Tutti i colori della matematica – edizione PRO

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L. Sasso • V. Abate

Tutti i colori della Matematica problemi svolti per fissare e applicare i concetti, in particolare nelle rubriche Visualizza le idee e Collega le idee.

ambiente, educazione finanziaria, informazione consapevole, prevenzione e salute, sicurezza) collegati all’agenda 2030, utilizzando la matematica in modo consapevole.

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Tutti i colori della matematica

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E Sa I D N AD .I 3 L. OR ZIO QU C.D -266 + L I O D 1 + K 94 I C E ME BOO 8-4 INI LU E 8-8 TR VO + 97 PE BN IS

Questo volume, sprovvisto del talloncino a lato, è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2, L. 633/1941). Fuori campo applicazione I.V.A. (D.P.R. 26/10/72, n. 633, art. 2, 3° c., lett. d.)

Tutti i colori della Matematica EDIZIONE PRO Volume 1 + Quaderno 1 + eBook + C.D.I. (elementi indivisibili)

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ATTIVITÀ DI ORIENTAMENTO STEM EDUCAZIONE FINANZIARIA

Unità 9

Equazioni di primo grado

Verso le UdA Problema: Prezzo di vendita Federica ha creato la sua prima borsa e vuole metterla in vendita.

Stima a 64 euro i costi complessivi per il tessuto e per le rifiniture, il tempo di produzione, ecc.

A quanto deve vendere la borsa Federica per realizzare sul prezzo di vendita un profitto del 20%?

Svolgimento a pag. 300

In digitale • Matematica nella storia • Con GeoGebra • Video • Esercizi interattivi

Prima di iniziare è opportuno che tu conosca:

Equazioni di primo grado

gli insiemi numerici il calcolo letterale

Al termine sarai in grado di: individuare le strategie appropriate per risolvere problemi che hanno come modello equazioni di primo grado numeriche intere e saperle applicare in contesti reali

Percorso digitale organizzato in playlist con: • video di teoria • video di esercizi svolti • esercizi autocorrettivi • test di verifica

1. Introduzione alle equazioni

1

UNITÀ 9

Introduzione alle equazioni

Che cos’è un’equazione?

DEFINIZIONE

ESEMPI

Equazione

• 3x + 2 = 4(2x −1) è un’equazione nell’incognita x.

Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.

L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’equazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro dell’equazione.

• 2y − 1 = y + 3 è un’equazione nell’incognita y.

1 x + __ 1 x+3 1 x + __ • x = __ 2 4 7 primo membro

secondo membro

Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire altre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non viene specificato per dare al problema maggiore generalità.

Una equazione si dice...

... intera, se l’incognita non compare in alcun divisore (in particolare in alcun denominatore).

... frazionaria, se non è intera.

... numerica se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, non compaiono parametri.

Esempi di equazioni numeriche intere:

Esempi di equazioni numeriche frazionarie:

... letterale (o parametrica) se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, compare almeno un parametro.

Esempi di equazioni letterali intere nell’incognita x: x−a k(x − 1) = x + k; 4x = _____ 3

5x = − 1 + 2x;

3 x = x2 ___ 2

1; x = ___ x

2x − 1 = 0 _______ x+3

Esempi di equazioni letterali frazionarie nell’incognita x: ax + 2 = 0 1 − kx ; ______ 1 = ______ x x−2

k è il parametro a è il parametro k è il parametro a è il parametro

In questa unità ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita e, salvo avviso contrario, indicheremo l’incognita con la lettera x; le equazioni frazionarie e letterali verranno invece trattate successivamente.

Le soluzioni di un’equazione Risolvere un’equazione nell’incognita x significa determinare, se esistono, i valori di x che, sostituiti all’incognita, rendono l’equazione un’uguaglianza vera: questi numeri si chiamano soluzioni (o radici) dell’equazione.

Come mostriamo nel prossimo esempio, è immediato verificare per sostituzione se un dato numero è oppure no soluzione di un’equazione.

ESEMPIO

Verifica delle soluzioni di un’equazione

Consideriamo l’equazione x 2 − 9 = 0.

• 3 è una sua soluzione perché, sostituendo 3 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza: uguaglianza vera 32 − 9 = 0 ⇒ 9 − 9 = 0 • 2 non è una soluzione dell’equazione perché, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza: uguaglianza falsa 22 − 9 = 0 ⇒ − 5 = 0 L’insieme S di tutte le soluzioni si dice insieme delle soluzioni (o insieme soluzione) dell’equazione.

295

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado L’insieme delle soluzioni dipende anche dall’insieme numerico in cui si cercano le soluzioni, detto dominio o insieme di definizione dell’equazione.

ESEMPIO

Dominio di un’equazione

L’ equazione 2x = 1, se assumiamo come dominio R, ammette come soluzione 1. x = __ 2 La stessa equazione non ammette soluzioni se assumiamo come dominio l’insieme N, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dà come risultato 1.

Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme R dei numeri reali.

Le equazioni determinate, impossibili, indeterminate e le identità Si può effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’insieme delle soluzioni, come spiegato nella seguente tabella.

L’insieme delle soluzioni può essere...

L’equazione si dice...

Esempi

finito

propria o determinata

• 2x = 4

L’unica soluzione dell’equazione è 2, quindi S = {2}.

S è un insieme finito.

• 3x − 1 = 2

L’unica soluzione dell’equazione è 1, quindi S = {1}.

S è un insieme finito.

infinito

indeterminata

• 2(x + 3) = 2x + 6

In base alla proprietà distributiva, questa equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R.

• 2x + 3x = 4x + x

Eseguendo le somme otteniamo 5x = 5x, che è soddisfatta per ogni x ∈ R.

vuoto

impossibile

• x2 = −1

Ogni numero reale ha come quadrato un numero non negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.

• x=x+1

Ogni numero reale non può essere uguale allo stesso numero aumentato di uno, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.

In questo e nel prossimo volume studieremo principalmente equazioni algebriche, cioè equazioni i cui due membri sono costituiti da espressioni algebriche (polinomi o espressioni frazionarie). In questo ambito, le equazioni indeterminate hanno una particolare caratteristica: risultano essere sempre delle identità.

DEFINIZIONE

Identità

Una identità è una uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più variabili, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle variabili, con l’esclusione di quelli che fanno eventualmente perdere significato alle due espressioni.

ESEMPI

Esercizi p. 304 296

3(x + 1) = 3x + 3

1 1 ___________ = ________ 2 x − 2x + 1 (x − 1)2

È un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R

È un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R − {1}, essendo x = 1 l’unico valore per cui perde significato

2. Principi di equivalenza per le equazioni

2

UNITÀ 9

Principi di equivalenza per le equazioni

Le equazioni equivalenti A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si dà un nome particolare.

DEFINIZIONE

Equazioni equivalenti

Due equazioni con lo stesso dominio si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

ESEMPIO

Le equazioni x − 2 = 0 e 5x − 10 = 0 sono equivalenti perché hanno entrambe come insieme delle soluzioni S = {2}.

Con GeoGebra Principi di equivalenza delle equazioni e bilance

In questo paragrafo presentiamo delle regole che permettono di trasformare una data equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci saranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.

Il primo principio di equivalenza e le relative conseguenze Data la sua importanza, presentiamo il primo principio di equivalenza come teorema. Esso dipende sostanzialmente dalle proprietà dell’uguaglianza in relazione con le operazioni di addizione e sottrazione.

PRINCIPIO

Primo principio di equivalenza per le equazioni

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione un numero o un’espressione algebrica definita per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

ESEMPI a. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 2x − 3 = 5 il numero 3, si

ottiene l’equazione equivalente 2x − 3 + 3 = 5 + 3, ossia 2x = 8. b. Sottraendo a entrambi i membri dell’equazione 2x + 3 = 5x l’espressione 2x (definita per ogni valore reale di x), si ottiene l’equazione equivalente 2x + 3 − 2x = 5x − 2x, ossia 3 = 3x. c. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 3x − 1 = 4 il numero 1 e sottraendo a entrambi i membri l’espressione x, si ottiene l’equazione equivalente 3x − 1 + 1 − x = 4 + 1 − x, cioè 2x = 5 − x.

Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del primo principio di equivalenza.

Conseguenze del primo principio

Giustificazione

Esempi

Regola del trasporto: si può spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro di un’equazione pur di cambiargli segno.

Ciò equivale a sottrarre quel termine a entrambi i membri dell’equazione.

L’equazione

Regola di cancellazione di termini uguali: se un certo termine compare come addendo sia in uno sia nell’altro membro di un’equazione, può essere soppresso.

Ciò equivale a sottrarre quel termine da entrambi i membri dell’equazione.

3x = 1 + 2x

equivale a: 3x − 2x = 1 Infatti, per il primo principio, 3x = 1 + 2x equivale a: 3x − 2x = 1 + 2x − 2x ossia a: 3x − 2x = 1 x2 + 3x = 7 + 3x equivale, sopprimendo +3x, a: x2 = 7 Infatti, per il primo principio, l’equazione data equivale a: x2 + 3x − 3x = 7 + 3x − 3x ossia a: x2 = 7

297

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

Il secondo principio di equivalenza e le relative conseguenze PRINCIPIO

Secondo principio di equivalenza per le equazioni

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per un numero diverso da 0, o per un’espressione algebrica definita e non nulla per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

ESEMPI a. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 3,

si ottiene l’equazione equivalente 3 ⋅ (4x + 1) = 3 ⋅ 10x, cioè 12x + 3 = 30x.

b. Dividendo entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 2,

4x + 1 = __ 10x , cioè 2x + __ 1 = 5x. si ottiene l’equazione equivalente __ 2 2 2

Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del secondo principio di equivalenza.

Conseguenze del secondo principio

Giustificazione

Esempi

Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo, si possono dividere i due membri per quel fattore.

È una diretta applicazione del secondo principio.

4x + 6 = 12 è equivalente, dividendo tutti i termini per 2, all’equazione: 6 = __ 4x + __ 12 , cioè __ 2 2 2 2x + 3 = 6

Si possono cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione.

Ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri per −1.

− x2 + 6x − 5 = 10 è equivalente a: x2 − 6x + 5 = − 10

Si può trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi.

Basta moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione.

1 x = 4 m.c.m.(2, 3) = 6 1 x + __ __ 2 3 è equivalente a: 1 x + __ 1 x =6·4 6(__ 2 3 ) ossia a: 3x + 2x = 24

La forma normale e il grado di un’equazione Utilizzando la regola del trasporto è sempre possibile scrivere un’equazione nell’incognita x nella forma P(x) = 0.

Se P(x) è un polinomio ridotto nella variabile x, l’equazione si dice algebrica e scritta in forma normale (o canonica). In tal caso il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’equazione.

ESEMPI

Grado di un’equazione

a. L’equazione 4x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di primo grado.

b. L’ equazione x 2 − x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di secondo

Esercizi p. 306 298

grado. c. L’ equazione (x + 1)2 = x2 + 2 non è in forma normale. Per determinare il grado dell’equazione, dobbiamo prima riscriverla in tale forma: Svolgendo i calcoli x2 + 2x + 1 = x2 + 2 x2 + 2x + 1 − x2 − 2 = 0 Portando tutti i termini al primo membro 2x − 1 = 0 Riducendo i termini simili L’equazione è quindi di primo grado.

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

3

UNITÀ 9

Equazioni numeriche intere di primo grado

Il procedimento risolutivo Per risolvere un’equazione di primo grado (o lineare) nell’incognita x occorre procedere nel modo seguente.

Procedimento risolutivo per le equazioni di primo grado numeriche intere nell’incognita x 1o passo Si eseguono eventuali calcoli e, se l’equazione è a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

2o passo Si trasportano i termini contenenti l’incognita x al primo membro e i termini numerici al secondo e si riducono gli eventuali termini simili.

3o passo L’equazione si presenta ora nella forma ax = b, con a e b numeri reali: • se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a (secondo principio di equivalenza) e si ottiene così la soluzione dell’equazione, che quindi è determinata; se b = 0, l’equazione è indeterminata;

• se a = 0, allora

Qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0

se b ≠ 0, l’equazione è impossibile

Nessun numero, moltiplicato per 0, può dare un risultato diverso da 0

ESEMPI

Risoluzione di equazioni di primo grado

Risolviamo le seguenti equazioni. a. 2x − (3x + 4) = 4x − (x − 6)

1o passo 2x − 3x − 4 = 4x − x + 6 Togliendo le parentesi 2o passo 2x − 3x − 4x + x = + 6 + 4 Portando i termini in x al 1 membro e i − 4x = + 10 o 3 passo a = −4 ≠ 0 ⇒ + 10 − 4x = _____ _____ −4 −4

termini numerici al 2 (1 principio) Riducendo i termini simili

Dividendo entrambi i membri per − 4 (2 principio)

5 + 10 = − ___ x = _____ Semplificando −4 2 Pertanto l’equazione è determinata e il suo insieme delle soluzioni è: 5 S = {− ___ 2} b. 5x − 8 − 2x = 3x − 8 1o passo Nessun calcolo da eseguire e nessun denominatore da eliminare.

2o passo 5x − 2x − 3x = − 8 + 8 ⇒ 0x = 0 3o passo a = 0 e b = 0 L’ equazione è indeterminata.

3x + 1 1 3 2 1o passo Poiché m.c.m.(3, 2) = 6 riscriviamo inizialmente i due membri con denominatore comune 6, quindi li moltiplichiamo entrambi per 6 in modo da ricondurci a una equazione intera.

2(3x + 1) − 4 ⋅ 6 3 + 6x ⋅ 6 ⇒ 6x + 2 − 24 = 3 + 6x 6 ⋅ ______________ = ______ 6 6 o 2 passo 6x − 6x = 3 − 2 + 24 ⇒ 0x = 25 3o passo a = 0 e b ≠ 0 L’ equazione è impossibile.

c. _____ − 4 = __ + x

Esercizi p. 308 299

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

4 Matematica nella storia Lo sviluppo dell’algebra e delle equazioni

Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

Molti problemi hanno come modello algebrico un’equazione. Svolgeremo la risoluzione dei problemi di questo tipo secondo il seguente schema logico.

Schema logico per la risoluzione di un problema, utilizzando come modello un’equazione 1. Comprendere il problema

Si tratta di leggere attentamente il testo del problema e individuare i dati e l’obiettivo.

2. Costruire il modello algebrico

Questa è la fase più delicata. Si articola nelle seguenti tre sottofasi: a. scegliere, fra gli elementi non noti, uno da indicare come incognita (la scelta dell’incognita, in generale, non è unica: uno stesso problema può essere risolto in modi diversi, a seconda dell’incognita fissata, e una scelta opportuna può semplificare i calcoli); b. individuare il dominio dell’incognita (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovrà essere x > 0); c. costruire l’equazione che costituisce il modello del problema (a seconda della scelta dell’incognita, si possono trovare equazioni differenti).

3. Risolvere l’equazione 4. Analizzare la soluzione e rispondere

Si articola nelle seguenti due sottofasi: a. stabilire se la soluzione dell’equazione è accettabile anche come soluzione del problema (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovrà essere x > 0: quindi se, risolvendo l’equazione, si trovasse una soluzione negativa, questa sarebbe da scartare perché non avrebbe senso in relazione al problema); b. concludere, scrivendo la risposta.

PROBLEMA SVOLTO 1

Prezzo di vendita

ARTIGIANATO

Federica ha creato la sua prima borsa e vuole metterla in vendita.

Stima a 64 euro i costi complessivi per il tessuto e per le rifiniture, per il tempo di produzione, ecc... A quanto deve vendere la borsa Federica per realizzare sul prezzo di vendita un profitto del 20%?

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA

Dati • Profitto = 20% del prezzo • Costi di produzione = 64 euro Obiettivo • Il prezzo di vendita della borsa COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Indichiamo con l’incognita x il prezzo di vendita della borsa, comprensivo di costi e profitto.

• Osserviamo che deve essere x > 64 (perché il prezzo deve essere maggiore dei costi sostenuti da Federica).

• Per determinare x, impostiamo un’equazione che tiene conto dei dati.

20 x + 64 ⇒ x = __ 1 x + 64 x = _____ 100 5 prezzo di vendita

profitto

costi

RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

1 x + 64 x = ____ 5 5x = x + 320 320 = 80 4x = 320 ⇒ x = _________ 4

Moltiplicando entrambi i membri per 5

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

• La soluzione trovata è accettabile (infatti è maggiore di 64).

• Federica deve vendere la borsa a 80 euro.

300

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado PROBLEMA SVOLTO 2

UNITÀ 9

SERVIZI COMMERCIALI

Al botteghino

Al termine della proiezione cinematografica, in biglietteria Irene è ormai certa di avere commesso qualche errore (nel dare i resti, probabilmente). Infatti ha incassato 453 euro e venduto 72 biglietti, tra interi e ridotti. Il prezzo del biglietto intero è 7 euro, mentre il prezzo del biglietto ridotto è 5 euro.

Perché Irene è (giustamente) convinta di avere sbagliato, in qualche modo? Che cosa non torna?

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA

Dati • In tutto i biglietti venduti sono 72 • Il prezzo di un biglietto intero è 7 euro, quello di un biglietto ridotto è 5 euro • L’incasso ammonta a 453 euro Obiettivo • Trovare il numero dei biglietti interi e il numero dei biglietti ridotti venduti che diano luogo a un incasso di 453 euro. Comprendere poi perché dati e risultati non sono compatibili.

COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Indichiamo con x il numero dei biglietti interi venduti: resta così determinato, in funzione di x, il numero dei biglietti ridotti venduti, che sarà uguale a 72 − x, dal momento che i biglietti venduti sono in tutto 72.

• Qual è il dominio di x? Il numero x deve essere un numero naturale, minore o uguale a 72. Eventuali soluzioni negative o frazionarie andranno scartate perché incompatibili con il problema proposto.

• Per scrivere l’equazione ci aiutiamo con la seguente tabella.

Numero di biglietti

Tipo di biglietti

Valore (in euro) dei biglietti

x

Interi

7x

72 − x

Ridotti

5(72 − x)

Per ottenere l’incasso complessivo di 453 euro, x dovrà soddisfare l’equazione: 7x + 5(72 − x) = 453 RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

7x + 5(72 − x) = 453 7x + 360 − 5x = 453

Proprietà distributiva

7x − 5x = 453 − 360

Applicando la regola del trasporto

2x = 93

Riducendo i termini simili

93 2x = _ _ 2 2 x = 46,5

Dividendo entrambi i membri per 2 Ricavando l’incognita

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

• La soluzione trovata non è un numero naturale, per cui non è accettabile in relazione al problema proposto.

