Física 1 BATXILLERAT_Pep Forteza y otros (català) by Edicions Talaiots

F´ISICA 1r Batxillerat

Grup Hipernova Pep Forteza Ferrer (Coordinador) Carlos Alonso Arias Josep Llu´ıs Borr`as Juan Agust´ı Ceba Herrero Llucia Sancho de la Jordana

Versi´o: 2.0 Darrera actualitzaci´o: 25/08/2015

Imatge de portada Tony Hisgett

´Index

1 Cinem` atica 1.1 El punt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Posici´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Traject` oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sistema de referència . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Despla¸cament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Velocitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Velocitat mitjana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Velocitat instant` ania . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Acceleraci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Acceleraci´ o mitjana . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Acceleraci´ o instant` ania . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Components intr´ınseques de l’acceleració . . . . . . 1.4.4 Classificaci´ o dels moviments . . . . . . . . . . . . . 1.5 Moviments rectilinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Moviment rectilini uniforme: MRU . . . . . . . . . 1.5.2 Moviment rectilini uniformement accelerat: MRUA 1.6 Combinaci´ o de moviments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Principi de superposició . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Combinaci´ o de dos MRU . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Tir parab` olic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Moviments circulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Moviment circular uniforme: MCU . . . . . . . . . 1.7.2 Moviment circular uniformement accelerat: MCUA Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 16 17 18 18

2 Din` amica 2.1 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 La for¸ca com a magnitud vectorial . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Unitats de for¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Mesura de les forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Principi de superposició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La for¸ca com a interacci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Interaccions fonamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lleis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Primera llei de Newton: llei d’inèrcia . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Segona llei de Newton: principi fonamental de la dinàmica . 2.3.3 Tercera llei de Newton: llei d’acció i reacció . . . . . . . . . 2.4 Impuls mec` anic i moment lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Quantitat de moviment o moment lineal . . . . . . . . . . . 2.4.2 Impuls mec` anic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Conservaci´ o del moment lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tipus de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 For¸ca gravitat` oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 For¸ca de fricci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 For¸ca electrost` atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 23 23 24 24 25 25 25 25 26 26 27 27 27 28 28 28 30 30 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´INDEX 2.5.5 For¸ca d’Arquimedes . . . . . 2.6 Din` amica del moviment circular . . . 2.7 Resoluci´ o de problemes de cos lliure Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

31 32 33 35

3 Energia 3.1 Treball mec` anic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Interpretaci´ o gr` afica del treball . . . . . . . 3.1.2 Potència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Energia cinètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Forces conservatives i dissipatives . . . . . . 3.3.2 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Principi de conservaci´ o de l’energia . . . . . . . . . 3.4.1 Llei de conservaci´ o de l’energia . . . . . . . 3.5 Fonts d’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Distribuci´ o de les fonts d’energia a Espanya 3.5.2 Consum mundial d’energia . . . . . . . . . 3.5.3 Impacte del consum energètic . . . . . . . . 3.5.4 Alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

43 43 44 44 45 45 45 45 46 48 48 49 49 50 50 50

4 Moviment harm` onic simple 4.1 Massa unida a una molla . . . . . . . 4.2 Energia del moviment harm` onic simple 4.3 Objecte penjant d’una molla vertical . 4.4 P`endol simple . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Sistemes de mesura A.1 Magnituds fonamentals i derivades . A.2 Dimensions de les magnituds f´ısiques A.3 El Sistema Internacional d’Unitats . A.4 Notaci´ o cient´ıfica . . . . . . . . . . . A.5 Xifres significatives . . . . . . . . . . A.6 Ordre de magnitud . . . . . . . . . . A.7 Mesures i errors . . . . . . . . . . . . A.7.1 Imperfecci´ o dels instruments i A.7.2 Errors . . . . . . . . . . . . . A.7.3 Expressi´ o dels errors . . . . . A.7.4 Dades experimentals . . . . . A.7.5 Valor m´es probable . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Llibre d’estil

. . . .

. . . . .

55 55 57 57 58 59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sensibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

65 65 65 66 66 67 68 68 68 69 69 70 70 71

. . . . .

´INDEX C Eines matem` atiques C.1 C` alcul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Vectors unitaris . . . . . . . . . . . . C.1.2 Components cartesianes d’un vector C.1.3 Operacions amb vectors . . . . . . . C.1.4 Producte escalar . . . . . . . . . . . C.2 C` alcul diferencial . . . . . . . . . . . . . . . C.2.1 Derivades de magnituds vectorials . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

75 75 75 76 76 77 77 79 79

D Operadors matem` atics i alfabet grec D.1 Operadors i s´ımbols matem`atics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Alfabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81

E Solucions E.1 Cinem` atica . . . . . . . . . E.2 Din` amica . . . . . . . . . . E.3 Energia . . . . . . . . . . . E.4 Moviment harm` onic simple

83 83 84 85 85

. . . .

F Constants f´ısiques i valors num` erics

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

Cinem`atica

Estam familiaritzats amb els moviments ja que tot el que ens envolta està en moviment: cotxes, àtoms, gal` axies, . . . L’estudi dels moviments va nèixer molt abans que es coneguessin les causes que els originaven, per exemple, la caiguda dels objectes o el moviment dels astres foren descrits a partir de diversos models molt abans que Newton descobr´ıs la gravetat i la relacionés com a causa d’aquests moviments. La cinem` atica és la branca de la f´ısica que estudia la descripció del moviment sense tenir en compte les causes d’aquest (les quals estudiarem al proper tema), limitant-se essencialment, a estudiar la traject` oria dels m` obils en funci´ o del temps.

