Correo del Maestro Núm. 98 - Julio de 2004 by EDILAR

Anatomía del corazón María Cristina Heine Moya

ISSN 1405-3616

Rompiendo unidades III Roberto Markarian

El son, esencia musical de México Rubén Heredia

Leer en la vida cotidiana Alejandro Spiegel

Especulaciones acerca de lo fatal Consideraciones generales acerca de la enseñanza de las matemáticas

Arrigo Coen Anitúa

Ricardo Vázquez Chagoyán

Crisis epilépticas parciales Daniel Vasconcelos

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México D. F. Julio 2004. Año 9 Número 98. Precio $40.00

UN VIAJE A... El largo y apasionante trayecto recorrido por la humanidad desde su aparición es puesto al alcance de todos en esta serie profusamente ilustrada que se complementa con una detallada línea del tiempo y actividades manuales con las que niños y jóvenes aprenden y se recrean

Colección de ocho libros a todo color • • • • • • • •

¿Quiénes fueron los antecesores del Homo sapiens? ¿Cuántas civilizaciones habitaron la región entre los ríos Tigris y Éufrates? ¿Sabías que el Imperio Chino duró hasta principios del siglo XX? ¿Quiénes eran los brahmanes? ¿Quién fue Buda? ¿Hay algunas maravillas del mundo antiguo en pie todavía? ¿Cuál es el legado de la civilización griega? ¿Hasta dónde se extendió el Imperio Romano? ¿De dónde llegaron los vikingos a irrumpir en la apacible Europa medieval?

Una nueva y divertida forma de aprender historia

Informes y ventas: 01 800 31222 00 • 53 65 08 70 • 53 62 88 60 Página web: correodelmaestro.com

Revista mensual, Año 9 Núm. 98, julio 2004.

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Asistente editorial Celina Orozco Correa Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 95, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col. Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 25,000 ejemplares.

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Correo del Maestro. Núm. 98, julio 2004.

Editorial

La manifestación más representativa de la música tradicional mexicana es, sin duda, el son. Calentanos, jaliscienses, istmeños, de la Costa Chica, jarochos y huastecos, los sones comparten una misma raíz indígena, española y negra que da cuenta de su riqueza rítmica. En este número de Correo del Maestro daremos un paseo histórico y geográfico por las tierras de este género musical. Las jaranas y el requinto ceden paso a un tema no menos rítmico: el corazón. El único órgano que comienza a trabajar antes de nuestro nacimiento, responsable de bombear sangre oxigenada a todo el organismo, ocupará nuestras páginas centrales a color. En tanto que Arrigo Coen recorre las arterias lingüísticas del fatum, nuestras secciones Entre nosotros y Abriendo libros muestran su vena literaria con la lectura de dos clásicos universales: Franz Kafka y Erasmo de Rotterdam. Por su parte, tres autores le toman el pulso a las matemáticas. Como se verá en la tercera entrega de la serie Rompiendo unidades, la necesidad en la vida cotidiana de dividir un todo en partes es el fundamento de las fracciones y, bajo esta premisa, su estudio en la enseñanza básica debe corresponder en alguna medida con sus aplicaciones prácticas. La columna Problemas sin número propone un juego de lógica a partir de un tablero tipo ajedrez y fichas de dominó para ejercitar el pensamiento abstracto. Y por último, los propósitos de la enseñanza matemática se analizan en La escuela a examen. Correo del Maestro

Correo del Maestro. Núm. 98, julio 2004.

Entre nosotros

Leer en la vida cotidiana. Alejandro Spiegel

Pág. 5

Antes del aula

Rompiendo unidades I1I. Roberto Markarian

Pág. 11

Anatomía del corazón. María Cristina Heine Moya

Pág. 17

Crisis epilépticas parciales. Daniel Vasconcelos

Pág. 22

Certidumbres e incertidumbres

La escuela a examen. Consideraciones generales acerca de la enseñanza de las matemáticas. Ricardo Vázquez Chagoyán

Pág. 38

Artistas y artesanos

El son, esencia musical de México. Rubén Heredia Vázquez

Pág. 47

Sentidos y significados

Especulaciones acerca de lo fatal. Arrigo Coen Anitúa

Pág. 55

Problemas sin número

Fichas de relleno. Claudia Hernández García y Daniel Juárez Melchor

Pág. 57

Abriendo libros

La inmortalidad de la locura. Alberto Antonio Hernández

Pág. 59

Portada: María Guadalupe Marín Torres, 5 años. Páginas a color: El son, págs. 25-26, 35-36. Cartel: Anatomía del corazón.

Correo del Maestro. Núm. 98, julio 2004.

Entre nosotros

Leer en la vida cotidiana Alejandro Spiegel

a vida cotidiana nos propone diversas situaciones y desafíos cuyo éxito o fracaso se encuentra directamente vinculado con la lectura.Entre estos desafíos podemos contar –y en gran número– los trámites. El trámite es sólo un paso en el camino que hay que recorrer para llegar a algún lugar o para obtener algo. En ese sentido, todos hacemos –debemos hacer– trámites en los distintos roles y edades de nuestras vidas. Niños y adultos hacemos y haremos diversas diligencias intentando concretar nuestros deseos, derechos y obligaciones. Para llevarlos a cabo requerimos permanentemente de competencias lectoras y escritoras: necesitamos leer textos instructivos, controlar condiciones contractuales, cuentas, poder llenar un formulario y, en ocasiones, quejarnos verbalmente o por escrito ante los diferentes organismos públicos. Por otra parte, vale la pena decir que realizamos algunos trámites a los que les encontramos sentido, mientras que a otros... Es más, frecuentemente lo engorroso de alguna de estas diligencias hace que en determinados momentos no podamos siquiera responder por qué o cómo llegamos a ese lugar. Por si esto fuera poco, muchas veces deambulamos de oficina en oficina sin poder comprender las señales ‘más que obvias’ para los que allí trabajan.A todo esto habría que agregar las diferentes búsquedas de información –direcciones, teléfonos, etc.– necesarias para llevar a cabo un trámite. Tienen tal complejidad, que llegan a convertirse en trámites previos al trámite que en realidad queremos completar. Por eso, la concreción –o el mero inicio– de muchos de ellos frecuentemente choca con barreras vinculadas con la dificultad para ‘decodificar’, comprender y controlar la factura de algún servicio público o con cumplimentar el llenado de ciertos formularios. Estos inconvenientes tienen impacto tanto en la vida privada de las familias, como en el potencial éxito de sus propósitos comerciales o productivos. La escuela puede ayudar a los alumnos a desarrollar las competencias necesarias para la realización –actual o futura– de los diferentes tipos de trámites, abriendo instancias de aprendizaje vinculadas tanto con la lectura y la escritura de los documentos involucrados, como con el análisis y la reflexión crítica y ética de estos procedimientos en los que se verán involucrados durante toda su vida. La existencia de estos espacios dentro de la escuela contribuye –además– a la construcción de otro lugar para el futuro de los niños, para que, en vez de meros consumidores o clientes, sean ciudadanos atentos, con plenas oportunidades y competencias para defender sus derechos.

