, 161

неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Геометрия Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. 162

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем мире. Сечения куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере. Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

ТРЕБОВАНИЯ к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен знать/понимать1: — значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения 1 Помимо указанных в данном разделе знаний, в Требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений.

163

математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; — значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии; — универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; — вероятностный характер различных процессов окружающего мира; Алгебра уметь: — выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; — проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции; — вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства; Функции и графики уметь: — определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; — строить графики изученных функций; — описывать по графику и в простейших случаях по формуле1 поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

1 Требования, выделенные курсивом, не применяются при контроле уровня подготовки выпускников профильных классов гуманитарной направленности.

164

— решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков; Начала математического анализа уметь: — вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы; — исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа; — вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

Уравнения и неравенства

уметь: — решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; — составлять уравнения и неравенства по условию задачи; — использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод; — изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей;

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь: — решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; 165

— вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; — анализа информации статистического характера;

Геометрия

уметь: — распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; — описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; — анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; — изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; — строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды; — решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); — использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; — проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; — вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов; 166

— овладение языком математики в устной и письменной формах, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; — развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности; — воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ Числовые и буквенные выражения Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения1. Решение задач с целочисленными неизвестными. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры. Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. Корень степени n > �� 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

167

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Тригонометрия Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

Функции и графики Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробнолинейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. 168

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Начала математического анализа Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений. Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона–Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

Уравнения и неравенства Решение рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными (простейшие типы). Решение систем неравенств с одной переменной. 169

Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Геометрия Геометрия на плоскости. Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. 170

Теорема Чевы и теорема Менелая. Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение. Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Сечения многогранников. Построение сечений. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника. Цилиндрические и конические поверхности. Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. 171

Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

ТРЕБОВАНИЯ к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен знать/понимать1: — значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; — значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; — идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики; — значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций; — возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения; — универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности; — различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

1 Помимо указанных в данном разделе знаний, в Требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений.

172

— роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики; — вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира;

Числовые и буквенные выражения

уметь: — выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; — применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач; — находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители; — выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами; — проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

Функции и графики

уметь: — определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; — строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; — описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций; — решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: 173

— описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов;

Начала математического анализа

уметь: — находить сумму бесконечно убывающей геометрический прогрессии; — вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы; — исследовать функции и строить их графики с помощью производной; — решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции; — решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; — вычислять площадь криволинейной трапеции; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа;

Уравнения и неравенства

уметь: — решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; — доказывать несложные неравенства; — решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи; — изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. — находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод; — решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — построения и исследования простейших математических моделей; 174

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь: — решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля; — вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие случаи); использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера;

Геометрия

уметь: — соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур; — изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи; — решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат; — проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса; — вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций; — применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов; — строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; — вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства. 175

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ Пояснительная записка Статус документа. Примерная программа по математике составлена на основе Государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса. Примерная программа выполняет две основные функции: — информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета; — организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся. Примерная программа является ориентиром для составления авторских учебных программ и учебников. Она определяет инвариантную (обязательную) часть учебного курса, за пределами которого остается возможность авторского выбора вариативной составляющей содержания образования. При этом авторы учебных программ и учебников могут предложить собственный подход в части структурирования учебного материала, определения последовательности изучения этого материала, а также путей формирования системы знаний, умений и способов деятельности, развития и социализации учащихся. Тем самым примерная программа содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы 176

учителей и авторов учебников и предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса. Структура документа. Примерная программа включает три раздела: пояснительную записку; основное содержание с примерным распределением учебных часов по разделам курса; требования к уровню подготовки выпускников. Общая характеристика учебного предмета. При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи: — систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач; — расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей; — изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач; — развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления; — знакомство с основными идеями и методами математического анализа. Цели. Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; — развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности; — овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; 177

— воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса. Место предмета в Базисном учебном плане. Согласно БУРП для образовательных учреждений ПМР для обязательного изучения математики на этапе основного общего образования отводится не менее 272 часов из расчета 4 часа в неделю. При этом предполагается построение курса в форме последовательности тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной математике, геометрии. Примерная программа рассчитана на 280 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий. Примечание. Если на базовый общеобразовательный курс по математике (10, 11 классы) отводится 5 недельных часов (3 часа на алгебру и начала анализа и 2 часа на геометрию, всего — 340 учебных часов за 2 года), то учитель, взяв за основу «Примерную программу среднего (полного) общего образования по математике. Базовый уровень», реализует нагрузку по математике, добирая недостающие часы за счет расширения или углубления материала, повторения или распределения часов по необходимым темам. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности. В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: — построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин; — выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента; — самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт; — проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений; — самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников. 178

Результаты обучения. Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние две компоненты представлены отдельно по каждому из разделов содержания. Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ (280 часов) Алгебра (40 ч)

Корни и степени. Корень степени n > �� 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем1. Свойства степени с действительным показателем. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования. Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений. 1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников.

179

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Функции и графики (30 ч)

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробнолинейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Начала математического анализа (20 ч)

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной. 180

Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона–Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

Уравнения и неравенства (40 ч)

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных и тригонометрических уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (20 ч)

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов. 181

Геометрия (100 ч)

Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем мире. Сечения куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере. Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. 182

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. Резерв свободного учебного времени — 30 часов.

ТРЕБОВАНИЯ к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен: знать/понимать1: — значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; — значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии; — универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; — вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

Алгебра

183

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

Функции и графики

уметь: — определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; — строить графики изученных функций; — описывать по графику и в простейших случаях по формуле2 поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; — решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

Начала математического анализа

уметь: вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы; — исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа; — вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения; 2 Требования, выделенные курсивом, не применяются при контроле уровня подготовки выпускников профильных классов гуманитарной направленности.

184

Уравнения и неравенства

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь: — решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; — вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; — анализа информации статистического характера;

Геометрия

— использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; — проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; — вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

ПРОФИЛЬНый уровень Пояснительная записка Статус документа. Примерная программа по математике составлена на основе государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса. Материал, который в обязательном минимуме содержания основных образовательных стандарта выделен курсивом, то есть подлежит изучению, но не включается в требования к уровню подготовки выпускников, введен в основное содержание примерной программы без выделения курсивом. Примерная программа выполняет две основные функции: информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета. организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся. Примерная программа является ориентиром для составления авторских учебных программ и учебников. Примерная программа определяет инвариантную (обязательную) часть учебного курса, за пределами которого остается возможность авторского выбора вариативной составляющей содержания 186

образования. При этом авторы учебных программ и учебников могут предложить собственный подход в части структурирования учебного материала, определения последовательности изучения этого материала, а также путей формирования системы знаний, умений и способов деятельности, развития и социализации учащихся. Тем самым примерная программа содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителей и авторов учебников, предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса. Структура документа. Примерная программа включает три раздела: пояснительную записку; основное содержание с примерным распределением учебных часов по разделам курса; требования к уровню подготовки выпускников. Общая характеристика учебного предмета. В профильном курсе содержание образования, представленное в основной школе, развивается в следующих направлениях: — систематизация сведений о числах; формирование представлений о расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе построения нового математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений; — развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем; — систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи; — расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях; — развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире; — совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях; — формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе. 187

Цели. Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов; — овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; — развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности; — воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса. Место предмета в БУРП для образовательных учреждений ПМР. Согласно БУРПу для образовательных учреждений ПМР для обязательного изучения математики на этапе основного общего образования отводится не менее 420 ч из расчета 6 ч в неделю. При этом учебное время может быть увеличено до 12 уроков в неделю за счет школьного компонента с учетом элективных курсов. Примерная программа рассчитана на 408 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 50 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности. В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: — проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; — решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач; — планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного 188

составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера; — построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом; — самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт. Результаты обучения. Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс средней (полной) школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания. Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.

Обязательное содержание (420 часов) Числовые и буквенные выражения (70 ч)

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры. Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми 189

коэффициентами. Решение целых алгебраических уравнений. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. Корень степени n > 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Тригонометрия (30 ч)

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Функции и графики (30 ч)

Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробнолинейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Начала математического анализа (30 ч)

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений. Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона–Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл; 191

Уравнения и неравенства (70 ч)

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных и тригонометрических уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными простейших типов. Решение систем неравенств с одной переменной. Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (20 ч)

Геометрия (120 ч)

Геометрия на плоскости. Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной 192

окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. Теорема Чевы и теорема Менелая. Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение. Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Сечения многогранников. Построение сечений. 193

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника. Цилиндрические и конические поверхности. Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. Резерв — 50 ч.

Требования к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики на профильном уровне в старшей школе ученик должен знать/понимать: — значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; — значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; — идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики; 194

— значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций; — возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения; — универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности; — различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике; — роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики; — вероятностных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира;

Числовые и буквенные выражения

уметь: — выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; — применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач; — находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители; — выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами; — проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства; Функции и графики уметь: — определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; 195

— строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; — описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций; — решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов; Начала математического анализа уметь: — находить сумму бесконечно убывающей геометрический прогрессии; — вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы; — исследовать функции и строить их графики с помощью производной; — решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции; — решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; — вычислять площадь криволинейной трапеции; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа; Уравнения и неравенства уметь: — решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; — доказывать несложные неравенства; — решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи; — изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. — находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод; 196

— решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей;

Элементы комбинаторики, статистики

и теории вероятностей уметь: — решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля; — вычислять, в простейших случаях, вероятности событий на основе подсчета числа исходов; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера; Геометрия уметь: — соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур; — изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи; — решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат; — проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса; — вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций; — применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов; — строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: 197

— исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; — вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ДЛЯ ПРОФИЛЕЙ ГУМАНИТАРНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ Пояснительная записка Статус документа. Примерная программа по математике составлена на основе государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне, конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса. Данный курс математики предназначен для учащихся, ближайшее будущее которых не будет связано с изучением математики в высшей школе. Он представляет собой модификацию содержания базового курса на «общекультурном» уровне. «Общекультурная» составляющая курса усилена за счет включения дополнительных историко-культурных и практических вопросов. В математической составляющей курса выделены важнейшие понятия, которые позволяют построить логическое завершение школьного курса математики. При этом значительная часть материала, который в обязательном минимуме содержания основных образовательных программ стандарта выделен курсивом, снят из основного содержания примерной программы. Кроме того, некоторые математические вопросы, обязательные для усвоения на базовом уровне и необходимые для создания целостного представления о предмете, но не находящие достаточного применения в других разделах данного курса, выделены в данной программе курсивом и даются в ознакомительном плане. Требования, выделенные курсивом в стандарте, не предъявляются к выпускникам, обучающимся по программам для общекультурного уровня. Примерная программа выполняет две основные функции: — информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета; 198

— организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся. Примерная программа является ориентиром для составления авторских учебных программ и учебников. Она определяет инвариантную (обязательную) часть учебного курса, за пределами которого остается возможность авторского выбора вариативной составляющей содержания образования. При этом авторы учебных программ и учебников могут предложить собственный подход в части структурирования учебного материала, определения последовательности изучения этого материала, а также путей формирования системы знаний, умений и способов деятельности, развития и социализации учащихся. Тем самым примерная программа содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителей и авторов учебников, предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса. Структура документа. Примерная программа включает три раздела: пояснительную записку; основное содержание с примерным распределением учебных часов по разделам курса; требования к уровню подготовки выпускников. Общая характеристика учебного предмета. В данном курсе представлены содержательные линии «Алгебра», «Функции», «Начала математического анализа», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи: — систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе и его применение к решению математических и нематематических задач; — расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей; — изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач; — развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления; — знакомство с основными идеями и методами математического анализа. 199

Цели. Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений о математике, как универсальном языка науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; — развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности; — овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; — воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса. Место предмета в БУРП для образовательных учреждений ПМР. Согласно БУРП для образовательных учреждений ПМР для обязательного изучения математики на этапе основного общего образования отводится не менее 280 часов из расчета 4 часа в неделю. При этом предполагается построение курса в форме последовательности тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной математике, геометрии. Примерная программа рассчитана на 280 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности. В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: — построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин; — выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента; — самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт; 200

— проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений; — самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников. Результаты обучения. Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания. Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ (280 часов) Алгебра (30 ч)

Происхождение натуральных чисел и арифметических действий над ними. Расширение понятия числа как необходимость создания математического аппарата для решения насущных и потенциальных задач практики человека. История изобретения отрицательных и иррациональных чисел и десятичных дробей. Развитие и систематизация сведений о действительных числах. Корни и степени. Корень степени n > 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем1. 1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников.

201

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Вычисление десятичных и натуральных логарифмов на калькуляторе. Применение логарифмов в реальной практике. Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования. Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Решение простейших тригонометрических уравнений. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Функции и графики (35 ч)

Сложные процессы в природе и обществе и необходимость создания специального математического аппарата — дискретных и непрерывных моделей — для их количественного описания. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Понятие обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Тригонометрические функции у = sin x, у = cos x, их свойства и графики; периодичность, основной период. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях: равномерные и равноускоренные процессы и их описание с помощью линейных и квадратичных функций; процессы экспоненциального роста. Геометрическая прогрессия как пример дискретного процесса быстрого роста. Легенда о создании шахмат, сложные проценты, примеры быстрого роста в живой и неживой природе. Периодические процессы и их описание с помощью тригонометрии. 202

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.

Начала математического анализа (20 ч)

Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков на примере многочленов. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона–Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл. Создание дифференциального и интегрального исчисления. Ньютон и Лейбниц.

Уравнения и неравенства (40 ч)

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений. 203

Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в радикалах уравнений степени, большей четырех.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (25 ч)

Геометрия (100 ч)

Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем мире. Сечения куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере. Объемы тел и площади их поверхностей. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. От землемерия к геометрии. «Начала» Евклида. Пифагор. Фалес. Знаменитые задачи древности: трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба. Аксиоматика. Аксиомы, определяемые и неопределяемые понятия. Теоремы. Аксиоматика в математике и в повседневной жизни. Евклидова геометрия и геометрия Лобачевского. Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. Резерв свободного учебного времени — 30 часов.

205

Требования к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики на базовом уровне в старшей школе ученик должен знать/понимать1: — значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и в практике; широту и, в то же время, ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; — значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии; — универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; — вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

Алгебра

уметь: — выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; — проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции; — вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

206

Функции и графики

уметь: — определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; — строить графики изученных функций; — описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; — решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя их графики; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

Начала математического анализа

уметь: — вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы; — исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных, в том числе социально-экономических и физических, задач на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

Уравнения и неравенства

уметь: — решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; — составлять уравнения по условию задачи; — использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод; — изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей;

207

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь: — решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; — вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера;

Геометрия

уметь: — распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; — описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; — анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; — изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; — решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); — использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; — проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; — вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

208

Примерное тематическое планирование по математике Базовый уровень по учебнику Мордковича А.Г. «Алгебра и начала математического анализа. 10–11» (М.: Мнемозина, 2008)

10 КЛАСС

I полугодие — 3 ч в неделю Содержание материала Глава I. Числовые функции

Кол-во часов 5

Определение числовой функции. Способы ее задания

Свойства функций

Обратная функция

Глава II. Тригонометрические функции

Числовая окружность

Числовая окружность на координатной плоскости

Контрольная работа № 1

Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Тригонометрические функции числового аргумента

Тригонометрические функции углового аргумента

Формулы приведения

Контрольная работа № 2

Функция у = sinx, ее свойства и график

Функция у = cosx, ее свойства и график

Периодичность функций у = sinx, у = cosx

Преобразования графиков тригонометрических функций

Функции у = tgx, у = ctgx, их свойства и графики

Контрольная работа № 3

209

Глава III. Тригонометрические уравнения

Арккосинус и решение уравнения cost = а

Арксинус и решение уравнения sint = а

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = a, ctgx = а

Тригонометрические уравнения

Контрольная работа № 4 Глава IV. Преобразование тригонометрических выражений

1 11

Синус и косинус суммы и разности аргументов

Тангенс суммы и разности аргументов

Формулы двойного аргумента

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

Контрольная работа № 5

Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

Итого

II полугодие — 2 ч в неделю Глава V. Производная

Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Предел функции

Определение производной

Вычисление производных

Контрольная работа № 6

Уравнение касательной к графику функции Применение производной для исследований функций на монотонность и экстремумы Построение графиков функций

Контрольная работа № 7 Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Контрольная работа № 8

Повторение

Итого

210

3 3 2 3

Пример итоговой контрольной работы (2 ч) Вариант 1. 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции x3 5 2 − x + 6 x + 10 на отрезке [0; 1]; а) y = 3 2 б) y = cos x − 3 sin x на отрезке [–π; 0]. 2. Найдите диагональ прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см и имеющего с ним общий угол. х3 – 3х, если х < 0 3. Исследуйте функцию у = sin х, если 0 ≤ x ≤ π на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение x 3 − x − 1 = a имеет три 3 корня? Вариант 2. 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции: а) y = 3 x 4 + 4 x 3 + 1

на отрезке [–2; 1]; 3π б) y = 2 sin x + sin 2 x на отрезке 0; . 2 2. В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из нее проведены прямые, параллельные катетам. Получился прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей? 2cosх + х, если 0 ≤ x ≤ π 3. Исследуйте функцию у = 3 х + х + 2, если х < 0 на монотонность и экстремумы.

