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e problemi 6 Parabole di ottimizzazione

UNITÀ Tema B

Parabola

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1

Parabola come luogo geometrico e sua equazione

La parabola come luogo geometrico Nelle unità precedenti abbiamo visto come scrivere le equazioni nel piano cartesiano di alcuni luoghi geometrici già noti dalla geometria euclidea: l’asse di un segmento, le bisettrici degli angoli formati da due rette. Ora ci occupiamo di un’altra curva che già conosci, la parabola. Essa ti è stata presentata in precedenza come grafico di una funzione di secondo grado; tuttavia anche la parabola può essere definita come luogo geometrico.

DEFINIZIONE

Parabola

Dati nel piano una retta d e un punto F ∉d, si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d.

P

P

P P

Con GeoGebra Costruzione della parabola

asse

parabola

P

H H

P

H

H

H

direttrice d

I punti P , P , ..., P appartengono alla parabola di fuoco F e direttrice la retta d, poiché risulta rispettivamente P F = P H , P F = P H , ...., P F = P H .

La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola (ed è un asse di simmetria per la parabola); il punto dell’asse che appartiene alla parabola è il vertice della parabola (Fig. 1).

Equazione di una parabola con vertice nell’origine F

fuoco V

H

H

P

F fuoco

vertice K direttrice

Figura 1 Gli elementi fondamentali di una parabola: il fuoco, la direttrice, il vertice e l’asse. Ogni punto P della parabola è tale che PF = PH . V è il punto medio del segmento FK.

Ora che abbiamo definito la parabola come luogo geometrico, ci proponiamo di scriverne l’equazione che la identifica in un piano cartesiano. Ci limiteremo a considerare parabole con asse parallelo a uno dei due assi cartesiani.

Iniziamo dal caso più semplice, cioè da quello di una parabola con vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y.

Poiché il fuoco di una parabola appartiene al suo asse, le coordinate del fuoco saranno (0, k), con k ≠ 0. Facciamo riferimento, per semplicità, alla Fig. 2, in cui k > 0 (ma analoghe considerazioni valgono per k < 0). y P(x, y) F(0, k) V(0, 0)

Figura 2

218

H(x, –k)

direttrice

x y = –k

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione

UNITÀ 6

Tema B

La distanza tra il fuoco e il vertice è k; poiché anche la distanza tra il vertice e la direttrice deve essere k, la direttrice avrà equazione y = −k.

Consideriamo ora un generico punto P(x, y) del piano; P appartiene alla parabola avente fuoco in F e avente come direttrice la retta di equazione y = −k se e solo se: PF = PH

PF esprime la distanza di P dal fuoco e PH la distanza di P dalla direttrice (Fig. 2)

Questa condizione si traduce nella seguente equazione, che risolviamo: x 2 + ( y − k)2 = | y + k |

Ricorda la formula che fornisce la distanza tra due punti nel piano cartesiano

x2 + y2 − 2ky + k2 = (y + k)2

Eleviamo entrambi i membri al quadrato, ricordando che | a | = a

x2 + y2 − 2ky + k2 = y2 + 2ky + k2 ⇒

4ky = x2

⇒

y=

Abbiamo così dimostrato il seguente teorema.

TEOREMA 1

1 2 x 4k

Equazione di una parabola con vertice nell’origine

L’equazione della parabola avente vertice nell’origine, fuoco nel punto di coordinate (0, k), con k ≠ 0, e direttrice y = −k è: 1 2 y= x [1] 4k 1 , otteniamo che l’equazione di una generica 4k parabola con vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y è del tipo:

Se nell’equazione [1] poniamo a = y = ax2

dove a è un numero reale non nullo

Avendo posto a = TEOREMA 2

1 1 , cioè k = , possiamo dedurre il seguente teorema.

4k 4a

Fuoco e direttrice di una parabola con vertice nell’origine

L’equazione y = ax2, con a ≠ 0, rappresenta una parabola che ha: a. vertice nell’origine; 1 b. fuoco nel punto di coordinate 0, ; 4a 1 c. per direttrice la retta di equazione y = − .

4a

( )

Equazione di una parabola con vertice generico Consideriamo ora il caso di una parabola γ ′ con vertice in V(xV, yV) e asse parallelo all’asse y (Fig. 3). Tale parabola è la corrispondente di una parabola con vertice ! nell’origine, quindi di equazione del tipo y = ax2, nella traslazione di vettore v(xV, yV); pertanto la sua equazione sarà: y − yV = a (x − xV)2

[2] y γ'

γ y = ax

V(xV, yV)

v (xV, yV) O(0, 0)

Figura 3

x

Figura animata Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y

219

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione Svolgendo i calcoli possiamo scrivere la [2] nella forma equivalente: y = ax2 − 2axV x + ax V2 + yV Se ora poniamo: e ax V2 + yV = c −2axV = b otteniamo l’equazione: y = ax2 + bx + c

con a ≠ 0

[3]

[4]

che rappresenta ogni parabola con asse parallelo all’asse y. Abbiamo così dimostrato due fatti importanti, riassunti nel teorema seguente.

Parabole con asse parallelo all’asse y

TEOREMA 3

Ogni parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione del tipo: con a ≠ 0 y = ax2 + bx + c Se è noto anche il vertice V(xV, yV) allora l’equazione è della forma: con a ≠ 0 y − yV = a(x − xV)2 Viceversa, l’equazione [4] si può scrivere nella forma [2], dove xV e yV si ricavano dalle equazioni [3]: xV = −

b b2 4ac − b2 b2 − 4ac =− , yV = c − axV2 = c − a ⋅ 2 = 2a 4a 4a 4a

Di conseguenza, indicata con ∆ l’espressione b2 − 4ac, abbiamo che la [4] rappresenta una parabola avente: b Δ ,− vertice in V − 2a 4a

(

)

x

y

Le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice della [4] si possono ottenere applicando al fuoco e alla direttrice della parabola di equazione y = ax2 la traslazione ! di vettore v(xV, yV). Si ottiene così il seguente teorema.

Parabola di equazione y = ax2 + bx + c

TEOREMA 4

Con GeoGebra La parabola nel piano cartesiano

SUGGERIMENTI 1. Per determinare l’ordinata del vertice non è necessario utilizzare la formula − Δ : 4a basta sostituire, nell’equazione della parabola, il numero − b 2a al posto di x e calcolare il corrispondente valore di y.

Questo procedimento, oltre a non richiedere l’utilizzo di una formula mnemonica, sveltisce in molti casi il calcolo.

2. Per ricordare le formule del fuoco e della direttrice osserva che: F x ,y + 1 e y = y − 1 4a 4a

(

)

basta sommare e sottrarre 1 all’ordinata del vertice 4a

220

Ogni equazione del tipo y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0, rappresenta una parabola che ha (Fig. 4): b Δ a. vertice in V − ; ,− 2a 4a b b. per asse di simmetria la retta di equazione x = − ; 2a b Δ 1 ,− + c. fuoco in F − ; 2a 4a 4a Δ 1 . d. per direttrice la retta di equazione y = − − 4a 4a

(

)

(

)

x =−

(– 2ab , – 4aΔ + 4a1 ) (

b 2a

– b ,– Δ 2a 4a

y

y = ax + bx + c

)

F direttrice

Figura 4

distanza focale =

1 y=– Δ – 4a 4a

V 1 4a

O

x

La distanza del vertice della parabola dal suo fuoco, uguale a 1 , è detta distanza 4a focale (Fig. 4) ed è anche uguale alla distanza del vertice dalla direttrice.

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione

UNITÀ 6

Tema B

A seconda delle particolari situazioni, può essere più conveniente lavorare con l’equazione della parabola nella forma y = a(x − xV)2 + yV (che ha il pregio di mettere immediatamente in evidenza le coordinate del vertice) oppure con l’equazione nella forma y = ax2 + bx + c. Vediamo come studiare le caratteristiche di una parabola di cui è data l’equazione, in ciascuno dei due casi.

ESEMPI

Studio del grafico di una parabola

Equazione della parabola

y = −(x + 3)2 + 4

y = x2 − 4x + 2

Vertice e asse

Riscrivendo l’equazione nella forma y = a(x − xV)2 + yV riconosciamo le coordinate del vertice: y = −(x − (−3))2 + 4

a = 1, b = −4, c = 2

a = −1, x = −3, y = 4

Intersezioni con l’asse x

Intersezione con l’asse y

Grafico

xV = −

(−4) b =− =2 2a 2 ⋅1

yV = 22 − 4 ⋅ 2 + 2 = −2 sostituendo 2 al posto di x nell’equazione della parabola

Dunque V(−3, 4) e l’asse è la retta di equazione x = −3.

Dunque V(2, −2) e l’asse è la retta di equazione x = 2.

⎧y = −(x + 3)2 + 4 ⇒ (x + 3)2 = 4 ⇒ ⎨ y = 0 ⎩

⎧y = x 2 − 4x + 2 ⇒ x 2 − 4x + 2 = 0 ⇒ ⎨ y = 0 ⎩

⇒ x + 3 = ±2 ⇒ x = −5 ∨ x = −1

⇒x =2± 2

La parabola interseca l’asse x nei punti di coordinate:

La parabola interseca l’asse x nei punti di coordinate:

(−5, 0) e (−1, 0)

(2 − 2 , 0) e (2 + 2 , 0)

⎧y = −(x + 3)2 + 4 ⇒ y = −(0 + 3)2 + 4 = −5 ⎨ ⎩x = 0

⎧y = x 2 − 4x + 2 ⇒ y = 02 − 4 ⋅ 0 + 2 = 2 ⎨ ⎩x = 0

La parabola interseca l’asse y in A(0, −5).

La parabola interseca l’asse y in A(0, 2).

Per completare il grafico si può determinare qualche altro punto della parabola (per esempio ponendo x = −2 si trova y = 3, quindi la parabola passa per B(−2, 3)) e tenere presente che la parabola passa per tutti i punti determinati e per i loro simmetrici rispetto all’asse della parabola:

Per completare il grafico si può determinare qualche altro punto della parabola (per esempio ponendo x = −1 si trova y = 7, quindi la parabola passa per B(−1, 7)) e tenere presente che la parabola passa per tutti i punti determinati e per i loro simmetrici rispetto all’asse della parabola:

y = –(x + 3) + 4 V B'

y

y

y = x – 4x + 2

B B

–5

–1

B'

x O A

A'

A' x

O

A

2– 2

2+ 2 V

Fuoco

Essendo a = −1, si ha:

1 1 15 xF = xV = −3, yF = yV + = 4+ = 4a 4 ⋅ (−1) 4 15 ⎞ quindi F ⎛ −3, . ⎝ 4⎠ Direttrice

y = yV −

1 1 17 = 4− = 4a 4 ⋅ (−1) 4

Essendo a = 1, si ha: xF = xV = 2, yF = yV +

1 1 7 = −2 + =− 4a 4 ⋅1 4

7 quindi F ⎛ 2, − ⎞ . ⎝ 4⎠ y = yV −

1 1 9 = −2 − =− 4a 4 ⋅1 4

221

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione

I legami tra i coefficienti della parabola di equazione y = ax2 + bx + c e il suo grafico Vogliamo ora mettere in evidenza alcune caratteristiche del grafico della parabola di equazione y = ax2 + bx + c. Il grafico è influenzato anzitutto dai valori assunti dai coefficienti a, b e c, come illustrato nel seguente schema.

Coefficienti: a, b, c

coefficiente a

Il segno di a dà informazioni sulla concavità della parabola: – se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto; – se a < 0, la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

Il valore assoluto di a dà informazioni sull’apertura della parabola: al crescere del valore assoluto di a, si ottengono via via parabole sempre più «strette».

a=2

a>0

Si lega alla posizione dell’asse della parabola: quest’ultimo giace nel semipiano delle ascissse negative o positive a seconda che sia ab > 0 o ab < 0.

Rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y.

y c>0

1 a=⎯ 3

x

O

coefficiente c

a=1 1 a=⎯ 2

y y

coefficiente b

(0, c)

c=0 x

O

y = ax a<0

O

c<0 (0, c)

x

In relazione al significato dei coefficienti a, b, c, è importante inoltre osservare che: a. due parabole di equazioni y = ax2 + bx + c e y = a′x 2 + b′x + c′ sono congruenti se e

solo se hanno la stessa apertura, ovvero se e solo se | a | = | a′ |; b. le parabole nella cui equazione qualche coefficiente è nullo, hanno le caratteristiche riassunte nella seguente tabella.

Parabola con b = c = 0

Parabola con b = 0 e c ≠ 0

Parabola con b ≠ 0 e c = 0

È una parabola con vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y.

È una parabola avente come asse di simmetria l’asse y (con vertice diverso dall’origine).

È una parabola passante per l’origine (con asse diverso dall’asse y).

y

y a<0

a>0

y

a>0

a>0

y = ax O vertice nell’origine

x a<0

asse coincidente con l’asse y

O

x

y = ax + bx

y = ax + c

parabole passanti per l’origine

O

x a<0

Un ulteriore elemento che ha influenza sul grafico di una parabola di equazione y = ax2 + bx + c è il discriminante dell’equazione associata, ax2 + bx + c = 0. Tale equazione fornisce le ascisse degli eventuali punti dove il grafico della parabola in222

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione

UNITÀ 6

Tema B

terseca l’asse x (di equazione y = 0), quindi il discriminante influenza la posizione della parabola rispetto all’asse x: • se ∆ = b2 − 4ac > 0, l’equazione ax2 + bx + c = 0 ha due soluzioni reali distinte, x1 e x2, quindi la parabola interseca l’asse x in due punti distinti; • se ∆ = b2 − 4ac = 0, l’equazione ax2 + bx + c = 0 ha due soluzioni coincidenti, x1 = x2, e la parabola è tangente all’asse x; • se ∆ = b2 − 4ac < 0, l’equazione ax2 + bx + c = 0 non ha soluzioni reali, quindi la parabola non ha punti di intersezione con l’asse x.

Questi tre casi sono rappresentati nella seguente tabella, a seconda della concavità della parabola. a>0 ∆>0

a<0

y

V

x

x x

O

x

x

x

O

V

∆=0

y

y

O

O

∆<0

V x =x

V x =x

x

V

x

x

y

y

O

V O

x

Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse x In questo paragrafo abbiamo finora considerato parabole con asse parallelo all’asse y. Vogliamo ora accennare alle parabole con asse parallelo all’asse x.

Seguendo un percorso analogo a quello già svolto, si potrebbe dimostrare che una parabola con asse parallelo all’asse x ha equazione del tipo:

asse parallelo all’asse y

y=x

x = ay2 + by + c, con a ≠ 0 Questa equazione si può ottenere da y = ax2 + bx + c scambiando x con y.

Geometricamente, ciò significa che la parabola di equazione x = ay2 + by + c è la corrispondente, nella simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, della parabola di equazione y = ax2 + bx + c (Fig. 5).

y

y = ax + bx + c

x

O

asse parallelo all’asse x

Figura 5

x = ay + by + c

223

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione In forza di questa simmetria, le formule per determinare il vertice, l’asse, il fuoco e la direttrice di una parabola avente l’asse parallelo all’asse delle x, di equazione x = ay2 + by + c, possono essere determinate scambiando sistematicamente la x con la y nelle formule che già conosci.

Equazione della parabola y = ax + bx + c

x = ay2 + by + c

(

V − Δ ,− b 4a 2a

2

)

Vertice

V − b ,− Δ 2a 4a

Asse di simmetria

x=− b 2a

Fuoco

F − b ,− Δ + 1 2a 4a 4a

Direttrice

y =− Δ − 1 4a 4a

(

(

)

y =− b 2a

)

(

F − Δ + 1 ,− b 4a 4a 2a

)

x=− Δ − 1 4a 4a

Il procedimento per tracciare il grafico di una parabola con asse parallelo all’asse x è analogo a quello visto per le parabole con asse parallelo all’asse y.

ESEMPIO

Grafico di una parabola con asse parallelo all’asse x

Tracciamo il grafico della parabola di equazione x = y 2 − 2y − 3.

I coefficienti della parabola sono a = 1, b = −2, c = −3.

Per determinare il vertice, determiniamone anzitutto l’ordinata (anziché l’ascissa come per le parabole aventi asse parallelo all’asse y):

y x = y − 2y − 3 y=1 V

O

x

yV = − b = − −2 = 1 ⇒ xV = 12 − 2 ⋅1 − 3 = −4 2a 2 ⋅1 Dunque la parabola ha vertice in V(−4, 1) e per asse la retta di equazione y = 1.

Determiniamo ora le coordinate di qualche altro punto della parabola. A tale scopo, attribuiamo alcuni valori a scelta alla variabile y.

Per y = 0 è x = 02 − 2 ⋅ 0 − 3 = −3 Per y = −1 è x = (−1)2 − 2 ⋅ (−1) − 3 = 0 Per y = −2 è x = (−2)2 − 2 ⋅ (−2) − 3 = 5 Perciò la parabola passa per i punti di coordinate: (−3, 0); (0, −1); (5, −2) e per i loro simmetrici rispetto all’asse della parabola.

Tenendo conto delle informazioni raccolte si può tracciare il grafico come in figura.

Una parabola con asse parallelo all’asse x non rappresenta il grafico di una funzione, perché ci sono dei valori di x cui corrispondono due valori di y; rappresentano invece il grafico di una funzione le due semiparabole costituite dai punti per cui y ≤ yV oppure y ≥ yV, essendo yV l’ordinata del vertice.

ESEMPIO

Facciamo riferimento alla parabola x = y2 − 2y − 3 di cui abbiamo tracciato il grafico nell’esempio precedente; al valore x = 0 corrispondono i due valori y = −1 e y = 3, quindi la parabola non è il grafico di una funzione. Al contrario, le due semiparabole definite dalle due condizioni y ≤ 1 e y ≥ 1 rappresentano il grafico di una funzione; precisamente, le equazioni delle due funzioni rappresentate da tali semiparabole si possono ottenere risolvendo l’equazione x = y2 − 2y − 3 rispetto all’incognita y; si ottengono così le due equazioni: y = 1− x + 4

Esercizi p. 234 224

semiparabola con y ≤ 1

e

y = 1+ x + 4 semiparabola con y ≥ 1

UNITÀ 6

2. Parabole e rette

2

Tema B

Parabole e rette

Posizioni reciproche tra una retta e una parabola Consideriamo nel piano cartesiano una retta e una parabola con asse parallelo all’asse y. Quanti punti di intersezione possono avere? Studiamo la situazione dal punto di vista analitico. Dobbiamo distinguere due casi, a seconda che la retta che consideriamo sia o non sia parallela all’asse y.

Tipo di retta Non parallela all’asse y

Parallela all’asse y

L’equazione della retta è del tipo...

y = mx + q

x=k

Gli eventuali punti di intersezione tra retta e parabola sono le soluzioni del sistema...

⎧y = ax 2 + bx + c ⎨ ⎩y = mx + q

⎧y = ax 2 + bx + c ⎨ ⎩x = k

Il sistema...

... ammette nessuna soluzione, due soluzioni coincidenti o due soluzioni distinte, a seconda che il discriminante ∆ dell’equazione risolvente sia minore, uguale o maggiore di 0

... ammette sempre l’unica soluzione

la retta risulta esterna, tangente o secante la parabola, a seconda che sia ∆ < 0, ∆ = 0, ∆ > 0

La retta e la parabola hanno sempre un solo punto in comune (ma non sono tangenti, perché tale punto non corrisponde a una soluzione doppia del sistema ma a una soluzione semplice).

