Correo del Maestro Núm. 26 - Julio de 1998

Teselaciones, o cómo decorar el baño Juan Manuel Ruisánchez

ISSN 1405-3616

Topología y otras cosas Leopoldo Gómez Castillo

Ceñidores, triángulos y números Isaías Aldaz Hernández

Matemática y astronomía Julieta Fierro

Acerca del tratamiento didáctico de la probabilidad Silvia Alatorre

Maurits Cornelis Escher La visión matemática de un artista gráfico Rosa Elena González

9!BLF?E@:RUPUOV!

México D. F. Julio 1998. Año 3 Número 26.

la tecnología actual al servicio del maestro Durante el año lectivo 1998-1999 el Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales otorgará créditos en condiciones preferenciales a los trabajadores de la educación pertenecientes a los Servicios Educativos Integrados al Estado de México para la adquisición de computadoras multimedia y sus accesorios

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Editorial

Hace ya unas décadas, las investigaciones de Piaget nos enseñaron que los niños pequeños perciben el espacio desde una perspectiva topológica para luego adquirir, lenta y paulatinamente -hacia los seis o siete años de edad-, un punto de vista proyectivo y, casi al mismo tiempo, el euclidiano. De acuerdo con estos descubrimientos, los maestros del jardín de niños y los primeros grados escolares debemos procurar que nuestros alumnos tengan el mayor número posible de experiencias, mediante las cuales ellos afirmen la comprensión de ciertas nociones topológicas básicas, tales como: está cerca de o está lejos de, es una parte de o no es una parte de, viene antes de o viene después de, está dentro de, está fuera de, está sobre, etcétera.

Pero, ¿qué es la topología? Por ahora, sólo podemos adelantar que es una rama de la geometría que no se ocupa de medir, que tiene que ver con la posición o localización y también con la distorsión o deformación, que estudia figuras lineales, superficies o sólidos; desde toros y nudos a redes y mapas...* y que en las páginas siguientes ustedes encontrarán una introducción a ella, que no resistirán experimentar.

Efectivamente, este número de Correo del Maestro está dedicado a la enseñanza de la matemática. A través de nuevas propuestas de trabajo en el aula, sus autores nos muestran cómo esta ciencia puede ser la más fácil -de enseñar y de aprender- y además, a cualquier edad, la más divertida.

Virginia Ferrari

*

RIVEROS, M. y ZANOCO, P. Geometría: aprendizaje y juego. Santiago, Ediciones Universidad Católica de Chile, 1992. p.27.

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Entre nosotros

Topología y otras cosas Leopoldo Gómez Castillo Quien no se detiene a ver, estar dentro, estar fuera, qué fácil es.

Saltar del interior al exterior, también lo es.

Quien se detiene a ver, que no hay adentro, afuera, ni exterior, ni interior, un mundo ha de ver.

D

esde pequeños hemos aprendido intuitivamente lo que es adentro y afuera, esto lo podemos ver en figuras planas y cerradas, como por ejemplo: cuadrados, triángulos o figuras que no sean regulares, tales como las que se muestran en la figura número 1.

Afuera

Ex te rio r

Figura 1 Interior

Sinónimos: Adentro = interior Afuera = exterior

Adentro

Adentro

Adentro

Afuera

Esto también lo vemos en la vida cotidiana; estamos fuera de casa, dentro del autobús, fuera de la escuela, dentro de la camisa, en el interior del cine, etc. (ver figura número 2).

Figura 2 Está en el interior

Está afuera de la casa

Están en el interior del camión

Tengo puesta la camisa

Están fuera de la escuela

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Topología y otras cosas

La rama de la matemática que estudia este tipo de propiedades se llama topología y fue establecida por el matemático Leonhard Euler (1707-1783) en el año de 1735.

Dicho de una manera sencilla, la topología estudia aquellas propiedades que no cambian cuando deformamos una figura sin romperla.

Imaginemos que dibujamos un cuadro sobre una banda de hule; al deformarla quedaría algo semejante a lo que se muestra en la figura número 3.

Figura 3

Banda de hule sin deformar

Banda normal Sabemos que si tenemos un rectángulo como el que se muestra en la figura número 4, si unimos A con C y B con D se forma una banda que nos es familiar y en la que podemos distinguir las siguientes características: • posee adentro y afuera, • si caminamos por la parte interior o exterior llegaremos al mismo lugar, • tiene dos superficies o caras las cuales son distinguibles si se pintan de diferente color, • tiene dos orillas, • si hacemos un corte a la mitad de lo ancho como se muestra en la figura número 5, se obtendrán 2 bandas con las mismas propiedades des-critas anteriormente.

Figura 4 A

C

B

D

Banda deformada o estirada

¿Cuáles propiedades del cuadro cambiaron y cuáles son?

Cambiaron el área, el perímetro, los ángulos internos y externos. Estos cambiaron porque son propiedades geométricas, sin embargo, no cambió el hecho de que la figura resultante sigue siendo una curva cerrada que determina un interior y un exterior.

Así, en topología nunca nos preguntamos: “¿qué longitud?”, “¿a qué distancia?”, “¿de qué tamaño?” sino que preguntamos “¿dónde?”, “¿entre qué?”, “¿interior o exterior?” Es decir, la topología se distingue de las otras geometrías que tratan con ángulos, áreas, volumenes, distancias, perímetros, etcétera.

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A

D

B

A

C

C B

D

Figura 5

Corte a la mitad, banda normal.

Banda de Moebius ¿Existirán bandas de una sola cara y que no tengan adentro y afuera?… ¡Sí!, los topólogos la llaman Cinta de Moebius -en honor al matemático alemán, August F. Moebius (1790-1868), que la descubrió en 1858- y tiene características muy particulares. Pero antes, veamos cómo se construye esta cinta: se toma el rectángulo de la figura número 4, pero ahora giramos la cinta 180°, es decir media vuelta, para unir A con D y B con C, como se muestra en la figura número 6.

Figura 6 A

C

B

D

B A

Unir

C D

Da media vuelta C

B A

D

B C

A D

Las características de la Banda de Moebius son: 1. Si nos ponemos a caminar sobre ella, veremos que algunas veces estaremos caminando por el interior y otras por el exterior, ya que tiene una sola cara… ¡qué sorpresa!

2. Tiene una sola orilla.

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Topología y otras cosas 3. Si cortamos la cinta a la mitad (como en la figura número 7a) obtenemos una banda con el doble del tamaño. Esto se debe a que, dado que se tiene una orilla, al hacer el corte por la mitad hacemos la otra orilla y, por lo tanto, obtenemos una sola banda.

Figura 7a

Línea de corte

Primer corte Bandas de Moebius cortadas a la mitad

4. Si nuevamente cortamos a la mitad la banda resultante, se forman dos bandas, las cuales no son de Moebius y están entrelazadas como muestra la figura 7b.

Figura 7b

Segundo corte

Si observamos cuidadosamente, la media vuelta eliminó uno de los lados... ¿sorprendente? Una forma de ver esto, es trazando una línea recta a lo largo de la Cinta de Moebius y continuándola hasta el punto de partida. Al separar los bordes de donde estaba unida la cinta se verá que ambos lados han sido recorridos por la línea recta, aun cuando al trazarla, no se cruzó ninguno de los bordes (orillas). En una banda normal habría tenido que cruzar una de las orillas para poder pasar del otro lado.

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Algo sobre sucesiones En matemática, la palabra “sucesión” se emplea casi en igual sentido que en el idioma ordinario. Algunos ejemplos de ella los tenemos cuando decimos: los reyes de Inglaterra, los presidentes de México, las estaciones del año o cuando hablamos de una colección de objetos (conjuntos) o sucesos y podemos observar que están uno tras de otro (sucesión), es decir, cuando están ordenados de modo que podemos identificar el primer elemento, el segundo… etcétera.

Así, en matemática, una sucesión es una ordenación de números, dados por una cierta relación o fórmula y que está relacionada directamente con el conjunto de los números enteros. La forma de nombrar una sucesión es por An. Veamos un ejemplo: a la sucesión dada por la formula An= 2n + 3 se le asocian los primeros números enteros, es decir, n=1, n=2, n=3, n=4, etc. y se van sustituyendo éstos en la fórmula de la sucesión, así: para n=1 se tiene An=2 ( 1 ) + 3=5 1er término para n=2 se tiene An=2 ( 2 ) + 3=7 2o término para n=3 se tiene An=2 ( 3 ) + 3=9 3er término . . . . . . para cualquier “n” se tiene A=2 (n)+3 n-ésimo término.

Si acomodamos los valores obtenidos en la sucesión dada, de tal forma que el primer término de la sucesión quede arriba del entero “1”, el segundo término quede arriba del entero “2”… etc., y así sucesivamente, se puede observar que se puede aparear un término de la sucesión con un número entero de la sucesión, a lo que en matemática se le llama correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca, tal como se muestra a continuación: Valor del término de la sucesión

5

7

9

11 . . .

Número entero

1

2

3

4 . . .

2 ( n )+3 n

Otros ejemplos de sucesiones, dadas con términos numéricos son las siguientes: 1, 1/4, 1/6, 1/8, . . .

2, 4, 6, 8, . . .

1, 4, 7, 10, . . .

Te invitamos a que encuentres su relación (o fórmula). ¡Inténtalo!

Te preguntarás: ¿y esto qué tiene que ver con topología? Bueno, pues resulta que si se corta la Banda de Moebius con cortes simultáneos, se genera una sucesión de forma natural. La forma de ver esto es la siguiente:

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Topología y otras cosas

Sucesión de Moebius Si cortamos a lo largo y por la mitad la Cinta de Moebius, tal como muestra la figura número 7, se observa lo que ya sabemos, pero... ¿qué pasa si hacemos los cortes de la siguiente manera?: Con un corte ocurre lo que ya sabíamos; ahora con dos cortes, como lo muestra la figura número 8, ¿cuántas bandas se formarán? Se forman dos, pero una pequeña y otra grande. ¿Sorprendido? Fabrica tus bandas y ponte a cortar. Si realizamos tres cortes, ¿qué pasará? Se forman 4 bandas, pero del mismo tamaño. ¿Te lo esperabas? ¿Qué sucede ahora si hacemos 4, 5, 6,… o más cortes? A partir de ahí podemos observar que se genera una sucesión, la cual está representada en la tabla número 1. Ahora nuestro trabajo consistirá en encontrar una relación (fórmula) que pueda predecir qué pasa con cualquier número de cortes.