1.1 El punt material El principal objectiu de la cinem` atica és la descripció del moviment d’un objecte. Si pensam en diferents cossos en moviments és fàcil comprovar com no tots els moviments són igual de f` acils de descriure, per exemple, el moviment d’un bumerang és molt complexe degut a que a més de despla¸car-se presenta una rotaci´ o. Per tal de facilitar la descripció, comen¸carem considerant que tots els m` obils es tracten com un punt material o part´ıcula puntual, és a dir, consideram l’objecte com si tota la massa és concentrés en un punt situat en el centre de masses de l’objecte i, per tant, ignoram la forma i dimensions del cos. Els motius de realitzar aquesta aproximació són: • Per simplificar l’estudi. • Perquè en alguns casos ens basta amb obtenir una descripció aproximada. • Perquè el centre de masses d’un cos extens es mou com si es tractés d’un punt material concentrat en aquest punt.

1.2 Posici´ o Per tal de descriure el moviment d’una part´ıcula puntual, el primer que hem de fer és determinar on es troba. Per tal d’expressar la posició d’un objecte de forma correcta i sense ambig¨ uitats o podem fer a partir de la posici´ o al llarg de la seva trajectòria o a partir de les coordenades donat un sistema de refer` encia.

1.2.1

Traject` oria

La traject` oria ´es el conjunt de punts pels quals passa l’objecte. 7

` CAPÍTOL 1. CINEMATICA S’acostuma a emprar el s´ımbol s per indicar la posició a partir de l’origen de la trajectòria. Es tracta d’una magnitud escalar amb unitats de longitud. Es possible donar una funci´ o s(t) (o e(t)) en la que s’expressa la posició sobre la trajectòria del m` obil donat el temps i, a partir d’aquesta es pot obtenir l’espai recorregut entre dos instants, ∆s = s2 − s1 .

1.2.2

Sistema de refer` encia

Un sistema de refer` encia ens proporciona una forma de situar el punt a l’espai respecte a punt anomenat origen de coordenades. El més habitual és emprar un sistema de coordenades cartesianes (tres eixos rectes que apunten a les tres direccions de l’espai) tot i que existeixen altres tipus de sistemes de coordenades que es fan servir en determinades situacions: polars, esfèriques, cil´ındriques, ... Durant aquest curs farem servir u ńicament sistemes de coordenades de dues dimensions (2D) ja que tots els moviments que estudiarem estan continguts en un pla. Un cop definit el sistema de referència, la posició del mòbil vendrà marcada per un vector amb origen a l’origen de coordenades i final al punt que ocupa el mòbil en un instant de temps determinat: r = xi + yj. A partir de la posici´ o r(t) = x(t)i + y(t)j podem donar una equació per a la trajectòria del mòbil. La primera forma d’expressar-la és a partir de les equacions paramètriques de la corba, que consisteix en escriure la variaci´ o de la coordenada x i y en funció del temps: x = x(t)

y = y(t)

1.1

Una altra forma d’escriure la traject` oria és indicar la funció y = f (x) que la descriu. Per fer això cal a¨ıllar el temps de l’equaci´ o paramètrica de la coordenada x i substituir-ho a l’equació paramètrica de la coordenada y.

Exemple 1 El vector de posici´ o d’un m` obil v´ e donat per l’equaci´ o r = 4ti + 3t2 j. Determina l’equaci´ o de la traject` oria. En primer lloc escriurem les equacions param`etriques de la traject`oria: y = 3t2

x = 4t A continuaci´ o a¨ıllam el temps de la coordenada x: t = x/4 i substitu¨ım a l’equaci´ o de la coordenada y y = 3x2 /16

1.2.3

Despla¸cament

El vector despla¸cament és la diferència entre la posició inicial i la posició final: ∆r = rf − r0

1.2

1.3. VELOCITAT

´ important tenir en compte que el vector despla¸cament no ens dóna cap informació sobre la Es traject` oria que la part´ıcula segueix entre la seva posició inicial i final. Per exemple, sempre que les posicions inicial i final siguin la mateixa, el vector despla¸cament és zero. Però això no significa que la part´ıcula no s’hagi mogut. El m` odul del vector despla¸cament només coincideix amb la distància recorreguda si el mòbil és mou en l´ınia recta sense retrocedir. La semblan¸ca entre el despla¸cament i l’espai recorregut, en el cas de moviments no rectilinis, augmenta amb la proximitat entre els dos punts. Això vol dir que per a intervals de temps molt petits es compleix que |∆r| = ∆s.

1.3 Velocitat La velocitat és una magnitud que ens indica el ritme amb que varia la posició d’un mòbil en relaci´ o al temps.

1.3.1

Velocitat mitjana

En ocasions no coneixem amb suficient detall el moviment d’un objecte, ´es a dir, no coneixem l’equaci´ o de moviment. Nom´es sabem que es trobava en certes posicions en certs instants. En aquests casos podem calcular la velocitat mitjana de l’objecte. vm =

1.3.2

∆r rf − r0 = ∆t tf − t0

1.3

Velocitat instant` ania

Per tenir una descripci´ o detallada del moviment necessitam conèixer la velocitat a cada moment. Per tal de definir la velocitat instant` ania feim tendir a zero l’interval de temps considerat, és a dir, agafam cada cop intervals més petits de temps, amb el que les posicions estan cada vegada més pròximes. Aquesta operaci´ o matem` atica és la derivada, per tant, la velocitat instant` ania es pot definir com la derivada temporal de la posici´ o (derivada de la posició respecte al temps): v=

dr dt

1.4 9

` CAPÍTOL 1. CINEMATICA El vector velocitat instant` ania és tangent a la trajectòria en cada punt i el seu mòdul es pot anomenar celeritat o rapidesa.

1.4 Acceleraci´ o La velocitat no basta per descriure completament el moviment. La velocitat pot canviar, tant en direcci´ o i sentit com en m` odul. Per tal de descriure els canvis en la velocitat necessitam l’acceleraci´ o.