5 4. При каких значениях параметра а уравнение x 3 − 5 x − 2 = a имеет два 3 корня?

211

11 КЛАСС I полугодие— 3 ч в неделю Глава VI. Степени и корни. Степенные функции Понятие корня n-й степени из действительного числа

15 2

Функции у = √x , их свойства и графики Свойства корня n-й степени Преобразование выражений, содержащих радикалы

2 2 3

Контрольная работа № 1

Обобщение понятия о показателе степени

Степенные функции, их свойства и графики Глава VII. Показательная и логарифмическая функции

3 24

Показательная функция, ее свойства и график

Показательные уравнения и неравенства

Контрольная работа № 2

Понятие логарифма

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Свойства логарифмов

Логарифмические уравнения

Контрольная работа № 3

Логарифмические неравенства

Переход к новому основанию логарифма

Дифференцирование показательной и логарифмической функций

Контрольная работа № 4

Глава VIII. Первообразная и интеграл

Первообразная

Определенный интеграл

Контрольная работа № 5

Резервные уроки

Итого

II полугодие— 2 ч в неделю Глава IX. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей Статистическая обработка данных

212

11 2

Простейшие вероятностные задачи

Сочетания и размещения

Формула бинома Ньютона

Случайные события и их вероятности

Контрольная работа № 6

Глава X. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Равносильность уравнений

Общие методы решения уравнений

Решение неравенств с одной переменной

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Системы уравнений

Уравнения и неравенства с параметрами

Контрольная работа № 7

Повторение

Пример итоговой контрольной работы (2 ч) Вариант 1 1. Решите уравнение:

а) 9 − x 2 (2 cos x − 1) = 0;

б) lg2x + 4lg

x = 1; 10

в) √4x + 12 + √12 – 8x = √28 + 8x . 2. Решите неравенство: а) lo� 1 (3 x − x 2 )+ 3

lo� 5 1

< 0;

б)

3 + x − x −1 > 1;

3 x +1 + 2

≥ 2 lo� 3 3. в) x 3 −3 3. Решите уравнение в целых числах 12x – 5y = 4.

4. Решите систему уравнений

x + 3y – 4 x – 3y x – 3y x + 3y = 3 34y2 – x2 = 9.

5. Решите уравнение log2(x2 + 2) = cos πx. 213

Вариант 2 1. Решите уравнение:

(

)

4 − x 2 2 sin x − 3 = 0; 2 б) log22 x + log2 x = 3;

а)

в) √1,25 – x – √1,25 + x = √0,5 – 0,5x. 2. Решите неравенство: а) lo� 1 (5 x − x 2 )+ 5 б)

lo� 3 1

< 0;

2 + x − 2 x + 1 < −3 ;

x+2 в) 2 x − 5 ≤ 3 lo� 5 3 5. 2 +1

3. Решите уравнение в целых числах 5x –3y = 11. y+x +5 y–x y–x y+x =6 4. Решите систему уравнений x2 – y2 = 13. 5. Решите уравнение sin(1,5πx) = x2 + 2x + 2.

профильный уровень по учебнику Мордковича А.Г., Семенова П.В. «Алгебра и начала математического анализа. 10–11» (М.: Мнемозина, 2007)

10 КЛАСС

Вариант 1 – 4 ч в неделю Вариант 2 – 5 ч в неделю Вариант 3 – 6 ч в неделю I полугодие Содержание материала Повторение материала 7–9 классов Глава I. Действительные числа

214

Число часов В. 1

В. 2

В. 3

Натуральные и целые числа. Делимость чисел

Рациональные числа

Иррациональные числа

Множество действительных чисел

Модуль действительного числа

Контрольная работа № 1

Метод математической индукции

Определение числовой функции и способы ее задания

Свойства функций

Периодические функции

Обратная функция

Контрольная работа № 2

Числовая окружность Числовая окружность на координатной плоскости Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Тригонометрические функции числового аргумента

Тригонометрические функции углового аргумента

Функции у – sinx, у = cosx, их свойства и графики

Контрольная работа № 3

Построение графика функции у = mf(x)

Построение графика функции у = f(kx)

График гармонического колебания

Функции у = tgx, у = ctgx, их свойства и графики

Глава II. Числовые функции

Глава III. Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Методы решения тригонометрических уравнений

Контрольная работа № 4 Глава V. Преобразование тригонометрических выражений Синус и косинус суммы и разности аргументов

Глава IV. Тригонометрические уравнения

215

Тангенс суммы и разности аргументов

Формулы приведения

Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Преобразование выражения Asinx + Bcosх к виду Csin(х + t)

Методы решения тригонометрических уравнений

Контрольная работа № 5

Комплексные числа и арифметические операции над ними

Глава VI. Комплексные числа

Комплексные числа и координатная плоскость

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Комплексные числа и квадратные уравнения Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа Контрольная работа № 6

Глава VII. Производная

Числовые последовательности

Предел числовой последовательности

Предел функции

Определение производной

Вычисление производных Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции Уравнение касательной к графику функции

Контрольная работа № 7

Применение производной для исследования функций

Построение графиков функций Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин Контрольная работа № 8

Глава VIII. Комбинаторика и вероятность Правило умножения. Комбинаторные задачи. Перестановки и факториалы

216

Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты

Случайные события и их вероятности

Контрольная работа № 9

–

Повторение

Пример итоговой контрольной работы для естественно-математического направления Вариант 1 1. Найдите область определения функции y =

1 2 1 x − 2x + . 3 x

2. Используя простейшие преобразования к графику функции y=x2, постройте график функции y = x2 + 4x + 1. 3. Решите уравнения: а) √3 cos2x – 0,5sin2x = 0; б) сosx – sinx = 4cosx sin2x. π 4. Решите неравенство 2 sin  2 x −  + 1 ≥ 0. 2  x 5. На кривой f ( x) = 2 найдите точку, в которой касательная парал4+ x

лельна прямой y = x − 1. 6. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, постройте треугольник с наибольшим периметром. 7. Исследуйте функцию y = 2 х и постройте ее график. √х – 4 8. Вычислите arcsin (cos(2arcctg(√2 – 1))).

Вариант 2 1. Найдите область определения функции y =

+ 1 − x. x + 2x − 3 2. Используя простейшие преобразования к графику функции y=x2, постройте график функции y = –x2 – 6x + 1. 3. Решите уравнения:  π 2 а) 5 − 5 cos − x  = 2 cos (π − x ). ;  2 2

б) (cosx + sinx)4 + (sinx – cosx)4 = 3 – sin4x. 217

π  4. Решитe неравенство tg  3 x −  ≥ 3. 4 

5. На кривой f (x ) = (x − 1) (x − 3) найдите точку, в которой касательная параллельна прямой y = 5 – 12x. 6. Найдите положительное число, которое, будучи сложено с обратным ему числом, даст наименьшую сумму. 2

x +1 и постройте ее график. x2 − 4 8. Вычислите arccos (cos(2arcctg(√2 – 1))). 7. Исследуйте функцию y =

Пример итоговой контрольной работы для общественно-гуманитарного направления Вариант 1 1. Постройте график функции y = sinx, выясните ее свойства. 2. Решите уравнения: а) 4х – 2 ∙ 4х – 2 = 56; б) 3 sin2 x + sin x ∙ cos x = 2cos2x. 3. Решите неравенство: 1 – 4 sin2 x < 0. 4. Найдите производную функцию f(x) = –x3 + 3x2 – 4. 5. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) = sinx – 3x + 12 в точке x0 = 0. Вариант 2 1. Исследуйте функцию y = 2x2 – 6x + 4 и постройте ее график. π  x + y = 2 2. Решите систему уравнений  sin x + cos y = 2 .  3   n n 3. Решите неравенство: sin  − 2 x  cos − 2 x  ≥ − . 3 3 4    

n 2 4. Найдите промежуток убывания функции y = cos  +   x . 3 3

218

5. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 4x – sinx + 1 в точке x0 = 0.

11 КЛАСС Повторение курса 10 класса

Многочлены от одной переменной

Многочлены от нескольких переменных

Уравнения высших степеней

Контрольная работа № 1

Функции у = √x , их свойства и графики Свойства корня n-й степени

Преобразование выражений, содержащих радикалы

Контрольная работа № 2

Обобщение понятия о показателе степени

Степенные функции, их свойства и графики

Извлечение корня из комплексного числа

Контрольная работа № 3

Глава I. Многочлены

Глава II. Степени и корни. Степенные функции Понятие корня n-й степени из действительного числа n

Показательная функция, ее свойства и график

Глава III. Показательная и логарифмическая функции

Показательные уравнения

Показательные неравенства

Понятие логарифма

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Контрольная работа № 4

Свойства логарифмов

Логарифмические уравнения

Логарифмические неравенства Дифференцирование показательной и логарифмической функций Контрольная работа № 5

219

Глава IV. Первообразная и интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Определенный интеграл

Контрольная работа № 6

Вероятность и геометрия

Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Статистические методы обработки информации

Гауссова кривая. Закон больших чисел

Равносильность уравнений

Общие методы решения уравнений

Равносильность неравенств

Уравнения и неравенства с модулями

Контрольная работа № 7

Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Доказательство неравенств

Системы уравнений

Контрольная работа № 8

Глава V. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Глава VI. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Задачи с параметрами

Повторение

Пример итоговой контрольной работы для естественно-математического направления Вариант 1 1. Вычислите интегралы:  π 2−3 x dx; в) ∫ 8 sin 2  − 4 x  dx. 3 4   x x−3 2. Найдите область определения функции y = . x+2

а)

220

∫ (3x

)

− 2 dx;

б)

∫

3. Решите уравнения и неравенство: а) 5 x + 2 − 5 = 24; в) lo� 0,1 (7 x + 3) > −1; 2 б) lo� 2 x − 4 lo� 2 x = 12; г) log2x4 – log0,25x = log33√3 . 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 2x, y = 1, x = 2. 5. Решите систему уравнений х – y = 40 √x + √y = 10.

y − x = 0 6. При каких значениях а система  имеет единственное знаy = x − a чение? Вариант 2 1. Вычислить интегралы:

(

)

а) ∫ 5 − 4 x 2 dx;

б)

∫

x2 − 2 x

π dx; в) ∫ 6 cos 2  − 2 x  dx.  4 x−6

2. Найдите область определения функции: y = . 1− x 3. Решите уравнения и неравенство: 1 а) 4x + 32 = 28; в) 6 3− 4 x < ; 36 б) lo� 3 x 2 − 7 − lo� 3 (x − 1) = 0; г) lo� 5 x 2 − lo� x 5 = 0.

(

)

 5 + x + 3 2 − y = 6

4. Решите систему уравнений: 

5 2 − y − 2 5 + x = −1

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 0,5x, y = 0, х = 1, x = 2. y = 1− x 6. При каких значениях а система  имеет единственное значеy + x = a ние?

Пример итоговой контрольной работы для общественно-гуманитарного направления Вариант 1 1. Решите уравнение: 4 sin 2 x = 3 sin x ⋅ cos x + cos 2 x . 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2х3 + 6х2 – 18х + 9. 221

3. Решите уравнение: 3

x2 −4 x+4

−2

1 · 27 3 =   . 3

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 7 y = ; x = 1; x = e 3 ; y = 0 . x 2   5. Решите неравенство: lo� 1  4 − x  > −1 . 3  3

Вариант 2 1. Решите уравнение: cos 2 x − sin 2 x =

2 . 3

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции: f(x) = х3 + (–2х2) + 8х – 2 на промежутке [–4; 2]. √5x 3. Решите систему неравенств х – 1 – 1 ≤ х0+ 2 2 – 3 · 2 > –23. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1 y = ; x = 1; x = 2, y = 0. x 5. Решите уравнение: x 2 lo� x 27 lo� 9 x = x + 4 .

222

Примерное тематическое планирование по геометрии по учебнику Атанасяна Л.С. и др. «геометрия. 10–11 КЛАССЫ» Примерное тематическое планирование по данному учебнику полностью соответствует компонентам государственного образовательного стандарта как на базовом, так и на профильном уровнях.

10 класс

Вариант А: 1,5 ч в неделю, всего 51 ч Вариант Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Номер параграфа

Содержание материала

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ПЛАНИМЕТРИИ Углы и отрезки, связанные с окружностью Решение треугольников Теоремы Менелая и Чевы Эллипс, гипербола и парабола Введение (Предмет стереометрии. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Первые следствия из аксиом) ГЛАВА I. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1 Параллельность прямых, прямой и плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол 2 между прямыми. Контрольная работа № 1.1 (20 мин) 3 Параллельность плоскостей 4 Тетраэдр и параллелепипед Контрольная работа № 1.2 Зачет № 1 ГЛАВА II. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1 Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и пло2 скостью 3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей 1 2 3 4

Кол-во часов А Б – 12 – 4 – 4 – 2 – 2 2

14 3

16 4

2 4 1 1 15 4

2 4 1 1 17 5

223

1 2 3

Контрольная работа № 2.1 Зачет № 2 ГЛАВА III. МНОГОГРАННИКИ Понятие многогранника. Призма Пирамида Правильные многогранники Контрольная работа № 3.1 Зачет № 3 ГЛАВА IV. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Понятие вектора в пространстве Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число Компланарные векторы Зачет № 4

1 1 10 3 3 2 1 1 6 1

1 1 11 3 4 2 1 1 6 1

2 1

Заключительное повторение курса геометрии 10 класса

11 класс

Вариант А: 1,5 ч в неделю, всего 51 ч Вариант Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Номер параграфа

Содержание материала

ГЛАВА V. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 1 2

Координаты точки и координаты вектора. Контрольная работа № 5.1 (20 мин) Скалярное произведение векторов Контрольная работа № 5.2 Зачет № 5 ГЛАВА VI. ЦИЛИНДР, КОНУС, ШАР

1 2 3

224

Цилиндр Конус Сфера Контрольная работа № 6.1 Зачет № 6 ГЛАВА VII. ОБЪЕМЫ ТЕЛ Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы и цилиндра Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса

Кол-во часов А Б 12

5 1 1

7 1 1

3 3 5 1 1 17 2 3 5

4 4 7 1 1 22 3 3 7

Контрольная работа № 7.1 Объем шара и площадь сферы Контрольная работа № 7.2 Зачет № 7 Заключительное повторение при подготовке к итоговой аттестации

1 4 1 1

1 6 1 1

по учебнику Погорелова А.В. «геометрия. 10–11 КЛАССЫ» Примерное тематическое планирование по данному учебнику полностью соответствует компонентам государственного образовательного стандарта как на базовом, так и на профильном уровнях.

