Conjunto de los racionales by matematicas LNM

Conjunto de los Racionales (

)

Guía Nº 4 Presentación de los racionales Al terminar el conjunto de los enteros, dijimos que ellos con la multiplicación no cumplía con la estructura de grupo, lo que implicaba no poder resolver ecuaciones en los enteros con dicha operación, por tanto vamos a conocer un conjunto de números que nos permita lograrlo. Este conjunto se llama el de los racionales y lo definiremos de la siguiente forma.

a   /a  b  b

 con b  0 

Ahora este conjunto me permite encontrar los inversos multiplicativos (recíproco) de todos los enteros, por ejemplo:

1 1  1 , es decir es el inverso multiplicativo de 2, es válido decir también que el 2 2 1 recíproco de es 2, ya que la multiplicación es una operación conmutativa. 2 2

Ahora todo entero lo podemos escribir como racional, a modo de ejemplo el entero 3 los 3 podemos escribir como racional de la forma . De esto podemos inferir que  , luego las 1 propiedades de los enteros se cumplen en los racionales. Así, ya tenemos en los racionales un conjunto que nos permite resolver ecuaciones con la suma y la multiplicación, además ya veremos que este conjunto es aún más poderoso.

Pinceladas históricas Los babilónicos usaban fracciones con denominador 60, los egipcios usaban fracciones con numerador igual a 1, al igual que los romanos y los griegos. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, (Fibonacci), entra las muchas cosas que hizo introdujo la barra horizontal para separar el numerador y el denominador de una fracción. RACIONALES (Q) Q={

a /ab   b  0} b

I.4.2 Amplificación y simplificación Amplificación:

Simplificación:

a n·a  b n·b

a a:n  b b :n

(esto se puede hacer cuando el numerador y

el denominador son múltiplos de n) Ej.

2 2·3 6   3 3·3 9

Ej.

18 18 : 9 2 1    36 36 : 9 4 2

Observación: Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de operar, los resultados se han de simplificar al máximo. Si un racional no se puede simplificar entonces se dice irreductible. Como una aplicación de la amplificación, podemos decir que los racionales son conjunto denso, ya que entre dos racionales hay infinitos racionales, característica que no se daba en los enteros, a saber: Entre el entero 4 y el 5 no existe ningún otro entero, pero entre el racional

1 1 y , existen 3 2

infinitos racionales, veamos que esto se verifica:

1 3 2 6 4 , 12 8 , 24

1 , amplifiquemos de manera que tengan igual denominador; 2 3 , no se ve nada entremedio, amplifiquemos ahora por 2 ambas fracciones; 6 5 6 , , ya encontramos una fracción entre las dos, volvamos a amplificar por 2; 12 12 9 10 11 12 , , , , ahora aparecen tres entre ambas. 24 24 24 24

Nos damos cuenta que si seguimos amplificando van apareciendo más racionales entre dos, y como podemos seguir amplificando indefinidamente, encontraremos infinitos racionales. De esto podemos deducir que en los racionales el concepto de sucesor desaparece, lo mismo ocurre con el sucesor. Luego diremos que los conceptos de; sucesor, antecesor, par, impar y todo lo que a ellos se refiere sólo quedará en el mundo de los enteros. Orden en racionales i)

Dos racionales son iguales si: Ej.

ii)

a c   a d  b  c b d

4 12 son iguales ya que 4 · 21 = 7 · 12, 84 = 84.  7 21

Para saber cuando un racional es mayor que otro, consideraremos tres criterios de comparación, a saber: 1er criterio: si dos racionales tienen igual denominador entonces el mayor de ellos es aquel que tiene mayor numerador.

5 , amplificando para que tengan igual denominador, nos queda: 7 3 5 3 3  7 21 5 5  4 20  . y , luego     4 7 4 4  7 28 7 7  4 28

Ej. Comparemos

3 4

2º criterio: si dos racionales tienen igual numerador, entonces el mayor es aquel que tiene menor denominador. Ej. Comparemos

1 1 y , ambos racionales tienen igual numerador por tanto el mayor de ellos es 2 3

1 , ya que tiene el menor denominador. 2 a c 3er criterio:   a d  b  c b d Ej. Comparemos

2 3 y , si multiplicamos cruzado tenemos: 10 > 9, por lo tanto 3 5

2 3  3 5

Operatoria en Suma y Resta. a c ad  bc   b d bd

Ej.