Conclusione:

⎧x = k ⎨ 2 ⎩y = ak + bk + c

y

x=k

y

nte

seca retta

y = ax + bx + c ∆>

0 t retta

O

0 ∆= ∆<

rett

ter a es

ente ang

na

retta secante

x

x

O

0

Rette tangenti a una parabola con asse verticale Consideriamo una parabola con asse parallelo all’asse y e un punto P del piano: esistono rette tangenti alla parabola passanti per P? Quante? Al variare della posizione di P, si possono presentare le tre situazioni rappresentate qui sotto. y

y

y

P

P O

P

x

Se il punto P è esterno alla parabola, cioè appartiene alla regione di piano limitata dalla parabola che non contiene il fuoco, si possono condurre due rette distinte tangenti alla parabola passanti per P.

O

x

Se il punto P appartiene alla parabola, esiste un’unica retta passante per P e tangente alla parabola.

O

x

Se il punto P è interno alla parabola, cioè appartiene alla regione di piano limitata dalla parabola che contiene il fuoco, non esistono rette passanti per P e tangenti alla parabola.

225

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione Come possiamo determinare le equazioni delle rette tangenti, se P è esterno o appartenente alla parabola? Supponiamo inizialmente che P sia esterno alla parabola. Il procedimento si può riassumere nel seguente schema.

Si scrive l’equazione della generica retta passante per il punto P(x , y ): y – y = m(x – x )

La si pone a sistema con l’equazione della parabola: y – y = m( x – x ) y = ax + bx + c

ESEMPIO

Si impone la condizione di tangenza, ossia che il discriminante dell’equazione risolvente il sistema sia nullo: Δ=0

Si risolve l’equazione ottenuta in m, che fornisce due soluzioni, diciamo m ed m .

Le equazioni delle tangenti cercate sono: y – y = m (x – x ) y – y = m (x – x )

Tangenti a una parabola da un punto esterno

Determiniamo le equazioni delle rette tangenti alla parabola y = x2 + 2x + 1 passanti per il punto P(−1, −1).

• Analisi grafica Come abbiamo visto, quando si risolve un problema di geometria analitica è sempre consigliabile, anzitutto, tracciare una figura.

Essa aiuta infatti a prevedere quali risultati dobbiamo aspettarci dalla risoluzione algebrica e ci consente un controllo dei risultati che troviamo. In questo caso, tracciando il grafico della parabola, ci accorgiamo che il punto P appartiene al suo asse ed è esterno alla parabola, quindi dobbiamo aspettarci che le due rette tangenti passanti per P siano simmetriche rispetto all’asse della parabola.

y = x + 2x + 1

y

O

x

P

• Determinazione algebrica delle tangenti Seguiamo i passi che abbiamo indicato poc’anzi.

RIFLETTI Le equazioni delle rette tangenti passanti per P(x , y ) non possono essere verticali, quindi devono avere equazione del tipo: y − y = m(x − x )

1. Scriviamo l’equazione della generica retta passante per P(−1, −1):

y − (−1) = m[x − (−1)] ⇒

y + 1 = mx + m ⇒

y = mx + m − 1

2. Impostiamo il sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equa-

zione della generica retta passante per P: ⎧ y = x 2 + 2x + 1 ⎨ ⎩ y = mx + m − 1

L’equazione risolvente è x2 + 2x + 1 = mx + m − 1, cioè: x2 + (2 − m)x + 2 − m = 0 Imponendo che il discriminante di tale equazione sia nullo (condizione di tangenza) si perviene all’equazione: (2 − m)2 − 4(2 − m) = 0 3. Risolviamo l’equazione ottenuta:

(2 − m)2 − 4(2 − m) = 0 ⇒ m2 − 4 = 0 ⇒ m = −2 ∨ m = 2 4. Sostituiamo i valori di m trovati nell’equazione y = mx + m − 1.

Otteniamo così che le due rette tangenti alla parabola passanti per P hanno equazioni: e y = −2x + (−2) − 1 y = 2x + 2 − 1 ossia: y = −2x − 3 e y = 2x + 1

226

2. Parabole e rette

UNITÀ 6

Tema B

Il procedimento che abbiamo appena esposto, relativo al caso in cui P è un punto esterno alla parabola, vale anche nel caso in cui il punto P appartiene alla parabola (l’unica differenza è che in questo caso imponendo la condizione di tangenza si perviene a un’equazione in m di primo grado). Tuttavia, se P appartiene alla parabola, si può procedere più rapidamente mediante la formula espressa nel prossimo teorema.

TEOREMA 5

Coefficiente angolare della retta tangente a una parabola in un suo punto

Sia P(x0, y0) un punto che appartiene alla parabola avente equazione y = ax2 + bx + c.

Il coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola in P è dato dalla formula: [5] m = 2ax0 + b Consideriamo il sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equazione della generica retta passante per P(x0, y0):

DIMOSTRAZIONE

⎧ y = ax 2 + bx + c ⎨ ⎩ y − y0 = m(x − x0 ) Si può facilmente verificare che l’equazione risolvente questo sistema è: ax2 + (b − m)x + c + mx0 − y0 = 0 Se P appartiene alla parabola, senz’altro x = x0 è una soluzione dell’equazione.

Affinché la retta sia tangente alla parabola, anche l’altra soluzione di questa equazione deve coincidere con x0, quindi la somma delle due soluzioni deve essere 2x0.

Ricordando le relazioni fra la somma delle soluzioni di un’equazione di secondo grado e i suoi coefficienti si ottiene l’equazione: − b − m = 2x0 a da cui si ricava immediatamente m = 2ax0 + b.

ESEMPIO

SAI GIÀ CHE Se Δ ≥ 0, la somma delle soluzioni dell’equazione ax + bx + c = 0 è x + x = − b . a

Tangente a una parabola in un suo punto

Data la parabola di equazione y = x2 − 3x − 2, scriviamo l’equazione della retta tangente alla parabola nel punto in cui questa interseca l’asse y.

La parabola data, di equazione y = x 2 − 3x − 2, interseca l’asse y nel punto P(0, −2). Per la [5], il coefficiente angolare della retta tangente in P è: L’ascissa di P(0, −2) è 0, quindi x = 0

m = 2ax0 + b = 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + (−3) = −3 I coefficienti dell’equazione y = x − 3x − 2 sono a = 1, b = −3, c = −2

La retta tangente non è altro che la retta passante per P e di coefficiente angolare −3. La sua equazione è: y = −3x − 2 e il suo grafico è il seguente: y

y = − 3x − 2 O

x

P(0, −2) y = x − 3x − 2

RIFLETTI Generalizzando l’esempio qui a fianco, si trova che il coefficiente angolare della tangente alla parabola di equazione y = ax + bx + c nel suo punto di intersezione con l’asse y (x = 0) è: m = 2a ⋅ 0 + b = b Abbiamo così scoperto il significato del coefficiente b nell’equazione della parabola: rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto di intersezione con l’asse delle ordinate.

227

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione

Rette tangenti a una parabola con asse orizzontale I metodi per determinare le equazioni delle rette tangenti a una parabola con asse parallelo all’asse x sono del tutto analoghi a quelli appena presentati per le parabole con asse parallelo all’asse y. È importante tuttavia osservare quanto segue.

1. Se una parabola ha asse parallelo all’asse x, y può succedere che una delle due tangenti passanti per un punto P esterno alla parabola sia parallela all’asse y. In questo caso, P poiché per le rette parallele all’asse y non O esiste coefficiente angolare, l’equazione che x si ottiene ponendo ∆ = 0 fornisce un solo valore di m (quello della tangente non parallela all’asse y), quindi è di primo grado.

2. La formula che esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola di equazione x = ay2 + by + c in un suo punto P(x0, y0) è: m=

1 2ay0 + b

ESEMPIO

Tangente a una parabola con asse orizzontale

La tangente alla parabola di equazione x = 3y2 − 3 nel punto P(0, 1), in cui incontra il semiasse delle ordinate positive, ha coefficiente angolare: 1 1 m= = 1 Formula m = 2ay + b 2 ⋅ 3 ⋅1 + 0 6

tangente

y

P O

x

x = 3y – 3

L’equazione della tangente in P è perciò: y = 1 x +1 6

L’area del segmento parabolico Se una retta è secante una parabola nei due punti A e B, la parte di piano limitata dal ! di parabola si chiama segmento parabolico di base AB segmento AB e dall’arco AB (in giallo nella Fig. 6).

Il seguente teorema, dimostrato da Archimede e che noi ci limitiamo a enunciare, consente di determinare rapidamente l’area di un segmento parabolico.

y B A

TEOREMA 6

B' O A'

Figura 6

x

Teorema di Archimede

2 dell’area del rettangolo AA′B′B, 3 essendo A′ e B′ le proiezioni di A e B sulla retta tangente alla parabola e parallela alla retta AB. L’area di un segmento parabolico di base AB è

ESEMPIO

Area del segmento parabolico

Determiniamo l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione 1 y = x 2 − 2 e dall’asse x. y 2

Facciamo riferimento alla figura. Per il teorema di Archimede l’area del segmento parabolico è data dalla formula 2 ⋅ AB ⋅ AA′. È immediato ricavare che 3 AB = 4 e AA′ = 2, quindi l’area richiesta è uguale a: 2 16 ⋅4⋅2 = 3 3 228

1 y = x –2 2

A

–2

O

2

B

y = –2 A'

B'

x

2. Parabole e rette

Proprietà ottiche della parabola Un’importante proprietà della parabola alla base di numerose applicazioni tecnologiche è la seguente: consideriamo un punto P di una parabola avente fuoco in F; tracciamo la retta t, tangente alla parabola in P, e la retta n perpendicolare alla tangente in P (Fig. 7). Comunque venga scelto P, si può dimostrare che la retta n risulta  essendo A un punto appartenente alla semiretta tracciata bisettrice dell’angolo APF, in Fig. 7, parallela all’asse della parabola.

Questa proprietà fa sì che una superficie riflettente parabolica (cioè ottenuta dalla rotazione di una parabola intorno al suo asse di simmetria), in base alle leggi della riflessione, rifletta i raggi luminosi paralleli all’asse di rotazione in raggi passanti per il fuoco (Fig. 8). Per questo motivo molte antenne per ricevere segnali satellitari o dallo spazio sono costituite da superfici paraboliche: i segnali, provenendo da grandi distanze, sono approssimativamente paralleli e vengono riflessi nel ricevitore, posto nel fuoco dell’antenna, aumentando così la loro potenza. I fari abbaglianti delle auto, anch’essi costituiti da superfici riflettenti paraboliche, sono costruiti in base al principio inverso: la luce emessa dal faro, posto in corrispondenza del fuoco, viene riflessa dalla superficie in direzione parallela all’asse di rotazione e proiettata a lunga distanza. n

UNITÀ 6

Tema B

Con GeoGebra Una proprietà ottica della parabola

A

F V

P

F

t

Figura 7

Figura 8

APPLICA IL CONCETTO

Verifica della proprietà ottica della parabola

Verifichiamo la proprietà ottica poc’anzi illustrata per la parabola di equazione y = ax2, con a > 0, nel caso particolare di un raggio orizzontale uscente dal fuoco.

(

)

Riferiamoci al modello geometrico in figura: abbiamo indicato con P 1 , 1 2a 4a il punto dove la retta parallela all’asse x passante per il fuoco interseca la parabola nel primo quadrante. In base alla formula [5], il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in P è uguale a 2a ⋅ 1 = 1 quindi la normale alla 2a parabola in P è parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e dunque  in due angoli di 45°, ossia risulta la bisettrice di FPA.  Ne divide l’angolo FPA segue che il raggio luminoso, inizialmente orizzontale, viene proiettato verticalmente, ossia parallelamente all’asse di simmetria della parabola.

Matematica nella realtà Modelli parabolici

y y = ax

A

45° F 0, 1 4a 45°

(

)

O

45° 45°

P 1, 1 2a 4a

(

)

x

Esercizi p. 240 229

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione

3

Come determinare l’equazione di una parabola

Come si può scrivere, per esempio, l’equazione di una parabola di cui sono assegnati tre punti? Un procedimento generale per risolvere problemi di questo tipo consiste nel considerare l’equazione generica della parabola, y = ax2 + bx + c, e tradurre le condizioni assegnate in equazioni nelle incognite a, b e c. I coefficienti a, b, c possono essere ricavati risolvendo il sistema costituito da tali equazioni.

Dal momento che l’equazione di una parabola dipende da tre parametri (a, b e c), affinché la parabola sia univocamente determinata occorreranno tre condizioni indipendenti. Alcune possibili condizioni sono quelle espresse nei prossimi esempi, altre verranno proposte negli esercizi.

ESEMPIO

Parabola con asse parallelo all’asse y, dati tre punti

Scriviamo l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per i punti A(−1, −6), B(0, −3), C(2, −3).

y 1 O B

A y = −x + 2x − 3

x

1 C

Poiché la parabola deve avere asse parallelo all’asse y, la sua equazione sarà del tipo y = ax2 + bx + c. Affinché la parabola passi per A(−1, −6), la sua equazione deve essere soddisfatta in corrispondenza delle coordinate di A, quindi deve essere: −6 = a ⋅ (−1)2 + b ⋅ (−1) + c ⇒ −6 = a − b + c Analogamente, il passaggio per B(0, −3) si traduce nell’equazione: −3 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c ⇒ c = −3 e il passaggio per C(2, −3) nell’equazione: −3 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c ⇒ −3 = 4a + 2b + c I coefficienti della parabola richiesta devono quindi soddisfare il sistema formato dalle tre equazioni precedenti: ⎧ a − b + c = −6 ⎪ ⎨ c = −3 ⎪⎩ 4a + 2b + c = −3

⇒

⎧ a = −1 ⎪ ⎨b = 2 ⎪⎩ c = −3

quindi la parabola richiesta ha equazione cartesiana y = −x2 + 2x − 3.

ESEMPIO

Parabola con asse parallelo all’asse y, noti il fuoco e un suo punto

Scriviamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha fuoco in F(0, −2) e passa per P(2, −2).

Poiché la parabola deve avere asse parallelo all’asse y, la sua equazione deve essere del tipo y = ax2 + bx + c. Le condizioni date si traducono nelle seguenti equazioni: b L’ascissa del fuoco deve essere 0 − =0 ⇒ b=0 2a Δ 1 − + = −2 L’ordinata del fuoco deve essere −2 4a 4a −2 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c La parabola deve passare per P(2, −2) Sostituendo il valore b = 0 nella seconda e nella terza equazione, concludiamo che i coefficienti della parabola richiesta devono soddisfare il sistema (di secondo grado): ⎧b = 0 ⎪ 4ac 1 ⎨ 4a + 4a = −2 ⎪ ⎩ 4a + c = −2 230

⇒

⎧b = 0 ⎪ ⎨ 4ac + 8a + 1 = 0 ⎪⎩ 4a + c + 2 = 0

3. Come determinare l’equazione di una parabola Risolvendo il sistema si trovano due soluzioni: ⎧a = − 1 ⎪ 4 ⎨b = 0 ⎪ ⎩ c = −1

e

⎧a = 1 ⎪ 4 ⎨b = 0 ⎪ ⎩ c = −3

Ci sono quindi due parabole che soddisfano le condizioni richieste: • quella di equazione y = − 1 x 2 − 1 4 1 • quella di equazione y = x 2 − 3 4 COLLEGA LE IDEE

UNITÀ 6

Tema B

y 1 y = ⎯ x −3 4 1

O

x

1 F

P

1 y = − ⎯ x −1 4

Alcuni metodi rapidi per determinare l’equazione di una parabola

Sebbene il procedimento che abbiamo esposto in questo paragrafo sia del tutto generale, esistono altri approcci per scrivere l’equazione di una parabola che in alcuni casi possono essere più convenienti. Rifletti sugli esempi seguenti.

Supponiamo di voler scrivere l’equazione della parabola che ha fuoco in F(1, −2) e per direttrice la retta di equazione y = 2. Invece di impostare e risolvere il sistema è più semplice scrivere l’equazione della parabola ricordando la definizione di parabola (analogamente a quanto abbiamo fatto nel primo paragrafo).

Un punto P(x, y) appartiene alla parabola se e solo se è equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Questa condizione (Fig. 9) si traduce nell’equazione:

y y =2

H(x, 2) O

P(x, y)

(x − 1)2 + ( y + 2)2 = |y − 2| Elevando al quadrato e semplificando, otteniamo l’equazione della parabola, che è 1 1 1 y = − x2 + x − 8 4 8 In generale, tutte le volte in cui di una parabola sono dati fuoco e direttrice conviene scriverne l’equazione in base alla definizione di parabola come luogo geometrico.

V x

F(1, −2)

Figura 9

Supponiamo di voler scrivere l’equazione della parabola avente vertice in V(1, −2) e passante per P(− 1, − 6). Dal momento che conosciamo il vertice, possiamo scrivere l’equazione della generica parabola passante per V (Teorema 3), ossia y + 2 = a(x − 1)2, e poi determinare il parametro a imponendo il passaggio per P(− 1, − 6). Si trova che la parabola ha equazione: y = −x2 + 2x − 3.

In generale, per scrivere l’equazione di una parabola di cui si conosce il vertice conviene scrivere l’equazione della generica parabola avente vertice in quel punto e poi determinare il coefficiente del termine di secondo grado in base all’ulteriore condizione.

Alcuni problemi si possono talvolta ricondurre al caso in cui si conosce il vertice: per esempio, il primo problema esaminato in questa rubrica. Dalla Fig. 9 è immediato infatti ricavare che il vertice della parabola deve essere il punto V(1, 0). L’equazione della parabola deve dunque essere della forma:

Approfondimento I fasci di parabole

y = a(x − 1)2 Osservando poi che la distanza focale è uguale a 2, si può ricavare il coefficiente 1 a dall’equazione = 2. Quest’ultima equazione fornisce le due soluzioni 4a 1 1 a = ± ma, dovendo essere a < 0, la sola soluzione accettabile è a = − .

8 8

Con GeoGebra Fasci di parabole

Esercizi p. 247 231

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione

4

Problemi di ottimizzazione

Molti problemi applicativi richiedono di determinare il massimo o il minimo valore che può essere assunto da una certa grandezza. Non abbiamo ancora le conoscenze per poter affrontare questi problemi in generale, siamo però già in grado di affrontare i problemi che hanno come modello una funzione di secondo grado.

PROBLEMA SVOLTO

Massimizzare un ricavo

I titolari di una palestra, sulla base di statistiche relative agli anni precedenti, si aspettano che: • fissando, come prezzo dell’abbonamento annuale, 600 euro per persona, si iscriveranno 200 persone; • ogni diminuzione di 30 euro del prezzo del corso comporterà 20 iscritti in più.

I titolari si chiedono quale prezzo fissare per l’abbonamento, in modo da ottenere il massimo ricavo possibile (ipotizzando di poter diminuire il prezzo soltanto di multipli di 30 euro).

COMPRENDIAMO IL PROBLEMA RIFLETTI Il problema di massimizzare un ricavo e quello di massimizzare un guadagno non sono equivalenti. Per il secondo, infatti, occorre tenere in conto i costi variabili (che per brevità qui non abbiamo considerato): nel caso della palestra, per esempio, il numero degli iscritti incide sulle spese di gestione (personale addetto, attrezzature, locali ecc.).

Prova a riflettere sulla situazione proposta: diminuendo il prezzo si avranno più iscritti: ma l’aumento degli iscritti sarà sufficiente a compensare la diminuzione del prezzo? Analizziamo che cosa accade con l’aiuto di un modello matematico.

COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

• Supponiamo di effettuare x diminuzioni di 30 euro nel prezzo dell’abbonamento annuale. Allora: − il prezzo dell’abbonamento (in euro, per persona) sarà 600 − 30x; − il numero di iscritti atteso diventa 200 + 20x.