10 класс

Вариант А: 1,5 ч в неделю, всего 51 ч Вариант Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Номер пункта

Содержание материала § 9. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Решение треугольников. Вычисление биссектрис и медиан треугольника. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника 84, 85 Теорема Чевы. Теорема Менелая 86 Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников 87, 88 Углы в окружности. Метрические соотношения в окружности Геометрические места точек в задачах на построение. Геоме90, 91 трические преобразования в задачах на построение О разрешимости задач на построение. Эллипс, гипербола, па89, 92 рабола § 1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ Аксиомы стереометрии. Существование плоскости, проходящей 1, 2, 5 через данную прямую и данную точку. Замечание к аксиоме I 81–83

3 4

Пересечение прямой с плоскостью Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Кол-во часов А Б –

–

– – –

1 2 1

–

225

§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельно7, 8 сти прямых Контрольная работа № 1 9

Признак параллельности прямой и плоскости Признак параллельности плоскостей. Существование плоско10–12 сти, параллельной данной плоскости. Свойства параллельных плоскостей 13 Изображение пространственных фигур на плоскости Контрольная работа № 2 § 3. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак перпен14, 15 дикулярности прямой и плоскости Построение перпендикулярных прямой и плоскости. Свойства 16, 17 перпендикулярных прямой и плоскости 18 19 20 21

Перпендикуляр и наклонная Теорема о трех перпендикулярах Признак перпендикулярности плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Контрольная работа № 3 § 4. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

23–25 26, 27 28–30 31, 32 33 34 35 36 37 38

226

Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка Преобразование симметрии в пространстве. Симметрия в природе и на практике Движение в пространстве. Параллельный перенос в пространстве. Подобие пространственных фигур Угол между скрещивающимися прямыми. Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Площадь ортогональной проекции многоугольника Векторы в пространстве Действия над векторами в пространстве Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Уравнение плоскости Контрольная работа № 4 Повторение

1 2

2 1 15

5 2 2 1 1

1 1 1 3 2 3 1 2

1 1 1 3 2 3 1 3

11 класс

Вариант А: 1,5 ч в неделю, всего 51 ч Вариант Б: 2 ч в неделю, всего 68 ч Номер пункта

Содержание материала § 5. МНОГОГРАННИКИ

39, 40 41 42, 43 44, 45 46 47, 48 49 50 51

52–54 55–57 58–60 61 62-64

Двугранный угол. Трехгранный и многогранный углы Многогранник Призма. Изображение призмы и построение ее сечений Прямая призма. Параллелепипед Прямоугольный параллелепипед Контрольная работа № 5 Пирамида. Построение пирамиды и ее плоских сечений Усеченная пирамида Правильная пирамида Правильные многогранники Контрольная работа № 6 § 6. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями. Вписанная и описанная призмы Конус. Сечения конуса плоскостями. Вписанная и описанная пирамиды Шар. Сечение шара плоскостью. Симметрия шара Касательная плоскость к шару Вписанные и описанные многогранники. Пересечение двух сфер. О понятии тела и его поверхности в геометрии Контрольная работа № 7 § 7. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ

65, 66 67, 68 69–71 72

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда Объем наклонного параллелепипеда. Объем призмы Равновеликие тела. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды Объемы подобных тел Контрольная работа № 8 § 8. ОБЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

73–75 76, 77

Объем цилиндра. Объем конуса. Объем усеченного конуса Объем шара. Объем шарового сегмента и сектора

Кол-во часов А Б 18 18 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 1 7

1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 1 10

1 1

1 3

–

1 3

1 1

2 1

227

78, 79 80

Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности конуса Площадь сферы Контрольная работа № 9 Повторение

1 1 10

1 1 23

Пример итоговой контрольной работы за 10 класс Вариант 1 В треугольнике ABC АВ = 14, ВС = 13, АС = 15 (рис. 1). Найдите: 1) высоту, проведенную к стороне АС; B 2) косинус угла А; 3) синус угла В; 4) тангенс угла С; 5) радиус описанной окружности; 6) радиус вписанной окружности; 7) медиану, проведенную к стороне ВС; А 8) биссектрису, проведенную из вершины С. Рис. 1

Вариант 2 В треугольнике ABC высоты, проведенные к сторонам АС, ВС и АВ, соответственно равны 15, 35 и 21 (рис. 2). Найдите: 1) площадь треугольника; B 2) сторону АВ; 3) сторону ВС; 4) сторону АС; 5) радиус описанной окружности; 6) радиус вписанной окружности; 7) медиану, проведенную к стороне ВС; А C Рис. 2 8) биссектрису, проведенную из вершины В. Вариант 3 В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС боковая сторона CD = 15, диагональ АС = 41, причем AC ⊥ CD, АВ ⊥ BD. Через точку О пересечения диагоналей проведен отрезок MN параллельно основаниям трапеции. Параллельно основаниям трапеции проведены отрезки TL и A1Dl так, что 228

трапеции ATLD и TBCL подобны, а площади трапеций AA1D1,D и A1BCD1, равны (рис. 3). Найдите: B C 1) сторону АВ; M N 2) косинус угла CDB; 3) площадь трапеции ABCD; T L ∠A  4) тангенс  ;  2 

А1

Рис. 3 5) отрезок MN; 6) площадь треугольника BOA; 7) радиус окружности, описанной около трапеции ABCD; 8) радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; 9) отрезок TL; 10) отрезок A1Dl.

Вариант 4 В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС и BD перпендикулярны. Средняя линия трапеции РК = 2,5. Через точку О пересечения диагоналей проведен отрезок MN = 1,6 параллельно основаниям трапеции. Параллельно основаниям трапеции проведены отрезки TL и A1D1 так, что трапеции ATLD и TBCL подобны, а площади трапеций AA1D1D и A1BCDl равны (рис. 4). Найдите: 1) площадь трапеции ABCD; 2) основание ВС; 3) основание AD; 4) косинус угла ВАС; 5) радиус окружности, описанной около трапеции ABCD;  ∠A  B C 6) котангенс  ; 2   O 7) отрезок ОК; 8) площадь трапеции PMNK; 9) отрезок TL; 10) отрезок A1D1.

M T P А1

N L K D1

D Рис. 4

229

Пример итоговой контрольной работы за 11 класс1 Вариант 1 В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

→

→ →

4) скалярное произведение векторов (АD + АB ) АM ; 5) площадь описанной около пирамиды сферы; 6*) угол между BD и плоскостью DMC. Вариант 2 В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна 4√3 , а боковое ребро 5. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол между боковым ребром и плоскостью основания; → → 1 → 4) скалярное произведение векторов (MB + MC ) EA , где Е — сере2 дина ВС; 5) объем вписанного в пирамиду шара; 6*) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.

Вариант 3 В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро равно 8 и наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол между противоположными боковыми гранями; 1 →

→

4) скалярное произведение векторов (MA + MC ) ME , где Е — середи2 на DC; 5) объем описанного около пирамиды шара; 6*) угол между боковым ребром AM и плоскостью DMC. 1 Задачи более сложного уровня, за решение которой ученику выставляется дополнительная оценка.

230

Вариант 4 В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна 2√3 , а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол между боковым ребром и плоскостью основания; → → 1 → 4) скалярное произведение векторов (MC + MB ) OM , где О — основа2 ние высоты пирамиды; 5) площадь вписанной в пирамиду сферы; 6*) угол между ME, где Е — середина ВС, и плоскостью АМС.

231

Программа для школ (классов) с углубленным изучением математики Пояснительная записка Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе. В углубленном изучении математики выделяются два этапа (8–9 и 10–11 классы), отвечающие возрастным возможностям и потребностям школьников и соответственно различающиеся по целям. Учащийся может начать углубленно заниматься математикой как с 8-го, так и с 10-го класса. Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем чтобы по окончании 9-го класса он смог сделать сознательный выбор, в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному. Углубленное изучение математики на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение 232

выбирать по окончании школы связанную с ней профессию. Обучение на этом должно обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Программа включает два раздела: «Требования к математической подготовке учащихся», «Содержание обучения». Раздел «Требования к математической подготовке учащихся» задает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этот объем, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых всеми учащимися предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы, однако предполагается иное, более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности: — точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательстве теорем; — правильно пользоваться математической терминологией и символикой; — применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований; — использовать наиболее употребительные эвристические приемы и т.д. Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики ни в коем случае не должны быть завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики на первом этапе не намного превышают требования общеобразовательной программы. Требования на втором этапе в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим, что минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставления ему положительной оценки, при углубленном и обычном изучении математики один и тот же. Однако тем учащимся классов с углубленным изучением математики, успехи которых в течение длительного времени не поднимаются выше минимального обязательного уровня, следует рекомендовать перейти в обычный класс. Раздел «Содержание обучения» включает полностью содержание курса 8–9-х классов общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, 233

непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям. Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные идеи. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой — восполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность. Программа предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты. Дополнительные вопросы и темы, отмеченные квадратными скобками ( [...] ), при желании можно не изучать, что позволяет учителю, включая или исключая все или некоторые из этих вопросов, варьировать объем изученного материала и, соответственно, степень углубления и расширения курса в зависимости от конкретных условий. Отдельные вопросы, отмеченные в программе звездочками (*...*), представляет материал повышенной трудности — эти вопросы можно изучать в ознакомительном порядке. В связи с предоставленным учащимся правом начать углубленное изучение математики как с 8-го, так и с 10-го класса и необходимостью в любом случае обеспечить им возможность изучения полного, целостного курса, содержание обучения на первом и втором этапах имеет ряд пересечений. Соответствующий материал на втором этапе рассматривается с учащимися, приступившими к углубленному изучению с 8-го класса, в повторительном или обзорном порядке. Учителю предоставляется право самостоятельного построения курса. При этом он может выбрать учебники из числа действующих в массовой школе, пробных и специально предназначенных для углубленного изучения математики. Тематическое планирование учитель разрабатывает применительно к выбранному учебнику, учитывая подготовленность класса, интересы учащихся и исходя из учебного плана для школ и классов с углубленным изучением математики, согласно которому в 8-9-х классах изучаются два предмета — алгебра (5 ч в неделю, всего 170 ч в каждом классе) и геометрия (3 ч в неделю, всего 102 ч в каждом классе); в 10-11-х классах изучаются предметы алгебра и математический анализ (5-6 ч в неделю в 10-м классе, всего 187 ч, и 5 ч в неделю в 11 -м классе, всего 170 ч) и геометрия (3 ч в неделю, всего 102 ч в каждом классе). При этом он может варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, переставлять темы, включать в них некоторые дополнительные теоретические вопросы или ограничиться программой массовой школы, полное прохождение которой в любом случае является обязательным. 234

Успешность решения задач углубленного изучения математики во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже. Учебно-воспитательный процесс должен строиться с учетом возрастных возможностей и потребностей учащихся. Основной причиной отсева школьников из классов с углубленным изучением математики (особенно на первом этапе) является перегрузка, поэтому не следует стремиться к чрезмерному насыщению программы дополнительными вопросами. Углубленное изучение математики предполагает прежде всего наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение основным программным материалом на более высоком уровне. Для поддержания и развития интереса к предмету следует включать в процесс обучения занимательные задачи, сведения из истории математики. На втором этапе возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщенность. Значительное место на этом этапе должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям к поступающим в вузы, где математика является профилирующим предметом. В связи с тем, что в классы с углубленным изучением приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и систематизация опорных знаний. Учебный процесс должен быть ориентирован на усвоение учащимися, прежде всего, основного материала; при проведении текущего или итогового контроля знаний качество усвоения этого материала проверяется в обязательном порядке. Итоговому контролю не подлежит материал, отмеченный квадратными скобками или звездочкой. Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической деятельности учащихся — решению задач, проработке теоретического материала, подготовке докладов, рефератов и т. д. Очень важно организовать дифференцированный и способствующий реализации подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки возможностей каждого из них.

235

Требования к математической подготовке учащихся 8–9 классы Алгебра В результате изучения курса алгебры учащиеся должны: — бегло и уверенно выполнять арифметические действия над числами (в том числе над приближенными значениями), находить с помощью калькулятора или таблиц приближенные значения квадратных корней и тригонометрических функций, производить прикидку и оценку результатов вычислений; — свободно владеть техникой тождественных преобразований; целых и дробных рациональных выражений; выражений, содержащих корни и степени с дробными показателями, тригонометрических выражений; составлять выражения и формулы, выражать из формулы одну переменную через другие; — находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком; — проводить исследование функций, указанных в программе видов, элементарными средствами; — строить и читать графики функций, указанных в программе видов, овладеть основными приемами преобразования графиков и применять их при построении графиков; — овладеть понятием последовательности и способами задания последовательностей, понятиями арифметической и геометрической прогрессии и их свойствами; — усвоить основные приемы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств указанных в программе видов; решать уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным или квадратным; — уметь решать текстовые задачи методом уравнений; — доказывать теоремы, изученные в курсе, давать обоснования при решении задач, опираясь на теоретические сведения курса; — овладеть основными алгебраическими приемами и методами и применять их при решении задач.

Геометрия В результате изучения курса геометрии учащиеся должны: — доказывать изученные в курсе теоремы; 236

— проводить полные обоснования при решении задача, используя для этого изученные теоретические сведения; — освоить определенный набор приемов решения геометрических задач и уметь применять их в задачах на вычисление, доказательство, построение; — овладеть общими методами геометрии (преобразований, векторным, координатным) и применять их при решении геометрических задач; — свободно оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении тригонометрических задач.

10–11 классы Алгебра и математический анализ В результате изучения курса учащиеся должны уметь: — выполнять действия над комплексными числами, заданными в различных формах; находить комплексные корни многочленов; — строить графики элементарных функций и проводить преобразования графиков, используя изученные методы; — проводить тождественные преобразования иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений; — решать иррациональные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства, доказывать неравенства; — решать системы уравнений изученными методами; — применять аппарат математического анализа к решению задач.

Геометрия В результате изучения курса учащиеся должны уметь: — изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры и их комбинации, задаваемые условиями теорем и задач; выделять изученные фигуры на моделях и чертежах; — доказывать изученные в курсе теоремы; — проводить полные обоснования в ходе теоретических рассуждений и при решении задач, используя для этого изученные в курсах планиметрии и стереометрии теоретические сведения; — вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), используя изученные формулы, а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии; 237

— применять основные методы геометрии (проектирована, преобразований, векторный, координатный) к решению геометрических задач.

Содержание обучения 8–9 классы Множества и элементы комбинаторики Множество. Элемент множества. Пустое множество. Пересечение и объединение множеств. Подмножество. Конечные и бесконечные множества. Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств. Взаимно однозначное соответствие между множествами. [Понятие о мощности множества. Принцип Дирихле. Комбинированный принцип умножения. Число элементов прямого произведения двух множеств. Число подмножеств конечного множества. Число k-элементных подмножеств конечного множества из п элементов (число сочетаний). Число перестановок. Понятие вероятности события. Подсчет вероятностей простейших событий.] Числа и вычисления Натуральные числа. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11. Простые и составные числа. [Основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Нахождение наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя. Критерий взаимной простоты двух чисел.] Свойства множества натуральных чисел. Условие разрешимости а + х = b в множестве натуральных чисел и операция вычитания. Целые числа. Деление с остатком. Свойства множества целых чисел. Условие разрешимости уравнений вида ах = b в множестве целых чисел и операция деления. Рациональные числа. Свойства множества рациональных чисел. Выполнимость арифметических операций в множестве рациональных чисел и свойства этих операций. Числовые неравенства и их свойства. Задача измерения величин. Единица измерения. Измерение отрезков: единичный отрезок, процесс измерения. [Общая мера двух отрезков. Соизмеримость и несоизмеримость отрезков. Связь между соизмеримостью отрезков и отношением их длин. Алгоритм 238

Евклида для определения соизмеримости отрезков. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.] Бесконечная десятичная дробь как результат измерения отрезка. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Взаимно однозначное соответствие между множеством точек координатной прямой и множеством действительных чисел. Периодические десятичные дроби. Представление рационального числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Примеры бесконечных непериодических десятичных дробей. Иррациональные числа. Свойства множества действительных чисел. Решение уравнения х2 = 2 в множестве рациональных и в множестве действительных чисел. Квадратный корень. Условие существования квадратного корня и число квадратных корней из действительного числа. Арифметический квадратный корень. Иррациональность числа π, √2 . Корень n-й степени. Степень с дробным показателем. Измерение углов. Радиан. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла (в градусах и радианах). Выражения и их преобразования Сложение, вычитание и умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: куб двучлена и квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых. Разложение многочлена на множители способом группировки. Формулы разложения на множители разности и суммы кубов, разности хn – уn и суммы k+1 k+1 х2 + у2 . Многочлены с одной переменной. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. Разложение квадратного трехчлена на множители. [Деление многочленов с остатком. Делимость многочленов. Теорема Безу и ее следствие о делимости многочлена на линейный двучлен.] Рациональные выражения. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа. Свойства арифметических корней n-й степени. Свойства степеней с рациональными показателями. Преобразование выражений с радикалами и степенями с дробными показателями. sin α Тригонометрические тождества: sin2 α + соs2 α = 1, tg α = , ctg α = соs α cos α = . Формулы приведения. sin α 239

Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. [Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.] Функции Числовые функции. Способы задания функции. Область определения и область значений функции. Графики функции. Преобразования графиков функций: параллельный перенос, растяжение и сжатие вдоль осей координат, симметрия относительно осей координат и относительно прямой у = х. Свойства функции: четность и нечетность, возрастание и убывание, нули функции и промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции. Отражение свойств функции на графике. Элементарное исследование функции. Функция как соответствие между множествами. Элементарные функции: линейная, прямая и обратная пропорциональности, квадратичная, степенная с натуральным показателем, модуль, квадратный корень, кубический корень, корень n-й степени. Их свойства и графики. [Построение графиков кусочно заданных функций. Построение графиков функций, связанных с модулем. Примеры построения графиков рациональных функций.] Функции у = [х] и у = {х}. Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Формула n-го члена. Рекуррентная формула. Числа Фибоначчи. Возрастающие и убывающие (монотонные) последовательности. [Метод математической индукции.] Арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы n-го члена и суммы первых п членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. [Понятие о пределе последовательности.] Уравнения Уравнение. Корень уравнения. Равносильность уравнений. Уравнениеследствие. Исключение «посторонних» корней. Линейное уравнение с одним неизвестным. Линейное уравнение с параметром. Квадратное уравнение: формула корней, зависимость числа корней от дискриминанта, формулы Виета, составление уравнений с заданными корнями. Уравнения, сводимые к квадратным. Биквадратные уравнения. Корень многочлена. Нахождение целых и дробных корней многочлена с целыми коэффициентами. Число корней многочлена. Решение рациональных 240

уравнений. [Решение рациональных уравнений с параметром.] Примеры решения иррациональных уравнений. Уравнение с двумя переменными. Решение линейного уравнения в целых числах. Система уравнений. Решение систем уравнений. Равносильность. Уравнение-следствие. Приемы решения систем: подстановка, алгебраическое сложение. [Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными методом Гаусса.] График уравнения с двумя переменными. Уравнение окружности. Получение приближенного корня способом графического решения систем уравнений. Решение текстовых задач с помощью уравнений и систем. Неравенство с переменными. Числовые промежутки. Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем. Геометрическая интерпретация линейных неравенств с двумя переменными и их систем. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов. Доказательство неравенств. Основные понятия планиметрии Неопределяемые понятия и аксиомы. Доказательства. Теоремы. Непротиворечивость системы аксиом. [Исторические этапы развития геометрии: «Начала» Евклида, попытки доказательства пятого постулата, создание геометрии Лобачевского.] [Понятие о длине кривой.] Площадь фигуры и ее свойства. Равновеликость и равносоставленность фигур. Треугольники Замечательные точки треугольника. Теорема Пифагора. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников. Площадь треугольника. Формула Герона. Многоугольники Понятие о многоугольнике. Площадь многоугольника. Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Трапеция и ее свойства. Правильные многоугольники. Площади прямоугольника, параллелограмма, трапеции, правильного многоугольника. 241

Окружность и круг Длина окружности. Длина дуги окружности, площади круга и его частей. Величина центрального угла. Величина вписанного угла. Величина угла между хордой и касательной. Величина угла с вершиной внутри и вне круга. Окружности, вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Методы геометрии *Движения плоскости*. Симметрия относительно точки и прямой. Центрально-симметричные фигуры и фигуры, симметричные относительно оси. Поворот. Параллельный перенос. [*Бордюры и орнаменты*. Равенство фигур и его свойства.] Применение движений к решению задач. Преобразование подобия. Гомотетия и ее свойства. Подобие и его свойства. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к решению задач. Прямоугольная система координат на плоскости. Формула расстояния между точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка. Уравнения прямой и окружности. [Задание фигур уравнениями и неравенствами.] *Эллипс, гипербола, парабола и их уравнения*. Применение координат к решению задач. Векторы. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора, суммы векторов, произведения числа и вектора. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Применение векторов к решению задач. Основные задачи на построение. Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки. Применение алгебры и тригонометрии к решению планиметрических задач.

