MATEMÁTICAS PROGRAMA DE CUALIFICACIÓN PROFESIONAL INICIAL MÓDULO: APRENDIZAJES INSTRUMENTALES BÁSICOS
Joana Maria Coll Servera Fernando Forteza Coll
© 2012 EDICIONS TALAIOTS, S.L. Se reservan todos los derechos. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida por ningún medio sin el permiso del autor
Edita: EDICIONS TALAIOTS, S.L. C/. Castelló de la Plana, 30 07181 Palmanova (Calvià) Tel. 971 75 16 04 Impresión y maquetación: INSTITUT - Impremta Digital (Palma) Autores: Joana Maria Coll Servera y Fernando Forteza Coll Diseño portada: visioglobal.com ISBN: 978-84-939484-8-1 Depósito Legal: DL-PM-741-2012
PRESENTACIÓN Este libro de Matemáticas ha sido elaborado para favorecer la transición de los alumnos desde el sistema educativo al laboral, permitiéndoles seguir la formación, dándoles la posibilidad de ampliar sus competencias básicas para proseguir estudios en las diferentes enseñanzas y facilitándoles el desarrollo de los objetivos mínimos de la ESO. Desarrollando su capacidad de seguir aprendiendo, conectando las necesidades y finalidades del sistema educativo con las del sistema productivo. Deseamos que en este texto todos los alumnos, tanto los que habían abandonado sus estudios como los que se ven indefensos para enfrentarse al aprendizaje habiendo cometido durante su aprendizaje algunos errores (impuntualidad, falta de atención, de concentración, de interés, irresponsabilidad…), encuentren una herramienta útil. En lo relativo a la estructura del libro, es importante destacar: Ofrece un estudio activo de esta materia intentando que los alumnos se hagan preguntas sobre los conceptos estudiados. En referencia a las operaciones (cálculo) que ofrece es importante utilizar los siguientes procedimientos: •
Combinación del cálculo escrito con el mental.
•
Utilización del cálculo aproximado.
•
Utilización de la calculadora (reflejado en el anexo).
La resolución de problemas es uno de los apartados fundamentales, por ello podemos encontrarlos en cada unidad del libro en el apartado de “actividades” y “actividades de ampliación”, ya que desarrollan : •
El pensamiento lógico.
•
La capacidad de razonamiento.
•
La capacidad de lectura comprensiva.
Finalmente deseamos que este libro sirva para proporcionar una sólida base a los alumnos que deseen insertarse en el mundo laboral o seguir posteriores estudios.
Los autores
ÍNDICE Unidad 1: NÚMEROS NATURALES ................................... •
Sistema de numeración decimal.
•
Operaciones con números naturales.
Unidad 2: NÚMEROS ENTEROS ............................................. •
Valor absoluto y ordenación de números enteros.
•
Operaciones con números enteros.
Unidad 3: NÚMEROS DECIMALES ......................................... •
Sistema de numeración decimal.
•
Operaciones con números decimales:
•
Aproximación de números decimales.
Unidad 4: DIVISIBILIDAD ........................................................
1
21
39
53
• Divisor y múltiplo. • Criterios de divisibilidad. • Números primos y compuestos. • Descomposición de un número en factores primos. • Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Unidad 5: NÚMEROS RACIONALES....................................... • Fracciones y su clasificación. • Simplificar fracciones. • Reducción de fracciones a mínimo común denominador. Operaciones.
• Conversión de fracción a número decimal y viceversa.
71
Unidad 6: MAGNITUDES Y MEDIDAS ............................
95
•
Medidas de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa.
•
Relación entre unidades de volumen, capacidad y masa.
•
Medidas de tiempo.
•
Sistema monetario.
•
Números complejos incomplejos.
Unidad 7: PROPORCIONALIDAD ...................................... •
Razón y proporción.
•
Regla de tres simple.
•
Regla de tres compuesta.
•
Reparto proporcional.
•
Interés.
•
Descuento.
Unidad 8: ECUACIONES ........................................................ •
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
•
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
•
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Unidad 9: GEOMETRÍA PLANA.......................................... •
Conceptos fundamentales
•
Clasificación de ángulos.
•
Polígonos.
•
Circunferencia y círculo.
•
Semejanzas y movimientos en el plano.
115
133
155
Unidad 10: ÁREAS FIGURAS PLANAS ................................ •
Áreas de figuras planas.
•
Longitud i áreas de figuras circulares.
Unidad 11: CUERPOS GEOMÉTRICOS .............................. •
Poliedros y su clasificación.
•
Cuerpos de revolución y su clasificación.
•
Área y volumen de cuerpos geométricos.