2 1 2·5  1·3 10  3 13     3 5 3·5 15 15

3 3 33 32 9 6 3 1      8 12 24 24 24 8

En este ejemplo se usó el mínimo común denominador, que es el mínimo común múltiplo entre los denominadores.

Multiplicación. a c ac ·  b d bd

Ej.

3 2 6 2 ·   5 3 15 5

4 5 20 ·  3 7 21

(Recuerda que si dos racionales se están multiplicando, estos se pueden simplificar cruzado previamente) División: a c a d a d :    b d b c bc

Ej.

4 1 4 14 42 8 :    ·  8  7 14 7 1 11 1

1 2 1 3 3 :    2 3 2 2 4

En este ejemplo se simplificó cruzado el 7 y el 14 Potencias En este conjunto podemos enunciar las propiedades de potencias que nunca debes olvidar, a saber: a1 1n an an

i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x)

=a =1 · bn = (ab)n · am = an+m 1 a-n = n a an : bn = (a:b)n an : am = an-m (an)m = an·m a0 = 1, si a  0 0n = 0, si n >0

Fracciones propias e impropias Fracción propia e impropia Se dice una fracción es un racional positivo. Fracción propia Es cuando el numerador es menor que el denominador. Ej.

3 , 3 < 4, la representación gráfica es. 4

1 entero

Observación: toda fracción propia es menor que un entero (0 < f.p. < 1). Fracción impropia Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador. Ej.

7 , 7 > 4. La representación gráfica es: 4

1 entero

1 entero 1+

3 3 = 1 4 4

Observación: toda fracción impropia es mayor que un entero, por tanto se puede expresar como número mixto. Para llevarla a número mixto se debe dividir el numerador por el denominador, el cuociente es la parte entera y el resto es el numerador de la parte racional siempre se debe conservar el denominador. Para llevar un número mixto a fracción impropia se debe multiplicar el denominador por la parte entera y a este resultado sumarle el numerador de la parte racional. Ejemplo

23  luego, dividimos y tenemos: 8

23 : 8 = 2, por tanto 7 23 7  2 , sí ahora hacemos el proceso inverso nos queda: 8 8 2

7 8  2  7 23   8 8 8

Ejercicios IV

Amplifica los siguientes racionales por el número entre paréntesis.

2 2  5 10 (5) =  3 3  5 15

Ejemplo

1) 4) 7) 10) 2.

4) 7) 10)

5) 8) 11)

1 (7) = 7 11 (3) = 12 13 (4) = 15 14 (7) = 17

3) 6) 9) 12)

5 (8) = 6 7 (6) = 8 17 (5)= 19 9 (9) = 10

3 = 12 54 = 72 64 = 96 125 = 100

2) 5) 8) 11)

15 = 20 48 = 72 40 = 140 77 = 132

3) 6) 9) 12)

3 = 51 15 = 60 192 = 320 115 = 75

Empareja las fracciones equivalentes. a) d)

Simplifica al máximo las siguientes fracciones, hasta llegar a la fracción irreductible. 1)

4 (6) = 5 5 (9) = 11 2 (10) = 9 16 (3) = 23

3 5 28 21

b) e)

4 14 15 25

c) f)

2 7 4 3

Rellena de manera que las fracciones sean equivalentes. 1)

2 1    6 12 15



6 18   21 126

Representa en una recta numérica los siguientes racionales. 1)

Ordena los siguientes racionales de manera creciente y decreciente. 1) 2) 3)

2 7 4 8 , , , 5 3 7 3

1 1 1 1 , , , 2 5 4 6 5 3 2 5 7 , , , , 8 4 3 6 9 2 8 6 3 7 , , , , 3 9 7 4 8

Resuelve las siguientes operaciones y simplifica al máximo el resultado. 1) 3) 5) 7) 9) 11)