10–11 классы Элементарные функции Измерение углов. Радиан. Радианное измерение углов. Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс и котангенс. 242

Свойства периодичности функции. Примеры периодических функций, функция Дирихле. Периодичность тригонометрических функций. Основной период. Нахождение основного периода сложных функций, суммы, произведения и частного двух функций. Свойства и графики тригонометрических функций. Обратная функция. Условия существования и свойства обратной функции. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных тригонометрических функций. Показательная, логарифмическая и степенная функции, их свойства и графики. Число е и натуральные логарифмы. Сложная функция. Построение графиков функций элементарными методами. Графики дробно-линейных функций; вертикальная и горизонтальная асимптоты. Графики кусочно-заданных функций. Графики функций, связанных с модулем. Тождественные преобразования Преобразования многочленов, разложение на множите-формулы сокращенного умножения: квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых, xn – yn = (х – у)(хп – 1 + хп –2у + ... + yп – 1), xn + yn = (х + у)(хп – 1 – хп –2у + ... + yп – 1), где n — нечеткое число. Деление многочлена на многочлен с остатком. [Алгоритм Евклида для многочленов. Схема Горнера.] Корни многочлена. [Теорема Безу. *Основная теорема алгебры*.] [Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Обобщенная теорема Виета.] [Многочлены от нескольких переменных. Симметрическиe многочлены; *основные симметрические многочлены*.] Преобразования рациональных выражений; освобождение от иррациональности в знаменателе. sin α , Тригонометрические тождества: sin2 α + соs2 α = 1, tg α = ctg α = соs α cos α = и следствия из них. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс sin α суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного, тройного и половинного углов. Преобразования суммы тригонометрических выражений в произведение и произведения в сумму. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. [Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.] 243

Свойства логарифмов. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода от одного основания логарифма к другому. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений. Уравнения, неравенства, системы Уравнение. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Общие методы решения: переход к равносильному уравнению, переход к уравнениюследствию и проверка корней. Приемы решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, возведение в степень и др. Иррациональные уравнения. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения. Виды тригонометрических уравнений, основные методы их решения. Тригонометрические неравенства. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы; основные виды и методы их решения. Обобщенный метод интервалов для решения неравенств. *Иррациональные неравенства*. Доказательства неравенств. [Некоторые классические неравенства.] Системы уравнений и неравенств. Основные методы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. [Метод Гаусса.] Применение графиков к решению уравнений, неравенств, систем. Приближенные методы решения уравнений. Уравнения, неравенства и системы с параметром. Методы решения. Уравнения и неравенства, не решаемые стандартными методами. Элементы математического анализа Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. *Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел последовательности 1 + 1 *. n Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Предел функции sin x при х → 0. x [Односторонние пределы. Бесконечные пределы.] Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Теорема о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке. 244

Производная. [Дифференциал.] Геометрический и механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемостъ функций. Производные суммы, произведения и частного. Производные сложной и обратной функций. Таблица производных элементарных функций. Вторая производная; ее геометрический и механический смысл. Производные высших порядков. *Формула Тейлора. Приближенное вычисление значений элементарных функций*. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл. Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных. [Интегрирование по частям. Подстановка.] Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Приближенное вычисление определенных интегралов. Приложения математического анализа Приложения производной к исследованию функций. Теорема Лагранжа и ее следствие. Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточные условия экстремума. [Выпуклость; точки перегиба. Наклонные асимптоты.] Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Применение производной к приближенным вычислениям. пользование производной в физических задачах. Приложения интеграла. Вычисление площадей и объемов метрических фигур. [Вычисление длин дуг.] Использование интеграла в физических задачах. Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (гармонические колебания, радиоактивный распад и др.). Решение простейших дифференциальных уравнений. [Уравнения с разделяющимися переменными.] Комплексные числа Развитие понятия числа: натуральные, целые, рациональные действительные числа. Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные комплексные числа. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексные корни многочлена. [Использование комплексных чисел в геометрии.] [Показательная форма комплексного числа.] 245

Элементы комбинаторики Метод математической индукции. Комбинаторные принципы сложения и умножения. Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и перестановки (без повторения и с повторениями). [Бином Ньютона. Принцип Дирихле. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Случайные события. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Правила умножения вероятностей. Независимые события. Формула Бернулли. Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия. Понятие о законе больших чисел. Понятие о нормальном законе распределения. Генеральная совокупность и выборка. Параметры генеральной совокупности и их оценка по выборке. Оценка параметров. Понятие об уровнях значимости и достоверности. Оценка вероятности события по частоте. Понятие о проверке статистических гипотез.] Основные понятия стереометрии Основные (неопределяемые) понятия и аксиомы стереометрии. Их связь с аксиомами планиметрии. Понятие о фигуре в пространстве. [Расстояние между фигурами.] Объем тела, его свойства. Площадь поверхности тела. Прямые, плоскости и углы в пространстве Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол и расстояние между прямыми. Параллельность и перпендикулярность прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей. Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Линейный угол вугранного угла. Расстояние между параллельными плоскостями. [Многогранный угол. Зависимости между плоскими и двугранными углами многогранного угла.] 246

Многогранники Понятие о многограннике. Развертка многогранника. Сечения. Теорема Эйлера (без доказательства). Призма и ее элементы. Прямая и правильная призмы. Параллелепипед и его виды. Поверхность призмы и ее площадь. Объем призмы. Пирамида, ее элементы. Тетраэдр. Правильная пирамида. Поверхность пирамиды и ее площадь. Объем пирамиды. [Комбинации многогранников.] Правильные многогранники. [Элементы теории выпуклых тел.] Фигуры вращения Тела и поверхности вращения. Осевые сечения и сечения, перпендикулярные оси. Цилиндр и конус. [Конические сечения и их свойства.]. Площади поверхностей цилиндра и конуса. Объемы цилиндра и конуса. [Понятия о цилиндрических и конических поверхностях.] Сфера, шар, части шара (сектор, сегмент, пояс). Касание сферы с прямой и плоскостью. Объемы шара и его частей. Площадъ сферы. Вписанные и описанные сферы. Комбинации тел вращения. [Элементы сферической геометрии. *Теоремы синусов и косинусов для сферического треугольника*.] Методы геометрии Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование и его свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости. Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками. Расстояние от точки до плоскости в координатах. Уравнения прямой, плоскости, сферы. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Применение координат к решению задач по стереометрии. Векторы в пространстве. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Скалярное произведение векторов. Решение аффинных и метрических задач с помощью векторов. [Понятие о векторном пространстве.] Понятие о преобразованиях в пространстве. Движения в пространстве и их свойства. Центральная симметрия. Симметрия относительно плоскости. Поворот вокруг оси. Параллельный перенос. Подобие и гомотетия в пространстве. Применение преобразований к решению задач по стереометрии. 247

Примерное тематическое планирование учебного материала с углубленным изучением математики 8 класс по учебнику Виленкина Н.Я., Виленкина А.Н., Сурвилло Г.С. и др. «Алгебра» (М.: Просвещение, 2005 и последующие годы издания) Вариант 1: 4 ч в неделю, всего 136 ч Вариант 2: 5 ч в неделю, всего 170 ч № п/п

Содержание материала ГЛАВА I. ДРОБИ

Кол-во часов Вар. 1 Вар. 2 16

Понятие дроби

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов

Основное свойство дроби и его применение

Умножение и деление дробей

Сложение и вычитание дробей

Возведение дроби в степень

7 8

k Функция у = x График обратной пропорциональности Контрольная работа № 1

1, 2

Стандартный вид многочлена. Сложение и вычитание многочленов

ГЛАВА II. МНОГОЧЛЕНЫ

3, 4

Умножение многочлена на одночлен. Деление многочлена на одночлен

Вынесение общего множителя за скобки

6 7

Умножение многочленов Разложение многочленов на множители методом группировки

2 3

2 5

248

8 9

Умножение суммы двух выражений на их разность Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

2 2

—

Контрольная работа № 3

ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

—

Выделение полного квадрата из трехчлена. Решение уравне10, 11 ний с переменной в знаменателе дроби 12 13 14 15 16 17

1–3 4–6 7 8, 9 10

Контрольная работа № 2 Возведение в куб суммы и разности двух выражений Разложение на множители суммы и разности кубов Формула для разложения на множители разности степеней Формула квадрата суммы нескольких слагаемых Тождественные преобразования Симметрические многочлены от двух переменных

Множества и их элементы. Характеристическое свойство множеств. Подмножества Пересечение и объединение множеств. Разность множеств. Алгебра множеств Формулы включений и исключений Декартово произведение множеств. Отношение порядка Эквивалентные множества ГЛАВА IV. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

1, 2

Натуральные числа и их свойства. Делимость целых неотрицательных чисел

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида Взаимно простые числа и их свойства

Признаки делимости

Основной закон арифметики натуральных чисел

Каноническое разложение натурального числа на простые множители Свойства простых чисел

—

Неопределенные уравнения первой степени

249

Системы счисления

—

Принцип Дирихле

Контрольная работа № 4

1 2

Действительные числа и измерение величины Рациональные и иррациональные числа

ГЛАВА V. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1 1

1 2

Арифметические операции над действительными числами

–

1 1 – – 1 2

1 1 1 1 1 2

5 6 7 8 9 10

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные Координаты точки на прямой линии и на плоскости Числовые множества Счетные множества Несчетные множества Свойства числовых неравенств Доказательство тождественных неравенств

Стандартная запись числа

Приближенные значения величин

Относительная погрешность

Оценка суммы и разности

–

Оценка произведения, степени и частного

–

Приближенные формулы

–

Контрольная работа № 5

Квадратный корень из числа

Вычисление квадратных корней

Геометрические приложения

Основные тождества для квадратных корней

Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и частного

Преобразование выражений √А ± √В

–

Контрольная работа № 6

ГЛАВА VI. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Квадратные уравнения и их корни 1 Формула решения квадратного уравнения 2 Разложение квадратного трехчлена на множители 3

250

4 5

Теорема Виета Задачи, приводящие к квадратным уравнениям

Контрольная работа № 7

Уравнения, приводимые к квадратным

Возвратные уравнения

–

Системы нелинейных уравнений, сводящиеся к квадратным уравнениям

Решение симметрических систем уравнений

–

Уравнения и системы уравнений с параметрами

Графический метод решения систем нелинейных уравнений

Уравнения, содержащие знак модуля

Контрольная работа № 8

ГЛАВА VII. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ Неравенства первой степени с одним неизвестным

Квадратные неравенства

Решение неравенств, сводящихся к квадратным

Системы неравенств с одним неизвестным Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными

Контрольная работа № 9

Повторение. Итоговая контрольная работа (зачет)

по учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И., Феоктистова И.Е.

«Алгебра. углубленное изучение» (М.: Мнемозина, 2008)

5 часов в неделю, всего 170 часов Номер параграфа

Содержание материала Повторение материала 7 класса ГЛАВА I. ДРОБИ

Кол-во часов 6 23

§ 1. Дроби и их свойства

Числовые дроби и дроби, содержащие переменные

251

3 4

Свойства дробей Решение задач

2 1

§ 2. Сумма и разность дробей

Сложение и вычитание дробей Представление дроби в виде суммы дробей

3 2

Решение задач

§ 3. Произведение и частное дробей

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Деление дробей Решение задач Преобразование рациональных выражений

2 1 3

Решение задач. Контрольная работа № 1

3+1

ГЛАВА 2. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ § 4. Множество натуральных и множество целых чисел

8 9

Пересечение и объединение множеств Взаимно однозначное соответствие

2 1

Натуральные числа. Целые числа

Решение задач § 5. Делимость чисел Свойства делимости Делимость суммы и произведения Решение задач

1 14 1 2 1

Деление с остатком

14 15

Признаки делимости Простые и составные числа Решение задач. Контрольная работа № 2

11 12

ГЛАВА 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ

252

2 2 3+1 28

§ 6. Множество рациональных и множество действительных чисел

16 17 18

Рациональные числа Действительные числа Числовые промежутки

2 2 2

Интервальный ряд данных

Абсолютная и относительная погрешность

Решение задач

§ 7. Арифметический квадратный корень. Функция у = √x

Арифметический квадратный корень

Вычисление и оценка значений квадратных корней

Функция у = √x и ее график Решение задач § 8. Свойства арифметического квадратного корня Квадратный корень из произведения, дроби и степени Преобразование выражений, содержащих квадратные корни Решение задач Преобразование двойных радикалов

24 25 26

Решение задач. Контрольная работа № 3 ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 9. Квадратное уравнение и его корни 27 28 29 30

31 32 33

34 35

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения Формулы корней квадратного уравнения Решение задач Уравнения, сводящиеся к квадратным Решение задач с помощью квадратных уравнений

1 12 3 3 1 2 3 32 13 2 4 1 2 3

Решение задач

§ 10. Свойства корней квадратного уравнения Теорема Виета Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Разложение квадратного трехчлена Решение задач § 11. Дробно-рациональные уравнения Решение дробно-рациональных уравнений

8 3

2 1 11 3

Решение задач

Решение задач с помощью уравнений

Решение задач. Контрольная работа № 4

3+ 1

ГЛАВА 5. НЕРАВЕНСТВА § 12. Числовые неравенства и неравенства с переменными Сравнение чисел

21 8 1

Свойства числовых неравенств

253

Оценка значений выражений

Доказательство неравенств Решение задач

2 1

§ 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем

Решение неравенств с одной переменной

Решение задач

40 41 42

Решение систем неравенств с одной переменной Решение простейших неравенств с модулем Решение задач. Контрольная работа № 5 ГЛАВА 6. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

§ 14. Степень с целым показателем и ее свойства

Определение степени с целым отрицательным показателем

Свойства степени с целым показателем Решение задач § 15. Выражения, содержащие степени с целыми показателями Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями

2 1

45 46

Стандартный вид числа Решение задач. Контрольная работа № 6 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

47 48 49

254

3 2 3+1

7 2 1 3+1 17

§ 16. Преобразование графиков функций

Функция, область определения и область значений функции Растяжение и сжатие графиков Параллельный перенос графиков функций

2 1 2

Решение задач

§ 17. Свойства и графики некоторых функций

Функции у = х–1 и у = х–2

Обратная пропорциональность и ее график

Дробно-линейная функция и ее график Решение задач. Контрольная работа № 7 Итоговое повторение Итоговая контрольная работа (зачет)

3 3+1 11 1

Инструкция по проведению и проверке итогового зачета Данный тест можно проводить как по учебнику Виленкина, так и по учебнику Макарычева. На проведение работы предполагается отвести 2 часа. При оценивании работ можно придерживаться следующих критериев: оценка «5» выставляется за верное решение 11 или 12 заданий; оценка «4» — за верное решение 9 или 10 заданий; оценка «3» — за верное решение от 6 до 8 заданий.Приведенные правила оценивания работ примерны, и учитель может их изменить с учетом уровня подготовки конкретного класса. Итоговый тест за курс 8 класса Вариант 1 1. Найдите сумму дробей а) а + b ; a–b

а b . + a+b a–b 2 2 б) а 2 + b2 ; в) 1 ; а –b a–b

г) а – b . a+b

2. Найдите произведение дробей и сократите, если это возможно: 3 4 b2 · y . y2 2b 5 2 b ; б) b 5 ; в) b 2 ; г) b . 2y 2y 16y 16y 3. Решите уравнение 5х(2х + 3) – 4х(2 + 3x) = x(14 – 2x). а) 0; б) 2; в) 14 ; г) 21 . 27 4 2 – 4x + 3 x . 4. Сократите дробь x2 – 9 а) x + 1 ; б) x – 1 ; x–3 x+3 в) x – 1 ; г) дробь несократима. x–3

а)

5. Известно, что х1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 – 7х + 12 = 0. Найдите 1 + 1 . х1 х2 7 а) – ; б) 7; в) 7 ; г) 12 . 12 12 7 6. Выберите из заданных пар чисел ту, которая является парой взаимно простых чисел. 255

а) 70 и 429;

б) 210 и 429;

в) 143 и 33;

г) 35 и 105.