1.4.1

Acceleraci´ o mitjana

L’acceleraci´ o mitjana es defineix com la variaci´o de la velocitat respecte al temps. am =

vf − v0 ∆v = ∆t tf − t0

1.5

En el Sistema Internacional l’acceleraci´ o es mesura en m/s2 .

1.4.2

Acceleraci´ o instant` ania

Seguint el mateix procediment que en el cas de la velocitat, podem definir l’acceleraci´ o instant` ania com la derivada de la velocitat respecte al temps o com la segona derivada de la posici´o respecte al temps: a=

1.4.3

dv d2 r = 2 dt dt

1.6

Components intr´ınseques de l’acceleraci´ o

Acabam de definir l’acceleraci´ o com el canvi de la velocitat en el temps. Però la velocitat pot canviar de dues maneres: pot variar el seu m` odul o pot variar la seva direcció. Si descomposam el vector acceleraci´ o en les direccions tangent i perpendicular al vector velocitat obtindrem les components intr´ınseques de l’acceleració: l’acceleració tangencial i l’acceleració centr´ıpeta. Acceleraci´ o tangencial L’acceleraci´ o tangencial, at , és la component de l’acceleració que es troba en la mateixa direcció que la velocitat i és la responsable de la variació del mòdul de la velocitat. Si el sentit de l’acceleraci´ o tangencial coincideix amb el de la velocitat significa que el cos accelera, si tenen sentits diferents, indica que el cos està frenant. at =

dv dt

1.7

´ 1.4. ACCELERACIO Acceleraci´ o normal o centr´ıpeta L’acceleraci´ o normal, an , o acceleraci´ o centr´ıpeta, ac , és la component de l’acceleració que es troba en la direcci´ o perpendicular a la velocitat i és la responsable de la variació de la direcció de la velocitat. L’acceleraci´ o centr´ıpeta té la mateixa direcció que el radi de curvatura de la trajectòria i apunta sempre cap al centre de la corba descrita. A partir de la seg¨ uent figura es pot dedu¨ır el mòdul (esquerra) i la direcció (dreta) de l’acceleraci´ o centr´ıpeta:

Podem escriure les expressions de les components cartesianes del vector velocitat: vx = −v sin θ = −v

y R

vy = v cos θ = v

x R

A continuaci´ o calculam les components cartesianes de l’acceleraci´o a partir de la derivada temporal de les components de la velocitat:

ax =

dvx v dy v v2 =− = − vy = − cos θ dt R dt R R

Calculant el m` odul del vector acceleraci´o, a = l’acceleraci´ o centr´ıpeta: ac =

ay = q

v2 R

dvy v dx v v2 = = vx = − sin θ dt R dt R R

a2x + a2y , obtenim una expressi´o pel m`odul de 1.8

on R ´es el radi de curvatura.

1.4.4

Classificaci´ o dels moviments

Segons els valors de les components intr´ınseques de l’acceleraci´o es pot realitzar una classificaci´ o dels moviments: 11

` CAP´ITOL 1. CINEMATICA

Per tant, • MRU: v = constant, a = 0 • MRUA: at = constant, ac = 0 • MCU: at = 0, ac = constant • MCUA: at = constant, ac 6= constant

1.5 Moviments rectilinis Recordem que per tenir un moviment rectilini l’acceleració normal ha de ser zero. En funció del valor de l’acceleraci´ o tangencial tendrem un moviment rectilini uniforme, si val zero, o un moviment rectilini uniformement accelerat, si pren un valor constant diferent a zero. En els casos en que s’estudien moviments rectilinis és possible elegir el sistema de referència de forma que l’eix x coincideixi amb la direcció del moviment i d’aquesta manera ens evitam haver d’emprar vectors.

1.5.1

Moviment rectilini uniforme: MRU

El moviment més senzill de tots és el moviment rectilini uniforme o MRU. En aquest cas, la traject` oria de l’objecte és una l´ınia recta i la seva velocitat és constant, ja que no té acceleració.

1.5. MOVIMENTS RECTILINIS Recordem que com que la velocitat és constant, la velocitat mitjana serà igual a la velocitat instant` ania. Podem trobar l’equació del MRU a partir de la definició de la velocitat mitjana (Eq. [1.3]): v=

x − x0 ∆x −→ v = −→ x = x0 + v(t − t0 ) ∆t t − t0

1.9

Com que habitualment prenem el temps inicial t0 = 0, l’equaci´o del MRU queda com: 1.10

x = x0 + vt

on x0 és la posici´ o inicial de l’objecte a t = 0. A partir d’aquesta equaci´ o veim que el moviment de l’objecte es produeix sempre sobre l’eix x. Quan la velocitat és positiva, l’objecte es mou cap a la dreta, mentre que quan és negativa, el moviment ser` a cap a l’esquerra. Podem representar gr` aficament la posició i la velocitat en funció del temps d’un MRU:

El pendent de la gr` afica x-t equival a la velocitat de l’objecte i si volem con`eixer l’espai recorregut en un cert interval de temps a partir de la corba v-t ho podem fer calculant l’`area davall aquesta.

