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UNITÀ

10 Equazioni

di primo grado

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x

1 x + __ 1 x+3 = __ 2 7

primo membro

secondo membro

GUARDA PIÙ AVANTI In questa unità ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita e, salvo avviso contrario, indicheremo l’incognita con la lettera x; le equazioni frazionarie e letterali verranno invece trattate nella prossima unità.

1

Equazioni di primo grado

Introduzione alle equazioni

Che cos’è un’equazione?

DEFINIZIONE

ESEMPI

Equazione

Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.

• 3x + 2 = 4(2x − 1) è un’equazione nell’incognita x.

• 2y − 1 = y + 3 è un’equazione nell’incognita y.

L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’equazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro dell’equazione.

Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire altre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non viene specificato per dare al problema maggiore generalità.

Una equazione si dice ...

... intera, se l’incognita non compare in alcun divisore (in particolare in alcun denominatore).

... frazionaria, se non è intera.

... numerica se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, non compaiono parametri.

Esempi di equazioni numeriche intere:

Esempi di equazioni numeriche frazionarie:

... letterale (o parametrica) se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, compare almeno un parametro.

Esempi di equazioni letterali intere nell’incognita x: x−a k(x − 1) = x + k; 4x = _____ 3

5x = − 1 + 2x;

3 x = x2 ___ 2

2x − 1 = 0 1 ; _______ x = ___ x x+3 Esempi di equazioni letterali frazionarie nell’incognita x: ax + 2 = 0 1 − kx ; ______ 1 = ______ x x−2

k è il parametro a è il parametro k è il parametro a è il parametro

Le soluzioni di un’equazione Risolvere un’equazione nell’incognita x significa determinare, se esistono, i valori di x che, sostituiti all’incognita, rendono l’equazione un’uguaglianza vera: questi numeri si chiamano soluzioni (o radici) dell’equazione.

L’insieme S di tutte le soluzioni si dice insieme delle soluzioni (o insieme soluzione) dell’equazione.

ESEMPIO

Verifica delle soluzioni di un’equazione

Consideriamo l’equazione x 2 − 9 = 0: • 3 è una sua soluzione perché, sostituendo 3 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza 32 − 9 = 0, cioè 9 − 9 = 0, che è vera; • 2 non è una soluzione dell’equazione perché, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza 22 − 9 = 0, cioè − 5 = 0, che è falsa.

324

1. Introduzione alle equazioni

UNITÀ 10

L’insieme delle soluzioni dipende anche dall’insieme numerico in cui si cercano le soluzioni, detto dominio o insieme di definizione dell’equazione.

ESEMPIO

Dominio di un’equazione

L’ equazione 2x = 1, se assumiamo come dominio R, ammette come soluzione 1. x = __ 2 La stessa equazione non ammette soluzioni se assumiamo come dominio l’insieme N, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dà come risultato 1.

Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme R dei numeri reali.

Le equazioni determinate, impossibili, indeterminate e le identità Si può effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’insieme delle soluzioni, come spiegato nella seguente tabella.

L’insieme delle soluzioni può essere...

L’equazione si dice...

Esempi

finito

propria o determinata

• 2x = 4

L’unica soluzione dell’equazione è 2, quindi S = {2}.

S è un insieme finito.

• 3x − 1 = 2

L’unica soluzione dell’equazione è 1, quindi S = {1}.

S è un insieme finito.

infinito

indeterminata

• 2(x + 3) = 2x + 6

In base alla proprietà distributiva, questa equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R.

• 2x + 3x = 4x + x

Eseguendo le somme otteniamo 5x = 5x, che è soddisfatta per ogni x ∈ R.

vuoto

impossibile

• x2 = − 1

Ogni numero reale ha come quadrato un numero non negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.

• x=x+1

Ogni numero reale non può essere uguale allo stesso numero aumentato di uno, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅.

In questo e nel prossimo volume studieremo principalmente equazioni algebriche, cioè equazioni i cui due membri sono costituiti da espressioni algebriche (polinomi o espressioni frazionarie). In questo ambito, le equazioni indeterminate hanno una particolare caratteristica: risultano essere sempre delle identità.

DEFINIZIONE

Identità

Una identità è una uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più variabili, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle variabili, con l’esclusione di quelli che fanno eventualmente perdere significato alle due espressioni.

ESEMPI

3(x + 1) = 3x + 3

1 1 ___________ = ________ 2 x − 2x + 1 (x − 1)2

È un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R

È un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R − {1}, essendo x = 1 l’unico valore per cui perde significato

Esercizi p. 336 325

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

2

Principi di equivalenza per le equazioni

Alcune proprietà delle uguaglianze Nell’insieme dei numeri reali, l’addizione e la moltiplicazione godono di diverse proprietà. Riassumiamo nella seguente tabella quelle su cui si fondano i principi di equivalenza per le equazioni.

Addizione

Moltiplicazione

Se a e b sono due numeri reali uguali, allora sono uguali anche i numeri che si ottengono aggiungendo a essi uno stesso numero reale c: se a = b, allora a + c = b + c

Se a e b sono due numeri reali uguali, allora sono uguali anche i numeri che si ottengono moltiplicandoli per uno stesso numero reale c: se a = b, allora a ⋅ c = b ⋅ c

Se a, b e c sono tre numeri reali e a + c è uguale a b + c, allora a e b sono uguali:

Se a, b e c sono tre numeri reali, con c diverso da 0, e inoltre ac è uguale a bc, allora a e b sono uguali: se a ⋅ c = b ⋅ c e c ≠ 0, allora a = b

se a + c = b + c, allora a = b

Anziché dimostrare tali proprietà rigorosamente, preferiamo fornirne la classica interpretazione in termini di bilance a due piatti.

Con GeoGebra Principi di equivalenza delle equazioni e bilance

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Uguaglianze e bilance a due piatti

• L’equivalenza a = b ⇔ a + c = b + c può essere facilmente interpretata così: se i due piatti di una bilancia sono in perfetto equilibrio perché contenenti pesi identici, essi mantengono inalterato l’equilibrio se si aggiungono (o sottraggono) a entrambi pesi uguali. a

a

b

c

b

c

⇔ a=b

a+c=b+c

• L’equivalenza a = b ⇔ a ⋅ c = b ⋅ c (essendo c ≠ 0) si presta altrettanto bene all’immagine: se i due piatti di una bilancia sono in perfetto equilibrio perché contenenti pesi identici, essi mantengono inalterato l’equilibrio se si raddoppiano (triplicano, dimezzano ecc.) i rispettivi pesi.

2a a

2b

b

⇔ a=b

a·c=b·c

(c ≠ 0)

Le equazioni equivalenti A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si dà un nome particolare.

DEFINIZIONE

Equazioni equivalenti

Due equazioni con lo stesso dominio si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

326

ESEMPIO

Le equazioni x − 2 = 0 e 5x − 10 = 0 sono equivalenti perché hanno entrambe come insieme delle soluzioni S = {2}.

2. Principi di equivalenza per le equazioni

UNITÀ 10

Nei prossimi sottoparagrafi presentiamo delle regole che permettono di trasformare una data equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci saranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.

Il primo principio di equivalenza e le relative conseguenze Data la sua importanza, presentiamo il primo principio di equivalenza come teorema. Esso dipende sostanzialmente dalle proprietà dell’uguaglianza in relazione con le operazioni di addizione e sottrazione.

PRINCIPIO

Primo principio di equivalenza per le equazioni

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione un numero o un’espressione algebrica definita per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

ESEMPI a. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 2x − 3 = 5 il numero 3, si

ottiene l’equazione equivalente 2x − 3 + 3 = 5 + 3, ossia 2x = 8. b. Sottraendo a entrambi i membri dell’equazione 2x + 3 = 5x l’espressione 2x (definita per ogni valore reale di x), si ottiene l’equazione equivalente 2x + 3 − 2x = 5x − 2x, ossia 3 = 3x. c. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 3x − 1 = 4 il numero 1 e sottraendo a entrambi i membri l’espressione x, si ottiene l’equazione equivalente 3x − 1 + 1 − x = 4 + 1 − x, cioè 2x = 5 − x.

Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del primo principio di equivalenza.

Conseguenze del primo principio

Giustificazione

Esempi

Regola del trasporto: si può spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro di un’equazione pur di cambiargli segno.

Ciò equivale a sottrarre quel termine a entrambi i membri dell’equazione.

L’equazione

Regola di cancellazione di termini uguali: se un certo termine compare come addendo sia in uno sia nell’altro membro di un’equazione, può essere soppresso.

Ciò equivale a sottrarre quel termine da entrambi i membri dell’equazione.

3x = 1 + 2x

equivale a: 3x − 2x = 1 Infatti, per il primo principio, 3x = 1 + 2x equivale a: 3x − 2x = 1 + 2x − 2x ossia a: 3x − 2x = 1 x2 + 3x = 7 + 3x equivale, sopprimendo + 3x, a: x2 = 7 Infatti, per il primo principio, l’equazione data equivale a: x2 + 3x − 3x = 7 + 3x − 3x ossia a: x2 = 7

Quando si vuole applicare il primo principio di equivalenza, è essenziale controllare che l’espressione che si aggiunge (o toglie) sia sempre definita.

FISSA IL CONCETTO

Necessità delle ipotesi del primo principio

1 , otteAggiungendo a entrambi i membri dell’equazione x = x2 l’espressione __ 1 = x2 + __ 1 , che non è equivalente a quella data:xinfatti, niamo l’equazione x + __ x x la prima equazione ammette 0 come soluzione, mentre la seconda perde significato quando x = 0 (perché si annullano i denominatori), quindi non può ammettere 0 come soluzione. Ciò non è in contrasto con il primo principio: infatti, 1 non in questo caso, tale principio non si può applicare, perché l’espressione __ x è definita quando x = 0.

327

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

Il secondo principio di equivalenza e le relative conseguenze PRINCIPIO

Secondo principio di equivalenza per le equazioni

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per un numero diverso da 0, o per un’espressione algebrica definita e non nulla per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

ESEMPI a. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 3,

si ottiene l’equazione equivalente 3 ⋅ (4x + 1) = 3 ⋅ 10x, cioè 12x + 3 = 30x.

b. Dividendo entrambi i membri dell’equazione 4x + 1 = 10x per il numero 2, si

4x + 1 = __ 10x , cioè 2x + __ 1 = 5x. ottiene l’equazione equivalente __ 2 2 2

Nella tabella seguente raccogliamo le principali conseguenze del secondo principio di equivalenza.

RIFLETTI Per esempio, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione x = x per l’espressione x − 2 otteniamo l’equazione x(x − 2) = x (x − 2) che non è equivalente a quella data: infatti, puoi verificare che la seconda equazione ammette 2 come soluzione, mentre 2 non è una soluzione della prima equazione.

In questo caso, il secondo principio non si può applicare, perché l’espressione x − 2 si annulla quando x = 2.

Conseguenze del secondo principio

Giustificazione

Esempi

Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo, si possono dividere i due membri per quel fattore.

È una diretta applicazione del secondo principio.

4x + 6 = 12 è equivalente, dividendo tutti i termini per 2, all’equazione: 6 = __ 4x + __ 12 , cioè __ 2 2 2 2x + 3 = 6

Si possono cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione.

Ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri per − 1.

− x2 + 6x − 5 = 10 è equivalente a: x2 − 6x + 5 = − 10

Si può trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi.

Basta moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione.

1 x = 4 m.c.m.(2, 3) = 6 1 x + __ __ 2 3 è equivalente a: 1 x + __ 1 x =6·4 6(__ 2 3 ) ossia a: 3x + 2x = 24

Quando si vuole applicare il secondo principio di equivalenza, è essenziale controllare che l’espressione per la quale si moltiplica sia sempre definita e non si annulli mai.

La forma normale e il grado di un’equazione Utilizzando la regola del trasporto è sempre possibile scrivere un’equazione nell’incognita x nella forma P(x) = 0.

Se P(x) è un polinomio ridotto nella variabile x, l’equazione si dice algebrica e scritta in forma normale (o canonica). In tal caso il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’equazione.

ESEMPI

Grado di un’equazione

a. L’equazione 4x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di primo grado.

b. L’ equazione x 2 − x + 2 = 0 è algebrica, scritta in forma normale e di secondo

grado.

c. L’ equazione (x + 1)2 = x2 + 2 non è in forma normale. Per determinare il

Esercizi p. 338 328

grado dell’equazione, dobbiamo prima riscriverla in tale forma: Svolgendo i calcoli x2 + 2x + 1 = x2 + 2 x2 + 2x + 1 − x2 − 2 = 0 Portando tutti i termini al primo membro 2x − 1 = 0 Riducendo i termini simili L’equazione è quindi di primo grado.

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

3

UNITÀ 10

Equazioni numeriche intere di primo grado

Il procedimento risolutivo Per risolvere un’equazione di primo grado (o lineare) nell’incognita x occorre ricondursi, mediante i principi di equivalenza e le regole del calcolo algebrico, a un’equazione del tipo ax = b e risolvere l’equazione ottenuta. Si procede nel modo seguente.

Procedimento risolutivo per le equazioni di primo grado numeriche intere nell’incognita x 1o passo Si eseguono eventuali calcoli e, se l’equazione è a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

2o passo Si trasportano i termini contenenti l’incognita x al primo membro e i termini numerici al secondo e si riducono gli eventuali termini simili.

3o passo

L’equazione si presenta ora nella forma ax = b, con a e b numeri reali:

• se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a (secondo principio di equivalenza) e si ottiene così la soluzione dell’equazione, che quindi è determinata; se b = 0, l’equazione è indeterminata

• se a = 0, allora

Qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0

se b ≠ 0, l’equazione è impossibile

Nessun numero, moltiplicato per 0, può dare un risultato diverso da 0

ESEMPI

Risoluzione di equazioni di primo grado

Risolviamo le seguenti equazioni. a. 2x − (3x + 4) = 4x − (x − 6)

1o passo 2x − 3x − 4 = 4x − x + 6 Togliendo le parentesi 2o passo 2x − 3x − 4x + x = + 6 + 4 Portando i termini in x al 1 membro e i − 4x = + 10 o 3 passo a = − 4 ≠ 0 ⇒ + 10 − 4x = _____ _____ −4 −4

termini numerici al 2 (1 principio) Riducendo i termini simili

Dividendo entrambi i membri per − 4 (2 principio)

5 + 10 = − ___ x = _____ Semplificando −4 2 Pertanto l’equazione è determinata e il suo insieme delle soluzioni è: 5 S = {− ___ 2} b. 5x − 8 − 2x = 3x − 8 1o passo Nessun calcolo da eseguire e nessun denominatore da eliminare.

2o passo 5x − 2x − 3x = − 8 + 8 ⇒ 0x = 0 3o passo a = 0 e b = 0 L’ equazione è indeterminata.

3x + 1 1 c. _____ − 4 = __ + x 2 3 1o passo Poiché m.c.m.(3, 2) = 6 riscriviamo inizialmente i due membri con denominatore comune 6, quindi li moltiplichiamo entrambi per 6 in modo da ricondurci a una equazione intera.

2(3x + 1) − 4 ⋅ 6 3 + 6x ⋅ 6 ⇒ 6x + 2 − 24 = 3 + 6x 6 ⋅ ______________ = ______ 6 6 2o passo 6x − 6x = 3 − 2 + 24 ⇒ 0x = 25 3o passo a = 0 e b ≠ 0 L’ equazione è impossibile.

Esercizi p. 340 329

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

4

Scomposizioni ed equazioni

In questa unità abbiamo imparato a risolvere equazioni intere di primo grado; siamo ora in grado di gettare uno sguardo sul problema della risoluzione delle equazioni di grado superiore al primo. Precisamente, possiamo risolvere le equazioni di grado superiore al primo della forma P(x) = 0, in cui P(x) è un polinomio che si presenta scomposto, o sappiamo scomporre, in fattori di primo grado. La risoluzione si basa sulla legge di annullamento del prodotto: ab = 0

⇔

a=0∨b=0

il prodotto di due numeri reali è zero

se e solo se

almeno uno dei due fattori è zero

ESEMPI

Equazioni e legge di annullamento del prodotto

Risolviamo le equazioni: a. (2x + 4)(x − 6) = 0

b. x 3 − 6x2 = 0

c. (3x + 1)2 − (x − 2)2 = 0

a. Il primo membro è già scomposto; per la legge di annullamento del prodotto:

(2x + 4)(x − 6) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ∨ x − 6 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 6 b. Dobbiamo scomporre in fattori il primo membro dell’equazione.

x3 − 6x2 = 0 x2(x − 6) = 0 x2 = 0 ∨ x − 6 = 0 x=0 ∨ x=6

Equazione da risolvere Scomponendo in fattori Per la legge di annullamento del prodotto Risolvendo le due equazioni

c. Per risolvere l’equazione non conviene svolgere i quadrati, ma scomporre il

primo membro come differenza di due quadrati.

Equazione da risolvere (3x + 1)2 − (x − 2)2 = 0 (3x + 1 + x − 2)(3x + 1 − x + 2) = 0 Scomponendo la differenza di quadrati (4x − 1)(2x + 3) = 0 Semplificando 4x − 1 = 0 ∨ 2x + 3 = 0 Per la legge di annullamento del prodotto 3 1 ∨ x = − ___ x = ___ Risolvendo le equazioni di primo grado 4 2

Come puoi renderti conto riflettendo sugli esempi precedenti, l’insieme delle soluzioni di un’equazione del tipo P1(x) ⋅ P2(x) ⋅ … ⋅ Pn(x) = 0 è l’unione degli insiemi delle soluzioni S1, S2, …, Sn, rispettivamente, delle equazioni P1(x) = 0, P2(x) = 0, …, Pn(x) = 0.

APPLICA IL CONCETTO

Ricavi

ECONOMIA AZIENDALE

Un artigiano produce dei vasi dipinti a mano. Egli stima che il numero d di vasi che riuscirà a vendere in un mese dipende dal prezzo p di vendita (in euro) secondo la relazione d = 90 − 3p, con 0 ≤ p ≤ 30. Quale prezzo deve fissare per avere un ricavo mensile pari a 600 euro?

Il ricavo R mensile è dato dal prodotto tra il numero di vasi d venduti in un mese e il prezzo p di vendita di un singolo vaso; pertanto: R = dp = (90 − 3p)p Ponendo R uguale a 600, siamo condotti alla seguente equazione nell’incognita p, che risolviamo: (90 − 3p)p = 600 ⇔ 90p − 3p2 = 600 ⇔ 3p2 − 90p + 600 = 0 Dividendo entrambi i membri dell’ultima equazione per 3 abbiamo: p2 − 30p + 200 = 0 ⇔ (p − 10)(p − 20) = 0 ⇔ p = 10 ∨ p = 20

Esercizi p. 346 330

Dunque l’artigiano può fissare come prezzo di un vaso 10 euro oppure 20 euro.

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

5

UNITÀ 10

Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

Molti problemi hanno come modello algebrico un’equazione. Svolgeremo la risoluzione dei problemi di questo tipo secondo il seguente schema logico.

Schema logico per la risoluzione di un problema, utilizzando come modello un’equazione

Matematica nella storia Lo sviluppo dell’algebra e delle equazioni

1. Comprendere il problema

Si tratta di leggere attentamente il testo del problema e individuare i dati e l’obiettivo.

2. Costruire il modello algebrico

Questa è la fase più delicata. Si articola nelle seguenti tre sottofasi: a. scegliere, fra gli elementi non noti, uno da indicare come incognita (la scelta dell’incognita, in generale, non è unica: uno stesso problema può essere risolto in modi diversi, a seconda dell’incognita fissata, e una scelta opportuna può semplificare i calcoli); b. individuare il dominio dell’incognita (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovrà essere x > 0); c. costruire l’equazione che costituisce il modello del problema (a seconda della scelta dell’incognita, si possono trovare equazioni differenti).

3. Risolvere l’equazione 4. Analizzare la soluzione e rispondere

Si articola nelle seguenti due sottofasi: a. stabilire se la soluzione dell’equazione è accettabile anche come soluzione del problema (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovrà essere x > 0: quindi se, risolvendo l’equazione, si trovasse una soluzione negativa, questa sarebbe da scartare perché non avrebbe senso in relazione al problema); b. concludere, scrivendo la risposta.

PROBLEMA SVOLTO 1

Prezzo di vendita

ECONOMIA AZIENDALE

Federica ha creato la sua prima borsa e vuole metterla in vendita.

Stima a 64 euro i costi complessivi per il tessuto e per le rifiniture, per il tempo di produzione ecc. A quanto deve vendere la borsa Federica per realizzare sul prezzo di vendita un profitto del 20%?

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA

Dati • Profitto = 20% del prezzo • Costi di produzione = 64 euro Obiettivo • Il prezzo di vendita della borsa COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Indichiamo con l’incognita x il prezzo di vendita della borsa, comprensivo di costi e profitto.

• Osserviamo che deve essere x > 64 (perché il prezzo deve essere maggiore dei costi sostenuti da Federica).

• Per determinare x, impostiamo un’equazione che tiene conto dei dati.

