Conjunto de los enteros by matematicas LNM

Conjunto de los Enteros ( ) (Guía Nº 2)

Presentación de los Enteros. Hace poco dijimos que los naturales no cumplían con una estructura que permitiese hacer algo importante en matemáticas, ahora forzaremos la situación. Te recuerdo que en los naturales no existe el neutro para la suma, por tanto ahora se lo agregamos, tú debes recordar que el neutro de la suma es el cero. Bueno, entonces;

 0  0



* , este conjunto recibe el nombre de los Cardinales, por tanto;

 0,1,2,3, 4,...

Si analizamos ahora (

0 , ) ,



y además aplicando conjuntos tenemos que

entonces

todo lo que es válido en los Naturales es válido en los Cardinales, luego podemos decir ahora que;

(

0 , )

i) ii) iii)

Es cerrada la suma es asociativa tiene neutro, es el cero

Para tener esa estructura interesante sólo falta una propiedad, veámosla

a 

iv)

0 , a'/

a  a'  0 , esta propiedad nos dice que para todo cardinal existe otro

cardinal tal que al sumarlo con él, de cómo resultado cero, imagino que te darás cuenta que tal cardinal no existe, por ejemplo, que número debemos sumarle al 3 para que de 0. Ahora como 0 + 0 = 0, podríamos decir que el inverso aditivo del cero es el mismo, pero faltan los inversos de los naturales luego; 0

 inversos aditivos de los naturales 

, que son los números Enteros.

 ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... , ahora estos números los podemos representar en una recta:

-3

-2

-1

Ahora si consideramos a los enteros con la suma y fijándonos en que



, entonces

tenemos que:

( , ) i) ii) iii) iv)

es cerrada es asociativa tiene neutro, 0 existe el inverso

Luego ( , ) es una estructura que se llama Grupo, y cuando estás en presencia de esta estructura, tienes la autorización para resolver Ecuaciones, materia que más adelante estudiaremos, pero si sabrás lo importante que son las ecuaciones en las matemáticas. Pero además debemos agregar una propiedad la cual tú conoces, es la conmutatividad, que nos dice que no importa el orden en que opera la suma el resultado será el mismo, por esto ( , ) recibe el nombre de Grupo Abeliano o conmutativo.

Pero ahora nos dedicaremos a ver toda la problemática de signos que nos generan los números enteros, pero previo a eso un poquito de historia.

Pinceladas históricas En la antigüedad los números negativos eran conocidos como “números deudos” o números absurdos”. Un matemático indio, Brahmagupta, presenta soluciones negativas de algunas ecuaciones cuadráticas, pero la notación que actualmente conocemos es obra de un matemático alemán llamado Stifel (1.487 – 1.567). Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1.616 – 1.703), en su Aritmética Infinitoum (1.655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”. Leonardo Euler es el primero en darle estatuto legal, en su Anteitung Zur Álgebra (1.770) y trata de demostrar que -1 · -1 = 1; argumentando que el producto debe ser 1 o -1 y que, sabiendo que 1 · -1 = -1, tendrá que ser: (-1)·(-1) = +1. No siempre se estuvo de acuerdo, aunque con el paso del tiempo si se van formalizando y estructurando, hasta que se validan y forman parte del mundo de las matemáticas. Hoy tú te has topado con los números negativos, por ejemplo las temperaturas negativas, en la economía, crecimientos negativos, en fin, son de uso frecuente y permiten aplicarlos a nuestra vida diaria. Valor absoluto. El concepto de valor absoluto, es la distancia que existe entre el número y el cero. Veámoslo en la recta de los enteros;

-3

-2

-1

3  3 , nos dice que la distancia entre el entero 3 y el 0, son tres unidades.

3  3 , la distancia entre el -3 y el 0, es 3 unidades.

n 

n, si n es mayor o igual a cero n, si n es menor que cero

Sea n = -3, por tanto si aplicamos la segunda forma tenemos que n es menor que cero por tanto deberá ser –n, reemplazamos -n = -(-3) = 3 Operatoria en los Enteros. Veamos ahora que ocurre con las operaciones con números, tanto positivos como negativos. Suma (resta): en los enteros prácticamente la resta desaparece, ya que cuando enfrentamos una resta, es lo mismo que una suma de números de distinto signo, veamos cómo es la forma correcta de hacerlo, para ello tomaremos un ejemplo: Ej. -5 + 3 = ¿ En estricto rigor uno debería hacer lo siguiente:

5  5 y 3  3 , luego: 5 – 3 = 2 y como el mayor valor absoluto es 5, entonces nos quedaría: -5 + 3 = -2, en el resultado va el signo del mayor valor absoluto.