1 1  = 2 4 1 3 5   = 2 4 6 2 2 7   = 3 5 4

2) 4) 6)

4 3 2 1 =    7 8  3 3 

2 5  = 3 7 5 4  = 7 8

2 1  = 3 2 8 13 2   = 10 15 30 12 3 4   = 6 5 7 2 3 5   = 3 7 8



10)

2

12)

3 = 8 3 1 : = 5 2

13)

3 1 2: = 7 5

14)

2 4 4 7 : 5  7 =  

15)

12 24  = 51 36

16)

3 4  = 4 5

17)

3 4 1 2  3: 3 =  

18)

1 1 3 :3 =    

19)

 5   5   4  : 4  =    

20)

 2 2      3  

21)

5 3 4   = 3 7 5

22)

3 2 3 2 1  :   = 2 3 4 5 2

23)

5  3 1  10  1 3  =      2  4 2  6  2 5 

24)

5 2 4 4 1 1 3 = :      3 3 5 6 3  2 5 

25)

3

26)

1 1    1 3  2  = 3 1 2

27)

2 1 2   5 3 = 2 1 3    3 5

28)

2 1 2   = 3 6

29)

1 1 3   = 2 3

30)

31)

32)

5 2 7 3  :  7  3 2   5 

1 1 2 = 3 2 2 1 1 3 2 = 1 1  4 2

1



2

5 = 3

33)

1 1 2 = 2 3 1 2  1 3 = 3 1 1 2 3

34)

1 2 7 3   2 3 8 8 1 1 3 1   2 4 4 4 = 2 1 2 3 2  3 1 1 2 1   4 8 3 3

35)

35 7 4 52   4  2 3 1 7 1 = 6 2 7 3 2 1   54 62 33

37)

3 1 6  2  

2

39)

  3 1   4 1 1          6 3   6 3   1    3  1  1  1     4 3 6 3    4 1 1 3       1 4  9 6  

1

41)



3 1 1 =  : 2 4 2

1

43)

 5 2  7  4  5 :2   = 2  5 4   :  9  6 3

44)

1 1  1  2  1  3  1     1 1  1  2  1  3  1    

45)

 10   3  14 2 1  7    5   6     = 3 3 5 1 2 3

1 1 1

49)

38)

3 1  4  3  

40)

3 1 1 3   4  6     3 23 2 4  34  3   

42)

2 1 1 1   4 32 3 = 3 6 5 4

44)

1 2 15   3 5 3 = 1 2  2 3

1

1 1 2     6 3

1

1 1 1  4   5 = 1 1 1  4   5 

2 1  1   3  6  1   3  2  =    

8

 3 1 1  4 1  1          2 5   3 6  

47)

1

36)

2 3 5   3 4 4 = 3 6 2   5 5 4

46)

2

48)

1 11 2

3 2 2 5 =    

50)

2 5  

2

3

1 2 =

4 3  5   5      :     2    2  

Ejercicios de aplicación. 1)

¿Qué cantidad queda después de gastar los

Se han vendido los

3 de $ 490? 7

3 1 de una pieza de género de 200m, luego del resto. ¿Cuántos 5 4

metros quedan? 3)

1 piezas del mismo género, ¿cuántos metros hay en total si cada 2 3 pieza mide 128 metros? 4 2 Un obrero debe abrir una zanja de 65 metros de largo, ya ha hecho los , y luego 13 hace el doble que lo que ya hizo, ¿cuántos metros le restan para terminar el trabajo? Si se tienen 15

5) 6) 7) 8)

10)

11)

12)

13)

14) 15)

16) 17)

18)

19)

20)

