Correo del Maestro Núm. 12 - Mayo de 1997

Fracciones equivalentes Virginia Ferrari

ISSN 1405-3616

Dominó de fracciones y porcentajes María Magdalena Montes Castro

Las numeraciones indígenas en México Natalia de Bengoechea Olguín

Ese mágico cero que revolucionó el comercio Antonio Santoni Rugiu

Oralidad, escritura y sistematización Roberto Pulido Ochoa

La conservación, un oficio con beneficio Julio César Ramírez Alcántara

9!BLF?E@:RUPUOV!

México D. F. Mayo 1997. Año 1 Número 12.

CORREO del

MAESTRO Revista mensual, Año 1 Núm. 12, Mayo 1997.

CORREO del

MAESTRO

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección Jacqueline Rocha Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre María Teresa Yurén Santos Arbiza Julieta Fierro Gerardo Cirianni Ramón Mier Mario Aguirre Beltrán María de Lourdes Santiago Josefina Tomé Méndez Colaboradores Héctor Delgado Luci Cruz María Jesús Arbiza Stella Araújo Maya Sáenz Nora Brie Alejandra González Verónica Bunge María Isabel Carles Norma Oviedo Concepción Ruiz Consuelo Doddoli Leticia Chávez Citlalli Álvarez Ana María Sánchez Alejandra Alvarado Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Diseño gráfico Archi Grafic Express • Rosa Elena González Ilustraciones Rosa Elena González Retoque fotográfico Luis Gerardo Calderón G.

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula.

Los autores.

Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas.

También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático.

Los temas.

Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica.

Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase.

Los textos.

Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas.

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El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Editorial

Es éste un número muy especial de Correo del Maestro.

Especial no sólo por su contenido -en el que se encuentran temas de matemática que nos mueven a pensar en aspectos en los cuales, muchos de nosotros, no nos habíamos antes detenido- sino, también, porque es el número del aniversario.

Sí, Correo del Maestro está cumpliendo su primer año y lo celebramos agradeciendo a todos ustedes el apoyo que nos han brindado a través de su participación al leer, escribir, suscribirse, opinar y anunciarse, así como al llevar la revista consigo y no perder oportunidad de presentarla, en distintas partes de la República o del mundo, e invitar a otros a escribir, a compartir su trabajo.

“La escritura va lejos; es una hoja al viento que no se pierde, que se puede reinterpretar, borrar, reescribir, releer, detener en el tiempo para reflexionar, para darle el orden que necesitamos para explicar nuestra estancia en este compromiso de la educación”*.

Virginia Ferrari

* PULIDO OCHOA, Roberto. Oralidad, escritura y sistematización. Reflexiones. Correo del Maestro, No. 12, mayo 1997, pág. 44.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

CORREO del

MAESTRO Entre nosotros

Fracciones equivalentes. Virginia Ferrari

Pág. 7

El astrolabio. Julieta Fierro

Pág. 19

Dominó de fracciones y porcentajes. Magdalena Montes Castro

Antes del aula

Las numeraciones indígenas en México.

Natalia de Bengoechea Olguín

Pág. 21

Antonio Santoni Rugiu

Pág. 38

Ese mágico cero que revolucionó el comercio.

El metro sí vino de París. Alejandra González

Pág. 15

Pág. 40

Certidumbres e incertidumbres

Oralidad, escritura y sistematización. Roberto Pulido Ochoa

Pág. 44

Manuel M. Ponce: un encuentro con los niños.

Artistas y artesanos

Ramón Mier

Sentidos y significados

La conservación, un oficio con beneficio. Julio César Ramírez Los sistemas de medida y su significado. Ma. de Lourdes Santiago Relaciones de orden. Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Galo Ruiz Soto

Pág. 46 Pág. 50

Problemas sin número Pág. 53

Pág. 55

Abriendo libros

Índice anual de Correo del Maestro

Pág. 57

Portada: José Ángel Valenzuela Salas, 11 años, 5 meses. “Explorando el espacio”.

Páginas centrales: Material didáctico para fracciones equivalentes.

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Concurso MISIÓN RESCATE: PLANETA TIERRA “Cuidando mi entorno, cuido nuestro planeta” Ganadores, por orden alfabético, en la categoría DIBUJO

NOMBRE DEL GANADOR

NOMBRE DE LA ESCUELA

ESTADO

Arvizu Meléndez Armando Gerardo

Lic. Gustavo Díaz Ordaz

Coahuila

Carreño Sosa Andrei

Jdn. Rosaura Zapata

Michoacán

Cortés Salgado T. Oscar Hugo

Primaria, D.F.

Distrito Federal

Enríquez Terán Efraín

Benito Juárez Moctezuma

Sonora

García Salomón Alan

Esc. Estado de Quintana Roo

Quintana Roo

Ceceña Arce Nora Angélica Díaz Navarro Karla Ximena

García R. Chuina del Socorro

Garduño Ruiz Juvenal A.

Instituto Libertad Benito Juárez

-

Lic. Miguel Alemán

Jalisco

Guanajuato

Campeche México

Hernández Chapa Cynthia Lorena

Colegio Inst. Cumbres, A.C.

Nuevo León

Holguín Holguín Cynthia Alejandra

Abraham González

Chihuahua

Ortega Ponce Dulce Iliana

Justo Sierra

Hidalgo

Hernández Martínez Ma. del Pilar Leal Solís Mayra Alejandra

Instituto Andes

Gines Vázquez del Mercado

San Luis Potosi Durango

Plata Estrada Jesús

Colegio Morelos

Morelos

Saldaña Agüero Priscila

Miguel Hidalgo

Zacatecas

Prados Alinares María del Pilar Sandoval Morales Viridiana

Concepción Rivera Mancilla

Cuauhtémoc

Baja California

Inst. México de Puebla A.C.

Puebla

Sansores Dzul Mijail Anuar

Maniobras Marítimas

Venegas Leyva Armando

José María Morelos

Vazquezmellado Venegas Gabriela Zepeda Sánchez Karla Iveth

6

Colima

Esc. José María Morelos y Pavón

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

Yucatán Oaxaca

Veracruz

Entre nosotros

Fracciones equivalentes Virginia Ferrari

Objetivo.

El objetivo de la siguiente actividad es introducir a los niños -a partir de la manipulación y el trabajo con material concreto de modelos de áreas- en el tema de las fracciones equivalentes, es decir, en la noción de que una misma cantidad o número puede escribirse de maneras diferentes.

gan muchas dificultades para hacer estos trazos con precisión. c) Lápices de colores.

Conocimientos previos.

Antes de abordar el tema de fracciones equivalentes es importante que los niños dominen las fracciones comunes y que no vacilen en su representación numérica ni en su lectura.

Grado.

El programa escolar propone presentar las fracciones equivalentes a partir de 4º grado, por lo que la actividad puede desarrollarse -dependiendo de las características del grupo y de la profundidad a la que se desee llegar- en 4º, 5º y 6º de primaria.

Material. a) El material para uso colectivo se encuentra a color en las páginas centrales de este número de Correo del Maestro. Recomendamos al maestro recortar este material y pegarlo sobre algún tipo de cartón más rígido para hacerlo más durable. Asimismo, sugerimos que una vez terminada la actividad, éste quede pegado en una pared del salón o en un boletín. b)El material individual se encuentra en blanco y negro a lo largo de este artículo. Es conveniente que el profesor saque fotocopias del mismo en cantidad suficiente como para que los alumnos trabajen individualmente o por equipos. Otra posibilidad es que los niños lo calquen o lo elaboren por sí mismos, sin embargo, si los niños son de 4º o 5º grado, es probable que todavía ten-

Introducción.

Quienes trabajamos en educación básica sabemos que una de las nociones que resultan más difíciles de comprender a nuestros alumnos (y de enseñar, a nosotros) es la de fracción. Por otro lado, dada su importancia, los programas actuales proponen su estudio no sólo en la escuela primaria sino también, en los tres grados de secundaria.

Para que los niños lleguen a comprender el concepto de fracción, es necesario que los maestros procedamos de a poco, tema por tema, respetando los tiempos de operación, elaboración y construcción de cada niño, asegurándonos que las nociones básicas que permiten comprender temas más complejos, vayan quedando firmes. El tiempo que nos detengamos en la adquisición y afirmación de estas nociones será recuperado por nuestros alumnos más adelante, cuando deban entender los procedimientos de las operaciones con fracciones.

“Los alumnos necesitan conocer y acostumbrarse a los distintos significados de las fracciones, como son sus usos para expresar parte

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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o partes de una cantidad o número, para comparar o expresar la razón entre dos cantidades y para expresar una división o cociente. Operar con estos significados para resolver ejercicios y problemas ayudará a que más tarde los alumnos comprendan mejor las operaciones con fracciones “(1).

Y en cuanto a las fracciones equivalentes, este mismo texto nos dice: “Es muy importante que se comprendan las fracciones equivalentes, así como la expresión decimal de una fracción, como formas diferentes de expresar una misma cantidad o número y que, según convenga, para realizar una operación o resolver un problema, puede utilizarse una representación u otra equivalencia” (2).

Una de las sugerencias que nos hacen los libros de texto de primaria para la obtención de fracciones equivalentes es que “el maestro plantee a sus alumnos algunas actividades en las que obtengan estas fracciones mediante la partición de superficies...”(3).

La actividad que a continuación propongo se basa en el empleo de este tipo de modelo que ofrece, según mi experiencia, cierta base concreta sobre la cual los niños pueden realizar la partición, a la vez que ayuda a visualizar la relación de equivalencia.

Por último me resulta importante hacer hincapié en el empleo de ambos tipos de material, el individual y el colectivo, los cuales cumplen con distinta finalidad. En tanto que el material individual se da a cada niño o a cada equipo para que trabaje por sí mismo, haga y deshaga, componga y descomponga para volver a componer de nuevo y explique una y otra vez (de ser posible por escrito) sus trabajos, el material colectivo es ‘para la clase’, para que el profesor lo muestre al grupo pero sin dar explicaciones, las cuales deben ser proporcionadas por la observación, interpretación y participación de los alumnos (4).

Tal como se verá en el desarrollo de la actividad, el material colectivo debe ser usado, siempre, con posterioridad a las elaboraciones que los niños hayan hecho con el material individual, por lo que el docente puede optar por usarlo inmediatamente después de cada paso, o como forma de recapitular todo el tema.

Desarrollo de la actividad.

Recordemos, antes que nada, que al presentar un tema no partimos nunca de la definición sino que la actividad en su conjunto ha de conducir a que los niños a través de su acción arriben a la noción propuesta como objetivo, en este caso, que puedan percatarse de que una misma porción de superficie puede ser representada mediante fracciones las cuales, si bien se escriben de manera distinta, representan un mismo valor, por lo que se llaman fracciones equivalentes.

I) Vamos a comenzar trabajando con las fracciones 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 16/32 y 25/50.

• El grupo se divide en equipos de 3 o 4 niños.

• Repartimos el material individual (fotocopias en blanco y negro) de la serie 1/2, 2/4, 3/6, etc, a cada equipo y los invitamos a que lo observen, lo doblen, lo comparen...

• Después de unos minutos, pedimos a los niños que cuenten los rectángulos y comparen el tamaño de los mismos entre sí. Los niños comprobarán que los rectángulos son iguales.

• Dado que nuestros alumnos están en primaria, no es conveniente trabajar con las fracciones en abstracto, por lo que podemos hacer referencia a los rectángulos como tales o preguntarles a los niños qué puede representar este material (una parcela, un local para oficinas,un casillero, un pastel, etc.). Lo ideal es que cada equipo piense qué puede representar y que esto difiera de un equipo a otro. También deben imaginar la

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Fracciones equivalentes

situación por la cual hay que dividir lo representado en partes iguales.

I.1) Trabajemos con un ejemplo. Mi equipo ha decidido que va a trabajar con los rectángulos como tales. El rectángulo que no está subdividido representa el entero el cual, con números fraccionarios se escribe así: 1/1. Los niños lo escriben en un papelito y lo colocan a un lado de la figura correspondiente.

Este rectángulo lo vamos a dejar entero, no lo vamos a partir.

I.2) Los 7 rectángulos restantes, los vamos a dividir a la mitad doblándolos y luego trazando una línea de color azul sobre el pliegue. Es importante que empleemos el mismo color para todos los rectángulos.

A continuación formulamos las siguientes preguntas e instrucciones (recomendamos al maestro que las escriba en el pizarrón y que cada equipo las conteste en una hoja o en un cuaderno, por escrito).

• • • • •

¿En cuántas partes dividiste cada rectángulo? (En 2). ¿Cómo son esas partes entre sí? (Iguales). ¿Cómo se llama cada una de las partes? (Un medio). ¿Cómo se escribe en números fraccionarios? (1/2).

Con un color tenue, colorea una de esas partes, en cada uno de los rectángulos.

• Ahora escribe en un cuadrito de papel la fracción que representa la parte sombreada y colócalo encima de uno de los rectángulos.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

I.3) Ahora vamos a trabajar con cada uno de los 6 rectángulos restantes, uno por vez. Si bien las instrucciones varían en cada caso, porque a cada rectángulo se lo va a subdividir de manera distinta, las preguntas van a ser las mismas, por lo que recomendamos

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

al maestro que las escriba en el pizarrón, que los niños las copien una sola vez y luego escriban las respuestas agrupadas de acuerdo al cuadro A.