Para sumar dos números de distinto signo se debe “restar al mayor valor absoluto el de menor valor absoluto y el resultado debe llevar el signo del mayor valor absoluto”. Ten cuidado que generalmente se dice mal. Como la suma es conmutativa, entonces -5 + 3 = 3 – 5, y si ahora lo vemos como resta y lo hacemos en la recta numérica nos queda: Restamos 5 -5

-4

-3

-2

-1

Te darás cuenta que resulta lo mismo, eso es lo notable de las matemáticas, las cosas funcionan. Si te acuerdas cuando sumas dos número positivos (naturales), el resultado es positivo, bueno al sumar dos negativos el resultado será negativo también. Es decir, que al primero le agregas unidades hacia la izquierda (negativo). “Entonces concluyendo, cuando sumo cantidades de igual signo, debo sumar los valores absolutos de los números y conservo el signo de ambos” Multiplicación (división): Estamos viendo sólo la problemática de signos, por tanto te puedo decir que “si se multiplican dos número de igual signo el resultado es siempre positivo y si son de distinto signo el resultado será siempre negativo” Esta regla de signos es válida también para la división. Ahora si esta regla de signo la extendemos a las potencias tendríamos: Potencias: Consideremos una potencia de base entera y exponente natural:

a =

 0(), si a>0  0(), si a<0 y n es par  0(), si a<0 y n es impar

Como ves, sólo en un caso da negativo, es cuando la base es negativa y el exponente es impar. Ahora debes tener presente que si la base es positiva siempre una potencia tendrá un resultado positivo, pero ten mucho cuidado cuando tienes una potencia de base negativa y el exponente es par, porque en ese caso el resultado es positivo. Lo signos de una potencia los deberás respetar siempre, ya lo veremos de nuevo más adelante, pero siegue funcionando igual, veamos algunos ejemplos: 23 = 2 · 2 · 2 = 8 (-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 (-3)3 = (-3) · (-3) · (-3) = - 27

Orden de las operaciones. Como ahora tenemos números de distinto signo y debes tener mucho cuidado, entonces deberás respetar el orden de las operaciones antes visto, te las recuerdo. Orden de las operaciones: 1º 2º 3º 3º

Los paréntesis Las potencias Multiplicación o división Suma o resta

Observaciones: i) ii)

Si tienes varios paréntesis anidados (uno dentro de otro), siempre resuelve de adentro hacia afuera. Si tienes dos operaciones del mismo nivel de precedencia, entonces operas de izquierda a derecha según aparezcan.

Clarifiquemos con ejemplos. 2·{-3 + 5·[3 – 7·(4 – 8)]} = , comenzamos con el paréntesis interior; (4 – 8) = -4, luego nos queda: 2·{-3 + 5·[3 – 7·(-4)]} = 2·{-3 + 5·[3 + 28]} = , ahora resolvemos el paréntesis de corchete y tenemos; [3 + 28] = 31 2·{-3 + 5·31} = 2·{-3 + 155} = , finalmente el paréntesis de llave. 2 · 152 = 304 Si no respetas el orden te puedes encontrar con resultados no esperados, si te acostumbras podrás más delante hacerlos mucho más rápido, aún así en matemáticas debes llegar al resultado correcto que en operatoria es único. Imagina que ahora te enfrentas a lo siguiente: 12 : 4 · 3 = 12 : 4 = 3, luego te queda: 3·3=9 Así es, el gran problema en muchos alumnos es que no respetan las reglas y por tanto cometen errores. ¿Qué respondes al siguiente ejercicio? -32 = Entonces -32 = -1 · 32 y como el orden de las operaciones indica, debemos hacer primero las potencias, por tanto nos queda: -1 · 9 = -9, de otra manera podría ser; -3 · 3 = -9 Veamos lo siguiente; “menos 3 al cuadrado es nueve”, este enunciado es correcto, y se traduce como; (-3)2 = (-3) · (-3) = 9