Unidad 12: ESTADÍSTICA ....................................................... •
¿Cómo se realiza una estadística?
•
Frecuencias.
•
Gráficos.
•
Medidas de centralización:
•
Medidas de dispersión:
Anexo: USO DE LA CALCULADORA Y DE LOS TICs ....... •
Usando la calculadora.
•
Conociendo los TICs.
BIBLIOGRAFÍA ...........................................................................
179
193
207
223
227
1
NÚMEROS NATURALES
ESQUEMA DE LA UNIDAD
NÚMEROS NATURALES
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
SUMA Y RESTA
PRODUCTO Y DIVISIÓN
PROPIEDADES
1
POTENCIA Y RAÍZ CUADRADA
RECUERDA LOS NÚMEROS QUE EMPLEAMOS PARA CONTAR OBJETOS U OTRAS COSAS SE LLAMAN NÚMEROS NATURALES. Ponte a prueba:
AL SACO
No se trata de encontrar un tesoro en el saco, sino de poner a prueba tu percepción visual y contar cuántos sacos hay visibles.
¡PÁSAME EL “KETCHUP”! Tenemos doce botes de tomate ketchup para hacer un montón de perritos calientes. Su numeración sigue una secuencia lógica. ¿Puedes adivinar cuál es el dígito que falta?
2
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Se llama así porque cada unidad superior vale diez veces más que su unidad de orden inferior inmediata. Se encuentra formado por los siguientes órdenes: -
Unidades (u) Decenas (d) = 10 u Centenas (c) = 10 d = 100 u Unidades de millar (u. m.) =10 c =100 d = 1000 u Decenas de millar (d. m.) = 10 u m = 100 c = 1000 d = 10000 u Centenas de millar (c. m.) = 10 d m = 100 u m = 1000 c = 10000 d = 100000 u Unidades de millón (u. mi.) = 10 c m = 100 d m = 1000 u m = 10000 c = … Decenas de millón (d. mi.) = 10 u mi = 100 c m = 1000 d m = 10000 u m = … Centenas de millón (c. mi.) = 10 d mi = 100 u mi = 1000 c m = 10000 d m = … Ejemplo: El número 680429735 se encuentra formado por los siguientes órdenes:
c. mi. d. mi. u. mi. c. m. d. m. u. m. c. d. u. 6
8
0
4
2
9
7
3
5
Siendo su descomposición:
680429735 = 600000000 + 80000000 + 400000 + 20000 + 9000 + 700 +30 + 5
Observando el ejemplo, intenta descomponer los siguientes números en sus distintos órdenes y represéntalos mediante su descomposición: 46983 – 50729 – 946 – 9427 – 49 – 197365 – 804700 - 25905
3
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Suma de números naturales Para sumar números naturales debemos colocarlos de forma que los órdenes de los distintos números coincidan. 54298+941+1256= 56495 54298 + 941 1256 5 6 4 9 5 ----
Sumandos Suma total
Propiedades
Conmutativa
12 + 5 = 5 + 12
Asociativa
(5 + 74) + 4 = 5 + (74 + 4)
Elemento neutro 42 + 0 = 42
Resta de números naturales Para restar números naturales debemos colocarlos igual que en la suma de modo que los órdenes de los distintos números coincidan. 8524– 681=7843 _ 8 5 2 4 ------ minuendo 6 8 1 ------ sustraendo 7 8 4 3 ------ resto o diferencia Para saber si hemos realizado correctamente la resta, existe la siguiente prueba:
Sustraendo + resto o diferencia = minuendo 681
+
7843
4
= 8524
FLORES RARAS
La Numericus petiolada es una flor muy rara que sólo crece en las páginas de este libro de matemáticas. Cada pétalo tiene un número que guarda una relación lógica con la propia flor. ¿Puedes decirnos qué números faltan en la tercera?. ¡Ten mucho cuidado con las espinas!
Producto de números naturales El producto de números se emplea cuando queremos realizar una suma de varios sumandos iguales. 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 12 · 10 = 120
5612 · 59=331108 5 6 1 2 ------ multiplicando x 5 9 ------ multiplicador 50508 productos parciales 28060 3 3 1 1 0 8 ------ producto total
factores
-
Cuando los factores de un producto acaban con ceros, estos no se multiplican añadiéndolos al producto total.
-
Cuando el multiplicador tiene algunos ceros intermedios, tampoco se multiplican pero en el producto parcial se deja un espacio por cada uno de los ceros.