Cintas normales

Figura 8

Cinta de Moebius 4 cortes simultáneos

Cuatro cortes

Debemos observar cómo están los valores de la tabla y tratar de encontrar dicha sucesión.

Tabla No. 1

Número de cortes Número de Bandas Tamaños

Grande Chica

Término de la sucesión A n

1

2

3

4

5

6

7

n

1

2

2 0

3

2 1

3

4

4

.

1 1

2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1 0

3 0

3 1

4 0

En la tabla observamos que el número de cortes está asociado con el conjunto de los números enteros y está relacionado con el tamaño de la banda; también se

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puede ver que el tamaño de las bandas depende de que el corte sea par o impar, diferenciándose en que cuando el corte es par, las bandas son una pequeña y las otras iguales y cuando es impar, todas las bandas son del mismo tamaño. De esta manera, haciendo estas consideraciones, podemos encontrar la sucesión de Moebius dada por la fórmula:

Perspectivas de la topología Actualmente los modelos topológicos se usan para poder explicar otras dimensiones, y también los campos electromágneticos; tiene, además, aplicaciones en mecánica cuántica, pero esto está fuera del interés de este artículo cuyo principal objetivo es el estímulo para el estudio de la matemática.

n+1

An = _____ 2 Actividades A partir de esto se pueden establecer las siguientes propiedades: 1. Si el corte es impar se obtiene el mismo tamaño en las bandas y son bandas normales.

2. Si el número de corte es par, una de las bandas obtenidas es pequeña -es de Moebius- y las otras son del mismo tamaño (más grandes).

3. En la sucesión, si el corte es par, se obtendrá un número de sucesión decimal. Por ejemplo, si n=6, se obtiene 3.5. La parte entera de dicho valor nos indica el número de bandas grandes (3) y el 0.5 indica la cinta pequeña, que representa la mitad de una de las grandes.

4. Se observa que si el corte es par, se genera una banda pequeña que es de Moebius y otras grandes normales que están entrelazadas. Si se le hace el mismo tratamiento a la banda pequeña -ya sea con número de cortes par o impar-, ésta conserva la propiedad aditiva, es decir, suma los cortes anteriores y al final es como si hubiéramos hecho un solo corte a la vez.

La adquisición de las nociones de interior y exterior en educación preescolar y primaria, son bases esenciales para ubicar a los alumnos en su mundo espacial. Posteriormente, podrán formalizar los conceptos de perímetro, área, volumen.

Es para secundaria y preparatoria que se sugiere la construcción de las bandas y la realización de los cortes. Éstas ayudarán a entender el concepto de sucesión tanto en la vida cotidiana como matemáticamente y son, además, una buena manera de retar a la intuición.

El hecho de generar una sucesión a partir de hacer cortes a una tira de papel con apariencia conocida y llegar a una contradicción, hace el proceso de aprendizaje más interesante.

El haber obtenido una relación que puede predecir, con mucha precisión, el resultado final, hará sentir el conocimiento matemático como algo natural y no como una imposición dada por una regla o ley.

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Ceñidores, triángulos y números Isaías Aldaz Hernández

E

ste escrito responde a mi interés de entablar un diálogo entre la matemática y el conocimiento prehispánico manifiesto en un tejido.

Tanto la matemática como el tejido son actividades humanas universales y es frecuente que en nuestra sociedad se piense que son actividades totalmente disociadas. Los pueblos indios también desarrollaron no sólo tejidos con motivos geométricos sino también matemáticas.

He usado la expresión pueblos indios para referirme a los pueblos de origen mesoamericano como el pueblo mixe, el pueblo zapoteco, el pueblo mixteco y en general a los grupos humanos que la sociedad nacional llama etnias y que conservan técnicas prehispánicas para realizar esta actividad.

En el tejido intervienen actividades concretas de conteo, de diseño y de medida mezcladas con una buena dosis de creatividad, de imaginación, de manejo de formas y colores y de manifestación afectiva hacia su pueblo y hacia sus dioses. Las creaciones textiles constituyen una muestra de las ideas sobre geometría y proporcionalidad que maneja el tejedor actual.

El caso concreto que presento es el de un ceñidor tejido en Peñoles, Pueblo Mixteco de Oaxaca y que puede servir de estímulo para realizar cálculos sencillos e interesantes a partir de la forma de triángulos contenidos dentro de uno mayor, o de la suma de series de números. En particular, estudio el ceñidor de Peñoles, Etla, Oaxaca, tejido por la señora Rufina Ramírez Santiago.

El ceñidor es un tejido alargado que se usa rodeando la cintura para sostener el enredo que usan las mujeres de esta comunidad. El decorado está formado por una serie de figuras triangulares constituidas a su vez de figuras menores, de colores reanudados a lo largo del tejido. Así mismo se notan otras formas (figura a).

Figura a.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Ceñidores, triángulos y números

Del registro de este ceñidor mixteco se obtiene el siguiente modelo geométrico; para facilitar el estudio se consideran los puntos enteros de los triángulos del tejido, como triángulos menores. Lo que interesa en el estudio es el número de triángulos interiores.

Figura b

En el registro sólo se muestra una sección del ceñidor.

Si contamos los triángulos de color obscuro de la figura b, empezando por uno de los vértices, se origina la suma (1+2+3+4) independientemente del vértice en que se empiece el conteo. Se nota que en cada nivel siguiente aumenta en uno el número de triángulos obscuros, de ahí que los sumandos sean: 1, 2, 3 y 4.

En este tejido el número de sumandos se limita a 4 pero se ha generado la idea de que en el siguiente nivel el número de triángulos obscuros será cinco y formamos la suma (1+2+3+4+5) y en el nivel que sigue los triángulos serán 6 y la suma (1+2+3+4+5+6 ).

La siguiente tabla muestra el comportamiento del modelo y de su extensión hasta el número n.

Tabla A

Nivel 1 2 3 4 5 6

... n

Número total de triangulos contados a partir de nivel 1

suma

(1, 2)

1+2

(1)

(1, 2, 3)

(1, 2, 3, 4)

(1, 2, 3, 4, 5)

(1, 2, 3, 4, 5, 6) ...

(1, 2, 3, . . . , n)*

*n pertenece al conjunto de los números naturales.

1

1+2+3

1+2+3+4

1+2+3+4+5

1+2+3+4+5+6

...

1+2+3+. . .+n

En algunos tejidos de Cobán, Guatemala, también se encuentran triángulos.

Tejido de Cobán, Guatemala

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La historia de la matemática registra que la suma de la serie (1+2 3+ 4+. . .+n) genera la expresión n (n+1) que fue descubierta por Gauss (ver inciso d).

2 La aplicación de este recurso matemático nos ahorra el trabajo de sumar de uno en uno los sumandos de la serie; sobre todo cuando n tiende a ser un número grande.

Retomemos el modelo.

Si contamos los triángulos interiores, que son de color claro, se genera la misma serie pero con un nivel menos; en otras palabras, mientras que los triángulos obscuros llegan al nivel 4, los triángulos claros llegan al nivel 3.

O lo que es lo mismo, mientras los triángulos obscuros llegan al nivel n, los triángulos claros llegan al nivel n - 1.

Si consideramos tanto los triángulos obscuros como los claros de cada nivel, se genera una serie de sumas de números impares. La tabla puede mostrarnos la regularidad del comportamiento de los sumandos.

Esta expresión significa que n recorre los valores de 1 hasta m. El número m es finito. Cada uno de los números impares está expresado por 2n -1.

La tabla muestra que la suma de números impares genera números que son cuadrados del número de sumandos de cada nivel. Esto se nota en la columna de cuadrados.

Tabla B

Nivel 1

número de tríangulos a partir del nivel 1

suma

cuadrados

1+3

22=4

(1)

1

(1, 3, 5)

1+3+5

12=1

2

(1, 3)

4

(1, 3, 5, 7)

1+3+5+7

42=16

6

(1, 3, 5, 7, 9, 11)

1+3+5+7+9+11

62=36

n

(1, 3, 5, . . . , 2n -1)*

1+3+5+…+(2n-1)

n2

3 5 ...

(1, 3, 5, 7, 9)

...

*n = (1, 2, 3, . . . , m ).

1+3+5+7+9

...

32=9

52=25

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Ceñidores, triángulos y números

Implicaciones algebraicas Como la suma de los triángulos obscuros en el nivel n está dada por n (n+1) 2 y la suma de los triángulos claros está dada por (n - 1)n , 2 la suma de estas dos expresiones debe darnos el número total de triángulos. Veamos. n2-n n(n+1) (n-1)n n2 +n + + = 2 2 2 2 2 2 n n n n + + = 2 2 2 2 2 2 n n n n + + = 2 2 2 2 2 = n Este resultado concuerda con el resultado de la tabla b para el nivel n.

Significados De acuerdo a Wertheimer, psicólogo notable de la Gestalt, aunque las expresiones c) y d) que se muestran gráficamente a continuación son matemáticamente equivalentes, psicológicamente son diferentes. Mientras que la expresión c) puede visualizarse como la mitad de un rectángulo, la expresión d) corresponde al arreglo por pares de Gauss para sumar los números del uno al cien. c) n (n + 1) 2 (n+1)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

d) n (n + 1) 2

n 1

2

3

4

.

.

.

97

98

99

100

4+97 3+98 2+99 1+100 En este caso particular, n toma el valor de 100 y se han formado 50 sumandos

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de 101, lo que significa que para obtener la suma de números del uno al cien basta con multiplicar 50 por 101. n = 50 2

y

(n +1) = 101

El arreglo anterior muestra que para sumar la serie de números del uno al cien se pueden organizar los sumandos de tal forma que nos faciliten llegar al resultado.

