IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Quando l’accelerazione è costante, un moto rettilineo si definisce uniformemente accelerato.

La relazione (1) a = Δv/Δt è valida solo per il moto rettilineo uniformemente accelerato; negli altri casi dobbiamo scrivere a al posto di a.

In questo tipo di moto l’accelerazione media del corpo, calcolata su un intervallo di tempo qualsiasi, è sempre la stessa ed è uguale all’accelerazione istantanea; la indichiamo semplicemente con il simbolo a = aist = am. Per calcolarla possiamo applicare la definizione di accelerazione media in un intervallo di tempo qualsiasi:

Visto che il rapporto al secondo membro è costante, possiamo affermare che: in un moto uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo. L’accelerazione a è la costante di proporzionalità tra le due grandezze.

In English

• Moto rettilineo uniformemente accelerato: linear motion with constant acceleration

• Costante di proporzionalità: constant of proportionality

• Equazione della velocità: velocity equation

• Legge oraria del moto rettilineo uniformemente

Consideriamo ora un intervallo di tempo compreso tra l’istante iniziale t = 0 e un generico istante t: in questo caso abbiamo che Δt = t - 0 = t. Se indichiamo con v0 la velocità iniziale, cioè la velocità che ha il corpo all’istante 0, quando parte il cronometro, e con v la velocità all’istante t, la variazione di velocità è Δv = v - v0. Sostituendo nella (1), otteniamo:

Da qui si ottiene facilmente la relazione che lega la velocità al tempo:

EQUAZIONE DELLA VELOCITÀ DEL MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO velocità al tempo t istante di tempo accelerazione (costante) v = v0 + at (2) velocità iniziale (all’istante t = 0)

Comprendi la legge

• La relazione scritta consente di conoscere la velocità del corpo in un qualunque istante di tempo t per l’intero tratto in cui il corpo stesso si muove di moto uniformemente accelerato.

• Tra la velocità e il tempo c’è una relazione lineare; se la velocità iniziale è v0 = 0, la relazione diventa una proporzionalità diretta: v = at fi a = v t .

Il grafico velocità-tempo

1. Il grafico della velocità in relazione al tempo è quindi una retta

2. L’intersezione con l’asse delle ordinate indica la velocità iniziale v0. Se nell’istante iniziale il corpo si muove nello stesso verso dell’asse allora v0 è positiva (v0 > 0), se si muove in verso opposto v0 < 0. Se parte da fermo e v0 = 0 la retta passa per l’origine.

3. Il coefficiente angolare (cioè la pendenza) della retta rappresenta l’accelerazione a.

La legge oraria del moto uniformemente accelerato

Nella lezione precedente abbiamo visto che in un grafico velocità-tempo lo spostamento è uguale all’area delimitata dalla curva che descrive l’andamento della velocità. Se sul grafico del moto uniformemente accelerato consideriamo un intervallo di tempo tra l’istante iniziale (t = 0) e un generico istante t, lo spostamento è dato dall’area totale (quadretti arancioni e quadretti rossi) evidenziata in Figura 1:

∆s = s - s0 = v0t + 1 2 at 2

Da questa relazione possiamo ricavare la posizione s in cui si trova il corpo all’istante t.

LEGGE ORARIA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO posizione iniziale (all’istante t = 0) istante di tempo s = s0 + v0t + 1 2 at2 posizione all’istante t accelerazione (costante) velocità iniziale

Comprendi la legge

• Il termine v0t (area arancione del rettangolo) rappresenta lo spostamento Δs che avrebbe compiuto il corpo se si fosse mosso con velocità costante v0, seguendo quindi un moto rettilineo uniforme.

• Il termine 1 2 at 2 (area rossa del triangolo) rappresenta lo spostamento Δs compiuto se il corpo si fosse mosso con accelerazione a partendo da fermo.

