MATEMÀTIQUES PROGRAMA DE QUALIFICACIÓ PROFESSIONAL INICIAL MÒDUL: APRENENTATGES INSTRUMENTALS BÀSICS
Joana Maria Coll Servera Fernando Forteza Coll
© 2012 EDICIONS TALAIOTS, S.L. Es reserven tots els drets. Cap part d’aquesta publicació no pot ser produïda, emmagatzemada o transmesa per qualsevol mitjà, sense permís de l’autor.
Edita: EDICIONS TALAIOTS, S.L. C/. Castelló de la Plana, 30 07181 Palmanova (Calvià) Tel. 971 75 16 04 Impressió i maquetació: INSTITUT - Impremta Digital (Palma) Autors: Joana Maria Coll Servera i Fernando Forteza Coll Disseny portada: visioglobal.com ISBN: 978-84-939484-7-4 Dipòsit Legal: DL-PM-742-2012
PRESENTACIÓ Aquest llibre de Matemàtiques ha estat elaborat per afavorir la transició dels alumnes del sistema educatiu al laboral, deixant-los seguir la seva formació, donant-los la possibilitat d’ ampliar les seves competències bàsiques per prosseguir estudis en els diferents ensenyaments i facilitar-los el desenvolupament dels objectius mínims de l’ ESO. Desenvolupant la seva capacitat de seguir aprenent, connectant les necessitats i finalitats del sistema educatiu amb les del sistema productiu. Desitjam que en aquest text tots els alumnes, tant els que havien abandonat els seus estudis com els que se veuen indefensos per enfrontar-se a l’aprenentatge havent comès durant el seu aprenentatge alguns errors (impuntualitat, falta de atenció, de concentració, de interès, irresponsabilitat…), trobin una eina útil. De l’estructura del llibre, és important destacar: Ofereix un estudi actiu d’aquesta matèria intentant que els alumnes se facin preguntes sobre els conceptes estudiats. Referent a les operacions (càlcul) que ofereix és important utilitzar els següents procediments: •
Combinació del càlcul escrit amb el mental.
•
Utilització del càlcul aproximat.
•
Utilització de la calculadora (reflectit a l’annex).
La resolució de problemes és un dels apartats fonamentals, per això podem trobar-los a cada unitat del llibre a l’apartat d’ “activitats” i “activitats d’ ampliació”, ja que desenvolupen : •
El pensament lògic.
•
La capacitat de raonament.
•
La capacitat de lectura comprensiva.
Finalment desitjam que aquest llibre servesqui per proporcionar una sòlida base als alumnes que vulguin inserir -se en el món laboral o seguir posteriors estudis.
Els autors
ÍNDEX Unitat 1: NÚMEROS NATURALS ....................................... •
Sistema de numeració decimal.
•
Operacions amb números naturals.
Unitat 2: NÚMEROS ENTERS .................................................. •
Valor absolut i ordenació de números enters.
•
Operacions amb números enters.
Unitat 3: NÚMEROS DECIMALS ............................................. •
Sistema de numeració decimal.
•
Operacions amb números decimals.
•
Aproximació de números decimals.
Unitat 4: DIVISIBILITAT ..........................................................
1
19
37
51
• Divisor i múltiple. • Criteris de divisibilitat. • Números primers i composts. • Descomposició d’ un número en factors primers. • Màxim comú divisor i mínim comú múltiple.
Unitat 5: NÚMEROS RACIONALS ........................................... • Fraccions i la seva classificació. • Simplificar fraccions. • Reducció de fraccions a mínim comú denominador. Operacions. • Conversió de fracció a número decimal i viceversa.
69
Unitat 6: MAGNITUDS I MESURES ..................................
93
•
Mesures de longitud, de superfície, de volum, de capacitat i de massa.
•
Relació entre unitats de volum, capacitat i massa.
•
Mesures de temps.
•
Sistema monetari.
•
Números complexos i incomplexos.
Unitat 7: PROPORCIONALITAT ........................................ •
Raó i proporció.
•
Regla de tres simple.
•
Regla de tres composta.
•
Repartiment proporcional.
•
Interès.
•
Descompte.
Unitat 8: EQUACIONS ............................................................ •
Equacions de primer grau amb una incògnita.
•
Sistema de dues equacions amb dues incògnites.
•
Equacions de segon grau amb una incògnita.
Unitat 9: GEOMETRIA PLANA ........................................... •
Conceptes fonamentals.
•
Classificació d’ angles.
•
Polígons.
•
Circumferència i cercle.
