Correo del Maestro Núm. 66 - Noviembre de 2001 by EDILAR

La matemática como ciencia experimental Roberto Carro Chumacero

ISSN 1405-3616

Lo que nunca quiso saber acerca de la matemática y los matemáticos, y temía preguntar Matemática y cultura II

Emilio Lluis-Puebla

Roberto Markarian

Las fracciones con doblado de papel Fernando Ayala García José Luis Favila Jardón Domingo Clemente Garduño Efraín López Estrada

Friedrich Froebel Mario Aguirre Beltrán

La educación musical, una alternativa para el desarrollo del pensamiento reflexivo Andrea Ávila-Ripa

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México D. F. Noviembre 2001. Año 6 Número 66.

Es un documento único para niños, padres de familia y maestros de todos los niveles escolares sobre la Declaración Universal de los Derechos Humanos. Basado en hechos reales, poemas, testimonios personales, fotografías e ilustraciones a color que dan vida a cada artículo. Contiene, además, los datos de las organizaciones que trabajan por hacer del mundo un lugar mejor.

Peace Child International

Iniciativa Europea para la Democracia y los Derechos Humanos

Informes: 01 800 31 222 00 • 53 62 88 60 • 53 65 08 70 • Librería Gandhi

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Revista mensual, Año 6 Núm. 66, Noviembre 2001.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Héctor Delgado Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Concepción Ruiz Maya Sáenz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 82, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col. Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 25,000 ejemplares, de los cuales 17,486 corresponden a suscriptores. Primera reimpresión enero 2005: 800 ejemplares, Pressur Corporation, S.A., C. Suiza, R.O.U., 66050101.

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Correo del Maestro. Núm. 66, noviembre 2001.

Editorial

Matemática. Sólo oír esa palabra atemoriza a una gran cantidad de niños, jóvenes e incluso adultos. Ese temor ha sido, lamentable y frecuentemente, generado por el fracaso en el estudio de esa materia a lo largo de la vida escolar. La matemática es considerada, casi siempre, como la materia ‘difícil’ y, por supuesto, así se nos hace saber desde muy pequeños. Podríamos decir, parafraseando a Gabriel García Márquez que el estudio de la matemática para muchos de nosotros ha sido la ‘crónica de un fracaso anunciado‘. Pero no tiene por qué ser así, no debe ser así. Los malos resultados obtenidos durante muchos años en la enseñanza de la matemática han provocado que los educadores salgan a la búsqueda estrategias que faciliten desarrollar en los estudiantes un mayor interés por esta área. Es necesario cambiar la perspectiva de enseñanza de la matemática desde el radicalismo tradicional y la solución de problemas, en el que el estudiante es un receptor pasivo de información, para transformar el estudio de esta ciencia en un ambiente propicio, donde el aprendizaje se vea mediado por procesos y metodologías agradables para el estudiante. Se debe cultivar el amor por la matemática partiendo de lo cotidiano y hacer ver a los estudiantes que el entorno es un campo matemático bello y digno de exploración. Virginia Ferrari

Correo del Maestro. Núm. 66, noviembre 2001.

Entre nosotros

La matemática como ciencia experimental Roberto Carro Chumacero

Pág. 5

Las fracciones con doblado de papel. Fernando Ayala García, José Luis Favila Jardón, Domingo Clemente Garduño y Efraín López Estrada Pág. 11

Antes del aula Representación de fracciones

Matemática y cultura II. Los números en la recta. Roberto Markarian

Pág. 18 0

Certidumbres e incertidumbres

Friedrich Froebel. Mario Aguirre Beltrán

paralelas

Pág. 40

Artistas y artesanos

La educación musical, una alternativa para el desarrollo del pensamiento reflexivo. Andrea Ávila-Ripa

Pág. 44

Sentidos y significados

Lo que nunca quiso saber acerca de la matemática y los matemáticos, y temía preguntar. Emilio Lluis-Puebla Pág. 47 Problemas sin número

Mejor todas las manzanas en una canasta Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Juan Manuel Ruisánchez

Pág. 57

Abriendo libros

La belleza matemática. Claudia Hernández García

Pag. 59

Portada: María de la Luz Tovar Hernández, 3 años. Páginas centrales: fotografías de Arturo Horta / Universum, UNAM.

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Un cuadro para descubrir cada día El libro-calendario que presentamos es un objeto de divulgación (y por tanto pedagógico); en él podemos reconocer historia. No es una clase de pintura pero nos enseña a ver, no es un libro de arte y sin embargo puede despertar vocaciones. Es un calendario perpetuo pues su uso no se limita a una fecha determinada, es un material útil en todo momento.

Las obras que nos presenta este libro-calendario son muy variadas, comprenden diversas épocas de la pintura universal. Cada imagen viene acompañada por un breve texto que guía la observación de la obra con algunos comentarios y en el que se plantea una pregunta al lector obligándolo a observar con detalle cada cuadro.

Este material nos ayuda a aprender cómo mirar, nos ofrece elementos para familiarizarnos con las obras que nos presenta, sin formalidades. Es una invitación a conocer y apreciar el arte de manera amena, imaginativa y, sobre todo, creativa.

Informes y ventas 01 800 31222 00, 53 65 08 70 y 53 62 88 60 Blvd. Manuel Ávila Camacho No. 1994 Ofc.1104, Tlanepantla, Estado de México, C.P. 54055.

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Entre nosotros

La matemática como ciencia experimental* Roberto Carro Chumacero

Es evidente que no se puede poner al día la enseñanza sin modificar su situación actual, y hacerla progresar implica —al igual que ocurre en la ciencia— que quienes se dedican a ella hagan uso de su imaginación y sean capaces de sustraerse —en aras de la creatividad— a los prejuicios que han estado vigentes durante siglos.**

En Aracataca, Gabriel García Márquez, muy pequeño, fue llevado por su abuelo al campamento de la compañía bananera para conocer el hielo: el coronel Márquez “ordenó abrir una caja de pargos congelados y me hizo meter la mano” (esa imagen es el inicio de Cien años de soledad, una de las grandes obras literarias del siglo XX). Hay muchas cosas que de niños nos han parecido extraordinarias —como las luciérnagas, la lluvia o simplemente la elaboración de un gusanito con una tira de papel en el jardín de niños— y que cuando somos mayores nos parecen simples, insustanciales. Ojalá conserváramos esa chispa infantil para poder ver y sentir la belleza plena de los objetos, además de poderlos transformar en nuevas cosas, nuevas representaciones de la realidad. Como Miguel Ángel, cuando plantea un nuevo paradigma al presentarnos a su David desnudo y, además, con cabeza y manos desproporcionadamente grandes con relación al cuerpo, ¿qué quiso decirnos? No cabe duda que a través de la historia del hombre la interpretación del mundo que nos rodea se ha ido transformando, ha ido cambiando. Quiero en este espacio y de manera breve explicar que en el estudio de la matemática no sólo descubrimos lo que nos han legado las generaciones anteriores de matemáticos sino que también, si nos lo proponemos, podemos crear nueva matemática. Asimismo me interesa resaltar la importancia de asistir a los museos y a ver éstos con nuevos enfoques, sobre todo con creatividad. Tres son las ideas centrales del presente artículo: la primera está ya planteada en el título; la segunda es el deseo de que pueda aplicarse una metodología en el aprendizaje de la matemática, combinando el aprendizaje exploratorio —en el que se emplea material concreto, se manipulan objetos y se realizan actividades físi* En páginas centrales aparecen fotografías a color de la escultura Doce acróbatas y del cubo de papel propuesto en este artículo. ** BUSQUETS, Ma. Dolores, et al. Los temas transversales. Claves de la formación integral, serie Aula XXI, Edit. Santillana, México, 1998.

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La matemática como ciencia experimental

Figura 1

Figura 2

cas— y el aprendizaje significativo —en el que se recolectan datos, se identifican ideas principales y definiciones importantes, se compara y contrasta la información previa con la nueva, y se expresan las ideas en forma oral y escrita— de Ausubel con los tres modelos de aprendizaje (en activo, icónico y simbólico) de Bruner; la tercera consiste en una manera diferente, nueva, de elaborar un cubo mediante el doblado de papel. En uno de los programas de la Barra de Verano 2000 vi por primera vez una escultura muy interesante; después sabría que se llama Doce acróbatas, que está en la sala de matemática del museo Universum y que la hizo un escultor mexicano, Jesús Mayagoitia, egresado de la Academia de San Carlos. El artista se basó en la geometría para enlazar dos aspectos: el óptico y el lúdico, de tal forma que motiva al público a descubrir diferentes figuras geométricas mediante una serie de transformaciones ópticas. Esta escultura, elaborada en 1992, me llamó mucho la atención porque en gran parte es la respuesta al siguiente problema: Considere la diagonal mayor de un cubo, es decir, la diagonal que une un vértice con su antípoda; dibuje las secciones o figuras que se obtienen al cortar el cubo por una familia de planos perpendiculares a esta diagonal. Indique en cada caso cómo se tiene que cortar el cubo para obtener las diferentes secciones.

Éste es uno de los problemas planteados en la guía de estudio del Curso nacional: La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria, editada por la SEP. Como la escultura está sobre una base giratoria, pueden verse —en forma notable— las posiciones de ella indicadas en las figuras 1, 2, 3 y 4. Por la misma razón, también se ven las simétricas de las mismas. Sólo es un cuerpo básico que se repite (de ahí su nombre). Cuerpo que originalmente era un cubo hueco, pues le hacen falta 2 pirámides congruentes, formadas cada una por un triángulo equilátero y tres triángulos rectángulos (también congruentes entre sí) que son a su vez, cada uno, la mitad de una cara del cubo (figura 5). Volvamos a la escultura y tratemos de reproducirla a una escala menor, con tiras de papel. Es notorio que cada uno de los 12 equilibristas puede elaborarse con una tira de papel o cartulina, cuyos Figura 3 dobleces están marcados en la figura 6.

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Si se empatan los extremos de forma tal que tenga seis caras congruentes (los seis triángulos mayores de la tira) obtenemos nuestro primer equilibrista como se muestra en la figura 7. Después, tal vez con ayuda de pequeños palillos, se podrán ir uniendo las 12 piezas para obtener una réplica del trabajo que Jesús Mayagoitia elaboró en metal. Si se deseara aplicar el concepto de aprendizaje de Jerome Bruner, mediante sus tres modelos, podría hacerse de la siguiente manera: 1. Modelo en activo: Ir al Universum para observar y, posteriormente, poder elaborar la maqueta de la escultura. La escala es libre. Figura 4 2. Modelo icónico: Dibujar la escultura en las fases que parezcan más interesantes. 3. Modelo simbólico: Cabe, en la medida de lo posible, una entrevita con el autor y/o asistir a una conferencia sobre el tema; para concluir, de todos modos, con una exposición oral y escrita, en la que se explique cómo se hizo todo el trabajo.

Figura 5

Hace más de 150 años, el inventor del jardín de niños, Friedrich Froebel, proporcionó, entre sus regalos geométricos, un cubo de madera con la idea de estimular la actividad lúdica del niño. Su intención era que éste pudiera pasar en forma gradual de lo concreto a lo ‘abstracto’. El cubo tenía tres armellas: una en el centro de una cara, otra en el centro de una arista y la última en uno de sus vértices. Las armellas se ataban a un cordel y se hacía girar el cubo para lograr que el niño tuviera diversas vistas del cuerpo geométrico. Podía apreciar, por ejemplo, cómo estaba estructurado, cuáles eran sus simetrías y hasta, ¿por qué no?, sus diferentes cortes transversales. Estos cortes se podrán visualizar sumergiendo gradualmente el cubo en agua o colocando una liga alrededor de él. Actualmente podemos trabajar con cubos de acrílico transparente que pueden ser llenados con agua (coloreada si es posible). Un buen problema, después de resolver el de la guía de estudio, sería proponer encontrar la posición del cubo en la que se obtiene el corte central con el área más grande. Entonces surge la necesidad de

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buscar todos los cortes centrales para poder calcular sus áreas a fin de saber cuál es la mayor. El modelo Van Hiele de desarrollo del pensamiento geométrico, dado a conocer en 1957, establece cinco niveles de aprendizaje y afirma que se necesita dominar un nivel para lograr el acceso al que le sigue, sin importar si el estudiante tiene ocho o veintiocho años de edad, pues el aprendizaje de la geometría sólo se logra a través del dominio de cada uno de estos niveles de maduración. El primer nivel se conoce con el nombre de Visualización, en el que el estudiante sólo puede identificar, nombrar, comparar y operar figuras y cuerpos geométricos percibiendo cada uno de ellos en forma total, como una unidad. Por eso este nivel de pensamiento también se llama holístico o totalizador, ya que el estudiante ve en forma global una figura o un cuerpo geométrico, sin poder percibir de qué partes está compuesto. Como puede advertirse, Froebel estaba en el camino correcto; por esta razón sus trabajos siguen siendo abordados y aplicados por maestros de matemática de todo el mundo.

Figura 6

Regresemos a la tira básica (figura 6) con la que puede obtenerse uno de los doce acróbatas. Debido a que existen diversas formas de armar un cubo mediante el doblado de papel (con seis cuadros o con seis tiras rectangulares), sería posible pensar que también con seis tiras básicas (llamémoslas así) de nuestra escultura, puede armarse un cubo. Después de entrelazar las tiras de muchas y variadas maneras resultó que sí se puede armar un cubo, pero con la característica de que sólo fueron necesarias cuatro de ellas. El entramado inicial está indicado en las figuras 8a y 8b por ser simétricas. No olvidar que, en forma previa, deben hacerse los dobleces marcados. El cuadrado central (figura 8c) representa la base de este cubo. Al continuar con cuidado y paciencia el entrelazamiento de las 4 tiras —como si se tratara de hacer un petate— se van formando las cuatro caras laterales y, finalmente, la cara superior. Así se logra armar un cubo como el que Figura 7 se ve en la figura 9.

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Figura 8c

Figura 8b

Figura 8a

Es preferible que al elaborar el cubo por este procedimiento se usen cuatro tiras de diferente color, pues con esto también se puede observar que ninguna de las caras es igual que otra; es decir, que la secuencia de los colores es diferente en cada una de ellas. Si, por ejemplo, se usan los colores azul (A), blanco (B), rojo (R) y verde (V), el número total de permutaciones de cuatro objetos diferentes tomados de cuatro en cuatro es 4y = 24, pero si se pone como condición iniciar en cada cara con un determinado color, por ejemplo el azul, entonces sólo se tendrán seis. Esto puede observarse con la ayuda de un diagrama de árbol, cuyo resultado será: ABRV ABVR ARBV ARVB AVBR AVRB

BARV BAVR BRAV BRVA BVAR BVRA

RABV RAVB RBAV RBVA RVAB RVBA

VABR VARB VBAR VBRA VRAB VRBA

Como puede verse, en el cubo están las 24 permutaciones y si se desea iniciar con alguno de los cuatro colores, obtenemos seis permutaciones diferentes, siguiendo el mismo orden, por ejemplo el sentido de las manecillas del reloj. Pero ya que estamos hablando de cuatro colores, ¿por qué no seguir con el problema de los cuatro colores? que, por cierto, al ser resuelto se convirtió en el teorema de los cuatro colores. En 1852, Francis Guthrie observó que era posible colorear cualquier mapa utilizando sólo cuatro colores, de manera tal que dos países vecinos siempre tuvieran colores diferentes. Así que le escribió a su hermano Frederick, alumno en esa

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Figura 9

época de Augustus De Morgan, para preguntarle si se conocía una demostración matemática para este problema.Tuvieron que pasar 124 años para que se pudiera resolver. En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken de la Universidad de Illinois y un equipo de tres computadoras, trabajando en forma interactiva —los matemáticos y las máquinas lo hicieron en un tiempo de 1200 horas— encontraron la solución y compartieron los créditos; los compartieron precisamente por la forma interactiva en la que los matemáticos y las máquinas dialogaron, propiamente discutieron el problema, hasta que fue resuelto. Es importante mencionar que en realidad para poder resolver este trabajo tuvieron necesidad de tomar en cuenta las aportaciones que hicieron el mismo De Morgan y Alfred Bray Kempe (1879, abogado londinense cuyo pasatiempo era la matemática), pues las estrategias que utilizaron para abordar el problema constituyeron una valiosa ayuda; así que, en cierta forma, ellos también formaron parte del equipo. El apoyo que las computadoras han brindado a la matemática en este y otros trabajos ha hecho que su operación se convierta en una ciencia experimental. Este nuevo paradigma se apoya en el hecho de que algunos objetos matemáticos expuestos al trabajo de una computadora se encuentran en condiciones a partir de las cuales nadie sabe lo que va a suceder. Absolutamente nadie.