• Dobbiamo concludere che Irene non può avere realizzato un incasso di 453 euro vendendo 72 biglietti (interi o ridotti). Non disponendo di altre informazioni, possiamo solo presumere che abbia sbagliato nel dare i resti, o nel conteggiare i biglietti, o nel calcolare l’incasso.

Esercizi p. 314 301

Percorso delle idee Equazioni di primo grado Equazione Uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.

Grado di un’equazione algebrica Data un’equazione scritta nella forma normale A(x) = 0, il grado di un’equazione algebrica è il grado del polinomio A(x).

ESEMPIO 5x2 − 3 = 0 è un’equazione di secondo grado.

Equazioni equivalenti Equazioni con lo stesso dominio che hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Primo principio di equivalenza

Secondo principio di equivalenza

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una espressione algebrica sempre definita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione sempre definita e non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Applicazioni del primo principio

Applicazioni del secondo principio

ESEMPI • 5x = x + 2

ESEMPI • 6x = 3 + 9x

è equivalente a 5x − x = + 2

• x2 − 2x = − 2x + 2 è equivalente a 2

x =2

Puoi spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro pur di cambiargli il segno (regola del trasporto) Se un termine (− 2x) compare come addendo sia in un membro di un’equazione sia nell’altro, puoi eliderlo

è equivalente a 2x = 1 + 3x

• − x2 + 3x − 4 = 10 è equivalente a

Puoi cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione

x2 − 3x + 4 = − 10 1 1 • __ x + __x = 4 2 3 è equivalente a 1 1 6 ⋅ (__x + __x) = 6 ⋅ 4 2 3 ossia a 3x + 2x = 24

302

Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo (3), puoi dividere i due membri per quel fattore

Puoi trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in un’equazione equivalente a coefficienti interi, moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori

Equazioni di primo grado

UNITÀ 9

Classificazione delle equazioni algebriche Le equazioni algebriche possono essere classificate in base al numero delle loro soluzioni. Un’equazione algebrica è detta: • determinata, se l’insieme delle sue soluzioni è finito.

ESEMPIO 3x = 6, S = {2} • indeterminata, se l’insieme delle sue soluzioni è infinito.

ESEMPIO 2(x + 5) = 2x + 10, S = R • impossibile, se l’insieme delle sue soluzioni è vuoto.

ESEMPIO x2 = −3, S = ∅

Equazioni di primo grado numeriche intere Indicando l’incognita con x, sono le equazioni riconducibili alla forma ax = b.

Risoluzione dell’equazione ax = b a≠0

b S = {___} a

Equazione determinata

S=R

Equazione indeterminata (identità)

S=∅

Equazione impossibile

ax = b b=0 a=0 b≠0

Procedimento risolutivo Metodo generale per risolvere equazioni di primo grado numeriche intere.

ESEMPIO

x+1 1 Risolviamo l’equazione ___ x + _____ = 4 − x.

3 2 2x + 3(x + 1) Svolgi le eventuali operazioni. __ = 4 − x Se l’equazione è a coefficienti frazionari, moltiplica entrambi 6 2x + 3(x + 1) 6 ⋅ ___________ = 6 ⋅ (4 − x) 6

i membri per il m.c.m. dei denominatori, in modo da ricondurti a un’equazione a coefficienti interi

2x + 3x + 3 = 24 − 6x 2x + 3x + 6x = 24 − 3 11x = 21 21 x = ____ 11

Trasporta tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo, riducendo gli eventuali termini simili Risolvi l’equazione del tipo ax = b a cui sei giunto

303

UNITÀ

9

Esercizi

1. Introduzione alle equazioni

Teoria p. 295

Esercizi introduttivi Classifica le seguenti equazioni nella sola incognita x. Stabilisci, cioè, se sono numeriche (intere o frazionarie) o letterali (intere o frazionarie).

5 x − __ 3 =a 4 1 __ 4 (x − m)(x + m) = __ x+m a 2 8 − __ 5 =3 5 x − __ 3 x=1 2 __ 5 __ x x−1 a 2 x 1 1 1 __ __ __ __ 3 + =1 6 x + b = bx a x 3 3 Test Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?

1 1 1 B x 2 + ___ = 1 C x 2 + ___ = 1 A x 2 + ___ = 1 2 a x 8 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale? x k 1 1 = −1 1 1 C ___ + x = ___ A ___ + ___ = 1 B ___ + ___ k x x x2 a 2 9 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x non è né letterale, né frazionaria?

1 2 B (x + 1) 2 = x + ___ A x = (k + x) 2 C 3x + a = 2x ( 2) 7

1 2

x x−a

1 3

D ___ + ___ x = _____

1 2

1 3

D ___ x − ___ = x

x−1 x+1

D _____ = 2

Indica con x un numero naturale e scrivi, in ciascun caso, l’equazione che traduce le seguenti frasi.

10

Aggiungendo al doppio di un numero il suo precedente si ottiene 35.

11

La differenza fra il triplo di un numero e il suo successivo è 11.

12

Moltiplicando un numero per 4 si ottiene il quadrato della sua metà.

13

Dividendo un numero per 6 si ottiene la quarta parte del precedente del numero stesso.

14

Aggiungendo al triplo di un numero il quadrato del successivo del numero stesso si ottiene il quadruplo del numero.

Le soluzioni di un’equazione 15

ESERCIZIO GUIDATO

Stabilisci se 1 è una soluzione dell’equazione: x 2 + 2x − 3 = 4x − 4 Sostituisci 1 al posto di x nei due membri dell’equazione.

Al primo membro ottieni: 12 + 2 ⋅ 1 − 3 =

18 19

21

16 Associazione. Associa con una freccia a ogni equazione posta nella prima colonna la sua soluzione posta nella seconda. a. 3x − 12 = 3 A. x = 1 3 1 __ __ b. x + x = x + 1 B. x = −3 2 2 2 2 c. x + x + 1 = (1 + x) C. x = 5

D. x = 0

2x − 20 = 100 2 x − ___ 1 =1 ___ 3 3 2x 2 − x + 1 = 0 1 x 2 + 3x = −5 ___ 2 2x 2 + 8x = 0 3

2

x = 60

[Sì]

x=2

[Sì]

x=1

[No]

x = −4

[No]

x = −4

[Sì]

x +x =4 x = −2 [No] 2 1 1 4 23 x − ___ = (x − ___) x = ___ [Sì] 3 3 3 7 x=2 24 x 2 + ___ x = 2 −2 [No] 2 25 Completa le seguenti equazioni con il numero opportuno in modo che il valore di x indicato a fianco sia una sua soluzione. a. 2x + 1 = x=1 3 2 b. x − x = x = −1 c. 2x + 1 − = x − 2 x=2 d. 3x − 1 + = x − 1 x = −2 22

I due membri risultano uguali, perciò possiamo concludere che 1 è una dell’equazione.

304

17

20

Al secondo membro ottieni: =

d. (x + 1) 3 = −8

Per ogni equazione stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione.

UNITÀ 9

1. Introduzione alle equazioni

Le equazioni determinate, impossibili, indeterminate e le identità 26

Test. Se un’equazione nell’incognita x ha infinite soluzioni allora: C è certamente un’identità, soddisfatta per ogni x ∈ R B è indeterminata D nessuna delle precedenti risposte è corretta A è impossibile

27

ESERCIZIO SVOLTO

Stabiliamo se l’equazione (x + 2)(x − 2) + (x + 2) 2 = 2x(x + 2) è un’identità.

Semplifichiamo le due espressioni al primo e al secondo membro.

2o membro: 1o membro: (x + 2) (x − 2) + (x + 2) 2 = x 2 − 4 + x 2 + 4x + 4 = 2x 2 + 4x

2x(x + 2) = 2x 2 + 4x

Dal momento che i due membri sono uguali, l’equazione è un’identità.

Stabilisci se le seguenti equazioni sono identità.

28

6−x=2

[No]

34

(x + 1) 2 + (x − 1) 2 = 2(x 2 + 1)

[Sì]

29

(x + 1)(x − 1) = 8

[No]

35

(x + 1) 2 + (x + 1) (x − 1) = 2x(x + 2)

[No]

2

2

30

(x − 2)(x + 2) − x = − 4

[Sì]

36

x(x + 3) + (x − 1) = 2x + 2x

[No]

31

3(x − 1) = 3x + 3

[No]

37

(x + 1)(2 − x) + (x − 2) 2 = 6 − 3x

[Sì]

[Sì]

38

(2x − 1) 2 − (2x + 1) 2 = − 8x

2

2

(x + 1) − (x − 1) = 4x

32

2

33

(x + 1) − x(x + 1) = x(x + 1) − 1 − x

40

Completa la seguente tabella.

2

[No]

39

2

[Sì]

x(x + 1) + (x − 2) (x + 3) = 2(x − 3)

2

Equazione

Dominio

Classificazione

x+2=0

N

Determinata

Indeterminata

Impossibile

x = −2

Q

Determinata

Indeterminata

Impossibile

x+2=0

Z

Determinata

Indeterminata

Impossibile

N

Determinata

Indeterminata

Impossibile

R

Determinata

Indeterminata

Impossibile

2

4x − 8 = 0 2

(2x) = 4x

2

[No]

Inventa tu.

41

Scrivi un’equazione determinata in N.

42 Scrivi un’equazione determinata in Q ma impossibile in Z. 43

Scrivi un’equazione impossibile in N ma non in Z.

44

Scrivi un’equazione indeterminata in R.

45

Scrivi un’equazione impossibile in Z, ma non

Completa le seguenti equazioni in modo che risultino identità. a. (x + 1) 3 − (x − 1) 3 = 2( ) b. (x − 1) (x − 3) − (x − 1) 2 = 2( ) 48

46

Scrivi un’identità in R.

Completa l’equazione x 2 + 2x = 3x + in modo che: a. risulti frazionaria; b. risulti letterale intera, dove x è l’incognita e a è il parametro; c. abbia come soluzione x = −1; d. abbia come soluzione x = 2;

47

Scrivi un’equazione impossibile in Q, ma non in R.

e. sia un’identità.

in Q.

49

Vero o falso? a. l’equazione x 2 + 5 = 0 è impossibile in R b. se l’insieme delle soluzioni di un’equazione è R, l’equazione è un’identità c. l’equazione (x + 1) 2 − (x − 1) 2 = 4x è un’identità d. se un’equazione è impossibile in N, allora è impossibile anche in Z e. se un’equazione è impossibile in Z, allora è impossibile anche in N f. se un’equazione ha infinite soluzioni, allora è un’identità g. se un’equazione è un’identità, allora ha infinite soluzioni

50

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[5 affermazioni vere e 2 false] 305

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

2. Principi di equivalenza per le equazioni

Teoria p. 297

Esercizi introduttivi Vero o falso?

V F a. se due equazioni hanno una soluzione in comune, allora sono equivalenti V F b. se due equazioni sono impossibili, allora sono equivalenti V F c. se due equazioni sono indeterminate, allora sono equivalenti V F d. se due equazioni nell’incognita x sono identità valide per ogni x ∈ R, allora sono equivalenti V F e. l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione A(x) + 2 = B(x) + 2 A(x) B(x) V F f. le due equazioni A(x) = B(x) e _____ = _____ sono equivalenti in base al primo principio di equivalenza 2 2 [3 affermazioni vere e 3 false]

51

52

Argomentare I seguenti due enunciati dei principi di equivalenza non sono corretti. Spiega perché.

a. Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si ottiene un’equazione equivalente. b. Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equivalente.

53 Caccia all’errore. Esamina ciascuno dei seguenti passaggi e stabilisci se è corretto: in caso affermativo, specifica quale principio di equivalenza lo giustifica; in caso contrario, correggilo. x − 2 = 1 ⇒ 3x − 2x − 4 = 6 x − ____ a. 3x − 4x − 1 = 5x − 2 ⇒ −3x + 4x + 1 = − 5x − 2 e. __ 3 2 b. 7x + 4 = 6x − 2 ⇒ 7x − 6x = − 4 − 2 f. − 11x = − 1 + 5 ⇒ 11x = − 4 3 x = 4 ⇒ 3x = 8 c. − __ g. − 3(x + 1) = 9x − 12 ⇒ x + 1 = − 3x + 4 2 d. − 5x = 0 ⇒ x = +5 h. 2x − (4 − x) = 2 ⇒ 2x − 4 − 4x = 2 54

Completa le seguenti proposizioni (il primo caso è svolto come esempio).

a. x 2 + 1 = 2x è equivalente a x 2 − 2x + 1 = 0 in base al 1° principio; infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima sottraendo ai due membri 2x: x 2 + 1 = 2x

equivale a

x 2 + 1 − 2x = 2x − 2x

ossia a

x 2 − 2x + 1 = 0

b. − x 2 + x = 1 è equivalente a x 2 − x = − 1 in base al prima x = __ 1 + __ 1 è equivalente a 3 + 2x = 1 in base al c. __ 2 3 6 prima

: infatti la seconda equazione è ottenuta dalla : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla

d. 15x + 9x 2 = 1 + 15x + x 3 è equivalente a 9x 2 = 1 + x 3 in base al nuta dalla prima e. 15x + 100 = 20x 2 + 5x 3 è equivalente a 3x + 20 = 4x 2 + x 3 in base al ottenuta dalla prima

: infatti la seconda equazione è otte: infatti la seconda equazione è

Applicazioni dei principi di equivalenza 55

ESERCIZIO SVOLTO

5 x che abbia tutti i coefficienti interi.

1 x + 3 = __ 1 + __ Scriviamo un’equazione equivalente a __ 4 6 12 Moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione (2o principio): m.c.m.(4, 6, 12) = 12 Otteniamo l’equazione: 5 1 x + 3 = 12 __ 1 __ 12(__ ( 6 + 12 x) ) 4 Svolgendo i calcoli otteniamo l’equazione equivalente: 3x + 36 = 2 + 5x 306

2. Principi di equivalenza per le equazioni

UNITÀ 9

Scrivi un’equazione equivalente a quella data, che soddisfi la condizione indicata a fianco. x−2 1 x + ___ 1 x = _____ ___ 12 2 3 57 3x − 2 = 5x + 1

abbia tutti i coefficienti interi

56

abbia tutti i termini dipendenti da x al 1o membro e quelli numerici al 2o membro

x + 2 = _____ x+3 x + 1 + _____ _____ 2 3 4 2 59 9x − 1 = − x + x

abbia tutti i coefficienti interi

58

60

abbia tutti i termini al 1o membro

3x 2 + 3x + 1 = x 2 − 1

non abbia termini di secondo grado al 2o membro

1−x x − 1 − ____ 1 x = _____ _____ 25 10 20 3 2 3 62 x + x + x = x + x 2 − 3x + 1

abbia tutti i coefficienti interi

61

63

non abbia termini di secondo o terzo grado

3x − 1 = ___ x + 3 − ______ 1 _____ 4 28 2

abbia tutti i coefficienti interi

Completa le seguenti proposizioni.

64

3x + 1 = 0

è equivalente a 3x =

66

x 2 + 3x = 2x + 1 è equivalente a x 2 +

65

8 x = 11 __ 3

è equivalente a 8x =

67

12x − 10 = 0

è equivalente a

=0

−5=0

La forma normale e il grado di un’equazione 68

ESERCIZIO SVOLTO

Scriviamo in forma normale l’equazione (x + 1) 3 = x 3 + x 2 e individuiamone il grado.

L’equazione data equivale a: x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + x2 ⇔ sviluppando il cubo

3x2 + 3x + 1 = x2 ⇔

elidendo i termini uguali

2x2 + 3x + 1 = 0 forma normale

L’ultima equazione scritta è la forma normale dell’equazione; dal momento che al primo membro c’è un polinomio di secondo grado, il grado dell’equazione è 2.

Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e individuane il grado.

69

3x − 2 = x

[Grado = 1]

77

(2 − x) (2 + x) = 3 − (x − 1) 2

[Grado = 1]

70

x2 − 3x = x + 1

[Grado = 2]

78

(x2 + x) 2 − (x 2 + 1) 2 = 0

[Grado = 3]

71

(x − 1) 2 = x 2 + 2

[Grado = 1]

79

1 1 ___ ___ (x − 2 ) − (x + 2 ) = 1

[Grado = 2]

72

x 3 + x 2 = (x + 1) 2

[Grado = 3]

80

(x 2 − 2x − 1) 2 = x 4 + (2x + 1) 2

[Grado = 3]

73

x 2 + (x + 1) 2 = 3x 2 − (x + 1) (x − 1)

[Grado = 1]

81

(x 2 + 1) 3 = (x 3 + 1) 2

[Grado = 4]

74

(x 2 − 2) 2 = 4

[Grado = 4]

82

x 2(x 2 − 1) (x 2 + 4) = (x 2 + 1) 3

[Grado = 2]

75

(x + 1) 2 − (x − 1) 2 = 3

[Grado = 1]

83

(x − 4) (x − 1) 2 = (x − 2) 3

[Grado = 1]

76

(2x 2 − 1) (2x 2 − 1) = (x 4 + 2) 2

[Grado = 8]

84

(x − 2)(x + 3)2 = (x − 3)(x + 2)2

[Grado = 2]

3

3

Completa l’equazione (x + 1) 2 = primo grado.

+ 3x + 5 con il minimo numero possibile di termini in modo che risulti di

Completa l’equazione (3x − 3) 3 = sulti di secondo grado.

+ (2x − 1) 2 con il minimo numero possibile di termini in modo che ri-

85 86

307

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

Teoria p. 299

Esercizi introduttivi Vero o falso?

V F a. l’equazione 3x = 0 è impossibile V F b. l’equazione 3x = 1 ha come soluzione il reciproco di 3 V F c. l’equazione x − 5 = 0 ha come soluzione l’opposto di 5 3 x = 0 ha come soluzione x = ___ 4 V F d. l’equazione ___ 4 3 5 ha come soluzione x = ___ 3 x = ___ 1 V F e. l’equazione ___ 4 4 2 V F f. l’equazione 7x = 5 è impossibile in N ma non in Q V F g. l’equazione x = −x è impossibile, perché un numero non può essere uguale al suo opposto V F h. l’equazione x + 6 = x + 7 è impossibile V F i. l’equazione (x − 1) 2 = (1 − x) 2 è indeterminata [4 affermazioni vere e 5 false]

87

Associazione. Associa a ogni equazione sulla prima riga la sua soluzione sulla seconda.

