Geometría

Geometría Circunferencia y Geometría de proporciones

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

c

T

O

r

B

D

S

A

O: centro de la circunferencia. r: radio, segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. c: cuerda, segmento que une dos puntos de la circunferencia.

D: diámetro, es la cuerda que pasa por el centro, luego es la cuerda mayor de una circunferencia y D = 2r.

T: tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto e tangencia.

S: secante, es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.

AB : arco, es una parte e la circunferencia. Ángulos en una circunferencia: E C

D

B

AOB ; ángulo del centro, esta formado por dos radios.

CDE , ángulo inscrito, esta formado por dos cuerdas de origen común.

HGF , ángulo semi inscrito, esta formado por un tangente y una cuerda que llega al punto de tangencia.

O A

F

G H

1.

Teoremas:

Un ángulo del centro es igual equivalente al arco que encierra.

B

AOB  AB O A

2.

Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo inscrito, entonces el del centro

B

C

Corolario:

O A

3.

AOB  2  ACB

ACB 

AB 2

Dos o más ángulos inscritos que encierran el mismo arco tienen igual medida.

B C

ACB  D

ADB 

AB 2

A

1

mide

4.

Una radio que llega el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

T

r

rT

5.

Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo semi inscrito, entonces el del centro mide el doble del semi-inscrito.

C

B

AOB  2  ABC

A

Corolario O

ABC 

6.

AB 2

Todo triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia.

C

A

7.

Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios.

C

D

A

    180º





8.

ABC es rectángulo en C.

B

O





    180º

B

Si dos tangentes se intersectan entonces se generan dos segmentos congruentes.

C

AB  AC

A

B

2

Corolario: De la demostración del teorema anterior, se desprende que CAO  OAB , por tanto AO es bisectriz, de esto derivamos en que la intersección de las bisectrices e un triángulo es el incentro, centro de la circunferencia inscrita. Por lo tanto el incentro equidista de los lados del triángulo.

C r A

O r

C

B

r

r I r

A

9.

B

Un radio es perpendicular a una cuerda sí y solo sí dimidia a la cuerda.

F A

B

E

r  AB  AE  EB , además si el radio es perpendicular a la cuerda, entonces AF  FB .

r

Podemos decir que la simetral de una cuerda debe pasar por el centro, lo cual nos permite decir que la intersección de la simetrales en un triángulo, se llama circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro equidista de los vértices el triángulo.

O

B

r

r

O

r A

C 10.

Si dos cuerdas son iguales, entonces los arcos encerrados por ellas son iguales.

B

A

AB  CD  AB  CD De este teorema se deriva que todo polígono regular es inscriptible en una circunferencia.

C

E D

F

r

r

C

Al triángulo FOA se le llama triángulo fundamental.

r O r

A

r B

3

1.

Encuentra la medida del ángulo x en las siguientes figuras.

B C

55º 80º

20º

x

O

O

x

x

x

A D AB  50º CD  60º

B

C

x

B

A

x A

O

O B B

x A

C AB  70º

AB  70º

AB  100º

O x

A CB es tangente en B

B

D

AB  140º

AB y CD son paralelas

P Q

60º

x

O

M

x

70º

N

El triángulo inscrito es isósceles

NP  140º QM  60º

N

P x

Q

x

T x 70º

R

30º

S

10º

M N En cuadrilatero NTPS está inscrito

QM  60º

2.

S E

V

A

ANE es triángulo equilátero, V es punto de tangencia y punto medio de EA, el arco VS mide:

Dibuja y resuelve los siguientes problemas.

1) 2) 3) 4) 5)

AC es diámetro, el ángulo BDC está inscrito a la circunferencia y mide 25º, ¿cuánto mide el ángulo ACB. Las cuerdas AB y CD son perpendiculares, el arco AC mide 42º y el arco BC mide 108º, encuentra las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABD. Dos tangentes a una circunferencia forman un ángulo de 47º, ¿cuánto mide el menor arco generado por los puntos de tangencia?

Las cuerdas AB y CD forman el ángulo interior AMC = 62º, las secantes NDA y NBC forman el ángulo exterior ANC = 26º. Hallar los arcos AC y BD. El arco AB mide la mitad del arco CD, las secantes DA y CB se intersectan fuera de la circunferencia formando un ángulo de 35º. Encuentra las medidas de los arcos AB y CD.

4

6)

Dos tangentes a una circunferencia forman un ángulo de 54º, si C es un punto del menor arco formado por los puntos de tangencia A y B, entonces el ángulo ACB mide: De un punto externo A se traza una secante ABC, cuyo segmento externo AB es igual al radio. Desde el mismo punto A se traza otra secante ADE que pasa por el centro de la circunferencia. ¿Cuánto miden los arcos BD y CE? En una semicircunferencia de diámetro AB, se traza una cuerda AC, tal que el ángulo BAC = 20º, si la tangente PDQ (D punto de tangencia) es paralela a la cuerda AC, entonces las medidas de los ángulos ADP y BDQ miden: Si AB = 60º y BC = 120º son arcos consecutivos de una circunferencia. Encuentra los ángulos interiores del triángulo ABC. Los arcos de una circunferencia AB y AC miden 120º, si se traza una cuerda DE que une los puntos medios de los arcos AB y AC, entonces demuestre que las cuerdas AB y AC trisectan a la cuerda DE:

7) 8)

9) 10)

Geometría de proporciones Semejanza: Dos figuras se dicen semejantes () si estas tienen igual forma.

C’

Semejanza de triángulos:

C b c

A

B

  '   '

ABC

A 'B' C' 

a’

b’

a

c’

A’

B’

  '

 a b c   a' b ' c ' Para probar que dos triángulos son semejantes se deben utilizar los postulados de semejanza, a continuación daremos dos de ellos los más usados.

(A,A) ángulo, ángulo Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.

(L,L,L) lado, lado, lado Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema de Tales.

Si dos rectas no paralelas son cortadas por una familia de paralelas, entonces en las rectas no paralelas se forman segmentos proporcionales.

Si L1 // L2 // L3, entonces L1

a

c

a c  b d

L2

b

d L3

División de trazos: Un trazo se dice dividido interiormente si hay un punto dentro del trazo que lo divide en dos segmentos que están en una razón determinada.

Un trazo se dice que esta dividido exteriormente si existe un punto en la prolongación del trazo que divide al trazo en una razón determinada.

A

E

B

A

B

E’

5

AE m AE ' m División exterior   EB n BE ' n Si un trazo esta dividido interiormente y exteriormente en la misma razón se dice que esta dividido armónicamente en dicha razón.

División interior

Razón Áurea o Razón de oro, si un trazo esta dividido de menara que el segmento mayor es media proporcional entre todo el trazo y el segmento menor.

E

A AB esta divido áureamente si:

B

AB AE   AE2  AB  EB AE EB

Teorema de Euclides Si en un triángulo rectángulo se dibuja la altura desde el ángulo recto, entonces se generan las siguientes relaciones: A q Teorema de los catetos a2 = p · c b2 = q · c

c b

p

Teorema de la altura h2 = p · q C

a

B

Teorema de la bisectriz:

C

Sea ABC un triángulo cualquiera y CD bisectriz, entonces:

AC AD  CB DB A

D

B

Observación: Al trazar las transversales de gravedad en cualquier triángulo estas se intersectan de manera que generan dos segmentos que están en la razón 2 : 1

2p

p

Proporcionalidad en una circunferencia: Dos cuerdas. a d b

a·b=c·d c

6

b Dos secantes que se intersectan. a a·b=c·d c d Una tangente y una secante. a

a2 = b · c b

c Observaciones:

1.

i)

Si dos figuras son semejantes, entonces todos sus elementos lineales correspondientes están en la misma razón.

ii)

Si dos figuras son semejantes, entonces sus áreas están en una razón igual al cuadrado de la razón en que están sus elementos lineales correspondientes.

Encuentra la medida de x e y, según corresponda, en las siguientes figuras, si L1 // L2 // L3.

L1

L1 3

10

x

3,5

L2

L2 2

x

11

12

L3

L3

x

9

L1 2

4 24

x

L2

L2

1

3 18

L1

L3

5

L3

7

4

5

L1 2

1

x-1

3

L2

y

x+1

2

2x

3 L2

y

L1

x+3

2 L3

10

L3

x x x-2

2

L1

7

4 3

L2

L1

L2 4 L3

2.

Encuentra x en las siguientes figuras.

C

C 3

E

A

3

D

x

B

39

x



10

R

4 2

5

A





B

x

C

J

P 2

P G

x F

x

R

4

E

Q

PQR triángulo isósceles de base PQ

1

A



10

P

ED // AB

H

8

 B

HF // BC y EG es mediana

Q

N

x  

M



M

N RQ // MN, PM = 8 y MN = 10

H

L

I

LM y MN son medianas e iguales, LH = 8, el perímetro de HIJ es 52.

8

12

5

8

x

x

x 8

4

15

2

x 6

x

25

18 8

3.

30

x

Resuelve los siguientes problemas.

1.

Los segmentos a = 6 m y b = 8 m son proporcionales a los segmentos c y d, tal que c + d = 21 m, Encuentra c y d.

2.

Un punto M interior al segmento AB = 42 cm, lo divide en la razón

MA 2  , MB 5

encuentra la distancia entre M y el punto medio de AB. 3.

Los lados de un triángulo son; 12 m, 16 m y 20 m, encuentra las medidas de los segmentos generados por la bisectriz interior del mayor ángulo interior.

4.

En un triángulo de 30º, 60º y 90º, la bisectriz del ángulo de 60º divide al cateto menor en una razón igual a:

5.

Los lados de un triángulo miden; AB = 5 cm, AC = 8 cm y AC = 7 cm. Sea D un punto del lado BC, tal que DB = 2 cm, desde D se trazan paralelas a los otros dos lados del triángulo. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo obtenido?

6.

Dos triángulo T y T’ son semejantes. Los lados del triángulo T miden; 18 cm, 22 cm y 30 cm. Encuentra los lados de T’ si el perímetro de T’ es 175 cm.

7.

Las bases de un trapecio miden 8 dm y 12 dm, los lados no paralelos miden 3 dm y 5 dm. Si los lados no paralelos se prolongan hasta intersectarse, entonces el perímetro del triángulo menor que se forma mide:

8.

En un trapecio las bases miden 12 m y 16 m y la altura es 9 m. Encuentra las distancias del punto de intersección de las diagonales a las bases del trapecio.

9.

En un triángulo, AB = 28 cm, AC = 21 cm y BC = 35 cm. Una paralela al lado BC forma un trapecio de de perímetro 74 cm, encuentra las medidas de los lados de dicho trapecio.

10.

Un cuadrado está inscrito en un rombo de diagonales a y b, luego la medida del lado del cuadrado expresada en términos de a y b es:

9

Ejercicios 1.

En la figura 1, MN es paralelo a AB, entonces x = A) B) C) D) E)

25 28 30 18 12

C x

30 N

M 10

12

A

2.

fig. 1

B

En la figura 2 los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, AD y A’D’ son bisectrices, luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

C’

C D’ D

A

I)

III)

ACB  A 'C'B' AC AD  A 'C ' A 'D' ADC  A 'D'C'

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y III I, II y III ninguna

II)

3.

4.

B’

A’

fig. 2

En la figura 3, ABC es semejante con QPR , luego x = A)

20 7

B)

14

C)

16

D)

22

E)

25

R

C

10 x

Q A

20

8

B

P

fig. 3

¿En qué razón están las áreas de los triángulos de la figura 3?

A) B) C) D) E)

5.

B

25 25 22 22 25

: : : : :

2 7 1 4 4

¿Cuál es el valor de x en la figura 4?

A)

10

B)

1,5

C)

7,5

D)

4,5

E)

6,5

10 6

x

fig. 4

10

6.

En la figura 5, CONI es un rectángulo, si OT es perpendicular a CN, entonces es falso 16

I

A) B) C) D) E) 7.

8.

4

B)

6

C)

8

D)

9

E)

10

4

C

O

fig. 5

D 2

A

x

B

O

fig. 6

C

Si un segmento de 24 cm. es dividido interior y exteriormente en la razón 5 es a 1, entonces la distancia entre los puntos de división interior y exterior es 6 cm.

10 cm.

12 cm.

20 cm.

24 cm.

En un triángulo de lados 5, 12 y 13, la bisectriz del mayor ángulo interior agudo divide al P  triángulo en dos triángulos de áreas P y Q, si P < Q, entonces Q

B) C) D) E)

1 3 5 13 6 13 1 2 7 13

Dos circunferencias tienen sus radios en razón 3 es a 2, si la mayor tiene un perímetro de 12 , luego el área de la menor es A) B) C) D) E)

11.

TON

NT : TO = 4 : 1 OT2 = NT · TC

A)

A)

10.

ICN 

T

El diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB, figura 6, si CD = 10, entonces x =

A) B) C) D) E) 9.

CT : TO = 4 : 1 CN = 4 17

N

36 24 18 12 81

Las dos circunferencias de la figura 7 son tangentes a la recta, si A y B son los puntos de tangencia y la distancia entre los centros es 15, entonces AB = A) B) C) D) E)

4 8 12 16 18

B

6

3

A

fig. 7

11

12.

13.

En la figura 8, los triángulos ABC y LOC son rectángulos y semejantes, si sus hipotenusas son AB y LO, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) II) III)

E es punto medio de CB y LO. (LO + CO)(LO – CO) = AL · LB El triángulo LEC es equilátero.

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo III ninguna

17.

A

B

L

fig. 8

5 cm2 15 cm2 30 cm2 50 cm2 75 cm2

8

10 16 18 15,5 20

2 12

3

L1 L2 fig. 9

L3

x

Si la sombra generada por un árbol es 12 m. y por un poste cercano a el es 8 m., entonces sus alturas pueden ser A) B) C) D) E)

16.

E

En la figura 9, L 1 //L 2 //L 3 luego x mide A) B) C) D) E)

15.

O

Si los lados de dos octógonos semejantes están en razón 3 : 5 y el área del menor es 18 cm2, entonces el área del mayor es A) B) C) D) E)

14.

C

árbol 36 m.

24 m.

48 m.

15 m.

10 m.

poste 16 m.

8 m.

24 m.

10 m.

6 m.

ABCD es paralelogramo, N es el punto de intersección de los segmentos AM y DB, si M es punto medio de DC y AN = 16 (figura 10), entonces MN = D

M

A)

4

B)

6

C)

8

D)

10

E)

Falta información para determinarlo

C

N 16 A

B

fig. 10

En la figura 11 AT es bisectriz del ángulo BAC, luego AB = A)

30

B)

28

C)

26

D)

24

E)

22

C

8

40 T

6 A

fig. 11

B

12

18.

En el rectángulo ARTE de la figura 12, RM es perpendicular a la diagonal AT, si RT = 1,3 m. y TM = 0,5 m., entonces la menor distancia que hay entre el vértice E y la diagonal AT es E

A) B) C) D) E) 19.

12 m.

1,2 m.

0,12 m.

1 m.

0,8 m.

T M

A

Los cuadriláteros ABCD y BEFG son rectángulos, el triángulo ABF es isósceles de base AF, GD es perpendicular a AF, si AD : DC = 1 : 4, entonces ¿en qué razón están las áreas de los rectángulos ABCD y BEFG? (figura 13) F

C

D A) B) C) D) E) 20.

B) C) D) E)

B) C) D) E)

23.

G

A

E

B

fig. 13

5 5 3 3 5 5 4

ninguna

R

A

fig. 14

En la figura 15, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces ER = T E A)

22.

1 : 16 15 : 16 17 : 16 5:4 ninguna de las anteriores

En la figura 14, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces ER = T E A)

21.

fig. 12

R

5 5 3 3 5 5 4

ninguna

R

A

fig. 15

Un segmento está dividido en razón áurea si: (1) (2)

su medida se expresa con una raíz cuadrada de cinco. si el mayor trozo es media proporcional.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Si en un triángulo rectángulo se traza la altura desde el ángulo recto y esta divide a la hipotenusa en dos segmentos en razón 1 : 3, entonces para determinar la hipotenusa si (1) (2)

El cateto mayor mide 12 La altura es múltiplo de 3

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

13

24.

En el triángulo ABC de la figura 16; EF // AC, AB = 10 y AC = BC = 15, si el perímetro del triángulo FBE es igual al perímetro del trapecio AFEC, entonces FE = B

A) B) C) D) E)

25.

B) C) D) E)

E

36 13 49 13 63 13 72 13 84 13

A F B E

fig. 17

10 12 15 16 25

cm cm cm cm cm

DANI es cuadrado, SIX es un triángulo rectángulo de área 50 cm 2, (figura 18), ¿cuál es el área del cuadrado DANI, si X es punto medio de AN? I N A) B) C) D) E)

120 140 160 180 200

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

X fig. 18

D 28.

fig. 16

¿Cuál es la altura de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 cm y 16 cm, si sus diagonales son perpendiculares?

A) B) C) D) E)

27.

F

C A En la figura 17, A, B y E son puntos de tangencia, los radios de las circunferencias son 9 y 4, luego EF =

A)

26.

10 11 12 13 14

S

A

En el triángulo ABC de la figura 19, CE es bisectriz del ángulo ACB, AC = 4 cm, CB = 6 cm, si el ángulo ACB mide 120º, entonces CE mide A) B) C) D) E)

C

5 cm 4,2 cm 2,8 cm 2,4 cm 2 cm

fig. 19

A

E

B

14

29.

I es el incentro del triángulo ABC de la figura 20, EM // CD, si AC = 5, CB = 7 y BA = 6, entonces AM = A) B) C) D) E)

30.

E

I

A

M

fig. 20

B

D

En la figura 21, NIKY es paralelogramo, los ángulos CYS y KCI tienen igual medida, si YT = 3 y TK = 5, entonces CK = S

A) B) C) D) E)

31.

C

13 12 15 11 15 17 15 13 13 7

2,4 3 3,2 3,6 4,8

K

T

Y

C

fig. 21

I N Los triángulos ABC y BME son rectángulos, figura 22. M es punto medio de la hipotenusa AC, si BC = 16 y AB = 12, entonces ME = B

A) B) C) D) E)

8 7,5 7 6 4

E

fig. 22 A

32.

En el triángulo ABC de la figura 23, AB = 6, en el triángulo CDE, DE = 3, si AD = CE + 1, entonces AD = B A) B) C) D) E)

2 3 4 5 6

E fig. 23

A 33.

C

M

C

D

En la figura 24, BE es altura, BC = a, CA = b, AB = c y CE = h, si a + b = k, entonces k = A)

C

c

B)

c2  2ch

C)

c + 2 ch

D) E)

abch a+b–h

fig. 24

A

E

B

15

34.

En el cuadrilátero VASI de la figura 25, el ángulo exterior SIM mide lo mismo que el ángulo VAS, luego VSI = M A)

25º

B)

45º

C)

50º

D)

55º

E)

No se puede determinar

I

V S 25º

fig. 25

A 35.

En la figura 26 la circunferencia menor es tangente a la mayor en A, si AB es diámetro de la mayor y contiene al diámetro de la menor, entonces para que AD sea igual a DC, debe suceder que (1) (2)

El radio de la mayor sea igual al diámetro de la menor.

A El ángulo BAC mida 30º.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

D

fig. 26

C B Sixto Maulén y Savane Emegu 2013

16