Bibliografía ABBAGNANO, N. y VISALBERGHI, A. Historia de la pedagogía, Fondo de Cultura Económica, México, 1980. BUSQUETS, Ma. Dolores, et al. Los temas transversales. Claves de la formación integral, serie Aula XXI, Edit. Santillana, México, 1998. CANTORAL, Ricardo, et al. Desarrollo del pensamiento matemático, Edit.Trillas, México, Preedición, 2000. CLIFFORD, Margaret M. Enciclopedia práctica de la pedagogía, Ediciones Océano, Barcelona, 1983. DE LA PEÑA, J.Antonio. La cultura de las matemáticas, artículo de la revista Universidad de México, números 588589, México, enero-febrero, 2000. DEVLIN, Keith. Curiosidades matemáticas para resolver con computadora, Edit. LIMUSA, México, 1991. GARCÍA Márquez, Gabriel. Cien años de soledad, Edit. Origen, México, 1983. GÁLVEZ, Grecia.“La descripción de las figuras geométricas en el aprendizaje de la geometría”, en: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, Libro de lecturas, SEP, México, 1995. MENDOZA, Plinio A. y GARCÍA Márquez, G. El olor de la guayaba. Conversaciones con Plinio Apuleyo Mendoza, Edit. Diana, México, 1999. MUSSER, Gary L. y BURGER,William F. “Reconocimiento y análisis de figuras geométricas bidimensionales. La teoría de Van Hiele”, del Libro de lecturas del Curso Nacional de Actualización La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria, SEP, México, 1996. SEP, Guía de estudio del Curso Nacional de Actualización. La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria, México, 1996. STEEN, Lynn A. La enseñanza agradable de las matemáticas, Col.Textos Politécnicos, serie Matemáticas, LIMUSAIPN, México, 1998. UNAM, CienciArte y CienciArte en UNIVERSUM, UNAM, México, 1997.

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Las fracciones con doblado de papel Fernando Ayala García José Luis Favila Jardón Domingo Clemente Garduño Efraín López Estrada Introducción

Para contribuir al mejoramiento de la educación matemática en la escuela primaria y secundaria y continuar apoyando con recursos didácticos a los maestros que imparten dicha asignatura, este artículo propone algunas sugerencias didácticas con doblado de papel para la representación concreta, objetiva y la simbólica de las fracciones y las posibles aplicaciones de dichas representaciones en la solución de sumas y restas de fracciones. Las actuales corrientes didácticas afirman que sólo cuando el alumno interactúa con los objetos de conocimiento elabora los saberes que le ayudarán a resolver problemas; por esta razón, esperamos que las sugerencias didácticas les sean útiles para trabajar los conceptos matemáticos con sus alumnas y alumnos.

Fracciones

Las fracciones son uno de los temas fundamentales de la aritmética. Forman parte de las nociones básicas de la matemática en los planes y programas de educación básica y tienen gran repercusión en los niveles medio superior y superior donde, en muchas ocasiones, los alumnos no tienen conocimiento preciso y claro de los conceptos. Ésta es una observación que hay que valorar en su justa dimensión desde nuestra propia experiencia como docentes. Hay estudiantes de los niveles educativos mencionados que prefieren no trabajar las operaciones donde aparecen fracciones y hacen la conversión a expresiones decimales a fin de evitar los algoritmos que implican determinar denominadores comunes y hacer transformaciones de equivalencia, sobre todo cuando se trabajan expresiones algebraicas. Si como profesores tenemos oportunidad de detectar casos con la problemática referida, creemos necesario proponer otra manera de enseñar estas nociones y tener presente que enseñar es ‘mostrar que es posible’. Streefland (1978), al reflexionar sobre la construcción mental del concepto de fracción, manifiesta que la enseñanza de las fracciones carece de un eficiente análisis del mismo, tanto en el sentido matemático como en el didáctico.

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Las fracciones con doblado de papel

Por lo anterior, recomendamos al maestro poner atención a esos sucesos y diseñar estrategias en las que se incluyan diversas actividades como las que proponemos en este artículo, formas didácticas que ayudan al educando a comprender algunas nociones y procedimientos operativos con fracciones para que los maneje adecuadamente.También sugerimos a los maestros que tengan presentes, y cuando sea necesario recuerden de manera breve y sencilla, aquellos temas que los estudiantes han olvidado, pues así tendrán menos problemas para avanzar en la adquisición de otros conceptos matemáticos.

Representación concreta de fracciones

La enseñanza de cualquier tema o concepto suele partir de una estructura cognoscitiva previa. En la mayoría de los casos el alumno, para tratar de comprender el entorno de sus experiencias, construye representaciones de los casos que le rodean. Estas construcciones se basan en una función fundamental del sistema cognitivo. El estudiante puede representar un objeto mediante un dibujo sobre una hoja de papel, un pizarrón, etcétera. Al tipo de representación en que la presentación del objeto o cosa únicamente puede interpretarse como el objeto mismo, se le llama ‘icónica’. A los objetos físicos se les puede representar de manera icónica a través de figuras geométricas ya conocidas, que son importantes también para desarrollar el método deductivo en el conocimiento de la matemática y, en este caso, de algunos conceptos con fracciones. Un recurso útil para hacer algunas representaciones geométricas es el doblado de papel, actividad que genera algunas figuras que luego se utilizarán para efectuar diferentes representaciones concretas de la unidad.Además, el doblado de papel ayuda al desarrollo psicomotriz, no sólo de los alumnos sino también de los maestros.

Actividad 1

A continuación presentamos el desarrollo para construir, mediante el doblado de papel, un triángulo equilátero con una hoja de tamaño carta.

Desarrollo

1. Se toma una hoja de papel tamaño carta, se denotan las esquinas o vértices con letras y se dobla a lo largo, haciendo coincidir A con B y D con C, tal como se observa en la figura 1. Figura 1

B A

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C D

2. Se desliza el vértice B sobre la línea generada por el doblez (figura 2). 3. Luego se desliza el segmento CD de modo que el vértice C quede sobre el segmento AE, como se muestra a continuación en la figura 3. 4. Posteriormente, se hace el último doblez, deslizando el segmento FD sobre el FE, como se aprecia en la figura 4. A

Figura 2

Figura 3

Figura 4

C E E

F D

C D

5. Finalmente, se desdobla la hoja, que queda como se muestra en la figura 5, y se cortan las partes que no corresponden al triángulo, tal como se aprecia en la figura 6.

Figura 5

Figura 6

Una vez construida esta figura se dice a los alumnos que ésta es una representación concreta de la unidad, en este caso el triángulo. Se les indica que formen grupos de 3 a 5 estudiantes y que cada equipo divida sus triángulos en medios, tercios y cuartos. Para evitar que los niños se confundan con las marcas que se van formando, es conveniente contar con varios triángulos, los cuales pueden ser hechos en otras hojas, a partir del primero. Se debe dar oportunidad a los niños para que ellos solos intenten dividir el triángulo. Si no lo hacen Figura 7 después de un tiempo razonable, hay que mostrarles una de tantas formas de hacerlo. Por ejemplo, para obtener medios, se dobla uno de los lados del triángulo por la mitad haciendo coincidir sus esquinas o vértices y luego se desdobla, con lo que queda dividido en dos triángulos Un medio Un medio rectángulos, cada uno de los cuales representa un medio (figura 7).

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Las fracciones con doblado de papel

Para dividir en tercios se procede de la misma forma que cuando se divide en medios, sólo que ahora se doblan los tres lados del triángulo, según se muestra, donde cada parte representa un tercio (figura 8). A fin de formar cuartos se procede de la siguiente manera: Una vez obtenido el triángulo equilátero se hacen coincidir los tres vértices con el punto medio de su lado opuesto y queda de la siguiente manera (figura 9): Figura 8

Figura 9

Un cuarto

Un tercio

Un cuarto

Un tercio

Un cuarto

Posteriormente, se muestra de manera objetiva que cada una de las regiones en que se dividió cada triángulo se representa como (figuras 10, 11 y 12):

1 4 1 2

1 2

1 3

1 3 1 3

Figura 10

Figura 11

1 4

Figura 12

Una vez hechas las particiones, se invita a los estudiantes a efectuar sumas o restas de fracciones con igual denominador. Por ejemplo: a) Un tercio más dos tercios. b) Tres medios más dos medios. c) Tres cuartos más cinco cuartos. d) Cinco cuartos menos dos cuartos. Hay que señalar a los alumnos que pueden manipular el material, incluso recortarlo, para hacer las operaciones. Simbolizar es representar con signos o dibujos los elementos o cosas de nuestro entorno, o bien concebir que algo tome el lugar de otra cosa. Por lo tanto, una estructura cognitiva se puede ver como un sistema organizado de representaciones mentales que se relacionan entre sí mediante una forma de operarlas.

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Actividad 2

Una actividad parecida a la anterior se puede realizar con un cuadrado, el cual resulta del doblado que se hace de una hoja de papel tamaño carta, según se muestra en las ilustraciones.

Desarrollo

1. Se toma una hoja de papel tamaño carta y se desliza el lado menor sobre el lado mayor (figura 13). 2. Se recorta la parte excedente como se muestra en la figura 14. 3. Se desdobla la parte de la hoja que queda para obtener el cuadrado tal como se ve en la figura 15. Enseguida se pide a los alumnos que dividan el cuadrado en medios, tercios, cuartos y octavos.

Parte excedente

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Se les sugiere que hagan las sumas y restas indicadas, manipulando el material: a) 1/2 + 3/4 = b) 3/8 + 1/3 =

c) 3/2 - 5/8= d) 4/3 - 3/2=

Es necesario tener en cuenta que para realizar estas operaciones se necesitan varios cuadrados.

Actividad 3

La actividad se puede efectuar tomando como unidad un pentágono, el cual se puede hacer con una hoja de papel tamaño carta, mediante dobleces tal como se desarrolla a continuación.

Desarrollo

1. Se toma una hoja de papel tamaño carta y se identifican con letras las esquinas como se muestra en la figura 16. 2. Se dobla la hoja haciendo coincidir los vértices B con C y A con D. Al hacer el doblez queda el segmento PQ (figura 17). 3. Al concidir el vértice P con B,C y Q con A,D se hace una marca a la mitad que es el segmento RS, como se aprecia en el dibujo (figura 18). Figura 16

Figura 17

Figura 18 B

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B,C

A,D

Las fracciones con doblado de papel

4. Al desdoblar parcialmente y hacer coincidir el vértice Q con el punto R, se efectúa el doblez, como se puede ver en la figura 19, formando el segmento UT. 5. Luego se efectúa otro doblez a lo largo del segmento UR, enviando P hacia adentro (figura 20). 6. Haga coincidir el segmento UT con el segmento UR. pero haciendo el doblez hacia abajo, de forma que el punto P quede expuesto. La figura queda como se muestra a continuación y se marca el punto M (figura 21), se observa el segmento MP. Figura 19 P

Figura 20 R

R,Q

B,C

Q P A,D

A,D

U T

M Figura 21 B,C U

A, D

7. Por último se realiza el corte por el segmento MP y se extiende el triángulo SMP para obtener el pentágono, tal como se muestra en la figura 22. Figura 22

Al igual que para las otras figuras, recomendamos que una vez obtenido el primer pentágono, se use éste de plantilla para construir varios más.

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Finalmente, se pide a los alumnos que, por equipos, los dividan en medios, quintos y décimos, y expresen las fracciones en los pentágonos, tal como se puede ver a continuación (figuras 23, 24 y 25).

Figura 23

Figura 24 1 5 1 2

1 2

1 5

1 5 1 5

1 1 1 5 1 1 + + = + + =1 5 5 5 5 5 5

1 1 2 + = =1 2 2 2

Figura 25 1 10

1 10

1 10 1 10

1 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 = + + + + + + + + + = 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 De acuerdo con lo anterior, se concluye que algunas fracciones se pueden representar de manera concreta, objetiva y simbólica, al doblar una hoja de papel tamaño carta, la que se convierte en un material didáctico útil y a la vez económico. En un número posterior de esta revista se mostrarán los desarrollos para construir el hexágono, heptágono, octágono y eneágono, para de esta forma poder trabajar con otras fracciones. También se le recuerda al maestro que puede adaptar estas actividades de forma pertinente para utilizarlas en la enseñanza de otros temas de la matemática como ejes de simetría, perímetros y áreas, por citar sólo algunos. Bibliografía JOHNSON, Dovan A. Paper folding Geometry. J.Weston Walch, Publisher, Portland, Maine, 1976. Revista Educación Matemática Vol. 4 No. 2. Grupo Editorial Iberoamérica México, 1992 LLINARES Ciscard, Salvador. Las fracciones, la relación parte-todo. Editorial Síntesis; España. SÁNCHEZ S. Ernesto y Santos T.L. Manual Perspectivas en Educación Matemática. Departamento de Matemática Educativa CINVESTAV-IPN. México, 1995.

Correo del Maestro. Núm. 66, noviembre 2001.

Antes del aula

Matemática y cultura II Los números en la recta Roberto Markarian* Los problemas de la enseñanza tienen [...] importancia, primero por ellos mismos, después porque reflexionar sobre la mejor manera de hacer [comprender] las nociones nuevas en los cerebros vírgenes, es al mismo tiempo reflexionar sobre la manera en que estas nociones han sido adquiridas por nuestros antepasados y por consiguiente sobre su verdadero origen, es decir en el fondo, sobre la verdadera naturaleza de esas nociones. Henri Poincaré 1

n la segunda parte de la obra Ciencia y Método, al comienzo del capítulo II, “Las definiciones matemáticas y la enseñanza”, el insigne matemático y físico francés Henri Poincaré (1854-1912) se pregunta y responde: ¿Qué es una buena definición? Para el filósofo o para el sabio es una definición que se aplica a todos los objetos definidos y que no se aplica más que a ellos, lo que satisface las reglas de la Lógica. Pero en la enseñanza esto no lo es; una buena definición es la que es comprendida por los alumnos.