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Leer en la vida cotidiana

Secuencia de actividades en el aula1

Para comenzar, aprovecharemos esta ocasión para compartir con los alumnos el cuento Ante la Ley, de Franz Kafka (Praga, 1883-1924). Este autor transmite en muchas de sus obras la angustia e impotencia que le provocan la suma de reglamentaciones y los burócratas encargados de hacerlas cumplir.Tanto es así que aparecen como una barrera infranqueable para sus personajes. Luego, invitaremos a que los alumnos traigan al aula los trámites –exitosos y no tanto– conocidos por ellos y sus familias. Más adelante se organizará la salida hacia empresas o instancias públicas. La idea es que los alumnos actúen y conozcan autónoma y críticamente las dificultades de trámites corrientes de su localidad. El ejercicio propuesto de recuperación y análisis de la experiencia abrirá múltiples opciones para vincular las temáticas abordadas con la vida cotidiana de la comunidad en la que se desenvuelven los alumnos y, como se sugiere al final, los alumnos podrán ayudar concretamente a sus familias –a través de los saberes que van construyendo con el apoyo de sus maestros y compañeros– a superar los problemas que presenta la realización de los diversos trámites. Durante la siguiente secuencia de actividades hay referencias a: • La ley y la ética: incluimos explícitamente el análisis de los procedimientos administrativos en los que se inscriben los documentos involucrados, el derecho a quejarse, las responsabilidades de los ciudadanos y del Estado, de los organismos públicos, etcétera. • El mundo del trabajo: los trámites, con sus procedimientos y formularios, permiten un acercamiento a las reglas y condiciones de las unidades de servicios, comerciales, domésticas y productivas. I.Acercamiento a la problemática de los trámites desde la vida cotidiana de los alumnos. Se deberá pedir a los niños que ensayen significados y asociaciones de la palabra ‘trámite’, y señalen su presencia en la vida cotidiana con preguntas instrumentales como: ¿qué significa?, ¿qué trámites conocen?, ¿quiénes los realizan?, ¿en qué contexto?, ¿qué dificultades presentan?, etcétera. II. Aprovechar algún texto de ficción que incluya las complejidades que pueda presentar la realización de un trámite. A continuación reproducimos el cuento Ante la Ley, de Franz Kafka:

Para alumnos de10 años en adelante.

Correo del Maestro. Núm. 98, julio 2004.

Ante la Ley Ante la Ley hay un guardián. Hasta ese guardián llega un campesino y le ruega que le permita entrar a la Ley. Pero el guardián responde que en ese momento no le puede franquear el acceso. El hombre reflexiona y luego pregunta si es que podrá entrar más tarde. —Es posible —dice el guardián—, pero ahora no. Las puertas de la Ley están abiertas, como siempre, y el guardián se ha hecho a un lado, de modo que el hombre se inclina para atisbar el interior. Cuando el guardián lo advierte, ríe y dice: —Si tanto te atrae, intenta entrar a pesar de mi prohibición. Pero recuerda esto: yo soy poderoso.Y yo soy sólo el último de los guardianes. De sala en sala irás encontrando guardianes cada vez más poderosos. Ni siquiera yo puedo soportar la sola vista del tercero. El campesino no había previsto semejantes dificultades. Después de todo, la Ley debería ser accesible a todos y en todo momento, piensa. Pero cuando mira con más detenimiento al guardián, con su largo abrigo de pieles, su gran nariz puntiaguda, la larga y negra barba de tártaro, se decide a esperar hasta que él le conceda el permiso para entrar. El guardián le da un banquillo y le permite sentarse al lado de la puerta.Allí permanece el hombre días y años. Muchas veces intenta entrar e importuna al guardián con sus ruegos. El guardián le formula, con frecuencia, pequeños interrogatorios. Le pregunta acerca de su terruño y de muchas otras cosas; pero son preguntas indiferentes, como las de los grandes señores, y al final le repite siempre que aún no lo puede dejar entrar. El hombre, que estaba bien provisto para el viaje, invierte todo —hasta lo más valioso— en sobornar al guardián. Éste acepta todo, pero siempre repite lo mismo: —Lo acepto para que no creas que has omitido algún esfuerzo. Durante todos esos años, el hombre observa ininterrumpidamente al guardián. Olvida a todos los demás guardianes y aquél le parece ser el único obstáculo que se opone a su acceso a la Ley. Durante los primeros años maldice su suerte en voz alta, sin reparar en nada; cuando envejece, ya sólo murmura como para sí. Se vuelve pueril, y como en esos años que ha consagrado al estudio del guardián ha llegado a conocer hasta las pulgas de su cuello de pieles, también suplica a las pulgas que lo ayuden a persuadir al guardián. Finalmente su vista se debilita y ya no sabe si en la realidad está oscureciendo a su alrededor o si lo engañan los ojos. Pero en aquellas penumbras descubre un resplandor inextinguible que emerge de las puertas de la Ley.Ya no le resta mucha vida.Antes de morir resume todas las experiencias de aquellos años en una pregunta, que nunca había formulado al guardián. Le hace una seña para que se aproxime, pues su cuerpo rígido ya no le permite incorporarse. El guardián se ve obligado a inclinarse mucho, porque las diferencias de estatura se han acentuado señaladamente con el tiempo, en desmedro del campesino. —¿Qué quieres saber ahora? —pregunta el guardián—. Eres insaciable. —Todos buscan la Ley —dice el hombre—. ¿Y cómo es que en todos los años que llevo aquí, nadie más que yo ha solicitado permiso para llegar a ella? El guardián comprende que el hombre está a punto de expirar y le grita, para que sus oídos debilitados perciban las palabras: —Nadie más podía entrar por aquí porque esta entrada estaba destinada a ti solamente. Ahora cerraré. Franz Kafka

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Leer en la vida cotidiana

Para la lectura y discusión de este texto, resulta importante tener en cuenta que Franz Kafka fue un acérrimo crítico tanto de los dispositivos mecánicos como de los burocráticos, creados y perfeccionados en su época, que se constituyen en obstáculos que deshumanizan las relaciones humanas. En Ante la Ley, el autor nos presenta la relación asimétrica que existe entre ‘ambos lados del mostrador’ al momento de intentar dar un paso –un trámite–, y el vínculo centrado en el poder que se establece a partir de esta relación. Kafka expresa su opinión acerca de lo inexpugnable que pueden resultar las trabas, lo ininteligible de las reglas y su lógica para el común de los sujetos, como el campesino del cuento. Así, vemos al campesino que en su desigual, interminable e inútil espera por seguir adelante en su camino, llega a conocer del guardián “hasta las pulgas de su cuello de pieles”, y al guardián mismo, que está en ese lugar sólo para no dejarlo pasar a él, para impedir que pueda lograr su cometido. Con su ficción, Kafka nos intenta transmitir toda la angustia y una impotencia que incluso llega a la muerte. En la vida cotidiana, muchas veces nos encontramos con obstáculos kafkianos. Sin embargo, también en más de una ocasión, estos trámites llegan a concretarse. En este final feliz –alternativo al kafkiano– la lectura y comprensión de formularios, edictos, carteles, etc., resultan imprescindibles para todo ciudadano, más allá de lo barrocas que puedan resultar las reglamentaciones o de lo inexpugnables que puedan parecer –o que efectivamente sean– determinados burócratas y sus empleados de menor rango. Por eso, las habilidades para decodificar –y luego, cumplimentar– los distintos requisitos para ‘entrar a la Ley’, constituyen parte de las oportunidades de paso que tenga cada uno frente a los diferentes y circunstanciales ‘guardianes’. Así, entrar a la Ley –en la vida cotidiana de los alumnos y de sus familias– puede tomar la forma de trámites de documentación –entre otros, personales, familiares o patrimoniales, bancarios, referidos a servicios públicos, etcétera. De ahí que, si podemos leer, comprender y, por qué no, impugnar las reglas del juego que se nos proponen, el guardián será más o menos poderoso o, incluso, se podrá ser más escéptico ante su atemorizadora afirmación: “De sala en sala irás encontrando guardianes cada vez más poderosos. Ni siquiera yo puedo soportar la sola vista del tercero.” III. Buscar ejemplos en el entorno de los alumnos Consignar que los alumnos busquen y pregunten entre sus familias por los trámites que fueron más difíciles o los que les hayan demandado más tiempo para poder terminarlos (es probable que surjan relatos de trámites que hayan demandado incluso muchos años; por ejemplo, la instalación de un teléfono); por los que se realizan cotidianamente y por las dificultades de cada uno.