Ahora; 02 = 0 · 0 = 0, y cero no es ni positivo ni negativo. En general, “Todo número distinto de cero elevado a un exponente par siempre resultará positivo”. Extensiones. Como ya vimos varios conceptos como; pares, impares, múltiplos, divisores y otros más en los naturales, ¿qué pasará con ellos en los enteros? Por eso me gusta hablar de extensiones, es decir extendemos lo visto en los naturales a los enteros con algunas consideraciones, a saber: i)

Los conceptos de pares e impares se extienden a los enteros sin dificultad alguna, por tanto debes entender que 0 es par, pues está al lado de un impar (1) o se obtiene como 2 · 0 = 0. Si debes tener cuidado con lo siguiente, si recuerdas que los números impares en los naturales se generaban como 2·n -1, pues había un

primer elemento (1), ahora en los enteros no hay primer elemento, por tanto un número impar se podrá generar como; 2·n -1 o 2·n + 1. Pares = {…,-6,-4,-2,0,2,4,6,…} Impares = {…,-5,-3,-1,1,3,5,…} ii)

Los conceptos de múltiplos y divisores, también se extienden a los enteros, por tanto ahora podemos decir, a modo de ejemplo que: M6 = {…,-18,-12,-6,0,6,12,18,…} D6 = {-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}

Debemos hacer algunas precisiones, como ya te distes cuenta, no tendría sentido entonces el mínimo común múltiplo, por eso diremos que “el mínimo común múltiplo sólo se considerará en los positivos”, en caso contrario sería siempre infinito negativo.

Habíamos dicho que los enteros y la operación suma nos permitían resolver ecuaciones con la suma, ahora veremos que sucede con los enteros y la operación multiplicación.

( , )

i) ii) iii) iv)

Es cerrada, pues la multiplicación es una suma sucesiva. Es asociativa, ya que la suma también lo es. Tiene neutro (1), todo entero multiplicado por 1 da el mismo número. No tiene inverso, contra ejemplo; no hay inverso en los enteros para el 2, ya que no existe entero que al multiplicarlo por 2 de cómo resultado 1.

Esto nos lleva a pensar en la idea de otro conjunto más grande que nos permita resolver ecuaciones que involucren la multiplicación, luego lo veremos.

Ejercicios 1.

Completa con el antecesor y el sucesor. ___, 0, ___

___,-10, ___

___, -1, ___

___, 1, ___

___, -100, ___

___, -99, ___

___, -101, ___

___, 100, ___

____, -999, ____

____, -1.001, ____ ____, -1.000, ____ ____, 1.000, ____ 2.

Encuentra los siguientes valores absolutos.

6 =

7 =

85 =

58 =

3  (4) =

5  4 =

Realiza las siguientes sumas y restas. 1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)

4+7= 11 + 13 = 20 – 17 = 43 – 53 = -10 + 11 = 101 – 109 = 20 – 10 – 8 = 2 + 15 – 13 = -5 + 7 – 10 =

2) 4) 6) 8) 10) 12) 14) 16) 18)

-5 – 7 = -17 + 20 = - 8 – 13 = - 21 – 21 = -25 – 32 = -210 + 190 = - 24 + 12 – 4 = 14 + 16 – 20 = 15 + 25 – 40 =

19) 21) 23) 25) 27) 29) 4.

20) 22) 24) 26) 28) 30)

10 – 11 + 12 – 13 = 55 + 15 – 30 – 20 = -1 – 2 – 3 – 4 = -31 – 12 – 22 + 50 = 10 + 11 – 15 – 12 = +34 – 32 + 5 – 10 =

Realiza las siguientes multiplicaciones. 1)

6·7=

8·6=

-3 · -4 =

-8 · -6 =

-3 · 8 =

-5 · -5 =

10 · - 11 =

-12 · 2 =

4·9=

10)

-7 · 4 =

11)

10 · -5 =

12)

-10 · 100 =

13)

11 · - 23 =

14)

31 · -1 =

15)

25 · 2 =

16)

- 23 · 0 =

17)

32 · -10 =

18)

-25 · 4 =

19)