El arreglo muestra las sumas 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 Si continuamos con la idea se obtienen 4 + 97 = 101 5 + 96 = 101 Y podemos seguir hasta considerar todos los números de la serie 48 + 53 = 101 49 + 52 = 101 50 + 51 = 101 En total se obtienen 50 sumandos de 101. Si aplicamos la expresión n

(n + 1)

2 tendremos la suma buscada.

En este caso particular, n toma el valor de 100 y se han formado 50 sumandos de 101, lo que significa que para obtener los números del uno al cien basta con multiplicar 50 por 101. n = 50 número de sumandos iguales y 2 (n + 1) = 101, que es la suma de cada par de números del arreglo.

Para finalizar este escrito, considero que la observación y estudio de las actividades artesanales que se realizan en los pueblos indios, son una fuente para diseñar actividades de matemática escolar que pueden ser interesantes para maestros y alumnos.

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Antes del aula

Teselaciones, o cómo decorar el baño* Juan Manuel Ruisánchez Serra

É

sta, como casi todas las historias, es una historia del mundo. Sólo que esta historia es viejísima, pero viejísima en serio, de cuando el mundo era sólo una idea y de cuando sólo existía un mundo matemático.

Quizás se pregunten qué tiene que ver eso con la decoración de los baños, pero no se desesperen que luego lo descubrirán.

Yo era un teselador, pero no me gustaba el nombre de mi oficio, así que todos me conocían como el decorador de planos infinitos. Sí, hay una leve diferencia entre teselador y decorador de planos infinitos: el primero, lo único que tiene que hacer es encontrar figuras con las que se pueda cubrir un plano infinito sin que las figuras se amontonen y sin que queden huecos en el plano; el segundo, además de eso, busca que las figuras sean bonitas o interesantes. Por ejemplo, un teselador haría estas teselaciones:

mientras que un decorador haría éstas:

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Aparte de teseladores, en aquel mundo había otros oficios: pulidores y reparadores de esferas, mecánicos electronuméricos y cosas por el estilo; pero no crean, desde entonces ya había contadores públicos y abogados, de esos no nos salvábamos.

Era un mundo divertido. Y aunque a muchas personas les sorprende saber que en el mundo de la matemática había muchísimos chismes y rumores, así era. De hecho, esta historia se trata de un rumor que circulaba por todas partes: un

poderosísimo ente, Don Dios, estaba planeando crear el Universo y el Demonio electo de la matemática quería darle algunas sugerencias. También se decía que, como todos los entes poderosísimos de entonces, Don Dios no aceptaba fácilmente las sugerencias de los demás, así que el Demonio tenía un plan. Y aquí es donde yo entro en escena.

Una mañana, mientras trabajaba tranquilamente en mi taller, recibí esta carta:

Queridísimo señor: Supongo que habrá escuchado el extendido rumor sobre la creación del Universo. Ruego a usted se ponga a mi servicio para llevar a cabo un plan.

Necesito su ayuda y la de su noble oficio; sírvase visitarme mañana en mi palacio y traiga con usted un catálogo de su trabajo. Mi plan le será informado a usted personalmente.

Atentamente DM

Tal como indicaba la carta, me presenté en el majestuoso palacio a la mañana siguiente con mi Catálogo de planos. La verdad es que no entendía para qué necesitaría un teselador para su plan, pero preferí esperar a ver (no estaba seguro de que el Demonio estuviera al tanto de aquello de diseñador).

Fuimos directo a los negocios: _Me gustaría ver su catálogo. _Sí, claro. Aquí lo tiene: (36); (44); (63); (34,6); (33,42); (32, 4, 3 ,4); (3, 4, 6, 4); (3, 6, 3, 6); (3, 122); (4, 6, 12); (4, 82)…

El Demonio se me quedó viendo con cara de “¿Y bien?” _¿Algún problema? _Sí, me parece que usted no entiende. Le pedí planos con figuras, no paréntesis con números. _No, no, no; esos números son tan sólo notación; pensé que ya la conocería. _El hecho de ser el Demonio electo de la matemática no implica que sepa todo. Yo me dedico a la teoría del caos en funciones contractoras, así que preferiría ver los planos, no la notación.

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Teselaciones o cómo decorar el baño

-De acuerdo, aquí están los diseños:

(36)

(44)

(34 . 6)

(33 . 42)

(3 . 6 . 3 . 6)

(3 . 122)

_¿Qué es esto? _Son los diseños. Por ejemplo, (36) quiere decir que en cada vértice hay 6 triángulos; o, en otro ejemplo más complicado (32, 4, 3, 4) quiere decir que en cada vértice hay 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado, como se ve en el diseño marcado por (32, 4, 3, 4). Es decir, la

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(63)

(32 . 4 . 3 . 4)

(4 . 6 . 12)

(34. 6)

(3 . 4 . 6 . 4)

(4 . 82)

notación indica cómo se acomodan las figuras alrededor de cada vértice para sumar 360° y que no se amontonen alrededor de ningún vértice, pues, además, todos los vértices son iguales y… _Sí, sí, sí; eso ya lo vi, pero le dije planos, y quería decir planos infinitos, grandotes, inacabables, etcétera, no estos rectangulitos.

-No se enoje y déjeme explicarle: éstas son sólo las muestras, pues cargar los planos completos es muy incómodo y muy poco discreto. Pero no se preocupe, con esos dibujos se pueden llenar planos infinitos, pues todos los vértices son iguales y por lo tanto los dibujos se pueden ir pegando uno a otro infinitamente; confíe en mí. ¿Qué le parecen?

-Bueno, ya sabe, aquí todos conocemos los chismes y rumores de los demás y justo por eso lo llamé a usted, porque dicen por ahí que más que teselar los planos su trabajo es decorarlos ¿es verdad?

-Sí, así es, sólo que no sabía que eso es lo que quería. Aquí tengo algunas muestras:

_Estos me gustan más, sobre todo sin tanta suma de ángulos y teorías. _No crea, estos diseños necesitan más cuidado en la teoría y detrás también hay algunas sumas de ángulos y uso de polígonos; pero eso no importa ¿qué le parecen?

Se quedó pensando un momento y luego me dijo: _Creo que lo mejor será contarle mi plan, aunque seguro ya habrá oído al respecto. Don Dios quiere crear el Universo y quiere incluir unos seres vivos en él. Lo que yo quiero es sugerirle la forma de los seres vivos. Pero seguro que ha oído del carácter de Don Dios: no acepta sugerencias; así que quiero hacer las sugerencias de un modo subliminal. _Aún no entiendo qué tengo que hacer yo.

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Teselaciones o cómo decorar el baño

_Mire, yo invitaré a cenar a Don Dios y en la cena incluiré algún purgante o algo parecido para que después tenga que ir varias veces al baño, ¿entiende? Su trabajo será realizar la decoración de mis tres baños. Son cuartos como cualquier otros, sólo que infinitos. Es decir, diseñará 18 planos infinitos: 4 paredes, el techo y el piso de cada baño. El diseño incluirá mis ideas para los seres vivos. _Está bien, pero necesito saber cuáles son sus ideas para los diseños. _Claro. Son cosas como éstas:

_Bueno, ya le dije que yo me dedico al caos y no a dibujar, pero ése es su trabajo.

Poco tiempo después regresé al palacio con los diseños listos.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

F.H. Bool, et al. M.C. Escher, His life and complete work. H.N.Abrams Inc., New York, 1982.

Baño 1.

M. C. Escher. Uno de sus primeros estudios sobre la división regular M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con figuras humadel plano. 1936. nas. 1936.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

M. C. Escher. Ocho cabezas. 1922.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con figuras humanas.1944.

Estudio de la división regular del plano con figuras humanas.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con figuras humanas. 1938.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Baño 1.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

M. C. Escher. División regular del plano IV. 1957.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con reptiles. 1939.

26

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

M. C. Escher. División regular del plano. 1957.

F.H. Bool, et al. M.C. Escher, His life and complete work. H.N.Abrams Inc., New York, 1982.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

F.H. Bool, et al. M.C. Escher, His life and complete work. H.N.Abrams Inc., New York, 1982.

Teselaciones o cómo decorar el baño

Baño 2.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con aves y peces.

1938.

División regular del plano.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Baño 2.

M. C. Escher. División regular del plano. 1957.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con ángeles y demonios. 1941.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con aves. 1938.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Baño 3.

Teselaciones o cómo decorar el baño

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Baño 3.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con animales imaginarios. 1926.

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División regular del plano.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

M. C. Escher. Sol y luna. 1948.

M. C. Escher. Estudio de la división regular del plano con animales imaginarios. 1926.

_Me encantan. ¿Cuándo tendrá los planos completos? _Los tendré mañana mismo, sólo es cuestión de repetir las mismas imágenes teniendo cuidado de que empalmen bien y llenar el plano con ellas, no hay ningún problema. _De acuerdo, muchísimas gracias. _De nada. Espero que su plan funcione.

Al día siguiente llevé los planos terminados y la cena se realizó tres noches después.

Cuentan los rumores que Don Dios tuvo que visitar al menos cinco veces cada uno de los baños del palacio y que hubo dos planos que le gustaron especialmente y que por ellos creó tantos seres vivos como ésos, pero nunca me dijeron cuáles eran.

Otro rumor es que seis días después de aquella cena, el Universo ya había sido creado (aunque eso sí que no me lo creo…). Como el Demonio electo de la matemática vio que su plan y mis planos habían surtido efecto y los seres vivos eran como él había planeado, me recompensó trayéndome aquí para poder ver mis creaciones. * El maestro también encontrará ejercicios con teselaciones, para preescolar y primer año, en el artículo Las abejas y las matemáticas de Alejandra Alvarado y Concepción Ruiz, de Correo del Maestro No.2, julio, 1996.