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Para relevar esta información podrá utilizarse un formulario con las siguientes columnas:2 Descripción del trámite

Persona a cargo

Repartición, empresa, etc./empleado

Obstáculos

IV. Conocer e intercambiar la información relevada Se deberá abrir un espacio de intercambio en el que se dé lugar también a la explicitación de anécdotas y recuerdos. Luego, se analizarán y clasificarán los obstáculos relevados, procurando identificar especialmente sus vinculaciones con la lectura y la escritura (éstas pueden aparecer indirectamente, por ejemplo, a partir del desconocimiento de determinados derechos, organismos de contralor, etcétera). V. Salir a la comunidad Aprovechando el intercambio del paso anterior, y de acuerdo con los aspectos operativos que evalúe el docente, se pueden elegir una o más organizaciones –empresa de servicios, banco, mercado, etc.– que serán visitadas (en clase o como tarea, por todo el grupo, en equipos, etc.) a fin de relevar datos sobre su señalización, formularios, ‘reglas del juego’ –reglamentos, ordenanzas, etcétera. Durante la visita, los alumnos tendrán que: • elaborar un mapa o plano de una planta de la organización en dos versiones: la primera, tomando exclusivamente la señalización existente en el lugar y, la segunda, a partir del relato de algún empleado. • elegir un trámite (en un banco, por ejemplo, el pago de una factura o el retiro de dinero) y realizarlo, en todo lo posible, utilizando y llenando la documentación y los formularios reales, trasladándose a las distintas ventanillas, leyendo instrucciones, etcétera. • seleccionar y guardar copia de toda la documentación utilizada y de la que crean que puede ser útil para elaborar un informe.3

En el esquema precedente pueden incorporarse referencias al cuento transcrito en el inciso II. Por ejemplo, vinculando ‘campesino’ con ‘Persona a cargo’ o ‘Repartición’ con ‘guardián’. Estas vinculaciones pueden favorecer nuevas asociaciones y resignificaciones, tanto del cuento, como de los datos relevados. Se promoverá la búsqueda autónoma de respuestas a los interrogantes que surjan. El docente podrá recomendar y orientar la búsqueda en diversas fuentes de información (colegas, textos, visitas o llamadas a instituciones, etcétera.)

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Leer en la vida cotidiana

VI. Puesta en común Luego de la visita, se deberá redactar el informe mencionado en el paso anterior, que deberá incluir la experiencia y profundizar sobre: • las dificultades que se presentaron para comprender y llevar adelante las diferentes etapas del trámite, • las soluciones que se fueron encontrando, y • sugerencias y opiniones que quisieran hacer llegar a la organización visitada. Con estos informes, se organizará la socialización del trabajo realizado por cada grupo. Finalmente, se propondrá a los alumnos una reflexión que vincule la importancia de leer y comprender formularios, señalizaciones y reglamentaciones con la posibilidad de cumplir con los diversos derechos y obligaciones.

Otras sugerencias

Sería interesante dejar abierta explícitamente la invitación para que los alumnos continúen trayendo casos –relatos de trámites resueltos exitosamente, sus dificultades, preguntas, nuevas sugerencias, posibles derechos vulnerados, etc.– que surjan en su vida cotidiana, con el fin de habilitar el aula como espacio de relatos y consultas. Finalmente, se sugiere a los profesores llevar al aula nuevos textos –y promover que lo hagan los alumnos–, de ficción, periodísticos, etc., con los que se puedan continuar y enriquecer las reflexiones iniciadas.

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Antes del aula

Rompiendo unidades III

Roberto Markarian

Hemos preparado una serie de artículos en los que analizaremos los contenidos matemáticos que resultan útiles para estudiar el tema de las fracciones en la enseñanza primaria y secundaria. Intentaremos que los artículos sean uniformes en su estilo y que los temas más complicados aparezcan en los artículos finales. Privilegiaremos la claridad por sobre el rigor matemático, con el fin de hacer más comprensibles las ideas centrales que queremos transmitir.

e podría decir que en las dos primeras notas de esta serie hemos sido un tanto negativos. Estuvimos analizando diversos defectos que hemos observado en la enseñanza de las fracciones. En esta nota y en las que seguirán presentaremos el tema por la positiva, es decir, expondremos lo que consideramos más importante respecto del aprendizaje de este concepto. Dado que el enunciado inicial podría llevar al desprecio de los primeros artículos, nos vemos en la obligación de destacar que en ellos es donde consta el fundamento de nuestra propuesta positiva, y que las críticas a los procedimientos habituales no contienen ningún menosprecio a los métodos pedagógicos, sino a los contenidos que se enseñan. No es que se enseñe mal; sucede que lo que se enseña no apunta a los contenidos fundamentales del tema. Por ello, en general, se considera que el tratamiento de las fracciones es uno de los más conflictivos en la enseñanza primaria y secundaria inicial.

No basta con contar objetos El proceso de contar colecciones de objetos que contienen una cantidad finita de elementos conduce a los números naturales. Por ello todos los pueblos primitivos ‘conocen’ los números naturales y, según el grado de avance, saben sumar. La operación de división, de fraccionamiento, fue difícil para los pueblos primitivos. Todos los datos existentes parecen indicar que las fracciones hicieron su aparición con las civilizaciones egipcia y babilónica. Pero en la vida diaria, a medida que se comienzan a realizar procesos un tanto más complicados, no es suficiente poder contar objetos, sino que es de fundamental importancia, por un lado, fraccionar (dividir) dichos objetos y, por otro, medir diversos tipos de cantidades que expresan aspectos cuantitativos de objetos y sucesos: sus longitudes, áreas, peso, temperatura, su duración (tiempo), etcétera.

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Rompiendo unidades III

En realidad, apenas se avanza un poco en la medición, ambos procesos son el mismo. Si se quiere realizar la medición de alguna propiedad cuantitativa del objeto que nos interesa y trabajar sin obstáculos y de modo bastante preciso con las cantidades medidas se debe, en primer lugar, elegir una unidad de medida y, casi inmediatamente después, subdividirla en partes tan pequeñas como se quiera. Podríamos haber obviado la expresión “tan pequeña como se quiera”, si quisiéramos evitar complicaciones en una presentación inicial, pero el maestro debe saber que esta idea de las partes pequeñas de un todo está en el fondo de la idea de número racional y, también, en los orígenes históricos del concepto.