Las dos terceras partes de una suma más

1 de la misma resulta 182. ¿Cuál es la 5

suma total? ¿A qué es igual el cuociente de un fracción por su numerador? 2 Una deuda más de la misma alcanza a $ 14.000. ¿A cuánto haciende la deuda? 5 1 Una modista emplea 3 metros para hacer un vestido. ¿Cuántos de estos vestidos 4 podrá hacer con 52 metros? 3 Un caballero frente a una mesa de juego, pierde los de lo que tenía, luego pierde 5 3 de lo que le restaba, quedándose aún con $ 900. ¿Cuánto dinero tenía al 4 comienzo? Dos señoras van al supermercado y llevan entre las dos $ 4.940. La primera gasta 3 2 los de lo que llevaba y la segunda , quedando ambas con la misma cantidad de 7 3 dinero. ¿Cuánto tenía cada una? Un terreno se remata dividido en 16 lotes iguales, solamente se presentaron 3 1 1 1 interesados el primero adquirió del terreno total, el segundo y el otro . 4 2 8 ¿Cuántos lotes adquirió cada uno? 1 Si un pantalón se encoje de su longitud. ¿cuánto medirá un pantalón de 130 cm 13 después de lavarlo? 1 Una comuna de una ciudad vende de un solar a una empresa constructora y los 3 3 del resto a otra, quedando aún 5 hectáreas sin vender. ¿Qué superficie tiene el 4 solar? ¿Qué cantidad de vino almacenado en once cajas y un tercio, si cada caja tiene 24 botellas de tres cuartos de litro cada una? El equipo de baloncesto “La Peña” ha encestado 23 de los 40 lanzamientos que ha intentado y el equipo “Los Arcos” ha encestado 28 de 47 intentos. ¿Cuál de los dos equipos es más eficaz en el tiro a canasta? 2 6 Los de los de las naranjas recolectadas en una huerta se destinan a elaborar 5 7 zumo. ¿Qué fracción de las naranjas recolectadas se destinan a elaborar zumo? Un balón cae del décimo piso que se encuentra a 45 metros de altura. En cada bote 2 sube de la altura del bote anterior. ¿A qué altura subirá después del tercer bote? 9 5 Con el agua de un estanque se llenan 6.300 botellas de de litro cada una. 2 3 ¿Cuántas botellas de de litro se llenan con el agua del estanque? 4 Sonia bebe diariamente un litro de leche. Si la leche se compra en botellas de un cuarto de litro. ¿Cuántas botellas debe comprar para 14 días?

7 del dinero que tiene en pagarse las clases de guitarra, y un 8 medio de lo que restaba en un regalo para su hermana, si le quedan $ 5.000, ¿cuánto dinero tenía al comienzo? Marta ha utilizado

Ejercicios bonitos. 1)

Extracto del libro “El Hombre que Calculaba”:

“Somos hermanos – explicó el mayor de los hombres – y hemos recibido como herencia 35 camellos. Según la voluntad de mi padre, me corresponde la mitad de los animales; a mi hermano Hamet Namir, la tercera parte; y a Harim, el más joven, la novena parte. Pero no sabemos cómo hacer la división, y en cada intento de reparto propuesto, la palabra de uno de nosotros va seguida de la negativa por parte de los otros dos. No ha

aparecido un resultado que conforme en ninguna de las particiones ofrecidas. Si la mitad de los camellos es 17 y medio, si su tercera parte y también la novena parte de la cantidad en cuestión, tampoco son exactas, ¿cómo proceder a la división? Muy fácil –dijo el Hombre que Calculaba-. Me comprometo a realizar con equidad el reparto, pero antes permítanme que junte a los 35 camellos heredados este maravilloso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora. Amigos – dijo-, voy a hacer la división de los que ahora, como pueden apreciar, son 36 camellos, de manera justa y exacta. Se dirigió hacia el hermano mayor, y hablo de esta manera: - Deberías recibir, amigo mío, la mitad de 35 camellos, o sea 17 y medio. Ahora bien, recibirás la mitad de 36, y por tanto, serán 18. Nada tiene que reclamar, ya que sales beneficiado con esta operación. Se dirigió al segundo de los herederos y dijo: -Tú Hamed, deberías recibir un tercio de 35, o sea, 11 y un poco más. Entonces tendrás un tercio de 36, esto es, 12. No habrá protestas, porque tú también sales con ventaja en esta división. Por último dijo al más joven: -Tú, joven Harim Namir, según la última indicación de tu padre, tendrías que beneficiarte con la novena parte de 35, es decir, 3 camellos y parte de otro. Pero te entregaré la novena parte de 36, o sea 4. Será también apreciable tu ventaja y bien podrás decirme gracias por el resultado. Luego terminó la cuestión con la mayor claridad: -Debido a este generoso reparto que a todos ha ayudado, corresponden 18 camellos al primero de ustedes, 12 al segundo y 4 al tercero, la suma de las cantidades da como resultado (18 + 12 + 4) 34 camellos. De los 36 camellos quedan sobrando 2. Uno, como bien saben es el que les facilité, y el restante es lógico que me corresponda a mi, por haber solucionado, en forma satisfactoria, este enredado problema de herencia.” Explica de qué se dio cuenta El hombre que Calculaba, para ofrecer su camello, lograr recuperarlo y ganar uno. 2)