7. Расположите в порядке возрастания числа 12, 3√7 , 7√3 . а) 3√7 , 7√3 , 12; б) 7√3 , 3√7 , 12; в) 7√3 , 12, 3√7 ; г) 3√7 , 12, 7√3 . 8. Известно, что b — положительное рациональное число. Какое из чисел √b2 + 2b + 4 , √b2 + 2√2b + 2, √b2 – 6b + 9 является иррациональным? а) √b2 + 2b + 4 ; б) √b2 +2√2b + 2 ; 2 в) √b – 6b + 9 г) все числа иррациональные. 1 9. При каких значениях х выражение √2(х – 3) + 7х – имеет чис√|х – 1| ловое значение? а) 2 ;+ ∞ ; б) 2 ; + ∞ ; 3 3 ∩ ∩ в) 2 ;1 (1;+ ∞); г) 2 ;1 (1;+ ∞). 3 3 10. При каких значениях пaраметра р квадратное уравнение 3х2 – 6х + р = 0 имеет два различных корня? а) р < 3; б) р ≤ 3; в) р > –3; г) р < 9. 11. Ученических тетрадей продано на 144 руб. На ту же сумму продано карандашей, но на 16 штук больше, чем тетрадей. Сколько продано тетрадей и карандашей, если стоимость карандаша на 1,5 руб. меньше стоимости тетради? Ответ: ____________ . 12. Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и встретились через 4 ч. С какой скоростью двигался каждый пешеход, если скорость одного из них на 3 км/ч больше скорости другого? Ответ: ____________ . Вариант 2. 1. Найдите разность дробей

а – b . a–b a+b 2 2 а) 1 ; б) а – b ; в) а 2 + b2 ; г) а + b . a+b а+b а –b a–b 2. Найдите частное дробей и сократите, если это возможно: а) 2а ; х 256

2а2 3 : х2 4 . х3 а 2 б) 4х ; в) 2х2;

г) 4х . а

3. Решите уравнение 4х(5 – 2х) + х(1 + 8х) = 20 + 11х. а) 2; б) 5 ; в) –12; 8 2 4. Сократите дробь x – 25x + 6 . x –4 а) x + 3 ; б) x – 3 ; в) x – 3 ; x–2 x–2 x+2

г) –2.

г) x + 3 . x+2

5. Известно, что х1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 + 5х – 14 = 0. 1 . Найдите 1 + 1 х1 х2 а) – 14 ; 5

б) 5 ; 14

в) – 5 ; 14

г) 14 . 5

6. Выберите из заданных пар чисел ту, которая является парой взаимно простых чисел. а) 33 и 110; б) 66 и 455; в) 55 и 143; г) 85 и 102. 7. Расположите в порядке возрастания числа 8, 5√3 , 3√5 . а) 5√3 , 3√5 , 8; б) 8, 5√3 , 3√5 ; в) 3√5 , 8, 5√3 ; г) 5√3 , 8, 3√5 . 8. Известно, что а — положительное рациональное число. Какое из чисел √а2 – 4а + 4 , √3 + 2√3а + а2 , √36 + 12а + а2 является иррациональным? а) √а2 – 4а + 4 ; б) √3 + 2√3а + а2 ; в) √36 + 12а + а2 ; г) иррациональных чисел нет. 9. При каких значениях х выражение 7х + 2 √5(х + 2) – 3х – √|2х + 5| имеет числовое значение? ∩ а) –5; – 5 – 5 ;+ ∞ ; в) [–5;+ ∞); 2 2 ∩ б) –5; – 5 – 5 ;+ ∞ ; г) (–5;+ ∞). 2 2 10. При каких значениях пaраметра b квадратное уравнение 2х2 – 3х – b = 0 имеет два различных корня? а) b > – 9 ; 8 9 б) b ≥ – ; 8

в) b > 9 ; 8 9 г) b < . 8 257

11. Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, отправляются навстречу друг другу велосипедист и пешеход. Если велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше пешехода, то они встретятся через 1,5 ч после выхода пешехода. Если пешеход выйдет на 1 ч раньше велосипедиста, то они встретятся через 2 ч после выезда велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и пешехода. Ответ: ______________ . 12. Два токаря за 1 ч изготовили вместе 30 деталей. При определении производительности труда каждого из токарей оказалось, что первый токарь изготовил 60 деталей на 3 ч быстрее второго. За сколько часов может изготовить 90 деталей второй токарь? Ответ: _____________ .

9 класс по учебнику Виленкина Н.Я., Виленкина А.Н., Сурвилло Г.С. и др. «Алгебра» (М.: Просвещение, 2005 и последующие годы издания) Вариант 1: 4 ч в неделю, всего 136 ч Вариант 2: 5 ч в неделю, всего 170 ч Номер параграфа

Кол-во часов

Содержание материала

Вар. 1 Вар. 2

ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ 1 2,3

Графики простейших функций. Функции х , 1 , k х х и их графики 2

Преобразование графиков Контрольная работа № 1

Квадратичная функция и ее график Дробно-линейная функция и ее график

Контрольная работа № 2

1 6

1 11

6 7

258

Функции. Способы задания функций

Общие свойства функций и построение графиков

Применение свойств квадратичной функции к решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений Понятие о простейших математических моделях. Функции в экономике Контрольная работа № 3

4 12 1

5 15 1

ГЛАВА X. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ

Деление многочленов. Корни многочленов Уравнения с одной переменной

4 11 7 1 7

7 16 8 1 7

1 6 1 2

1 7 1 4

1 2 3 1 2 3 4

ГЛАВА IX. СТЕПЕНИ И КОРНИ Степени и степенная функция Корни и степени с рациональными показателями Контрольная работа № 4 Степени с рациональными показателями и производственные функции в экономике

Системы уравнений с двумя переменными Контрольная работа № 5 Рациональные неравенства Контрольная работа № 6

Иррациональные уравнения и неравенства Контрольная работа № 7 Системы уравнений и рыночное равновесие

ГЛАВА XI. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Числовые последовательности

Метод математической индукции

3 4 5

Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Предел последовательности Контрольная работа № 8

3 5 4 1

4 6 4 1

Прогрессии, проценты и банковские расчеты

3 1 10 1 16

3 1 11 1 15

ГЛАВА XII. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Основные понятия комбинаторики 1 2

Контрольная работа № 9 Понятие вероятности события Контрольная работа № 10 ПОВТОРЕНИЕ

259

по учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И., Феоктистова И.Е. «Алгебра. углубленное изучение» (М.: Мнемозина, 2008)

5 часов в неделю, всего 170 часов Номер параграфа

Содержание материала

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 1 2

§ 1. Свойства функций

Возрастание и убывание функций Свойства монотонных функций Решение задач Четные и нечетные функции Ограниченные и неограниченные функции

§ 2. Квадратичная функция Функции у = ах2, у – ах2 + п и у = а(х – m)2

2 2 1 2 2 1 5 2

График и свойства квадратичной функции

Решение задач

3 4

Решение задач

§ 3. Преобразования графиков функций 7 8

Симметрия графиков функций Графики функций у = |f(x)| и у = f(|х|) Решение задач. Контрольная работа № 1 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

9 10 11

260

Кол-во часов

§ 4. Уравнения с одной переменной Целое уравнение и его корни Приемы решения целых уравнений Решение дробно-рациональных уравнений

7 2 2 2+1 29 9 2 3 3 1 6

Решение задач § 5. Неравенства с одной переменной Решение целых неравенств с одной переменной

Решение дробно-рациональных неравенств с одной переменной

Решение задач

§ 6. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля Решение уравнений с переменной иод знаком модуля

Решение задач Решение неравенств с переменной иод знаком модуля

16 17

§ 7. Уравнения с параметрами Целые уравнения с параметрами Дробно-рациональные уравнения с параметрами Решение задач. Контрольная работа № 2

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

18 19

§ 8. Уравнения второй степени с двумя переменными и их системы Уравнение второй степени с двумя переменными и его график Система уравнений с двумя переменными

Решение систем уравнений с двумя переменными

Решение задач Другие способы решения систем уравнений с двумя переменными Решение задач

§ 9. Неравенства с двумя переменными и их системы

6 2 1 3 8 3 2 2+1 20 11 1 1 2 1 2 4 9

Линейное неравенство с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными степени выше первой

Система неравенств с двумя переменными Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля

Решение задач. Контрольная работа № 3 ГЛАВА 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2 2+1 26 8 2

§ 10. Свойства последовательностей Числовые последовательности и способы их задания Возрастающие и убывающие последовательности

Ограниченные и неограниченные последовательности

Метод математической индукции Решение задач § 11. Арифметическая прогрессия

2 1 5

Арифметическая прогрессия. Формула п-го члена арифметической прогрессии

261

Сумма первых п членов арифметической прогрессии

Решение задач § 12. Геометрический прогрессия

1 6

Геометрическая прогрессия. Формула п-го члена геометрической прогрессии

Сумма первых я членов геометрической прогрессии

Решение задач

35 36

§ 13. Сходящиеся последовательности Предел последовательности Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Решение задач. Контрольная работа № 4 ГЛАВА 5. СТЕПЕНИ И КОРНИ

37 38

39 40

41 42

§ 14. Взаимно-обратные функции Функция, обратная данной Функция, обратная степенной функции с натуральным показателем Решение задач § 15. Корни n-й степени и степени с рациональными показателями Арифметический корень n-й степени Степень с рациональным показателем Решение задач § 16. Иррациональные уравнения и неравенства Решение иррациональных уравнений Решение иррациональных неравенств Решение задач. Контрольная работа № 5

20 5 2 2 1 0 2 3 1 9 3 3 2+1

ГЛАВА 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

43 44 45

§ 17. Тригонометрические функции Угол поворота Измерение углов поворота в радианах Определение тригонометрических функции Решение задач

5 1 1 2 1

40 47 48

Некоторые тригонометрические тождества Свойства тригонометрических функций Графики и основные свойства синуса и косинуса

§ 18. Свойства и графики тригонометрических функций

262

7 2 2 2+1

7 1 1 2

Графики и основные свойства тангенса и котангенса Решение задач § 19. Основные тригонометрические формулы

2 1 9

50 51 52 53

Формулы приведения Решение простейших тригонометрических уравнений Связь между функциями одного и того же аргумента Преобразование тригонометрических выражений Решение задач § 20. Формулы сложения и их следствия

2 2 2 2 1 11

Синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух углов

Формулы двойного и половинного углов

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Решение задач. Контрольная работа № 6

57 58 59

60 61 62

ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 21. Основные понятия и формулы комбинаторики Перестановки Размещения Сочетания Решение задач § 22. Элементы теории вероятностей Частота и вероятность Сложение вероятностей Умножение вероятностей Решение задач. Контрольная работа Итоговое повторение

2+1 16 7 2 2 2 1 9 2 2 2 2+1 5

Примечание. Итоговая контрольная работа по алгебре за 7–9 классы проводится по вариантам выпускных экзаменов прошлых лет.

263

Примерное тематическое планирование 8 класс

3 ч в неделю, всего 122 ч по учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др. «геометрия. 7–9» (М.: Просвещение, 1990 и последующие годы издания)

Вступительное занятие (1 ч). Контрольная работа № 1 на повторение курса 7 класса (2 ч). Разбор контрольной работы (1 ч). Четырехугольники (18 ч) Многоугольник. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Виды многоугольников. Стороны, внутренние углы, внешние углы многоугольника, его диагонали. Сумма углов выпуклого многоугольника (внутренних и внешних). Число диагоналей выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Четырехугольники и их виды. Параллелограмм. Элементы параллелограмма: стороны, углы, диагонали, высоты. Свойства и признаки параллелограмма. Свойства биссектрис внутренних углов параллелограмма. Теорема Фалеса. Нежесткость параллелограмма. Построение параллелограмма по его элементам. Контрольная работа № 2. Частные виды параллелограмма. Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника. Ромб. Свойства и признаки ромба. Построение ромба. Квадрат. Свойства и признаки квадрата. Трапеция, виды и свойства трапеции. Равнобедренная трапеция. Теорема о средней линии треугольника и трапеции. Теорема о медианах треугольника. Разбиение трапеции на треугольник и параллелограмм. Задачи на построение, связанные с параллелограммом и трапецией (построение трапеции по четырем отрезкам, построение треугольника по его медианам и другие). Контрольная работа № 3. Площадь. Теорема Пифагора (18 ч) Понятие площади. Свойства площадей. Равносоставленные и равновеликие многоугольники. Задачи на разрезание многоугольников. Площадь 264

квадрата, прямоугольника. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Отношение площадей треугольников, имеющих по равной стороне, равной высоте. Способы нахождения площадей некоторых многоугольников. Площадь ромба. Триангуляция. Площадь трапеции. Контрольная работа № 4. Теорема Пифагора (прямая и обратная). Пифагоровы тройки натуральных чисел. Приложения теоремы Пифагора. Формула Герона. Вычисление площади трапеции по длине ее оснований и боковых сторон. Контрольная работа № 5. Подобие треугольников и произвольных фигур (20 ч) Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей двух треугольников, имеющих равный угол. Отношение площадей подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Свойство биссектрисы угла треугольника; свойство биссектрисы внешнего угла треугольника. Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Расширенная теорема Фалеса. Контрольная работа № 6. Теоремы Чевы и Менелая (прямые и обратные). Примеры решения задач на построение методом подобия. Пропорциональные отрезки в трапеции. Подобие многоугольников. Понятие о подобии произвольных фигур. Контрольная работа № 7. Соотношения между сторонами и углами треугольника (18 ч) Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°. (Можно рассмотреть те же вопросы относительно угла в 18°.) Соотношения междусторонами и углами прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников. Нахождение угла по его тригонометрическим функциям с помощью микрокалькулятора и таблиц. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же острого угла. Контрольная работа № 8. Формулы для вычисления тригонометрических функций тупых углов. Тригонометрические функции прямого угла. Теорема косинусов. Формула вычисления площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Теорема синусов. Контрольная работа № 9. Окружность (20 ч) Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности. [Представление о касательной к кривой линии на плоскости.]1 Взаимное 265

расположение двух окружностей. Общие касательные к двум окружностям. Центральный и вписанный углы. Теорема о вписанном угле. Измерение углов, связанных с окружностью. Пропорциональные отрезки в окружности (теоремы об отрезках хорд и об отрезках секущих). Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Контрольная работа № 10. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанные и описанные окружности. Расширенная теорема синусов. Многоугольники и окружности. Теоремы о вписанных и описанных выпуклых четырехугольниках. Контрольная работа № 11. Решение задач, повторение и закрепление (6 ч) Экзаменационная работа (при наличии письменного экзамена).