Fracciones (y números racionales) como resultados de mediciones Supongamos que queremos medir la distancia desde la puerta del salón hasta la pared del fondo. Naturalmente que el primer paso será elegir una unidad de medida, que seguramente será el metro. Luego contaremos la cantidad de esas unidades que necesitamos para completar la longitud total; o sea que el primer paso ha sido transformar el problema de la medida en un problema de conteo. Pero todos sabemos que esto en general no nos dará un resultado preciso y la mayoría de las veces, por ese procedimiento, sólo será posible decir entre qué múltiplos enteros de la unidad está la longitud total; digamos que dio entre 5 y 6 metros. Entonces introduciremos nuevas subunidades, que se definirán dividiendo la unidad inicial en n partes iguales; a estas subdivisiones suele dárseles un nombre especial. En nuestros países esto se hace dividiendo entre potencias de 10. Así, un décimo de metro es un

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decímetro, un centésimo es un centímetro (pero es bueno saber que este fue un invento ‘reciente’ de la humanidad, y que aún ahora un pie se divide en 6 pulgadas y una hora en 60 minutos). En el simbolismo de la matemática (en esto estamos), al dividirse la unidad en n partes iguales se dice que se tiene 1/n de la unidad original; y si se toman m de estas subpartes, se tienen m/n de la unidad original. Así, nuestro salón habrá medido 5 metros y 33 centímetros, o sea 5 metros y 33/100 metros, que se escribirá (5+33/100) metros. De esta manera 33/100 –al igual que el 5– quedó desposeído de la referencia concreta al proceso de medición, y pasó a ser considerado como un número, un ente en sí mismo, en el mismo plano que los números naturales. Cuando m y n sean números enteros, m/n se llamará número racional. Una presentación de este tipo evita la diferenciación de los llamados ‘contextos’ en que se presentan las fracciones, porque se trata, en cualquiera de los contextos en que se trabaje, de que el alumno sepa que hay un ente abstracto del mismo tipo del que le permite contar; este ente permite subdividir y tomar cualquier cantidad de subdivisiones.

Repartamos Estamos entonces en condiciones de presentar la manera en que el maestro debe concebir a las fracciones. Para salir al paso de los problemas que se le plantearán en el aula, más allá de que esté enseñando el uso de la fracción 1/2, o la representación decimal de los números (que obviamente tiene algo que ver con esto), o las proporciones (razones), el maestro debe tener siempre presente que la estructura de los números racionales, resultado de la división de núme-

http:/platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/babiegipt/babiegipto.html

Los egipcios disponían de un sistema de numeración que les permitía trabajar con fracciones, pero de una forma muy especial, ya que el numerador siempre era la unidad. (Tablilla egipcia que representa las potencias de 10.)

ros enteros, está por detrás de todos los ‘contextos’. Deberá también tener en cuenta que para poder representar el resultado del fraccionamiento habrá de tomar dos números (el uno y la cantidad de fraccionamientos, 1/n), y que para tomar varias partes de un fraccionamiento también deberá tomar dos números (la cantidad de partes que tomó y la cantidad de fraccionamientos: m/n). Para evitar complicaciones que no van a la sustancia del asunto, trabajaremos ahora con números naturales (positivos), y extenderemos el asunto a los números enteros en el próximo artículo, cuando demos rigor a muchas de estas ideas. Aún así observamos que los números negativos aparecen para dar sentido a la operación inversa de la suma: poder restar dos números naturales cualesquiera. Y nuestros números racionales aparecen para dar sentido a la operación inversa de la multiplicación: poder dividir dos números enteros cualesquiera.

Por tanto, comencemos con un todo. Este todo puede ser un pastel, una manzana, 280 pesos, un rectángulo, un círculo, tres manzanas; cualquier cosa divisible dentro de la ley (no conviene tomar como todo a un perro, por ejemplo, que en principio no merece ni admite divisiones –me refiero a un perro vivo. Fraccionamos, dividimos, ese todo en n partes iguales. Representaremos cada una de esas partes iguales de la siguiente manera: 1/n todo, y diremos que tenemos un enésimo (n – ésimo) del todo. Como es sabido, si n es 2 tenemos un medio, si n es tres tenemos un tercio, o sea que la manera de llamarlo varía, a veces se le agrega el sufijo ‘avo’, por ejemplo, 1/12 se llama un doceavo, pero 1/100 se llama un centésimo. Obsérvese que 1/n actúa como un multiplicador del todo. Los niños muy talentosos o imbuidos de una prematura capacidad de abstracción pueden preguntar explícitamente cuál es la razón de esto. La respuesta es que la ope-

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Rompiendo unidades III

ración de dividir, fraccionar en n partes (1/n) es la opuesta a multiplicar, o sea n veces (1/n) del todo da el todo, que se escribe simbólicamente como n*(1/n) todo = todo. Esta observación, que aparece un tanto fuera de lugar en esta etapa de la explicación, será particularmente útil a la hora de entender la multiplicación de fracciones. Debe quedar claro que no se puede dividir entre cero. En la presentación que acabamos de hacer significaría dividir el todo en ninguna parte, que no tiene sentido. Sin embargo, tiene sentido dividir en una parte, porque al dividir en una parte se tiene el todo entero. Por tanto, la división entre uno da el todo.

Agrupemos Ahora estamos en condiciones de tomar varias de esas partes, m partes para ser precisos, y el proceso de construcción-comprensión de los números racionales tiene el desarrollo que sigue. Si tomamos menos partes que la cantidad en que hemos dividido (m < n), no llegaremos a tener el todo; si tomamos todas las partes en que hemos dividido (m = n) volvemos a restituir el todo; si tomamos más partes de las que hemos dividido (m > n), estamos en una situación extraña, porque tendremos más que el todo. Les recuerdo que en una célebre acción hubo una multiplicación de panes enteros, no de medios panes; es que las fracciones no estaban aún muy en boga entre esos pueblos. Incluso se pueden tomar 0 (cero) partes, por lo que el desgraciado se quedó sin nada. Pero para nuestros fines todos estos procedimientos serán aceptables y representaremos el resultado como m/n todo. En esa representación diremos que tenemos m enésimos del todo. En este sistema aparecen totalmente naturales estos

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resultados: n/n = 1, 0/n = 0; si no se convence de inmediato, observe que n enésimos es el todo, o sea 1 (un) todo, y que cero enésimos es nada: cero todo. La pareja de números que han aparecido en el proceso de división y agrupamiento se puede escribir de cualquier manera: m/n – como ya lo hicimos. m : n – como hacen otros (desconozco por qué). (m,n) – como veremos más adelante, por ser una manera estándar de otras secciones de la matemática. En todos los casos, m y n son cualquier número natural, con la excepción de que n no puede ser cero. Universalmente se llama denominador al número (n) de divisiones y numerador a la cantidad de divisiones (m) que se han tomado. Como la representación m/n, se escribe con una barra horizontal, se suele decir que el numerador (m) es el número de arriba, y el denominador (n), el de abajo. Sea como sea que se les llame y se les represente, es claro que esos dos números realizan funciones distintas: el numerador divide y el denominador multiplica. Para destacar esta diferencia fundamental, siempre daremos los dos números en el mismo orden, primero m (el numerador) y luego n (el denominador). Esto es fundamental, porque no puede suceder que alguien confunda dos tercios con tres medios, que involucran a los mismos números enteros, dos y tres. Esta confusión jamás sucederá si se conoce la función de cada uno de los dos números y se ha adquirido la capacidad de conceptuar de manera ordenada. Queremos insistir en este aspecto porque una de las finalidades (o resultados) de la enseñanza de la matemática en los ciclos generales de la educación debe ser la adquisición de algunos mecanismos o modos de pensar esenciales para el ser humano, y el desarrollo intelectual y cog-

nitivo en ramas no abarcadas por otras artes o ciencias. La percepción de parejas o grupos de objetos de manera ordenada (primero, segundo, etc.) distinguiendo las diferencias de funciones en virtud de su aparición en ese ordenamiento, debe ser un bien adquirido en esta etapa del aprendizaje.