•
Semblances i moviments en el pla.
113
131
153
Unitat 10: ÀREES FIGURES PLANES .................................. •
Àrees de figures planes.
•
Longitud i àrees de figures circulars.
Unitat 11: COSSOS GEOMÈTRICS ...................................... •
Políedres i la seva classificació.
•
Cossos de revolució i la seva classificació.
•
Àrea i volum de cossos geomètrics.
Unitat 12: ESTADÍSTICA ........................................................ •
Com es realitza una estadística?
•
Freqüències.
•
Gràfics.
•
Mesures de centralització:
•
Mesures de dispersió.
Annex: US DE LA CALCULADORA I DELS TICs ................ •
Usant la calculadora.
•
Coneixent els TICs.
BIBLIOGRAFIA ...........................................................................
175
189
203
219
223
1
NÚMEROS NATURALS
ESQUEMA DE LA UNITAT
NÚMEROS NATURALS
SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL
OPERACIONS AMB NÚMEROS NATURALS
SUMA I RESTA
PRODUCTE I QUOCIENT
PROPIETATS
1
POTÈNCIA I ARREL QUADRADA
RECORDA ELS NÚMEROS QUE EMPRAM PER CONTAR OBJETES O ALTRES COSES S’ANOMENEN NÚMEROS NATURALS. Posa’t a prova:
AL SAC
No volem trobar un tresor en el sac, sinó posar a prova la teva percepció visual i contar quants sacs hi ha visibles.
¡PASA’M EL “KETCHUP”! Tenim dotze pots de tomàtiga ketchup per fer un munt de “perritos calientes”. La seva numeració segueix una seqüència lògica. ¿Pots endevinar quin és el dígit que falta?
2
SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL S’anomena així perquè cada unitat superior val deu vegades més que la unitat d’ordre inferior immediat. Es troba format pels següents ordres: -
Unitats (u) Desenes (d) = 10 u Centenes (c) = 10 d = 100 u Unitats de mil·liar (u. m.) =10 c =100 d = 1000 u Desenes de mil·liar (d. m.) = 10 u m = 100 c = 1000 d = 10000 u Centenes de mil·liar (c. m.) = 10 d m = 100 u m = 1000 c = 10000 d = 100000 u Unitats de milió (u. mi.) = 10 c m = 100 d m = 1000 u m = 10000 c = … Desenes de milió (d. mi.) = 10 u mi = 100 c m = 1000 d m = 10000 u m = … Centenes de milió (c. mi.) = 10 d mi = 100 u mi = 1000 c m = 10000 d m = … Exemple: El número 680429735 es troba format pels següents ordres:
c. mi.
d. mi.
u. mi.
c. m.
d. m.
u. m.
c.
d.
u.
6
8
0
4
2
9
7
3
5
Essent la seva descomposició:
680429735 = 600000000 + 80000000 + 400000 + 20000 + 9000 + 700 +30 + 5
Observant l’exemple, intenta descompondre els següents números amb els seus distints ordres i representar-los mitjançant la seva descomposició: 46983 – 50729 – 946 – 9427 – 49 – 197365 – 804700 - 25905
3
OPERACIONS AMB NÚMEROS NATURALS Suma de números naturals Per sumar números naturals hem de col·locar-los de forma que els distints ordres coincideixin. 54298+941+1256= 56495
+
54298 941 1256 5 6 4 9 5 ----
Sumands Suma total
Propietats
Commutativa
12 + 5 = 5 + 12
Associativa
(5 + 74) + 4 = 5 + (74 + 4)
Element neutre
42 + 0 = 42
Resta de números naturals Per restar números naturals hem de col·locar-los igual que a la suma de forma que els distints ordres coincideixin. 8524– 681=7843 _ 8 5 2 4 ------ minuend 6 8 1 ------ subtrahend 7 8 4 3 ------ resta o diferència
Per saber si hem realitzat correctament la resta, existeix la següent prova:
Subtrahend + resta o diferència = minuend 681
+
7843
4
= 8524
FLORS ESTRANYES
La Numericus petiolada és una flor molt estranya que només creix a les pàgines d’aquest llibre de matemàtiques. Cada pètal té un número que guarda una relació lògica amb la pròpia flor. Pots dirmos quins números falten a la tercera?. Alerta amb les espines!
Producte de números naturals El producte de números s’empra quan volem realitzar una suma de varis sumands iguals. 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 12 · 10 = 120
5612 · 59=331108 5 6 1 2 ------ multiplicand x 5 9 ------ multiplicador 50508 productes parcials 28060 3 3 1 1 0 8 ------ producte total
factors
-
Quan els factors d’un producte acaben en zeros, aquests no es multipliquen afegint-los al producte total.