¿Cuántas fracciones comprendidas entre

19 23 y son tales que sus términos son enteros 43 29

consecutivos? 3)

¿Cuántas fracciones equivalentes a

33 , tienen por denominador un natural de tres cifras 114

que no sea múltiplo de 7? 4)

Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción, ¿cuánto suman los términos de la fracción original?

Una persona dispone de cierta cantidad de pollos para venderlos. En cada venta vende la mitad de los que tiene más medio pollo. Si después de la décima venta le queda un pollo, ¿cuánto tenía al principio?

En encuentra una fracción equivalente a

231 , sabiendo que la suma del numerador y el 241 denominador es múltiplo de 91 y que la diferencia de ellos se encuentra entre 200 y 250.

Autoevaluación Racionales 1.

2 5 3   = 3 6 4

B) 8

5 8

7 8

4 7

1 6

1 4

C) E)

B) 3

2 3

C) E)

1 2 3 2 , ,1,1 ,2 , 2 3 5 3

1 3

Un estanque de 7.240 litros está lleno hasta sus

5 , ¿cuántos litros restan para llenarlo? 8

4.525

2.715 D)

3.620

5.430

C) E)

6.335

4 3 16 : : = 5 7 25

11 12

¿Cuál es el término que sigue en la siguiente secuencia numérica;

11 13

1 8

1 4

1 1 1 5 1 = 4 8 2

448 375

12 35

C) E)

Un automóvil consume

375 448

7 3

1 de litro por cada kilómetro recorrido, ¿cuánto consumirá dicho 10

automóvil para recorre 240 Km.? A)

1 l. D)

10 l.

20 l.

C) E)

12 l.

24 l.

El ahorro de Georgina mensual es de $ 120.000, lo que corresponde a

1 de su sueldo, 6

¿cuánto gana Georgina al año? A) C)

$ 720.000 $ 4.320.000 E)

B) $ 1.440.000 D) $ 7.200.000 $ 8.640.000

2 7 5 3  3 8 6 4 

Si ordenamos el siguientes conjunto de racionales  , , ,  de manera decreciente obtenemos 2 3 7 5   , , ,  3 4 8 6 

5   7

3

2 3

3 4

1 15 y ? 2 14

8 9

B) 3

4 15

1 3

C) E)

8 15

1 3

solo el numerador es múltiplo de 9 solo el denominador es múltiplo de 9 la fracción es múltiplo de 9 la fracción resultante es 9 veces la fracción original la fracción resultante es equivalente a la fracción original

Si una fracción se ha simplificado por 5, entonces lo más correcto es A) B) C) D) E)

la fracción resultante es 5 la fracción resultante es irreductible el numerador de la fracción original es múltiplo de 5 el denominador de la fracción resultante aún se puede simplificar más tanto el numerador como el denominador de la fracción original son múltiplos de 5 17 ? 4

¿Cuánto octavos hay en la fracción A)

Ninguno D)

15.

5 3 7

Al amplificar por 9 una fracción, ¿qué ocurre con ella? A) B) C) D) E)

14.

7 7 7   5 5 5

13.

0 D)

2

5 7 2 3   , , ,  6 8 3 4 

7 3 5 2   , , ,  8 4 6 3 

¿Cuántos números enteros hay entre A)

12.

7 5 3 2   , , ,  8 6 4 3 

5 5 5   7 7 7

11.