20 x + 64 ⇒ x = __ 1 x + 64 x = _____ 100 5 prezzo di vendita

profitto

costi

RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

1 x + 64 x = ____ 5 5x = x + 320 320 = 80 4x = 320 ⇒ x = _________ 4

Moltiplicando entrambi i membri per 5

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

• La soluzione trovata è accettabile (infatti è maggiore di 64).

• Federica deve vendere la borsa a 80 euro.

331

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado PROBLEMA SVOLTO 2

DIRITTO

Sistema elettorale italiano

Il sistema elettorale italiano in vigore dal 2017 è di tipo misto, presenta cioè alcune caratteristiche del sistema maggioritario e alcune di quello proporzionale. La Costituzione stabilisce che alcuni parlamentari debbano essere eletti dai cittadini italiani residenti all’estero; per quanto riguarda i parlamentari eletti da cittadini residenti in Italia: • il 37,5% sono eletti col sistema maggioritario; • 367 sono eletti con un meccanismo proporzionale.

Sapendo che il numero totale di parlamentari da eleggere è 600, quanti sono i parlamentari eletti dai cittadini residenti all’estero? Il risultato va approssimato per difetto.

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA

Dati • Parlamentari totali = 600 • Parlamentari eletti in Italia col sistema maggioritario = 37,5% dei parlamentari eletti in Italia • Parlamentari eletti in Italia col sistema proporzionale = 367 Obiettivo • Parlamentari eletti all’estero COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Indichiamo con l’incognita x il numero dei parlamentari eletti all’estero; i parlamentari eletti in Italia sono quindi 600 − x.

• Per determinare x, impostiamo un’equazione che tenga conto dei dati: 37,5%

x parlamentari eletti all’estero

+

3 (600 − x) __ 8

+

367

=

600

parlamentari parlamentari parlamentari eletti in Italia con eletti in Italia con totali sistema maggioritario sistema proporzionale

RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

8x + 3(600 − x) + 2936 = 4800 8x + 1800 − 3x + 2936 = 4800 8x − 3x = 4800 − 1800 − 2936 64 = 12,8 5x = 64 ⇒ x = __ 5

Moltiplicando entrambi i membri per 8 Risolvendo le parentesi Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° Riducendo i termini simili e semplificando

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

La soluzione dell’equazione non è anche la soluzione del problema, perché il numero dei parlamentari deve essere ovviamente espresso da un numero intero. Come indicato nel testo, occorre eseguire un’approssimazione per difetto. Concludiamo così che i parlamentari eletti all’estero sono 12.

PROBLEMA SVOLTO 3

Capitalizzazione semplice

EDUCAZIONE FINANZIARIA

Impiegando un capitale di 29 280 euro al tasso di interesse del 9,5% in regime di capitalizzazione semplice, si è ottenuto un montante di 37 624,80 euro. Per quanto tempo è stato impiegato il capitale?

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA

Dati • Capitale iniziale = 29 280 euro • Tasso di interesse = 9,5% • Montante = 37 624,80 euro Obiettivo • Per quanto tempo è stato impiegato il capitale 332

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

UNITÀ 10

COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Indichiamo con l’incognita x il tempo, in anni, in cui è stato impiegato il capitale.

Dovrà essere x > 0.

• Ricordiamo che in regime di capitalizzazione semplice vale la formula M = C(1 + it), dove M indica il montante, C il capitale iniziale, i il tasso di interesse e t il tempo dell’investimento.

• Sostituendo i valori noti all’interno della formula, otteniamo l’equazione: 37 624,80 = 29 280(1 + 0,095x) montante

capitale iniziale

i = 9,5%

RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

37 624,80 = 29 280(1 + 0,095x) 37 624,80 = 29 280 + 2781,60x − 2781,60x = 29 280 − 37 624,80 − 8344,8 x = __ = 3 − 2781,60

Svolgendo la moltiplicazione Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° Svolgendo i calcoli al 2° membro e dividendo per il coefficiente di x

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

La soluzione trovata è accettabile perché è positiva; il capitale è stato impiegato per 3 anni.

PROBLEMA SVOLTO 4

Triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 10 cm, mentre l’altro cateto è lungo 2 cm in meno dell’ipotenusa. Determinare la lunghezza dell’ipotenusa.

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA

Dati • ABC è un triangolo rettangolo • AB = 10 cm • AC = BC − 2 cm Obiettivo • Lunghezza di BC COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Indichiamo con x la misura, in cm, dell’ipotenusa BC: la misura del cateto AC, in base ai dati del problema, sarà allora x − 2 (Fig. 1).

• Dal momento che x è la misura di un lato di un triangolo, dovrà essere x > 0; inoltre, essendo la misura dell’ipotenusa maggiore delle misure dei cateti, dovrà essere x > 10.

• Per impostare un’equazione, dobbiamo sfruttare un’informazione che non è esplicitamente espressa nel testo del problema, ma è implicita nel termine «triangolo rettangolo» e nelle proprietà di tale figura: in ogni triangolo rettangolo vale il teorema di Pitagora. Dunque possiamo scrivere la seguente equazione: 102 + (x − 2)2 La somma dei quadrati costruiti sui cateti

=

x2

è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa

C

x

x–2

A

10

B

Figura 1 C

RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

102 + (x − 2)2 = x 2 100 + x 2 − 4x + 4 = x 2 − 4x = − 104 − 104 = 26 x = _____ −4

Svolgendo il quadrato di binomio Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2°

26

24

Dividendo per − 4

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

• La soluzione ottenuta è accettabile, in relazione al problema, perché è maggiore di 10.

• La conclusione, bene riassunta in Fig. 2, è che l’ipotenusa del triangolo è lunga 26 cm, mentre l’altro cateto è lungo 24 cm.

A

10

B

Figura 2

Esercizi p. 348 333

Percorso delle idee Equazioni di primo grado Equazione Uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.

Grado di un’equazione algebrica Data un’equazione scritta nella forma normale A(x) = 0, il grado di un’equazione algebrica è il grado del polinomio A(x).

ESEMPIO 5x2 − 3 = 0 è un’equazione di secondo grado.

Equazioni equivalenti Equazioni con lo stesso dominio che hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Primo principio di equivalenza

Secondo principio di equivalenza

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una espressione algebrica sempre definita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione sempre definita e non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Applicazioni del primo principio

Applicazioni del secondo principio

ESEMPI • 5x = x + 2

ESEMPI • 6x = 3 + 9x

è equivalente a 5x − x = 2

• x2 − 2x = − 2x + 2 è equivalente a 2

x =2

Puoi spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro pur di cambiargli il segno (regola del trasporto) Se un termine (− 2x) compare come addendo sia in un membro di un’equazione sia nell’altro, puoi eliderlo

è equivalente a 2x = 1 + 3x

• − x2 + 3x − 4 = 10 è equivalente a

Puoi cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione

x2 − 3x + 4 = − 10 1 1 • __ x + __x = 4 2 3 è equivalente a 1 1 6 ⋅ (__x + __x) = 6 ⋅ 4 2 3 ossia a 3x + 2x = 24

334

Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo (3), puoi dividere i due membri per quel fattore

Puoi trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in un’equazione equivalente a coefficienti interi, moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori

Equazioni di primo grado

UNITÀ 10

Classificazione delle equazioni algebriche Le equazioni algebriche possono essere classificate in base al numero delle loro soluzioni. Un’equazione algebrica è detta: • determinata, se l’insieme delle sue soluzioni è finito.

ESEMPIO 3x = 6, S = {2} • indeterminata, se l’insieme delle sue soluzioni è infinito.

ESEMPIO 2(x + 5) = 2x + 10, S = R • impossibile, se l’insieme delle sue soluzioni è vuoto.

ESEMPIO x2 = − 3, S = ∅

Equazioni di primo grado numeriche intere Indicando l’incognita con x, sono le equazioni riconducibili alla forma ax = b.

Risoluzione dell’equazione ax = b a≠0

b S = {___} a

Equazione determinata

S=R

Equazione indeterminata (identità)

S=∅

Equazione impossibile

ax = b b=0 a=0 b≠0

Procedimento risolutivo Metodo generale per risolvere equazioni di primo grado numeriche intere.

ESEMPIO

x+1 1 Risolviamo l’equazione ___ x + _____ = 4 − x.

3 2 2x + 3(x + 1) 6(4 − x) Se l’equazione è a coefficienti frazionari, riscrivi entrambi __ = __ i membri con denominatore comune (il m.c.m. dei 6 6 2x + 3(x + 1) 6 ⋅ ___________ = 6 ⋅ (4 − x) 6

denominatori) e poi moltiplica entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori, in modo da ricondurti a un’equazione a coefficienti interi

2x + 3x + 3 = 24 − 6x

Svolgi le eventuali operazioni.

2x + 3x + 6x = 24 − 3

Trasporta tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo, riducendo gli eventuali termini simili

11x = 21 21 x = ____ 11

Risolvi l’equazione del tipo ax = b a cui sei giunto

335

UNITÀ

10 Esercizi

1. Introduzione alle equazioni

Teoria p. 324

Esercizi introduttivi Classifica le seguenti equazioni nella sola incognita x. Stabilisci, cioè, se sono numeriche (intere o frazionarie) o letterali (intere o frazionarie).

5 x − __ 3 =a 4 1 __ 4 (x − m)(x + m) = __ x+m a 2 8 − __ 5 =3 5 x − __ 3 x=1 2 __ 5 __ x x−1 a 2 x 1 1 1 __ __ __ __ 3 + =1 6 x + b = bx a x 3 3 Test Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?

1 1 1 B x 2 + ___ = 1 C x 2 + ___ = 1 A x 2 + ___ = 1 2 a x 8 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale? x k 1 1 = −1 1 1 C ___ + x = ___ A ___ + ___ = 1 B ___ + ___ k x x x2 a 2 9 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x non è né letterale, né frazionaria?

1 2 B (x + 1) 2 = x + ___ A x = (k + x) 2 C 3x + a = 2x ( 2) 7

1 2

x x−a

1 3

D ___ + ___ x = _____

1 2

1 3

D ___ x − ___ = x

x−1 x+1

D _____ = 2

Indica con x un numero naturale e scrivi, in ciascun caso, l’equazione che traduce le seguenti frasi.

10

Aggiungendo al doppio di un numero il suo precedente si ottiene 35.

11

La differenza fra il triplo di un numero e il suo successivo è 11.

12

Moltiplicando un numero per 4 si ottiene il quadrato della sua metà.

13

Dividendo un numero per 6 si ottiene la quarta parte del precedente del numero stesso.

14

Aggiungendo al triplo di un numero il quadrato del successivo del numero stesso si ottiene il quadruplo del numero.

Le soluzioni di un’equazione 15

ESERCIZIO GUIDATO

Stabilisci se 1 è una soluzione dell’equazione: x 2 + 2x − 3 = 4x − 4 Sostituisci 1 al posto di x nei due membri dell’equazione.

Al primo membro ottieni: 12 + 2 ⋅ 1 − 3 =

18 19

21

I due membri risultano uguali, perciò possiamo concludere che 1 è una dell’equazione.

16 Associazione. Associa con una freccia a ogni equazione posta nella prima colonna la sua soluzione posta nella seconda. a. 3x − 12 = 3 A. x = 1 3 1 __ __ b. x + x = x + 1 B. x = − 3 2 2 2 2 c. x + x + 1 = (1 + x) C. x = 5

336

17

20

Al secondo membro ottieni: =

d. (x + 1) 3 = − 8

Per ogni equazione stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione.

D. x = 0

2x − 20 = 100 2 x − ___ 1 =1 ___ 3 3 2x 2 − x + 1 = 0 1 x 2 + 3x = − 5 ___ 2 2x 2 + 8x = 0

x = 60

[Sì]

x=2

[Sì]

x=1

[No]

x = −4

[No]

x = −4

[Sì]

x3 + x2 = 4 x = −2 [No] 2 1 = x − ___ 1 4 23 x − ___ x = ___ [Sì] 3 ( 3) 3 7 x=2 24 x 2 + ___ x = 2 −2 [No] 2 25 Completa le seguenti equazioni con il numero opportuno in modo che il valore di x indicato a fianco sia una sua soluzione. a. 2x + 1 = x=1 3 2 b. x − x = x = −1 c. 2x + 1 − = x − 2 x=2 d. 3x − 1 + = x − 1 x = −2 22

UNITÀ 10

1. Introduzione alle equazioni

Le equazioni determinate, impossibili, indeterminate e le identità 26

Test. Se un’equazione nell’incognita x ha infinite soluzioni allora: C è certamente un’identità, soddisfatta per ogni x ∈ R B è indeterminata D nessuna delle precedenti risposte è corretta A è impossibile

27

ESERCIZIO SVOLTO

Stabiliamo se l’equazione (x + 2)(x − 2) + (x + 2) 2 = 2x(x + 2) è un’identità.

Semplifichiamo le due espressioni al primo e al secondo membro.

2o membro: 1o membro: (x + 2)(x − 2) + (x + 2) 2 = x 2 − 4 + x 2 + 4x + 4 = 2x 2 + 4x

2x(x + 2) = 2x 2 + 4x

Dal momento che i due membri sono uguali, l’equazione è un’identità.

Stabilisci se le seguenti equazioni sono identità.

28

6−x=2

[No]

34

(x + 1) 2 + (x − 1) 2 = 2(x 2 + 1)

[Sì]

29

(x + 1)(x − 1) = 8

[No]

35

(x + 1) 2 + (x + 1) (x − 1) = 2x(x + 2)

[No]

2

2

30

(x − 2)(x + 2) − x = − 4

[Sì]

36

x(x + 3) + (x − 1) = 2x + 2x

[No]

31

3(x − 1) = 3x + 3

[No]

37

(x + 1)(2 − x) + (x − 2) 2 = 6 − 3x

[Sì]

[Sì]

38

(2x − 1) 2 − (2x + 1) 2 = − 8x

2

2

(x + 1) − (x − 1) = 4x

32

2

33

(x + 1) − x(x + 1) = x(x + 1) − 1 − x

40

Completa la seguente tabella.

2

[No]

39

2

[Sì]

x(x + 1) + (x − 2) (x + 3) = 2(x − 3)

2

Equazione

Dominio

Classificazione

x+2=0

N

Determinata

Indeterminata

Impossibile

x = −2

Q

Determinata

Indeterminata

Impossibile

x+2=0

Z

Determinata

Indeterminata

Impossibile

N

Determinata

Indeterminata

Impossibile

R

Determinata

Indeterminata

Impossibile

2

4x − 8 = 0 2

(2x) = 4x

2

[No]

Inventa tu.

41

Scrivi un’equazione determinata in N.

42 Scrivi un’equazione determinata in Q ma impossibile in Z. 43

Scrivi un’equazione impossibile in N ma non in Z.

44

Scrivi un’equazione indeterminata in R.

45

Scrivi un’equazione impossibile in Z, ma non

Completa le seguenti equazioni in modo che risultino identità. a. (x + 1) 3 − (x − 1) 3 = 2( ) b. (x − 1) (x − 3) − (x − 1) 2 = 2( ) 48

46

Scrivi un’identità in R.

Completa l’equazione x 2 + 2x = 3x + in modo che: a. risulti frazionaria; b. risulti letterale intera, dove x è l’incognita e a è il parametro; c. abbia come soluzione x = − 1; d. abbia come soluzione x = 2;

47

Scrivi un’equazione impossibile in Q, ma non in R.

e. sia un’identità.

in Q.

49

Vero o falso? a. l’equazione x 2 + 5 = 0 è impossibile in R b. se l’insieme delle soluzioni di un’equazione è R, l’equazione è un’identità c. l’equazione (x + 1) 2 − (x − 1) 2 = 4x è un’identità d. se un’equazione è impossibile in N, allora è impossibile anche in Z e. se un’equazione è impossibile in Z, allora è impossibile anche in N f. se un’equazione ha infinite soluzioni, allora è un’identità g. se un’equazione è un’identità, allora ha infinite soluzioni

50

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

[5 affermazioni vere e 2 false] 337

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

2. Principi di equivalenza per le equazioni

Teoria p. 326

Esercizi introduttivi Vero o falso?

V F a. se due equazioni hanno una soluzione in comune, allora sono equivalenti V F b. se due equazioni sono impossibili, allora sono equivalenti V F c. se due equazioni sono indeterminate, allora sono equivalenti V F d. se due equazioni nell’incognita x sono identità valide per ogni x ∈ R, allora sono equivalenti V F e. l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione A(x) + 2 = B(x) + 2 A(x) B(x) V F f. le due equazioni A(x) = B(x) e _____ = _____ sono equivalenti in base al primo principio di equivalenza 2 2 [3 affermazioni vere e 3 false]

51

52

Argomentare I seguenti due enunciati dei principi di equivalenza non sono corretti. Spiega perché.

a. Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si ottiene un’equazione equivalente. b. Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equivalente.

53 Caccia all’errore. Esamina ciascuno dei seguenti passaggi e stabilisci se è corretto: in caso affermativo, specifica quale principio di equivalenza lo giustifica; in caso contrario, correggilo. x − 2 = 1 ⇒ 3x − 2x − 4 = 6 x − ____ a. 3x − 4x − 1 = 5x − 2 ⇒ − 3x + 4x + 1 = − 5x − 2 e. __ 3 2 b. 7x + 4 = 6x − 2 ⇒ 7x − 6x = − 4 − 2 f. − 11x = − 1 + 5 ⇒ 11x = − 4 3 x = 4 ⇒ 3x = 8 c. − __ g. − 3(x + 1) = 9x − 12 ⇒ x + 1 = − 3x + 4 2 d. − 5x = 0 ⇒ x = + 5 h. 2x − (4 − x) = 2 > 2x − 4 − 4x = 2 54

Completa le seguenti proposizioni (il primo caso è svolto come esempio).

a. x 2 + 1 = 2x è equivalente a x 2 − 2x + 1 = 0 in base al 1° principio; infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima sottraendo ai due membri 2x: x 2 + 1 = 2x

equivale a

x 2 + 1 − 2x = 2x − 2x

ossia a

x 2 − 2x + 1 = 0

b. − x 2 + x = 1 è equivalente a x 2 − x = − 1 in base al prima x = __ 1 + __ 1 è equivalente a 3 + 2x = 1 in base al c. __ 2 3 6 prima

: infatti la seconda equazione è ottenuta dalla : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla

d. 15x + 9x 2 = 1 + 15x + x 3 è equivalente a 9x 2 = 1 + x 3 in base al nuta dalla prima e. 15x + 100 = 20x 2 + 5x 3 è equivalente a 3x + 20 = 4x 2 + x 3 in base al ottenuta dalla prima

: infatti la seconda equazione è otte: infatti la seconda equazione è

Applicazioni dei principi di equivalenza 55

ESERCIZIO SVOLTO

5 x che abbia tutti i coefficienti interi.

1 x + 3 = __ 1 + __ Scriviamo un’equazione equivalente a __ 4 6 12 Moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione (2o principio): m.c.m.(4, 6, 12) = 12 Otteniamo l’equazione: 5 1 x + 3 = 12 __ 1 __ 12(__ ) ( 6 + 12 x) 4 Svolgendo i calcoli otteniamo l’equazione equivalente: 3x + 36 = 2 + 5x 338

2. Principi di equivalenza per le equazioni

UNITÀ 10

Scrivi un’equazione equivalente a quella data, che soddisfi la condizione indicata a fianco. x−2 1 x + ___ 1 x = _____ ___ 12 2 3 57 3x − 2 = 5x + 1

abbia tutti i coefficienti interi

56

abbia tutti i termini dipendenti da x al 1o membro e quelli numerici al 2o membro

x + 1 + _____ x + 2 = _____ x+3 _____ 2 3 4 2 59 9x − 1 = − x + x

abbia tutti i coefficienti interi

58

60

abbia tutti i termini al 1o membro

3x 2 + 3x + 1 = x 2 − 1

non abbia termini di secondo grado al 2o membro

1−x x − 1 − ____ 1 x = _____ _____ 25 10 20 3 2 3 62 x + x + x = x + x 2 − 3x + 1

abbia tutti i coefficienti interi

61

63

non abbia termini di secondo o terzo grado

3x − 1 = ___ x + 3 − ______ 1 _____ 4 28 2

abbia tutti i coefficienti interi

Completa le seguenti proposizioni.

64

3x + 1 = 0

è equivalente a 3x =

66

x 2 + 3x = 2x + 1 è equivalente a x 2 +

65

8 x = 11 __ 3

è equivalente a 8x =

67

12x − 10 = 0

è equivalente a

=0

−5=0

La forma normale e il grado di un’equazione 68

ESERCIZIO SVOLTO

Scriviamo in forma normale l’equazione (x + 1) 3 = x 3 + x 2 e individuiamone il grado.

L’equazione data equivale a: x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + x2 ⇔ sviluppando il cubo

3x2 + 3x + 1 = x2 ⇔

elidendo i termini uguali

2x2 + 3x + 1 = 0 forma normale

L’ultima equazione scritta è la forma normale dell’equazione; dal momento che al primo membro c’è un polinomio di secondo grado, il grado dell’equazione è 2.

Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e individuane il grado.

69

3x − 2 = x

[Grado = 1]

77

(2 − x)(2 + x) = 3 − (x − 1) 2

[Grado = 1]

70

x2 − 3x = x + 1

[Grado = 2]

78

(x2 + x) 2 − (x 2 + 1) 2 = 0

[Grado = 3]

71

(x − 1) 2 = x 2 + 2

[Grado = 1]

79

1 1 ___ ___ (x − 2 ) − (x + 2 ) = 1

[Grado = 2]

72

x 3 + x 2 = (x + 1) 2

[Grado = 3]

80

(x 2 − 2x − 1) 2 = x 4 + (2x + 1) 2

[Grado = 3]

73

x 2 + (x + 1) 2 = 3x 2 − (x + 1)(x − 1)

[Grado = 1]

81

(x 2 + 1) 3 = (x 3 + 1) 2

[Grado = 4]

74

(x 2 − 2) 2 = 4

[Grado = 4]

82

x 2(x 2 − 1)(x 2 + 4) = (x 2 + 1) 3

[Grado = 2]

75

(x + 1) 2 − (x − 1) 2 = 3

[Grado = 1]

83

(x − 4)(x − 1) 2 = (x − 2) 3

[Grado = 1]

76

(2x 2 − 1)(2x 2 − 1) = (x 4 + 2) 2

[Grado = 8]

84

(x − 2)(x + 3)2 = (x − 3)(x + 2)2

[Grado = 2]

3

3

Completa l’equazione (x + 1) 2 = primo grado.

+ 3x + 5 con il minimo numero possibile di termini in modo che risulti di

Completa l’equazione (3x − 3) 3 = sulti di secondo grado.

+ (2x − 1) 2 con il minimo numero possibile di termini in modo che ri-

85 86

339

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

Teoria p. 329

Esercizi introduttivi Vero o falso?

V F a. l’equazione 3x = 0 è impossibile V F b. l’equazione 3x = 1 ha come soluzione il reciproco di 3 V F c. l’equazione x − 5 = 0 ha come soluzione l’opposto di 5 3 x = 0 ha come soluzione x = ___ 4 V F d. l’equazione ___ 4 3 3 x = ___ 5 ha come soluzione x = ___ 1 V F e. l’equazione ___ 4 4 2 V F f. l’equazione 7x = 5 è impossibile in N ma non in Q V F g. l’equazione x = −x è impossibile, perché un numero non può essere uguale al suo opposto V F h. l’equazione x + 6 = x + 7 è impossibile 2 2 V F i. l’equazione (x − 1) = (1 − x) è indeterminata [4 affermazioni vere e 5 false]

87

Associazione. Associa a ogni equazione sulla prima riga la sua soluzione sulla seconda.

A. 2x − 6 = 0 B. 2x + 6 = 0 C. 3x − 6 = 0 D. 3x + 6 = 0 a. x = 2 b. x = − 2 c. x = 3 d. x = − 3

88

Determina le soluzioni delle seguenti equazioni, senza fare calcoli scritti. x =3 b. 2x = 50 c. x − 6 = 10 d. __ e. x + 5 = 18 2 90 Caccia all’errore. Nella risoluzione di ciascuna delle seguenti equazioni è stato commesso un errore. Individualo e correggilo.

89

A mente

a. 3x = 21

a. 2x − 16 = − 10 ⇒ 2x = − 26 ⇒ x = − 13 3 =4⇒x+3=4⇒x=1 1 x + __ b. __ 2 2

c. 5x = 11 ⇒ x = 11 − 5 = 6 x + __ 3 1 = 5 ⇒ 3x + 2 = 30 ⇒ 3x = 28 ⇒ x = ___ d. __ 28 2 3

Le equazioni a coefficienti interi 91

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le seguenti equazioni: a. 12x + 4 = 0

b. 6 − 30x = 0

12x = ____ − 4 ⇒ x = − ___ 1 a. 12x + 4 = 0 ⇒ 12x = − 4 ⇒ _____ 12 12 3

− 6 ⇒ x = __ 1 b. 6 − 30x = 0 ⇒ − 30x = − 6 ⇒ x = __ − 30 5

Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

92 7x + 35 = 0 ⇒ 7x = ⇒ x = ___________ ⇒ x = 7 − 11 ⇒ x = ___________ 1 93 11 − 132x = 0 ⇒ − 132x = − 11 ⇒ x = ___________ ⇒ x = ___________ ⇒ x = 3 ⋅ 2 12 − = 3 ⋅ 29 Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi.

94

3 ⋅ 2 9x − 9 ⋅ 2 12 = 0 ⇒ 3 ⋅ 2 9x =

95

10x − 20 = 0

96

2x + 3 = 0

97

4x − 1 = 0

98

25x + 5 = 0

99

− 8x + 32 = 0

100 − 100x + 1000 = 0 101 − 9x + 6 = 0

340

[2] 3 ___ [− 2 ] 1 ___ [4] 1 ___ [− 5 ] [4] [10] 2 ___ [3]

1 __ [3] 1 __ [− 2 ] 1 __ [− 2 ] [− 4]

102 2 − 6x = 0 103 4 + 8x = 0 104 − 5 − 10x = 0 105 36 + 9x = 0 106 2 ⋅ 10 5x − 6 ⋅ 10 8 = 0 2

4

107 9 ⋅ 10 x + 3 ⋅ 10 = 0 108 6 ⋅ 10 −4 x − 9 ⋅ 10 −5 = 0

[3000] 100 ___ [− 3 ] 3 __ [ 20 ]

UNITÀ 10

3. Equazioni numeriche intere di primo grado 109

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le seguenti equazioni a coefficienti interi: a. (3x − 4) 2 − (3x − 1) (3x + 1) = 2(x + 3) − 5(4x − 3) b. 2x − 3(x + 4) = 5 − x c. − 2x + 5x − 6 = 3(x − 4) + 6 a. (3x − 4) 2 − (3x − 1) (3x + 1) = 2(x + 3) − 5(4x − 3) 9x 2 − 24x + 16 − (9x 2 − 1) = 2x + 6 − 20x + 15 Svolgendo i calcoli 2 2 9x − 24x + 16 − 9x + 1 = 2x + 6 − 20x + 15 Eliminando i termini opposti di secondo grado − 24x − 2x + 20x = 6 + 15 − 16 − 1 Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° − 6x = 4 Riducendo i termini simili 1 2 x − 6 4 2 ____ = ____ ⇒ x = − __ Dividendo entrambi i membri per − 6 e semplificando −61 −63 3 2 .

In conclusione l’equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S = {− __ 3} b. 2x − 3(x + 4) = 5 − x 2x − 3x − 12 = 5 − x Svolgendo i calcoli 2x − 3x + x = 5 + 12 Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° 0 ⋅ x = 17 Riducendo i termini simili Poiché non esiste alcun numero che, moltiplicato per 0, dà come risultato 17, concludiamo che l’equazione è impossibile, ossia il suo insieme soluzione è S = ∅. c. − 2x + 5x − 6 = 3(x − 4) + 6 − 2x + 5x − 6 = 3x − 12 + 6 − 2x + 5x − 3x = − 12 + 6 + 6 0⋅x=0

Svolgendo i calcoli Portando i termini in x al 1° membro e quelli numerici al 2° Riducendo i termini simili

Poiché ogni numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, concludiamo che l’equazione è indeterminata (in particolare è un’identità) e il suo insieme soluzione è S = R. Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

110 − 2(1 + x) = − 5x ⇒ − 2 −

= − 5x ⇒ − 2x + 5x =

111 (2x − 1)(2x + 1) = (2x − 3) 2 ⇒ 4x 2 −

= 4x 2 −

⇒ 3x =

⇒x=

+9⇒

x=

112 (3x − 1)(3x + 2) = (3x + 4) 2 ⇒ 9x 2 + 6x − 3x − 2 = 9x 2 +

⇒ − 21x =

+

10 = ___________ 5 ⇒ x = ___________

⇒ 6x − 3x −

=

+2⇒

⇒x=

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi.

113 1 − x = 2x − 3

4 __ [3] 1 __ [− 3 ] 1 ___ [ 10 ] [2]

125 2(x + 1) − 3x = 4

[− 2]

126 x − 3(10 − x) = 2x

[15]

127 5x − 4(x + 2) = 2

[10]

128 3(x − 1) − 2(x + 1) = 0

[5]

129 2x − 1 − 3(x − 7) = 0

[20]

[0]

130 4(x + 2) = 2(2x + 1)

[Impossibile]

119 3x − (x − 13) = 7

[− 3]

131 − 2(x − 2) = 3(x + 2)

2 __ [− 5 ]

120 5x + 8 = − 2x − 6

[− 2]

132 2x − [3x − (x − 2)] = − 2

121 2x − 1 = − 3x

1 __ [5]

133 20(5 − x) = 10(x + 1) + 80

114 2x − 3 = 5x − 2 115 5x − 7x = 8x − 1 116 9 − 2x = 3x − 1 117 − 2(x − 1) = 3(x + 5) 118 5x − 1 = − (1 − 2x)

122 7 − 3x = 2x − 3 123 3(x − 2) = 4x 124 x − 5(x + 1) + 4x = 0

13 __ [− 5 ]

[2]

134 2(x − 1) + 3(2 − x) = x − 4

[− 6]

135 3(x + 2) − 2(2 − x) = x − 7

[Impossibile]

136 − 2(x − 1) − (2 − x) = 3(x − 1) − 1

[Indeterminata] 1 __ [3] [4] 9 __ [− 4 ] [1]

341

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

137 (5 − x)(5 + x) + (x − 2) 2 = 1

[7]

138 (x − 2) 2 − (x + 1)(x − 3) = 2(3 − x)

[Impossibile]

139 (2x − 1) 2 = 3x 2 + (x + 1) 2

[0]

140 2(x − 1) − 3(3 − x) = 5(x − 1) − 6 141 (4x − 3)(x − 2) = (2x − 3)

[Indeterminata]

2

2

142 3(x + 1)(x + 2) = (2x + 1) − (x − 2)

[3] 2

[− 9] 5 __ [8] 2 __ [9] 13 ___ [ 5 ] 17 ___ [ 6 ]

143 (1 − 2x)(1 + 2x) = − 4 (x − 1) 2 144 (3x − 2) 2 = 3(3x − 1)(x − 2) 145 (2x − 1)(3x − 1) = 6(x 2 − 2) 146 (2x − 3) 2 = (2x − 5)(2x + 5) 147 (5x − 1) 2 − (x − 5)(x + 5) − 24x 2 = 2(13 − 5x)

[Indeterminata] 1 __ [2] 5 __ [2]

148 (5x − 2) 2 + 1 = 5(x − 1)(x + 1) + 20x 2 149 (3 − x)(3 + x) = 3 − (x − 3) 2 150 (2x − 1) 2 − 11(x − 1) = 4(x − 2) 2 151 − 2(x − 1) + 3(4 − x) = 2(x − 3) − 5(2x + 1)

[4] 25 ___ [− 3 ]

152 2 − 3 [x − 2(x + 1)] = x − [2 − (x − 3)]

[− 13]

154 − 2(2x − 1) + 3(4x − 4) + 7 = 8x − 1

[Impossibile]

155 (x − 1) 2 + (x + 1) 2 + (x − 1)(x + 1) = 3x 2 + 1

[Indeterminata]

156 (x + 1) 2 − (x − 2)(3 − x) = 2(x − 1)(x + 1) 2

2

157 (3x + 1) (6x − 1) − (3x + 2) − (3x − 2) = 2x

[3] [9] 1 __ [3] 2 ___ [ 11 ] [2]

158 4(x − 1) + 3(1 − x) = 2[x − (1 − x)] 159 (2x − 1) 2 − (x + 1) 2 = (3x − 1)(x + 2) 160 (x − 6) 2 − (x − 2)(x + 6) = 16 161 [(x − 1) 2 − x 2 ] 2 = (2x − 1)(2x + 1) − 10

[3]

162 2(x − 2)(x + 2) = x 2 + (x − 4) 2

[3]

163 3x + (3 − x) 2 = (x − 1) 2 − 2

[10]

164 [(x − 1) 2 − (x − 2) 2] 2 = 4 (1 − x) 2 165 x − 2(x + 1) − 3(2 − x) = 5 [x − (3x + 1)] 166 x 2 + 2(x − 3)(3x + 4) = 7(x − 2)(x + 2) + 4 167 x − { x − 2[3x − (x − 1)]} = − (x − 3) 168 (7x − 1)(7x + 1) = (7x − 1) 2 169 2(2x − 1)(x + 2) − (2x − 1) 2 = x + 2

5 __ [4] 1 __ [4] [0]

1 __ [5] 1 __ [7] 7 __ [9]

170 x(x − 2)(x + 2) − 2x(x − 1) 2 = x 2(4 − x) + 6

[− 1]

171 2(x − 1) − x[(2x − 1) − (3x + 1)] = (x − 2) 2

3 __ [4]

172 (x − 4)2 − 2(x + 5)(x − 5) = (x + 2)2 − 2x(x + 7)

[− 31]

173 (x − 1)(x + 2) − x(x + 3) = (x − 2)(x + 2) − (x − 1)2

3 __ [4]

174 (− x − 1) 2 + (x − 1) 2 = (x + 1) 2 + (− x + 1) 2 175 (3x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(3x − 2) = 12(x − 3)(x + 1) 176 x − 2 − 2(x + 3) = 3 − 2 [3(x − 2) − 2(x − 1)]

[Indeterminata] 3 __ [− 2 ] [19]

180 (x − 2) 2 − (x − 2)(1 − x) = 2(x − 3)(x + 3) − 7x

3 __ [8] 1 __ [− 5 ] 3 __ [8] [Impossibile]

181 (2x + 1) (1 − 2x) = (5x − 2) (x − 1) − (3x − 1) 2

[0]

177 − 2[2(x − 3) − x ] + 3 [− 2(1 − x) − 4x ] = 8x 178 2 − x[3x − 2(x − 2)] = 1 − (x + 1)(x − 2) 179 [(x − 1) 2 − (x + 1) 2] 2 = (4x − 3) 2

182 (2x + 1) 2 − 3(2x − 1)(2x + 1) = − 2(2x + 1)(2x − 3) 183 (2x − 3) 2 − (4x − 1)(x + 2) = (3x − 1)(3x + 1) − 9x 2 184 (5x − 10) 2 − (− x + 10) 2 = − 6(2x − 1)(7 − 2x) − 10 185 [(x + 1) 2 − (x − 1) 2] 2 = (4x − 1)(4x + 1)

342

2 __ [5]

153 (x + 2)(x + 5) = (x − 4) 2

1 __ [− 2 ] 12 ___ [ 19 ] [2] [Impossibile]

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

UNITÀ 10 19 ___ [ 16 ] 3 __ [2] 22 ___ [− 13 ]

186 (3x − 2) 2 − (3x − 4)(3x + 4) = (2x + 1) 2 − (− 2x) 2 187 (2x − 3)(2x + 3) − (2x − 3) 2 = (3 − 2x)(2x + 3) + (2x − 3) 2 188 (− x − 5)(−x + 5) + (− 2x + 1) 2 = (5x − 1)(x + 2) 189 x (x − 3) 2 − (x − 3) 3 = 3 (x − 3) 2

[Indeterminata]

190 8x 3 − 1 = (2x − 1) 3 + 6x(2x − 1)

[Indeterminata] 23 ___ [ 21 ] 5 __ [3] 8 __ [− 9 ] 1 __ [6] 3 __ [− 2 ]

191 5 ⋅ 10 3(x − 1) − 6 ⋅ 10 4(x − 2) = 5 ⋅ 10 4x 192 5 ⋅ 10 2(1 − x) − 2 ⋅ 10 3(x − 2) = 10 3(2 − x) 193 (x + 2) 3 − (x + 1) 3 = (2x − 1)(2x + 1) − x 2 194 (3x − 2) 3 − (3x − 2)(9x 2 + 6x + 4) = 6(1 + 3x)(1 − 3x) 195 (2x + 1)(2x − 1)(2x + 3) − (2x + 1)3 = 4(2x + 3) − 2(2x − 1) 196 (x2 − 4x + 1)2 − (x2 + 7)2 = (4x − 1)2 − (2x + 1)3

[8]

197 [(3 10 : 3 8)x − (2 12 : 2 10)x − 2] 2 = [(5 6) 2 : (5 2) 5]x 2

1 ___ [5]

198 {[(2 5) 3 : 4 7]x − 1} 2 = (2x + 2 0) 2 + (2 7) 5 : 4 15

[− 4]

Risolvi le seguenti equazioni in cui l’incognita è indicata con lettere diverse da x.

8 __ [9] [− 8]

199 a + 2(3a − 1) − 3(2 − a) = a 200 3m − (m + 2) − 4(m + 1) = 2 − m 201 (b + 2)(b − 2) = (b + 3)(b − 3)

[Impossibile]

202 (z − 2)(6z + 1) − (2z + 1)(3z − 2) = z

[0]

203 (3a + 4)(3a − 4) = (3a + 2) 2 204 2(b + 5)(2b − 3) = (2b − 3) 2 205 (4t − 1)(t + 4) − (2t + 3) 2 = 3t

5 __ [− 3 ] 3 __ [2] [Impossibile] 3 __ [7]

206 (z − 1)(z + 1) + (z − 1) 2 = (2z − 1)(z + 3)

207 (a + 3)(a − 2) + (a − 2)(a + 2) = (a − 1) 2 + (a + 2) 2

[− 15]

208 (5 − 2k) 2 − (2k − 3)(2k + 3) = − 6(4 − k) + 2(k + 1)

[2]

209 (2y − 3)(3y + 1) − 6y(1 + y) = − 2[20 − (2 − y)]

[3]

210 (2m − 3) 2 − (m + 2)(m − 3) = (3m − 2)(m − 3)

[Impossibile] 3 __ [2] [− 3]

211 (2a − 3) 2 + (2a − 3)(3a − 2) − (3a − 2) 2 = − (4 − a)(a + 1) 212 (3t − 1)3 + (3t + 1)(6t − 7) = (3t + 1)(3x − 1)2

Traduci in un’equazione e risolvila.

214 Il quadrato del successivo del numero intero x supera di 5 il quadrato di x.

1 _ [x = 4 ] [x = 2]

215 La differenza tra il quadrato di x e 7 è uguale al quadrato della differenza tra x e 7.

[x = 4]

213 Sommando 3 al doppio di x si ottiene il doppio della somma tra 1 e il triplo di x.

216 Il cubo della somma tra x e 1 è uguale al cubo di x sommato al triplo del quadrato della differenza tra x e 1.

2 _ [x = 9 ]

Risolvi le seguenti proporzioni, impostando un’opportuna equazione basata sulla proprietà fondamentale delle proporzioni.

217 8 : 6 = (x + 2) : (x + 1)

[2]

219 3 : (6 − 2x) = 6 : (x + 7)

[1]

218 (8x − 12) : (10 + 2x) = 6 : 2

[21]

220 7 : 8 = (x + 1) : (x + 2)

[6] 343

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

Le equazioni a coefficienti frazionari 221

ESERCIZIO SVOLTO

x + 3 = _____ x+2 . x − 1 − _____ Risolviamo l’equazione _____ 2 4 3 x + 3 = _____ x+2 x − 1 − _____ _____ 2 4 3 4(x + 2) 6(x − 1) − 3(x + 3) ____ = ____ 12 12 6(x − 1) − 3(x + 3) = 4(x + 2)

Il m.c.m. fra i denominatori è 12 Riscrivendo i due membri con denominatore comune 12 Moltiplicando i due membri per 12

6x − 6 − 3x − 9 = 4x + 8

Per la proprietà distributiva

6x − 3x − 4x = 8 + 6 + 9

Portando tutti i termini in x al 1 membro e quelli numerici al 2

− x = 23 ⇒ x = − 23

Riducendo i termini simili e dividendo entrambi i membri per − 1

Pertanto l’insieme soluzione dell’equazione è S = {− 23}.

Completa la risoluzione delle seguenti equazioni.

2(x − 4) __ 3( ) x + 1 ⇒ __ x − 4 = ____ = ⇒ 2(x − 4) = 3( 222 ____ 3 2 6 6 m.c.m.(3, 2) = 6

riducendo al minimo comune denominatore

4

12

2

m.c.m.(3, 4, 2) = 12

= 3x +

⇒ −x = 3 +

⇒x=

⇒ 4x + 3x −

x =3⇒x=

moltiplicando i due membri per 6

4x + (x − 1) __ x − 1 = __ 1 x ⇒ __ 1 x + ____ = x ⇒ 4x + 223 __ 3

) ⇒ 2x −

12

riducendo al minimo comune denominatore

(x − 1) =

x ⇒ 4x + 3x −

=

moltiplicando i due membri per 12

x ⇒ − 6x + − 6x + 1 x − __ 1 = __ 1 x 2 + __ 1 x⇒_ 1 x 2 − ______ 1 x + ______ 1 =_ 1 x 2 + __ 1 x ⇒ __ = __ 224 (__ 18 18 2 3) 4 2 4 4 2 2

⇒ − 6x − 9x =

⇒−

x=

=

x⇒

riducendo al minimo moltiplicando comune denominatore i due membri per 18

⇒x=

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti frazionari.