• Dovrà essere x ∈ N e 600 − 3x > 0, cioè x < 20.

• Il ricavo, che indichiamo con R(x), è allora espresso dalla seguente funzione: R(x) = (600 − 30x)(200 + 20x) Dobbiamo determinare per quale valore di x la funzione R(x) assume valore massimo.

Per poter applicare la teoria studiata fin qui considereremo x una variabile reale, anche se in relazione al problema posto x è variabile nell’insieme dei numeri naturali.

DETERMINIAMO IL MASSIMO DELLA FUNZIONE

y 135000 120000

V y = R(x)

80000 40000 O 5 10

x 20

• La funzione y = R(x) = (600 − 30x)(200 + 20x) è di secondo grado, quindi il suo grafico è una parabola. Possiamo facilmente ricavare che i punti di intersezione della parabola con l’asse x hanno coordinate (−10, 0) e (20, 0) (in che modo?).

• Per determinare il vertice della parabola, eseguiamo la moltiplicazione; otteniamo: y = −600x2 + 6000x + 120 000 L’ascissa e l’ordinata del vertice sono: b 6000 xV = − =− = 5 yV = −600 ⋅ 52 + 6000 ⋅ 5 + 120 000 = 135 000 2a 2(−600) Quindi il vertice è V (5, 135 000).

• Il grafico della funzione R(x) è rappresentato in figura. Il valore massimo di R(x), uguale a 135 000, corrisponde all’ordinata del vertice della parabola e viene raggiunto quando x è uguale a 5.

ANALIZZIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

Esercizi p. 256 232

La soluzione algebrica trovata (cioè x = 5) ha senso anche in relazione al problema, perché è un numero intero e appartiene all’intervallo 0 ≤ x < 20.

Il massimo ricavo, uguale a 135 000 euro, viene raggiunto fissando per l’abbonamento annuale il prezzo di 600 − 30 ⋅ 5 = 450 euro.

La diminuzione del prezzo, dunque, è ampiamente compensata dall’aumento degli iscritti (se il prezzo del corso viene fissato a 600 euro, il ricavo atteso risulta di 600 ⋅ 200 = 120 000 euro: 15 000 euro in meno!).

Parabole e problemi di ottimizzazione

Percorso delle idee

Parabola e sua equazione Il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta (non passante per il fuoco) detta direttrice.

x =−

(– 2ab , – 4aΔ + 4a1 ) (

b 2a

y

– b ,– Δ 2a 4a

Rispetto a un sistema di riferimento in cui l’asse della parabola è parallelo all’asse y, una parabola ha equazione della forma: 2

y = ax + bx + c Le sue caratteristiche sono indicate in figura (Δ = b2 − 4ac).

1 4a

F

direttrice

V

y = ax + bx + c

)

1 y=– Δ – 4a 4a O

x

Retta e parabola Detto ∆ il discriminante dell’equazione risolvente il sistema formato dall’equazione di una parabola e da quella di una retta (non verticale), si hanno tre possibili posizioni reciproche.

Retta esterna: Δ < 0

Retta tangente: Δ = 0

Retta secante: Δ > 0

y

y

y

V V x

O

V x

O

x

O

Tangenti alla parabola passanti per il punto P(x0, y0)

P esterno alla parabola Le tangenti sono due e i loro coefficienti angolari si determinano imponendo che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema: ⎧⎪ y − y = m(x − x ) 0 0 ⎨ 2 ⎩⎪ y = ax + bx + c

P appartenente alla parabola La tangente è unica e il suo coefficiente angolare è dato dalla formula: m = 2ax0 + b

y

O

x

y

P(x , y ) O

x

P(x , y )

233

6

UNITÀ Tema B

Esercizi

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione Teoria p. 218

La definizione di parabola come luogo

1 Caccia all’errore. Per Marco, «la parabola è il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice». Quale errore contiene la definizione di Marco? Trovalo ed enuncia la definizione correttamente.

2 In ciascuna delle seguenti figure sono indicati due elementi fra vertice, fuoco e direttrice di una parabola.

Determina il terzo elemento e l’equazione dell’asse della parabola. y

y

y

y=2 V

1

V

1 O(0, 0)

y = −2

Fuoco: F( Asse: x =

,

1

x

)

F

1

1 O(0, 0)

x

1 x

O(0, 0) F

Vertice: V( Asse: x =

Direttrice: y = Asse: x =

,

)

3 Vero o falso?

Considera una parabola di fuoco F, vertice V e direttrice d, e sia H la proiezione di V sulla direttrice.

V F a. F è il punto medio di VH V F b. V è il punto medio di FH V F c. la retta passante per V e per F è l’asse della parabola V F d. la retta passante per V e per H è perpendicolare alla direttrice V F e. ogni retta perpendicolare alla direttrice è un asse di simmetria per la parabola [3 affermazioni vere e 2 false] 4

ESERCIZIO GUIDATO

Determina l’equazione della parabola che ha fuoco nel punto F(0, −1) e come direttrice la retta y = 2.

Sia P(x, y) un punto del piano; P appartiene alla parabola se e solo se risulta PF = PH, essendo H(x, 2) la proiezione del punto P sulla retta y = 2. Deve perciò risultare: x 2 + ( y + 1)2 = |y − 2| PF

PH

⎡y = − 1 x 2 + 1 ⎤ ⎢⎣ 6 2 ⎥⎦

Elevando al quadrato e risolvendo rispetto a y, ricavi l’equazione della parabola richiesta.

Determina l’equazione della parabola che ha come fuoco il punto F e come direttrice la retta d.

234

5

F(0, 1)

d: y = −2

⎡y = 1 x 2 − 1 ⎤ 6 2 ⎦⎥ ⎣⎢

8

6

F(−1, 1)

d: y = 0

1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = 2 x + x + 1⎥⎦

9

7

F(−1, 0)

d: y = 3

⎡y = − 1 x 2 − 1 x + 4 ⎤ 6 3 3 ⎦⎥ ⎣⎢

10

( 14 , 0) d: y = − 43 15 17 F (1, − ) d: y = − 4 4 7 9 F (1, ) d: y = 4 4 F

⎡y = 2 x 2 − 1 x − 1 ⎤ 3 3 3 ⎥⎦ ⎣⎢ [y = x2 − 2x − 3] [y = −x2 + 2x + 1]

UNITÀ 6

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione

Tema B

Equazione e grafico di una parabola con asse parallelo all’asse y Interpretare grafici

Associa a ogni equazione (incompleta) la parabola che rappresenta, scelta tra le seguenti. a. y = x2 + 2x b. y = −x2 + 2x c. y = −x2 − 2x d. y = x2 − 2x

11

y O

y

y

y

x

O

O

x

B.

A.

x

O

x

C.

D.

Associa a ogni equazione (completa) la parabola che rappresenta, scelta tra le seguenti. a. y = −x2 + 2x + 3 b. y = x2 − 2x − 3 c. y = −x2 − 2x + 3 d. y = x2 + 2x − 3

12

y O

x

O O

x

x

B.

A.

y

y

y

x

O

C.

D.

Dopo averne determinato il vertice, i punti di intersezione con gli assi e qualche altro suo punto, traccia la parabola di equazione assegnata (nelle risposte sono indicati il vertice e i punti di intersezione con gli assi).

( )

[V(0, 0)]

19

y = x2 − 3x + 4

3 2 x 2

⎡ 3 7 ⎤ V , ; (0, 4)⎥ ⎣⎢ 2 4 ⎦

[V(0, 0)]

20

y = x2 − 6x + 9

[V(3, 0); (0, 9)]

15

y = x2 − 1

[V(0, −1); (±1, 0)]

21

y = −x2 + 6x − 5

[V(3, 4); (1, 0), (5, 0), (0, −5)]

16

y = −x2 + 4

[V(0, 4); (±2, 0)]

22

y=−

1 2 x + 2x 2

[V(2, 2); (4, 0), (0, 0)]

17

y = x2 − 2x

[V(1, −1); (2, 0), (0, 0)]

23

18

y = 2x2 − 6x

9 ⎡ 3 ⎤ ⎢⎣V 2 , − 2 ; (3, 0), (0, 0)⎥⎦

1 25 3 ⎡ ⎤ ; − , 0 , (1, 0), (0, 3)⎥ y = −2x2 − x + 3 ⎢V − , 4 8 2 ⎣ ⎦

24

y = −x2 + 6x + 7

13

y=−

14

y=

2 2 x 3

(

)

(

)( )

[V(3, 16); (−1, 0), (7, 0), (0, 7)]

Deduci dalle rispettive equazioni (senza sviluppare i quadrati) le caratteristiche di ciascuna parabola.

( )

25

y = − (x + 2)2 + 3

[V(−2, 3); (− 2 ± 3 , 0), (0, −1)]

27

3⎤ 1 ⎡ y = − (x + 1)2 + 2 ⎢V (−1, 2); (−3, 0), (1, 0), 0, ⎥ 2⎦ 2 ⎣

26

y = (x − 1)2 − 4

[V(1, −4); (−1, 0), (3, 0), (0, −3)]

28

y = 2(x − 2)2 − 4

Determina vertice, fuoco e direttrice di ciascuna parabola e tracciane il grafico.

( )

29

y = −x2 + 2x + 3

15 17 ⎤ ⎡ ⎢⎣V (1, 4); F 1, 4 ; y = 4 ⎥⎦

30

y=−

1 2 x − 2x 2

3 5⎤ ⎡ ⎢⎣V (−2, 2); F −2, 2 ; y = 2 ⎥⎦

( )

[V(2, −4); (2 ± 2 , 0), (0, 4)]

(

)

⎡V (−3, 4); F −3, 31 ; y = 33 ⎤ ⎢⎣ 8 8 ⎥⎦ (Suggerimento: evita sviluppi inutili.)

31

y = −2(x + 3)2 + 4

1 [V(1, −1); F(1, 0); y = −2] (x − 1)2 − 1 4 (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente.)

32

y=

235

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

a. Considera la parabola di equazione y = x2 + 2x + 1 e tracciane il grafico, dopo averne calcolato in particolare le coordinate del vertice e del fuoco e l’equazione della direttrice. b. Controlla i risultati che hai ottenuto al punto precedente, disegnando nel piano di GeoGebra la parabola f di equazione y = x2 + 2x + 1 e poi applicando alla parabola f i comandi Fuoco(f) e Direttrice(f). Per poter applicare questi ultimi comandi presta attenzione a inserire l’equazione della parabola nella forma y = ax2 + bx + c; se digitassi nella Barra di inserimento l’espressione: f(x) = x2 + 2x + 1, GeoGebra interpreterebbe questa espressione come funzione e non come equazione di una conica, e non sarebbe possibile applicare i comandi relativi al fuoco e alla direttrice.

33

Attività con GeoGebra

Data la parabola di equazione y = −x2 + 3x + 2, determina il suo punto A di ascissa 2 e i suoi punti B e C (con xB < xC) di ordinata 2. Determina quindi l’area del triangolo ABC. [A(2, 4); B(0, 2), C(3, 2); area = 3] 34

Traccia la parabola di equazione y = 2x2 + x − 6 e determina l’area del triangolo formato dai suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani. ⎡ 3 21 ⎤ Punti di intersezione con gli assi cartesiani: A(−2, 0), B , 0 , C(0, −6); Area = 2 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 35

( )

Traccia la parabola di equazione y = x2 − 4x − 1 e determina l’area del triangolo formato dai suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani.

[Punti di intersezione con gli assi cartesiani: A(2 − 5 , 0) , B (2 + 5 , 0) , C(0,−1); Area = 5 ] 36

Data la parabola di equazione y = −x2 + 4x − 3, determina l’area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione della parabola con gli assi cartesiani e il vertice della parabola stessa.

[Area = 4] 37

Realtà e modelli Un salto da record. Durante una gara di motocross, Paolo effettua un salto da record con la 38 sua moto. Nell’istante t = 0 la moto si stacca dalla rampa e inizia il salto. La funzione h(t) = (18,5 − 5t)(t + 0,27) rappresenta l’altezza h (in metri) alla quale si trova la moto in funzione del tempo t (in secondi) trascorso dall’inizio del salto. h 20 istante t = 0 di inizio del salto

15 10

rampa

altezza h

5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 t

a. A quale altezza si trovava la moto nell’istante in cui è iniziato il salto? b. Qual è stata la durata del salto? c. Dopo quanto tempo dall’inizio del salto la moto si trovava alla massima altezza? E a quanto corrisponde tale altezza massima? [a. 5 m; b. 3,7 s; c. dopo circa 1,7 s e l’altezza massima vale circa 19,7 m]

Esercizi con parametri Data la parabola di equazione y = − 1 x 2 + 3 x − k, determina per quale valore di k il suo punto P di ascissa −2 ha 2 2 ordinata uguale all’opposto dell’ascissa. [k = −7] 39

40

Determina k in modo che l’ascissa del vertice della parabola di equazione y = (k − 1)x2 − 2kx + 1 sia uguale a −1. ⎡k = 1 ⎤ 2 ⎦⎥ ⎣⎢

Determina a in modo che l’ordinata del vertice della parabola di equazione y = 2x2 − 2ax + 3 sia uguale a −5. [a = ±4] 3 42 Determina per quale valore di a il fuoco della parabola di equazione y = ax2 − 4x + 5 appartiene all’asse x. ⎡a = ⎤ 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 41

Determina per quale valore di a la direttrice della parabola di equazione y = ax2 − 4x + 5 coincide con l’asse x. ⎡a = 17 ⎤ ⎢⎣ 20 ⎥⎦ 2 44 Determina per quali valori di a il vertice della parabola di equazione y = ax − 2x + a + 3 appartiene al quarto quadrante.

13 − 3 ⎤ ⎡ ⎢⎣0 < a < 2 ⎥⎦ 43

236

UNITÀ 6

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione

Tema B

I legami tra i coefficienti e le caratteristiche del grafico Vero o falso?

1 a. la parabola di equazione y = − x2 + 2x ha la concavità rivolta verso il basso 2 b. la parabola di equazione y = −3 x2 + 3x passa per l’origine c. la parabola di equazione y = 3 x2 − 6x ha asse coincidente con l’asse y d. la parabola di equazione y = x2 − x − 2 non interseca l’asse x in alcun punto

45

V

F

V

F

V

F

V

F

[2 affermazioni vere e 2 false]

Interpretare grafici

Nella figura sono tracciati i grafici delle parabole di equazioni y = a1x2, y = a2x2 e y = a3x2. Quale delle relazioni tra i coefficienti a1, a2 e a3 è corretta?

A a3 < 0 < a1 < a2 y y=a x B a3 < 0 < a2 < a1 C 0 < a1 < a2 < a3 y=a x D a1 < a2 < 0 < a3 x

Nella figura sono tracciati i grafici delle parabole di equazioni y = a1x2, y = a2x2 e y = a3x2. Quale delle relazioni tra i coefficienti a1, a2 e a3 è corretta?

A 0 < a3 < a2 < a1 y y=a x B a2 < a3 < a1 < 0 C a2 < a3 < 0 < a1 O x D a3 < a2 < 0 < a1

46

O

48

47

y=a x

y=a x

y=a x

ESERCIZIO SVOLTO

Nella figura è disegnata una parabola di equazione y = ax 2 + bx + c. Individuiamo i segni dei tre coefficienti a, b e c e del discriminante Δ dell’equazione associata. y

a. La parabola ha la concavità rivolta verso il basso, quindi deve essere a < 0. b. La parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva, quindi deve essere c > 0. c. Dalla figura si vede che l’asse della parabola è una retta del tipo x = k, con k < 0. Dal b b momento che l’equazione dell’asse è x = − , ne deduciamo che − < 0: ma a < 0 (per 2a 2a quanto osservato al punto a), quindi deve essere b < 0. d. La parabola interseca l’asse x in due punti distinti, quindi Δ > 0.

V y = ax + bx + c

x

O

Nelle seguenti figure sono state tracciate alcune parabole di equazione y = ax2 + bx + c.

Completa ponendo, al posto dei puntini, il simbolo opportuno scelto tra < , = , >. Il simbolo ∆ indica il discriminante dell’equazione associata.

Interpretare grafici

49

O

x

0 b

0 c

0 ∆

0

a

0 b

50 y

x

0 c

0 ∆

0

a

0 b

0 c

0 ∆

0 ∆

0

y

V

x

V x

O

0 c

x

O

x

0 b

O

y

V

O

a

V O

V

V

a

y

y

y

0

a

0 b

0 c

0 ∆

0

a

0 b

0 c

0 ∆

0 237

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

Stabilisci per quali valori di k la parabola di equazione y = (k − 1)x2 − (3k − 2)x + k: a. ha la concavità rivolta verso l’alto; b. ha asse coincidente con l’asse y; ⎡a. k > 1; b. k = 2 ; c. k = 0⎤ c. passa per l’origine.

3 ⎣⎢ ⎦⎥

51

Stabilisci per quali valori di a la parabola di equazione y = (a2 − 4)x2 − (4a + 6)x + 2a + 1: a. ha la concavità rivolta verso il basso; b. ha asse coincidente con l’asse y; ⎡a. −2 < a < 2; b. a = − 3 ; c. a = − 1 ⎤ c. passa per l’origine. ⎢⎣ 2 2 ⎦⎥ 2 2 2 53 Stabilisci per quali valori di k la parabola di equazione y = (k − 1)x − (k − 2k)x + k + 3: a. ha la concavità rivolta verso l’alto; b. ha asse appartenente al semipiano delle ascisse negative; c. passa per l’origine. [a. k < −1 ∨ k > 1; b. −1 < k < 0 ∨ 1 < k < 2; c. k = −3] 52

Determina per quali valori di a la parabola di equazione y = (2a2 − a − 1)x2 + ax + 1 ha la concavità rivolta verso il basso. ⎡− 1 < a < 1⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 2 2 55 Verifica che per ogni valore reale di a la parabola di equazione y = (a − a + 1)x − 4x + a ha la concavità rivolta verso l’alto.

54

Determina per quali valori di a le due parabole di equazioni y = (a − 1)x 2 − 2x + 3 e y = (3 − 2a)x 2 + x − 2: a. sono congruenti; b. hanno lo stesso asse di simmetria.

(Suggerimento: ricorda che due parabole di equazioni y = ax2 + bx + c e y = a′x2 + b′x + c′ sono congruenti se e solo se |a| = |a′|.) ⎡a. a = 2 ∨ a = 4 ; b. a = 5 ⎤ 3 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 56

Determina per quali valori di k le due equazioni cartesiane y = (k2 − 1)x 2 − 2kx + 3 e y = (k + 1)x 2 + kx − 2 − k individuano parabole: a. congruenti; b. con lo stesso asse di simmetria. [a. k = 0 ∨ k = 2; b. k = 0] 57

58

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo per quali valori di k la parabola di equazione y = (1 − k)x 2 − 2x + 2 non ha punti in comune con l’asse x e ha la concavità rivolta verso l’alto.

Le due condizioni imposte dal testo si traducono nel sistema di disequazioni: Δ <0 _ 4 {a>0

la parabola non deve intersecare l’asse x La concavità deve essere rivolta verso l’alto

1 k<_ ( ) ⇒ {1 − 2 1 − k < 0 ⇒ 2 1−k>0 {k<1

1.

Il sistema è verificato se e solo se k < _ 2

Determina per quali valori di k la parabola di equazione y = (k − 2)x 2 − 2x − 1 ha almeno un punto in comune con l’asse x e ha la concavità rivolta verso il basso.

[1 ≤ k < 2] 59

Determina per quali valori di a la parabola di equazione y = (a − 1)x2 − 2ax + a + 2 interseca l’asse x in due punti distinti e ha la concavità rivolta verso l’alto.