División de números naturales Esta presentación de los números racionales como ‘repartición y agrupamiento’ nos parece la más natural porque obedece a necesidades de herramientas cuantitativas muy inmediatas para el niño: repartir, medir, etcétera. No es casual que la aparición de los números racionales en el desarrollo de la matemática obedezca a las mismas razones. Además, esta presentación, por estar subyacente a los otros ‘contextos’ en que se usan las fracciones, permite explicarlos con gran facilidad. Dado que muchos maestros me plantearon el asunto con gran frecuencia, y por estar referido en muchos libros como una gran dificultad, le prestaremos inicial atención al tema de la división de los números naturales. Para algunos, la división de los números naturales aparece como un asunto distinto al de la relación ‘parte-todo’ que venimos desarrollando para definir las fracciones. Así, suele preguntarse cómo es que la fracción 3/5 aparece en estos dos problemas: 1) repartir tres manzanas entre cinco personas (dividir tres entre cinco) y 2) dividir un pastel en cinco partes y quedarse con tres. El segundo problema es el que tratamos cuando definimos los números racionales: tenemos un todo (el pastel) que dividimos en cinco partes, y hemos tomado tres de esas partes. El primer problema, el de la división, se concibe de igual manera con sólo observar que aho-

ra el todo son las tres manzanas que debemos repartir entre cinco personas, o sea tendremos 1/5 de tres, que representamos como (1/5)*3 = 3*(1/5) = 3/5. Así, la división de los números m y n corresponde al mismo procedimiento de dividir en n partes y tomar m. Han sido hechos en procedimientos sucesivos diferentes; en un caso se tenían m objetos y se les dividió en n partes; en el otro, se dividió primero en n partes y luego se tomaron m de ellas. Ambos casos, 1/n de m, o m de 1/n se representan por m/n, pues el orden del procedimiento no modifica el resultado. Esta explicación puede no ser sencilla para un niño de alrededor de 10 años, pero debe ser explicada con ejemplos y operaciones simultáneas de ambos procedimientos.

Multiplicación de números racionales La multiplicación de fracciones aparece como un resultado muy sencillo de esta presentación. Ya hemos multiplicado m*(1/n) y nos dio m/n. Los 3/5 que aparecieron al final del apartado anterior están tratados de esa manera. ¿Qué sucede si dividimos un mismo objeto primero en n partes y luego una de éstas en q partes? El todo ahora será 1/n del todo original, por lo que estaremos haciendo lo siguiente: 1/q (1/n todo). El lector que conozca bien estos procedimientos, ya conoce el resultado de estas operaciones. Aquí sólo queremos insistir en su coherencia con los procedimientos de partición. En términos numéricos esto corresponderá a tomar una q-ésima parte de una n-ésima parte del todo. ¿Cuántas partes de éstas, tan pequeñitas, necesitamos para obtener el todo? Pues, piénselo un poco y verá que son q*n , o sea que una de esas partes es 1/(q*n) todo por lo que la

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Rompiendo unidades III

aplicación sucesiva de 1/q y 1/n dio 1/(q*n). De todo esto sale (1/q)* (1/n) = 1/(q*n). La multiplicación de dos fracciones cualesquiera se puede hacer por el mismo procedimiento o usando métodos más abstractos de la siguiente manera, mediante el empleo de algunas de las propiedades (conmutativa y asociativa) de estas operaciones con números: (m/n)*(p/q) = [m*(1/n)][p*(1/q] = [m*p][(1/n)*(1/q)] = [m*p][1/(n*q)] = (m*p)/(n*q). Esto no es una ‘prueba’ de la multiplicación de fracciones; es una deducción razonable que utiliza: a) propiedades que los números deben tener (para llamarse tales), y b) las dos maneras en que antes hemos multiplicado fracciones de numerador uno por sí y por un número natural. Es claro que este proceso de definición de las operaciones se puede hacer más riguroso por la vía de la introducción abstracta de los números racionales (esto lo haremos en próximas notas). En términos del aula pienso que conceptos semejantes a los aludidos con muchos ejemplos, juegos, etc. pueden darse a niños de menos de 12 años.

Equivalencia La presentación (definición) de las fracciones como resultado de la división de objetos le da un carácter instrumental (dinámico, podría decirse) muy importante que facilita la comprensión de la equivalencia de fracciones. Dado que los números racionales son un instrumento, un operador sobre el todo, ¿qué importa que el operador sea 1/3 o 2/6? Ambos actúan de la misma manera sobre el todo. Y dado que se trata de dar a la enseñanza contextos significativos que sirvan como fuente de

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comprensión y como dominios para la aplicación, es muy útil observar qué fracciones funcionan igual. Esto da lugar a la definición de fracciones equivalentes. Dado que los números racionales aparecen tomando parejas de números enteros, se debe enseñar desde el comienzo cuando dos representaciones con parejas de números enteros representan el mismo número racional, o sea, la misma cantidad de subdivisiones. Esta definición de igualdad nos lleva en un mismo paso al estudio de las fracciones equivalentes y al de equivalencia de parejas de números naturales. Así, dos fracciones serán equivalentes cuando surjan de dividir el todo entre un número (1/n) y un múltiplo de él [1/(k*n)] y haber tomado luego cierta cantidad de las primeras partes (m/n) o un múltiplo –el mismo que antes– de esta cantidad [(k*m)/(k*n)]. Naturalmente que el resultado respecto del todo será el mismo, por lo que diremos que las dos fracciones son equivalentes o iguales. Por tanto, dos fracciones son equivalentes si aplicando el siguiente procedimiento a las dos se puede obtener una misma fracción: se divide numerador y denominador entre un mismo número (este número es distinto para las dos fracciones originales). Esto es lo que se llama simplificación de fracciones (6/10 y 21/35 son equivalentes porque 3/5 se obtiene dividiendo respectivamente entre 2 y 7). Se llama fracción irreducible aquella en la que no cabe ‘simplificar’ numerador y denominador. En el ejemplo, 3/5 es irreducible. En el próximo artículo introduciremos los conceptos de relaciones de equivalencia que colocará todo esto en un contexto más formal y permitirá comprender por qué antes escribimos fracciones ‘equivalentes o iguales’, cuando luego las tratamos como cosas distintas.