A. 2x − 6 = 0 B. 2x + 6 = 0 C. 3x − 6 = 0 D. 3x + 6 = 0 a. x = 2 b. x = − 2 c. x = 3 d. x = − 3

88

Determina le soluzioni delle seguenti equazioni, senza fare calcoli scritti. x =3 b. 2x = 50 c. x − 6 = 10 d. __ e. x + 5 = 18 2 90 Caccia all’errore. Nella risoluzione di ciascuna delle seguenti equazioni è stato commesso un errore. Individualo e correggilo.

89

A mente

a. 3x = 21

a. 2x − 16 = −10 ⇒ 2x = −26 ⇒ x = − 13 3 =4⇒x+3=4⇒x=1 1 x + __ b. __ 2 2

c. 5x = 11 ⇒ x = 11 − 5 = 6 x + __ 3 1 = 5 ⇒ 3x + 2 = 30 ⇒ 3x = 28 ⇒ x = ___ d. __ 28 2 3

Le equazioni a coefficienti interi 91

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le seguenti equazioni: a. 12x + 4 = 0

b. 6 − 30x = 0

12x = ____ −4 ⇒ x = − ___ 1 a. 12x + 4 = 0 ⇒ 12x = − 4 ⇒ _____ 12 12 3

− 6 ⇒ x = __ 1 b. 6 − 30x = 0 ⇒ − 30x = − 6 ⇒ x = __ − 30 5

Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

92 7x + 35 = 0 ⇒ 7x = ⇒ x = ___________ ⇒ x = 7 − 11 ⇒ x = ___________ 1 93 11 − 132x = 0 ⇒ −132x = −11 ⇒ x = ___________ ⇒ x = ___________ ⇒ x = 3 ⋅ 2 12 − = 3 ⋅ 29 Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi.

94

3 ⋅ 2 9 x − 9 ⋅ 2 12 = 0 ⇒ 3 ⋅ 2 9 x =

95

10x − 20 = 0

96

2x + 3 = 0

97

4x − 1 = 0

98

25x + 5 = 0

99

− 8x + 32 = 0

100 − 100x + 1000 = 0 101 − 9x + 6 = 0

308

[2] 3 ___ [− 2 ] 1 ___ [4] 1 ___ [− 5 ] [4] [10] 2 ___ [3]

102 2 − 6x = 0 103 4 + 8x = 0 104 − 5 − 10x = 0 105 36 + 9x = 0 106 2 ⋅ 10 5 x − 6 ⋅ 10 8 = 0 107 9 ⋅ 10 2 x + 3 ⋅ 10 4 = 0 108 6 ⋅ 10−4 x − 9 ⋅ 10−5 = 0

1 __ [3] 1 __ [− 2 ] 1 __ [− 2 ] [−4] [3000] 100 ___ [− 3 ] 3 __ [ 20 ]

UNITÀ 9

3. Equazioni numeriche intere di primo grado 109

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le seguenti equazioni a coefficienti interi: a. (3x − 4) 2 − (3x − 1) (3x + 1) = 2(x + 3) − 5(4x − 3) b. 2x − 3(x + 4) = 5 − x c. − 2x + 5x − 6 = 3(x − 4) + 6 a. (3x − 4) 2 − (3x − 1) (3x + 1) = 2(x + 3) − 5(4x − 3) 9x 2 − 24x + 16 − (9x 2 − 1) = 2x + 6 − 20x + 15 Svolgendo i calcoli 2 2 9x − 24x + 16 − 9x + 1 = 2x + 6 − 20x + 15 Eliminando i termini opposti di secondo grado − 24x − 2x + 20x = 6 + 15 − 16 − 1 Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° − 6x = 4 Riducendo i termini simili 1 2 x − 6 4 2 ____ = ____ ⇒ x = − __ Dividendo entrambi i membri per − 6 e semplificando −61 −63 3 2 .

In conclusione l’equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S = {− __ 3} b. 2x − 3(x + 4) = 5 − x 2x − 3x − 12 = 5 − x Svolgendo i calcoli 2x − 3x + x = 5 + 12 Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° 0 ⋅ x = 17 Riducendo i termini simili Poiché non esiste alcun numero che, moltiplicato per 0, dà come risultato 17, concludiamo che l’equazione è impossibile, ossia il suo insieme soluzione è S = ∅. c. − 2x + 5x − 6 = 3(x − 4) + 6 − 2x + 5x − 6 = 3x − 12 + 6 − 2x + 5x − 3x = −12 + 6 + 6 0⋅x=0

Svolgendo i calcoli Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° Riducendo i termini simili

Poiché ogni numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, concludiamo che l’equazione è indeterminata (in particolare è un’identità) e il suo insieme soluzione è S = R. Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

110 − 2(1 + x) = − 5x ⇒ − 2 −

= − 5x ⇒ − 2x + 5x =

111 (2x − 1) (2x + 1) = (2x − 3) 2 ⇒ 4x 2 −

= 4x 2 −

⇒ 3x =

⇒x=

+9⇒

x=

112 (3x − 1)(3x + 2) = (3x + 4) 2 ⇒ 9x 2 + 6x − 3x − 2 = 9x 2 +

⇒ − 21x =

+

10 = ___________ 5 ⇒ x = ___________

⇒ 6x − 3x −

=

+2⇒

⇒x=

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi.

113 1 − x = 2x − 3 114 2x − 3 = 5x − 2 115 5x − 7x = 8x − 1 116 9 − 2x = 3x − 1

4 __ [3] 1 __ [− 3 ] 1 ___ [ 10 ] [2]

124 x − 5(x + 1) + 4x = 0

[Impossibile]

125 2(x + 1) − 3x = 4

[− 2]

126 x − 3(10 − x) = 2x

[15]

127 5x − 4(x + 2) = 2

[10]

117 − 2(x − 1) = 3(x + 5)

13 __ [− 5 ]

128 3(x − 1) − 2(x + 1) = 0

[5]

118 5x − 1 = − (1 − 2x)

[0]

129 2x − 1 − 3(x − 7) = 0

[20]

119 3x − (x − 13) = 7

[− 3]

130 4(x + 2) = 2(2x + 1)

[Impossibile]

120 5x + 8 = − 2x − 6

[− 2]

131 −2(x − 2) = 3(x + 2)

2 __ [− 5 ]

122 7 − 3x = 2x − 3

1 __ [5] [2]

133 20(5 − x) = 10(x + 1) + 80

123 3(x − 2) = 4x

[− 6]

134 2(x − 1) + 3(2 − x) = x − 4

121 2x − 1 = − 3x

132 2x − [3x − (x − 2)] = −2

[Indeterminata] 1 __ [3] [4] 309

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado 9 __ [− 4 ]

135 3(x + 2) − 2(2 − x) = x − 7

[− 13]

2 __ [5]

136 − 2(x − 1) − (2 − x) = 3(x − 1) − 1

[1]

153 (x + 2) (x + 5) = (x − 4) 2

137 (5 − x) (5 + x) + (x − 2) 2 = 1

[7]

154 − 2(2x − 1) + 3(4x − 4) + 7 = 8x − 1

138 (x − 2) 2 − (x + 1) (x − 3) = 2(3 − x)

[Impossibile]

139 (2x − 1) 2 = 3x 2 + (x + 1) 2

[0]

140 2(x − 1) − 3(3 − x) = 5(x − 1) − 6 141 (4x − 3)(x − 2) = (2x − 3)

[Indeterminata]

2

[3]

142 3(x + 1)(x + 2) = (2x + 1) 2 − (x − 2) 2 143 (1 − 2x)(1 + 2x) = − 4 (x − 1)

[− 9] 5 __ [8] 2 __ [9] 13 ___ [ 5 ] 17 ___ [6 ]

2

144 (3x − 2) 2 = 3(3x − 1) (x − 2) 145 (2x − 1) (3x − 1) = 6(x 2 − 2) 146 (2x − 3) 2 = (2x − 5) (2x + 5) 147 (5x − 1) 2 − (x − 5) (x + 5) − 24x 2 = 2(13 − 5x)

[Indeterminata]

2

148 (5x − 2) + 1 = 5(x − 1) (x + 1) + 20x

1 __ [2] 5 __ [2] [4]

2

149 (3 − x)(3 + x) = 3 − (x − 3) 2 150 (2x − 1) 2 − 11(x − 1) = 4(x − 2) 2 151 − 2(x − 1) + 3(4 − x) = 2(x − 3) − 5(2x + 1)

25 ___ [− 3 ]

[Impossibile]

155 (x − 1) 2 + (x + 1) 2 + (x − 1) (x + 1) = 3x 2 + 1

[Indeterminata]

156 (x + 1) 2 − (x − 2)(3 − x) = 2(x − 1) (x + 1)

[3]

157 (3x + 1) (6x − 1) − (3x + 2) 2 − (3x − 2) 2 = 2x

[9] 1 __ [3] 2 ___ [ 11 ]

158 4(x − 1) + 3(1 − x) = 2 [x − (1 − x)] 159 (2x − 1) 2 − (x + 1) 2 = (3x − 1) (x + 2) 160 (x − 6) 2 − (x − 2)(x + 6) = 16

[2]

161 [(x − 1) 2 − x 2 ] 2 = (2x − 1)(2x + 1) − 10

[3]

162 2(x − 2) (x + 2) = x 2 + (x − 4) 2

[3]

163 3x + (3 − x) 2 = (x − 1) 2 − 2

[10]

164 [(x − 1) 2 − (x − 2) 2] 2 = 4 (1 − x) 2 165 x − 2(x + 1) − 3(2 − x) = 5 [x − (3x + 1)] 166 x 2 + 2(x − 3)(3x + 4) = 7(x − 2)(x + 2) + 4 167 x − { x − 2 [3x − (x − 1)]} = − (x − 3) 168 (7x − 1)(7x + 1) = (7x − 1) 2 169 2(2x − 1)(x + 2) − (2x − 1) 2 = x + 2

5 __ [4] 1 __ [4] [0] 1 __ [5] 1 __ [7] 7 __ [9]

170 x(x − 2)(x + 2) − 2x (x − 1) 2 = x 2 (4 − x) + 6

[− 1]

171 2(x − 1) − x [(2x − 1) − (3x + 1)] = (x − 2) 2

3 __ [4]

172 (x − 4)2 − 2(x + 5)(x − 5) = (x + 2)2 − 2x(x + 7)

[− 31]

173 (x − 1)(x + 2) − x(x + 3) = (x − 2)(x + 2) − (x − 1)2 174 (− x − 1) 2 + (x − 1) 2 = (x + 1) 2 + (− x + 1) 2 175 (3x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(3x − 2) = 12(x − 3)(x + 1) 176 x − 2 − 2(x + 3) = 3 − 2 [3(x − 2) − 2(x − 1)] 177 − 2[2(x − 3) − x ] + 3 [− 2(1 − x) − 4x ] = 8x 178 2 − x[3x − 2(x − 2) ] = 1 − (x + 1)(x − 2) 179 [(x − 1) 2 − (x + 1) 2] 2 = (4x − 3) 2 180 (x − 2) 2 − (x − 2) (1 − x) = 2(x − 3) (x + 3) − 7x 181 (2x + 1) (1 − 2x) = (5x − 2) (x − 1) − (3x − 1) 2 182 (2x + 1) 2 − 3(2x − 1)(2x + 1) = −2(2x + 1)(2x − 3) 183 (2x − 3) 2 − (4x − 1)(x + 2) = (3x − 1)(3x + 1) − 9x 2 184 (5x − 10) 2 − (− x + 10) 2 = − 6(2x − 1)(7 − 2x) − 10

310

152 2 − 3 [x − 2(x + 1)] = x − [2 − (x − 3)]

3 __ [4] [Indeterminata] 3 __ [− 2 ] [19]

3 __ [8] 1 __ [− 5 ] 3 __ [8] [Impossibile] [0] 1 __ [− 2 ] 12 ___ [ 19 ] [2]

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

UNITÀ 9

185 [(x + 1) 2 − (x − 1) 2] 2 = (4x − 1)(4x + 1)

[Impossibile] 19 ___ [ 16 ] 3 __ [2] 22 ___ [− 13 ]

186 (3x − 2) 2 − (3x − 4)(3x + 4) = (2x + 1) 2 − (− 2x) 2 187 (2x − 3)(2x + 3) − (2x − 3) 2 = (3 − 2x)(2x + 3) + (2x − 3) 2 188 (− x − 5)(−x + 5) + (−2x + 1) 2 = (5x − 1)(x + 2) 189 x (x − 3) 2 − (x − 3) 3 = 3 (x − 3) 2

[Indeterminata]

190 8x 3 − 1 = (2x − 1) 3 + 6x(2x − 1)

[Indeterminata] 23 ___ [ 21 ] 5 __ [3] 8 __ [− 9 ] 1 __ [6] 3 __ [− 2 ]

191 5 ⋅ 10 3 (x − 1) − 6 ⋅ 10 4 (x − 2) = 5 ⋅ 10 4 x 192 5 ⋅ 10 2 (1 − x) − 2 ⋅ 10 3 (x − 2) = 10 3 (2 − x) 193 (x + 2) 3 − (x + 1) 3 = (2x − 1)(2x + 1) − x 2 194 (3x − 2) 3 − (3x − 2)(9x 2 + 6x + 4) = 6(1 + 3x)(1 − 3x) 195 (2x + 1) (2x − 1) (2x + 3) − (2x + 1)3 = 4(2x + 3) − 2(2x − 1) 196 (x2 − 4x + 1)2 − (x2 + 7)2 = (4x − 1)2 − (2x + 1)3

[8]

197 [(3 10 : 3 8)x − (2 12 : 2 10)x − 2] 2 = [(5 6) 2 : (5 2) 5]x 2

1 ___ [5]

198 {[(2 5) 3 : 4 7]x − 1} 2 = (2x + 2 0) 2 + (2 7) 5 : 4 15

[−4]

Risolvi le seguenti equazioni in cui l’incognita è indicata con lettere diverse da x.

8 __ 199 a + 2(3a − 1) − 3(2 − a) = a 203 (3a + 4)(3a − 4) = (3a + 2) 2 [9] 200 3m − (m + 2) − 4(m + 1) = 2 − m [−8] 204 2(b + 5)(2b − 3) = (2b − 3) 2 201 (b + 2)(b − 2) = (b + 3)(b − 3)

[Impossibile]

202 (z − 2)(6z + 1) − (2z + 1)(3z − 2) = z

[0]

205 (4t − 1)(t + 4) − (2t + 3) 2 = 3t

5 __ [− 3 ] 3 __ [2] [Impossibile]

206 (z − 1) (z + 1) + (z − 1) 2 = (2z − 1) (z + 3)

3 __ [7]

207 (a + 3) (a − 2) + (a − 2) (a + 2) = (a − 1) 2 + (a + 2) 2

[−15]

208 (5 − 2k) 2 − (2k − 3) (2k + 3) = − 6(4 − k) + 2(k + 1)

[2]

209 (2y − 3) (3y + 1) − 6y(1 + y) = − 2[20 − (2 − y)]

[3]

210 (2m − 3) 2 − (m + 2) (m − 3) = (3m − 2) (m − 3)

[Impossibile]

3 __ [2]

211 (2a − 3) 2 + (2a − 3) (3a − 2) − (3a − 2) 2 = − (4 − a) (a + 1) 212 (3t − 1)3 + (3t + 1) (6t − 7) = (3t + 1) (3x − 1)2

[− 3]

Traduci in un’equazione e risolvila.

214 Il quadrato del successivo del numero intero x supera di 5 il quadrato di x.

1 _ [x = 4 ] [x = 2]

215 La differenza tra il quadrato di x e 7 è uguale al quadrato della differenza tra x e 7.

[x = 4]

213 Sommando 3 al doppio di x si ottiene il doppio della somma tra 1 e il triplo di x.

2 216 Il cubo della somma tra x e 1 è uguale al cubo di x sommato al triplo del quadrato della differenza tra x e 1. [x = _ ] 9

Risolvi le seguenti proporzioni, impostando un’opportuna equazione basata sulla proprietà fondamentale delle proporzioni.

217 8 : 6 = (x + 2) : (x + 1)

[2]

219 3 : (6 − 2x) = 6 : (x + 7)

[1]

218 (8x − 12) : (10 + 2x) = 6 : 2

[21]

220 7 : 8 = (x + 1) : (x + 2)

[6] 311

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

Le equazioni a coefficienti frazionari 221

ESERCIZIO SVOLTO

x + 3 = _____ x+2 . x − 1 − _____ Risolviamo l’equazione _____ 2 4 3 x + 3 = _____ x+2 x − 1 − _____ _____ 2 4 3 4(x + 2) 6(x − 1) − 3(x + 3) ____ = ____ 12 12 6(x − 1) − 3(x + 3) = 4(x + 2)

Il m.c.m. fra i denominatori è 12 Riscrivendo i due membri con denominatore comune 12 Moltiplicando i due membri per 12

6x − 6 − 3x − 9 = 4x + 8

Per la proprietà distributiva

6x − 3x − 4x = 8 + 6 + 9

Portando tutti i termini in x al 1 membro e quelli numerici al 2

− x = 23 ⇒ x = − 23

Riducendo i termini simili e dividendo entrambi i membri per − 1

Pertanto l’insieme soluzione dell’equazione è S = {− 23}.

Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

2(x − 4) __ 3( ) x + 1 ⇒ __ x − 4 = ____ 222 ____ = ⇒ 2(x − 4) = 3( 3 2 6 6 m.c.m.(3, 2) = 6

riducendo al minimo comune denominatore

4

12

2

m.c.m.(3, 4, 2) = 12

= 3x +

⇒ −x = 3 +

⇒x=

=

⇒ 4x + 3x −

x =3⇒x=

moltiplicando i due membri per 6

4x + (x − 1) __ x − 1 = __ 1 x ⇒ __ 1 x + ____ = x ⇒ 4x + 223 __ 3

) ⇒ 2x −

12

riducendo al minimo comune denominatore

(x − 1) =

x ⇒ 4x + 3x −

moltiplicando i due membri per 12

x ⇒ − 6x + − 6x + 1 x − __ 1 = __ 1 x 2 + __ 1 x⇒_ 1 x 2 − ______ 1 x + ______ 1 =_ 1 x 2 + __ 1 x ⇒ __ = __ 224 (__ 18 18 2 3) 4 2 4 4 2 2

⇒ −6x − 9x =

⇒−

x=

=

x⇒

riducendo al minimo moltiplicando comune denominatore i due membri per 18

⇒x=

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti frazionari.