3 x + __ 5 =0 225 − __

4 2 6 2 ___ __ x− =0 226 25 5 9 3 __ __ 227 x+ =0 4 2 3 1 __ 228 x + 1 = x − __ 2 4 x + 2 x ____ __ 229 = 3 4 1x 1 1 __ ___ = __ 230 x− 15 5 3 x−1 1 x = ____ 231 __ 5 3 1 1 232 0,25x − __ = ___ 8 10 1 x − __ 1 = 0,¯3x − __ 1 233 __ 2 3 2 2 2 − (2x − 1) 4 x x 234 ___________ = __ 2 3 1 x − ___ 1 1 = __ 1 x − __ 235 ___ 3 10 15 5 3 = ____ x−1 1 x − 2 x − __ 236 __ ( 2 4) 2

344

10 ___ [ 3 ] [15] [− 6] 5 __ [− 2 ] [6] 1 __ [2]

3 __ [− 2 ] 9 ___ [ 10 ] [− 1] 2 __ [5] 8 __ [3] [1]

3 (1 − 2x) = x − __ 1 − __ 2 237 x − __

2 4 1 (3x + 2) = 0 __ 238 x − 3 + __ 4 6 1 = __ 1 (x + 3) 239 3(x + __ 6) 6 240

3

7 ___ [ 18 ] 5 __ [ 18 ] [0]

Ragiona sul video

5 5 __ 2 x − __ 1 = __ 1 x + __ __ [2] 2(5 2) 6( 2) 3 − x = __ x − _____ x − 5 − ____ 2x − 8 [5] 241 ____ 2 4 4 5 x − 2 − 1 = − __ x−1 1 x + ____ 1 x − ____ 1 __ 242 __ [2] 3 6 2 3 x − 2 − ____ 3 x + 2 = __ 1 x − __ 243 ____ [0] 4 2 4 2 17 1 (2x − 1) 2 = 2(x − 2)(x + 2) __ 244 __ [ 4 ] 2 x = x 2 + (2 − x)(2 + x) x − 2 − __ 245 ____ [− 42] 10 5 3 [Indeterminata] 1 (x − 2) − __ 1 (x + 2) = − __ 1 x − __ 246 __ 4 2 4 2 5 3 7 x 1 2 4 __ __ __ ___ ___ __ __ 247 x− + x+ = − [3 ] 6 2 5 10 15 3

UNITÀ 10

3. Equazioni numeriche intere di primo grado

5 − __ 3 − __ 7 1 x + __ 1 x = __ 1 x − __ 248 ___ 12

8

4

2

6

8

[Indeterminata]

1 (x − 1) − __ 1 (3x − 6) = __ 1 (2x − 8) 249 __

7 __ [2]

x − 1 − _____ 2x − 1 3x − 2 = __ 1 (x − 4) − _____ 250 ____ 3 2 6 4

11 ___ [− 2 ]

2

3

4

1 − x − ____ 2−x x − ____ x + 1 = ____ 251 __ 6

2

12

[− 5]

3

5x − 3 = ______ 2x + 3 + ______ 3x − 5 6x − 7 − ______ 252 ______ 3

18

9

2

[Indeterminata]

3(x − 3) x = _______ 2x − 3 + 6 + __ −2 261 _____ 4

[− 38]

4

2

1 x − 1 − __ 1 1 __ 262 (__ ) ( 2 x − 1)( 2 x + 3) = − 2x 2 2

[Impossibile]

1 − ___ 1 263 x (___ 3 2)

−1

3 ___ [4]

5 − 1 −1 1 x ___ 1 − ___ 1 −1 = ___ + ___ ( ) ( ) 3 3 2 6

1 x ___ 1 − ___ 1 264 ___ 2 (3 2)

−1

2x + 11 − ___ 1 x ___ 1 − ___ 1 −1 = _______ 1 + ___ [ 4] ( 6 3 4 3)

− 2x + 1 − 1 2 x + 2x = _______ 1 4 − 1 − __ 265 __ ) [ ( ] 2

13 ___ [− 12 ]

3

3

6

4 __ [− 9 ]

1 (3x − 5) 2 − (3x + 5) 2 = 2(1 − 2x) [Impossibile] 266 ___ [ ]

6x − 2 − _____ 1+x 2x − 3 = ______ 254 ______

[Impossibile]

3 (x − 1)(x + 2) − __ 3 1 (x + 1) 2 − (x − 2)(x + 2) = x 2 − __ 267 __ [ ]

6x + 11 = ______ 5x − 1 4x + 3 − _______ 253 ______ 21

14

10

15

5

5x − 1 = __ x −1 8x − 7 − ______ 255 ______

[− 1]

1 − x x − __ 2 = __ 1 256 (x − __ ( 3) 3) 9

[Indeterminata]

12

48

8

2

15

2

2

2

2

5

2

2

(2x − 3) (x + 1) (3x − 2) (x + 1) 268 ________ − _________ = ________ − _________ 4

6

3

(x − 1) 2 4

(x + 1) 2 3

(1 + x)(1 − x) 12

3 __ [2]

12

x − 2 − __ 1 269 ______ − ______ = __________ − ____ [ ] 6

2

[4]

3 x __ 7 x − 1 − __ 1 1 __ 257 __ ) 2 x (x + 7 ) = 1 7 (6

[− 2]

x−2 x−1 1 x − 1,5 __ 1 ____ ____ 270 (__ )( 2 x + 1,5) + 4 = ( 2 ) 2

3 (x + 2) − __ 1 x − __ 2 = __ 1x 258 __ ( )

[− 5]

x − 1 = __ 1 x − __ 1 + ____ 1 1 __ 1 1 __ __ 271 (__ ( 2 x − 3 )( 2 x + 3 ) 12 2 3)

5 __ [9]

3 x + __ 1 x − 2 2x + __ 1 = __ 1 __ 2 x−3 259 (__ )( ) 2 2) (2 3 )( 3

[0]

1 − x + __ 2 = (3x + 1)(1 − x) 272 (x − __ 3) ( 3)

4 __ [− 9 ]

[− 3]

17 1 = (x − 2)(x + 2) + x2(x + 2) 2 − __ 273 (x2 + 2x + __ [ 8 ] 2)

2

3

2

3

(2x − 1)(2x + 1) − (1 − 2x) 2 5

x = − ____ 2−x 260 ___________________ − ___ 10

2

2

2

3

2

2

Check

3 (x + 2) − __ 1 (x − 1) = __ 1 x.

274 Risolvi l’equazione __

2 2 3  Verifica poi che il risultato ottenuto sia corretto, sostituendo nell’equazione il valore trovato come soluzione e 21 verificando che si ottiene un’uguaglianza vera. ____ [− 4 ]

275 Risolvi l’equazione 0,2(x − 0,5) = − 0,5(x + 0,¯ 2).

 Verifica poi che il risultato ottenuto sia corretto, sosti-

tuendo nell’equazione il valore trovato come soluzione e 1 verificando che si ottiene un’uguaglianza vera. ____ [− 63 ]

Risolvi le seguenti equazioni in cui l’incognita è indicata con lettere diverse da x. b + 1 − __ w − _____ b =b−2 w + 1 = _____ 1 − w − _____ 2−w 276 __ [3] 280 ___ 3 2 2 6 12 3 y − 3 2y − 1 8 t + 4 − ____ t − 3 = ____ t − 1 − ____ 2−t __ 277 __ − __ = y 281 ____ [− 5 ] 2 6 3 4 6 8 p − 1 5 − p p 3t − 2 − _____ 2t − 3 = ____ t−3 278 _____ 282 ____ − ____ = __ [Impossibile] 5 10 15 6 2 10 2 (a + 3)(a − 1) (2a + 1) a+2 a + __ a − ____ a−1 =1 7 __ 279 __ 283 _______ − __________ = 2 − ____ [5] 8 20 5 2 2 4 (3b − 1) 2 14

(2b + 1)(2b − 1) 21

(b + 1) 2 6

b (2b − 1) 3

[−5] [12] 5 __ [2] 7 __ [6] 1 __ [− 3 ]

284 _________ + ______________ = ________ + _________

Risolvi le seguenti proporzioni, impostando, in ciascun caso, un’opportuna equazione.

3 = x − __ 5 : __ 1 : __ 1 285 (x − __ 2) 2 ( 2) 2

3 x + __ 5 1 : 2 = (x − 1) : __ 286 (− __ 5 5) 2

7 __ [x = 2 ]

x − 12 : ______ 5 − 3x = 4 : 1 287 ______

5 __ [x = 7 ]

2 : 2 = __ 1 1 __ 288 __ ( x − 3) : ( x + 1)

3

3

2

2

4

42 ___ [x = 19 ] [x = 8]

345

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

4. Scomposizioni ed equazioni

Teoria p. 330

Esercizi introduttivi Test 289 L’equazione x(x + 4)(x − 3) = 0 ammette: A una sola soluzione in R

C esattamente tre soluzioni in R

B esattamente due soluzioni in R

D nessuna delle precedenti risposte è esatta

290 Date due equazioni A(x) = 0 e B(x) = 0, i cui insiemi delle soluzioni sono rispettivamente S1 e S2, che cosa si può dire dell’insieme S delle soluzioni dell’equazione A(x) ⋅ B(x) = 0?

A S = S1 ∩ S2

B S = S1 ∪ S2

C S = S1 ∪ S2 ⇔ S1 ∩ S2 = ∅

D Nessuna delle precedenti

291 A che cosa equivale l’equazione (x + 1)(x + 3) = 3?

A x+1=3∨x+3=3

B x+1=0∨x+3=0

C x=0∨x+3=0

D x=0∨x+4=0

Equazioni risolvibili per scomposizione 292

ESERCIZIO GUIDATO

x−1 +3 2−_ 5 − x = 0.

Risolvi l’equazione (_ )( 2 4 ) Non conviene svolgere la moltiplicazione, ma applicare la legge di annullamento del prodotto. x−1 +3 2−_ 5 − x = 0 giungiamo a _ x−1 +3= 5−x = ∨ 2−_ Da (_ )( 2 4 ) 2 4 La prima equazione ha soluzione x = . , mentre la seconda ha soluzione x = In definitiva, l’insieme delle soluzioni dell’equazione proposta è S = { , }.

Risolvi le seguenti equazioni (non svolgere le moltiplicazioni, ma applica la legge di annullamento del prodotto).

293 (3x + 5)(7 − x) = 0

5 ___ [− 3 ; 7]

x + 6 − x 3 − _____ 2−x =0 298 (_____ )( 4 4 )

294 (2x − 8)(3x + 9) = 0

[− 3; 4]

x−1 =0 2x − 3 − _____ 299 [(2x − 3) 2 − 4x 2 ](______ )

3 ___ 5 ___ [4 ; 2]

2−x =0 3x − 2 − _____ 300 [(3x − 2) 2 − 9x 2 ](______ ) 2

1 ____ 14 ___ [ 3 ; 11 ]

x − 1 − 3 [x 2 − (x − 3) 2 ] = 0 301 2x(_____ )

3 ___ [0; 2 ; 7]

x − 8 ___ 2 295 (___ )( 3 x − 12) = 0 2 x − 2 ___ 3 x − 24 = 0 296 (___ ) )( 4 3

x − 1 − x 1 − ______ 1 − 2x = 0 297 (_____ )( 3 4 ) 302

[16; 18] [6; 32] 3 ___ 1 ___ [− 2 ; − 2 ]

4

5

2

[2; − 10]

3

ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo le equazioni: a. x3 − 7x2 + 6x = 0 b. (2x − 1)2 = 25 a. Scomponiamo anzitutto il trinomio al primo membro: x3 − 7x2 + 6x = 0 ⇔ x(x2 − 7x + 6) = 0 ⇔ x(x − 1)(x − 6) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto l’equazione data equivale a: x=0∨x−1=0∨x−6=0 da cui segue che l’insieme delle soluzioni è S = {0, 1, 6}. b. Non conviene sviluppare il quadrato al primo membro, ma procedere come segue: (2x − 1)2 = 25 ⇔ (2x − 1)2 − 52 = 0 ⇔ (2x − 1 − 5)(2x − 1 + 5) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto l’equazione data equivale a 2x − 6 = 0 ∨ 2x + 4 = 0, da cui segue che l’insieme delle soluzioni dell’equazione originaria è S = {− 2, 3}.

Suggerimento. In generale, per risolvere le equazioni della forma A = B non conviene sviluppare i quadrati ma ricondursi, tramite scomposizione in fattori, alla forma (A − B) (A + B) = 0 e quindi ad A − B = 0 ∨ A + B = 0, ossia ad A = B ∨ A = −B.

346

4. Scomposizioni ed equazioni

UNITÀ 10

Risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al primo.

303 x 2 − 4 = 0

[± 2]

319 (x 2 − 3x)(2x + 1) = 0

304 x 2 + 3x = 0

[− 3; 0]

305 4x 2 − 1 = 0

1 ___ [± 2 ]

320 (4x 2 − 1)(4x 2 − x) = 0

2 ___ [− 3 ; 0] [0; 9]

2

306 3x + 2x = 0 2

307 x − 9x = 0

1 ___ [− 2 ; 0; 3]

1 1 ___ ___ [± 2 ; 0; 4 ]

321 x 3 + 4x 2 − 5x = 0

[− 5; 0; 1]

1 =0 322 (4x 2 − 25)(x 2 − x + ___ ) 4

323 x 4 − 6x 3 + 9x 2 = 0

5 ___ 1 ___ [± 2 ; 2 ] [0; 3]

308 x 2 − 4x + 4 = 0

[2]

309 x 2 + 3x − 10 = 0

[− 5; 2]

310 x 2 + x − 12 = 0

[− 4; 3]

325 4x 2 = (x + 5) 2

311 x 2 + 5x + 6 = 0

[− 3; − 2]

326 x 2 − 3x − 2(x − 3) 2 = 0

[3; 6]

312 5x 2 + 10x = 0

[− 2; 0]

327 5 − 5x 2 + (x − 1) 2 = 0

3 ___ [− 2 ; 1 ]

313

Ragiona sul video

314 2x 2 + x − 3 = 0

2 9x 3 − 4x = 0 [0; ± ___ 3] 3 ___ [− 2 ; 1]

315 x 5 + 2x 4 = 0

317 x 6 − x 4 = 0

[− 2; 0] 1 ___ [ 3 ; 1] [− 1; 0; 1]

318 x(x − 1)(x 2 + x − 2) = 0

[− 2; 0; 1]

316 3x 2 − 4x + 1 = 0

324 (2x − 1) 2 = (x + 2) 2

328 x 4 = 81

1 ___ [− 3 ; 3] 5 ___ [− 3 ; 5]

[± 3]

329 x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = 0

[± 2; − 3]

330 x 3 + x 2 − 25x − 25 = 0

[± 5; − 1]

331 4x 3 + 16x 2 − x − 4 = 0

1 ___ [± 2 ; − 4]

332 x 4 − 13x 2 + 36 = 0

[± 2; ± 3]

333 x 4 − 101x 2 + 100 = 0

[± 1; ± 10]

334 x 2 (x + 5) + 6x(x + 5) − 7(x + 5) = 0

[− 7; − 5; 1] 5 ___ 335 2x 2(x 2 − 4) + 3x(x 2 − 4) + 5(4 − x 2) = 0 [− 2 ; ± 2; 1] 336 Metodi a confronto. Una delle difficoltà del calcolo letterale sta nel fatto che le manipolazioni più opportune dipendono dallo scopo che ci si prefigge nel calcolo. Rifletti su tale questione in relazione alle seguenti situazioni. a. Volendo risolvere l’equazione (x − 2)(x + 1)(x − 3) − 2x(x − 2)(x + 1) = 0, quali calcoli conviene eseguire? È più utile sviluppare i calcoli al primo membro svolgendo le moltiplicazioni oppure eseguire dei raccoglimenti? b. Volendo risolvere l’equazione (x − 2)(x − 3) − (x + 2)(x − 4) = 0, quali calcoli conviene eseguire? c. Volendo risolvere l’equazione (2x − 3) 2 − (x − 4) 2 = 0, quali calcoli conviene eseguire? d. Volendo risolvere l’equazione (x − 2) 2 + (x − 1) 2 = 0, è utile eseguire calcoli?

Economia aziendale

337

ESERCIZIO SVOLTO

La funzione che esprime l’utile derivante dalla produzione e vendita della quantità x di un certo bene è U(x) = − 40x2 + 360x − 720. Calcoliamo per quali valori di x si realizza il pareggio.

Si realizza un pareggio quando l’utile è nullo, cioè quando U(x) = 0. Dobbiamo quindi risolvere l’equazione: − 40x2 + 360x − 720 = 0 − 40(x2 − 9x + 18) = 0 Raccogliendo − 40 − 40(x − 6)(x − 3) = 0 Scomponendo in fattori x−6=0∨x−3=0 Per la legge di annullamento del prodotto x=6∨x=3 Risolvendo le equazioni di primo grado Si realizza il pareggio per x = 3 o x = 6.

338 La funzione che esprime l’utile derivante dalla produzione e vendita della quantità x di un certo bene è U(x) = − 50x 2 + 300x − 250. Per quali valori di x si realizza il pareggio, cioè un utile nullo?

[1 o 5]

339 La funzione che esprime l’utile derivante dalla produzione e vendita della quantità x di un certo bene è U(x) = − 40x 2 + 400x − 640. Per quali valori di x si realizza il pareggio, cioè un utile nullo?

[2 o 8]

347

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

Teoria p. 331

Esercizi introduttivi Test. Individua l’equazione che corrisponde al modello algebrico del problema proposto.

340 Il triplo di un numero è uguale a 4.

A 3x = 4 B x3 = 4

x C __ = 4 3 D 4x = 3

341 La metà di un numero è uguale al doppio del numero stesso. x x A __ = x 2 C __ = x + 2 2 2 x B __ = 2x D x − 2 = 2x 2 342 La somma tra un numero e 1 è uguale al triplo del numero stesso. x C x + 1 = x3 A x + 1 = __ 3 D x + 1 = 3x B 3(x + 1) = x 343 La somma tra due numeri che differiscono di 2 è uguale a 5.

A x+x+2=5

C x + 2x = 5

B x+2=5

D x + 2x + 2 = 5

344 Il 10% di un numero è uguale a 10.

1 100

A ____ x = 10

10 100

C x + ____ = 10

10 1 D x + 10 = ____ 10 100 345 La somma tra due numeri, uno doppio dell’altro, è uguale a 1.

B ___ x = 10

346 La somma tra il doppio di un numero e 4 dà come risultato il triplo del numero stesso.

A 2(x + 4) = 3x C 2x = 3x + 4 B 2x + 4 = 3x D 2(x + 4) = 3 347 La metà della somma tra un numero naturale e il

suo consecutivo è il doppio del numero stesso.

1 A __ x + (x + 1) = 2(x + 1) 2 1 B __ [x + (x + 1)] = 2x 2 1 C __ x + (x + 1) = 2x 2 348 La metà del successivo di un numero naturale è 1,5.

1 1 1 A __ x + 1 = 1,5 C __ (x + 1) = __ 2 2 5 3 3 1 1 B __ (x + 1) = __ D __ (2x + 1) = __ 2 2 2 2 349 Un numero, sommato al suo 15%, è uguale a 10.

15 3 C x + ___ x = 10 A x + ____ = 10 100 20 15 B x = ____ x + 10 D x + 0,15 = 10x 100 350 La somma tra il doppio di un numero naturale e il suo precedente è uguale al doppio del consecutivo del numero stesso.

A 2x + (x − 1) = 2x + 1

A x + x2 = 1

C x+x+2=1

B 2[x + (x − 1)] = 2(x + 1)

B x + 2x = 1

D x + 1 = 2x

C 2x + (x − 1) = 2(x + 1)

Argomentare

351 Considera il seguente problema: «In un quadrilatero ABCD di perimetro 54 cm, il lato AD è il doppio del lato CD, il lato CD è 3 cm in più di BC e il lato BC è la metà di AB. Si vogliono determinare le lunghezze dei lati del quadrilatero». Ciascuna delle seguenti equazioni risolve correttamente il problema. Individua, per ogni equazione, come è stata scelta l’incognita x giustificando adeguatamente la risposta. x + 3 + ___ x + (6 + x) = 54 a. x + ___ c. 2x + x + (3 + x) + 2(3 + x) = 54 2 ( 2) x + ___ x − 3 + (x − 6) = 54 b. 2(x − 3) + (x − 3) + x + 2x = 54 d. x + ___ ) 2 (2 2 del lato BC ed è inferiore 352 Considera il seguente problema: «In un triangolo di perimetro 25 cm, il lato AB è ___ 3 di 4 cm al lato AC. Determina le lunghezze dei lati del triangolo». Ciascuna delle seguenti equazioni risolve correttamente il problema. Individua, per ogni equazione, come è stata scelta l’incognita x giustificando adeguatamente la risposta.