E incluye este trozo que fue el verdadero inspirador para escribir este segundo artículo de la serie sobre matemática y cultura (recuérdese que el trabajo de Poincaré fue escrito a principios del siglo XX): Si leemos un libro escrito hace cincuenta años, la mayor parte de los razonamientos que encontramos nos parecerán desprovistos de actualidad. Se admitía en esa época que una función continua

no podía cambiar de signo sin anularse; hoy se demuestra. Se admitía que las reglas comunes del cálculo se aplicaban a los números [irracionales]; se lo demuestra hoy. Admitíamos también cosas que a veces han resultado falsas. Se fiaba de la intuición, pero la intuición no puede darnos ni la seguridad ni la certeza [...] ha sido necesario reducir cada vez más la parte de la intuición. ¿Cómo se ha hecho necesaria esta evolución? No hemos tardado en darnos cuenta que la seguridad no podría establecerse en los razonamientos, si no se la hiciera entrar primero en las definiciones.

¿Por qué este texto me impulsó a escribir sobre el concepto de número real? Los dos ejemplos dados por Poincaré hacen referencia a una misma innovación sucedida a comienzos de la segunda mitad del siglo XIX: la formalización de los números reales debida principalmente a las obras majestuosas de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897), Richard Dedekind (1831–1916) y George

* Profesor del Instituto de Matemática y Estadística (IMERL), Universidad de la República, Montevideo, Uruguay. 1 Henri Poincaré, Ciencia y Método, 1908.

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Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918). Poincaré destaca, en su artículo (sobre las definiciones matemáticas y la enseñanza), cómo la intuición (‘se admitía’, dice) no está prohibida, pero que para rigorizar, para consolidar el terreno, hay que demostrar, hay que dar definiciones precisas (o definiciones a secas): eso establece ‘la seguridad’ y ‘la certeza’. Él no establece una contradicción entre ambos procesos, por el contrario considera que ambos son necesarios y complementarios. Y que la enseñanza de la disciplina debe combinar el conocimiento informal e intuitivo con el riguroso y formalizado. Esta nota se continuará con otras sobre los números reales. Una vez más, trataré de no ser excesivamente técnico y de ir al centro de los problemas que, en el caso de la matemática, como lo indican las citas de Poincaré, es una mezcla de (lo que él llama) intuición y rigor. Pero antes de entrar en tema querría referirme a un asunto que me quedó en el tintero cuando escribí la anterior colaboración2 y que ahora me resurge, atraído por la gran cantidad de preguntas que muchos maestros me han hecho al respecto. En aquella nota me referí marginalmente al tema de la conservación de los nombres de los primeros números naturales a lo largo de milenios y de diversas civilizaciones. Había escrito también, y luego lo saqué, que esa característica no se repetía con los números mayores, que tienen denominaciones de estructuras muy distintas en las distintas lenguas, estructuras que no son semejantes incluso en lenguas de origen casi común. La diferenciación extrema es el quatre-vingts, que es ochenta en francés; o sea que un sistema que hasta la denominación del número 60 es parecido al nuestro (se agrega ‘enta’ al nombre del dígito, para formar la decena correspondiente: cuarenta, por ejemplo), se modifica radicalmente, al extremo de parecer de 2

origen vigesimal (como el maya) al llegar al 80 francés. Más aún, las aparentes reglas que rigen en nuestra lengua para formar los números entre una decena y otra no se cumplen sino a partir del dieciséis (once, doce, ..., quince, se forman distinto que veintiuno, veintidós, ...). Y, ¿por qué 16 se escribe dieciséis y 36, treinta y seis? ¿Notó la diferencia? Con todo esto quiero decir que no se enseña mucha matemática haciendo hincapié en las denominaciones de los números. Estas denominaciones son muy variadas, no corresponden a patrones universales. No tienen mayor interés matemático y no es muy importante para el alumno y para el maestro andar haciendo indagaciones sobre el asunto. Naturalmente, el alumno ¡y el maestro! deben saber cómo se denominan (y se escriben) los números, pero éste es más bien tema de la lingüística y debiera ser estudiado junto con el correspondiente idioma. Como información un tanto erudita, comento —esto es lo que me quedó en el tintero moderno (o sea en los archivos de la computadora)— que la combinación entre números para obtener otras cifras es decididamente muy diversa en las diferentes culturas y lenguas, que muestran su evolución por caminos diferenciadores. Por ejemplo, 18 se dice: en francés, dix-huit [10-8] en lituano, ashtno-lika [8 sobre (10)] en alemán, acht-zehn [8-10] en galés deu-naw [2-9] en griego (antig.), okto-kai-deka [8 y 10] en finés, kah-deksan-toista [2-10 (en la) segunda (decena)] en náhuatl, caxtolli-om-eyi [15 y 3] también, caxtolli ihuan yeyi. Comencemos de una vez por todas con el tema central de este artículo. Normalmente los distin-

Correo del Maestro número 62, julio 2001, pp. 9-16.

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Matemática y cultura (II). Los números en la recta

tos tipos de números se ordenan de la siguiente manera: • Números naturales, que son los que se utilizan para contar, conocidos de una u otra manera y extensión por todas las civilizaciones, y que se enseñan en los primeros años escolares. • Números enteros, que agregan a los anteriores el cero y los números negativos. Se tiene así una sucesión de números infinita en los dos sentidos, hacia el infinito positivo y hacia el infinito negativo. • Números racionales, que resultan de agregar a los anteriores las fracciones, o sea las divisiones de dos números enteros. Los números enteros, que forman parte de los racionales, aparecen como división de ellos mismos por uno. • Números reales, que aparecen naturalmente al hallar, por ejemplo, raíces cuadradas; contienen a todos los tipos precedentes y, como veremos más adelante, son ‘muchos más’ que todos los anteriores. El concepto de número se puede continuar extendiendo, pero para los fines de esta nota alcanza con la breve e incompleta clasificación que acabamos de hacer. Estamos tentados a escribir algo sobre la historia de la ampliación de los campos numéricos, y sobre la ‘necesidad’ de ir ampliando esos campos de modo que diversas operaciones (la resta, la división, la raíz cuadrada, etc.) admitan sentido, en el campo ampliado. Pero resistiremos la tentación. En primer lugar me referiré a la representación de los números sobre una recta. Considero muy útil que desde el comienzo mismo de la enseñanza de los números naturales el niño conozca la correspondencia entre esos números y puntos de una recta, la relación entre el concepto abstracto de número y la distancia, el orden, etc., en la recta. Las razones son varias. Una, no menor,

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es que vinculará el aprendizaje de algunos entes geométricos elementales (puntos, rectas) con el de los números. Otra, es que la clasificación de los números es mucho más fácilmente visualizable si desde el comienzo se les representa sobre una recta. La tercera, es que existe una correspondencia (no demostrable en la escuela primaria) total —biunívoca— entre los números reales y los puntos de una recta. El niño podrá no tener una idea precisa de qué significa o cómo se define un número real no racional, pero sí debe intuir —al decir de Poincaré— que hay muchos más números (puntos en la recta) que los que se escriben por fracciones. El proceso de representación de los números en una recta (en cualquier recta) es muy conocido, pero lo resumiremos aquí. La descripción será somera; los detalles se pueden encontrar en cualquier libro que trate de los números reales con cierto cuidado o en libros de geometría analítica. Le recomiendo que vaya siguiendo mis pasos sobre una hoja de papel, disponiendo de un lápiz, una regla y un compás. Se toma sobre una recta un punto (que representará al cero y se denominará con la letra O, o con el número cero, según el contexto en que se trabaje; por suerte sus grafías son casi las mismas, por lo que no habrá confusión) y se elige un sentido creciente (positivo) a partir de él (figura 1). Lo habitual es tomar la recta ‘horizontalmente’ y el sentido creciente hacia la derecha, pero ambas elecciones son totalmente arbitrarias, a pesar de que la primera es casi universal. Dado que en este trabajo estamos queriendo destacar el carácter humano de las elaboraciones matemáticas, le hago la observación de que cualquier recta que usted dibuje sobre una mesa, será horizontal, pero que todos preferimos llamar así a las que están colocadas en la dirección de nuestros dos ojos. O sea, paralelamente a la recta determinada por los dos ojos. Más aún, le

Figura 1

2 sentidos positivos sobre la misma recta con origen O sentido positivo 0

sentido positivo

recuerdo que si hay dos alumnos trabajando de cada lado de una mesa, lo que para uno es de derecha a izquierda, para el otro es de izquierda a derecha. Esta tonta observación muestra la arbitrariedad de la eleción. También muestra que la formulación matemática de los problemas conlleva la utilización de un lenguaje, de convenciones (matemáticas), aceptados por la comunidad (cultural) de que se trate. Los estudios antropológicos en matemática demuestran contundentemente esta afirmación. Pues bien, tenemos una recta, un punto cero y un sentido elegido. La buena comprensión de esta elección tiene gran importancia didáctica porque ayuda a distinguir la existencia de dos sentidos en cualquier recta, y la elección de un sentido determinará la futura representación de los números. En efecto, a cualquier distancia del punto cero, en el sentido positivo, marcaremos un punto uno, que determinará la escala de aquí en adelante. Las tres elecciones realizadas sobre la recta (elección del cero, sentido positivo, longitud del segmento que comienza en el 0 y termina en el 1) son arbitrarias. Naturalmente que también la recta es cualquiera. La elección del punto uno también determinará la elección de la escala de medición de las longitudes sobre la recta, pues la longitud del segmento [0,1] será uno, la del segmento mitad, un medio, y la de tres segmentos de esos, que no tengan ningún trozo común, tres.

He remarcado, en la frase anterior, que no tengan ningún trozo en común, porque la idea central del concepto de medida es que cuando se juntan partes disjuntas (que no tienen trozos en común) la medida del total es la suma de las partes. Luego, en el mismo sentido positivo, se repite la longitud [0,1] a partir del 1 y se obtiene el punto 2; y repitiendo esta operación tendremos representados en el sentido positivo todos los números naturales y el cero, que fue con el que comenzamos. Confundiremos a partir de ahora el punto que representa el número n, con el número n. Con esto queremos decir que cuando hablemos, por ejemplo, del 3 en la recta, estamos queriendo indicar el punto que, hechas las elecciones de los puntos 0 y 1 por el procedimiento recién indicado, ocupa la representación del número 3. Se dice que el punto tiene coordenada 3 en ese sistema de representación o sistema de coordenadas sobre la recta. También se dice que la recta es un eje coordenado. Repitiendo la operación en el sentido opuesto (negativo) se tendrán representados los enteros negativos: se toma la longitud del segmento [0,1], a partir del 0, en el sentido negativo, y se obtiene el -1; a partir de éste se repite el segmento en el mismo sentido negativo, y se tiene el -2, etc. Hemos representado de esta manera todos los números naturales. Es claro que los números n y -n están representados en posicio-

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Matemática y cultura (II). Los números en la recta

nes simétricas respecto a la representación del 0 (origen de coordenadas O). Esta característica se mantendrá para todos los números opuestos, por lo que no haremos particular hincapié en la representación de los números negativos: siempre serán simétricos respecto a O de su opuesto positivo (figura 2). Figura 2

hacia la derecha del cero). Cómo dividir en 12 partes iguales es un problema que suponemos resoluble usando lo que se llama semejanza de triángulos: se toma una recta transversal que pase por el punto cero, sobre ella se van marcando trozos iguales, hasta tener 12; se une este punto final con el punto uno, y se le trazan paralelas

2 puntos que distan a > O del origen O

-a

¿Cómo representar los números racionales en esa recta? Comencemos representando cualquier racional entre 0 y 1, por ejemplo 7/12. Lo que se hace es dividir el segmento [0,1] en 12 partes iguales, marcando con pequeñas líneas transversales a la recta (observe que para ello hay que trazar 11 marquitas, ¡piénselo!), y se cuentan 7 a partir de la primera a la izquierda (estoy suponiendo que el orden elegido como positivo es el ‘universal’,

a>0

hasta cortar la recta base. Estos puntos de corte son las divisiones que estábamos buscando (observe que para hacer todo esto ha debido usar los instrumentos de los que le pedí que estuviera munido: regla, etcétera) (figura 3). Muy bien, tenemos un procedimiento para representar las fracciones entre cero y uno, que corresponden a p/q con p < q. Esto se hace así: se divide el intervalo [0,1] en q partes iguales y

Figura 3 Representación de fracciones p q con p < q

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paralelas

luego se toman las p primeras. Para números entre -1 y 0 hacemos lo mismo, pero trabajando en el sentido opuesto. Para números mayores que uno se puede comenzar escribiendo la fracción en la forma P/Q = n + p/Q con p < Q (siempre se puede hacer y resulta P = nQ+p), luego se construye el punto de coordenadas p/Q, que es menor de uno, y por último se traslada este segmento [0, p/Q] de modo que el 0 coincida con el punto de coordenadas n: el otro extremo del segmento trasladado representará a n + p/Q=P/Q. Para los racionales negativos R/S menores que -1, se realiza un procedimiento muy semejante o —de acuerdo con lo ya indicado— se represen-

tendrá longitud a; o sea que la distancia de la representación de a al origen O es exactamente a. Insistimos en esto: si la distancia de un punto B de la recta al origen O es un número racional b, entonces ese punto representa al número racional b o -b, según esté del mismo lado o el opuesto que el punto que representa al número 1 (sentido positivo o negativo, respectivamente). Esta observación será muy importante a la hora de buscar puntos de la recta cuya distancia al origen O no sea un número racional. Mostraremos ahora cómo, dado cualquier punto en la recta tan cerca de él como se quiera, hay representaciones de números racionales.