3 x + __ 5 =0 225 − __

4 2 6 2 ___ __ x− =0 226 25 5 9 3 __ __ 227 x+ =0 4 2 3 1 __ 228 x + 1 = x − __ 2 4 x x + 2 ____ __ = 229 4 3 1x 1 1 __ ___ = __ 230 x− 15 5 3 x−1 1 x = ____ 231 __ 5 3 1 = ___ 1 232 0,25 x − __ 8 10 1 x − __ 1 = 0,¯3 x − __ 1 233 __ 2 3 2 2 2 − (2x − 1) 4 x x 234 ___________ = __ 3 2 1 = __ 1 x − __ 1 x − ___ 1 235 ___ 10 15 5 3 3 = ____ x−1 1 x − 2 x − __ 236 __ ( 2 2 4) 312

10 ___ [ 3 ] [15] [− 6] 5 __ [− 2 ] [6] 1 __ [2] 3 __ [− 2 ] 9 ___ [ 10 ] [− 1] 2 __ [5] 8 __ [3] [1]

3 (1 − 2x) = x − __ 1 − __ 2 237 x − __

2 4 1 (3x + 2) = 0 __ 238 x − 3 + __ 4 6 1 = __ 1 (x + 3) 239 3(x + __ 6) 6 240

3

7 ___ [ 18 ] 5 __ [ 18 ] [0]

Ragiona sul video

5 5 __ 2 x − __ 1 = __ 1 x + __ __ [2] 2(5 2) 6( 2) 3 − x = __ x − _____ x − 5 − ____ 2x − 8 [5] 241 ____ 2 4 4 5 x − 2 − 1 = − __ x−1 1 x + ____ 1 x − ____ 1 __ 242 __ [2] 3 6 2 3 x + 2 = __ x − 2 − ____ 3 1 x − __ 243 ____ [0] 4 2 4 2 17 1 (2x − 1) 2 = 2(x − 2) (x + 2) __ 244 __ [ 4 ] 2 x = x 2 + (2 − x) (2 + x) x − 2 − __ 245 ____ [− 42] 10 5 3 [Indeterminata] 1 (x − 2) − __ 1 (x + 2) = − __ 1 x − __ 246 __ 4 2 4 2 x 5 3 7 4 1 2 __ __ __ ___ ___ __ __ = − 247 x− + x+ [3 ] 10 15 3 6 2 5

UNITÀ 9

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

5 − __ 3 − __ 7 1 x + __ 1 x = __ 1 x − __ 248 ___ 12

8

4

2

6

8

[Indeterminata]

1 (x − 1) − __ 1 (3x − 6) = __ 1 (2x − 8) 249 __

7 __ [2]

3x − 2 = __ x − 1 − _____ 2x − 1 1 (x − 4) − _____ 250 ____ 2 6 4 3

11 ___ [− 2 ]

2

3

4

1 − x − ____ 2−x x − ____ x + 1 = ____ 251 __ 6

2

12

[− 5]

3

5x − 3 = ______ 2x + 3 + ______ 3x − 5 6x − 7 − ______ 252 ______ 3

18

9

2

[Indeterminata]

3(x − 3) x = _______ 2x − 3 + 6 + __ −2 261 _____ 4

[− 38]

4

2

1 x − 1 − __ 1 1 __ 262 (__ ) ( 2 x − 1)( 2 x + 3) = − 2x 2 2

[Impossibile]

263 x (___ − ___) + ___ x (___ − ___) = (___ − 1) 3 2 3 3 2 6

1

1 −1

1

1

1 −1

5

3 ___ [4 ]

−1

2x + 11 1 1 1 1 1 1 1 264 ___ x (___ − ___) + ___ x (___ − ___) = _______ [− ___ ] 6 2 3 2 3 4 3 4 −1

−1

13 ___ [− 12 ]

− 2x + 1 − 1 2 x + 2x = _______ 1 4 − 1 − __ 265 __ ) [ ( ] 2

3

3

6

4 __ [− 9 ]

1 (3x − 5) 2 − (3x + 5) 2 = 2(1 − 2x) [Impossibile] 266 ___ [ ]

6x − 2 − _____ 1+x 2x − 3 = ______ 254 ______

[Impossibile]

3 (x − 1) (x + 2) − __ 3 1 (x + 1) 2 − (x − 2) (x + 2) = x 2 − __ 267 __ [ ]

6x + 11 = ______ 5x − 1 4x + 3 − _______ 253 ______ 21

14

10

15

5

5x − 1 = __ x −1 8x − 7 − ______ 255 ______

[− 1]

1 − x x − __ 2 = __ 1 256 (x − __ ( 3) 3) 9

[Indeterminata]

12

48

8

2

15

2

2

2

2

5

2

3 __ [2]

2

(2x − 3) (x + 1) (3x − 2) (x + 1) 268 ________ − _________ = ________ − _________ 4

6

3

(x − 1) 2 4

(x + 1) 2 3

(1 + x) (1 − x) 12

12

x − 2 − __ 1 269 ______ − ______ = __________ − ____ [ ] 6

2

[4]

3 x __ 7 x − 1 − __ 1 1 __ 257 __ ) 2 x (x + 7 ) = 1 7 (6

[− 2]

x−2 x−1 1 x − 1,5 __ 1 ____ ____ 270 (__ )( 2 x + 1,5) + 4 = ( 2 ) 2

3 (x + 2) − __ 1 x − __ 2 = __ 1x 258 __ ( )

[− 5]

x − 1 = __ 1 x − __ 1 + ____ 1 1 __ 1 1 __ __ 271 (__ ( 2 x − 3 )( 2 x + 3 ) 12 2 3)

5 __ [9]

3 x + __ 1 x − 2 2x + __ 1 = __ 1 __ 2 x−3 259 (__ )( ) 2 2) (2 3 )( 3

[0]

1 − x + __ 2 = (3x + 1)(1 − x) 272 (x − __ 3) ( 3)

4 __ [− 9 ]

[− 3]

17 1 = (x − 2)(x + 2) + x2(x + 2) 2 − __ 273 (x2 + 2x + __ [ 8 ] 2)

2

3

2

3

(2x − 1) (2x + 1) − (1 − 2x) 2 5

x = − ____ 2−x 260 ___________________ − ___ 10

2

2

2

3

2

2

Check

3 (x + 2) − __ 1 (x − 1) = __ 1 x.

274 Risolvi l’equazione __

2 2 3 Verifica poi che il risultato ottenuto sia corretto, sosti tuendo nell’equazione il valore trovato come soluzione e 21 verificando che si ottiene un’uguaglianza vera. ____ [− 4 ]

275 Risolvi l’equazione 0,2(x − 0,5) = − 0,5(x + 0,¯ 2).

 Verifica poi che il risultato ottenuto sia corretto, sosti-

tuendo nell’equazione il valore trovato come soluzione e 1 verificando che si ottiene un’uguaglianza vera. ____ [− 63 ]

Risolvi le seguenti equazioni in cui l’incognita è indicata con lettere diverse da x. b =b−2 b + 1 − __ 276 __

2 3 2y − 1 y − 3 277 _________ − ______________ = y 2 6 2t − 3 = ____ t−3 3t − 2 − _____ 278 _____ 10

15

6

4

(3b − 1) 2 14

[− 5]

8 __ [− 5 ]

t − 3 = ____ t − 1 − ____ 2−t t + 4 − ____ 281 ____

[12]

7 __ [5]

8

(2b + 1)(2b − 1) 21

w w+1 1−w 2−w 280 ___ − _____ = _____ − _____

[Impossibile]

a + __ a − ____ a−1 =1 279 __ 2

[3]

(b + 1) 2 6

2

6

12

3

3 4 6 8 p−1 5−p p 282 ____ − ____ = __ 2 10 5 2 (a + 3) (a − 1) (2a + 1) a+2 283 _______ − __________ = 2 − ____ 20 5 2

b (2b − 1) 3

5 __ [2] 7 __ [6] 1 __ [− 3 ]

284 _________ + ______________ = ________ + _________

Risolvi le seguenti proporzioni, impostando, in ciascun caso, un’opportuna equazione.

3 = x − __ 5 : __ 1 : __ 1 285 (x − __ 2) 2 ( 2) 2

3 x + __ 5 1 : 2 = (x − 1) : __ 286 (− __ 5 5) 2

7 __ [x = 2 ]

5 __ [x = 7 ]

5 − 3x = 4 : 1 x − 12 : ______ 287 ______ 3

2

2 : 2 = __ 1 1 __ 288 __ ( x − 3) : ( x + 1) 3

2

4

42 ___ [x = 19 ] [x = 8]

313

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

Teoria p. 300

Esercizi introduttivi Test. Individua l’equazione che corrisponde al modello algebrico del problema proposto.

289 Il triplo di un numero è uguale a 4.

A 3x = 4 B x3 = 4

x C __ = 4 3 D 4x = 3

290 La metà di un numero è uguale al doppio del numero stesso. x x A __ = x 2 C __ = x + 2 2 2 x B __ = 2x D x − 2 = 2x 2 291 La somma tra un numero e 1 è uguale al triplo del numero stesso. x C x + 1 = x3 A x + 1 = __ 3 D x + 1 = 3x B 3(x + 1) = x 292 La somma tra due numeri che differiscono di 2 è uguale a 5.

A x+x+2=5

C x + 2x = 5

B x+2=5

D x + 2x + 2 = 5

293 Il 10% di un numero è uguale a 10.

1 100

A ____ x = 10

10 100

C x + ____ = 10

10 1 D x + 10 = ____ 10 100 294 La somma tra due numeri, uno doppio dell’altro, è uguale a 1.

B ___ x = 10

295 La somma tra il doppio di un numero e 4 dà come risultato il triplo del numero stesso.

A 2(x + 4) = 3x C 2x = 3x + 4 B 2x + 4 = 3x D 2(x + 4) = 3 296 La metà della somma tra un numero naturale e il

suo consecutivo è il doppio del numero stesso.

1 A __ x + (x + 1) = 2(x + 1) 2 1 B __ [x + (x + 1)] = 2x 2 1 C __ x + (x + 1) = 2x 2 297 La metà del successivo di un numero naturale è 1,5.

1 1 1 A __ x + 1 = 1,5 C __ (x + 1) = __ 2 2 5 3 3 1 1 B __ (x + 1) = __ D __ (2x + 1) = __ 2 2 2 2 298 Un numero, sommato al suo 15%, è uguale a 10.

15 3 C x + ___ x = 10 A x + ____ = 10 100 20 15 B x = ____ x + 10 D x + 0,15 = 10x 100 299 La somma tra il doppio di un numero naturale e il suo precedente è uguale al doppio del consecutivo del numero stesso.

A 2x + (x − 1) = 2x + 1

A x + x2 = 1

C x+x+2=1

B 2[x + (x − 1)] = 2(x + 1)

B x + 2x = 1

D x + 1 = 2x

C 2x + (x − 1) = 2(x + 1)

Argomentare

300 Considera il seguente problema: «In un quadrilatero ABCD di perimetro 54 cm, il lato AD è il doppio del lato CD, il lato CD è 3 cm in più di BC e il lato BC è la metà di AB. Si vogliono determinare le lunghezze dei lati del quadrilatero». Ciascuna delle seguenti equazioni risolve correttamente il problema. Individua, per ogni equazione, come è stata scelta l’incognita x giustificando adeguatamente la risposta. x + 3 + ___ x + (6 + x) = 54 a. x + ___ c. 2x + x + (3 + x) + 2(3 + x) = 54 2 ( 2) x + ___ x − 3 + (x − 6) = 54 b. 2(x − 3) + (x − 3) + x + 2x = 54 d. x + ___ ) 2 (2 2 del lato BC ed è inferiore 301 Considera il seguente problema: «In un triangolo di perimetro 25 cm, il lato AB è ___ 3 di 4 cm al lato AC. Determina le lunghezze dei lati del triangolo». Ciascuna delle seguenti equazioni risolve correttamente il problema. Individua, per ogni equazione, come è stata scelta l’incognita x giustificando adeguatamente la risposta.

3 x + x + 4 = 25 3 (x − 4) = 25 a. x + ___ c. x + x − 4 + ___ 2 2 2 x + x + ___ 2 x + 4 = 25 b. ___ d. 2x + 3x + 2x + 4 = 25 3 3

314

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

UNITÀ 9

Problemi numerici 302

ESERCIZIO GUIDATO

Aggiungendo 4 ai tre quarti di un numero si ottiene il numero stesso. Qual è il numero?

• Indica con x il numero incognito.

• Puoi scrivere l’equazione: 3x __ 4 + 4 quattro

più

=

tre quarti del danno come numero incognito risultato

il numero incognito

Risolvi l’equazione e concludi.

303 La somma tra il doppio di un numero e il triplo del

numero stesso è 20. Qual è il numero?

[4] 3 __ 304 La somma di un numero e dei suoi è uguale a 77.

8 Qual è il numero?

[56] 305 Determina un numero sapendo che aggiungendo 3

314 Sommando 10 a un numero si ottiene la metà del

numero stesso. Qual è il numero?

[− 20]

315 Un numero, sommato ai suoi tre quarti, è uguale al suo doppio diminuito di 6. Qual è il numero?

[24]

4 si ottiene 19.

[20] ai suoi __ 5 2 306 E se? Determina il numero che sommato ai suoi __ 3 dà come risultato 5.  Come cambierebbe il risultato, se il problema fosse: 2 dà come risul«Determina il numero che sommato a __ 3 13 ___ tato 5»?

[3; 3 ] 5 si ottie2 di un numero i suoi __ 307 Aggiungendo ai __ 3 6 ne 72. Qual è il numero?

[48] 12 per ottene308 Quale numero bisogna sottrarre da ___ 5 26 2? ___ re come risultato __ [ 15 ] 3

316 Determina il numero la cui quarta parte supera di 4 1 il quadruplo del numero stesso. ___ [− 15 ] 317 Due numeri hanno come somma 50 e uno supera l’altro di 6. Quali sono i due numeri?

[22 e 28]

− 7. Qual è il numero?

321 Due numeri differiscono di 2 e la somma tra la metà del minore e un terzo del maggiore è 4. Quali sono i due numeri?

[4 e 6]

309 Sommando a 13 il doppio di un numero si ottiene

[− 10]

310 Sommando a un numero la sua metà si ottiene come risultato 15. Qual è il numero?

[10] 311 I due terzi di un numero, aggiunti ai quattro quin-

ti del numero stesso danno come risultato 44. Qual è il numero?

[30] 312 Sommando a un numero la sua metà e la sua terza

parte, si ottiene come risultato 33. Qual è il numero? [18] 2 un numero, si ottiene come risul313 Sottraendo da __ 5 2 2 del numero stesso. Qual è il numero? __ tato i __ [7] 5 324

318 Trova due numeri sapendo che la loro somma è 37

e la loro differenza è 9.

[14 e 23]

319 Due numeri, uno doppio dell’altro, sono tali che sottraendo al maggiore 9, si ottiene la metà del numero minore. Determina i due numeri.

[6 e 12]

3 dell’altro e la loro somma 320 Due numeri sono uno __

2 è 45. Determina i due numeri.

[18 e 27]

322 Determina due numeri sapendo che uno supera l’altro di 12 e che, raddoppiando il maggiore e dimezzando il minore, la somma dei due numeri ottenuti è 69. [30 e 18]

1 a un numero e dividendo la somma 323 Sommando __

2 per 2, si ottiene lo stesso risultato che si otterrebbe som1 al numero originario e dividendo quest’ultimando __ 3 5 ma somma per 3. Qual è il numero originario? [− __ 6]

ESERCIZIO GUIDATO

La somma tra un numero naturale e il doppio del numero naturale a esso consecutivo è uguale a 47. Qual è il numero?

• Indica con x il numero incognito cercato, con x ∈ N. • Puoi scrivere l’equazione: x + (x + 1) = il numero incognito

più

il doppio del consecutivo del numero incognito

47

è uguale a

Risolvi l’equazione e concludi.

315

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

325 Trova un numero naturale sapendo che, se al suo successivo si sottrae 14, si ottiene 59.

[72] 326 Trova due numeri naturali consecutivi, sapendo

che la loro somma è 49.

[24 e 25]

327 Se al prodotto di un numero naturale per il suo

successivo si sottrae il prodotto dello stesso numero per il suo precedente, si ottiene 46. Qual è il numero? [23] 328 Sommando a un numero naturale l’opposto della

metà del suo consecutivo e dividendo la somma per 2, si ottiene 17. Qual è il numero originario?

[69] 332

329 Trova due numeri interi consecutivi tali che, sommando al doppio del minore la metà del maggiore, si ottiene come risultato 28.

[11 e 12] 330 Determina due numeri interi consecutivi, sapendo

2 del maggiore, si ottiene la che sommando al minore i __ 3 somma dei due numeri diminuita di 3.

[8 e 9] 11 della 331 La somma di tre numeri interi consecutivi è ___

9 somma dei due interi consecutivi immediatamente seguenti. Qual è il più grande di questi cinque numeri? [14]

ESERCIZIO GUIDATO

Determina due numeri dispari consecutivi la cui somma è 60.

• Un numero dispari può essere rappresentato tramite un’espressione della forma 2n + 1, con n numero naturale. Due numeri dispari consecutivi saranno pertanto esprimibili come 2n + 1 (il minore) e 2n + 3 (il maggiore).

• L’ equazione che formalizza il problema è allora: (2n + 1) + (2n + 3) = • Risolvendola troverai che n = 14; i due numeri cercati sono perciò 2 ⋅ 14 + 1 = 333 Determina due numeri pari consecutivi, sapendo

che la metà della loro somma è uguale a 15.

[14 e 16]

334 Determina tre numeri pari consecutivi la cui somma è 90.

[28, 30 e 32] 335 Determina due numeri dispari consecutivi, sapendo che il minore, sommato a due terzi del maggiore, dà come risultato 23.

[13 e 15]

e 2 ⋅ 14 + 3 =

.

2 nella quale 336 Determina la frazione equivalente a __ 5

6 ___ [ 15 ] 3 , sapendo 337 Determina la frazione equivalente a __ 4 15 ___ che la somma dei suoi termini è 35. [ 20 ] 3 , sapendo 338 Determina la frazione equivalente a __ 8 che, se si raddoppiano i suoi termini, la loro somma è 15 ___ 110. [ 40 ] il denominatore supera di 9 il numeratore.

