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27/11/23 15:04

3 POTENZE E RADICI Studiando questa unità...

...scoprirai proprietà di questa operazione che ti permetteranno di facilitare e velocizzare i calcoli

...conoscerai una nuova operazione, l’elevamento a potenza, che ti permetterà di farti amici anche numeri molto grandi

...vedrai l’utilità e l’importanza della scrittura di numeri in forma di potenze per le scienze

...farai la conoscenza

di un’operazione inversa, l’estrazione di radice, che ti sarà utile nei tuoi studi futuri

205

ESPLORO

Potenze di due Per scrivere addizioni ripetute di numeri tutti uguali tra loro con un’espressione più compatta usiamo una moltiplicazione. Per esempio scriviamo: 2+2+2+2+2=5×2 cioè la somma di 5 numeri tutti uguali a 2 è uguale al prodotto tra 5 e 2: “5 volte 2” o “5 per 2”. Similmente, per scrivere moltiplicazioni ripetute di numeri tutti uguali tra loro con un’espressione più compatta usiamo una potenza. Per esempio scriviamo: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 cioè il prodotto di 5 numeri tutti uguali a 2 è uguale alla potenza di base 2 ed esponente 5: “2 alla 5”. Completa la tabella con tutte le potenze di 2 di esponente da 1 a 10. potenza

moltiplicazione

valore

2 4 2×2×2

Passando da una riga della tabella a quella successiva il valore raddoppia. In questo modo in soli nove passaggi da 2 arrivi a 210, che è uguale a 1024. Per superare un milione ti basta arrivare a 220, che è uguale a 1.048.576. La più piccola potenza di 2 maggiore di un miliardo è 230, che è uguale a 1.073.741.824. Riporta in questa tabella la cifra delle unità di ogni potenza. potenza

cifra delle unità

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Noti qualcosa? Sapresti scrivere la cifra delle unità di 211? E di 215? E di 230?

206

U3 Potenze e radici

Potenze di tre Quali sono invece le più piccole potenze di 3? Completa la tabella con tutte le potenze di 3 di esponente da 1 a 10. potenza

moltiplicazione

valore

3 9 3×3×3

Passando da una riga della tabella a quella successiva il valore triplica. In questo modo si ottengono ancora più in fretta numeri molto grandi! Guarda la cifra delle unità di ogni potenza che hai scritto e riportala nella tabella. potenza

cifra delle unità

3 3 3 3 3 3 3 3 3

Noti qualche analogia con la tabella relativa alle potenze di 2?

Sapresti scrivere la cifra delle unità di 311? E di 315? E di 330?

207

3 1

LEGGO

Videolezione

L’elevamento a potenza La potenza

Consideriamo la seguente moltiplicazione con i fattori tutti uguali: 3 × 3 × 3 × 3 = 81

il fattore 3 compare 4 volte

La precedente moltiplicazione, in forma abbreviata, si può scrivere con la scrittura:

base

3 = 81

esponente valore della potenza

Analizziamo la scrittura 3 : si legge: “tre alla quarta”e si chiama potenza.

→ Il numero 3 si chiama base e indica il fattore che si ripete nella moltiplicazione. → Il numero 4 si chiama esponente e indica quante volte compare il fattore ripetuto. → Il numero 81 è il valore della potenza.

Esempi:

→ 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 → 6 = 6 × 6 = 36

si legge “due alla quinta” perché il 2 compare 5 volte. si legge: “sei alla seconda” oppure “sei al quadrato”.

→ 4 = 4 × 4 × 4 = 64

si legge: “quattro alla terza” oppure “quattro al cubo”.

→ 1,3 = 1,3 × 1,3 = 1,69 →a =a×a×a×…×a

si legge “uno virgola tre alla seconda”. si legge “a elevato a enne” o “a alla enne”.

Per calcolare 1,32 possiamo calcolare 132 e poi inserire opportunamente la virgola.

n fattori

La potenza (con esponente naturale) è l’abbreviazione di una moltiplicazione con i fattori tutti uguali. Per calcolare il valore di una potenza si moltiplicano tra loro tanti fattori uguali alla base quanti ne indica l’esponente.

L’1 e lo 0 nella potenza

→ La potenza di un numero con esponente 1 è uguale al numero stesso. Esempi:

15 = 15

9 =9

0 =0

Esempi:

1 =1

1 =1×1=1

1 =1×1×1=1

→ Le potenze di 1 sono sempre uguali a 1.

→ Le potenze di zero sono sempre uguali a zero (tranne 0 che non ha significato). Esempio: 0 = 0 × 0 × 0 = 0

→ La potenza di un numero con esponente 0 è sempre uguale a 1 (tranne 0 : vedi sopra). Esempi:

4 =1

3 =1

14 = 1

Le potenze di 10

Le potenze di 10 con esponente maggiore di 0 si ottengono scrivendo il numero 1 seguito da tanti zeri quanti ne indica l’esponente.

Esempi:

208

10 = 10 × 10 × 10 = 1000 (1 con tre zeri) 10 = 1.000.000 (1 con sei zeri) dopo l’1 ci sono sei zeri, tanti quanti ne indica l’esponente.

U3 Potenze e radici

Esercizi supplementari

APPLICO 1.

Sono proprio uguali?

Indica quali delle seguenti uguaglianze sono corrette. A 7×7×7×7=7×4 B 7×7×7×7=7 C 7×7×7×7=7 2 =2×3 2 =3×3×3 C 2 =2×2×2

Scrivi in numeri: a. otto al quadrato = b. due alla quarta = c. sette al cubo = d. uno alla sesta =

e. nove alla seconda =

Abbrevia le seguenti moltiplicazioni con i fattori tutti uguali riscrivendole sotto forma di potenze. In ciascuna distingui la base e l’esponente. a. 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = esponente:

b. 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = base: esponente: c. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = base: esponente: d. 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 = base: esponente:

Analizziamo una potenza

base esp. in simboli 3

Considera le uguaglianze: 3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. a. Qual è il fattore che si ripete? Come si chiama? b. Quanti sono i fattori uguali che si ripetono? Come si chiama questo numero? c. Qual è il risultato dell’operazione? Come si chiama?

ANGELO

LUCIO

CARLA

Scrivi e calcola

Scrivi e calcola le seguenti potenze: a. base 5, esponente 3 = b. base 2 esponente 7 = c. base 1 esponente 4 = d. base 15, esponente 2 =

valore della potenza 3 =3×3=9

Vero o falso? a. 7 = 73

h. 4 = 16

b. 3 = 81

i. 5 = 15

c. 8 = 16

j. 100 = 10

d. 4 = 1

k. 2 = 2 × 4

e. 2 = 12

l. 6 = 36

f. 4 = 64

m.1 = 5

g. 7 = 7

n. 1 = 1

Le potenze di 10 Calcola le seguenti potenze.

Chi ha ragione?

Quattro alunni della 1 B calcolano la potenza 6 . Elisa: 6 = 6 + 6 + 6 = 18 Angelo: 6 = 6 + 3 = 9 Lucio: 6 = 6 × 6 × 6 = 216 Carla: 6 = 6 × 3 = 18 Chi ha eseguito il calcolo in modo corretto? ELISA

Basi ed esponenti Completa la tabella seguendo l’esempio.

Abbreviare è meglio!

base:

In numeri

a. 10 =

d. 10 =

b. 10 =

e. 10 =

c. 10 =

f. 10 =

g. A quale potenza di 10 corrisponde il numero 10.000.000?

10.

UN CASO REALE

Le caramelle di Fulvio

Una scatola ha tre scomparti. Nel primo scomparto Fulvio mette tre caramelle, nel secondo il triplo delle caramelle rispetto al precedente e nell’ultimo il triplo del secondo. Quante caramelle ci sono oracomplessivamente nella scatola? Scrivi il risultato come somma di potenze tutte con la stessa base.

Mi esercito: p. 220

209

3 2

LEGGO

Videolezione

Le proprietà delle potenze Alcuni calcoli con le potenze possono essere eseguiti più facilmente e rapidamente applicando le proprietà che scopriremo insieme.

Prodotto di potenze con la stessa base Consideriamo una moltiplicazione di due potenze aventi la stessa base, per esempio 4 × 4 ed eseguiamo il calcolo normalmente: 4 × 4 = 64 × 16 = 1024 Calcoliamo ora lo stesso prodotto applicando la definizione di potenza. Osserviamo che il prodotto non cambia: 4 × 4 = (4 × 4 × 4) × (4 × 4) = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 = 1024 il fattore 4 compare 5 volte Notiamo che 5 è la somma degli esponenti delle due potenze, ossia 5 = 3 + 2. Dunque più brevemente possiamo scrivere l’uguaglianza: 4 × 4 = 4 =4 Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. In simboli: a × a = a

Quoziente di potenze con la stessa base Consideriamo una divisione di due potenze aventi la stessa base, per esempio 6 : 6 ed eseguiamo il calcolo normalmente: 6 : 6 = 7776 : 216 = 36 Calcoliamo ora lo stesso quoziente applicando la definizione di potenza. Osserviamo che il quoziente non cambia:

Quando si devono dividere due prodotti di fattori uguali si può eliminare lo stesso numero di fattori uguali nel dividendo e nel divisore. Le barrette sui numeri rappresentano tale operazione.

6 : 6 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) : (6 × 6 × 6) = (6 × 6) : 1 = 6 × 6 = 6 = 36 il fattore 6 compare 2 volte Notiamo che 2 è la differenza degli esponenti delle due potenze, ossia 2 = 5 – 3. Quindi più brevemente possiamo scrivere l’uguaglianza: 6 : 6 = 6 =6 Il quoziente di due o più potenze con la stessa base (diversa da zero) è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. In simboli: a : a = a

Potenza di una potenza La scrittura (4 ) si chiama potenza di potenza e si legge “quattro alla seconda e alla terza”. Applicando la definizione di potenza scriviamo: =4 =4 (4 ) = 4 × 4 × 4 = 4 4 ripetuto 3 volte Più brevemente: (4 ) = 4

Ricorda la proprietà del prodotto di potenze con uguale base.

La potenza di una potenza è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. In simboli: (a ) = a Attenzione! Le proprietà delle potenze che abbiamo visto si applicano solo alle moltiplicazioni e alle divisioni; non riguardano le somme o le differenze di due potenze con la stessa base.

Esempi: 4 + 4 = 16 + 64 = 80 3 – 3 = 81 – 9 = 72

210

U3 Potenze e radici

4 + 4 è diverso da 4 = 1024 3 – 3 è diverso da 3 = 9

Segue a p. 212

Esercizi supplementari

APPLICO 1.

Stessa base, quale prodotto?

Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è la potenza che ha per base e per esponente .

Nota le differenze

Esegui la moltiplicazione delle potenze 2 × 2 prima normalmente e poi con la regola del prodotto di due potenze aventi la stessa base. Che cosa puoi osservare?

Completa la tabella scrivendo il prodotto delle potenze date sotto forma di un’unica

3 3

Hai potuto riempire tutte le caselle? Perché?

Moltiplica con la stessa base

base

Se l’esponente non è espresso, si può pensare che sia 1. Esempio: 3 × 34 = 31 + 4 = 35 esponente

2 ×2

SÌ

Prova e ragiona: quozienti

Completa le caselle applicando la proprietà del quoziente di due potenze aventi la stessa base. :

5 5 5 5

unica potenza

Hai potuto riempire tutte le caselle?

SÌ

Perché?

6 ×6 4 ×4 ×4

5 ×5 ×5 ×5

potenza.

Prova e ragiona: prodotti

Completa le caselle applicando la proprietà del prodotto di due potenze aventi la stessa base.

Stessa base, quale quoziente?

Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è la potenza che ha per base e per esponente .

Potenza di una potenza

La potenza di una potenza è la potenza che ha per base e per esponente .

10. Applica la proprietà

Completa la tabella scrivendo la potenza di ciascuna potenza sotto forma di un’unica potenza.

Nota altre differenze

Esegui la divisione delle potenze 2 : 2 prima normalmente e poi con la regola del quoziente di due potenze aventi la stessa base. Che cosa puoi osservare?

base

esponente

unica potenza

(8 ) (6 ) [(3 ) ] [(5 ) ]

Dividi con la stessa base

Completa la tabella scrivendo il quoziente delle potenze sotto forma di un’unica potenza. base 3 :3 7 :7 5 :5 6

esponente

unica potenza

11.

UN CASO REALE I vasi di Gigi Nel negozio di Gigi si contano 2 vasi di porcellana. Se li vende tutti a 2 € ciascuno, quanto ricava? Scrivi il risultato sotto forma di potenza e calcolane il valore. Quale proprietà delle potenze hai usato?

Mi esercito: p. 225

211

3 2

LEGGO

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Consideriamo la moltiplicazione di due potenze aventi lo stesso esponente, per esempio 4 × 5 ed eseguiamo il calcolo normalmente: 4 × 5 = 64 × 125 = 8000 Calcoliamo ora lo stesso prodotto sostituendo a ciascuna potenza il suo sviluppo e applicando le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione. Osserviamo che il prodotto non cambia. 4 ×5 =4×4×4×5×5×5= = (4 × 5) × (4 × 5) × (4 × 5) = = (4 × 5) = 20 = 8000

stesso esponente

Più brevemente: 4 × 5 = (4 × 5) = 20 prodotto delle basi

Quale calcolo ti sembra più facile? 43 × 53 = 64 × 125 = 8000 oppure 43 × 53 = (4 × 5)3 = 203 = 8000? Certamente il secondo!

Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente è la potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. In simboli: a × b = (a × b)

Quoziente di potenze con lo stesso esponente Consideriamo la seguente divisione di potenze con lo stesso esponente ed eseguiamola normalmente: 12 : 3 = 1728 : 27 = 64 Osserviamo che giungiamo allo stesso risultato anche se operiamo nel seguente modo: 12 : 3 = (12 : 3) = 4 = 64

stesso esponente

Più brevemente: 12 : 3 = (12 : 3) = 4 quoziente delle basi

Quale calcolo ti sembra più facile? 123 : 33 = 1728 : 27 = 64 oppure 123 : 33 = (12 : 3)3 = 43 = 64? Certamente il secondo!

Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente è la potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. In simboli: a : b = (a : b) (con b ≠ 0) Viceversa, considerando gli esempi precedenti, possiamo scrivere: (4 × 5) = 4 × 5 (12 : 3) = 12 : 3 Attenzione! Le proprietà delle potenze che abbiamo visto si applicano solo alle operazioni di moltiplicazione e divisione; non riguardano la somma e la differenza di due potenze con lo stesso esponente.

Esempi: 5 + 6 = 25 + 36 = 61 7 – 3 = 49 – 9 = 40

212

U3 Potenze e radici

Si calcolano prima le potenze e poi si addizionano o sottraggono i risultati.

APPLICO 12. Stesso esponente, quale prodotto?

Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente è la potenza che ha per base e per esponente .

13. Quali differenze?

Esegui la moltiplicazione delle potenze 2 × 3 prima normalmente e poi con la regola del prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente. Che cosa puoi osservare?

18. Quale esponente? a. 8 × 3 = 24

e. 30 : 5 = 6

b. 6 × 2 = 12

f. 16 : 8 = 2

c. 8 × 5 = 40

g. 27 : 9 = 3

d. 2 × 3 = 6

h. 24 : 3 = 8

19. Quale base? a. 6 × 2 =

e. 26 : 13 =

b. 8 × 3 =

f. 42 : 6 =

c. 3 × 2 =

g. 36 : 9 =

d. 1 × 7 =

h. 56 : 8 =

20. Uguaglianze vere o false? 14. Moltiplica con lo stesso esponente Completa la tabella scrivendo le moltiplicazioni sotto forma di un’unica potenza.

prodotto stesso unica delle basi esponente potenza 6 ×2

4 ×7 ×1

15. Stesso esponente, quale quoziente? Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente è la potenza che ha per base e per esponente

16. Ci sono differenze?

Esegui la divisione delle potenze 15 : 5 prima normalmente e poi con la regola del quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente. Che cosa puoi osservare?

22.

17. Dividi con lo stesso esponente

Completa la tabella scrivendo il quoziente delle potenze date sotto forma di un’unica potenza. quoziente stesso unica delle basi esponente potenza

21 : 7 28 : 4

b. 3 × 2 = 6

c. 100 : 50 = 10

d. 6 : 2 × 3 = 9

e. 7 × 7 × 7 = 7

Quali fra le tre opzioni A, B e C corrispondono all’espressione data? (Attenzione! Puoi trovare più risposte esatte per ciascuna espressione: segnale tutte.)

3 ×2 ×8

36 : 9

21. L’opzione giusta

7 ×1 ×5

16 : 2

a. 12 × 5 = 60

23.

espressione

4 ×3 ×1

2 ×5

(9 × 2)

9 ×2

35 : 7

(24 : 8)

24 : 8

UN CASO REALE

risposta

Con le rose

Un fioraio con 3375 = 15 rose prepara 125 = 5 bouquet di rose tutti con lo stesso numero di rose. Quante rose ci sono in ogni bouquet? Esegui il calcolo applicando le proprietà delle potenze.

UN CASO REALE

Dolci a volontà

Un pasticciere con 104.976 = 18 biscotti prepara 1296 = 6 vassoi, tutti con lo stesso numero di dolci, in un mese. Quanti biscotti ci sono in ogni vassoio?

Mi esercito: p. 225

213

3 3

LEGGO

Videolezione

La notazione scientifica e l’ordine di grandezza Numeri con molti zeri Considera i seguenti numeri e prova a leggerli:

→ 85.000.000.000

→ 9.000.000.000.000.000

Certamente ti sarai accorto che l’impresa non è facile perché sono numeri molto “grandi”. Numeri come questi possono essere scritti in una forma più semplice utilizzando le potenze di base 10:

→ 85.000.000.000 = 85 × 10

perché il numero termina con 9 zeri

Ricorda: il numero degli zeri determina l’esponente di 10.

→ 9.000.000.000.000.000 = 9 × 10

perché il numero termina con 15 zeri

Questo tipo di scrittura si chiama notazione esponenziale. Un numero che termina con molti zeri può essere scritto come prodotto di due fattori, di cui uno è composto dalla cifra o dalle cifre che precedono gli zeri finali e l’altro è la potenza di 10 avente come esponente il numero di zeri finali del numero dato. In ambito scientifico si usa una particolare forma di notazione esponenziale, detta notazione scientifica: si separa con la virgola una sola cifra diversa da zero e si moltiplica per l’opportuna potenza di 10.

Esempio: Dalla scrittura estesa a quella in notazione scientifica: 5.900.000.000.000.000.000.000.000 = 5,9 × 10 24 cifre

La massa della Terra è pari a quasi 6 quadrilioni di kilogrammi, ovvero 5,9 × 1024 kg.

Esempio: Dalla scrittura in notazione scientifica a quella estesa: 7,8 × 10

= 78000

si sposta la virgola a destra di 4 posti

L’ordine di grandezza Le potenze di 10 sono molto utili quando si vuole determinare l’ordine di grandezza di un numero.

Esempio: Il numero 8500 è compreso tra 10 cioè 1000 e 10 cioè 10.000. Osserva la sua posizione sulla semiretta graduata. u = 1000 0

1000 = 10

8500

10.000 = 10

Si scrive 10 < 8500 < 10 . Poiché 8500 è più vicino a 10.000 che a 1000, si dice che l’ordine di grandezza di 8500 è 10 . Si dice ordine di grandezza di un numero la potenza di 10 più vicina al numero considerato.

214

U3 Potenze e radici

Esercizi supplementari

APPLICO 1.

Completa le frasi a. La notazione esponenziale e la notazione scientifica di un numero sono forme abbreviate in cui si utilizzano le potenze di . b. Il numero 480.000.000.000.000 ha zeri, quindi in notazione esponenziale si scrive e si legge moltiplicato 10 elevato alla . c. Lo stesso numero 480.000.000.000.000 in notazione scientifica si scrive e si legge moltiplicato 10 elevato alla .

Da una scrittura all’altra Esempio: 810.000.000 =

81 × 10

notazione esponenziale

8,1 × 10

notazione scientifica

a. 670.000.000 = b. 4.000.000.000 = c. 194.000.000 =

Scrittura e lettura

Il numero 3.600.000.000 in notazione scientifica si scrive per 10 elevato alla .

e si legge

Passaggio tra scritture

Esprimi in forma estesa i seguenti numeri, dati in notazione scientifica.

Esempio: 3,254 × 10 = 32.540.000 3 è seguito da 7 cifre

a. 1,2 × 10 =

5,48 × 10 =

5,6 × 10 =

b. 6,25 × 10 =

6,9 × 10 =

4,3 × 10 =

Vero o Falso? a. 61.000 = 6,1 × 10

d. 8,17 × 10 = 817.000

b. 5,9 × 10 = 59.000

e. 12.000.000 = 1,2 × 10

c. 37.200 = 37,2 × 10

f. 9.640.000 = 9,64 × 10

A quale potenza è più vicino?

a. Il numero 32.000 è più vicino a: 10 , 10 , 10 oppure a 10 ? b. L’ordine di grandezza del numero 653.000 è: 10 , 10 , 10 oppure a 10 ?

Rappresentazione

Utilizzando la seguente rappresentazione grafica, determina l’ordine di grandezza del numero 72.000. u = 10.000 0

10.000

50.000

100.000

Le grandi distanze

La distanza media di Saturno dal Sole è di circa 1.430.000.000 km. Quali delle tre forme è la notazione scientifica di tale numero? A

143 × 10 km

1,43 × 10 km

1430 × 10 km

Saturno Sole

Mi esercito: p. 237

215

3 4

LEGGO

Videolezione

Radici quadrate e radici cubiche Operazioni inverse del quadrato e del cubo di un numero Le operazioni inverse dell’elevamento al quadrato e dell’elevamento al cubo di un numero sono l’estrazione di radice quadrata (operazione inversa della potenza con esponente 2) e l’estrazione di radice cubica (operazione inversa della potenza con esponente 3).

L’estrazione di radice quadrata Vogliamo risolvere il problema: qual è il numero naturale che sostituito alla lettera x rende vera l’uguaglianza x = 81? Il numero richiesto è 9 perché 9 = 81. Si scrive:

e si legge: “la radice quadrata di 81 è 9”.

81 = 9

radicando radice

81 = 9 radicale

Esempi:

25 = 5 perché 5 = 25 49 = 7

perché 7 = 49

144 = 12

perché 12 = 144

I numeri naturali che sono quadrati di numeri naturali si dicono quadrati perfetti.

Esempi: 16, 25, 64, 100 sono quadrati perfetti; sono, rispettivamente, i quadrati di 4, 5, 8 e 10. 15, 38, 360, 84 non sono quadrati perfetti. Estrarre la radice quadrata di un numero significa trovare quel numero che elevato al quadrato è uguale al numero dato.

L’estrazione di radice cubica Vogliamo risolvere il problema: qual è il numero che sostituito alla lettera x rende vera l’uguaglianza x = 27? Il numero richiesto è 3 perché 3 = 27. Si scrive:

Esempi:

27 = 3

e si legge: “la radice cubica di 27 è uguale a 3”.

125 = 5

perché 5 = 125

64 = 4

perché 4 = 64

I numeri naturali che sono cubi di numeri naturali si dicono cubi perfetti.

Esempi: 27, 64, 1000 sono cubi perfetti, rispettivamente di 3, 4, 10. 24, 50, 480 non sono cubi perfetti. Estrarre la radice cubica di un numero significa trovare quel numero che elevato al cubo è uguale al numero dato.

216

U3 Potenze e radici

Nel Quaderno allegato trovi le Tavole numeriche e le istruzioni per usarle e ricavare la radice quadrata o cubica di un numero.

Esercizi supplementari

APPLICO 1.

Completa le frasi a. La radice quadrata di un numero è l’operazione dell’elevamento al . b. La radice cubica di un numero è l’operazione dell’elevamento al .

Relazioni potenti

Completa i seguenti grafi che rappresentano la relazione tra l’elevamento al quadrato e la radice quadrata. a. 8 8

b. 12

144

121

4 = 2 perché 2

100 = 10 perché 10

361 = 19 perché 19

3364 =

784 =

1369 =

324 =

961 =

1936 =

Cubi e tavole numeriche

Calcola la radice cubica dei seguenti numeri utilizzando le tavole numeriche. a.

512 =

125 =

2744 =

8000 =

9261 =

4913 =

729 =

4096 =

1728 =

1331 =

97.336 =

3375 =

21.952 =

5832 =

UN CASO REALE

Il poster quadrato

81 =

e. 15 = 225 quindi

225 =

f. 18 = 324 quindi

324 =

Siamo cubi a.

125 =

perché

b. Poiché 2 = 8 si ha che c.

27 =

8 =

perché

d. Poiché 6 = 216 si ha che

m. 1521 =

La figura seguente mostra un poster quadrato, composto da 9 tasselli uguali.

Siamo quadrati

d. 9 = 81 quindi

2500 =

m. 12.167 =

216 =

Quadrati e tavole numeriche

Calcola la radice quadrata dei seguenti numeri utilizzando le tavole numeriche. a.

676 =

2025 =

900 =

225 =

289 =

1156 =

729 =

1764 =

Quanti tasselli ci sono in un lato? Come hai fatto a calcolare il loro numero? Se ogni tassello ha l’area di 4 dm , quanto misura il lato di tale poster?

Mi esercito: p. 240

217

3 5

APPROFONDISCO

Videolezione

La numerazione binaria e i computer Il sistema di numerazione binario, usato nei computer, utilizza soltanto due cifre che sono 0 e 1; è per questo che si chiama in base due. Per esempio, un numero in numerazione binaria si scrive 101 e si legge: uno, zero, uno in base 2. Per trasformare un numero del sistema decimale nel corrispondente numero del sistema binario, basta dividere il numero dato per 2, il quoziente ottenuto ancora per 2 e così via fino a ottenere come ultimo quoziente zero. Tutti i resti delle divisioni, scritti in senso inverso, formano le cifre del numero nel sistema binario.

Esempio: Trasformiamo 12 nel sistema binario:

i resti scritti in senso inverso sono 1, 1, 0, 0 quindi 12 12 : 2 = 6

resto 0

6:2=3

resto 0

3:2=1

resto 1

1:2=0

resto 1

= 1100

l’ultimo quoziente è zero Le precedenti operazioni si possono disporre anche così: il divisore è sempre 2 12 2 0 6 2

numero dato

0 i resti sono da leggere in senso inverso

2 1

2 0 l’ultimo quoziente è zero

Viceversa per trasformare un numero del sistema binario nel corrispondente numero del sistema decimale, basta calcolare il valore della forma polinomiale del numero dato, utilizzando le potenze di 2 anziché quelle di 10.

Esempio: 1 0 1 2

→

Quindi 101

218

1×2 +0×2 +1×2 =1×4+0×2+1×1=4+0+1=5

in base 2 è uguale a 5

U3 Potenze e radici

in base 10.

Esercizi supplementari

Metto in pratica 1.

Completa e rispondi a. Il sistema di numerazione decimale che noi usiamo normalmente si chiama anche in base , mentre il sistema di numerazione binario è detto in base

b. Quali cifre utilizza il sistema di numerazione binario? c. Completa la scrittura polinomiale del numero 3542 = 3 × 10 +

Lo schema per la trasformazione in binario Completa il seguente schema per trasformare il numero 13 nella numerazione binaria.

13 2 1

Dal decimale al binario Trasforma i seguenti numeri della numerazione decimale in numeri binari.

a. 4 →

6→

15 →

20 →

b. 17 →

26 →

14 →

8→

c. 16 →

24 →

12 →

37 →

d. 18 →

30 →

34 →

49 →

e. 22 →

9→

11 →

36 →

f. 21 →

32 →

19 →

27 →

Lo schema per la trasformazione in decimale Completa i seguenti schemi per scrivere in forma polinomiale i numeri (110) 110

e (1101) .