Il grafico posizione-tempo

Se rappresentiamo il grafico posizione-tempo per un moto uniformemente accelerato otteniamo un arco di parabola

1. La concavità è rivolta verso l’alto se l’accelerazione è positiva.

2. La concavità è rivolta verso il basso se l’accelerazione è negativa.

Quando è presente, il vertice della parabola corrisponde al punto di inversione del moto, quando la velocità cambia segno ed è istantaneamente nulla. L’intersezione con l’asse delle ordinate rappresenta la posizione iniziale s0.

Applica la legge

Supponi che in un parco acquatico un ragazzo parta da fermo e scenda da uno scivolo ad acqua con un’accelerazione costante di 1,4 m/s2. Dopo 2,0 s che velocità ha e di quanto si è spostato? Dal momento che la velocità iniziale è nulla, dopo 2,0 s la velocità del ragazzo è: lo spostamento è:

PROVA TU In quale istante il ragazzo ha una velocità di 1,7 m/s? Qual è lo spostamento in quell’istante?

Esercizi Di Lezione

Fissa I Concetti

126 Nel moto rettilineo uniformemente accelerato: a la velocità media non dipende dall’intervallo nel quale la calcoliamo V F b l’accelerazione è costante V F c l’accelerazione è sempre positiva V F d la velocità è sempre direttamente proporzionale al tempo V F e tra la velocità e il tempo c’è una relazione lineare V F

127 La velocità raggiunta dopo un tempo t in un moto accelerato, con accelerazione costante a e velocità iniziale nulla:

A è uguale a 1/2 at2

B rimane nulla

C è direttamente proporzionale al tempo

D è uguale a 2at

E è inversamente proporzionale al tempo (CISIA, 2016/17)

128 Nel grafico in figura è rappresentata la velocità di un punto materiale in moto.

L’accelerazione è:

A costante e positiva

B costante e negativa

C nulla

D variabile nel tempo

Pensa Con La Fisica

129 CHI HA RAGIONE? Un ciclista frena e si ferma per far attraversare i pedoni.

Giada: “Il moto è uniformemente accelerato con accelerazione negativa perché il ciclista rallenta.”

Mattia: “Non sappiamo se l’accelerazione è costante e quindi non siamo certi che il moto sia uniformemente accelerato.”

130 INTERPRETA Il moto rappresentato in figura è di tipo rettilineo uniformemente accelerato. Descrivi le caratteristiche di questo moto specificando la posizione iniziale, se l’accelerazione è positiva o negativa e se la velocità aumenta o diminuisce.

131 TROVA L’ERRORE Uno studente ha disegnato i grafici posizione-tempo e velocità-tempo per un corpo che si muove con un’accelerazione costante a = 1 m/s2, ma ha commesso un errore: puoi indicare quale?

132 INTERPRETA Federica è ferma a un semaforo con la sua automobile che ha una perdita di olio. Quando l’automobile riparte, le gocce di olio, che cadono a ritmo costante, lasciano sull’asfalto la traccia riprodotta in figura. Nell’immagine il semaforo, che non è rappresentato, si trova nella parte destra o sinistra?

4812 t (s)

Risolvi

133 Calcola l’accelerazione di un camion che varia la propria velocità da 14 m/s a 5 m/s in 4,3 s con un’accelerazione costante. [-2,1 m/s ]

134 Un pullman procede a 45 km/h quando comincia ad accelerare con un’accelerazione costante di 1,3 m/s2 Qual è la sua velocità dopo 2,5 s? [57 km/h]

135 Mentre percorre in motorino un viale diritto, Veronica frena per far passare dei pedoni, fermandosi dopo 4,3 s. Se l’accelerazione è stata di -2,85 m/s2, qual era la velocità (in km/h) appena prima della frenata? [44 km/h]

136 Una palla rotola su per un pendio con accelerazione a = -1,7 m/s2. Se la velocità iniziale è di 4,3 m/s, qual è la velocità dopo 2,0 s? In quale istante la pallina si ferma e inverte il moto? [0,9 m/s; 2,5 s]