3 x + x + 4 = 25 3 (x − 4) = 25 a. x + ___ c. x + x − 4 + ___ 2 2 2 x + x + ___ 2 x + 4 = 25 b. ___ d. 2x + 3x + 2x + 4 = 25 3 3

348

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

UNITÀ 10

Problemi numerici 353

ESERCIZIO GUIDATO

Aggiungendo 4 ai tre quarti di un numero si ottiene il numero stesso. Qual è il numero?

• Indica con x il numero incognito.

• Puoi scrivere l’equazione: 3x __ 4 + 4 quattro

più

=

tre quarti del danno come numero incognito risultato

il numero incognito

Risolvi l’equazione e concludi.

354 La somma tra il doppio di un numero e il triplo del

numero stesso è 20. Qual è il numero?

[4] 3 __ 355 La somma di un numero e dei suoi è uguale a 77.

8 Qual è il numero?

[56] 356 Determina un numero sapendo che aggiungendo 3

4 si ottiene 19.

[20] ai suoi __ 5 2 357 E se? Determina il numero che sommato ai suoi __ 3 dà come risultato 5.  Come cambierebbe il risultato, se il problema fosse: 2 dà come risul«Determina il numero che sommato a __ 3 13 ___ tato 5»?

[3; 3 ] 5 si ottie2 di un numero i suoi __ 358 Aggiungendo ai __ 3 6 ne 72. Qual è il numero?

[48] 12 per ottene359 Quale numero bisogna sottrarre da ___ 5 26 2? ___ re come risultato __ [ 15 ] 3 360 Sommando a 13 il doppio di un numero si ottiene − 7. Qual è il numero? [− 10] 361 Sommando a un numero la sua metà si ottiene come risultato 15. Qual è il numero?

[10] 362 I due terzi di un numero, aggiunti ai quattro quin-

ti del numero stesso danno come risultato 44. Qual è il numero?

[30] 363 Sommando a un numero la sua metà e la sua terza

parte, si ottiene come risultato 33. Qual è il numero? [18] 2 un numero, si ottiene come risul364 Sottraendo da __ 2 2 del numero 5stesso. Qual è il numero? __ tato i __ [7] 5 375

365 Sommando 10 a un numero si ottiene la metà del

numero stesso. Qual è il numero?

[− 20]

366 Un numero, sommato ai suoi tre quarti, è uguale al suo doppio diminuito di 6. Qual è il numero?

[24] 367 Determina il numero la cui quarta parte supera di 4 1 il quadruplo del numero stesso. ___ [− 15 ] 368 Due numeri hanno come somma 50 e uno supera l’altro di 6. Quali sono i due numeri?

[22 e 28] 369 Trova due numeri sapendo che la loro somma è 37

e la loro differenza è 9.

[14 e 23]

370 Due numeri, uno doppio dell’altro, sono tali che sottraendo al maggiore 9, si ottiene la metà del numero minore. Determina i due numeri.

[6 e 12]

3 dell’altro e la loro somma 371 Due numeri sono uno __

2 è 45. Determina i due numeri.

[18 e 27]

372 Due numeri differiscono di 2 e la somma tra la metà del minore e un terzo del maggiore è 4. Quali sono i due numeri?

[4 e 6] 373 Determina due numeri sapendo che uno supera l’altro di 12 e che, raddoppiando il maggiore e dimezzando il minore, la somma dei due numeri ottenuti è 69. [30 e 18]

1 a un numero e dividendo la somma 374 Sommando __

2 per 2, si ottiene lo stesso risultato che si otterrebbe som1 al numero originario e dividendo quest’ultimando __ 3 5 ma somma per 3. Qual è il numero originario? [− __ 6]

ESERCIZIO GUIDATO

La somma tra un numero naturale e il doppio del numero naturale a esso consecutivo è uguale a 47. Qual è il numero?

• Indica con x il numero incognito cercato, con x ∈ N. • Puoi scrivere l’equazione: x + (x + 1) = il numero incognito

più

il doppio del consecutivo del numero incognito

47

è uguale a

Risolvi l’equazione e concludi.

349

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

376 Trova un numero naturale sapendo che, se al suo successivo si sottrae 14, si ottiene 59.

[72] 377 Trova due numeri naturali consecutivi, sapendo

che la loro somma è 49.

[24 e 25]

378 Se al prodotto di un numero naturale per il suo

successivo si sottrae il prodotto dello stesso numero per il suo precedente, si ottiene 46. Qual è il numero? [23] 379 Sommando a un numero naturale l’opposto della

metà del suo consecutivo e dividendo la somma per 2, si ottiene 17. Qual è il numero originario?

[69] 383

380 Trova due numeri interi consecutivi tali che, sommando al doppio del minore la metà del maggiore, si ottiene come risultato 28.

[11 e 12] 381 Determina due numeri interi consecutivi, sapendo

2 del maggiore, si ottiene la che sommando al minore i __ 3 somma dei due numeri diminuita di 3.

[8 e 9] 11 del382 La somma di tre numeri interi consecutivi è ___

9 la somma dei due interi consecutivi immediatamente seguenti. Qual è il più grande di questi cinque numeri? [14]

ESERCIZIO GUIDATO

Determina due numeri dispari consecutivi la cui somma è 60.

• Un numero dispari può essere rappresentato tramite un’espressione della forma 2n + 1, con n numero naturale. Due numeri dispari consecutivi saranno pertanto esprimibili come 2n + 1 (il minore) e 2n + 3 (il maggiore).

• L’ equazione che formalizza il problema è allora: (2n + 1) + (2n + 3) = • Risolvendola troverai che n = 14; i due numeri cercati sono perciò 2 ⋅ 14 + 1 = 384 Determina due numeri pari consecutivi, sapendo

che la metà della loro somma è uguale a 15.

[14 e 16]

385 Determina tre numeri pari consecutivi la cui somma è 90.

[28, 30 e 32] 386 Determina due numeri dispari consecutivi, sapendo che il minore, sommato a due terzi del maggiore, dà come risultato 23.

[13 e 15]

Problemi dalla realtà 390

e 2 ⋅ 14 + 3 =

.

2 nella quale 387 Determina la frazione equivalente a __ 5

6 ___ [ 15 ] 3 , sapendo 388 Determina la frazione equivalente a __ 4 15 ___ che la somma dei suoi termini è 35. [ 20 ] 3 , sapendo 389 Determina la frazione equivalente a __ 8 che, se si raddoppiano i suoi termini, la loro somma è 15 ___ 110. [ 40 ] il denominatore supera di 9 il numeratore.

ESERCIZIO GUIDATO

Paolo è nato sei anni prima di Maria e tra due anni l’età di Paolo sarà il doppio di quella di Maria. Che età hanno Paolo e Maria?

• Individua i dati e l’obiettivo.

• Indica con x, per esempio, l’età attuale di Maria; allora l’età (attuale) di Paolo è x + 6.

• x dovrà essere un numero naturale.

• Tra due anni, l’età di Maria sarà x + e l’età di Paolo sarà x + 6 + , cioè: x +

Poiché il problema dice che tra due anni l’età di Paolo sarà il doppio di quella di Maria, puoi scrivere l’equazione: x + = 2(x + ) che, risolta, dà x = Puoi quindi concludere che Maria ha anni e Paolo ne ha .

391 Trova le età di Carlo e di suo padre sapendo che

3 di quella di sua sorella Sara e tra 394 L’età di Laura è __

l’età del padre è tripla di quella del figlio e che insieme hanno 72 anni. [Carlo ha 18 anni e suo padre ne ha 54]

392 Lorenzo ha 4 anni più del fratello Luca e insieme 7 hanno 36 anni. Tra quanti anni l’età di Lorenzo sarà __ 6 di quella di Luca?

[8 anni] 393 La mamma ha il doppio dell’età di Elena ed Elena

5 dell’età di Maria. Se la mamma e le due figlie hanha __ 4 no complessivamente 95 anni, qual è l’età di Elena?

[25 anni] 350

4 4 dell’età che avrà Sara. Quanti anni han5 anni sarà i __ 5 no le due sorelle?

[Laura ha 15 anni e Sara ne ha 20]

Ragiona sul video Paolo è nato 5 anni 395 dopo Maria e fra tre anni l’età di Maria sarà il doppio di quella di Paolo. Che età hanno Paolo e Maria?

[Paolo ha 2 anni e Maria ne ha 7]

396 Paolo ha 21 anni e Maria ne ha 15. Stabilisci se c’è stato o ci sarà un anno in cui l’età di Paolo è il doppio dell’età di Maria.

[9 anni fa]

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado 397 Anna e Beatrice compiono gli anni lo stesso giorno, ma Beatrice è nata tre anni prima di Anna. La somma delle età di Anna e Beatrice è 15. Quali sono le età di Anna e Beatrice? [Anna ha 6 anni e Beatrice ne ha 9] 398 Alberto e Paolo compiono gli anni lo stesso giorno, ma Alberto è nato due anni dopo di Paolo. La somma delle età di Alberto e Paolo è 20. Quali sono le età di Alberto e Paolo?

[9 e 11] 399 Suddividi la cifra di 2000 euro in due parti, in modo

3 dell’altra. che una parte sia __ 5

[1250 euro; 750 euro]

400 Diritto Nel 2020, alle elezioni presidenziali degli Stati Uniti, Joe Biden e Donald Trump ricevettero, insieme, 538 voti elettorali. Biden ricevette 74 voti in più di Trump. Quanti voti ricevette ciascun candidato?

[Biden: 306; Trump: 232] Turismo

401 E se? Il biglietto per assistere a uno spettacolo co-

sta 15 euro per gli adulti e 10 euro per i bambini. A uno spettacolo sono presenti 120 spettatori e l’incasso è 1650 euro. a. Quanti bambini assistono allo spettacolo? b. Quanti adulti assistono allo spettacolo?

 Se allo spettacolo fossero presenti 150 spettatori e l’incasso fosse di 1800 euro, come cambierebbero le risposte?

UNITÀ 10

405 Maria ha 360 euro e Silvia 270 euro. Maria salda

4 un debito che aveva con Silvia, quindi si trova ad avere __ 5 di quello che ora possiede Silvia. Qual era l’entità del debito?

[80 euro] 406 Economia aziendale Un’azienda produce un nuovo bene, che intende immettere sul mercato al prezzo di 28 euro per ogni unità. Per la produzione del bene è previsto un costo fisso settimanale di 900 euro e un ulteriore costo di 16 euro per ogni unità del bene prodotta. Quante unità del bene devono essere prodotte e vendute in una settimana per garantire il pareggio, cioè fare in modo che il ricavo sia uguale ai costi complessivi sostenuti?

[75] 407 In una fattoria sono allevati polli e conigli: si contano 80 teste e 216 zampe. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

[52 polli e 28 conigli] 408 Dario e Davide vogliono comprare insieme un’au-

2 e Davide __ 4 . Se si uniscono, to: Dario può pagarne __ 5 9 mancano ancora 2100 euro. Quanto costa l’auto?

[13 500 euro] 409 Un commerciante mette in saldo delle scatole artigianali in legno. Se diminuisse il prezzo di 14 euro a scatola, vendendo 5 scatole incasserebbe quanto vendendone 7 con lo sconto di 20 euro a scatola. Qual è il prezzo non scontato di ogni scatola?

[35 euro] [a. 30; b. 90; 90 e 60] 402 E se? Un albergo ha 55 camere. Arrivano 3 gruppi

di turisti da suddividere nelle diverse camere, in modo che il secondo gruppo abbia 5 stanze in più del primo e il terzo gruppo abbia il doppio delle camere del secondo.

Quante camere vanno assegnate a ogni gruppo?  Come cambierebbe la risposta se l’albergo avesse 50 camere?

[10, 15 e 30 camere; impossibile] 403 In un parcheggio ci sono moto e automobili. In tale parcheggio si contano 240 ruote e in tutto ci sono 66 veicoli. a. Calcola il numero delle moto. b. Calcola il numero delle auto. [a. 12 moto; b. 54 auto] 404 Una cassetta di frutta pesa 10 kg più il peso di mezza cassetta. Quanto pesa una cassetta e mezza? [30 kg]

410 In un parcheggio si contano 78 tra moto e auto. Le ruote sono 248. Quante sono le moto e quante le auto?

[32 moto e 46 auto] 411 In una classe un terzo degli allievi sono stati promossi con debito e 18 sono stati promossi senza debito.

Da quanti alunni è formata la classe?

[27]

Negli Stati Uniti la temperatura viene generalmente misurata con il grado Fahrenheit; la relazione tra gradi Fahrenheit (F) e gradi Celsius (C), comunemente usati in Europa, è F = 1,8C + 32. a. L’acqua generalmente congela a 0 °C: a quale temperatura corrisponde in gradi Fahrenheit? b. Durante una spedizione in Antartide due esploratori constatano che due termometri, uno tarato in gradi Fahrenheit e l’altro in gradi Celsius, segnano la stessa temperatura: qual è questa temperatura? [a. 32 F; b. − 40 °C] 412

Matematica e scienze

351

UNITÀ 10 413

Equazioni di primo grado

Attività con GeoGebra

Un parcheggio propone ai clienti tre tariffe:

• Tariffa A: 15 euro per tutta la giornata; • Tariffa B: 1 euro all’ora; • Tariffa C: la prima ora 20 centesimi e 1,20 euro per ogni ora successiva. a. Mario deve lasciare al parcheggio la macchina per 8 ore; quale tariffa gli conviene scegliere? b. Qual è il numero di ore di parcheggio per cui le tariffe B e C si equivalgono?

(Invalsi, L10, 2014, es. 22)

Affronta il problema secondo due approcci diversi. a. Approccio numerico. Realizza con il foglio di calcolo di GeoGebra una tabella dove: • nella prima colonna siano riportate le ore di parcheggio da 1 a 24 (in figura sono riportate solo le prime righe della tabella); • nelle successive tre colonne siano indicati rispettivamente il costo relativo alla tariffa A, quello alla tariffa B e quello alla tariffa C. Rispondi alle domande analizzando i dati numerici in tabella. b. Approccio algebrico. Calcola le tre tariffe relative a 8 ore e rispondi alla domanda a. Poi traduci la domanda b in un’opportuna equazione e risolvila.

[a. Conviene la tariffa B; b. 5 ore]

414 Un’edizione illustrata di un libro costa 6 euro e 50 centesimi in più dell’edizione non illustrata. Comprando una

copia dell’edizione illustrata e una copia di quella non illustrata, si spendono complessivamente 27 euro e 70 centesimi.

Quanto costa una copia dell’edizione non illustrata?

[10 euro e 60 centesimi]

415 Una compagnia telefonica fa pagare un canone mensile di 10 euro, e 8 centesimi per ogni minuto di conversazione.

Un’altra compagnia fa pagare un canone mensile di 15 euro, e 6 centesimi per ogni minuto di conversazione. Quanti minuti si dovrebbe conversare in un mese, per pagare la stessa cifra sia con l’una che con l’altra compagnia?

[250]

416 Un’associazione ha 500 iscritti e prevede un aumento di 20 iscritti all’anno; un’altra ne ha 450 e prevede un aumento di 30 iscritti all’anno. Supposto che si verifichino queste previsioni di crescita, dopo quanti anni le due associazioni avranno lo stesso numero di iscritti?

[5]

16 417 La somma delle età di Maria, Elisa e Silvia è 49. Sapendo che Maria ha 3 anni meno di Silvia e che Elisa ha i ___ degli anni di Maria, determina le età delle tre ragazze.

418

15 [Maria: 15 anni; Elisa: 16 anni; Silvia: 18 anni]

ESERCIZIO SVOLTO

Nella cassa del suo negozio il signor Fabbri ha 15 banconote, tutte da 20 euro e 50 euro, per un totale di 480 euro. Quante sono quelle da 20 euro e quante quelle da 50 euro?

Indicato con x il numero delle banconote da 20 euro, il numero delle banconote da 50 euro è dato da 15 − x. Dovrà essere 0 ≤ x ≤ 15. In base alle indicazioni fornite, l’equazione che occorre risolvere è: 20x + 50(15 − x) = 480 L’equazione è determinata e ha soluzione x = 9: certamente accettabile in relazione al problema, essendo un numero naturale compreso tra 0 e 15. Perciò il signor Fabbri ha in cassa 9 banconote da 20 euro e 6 banconote da 50 euro.

419 Si vuole formare la somma di 7 euro e 30 centesimi utilizzando 20 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi occorrono?

[11 da 50 centesimi e 9 da 20 centesimi] 420 Si vuole formare la somma di 4 euro utilizzando 10 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi.

Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi occorrono?

[Impossibile] 421 Si vuole dividere la somma di 12 000 euro fra tre persone in modo che la prima persona riceva un terzo di quanto riceve la seconda e che la terza riceva 1000 euro in più della metà di quanto riceve la seconda. Come va ripartito il denaro?

[Rispettivamente 2000, 6000 e 4000 euro]

352

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado 422 E se? Si vuole formare la somma di 8 euro e 40 centesimi utilizzando 30 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. a. Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi occorrono? b. Quale sarebbe la risposta al problema se si volesse formare la somma di 8 euro? [a. 22 monete da 20 centesimi e 8 da 50 centesimi; b. impossibile]

UNITÀ 10

425 Silvia e Luca, nel compito di matematica, hanno preso due voti diversi. Sapendo che i due voti differiscono di 1 e che il loro prodotto supera di 7 il quadrato del voto inferiore, stabilisci i voti presi.

[7; 8]

1 della somma che possiede, poi spen423 Paolo spende __

426 Andrea entra in un negozio con la somma di denaro esatta per comprare una caramella per ciascuno dei suoi compagni di classe, al prezzo di 13 centesimi l’una. Il prezzo delle caramelle però è sceso a 10 centesimi l’una e Andrea compra 6 caramelle in più del previsto, finendo il denaro che aveva. Quanti compagni di classe ha Andrea?

[20]

424 In una classe un terzo degli allievi ha preso un voto insufficiente all’ultimo compito in classe di matematica, mentre 12 allievi hanno preso un voto almeno sufficiente. Da quanti alunni è formata la classe?

[18]

427 Un test è costituito da 25 quesiti a risposta multipla. Ogni quesito risolto correttamente fa guadagnare 3 punti, ogni risposta sbagliata fa perdere 2 punti e ogni risposta non data non fa né perdere né guadagnare alcun punto. Paolo risponde a tutte le domande del test ma, dopo aver visto la correzione, si rende conto di non avere totalizzato alcun punto. A quanti quesiti ha risposto correttamente Paolo?

[10]

3 1 della somma rimasta e a quel punto gli restano nel de __ 2 portafoglio 60 euro in meno di quello che aveva in origine.

Quanto aveva Paolo nel portafoglio?

[90 euro]

428 Un gruppo di compagni di classe sta progettando una gita. Se ognuno contribuisse alle spese di viaggio con 14 euro,

essi avrebbero 4 euro meno del necessario; se invece ognuno di essi contribuisse con 16 euro, avanzerebbero 6 euro. Quale deve essere il contributo di ciascuno per raccogliere esattamente la cifra necessaria per il viaggio?

[14,80 euro] Economia aziendale

429 Tre soci costituiscono un capitale di 6 400 000 euro. Sapendo che il secondo socio versa 1 500 000 euro più del primo e il terzo 400 000 euro più del secondo, trova quale somma ha versato ciascun socio.

[1 000 000 euro; 2 500 000 euro; 2 900 000 euro] 430 Un’azienda ha costituito un fondo cassa per l’acquisto di 54 accessi a una banca dati oppure 18 report commerciali aggiornati. Dopo aver pagato 12 accessi e 3 report, restano ancora 4752 euro. A quanto ammontava il fondo?

[7776 euro] 431 Un commerciante ha acquistato 200 bottiglie tra

aceto e olio, pagando rispettivamente l’aceto 0,70 euro e l’olio 3,50 euro alla bottiglia. Avendo rotto tutte le bottiglie d’aceto, rivende a 4,80 euro ogni bottiglia di olio in modo da ripagarsi completamente per la spesa sostenuta.

Quante bottiglie di aceto ha acquistato? [130 bottiglie] 435

432 Un commerciante va a una fiera, riesce a raddoppiare il proprio capitale e vi spende 1600 euro; a una seconda fiera raddoppia nuovamente il capitale al netto della spesa precedente e spende ancora 1600 euro.

Quanto descritto si ripete per altre 2 volte, finché al termine delle quattro fiere il mercante si trova con un capitale di 10 000 euro. Con quale capitale ha iniziato questo [2125 euro] giro di fiere il commerciante?

433 Se vendendo della merce un commerciante rica-

1 in più di quanto ha speso e guadagna 1200 euro, va __ 3 quanto ha speso per acquistare la merce? [3600 euro] 434 Un’azienda sostiene mensilmente spese fisse pari a 6000 euro. Essa commercializza un solo prodotto che acquista a 4 euro e rivende a 12 euro. Quanti pezzi deve vendere l’azienda mensilmente per pareggiare il bilancio?