• • • • • •

¿En cuántas partes quedó dividido este rectángulo? ¿Cómo son esas partes entre sí? ¿Qué parte es del total, cada una de esas partes? ¿Cómo se llama cada una de las partes? ¿Cómo se escribe en números fraccionarios? ¿Qué parte del rectángulo quedó coloreada?(escríbelo en letras y en números).

Las instrucciones correspondientes a cada rectángulo son: a)

• Toma otro rectángulo y divídelo en 4 partes iguales.

• Repasa las líneas punteadas con color verde.

• Ahora escribe, en un papelito, la cantidad correspondiente a la parte coloreada y colócalo sobre ella.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

b)

• Toma otro rectángulo y divídelo en 6 partes iguales.

• Repasa las líneas punteadas con color verde.

• Ahora escribe, en un papelito, la cantidad correspondiente a la parte coloreada y colócalo sobre ella.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

c)

• Toma otro rectángulo y divídelo en 8 partes iguales.

• Repasa las líneas punteadas con color verde.

• Ahora escribe, en un papelito, la cantidad correspondiente a la parte coloreada y colócalo sobre ella.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

d)

• Divide otro rectángulo en 10 partes iguales.

• Repasa las líneas punteadas con color verde.

• Ahora escribe, en un papelito, la cantidad correspondiente a la parte coloreada y colócalo sobre ella.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

e)

• Ahora vamos a dar un gran salto y a dividir un rectángulo en 32 partes iguales.

• Repasa las líneas punteadas con color verde.

• Ahora escribe, en un papelito, la cantidad correspondiente a la parte coloreada y colócalo sobre ella.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

f)

• Con el último rectángulo damos otro gran salto y los dividimos en 50 partes iguales.

• Repasa las líneas punteadas con color verde.

• Ahora escribe esa cantidad en un papelito y colócalo en el lugar correspondiente.

• Coloca este rectángulo debajo del anterior.

Figura 1.

El siguiente dibujo (figura 1) representa el material que los niños tendrán sobre la mesa, y el siguiente cuadro (cuadro A), sus respuestas:

Cuadro A

En dos.

En cuatro.

En seis.

En ocho.

En diez.

En treinta y dos.

En cincuenta.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

La mitad.

La cuarta parte.

La sexta parte.

La octava parte.

La décima parte.

La treinta y dosava parte.

La cincuentava parte.

Un medio.

Un cuarto.

Un sexto.

Un octavo.

Un décimo.

Un treinta y dosavo.

Un cincuentavo.

1/2

1/4

1/6

1/8

1/10

1/32

1/50

tres sextos, 3/6

dieciséis treinta y cuatro octavos, 4/8 cinco décimos, 5/10 dosavos, 16/32

Un medio, 1/2 dos cuartos, 2/4

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

veinticinco cincuentavos, 25/50

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Una vez que hemos dividido todos los rectángulos, procedemos a analizar lo que tenemos para -a partir de ello- sacar conclusiones.

¿Qué podemos concluir? a) Si tenemos los rectángulos uno debajo del otro (como se muestra en el dibujo de la figura 1), es fácil comparar las partes coloreada y no coloreada, entre sí. Si bien al principio de la actividad dividimos cada rectángulo a la mitad, es posible que después de tanta partición muchos niños hayan perdido esto de vista, por lo que hay que retomarlo. Podemos entonces decir: Todos los rectángulos tienen una parte sombreada o coloreada, • ¿qué parte es ésta del total, es decir, de todo el rectángulo?

• ¿cómo son todas las partes sombreadas entre sí?

• ¿hay alguna que sea mayor o menor que otra?

La primera conclusión a la que podemos llegar es que todas las partes coloreadas son 1/2 de rectángulo. b) Si ahora colocamos los papelitos uno junto al otro y comparamos los números fraccionarios que hemos obtenido para cada una de esas partes coloreadas, al subdividir cada rectángulo ¿qué observamos?

Cuadro B

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

16 32

25 50

En primer lugar, podemos observar que todos estos números son fracciones.

En segundo lugar, si bien estas fracciones se escriben de distinta manera, representan una misma porción de rectángulo, por lo que tienen el mismo valor.

II) Una vez que hemos obtenido estas conclusiones u otras similares a las que hayan arribado los niños, repartimos el material correspondiente a la serie 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 9/27, 15/45 y repetimos los pasos que dimos para el caso anterior, dividiendo ahora los rectángulos en tercios y adaptando las instrucciones a cada caso.

El cuadro con las respuestas de los niños será así: En tres.

En seis.

En nueve.

En doce.

En quince.

En veintisiete.

En cuarenta y cinco.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

Iguales.

La tercera parte.

La sexta parte.

La novena parte.

La doceava parte.

La quinceava parte.

La veintisieteava parte.

La cuarenta y cincoava parte.

Un tercio.

Un sexto.

Un noveno.

Un doceavo.

Un quinceavo.

Un veintisieteavo.

Un cuarenta y cincoavo.

1/3

1/6

1/9

1/12

1/15

1/27

1/45

Un tercio, 1/3

Dos sextos, 2/6

Tres novenos, 3/9

Cuatro doceavos, 4/12

Cinco quinceavos, 5/15

Nueve, veintisieteavos , 9/27

Quince, cuarenta y cincoavos, 15/45

Cuadro C

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Fracciones equivalentes

El cuadro final que los niños obtendrán al alinear los números fraccionarios será así: Cuadro D

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

9 27

15 45

Una vez que hemos llegado a conclusiones similares a las anteriores, podemos ponerle nombre a estas fracciones y decir que a estas fracciones que son maneras distintas de escribir un mismo número las llamamos fracciones equivalentes (lo escribimos en el pizarrón).

Una vez que hemos escrito en el pizarrón el nombre del tema al que nos interesaba llegar, podemos concluir la actividad solicitándole a los niños que investiguen acerca del significado de la palabra equivalente y que piensen otras situaciones en que se dé la equivalencia.

Un tema posterior: la obtención de fracciones equivalentes.

Sugerimos que el método numérico para la obtención de fracciones sea trabajado en una actividad posterior aprovechando este mismo material. Podemos volver a formar los cuadros B y D, y mediante preguntas conducir a los niños a comparar los numeradores con el primer numerador del cuadro y los denominadores, también con el primer denominador del cuadro.

Es muy probable que los niños inmediatamente observen cómo éstos son múltiplos de aquél. Entonces podemos explicar que para llegar de 1/3 a 2/6 o de 2/6 a 4/12, lo que hicimos fue multiplicar por 2/2 : 1 3

x

2 2

=

2 6

2 6

x

2 2

=

4 12

pero 2/2 es igual a 1, por lo que para llegar de una fracción a otra equivalente, lo único que hacemos es multiplicarla por uno y cuando un número se multiplica por uno el resultado es el mismo.

1. ALARCÓN, Jesús y otros. Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, SEP, México, 1995, 1a. reimpresión revisada, p. 100.

2. Idem. p.100.

3. Libro para el maestro. Matemáticas. Sexto grado. SEP, México, p. 29.

4. CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la matemática moderna. México, De.Trillas (Serie matemáticas), 1987, 9a. reimpresión, p. 92.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

Dominó de fracciones y porcentajes Ma. Magdalena Montes Castro

Introducción.

Por ejemplo: 1 metro

Para la generalidad de nuestros niños, el aprendizaje de las matemáticas es tedioso y cansado, o demasiado “difícil”, como ellos mismos suelen decir, pero esto se debe más bien al enfoque que nosotros, maestros, damos a la enseñanza de esa ciencia.

La matemática en la escuela primaria no debe ser simplemente la enseñanza de conceptos, vistos como temas aislados. Antes bien, debemos tratar de que los niños las entiendan, las analicen y las gocen en diferentes juegos para que después las puedan aplicar en problemas cotidianos, como siempre se pretende.

Presento a continuación un juego que he practicado con mis alumnos de sexto grado durante varios años y que me ha dado un buen resultado en el uso de porcentajes y su relación con las fracciones comunes y decimales.

Sin embargo, dado que para poder jugar será necesario tener firmes algunas nociones básicas relativas a este tema, será mejor hacer un repaso de ellas.

Ideas que nos pueden ayudar a explicar qué es un porcentaje.

• Las fracciones sirven para representar una relación entre dos cantidades, decir 3/5 es equivalente a decir 3 de cada 5. Estas fracciones pueden representarse como fracciones comunes o decimales.

1 4

+

25 cm .25 m

1 4

+

25 cm

+

.25 m

1 4

+

25 cm

+

.25 m

1 4

=

4 4

= 1

25 cm

+

.25 m

= 1 metro

Si dividimos un metro entre cuatro tendremos 1/4 de metro, es decir, 25 cm y expresado de otra manera .25 de metro.

Porque:

y también porque:

.2 5 4 1 .0 .25 25 5 1 = = = 2 0 100 20 4 0 En otras palabras, ¡un cuarto equivale a 5 dividido entre 20!

• Los porcentajes también son fracciones; son fracciones cuyo denominador siempre es 100, por tanto, decir 7% es lo mismo que decir 7 de cada 100.

Un porcentaje es una fracción equivalente a una fracción dada, que cumple que tiene denominador 100. En este caso nos resultan muy útiles las fracciones equivalentes, ya que lo que

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Dominó de fracciones y porcentajes

queremos es tener una fracción con un denominador determinado (100).

Por ejemplo, si nosotros sabemos que 1 de cada 8 niños viene a la escuela caminando, sabemos que 1/8 del total camina hasta la escuela.

Para saber qué porcentaje representa 1/8, basta encontrar una fracción equivalente que tenga denominador 100.

1 8

12.5 100

=

12.5%

=

Para encontrar el numerador hay que establecer por cual número se multiplicó el 8 para que diera 100, es decir, hay que dividir 100 entre 8, el resultado de esta división será el número por el que debo multiplicar al 1 para encontrar el numerador del porcentaje.

Todo por ciento se puede indicar en forma decimal o en forma de fracción común con denominador 100.

Porcentaje

Fracción decimal

25%

.25

Fracción común

25 5 1 = = 100 20 4

1 4 1 metro 25 % de un metro .25 metros 0

10 5

0

20 15

10

30 25

40 35

50 45

60 55

70 65

80 75

90 100 85

95

cm

20

25 / 100

1/4 0

10

20

25

5 / 20

16

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

Aunque sea cierto que 25/100 = 5/20 = 1/4, en ocasiones es más conveniente usar una notación que otra. Por ejemplo, solemos comprender mejor lo que es 1/4 de pastel o 25 cm (25/100) de un metro, que 5/20 de pastel o de metro, aunque sean lo mismo.

Simplificar una fracción significa escribirla como el cociente de los enteros positivos más pequeños posibles.

Al simplificar las fracciones comunes, estaremos dando al porcentaje una representación de fracción común que, según el caso, puede resultar más práctica.

•Usar porcentajes permite comparar cantidades muy fácilmente. Por ejemplo, supongamos que en una escuela de la capital de la República, 7 de cada 35 niños son hijos de obreros y que en otra escuela esto se da en 9 de cada 81 niños, ¿cómo podemos saber en qué escuela hay, proporcionalmente, más hijos de obreros?

En la primera escuela son hijos de obreros 7/35 del total de niños, en la segunda son 9/81; si convertimos ambas fracciones a fracciones equivalentes con el mismo denominador, podremos compararlas mejor (las fracciones equivalentes también son muy útiles cuando queremos comparar dos fracciones). Así, podemos convertir ambas fracciones a porcentajes: en la primera escuela: 7/35 = 20/100 = 20%, es decir, 20 de cada 100, en la segunda escuela: 9/81 = 11.11/100 = 11.11%, es decir, 11.11 de cada 100, por tanto hay más hijos de obreros en la primera escuela.

• Es importante señalar que las fracciones cumplen que tanto su numerador como su denominador son números enteros, sin embargo, en los porcentajes no ocurre lo mismo.

Digamos que en los porcentajes se permite que los numeradores no sean enteros. Por ejemplo,

Dominó de fracciones y porcentajes

la fracción 3/40 es equivalente al porcentaje 7.5/100 = 7.5%, mientras que en 3/40 ambos números son enteros, en el porcentaje el numerador no lo es.

• Se pueden sacar porcentajes aunque la cantidad total de lo que se está contando sea menor que 100. Por ejemplo, supongamos que en un

grupo de una escuela hay 27 niños de los cuales 3 están enfermos.

La fracción que representa los niños enfermos es 3/27. 3/27 es equivalente al porcentaje 11.11/100, es decir 11.11%.

Entonces diríamos que el 11.11%, o sea, 11.11 de cada 100 niños están enfermos, aunque en el grupo no haya 100 niños.

El dominó de porcentajes y fracciones.

Cuando el alumno empieza a manejar el concepto de porcentaje, encuentra dificultad al ubicarlo con su equivalencia en fracción común y decimal. Para esto, se presenta el siguiente trabajo de dominó: • Se forma con 28 tarjetas que se hacen de cartulina de 16 x 26 cm.

• Estas tarjetas tienen una división, al igual que las fichas de dominó y en cada mitad una representación de porcentaje, fracción común, fracción decimal o representación gráfica de fracción.

Reglas del juego.

1. Se reparten las fichas entre los miembros de un equipo ( 4 ).

2. Se explica a los niños que en el dominó, las mulas son las fichas que contienen el mismo número en los dos lados y se les pide que encuentren a la “mula” más grande ( 1 ) 1 100% 3. Los demás niños del equipo, en el orden que les toca participar, deberán buscar una ficha que se acomode con la que se tiró.

