Ensayo ma 2015 by matematicas LNM

C u r s o : Matemática

ENSAYO MATEMÁTICA 4° MEDIO UNIVERSIDAD ADOLFO IBAÑEZ

PSU MATEMÁTICA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, desarrollo de los ejercicios.

los que puede consultar durante el

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS



es menor que



es congruente con



es mayor que



es semejante con



es menor o igual a



es perpendicular a



es mayor o igual a



es distinto de

ángulo recto

es paralelo a

ángulo

trazo AB



pertenece a

x

valor absoluto de x

factorial de x

log logaritmo en base 10 

conjunto vacío

[x] función parte entera de x

82 : 4 + (16 : 2 + 7) : – (-5 · -1) = A) -6,2 B) -9 C) 13 D) -13 E) 16

(53 : 10 + 22 · 5) : (24 – 42) = A) 20 B) 12,5 C) -20 D) 32,5 E) no está definido.

Si x es el inverso aditivo de (0,2 3 + 1

A) B) C) D) E)

1 5

+ 0, 6 ), entonces el valor de x es

11 9 11 30 21 10 21 10 7 18

(0,00000002)-2, expresado en Notación Científica es igual a A) 0,25 · 1016 B) 2,5 · 1016 C) 2,5 · 1014 D) 2,5 · 1015 E) 25 · 1014

En la siguiente regularidad se observa que cada figura se forma aumentando una cierta cantidad de pelotitas a la anterior.

1º

2º

3º

4º

Con respecto al número de pelotitas, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 6.

Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) a un número racional? I) II) III) A) B) C) D) E)

La octava figura se compone de 64 pelotitas. La n-ésima figura está compuesta por 6n pelotitas. La diferencia entre la novena y la octava figura es de 16 pelotitas.

5 2 -

-3 20 :

11 + 2 3

Solo I Solo II Solo III Solo II y III Ninguna de ellas.

Al simplificar la expresión

x+1 x3 + 1 : , definida en los reales, resulta 2  x + 1 x  2 x

x2 + 1 x  1 B) x + 1 C) x – 2

x2  1 x+1 2 E) x + 1

(x-1 + x)2 = -2 2 A) x + 2x + x -2 -1 2 B) x + 2x + x 1 -2 C) x + 2 + x 1 2 D) x + 2 + x2 1 1 +2+ E) 2 x x

m-3 m6n es igual a

m-1 n

m-2 n

m-3 n

10. La solución de la ecuación en x, 64 = 2k - 2 · 4x, es A) B) C) D) E)

22+k 22-k 24-k 2k-4 26-k

11. El valor de la expresión m2 – n + 1, donde n es igual a m aumentado en 2, es

A) B) C) D) E)

n2 n2 n2 n2 n2

– 5n + 5 – 5n + 4 + 4n + 5 + 5n + 5 + 4n – 5

12. Hace 6 años Pedro tenía el cuádruplo de la edad de su hija. En 10 años más tendrá solo el doble. ¿Qué edad tendrá su hija en 3 años más?

A) B) C) D) E)

7 10 14 17 21

13. El valor de m para que las rectas L1: 3x – my = 2 y L2: x + y = m sean paralelas, es A) -1 B) 3 C) -3 D) 1 E) 2

14. La ecuación de la recta que intersecta al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas en 2 y -4, respectivamente, es

A) B) C) D) E)

x – 2y = 4 2x + y – 4 = 0 2x – y = -4 -x + 2y + 2 = 0 2x – y – 4 = 0

15. Las soluciones de (x – 1)2 + 3x = 7 son A) 1 y 2 B) -2 y -3 C) 2 y 3 D) -3 y 2 E) -1 y 1 16. Si f(x + 1) = 3x2 + 2x, entonces la función f(x – 1) es

A) B) C) D) E)

3x2 3x2 3x2 3x2 3x2

– 10x + 8 – 12x + 16 – 4x + 1 – 2x + 10x – 8 6

17. Con [x] parte entera de x, se define f(x) = [x – 3], entonces el valor de f(1,5) + f(-1,5) es A) 5 B) 6 C) 7 D) -7 E) -3