-
Quan el multiplicador té alguns zeros intermedis, tampoc es multipliquen però en el producte parcial es deixa un espai per cada un dels zeros.
5
Propietats Commutativa
9·7=7·9
Associativa
(6 · 4 ) · 3 = 6 · (4 · 3)
Element neutre
8·1=8
Distributiva
(8 + 9) · 2 = 8 · 2 + 9 · 2
Quocient de números naturals El quocient de números s’empra quan volem repartir una quantitat en parts iguals. 756 : 12 = 63
resta = 0
dividend ---- 7 5 6 036 resta ---- 0 0
12 ---- divisor 6 3 ---- quocient
Per saber si hem realitzat el quocient correctament, existeix la següent prova: Quocient · divisor + resta = dividend 63
· 12
+ 0 = 756
Producte i quocient per la unitat seguida de zeros -
En multiplicar un número natural per la unitat seguida de zeros, el resultat és el mateix número acompanyat de tants zeros com tingui la unitat. 234 · 10000 = 2340000
-
En dividir un número natural per la unitat seguida de zeros, el resultat serà el mateix número separant, amb una coma, de dreta a esquerra, tantes xifres com zeros acompanyin la unitat ( si les xifres no basten es completa amb zeros). 56: 10 = 5,6 436 : 1000 = 0,436 4 : 100 = 0,04 6
Potència de números naturals La potència s’empra quan volem realitzar un producte de varis factors iguals. 23 · 23 · 23 · 23 · 23 = 235 = 6436343 exponent 23
5
Base -
Les potències d’exponent zero sempre tenen com a resultat la unitat. 90 = 1 ,
-
Les potències que tenen d’exponent la unitat, el resultat sempre és la mateixa base. 71 = 7 ,
-
112 = 1 …
Qualsevol potència de base el número zero, el resultat és el zero. 07 = 0 ,
-
341 = 34 …
Qualsevol potència de base la unitat, el resultat sempre és la unitat. 19 = 1 ,
-
450 = 1 …
0 42 = 0 …
Les potències de base 10, el seu resultat és la unitat seguida de tants zeros com indiqui el seu exponent. 10 8 = 100000000 ,
7
10 4 = 10000 …
Propietats
Producte de potències amb la mateixa base
6 2 ·6·6 3 = 6 2+1+3 = 6 6
Quocient de potències amb la mateixa base
7 8 : 7 3 = 7 8−3 = 7 5 117 = 117 − 4 = 113 4 11
(4 )
Potència d’una altra potència
2 3
= 4 2 ·3 = 4 6
[(32 ) ] = 32 3 2 5
2 ·5 ·3
= 32 30
Arrel quadrada de números naturals És l’operació inversa d’ “elevar al quadrat”.
Índex radical
2
121 = 11
arrel
base o radicand
Cercar l’arrel quadrada d’un número és trobar un número que elevat al quadrat doni com a resultat aquest número. Però hi ha molts números que no tenen arrel quadrada exacta i es cercaria seguint els següents passos:
8
Se separen les xifres del radicand, amb un punt o una coma, de dreta a esquerra de dues en dues.
5.98.26
El primer grup de l’esquerra pot tenir una o dues xifres. Cercar l’arrel quadrada del grup de l’esquerra. El número natural que elevat al quadrat s’apropa més a 5 és 2, 2 2 = 4. Per tant, la primera xifra de l’arrel és 2, i se calcula la diferència: 5–4=1 A la dreta de la resta (1) es baixa el grup següent de xifres (98), i davall de l’arrel (2) s’escriu el doble d’aquesta (4).
De 198 se separa la xifra de la dreta (8), i el número que queda a l’esquerra (19) se divideix entre 4, doble de l’arrel .
El quocient (4) se posa a continuació de 4 i es forma el número 44. El número 44 es multiplica pel mateix número del resultat del quocient (4), donant 176. Com 176 és menor que 198 se pot restar per tornar cercar la diferència. El quocient que hem obtingut és la segona xifra de l’arrel.
5.98.26 2 - 4 1
5.98.26 2 -4 4 1 98
5.98.26 2 -4 44 19,8 19 : 4 = 4 5.98.26 24 -4 4 4 · 4 = 176 1 9,8 -176 022
Si el resultat del producte hagués estat major, no podríem restar, i per tant hauríem d’haver provat el número 3 en lloc del 4. Si hi ha més xifres en el radicand baixarem les dues xifres següents, realitzant els mateixos passos que abans (doble de l’arrel, separar les unitats de la resta per dividir el que queda pel doble) i, així, successivament.