=1×2 +

2 1101

Dal binario al decimale Trasforma i seguenti numeri binari nei corrispondenti della numerazione decimale. a. 11

→

1001

→

b. 111

→

1101

→

10001

→

101010

→

1111

→

111101

→

11001

→

111010

→

c. 11000

→

100100

d. 111000

→

1110

e. 1000

→

f. 101000

→

1011

→

101001

→

100111

→

10111

→

10100

→

100011

→

101111

→

Mi esercito: p. 242

219

MI ESERCITO - ABILITÀ

ESERCIZI PER LEZIONE 3.1 L’elevamento a potenza RIPASSO ➜ p. 208 La potenza con esponente naturale è l’abbreviazione di una moltiplicazione con fattori tutti uguali. esponente 3 = 81 base

→

potenza

3 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 4 volte

1. Completa. a. Una somma in cui tutti gli addendi sono uguali si può riscrivere in forma equivalente con una moltiplicazione: per esempio 2 + 2 + 2 + 2 + 2 è uguale a . b. Un prodotto in cui tutti i fattori sono uguali si può invece riscrivere equivalentemente con una potenza: per esempio 2 × 2 × 2 × 2 × 2 è uguale a .

2. Stabilisci se le seguenti affermazioni sulle potenze sono vere o false. a. 3 è la base di 2 . b. 4 è la base di 4 . c. L’esponente di una potenza non può essere 0. d. La base di una potenza può essere 1. e. Si possono elevare a potenza anche i numeri decimali. f. Non ci sono potenze di numeri naturali uguali a 0.

Scrivi la potenza corrispondente a queste moltiplicazioni di numeri naturali.

3. 1 × 1 =

5. 10 × 10 × 10 =

2×2×2=

11 × 11 × 11 × 11 × 11 =

7×7×7×7=

37 × 37 =

4. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 =

6. 219 × 219 × 219 =

7×7×7=

1000 × 1000 =

8×8×8×8=

25 × 25 × 25 × 25 × 25 × 25 × 25 =

Scrivi le moltiplicazioni corrispondenti alle seguenti potenze di numeri naturali.

Esempio 3 =3×3×3×3×3

220

7. 7 =

8. 17 =

3 =

4 =

7 =

11 =

12 =

10 =

11 =

2 =

6 =

13 =

8 =

10 =

3 =

2 =

U3 Potenze e radici

9. 11 =

10. 14 =

4 = 6 = 8 = 5 = 10 = 4 = 9 = 6 =

8 = 7 = 21 = 9 = 2 = 10 = 9 = 8 =

Scrivi la potenza corrispondente a queste moltiplicazioni di numeri decimali.

11. 1,2 × 1,2 =

12. 21,05 × 21,05 =

3,1 × 3,1 = 10,2 × 10,2 × 10,2 =

1,7 × 1,7 × 1,7 × 1,7 = 0,4 × 0,4 × 0,4 =

13. Scrivi le moltiplicazioni corrispondenti alle seguenti potenze di numeri decimali. a. 0,4 = b. 2,4 = c. 1,5 = d. 0,2 = e. 3,2 = f. 0,1 = g. 1,7 = h. 2,9 = i. 1,12 =

Scrivi in simboli le seguenti potenze.

14. Due alla quarta

16. Tre alla nona

15. Sei alla dodicesima

17. Tre virgola quattro al quadrato

Dodici alla sesta Otto alla settima

Tredici alla decima Cinque alla seconda

Sei alla seconda Tre alla quinta

Sette al cubo Due virgola sette alla sesta

Completa le tabelle.

18. potenza 2

moltiplicazione 2×2×2×2

19. potenza

valore

moltiplicazione

valore

20. Completa la seguente tabella come mostrato nell’esempio. base

esponente

potenza

valore della potenza

7 × 7 = 49

6 4

4 × 4 × 4 = 64

4 8 × 8 × 8 = 512 3 6 × 6 = 36

221

MI ESERCITO - ABILITÀ

21. Associa ciascuna potenza della prima colonna al proprio valore nella seconda colonna. a.

256

128

343

243

216

125

Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri naturali. Dove lo ritieni opportuno svolgi le corrispondenti moltiplicazioni in colonna.

22. 9 =

2 =

4 =

23. 3 =

2 =

5 =

24. 2 =

7 =

2 =

25. 6 =

13 =

2 =

26. 3 =

3 =

11 =

27. 5 =

9 =

3 =

28. 5 =

3 =

2 =

29. 7 =

3 =

2 =

30. 4 =

8 =

31. 6 =

6 =

11 =

32. 2 =

5 =

10 =

33. 9 =

3 =

9 =

34. 17 =

13 =

18 =

35. 10 =

12 =

16 =

36. 15 =

19 =

7 =

37. 12 =

14 =

15 =

Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri decimali. Dove lo ritieni opportuno svolgi le corrispondenti moltiplicazioni in colonna.

222

38. 1,5 =

2,5 =

4,2 =

39. 1,1 =

0,3 =

0,5 =

40. 2,3 =

3,2 =

1,6 =

41. 0,3 =

2,7 =

1,7 =

42. 1,2 =

0,6 =

1,8 =

43. 0,16 =

1,12 =

13,2 =

44. 0,27 =

1,2 =

2,13 =

45. 2,6 =

2,02 =

0,11 =

46. 0,15 =

12,5 =

1,15 =

47. 0,19 =

0,1 =

5,2 =

U3 Potenze e radici

48. Scrivi in simboli e calcola il quadrato dei seguenti numeri naturali: 8 • 12 • 16 • 25 • 55.

49. Scrivi in simboli e calcola il cubo dei seguenti numeri naturali: 1 • 3 • 7 • 12 • 20.

• 27

50. Nell’insieme in figura rappresenta

il sottoinsieme dei numeri che sono quadrati di numeri naturali. Rappresenta poi il sottoinsieme dei numeri che sono il cubo di numeri naturali.

•8 • 40 • 26

• 50 • 64 • 1

• 100

• 25

• 49

• 120

51. Fai una rappresentazione simile a quella dell’esercizio precedente che abbia

le seguenti caratteristiche: nell’insieme di partenza devono esserci dieci numeri tutti maggiori di cento, almeno due devono essere dei quadrati di numeri naturali e almeno due devono essere dei cubi di numeri naturali.

52. Tra i numeri naturali quali sono quelli il cui quadrato è minore di 100? Elencali. 53. Tra i numeri naturali quali sono quelli che elevati al cubo forniscono un risultato minore di 100? Elencali.

54. Tra i numeri naturali minori di 50 ce ne sono alcuni che sono uguali a delle potenze che hanno per base un numero naturale e per esponente 4. Quali sono?

Calcola le seguenti potenze di 10.

55. 10 =

10 = 10 =

56. 10 =

10 = 10 =

57. 10 =

10 = 10 =

10 = 10 = 10 =

Calcola le seguenti potenze che hanno come esponente 0 o 1 oppure che hanno come base una potenza di 10.

58. 12 =

5 =

28 =

14 =

1 =

59. 10 =

16 =

0 =

60. 0 =

100 =

150 =

10 =

61. 1000 =

100 =

2000 =

100 =

Scrivi sotto forma di potenze i seguenti numeri.

Esempio 1.000.000 = 10

62. 100.000.000 = 36.000.000 =

25.000 = 5 × 10 100.000 = 10.000 =

400.000 =

223

MI ESERCITO - ABILITÀ

63. 16.000 =

81.000 = 4900 =

49.000 =

64. 32.000 =

1.000.000.000 = 20 × 20 × 20 × 20 =

270.000 =

64.000 =

125.000 =

Dopo aver calcolato ciascuna potenza svolgi le moltiplicazioni e determina il risultato.

Esempio 3 × 10 = 9 × 1000 = 9000

65. 5 × 4 =

2 × 10 =

66. 3 × 2 × 5 =

7 ×3 ×5 =

67. 6 × 3 =

10 × 2 =

68. 5 × 10 =

2 × 5 × 10 =

69. 10 × 2 =

2 × 10 =

70. 5 × 10 =

2 ×5 ×3 =

71. 1 × 7 × 3 =

3 ×5 ×4 =

72. 10 × 3 =

2 ×3 ×5 =

73. 8 × 3 × 10 =

3 × 7 × 10 =

74. 4 × 10 × 3 =

10 × 5 × 2 =

Risolvi i seguenti problemi con le potenze.

75. Nonna Olga ha avuto 2 figli.

Ciascuno di loro ha avuto 2 figli che, a loro volta, hanno avuto 2 figli. Quanti pronipoti ha nonna Olga? [2 = 8]

79. In un cassetto ci sono 8 cofanetti, ciascuno

con 8 anellini uguali, il cui costo unitario è di 8 euro. Scrivi in forma di potenza e in forma estesa quanti euro ha speso Maria per acquistarli. [8 € = 512 €]

80. Daniele ha 7 album da disegno. Ciascun

album è di 7 pagine. In ogni pagina ha disegnato 7 medaglie e su ciascuna medaglia ha scritto 7 nomi, diversi uno dall’altro. Quanti nomi si possono leggere sugli album di Daniele? [7 = 2401]

76. Un’ora è formata da 60 minuti e 1 minuto

da 60 secondi. Quanti secondi ci sono in un’ora? [60 s = 3600 s]

77. In un parcheggio ci sono 8 file di macchine,

ciascuna contenente 8 macchine parcheggiate. Quante sono le macchine parcheggiate? Scrivi il risultato anche sotto forma di potenza. [64; 8 ]

78. In un roseto sono state piantate 6 piante

di rose. Se su ogni pianta sono fiorite 6 rose e una volta raccolte sono state vendute a 6 € ciascuna, qual è stato il ricavo? [6 € = 216 €]

224

U3 Potenze e radici

81. In un uliveto gli alberi sono disposti

in 9 filari, ognuno di 9 alberi. Se da ciascun albero si raccolgono 9 quintali di olive, qual è stato il raccolto complessivo? [9 q = 729 q]

82. Inventa un problema simile ai precedenti che abbia come risultato una delle seguenti potenze a tua scelta: 2 • 5 • 3 • 4.

giorno

centesimi di euro

1°

2°

83. Luigi è un ragazzo molto furbo che conosce

“la forza” delle potenze. È per questo che ha chiesto ai suoi genitori la paghetta in questo modo: «il primo giorno vorrei un centesimo, il secondo il doppio del primo giorno, il terzo il doppio del secondo e così via… fino al quindicesimo giorno». Se i suoi genitori accettassero tale richiesta, quanto potrebbe ricevere Luigi il quindicesimo giorno? Quanto avrebbe ricevuto complessivamente in quindici giorni? [163,84 €; 327,67 €]

3.2 Le proprietà delle potenze RIPASSO ➜ p. 210 Prodotto di potenze con la stessa base:

4 ×4 =4

Quoziente di potenze con la stessa base:

6 :6 =6

Potenza di una potenza:

(4 ) = 4

Prodotto di potenze con lo stesso esponente:

4 × 5 = (4 × 5) = 20

Quoziente di potenze con lo stesso esponente:

12 : 3 = (12 : 3) = 4

Le proprietà non valgono per la somma o la differenza: 4 + 4 = 4 errore! È una disuguaglianza falsa.

84. Completa.

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa potenze moltiplicate e che ha come esponente dei loro esponenti.

85. 3 × 3 è uguale a: A

delle due

86. 2 × 2 è uguale a: 3

87. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. 3 × 3 = 3 b. 4 × 4 = 4 c. 5 × 5 = 25

d. 3 × 3 = 3 e. 10 × 10 = 10 f. 7 × 7 = 49

Scrivi le seguenti potenze sotto forma di un’unica potenza, applicando la proprietà del prodotto di potenze con base uguale.

Esempio 5 ×5 =5

88. 5 × 5 =

4 ×4 =

10 × 10 =

89. 6 × 6 =

9 ×9 =

11 × 11 =

Ricorda che un numero senza esponente equivale allo stesso numero elevato a 1. 225

MI ESERCITO - ABILITÀ

90. 8 × 8 =

3 ×3 =

14 × 14 =

91. 1 × 1 =

3 ×3 =

9 ×9=

92. 2 × 2 =

5 ×5 =

2 ×2×2 =

93. 9 × 9 =

6 ×6 ×6×6 =

9 ×9 ×9 =

94. 7 × 7 × 7 =

4 ×4×4 =

12 × 12 × 12 =

95. 3 × 3 × 3 =

2 ×2×2 ×2 =

5 ×5×5 ×5 =

96. 1,7 × 1,7 =

3,3 × 3,3 × 3,3 =

1,3 × 1,3 × 1,3 =

97. 1,6 × 1,6 × 1,6 =

0,4 × 0,4 × 0,4 =

0,15 × 0,15 × 0,15 =

98. Scrivi due potenze di 3 che moltiplicate tra loro diano come risultato 3 . 99. Scrivi due potenze di 5 che moltiplicate tra loro diano come risultato 5 . Una di queste deve avere esponente minore di 3.

100. Scrivi due potenze di 10 che moltiplicate tra loro diano come risultato 10 . Una di queste deve avere come esponente un numero maggiore di 10.

Riscrivi ciascuna delle seguenti potenze come prodotto di due potenze aventi la stessa base, come mostrato nell’esempio.

Esempio 3 =3 ×3

101. 5 =

107. 16 =

19 =

102. 4 =

6 =

108. 1 =

103. 6 =

109. 3 =

16 =

104. 5 =

7 =

110. 15 =

25 =

105. 2 =

111. 1,3 =

2,7

106. 2 =

18 =

112. 1,4 =

3,1

Completa le seguenti uguaglianze, scrivendo al posto dei puntini l’esponente mancante.

113. 6

×6 ×6=6

4 ×4

×4 =4

114. 7 × 7 = 7

3 ×3 ×3

115. 2 × 2

116. 5 × 5 = 5

117. 3 × 3 118. 9

×2 ×2 =2

×9 =9

×1 =1

×6 =6

119. 12 × 12

= 12 1,3 × 1,3

6 ×6×6 =6

120. 8 × 8 = 8

0,5

Abbrevia le seguenti moltiplicazioni in prodotti di potenze con la stessa base.