5
Propiedades Conmutativa
9· 7=7· 9
Asociativa
(6 · 4 ) · 3 = 6 · (4 · 3)
Elemento neutro 8 · 1 = 8 Distributiva
(8 + 9) · 2 = 8 · 2 + 9 · 2
División de números naturales La división de números se emplea cuando queremos repartir una cantidad en partes iguales. 756 : 12 = 63
resto = 0
dividendo ---- 7 5 6 036 resto ---00
12 ---- divisor 6 3 ---- cociente
Para saber si hemos realizado correctamente la división, existe la siguiente prueba: Cociente · divisor + resto = dividendo 63
· 12
+ 0 = 756
Producto y división por la unidad seguida de ceros - Al multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros, el resultado es el mismo número acompañado de tantos ceros como tenga la unidad. 234 · 10000 = 2340000 -
Al dividir un número natural por la unidad seguida de ceros, el resultado será el mismo número separando, con una coma, de derecha a izquierda, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad (si las cifras no bastan se completan con ceros). 56: 10 = 5,6 436 : 1000 = 0,436 4 : 100 = 0,04
6
Potencia de números naturales La potencia se emplea cuando queremos realizar un producto de varios factores iguales. 23 · 23 · 23 · 23 · 23 = 235 = 6436343 exponente 23
5
base -
Las potencias de exponente cero siempre tienen como resultado la unidad. 90 = 1 ,
-
Las potencias que tienen de exponente la unidad, el resultado siempre es la misma base. 71 = 7 ,
-
112 = 1 …
Cualquier potencia cuya base es el número cero, el resultado es el cero. 07 = 0 ,
-
341 = 34 …
Cualquier potencia cuya base es la unidad, el resultado siempre es la unidad. 19 = 1 ,
-
450 = 1 …
0 42 = 0 …
Las potencias de base 10, su resultado es la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. 10 8 = 100000000 ,
7
10 4 = 10000 …
Propiedades
Producto de potencias con la misma base
6 2 ·6·6 3 = 6 2+1+3 = 6 6
Cociente de potencias con la misma base
7 8 : 7 3 = 7 8−3 = 7 5 117 = 117 − 4 = 113 4 11
(4 )
Potencia de otra potencia
2 3
= 4 2 ·3 = 4 6
[(32 ) ] = 32 3 2 5
2 ·5 ·3
= 32 30
Raíz cuadrada de números naturales Es la operación inversa de “elevar al cuadrado”.
índice radical
2
121 = 11
raíz
base o radicando
Hallar la raíz cuadrada de un número es buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado dicho número. Sin embargo, hay muchos números que no tienen raíz cuadrada exacta y para hallarla debemos seguir los siguientes pasos:
8
Se separan las cifras del radicando, con un punto o una coma, de derecha a izquierda de dos en dos.
5.98.26
El primer grupo de la izquierda puede tener una o dos cifras. Se halla la raíz cuadrada del grupo de la izquierda. El número natural cuyo cuadrado se acerca más a 5 es 2, 2 2 = 4. Por tanto, la primera cifra de la raíz es 2, y se calcula la diferencia: 5–4=1
5.98.26 2 - 4 1
A la derecha del resto (1) se baja el grupo siguiente de cifras (98), y debajo de la raíz hallada (2) se escribe el doble de ésta (4).
5.98.26 2 -4 4 1 98
De 198 se separa la cifra de la derecha (8), y el número que queda a la izquierda (19) se divide entre 4, doble de la raíz hallada.
5.98.26 2 -4 44 19,8
El cociente (4) se pone a continuación de 4 y se forma el número 44.
19 : 4 = 4
El número 44 se multiplica por 4 y da 176. Como 176 es 5.98.26 24 menor que 198 se puede restar para volver a hallar el resto. -4 4 4 · 4 = 176 1 9,8 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz. -176 022 Si el resultado de la multiplicación hubiese sido mayor no habría ido bien, por tanto se tendría que haber escrito el 3 en lugar del 4. Si hay más cifras en el radicando bajaremos las dos cifras siguientes, realizando los pasos anteriores (doble de la raíz, separa las unidades del resto para dividir lo que queda por el doble) y, así, sucesivamente.