137 Un ghepardo che parte da fermo raggiunge la velocità di 58 km/h in 2,0 s. Supponi che il moto sia uniformemente accelerato e calcola l’accelerazione. Calcola la velocità in km/h che il ghepardo raggiunge in 3,0 s se mantiene la stessa accelerazione. [87 km/h]

138 A motor cyclist accelerates from 5.0 m/s to 20 m/s at 1.5 m/s2. How long does he take to speed up? [10 s]

139 Il tachimetro di un’auto che viaggia su una strada diritta è stato ripreso con una videocamera. La tabella riporta la velocità rilevata in vari istanti di tempo.

Tempo (s) 02,004,006,008,00

Velocità (m/s) 10,013,0016,0019,0022,00

Disegna sul quaderno o con un Foglio di calcolo il grafico velocità-tempo. Verifica che si tratta di un moto uniformemente accelerato e calcola l’accelerazione. Qual è la velocità dell’auto all’istante t = 2,40 s? In quale istante la sua velocità è di 20,0 m/s? Risolvi il problema algebricamente e graficamente.

[1,50 m/s ; 13,6 m/s; 6,67 s]

140 In figura è rappresentato il grafico velocità-tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato: calcola l’accelerazione. Il corpo sta aumentando o diminuendo la sua velocità? Che cosa succede all’istante t = 5,0 s? [-2,0 m/s ]

141 La figura descrive il moto di un corpo che si muove su una traiettoria rettilinea. Indica in quali intervalli è un moto uniforme e determina la sua velocità. Individua gli intervalli in cui il moto è uniformemente accelerato e calcola l’accelerazione.

142 ESERCIZIO GUIDATO In una competizione un’auto elettrica ha raggiunto i 100 km/h in 1,8 s. Un’auto di Formula 1 alla partenza ha un’accelerazione di 10,0 m/s2. Se le due auto gareggiassero affiancate, quale delle due sarebbe in testa dopo 1,5 s? Con quale distacco? Considera entrambi i moti uniformemente accelerati.

RICONOSCIAMO DATI E INCOGNITE

Fissiamo l’origine del sistema di riferimento alla partenza, orientato nel senso del moto delle due auto. Facciamo partire il cronometro nel momento in cui avviene la partenza.

Auto elettrica

Posizione iniziale: s0e = 0 m

Velocità iniziale: v0e = 0

Istante t2 = 1,8 s

Velocità al tempo t2: ve = 100 km/h = 27,8 m/s

RISOLVIAMO

Auto di Formula 1

Posizione iniziale: s0F1 = 0 m

Velocità iniziale: v0F1 = 0

Accelerazione: aF1 = 10,0 m/s2

Istante t1 = 1,5 s

Distacco nell’istante t1: d = ?

Dalla legge della velocità ricaviamo l’accelerazione dell’auto elettrica:

Dopo 1,5 s è in testa l’auto elettrica perché ha un’accelerazione maggiore dell’auto di Formula 1.

Calcoliamo la posizione delle due auto dopo 1,5 s.

143 PROVA TU

Un’automobile che sta viaggiando a 17 m/s accelera uniformemente per 3,5 s fino alla velocità di 25 m/s. Qual è lo spostamento dell’auto in questo intervallo di tempo? [74 m]

144 A bus travelling on a straigh road at 12 m/s accelerates uniformily to a speed of 21 m/s in 16 s. Calculate the total distance traveled by the bus. [260 m]

145 Un ciclista che viaggia a 38 km/h frena con accelerazione costante di -3,1 m/s2 fino a fermarsi. Calcola il tempo necessario per fermarsi e lo spazio di frenata. [3,4 s; 18 m]

146 I dragster sono veicoli progettati per gare di accelerazione. Partendo da fermo, un dragster percorre 370 m in 4,9 s. Supponi che l’accelerazione sia costante e calcola la velocità finale espressa in km/h. [540 km/h] t [s] 0,01,0 2,0 3,04,05,0 v [m/s]

Foglio di calcolo il grafico velocità-tempo e posizione-tempo.