1.5.2

Moviment rectilini uniformement accelerat: MRUA

El moviment rectilini uniformement accelerat o MRUA ens permet descriure, entres altres coses, la caiguda lliure d’objectes. Es tracta d’un moviment en que l’acceleració u ńicament presenta component tangencial i aquesta es manté constant durant tot el moviment. Com que l’acceleraci´ o és constant, l’acceleració mitjana serà igual a l’acceleració instantània. Podem trobar com varia la velocitat amb el temps a partir de la definició de l’acceleració mitjana (Eq. [1.5]): a=

∆v v − v0 −→ a = −→ v = v0 + a(t − t0 ) ∆t t − t0

1.11

Que considerant el temps inicial t0 = 0, obtenim: 1.12

v = v0 + at

Es pot obtenir l’equaci´ o del MRUA que descriu la posició del mòbil en funció del temps. La forma més f` acil de realitzar aquesta deducció és integrant l’acceleració (concepte que veurem el curs seg¨ uent). Una forma alternativa de deduir-la a partir de la definició de velocitat mitjana i l’Eq. (1.12): vm =

∆x −→ x = x0 + vm t ∆t

vm =

v + v0 2v0 + at 1 = = v0 + at 2 2 2 13

` CAP´ITOL 1. CINEMATICA Substituint el valor de la velocitat mitjana obtenim l’equaci´o del moviment del MRUA: 1 x = x0 + v0 t + at2 2

1.13

Podem representar gr` aficament la posició, la velocitat i l’acceleració en funció del temps d’un MRUA:

Observam com la corba x-t té forma de paràbola. En aquest cas, el pendent de la corba v-t és igual a l’acceleraci´ o i l’` area davall la corba v-t entre dos instants de temps equival a l’espai recorregut. La velocitat a un instant determinat equival al pendent de la recta tangent al punt equivalent de la corba x-t, el que equival a la derivada de l’equació del MRUA avaluada en aquest instant de temps. Caiguda lliure En el cas de realitzar estudi de moviments de caiguda lliure, l’acceleració de l’objecte serà igual a l’acceleraci´ o de la gravetat a la superf´ıcie del planeta (sempre que no ens allunyem massa d’aquesta). Per tant, utilitzarem les equacions del MRUA i substituirem l’acceleració per −g, on g = 9, 8 m/s2 en el cas de la Terra. El signe negatiu és per si prenem com a positiu el sentit cap a dalt. En aquests casos també s’acostuma a fer coincidir la direcció del moviment amb l’eix y en lloc de amb l’eix x, tot i que aix` o no afecta per res en el comportament del mòbil. 1 y = y0 + v0 t − gt2 2

v = v0 − gt

1.14

1.6 Combinaci´ o de moviments 1.6.1

Principi de superposici´ o

El principi de superposici´ o és el nom que rep el mètode de resolució quan una part´ıcula està sotmesa simult` aniament a varis moviments elementals independents, el moviment resultant s’obté sumant vectorialment aquests moviments parcials. Aquesta suma vectorial dels moviments parcials implica que hem de sumar les posicions, despla¸caments, velocitats, . . . Una de les principals aplicacions del principi de superposició és dins la bal´ıstica, ciència que estudia el conjunt de tècniques i coneixements teòrics encaminats a augmentar la precisió del tir d’un projectil.

´ DE MOVIMENTS 1.6. COMBINACIO

1.6.2

Combinaci´ o de dos MRU

´ el cas, per exemple, d’intentar creuar un riu perpendicularment al corrent d’aquest. La traject` Es oria, al ser la combinaci´ o de dos MRU, no ser`a perpendicular a la vorera del riu, sin´o que ens dur` a a desviar-nos d’aquesta perpendicular.

1.6.3

Tir parab` olic

El tir parab` olic és una composici´ o d’un MRU en l’eix horitzontal i un MRUA en l’eix vertical. Consisteix en disparar un projectil amb una velocitat inicial que forma un cert angle, anomenat angle de tir o angle d’elevaci´ o, amb l’horitzontal. El cas particular en que aquest angle val 0, s’anomena tir horitzontal. La posici´ o inicial del m` obil és r0 = (x0 , y0 ) i la velocitat inicial v0 = (v0x , v0y ) = (v0 cos θ, v0 sin θ). Les equacions que farem servir per resoldre aquest moviment són les equacions del MRU a l’eix x i l’equaci´ o del MRUA considerant una acceleració a = −g a l’eix y: x = x0 + v0x t = x0 + v0 cos θ t

1 1 y = y0 + v0y t − gt2 = y0 + v0 sin θ t − gt2 2 2

v = (vx , vy ) = (v0x , v0y − gt)

1.15 1.16

En aquest tipus de moviments anomenam abast a la distància recorreguda horitzontalment pel projectil. Quan la velocitat inicial u ńicament té component horitzontal s’anomena tir horitzontal, mentre que si forma un cert angle amb l’horitzontal també es coneix com tir oblicu.

Exemple 2 Llan¸cam un projectil des de la torre d’un castell de 50 m d’altura formant un angle de 30◦ amb l’horitzontal. La velocitat de llan¸cament ´ es de 350 m/s. Si no tenim en compte el fregament amb l’aire, calcula: (a) El temps que tarda a caure a terra. (b) L’abast m` axim. (c) L’altura m` axima. Es tracta d’un tir parab` olic que no parteix de l’origen de coordenades, sin´o que ho fa des d’una y0 = 50 m. 15

` CAP´ITOL 1. CINEMATICA

Podem escriure les equacions del moviment: MRU per a l’eix horitzontal i MRUA per a l’eix vertical. x = x0 + v0x t 1 y = y0 + v0y t − gt2 2 vy = v0y − gt

−→ −→ −→

x = v0 cos θ t 1 y = y0 + v0 sin θ t − gt2 2 vy = v0 sin θ − gt

(a) Per calcular el temps que tarda a caure a terra partim de l’equació de la posició en l’eix y i substitu¨ım la posici´ o final y = 0: 1 0 = 50 + 175t − 9, 8t2 2 De les dues solucions obtingudes prenem la positiva: t = 35, 9 s. (b) Per determinar l’abast, calculam la distància horitzontal que ha avan¸cat el projectil abans de tocar terra, és a dir, la dist` ancia horitzontal recorreguda en t = 35, 9 s: √ 3 x = 350 35, 9 = 10 900 m 2 (c) L’altura m` axima s’assoleix en el moment què la component vertical de la velocitat es fa zero (vy = 0): 0 = v0 sin θ − gt