Problemi dalla realtà 339

ESERCIZIO GUIDATO

Paolo è nato sei anni prima di Maria e tra due anni l’età di Paolo sarà il doppio di quella di Maria. Che età hanno Paolo e Maria?

• Individua i dati e l’obiettivo.

• Indica con x, per esempio, l’età attuale di Maria; allora l’età (attuale) di Paolo è x + 6.

• x dovrà essere un numero naturale.

• Tra due anni, l’età di Maria sarà x + e l’età di Paolo sarà x + 6 + , cioè: x +

Poiché il problema dice che tra due anni l’età di Paolo sarà il doppio di quella di Maria, puoi scrivere l’equazione: x + = 2(x + ) che, risolta, dà x = Puoi quindi concludere che Maria ha anni e Paolo ne ha .

340 Trova le età di Carlo e di suo padre sapendo che

3 di quella di sua sorella Sara e tra 343 L’età di Laura è __

l’età del padre è tripla di quella del figlio e che insieme hanno 72 anni. [Carlo ha 18 anni e suo padre ne ha 54] 341 Lorenzo ha 4 anni più del fratello Luca e insieme

7 hanno 36 anni. Tra quanti anni l’età di Lorenzo sarà __ 6 di quella di Luca?

[8 anni] 342 La mamma ha il doppio dell’età di Elena ed Elena

5 dell’età di Maria. Se la mamma e le due figlie hanha __ 4 no complessivamente 95 anni, qual è l’età di Elena?

[25 anni] 316

4 4 dell’età che avrà Sara. Quanti anni han5 anni sarà i __ 5 no le due sorelle?

[Laura ha 15 anni e Sara ne ha 20]

Paolo è nato 5 anni dopo Maria e fra tre anni l’età di Maria sarà il doppio di quella di Paolo. Che età hanno Paolo e Maria?

[Paolo ha 2 anni e Maria ne ha 7] 344

Ragiona sul video

345 Paolo ha 21 anni e Maria ne ha 15. Stabilisci se c’è stato o ci sarà un anno in cui l’età di Paolo è il doppio dell’età di Maria.

[9 anni fa]

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado 346 Anna e Beatrice compiono gli anni lo stesso giorno, ma Beatrice è nata tre anni prima di Anna. La somma delle età di Anna e Beatrice è 15. Quali sono le età di Anna e Beatrice? [Anna ha 6 anni e Beatrice ne ha 9] 347 Alberto e Paolo compiono gli anni lo stesso giorno, ma Alberto è nato due anni dopo di Paolo. La somma delle età di Alberto e Paolo è 20. Quali sono le età di Alberto e Paolo?

[9 e 11]

Un allevamento di spigole ha tre vasche.

La vasca media contiene un terzo del totale dei pesci e la una vasca più grande ne contiene la metà. Le rimanenti 100 spigole sono contenute nella vasca più piccola.

Quante sono in totale le spigole contenute nelle tre vasche?

[600] 348

Pesca

349 Suddividi la cifra di 2000 euro in due parti, in modo

3 dell’altra.

[1250 euro; 750 euro] che una parte sia __ 5 350 Nel 2020, alle elezioni presidenziali degli Stati Uniti, Joe Biden e Donald Trump ricevettero, insieme, 538 voti elettorali. Biden ricevette 74 voti in più di Trump.

Quanti voti ricevette ciascun candidato?

[Biden: 306; Trump: 232] 351 E se? Il biglietto per assistere a uno spettacolo costa 15 euro per gli adulti e 10 euro per i bambini. A uno spettacolo sono presenti 120 spettatori e l’incasso è 1650 euro. a. Quanti bambini assistono allo spettacolo? b. Quanti adulti assistono allo spettacolo?

 Se allo spettacolo fossero presenti 150 spettatori e l’incasso fosse di 1800 euro, come cambierebbero le risposte?

UNITÀ 9

354 Una cassetta di frutta pesa 10 kg più il peso di mezza cassetta. Quanto pesa una cassetta e mezza?

[30 kg] 355 Maria ha 360 euro e Silvia 270 euro. Maria salda

4 un debito che aveva con Silvia, quindi si trova ad avere __ 5 di quello che ora possiede Silvia. Qual era l’entità del debito?

[80 euro] 356 Servizi commerciali Un’azienda produce un nuovo bene, che intende immettere sul mercato al prezzo di 28 euro per ogni unità. Per la produzione del bene è previsto un costo fisso settimanale di 900 euro e un ulteriore costo di 16 euro per ogni unità del bene prodotta. Quante unità del bene devono essere prodotte e vendute in una settimana per garantire il pareggio, cioè fare in modo che il ricavo sia uguale ai costi complessivi sostenuti?

[75] 357 In una fattoria sono allevati polli e conigli: si contano 80 teste e 216 zampe. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

[52 polli e 28 conigli] 358 Dario e Davide vogliono comprare insieme un’au-

2 e Davide __ 4 . Se si uniscono, to: Dario può pagarne __ 5 9 mancano ancora 2100 euro. Quanto costa l’auto?

[13 500 euro] 359 Artigianato Un commerciante mette in saldo delle scatole artigianali in legno. Se diminuisse il prezzo di 14 euro a scatola, vendendo 5 scatole incasserebbe quanto vendendone 7 con lo sconto di 20 euro a scatola.

Qual è il prezzo non scontato di ogni scatola?

[35 euro]

[a. 30; b. 90; 90 e 60] 352 E se? Un albergo ha 55 camere. Arrivano 3 gruppi di turisti da suddividere nelle diverse camere, in modo che il secondo gruppo abbia 5 stanze in più del primo e il terzo gruppo abbia il doppio delle camere del secondo.

Quante camere vanno assegnate a ogni gruppo?

 Come cambierebbe la risposta, se l’albergo avesse 50 camere?

[10, 15 e 30 camere; impossibile]

353 In un parcheggio ci sono moto e automobili. In tale parcheggio si contano 240 ruote e in tutto ci sono 66 veicoli. a. Calcola il numero delle moto. b. Calcola il numero delle auto. [a. 54 auto; b. 12 moto]

360 In una classe un terzo degli allievi sono stati promossi con debito e 18 sono stati promossi senza debito.

Da quanti alunni è formata la classe?

[27] 361 Matematica e scienze Negli Stati Uniti la temperatura viene generalmente misurata con il grado Fahrenheit; la relazione tra gradi Fahrenheit (F) e gradi Celsius (C), comunemente usati in Europa, è F = 1,8C + 32. a. L’acqua generalmente congela a 0 °C: a quale temperatura corrisponde in gradi Fahrenheit? b. Durante una spedizione in Antartide due esploratori constatano che due termometri, uno tarato in gradi Fahrenheit e l’altro in gradi Celsius, segnano la stessa temperatura: qual è questa temperatura? [a. 32 F; b. − 40 °C]

317

UNITÀ 9 362

Equazioni di primo grado

Attività con GeoGebra

Un parcheggio propone ai clienti tre tariffe:

• Tariffa A: 15 euro per tutta la giornata; • Tariffa B: 1 euro all’ora; • Tariffa C: la prima ora 20 centesimi e 1,20 euro per ogni ora successiva. a. Mario deve lasciare al parcheggio la macchina per 8 ore; quale tariffa gli conviene scegliere? b. Qual è il numero di ore di parcheggio per cui le tariffe B e C si equivalgono?

(Invalsi, L10, 2014, es. 22)

Affronta il problema secondo due approcci diversi. a. Approccio numerico. Realizza con il foglio di calcolo di GeoGebra una tabella dove: • nella prima colonna siano riportate le ore di parcheggio da 1 a 24 (in figura sono riportate solo le prime righe della tabella); • nelle successive tre colonne siano indicati rispettivamente il costo relativo alla tariffa A, quello alla tariffa B e quello alla tariffa C. Rispondi alle domande analizzando i dati numerici in tabella. b. Approccio algebrico. Calcola le tre tariffe relative a 8 ore e rispondi alla domanda a. Poi traduci la domanda b in un’opportuna equazione e risolvila.

[a. Conviene la tariffa B; b. 5 ore]

363 Un’edizione illustrata di un libro costa 6 euro e 50 centesimi in più dell’edizione non illustrata. Comprando una

copia dell’edizione illustrata e una copia di quella non illustrata, si spendono complessivamente 27 euro e 70 centesimi.

Quanto costa una copia dell’edizione non illustrata?

[10 euro e 60 centesimi] 364 Un’associazione ha 500 iscritti e prevede un aumento di 20 iscritti all’anno; un’altra ne ha 450 e prevede un au-

mento di 30 iscritti all’anno. Supposto che si verifichino queste previsioni di crescita, dopo quanti anni le due associazioni avranno lo stesso numero di iscritti?

[5] Una classe quinta ha realizzato un documentario sulla città in cui sorge la scuola. Il documentario prevede una parte introduttiva iniziale di 3 minuti e una parte conclusiva di 2 minuti. La parte intermedia è suddivisa come segue: quattro moduli, ciascuno della durata di un sesto del totale, dedicati al Duomo, alla sede del Municipio, a un palazzo rinascimentale e a un pittore a cui la città ha dato i natali, e un ulteriore modulo, della durata di un ottavo del totale, che presenta una villa d’epoca con il relativo parco. Qual è la durata complessiva del documentario?

[24 minuti] 365

Cultura e spettacolo

366

ESERCIZIO SVOLTO

Nella cassa del suo negozio il signor Fabbri ha 15 banconote, tutte da 20 euro e 50 euro, per un totale di 480 euro. Quante sono quelle da 20 euro e quante quelle da 50 euro?

Indicato con x il numero delle banconote da 20 euro, il numero delle banconote da 50 euro è dato da 15 − x. Dovrà essere 0 ≤ x ≤ 15. In base alle indicazioni fornite, l’equazione che occorre risolvere è: 20x + 50(15 − x) = 480 L’equazione è determinata e ha soluzione x = 9: certamente accettabile in relazione al problema, essendo un numero naturale compreso tra 0 e 15. Perciò il signor Fabbri ha in cassa 9 banconote da 20 euro e 6 banconote da 50 euro.

367 Si vuole formare la somma di 7 euro e 30 centesimi utilizzando 20 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi occorrono?

[11 da 50 centesimi e 9 da 20 centesimi] 368 Si vuole formare la somma di 4 euro utilizzando 10 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi.

Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi occorrono?

[Impossibile] 369 Si vuole dividere la somma di 12 000 euro fra tre persone in modo che la prima persona riceva un terzo di quanto riceve la seconda e che la terza riceva 1000 euro in più della metà di quanto riceve la seconda. Come va ripartito il denaro?

[Rispettivamente 2000, 6000 e 4000 euro]

318

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado 370 E se? Si vuole formare la somma di 8 euro e 40 centesimi utilizzando 30 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi.

a. Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi occorrono? b. Quale sarebbe la risposta al problema se si volesse formare la somma di 8 euro? [a. 22 monete da 20 centesimi e 8 da 50 centesimi; b. impossibile] 1 della somma che possiede, poi spen371 Paolo spende __

3 1 della somma rimasta e a quel punto gli restano nel de __ 2 portafoglio 60 euro in meno di quello che aveva in origine.

Quanto aveva Paolo nel portafoglio?

[90 euro] 372 In una classe un terzo degli allievi ha preso un voto insufficiente all’ultimo compito in classe di matematica, mentre 12 allievi hanno preso un voto almeno sufficiente. Da quanti alunni è formata la classe?

[18]

UNITÀ 9

373 Silvia e Luca, nel compito di matematica, hanno preso due voti diversi. Sapendo che i due voti differiscono di 1 e che il loro prodotto supera di 7 il quadrato del voto inferiore, stabilisci i voti presi da Silvia e Luca.

[7; 8] 374 Andrea entra in un negozio con la somma di denaro esatta per comprare una caramella per ciascuno dei suoi compagni di classe, al prezzo di 13 centesimi l’una.

Il prezzo delle caramelle però è sceso a 10 centesimi l’una e Andrea compra 6 caramelle in più del previsto, finendo il denaro che aveva. Quanti compagni di classe ha Andrea?

[20] 375 Un test è costituito da 25 quesiti a risposta multipla. Ogni quesito risolto correttamente fa guadagnare 3 punti, ogni risposta sbagliata fa perdere 2 punti e ogni risposta non data non fa né perdere né guadagnare alcun punto. Paolo risponde a tutte le domande del test ma, dopo aver visto la correzione, si rende conto di non avere totalizzato alcun punto. A quanti quesiti ha risposto correttamente Paolo?

[10]

376 Un gruppo di compagni di classe sta progettando una gita. Se ognuno contribuisse alle spese di viaggio con 14 euro, essi avrebbero 4 euro meno del necessario; se invece ognuno di essi contribuisse con 16 euro, avanzerebbero 6 euro. Quale deve essere il contributo di ciascuno per raccogliere esattamente la cifra necessaria per il viaggio?

[14,80 euro] 377

ESERCIZIO SVOLTO

Un’auto 1 parte da una località A verso una località B distante 325 km, alla velocità di 60 km/h. Dopo mezz’ora parte un’auto 2 alla velocità di 80 km/h e diretta anch’essa alla località B. Dopo quanto tempo l’auto 2 raggiunge l’auto 1?

Dalla relazione spazio = velocità ⋅ tempo deduciamo, innanzitutto, che dopo mezz’ora l’auto 1 ha percorso: 1 h = 30 km 60 km/h ⋅ __ 2 Indichiamo con t il tempo incognito, espresso in ore, necessario all’auto 2 per raggiungere l’auto 1.

Dopo il tempo t si ha che: distanza in km dell’auto 1 da A = 30 + 60t distanza in km dell’auto 2 da A = 80t Dovendo essere: distanza da A dell’auto 1 = distanza da A dell’auto 2, otteniamo l’equazione: 3 − 30 = __ 30 + 60t = 80t ⇒ 60t − 80t = −30 ⇒ − 20t = − 30 ⇒ t = __ − 20 2 3 h, quindi in un’ora e mezza.

Concludiamo che l’auto 2 raggiunge l’auto 1 in __ 2 378 Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A a un certo istante, verso il casello B che dista 280 km da A; dopo

10 minuti, dal casello B parte una seconda auto in verso opposto, cioè verso il casello A. Le due auto viaggiano a una velocità mediamente costante e uguale a 130 km all’ora per la prima auto e di 120 km all’ora per la seconda. Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima automobile incontrerà la seconda?

[1 ora e 12 min] 379 Paolo, uscito da scuola, cammina verso casa a una velocità, che si può considerare approssimativamente costan-

te, di 1,5 m/s. Barbara, uscita da scuola, si ferma a chiacchierare con le amiche; parte perciò da scuola 10 minuti dopo Paolo e percorre la sua stessa strada, muovendosi in bicicletta, a una velocità, che si può considerare approssimativamente costante, di 9 m/s. Dopo quanto tempo dalla partenza di Paolo Barbara lo raggiunge? Esprimi il risultato in minuti.

[2 min] 319

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

380 Un poliziotto parte all’inseguimento di un ladro che scappa a una velocità di 18 km/h e che lo precede di 400 m.

a. Se egli corresse a 20 km/h, in quanto tempo lo raggiungerebbe? b. Quanti kilometri avrebbe percorso?

[a. In 12 min; b. 4 km]

381 Due amici partono dalle loro abitazioni, distanti 1600 m, per incontrarsi. Se il primo percorre 90 m in un minuto e il secondo 110 m in un minuto, dopo quanto tempo si incontreranno?

[8 min] 382 Lorenza e Paola abitano nella stessa via, la prima a 1200 m dalla scuola e la seconda a 900 m, ed entrambe per-

corrono 100 m in un minuto. Un giorno Lorenza esce 2 minuti prima di Paola e procede alla velocità di 120 m/min perché vuole raggiungere la sua compagna prima di giungere a scuola. Riesce nel suo intento? Se sì, quanti metri le due ragazze percorrono insieme?

[Sì; 600 m] 383 Un imbianchino ha bisogno di 15 litri di pittura arancione per dipingere alcune pareti. Per ottenere la tonalità di

colore che il suo cliente desidera, deve mescolare una pittura rossa e una pittura gialla, in modo che la pittura rossa risulti tre quarti di quella gialla. Quanti litri di pittura rossa e quanti di pittura gialla gli servono? Risolvi il problema impostando un’opportuna equazione e fornisci i risultati arrotondati alla prima cifra decimale.

[Circa 6,4 litri di pittura rossa e 8,6 litri di pittura gialla] 384 Per illuminare gli uffici di un’azienda, un elettricista prevede di utilizzare 50 lampadine LED, alcune da 10 W e altre da 13 W. Se la potenza complessiva delle 50 lampadine deve essere di 605 W, quante lampadine di ciascun tipo occorre utilizzare?

[15 lampadine da 10 W e 35 da 13 W]

385 Servizi sanitari Una fiala contiene 3000 mg di un farmaco, che deve essere somministrato a due pazienti. La dose somministrata al secondo paziente deve essere una volta e mezza la dose somministrata al primo. Quanti milligrammi di farmaco vanno somministrati a ciascun paziente?

[1200 mg; 1800 mg] 386 Agricoltura Un agricoltore possiede un trattore, di cui non ricorda la capienza del serbatoio. Quando l’indicatore segnala che il serbatoio è pieno per un quarto, l’agricoltore aggiunge 135 litri di carburante; dopo il rifornimento, l’indicatore segnala che il serbatoio risulta pieno per sette ottavi. Qual è la capienza del serbatoio?

[216 litri] 387 Le tariffe dei taxi a Parigi e Berlino sono le seguenti:

• a Parigi: tariffa iniziale di 2,60 euro più 0,96 euro per ogni kilometro percorso; • a Berlino: 2 euro per ogni kilometro fino a un massimo di 7 km e 1,50 euro per ogni kilometro successivo.

Determina la lunghezza percorsa per cui il costo della corsa a Parigi è uguale al costo della corsa a Berlino. [2,5 km] In una catena di produzione, la costruzione di una parte di carrozzeria di un’automobile richiede complessivamente 1 minuto e mezzo e si compone di tre parti, una successiva all’altra: la prima fase di assemblaggio dura 16 secondi in più della seconda; infine la terza fase, di 20 secondi, richiede l’intervento di un operaio specializzato. Stabilisci la durata delle prime due fasi.

