Conjunto de los Enteros ( ) (Guía Nº 2)
Presentación de los Enteros. Hace poco dijimos que los naturales no cumplían con una estructura que permitiese hacer algo importante en matemáticas, ahora forzaremos la situación. Te recuerdo que en los naturales no existe el neutro para la suma, por tanto ahora se lo agregamos, tú debes recordar que el neutro de la suma es el cero. Bueno, entonces;
0 0
0
* , este conjunto recibe el nombre de los Cardinales, por tanto;
0,1,2,3, 4,...
Si analizamos ahora (
0 , ) ,
y además aplicando conjuntos tenemos que
0,
entonces
todo lo que es válido en los Naturales es válido en los Cardinales, luego podemos decir ahora que;
(
0 , )
i) ii) iii)
Es cerrada la suma es asociativa tiene neutro, es el cero
Para tener esa estructura interesante sólo falta una propiedad, veámosla
a
iv)
0 , a'/
a a' 0 , esta propiedad nos dice que para todo cardinal existe otro
cardinal tal que al sumarlo con él, de cómo resultado cero, imagino que te darás cuenta que tal cardinal no existe, por ejemplo, que número debemos sumarle al 3 para que de 0. Ahora como 0 + 0 = 0, podríamos decir que el inverso aditivo del cero es el mismo, pero faltan los inversos de los naturales luego; 0
inversos aditivos de los naturales
, que son los números Enteros.
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... , ahora estos números los podemos representar en una recta:
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ahora si consideramos a los enteros con la suma y fijándonos en que
0
, entonces
tenemos que:
( , ) i) ii) iii) iv)
es cerrada es asociativa tiene neutro, 0 existe el inverso
Luego ( , ) es una estructura que se llama Grupo, y cuando estás en presencia de esta estructura, tienes la autorización para resolver Ecuaciones, materia que más adelante estudiaremos, pero si sabrás lo importante que son las ecuaciones en las matemáticas. Pero además debemos agregar una propiedad la cual tú conoces, es la conmutatividad, que nos dice que no importa el orden en que opera la suma el resultado será el mismo, por esto ( , ) recibe el nombre de Grupo Abeliano o conmutativo.
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