Correo del Maestro Núm. 56 - Enero de 2001 by EDILAR

Rompecabezas múltiple Alejandra García

ISSN 1405-3616

La formación matemática del docente de matemática del nivel medio Víctor Larios Osorio

¿Por qué interesa tanto el caos? Roberto Markarian

Las fracciones Domingo Clemente Garduño Fernando Ayala García José Luis Favila Jardón Efraín López Estrada

La calculadora como instrumento de mediación Adrián de la Rosa Nolasco

Leonardo da Vinci: artista, inventor, matemático... Rosa Elena González

Reseña crítica del libro Certidumbres, incertidumbres, caos Carlos Antonio Aguirre Rojas

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México D. F. Enero 2001. Año 5 Número 56.

¡Es más fácil cantar a voces con un canon! Forma tu coro, La Magia del Canon te dice cómo Incluye: • 1 disco compacto con: melodías simples y codas, versiones en canon con acompañamiento (Schola Cantorum de México)

• Instructivo • Partituras a color • Partituras en blanco y negro para jugar • Ilustraciones a color

“La Magia del Canon expone una herramienta de uso inmediato para docentes y padres de familia” Patricia Arenas Coordinadora de Iniciación Musical, UNAM. Escuela Nacional de Música, UNAM

Melodías para niños y maestros de todos los niveles escolares (preescolar y primaria) Informes al los tels. 53 62 88 60 y 53 65 08 70 De venta en las librerías: • Casa Juan Pablos: 56 59 02 52. • Don Bosco: 55 65 24 31. • Eureka: 55 24 53 28. • El Sótano: 55 54 14 11. • La Balanza: 58 06 47 58. • Librería Cuautitlán: 58 72 23 79. • Librería Romero Herrero y Asociados: 5175 59 90. • Porrúa Hnos. y Compañía: 57 02 45 74.

Revista mensual, Año 5 Núm. 56, Enero 2001.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Alvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Héctor Delgado Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Concepción Ruiz Maya Sáenz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No. 7, Oficina 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 82, Correo Electrónico: correo@correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/ 12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col . Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 20,000 ejemplares, de los cuales 16,550 corresponden a suscriptores. Segunda reimpresión octubre 2004: 1,300 ejemplares, Pressur Corporation, S.A., C. Suiza, R.O.U., 56041002.

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Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

Editorial

La enseñanza de la matemática plantea, para el docente de educación básica, un cuestionamiento central respecto a su formación: ¿debe ésta hacer hincapié en el conocimiento teórico de los contenidos matemáticos o el peso debe recaer en su formación pedagógica y en el desarrollo de sus capacidades didácticas? La misma pregunta puede —y debe— trasladarse a la formación docente en todas las áreas. Sin duda, ambos aspectos son importantes... y el equilibrio, necesario, si bien no siempre su logro es fácil. Teniendo en cuenta esta perspectiva, las revistas Correo del Maestro y La Vasija, hemos iniciado un ambicioso proyecto editorial que tiene como propósito acercar materiales tendientes a elevar la calidad de la formación de los profesores, poniéndolos en contacto con las discusiones y las perspectivas más actuales. En este número, presentamos el primer fruto de este trabajo conjunto, el libro Certidumbres, incertidumbres, caos. Reflexiones en torno a la ciencia contemporánea.

Virginia Ferrari

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

Entre nosotros

Rompecabezas múltiple. Alejandra García

Pág.

Las fracciones. Una propuesta constructivista para su enseñanza-aprendizaje Domingo Clemente Garduño, Fernando Ayala García, José Luis Favila Jardón y Efraín López Estrada

Antes del aula

La calculadora como instrumento de mediación. Hacia un aprendizaje de los conceptos matemáticos II Adrián de la Rosa Nolasco

Pág. 20

¿Por qué interesa tanto el caos?

Roberto Markarian

Pág. 41

Certidumbres e incertidumbres

La formación matemática del docente de matemática del nivel medio Víctor Larios Osorio

Pág. 44

Artistas y artesanos

Leonardo da Vinci: artista, inventor, matemático... Rosa Elena González

Pág. 49

Sentidos y significados

El entorno espacial en el desarrollo de ideas matemáticas. (Localizar).

Alan J. Bishop

Pág.

Problemas sin número

Unos cerillos en reversa. Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Juan Manuel Ruisánchez

Pág.

Abriendo libros

Reseña crítica del libro Certidumbres, incertidumbres, caos. Carlos Antonio Aguirre Rojas

Pág.

Portada: Fernando, 3 años. Páginas centrales: material didáctico a color para armar rompecabezas geométricos múltiples.

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

la vasija REVISTA INDEPENDIENTE ESPECIALIZADA EN EDUCACIÓN Y CIENCIAS DEL HOMBRE

La Vasija y Correo del Maestro, dos propuestas hermanadas por la intención de elevar la calidad de la formación de los docentes de nuestro país, invita a los maestros, padres de familia y público en general a las Actividades Culturales que llevarán en el marco de la

XXII Feria Internacional del Libro del Palacio de Minería Tacuba No. 5, Centro Histórico, C.P. 06000, México, D.F. Tels. 5512 87 23, 55 21 46 87

Conferencia Educación y Derechos Humanos

Ponente: Dra. Valentina Cantón Arjona Viernes 2 Marzo 16:00 hrs.• Salón de Rectores.

Mesa Redonda Divulgación y enseñanza de la evolución del hombre. Experiencias didácticas

Ponentes: Dr. Raúl Valadez Azúa Mtra. Rocío Téllez Mtra. Alejandra Alvarado Biol. Bernardo Rodríguez Sábado 3 Marzo 14:00 hrs.• Salón de Rectores.

Mesa Redonda Educación, juego y cultura

Ponentes: Dr. José Luis Ramos Mtra. Janeth Martínez Mtra. Sandra Flores Sábado 3 Marzo 16:00 hrs.• Salón de Rectores.

Mesa Redonda La enseñanza de las ciencias

Ponentes: Dra. Julieta Fierro • Mtra. Concepción Ruiz Dra. Paz Álvarez • Mtra. Alejandra González Sábado 3 Marzo 16:00 hrs. Salón de la Academia de Ingeniería.

Presentación de libro Una año en el museo. Un cuadro para descubrir cada día

Sábado 3 Marzo 19:00 hrs. Salón de la Academia de Ingeniería.

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Entre nosotros

Rompecabezas múltiple* Alejandra García

Simetría de reflexión

a geometría es una rama de la ciencia matemática que en muchas ocasiones se ignora en los cursos de nivel básico y medio superior. Esta rama nos permite tener un acercamiento con las matemáticas de manera concreta, a la vez que se estimula el pensamiento lógico-abstracto. El taller que hoy proponemos nos abre la posibilidad de trabajar, según el nivel, con diversos conceptos, en particular con conceptos de simetría tales como la traslación, rotación y reflexión de las figuras geométricas; además, nos lleva a visualizar lo general y lo particular. Para ello recordaremos, brevemente, que existen tres tipos de simetría: Si al doblar una pieza sobre una línea ésta coincide con otra pieza, las piezas tienen simetría bilateral, axial o de reflexión. Una pieza es el reflejo de la otra.

Eje de simetría

Simetría de traslación

Si al trasladar una pieza sobre otra —moviéndola de arriba a abajo, de izquierda, derecha o por la combinación de varios de los movimientos anteriores— ambas coinciden, entonces tenemos una simetría de traslación.

* Las figuras que ilustran este artículo se encuentran a color en las páginas centrales.

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Rompecabezas múltiple

Simetría de rotación

Por último, cuando al girar una pieza ésta coincide con otra, diremos que existe simetría de rotación

En la siguiente figura podemos encontrar los tres tipos simetría antes mencionados

¿Cómo usarlo?

La actividad consiste en la creación de diferentes dibujos utilizando las mismas piezas, o sea, en armar diferentes rompecabezas a partir de las mismas piezas. Cambiar la posición de las piezas y jugar con los colores permite obtener dibujos distintos. Con los niños de preescolar se puede trabajar el tema de lateralidad (derecha e izquierda), arriba, abajo y la identificación de figuras como el triángulo, el cuadrado y la composición de ambas. Cada niño puede utilizar solamente cuatro piezas, dos derechas y dos izquierdas (ver dibujo), todas de un solo color. El o la educadora deberá indicar, paso a paso, qué pieza debe tomar y cómo debe colocar cada una de ellas hasta formar la figura completa. Al repartir las piezas es recomendable que cada participante tenga un color diferente al de su compañero. Con estas 4 piezas básicas (dos derechas y dos izquierdas) los niños podrán armar distintos rompecabezas a los que llamaremos básicos. El fin de este ejercicio es que los alumnos se familiaricen con las piezas y con el lugar que éstas ocupan en las figuras muestra a la vez que se trabaja, de forma implícita, con el concepto de simetría.

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

Pieza izquierda

Pieza derecha

Cuando ya se hayan familiarizado con el rompecabezas podemos armar figuras utilizando piezas de distinto color, formando equipos de dos personas.Al finalizar, se repartirá otro juego de piezas a cada equipo, teniendo en consideración el color pues cada equipo de dos integrantes debe quedar con 12 piezas: 4 rojas, 4 amarillas y 4 verdes. Los equipos empezarán a armar rompecabezas de 12 piezas. Por último, se juntarán dos equipos para trabajar con 24 piezas. Es importante hacer la observación de que las figuras de 12 y más piezas están compuestos de rompecabezas básicos.

• 2 juegos de 12 piezas del rompecabezas de la siguiente manera: 2 piezas rojas derechas

1 4

2 piezas amarillas derechas

1 4

2 piezas amarillas izquierdas

1 4

2 piezas verdes derechas

1 4

2 piezas rojas izquierdas

2 piezas verdes izquierdas

1 4

Todas las piezas deben tener el triángulo pintado de azul. Los colores pueden variar según el gusto pero siempre respetando el orden. El material del cuadrado debe ser rígido —cartulina, ilustración, cartón corrugado, etc.— para que éste tenga mayor movibilidad y también más resistencia; el tamaño puede ser variable, pero se han obtenido buenos resultados con cuadros de 10 x 10 cm. Existe una infinidad de combinaciones que el profesor, la profesora y los alumnos pueden crear.

Material

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

Las fracciones Una propuesta constructivista para su enseñanza-aprendizaje Domingo Clemente Garduño Fernando Ayala García José Luis Favila Jardón Efraín López Estrada

Presentación

La inquietud que prevalece en la actualidad sobre la problemática que representa la enseñanza de las fracciones en los diferentes niveles educativos, la idea de proponer al profesor algunas sugerencias didácticas y la posibilidad de despertar el interés de los maestros de primaria y secundaria sobre estos temas, son los principales propósitos de este artículo. La intención de Las fracciones. Una propuesta constructivista para su enseñanza y aprendizaje es lograr que el docente las adapte a los intereses y necesidades de los alumnos y que éstos sean capaces de usar los conocimientos adquiridos para resolver algunos problemas de la vida, así como que lleguen a poseer los elementos indispensables que le auxilien a mejorar su aprovechamiento escolar. Siempre hay que tener presente que al empezar a trabajar un tópico de matemáticas, los conceptos a desarrollar estén vinculados con el lenguaje coloquial, es decir, el que usamos las personas en general.

Breve análisis teórico

Hans Freudenthal, en la obra Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas, ya contempla que las “fracciones deben acercarse al alumno mediante un lenguaje que entiende” 1, entonces surge la inquietud de que bajo ciertos conocimietos que sobre fracciones se tenga, el inicio para su adecuado aprendizaje se puede hacer a partir de los términos más usuales, como los siguientes: La mitad de: largo: 15 metros, 17 kilómetros, 285 decímetros,… pesado: 360 gramos, 320 kilogramos, 22 toneladas,… viejo: 27 años, 41 días, 725 horas,… El doble de: largo: 15 metros, 17 kilómetros, 285 decímetros,… pesado: 360 gramos, 320 kilogramos, 22 toneladas,… viejo: 27 años, 41 días, 725 horas,… 1

Hans Freudenthal. Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. Traducción de Luis Puig. CINVESTAV-IPN, 1994.

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

Hoy en día se debe prestar un especial interés a lo que piensa un profesor de matemáticas sobre su propia actuación, en este caso sobre las fracciones y su proceso enseñanza-aprendizaje, ya que en cierta medida la manera de actuar determina cómo se transforma la información teórica en recursos prácticos y didácticos. Con relación a las fracciones surge la pregunta: ¿hemos pensado qué significa para nosotros una fracción? Es probable que esta pregunta nos la hayamos hecho alguna vez, por ejemplo, al preparar nuestras clases. Por lo tanto, es necesario que como maestros determinemos nuestras propias concepciones para tener mejores resultados en la relación teoría y práctica educativas. De una u otra forma se conoce el término fracción, y de acuerdo con el concepto que se tiene de ella, se transmite a los estudiantes y se les acerca a las definiciones más reales que sea posible, pero de manera independiente del trabajo que se haga en el salón de clase deben plantearse algunas preguntas que pueden surgir cuando se trabajan (enseñan, transmiten, acercan, laboran, etc.) las fracciones. Como profesor

¿Crees que las fracciones representan problemas de aprendizaje para los alumnos?

Si existen estos problemas:

¿Piensas que son del mismo tipo de los que te encuentras en otros conceptos matemáticos?

Un acercamiento didáctico

¿Consideras que las fracciones pueden tener diferentes interpretaciones?

¿Supones que las dificultades que presentan los niños para manejar el concepto de fracciones y sus diferentes contextos obedecen a que se enseñan de forma distinta?

Actualmente, un gran número de docentes comparte la idea de que existen muchas dificultades para que los educandos aprendan las fracciones, sobre todo en los niveles elementales. No pretendemos dar fórmulas o elementos para que esos problemas se resuelvan en su totalidad, el fin es analizar los puntos de vista que al respecto dan algunos autores y proponer algunas situaciones didácticas que ayuden a resolver en parte la labor de los profesores en el aula con respecto a la interpretación de las fracciones. Como una propuesta didáctica, los principios que deben regir la enseñanza de las fracciones, según L. Streefland 2, son: 2

Salvador Linares Ciscard. Las fracciones, la relación parte-todo. Editorial Síntesis, 1984.

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Las fracciones...