[Prima fase: 43 s, seconda fase: 27 s] 388

Industria

Una sbarra di ferro è lunga l0 = 5,00 m alla temperatura di 0 °C. Ricordando che la sua lunghezza l, in base al fenomeno della dilatazione termica, varia secondo la legge: 389

Matematica e scienze

l = l0 (1 + λt)

dove λ = 1,20 ⋅ 10−5 °C−1 è il coefficiente di dilatazione lineare del ferro, determina a quale temperatura la sbarra ha lunghezza pari a 5,02 m.

[3,33 ⋅ 102 °C] 390 Risolvi i seguenti tre problemi, apparentemente simili.

a. Paolo spende prima un terzo e poi la metà di ciò che ha nel portafoglio, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? b. Paolo spende prima un terzo di ciò che ha nel portafoglio e poi la metà di ciò che gli rimane, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? c. Paolo spende prima un terzo di ciò che ha nel portafoglio e poi la metà di ciò che ha speso inizialmente, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? [a. 24 euro; b. 12 euro; c. 8 euro] 320

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

UNITÀ 9

Problemi con le percentuali 391

ESERCIZIO GUIDATO

Il prezzo di un paio di pantaloni, dopo avere subito un rialzo del 10%, è di 121 euro. Qual era il prezzo dei pantaloni prima dell’aumento?

• Indica con x il prezzo dei pantaloni, prima dell’aumento del prezzo.

• Puoi scrivere l’equazione: 10 x ____ x + = 100 prezzo iniziale

aumento del prezzo del 10%

Risolvi l’equazione e concludi.

In un altro modo Osservando che il prezzo dei pantaloni, dopo il rialzo, risulta il 110% del prezzo iniziale si sarebbe potuto tradurre diretta110 mente il problema nell’equazione ____ x = 100

392 Il prezzo di un capo di abbigliamento, dopo avere

subito uno sconto del 12%, è di 44 euro. Qual era il prezzo originario?

[50 euro]

393 Il signor Rossi preleva dal suo conto in due tempi successivi prima la somma di 2000 euro e poi il 20% di ciò che gli rimane sul conto. Effettuati i due prelievi, sul conto restano 10 400 euro. Quanto aveva sul conto il signor Rossi?

[15 000 euro] 394 In una elezione come rappresentante di istituto, il vincitore riceve il 30% in più dei voti del suo avversario.

I voti totali sono stati 92. Quanti voti ha ricevuto ciascuno di essi?

[40; 52]

395 Una libreria, in occasione delle feste natalizie,

vende il 30% dei libri che ha; dall’inventario fatto alla chiusura, risulta che in negozio rimangono ancora 420 libri. Quanti libri erano presenti inizialmente nella libreria?

[600]

Un agente di commercio vende porta a porta un unico prodotto, un robot da cucina, a 700 euro. La sua provvigione sulle vendite ammonta al 20%. L’anno scorso, al netto dei costi fissi pari a 12 000 euro, ha guadagnato 16 000 euro. Quanti pezzi ha venduto?

[40 pezzi] 396

Video

397 In un locale molto frequentato, in una serata, viene preparata la stessa quantità di Cuba

libre, di daiquiri e di mojito e vengono utilizzati complessivamente 2,8 litri di rum bianco. Le percentuali dei vari ingredienti contenute in questi cocktail sono quelle riportate in tabella.

Cocktail

Ingredienti

Cuba libre

Rum bianco (40%), cola (60%)

Daiquiri

Rum bianco (60%), succo di lime (30%), sciroppo di zucchero (10%)

Mojito

Succo di lime (20%), rum bianco (40%), soda water (40%)

Quanti litri di ciascuno dei tre cocktail sono stati preparati? Quanti litri di cola sono serviti per preparare i Cuba libre? Quanti litri di succo di lime sono serviti per preparare i daiquiri e i mojito?

[2 litri; 1,2 litri di cola e 1 litro di succo di lime] 398 Stai effettuando dei lavori di giardinaggio e devi utilizzare un decespu-

gliatore il cui motore funziona tramite una miscela di benzina e olio, nel rapporto 20 a 1. Vuoi ottenere 1 litro di miscela per il decespugliatore, mescolando della benzina pura con una miscela di benzina e olio al 75% di benzina.

Quanti litri di benzina e quanti litri di miscela devi utilizzare? Fornisci i risultati arrotondati, con due cifre decimali.

[Circa 0,81 litri di benzina e 0,19 litri di miscela] 399 Industria In un’azienda A di 1200 dipendenti, il 5% sono operai specializzati nella manutenzione di macchine. In un’azienda B, gli operai specializzati nella manutenzione sono il 10%. Considerando l’insieme dei dipendenti delle due aziende, gli operai specializzati nella manutenzione risultano l’8%. Quanti sono i dipendenti dell’azienda B? [1800]

321

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

I processi di produzione sono sempre affetti da errori, quindi in fase di progettazione vengono stabilite la dimensione massima e la dimensione minima in grado di assicurare la funzionalità di un dato pezzo. La differenza di questi due valori è detta tolleranza di lavorazione. Supponi che un pezzo abbia tolleranza di 0,2 mm e che la dimensione massima sia lo 0,8% in più della dimensione minima. Determina la dimensione massima.

[25,2 mm] 400

Assistenza tecnica

401 Servizi commerciali La tua scuola ha vinto un bando e ha ricevuto un finanziamento per acquistare prodotti I.T. (Information Technology). Il finanziamento è vincolato al rispetto di alcuni parametri: il 4% del totale deve essere destinato a pubblicità, il 10% a spese per il personale che curerà la parte amministrativa e l’80% deve essere destinato all’acquisto di materiale. Rispettando questi vincoli, dopo tutti i pagamenti, avanzano 120 euro. A quanto ammonta l’intero finanziamento?

[2000 euro] 402 Due diverse commissioni devono esprimersi per l’approvazione di un farmaco. La prima commissione è costituita dal doppio dei membri della seconda commissione. Il 20% della prima commissione e il 30% della seconda commissione hanno votato favorevolmente all’approvazione del farmaco. Se in tutto i voti favorevoli sono stati 28, da quanti membri era composta ciascuna commissione?

[40; 80] 403 Oggi un negozio ha incassato 1500 euro. Sapendo

che l’incasso di oggi è stato il 20% in più dell’incasso medio del negozio, qual è l’incasso medio? [1250 euro] 404 Per preparare biscotti al miele Anna segue solita-

mente una ricetta che prevede una quantità di farina doppia rispetto a quella di burro e una quantità di miele pari ai due terzi di quella di burro. Se decidesse di aumentare del 25% le dosi di tutti gli ingredienti dovrebbe utilizzare 100 grammi di miele. Quanti grammi di farina e quanti di burro sono previsti nella ricetta originaria?

[240; 120] EDUCAZIONE FINANZIARIA

405 Viene acquistato un appartamento pagandolo in tre rate. Nella prima rata si paga il 20%, nella seconda il 50% di quello che resta da pagare e nella terza si versa la somma di 31 000 euro. Quanto costa l’appartamento?

[77 500 euro] 406 Una persona ha impiegato per un anno il suo capitale in due diversi investimenti: 10 000 euro sono stati impiegati in un investimento che gli ha fruttato un interesse del 6%, mentre la parte restante del capitale è stata impiegata in un investimento che gli ha fruttato un interesse pari all’8%. L’intero capitale ha fruttato un interesse di 4000 euro. Qual era il capitale?

[52 500 euro]

322

407 Il fatturato di un’azienda è aumentato nel 2020 del 10% rispetto all’anno precedente. Nel 2021 invece è aumentato del 5% rispetto al 2020. In questi due anni l’aumento è stato complessivamente di 62 000 euro. Qual era il fatturato nel 2019?

[400 000 euro] 408 Il prezzo di un abito viene ridotto del 30%. Poiché, anche dopo la riduzione, l’abito non viene venduto, il prezzo scontato viene ulteriormente ribassato del 30%.

Dopo i due sconti, l’abito costa 98 euro. Qual era il prezzo originario?

[200 euro] 409 Il sig. Bianchi ha investito, per un periodo di tem-

po di un anno, la cifra di 50 000 euro, in parte in un fondo obbligazionario e in parte in un fondo azionario.

Il fondo obbligazionario ha registrato, alla fine dell’anno, un incremento del 5%, mentre il fondo azionario ha registrato, alla fine dell’anno, una perdita del 3%. Il sig.

Bianchi, complessivamente (tenendo conto cioè sia dei guadagni sia delle perdite), ha chiuso l’anno con un guadagno di 1000 euro. Quanto aveva investito nel fondo obbligazionario e quanto in quello azionario?

[31 250 euro nell’obbligazionario e 18 750 euro nell’azionario] SALUTE E PREVENZIONE Secondo le formule 410 di Lorenz, il peso ideale di una donna e il peso ideale di un uomo (in kilogrammi) sono dati rispettivamente dalle formule seguenti, dove h indica il valore numerico dell’altezza (in centimetri):

Pdonna = h − 100 − 0,5(h − 150) Puomo = h − 100 − 0,25(h − 150) In corrispondenza di quale altezza il peso ideale di una donna risulta il 10% in meno di quello di un uomo?

[Circa 178,6 cm] 411 La purezza dell’oro è misurata in carati. Essendo

18 di l’oro puro di 24 carati, un oro a 18 carati contiene ___ 24 oro puro, cioè il 75% di oro puro; un oro a 12 carati con12 di oro puro, cioè il 50% di oro puro. Quanto tiene ___ 24 oro puro e quanto oro a 12 carati vanno mescolati per ottenere 96 grammi di oro a 18 carati?

[48 grammi di oro puro e 48 di oro a 12 carati] 412 Dopo una vincita al Lotto, il signor Rossi investe il 60% della somma per acquistare un nuovo computer.

Spende il 20% della somma restante in libri. Poi deposita sul conto corrente il 50% della cifra che gli rimane. Alla fine gli restano 360 euro. A quanto ammontava la vincita?

[2250 euro] 413 Un acquario contiene 120 pesci, il 10% dei quali è rosso. Quanti pesci rossi occorre aggiungere nell’acquario affinché la percentuale di pesci rossi diventi il 20% del totale dei pesci?

[15]

UNITÀ 9

4. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado 414

INFORMAZIONE CONSAPEVOLE

Vacanze di Pasqua 2016

Saranno circa 9,7 milioni gli italiani (pari al 15,9% della popolazione) che si muoveranno fino a Pasquetta per le vacanze, segnando un +7,1% rispetto alla Pasqua del 2015. Sono le previsioni di Federalberghi. Le mete preferite, per il 91% degli italiani che rimarranno nel Bel Paese, saranno il mare (29%), le città d’arte maggiori e minori (28%) e la montagna (23%).

(Fonte: La Stampa, 24 marzo 2016) a. Quanti sono gli italiani che si sono mossi per un periodo di vacanza nella Pasqua 2015? b. Tra gli italiani che si sono mossi per le vacanze di Pasqua nel 2016, quanti sono coloro che sono rimasti in Italia e si sono recati al mare? c. Nel 2017 di quanto dovrebbe diminuire in percentuale, rispetto al 2016, il numero di italiani che si muovono per le vacanze Pasquali affinché il numero di coloro che vanno in vacanza torni uguale a quello del 2015? [a. Circa 9 056 956; b. 2 559 830; c. circa 6,6%]

Problemi geometrici 415

ESERCIZIO GUIDATO

Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 5 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato. Qual è il perimetro del quadrato?

• Indica con x la misura incognita (in centimetri) del lato del quadrato.

• In base ai dati del problema, le misure (in centimetri) della base e dell’altezza del rettangolo sono rispettivamente x . Poiché quadrato e rettangolo devono avere lo stesso perimetro, puoi scrivere l’equazione: x + e ___________ 4x

=

2 ⋅ (x +

perimetro del quadrato

x ) + 2 ⋅ _____

perimetro del rettangolo

Risolvi l’equazione e concludi.

416 I due rettangoli in figura hanno lo stesso perimetro. Determina x.

417 I due rettangoli in figura hanno la stessa area. Determina x. x

x x+4

x+6

x+2 1 x 2

x−3

[x = 4]

x + 10

[x = 6]

418 In un rettangolo un lato è il doppio dell’altro e il perimetro è di 42 cm. Determina la lunghezza della base e quella dell’altezza.

[7 cm; 14 cm]

2 della prima e la terza 419 Dividi un segmento di 24 cm in tre parti, in modo che la seconda parte superi di 1 cm i __

5 [12,5 cm; 6 cm; 5,5 cm]

5 della seconda. sia 2 cm in meno dei __ 4

3 della loro 420 Determina la lunghezza di due segmenti sapendo che il primo supera il secondo di 26 cm ed è __ 4 [39 cm; 13 cm]

somma.

3 del primo hanno la stessa lunghezza dei __ 4 del 421 Quanto sono lunghi due segmenti se la loro somma è 86 cm e i __ secondo?

7

5 [56 cm; 30 cm] 323

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

3 della lunghezza dei lati congruenti. Sapendo che il perimetro 422 In un triangolo isoscele, la lunghezza della base è __

2 del triangolo è di 21 cm, determina le lunghezze dei lati.

[6 cm; 6 cm; 9 cm]

2 di 423 Un quadrilatero ABCD è tale che la lunghezza di AB supera di 2 cm quella di BC, la lunghezza di CD è __

3 1 di quella di AB. Sapendo che il perimetro del quadrilatero è 20 cm, determina quella di BC e la lunghezza di AD è __ 4 le lunghezze dei suoi lati.

[AB = 8 cm; BC = 6 cm; CD = 4 cm; AD = 2 cm]

4 della base e che questa lo supera 424 Determina il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che il lato obliquo è __ 5

di 12 cm.

[156 cm]

1 del425 Dividi un segmento di 21 cm in tre parti, in modo che la seconda sia 1 cm in più della prima e la terza sia __

5 [9 cm; 10 cm; 2 cm]

la seconda.

5 del lato AC. Sapendo che il pe426 In un triangolo ABC, il lato AB supera di 1 cm il lato BC, il quale a sua volta è __

rimetro del triangolo è 25 cm, determina le lunghezze dei lati.

2

[4 cm; 10 cm; 11 cm]

427 Nella figura, l’area del quadrato arancione supera di 45 cm2 l’area del qua-

drato azzurro. Quali sono le lunghezze dei lati dei due quadrati? [6 cm; 9 cm] 428 In un trapezio rettangolo ABCD:

• la base minore CD è lunga 3 cm in meno della base maggiore AB; • il lato obliquo BC è lungo 1 cm in più dell’altezza AD; 2 della base minore CD. 15 cm • l’altezza AD è __ 3 Sapendo che il perimetro del trapezio è 24 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio e la sua area.

[AB = 9 cm; CD = 6 cm; AD = 4 cm; BC = 5 cm; Area = 30 cm 2] 429 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato. Qual è il perimetro del quadrato?

[48 cm] 430 Un quadrato e un rettangolo hanno la stessa area. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è 2 cm in meno del lato del quadrato. Qual è l’area del quadrato?

[9 cm 2] 431 Determina la lunghezza dei lati di un triangolo sapendo che il perimetro è lungo 42 cm e che le misure dei lati sono tre numeri consecutivi.

[13 cm; 14 cm; 15 cm]

Dato un segmento AB lungo 12 cm, determina su di esso un punto P in modo che il 3 del perimetro del triangolo equilatero costruito quadrato costruito su PB abbia perimetro che supera di 23 cm i __ 4 su AP. [PB = 8 cm] 432

Con GeoGebra

Dato un rettangolo ABCD, in cui AB è lungo 9 cm e BC è lungo 4 cm, determina sul lato CD la posizione di un punto P, in modo che l’area del trapezio ABPD sia il quadruplo dell’area del triangolo BCP. [DP = 5,4 cm] 433

Con GeoGebra

434 In un rettangolo, un lato è la metà dell’altro. Diminuendo di 1 cm le lunghezze di tutti i lati del rettangolo, l’area diminuisce di 8 cm 2. Quanto sono lunghi i lati del rettangolo?

[6 cm; 3 cm] 435 Una piastrella è formata da un quadrato interno bianco attorno al quale è stato creato un bordo con quattro rettangoli identici di colore grigio, come mostrato in figura. Determina l’area della piastrella sapendo che 7 di quello del quadrato bianco. Che percentuale dell’ail suo perimetro è __ 5 rea del quadrato bianco rappresenta quella di ciascun rettangolo grigio?

[441 cm 2 ; 24%] 436 Considera un quadrato ABCD di lato 10 cm e indica con M il punto medio di CD. Determina un punto P, sul lato AB, tale che l’area 1 dell’area del trapezio PBCM. del trapezio APMD sia 10 cm 2 in più di __ 3 [AP = 1,5 cm]

324

x cm

(x + 15) cm

UNITÀ 9

Esercizi di riepilogo

Esercizi di riepilogo Esercizi interattivi Test 437 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?

1 x

1 a

A __ + 2 = 3x

B __ + x = 3

1 x

C __ + 2a = 3

438 Quale delle seguenti equazioni ammette come soluzione x = 2?

x 2

x 4

x 2

A ___ + ___ = 1

3x 2

B ___ + ____ = 4

x 2

x 8

7 4

C ___ + ___ = ___

439 Quale delle seguenti equazioni è equivalente all’equazione (2x − 3) 2 = 3x 2 + (5 − x) 2?

A 2x + 4 = 0

B 2x + 8 = 0

C 2x + 16 = 0

D x − 2a = 3

3 2

x 4

9 2

D ___ x + ___ = ___

D 2x + 32 = 0

440 Quale delle seguenti equazioni non ammette soluzioni in R? A (x − 3) 2 = (3 − x) 2 2

B (2x − 3)

= (2x − 3) (2x + 3)

441 Quale delle seguenti equazioni è un’identità?

A (2x + 1) − (2x − 1) = 8x 2

B (2x + 1)

2

− (2x − 1) = 8x

C (x − 3) 2 − (x + 3) 2 = 4(1 − 3x)

D 2x 2 = 0

C (2x + 1)2 − (2x − 1)2 = −8x

D (2x + 1)2 − (2x − 1)2 = 0

442 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% e poi il 20% di ciò che ho inizialmente nel portafoglio, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

D x − 0,1x − 0,2x = 10 A x − 0,1 − 0,2 = 10 B x − 0,1x − 0,2 · 0,1x = 10 E Nessuna delle altre risposte C x − 0,1x − 0,2(x − 0,1x) = 10 443 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di ciò che ho inizialmente nel portafoglio e poi il 20% della cifra rimanente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

A x − 0,1 − 0,2 = 10 D x − 0,1x − 0,2x = 10 B x − 0,1x − 0,2 · 0,1x = 10 E Nessuna delle altre risposte C x − 0,1x − 0,2(x − 0,1x) = 10 444 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di ciò che ho nel portafoglio e poi il 20% di ciò che ho speso inizialmente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

A x − 0,1 − 0,2 = 10 D x − 0,1x − 0,2x = 10 B x − 0,1x − 0,2 · 0,1x = 10 E Nessuna delle altre risposte C x − 0,1x − 0,2(x − 0,1x) = 10 445 Devi suddividere 30 bignè in due vassoi. I due vassoi hanno grandezze diverse e il più grande contiene 6 bignè in più dell’altro. Quanti bignè conterrà il vassoio più piccolo?