153 Per il moto rappresentato in figura, trova la velocità iniziale e l’accelerazione. Qual è la velocità al tempo t = 7,5 s? Qual è lo spostamento tra l’istante iniziale e l’istante t = 7,5 s? Risolvi il problema algebricamente e graficamente. [1 m/s; 0,2 m/s ; 2,5 m/s; 13 m]

147 Una pallina parte dalla cima di un piano inclinato lungo 51 cm e rotola con un moto uniformemente accelerato descritto dalla legge oraria s = 1 2 at 2 dove a = 2,6 m/s2. Qual è la velocità all’istante iniziale? In che posizione si trova al tempo t = 0,34 s? In quale istante arriva alla base del piano? [0,15 m; 0,63 s]

148 La tabella si riferisce a un moto rettilineo uniformemente accelerato la cui legge oraria è: s = 1 2 at 2 . Calcola l’accelerazione. Completa la tabella e sul quaderno o con un Foglio di calcolo rappresenta in un grafico la posizione in relazione al tempo. [0,4 m/s ] t

01234 s (m) 1,8

149 La legge oraria di un moto rettilineo uniformemente accelerato è s = s0 + 1 2 at 2 con s0 = 5,0 cm e a = 7,2 cm/s2 Determina le posizioni occupate negli istanti 0,5 s, 1 s, 1,5 s e 2 s e costruisci sul quaderno o con un Foglio di calcolo il grafico posizione-tempo. In quale istante la pallina è nella posizione s = 14 cm?

[1,9 s]

150 A train starts from rest and moves with constant acceleration of 1.00 m/s2 for 30 s. Find the speed attained by the train and the distance travelled.

[30.0 m/s; 450 m]

154 3 Una persona alla guida di un’auto attiva i freni 0,20 s dopo essersi accorta della presenza di un ostacolo (tempo di reazione). L’accelerazione durante la frenata è uguale a -6,3 m/s2. Se sta viaggiando a 90 km/h, qual è la distanza che percorre da quando vede l’ostacolo a quando si ferma? [55 m]

155 Ernesto sta viaggiando sul suo monopattino elettrico a velocità costante, quando supera una moto che ha una velocità di 4,7 m/s e accelera con un’accelerazione costante di 1,3 m/s2. La moto raggiunge Ernesto dopo 2,4 s. Che distanza ha percorso la moto da quando è stata superata dal monopattino a quando la raggiunge? Qual è la velocità (costante) di Ernesto? [15 m; 6,3 m/s]

156 Il grafico riporta la velocità in relazione al tempo di due ciclisti che partono dallo stesso punto lungo una strada diritta. Calcola la loro l’accelerazione e la distanza che li separa dopo 2,4 s. [2,1 m/s ; 1,4 m/s ; 2,0 m]

[12 km/h; 4,9 m]

151 Un pattinatore accelera con un’accelerazione costante di 0,8 m/s2. La sua velocità iniziale è di 6,0 km/h. Qual è la velocità che raggiunge dopo 2,0 s? E che distanza percorre?

152 Un punto materiale parte da fermo con accelerazione costante di 1,8 m/s2. Completa la seguente tabella ponendo s0 = 0 e poi traccia sul quaderno o con un

157 Disegna sul quaderno o con un Foglio di calcolo il grafico posizione-tempo di un corpo A che parte da fermo e si muove con accelerazione di 4 cm/s2 per 5 s e di un corpo B che parte 10 cm più avanti e si muove parallelamente con velocità costante di 5 cm/s. Determina graficamente l’istante in cui il corpo A raggiunge il corpo B. [3,8 s]