I. Lo importante es la “construcción” de las operaciones con las fracciones por los propios alumnos. Construcción que se basa en la propia actividad del alumno, como estimación, desarrollo del sentido del orden y tamaño, etcétera. Ejemplos: a) Estimar la altura en metros de una casa, un árbol, una montaña, etc. b) Colocar las fracciones 1/5 , 2/3 , 4/6 , 2/4 en los espacios según lo indican los signos:

II. Valorar las actividades de los estudiantes así como los métodos y procedimientos que utilizan para resolver problemas, aunque difieran de la formalidad propia de la materia. III. Que el alumno sea capaz de formular sus propias reglas y generalizaciones para adquirir su conocimiento. IV. Se deben utilizar los saberes previos del escolar, como base para empezar la secuencia de la enseñanza de fracciones (ideas relativas a mitades, tercios, cuartos, etc., los procesos básicos de dividir, repartir,…) Ejemplos: a) Dividir cada figura según se indica (cantidades continuas): En cuartos

En séptimos

En octavos

b) Repartir 24 fichas entre 4 personas (cantidades discretas):

Operación 24 ÷ 4

Se sugiere buscar situaciones de compra-venta y de poner en orden, en las que los alumnos construyan procedimientos de solución por medio de procesos de dividir, ordenar, medir, componer…

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

Ejemplo: Tres artículos tienen los siguientes valores: un televisor $2 850.00, una grabadora 2/4 y la estufa el triple, estos dos últimos precios con relación al costo del primer artículo. Utilizar modelos de apoyo (regiones o segmentos, recta numérica, tablas de razones,…) y situaciones problemáticas (de la vida diaria que sirvan de “puente” entre las situaciones problema en diferentes contextos y el trabajo numérico). Ejemplo: Establecer las razones que falten o resolver los problemas: Problema

Razón

a) La razón entre las figuras A y B es: uno a cuatro

1 4 A

b) La estatura de un adulto es de 1.80 metros. Si sólo se conoce la razón, ¿cuál será la estatura de un niño?

1 3

Esta posición defiende la idea de que son los alumnos los que tienen que construir el conocimiento de fracción, no el profesor.

Qué opinan algunos investigadores educativos sobre las fracciones

En seguida se presentan, en forma breve, algunas opiniones de autores que se han dedicado al estudio de las fracciones, puntos de vista que seguramente ayudarán al maestro a clarificar sus propias opiniones. En 1937, Wilson y Dalrympe (citados por Fey, 1980) llevaron a cabo una investigación sobre los usos sociales y comerciales de las fracciones. Concluyeron que: “La necesidad de manejar con solvencia las fracciones en la vida ordinaria se limita a las mitades, tercios, cuartos y doceavos… la resta de fracciones se presenta raramente… la división casi nunca aparece…”3 Por otro lado, la constancia del bajo entendimiento conceptual y la poca destreza computacional con fracciones lleva a cuestionarse el nivel apropiado para su enseñanza. En este punto, H. Freudenthal llega a decir que: “Las fracciones complicadas y las operaciones con ellas son invenciones del maestro que sólo pueden entenderse a nivel superior…”4 3 4

Ibidem. Hans Freudenthal. Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. Traducción de Luis Puig. CINVESTAV-IPN, 1994.

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Las fracciones...

Por otra parte, autores como R. Joy y J. Cable (1981) “…defienden la permanencia de las fracciones apoyándose en que las operaciones como la multiplicación y división de decimales sólo podrán entenderse correctamente si se saben las correspondientes operaciones con fracciones…” 5 Dienes (Dienes, Z.,1970) en la aplicación de sus principios de variabilidad matemática dice que “…si queremos mantener la enseñanza de las fracciones decimales en la introducción del número decimal, para que sean bien entendidas por nuestros alumnos es necesario que tomen conciencia de la existencia de otras fracciones, de las que la decimal es un caso particular…” 6 Kieren (1975) “…ve en las fracciones un fundamento para las relaciones algebraicas posteriores, y considera que la comprensión de los números racionales es básica para el desarrollo y control de las ideas matemáticas”7

Las diferentes interpretaciones de las fracciones: un aspecto general 8

Comúnmente, la representación generalizada que hacemos de una fracción es a/b, con b diferente de 0. La manera de escribir esta relación en contextos y situaciones diferentes parecería que no tiene nada en común, por ejemplo: a) Para establecer la relación entre la parte sombreada y el ‘todo’.

“dos de cinco partes”

2 5 b) Un litro de leche cuesta $6.00, ¿cuánto valen 3/5 de litro de leche? c) En un grupo hay 24 niñas y 21 niños, en un día de clases faltó ‘una sexta’ parte de niñas y una ‘tercera’ parte de niños. ¿Cuántos niños faltaron? ¿Cuántas niñas no asistieron a clase? ¿Qué cantidad de alumnos faltaron ese día? De acuerdo con los ejemplos anteriores, cabe esperar que los alumnos estén en posibilidad de identificar los diferentes contextos de la idea de fracción, pero además, ¿se puede esperar que sean capaces de comprender y conseguir la destreza para interpretar los diferentes contextos de las fracciones? Tal parece que la maduración mental (capacidad) de ‘trasladar esa comprensión a situaciones distintas no es del todo clara para el alumno’.

5 6 7 8

Salvador Linares Ciscard. Las fracciones, la relación parte-todo. Ed. Síntesis. Ibidem. Ibidem. Ibidem.

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Además, los resultados de las investigaciones (Berh, et al., 1983; Kerslaske, 1986, Lesh, et al., 1983) relativas al proceso enseñanza-aprendizaje de la ideas de ‘fracción’, “han empezado a indicar que para que el niño pueda conseguir una comprensión amplia y operativa de todas las ideas relacionadas con el concepto de fracción, se deben plantear las secuencias de enseñanza de tal forma que proporcionen a los niños la adecuada experiencia con la mayoría de sus interpretaciones”9 (Kiren, 1976; Dienes, 1972). En concreto, desarrollar el concepto de fracción con todas sus relaciones e interpretaciones en el ámbito escolar conlleva un proceso a largo plazo. Esto es, cuando se tenga en mente desarrollar en los alumnos secuencias de enseñanzaaprendizaje de las nociones de fracciones y sus interpretaciones, hay que tener presente: • las muchas interpretaciones, y • el proceso de aprendizaje a largo plazo. También existe un largo proceso desde el primer contacto intuitivo de los niños con las fracciones (relaciones parte-todo, ‘mitades’, ‘tercios’,…) hasta afianzar el conocimiento algebraico asociado a las fracciones, por ejemplo: a b

c d

ad+ bc bd

Es fundamental tener en cuenta que las habilidades que se pretenden desarrollar en los educandos para el manejo de los símbolos y las operaciones referentes a las fracciones, no serán de fácil retención si no se les crea un esquema conceptual a partir de situaciones concretas. A continuación se presenta un breve esquema y panorama teórico de algunas interpretaciones de las fracciones, la intención es que sean las opciones adecuadas que ayuden a conseguir en los alumnos una mejor comprensión conceptual (operativa) de la idea de fracción. El esquema es: 1) La relación parte-todo y la medida: a) Representaciones en contextos continuos y discretos b) Decimales c) Recta numérica 2) La a) b) c)

fracción como: Cociente División indicada Razón

3) La fracción: a) En la probabilidad b) En los porcentajes c) Como operador

Salvador Linares Ciscard. Las fracciones, la relación parte-todo. Ed. Síntesis.

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Las fracciones...

La relación parte-todo y la medida

Al trabajar en esta interpretación se ubica primeramente un ‘todo’ (continuo o discreto), el cual se divide en partes congruentes (puede ser de las partes de una superficie o la cantidad de objetos). Mediante la fracción nos vamos a dar cuenta de la relación que existe entre un determinado número de partes y el número total de partes. Al ‘todo’ se le da el nombre de unidad. Debe haber mucha habilidad para dividir el objeto en partes o trozos iguales. Para una comprensión operativa de la relación parte-todo se necesita previamente el desarrollo de algunas habilidades como: • Tener interiorizada la noción de inclusión de clases (según la terminología de Piaget) • La identificación de la unidad (qué todo es el que se considera como unidad en cada caso concreto). • La de realizar divisiones (el todo se conserva aun cuando lo dividamos en trozos, conservación de la cantidad). • Tener la idea de área (esto en el uso de representaciones continuas). De la relación parte-todo que sobre las fracciones se va a desarrollar, tenemos: en representaciones continuas, en la recta numérica y representaciones discretas.

Representaciones continuas

De las ocho partes del todo se han sombreado tres, es decir “3 de 8” ( 3

De acuerdo con las representaciones geométricas:

Al representar a la unidad con

entonces,

da como expresión 1 1 que es la parte sombreada. 3

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)

Representaciones discretas

El contexto discreto se puede representar con el siguiente conjunto:

En este caso, el ‘todo’ se forma por el total de los ocho balones, cuatro de los cuales son negros, 4/8 especifican la relación que existe entre el número de balones negros y el número de todos los balones. entonces la situación Cuando se considera el todo como,

da como resultado 2

4 1 Esto es 2 representan la parte sombreada. 4

En los decimales

Una prolongación de la relación parte-todo, aunada a las características del sistema de numeración decimal, dan pie a la introducción de los decimales (fracciones decimales). Por ejemplo, utilizando la representación continua y el modelo rectángulo. Se considera al rectángulo como la unidad y se divide en diez partes iguales:

Las fracciones en la recta numérica

Cada una de las partes en las que se dividió el cuadrado está en relación al todo (unidad) 1/10, una de las diez (una décima).

En la recta numérica, a la fracción a/b se le asocia un punto situado sobre ella, donde cada segmento unidad se divide en “b” partes (o en un múltiplo de b) congruentes, de las que se toma “a”.También se puede considerar como un caso particular de la relación parte-todo. Se destaca esta interpretación ya que aquí implícitamente se realiza la asociación de un punto con una fracción:

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Las fracciones...

2 2 =1 4 4

1 1 =1 3 3

1 1 =2 5 5

La recta numérica también sirve para representar e interpretar a las fracciones como medida. Se selecciona una unidad de medida (segmento) donde se hagan subdivisiones congruentes.Aquí se ve el número de ‘adiciones iterativas’ y se hace la comparación del objeto a medir con un instrumento graduable (regla graduada): ¿Cuánto mide el lápiz?

3+ 0

1 1 =3 2 2

3 + 0.5 = 3.5

¿Cuánto mide la brocha?

6+ 0

1 1 =6 2 2

6 + 0.5 = 6.5

Al considerar a las fracciones en la interpretación de la medida, se proporciona el contexto natural para la ‘suma’ (unión de dos medidas) y para la introducción de los decimales.

La fracción como cociente10

Bajo esta interpretación se asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro (división indicada a/b), o bien, dividir una cantidad en un número de partes dadas. T. E. Kieren (1980) “señala la diferencia entre la interpretación parte-todo con la de cociente; indica que, para el alumno que está aprendiendo a trabajar con fracciones, el dividir una unidad en cinco partes y

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tomar tres (3/5) resulta muy distinto del hecho de dividir tres unidades entre cinco personas, aunque el resultado sea el mismo”. En esta interpretación se considera que las fracciones tienen un doble aspecto: a) Al ver la fracción como una división indicada, se establecen algunas equivalencias como: 3 = 0.6 5

3 = 0.375 8

2 = 0.5 4

1 = 0.2 5 2 = 0.4 5

1 = 0.33 3

b) Considerar las fracciones (números racionales) como los elementos de una estructura algebraica: a . b

La fracción como división indicada (reparto)

La interpretación de la fracción que indica una división de dos números naturales (3/5 = 3÷5) aparece en un contexto de reparto; por ejemplo, si hay tres barras de pastel y se tienen que repartir en forma equitativa entre cinco niños ¿cuánto le tocará a cada uno?

1 5

3 5

La resistencia de los alumnos a ver 3÷5 como 3/5 puede ser debido a que muchos de ellos se encuentran familiarizados con la interpretación parte-todo para las fraciones, y por tanto, ven a 3/5 como la descripción de una situación (de cinco partes hay tres sombreadas), mientras que la división indica un proceso, precisamente el proceso de repartir 3 barras de pastel entre cinco alumnos.

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Las fracciones...

Las fracción como razón

En los casos anteriores se trabajó a las fracciones en situaciones de comparación parte-todo, otras veces las fracciones son usadas como ‘índice comparativo’ entre dos cantidades de una magnitud (comparación de situaciones). Ahora hay que abordar el uso de las fracciones como razón; esto no se desprende de la relación parte-todo sino que se trata, en algunos casos, de una comparación bidimensional, es decir, no hay una representación o parte-todo. En esa interpretación, la noción de par ordenado de números naturales toma mucha importancia. Se espera que con los siguientes ejemplos se pueda clarificar esta interpretación de las fracciones. a) Dados los conjuntos

La relación entre los triángulos de x y z es de 4/8: (4:8) La relación entre los triángulos de z y x es de 8/4: (8:4) b) En las figuras geométricas:

L es 3/6 de M (3:6) M es 6/3 de L (6:3) L

Las fracciones en la probabilidad

Las fracciones en fenómenos azarosos pueden considerarse para la interpretación donde se establezca la ‘comparación’ todo-todo entre el conjunto de casos favorables y el conjunto de casos posibles, por ejemplo: En una bolsa hay 7 bolas negras y 3 blancas. Al sacar aleatoriamente una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra? La probabilidad de extraer una bola negra es de 7 a 10 lo que se escribe también 7/10.

Las fracciones en los porcentajes

La relación que se establece entre un número y 100 (ó 1000) recibe el nombre particular de porcentaje. Por regla general, los porcentajes tienen asignado un aspecto de ‘operador’, es decir, al interpretar ‘el 60% de 35’ se concibe ‘actuando la fracción 60/100 sobre 35’ (hacer 100 partes de 35 y tomar 60).

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Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los porcentajes se pueden entender como el establecimiento de ‘relaciones’ entre conjuntos (razones) donde se dan subconjuntos de 100 partes. Por ejemplo, cuando en las tiendas comerciales se establecen las rebajas del 15%, se da una relación de: “15 es a 100” (15/100) que para una cantidad de $300.00 sería representado por: 15 pesos de 100 pesos 15 pesos de 100 pesos 15 pesos de 100 pesos En este caso existe la ‘misma relación’ esto es “15 es a 100” (15/100) como “45 es a 300” (45/100).

Bajo esta interpretación, las fracciones son vistas en el papel de transformaciones, es decir “…algo que actúa sobre una situación (estado) y modifica”.Aquí se concibe a la fracción como una sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a la inversa. Por ejemplo, si en un contexto discreto se toma una situación de partida (estado-unidad), el conjunto formado por los 36 niños de una clase, el efecto de aplicación del operador 2/3 (dos tercios) se puede representar por… Estado-Unidad

Operador

Estado Final

36 niños

(Dividir entre 3, multiplicar por 2)

24 niños

el estado final ‘24 niños’ también recibe el nombre de estado ‘dos tercios’ como la descripción de un estado de cosas. El operador lleva implícito un convenio; primero actúa la división y luego la multiplicación. Las interpretaciones de las fracciones vistas anteriormente son sólo otras propuestas para trabajar en primaria y secundaria. El docente tendrá que poner empeño e iniciativa didáctica para recobrar los elementos del diario acontecer de los alumnos contribuyendo a que éstos logren redescubrir el concepto de fracción y puedan aplicar sus conocimientos adquiridos.