C 12 A 8 B 10 D Non è possibile eseguire la suddivisione richiesta 446 Francesca deve preparare un determinato numero di cornetti salati per una colazione di lavoro. Dopo aver farcito i tre quinti dei cornetti richiesti, le rimangono da farcire ancora 60 cornetti. Quanti cornetti sono stati ordinati e quanti ne ha già farciti?

A ordinati 150; già farciti 90 B ordinati 50; già farciti 30 C ordinati 75; già farciti 45 D Nessuna delle altre risposte è esatta

325

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione.

447 2x − 1 = 4

x = −1

[No]

449 x2 + 2x = 0

x=0

[Sì]

448 3x − 5 = 7x − 1

x = −1

[Sì]

450 x3 − 2x + 1 = 0

x=1

[No]

Scrivi un’equazione equivalente a quella data, che soddisfi la condizione indicata a fianco.

1 x+_ 1x = _ x−1 abbia tutti i coefficienti interi 451 _ 2 4 3 452 x2 + 2x + 5 = x2 + 6x − 7 abbia tutti i termini al 1° membro e non abbia termini di 2° grado Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e individuane il grado.

453 (x + 1)2 = x − 1

[Grado = 2]

455 (x − 2)3 − (x + 2)3 = 4

[Grado = 2]

454 (x + 1)2 = (x − 1)2

[Grado = 1]

456 x4 + 5x − x3(1 − x) = 0

[Grado = 4]

Risolvi le seguenti equazioni.

9 __ [2] 6 __ [7]

3 x − 1 = x + ___ 5 457 ___

2 4 x x − 2 _____ ___ =− 458 4 3 2x 1 1 ___ ____ = − ___ 459 − x + 15 3 5 460 3x + 2 − 4(x − 3) = 5x + 7

[− 1]

7 _ [6] 1 _ [5] 4 _ [ 17 ] 1 _ [9] [8]

1 +3 x+_ 1 =1 461 2(x − _ ( 2) 3) 3 x−_ 1 x+_ 1 (x + 1) = 0 462 _ 4

2

3

463 2 − 4x − (x − 1) = 2(2x + 1) 464 3(x + 1) − 2(x − 3) = 2x + 1

1 −_ 1 (x − 3) = 0 465 2x + _ 4

2

466 1 − 3x + 2(x − 3) = 2(x + 1) − 2

1 x+_ 1 −_ 1 (x − 1) = _ 2x 467 _ 3 6 4 3 468 6x − 4 = 2(3x + 5)

7 _ [− 6 ] 5 _ [− 3 ] 5 _ [7] [Impossibile]

469 (3x − 1) (3x + 1) = (3x − 1) 2 470 x(x − 2) = (x + 4) 2 471 (2 − 3x) (2 + 3x) = − 9(x − 1)

2

472 (2x − 2) 2 = 2(2x − 1) (x − 2)

1 __ [3] 8 __ [− 5 ] 13 ___ [ 18 ] [0]

1 (6x + 3) − 5 = − ___ 1 (9x + 6) 474 ___ 2 3

15 ____ [ 4 ] 1 __ [4]

475 x 2 − (x + 1) 2 = − 2(x + 2) + 3

[Indeterminata]

476 (x − 2)2 − 3(x + 1) = x(x + 1)

1 _ [8]

473 1,6x − 5,4 = − 2,4 (x − 4)

2

2

326

1 2

1 −1 3

5 _ [− 2 ]

478 2(x − 3) + 4x(x − 1) = (2x − 1)(2x + 1) 479

8 _ [3] 2 _ [− 3 ] 1 _ [3] [−1]

1 2 1 1 _ _ _ (x + 3 ) − (x + 3 )(x − 3 ) = 2

480 (1 − x)2 − x(x + 2) = 3 − x 481 (x + 1)2 + (x − 1)2 = 2x(x + 3) 482 (1 − 3x)2 − x(9x − 2) = 5

19 ___ [ 10 ] 19 ____ [ 36 ]

483 − 3 [5 − 2(x − 1)] = 2 [3 − 2(x + 2)]

2x − 1 = − ___ 1 484 ______

1 6 − ___ 3 1 − (x − 1) 2 − x 2 2 − x 2 = ____________ 485 ___ 2 3

1 − x − ___ 1 x + ___ 1 = ___ 1 − ___ 1 486 (x − ___ 2) ( 3 )( 3) (2 3)

2 __ [3] 2

1 __ [3]

487 (x − 1) 2 − (x + 1) 2 = x(x + 1) + (1 − x) (3 + x)

[−1]

2

489 (x + 1)(x − 1)(x2 − 1) = x4

19 ___ [ 8 ] [Impossibile]

490 (x − 2)(x2 + 2x + 1) = x3 − 8

[Indeterminata]

488 2 −1 (x − 2) = 0,3(3 − x)

(5 − 2x) 2 + (5 − 2x)(5 + 2x) x 30 2 492 [(2x − 1)(2x + 1) − 4x 2 + 3x] 2 = 9x 2 −11 491 _______________________ + 3 = __

493 (3 − x)(3 + x)(2 + x) + x3 = 2(3 − x)(3 + x)

[4] [2] [0]

495 (2x − 1)3 = 4x2(2x − 3) − 13

1 ____ [2 ] [−2]

496 (x − 0,2) 2 − x(x + 1) = 0,04 − 0,5x

[0]

494 (x2 − 3x + 4)2 = x2(x2 − 6x + 17) + 8x

497 (x 2 + x + 1) + (___ − ___) x + (x − 1) (x + 1) = x 2 (x + 1) 2 + 3x 2 − (0,25 − ___) 2

5 _ [− 4 ]

1 =0 477 (1 − x )(1 + x) + (x + _ )

1 −1 3

3 ___ [2 ]

UNITÀ 9

Esercizi di riepilogo 498 Impostando un’opportuna equazione, risolvi la proporzione (2x − 1) : (5x − 4) = 6 : 8.

499 Impostando un’opportuna equazione, risolvi la proporzione (x − ___) : ___ = (x − ___) : ___.

3 2

3 2

7 2

1 2

8 ___ [x = 7 ] 9 ___ [x = 2 ]

Problemi 500 Due numeri hanno somma 20 e la somma tra il doppio del minore e un quarto del maggiore è uguale a 19.

Trova i due numeri.

[8; 12] 501 In un trapezio isoscele la base maggiore è il doppio

5 della della base minore e ciascuno dei lati obliqui è ___ 6 base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina la sua area.

[36 cm2]

502 In un rettangolo la base è doppia dell’altezza. Se si aumentano la base di 3 cm e l’altezza di 5 cm l’area aumenta di 41 cm2. Determina la lunghezza della base e la lunghezza dell’altezza del rettangolo.

[4 cm; 2 cm]

11 della 503 La somma di tre numeri interi consecutivi è ____

9 somma dei due interi consecutivi immediatamente seguenti. Qual è il più grande di questi cinque numeri? [14]

Realtà e modelli

504 E se? La somma delle età di Maria e Silvia è 40. Sapendo che Silvia ha 5 anni meno del doppio dell’età di Maria, determina le loro età.  Come cambierebbe la risposta, sapendo che Silvia ha 5 anni in più del doppio dell’età di Maria? [15, 25; impossibile] 505 Vendite natalizie. Una libreria, in occasione delle feste natalizie, vende il 25% dei libri che ha; dall’inventario

fatto alla chiusura, risulta che in negozio rimangono ancora 300 libri. Quanti libri c’erano inizialmente?

[400]

506 Basket. All’intervallo di metà gara, il punteggio della squadra di basket A superava di 10 il punteggio della squa-

dra B. Nella seconda metà-gara la squadra A incrementava il vantaggio con un parziale di 38 punti a 36. Sapendo che 6 dei punti della squadra B, stabilisci il punteggio a fine partita.

[72 a 60] i punti dalla squadra A sono stati i __ 5 507 Servizi sociali Il numero degli stranieri residenti in Italia nel 2021 era di circa 5,2 milioni, in aumento del 287,5% rispetto al numero di stranieri residenti in Italia nel 2001. Quanti erano gli stranieri residenti in Italia nel 2001?

[Circa 1,3 milioni] Servizi commerciali

508 Per la fabbricazione di un paio di scarpe da uomo un’azienda deve sostenere un

costo di 105 euro. Determina il prezzo di vendita di un paio di scarpe, se si vuole che il margine di utile sia uguale al 25% del ricavo, ossia del prezzo stesso di vendita.

[140 euro]

509 Per la fabbricazione di un mobile su misura un’azienda deve sostenere un costo di 450 euro. Determina il prezzo di vendita del mobile, se si vuole che il margine di utile sia uguale al 20% del ricavo, ossia del prezzo stesso di vendita.

[562,50 euro] 510 Il fatturato di un’azienda nel 2019 è aumentato del 10% rispetto al 2018. Nel 2020 il fatturato è diminuito del 15% rispetto al 2019. Se nel 2020 il fatturato è stato di 822 800 euro, qual è stato il fatturato nel 2018?

[880 000 euro] EDUCAZIONE FINANZIARIA

Aliquote IRPEF. Luigi è alle prese con la sua dichiarazione dei redditi: deve pagare un’imposta sul reddito annuale pari al 23% per i primi 15 000 euro e al 27% per l’eventuale parte eccedente i 15 000 euro. Sapendo che l’imposta che Luigi deve pagare è pari a 5880 euro, determina il reddito annuale di Luigi.

[24 000 euro] 511

Video

512 IVA. Due beni hanno, al netto dell’IVA, una differenza di prezzo di 100 euro. Essi vengono venduti complessivamente al prezzo di 305 euro, inclusa IVA del 22%. Determina i prezzi dei due beni, al netto dell’IVA. [75 euro; 175 euro]

Due fili di rame, di sezione circolare, sono tali che uno è 60 cm più lungo dell’altro. Il filo più lungo ha sezione di raggio doppio del filo più corto e i due fili hanno la stessa resistenza. Determina la lunghezza dei due fili. (Suggerimento: in base alla seconda legge di Ohm la resistenza di un conduttore è data dalla forρl mula R = ___, dove ρ è la resistività del materiale, l è la lunghezza del conduttore ed S è l’area della sua sezione.)

S [20 cm, 80 cm] 513

Matematica e scienze

327

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

Prova di autoverifica Equazioni di primo grado Vero o falso?

1

a. l’equazione 5x + 4 = − 1 non ha soluzioni nell’insieme Z

V

F

b. le due equazioni 2x + 3 = − 1 e x + 15 = 17 sono equivalenti

V

F

c. l’equazione (x + 2) = x + 4x + 4 è un’identità

V

F

d. − 1 è una soluzione dell’equazione − 1 + 2x = − 3

V

F

V

F

2

2

2

2

e. l’equazione (x + 2) = x + 3x + 1 ha grado 2 Test 2

Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale?

1 1 1 1 1 A __ − 2 = x B x 2 − __ = __ C __ + __ = 3x k+x k x k 2

1 2

D __ − x = 4

3 Individua l’equazione nell’incognita n che corrisponde al modello algebrico del seguente problema: «La somma di un numero naturale n con il doppio del suo successivo è uguale al quadruplo del precedente di n».

A n + 2n + 1 = 4n − 1

C n + 2 + (n + 1) = 4 + (n − 1)

B n + 2(n + 1) = 4(n − 1)

D Nessuna delle precedenti

Risolvi le seguenti equazioni.

4

− 3[5 − 2(x − 1)] = 2[3 − 2(x + 2)]

5

5x − (3x + 1) = (x + 2) 2 − x 2 − 2(x + 3)

6

− 3(x − 2) = (x + 3) 2 − x 2 − 3(3x + 1)

7

x − 4 = − __ 23 x − 5 − ____ x − 1 − ___ 1 (x + 4) − ____ ____ 4 5 10 20 2

8 Oggi il negozio di abbigliamento di Monica ha incassato 1380 euro. Sapendo che l’incasso di oggi è stato il 15% in più dell’incasso medio del negozio, qual è l’incasso medio?

Rispondi impostando e risolvendo un’equazione.

9 Un gruppo di studenti della scuola secondaria di primo grado partecipa ai laboratori di orientamento organizzati dalla scuola secondaria di secondo grado. Un terzo del gruppo partecipa al laboratorio per ottico, un quarto a quello per odontotecnico, un quinto a quello per la gestione delle acque e i 13 studenti rimanenti a quello per i servizi culturali e dello spettacolo. Quanti studenti partecipano complessivamente ai laboratori di orientamento?

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Totale

Punteggio massimo

0,25 ⋅ 5 = 1,25

0,75

0,75

1

1

1

1,25

1,5

1,5

10

Punteggio ottenuto Tempo indicativo: 1 ora

328

Risposte p. 559

Verso le competenze - Invalsi

UNITÀ 9

Verso le competenze Invalsi 1 È data l’equazione (3k − 6) x − 5k + 2 = 0, in cui x è l’incognita e k è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 0 per k = (Prova Invalsi 2012)

2

1 (x − 20) = 200.

Individua, fra i seguenti problemi, quello che può essere risolto dall’equazione __ 2 A La differenza tra un numero x e 10 è uguale a 200. Calcola x.

B In un negozio ho acquistato un articolo che costava x euro. Calcola x sapendo che nel portafoglio avevo 200 euro

e me ne sono rimasti 20.

C A scuola una mattina sono assenti 20 studenti. Il 50% dei presenti è uguale a 200. calcola il numero totale x di

alunni della scuola.

D La differenza tra un numero x e 20 è uguale a 100. Calcola x.

(Esempio di prova CBT, livello 10)

3 Anna ha speso presso un’edicola un quinto del denaro con cui è uscita da casa; poi ha speso in cartoleria la metà del denaro rimanente. Dopo i due acquisti le sono rimasti 20 €. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la quantità di denaro x con cui Anna è uscita da casa?

1 1 1 2 1 1 1 1 C __ x + __ x + 20 = x B __ x + __ x = x + 20 D __ x + __ x + 20 = x A __ + __ + 20 = x 10 5 2 5 2 5 5 5 (Esempio di prova CBT, livello 10)

4 Per l’acquisto di un computer sono stati spesi 300 euro. Il prezzo è composto dal costo base più l’IVA, pari al 20% del costo base. Quanto è stato pagato di IVA? Risposta: (Prova Invalsi 2011)

5 In un test con 28 domande si assegnano 5 punti per ogni risposta esatta, si tolgono 2 punti per ogni risposta errata e si assegna un punto per ogni risposta non data. Marco risponde a tutte le domande e ottiene in totale 0 punti.

Quante risposte errate ha dato?

Risposta: (Prova Invalsi 2016)

La stampante laser L in un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quando L e D lavorano contemporaneamente stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampante complessivamente in un minuto?

C 36 A 24 B 30 D 48 6

(Prova Invalsi 2013)

7

A una conferenza sono presenti 90 persone. Le donne sono 14 più degli uomini. Quanti sono gli uomini?

B 38 C 31 D 76

A 59

(Prova Invalsi 2017)

8 Ai soci di un supermercato un detersivo è venduto, con lo sconto del 20%, al prezzo di 1,40 euro. Quanto costa quel detersivo ai clienti che non sono soci del supermercato e che pertanto non hanno diritto allo sconto?

B 1,75 euro A 1,68 euro C 2,80 euro D 1,12 euro (Prova Invalsi 2017)

9 Una casa editrice propone all’autore di un libro di scegliere uno tra due diversi tipi di contratto relativi al suo compenso.

• Contratto forfettario: compenso di 50 000 €, indipendentemente dal numero di copie vendute.

• Contratto a partecipazione: compenso di 5000 € a cui si aggiunge il 10% del prezzo di copertina per ogni copia venduta.

Il prezzo di copertina del libro è di 30 €. Qual è il numero di copie che devono essere vendute perché il compenso ottenuto con il contratto a partecipazione sia uguale a quello ottenuto con il contratto forfettario?

Risposta: copie.

(Modificato da prova Invalsi 2017)

329

UNITÀ 9

Equazioni di primo grado

Compito di realtà Promozioni al supermercato

EDUCAZIONE FINANZIARIA

Laura vuole approfittare delle promozioni in corso nei tre supermercati del suo paese per rifornirsi di confezioni di acqua minerale.

Supermercato A Compri 3 e paghi 2

Supermercato B Per ogni articolo acquistato, il secondo lo paghi la metà

Supermercato C Sconto del 20% su una serie di articoli scelti

Supponi che la marca di acqua che Laura intende acquistare rientri tra gli articoli scontati nel supermercato C e che il prezzo non scontato, diciamo x, di una confezione di bottiglie di acqua sia lo stesso in tutti e tre i supermercati.

1 Esprimi, in funzione di x, il totale che Laura pagherà per l’acquisto di 2 confezioni di acqua rispettivamente nel supermercato A, nel supermercato B e nel supermercato C. Se Laura intende acquistare 2 confezioni di acqua, in quale supermercato le conviene effettuare l’acquisto?

2 Rispondi alle domande del quesito precedente nel caso in cui Laura voglia acquistare 3 confezioni di acqua invece di 2.

Laura ha acquistato 2 confezioni di acqua nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta. Maria ha invece acquistato 3 confezioni di acqua dello stesso tipo, sempre nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta.

3

Completa gli scontrini di Laura e Maria:

Scontrino Laura

Scontrino Maria

Acqua x 2 Sconto Totale

Acqua x 3 Sconto Totale

.......... ..........

5,70

.......... .......... ..........