Esempio 2×2×2×3×3×3×3=2 ×3

121. 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 =

4×4×3×3×3×3×3×5 =

122. 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 5 × 5 × 9 × 9 × 9 × 9 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 13 × 13 × 13 =

226

U3 Potenze e radici

× 1,3 = 1,3

× 0,5 = 0,5

123. 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 =

9×9×9×9×4×4×7×7×7×3×3×3×3 =

124. 5 × 4 × 4 × 4 × 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 4 × 4 =

3×3×8×6×8×6×3×3×5×3×6×6×8 =

Riscrivi ciascuno dei fattori delle seguenti moltiplicazioni come una potenza e sfrutta le proprietà delle potenze per scrivere il risultato della moltiplicazione sotto forma di un’unica potenza, come mostrato nell’esempio.

Esempio 16 × 4 = 2 × 2 = 2

125. 8 × 4 =

128. 343 × 7 =

126. 36 × 6 =

129. 4 × 32 × 8 =

127. 64 × 4 =

130. 25 × 5 × 125 =

9 × 27 = 25 × 25 =

8 × 128 = 216 × 36 =

7 × 49 = 32 × 8 =

27 × 3 × 81 = 32 × 4 × 64 =

81 × 9 = 25 × 125 =

9 × 243 = 12 × 144 × 1728 =

131. 9 : 9 è uguale a: A

132. 5 : 5 è uguale a: A

133. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. 3 : 3 = 3 b. 4 : 4 = 4 c. 7 : 7 = 7

d. 2 : 2 = 2 e. 10 : 10 = 1 f. 3 : 3 = 3

Scrivi le seguenti potenze sotto forma di un’unica potenza, applicando la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.

Esempio 7 :7 =7

134. 9 : 9 =

:3 =

6 :6 =

135. 7 : 7 =

:5 =

2 :2 =

8 :8 =

10 : 10 =

136. 2 : 2 =

5 :5 =

:9 =

7 :7 =

13 : 13 =

137. 12 : 12 =

7 :7 =

: 18 =

20 : 20 =

: 14 =

138. 3 : 3 =

: 14 =

11 : 11 =

: 12 =

139. 1,1 : 1,1 =

1,8 : 1,8 =

0,3 : 0,3 =

2,7 : 2,7 =

0,8 : 0,8 =

140. 1,9 : 1,9 =

3,5

5,1 : 5,1 =

0,2

4,6

:4 =

: 3,5 =

:9 =

: 0,2 =

4 :4 =

: 4,6 =

227

MI ESERCITO - ABILITÀ

Riscrivi ciascuna delle seguenti potenze come quoziente di due potenze aventi la stessa base, come mostrato nell’esempio.

Esempio 2 =2 :2

141. 9 =

4 =

5 =

142. 12 =

10 =

8 =

2 =

143. 6 =

3 =

10 =

1 =

144. 9 =

2 =

6 =

5 =

145. 9 =

4 =

12 =

146. 1,1 =

2,6

3,3 =

0,2 =

147. a =

b =

c =

w =

Completa le seguenti uguaglianze scrivendo al posto dei puntini l’esponente mancante.

148. 7 : 7 = 7

5 :5

149. 7 : 7

:3 =3

150. 3

151. 6 : 6

154. 3 : 3 = 3

11 : 11 = 11

:5 =5

155. 6 : 6

10 : 10 = 10

:8 =8

156. 3,4 : 3,4 = 3,4

0,2 : 0,2

:2 =2

157. 1,3

: 1,3 = 1,3

1,5

: 1,5 = 1,5

= 0,2

152. 5 : 5 = 5

3 :3 =3

158. 1,3

: 1,3 = 1,3

2,5

: 2,5

153. 9

15 : 15 = 15

159. 0,6

: 0,6 = 0,6

3,2

: 3,2 = 3,2

:9 =9

= 2,5

160. Dopo aver svolto i calcoli stabilisci quali delle seguenti espressioni sono uguali tra loro. A

3 ×3

3 :3

3×3 ×3×3 ×3

3×3

3 :3

3 ×3

:3 :3

161. Completa le seguenti tabelle trasformando in ciascun caso i termini dell’operazione in potenze aventi la stessa base e applicando le proprietà delle potenze. a.

prodotto sotto forma di un’unica potenza

prodotto 9 × 81 = 729

3 ×3 =3

81 : 27 = 3 32 : 8 =

16 × 4 =

256 : 32 =

64 × 16 =

625 : 25 =

9 × 27 × 3 =

343 : 49 =

2 × 32 × 8 =

243 : 27 =

quoziente sotto forma di un’unica potenza

quoziente

49 × 7 =

162. (3 ) è uguale a: A

3 :3 =3

163. (2 ) è uguale a: C

164. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. (6 ) = 6 b. (3 ) = 9 c. (7 ) = 7

228

U3 Potenze e radici

d. (5 ) = 5 e. (5 ) = 5 f. (1 ) = 1

Esprimi con un’unica potenza le seguenti potenze di potenze.

165. (4 ) =

(9 ) =

(3 ) =

166. (3 ) =

(6 ) =

(2 ) =

167. (8 ) =

(7 ) =

(5 ) =

168. (2 ) =

(3 ) =

(2 ) =

169. [(8 ) ] =

[(2 ) ] =

[(8 ) ] =

170. [(7 ) ] =

[(4 ) ] =

[(2 ) ] =

171. [(6 ) ] =

[(1 ) ] =

[(9 ) ] =

172. [(3 ) ] =

[(12 ) ] =

[(10 ) ] =

173. {[(9 ) ] } =

{[(2 ) ] } =

{[(5 ) ] } =

174. {[(10 ) ] } =

{[(4 ) ] } =

{[(7 ) ] } =

175. {[(6 ) ] } =

{[(6 ) ] } =

{[(3 ) ] } =

176. {[(5 ) ] } =

{[(2 ) ] } =

(0,4 ) =

177. {[(7 ) ] } =

(2,2 ) =

(1,3 ) =

Sostituisci ai puntini i numeri mancanti.

178. (2 ) = 2

(4 ) = 4

179. (6 ) =

(8 ) = 8

180. (3 ) =

(7 ) = 7

181. (2 ) =

(9 ) = 9

Riscrivi ciascuna delle seguenti potenze come potenze di una potenza, come mostrato nell’esempio.

Esempio 3

= (3 )

182. 7 =

8 =

5 =

183. 3 =

184. 2 =

185. 5 =

186. 10 =

187. 3 × 4 è uguale a: A

190. 8 : 2 è uguale a: 12

188. 56 : 8 è uguale a: A

2000

191. 9 × 3 è uguale a: 7

189. 7 × 6 è uguale a: A

192. 100 : 20 è uguale a: 42

120

229

MI ESERCITO - ABILITÀ

193. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. 3 × 2 = 6 b. 4 × 2 = 8 c. 3 × 3 = 9

d. 8 : 2 = 4 e. 3 : 3 = 9 f. 8 : 2 = 4

Esprimi sotto forma di un’unica potenza i seguenti prodotti di potenze con esponenti uguali.

Esempio 6 × 3 = (6 × 3) = 18

194. 7 × 6 =

2 ×4 =

3 ×5 =

3 ×2 =

195. 2 × 9 =

6 ×2 =

3 ×8 =

4 ×5 =

196. 4 × 7 =

9 ×8 =

9 ×6 =

8 ×7 =

197. 13 × 8 =

4 × 11 =

11 × 5 =

14 × 2 =

198. 3 × 9 × 4 × 2 =

1 ×6 ×2 ×5 =

3 × 9 × 10 =

199. 7 × 2 × 4 × 1 =

2 ×5 ×4 =

4 ×3 ×1 ×2 =

200. 1,6 × 0,1 × 1 =

2,1 × 5 × 0,2 =

1,2 × 0,1 =

201. 0,5 × 1,4 × 2,1 =

3,2 × 0,5 × 2 × 5,6 =

1,6 × 5 × 1,5 =

202. 0,7 × 0,2 × 2 =

0,5 × 5 × 3 × 4,4 =

1,3 × 1,4 × 0,5 =

Esprimi mediante un’unica potenza i seguenti quozienti di potenze aventi uguale esponente.

Esempio 20 : 4 = (20 : 4) = 5

203. 49 : 7 =

16 : 2 =

39 : 3 =

55 : 5 =

204. 20 : 5 =

27 : 9 =

40 : 20 =

15 : 3 =

205. 12 : 4 =

32 : 8 =

48 : 4 =

24 : 6 =

206. 35 : 5 =

18 : 6 =

84 : 14 =

42 : 7 =

207. 117 : 13 =

276 : 12 =

132 : 11 =

91 : 13 =

208. 32 : (2 ) =

80 : 16 =

140 : 14 =

135 : 9 =

209. 168 : 8 =

18 : (3 ) =

(12 × 5) : 4 =

75 : (3 × 5) =

210. 168 : (7 × 8) =

(6 × 7) : 3 =

(8 ) : 2 =

: (5 ) =

Utilizza le proprietà delle potenze per riscrivere i risultati delle moltiplicazioni proposte sotto forma di un’unica potenza, come mostrato nell’esempio.

Esempio 4 × 25 = 2 × 5 = 10

211. 36 × 9 =

213. 27 × 125 =

212. 49 × 9 =

214. 16 × 25 =

16 × 81 = 121 × 100 =

215. 1000 × 8 × 27 = 27 × 8 × 125 =

230

U3 Potenze e radici

8 × 27 = 4 × 81 =

16 × 49 × 169 =

Utilizza le proprietà delle potenze per riscrivere i risultati delle divisioni proposte sotto forma di un’unica potenza, come mostrato nell’esempio.

Esempio 225 : 9 = 15 : 3 = 5

216. 36 : 9 =

100 : 25 =

217. 36 : 4 =

144 : 16 =

218. 196 : 49 =

144 : 9 =

219. 225 : 25 =

216 : 8 =

220. 216 : 27 =

400 : 16 =

221. 1000 : 8 =

484 : 121 =

Utilizza quanto imparato sulle proprietà delle potenze per riscrivere ciascuna delle potenze proposte nella nuova base indicata.

Esempio

9 in base 3 → 9 = (3 ) = 3

222. 4 in base 2 →

25 in base 5 → 100 in base 10 →

223. 8 in base 2 →

125 in base 5 → 1000 in base 10 →

9 in base 3 →

64 in base 4 →

224. Esiste una potenza di 4 uguale a 2 ?

SÌ

225. Esiste una potenza di 27 uguale a 3 ?

SÌ

Se sì, quale? Se sì, quale?

Risolvi le seguenti espressioni con numeri naturali e senza parentesi applicando, dove opportuno, le proprietà delle potenze.

SCOPRIAMO IL METODO

226. 5 – 4 – 3 + 2 – 2

16 : 4 : 4 – 4 – 3

[8; 3]

227. 10 : 10 + 3 – 2

2 :2 +4 :2 –6

[15; 0]

228. 2 × 3 – 5 + 1

15 : 5 + 2 – 2 × 5

[12; 15]

229. 3 + 2 – 6 + 12 – 5 – 8

11 + 3 + 2 – 7 + 4 – 10

230. 5 × 5 – 5 : 5 – 5 × 10

4 ×4 –4 ×3 –2 ×2 –5×2

231. 3 × 5 – 2 : 2 – 11 : 11 – 10

12 : 12 – 12 : 3 + 2 × 5 – 13

[6; 9] [0; 8] [0; 11]

232. 2 + 2 + 5 × 3 + 4 – 3 + 6 × 7 – 6

[14]

233. 21 – 2 × 6 + 8 – 7 + 2 × 2 – 38 – 4

[2]

234. 8 + 5 – 3 × 2 – 4 + 10 – 7 – 13 – 4

[15]

235. 13 – 3 × 5 × 2 + 3 + 6 – 5 – 2 – 11

[0]

236. 4 + 4 × 3 – 5 + 2 × 3 – 2 – 4

[19]

Espressioni con le potenze In un’espressione con le potenze, si eseguono prima le potenze e poi le altre operazioni, nell’ordine che già conosci, rispettando, se ci sono, le parentesi. Se è possibile si applicano le proprietà delle potenze per facilitare i calcoli. Esempio: 32 × 2 – 16 : 23 + 5 = Calcoliamo le potenze: = 9 × 2 – 16 : 8 + 5 = Eseguiamo le moltiplicazioni e le divisioni: = 18 – 2 + 5 = Eseguiamo le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui si presentano, cioè da sinistra verso destra: = 16 + 5 = 21

231

MI ESERCITO - ABILITÀ

237. 6 × 6 – 4 × 7 – 2 × 2 + 5 – 3 – 10

[16]

238. 20 – 2 + 3 + 6 × 7 – 2 × 5 – 3 : 3

[6]

239. 4 + 2 × 6 – 5 – 7 + 12 – 5 × 21

[1]

240. 10 + 3 – 2 × 2 + 5 – 15 + 2 – 9

[4]

241. 18 + 5 – 4 – 2 × 6 + 3 × 7 – 3 × 2 – 4

[0]

242. 2 × 5 × 3 – 3 × 3 – 2 × 5 – 6 : 6 – 1

[6]

243. 9 × 3 – 3 × 2 – 30 : 9 – 5 × 3 – 29 – 10

[3]

244. 2 + 3 × 5 – 2 : 2 – 2 × 2 × 3 + 3 × 4 – 11

[38]

245. 2 + 5 : 5 – 2 × 3 + (3 ) : 9 + 28 – 13 – 2 × 2

[3]

Risolvi le seguenti espressioni con potenze di numeri naturali in cui sono presenti parentesi. Dove opportuno utilizza le proprietà delle potenze per giungere più rapidamente al risultato. SCOPRIAMO IL METODO

4 × (34 : 32 + 23 : 23)2 – 399 = • Svolgiamo i calcoli all’interno delle parentesi tonde, ricordando quanto imparato sulle potenze: 4 × (32 + 1)2 – 399 = 4 × 102 – 399 = • Le potenze hanno la precedenza sulle moltiplicazioni, dunque calcoliamo prima il quadrato di 10: 4 × 100 – 399 = • Non essendoci altre parentesi svolgiamo prima la moltiplicazione e successivamente la sottrazione: 400 – 399 = 1 • Il risultato dell’espressione è 1.