[1 < a < 2] 60

Determina per quali valori di k la parabola di equazione y = (k − 3)x2 − 2kx − 1 interseca l’asse x in due punti distinti e ha la concavità rivolta verso il basso. −1 − 13 −1 + 13 ⎡ ⎤ ∨ < k < 3⎥ ⎢⎣k < 2 2 ⎦ 62 Determina per quali valori di k la parabola di equazione y = x2 − 2(k − 3)x − k + 15 non ha punti in comune con l’asse x e interseca l’asse y in un punto di ordinata maggiore di 10. [−1 < k < 5] 61

Determina per quali valori di a la parabola di equazione y = (a − 1)x2 − 2ax + a − 3 non ha punti in comune con l’asse x e il suo asse di simmetria appartiene al semipiano delle ascisse negative. ⎡0 < a < 3 ⎤ 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 63

238

UNITÀ 6

1. Parabola come luogo geometrico e sua equazione

Tema B

Parabole con asse parallelo all’asse x Vero o falso?

V F a. il vertice della parabola di equazione x = y2 − 1 appartiene all’asse x V F b. l’asse della parabola di equazione x = ay2 + by + c è parallelo all’asse y c. il grafico della parabola di equazione x = ay2 + by + c è il simmetrico del grafico di y = ax2 + bx + c V F rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante 1 2 V F d. la direttrice della parabola di equazione x = y − 2 y + 1 è la retta di equazione y = −4 4 [2 affermazioni vere e 2 false] 65 Associazione. Associa a ciascuna equazione il grafico relativo. a. x = 2 y 2 − 2 y b. x = −2 y 2 − 2 y c. x = 2 y 2 + 2 y d. x = −2 y 2 + 2 y

64

y O

y x

A.

y

y O

x

B.

O

x

x

O

C.

D.

Dopo averne determinato il vertice, i punti di intersezione con gli assi e qualche altro suo punto, traccia la parabola di equazione assegnata.

1 2 y 2 67 x = 4 − y 2

66

68

x=−

x = −y2 + 4y

69

x = 2y 2 − 3y

3 2 1 y + y 2 2 2 71 x = −y + 2y − 1

70

x=−

72

x = y2 + 4y +4

73

x = y2 + 5y − 6

74

x=−

1 2 y − y +1 2

Data la parabola di equazione x = y 2 + 2y − 8, siano A e B i suoi punti di intersezione con l’asse y e V il suo vertice. Determina l’area del triangolo ABV. [27] 75

Data la parabola di equazione x = −y2 + y + 6, siano A e B i punti di intersezione del suo grafico con l’asse y e C il suo punto di intersezione con l’asse x. Determina l’area del triangolo ABC. [15] 76

Considera le due parabole γ : y = − 1 x 2 + 2x + 3 e γ ′: x = − 1 y 2 + 2 y + 3. Qual è la distanza tra il fuoco F di γ e 2 2 ⎡ 5 2 11 11 ⎤ il fuoco F′ di γ ′? Qual è il punto in comune alle direttrici di γ e γ ′? ⎢⎣ 2 ; 2 , 2 ⎥⎦ 78 Determina per quali valori di a la parabola di equazione x = (a2 − 3)y 2 − 2y + 1 interseca l’asse y in due punti distinti e ha la concavità rivolta verso destra. ⎣⎡−2 < a < − 3 ∨ 3 < a < 2⎤⎦ 79 Determina per quali valori di a il vertice della parabola di equazione x = (2a − 1)y 2 − 2y + 1 appartiene al secondo quadrante. ⎡ 1 < a < 1⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 77

(

)

La parabola e le trasformazioni 80

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo il punto P(a, b) rispetto al quale le due parabole di equazioni y = 2x2 + 3x − 4 e y = − 2x2 + 5x + 2 sono simmetriche.

Dobbiamo determinare a e b in modo che le sostituzioni x → 2a − x e y → 2b − y trasformino la prima equazione in una equivalente alla seconda. Effettuando le sostituzioni nella prima equazione otteniamo: 2b − y = 2(2a − x)2 + 3(2a − x) − 4

da cui y = − 2x2 + (8a + 3)x + 4 + 2b − 6a − 8a2

Uguagliando i coefficienti dell’ultima equazione ai corrispondenti coefficienti della seconda equazione siamo ricon8a + 3 = 5 1 dotti al sistema: { , che fornisce come soluzione a = e b = 0.

4 4 + 2b − 6a − 8a2 = 2 1, 0 .

Il centro della simmetria che porta la prima parabola nella seconda (e viceversa) è dunque il punto P(_ 4 ) 239

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione

È data la parabola di equazione y = x2; determina l’equazione della parabola a essa simmetrica rispetto al punto 1 1 [y = −x2 − 2x] − , .

2 2 81

(

)

Verifica che le parabole γ: y = −x2 + 2x e γ ′: y = x2 − 3x + 2 sono simmetriche rispetto al punto medio del segmento che ha come estremi i vertici di γ e γ ′.

82

Determina il punto P rispetto al quale sono simmetriche le parabole di equazioni y = x2 e y = −x2 + 4x + 3. Scrivi inoltre l’equazione della simmetria centrale che trasforma una parabola nell’altra.

7 ⎡ ⎤ ⎢⎣P 1, 2 , x ′ = 2 – x , y ′ = 7 – y⎥⎦ 83

( )

Disegna la parabola γ di equazione y = x2 − x. Traccia poi la retta r: y = −1 e, con il comando Simmetria assiale di GeoGebra, disegna il grafico della parabola γ ′ simmetrica di γ rispetto a r.

Determina algebricamente l’equazione di γ ′ e verificane la correttezza confrontandola con l’equazione fornita da GeoGebra. Ripeti poi l’esercizio considerando la retta s: x = 2.

84

Attività con GeoGebra

Determina la traslazione che trasforma la parabola γ di equazione y = x2 − 2x nella parabola γ ′ di equazione y = x − 4x + 4. [x′ = x + 1, y′ = y + 1] 85

2

Determina la traslazione che trasforma la parabola γ di equazione y = 2x2 − 2x nella parabola γ ′ di equazione y = 2x2 − 6x + 6. [x′ = x + 1, y′ = y + 2] 86

Argomentare

Dimostra che esiste una traslazione che porta la parabola di equazione y − yV = a (x − xV)2 nella parabola di equazione y − yV′ = a′(x − xV′)2 se e solo se a′ = a. In tal caso, il vettore traslazione è quello che porta il vertice di una parabola nell’altro.

87

Dimostra che esiste una simmetria centrale che porta la parabola di equazione y − yV = a (x − xV)2 nella parabola di equazione y − yV′ = a′(x − xV′)2 se e solo se a′ = −a. In tal caso, il centro della simmetria corrisponde al punto medio del segmento che ha come estremi i vertici delle due parabole.

88

2. Parabole e rette

Teoria p. 225

Posizione reciproca tra retta e parabola Per ciascuna parabola di cui è data l’equazione, stabilisci se la retta r di equazione indicata a fianco è secante, tan­ gente o esterna alla parabola. Se è secante, determina le coordinate dei punti di intersezione; se è tangente, deter­ mina le coordinate del punto di contatto.

89

y = x2 − 2x + 1

r: y = −x + 1

[Secante: (0, 1), (1, 0)]

90

y = x2 − 4

r: y = −2x + 4

[Secante: (2, 0), (−4, 12)]

91

y = x2 + 6x + 9

r: y = 0

[Tangente: (−3, 0)]

92

y = x2 − 5x + 1

r: x = −2

[Secante: (−2, 15)]

93

y=

1 2 x 2 1 y = x2 − x 3 1 y = −x 2 − x 2

r: y = 2x − 2

[Tangente: (2, 2)]

r: y = −x + 3

[Secante: (3, 0), (−3, 6)]

96

y = −2x2

r: y = x − 3

3 9 ⎤ ⎡ ⎢⎣Secante: (1, −2), − 2 , − 2 ⎥⎦

97

y = x2

r: y = 3x − 3

[Esterna]

98

y = x2 − 4x

r: y = −x +

99

y = x2 − 4x + 3

r: y = 2x − 1

94 95

240

r: y = −

1 x+2 2

1 2

(

[Esterna]

)

⎡ ⎛ 3 + 11 −2 − 11 ⎞ ⎛ 3 − 11 −2 + 11 ⎞ ⎤ , , ⎢⎣Secante: ⎝ ⎠, ⎝ ⎠ ⎥⎦ 2 2 2 2 ⎡⎣Secante: (3 − 5 , 5 − 2 5 ) , (3 + 5 , 5 + 2 5 )⎤⎦

UNITÀ 6

2. Parabole e rette

Tema B

Interpretando graficamente i seguenti sistemi, stabilisci quante soluzioni ammettono e, se possibile, cerca di preve­ dere quali sono le soluzioni. Verifica poi algebricamente le tue previsioni. y = 3 x 2 + 3x y = −x 2 3 1 _ _ 100 105 [(0, 0); (−1, −1)] [(1, 6); (− 2 , − 4 ) ] {y = x {y = x 2 + 4x + 1 101 102 103 104

y = x 2 − 2x {y = x − 3

[Impossibile]

106

[(0, 1)]

107

[(2, 0); (−3, −10)]

108

[(−1, 0); (3, 4)]

109

y = x2 + 1 {y = 1

y = −2 x 2 + 8 {y = 2x − 4

y = x2 − x − 2 {y = x + 1

y = − x 2 − 2x + 3 {y = 2x + 7

[(−2, 3)]

y = − x 2 + 2x {y = x + 3

[Impossibile]

y = 2 x2 − x − 1 {y = 2x − 1

[(0, − 1); (− 2 , 2) ] 3 _

_ _ _ _ y = x 2 + 2x + 3 [(√3 , 2√3 + 6); (−√3 , −2√3 + 6)] {2x − y + 6 = 0

Interpretare grafici

110 La retta di equazione y = mx interseca la parabola di equazione y = x2 − 4x + 4 nel punto A di ascissa 3.

Qual è il valore del coefficiente angolare (o pendenza) m?

1 _ [m = 3 ]

y

A O

3

x

111 Ciascuna delle due rette rappresentate interseca la parabola y = −x2 + 2x + 3 in due punti di intersezione della parabola con gli assi.

Quali sono i coefficienti angolari di queste due rette? [m1 = −1, m2 = 3]

y V

x

O

112 Corda staccata da una retta su una parabola. Se una retta è secante rispetto a una parabola, si dice corda staccata dalla retta sulla parabola il segmento che ha come estremi i punti di intersezione della retta con la parabola.

[4 5 ] Calcola la misura della corda staccata dalla retta di equazione y = 2x + 3 sulla parabola di equazione y = x2.

113 Indica con V il vertice della parabola di equazione y = −x2 + 4x. Calcola la misura della corda staccata sulla para-

[ 2]

bola dalla retta passante per V e parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

114 Indica con V il vertice della parabola di equazione y = x2 − 2x + 3. Calcola la

misura della corda staccata sulla parabola dalla retta passante per V e perpendicola1 [2 5 ] re alla retta di equazione y = − x.

2 115 Determina l’area del trapezio ABCD in figura, che ha come vertici i punti di intersezione della parabola di equazione y = 1 x 2 con le due rette di equazioni y = 2 2 ⎡ 25 ⎤ e y= 9. ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 116

y D

C

y = 1x 2 A

B

y=9 2 y=2

O

x

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo l’equazione della retta parallela all’asse x che stacca sulla parabola di equazione y = x2 − 2x una corda di misura 4. y

Una generica retta parallela all’asse x ha equazione y = t, con t ∈ R. Poniamo a sistema l’equazione della retta e della parabola: ⎧y = t ⎨ y = x 2 − 2x ⎩ L’equazione risolvente è x2 − 2x − t = 0. La retta risulterà secante la parabola se il discriminante di questa equazione è maggiore di 0, cioè per t > −1.

In tal caso, risolvendo il sistema si trova che i due punti di intersezione tra la retta e la parabola sono: A(1 − 1 + t , t) e B(1 + 1 + t , t).

y = x − 2x A

B O

1– 1+t

1+ 1+ t

y =t

x

Poiché AB = 2 t + 1 , affinché sia AB = 4 deve essere verificata l’equazione 2 t + 1 = 4, da cui t = 3.

241

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

117 Scrivi l’equazione della retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante che stacca sulla parabola di equazione y = x2 − x + 3 una corda di misura 2 6 . [y = −x + 6] 118 Scrivi l’equazione della retta parallela all’asse x che stacca sulla parabola di equazione y = x2 − 4x una corda di

⎡y = 9 ⎤ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ 1 119 Determina l’equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione y = x + 1 che stacca sulla parabola di 2 equazione y = −x2 + 6x una corda di misura 4 5 . [y = −2x + 12]

misura uguale a 5.

120 Determina l’equazione della retta parallela all’asse x che stacca sulla parabola di equazione y = x2 − 4 una corda

la cui lunghezza è il triplo della corda staccata dalla stessa retta sulla parabola di equazione y = (x − 2)2.

⎡y = 1 ⎤ 2 ⎦⎥ ⎣⎢

121 Determina l’equazione della retta parallela all’asse x che stacca sulle parabole di equazioni y = x2 + 1 e y = 4(x − 2)2

⎡y = 4 ⎤ 3 ⎦⎥ ⎣⎢

due corde congruenti.

122

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo per quali valori di k la retta di equazione y = 2x + k ha almeno un punto in comune con la parabola di equazione y = x2 − 1. ⎧ y = x2 − 1 Impostiamo il sistema formato dalle equazioni della parabola e della retta: ⎨ . ⎩ y = 2x + k L’equazione risolvente del sistema è x2 − 2x − 1 − k = 0, che ha come discriminante ∆ = 8 + 4k. Affinché la retta abbia almeno un punto in comune con la parabola, deve essere ∆ ≥ 0, cioè k ≥ −2.

123 Trova per quali valori di k la retta di equazione y = x + k è esterna alla parabola di equazione y = x2 − x. [k < −1] 124 Trova per quali valori di k la retta di equazione y = 2x + k è secante rispetto alla parabola di equazione y = 3x2 − x.

125 Trova per quali valori di k la retta di equazione y = x + k tangente alla parabola di equazione y = 2x2 − x.

⎡k > − 3 ⎤ 4 ⎦⎥ ⎣⎢

⎡k = − 1 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 2 Attività con GeoGebra Traccia le parabole di equazioni y = x − x e y = −x − 3x. Dopo avere defi126 nito uno slider k, variabile tra −5 e +5, disegna la retta di equazione y = x + k. Modifica il valore dello slider e stabilisci graficamente per quali valori di k la retta è secante entrambe le parabole. Verifica poi algebricamente la tua ipotesi. [−1 < k < 4] 127 Determina per quali valori di k la retta di equazione y = x + k risulta secante rispetto alla parabola di equazione y = x2 − 3x ed esterna alla parabola avente equazione y = x2 + 2. ⎡−4 < k < 7 ⎤ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ 128 Determina per quali valori di k la retta di equazione y = x + k incontra in almeno un punto sia la parabola di equazione y = −x2 + x, sia la parabola di equazione y = x2 + 3x − 9. [−10 ≤ k ≤ 0]

Rette tangenti a una parabola 129 Caccia all’errore. Marta afferma: «Una retta e una parabola sono tangenti se e solo se hanno un solo punto in comune». L’affermazione di Marta è inesatta: correggila, dopo avere trovato un controesempio.

Per ciascuna parabola, determina le equazioni delle rette tangenti e passanti per il punto P indicato.

130 y = x2 − 4

P(2, −4)

[y = −4, y = 8x − 20]

131 y = −x2 + 3x

P(0, 1)

[y = x + 1, y = 5x + 1]

132 y = x2 − 5x + 1

P(3, −6)

[y = −x − 3, y = 3x − 15]

P(2, 0)

[y = 0, y = −4x + 8]

1 2 x 2 134 y = x2 − 2x + 1 133 y = −

242

P(−1, −1)

⎡⎣ y = x (2 5 − 4) + 2 5 − 5, y = −x (2 5 + 4) − 2 5 − 5⎤⎦

2. Parabole e rette

UNITÀ 6

Tema B

Per ciascuna delle seguenti parabole, determina l’equazione della retta tangente nel punto P della parabola stessa, di cui è data l’ascissa. (Conviene richiamare e applicare il Teorema 5.)

1 2 x + 3x 3 136 y = −x2 − 3x − 1

xP = 3

[y = x + 3]

xP = −1

[y = −x]

137 y = 2x2 − 4x

xP = 3

[y = 8x − 18]

138 y = x2 − 4x + 7

xP = 2

[y = 3]

135 y = −

139 Metodi a confronto. Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x2 − 4x + 1 nel punto

P(1, − 2) procedendo in due modi (il primo è preferibile): a. osservando che P appartiene alla parabola stessa e applicando il Teorema 5; b. applicando il metodo generale, cioè imponendo che il sistema costituito dall’equazione della parabola e dall’equazione del fascio di rette passanti per P abbia un’unica soluzione. [y = − 2x]

( 54 ) sono per-

140 Verifica che le rette tangenti alla parabola di equazione y = x2 − 2x che passano per il punto P 0, −

pendicolari.

141 Normale/1. Si dice normale a una curva in un punto P la perpendicolare in P alla retta tangente alla curva in P. Determina la normale alla parabola avente equazione y = x2 − 3x + 3 nel suo punto di intersezione con l’asse y. ⎡ y = 1 x + 3⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 3 2 142 Normale/2. Determina le equazioni delle normali alla parabola di equazione y = 3x − x − 2 nei suoi punti di intersezione con l’asse x. ⎡y = 1 x + 2 , y = − 1 x + 1 ⎤ ⎢⎣ 5 15 5 5 ⎥⎦ 2 143 Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione y = −x + 3x nei suoi punti di intersezione A e B con l’asse x (con xA < xB). Indica con C il punto di intersezione di tali tangenti e calcola l’area del triangolo ABC. 3 9 27 ⎤ ⎡ ⎢⎣ y = 3x, y = −3(x − 3); C 2 , 2 ; 4 ⎥⎦ 144 Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y = x2 − 3x + 2 nei suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani e l’area del triangolo individuato da tali rette. ⎡ y = −3x + 2, y = −x + 1, y = x − 2; Area = 1 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

( )

Metodi a confronto

145 Prova che le parabole di equazioni y = −x 2 + 3x e y = 2x 2 − 3x + 3 sono tangenti in P(1, 2) in due modi diversi:

a. verificando che l’equazione risolvente ottenuta mettendo a sistema le rispettive equazioni ha una sola soluzione (doppia); b. mostrando che le rette tangenti alle due parabole in P coincidono.

146 Verifica che le parabole di equazioni y = x 2 − 2x e y = −x 2 + 6x − 8 sono tangenti in P(2, 0), procedendo nei due

modi indicati nell’esercizio precedente.

Definisci uno slider a e disegna la parabola di equazione y = ax 2 . Segna il suo fuoco F e individua i due punti A e B in cui la retta parallela all’asse x passante per F incontra la parabola.

Traccia le tangenti alla parabola nei punti A e B. Verifica graficamente, facendo variare lo slider, che le due tangenti si incontrano sempre in un punto che appartiene alla direttrice della parabola. Dimostra poi algebricamente la proprietà osservata.

147

Attività con GeoGebra

Argomentare

148 Sai prevedere perché, delle due rette tangenti alla parabola di equazione y = − x2 + 4x − 1 e passanti per il punto

P(− 1, 3), una è parallela all’asse x? Formula la tua ipotesi e verificala.

(Suggerimento: calcola l’ordinata del vertice della parabola.)

149 Sai prevedere perché le due rette tangenti alla parabola di equazione y = − x2 + 4x − 1 e passanti per il punto

P(2, 6) hanno coefficienti angolari opposti? Formula la tua ipotesi e verificala.