Las fracciones como operadores

Bibliografía FREUDENTHAL, Hans. Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas.Traducción de Luis Puing. CINVESTAVIPN, 1994. LINARES CISCARD, Salvador. Las fracciones, la relación parte-todo. Editorial Síntesis.

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Antes del aula

La calculadora como instrumento de mediación Hacia un aprendizaje de los conceptos matemáticos II* Adrián de la Rosa Nolasco

En este trabajo compartiré ideas con el propósito de continuar favoreciendo la ‘cultura hacia el uso de la calculadora’. Abordaré ideas centrales sobre la mediación instrumental, así como algunas investigaciones relacionadas con el uso de la calculadora, para concluir en el uso adecuado de esta tecnología.

Introducción El uso de la calculadora en la actualidad ha ocupado espacio en todos los niveles educativos en diferentes países, resultado natural del desarrollo tecnológico en una sociedad. El hecho de tener acceso a ella por la gran cantidad existente en el mercado y por su bajo costo hace inevitable su utilización —cabe mencionar que en la actualidad existen en el mercado los tres tipos de calculadora (Ver De la Rosa, 2000). Veamos a continuación la línea de evolución de la calculadora; podríamos diferenciar tres etapas a las que nombraré de la siguiente forma: a) Aparición. La compañía Canon lanza al mercado la primera calculadora de bolsillo el 14 de abril de 1970. Después, en 1972, aparece la primera calculadora científica (HP-35) de la empresa Hewlett-Packard, que evalúa funciones trascendentes como log 3, sen 3, y sucesiones.

b) Mejoramiento. La compañía Casio, hacia 1986, presenta la primera calculadora científica con capacidad de graficar, permitiéndonos graficar funciones de una sola variable y asociarle una tabla de valores. c) Consolidación. Podríamos decir que comienza a partir de 1996, cuando la compañía Texas Instruments hace aparecer la calculadora algebraica T1-92, la cual contiene un CAS (Sistema de Álgebra Computacional) muy poderoso. Recientemente apareció la tecnología Flash, la cual permite incorporar y actualizar programas electrónicamente, así también existen periféricos recopiladores de datos CBL (CalculatorBased-Laboratory) y CBR (Calculador-BasedRanger) que pueden modelar fenómenos físicos. En el año 2000 la compañía Casio puso en el mercado calculadoras semejantes a la TI-92, empero, tienen una versión del sofware Maple. En conclusión, las calculadoras cuentan en la

* En el número 48 de Correo del Maestro, correspondiente a junio de 2000, se publicó el artículo “La calculadora y los sistemas semióticos de representación” como antecedente del presente trabajo.

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actualidad con software matemático, como los CAS y Geometría Dinámica. En cada una de estas etapas se produjeron cambios importantes en la sociedad, por ejemplo, desde la aparición de las calculadoras los negocios han incluido sumadoras, cajas registradoras y ahora, en los grandes centros comerciales, lectoras de código de barras. Nos preguntamos: ¿cómo ha repercutido en la forma de pensar en el ser humano? Más aún, ¿ha ocasionado cambios en la enseñanza y aprendizaje de la matemática? Veremos que efectivamente han surgido diferentes formas de pensar respecto a la calculadora y la educación matemática. Daré, entonces, un punto de vista bajo la teoría de instrumentos de mediación; los cambios son tan importantes que diversos países han adoptado la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con esta herramienta, legando al mundo resultados de sus observaciones, de las cuales citaré algunas.

Mediación instrumental ¿Serían fabricadas las primeras calculadoras para ampliar la capacidad de memoria natural del hombre cuando éste, por circunstancias de la vida cotidiana y el comercio, necesitaba hacer las cosas cada vez más rápido y mejor? Diría yo que sí, pues el hombre siempre ha incidido en la naturaleza para suplir sus limitaciones; como primera instancia los primeros cambios fueron morfológicos; después, aloplásticos (hace unos 500000 años), donde se ha visto alterada nuestra estructura cognitiva y adquirido una nueva forma de ver el mundo externo; cuando produce herramientas, existe una relación dialéctica entre tecnología y cultura. Con la aparición de las primeras calculadoras de bolsillo los cambios en educación fueron insignificantes, sin embargo, no tardó mucho tiempo en que surgiera la calculadora científica (1972)

y así se presenta la primera repercusión de esta tecnología, el primer cambio en la sociedad: desaparece la regla de cálculo (la última se fabricó en 1975, en EU) y con ella las tablas algorítmicas y de valores de funciones trigonométricas. Cuando surge la calculadora algebraica (con CAS y Geometría Dinámica) comienzan los primeros cambios en la transición de la reorganización del currículum, el empleo de esta herramienta se hace más frecuente en todos los niveles educativos (como lo veremos en el siguiente apartado) a causa de su gran potencialidad, consecuentemente las técnicas aritméticas y algebraicas con papel-ylápiz comienzan a ser desplazadas. Por la accesibilidad de las calculadoras debido a su bajo precio en relación con una computadora personal, vemos la existencia de dos formas de usar éstas. En nuestro país, el avance se encuentra en una pobre situación, aún en la etapa de amplificación, no así en las investigaciones. Al respecto, Moreno (1999a, p. 1) dice: Hay dos maneras en el empleo de la tecnología computacional, una que pretende emplear los recursos computacionales para incidir en el currículum tradicional. Aquí, los recursos computacionales juegan el papel de ‘suministradores de sistemas de representación’ para un acercamiento a la enseñanza diseñada antes de los recursos computacionales. La otra orientación, más reciente, está generada por la expectativa de que el empleo de los nuevos instrumentos de mediación transformarán el currículum. Parece ser, entonces, que esta tecnología ha experimentado dos fases: la de amplificación y la de re-organización cognitiva; es decir, en su aparición se realizaban las mismas operaciones ‘pero mejor’, por ejemplo, el cálculo de funciones logarítmicas, cuando suple totalmente a la regla de cálculo y a las tablas. Una segunda fase es la reorganización de las mismas actividades pero con el nuevo instrumento, no sólo realiza las mismas

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La calculadora como instrumento de mediación

actividades sino que ahora éstas giran en torno a la calculadora y no a la regla de cálculo o a las tablas. En el siguiente apartado abordaré más sobre esto. Regresando a la desaparición de la regla de cálculo, vemos que con ella muere la época donde se dedicaba tiempo a realizar una serie de cálculos y obtener valores de las tablas, así pues, en nuestros días, existen algoritmos que van perdiendo importancia, dando paso a una nueva forma de pensar en la educación matemática. Aparece una enseñanza preocupada por dar más profundidad a los conceptos matemáticos, dejando esas tareas laboriosas a las calculadoras, así también las calculadoras algebraicas dan la posibilidad de trabajar con representaciones. Básicamente, la historia ha fortalecido el reconocimiento de los instrumentos físicos y simbólicos como instrumentos mediadores, y recientemente, con las teorías cognitivas actuales, dando origen al llamado Principio de Mediación Instrumental, Moreno (1999, p. 4): “Todo acto cognitivo está mediado por un instrumento que puede ser material o simbólico”. Recordemos que en la aparición de las primeras herramientas hechas por hombre comienza la gran travesía de cambios, donde los primeros dieron origen a la transformación de la mano —logrando cada vez hacer más y mejores herramientas para sobrevivir— así también como cambios en el tamaño del cerebro, resultado del tipo de alimentación que proporcionaban las tecnologías (caza, pesca, etc.). Una vez que el hombre adquiere conciencia de sí mismo, comienzan los cambios estructurales de la sociedad y, con ellos, nuevas tecnologías que van siempre reestructurando la forma de pensar y el funcionamiento social. Con los párrafos anteriores, pretendo compartir mi afinidad sobre la calculadora como una

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(NCTM) Consejo Nacional de profesores de Matemáticas, en E.U. Estos aparecen en ProNAP (1995, p. 92) Lecturas.

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tecnología mediadora, así como lo son el papel y el lápiz, el bolígrafo, etc. Toda tecnología modifica nuestra estructura cognitiva y nuestra reorganización social, de manera que: “Las herramientas de mediación transforman la naturaleza del conocimiento que se logra construir con ellas” (Moreno, 1999a, p.1). Es decir, la calculadora es un medio donde se pueden expresar y aprehender nociones matemáticas, donde también existe una relación estrecha entre los sistemas de representación, siendo ellas los medios que proporcionan la posibilidad de la ejecutabilidad de las representaciones.

Calculadoras en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: concepciones y resultados de su uso En este apartado abordaré recomendaciones y resultados del uso de la calculadora en países que se han visto involucrados en la evolución de esta tecnología. No olvidemos que la oposición hacia la calculadora también la han experimentado los demás medios computacionales, entre ellos la educación a distancia como Telesecundaria. En Estados Unidos se comenzó a incursionar en el uso de la calculadora, según lo dice la NCTM1 (1980), al recomendar su empleo en la clase de matemáticas en primaria y secundaria. En otro documento de la NCTM (1989) se reafirma tal consideración, debiéndose integrar en: actividades en el salón de clase, tareas y exámenes. Específicamente: 2 • Concentrarse en la resolución de problemas y no en las operaciones aritméticas. • Lograr acceder a los conceptos y no a los cálculos.

• Explorar, desarrollar y reforzar conceptos incluyendo estimación, cálculo y aproximaciones. • Experimentar con ideas y patrones matemáticos. • Hacer cálculos tediosos con datos de la vida real. Más aún, la NCTM en Curriculum and evaluation standars for school mathematics, 1989 (Los estándares curriculares y de evaluación de la matemática escolar 1989) reafirma el uso de la calculadora sin dejar de lado el aprendizaje de los algoritmos. Dependiendo de la necesidad, se puede tener: cálculo mental, lápiz y papel (ejecución de algoritmos por medio de esta tecnología), calculadora o computadora. Wenzelburger (1993, p. 3), en un estudio sobre las calculadoras, declara: No hay evidencia hasta ahora de que las calculadoras impiden que los alumnos aprendan y utilicen algoritmos básicos para cálculos simples. En E.U. Eric (1981) muestra que dos de los primeros nueve años escolares se dedican a la enseñanza y práctica del algoritmo de la división, donde a pesar de esto, no manejan bien el algoritmo, por ello que algunos autores de ese país como Weatly (1979) propone eliminar algunos tipos de cálculos. El alumno debe tener un dominio de las operaciones básicas con números de 1 al 100, así como la estimación y aritmética mental (idea que comparto); la interrogante es cómo los maestros entendemos esto y qué método empleamos para lograrlo, es decir, con qué teorías simpatizamos y estamos acordes para lograr nuestro objetivo (se ha demostrado que una postura conductista y una concepción de habilidad algorítmica mecanizada no ha sido suficiente). Dicho de otra manera, debemos ser sensibles para reconocer cuándo se deben emplear las técnicas de estimación, cálculo mental, algoritmos en papel y lápiz, o cuándo la calculadora.

La Valoración Nacional de Progreso Educativo (NAEP): mostró la disponibilidad de las calculadoras en las aulas de matemáticas en los alumnos, información que nos da un parámetro sobre su empleo en E.U.; 3 la tabla 1 proporciona algunos datos:

Grados 6-8 Grados 9-12

1986

1992

21% 26%

81% 92%

Tabla 1. Disponibilidad de la calculadora del estudio.

Para el 8º, en 1990, al 33% de los alumnos de escuelas públicas se les permitió el uso de la calculadora, aumentando al 70% en 1996. Kutzler (2000) considera la calculadora algebraica como una herramienta pedagógica, donde destaca ideas que permiten fortalecer lo que he llamado ‘cultura hacia las calculadoras’. Para nuestro interés, menciona que una de las metas de Educación Matemática tiene que ver con la resolución de problemas; la calculadora es protagonista en este tema, pues tiene la posibilidad de descargar el tiempo que dedican los alumnos al ‘cálculo’ cuando desarrollan las etapas de resolución de problemas. Es decir, al alumno se le exige un dominio en su ejecución con lápiz-y-papel del ‘cálculo’ (normalmente el profesor enfatiza sus esfuerzos en esta etapa) descuidando completamente las etapas de: “seleccionar el modelo y traducir el problema, y traducir el modelo de solución en una solución del mundo real”. La calculadora permite minimizar el tiempo dedicado a la segunda etapa, el ‘cálculo’ (aplicar los algoritmos disponibles para resolver el modelo del problema), por parte del alumno, liberando tiempo para el dominio de las otras dos etapas. Personalmente comparto la postura anterior, ya que es bien sabido que la teoría de resolución

En este país el sistema educativo está dado por los grados: k1-2-3, 6-8 y 9-12; así como superior.

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La calculadora como instrumento de mediación

de problemas es el eje rector de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en nuestro país, establecido en el Plan y Programas de estudio 1993, Educación Básica SECUNDARIA (P, 37). De ello surge una pregunta de autoevaluación: ¿Conozco y aplico correctamente la resolución de problemas? Es importante que nosotros mismos demos la respuesta: si ella es sustentable lo felicito, si no, también, ya que nunca es demasiado tarde para comenzar a conocerla. Puedo agregar que la calculadora algebraica proporciona el manejo de diferentes representaciones útiles para el alumno para la resolución de problemas. Continuando, Kutzler (2000) menciona lo realizado en Austria en 1991, donde las escuelas secundarias generales y técnicas se equiparon con el CAS del DERIVE. Los austríacos realizaron proyectos que incluyeron a 800 estudiantes a los cuales se les enseño matemáticas con DERIVE; esto se volvió a realizar en el año escolar 1997-1998 con un proyecto titulado “Proyecto Austríaco TI-92” con 2000 estudiantes, utilizando la calculadora todo el año. Kutzler (2000, p. 11) al respecto dice: Las investigaciones austríacas y otras mostraron lo siguiente: Si la tecnología se usa apropiadamente, lleva a: • La eficiencia en la enseñanza y aprendizaje • Más independencia productiva en la actividad del estudiante. • Más creatividad del estudiante. • Una superación importante en el maestro. Es interesante mencionar su postura. Con respecto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas él distingue dos usos de la calculadora

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o computadora: la automatización y la compensación. Basado en esta clasificación, cree importante considerar cuatro temas en la enseñanza y aprendizaje, “…yo pienso es especialmente importante en educación matemática: la trivialización, experimentación, visualización y concentración”,4 Kutzler (2000, p. 2). De esto se desprende claramente la necesidad de una capacitación adecuada del profesor como lo he señalado reiteradamente y como algunos autores lo reafirman. Cabe mencionar, que en los cursos del ProNAP(1995), aparece sólo un artículo sobre el empleo de la calculadora, el cual proporciona algunos argumentos sobre su empleo, que ya fueron mencionados en los párrafos anteriores. En De la Rosa (2000, p. 24) mencioné la existencia de las organizaciones mundiales, entre otras T3 (T cúbica), con el propósito de que mis colegas conocieran la existencia de instituciones que han compartido nuestra preocupación desde hace un tiempo, donde sus esfuerzos han tenido resultados que vale la pena conocer, éstos están dirigidos a tener un buen uso de la tecnología, entre ellas las calculadoras y las computadoras; pues bien, Demana y Waits5 son fundadores de T3. Observemos que este organismo trasciende a más de este último lustro o década, lo cual nos proporciona una garantía en sus experiencias sobre las calculadoras. Demana y Waits, tienen un gran cúmulo de experiencias sobre la calculadora, ellos han observado que se ha dedicado mucho tiempo a desarrollar las habilidades de las técnicas de cálculo y manipulación algebraica con papel-y-lápiz: hoy ese tiempo se debe dedicar a desarrollar el

Traducción en inglés, del documento original. El movimiento T3 [Teachers Teaching with Technology (Profesores enseñando con tecnología)] se inició en E.U. en 1986 cuando los profesores Bert K. y Franklin Demana de la Universidad de Ohio State (OSU), comenzaron a redactar temas originales “Precalculus: A Graphic Approach” y coenseñaron el curso con profesores locales a estudiantes de escuela secundaria y preparatoria. Desde entonces el programa T3 a crecido hasta ser reconocido nacionalmente aproximadamente en 1997. De esta manera la empresa Texas Instruments a desarrollado su propio programa T3 con el propósito de respaldar la demanda en países de América Latina, incluyendo México.