232

246. (5 – 3 ) + (4 – 2 ) × 3 : 21 – (2 + 2) × 2

[12]

247. 2 + (3 × 6 + 3 + 2 × 2) – (2 + 7 ) + 5 + 2

[27]

248. 30 – 2 + 3 : 3 – (3 × 11 – 6 × 5) – 4

[4]

249. (4 + 3 ) : 13 + (5 : 5 ) × 2 – 7

[14]

250. (45 – 3 × 2) + 3 × 2 + (3 + 2 × 5 ) – 9 : 9

[35]

251. (4 – 3 ) + (2 + 3 × 2 ) : 2 – 2 × 3

[3]

252. (5 + 2 ) : 29 – (5 × 3 ) : 15

[14]

253. (3 × 3 ) : (3 ) – (5 ) + (3 × 2) : (2 + 4) – 7 × 4

[16]

254. [(3 + 1 + 2 ) : (3 × 2) ] + 4 : 4 – 3

[10]

255. [(15 : 5) ] : [(2 × 5 × 3) : 12 – 2 : 2 ] – 1

[8]

256. [(5 + 1) : 26 – 5 + 2 ] × (3 × 2 ) – 3 × 20

[0]

257. (2 × 5 × 3) – [(6 – 1) : 7 × 5 : 25 + 3 × 3 ] – 25

[7]

258. 2 + 2 × (3 – 2 ) + 11 × (12 – 3 ) – 2 – [5 + (1 + 2 × 3) ]

[9]

259. 9 – 3 × (2 – 3 × 2 + 1) + (3 × 2 + 1) : [11 × 3 – (3 + 5 × 2 ) + 3]

[13]

260. [3 × 3 × 3 : 3 – 3 × (3 ) : (3 ) ] : [(3 ) : 3 ] – 3

[5]

261. (174 – 2 × 7) : 31 – [15 – (3 + 2)] – [5 + 3 × 4 + (11 + 4 × 4 )]

[16]

262. {[(5 + 9) : 2] } : (4 – 11) – 10 : 2

[0]

263. 4 : 4 × {[(49 : 7 + 3) × (2 × 5) ] : 10 } – 20

[0]

U3 Potenze e radici

264. 9 + 9 × 9 : 9 – {21 : 7 + 2 × [61 – 4 – (2 : 2 + 6) : 2] – 16 }

[31]

265. (4 ) : (4 : 4 ) – [(2 + 2 × 9) × 3 – 6 × 3 ] + 5 : (2 + 1) – 2 × 2

[13]

266. 32 : 8 – [73 – 2 × (3 × 3 – 3 × 2 × 10) – 60] – (2 × 10 + 1) + 2

[8]

267. 15 : 5 + 8 : 8 – {[3 + 2 × (7 – 5 × 2 )] + 11 : 11 } : 37 – 13 × 2

[5]

268. {[6 – 5 + (2 + 2 – 2 × 3) + 12 × 5] : 19} – [(3 × 7 – 2 ) : 5] × 2

[23]

Svolgi le seguenti espressioni con numeri decimali in cui sono presenti potenze. Dove opportuno puoi aiutarti utilizzando le proprietà delle potenze.

269. 0,4 + 2 – 1,3 + 0,2

[0,51]

270. 2,1 + 2,1 – 4,11 + 1,6 + 1

[5]

271. 3,6 × 3,6 : 3,6 + 1,5 – 2,05

[3,8]

272. 1,3 – 0,5 + 0,6 – 1,4

[0,01]

273. (2 – 0,4 ) : 2 + 0,9 + 0,3

[1,13]

274. 2 – (1,6 – 0,4 ) × 2

[6,4]

275. 0,3 : 0,1 + 2 × 0,05 – 0,2

[1,06]

276. (0,6 + 2) × (2 – 2) – 8,6 – 1,4

[5,04]

277. (0,2 + 1) + 2,1 × 2 – (0,5 + 3 + 1,4 ) – (2,5 + 0,3) + 3,12

[3,6]

278. (3,5 : 0,7) – 1,3 × 2 + [(2 – 1,2) + 2,3 – 3,76] – 2,9 × 2

[4,8]

279. [(4,2 : 0,6 – 2,25 : 0,5) : 2,5 + 0,2] : 3 + (0,6 × 5 + 2 ) – 1,6

[8,5]

280. [(0,7 – 0,2 × 0,2 : 0,2 ) × 5 – (3,2 + 1,9 – 0,1) × 0,2 ] : 0,3

[5]

281. {[(1,1 + 0,4 – 0,091) + (3,2 × 2 – 2 × 0,2 ) : 2 ] – 0,3 } + 1,5

[4,51]

282. {2,6 × 7 – [0,1 × 14 + 3,2 – (1,7 : 1,7 + 3) – 0,9 ] : 2 } – 0,03

[17,25]

283. 15 – {0,8 + 1,1 × [2,5 × 2 – (1,5 + 0,5 × 2 )]} + 0,8

[4]

284. Loris sostiene che tutte le potenze di 2 aventi come esponente un numero naturale sono numeri pari. Jennifer sostiene invece che non è vero e che c’è un particolare esponente naturale per cui la corrispondente potenza di 2 è un numero dispari. JENNIFER Chi ha ragione? LORIS Se Jennifer ha ragione, di quale esponente parla?

285. Silvio sostiene che tutte le potenze del numero 5 aventi un esponente naturale diverso da 0 sono maggiori di 5: ha ragione? Motiva la tua risposta.

SÌ

286. Federica, osservando che la potenza 2 ha lo stesso risultato di 4 , afferma che

in generale se si scambia la base con l’esponente si ottiene sempre la stessa potenza. Sei d’accordo con lei? SÌ NO

287. Roberto è convinto che la potenza 0,5 sia maggiore del numero decimale 0,5. Marco invece sostiene il contrario, ossia che 0,5 è minore o uguale a 0,5. Chi ha ragione? Prima di rispondere fai il calcolo e verifica con altri esempi simili. ROBERTO MARCO

288. Per calcolare la potenza 5 , Ludovico esegue il calcolo 25 × 25 × 25. È corretto il suo ragionamento? SÌ NO Tu come calcoleresti velocemente la potenza 6 ?

233

MI ESERCITO - ABILITÀ

Nei seguenti casi indica l’espressione che corrisponde alla frase proposta.

289. Moltiplica per 5 la somma del quadrato di 2 e del quadrato di 3. A

5 × (2 + 3)

5 × (2 + 3 )

5×2 +3

290. Moltiplica il numero 4 per 2 per 3 volte e sottrai il doppio del quadrato di 6. A

4×2×3–2×6

(4 × 2) – 2 × 6

12 – (6 + 4)

291. Sottrai dal quadrato di 12 il quadrato della differenza tra 6 e 4. A

12 – (6 – 4)

12 – 6 – 4

292. Sottrai dal quadrato di 14 la somma del quadrato di 7 e del quadrato di 5. A

14 – (7 – 5 )

14 – (7 + 5 )

14 – 7 + 5

4×9 –2×8

293. Dal quadruplo del cubo di 9 sottrai il doppio del quadrato di 8. A

4 ×9–2×8

4×9 –8

294. Addiziona 8 e 12, dividi per 2, sottrai il triplo del quadrato della differenza tra 9 e 7. A

(8 + 12) : 2 – 3 × (9 – 7)

8 + 12 : 2 – 3 × (9) – 7

(8 + 12) : 2 – 3 × 9 – 7

[4 × 3 – (3 + 5)] : 4

295. Togli dal quadruplo di 3 alla quarta la somma di 3 e 5 e dividi per 4. A

4 + 3 – (3 + 5) : 4

4 × 3 – (3 + 5) : 4

296. Scrivi l’espressione corrispondente alla frase: “Moltiplica per 3 il quadrato di 2 ed eleva il risultato alla seconda” e determinane il valore.

297. Scrivi l’espressione corrispondente alla frase: “Dividi il cubo di 5 per il quadrato

di 5, poi aggiungi 1 a quanto ottenuto ed eleva il risultato del calcolo alla seconda” e determinane il valore.

298. Scrivi l’espressione corrispondente alla frase: “Somma tra loro 3, il quadrato di 3 e il cubo di 3 e poi dividi il risultato per 39” e determinane il valore.

299. Scrivi un’espressione a tua scelta che contenga almeno due potenze e il cui risultato sia 10.

300. Scrivi un’espressione a tua scelta che contenga almeno due potenze e il cui risultato sia 100.

301. Scrivi un’espressione a tua scelta che contenga almeno due potenze e il cui risultato sia una potenza di 2 a tua scelta.

Risolvi i seguenti problemi in cui compaiono a vario titolo delle potenze. In alcuni casi possono tornarti utili le proprietà delle potenze.

302. Nicola spende 243 € per acquistare

27 tubetti di colore a olio. Quanti tubetti compra? Puoi calcolare il costo totale sotto forma di un’unica potenza di 3, utilizzando la proprietà del quoziente di due potenze aventi la stessa base? In che modo?

303. Nel negozio di Giacomo sono arrivate

7 scatole, in ciascuna delle quali ci sono 7 telefonini uguali. Se ogni telefonino costa 343 €, quanto ha speso Giacomo? Esprimi il risultato sotto forma di un’unica potenza. [7 €]

304. Per acquistare 2 biglietti di una partita

di calcio, un tale ha speso 256 €. Rivendendoli con un rincaro di 2 € ciascuno, quanto ricava complessivamente? Quanto guadagna? Si può esprimere il secondo risultato con una potenza? [320 €; 64 €; 2 €]

234

U3 Potenze e radici

305. Un collezionista acquista 3 × 4 francobolli e spende 360 €. Quanto costa un francobollo?

[2,50 €]

306. In un cinema si contano 2 posti a sedere

disposti su 2 file. Quanti posti ci sono in ogni fila? [2 = 16]

307. I quadri di un museo sono esposti in

36 sale. Se in ogni sala ce ne sono 2 × 3 , quanti quadri si possono ammirare in quel museo? [6 = 46.656]

SCOPRIAMO IL METODO

Tre amici si recano in un ristorante e ciascuno di loro ordina 3 portate. Se ogni portata costa 16 €, quanto spendono complessivamente i tre amici? Soluzione: Calcoliamo il numero delle portate: 3 × 3 = 32 Ciascuna portata costa 16 €, cioè 42 euro, quindi calcoliamo la spesa moltiplicando il numero delle portate (32) per il prezzo di ciascuna (42): 32 × 42 = 122 Risposta: La spesa complessiva è di 122 €, cioè 144 €.

312. Uno stock contiene

308. Presso un negozio di elettrodomestici arriva

un carico di 2 scatoloni contenenti ciascuno 8 fornetti. Se il negoziante ha speso (2 × 2 ) €, quanto costa un fornetto? [2 € = 32 €]

309. Un album di fotografie ha 81 pagine.

Su ogni pagina ci sono 9 foto e ciascuna di esse ha un costo di 3 €. Quanto ha speso una coppia di sposi per realizzare tale album? Esprimi il risultato con una potenza di 3. [3 = 2187 €]

310. Un libraio ordina su internet 9 scatoloni

di libri. In ognuno di essi ci sono 9 libri. Se il prezzo unitario è di 9 €, quanto spende quel libraio complessivamente? Esprimi il risultato con una potenza di 3. [(3 ) € = 729 €]

311. In un teatro ci sono 3 poltrone per ogni

fila. Se le file sono 3 , quanti sono i posti a sedere? Quale proprietà delle potenze hai applicato per risolvere velocemente [243] il quesito?

2 fumetti. Se ciascuno di essi costa 2 €, quanto spende Fabrizio per acquistarli tutti? Esegui il calcolo applicando le proprietà delle potenze. Di quale proprietà si tratta?

313. Una fioraia con 1728 = 12 rose prepara

64 = 4 composizioni floreali. Quante rose ci sono in ogni composizione? Esegui il calcolo applicando le proprietà delle potenze.

Di quale proprietà si tratta?

314. Un negoziante acquista 4 lattine di olio, ciascuna delle quali contiene 4 ℓ, e spende 4 €. Quanto costa 1 ℓ di olio? Rispondi

applicando le proprietà delle potenze. Se il negoziante rivende tutto l’olio a 5,50 € il litro, quanto guadagna? [4 €; 96 €]

315. Gianni spende 2 € per acquistare

2 giornali a fumetti. Se li rivende rincarandoli di 2 € ciascuno, quanto ricava complessivamente? [192 €; 64 €] Quanto guadagna?

235

MI ESERCITO - CONSOLIDAMENTO

ESERCIZI DI RIEPILOGO Lezioni 3.1 · 3.2 316. Completa la tabella seguendo l’esempio della prima riga. potenza 2

moltiplicazione 2×2×2

valore 8

3 12 × 12 0,1

317. Calcola il valore delle seguenti potenze. a. 11 =

d. 10 =

b. 0,7 =

e. 5 =

c. 23 =

f. 0 =

318. Completa le seguenti frasi. a. Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale alla che ha la stessa delle due potenze nel prodotto e come esponente la dei loro esponenti. b. Il quoziente di due potenze con la stessa base non nulla è uguale alla che ha la stessa delle due potenze nel quoziente e come esponente la dei loro esponenti.

319. Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di un’unica potenza. a. 2 × 2 =

c. 7 : 7 =

b. 3 : 3 =

d. 13 × 13 =

320. Completa la seguente frase. La potenza di una potenza è uguale alla esponente il degli esponenti.

che ha la stessa

e come

321. Scrivi ciascuna potenza di potenza sotto forma di un’unica potenza. a. (7 ) =

c. (23 ) =

b. (5 ) =

d. (11 ) =

322. Completa le seguenti frasi. a. Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è uguale alla delle due potenze nel prodotto e come base il b. Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è uguale alla stesso delle due potenze nel quoziente e come base il

che ha lo stesso delle loro basi. che ha lo delle basi.

323. Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di un’unica potenza. a. 5 × 3 =

c. 24 : 6 =

b. 8 : 4 =

d. 3 × 4 × 5 =

324. VIDEOESERCIZIO SVOLTO

Calcola il valore della seguente espressione. 5 × (5 : 5 ) × [(4 × 3 ) : 6 ] – 10 =

236

U3 Potenze e radici

Prova a svolgere l’esercizio, poi inquadra la pagina con l’app Dealink e guarda il video.

MI ESERCITO - ABILITÀ

ESERCIZI PER LEZIONE 3.3 La notazione scientifica e l’ordine di grandezza RIPASSO ➜ p. 214 Notazione scientifica: una sola cifra diversa da zero prima della virgola 85.000.000.000 = 8,5 × 10 10 cifre decimali

potenza di 10

Ordine di grandezza: è la potenza di 10 più vicina al numero. L’ordine di grandezza di 729 è 10 perché 729 è più vicino a mille (10 ) che a cento (10 ).

325. Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false. a. 300 = 3 × 10

b. 10 = 1 × 10 c. 2700 = 27 × 10 d. 40.000 = 4 × 10

e. 55.500 = 555 × 10 f. 60.000 = 6 × 10 g. 120.000 = 12 × 10 h. 1.000.000 = 10

Scrivi i seguenti numeri come prodotto tra un numero naturale minore di 10 e una potenza di 10.

Esempio 2000 = 2 × 10

326. 3000 =

5000 = 60.000 =

327. 2000 =

328. 5.000.000 =

30.000 = 400.000 =

50.000.000 = 500.000.000 =

329. Scrivi il numero settecentomilioni come prodotto tra un numero naturale minore di 10 e una potenza di 10.

330. Scrivi a parole il seguente numero: 2 × 10 . Scrivi nella loro usuale scrittura i seguenti numeri espressi in notazione scientifica.

Esempio 5,3 × 10 = 53.000

331. 1,5 × 10 =

4,2 × 10 =

3,12 × 10 =

332. 8,4 × 10 =

334. 2,36 × 10 =

333. 1,24 × 10 =

335. 6,7 × 10 =

2,13 × 10 = 2,42 × 10 = 1,49 × 10 = 5,33 × 10 =

6,34 × 10 = 3,05 × 10 =

2,1 × 10 = 2,2 × 10 =

336. Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri. a. 300 = b. 5.000.000 = c. 7800 =

d. 150.000 = e. 890.000.000.000 = f. 54.100.000 =

237

MI ESERCITO - ABILITÀ

337. Completa inserendo nella casella il simbolo > o <. a. 4 × 10 8,2 × 10 2,8 × 10 1,5 × 10 9,7 × 10 5,9 × 10 1,2 × 10 b. 6,3 × 10

La notazione scientifica è utile perché consente di confrontare i numeri osservando l’esponente della potenza di 10.

338. Nel completare il suo compito, Bianca purtroppo ha commesso

degli errori. Sta a te trovarli e spiegare alla tua compagna come correggerli. numero

notazione scientifica

800.000

0,8 × 10

57.000

5,7 × 10

1.760.000

176 × 10

3.890.000.000

38,9 × 10

430.000

4,3 × 10

correzione

339. Esegui le operazioni e scrivi il risultato in notazione scientifica. Esempio (4 × 10 ) × (7 × 10 ) = 4 × 7 × 10

= 28 × 10 = 2,8 × 10

a. (6 × 10 ) × (9 × 10 ) →

(5,2 × 10 ) × (3 × 10 ) →

c. (6,2 × 10 ) : (2 × 10 ) →

(8 × 10 ) : (5 × 10 ) →

b. (1,5 × 10 ) × (2,4 × 10 ) →

(9 × 10 ) : (3 × 10 ) →

340. Esprimi in forma decimale:

a. la velocità della luce nello spazio → 3 × 10 km/s =

b. la distanza media Terra-Luna → 3,8 × 10 km = c. il raggio medio della Terra → 6,4 × 10 m = d. il numero di globuli rossi in un mm di sangue umano → 5,4 × 10 = e. il numero di globuli bianchi in un mm di sangue umano → 6 × 10 =

341. La tabella riporta le distanze medie in kilometri dal Sole dei pianeti del Sistema Solare.

pianeta distanza (in km)

Marte

Urano

Giove

Mercurio

Saturno

Terra

Nettuno

Venere

2,3 × 10

2,8 × 10

7,7 × 10

5,8 × 10

1,4 × 10

1,5 × 10

4,5 × 10

1,1 × 10

a. Scrivi in ordine gli otto pianeti dal più vicino al Sole al più lontano. b. A quanti milioni di kilometri dal Sole si trova il pianeta più vicino? c. A quanti miliardi di kilometri dal Sole si trova il pianeta più lontano?

342. Usando la notazione scientifica, esprimi:

a. il raggio medio della luna → 1.740.000 m = b. il costo di un appartamento → 370.000 € = c. la distanza media Terra-Sole → circa 150.000.000 km = d. il prezzo di un quadro d’autore → 12.000 € = e. la velocità del suono nell’aria → circa 340 metri al secondo = f. la popolazione mondiale nel 2020 → circa 7.800.000.000 = g. il numero di molecole in un grammo di idrogeno → 301.000.000.000.000.000.000.000 = h. il costo di un viaggio interplanetario → 140.000.000.000.000 € = i. la popolazione mondiale nel 2022 → circa 8.000.000.000 di persone

238

U3 Potenze e radici

343. Esprimi in forma estesa la misura 5,97 × 10 kg, che rappresenta la massa della Terra.

[5.970.000.000.000.000.000.000.000 kg]

344. Quanti kilometri percorre la luce in un anno se la sua velocità è di 300.000 km/s?

Esprimi il risultato in notazione scientifica. [9,46 × 10 Questa distanza è chiamata anno luce. A quanti miliardi di kilometri corrisponde circa?

km]

345. Quanti milioni di secondi ci sono in un anno di 365 giorni? Scrivi il risultato anche in notazione scientifica.

346. Completa le seguenti frasi. a. Mille secondi sono circa

minuti.

b. Un milione di secondi sono circa

giorni.

c. Un miliardo di secondi sono circa

anni.

Per ciascuno dei seguenti numeri scrivi la potenza di 10 più vicina.

347. 132 →

348. 34.988 →

910.211 → 53.321 →

349. 1234 →

3.909.132 → 400.103 →

2.999.999 → 876.505 →

350. Associa ogni numero alla potenza di 10 più vicina. a. 91.000 b. 300 c. 128.000.000 d. 720.000 e. 2000 f. 13.900.000

1. 2. 3. 4. 5. 6.

10 10 10 10 10 10

351. Tra i seguenti numeri sottolinea quelli che hanno lo stesso ordine di grandezza di 981. 122

•

1100

•

8000

•

1012

•

999

•

7999

352. Scrivi 3 numeri a tua scelta che abbiano lo stesso ordine di grandezza di 129. 353. Scrivi 3 numeri a tua scelta che abbiano lo stesso ordine di grandezza di 999. 354. Scrivi 3 numeri a tua scelta che abbiano lo stesso ordine di grandezza di 8000. 355. Inserisci i numeri 223.067, 1673, 99.130 e 365 in modo da rendere vere tutte le disuguaglianze. a. 10 <

< 10

b. 10 <

< 10

c. 10 <

< 10

d. 10 <

< 10

356. Scrivi in notazione scientifica i numeri indicati nelle seguenti frasi e per ciascuno indica la potenza di 10 più vicina.

a. L’età del Sole è di circa 4,6 miliardi di anni. b. La comparsa dell’uomo sulla Terra è datata a circa 250.000 anni fa. c. Il raggio della Terra è di circa 6.400.000 m.

239

MI ESERCITO - ABILITÀ

3.4 Radici quadrate e radici cubiche RIPASSO ➜ p. 216 L’estrazione di radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato. 25 = 5 perché 5 = 25

L’estrazione di radice cubica è l’operazione inversa dell’elevamento al cubo. 8 = 2 perché 2 = 8

357. Completa.

a. La radice quadrata di è 2: infatti elevando 2 alla . b. La radice quadrata di 49 è : infatti elevando alla 49.

si ottiene come risultato si ottiene come risultato

Determina la radice quadrata dei seguenti numeri, verificando che in ogni caso essa è minore o uguale a 20.

358. 16 =

36 =

81 =

359. 64 =

100 =

121 =

360. 144 =

400 =

225 =

Puoi procedere per tentativi, calcolando i quadrati dei numeri naturali minori o uguali a 20.

361. Completa.

a. I numeri naturali che sono quadrati di altri numeri naturali si dicono La radice quadrata di un quadrato perfetto è un numero

b. Elevando al quadrato il numero 14 otteniamo in quanto è il quadrato di un numero naturale.

: questo numero è un quadrato perfetto

362. Tra i seguenti numeri sottolinea quelli la cui radice quadrata è un numero naturale. 0

•

100

•

200

Individua quali dei seguenti numeri sono quadrati perfetti, aiutandoti se necessario con le Tavole che trovi nel Quaderno oppure con una calcolatrice.

363. 441 • 421 • 1600 • 800 364. 920 • 784 • 961 • 540 365. 1849 • 1235 • 1089 • 1024 Determina il valore delle seguenti espressioni con radici quadrate.

366. ( 100 +

4 ) × ( 25 –

1 )

[48]

367. 3 + ( 49 – 1) ( 81 – 1 )

[51]

368. 15 + 100 – 4 × ( 36 – 0 )

[1]

369. Inventa un’espressione che abbia come risultato 20 e che contenga al suo interno almeno una radice quadrata a tua scelta.

370. Qual è la radice quadrata di 0?

E quella di 1? Ci sono altri numeri naturali che sono uguali alla propria radice quadrata?

240

U3 Potenze e radici

SÌ

371. Considera due numeri naturali che siano uno il quadruplo dell’altro, per esempio 64 e 16. Come sono le radici quadrate dei due numeri? A

una il quadruplo dell’altra

uguali

una il doppio dell’altra

una la radice quadrata dell’altra

372. Completa.

a. La radice cubica di è 2: infatti elevando 2 alla b. La radice cubica di 64 è : infatti elevando alla

si ottiene come risultato . si ottiene come risultato 64.

Determina la radice cubica dei seguenti numeri e verifica che in tutti i casi essa sia minore o uguale a 10.

373. 27 =

1 =

216 =

374. 343 =

1000 =

125 =

375. 64 =

729 =

512 =

Puoi procedere per tentativi, calcolando i cubi dei numeri naturali minori o uguali a 10.

376. Completa.

a. I numeri naturali che sono cubi di altri numeri naturali si dicono . La radice cubica di un cubo perfetto è un numero . b. Elevando al cubo il numero 11 si ottiene : questo numero è un cubo perfetto in quanto è il cubo di un numero naturale.

377. Tra i seguenti numeri sottolinea quelli la cui radice cubica è un numero naturale. 1

•

100

•

1000

Individua quali dei seguenti numeri sono cubi perfetti, aiutandoti se necessario con le Tavole che trovi nel Quaderno oppure con una calcolatrice.

378. 1 • 200 • 343 • 800 379. 4096 • 1225 • 900 • 540 380. 2000 • 27.000 • 512 • 1024 381. Qual è la radice cubica di 0?

E quella di 1? Ci sono altri numeri naturali che sono uguali alla propria radice cubica?

SÌ

382. Sommando la radice quadrata di 4 e la radice cubica di 8 quale numero si ottiene? 383. Se dividiamo la radice quadrata di 144 e la radice cubica di 64 quale numero si ottiene?

384. Se moltiplichiamo tra loro la radice quadrata di 100 e la radice cubica di 1000 otteniamo come risultato il quadrato di un numero naturale: di quale numero si tratta?

385. La radice quadrata di 1.000.000 è maggiore, minore o uguale alla radice cubica di 1.000.000.000? Motiva la risposta.

386. Completa le seguenti tabelle, aiutandoti se necessario con le Tavole che trovi nel Quaderno. a.

n n

625

169

900 30

289 15

n n

8000

3375

1728

1331 30

241

MI ESERCITO - ABILITÀ

3.5 La numerazione binaria e i computer Scrivi nel sistema binario i seguenti numeri espressi nel sistema decimale.

Esempio Trasformiamo il numero 26 nel corrispondente numero del sistema binario 26 : 2 = 13 resto 0 13 : 2 = 6 resto 1 26 = 11010 6:2=3 resto 0 3:2=1 1:2=0

resto 1 resto 1

387. 5 →

3→

392. 24 →

63 →

388. 8 →

6→

393. 38 →

15 →

389. 13 →

21 →

394. 19 →

25 →

390. 43 →

55 →

395. 33 →

40 →

391. 32 →

11 →

396. 27 →

64 →

SCOPRIAMO IL METODO

Gli ordini nel sistema binario Riportiamo qui di seguito la tabella delle unità dei vari ordini nel sistema a base due: 6° ordine

5° ordine

4° ordine

3° ordine

2° ordine

1° ordine

2 = 32

2 = 16

2 =8

2 =4

2 =2

2 =1

Per trovare a quale numero del sistema decimale corrisponde un numero della numerazione binaria, basta indicare sopra ciascuna cifra i valori dei corrispondenti ordini scritti nella numerazione decimale e sommarli. Esempio: 16 0 4 2 1 1 0 1 1 1 → 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = = 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 1 × 0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

397. Completa la tabella utilizzando il metodo descritto nel box “Scopro il metodo”. numero in base due

trasformazione in base dieci

11101

somma dei vari ordini 1

numero in base dieci

16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29

1001 11001 110011

Scrivi nel sistema decimale i seguenti numeri espressi nel sistema binario.