Anatomía del corazón María Cristina Heine Moya

ierra la mano, aprieta el puño, ahora afloja. Acabas de imitar el latido de tu corazón, un órgano muscular del tamaño del puño que se localiza cerca del centro del pecho, entre los pulmones y el esternón, y que pesa de 250 a 300 gramos (Fig. 1). El corazón es una bomba de latidos constantes que mantiene al organismo dotado de sangre rica en oxígeno y envía a los pulmones la sangre utilizada para oxigenarla. Es el único órgano que comienza a trabajar antes de nuestro nacimiento y deja de latir cuando nos morimos. Cuatro válvulas cardiacas actúan como puertas de un solo paso para mantener el movimiento de la sangre en un sólo sentido a través del corazón (Fig. 2). El corazón efectúa 78 contracciones por minuto, lo que equivale a 112 320 al día, y alrededor de 41 millones al año. En promedio, cada minuto pasan por el corazón alrededor de 5 litros de sangre. El corazón es un órgano muscular hueco dividido en cuatro cavidades, las dos de arriba se llaman aurículas y son receptoras de sangre y las de abajo son los ventrículos que la bombean. Las cavidades superiores están comunicadas con las inferiores, pero en medio una pared muscular separa el lado derecho del izquierdo, que quedan incomunicados; sin embargo, ambos laten al mismo tiempo. Ambos ventrículos se relajan y se llenan de sangre a través de válvulas que

Figura 1.

permiten el flujo de las aurículas hacia los ventrículos. Al llenarse, los ventrículos se contraen y bombean la sangre que pasa a través de otras dos válvulas que están en las arterias que envían la sangre: a los pulmones una, y al resto del cuerpo la otra. Es decir, la función principal del corazón es bombear sangre rica en oxígeno a todo el organismo y bombear sangre baja en oxígeno hacia los pulmones para oxigenarla. Un latido completo consta de una diástole (llenado) y una sístole (expulsión) (Fig. 3). Durante la diástole, las aurículas y los ventrículos están relajados y las válvulas auriculoventriculares se abren y las semilunares o de nido de golondrina se cierran. Durante la sístole, los ventrículos se contraen, las válvulas auriculoventriculares se cierran y se abren las de nido de golondrina o semilunares.

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Anatomía del corazón

Figura 2.

El sistema de conducción del corazón lleva los impulsos eléctricos a través del músculo cardiaco para que éste lata. Los impulsos empiezan en el nodo sinusal, se propagan por las aurículas, pasan a través del nodo auriculoventricular, y se distribuye después hacia los ventrículos a través del haz de His (Fig. 4). El músculo del corazón impulsa la sangre de la aurícula hacia el ventrículo y del ventrículo hacia fuera. La aurícula derecha recibe la sangre

Figura 3.

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baja en oxígeno o ya usada, la envía al ventrículo derecho de donde es expulsada hacia la arteria pulmonar para ser oxigenada en los pulmones y la aurícula izquierda recibe la sangre proveniente de los pulmones, la envía al ventrículo izquierdo y de ahí es expulsada hacia la aorta y a todo el organismo. En la circulación sanguínea, las arterias son las que llevan la sangre rica en oxígeno a todo el organismo, y las venas son las que regresan la sangre ya utilizada, pobre en oxígeno y rica en bióxido de carbono al corazón para ser enviada a los pulmones, donde se hace el intercambio gaseoso y se oxigena de nuevo la sangre. La red capilar alcanza una longitud de casi 100 000 km, y una superficie total de casi 6000 metros cuadrados. Aunque las cámaras del corazón están llenas de sangre, el músculo cardiaco no se oxigena a través de ellas, sino que recibe su aporte de oxígeno y de nutrientes a través de las arterias coronarias, que son las que proveen de sangre oxigenada al músculo del corazón o miocardio. Alrededor del 9% del insumo total de oxígenoempleado por el organismo está destinado al corazón. Las arterias coronarias nacen en la aorta y se extienden a lo largo de la superficie del corazón. Se van ramificando por la pared del corazón para proporcionarle al miocardio oxígeno y nutrientes. La sangre ya utilizada regresa a través de las venas coronarias (Fig. 5). Las válvulas del corazón juegan un papel muy importante en la regulación del flujo de la sangre a través de este órgano, porque se abren y se cierran en forma secuencial con cada latido. Las válvulas actúan como puertas en un solo sentido, pues permiten la entrada de sangre a los ventrículos sin permitir el retorno a las aurículas, y después permiten el paso de sangre hacia fuera del corazón, el ventrículo derecho hacia la arteria pulmonar y el izquierdo hacia la aorta.

Figura 4.

Las válvulas se cierran para impedir que el flujo sanguíneo regrese.

La válvula pulmonar controla el flujo del ventrículo derecho a la arteria pulmonar, que es la encargada de llevar la sangre a los pulmones para que se oxigene.

Funcionamiento de las válvulas del corazón En el lado derecho del corazón la sangre fluye a través de la válvula tricúspide que se localiza entre la aurícula derecha y el ventrículo derecho. La válvula tricúspide tiene, como su nombre lo dice, tres cúspides unidas por cuerdas de tejido conectivo al ventrículo, en su parte inferior. En el lado izquierdo del corazón la válvula mitral es la que controla el flujo entre la aurícula izquierda y el ventrículo izquierdo. La válvula mitral tiene dos valvas unidas por cuerdas de tejido conectivo a los músculos del ventrículo, en su parte inferior. Las válvulas tricúspide y mitral se abren cuando el corazón está relajado o en diástole y cuando los ventrículos se contraen, las válvulas cierran herméticamente.

Figura 5.

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Anatomía del corazón

adquirir las lesiones por una infección, como la endocarditis bacteriana, o por alguna otra enfermedad. Los resultados son la rigidez de una válvula que se estrecha y limita el flujo sanguíneo, lo que se llama estenosis valvular; o una válvula que no cierra adecuadamente y permitie el reflujo, que se llama regurgitación valvular o insuficiencia valvular (Fig. 7).

Síntomas de enfermedades valvulares

Figura 6.

En el lado izquierdo la válvula aórtica se abre para que la sangre oxigenada pase del ventrículo izquierdo hacia la aorta, la arteria más larga del cuerpo. Las válvulas pulmonar y aórtica son de tres valvas en forma de nido de golondrina cada una, unidas a la pared de la arteria; se abren cuando los ventrículos se contraen y cierran herméticamente cuando el corazón se encuentra relajado (Fig. 6).

El corazón, al tratar de compensar la función valvular deficiente, trabaja más fuerte para llevar la sangre oxigenada a todos los órganos y tejidos del cuerpo, por lo que, bajo estas circunstancias, se puede presentar: falta de aire, dolor de pecho, fatiga, desmayo y reducción del gasto cardiaco. Las personas con problemas valvulares que no presentan síntomas pueden no necesitar tratamiento, y algunas pueden estar bien sólo con

Causas de problemas valvulares Las válvulas pueden presentar problemas por varias razones y son la causa más común la fiebre reumática, que limita a la válvula para abrir o cerrar adecuadamente. La fiebre reumática puede presentarse después de reiterados ataques de amigdalitis que no fueron tratados adecuadamente. Ciertas personas nacen con anormalidades en las válvulas que pueden ser corregidas inmediatamente o tiempo después. Otras pueden

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Figura 7.

tratamiento médico; sin embargo, si la condición general del paciente se agrava, es necesaria una cirugía.

Corrección por medio de cirugía de las válvulas del corazón La corrección de las válvulas se puede realizar de tres formas: • La comisurotomía, que se realiza cuando la válvula está estenosada o apretada y limita el flujo de la sangre. Las valvas se engruesan y se adhieren unas con otras y, para resolver el problema, el cirujano de corazón tiene que cortar o seccionar los puntos donde se pegaron las valvas. • La valvuloplastía, que es un procedimiento a través del cual se refuerzan las cúspides de la válvula para darle mayor apoyo, a fin de que cierre adecuadamente e impida que regrese el flujo. En algunos casos el cirujano coloca un dispositivo en forma de anillo en la periferia de la válvula. • El remplazo implica remover totalmente la válvula dañada y colocar una prótesis. La válvula nueva puede ser: • De material sintético o válvula mecánica. • De tejido biológico o bioprótesis. La cirugía para cambio de válvula requiere el uso de una máquina que haga circular la sangre y de un oxigenador que sustituya la función de los pulmones mientras se trabaja en el corazón, pues para ello es necesario detener el latido del corazón. Las válvulas mecánicas son hechas de materiales sintéticos y las personas que tienen colocada una deben tomar de por vida anticoagu-

Figura 8.

lantes para prevenir la formación de coágulos en o alrededor de la válvula, pues la interrupción o la desviación del flujo natural de la sangre conduce a la formación de trombos. El estrés mecánico también puede destruir los elementos de la sangre. Las válvulas mecánicas pueden ser una jaula con una bolita, o un disco que abre lateralmente o dos discos en forma semilunar. Las bioprótesis son válvulas aórticas de cerdo o confeccionadas con pericardio bovino o de donadores humanos, tratadas con una sustancia fijadora del tejido que elimina las propiedades antigénicas y deja las cualidades mecánicas. Estas válvulas no duran tanto como las mecánicas, pero no requieren de terapia anticoagulante (Fig. 8). Los materiales más usados para las válvulas mecánicas y para los anillos de las bioprótesis son: aleaciones de acero inoxidable, aleaciones de molibdeno, alambre de una aleación de níquel-cobalto, único por su flexibilidad, moldeabilidad y elasticidad, carbón pirolítico para anillos y valvas, silicón, teflón, poliéster, dacrón para el forro de los anillos. En el Instituto Nacional de Cardiología de la Secretaría de Salud fabrican válvulas porcinas y de pericardio bovino.

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Crisis epilépticas parciales* Daniel Vasconcelos

on esta tercera y última comunicación se busca redondear el tema de las crisis epilépticas. Ahora se analizan las llamadas crisis parciales o focales. Se denominan así porque son la manifestación clínica de una alteración muy localizada, el foco epileptogénico, en ciertas áreas del cerebro. Sus síntomas son consecuencia de la acción anormal que afecta las funciones de esa zona. En términos generales, se distinguen crisis parciales simples y parciales complejas. Cada tipo obedece a causas diversas y surgen de focos ubicados en distintas áreas. Las simples se originan en la corteza cerebral, mientras que las complejas vienen de los lóbulos temporales. También se puede decir que se trata de las manifestaciones epilépticas más sintomáticas, pues en la actualidad casi siempre se puede identificar el factor causal. Ofrecen cuadros clínicos muy característicos, lo que permite plantear diagnósticos diferenciales, a veces, incluso, etiológicos, aun cuando el médico no las pueda observar.

Crisis parciales simples o jacksonianas (CPS o J) El epónimo se refiere a John Hughlings Jackson, eminente neurólogo inglés (1830-1912), cuyo interés se fijó en el estudio de la fisiología de las crisis epilépticas, y logró múltiples y atinadas

observaciones, básicas para entender la fisiopatología de estos padecimientos. De manera característica, éstas son las únicas formas de crisis epilépticas que transcurren sin alterar la conciencia. Las personas sienten e identifican el transcurso del fenómeno y son capaces de describirlo con toda claridad. Casi nunca refieren auras o fenómenos premonitorios. Desde luego, cuando la intensidad del fenómeno crece, por razones de la fisiología del tejido nervioso, al punto de propagarse e incluir las áreas del centro-encéfalo, sobrevienen crisis de tipo GM (gran mal). Otra peculiaridad es que en casi todos los casos se trata de crisis sintomáticas, consecutivas a lesiones en la corteza motora y/o la sensitiva contralateral a la extremidad donde se manifiestan los signos y síntomas. Si bien no hay edad preferencial, son afecciones que aparecen con mayor frecuencia a partir de la adolescencia, y pueden ser más conforme se incrementa la incidencia de traumatismos craneoencefálicos. Asimismo, debido al incremento de edad, no es raro que las CPS sucedan como otra manifestación de los trastornos vasculares cerebrales. De igual manera, su incidencia es mayor cuando aumenta la frecuencia de meningiomas, y no es raro que estas crisis aparezcan como unos de los síntomas iniciales de esta estirpe de tumores intracraneales. Sus características permiten sospechar con

* Con esta tercera entrega concluye la serie sobre epilepsias que comprende los artículos: ‘Epilepsias de los niños en edad escolar’ (Correo del Maestro, núm. 92, enero, 2004),‘Epilepsias en niños de 0 a 3 años’ (Correo del Maestro, núm. 94, marzo, 2004) y el actual.

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cierta certeza desde dónde se produce el trastorno. Tomando en cuenta su carácter sintomático, la exploración clínica neurológica en general lo confirma y, desde luego, hoy en día los estudios de gabinete neurorradiológico los identifican con toda claridad. Se describen dos tipos: las crisis parciales motoras y las sensitivas, aunque, dependiendo de la magnitud y la ubicación de la lesión, pueden suceder con ambos tipos de síntomas. Las motoras consisten en movimientos involuntarios, por lo general de una extremidad, ya sean brazos o piernas, pero, desde luego, pueden ocurrir de manera simultánea en las dos. Se trata de sacudidas rítmicas o contracciones sostenidas, inicialmente en las porciones distales, los dedos y las puntas de los pies. Conforme aumenta la magnitud del fenómeno intracerebral, los movimientos progresan poco a poco hacia las porciones proximales. Cuando aparecen en los brazos, y se hacen muy intensas, pueden incluso provocar movimientos giratorios de la cabeza, con giros forzados y sostenidos o con sacudidas en dirección hacia el lado de las extremidades afectadas. Esta forma de presentación, de distal hacia proximal, es lo que se ha llamado la carrera epiléptica, y es privativa del fenómeno epiléptico. Las crisis de tipo sensitivo son aquellas que aparecen con adormecimiento y hormigueo inexplicables en alguna extremidad. Al igual que las anteriores, las molestias progresan de distal a proximal. En general, no suceden cambios de coloración ni de temperatura en las áreas adormecidas. Al igual que los demás síntomas propios del fenómeno epiléptico, unas y otras guardan el ya mencionado principio de identidad. Esto significa que cada nueva crisis transcurre en la misma forma que las anteriores. Todas guardan las características de los movimientos

fisiológicos normales, nunca son sacudidas, torceduras o movimientos antinaturales. Estas cualidades son distintivas para las CPS y al clínico le son fundamentales para reconocerlas y diferenciarlas de otros síntomas motores en apariencia parecidos, pero que resultan, en general, antifisiológicos, sugerentes de algo simulado. Éstos son, en concreto, los de tipo histérico. El recurso de elección para definir la posible etiología es el que nos ofrecen los estudios neurorradiológicos. De sus resultados se derivan las medidas terapéuticas pertinentes, pues no es raro que además de los medicamentos resulte necesario tomar en cuenta los recursos neuroquirúrgicos. El pronóstico depende de la etiología establecida y de los resultados de las terapias aplicadas. Las complicaciones resultan cuando la magnitud de las descargas anormales se magnifica y se propagan hacia otras áreas del cerebro; entonces ocurre la llamada ‘generalización de la descarga’. De esta suerte, la disfunción focal cortical alcanza las estructuras del centro-encéfalo y, en consecuencia, aparecen crisis generalizadas. Para esta evolución no hay reglas ni plazos reconocidos, aunque la generalización es más frecuente cuando las causas son procesos tumorales de la índole que sea. De cualquier manera, la conducta diagnóstico-terapéutica no debe variar. Pero, eso sí, el pronóstico se debe ajustar a los hallazgos.