2 3 5 7   , , ,  3 4 6 8 

10.

C) E)

3 1 : 2 es igual a 4 2

3 4 4  2 1 2

4

5 3 5   2 4 2

3 4 +4 1 1 2 2 2

4

42 

3 2  4 1

2 3 2   5 4 5

16.

¿Para qué una fracción sea equivalente a un número entero, debe ocurrir? A) B) C) D) E)

17.

El denominador sea múltiplo del numerador. Numerador y denominador sean múltiplos del mismo número. El numerador sea mayor que el denominador. El numerador sea múltiplo del denominador. La resta del numerador y el denominador sea mayor que 0.

Al representar gráficamente la fracción A) B) C) D) E)

18.

tomar tomar tomar tomar tomar

un un un un un

1 12

 3   16    :   4   27 

3

C) E)

 4 1     3 3

3 1      4 3

3   4

1 9

1 40

3

4   3

311 48

Una persona tiene considerado vivir hasta los 80 años y proyecta terminar sus estudios cuando tenga A) B) C) D) E)

26 26 26 27 53

1 de los años que vivirá, ¿a qué edad terminará sus estudios? 3

años años años años años

2 8 8 4

meses meses meses meses

Para la celebración de un grupo de niños se compraron 7 tortas, si se reparten las tortas en partes iguales y son 56 niños, entonces ¿qué parte de una torta recibe cada uno de ellos? A)

1 56

D) 22.

4 partes iguales y sombrear 7 de ellas. 7 partes iguales y sombrear 4 de ellas. 13 partes iguales y sombrear 7 de ellas. 13 partes iguales y sombrear 4 de ellas. 11 partes iguales y sombrear 4 de ellas.

21.

en en en en en

3 40

1 10

20.

dividirlo dividirlo dividirlo dividirlo dividirlo

Savane que es una niña muy golosa, se comió un cuarto de la torta antes de que llegaran sus invitados que eran 9, si la mamá de Savane debe repartir de manera equitativa lo que resta de la torta, ¿qué parte de la torta original le corresponde a cada participante del cumpleaños? A)

19.

entero entero entero entero entero

4 se debe 7

1 7

1 9

C) E)

1 8

1 6

Un entero se ha dividido en 72 partes, si queremos representar una fracción que sea equivalente a una con numerador 1, ¿cuántas partes no deberíamos considerar? A)

2 D)

B) 24

C) E)

23.

1 de sus ingresos lo gastará en transporte, los 3

Un estudiante universitario determina que

4 del resto de ellos en alimentación, y el excedente en diversión, ¿cuál debe ser el monto 5

de sus ingresos para que los dineros asignados a diversión no sean una fracción de peso? A)

$ 100.000 D)

24.

$ 150.000

$ 200.000

Si queremos representar;

$ 190.000

$ 230.000

1 1 1 , y en un solo entero ¿cuál es el menor número de partes 4 2 3

en que tenemos que dividirlo para representar exactamente esas fracciones? A)

24 D)

25.

Sea A = A)

28.

R, O, M, A

M, O, R, A

A, R, M, O

5 D)

R, A, M, O

A, M, O, R

1 40  , entonces A = B 7

C) 49

Si a una fracción se le suma 1 al numerador y se le resta 1 al denominador, resulta el recíproco de la fracción original, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) II) III)

Es una fracción propia. La diferencia entre el denominador y el numerador de la fracción original es 1. El numerador y el denominador son enteros consecutivos.

Sólo I B) D) Sólo II y III

Sólo II E)

C) Sólo III I, II y III

1 (31  )  32 = 3

1 D)

29.

Si A y B son enteros positivos y A  A)

27.

1 1 1 1 ,M= ,R= y O = , luego al ordenarlos de manera decreciente se obtiene 4 6 3 5

D) 26.

Si n es A)

2   3

2 3

C) E)

2 32

2 33

5 2 de 240, entonces los de n es 6 5

288 D)

B) 96

200

C) E)

115,2

1

30.

1

1 1 11  11

1

1 2 D)

B) 11 6

2 3

C) E)

5 6

Sixto Maulén y Savane Emegu 2013