-2 · 3 · -2 =

20)

-1 · 4 · 12 =

21)

5 · -2 · 4 =

22)

7 · 2 · -5 =

23)

2 · -2 · 2 · -2 =

24)

-1 · 4 · -7 · 1 =

Opera en los enteros. 1) 3) 5) 7) 9) 10) 12) 14) 16) 18) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 29) 31) 32) 33) 34) 35)

-3 + 4 – 5 – 7 = 100 – 90 + 5 – 2 = 24 + 43 – 17 – 35 = 101 + 99 – 150 – 50 = 46 – 45 + 74 – 73 = - 18 + 8 – 19 + 9 =

4–9+3= 2) 7 + 5 – 12 = 10 – 30 – 5 + 13 = 4) 0 – (-6) = -27 – (-5) = 6) -16 · 0 = -103 = 8) 15 · 6 · (-8) = (-18) · (-2) · (-3) · (-5) · (-1) = 32 : (-4) = 11) -55 : 55 = 12 : (-144 : 6) = 13) (-48 : 6) : (-4 : 2) = -3(-4 – 1) + 5[8 · (-2)] = 15) -4 · 3 : (-6) = (-7)2 = 17) (-3)3 = -24 · 3 = 19) -43 = 64 : (-2) · 2 = (8 : 2)·3 + 5·(5 : 5) –(-6 – 2) = 5 – {5 + [3 · (5 – 9)]} = 42 – {-3 + -5[3 + (100 – 99)] + 23} = [6 – (-32 + 8]2 = 9 – 3{-42 + [-4 + 4(200 – 198) – 12] + 16 = (-2)4 + {100 –[-100 : -4] – 50} – 32 = 3 –[4 + (5 – 3)] = 28) 9 + 3[1 – ( -4 + 5)] = 5 + 4[3 – (2 + 1)] = 30) 10 – 5·[7 + (12 – 9)] = 2·[5 · -2 + (20 – 10)] = [2 – (10 – 22)] · [ 5 – (10 – 4)] = 8 – (5 -12) + (7 + 5)(1 – 4) = 120 – 10·(31 – 21) + 30 – 20 = (5 – 7) · 4 – 10 ·[12 – (3 – 4)] =

Aplicaciones en situaciones reales. 1) 2) 3)

En Punta Arenas en un día la máxima fue de 7º y la mínima – 3º, luego ¿en cuántos grados subió el termómetro ese día? La temperatura de un congelador es de 20º bajo cero y por una avería ha aumentado hasta los 5º. ¿Cuánto grados subió de temperatura? Un ascensor se encuentra en el piso 20, sube 9 pisos y baja 5. ¿En qué piso se encuentra al final?

7) 8) 9)

10)

En una casa de campo tiene un estanque de agua con 884 litros de agua. Se abren al mismo tiempo una llave que vierte 28 litros de agua por minuto al estanque y un desagüe que vacía 45 litros por minuto. ¿En cuánto tiempo quedará vacío el estanque? Al encender la calefacción en un sótano, la temperatura sube 3 grados cada 2 horas. Si inicialmente el termómetro marcaba -5º C, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 10º C? Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y hasta las 5 de la tarde subió 3 grados más. Desde las cinco a medianoche bajo 5 grados, y de medianoche al alba, bajo 6 grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? Juan debe $ 4.170 y paga por adelantado de su deuda $ 850. ¿Cuánto seguirá debiendo? Si una persona tiene $ 127.000 y le presentan un cobro de una factura por $ 292.000, ¿en qué situación queda su cuenta bancaria? Si salgo de la casa con $ 3.000, compro 3 entradas para un concierto de $ 700 cada una, cobro el dinero de las entradas de mis dos amigos y gasto $ 400 en refrescos, ¿cuánto dinero me queda? La temperatura de un refrigerador marca -28º C. Si aumenta la temperatura 17º C, ¿qué temperatura marca ahora el termómetro del refrigerador?

Autoevaluación Enteros 1.

(-9) + (-9) = A)

-18

(-9)2

(-7) – (-10) = A)

-3

-17

0 – 4 + 6 – (-2) = A)

-2

-4

-13

-26

-52 : 4

102 : (-2) · 3 = A)

-17

153

-153

¿Qué diferencia hay entre el punto de fusión del estaño, 232º C y el punto de fusión del mercurio -40º C? A)

192º Cº

-192º C

272º C

-272º C

10.