242

398. 10 →

101 →

403. 100100 →

11100 →

399. 1110 →

1000 →

404. 1010 →

110011 →

400. 10101 →

11011 →

405. 11111 →

100101 →

401. 111000 →

11101 →

406. 11010 →

110111 →

402. 110110 →

100010 →

407. 110010 →

10000 →

U3 Potenze e radici

MI ESERCITO - CONSOLIDAMENTO

ESERCIZI DI RIEPILOGO Lezioni 3.3 · 3.4 408. Scrivi nella loro usuale scrittura i seguenti numeri espressi in notazione scientifica. a. 2,3 × 10 = b. 1,7 × 10 =

c. 9,13 × 10 = d. 8,05 × 10 =

409. Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri. a. 3640 =

c. 7.000.000.000 =

b. 490.000 =

d. 20.500.000 =

410. Inserisci i numeri 9574, 251, 308.228 e 87.013 in modo da rendere vere tutte le disuguaglianze. < 10 a. 10 < b. 10 < < 10

411.

c. 10 < d. 10 <

< 10 < 10

Prova a svolgere l’esercizio, poi inquadra la pagina con l’app Dealink e guarda il video.

VIDEOESERCIZIO SVOLTO

Completa le seguenti frasi. a. La radice quadrata di 81 è : infatti elevando alla si ottiene 81. e = 81. In simboli si scrive: 81 = b. La radice quadrata di è 5: infatti elevando 5 alla si ottiene . = e = In simboli si scrive:

412. Completa le seguenti uguaglianze. a.

9 =

100 =

infatti

= 100

36 =

infatti

= 36

64 =

infatti

= 64

413. Completa le seguenti frasi.

a. La radice cubica di 27 è : infatti elevando alla e = 27. In simboli si scrive: 27 = b. La radice cubica di è 2: infatti elevando 2 alla = e = In simboli si scrive:

414. Completa le seguenti uguaglianze. a.

1000 =

64 =

infatti

= 1000

infatti

= 64

si ottiene 27. si ottiene

1 =

infatti

0 =

infatti

415. Completa la tabella indicando i quadrati perfetti e i cubi perfetti. numero

è un quadrato perfetto?

è un cubo perfetto?

SÌ

243

MI ESERCITO - COMPETENZE

ESERCIZI FINALI Problemi per pensare fuori dagli schemi 416. La somma di due potenze di 2 identiche è uguale alla potenza di 2

che ha per esponente il successivo dell’esponente delle due potenze. =2 . Per esempio: 2 + 2 = 2 × 2 = 2 Scrivi ciascuna delle seguenti espressioni come un’unica potenza di 2. a. 2 + 2 =

b. 2

c. 2 + 2 + 2 = d. 2 + 2 + 2 + 2 =

417. La somma dell’età di Luisa e del quadrato di quella di Roberto è 36. La somma dell’età di Roberto e del quadrato di quella di Luisa è 126. Quanti anni hanno Luisa e Roberto?

Rifletti sulla prima frase: perché Roberto non può avere più di 6 anni?

418. Considera la lista di cinque numeri 6, 3, 22, 14, 2.

Ogni coppia di numeri vicini ha come somma un quadrato perfetto: a. 6 + 3 = 9

b. 3 + 22 = 25 c. 22 + 14 = 36 d. 14 + 2 = 16 Riesci a riordinare i numeri naturali da 1 a 15 in modo che ogni coppia di numeri vicini abbia come somma un quadrato perfetto?

419. Una terna (a, b, c) di numeri naturali maggiori di zero è una terna pitagorica se vale

l’uguaglianza a + b = c . Per esempio (3, 4, 5) è una terna pitagorica: infatti si ha 3 + 4 = 9 + 16 = 25 e 5 = 25, quindi vale l’uguaglianza 3 + 4 = 5 . Trova tutte le sei terne pitagoriche (a, b, c) con a < b < c ≤ 20 e completa la tabella. Può esserti utile scrivere tutti i quadrati dei numeri naturali minori o uguali a 20.

244

U3 Potenze e radici

420. Trova tre quadrati perfetti che hanno

Prova a scrivere i quadrati dei numeri naturali minori di 10.

come somma un quadrato perfetto.

421. Quanti sono i quadrati perfetti di tre cifre? E i cubi perfetti?

422. Spiega perché confrontare due potenze è immediato se hanno la stessa base

o lo stesso esponente. Fai almeno un esempio con due potenze aventi la stessa base e almeno un esempio con due potenze aventi lo stesso esponente.

423. Inserisci i numeri che rendono vere le seguenti uguaglianze. a. 3

b. 8 = 2 Scrivi poi in ordine crescente le potenze 2 , 3

e8 .

424. Augustus De Morgan, matematico britannico dell’Ottocento, scrisse che a un certo punto il quadrato della sua età era uguale all’anno corrente. In che anno è nato?

425. Quante cifre ha il prodotto 2 × 5 ?

2 × 5 = 10, quindi…

426. Inserisci una cifra in ogni casella in modo che in ciascuna delle due righe compaia un cubo perfetto di due cifre e che la differenza tra il numero nella prima riga e quello nella prima colonna sia uguale a 2.

427. La radice quadrata di 64 è 8:

64 = 8. La radice cubica di 64 è 4: 64 = 4. Perciò il numero 64 è sia un quadrato perfetto sia un cubo perfetto: 64 = 8 e 64 = 4 . Scrivi altri due numeri che sono sia quadrati perfetti sia cubi perfetti.

428. Federica esegue la divisione con resto tra il quadrato di 25 e la radice quadrata di 25. Quale resto ottiene?

429. Quale potenza di 2 è uguale a 4 ? Quale potenza di 4 è uguale a 8 ? Quale potenza di 2 è uguale a 8 ?

430. Completa la tabella scrivendo per ogni potenza la sua cifra delle unità. potenza

cifra delle unità

245

3 MI PREPARO ALLA PROVA INVALSI 1. RAGIONIAMO INSIEME Quesito guidato

A un torneo di tennis, uno contro uno, partecipano 16 giocatori. Il torneo si svolge a eliminazione diretta, cioè chi perde una partita viene eliminato. Qual è il numero di partite necessario per stabilire il vincitore del torneo? A

Gabriele ha vinto il torneo. Quante partite ha giocato? Risposta: Grado 8 anno 2014 n. 12

• Al primo turno i 16 partecipanti giocano partite uno contro uno. Vengono quindi eliminati giocatori e ne restano . • Al secondo turno gli partecipanti rimasti giocano partite. Vengono eliminati giocatori e ne restano . • Al turno successivo i partecipanti rimasti giocano partite. Vengono eliminati giocatori e ne restano . • Infine i partecipanti rimasti giocano partita. Lo sconfitto viene eliminato e il vincitore vince il . • Contiamo il numero di partite necessario per stabilire il vincitore del torneo. Al primo turno si sono giocate partite, che si chiamano ottavi. Al secondo turno si sono giocate partite, i quarti. Sono poi state giocate partite, le semifinali. Infine è stata giocata la finale. In totale il numero di partite del torneo è quindi . • Gabriele, il vincitore del torneo, ha giocato partite: un ottavo, un , una e la . • Per rispondere più rapidamente alla prima domanda possiamo osservare che a ogni partita viene eliminato esattamente partecipante. Alla fine del torneo dei 16 partecipanti uno è il vincitore del torneo e gli altri sono stati eliminati. Il numero di partite del torneo è quindi .

2. Se sulla tastiera di una calcolatrice tascabile digito 3

ciò corrisponde a: A

243

5. Elisa e Paolo stanno cercando di rispondere a questa domanda: “Qual è la coppia di numeri interi a, b (diversi fra loro) tali che ab = ba?” Ecco le loro soluzioni: a=1 b=2 infatti 12 = 21

Grado 6 anno 2010 n. 28

3. La decima parte di 1020 è: A

Elisa

100

Chi ha ragione?

Grado 8 anno 2012 n. 11

4. A quale valore corrisponde il risultato della seguente operazione? 2 +2 A

512

2 Grado 6 anno 2010 n. 15

246

U3 Potenze e radici

Paolo a=2 b=4 infatti 24 = 42

Solo Elisa

Entrambi

Solo Paolo

Nessuno dei due

Grado 8 anno 2011 n. 18

6. Per produrre 1 kg di carne da manzi di allevamento si utilizzano 10.000 litri di acqua. Quanti litri di acqua occorrono per produrre 1000 kg di carne? Scrivi il risultato come potenza del 10, inserendo l’esponente corretto nel quadratino. Risposta: 10 Grado 8 anno 2015 n. 19

7. Un bastoncino viene prima diviso a metà, poi ognuna delle due metà viene divisa di nuovo a metà, e così via. Prima suddivisione

10. La massa del pianeta Saturno è 5,68 × 1026 kg, quella del pianeta Urano 8,67 × 1025 kg e quella del pianeta Nettuno 1,02 × 1026 kg. Metti in ordine i tre pianeti da quello di massa minore a quello di massa maggiore.

Seconda suddivisione Grado 8 anno 2010 n. 16

Mostra l’operazione che ti permette di trovare il numero di pezzi dopo 10 suddivisioni. Risposta: Grado 6 anno 2011 n. 19

8. Leggi le frasi della prima colonna e collega con una freccia ciascuna frase con l’uguaglianza che permette di verificarla. Ogni affermazione può essere collegata con una sola uguaglianza; una è già stata collegata. Frasi

Uguaglianze

1. 100 è il successivo di 99

A. 100 = 2 × 7 + 86 B.

2. 100 è la somma di due quadrati perfetti

100 = 10

C. 100 = 14 × 7 + 2 D. 100 = 99 + 1

3. 100 è un quadrato perfetto

E. 100 = 36 + 64

4. 100 diviso 7 ha resto 2

11. In 3 millilitri d’acqua ci sono circa 1023 molecole. Quante molecole ci sono all’incirca in 3 litri d’acqua? (Ricorda che 1 litro equivale a 1000 millilitri). Scrivi il risultato come potenza del 10 inserendo l’esponente nel quadratino. Risposta: 10

molecole

F. 100 = 16 + 84

Grado 8 anno 2017 n. 10

Grado 8 anno 2017 n. 24

9. Osserva la seguente tabella. n

cifra delle unità di 2

• Completa la tabella inserendo al posto dei puntini la cifra delle unità di 27 e la cifra delle unità di 28. • Immagina di continuare la tabella sino a n = 20. Qual è la cifra delle unità di 220? A

8 Grado 8 anno 2015 n. 25

12. La distanza tra due corpi celesti è 5 × 106 km. Qual è la distanza equivalente in metri? A

5 × 10

5 × 10 m

5 × 10 m Grado 8 anno 2013 n. 15

247

PENSIERO COMPUTAZIONALE E CODING

CON SCRATCH

Calcolare le potenze di 2

Con Scratch è possibile calcolare le potenze di 2 con un codice che segue la definizione della potenza come prodotto della base per se stessa tante volte quante ne indica l’esponente. STEP 1 Inseriamo il comando di inizio al tocco della bandiera verde. STEP 2 Facciamo chiedere alla volpe quale esponente si intende inserire per poterne calcolare la potenza.

STEP 3 Introduciamo la variabile “potenza” e la inizializziamo a 1.

STEP 4 Creiamo un ciclo che permetta di ripetere tante volte quante ne indica il valore dell’esponente (che è stato impresso nella “risposta” al quesito iniziale) il prodotto per 2. Per fare ciò la variabile “potenza” dovrà essere moltiplicata per 2 ogni volta.

STEP 5 Facciamo rispondere alla volpe il risultato dei calcoli appena svolti. Prima di fermare il programma lasciamo la risposta per 5 secondi.

Attività di programmazione

1. Prova a inserire esponenti grandi, per esempio 63. Che cosa noti nel risultato? Come vengono rappresentati i numeri con esponente maggiore di 69? 2. Prova a creare un programma che calcoli le potenze con una base diversa da 2, per esempio 5. 3. Aggiungi al programma appena creato una variabile che ti permetta di sommare tutte le potenze minori e uguali a quella che si richiede all’inizio del codice. 4. Immagina un programma che ti permetta di calcolare un prodotto utilizzando solo la somma come operazione disponibile. 5. Crea un programma che calcoli il cubo di un numero inserito manualmente. Quante variabili hai dovuto usare? 248

U3 Potenze e radici

DEAFLIX ti aiuta nello studio. Inquadra la pagina con l’app Dealink e guarda i video!

Percorso: LE POTENZE

Impara la teoria, fai pratica con gli esercizi svolti, mettiti alla prova con quesiti autocorrettivi e dai un’occhiata alla videomappa di riepilogo.

1 INTRODUZIONE ALLE POTENZE

TEORIA

TEORIA Potenze: Introduzione ESERCIZIO SVOLTO Esercizio

sul calcolo delle potenze

METTITI ALLA PROVA 2 LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE TEORIA Proprietà delle potenze • 1 ESERCIZIO SVOLTO Esercizio sulle

proprietà delle potenze • 1° es.

TEORIA Proprietà delle potenze • 2 ESERCIZIO SVOLTO Esercizio sulle

proprietà delle potenze • 2° es.

METTITI ALL

A PROVA

TEORIA Proprietà delle potenze • 3 ESERCIZIO SVOLTO Esercizio sulle

proprietà delle potenze • 3° es.

METTITI ALLA PROVA 3 ESPRESSIONI CON LE POTENZE TEORIA Espressioni con potenze ESERCIZIO SVOLTO Esercizio

sulle espressioni con potenze senza parentesi

ESERCIZIO SVOLTO

ESERCIZIO SVOLTO Esercizio

sulle espressioni con potenze e con parentesi

ESERCIZIO SVOLTO Esercizio

sulle espressioni con le proprietà delle potenze

METTITI ALLA PROVA VIDEOMAPPA IN SINTESI

249

RECUPERO

Domanda Come si abbrevia la moltiplicazione 3 × 3 × 3 × 3 con fattori uguali?

Risposta 3 × 3 × 3 × 3 = 34 perché il fattore 3 si ripete 4 volte. La scrittura 34 si chiama potenza.

Esercizi 1. Scrivi le seguenti moltiplicazioni sotto forma di potenza.

a. 6 × 6 × 6 • 4 × 4 × 4 × 4 b. 0,5 × 0,5 • 1,34 × 1,34 × 1,34

2. Tra le seguenti moltiplicazioni,

sottolinea quelle che possono essere trasformate in potenze. 5×5 • 2×5×1×6 • 1×1×1×1 2×3×4 • 7×7×7×7 • 4×4×4

Come si chiamano i termini di una potenza?