4. Gana el alumno que se quede con menos fichas (si todos tienen el mismo número de fichas, deberán sumar los valores numéricos y gana el que tenga el valor más bajo).

Una regla importante: en este juego se permitirá que se relacionen tanto fracciones equivalentes como cantidades iguales, pues de no ser así el juego podría quedarse estancado.

Cuando los niños se familiarizan con este juego, se acostumbran a usar las equivalencias de fracción común, decimal y porcentajes, de manera natural.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

El astrolabio Julieta Fierro

G

eneraciones de seres humanos se han dedicado a estudiar la naturaleza, algunos simplemente por el placer de comprenderla, otros para poder utilizarla de manera respetuosa. Dos de las disciplinas que han tenido mayor importancia para entender el mundo son la física y la matemática. Ambas contribuyen a simplificar y a generalizar a tal grado el conocimiento que pueden emplearse juntas para las labores tecnológicas como la construcción de aviones seguros o para predecir situaciones que sucederán dentro de miles de años, como la vida del Sol. En este texto daremos un ejemplo de cómo surgieron algunas unidades de medida a partir de observaciones astronómicas. Asimismo, se presentará la manera en que el docente puede construir un astrolabio muy sencillo.

La circunferencia.

Algunas de las unidades de medida que utilizamos han surgido de observaciones astronómicas.

En ocasiones nos preguntamos por qué dividimos la circunferencia en 360°. Desde los albores de la historia los babilonios se dieron cuenta de que la sucesión de las estaciones, es decir, las épocas de seca y lluvia íntimamente relacionadas con la agricultura, estaban separadas por unos 360 días; a este lapso lo llamaron año.

Ellos pensaban que el Sol se trasladaba en torno de la Tierra y que además recorría distintas

El Sol, visto desde la Tierra, parece recorrer la bóveda celeste en aproximadamente 360 días de tal manera que cada 30 días pasa a lo largo de una constelación.

regiones del cielo durante las estaciones. Puesto que el Sol recorría en, aproximadamente, 360 días la bóveda celeste, llegaron a la conclusión de que una circunferencia podía dividirse en 360 grados.

Los babilonios fueron más lejos, se dieron cuenta que las fases de la Luna se repetían cada 30 días aproximadamente, así que dividieron su año en 12 meses (360/30=12). A los grupos de estrellas delante de los cuales pasaba el Sol durante el año, les llamaron constelaciones del zodiaco. A partir de entonces utilizaron las docenas para medir objetos tan diversos como el número de horas de la noche o conjuntos de frutas.

Una vez descubiertas las medidas angulares se pudieron calcular las dimensiones de objetos cercanos y lejanos empleando unidades angulares.

Si extendemos nuestro brazo con el pulgar extendido notaremos que logramos cubrir, con nuestro dedo, objetos alejados como un árbol.

Esto se debe a que vemos los objetos distantes

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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El astrolabio

El tamaño aparente de varios objetos puede ser el mismo, depende de su dimensión y de su distancia.

más pequeños; entre más alejados estén, más reducidos los vemos (podemos comprobar esto alejando y acercando nuestro dedo de la cara).

Para medir unidades angulares podemos construir un astrolabio. Vamos a necesitar: 1. Un transportador.

2. Un popote.

3. Un cordón delgado (o estambre) de 50 cm de largo.

4. Un clip.

5. Cinta adhesiva.

Procedimiento: 1. Amarre el clip a un extremo del cordón.

2. Sujete el otro extremo del cordón al centro del transportador con cinta adhesiva.

3. Sujete el popote a la parte plana del transportador con la cinta adhesiva.

Utilización: Si se asoma por el popote de tal manera que coincida con la altura de un objeto, la cuerda marcará sobre el transportador su dimensión angular respecto del piso, ya que el clip sirve como plomada.

Los mesoamericanos también construyeron lo que probablemente fueron astrolabios. Utilizaban dos barras sujetadas por el centro, de tal manera que una pudiera moverse respecto a la

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

Se puede construir un astrolabio muy sencillo usando un transportador.

otra. Si colocaban una horizontal, con la otra podían inferir la altura sobre el horizonte de los astros. Con este tipo de mediciones podían predecir el paso del Sol por el cenit y los eclipses.

Las dimensiones angulares son sumamente útiles para determinar la altura de los objetos.

Pensemos en varios que tienen las mismas dimensiones angulares vistos desde cierto lugar: un dedo y un edificio. Reiteramos que entre más alejados están, más pequeños se ven. La trigonometría es el área de las matemáticas que permite determinar la altura de un objeto conociendo su distancia y su dimensión angular.

Así como este ejemplo, existen centenares de situaciones donde las matemáticas han socorrido al hombre en la solución de problemas prácticos.

Antes del aula

Las numeraciones indígenas en México* Natalia de Bengoechea Olguín

Tejedoras mayas de Chiapas que forman la cooperativa Sna Jolobil, comparten conocimientos y secretos sobre hilos y cuentas. Foto Antonio Turok.

C

omo en la mayor parte de los países del mundo, en México conviven hoy diversas culturas, entre ellas las de los 56 grupos étnicos indígenas reconocidos oficialmente. La mayor parte de estos grupos hablan idiomas distintos del español que, como otros elementos de sus culturas actuales, tienen origen prehispánico pero se han desarrollado en el tiempo. Las escuelas de educación indígena en nuestro país pretenden iniciar la escolarización de los niños indígenas en su lengua materna, lo que requiere de conocer el idioma, su escritura y algunos otros elementos básicos que constituyen el conocimiento que se debe tratar en la escuela, así como de hacer una serie de reflexiones sobre la

enseñanza en general y la de los contenidos étnicos en particular.

En mi experiencia docente con estudiantes que son maestros del sistema de educación indígena he encontrado que, en general, han reflexionado poco sobre sus lenguas maternas y sobre el conocimiento que sus grupos étnicos tienen hoy, y tuvieron en otras épocas, acerca de diversos temas. Sin embargo, al invitarlos a detenerse a pensar sobre la numeración -uno de los objetos de estudio de mis cursos-, se han mostrado entusiastas y han surgido elementos interesantes de sus lenguas que les habían pasado desapercibidos. Esta situación es la que me lleva a escribir el presente artículo como una invitación a los

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

21

Las numeraciones indígenas en México

maestros, tanto indígenas como no indígenas, a la reflexión y al análisis.

En todas las lenguas hay números y otros elementos matemáticos. Las numeraciones habladas que se usan hoy en las lenguas indígenas de nuestro país tienen en su mayoría una estructura interna distinta a la numeración en español.

Además, hay diferencias entre ellas y aún entre las variantes dialectales de una misma lengua (1).

También hay diferencias entre cómo son hoy las numeraciones y cómo fueron en la época prehispánica porque las lenguas indígenas han vivido más de 500 años de uso y desarrollo influidas por el español y otras lenguas.

En la mayor parte de los grupos indígenas de México en la época prehispánica no había una numeración escrita y en los que hubo escritura de la numeración hoy no se usa, por esta razón aquí analizamos las numeraciones habladas. A través de un par de ejemplos se intenta en este artículo dar un pequeño panorama de la complejidad de la numeración en las lenguas indígenas

1 2 3 4 5

ce o cem ome yei o ei nahui macuilli

6 chicuace 7 chicome 8 chicuei 9 chiconahui 10 matlactli

mexicanas. Se iniciará con la numeración náhuatl, se revisará la numeración tsotsil y se terminará con un breve comentario a los maestros.

La numeración náhuatl hablada.

En la lengua náhuatl actual se usan los números, cuando menos los menores que cien. Sin embargo se sabe que existieron números mucho mayores en la numeración hablada. Para poder hacer referencia a números grandes que han caído en desuso se ha utilizado en esta descripción la numeración, la ortografía y las interpretaciones de las palabras de la obra de Orozco y Berra (2) de 1880. La numeración que en esa obra se presenta es vigente -al menos en los números menores que cien-, en algunas variantes dialectales del náhuatl actual, lo que se ha constatado en entrevistas realizadas a maestros de educación indígena.

Los nombres de los primeros veinte números en náhuatl son los siguientes:

11 matlactli once 12 matlactli omome 13 matlacti omei 14 matlactli onnahui 15 caxtoli

16 17 18 19 20

caxtoli once caxtoli omome caxtoli omei caxtoli onnahui cempohualli

Tabla A. Números de 1 a 20 en náhuatl

En náhuatl los números del 1 al 5 tienen un nombre propio y aparentemente son palabras simples pero “macuilli” (cinco) es una palabra compuesta que significa mano doblada o puño. Los números del 6 al 9 se forman con la raíz “chico” o “chicu”, que significa medio, la mitad de las manos, una mano, la preposición “huan” que significa y, junto de otro, y los números del 1 al 4 como sufijos formando palabras compuestas que se contraen: “chicohuance” se contrae en “chicuace” que significa una mano más uno (5 + 1 = 6), “chicohuanome” en “chicome”, una mano más dos (5 + 2 = 7), etc. El número 10 tiene un nombre propio “matlactli” que significa un hombre de la cintura para arriba, las dos manos.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

A partir de 11 (ver Tabla A) aparece la sílaba “on” u “om” con el significado de más (en algunas variantes del náhuatl actual aparece “huan”, y), que permite formar los números 11 a 14 como 10 más 1 hasta 10 más 4. Quince tiene un nombre propio, “caxtolli”, y los números de 16 a 19 se forman como 15 más 1 hasta 15 más 4.

El número 20 (Ver Tabla B) es “cempohualli” compuesto por “cem”, uno, y ”pohualli”, cuenta. Los números de 21 a 39 se forman como 20 más 1, hasta 20 más 19. De este modo tenemos, por ejemplo, que cem pohualli on matlactli on nahui 10 + 4 1 x 20 +

es un veinte más diez más cuatro = 1 x 20 + 10 + 4 = 34

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

cempohualli cempohualli once cempohualli omome cempohualli omei cempohualli onnahui cempohualli onmacuilli cempohualli onchicuace cempohualli onchicome cempohualli onchicuei cempohualli onchiconahui cempohualli onmatlactli cempohualli onmatlactli once cempohualli onmatlactli omome cempohualli onmatlactli omei cempohualli onmatlactli onnahui cempohuali oncaxtolli cempohualli oncaxtolli once cempohualli oncaxtolli omome cempohualli oncaxtolli omei cempohualli oncaxtolli onnahui

cempohualli ompohualli yeipohualli nauhpohualli macuilpohualli chicuacempohualli chicompohualli chicuepohualli chiconauhpohualli matlacpohualli matlactlioncempohualli matlactliomompohualli matlactiomeipohualli matlactlionnauhpohualli caxtolpohualli caxtolioncepohualli caxtoliomompohualli caxtoliomeipohualli caxtolionnauhpohualli cetzontli

Tabla B. Números de 20 a 39 y múltiplos de 20 hasta 400 en náhuatl

El número 40 es dos veintes: “ompohualli” (Ver Tabla B); 60 es tres veintes: “yeipo-hualli”; 80 es cuatro veintes: “nahupohualli”; y se forman de esta manera los números hasta 19 veintes, es decir 380 = caxtollionnauhpohualli. Los números en cada veintena se forman del mismo modo que los números de 21 a 39. De esta manera se puede llegar hasta 399 que es “caxtollionnauhpohualli oncaxtolli onnahui”, es decir, 19 veintes más 19. caxtoli on nauh pohualli on caxtolli on nahui

(15

+

4)

x 20

+

15

+

4

es 19 veintes más 19

= (15 + 4) (20) + 15 + 4 = 19 x 20 + 19

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Las numeraciones indígenas en México

La manera de formación de los números es clara: anteponer un número de 1 a 19 a “pohualli” multiplica el número por 20 y poner un número de 1 a 19 después de una de esas expresiones, agregando “on”, suma el número. Por ejemplo: chic (5 +

om 2)

pohualli on x 20 +

caxtolli 15

on +

ce 1

es siete veintes más dieciséis = (5 + 2) x 20 + 16 = 140 +16 = 156

Al llegar a 400, veinte veintes, tenemos una nueva palabra “cetzontli” formada por “ce”, uno, y “tzontli”, cabello, abundancia, y se forman números mayores de la misma forma ya descrita, salvo que después de un múltiplo de 400, para sumar otro, se agrega la palabra “ipan” encima de, más. De este modo se pueden formar los números hasta 7999, diecinueve cuatrocientos más diecinueve veintes más diecinueve, es decir hasta “caxtollionnauhtzontli ipan caxtollionnauhpohualli ipan caxtolli onnahui”:

caxtolli tzontli ipan caxtolli pohualli ipan caxtolli on on on nauh nauh nahui (15+4) x 400 + (15+4) x 20 + (15+4)

En 8000, veinte cuatrocientos, tenemos otra palabra nueva “cexiquipilli”, formada por “ce”, uno, y “xiquipilli”, bolsa o costal, y la formación de los siguientes números es de la manera ya descrita hasta diecinueve ochomiles más diecinueve cuatrocientos, más diecinueve veintes más diecinueve, es decir hasta 159,999 = (19) x 8000 + (19) x 400 + (19) x 20 + 19 En 160,000, veinte ochomiles, ya no se usaba una palabra nueva sino el producto de 20 por 8000 por yuxtaposición de las dos palabras: cempohalxiquipilli.