18. De acuerdo a la figura 1, la función que mejor la representa podría ser x A) f(x) = 3 B) f(x) = log3 x

f(x)

fig. 1

1 C) f(x) =   3 D) f(x) = log 1 x

x E) f(x) = 2

19. Sea f(x) =

2x + 1 1 x 2 x+1

si x ≤ 0 si 0 < x < 4 si x ≥ 4

Entonces, el valor de f(-2) + f(2) + f(8) A) 1 B) 7 C) 9 D) -1 E) 0 20. Sea f(x) =log2 (x – 2) + 1, el recorrido de la función está dado por A) B) C) D) E)

]2, +[ lR+ [2, +[ [3, [ lR

21. Dada la ecuación de la recta

1 3 1 x + y + = 0, ¿Cuál de los siguientes puntos 8 2 4

pertenece a ella?

A) B) C) D) E)

(2,0) (-2,0) (10,1) (0,2) (0,-2)

22. Si p2q = n, con p un entero positivo, entonces pq es igual a A) n B) 2n C)

n q n E)

23. Si f(x + 1) = f(x) + 2 y f(1) = 3, entonces ¿cuál es el valor de f(4)?

A) B) C) D) E)

0 3 6 8 9

24. En la gráfica de la figura 2, las rectas L1, L2 y L3 forman un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)

La pendiente de la recta L1 es cero. El valor de la pendiente de la recta L2 es igual al valor opuesto de la pendiente L3. Las ecuaciones de las rectas L2 y L3 son iguales. f(x)

A) B) C) D) E)

Solo I y II Solo II y III Solo I y III I, II y III Ninguna es verdadera.

fig. 2 L3

x L1

25. Los dígitos de un número de tres cifras suman 11. Si el dígito de las centenas es el triple del dígito de las decenas y el dígito de las unidades es 3, entonces el número es

A) B) C) D) E)

121 326 623 642 821

26. Si r() = (2 + 3, 4 – 8), entonces ¿cuál(es) de las siguientes rectas es (son) perpendicular(es) a r()? I) II) III)

A) B) C) D) E)

p(t) = (5 + 8t, 3 + 3t) 1 1 m() = (2 – , 4 – ) 3 8 v() = (12 + 16, 15 + 6)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

27. En cuál de las opciones se muestra una función cuadrática que no intersecta al eje de las abscisas. 2 A) f(x) = x 2 B) f(x) = 3x + 3 1 2 C) f(x) = - x + 1 2 2 f(x) = -2x –2 D) 2 f(x) = x – x –2 E)

28. La solución de la ecuación 7x + 3 = 72x  492 es A) 0 B) 2 C) 1 D) -1 E) -2

29. ¿Cuál debe ser el valor de k, para que las rectas L1: 3x + ky + 12 = 0 L2: 2x + 5y – 10 = 0 sean perpendiculares?

A) B) C) D) E)

30.

¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones

A) B) C) D) E)

31.

1 5 1 5 6 5 6 5 12

3x + 2y = 10 15x + 10y = 50

x=y=0 x = -y x=3 y=2 El sistema no tiene solución El sistema tiene infinitas soluciones

¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones dado por



B) 0  3 7 C) lR – - ,   2 6  3 7 D) - ,   2 6 E) lR

32. El valor de log3 2 · log 3 es 2

A) B)

6 3

C) D) E)

2 3 2

1  4 ? 2 2x + 6  3

3x +

33. Sea log (x – 5) = log 12, entonces el valor de x es A) 2 B) 8 C) 15 D) 17 E) 20 34. En la figura 3, el arco AB mide 110º y el CAB = 65º, el ABC mide C

fig. 3

30º A) 60º B) 90º C) 92,5º D) E) 120º

35. En la figura 4, ABCD es un paralelogramo, el arco DA mide 70º, el BCD mide 80º. ¿Cuál es la medida del arco ED? E

D 10º A) 40º B) 90º C) 100º D) E) 120º

B fig. 4

36. El triángulo ABC, de la figura 5, es equilátero de lado 12 cm y el triángulo DEC es isósceles de base DE . Si AD = DE = EB , entonces el área achurada corresponde a C A)

