Correo del Maestro Núm. 73 - Junio de 2002 by EDILAR

Sala de Matemáticas Universum, Museo de las Ciencias, UNAM

ISSN 1405-3616

Una propuesta para el aprendizaje de las fracciones

¿Para qué enseñar matemática en la escuela primaria?

Domingo Clemente Garduño

Roberto Markarian

Telesecundaria, un espacio para el uso de la calculadora algebraica Adrián de la Rosa Nolasco

Los primeros pasos de Don Juan (Tirso de Molina 1571-1648) Adolfo Hernández Muñoz

Las cuatro... ¿o cinco?.. aes de las relaciones humanas Arrigo Coen Anitúa

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México D. F. Junio 2002. Año 7 Número 73. Precio $40.00

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Revista mensual, Año 7 Núm. 73, Junio 2002.

Directora Virginia Ferrari Asistente de dirección María Jesús Arbiza Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Héctor Delgado Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Concepción Ruiz Maya Sáenz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Así mismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (01) 53 60 42 46, 53 60 21 19, sin costo al 01 800 849 35 75. Fax (01) 53 60 42 46, Correo Electrónico: correo@correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/ 12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col. Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 25,000 ejemplares, de los cuales 18,645 corresponden a suscriptores.

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Editorial

Uno de los problemas más viejos y conocido de la enseñanza es el elevado número de fracasos que se puede apreciar en el estudio de la matemática. Las razones son múltiples y variadas, pero quizás un factor condicionante es el escaso dominio que en repetidas ocasiones tienen los maestros de educación primaria sobre los temas que deben enseñar a los niños. Es indudable que los alumnos aprenden mejor cuando el maestro, no sólo de matemática, sino de cualquier disciplina, comprende claramente lo que está enseñando. Como ya señalamos, esta situación ideal no es, tristemente, la más frecuente en la enseñanza de la matemática en la escuela primaria. Para que los profesores puedan fortalecer su formación en las diferentes áreas del conocimiento, es conveniente que establezcan interlocución con especialistas de diversas disciplinas. Correo del Maestro desea hacer llegar a matemáticos y maestros de nuestro país una invitación a participar en un proyecto que tiene como fin favorecer este intercambio. Pretendemos enviar a los matemáticos preguntas que se formulan los profesores con respecto a algunos conceptos que deben tratar en sus clases. Las respuestas que envíen los especialistas serán publicadas mensualmente en la sección Problemas sin número de la revista, así como en nuestra página web. Junto con los fundamentos teóricos, los matemáticos pueden realizar sugerencias didácticas que crean apropiadas, e incluir algunas preguntas o ejercicios que sirvan para reafirmar los conocimientos de los maestros. Invitamos a los profesores de educación primaria a enviarnos sus preguntas y a los matemáticos a responder aquellas que deseen, de acuerdo con su especialidad y preferencia personal. Quienes acepten formar parte del equipo consultor deben inscribirse, ya sea telefónicamente o en nuestra página web (www.correodelmaestro.com). Así podremos enviarles el banco de preguntas que se está generando. Creemos que una de las riquezas de este proyecto es que brinda la posibilidad de que los maestros tengan acceso a revisar diferentes perspectivas ante preguntas que se plantean a diario en el aula, en este caso particular, referentes a los conocimientos matemáticos. Ahora bien, para dar curso al propósito de explorar el campo de la matemática, esta edición de Correo del Maestro dedica la mayor parte de su contenido a esta disciplina. Correo del Maestro

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Entre nosotros

Una propuesta para el aprendizaje de las fracciones Domingo Clemente Garduño

Pág. 5

Antes del aula

Telesecundaria, un espacio para el uso de la calculadora algebraica El caso de función lineal bajo un modelo integrador. Adrián de la Rosa Nolasco

Pág. 12

Sala de Matemáticas. Universum, Museo de las Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México

Pág. 21

Certidumbres e incertidumbres

¿Para qué enseñar matemática en la escuela primaria? Roberto Markarian

Pág. 46

Artistas y artesanos

Los primeros pasos de Don Juan (Tirso de Molina, 1571-1648) Adolfo Hernández Muñoz

Pág. 51

Sentidos y significados

Las cuatro... ¿o cinco?.. aes de las relaciones humanas. Arrigo Coen Anitúa

Pág. 55

Problemas sin número

No todo es lo que parece ser. Claudia Hernández García y Daniel Juárez Melchor

Pág. 57

Abriendo libros

Didáctica de la matemática Varios autores

Pág. 59

Portada: Alfonso, Morelia. Michoacán. Páginas a color: Sala de Matemáticas de Universum, UNAM. Fotos: Elizabeth Cruz Salazar.

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Entre nosotros

Una propuesta para el aprendizaje de las fracciones* Domingo Clemente Garduño Las fracciones y su uso en el lenguaje cotidiano

Hay que tener presente que al empezar a trabajar un tema matemático es posible que los conceptos que vamos a desarrollar estén vinculados a un lenguaje cotidiano, es decir, el que usamos generalmente. En su obra Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas1, Hans Freudenthal asienta que las fracciones deben ser acercadas al alumno mediante un lenguaje que él entienda. Así surge la idea de que, considerando los conocimientos que de las fracciones se tengan, el inicio para un adecuado aprendizaje se puede hacer partiendo de los términos más usuales. Como ejemplos tenemos: Expresiones más comunes: La mitad de (el doble de):

largo: 15 m, 17 km, 285 dm,... pesado: 360 g, 320 kg, 22 toneladas,... viejo: 27 años, 41 días, 725 horas,...

Términos menos usuales: un tercio de:

largo: 20 m, 45 km,... pesado: 25 kg, 125 g,... viejo: 24 años, 45 horas,...

dos tercios de:

largo: 60 m, 790 km,... pesado: 100 kg, 250 g,... viejo: 33 años, 90 años,...

dos y un tercio de:

largo: 25 m, 60 m,... pesado: 16 kg, 1265 kg,... viejo: 27 años, 79 años,...

* Agradecermos al maestro Domingo Clemente Garduño y al profesor Pedro Gómez Consuelo, encargado del Departamento de Posgrado e Investigación de la Secretaría de Educación, Cultura y Bienestar Social del Estado de México, habernos hecho llegar este valioso material y autorizar su publicación en las páginas de Correo del Maestro. Los textos fueron extraídos del libro: Antología del curso: Las fracciones, una propuesta constructivista para su aprendizaje, editado por la Secretaría de Educación, Cultura y Bienestar Social del Estado de México, Departamento de Capacitación y Actualización Docente, 1 Hans Freudenthal. Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas.Traducción de Luis Puig. CINVESTAV-IPN

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Una propuesta para el aprendizaje de las fracciones

largo: 27 m, 356 m,... pesado: 63 kg, 89 kg,... viejo: 40 años, 172 años,...

Como si fuera una extensión de ‘el doble de’:

largo: 15 m, 87 m,... pesado: 17 kg, 93 kg,... viejo: 72 años, 93 años,...

Pero un tercio veces de

A duras penas estas expresiones pueden ser consideradas como pertenecientes al lenguaje cotidiano. La mitad de, un tercio de, un cuarto de..., describen una cantidad o un valor de una magnitud por medio de otra. El artículo, indefinido o definido, añade matices (uno, el). pastel camino viaje hoja kilogramo dinero

mitad de: (un) (el)

(un)

mitad de

(uno)

tercio de

(el)

cuarto de

pasteles horas kilogramos millones

siete

Se pueden formar múltiplos...

(un) dos tercios de: (el)

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

pastel camino viaje hoja dinero

(un) tres cuartos de: (el)

pastel camino viaje hoja dinero

De una y otra forma, se percibe que el alumno está influido por el uso que se les da a las fracciones en la vida diaria. Es por eso que en el ámbito ecolar la palabra fracción forma parte de un lenguaje relativamente familiar. A pesar de eso, al oír las pláticas de los estudiantes dentro y fuera de clase se aprecia que utilizan esporádicamente pocas expresiones en las que aparecen las fracciones El uso cotidiano que se da a las fracciones realmente es muy poco: un medio, un tercio, un cuarto y tres cuartos son los términos más usuales; dos tercios, un quinto, un octavo, se utilizan menos. El campo de aplicación de cada fracción se va reduciendo considerablemente, a excepción de un medio, que es de uso casi universal; por ejemplo: media entrada, a mitad de camino, a mitad de precio, etcétera. Hay que tener presente que las fracciones están asociadas a contextos tan diversos como las unidades del Sistema Métrico Decimal (SMD) (medio kilo, tres cuartos de litro, etc.), periodos temporales (un cuarto de hora, media hora, etc.), situaciones de reparto o descuento (la tercera parte de la ganancia).

¿Qué se conoce de las fracciones en el ámbito escolar?

En la actualidad se debe prestar especial interés a lo que una persona piensa sobre su propia actuación como profesor de matemática, en este caso, sobre las fracciones y su proceso enseñanza-aprendizaje, ya que en cierta medida estas formas de pensar determinan cómo se transforma la información teórica en recursos prácticos y didácticos. A propósito de las fracciones surge la pregunta: ¿hemos pensado qué significa para nosotros una fracción? Es probable que nos hayamos planteado alguna veces esta cuestión, por ejemplo al preparar nuestras clases, pero es posible que, en forma profunda, sea la primera vez que nos la formulemos. Es necesario que como profesores determinemos nuestras propias concepciones para maximizar los resultados entre la teoría y la práctica educativas. Hablar de fracciones en el ámbito escolar implica muchos puntos, por tal motivo se propone analizar las siguientes preguntas, establecer una polémica al respecto, de preferecia en equipos, y procurar dar respuestas de acuerdo con la realidad escolar donde se labora. • ¿Han reflexionado qué se pretende con su enseñanza? • ¿Serán o no necesarias para respaldar otros contenidos escolares?

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Una propuesta para el aprendizaje de las fracciones

• Los métodos didácticos que se usan en clase para tratarlos, ¿reflejan sus ideas? • ¿Creen necesario hacer agregados a los libros de texto sobre el tema de fracciones? ¿Por qué? Aceptar o afirmar que los alumnos de primaria y secundaria comprenden el concepto de fracción no es muy acertado. Esta realidad es la razón por la cual los maestros deben reestructurar las formas de conducción de sus clases. Lo que se aconseja es la manipulación de diferentes objetos y formas cirncunsanciales para que, al problematizar en diferentes contextos, se pueda estructurar paulatinamente el concepto de fracción.

El aprendizaje del concepto de fracción

De una u otra forma se conoce el término fracción y según el concepto que se tiene de él se transmite a los alumnos y se les acerca a las definiciones más acertadas posibles. Pero independientemente del trabajo que se haga en el aula, deben plantearse algunas preguntas que pueden surgir cuando se trabajan (enseñan, transmiten, acercan, laboran, etc.) las fracciones. Como profesor...

¿Crees que las fracciones representan problemas de aprendizaje para los alumnos?

Si existen estos problemas:

¿Piensas que son del mismo tipo de los que te encuentras en otros conceptos matemáticos?

¿Consideras que las fracciones pueden tener diferentes interpretaciones?

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

¿Supones que las dificultades que presentan los niños para manejar el concepto de fracción y sus diferentes contextos obedece a que se enseñan de forma distinta?

Un acercamiento a las fracciones: su proceso enseñanzaaprendizaje

Hoy en día, una gran mayoría de profesores comparte la idea de que existen muchas dificultades para que los niños aprendan las fracciones, sobre todo en los niveles elementales. No pretendemos dar fórmulas o elementos para que estos problemas se resuelvan en su totalidad. La intención es analizar los puntos de vista que al respecto dan algunos autores y, posteriormente, proponer algunas situaciones didácticas que ayuden a resolver en parte la labor de los profesores en el aula con respecto a la interpretación de las fracciones. A manera de sugerencia didáctica, los principios que deben regir la enseñanza de las fracciones, según L. Streefland, 1984, son:2 • Lo importante es que los propios niños ‘construyan’ las operaciones con fracciones. Construcción que debe basarse en las propias actividades del alumno, como: estimación, desarrollo del sentido del orden y tamaño... Ejemplos: a) Estimar la altura en metros de una casa, un árbol, una montaña, etcétera. b) Colcar las fracciones 1 5

2 3

4 6

2 4

en los espacios según lo indican los signos:

• Valorar las actividades de los alumnos, así como los métodos y procedimientos que utilicen para resolver problemas, aunque difieran de la formalidad propia de la materia. • Que el alumno sea capaz de formular sus propias reglas y generalizaciones para adquirir su conocimiento. • Se deben utilizar los saberes previos del alumno como base para empezar la secuencia de la enseñanza de fracciones (ideas relativas a mitades, tercios, cuartos, etc., los procesos básicos de dividir, repartir,...).