La forma de agrupación de los números en náhuatl es de 20 en 20, por potencias de 20, y la manera de formar los números se repite en cada veintena, en cada grupo de 400 = 20 x 20 = 202, en cada grupo de 8000 = 20 x 20 x 20 = 203. Podemos hablar así de una estructura vigesimal de la numeración hablada náhuatl,

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

es 19 cuatrocientos más 19 veintes más 19 = (19)x400 + (19)x20 + 19 = 7999

podemos decir que es un sistema de numeración vigesimal, aunque este concepto se refiera usualmente a la escritura simbólica posicional de los números. Podemos también decir que este sistema tiene una base auxiliar que es 5 puesto que la manera de agrupar los números al interior de cada veintena es de cinco en cinco (Ver tabla A).

Actualmente no se usan todos los números en náhuatl pero sí en general los números de 1 a 99, en algunos lugares hasta 399 y en algunos lugares, incluso no nahuas, se encuentra tzontli como medida de manojos de palma o de cargas de maíz y con el significado de cuatrocientas unidades.

En algunas regiones nahuas el número 15 se forma actualmente como los números de 11 a 14, es decir, como diez más cinco, 15 = matlactli onmacuilli, y en consecuencia los números de 16 a 19 se forman como 10 más 5 más 1 hasta 10

más 5 más 4. Cabe aquí preguntarse si esto proviene de una influencia de la numeración decimal, tal vez a través del español, en el náhuatl.

En otras regiones nahuas no se usa en la formación de los números la sílaba “on” ni la palabra “huan”; sólo se yuxtaponen los números y por su posición en la palabra se conoce su valor.

Cabe aquí preguntarse si esto proviene de una extrapolación de la manera en que se forman en general las palabras en náhuatl o si proviene de la influencia de otra lengua indígena.

Al urdir los hilos para montar un telar, la tejedora indígena agrupa de veinte en veinte. Foto Martha Turok.

La numeración tsotsil hablada.

Para hacer esta descripción me he basado en entrevistas hechas a estudiantes de la licenciatura en Educación Indígena de la UPN, de donde he tomado casi todos los números y la ortografía, que he dejado con sus irregularidades para que se pueda apreciar la dificultad de expresar y de leer nuestras lenguas indígenas pues no hay todavía alfabetos y ortografía de uso generalizado. Me he basado en la versión de Juan de Rodaz (3) para agregar algunos números y para constatar que la estructura actual de esta numeración, al menos hasta el número 119, es la misma que en el año 1688.

En tsotsil (ver la Tabla C) los números del 1 al 12 tienen un nombre propio: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

jun 11 bulichim chim 12 lajchem oxim 13 oxlajunem chanim 14 chanlajunem vo’ob 15 vo’lajunem vaquim 16 vaclajunem bucum 17 buclajunem vaxaquib 18 vaxaclajunem baluneb 19 balunlajunem lajunem 20 j’tom Tabla C. Números de 1 a 20 en tsotsil

Los números del 13 al 19 (ver Tabla C) se forman con las raíces de los números 3 a 10 como prefijos y yuxtapuestos a diez. Tenemos de esta manera que, por ejemplo, 14 es “chanlajunem”: cuatro diez.

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Las numeraciones indígenas en México

El número 20 tiene un nombre propio “j’tom”.

Después de j’tom la palabra que se usa para formar otros números con el significado de veinte es “vinik”: hombre. El número 40 (ver Tabla D) es dos veintes: “sha’vinik”; 60 es tres veintes: “yoxvinik”, 80 es cuatro veintes: chanvinik y se forman de esta manera los números que son múltiplos de veinte hasta 19 veintes: “balunlajunvinik”.

Las tejedoras cuentan hilos para introducir bellos diseños que cuentan parte de las historias y mitos de la creación. Foto Marta Turok.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

jun chim oxim chanim vo’ob vaquim bucum vaxaquib baluneb lajunem bulichim lajchem oxlajunem chanlajunem vo’lajunem vaclajunem buclajunem vaxaclajunem balunlajunem j’tom Tabla D. Los múltiplos de

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 20 en

j’tom sha’vinik o xcha’vinik yoxvinik chanvinik vo’vinik vacvinik bucvinik vaxacvinik balunvinik lajunvinik buluchvinik lajchavinik oxlajunvinik chanlajunvinik vo’lajunvinik vaclajunvinik buclajunvinik vaxaclajunvinik balunlajunvinik j’bok tsotsil hasta 400

Los números del 21 al 39 (ver Tabla E) se forman anteponiendo los números 1 hasta 19 a “sha’vinik” que significa dos veintes. Por ejemplo, 21 es: “jun sha’vinik”, es decir, “uno dos veintes”, o bien, “uno de la segunda veintena”, o bien “uno cuarenta”; 37 es: “buklajunem xcha’vinik”, es decir, diecisiete de la segunda veintena; etc. ¿Asombroso? ¡Interesantísimo! ¿no le parece?

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1 1

1 2

2 4

3 6

4 5 16 25 8 10 32 50

1 1

1 3

2 6

3 4 5 9 15 9 12 15 27 45

Fracciones equivalentes

1 1

1 2

2 4

3 6

4 5 16 25 8 10 32 50

1 1

1 3

2 6

3 4 5 9 15 9 12 15 27 45

Fracciones equivalentes

1 1

1 2

2 4

3 6

4 5 16 25 8 10 32 50

1 1

1 3

2 6

3 4 5 9 15 9 12 15 27 45

Fracciones equivalentes

1 1

1 2

2 4

3 6

4 5 16 25 8 10 32 50

1 1

1 3

2 6

3 4 5 9 15 9 12 15 27 45

Fracciones equivalentes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1ª veintena jun chim oxim chanim vo’ob vaquim bucum vaxaquib baluneb lajunem bulichim lajchem oxlajunem chanlajunem vo’lajunem vaclajunem buclajunem vaxaclajunem balunlajunem j’tom

2ª veintena 21 jun sha’vinik 22 chim sha’vinik 23 oxim sha’vinik 24 chanim sha’vinik 25 vo´om sha’vinik 26 vaquim sha’vinik 27 bucum sha’vinik 28 vaxaquim sha’vinik 29 balunem sha’vinik 30 lajunem xcha’vinik 31 bulichib xcha’vinik 32 lajchem xcha’vinik 33 oxlajunem xcha’vinik 34 chanlajunem xcha’vinik 35 vo’lajunem xcha’vinik 36 vaklajunem xcha’vinik 37 buklajunem xcha’vinik 38 vaxaklajunem xcha’vinik 39 balunlajunem xcha’vinik 40 sha’vinik o xcha’vinik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 dos

de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª de la 2ª veintes

veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena veintena

Tabla E. Los números de 21 a 39 en tsotsil La estructura de la segunda veintena se repite en las siguientes para formar cualquier número hasta 399, es decir, se anteponen los números de 1 hasta 19 a la veintena que se va a alcanzar.

La tercera veintena abarca desde 41 hasta 59 y entonces, por ejemplo, 43 se forma como 3 de la 3ª veintena: “oxim yoxvinik”. oxim 3

yox de (3

vinik x 20)

3 de la 3ª veintena, es decir: 43 3 de 60

Del mismo modo, 55 se forma como 15 de la tercera veintena: “vo’lajunem yoxvinik”. vo’ (5 +

lajunem 10)

yox de (3

vinik x 20)

15 de la 3ª veintena, es decir: 55 (5 + 10) de 3 x 20 = 15 de 60

La 4ª veintena abarca de 61 a 79 y la 5ª veintena de 81 a 100. Podemos entonces formar 99 como 19 de la 5ª veintena: “balunlajunem vo’vinik”. balun (9 +

lajunem 10)

vo’ de (5

vinik x 20)

9 de la 5ª veintena, es decir 99 (9 + 10) de 5 x 20 = 19 de 100

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Las numeraciones indígenas en México

El múltiplo de 20 que sigue de 156 es 160 = 8 x 20, entonces 156 está en la 8ª veintena, es 16 de la 8ª veintena, se forma como: “vaklajunem vaxacvinik”. vak (6 +

lajunem vaxac de (8 10)

vinik x 20)

6 de la 8ª veintena, es decir 156 (6 + 10) de 8 x 20 = 16 de 160

Con el mismo procedimiento podemos formar cualquier número hasta 399, este número es el anterior a 400 = 20 x 20, está en la vigésima veintena. El número 400 tiene ya un nombre distinto: “j’bok”, formado por la raíz “j’-”, uno, y “bok”; sin embargo la manera de formar los números es la misma, 399 es 19 de la veintena “j’bok”: “balunlajunem j’bok”. balun (9 +

lajunem j’ de (1 10)

bok x 400)

19 de un cuatrocientos, es decir 399 (9 + 10) de 1 x 400 = 19 de 400

Al llegar a 400, veinte veintes, tenemos un nombre nuevo “j’bok” al llegar a 8000, veinte 400, tenemos un nombre nuevo “j’pik”. No termina aquí la descripción de la numeración tsotsil pero consideramos que para los fines de este artículo es conveniente detenerse en este punto.

La forma de agrupación de los números en tsotsil es de 20 en 20, por potencias de 20, y la manera de formar los números se repite en cada veintena, en cada grupo de 400 = 20 x 20 = 202, en cada grupo de 8000 = 20 x 20 x 20 = 203.

Podemos hablar así de una estructura vigesimal de la numeración hablada tsotsil, decir que es un sistema de numeración vigesimal. Podemos también decir que este sistema tiene una base auxiliar que es 10 puesto que la manera de agrupar los números al interior de cada veintena es de diez en diez.

Comentario final.

A lo largo de este artículo hemos presentado dos ejemplos de distintos sistemas de numeración vigesimal: el náhuatl y el tsotsil; la complejidad de estos sistemas no es más que una pequeña muestra de la complejidad de las lenguas indígenas de nuestro país.

Espero haber sembrado muchas dudas e inquietudes en los lectores; quisiera haber inquietado a los maestros de educación indígena y a los que han tenido contacto con alumnos indígenas; desearía que, quien haya logrado sobrevivir a la lectura que he presentado, se pregunte si

tiene contacto con alguna de estas fenomenales culturas que usualmente poco apreciamos y cómo se les considera en la escuela, cómo se les presentan a los otros mexicanos.

1. Las variantes dialectales son las maneras distintas que toma una lengua en distintos lugares, como el español de México y el de Chile, por ejemplo.

2. OROZCO Y BERRA, Manuel. Historia antigua y de las culturas aborígenes de México. Tomo I. Reedición de Enrique Navarro.

Ediciones Fuente Cultural de Librería Navarro. México, 1954.

3. RODAZ, Juan de. Arte de la lengua tzotzelm o tzinacanteca con explicación del año solar y un tratado de las quentas de los indios.

Manuscrits Mexicains, 411. 1688, traslado de 1723, en Las lenguas del Chiapas colonial, Mario Humberto Ruz (Editor). UNAM. UNACH. Fuentes para el estudio de la cultura maya, 7. México, 1989.

Agradecemos a la antropóloga Marta Turok y al fotógrafo Antonio Turok el préstamo de las imágenes que ilustran este artículo.

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Concurso MISIÓN RESCATE: PLANETA TIERRA “Cuidando mi entorno, cuido nuestro planeta” Ganadores, por orden alfabético, en la categoría NARRATIVA

NOMBRE DEL GANADOR

NOMBRE DE LA ESCUELA

ESTADO

Aguiñaga Hatem Salma Ruth

Inst. Cult. Isaac Newton

San Luis Potosi

Aveldaño Ríos Ruby

Inst. D’Amicis

Puebla

Cooper Ventura Gerson Roberto

Escuela Benito Juárez

Yucatán

Avila Bejar Maximiano

Guillermo García Aragón

Michoacán

Dordelly Meneses Rubén

Esc. Inglesa de Pachuca, A.C.

Hidalgo

García García Irma

José María Morelos

Oaxaca

Espinoza Sánchez Edgar

Esc. Valentín Gómez Farías

Tamaulipas

Gómez Arévalo Rogelio

Heriberto Enríquez

México

López Morales Juan Eduardo

Colegio República Mexicana

Jalisco

Esc. Primaria Xicoténcatl

Coahuila

González Soto Nancy Judith

Juan de Dios Peza

Chihuahua

Luna Corona Raquel

Gral. Francisco Villa

Morales Bernal Andrés Esteban

Esc. Sec. Téc. No.9

Tabasco

Muñoz Reyna María Monserrat

Francisco Glez. Bocanegra

Guanajuato

Montoya Gómez Arianna Elizabeth Mucharraz Bou Nuria

Pereda García Edwin Martín

Pérez Molina Hernández Andrea

Romero Hernández Norma Alicia Trejo Domínguez Valery Yussett Uribe Velazco Melissa

Vela García Alejandro

INHUMYC

Colegio Lafayete “Mundo Feliz”

Durango

Distrito Federal Campeche

Colegio Mexicano, A.C.