5.98.26 2 4 4 4 4 4 · 4 = 176 1 9,8 484 · 4 = 1936 - 17 6 0 2 2 2,6 - 1936 0290
Para saber si hemos realizado correctamente la raíz cuadrada , existe la siguiente prueba:
Raíz2 + resto = radicando
9
244 2 + 290 59826 OCULTA DESCUBRE LA= FRASE
Detrás de cada operación se esconde una letra, descúbrelas y habrás conseguido la frase. A=1 E=3 I=4 O=5 U=8 C = 16 D = 18 L = 19 M = 20 N = 48 P = 82 Q = 90 R = 100 S = 216 T = 225
9+7
96:2
358-142
3 2 ·2
24
6-1
12·4
23
400
8+7-12
(7 + 2)
2·3+2
9
25
42
57:3
125:25
64
30+52
12+8
8−7
(6 + 4)2
7 0 ·3
432:2
30·3
15 2
82
4 3 ·3 + 24
500:100
10
8·9·3
741-723
10 2
36 − 2
29:29
126:42
1
18:6
200 2
50·2
ESQUEMA RESUMEN
Sistema de numeración decimal
Suma y reta de números naturales
Las cifras de dichos números ocupan de derecha a izquierda los siguientes órdenes: unidades decenas centenas unidades de millar decenas de millar x10 centenas de millar unidades de millón decenas de millón centenas de millón Para sumar o restar números naturales debemos colocarlos de forma que órdenes de los distintos números coincidan. Propiedades de la suma: conmutativa, asociativa, elemento neutro.
Producto de números naturales
Emplearemos el producto de números cuando queramos realizar una suma de varios sumandos iguales. Propiedades: conmutativa, asociativa, elemento neutro, distributiva.
División de números naturales
Emplearemos la división de números cuando queramos repartir una cantidad en partes iguales.
Potencia de números naturales
Emplearemos la potencia cuando queramos realizar un producto de varios factores iguales. a0 = 1 a1 = a 0 n = 0 10 n = 10...n... 1n = 1 Propiedades: a n ·a m = a n + m a n : a m = a n−m
(a )
n m
Raíz cuadrada de números naturales
= a n· m
Emplearemos la raíz cuadrada cuando queramos realizar la operación inversa de “elevar al cuadrado”.
11
ACTIVIDADES 1- Resuelve y escribe el nombre de sus términos: a) 27965 + 482 + 3976 + 12942 = b) 82756 – 9789 = c) 820460 x 907 = d) 973514 x 642 = e) 598243 : 835 = f) 394256 : 92 = g) 5 3 = h) 120 = i)
4259 =
j)
594321 =
2- Comprueba, mediante la prueba correspondiente, que estén bien hechas la resta, las dos divisiones y las dos raíces. 3- Escribe con letras los resultados de las operaciones.
4- Separa los números anteriores en la siguiente tabla de órdenes: Número c. mi d. mi u. mi c. m d. m u. m c d u
5- Escribe el número natural que te dará cuando realices la suma de los 15 primeros números naturales.
12
6- Realiza la suma de los 10 primeros números pares. 7- Sustituye los asteriscos, de modo que el resultado sea verdadero: a) **** - 7643 = 2186 b) 46*2 - 2*3* = 1923 c) *06* - 25*3 = 3*95 d) 3**** - ***2 = 28899
8- Calcula la suma de los 20 primeros números impares.
9- Halla un número que sumado con 35094 dé 45875.
10- Escribe las propiedades de la suma de números naturales y explícalas utilizando dos ejemplos en cada una.
PROPIEDADES
EJEMPLOS
11- Escribe las propiedades del producto de números naturales y explícalas utilizando dos ejemplos en cada una.
PROPIEDADES
EJEMPLOS
13
12- Calcula el resultado de las siguientes expresiones:
Cuando hay diversas operaciones combinadas: 1º. Realiza las operaciones que encuentres entre paréntesis. 2º. Los productos y divisiones 3º. Las sumas y restas.
a) 7796 – 829 + 364 – 48 = b) 9900 – 704 – 5129 + 496 – 418 = c) 88324 – 24576 + 3770 + 4508 – 12540 + 641492 = d) 44326 – (7831 +3220 – 1489) = e) 99604 – (23186 – 4531 – 899) = f) (3892 – 634 + 10424) – 3945 = g) (344 – 220 + 33405) + (2530 +16118) = h) (68212 – 30326 + 6185) – (2639 – 2135 + 7166 – 2444) = i) 22 · 57 – 54 = j) 312 – 5 · 12 = k) 710 – 24 + 12 · 3 = l) 615 – 13 · 40 = m) 94 · 7 – 23 · 5 = ñ) 927 – 3 · (115 – 97) = o) 160 · (27 – 15 + 1) + (23 + 15) · 5 = p) (105 – 2 · 5) · 6 – (112 – 54) · 3 = q) 950 – (120 + 20) · 3 = r) 25 · (90 – 33) + 26 – 7 · 2 = s) 46 · (12 + 8) – (52 + 5 · 4) =
14
13- Escribe en forma de potencia cada uno de los siguientes productos de factores iguales, escribiendo en rojo la base y en azul el exponente. a) b) c) d) e)
7· 7· 7· 7= 17 · 17 · 17 = 8· 8· 8· 8· 8= 4· 4· 4· 4· 4· 4= 3· 3=
14- Expresa en forma de producto cada una de las siguientes potencias y calcula su resultado. 54 = 43 = 35 = 15 2 = 10 6 =
15- Busca el valor de las siguientes potencias:
23 + 32 = 55 − 45 = 43 + 34 = 7 2 + 63 =
16- Calcula las raíces cuadradas de los siguientes números: 1175 – 3364 – 49729 – 5500 – 53361 – 2799 – 3452 – 63374 – 783 – 23123 – 12547 – 75386
15
PROBLEMAS
1- Una persona gana 464 € diariamente. ¿Cuánto ganará en 78 días? 2- Después de efectuar una suma de dos sumandos, se ha manchado el papel pudiendo leer solamente el resultado (64389) y uno de los sumandos (7497). Podrías ayudarme a buscar el otro sumando.