Successivamente Laura e Maria acquistano rispettivamente 2 bottiglie di olio e 3 bottiglie di olio, nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta. Supponi che le bottiglie di olio acquistate siano dello stesso tipo, che il prezzo non scontato di una bottiglia sia lo stesso in tutti e tre i supermercati e che le bottiglie di olio siano in promozione anche nel supermercato C. 4 Laura possiede una carta fedeltà che le dà diritto a un ulteriore sconto di 1 euro sul prezzo originario non scontato di una bottiglia di olio, cui si applicheranno successivamente le altre promozioni. Anche Maria possiede una carta fedeltà che le dà diritto a un ulteriore sconto di 1 euro sul totale scontato da pagare per l’acquisto delle 3 bottiglie.

Maria, per l’acquisto delle 3 bottiglie di olio, ha pagato 2 euro e 50 centesimi in più di quanto Laura ha pagato per l’acquisto di 2 bottiglie. Qual è il costo, non scontato, di una bottiglia di olio?

5 Come cambierebbe la risposta al quesito precedente, se lo sconto al quale dà diritto la carta fedeltà fosse del 20% sul totale scontato, sia per la carta di Laura sia per quella di Maria?

AL LAVORO CON L’INTELLIGENZA ARTIFICIALE

Poni la seguente richiesta al chatbot che preferisci.

Crea un volantino pubblicitario per un supermercato, con 10 prodotti in offerta di marche inventate. Ogni prodotto deve essere caratterizzato da un nome, in grassetto, un prezzo reale in euro, il prezzo scontato e lo sconto percentuale applicato.

Tocca a te Come esercizio, calcola il prezzo della spesa scontato e la percentuale di sconto applicata sul totale. Tale percentuale corrisponde alla media pesata degli sconti dei singoli prodotti?

Usa lo svolgimento di questo compito di realtà come spunto per il tuo Capolavoro 330

Risposte p. 561

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EDUCAZIONE FINANZIARIA

Lezione 12

A Equazioni di primo grado SINTESI VISUALE

Equazione Uguaglianza contenente almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.

ESEMPIO

2x – 1 1° membro

=

x+2

è un’equazione nell’incognita x.

2° membro

Classificazione rispetto alle espressioni algebriche nei due membri Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in alcun denominatore; altrimenti si dice frazionaria (o fratta).

ESEMPI

Sono equazioni intere: 3 1 x – 3x = 1 x – __ x = ____ 3 2

Ai denominatori ci sono numeri, mai l’incognita

Sono equazioni frazionarie: 3 x – __ = 1 x –1 – 3x = 5 equivale a __1x 2x

Equazione in forma normale

Grado di un’equazione

Equazione della forma A(x) = 0, dove il polinomio A(x) è in forma normale.

Il grado del polinomio A(x), una volta che l'equazione è nella forma normale A(x) = 0.

ESEMPI

ESEMPIO

È in forma normale

Non è in forma normale

x – 3x + 5 = 0

x – 3x = 5

2

2

x + 2x + 1 = x

forma normale

2x + 1 = 0

equazione di 1° grado

Soluzione di un’equazione in una incognita Numero che, sostituito nell’equazione al posto dell’incognita, la trasforma in una uguaglianza vera.

ESEMPI

–1 è una soluzione dell’equazione x – 1 = 0 perché, sostituendo –1 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza vera: (– 1) – 1 = 0, ossia 0 = 0.

Equazioni equivalenti

Classificazione in base alle soluzioni

Equazioni che hanno le stesse soluzioni.

Un’equazione di primo grado si dice: • determinata se ammette una sola soluzione; • impossibile se non ammette alcuna soluzione; • indeterminata se ammette infinite soluzioni.

ESEMPIO

2x = 2 e 3x = 3 sono equivalenti perché hanno entrambe soluzione x = 1.

56

+ 2 non è una soluzione dell’equazione x – 1 = 0 perché, sostituendo + 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza falsa: (+ 2) – 1 = 0, ossia 3 = 0.

ESEMPI

• 2x = 2 è determinata perché ha l’unica soluzione x = 1.

• 0x = 2 è impossibile perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, non 2.

• 2x = 2x è indeterminata perché è verificata per ogni valore reale di x.

Equazioni di primo grado

Lezione 12

Principi di equivalenza ESEMPI

Regole

Equazione originaria

Equazione equivalente

Si può aggiungere o sottrarre a entrambi i membri di un’equazione uno stesso termine (primo principio di equivalenza).

3x + 4 = 5

→ Sottraiamo a entrambi → 3x + 4 – 4 = 5 – 4 i membri il numero 4.

Si può trasportare un termine che 2x + 3 = 5 – 4x compare come addendo da un membro all’altro di un’equazione cambiandogli il segno.

Se in un’equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, questi si possono «sopprimere».

→ Trasportiamo – 4x al primo membro e + 3 al secondo.

→ 2x + 4x = 5 – 3

x + x = x + 2x + 1 → Possiamo sopprimere → x = 2x + 1 i due termini di secondo grado.

Si possono moltiplicare o dividere 6x – 3 = 9 entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, purché 1x = 1 1 x – __ __ questo sia diverso da zero 2 3 (secondo principio di equivalenza).

→ Possiamo dividere tutti i termini per 3.

→ 2x – 1 = 3

→ Possiamo moltiplicare → 3x – 2x = 6 tutti i termini per 6.

Equazione di primo grado in forma normale a=0

Equazione in forma normale ax = b

b=0 equazione indeterminata (identità) S =R

a≠0

b≠0 equazione impossibile S =∅

ESEMPIO

ESEMPIO

0x = 0 è indeterminata

0x = 4 è impossibile

equazione determinata b S= a ESEMPIO

2x = 6 ⇒ x = 6 = 3 2 è determinata

Metodo risolutivo di una generica equazione di primo grado numerica intera ESEMPIO

x+1 1 x = _____ 2x – 1 – __ .

Risolviamo l’equazione _____ 2 3 4 6(2x − 1) − 4x 3(x + 1) 12 ⋅ = ⋅12 12 12 m.c.m.(2, 3, 4)

6(2x – 1) – 4x = 3(1 + x) 12x – 6 – 4x = 3 + 3x 12x – 4x – 3x = 6 + 3 5x = 9 9 x = __ 5

METODO

1. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, si riconducono i due membri al minimo comune denominatore, poi si moltiplicano per il denominatore comune per ricondursi a una equazione a coefficienti interi.

2. Si svolgono eventuali calcoli.

3. Si portano tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al secondo.

4. Si risolve l’equazione del tipo ax = b a cui si giunge.

57

Lezione 12 1

B Esercizi guidati

Completa la seguente tabella, seguendo l’esempio.

Equazione

Sostituisci al posto di x il numero ...

Ottieni l’uguaglianza...

x2 + 2x + 3 = 0

−1

1−2+3=0

V F

Sì NO

3x + x = 4

2

....................

V F

Sì NO

x3 + 8 = 0

−2

....................

V F

Sì NO

2x − 8 = x + 4

12

....................

V F

Sì NO

2

L’uguaglianza Il numero sostituito ottenuta è vera al posto di x è una o falsa? soluzione dell’equazione?

Completa la tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda.

Passi del procedimento

Equazione da risolvere: (x − 1)2 − x2 = x +1 2 3

Equazione da risolvere: x − 4 = (x + 2)2 − x2 2 3

Riconduci i due membri al minimo comune denominatore, quindi moltiplicali per il denominatore comune

3(x − 1)2 − 3x2 = 2x + 2

3(x − 4) = 2(.....)2 − .....

Svolgi i calcoli.

3x 2 − 6x + 3 − 3x 2 = 2x + 2

3x − ..... = 2x2 + ..... + 8 − .....

−6x + 3 = 2x + 2

3x − ..... = 8 + .....

Porta i termini con l’incognita al 1° membro e gli altri al 2° membro.

−6x − 2x = +2 − 3

3x − ..... = 12 + .....

Riduci i termini simili.

−8x = −1

−5x = .....

Dividi i due membri per il coefficiente dell’incognita.

x = −1 = 1 −8 8

x = .....

6⋅

3(x − 1)2 − 3x 2 2(x + 1) = ⋅6 6 6 m.c.m.(2, 3)

6⋅

3(x − 4) 2(x + 2)2 − 2x 2 = ⋅6 6 6 m.c.m.(2, 3)

3 Caccia all’errore. Nella prima colonna della seguente tabella sono riportate le risoluzioni di alcune equazioni. Nel risolvere le equazioni sono stati commessi, però, vari errori. Individuali e correggili.

Risoluzioni

58

È corretto?

Eventuale correzione

3x = x + 1 ⇒ 3x − x = 1 ⇒ 2x = 1 ⇒ ⇒x=−1 2

Sì NO

3x = x + 1 ⇒ 3x − x = 1 ⇒ x = 1 2

1 (2x + 3) = 3 ⇒ 1 (2x + 3) = 3 ⇒ 2 2 ⇒ x +3 = 3⇒ x = 0

Sì NO

................................................................

x + 3 = 1 ⇒ x = 1 − 3 ⇒ x = 1−3 ⇒ 2 3 3 2 3−2 ⇒ x = −2

Sì NO

................................................................

2(x + 1) = 3 ⇒ 2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ ⇒ x =1

Sì NO

................................................................

9x + 10 = 8x − 2 ⇒ 9x − 8x = −2 + 10 ⇒ ⇒x=8

Sì NO

................................................................

Lezione 12

Equazioni di primo grado Problemi e modelli

4

Completa la risoluzione dei seguenti problemi.

Passi

Problema 1

Problema 2

Testo del problema

In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 104 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?

In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 99 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?

1. Individuare dati e obiettivo

Dati: • 30 veicoli (auto o moto) • in tutto ci sono ........ ruote Obiettivo: n° di auto e n° di moto

• 30 veicoli (auto o moto) • in tutto ci sono ........ ruote

Obiettivo: n° di auto e n° di moto

Sia x il numero di auto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale.

Possiamo scrivere l’equazione: 4⋅x + 2 ⋅ (.....) = 104

Sia x il numero di moto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale.

Possiamo scrivere l’equazione: 4 ⋅ (30 − x) + ..... = 99

2. Formalizzare il problema

numero di ruote delle auto

3. Risolvere l’equazione

Dati:

numero di ruote delle auto

numero di ruote delle moto

Risolviamo l’equazione: x = ........

numero di ruote delle moto

Risolviamo l’equazione: x = ........

4. Interpretare la La soluzione trovata (numero di auto) La soluzione trovata (numero di soluzione e è accettabile in quanto è un numero moto) non è accettabile in quanto concludere naturale. Concludiamo che, nel non è un numero .......... parcheggio, ci sono: Concludiamo che la situazione ....... auto e 30 − ....... = ....... moto descritta nel problema è impossibile.

5 A fianco di ciascun problema è indicata l’equazione che lo formalizza, in cui x indica il numero di risposte non date. Completa l’equazione, risolvila e concludi la risoluzione del problema.

Problema 1. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 2 punti per ogni risposta esatta, 0 punti per ogni risposta non data e toglie un punto per ogni risposta sbagliata. Il punteggio totale ottenuto è stato 16 e le risposte sbagliate sono state uguali a quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?

2(20 − .....)

+

Problema 2. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 28 e le risposte sbagliate sono state tante quante quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?

.....(20 − .....)

−

punteggio relativo alle risposte esatte

punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date

punteggio totale

Problema 3. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 20 e le risposte sbagliate sono state il quadruplo di quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?

.....(20 − .....)

−

1 ⋅ 5x

.....

punteggio relativo alle risposte esatte

punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date

punteggio relativo alle risposte esatte

0⋅x

−

1⋅x

=

punteggio punteggio relativo alle tolto a causa risposte delle risposte non date sbagliate

1 ⋅ .....

=

=

..... punteggio totale

.....

punteggio totale

59

Lezione 12

C Esercizi da svolgere Autovalutazione

Test 1

2

3

1 + 2x = x + 1 nell’incognita x è: 2 3 A numerica intera C letterale intera B numerica frazionaria D letterale frazionaria L’equazione

1 = a +x nell’incognita x è: x 2 A numerica intera B numerica frazionaria L’equazione

L’equazione 5x = 0 è: A determinata B indeterminata, ma non un’identità

4

C letterale intera D letterale frazionaria C impossibile D un’identità

L’equazione 0x = 100 è: A determinata B indeterminata, ma non un’identità

C impossibile D un’identità

Scrivi le seguenti equazioni in forma normale e stabiliscine il grado.

3 3 5 (x − 1)2 = (x + 1)2 + x2 7 (x + 1) = (x − 1) 6

x(x − 1)(x − 2) = x3 − 3x2

8

(x − 1)(x + 1) = 1 + (x − 2)2

Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione.

9

(x − 3)2 = −1

x=2

11

(x − 3)2 = 25

x = −2

10

(2x − 3)2 = 9

x=3

12

(2x − 3)2 = −81

x = −3

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi o frazionari. ⎡3 ⎤ ⎡− 10 ⎤ 13 − 2 x = x − 1 21 x − x − 3 = − 1 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 2 4 12 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 3 2 2 ⎡ ⎤ 14 0,1x = x − 0,2 22 (x − 1)(x + 2) − (x − 3) = x + 1 [2] ⎣⎢ 9 ⎦⎥ (2x − 2)2 ⎡3 ⎤ 15 3x + 2 = 2x + 4 [2] − x2 = x − 1 23 4 2 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 16 −2(x − 1) = 3(x + 4) [−2] x −1 − x +1 = 1 x − 1 24 [Indeterminata] 3 6 6 2 2 2 17 2(x − 1) + x = (x + 1) [Impossibile] 25 x − 3 − x − 2 = 1 x − 1 [Impossibile] 1 (3x + 1) = x 2 3 6 18 [Impossibile] 2 2 3 1 x −3 − 1 x +2 +4 = 0 ⎡9 ⎤ 26 [3] 19 (x − 2)2 = (x + 2)(x − 2) + 2(1 − x) 2 2 ⎣⎢ 5 ⎦⎥

(

⎡1 ⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥

20

(2x − 1)(2x + 1) = (2x − 1)2

28

(3x − 2)2 − (2x + 1)2 = (x − 3)(5x − 1)

29

x(x − 1) 1 − + (x − 1)2 = 3 (x + 1)(x − 3) + 11 2 3 2 3

) (

)(

(

)

32

(x − 3)2 − (2x + 1)(2x − 1) = 7x − (x + 5)(3x − 2)

x − 1 − 2 x − 3 3 x + 5 − 5x + 3 = 1 2 3 2 2 8 6 31 7x + 2(3 − x) = −13x − 4 − (8 − 12x)

33 34

60

(

)

7 (x + 1) + 3 (2x 2 − 5x − 2) = 3 x x − 3 2 4 2 2 7 x − 1 1 + 7 x − 1 1 x 2 + 8x − 12 = (4x − 1)2 3 3 3 3 3

(

)(

) (

)

1 x + 1 x − 2− x =2− x 2 3 12 4

⎡13 ⎤ ⎢⎣ 7 ⎥⎦

[Indeterminata]

30

2

27

) (

)

[−3] [Impossibile] [−3] [Indeterminata] [−1] [Impossibile]

Equazioni di primo grado 35

Completa l’equazione x + 2 = 2x + ….. in modo che abbia come soluzione 0.

36

Completa l’equazione 3x − 2 = 5x − ….. − ….. in modo che risulti indeterminata.

37

Completa l’equazione 3x − 2 = 5x − ….. + ….. in modo che risulti impossibile.

Lezione 12

Invalsi

38 Una sorgente di montagna alimenta continuamente un serbatoio con 5 m3 di acqua ogni settimana. Oggi il serbatoio contiene 100 m3 di acqua e un villaggio inizia a prelevare 7 m3 di acqua alla settimana. a. Completa la seguente tabella relativa al numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane a partire da oggi.

t (settimane) 3

n (m )

0

1

2

3

4

100

…..

…..

…..

…..

b. Scrivi un’espressione che rappresenti il numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane. c. Dopo quante settimane il serbatoio sarà vuoto?

A 20 settimane C 98 settimane B 50 settimane D 102 settimane (Prova Invalsi 2015)

[b. n = 100 − 2t]

Un palo verticale è piantato in uno stagno. Un quinto del palo è interrato nel fondale, un sesto è immerso in acqua e la parte del palo che esce dall’acqua è lunga 8,9 metri. a. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la lunghezza totale x del palo?

1 + 1 + 8,9 = x 1 x + 1 x = x + 8,9 1 x + 1 x + x = 8,9 1 x + 1 x + 8,9 = x A B C D 5 6 5 6 5 6 5 6 39

b. Qual è la lunghezza totale x del palo? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta il risultato arrotondato alla seconda cifra decimale: ..................................................................

Risultato: .................... m

[b. 14,05 m]

(Prova Invalsi 2015)

Problemi e modelli

40 Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 15%, viene venduto al prezzo di 34 euro. Qual era il prezzo originario dei pantaloni? [40 euro]

Un appartamento viene acquistato in tre rate: prima si paga il 10%, poi il 50% della cifra rimanente e infine si salda il conto versando 36 000 euro. Quanto costa l’appartamento?

[80 000 euro] 41

42 Si vuole formare la somma di 10 euro utilizzando 18 monete, alcune da 1 euro e altre da 50 centesimi. Quante monete da 1 euro e quante da 50 centesimi sono necessarie?

[2 monete da 1 euro e 16 da 50 centesimi] 43 Un padre, che ha 36 anni, ha un figlio di 14 anni. Fra quanti anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio?

[Fra 8 anni] 44 Determina due numeri naturali consecutivi in modo che la loro somma, diminuita di 18, uguagli il triplo della differenza fra il maggiore e il doppio del minore.

[4 e 5]

45 In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 9 cm la metà della base minore, 2 mentre i lati obliqui superano di 1 cm i della 3 base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio.

[12 cm, 6 cm, 5 cm, 5 cm]

Mirko ha notato che il giardino sotto casa è di forma quadrata, e che riducendone i lati di un metro soltanto, la sua area diminuirebbe di 65 metri quadrati. Qual è l’area del giardino, in metri quadrati?

[1089 m2] 46

Su una nave da crociera ci sono 700 passeggeri. Quelli che viaggiano in classe lusso sono 1 di quelli di prima classe, e i passeggeri di 4 7 seconda classe sono i della somma delle altre 3 due. Sapendo che tutti i passeggeri sono o in prima classe o in seconda classe o in classe lusso, quanti passeggeri ci sono in ogni classe?

[Classe lusso: 42; prima classe: 168; seconda classe: 490] 47

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