C u r s o : Matemática Material N° 05 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5 UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades a través del cuociente. Se escribe a : b o
a , se b
lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b consecuente. a El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades: = k, siendo k el valor de la b razón EJEMPLOS
1.
Un sitio rectangular cuyas dimensiones son 0,06 km de largo y 20 m de ancho, la razón entre el largo y el ancho, es A) B) C) D) E)
2.
: : : : :
1.000 100 10 1 0,1
Si el antecedente de la razón 3 : 4 se duplica y el consecuente aumenta en dos unidades, se obtiene la razón A) B) C) D) E)
3.
3 3 3 3 3
1 :1 5 :6
5:8 9:6 6:9
La escala de un plano es 1 : 1500. Un terreno representado en este plano tiene un largo de 6 cm y de ancho 3 cm. Las medidas reales del largo y ancho, respectivamente son A) 45 B) 90 C) 250 D) 500 E) 9000
m m m m m
y y y y y
90 m 45 m 500 m 250 m 45000 m
4.
En un jardín infantil el valor de la razón entre niños y niñas es 3,5. Si el número de niños es 140, entonces el número de niñas es A) B) C) D) E)
5.
Paula tiene 18 años y su hermana 6 años. ¿En qué razón están las edades de Paula y su hermana? A) B) C) D) E)
6.
80 40 30 20 10
1:3 2: 3
3:1 3:2 2:1
A una función de teatro asistieron 80 personas, 16 eran de la tercera edad, 24 eran adultos y el resto eran niños. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Por cada 2 personas de la tercera edad asisten 3 adultos La razón entre niños y el total de asistentes a la función de teatro es 1 : 2. La razón entre adultos y niños es 3 : 5.
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III
2
PROPORCIÓN
a c = o a : b = c : d y se lee b d “a es a b como c es a d”, donde a y d son términos extremos; b y c son términos medios.
Es una igualdad de dos razones. Se escribe
TEOREMA FUNDAMENTAL: “En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios”. a c = a d=b c b d
a=c·k a c = , existe una constante k ≠ 0 tal que OBSERVACIÓN: Dada la proporción b d
b=d·k EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones conforman una proporción? I) II) III) A) B) C) D) E)
2.
5 10 y 4 8 6 : 3 y 18 : 9 3,5 21 y 2 8
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
El valor de p en la proporción 1
2 1 1 : 2 = p : 1 es 3 2 4
10 3 8 B) 3 12 C) 10 5 D) 6 8 E) 15
A)
3
3.
El trazo AB de la figura 1, mide 90 cm y está dividido interiormente por un punto P en la razón 2 : 3. ¿Cuánto mide la mitad del segmento mayor? A) B) C) D) E)
4.
A
P
B
fig. 1
3
8 24 32 42 56
Las edades de dos personas están en la razón 4 : 6. Si el mayor tiene 36 años, ¿qué edad tiene el menor? A) B) C) D) E)
6.
cm cm cm cm cm
La razón entre hombres y mujeres que asisten a una reunión es 4 : respectivamente. Si las mujeres son 24, ¿cuántos hombres asistieron a la reunión? A) B) C) D) E)
5.
18 27 36 45 54
18 24 36 54 72
Si la variable p es a la variable q como 3 : 4, ¿cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera? A) B) C) D) E)
p+q=7 p–q=1 p · q = 12 4p – 3q = 0 4p + 3q = 0
4
SERIE DE RAZONES
Es la igualdad de más de dos razones. La serie de razones
x y z = = , también se escribe como: a b c
x:y:z=a:b:c
PROPIEDAD BÁSICA
Para la serie de razones:
x y z = = = k, se cumple que: x = k · a; a b c
y = k · b;
z=k·c
EJEMPLOS
1.
Si a : b = 2 : 3 A) B) C) D) E)
2.
3.
2 4 6 4 6
: : : : :
y
b : c = 6 : 7, entonces a : b : c =
6:7 6:7 9 : 21 3:7 18 : 21
Un premio es repartido entre tres amigas en la razón 3 : 4 : 7. Si el premio es de $ 420.000, entonces la cantidad de dinero de la amiga que recibe menos es A) B) C) D) E)
$ $ $ $ $
210.000 120.000 90.000 60.000 30.000
Si
a b c = = y c = 36, entonces a + b – c es igual a 2 3 4
A) 4 B) 9 C) 12 D) 45 E) 81 5
4.
En el ABC de la figura 1, : : = 3 : 7 : 2. Si + + = 180º, entonces 2 – + 5 = C A) B) C) D) E)
5.
B
60º 120º 140º 180º 220º
Alejandra, Marcos y Roberto son hermanos, siendo estos dos últimos mellizos. ¿Qué edad tiene Marcos si la suma de sus edades es 56 años y la razón entre la edades de Alejandra y Roberto es, respectivamente, 10 : 9? A) B) C) D) E)
7.
A
fig. 1
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º. Si en cierto cuadrilátero los ángulos interiores se encuentran en la razón 3 : 4 : 5 : 6, entonces la suma del ángulo menor con el ángulo mayor es A) B) C) D) E)
6.