11.

12.

¿Cuál es el desnivel entre el Mar Muerto (-394 m.) y el lago Tiberíades (-210 m.)? A)

-184

-604

604

184

Si la temperatura es de –46º C en la mañana en un centro de investigación antártico, ¿cuánto tendrá que elevarse la la temperatura para llegar a los 0º C? A)

44º C

46º C

47º C

Si 3 = 3, entonces - 3 - 3 = A)

-6

-9

Dada la siguiente regularidad numérica; 1, 7, -5, 19, -29, 67, …, ¿cuál es la expresión que genera estos número si n es un número natural? A)

(-2)·n + 3

(-2)n + 3

(-1)n·2 + 3

-2(3 – n)

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III)

El opuesto (inverso aditivo) de un número negativo es positivo. El producto de dos números negativos resulta otro número negativo. Todo entero no negativo es positivo.

Sólo I

Sólo II

Sólo I y II

I, II y III

La distancia entre dos números enteros se representa mejor mediante A) B) C) D)

13.

15.

diferencia entre ellos. suma de ellos. suma de uno de ellos con el opuesto del otro. valor absoluto de la diferencia de ellos.

¿Cuál de las situaciones reales no podrían ser representadas por el conjunto de los números enteros? A) B) C) D)

14.

la la la el

La La EL La

medición de la temperatura. numeración de los pisos de un edificio que tiene subterráneos. balance de una empresa. probabilidad de que ocurra algo.

¿Qué entero es múltiplo de todos los enteros? A)

-1

Si -5 < p < -1 y 1 < m < 5, entonces el mayor valor de m – p es A)

-2

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

(-5) · (-5) · (-5) = A)

(-5)3

5-3

3 · (-5)

(-3)4 = A)

-27

-81

-16

-8

-42 =

¿Cuál de los siguientes enteros no es múltiplo de -6? A)

-62

-18

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III)

Dos enteros de distinto signo al multiplicarlos resulta un entero no positivo. Dos enteros negativos al multiplicarlos resulta un entero no negativo. Dos enteros cualesquiera al multiplicarlo da como resultado otro entero.

Sólo I

Sólo II

Sólo III

I, II y III

¿Qué número al ser divido por -2 y por 3 resulta 24? A)

– 144

144

-12

Si 64 es el resultado de una potencia, entonces ¿cuál no puede ser su base? A)

-2

-4

Si en una potencia la base es un número entero y su exponente es un natural, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III)

Si su base es cero el resultado es cero, cualquiera sea el exponente. Si su base es -1, puede resultar 1 o -1 solamente. Si su base es negativa y el exponente es impar, entonces el resultado es negativo.

Sólo I

Sólo II

Sólo II y III

I, II y III

Dada la siguiente regularidad; -2, 4, -8, 16, … ¿cuál sería el 7º término? A)

– 128

-64

-32

128

25.

26.

27.

28.

¿Cuál debe ser el exponente de una potencia de base -3 para obtener 729? A)

30.

No existe tal exponente

-22 · 22 = A)

-24

-484

-7 · 103 + -5 · 102 + -4 · 101 + -3 · 100 = A)

-7.543

7.543

-6.430

-6.537

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A) B) C) D)

29.

0 es positivo Dos enteros negativos al sumarlos dan de resultado otro negativo. Un entero no negativo puede ser el cero. La división entre dos enteros de distinto signo resulta negativo.

A un número de dos cifras se le resta otro con las mismas cifras pero invertidas, si el resultado de la resta es 72, ¿cuál es el número? A)

Carlos lanzó una pelota 15 metros al sur hacia Omar, quien la atrapó y la lanzó 9 metros al este hacia Julián. Julián la lanzó 20 metros hacia al norte hacia Ricardo. Ricardo se la lanzó a Omar. Si todos los niños permanecen en sus puestos, entonces ¿qué distancia tiene que lanzar Omar la pelota para alcanzar a Carlos? A) B) C) D)

5 metros 9 metros 11 metros 15 metros

Sixto Maulén y Savane Emegu 2013