5.98.26 2 4 4 4 4 4 · 4 = 176 1 9,8 484 ·4 =1936 - 17 6 0 2 2 2,6 - 1936 0290
Per saber si hem realitzat correctament l’arrel quadrada, existeix la següent prova: Arrel2 + resta = radicand
244 2 + 290 = 59826
9
10
ESQUEMA RESUM
Sistema de numeració decimal
Suma i resta de números naturals
Les xifres d’aquests números ocupen de dreta a esquerra els següents ordres: unitats desenes centenes unitats de mil·liar desenes de mil·liar x10 centenes de mil·liar unitats de milió desenes de milió centenes de milió Per sumar o restar números naturals hem de col·locar-los de forma que els distints ordres coincideixin. Propietats de la suma: commutativa, associativa, element neutre
Producte de números naturals
Empram el producte de números quan volem realitzar una suma de varis sumands iguals. Propietats: commutativa, associativa, element neutre, distributiva.
Quocient de números naturals
Empram el quocient de números quan volem repartir una quantitat en parts iguals.
Potència de números naturals
Empram la potència quan volem realitzar un producte de varis factors iguals. a0 = 1 a1 = a 0 n = 0 10 n = 10...n... 1n = 1 Propietats: a n ·a m = a n + m a n : a m = a n−m
(a )
n m
Arrel quadrada de números naturals
= a n· m
Empram l’arrel quadrada quan volem realitzar l’operació inversa d’ “elevar al quadrat”.
11
ACTIVITATS 1- Resol i escriu el nom dels seus termes: a) 27965 + 482 + 3976 + 12942 = b) 82756 – 9789 = c) 820460 x 907 = d) 973514 x 642 = e) 598243 : 835 = f) 394256 : 92 = g) 5 3 = h) 120 = i)
4259 =
j)
594321 =
2- Comprova, mitjançant la prova corresponent, que estan ben fetes la resta, les dues divisions i les dues arrels. 3- Escriu amb lletres els resultats de les operacions.
4- Separa els números anteriors en la següent taula d’ordres: Número
c. mi
d. mi
u. mi
c. m
d. m
u. m
c
5- Escriu el número natural que te donarà quan facis la suma dels 15 primers números naturals. 6- Realitza la suma dels 10 primers números parells.
12
d
u
7- Substitueix els asteriscs per xifres, de manera que els resultats siguin vertaders: a) **** - 7643 = 2186 b) 46*2 - 2*3* = 1923 c) *06* - 25*3 = 3*95 d) 3**** - ***2 = 28899
8- Calcula la suma dels 20 primers números senars. 9- Cerca un número que sumat a 35094 doni 45875. 10- Escriu les propietats de la suma de números naturals i explica-les utilitzant dos exemples de cada una.
PROPIETATS
EXEMPLES
11- Escriu les propietats del producte de números naturals i explica-les utilitzant dos exemples de cada una.
PROPIETATS
EXEMPLES
13
12- Calcula el resultat de les següents expressions:
Quan trobam diverses operacions combinades: 1º. Realitza les operacions que trobis en parèntesis. 2º. Els productes i quocients. 3º. Les sumes i restes.
a) 7796 – 829 + 364 – 48 = b) 9900 – 704 – 5129 + 496 – 418 = c) 88324 – 24576 + 3770 + 4508 – 12540 + 641492 = d) 44326 – (7831 +3220 – 1489) = e) 99604 – (23186 – 4531 – 899) = f) (3892 – 634 + 10424) – 3945 = g) (344 – 220 + 33405) + (2530 +16118) = h) (68212 – 30326 + 6185) – (2639 – 2135 + 7166 – 2444) = i) 22 · 57 – 54 = j) 312 – 5 · 12 = k) 710 – 24 + 12 · 3 = l) 615 – 13 · 40 = m) 94 · 7 – 23 · 5 = ñ) 927 – 3 · (115 – 97) = o) 160 · (27 – 15 + 1) + (23 + 15) · 5 = p) (105 – 2 · 5) · 6 – (112 – 54) · 3 = q) 950 – (120 + 20) · 3 = r) 25 · (90 – 33) + 26 – 7 · 2 = s) 46 · (12 + 8) – (52 + 5 · 4) =
14
13- Escriu en forma de potència cada un dels següents productes de factors iguals, escrivint en vermell la base i en blau l’exponent. a) b) c) d) e)
7· 7· 7· 7= 17 · 17 · 17 = 8· 8· 8· 8· 8= 4· 4· 4· 4· 4· 4= 3· 3=
14- Expressa en forma de producte cada una de les següents potències i calcula el seu resultat. 54 = 43 = 35 = 15 2 = 10 6 =
15- Cerca el valor de les següents potències:
23 + 32 = 55 − 45 = 43 + 34 = 7 2 + 63 =
16- Calcula l’arrel quadrada dels següents números: 1175 – 3364 – 49729 – 5500 – 53361 – 2799 – 3452 – 63374 – 783 – 23123 – 12547 – 75386
15
PROBLEMES
1- Una persona guanya 464 € diàriament. Quant guanyarà en 78 dies? 2- Després d’efectuar una suma de dos sumands, s’ha tacat el paper podent llegir només el resultat (64389) i un dels sumands (7497). Podries ajudar-me a cercar l’altre sumand?