105º 135º 180º 220º 315º
15 16 17 18 20
años años años años años
En una nueva empresa cada uno de tres socios aportan al capital inicial en la razón de 3 : 4 : 5. Después del primer mes deciden que las ganancias, que ascienden a la suma de $ 840.000, serán repartidas en la misma razón de sus aportes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I) II) III)
La constante de proporcionalidad es $ 70.000. El socio que menos aporto recibió $ 210.000. Entre los dos socios que más aportaron al capital inicial recibieron los las ganancias.
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I , II y III 6
3 de 4
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables x e y son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. x1 x x x = 2 = 3 = ... = n = k , siendo k constante y1 y2 y3 yn
Así por ejemplo, la tabla muestra la elaboración de jugo de manzana, por cada 15 kg de manzana se obtiene 9 litros de jugo. Peso (kg)
5
10
15
x
Volumen (Lt)
3
6
9
y
Podemos observar que
5 x = 3 y
Aumenta
Litros de jugo
En una proporción directa, si una magnitud aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces
9 6
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al representar los pares de valores, los puntos se sitúan en una recta que pasa por el origen.
3 0
5 Aumenta
10
15
kg. de manzanas
EJEMPLOS 1.
En la tabla adjunta P y Q son magnitudes directamente proporcionales. Entonces, a+b= A) 5 B) 16 C) 64 D) 69 E) 128
7
P
a
8
3
Q
40
b
24
2.
Se sabe que 2a y 3b representan variables directamente proporcionales. Cuando a = 6, b = 8, entonces, ¿cuál es el valor de 2b cuando a = 12? A) B) C) D) E)
3.
48 32 24 16 12
En el gráfico de la figura 1, x e y son magnitudes directamente proporcionales. Entonces, ¿cuál es el valor de c + d? y A) B) C) D) E)
d
6 12 18 24 42
8
fig. 1 4
3
4.
c
9
x
250 gramos de cierto alimento aporta 0,5 calorías. ¿Cuántas calorías aporta 4,5 kg del mismo alimento? A) 2,25 B) 7,5 C) 8 D) 9 E) 10
5.
Si 2x varía directamente con
y
e y = 4 cuando x = 3, entonces ¿cuál es el valor de
2x cuando y = 16?
A) B) C) D) E)
1 12 1 3 3 6 12
8
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre las cantidades correspondientes se mantiene constante. x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = … = xn · yn = k (k constante) Así por ejemplo, la tabla de la figura 5 muestra las medidas posibles de los lados de un rectángulo de área 24 cm2. Ancho 12 11
2
3
4
6
x
Ancho
12
8
6
4
y
Disminuye
Largo
10 9 8 7 6 5 4
Podemos observar que x · y = 24
3 2 1 1
2
3
4
6
Aumenta
8
Largo
El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera. EJEMPLOS
1. Las cantidades ubicadas en las columnas A y B en la tabla adjunta, son inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de P – Q? A) 1,5 B) 3,0 C) 4,5 D) 7,5 E) 30,0 2.
A
B
5
6
P
4
10
Q
Las variables x e y son inversamente proporcionales, cuando x vale 9, y vale 20. ¿Cuál es el valor de y, cuando x vale 15? A) B) C) D) E)
12 24 30 40 60 9
3.
El gráfico de la figura 1, representa una hipérbola. De acuerdo a la información entregada, ¿cuál es el valor de D – 2C? y D
A) -6 B) 0 C) 6 D) 12 E) 24
fig. 1
4 3 C
2
4.
x
8
Se envasa cierta cantidad de líquido en 12 bidones de 20 litros. Si el líquido se envasara en bidones de 15 litros, ¿cuántos bidones más se necesitarían? A) 32 B) 16 C) 12 D) 4 E) 3
5.
Ocho empleados hacen un trabajo en 20 días. Para hacer el mismo trabajo en 5 días, ¿cuántos empleados más se necesitarán? A) B) C) D) E)
6.
2 12 16 24 32
En la hipérbola equilátera de la figura 2, los valores de C y B son respectivamente y
A) 8 y 9 B) 6 y 12 C) 4 y 18 D) 12 y 6 E) 24 y 3
C
fig. 2
8 6 3 4
10
B
8
16
x
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
La proporcionalidad compuesta es la combinación de proporcionalidades directas, inversas o ambas. Si la variable A es directamente proporcional a la variable B y a su vez inversamente A· C proporciona a la variable C, entonces se mantiene constante, es decir: B A1 · C1 A · C2 = … = k, siendo k constante. = 2 B1 B2
OBSERVACIÓN:
Si la variable A es directamente proporcional a la variable B y a su vez directamente A proporcional a la variable C, entonces =k. B·C Si la variable A es inversamente proporcional a la variable B y a su vez inversamente proporcional a la variable C, entonces A · B · C se mantiene constante.
EJEMPLOS
1.
En un taller se han fabricado 1.000 piezas, trabajando 8 horas diarias durante 6 días. ¿Cuántos días son necesarios para fabricar 2.000 piezas trabajando 12 horas diarias? A) 2 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24
2.
9 obreros construyen una casa en 10 meses, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos obreros, en las mismas condiciones de trabajo, se necesitan para contruir la misma casa en 5 meses trabajando 6 horas diarias? A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24
11
RESPUESTAS Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
D
A
B
B
C
E
3y4
C
D
B
C
B
D
5y6
B
C
B
B
D
D
7y8
D
B
C
D
E
9 y 10
C
A
B
D
D
11
B
E
PĂĄgs.
7
E
D
DMCAMA05
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