−→

v0 sin θ 350 · 0, 5 = = 17, 8 s g 9, 8

Substituint aquest valor a l’equaci´ o de posici´o de l’eix y: 1 ym`ax = 50 + 175 · 17, 8 − 9, 8 · (17, 8)2 = 1610 m 2

1.7 Moviments circulars En els moviments circulars la traject` oria és sempre una circumferència, per tant, com a m´ınim, l’acceleraci´ o normal ha de ser diferent de zero. Per estudiar aquests moviments es pot seguir emprant les mateixes magnitud cinemàtiques que hem utilitzat fins ara: posici´ o, velocitat i acceleració. Aquestes són les magnituds lineals. Per facilitar la descripci´ o del moviment circular és més fàcil emprar les magnituds angulars. Posici´ o angular Per indicar on es troba un punt, en el cas d’un moviment circular, el més fàcil és donar la distància a l’eix de gir, R, i l’angle recorregut, θ, des de l’inici del moviment.

1.7. MOVIMENTS CIRCULARS La unitat utilitzada per mesurar els angles ´es el radiant. Recorda: 2π rad = 360◦ . L’angle mesurat en radiants es pot relacionar amb l’espai recorregut: 1.17

s = θR Velocitat angular La velocitat angular, ω, és la variació de posició angular respecte al temps:

∆θ dθ −→ ω = 1.18 ∆t dt La seva unitat en el Sistema Internacional ´es el radiant per segon (rad/s), tot i que moltes vegades s’empren les revolucions per minut o rpm. Com en el cas de l’angle, podem relacionar la velocitat angular amb la velocitat lineal: ω=

∆θ · R ∆s = = ωR ∆t ∆t

1.19

Acceleraci´ o angular L’acceleraci´ o angular, α, ´es la variaci´o de la velocitat angular amb el temps: α=

dω dt

1.20

∆v ∆ω · R = = αR ∆t ∆t

1.21

∆ω ∆t

−→

α=

En el Sistema Internacional es mesura en rad/s2 . Podem relacionar-la amb l’acceleraci´o tangencial del cos: at =

1.7.1

Moviment circular uniforme: MCU

El moviment circular uniforme o MCU és molt important perquè apareix en nombroses situacions f´ısiques com ara el moviment d’una pedra fermada a una corda, un satèl·lit que gira al voltant d’un planeta, un prot´ o que es mou al si d’un camp magnètic, . . . ´ important entendre que un MCU és un moviment accelerat: la velocitat canvia. La velocitat Es ´ a dir, l’objecte que descriu un MCU recorr el mateix canvia només en direcci´ o i no en mòdul. Es nombre de voltes en cada segon, però la velocitat canvia constantment per mantenir l’objecte sobre la traject` oria circular. Si la velocitat del cos és constant, la velocitat angular també serà constant: ω=

∆θ θ − θ0 = ∆t t − t0

−→ θ = θ0 + ω(t − t0 )

Per tant, considerant t0 = 0, obtenim l’equaci´o per la MCU: θ = θ0 + ωt

1.22

Com que aquest moviment presenta acceleraci´o centr´ıpeta, podem relacionar-la amb la velocitat angular: ac =

ω 2 R2 v2 = = ω2 R R R

1.23 17

` CAPÍTOL 1. CINEMATICA El MCU és un moviment peri` odic. La velocitat angular ens indica quan ràpidament gira el mòbil, tot i que existeixen dues maneres alternatives de transmetre la mateixa idea: el per´ıode i la freq¨ uència. El per´ıode, T , és el temps que tarda la part´ıcula en completar una volta sencera. ω=

2π T

−→

T =

2π ω

1.24

La freq¨ u`encia, ν, ´es el nombre de voltes que descriu la part´ıcula cada segon. Es mesura en s−1 que rep el nom de hertz (Hz). ν=

1.7.2

1.25

1 T

Moviment circular uniformement accelerat: MCUA

El moviment circular uniformement accelerat o MCUA és aquell que recorr un mòbil amb una traject` oria circular i una acceleraci´ o angular constant. De l’Eq. (1.21) podem afirmar que si l’acceleració angular és constant i estan descrivint una circumferència (radi constant), l’acceleraci´ o tangencial també és constant. Però com que la velocitat angular no és constant, tampoc ho ser` a l’acceleració normal (Eq. [1.23]). De la mateixa manera que s’han deduit les equacions del MRUA es poden obtenir les del MCUA. Aquestes equacions s´ on: ω = ω0 + αt

1 θ = θ0 + ω0 t + αt2 2

1.26

Activitats 1. L’equaci´ o d’un determinat moviment ve donada per l’expressi´ o e = 5 + 3t + t2 . Calculau: (a) L’espai recorregut en 2 s. (b) La velocitat al cap de 2 s. 2. Un objecte es mou al llarg de la seva traject` oria segons l’equaci´ o: e = 25 + 40t − 5t2 (e, posici´ o en metres i t en segons). (a) Quina dist` ancia haur` a recorregut als 5 s? (b) I als 6 s?

adjunta passant pels punts A i B. Es demana: (a) Expressau gràfica i anal´ıticament els vectors de posició rA i rB i dibuixau el vector despla¸cament ∆r. (b) S’han mesurat les distàncies sobre la trajectòria a un punt O de la mateixa, obtenint eA = 1 m i eB = 10 m. Trobau ∆e.