6 3 cm2

8 3 cm2

fig. 5

C) 12 3 cm2 D) 18 3 cm2 E) 24 3 cm2 A 37. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono regular de 8 lados? A) 45º B) 90º C) 120º D) 130º E) 135º 11

38. En el trapecio ABCD de la figura 6, la base AB = 12a y la base CD = 4a, entonces la mediana mide D A) B) C) D) E)

8a 10a 12a 15a 16a

fig. 6

39. En la figura 7, A, E y C son puntos colineales. Si AB // CD , entonces el CEB en función de  es

40º

A) B) C) D) E)

    

+ + + +

20º 30º 40º 80º

E fig. 7  A

40. El triángulo ABO de la figura 8 es isósceles rectángulo de base AB , O es el centro de la circunferencia, OC es altura y OB = 5 6 cm. Entonces, el perímetro de la circunferencia es igual a B A)

5 3 cm

fig. 8

B) 10 3 cm C) 12 3 cm

D) 36 3 cm E) 40 3 cm A 41. En la figura 9, el triángulo PQR es equilátero de perímetro 18 cm, RS es altura, T pertenece al lado RQ , UT es perpendicular a SQ y además 3 UT = RS , el segmento PT mide

R A) 2 3 cm B) 4 3 cm C) 2 7 cm D) 4 7 cm E) Ninguna de las anteriores.

fig. 9

U Q

42. En un rectángulo de lados n y 2n, al unir los puntos medios de cada lado se obtiene n 5. 2 n cuadrado de lado 5. 2 n n romboide de lados 5 y . 2 2 n rectángulo de lados y n. 2 cuadrado de lado n.

A) un rombo de lado B) un C) un D) un E) un

43. Un cuadrado de lado 4 cm se hace girar en torno a una de sus diagonales indefinidamente. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera?

3 A) 16 2 cm 3 B) 32 2 cm 16  2 cm3 C) 3 20  2 cm3 D) 3 32  2 cm3 E) 3

44. Al trazo AB de coordenadas A(2,3) y B(-4,5) se le aplica una traslación según el vector (1,-5) obteniéndose el trazo A 'B' . ¿Cuál es la distancia que se genera entre B y B’?

A) 2 3 B) 2 5 C) 2 6 D)

E) 4 6

45. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 cm y 15 cm, ¿cuál es el área y el perímetro respectivamente de otro triángulo, semejante al primero, cuya hipotenusa mide 34 cm?

A) B) C) D) E)

200 240 200 240 80

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

y y y y y

80 cm 80 cm 40 cm 40 cm 240 cm 13

46.

En la figura 10, se tiene una circunferencia de centro O y un triángulo isósceles ABC de base AC , el ECA = 68° y el arco DE = 40°. ¿Cuánto mide el arco CA? C A) B) C) D) E)

128° 84° 132° 140° 145°

fig. 10 E O

B D

47. La longitud de una escalera que está apoyada sobre un poste mide 10 5 m y forma un ángulo de 30° con el suelo. ¿Cuál es la distancia entre el poste y el pie de la escalera?

2 5 m

5 5 m

C) 10 2 m D) 10 5 m E)

5 15 m

48. En la circunferencia de centro O, de la figura 11, se tiene que: ST = 6 cm, TQ = 12 cm, PT = 8 cm. Entonces, ¿cuál es la medida del segmento TR ? R fig. 11 S T A) 4 cm B) 7 cm C) 9 cm O D) 12 cm Q P E) 20 cm

49. De acuerdo a la figura 12, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Solo Solo Solo Solo Solo

h  (p + q) b b=qh a=

b2  q2

I II I y II I y III II y III

fig. 12 b

50. De acuerdo a los datos proporcionados en la figura 13, la altura AD mide 100 12 100 B) 17 120 C) 12 120 D) 17 100 E) 23

fig. 13

cm D

8 cm

cm cm

15 cm

51. En la figura 14, DE // AB , entonces se cumple que

A) B) C) D) E)

c D

90 cm2 162 cm2 90 3 cm2

2 D) 120 3 cm 2 E) 162 3 cm

53. La pendiente de la recta de ecuación vectorial r() = (4 + 5; -3 + 8) A) B) C) D) E)

E b

52. El lado de un hexágono regular mide 6 3 cm. ¿Cuánto mide su área?

A) B) C)

fig. 14

c b = d a d c = a c+b d c+b = c a d c = a b d c = b a

5 8 8 5 3 4 4 3 1 15

54.