Nuevo León

Francisco I. Madero

Chiapas

Escuela Francisco Ramírez

Colegio Marymount

Escuela Unión y Progreso

Colima

Morelos

Veracruz

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Ese mágico cero que revolucionó el comercio* Antonio Santoni Rugiu

U

n cotizado mercader alemán del siglo XIV quería dar a su hijo una instrucción útil para la administración de su propia empresa, pero en su región la enseñanza que se impartía en el quadrivium parece ser que no contemplaba más allá de la suma y la resta. Sólo en Italia encontraría algo más, donde con el nuevo sistema se llegaba hasta la multiplicación y la división. Estas operaciones, que actualmente se enseñan tranquilamente a los niños de los primeros grados elementales y que muchos quisieran, sin más, enseñar anticipadamente en el jardín de niños, hace tiempo exigían los servicios de un especialista. Una operación que hoy se realiza en escasos minutos, en el siglo XV requería muchos días de extenuante trabajo.

La multiplicación que se efectuaba con la numeración romana, para dar un ejemplo, de hecho consistía en una serie de sucesivas duplicaciones hasta llegar al multiplicador deseado, mientras que la división se limitaba a dar la mitad de un dividendo, de modo que se podía llegar, sin ninguna prisa a un cuarto, un octavo, y así sucesivamente, pero era muy problemático obtener un quinto y otros cocientes de divisores impares, por no hablar de los decimales, que en ese entonces aún eran inconcebibles. Con un sistema de signos de tal naturaleza, cada letra se empleaba para expresar un valor numérico fijo y reconocible en sí mismo de inmediato, independientemente de su posición: la I siempre era 1, la X siempre era 10, la C siempre era 100, etc. Para obtener valores seriales intermedios entre X y sus duplicaciones, por ejemplo para representar 34, se duplicaba -como todo el mundo sabeotras dos veces el signo X, se agregaba el V = 5 y se le sustraía una unidad, anteponiéndole un I. El XXXIV resultaba al final, de por sí, imposible de multiplicar y de dividir, a menos que se transformara en cantidades manipulables, es

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decir, en símbolos concretos (piedrecitas, pelotitas, cubos, etc.), como se hacía utilizando para ello los antiguos ábacos que sobrevivieron hasta el siglo XVI, para luego representar nuevamente con las letras romanas el resultado obtenido. En fin, era para volverse locos sin más, cuando a continuación se tenía que hacer algo con grandes números, o bien, con cálculos más complicados. Sin embargo, la reducida necesidad de cálculo en la alta Edad Media, dada la escasez de intercambios y de circulación de la moneda, no sufría mucho por esta rudimentaria técnica que, en cambio, amenazó con volverse paralizante un poco más tarde.

Si bien a finales del siglo XV el uso del ábaco romano, más o menos modernizado nuevamente, y el cálculo con los dedos aún eran familiares en los talleres de los artesanos, los mercaderes ya habían dado el salto desde hacía casi dos siglos: de hecho, la numeración árabe se empleaba corrientemente en diversas cartas comerciales ya en los primeros años del siglo XIV, prácticamente desde que los notarios dejaron de ocuparse, en tanto que escribanos genéricos, de los registros y los cartapacios de los mercaderes y se sustituyeron por empleados especializados, que se formaban en las nuevas escuelas de técnicas de contabilidad aritmética y que estaban, por lo tanto, más provistos y educados en las nuevas tareas.

Los notarios, por su parte, se prepararon para un papel más prestigioso y similar al del presente, o sea, extendiendo actas oficiales y como garantes de contratos y testamentos. Por eso es comprensible que se preocuparan por conservar un estilo propio, elevado inclusive a un rasgo distintivo tan peculiar de su profesión, como lo era la escritura; era de observarse que la escritura notarial, concebida para los actos en latín, no cambiaba aún cuando bosquejaba documentos

en lengua vulgar. ¿Y cómo se podía exigir que en una forma tan elevada y duradera se insertaran signos, como la numeración árabe, que recordaban el comprobante de expedición o inclusive los cartapacios de los encargados del taller?

A pesar de todo, la algoritmia o aritmética de origen indoárabe no tuvo una acogida triunfal, sino al contrario. En realidad, se trata de una transición demasiado lenta que requirió largos siglos. La lucha entre los ‘abaquistas’, que defendían la tradición romana, y los ‘algorítmicos’ o nuevos abaquistas, que propugnaban por su reforma, duró desde el siglo XI hasta el XV y, como siempre, pasó a través de todos los estadios del oscurantismo y la reacción. En algunos países se excluyeron las cifras arábigas de los documentos oficiales; en otros, se prohibieron totalmente. A pesar de ello, como siempre sucede, la prohibición no condujo a la abolición, sino únicamente a difundir su uso secreto, del cual se han hallado amplios testimonios en los archivos italianos del siglo XIII: a partir de ellos se sabe que los mercaderes italianos utilizaban las cifras arábigas como una especie de código secreto. En otras palabras, la relativa clandestinidad con la que operaban los algorítmicos al servicio de los mercaderes, cambistas y otros, hacía un poco más riesgosa su actividad, pero la constituía y la protegía exactamente como un secreto del oficio.

Así pues, en la demora de esta lenta y contrastante consolidación, las cifras árabes tuvieron todo el tiempo para sufrir las estilizaciones gráficas sucesivas, hasta alcanzar su forma definitiva impuesta por la reproducción de la imprenta después del siglo XV, gracias a la cual tales cifras tuvieron una representación idéntica a la presente, salvo algunos matices. En el siglo XVII todas las reglas que actualmente se enseñan en las escuelas elementales, a propósito de las operaciones con números enteros, fracciones ordinarias y decimales, estaban definidas y ya se difundían sin ninguna prohibición ni resistencia. Sin embargo, para ello fue necesario que transcurrieran casi cinco siglos.

El sistema de numeración romano sobrevivirá hasta nuestros días, pero sólo en las lápidas, en los documentos a los cuales se quisiera garantizar un signo de aulicidad, o bien, como alternativa respecto a las cifras árabes, pero ya desde el siglo XIII se derogó radicalmente en la práctica de la técnica de contabilidad y técnico-científica.

Las dificultades para calcular con el antiguo sistema eran de tal magnitud que quien era capaz de hacer cuentas se consideraba poseedor de poderes casi sobrenaturales, como se puede comprender ahora. Por ello se entiende que quien más o menos de manera mágica hubiera aprendido a manejar esa complicada práctica, después de un largo y tormentoso aprendizaje, no viera con ojos demasiado amorosos a quien demostraba la posibilidad de introducir procedimientos mucho muy simples, transparentes y rápidos. Se trataba, pues, de una verdadera revolución, probablemente mayor dados los tiempos, de la que en nuestros días ha representado la difusión de las calculadoras electrónicas. De hecho, la introducción de la cifra 0 constituirá el verdadero gran salto de calidad en el cálculo y permitirá prescindir del ábaco, ya que al bastarse por sí mismo para indicar la posición de las decenas, centenas, etc., hacía posible efectuar, sin más, cálculos con cifras escritas, en lugar de hacerlo con objetos (piedrecillas, dados o pelotitas) que representaban cantidades, como sucedía con la antigua tabla.

Con los nuevos procedimientos los vestigios de magia de los abaquistas desaparecían como por encanto; con el nuevo algoritmo, inclusive los cálculos más complicados, esenciales sobre todo en la actividad de los mercaderes, como la regla de tres simple y compuesta, la amortización de un préstamo, los préstamos a plazo, las oscilaciones del cambio, los descuentos y así sucesivamente, resultaban enormemente más veloces, evidentes y precisos.

No es aventurado afirmar que sin la nueva contabilidad, el desarrollo de los mercaderes no habría vivido su grandiosa parábola y la historia hubiera seguido otro curso.

* Traducción del italiano: María Esther Aguirre.

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de onda

Kripton 86

1 pie

1 650 763.73

El metro sí vino de París Alejandra González Dávila

La dimensión de la naturaleza.

Hablar de la longitud, de la masa y del tiempo, es remitirnos a tres conceptos fundamentales que nos ayudan a dimensionar propiedades físicas muy importantes, tales como la distancia entre dos puntos, la cantidad de materia de un cuerpo, y la duración de algún fenómeno, respectivamente. Estas tres nociones son manejadas por todos nosotros con mayor o menor precisión, pero ciertamente forman parte de nuestras vidas, al igual que de la de nuestros antepasados.

Se dice que las magnitudes físicas son aquellas propiedades de los cuerpos que se pueden medir; todos los pueblos antiguos han tenido sus propias formas de medir estas características. El conocer la duración de algún acontecimiento importante dentro de las actividades

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de la comunidad, o la percepción de los fenómenos naturales sólo cobraba verdadera dimensión cuando se le comparaba con un suceso o fenómeno similar que hubiese sido asimilado con anterioridad, es decir, que hubiese ayudado a los seres humanos antiguos a ubicarse en el tiempo y en el espacio. Así pues, el proceso de comparación se convirtió en lo que conocemos como medición.

Cuando decimos que algo mide 75 metros, nos estamos refiriendo a tres cosas fundamentales: • Una cantidad matemática equivalente a 75 unidades.

• Una unidad patrón que se toma como referencia, en este caso, el metro.

• Una magnitud física o propiedad que se está midiendo, es decir, la longitud.

Es necesario que las dos primeras características queden expresadas para que la longitud cobre su verdadera dimensión. Para que una medición pueda considerarse válida, debe dar siempre el mismo resultado, independientemente de quien la haga. De existir pequeñas diferencias entre varias mediciones, es conveniente establecer criterios o rangos de precisión dentro de los cuales se considere que la medición es consistente. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos ciudades es suficiente dar una precisión de kilómetros, mientras que para medir el diámetro de una bacteria, es necesario dar una precisión de millonésimas de metro, es decir, de micras.

Las primeras mediciones.

1 codo Sin embargo es importante recordar que las unidades de medida de longitud, como las de cualquier otra magnitud física, han sido definidas arbitrariamente. Hasta fines del siglo XVIII no existía una unidad en cuanto a las medidas que cada país tenía. La expansión del comercio y las comunicaciones obligaron a adoptar medidas generales que tuviesen equivalencia en todos los países. Las transacciones entre los países se dificultaban porque muchas de las medidas eran partes del cuerpo de algún personaje impor1 yarda tante. Se usaba el pie, la pulgada y la yarda, los 1 yarda cuales correspondían a las medidas del pie, del dedo pulgar, y el brazo respectivamente, del rey en turno. Otra inconveniencia era que la relación entre ellas no era decimal, es decir los múltiplos no eran decimales. Por ejemplo una yarda = 3 1 pie 1 pie pies = 36 pulgadas, lo cual generaba complicaciones aritméticas para efectuar conversiones.

Los primeros instrumentos de medición fueron los sentidos y las partes del cuerpo. Los egipcios 1 pulgada usaban la brazada (la cual parece ser la medida 1 pulgada de longitud más antigua que se conoce) equivalente a las mediciones de un hombre con los brazos extendidos. Los ingleses utilizaban como patrón el pie real. Los romanos utilizaban el paso y la milla (mille passum, que significa “mil pasos”).

Para ellos, un paso equivalía a dos pasos de los 1 palmo actuales, puesto que consideraban la zancada con Objeto a medir ambos pies, o sea, el ciclo completo. También seObjeto a medir utilizó el codo, el palmo o la cuarta. El imperio El “codo” y el “pie” en diferentes romano (el cual duró del siglo II aC al siglo IV dC) culturas de la antigüedad impuso a la libra como unidad de masa Espejo y aloscilante pie Cultura El codo El pie como unidad de longitud, siendo éste último Espejo un oscilante (equivalencia aprox.) (equivalencia aprox.)

Placa semitransparente patrón de bronce, cuyas réplicas se utilizaban a Espejo Egipcios 524 mm 254 mm lo largo y ancho del Imperio.

Luz Placa semitransparente Espejo Hebreos 450 mm Conforme las naciones fueron creciendo, se Griegos 463 mm 309 mm Luz fueron volviendo más complejas en su organiRomanos 444 mm 296 mm zación política y económica, y en su relación con los otros pueblos. Esta situación se vió reflejada TAMBUTTI y Muñoz.

Física 1. Segundo grado. LIMUSA. Microscopio Imagen

Microscopio

Imagen Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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El metro sí vino de París

en sus formas de medir. Por ejemplo, los acontecimientos históricos que condujeron a la decadencia del Imperio Romano, influyeron definitivamente en las medidas, al grado de que surgió una especie de anarquía métrica con respecto a las medidas establecidas, como una forma de protesta al yugo romano.

Sin irnos muy lejos, recordemos que entre los presidentes caudillos de la Revolución Mexicana, o en la época de la Reforma, existía una situación un tanto cuanto parecida, pero en el ámbito de la economía nacional. La competencia por el poder era tal, que cuando cualquiera de ellos tomaba la presidencia, emitía nueva moneda para desestabilizar física y económicamente a su predecesor.

unificar los sistemas de medición. Algunos científicos propusieron durante la Asamblea en 1795 que se adoptara un sistema de medición en el que las medidas tuviesen relaciones decimales entre ellas, y que dichas medidas tuviesen un 1 palmo patrón natural mucho más estable que las partes del cuerpo. Se estableció entonces que la distancia entre el polo norte y el ecuador de un meridiano que pasara por París, dividido en diez millones de partes iguales, sería el metro patrón.

El metro: unidad revolucionaria.

Volviendo a las unidades de medida, no fue sino hasta 1790 cuando la Asamblea Constituyente francesa, decidió invitar a los hombres de ciencia más famosos de la época, para intentar

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Metro patrón construido con una aleación de platino e iridio.