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Matemática y astronomía Julieta Fierro

L

a matemática está íntimamente ligada con la astronomía, como lo está con cualquier otra ciencia. Puesto que el objetivo de la ciencia es conocer a la naturaleza y predecir cómo funciona, es necesario cuantificarla. La matemática proporciona formas claras de denotar los procesos y de hacer estadísticas. En esta nota mencionaremos tres ejemplos en los que se emplea la matemática en astronomía.

Esfera Celeste Para ubicar puntos geográficos sobre la superficie de nuestro planeta empleamos dos números. Por ejemplo, decimos que la Ciudad de México se encuentra a 7 horas del Meridiano de Greenwich y a + 19° sobre el ecuador. Es decir que para ubicar localidades inventamos una línea imaginaria que pasa por los polos que se llama Meridiano Cero o de Greenwich- y otra perpendicular a la primera y que divide a la

7

19° h o 105° ras

° M e ri d i a n o 0

D.F.

do E cu a

Estrella r

Polo Sur

Ubicamos puntos geográficos con dos unidades angulares. La primera indica la distancia angular al meridiano cero, la segunda la distancia angular respecto del Ecuador.

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0° M e r id i a n o e Celest

Polo Norte

Polo Norte

Tierra

r ado u c E ste Cele

Polo Sur

Ubicamos puntos celestes con dos unidades angulares. La primera indica la distancia angular al Meridiano Cero Celeste, la segunda la distancia angular respecto del Ecuador Celeste.

Tierra en dos hemisferios iguales llamada Ecuador. En realidad estamos empleando unidades angulares para encontrar sitios sobre la superficie de nuestro mundo. Cuando decimos 7 horas de Greenwich es equivalente a decir 105°. Hemos cuadriculado a la Tierra en meridianos y paralelos para localizar sitios geográficos.

Para ubicar posiciones sobre la esfera celeste se emplea un sistema equivalente. Supongamos que la bóveda celeste es un inmenso techo que circunda a la Tierra. Ahora imaginemos que el sistema de coordenadas que inventamos para la Tierra, con meridianos y paralelos, lo estiramos hasta que coincide con el cielo. Tendremos una cuadrícula celeste. Sobre esta cuadrícula podremos localizar sitios celestes. Por ejemplo, una estrella que esté a 7 horas y a + 19°.

Cabe notar que el Greenwich del cielo se llama Punto Vernal. Este punto está fijo en la esfera celeste; sin embargo presenta un desplazamiento aparente debido a que la Tierra gira.

Así la astronomía emplea unidades angulares para ubicar las posiciones de los astros.

seguimiento a la historia de un astro individual.

Lo que observamos es el procentaje de estrellas que están en proceso de formación y el que está en las últimas etapas de su evolución. Así notaremos que la mayor parte de las estrellas están en lo que denominamos “edad adulta”, como el Sol, y que este tiempo es millones de veces más prolongado que el que le toma a la estrella nacer o morir, ya que por cada muerte o nacimiento estelar existen millones de estrellas. La etapa adulta de una estrella es durante la cual transforma materia en energía en su núcleo por medio de las reacciones termonucleares del hidrógeno.

La curvatura del espacio-tiempo

La vida de las estrellas

Con frecuencia escuchamos hablar de la Teoría de la Relatividad propuesta por Albert Einstein a principios de siglo y solemos pensar que es sumamente complicada. Lo es. Sin embargo existen partes de ella que son fáciles de entender y que nos servirán de ejemplo para esta nota dedicada a la matemática y la astronomía.

Si hacemos rodar una pelota sobre una mesa ésta seguirá una trayectoria plana. Si hubiéramos

Calcular el tiempo de vida de las estrellas es una de las muchas formas en que la astronomía emplea su estadística.

Supongamos que tomamos una fotografía en el zócalo de alguna gran ciudad un domingo a medio día. Si clasificamos y contamos el número de personas de la fotografía de acuerdo con sus edades notaremos que la mayoría serán adultos, unos cuantos bebés y otros cuantos ancianos.

Este análisis sencillo nos permite saber que los humanos pasamos la mayor parte de nuestra vida en edad adulta.

Un análisis similar se puede hacer con las estrellas. Puesto que las estrellas viven en promedio miles de millones de años no podemos darle

Si dejamos que ruede una pelota sobre una mesa seguirá una trayectoria aplanada.

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Matemática y astronomía

colocado sobre la mesa un mantel de cuadritos podríamos describir la trayectoria de la pelota en términos como los siguientes: la pelota avanzó 5 cuadritos a lo largo y 3 a lo ancho. Si además tuviésemos un cronómetro, podríamos indicar que hizo el recorrido en 2 segundos.

Einstein quería medir espacios y tiempos en el Universo y se dio cuenta que no podía hacerlo de manera tan sencilla como lo acabamos de describir.

Si tomamos la pelota pero en lugar de rodarla sobre la mesa, la lanzamos, seguirá una trayectoria curva, si lo volvemos a intentar volverá a tener una trayectoria distinta, pero nuevamente curva. Albert Einstein se dio cuenta de que en el

espacio las trayectorias de los objetos son curvas porque están sujetas a la fuerza de gravedad de los demás cuerpos celestes. Es más, se dio cuenta de que no solamente los objetos sólidos sino también la luz siguen trayectorias curvas. Así tuvo que emplear una geometría que no fuera plana (como la de la mesa) sino curva (como la de la superficie de la Tierra) para describir las trayectorias de los astros. Es decir empleó una geometría no euclidiana.

También se dio cuenta de que la luz y las ondas de radio tardan cierto tiempo en viajar de un lugar a otro. Por ejemplo, si en este momento hace erupción un volcán en el satélite Encelado de Saturno, la luz que permita describirlo ten-

Las trayectorias de los objetos que lanzamos sobre la Tierra son curvas; también lo son las trayectorias de la luz que atraviesan el cosmos.

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drá que viajar durante 80 minutos por el espacio hasta llegar a nuestros telescopios. Este efecto se vuelve mucho más notable entre más alejados estén los astros, hay luz de estrellas que tardan 100, 12 000, millones o miles de millones de años en llegar a la Tierra. Es decir, la información que nos llega de los astros siempre está atrasada, nos aporta datos de eventos que ocurrieron en el pasado; entre más alejados estén los astros que nos la envían, más atrasada estará la información.

En consecuencia, Einstein no sólo tuvo que emplear una geometría que tomara en cuenta que las trayectorias de la luz no son rectas sino curvas y que variaban de curvatura según qué tan cerca pasaran de objetos masivos, sino que tuvo que considerar que la información que nos trae corresponde a eventos que ocurrieron en el pasado. De esto y otras cosas similares trata la teoría de la relatividad . Una vez más la astronomía requiere de la matemática para comprender la manera en que funciona el cosmos.

Si observamos un grupo grande de personas, notaremos que la mayoría son adultos; esto se debe a que los humanos pasamos la mayor parte de nuestra existencia en esta etapa de la vida.

Si observamos un grupo grande de estrellas notaremos que hay pocas en etapas de formación y sólo algunas en las etapas finales de su evolución. Esto indica que pasan la mayor parte de su evolución en la etapa en que procesan hidrógeno en su núcleo.

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Certidumbres e incertidumbres

Acerca del tratamiento didáctico de la probabilidad Silvia Alatorre

L

os temas relacionados con el azar y la probabilidad aparecen en los programas de educación básica desde 1972. Sin embargo, durante muchos años ha sido práctica frecuente que éstos se dejen para el final del año escolar y luego ya no se alcancen a ver, o que se aborden de manera superficial. Este fenómeno se puede explicar de muchas maneras: algunos maestros opinan que es un tema muy difícil de aprender (para los alumnos), otros que es un tema muy difícil de enseñar (para los maestros), otros que se debe dar prioridad a las disciplinas más serias como el álgebra o la geometría, otros que no se puede abordar la probabilidad (o que no vale la pena hacerlo) sin haber cubierto los temas más avanzados de conteo (combinaciones, permutaciones, etc.), y otros más cuyo tratamiento es una moda que pronto pasará, como la de la matemática moderna, etcétera.

Vale la pena detenerse a reflexionar un poco sobre las argumentaciones recién expuestas. La probabilidad es una rama de la matemática que se encarga de conocer algo muy difícil de conocer: el azar y los fenómenos aleatorios. ¿Qué son éstos? Los fenómenos aleatorios son aquellos que ocurren al azar, es decir, aquellos en los que no se puede predecir con certeza qué va a ocurrir la siguiente vez que se presenten. Son lo contrario de los fenómenos determinísticos, en los que sí se puede predecir con certeza. Por ejemplo, si yo tiro una moneda al aire, puedo predecir que va a a caer (fenómeno determinístico), pero no puedo predecir de qué lado va a caer (fenómeno aleatorio). Pues bien, el azar y los fenómenos aleato-

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rios son asuntos tan cotidianos que todos tenemos experiencia de ellos desde la más tierna infancia, en la que vivimos con sorpresa la incertidumbre de las cosas; incluso se puede afirmar que tenemos mucha más experiencia con fenómenos aleatorios que con fenómenos determinísticos.

Claro está, el hecho de que exista una experiencia de lo aleatorio no implica necesariamente que ella va a apoyar de manera directa e inmediata el aprendizaje de la probabilidad. Muchas personas suelen estar tan empecinadas en ideas fijas acerca del comportamiento del azar que se asemejan más al pensamiento mágico que a una observación objetiva, como por ejemplo: _todo lo que tengo que hacer es concentrarme muchísimo y seguro que saldrá el resultado que yo quiero, o como: _perdí la apuesta del volado porque lo que pasa es que anteayer pasé debajo de una escalera y eso da mala suerte, o bien: _para que no llueva, lo que hay que hacer es salir de la casa con un paraguas, y también: _acaban de caer seis “águilas” por lo que es seguro que el próximo volado cae en “sol”.