2 Salvador Linares Ciscard. Las fracciones, relación parte-todo. Editorial Síntesis.

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Una propuesta para el aprendizaje de las fracciones

Ejemplos: a) Dividir cada figura según se indica (cantidades continuas):

en cuartos

en séptimos

en octavos

b) Repartir 24 fichas entre 4 personas (cantidades discretas):

Operación 24 ÷ 4 • Buscar situaciones de compraventa y ordenación en las que los alumnos construyan procedimientos de solución por medio de procesos de dividir, ordenar, medir, componer,... Ejemplo: Tres artículos tienen los siguientes precios: un televisor $2 850.00, una grabadora cuesta 1/4 y una estufa el triple del primer artículo. • Utilización de modelos de apoyo (regiones o segmentos, recta numérica, tablas de razones...) y situaciones problemáticas (de la vida diaria) que sirvan de ‘puente’ (conexión) entre las situaciones problemáticas en diferentes contextos y el trabajo numérico.

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Ejemplo: Establecer las razones que faltan o resolver los problemas que se plantean en el siguiente cuadro. Problema

Razón

a) La razón entre figuras A y B es: A

b) La estatura de un adulto es de 1.80 metros, si sólo se conoce la razón ¿cuál será la altura de un niño?

Uno a tres 1 3

c) La maqueta de una casa con relación a la altura real de ésta es de 0.22 a 2.20 metros.

Esta postura defiende la idea de que son los alumnos los que tienen que construir el conocimiento de fracción, no el profesor.

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Antes del aula

Telesecundaria, un espacio para el uso de la calculadora algebraica El caso de función lineal bajo un modelo integrador 1 Adrián de la Rosa Nolasco

En memoria de una gran amiga: la profesora María del Rocio Tello Reus; descanse en paz.

Este artículo reporta resultados sobre el aprendizaje del concepto de función lineal en alumnos de 13 a 16 años de edad, bajo un modelo integrador a través de la calculadora TI-92. Esencialmente, es el resultado de una propuesta didáctica para adquirir la noción de función lineal basada en la manipulación de las representaciones gráfica y algebraica por medio de la calculadora TI-92 en un contexto de escuela telesecundaria, donde la discriminación de las unidades significativas lleve a los estudiantes a mejorar su aprendizaje.

Introducción En todos los niveles del sistema educativo nacional se hace presente la educación matemática. Los planes y programas de esa asignatura tienen el propósito de desarrollar el pensamiento matemático acorde con la madurez cognitiva del alumno. La investigación que realizamos, de corte cualitativo, trata de medir el impacto de la calculadora algebraica en el aprendizaje del concepto de función lineal en alumnos de 13 a 16 años. La propuesta busca mejorar la aprehen-

sión del concepto de función lineal de acuerdo con la exigencia oficial para alumnos egresados de educación secundaria, donde las actividades están fundamentadas en el marco de los sistemas semióticos de representación y de instrumentos de mediación, para establecer el uso apropiado de la calculadora algebraica como instrumento que hace posible la manipulación de representaciones. Las causas que dan origen al problema del aprendizaje de función lineal están estrechamente relacionados con las representaciones algebraica, tabular, gráfica, y con el lenguaje

1 Este trabajo se presentó en una preversión en el XXXIV Congreso Nacional de la SMM, con el apoyo de la Secretaría de Inves-

tigaciones Educativas de la sección 36 del SNTE, tomado de De la Rosa (2001).

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natural, razón por la que los sistemas semióticos de representación proporcionan alternativas de aprendizaje bajo un modelo integrador, en vías de mejorar la aprehensión del concepto en cuestión. Así, Hitt (1996) hace referencia a los obstáculos didácticos y epistemológicos del concepto de función y en De la Rosa (2000) se reporta la falta de visualización en el registro gráfico de alumnos egresados de secundaria. De acuerdo con Duval (1988, 1998, 1999), el aprendizaje integrador es resultado de tener actividad con las diferentes representaciones de un concepto y Moreno y Rojano (1999) señalan que, debido a su potencial como mediador, la calculadora algebraica da posibilidad de usar las representaciones.

Marco teórico. Un aprendizaje basado en las representaciones Algunos autores han mencionado la importancia de las diferentes representaciones semióticas en la adquisición de un concepto matemático y cómo es que forman parte de un repertorio útil en la resolución de problemas; entre otros: Duval (1999), Hitt (1998), Zimmermann & Cunningham (1991), Eisenberg & Dreyfus (1991). La premisa de este artículo parte de la necesidad de contar con varios sistemas semióticos de representación (SSR) para el pensamiento matemático, ya que cada sistema proporciona medios específicos de representación y procesamiento para éste. Primero debemos reconocer que la aprehensión del objeto matemático es por medio de las representaciones semióticas; esto se basa en la ley fundamental del funcionamiento cognitivo: “...no hay noesis sin semiosis”, Duval (1998, p. 176). Podríamos decir que la adquisición de los conceptos matemáticos es una aprehensión conceptual y la actividad con los conceptos mate-

máticos sólo se da a través de las representaciones semióticas. Es decir, un concepto matemático visto en sus diferentes representaciones proporcionará información específica, dando solidez al concepto. Al respecto, Duval (1998, p. 186) dice: La comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa en la coordinación de al menos dos registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión.

Cabe destacar dos ideas importantes del párrafo anterior: coordinación y conversión. En otras palabras, la aprehensión conceptual de un objeto matemático sólo se logrará si existe actividad (cognitiva) con registros de representación, la cual deberá ralizarse con la coordinación de al menos dos de ellos. Una forma de medir la aptitud del alumno para realizar la conversión, particularmente del registro gráfico al algebraico, es la capacidad de visualización; de aquí la importancia de implementar actividades para fortalecer esta habilidad, sin dejar de lado la formación y el tratamiento de los registros. La visualización es la capacidad cognitiva de reconocer en un registro de representación las reglas con las cuales fue construido, de tal manera que la información le permita realizar la conversión a otro registro. En nuestro caso, se trata de desarrollar el grado de visualización para realizar la conversión del registro gráfico al algebraico en forma rápida y espontánea, por lo que el alumno deberá reconocer las variables visuales (ver tabla 1.1) en el registro gráfico de la función lineal, de acuerdo con Duval (1988, p. 182). En la otra dirección (del registro algebraico al gráfico) el alumno deberá reconocer las oposiciones paradigmáticas (unidades simbólicas) que dan significado a los símbolos utilizados en la expresión y = mx + b.

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Telesecundaria, un espacio para el uso de la calculadora algebraica

Variable visual

Valores

Unidad simbólica correspondiente

Sentido de inclinación Ángulo con los ejes

Trazo ascendente Trazo descendente

Coeficiente >0 ausencia del signo + Coeficiente <0 presencia del signo –

Partición simétrica Ángulo menor Ángulo mayor

Coeficiente =1 Coeficiente <1 Coeficiente >1

Corta arriba Corta abajo Corta en el origen

Se añade una constante signo + Se sustrae una constante signo – Paso de dirección aditiva

Posición con el eje-y

Tabla 1.1 Unidades simbólicas de los registros algebraico y gráfico.

Ahora bien, para lograr una coordinación adecuada por la que el alumno tenga la habilidad de visualizar las unidades significativas de los registros, a base de realizar actividades centradas en la conversión entre registros como lo señala Duval (1995, p. 74): es necesario poder explorar todas las variantes posibles de una representación en un registro, haciendo la previsión o la observación de las variantes concomitantes de la representaciones en el otro registro...

Ésa es una tarea por desarrollar en algunas de las sesiones de aprendizaje de nuestra propuesta. La noción de función que resulta de las actividades de la propuesta será base necesaria para profundizar en el concepto de acuerdo con el programa de estudios del nivel medio superior. Podríamos decir que un alumno tiene integrado un concepto matemático cuando cuenta con las imágenes conceptuales de los diferentes registros de representación y es capaz de utilizarlos o seleccionar el más pertinente cuando se enfrenta a la resolución de problemas. Al respecto, Hitt (1997, p. 195) menciona: ...que el conocimiento de un concepto es estable en el alumno si éste es capaz de articular sin contradicciones diferentes representaciones del mismo, así como recurrir a ellas en forma espontánea durante la resolución de problemas.

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La calculadora De inicio reconocemos a la calculadora algebraica como un instrumento mediador, basado en el llamado principio de mediación instrumental, (Moreno, 1999b; 1999e): Todo acto cognitivo está mediado por un instrumento que puede ser material o simbólico, principio que permite ver a la calculadora como un instrumento que no es ajeno al proceso educativo y a la adquisición de las nociones matemáticas. Debido a sus potencialidades, basadas en las características de hardware y software (CAS) de las calculadoras, se utilizarán con los alumnos en las actividades propuestas. Se podría resumir que la calculadora : a) Suministra representaciones, (Moreno, 1999a) para las sesiones de aprendizaje (SA): algebraicas, tabulares y gráficas, lo que permite la conversión bidireccional, ver los cambios concomitantes y el comportamiento tabular. b) Permite la exploración en las representaciones: por ejemplo, cuando se trabaja con la pantalla (Graph), es posible percibir el sentido del trazo, el ángulo respecto del eje-x y el corte en el eje-y (variables visuales). c) Economiza el tiempo, ya que ejecuta las conversiones sin demora y descarga al alumno

de ese trabajo; en realidad lo hace la calculadora. Esto hace que el alumno se concentre en el verdadero sentido de la sesión de aprendizaje; además, en algunas ocasiones supera las limitaciones en las habilidades algebraicas. Por ejemplo, cuando el alumno necesita elaborar un tabla a partir de una expresión, su atención se encuentra en los patrones que genera la tabla y no en el proceso del cálculo para la construcción de ésta. Así también, si el propósito es observar los cambios en la gráfica cuando variamos la expresión algebraica, la calculadora disminuye en gran cantidad el tiempo para realizar la conversión, en este caso el alumno emplearía gran cantidad de tiempo en cálculos algorítmicos para trazar la gráfica con lápiz y papel y se perdería la intención didáctica (por ejemplo, la SA 28, 29 y 30). El tiempo que gana el alumno puede emplearse de maneras distintas: algunos los emplean para asegurar las etapas de la resolución de problemas y/o para concentrar la atención en las unidades significativas de las representaciones gráfica y algebraica.

Actividades de aprendizaje con la calculadora TI-92 El diseño de las actividades de aprendizaje de la propuesta se basa en lo que se exige al alumno de acuerdo con los materiales oficiales (programas de estudio y libro para el maestro de secundaria), y bajo el modelo establecido en materiales de telesecundaria, así como los SSR, las SA son ocho (ver cuadro 1). La estructura de cada una de ellas incluye un principio llamado equilibrio computacional (Demana & Waits, 1999), ya que no se puede incidir en un programa como el actual de forma total [reorganizador cognitivo, Moreno (1999)] de modo que se desprecien las técnicas algorítmicas que se exigen al alumno como parte de su formación en el desarrollo de ciertas habilidades aritméticas y algebraicas. Por lo tanto, se emplea este sentido del uso de la tecnología en cada una de las SA; es decir, la propuesta incide sólo en dos de las nueve2 partes de la estructura de la SA establecida. A continuación mencionaré en forma sumamente breve el tipo de actividades en las SA propuestas:

Sesiones de aprendizaje e Intenciones didácticas Sesión de aprendizaje 25 26 27 28 29 30 31 34

Intención didáctica Conocimiento del plano y localización de puntos Concepto, tabulación y gráficas de funciones Aplicación de las funciones en diferentes campos Representación en el plano cartesiano de funciones de la forma y = mx + b, y = mx – b. Representación en el plano cartesiano de funciones de la forma y = – mx + b, y = – mx – b. Identificación del comportamiento de las gráficas de la forma y = mx + b, cuando son paralelas y cuando se cortan en un punto. Identificación de las gráficas de una función lineal. Elaboración de la gráfica de la función y = 1 x

Cuadro 1. Sesiones de aprendizaje que incluyen el concepto de función lineal.

2 La SA contiene nueve partes en su estructura: Título, Subtítulo, Intención didáctica, Recuerda, Lectura del libro de conceptos básicos,Análisis y síntesis de la información, Aplicación de lo aprendido y Sugerencias de evaluación.