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pensamiento matemático en los alumnos, es decir, a profundizar en los conceptos y desarrollar la habilidad en resolución de problemas. Parafraseando experiencias verídicas que ellos han encontrado, tenemos: • Las calculadoras reducen la dedicación de aplicar procedimientos aritméticos y algebraicos cuando esos procedimientos no son el objetivo de la lección. • Las calculadoras con geometría interactiva conducen a un entendimiento de la geometría. (Laborde, 1999; Vonder Embse & Engebretsen, 1996). • Con la ayuda de la calculadora, los estudiantes ven a las matemáticas con valor, más interesantes y emocionantes. • Las calculadoras hacen posibles el acercamiento de múltiples representaciones. A la recomendación del empleo de la calculadora le han llamado ‘un acercamiento equilibrado’, y se refiere a un equilibrio entre las técnicas de papely-lápiz y la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Demana y Waits (2000, p. 7) recomiendan tres estrategias para el equilibrio que el alumno debe emplear rutinariamente: • Resuelva problemas usando papel-y-lápiz y entonces apoye los resultados usando tecnología. • Resuelva problemas usando tecnología y entonces confirme sus resultados usando las técnicas de papel-y-lápiz. • Resuelvan problemas en los que ellos escojan si es apropiado usar las técnicas de papel-ylápiz, las técnicas de la calculadora o una combinación de ambos. Un empleo habitual ayudará al estudiante a entender el uso apropiado de la tecnología, por ejemplo, si tuviéramos que ir de compras, de acuerdo a la distancia, emplearemos la tecnología (transporte) adecuada: iríamos caminando, si la tienda se encuentra, por ejemplo, a 100, 150,…400 metros; en biclicleta si está a 500,…1000

metros y en automóvil si hay que recorrer algunos kilómetros. Vemos que el equilibrio consiste precisamente en saber cuándo la tecnología facilita las tareas cognitivas, en el caso de la calculadora, y la actividad física en el transporte, y no caer en el error de uso inadecuado. ¿Emplearías la tecnología para obtener: 8x8 = ___, 452x24 = ___, y 0.45737x0.2344 = ___ respectivamente? Claro está que la primera operación es tarea de cálculo mental, la segunda de las técnicas de papel-ylápiz y la tercera propia para la tecnología. Para este último, las cantidades que intervienen son cantidades pequeñas, lo mismo puede suceder con cantidades grandes. Otros estudios, como los ochenta y ocho dirigidos por Hembree y Dessart (1992) sobre el uso de la calculadora, encontraron que sólo uno de ellos demuestra ser negativo. En Suecia, Brolin y Bjöyk (1992) mostraron que estudiantes que habían adquirido técnicas algorítmicas de la división de dos cifras, y resolvieron problemas más complicados con la calculadora, no perdieron la habilidad adquirida. Un estudio más sobre la capacidad aritmética se realizó en Gran Bretaña, donde a los alumnos no se les enseño las técnicas algorítmicas tradicionales de papel-y-lápiz y se les permitió emplear las calculadoras durante algunos años; exitosamente inventaron sus propios procesos de papel-y-lápiz (Shuard 1992). Los austríacos, por ejemplo, utilizan la técnica de caja blanca/caja negra como un principio de andamiaje (Heugl, Klinger y Lechner 1996), que consiste en utilizar la calculadora para verificar resultados cuando el objetivo es desarrollar razonablemente las técnicas algorítmicas con papel-y-lápiz (fase de caja blanca), y después de un año, cuando el objetivo es utilizar el algoritmo en un problema, se permite el uso de la calculadora (fase de caja negra). En México existen líneas de investigadores que han dirigido esfuerzos sobre la enseñanza y aprendizaje con las calculadoras. Entre otros:

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La calculadora como instrumento de mediación

Moreno (1998, 1999a, 1999b, 1999c) nos proporciona un marco sobre las herramientas computacionales como medios (instrumentos de mediación) para la construcción de conceptos matemáticos; Santos (1999) pone en evidencia que la tecnología proporciona un espacio para explorar diferentes aproximaciones de un problema (resolución de problemas); Hernández (2000) reporta resultados sobre el empleo de la tecnología (TI-92) en los cursos de “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias” en el nivel superior, bajo un marco teórico de Ingeniería Didáctica; Moreno, Rojano et al (1999) reportan una investigación realizada a alumnos de secundaria, sobre el impacto de las nuevas tecnologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, donde los resultados muestran que los alumnos encuentran un medio para expresar sus ideas matemáticas; Hitt (2000) plantea la formación de conceptos matemáticos, particularmente el concepto de funciones lineales a través de la modelación de llenado de una botella para alumnos del nivel medio superior; así también, tengo en proceso una investigación sobre el impacto de la calculadora algebraica (en un marco de mediación instrumental y sistemas semióticos de representación) en la aprehensión del concepto de función lineal, bajo el modelo pedagógico de Telesecundaria. Un ejemplo: Problema6 La señora Ramírez tiene que pagar una deuda y sólo cuenta con $40000.00 (cuarenta mil pesos), por lo que le hace falta $7000.00 (siete mil pesos). La solución es invertir en la Caja Popular que le da réditos de un 2.2% mensual sobre su capital. Sabemos que la fórmula de interés esta dada por I = C.r.t , donde: I interés (ganan100 cia), C es el capital, r el rédito en porcentaje (2.2%) y t el tiempo en meses. ¿Qué tiempo necesita invertir para tener la cantidad necesaria y pagar su deuda?

El propósito del problema no es poner en evidencia su habilidad de las técnicas aritméticas de papel-y-lápiz, es: desarrollar la noción de función lineal utilizando fórmulas relacionadas con la vida cotidiana, aun cuando la respuesta es única la solución parte de exploración para obtener los primeros acercamientos. La resolución sugiere una exploración numérica (tabla) como primera alternativa, donde la noción de función se haga evidente; posteriormente, obtener una gráfica para continuar explorando el comportamiento; la calculadora proporciona la conversión del registro gráfico al tabular con rapidez, descargando al alumno el tiempo de ejecución de los algoritmos algebraicos y aritméticos, permitiéndoles concentrarse en el comportamiento del fenómeno del problema (interés). De las exploraciones en los registros de representación algebraico, tabular y gráfico, se espera la aprehensión del concepto, lo anterior está basado en el principio del funcionamiento cognitivo en la perspectiva de Duval, es decir, en la conversión de dichos registros, donde la calculadora nos brinda esta posibilidad de manipular los registros semióticos en economía de tiempo y de memoria. Permítame detallar la exigencia cognitiva del alumno en el desarrollo del alumno: 1) Para que el alumno pueda insertar la fórmula C.r.t I= 100 en la calculadora algebraica, es necesario reconocer las variables involucradas: variable independiente, dependiente y constantes, y transformarlas en variables reconocidas para la calculadora. La figura 1 muestra cómo el alumno insertó la fórmula en la línea de escritura en la pantalla y=Editor. Este es requisito que exige el programa de estudios, la calculadora es un medio para la formación de una representación, para este caso la representación algebraica.

Este problema es utilizado en una investigación sobre el imapcto de la calculadora bajo el modelo de Telesecundaria.

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sita para tener $ 48800.00? ¿Es una función? Explica. 4) Las preguntas posteriores a la resolución motivan al alumno a seguir explorando y obtener su gráfica. La calculadora hace posible el paso (conversión) de la tabla a la gráfica como se observa en la figura 3.

Figura 1. Pantalla: y = Editor.

2) Con la expresión en la pantalla antes señalada, es posible pasar (convertir) hacia la representación tabular y con ello la posibilidad de explorar el comportamiento de la fórmula (función) numéricamente (ver figura 2). En ella, el alumno comienza a evaluar datos de variable independiente y obtener el valor de la variable dependiente, y en el proceso observar el comportamiento “la ganancia (interés) está en función del tiempo que se invierte.

Figura 3. Pantalla: GRAPH.

Figura 2. Pantalla:

TABLE.

3) La solución se hace evidente en la tabla: ocho meses. Sin embargo, el desarrollo de la actividad no termina con el resultado, se plantea una serie de preguntas después de esta etapa, con el propósito de que el alumno mencione nociones utilizadas durante la resolución del problema, nociones que son resultado de la actividad del alumno e intención didáctica de la sesión de aprendizaje. Por ejemplo, entre otras preguntas: ¿cómo es la gráfica de la expresión?, utilizándola, ¿cuánto tiempo nece-

La pantalla: GRAPH permite realizar una exploración en la gráfica de la función, donde el alumno podrá iniciar la noción de visualización gráfica. La calculadora provee rapidez en realizar los cálculos, pasando de un registro a otros de repretación, algebraico al tabular (permite realizar exploraciones) dando tiempo a concentrarse en la noción matemática en cuestión; más aún, proporciona otra transformación más, el paso hacia la gráfica y la exploración en ellas. En otra etapa se le exige al alumno la utilización de sus técnicas algebraicas y aritméticas con papel y lápiz. Este ejemplo no tiene el propósito de explicar las ventanas y los comandos de la calculadora. Sólo pretende mostrar el empleo de las representaciones: algebraica, tabular y gráfica, con la calcu-

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La calculadora como instrumento de mediación

Conclusiones El propósito de este artículo ha sido el proporcionar argumentos para que reconozcamos a la calculadora como un instrumento de mediación, que no la veamos como una herramienta ajena a la educación, pues hemos señalado que toda tecnología modifica nuestra estructura cognitiva a tal grado que transforman la naturaleza del conocimiento que se puede lograr con ellas. Resultado de la aparición de la calculadora, en sus tres etapas, se confirma la teoría sobre el empleo de la tecnología en la fase de amplificación y de reorganizador cognitivo —basta ver los países que han empleado la calculadora (en las dos diferentes fases) en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Las temáticas tratadas confirman la potencialidad de las calculadoras y son base fundamental para fortalecer lo que he llamado una ‘cultura hacia el empleo de las calculadoras’ y particularmente la calculadora algebrai-

ca. Las experiencias con ella, nos muestran que debe existir un uso adecuado para obtener buenos resultados. Es importante que seamos sensibles al desarrollo actual en que se encuentran nuestros centros de trabajo en relación a la calculadora, básicamente estamos en una fase muy pobre de amplificación de la tecnología. Mi experiencia confirma que sólo pensamos en su empleo en las operaciones aritméticas, donde la introducción en el salón de clase, obstaculizaría las técnicas algorítmicas, por lo que no se le encuentra sentido a su empleo. Espero que estas ideas desarrolladas destierren esta concepción, claro está, debemos cambiar nuestra forma de pensar con respecto a la educación matemática, es decir, darle sentido al desarrollo de los conceptos, sin dejar de lado las técnicas algorítmicas. Creo que la forma en que se ha utilizado en otros países nos dan pauta para que nosotros desarrollemos actividades aptas para nuestros alumnos. El ejemplo sólo intenta mostrar: la economía en tiempo en el cálculo, el empleo de las representaciones y la conversión entre ellas (actividad cognitiva que realiza la calculadora), con el afán de no distraer la atención del alumno en el aprendizaje de un nuevo concepto, debiendo entonces centrarse en el comportamiento del problema en su forma numérica y gráfica, e interpretar dicha información.

ladora algebraica TI-92 y con ello el ahorro de tiempo, de capacidad cognitiva para dirigir la concentración del alumno hacia la aprehensión de la noción de función lineal; fundamentos citados en los apartados anteriores. Este problema es uno de los necesarios para adquirir el concepto de función lineal en el nivel medio básico.

Bibliografía BERT K.Waits & FRANKLIN Demana. Calculators in Mathematics Teaching and Learning: Past, Present, and Future.The Ohio State University, USA, 1999. DE LA ROSA. La calculadora y los sistemas semióticos de representación: Hacia un aprendizaje de los conceptos matemáticos, Correo del Maestro (Revista para profesores de educación básica), Año 5, No. 49, junio 2000. HERNÁNDEZ RAMÍREZ A. A “Didactic Engineering research periformed within a course on ordinary diferential ecuations where students use the TI-92 calculator”, Memorias del Twent y First Annual Meeting PME-NA, México, 1999. HERNÁNDEZ RAMÍREZ A. “Las calculadoras en el Currículum Escolar de matemáticas para ingenieros”, Memorias Reunión T3. Argentina, 2000. KUTZLER B. The Algebra Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics, 1999. MORENO ARMELLA L. “Reflexiones sobre la geometría mediada por la computadora (Cabri II)”, Memorias del Noveno Seminario nacional de Calculadoras y Microcomputadoras en Educación matemática, 1998. MORENO ARMELLA L. El papel de la tecnología en la reconceptualización matemática,documento interno CINVESTAV. México, 1999a. MORENO ARMELLA L. Instrumentos computacionales, documento interno CINVESTAV, México, 1999b. MORENO, ROJANO et al.“The incorporation of new technologies to school culture: the teaching of mathematics in secundary school”, Memorias Twenty First Annual Meeting PME-NA. México, 1999. MORENO ARMELLA L. “On Representations and Situated Tools”, Memorias Twenty First Annual Meeting PME-NA, México, NCTM, 1980. NCTM. “Position stalement, calculators in the mathematics classroom” (april 1986). News Bulletin, September, 1989. SEP. Plan y programas de estudio 1993, Educación Básica secundaria. pp 36.51. SANTOS TRIGO M.“The Use Technology as a Means to Explore Mathematics Qualities in Proposed Problems”, Memorias Twenty First Annual Meeting PME-NA. México, 1999. WENZELBURGER E. Calculadora Electrónica (Didáctica), Grupo editorial Iberoamérica. México, 1993.