Me voy a detener un poco en esa última frase, que surgió de una experiencia que me contó un maestro amigo mío, al que llamaré Eleazar. Eleazar se puso a tirar volados ante sus alumnos, y ocurrió que hubo una racha de seis águilas seguidas, cosa que él, feliz, aprovechó para preguntar a los alumnos en qué iba a caer el siguiente volado. El grupo contestó casi a coro que ya tocaba sol, y Eleazar les explicó que cada tiro era independiente de los anteriores, y que la probabilidad de que cayera sol era la misma que

en cada uno de los seis primeros tiros. Ante la mirada escéptica de los alumnos, decidió apoyar su razonamiento y tiró un volado más.... que cayó en sol. Se armó la de San Quintín en el aula: los alumnos clamaron victoria con gran escándalo, la explicación no sólo no quedó apoyada, sino que los alumnos quedaron aún más afirmados en su error, y Eleazar quedó totalmente desanimado para volver a hacer demostraciones de fenómenos aleatorios en el aula. ¿Qué pasó ahí? Todos tenemos un conocimiento, surgido de la experiencia, de que más o menos la mitad de los volados caen en águila y la mitad en sol. También sabemos que eso no significa que cada vez que tiramos un volado y cae en águila el siguiente forzosamente cae en sol. Pero entonces podemos preguntarnos, si no caen siempre uno y uno, ¿cómo es que sí caen la mitad y la mitad? ¿será que a cada racha de dos águilas le sigue una racha de dos soles, y si son tres águilas siguen tres soles, etcétera? Si nos ponemos a tirar volados, después de un rato descubrimos que tampoco es así en general, aunque a veces pueda parecer que sí. Y esto es algo que resulta sumamente intrigante de los fenómenos aleatorios: cuando queremos encontrar reglas que rijan su funcionamiento, no las podemos encontrar: nunca podemos predecir el resultado de un experimento individual y sin embargo sí podemos predecir lo que pasa a la larga. Así, por ejemplo, no podemos saber en qué caerá el siguiente volado, pero sí sabemos que a la larga la mitad serán águilas y la mitad serán soles. Pero ¿qué tan larga es ese a la larga?

Aunque ésa es una pregunta difícil de responder, podemos decir que seis volados son muy pocos: todavía no se ha llegado a la larga. Y, ciertamente, un volado después de esos seis es aún menos: un volado, después de seis o después de cientos, no demuestra nada. Ése fue el error de mi amigo Eleazar: él quiso que un solo volado cargara con toda una argumentación, pe-

ro de un solo volado no se puede saber el resultado. Eleazar había hecho una apuesta, no acerca de si el volado iba a caer en águila o sol, sino acerca de si su explicación iba a quedar apoyada o no; la apuesta tenía una probabilidad de éxito de 1/2: si el séptimo volado hubiera caído en águila, Eleazar hubiera sentido que su explicación había sido exitosa. Pero, ¿lo hubiera sido realmente? Yo creo que no. Lo que Eleazar hubiera debido hacer era tirar muchos volados, no sólo esos seis iniciales y el siguiente, sino muchos más, y con eso hubiera podido ver que a la larga, la frecuencia relativa de las águilas se iba estabilizando poco a poco alrededor de 50%.

Pero en defensa de mi amigo Eleazar, quiero decir que él, al empezar a tirar volados enfrente de sus alumnos, había ya hecho algo sumamente valioso que no suele ocurrir: darle cabida oficial al azar en el aula. En efecto, la enseñanza en el sistema escolar se ocupa casi exclusivamente de fenómenos determinísticos. Esto no sólo sucede en la clase de matemática, sino también en todas las demás: así como con toda certeza dos más dos son cuatro, los paralelogramos tienen dos pares de segmentos paralelos y la igualdad ax+b=0 es equivalente a x=-b/a, también con toda certeza los adjetivos se ajustan en género y número a los sustantivos que modifican, los insectos tienen seis patas, el agua hierve a 100° C, la Revolución Mexicana empezó en 1910 y Tepic es capital de Nayarit. Es parte del llamado currículum oculto, o sea de todo lo que se enseña y aprende en el aula que no está incluido en los planes y programas formales de estudio, la idea de que el maestro sabe: el maestro siempre tiene certezas y no duda jamás. Pero esta idea es, obviamente, errónea. El maestro, como cualquier ser humano, puede dudar, puede equivocarse, puede desconocer algo que es averiguable y puede también, simple y llanamente, no saber. Así que si se tiran volados en el aula, y el maestro no sabe en qué va a caer el siguiente, eso no implica que

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Acerca del tratamiento didáctico de la probabilidad

por ello el maestro vale menos, ¡es que nadie puede saber! Y eso no implica que entonces el tema carece de interés para ser tratado en el aula, ¡al contrario!

Aquí vale la pena hacer una pequeña disgresión. Puede ocurrir de muchas maneras que no se pueda saber el resultado de algo. Por ejemplo, yo no sé, ni puedo saber porque no tengo ahorita los elementos para averiguarlo, cuál fue la producción de trigo de Rhodesia en 1962 o, si yo sé que un pastor tenía 23 ovejas y perdió 8, no sé, ni puedo saber, qué edad tiene el pastor.

Tampoco puedo saber cómo te llamas tú, lector.

En todos esos casos, sentimos que la información existe, pero nosotros no tenemos la sensación de que esa información no existe, por eso sentimos que cuando no podemos saber el resultado de un volado, eso es distinto que cuando no podemos saber cómo se llama una persona.

En realidad, a veces también está ahí la información correspondiente a los fenómenos aleatorios, nada más que nosotros no la tomamos en cuenta. Lo que provoca que un volado caiga en águila o en sol es una compleja interacción de aspectos que (con mucho ocio, ciertamente) se podrían medir: la distancia de la moneda al piso, la cara que está hacia arriba originalmete, la intensidad y dirección del golpe del pulgar que lanza la moneda hacia arriba, el lugar exacto de la moneda en que percute el pulgar, las dimensiones y la masa de la moneda. Si se conocieran todos estos aspectos, se podría predecir con muy poco error el resultado del volado. Pero no lo hacemos, elegimos ignorar todos estos aspectos y decimos simplemente que el volado cae en águila o en sol, simplemente por azar. El azar se puede entender, efectivamente, como una falta de información, pero no necesariamente porque esa información no existe. El azar es aquello con lo que muchas veces explicamos lo que no entendemos.

La incertidumbre inherente a los fenómenos aleatorios es uno de los aspectos que contribu-

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yen a darle a la probabilidad una imagen de poca seriedad, en contraste con la solidez que presentan el álgebra, la geometría, la aritmética y hasta la misma estadística. Pero hay otros dos aspectos fundamentales en que la probabilidad se distingue de otras ramas de la matemática. Por un lado, la probabilidad es sumamente contraintuitiva: dan fe de ello situaciones como la descrita arriba, en la que los alumnos del maestro Eleazar cayeron en la llamada falacia del jugador. Por otro lado, la manera en que se pueden verificar las afirmaciones de la teoría de la probabilidad difiere de la manera en que se verifican las del álgebra, la geometría o la aritmética.

Para verificar que x = -3/2 es la solución de 3+2x = 0 no hay más que sustituir una vez y encontrar que 3+2(-3/2)=0; para verificar que el área de un rectángulo de base 4 y altura 5 es 20 no hay más que dibujar una vez en el rectángulo cuadrados de lado 1 observar que caben 20. Sin embargo, ¿cómo se verifica que la probabilidad de que caiga un cuatro en un dado es 1/6? Un tiro no sirve para nada: si cae cuatro porque podría sugerir que cae lo que queremos, y si no cae cuatro porque entonces se podría pensar que 1/6 quiere decir no va a caer el número que queremos.

Seis tiros tampoco sirven para nada: si entre ellos cae un cuatro, porque se podría pensar que el hecho de que la probabilidad sea 1/6 significa que de cada seis tiros uno será siempre cuatro, y si no cae un cuatro o cae más de uno, porque el sentido de 1/6 se oscurece aún más. Algo similar es lo que le ocurrió a mi amigo Eleazar.

Yo me atrevo incluso a decir que si un maestro pretende ilustrar que la probabilidad de que caiga un cuatro es 1/6 con un tiro o con seis tiros, es mejor que se abstenga y no haga ningún tiro. ¡Pero esto ciertamente no quiere decir que no haya que hacer las experiencias! La mejor manera (es más, la única correcta) de hacer la verificación es haciendo muchos tiros; sólo así el alumno puede ir comprendiendo lo que quieren decir

afirmaciones como a la larga, uno de cada seis tiros del dado caerá en cinco. Así, por ejemplo, se puede organizar al grupo en equipos que tiran dados, apuntan los resultados y después comparan resultados y acumulan la experiencia de todos. El hecho de hacer el experimento acompañándolo de una reflexión llevará sin duda a los alumnos a comprender mucho mejor los fenómenos aleatorios.

Claro, una actividad así tiene una serie de desventajas desde el punto de vista tradicional: muchos maestros las evitan porque ocupan mucho tiempo, lo que se percibe como un desperdicio, porque son ruidosas, y porque los alumnos se dispersan mucho y provocan en sí mismos y en otros la impresión de que no están trabajando sino jugando.

Pero yo afirmo rotundamente que ejercicios así valen mucho la pena. Aunque los alumnos tengan experiencias cotidianas de fenómenos aleatorios, éstas por sí solas no bastan, es menester repetir muchas experiencias, de una manera crítica y reflexiva, haciendo predicciones y viendo si se satisfacen, observando la estabilización de las frecuencias relativas a medida que aumenta el número de observaciones, etc. Además, conviene que estos ejercicios se refieran a un gran surtido de materiales posibles: los juegos clásicos de ruletas, urnas, dados, volados, barajas etc. son sumamente eficaces. Los ejercicios múltiples, frecuentes y diversos, permitirán al alumno ir aprehendiendo los conceptos nada triviales de azar y probabilidad. Sólo cuando esto haya empezado a ocurrir tendrán sentido los ejercicios usuales de cálculo de probabilidades clásicas con técnicas avanzadas de combinatoria. Los conceptos de probabilidad sólo pueden ser aprehendidos si se realizan muchos experimentos y se van haciendo reflexiones sobre los resultados.