Base ed esponente: esponente 34 base

Come si calcola la potenza 25?

Si moltiplica la base per se stessa tante volte quante ne indica l’esponente. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 Si moltiplica il 2 per se stesso 5 volte.

3. Per ciascuna potenza, cerchia la base e sottolinea l’esponente. 23 • 14 • 35 • 108 • 59 63 • 70 • 0,53 • 1,34 • 1,1511

4. Trasforma le seguenti potenze

in moltiplicazioni e calcolane il valore. a. 112 • 105 • 63 • 28 • 0,24 b. 0,42 • 1,72 • 0,33 • 19 • 0,123 5. Esprimi sotto forma di potenza. a. 64 • 36 • 49 • 27 • 100 b. 32 • 81 • 16 • 125 • 4 6. Calcola le seguenti potenze. a. 26 • 53 • 35 • 1,52 • 2,52 b. 0,23 • 0,42 • 24 • 32 • 52 c. 27 • 34 • 1,62 • 0,53 • 1,22

Quanto vale la potenza 151?

151 = 15 perché un numero qualsiasi elevato a 1 è uguale al numero stesso.

7. Calcola le seguenti potenze.

Quanto vale la potenza 40?

40 = 1 perché un numero qualsiasi elevato a 0 è uguale a 1. Attenzione! L’unica eccezione è 00 che non ha significato.

8. Calcola le seguenti potenze.

Come si calcola il prodotto 43 × 42 di potenze aventi la base uguale?

Si scrive una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 43 × 42 = 43 + 2 = 45 Attenzione! Questa proprietà non si può applicare alla somma di potenze. 52 + 54 = 56 errore!

9. Scrivi sotto forma di un’unica

250

U3 Potenze e radici

41 • 101 • 231 • 5,71 • 6,51

50 • 90 • 40 • 3,20 • 12,30 110 • 130 • 2,60 • 90 • 70

potenza le seguenti moltiplicazioni. a. 42 × 43 • 54 × 52 • 125 × 123 × 12 b. 32 × 35 × 3 × 33 • 23 × 22 × 24 c. 35 × 3 × 34 • 74 × 7 × 75 • 86 × 82 d. 0,24 × 0,25 × 0,22 • 4,52 × 4,57 e. 1,42 × 1,43 × 1,44 • 2,33 × 2,31 × 2,3

Domanda

Risposta

Esercizi 10. Scrivi sotto forma di un’unica potenza le seguenti divisioni tra potenze con la stessa base.

Come si calcola il quoziente 65 : 63 di potenze aventi la base uguale?

Si scrive una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. 65 : 63 = 65 – 3 = 62 Attenzione! Questa proprietà non si può applicare alla differenza di potenze. 37 – 34 = 33 errore!

Come si calcola la potenza di una potenza, per esempio (42)3?

Si scrive una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. (42)3 = 42 × 3 = 46

Come si calcola il prodotto 43 × 53 di potenze aventi l’esponente uguale?

Si scrive una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. 43 × 53 = (4 × 5)3 = 203

Come si calcola il quoziente 123 : 33 di potenze aventi l’esponente uguale?

Si scrive una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. 123 : 33 = (12 : 3)3 = 44

13. Scrivi sotto forma di un’unica potenza le seguenti divisioni tra potenze con lo stesso esponente. a. 152 : 52 • 183 : 93 • 204 : 54 b. 123 : 43 • 5,63 : 83 • 5,43 : 1,83 c. 4,65 : 2,35 • 3,24 : 1,64 • 4,82 : 62

Come si crive 85.000.000.000 in notazione esponenziale? E in notazione scientifica?

Si scrive come prodotto di due fattori di cui uno è la potenza di 10. 85.000.000.000 = 85 × 109 notazione esponenziale 85.000.000.000 = 8,5 × 1010 notazione scientifica Nella notazione scientifica, la parte intera del numero decimale è una sola cifra diversa da zero.

14. Scrivi i seguenti numeri in notazione esponenziale e in notazione scientifica. a. 132.000.000 • 750.000.000 b. 456.000.000 • 1.230.000.000 c. 72.000.000 • 3.140.000.000

Qual è l’ordine di grandezza di 6500?

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina al numero dato. L’ordine di grandezza di 6500 è 104 (cioè 10.000) perché 6500 è più vicino a 10.000 che a 1000.

15. Indica l’ordine di grandezza

a. 26 : 23 • 38 : 34 • 95 : 92 b. 45 : 43 • 67 : 64 • 115 : 114 c. 78 : 72 • 85 : 82 • 0,57 : 0,52 d. 1,35 : 1,33 • 2,46 : 2,4 e. 0,98 : 0,94 • 6,37 : 6,34

11. Scrivi sotto forma di un’unica

potenza le seguenti potenze di potenze. a. (52)3 • (86)2 • (14)5 • (42)2 b. (32)4 • (23)5 • (34)2 • [(42)3]3 c. [(23)2]5 • [(32)3]2 • [(24)2]5 • (52)6

12. Scrivi sotto forma di un’unica

potenza le seguenti moltiplicazioni tra potenze con lo stesso esponente. a. 62 × 22 • 23 × 33 • 45 × 25 × 35 b. 52 × 32 × 22 • 1,24 × 0,54 c. 1,53 × 0,23 • 22 × 2,52 • 64 × 1,34

dei seguenti numeri. a. 845 • 721 • 1789 • 2700 b. 423 • 6750 • 1436 c. 68.000 • 19.745 • 234.000

251

MAPPA

LA POTENZA

esponente

I termini:

34 = 81

base potenza 4 Si calcola: 3 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 4 volte

Potenze particolari

➜ 03 = 0 × 0 × 0 = 0 ➜ 40 = 1 ➜ 151 = 15 ➜ 13 = 1 ➜ 103 = 1000

Proprietà delle potenze Con la stessa base:

➜ Prodotto ➜ Quoziente

43 × 42 = 43 + 2 = 45 65 : 63 = 65 – 3 = 62

Con lo stesso esponente:

➜ Prodotto ➜ Quoziente

43 × 53 = (4 × 5)3 = 203 123 : 33 = (12 : 3)3 = 43

Potenza di una potenza: (42)3 = 42 · 3 = 46

252

U3 Potenze e radici

LA RADICE

➜ La radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato. Esempio

25 = 5

perché 52 = 25

➜ La radice cubica è l’operazione inversa dell’elevamento al cubo. Esempio

8 =2

perché 23 = 8

Notazione scientifica Serve per esprimere numeri molto grandi in forma breve. È il prodotto di:

➜ un numero decimale con una sola cifra ➜ una potenza di 10 Esempio

350.000.000 = 3,5 × 108 8 cifre decimali

Ordine di grandezza È la potenza di 10 più vicina al numero dato. Esempio

l’ordine di grandezza di 729 è 103 (cioè 1000) perché 729 è più vicino a mille che a cento (102) 100 = 102

729

1000 = 103

253

MI ORIENTO

Cellule… all’ennesima potenza!

Matematica e Biologia

Siamo nel 1909, a Torino, e nella famiglia ebrea Levi-Montalcini nascono due gemelle, Paola e Rita, da padre ingegnere e mamma pittrice. Da adolescente Rita vuole fare la scrittrice, ma a vent’anni i suoi interessi cambiano e si iscrive a medicina, laureandosi poi nel 1936.

⇢ Quando nel 1938 in Italia vengono promulgate

le leggi razziali che discriminano gli ebrei, non potendo frequentare l’università, crea un piccolo laboratorio nella propria camera da letto. A guerra conclusa potrà riprendere le sue ricerche all’Università di Torino e negli Stati Uniti.

⇢ I fenomeni biologici che Rita studia sono legati

al funzionamento del sistema nervoso, in particolare alla scoperta che il tessuto nervoso non ha una struttura fissa e immutabile dalla nascita, ma la sua crescita può essere facilitata da una sostanza chiamata «fattore di crescita dei nervi».

Rita Levi-Montalcini

⇢ Dovranno passare circa trent’anni prima che Rita Levi-Montalcini e il suo collega Stanley Cohen

ottengano il meritato riconoscimento per i loro studi, che arriverà nel dicembre 1986 con il conferimento del premio Nobel per la Medicina. Le loro scoperte hanno aperto la strada a molti studi nell’ambito delle neuroscienze, per esempio nel campo dell’Alzheimer o delle malattie da stress.

1a Esperienza - Come crescono le cellule? Per capire come crescono le cellule che si coltivano in laboratorio, si deve conoscere la crescita esponenziale. Aiuta Emma, una giovane ricercatrice, a determinare quante cellule si generano se da ogni cellula madre ne nascono sempre due identiche, ogni 30 minuti. Completa la tabella riportando i calcoli.

30’ 30’

tempo

n. cellule per generazione

n. cellule totali

1=2

30 min

2=2

1 ora

4=2

90 min

8=2

2 ore

16 = 2

2 ore 30 min

32 = 2

3 ore

64 = 2

127

calcoli effettuati

a. Che cosa puoi dire sui calcoli della prima colonna? b. Riesci a trovare una regola per determinare i risultati della seconda colonna? c. Se inizialmente sono state inserite nella coltura 500 cellule madri, dopo 2 ore quante cellule potremmo trovare? d. Se le cellule iniziali sono 9 × 10 quante ne avrai dopo 1 ora? E dopo 2 ore? Trasforma in notazione scientifica.

254

U3 Potenze e radici

2a Esperienza - Contiamo i batteri! Emma passa ora a uno studio più complesso, riguardante una coltura di batteri in laboratorio. Parte da 3 coppie di individui che hanno un tasso di crescita pari a 2 (cioè ogni giorno la popolazione raddoppia). Aiuta la scienziata a svolgere il nuovo studio, completando la tabella. giorno

popolazione

calcoli

3 coppie = 6 individui

3×2

12 individui

6×2

24 individui

12 × 2 = 6 × 2

3 4 5 6

a. Quale regola puoi trovare per il giorno n? b. E se le coppie di partenza fossero 4, come cambieresti la regola?

3a Esperienza - Quanti insetti? Come ultima esperienza, aiutiamo Emma ad analizzare la vita di alcuni piccoli invertebrati e il loro sviluppo in società. Se studiamo una popolazione di insetti che aumenta con un tasso di crescita di 1,2 individui al mese e parte con 500 esemplari, come possiamo tabulare i risultati dei primi 4 mesi? Precisiamo che in questi calcoli non si considerano eventuali individui che muoiano. mese

esemplari

500

600

calcoli

500 × 1,2

2 3 4

a. Quale formula hai utilizzato questa volta? b. Come puoi indicare in notazione scientifica il numero iniziale di individui? c. Qual è l’ordine di grandezza? d. Come scriveresti l’ultimo dato ottenuto in notazione scientifica?

PER IL MIO E-PORTFOLIO Realizza una presentazione digitale composta da almeno 3-4 slides che riassuma i contenuti di questa scheda. La scaletta potrebbe essere: SLIDE 1 ⇢ Il lavoro del biologo SLIDE 2 ⇢ La crescita esponenziale delle cellule SLIDE 3 ⇢ Come calcolare la crescita di una popolazione di batteri a coltura in laboratorio SLIDE 4 ⇢ Altri campi di studio in cui è utile applicare lo schema della crescita esponenziale Arricchisci la presentazione con immagini e collegamenti a link interessanti: potrebbe diventare uno dei “capolavori” del tuo E-PORTFOLIO!

255

SONO PRONTO

TEST DI FINE UNITÀ 1. Calcola il valore delle seguenti potenze. a. 4 =

b. 0,5 =

Per prepararti al test puoi guardare i video su esercizi simili nelle pagine degli Esercizi di riepilogo.

c. 0,1 =

0,5 punti per ogni risposta corretta – max 1,5 punti

2. Scegli per ogni frase il suo completamento. a. Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale…

1. alla potenza che ha lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.

b. Il quoziente di due potenze con la stessa base non nulla è uguale…

2. alla potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

c. La potenza di una potenza è uguale…

3. alla potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

d. Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è uguale…

4. alla potenza che ha lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi.

e. Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è uguale…

5. alla potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.

1 punto per ogni risposta corretta – max 5 punti

3. Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di un’unica potenza. a. 5 × 5 =

b. (4 ) =

c. 7 : 7 =

d. (3 × 3 : 3 ) =

0,5 punti per ogni risposta corretta – max 2 punti

4. Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di un’unica potenza. a. 6 : 3 =

b. 4 × 2 =

c. 2 × (9 : 3 ) =

d. (10 : 2 × 3 ) =

0,5 punti per ogni risposta corretta – max 2 punti Trovi un esercizio simile a p.236 Trovi un esercizio simile a p.243

5. Calcola il valore della seguente espressione. [6 × (8 : 4 )] : (12 : 12 × 12 ) =

3 punti per la risposta corretta

6. Completa le seguenti frasi.

a. La radice quadrata di 64 è : infatti elevando alla e = 64. In simboli si scrive: 64 = b. La radice quadrata di è 3: infatti elevando 3 alla = e = In simboli si scrive:

si ottiene si ottiene

. .

0,5 punti per ogni risposta corretta – max 6,5 punti

7. Completa le seguenti uguaglianze. a. b.

49 = 27 =

infatti infatti

= 49 = 27

c. d.

121 = 1000 =

infatti infatti

= 121 = 1000

0,5 punti per ogni risposta corretta – max 4 punti

8. Scrivi nella loro usuale scrittura i seguenti numeri espressi in notazione scientifica. a. 2,1 × 10 =

b. 3,86 × 10 =

c. 1,02 × 10 =

1 punto per ogni risposta corretta – max 3 punti Confronta le tue risposte con quelle riportate in fondo al libro e scrivi il punteggio sulla casella corrispondente. Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 Punti

Hai superato il test se hai totalizzato almeno 19 punti.

256

U3 Potenze e radici

Punteggio totale

/27