[750 pezzi]

ESERCIZIO SVOLTO

Un’auto 1 parte da una località A verso una località B distante 325 km, alla velocità di 60 km/h. Dopo mezz’ora parte un’auto 2 alla velocità di 80 km/h e diretta anch’essa alla località B. Dopo quanto tempo l’auto 2 raggiunge l’auto 1?

Dalla relazione spazio = velocità ⋅ tempo deduciamo, innanzitutto, che dopo mezz’ora 1 h = 30 km. l’auto 1 ha percorso: 60 km/h ⋅ __ 2 Indichiamo con t il tempo incognito, espresso in ore, necessario all’auto 2 per raggiungere l’auto 1.

Dopo il tempo t si ha che: distanza in km dell’auto 1 da A = 30 + 60t distanza in km dell’auto 2 da A = 80t Dovendo essere: distanza da A dell’auto 1 = distanza da A dell’auto 2, otteniamo l’equazione: − 30 = __ 3 30 + 60t = 80t ⇒ 60t − 80t = − 30 ⇒ − 20t = − 30 ⇒ t = __ − 20 2 3 Concludiamo che l’auto 2 raggiunge l’auto 1 in __ h, quindi in un’ora e mezza.

2 353

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

436 Su un’autostrada, a un certo istante, un’auto parte dal casello A verso il casello B che dista 280 km da A; dopo 10 minuti, dal casello B parte una seconda auto in verso opposto, cioè verso il casello A. Le due auto viaggiano a una velocità mediamente costante e uguale a 130 km all’ora per la prima auto e di 120 km all’ora per la seconda. Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima automobile incontrerà la seconda?

[1 ora e 12 min] 437 Paolo, uscito da scuola, cammina verso casa a una velocità, che si può considerare approssimativamente costante, di 1,5 m/s. Barbara, uscita da scuola, si ferma a chiacchierare con le amiche; parte perciò da scuola 10 minuti dopo Paolo e percorre la sua stessa strada, muovendosi in bicicletta, a una velocità, che si può considerare approssimativamente costante, di 9 m/s. Dopo quanto tempo dalla partenza di Paolo Barbara lo raggiunge? Esprimi il risultato in minuti.

[2 min] 438 Un poliziotto parte all’inseguimento di un ladro che scappa a una velocità di 18 km/h e che lo precede di 400 m.

a. Se egli corresse a 20 km/h, in quanto tempo lo raggiungerebbe? b. Quanti kilometri avrebbe percorso?

[a. In 12 min; b. 4 km]

439 Due amici partono dalle loro abitazioni, distanti 1600 m, per incontrarsi. Se il primo percorre 90 m in un minuto e il secondo 110 m in un minuto, dopo quanto tempo si incontreranno?

[8 min] 440 Lorenza e Paola abitano nella stessa via, la prima a 1200 m dalla scuola e la seconda a 900 m, ed entrambe percorrono 100 m in un minuto. Un giorno Lorenza esce 2 minuti prima di Paola e procede alla velocità di 120 m/min perché vuole raggiungere la sua compagna prima di giungere a scuola. Riesce nel suo intento? Se sì, quanti metri le due ragazze percorrono insieme?

[Sì; 600 m]

Le tariffe dei taxi a Parigi e Berlino sono le seguenti: a. a Parigi: tariffa iniziale di 2,60 euro più 0,96 euro per ogni kilometro percorso; b. a Berlino: 2 euro per ogni kilometro fino a un massimo di 7 km e 1,50 euro per ogni kilometro successivo.

Determina la lunghezza percorsa per cui il costo della corsa a Parigi è uguale al costo della corsa a Berlino. [2,5 km] 441

EDUCAZIONE FINANZIARIA

442 Risolvi i seguenti tre problemi, apparentemente simili.

a. Paolo spende prima un terzo e poi la metà di ciò che ha nel portafoglio, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? b. Paolo spende prima un terzo di ciò che ha nel portafoglio e poi la metà di ciò che gli rimane, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? c. Paolo spende prima un terzo di ciò che ha nel portafoglio e poi la metà di ciò che ha speso inizialmente, dopodiché gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? [a. 24 euro; b. 12 euro; c. 8 euro]

Problemi con le percentuali 443

ESERCIZIO GUIDATO

Economia aziendale

Il prezzo di un paio di pantaloni, dopo avere subito un rialzo del 10%, è di 121 euro. Qual era il prezzo dei pantaloni prima dell’aumento?

• Indica con x il prezzo dei pantaloni, prima dell’aumento del prezzo.

• Puoi scrivere l’equazione: 10 x ____ x + = 100 prezzo aumento del iniziale prezzo del 10% Risolvi l’equazione e concludi.

In un altro modo Osservando che il prezzo dei pantaloni, dopo il rialzo, risulta il 110% del prezzo iniziale si sarebbe potuto tradurre diretta110 mente il problema nell’equazione ____ x = 100

444 Il prezzo di un capo di abbigliamento, dopo avere subito uno sconto del 12%, è di 44 euro. Qual era il prezzo originario?

[50 euro] 445 Il signor Rossi preleva dal suo conto in due tempi successivi prima la somma di 2000 euro e poi il 20% di ciò che gli rimane sul conto. Effettuati i due prelievi, sul conto restano 10 400 euro. Quanto aveva sul conto il signor Rossi?

[15 000 euro]

354

446 In una elezione come rappresentante di istituto, il vincitore riceve il 30% in più dei voti del suo avversario.

I voti totali sono stati 92. Quanti voti ha ricevuto ciascuno di essi?

[40; 52] 447 Una libreria, in occasione delle feste natalizie, vende il 30% dei libri che ha; dall’inventario fatto alla chiusura, risulta che in negozio rimangono ancora 420 libri.

Quanti libri erano presenti inizialmente nella libreria?

[600]

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

UNITÀ 10

Video Un agente di commercio vende porta a porta un unico prodotto, un robot da cucina, a 700 euro.

448 La sua provvigione sulle vendite ammonta al 20%. L’anno scorso, al netto dei costi fissi pari a 12 000 euro, ha guadagnato 16 000 euro. Quanti pezzi ha venduto?

[40 pezzi] EDUCAZIONE FINANZIARIA

I seguenti problemi fanno riferimento a un capitale C investito in regime di capitalizzazione semplice al tasso annuo i. Ricorda che in tale regime M = C(1 + it), dove M è il montante (somma di capitale e interesse) e t è il tempo, espresso in anni. Risolvi i problemi impostando un’equazione e assumendo che l’anno abbia 365 giorni.

449

ESERCIZIO GUIDATO

Un capitale di 20 000 euro, investito per 3 anni e 3 mesi in regime di interesse semplice, ha prodotto un montante di 23 250 euro. Trova il tasso di interesse i.

3 anni, cioè a __ 13 anni.

Osserva che 3 anni e 3 mesi corrispondono a (3 + __ 12 ) 4 Sostituisci nella formula M = C(1 + it) i valori noti di C, M e t e risolvi l’equazione ottenuta rispetto all’incognita i: 13 ⇒ i = 23 250 = 20 000(1 + i ⋅ __ = %.

[5%] 4 ) 450 L’interesse semplice maturato da un capitale di 1650 euro impiegato per 2 anni ammonta a 280,50 euro.

A quale tasso annuo è stato impiegato il capitale? [8,5%]

453 Impiegando un capitale di 25 400 euro al tasso del 8,5%, si è ottenuto un montante di 31 877 euro. Per quanto tempo è stato impiegato il capitale?

[3 anni]

451 Un risparmiatore impiega un capitale di 54 750 euro al 3,50% e percepisce un interesse di 630 euro. Per quanto tempo ha impiegato il capitale?

[120 giorni]

454 A Paola è stato concesso un prestito di 2000 euro che rimborsa dopo 1 anno e 6 mesi con 2120 euro. A quale tasso è stato concesso il prestito?

[4%]

452 Un capitale ha fruttato, in 90 giorni e al tasso del 4,25%, un interesse di 726,75 euro. A quanto ammontava il capitale iniziale?

[69 350 euro]

455 Impiegando un certo capitale al tasso del 5% per 4 anni voglio trovare costituito un montante di 9000 euro.

Quanto capitale devo investire?

[7500 euro]

Economia aziendale

456 Oggi un negozio ha incassato 1500 euro. Sapendo che l’incasso di oggi è stato il 20% in più dell’incasso medio del negozio, qual è l’incasso medio?

[1250 euro] 457 La tua scuola ha vinto un bando e ha ricevuto un finanziamento per acquistare prodotti I.T. (Information Technology). Il finanziamento è vincolato al rispetto di alcuni parametri: il 4% del totale deve essere destinato a pubblicità, il 10% a spese per il personale che curerà la parte amministrativa e l’80% deve essere destinato all’acquisto di materiale. Rispettando questi vincoli, dopo tutti i pagamenti, avanzano 120 euro. A quanto ammonta l’intero finanziamento?

[2000 euro] 458 Due diverse commissioni devono esprimersi per l’approvazione di un farmaco. La prima commissione è costituita dal doppio dei membri della seconda commissione. Il 20% della prima commissione e il 30% della seconda commissione hanno votato favorevolmente all’approvazione del farmaco. Se in tutto i voti favorevoli sono stati 28, da quanti membri era composta ciascuna commissione?

[40; 80] 459 In un’azienda A di 1200 dipendenti, il 5% sono operai specializzati nella manutenzione di macchine. In un’azien-

da B, gli operai specializzati nella manutenzione sono il 10%. Considerando l’insieme dei dipendenti delle due aziende, gli operai specializzati nella manutenzione risultano l’8%. Quanti sono i dipendenti dell’azienda B? [1800] 460 Per preparare biscotti al miele Anna segue solitamente una ricetta che prevede una quantità di farina doppia rispetto a quella di burro e una quantità di miele pari ai due terzi di quella di burro. Se decidesse di aumentare del 25% le dosi di tutti gli ingredienti dovrebbe utilizzare 100 grammi di miele. Quanti grammi di farina e quanti di burro sono previsti nella ricetta originaria?

[240; 120] 461 Gaia ha comprato 3 kg di mele golden, 1,5 kg di pere william e 800 g di uva bianca in un supermercato in cui:

• 1 kg di pere william costa il 20% in più di 1 kg di mele golden; • 1 kg di uva bianca costa come 1,5 kg di pere william.

Sapendo che Gaia ha speso complessivamente 7 euro e 80 centesimi, determina il prezzo al kilogrammo di mele, pere e uva bianca.

[1,25 euro; 1,50 euro; 2,25 euro] 355

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

EDUCAZIONE FINANZIARIA

462 Viene acquistato un appartamento pagandolo in 3 rate. Nella prima rata si paga il 20%, nella seconda il 50% di

quello che resta da pagare e nella terza si versa la somma di 31 000 euro. Quanto costa l’appartamento? [77 500 euro]

463 Una persona ha impiegato per un anno il suo capitale in due diversi investimenti: 10 000 euro sono stati impiegati in un investimento che gli ha fruttato un interesse del 6%, mentre la parte restante del capitale è stata impiegata in un investimento che gli ha fruttato un interesse pari all’8%. L’intero capitale ha fruttato un interesse di 4000 euro.

Qual era il capitale?

[52 500 euro] 464 Il fatturato di un’azienda è aumentato nel 2021 del 10% rispetto all’anno precedente. Nel 2022 invece è aumentato del 5% rispetto al 2021. In questi due anni l’aumento è stato complessivamente di 62 000 euro. Qual era il fatturato nel 2020?

[400 000 euro] 465 Il prezzo di un abito viene ridotto del 30%. Poiché, anche dopo la riduzione, l’abito non viene venduto, il prezzo scontato viene ulteriormente ribassato del 30%. Dopo i due sconti, l’abito costa 98 euro. Qual era il prezzo originario?

[200 euro] 466 Il sig. Bianchi ha investito, per un periodo di tempo di un anno, la cifra di 50 000 euro, in parte in un fondo obbligazionario e in parte in un fondo azionario. Il fondo obbligazionario ha registrato, alla fine dell’anno, un incremento del 5%, mentre il fondo azionario ha registrato, alla fine dell’anno, una perdita del 3%. Il sig. Bianchi, complessivamente (tenendo conto cioè sia dei guadagni sia delle perdite), ha chiuso l’anno con un guadagno di 1000 euro. Quanto aveva investito nel fondo obbligazionario e quanto in quello azionario?

[31 250 euro nell’obbligazionario e 18 750 euro nell’azionario] 467 Il prezzo al kilogrammo di un dato bene subisce un aumento del 10%, quindi il prezzo rialzato subisce un ribasso del 20%; a questo punto il bene viene venduto al prezzo di 11 euro al kg. Qual era il prezzo al kg del bene, prima che subisse l’aumento e il successivo ribasso?

[12,50 euro al kilogrammo] 468 Una persona dispone di un capitale di 20 000 euro; impiega una parte del suo capitale in un investimento A che

frutta il tasso del 4% annuo e la parte restante del capitale in un investimento B che frutta il tasso del 3% annuo. Dopo un anno riscuote un interesse complessivo di 720 euro. Determina quanto ha impiegato nell’investimento A e quanto nell’investimento B. [12 000 euro in A e 8000 euro in B] 469 Una persona dispone di un capitale di 15 000 euro; impiega una parte del suo capitale in un investimento A che frutta il tasso del 5% annuo e la parte restante del capitale in un investimento B che frutta il tasso del 4% annuo. Dopo un anno riscuote un interesse complessivo di 680 euro. Determina quanto ha impiegato nell’investimento A e quanto nell’investimento B. [8000 euro in A e 7000 euro in B] 470 Una persona impiega un terzo del suo capitale in un investimento al tasso del 3% annuo, un quarto del capitale in un investimento al tasso del 5% annuo e la parte rimanente del capitale in un investimento al tasso del 4% annuo. Dopo un anno riscuote un interesse complessivo di 940 euro. Determina il capitale complessivamente investito. [24 000 euro] 471 Una persona impiega un quarto del suo capitale in un investimento al tasso del 5% annuo, due quinti del capitale in

un investimento al tasso del 4% annuo e la parte rimanente del capitale in un investimento al tasso del 3% annuo. Dopo un anno riscuote un interesse complessivo di 1560 euro. Determina il capitale complessivamente investito. [40 000 euro] 472 L’anno scorso in un coro polifonico gli uomini erano 30 in più rispetto alle donne. Quest’anno il numero degli elementi del coro è cresciuto del 10%. Il numero delle donne è cresciuto del 20%, quello degli uomini del 5%. Quanti elementi ha il coro quest’anno?

[99] SALUTE E PREVENZIONE Secondo le formule di Lorenz, il peso ideale di una donna e il peso ideale di un 473 uomo (in kilogrammi) sono dati rispettivamente dalle formule seguenti, dove h indica il valore numerico dell’altezza (in centimetri): Pdonna = h − 100 − 0,5(h − 150) Puomo = h − 100 − 0,25(h − 150) In corrispondenza di quale altezza il peso ideale di una donna risulta il 10% in meno di quello di un uomo?[Circa 178,6 cm] 18 di oro 474 La purezza dell’oro è misurata in carati. Essendo l’oro puro di 24 carati, un oro a 18 carati contiene ___ 24 12 di oro puro, cioè il 50% di oro puro. Quanto oro puro e puro, cioè il 75% di oro puro; un oro a 12 carati contiene ___ 24 quanto oro a 12 carati vanno mescolati per ottenere 96 grammi di oro a 18 carati?

[48 grammi di oro puro e 48 di oro a 12 carati]

356

UNITÀ 10

5. Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado

475 Dopo una vincita al Lotto, il signor Rossi investe il 60% della somma per acquistare un nuovo computer. Spende il 20% della somma restante in libri. Poi deposita sul conto corrente il 50% della cifra che gli rimane. Alla fine gli restano 360 euro. A quanto ammontava la vincita?

[2250 euro] 476 Un acquario contiene 120 pesci, il 10% dei quali è rosso. Quanti pesci rossi occorre aggiungere nell’acquario affinché la percentuale di pesci rossi diventi il 20% del totale dei pesci?

[15]

Vacanze di Pasqua 2016 Saranno circa 9,7 milioni gli italiani (pari al 15,9% della popolazione) che si muoveranno fino a Pasquetta per un periodo di vacanza, segnando un + 7,1% rispetto alla Pasqua del 2015. Sono le previsioni di Federalberghi. Le mete preferite, per il 91% degli italiani che rimarranno nel Bel Paese, saranno il mare (29%), le città d’arte maggiori e minori (28%) e la montagna (23%).

(Fonte: La Stampa, 24 marzo 2016) a. Quanti sono gli italiani che si sono mossi per un periodo di vacanza nella Pasqua 2015? b. Tra gli italiani che si sono mossi per le vacanze di Pasqua nel 2016, quanti sono coloro che sono rimasti in Italia e si sono recati al mare? c. Nel 2017 di quanto dovrebbe diminuire in percentuale, rispetto al 2016, il numero di italiani che si muovono per le vacanze pasquali affinché il numero di coloro che vanno in vacanza torni uguale a quello del 2015? [a. Circa 9 056 956; b. 2 559 830; c. circa 6,6%] 477

INFORMAZIONE CONSAPEVOLE

Problemi geometrici 478

ESERCIZIO GUIDATO

Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 5 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato. Qual è il perimetro del quadrato?

• Indica con x la misura incognita (in centimetri) del lato del quadrato.

• In base ai dati del problema, le misure (in centimetri) della base e dell’altezza del rettangolo sono rispettivamente x . Poiché quadrato e rettangolo devono avere lo stesso perimetro, puoi scrivere l’equazione: x + e ___________ 4x

=

2 ⋅ (x +

perimetro del quadrato

x ) + 2 ⋅ _____

perimetro del rettangolo

Risolvi l’equazione e concludi.

479 I due rettangoli in figura hanno lo stesso perimetro. Determina x. x

480 I due rettangoli in figura hanno la stessa area. Determina x. x

x+4 x+2

x+6

1 x 2

x−3

[x = 4]

x + 10

[x = 6]

481 In un rettangolo un lato è il doppio dell’altro e il perimetro è di 42 cm. Determina la lunghezza della base e quel-

la dell’altezza.

[7 cm; 14 cm]

2 della prima e la terza 482 Dividi un segmento di 24 cm in tre parti, in modo che la seconda parte superi di 1 cm i __

5 della seconda. sia 2 cm in meno dei __ 4

5 [12,5 cm; 6 cm; 5,5 cm]

3 della loro 483 Determina la lunghezza di due segmenti sapendo che il primo supera il secondo di 26 cm ed è __

somma.

4 [39 cm; 13 cm]

357

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

3 del primo hanno la stessa lunghezza dei __ 4 del 484 Quanto sono lunghi due segmenti se la loro somma è 86 cm e i __ 7

secondo?

5 [56 cm; 30 cm]

3 della lunghezza dei lati congruenti. Sapendo che il perimetro 485 In un triangolo isoscele, la lunghezza della base è __

2 del triangolo è di 21 cm, determina le lunghezze dei lati.

[6 cm; 6 cm; 9 cm] 2 di 486 Un quadrilatero ABCD è tale che la lunghezza di AB supera di 2 cm quella di BC, la lunghezza di CD è __ 3 1 di quella di AB. Sapendo che il perimetro del quadrilatero è 20 cm, determina quella di BC e la lunghezza di AD è __ 4 le lunghezze dei suoi lati.

[AB = 8 cm; BC = 6 cm; CD = 4 cm; AD = 2 cm] 4 della base e che questa lo supera 487 Determina il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che il lato obliquo è __ 5 di 12 cm.

[156 cm] 1 del488 Dividi un segmento di 21 cm in tre parti, in modo che la seconda sia 1 cm in più della prima e la terza sia __ 5 la seconda.

[9 cm; 10 cm; 2 cm] 5 del lato AC. Sapendo che il pe489 In un triangolo ABC, il lato AB supera di 1 cm il lato BC, il quale a sua volta è __ 2 rimetro del triangolo è 25 cm, determina le lunghezze dei lati.

[4 cm; 10 cm; 11 cm] 490 Nella figura, l’area del quadrato arancione supera di 45 cm2 l’area del qua-

drato azzurro. Quali sono le lunghezze dei lati dei due quadrati? [6 cm; 9 cm] 491 In un trapezio rettangolo ABCD:

• la base minore CD è lunga 3 cm in meno della base maggiore AB; • il lato obliquo BC è lungo 1 cm in più dell’altezza AD; 2 della base minore CD. • l’altezza AD è __ 15 cm 3 Sapendo che il perimetro del trapezio è 24 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio e la sua area.

[AB = 9 cm; CD = 6 cm; AD = 4 cm; BC = 5 cm; Area = 30 cm 2] 492 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato. Qual è il perimetro del quadrato?

[48 cm] 493 Un quadrato e un rettangolo hanno la stessa area. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è 2 cm in meno del lato del quadrato. Qual è l’area del quadrato?

[9 cm 2] 494 Determina la lunghezza dei lati di un triangolo sapendo che il perimetro è lungo 42 cm e che le misure dei lati sono tre numeri consecutivi.