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¿Por qué interesa tanto el caos? Roberto Markarian

Hace unos meses se reeditó en nuestro país el libro Certidumbres, incertidumbres, caos. Reflexiones en torno a la ciencia contemporánea, compilación de ensayos cuyos autores han tenido trayectorias muy diferentes. El propósito de la obra —constituida ahora por cinco trabajos independientes— es presentar, en los términos más sencillos posibles, cuestiones vinculadas con las áreas de trabajo y reflexión de los autores, directamente relacionadas con incertidumbres intelectuales del mundo actual. Las temáticas del azar y el caos, y sus interrelaciones con el determinismo, atraviesan todos los textos. Uno de los editores del libro, Roberto Markarian, ha adaptado la primera sección de su trabajo: Incertidumbre, caos: una visión físico-matemática, y agregado algunos comentarios, a efectos de dar su opinión sobre el creciente interés por entender los fenómenos desordenados. En el principio creó Dios los cielos y la tierra. Y la tierra estaba desordenada y vacía, y las tinieblas estaban sobre la faz del abismo, y el Espíritu de Dios se movía sobre la faz de las aguas. Y dijo Dios: Sea la luz; y fue la luz. Génesis: La creación

i tarea principal de investigación es la llamada ‘dinámica caótica’. Ésta es la primera vez que escribo sobre el objeto de mi profesión para un público no especializado. Cierto es que, puesto de moda el caos, he hablado en variadas tertulias sobre estos temas, con viejos y nuevos amigos, intentando explicar cómo me gano la vida. Pero una cosa es hablar —muchas veces con reminiscencias etílicas— de una característica de nuestros tiempos y otra es escribir —con la seriedad debida— sobre cómo intentamos los matemáticos (o los físico-matemáticos) definir y caracterizar fenómenos desordenados. Y no sólo escribir, sino escribir para ser

entendido por los eventuales lectores. Doy por supuesto que ustedes sólo disponen de los recuerdos matemáticos del ciclo obligatorio de nuestra enseñanza. Creo que no es exagerado decir que entre las palabras de uso científico no vinculadas a la medicina, caos es hoy una de las que más atrae el interés de diversos tipos de gente. Sea porque se lo vincula a aquel dios primigenio de la mitología griega (citado en la Teogonía de Hesíodo), luego asumido por la elaboración judeo-cristiana como la confusión inicial de los elementos del universo; sea porque parece extraño que científicos serios estudiemos el desorden cuando nues-

Correo del Maestro. Núm. 56, enero 2001.

¿Por qué interesa tanto el caos?

tra notoria obligación es descubrir y enseñar leyes (lo ordenado), sea porque para muchos el mundo anda cada vez más caótico. Por cualquiera de esas motivaciones, y muchas más, el tema interesa y se nos pregunta qué es lo que estudiamos y decimos saber. Soy de la opinión que ese interés no es artificial, ni inventado, ni únicamente de origen religioso. Creo que existen algunas tendencias del desarrollo científico que incentivan el acercamiento a ideas de este tipo. Y que algunos fenómenos de la sociedad actual empujan en el mismo sentido. En este artículo me extenderé sobre estas cuestiones, aparentemente muy desligadas, pero convergentes. Todos los estudiosos de la historia científica y cultural coinciden en que en los últimos decenios vivimos procesos acelerados de fragmentación del conocimiento y de desmistificación del progreso como valor en sí mismo. Este último proceso se manifiesta ante todo en la puesta en duda del concepto de progreso como tal. Hoy es frecuente escuchar a los viajeros preguntarse cuánto han ganado los millones de pobladores de las riberas del Nilo o de las alturas andinas a lo largo de los milenios de avance ‘progresista’ de la humanidad. ¡Nada! podría ser una respuesta excesivamente esquemática e inmediata. Pero este esquematismo e inmediatismo no pueden hacer perder de vista constataciones y argumentos más objetivos e irrebatibles: • existe un deterioro palpable (muchas veces ocultado) del medio ambiente que se mide no en las escalas de los tiempos geológicos sino en las de una generación humana; • hay una pronunciada deshumanización, robotización y aislamiento de la vida social que está haciendo perder hábitos y culturas generados a lo largo de la actividad mancomunada y solidaria de la humanidad; • se percibe un incremento de las desigualdades sociales y la diferenciación entre el Norte y el

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Sur (olvidémonos por ahora del Este) que lleva a muchos a preguntarnos si no estaremos en camino de una nueva diferenciación de especies, como aquélla que hizo convivir a los llamados hombres de Cro-Magnon y de Neanderthal. El primer proceso, que es más duradero, se ha acentuado a lo largo de los siglos, y se justifica en la ampliación del conocimiento y en la creación de condiciones para que la investigación sea eficaz. Ninguna ciencia particular puede ofrecer un modelo unificado para explicar todo el mundo. Se puede decir, yo lo digo, que nunca nadie tuvo tal pretensión. No es menos cierto, sin embargo, que los esfuerzos globalizadores, las visiones macrocósmicas, caracterizaron todas las ciencias, a las naturales especialmente en los siglos XVII y XVIII, a las sociales en el siglo XIX, e impregnaron la formación de muchos de nosotros en los años centrales del siglo XX. Es frecuente asociar la revolución copernicana con un cambio sustancial de la concepción que el hombre tenía de sí mismo y de su lugar en el cosmos. Las observaciones y teorías desarrolladas entre 1 500 y 1 700 por Copérnico, Giordano Bruno, Tycho Brahe, Kepler, Galileo, Newton, etcétera, explicaban los movimientos de los planetas en base a leyes sencillas las cuales explicaban, además, la existencia de las mareas, la caída de los cuerpos y otros muchos fenómenos antes completamente desconectados. Estas teorías generaron una inmensa confianza en el saber objetivo y el reconocimiento del universo como materia en movimiento, regido por leyes naturales. La consecuente aceptación de que todo el mundo obedece leyes cognoscibles y que los fenómenos físicos son predecibles si se conocen suficientemente sus causas, resultaron como consecuencia inmediata de aquella revolución. Pero hoy se puede decir que aquellos afanes generalizadores han perdido fuerza, que cuesta mucho distinguir cuáles son las líneas principales del progreso y que cada vez tiene menos

Pero sí pueden colaborar a colocar en un marco un tanto más formal, de ideas simples y precisas, cuáles son las maneras de detectar el desorden de fenómenos en evolución, cómo comparar mayores o menores desórdenes, qué es lo entendible del tal desorden, cómo se puede controlar. El libro no es propiamente de divulgación. Cae más bien en la categoría de ensayo: Reflexiones en torno a la ciencia contemporánea, es su subtítulo. Aun así, considero que los científicos debemos dedicarle más tiempo al diálogo con otras ramas del saber y la cultura humanos. Es muy doloroso percibir que cuando se habla del quehacer cultural la gente piensa en el teatro, en el cine, en las artes plásticas, quizás en la historia, en la filosofía y en la educación; nunca en la química o la electrónica. Con Rodolfo Gambini (el otro editor del libro) nos hemos convencido que debemos tratar de ayudar a romper esas barreras. Por ello, otro de los objetivos del libro es discutir sobre el impacto cultural, humanista, de la ciencia. Salir del cruce de las ideas demasiado divulgadas de que sólo importa su impacto productivo o tecnológico. La propensión a no discutir temas demasiado generales, o que hacen a la justificación última de las cosas, debe ser combatida. La ciencia y la humanidad en general no evolucionan de cualquier manera. Aun los movimientos caóticos que estudiamos cumplen ciertas regularidades; son esas regularidades las que nosotros buscamos. La misma idea orienta a casi todos los hombres al mirar y tratar de entender a la naturaleza y la sociedad. La pretensión de que no hay orientaciones generales, que lo ideológico es subalterno, que hay ‘lo moderno’ y ‘lo anticuado’, es brutalmente retrógrada. Ningún científico se orienta en sus pesquisas por esos principios. Todo lo contrario: busca en aquello que no logra entender de lo pasado las prehuellas de lo a descubrir. Por todo ello es que creo que hay que discutir y escribir sobre estos temas.

adeptos la creencia de que se puede entender el todo y cada una de las partes en función de relaciones de causa-efecto, transparentes y lineales. A tal punto que desde diversos ámbitos de las ciencias naturales y exactas, y también desde áreas de la economía y otras disciplinas sociales, ha ganado fuerza la necesidad de estudiar los aspectos inestables, no completamente predecibles, desordenados, caóticos, de los fenómenos. En otro orden de cosas, diversos sectores interesados en el quehacer social y cultural se preguntan cuál es el grado de desorganización de la sociedad actual, dónde pueden llevar estos procesos llamados de desideologización. La dificultad para percibir cuáles son las regularidades de las transformaciones sociales y económicas, las trabas para aplicar las teorías sobre el desarrollo histórico que tanto impacto causaron en la primera mitad del siglo y los fracasos de los modelos socialistas de organización política, económica y social, generan la búsqueda de estructuras de pensamiento diferentes, que en algún sentido rompan con aquel modelo copernicano (tomado éste como paradigma de otras muchas revoluciones científicas). En particular, crecen los sectores de la opinión pública que detectan que la naturaleza y la sociedad presentan contenidos muy ricos y sustanciales, a pesar del desorden y el caos que se perciben en la superficie. Y que tratan de comprender y sistematizar esa riqueza ‘cubierta’ por el desorden. Por último, los dos procesos que anotamos al principio (fragmentación del conocimiento, desmistificación del progreso) han provocado el interés de científicos y educadores por conocer cuál es el objeto de estudio de los científicos dedicados a la teoría del caos. Se desea saber sobre esta disciplina como cosa ajena, como cosa hecha realmente por otro de la que poco se entiende. En nuestro libro no pudimos atender completamente estas necesidades de conocimiento, ni arrojar mucha luz sobre aquellas búsquedas.

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Certidumbres e incertidumbres

La formación matemática del docente de matemática del nivel medio Víctor Larios Osorio

Este trabajo busca realizar una aportación a la discusión sobre la necesidad de una formación matemática sólida y pertinente en el docente de matemática del nivel medio, considerando a los que institucionalmente son los profesionistas de esta área: los maestros normalistas o Licenciados en Educación Media.

odemos empezar este trabajo planteando una pregunta que incumbe didácticamente a la formación de docentes, aunque con fuertes influencias epistemológicas, y que más de una vez se han debido de haber planteado aquellas personas que planean las políticas de formación de profesores de la matemática: ¿Qué importa más en la formación del docente: el conocimiento de la materia que va a impartir o la teoría didáctica relacionada (las maneras o estrategias para enseñarla)? Es un hecho de que no es pertinente menospreciar ninguno de los dos aspectos, y mucho menos eliminarlo. Por un lado se tendría que caer en el dicho “quien sabe puede enseñar”, una frase neo-idealista que influyó hasta hace poco algunos sistemas educativos europeos (Grugnetti y Speranza, 1999:1) permitiendo que cualquier profesionista, aunque no tuviera una formación o preparación extra en educación, impartiese clases. El caso contrario produce docentes con habilidades y conocimientos para, quizá, transmitir los contenidos que le son proporcionados a través de libros o documentos oficiales (como los programas) pero sin poder ir más allá en el conocimiento, sin conocer las razones de la existencia de tal o cual saber (tanto en la historia misma de la disciplina como en el currículum escolar), con

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una capacidad limitada para contextualizar el conocimiento, con deficiencias para vincular lo que se imparte con otras disciplinas u otros niveles educativos y sin tener la posibilidad de ‘jugar’ con los saberes y hacerles adaptaciones de acuerdo a sus necesidades en el aula ni para realizar propuestas didácticas. El nivel medio del sistema educativo mexicano presenta un ‘salto’ o ruptura dentro de una continuidad. Esta ruptura ocurre cuando al adolescente se le pide (o se le exige) que se adapte a un cambio de institución (con todo y examen de admisión) tras haber cursado tres años en este nivel. La discontinuidad no sólo es administrativa, también es de carácter pedagógico, pues cambia radicalmente el tipo de docentes: mientras que en el nivel medio básico se tiene una mayoría de docentes egresados de las escuelas normales, en el nivel medio superior se presenta una población docente mayoritariamente de extracción universitaria o tecnológica, con poca o nula formación pedagógica y mucha formación técnica; es decir, docentes cuya formación profesional tiene una intencionalidad muy diferente, en la gran mayoría de los casos, a la intencionalidad de la formación profesional de los docentes que estudiaron una carrera pensada precisamente en la docencia.

Aunque si bien es cierto que a partir de la década de los noventa los egresados de las escuelas normales están, teóricamente, preparados para impartir clases en el nivel medio (tanto básico como superior) pues se titulan como Licenciados en Educación Media, parecería que aún prevalece la idea de que las escuelas normales alimentan únicamente a los niveles básicos (es decir, hasta secundaria). Entre lo que se espera que se logre en el nivel medio en el área de matemática se encuentra el desarrollo de habilidades y la adquisición de actitudes y conocimientos que les permitan a los alumnos ser capaces de desarrollar un pensamiento abstracto y lógico a fin de poder aplicar modelos matemáticos en la resolución de problemas, para modelar fenómenos diarios (o de la vida real) y para encontrar explicaciones y aplicaciones de hechos relacionados con otras disciplinas. Además, se busca que los estudiantes logren el desarrollo de un tipo de razonamiento lógico utilizando metodologías matemáticas como, por ejemplo, la demostración. También se pretende que el estudiante perciba lo que es y ha sido la matemática, identifique sus usos, tenga una idea sobre su papel en el desarrollo cultural de la humanidad, etc.; en suma, que identifique a esta ciencia como parte esencial del producto cultural que el hombre ha desarrollado durante milenios y que tiene el derecho (y no sólo la obligación), como parte misma de la humanidad, de conocerlo. Pensemos un poco, inicialmente, en el nivel medio básico. Comúnmente, en las clases de matemática en secundaria no abundan las demostraciones y las que aparecen se utilizan generalmente para verificar algo, es decir, presentarle al alumno argumentos que intenten convencerlo de que algo se cumple. Además, tampoco se realizan diserta1

ciones que profundicen explícitamente en la naturaleza de la matemática. Sin embargo, ni siquiera en el caso de que estas actividades no aparecieran explícitamente en los programas, el profesor de este nivel, egresado normalista, debería estar excusado de conocerlos. Hablando sobre la demostración matemática en la educación, éste parece ser un aspecto al que se le rehuye en clase con argumentos tales como “los alumnos no tienen la madurez o la capacidad lógica para entenderlas”, eliminando la enorme riqueza que tiene su inclusión en el nivel educativo medio ya que no sólo puede tener la función de validar ‘formalmente’ el conocimiento sino que puede adquirir funciones tales que sirva como medio de comunicación, como una explicación de algún hecho, como un medio para la sistematización del conocimiento de los alumnos, como un reto intelectual o como un medio de descubrimiento (ver De Villiers, 1996; Larios, 2000). Además, hay que recordar que esta parte de la matemática es medular para esta ciencia, pues es su método de validación del conocimiento; sería como eliminar las referencias al método científico en los cursos de biología, química y física. Hace algunos años, la Secretaría de Educación Pública: SEP (Alarcón y Barrón, 1995) publicó la guía de estudio del curso: La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria, que forma parte del Programa Nacional de Actualización Permanente, en la cual se pide a los docentes de secundaria en activo que lleven a cabo justificaciones y demostraciones de propiedades de números enteros que se pueden encontrar en los cursos de álgebra superior, 1 así como demostraciones (no justificaciones) geométricas.2 Se puede decir que ésta no es una postura aislada pues en el Libro para el maestro correspondiente al área de matemática para la educación secundaria, que edita

Por ejemplo, en las páginas 85, 137, 144, 145 y 146 se piden justificaciones, deducciones y demostraciones de criterios de divisibilidad, algoritmos, fórmulas y propiedades de teoría de números. Estos temas se pueden hallar en cursos de álgebra superior. Más ejemplos: en las páginas 96 y 97 se pide estudiar varios capítulos de libros de texto sobre geometría (en uno de estos textos

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la misma SEP (Alarcón, 1996: 12), se plasma que las actividades en las clases deben permitir, entre otras cosas, la elaboración de conjeturas, su comunicación y su validación, el reconocimiento de situaciones análogas e, incluso, llegar al desarrollo gradual del razonamiento deductivo. De lo anterior se observa que existe el interés, a nivel institucional, de que los docentes alcancen un cierto nivel en el conocimiento matemático para así llevarlo a las aulas. Sin embargo, parece ser que esa tendencia no siempre impacta directamente a la enseñanza normal. Un camino para que el docente descubra formas para llevar a sus alumnos hacia lo que es la matemática, cuáles son sus usos, sus aplicaciones, sus relaciones con otras disciplinas y ciencias es, precisamente, a través del conocimiento más profundo de ella. En el nivel medio superior, como ya hemos dicho, se observa que la población docente está compuesta en su mayor parte por profesionistas no normalistas, aunque podría ser impactado por los egresados de las escuelas normales. Sin embargo, por diversas razones (algunas históricas y otras de ‘fama’) en muchos casos se ha cerrado la posibilidad a los normalistas para acceder a cátedras en este nivel. Perdura la idea —y no sólo en las cabezas de los directivos y administradores de las instituciones educativas de este nivel— de que parece ser más benéfico para los alumnos tener un profesor conocedor de técnicas y fórmulas para resolver problemas específicos de matemáticas que uno con cierta formación pedagógica en el área. No podemos condenar este hecho, pues históricamente el nivel medio superior se ha conce-

bido como un nivel técnico o propedéutico para los estudios superiores, por lo que está fuertemente vinculado con la formación de los profesionistas en general. En este tenor, si se sigue concibiendo, aun al interior de las escuelas normales, que los egresados normalistas sólo alimentarán a las secundarias —eliminándoles o ‘aligerándoles’ así los cursos más o menos avanzados de matemática en su paso por las normales— entonces resulta demasiado real el hecho de que su formación matemática está por debajo de la formación (incluso técnica) que tienen otros profesionistas como ingenieros, químicos, contadores, etc., y que, además, tal desventaja ni siquiera queda subsanada o compensada por el posible conocimiento teórico pedagógico que sí tiene un egresado normalista. Sin embargo, y muy similarmente al nivel medio básico, el National Coucil of Teachers of Mathematics: NCTM (2000:287-288), de los Estados Unidos, en sus Principles and standards of school mathematics establece que un alumno de este nivel necesita desarrollar habilidades para “visualizar, describir y analizar situaciones en términos matemáticos”; para “justificar afirmaciones, probar conjeturas y usar símbolos en el razonamiento”; para darle flexibilidad a su conocimiento y así aplicarlo “a las necesidades cambiantes del lugar de trabajo” a través de la realización de conexiones con otras disciplinas y la resolución de problemas en una amplia gama de contextos; para poder ampliar y profundizar sus conocimientos de matemática cuando así le interesara. Aunque estas recomendaciones están hechas para otros países, en el nuestro se pueden tener expectativas similares que requieren que el profesor no sólo exponga técnicas y algoritmos, sino que promueva un

uno de los capítulos señalados se titula “Un examen más preciso de la demostración”) y se sugiere que los profesores formen grupos de estudio a fin de repartirse los capítulos y así “exponer las demostraciones de los resultados más importantes” entre otras cosas. Además, en las páginas 108, 152, 153 y 154 se piden demostraciones de cadenas de teoremas (quince en total) y deduciones de fórmulas (recuérdese que toda fórmula puede ser tomada como un teorema).

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conocimiento más amplio y profundo, por lo que él tiene que empezar haciéndolo. Ahora, he de hacer el siguiente comentario: no podemos concebir como lo mismo el conocimiento que tiene un individuo sobre técnicas matemáticas y el conocimiento que tiene sobre la matemática. Mientras que el primero se refiere a una parte muy restringida en la cual se utilizan los resultados matemáticos como una herramienta (en forma de fórmulas o algoritmos) para resolver otros problemas de otras ciencias y disciplinas, en el segundo caso se tiene un conocimiento mucho más amplio y rico que no sólo incluye al primero sino que le proporciona al individuo la idea más clara de qué es la matemática, cuál ha sido su papel en el desarrollo cultural de la humanidad, cómo se desarrolla (científicamente hablando) y cómo se obtienen sus resultados (cuáles son sus métodos de investigación y de validación). Además, es indudable que el solo conocimiento de las técnicas matemáticas no es garantía de que el individuo posea los elementos necesarios como para discernir correctamente, siquiera, en qué situaciones (dentro de la misma matemática o en otras ciencias) una cierta técnica en particular le puede servir. En otras palabras, no sólo es necesario que el profesor de este nivel, normalista o no, conozca las técnicas matemáticas que pueden servir para resolver problemas, sino que también conozca sus fundamentos y todo lo que le rodea, que va desde los aspectos históricos y filosóficos de la matemática hasta los conocimientos matemáticos que han sido sistematizados por los científicos que le corresponden: los matemáticos. Se necesita, pues, que el profesor normalista sepa el contenido de la matemática y no sólo se quede con la idea de que son algoritmos y fórmulas que alguien estableció y que ya no hay nada que establecer. Esto no es tarea fácil, pues no sólo se trata de involucrar a estos docentes en cursos que les proporcionen más conocimientos matemáticos sino también involucrarlos en el mismo quehacer

matemático, es decir, en aquello que históricamente ha permitido la evolución de la matemática: la resolución de problemas. Pero hago la aclaración de que con el término ‘resolución de problemas’ no me refiero sólo a los típicos problemas escolares (ésos que hablan de situaciones hipotéticas que vienen en los libros), sino a una gama mucho más amplia que incluye problemas de la matemática misma —que se pueden ver en los libros que narran su historia— y aquellos derivados de la demostración de los hechos matemáticos (teoremas). Un posible riesgo de no cuidar este nivel de conocimiento matemático es el de continuar en el nivel medio con docentes que tengan la capacidad de enseñar técnicas de modo repetitivo pero con la característica ocasional de tener habilidad para elaborar un discurso pedagógico o didáctico que puede estar completamente separado de su labor docente. Desde hace años, México tiene que competir con economías de otros países, de los llamados ‘del primer mundo’, cuyo desarrollo tecnológico —que no es importado sino que incluso es exportado— tiene como una de sus bases la formación, a través de las instituciones educativas, de cuadros de primer nivel. Dicha formación viene desde los niveles básicos y se encuentra, en el área de matemática, guiada por investigadores en Didáctica de la Matemática y por matemáticos, lo que les ha permitido, en mayor o menor medida, imprimirles una mística y una filosofía tanto de la disciplina en sí como de la técnica a aplicarse. Al momento de plasmar las directrices para los curricula de las escuelas normales habría que pensar no sólo en los aspectos didácticos sino también en los aspectos puramente matemáticos; pero no sólo el plasmarlo es suficiente, sino que en el momento en que se lleva a cabo la misma formación de los docentes este aspecto matemático también tendrá que incidir con suficiente fuerza.

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docente, sino que ambos aspectos, el matemático y el didáctico (con todo lo que implican), deben estar debidamente balanceados en la formación del docente sin menospreciar a ninguno. Los docentes del nivel medio (secundaria y bachillerato) no nos podemos quedar con mucho bagaje pedagógico y al mismo tiempo con la idea de que la matemática es una ciencia acabada, estática y debidamente organizada —que surge en parte de una formación profesional deficiente en esta área— porque se corre el riesgo de darle esta impresión a los alumnos que, por su edad, buscan cosas nuevas y adecuadas a su entorno. El conocimiento de teorías didácticas y de técnicas de enseñanza de la matemática se ve disminuido en la práctica si se imparten clases en donde se apliquen esos conocimientos a través de actividades debidamente planeadas, pero que llevan, por las mismas creencias del profesor, el mensaje subyacente de que son conocimientos viejos, establecidos e inmutables. Es cierto que comúnmente la matemática que se aborda en este nivel educativo fue producida antes del siglo XIX, pero una postura en la escuela que dé la idea de que la matemática, como ciencia, ya está terminada es de finales del siglo XVIII. El compromiso no es sólo de los profesores del nivel medio en activo, sino también es una responsabilidad de las instituciones que forman a los futuros docentes de este nivel y de los profesores que imparten clases en esas instituciones. El docente es un factor clave del desarrollo social y tiene la obligación moral de alcanzar el nivel de conocimiento necesario en una sociedad que, día a día, cambia y se vuelve más compleja.

En ocasiones se hace necesario insistir en la necesidad de la formación científica en esta área, pensando básicamente en que a futuro se deberá contar con generaciones capaces de competir, o al menos colaborar dignamente, en el desarrollo científico y tecnológico que tanto se necesita. Igual que en otros lugares, podríamos nuevamente hacer hincapié en el hecho de que no importa cuán bonito, coherente y bien estructurado estén los curricula (tanto del nivel medio como de aquellos que están destinados a la formación del docente) si aquellos actores que los llevan directamente a la práctica no los entienden, no comparten sus enfoques o, simplemente, no pueden llevarlos a la práctica. Es el docente el factor fundamental para llevar a cabo un cambio y en este caso estamos hablando de los docentes de las escuelas normales. Aunque, y hay que recalcarlo con mucho énfasis, la responsabilidad no sólo queda en ellos, pues los mismos profesores del nivel medio (que están en formación o en activo) también la comparten de manera enorme como parte de sus responsabilidades como docentes de adolescentes y jóvenes. Hablando específicamente de la matemática, si se quiere que el docente transmita la idea de lo que es esta ciencia, entonces debe conocerla de antemano, no es suficiente saber el contenido básico (o ‘un poco más’ de lo que enseña), sino que es necesario un conocimiento amplio y profundo de esta ciencia en sí, además de su filosofía, su pasado, su presente y su porvenir. Esto no quiere decir que pueda desconocer ( o no conocer con la profundidad necesaria) los aspectos didácticos que le dan a su perfil de profesionista el cariz de Bibliografía

ALARCÓN BORTOLUSSI, Jesús (coord). Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Secretaría de Educación Pública, México, 1996. ALARCÓN BORTOLUSSI, Jesús; Barrón Rodríguez, Higinio. La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Guía de estudio. SEP, México, 1995. DE VILLIERS, Michel. “The future of secondary school geometry”. Conferencia plenaria presentada en la Conferencia Geometry Imperfect. Universidad

de Sudáfrica. Pretoria, Sudáfrica. (Disponible en: http://www-cabri.imag.fr/Preuve/Resumes/de Villers/deVillers98/deVillers98.html),1996. GRUGNETTI, Lucia; SPERANZA, Francesco. “General reflections on the problem history and didactic of mathematics”, en Philosophy of mathematics education journal (revista electrónica), 11. (Disponible en: http://www.ex.ac.uk/~Pernest/pome11/art5.htm), 1999. LARIOS OSORIO,Victor. Las conjeturas en los procesos de validación matemática. Un estudio sobre su papel en los procesos relacionados con la educación matemática. Universidad Autónoma de Querétaro, México.Tesis de Maestría. (Disponible en: http://www.geocities.com/discendi2/tm/tm.html), 2000. National Council of Teachers of Mathematics. Principles and standards for school mathematics. NCTM, E.U. (Disponible en: http://standards.nctm.org/), 2000.

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Artistas y artesanos

Leonardo da Vinci: artista, inventor, matemático... Rosa Elena González

n este número de Correo del Maestro hemos puesto nuestra atención en la ciencia matemática. Queremos hacer notar, en Artistas y artesanos, que esta disciplina no es patrimonio exclusivo de, ni ha sido construida sólo por, algunos hombres que se dedican a ella. Para ello recurrimos al ejemplo que nos da uno de los hombres más creativos y fructíferos de la cultura occidental: Leonardo da Vinci. De él se puede decir que fue pintor, dibujante, escultor, inventor, físico, constructor. Nos legó su arte, su ciencia, su técnica, su pensamiento y de su gigantesca y maravillosa obra hoy se conservan dibujos, pinturas, esculturas y manuscritos. Si bien la matemática no fue la actividad central de Leonardo, no se puede negar el respeto que tenía por esta disciplina, así como la constante aplicación que de ella hizo en sus incursiones por la ingeniería, la arquitectura, la construcción y el dibujo. Él mismo dijo: “La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas, porque en ella se encuentra el fruto de la matemática” y “ninguna certeza es posible si no se puede aplicar una de las ciencias matemáticas o que estén unidas a las matemáticas”. Incursionó en la geometría, sobre todo para resolver los problemas de perspectiva, realizó lo que él mismo llamó sus ‘juegos geométricos’ ejercitándose en problemas de geometría plana y la construcción de polígonos regulares, inscribiendo unas figuras dentro de otras para observar sus relaciones, etc. Su insaciable curiosidad lo hizo experimentar con el estudio de las figuras de las más diversas formas. No sólo experimentó con figuras planas, también se dedicó al estudio y transformación de cuerpos y sus investigaciones y resultados sobre los centros de gravedad de diversas figuras fueron notables. En general, él necesitaba de estos estudios teóricos para resolver problemas prácticos, no le interesaba la matemática teórica y especulativa por sí misma, para él era una herramienta necesaria y fundamental para sus propuestas en otros ámbitos de la cultura. Es interesante ver que muchos de los estudios de Leonardo quedaron durante mucho tiempo en el olvido aunque él fue, indudablemente, el iniciador de las investigaciones acerca de la ciencia de las construcciones. Como ya dijimos, investigó sobre la ubicación de una figura o un cuerpo en el espacio, sobre el equilibrio, y también sobre la resistencia de los materiales. Hizo observaciones que para su época fueron realmente sorprendentes y que están plasmadas en sus bellísimos manuscritos. Con la finalidad de que podamos apreciar su forma de trabajar en la

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resolución de este tipo de problemas, que parecen difíciles de encarar con los conocimientos que se tenían en esa época, tomaremos un ejemplo. Leonardo dedicó mucho tiempo al estudio sobre la resistencia al doblez, sobre la capacidad de sostén y en el manuscrito Ms.A, en el folio 33 recto, que se encuentra en la biblioteca del Instituto de Francia, señala: En el cuerpo que es de un grosor regular, la parte más lejana de los extremos se doblará con más facilidad que cualquier otra... Si queréis doblar dos cosas de igual (grosor) peso, la que sea más larga será doblada con menos fuerza que la corta.

En el mismo, más adelante, escribió: Me acuerdo de una experiencia. Haz una prueba: si una madera delgada suspendida de través sobre dos apoyos por sus extremos, soporta el peso de diez libras, ¿qué soportará una viga de la misma proporción? Y observa si la regla de las tres cosas te sirve, porque la experiencia es una buena regla.

En estos textos podemos notar cómo Leonardo intentaba resolver, por la experimentación, aquello que las bases matemáticas y físicas de la época no le permitían conocer. Ese desconocimiento obligaba a Leonardo a hacer detalladísimos dibujos y descripciones de los datos obtenidos en sus proyectos de construcción, ya fueran máquinas o estructuras de edificios, pues sólo así se aseguraba de buenos resultados. Sólo podía comparar diferentes materiales, diferentes medidas, etc. No tenía elementos que le permitieran exponer su problema con fórmulas abstractas que establecieran las relaciones necesarias. Sin embargo, él logró superar, en parte, esa limitación. Ilustremos esto exponiendo otro pasaje que se encuentra en el manuscrito MsA, folio 48 verso: DEL SUSTENTÁCULO.

El pilar multiplicado por el grosor deberá ser aumentado tanto más que su debida potencia, cuanto le falta de su razonable altura. Ejemplo. Si un pilar debe tener nueve grosores de altura, es decir, si mide una braza, mientras que la regla exige que tenga nueve brazas, y si el primer pilar sostiene un peso de 10 000 libras, como este pilar no es de la altura deseada, si tiene un grosor determinado y si le faltan ocho partes de su longitud, él sostendrá un peso ocho veces más grande; es decir, que cada parte formando parte del conjunto deberá sostener un peso ocho veces más pesado que si estuviera aislada. Así pues, si sostenía 1000 ahora aguantará 90 000. Otro ejemplo: si coges un junco que sea algo de 100 grosores y lo pones en línea perpendicular y le colocas una onza de peso, éste lo aguantará. Ata después los juncos; estos juncos constituirán un cuerpo de cinco grosores; tantas veces como el 5 entra en el cien, tantas veces aguantarán un peso de cien grosores, y como la cifra 5 entra 20 veces en el 100, así cada junco sostendrá, atado como está, un peso veinte veces más fuerte que antes, es decir, que si antes sostenía una onza, después sostendrá 20.

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Si una pértiga 100 veces más larga que ancha sostiene un peso de 20 libras, ¿qué peso soportará uno de los 5 grosores de la misma pértiga? Tanto cuantas veces el 5 cabe en el 100, de forma que una pértiga de 100 grosores soportará un peso menor que la pértiga de 5 grosores. Si el junco e f sostiene una onza y a una altura 100 veces mayor que el diámetro de su grosor, a b estando compuestos de 100 diámetros y de 100 juncos, sostendrá 100 onzas, porque por 100 veces seguidas el junco tendrá la proporción del junco e f. Si coges 100 juncos iguales a e f y los unes con una fuerte ligadura, de forma que e f sea de 100 espesores y c d de cinco grosores, como la cifra 5 cabe 20 veces en el número 100, cada uno de estos juncos atados sostiene 20 veces más que desatados; entonces si e f sostiene una onza, c d aguantará 200.

Para seguir con este razonamiento, transcribiremos un pasaje del manuscrito Ms.A, folio 3 verso LOS SUSTENTÁCULOS.

Muchos pequeños sustentáculos juntos, aguantarán mayor suma de peso que si estuvieran separados. Por ejemplo: los juncos de un mismo espesor y longitud, estando separados, cada uno estando vertical, se doblará si se le hace soportar el peso de un dinar de un peso ordinario; y si los atas juntos muy estrechamente con cordeles que se toquen, podrán sostener, por derecho, tanto peso que a cada junco tocará aguantar un peso 12 veces más pesado que antes. SUSTENTÁCULOS. Si [2] columnas estando separadas entre sí aguantan por sí mismas 100 libras, si las juntamos aguantarán un total de 300 libras. De la presión de los pesos. Es imposible que un sustentáculo de igual grosor y fuerza, cargado, en posición vertical, de peso equidistante en su centro, de forma que nunca se pueda romper o torcer, podrá clavarse (en la tierra); pero cuando el peso sobrante pesa más en un lado que en el otro del sustentáculo, éste se doblará hacia el lado contrario y se romperá por la mitad opuesta, es decir por la parte que se halle más lejana de los extremos.

En los párrafos de los manuscritos expuestos se puede notar cómo, a pesar de la falta de elementos físicos y matemáticos que le impedía utilizar los cálculos que se usarían actualmente para resolver este problema, él logra avanzar en su solución, vislumbrando muchas cosas que hoy son dominio de la física —como el principio de inercia, la ley de la elasticidad y muchas otras— y de la matemática. La importancia de esto es observar cómo, no sólo Leonardo da Vinci sino la humanidad en conjunto, va acercándose, generalmente en base a problemas prácticos, a un mayor conocimiento, y a una interpretación abstracta de la realidad. Bibliografía Leonardo da Vinci. Barcelona, Editorial Teide, S.A., 1967.

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Sentidos y significados

El entorno espacial en el desarrollo de ideas matemáticas* (Localizar) Alan J. Bishop [...] Como cabía esperar, todas las sociedades han desarrollado métodos más o menos sofisticados para codificar y simbolizar su entorno espacial. En particular, sociedades diferentes en lugares geográficos muy distintos dan importancia a aspectos diferentes. Por ejemplo, en algunos lenguajes de las tierras altas de Papúa-Nueva Guinea, caracterizadas por una orografía muy escarpada, existen palabras para denotar distintos grados de pendiente o inclinación, pero no existe una manera fácil de describir la idea de ‘horizontal’. Naturalmente, los pueblos de las islas no tienen esta dificultad. Es sorprendente que, en los estudios culturales de las ideas matemáticas, localizar haya recibido relativamente menos atención que contar y que, en consecuencia, esté mucho menos documentada. No obstante, podemos encontrar datos importantes e interesantes, no sólo para corroborar la afirmación de ‘universalidad’ sino también para indicar la importancia de la localización para el desarrollo matemático. Naturalmente, aunque esta vez las ideas se relacionan principalmente con nociones geométricas, en el apartado dedicado a ‘diseñar’ veremos que esta actividad sólo nos proporciona algunas de las nociones geométricas que existen en todas las culturas. Nos proporciona los tipos de ideas que Freudenthal (1984) caracteriza como ‘topográficas’. Un estudio que examina con detalle la manera de conceptualizar el espacio de una cultura

determinada y que nos ofrece una base para este apartado, es el trabajo de Pinxten con los pueblos navajo de Norteamérica (Pinxten, van Dooren y Harvey, 1983). Este estudio exhaustivo intenta exponer la filosofía y la fenomenología del espacio de los navajo y nos ofrece algunas nociones fascinantes. Pinxten emplea este estudio para ilustrar un ‘instrumento analítico’ que él mismo ha desarrollado para estudiar las nociones espaciales en contextos culturales diferentes y que se conoce por las siglas UFOR (Universal Frame of Reference, marco referencial universal). El UFOR es un diccionario de nociones espaciales y proporciona una lista de comprobación a partir de la cual se pueden explicar los conceptos espaciales de cualquier cultura haciendo referencia a tres ‘niveles’ de espacio: • Espacio físico o espacio de objetos. • Espacio sociogeográfico. • Espacio cosmológico. El segundo de estos niveles parece ser el más pertinente para nuestro análisis actual y en la lista que sigue podemos ver lo importante que es el mundo espacial desde la perspectiva de las ideas matemáticas, no sólo por las nociones geométricas evidentes, sino también por las nociones de dirección, orden, finitud, etc., que están estrechamente relacionadas con nuestras imágenes de los números y de contar.

* Tomado del libro de Alan J. Bishop, Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural, Barcelona, Ediciones Paidós, 1999. Págs. 48 a 55. Reproducido con autorización de los editores.

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Cercano, separado, contiguo Parte/todo Lindar con, delimitar Superponer Interno/externo; central/periférico Abierto/cerrado Converger/diverger Con volumen plano Anterior/posterior (enfrente de, detrás de) Profundo, lejano (dimensión de profundidad) Distante (métrica) Sobre/bajo; encima/debajo Vertical, perpendicular (dimensión) Alto/profundo (métrico) Lateral; al lado de Izquierdo/derecho Horizontal (dimensión) Amplio, ancho (métrica) Puntos cardinales, direcciones cardinales

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Sistemas de coordenadas Extensión multidimensional (métrica) Nociones geométricas Geométricamente lineal, recto Geométricamente convergente, paralelo, formar ángulo Geoso: superficie, volumen en el espacio sociogeográfico Mapa, escala Reposo; movimiento Estar en un camino; orientarse Navegar Tener una dirección de movimiento Características globales del espacio sociogeográfico Absoluto/relativo Finito/infinito Limitado/ilimitado Continuo/discontinuo Homogéneo/heterogéneo

(Las categorías de los otros dos niveles espaciales del UFOR se parecen a éstas).

Pinxten argumenta la universalidad de los referentes espaciales como sigue: “Todas las culturas tienen sus maneras específicas de representar el mundo. Sin embargo, todas ellas se refieren al mismo Sol, la misma Luna o la misma Tierra ‘que están ahí’ y todas lo hacen mediante los mismos ‘instrumentos’ básicos para obtener conocimiento y comprensión, es decir, manipulando la materia con las manos, mirando el mundo a través de unos ojos idénticos, moviéndose alrededor de un cuerpo uniformemente estructurado de una manera idéntica (por ejemplo, caminando hacia adelante y hacia atrás, girando en un plano horizontal), etc.” (pag. 45). Una vez establecidas estas similitudes, Pinxten identifica para nosotros algunas diferencias importantes entre lo que él llama espacio ‘occidental’ y espacio navajo.

3. En esencia, el espacio navajo es más dinámico que estático. Mientras que nosotros distinguimos objetos y consideramos las relaciones que mantienen entre sí, para los navajos ‘todo se mueve’, aunque puede que la escala temporal implicada no siempre nos permita ver el movimiento.

1. Aunque en el espacio navajo existen nociones básicas (él las denomina movimiento, con volumen/plano, dimensiones) la manera en

Claramente, Pinxten y sus colegas han sacado a la luz un sistema espacial complejo que tiene muchos detalles de interés para nosotros. En

que se organizan las ideas espaciales no parece ser jerárquica, como en la perspectiva occidental. 2. Aunque la distinción parte/todo desempeña un papel fundamental en el pensamiento occidental, no ocurre lo mismo para los navajo, que “tienden a hablar del mundo aludiendo a procesos, sucesos y flujos, más que a partes y todos o a realidades estáticas claramente discernibles” (pág. 161).

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El entorno espacial...

particular, pone de manifiesto la disyuntiva objeto-proceso en la clasificación del espacio que en la cultura ‘occidental’ se remonta, por lo menos, hasta la Grecia antigua. El punto de vista que Demócrito tenía del espacio y que ha dominado desde entonces el pensamiento ‘occidental’ es el punto de vista ‘del objeto’, mientras que el punto de vista de Heráclito es mucho más parecido al de los navajo. Heráclito indicó que nunca podemos adentrarnos dos veces en el mismo río, una opinión que intuitivamente creemos que sería muy aceptable para los navajo. ¿Qué más podemos aprender acerca de ‘localizar’ a partir de estudios llevados a cabo en otros continentes? La capacidad de los aborígenes australianos para orientarse en lo que para cualquier otra persona sería un paisaje monótono, ha formado parte del folclor australiano durante muchos años. Cuando un antropólogo preguntó a unos aborígenes qué hacían cuando se perdían, la respuesta fue: “Nos vamos a casa”. ¡No tenían el concepto de perderse! El fascinante estudio de

Figura 1.