Пример итоговой контрольной работы (2 ч)

Вариант 1 1. Через точку О – середину диагонали МК параллелограмма MNKP проведена прямая, пересекающая стороны NK и MP соответственно в точках А и В. Докажите, что МАКВ – параллелограмм. 2. В трапеции ABCD AD и DC – основания, AD : BC = 2 : 1. Точка E — середина стороны BC трапеции. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 60 см2. 3. На продолжении диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка M, которая соединена с вершиной B. Докажите, что AM ∙ CM = MB2 – AB2. 4. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите меньшее основание трапеции, если ее высота равна 2, а большее основание — 3. 5. В треугольнике ABC BM – медиана, ∠ ABС= α , ∠ MBC = β. Найдите AB, если BM = m. 6. Диагонали ромба 3 и 4. Найдите радиус вписанного в ромб круга. Вариант 2 1. Через середину диагонали AC параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD, а также продолжение сторон CD и AB соответственно в точках F и E. (F ∈ AB). Докажите, что EAFC параллелограмм. 266

2. В трапеции ABCD, BC и AD – основания, BC : AD = 3 : 4. Площадь трапеции равна 70 см2. Найдите площадь треугольника ABC. 3. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна x. Произвольная точка M на катете BC соединена с вершиной A, а точка H на катете AC соединена с вершиной B. Найдите длину отрезка MH, если AM2 + BH2 = y2. 4. В трапеции ABCD ∠A = 90о, луч DM, являющийся биссектрисой острого угла ADC, пересекает отрезок AB в его середине – точке M. Из точки M проведен перпендикуляр MK к стороне CD, KC = 4 см, KD = 9 см. Найдите MK. 5. В треугольнике ABC BD – медиана, ∠ABD = α, ∠DBC = β, ВC = a. Найдите ВD. 6. В ромб вписана окружность. Точка касания окружности и стороны ромба делит сторону в отношении 1 : 5. Площадь ромба равна 60 5 . Найдите радиус окружности.

9 класс 3 ч в неделю, всего 122 ч Векторы (20 ч) Понятие вектора, равенство векторов, коллинеарные и сонаправленные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Условие коллинеарности векторов. Некоторые стандартные соотношения, связанные с разложением вектора на плоскости (разложение медианы и чевианы, условие принадлежности трех точек одной прямой). Применение векторов к решению задач и доказательству теорем планиметрии. Контрольная работа № 1. Скалярное произведение векторов. Понятие об арксинусе и арккосинусе. Элементы векторной алгебры. Применение векторов к решению задач и доказательству теорем планиметрии. Контрольная работа № 2. Метод координат на плоскости (16 ч) Координаты вектора. Ортонормированный базис. Ортогональная система координат. Простейшие задачи в координатах: вычисление расстояния между двумя точками, определение середины отрезка, действия над векторами в координатах (сложение, вычитание, умножение на скаляр, скалярное произведение). Угол между двумя векторами. Условие коллинеарности и 267

ортогональности векторов. Деление отрезка в данном отношении. Решение задач координатным методом. Контрольная работа № 3. Примеры уравнений линий на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой и его виды. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми в координатах. Понятие арктангенса. Расстояние от точки до прямой в координатах. Геометрические места точек плоскости в координатах. Представление об уравнениях эллипса, гиперболы и параболы. Решение задач координатным методом. Контрольная работа № 4. Длина окружности и площадь круга (12 ч) Правильные многоугольники: их свойства и связанные с ними соотношения. Длина окружности. Длина дуги. Площадь круга, сектора, сегмента. Контрольная работа № 5. Движения (15 ч) Отображение плоскости на себя, понятие движения. Ориентация плоскости. Параллельный перенос, центральная и осевая симметрии, поворот вокруг точки. Задание движений в координатах (формулы параллельного переноса, центральной симметрии, осевой симметрии относительно осей координат, поворота вокруг начала координат). Композиция движений. Теорема Шаля. Решение задач на построение и доказательство при помощи движений. Понятие о гомотетии и инверсии. Контрольная работа № 6. О развитии геометрии и ее месте в науке и технике (3 ч) Практикум по решению задач по планиметрии (27 ч) Решение задач (6 ч). Тестирование. Контрольная работа № 7 (3 ч). Решение задач (5 ч). Контрольная работа № 8 (4 ч). Повторение и подготовка к устному экзамену по геометрии (если предусматривается) (9 ч).

268

Пример итоговой контрольной работы (4 ч) Вариант 1 1. На окружности радиуса R последовательно отмечены точки А, В, С и D так, что величины дуг АВ и ВС равны соответственно 50° и 80°, а диагонали четырехугольника ABCD равны между собой. Найдите длину наибольшей стороны четырехугольника. 2. Отрезок СН — высота прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°); HL = 3HK, где HL и НК – биссектрисы треугольников ВСН и АСН соответственно, АВ = 2√5 . Найдите площадь треугольника ABC. 3. На двух сторонах прямого угла с вершиной М выбраны точки D и К соответственно так, что MD : MK = 7. На биссектрисе угла DMК взята точка Е, равноудаленная от D и К. Определите длину отрезка DK, если МЕ = 4. 4. Отрезок СМ — биссектриса треугольника ABC. Точки К и Р — основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны треугольника АС и ВС соответственно; C = 2 AC, ∠BCA = 60°, МК = 2. Найдите отношение 3 площадей треугольников МСА и ВМС и длину стороны АВ. 5. Трапецию можно вписать в круг, радиус которого в 2 √7 раз больше 3 радиуса круга, вписанного в эту же трапецию. Найдите все углы данной трапеции. Вариант 2 1. На окружности радиуса r последовательно отмечены точки K, M, N и Q так, что величины дуг КМ и MN равны соответственно 40° и 100°, а хорды KN и MQ пересекаются под углом 70°. Найдите длину наибольшей стороны четырехугольника KMNQ. 2. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота СН. Отрезки АМ и CP — медианы треугольников АСН и НСВ соответственно, причем 3АМ = 4СР. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если его площадь равна 96. 3. Угол ABC прямой, АВ = 4, ВС = 3. Найдите расстояние от B до точки K, лежащей на биссектрисе прямого угла, если точка К равноудалена от А и С. 4. В остроугольном треугольнике ABC высоты АА1 = 2, СС1 = 4, BN — биссектриса треугольника, AN= 5 . Найдите длину отрезка NC и площадь 3 треугольника ABC. 269

5. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точки касания этой окружности со сторонами трапеции являются вершинами четырехугольника, площадь которого в 4 раза меньше площади трапеции. Чему равен наименьший угол трапеции? Вариант 3 → 1. Для четырех точек плоскости А, D, F и N выполняется соотношение AN = → → = 4AD – 3AF . Докажите, что точки D, N и F принадлежат одной прямой. Найдите ND, если NF = 12. 2. На боковой стороне трапеции выбрана точка, делящая эту сторону в отношении 3 : 1, считая от вершины меньшего основания. Прямая, проходящая через эту точку параллельно основаниям, делит площадь трапеции в отношении 2 : 1 (считая от меньшего основания). В каком отношении делит площадь трапеции ее средняя линия? 3. Окружность радиуса R касается катета РМ прямоугольного треугольника MPN в точке М, а также касается катета PN и пересекает гипотенузу треугольника, деля ее в отношении 4 : 1, считая от вершины М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MPN. 4. В полукруг диаметра d помещены две равные касающиеся друг друга окружности. Определите длину одной такой окружности, если каждая из двух окружностей касается также диаметра полукруга и его дуги. 5. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин квадрата равна сумме квадратов его диагоналей, есть описанная около этого квадрата окружность. (Возможно использование координатного метода.) Вариант 4

→

1. Для четырех точек плоскости A, D, C и D выполняется соотношение 5ОВ =

→

= ОА + 4ОС. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите ВС, если AB = 24. 2. На боковой стороне CD трапеции ABCD выбраны точки М и L так, что СМ = ML = LD, а на стороне АВ выбраны точки N и Р так, что АР = PN = NB. Отношение площадей четырехугольников BNMC и APLD paвнo 1 : 3. Чему равно отношение оснований AD и ВС трапеции? 3. Треугольник ADF равнобедренный (AD = DF). Окружность касается основания треугольника в точке А, стороны DF, а также пересекает сторону AD в точке М такой, что AM : MD = 3. Найдите длину основания треугольника ADF. 270

4. Две окружности радиусов r и 0,5r касаются внутренним образом в точке D. Отрезок DP — диаметр окружности большего радиуса. Найдите радиус третьей окружности, если она касается двух данных окружностей и отрезка DP. 5. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до сторон квадрата в полтора раза больше площади этого квадрата, есть вписанная в этот квадрат окружность. (Возможно использование координатного метода.)

10–11 классы по учебнику Виленкина Н.Я., Ивашева-Мусатова О.С., Шварцбурда С.И. «Алгебра и математический анализ. 10» (М.: Просвещение, 1995 и последующие годы издания)

10 класс

I полугодие — 5 ч в неделю II полугодие — 6 ч в неделю; всего 180 ч I полугодие Повторение и углубление материала 9 класса (15 ч) Радианное измерение углов, длина дуги, площадь сектора и сегмента. Единичная окружность и координатная прямая. Форма представления чисел, задаваемых точками на координатной окружности. Определение тригонометрических функций числового аргумента. Четность и нечетность тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций. Другие свойства тригонометрических функций, их графики. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента. Нахождение значений тригонометрических функций через значение одной из них. Формулы приведения. Тригонометрические формулы сложения и другие формулы преобразования тригонометрических функций, вытекающие из формул сложения. Преобразование выражения аcos α + bsin α. Построение более сложных графиков, связанных с тригонометрическими функциями. Контрольная работа № 1.

271

Обратные тригонометрические функции (10 ч) Определения, свойства и графики arccos x, arcsin x, arctg x и arcctg x. Преобразования и вычисления, связанные с обратными тригонометрическими функциями. Решение уравнений и неравенств, связанных с обратными тригонометрическими функциями. Контрольная работа № 2. Тригонометрические уравнения (20 ч) Простейшие тригонометрические уравнения. Основные типы тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения, содержащие неизвестное под одной и той же тригонометрической функцией одного и того же аргумента и сводящиеся к ним. Однородные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним. Решение уравнений с использованием выражения аcos α + bsin α. Контрольная работа № 3. Уравнения вида sin(f(x)) = sin(φ(x)) и аналогичные им. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Формулы понижения степени при решении тригонометрических уравнений. Некоторые приемы решения трансцендентных уравнений, содержащих тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения с параметрами. Контрольная работа № 4. Тригонометрические неравенства (10 ч) Простейшие тригонометрические неравенства. Их решение на тригонометрическом круге и на графике. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств. Замена переменной при решении тригонометрических неравенств. Некоторые приемы решения трансцендентных неравенств, содержащих тригонометрические функции. Тригонометрические неравенства с параметрами. Контрольная работа № 5. Многочлены от одной переменной (13 ч) Многочлены. Степень многочлена коэффициенты многочлена. Равенство двух многочленов. Метод неопределенных коэффициентов. Действия над многочленами. Замкнутость многочленов относительно их сложения и умножения. Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком. Метод деления многочленов «уголком». Теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера. Корни многочлена. Кратные корни. Теорема о целом корне приведенного многочлена с целыми коэффициентами. Теорема о рациональном корне многочлена 272

с целыми коэффициентами. Использование результатов этих теорем для нахождения корней многочлена, доказательства иррациональности некоторых чисел, решение задач, связанных с делимостью многочленов и остатками при делении многочленов. Составление многочлена по его корням. Теорема Виета. Применение схемы Горнера для нахождения корней многочлена и составления многочлена по его корням. Контрольная работа № 6. Рациональные уравнения и неравенства (10 ч) Равносильность уравнений. Уравнения высших степеней. Приемы их решения. Замена переменной и разложение на множители. Возвратные уравнения. Уравнения однородные относительно входящих в них выражений. Рациональные неравенства. Решение рациональных неравенств методом интервалов. Системы рациональных неравенств. Рациональные уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами. Контрольная работа № 7. Числовые функции (14 ч) Числовые функции, способы их задания, операции над функциями, композиция функций. Основные способы преобразования графиков функций (симметрия, параллельный перенос, сжатие и растяжение). График функции, взятой по модулю, и функция от модуля аргумента. Построение графиков линейной, квадратичной, дробно-линейной, тригонометрических функций и других функций. Основные свойства функций, область определения, множество значений функции, нули функции, интервалы знакопостоянства функции, четность, нечетность, периодичность. Монотонность функции, интервалы монотонности, экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Уточнение понятия об обратной функции. Понятие об асимптотическом поведении функции в точке и на бесконечности. Исследование функции по графику. Числовые последовательности, рекуррентный способ их задания, переход к формуле общего члена. Повторение арифметической и геометрической прогрессий, метода математической индукции. Изучение свойств числовых последовательностей. Монотонность и ограниченность. Контрольная работа № 8.

273

II полугодие Предел и непрерывность (22 ч) Бесконечно малые числовые последовательности и их свойства. Примеры 1 бесконечно малых ( ; q n , где q < 1 ). Определение предела числовой послеn довательности. Свойства пределов числовых последовательностей. Приемы нахождения пределов числовых последовательностей. Необходимый признак сходимости (ограниченность). Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (без доказательства). Уточнение понятий о длине окружности и площади круга. Число е. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Понятие о числовых рядах и их сходимости. Бесконечно малая функция на плюс бесконечности. Примеры. Предел функции на плюс бесконечности. Теоремы о пределах. Предел функции на минус бесконечности. Бесконечно большие функции. Горизонтальные и наклонные асимптоты. Основные методы их нахождения. Контрольная работа № 9. Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Предельный переход в неравенствах. Непрерывность функции в точке. Виды разрывов. Вертикальные асимптоты. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность основных функций (многочлены, дробно-рациональные, тригонометрические). Представление о непрерывности сложных и обратных функций. Непрерывность степенной функции с рациональным показателем. Непрерывность обратных тригонометрических функций.   sin   Первый замечательный предел  lim  = 1. Техника нахождения преде x →0  x   лов. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке. Другие свойства непрерывных функций. Теоретические основы решения неравенств методом интервалов. Метод нахождения приближенного значения корня функции половинным делением. Контрольная работа № 10. Производная и ее применение (40 ч) Приращение функции. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Нахождение производной по определению (x; x2; x3; 274

1 х

x; sin x; cos x). Непрерывность и дифференцируемость.

Примеры непрерывных в точке функций, не имеющих в этой точке производных. Критические точки функции. Производная суммы, произведения и частного. Производная степенной функции с целым показателем, производная тангенса и котангенса. Теорема о производной обратной функции, способы нахождения производной обратной функции. Производная степенной функции с рациональным показателем. Производные обратных тригонометрических функций. Техника дифференцирования. Контрольная работа № 11. Уравнения касательной и нормали. Задачи на касательную. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Понятие о методе Лопиталя. Исследование функции на монотонность и экстремумы. Различные случаи поведения функции в критических точках. Методы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Примеры задач геометрического и физического содержания, решаемых с помощью производных. Применение производной к доказательству неравенств, решению и исследованию уравнений и неравенств. Контрольная работа № 12. Вторая производная и производные высших порядков. Выпуклость функции. Исследование функции на выпуклость с помощью второй производной. Примеры доказательства неравенств с помощью второй производной. Полное исследование функции и построение графика. Применение производных к приближенным вычислениям. Понятие о разложении функции в ряд Тейлора. Обобщающие задачи на применение производной. Контрольная работа № 13. Обобщающее повторение (36 ч) Контрольная работа № 14. Итоговая контрольная работа (на 3–4 ч).