[13 cm; 14 cm; 15 cm]

Dato un segmento AB lungo 12 cm, determina su di esso un punto P in modo che il 3 del perimetro del triangolo equilatero costruito quadrato costruito su PB abbia perimetro che supera di 23 cm i __ 4 su AP. [PB = 8 cm] 495

Con GeoGebra

Dato un rettangolo ABCD, in cui AB è lungo 9 cm e BC è lungo 4 cm, determina sul lato CD la posizione di un punto P, in modo che l’area del trapezio ABPD sia il quadruplo dell’area del triangolo BCP. [DP = 5,4 cm] 496

Con GeoGebra

497 In un rettangolo, un lato è la metà dell’altro. Diminuendo di 1 cm le lunghezze di tutti i lati del rettangolo, l’area diminuisce di 8 cm 2. Quanto sono lunghi i lati del rettangolo?

[6 cm; 3 cm] 498 Una piastrella è formata da un quadrato interno bianco attorno al

quale è stato creato un bordo con quattro rettangoli identici di colore grigio, come mostrato in figura. Determina l’area della piastrella sapendo che 7 di quello del quadrato bianco. Che percentuale dell’ail suo perimetro è __ 5 rea del quadrato bianco rappresenta quella di ciascun rettangolo grigio?

[441 cm 2 ; 24%] 499 Considera un quadrato ABCD di lato 10 cm e indica con M il

punto medio di CD. Determina un punto P, sul lato AB, tale che l’area 1 dell’area del trapezio PBCM. del trapezio APMD sia 10 cm 2 in più di __ 3 [AP = 1,5 cm] 358

x cm

(x + 15) cm

UNITÀ 10

Esercizi di riepilogo

Esercizi di riepilogo Esercizi interattivi Test 500 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?

1 1 1 C __ + 2a = 3 B __ + x = 3 x a x 501 Quale delle seguenti equazioni ammette come soluzione x = 2? x x x 3x x x 7 B ___ + ____ = 4 A ___ + ___ = 1 C ___ + ___ = ___ 2 2 4 2 2 8 4 502 Quale delle seguenti equazioni è equivalente all’equazione (2x − 3) 2 = 3x 2 + (5 − x) 2?

C 2x + 16 = 0 A 2x + 4 = 0 B 2x + 8 = 0 A __ + 2 = 3x

D x − 2a = 3

3 2

x 4

9 2

D ___ x + ___ = ___ D 2x + 32 = 0

503 Quale delle seguenti equazioni non ammette soluzioni in R? A (x − 3) 2 = (3 − x) 2 2

B (2x − 3)

C (x − 3) 2 − (x + 3) 2 = 4(1 − 3x)

D 2x 2 = 0

= (2x − 3)(2x + 3)

504 Quale delle seguenti equazioni è un’identità?

A (2x + 1) − (2x − 1) = 8x 2

B (2x + 1)

2

C (2x + 1)2 − (2x − 1)2 = − 8x

D (2x + 1)2 − (2x − 1)2 = 0

− (2x − 1) = 8x

505 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% e poi il 20% di ciò che ho inizialmente nel portafoglio, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

D x − 0,1x − 0,2x = 10 A x − 0,1 − 0,2 = 10 B x − 0,1x − 0,2 · 0,1x = 10 E Nessuna delle altre risposte C x − 0,1x − 0,2(x − 0,1x) = 10 506 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di ciò che ho inizialmente nel portafoglio e poi il 20% della cifra rimanente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

A x − 0,1 − 0,2 = 10 D x − 0,1x − 0,2x = 10 B x − 0,1x − 0,2 · 0,1x = 10 E Nessuna delle altre risposte C x − 0,1x − 0,2(x − 0,1x) = 10 507 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di ciò che ho nel portafoglio e poi il 20% di ciò che ho speso inizialmente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

A x − 0,1 − 0,2 = 10 D x − 0,1x − 0,2x = 10 B x − 0,1x − 0,2 · 0,1x = 10 E Nessuna delle altre risposte C x − 0,1x − 0,2(x − 0,1x) = 10 508 Devi suddividere 30 bignè in due vassoi. I due vassoi hanno grandezze diverse e il più grande contiene 6 bignè in più dell’altro. Quanti bignè conterrà il vassoio più piccolo?

C 12 A 8 B 10 D Non è possibile eseguire la suddivisione richiesta 509

Economia aziendale

La tabella mostra i profitti di un’azienda in milioni di euro nei sei anni dal 2006 al 2011.

2006

2007

2008

2009

6,5

8,5

9,8

8,5

2010

2011 11,8

Per un errore di stampa, il dato del 2010 non compare. Si sa però che il profitto del 2010 è stato il 18% del profitto totale dei 6 anni. Quale delle seguenti equazioni permette di trovare il dato mancante, indicato con x?

A 45,1 − 0,18 = x B x = 0,18(45,1 − x)

C x = 0,18 · 45,1

D x = 0,18(45,1 + x)

E 45,1 + x = 0,18x

(Test di selezione, Facoltà di Scienze 2012)

359

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione.

510 2x − 1 = 4

x = −1

[No]

512 x2 + 2x = 0

x=0

[Sì]

511 3x − 5 = 7x − 1

x = −1

[Sì]

513 x3 − 2x + 1 = 0

x=1

[No]

Scrivi un’equazione equivalente a quella data, che soddisfi la condizione indicata a fianco. x−1 1 x+_ 1 x=_ 514 _ 4

abbia tutti i coefficienti interi

2

3

515 x2 + 2x + 5 = x2 + 6x − 7 abbia tutti i termini al 1° membro e non abbia termini di 2° grado

Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e individuane il grado.

516 (x + 1)2 = x − 1

[Grado = 2]

518 (x − 2)3 − (x + 2)3 = 4

[Grado = 2]

517 (x + 1)2 = (x − 1)2

[Grado = 1]

519 x4 + 5x − x3(1 − x) = 0

[Grado = 4]

Risolvi le seguenti equazioni.

3 x − 1 = x + ___ 5 520 ___

2 4 x x − 2 _____ ___ =− 521 4 3 2x 1 1 522 − ___ x + ____ = − ___ 15 3 5 523 3x + 2 − 4(x − 3) = 5x + 7

1 +3 x+_ 1 =1 524 2(x − _ ( 2) 3)

3 x−_ 1 x+_ 1 (x + 1) = 0 525 _ 4

2

3

526 2 − 4x − (x − 1) = 2(2x + 1) 527 3(x + 1) − 2(x − 3) = 2x + 1

1 −_ 1 (x − 3) = 0 528 2x + _ 4

2

529 1 − 3x + 2(x − 3) = 2(x + 1) − 2

1 x+_ 1 −_ 1 (x − 1) = _ 2x 530 _ 3

6

4

3

531 6x − 4 = 2(3x + 5) 2

2

534 (2 − 3x)(2 + 3x) = − 9(x − 1) 2 2

535 (2x − 2) = 2(2x − 1)(x − 2)

[− 1]

1 − x+_ 1 x−_ 1 =2 542 (x + _ 3) ( 3 )( 3)

7 _ [6] 1 _ [5] 4 _ [ 17 ] 1 _ [9] [8] 7 _ [− 6 ] 5 _ [− 3 ] 5 _ [7] 1 __ [3] 8 __ [− 5 ] 13 ___ [ 18 ] [0]

1 (6x + 3) − 5 = − ___ 1 (9x + 6) 537 ___ 2 3

15 ____ [ 4 ] 1 __ [4]

538 x 2 − (x + 1) 2 = − 2(x + 2) + 3

[Indeterminata]

539 (x − 2)2 − 3(x + 1) = x(x + 1)

1 _ [8]

536 1,6x − 5,4 = − 2,4 (x − 4)

1 − ___ 1 560 (x 2 + x + 1) 2 + (___ ) 2

360

1 =0 540 (1 − x )(1 + x) + (x + _ )

[Impossibile]

532 (3x − 1)(3x + 1) = (3x − 1 ) 533 x(x − 2) = (x + 4)

9 __ [2] 6 __ [7]

3

−1

5 _ [− 4 ]

2

2

5 _ [− 2 ] 8 _ [3]

541 2(x − 3) + 4x(x − 1) = (2x − 1)(2x + 1) 2

2 _ [− 3 ]

543 (1 − x)2 − x(x + 2) = 3 − x

1 _ [3]

544 (x + 1)2 + (x − 1)2 = 2x(x + 3) 545 (1 − 3x)2 − x(9x − 2) = 5

[− 1] 19 ___ [ 10 ] 19 ____ [ 36 ]

546 − 3 [5 − 2(x − 1)] = 2 [3 − 2(x + 2)]

2x − 1 = − ___ 1 547 ______

1 6 − ___ 3 1 − (x − 1) 2 − x 2 2 − x 2 = ____________ 548 ___ 3 2

2 __ [3]

549 (x − 1) 2 − (x + 1) 2 = x(x + 1) + (1 − x)(3 + x)

[− 1]

551 (x + 1)(x − 1)(x2 − 1) = x4

19 ___ [ 8 ] [Impossibile]

552 (x − 2)(x2 + 2x + 1) = x3 − 8

[Indeterminata]

550 2 − 1(x − 2) = 0,3(3 − x)

(5 − 2x) 2 + (5 − 2x)(5 + 2x) 2 30 554 [(2x − 1)(2x + 1) − 4x 2 + 3x] 2 = 9x 2 − 11 x 553 _______________________ + 3 = __

1 − x − ___ 1 x + ___ 1 = ___ 1 − ___ 1 555 (x − ___ 2) ( 3 )( 3) (2 3) 2

2

556 (3 − x)(3 + x)(2 + x) + x3 = 2(3 − x)(3 + x)

[4] [2] 1 __ [3] [0]

558 (2x − 1)3 = 4x2(2x − 3) − 13

1 ____ [2] [− 2]

559 (x − 0,2) 2 − x(x + 1) = 0,04 − 0,5x

[0]

−1

3 ___ [2]

557 (x2 − 3x + 4)2 = x2(x2 − 6x + 17) + 8x

1 x + (x − 1)(x + 1) = x 2 (x + 1) 2 + 3x 2 − (0,25 − ___ 3)

UNITÀ 10

Esercizi di riepilogo 561 Impostando un’opportuna equazione, risolvi la proporzione (2x − 1) : (5x − 4) = 6 : 8.

3 = x − ___ 7 : ___ 3 : ___ 1.

562 Impostando un’opportuna equazione, risolvi la proporzione (x − ___ ) ( ) 2

2

2

2

8 ___ [x = 7 ] 9 ___ [x = 2 ]

Problemi 563 Due numeri hanno somma 20 e la somma tra il doppio del minore e un quarto del maggiore è uguale a 19.

Trova i due numeri.

[8; 12] 564 In un trapezio isoscele la base maggiore è il doppio 5 della della base minore e ciascuno dei lati obliqui è ___ 6 base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina la sua area.

[36 cm2]

565 In un rettangolo la base è doppia dell’altezza. Se si aumentano la base di 3 cm e l’altezza di 5 cm l’area aumenta di 41 cm2. Determina la lunghezza della base e la lunghezza dell’altezza del rettangolo.

[4 cm; 2 cm]

11 della 566 La somma di tre numeri interi consecutivi è ____

9 somma dei due interi consecutivi immediatamente seguenti. Qual è il più grande di questi cinque numeri? [14]

Realtà e modelli

567 E se? La somma delle età di Maria e Silvia è 40. Sapendo che Silvia ha 5 anni meno del doppio dell’età di Maria, determina le loro età.  Come cambierebbe la risposta, sapendo che Silvia ha 5 anni in più del doppio dell’età di Maria? [15, 25; impossibile] 568 Vendite natalizie. Una libreria, in occasione delle feste natalizie, vende il 25% dei libri che ha; dall’inventario fatto alla chiusura, risulta che in negozio rimangono ancora 300 libri. Quanti libri c’erano inizialmente?

[400] 569 Basket. All’intervallo di metà gara, il punteggio della squadra di basket A superava di 10 il punteggio della squadra B. Nella seconda metà-gara la squadra A incrementava il vantaggio con un parziale di 38 punti a 36. Sapendo che 6 dei punti della squadra B, stabilisci il punteggio a fine partita. i punti dalla squadra A sono stati i __ [72 a 60] 5 Economia aziendale

570 Per la fabbricazione di un paio di scarpe da uomo un’azienda deve sostenere un costo di 105 euro. Determina il prezzo di vendita di un paio di scarpe, se si vuole che il margine di utile sia uguale al 25% del ricavo, ossia del prezzo stesso di vendita.

[140 euro] 571 Per la fabbricazione di un mobile su misura un’azienda deve sostenere un costo di 450 euro. Determina il prezzo di vendita del mobile, se si vuole che il margine di utile sia uguale al 20% del ricavo, ossia del prezzo stesso di vendita.

[562,50 euro] 572 Il fatturato di un’azienda nel 2021 è aumentato del 10% rispetto al 2020. Nel 2022 il fatturato è diminuito del 15% rispetto al 2021. Se nel 2022 il fatturato è stato di 822 800 euro, qual è stato il fatturato nel 2020?

[880 000 euro] EDUCAZIONE FINANZIARIA

573 Il prezzo di un bene, IVA esclusa, è aumentato in un anno di 18 euro. Il prezzo del bene, dopo l’aumento inclusa IVA

del 22%, è di 146,40 euro. Qual era il prezzo del bene prima dell’aumento, al netto dell’IVA?

[102 euro]

574 Due beni hanno, al netto dell’IVA, una differenza di prezzo di 100 euro. Essi vengono venduti complessivamente al prezzo di 305 euro, inclusa IVA del 22%. Determina i prezzi dei due beni, al netto dell’IVA. [75 euro; 175 euro]

Luigi è alle prese con la sua dichiarazione dei redditi: deve pagare un’imposta sul reddito annuale pari al 23% per i primi 15 000 euro e al 27% per l’eventuale parte eccedente i 15 000 euro. Sapendo che l’imposta che Luigi deve pagare è pari a 5880 euro, determina il reddito annuale di Luigi.

[24 000 euro] 575

Video

576 Le aliquote IRPEF 2023 prevedono una tassazione del 23% per un reddito fino a 15 000 euro, del 25% per la par-

te eccedente i 15 000 euro fino a 28 000 euro, del 35% per la parte eccedente i 28 000 euro, fino a 50 000 euro e del 43% per la parte eccedente i 50 000 euro.

Maria ha un reddito compreso tra 15 000 euro e 28 000 euro e deve pagare un’imposta di 5325 euro. Qual è il reddito annuale di Maria?

[22 500 euro] 361

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

Prova di autoverifica Equazioni di primo grado Vero o falso?

1

a. l’equazione 5x + 4 = − 1 non ha soluzioni nell’insieme Z

V

F

b. le due equazioni 2x + 3 = − 1 e x + 15 = 17 sono equivalenti

V

F

c. l’equazione (x + 2) = x + 4x + 4 è un’identità

V

F

d. − 1 è una soluzione dell’equazione − 1 + 2x = − 3

V

F

V

F

2

2

2

2

e. l’equazione (x + 2) = x + 3x + 1 ha grado 2 Test 2

Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale?

1 1 1 1 1 A __ − 2 = x B x 2 − __ = __ C __ + __ = 3x k x k 2 k+x

1 2

D __ − x = 4

3 Individua l’equazione nell’incognita n che corrisponde al modello algebrico del seguente problema: «La somma di un numero naturale n con il doppio del suo successivo è uguale al quadruplo del precedente di n».

A n + 2n + 1 = 4n − 1

C n + 2 + (n + 1) = 4 + (n − 1)

B n + 2(n + 1) = 4(n − 1)

D Nessuna delle precedenti

Risolvi le seguenti equazioni.

4

− 3[5 − 2(x − 1)] = 2[3 − 2(x + 2)]

5

5x − (3x + 1) = (x + 2) 2 − x 2 − 2(x + 3)

6

− 3(x − 2) = (x + 3) 2 − x 2 − 3(3x + 1)

7

x − 4 = − __ 23 x − 5 − ____ x − 1 − ___ 1 (x + 4) − ____ ____ 4 5 10 20 2

8 Oggi il negozio di abbigliamento di Monica ha incassato 1380 euro. Sapendo che l’incasso di oggi è stato il 15% in più dell’incasso medio del negozio, qual è l’incasso medio?

Rispondi impostando e risolvendo un’equazione.

Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del ret2 tangolo supera di 4 cm il lato del quadrato mentre l’altezza del rettangolo è i __ 3 del lato del quadrato. Stabilisci il perimetro del quadrato (del rettangolo) e le aree dei due quadrilateri.

9

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Totale

Punteggio massimo

0,25 ⋅ 5 = 1,25

0,75

0,75

1

1

1

1,25

1,5

1,5

10

Punteggio ottenuto Tempo indicativo: 1 ora

362

Risposte p. 630

Verso le competenze - Invalsi

UNITÀ 10

Verso le competenze Invalsi 1 È data l’equazione (3k − 6) x − 5k + 2 = 0, in cui x è l’incognita e k è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 0 per k = (Prova Invalsi 2012)

2

1 (x − 20) = 200.

Individua, fra i seguenti problemi, quello che può essere risolto dall’equazione __ 2 A La differenza tra un numero x e 10 è uguale a 200. Calcola x.

B In un negozio ho acquistato un articolo che costava x euro. Calcola x sapendo che nel portafoglio avevo 200 euro

e me ne sono rimasti 20.

C A scuola una mattina sono assenti 20 studenti. Il 50% dei presenti è uguale a 200. Calcola il numero totale x di

alunni della scuola.

D La differenza tra un numero x e 20 è uguale a 100. Calcola x.

(Esempio di prova CBT, livello 10)

3 Anna ha speso presso un’edicola un quinto del denaro con cui è uscita da casa; poi ha speso in cartoleria la metà del denaro rimanente. Dopo i due acquisti le sono rimasti 20 euro. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la quantità di denaro x con cui Anna è uscita da casa?

1 1 1 2 1 1 1 1 C __ x + __ x + 20 = x B __ x + __ x = x + 20 D __ x + __ x + 20 = x A __ + __ + 20 = x 10 5 2 5 2 5 5 5 (Esempio di prova CBT, livello 10)

4 Per l’acquisto di un computer sono stati spesi 300 euro. Il prezzo è composto dal costo base più l’IVA, pari al 20% del costo base. Quanto è stato pagato di IVA? Risposta: (Prova Invalsi 2011)

5 In un test con 28 domande si assegnano 5 punti per ogni risposta esatta, si tolgono 2 punti per ogni risposta errata e si assegna un punto per ogni risposta non data. Marco risponde a tutte le domande e ottiene in totale 0 punti.

Quante risposte errate ha dato?

Risposta: (Prova Invalsi 2016)

La stampante laser L in un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quando L e D lavorano contemporaneamente stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampante complessivamente in un minuto?

C 36 A 24 B 30 D 48 6

(Prova Invalsi 2013)

7

A una conferenza sono presenti 90 persone. Le donne sono 14 più degli uomini. Quanti sono gli uomini?

B 38 C 31 D 76

A 59

(Prova Invalsi 2017)

8 Ai soci di un supermercato un detersivo è venduto, con lo sconto del 20%, al prezzo di 1,40 euro. Quanto costa quel detersivo ai clienti che non sono soci del supermercato e che pertanto non hanno diritto allo sconto?

B 1,75 euro A 1,68 euro C 2,80 euro D 1,12 euro (Prova Invalsi 2017)

9 Una casa editrice propone all’autore di un libro di scegliere uno tra due diversi tipi di contratto relativi al suo compenso.

• Contratto forfettario: compenso di 50 000 euro, indipendentemente dal numero di copie vendute.

• Contratto a partecipazione: compenso di 5000 euro a cui si aggiunge il 10% del prezzo di copertina per ogni copia venduta.

Il prezzo di copertina del libro è di 30 euro. Qual è il numero di copie che devono essere vendute perché il compenso ottenuto con il contratto a partecipazione sia uguale a quello ottenuto con il contratto forfettario?

Risposta: copie.

(Modificato da prova Invalsi 2017)

363

UNITÀ 10

Equazioni di primo grado

Compito di realtà Promozioni al supermercato

EDUCAZIONE FINANZIARIA

Laura vuole approfittare delle promozioni in corso nei tre supermercati del suo paese per rifornirsi di confezioni di acqua minerale.

Supermercato A Compri 3 e paghi 2

Supermercato B Per ogni articolo acquistato, il secondo lo paghi la metà

Supermercato C Sconto del 20% su una serie di articoli scelti

Supponi che la marca di acqua che Laura intende acquistare rientri tra gli articoli scontati nel supermercato C e che il prezzo non scontato, diciamo x, di una confezione di bottiglie di acqua sia lo stesso in tutti e tre i supermercati.

Esprimi, in funzione di x, il totale che Laura pagherà per l’acquisto di 2 confezioni di acqua rispettivamente nel supermercato A, nel supermercato B e nel supermercato C. Se Laura intende acquistare 2 confezioni di acqua, in quale supermercato le conviene effettuare l’acquisto?

1

2

Rispondi alle domande del quesito 1 nel caso in cui Laura acquisti 3 confezioni di acqua, invece di 2.

Laura ha acquistato 2 confezioni di acqua nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta. Maria ha invece acquistato 3 confezioni di acqua dello stesso tipo, sempre nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta.