Por ejemplo, se puede jugar con los alumnos usando unas botellas con las que se puede simular la situación de extracción de urnas con reemplazo. Las he llamado botellas de Papini, en honor

a un gran especialista en educación matemática mexicano recientemente fallecido, llamado Jesús Alarcón y conocido por todos como Papini, que hizo muchas aportaciones para la didáctica de la probabilidad. Son botellas vacías de plástico de 1 1/2 litros (del tipo de las que se usan para vender agua), en las que se meten canicas de vidrio de diferentes colores (conviene que sean del mismo tipo, como las usadas para el juego de damas chinas) y se vuelven a tapar. Se pueden hacer muchos ejercicios con las botellas de Papini. Por ejemplo, cada botella se agita y se coloca en posición vertical con la tapa hacia abajo, hasta que las canicas caen; se observa entonces el color de la canica que queda en el cuello de la botella (o la que queda en la tapa, pero ésa es más difícil de observar, y para efectos prácticos es lo mismo observar la canica que cae en seguida de esa, que es la que queda en el cuello). Cada diez tiros de éstos se interrumpe para ver cuántas canicas de cada color se han observado, y así se va observando de decena en decena y además acumulando la experiencia hasta tener un total de 200 a 300 tiros. Estas botellas de Papini permiten observar la estabilización de las frecuencias relativas acumuladas cuando va aumentando el número de tiros; se puede además variar la cantidad y proporción de canicas y comparar resultados.1 Asimismo, estas experimentaciones permiten ver la correspondencia entre un cálculo de probabilidad clásica, una predicción y una frecuencia relativa. Si se ulitizan juegos cargados, como dados cargados o monedas no legales o, en el caso de las botellas de Papini, canicas de diferentes tamaños y tipos (agüitas, ágatas, etc.), se puede ver también la no correspondencia entre los cálculos dados por la probabilidad clásica y las frecuencias relativas, lo que puede llevar a una discusión acerca de la pertinencia de usar siempre esta forma de definir la probabilidad. Esto es, una vez que se ha planteado la probabili-

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Acerca del tratamiento didáctico de la probabilidad

dad clásica y que se ha visto que en la experimentación se observan, a la larga, frecuencias relativas muy similares a los planteamientos, se pueden proponer experimentos en los que esto no ocurre (por falta de equiprobabilidad de los eventos elementales) y llegar a la conveniencia de utilizar la frecuencia relativa, ahora, como definición de probabilidades.

Por último, observemos que, aunque la probabilidad y los conjuntos entraron juntos a los

programas en 1972, es muy poco factible (y sería muy de lamentar) que la probabilidad siguiera el destino de los conjuntos. Una gran diferencia los separa: la lógica y los conjuntos se introdujeron como un lenguaje formal para la matemática, mientras que la probabilidad no es solamente un lenguaje, es una manera de entender la mayor parte del mundo que nos rodea, y en ese sentido no se puede ver como una moda destinada a desaparecer.

Notas 1. Sugiero empezar con tres colores, en razones de 1/2 y 1/4.

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Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

Artistas y artesanos

Maurits Cornelis Escher

La visión matemática de un artista gráfico Rosa Elena González Quien se maravilla de algo, toma conciencia de algo maravilloso.

Manteniendo alerta mi mirada frente a los enigmas del mundo, si bien interesado en su plasmación sensible, entro en contacto, en cierto modo, con el dominio de las matemáticas. Aunque no dispongo de una formación en las ciencias exactas ni de conocimientos especializados, a menudo me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas de profesión.

Introducción Maurits Cornelis Escher fue un extraordinario artista gráfico que nos dejó su obra como ejemplo de una excepcional manipulación del espacio, del tiempo y de la perspectiva. A través de su extensa búsqueda de la división regular del plano realizó innumerables grabados en madera y en piedra caliza donde experimentó la repetición, reflexión, rotación y multiplicación de formas geométricas (cuadrados, rectángulos, triángulos, hexágonos, etc.) que, al estudiarlas y transformarlas constantemente, dieron origen a formas donde surgen reptiles, aves, peces, duendes, demonios, ángeles. Infinidad de seres que, al ser plasmados en el papel, adquieren movimiento y vida en el plano; formas fantásticas a través de las cuales el artista expresa sus ideas, cada una con su propia historia.

El tema en muchos de sus impresos, gira en torno a la ilusión del espacio, a la representación de la bidimensionalidad y la tridimensionalidad en una superficie plana. Sus dibujos logran captar esta ilusión de volumen. Su obra es el re-

M. C. Escher, 1924.

F.H. Bool, et al. M.C. Escher, His life and complete work.Abrams Inc., New York, 1982.

Maurits Cornelis Escher

sultado de una construcción razonada que percibimos como un dibujo espacial, con volumen dentro del plano. Varios son los ejemplos donde nos muestra, a través de sus grabados, composiciones imposibles, aunque su contexto es totalmente racional.

Los cristales también fueron de amplio interés para este artista. Las innumerables posibilidades que ofrecen los cristales para componer figuras en el espacio y las sombras que éstos producen causaron gran admiración e inspiración a Escher.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Escher construyendo figuras espaciales con varios materiales

F.H. Bool, et al. M.C. Escher, His life and complete work.Abrams Inc., New York, 1982.

Maurits Cornelis Escher

Biografía cronológica 1898. M. C. Escher nace el 17 de junio en Leeuwarden, en Dutch provincia de Frisia, al norte de Holanda. A los cinco años se traslada con su familia a Arnhem. Desde temprana edad mostró su interés por el dibujo, la matemática y la astronomía. Estudió en la escuela de enseñanza media de Arnhem donde recibió lecciones de dibujo de F.W. van der Haagen, cuyas clases de grabado en linóleo aportaron mucho al desarrollo de su inclinación por el arte gráfico.

1919 a 1922. Estudia en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem. La fuerte personalidad de su maestro de técnicas gráficas libres tuvo también gran influencia sobre su posterior desarrollo como artista gráfico.

1922. Viaja al norte de Italia y a España donde visita la Alhambra; en noviembre de ese mismo año se publica el folleto Flor de Pascua con grabados suyos en madera.

1923. A los veinticinco años realiza su primera exposición individual en Siena y al año siguiente expone por primera vez en Holanda.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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1924. Viaja a Italia y se establece en Roma.

1932. Se publica el libro XXIV Emblemata con grabados de Escher. Durante diez años de estancia en Roma, realiza numerosos estudios y viajes: a los Abruzos, la costa de Amalfi, Calabria, Sicilia, Córcega y España.

1935. Abandona Italia, permaneciendo sucesivamente dos años en Suiza y cinco en Bruselas.

1941. Se traslada con su esposa y sus tres hijos a Baarn, Holanda.

1951. Las revistas The Studio, Times y Life publican unos artículos acerca de Escher.

1954. Escher expone en el Museo Stedelijk, en Amsterdam, con motivo de la Conferencia Internacional de Matemáticas. Ese mismo año expone en la White Gallery en Washington.

1957. La Fundación De Roos, imprenta privada de ediciones limitadas, comisiona a Escher para que escriba un ensayo de su trabajo acerca de la división regular en el plano. Un año más tarde el ensayo se publica como libro con el título Regelmatige vlakverdeling (La división regular en el plano) ilustrado con grabados que Escher realiza especialmente para esta publicación.

1959. Se publica el libro Grafiek en tekeningen M.C. Escher (El trabajo gráfico de M. C. Escher.)

1968. Escher hace su último trabajo gráfico: un grabado.

1972. Escher muere en Baarn, Holanda, el 27 de marzo, a la edad de 73 años.

Su obra gráfica La producción gráfica de Escher puede separarse en dos períodos: antes de 1937, donde predominaron los paisajes y después de este año, etapa que se caracteriza por una marcada tendencia matemática. Durante esta última etapa el artista desarrolló toda su creatividad a través de temas como la división regular en el plano, la

La división regular en el plano Escher repetidamete enfatizaba en sus escritos que la división regular en el plano le interesaba más que cualquier otra cosa.

Este tema ha sido para mí (y sigue siendo) la más rica fuente de inspiración. Los dibujos simétricos aquí reproducidos muestran cómo se puede dividir la superficie en figuras iguales. Las figuras deben limitarse recíprocamente, sin que queden espacios vacíos1 (ver figura 1).

Escher, M.C. , Locher, J. L. The world of M.C. Escher, Harry N.Abrhams, Inc., Publishers, Nueva York, 1982.

perspectiva, los sólidos regulares y los espirales, el imposible y el infinito.

Figura 1. Dibujo simétrico B.

...ya en el Renacimiento se sabía que no sólo las líneas paralelas de un edificio se cortaban en un punto del horizonte (el famoso punto de fuga), sino que también las líneas verticales confluyen en otro punto, arriba en el zenit y abajo en el nadir... pero no es sino hasta la invención de la fotografía cuando nos hemos familiarizado realmente con la perspectiva vertical. Si dirigimos la lente hacia abajo o hacia arriba, reconoceremos que no es sino pura comodidad, por parte de quienes dibujan obras de arquitectura, el reproducir todo aquello que es vertical por medio de líneas perpendiculares o paralelas. En el siguiente grabado, un mismo punto de fuga cumple a la vez diversas funciones. A veces se halla situado en el horizonte, en el nadir y en el zenit 2.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Perspectiva Escher estudió la perspectiva y sus leyes durante muchos años; si bien tuvo grandes dificultades al representarla, la utilizó de una manera muy particular.