Пример итоговой контрольной работы (3–4 ч) 1. Решите уравнение cos 4x + 3cos2x = a [2cos 4x – 3sin2x = b], π π  если один из его корней равен  . 3 6 275

2− x π   arcsin x ≥ 6 . 3. Найдите уравнение всех общих касательных к графикам функций: y = 4x2 и y = –x2 + 6x – 2 [y = –9x2 и y = –x2 – 8x]. 4. Исследуйте функцию y = 5x + 3 − x [y = x − 4 − 7x] и для каждого значения d укажите число корней уравнения 5x + 3 − x = d [ x − 4 – 7x = d]. 5. Остаток от деления многочлена f(х) на х2 + 4х – 5 [х2 – 8х + 7] равен 3х + + 7[5х + 3]. Найдите f(1) – f(–5) [f(1) + f(7)]. x3  x3  6. Исследуйте функцию y = = y   и постройте ее график. 1− x  1+ x 2. Решите неравенство arccos

2 − x 2π < x 3

11 класс

I полугодие — 5 ч в неделю II полугодие — 6 ч в неделю; всего 180 ч I полугодие Показательная, логарифмическая и степенная функции (48 ч) Свойства степенной функции с натуральным показателем, ее график. Свойства степенной функции с целым показателем, ее график. Свойства степенной функции с рациональным показателем, ее график. Понятие о степени с иррациональным показателем. Свойства степенной функции с произвольным действительным показателем. Показательная функция, ее свойства и график. Построение графиков, связанных с показательной функцией. Функция, обратная показательной. Понятие о логарифме. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция и ее график. Определение и свойства логарифмов. Основные формулы и примеры преобразования логарифмов. Сравнение логарифмов. Контрольная работа № 1. Решение простейших показательных уравнений и неравенств на основании свойств показательной функции. Показательные уравнения, их классификация и способы решения. Показательные неравенства и способы их решения. Метод интервалов при решении показательных неравенств. Контрольная работа № 2. 276

Решение простейших логарифмических уравнений и неравенств на основании свойств логарифмической функции. Логарифмические уравнения, их классификация и способы решения; случаи потери корней и приобретения посторонних корней. Логарифмические неравенства и способы их решения. Метод интервалов при решении логарифмических неравенств. Контрольная работа № 3. Иррациональные уравнения, их классификация и способы решения; случаи потери корней и приобретения посторонних корней. Решение иррациональных неравенств. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Уравнения и неравенства, содержащие степенную функцию. Трансцендентные уравнения и неравенства, связанные со степенной, логарифмической и показательной функциями. Контрольная работа № 4. Число е. Натуральные логарифмы. Некоторые пределы, связанные с числом е. Производные показательной, логарифмической и степенной функций. Логарифмическое дифференцирование. Решение задач на применение производных от данных функций, в том числе задач, где речь идет о касательных. Исследование функций, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Контрольная работа № 5. Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций и связанные с этим пределы. Нахождение асимптот графиков функций, заданных с помощью показательной, степенной и логарифмической функций. Полное исследование и построение графиков таких функций. Доказательство неравенств. Контрольная работа № 6. Интеграл и дифференциальные уравнения (26 ч) Повторение темы «Производная». Техника дифференцирования. Первообразная функции на промежутке. Таблица первообразных. Свойства первообразной. Задача Коши. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Нахождение неопределенных интегралов. Неопределенный интеграл сложной функции. Интегрирование путем замены переменной. Понятие об интефировании по частям. Техника интегрирования. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения, решаемые непосредственно интегрированием. Дифференциальные уравнения гармонического колебания. Уравнения с разделяющимися переменными (физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям). Контрольная работа № 7. 277

Определенный интеграл. Формула Ньютона–Лейбница. Свойства определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Квадрируемость. Методы нахождения площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Другие приложения определенного интеграла в геометрии и физике. Решение задач. Контрольная работа № 8. Комплексные числа (26 ч) История развития числа, определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Условия равенства двух комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа и их свойства. Возведение комплексного числа в целую степень. Корень из комплексного числа в алгебраической форме. Контрольная работа № 9. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Примеры множеств точек, задаваемых на комплексной плоскости уравнениями и неравенствами, содержащими комплексные числа. Контрольная работа № 10. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Формулы тригонометрических функций кратных углов. Комплексные числа и геометрические преобразования на плоскости. Корни n-й степени из 1 и их свойства. Корни из комплексного числа. Решение задач. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия. Теорема о комплексном корне многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена на множители. Обобщенная теорема Виета. Упражнения на действия с комплексными числами. Контрольная работа № 11. II полугодие Многочлены от нескольких переменных. Системы уравнений и неравенств (18 ч) Стандартный вид многочлена от нескольких переменных. Симметрические многочлены, однородные многочлены. Применение их свойств для доказательства неравенств и сведение решения некоторых алгебраических систем к нахождению корней многочлена (с использованием теоремы Виета). Гео278

метрический смысл уравнения с двумя переменными. Решение неравенств с двумя переменными. Контрольная работа № 12. Системы уравнений. Метод исключения, метод алгебраического сложения. Метод замены переменных. Системы линейных уравнений и метод Гаусса. Примеры решения иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических систем уравнений. Самостоятельная работа. Контрольная работа № 13. Элементы комбинаторики и теории вероятностей (16 ч) Примеры комбинаторных задач. Правило суммы и произведения. Формулы для вычисления числа перестановок, числа размещений различных элементов. Примеры задач. Сочетания, их свойства. Примеры задач. Формулы бинома Ньютона. Треугольник Паскаля. Размещения, перестановки и сочетания с повторениями. Случайные события. Классическое определение вероятности. Примеры задач на нахождение вероятности с применением комбинаторных методов. Несовместные события и теорема сложения. Независимые испытания, умножение вероятностей, условная вероятность, представление о формулах Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли. Понятие о геометрической вероятности. Контрольная работа № 14. Повторение (36 ч) Уравнения, неравенства и их системы. Контрольная работа № 15. Производная и ее применение. Первообразная и ее применение. Контрольная работа № 16. Комплексные числа. Контрольная работа № 17. Решение комплексных заданий на повторение, в том числе тестирование. Четырехчасовая репетиционная контрольная работа (проводится по вариантам выпускных экзаменов прошлых лет). Итоговые уроки.

279

Примерное тематическое планирование учебного материала с углубленным изучением математики по учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др. «геометрия. 10–11» 10 класс

3 ч в неделю, всего — 102 ч № урока

Содержание учебного материала

Введение Аксиомы стереометрии и их следствия (5 ч) 1

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии (пункты 1, 2)

Некоторые следствия из аксиом (пункт 3)

3–5

Вопросы и задачи. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин)

Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей (25 ч) § 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости 1,2 3

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых (пункты 4, 5) Параллельность прямой и плоскости (пункт 6)

4–6

Вопросы и задачи. Повторение теории, решение задач на параллельность прямой и плоскости. Самостоятельная работа (на 15 мин)

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми 7

Скрещивающиеся прямые (пункт 7)

8 9

Углы с сонаправленными сторонами (пункт 8) Угол между прямыми (пункт 9) Вопросы и задачи. Повторение теории, решение задач. 10, 11 Контрольная работа № 1 (на 20 мин) § 3. Параллельность плоскостей 12

280

Параллельные плоскости (пункт 10)

Свойства параллельных плоскостей (пункт 11)

14, 15 Вопросы и задачи. Повторение теории, решение задач § 4. Тетраэдр и параллелепипед 16 17 18–21 22, 23

Тетраэдр (пункт 12) Параллелепипед (пункт 13) Задачи на построение сечений. Теоремы Менелая и Чевы (пункты 14, 95, 96) Задачи. Вопросы к главе I

24, 25 Контрольная работа № 2. Зачет № 1

Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей (23 ч) § 1. Перпендикулярность прямой и плоскости 1

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости (пункты 15, 16)

Признак перпендикулярности прямой и плоскости (пункт 17)

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости (пункт 18) Задачи. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости. Самостоятельная работа (на 15 мин)

4–6

§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 7

Расстояние от точки до плоскости (пункт 19)

8,9

Теорема о трех перпендикулярах (пункт 20)

Угол между прямой и плоскостью (пункт 21)

Задачи. Повторение теории и решение задач на применение теоремы о трех 11–13 перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью. Самостоятельная работа (на 15 мин.) § 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей 14

Двугранный угол (пункт 22)

Признак перпендикулярности двух плоскостей (пункт 23)

16 17 18 19, 20 21–23

Прямоугольный параллелепипед (пункт 24) Трехгранный угол (пункт 25*) Многогранный угол (пункт 26*) Задачи. Вопросы к главе II Дополнительные задачи. Контрольная работа № 3. Зачет № 2

Глава III. Многогранники (23 ч) 1 2

§ 1. Понятие многогранника. Призма Понятие многогранника. Геометрическое тело (пункты 27, 28*) Теорема Эйлера (пункт 29*)

281

3, 4 5 6–8

Призма (пункт 30) Пространственная теорема Пифагора (пункт 31*) Задачи. Самостоятельная работа (на 15—20 мин) § 2. Пирамида

9 10 11 12–15

Пирамида (пункт 32) Правильная пирамида (пункт 33) Усеченная пирамида (пункт 34) Задачи. Самостоятельная работа (на 15–20 мин) § 3. Правильные многогранники 16 Симметрия в пространстве (пункт 35) 17 Понятие правильного многогранник (пункт 36) Элементы симметрии правильных многогранников. Практические задания 18 (пункт 37) 19, 20 Вопросы и задачи. Вопросы к главе III 21 Дополнительные задачи 22, 23 Контрольная работа № 4. Зачет № 3

Глава IV. Векторы в пространстве (17) § 1. Понятие вектора в пространстве Понятие вектора (пункт 38) Равенство векторов (пункт 39) Вопросы и задачи § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 4 Сложение и вычитание векторов (пункт 40) 5 Сумма нескольких векторов (пункт 41) 6 Умножение вектора на число (пункт 42) 7, 8 Задачи. Повторение теории и решение задач 1 2 3

§ 3. Компланарные векторы 9

Компланарные векторы (пункт 43)

Правило параллелепипеда (пункт 44)

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам (пункт 45)

12–14 Вопросы и задачи. Вопросы к главе IV 15, 16 Дополнительные задачи 17

Зачет № 4

1–9

Заключительное повторение курса геометрии 10 класса

282

Пример итоговой контрольной работы Вариант 1 1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоские углы при вершине М равны 60°. Точка К лежит на стороне основания AD и делит ее в отношении 1 : 3, считая от А. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMC. 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 c ребром b. Точка К лежит на ребре AD и делит его в отношении 1 : 2, считая от А; точка Р — середина ребра DC. а) Постройте сечение куба плоскостью B1KP. б) Найдите величину двугранного угла В1(КР)В. в) Найдите площадь сечения. 3. Высота DH правильного тетраэдра DABC равна h и является диаметром шара. Найдите длину линии�� пересечения �� поверхности тетраэдра и сферической поверхности. Вариант 2 1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°. Точка К лежит на стороне основания CD и делит ее в отношении 5 : 3, считая от С. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMA. 2. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро основания равно 8 см, а высота равна 8,8 см. Точка К лежит на ребре основания AD и делит его в отношении 5:3, считая от D; Р — середина ребра АВ. а) Постройте сечение куба плоскостью С1КР. б) Найдите величину двугранного угла С1(КР)С. в) Найдите площадь сечения. 3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Точка М лежит на высоте тетраэдра СН и делит ее в отношении 1 : 3, считая от Н. При этом точка М является центром шара, касающегося ребра АВ. Найдите длину линии пересечения поверхности тетраэдра и сферической поверхности.

11 класс

3 ч в неделю, всего — 102 ч № урока

Содержание учебного материала

Глава V. Метод координат в пространстве. Движения (26 ч) § 1. Координаты точки и координаты вектора 1

Прямоугольная система координат в пространстве (пункт 46)

283

Координаты вектора (пункт 47)

Связь между координатами векторов и координатами точек (пункт 48)

4, 5 6, 7

Простейшие задачи в координатах (пункт 49) Вопросы и задачи. Контрольная работа № 1 (на 20 мин) §2. Скалярное произведение векторов

8,9

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов (пункты 50, 51)

10, 11 Вычисление углов между прямыми и плоскостями (пункт 52) 12, 13 Уравнение плоскости (пункт 53*) 14–17 Задачи. Самостоятельная работа § 3. Движения 18

Центральная симметрия. Осевая симметрия (пункты 54, 55)

Зеркальная симметрия. Параллельный перенос (пункты 56, 57)

20, 21 Преобразование подобия. Задача Эйлера (пункты 58*, 94) 22, 23 Задачи. Вопросы к главе V 24

Дополнительные задачи

25, 26 Контрольная работа № 2. Зачет № 1

Глава VI. Цилиндр, конус, шар (27 ч) § 1. Цилиндр 1

Понятие цилиндра (пункт 59)

Площадь поверхности цилиндра (пункт 60)

3, 4

Задачи. Самостоятельная работа § 2. Конус

Понятие конуса (пункт 61)

Площадь поверхности конуса (пункт 62)

Усеченный конус (пункт 63)

8,9 10

Задачи. Самостоятельная работа § 3. Сфера Сфера и шар. Уравнение сферы (пункты 64, 65)

Взаимное расположение сферы и плоскости (пункт 66)

Касательная плоскость к сфере (пункт 67)

Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и прямой (пункты 68, 69*)

Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность (пункт 70*)

Сфера, вписанная в коническую поверхность (пункт 71*)

284

Сечения цилиндрической поверхности. Сечения конической поверхности. Эллипс, гипербола, парабола (пункты 72*, 73*, 97, 98, 99) 20, 21 Задачи. Самостоятельная работа (на 15 мин) 16–19

22, 23 Вопросы к главе VI. Дополнительные задачи 24, 25 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 26, 27 Контрольная работа № 3. Зачет № 2

Глава VII. Объемы тел (33 ч) § 1.Объем прямоугольного параллелепипеда 1, 2

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда (пункты 74, 75)

3, 4

Задачи. Самостоятельная работа на 15 мин §2. Объем прямой призмы и цилиндра

Объем прямой призмы (пункт 76)

Объем цилиндра (пункт 77)

7, 8

Вопросы и задачи § 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла (пункт 78)

Объем наклонной призмы (пункт 79)

Объем пирамиды (пункт 80)

Объем конуса (пункт 81)

13–15

Задачи. Повторение теории и решение задач

Контрольная работа № 4

Объем шара (пункт 82)

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора (пункт 83)

Площадь сферы (пункт 84*)

§ 4. Объем шара и площадь сферы

20, 21

26, 27

Вопросы и задачи. Вопросы к главе VII Дополнительные задачи. Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар Задачи для повторения

28–31

Задачи повышенной трудности

32, 33

Контрольная работа № 5. Зачет № 3

1–16

Заключительное повторение курса геометрии, подготовка учащихся к итоговой аттестации

22–25

285

Пример итоговой контрольной работы Вариант 1 1. Через середины ребер MB и CD параллельно диагонали BD основания правильной четырехугольной пирамиды MABCD проведена плоскость. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро равно b. 2. Шар радиуса 1 касается трех ребер трехгранного угла МАВС. Найдите расстояние от вершины М до центра шара, если ∠AMB = 90°, ∠AMC = = ∠ ВМС = 60°. 3. В тело, полученное вращением прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2√3 вокруг гипотенузы, вписана правильная треугольная призма, боковая грань которой квадрат, а основание перпендикулярно оси вращения. Найдите отношение объема тела вращения к объему призмы. 4. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольная трапеция ABCD с основаниями АВ = 3а и CD = 2а, боковой стороной ВС = 2а и прямым углом А. Двугранные углы при ребрах ВС и CD равны, грань ASB перпендикулярна 5 7

основанию пирамиды, ∠BSC = arccos . Найдите объем пирамиды. Вариант 2 1. Сечение правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 проходит через середины ее ребер АС и А1В1 параллельно диагонали А1С боковой грани. Постройте это сечение и найдите его площадь, если сторона основания призмы равна а, а боковое ребро равно b. 2. Шар радиуса R касается трех граней трехгранного угла МКРС. Найдите расстояние от центра шара до ребра МС, если ∠КМР = 90°, ∠KMC = = ∠PMC = 60°. 3. В тело, полученное вращением треугольника со сторонами 2, 7 и 5√3 вокруг его большей стороны, вписана правильная четырехугольная призма с основанием, перпендикулярным оси вращения. Диагональ призмы образует с осью вращения угол 30°. Какую часть объема тела вращения составляет объем призмы? 4. В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 5. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SC = 7, ∠CSB = 45°. Найдите объем пирамиды.

286

Методические рекомендации по разработке и утверждению рабочих программ учебных курсов по математике В настоящее время в практике работы общеобразовательных учреждений Приднестровской Молдавской Республики используются Базисный и Примерные учебно-развивающие планы, утвержденные приказом МП ПМР № 332 от 25.04.2003 г., и Базисный учебно-развивающий и Примерные учебные планы (для некоторых возможных профилей), утвержденные приказом Министерства просвещения ПМР № 314 от 10.04.2006 г., которые были разработаны в соответствии с Законом ПМР «Об образовании» (САЗ 03-26), с учетом формирования единого образовательного пространства с Российской Федерацией, в рамках утвержденного Приказом Минобразования РФ от 05.03.2004 г. № 1089 республиканского компонента образовательного стандарта по математике. На основе госстандарта созданы четыре «Примерные программы по математикеБазисного учебного плана»: — «Примерная программа основного общего образования по математике»; — «Примерная программа среднего (полного) общего образования по математике» (базовый уровень); — «Примерная программа среднего (полного) общего образования по математике» (базовый уровень для профилей гуманитарной направленности); — «Примерная программа среднего (полного) общего образования на профильном уровне. Математика». Данные программы являются инструментом для реализации государственного образовательного стандарта общего образования (2004 г.) в образовательных учреждениях и рассчитаны на количество часов, отводимое на изучение математики в инвариантной части БУРП образовательных учреждений. В большинстве образовательных учреждений ПМР реализуется содержание образования, основой которого являются примерные программы, подготовленные в соответствии с обязательным минимумом содержания общего образования и рассчитанные на количество часов, отводимых на изучение математики в инвариантной части Базисного учебного плана общеобразовательных учреждений ПМР № 332 от 25.04.2003 г. 287