243

UNITÀ 6

Tema B

150

Parabole e problemi di ottimizzazione

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x2 − 3x + 5 e parallela alla retta di equazione y = 2x. Determina poi le coordinate del punto di contatto tra la retta e la parabola.

1o modo • Una generica retta parallela alla retta di equazione y = 2x ha equazione y = 2x + k. Per trovare il valore di k corrispondente alla retta tangente, considera il sistema: ⎧ y = x 2 − 3x + 5 ⎨ y = 2x + k ⎩ e imponi che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente. Troverai che k = • A questo punto, per determinare l’ascissa del punto di contatto basta ricavare l’unica soluzione dell’equazione risolvente in corrispondenza del valore di k trovato. L’ordinata si deduce di conseguenza mediante semplice sostituzione. y In definitiva: P(_ , _) 2 4 2o modo • Osserva che il punto di contatto è il punto in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a 2. Quindi l’ascissa x0 del punto di contatto deve soddisfare l’equazione:

y = x − 3x + 5

2x0 − 3 = 2

y = 2x P

coefficiente angolare della tangente in x , calcolato in base alla formula m = 2ax + b

O

x

Risolvendo questa equazione, troverai che x0 =

15 . , ossia P(_ , _ ) 2 • Sostituendo nell’equazione y = 2x + k le coordinate del punto di contatto puoi trovare il valore del parametro k cercato e quindi l’equazione della retta tangente: y = 2x − _.

4 Pertanto P è il punto appartenente alla parabola di ascissa

Rifletti. Mentre con il primo modo si trova inizialmente l’equazione della retta tangente e successivamente le coordinate del punto di contatto, con il secondo si procede in ordine inverso: l’equazione della retta tangente è ricavata per ultima.

1 2 x e perpendicolare alla retta di equa2 1 1 1 1 ⎤ zione y = −2x. Determina poi le coordinate del punto di contatto tra la retta e la parabola. ⎡ ⎢⎣ y = 2 x + 8 ; − 2 , − 8 ⎥⎦ 151 Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = −

(

)

152 Trova la retta tangente alla parabola di equazione y = −x2 + 3x parallela alla retta di equazione y = −3x. Determi-

na poi le coordinate del punto di contatto.

153 Trova la retta tangente alla parabola avente equazione y = −

y = −2x. Determina poi le coordinate del punto di contatto.

[y = −3x + 9; (3, 0)]

1 2 x + x perpendicolare alla retta di equazione 2 ⎡y = 1 x + 1 ; 1 , 3 ⎤ ⎢⎣ 2 8 2 8 ⎥⎦

( )

154 Trova le rette tangenti alla parabola di equazione y = −x2 − x passanti per il punto P(0, 4). Determina poi le coor-

dinate dei punti di contatto delle tangenti con la parabola.

[y = −5x + 4, y = 3x + 4; (2, −6); (−2, −2)]

155 Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y = x2 + x + 1 passanti per il punto P(−1, −3) e calcola la

misura del segmento AB, essendo A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola.

[Tangenti: y = 3x, y = −5x − 8; punti di contatto: (1, 3), (−3, 7); AB = 4 2 ] 156 Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y = −x2 + 4x + 2 passanti per il punto P(3, 6) e calcola l’area

del triangolo APB, essendo A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola.

[Tangenti: y = 6, y = −4x + 18; punti di contatto: (2, 6), (4, 2); Area = 2] 244

2. Parabole e rette 157 Fisica In figura è mostrato il grafico di una funzione di secondo grado che rappresenta la legge oraria di un corpo (cioè la funzione che permette di rappresentare la posizione in cui si trova il corpo al trascorrere del tempo). La pendenza della retta tangente al grafico della funzione in un punto fornisce la velocità istantanea del corpo nell’istante corrispondente al punto considerato. Qual è la velocità del corpo dopo 2 s? E dopo 10 s?

[28 m/s; −20 m/s] 158 Considera le due parabole γ : y = x2 − x e γ ′ : y = 2x2 − 4x.

Determina i due punti P ∈ γ e P′ ∈ γ ′, aventi la stessa ascissa, tali che la tangente a γ in P sia parallela alla tangente a γ ′ in P′.

3 3⎤ ⎡ 3 3 ⎢⎣P 2 , 4 ; P ′ 2 ,− 2 ⎥⎦

( ) (

)

UNITÀ 6

s (m) 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

159 Determina il punto P della parabola di equazione y = x2 − 1

O

Tema B

s = 40t – 3t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t (s)

per cui la retta tangente alla parabola in P forma con l’asse x un angolo di 60°.

(Suggerimento: qual è il coefficiente angolare delle rette che formano con l’asse x un angolo di 60°?)

160 Determina le tangenti comuni alle parabole di equazioni y = 3x − x2 e y = x2 + x + 5.

⎡ ⎛ 3 1 ⎞⎤ ⎢⎣P ⎝ 2 , − 4 ⎠ ⎥⎦

(Suggerimento: considera una generica retta di equazione y = mx + q, imponi la condizione di tangenza con ciascuna delle due parabole e risolvi il sistema in m e q che si ottiene ponendo a sistema le due equazioni scaturite imponendo le condizioni di tangenza.) [y = −x + 4, y = 5x + 1] 161 Determina le tangenti comuni alle parabole di equazioni y = x2 − x − 1, y = −x2 − x − 3.

[y = x − 2, y = −3x − 2]

Rette e parabole con asse parallelo all’asse x 162

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione x = y2 − 1, passanti per il punto P(−1, 2).

• Anziché cercare le rette tangenti alla parabola e passanti per P(–1, 2) nella forma y − 2 = m(x + 1) come di norma, qui conviene invertire i ruoli delle variabili e cercarle invece nella forma x + 1 = a(y − 2), con a da determinare in base alla condizione di tangenza imposta. x−x y−y • L’equazione (attenzione: nella variabile y!) risolvente il sistema: x = y2 − 1 è y2 − ay + 2a = 0, con Δ = a2 − 8a {x = a(y − 2) − 1 • L’equazione Δ = 0 fornisce le due soluzioni a = 0 e a = 8, da cui le equazioni x = − 1 e x + 1 = 8(y − 2). Quest’ultima 17 .

1 x+_ può essere invertita e scritta esplicitando la variabile y: si ottiene così y = _ 8 8

Rifletti. L’espediente adottato in questo esercizio, cioè di esplicitare la variabile x anziché la variabile y, sveltisce i calcoli perché coerente con il fatto che l’asse della parabola è parallelo all’asse x anziché all’asse y. Ti suggeriamo di utilizzarlo in esercizi analoghi.

163 Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione x = −y2 + 4, parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. ⎡ y = x − 17 ⎤ 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 164 Determina le equazioni delle rette tangenti alla pa-

1 rabola di equazione x = y 2 e passanti per il punto 2 P(−2, 0).

1 1 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = 2 x + 1, y = − 2 x − 1⎥⎦ 165 Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione x = y 2 − 6y − 1 nel suo punto di intersezione con l’asse x. ⎡y = − 1 x − 1 ⎤ 6 6 ⎦⎥ ⎣⎢

166 Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione x = y2 − 1 nei loro punti di intersezione con l’asse y.

1 1 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = 2 x + 1; y = − 2 x − 1⎥⎦ 167 Determina il punto della parabola di equazione x = y 2 − 2y + 1 in cui la retta tangente è parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. ⎡1 3⎤ ⎢⎣ 4 , 2 ⎥⎦ 168 Determina la misura della corda staccata sulla parabola di equazione x = −y 2 + 4y dalla retta di equazione y = 2x. ⎡7 5⎤ ⎣⎢ 4 ⎦⎥

( )

245

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

Area di un segmento parabolico Determina le aree dei segmenti parabolici limitati dalle parabole e dalle rette di cui sono date le equazioni.

169 y = x2 − 2x − 3

y=0

170 y = x2 − 16

y=9

173

⎡ 32 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎡ 500 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

171 y = x2 − 2x

y=x

172 y = x2 − 4x + 1

y=x+1

⎡9⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎡ 125 ⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola y = x2 − 3x + 2 e dalle due rette di equa­ zioni y = 0, y = 2. y

• L’area richiesta è la differenza tra l’area dell’intero segmento parabolico AVB e l’area del segmento parabolico CVD. Riportiamo le coordinate dei punti utili allo svolgimento: 3 , −_ 1 A(0, 2) B(3, 2) C(1, 0) D(2, 0) V(_ 2 4) • In base al Teorema di Archimede, i segmenti parabolici hanno area: 9 e _ 1 =_ 2 ⋅ (2 − 1) ⋅ 0 + _ 1 =_ 1 2 ⋅ (3 − 0) ⋅ 2 + _ _ ( ( 3 4) 2 3 4) 6 9 −_ 13 .

27 − 1 = _ 1 =_ In definitiva, l’area richiesta è _ 6 3 2 6

y = x – 3x + 2

3 2

B

A

y=2

1 O

C

D 2 3 V y= 1 4

1

–1 –1

4 x

174 Determina l’area della regione finita di piano limitata dalle due parabole di equazioni y = x2 − 2x e y = −2x2 + 4x. [4] 175 Condotte dal punto P(0, −1) le tangenti alla parabola di equazione y = x2, determina l’area della regione finita di

⎡2⎤ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 176 Condotte le tangenti alla parabola di equazione x = y 2 + y − 2 nei suoi punti di intersezione con l’asse y, determina l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola e dalle due tangenti. ⎡ 1 1 9 Tangenti: y = x + 1, y = − x − 2; ⎤ ⎢⎣ 3 3 4 ⎥⎦ 177 Determina per quali valori di a la parabola di equazione y = ax2 + 2x + 1, con a ≠ 0, individua con la retta di equazione y = x + 1 un segmento parabolico di area 6. ⎡a = ± 1 ⎤ 6 ⎦⎥ ⎣⎢ 178 Determina per quali valori di k la parabola di equazione y = 3x2 − kx + 2 individua con la retta di equazione y = 2 un segmento parabolico di area 4. [k = ±6]

piano limitata dalla parabola e dalle due tangenti.

Quadrilateri inscritti in un segmento parabolico 179

ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = x2 − 4x e dall’asse x, con un lato sull’asse x.  • Siano: P un punto dell’arco O V di parabola, Q il simmetrico di P rispetto all’asse della parabola, P′, Q′ le proiezioni di P e Q sull’asse x e H il punto in cui PQ interseca l’asse della parabola. Dobbiamo determinare P in modo che PQ = PP ′.  • Poiché P appartiene all’arco O V, sarà P(x, x2 − 4x), con 0 ≤ x ≤ 2. Inoltre:

y

x =2 y = x – 4x

P'

Q'

P

H Q

x

O

PQ = 2PH = 2(xH − xP ) = 2(2 − x )

Devi eseguire la sottrazione tra l’ascissa di H e l’ascissa di P, perché l’ascissa di H è maggiore dell’ascissa di P.

PP ′ = yP ′ − yP = 0 − (x 2 − 4x ) = 4x − x 2

Devi eseguire la sottrazione tra l’ordinata di P’ e l’ordinata di P, perché l’ordinata di P’ è maggiore dell’ordinata di P

V

Puoi allora scrivere l’equazione 4 − 2x = 4x − x2, che fornisce le soluzioni x = 3 ± 5 .

• Poiché deve essere 0 ≤ x ≤ 2, è accettabile solo la soluzione x = 3 − 5 , cui corrispondono i punti che sono i vertici del quadrato richiesto: P (3 − 5 , 2 − 2 5 ) , Q (1 + 5 , 2 − 2 5 ) , Q ′(1 + 5 , 0) , P ′(3 − 5 , 0) 246

UNITÀ 6

3. Come determinare l’equazione di una parabola

Tema B

180 Determina i vertici del rettangolo di perimetro 10, inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = 4x − x2 e dall’asse x. [(1, 3), (1, 0), (3, 0), (3, 3)] 181 Determina i vertici del rettangolo di perimetro

equazione y = x2 − 5x + 4 e dall’asse x.

13 , inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di 2 5 7 5 3 7 ⎤ ⎡3 ⎢⎣ 2 , − 4 , 2 , − 4 , 2 , 0 , 2 , 0 ⎥⎦

(

)(

)( )( )

182 Determina i vertici del quadrato inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione

⎡⎣(2 − 2 , 2 2 − 2) , ( 2 , 2 2 − 2) , (2 − 2 ,0) , ( 2 ,0)⎤⎦

y = −x2 + 2x e dall’asse x.

183 Determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione

x=

1 2 y − 2 e dall’asse y, avente il lato parallelo all’asse y doppio del lato parallelo all’asse x.

2 ⎡⎣(1 − 5 , 5 − 1) , (1 − 5 , 1 − 5 ) , (0, 1 − 5 ) , (0, 5 − 1)⎤⎦

3. Come determinare l’equazione di una parabola Teoria p. 230

Equazione di una parabola, dati tre punti

184 Associazione. Considera la parabola di equazione y = ax2 + bx + c. Associa a ogni condizione della prima colon-

na l’equazione che la esprime. a. Passa per il punto P(1, −1). b. Passa per l’origine. c. Interseca l’asse y in P(0, −2). d. Interseca l’asse x in P(−2, 0). e. Passa per il punto P(−1, 1).

185

A. c = 0 B. a + b + c = −1 C. c = −2 D. a − b + c = 1 E. 4a − 2b + c = 0

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A(−2, 0), B(1, 0), C(0, 3).

1o modo Imponendo che la parabola di equazione y = ax2 + bx + c passi per i punti A, B, C, ottieni il sistema: ⎧4a − 2b + c = 0 ⎪ ⎨a + b + c = 0 ⎪⎩c = 3

Passaggio per A Passaggio per B

, da cui si ricava a = b = −

Passaggio per C

Quindi la parabola cercata ha equazione: y = −

y

–2

3 ec=3 2

3

O

1

x

3 2 3 x − x + 3.

2 2

2o modo Considera la generica parabola di equazione y = ax2 + bx + c. Poiché i punti A(−2, 0) e B(1, 0) assegnati rappresentano le intersezioni della parabola cercata con l’asse x, il trinomio ax2 + bx + c deve ammettere come zeri −2 e 1, quindi deve essere scomponibile nella forma a(x + 2)(x − 1). L’equazione della parabola cercata deve quindi essere del tipo: y = a(x + 2)(x − 1)

3 Imponendo ulteriormente il passaggio per C(0, 3), si ottiene a = − , quindi la parabola cercata ha equazione 2 3 y = − (x + 2)(x − 1). Svolgendo i calcoli si ritrova l’equazione ottenuta con il metodo precedente.

2 Suggerimento. In generale, ogniqualvolta è richiesto di determinare l’equazione di una parabola di cui si conoscono le ascisse x e x dei punti di intersezione con l’asse x, è utile tenere presente che l’equazione della parabola deve essere del tipo y = a(x − x )(x − x ): così facendo rimane da determinare soltanto il valore del parametro a in base all’ulteriore condizione fornita dal problema.

Determina l’equazione della parabola che passa per l’origine e per i due punti A e B, avente asse verticale.

186 A(1, −2)

B(2, −2)

⎡⎣ y = x 2 − 3 x⎤⎦

188 A(1, 1)

B(3, 15)

187 A(−1, −5)

B(2, 4)

⎡⎣ y = − x 2 + 4 x⎤⎦

189 A(2, 0)

B(−4, −12)

⎡⎣ y = 2 x 2 − x⎤⎦ ⎡y = − 1 x 2 + x⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ 247

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per A, B e C. 194 A(0, −4), B (2 2 , 0), C(2, −2)

190 A(−1, −5), B(1, 1), C(2, −2)

[y = −2x2 + 3x]

191 A(−2, −3), B(0, 1), C(6, −11)

1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = − 2 x + x + 1⎥⎦

195 A(2, 0), B(4, 0), C(1, 1)

192 A(1, 2), B(0, 5), C(2, 1)

[y = x2 − 4x + 5]

196 A(2, 0), B(1, 1), C(0, 3)

193 A(−1, 0), B(1, 6), C(2, 6)

[y = −x2 + 3x + 4]

197 A(−1, 0), B(3, 0), C(0, 6)

198

[y = −2x2 + 4x + 6]

Determina le equazioni delle parabole che hanno i seguenti grafici interpretando i dati

Interpretare grafici

forniti.

⎡ y = 1 x 2 − 4⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 ⎡ y = 1 x 2 − 2x + 8 ⎤ ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦ 1 2 5 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = 2 x − 2 x + 3⎥⎦

y

y

y 2

3 O −3

O

1 −1

x

2

4

x

O

2 x

−4

−2

−4

⎡ y = x 2 + 3x − 1; y = − 1 x 2 + 3x − 2; y = 1 x 2 + x − 4⎤ 2 2 ⎣⎢ ⎦⎥ Realtà e modelli

199 Fuochi d’artificio. Un fuoco d’artificio viene lanciato nell’istante t = 0

da una piattaforma posta a un’altezza di 8 m. L’altezza h (in metri) del fuoco d’artificio dopo un tempo di volo t (in decimi di secondo), con 0 ≤ t ≤ 10, è espressa dalla funzione rappresentata in figura. Il fuoco d’artificio esplode quando si trova nella posizione di massima altezza. Determina l’equazione della funzione che esprime h in funzione di t e stabilisci a quale altezza si trova il fuoco d’artificio quando esplode. ⎡h = − 1 t 2 + 10t + 8; 58 m⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥

h 60 50 40 30 20 10

8 –2 O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t –10

200 Getti d’acqua. In figura sono rappresentate le traiettorie paraboy liche di tre getti d’acqua, riferiti a un piano cartesiano ortogonale con l’origine coincidente con il punto da cui fuoriesce il getto; x e y sono 14 rispettivamente l’ascissa e l’ordinata, in metri, di un punto della traiettoria del getto. Il getto d’acqua colorato in rosso raggiunge l’altezza 8 massima, uguale a 4 m, in un punto di ascissa x = 6; il getto colorato in 4 azzurro raggiunge l’altezza massima, uguale a 8 m, in un punto di ascissa x = 10; il getto d’acqua giallo raggiunge l’altezza massima di O 2 4 6 8 10 P Q R x 14 m. I punti P, Q, R rappresentano i tre punti in cui i getti d’acqua ricadono a terra. a. Determina le equazioni delle parabole che rappresentano le traiettorie dei due getti colorati in rosso e in azzurro. b. Determina la distanza tra i due punti P e Q. c. Sapendo che la distanza tra Q ed R è uguale alla distanza tra P e Q, determina l’equazione della parabola che rappresenta la traiettoria del getto in giallo.

1 2 __ 4 2 2 __ 8 1 2 __ ___ ___ [a. y = − 9 x + 3 x, y = − 25 x + 5 x; b. 8 m; c. y = − 14 x + 2x ] 201 Occhiali da sole. Il proprietario di un negozio di ottica ha notato che vendendo un certo modello di occhiali da sole al prezzo di 80 euro ciascuno ne riesce a vendere in un mese 10, mentre abbassando il prezzo a 60 euro ne riesce a vendere 25. Supponi che il numero di occhiali da sole venduti in un mese dipenda in modo lineare dal prezzo di vendita e che il costo di un paio di occhiali da sole per il negoziante sia di 40 euro. Determina quale deve essere il prezzo degli occhiali da sole affinché il profitto mensile derivato dalla loro vendita sia massimo. Arrotonda il risultato ai centesimi.

[66,67 euro]

248

3. Come determinare l’equazione di una parabola

UNITÀ 6

Tema B

Equazione di una parabola, dato il vertice e un punto 202 Associazione. Considera la parabola di equazione y = ax2 + bx + c. Associa a ogni condizione della prima colon-

na l’equazione che la esprime. a. Ha il vertice sull’asse x. b. Ha il vertice sull’asse y. c. Ha il vertice nell’origine. d. Ha il vertice nel punto V(1, 1). e. Ha il vertice nel punto V(−1, −1).