Así pues, un grupo de científicos franceses se dio a la tarea de medir parte de esa distancia utilizando el método de triangulación, desde Duquerque a Barcelona, entre 1792 y 1799. Ellos consideraron que la Tierra era una esfera y tomaron el arco correspondiente a la longitud medida durante estos siete años, obteniendo así la distancia del polo al ecuador. Posteriormente, al descubrirse que la Tierra no era una esfera perfecta, el metro quedó establecido como la longitud encontrada entre dos finísimas líneas trazadas en una barra hecha con una aleación de platino e iridio.

Napoleón, impregnado de un espíritu que le hacía verse como el verdadero caudillo de la Revolución Francesa, decretó la implantación del Sistema Métrico Decimal en las escuelas, para que esto fuese una aportación de Francia al mundo. La dificultad y resistencia de la población hacia las nuevas medidas fue muy sig-

nificativa, pero, en nombre de la Revolución, la gente aceptó el cambio.

1 metro

1 anchura de la mano

La unificación métrica.

Casi un siglo después se realizó en París la “Convención del Metro” en la que 18 de las 1 pulgada naciones europeas más importantes del mundo de esa época decidieron adoptar al sistema métrico, como sistema universal. Inglaterra no 1 pie acudió a esa reunión y continuó aplicando sus propios sistemas pie-yarda-pulgada.

En 1960 se redefinió al metro en términos de la longitud de onda de la luz roja proveniente de una fuente de kriptón 86, debido a que la barra de platino e iridio, no era tan estable como se pensaba porque era afectada en su longitud por los cambios de temperatura. Finalmente, y debido a la necesidad de contar con mayor precisión en los instrumentos modernos, se estableció en el año de 1983, que el metro es la distancia que recorre la luz en el vacío en un tiempo de 1/2 999 972 458 segundos.

No fue sino hasta 1960, que Inglaterra y los países de habla inglesa adoptaron el Sistema Internacional de Unidades (SI). Estados Unidos es el único país que no ha establecido como obligatorio y exclusivo el uso del SI. Tanto Canadá como Australia, Nueva Zelanda, y casi toda la Gran Bretaña, puede decirse que son ya países métricamente estandarizados o están a punto de serlo. En Estados Unidos existe una agrupación llamada la US Metric Association (USMA), que trabaja intensamente por la metrificación del país.

En México, el SI es el sistema oficial, desde hace ya muchos años, y se denomina el Sistema General de Unidades de Medidas, cuyo uso obligatorio está bajo la jurisdicción de la Dirección General de Normas, de la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial.

Longitud de onda

1 yarda

Kripton 86 Kriptón 86 1 650 763.73 1 pie

En 1960 se redifinió el metro en términos de la longitud de onda de la luz roja proveniente de una fuente de kriptón 86.

1 pulgada

Objeto a medir

Espejo oscilante

Placa semitransparente

Espejo

Luz

Microscopio Imagen

En el año 1983 se estableció que el metro es la longitud del tramo recorrido en el vacío por la luz en un intervalo de tiempo igual a 1/299792458 segundos.

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Certidumbres e incertidumbres

Oralidad, escritura y sistematización Reflexiones

Roberto Pulido Ochoa “Cuando tenía seis años vi una vez una magnífica estampa en un libro sobre la Selva Virgen, que se llamaba Historias Vividas. Ésta representaba una serpiente boa que devoraba una fiera. He aquí la copia del dibujo.

Se decía en el libro: Las serpientes boas devoran su presa entera, sin masticarla, después no pueden moverse y duermen durante los seis meses de su digestión.

Entonces yo reflexioné mucho sobre las aventuras de la jungla y a mi vez pude, con un lápiz de color, trazar mi primer dibujo.

Mi dibujo número uno era como éste.

Mostré mi obra maestra a las personas mayores, y les pregunté si mi dibujo les daba miedo.

Me respondieron: ¿Por qué nos va a dar miedo un sombrero?

Mi dibujo no representa un sombrero. Representa una serpiente boa que digería un elefante. Entonces dibujé el interior de la boa, con el fin de que las personas mayores pudieran comprender. Ellos tienen necesidad de explicaciones. Mi dibujo número dos era como éste: Las personas mayores me aconsejaron dejar a un lado los dibujos de serpiente boas, abiertas o cerradas, y que me interesara mejor en la geografía, la historia, el cálculo y la gramática; es así como abandoné, a la edad de seis años, una magnífica vocación de pintor.

Me desilusioné por el fracaso de mi dibujo número 1 y de mi dibujo número 2. Los mayores jamás comprenden nada por sí solos y es cansado para los niños estar dándoles explicaciones una y otra vez” (De Saint Exupery,Antoine, El Principito).

¿Por qué es importante que los profesores escriban sobre su práctica docente? ¿Por qué la exigencia de pasar de la oralidad a la escritura?

Quisiera detenerme un poco en estos dos conceptos, de la oralidad a la escritura.

La oralidad es viento, se aleja y casi siempre se pierde, también se constituye en la tradición de boca a oídos y de pensamiento a reflexión, en la búsqueda

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de transformación. La oralidad se constituye también desde el imaginario individual, su historia muere casi al instante; en lo colectivo se constituyen las tradiciones, los cantares, los juegos, etc.

La oralidad tiene su fuerza en el magisterio, todos sabemos casi todo de todos por la vía oral; también comentamos libros como si los hubiéramos leído, y casi siempre nos lo platicaron. La oralidad tiene un alto valor de transmisión cultural pero tiene límites que son desplegados por la escritura. El maestro habla bien, habla bonito, estructura creativamente -sobre todo aquí, en Oaxaca, lugar de una historia milenaria- pero hoy todos coincidimos: hay que pasar de la oralidad a la escritura. Sobre todo por esa necesidad de recuperar nuestra práctica, lo valioso del trabajo cotidiano.

La práctica docente se desarrolla sin detenerse, se corre para llegar y se llega tarde: a la escuela, a los libros, a los contenidos, al recreo, a comer, a cuidar a los hijos, a correr apresuradamente por la propia vida. Se resuelven problemas en la marcha: cooperativa, ceremonias, visitas con los alumnos, con los padres de familia, etc.

La escritura requiere de hacer una pausa, es detenerse un momento para reconstruir el pasado, es volver a pensar el pasado para iniciar desde otro lugar. Es también recurrir a la curvatura de la letra, dónde sube, dónde baja, hacia dónde avanza, hacia adelante, hacia atrás, en círculo como el mundo va y viene para confirmar su propio camino.

Detenerse y escribir con el peligro de exponerse y que otros conozcan de puño y letra nuestros aciertos y errores, es como “sacar nuestros trapitos al sol”.

La escritura va lejos, es una hoja al viento que no se pierde, que se puede reinterpretar, borrar, re-

escribir, releer, detener en el tiempo para reflexionar, para darle el orden que necesitamos para explicar nuestra estancia en este compromiso de la educación.

En fin, escribir es usar con creatividad el código de la lengua para expresarnos significativamente y en forma original y atractiva (Guariglia).

Escribir, leer y releer, es encontrar marcas por un gusto que no siempre se reconocía, releer sin prisa vuelve otro al lector y otra su lectura, al paso de esa extraña experiencia de la vida que es la vida misma.

Pasar de la oralidad a la escritura es la necesidad de poder dar cuenta de nuestro trabajo docente, que no se quede en el viento y se pierda, que tome cuerpo en el intercambio de experiencias con pares y con otros que tienen la posibilidad de situarse a la distancia del trabajo cotidiano pero que saben del fenómeno educativo.

Para ello es necesario sistematizar nuestra práctica docente, para apropiarnos de nuestra materia de trabajo. Describir, analizar, dar una explicación a la luz de la teoría, categorizar, conceptualizar, para darle un orden a nuestras primeras explicaciones.

La sistematización y más aun la recuperación histórica, tiende a extenderse en el tiempo porque siempre hay algo más para ampliar y profundizar, sin embargo, hay que fijar un límite y un momento en el cual hacer una parada, un recuento reflexivo y analítico del proceso vivido.

En esta parte del proceso se retoma la historia, se convierte el proceso en relato para que pueda entrar en la memoria y en la vida de los participantes.

Si definimos la sistematización como negociación de sentidos, de saberes y de poder, en la reconstrucción del proceso se puede ir viendo qué quedó de esa negociación: redefiniciones conceptuales, aprendizajes, cuestionamientos a la práctica...

Es importante evidenciar los vacíos e inconsistencias que se dieron durante nuestro proceso para retomarlos y asumirlos en los planes de formación y de trabajo de la experiencia. La sistematización no es el fin, es el inicio, si no en todo, por lo menos en parte, de nuevos procesos.

Las conclusiones para el trabajo no son cosas que resulten al final como por arte de magia. Algunas ya se saben desde el comienzo y lo que hace falta es fundamentarlas, otras, se van perfilando y clarificando en el proceso, lo importante en este momento es retomarlas y orientarlas hacia la toma de decisiones.

Uno de los objetivos de la sistematización es dar a conocer la experiencia y el trabajo realizado, lo cual supone una serie de definiciones. ¿A quién se quiere llegar?, ¿a los miembros del grupo?, ¿a los educadores e investigadores interesados en el tema?

La respuesta a esta pregunta determina el medio, la forma, esto sin contar con la pregunta no menos trascendental que es la de los costos. Plantearse la difusión a través de un texto, de una obra de teatro, de un afiche, es entrar en otro proceso que va a exigir competencias que en algunos grupos no se encuentra; redactar, por ejemplo, no es una habilidad que se improvisa.

Comunicar la experiencia exige volver a retomar el proceso: precisar, reducir, medir las explicaciones de lo que se va a publicar...

Con flores escribes Con flores escribes, Dador de la vida, con flores das calor, con cantos sombreas a los que han de vivir en la tierra.

Después destruirás a águilas y tigres, sólo en tu libro de pinturas vivimos, aquí sobre la tierra.

Con tinta negra borrarás lo que fue la hermandad, la comunidad, la nobleza.

Tu sombreas a los que han de vivir en la tierra.

Netzahualcóyotl (1402-1472) Zaid Gabriel, Omnibus de poesía mexicana, México, 1971, Siglo XXI, pp. 77.

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Artistas y artesanos

Manuel M. Ponce: un encuentro con los niños Ramón Mier Con La Primavera, Correo del Maestro inició en el fascículo anterior la publicación de las cuatro Canciones Mexicanas para Niños, de Manuel M. Ponce. Por tanto, para continuar este propósito, ustedes encuentran ahora en este número: La Luna, a la que seguirán La Aurora y La Lluvia.

Este grupo de canciones, nos hace pensar sobre las razones que tuvo Ponce para crearlas y dedicarlas, con amor, a los niños de México. Desde luego, nos abren el camino para reflexionar sobre la formación musical de la niñez en nuestro país; un primer aspecto puede referirse a la misma poesía de José D. Frías que, con aparente simpleza e ingenuidad fue, sin embargo, la que Ponce escogió para sustento de su creación musical, al mismo tiempo que música y poesía ya convertidas en canciones ofrecen a los niños, en este caso, un medio de expresión a la perenne admiración por aquellos fenómenos y acontecimientos de la naturaleza que les envuelve: “La Primavera derramó sus flores en verdes campos bajo el cielo azul...”.

“La Luna que ilumina los negros horizontes subiendo tras los montes...”.

“Las gotas de rocío diamantes de la Aurora...”.

“La Lluvia sobre la tierra vuelca su fresco tesoro”.

A excepción de La Aurora (escrita en una tesitura un poco aguda), estas canciones pueden ser cantadas en las escuelas por los niños, ya que Ponce desarrolla estas melodías en una tesitura adecuada para ellos. Asimismo, pueden armonizarse a dos o más voces; por lo demás, la parte de piano, sin dificultad, la puede realizar un maestro de música entrenado en este instrumento.

Como comentario más general acerca de las canciones de Manuel M. Ponce, puedo añadir que todas llevan su sello personal, y se les reconoce de entre muchos otros estilos.

Ponce sabía que su pueblo, su gente, amaba la música y el canto. Ya desde su juventud escuchó con gusto a los cantores populares, que provenientes de lugares lejanos llegaban hasta las ferias y las fiestas populares de Aguascalientes; de ellos, obtuvo una valiosa experiencia, y recibió su impronta, su colorido, su pertenencia. A lo largo de muchos años coleccionó tanto su poética como su musicalidad y soñó con la posibilidad de que, algún día, sus canciones fuesen cantadas en todos los ámbitos de nuestra sociedad. Su pluma versátil de creador musical nos legó muchas, muchas canciones y de ellas, para recordarlas, mencionaré solamente algunos de los títulos que más han perdurado: Qué lejos ando, Ven, oh Luna, Marchita el alma, Por tí mi corazón, Soñó mi mente loca, Todo pasó y, porqué no mencionar también a aquella nostálgica Estrellita del lejano cielo.

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Manuel M. Ponce: un encuentro con los niños

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La conservación, un oficio con beneficio Julio César Ramírez Alcántara

o E. no Mercad Foto Maria

“Toma el llavero abuelita y enséñame tu ropero...”

Cri-Cri

D

esde épocas remotas el hombre se ha preocupado por mantener en perfectas condiciones todos aquellos objetos que satisfacen sus necesidades. Al principio, tal vez su “instinto de sobrevivencia” lo llevó a tomar medidas para guardar sus alimentos, los lugares que consideraba propicios para el desarrollo de sus actividades, las pieles que obtenía de los animales que cazaba y que posteriormente le servían para cubrirse del frío; posiblemente sin darse cuenta, comenzó a realizar tareas de conservación en forma intuitiva, generando de este modo técnicas que fue mejorando poco a poco.