Типовые и примерные программы являются основой для создания рабочих программ и ориентиром при разработке авторских. Авторская программа (программа, разработанная одним или группой авторов) — документ, созданный на основе государственного образовательного стандарта, определяющий содержание образования определенного предмета. Для авторской программы характерны оригинальная концепция и построение содержания. Авторы могут предложить собственный подход к структурированию учебного материала, определению последовательности его изучения, путей формирования системы знаний, умений и навыков школьников. Авторами программы может быть предложен в целом учебно-методический комплект или по крайней мере учебник. Примерами авторских программ являются: программа по геометрии (10–11 классы), авторы А.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.; программа по алгебре и началам анализа (10, 11 классы), авторы С.М. Никольский и др.; программа «Математика. 10 кл. (для гуманитарного профиля), авторы А.Л. Вернер, А.П. Карп и т. д. Внедрению в практику работы общеобразовательных учреждений авторской программы предшествует ее экспертиза и апробация. Но для педагога и эти программы носят характер примерных. Учителя могут использовать предложенные авторские программы, а могут разрабатывать свои рабочие программы, в которых отражается специфика образовательного учреждения (его целевые ориентиры, планируемые результаты); особенности контингента учащихся; особенности дидактической системы самого педагога (цели, которые он ставит для обучающихся, реализуемое содержание, применяемые методы, формы организации деятельности учащихся). Рабочая программа — документ, созданный на основе примерной или авторской программы с учетом целей, задач и специфики образовательного учреждения и отражающий пути реализации содержания учебного предмета. Рабочая программа составляется учителем математики, как правило, на учебный год или ступень обучения. Например, «Рабочая программа курса «Геометрия. 11 класс» (профильный уровень) (см. приложение № 4). Примечание: Важным требованием при составлении рабочих программ является обеспечение логической взаимосвязи и преемственности всех дисциплин учебного плана. Основная роль в реализации системного подхода к разработке рабочих программ отводится предметным объединениям и методическим советам. Обязательными этапами процедур подготовки рабочих программ являются: — обсуждение и согласование на заседаниях предметных методических объединений учителей математики; — принятие на методическом или педагогическом совете; — утверждение руководителем ОО. 288

Рабочая программа по математике составляется на соответствующий уровень образования, может корректироваться в связи с изменениями в организации образовательного процесса, должна быть утверждена до начала учебного года. Технология разработки рабочей программы 1. Выбрать примерную (авторскую) программу по математике. 2. Сопоставить содержание выбранной программы со стандартом по предмету. 3. Дополнить рабочую программу темами, вопросами, содержащимися в стандарте, но не включенными в примерную (авторскую) программу. 4. При разработке программ на профильном уровне ориентироваться на содержание профильного уровня стандарта. 5. Внести дополнения в соответствии с требованиями стандарта и школьного компонента. 6. Требования к уровню подготовки обучающихся взять из примерной программы, распределить по классам согласно авторской структуре курса. 7. Подобрать УМК, обеспечивающие реализацию рабочей программы. 8. Выбрать или разработать измерители для оценки усвоения программы. 9. Разработать учебно-тематическое планирование, рассмотреть его как средство адаптации примерного содержания к особенностям данного общеобразовательного учреждения, класса, учителя. 10. Использовать инструктивно-методические письма МП ПМР, ГОУ «ПГИРО» в процессах разработки и реализации рабочих программ. Структура рабочей программы 1. Титульный лист (см. приложение 1). 2. Пояснительная записка. 3. Содержание учебного предмета (основные блоки, модули). 4. Учебно-тематическое планирование. 5. Обеспеченность материально-техническими и информационно-техническими ресурсами. 6. Обеспеченность учебно-методическими комплектами и методическими пособиями. 7. Организация текущего и промежуточного контроля знаний. 8. Список литературы (основной и дополнительной) для обучающихся и учителя. Методические указания по содержанию и оформлению разделов рабочей программы 1. Титульный лист (приложение 1): — наименование образовательного учреждения; 289

— наименование рабочей программы учебного предмета; — указание классов (уровня образования); — срок освоения; — указание фио разработчика(ов) программы; — грифы согласования, принятия и утверждения; — год составления программы. 2. Пояснительная записка представляет собой характеристику рабочей программы и должна содержать: — ссылку на нормативный документ и методические материалы, в соответствии с которыми составлена данная программа; — вид реализуемой рабочей программы (основная общеобразовательная, общеобразовательная с дополнительной углубленной подготовкой, специальная (коррекционная ) общеобразовательная программа) и др. — цели учебного предмета и его назначение; — задачи предмета; — реализацию республиканского компонента; — межпредметные связи, преемственность; — используемые технологии, методы и формы работы, обоснование целесообразности их использования; — требования к уровню подготовки выпускников в соответствии с государственным образовательным стандартом. 3. Содержание учебного предмета раскрывается через краткое описание тем. Если педагог предполагает расширение, углубление предметного содержания, то необходимо обосновать ресурсные возможности (временные, уровень подготовки учащихся) реализации данного содержания. В связи с этим особо выделяются (в третьем разделе программы) дополнительные требования к подготовке учащихся (приращения по сравнению с требованиями стандарта). Например, рабочая программа для изучения математики в гимназическом (лицейском) предполагает дополнительную (расширенную, углубленную) подготовку. Тогда в пояснительной записке необходимо отразить те приращения в содержании, а следовательно, и в знаниях, умениях учащихся, которые могут быть получены при изучении программы. Основное содержание раскрывает необходимый уровень предметных, функциональных знаний и умений, который формируется у учащихся. Требования к уровню подготовки по итогам изучения учебного предмета «Математика», спецкурса. Учащиеся должны: — знать (понимать) — перечень знаний, необходимых для усвоения и воспроизведения каждым учащимся; 290

— уметь — владение конкретными умениями/навыками данного учебного предмета, основанными на более сложной, чем воспроизведение, деятельности (например, анализировать, сравнивать, различать, приводить примеры, определять признаки и др.); — использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для… (здесь указывается группа умений, которыми ученик может пользоваться самостоятельно в повседневной жизни, вне учебного процесса). 4. Учебно-тематический план. В учебно-тематическом плане отражаются темы содержания курса, последовательность их изучения, используемые организационные формы обучения и количество часов, выделяемых как на изучение всего курса, так и на отдельные темы. План может быть представлен в виде таблицы (см. приложения 2 или 3). Организационные формы обучения и контроля определяются особенностями класса, особенностями самого изучаемого предмета. 5. В разделе материально-технического и информационно-технического обеспечения прописываются имеющееся оборудование (лаборатории, кабинеты, компьютерные классы для проведения лабораторных и практических занятий, их обеспеченность оборудованием) и ресурсы, в том числе предметные Интернет-ресурсы, цифровые образовательные ресурсы. 6. Организация текущего и промежуточного контроля знаний. Приводится перечень контрольных, самостоятельных работ, лабораторных практикумов с указанием тем, разделов и сроков проведения. 7. Список учебной литературы состоит из двух частей: основной и дополнительной литературы. В списке выделяется литература, предназначенная для обучающихся и педагогов. В список основной литературы включаются: учебники, учебные пособия из перечня учебников, рекомендованных (допущенных) МП ПМР к использованию в образовательном процессе. Список литературы включает библиографическое описание используемых автором изданий, которые перечисляются в алфавитном порядке с указанием автора издания, названия книги, места и года издания. Процедура утверждения рабочей программы Рабочая программа, подготовленная педагогом, рассматривается на заседании методического объединения (научно-методического, методического, экспертного совета) на предмет ее соответствия требованиям государственного образовательного стандарта учитель обосновывает необходимость 291

подготовки программы, выделяет ее особенности, новизну, актуальность. Рассмотрение программы отражается в протоколе заседания методического объединения. На титульном листе программы делается пометка «Рассмотрено на заседании методического объединения (методического совета и т. д.)», дата рассмотрения, номер протокола. Рабочая программа анализируется заместителем директора по учебновоспитательной (научно-методической) работе на предмет соответствия ее содержания тому количеству часов, которое отводится ей в учебном плане школы; на соответствие учебника, предполагаемого для использования, перечню рекомендованных учебников. На титульном листе делается пометка «согласовано», дата, подпись заместителя директора. Утверждение рабочей программы директором образовательного учреждения. Могут быть два варианта утверждения: а) утверждается весь перечень программ приказом директора; б) утверждается каждая программа отдельно. На титульном листе делается запись «утверждаю», дата, подпись. Варианты использования и оформления рабочих программ Вариант первый — использование примерной программы для составления рабочей. В этом случае необходимы: пояснительная записка с указанием внесенных изменений, с указанием учебника, учебных пособий, которые используются для реализации данной программы; учебно-тематическое планирование; требования к уровню подготовки учащихся. Вариант второй — использование имеющейся авторской программы (как правило, программы автора учебника). Вариант третий — использование авторской программы с внесенными изменениями. В этом случае необходимы пояснительная записка, в которой указываются внесенные изменения и учебно-тематическое планирование. Вариант четвертый — авторская программа учителя (см. выше). Для инновационных программ, позволяющих получать качественно новый результат, целесообразно организовать внутреннюю и внешнюю экспертизу. Внутренняя рецензия — экспертиза проводится непосредственно в образовательном учреждении либо специалистом в соответствующей предметной области, либо членами методического (экспертного) совета. Внешняя — проводится на кафедре общеобразовательных дисциплин ГОУ «ПГИРО» или кафедре методики преподавания математики ПГУ им. Т.Г. Шевченко. Подготовленные и оформленные таким образом рабочие программы, в которых отражаются особенности дидактической системы и деятельности образовательного учреждения, являются продуктом творческой деятельности учителя. 292

Приложение 1

Наименование образовательного учреждения _________________________________________ (полное наименование учреждения по Уставу)

«УТВЕРЖДАЮ» _____________________ (ФИО руководителя)

«___» ________ 200_ г.

Рабочая программа по _____________________ (учебный предмет) _____________________________ (классы) _____________________________ (сроки реализации)

Разработчики ФИО, занимаемая должность

Обсуждена и согласована на методическом объединении Протокол №_____от «___»__________200_г.

Принята на методическом или педагогическом совете Протокол №_____от «___»_________ 200_г.

Год разработки

Название изучаемой темы № 1

Итого

и т. д.

1.2 Тема урока 2

1.1 Тема урока 1

Наименование разделов и тем

№ п/п

Всего часов лабораторные и практические (тема)

контрольные и диагностические материалы (тема)

Из них

Календарно-тематический план

экскурсии

Примечание

Приложение 2

№ п/п

Всего часов

Тема урока

Название изучаемой темы № 2 Название изучаемой темы № 3 и т. д. Итого

Название изучаемой темы № 1

Наименование разделов и тем

№ п/п

контрольные и диагностические материалы (тема)

Примечание

Поурочное планирование

лабораторные и практические (тема)

Из них

Тематическое планирование

экскурсии

Дата

Примечание

Приложение 3

Приложение 4

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № __

«УТВЕРЖДАЮ» _____________________ (ФИО руководителя)

«___» ________ 200_ г.

Рабочая программа

по курсу «Геометрия» для 11 класса (профильный уровень) на 2009/10 учебный год

Учитель математики ФИО Обсуждена и согласована на методическом объединении Протокол №_____от «___»__________200_г.

Принята на методическом или педагогическом совете Протокол №_____от «___»_________ 200_г.

Тирасполь 2009

Пояснительная записка Рабочая программа по математике составлена на основе примерной программы среднего (полного) общего образования на профильном уровне. В профильном курсе содержание образования, представленное в основной школе, развивается в следующих направлениях: — расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях; — совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях; — формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе. Цели Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижение следующих целей: — формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов; — овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; — развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности; — воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт: 297

— проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; — решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач; — планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера; — построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом; — самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт. Тематическое планирование составлено к УМК Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 10–11», М.: Просвещение, 2003 г. на основе государственного стандарта общего образования с учетом авторского тематического планирования учебного материала, опубликованного в журнале «Математика в школе». 2005. № 1. Курсивом в тематическом планировании выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников. Подчеркиванием выделен материал, содержащийся в государственных образовательных стандартах среднего (полного) общего образования, но отсутствующий в учебнике Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 10–11», М.: Просвещение, 2006 г. В скобках указан номер учебного пособия, представленного в списке литературы, где можно найти материал по указанной теме. Примерное поурочное планирование представлено на 2 часа в неделю, итого 70 часов в год. Учебно-методический комплект 1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10–11. 15-е изд., доп. — М.: Просвещение, 2006 (учебник). 2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 10–11. — М.: «Просвещение», 2003 (контрольные работы).

298

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2006. 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7–9: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — М: Просвещение, 2003. 3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. зуч. математики. — М.: Просвещение, 1996. 4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. — М: Просвещение, 1997. 5. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. — М.: Просвещение, 2003. 6. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. — М.: Просвещение, 2003. 7. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.П. Задачи по геометрии для 7–11 классов. — М.: Просвещение, 2003. 8. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение геометрии в 10–11 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 2001. 9. Киселев А.П. Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1980. 10. Настольная книга учителя математики. — М.: ООО «Издательство ACT», OOO «Издательство Астрель», 2004. 11. Методические рекомендации к учебникам математики для 10–11 классов // Математика в школе. 2005. № 1.

ТРЕБОВАНИЯ к уровню подготовки выпускников 11 класса по геометрии на профильном уровне В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен уметь: — соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур; — изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи; — решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат; 299

— проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса; — вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций; — применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов; — строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: — исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; — вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

300

8–9

5 6–7

1–4

№ п/п

Метод координат в пространстве Прямоугольная система координат в пространстве Координаты точки и координаты вектора. Связь между координатами вектора и координатами точек Простейшие задачи в координатах. Уравнение плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости Контрольная работа № 1

Повторение. Планиметрия. Треугольник. Прямоугольный треугольник. Четырехугольники. Окружность

Тема

2 1

14 1

Часы

I полугодие — 2 часа в неделю (32 часа) II полугодие — 2 часа в неделю (38 часов)

11 КЛАСС (2 часа в неделю, всего 70 часов) Учебник Атанасяна Л.С.

ГЕОМЕТРИЯ (Профильный уровень)

Уметь: решать простейшие геометрические задачи с помощью метода координат в пространстве

Уметь: решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрии, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат

Требования

ТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

302

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Вычисление углов между прямыми и плоскостями Решение задач Движения Контрольная работа № 2 Зачет № 1

Объемы тел 33–36 Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда 37–40 Объем прямой призмы и цилиндра 41–44 Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Объем наклонный призмы. Объем пирамиды 45–47 Решение задач. Отношение объемов подобных тел Контрольная работа № 4 (призма, пирамида) 48 49–52 Объем шара. Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. Площадь сферы

Тела вращения. Цилиндр, конус и шар 19–22 Понятие цилиндра. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Площадь поверхности цилиндра 23–26 Понятие конуса. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус 27–28 Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Площадь сферы 29–30 Сфера, вписанная в многогранник. Сфера, описанная около многогранника 31 Контрольная работа № 3 32 Анализ контрольной работы. Зачет № 2

11–12 13 14–15 16 17 18

4 3 1

22 4 4

2 1 1

Уметь: решать простейшие задачи на вычисление объемов пространственных тел; ипользовать приобретенные знания для: вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел

Уметь: изображать основные круглые тела, выполнять чертежи по условиям задач, решать простейшие задачи

14 4

Уметь: решать простейшие геометрические задачи с помощью скалярного произведения векторов, вычислять углы между векторами

2 1 2 1 1 1

303

Контрольная работа № 5 (цилиндр, конус, шар) Зачет № 3

55–56 57–58 59–60 61–62 63–64

Обобщающее повторение Многогранники. Призма, пирамида Цилиндр, конус, шар Поверхности тел Объемы тел Контрольная работа № 5 (параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар) 65–70 Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Решение задач из вариантов ЕГЭ (планиметрия, стереометрия)

53 54

16 2 2 2 2

1 1 Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы

СОДЕРЖАНИЕ Приказ Министра просвещения № 547 от 12.05.2009 г. «О введении в действие решений Коллегии Министерства просвещения от 30.04.2009 г.» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Приказ Министра просвещения № 314 от 10.04.2006 г. «О введении в действие решений Коллегии Министерства просвещения от 29.03.2006 г.» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Базисный учебно-развивающий план общего образования в ПМР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Общая характеристика учебного предмета «математика» Основная школа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Старшая школа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Государственный образовательный стандарт общего образования по МАТЕМАТИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Стандарт основного общего образования Базовый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Примерная программа основного общего образования Базовый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Примерное тематическое планирование по математике. 5–9 классы Базовый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Примерная программа для 5–7 классов с недостаточной математической подготовкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

304

Примерное тематическое планирование для 5–7 классов с недостаточной математической подготовкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Стандарт среднего (полного) общего образования Базовый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Профильный уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Примерная программа среднего (полного) общего образования Базовый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Профильный уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Базовый уровень для профилей гуманитарной направленности . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Примерное тематическое планирование по математике. 10–11 классы Базовый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Профильный уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Программа для школ (классов) с углубленным изучением математики. 8–11 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Примерное тематическое планирование учебного материала с углубленным изучением математики. 8–11 классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Методические рекомендации по разработке и утверждению рабочих программ учебных курсов по математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

305

Учебное издание

Сборник нормативного и программного сопровождения по учебному предмету «МАТЕМАТИКА» Редактор Компьютерная верстка и изготовление оригинал-макета

Л.Г. Соснина Н.В. Надькина

Сдано в набор 03.05.09. Подписано в печать 31.07.09. Формат 60×84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Усл. печ. л. 17,78. Тираж 160 экз. Заказ № ГОУ «ПГИРО», 3300, г. Тирасполь, ул. Каховская, 17. Отпечатано на ГУИПП «Бендерская типография „Полиграфист”», г. Бендеры, ул. Пушкина, 52.