M.C. Escher. Arriba y abajo. 1947.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Maurits Cornelis Escher

Sólidos regulares y espirales El hecho de representar objetos tridimesionales en un plano bidimensional, considerando que la única realidad es el espacio tridimensional en el cual existimos, es otro de los temas que más fascinaron al artista. La siguiente xilografía ilustra tres nudos cerrados hechos a partir de una sola cinta cuyos extremos se han juntado. Estos nudos tienen volumen, o al menos dan la ilusión de que poseen un lugar en el espacio, lo que hace posible observar cómo se enreda la cinta para formarlos.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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M.C. Escher. Belveder. 1958.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Abajo a la izquierda, en el primer plano, vemos una hoja de papel sobre la que está dibujado un cubo. Dos círculos señalan los sitios donde se cruzan las líneas. ¿Cuál de estas líneas está adelante? ¿Cuál detrás? Estar al mismo tiempo delante y detrás es una cosa imposible en el espacio de tres dimensiones; por eso no puede representarse pictóricamente. Es posible, sin embargo, dibujar un objeto que visto desde arriba ofrezca otra realidad que visto desde abajo. El mozo sentado sobre el banco sostiene en sus manos un cubo que ejemplifica semejante absurdo. Contempla reflexivo el objeto imposible. Sobre el suelo del piso inferior, en el interior de la casa, se encuentra una escalera por la que suben dos personas. Pero, una vez llegados arriba, se encuentran al aire libre y deben entrar de nuevo en el edificio. ¿No es sorprendente que ninguna de estas personas se interese por el destino del prisionero del sótano que introduce con gesto lastimero su cabeza entre las rejas?3

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

Arquitecturas imposibles Para ejemplificar este tema baste la siguiente descripción que el artista hace de una de sus litrografías

M.C. Escher. Nudos.1965.

Notas

1. ESCHER, M.C. M. C. Escher, estampas y dibujos. Ed. Taschen, Köln, 1994. p7.

2. ibid. p.14 3. ibid. p.16

Bibliografía BOOL, F.H., et al. M.C. Escher, His life and complete work. Abrams Inc., New York, 1982.

ESCHER, M.C. M. C. Escher, estampas y dibujos. Ed. Taschen, Köln, 1994.

ESCHER, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

M.C. Escher. Profundidad. 1955.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

Escher, M.C., Locher, J. L. The world of M.C. Escher, H. N.Abrams, Inc., New York, 1982.

El espacio infinito Su necesidad de expresión lo llevó a experimentar con figuras basadas en principios matemáticos. Gracias al estudio y análisis de éstos pudo expresar el infinito en una superficie limitada por el plano.

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Sentidos y significados

La geometría y sus orígenes

T

odos nosotros, desde la educación primaria, hemos recibido clases de geometría y la hemos considerado desde entonces una disciplina matemática cuyo objeto es el estudio del espacio y de las formas en él contenidas. Quizá hemos preguntado el porqué de su nombre y nos han dicho que se trata de una palabra de origen griego que procede de las palabras : (gué) “tierra” y (métron) “medida”, por lo que la geometría, para los antiguos, era la ciencia que estudiaba las dimensiones y características de la Tierra. En efecto, Euclides. según nos cuenta el filósofo e historiador griego Eudemo de Rodas, discípulo de Aristóteles (s. IV a. C.) en su Historia de la geometría, de la aritmética y de la astronomía, la geometría tuvo su origen y principales logros entre los egipcios, quienes se vieron en la necesidad de medir sus tierras tras las inundaciones anuales del río Nilo, las cuales borraban sus límites.

Aunque los inicios de esta área del conocimiento se encuentren en Egipto y en Mesopotamia, su concepción como “ciencia” nació en Grecia, en el siglo IV a. C., con Tales de Mileto, representante de la escuela jónica, quien enunció y demostró algunos teoremas de geometría plana y resolvió algunos problemas prácticos, como el inscribir un triángulo dentro de un círculo. Al mismo tiempo se desarrollaba otra escuela, la pitagórica, encabezada por Pitágoras, en la cual se descubrió la relación existente entre los cuadrados de la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo, la cual hasta nuestros días es conocida como el Teorema de Pitágoras.

La geometría griega tuvo su auge en el siglo III a. C., época en la cual se desarrollaron los trabajos de Apolonio, Arquímides y Euclides. Este último escribió un tratado sistemático de geometría elemental, los Elementos, el cual ha llegado hasta nosotros como un tratado clásico sobre esta disciplina.

Después de esta época la geometría continuó su desarrollo y, aunque durante la Edad Media no hubo grandes descubrimientos, a partir del siglo XVI se reanudó el interés por su estudio y en el siglo XVII surgen figuras tan importantes como Descartes. En el siglo XIX, Gauss (1777-1855) y Riemann (1826-1866) crearon respectivamente la primera y la segunda geometría no euclidiana.

También en el siglo XIX evolucionó la topología, rama de la geometría cuyo origen se fija tradicionalmente a partir de la obra del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783): Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Solución de un problema concerniente a la geometría del lugar).

Granados Salinas,Tomás. El dibujante de triángulos Euclides. Pangea.

1996.

Ma. de Lourdes Santiago

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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La geometría y sus orígenes

Veamos ahora el origen etimológico de algunas palabras relacionadas con la geometría.

Espacio. Lat. Spatium : “espacio”, “extensión”, “dimensión”, “intervalo”, “tiempo que se invierte en hacer algo”, “plazo”.

Polígono. Deriva del griego (polygonon): “poligonal”, “que tiene muchos ángulos”, formado, a su vez, a partir del adjetivo (polys): “mucho” y (gonía): “ángulo”. Un polígono es una figura plana, cerrada y limitada por líneas rectas.

Poliedro. Del griego (polyedron): “poliedro”, “que tiene muchas caras o lados”, compuesto por el adjetivo (polys): “mucho” y el sustantivo (hédra): “base”, “lado”, “cara”. Es un sólido delimitado por polígonos, llamados “caras”. Cuando las caras son polígonos regulares, el poliedro también lo es; existen cinco poliedros regulares: con caras triangulares, tetraedro, de (téttares): “cuatro”; octaedro, de (ócto): “ocho”; icosaedro, de (éicosi): “veinte”; con cara cuadrada, cubo o hexaedro, de (héx): “seis” y con caras pentagonales, dodecaedro, de (dódeca): “doce”.

Esfera. Del latín sphaera: “esfera”, “bola”, y éste del griego (sfáira): “esfera”, “globo”. Cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro punto fijo, interior, llamado centro.

Transformación. Del verbo latino “transformar”, “mudar de forma”, “metamorfosear”, derivado de la preposición latina trans: “al otro lado de”, implica, en ocasiones, el cumplimiento de un cambio, y el sustantivo forma: “forma”, “figura”, “imagen”.

Proyección. Del latín proiectio: “proyección”, y éste formado a partir de la preposición pro: “hacia el frente”, “hacia delante” y el verbo iacere: “lanzar”; por consiguiente, proyección es la acción de lanzar o echar hacia delante.

Trigonometría. Procede de las palabras griegas (trígonon): “triángulo”, derivado, a su vez, de (tréis, tría): “tres” y (gonía): “ángulo” (re(métron): “melacionado con (gónu, gónatos): “rodilla”) y de dida”. La trigonometría es el cálculo del triángulo y el análisis de sus elementos.

Topología. Del griego (tópos): “lugar” y (loguía): “estudio”, “ciencia”, derivado de (lógos): “palabra” y el sufijo (-ía): “condición”. Es una disciplina que trata especialmente de la continuidad y de otros conceptos derivados de ella.

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Problemas sin número

Números cuadrados y triangulares Concepción Ruiz Ruiz-Funes Galo Ruiz Soto Estoy profundamente convencido de que el estudio de las ciencias naturales y de las matemáticas puede ejercer en la formación de la personalidad de los jóvenes una influencia mucho mayor de la que se aprecia en la mayoría de los casos. Los matemáticos pueden contribuir a su manera al desarrollo de la naturaleza humana.

Y no se trataría de desarrollar cualidades espirituales de carácter, de capacidad de trabajo y de crítica de ese mismo trabajo; el estudio de las matemáticas y de las ciencias naturales puede servir para desarrollar emociones humanas, como el deseo de ser útiles al prójimo. La verdadera ciencia es una creación humana, en la que han participado los pueblos del mundo entero. Y sólo podremos decir que hemos cumplido con nuestro deber para con la generación que nos heredará cuando hayamos hecho comprender a los niños, con nuestras explicaciones, que la ciencia es una tarea infinita en pos de una vida mejor para la humanidad, y que esto exige de nosotros una voluntad, un trabajo y una energía heroicos. No habremos cumplido con nuestro deber hasta que les hayamos hecho ver qué coraje sin límites, qué amor hacia la humanidad y qué cantidad de sacrificios se esconden bajo las líneas frías y lacónicas de los principios científicos, las fórmulas y los teoremas.

A. Markusievitch* Aleksey Markusievitch ha sido uno de los más grandes matemáticos rusos del presente siglo.

Su trabajo matemático lo ha orientado, sobre todo, a la teoría de las funciones analíticas, y es autor de uno de los grandes libros clásicos en la literatura de esta área. Sin embargo, sus intereses lo llevaron a publicar algunos trabajos sobre la enseñanza de las matemáticas.

Hay quien dice que por más moderna que sea una teoría o un problema matemático, nunca olvi-

da su pasado. Y es que el edificio de las matemáticas viene formando sus cimientos desde hace más de 25 siglos. Esto tiene que ver directamente con el problema que presentaremos a continuación, puesto que ya Pitágoras y su escuela trataron con los números cuadrados y los triangulares. Los pitagóricos atacaron los problemas concernientes con estos números utilizando a los gnomones, que son, grosso modo, arreglos de puntos acomodados alrededor de un punto unidad.

* Aleksey Markusievitch ha sido uno de los más grandes matemáticos rusos del presente siglo. Su trabajo matemático lo ha orientado, sobre todo, a la teoría de las funciones analíticas y es autor de uno de los grandes libros clásicos en la literatura de esta área. Sin embargo, sus intereses lo llevaron a publicar algunos trabajos sobre la enseñanza de la matemática.

Correo del Maestro. Núm. 26, julio 1998.

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Números cuadrados y triangulares

Actividad Esta actividad está dirigida a estudiantes de 4o ó 5o año de primaria. El objetivo es encontrar patrones, los cuales pueden ser visuales, numéricos, o de ambos tipos. Una vez que el patrón ha sido reconocido, el problema se resuelve de inmediato. La actividad está conformada por una serie de preguntas que dirigirán al estudiante a reconocer el patrón en cuestión.

Los siguientes números se pueden representar con cuadrados, de la manera que a continuación se muestra:

1

4

9

1) ¿Cuál es el siguiente número que puede representarse con un cuadrado?