En el paralelepípedo de la figura 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

A) B) C) D) E)

AB // BC

II)

HG  EF

III)

AE // CG

F C

D H

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

E B fig. 15

55. Si la imagen de una figura se forma al otro lado del centro de homotecia, pero sus nuevas dimensiones son la mitad de las dimensiones de la figura original, entonces el valor de la constante de homotecia es A) B) C) D) E)

2 1 2 1 2 -2 4

56. Se tiene una pirámide de base cuadrada de lado 4 cm y altura 4, un cono cuya altura mide el doble de su radio basal, si el radio basal del cono mide 2 cm, entonces la relación correcta es 1 Volumen de la pirámide. 4 1 de la pirámide = Volumen del cono. 4 2 del cono = Volumen de la pirámide. 3 2 de la pirámide = Volumen del cono. 3 de la pirámide = volumen del cono.

A) volumen del cono = B) volumen C) volumen D) volumen E) volumen

57. La desviación estándar de los pesos de 18 alumnos es 6,2 Kg. Si después de cierto régimen nutricional todos bajan el 10% de su peso. ¿Cuál es la desviación estándar de los nuevos pesos? A) B) C) D) E)

6,2 Kg 0,9 Kg 5,58 Kg 1,8 Kg 6,0 Kg

58. Las notas de 3 alumnos son 4,7; 4,2 y 4,6. Si el profesor les cambia dichas notas a 5,0 por haber cumplido cierta tarea, entonces ¿cuál es la varianza de las nuevas notas? A) B) C) D) E)

0,3 0,2 0,1 0,0 0,4

59. La tabla muestra los puntajes obtenidos por 32 alumnos en una prueba de Ingles. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

El rango es 100. A = 65 4B = 3C

Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III Ninguna es correcta

Puntaje [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ [90, 100[

Marca de clase

Frecuencia absoluta 2

A 6 B

Frecuencia acumulada 10 C 28

60. En un conjunto de datos se tiene que la desviación estándar es k, si cada dato se multiplica por un mismo número natural n entonces se puede concluir que

A) B) C) D) E)

la la la la la

desviación estándar se mantiene. varianza es igual a n2k2. media aritmética se mantiene. desviación estándar es igual a n2k. varianza igual a n2k.

61. La tabla adjunta muestra el sueldo de 20 empleados de una fábrica. ¿Cuál es el promedio de los sueldos?

A) B) C) D) E)

$ $ $ $ $

Sueldos [600.000 - 800.000[ [800.000 - 1.000.000[ [1.000.000 – 1.200.000[

710.000 720.000 810.000 840.000 920.000

Frecuencia 10 6 4

62. Se tienen las edades de 5 jóvenes: 11, 20, 15, 10 y 18 años. Si a cada edad se le agregan 3 años y estas nuevas edades se duplican, ¿cuál es el rango de las edades en años que resulta al final? A) B) C) D) E)

20 14 7 46 26

63. De acuerdo a los datos proporcionados en la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdaderas(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

El promedio es igual a 4. La desviación estándar es 2. La varianza es 4.

x 2 4 6 8

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

64. ¿Cuál es el valor de 1 

C36 C84

5 7 6 B) 7 2 C) 5 3 D) 5 E) 4

f 4 3 2 1

65. En el experimento aleatorio, lanzar cinco monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo menos tres caras?

1 16 1 B) 2 5 C) 8 3 D) 8 5 E) 16 A)

66. En una tienda hay 6 poleras y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar tres poleras y dos pantalones, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puedo hacerlo?