3- En un saco hay 27.856 lentejas. Suponiendo que todos los sacos son iguales, ¿cuántas lentejas hay en 27 sacos? 4- Una docena de pasteles cuesta 36 €. ¿Cuánto cuestan 7 pasteles? ¿Y 58 pasteles? 5- Una bolsa de 9 naranjas cuesta 18 €. ¿Cuánto costarán 67 naranjas? 6- Con los 600 € que tengo quiero pagar las tres facturas siguientes: una de 52 €, otra de 74 € más que la anterior y una tercera igual a la suma de las dos primeras. ¿Qué cantidad he de pagar? ¿Cuánto dinero me quedará después de saldar mis deudas? 7- Sabiendo que cuatro números suman 10254, y el primero es 1875. Halla los otros tres sumandos sumando cada vez 459 al que le precede. 8- He comprado 15 cuadernos de 15 páginas cada uno, cada página tiene 15 líneas de 15cm cada una. ¿Cuántos centímetros medirán todas las líneas de todos los cuadernos?
16
ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN
1- Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta los valores de las letras: a
b
c
32
8
4
350
25 5
4784
4
a· b
b:c
b· c+a
a:b-c
(a + b - c) : c
4
54320 10 2 65750 50 10
2- Al lado de cada propiedad escribe su nombre, comprobándola o explicándola: a) b) c) d) e) f) g)
12 · 1 = 12 27 + 0 = 27 60 + 12 = 12 + 60 14 · 2 = 2 · 14 (7· 3)· 4=7· (3· 4) (12 + 2 ) + 6 = 12 + ( 2 + 6 ) (14 + 20 ) · 5 = 14 · 5 + 20 · 5
3- Rodea de los siguientes productos los que se pueden expresar en forma de potencia y explica porque no has rodeado algunos de ellos. a) b) c) d) e)
9· 9· 3 2· 2· 2· 2 10 · 10 · 10 4· 4· 9· 9 6· 5· 4· 3· 2· 1
17
4- Las expresiones siguientes, resuélvelas de dos maneras diferentes:
6 2 ·6 3 = 6 2 ·6 3 = 6 5 = 7776
6 2 = 36 6 3 = 216 36·216 = 7776
2 5 ·2 2 = 33 ·3·35 = 43 : 4 = 58 : 5 4 = (33 ) 2 = (20 2 ) 2 =
[(10 ) ] = [(9 ) ] = 3 2 2
7 0 6
5- Completa la tabla para los valores de x, y, z, que se te dan:
x
y
z
2
4
6
( x + y )2
y3 − z 2
12 10 8 40 60 80 1
9
20
7
3
5
18
x· y
(x + z )· y
(
)
x + y 2 ·y + z3
PROBLEMAS
1- ¿Cuántos segundos hay en 846 días?
2- Un insecto mueve las alas 170 veces por segundo.
¿Cuántas veces habrá movido las alas en 9 horas?
3- Un agricultor ha observado que de un grano de trigo en su campo nace una espiga que tiene 40 granos. Si ha sembrado 45.626 granos y sabiendo que cada 10 granos pesan 20 gramos, ¿cuántos gramos pesará la cosecha que recogerá? 4- Halla el último sumando de una suma de cinco números de resultado 435479 sabiendo que el primero es 76392, y que los otros tres que le siguen se obtienen restando 467 al que le precede.
5- ¿Cuántos euros tendrán 100 personas, si cada una tiene 10 billetes de 100 € cada uno?
6- Con 12100 árboles se quiere formar un cuadrado colocándolos en filas. ¿Cuántos árboles habrá en cada fila? 19
20