Figura 4 Representación de P

Q 1

ta el número positivo -R/S mayor que uno y luego se simetriza respecto del origen O (usando el compás). No nos extenderemos en detalles, para no aburrir al lector. Queremos resumir diciendo que elegida una recta, un cero y un uno sobre ella (el lado de que se toma el uno determina el sentido ‘positivo’), tendremos una única representación para cada número racional. Creo que es bueno ejercitarse en esto, representando, por ejemplo, los números 4/11, 24/18, -43/7. Se debe observar a esta altura, que números muy cercanos quedan representados muy cercanamente en la recta. Por ejemplo, observe esto con la representación de los números 3/4 y 20/27. Más aún, si consideramos —como ya hemos dicho— que el segmento [0,1] tiene longitud uno; el segmento [0, a] para cualquier a positivo

con P > Q

p P = Q Q

Por cumplirse esta propiedad se dice que los números racionales (los puntos de coordenadas racionales) son ‘densos’ en la recta. Habíamos hablado antes de la longitud de un segmento; daremos ahora una idea un poco más precisa del concepto de distancia, del cual toda persona normal tiene una idea intuitiva. Este concepto también quedó determinado cuantitativamente al elegir el segmento [0,1], porque diremos que dos puntos A y B distan entre sí, por ejemplo 1/4, si el segmento determinado por los puntos cero y un cuarto, que representamos por [0, 1/4], al ser trasladado convenientemente, tiene uno de sus extremos en A y el otro en B. Obsérvese que aquí hemos tomado un segmento y lo hemos trasladado hacia otro lugar de la recta; ésta es una operación completamente normal en todos los órdenes, utilizada continuamente cuando se

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Matemática y cultura (II). Los números en la recta

usa una regla. Obsérvese que, sobre la recta, este dividamos ese segmento entre dos números naprocedimiento coincide con decir que el segmenturales en q partes iguales, por el procedimiento [A,B] tiene longitud 1/4, que mide 1/4. La to ya visto. Si el punto coincide con alguna de definición de distancia dada con 1/4 se extiende estas divisiones, este número racional dista cero de inmediato a cualquier distancia d, donde d es del punto; si no coincide —éste es el caso más interesante— estará entre dos de esas divisiocualquier número racional positivo: se construnes. Cualquiera de esos dos números racionales ye el segmento [0,d] y se realizan luego los mismos procedimientos. Figura 5 Ahora, ¿cómo se muestra que Aproximación de puntos de la recta por racionales dado cualquier punto A de la recta y cualquier número racional posi1 A q tivo d, hay un punto a distancia menor que d de él? Se suele hacer n +1 n esta construcción para números d q partes iguales pequeños, porque las que interesan son distancias pequeñas. Indicaredista del punto dado menos que 1/q y por tanto mos una manera entre tantas. Comenzamos elimenos que d (figura 5). giendo q de modo que 1/q sea menor que d. Es claro que esto siempre se puede hacer (¿por Y se ha demostrado la densidad de los racioqué?). En realidad, toda esta construcción se nales en la recta porque dado cualquier punto puede hacer tomando 1 dividido entre alguna de la recta podemos encontrar un punto de potencia de dos, de modo que este número sea coordenada racional tan cerca como queramos menor que d. Esto es realizable porque divide él (o sea a distancia menor que d, arbitrariadiendo a la mitad el segmento [0,1] se obtiene [0, mente pequeño). Toda la construcción antes ex1/2 ], y dividiendo éste se obtiene [0, 1/4 ], y plicada no es simple; no pretendo que sea endividiendo éste se obtiene [0, 1/8] y si seguimos tendida a partir de la mera lectura de lo que es‘partiendo a la mitad’, tendremos segmentos de cribí. Pero es muy importante para entender la la forma [0, 1/2 n], con este segundo número relación entre la recta y los números reales, que menor que cualquier d > 0. Considero muy es el objetivo de este artículo. importante que este procedimiento de equiparLa pregunta más natural que surge después tición, de división sucesiva a la mitad, sea explide haber comprendido estos procedimientos es cado tempranamente a los niños; se puede inversa. Cualquier número racional tiene su rehacer con cuerdas, y genera naturalmente las presentación en la recta, pero ¿cualquier punto potencias de 1/2 . de la recta es la representación de un número Pero sigamos: Tenemos un punto A, que está racional por el procedimiento indicado? Uno colocado entre la representación de dos númetendería a dar una respuesta afirmativa luego ros enteros n y n+1. Esto sucede siempre, a mede entender el procedimiento de aproximación nos que A mismo ya sea la representación de un que antecede. O sea, se sentiría impulsado a resentero. En este caso ese entero, que es también ponder: dado que cualquier punto es aproximaun número racional, dista cero del punto dado y, ble por la representación de un número racioobviamente, cero es menor que d. Si no coincide, nal, todo punto de la recta es representación de

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En esta página y en las tres siguientes se pueden apreciar diferentes perspectivas del cubo de papel propuesto en el artículo “La matemática como ciencia experimental”. Se observa el arreglo de los colores en las diferentes caras.

En esta página y en las siete siguientes se pueden ver diferentes perspectivas de la escultura Doce acróbatas, del escultor Jesús Mayagoitia, que se encuentra en la sala de matemáticas del Museo de las Ciencias, Universum, UNAM.

un número racional. Pero es falso. Aquí la intuición inmediata fracasa. Expliquémoslo. Empecemos mostrando un punto de la recta cuya coordenada no es racional. O sea, un punto que está en la recta pero que representa a un número que no es racional; esto es, un punto que ‘no existiría’ si supusiéramos que todos los puntos tienen coordenadas racionales. Tome un plano por la recta en la que estamos trabajando, en la que estamos representando los números. Con base en el segmento [0,1] construyamos un triángulo isósceles que tiene un ángulo recto en el punto que representa al 1. Mostremos cómo se hace con regla y compás: se traza por el punto uno un segmento perpendicular de longitud Figura 6

Construcción de √ 2

igual a [0,1] (figura 6); sea C el nuevo punto obtenido. Por el teorema de Pitágoras (que ya estaba demostrado mucho antes de todas estas dudas sobre los números) la longitud del segmento OC al cuadrado vale la suma de las longitudes de los catetos, al cuadrado, o sea 2, (longitud de OC)2 = 2 = 12+12. Con un compás clavado en el 0, bajemos (giremos) la longitud de OC sobre la recta donde representamos los números; tendremos un punto D, del que sabemos que la longitud OB al cuadrado es 2. O sea que D representa al número raíz cuadrada de dos. Sabemos que este punto es aproximable tanto como se quiera por puntos de coordenadas

racionales. Supongamos que el mismo corresponde a un punto de coordenadas racional, digamos p/q, irreducible; esto quiere decir que ya no se puede simplificar más; no hay ningún número entero n tal que p=P n y q=Q n (se omiten los signos de por, x, al multiplicar); esta forma de escribir un número racional siempre es posible, porque alcanza con ‘simplificar’ n si éste apareciese como factor arriba y abajo (en el numerador y el denominador). Entonces p/q es irreducible y tendríamos que (p/q) 2= 2, o sea p 2= 2 q 2. Pero entonces p=2 P, porque en caso contrario su cuadrado no podría tener un factor dos. Así tendremos que 4 P 2= 2 q 2, o sea, simplificando un dos, resulta 2 P 2= q 2; y por el mismo razonamiento hecho con p, resultará q=2 Q. Ya teníamos que p debía ser igual a 2 P, lo cual es absurdo porque partimos de que p y q eran irreducibles. Por tanto, el punto B no puede ser representación de ningún racional irreducible p/q y, por tanto, no es racional. Como consecuencia de todo este razonamiento se dice que raíz (cuadrada) de dos es un número no racional, es irracional, y que el punto B tiene coordenada irracional. Ruego al lector que observe cómo he elaborado este número irracional a partir de la recta que representaba a los números. Se puede decir que los números racionales no ‘llenan la recta’, que hay puntos irracionales (de coordenadas irracionales). También el número pi es irracional, pero probarlo es mucho más difícil y escapa a los cursos normales de matemática de los primeros años universitarios. Recuerden que el número pi aparece como cociente entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia. Veamos ahora la irracionalidad de raíz de dos desde otra perspectiva, que nos irá acercando a la cita de Poincaré. La sección que sigue será fácil de entender para quienes recuerden algo de representación de funciones, tomando

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Matemática y cultura (II). Los números en la recta

Figura 7 Representación de funciones y = f(x) y

f(x)

dos ejes coordenados perpendiculares. Para simplificar todo, supongamos dos rectas perpendiculares, en las que hemos tomado el cero de ambas en el punto de corte, el punto uno a la derecha de la que ha quedado horizontal, y hacia arriba en la que ha quedado vertical. Tenemos enton-

y=0 2 – 2=- 2 en x=0 e y=3 2 - 2=7 en x=3;

Figura 8 La parábola y = x2 - 2 y

-2

ces dos ejes coordenados y podremos hacer gráficas de funciones de la siguiente manera. Se toman valores (independientes) en uno de los ejes (lo tradicional es hacerlo en el horizontal, que se pasará a llamar eje Ox) y se calcula su valor funcional, representándolo en el otro eje (el vertical en nuestro caso, que se pasa a denominar eje Oy) (figura 7). Por ambos puntos se trazan paralex las al otro eje; estas paralelas se cortan en un punto. Haciendo esta operación con valores de x en un intervalo, obtendremos una curva que representa a la función. Consideremos la función f(x)=x 2 –2; esta función es continua y se puede interpretar como que se pueden dibujar trozos enteros de la curva sin levantar el lápiz; resulta

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O sea, pasa de valores negativos a valores positivos al crecer x de 0 a 3. La intuición diría que la curva entre x=0 y x=3 no puede pasar (de valores negativos a positivos), sin atravesar la recta de los ceros de la y, o sea, sin atravesar el eje Ox. Un simple cálculo muestra que f(x)=0 se satisface, para valores de x positivos, cuando x es precisamente raíz de 2. Es decir que si la recta fuera sólo racional, la curva pasaría de abajo para arriba, sin cortarla. A esta situación se refería Poincaré cuando escribía que en 1850 se admitía que “una función continua no podía cambiar de signo sin anularse; hoy [1900] se demuestra.” ¿Qué quería decir al distinguir entre admitir y probar esa propiedad? Esa propiedad fue denominada posteriormente Teorema de Bolzano, por el matemático checo Bernhard Bolzano (1781–1848). No es muy sencillo responder la pregunta, pero intente-

mos. La respuesta tiene que ver con este enfoque cultural de la matemática que estamos reivindicando. Hacia fines del siglo XVIII se tenía idea bastante precisa de la relación entre los puntos de la recta y los números, que existían números irracionales; a mediados del siglo XIX se tenía idea clara de cómo definir el concepto general de función continua, pero lo que sorprendentemente no existía era una definición precisa de los números reales que surgiera naturalmente de los números ‘anteriores’. Ése fue el proceso que se vivió en los 50 años de que habla Poincaré: el proceso de formalización de los números reales, que permitió colocar como pruebas lo que antes se admitía naturalmente. Había escrito: “No hemos tardado en darnos cuenta que la seguridad no podría establecerse en los razonamientos, si no se la hiciera entrar primero en las definiciones.” Es bueno observar que el mismo Poincaré era muy crítico respecto del proceso en que esta rama de la matemática tomó rigor y adquirió las formas lógicas que la caracterizan ahora. Escribe poco después de las citas ya transcritas: Pero, ¿creen que las matemáticas hayan alcanzado la seguridad absoluta sin ningún sacrificio? Nada de eso; lo que han ganado en seguridad lo han perdido en objetividad. Es alejándose de la realidad que han ganado esta pureza perfecta. Se puede recorrer libremente todo su dominio, antes erizado de obstáculos, pero estos obstáculos no han desaparecido. Han sido solamente transportados a la frontera, donde falta vencerlos de nuevo si se la quiere franquear y penetrar en el reino de la práctica. (p. 102)

Es la visión de un auténtico científico, que observa la presentación equilibrada de una parte de la realidad, por medio de una teoría científica, la considera fundamental y positiva (escribió: “Se fiaba de la intuición, pero la intuición

no puede darnos ni la seguridad ni la certeza”), pero ya está observando los nuevos problemas por resolver. Porque los ‘obstáculos’ de que habló Poincaré son los de la frontera del conocimiento, los del avance del conocimiento para penetrar mejor en el reino de la práctica. La formalización de los números reales, el entendimiento pleno de que en la recta se pueden representar muchos más números que los racionales y el conocimiento fino de la estructura de los números reales significó un avance fundamental para casi todas las ramas de la matemática y sus aplicaciones. La prueba de los resultados a los que hace referencia Poincaré se enseña ahora en diversos cursos universitarios. Continuaremos en un próximo artículo con esta discusión sobre los números racionales y reales. Para terminar repetimos las últimas frases del artículo anterior. Este trabajo trata de reivindicar el contenido cultural de la matemática y la presentación de la matemática como la profunda historia y creación humana que en realidad es. El profesor debería saber cómo se han formado las ideas matemáticas para: • Comprender las dificultades que tuvo la humanidad para elaborarlas. • Relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual. • Utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar. El papel de los maestros es lograr impregnar su didáctica de la matemática de este contenido cultural, de su influencia en la formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter histórico y evolutivo, que es fundamental. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, su aprendizaje se verá facilitado.

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Certidumbres e incertidumbres

Friedrich Froebel

Traducido del alemán por Don J.Abelardo Núñez. Edición anotada por W. N. Hailmann. Biblioteca virtual Miguel de Cervantes, Universidad de Alicante, España.

Lynn Arthur Steen, editor. La enseñanza agradable de las matemáticas. México, Noriega Editores, 1998.

Mario Aguirre Beltrán

ecordado principalmente por el desarrollo del kindergarden, jardín de infantes, la vida y la carrera de Froebel estuvieron dominadas por la convicción de que todos los humanos tienen como derecho indeclinable la autorrealización a través de la autoeducación. Friedrich Wilhelm August Froebel nació en abril 21 de 1782, en Oberweissbach, Alemania, siendo el quinto hijo de la familia de un clérigo. Sólo tenía nueve meses cuando su madre murió. El trauma causado por esta pérdida y las demandas de su padre, tan posesivo como indiferente era su madrastra, lo hicieron triste, in-

Capítulo II. Segundo grado del desarrollo del hombre: el niño [...] Aunque, a decir verdad, todo grado en el desarrollo y perfeccionamiento del hombre sea muy importante en su orden respectivo, permítasenos que insistamos sobre la importancia especial que toma a nuestros ojos el grado presente [la primera infancia]. Es, en efecto, la primera manifestación del lazo que une al hombre al mundo exterior; es el primer paso dado por él en la vía de la comprensión de este mundo exterior, que se le aparece entonces bajo las formas más diversas. Es altamente importante que el niño, llegado a este grado, contemple de una manera justa los objetos que le rodean, y los conozca según su naturaleza y sus propiedades, conociendo a la par los grados de su importancia y de su valía, y las relaciones existentes entre ellos y con el hombre. Empléense siempre expresiones exactas, frases simples y claras para designar al niño las condiciones de espacio y de tiempo, y todas las propiedades peculiares al objeto que se lo quiera dar a conocer. Como este grado de desarrollo del hombre exige que el niño designe cada cosa con claridad y precisión, síguese necesariamente de ahí que todo lo que le rodea deba serle presentado precisa y claramente: una condición reclama la otra. [...] La palabra y el juego componen el elemento en que vive el niño de esta edad.Atribuyendo a cada cosa la vida, el sentimiento, la facultad de oír y de hablar que él siente en sí mismo, imagínase también que todo objeto oye y habla; y no vacila, desde que empieza a manifestar su interior, en atribuir una actividad semejante a la suya a las piedras, a los árboles, a las plantas, a las flores, a los animales y a todo lo que le circunda.

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trospectivo, lento para el aprendizaje de la lectura y poco interesado en asuntos intelectuales. Con pocos contactos con niños de su propia edad, se desarrolló en él una atracción casi obsesiva por el mundo de la naturaleza. Aprendió a observar cuidadosamente, a hacer deducciones científicas, y a muy temprana edad formuló una profunda filosofía espiritual acerca de la unidad del universo. Después de su entrenamiento como guardabosques, siguió algunos cursos universitarios informales en Jena, hasta que fue apresado por no pagar sus deudas. Luego de un breve periodo como empleado público, secretario privado, tuvo, a los 23 años, una breve preparación como arquitecto para, impulsivamente, tomar un empleo de maestro en una escuela modelo de Frankfurt, en la que seguían las concepciones desarrolladas por el educador suizo Pestalozzi.

Un momento crucial en su vida ocurre en junio de 1806, cuando se contrata como tutor de los tres hijos del Barón von Holtzhausen. La falta de interés de éste por el crecimiento de sus hijos confirma la convicción de Froebel de la necesidad vital de que tanto el padre como la madre participen en la educación de los hijos. Vio en la Baronesa, por quien sintió gran afinidad, el ejemplo de madre ideal y percibió en ella a su novia espiritual. En junio de 1811, repentinamente, abandona la casa del Barón para continuar sus estudios universitarios, pero mantiene correspondencia secreta con la Baronesa durante muchos años. En la Universidad de Göttingen, Froebel enunció su ‘ley de la esfera’, un símbolo de las fuerzas divinas operando en el universo, la cual soñó que pudiera considerarse como una síntesis universal.

El niño se explica de esta suerte, o por lo menos presiente, cómo la vida le es propia, su vida con sus parientes y su familia, su vida con un ser superior que le es invisible, cómo, en fin, su vida con la naturaleza no constituye más que una sola y misma vida. Es importante para el éxito de la educación del niño de esta edad, que esta vida que él siente en sí tan íntimamente unida con la vida de la naturaleza, sea cuidada, cultivada y desarrollada por sus padres y por su familia. El juego les suministrará para ello medios preciosos, porque el niño no manifiesta entonces más que la vida de la naturaleza. El juego es el mayor grado de desarrollo del niño en esta edad, por ser la manifestación libre y espontánea del interior, la manifestación del interior exigida por el interior mismo, según la significación propia de la voz juego. El juego es el testimonio de la inteligencia del hombre en este grado de la vida. Es por lo general el modelo y la imagen de la vida del hombre, generalmente considerada, de la vida natural, interna, misteriosa en los hombres y en las cosas: he ahí por qué el juego origina el gozo, la libertad, la satisfacción, la paz consigo mismo y con los demás, la paz con el mundo; el juego es, en fin, el origen de los mayores bienes. [...] Los cuidados paternos y maternos y los de la familia, tienen por único fin el completo desarrollo de las fuerzas, de las disposiciones y de las aptitudes de todos los miembros y órganos del hombreniño, respondiendo a sus exigencias y a sus necesidades. Pero no basta que la madre trabaje instintivamente por obtener este desarrollo; conviene que al ocuparse a sabiendas de un ser consciente, esté

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Friedrich Froebel

Pronto se incorporó a la lucha en la guerra contra Napoleón. Es entonces, como soldado, cuando desarrolla la idea de regenerar Alemania a través de la reestructuración de su sistema educativo. A su regreso, en 1814, ingresa a la Universidad de Berlín, donde se convierte en curador del Museo de Mineralogía. Dos años después regresa a Turingia para fundar su propia escuela, la cual describiría como “la institución educativa universal alemana”. Tres sobrinos huérfanos, un hermano, su cuñada y los hijos de ésta constituyeron el primer personal y los primeros alumnos. Froebel enfatizó el lugar de la familia como la raíz de la vida humana, pero no se casó hasta 1818 con Whilhelmine Hoffmeister, una refinada y cercana compañera espiritual. Después de un año la escuela se muda al vecindario de Keilhau y entonces, pronto, crece hasta llegar a ser una floreciente institución.

Incapaz de obtener apoyo del gobierno para su proyecto, él continúa fiel a su idea de escuela. Escribe numerosos artículos y en 1826 publica La educación del hombre, una presentación filosófica de los principios y métodos utilizados en su escuela de Kielhau. En 1828, la escuela es acusada por las autoridades de “nido de demagogos” para ser oficialmente absuelta, aunque Froebel es removido de la dirección en 1832. Después de cinco años en Suiza vuelve a Alemania para realizar sólo dos de sus ideas: el Instituto de crianza y actividad infantil, el cual fue la feliz inspiración del renombrado kindergarden o jardín de niños, y una pequeña escuela para futuros maestros. Froebel es el precusor de la visión moderna del espacio y la arquitectura escolar y de la relación entre éste y la propuesta pedagógica de la escuela inicial como escuela de crianza y cultivo. De ahí el nombre de ‘jardineras’ a las maestras de jardín de niños.

convencida de que coopera, al propio tiempo, en el desarrollo de la humanidad entera y obre en vista de este indudable enlace que existe entre el niño y la humanidad. El amor maternal, razonable, conforme con la justicia y con la verdad, debe conducir seguramente al niño por las vías del desarrollo, y llevarle poco a poco a manifestarse con la conciencia de sí mismo.“Dame tu bracito. ¿En dónde está?, ¿dónde se oculta tu manecita?” dice la madre a su hijo, para darle a conocer la multiplicidad y la variedad de sus miembros. [...] Por medio de estos procedimientos, inspirados en la naturaleza misma, todas las madres enseñan al niño a conocer multitud de cosas, aun aquéllas que éste no podría ver al exterior. Todo esto tiene por objeto infundir al niño la noción de sí propio y llevarle a reflexionar sobre sí propio. Por ejemplo, un niño educado con solicitud según este método tan natural, decíase un día, ignorando que nadie le escuchase: “Yo no soy ni mi brazo ni mi pierna; yo no soy mi oreja; yo puedo separar todos los miembros de mi cuerpo y sin embargo me quedo siendo yo; ¿quién es, pues, ése que yo titulo yo?” Idéntica razón inspira a la madre, cuando juega con su hijo, la idea de decir:“Muéstrame tu lengüecita; muéstrame tus dientecitos; muérdeme con tus dientecitos”. Así le lleva a hacer uso de sus miembros. Empuja tu piececito ahí dentro, le dice, presentándole una media o un zapato. De este modo el instinto y la ternura de la madre guían al niño hacia ese mundo exterior que ella, a su vez, aproxima al niño. Quiere hacerle distinguir la unión de la separación, el objeto distante del cercano; llama su atención sobre las relaciones que guardan entre sí y con él los objetos

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James Bowen, Historia de la educación occide ntal, tomo III. Barcelona, Ed. Herder. 1992

Inició, desde esta perspectiva, una editorial para juegos y materiales educativos, incluyendo una colección: Mother play and nursery songs (juegos maternos y canciones infantiles), en la que se incluían extensas instrucciones sobre su función educativa y su uso. Este libro fue muy popular y ha sido traducido a varios idiomas. Froebel insistió en el desarrollo de la educación infantil como condición preliminar para una reforma educativa y social. Su entusiasmo fue acrecentado por Louise Lewin, una fervorosa seguidora 30 años menor que él, a quien había ayudado en Kielhau. Se casaron en 1851. Froebel ganó apoyo mundial hacia el movimiento del kindergarden cuando fue acusado de subversivo por el gobierno prusiano desde 1851 hasta 1860. La Baronesa de MarenholtzBülow, profundamente impresionada por lo que observó en el kindergarden de Froebel, es-

Jardín de niños de Froebel, hacia 1880.

tableció algunos jardines de infantes en Inglaterra y otros países de Europa. Murió en Marienthal, Alemania, en junio 21 de 1852.

cuyas propiedades y cuyo uso quiere ella darle a conocer.“El fuego quema”, dice, acercando prudentemente a la llama el dedo del niño, a fin de hacerle sentir la acción del fuego, sin que se queme; así le preserva, para el porvenir, de un peligro que le era desconocido. Dirá ella también, aplicando ligeramente la punta del cuchillo sobre la mano del niño: “El cuchillo corta”. Luego, queriendo llamar la atención del niño, no solamente sobre los objetos en su estado pasivo, sino también sobre su uso y sus propiedades, añade: “La sopa está caliente, quema. El cuchillo es afilado, pica, corta, no lo toques”. El niño, pasando del conocimiento del objeto al de la acción, llega fácilmente de este modo a comprender la significación real de las voces cortar, picar, quemar, sin necesidad de dedicarse a experiencias sobre sí mismo. [...] En el presente grado de la vida del niño hallamos el principio del desarrollo de su inteligencia, de sus aptitudes y de sus facultades. Adquiere la palabra; la naturaleza se le presenta y le descubre las tan varias propiedades del nombre, de la forma, del tamaño, del espacio, en una palabra, las propiedades de los seres y de las cosas. El mundo artificial se le aparece distinto del de la naturaleza. Se mira el niño como antítesis del mundo exterior. Presiente en sí un mundo interior, invisible, individual, y sin embargo no ha salido aún del primer grado de la infancia, en el cual lo vemos iniciarse en los cuidados y en los asuntos domésticos. Apenas el niño ha tomado parte, por pequeña que sea, en las ocupaciones cotidianas de la familia, adquiere él a sus propios ojos una importancia, que le revela en parte la dignidad de su destino.

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Artistas y artesanos

La educación musical, una alternativa para el desarrollo del pensamiento reflexivo Andrea Ávila-Ripa

omo resultado de factores políticos y sociales, los presupuestos y programas educativos se han dirigido hacia el desarrollo de la ciencia y la tecnología buscando en los alumnos un incremento rápido de aquellas habilidades que ofrecen soluciones a corto plazo. Parece lógico dentro de este contexto que una actividad ‘extra’, como la clase de música, haya sido olvidada en el currículo escolar. Sin embargo, investigaciones en psicología, educación y arte señalan que podemos estar cometiendo un grave error al excluir o no darle la importancia adecuada a dicha asignatura. En el año 1983, Howard Gardner, psicólogo estadounidense y director del Proyecto Cero, expuso la teoría de las inteligencias múltiples, catalogando al proceso mental efectuado en el aprendizaje y ejecución de la música como una inteligencia aislada que al ser desarrollada favorece el despliegue de las demás inteligencias. A su vez, Boardman (1989) expuso que a través del entendimiento de la estructura musical se ejercita la capacidad de inferencia y predicción, ya que es posible utilizar la música como una ‘metáfora de la realidad’. Asimismo, Moore (1989) identificó ocho de los procesos mentales frecuentemente mencionados en la literatura educativa como fundamentales en el aprendizaje musical: 1) 2) 3) 4)

Formación de conceptos. Formación de principios. Comprensión. Resolución de problemas.

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5) 6) 7) 8)

Toma de decisiones. Investigación. Composición. Discurso oral.

Propuso la instrución musical no sólo como una forma de expresión artística sino también como una materia académica, pues puede ser descrita por su contenido (elemento o concepto), su contexto (proceso mental o conducta musical) y su cualidad (creativa o crítica). Por otra parte, Cutietta (1995) presentó los hallazgos de doce investigaciones que apoyan la existencia de una conexión entre la educación musical y la capacidad del aprendizaje de la lectoescritura del idioma materno. En estos estudios de corte experimental, los niños —en su mayoría de primero y segundo grados de primaria— fueron instruidos específicamente en el aprendizaje de la notación musical. Mediciones anteriores y posteriores demostraron que el reconocimiento y la discriminación de letras, la velocidad de lectura y la comprensión de ésta eran superiores en los niños que habían recibido la instrucción musical. Actualmente, son muchos y muy variados los trabajos de investigación que buscan entender procesos mentales complejos tales como los creativos y su posible utilización en el campo educativo. Universidades en Estados Unidos, Canadá, Alemania y Japón realizan estadísticas con los puntajes de exámenes de admisión, en relación con la educación o falta de educación musical que tuvieron sus aspirantes en los dife-

Gabriela González de Tapia y Alejandra Aguirre Herrera. Un grito de alegría. Treinta años de la Escuela Manuel Bartoloné Cossío, 1964-1994.

rentes ciclos escolares. Específicamente, el equipo de los doctores Shaw, Rausher, Gordon y Levine, de la Universidad de California, en Irvine, mostró que la audición de cintas de música de Mozart por espacio de 15 minutos aumenta los puntajes de los exámenes académicos en forma más eficaz que los ejercicios de re-lajación y de silencio. También observaron que niños que toman regularmente clases de música aumentan sus capacidades espaciales y nociones matemáticas de fracción y de relación término a término debido a que éstas son indispensables en el aprendizaje de la música. En estos momentos en que se busca desarrollar seres creativos, sensibles y con responsabilidad social, la educación musical se presenta como una alternativa innovadora. La música en el aula debe dejar de ser únicamente un medio de diversión para convertirse en una opción para el desarrollo del pensamiento reflexivo. Sin embargo, se presenta la pregunta: ¿Cómo puede convertirse la clase de música en una experiencia que desarrolle el pensamiento analítico? Las investigaciones sobre la mente realizadas por O’Keefe y Nadel (1978) destacan la importancia de la educación integral por proyectos en la formación de mapas mentales. Bajo este modelo de enseñanza-aprendizaje las fronteras entre las diversas disciplinas se disuelven para explotar a través de un único tema diversos aspectos de historia, geografía, ciencia, literatura, música, sociología y artes plásticas. La educación musical puede desplegar entonces las funciones históricas, biológicas y sociales que ha habido a lo largo del desarrollo de la humanidad, postulándose además como una alternativa para el pensamiento crítico y la resolución de problemas. A continuación se presenta un ejemplo que ilustra la utilización de actividades musicales como eje generador de pensamiento analítico en el trabajo de proyectos interdisciplinarios.

1. Como introducción al tema, el maestro canta la primera estrofa de la canción de la pesca de salmón: Voy navegando en mi canoa, busco salmones para comer.

2. Posteriormente, pregunta a los niños qué es lo que el personaje de la canción está haciendo. Se establece la discusión grupal sobre la vida de salmones, pescadores, el río, el mar, etc. Se desarrollan simultáneamente la atención auditiva, la concentración y la expresión verbal. 3. El maestro canta ahora la segunda estrofa con el fin de generar la discusión grupal referente a los ciclos de vida de las especies animales y la necesidad de evitar la sobreexplotación de recursos naturales: Siempre en los mares salgo a pescarlos porque en el río desovarán.

4. A través del análisis de la canción se podrán estudiar las cadenas alimenticias, los animales ovíparos, el cuidado de ríos y mares, la

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contaminación y los recursos naturales no renovables, entre otros aspectos de ciencias naturales. También será posible extender el tema al estudio de las culturas que se dedican a la pesca del salmón —como los indios de Norteamérica— destacando la importancia de la convivencia entre pueblos y los problemas que han sufrido indígenas y nativos americanos. Los alumnos podrán investigar la evolución de la pesca de salmón a través del cambio en los arpones y artes de pesca y relacionar estos cambios con descubrimientos científicos y sucesos históricos tanto nacionales como internacionales. El desarrollo motriz podrá ser favorecido a través de la dramatización de la canción. Ejemplo: indios remando sincrónicamente en sus canoas siguiendo un patrón: derecha, izquierda, adelante, atrás. Preparación de la comida. Danza de la pesca. El desarrollo del pensamiento lógico-matemático podrá realizarse a través de a) clasificación por tamaño, color, especie y sexo de salmones (láminas); b) estudiando las diferencias y similitudes que existen entre las distintas especies de peces; c) pesando y midiendo algunos ejemplares de salmón (o de cualquier otro pez); d) relacionando la superficie y el volumen del pez con la figura geométrica más parecida a él. La integración del conocimiento se plasma finalmente en poemas, cuentos, dibujos, es-

Gabriela González de Tapia y Alejandra Aguirre Herrera. Un grito de alegría. Treinta años de la Escuela Manuel Bartoloné Cossío, 1964-1994.

La educación musical, una alternativa para...

culturas y composiciones musicales propias. Se entiende que durante el proceso creativo serán indispensables habilidades tales como la observación, el análisis y la toma de decisiones, así como los procesos de comunicación verbal y no verbal. En suma, la educación musical es una alternativa importante para el desarrollo del pensamiento reflexivo. Es menester que tanto los maestros de grupo como los de música conceptualicen a ésta como un posible generador del proceso de enseñanza-aprendizaje integral y no sólo como medio de esparcimiento y adorno de festivales escolares.

Bibliografía BOARDMAN, E.“ The Relation of Music Study to Thinking”, en Dimensions of Musical Thinking, E. Boardman Ed., (pp. 1-7). Music Education National Conference, Reston VA., 1989. CAINE R & CAINE, G. Making Connections,Teaching and the Human Brain. Addison Wesley, Menlo CA., 1991. CIEPLUCH, G.M. Sight reading achievement in instrumental music performace, learning gifts and academic achievement: A correlational study. Tesis Doctoral sin Publicar. University of Wisconsin-Madison, 1988. CUTIETTA, R. “Does Music Instruction Help a Child Learn to Read?”, General Music Today. 1995, Reston,Va., Fall (9), 26-31. GARDNER, H. Inteligencias Múltiples. Paidós, México D.F., 1986. MOORE, B. “Musical Thinking Processes”, en Dimensions of Musical Thinking, E. Boarman Ed., (pp. 1-7). Music Education National Conference, Reston VA, 1989.