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Lewis (1976) de su capacidad para encontrar la ruta y orientarse en el espacio, nos muestra dos aspectos que tienen importancia para nosotros. En primer lugar, no hay ninguna duda de que las personas estudiadas poseían una especie de brújula interiorizada: como dijo un informador indígena, “los aborígenes conocían el Norte, el Sur, el Este y el Oeste antes de la brújula del hombre blanco” (pág. 265). Podían hablar de este sistema y de su empleo —su relación con el Sol y con la temperatura del viento— y sus lenguajes reflejan esta capacidad. Las relaciones íntimas entre las estaciones, las direcciones, la temperatura y el Sol están muy bien ilustradas por el calendario de la figura 1 (Harris, 1984, pág. 11). Sin embargo, para las ideas específicas de localización, era más importante su intrincado conocimiento del paisaje en relación con sus mitos y con su historia dentro de ese paisaje. Según Lewis: “Los pintupi cantaban los Sueños de cada afloramiento de rocas, lecho de río o llanura, hora tras hora, durante todo el día mientras conducíamos a través de su ‘país’... Constantemente hacían referencia, en cada contexto concebible, a la red de senderos de Sueño que entrecruzaban la tierra, atestiguando, cabe imaginar, su valor de supervivencia para los nómadas de esta tradición” (pág. 276). Por lo tanto, no sólo conocían al detalle el paisaje topográfico: éste también estaba totalmente saturado de historias y de conocimientos sobre hechos históricos y míticos. Anteriormente, Lewis (1972) había realizado un estudio muy detallado de los métodos de localización empleados por los navegantes polinesios en sus largos viajes por mar y, además de encontrar el uso esperado de las estrellas, también descubrió su íntimo conocimiento topográfico del mar: sus oleajes, las pautas de las olas y sus intersecciones. Su capacidad para relacionar este conocimiento con la posición de las islas era fundamental para su supervivencia y la explicación

demasiada rapidez. Estos estudios nos recuerdan los profundos valores humanos de la existencia y el significado de la vida que nutren la construcción del conocimiento. Aquellos de nosotros que vivimos en unas sociedades muy orientadas hacia la tecnología, podemos olvidar muy fácilmente las necesidades humanas básicas de satisfacer la coexistencia entre mente, cuerpo, alma y entorno. Tenemos mucho que aprender de las perspectivas diferentes que tienen otras culturas. No obstante, a pesar de las diferencias que hemos visto en todos los niveles de conocimiento, no puede haber ninguna duda acerca de la universalidad de la actividad de localizar. Podemos empezar a comprender cómo influyen los aspectos reales del entorno espacial en el lenguaje y la representación de localizar, al igual que influye la necesidad societal de coherencia y precisión. Los mapas son modelos a escala del entorno y, una vez más, los datos antropológicos y culturales disponibles nos muestran que la representación simbólica del entorno espacial está especializada culturalmente. Hay distintas maneras de describir y representar localizaciones, pero mediante las similitudes entre el lenguaje y los mapas podemos ver las raíces de muchas de nuestras ideas geométricas. No es por accidente que, sobre el papel, el norte esté arriba, que ‘horizontal’ signifique a lo largo de la página y ‘vertical’ signifique de arriba a abajo. No es por accidente que utilicemos sistemas axiales de dos y tres dimensiones y tampoco es por accidente que gran parte de las imágenes y el lenguaje informal de la geometría se basen en recorridos y localizaciones en espacios a gran escala como, por ejemplo, ‘girar 90 grados’, ‘una línea recta entre dos puntos’, ‘la altura de un triángulo’, ‘rotación sobre un punto’, ‘reflexión en un plano’. Muchas ideas geométricas familiares se han desarrollado, y continúan desarrollándose, a partir de la actividad universal de localizar.

de Lewis demuestra realmente, mejor que cualquier otro ejemplo, el hecho de que la necesidad relacionada con el entorno estimula el conocimiento intelectual. Curiosamente, los polinesios también habían desarrollado mapas de piedra y madera para simbolizar y representar su conocimiento. Estos mapas no son, por ejemplo, meras representaciones a escala de las islas, sino que también incluyen la representación de los oleajes y las pautas de las olas mediante unas codificaciones especiales. Es evidente que la navegación ha ejercido una poderosa influencia en el desarrollo de sistemas de registro de información espacial en todos los continentes, ya que requiere la capacidad de documentar información sobre una situación que puede ser invisible para el observador en ese momento. Esto puede suceder, por ejemplo, cuando se desean recorrer grandes distancias por tierra, o cuando se pierde de vista la tierra al viajar por mar, o cuando se instruye a navegantes jóvenes. En consecuencia, no es ninguna sorpresa descubrir la importancia que tenían el Sol, el viento y las estrellas para los primeros navegantes de todo el mundo e, incluso hoy, para quienes no emplean ayudas tecnológicas. El estudio de los cielos no se debía únicamente a su portento y belleza: este trabajo también tenía una gran importancia práctica. Naturalmente, el Sol ha tenido una importancia especial para la localización, tanto de una manera formal como informal. Recuerdo haberme sorprendido mucho y haberme sentido muy desorientado cuando descubrí que en el hemisferio sur las sombras ‘iban en dirección contraria’. Sin embargo, desde una perspectiva más formal, las posiciones del orto y el ocaso del Sol siempre han tenido un significado místico para el ser humano. [...] Al tratar de comprender las matemáticas como un fenómeno cultural, debemos tener la precaución de no sacar de contexto las ideas con

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Problemas sin número

Unos cerillos en reversa Concepción Ruiz Ruiz-Funes Juan Manuel Ruisánchez ¿Qué son las matemáticas? ¿Para qué sirven? ¿Qué están haciendo los matemáticos hoy en día? ¿No estaba ya todo hecho hace mucho tiempo? En todo caso, ¿cuántos números nuevos se pueden inventar? ¿Son las matemáticas actuales simplemente algo que consiste en efectuar enormes cálculos, siendo el matemático algo así como un empleado del zoológico empeñado en alimentar y abrevar a sus preciosos ordenadores? Si no es así, ¿qué son las matemáticas sino los excesos incomprensibles de unos cerebros superdotados que tienen la cabeza en las nubes y los pies colgando de los altos balcones de sus torres de marfil? Las matemáticas son todo esto y nada de ello. En su mayor parte son completamente diferentes. No son lo que la gente supone. Incluso cuando parece como si fueran lo que se supone que son, basta con volver la espalda un momento para que ya hayan cambiado. Ciertamente no se limitan a ser un cuerpo de conocimiento inamovible, su desarrollo no se reduce a inventar números nuevos y sus zarcillos ocultos invaden todos los aspectos de la vida moderna…* Ian Stewart**

La siguiente actividad está pensada para estudiantes de sexto de primaria en adelante. Sugerimos que se realice en equipos y que se discutan, después, las distintas estrategias que se dieron en el aula para llegar a la solución. Los estudiantes pueden utilizar cerillos, piedritas,

frijoles o lo que quieran para resolverlo. El objetivo de este juego es mostrar a los estudiantes que en muchas ocasiones, para resolver un problema matemático, es conveniente empezar por el final e ir reconstruyendo paso a paso el camino.

* Stewart, Ian. De aquí al infinito. Ed. Crítica, (Grijalbo-Mondadori). Barcelona, 1998. pp. 9. ** Ian Stewart es profesor de matemáticas de la Universidad de Warwick, Inglaterra. Es un gran divulgador de las matemáticas, ha escrito varios libros sobre el tema por lo que ha recibido un premio internacional.

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Actividad: unos cerillos en reversa Sacamos de una cajita 48 cerillos y los acomodamos en tres montones diferentes. Si del primer montón pasamos al segundo tantos cerillos como hay en éste (o sea, en el segundo), luego, de los que nos quedaron en el segundo pasamos al tercero tantos como hay en éste (o sea, en el tercero) y, finalmente, de los que nos quedaron en el tercero pasamos al primero tantos como ahora hay en el primero, entonces los tres montones nos quedarán con el mismo número de cerillos cada uno. ¿Cuántos cerillos había al principio en cada montón?

Solución Como había 48 cerillos en total y al final los tres montones quedaron iguales, entonces, al final, cada montón tenía 16 cerillos. Empecemos por el final: Los tres montones son: 16, 16, 16. En el paso anterior se habían pasado al primer montón tantos cerillos como había en él, por lo tanto la distribución de cerillos era: 8, 16, 24. En el paso anterior se habían pasado al tercer montón tantos cerillos como había en él, por lo tanto la distribución de cerillos era: 8, 28, 12. En el paso anterior se habían pasado al segundo montón tantos cerillos como había en él, por lo tanto la distribución de cerillos

era: 22, 14, 12 que era la distribución original.

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Abriendo libros

Reseña crítica del libro Certidumbres, incertidumbres, caos Carlos Antonio Aguirre Rojas Immanuel Wallerstein gusta de repetir, en sus seminarios y en algunas entrevistas diversas, la idea de que quizá el hecho cultural más importante que ha acontecido en todo el siglo XX es el de la génesis y desarrollo de las que han sido llamadas las ‘ciencias de la complejidad’. Y ello porque dicho desarrollo —que se afirma con fuerza en los últimos cincuenta años vividos, pero que a la vez prolonga y lleva hasta sus últimas consecuencias a la ruptura ya anunciada por la teoría de la relatividad de Einstein y por el principio de indeterminación de Heisenberg, entre otros— ha implicado finalmente el cuestionamiento radical de los fundamentos mismos del entero sistema de los saberes que la modernidad había ido construyendo y desplegando progresivamente, desde las grandes manifestaciones del Renacimiento y hasta el siglo XIX, siglo este último en tantos sentidos culminante. Así, con el desarrollo de estas ciencias de la complejidad y con los múltiples impactos —todavía hoy en curso— de dichas ciencias sobre el sistema de los saberes humanos, los científicos se han visto obligados a revisar lo mismo los fundamentos y los límites de la física newtoniana o las interpretaciones astronómicas de Kepler, que el actual sistema de conocimiento y explicación de lo social desde el esquema ‘disciplinar’ parcelado y autonomizado que se afirmó hace sólo ciento treinta

años, pasando también por la revisión y crítica del sistema de división de saberes desde el régimen de las ‘tres culturas’, o por la reconceptualización de los conceptos más básicos y fundantes de toda Weltanschauung o ‘concepción del mundo’ posible, tales como los del tiempo, el espacio, el sentido de la evolución de los seres o el del papel del paso del género humano dentro del planeta Tierra. Y es justamente el marco creado por esta revisión radical y profunda de todo este sistema de los saberes humanos, el que nos explica el sentido que tiene la publicación del libro Certidumbres, Incertidumbres, Caos. Reflexiones en torno a la ciencia contemporánea, editado originalmente en Uruguay, en 1997, y reeditado en México en 1999,1 con el agregado de un nuevo ensayo o Postscriptum escrito por Valentina Cantón Arjona. En esta obra colectiva, de clara y explícita vocación pedagógica, de lo que se trata es de explicar en términos claros y accesibles a un vasto público, algunas de las consecuencias principales de este complejo proceso de transformación y de redefinición que hoy viven todo el conjunto de las llamadas ‘ciencias’, proceso que lejos de haber concluido se encuentra en cambio, aún hoy, en sus estrictos comienzos. Así, y en sucesivos y muy diversos esfuerzos, todos los autores de este libro van a intentar reconstruir para nosotros, las ‘incertidumbres’ e interrogaciones más características de algunas de las ciencias o disciplinas científicas contemporáneas. Entonces —y en esta línea de mostrar los es-

La primera edición se hizo en Montevideo, en 1997, por parte de las Ediciones Trilce. La segunda edición se ha hecho en la Ciudad de México, por parte de Ediciones La Vasija y la revista Correo del Maestro.

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ción acerca del problema del ‘azar’ y de sus vínculos con la necesidad y con la libertad, desde la perspectiva de la teología. Y aunque se trata sin duda de una reflexión seria sobre este punto, es cierto, como lo confiesan los propios editores uruguayos del libro, que resulta un poco ‘sorprendente’ “la presentación de un trabajo que aborda temas teológicos en un libro dedicado a la difusión de algunos problemas actuales que son de interés en las ciencias llamadas duras”. Finalmente, la edición mexicana incluye un amplio e interesante Postscriptum, escrito por Valentina Cantón Arjona, que desde las perspectivas cruzadas del psicoanálisis, la pedagogía y la historia, intenta reconstruir críticamente, tanto el proceso de constitución de la noción de ‘sujeto’ elaborada por la modernidad, como también la edificación de los ‘universales impuestos’ y estatuidos como ley. Una doble constitución del sujeto como ‘yo consciente, imaginario y moralista’ y de los universales impuestos como saberes homogeneizantes y avasalladores, que además de impedir la irrupción y el reconocimiento intelectual adecuado de la diversidad esencial de lo real, cancelan también el papel de ese sujeto real en tanto posible agente de transformación de su entorno y de su propia sociedad. La lectura, entonces, de esta obra colectiva, y de los múltiples esfuerzos de explicación pedagógica que ella incluye, puede servir para tratar de extender la conciencia, una vez más, del hecho cada vez más evidente de que, lejos de encontrarse en un tramo avanzado o maduro de su recorrido, los saberes humanos actuales y el sistema de las ciencias que a ellos corresponde, se encuentran más bien en los estrictos comienzos de un largo camino aún por venir.

pacios aún inciertos de nuestros conocimientos—, dichos autores van a acometer, por ejemplo, lo mismo el debate sobre el ‘realismo matemático’ o las pretensiones universalizantes de la nueva física, que las lagunas aún enormes que la biología presenta en cuanto a la explicación del origen de la vida en la Tierra o la incertidumbre acerca del futuro de la especie humana en nuestro planeta. Tomando entonces los términos de certidumbre e incertidumbre en su sentido más laxo o de uso corriente, lingüísticamente hablando, algunos de los autores de este libro nos muestran los distintos espacios de sombra y de luz en cuanto al conocimiento ‘cierto’ dentro de sus respectivos campos o disciplinas —en estos casos mencionados, en las áreas de la física o de la biología. Otro de los ensayos, optando en cambio por un uso más riguroso de los conceptos de caos e incertidumbre, constituye una lograda síntesis introductoria, accesible y amena, a los principales aportes alcanzados por la ‘teoría del caos’, aportes que han sido tan brillantemente expuestos por Ilya Prigogine e Isabelle Stengers en su ya clásico libro La nueva alianza. Metamorfosis de la ciencia.2 Se trata, pues, de una buena síntesis introductoria que, desde el lado de la física y de la matemática, cumple con su objetivo pedagógico, si bien el autor parece dudar de la posibilidad de aprovechar las lecciones de estos aportes dentro del campo del conocimiento de lo social, salvo acaso de un modo ‘metafórico’, aunque Prigogine, en la obra mencionada, propuso tender puentes en este sentido como lo ha hecho, por ejemplo, Immanuel Wallerstein en varios de sus artículos y textos recientes.3 Para abrir un poco más el abanico de estas reflexiones, el libro incluye también una medita-

La nueva alianza. Metamorfosis de la ciencia, editado en español por Ed. Alianza Editorial, Madrid, 1997. La edición original, en francés, fue publicada por la Editorial Gallimard en 1979 y reeditada con dos apéndices nuevos y un Prefacio adicional en 1986. Algunos ejemplos: Immanuel Wallerstein Después del liberalismo, Ed. Siglo XXI, México, 1996; Utopística o las opciones históricas del siglo XXI, Ed. Siglo XXI, México, 1998; Abrir las ciencias sociales, Ed. Siglo XXI, México, 1996; Impensar las ciencias sociales; Ed. Siglo XXI, México, 1998 o The end of the world as we know it. Social science for the twenty-first century, Ed. University of Minnesota Press, Minneapolis –Londres, 1999. En ellos,Wallerstein recupera muy creativamente algunas nociones elaboradas por Prigogine, como las de situación de bifurcación, sus reflexiones sobre el tiempo, el problema de la irreversibilidad y sus consecuencias, etc.

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