2) Una vez que se contestó la pregunta anterior, ¿cuáles son los siguientes seis números?

Los números que mostramos a continuación también tienen una representación geométrica, que es la siguiente:

1

3

6

10

15

3) ¿Cuál es el número que le sigue al 15?

4) ¿Cuáles son los siguientes ocho números que cumplen con la misma relación?

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Solución : Para las primeras dos preguntas tenemos que hacer un análisis de este tipo: los números que se presentaron cumplen con la relación de tener el mismo número de puntos en la base y en la altura. Es por eso que se llaman números cuadrados.

1) El número que le sigue al 9 es el 16, pues tenemos que acomodar cuatro puntos en la base y cuatro en la altura. Por lo tanto, tenemos 16 puntos.

2) Siguiendo con un razonamiento análogo, tenemos que los siguientes seis números son el 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

Esto nos lleva a concluir que los números cuadrados son, en efecto, 12, 2 2 , 32, 42, 52, 62,…

Las preguntas que le siguen a las anteriores tienen que ver con los números triangulares. Un posible análisis para estos números es que el 1 tiene un único punto en la primera fila. El 3 tiene dos puntos en la misma fila, el 6 tiene tres, mientras que el 10 tiene cuatro, y, por último, el 15 tiene cinco puntos en la primera fila.

También se puede notar que en cada triángulo, conforme nos movemos hacia arriba, las filas van teniendo un punto menos hasta llegar a la última, la cual tiene únicamente un punto.

Usando este análisis, tenemos: 1 2+1=3 3+2+1=6 4+3+2+1=10 5+4+3+2+1=15 6+5+4+3+2+1=21 7+6+5+4+3+2+1=28 8+7+6+5+4+3+2+1=36 Entonces, las respuestas a las preguntas 3) y 4) son: 3) El número que le sigue al 15 es el 21.

4) Los siguientes ocho números triangulares son el 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91 y 105. Es decir, a partir del primer número triangular, que es el 1, le sumamos 2; para obtener el siguiente, al 3 le sumamos 3, teniendo como resultado 6. El tercer número triangular es el 10, el cual se obtiene de sumarle 4 al 6, y así sucesivamente. Es decir, siempre vamos sumando números naturales consecutivos.

Otro ejercicio muy interesante es el siguiente: mostrar geométricamente que la suma de dos números triangulares consecutivos da como resultado un número cuadrado. Como ejemplo, tomemos dos números triangulares consecutivos, digamos 45 y 55. Si los sumamos, tenemos 45+55=100, que es un número cuadrado, que surge de multiplicar 10 por 10.

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Abriendo libros

Astronomía y docencia Lilia Montoya

E

l libro Los mundos cercanos* trata sobre el Sistema Solar. En él, el docente encontrará la información básica sobre el Sol y los planetas, la cual le servirá para contestar algunas de las preguntas más frecuentes de sus alumnos.

Pero sobre todo, en este libro el maestro encontrará formas de explicar algunos conceptos que en general les cuestan trabajo a los estudiantes. Así, por ejemplo, cuando la autora presenta una tabla con algunas características planetarias, también hace correlaciones entre ellas de manera que sea más fácil comprender su importancia.

Una de las características de la astronomía es estudiar sitios a los que no se puede acceder directamente. Aquéllos se conocen por medio de la radiación que emiten y ésta se interpreta posteriormente de maneras muy ingeniosas. En las páginas de Los mundos cercanos se dedica un capítulo a los observatorios y al análisis de la radiación. Hay, asimismo, una sección en la que se describe la observación a simple vista, la cual el

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docente podrá poner en práctica si decide hacer una sesión de estudio sobre el cielo nocturno con sus alumnos.

En este libro se describe cada una de las propiedades de los planetas resaltando sus diferencias y similitudes con la Tierra y mostrando cómo se puede apreciar mejor el comportamiento geológico de nuestro mundo si se compara con los demás. Por ejemplo, se hace la descripción de los huracanes y las auroras en Júpiter o la producción de cráteres de impacto en la Luna y Mercurio.

Julieta Fierro no deja de lado el análisis de temas tan importantes como la tectónica de placas y el vulcanismo, resaltando que vivimos en un país que cuenta con extensas zonas propensas a temblores, a la vez que señala la manera como podemos protegernos utilizando la alarma sísmica. Así mismo incluye secciones sobre temas apasionantes como la formación del Sistema Solar o la búsqueda de vida extraterrestre.

Los mundos cercanos está profusamente ilustrado con fotografías tomadas por varios satélites de la NASA y esquemas que ayudan a comprender los temas más complejos como las mareas o la radiación electromagnética. Además cuenta con un glosario que les puede servir a los maestros como un pequeño diccionario astronómico.

El libro incluye algunas ecuaciones sencillas, ya que la autora considera que la matemática es una gran herramienta que simplifica la comprensión de la astronomía. * Julieta Fierro. Los mundos cercanos. McGraw Hill, México, 1997.

Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales Durante el año lectivo 1998-1999 el Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales otorgará créditos por 140 millones de pesos en condiciones preferenciales para la adquisición de materiales que incrementen el acervo bibliográfico de los trabajadores de la educación.

AUTORIDADES DEL SISTEMA NACIONAL DE EDUCACIÓN PARTICIPANTES: INSTITUTO DE EDUCACIÓN DE AGUASCALIENTES • SRIA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE BAJA CALIFORNIA SUR • SRIA. DE EDUCACIÓN CULTURA Y DEPORTE, CAMPECHE; INSTITUTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COAHUILA • SRIA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO DE COAHUILA; COORDINACIÓN DE LOS SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COLIMA • GOBIERNO DEL EDO. DE COLIMA • SRIA. DE EDUCACIÓN , CULTURA Y DEPORTE, DURANGO • GOBIERNO DEL EDO. DE DURANGO • SERVICIOS EDUCATIVOS INTEGRADOS AL ESTADO DE MÉXICO • GOBIERNO DEL EDO. DE GUANAJUATO • SRIA. DE PLANEACIÓN Y FINANZAS DEL EDO. DE GUANAJUATO • UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUANAJUATO • INSTITUTO HIDALGUENSE DE EDUCACIÓN • SRIA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA, NAYARIT • GOBIERNO DEL EDO. DE NUEVO LEÓN • UNIDAD DE INTEGRACIÓN EDUCATIVA DEL EDO. DE NUEVO LEÓN • SRIA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO. DE PUEBLA • GOBIERNO DEL EDO. DE PUEBLA • UNIDAD DE SERVICIOS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA EN EL EDO. DE QUERÉTARO • SERVICIOS DE EDUCACIÓN PÚBLICA DESCENTRALIZADA DEL EDO. DE SINALOA • SRIA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA, SINALOA • SRIA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA, SONORA • GOBIERNO DEL EDO. DE SONORA • SRIA. DE EDUCACIÓN, TABASCO • SRIA. DE PLANEACIÓN Y FINANZAS, TABASCO • SRIA. DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE, TAMAULIPAS; UNIDAD DE SERVICIOS EDUCATIVOS DE TLAXCALA • SRIA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO., TLAXCALA • SRIA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA,VERACRUZ • SRIA. DE FINANZAS Y PLANEACIÓN DEL GOBIERNO DEL ESTADO, VERACRUZ • SRIA. DE HACIENDA Y PLANEACIÓN DEL EDO. DE YUCATÁN • SRIA. DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DEL EDO. DE YUCATÁN • SECCIONES DEL SNTE PARTICIPANTES: SNTE SECCIÓN 1, AGUASCALIENTES • SNTE SECCIÓN 2, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 3, BAJA CALIFORNIA SUR • SNTE SECCIÓN 4, CAMPECHE • SNTE SECCIÓN 5, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 6, COLIMA • SNTE SECCIÓN 7, CHIAPAS • SNTE SECCIÓN 8, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 10, DISTRITO FEDERAL • SNTE SECCIÓN 11, DISTRITO FEDERAL • SNTE SECCIÓN 12, DURANGO • SNTE SECCIÓN 13, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 14, GUERRERO • SNTE SECCIÓN 15, HIDALGO • SNTE SECCIÓN 16, JALISCO • SNTE SECCIÓN 17, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 19, MORELOS • SNTE SECCIÓN 20, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 21, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 23, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 24, QUERETARO • SNTE SECCIÓN 25, QUINTANA ROO • SNTE SECCIÓN 26, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 27, SINALOA • SNTE SECCIÓN 28, SONORA • SNTE SECCIÓN 29, TABASCO • SNTE SECCIÓN 30, TAMAULIPAS • SNTE SECCIÓN 31, TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 32, VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 33, YUCATÁN • SNTE SECCIÓN 34, ZACATECAS • SNTE SECCIÓN 35, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 36, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 37, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 38, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 39, COLIMA • SNTE SECCIÓN 40, CHIAPAS • SNTE SECCIÓN 42, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 44, DURANGO • SNTE SECCIÓN 45, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 47, JALISCO • SNTE SECCIÓN 49, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 50, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 51, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 52, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 53, SINALOA • SNTE SECCIÓN 54, SONORA • SNTE SECCIÓN 55, TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 56, VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 57, YUCATÁN • GRUPOS EDITORIALES PARTICIPANTES: BRANDT & SINCLAIR, S.A DE C.V. • COMERCIALIZADORA PLANETA, S.A. DE C.V. • DISTRIBUIDORA DE OBRAS PEDAGÓGICAS, S.A. DE C.V. • EDICIONES LAROUSSE, S.A. DE C.V. • EDICIONES Y DISTRIBUCIONES GEO, S.A. DE C.V. • EDILAR, S.A. DE C.V. • EDITORES MEXICANOS UNIDOS, S.A. DE C.V. • EUROMÉXICO, S.A. DE C.V. • HACHETTE LATINOAMÉRICA, S.A. DE C.V. • OXFORD UNIVERSITY PRESS HARLA MÉXICO, S.A. DE C.V. • PLAZA & JANES • URIBE Y FERRARI EDITORES, S.A. DE C.V.

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