3

Completa gli scontrini di Laura e Maria:

Scontrino Laura Acqua x 2 Sconto Totale

.......... ..........

5,70

Scontrino Maria Acqua x 3 Sconto Totale

.......... .......... ..........

Successivamente Laura e Maria acquistano rispettivamente 2 bottiglie di olio e 3 bottiglie di olio, nel supermercato che corrisponde alla migliore offerta. Supponi che le bottiglie di olio acquistate siano dello stesso tipo, che il prezzo non scontato di una bottiglia sia lo stesso in tutti e tre i supermercati e che le bottiglie di olio siano in promozione anche nel supermercato C. 4 Laura possiede una carta fedeltà, che le dà diritto a un ulteriore sconto di 1 euro sul prezzo originario non scontato di una bottiglia di olio, cui si applicheranno successivamente le altre promozioni. Anche Maria possiede una carta fedeltà, che le dà diritto a un ulteriore sconto di 1 euro sul totale scontato da pagare per l’acquisto delle 3 bottiglie. Maria, per l’acquisto delle 3 bottiglie di olio, ha pagato 2 euro e 50 centesimi in più di quanto Laura ha pagato per l’acquisto di 2 bottiglie. Qual è il costo, non scontato, di una bottiglia di olio?

5 Come cambierebbe la risposta al quesito 4, se lo sconto al quale dà diritto la carta fedeltà fosse del 20% sul totale scontato, sia per la carta di Laura sia per quella di Maria?

AL LAVORO CON L’INTELLIGENZA ARTIFICIALE

Poni la seguente richiesta al chatbot che preferisci.

• Crea un volantino pubblicitario per un supermercato con 10 prodotti in offerta di

marche inventate. Ogni prodotto deve essere caratterizzato da un nome, in grassetto, un prezzo reale in euro, il prezzo scontato e lo sconto percentuale applicato.

Tocca a te

• Come esercizio, calcola il prezzo della spesa scontato e la percentuale di sconto ap-

plicata sul totale. Tale percentuale corrisponde alla media pesata degli sconti dei singoli prodotti?

Usa lo svolgimento di questo compito di realtà come spunto per il tuo Capolavoro.

364

Risposte p. 632

Solve Maths in English Linear equations 1

SOLVED EXERCISE

2 of its total amount and then 42 liters. The container remains full for From a container full of oil, Anne pours __ 5 4 of its capacity. What is the capacity of the container? __ 9 Solution Let C be the capacity of the container: the domain restriction on C is C > 0.

2 of the total amount of oil and then 42 liters, the quantity of oil which is still in the container can be If Anne pours __ 5 __ written as C − 2 C − 42.

5 4 of the capacity of the container, so you get: You know that this quantity of oil amounts to __ 9 4C 2 C − 42 = __ C − __ 5 9 4 C and adding 42 to both members, you can write: Let’s solve this linear equation. Subtracting __ 9 4 C = 42 2 C − __ C − __ 5 9 Performing algebraic sums on the left side of the equation, you get: 7C = 42 45C − 18C − 20C = 42 ⇒ ____ _______________ 45 45 45 : Finally multiply each member by ___ 7 45 = 6 ⋅ 45 = 270 C = 45 ⋅ ___ 7 which is an acceptable solution. The container has a capacity of 270 liters.

What does it mean?

Domain restriction condizioni di accettabilità Linear equation equazione lineare (in una o più incognite) The left and the right members il membro sinistro e destro (di un’equazione) Acceptable solution soluzione accettabile

Now it’s up to you!

3

x + 4 : __ x − 2 − _____ 2 = − 1 and kx − 3 = 3x − 5 have the same solution. What is the value of k?

The equations _____ 2 6 3 2 __ [k = 3 ] The equation x (x + 2)2 = x3 + (2x + 1)2 has no solution. You are asked to verify this.

4

I am now four years younger than twice what my age was five years ago. How old am I now?

2

[14]

5 Joe has a total of $ 200 in his two pockets. He takes one fourth of the money in his left pocket and puts it in his right pocket. He then takes $ 20 from his left pocket and puts it in his right pocket. If he now has an equal amount of money in each pocket, how much money did he originally have in his left pocket?

(High school math contest 2006) [$ 160]

365

EDIZIONE ROSSA

Preparare il domani con la scuola di oggi Un progetto Deascuola inclusivo, paritario, sostenibile e innovativo per essere più vicini a chi insegna e a chi studia

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EDUCAZIONE FINANZIARIA

Lezione 13

A Equazioni di primo grado SINTESI VISUALE

Equazione Uguaglianza contenente almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.

ESEMPIO

2x – 1 1° membro

=

x+2

è un’equazione nell’incognita x.

2° membro

Classificazione rispetto alle espressioni algebriche nei due membri Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in alcun denominatore; altrimenti si dice frazionaria (o fratta).

ESEMPI

Sono equazioni intere: 3 1 x – 3x = 1 x – __ x = ____ 3 2

Ai denominatori ci sono numeri, mai l’incognita

Sono equazioni frazionarie: 3 x – __ = 1 x –1 – 3x = 5 equivale a __1x 2x

Equazione in forma normale

Grado di un’equazione

Equazione della forma A(x) = 0, dove il polinomio A(x) è in forma normale.

Il grado del polinomio A(x), una volta che l'equazione è nella forma normale A(x) = 0.

ESEMPI

ESEMPIO

È in forma normale

Non è in forma normale

x – 3x + 5 = 0

x – 3x = 5

2

2

x + 2x + 1 = x

forma normale

2x + 1 = 0

equazione di 1° grado

Soluzione di un’equazione in una incognita Numero che, sostituito nell’equazione al posto dell’incognita, la trasforma in una uguaglianza vera.

ESEMPI

–1 è una soluzione dell’equazione x – 1 = 0 perché, sostituendo –1 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza vera: (– 1) – 1 = 0, ossia 0 = 0.

Equazioni equivalenti

Classificazione in base alle soluzioni

Equazioni che hanno le stesse soluzioni.

Un’equazione di primo grado si dice: • determinata se ammette una sola soluzione; • impossibile se non ammette alcuna soluzione; • indeterminata se ammette infinite soluzioni.

ESEMPIO

2x = 2 e 3x = 3 sono equivalenti perché hanno entrambe soluzione x = 1.

56

+ 2 non è una soluzione dell’equazione x – 1 = 0 perché, sostituendo + 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza falsa: (+ 2) – 1 = 0, ossia 3 = 0.

ESEMPI

• 2x = 2 è determinata perché ha l’unica soluzione x = 1.

• 0x = 2 è impossibile perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, non 2.

• 2x = 2x è indeterminata perché è verificata per ogni valore reale di x.

Equazioni di primo grado

Lezione 13

Principi di equivalenza ESEMPI

Regole

Equazione originaria

Equazione equivalente

Si può aggiungere o sottrarre a entrambi i membri di un’equazione uno stesso termine (primo principio di equivalenza).

3x + 4 = 5

→ Sottraiamo a entrambi → 3x + 4 – 4 = 5 – 4 i membri il numero 4.

Si può trasportare un termine che 2x + 3 = 5 – 4x compare come addendo da un membro all’altro di un’equazione cambiandogli il segno.

Se in un’equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, questi si possono «sopprimere».

→ Trasportiamo – 4x al primo membro e + 3 al secondo.

→ 2x + 4x = 5 – 3

x + x = x + 2x + 1 → Possiamo sopprimere → x = 2x + 1 i due termini di secondo grado.

Si possono moltiplicare o dividere 6x – 3 = 9 entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, purché 1x = 1 1 x – __ __ questo sia diverso da zero 2 3 (secondo principio di equivalenza).

→ Possiamo dividere tutti i termini per 3.

→ 2x – 1 = 3

→ Possiamo moltiplicare → 3x – 2x = 6 tutti i termini per 6.

Equazione di primo grado in forma normale a=0

Equazione in forma normale ax = b

b=0 equazione indeterminata (identità) S =R

a≠0

b≠0 equazione impossibile S =∅

ESEMPIO

ESEMPIO

0x = 0 è indeterminata

0x = 4 è impossibile

equazione determinata b S= a ESEMPIO

2x = 6 ⇒ x = 6 = 3 2 è determinata

Metodo risolutivo di una generica equazione di primo grado numerica intera ESEMPIO

x+1 1 x = _____ 2x – 1 – __ .

Risolviamo l’equazione _____ 2 3 4 6(2x − 1) − 4x 3(x + 1) 12 ⋅ = ⋅12 12 12 m.c.m.(2, 3, 4)

6(2x – 1) – 4x = 3(1 + x) 12x – 6 – 4x = 3 + 3x 12x – 4x – 3x = 6 + 3 5x = 9 9 x = __ 5

METODO

1. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, si riconducono i due membri al minimo comune denominatore, poi si moltiplicano per il denominatore comune per ricondursi a una equazione a coefficienti interi.

2. Si svolgono eventuali calcoli.

3. Si portano tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al secondo.

4. Si risolve l’equazione del tipo ax = b a cui si giunge.

57

Lezione 13 1

B Esercizi guidati

Completa la seguente tabella, seguendo l’esempio.

Equazione

Sostituisci al posto di x il numero ...

Ottieni l’uguaglianza...

x2 + 2x + 3 = 0

−1

1−2+3=0

V F

Sì NO

3x + x = 4

2

....................

V F

Sì NO

x3 + 8 = 0

−2

....................

V F

Sì NO

2x − 8 = x + 4

12

....................

V F

Sì NO

2

L’uguaglianza Il numero sostituito ottenuta è vera al posto di x è una o falsa? soluzione dell’equazione?

Completa la tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda.

Passi del procedimento

Equazione da risolvere: (x − 1)2 − x2 = x +1 2 3

Equazione da risolvere: x − 4 = (x + 2)2 − x2 2 3

Riconduci i due membri al minimo comune denominatore, quindi moltiplicali per il denominatore comune

3(x − 1)2 − 3x2 = 2x + 2

3(x − 4) = 2(.....)2 − .....

Svolgi i calcoli.

3x 2 − 6x + 3 − 3x 2 = 2x + 2

3x − ..... = 2x2 + ..... + 8 − .....

−6x + 3 = 2x + 2

3x − ..... = 8 + .....

Porta i termini con l’incognita al 1° membro e gli altri al 2° membro.

−6x − 2x = +2 − 3

3x − ..... = 12 + .....

Riduci i termini simili.

−8x = −1

−5x = .....

Dividi i due membri per il coefficiente dell’incognita.

x = −1 = 1 −8 8

x = .....

6⋅

3(x − 1)2 − 3x 2 2(x + 1) = ⋅6 6 6 m.c.m.(2, 3)

6⋅

3(x − 4) 2(x + 2)2 − 2x 2 = ⋅6 6 6 m.c.m.(2, 3)

3 Caccia all’errore. Nella prima colonna della seguente tabella sono riportate le risoluzioni di alcune equazioni. Nel risolvere le equazioni sono stati commessi, però, vari errori. Individuali e correggili.

Risoluzioni

58

È corretto?

Eventuale correzione

3x = x + 1 ⇒ 3x − x = 1 ⇒ 2x = 1 ⇒ ⇒x=−1 2

Sì NO

3x = x + 1 ⇒ 3x − x = 1 ⇒ x = 1 2

1 (2x + 3) = 3 ⇒ 1 (2x + 3) = 3 ⇒ 2 2 ⇒ x +3 = 3⇒ x = 0

Sì NO

................................................................

x + 3 = 1 ⇒ x = 1 − 3 ⇒ x = 1−3 ⇒ 2 3 3 2 3−2 ⇒ x = −2

Sì NO

................................................................

2(x + 1) = 3 ⇒ 2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ ⇒ x =1

Sì NO

................................................................

9x + 10 = 8x − 2 ⇒ 9x − 8x = −2 + 10 ⇒ ⇒x=8

Sì NO

................................................................

Lezione 13

Equazioni di primo grado Problemi e modelli

4

Completa la risoluzione dei seguenti problemi.

Passi

Problema 1

Problema 2

Testo del problema

In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 104 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?

In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 99 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?

1. Individuare dati e obiettivo

Dati: • 30 veicoli (auto o moto) • in tutto ci sono ........ ruote Obiettivo: n° di auto e n° di moto

• 30 veicoli (auto o moto) • in tutto ci sono ........ ruote

Obiettivo: n° di auto e n° di moto

Sia x il numero di auto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale.

Possiamo scrivere l’equazione: 4⋅x + 2 ⋅ (.....) = 104

Sia x il numero di moto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale.

Possiamo scrivere l’equazione: 4 ⋅ (30 − x) + ..... = 99

2. Formalizzare il problema

numero di ruote delle auto

3. Risolvere l’equazione

Dati:

numero di ruote delle auto

numero di ruote delle moto

Risolviamo l’equazione: x = ........

numero di ruote delle moto

Risolviamo l’equazione: x = ........

4. Interpretare la La soluzione trovata (numero di auto) La soluzione trovata (numero di soluzione e è accettabile in quanto è un numero moto) non è accettabile in quanto concludere naturale. Concludiamo che, nel non è un numero .......... parcheggio, ci sono: Concludiamo che la situazione ....... auto e 30 − ....... = ....... moto descritta nel problema è impossibile.

5 A fianco di ciascun problema è indicata l’equazione che lo formalizza, in cui x indica il numero di risposte non date. Completa l’equazione, risolvila e concludi la risoluzione del problema.

Problema 1. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 2 punti per ogni risposta esatta, 0 punti per ogni risposta non data e toglie un punto per ogni risposta sbagliata. Il punteggio totale ottenuto è stato 16 e le risposte sbagliate sono state uguali a quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?

2(20 − .....)

+

Problema 2. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 28 e le risposte sbagliate sono state tante quante quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?

.....(20 − .....)

−

punteggio relativo alle risposte esatte

punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date

punteggio totale

Problema 3. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 20 e le risposte sbagliate sono state il quadruplo di quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?

.....(20 − .....)

−

1 ⋅ 5x

.....

punteggio relativo alle risposte esatte

punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date

punteggio relativo alle risposte esatte

0⋅x

−

1⋅x

=

punteggio punteggio relativo alle tolto a causa risposte delle risposte non date sbagliate

1 ⋅ .....

=

=

..... punteggio totale

.....

punteggio totale

59

Lezione 13

C Esercizi da svolgere Autovalutazione

Test 1

2

3

1 + 2x = x + 1 nell’incognita x è: 2 3 A numerica intera C letterale intera B numerica frazionaria D letterale frazionaria L’equazione

1 = a +x nell’incognita x è: x 2 A numerica intera B numerica frazionaria L’equazione

L’equazione 5x = 0 è: A determinata B indeterminata, ma non un’identità

4

C letterale intera D letterale frazionaria C impossibile D un’identità

L’equazione 0x = 100 è: A determinata B indeterminata, ma non un’identità

C impossibile D un’identità

Scrivi le seguenti equazioni in forma normale e stabiliscine il grado.

3 3 5 (x − 1)2 = (x + 1)2 + x2 7 (x + 1) = (x − 1) 6

x(x − 1)(x − 2) = x3 − 3x2

8

(x − 1)(x + 1) = 1 + (x − 2)2

Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione.

9

(x − 3)2 = −1

x=2

11

(x − 3)2 = 25

x = −2

10

(2x − 3)2 = 9

x=3

12

(2x − 3)2 = −81

x = −3

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi o frazionari. ⎡3 ⎤ ⎡− 10 ⎤ 13 − 2 x = x − 1 21 x − x − 3 = − 1 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 2 4 12 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 3 2 2 ⎡ ⎤ 14 0,1x = x − 0,2 22 (x − 1)(x + 2) − (x − 3) = x + 1 [2] ⎣⎢ 9 ⎦⎥ (2x − 2)2 ⎡3 ⎤ 15 3x + 2 = 2x + 4 [2] − x2 = x − 1 23 4 2 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 16 −2(x − 1) = 3(x + 4) [−2] x −1 − x +1 = 1 x − 1 24 [Indeterminata] 3 6 6 2 2 2 17 2(x − 1) + x = (x + 1) [Impossibile] 25 x − 3 − x − 2 = 1 x − 1 [Impossibile] 1 (3x + 1) = x 2 3 6 18 [Impossibile] 2 2 3 1 x −3 − 1 x +2 +4 = 0 ⎡9 ⎤ 26 [3] 19 (x − 2)2 = (x + 2)(x − 2) + 2(1 − x) 2 2 ⎣⎢ 5 ⎦⎥

(

⎡1 ⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥

20

(2x − 1)(2x + 1) = (2x − 1)2

28

(3x − 2)2 − (2x + 1)2 = (x − 3)(5x − 1)

29

x(x − 1) 1 − + (x − 1)2 = 3 (x + 1)(x − 3) + 11 2 3 2 3

) (

)(

(

)

32

(x − 3)2 − (2x + 1)(2x − 1) = 7x − (x + 5)(3x − 2)

x − 1 − 2 x − 3 3 x + 5 − 5x + 3 = 1 2 3 2 2 8 6 31 7x + 2(3 − x) = −13x − 4 − (8 − 12x)

33 34

60

(

)

7 (x + 1) + 3 (2x 2 − 5x − 2) = 3 x x − 3 2 4 2 2 7 x − 1 1 + 7 x − 1 1 x 2 + 8x − 12 = (4x − 1)2 3 3 3 3 3

(

)(

) (

)

1 x + 1 x − 2− x =2− x 2 3 12 4

⎡13 ⎤ ⎢⎣ 7 ⎥⎦

[Indeterminata]

30

2

27

) (

)

[−3] [Impossibile] [−3] [Indeterminata] [−1] [Impossibile]

Equazioni di primo grado 35

Completa l’equazione x + 2 = 2x + ….. in modo che abbia come soluzione 0.

36

Completa l’equazione 3x − 2 = 5x − ….. − ….. in modo che risulti indeterminata.

37

Completa l’equazione 3x − 2 = 5x − ….. + ….. in modo che risulti impossibile.

Lezione 13

Invalsi

38 Una sorgente di montagna alimenta continuamente un serbatoio con 5 m3 di acqua ogni settimana. Oggi il serbatoio contiene 100 m3 di acqua e un villaggio inizia a prelevare 7 m3 di acqua alla settimana. a. Completa la seguente tabella relativa al numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane a partire da oggi.

t (settimane) 3

n (m )

0

1

2

3

4

100

…..

…..

…..

…..

b. Scrivi un’espressione che rappresenti il numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane. c. Dopo quante settimane il serbatoio sarà vuoto?

A 20 settimane C 98 settimane B 50 settimane D 102 settimane (Prova Invalsi 2015)

[b. n = 100 − 2t]

Un palo verticale è piantato in uno stagno. Un quinto del palo è interrato nel fondale, un sesto è immerso in acqua e la parte del palo che esce dall’acqua è lunga 8,9 metri. a. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la lunghezza totale x del palo?

1 + 1 + 8,9 = x 1 x + 1 x = x + 8,9 1 x + 1 x + x = 8,9 1 x + 1 x + 8,9 = x A B C D 5 6 5 6 5 6 5 6 39

b. Qual è la lunghezza totale x del palo? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta il risultato arrotondato alla seconda cifra decimale: ..................................................................

Risultato: .................... m

[b. 14,05 m]

(Prova Invalsi 2015)

Problemi e modelli

40 Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 15%, viene venduto al prezzo di 34 euro. Qual era il prezzo originario dei pantaloni? [40 euro]

Un appartamento viene acquistato in tre rate: prima si paga il 10%, poi il 50% della cifra rimanente e infine si salda il conto versando 36 000 euro. Quanto costa l’appartamento?

[80 000 euro] 41

42 Si vuole formare la somma di 10 euro utilizzando 18 monete, alcune da 1 euro e altre da 50 centesimi. Quante monete da 1 euro e quante da 50 centesimi sono necessarie?

[2 monete da 1 euro e 16 da 50 centesimi] 43 Un padre, che ha 36 anni, ha un figlio di 14 anni. Fra quanti anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio?

[Fra 8 anni] 44 Determina due numeri naturali consecutivi in modo che la loro somma, diminuita di 18, uguagli il triplo della differenza fra il maggiore e il doppio del minore.

[4 e 5]

45 In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 9 cm la metà della base minore, 2 mentre i lati obliqui superano di 1 cm i della 3 base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio.

[12 cm, 6 cm, 5 cm, 5 cm]

Mirko ha notato che il giardino sotto casa è di forma quadrata, e che riducendone i lati di un metro soltanto, la sua area diminuirebbe di 65 metri quadrati. Qual è l’area del giardino, in metri quadrati?

[1089 m2] 46

Su una nave da crociera ci sono 700 passeggeri. Quelli che viaggiano in classe lusso sono 1 di quelli di prima classe, e i passeggeri di 4 7 seconda classe sono i della somma delle altre 3 due. Sapendo che tutti i passeggeri sono o in prima classe o in seconda classe o in classe lusso, quanti passeggeri ci sono in ogni classe?

[Classe lusso: 42; prima classe: 168; seconda classe: 490] 47

61