3. Les coordenades cartesianes d’un punt material les podem expressar de la seg¨ uent manera: x = 4t − 5, y = t2 − 2t, z = 5t − 1. Calculau el vector posici´ o, la velocitat i l’acceleraci´ o al cap de 3 s. 4. Donades les equacions que defineixen un moviment curvilini: x = 2 − t; y = t2 − 3, calculau per a t = 2 s: (a) la velocitat; (b) l’acceleraci´ o; (c) l’equaci´ o de la traject`oria. 5. Un objecte es mou al llarg de la traject`oria

6. La posició d’un mòbil en qualsevol instant ve donada per: r = 3t2 i + 4j. Calculau l’equació de la velocitat, la velocitat instantània i el seu mòdul en l’instant t = 2 s.

1.7. MOVIMENTS CIRCULARS 7. Series capa¸c de determinar l’acceleració instant` ania a partir de l’equaci´ o de posició d’un cos? Intenta-ho per t = 3 s, si l’equació de posici´ o (en una direcci´ o) és x = 3t2 + 2t m. 8. En una contrarellotge, un ciclista recorr els primers 10 km a una velocitat constant de 40 km/h i els seg¨ uents 10 km a una velocitat constant de 50 km/h. Quina ha sigut, globalment, la velocitat mitjana? 9. L’equaci´ o de posici´ o d’un m` obil ve donada per: r = 3t2 i + 6j + 2k m. (a) En quina direcci´ o es mou? (b) Quant s’ha despla¸cat en els primers 10 segons? (c) Quina ha estat la seva velocitat mitjana en aquests 10 s? (d) Quina velocitat porta als 5 s? (e) Quant ´ constant o variable? val l’acceleraci´ o? Es (f) Com es denomina el moviment que porta aquest cos? 10. Pot canviar el sentit de la velocitat d’un cos si la seva acceleraci´ o és constant? 11. Un cos es mou en la direcci´ o x segons l’equaci´ o de traject` oria x = 2 + 2t + t2 m. Representa les gr` afiques x − t, v − t i a − t per a un interval de 3 s. Determina la velocitat mitjana en els tres primers segons. Calcula les velocitats instant` anies a t = 0 i t = 3 s. 12. Un cos descriu cercles de 10 m de radi despla¸cant-se a 3 m/s. (a) Quant val la seva acceleraci´ o tangencial? (b) I l’acceleració normal? (c) I l’acceleraci´ o total? (d) Dibuixa aquestes magnituds. 13. Classifica els seg¨ uents moviments: (a) Un estudiant corr una cursa de 100 m. (b) Un satèl·lit artificial gira al voltant de la Terra en una ` orbita perfectament circular a velocitat constant, fent una volta sencera cada 11 hores. (c) Una estudiant d´ ona set voltes a ritme constant a una pista d’atletisme. (d) Un professor va cada dia a treballar amb tren, recorrent 35 km en 30 minuts. (e) Un autob´ us recorre un tram recte d’autopista a 90 km/h.

(f) Moviment d’un punt del tambor d’una rentadora quan comen¸ca a centrifugar. 14. Per què un moviment en l´ınia recta es pot considerar sempre com un moviment al llarg de l’eix x? 15. Baix quines condicions és igual la velocitat mitjana a la velocitat instantània? 16. Quina direcció té l’acceleració d’un cos que es mou en una circumferència amb el m` odul de la velocitat constant? ´ possible que un cos tengui velocitat zero 17. Es i acceleració diferent de zero? I al contrari? Posa exemples on es donin aquestes situacions. 18. Com és un moviment en el qual només hi ha acceleració tangencial? Pista: en aquest cas, v, que és un vector, només canvia en m` odul, no en direcció. Quines caracter´ıstiques d’aquest vector queden constants? 19. Na Xisca diu que ha vist un avió que es movia en l´ınia recta a 980 km/h. En Toni, per la seva banda, assegura que l’avió estava ´ possible que parlin del mateix immòbil. Es avió? Com pot ser? 20. Des de dalt d’un màstil d’un vaixell, que per a simplificar suposarem que es mou en l´ınia recta amb velocitat constant sobre la superf´ıcie d’un mar tranquil es deixa caure una pedra. Suposant menyspreable el fregament amb l’aire dibuixa la trajectòria que tindrà la pedra quan un segon observador situat a un punt de la coberta d’un vaixell i segons un altre observador que es troba en un punt de la platja. 21. Un excursionista va constantment a 2 m/s per terreny pla. Sabent que al cap d’una hora es troba 7, 3 km del punt de partida. (a) Trobau l’equació de moviment. (b)Representau-la gràficament. 22. Dos vehicles (A i B) parteixen un a l’encontre de l’altre des de dues localitats que disten entre si 400 km. El vehicle A viatja a 100 km/h, mentre que el B, que inicia el viatge un quart d’hora més tard, ho fa a 120 km/h. Quant de temps passa des de 19

` CAP´ITOL 1. CINEMATICA que A parteix fins que es produeix la trobada? Quina dist` ancia ha recorregut aquest vehicle? Resol la q¨ uesti´ o num`ericament i representa-la en una gr` afica posici´ o-temps.

29. Com podem calcular la profunditat d’un pou que no podem veure el fons si al deixar caure una pedra escoltam l’impacte al cap de 3 s? (velocitat del so a l’aire = 340 m/s.)

23. Dedueix l’equaci´ o v 2 = v02 +2a(x−x0 ) a partir de les equacions de l’espai i la velocitat d’un MRUA.

30. Si pegam una cossa a una pilota a 1 m d’altura sobre el terra, aquesta surt disparada verticalment. Al cap de 5 segons la pilota arriba al terra. Calcula la velocitat amb la que surt disparada la pilota, l’altura m`axima que assoleix al cap de quant de temps torna a passar per l’altura inicial d’un metre.