203

A. 2a + b = 0 ∧ a + b + c = 1 B. b = 0 C. b = c = 0 D. ∆ = 0 E. 2a − b = 0 ∧ a − b + c = −1

ESERCIZIO GUIDATO

Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice in V(−3, 2) e passa per (−5, −2).

1o modo Ricorda che una parabola di vertice V(xv , yv) ha equazione del tipo y − yv = a(x − xv)2 Poiché la parabola in figura ha vertice in V(−3, 2), la sua equazione sarà del tipo: y − 2 = a[x − (−3)]2 ossia y = a(x + 3)2 + 2. Imponi ora il passaggio per il punto P(−5, −2). Otterrai l’equazione −2 = a(−5 + 3)2 + 2, da cui a= quindi l’equazione della parabola è y = y 2o modo Imponi che la parabola abbia vertice in V e passi per P. Ottieni il sistema: ⎧− b = −3 ⎪ 2a ⎨9a − 3b + c = 2 ⎪ ⎪⎩25a − 5b + c =

V −5

L’ascissa di V è –3 Passaggio per V

2

−3

x

O −2

P

Passaggio per P

Risolvendo il sistema trovi che a = cata ha equazione Rifletti. Invece di porre la condizione −

,b=

ec=

quindi la parabola cer-

Δ = 2 (l’ordinata del vertice è 2), ti abbiamo suggerito di porre la condizione equivalente del 4a

passaggio per V, perché così ottieni un’equazione di primo grado anziché di secondo.

Determina l’equazione della parabola con asse verticale che ha il vertice nell’origine degli assi e che passa per il punto P. ⎡y = 2 x 2 ⎤ 204 P(3, 2) 205 P(−2, −4) [y = −x2] 9 ⎦⎥ ⎣⎢ Scrivi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che ha vertice in V e passa per P. ⎡ y = 3 x 2 − 3x⎤ ⎡ y = 1 x 2 − 1⎤ 206 V(0, −1) P(3, 2) 210 V(2, −3) P(0, 0) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ 4 3 2 3 1 ⎡ y = −2x 2 + 6x − 9 ⎤ 207 V(1, 1) P(2, 3) [y = 2x − 4x + 3] ,0 211 V P ,−2 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ 2 208 V(2, 0) P(3, 2) [y = 2x2 − 8x + 8] ⎡ y = 1 x 2 + 2x + 3⎤ 212 V(−2, 1) P(0, 3) ⎢⎣ ⎥⎦ 209 V(0, 3) P(1, 2) [y = −x2 + 3] 2

( )

213

Interpretare grafici

( )

Determina le equazioni delle parabole disegnate nelle seguenti figure. y

y

y 2 O −2

3

x O

O −3

4

x

x

−5

⎡ y = 2(x + 2)2 − 3; y = − 1 (x − 3)2 + 2; y = (x – 4)2 − 5⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ 249

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

Realtà e modelli

214 Epidemia di influenza. In figura è rappresentata una parte del

grafico della funzione di secondo grado y = f (x ) che rappresenta l’evoluzione di un’epidemia di influenza. La variabile y rappresenta il numero di malati ogni 100 000 abitanti e la variabile x rappresenta il tempo, misurato in settimane, trascorso dall’inizio dell’epidemia. La funzione costituisce un modello dell’evoluzione dell’epidemia per 2 ≤ x ≤ 10. Secondo questo modello, quanti erano gli individui ammalati ogni 100 000 abitanti dopo 2 settimane dall’inizio dell’epidemia? E dopo 8? ⎡⎣ y = −30x 2 + 360x − 360; 240; 600⎤⎦

y malati ogni 100 000 abitanti 750 720 700 650 600 550 500 450 400 350 300 300 O

2

3

4

5

6

y

6m

12 m 15 m

215 Ponte ad arco parabolico. In figura è rappresentato un ponte ad arco parabolico. Il punto più alto dell’arco si trova a 15 m dal suolo; inoltre è noto che la larghezza dell’arco, a 12 m dal suolo, è di 6 m.

Qual è la larghezza dell’arco al livello del suolo? Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale.

[13,42 m]

1

tempo (settimane) 7 8 9 x

?

O

x

Equazione di una parabola, dati due elementi scelti fra vertice, fuoco e direttrice 216

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel punto V(0, 2) e fuoco nel punto F(0, −1).

1o modo Poiché il vertice deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice, la direttrice dovrà essere la retta di equazione y = 5. Grazie a questa osservazione, puoi scrivere la parabola come luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: x 2 + ( y + 1)2 = | y − 5| Elevando al quadrato e risolvendo rispetto a y trovi l’equazione della parabola.

y V(0, 2) x

O F(0, –1)

2o modo La parabola, avendo vertice in V(0, 2), deve avere un’equazione del tipo: y = ax2 + 2 Osservando che la distanza focale è 3 e dovendo essere a < 0 (perché?), puoi ricavare facilmente il valore di a dall’equa1 = 3. ⎡ y = − 1 x 2 + 2⎤ zione ___ 4a 12 ⎦⎥ ⎣⎢

| |

Determina le equazioni delle parabole dalle proprietà specificate.

217 Vertice in V(0, 0) e direttrice la retta y = −1.

218 Vertice in V(1, 1) e direttrice l’asse x.

219 Fuoco in F(0, 0) e direttrice la retta y = −1.

220 Fuoco in F(1, −1) e direttrice l’asse x.

221 Vertice in V(2, 1) e fuoco in F (2, 0).

250

⎡y = 1 x 2 ⎤ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎡y = 1 x 2 − 1 x + 5 ⎤ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦ ⎡ y = 1 (x 2 − 1)⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ y = − 1 (x 2 − 2x + 2)⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡y = − 1 x 2 + x⎤ 4 ⎣⎢ ⎦⎥

3. Come determinare l’equazione di una parabola

UNITÀ 6

Tema B

Interpretare grafici Ricava le equazioni delle parabole che hanno come vertice, fuoco o direttrice i punti e 222 le rette rappresentati in ciascuna figura. Traccia le parabole stesse (approssimativamente). y

y=2

1 V O 1 y = −3

y

y

x direttrice

F

direttrice 1

1 O 1 F

x

1 x

O V

⎡ y = 1 x 2 − 1 x + 1 ; y = − 1 x 2 ; y = 1 x 2 − 1 x − 15 ⎤ 12 6 12 8 16 8 16 ⎦⎥ ⎣⎢

Equazione di una parabola, data una condizione di tangenza 223 Associazione. Considera la parabola di equazione y = ax2 + bx + c. Associa a ogni condizione della prima colon-

na l’uguaglianza della seconda colonna che la esprime. a. È tangente all’asse x. b. È tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. c. È tangente alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. d. È tangente alla retta di equazione y = x + 1. e. È tangente alla retta di equazione y = x − 1.

224

A. (b + 1)2 = 4ac B. (b − 1)2 = 4ac C. b2 − 4ac = 0 D. (b − 1)2 = 4a(c + 1) E. (b − 1)2 = 4a(c − 1)

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della parabola con asse verticale tangente alla retta di equazione y = x + 1 nel suo punto P di ascissa 2, passante per il punto Q(−1, 3). y

Considera l’equazione generica della parabola y = ax2 + bx + c e imposta il sistema: ⎧4a + 2b + c = 3 ⎪ ⎨a − b + c = 3 ⎪⎩2a ⋅ 2 + b = 1

Passaggio per P Passaggio per Q Il coefficiente angolare della retta tangente in P è 1

Risolvendolo trovi i coefficienti a, b e c della parabola cercata.

Q

3

P

–1 O 2

x

Rifletti. Dal momento che è noto il punto di contatto tra la retta tangente e la parabola, invece di imporre che il discriminante del­ l’equazione risolvente il sistema tra la generica parabola e la retta sia nullo, abbiamo utilizzato la formula m = 2ax + b e abbiamo imposto che il coefficiente angolare della retta tangente in P sia 1. Ciò è più conveniente perché comporta calcoli meno complessi e fornisce una condizione di primo grado (anziché di secondo come nel caso del discriminante). Se non è noto il punto di contatto, ma solo l’equazione di una retta tangente, questa «scorciatoia» non è praticabile e occorre considerare il sistema formato dall’equazione della parabola e della retta e imporre che il discriminante dell’equazione risolvente sia nullo.

1 1 7

⎡y = x 2 − x + ⎤ 3 3 3 ⎦⎥ ⎣⎢

225 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse di simmetria parallelo all’asse y, tangenti alla retta di equazione

y = 2x e passanti per A(0, 1) e B(−2, 5).

[y = x2 + 1; y = 4x2 + 6x + 1]

226 Scrivi l’equazione della parabola, con asse verticale, tangente in A(1, 1) alla retta di equazione y = 2x − 1 e passante per B(3, 0). ⎡y = − 5 x 2 + 9 x − 9 ⎤ 4 2 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 227 Scrivi l’equazione della parabola, con asse verticale, tangente in A(1, 2) alla retta di equazione y = 2x e passante per il punto B(2, 3). [y = −x2 + 4x − 1] 228 Scrivi l’equazione della parabola, con asse verticale e vertice in V(−1, 2), tangente alla retta di equazione y = 2x + 3.

[y = x2 + 2x + 3]

229 Scrivi l’equazione della parabola, con asse verticale, tangente in A(0, 1) alla retta di equazione y = 2x + 1 e tangente ulteriormente alla retta di equazione y = 3x. ⎡ y = 1 x 2 + 2x + 1⎤ 4 ⎣⎢ ⎦⎥

251

UNITÀ 6

Tema B

230

Parabole e problemi di ottimizzazione Scrivi le equazioni delle parabole rappresentate nelle seguenti figure, interpretando le

Interpretare grafici

indicazioni fornite. y 1 O

y

r

y

r

P 1

−2

1

4

x Q

s

2 O −1

P 3 2

x

–1 4 –1

O

1 6

x

P

⎡y = − 2 x 2 + 7 x − 2 ; y = x 2 − x + 5 ; y = 1 x 2 − 3 x⎤ 3 3 3 4 4 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 231 Scrivi le equazioni delle parabole, con asse verticale, tangenti all’asse x, alla retta di equazione y = 2x e passanti

( 14 ).

⎡ y = x 2 + x + 1 ; y = 1 x 2 + x + 1⎤ 4 4 ⎣⎢ ⎦⎥

per P −1,

Parabole con asse parallelo all’asse x 232

ESERCIZIO GUIDATO

Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, sapendo che il vertice è il punto V(0, −2) e che passa per P(1, 0).

L’equazione della parabola va cercata nella forma x = ay2 + by + c. I tre coefficienti si trovano impostando e risolvendo il sistema: ⎧ 0 = 4a − 2b + c ⎪ ⎨1 = c ⎪ _ b ⎩− 2a = − 2

passaggio per V passaggio per P ordinata del vertice V

I facili calcoli sono lasciati a te.

⎡x = 1 y 2 + y + 1⎤ 4 ⎣⎢ ⎦⎥

Rifletti. Diversamente dagli analoghi esercizi per parabole con asse verticale, qui è preziosa l’informazione relativa all’ordinata del vertice, non alla sua ascissa.

233 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x e passante per i punti A(2, 0), B(1, 1), C(0, 3).

⎡x = 1 y 2 − 7 y + 2⎤ 6 6 ⎦⎥ ⎣⎢ 234 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, con vertice in V(0, −1) e passante per P(2, 1).

⎡x = 1 y 2 + y + 1 ⎤ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ 235 Scrivi l’equazione della parabola passante per i punti O(0, 0) e A(1, 1), che ha come asse la retta di equazione

y = 1.

[x = −y2 + 2y]

236 Determina l’equazione della parabola che ha come direttrice la retta di equazione x = −2 e come fuoco il punto F(2, 2). ⎡x = 1 y 2 − 1 y + 1 ⎤ ⎢⎣ 8 2 2 ⎥⎦ 237 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante nel punto P(1, 1) e passante per Q(3, 2). [x = y2 − y + 1]

252

3. Come determinare l’equazione di una parabola

UNITÀ 6

Tema B

Esercizi riassuntivi: ricerca dell’equazione di una parabola Scrivi l’equazione della parabola, con asse di simmetria verticale, deducendola dalle indicazioni fornite. (In alcuni casi le equazioni da ricavare sono due.) [y = −4x2 + 2]

238 Ha vertice nel punto V(0, 2) e passa per P(1, −2).

239 Interseca gli assi cartesiani nei tre punti di coordinate (−3, 0), (1, 0) e (0, 3).

240 Passa per A(0, 3) e B(2, 2) e ha come asse di simmetria la retta di equazione x =

1 .

2

[y = −x2 − 2x + 3] ⎡ y = − 1 x 2 + 1 x + 3⎤ 2 2 ⎣⎢ ⎦⎥

241 Passa per è A(2, 1), è tangente all’asse x e ha come asse di simmetria la retta di equazione x = 1.

[y = x2 − 2x + 1]

242 Ha il fuoco in F(1, 2) e il vertice in V(1, 0).

⎡ y = 1 (x − 1)2 ⎤ 8 ⎦⎥ ⎣⎢

[y = 1 + 3x2]

243 Ha il vertice in V(0, 1) e passa per P(1, 4).

1 2 ⎤ ⎡ ⎢⎣ y = 4 x − 2⎥⎦ 1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = 2 x − 2x⎥⎦

244 Ha come direttrice la retta di equazione y = −3 e ha il fuoco in F(0, −1).

5 e ha il vertice in V(2, −2).

2 5 246 Ha come direttrice la retta di equazione y = − e ha il vertice in V(0, −1).

4 247 Passa per il punto P(3, 4) e ha il fuoco nell’origine.

245 Ha come direttrice la retta di equazione y = −

[y = x2 − 1] ⎡ y = 1 (x 2 − 1), y = − 1 x 2 + 9 ⎤ 2 18 2 ⎦⎥ ⎣⎢

248 Interseca l’asse x nei punti A(2, 0) e B(4, 0) ed è tangente alla retta di equazione y = −3x + 4.

249 Passa per A(0, 2) e per B(−4, 18) ed è tangente all’asse x.

⎡ y = 1 x 2 − 3x + 4; y = 9 x 2 − 27x + 36⎤ 2 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ y = 2(x + 1)2 ; y = 1 (x − 2)2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 2

250 Passa per A(−1, 3) e per B(0, 4) ed è tangente alla retta parallela ad AB e passante per l’origine. [y = 16x2 + 17x + 4] 251 Ha il fuoco in F(2, 0) e passa per l’origine.

252 Passa per il punto P(4, 2) e ha il fuoco in F(0, −1).

1 2 1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = − 4 x + x ; y = 4 x − x⎥⎦ ⎡ y = 1 x 2 − 2; y = − 1 x 2 + 3⎤ 4 16 ⎦⎥ ⎣⎢

5 e passa per il punto P(2, −2) e per l’origine.

2 1 2 ⎡ ⎤ 2 ⎢⎣ y = x − 3x ; y = 2 x − 2x⎥⎦ 5 254 Ha come direttrice la retta di equazione y = − e passa per i punti A(0, −1) e B(1, 0). [y = x2 − 1; y = 2x2 − x − 1] 4 255 Ha il vertice in V(0, 1) ed è tangente alla parabola di equazione y = −x2 + 4x. [y = 1 + 3x2] 253 Ha come direttrice la retta di equazione y = −

Scrivi l’equazione della parabola, con asse di simmetria orizzontale, deducendola dalle indicazioni fornite.

256 Passa per A(0, 2), B(0, −1) e C(3, 0).

257 Ha vertice in V(2, 1) e passa per P(1, 2).

3 2 3 ⎡ ⎤ ⎢⎣x = − 2 y + 2 y + 3⎥⎦ [x = −y2 + 2y + 1]

258 Ha come asse di simmetria l’asse x e passa per i punti A(0, −2) e B(4, 0).

[x = 4 − y2]

1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣x = 4 y − y + 1⎥⎦ 1 3 260 Ha il fuoco nell’origine O(0, 0) e il vertice appartenente alla retta di equazione: 4x − 2y + 3 = 0 ⎡x = y 2 − ⎤ ⎢⎣ 3 4 ⎥⎦ 259 Ha il vertice in V(0, 2) e come direttrice la retta di equazione x = −1.

261 E se? Scrivi l’equazione della parabola con asse verticale, passante per A(−1, 1), B(0, 0) e C(2, −3).

} Come cambia la risposta assumendo l’asse della parabola orizzontale?

⎡ y = − 1 x 2 − 7 x ; x = − 1 y 2 − 11 y⎤ ⎢⎣ 6 6 12 12 ⎥⎦ 262 E se? Scrivi l’equazione della parabola, con asse verticale, che ha vertice in V(−2, −1) ed è tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. ⎡y = 1 x 2 + x ; x = − 1 y 2 − 1 y − 9 ⎤ 4 4 2 4 ⎦⎥ ⎣⎢ } Come cambia la risposta assumendo l’asse della parabola orizzontale?

253

UNITÀ 6

Tema B

Parabole e problemi di ottimizzazione

Interpretare grafici

Scrivi le equazioni delle parabole rappresentate nelle seguenti figure. Nella terza figura la retta AB è tangente alla parabola in A. 263

264

y

−2

y 9

O

265

V

y

x

3

A

O

O 2

−1 −6

[y = (x + 2) (x − 3) ]

x

3

x

5

−6 B

[y = − (x + 1) (x − 5) ]

2 2 _ [y = 3 x − 2x ]

Scrivi le equazioni delle due parabole rappresentate, simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

266

267

y

268

y

y

2

y=x

y=x –1

2

1

O

x

2

y=x

1 O

1 x 1

[y = −2x2 + 2, x = −2y 2 + 2]

O 1

4

[y = (x − 2)2, x = (y − 2)2]

x

[y = x2 − 2x + 2, x = y2 − 2y + 2]

Determina le coordinate dei punti in comune alla parabola e alla retta rappresentati.

269

270

y

271

y 1

4

4

O 1 –1

45° 2

1 O

x

4

(–2, 1) 1

(3, –1) x

1

O

–3

–4

x 1

5 1 _ _ [(− 2 , 2 ); (2, 0) ]

[(1, 0); ( 2 , − 4 ) ]

[(0, 0); (− 2 , 4 ) ]

272 La parabola in figura interseca gli assi nei tre punti A, B, C che sono i vertici di un triangolo rettangolo di ipotenusa AC. Determina l’equazione della parabola.

273 La parabola in figura ha il vertice nell’origine e l’area del trapezio rappresentato è 45 . Qual è l’equa4 zione della parabola?

274 La parabola in figura interseca gli assi nei tre punti A, B, C che sono i vertici di un triangolo equilatero. Determina l’equazione della parabola.

–4

O

7 _

7 _ 7 _

y

B

B A

9 _

y

y

C 1

C

x A

A

⎡ y = − 1 x 2 − 3 x + 2⎤ 2 2 ⎣⎢ ⎦⎥ 254

y

C –2

O

D 1

x

⎡y = 3 x 2 ⎤ 2 ⎦⎥ ⎣⎢

–3

O

3

B

x

⎡y = − 3 x 2 + 3 3 ⎤ ⎣ ⎦ 3

UNITÀ 6

3. Come determinare l’equazione di una parabola

Tema B

Argomentare

275 Matteo vuole ricavare l’equazione della parabola, con asse di simmetria verticale, passante per i punti A(1, 1),

B(2, −1) e C(2, 3). Barbara rappresenta i punti nel piano cartesiano e afferma che una tale parabola non può esistere. a. Spiega perché Barbara ha ragione e verifica che il sistema che traduce il passaggio per i tre punti A, B, C è impossibile. b. Esiste una parabola con asse di simmetria orizzontale che passa per A, B, C? 276 Giulia vuole ricavare l’equazione della parabola, con asse di simmetria verticale, passante per i punti A(−1, 2), B(0, 3) e C(2, 5). Marco rappresenta i punti nel piano cartesiano e afferma che una tale parabola non può esistere. a. Spiega perché Marco ha ragione. b. Esiste una parabola con asse di simmetria orizzontale che passa per A, B, C? Giustifica la risposta, senza fare calcoli.

