Ma02a números racionales i

C u r s o : Matemática Material N° 02A GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2A

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS RACIONALES

a con a y b números b enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra .

Los números racionales son todos aquellos números de la forma

a   =  / a, b   y b  0  b 

FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA

Sean a y b enteros.

a es una fracción propia. b a ii) Si |a| > |b|  es una fracción impropia. b i)

Si |a|  |b| 

OBSERVACIÓN:

Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto.

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

Sean

a c a c ,  . Entonces: = b d b d



a·d=b·c

EJEMPLOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?

I) II) III) A) B) C) D) E)

3 – 32 0 3 4 20  1

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

2.

¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia?

10 30 2 B) 3 1 C) 2 17 D) 21 5 E) 3

A)

3.

Con respecto a la igualdad

A) B) C) D) E)

4.

1 p = , es siempre verdadero que 3 q

p+q=4 pq = 3 3q = p 3p = q p=2 y q=6

2 el numerador y el denominador se aumenta en dos, entonces la 3 fracción resultante Si a la fracción

A) B) C) D) E)

es es es es es

equivalente a la fracción original. menor que la fracción original. mayor que la fracción original. siempre negativa. uno.

2

5.

Sea n un número entero positivo, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)?

I) II) III)

A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo I, II

n+ n  n+ n+ n+ n+

2 es racional.

1 2 es una fracción impropia.

1 2 =2 1

I II III II y III y III

6. ¿Cuáles de los siguientes pares de fracciones es (son) equivalente(s)?

I) II) III)

A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo I, II

21 15 y 28 20 30 40 y 24 32 16 22 y 24 30

I III I y II II y III y III

3

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si

a c ,  , entonces: b d

c a ad  bc  = d b bd

OBSERVACIONES



El número mixto A

b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c

A

b A · c +b = , con A  0 c c

EJEMPLOS

1.

3+

5 = 2

A)

1 2

B)

2

C)

4

D)

5

1 2 1 2

E) 11

2.

Si a

A) B) C) D) E)

1 7 se le resta resulta 4 8

5 8 2 3 3 2 4 9 5 8

4

3.

1 3 El inverso aditivo de    es 4 5  

A) B) C) D) E)

4.

¿Cuántos sextos son 2 A) B) C) D) E)

5.

-2 20 11 11 20 1 2 20 11 5 ?

6

5 10 12 16 17

3 2 El valor de la expresión 4 –    es 2 5 15 10 1 B) 7 21 C) 10 17 D) 5 23 E) 7

A) -

6.

Si x = -2

1 3

e y=2+

1 , entonces el valor de x + y es 6

20 9 1 6 3 6 6 3 20 9

A) B) C) D) E)

5

7.

Se define m  n =

A) B) C) D) E)

8.

1 1 1 1     es igual a , entonces m·n 2 3 4 

1 24 24 1 6 6 3 2

Diego tiene un bidón de 10 litros de capacidad, llenado hasta los 4 litros le faltan para llenarlo?

2 3 1 5 3 1 4 3 2 6 3 1 3 3

A) 4 B) C) D) E)

6

2 litros. ¿Cuántos 3

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si

a c ,  , entonces: b d

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

c ac a · = d bd b

c d ad a a : = · = d c bc b b

OBSERVACIÓN 

El inverso multiplicativo (o recíproco) de

a  a es   b b 

EJEMPLOS 1.

12 5 · = 15 6 2 3 72 B) 75 75 C) 72 3 D) 2 180 E) 30

A)

2.

 4   16   - 7  :  - 49  =    

7 4 4 7 4 7 1 7 4

A) B) C) D) E)

7

-1

=

b , con a y b  0 a

3.

La tercera parte del doble de

A) B) C) D) E)

4.

5 5 : · 8 es igual a la cuarta parte de 4 12

1 16 9 16 32 64

Si p =

1 q  r , con q = 2 3 r  q

y

r=1

1 , entonces el valor de (p – 1)3 es 2

A) -8 B) -6 C) 0 D) 6 E) 8

5.

El opuesto del inverso multiplicativo de

8  1 1  1 5 1  ·   :  ·    es igual a 7  3 4 5 7 3 

A) -2 1 B) 2 1 C) 2 D) 1 E) 2

6.

1 1 1 = + · 4 12 3

1 9 4 B) 9 1 C) 24 5 D) 18 1 E) 20

A)

8

7.

Sean p, q y r números enteros positivos. Si M =

1 p p es igual a + , entonces M q r

qr p(q + r) q+r B) 2p q+r C) p pr + qr D) qr qr E) 2p

A)

8.

Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima?

2 7 5 B) 7 11 C) 14 1 D) 7 3 E) 14

A)

9

RELACIÓN DE ORDEN EN 

Sean

a c a c ,   y b, d  +. Entonces:   ad  bc d b b d a c Además: <  ad < bc b d

OBSERVACIONES 

Para comparar procedimientos:   



números

racionales,

también

se

pueden

utilizar

Igualar numeradores.

Igualar denominadores.

Convertir a número decimal.

Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

EJEMPLOS

1.

El orden creciente de los números x =

A) B) C) D) E)

2.

los

15 15 , y= y 4 9

15 es 7

x, z, y x, y, z z, x, y y, z, x y, x, z

El orden decreciente de los números a = 2

A) B) C) D) E)

z=

c, a ,b b, a ,c b, c ,a c, b ,a a, c ,b

10

1 1 5 , b=3 y c= es 6 3 6

siguientes

3.

El orden decreciente de los números p =

A) B) C) D) E)

4.

r<q<p p<q<r r<p<q q<r<p q<p<r

El orden de los números mixtos

A) B) C) D) E)

6.

p, q , r q, r , p r, q , p p, r ,q r, p, q

Si x es un número racional mayor que 3, ¿cuál es la relación de orden correcta entre 4 4 4 las fracciones p = ,q= y r= ? x  3 x x+3 A) B) C) D) E)

5.

5 8 10 , q= y r= es 6 9 11

3 7 ,s=2 4 8

y t=2

6 , de menor a mayor es 7

r, s, t t, s, r r, t, s t, r, s s, t, r

Sean las fracciones: a =

A) B) C) D) E)

r=2

5 2 7 ,b= y c = , entonces se cumple que 8 3 5

c>b>a b>a>c c>a>b a>b>c b>c>a

11

RESPUESTAS Ejemplos

1

2

3

4

5

6

1,2y3

C

E

D

C

B

C

4,5y6

D

E

C

E

C

7,8 y9

A

E

E

A

10 y 11

D

B

C

A

PĂĄgs.

7

8

B

C

B

E

D

A

D

C

A

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