24. Es deixen caure dues boles d’acer de massa 5 kg i 20 kg respectivament. (a) Quina arribar` a abans a terra? (b) Quina arribar` a amb una velocitat més gran? 25. S’empeny un cos sobre una superf´ıcie horitzontal fins que assoleix una velocitat de 5 m/s i després es deixa anar. A partir d’aquest moment, l’´ unica for¸ca que actua sobre seu és la for¸ca de fregament, que el frena amb una acceleraci´ o de 0, 5 m/s2 . (a) Calcula l’espai que recorr fins que s’atura. (b) La velocitat després d’haver recorregut 9 m, comptant des que es va deixar d’impulsar el cos.

31. Dos cossos es deixen caure des de la mateixa al¸cada, però el segon amb un retard ∆t segons respecte al primer. Es manté constant la distància entre ambdós a l’aire? 32. Una persona que està a una certa altura sobre el terra tira una pilota cap a dalt amb una velocitat v0 i després en tira una cap avall amb velocitat –v0 . Quina de les dues pilotes tindrà major velocitat quan arribin a terra?

26. El transbordador Columbia porta una velocitat de 720 km/h en el moment de l’aterratge. Quan entra en contacte amb el terra, desplega els paracaigudes de frenat que, juntament amb els propis frens de la nau, fan que aquesta s’aturi totalment en 20 s. (a) Quina ha estat l’acceleraci´ o, suposant-la constant, de frenat? (b) Quina longitud de pista m´ınima necessita per realitzar l’aterratge?

33. Un pescador vol travessar amb la seva barca un riu de 100 m d’ample amb una barca el motor de la qual produeix una velocitat de 4 m/s perpendicular al corrent del riu que té una velocitat de 3 m/s. Calcula: (a) El temps que tarda en travessar el riu. (b) La velocitat resultant de la barca. (c) La distància corrent avall del punt de partida on arriba la barca. (d) La distància que recorre la barca.

27. Es llan¸ca des de terra una pilota amb v = 40 m/s. (a) Determina l’equaci´ o del moviment. (b) Calcula la velocitat quan estigui a una altura de 20 m. (c) Calcula l’altura a la qual es troba quan ascendeix amb una velocitat de 5 m/s. (d) Quina altura m` axima assoleix? (e) Quan tarda en arribar a terra? Amb quina velocitat arriba?

34. Una nadadora vol creuar un riu de 200 m d’ample. Per això nada perpendicularment al corrent amb una velocitat de 1, 5 m/s. Si la velocitat del corrent és de 0, 5 m/s, calcula: (a) La velocitat de la nadadora i l’angle que forma respecte la vora. (b) El temps que tarda en arribar a l’altra vora i la distància corrent avall del punt de partida. (c) L’equació de la trajectòria.

28. Es deixa caure una pilota des d’una altura de 50 m i al mateix temps es llan¸ca verticalment cap amunt, des del terra, altra pilota amb una velocitat , v = 30 m/s. (a) Quan de temps passa fins que es troben? (b) A quina altura es troben?

35. Es deixa caure un cos des d’una altura h al mateix temps que se’n llan¸ca un altre des del mateix punt amb una velocitat horitzontal v0 . (a) Quin dels dos arribar`a abans a la superf´ıcie de la Terra? (b) Fes-ne un esquema.

1.7. MOVIMENTS CIRCULARS 36. Des d’una finestra situada a 30 m del terra es llan¸ca horitzontalment una pilota amb una velocitat de 15 m/s. Calcula: (a) El temps que tarda en arribar a terra. (b) L’abast. (c) El m` odul de la velocitat en arribar a terra. 37. Des de dalt d’un penya-segat es llan¸ca un cos horitzontalment que tarda 3 s en arribar a l’aigua en un punt que est` a a 60 m de la base del penya-segat. Calcula: (a) L’altura del penya-segat. (b) La velocitat amb què es llan¸ca el projectil. (c) La velocitat amb què arriba el projectil a l’aigua. 38. Un objecte de 5 kg de massa es deixa caure des d’una certa altura. A la vegada, i des de la mateixa altura, dos objectes, de 3 i 10 kg, s´ on llan¸cats horitzontalment amb velocitat de 5 i 15 m/s, respectivament. En quin ordre arriben a terra? 39. Un avi´ o en vol horitzontal amb una velocitat v llan¸ca un objecte cap enrere amb velocitat horitzontal –v. Explica el moviment d’aquest objecte vist per un observador que viatja dins l’avi´ o i per un altre en repòs a terra. 40. Què ha de fer un jugador de b` asquet per estar el m` axim temps possible a l’aire? Córrer molt de pressa abans de saltar? 41. Volem clavar un dard en una diana el centre de la qual est` a per sobre de la nostra mà quan llancem. Hem d’apuntar directament al blanc, més amunt o més avall? Per què? 42. Una jugadora de golf llan¸ca una pilota des de la gespa amb un angle de 60◦ i amb una velocitat de 60 m/s. Calcula: (a) La velocitat de la pilota en el punt més alt de la traject` oria. (b) L’altura m` axima que arriba. (c) L’abast. 43. Un atleta vol batre el rècord de llan¸cament de pes que és 23 m. Sap que l’abast màxim s’assoleix llan¸cant amb un angle de 45◦ . Si el llan¸cament ho realitza des d’una altura d’1, 75 m: (a) Amb quina velocitat m´ınima ha de llan¸car el pes? (b) Quant de temps est` a el pes en l’aire fins que cau a terra?