A) B) C) D) E)

70 120 150 200 240

67. El gráfico de la figura 16, representa la cantidad de libros que han leído un grupo de personas durante un año. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)

II) III)

La probabilidad que al escoger una persona al azar esta haya leído a lo 5 menos 8 libros es . 9 La probabilidad que al escoger una persona del grupo no haya leído ningún libro es un suceso imposible. El total de personas encuestadas es 180. N° de personas

A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

fig. 16

60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 Número de libros leídos

68. En una alcancía hay 30 monedas distribuidas en monedas de $ 10, $ 50, $ 100 y de $ 500. Si hay el doble de monedas de $ 50 que de $ 100 y tantas monedas de $ 10 como de $ 100, además la cantidad de monedas de $ 500 es igual a la suma de la cantidad de monedas de $ 10 y de $ 100, entonces al sacar al azar dos monedas una tras otra sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean de $ 500?

A) B) C) D) E)

2 29 3 29 2 87 3 87 Ninguna de las anteriores

69. Al simplificar m = A) B) C) D) E)

(x + 1)!  (x  1)! se obtiene (x  2)!  x!

x2 - 1 x2 + 1 2x2 4x 6

70. En el lanzamiento de dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más una suma igual a 4?

2 5 3 B) 4 1 C) 6 2 D) 9 5 E) 9 A)

71. En el experimento aleatorio lanzar cuatro monedas, se define la variable aleatoria X como el número de sellos que se obtienen. ¿Cuál de las siguientes tablas representa una función de distribución de probabilidad?

F(x)

1 16

4 16

6 16

4 16

1 16

F(x)

1 16

2 16

3 16

4 16

5 16

F(x)

1 16

5 16

11 16

15 16

16 16

F(x)

1 16

1 4

5 16

1 4

1 16

F(x)

1 16

1 4

3 8

1 4

1 8

72. ¿Cuál de los siguientes parámetros corresponde a una medida de dispersión?

A) B) C) D) E)

La moda La mediana La media aritmética El cuartil La varianza

73. ¿Cuál(es) de los siguientes eventos tiene la misma probabilidad de ocurrencia? I) II) III)

A) B) C) D) E)

Obtener un número primo en el lanzamiento de un dado. Obtener cara en el lanzamiento de una moneda. Obtener una bolita roja de una caja que contiene 6 bolitas verdes y 4 bolitas rojas.

Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna

Evaluación de Suficiencia de Datos Instrucciones para las preguntas Nº 74 a la Nº 80 En las preguntas siguientes no se pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: A)

(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

(2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta.

Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) (2)

Los capitales de P y Q están en la razón 3:2. P tiene $2.000.000 más que Q.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto: P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde $10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $4.000.000 Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave

D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).

74. Si p y q son números enteros consecutivos, entonces se puede asegurar que pn  q2n representa un número positivo, si: (1) p ≠ 0 y n  0 (2) q  1 y n  0 A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

75. Se puede determinar la ecuación de la recta, si: (1) La pendiente es negativa. (2) El punto de intersección con el eje de las abscisas es (4,0). A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Sea f(x) = ax2 – 3x + b. Se puede determinar el valor mínimo de la función cuadrática, si: (1) a = 1 (2) b = -4 A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

77. Cierto tipo de bacteria se triplica cada media hora, se puede determinar el número de bacterias que habrá al cabo de tres horas, si: (1) Inicialmente hay 120 bacterias. (2) después de una hora el número de bacterias que hay cuadruplica la cantidad inicial de bacterias. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional 23

78.

En la figura 17, se puede determinar el perímetro y el área del pentágono ABCDE, si: (1) El lado del cuadrado ABCE es 8 cm. (2) El triángulo CDE es equilátero. A) B) C) D) E)

D fig. 17

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

79. De acuerdo a los datos proporcionados en la tabla, se puede calcular el promedio, si:

80.

(1) Se conoce el valor de A. (2) Se conoce el total de frecuencia.

A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5 6

A 4 6 B 10 2

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Una caja contiene 12 bolitas, todas del mismo tamaño y peso; al sacar tres bolitas una tras otra sin reposición. Se puede determinar los valores que toma la variable aleatoria X = número de bolitas blancas que se obtengan, si: (1) En la caja hay solamente bolitas blancas y azules. (2) El número de bolitas blancas duplica al número de bolitas azules. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional