C u r s o : Matemática Material N° 02A GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2A
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS RACIONALES
a con a y b números b enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra .
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
a = / a, b y b 0 b
FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA
Sean a y b enteros.
a es una fracción propia. b a ii) Si |a| > |b| es una fracción impropia. b i)
Si |a| |b|
OBSERVACIÓN:
Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto.
IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
Sean
a c a c , . Entonces: = b d b d
a·d=b·c
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional? I) II) III) A) B) C) D) E)
3 – 32 0 3 4 20 1
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
2.
¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia? 10 30 2 B) 3 1 C) 2 17 D) 21 5 E) 3
A)
3.
Con respecto a la igualdad
A) B) C) D) E)
4.
1 p = , es siempre verdadero que 3 q
p+q=4 pq = 3 3q = p 3p = q p=2 y q=6
2 el numerador y el denominador se aumenta en dos, entonces la 3 fracción resultante Si a la fracción
A) B) C) D) E)
es es es es es
equivalente a la fracción original. menor que la fracción original. mayor que la fracción original. siempre negativa. uno.
2
5.
Sea n un número entero positivo, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo I, II
n+ n n+ n+ n+ n+
2 es racional. 1 2 es una fracción impropia. 1 2 =2 1
I II III II y III y III
6. ¿Cuáles de los siguientes pares de fracciones es (son) equivalente(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo I, II
21 15 y 28 20 30 40 y 24 32 16 22 y 24 30
I III I y II II y III y III
3
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si
a c , , entonces: b d
c a ad bc = d b bd
OBSERVACIONES
El número mixto A
b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c
A
b A · c +b = , con A 0 c c
EJEMPLOS
1.
3+
5 = 2
A)
1 2
B)
2
C)
4
D)
5
1 2 1 2
E) 11
2.
Si a
A) B) C) D) E)
1 7 se le resta resulta 4 8
5 8 2 3 3 2 4 9 5 8
4
3.
1 3 El inverso aditivo de es 4 5
A) B) C) D) E)
4.
¿Cuántos sextos son 2 A) B) C) D) E)
5.
-2 20 11 11 20 1 2 20 11 5 ? 6
5 10 12 16 17
3 2 El valor de la expresión 4 – es 2 5 15 10 1 B) 7 21 C) 10 17 D) 5 23 E) 7
A) -
6.
Si x = -2
1 3
e y=2+
1 , entonces el valor de x + y es 6
20 9 1 6 3 6 6 3 20 9
A) B) C) D) E)
5
7.
Se define m n =
A) B) C) D) E)
8.
1 1 1 1 es igual a , entonces m·n 2 3 4
1 24 24 1 6 6 3 2
Diego tiene un bidón de 10 litros de capacidad, llenado hasta los 4 litros le faltan para llenarlo? 2 3 1 5 3 1 4 3 2 6 3 1 3 3
A) 4 B) C) D) E)
6
2 litros. ¿Cuántos 3
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si
a c , , entonces: b d
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
c ac a · = d bd b
c d ad a a : = · = d c bc b b
OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a a es b b
EJEMPLOS 1.
12 5 · = 15 6 2 3 72 B) 75 75 C) 72 3 D) 2 180 E) 30
A)
2.
4 16 - 7 : - 49 =
7 4 4 7 4 7 1 7 4
A) B) C) D) E)
7
-1
=
b , con a y b 0 a
3.
La tercera parte del doble de
A) B) C) D) E)
4.
5 5 : · 8 es igual a la cuarta parte de 4 12
1 16 9 16 32 64
Si p =
1 q r , con q = 2 3 r q
y
r=1
1 , entonces el valor de (p – 1)3 es 2
A) -8 B) -6 C) 0 D) 6 E) 8
5.
El opuesto del inverso multiplicativo de
8 1 1 1 5 1 · : · es igual a 7 3 4 5 7 3
A) -2 1 B) 2 1 C) 2 D) 1 E) 2
6.
1 1 1 = + · 4 12 3
1 9 4 B) 9 1 C) 24 5 D) 18 1 E) 20
A)
8
7.
Sean p, q y r números enteros positivos. Si M =
1 p p es igual a + , entonces M q r
qr p(q + r) q+r B) 2p q+r C) p pr + qr D) qr qr E) 2p
A)
8.
Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima? 2 7 5 B) 7 11 C) 14 1 D) 7 3 E) 14
A)
9
RELACIÓN DE ORDEN EN
Sean
a c a c , y b, d +. Entonces: ad bc d b b d a c Además: < ad < bc b d
OBSERVACIONES
Para comparar procedimientos:
números
racionales,
también
se
pueden
utilizar
Igualar numeradores. Igualar denominadores. Convertir a número decimal.
Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
EJEMPLOS
1.
El orden creciente de los números x =
A) B) C) D) E)
2.
los
15 15 , y= y 4 9
15 es 7
x, z, y x, y, z z, x, y y, z, x y, x, z
El orden decreciente de los números a = 2
A) B) C) D) E)
z=
c, a ,b b, a ,c b, c ,a c, b ,a a, c ,b
10
1 1 5 , b=3 y c= es 6 3 6
siguientes
3.
El orden decreciente de los números p =
A) B) C) D) E)
4.
r<q<p p<q<r r<p<q q<r<p q<p<r
El orden de los números mixtos
A) B) C) D) E)
6.
p, q , r q, r , p r, q , p p, r ,q r, p, q
Si x es un número racional mayor que 3, ¿cuál es la relación de orden correcta entre 4 4 4 las fracciones p = ,q= y r= ? x 3 x x+3 A) B) C) D) E)
5.
5 8 10 , q= y r= es 6 9 11
3 7 ,s=2 4 8
y t=2
6 , de menor a mayor es 7
r, s, t t, s, r r, t, s t, r, s s, t, r
Sean las fracciones: a =
A) B) C) D) E)
r=2
5 2 7 ,b= y c = , entonces se cumple que 8 3 5
c>b>a b>a>c c>a>b a>b>c b>c>a
11
RESPUESTAS Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1,2y3
C
E
D
C
B
C
4,5y6
D
E
C
E
C
7,8 y9
A
E
E
A
10 y 11
D
B
C
A
PĂĄgs.
7
8
B
C
B
E
D
A
D
C
A
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