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Sentidos y significados

Lo que nunca quiso saber acerca de la Matemática y los matemáticos, y temía preguntar Emilio Lluis-Puebla* La Matemática es una de las Bellas Artes, la más pura de ellas, que tiene el don de ser la más precisa de las ciencias. E. Lluis-Puebla

l presente texto tiene como finalidad exponer ese misterioso y prácticamente desconocido mundo del matemático y de la Matemática. Muchas de las ideas presentadas son propias y otras de los artículos mencionados en la bibliografía. Una de las diferencias entre la Matemática y la Música es, por ejemplo, que la Matemática no cuenta con un instrumento donde tocarse. El piano es un instrumento para la Música y el oyente la escucha por medio del sentido auditivo y es capaz, si lo desea, de disfrutar, apreciar, etc., los sonidos emitidos en una secuencia dada. Por otro lado, el oyente de Matemática, si es lego, no podrá apreciarla ni disfrutarla a pesar de que ésta sea ofrecida en su propio idioma. Aquí hay una diferencia importante. Mientras el oyente de Música puede ser totalmente ignorante de la estructura musical, así como de sus aspectos técnicos, puede experimentar a través de sus sentidos alguna emoción o placer estético, mientras que el espectador lego en Matemática no experimentará absolutamente ninguno. La Matemática se transmite directamente de cerebro a cerebro o directamente de una ‘partitura’ de Matemática al cerebro. El oyente preparado en Matemática sí podría experimentar placer estético. La Matemática existe desde que existe el ser humano. Prácticamente toda persona es un matemático en algún sentido, desde los que utilizan la Matemática hasta los que la crean. También todos son, hasta cierto punto, filósofos de la Matemática. Efectivamente, todos los que miden, reconocen personas o cosas, cuentan o dicen que algo es ‘tan claro como que dos y dos son cuatro’ son matemáticos o filósofos de la Matemática. Sin embargo, hay un número muy reducido de personas que se dedica a crear, enseñar, cultivar o divulgar esta disciplina. Este artículo no es de Matemática pero es acerca de la Matemática y de quienes la practican. Poseo amigos que no son matemáticos pero que están ampliamente deleita* Presidente de la Sociedad Matemática Mexicana.

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dos cuando asisten a una reunión de matemáticos y son contagiados por la pasión hacia esta ‘bella arte’. Siempre es muy interesante que no solamente practiquemos una actividad sino también hablemos de ella, conozcamos cómo es su desarrollo, su papel en la historia, en la sociedad y a quienes la practican. Es muy común la creencia de que un matemático es una persona que se dedica a realizar enormes sumas de números naturales durante todos los días. También la gente supone que un matemático sabe sumar y multiplicar los números naturales muy rápidamente. Si pensamos un poco acerca de este concepto que la mayoría de la gente tiene podríamos concluir que no se requieren matemáticos ya que una calculadora de bolsillo realiza este trabajo. También es frecuente que cuando se les pregunta cuál es la diferencia entre un matemático y un contador, no la saben. Los matemáticos no son los que calculan o hacen cuentas, sino los que inventan cómo calcular o hacer cuentas. Hacer Matemática es imaginar, crear, razonar. A pesar de que la Matemática es la más simple de las disciplinas sistemáticas que el ser humano ha creado, pues se concentra en conceptos abstractos nada comparables a la complejidad de los seres humanos, a muchas personas no les gusta la Matemática. Generalmente dicen que porque no la entienden. En su mayoría se refieren a lo que se enseña en la escuela primaria o secundaria. Una razón de esto es que quizás la disciplina no se estudió en forma constante y la persona deseaba entender algún concepto sin antes haber entendido los anteriores. También es muy frecuente estudiar solamente para pasar algún examen y, de preferencia, la noche anterior a éste. Mucha gente dice que nunca entendió nada y que, además, nunca ha utilizado la mayoría de conceptos y herramientas matemáticos para nada. Dicen, también, que son horribles y que jamás han podido hacer cuentas. Otra razón muy frecuente es la fuerza de la tradición familiar. Muchos papás o mamás comentan a sus hijos que ellos nunca pudieron entender nada, que la Matemática es muy difícil y que es horrible. Si esto es lo que externan papá o mamá, ya podemos suponer qué pensarán o sentirán sus hijos. Poincaré se preguntaba cómo es posible que haya personas que no entienden Matemática si está basada en leyes de la lógica aceptadas por el común de las personas. Pero el problema no es éste, sino que no se puede entender bien el argumento de una película si no se ha visto desde el principio. Las definiciones de ‘Matemática’ que se encuentran en los diccionarios no ayudan a elucidar qué es la Matemática. Por ejemplo, el Diccionario de la Real Academia Española dice que “Matemática es la ciencia que trata de la cantidad”. Otro, muy conocido, dice que “es una ciencia que trata de las cantidades, magnitudes, formas y sus relaciones por medio de números y símbolos”. En otros diccionarios se define a la Matemática como “la ciencia del espacio y de la cantidad, las cuales en su expresión más simple se llaman Geometría y Aritmética”. Según me comentó mi querido amigo Arrigo Coen, mathema significa erudición, manthanein es el infinitivo de aprender, el radical mendh significa, en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. Así que en sentido implícito, Matemática sig-

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nifica: ‘lo digno de ser aprendido’. También se dice que Matemática significa ‘ciencia por excelencia’. ¿Se dice Matemática o Matemáticas? Esta última denominación obedece a circunstancias históricas. En la Edad Media, la clasificación en ramas estaba dada por la de Aritmética, Música, Geometría y Astronomía, que constituyeron el Cuadrivium. A éstas se les agregaron otras más, como el Álgebra y, posteriormente, la Teoría de Números. Sin embargo, desde la primera mitad del siglo XIX, debido al progreso en diversas ramas se le dio unidad a la ciencia Matemática y se justificó el nombre en singular. Trescientos años antes de Cristo, Euclides estableció los fundamentos de la Geometría. Su libro es el segundo libro más traducido y copiado, sólo después de la Biblia, y todavía se enseña en nuestras escuelas primarias. Pero la importancia mayor de los Elementos de Euclides radica en que los presentó como un sistema deductivo. Expuso ideas elementales evidentes que se pueden combinar a través de manipulaciones lógicas para dar resultados cada vez más complejos. El proceso deductivo se conoce con el nombre de ‘demostración’. Así que la Geometría euclidiana es el primer modelo formal de un sistema deductivo, que se ha convertido en un modelo a seguir. La Geometría se transformó, y sigue utilizándose como un modelo de entrenamiento para el razonamiento lógico en los niños (desgraciadamente no bien enseñado y mucho menos bien aprendido por parte de los estudiantes). En cuanto a la Aritmética, el aspecto deductivo de ésta realmente no tuvo impacto sino hasta el siglo XIX, cuando se dieron cuenta que lo importante no eran los números de por sí, sino las operaciones binarias definidas en conjuntos, así como sus estructuras. La Matemática existe en la mente de los seres humanos, después existe en los libros, en vídeos o en la memoria de las computadoras. Prácticamente toda cultura ha creado Matemática de alguna forma y en la actualidad casi todos los países poseen matemáticos. Éstos no están aislados, como sucedía en la antigüedad, y podría decirse que la Matemática actual está unificada y se transmite libre y casi totalmente. Se realizan congresos nacionales e internacionales donde se intercambian ideas entre los participantes y son un medio adecuado para el desarrollo de esta disciplina. La investigación Matemática ya no es un pasatiempo de la aristocracia ni es patrocinada por la Iglesia o la monarquía. Desde el siglo XIX ésta se desarrolla principalmente patrocinada por las universidades, que reciben un subsidio proveniente de los impuestos o de donativos de corporaciones de diversa índole y que permiten o exigen a sus académicos que realicen investigación. Desgraciadamente, debemos señalarlo, se encuentra supervisada muy frecuentemente por personas que desconocen qué es la Matemática. Existe un número pequeño de matemáticos en todo el mundo comparado con la población total. En México ha habido, aproximadamente, alrededor de 3000 licenciados en Matemática en toda la historia, de los cuales aproximadamente 900 están activos. La Sociedad Matemática Mexicana cuenta, actualmente, con alrededor de 1200 miembros. Estos números arrojan que, aproximadamente, el 0.001% de la población nacional es un licenciado en Matemática activo. En el mundo existen cerca de dos mil revistas en las que se publica Matemática periódicamente.

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El matemático requiere para su trabajo de papel y lápiz, gis y pizarrón. Necesita de tiempo suficiente, condiciones favorables que le permitan pensar —entre ellas una condición de vida libre de penurias económicas— y acceso a información en bibliotecas, etc. La utilización de una computadora, contra lo que se cree, es mucho más frecuente en ingenieros, físicos, astrónomos, químicos, economistas, secretarias, médicos, bibliotecarios o contadores que entre los matemáticos puros, cuyo uso se reduce, salvo en una proporción pequeña, a ser una máquina para escribir o procesador de textos. A pesar de que cada día aumenta su uso como herramienta en la resolución de algunos problemas, casi toda la investigación matemática se sigue realizando como si no hubiera computadoras (u ordenadores, como prefieren llamarlos algunos). En general, un estudiante de la licenciatura de Matemática trabaja durante toda su carrera con alrededor de 20 libros básicos, más, quizás, otros 20 de consulta. Esto contrasta con lo que sucede en otras carreras, donde la cantidad de libros por estudiar puede superar los 500. Esta notable diferencia se debe a que el estudiante de Matemática debe leer, razonar, asimilar cada palabra, cada renglón, meditar y volver a releer varias veces, de tal manera que puede pasar días con una sola hoja. Una excelente biblioteca de Matemática posee alrededor de 100 000 volúmenes, cuya cantidad de información está muy por encima del alcance de asimilación de un ser humano. Esta biblioteca, comparada con las de otras ramas del conocimiento, es muy pequeña. En el medio matemático es, o debe ser, bien conocido este hecho. De aquí la modestia, en general, de los matemáticos, pues sabemos de lo mucho que ignoramos. ¿Cuánta Matemática hay? Actualmente la Matemática está clasificada en 63 áreas con alrededor de 5000 subclasificaciones. Es política de los profesionales de la Matemática eludir la mayor o menor importancia de un área o de otra. En la práctica, cada miembro está convencido de la existencia e importancia de su propia área sin importar cuan sospechoso esté de las otras áreas y de sus adeptos. En general, se adopta el principio de no agresión o de total indiferencia. Así que todos aceptan o toleran la existencia de las otras áreas, para algunos superfluas, de la Matemática. Dividir esta ciencia en ramas con fronteras rígidas es absurdo y va contra su propio espíritu. La clasificación tradicional en Álgebra, Análisis, Geometría, etc., es totalmente obsoleta. ¿Cómo se origina una teoría matemática? La historia de la Matemática nos muestra que una teoría casi siempre se origina de los intentos para resolver un problema específico. Dieudonné [D] establece varias categorías de problemas para la Matemática pura. Puede suceder que los esfuerzos para resolver algún problema no produzcan frutos, lo que da lugar a la categoría I de problemas, la de aquéllos que están muertos al nacer. Es posible que el problema sea resuelto, pero que los intentos por resolverlo no den lugar a un progreso en cualquier otro problema. Ésta es la categoría II, es decir, la de problemas sin consecuencia, por ejemplo, algunos que surgen de la combinatoria. Otra categoría es aquella en la que se examinan las técnicas utilizadas para resolver un problema, que pueden ser aplicadas para resolver otros similares o más difíciles, sin necesariamente entender por qué funciona. Así, en la categoría III de problemas se

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encuentran aquellos que proporcionan un método; por ejemplo, la teoría de grupos finitos o la teoría analítica de números. La categoría IV es la que consta de problemas que pertenecen a una teoría general fértil y activa, que revelan la existencia de estructuras subyacentes insospechadas que no sólo iluminan la pregunta original sino que proporcionan métodos para dilucidar problemas huéspedes de otras áreas, por ejemplo la Topología Algebraica o la Teoría de grupos de Lie. La categoría V incluye teorías en decadencia, que no han florecido por varias razones. Por ejemplo, puede suceder que una vez que han sido resueltos los problemas de mayor importancia así como las conexiones con otras ramas, la teoría parecería concentrarse en problemas especiales y aislados, y posiblemente muy difíciles. Así ha sucedido, entre otras, con la Teoría de Invariantes. Finalmente se tiene la categoría VI, que consta de teorías en estado de dilución. A menudo, modificar una colección de axiomas de una teoría exitosa ya sea quitándole o agregándole axiomas sin ninguna razón aparente para tratar de lograr el éxito de la teoría original, resulta en un esfuerzo infructuoso. Dieudonné menciona que la mayoría de los temas tratados por el Seminario Bourbaki pertenece a la categoría IV y, con menor extensión, a la III (el grupo Bourbaki se encuentra escribiendo, desde 1939, un compendio de Matemática, comenzando con los conceptos más generales y concluyendo con los más particulares). Existen, fundamentalmente, dos fuentes para la creación de nueva Matemática. La Matemática por sí misma es una de ellas y la otra es la demanda que hacen de ella otras ciencias y la tecnología. Un reto sin par en la Matemática es relacionar dos áreas aparentemente desconectadas. Mucha Matemática se crea por simple curiosidad. Pero ésta sólo la poseen los grandes matemáticos. Uno de los problemas más difíciles para un matemático principiante (o no tan principiante) es encontrar un problema. A menudo sucede que casi toda la emoción de la creación y penetración está concentrada en formular la pregunta adecuada. Podría decirse que esto es más de la mitad del trabajo y a menudo la que requiere de más inspiración. Ésta es una gran diferencia con la investigación en otras áreas del conocimiento y es precisamente la que hace que la investigación Matemática sea extremadamente difícil. La búsqueda de la respuesta puede ser también difícil, puede requerir de mucho ingenio, se pueden utilizar técnicas conocidas y, en el mejor de los casos , puede necesitar de la invención de nuevas técnicas. El matemático no procede como un detective para encontrar la solución de su problema. No es una computadora de deducciones, sino que procede utilizando la experimentación (sin tubos de ensayo ni equipos costosos), mediante la inducción y, si hay suerte, la inspiración. Poincaré escribió, a principios del siglo XX, que una demostración Matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos sino silogismos colocados con cierto orden, y que el orden en que son colocados es mucho más importante que los silogismos por sí mismos. Comentó que no tenía miedo de que alguno de ellos se le olvidara, pues cada uno tomaría su lugar en el arreglo sin el menor esfuerzo. También describió el proceso de creación: primero se realiza un trabajo consciente acerca del problema, después se dejan madurar las

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ideas en el subconsciente, luego aparece la solución, quizás cuando menos se espera y, finalmente, ésta se escribe. ¿Cómo es un matemático? ¿A qué problemas se enfrenta en la vida real? ¿Cuál es su estereotipo y qué imagen posee de sí mismo? ¿Cuál es la imagen de un matemático para los demás? Cuando a un matemático le preguntan de qué trata su área de trabajo, le están preguntando algo que requiere de mucho tiempo para ser contestado. En lo personal respondo con otra pregunta: ¿De cuánto tiempo dispone usted para escuchar la respuesta? Luego, el matemático trata de explicar que cierta teoría algebraica requiere de dos años de estudios de posgrado para que se pueda entender, más o menos, la definición de los objetos de estudio de la tal teoría. Inmediatamente, con cara de sospecha, el interlocutor pregunta... ¡si se está seguro de que ésa es una teoría válida! Su desconfianza aumenta cuando se cuestiona si algo que no puede ser explicado con palabras existe. Sin embargo, insiste en que se le dé una idea vaga de lo que el matemático está haciendo o de los problemas más relevantes de su área de trabajo. Así, el matemático le dice que el cálculo del n-ésimo grupo de homotopía de la construcción más de Quillen del espacio clasificante del grupo lineal general del anillo de los números enteros es el problema más importante de su rama, y que éste lleva más de dos décadas sin poder resolverse... Posteriormente, viene la pregunta de para qué sirve eso, a la cual el matemático solamente puede decir que, efectivamente, tiene aplicación en otras ramas de la Matemática y, quizás, tenga aplicaciones en el futuro en otras disciplinas, pero que de momento no las tiene. Después, el cuestionante pregunta cuál es el resultado más importante en los últimos años en esa rama, a lo que el matemático contesta que no le puede explicar pues requeriría de mucho tiempo (posiblemente años, o quizás nunca) para que tuviera algún sentido para él. Finalmente, viene la pregunta de qué tan relevante es su trabajo y si las empresas o el gobierno lo utilizarían, cuántas personas lo entenderían y si el señor gobernador lo puede inaugurar. Lo que sucede es que el trabajo de frontera en la Matemática, en una subdivisión de alguna rama, solamente es inteligible para unas cuantas decenas de matemáticos de todo el mundo. Es muy posible que la rama a la cual se dedica un matemático no haya existido en la fecha de su nacimiento. Él piensa que su rama es muy importante y que está firmemente establecida en el mundo real. Es decir, no duda de su existencia. Cada matemático está etiquetado por su campo de trabajo, por cuánto publica, por el de quién es el trabajo que utiliza en su investigación y por la selección de los problemas que escoge. Pasa años contemplando y estudiando, meditando, pensando, y su éxito puede llegar si produce un resultado nuevo. A menudo cree haber probado una conjetura importante o producido un teorema nuevo, pero también a menudo algún colega encuentra una pequeña falla en su argumento, con lo cual la conjetura sigue abierta. Se siente un poco incomunicado (ya hay correo electrónico) y en su universidad solamente existe un colega que puede medio entender lo que a él le apasiona. No se diga que para el resto de los matemáticos su área de trabajo es totalmente desconocida,

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hasta de nombre, o que sus colegas creen que se trata de tal o cual cosa, pero resulta todo lo contrario. El matemático asiste, cuando los recursos financieros lo permiten, a congresos nacionales o internacionales. La gran mayoría realiza las actividades de preparación adecuadamente, a la altura de su profesión. Los más, asisten a los congresos de la manera usual, sin llamar la atención por sus atavíos, y en la mayoría de los casos preparan con mucho cuidado y esmero sus ponencias. Llegan a ser muy buenos expositores ya que la claridad adquirida como parte del cotidiano meditar sobre su área les permite dicha cualidad. Pero hay algunos que no. Estos últimos preparan su uniforme (sobre todo si es de un área creada en la segunda mitad del siglo XX): un pantalón vaquero, de preferencia el menos limpio, roto y viejo. Una camiseta y los tenis más sucios y viejos, de preferencia mordidos por su perro. No llevará jabón ni peine, tampoco cepillo de dientes ni pasta, pues debe ‘viajar ligero’. Preparará su plática de ser posible unas cuantas horas antes de llegar, en el tren o en el avión (y no olvidará mencionar esto al comenzarla) o bien horas antes en su cuarto de hotel. Tratará de ser lo más desorganizado posible al exponer, olvidando hechos y resultados importantes para su clara comprensión y suponer que todo oyente es una copia de él mismo, en cuanto al conocimiento requerido para entenderla. Todo esto es para que no se salga del modelo, del común denominador, no sea que lo vayan a confundir con alguna persona de otra profesión. Esto sucede en otros países y cualquier semejanza con nuestro medio es mera coincidencia. En otros países, en cuanto a su lugar de trabajo, para conservar la identidad con algún grupo, ciertos matemáticos procuran ser muy desordenados. De preferencia tienen papeles tirados en el piso de su oficina, o por lo menos largas pilas de papeles inservibles en su escritorio y demás mobiliario. Los libros deben estar apilados unos al derecho y otros al revés, pues si estuvieran ordenados podría pensarse que su propietario tiene graves problemas neuróticos. Sin embargo, sienten que a pesar de que no pueden organizar su propio escritorio, ¡pueden organizar bien muchas cosas! Otros colegas conviven de manera solitaria, son independientes y no difieren en su conducta del común de los ciudadanos. No les gustan las poses ni reflejar una imagen en particular, ni las requieren para desarrollar su actividad. En cuanto a su relación con otros colegas, ciertos matemáticos se comportan de forma inusual, rara, aparentan ser tímidos y distraídos, tratan, lo más posible, de estar fuera de las convenciones sociales de convivencia pero siempre sabiendo exactamente dónde están parados y dónde tienen cada pie. A veces hay que saludar a los compañeros de trabajo, a veces no hay que hacerlo para despistarlos o aparentar una concentración casi oriental en las actividades. Ejercen la imagen comprada de genio distraído y desaliñado y venden esa imagen a las generaciones más jóvenes. Se vende bien. Esto sucede en otros países y cualquier semejanza con nuestro medio también es mera coincidencia. En cuanto a la motivación y filosofía acerca de su profesión, muchos la ven como un medio para obtener algo. Son altamente competitivos y buscan ser los primeros a toda costa, aun de su propia salud física y mental. Otros la ven como un privilegio que la vida

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les dio para desarrollar y crear sus potencialidades como ser humano, como un fin en sí mismo y viven para ella. Muchos estudiantes ingresan al estudio de la Matemática sin realmente saber de qué se trata esa disciplina. Casi todos fueron llamados ‘los genios del salón’ en el bachillerato. En un alto porcentaje eran los que tenían una conducta diferente, los que no se dejaban guiar por la masa, los que pensaban acerca de su existencia y papel dentro de la sociedad, otros, los que tenían problemas para relacionarse con sus compañeros. Por supuesto, al igual que lo que sucede en las demás licenciaturas de una universidad el egresado de Matemática generalmente no se aboca al estudio de su profesión, más bien la utiliza o la aplica. Para realmente dedicarse a la Matemática es necesario realizar estudios de posgrado y aun en ellos apenas se empieza a vivir el maravilloso mundo de esta disciplina. Los egresados de una licenciatura de Matemática, igual que los egresados de cualquier licenciatura, pueden y deben encontrar trabajo. Es cosa de hacerles ver a quienes contratan personal las enormes ventajas que se tendrían si contratan matemáticos. Una ventaja de mucho valor es que este profesional ha realizado un entrenamiento en el acto de pensar y que posee gran capacidad de aprender. Muchos de los pocos licenciados en Matemática se dedican a la docencia. Ojalá hubiera más, hacen mucha falta principalmente en los niveles básicos de primaria, secundaria y preparatoria. Se requieren con la licenciatura terminada, con una estupenda preparación y que tengan vocación, que sean capaces de motivar e infundir en los jóvenes —quienes constituyen más de la mitad de la población de nuestro país— un verdadero amor al conocimiento científico y artístico. Actualmente se distingue entre Matemática Pura y Aplicada y existe una impresión perversa de que hay algo horrendo acerca de las aplicaciones. Todavía persiste la creencia de que la más grande aspiración en la Matemática es crear una obra de arte permanente. Si como consecuencia ésta tiene alguna utilidad, es bienvenida. En general, el aspecto utilitario de la Matemática es una meta inferior para los matemáticos. La actividad en que la Matemática encuentra aplicaciones fuera de su propio campo se llama Matemática Aplicada. Es automáticamente multidisciplinaria, e ideal, y quizás debería ser realizada por alguien cuyo interés primario no es la Matemática. Sin embargo, encontramos que es mucho menos difícil que una persona que adquiere una formación Matemática se adentre en otras disciplinas. Ésta es una gran ventaja para los estudiantes y egresados de una licenciatura de Matemática Aplicada. Si la actividad multidisciplinaria es por ejemplo la Física, es difícil saber qué clasificar como Matemática Aplicada y qué como Física Teórica. La aplicación de la Matemática en áreas diferentes de ella misma da lugar a cuestiones de otra índole. Supongamos que tenemos una aplicación de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Parciales en la Teoría Matemática de la Elasticidad. Podríamos preguntarnos si esta última tiene aplicación fuera de sí misma. Supongamos que sí la tiene en Ingeniería Teórica. Luego nos podríamos preguntar si ésta tiene interés en la Ingeniería Práctica. Supongamos que así

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es, y que permite realizar un análisis de puertas para automóviles. Después nos podríamos preguntar cómo afecta esto al hombre común y corriente. Supongamos que se cumple un requerimiento de ley al tener puertas adecuadas. Así podríamos rastrear la aplicación de la Matemática hasta el nivel de consumo. Podríamos continuar, ¿es útil un automóvil?, ¿es útil el consumir? Llamémosle ‘utilidad común’ a la utilidad que llega hasta el hombre de la calle —asumiendo que sabemos lo que el hombre de la calle desea. No se sugiere que el criterio de la calle sea el único para juzgar la utilidad de la Matemática. Se dice que la finalidad propia de las aplicaciones de la Matemática es que la Matemática sea automatizada. Por ejemplo, el descenso del hombre en la Luna requirió de muchos cálculos, todos automatizados. Tenemos un diagrama con el mundo físico, luego el mundo modelado con Matemática, luego las transformaciones y operaciones Matemáticas y finalmente las aplicaciones al mundo físico. Las dos categorías de en medio se convierten en un proceso automatizado. Mientras más exitosa y completa sea una aplicación, más automática y programada se debe convertir, véase [Da]. En cuanto a sus publicaciones, algunos matemáticos, los menos, escriben muy bien y son extraordinarios redactores, sus artículos son verdaderas cátedras, pero otros no lo hacen tan bien. Estos últimos hacen sus artículos como si no los escribiera un ser sensible. Entre más formales sean, mejor. No debe quedar rastro de las ideas, motivaciones ni de los experimentos realizados que lo condujeron al teorema. Escribe varias definiciones, una sucesión de varios lemas y, como conclusión casi mecánica, escribe en la demostración del teorema enunciado, al final del artículo, que es obvio que ésta se sigue de los lemas anteriores. Luego debe revisar bien su artículo para que quede lo más antipedagógico posible, no sea que alguien le encuentre un error o le robe alguna idea por la cual ha pasado tanto tiempo meditando. Finalmente, alguno de los diez colegas de todo el mundo capaces de entender lo que hizo se da cuenta que todos los lemas, menos uno, son irrelevantes y puede detectar lo que el autor realmente está haciendo y por qué. Para el nuevo en esa área será materialmente imposible descifrar lo que estuvo detrás del resultado publicado. Parece ser que la época más productiva de la mayoría de los matemáticos en la investigación es de alrededor de 10 años, entre los 25 y los 35. Ésta no es una regla, pero solamente existe un pequeño y destacadísimo número de investigadores en el mundo que realizan investigación después de los 40 y menos después de los 60 años, siendo muchos de éstos los de primera fila o los líderes en las diversas ramas de la Matemática. No cabe duda de que para el ciudadano común y corriente la creación matemática y la comunidad que a ella se dedica son un misterio, y lo seguirán siendo, ya que para poder realmente apreciarlas hay que vivirlas y aceptarlas como un modo de ser y de pensar. Existen disciplinas que utilizan la Matemática como una herramienta para interpretar los fenómenos propios de su área. Cualquier disciplina que se haga llamar ciencia necesita interpretar sus fenómenos matemáticamente. Aún más, las disciplinas no científicas que deseen saber algo sobre sus fenómenos lo hacen mediante la interpretación matemática.

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En [Ll] mencioné que existe un juego con dados para componer valses sin saber nada de música ni de composición, inventado por Mozart, K. 294 C, en el cual estableció 176 compases que al aparecer en el juego dan como resultado el estreno de una obra suya continuamente por un periodo de más de 361 millones de años. Mencioné que el genio de Mozart consistió en tomar las mejores o más bellas frases musicales de toda la enorme gama de posibilidades para crear su música. Poincaré menciona que la creación de nueva Matemática no consiste en hacer combinaciones nuevas de entidades matemáticas ya conocidas, sino solamente en tomar las combinaciones útiles, que son una pequeña proporción. Si solamente fuera la rutina de aplicar reglas, las combinaciones obtenidas serían exageradamente numerosas, inútiles o extrañas. El trabajo del inventor o creador consiste en escoger solamente las combinaciones útiles y las reglas o el procedimiento que conducen a esta elección es extremadamente fino y delicado. Es casi imposible, dice Poincaré, establecer estas reglas o procedimientos. Es cosa de sentirlas, más que de formularlas. Bajo estas condiciones imagínense a una máquina o aparato de cómputo aplicándolas mecánicamente. Sucedería lo mismo que con el juego de Mozart. Algunos matemáticos piensan que en su tarea existe un enorme trabajo implícito de intuición, comparación, esfuerzo de pensar, mucha frustración y desesperación, un mover montañas y sacar un pequeño grano valioso y, sobre todo, no dejarse engañar por ideas fáciles. Algunos piensan que la Matemática es un juego simple que sola y fríamente interesa al intelecto. Esto sería olvidar, asienta Poincaré, la sensación de la belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, así como de la elegancia geométrica. Ésta es, ciertamente, una sensación de placer estético que todo verdadero matemático ha sentido y, por supuesto, que pertenece al campo de la emoción sensible. La belleza y la elegancia matemática consisten de todos los elementos dispuestos armónicamente, tales que nuestra mente pueda abarcarlos totalmente sin esfuerzo y a la vez mantener sus detalles. Esta armonía, continúa Poincaré, es, de inmediato, una satisfacción de nuestras necesidades estéticas y una ayuda para la mente que sostiene y guía. Y al mismo tiempo, al poner bajo nuestra visión un todo bien ordenado, nos hace entrever una ley o verdad matemática. Ésta es la sensibilidad estética que juega un papel de filtro delicado, que explica suficientemente por qué el que carece de ella nunca será un verdadero creador, concluye Poincaré. Para mí, la Matemática es una de las Bellas Artes, la más pura de ellas, que tiene el don de ser la más precisa de las ciencias.

Bibliografía [Da] Davis, P.J., Hersh R. The mathematical experience. Houghton Mifflin Co. Boston, 1981. [D] Dieudonné, J. A Panorama of pure mathematics. Academic Press, 1982. [LL] Lluis-Puebla. E. “¿Matemáticas en la música?”, Miscelánea matemática, Núm. 27. Soc. Mat. Mex., 1999. pp. 15-27. [M] “Mathematics in the modern world”. Scientific American.W.H. Freeman and Co. San Francisco, 1968.

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Problemas sin número

Mejor todas las manzanas en una canasta Concepción Ruiz Ruiz-Funes Juan Manuel Ruisánchez Serra

Las ideas de los niños y niñas sobre qué son las matemáticas, al igual que la comprensión de éstas, surgen a medida que crecen. Mientras aprenden matemáticas en la escuela, se validan algunas formas del conocimiento en matemáticas y se excluyen otras. Los alumnos parecen formarse ideas sobre qué tan buenos son en matemáticas no sólo –o tal vez no principalmente- a partir de lo que pueden hacer en matemáticas, sino con base en su habilidad para utilizar soluciones aprobadas socialmente. Pueden resolver problemas y, al mismo tiempo, negar su propia habilidad para resolver esos mismos problemas.*

Terezinha Nunes y Peter Bryant**

Esta entretenida actividad didáctica está dirigida a estudiantes que cursan primero de secundaria o cursos superiores. Puede ser resuelta utilizando herramientas del álgebra, pero también usando la imaginación, la intuición y la experimentación. Nosotros sugerimos que se resuelva por la segunda vía. Es conveniente que los estudiantes la trabajen en equipos pequeños, de dos o tres inte-

grantes y que después discutan, a nivel grupal, las estrategias que usó cada uno de estos. Se deben comparar las soluciones obtenidas así como los procesos seguidos. En el caso de que las hubiera, es importante discutir en el grupo sobre las soluciones incorrectas, sobre el porqué lo son y, sobre todo, que los alumnos descubran y comprendan cuáles fueron los errores que los llevaron a una respuesta equivocada.

* Nunes,Terezinha y Bryant, Peter. Las matemáticas y su aplicación: la persepectiva del niño. Editorial Siglo XXI. México, 1997. pp.274 ** Terezinha Nunes es profesora del Departamento de Desarrollo Infantil y Educación Primaria del Instituto de Educación de la Universidad de Londres. Peter Bryant es profesor de psicología en el Departamento de Psicología de la Universidad de Oxford.

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Mejor todas las manzanas en una canasta

Actividad: Mejor todas las manzanas en una canasta A Lucía le encantan las manzanas, además su mamá siempre le dice que comer manzanas la ayuda a mantenerse sana, por eso el otro día que fueron al mercado decidió comprar, justamente, manzanas. Cuando llegaron a su casa Lucía sacó de la alacena todas las canastas que su mamá tenía guardadas y se dio cuenta que podía hacer con las manzanas y las canastas un lindo problema matemático. Si acomodaba cuatro manzanas en cada canasta, entonces le sobraba una canasta, o sea, una canasta le quedaba vacía. Pero si acomodaba dos manzanas en cada canasta, entonces le sobraban dos manzanas, o lo que es lo mismo, si acomodaba dos manzanas en cada canasta, entonces le faltaba una canasta. ¿Podrías decir cuántas manzanas y cuántas canastas tenía Lucía?

Solución: Hay muchas maneras de resolver este problema, aquí te proponemos una: Si dividimos el número de manzanas entre cuatro, nos queda el número de canastas menos una. Además, si dividimos el número de manzanas entre dos, nos queda el número de canastas más una. En realidad estamos planteando un sistema de ecuaciones: x/4 = y - 1 x/2 = y + 1 donde: x es el número de manzanas y es el número de canastas Al resolver el sistema queda: x = 8, y = 3 Sin embargo, no es necesario hacer esto para resolver el problema, podemos ir probando distintas combinaciones hasta encontrar la correcta: Lucía tenía 8 manzanas y 3 canastas.

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Abriendo libros

La belleza matemática Claudia Hernández García

ecuerdo muy bien el día que llevé a casa el horario de clases para mi primer semestre en la secundaria. Ese mismo día lo vio mi hermano y enseguida comenzó a hacer comentarios de mal gusto sobre la materia que aparecía todos los días de la semana: Matemáticas. Me decía que era muy aburrida y que difícilmente alguien podía sacarse excelentes calificaciones, en especial porque este tipo de matemática no tenían nada que ver con la que había estudiado durante la primaria. Años después logré darme cuenta de que su afirmación no era tan errada, pero no en el sentido en que él lo insinuó. En aquel momento, como todo adolescente, me encantaba llevar la contraria a todos los demás, por eso, a partir de entonces, defendí aquella materia aunque no tenía una idea muy clara de su contenido. Años después estoy convencida que los fundamentos de mi decisión no fueron los mejores, pero qué bueno que me decidí a hacerlo. Desde entonces, en la lista de mis metas personales se fijaron dos ideas: tratar de convencer al mayor número de personas posible que la matemática no sólo sirve para reprobar a los estudiantes, y que dos mil años de pensamiento matemático sirven para otras cosas además de proveer una buena herramienta que nos protege contra los abusivos comerciantes que pretenden darnos el cambio incorrecto cuando vamos al mercado. La meta no era nada sencilla, me enfrenté a muchas dificultades. Una de las más comunes fue no poder encontrar el material escrito indicado para ayudarme a lograr mi cometido. Incluso

muchos libros me hacían quedar mal y parecía que se empeñaban en ocultar lo bello de la matemática y, en cambio, mostraban la parte más horrible, lo difícil, tedioso o aburrido. Incluso me topé con otros cuantos que además de todo lo anterior parecía que habían sido escritos por la persona más áspera del mundo, el lenguaje no sólo era agresivo sino que daba la impresión de que la matemática era más que inalcanzable. Pero, por fin, llegó un libro que se ajusta a la perfección a mi propósito. El piropo matemático es un divertido ‘paseo por las matemáticas’, justo como lo describen sus autores. Ya logré convencer a mi hermano de leerlo y quedó fascinado con su mensaje, y es que, ¿en qué otro libro de matemática podrían encontrarse historias sobre conejos, autos deportivos o viajes a la playa? En este piropo a la ciencia encontrarás quince artículos que abordan temas tan diversos como la matemática de ayer y hoy, probabilidad, logaritmos, la geometría del cielo, las torres de Hanoi, las regletas de Napier, números primos, fractales..., y más. Aunque los temas suenen un poco complicados, no te preocupes, ya que unos capítulos serán fáciles de seguir y otros serán..., más fáciles aún. Los autores están seguros de que por lo menos doce de ellos te van a encantar. Este libro no está organizado como tantos otros que hemos tenido que leer para entregar un reporte en la escuela. Cada capítulo es independiente de todos los demás, por lo tanto podrás leerlo en el orden que más se te antoje, inclusive podrás saltarte los capítulos que pudieras consi-

* Reseña del libro de Concepción Ruiz y Sergio de Régules, El piropo matemático, de los números a las estrellas.Lectorum México, 2001.

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La belleza matemática

derar aburridos, pero te apuesto que terminarás leyendo el libro completo, de pasta a pasta. Los autores abordan todos los temas de una manera muy amena y, sobre todo, sencilla. Hablar de números no había sido tan divertido; entre tantos que existen, podemos ver que los hay primos, imaginarios, tan pequeños o tan grandes que ni siquiera sabríamos como decirlos y aunque lo supiéramos, no podríamos hacerlo. ¿Podrías imaginarte cuánto tiempo tardarías en contar hasta un trillón? ¿Una semana, un año, un siglo? Te doy una pista..., si algún dinosaurio contador de números hubiera comenzado a hacerlo y siguiera vivo, aún no terminaría. El trabajo de los autores es fabuloso y estoy segura de que lograremos convencerte de que la matemática no es sólo cuentas. Descubre el misterio que hay detrás del templo de Beranés, cómo medir la circunferencia de la Tierra usando sólo una varilla clavada en el suelo, la matemática que hay en las nubes o la que dejas en un vaso después de tomar yogurt. En varios capítulos podrás leer sobre enigmas que jamás has imaginado que existen y, sin embargo, son sumamente interesantes. ¿Habías oído hablar de una serpiente que aparece sobre las escalinatas del Palacio de Chichén Itzá durante el equinoccio? Averigua cómo la matemática ofrece la sencilla explicación de este fenomenal suceso que ocurre puntualmente dos veces al año en el hermano estado de Yucatán. Hallarás buen humor y matemática de la que no aprendes en la escuela. No encontrarás respuestas con las fórmulas que siempre has visto sino soluciones con sombras, cocos, burbujas y hasta un divertido proyecto para equipar una hormiga con una regla con el objeto de medir la longitud de la costa desde Acapulco hasta Ixtapa. A todos nos gusta ir al circo a ver a los magos que nos maravillan con ilusiones impresionantes,

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pero siempre nos vamos acongojados porque jamás nos cuentan sus secretos. En el quinto capítulo leerás un viejo truco que ellos han utilizado para hacerte caer en al trampa y convencerte de que dos es igual a uno. Suena pavoroso, ¿no? Tranquilízate, a diferencia de los magos, los autores sí te van a revelar el secreto y procurarán hacerte caer en cuenta de que hay muchos impostores. ¡Nunca te dejes engañar! El piropo matemático tiene explicaciones matemáticas tan agradables que convencerán a cualquiera, así como convenció a mi hermano de que la matemática es una de las ciencias más divertidas y accesibles. Es más, estoy tan segura de que el libro te va a gustar que desde ahora hago extensa la invitación, a ti y a todos los que logres convencer, a colaborar con mi propósito y a que juntos logremos desmitificar a la matemática y, ¿por qué no?, a todas las demás ciencias. Una cosa más: los autores son científicos de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Concepción Ruiz (o Concha, como le gusta que la llamen) es matemática y Sergio de Régules es físico. Ellos son un claro contraejemplo de la creencia popular, que nos persigue como fantasma, que clasifica a todos los científicos como seres fríos e inaccesibles, con batas blancas, que viven en un laboratorio. Ellos son excelentes amigos, padres de familia, compañeros de trabajo y divulgadores de la ciencia que, como yo, tienen la esperanza de que algún día todos veamos a las matemáticas como la bella ciencia que es.

El Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales tiene como propósito coadyuvar al incremento del patrimonio cultural de los trabajadores pertenecientes al Sindicato Nacional de Trabajadores de la Educación, impulsando la creación de bibliotecas que apoyen sus procesos de formación y actualización permanente, así como el desarrollo educativo familiar. Desde 1995 el programa ha facilitado la formación de más de 100 mil bibliotecas familiares con un acervo promedio de 35 títulos. Tan sólo en el año 2001 se otorgarán con ese fin, a profesoras y profesores mexicanos, más de 200 millones de pesos en créditos bajo condiciones preferenciales.

AUTORIDADES DEL SISTEMA NACIONAL DE EDUCACIÓN PARTICIPANTES: INSTITUTO DE EDUCACIÓN DE AGUASCALIENTES • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y BIENESTAR SOCIAL, BAJA CALIFORNIA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE BAJA CALIFORNIA SUR • SRÍA. DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE, CAMPECHE • GOB. DEL EDO. DE CAMPECHE • SERVICIOS EDUCATIVOS DEL EDO. DE CHIHUAHUA • INSTITUTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COAHUILA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE COAHUILA • COORDINACIÓN DE LOS SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COLIMA • GOBIERNO DEL EDO. DE COLIMA • SRÍA. DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE, DURANGO • GOBIERNO DEL EDO. DE DURANGO • SERVICIOS EDUCATIVOS INTEGRADOS AL ESTADO DE MÉXICO • SRÍA. DE EDUCACIÓN DE GUANAJUATO • SRÍA. DE PLANEACIÓN Y FINANZAS DEL GOBIERNO DEL EDO. DE GUANAJUATO • UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUANAJUATO • INSTITUTO HIDALGUENSE DE EDUCACIÓN • SRÍA. DE EDUCACIÓN DEL EDO. DE JALISCO • SERVICIOS DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO. DE NAYARIT • GOBIERNO DEL EDO. DE NAYARIT • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA, NAYARIT • GOBIERNO DEL EDO. DE NUEVO LEÓN • UNIDAD DE INTEGRACIÓN EDUCATIVA DEL EDO. DE NUEVO LEÓN • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO. DE PUEBLA • SRÍA. DE FINANZAS Y DESARROLLO SOCIAL DEL EDO. DE PUEBLA • UNIDAD DE SERVICIOS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA EN EL EDO. DE QUERÉTARO • SRÍA. DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DEL EDO., SLP. • SERVICIOS DE EDUCACIÓN PÚBLICA DESCENTRALIZADA DEL EDO. DE SINALOA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA, SINALOA • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA, SONORA • SRÍA. DE FINANZAS DEL GOBIERNO DEL EDO. DE SONORA • SRÍA. DE EDUCACIÓN,TABASCO • SRÍA. DE PLANEACIÓN Y FINANZAS,TABASCO • DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN,TAMAULIPAS • UNIDAD DE SERVICIOS EDUCATIVOS DE TLAXCALA • SRÍA. DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL EDO.,TLAXCALA • SRÍA. DE EDUCACIÓN Y CULTURA,VERACRUZ • SRÍA. DE FINANZAS Y PLANEACIÓN DEL GOBIERNO DEL ESTADO,VERACRUZ • SRÍA. DE HACIENDA Y PLANEACIÓN DEL EDO. DE YUCATÁN • SRÍA. DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DEL EDO. DE YUCATÁN • SINDICATOS PARTICIPANTES: SNTE SECCIÓN 1,AGUASCALIENTES • SNTE SECCIÓN 3, BAJA CALIFORNIA SUR • SNTE SECCIÓN 4, CAMPECHE • SNTE SECCIÓN 5, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 6, COLIMA • SNTE SECCIÓN 8, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 12, DURANGO • SNTE SECCIÓN 13, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 15, HIDALGO • SNTE SECCIÓN 16, JALISCO • SNTE SECCIÓN 17, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 20, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 21, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 23, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 24, QUERÉTARO • SNTE SECCIÓN 26, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 27, SINALOA • SNTE SECCIÓN 28, SONORA • SNTE SECCIÓN 29,TABASCO • SNTE SECCIÓN 30,TAMAULIPAS • SNTE SECCIÓN 31,TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 32,VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 33,YUCATÁN • SNTE SECCIÓN 35, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 36, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 37, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 38, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 39, COLIMA • SNTE SECCIÓN 44, DURANGO • SNTE SECCIÓN 45, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 49, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 50, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 51, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 52, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 53, SINALOA • SNTE SECCIÓN 54, SONORA • SNTE SECCIÓN 55,TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 56,VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 57,YUCATÁN • SINDICATO DEMOCRÁTICO DE TRABAJADORES DE LA EDUCACIÓN DE VERACRUZ • GRUPOS EDITORIALES PARTICIPANTES: ACONCAGUA EDICIONES Y PUBLICACIONES, S.A. DE C.V. • BRANDT & SINCLAIR, S.A DE C.V. • COMERCIALIZADORA PLANETA, S.A. DE C.V. • CONSEJO NACIONAL PARA LA CULTURA Y LAS ARTES • DISTRIBUIDORA DE OBRAS PEDAGÓGICAS, S.A. DE C.V. • EDICIONES LAROUSSE, S.A. DE C.V. • EDICIONES Y DISTRIBUCIONES GEO, S.A. DE C.V. • EDILAR, S.A. DE C.V. • EDITORES MEXICANOS UNIDOS, S.A. DE C.V. • EDITORIAL EVEREST MEXICANA, S.A. DE C.V. • EDUCAL S.A. DE C.V. • EUROMÉXICO, S.A. DE C.V. • HACHETTE LATINOAMÉRICA, S.A. DE C.V. • ORGANIZACIÓN CULTURAL, S.A. DE C.V. • OXFORD UNIVERSITY PRESS HARLA MÉXICO, S.A. DE C.V. • PLAZA & JANES • SERI EDITORES Y DISTRIBUIDORES, S.A. DE C.V. • STEVILLE CORPORATION • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL • URIBE Y FERRARI EDITORES, S.A. DE C.V.

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