En la antigüedad los métodos de conservación estaban basados tanto en creencias como en experiencias: se prefería que el mobiliario en el que se iban a colocar los libros fuera de ciertas maderas, en especial de ciprés; también se colocaban hierbas aromáticas en el interior de los inmuebles que albergaban a los documentos, ya que estas repelían a los insectos; los edificios se orientaban de tal forma que el sol entrara por su lado poniente, ya que se pensaba que esto estimulaba su vitalidad y que por lo tanto durarían por largo tiempo en perfectas condiciones. Entre los musulmanes, inclusive, existía la costumbre de

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escribir conjuros en las hojas internas de los libros para protegerlos más.

En la actualidad esta preocupación por la conservación sigue vigente. Conservamos pinturas, fotografías, documentos y, una gran preocupación, intentamos conservar el medio ambiente, ya que su deterioro se considera como un problema que pone en riesgo a la humanidad misma.

Hacia la conservación de nuestra historia.

Nosotros, como individuos, en forma muy particular también conservamos “nuestra historia”; la consideramos tan importante que tratamos de rescatar lo más que podemos poseer de ella, guardando diversos objetos que significaron algo en un momento de nuestra vida: las fotografías familiares, los carnets de nuestros hijos que registran las visitas al médico donde él apuntaba “A los nueve meses Paola hace el intento de caminar...”, las conchitas de mar que trajimos de nuestras vacaciones en la playa, la carpeta de dibujos que hicimos en el primer año del jardín de niños.

Los adultos contribuyen a orientar a los niños en las tareas incipientes de conservación: a temprana edad, mamá dice en dónde y cómo guardar los juguetes; en la escuela primaria el niño aprende los principios básicos de esta actividad,

El papel de todos los días. ¿Qué es el papel? Como sabemos el papel está constituido por celulosa. La celulosa es el principal material estructural de las plantas, es el ingrediente principal del algodón, la madera, el lino, la paja y de todos los vegetales.

Existen diversos tipos de papeles: los hay para escribir, para hacer dibujos, para hacer los papalotes que vemos volar en el cielo, usamos

Foto Mariano Mercado E.

pues es ahí donde se le indica cómo debe de proteger sus cuadernos y libros, cómo unir con diurex las hojas que rompió, cómo pegar con Prit las monografías que le piden para sus tareas, y otras más. Si bien es cierto que las técnicas que se enseñan no son las más adecuadas, sí son útiles en el momento.

Así pues, en nuestros días ya no sólo conservamos aquello que consideramos indispensable para nuestra sobrevivencia y bienestar, sino que a algunos de estos objetos y documentos les reconocemos atributos especiales y los protegemos como reliquias o testimonios de un hecho del pasado. Esta actividad indujo al hombre a establecer algunas instituciones que se preocupan por guardar la memoria histórica de los hechos que se consideran relevantes para una nación o para un pueblo, como las bibliotecas, hemerotecas, archivos, museos, filmotecas, etc., cada una de las cuales trata de mantener en óptimas condiciones sus legados históricos, documentos que sirven para hacer referencia de esos momentos críticos, imágenes que nos indican fielmente el acontecer de algunos movimientos y su importancia, películas en la que los personajes históricos llevan a cabo la firma de un tratado.

Una gran relación que existe entre “nuestra historia” personal y social, y la historia que resguardan los archivos históricos es que, en su mayoría , toda la información está depositada en papel.

El reordenamiento de nuestros acervos.

(Centro de Estudios Sobre la Universidad).

papel de china, las revistas, los libros, ahora inclusive el papel reciclado. Pero existe una diferencia entre ellos, su calidad es muy distinta debido a que ésta dependerá de los usos a los que estén destinados, así, si son papeles que se emplearán para guardas de libros, podrá emplearse bond, fabriano o couché y podrán ser de colores o blancos. Antiguamente se elaboraba con trapos de algodón; a este tipo de papel se le conoce como “elaborado manualmente”. En la actualidad su elaboración se realiza por medio de máquinas, por ello se le conoce como “papel mecánico” y el grado de impurezas presentes en él es elevado, lo que reduce su tiempo de vida.

El ejemplo más claro se encuentra en los periódicos, cuya finalidad es informarnos en el momento y al día siguiente carecen de importancia.

¿Quiénes dañan el papel? ¿Quiénes provocan los daños en los materiales documentales? El hombre, los roedores, los insectos, los microbios, la temperatura, la humedad, las grapas, los clips, y su misma fabricación, ya que el contenido de impurezas presentes es considerable.

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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La conservación, un oficio con beneficio

El siguiente cuadro pretende mostrar la relación que existe entre los daños y el elemento de deterioro en los materiales documentales.

Agente de deterioro

Deterioros más frecuentes

Hombre

Mutilaciones, rasgaduras, manchas de grasa, etc.

Microbios Temperatura y humedad relativa (altas)

Efecto colorido en hojas, desintegrable, etc.

Desarrollo de microorganismos y deterioro químico del material, envejecimiento acelerado

Roedores, insectos

Mordeduras, perforaciones, excremento

Temperatura (baja) y humedad relativa (alta)

Aumento de su volumen

Temperatura (alta) y humedad relativa (baja)

Resequedad, que lo vuelve frágil y, en consecuencia,

Objetos metálicos (grapas, clips, clavos) Acidez del papel

Provocación de faltantes debido a la oxidación Deterioro de la celulosa, envejecimiento acelerado,

fácilmente vulnerable a rasgaduras.

por lo tanto pérdida de sus propiedades físicas y químicas.

Estos son sólo algunos ejemplos. Como podemos ver algunos de estos factores pueden controlarse y algunos otros salen de nuestro alcance; podemos minimizar los riesgos que representan la temperatura, la humedad relativa cuando estos parámetros son de 18º C y de 50 55% respectivamente, de esta manera también se elimina la presencia de microbios; con trampas especiales podemos evitar la presencia de roedores y de algunos insectos, y no colocando objetos metálicos podríamos garantizar un buen estado de nuestros documentos, pero los que no podemos controlar son la presencia del hombre y la naturaleza del papel.

Lamentablemente el mayor de los daños lo provoca el hombre, no sólo a los materiales documentales sino a todos los tipos de bienes.

Cuántas veces vimos en las bancas de la secundaria las declaraciones de amor hechas entre compañeros, en el autobús el ya famoso “aquí estuvo...”, y los “artistas anónimos” que hacen sus murales en los baños. Y en el CCH, cuando se dejaban los libros empeñados por cuatro quesadillas, a fin de cuentas que eran de la biblioteca.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

Las celebraciones en el Ángel de la Independencia por un triunfo de la selección mexicana, ¿más deterioros aparte de la contaminación a la que está expuesto?

¿Por qué conservar?

El acto de conservar, pues, no debería ser solamente almacenar la historia, los recuerdos, las herencias; debe ser una disciplina, hacerse en forma consciente: ¿Qué tiempo nos requerirá pasar la aspiradora por nuestras bibliotecas?, ¿encuadernar aquellos libros que ya no tienen pastas o que sus hojas están desprendidas?, ¿festejar en forma moderada aquellos triunfos que consideramos como importantes? o bien, ¿mantener en un álbum especial nuestras fotografías?.

A cambio de esto seremos de alguna forma “inmortales” y las futuras generaciones tal vez adquirirán conciencia y comprenderán la importancia que reviste la conservación de lo que en ocasiones se llama despectivamente “papeles viejos”.

Sentidos y significados

Los sistemas de medida y su significado Lourdes Santiago Martínez

D

esde hace miles de años, el hombre sintió la necesidad de conocer la magnitud de las cosas y para determinarla comenzó a desarrollar sistemas de medida que en un principio fueron antropométricos, es decir, se basaban en las medidas del cuerpo humano (de ahí denominaciones tales como pulgada o pie). Los romanos medían las distancias en pasos, idea que se conserva aún en el juego de niños conocido como stop, en el cual se determina la distancia a la que se encuentran los compañeros mediante pasos, pero éstos Antiguo instrumento de medición árabe, desarmado. pueden ser chicos, medianos o grandes y varían, también, de acuerdo con la longitud de las piernas; los griegos determinaban las distancias teniendo como base la medida de un estadio. Como puede inferirse, estos sistemas de medida eran arbitrarios, es decir, dependían del arbitrio o de la voluntad de una persona o de un pueblo y por la misma razón no eran comprendidos ni aceptados por los demás. Junto con el desarrollo de la humanidad fueron perfeccionándose también los sistemas de medida y pasaron de ser arbitrarios a ser convencionales, es decir, frutos de un convenio o pacto entre personas, entidades o países. En el siglo XVIII, Francia fue el primer país que adoptó el Sistema Métrico Decimal, llamado así porque las unidades de medida son potencias de diez y de ellas se ha tomado una como principal.

Los sistemas de medida son denominados, en ocasiones únicamente, mediante siglas, como el CGS, que es un sistema cuyas magnitudes fundamentales son la longitud, la masa y el tiempo y sus unidades son, respectivamente, el centímetro, el gramo y el segundo; en cambio, el MKS, es un sistema basado en el metro, el kilo y el segundo, de éste deriva el Sistema Internacional de Unidades, en el cual se han adoptado seis unidades básicas de medidas para: longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura e intensidad luminosa. ¿Cuál es el origen etimológico de las palabras relacionadas con los sistemas de medida que ya hemos mencionado?

Medida, deriva del verbo medir, y éste del verbo latino metiri: “medir”, medir es comparar la magnitud de una cosa mediante otra magnitud escogida como unidad.

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Los sistemas de medida y su significado

Unidad, se trata de una cantidad especificada con precisión que se toma como medida; proviene del sustantivo latino unitas: “unidad”, “condición de ser uno”, formado a partir del adjetivo unus: “uno” y el sufijo -tas, que indica calidad o condición.

Magnitud, designa el tamaño de un cuerpo; viene del latín magnitudo: “tamaño”, “grandeza”, formado, a su vez, por el adjetivo magnus: “grande” y el sufijo-tudo, que señala condición o estado.

Antropométrico, relativo a la antropometría, tratado de las proporciones y medidas del (ánthropos): “hombre”, “ser humano” y cuerpo humano, del griego (métron): “medida”.

Pulgada, medida determinada en su origen por el grosor del dedo pulgar, derivado del adjetivo latino pollicaris: “del pulgar”, “del grueso del pulgar”, de pollex: “pulgar”, cuya raíz indoeuropea es pol- “dedo”.

Estadio, del griego (stádion): “estadio”, se trata de una antigua medida de longitud, equivalente a 600 pies griegos o 625 romanos, probablemente derivada de la dimensión del estadio, lugar en el que se realizaban las carreras.

Longitud, palabra que designa la dimensión de un objeto de un extremo a otro y que deriva del sustantivo latino longitudo: “longitud”, formado el adjetivo longus: “largo” y el sufijo -tudo, que señala condición o estado.

Metro, es la unidad fundamental de longitud en el Sistema Métrico Decimal y deriva (métron): “medida”. del griego Masa, es el volumen físico de un cuerpo sólido, viene del latín massa: “masa”, “mon(mátsa) : “masa”, “tortita de cebada”, cuya raíz indoeutón” y éste del griego ropea es mag- “amasar”.

Kilogramo, palabra que llegó al español a través del francés kilogramme: “kilogramo”, formado a partir del griego (khílioi) : “mil” y (grámma) : “letra”, probablemente tomada con la idea implícita de objeto pequeño, y de ahí, de “peso pequeño”.

Tiempo, del latín tempus: “tiempo”, “intervalo, “duración”. La unidad fundamental del tiempo es el segundo, derivada del latín secundus: “segundo” “que sigue al primero”, porque se trata de la segunda división de una hora, ya que la primera es el minuto, incluso a veces en español se llama “minuto segundo”, como en italiano minuto secondo, idea que proviene del latín medieval en el cual se hablaba de: pars minuta prima: “primera parte pequeña” (de una hora) y de pars minuta secunda: “segunda parte pequeña” (de una hora).

Minuto, deriva del participio pasivo minutus: “disminuido”, del verbo latino minuere: “disminuir”. Seguramente recibió este nombre porque se trata de una parte pequeña, es decir, disminuida de una hora.

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

Problemas sin número

Relaciones de orden Concepción Ruiz Ruiz-Funes Galo Ruiz Soto “La enseñanza de la matemática debe ser preparada con una serie de ejercicios de lógica... Este tipo de actividad concreta debe ser desarrollada y constantemente enriquecida en una forma sistemática durante toda la educación básica...”

Jean Piaget En matemática, el concepto de orden es fundamental, aparece no sólo en los sistemas de numeración, tan familiares para nosotros, sino prácticamente en todos los conceptos y técnicas que se utilizan. En particular, para los niños de primaria, los conceptos de orden y de clasificación son esenciales como antecedentes en la adquisición del concepto de número y de las técnicas de conteo y en la buena ejecución de las operaciones aritméticas.

Actividad: Poniendo en orden a los amigos.

Esta actividad está dirigida a estudiantes de cuarto grado de primaria en adelante.