3- A un sac hi ha 27.856 llenties. Suposant que tots els sacs són iguals, quantes llenties hi ha en 27 sacs? 4- Una dotzena de pastissos costa 36 €. Quin és el preu de 7 pastissos? I de 58 pastissos? 5- Una bossa de 9 taronges costa 18 €. Quin és el preu de 67 taronges? 6- Amb els 600 € que tinc vull pagar les tres factures següents: una de 52 €, una altra de 74 € més que l’anterior i una tercera igual a la suma de les dues primeres. Quina quantitat he de pagar? Quants de diners em quedaran després de saldar els meus deutes? 7- Sabent que quatre números sumen 10254, i el primer és 1875. Troba els altres tres sumands sumant cada vegada 459 a l’anterior. 8- He comprat 15 quaderns de 15 pàgines cada un, cada pàgina té 15 línees de 15cm cada una. Quants de centímetres mediran totes les línees de tots els quaderns?
16
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ
1- Completa la següent taula, tenint en compte els valors de les lletres: a
b
c
32
8
4
350
25 5
4784
4
a·b
b:c
b·c+a
a:b-c
(a + b - c) : c
4
54320 10 2 65750 50 10
2- Al costat de cada propietat escriu el seu nom, comprovant-la o explicant-la: a) b) c) d) e) f) g)
12 · 1 = 12 27 + 0 = 27 60 + 12 = 12 + 60 14 · 2 = 2 · 14 (7· 3)· 4=7· (3· 4) (12 + 2 ) + 6 = 12 + ( 2 + 6 ) (14 + 20 ) · 5 = 14 · 5 + 20 · 5
3- Encercla, dels següents productes, els que es puguin expressar en forma de potència i explica per què no has encerclat alguns d’ells. a) b) c) d) e)
9· 9· 3 2· 2· 2· 2 10 · 10 · 10 4· 4· 9· 9 6· 5· 4· 3· 2· 1
17
4- Resol les següents expressions de dues maneres diferents:
6 2 ·6 3 = 6 2 ·6 3 = 6 5 = 7776
6 2 = 36 6 3 = 216 36·216 = 7776
2 5 ·2 2 = 33 ·3·35 = 43 : 4 = 58 : 5 4 = (33 ) 2 = (20 2 ) 2 =
[(10 ) ] = [(9 ) ] = 3 2 2
7 0 6
5- Completa la taula per als valors de x, y, z que se’t donen:
x
y
z
( x + y )2 2
4
6
12
10
8
40
60
80
1
9
20
7
3
5
y3 − z 2
18
x· y
(x + z )· y
(
)
x + y 2 ·y + z3
PROBLEMES
1- Quants segons tenen 846 dies? 2- Un insecte mou les ales 170 vegades per segon.
Quantes vegades haurà mogut les ales en 9 hores?
3- Un agricultor ha observat que d’un gra de blat en el seu camp neix una espiga que té 40 grans. Si ha sembrat 45.626 grans i sabent que cada 10 grans pesen 20 grams, quants de grams pesarà la collita que recollirà? 4- Cerca el darrer sumand d’una suma de cinc números de resultat 435479 sabent que el primer és 76392, i que els altres tres que el segueixen s’obté restant 467 a l’anterior.
5- Quants d’euros tendran 100 persones, si cada una té 10 bitllets de 100 € cada un?
6- Amb 12100 arbres es vol formar un quadrat col·locant-los en files. Quants d’arbres hi haurà a cada fila?
19
20