Física 2 BATXILLERAT_Pep Forteza y otros (català) by Edicions Talaiots

F´ISICA 2n Batxillerat

Grup Hipernova Pep Forteza Ferrer (Coordinador) Carlos Alonso Arias Agust´ı Ceba Herrero Llucia Sancho de la Jordana Xisco Solera Ripoll

Versi´o: 1.11 Darrera actualitzaci´o: 21/08/2015

Imatge de portada Universitat de Warwick

´Index

1 Eines matem` atiques 1.1 C` alcul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vectors unitaris . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Components cartesianes d’un vector 1.1.3 Operacions amb vectors . . . . . . . 1.1.4 Producte escalar . . . . . . . . . . . 1.1.5 Producte vectorial . . . . . . . . . . 1.2 C` alcul diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Derivades de magnituds vectorials . 1.3 C` alcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Integrals indefinides . . . . . . . . . 1.3.2 Integrals definides . . . . . . . . . . 1.3.3 Integral d’una funci´o vectorial . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

9 9 9 10 10 11 11 12 14 14 14 15 15 15

2 Mec` anica 2.1 Magnituds cinem` atiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Posici´ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Traject` oria, despla¸cament i espai recorregut . . . . . 2.1.3 Velocitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Acceleraci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Cinem` atica dels moviments simples . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Moviment rectilini uniforme (MRU) . . . . . . . . . 2.2.2 Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) 2.2.3 Composici´ o de moviments . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Moviment circular uniforme (MCU) . . . . . . . . . 2.2.5 Moviment circular uniformement accelerat (MCUA) 2.3 Din` amica del punt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Concepte de for¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Forces fonamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Lleis de la din` amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Quantitat de moviment . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Impuls mec` anic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Din` amica de rotaci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Moment d’una for¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Treball, energia i potència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Treball de forces variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Forces variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 For¸ca el` astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Treball realitzat per forces variables . . . . . . . . . 2.7 Energia cinètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Energia potencial. Forces conservatives . . . . . . . . . . . . 2.9 Principi de conservaci´ o de l’energia . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Teorema de conservació de l’energia mecànica . . . . 2.9.2 Gr` afiques d’energia potencial . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Forces no conservatives . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 17 17 17 18 20 20 20 20 21 22 22 22 22 23 24 24 24 25 25 26 27 27 27 27 28 28 29 30 30 31

. . . . . . . . . . . . .

´INDEX Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Interacci´ o gravitat` oria 3.1 Els inicis de l’astronomia . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lleis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Llei de Newton de la gravitaci´ o . . . . . . . . . . 3.4 Massa inercial i massa gravitat` oria . . . . . . . . 3.5 Camp gravitatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Principi de superposici´ o . . . . . . . . . . 3.6 Energia en el camp gravitatori . . . . . . . . . . 3.7 Potencial gravitatori . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Representaci´ o gr` afica de camps i potencials . . . 3.8.1 L´ınies de for¸ca . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Superf´ıcies equipotencials . . . . . . . . . 3.9 Moviment de sat`el·lits artificials . . . . . . . . . . 3.9.1 Velocitat orbital . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Moment angular . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3 Treball de llan¸cament i de canvi d’`orbita . 3.9.4 Velocitat d’escapament . . . . . . . . . . 3.10 Camp uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q¨ uestions PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criteris PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 36 37 39 39 40 40 41 42 42 42 43 43 43 43 44 44 44 48 50 52

4 Interacci´ o el` ectrica 4.1 Càrrega elèctrica . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Llei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Camp elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Energia potencial electrost` atica . . . . . . . 4.5 Potencial elèctric i diferència de potencial . 4.6 Representaci´ o gr` afica de camps i potencials 4.7 Camp elèctric uniforme . . . . . . . . . . . 4.8 Corrent elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q¨ uestions PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criteris PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

53 53 54 54 55 55 56 57 57 58 62 63 67

5 Magnetisme 5.1 Camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 For¸ca exercida per un camp magnètic . . . . . . . 5.2.1 For¸ca de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Moviment de c` arregues en un camp magnètic . . . 5.3.1 Selector de velocitats . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Determinaci´ o de la relaci´ o q/m de l’electró 5.3.3 Espectr` ometre de masses . . . . . . . . . . 5.3.4 Ciclotr´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 For¸ca magnètica sobre un conductor filiforme . . . 5.5 Fonts de camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

69 69 70 71 71 72 72 73 73 74 74

. . . . . . . . . . . .

ÍNDEX 5.5.1 Camp magnètic produ¨ıt per una càrrega puntual en moviment 5.5.2 Camp magnètic produ¨ıt per corrents: llei de Biot-Savart . . . . 5.6 Definici´ o d’ampère. For¸ca entre dos conductors . . . . . . . . . . . . . 5.7 Inducci´ o magnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Flux magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Llei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Llei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Generador i corrent altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q¨ uestions PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criteris PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

74 75 79 80 80 81 81 82 82 83 91 93 96

6 Moviment harm` onic simple i ones 6.1 Moviment harm` onic simple . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Massa unida a una molla . . . . . . . . . . . 6.1.2 Energia del moviment harmònic simple . . . . 6.1.3 Objecte penjant d’una molla vertical . . . . . 6.1.4 Pèndol simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Moviment ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Concepte d’ona . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Tipus d’ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Ones harm` oniques o sinuso¨ıdals . . . . . . . . 6.2.4 Energia i intensitat del moviment ondulatori 6.3 Ones sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Velocitat de les ones sonores . . . . . . . . . . 6.3.2 Qualitats del so . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Sensaci´ o sonora i decibel . . . . . . . . . . . . 6.4 Fen` omens ondulatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Front d’ona i raig . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Principi de Huygens . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Reflexi´ o i refracci´ o . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Interferència . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5 Difracci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6 Polaritzaci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.7 Efecte Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.8 Ones estacion` aries . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q¨ uestions PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criteris PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97 97 99 99 100 101 102 103 105 107 107 107 108 108 108 108 109 110 110 111 112 112 113 115 120 122 123

` 7 Optica 7.1 Teories interpretatives de la llum . . . 7.1.1 Teoria corpuscular . . . . . . . 7.1.2 Teoria ondulat` oria . . . . . . . 7.1.3 Doble naturalesa de la llum . . 7.2 Naturalesa electromagn`etica de la llum 7.3 L’espectre electromagn`etic . . . . . . .

. . . . . .

125 125 125 125 125 125 126

. . . . . .

´INDEX 7.4 7.5

Reflexi´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refracci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Reflexi´ o total interna . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Dispersi´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 7.7 Optica geomètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Imatge d’un punt . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Un sistema de referència i un criteri de signes 7.7.3 Aproximaci´ o paraxial . . . . . . . . . . . . . 7.8 Miralls plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Imatges m´ ultiples formades per varis miralls . 7.9 Miralls esfèrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1 Diagrames de raigs per als miralls . . . . . . 7.9.2 Augment de la imatge . . . . . . . . . . . . . 7.10 Dioptre: imatges formades per refracció . . . . . . . 7.11 Lents primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.1 Tipus de lents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.2 Diagrames de raigs per a lents primes . . . . 7.11.3 Augment de la imatge . . . . . . . . . . . . . 7.11.4 Potència d’una lent . . . . . . . . . . . . . . . 7.11.5 Lents m´ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12 Instruments ` optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12.1 Ull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12.2 Lupa o microscopi simple . . . . . . . . . . . 7.12.3 C` amera fotogr` afica . . . . . . . . . . . . . . . 7.12.4 Microscopi compost . . . . . . . . . . . . . . 7.12.5 Telescopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q¨ uestions PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criteris PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 F´ısica moderna 8.1 Relativitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Relativitat newtoniana . . . . . . . . . . . 8.1.2 Experiment de Michelson-Morley . . . . . 8.1.3 Postulats d’Einstein . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Transformaci´ o de Lorentz . . . . . . . . . 8.1.5 Conseq¨ uències dels postulats d’Einstein . 8.1.6 Massa i energia relativista . . . . . . . . . 8.1.7 Llei fonamental de la din` amica . . . . . . 8.2 F´ısica qu` antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Radiaci´ o tèrmica i hip` otesi de Planck . . 8.2.2 Efecte fotoelèctric . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Efecte Compton . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Espectres at` omics i model atòmic de Bohr 8.2.5 Dualitat ona-corpuscle . . . . . . . . . . . 8.2.6 Principi d’incertesa de Heisenberg . . . . 8.3 F´ısica nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Radioactivitat . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 El nucli at` omic . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 129 130 130 131 131 131 132 132 132 133 134 135 135 137 138 138 139 140 140 140 140 142 142 142 142 143 149 151 153

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 155 155 156 157 158 158 160 160 161 161 163 164 164 165 166 166 166 167

ÍNDEX 8.3.3 Interacci´ o forta i estabilitat nuclear . 8.3.4 Processos i sèries radioactives . . . . 8.3.5 Reaccions nuclears . . . . . . . . . . 8.3.6 Fissi´ o i fusi´ o nuclear . . . . . . . . . 8.3.7 Llei de desintegraci´ o radioactiva . . 8.3.8 Efectes de la radiació . . . . . . . . . 8.3.9 Aplicacions dels radioisòtops . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q¨ uestions PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criteris PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

167 169 171 171 172 173 174 174 181 183 183

A Prova de F´ısica a la PAU de la UIB 185 A.1 Estructura de l’examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.2 Criteris generals d’avaluaci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 B Sistemes de mesura B.1 Magnituds fonamentals i derivades . B.2 Dimensions de les magnituds f´ısiques B.3 El Sistema Internacional d’Unitats . B.4 Notaci´ o cient´ıfica . . . . . . . . . . . B.5 Xifres significatives . . . . . . . . . . B.6 Ordre de magnitud . . . . . . . . . . B.7 Mesures i errors . . . . . . . . . . . . B.7.1 Imperfecci´ o dels instruments i B.7.2 Errors . . . . . . . . . . . . . B.7.3 Expressi´ o dels errors . . . . . B.7.4 Dades experimentals . . . . . B.7.5 Valor m´es probable . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sensibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

C Llibre d’estil

187 187 187 188 188 189 190 190 190 191 191 192 192 193 195

D Operadors matem` atics i alfabet grec 197 D.1 Operadors i s´ımbols matem`atics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 D.2 Alfabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 E Solucions E.1 Eines matem` atiques . . . . . . . E.2 Mec` anica . . . . . . . . . . . . . E.3 Interacci´ o gravitat` oria . . . . . . E.4 Interacci´ o el`ectrica . . . . . . . . E.5 Magnetisme . . . . . . . . . . . . E.6 Moviment harm` onic simple i ones ` E.7 Optica . . . . . . . . . . . . . . . E.8 F´ısica moderna . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

F Constants f´ısiques i valors num` erics

. . . . . . . .

199 199 199 199 200 201 202 203 204 205

Eines matem`atiques 1.1 C` alcul vectorial

Moltes de les magnituds que s’empren en mecànica queden totalment definides per un valor numèric acompanyat de la unitat corresponent. Aquestes magnituds s’anomenen escalars. Exemples de magnituds escalars s´ on la massa, el temps i el volum. No obstant, per definir un altre grup de magnituds f´ısiques, no basta amb un valor numèric, sinó que també cal definir la direcció i sentit de la magnitud. Aquestes magnituds són dirigides o vectorials, com ara la velocitat, l’acceleració i la for¸ca. Per tractar aquestes magnituds emprarem els vectors. Un vector s’indica gr` aficament per un segment orientat la direcció i sentit del qual es corresponen amb els de la magnitud representada i la longitud del vector és proporcional al valor numèric en la unitat adequada.

Figura 1.1: Representaci´o gr`afica d’un vector.

Les magnituds vectorials es poden simbolitzar o bé en negreta v o bé amb una fletxa superior → − v . Les magnituds escalars es representen sense fletxa. Els mòduls o part numèrica dels vectors es simbolitzen |v| = v.

1.1.1

Vectors unitaris

Un vector unitari és tot aquell vector que té un mòdul unitat, |u| = 1, sigui quina sigui la direcció i sentit. En moltes ocasions aquest vector durà un sub´ındex que indicarà la seva direcció. Per exemple, el vector ur és un vector unitari en la direcció del vector r. ur =

r −→ r = rur r

1.1

Els vectors unitaris que des de l’origen de coordenades es dirigeixen cap a valors creixents de cada un dels eixos cartesians x, y i z es denominen i (o ux ), j (o uy ) i k (o uz ), respectivament. 9

` CAP´ITOL 1. EINES MATEMATIQUES

Figura 1.2: Components d’un vector en el pla (esquerra) i en l’espai tridimensional (dreta) emprant eixos cartesians.

1.1.2

Components cartesianes d’un vector

En el pla podem considerar un vector v com a suma de dos vectors diferents, els quals anomenam components. De les infinites possibilitats de descomposició del vector, el cas més interessant es dóna quan les direccions elegides s´ on perpendiculars entre si formant un sistema d’eixos cartesians x i y: v = vx + vy . Per representar l’espai f´ısic de forma més general utilitzarem tres eixos perpendiculars x, y i z per representar l’espai ordinari tridimensional. Emprant els vectors unitaris segons els eixos cartesians, resulta: v = vx + vy + vz = vx i + vy j + vz k 1.2 on vx , vy i vz s´ on les components cartesianes del vector v, les quals també permeten expressar el vector de forma simb` olica com v = (vx , vy , vz ).

1.1.3

Operacions amb vectors

Si definim els vectors p = (px , py , pz ) i q = (qx , qy , qz ) i l’escalar n podem obtenir les expressions per a les operacions simples de vectors: Suma de dos vectors p + q = (px + qx , py + qy , pz + qz )

1.3

Figura 1.3: Obtenci´ o gr` afica de la suma de vectors per la regla del paral·lelogram (per dos vectors) i la regla del pol´ıgon (per qualsevol nombre de vectors).

` 1.1. CALCUL VECTORIAL Producte per un escalar np = (npx , npy , npz ) M` odul d’un vector p = |p| = Vector unitari up =

1.1.4

q p2x + p2y + p2z

px py pz p = i+ j+ k p p p p

1.4 1.5 1.6

Producte escalar

El producte escalar de dos vectors és una operació que associa a cada parell de vectors un nombre real; és a dir, que de dues magnituds vectorials obtenim una magnitud escalar. El producte escalar dels vectors p i q, que es representa per p · q, es defineix com el producte dels m` oduls d’ambd´ os vectors pel cosinus de l’angle menor, θ, que formen les seves direccions: p · q = |p||q| cos θ

1.7

El producte escalar és commutatiu, p · q = q · p, i es pot interpretar gràficament, com s’indica a la Figura 1.4, a partir de la projecció d’un vector sobre l’altre.

Figura 1.4: Interpretaci´ o gr` afica del producte escalar com a projecci´o del vector q sobre el vector p.

Emprant la propietat distributiva del producte escalar i tenint en compte els productes escalars entre els vectors unitaris i · i = j · j = k · k = 1;

i·j=i·k=j·k=0

1.8

podem expressar el producte escalar en funci´o de les components dels dos vectors: p · q = px qx + py qy + pz qz

1.9

El treball ´es un exemple de magnitud f´ısica escalar obtinguda com a producte escalar de dues magnituds vectorials, la for¸ca i el despla¸cament.

1.1.5

Producte vectorial

El producte vectorial de dos vectors és una operació que associa a cada parell de vectors un altre vector; és a dir, que de cada parell de magnituds vectorials n’obtenim un altre de vectorial. El producte vectorial dels vectors p i q, que es representa per p × q, és un nou vector que compleix les seg¨ uents caracter´ıstiques: • M` odul: |p × q| = |p||q| sin θ 11

` CAP´ITOL 1. EINES MATEMATIQUES

Figura 1.5: Orientaci´ o del producte vectorial (esquerra) i càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram com a mòdul del producte vectorial (dreta).

• Direcció: perpendicular al pla definit per p i q. • Sentit: el d’avan¸cament d’un gramp´ o o llevataps quan giram de p cap a q pel cam´ı més curt (positiu en sentit antihorari i negatiu en sentit horari). El producte vectorial no és commutatiu, sinó anticommutatiu, p × q = −q × p. Geomètricament el producte vectorial es pot interpretar com l’àrea del paral·lelogram que determinen els vectors que es multipliquen (Figura 1.5). El producte vectorial de dos vectors paral·lels és igual a zero, per tant: i×i=j×j=k×k=0 1.10 Si aplicam la propietat distributiva al producte vectorial en forma de components cartesianes i tenim en compte el producte vectorial dels vectors unitaris: i × j = k; j × k = i; k×i=j 1.11 obtenim una expressi´ o anal´ıtica del producte vectorial. p × q = (py qz − pz qy ) i + (pz qx − px qz ) j + (px qy − py qx ) k 1.12 El producte vectorial també es pot expressar de forma més compacte com a determinant de rang 3×3:

i j k

p × q =

px py pz

1.13

qx qy qz

Exemples de magnituds obtingudes mitjan¸cant el producte vectorial s´on el moment d’una for¸ca, el moment angular i la for¸ca de Lorentz.

1.2 C` alcul diferencial Quan s’indica que f és una funci´ o de x, volem dir que per a cada valor de x hi ha un valor corresponent de f . Per indicar que f és funci´ o de x s’indica f (x). A la Figura 1.6 s’observa un gràfic de f en funció de x per a una funci´ o t´ıpica f (x). Per a un valor particular de x = x1 , f té el valor f1 . Per a un altre valor x2 , f val f2 . La variaci´ o de x s’indica com ∆x = x2 − x1 i la variació de f com ∆f = f2 − f1 . El quocient ∆f /∆x és el pendent de la recta que connecta el punt (x1 , f1 ) amb el punt (x2 , f2 ). Si feim ∆x cada cop més petit, la recta que uneix els dos punts es va acostant a la recta tangent a la corba

` 1.2. CALCUL DIFERENCIAL en el punt (x1 , f1 ). El pendent d’aquesta tangent s’anomena derivada de f respecte a x i s’indica df /dx o b´e f 0 : df ∆f = f 0 = lim ∆x→0 dx ∆x

1.14

A continuaci´ o s’indiquen les derivades de les principals funcions

f (x) = k, k ∈ R

−→

f 0 (x) = 0

f (x) = xn √ f (x) = x

−→ −→

f 0 (x) = nxn−1 1 f 0 (x) = √ 2 x

f (x) = ex

−→

f (x) = ln x

−→

f (x) = sin x

−→

f 0 (x) = ex 1 f 0 (x) = x f 0 (x) = cos x

f (x) = cos x

−→

f 0 (x) = − sin x

1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21

aix´ı com les regles de derivaci´ o:

f (x) = g(x) + h(x) −→ f (x) = k g(x) −→ f (x) = g(x)h(x) −→ g(x) −→ f (x) = h(x) f (x) = g[h(x)] −→

f 0 (x) = g 0 (x) + h0 (x) f 0 (x) = k g 0 (x) f 0 (x) = g 0 (x)h(x) + g(x)h0 (x) g 0 (x)h(x) − g(x)h0 (x) f 0 (x) = [h(x)]2 f 0 (x) = g 0 [h(x)]h0 (x)

1.22 1.23 1.24 1.25 1.26

Figura 1.6: Construcci´ o gr` afica de la definici´o de la derivada com a pendent de la recta tangent a un punt de la corba i la seva definici´ o.

` CAP´ITOL 1. EINES MATEMATIQUES

1.2.1

Derivades de magnituds vectorials

Per derivar un vector, derivarem cada una de les components respecte a l’escalar seleccionat. Per exemple, si volem derivar el vector r(t) = rx (t)i + ry (t)j + rz (t)k respecte al temps: dry drz dr drx = r0 (t) = i+ j+ k dt dt dt dt

1.27

1.3 C` alcul integral Donada una funci´ o f , podem trobar una altra funció F la derivada de la qual sigui f . La funció F rep el nom de primitiva de f . F 0 (x) = f (x) 1.28 Per exemple, si f (x) = 3x2 , una primitiva de f seria F (x) = x3 , ja que compleix que F 0 (x) = f (x). Però F1 (x) = x3 − 3, F2 (x) = x3 + 5 i, en general, F (x) = x3 + C, on C és una constant, també són primitives de f , ja que la derivada de totes elles és 3x2 .

1.3.1

Integrals indefinides

Hem vist que una funci´ o no té una u ńica primitiva i que la diferència entre dues qualsevols d’aquestes primitives és una constant. El conjunt format per totes les primitives d’una funció f rep el nom d’integral indefinida i es denota per: Z f (x)dx = F (x) + C 1.29 on C és un nombre real i s’anomena constant d’integració i el terme de l’esquerra es llegeix com integral de f diferencial de x. A continuaci´ o es llisten les integrals indefinides més freq¨ uents: Z kdx = kx + C 1.30 Z xn+1 +C 1.31 xn dx = n+1 Z 1 dx = ln |x| + C 1.32 x Z 1.33 ex dx = ex + C Z sin xdx = − cos x + C 1.34 Z cos xdx = sin x + C 1.35 Del comportament de la derivada respecte de la suma de funcions i de la multiplicació d’una funció per una constant, se n’obtenen les seg¨ uents propietats per a les integrals indefinides: Z Z 1.36 k f (x)dx = k f (x)dx Z Z Z [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx 1.37

ACTIVITATS

Figura 1.7: L’` area de l’element ombrejat ´es aproximadament fi ∆xi , on fi s’avalua en qualsevol punt de l’interval.

1.3.2

Integrals definides

A més de ser l’operaci´ o inversa de la derivació, la integració està relacionada amb el problema de trobar l’` area entre una corba i l’eix d’abscisses (Figura 1.7). Z x2 X ` fi ∆xi = Area = lim f dx 1.38 ∆xi →0

La relaci´ o entre aquesta ` area i la integral de la funció que defineix la corba ve donada pel teorema de Barrow. Si f és una funci´ o continua i positiva en l’interval [a, b] i F és una primitiva de f , l’àrea limitada per la corba y = f (x), l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b és igual a F (b) − F (a). Z a

1.3.3

f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a)

1.39

Integral d’una funci´ o vectorial

La manera d’integrar un vector coincideix amb la manera de derivar-los: si es coneixen les components del vector, les components de la integral, ja sigui definida o indefinida, s´on les integrals de cadascuna en la forma habitual. Per exemple, si volem integrar el vector v(t) = vx (t)i + vy (t)j + vz (t)k respecte del temps: Z Z Z Z V(t) = vdt = i vx dt + j vy dt + k vz dt 1.40 En efectuar una integral indefinida d’un vector obtindrem tres constants d’integraci´o, Cx , Cy i Cz , cadascuna de les quals correspon a una de les components del vector.

Activitats 1. Anomena cinc magnituds escalars i cinc magnituds vectorials. 2. Troba un vector unitari en la direcci´o (3, −1, 4). 15

` CAPÍTOL 1. EINES MATEMATIQUES 3. Donats els vectors a = (2, 5, −3) i b = (5, 5, 2) calcula (a) el mòdul de cadascun d’ells, (b) el producte escalar a · b, (c) el producte vectorial a × b i (d) l’angle que formen. ´ u 4. Donat el vector v = −2i + 4j − 3k, calcula el vector unitari en la direcció v. Es ńic? 5. Calcula l’angle que formen els vectors a = (2, 1, 1) i b = (5, 4, 1). 6. Calcula l’` area del triangle de vèrtexs: A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 5) i C = (−1, 2, 4). ´ possible que la suma de dos vectors de mòdul 3 i 8 respectivament, doni un vector de mòdul 7. Es 4? I un de m` odul 2? 8. Deriva les seg¨ uents funcions matem` atiques: (a) y = x3 + 3x2 + 5 (b) y = cos2 x (c) y = sin 3x2 + 5x + π √ (d) y = cos 5x

9. Calcula i expressa les funcions derivades i el seu valor quan la variable independent val 3. (a) f (x) = sin2 x (b) f (x) = sin x2

(c) s(t) = 2t2 cos 4t (d) h(v) = 2v 2 /(3 + v) 10. Calcula la funci´ o derivada del vector r(t) = (4t sin t) i + 7t2 − 8t + 9 j + −2t3 + 7t + 10 k. 11. Calcula les seg¨ uents integrals indefinides: R 3 (a) x dx R √ 3 x2 dx (b) R (c) 8xdx R (d) (3x + ex + 2) dx 12. Calcula l’` area de la superf´ıcie limitada per la corba f (x) = x2 + 2x − 3, l’eix d’abscisses i les rectes x = 2 i x = 5. 13. Calcula el valor de la integral entre t = 1 i t = 4 del vector a = (3t − 3) i + 6t2 − 1 j + 2k.