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Telesecundaria, un espacio para el uso de la calculadora algebraica

a) SA 25. Reconocimiento de la necesidad de un plano. b) SA 26 y 27. Resolución de un problema que implique la manipulación de la representación tabular y gráfica, tal que explore patrones y comportamientos (relación entre variables); en el problema de la SA 26 se deberá emplear la fórmula V= 3.1416 · r 2 h; el alumno podría tener lo siguiente (pantallas 1 y 2):

Pantalla 3.

Pantalla 4.

locales, para posteriormente hacerlo con el registro gráfico (pantallas 5 y 6).

Pantalla 1.

Es importante señalar que en la evaluación, parte de la estructura de la SA, se exigen al alumno las técnicas algorítmicas con papel y lápiz, en todas ellas.

Pantalla 2.

c) SA 28 y 29. El alumno desarrollará la capacidad de visualización, es decir, manipulando los registros algebraico y gráfico, al mantener constantes dos de las unidades significativas y variar la tercera, podrá discriminar dichas unidades. Por ejemplo, para la SA 28, los resultados pueden ser como las pantallas 1 y 3 . d) SA 30 y 31. Reconocer la familia de gráficas, concurrentes en un punto y paralelas, en el plano cartesiano; por ejemplo las paralelas (pantalla 4). e) SA 34. El alumno manipulará el registro tabular y numérico; implica acercamientos

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Pantalla 5.

Pantalla 6.

Fase experimental y resultados Los alumnos son egresados de secundaria de 13 a 17 años de edad, lo cual implica que cuentan con nociones desarrollas en su antecedente escolar (específicamente en tercer grado). Fueron invitados a tomar sesiones de repaso de matemática para poder realizar este estudio y asistieron a un total de 13 sesiones, tres de reconocimiento, ocho sesiones de aprendizaje y dos de diagnóstico. A cada uno se le proporcionó un paquete escrito de las actividades diseñadas para desarrollarse y una calculadora TI-92 (ésta solo se les prestó en las sesiones de aprendizaje). La fase piloto tiene dos etapas de diagnóstico, una inicial y otra final; la inicial permite reconocer las inconsistencias del concepto en ese momento, y la final, conocer el impacto de la calculadora en la adquisición del concepto; ambas, sin el uso de la calculadora. Cabe mencionar la importancia que tiene una etapa de adaptación a la tecnología. Los alumnos participantes nunca habían trabajado con una calculadora algebraica y muy poco con la científica, por lo que esta etapa constó de cinco sesiones de tres horas para el reconocimiento de la calculadora TI-92.

Un punto de partida es la comparación del aprovechamiento antes y después de las sesiones de aprendizaje (gráfica 1). Notemos las condiciones en que se encuentra un alumno egresado del nivel medio básico. El diagnóstico inicial arroja una aprovechamiento promedio general del 38% de un total de 126 aciertos que representan el 100%. Una vez realizadas las sesiones se obtiene un aprovechamiento del 57.93%; el incremento es de 19.93% (aproximadamente el 20%).

Aprovechamiento del alumno en las sesiones de aprendizaje Con esta información nos damos cuenta de que algunos alumnos tuvieron mayor éxito en el aprovechamiento, es decir, lograron tener mayor avance en el desarrollo de las SA. Por ejemplo, para los alumnos A1, A5, A6, y A7 el aprovechamiento es aceptable, A2, A3 y A4 lo lograron entre 50 y 60% y sólo A8 obtuvo el 30%, (gráfica 2). Podemos percibir la relación del desempeño en las sesiones de aprendizaje con el uso de la

Resultados y análisis El aprovechamiento de las actividades desarrolladas en las sesiones de aprendizaje fue analizado a partir de un “cuestionario de diagnóstico” que contiene las exigencias establecidas en programas de estudios ya mencionados. Es así como el cuestionario permite medir el grado de avance cuando es usada la calculadora. Los resultados son alentadores; sin embrago, también suceden fenómenos que debemos prever cuando se emplea la tecnología.

Gráfica 1. Aprovechamiento de los alumnos.

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calculadora. Al revisar las sesiones y las calculadoras (en las pantallas correspondientes) se tiene lo siguiente: Primero, los alumnos que se desempeñaron con mayor eficiencia en las SA fueron los que tuvieron mayor aprovechamiento en el cuestionario de diagnóstico (gráfica 1), que también son los que emplearon mejor la calculadora; así lo refleja la información obtenida de las calculadoras. Por ejemplo, A5, A6 y A7 la emplearon correctamente en todas las sesiones y A1 sólo la empleó inadecuadamente en dos sesiones (realizó intentos que no lo llevaron a ningún aprendizaje). Segundo, los alumnos que tuvieron un desempeño del 50 al 60% (gráfica 2) en las SA y un incremento en el diagnóstico de aproximadamente entre el 40 y 50% (gráfica 1) emplearon la calculadora adecuadamente en dos de ocho SA. Por último, A8 logró un aprovechamiento de un 30%, lo que se vio reflejado en el diagnóstico final con un 50% (este alumno no presentó el diagnóstico inicial por inasistencia); utilizó correctamente la calculadora en dos sesiones. En todas las sesiones de aprendizaje se promovió el trabajo por equipos, la discusión entre ellos, también se compartieron algunos resultados de las actividades y, por lo tanto, el llenado escrito del material.

Gráfica 2. Aprovechamiento por alumno de las sesiones de aprendizaje.

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Avance de las sesiones de aprendizaje (intención didáctica) Esta información permite establecer en porcentaje qué sesión de aprendizaje tuvo mayor o menor dificultad para realizarse; así también nos permite conocer los avances del concepto de función de acuerdo con lo establecido. De la gráfica 3 tenemos que las SA 25 y 26 se desarrollaron casi en su totalidad; sin embargo, en la SA 26 cuatro alumnos no la emplearon, es decir, no aparece evidencia de la calculadora: Home y y=editor; podría considerarse que borraron la información, ya que en algunas ocasiones así lo hicieron, aunque se había recomendado lo contrario. Para el resto de los alumnos sí aparece trabajo en las pantallas y = editor (Table y Graph), y en la pantalla Home. Por ejemplo, para la pantalla y = editor, los alumnos emplearon y = ‘3.1416(1)(x)’ en Home. Todos presentan la gráfica que se pide como resultado de la actividad, así como la tabla; excepto dos de ellos (A1 y A4) que al parecer la copiaron de la calculadora, aunque en su calculadora no existe evidencia alguna. Seis de ellos desarrollaron el subconcepto de dominio de la función en el problema propuesto. Las SA 27, 28, 29 y 30 fueron desarrolladas en un 60% a 70%; el empleo de la calculadora por sesión fue de la siguiente manera: SA 27, 4 de 8 alumnos; SA 28, 5 de 8; SA 29, 5 de 8, SA 30, 6 de 8. En general, utilizaron la calculadora en la mayoría de las sesiones; quizá vale la pena mencionar que existe un avance sobre el reconocimiento de las variables visuales: SA 28 y SA 29 (figura 1), así como el reconocimiento de familia de rectas SA 30; la calculadora es un instrumento que provee la oportunidad de realizar la conversión entre las representaciones algebraica y gráfica cuando el objetivo de la sesión no es la utilización de las técnicas algorítmicas del álgebra. Lo que se ve claro es que la utilización defi-

ciente de la calculadora repercute directamente en el desarrollo de las sesiones de aprendizaje y en la aprehensión de la noción de función, como lo reflejan las gráficas 2 y 3. Entonces, si el aprovechamiento de las actividades es bajo, no se tendrá un aprendizaje integrador como se espera. Para la SA 3 los alumnos utilizaron y = editor de la siguiente forma: y=

40000(2.2)(x) 100

y y = 880x, que les permite explorar valores en la tabla (Table) en la pantalla: Home; realizaron algunos intentos con errores en las cantidades, así como insertar variables no definidas: 2.2 4000000; 100

40000(2.2)(x) = 880x; 100

en otras no consideraban la variable indepen40000(2.2) diente, = 88. 100

y = 3x + 0

Figura 1. De esta gráfica, ¿cuál sería la regla de funcionalidad?

Conclusiones Las observaciones del desarrollo, tanto de las sesiones de aprendizaje como de los resultados del diagnóstico, confirman la potencialidad de las calculadoras para la adquisición de conceptos matemáticos; sin embargo, existen evidencias dignas de tomarse en cuenta. La calculadora exige implícitamente algunas nociones, ya que para comunicarse con ella y

Gráfica 3. Avance de las sesiones de aprendizaje.

lograr ejecutar tareas, tales como insertar alguna fórmula, es necesario haber identificado las variables y constantes en términos reconocibles para la TI-92 y de esa manera insertar en y = editor o en Home; es decir, en términos de x y y. Puede suceder, como en este trabajo, que pocos utilicen correctamente la calculadora, aun cuando el aprovechamiento promedio indica el 85%. Podría decirse que existen algunos obstáculos para el empleo de la calculadora; uno de ellos es la falta de tiempo para adaptarse a su uso. Comparto la consideración de que con una adecuada adaptación, el alumno logrará adquirir la habilidad para emplearla correctamente (Waits y Demana, 1999). Un hecho de gran importancia es la presencia de la no congruencia entre registros, de acuerdo con Duval (1988), característica natural de algunos registros de representación, que inevitablemente ocasionan dificultad en el aprendizaje y, por ende, un aprendizaje inestable; de ahí que los resultados proporcionan pocos avances, como se muestra en el estudio experimental. Los resultados reflejan obstáculos para reconocer variables y constantes y, en consecuencia, hacer la transformación para insertarla en la calculadora, así como la dificultad para adquirir la habilidad de visualización.

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Algunas observaciones para reflexionar: • Todo alumno que emplea adecuadamente la calculadora en sus actividades llega a cumplir la intención didáctica planeada; así lo muestran las actividades resueltas en su hoja de trabajo y los indicios del uso de la calculadora. • Cuando se intenta el equilibrio entre la calculadora y las técnicas algorítmicas de papel y lápiz, como se hizo en este trabajo, se pone en evidencia la falta de esta habilidad, lo que confirma que la calculadora suple deficiencias cuando se quiere adquirir un nuevo concepto; sin embrago, también se confirma que se debe dedicar tiempo al desarrollo de esas habilidades. En relación con esto último, se deben promover actividades del programa con este

instrumento, para que el alumno logre emplear lo que han llamado caja-negra/cajablanca en relación con el cálculo aritmético y algebraico. • La calculadora proporciona elementos para aclarar nociones, como las gráficas discretas de los alumnos; sin embargo, puede crear obstáculos, como inconsistencias en el dominio de una función (SA 26 y 27). • Es necesaria una etapa de adaptación que permita al alumno conocer la potencialidad de las instrucciones y, con ello, saber cuándo y cómo debe emplear la calculadora. La promoción del uso de la calculadora deberá ser continua, para lograr un empleo adecuado y no recurrir a técnicas con papel y lápiz.

Bibliografía BERT K.Waits & FRANKLIN Demana. Calculators in mathematics teaching and learning: past, present, and future,The Ohio State University, Columbus, Ohio,EU, 1999. DUVAL R.“Graphiques et equations: I’Articulation de deux registres”, Anales de Didactique et de Sciences Cognitives 1, 235-253. (Versión en español de Blanca M. Parra, Gráficas y ecuaciones: la articulación de dos registros. 1988). DUVAL R. Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales; (Traducción en español, 1999, Editorial Peter Lang S.A., 1995). DUVAL R. Registro de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento, Investigaciones en matemática educativa II, Editor Hitt, F., Grupo Editorial Iberoamérica S.A de C.V.,1998. DUVAL R. Representation, vision and visualization: Cognitive function in mathematical thinking. Basic issues for learning, XXI Annual Meeting PME-NA,1999. DE LA ROSA A. El concepto de función en secundaria: Conocer el grado de visualización de función lineal en el alumno, Experimentaciones en Educación matemática en los niveles medio superior y universidad, Memorias internas del CINVESTAV-IPN, 2000. DE LA ROSA A. El concepto de función lineal en telesecundaria: Una propuesta para el mejoramiento de la articulación entre registros, bajo un modelo integrador a través de la TI-92,Tesis de Maestría, CINVESTAV-IPN, México. HITT F. Sistemas semióticos de representación del concepto de función y su relación con problemas epistemológicos y didácticos, Investigaciones en Matemática Educativa, Editorial Iberoamérica, 1996. HITT F. “Visualización matemática, representaciones, nuevas tecnologías y curriculum”, Revista de Educación Matemáticas,Vol. 10, 1998. MORENO Armella L. El papel de la tecnología en la reconceptualización matemática, documento interno CINVESTAV, 1999a. MORENO Armella L. Instrumentos computacionales, Documento interno CINVESTAV, 1999b. MORENO Armella L. Evolución de la cognición: una perspectiva tecnológica y educativa, documento interno CINVESTAV, 1999d. MORENO A. “On representation and situated tools”, Memorias del PME-NA, XXI Annual Meeting,Vol.1. Editor Hitt y Santos, 1999. ROJANO Ceballos T., MORENO Armella L. Educación matemática: investigación y la tecnología en el nuevo siglo, Avance y perspectiva,Volumen 18, Sep-Oct. KUTZLER B. The algebraic calculator as a pedagogical tool for teaching mathematics. 1999. SEP.“La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria”, Programa Nacional de Actualización Docente de la SEP. Libro de lecturas. SEP. Libro para el maestro, Matemáticas, Secundaria, México, 1994. SEP. Guía de Aprendizaje, Asignaturas Académicas Volumen I,Tercer grado, Telesecundaria. México, 1994. SEP. Conceptos Básicos, Asignaturas Académicas Volumen I, tercer grado, Telesecundaria. México, 1994. SEP. Plan y programas de estudio 1993, Educación básica secundaria. Segunda edición, México, 1994.

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Sala de Matemáticas* Universum, Museo de las Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México Universum, Museo de las Ciencias de la UNAM, es una herramienta invaluable en la enseñanza de las ciencias experimentales en todos los niveles educativos. Muchas veces llevamos a él a nuestros alumnos, pero no aprovechamos al máximo las posibilidades que ofrece, principalmente por no conocer bien las salas y qué actividades podemos desarrollar en ellas. Correo del Maestro y Universum desean hacer llegar a los maestros estas guías de preparación para una visita al museo. En los casos que la distancia imposibilite hacer una visita a las instalaciones, proponemos a los maestros realizar algunas actividades semejantes a las que describimos en las guías. En este número presentamos la Sala de Matemáticas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Mural de grecas Teorema de Pitágoras Espejos paralelos Ángulo de espejos Espacio infinito Secciones cónicas Cono de luz Hiperboloide de ligas El increíble Espejos: parabólico, elíptico, mixto y cóncavo Método del jardinero para la hipérbola Método del jardinero para la elipse Método del jardinero para la parábola Caleidoscopios clásicos para adultos Caleidoscopios clásicos para niños Tiro parabólico Péndulo con imanes Péndulo sin imanes Fotomural del conjunto de Mandelbrot Fractales Viaje por el conjunto de Mandelbrot Construye tu propio fractal Construye curvas de Peano Retroalimentación Visual Gaussianita I Gaussianita II Gaussianita III Distribución Gaussiana Triángulo de Pascal Modulador de frecuencia de voz

31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.

Simulador de ondas Osciloscopio Historia de las matemáticas Vitrina de objetos topológicos Toro de siete colores Banda de Moebius Plano, esfera y pseudoesfera Tablero de dimensiones Geometría proyectiva Superficies de revolución Superficies mínimas Doce acróbatas Mosaico de Penrose Mural de la Alhambra Caleidoscopio platónico I Rolidoscopios Caleidoscopio platónico II Videocaleidoscopio Rotaciones del cubo Rotaciones del icosaedro Sólidos platónicos I Sólidos platónicos II Mural de números Galería de números Más reales que enteros Curvas de ancho constante Torres de Hanoi Torres de diamante Torres de Hanoi gigantes Nautilus

* En las páginas centrales se encuentran fotografías a color de la Sala de Matemáticas.

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Preescolar La comprensión de gran parte de los conceptos matemáticos —por no decir todos— está relacionada con el entendimiento de las ideas básicas de la lógica. Así, los planteamientos de esta índole que los niños aprenderán durante la primaria deberán ir precedidos de juegos y actividades que les ayuden a aprender y formarse a través del razonamiento y no de la memorización. Por eso proponemos el desarrollo de múltiples actividades que permitan al niño comenzar a estructurar su pensamiento lógico. La visita que recomendamos consta de cinco actividades por realizarse en distintos espacios de la sala. Aconsejamos que cada una de ellas dure de cinco a diez minutos. Actividades sugeridas ANTES DE LA VISITA

• Haber reflexionado en grupo sobre los conceptos de gordo y flaco; chico, mediano y grande; mucho y poco, y secuencias. Uno-muchos. En los Caleidoscopios, niños y niñas pueden asomarse y verse reflejados y repetidos muchas veces. El maestro podrá aprovechar la ocasión para reflexionar con los niños sobre la diferencia entre uno y muchos. Secuencias. En el Mosaico de Penrose pueden encontrarse distintas formas y figuras: desde las dos básicas (flecha y papalote) hasta las más complejas (estre-lla o pizza). En este mosaico pueden construirse distintas secuencias y pedir a niños y niñas que las recorran. Deben iniciar con las figuras más grandes. Por ejemplo: El maestro pedirá a niños y niñas: a. Atravesar el mosaico pisando únicamente estrellas. b. Atravesarlo pisando primero una estrella y luego una pizza o cualquier otra secuencia que se les ocurra. Figuras geométricas. Grande, mediano y chico. En el Teorema de Pitágoras, niños y niñas pueden identificar el círculo, el triángulo y el cuadrado, así como los diferentes tamaños de estos últimos: chico, mediano y grande. Gordo-flaco. En los Espejos curvos, niños y niñas pasarán por cada uno de ellos y buscarán en cuáles sus reflejos se ven más gordos y en cuáles más flacos. Video-voz. Con este equipamiento interactivo, niños y niñas podrán jugar con su voz. Se sugiere que elijan el juego del payasito. Para fijar las piezas se elegirá un niño o una niña. Todos los demás cantarán al mismo tiempo. ¿Qué pasa con las piezas?

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DESPUÉS DE LA VISITA

• Ver los ejercicios anexos.

¿Cuál sigue?

Rojo

Blanco

Rojo

Completa las caritas

¿Paraditos o acostaditos?

Dibujos

Pin pon

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1º y 2º grados de primaria El aprendizaje y la enseñanza de la matemática se fundamentan en una gran diversidad de experiencias. Si éstas se diseñan y estructuran de modo que ofrezcan al alumno la posibilidad de construir los conceptos adecuados y desarrollar las habilidades necesarias para aprender y disfrutar la matemática, el proceso enseñanza-aprendizaje se verá enriquecido. En matemática la idea de orden es fundamental, pues aparece en prácticamente todos los conceptos y técnicas que se utilizan. Para los niños de primero y segundo de primaria es, junto con la de clasificación, esencial para comprender el número, así como para dominar las técnicas de conteo y conseguir una buena ejecución de las operaciones aritméticas. Proponemos para este nivel escolar una visita en la que se realizan siete actividades con distintos equipamientos de la sala. Sugerimos que cada una dure de cinco a diez minutos.

Actividades sugeridas • Pedir a alguno de los anfitriones los siguentes talleres: • Rompecabezas, Teselaciones y El cuadro que quiso ser tangram. ANTES DE LA VISITA

• Haber repasado y reflexionado en clase sobre los conceptos gordo y flaco. Contar hasta diez. Conteo. En los cuatro Caleidoscopios del centro de la sala pueden asomarse y contar las imágenes que se forman. Conteo y clasificación. En el Foto mural de fractales deberán ubicar la figura negra que está en el centro. Ésta aparece repetida muchas veces, aunque en distintos tamaños. ¿Cuántas hay y de qué tamaños?

Reconocimiento de figuras geométricas. En el Teorema de Pitágoras aparecen un triángulo, tres cuadrados y un círculo. Pida al alumno que identifique las figuras. ¿Cuál cuadrado tiene más líquido? ¿Cuál es el más grande? ¿El líquido de los cuadrados chicos llenará el grande? ¿El del cuadrado grande llenará los chicos? ¿Cuál se vaciará primero?

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Teorema de Pitágoras.

Espejos curvos.

Espacio euclidiano.

Caleidoscopios clásicos para adultos.

Caleidoscopios clásicos para niños.

Espejos paralelos.

Tiro parabólico.

Fotomural de fractales.

Torres de Hanoi.

Mosaico de Penrose.

Campana de Gauss.

Sólidos platónicos.

Superficies de revolución.

Rotación de cubo y del icosaedro.

Patrones. En el Mosaico de Penrose pueden encontrarse distintas formas y figuras, desde las dos básicas (flecha y papalote) hasta las más complejas (estrella y pizza). Pida a sus alumnos que las identifiquen y jueguen con ellos sobre el mosaico. Puede seguir nuestras sugerencias: 1. Atraviesen el mosaico pisando únicamente estrellas. 2. Párense sobre flechas, después sobre papalotes y finalmente sobre cualquier otra forma que se les ocurra. Permita que los niños sugieran con qué seguir. Espejos curvos. En los Espejos curvos, niños y niñas verán sus imágenes deformadas. Motívelos a observar en cuál se ven más gordos y en cuál más flacos.

Conteo. Esta vez la actividad se realizará en la Campana de Gauss. Bájela y observe con su grupo cómo caen los balines. Pregunte en cuáles carriles creen que quedarán más balines y en cuáles menos. Confirme las respuestas. Repita la actividad varias veces. ¿Siempre sucede lo mismo?

Curvas. En el Tiro parabólico pida a uno de sus alumnos que tire de la argolla para lanzar la pelota, mientras el resto observa la trayectoria que ésta sigue. Pregúnteles si la pelota describe una recta o una curva. Puede jugar con ellos para ver quién logra la trayectoria más alta o más ancha. Todos los objetos al ser lanzados y al caer forman esa curva. Se llama parábola.

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DESPUÉS DE LA VISITA

• Ver página de ejercicios. ¿Cuál sigue?

Azul

Blanco

Azul

Completa las caritas

¿Paraditos o acostaditos?

Pin Pon

Números

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3º y 4º grados de primaria En este nivel es muy importante que los niños aprendan a reconocer propiedades de las figuras, identificar las pequeñas como parte de otras más grandes, desarrollar la habilidad de describir verbalmente las propiedades de un cierto patrón, dibujar una figura o forma a partir de información obtenida verbalmente, y, en general, clasificar y ordenar. Para lograr esto es esencial que el maestro trabaje con actividades que permitan establecer relaciones mucho más profundas que las que habitualmente se establecen. Sugerimos para esta visita cinco actividades por desarrollar en distintos equipamientos de la sala. Recomendamos que cada una dure de cinco a diez minutos.

Actividades sugeridas ANTES DE LA VISITA

• Ejercicios sobre simetrías. • Pida a sus alumnos que localicen ejes de simetría en distintos lugares de su casa y escuela. Comparen los resultados. Geometría. Pida a sus alumnos que observen, toquen y jueguen con los Sólidos platónicos que están sobre las mesas. ¿Qué figuras forman las caras de cada sólido? ¿Cuántas caras tiene cada uno? ¿Todas son iguales? Permita que busquen las respuestas en la sala. Simetrías. En el Mosaico de Penrose pida a sus alumnos que identifiquen las figuras básicas (flecha y papalote). Luego, dígales que formen equipos, se coloquen en alguna zona del mosaico y observen si en ella hay simetría. En caso de haberla, ¿cuál o cuáles son sus ejes? Solicite a los equipos que entre todos analicen si el mosaico completo es simétrico o no. Cuerpos geométricos. Pida a sus alumnos que se asomen a los cuatro Caleidoscopios del centro de la sala. ¿Qué figuras y cuerpos geométricos pueden reconocer en cada uno de ellos? Tiro parabólico. En el equipamiento de Tiro parabólico deje que uno de sus alumnos tire de la argolla para lanzar la pelota y el resto que observe la trayectoria que esta sigue. ¿Es recta o curva? Juegue con ellos para ver quién logra la trayectoria más alta o ancha. Todos los objetos al ser lanzados y caer forman esa curva, que se llama ‘parábola’. Conteo. Baje la Campana de Gauss. Los balines empezarán a caer. Pregunte a los niños en cuáles carriles quedarán más balines y en cuáles menos. Repita el movimiento varias veces. ¿Sucede siempre lo mismo?TIVIDADES SUGERIDAS

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Complementar • Pida a un anfitrión los siguientes talleres: Sólidos platónicos, Rompecabezas y Teselaciones. DESPUÉS DE LA VISITA

• Realice en la escuela las actividades que se anexan. ¿Cuántos cuadrados hay en este dibujo?

Prueba de Observación La ficha blanca se mueve siempre en la misma dirección. La ficha negra, también. Averigüe dónde quedarán las fichas en el último paso.

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5º y 6º grados de primaria En este nivel los niños ya tiene capacidad para entender que los distintos conceptos y técnicas matemáticas que han aprendido están relacionados entre sí. La matemática adquiere una estructura interna coherente que facilita al alumno trabajar con ella, además de relacionarse de manera clara con otras disciplinas. Siempre se ha hecho énfasis en que aprender matemática es fundamental, pues con ella se adquiere una herramienta muy útil para la vida cotidiana. Sin embargo, en este nivel es importante enfatizar también que aprender matemática es, y debe ser, un fin en sí mismo, porque contribuye al desarrollo del pensamiento lógico. Sugerimos para esta visita cinco actividades por realizarse en distintos equipamientos de la sala. Recomendamos que cada una de ellas dure de cinco a diez minutos.

Actividades sugeridas ANTES DE LA VISITA

• Trabaje en clase los conceptos de superficie, área, cuerpo y volumen. Cuerpos geométricos. Pida a sus alumnos que se asomen a los cuatro Caleidoscopios del centro de la sala. ¿Qué figuras y cuerpos geométricos pueden reconocer en cada uno de ellos? Áreas. Observe el dibujo del triángulo. Imagine que en el equipamiento Teorema de Pitágoras el triángulo tiene las mismas medidas que ve. Solicite a sus alumnos que calculen el área de cada uno de los cuadrados y luego sumen las de los dos cuadrados más pequeños. ¿Cómo es esa suma con respecto al área del cuadrado grande? Vuelvan a observar el equipamiento. ¿Cree que el líquido de los cuadrados chicos llenará el cuadrado grande o viceversa? ¿Cuál se vaciará más rápido? Goemetría. Pida a sus alumnos que observen, toquen y jueguen con los Sólidos platónicos que están sobre las mesas. ¿Qué figuras forman los lados de cada sólido? ¿Cuántas caras tiene cada cuerpo? ¿Son todas iguales? Busquen las respuestas en la sala. Superficies de revolución. En este equipamiento descubrirán que al rotar una figura plana sobre un eje se genera otra con volumen, llamada cuerpo. Diga a sus alumnos que antes de hacerlas rotar se imaginen el cuerpo que se formará. Luego, que la roten y observen con cuidado si adivinaron o no. ¿Qué cuerpos se forman? ¿Cuáles son sus características? Espacio infinito. En el equipamiento Espacio euclidiano los niños podrán asomarse a un espacio distinto, un espacio infinito. Pídeles que miren hacia arriba, hacia abajo y hacia ambos lados y expresen lo que piensan y sienten. Si no lo notan, haga hincapié en que este espacio se extiende indefinidamente en todas direcciones.

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Universum, Sala de Matemática

Complementar • Pida a un anfitrión los siguientes talleres: Sólidos platónicos, Rompecabezas y Teselaciones. DESPUÉS DE LA VISITA

• Realice en su escuela la actividad anexa. Entra al laberinto por donde indica la flecha. Para salir, encuentra un camino que tenga la siguiente secuencia: círculo, cuadrado, círculo, cuadrado... Puedes moverte hacia adelante, hacia atrás, a la izquierda y a la derecha, pero nunca en diagonal. Encuentra otros caminos con las secuencias que se te ocurran.

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Secundaria Actualmente, la matemática conforma un fantástico y complejo sistema donde diversas disciplinas se integran. La Sala de Matemáticas de Universum presenta una muestra de ello e intenta hacer de esta rama del conocimiento algo accesible, útil y, sobre todo, disfrutable. Los alumnos de secundaria podrán emprender un viaje que los lleve a conocer gran parte de lo que es la matemática y a descubrir su belleza y diversidad. Por el carácter de estos estudiantes, sugerimos que visiten la sala libremente para que descubran nuevas facetas de la matemática. Sin embargo, recomendamos que no dejen de acercarse a los equipamientos que mencionamos a continuación. Espejos paralelos. Acepten el reto de colocar los espejos en forma paralela. Espacio euclidiano. Asómense a un espacio infinito. Sólidos platónicos. Descubran las características de cada uno de los cinco sólidos: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Rotación del cubo y del icosaedro. Jueguen en las computadoras con estos sólidos platónicos.

Caleidoscopios. Asómense a ellos y generen diferentes figuras, usando su cara, cuerpo o suéter para ello. Torres de Hanoi. Diviértanse como lo hacían en el antiguo Oriente hace más de mil años. Complementar • Pida a un anfitrión alguna de las siguientes actividades: Adivino lo que piensas, Rompecabezas,Teselaciones y Retos.

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Universum, Sala de Matemática

DESPUÉS DE LA VISITA

• Realiza los ejercicios anexos. Sopa de letras Encuentra los nombres de las siguientes mujeres matemáticas. ¿Habías oído de ellas? a. Teano b. Hipatia c. Emilia Breteuil d. Sofía Germain e. Carolina Herschel f. María Agnesi g. Ada Byron h. María Somerville i. Sofía Kovalevskaya j. Emmy Noether k. Grace Murray Hopper l. Grace Chisholm Young

Encuentra el valor de x

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Conozca más de cerca Universum

Para los lectores que quieran información más detallada acerca de esta institución cultural, ponemos a su disposición los siguientes datos que son importantes para conocer mejor Universum.

Dirección:

Zona Cultural de Ciudad Universitaria Apartado Postal 70-487, Coyoacán 04510, México, D.F.

Horario:

Lunes a viernes, 9:00 a 17:00 hrs. Aclaración: • la taquilla cierra a las 17:00 hrs. • el museo cierra a las 18:00 hrs. Sábados, domingos y días festivos, el horario del museo es de 10:00 a 17:00 hrs.

Atención especial a escuelas y grupos:

56 22 72 87 y 56 22 72 88

Departamento de Atención al Visitante:

Lunes a viernes, 9:00 a 17:00 hrs.

Información general:

56 22 82 38, 56 22 73 08

Correo electrónico:

universu@servidor.unam.mx

Universum en internet: http://www.universum.unam.mx Jefa de la Sala de Matemáticas:

Concepción Ruiz Ruiz-Funes

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Certidumbres e incertidumbres

¿Para qué enseñar matemática en la escuela primaria? Roberto Markarian

sta pregunta me pareció un poco sorprendente porque podría entenderse que detrás de ella está el cuestionamiento: ¿Hay que enseñar matemática en la escuela? Casi todos responderían afirmativamente a esto último. Algunos habrán olvidado para qué, otros quizás nunca lo supieron. Por lo tanto, la pregunta original tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la respuesta en serio. O sea, no responder únicamente: porque a los 10 años el niño tiene que saber sumar y multiplicar. Ésta es una respuesta operativa, pragmática. Soy de los que cree que el niño debe saber operar bien, que no hay computadora que elimine la necesidad de manipular los números, adquirir una imagen cuantitiva de los objetos de este mundo. Pero no basta. Estas notas estarán carentes de ejemplificaciones detalladas, de la experiencia de tratar con niños de cerca de 10 años, pero pueden tener la validez de quien trata y le gusta tratar con jóvenes en quienes las dificultades de aprendizaje de dos lustros antes se reflejan en dolorosos traumas de estudio. Y de quien ha hecho de la enseñanza y de la investigación matemática su profesión.

1. Contar El niño pequeño aprende rápidamente a contar. Luego a distinguir. De individualizar los objetos

que le rodean pasa a ‘saber’ sus nombres y a distinguir que algunas cosas pueden clasificarse en las mismas categorías. El ejemplo mejor estudiado es el de los pares, quizás porque tenemos varias partes del cuerpo que vienen de a dos. Después de distinguir que mis dos manos y las suyas tienen algo en común, reconoce que la misma propiedad es común a sus dos pies y, después, cuando pide un juguete y luego otro, el niño dice dos juguetes. Y ha empezado a contar. Los sucesivos números naturales1 hasta alrededor de diez vienen después, y en general antes que el uno. Para un adulto esto puede resultar extraño, pero parece ser que inicialmente es tan evidente la individualización de los objetos aislados que es innecesario ‘contarlos’, y por tanto darle un número (el uno) a su cantidad. La creación de un nombre y un símbolo para expresar la inexistencia de objetos es un asunto definitivamente más complicado. Los niños no adquieren rápidamente la idea del cero, que es la negación de la existencia. La misma humanidad necesitó del símbolo muy tardíamente en su desarrollo y su introducción en nuestro mundo occidental significó un in-menso avance en el desarrollo de la matemática. Los niños más interesados pronto se preguntan cuál es el número más grande, los mejores alumnos llegan a una idea puramente matemática de infinito. Estos niños habrán dado un

1 Se admite generalmente que los números que más usamos en nuestra vida diaria: 1, 2, 3..., tienen existencia natural enteramente

independiente del hombre. No caben dudas de que estos números, relacionados con el conteo, son los primeros que la especie humana en su conjunto, y cada humano en particular, hemos aprendido a usar. “Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre.”

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gran salto en el aprendizaje de la matemática y en desmitificar la disciplina. He comentado, de esta manera un tanto atípica, para responder a la pregunta por dos razones: Que la aplicación de las leyes formales de las operaciones con los números naturales es uno de los mejores ejemplos del proceso matemático de generalización. Que creo —con muchos otros— que el buen conocimiento de los sistemas numéricos (no sólo de los números naturales) es parte necesaria del bagaje básico de quien se dedique a la enseñanza de la disciplina.

2. Aprovechar todas las facetas Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado del papel que la matemática ha jugado y juega en la sociedad en que vivimos. Tratamos de reivindicar el contenido cultural de la matemática y la presentación de la matemática como la profunda historia y creación humana que en realidad es. Los profesores deberían saber cómo se han formado las ideas matemáticas para: • comprender las dificultades que la humanidad tuvo para elaborarlas; • relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual; • utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar. Por otra parte, los profesores de todos los niveles deberíamos saber aprovechar las muchas facetas de la disciplina, no sólo para entusiasmar a nuestros alumnos sino para darle sus auténticas dimensiones. Recapitularemos a continuación algunas de esas facetas que se agregan y complementan con los aspectos históricos y culturales antes anotados. 1. Es como un arte en que el enlace entre sus distintas partes y teorías, o entre proposiciones

aparentemente desligadas, así como la elegancia y limpidez de sus razonamientos, la brevedad y elocuencia y, a veces, la sorpresa de sus resultados, son gratos al espíritu, a nuestro modo de pensar. Incluso estos aspectos muchas veces satisfacen nuestro sentido estético. 2. Es un lenguaje preciso y eficaz. En realidad una de las razones principales para la existencia y uso de la matemática es la elaboración de un lenguaje que permita resumir la presentación de otras ciencias y disciplinas. Más aún, el análisis sistemático u ordenado de muchos problemas técnicos o prácticos es frecuentemente imposible sin una buena presentación matemática, sin hacer un modelo formal. 3. Es un eficaz instrumento para resolver cuestiones de la vida cotidiana o de la más sofisticada tecnología. Debidamente formalizado un problema es resoluble utilizando herramientas matemáticas que van de la simple suma, si se trata de saber las deudas que tenemos, hasta difíciles procesos del cálculo numérico si se quiere saber cuán cerca pasará un cometa (hacemos referencia a estos asuntos de cálculo por no poder explicar aquí cuestiones relacionadas con consecuencias derivadas directamente de teorías matemáticas: mecánica cuántica, teoría de la relatividad, etcétera). 4. Por último, relacionados directamente con el primer aspecto tratado en esta enumeración, están los temas vinculados con la investigación matemática. En la enseñanza primaria y secundaria esto lleva a destacar los aspectos lúdicos, a ver los objetos matemáticos en juegos, que son tan importantes en la formación general de los individuos y su intelecto. En la enseñanza más avanzada se trata de expliar los desafíos abiertos en algunas ramas o de sacar partido de cuestiones relacionadas con los grandes problemas y conjeturas y hasta con la vida personal de los matemáticos (¿sabe

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¿Para qué enseñar matemática en la escuela?

usted por qué el señor Nobel no estableció uno de sus premios para la matemática?). Los profesores debemos impregnar la didáctica de la matemática de estos contenidos culturales, destacar la influencia de la matemática en la formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter histórico y evolutivo. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, su aprendizaje se verá facilitado.

La matemática es difícil (y prestigiosa) La enseñanza de la matemática en todos los niveles se presenta como un problema no resuelto. El número de estudiantes que no avanza en el ciclo escolar debido a sus fracasos con la matemática y el número de reprobados en la disciplina en los demás ciclos de aprendizaje son las manifestaciones inmediatas de esa situación. Ella está tan extendida que los profesores de matemática son vistos como los grandes verdugos del sistema educativo, como la verdadera traba para el avance en los estudios secundarios o universitarios. Muchas veces el estudiante opta por ciclos o carreras que no tienen la disciplina, aunque no tengan particular vocación por el resultado final de ellos. El problema tiene causas y manifestaciones diferenciadas en distintas épocas y países con diversos grados de desarrollo económico y cultural. No me referiré aquí a estos aspectos. El objeto de la matemática es un tanto imperceptible. La abstracción de las propiedades cuantitativas o geométricas que caracterizan a las primeras nociones estudiadas en los cursos de matemática constituye un proceso de complicada asimilación. Pequeños errores en este proceso hacen muy difícil la asimilación de nuevos conceptos y procedimientos, lo que genera grandes traumas futuros. Por otra parte la memorización de una nomenclatura diferente y

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muy precisa introduce componentes que no son usuales en la vida diaria. Sin embargo, esas mismas dificultades hacen que los que tienen ‘facilidad’ para su aprendizaje gocen de un respeto un tanto extraño y contradictorio. Se les (nos) ve como seres con algún privilegio sobre los demás, y a la vez como ‘bichos raros’. Esto lleva algunas veces a situaciones desagradables o dolorosas del siguiente tipo: tener que responder con los hombros levantados a la pregunta: ¿por qué si tu inteligencia te da para ser matemático no te dedicas a algo que dé más dinero? Las dificultades para la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina no son de hoy. Desde los primeros documentos escritos que se refieren a la enseñanza se destaca la de la matemática como un modelo a imitar. En el pórtico de la Academia de Platón estaba escrito: “No entre quien no sepa geometría”. Durante la Edad Media diversos teoremas de la misma rama eran denominados ‘puente de burros’ (pons asinorum), como una muestra de que eran pocos los que, habiéndose iniciado en la disciplina, lograban salir adelante. La propia organización del conocimiento y sus estudios durante la Edad Media rendía culto a la impor-tancia de la matemática. Se dividían en trivium y quadrivium, tres y cuatro vías. La primera incluía las tres artes liberales relativas a la elocuencia: gramática, retórica y dialéctica. La segunda al conjunto de las cuatro artes matemáticas: aritmética, geometría, astronomía (¿astrología?) y música. De trivium, que era la parte fácil de los estudios, procede la expresión ‘trivial’, que los matemáticos gustamos tanto de usar —y algunos dicen que es ¡lo que no recordamos cómo probar! Incluso, hace unos cien años se creía que en el receptáculo de la inteligencia (digamos el cerebro) había una ‘bolsa de la matemática’, ¡de cuyo desarrollo dependía la facilidad para la disciplina!

Las dificultades anotadas, que son socialmente percibidas y reconocidas, provocan una grave consecuencia en los alumnos de los ciclos iniciales. El buen desempeño en matemática es considerado, en general, como una muestra de sabiduría e inteligencia. Se ve a quienes tienen facilidad para la matemática como gente especial, con alguna dote extraordinaria: el saber matemático goza de prestigio. Esto se debe, por una parte, a que las dificultades de la disciplina hacen que quien la sabe o la aprende con facilidad sea visto distinto, especialmente dotado; por otra parte, los muchachos con particular facilidad para la matemática también tienen, por lo general, facilidad para conceptualizar en otras disciplinas, para continuar la concatenación lógica de razonamientos, hasta para encontrar similitudes en geografía, física... Este ‘prestigio’ a su vez genera en quienes tienen dificultades un rechazo a la matemática. Se sienten apabullados, pasan a ignorar la belleza, la coherencia y el ordenamiento de la disciplina, y a rechazar todo tipo de formalización por su semejanza con la formalización matemática. No es infrecuente que estos estudiantes con dificultades sean más retraídos, sientan que no podrán ocupar sitios importantes en su actividad u obtener ocupaciones destacadas y modernas. Se considerarán humillados ante sus profesores de matemática y, más adelante, muchos de ellos serán incapaces de tener el sustento mínimo para incorporar conocimientos matemáticos o meramente cuantitativos que les permitan avanzar normalmente en sus estudios. Los profesores universitarios tenemos experiencias variadas que muestran que la dificultad natural de los conocimientos tratados en nuestros cursos son frecuentemente un detalle en relación con las barreras psicológicas y el desinterés de nuestros alumnos. Elementos estos que tienen su origen en las observaciones anteriores

sobre el prestigio y los temores por el saber matemático.

Ingredientes básicos Querría insistir un poco más en los aspectos de categorizar y generalizar, porque me parecen los fundamentales desde el punto de vista de la maduración y avance intelectual del niño. Lo que estoy llamando ‘categorización’ es una de las maneras en que se forman los conceptos. Éste es un paso claramente posterior a la percepción de los objetos. Por esa razón se debe hacer del aprendizaje de la matemática una actividad constructiva y de razonamiento, de modo que el alumno reconozca objetos concretos, y logre luego que los objetos matemáticos adquieran su significado. Esto contradice la idea de que los niños simplemente absorben. En estos procesos de elaboración de conceptos (matemáticos) el niño debe abstraer (sacar de, retirar, separar lo particular), debe discriniminar (separar, distinguir), priorizar (determinar lo que es primero o más importane) y, como consecuencia, generalizar. Sin esta generalización no habrá formación de conceptos. La abstracción (discriminación, priorización) y generalización que forman parte de estas etapas iniciales (en realidad de todas las etapas de aprendizaje matemático) son esencialmente procesos psíquicos, por lo que el niño debe pasar por sí mismo de la percepción a la conceptualización. Todos estos procesos no son exclusivos de la matemática, pero se dan particularmente puros, diáfanos, en esta disciplina. Por lo mismo es que adquieren particular relevancia en la buena educación general. Por ello mucho de lo que sigue se puede leer sustituyendo la palabra matemática por la denominación de otra disciplina o concepto.

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¿Para qué enseñar matemática en la escuela?

El aprendizaje se da en el momento en que la matemática informal del niño (basada en nociones intuitivas y procedimientos inventados para operar con aquellas nociones) se transforma en algunas reglas formales que el maestro debe captar y resumir. Estos cambios se dan, en general, de modo súbito y crean discontinuidades en el proceso de aprendizaje. Estas discontinuidades son naturales e inevitables; los profesores deben estar preparados para ellas pues constituyen el aprendizaje mismo de la disciplina. Pero, además, para conseguir reales avances, los alumnos deben disponer de herramientas que les permitan dar el salto, o sea, establecer vínculos entre la matemática informal y formal. Se propenderá a crear modelos de situaciones o fenómenos conocidos que permitan simultáneamente analizar lo intuitivo y experimentar con el correlativo formal. Deben abrirse etapas de reflexión sobre asuntos que los alumnos hayan pensado por sí mismos. El niño debe hacer una confrantación activa de los puntos de semejanza entre los datos y las ideas, entre lo intuitivo y lo formal. En esa confrontación podrá discriminar qué es lo esencial y qué es lo accesorio del concepto sobre el que está avanzando: las concordancias se harán compatibles con las diferencias. Esas similitudes serán integradas a un sistema y podrán ser reconocidas en cualquier otro ejemplo. Los conocimientos matemáticos disponibles para el niño están sujetos a constantes mejoras. Hay asimilación de nuevos conocimientos y acomodamiento de los existentes. Por ello se debe aprender como un todo coherente y no como partes separadas. Esta capacidad de conexión funciona en dos sentidos: cubriendo tanto relaciones entre ideas matemáticas como la relación entre matemática y mundo real. Hay que dar estructura a lo que se está aprendiendo. Se ha llamado a esto ‘entretejer los hilos del aprendizaje’. Pero

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este entretejido no puede llevar a la dispersión de los distintos componentes y la mezcla de conocimientos que responden a necesidades diversas. Por ejemplo, considero equivocado fraccionar en unidades demasiado pequeñas la exposición y discusión de aspectos de la geometría. Si se quiere estudiar el triángulo no deberían darse un día la definición, varias semanas después las relaciones entre sus ángulos, luego los distintos tipos, la importancia del concepto de altura o de baricentro. Creo mucho más productivo y superior desde el punto de vista de la disciplina (donde la memorización de conceptos abstractos no es fácil) tratar los temas en bloques, aunque las experiencias del niño circunstancialmente no los motiven directamente. Como corolario de la observación inmediatamente anterior, surge que las ideas matemáticas mismas pueden —y deben a cierta altura— constituir tema de estudio, aun en la escuela. No sé por qué a esto se le llama ‘matematización vertical’. La disciplina debe pasar a tener su vida propia. Además del ejemplo geométrico ya dado, anoto la posibilidad de hacer el estudio de las proporciones en forma de fracciones cuando se introduce la idea de porcentajes.

Fin Sé que me he ido por diversas ramas de la respuesta a la pregunta original. He preferido no cortarlas. Me ha parecido mejor responder no sólo para qué enseñar matemática en la escuela. Escribí también algo sobre qué enseñar y cómo enseñar. Me parece fundamental que los niños se impregnen de matemática en la escuela, que se interioricen con sus aspectos formales y abstractos. Ésta es la única manera que les será útil, en el sentido más aplicado de la palabra. Y los profesores debemos asumir el desafío y el compromiso de colaborar para que esa impregnación se haga bien.

Artistas y artesanos

Los primeros pasos de Don Juan (Tirso de Molina, 1571-1648)* Adolfo Hernández Muñoz

irso de Molina es el pseudónimo del dramaturgo español fray Gabriel Téllez, hombre lleno de “ingenio y desdichas”, según él mismo dice en una de sus celebradas obras. Vastísima fue la producción literaria de fray Gabriel Tellez, iniciada en 1606. Entre las desdichas que dice haber padecido Tirso, cabe mencionar que los datos que nos han llegado son encontrados y no todos ellos fundados. Uno de sus estudiosos, doña Blanca de los Ríos, intenta defender que era hijo natural del duque de Osuna. Nada se sabe de cierto aunque llama la atención la acritud con que trata la liviana conducta de las personas de la alta sociedad de la época. No obstante cabe destacar que gozó de esmerada educación, estudió en la Universidad de Alcalá y, con cierta amargura, se volvió teólogo de renombre. En 1600, sus inclinaciones religiosas lo envían como novicio (cerca de los 30 años) al convento de la orden de Merced de Guadalajara, donde un año más tarde profesaría sus votos solemnes. Pasa por varios conventos hasta que en 1616, cuando se encuentra en Sevilla, embarca para la isla de Santo Domingo, en la cual explicará tres cursos de teología. Todo ello lo conducirá, vuelto a España, en un amplio acervo de recuerdos y en recomendar los viajes acerca de los que dice: “no merece el nombre de hombre quien permanece encerrado en su país e ignora a las demás gentes”. A pesar de ello, Tirso no sale del ambito nacional, pero su incisiva visión le sirve para volverse el “costumbrista más notable de entre nuestros damaturgos”. Viaja mucho por el país y alterna con gente de resonancia; se hace muy amigo de Lope de Vega, a quien conoce en la Academia Poética fundada por el humanista Juan Francisco de Medrano. De Lope dirá en alguna ocasión “…ha elevado la comedia a tal punto de perfección y sutileza que puede formar escuela por sí sola; y nosotros, los que nos consideramos sus discípulos, tenemos que defender su Tirso de Molina (1571-1648). Pintura anónima. doctrina contra sus adversarios apasionados”. Biblioteca nacional de Madrid.

* Este ensayo forma parte de la serie El castellano: acerca de sus venturas y desventuras, que dio inicio en el número 59 y que en números posteriores será continuada.

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Los primeros pasos de Don Juan

http://faculty-staff.ou.edu/L/A-Robert.R.Lauer-1/BIBTIRSO.html

Se le atribuyen más de 300 obras y se sabe de algunas más perdidas, pero con el material salvado constituye uno de los pies del trípode glorioso del teatro de oro español, junto con ‘el monstruo’ Lope y el inmortal Calderón. Sufrió las censuras de la Iglesia, producto de malquerientes. En efecto, tras la publicación de su renombrado libro misceláneo Cigarrales de Toledo (1621) que incluye prosa, verso y teatro, una junta de reformación lo desterró de la corte (alrededor de 1626) por atentar contra la moral. No obstante, pudo remontar sinsabores y en 1631 imprimió carácter religioso a Deleitar aprovechando, una mezcla de historias piadosas, poesía devota y autos sacramentales; su aparición, en 1635, años más tarde de que fuera nombrado cronista oficial de la Orden a la que tres años después dedicó una Historia general de la Orden de la Merced. A pesar de estas labores, recibió nuevas críticas que le valieron nuevos destierros. Y aunque vivió sus últimos años en Soria (como prior) y en Almazán, su gloria se debe a su talento y fecundidad. Los analistas indican que aunque no tuviera un genio burbujeante y desordenado como su llamado maestro Lope, superó a éste en sutileza y disciplina intelectual; dominó la intriga con una estructura cuidadosa y, a decir de los eruditos, crea el puente entre la comedia lopesca y el intrincado desarrollo que alcanzaría Calderón de la Barca. Volviendo a Cigarrales de Toledo, estamos ante una obra en prosa, derivada del Decamerón y de las novelas (tipo italiano) que agrupan varias historias narradas por damas y caballeros reunidos en un cigarral cercano a Toledo. Su inspiración toma rutas variadas, con personajes de un talante un tanto maniqueo, es decir, impulsivos o hipócritas, sin medias tintas. Es muy conocido sobre todo por varias obras: El condenado por desconfiado, en la que planteó con enfoque ortodoxo el tema teológico de la predestinación. Se trata de una poema dramático intenso (véase Siglo de Oro: Teatro; de Duncan Moir, editorial Ariel) y conmovedor destinado a apartar a los seglares de los misterios de una preocupación morbosa por unos misterios impenetrables, orientándoles hacia la práctica de un sano cristianismo. Es, por encima de todo, una obra sobre la vida y la muerte desde el punto de vista de la práctica religiosa. El condenado por desconfiado tiene dos protagonistas y dos intrigas entrelazadas de igual importancia temática y tiende a provocar la reflexión sobre la naturaleza de la verdadera devoción. Quizás Tirso con esta obra quiso demostrar la profundidad teológica de su saber a tal punto que algunos investigadores dudan que su autor sea el célebre Fray Gabriel Téllez. Entre sus cuatrocientas comedias destacan unas sesenta publicadas entre 1627 y 1636, algunas de las cuales mencionaremos a vuela pluma; así: (escenarios históricos) La prudencia de la mujer, Las quinas de Por-

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tugal (hagiografía), La venganza de Tamar (sobre los amores incestuosos de Ammón, primogénito del rey David, y su hermanastra Tamar), La espigadera, Santa Juana. Ofrecen mucha materia en el teatro de Tirso las costumbres relajadas de sus contemporáneos, donde encontramos secreto agravio acerca del dudoso origen de fray Gabriel Téllez. Particular interés ofrecen las comedias de enredos, en las que fue ducho Tirso, de las que cabe mencionar El vergonzoso en palacio (un pastor, Mireno, siente un deseo instintivo de llevar una vida noble y debido a un afortunado incidente es detenido cuando lleva las ropas del secretario de un duque. En el palacio ducal dice llamarse Don Dionís, y la hija del duque, que se ha enamorado de él, convence a su padre para que le devuelva la libertad y le nombre secretario de ella. Con diversos ardides, la hija del duque consigue persuadir a un escamado joven de que está enamorada de él. Todo acaba como miel sobre hojuelas. La protagonista se declara astutamente en sueños a su tímido galán). Muchos temas y todos delineados con ingenio tiene Tirso de Molina, pero tendremos que detenernos en El burlador de Sevilla, donde se combinan elementos del drama religioso, la comedia de capa y espada y (nuevamente) la satírica de costumbres relativas a clases elevadas. Todo confluye en la figura de Don Juan, cuyo desordenado erotismo le enfrenta moralmente a la sociedad, haciéndole acreedor al castigo divino. Así pues, El burlador de Sevilla es la principal fuente de una tradición literaria internacional: la del mito de Don Juan, a la que pertenecen numerosas obras de gran altura, a menudo muy diferentes, desde la España del siglo XVII hasta la Inglaterra (véanse estudios de Georges Gendarme de Bévotte,Weinstein y E.W. Hesse, citados en el ensayo del profesor Duncan Moir, de la Universidad de Cambridge). En efecto, El burlador de Sevilla no fue la primera obra que se escribió sobre Don Juan. El burlador se imprimió en el siglo XVII como obra de Tirso, pero es de asombrarse que no figura en ninguno de los libros que él mismo publicó. Asimismo, se habla de similitudes con otra atribuida a Calderón, pero la mayor parte de los expertos convienen en que tiene el brillo y la elocuencia de Tirso y así ha quedado la cosa. ¿Qué es El burlador de Sevilla? Arrogante y desaprensivo, Don Juan Tenorio sorprende a diversas mujeres con engaños y astucias cobardes. Es hijo del privado del rey de España y sobrino del embajador español en Nápoles y también tramposo, arrogante y necio. Tras seducir a las damas, las engaña con falsas promesas de matrimonio; en el caso de Doña Ana de Ulloa incluso mata al padre de ella, Don Gonzalo, y pasado un tiempo, cuando visita la tumba de éste, le tira de la barba y lo invita a cenar en su compañía. La estatua acude a la cita, y a su término le invita a su vez a cenar en la capi-

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Los primeros pasos de Don Juan

lla. Don Juan acude a la iglesia donde está sepultado Don Gonzalo y tras una comida compuesta de alacranes, víboras y hiel, la estatua toma la mano de Don Juan y ambos se hunden en el infierno. El rey de España pone ‘orden’ en la sociedad casando a las víctimas de Don Juan con parejas adecuadas. Se ha dicho que El burlador es un drama en el que el edificio de la sociedad humana se muestra débil y sucio. Wilson la considera una grandiosa e impresionante tragedia social. Finalmente, la exitosa versión de Don Juan Tenorio, de Zorrilla, ha inmortalizado al personaje en todo el mundo. La incansable pluma de Tirso penetra, con temeridad, en la ligereza de la vida monástica (que debió producirle algunos sinsabores) en La elección por la virtud, compuesta por 1622. Por esos tiempos tuvo acervas críticas de la Iglesia que nuestro dramaturgo capeó con fortuna. En esa época nuestro inspirado escritor da a luz una obra ingeniosa, divertida e intencionada: Don Gil de las calzas verdes. Escribió, además, La prudencia en la mujer, drama histórico centrado en las figuras de Fernando IV, el Emplazado, y la reina madre, doña María de Molina; hay algunas costumbristas que saborearon los ‘corrales’ de Madrid como: Los balcones de Madrid; Bellaco sois, Gómez; El honroso atrevimiento; El celoso prudente y algunos autos sacramentales para estar a bien con la Iglesia. Tirso se quejó del pronto olvido de algunas de sus obras dramáticas. Tuvo razón a medias. Su obra fue relegada al polvo, pero revivió en el siglo XIX, merced a los estudios de Dionisio Solís, Agustín Durán y Juan Eugenio Hartzembusch. Fue precisamente Hartzembush quien hizo, por su dedicación a la literatura que le valió su entrada en la Real Academia Española, el descubrimiento de los clásicos, con Tirso de Molina a la cabeza, e incluso su drama Los Amantes de Teruel (1837) retoma un tema del que el propio Tirso había escrito. Tirso, con Lope y Calderón y algunos otros autores como Alarcón representa el gran aliento, con Cervantes al frente, que el Siglo de Oro ofreció en el ámbito español a la cultura europea. Poco faltaba para que apareciera Quevedo. Obras como El vergonzoso en Palacio, La villana de Vallecas y sobre todo la diabólica presencia de Don Juan aseguran la permanencia de fray Téllez, es decir un Tirso con ingenio y desdichas, pero también con talento y penetración, inmortal en el constumbrismo que aseguran para el dramaturgo permanencia en las candilejas del mejor teatro castellano.

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Sentidos y significados

Las cuatro... ¿o cinco?.. aes de las relaciones humanas Arrigo Coen Anitúa

orrían los cincuentas del pasado siglo XX cuando comencé a interesarme por lograr una fórmula que resumiese los requisitos básicos de cualquier tipo de relaciones humanas, independientemente de la sencillez o complejidad de las situaciones locucionales, en las que dos son los principales factores: el número y la autoridad de las partes que emprenden la relación. El caso más simple es el de dos personas de más o menos el mismo nivel. Ejemplos: a) la asociación en comandita entre un capitalista y un industrial; b) un noviazgo, en el que frecuentemente se hace caso omiso de las condiciones económicas de los que se comprometen; c) dos jugadores se enfrentan en un concurso de ajedrez. El caso anterior se complica cuando uno de los interlocutores es patentemente superior. Ejemplos: el médico y el paciente; el confesor y el o la penitente; el amo y el criado; la madre y la hija, y cualquier tipo de relación jerárgica, sea militar o burocrática, o moral (buenas costumbres, etiqueta, protocolo), por saber, edad o sexo. El segundo caso es el que se da entre una persona y un grupo, más o menos numeroso. Situaciones de este tipo son frecuentes: profesor y alumnos —en un nivel más clásico, maestro y discípulos—; el sacerdote en el púlpito y los feligreses asistentes al sermón; el tribuno (orador político) y quienes deban (en un parlamento) o quieran (en el mitin) escucharlo; cualquier confereciante y sus oyentes, y hasta el merolico y los curiosos que haya conseguido atraer. El tercer caso, que es el de grupo ante grupo, tiene pocas posibilidades de interlocución directa. En un espectáculo —en recinto cerrado o abierto—, sea dramático, de ópera, de danza, de orfeón (coros), el público tiene pocos recursos de respuesta: aplausos, silbidos, gritos aprobatorios o de reproche; ovación o bronca. Esas mismas posibilidades se ofrecen, por ejemplo, en los desfiles, bien sean civiles (carnavalescos) o militares, y aun quedan considerablemente restringidos en una procesión religiosa, a la cual se suele guardar respeto. Donde se hace exasperante la imposibilidad de protesta es en las llamadas marchas o en los plantones, esas manifestaciones tumultuarias, prepotentes, escarnecedoras, que, por justa o fundada que sea la razón de su mensaje, está envuelta en la sinrazón del atropello a los derechos ciudadanos de libre tránsito. Sean cuales sean las condiciones locucionales hasta aquí descritas, los requisitos básicos de cualquier tipo de relación humana son cuatro, y da la casualidad de que las iniciales de sus nombres son aes: aceptación, afectación, atención y aliciente. Dos futuros socios investigan minuciosamente los méritos de probidad, de competencia, de solvencia económica y de estatus del prospecto, antes de convenir en los términos de su asociación, esto es, antes de aceptarse. Y lo mismo para, antes de firmar un acta matrimonial o presentarse ante el ministro en el altar, durante el noviazgo, los recíprocos pretendientes a esponsales o nupcias se tratan para conocer los valores morales, físicos y sociales de sus mutuos pretensos. Sólo después aceptarán el rito, sea civil o religioso (o ambos) que formalizará su empresa familiar.

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Las cuatro...¿o cinco? ...aes de las relaciones humanas

Ahora se presenta otra posibilidad: La de que nazca un hijo con deformaciones: aquí sí que “no hay de otra”, ¡se tiene que aceptar!, como se aceptan de buen grado los vástagos normales, y estos, al crecer, deben aceptar la razonable autoridad de sus progenitores. Mucho menos forzosa, pero también imprevisible resulta la relación profesor-alumnos, que han de compartir el aula o el laboratorio (o las experiencias de campo) durante cuando menos un semestre. Ni el docente prevé, de cierto, la composición del grupo que le va a tocar, ni los discentes tienen muchas opciones para elegir al que ocupará la cátedra o dirigirá sus actividades experimentales. La aceptación en ambos sentidos: grupo-profesor y viceversa, también requerirá cierto grado de condescendencia. La relación de grupo-grupo, ejemplificada de suso como caso tercero, ofrece muchas posibilidades de elección, por lo que la aceptación, por ejemplo, de una representación teatral, por lo regular está otorgada desde el momento en que se adquiere el boleto para asistir a ella. El segundo requisito de la fórmula de las cuatro aes viene siendo la afectación: es decir, que todo cuanto a la empresa —en el sentido de que causa en ella un beneficio o un trastorno— afecta en la misma medida, o proporcionalmente, a sus integrantes, por lo cual éstos deben abstenerse de acciones, particulares o colectivas, que puedan influir en detrimento de la colectividad, y, antes bien, procurar los quehaceres que favorezcan a la prosperidad del negocio. A cuya óptima marcha habrán de dedicar su más aplicada atención, tercer requisito de la fórmula que se postula. Atender (etimológicamente: ‘tender a’) es ‘consagrar el entendimiento al objeto, sensible o espiritual, que se está tratando’. En la atención hay tensión y ésta no admite distinción o distracción, sino continua y constante asistencia, ayuda y apoyo. Quizás esta a sea la más necesaria en cualquier relación humana. Nos queda la cuarta a de la fórmula, la a de aliciente: de muy poco servirá aceptar una relación y ser más o menos afectado por ella o ejercer sobre ella cierto influjo, y aun dedicarle la debida atención, si no progresa, si no prospera, si se mantiene estática. Lo único que puede inyectar estímulo a cualquier relación humana es su sinónimo, el aliciente, ese incentivo que impulsa a la voluntad por buscar, hallar y poner en práctica medidas de optimización; ese acicate que apremia hacia el perfeccionamiento. Sin él, la empresa se estanca y sucumbe; sin frutos, los hijos, la familia declina y las especies desaparecen. Cuando una relación reúne y concierta estos cuatro requisitos, estas, por su interacción, mágicas aes, puede tener la seguridad de su trascendencia, en el espacio (globalización) y en el tiempo. Pueden morir sus fundadores: sólo por poner un ejemplo, ahí está la fábrica de automóviles Ford, ¡cuántos años después de la desaparición de mi tocayo Henry, su creador! Ante esta evidencia, cómo me gustaría que la síntesis de mis cuatro aes, minúsculas en su calidad de nombres comunes, fuese una quinta A, ésta mayúscula, por la inmensa significación de su contenido, la A de AMOR. Plugiérame también, y sumamente, que su etimología fuera —que, para mi delusión, no lo es— “del griego a privativa y del latín mors, ‘muerte’”, para que su sentido fuera el de INMORTALIDAD, como el de la ambrosía, el alimento que garantiza la suya a los dioses del Olimpo. Este artículo es un resumen, muy sucinto, de una de las primeras clases que imparto en mi curso de Lingüística Trastextual en la escuela de la Sociedad General de Escritores de México (Sogem) y en la Unidad Cultural Jaime Torres Bodet, del Instituto Politécnico Nacional.

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Problemas sin número

No todo es lo que parece ser Claudia Hernández García Daniel Juárez Melchor

La búsqueda de la verdad [científica] debe ser el objeto de nuestra actividad; es el único fin de ella. Sin embargo, en algunas oportunidades la verdad nos asusta. En efecto, sabemos que a veces es engañosa; que es un fantasma que sólo se nos muestra un instante para huir sin cesar; que es necesario perseguirla más lejos y siempre más lejos sin poder alcanzarla jamás. Y, sin embargo, para obrar es preciso detenerse, como ha dicho no sé que griego, Aristóteles u otro. Sabemos además cuán cruel es a menudo, y nos preguntamos si la ilusión no sólo es más consoladora, sino también más fortificante, pues es quien nos infunde confianza. Cuando haya desaparecido, ¿nos quedarán esperanzas y tendremos el valor para actuar? [...] Por otra parte, para buscar la verdad es necesario ser independiente. Al contrario, si queremos obrar, si queremos ser fuertes, es menester que estemos unidos. He aquí por qué muchos se horrorizan de la verdad; la consideran como una causa de debilidad. No obstante, es necesario no temer a la verdad, porque sólo ella es hermosa.* Henri Poincaré**

Por su grado de abstracción, aconsejamos la siguiente actividad para chicos de sexto de primaria en adelante. Sugerimos una amplia discusión por equipos de tres o cuatro personas antes de la discusión grupal en la que proponemos que se discutan las explicaciones de todos los equipos. En cada uno de los problemas que pre-

sentamos a continuación se expone una situación que parece ser irreal o imposible. El reto consiste en encontrar una explicación lógica a cada uno de ellos. Aunque lo parezca, no son necesarias las cuentas o las ecuaciones para resolverlos, sólo hay que leerlos con cuidado y ser ingeniosos.

* Tomado de Henri Poincaré, El valor de la ciencia, Ed. Espasa-Calpe, Ediciones para la Colección Austral No. 628, 1964, p.14 ** Jules-Henri Poincaré (1854-1912) es considerado como el último gran matemático que hizo contribuciones a casi todas las ramas de la matemática. Hacia el final de su vida dedicó su filosofía a la matemática y la búsqueda de la verdad.

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No todo es lo que parece ser

Actividad: No todo es lo que parece ser

1. La semana pasada dos equipos jugaron un partido de fútbol: el rojo y el azul. El equipo rojo anotó dos goles y el equipo azul sólo uno. Sin embargo, fueron los del equipo azul quienes ganaron el partido. ¿Cómo pudo ocurrir eso? 2. El domingo un padre dio $15 a su hijo. Ese mismo día, otro hijo recibió $10 de su padre. ¿Cómo podríamos explicar el hecho de que cuando ambos hijos se reunieron para sumar sus ganancias obtuvieron en total sólo $15? 3.Tres amigos dieron $10 pesos cada uno para comprar un pastel que costaba $30. Como se fueron antes de que la cajera pudiera devolverles los $5 que tenía de descuento, envió al mensajero a devolver ese dinero a los chicos. Éste supuso que la repartición de $5 entre 3 personas sería muy complicada, por lo que decidió devolver sólo $3 y quedarse con $2. Cuando a cada chico se le devolvió el $1 que le tocaba, cada uno habría pagado $9 por el pastel, es decir, $27 en total. Si a estos $27 sumamos los $2 que no devolvió el mensajero, obtenemos un total de $29, pero los chicos habían pagado, originalmente, $30 por el pastel, ¿qué pasó con el otro peso?

Soluciones: Cada uno de los problemas podría tener varias explicaciones.Aquí presentamos una para cada uno de ellos. 1. Uno de los goles atribuidos al equipo azul fue anotado por el equipo rojo en su propia portería, es decir, uno de los goles fue autogol. 1. Podemos pensar que son tres y no cuatro las personas involucradas en este problema (abuelo, hijo y nieto). El abuelo dio $15 a su hijo, quien como padre, dio al nieto (o sea, a su hijo) $10 de lo que le dio el abuelo. Por lo que al final el hijo del abuelo tuvo una ganancia de $5 y el nieto una de $10. 1. La confusión de este problema radica en el manejo de las cantidades que hacemos al final, porque no tiene sentido hacer la suma de los $2 del mensajero y los $27 que pagaron los chicos. Finalmente no se pagaron $30, sino $27 de los cuales $25 fueron para la cajera y $2 para el mensajero.

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Abriendo libros

Didáctica de la matemática * Varios autores

a enseñanza y el aprendizaje de la matemática ha demostrado tener, desde tiempos inmemoriales, gran dificultad para alumnos y maestros. El elevado número de fracasos que puede verse en el estudio de la matemática da cuenta de la magnitud del problema. Muchos investigadores en psicología educativa, pedagogía, didáctica, etc., se han abocado al estudio de cómo los niños adquieren los conceptos matemáticos y científicos. El doctor K. Lovell, catedrático de psicología de la educación en la Universidad de Leeds, Inglaterra, dedicó años de su vida a la investigación del problema. Los resultados y conclusiones de esta profunda investigación —en la que se realizaron experimentos de tipo piagetiano en más de diez mil niños ingleses—, así como las meditaciones en torno a ella han quedado plasmados en una obra maravillosa que fue publicada en su primera edición hacia finales de los años sesentas, pero que aún en nuestros días, revisada y reeditada en múltiples ocasiones, es lectura obligada para todos los maestros, educadores e interesados en la enseñanza de la matemática. El libro Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños hace un estudio a fondo de los conceptos filosóficos abstractos que continuamente se barajan en matemática. Muchos conceptos, como materia, peso, volumen, área, tiempo, espacio, etc. son analizados

en sí mismos y en su desarrollo progresivo en la mente del niño. En el texto se analizan los métodos activos, el enseñar haciendo, sobre todo en los primeros estadios del desarrollo infantil. Pero establece que son sólo medios para abastecer de símbolos propios a la utilización de los métodos estructurales, más adecuados a los estadios medios, donde la comprensión es lo fundamental. El libro de Lovell no ofrece una receta fácil sino que, a través de doce capítulos, indica caminos y aclara el avance metodológico en la obtención y fijación de conceptos diversos. No enseña un método didáctico; su objetivo es servir de punto de arranque para la construcción sistemática de una didáctica práctica en el campo matemático. Lovell no acepta los resultados de Piaget sin someterlos previamente a la más escrupulosa

* Reseña del libro: Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños, de K. Lovell, Editorial Morata, Madrid.

Correo del Maestro. Núm. 73, junio 2002.

Didáctica de la matemática

investigación. En cada capítulo repite el mismo proceso: a) exposición de las ideas de Piaget sobre la cuestión, b) nuevos experimentos del tipo de los realizados por Piaget, c) análisis de resultados y comparación con los obtenidos por Piaget y colaboradores. Se puede decir que, en general, obtuvo resultados similares al investigador suizo. Sin embargo, difiere con él en algunos puntos, sobre todo en la formación de los conceptos numéricos, en los conceptos de conservación de la materia y de conservación de área y volumen. Lovell inicia el libro tratando de lo que se entiende por ‘concepto’, sobre todo concepto matemático. Explica cómo del conocimiento sensitivo de los objetos el niño pasa a la abstracción y va formando las ideas y conceptos. A lo largo de varios capítulos aborda el tema de la base lógica para formar el concetpo de los números naturales. Se pregunta si éste es un proceso intuitivo o un proceso lógico. Aborda los métodos para la enseñanza de los conceptos de número y de las operaciones con números. El autor se muestra partidario de procesos visuales en los que se destaca intuitivamente el conjunto de elementos que constituye el concepto de cada número y las prácticas como contar objetos familiares, medirlos, etc., aunque no rechaza totalmente algunos procesos tradicionales que se basan en métodos memorísiticos. Analiza, además, algunos materiales y métodos particulares, como las regletas de Cuisenaire y de Gattegne. Al margen de la experiencia metodológica, Lovell incluye un capítulo sobre el sistema de numeración como ejemplo del proceso matemático de generalización, por considerar el conocimiento del número como la base para quienes se dediquen a la enseñanza de la matemática. En el capítulo quinto trata los conceptos de materia y masa, a los que el niño llega a través de la percepción de algo que hay en los cuerpos y

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que se conserva invariable a través de las transformaciones de los mismos. El autor señala que en la escuela primaria pocos niños llegan a generalizar ideas sobre el concepto de peso. En el séptimo aborda el concepto de tiempo, que considera de construcción un tanto confusa pues no existe mucha claridad de cómo el niño llega a él. Se puede ver que íntimamente ligado al de tiempo, y quizás previamente, el niño forma el concepto de velocidad (hacer rápido, hacer despacio). De acuerdo con el autor, tal como lo expone en el capítulo ocho, el niño forma el concepto de espacio a partir de las distintas partes que tiene en su propio cuerpo, al llevar la mano a la boca, a los ojos, etc. Luego pasa a los demás cuerpos. Las percepciones concretas dan origen a conceptos espaciales que se fundirán en uno solo cuando el niño llegue a apreciar la semejanza de las figuras. Consecuentemente al concepto de espacio vendrán los de longitud y su medida, los de superficie y los de volumen. La percepción intuitiva de estos conceptos es muy primitiva; sin embargo, su formación es muy posterior. Incumbe al pedagogo acelerar estos conceptos y alumbrar las posibilidades de su medida. La traducción al español, a partir de la segunda edición, incluye tres apéndices de Gonzalo Gonzalvo: el primero trata del Sistema Internacional de Medidas; el segundo recoge cuestionarios para el área de matemáticas y el tercero es la recompilación de una bibliografía complementaria. El trabajo de Lovell es de suma importancia para el maestro, pues le abre el camino a una eficaz adaptación de programas y técnicas didácticas de la matemática a las diversas etapas del desarrollo intelectual del niño. El autor ofrece una orientación necesaria y fundamental en todas esta temática en un lenguaje claro y sencillo, fácilmente asequible.

El Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales tiene como propósito coadyuvar al incremento del patrimonio cultural de los trabajadores pertenecientes al Sindicato Nacional de Trabajadores de la Educación, impulsando la creación de bibliotecas que apoyen sus procesos de formación y actualización permanente, así como el desarrollo educativo familiar. Desde 1995 el programa ha facilitado la formación de más de 100 mil bibliotecas familiares con un acervo promedio de 35 títulos. Tan sólo en el año 2001 se otorgarán con ese fin, a profesoras y profesores mexicanos, más de 200 millones de pesos en créditos bajo condiciones preferenciales.

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