44. Una pedra descansa sobre un barranc, rellisca i surt llan¸cada des d’una altura de 400 m sobre el fons, amb una velocitat de 50 m/s i formant un angle de 60◦ amb l’horitzontal. (a) A quina distància caurà la pedra? (b) Quina serà la velocitat en el moment del xoc? 45. Quina marca hauria aconseguit el m´ıtic Bob Beamon si el seu bot s’hagués realitzat als àrids i pedregosos deserts marcians? (Dades: la marca de Bob Beamon a Mèxic al 1968 va ser de 8, 90 m i l’acceleraci´ o de la gravetat a la superf´ıcie de Mart és de 3, 6 m/s2 .) 46. Amb quin angle haur´ıem de botar per tal que l’al¸cada i l’abast siguin iguals? 47. Un intrèpid motorista pretén botar una fila de camions disposats al llarg de 45 m. La rampa d’enlairament és de 20◦ i aterra en una rampa similar de la mateixa altura. Si en el moment de l’enlairament el seu veloc´ımetre marca 90 km/h, quin és el futur immediat del motorista: la glòria o l’hospital? Demostra-ho. 48. Un expert en tirar faltes es disposa a executar el seu llan¸cament des d’una distància de 20 m de la porteria. La barrera de jugadors contraris està a 9 m i la seva altura mitjana és de 1, 80 m. La velocitat de sortida de la pilota és de 90 km/h, formant 15◦ amb el terra en direcció a la porta. Serà gol? I si els de la barrera s’acosten? 49. Una persona es tira en caiguda lliure des d’un helicòpter que vola a 90 km/h i a 30 metres d’altura. Ha de caure sobre uns matalassos que estan a bord d’un vaixell que viatja a 54 km/h en el mateix sentit. A quina distància horitzontal ha d’estar el vaixell en el moment del bot? 50. Dos equips de bàsquet es troben empatats a punts; queden breus instants per a que finalitzi el partit i de sobte un jugador llan¸ca la pilota a cistella amb una velocitat inicial de 8 m/s i formant un angle amb l’horitzontal de 30◦ . La cistella es troba a 3 m d’altura sobre un punt que dista del jugador 5 m. Indica si el seu equip ha guanyat el partit, 21

` CAPÍTOL 1. CINEMATICA sabent que el jugador, amb els bra¸cos estirats, llan¸ca la pilota des d’una altura de 2, 71 m. 51. En els tractors el radi de les rodes de davant és menor que els de les rodes de darrere. Quan es mou un tractor, s´ on iguals les velocitats de les rodes de davant que les de darrere? Explica-ho, segons consideris la velocitat lineal o la velocitat angular. 52. Determina si les afirmacions seg¨ uents són certes o falses: (a) La velocitat angular es mesura en rad/s. (b) La velocitat lineal d’un punt de la circumferència es pot mesurar amb l’angle recorregut per unitat de temps. (c) Tots els punt del radi d’una roda de bicicleta tenen la mateixa velocitat angular. (d) Tots els radis d’una roda de bicicleta tenen la mateixa velocitat angular. 53. En un moviment circular de 5 m de radi, un m` obil descriu un arc de 2 m. Determineu l’angle descrit. 54. Un disc de microsurc (LP) gira a 45 rpm. Calcula les velocitat lineal i angular dels punts del disc que disten 2 cm de l’eix de rotaci´ o. 55. Calcula els valors de la velocitat i l’acceleraci´ o centr´ıpeta amb que es mou el Sol a través de la Via L` actia sabent que el radi de l’` orbita Solar és 2, 4 × 1020 m i el per´ıode 6, 3 × 1015 s. 56. Un disc de 40 cm de radi gira a 33 rpm. Calcula: (a) La velocitat angular en rad/s. (b) La velocitat angular en rad/s en un punt situat a 20 cm del centre. (c) El nombre de voltes per minut. 57. El disc dur d’un ordenador gira a 800 rpm i té un radi de 10 cm. Calcula: (a) La velocitat angular en rad/s i la velocitat lineal en la perifèria. (b) L’acceleraci´ o normal. (c) El per´ıode i la freq¨ uència. (d) En un temps de 20 s, l’angle descrit i les voltes que ha donat.

58. Dos nins han pujat a dos cavalls que giren solidàriament amb la plataforma d’uns cavallets amb ω = 4 rpm. Si la distància dels cavalls a l’eix de gir és de 2 i 3 m, calcula: (a) La velocitat angular en rad/s. (b) El nombre de voltes que fan els nins en mitja hora. (c) L’espai recorregut per cadascun en aquest temps. (d) Quin nin es mou amb més acceleració total? 59. Dos mòbils surten des d’un mateix punt d’una pista circular amb sentit contrari. El primer amb velocitat constant de 108 km/h i el segon amb velocitat angular constant de 1/2 volta cada minut. La pista té 1200 m de radi. (a) On es trobaran? (b) Quant temps ha transcorregut? 60. Si la velocitat angular d’un cos que gira es triplica, que li ocorre a l’acceleració centr´ıpeta? 61. Una roda de 0, 5 m de radi té una acceleració centr´ıpeta de 20 m/s2 . Determina el per´ıode d’aquesta roda i les voltes que haurà donat en un minut. 62. Un satèl·lit orbita a 500 km d’altura sobre la superf´ıcie terrestre. Si tarda 17, 5 h en donar una volta completa a la Terra, determina: la seva velocitat angular, la velocitat lineal i l’acceleració centr´ıpeta a la que està sotmès. Dades: radi de la Terra = 6370 km. 63. Un ciclista marxa amb la seva bicicleta de muntanya, les rodes de la qual tenen un diàmetre de 26 polsades, a una velocitat de 25 km/h. (a) Quantes voltes hauran donat les rodes en 15 minuts? (b) Quin és el radi de les rodes? (c) Quina velocitat angular porten? (d) Quin és el per´ıode i la freq¨ uència mentre giren d’aquesta manera? (1 polzada = 2, 54 cm). 64. Un disc de vinil gira a 33 rpm. Quan desconnectam el tocadiscs, el disc triga 5 s en aturar-se. (a) Quina ha estat l’acceleració angular de frenada? (b) Quantes voltes ha donat fins a aturar-se?