La siguiente tabla tiene los datos de cuatro niños y cuatro niñas de una escuela: NOMBRE

APELLIDO

EDAD

Alejandro Laura Norma Rodrigo Alejandra Santiago Camila Santiago

Ramírez Rodríguez González Álvarez López Ruiz Salgado Martínez

(años) 8 8 9 10 8 9 9 9

ESTATURA 1.23 1.24 1.25 1.27 1.27 1.28 1.29 1.32

NOMBRE Laura Alejandro Alejandra Camila Santiago Santiago Norma Rodrigo

APELLIDO Rodríguez Ramírez López Salgado Ruiz Martínez González Álvarez

ESTATURA (metros) 1.24 1.23 1.29 1.32 1.25 1.27 1.27 1.28

PESO (kilogramos) 26 23 28 27 29 26 24 28

GRUPO 3A 3B 4B 4A 3C 4A 4C 3A

Un estudiante que haya decidido ordenar a los niños por estatura, de menor a mayor, tendrá que elaborar la siguiente tabla: EDAD 8 8 8 9 9 9 9 10

PESO 23 26 29 24 26 28 28 27

GRUPO 3B 3A 3C 4C 4A 3A 4B 4A

Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

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Relaciones de orden En esta tabla es importante observar lo siguiente: 1. Camila Salgado y Santiago Ruiz tienen la misma estatura por lo que para ordenarlos es necesario elegir un segundo criterio de ordenación únicamente para ellos dos; en este caso se eligió el orden alfabético por nombre, pero se pudo haber elegido el orden alfabético por apellido, el peso, o el grupo. Sin embargo, la edad no sirve como criterio pues ambos tienen la misma.

2. El orden por estaturas conlleva a un orden por edades, sin embargo, a la inversa esto no necesariamente sucede.

Analicemos otros criterios que hay para ordenar la tabla: 1. Orden alfabético por nombre: En este caso tendrán que ordenarse con cuidado los nombres de Alejandra y Alejandro y tendrá que notarse que Alejandra va primero, pues por orden alfabético van coincidiendo todas las letras, una a una, hasta la última.

En el caso de Santiago Ruiz y Santiago Martínez tendrá que aplicarse un segundo criterio para decidir cuál va primero, el único que no serviría es el de la edad pues ambos tienen la misma.

2. Orden alfabético por apellido: Lo único que vale la pena notar en este caso, es que hay tres apellidos que empiezan con la letra R, por lo cual hay que ser cuidadosos al decidir cuál apellido va primero.

3. Orden por edad: En este caso hay varias edades que coinciden por lo que este criterio únicamente dividirá la tabla en tres grupos: 8, 9 y 10 años. Será necesario utilizar un segundo criterio para ordenar cada uno de estos grupos; es importante que este segundo criterio sea el mismo para los tres grupos de

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Correo del Maestro. Núm. 12, mayo 1997.

edad. En el grupo de 9 años, si se elige como segundo criterio de ordenación el nombre, va a aparecer el problema de que tanto Santiago Martínez como Santiago Ruiz tienen la misma edad, por lo que se tendrá que utilizar un tercer criterio.

4. Orden por peso: Este criterio presenta, otra vez, el caso de que hay dos iguales, de 26 kg, por lo que será necesario elegir un segundo criterio para estos casos.

5. Orden por grupo: Este criterio dividirá la tabla, en primera instancia, en dos grupos: los de 3º y los de 4º. Después será necesario ordenar esos grupos según la letra que acompaña al número.

Sugerimos al maestro que los estudiantes elaboren su propia actividad de ordenación.

Una posibilidad es dividir al grupo en equipos y pedir que cada equipo elabore una tabla para ser ordenada.

Además de las variables que ya se han manejado en la tabla que presentamos, sugerimos las siguientes: 1. Número de hermanos.

2. Número de miembros de la familia.

3. Número de mascotas. etcétera.

Finalmente queremos hacer énfasis en que ordenar es comparar; en que el estudiante tuvo que analizar los datos de la tabla para después compararlos: ...es más alto que... ...es más chico que... ...más pesado que... etcétera.

Es decir, el estudiante ha relacionado todos los datos de la tabla mediante una de las relaciones lógicas más fundamentales de las matemáticas: la relación de orden.

Indice anual de Correo del Maestro Título La división por dos cifras.

Animales que viven en el suelo.

Mi primer año de vida.

El cólera. ¿Qué es la astronomía?

La cabra en México.

Las piruetas de la polinización.

Juegos con las palabras. ¿Por qué necesitamos la educación estética?

Arquetipos.

Acto seguido. ¿Y si te equivocas...?

Fabricando papel reciclado.

Mientras, fui creciendo.

Las abejas y las matemáticas.

Fumando, ¿qué esperas?

Los días y las noches en los diferentes mundos y las fases de la luna.

Dignificar la imagen del maestro.

Las canciones de Natacha.

Las matemáticas y sus ramas.

Diálogo en torno a la enseñanza de la historia.

Fabricación de un fusible.

Mi familia también creció.

Código binario.

Los amos del disfraz.

Vacuna de vaca.

La leche de cabra.

Humanizar el oficio de maestro.

Las canciones de Natacha. ¿Qué sabemos del español?

Nuestro mundo.

Experiencias de un maestro nahua bilingüe.

Jugando hacemos historias. ¿Vive o no vive?

La composta: un mejor destino a la basura orgánica.

El gran vuelo.

El vapor de agua y el sudor.

Adecuar la pedagogía a las etapas de desarrollo intelectual. ¿Quién es Clío?

Cielos azules y manzanas rojas.

El lenguaje y el medio ambiente.

La Cumbre de la Tierra y Misión Rescate.

Remembranza: “Los programas de educación primaria”. ¡Otra vez a clases!

Cohete de Alka-Seltzer.

El achiote.

Vivienda rural en el trópico mexicano.

Una década de formación de educadores especiales en Tabasco.

Freinet y la palabra del niño.

Escuela Activa...¿para qué?

Los siete pulmones de una raza.

El léxico indoamericano en el español.

“Un Universo en expansión” El Correo del Maestro y su calavera Rincones y tradiciones. “Texto de Alma en pena,” ¿Será que...?, Estrenando panteón Los archivos y la historia, una necesaria relación.

Didáctica y civismo.

El pensamiento pedagógico del profesor Carlos A. Carrillo.

Un diálogo entre La Educación y La Cultura.

Día de muertos.

Autor

Revista No.

Fecha

Amneris Romelli Citlalli Álvarez Virginia Ferrari Luci Cruz Wilson Julieta Fierro Santos Arbiza Aguirre Verónica Bunge Gerardo Daniel Cirianni Valentina Cantón Arjona María de Lourdes Santiago Jacqueline Rocha Arantzazu Ortega Citlalli Álvarez Virginia Ferrari Alejandra Alvarado y Concepción Ruiz Luci Cruz Wilson

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

Julieta Fierro María Esther Aguirre Leonardo Velázquez Lourdes Santiago María Esther Aguirre Alejandra González Dávila Virgina Ferrari Mario Pinzón Turiján Citlalli Álvarez y Alejandra Alvarado Luci Cruz Wilson Santos Arbiza Aguirre Graciela González de Tapia Leonardo Velázquez María de Lourdes Santiago Alejandra González Antonio Martínez Hernández Jaqueline Rocha María Jesús Arbiza Verónica Bunge Citlalli Álvarez Julieta Fierro Tere Garduño Mireya Lamoneda Huerta Teresa Lobo María de Lourdes Santiago Matilde Díaz-Almazán César González Mirabal Claudia Álvarez Cuesta Julieta Fierro y Carlos Espejo José del Carmén Morales Rebolledo José Ángel Valenzuela Arroyo

2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5

Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Junio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Julio 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Agosto 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Septiembre 1996 Octubre 1996 Octubre 1996 Octubre 1996 Octubre 1996 Octubre 1996 Octubre 1996

5 5

Octubre 1996 Octubre 1996

María del Carmen Frías Bayona Gustavo Villanueva Bazán Yuriria Castro Moreno

5 5 5 5 6 6 6 6

Octubre 1996 Octubre 1996 Octubre 1996 Noviembre 1996 Noviembre 1996 Noviembre 1996 Noviembre 1996 Noviembre 1996

Verónica Grimaldi Papadópolus Valentina Cantón Arjona y Mario Aguirre Beltrán María de Lourdes Santiago

6 6 6

Noviembre 1996 Noviembre 1996 Noviembre 1996

Eustaquio Sánchez Vázquez Fernando Jiménez Mier y Terán Valentina Cantón Arjona Pablo Gómez Jiménez, Silvia Patricia Aquino Zúñiga, Hilda Ofelia Estrada Gómez María de Lourdes Santiago Consuelo Doddoli El Aprendiz

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Título Historia Gráfica de la Revolución Mexicana.

El desarrollo de la escritura en los preescolares de la escuela Manuel M. Ponce.

Hacer radio sin radio.

Fabricación de un reóstato.

La integración europea, una experiencia revolucionaria.

El reloj de sol y las estaciones.

Las orquídeas.

La investigación educativa en la educación preescolar.

Rescate de la tecnología alimentaria tradicional del Estado de Tabasco.

El lenguaje de la Navidad.

Los maestros rurales de entonces.

El descubrimiento de la palabra escrita.

Carlos Pellicer y el nacimiento.

Ejercicio de escritura en el aula.

La salud de los niños en el mundo en desarrollo.

Cometas.

Algunos a spectos sobre el perro y el gato.

Intercomunicación a través del juego.

Y sin embargo se mueve.

El calendario y su origen.

Matemáticas y lógica.

Te cuento que...

La fuerza de Coriolis.

Los huracanes.

Conociendo mejor a otros mexicanos.

Chagas, el mal.

Zoonosis de perros y gatos.

Una mirada al hombre a través de la pedagogía.

Carnaval de Yautepec.

Movimiento, color y mancha.

El origen del carnaval.

Algo de geometría.

La hora del cuento.

La formación moral en la escuela Manuel Bartolomé Cossío.

La aparición de la “pluma atómica”.

Entorno agradable para el trabajo en una escuela primaria Los códices.

El Códice Mendocino.

Ese encanto de las anécdotas, los retratos y los baúles...¿sirve para algo en la escuela?.

Los talleres literarios.

Las formas de la escritura.

Secuencias lógicas.

Los señores del papel. Una herencia que debemos recordar.

Alternativas didácticas para la enseñanza de la historia. ¿Quién fue Benito?.

La educación pública prehispánica.

Historia de la pedagogía en México.

Canciones Mexicanas para Niños, de Manuel M. Ponce.

Retrato de una sociedad: la escultura del pueblo mexica.

La transmisión de la historia.

Un cuento para leer con cuidado.

Un maestro singular.

Fracciones equivalentes.

Dominó de fracciones y porcentajes.

El astrolabio.

Las numeraciones indígenas en México.

Ese mágico cero que revolucionó el comercio.

El metro sí vino de París.

Oralidad, escritura y sistematización.

Manuel M. Ponce: un encuentro con los niños.

La conservación, un oficio con beneficio.

Los sistemas de medida y su significado.

Relaciones de orden.

58

Autor

Revista No.

Fecha

Mercedes Martínez Barragán María César, Laura Calderón, Laura Leal, Laura Pille y María Sepúlveda Guillermina Baena Paz Alejandra González Dávila Stephan Sberro Consuelo Doddoli y Julieta Fierro José del Carmen Morales Manuel Medina Carballo

6

Noviembre 1996

7 7 7 7 7 7 7

Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre

Dora Centurión y Judith Espinosa Moreno María de Lourdes Santiago Yolanda Sasson Laura Ayala Lara María del Carmen Frías Bayona Isabel de la Torre Clavijo César Chelala y Joao Yunes Julieta Fierro Carlos Manuel Appendini Tazzer José Luis Ramos R. Liliana Riva Palacio María de Lourdes Santiago Concepción Ruiz Ruiz-Funes Mario Aguirre Beltrán Alberto Molina Tapia Juan Loera Albarrán Alejandra Alvarado Zink Luci Cruz Wilson Carlos Manuel Appendini Tazzer Elizabeth Rojas Samperio Nora Brie Gowland Pilar Herrera María de Lourdes Santiago Concepción Ruiz Ruiz-Funes Laura Aguirre Lass

7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Diciembre 1996 Diciembre 1996 Diciembre 1996 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Enero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997 Febrero 1997

Los maestros de la escuela Eduardo García Ocampo Lourdes Hernández Barajas Boris Berenzon Hilda J. Aguirre Beltrán

10 10 10 10 10

Marzo Marzo Marzo Marzo Marzo

1997 1997 1997 1997 1997

María Esther Aguirre Lora Carlos Antonio de la Sierra María de Lourdes Santiago Martínez Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Galo Ruiz Soto

10 10 10 10

Marzo Marzo Marzo Marzo

1997 1997 1997 1997

Valentina Cantón Arjona Luz Elena Galván Lafarga Felipe Chávez Cervantes Mario Aguirre Beltrán Álvaro Marín Marín Ramón Mier Felipe Solís María de Lourdes Santiago Martínez Galo Ruiz Soto y Concepción Ruiz Ruiz-Funes María de Lourdes Hernández y Margarita Vera Carreño Virginia Ferrari Magdalena Montes Castro Julieta Fierro Natalia de Bengoechea Olguín Antonio Santoni Rugiu Alejandra González Roberto Pulido Ochoa Ramón Mier Julio César Ramírez María de Lourdes Santiago Concepción Ruiz Ruiz-Funes, Galo Ruiz Soto

10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

Marzo 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Abril 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997 Mayo 1997

1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996