277 Mattia vuole vuole ricavare l’equazione della parabola passante per A(0, −2) e B(4, −2) e avente come asse di simmetria la retta di equazione x = 2. Barbara rappresenta i punti nel piano cartesiano e afferma che esistono infinite parabole che soddisfano le condizioni richieste. Spiega perché Barbara ha ragione e verifica che il sistema che traduce le informazioni è indeterminato.

Problemi In figura è mostrato il grafico di una funzione di s (m) B secondo grado che rappresenta, per 0 ≤ t ≤ 6, la legge oraria di un 4 corpo (cioè la funzione che permette di rappresentare la posizione C in cui si trova il corpo al trascorrere del tempo). La pendenza del3 A la retta passante per due punti del grafico fornisce la velocità me2 dia del corpo nell’intervallo di tempo corrispondente, mentre la pendenza della retta tangente al grafico in un punto fornisce la 1 velocità istantanea del corpo nell’istante corrispondente al punto D considerato.

O 7 t (s) 1 2 3 4 5 6 a. A quale distanza dall’origine del sistema di riferimento è iniziato il moto del corpo? Qual è la legge oraria del corpo? b. Qual è la velocità media del corpo tra gli istanti tA = 0 e tB = 2 s? E tra gli istanti tC = 4 s e tD = 6 s? c. Qual è la velocità istantanea del corpo negli istanti tA = 0, tB = 2 s, tC = 4 s e tD = 6 s? ⎡a. 3 m; s = − 1 t 2 + t + 3; b. 0,5 m/s e − 1,5 m/s; c.1 m/s, 0 m/s, −1 m/s, −2 m/s⎤ 4 ⎣⎢ ⎦⎥ 278

Fisica

279 Telecomunicazioni I segnali che incidono sulla superficie di un’antenna parabolica (cioè di un’antenna la cui superficie è ottenuta dalla rotazione di un arco di parabola intorno al suo asse, Fig. a) si riflettono nel fuoco della parabola, dove è posto il ricevitore. y

B diametro F

x

O

A

Figura a

Figura b

dità

profon

Fai riferimento alla sezione dell’antenna rappresentata in Fig. b e supponi che il ricevitore (posto in F) sia a 36 cm dal vertice (in O). Assunto il sistema di riferimento indicato, avente origine O nel vertice della superficie parabolica, determina:  a. l’equazione della parabola cui appartiene l’arco A B, che nella rotazione intorno all’asse x genera la superficie dell’antenna; ⎡a. x = 1 y 2 ; b. 60 cm⎤ b. il diametro dell’antenna, sapendo che la sua profondità è 6,25 cm.

144 ⎣⎢ ⎦⎥ 255

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

4. Problemi di ottimizzazione

Teoria p. 232

Problemi dalla realtà 280 Si vuole costruire un recinto, di forma rettangolare, con un filo lungo 320 m. Qual è la massima area che si può recintare?

[6400 m2] 281 Si hanno a disposizione 100 m di rete, con cui si vuole delimitare un recinto di forma rettangolare. Un lato del

recinto sarà in corrispondenza di un muro, per cui non sarà delimitato dalla rete. Come deve essere realizzato il recinto, in modo che abbia la massima area possibile?

[Il lato parallelo al muro deve essere lungo 25 m] 282

ESERCIZIO GUIDATO

Gli amministratori di una compagnia aerea ipotizzano che fissando il prezzo del biglietto di un volo (per persona) a 200 euro tutti i 150 posti disponibili saranno venduti, e che ogni aumento di 10 euro del prezzo comporterà un biglietto venduto in meno. Stando al modello assunto dagli amministratori, qual è il prezzo del biglietto che assicura il massimo ricavo? Quantifica tale ricavo.

• Indicando con x il numero di aumenti di 10 euro del prezzo del biglietto, puoi esprimere così il prezzo del biglietto P(x) e il numero di biglietti venduti N(x) (sono entrambe funzioni lineari di x): P(x) =

+ 10x

N(x) =

−x

• La funzione R(x) che esprime il ricavo totale è data dal prodotto delle due precedenti: R(x) = P(x)N(x) = − 10x2 + 1300x + • La funzione R(x), di secondo grado, è rappresentata da una parabola con la concavità verso il basso. Tracciala e stabilisci, in particolare, le coordinate del suo vertice: V(65, ) • Ora puoi concludere: il massimo ricavo possibile ammonta a glietto a euro.

euro ed è ottenuto fissando il prezzo del bi-

283 Sulla base di precedenti analoghe esperienze, gli organizzatori di un corso di teatro si aspettano che fissando il prezzo del corso a 200 euro si iscriveranno 20 persone, e che ogni diminuzione (aumento) di 10 euro del prezzo comporterà 2 iscritti in più (in meno). Stabilisci, per conto degli organizzatori: il prezzo ottimale del corso, cioè quello che assicura loro il massimo ricavo possibile; il ricavo previsto in corrispondenza di tale prezzo ottimale.

[Prezzo ottimale = 150 euro; ricavo massimo = 4500 euro] 284 Si deve decidere a quale prezzo affittare 20 appartamenti. In base alle esperienze precedenti, ci si aspetta che, al prezzo di 300 euro al mese, tutti gli appartamenti verranno affittati mentre, per ogni aumento di 25 euro al mese, un appartamento resterà sfitto. A quale prezzo conviene affittare gli appartamenti per ottenere il massimo ricavo?

[400 euro al mese]

La formula P = −ri2 + Ei esprime la potenza utile P fornita da una batteria di tensione E, di resistenza interna r, che eroga una corrente di intensità i. Un certo modello di batteria per automobili ha una tensione di 12,5 V e una resistenza interna di 3,2 Ω. A quale intensità di corrente corrisponde la potenza utile massima? Qual è il valore della potenza utile massima di questa batteria?

[1,95 A; 12,21 W] 285

Elettronica

286 Una finestra è costituita da un rettangolo, sormontato da un semicerchio, di diametro coincidente con un lato del rettangolo. Supponi che il perimetro della finestra sia 24 m.

Determina x in modo che dalla finestra entri la massima luce possibile (ovvero, si deve rendere massima l’area della finestra). Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale.

(Suggerimento: fai attenzione al fatto che il coefficiente del termine di grado massimo della funzione quadratica da massimizzare è irrazionale.) [x  3,36 m]

x

2x

256

UNITÀ 6

4. Problemi di ottimizzazione

Tema B

EDUCAZIONE FINANZIARIA

287 Un’azienda produce montature per occhiali e sta progettando un nuovo modello da immettere sul mercato. Il

prezzo di vendita della nuova montatura deve essere compreso tra i 100 e i 400 euro. Alcuni studi statistici hanno permesso di stimare che il numero N di persone disposte ad acquistare il nuovo modello, in funzione del suo prezzo p (in euro), è espresso dalla funzione N(p) = −20p + 10 000 con 100 ≤ p ≤ 400. È noto inoltre che la produzione del nuovo modello comporta un costo fisso di 15 000 euro cui va aggiunto un costo di 100 euro per ogni montatura prodotta. a. Determina le espressioni analitiche delle tre funzioni R(p), C(p), U(p), che esprimono rispettivamente il ricavo, il costo totale e il profitto atteso dalla vendita del nuovo modello di montatura, in funzione del prezzo p unitario che viene fissato. b. Determina il prezzo di vendita cui corrisponde il massimo ricavo. In corrispondenza di tale prezzo qual è il profitto? c. Determina il prezzo di vendita cui corrisponde il massimo profitto. In corrispondenza di tale prezzo qual è il ricavo? [a. R(p) = −20p2 + 10 000p, C(p) = 1000 (1015 − 2p), U(p) = −20 (p2 − 600p + 50 750); b. 250 euro, profitto = 735 000 euro; c. 300 euro, ricavo = 1 200 000 euro 288 Il proprietario di un negozio di abbigliamento ha notato che vendendo un certo modello di pantaloni al prezzo di 80 euro, ne riesce a vendere 30 al mese, mentre abbassando il prezzo a 60 euro, riesce a venderne 40. Assumendo che il numero di pantaloni venduti dipenda in modo lineare dal prezzo di vendita, determina qual è il prezzo che consente al proprietario del negozio di ottenere il massimo ricavo.

[70 euro]

Problemi geometrici 289 Il lato del quadrato ABCD mostrato in figura mi-

sura 6 e QC = 2PB. Determina PB = x, in modo che l’area del triangolo APQ sia minima.

Q

D

2x

C

291 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, risulta

AC = 10 cm e AB = 12 cm. Traccia una corda DE del triangolo, parallela ad AB. Determina DE, in modo che l’area del triangolo DEH sia massima.

C

D

E

P x A

⎡x = 3 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

B

290 I lati di un rettangolo ABCD sono lunghi 12 cm e 8 cm. Facendo riferimento alla figura, determina qual è il minimo valore dell’area del parallelogramma PQRS. D S

R x

x

A

292 La misura del perimetro dell’esagono ABCDEF è

24 e la misura dei lati dei triangoli equilateri ABF e CDE è x.

F E x

C

x x

A

x

x

x

x P

C

Per quale valore di x l’area dell’esagono è massima?

Q B

D x

B

A

[DE = 6 cm]

B

H

⎡x = 12 ! 5,29⎤ 4− 3 ⎣⎢ ⎦⎥

[46 cm2]

293 Un filo lungo 20 cm viene tagliato in due parti. Con i due pezzi ottenuti si formano due quadrati. a. In quale punto bisogna tagliare il filo perché la somma delle aree dei quadrati sia minima? b. Spiega perché il problema di rendere massima la somma delle aree dei due quadrati è mal posto. [a. Nel punto medio]

?

20 cm

Q

Q'

257

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

294 Sia γ una circonferenza il cui raggio misura 5. Internamente a γ, costruisci:

a. una circonferenza γ ′, concentrica a γ; b. una circonferenza γ ″, tangente a γ e γ ′.

Determina il raggio di γ ′ in modo che la somma delle aree dei due cerchi limitati da γ ′ e γ ″ sia minima.

[La misura del raggio di γ ′ deve essere 1] 295 E se? Un rettangolo ABCD viene fatto ruotare di un giro completo intorno a uno dei suoi C lati. Qual è la massima la superficie laterale del cilindro che si ottiene da tale rotazione, se il rettangolo ha il perimetro di 60 cm?

D } Il rettangolo che genera il cilindro con superficie laterale massima è anche quello che genera B il cilindro di superficie totale massima?

[450π cm2; no] A

296 Un triangolo acutangolo ABC, isoscele sulla base AB, è inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Quanto può valere, al massimo, la somma delle misure delle aree dei quadrati costruiti sui lati di ABC? Indica con x la distanza di AB dal centro della circonferenza. ⎡La somma massima vale 9 e viene raggiunta quando x = 1 ⎤ 2 ⎦⎥ ⎣⎢  297 In un triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa AB misura 4 e ABC = 30°. Indica con M il punto medio di BC e con N il punto medio di AB; preso un punto P sul lato AC, tale che AP = x, determina per quale valore di x è minima la somma dei quadrati delle misure dei lati del triangolo PMN. Poni y = PM 2 + PN 2 + MN 2. ⎡ y = 2x 2 − 6x + 12, con 0 ≤ x ≤ 2. Il minimo si ottiene per x = 3 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 298 Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC che misurano, rispettivamente, 3 e 4. Considerati i punti E, F e G, rispettivamente su AB, AC e BC, in modo che BE = AF = CG, determina la misura di BE in modo che sia minima l’area del triangolo EFG. Indica con x la misura di BE e con y l’area del triangolo EFG. ⎡ y = 6 x 2 − 47 x + 6. Il minimo si ottiene quando x = 47 ! 1,96⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ 5 10 24

Problemi di geometria analitica 299

ESERCIZIO GUIDATO

Considera il punto P(1, 0) e la parabola di equazione x = y2. Determina le coordinate dei punti della parabola che hanno minima distanza da P. • Per evidenti ragioni di simmetria, puoi limitare l’analisi ai soli punti della parabola al di sopra dell’asse x, cioè ai punti aventi coordinate generiche (x, x ).

Osserva infatti che dall’equazione x = y 2, se y ≥ 0, si ricava y = x .

• Verifica che la funzione che esprime la distanza tra P e Q ha equazione: y = x2 − x + 1 [*] • Osserva che, poiché la funzione radice quadrata è crescente, il valore di x che rende minima la funzione [*] corrisponde a quello che rende minima la funzione y = x2 − x + 1. Ricava il valore di x cui corrisponde il minimo della funzione di secondo grado e deduci quali sono i due punti della parabola (simmetrici rispetto all’asse x) che hanno minima distanza da P. ⎡⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎢⎜⎝ 2 , ± 2 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

y 3 Q

2 1 O

P 1

2

3

4

5 x

–1 –2 –3

300 Determina il punto P, sull’asse y, in corrispondenza del quale è minima la somma dei quadrati delle distanze di P da A(−4, 0) e B(2, 1).

1 ⎤ ⎡ ⎢⎣P 0, 2 ⎥⎦  301 Siano A e B i punti di intersezione della parabola di equazione y = x2 − 3x con l’asse x. Determina, sull’arco A B, il punto P in corrispondenza del quale è massima la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani.

[P(2, −2)]  302 Siano A e B i punti di intersezione della parabola di equazione y = −x2 − 2x con l’asse x. Determina, sull’arco A B, 3 3 ⎤ il punto P in corrispondenza del quale è massima la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani. ⎡ ⎢⎣P − 2 , 4 ⎥⎦

( )

(

258

)

UNITÀ 6

4. Problemi di ottimizzazione 303 Considera il segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = x2 − 2x

y

e dalla retta di equazione y = x + 4. Tra tutte le corde PQ che appartengono a tale seg mento parabolico e che hanno l’estremo P sul segmento AB e l’estremo Q sull’arco A B di parabola, determina gli estremi di quella di lunghezza massima, precisando tale lunghezza massima.

3 3 25 ⎤ ⎡ 3 11 ⎢⎣P 2 , 2 ; Q 2 , − 4 , PQ = 4 ⎥⎦

( ) (

B y=x +4 P

)

y = x – 2x

A

O

304 Metodi a confronto. Calcola la distanza del punto P(−1, −1) dalla retta r di equazione y = 2x + 3 in tre modi: a. applicando la formula della distanza di un punto da una retta; b. calcolando la distanza di P da H, essendo H la proiezione di P su r; c. considerando un generico punto Q di ascissa x sulla retta r, determinando la funzione che esprime la distanza tra P e Q e calcolando infine il valore minimo di tale funzione. ⎡2 5⎤ ⎣⎢ 5 ⎦⎥

x

Q y 3

y = 2x + 3

2 1

–3

305 Scrivi l’equazione della parabola passante per A(−1, 0) e B(0, 2), tangente in B

 alla retta di equazione y = 3x + 2. Sull’arco A B di parabola determina il punto P in modo che l’area del triangolo APB sia massima.

1 3 ⎤ ⎡ y = x 2 + 3x + 2; P − , ⎥ 2 4 ⎦ ⎣⎢

(

Tema B

–2

–1

H

P

Q(x, 2x +3)

)

O

1 x

–1 –2 –3

306 Determina i vertici del rettangolo di perimetro massimo (avente i lati paralleli agli assi cartesiani) inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = x2 − 4x e dall’asse x. [(1, 0), (1, −3), (3, −3), (3, 0)] 307 Nella figura sono rappresentate due rette r ed s, che intersecano gli assi cartesiani nei tre punti A, B e C. Considera due punti P e Q, aventi la stessa ordinata e appartenenti rispettivamente ai segmenti AC e BC; indica rispettivamente con P′ e Q′ le proiezioni di P e Q sull’asse x. Determina le coordinate di P e di Q in modo che l’area del rettangolo PP′Q′Q sia massima e specifica il valore di tale area massima.

3 3 3 27 ⎤ ⎡ ⎢⎣P − 2 , 2 ; Q 3, 2 , area = 4 ⎥⎦

(

) ( )

y

s

3

C

P'

O

P A –3

r Q x

B 6

Q'

308 Considera la parabola che ha la seguente equazione, dove a è un parametro reale:

y = x2 − 2(a + 1)x + 8a

[*]

a. Verifica che esiste un punto per cui passano tutte le parabole di equazione [*], indipendentemente dal valore che assume a. Specifica le coordinate di tale punto. b. Determina per quale valore di a il vertice della [*] ha ordinata massima. [a. (4, 8); b. a = 3] 309 Scrivi l’equazione della parabola avente vertice in V(2, 4), passante per l’origine O del sistema di riferimento.

a. Determina il punto A (diverso da O) in cui la parabola incontra la bisettrice del primo e del terzo quadrante. b. Determina l’equazione della retta t, tangente alla parabola e parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.  c. Considera sull’arco O A un punto P e indica con H e K rispettivamente le proiezioni di P sull’asse x e sulla retta t.

Determina le coordinate del punto P per cui è minima la somma PH + 4 2 PK. ⎡ y = −x 2 + 4x ; a. A(3, 3); b. y = x + 9 ; c. la somma è minima quando P ha coordinate 4 , 32 ⎤ ⎢⎣ 4 3 9 ⎥⎦

(

)

310 Considera la parabola di equazione x = y 2 − 4 e indica con A il suo punto di intersezione con l’asse x e con B il suo

 punto di intersezione con il semiasse delle ordinate negative. Considera sull’arco A B un punto P e indica con H e K rispettivamente le proiezioni di P sull’asse x e sulla retta tangente alla parabola in B. Determina le coordinate del punto P per cui è minima la somma PH + 17 PK e il valore minimo di tale somma 7 3 7⎤ ⎡ ⎢⎣P − 4 , − 2 ; valore minimo della somma = 4 ⎥⎦

(

)

259

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

Esercizi di riepilogo Esercizi interattivi Test 311 Quale equazione non è rappresentata da nessuna

delle parabole in figura?

y

O

x

312 Se la parabola di equazione y = ax2 + bx + c pas-

sa per l’origine e per il punto A(5, 0) e ha la concavità rivolta verso il basso, allora possiamo affermare che (Δ = b2 − 4ac): A a > 0, c < 0, Δ > 0 B a < 0, c = 0, Δ > 0 C a < 0, c = 0, Δ < 0 D a < 0, c > 0, Δ = 0 313 Qual è l’area del triangolo che ha come vertici i

A y = 2x2 + 3x

B y = −2x

2

3 punti in cui la parabola di equazione y = x 2 + x − 10 2 interseca gli assi cartesiani?

B 32,5 A 32 C 33 D 33,5

C y = −2x2 + 3x

D y = 2x2 − 3x

− 3x

314 Quale delle seguenti equazioni rappresenta una parabola che non interseca l’asse x in alcun punto?

A y = x2 − 3x − 4

B y = x2 − 3x + 5

C y = x2 + 3x − 4

D y = x2 − 3x − 5

315 Quale delle seguenti equazioni rappresenta una parabola il cui vertice appartiene al secondo quadrante?

A y = x2 − 3x + 1

B y = x2 + 3x + 1

C y = −x2 + 3x − 1

D y = −x2 − 3x − 1

316 Dati la parabola di equazione y = 2x2 − 3x + 1, la retta di equazione y = 2x − 1 e i punti A

quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A La parabola incontra l’asse x in due punti distinti.

B La parabola e la retta hanno in comune almeno uno dei punti B e C. C Il punto A giace sia sulla parabola sia sulla retta sia sull’asse x.

D La retta è tangente alla parabola nel punto A.

( 12 , 0), B(2, 3) e C ( 12 , 13 ),

317 Per quale valore di a la retta di equazione y = 2x + a è tangente alla parabola di equazione y = −2x2 + 4x + 1?

A a=

2 3

B a=

3 2

C a=−

2 3

D La retta non è mai tangente alla parabola

318 La parabola con asse verticale avente vertice nel punto V(−2, 3) e che passa per (−1, 0), interseca l’asse y nel punto di coordinate: C (0, −9) A (0, −7) B (0, −8) D in nessuno degli altri punti 319 La parabola di equazione y = 4x2 + 2kx + 1:

A Non è mai tangente alla retta di equazione y = 2x

320 L’equazione y = ax2 − 3x + 1 rappresenta parabole: A che hanno tutte lo stesso asse di simmetria

B È tangente all’asse x per k = 0

B che hanno tutte lo stesso vertice

k < −2 ∨ k > 2 D È simmetrica rispetto all’asse y per k = 1

D che intersecano l’asse x negli stessi punti

C Incontra l’asse x in due punti distinti se e solo se

321 Vero o falso?

C che intersecano l’asse y nello stesso punto

a. l’ascissa del vertice della parabola di equazione y = ax2 + 2ax + 1 (con a ≠ 0) non dipende dal valore di a; V F l’ordinata invece sì V F b. non esiste alcun valore di k per cui l’equazione kx2 − y2 + (2k − 1)x + 5 = 0 rappresenta una parabola c. se una parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il vertice di ordinata positiva, allora il discriminante V F della sua equazione è necessariamente negativo V F d. le parabole di equazioni y = x2 − x e y = 2x2 − x sono tra loro tangenti nell’origine e. esiste un solo valore di k per cui le due parabole di equazioni y = (k + 1)x2 − 2kx + 1 e y = (2k − 3)x2 + kx V F hanno lo stesso asse di simmetria [3 affermazioni vere e 2 false]

260

UNITÀ 6

Esercizi di riepilogo

Tema B

Problemi Interpretare grafici

322 Le due parabole γ e γ ′ in figura hanno equazioni

323 Le due parabole γ e γ ′ in figura hanno equazioni

1 7 x + . Associa a ciascuna 4 2 parabola la sua equazione, quindi determina l’area del pentagono concavo ABCDE rappresentato.

15 y = 2x + x − 3 e y = −x + x + . Associa a ciascuna 4 parabola la sua equazione, quindi determina l’area del quadrilatero convesso ABCD rappresentato.

2

y = x 2 − x − 6 e y = −x 2 −

2

y

y A

A

γ' B

B

D

O

C

O

γ

D E

x

x

γ

γ'

⎡ 27 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

C

[20]

Determina le equazioni delle parabole rappresentate che hanno i seguenti grafici. Il punto F rappresenta il fuoco e la retta d la direttrice.

324

325

y

326

y

y d: y = 2 2 3 1 O

P

–4

3

O

V 1 2

x

[y = 2x2 − 4x + 3]

O

2

x

[x = 3y − y2]

F

x

–3

1 2 _ 4 21 _ _ [y = − 10 x − 5 x − 10 ]

327 Determina l’equazione della parabola con asse verticale che interseca l’asse y in (0, 2) e la parabola di equazione y = x2 − 3x nei suoi punti di ascisse x = −1 e x = 1. [y = −x2 − 3x + 2] 328 Determina l’area del triangolo avente per vertici i punti in cui la parabola di equazione y = x 2 − 10 x + 21 inter-

seca gli assi.

[42]

329 Determina il valore di a in modo che la parabola di equazione y = a − x 2 abbia il vertice nel punto (0, 4). Calcola

il perimetro e l’area del triangolo avente per vertici i punti di intersezione della parabola con l’asse x e il vertice della ⎡⎣a = 4, perimetro = 4 (1 + 5 ) , area = 8⎤⎦ parabola.

330 Verifica che le rette di equazione y = 4 x + 6 e y = −4 x + 6 sono entrambe tangenti alla parabola di equazione

y = − x 2 + 2 e che esse si intersecano in un punto P che appartiene all’asse di simmetria della parabola stessa. Calcola l’area del triangolo che ha come vertici il punto P e i due punti di contatto delle tangenti con la parabola.

[16]

331 Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per A(1, 0), B(4, 0) e C(0, 4). Determina poi l’equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta di equazione y = − 2x. ⎡ y = x 2 − 5x + 4; y = −2x + 7 ⎤ 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 332 Traccia il grafico della parabola di equazione y = x − x − 6 e determina le coordinate dei punti di intersezione A e B con l’asse x (xA < xB). Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola in A e B, indicando con C il loro punto d’intersezione. Determina l’area del triangolo ABC. ⎡ 125 ⎤ ⎣⎢ 4 ⎦⎥

261

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

( 43 ) e come direttrice la retta di equazione y = − 54 . Indica

333 Scrivi l’equazione della parabola che ha fuoco in F 2, −

con A e B (xA < xB) i punti di intersezione della parabola con la retta di equazione y = 2x + 1. Determina l’area del tra[14 7 ] pezio AA′B′B, essendo A′ e B′ le proiezioni di A e B sull’asse x.

334 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice nel punto V(2, 4) e passa per l’origine.

Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per P(3, 7) e indica con A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola. Calcola l’area del triangolo APB. 2 ⎣⎡ y = −x + 4x ; y = 2x + 1, y = 25 − 6x ; A(1, 3), B(5, −5); Area = 16⎤⎦ 335 Traccia il grafico della parabola di equazione y = x2 − 2x + 1. Indica con A e B (xA < xB) i punti in cui la retta di

 equazione y = x + 1 interseca la parabola e determina il punto P dell’arco A B di parabola in corrispondenza del quale 3 1 ⎤ è massima l’area del triangolo APB. ⎡ A(0,1), B(3, 4); P , ⎥ 2 4 ⎦ ⎣⎢

( )

336 Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, con vertice in V(2, −1) e passante per il vertice della parabola di equazione y = −2x2 + 12x − 14. [y = 5x2 − 20x + 19] Interpretare grafici

337 Considera la parabola rappresentata in figura e determina l’area del quadrilatero ABCD, essendo A, B, D i punti di intersezione della parabola con gli assi cartesiani e C il vertice y della parabola. [15] C

D

A –2

4

B

O

4

x

338 Le due paray bole in figura sono simmetriche rispetto alla retta di equazione y = 2 e la paray=2 bola colorata in blu 2 è tangente all’asse x.

Determina le equax O 2 zioni delle due parabole.

1 2 1 2 ⎡ ⎤ ⎢⎣ y = 2 x − 2x + 2, y = − 2 x + 2x + 2⎥⎦

339 Determina la misura della corda AB, individuata sulla parabola rappresentata in figura dalla retta colorata in rosso. ⎡ 8 13 ⎤ ⎢⎣ 9 ⎥⎦ 340 Determina la tangente comune r alle parabole di equazioni y = x2, y = x2 + 6x + 3.

Indicati con A e B (xA < xB) i punti di tangenza di r con le parabole e con C il punto di intersezione delle parabole stesse, calcola l’area del triangolo ABC. 1 1 27 ⎤ ⎡ ⎢⎣ y = 2x − 1, A(−2,−5), B(1,1), C − 2 , 4 ; area = 8 ⎥⎦

(

)

y V

1 O –2

2

B 3

x

A

341 Scrivi l’equazione della parabola avente vertice in V(2, −3), asse parallelo all’asse y, passante per il punto P(3, −1).

Determina i vertici del rettangolo di perimetro 7 inscritto nella regione finita di piano delimitata dalla parabola e dall’asse x.

3 5 5 5 3 5 ⎤ ⎡ y = 2x 2 − 8x + 5; ,− , ,− , , 0 , , 0 ⎥ 2 2 2 2 2 2 ⎦ ⎣⎢ 1 2 342 Considera la parabola γ di equazione y = x . Siano r ed s le rette tangenti a γ condotte dal punto P(0, −8) e t la 2 retta tangente a γ nel suo punto Q di ascissa 2. Determina l’ortocentro del triangolo individuato dalle rette r, s, t e verifica che appartiene alla direttrice di γ.

1 ⎤ ⎡ ⎢r: y = 4x − 8, s: y = −4x − 8, t: y = 2x − 2; ortocentro: −15, − 2 ⎦⎥ ⎣ 343 Risolvi i seguenti quesiti. a. Scrivi l’equazione della parabola γ1 con asse parallelo all’asse y passante per A(−1, 6) e tangente alla retta r: y = 2x nel punto di r di ascissa 1. b. Scrivi l’equazione della parabola γ2 con asse parallelo all’asse y congruente a γ1 e avente concavità opposta a γ1, 1 1 sapendo che il suo vertice è il punto V − , .

2 2 c. Verifica che γ1 e γ2 sono simmetriche rispetto al punto medio M del segmento che congiunge i vertici di γ1 e γ2. [a. γ 1 : y = 2x 2 − 2x + 2; b. γ 2 : y = −2x 2 − 2x]

(

)(

)( )( ) (

(

262

)

)

Esercizi di riepilogo

UNITÀ 6

Tema B

Problemi con parametri 344 Data la parabola di equazione

346 Data la parabola di equazione y = x2 − 2x + k + 2,

y = (m − 3)x2 − 2mx + m + 4 determina per quali valori di m: a. ha la concavità rivolta verso il basso; b. ha l’asse coincidente con l’asse y; c. passa per l’origine. [a. m < 3; b. m = 0; c. m = −4]

determina per quali valori di k: a. non ha punti in comune con l’asse x; b. interseca l’asse y nel punto di ordinata 5; c. ha il vertice di ordinata 3. [a. k > −1; b. k = 3; c. k = 2]

345 Data la parabola di equazione

347 Data la parabola di equazione y = ax2 + a − 4, de-

2

y = (a + 2)x − 2ax + a + 1 determina per quali valori di a: a. ha la concavità rivolta verso l’alto; b. è tangente all’asse x; c. ha come asse la retta di equazione x = 2. ⎡a. a > −2; b. a = − 2 ; c. a = −4⎤ 3 ⎣⎢ ⎦⎥

termina per quali valori di a: a. interseca l’asse x in due punti distinti; b. interseca la retta di equazione x = 2 nello stesso punto della retta di equazione y = 5x − 4; c. la distanza tra il fuoco e la direttrice è 3. ⎡a. 0 < a < 4; b. a = 2; c. a = ± 1 ⎤ 6 ⎦⎥ ⎣⎢

348 Per quali valori reali del parametro a l’asse della parabola di equazione y = (a − 3) x2 + 2(a − 1) x + a appartiene

[a < 1 ∨ a > 3]

al secondo o al terzo quadrante?

349 Determina per quali valori di k la parabola di equazione y = (k − 2) x2 − 2kx − 1 ha concavità rivolta verso il

[k < − 2 ∨ 1 < k < 2]

basso e interseca l’asse x in due punti distinti.

1 2 1 x + x − 6. Calcola le coordinate dei suoi punti di intersezione A, B 2 2 con l’asse x e del suo punto di intersezione C con l’asse y, e rappresentala graficamente. Determina quindi per quali valori di k la parabola di equazione y = kx2 − 9k interseca gli assi cartesiani in tre punti che individuano un triangolo equiesteso ad ABC. ⎡A(−4, 0), B(3, 0), C(0, −6); k = ± 7 ⎤ 9 ⎦⎥ ⎣⎢ 350 Considera la parabola di equazione y =

351 Considera la parabola di equazione y = x2 − k2, con k > 0. Determina k in modo che l’area del segmento parabo-

lico limitato dalla parabola e dall’asse x sia 36. Determina poi i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico [k = 3; (1, − 8), (1, 0), (−1, − 8), (−1, 0)] di perimetro massimo.

352 Determina per quali valori di k l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = −x2 + kx

e dall’asse x è il doppio dell’area del segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = 2x2 − 4x e [k = ±2 3 4 ] dall’asse x.

x2 − 3x + k individua per quale valore di k la retta di equazione 2y = x + 2 stac2 5 5 . Condotte in A e B le tangenti alla parabola trovata e indicato con C il ca sulla parabola una corda AB di misura 2 loro punto di intersezione, calcola l’area del triangolo ABC. 3 7 7 7 125 ⎤ ⎡ k = 4; A 1, , B(6, 4); y = −2x + , y = 3x − 14; C ,− ; Area = 2 2 2 2 8 ⎦⎥ ⎣⎢ 353 Tra le parabole di equazione y =

( )

(

)

354 Sia P(x0, y0) un punto qualsiasi appartenente alla parabola di equazione y = x2, purché distinto dal vertice. Veri-

fica che la normale alla parabola per P non passa per il fuoco (ricordiamo che la normale in P a una curva è la retta perpendicolare alla retta tangente alla curva in P). La proprietà verificata continua a essere valida per una generica parabola di equazione y = ax2?

355 Considera la funzione f definita da y = | x2 – 3x |.

a. Traccia il grafico della funzione. b. Discuti graficamente, al variare di k, l’equazione | x2 – 3x | = k. Per quali valori di k il numero delle soluzioni dell’equazione è massimo? c. Scrivi l’equazione della retta t, tangente al grafico della funzione f nel suo punto di ascissa 2.

⎡b. Se k < 0, nessuna soluzione; se k = 0, due soluzioni; se 0 < k ≤ 9 , quattro soluzioni 4 ⎣⎢ 9 9 ⎤ di cui due coincidenti per k = ; se k > , due soluzioni; c. y = 4 – x⎥ 4 4 ⎦

(

)

263

Tema B

UNITÀ 6

Parabole e problemi di ottimizzazione

Realtà e modelli

356 Costruzioni In figura è rappresentato un ponte ad arco parabolico.

Utilizzando i dati in figura, determina: a. qual è la larghezza dell’arco a una altezza di 6 m dal suolo; b. qual è l’area, in metri quadrati, della superficie ABCDEF colorata in azzurro. [a. Circa 42,43 m; b. 416 m2]

E

D ?

F

In figura è rappresentata la superficie riflettente del faro di un’automobile, che ha sezione parabolica. Si vuole porre una lampadina lungo l’asse di simmetria della superficie riflettente in modo che i raggi di luce vengano riflessi in direzione parallela all’asse di simmetria. Determina a quale distanza dal vertice va posta la lampadina.

[0,5 cm] Tecnologia

6m

A 2m

357 Telecomunicazioni Consideriamo un satellite artificiale, in orbita circolare a una altezza h sopra la superficie della Terra; il raggio della sua orbita è quindi RT + h, essendo RT il raggio della Terra.

Sia v la velocità che ha il satellite nella sua orbita circolare; se il satellite raggiunge nel punto P la velocità v 2 , esso acquisisce la minima velocità necessaria per sfuggire dal campo gravitazionale terrestre e di qui in poi segue una traiettoria parabolica avente fuoco nel centro della Terra. Trova l’equazione di tale traiettoria parabolica, rispetto al sistema di riferimento in figura.

1 ⎡y = − x 2 + RT + h⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ 4(RT + h) 358

12 m

2m

C

B 60 m

2m y

orbita circolare

P

traiettoria parabolica

R +h O

x

R h

vertice

12 cm asse di simmetria

superficie riflettente 18 cm

359 Costruzioni Un ingegnere sta progettando un cay valcavia. Il primo tratto del cavalcavia prevede un raccordo parabolico tra una strada orizzontale e una strada in salita con una pendenza del 5%. Rispetto al sistema di riferimento tratto %  parabolico nza = 5 in figura, il raccordo è rappresentato dall’arco O A. pende A tratto a. Determina l’equazione della parabola cui appartiene orizzontale ? l’arco che rappresenta il raccordo, osservando che il verx O tice della parabola coincide con l’origine O e che la sua 250 m tangente in A deve avere pendenza uguale al 5%. b. L’ingegnere deve calcolare a quale altezza dal suolo si deve trovare il punto A in cui termina il raccordo parabolico e inizia la strada in salita. Sai fare altrettanto? ⎡ ⎤ 1 2 ⎢a. y = 10 000 x ; b. 6,25 m⎥ ⎣ ⎦

264

y no

rm

raggio luminoso

ale

α

y=x

β

P

gen t

O

e

F

tan

360 Storia Una leggenda narra che Archimede, per proteggere la città di Siracusa dall’assedio dei romani, fece installare in prossimità del porto grandi specchi parabolici. I raggi luminosi, grazie allo specchio parabolico, vengono concentrati nel fuoco, producendo un aumento di temperatura tale da riuscire a incendiare un oggetto (nel caso in esame la nave, che deve trovarsi nella posizione del fuoco). Il principio alla base di questa leggenda è la proprietà della parabola in base a cui un raggio luminoso che incide la parabola in P, provenendo da una direzione parallela all’asse della parabola stessa, viene riflesso lungo la semiretta PF, dove F è il fuoco della parabola. Giustifica questa proprietà nel caso particolare della parabola di equazione y = x2: a. considera un punto P della parabola di ascissa xP e, indicato con Q il punto in cui la tangente alla parabola in interseca l’asse y, dimostra che PF = FQ; b. deduci che α = β e spiega perché da ciò segue la proprietà di riflessione di un raggio luminoso poc’anzi enunciata.

Q

x

UNITÀ 6

Prova di autoverifica

Tema B

Prova di autoverifica Parabole e problemi di ottimizzazione 1

Le tre parabole hanno equazione del tipo y = ax 2 + bx + c. Individua, per ognuna, i segni dei coefficienti a, b e c. y

y

V

y

x

O

x O

V

a.

V

b.

x

O c.

1 2 x − 2, dopo averne determinato vertice, fuoco, direttrice, 2 asse di simmetria e punti di intersezione con gli assi cartesiani. b. Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani.

(Suggerimento: per determinare i coefficienti angolari delle due tangenti conviene applicare la formula «veloce».)

2

a. Traccia il grafico della parabola di equazione y =

3

Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parola di equazione y = −x2 + 3x, condotte dal punto P(0, 4).

4

Considera i punti A(0, 4), B(−1, 0) e C(2, 6). Scrivi l’equazione della parabola passante per A, B e C e avente: a. asse di simmetria parallelo all’asse y; b. asse di simmetria parallelo all’asse x.

5

Determina l’equazione della parabola con asse verticale che ha vertice in V(−1, 2) e passa per l’origine.

6 Eugenio intende proporre ai clienti della sua trattoria, oltre al consueto menu alla carta, anche un menu a prezzo fisso. A grandi linee ipotizza che, indicato con x il prezzo in euro del menu fisso, il corrispondente numero di pasti venduti sia 50 − x (si tratta di un’ipotesi semplicistica ma accettabile: all’aumentare del prezzo stabilito da Eugenio, il numero dei clienti interessati al menu diminuisce, come è ovvio attendersi). Eugenio stima inoltre che il costo per la produzione di un singolo pasto sia 10 euro. a. Sia G(x) la funzione che esprime il guadagno totale (in euro) di Eugenio. Ricorda che il guadagno totale è dato dalla differenza tra ricavo e costo totale. Scrivi l’espressione analitica di G(x). b. Per quale valore del prezzo x è massimo il guadagno G(x)? A quanto ammonta il guadagno massimo?

Valutazione Esercizio

1

2

3

4

5

6

Totale

Punteggio massimo

0,5 ⋅ 3 = 1,5

1+1=2

1,5

1+1=2

1,5

1 + 0,5 = 1,5

10

Punteggio ottenuto Tempo indicativo: 1 ora

Risposte p. 747 265