Crisis parciales complejas o ausencias psicomotoras (CPC o PS. MOT.) Para esta forma de crisis no existe un epónimo distintivo. A diferencia de todas las demás modalidades ictales que son casi monosintomáticas, éstas tienen gran cantidad de maneras de

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Crisis epilépticas parciales

expresarse. Sin embargo, para cada paciente conservan las características del principio de identidad, o sea que cada persona tiene su sintomatología propia y peculiar. El polimorfismo de la sintomatología obedece a las causas que desencadenan este tipo de crisis. Se originan por descargas anormales en los lóbulos temporales, ya sea del lado derecho o del lado izquierdo, y cuando es este último de donde provienen, las manifestaciones clínicas son más complejas. De igual manera que las CPS, si la excitación anormal crece, se puede generalizar y generar crisis de GM. No hay edad preferencial y pueden aparecer desde la infancia, por lo general en niños en edad escolar. No es de esperarse que los infantes menores las sufran. En los chicos aparecen como estados de miedo o temor a algo que no pueden definir, pero con la característica de quedar ausentes, desconectados, mientras pasa el susto aparente. Cuando se les pregunta qué les pasó no lo saben explicar, pero no es raro que al recuperar el contacto con la realidad se pongan a llorar. Conforme los niños se tornan mayorcitos, el suceso se acompaña de fenómenos gestuales como relamerse los labios; es decir, movimientos automáticos similares a los masticatorios o de deglución, sin que estén comiendo nada; de aquí que se les denomine, precisamente, automatismos. Duran en ese estado un tiempo breve, de medio a uno y medio minutos y la recuperación es un tanto insidiosa. Ocurren de manera aislada y a intervalos no previsibles de hasta meses entre una y otra crisis pero, a diferencia de las ausencias picnolépticas, nunca repiten varias veces en un solo día. Conforme la edad de inicio avanza, los síntomas se hacen más complejos. En todos, la desconexión es el factor indicativo, y a veces puede dar lugar a confusión, pues esa situación puede

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ocurrir en cuadros psicóticos como en el autismo, las crisis de esquizofrenia, e incluso en las histéricas. Sin embargo, estas últimas se distinguen porque las crisis pueden ser variadas en la misma persona y, por lo general, se acompañan de alteraciones motoras grotescas y sin parecido a los movimientos normales. En las primeras dos situaciones, por lo general faltan tanto los automatismos como los fenómenos neurovegetativos –como la palidez y salivación espesa–, pues como no hay alteraciones musculares y la respiración no se interrumpe no suceden los fenómenos concomitantes a las crisis de GM. Cuando el foco se asienta en el lóbulo izquierdo y también mucho en relación con su ubicación, los automatismos pueden incluir frotamiento de manos, apariencia de querer acariciarse diversas partes del cuerpo o incluso simular quitarse la ropa, y algunos efectivamente se la quitan. Algunas personas pueden llegar a realizar actos complejos; por ejemplo, si van en un transporte, seguir el viaje de manera correcta y llegar a su destino sin que después sepan explicar por dónde o cómo llegaron. Lo que sí resulta excepcional es realizar funciones más complejas como conducir un vehículo, aunque no falta quien asevera que sí lo hacen en forma adecuada. Un ejemplo un tanto chusco es el caso de una mujer cuyo marido le pidió el divorcio “por crueldad mental”. Sin embargo, el juez solicitó un dictamen psiquiátrico. El especialista no estaba del todo satisfecho con lo del trastorno mental y solicitó interconsulta neurológica, a cuyo efecto la paciente ingresó en la Clínica Neurológica de Heidelberg. Allí la estudiamos y pudimos observar cómo cada cierto tiempo la paciente caía en ‘ausencias’ acompañadas de una buena serie de automatismos y síntomas vegetativos. Por fortuna, estábamos comenzando a usar el medicamento reconocido ahora como el de primera elección para el manejo de

E. L. Mompradé y T. Gutiérrez, Historia general del arte mexicano. Danzas y bailes populares, Hermes, Buenos Aires, 1976.

El son

El gusto guerrerense es un estilo de son, con posibles raíces sudamericanas, que se interpreta y se baila en Tierra Caliente (Guerrero y Michoacán).

Fotos: Baruj Lieberman et al., Antología del son de México (LP), México, Música Tradicional A.C., 1985.

Los sones calentanos de Tepalcatepec, Michoacán, también se conocen como sones de arpa grande por ser éste el instrumento que los caracteriza. Además del arpa se usan dos violines, una vihuela y una guitarra de golpe (de cuerdas dobles).

En sus inicios, los mariachis eran grupos de campesinos que tocaban en festividades locales. El conjunto instrumental era muy similar a los conjuntos calentanos de Tepalcatepec –con arpa, violines, vihuela y varias guitarras sextas–, pero poco a poco se fueron integrando trompetas, clarinetes, cornetines y hasta instrumentos eléctricos.

Fotos: Baruj Lieberman et al., Antología del son de México (LP), México, Música Tradicional A.C., 1985.

Los conjuntos que interpretan son huasteco o huapango se componen básicamente de violín, jarana (der.) y guitarra quinta o huapanguera

Los grupos de son jarocho, quizá el estilo de son más difundido, emplean el arpa, el requinto jarocho (guitarrita de cuatro cuerdas) y las jaranas.

E. L. Mompradé y T. Gutiérrez, Historia general del arte mexicano. Danzas y bailes populares, Hermes, Buenos Aires, 1976.

Foto: Archivo.

El fandango mexicano, baile mestizo del siglo XIX con fuerte influencia española, es un antecedente de los sones actuales. (Grabado francés de Babrett, siglo XIX).

El Jarabe tapatío se convirtió en el baile popular nacional por decreto de los gobiernos nacionalistas posrevolucionarios.

las crisis PS. MOT. La paciente reaccionó de manera positiva, las crisis se controlaron y la vida familiar retomó su cauce normal. Los estudios disponibles en la década de 1960 no detectaron lesión alguna, y como el EEG (electroencefalograma) recobró las características normales, expresamos un pronóstico favorable. Esta anécdota ilustra de manera muy acertada la complejidad que a veces implica establecer el diagnóstico, en particular el de esta forma de epilepsias. Desde luego, el diagnóstico diferencial obligado es con los diversos trastornos psiquiátricos capaces de ofrecer cuadros clínicos semejantes, pero cuyas características clínicas llevaron al psiquiatra a la duda pero la participación de los neurólogos contribuyó a diferenciarlo. Por cuanto a la etiología, los recursos disponibles actualmente, la tomografía craneal (TC) y la resonancia magnética (RM), han permitido conocer de trastornos cuyas características se habían establecido con base en los hallazgos de

autopsias, pero que ahora se pueden identificar con razonable certeza en vida de los pacientes. Su identificación induce al uso de los recursos neuroquirúrgicos cuando se trata de las llamadas crisis resistentes a tratamiento (a pesar de recurrir a los más variados recursos medicamentosos, las crisis no ceden y llegan a ser en verdad incapacitantes). Las alteraciones más comunes son las de origen embrionario con problemas de la migración neuronal normal y, en consecuencia, las capas del tejido cerebral afectadas no guardan el orden necesario para realizar sus funciones de manera cabal. Sus características histológicas ofrecen también imágenes diferenciales. Asimismo, existen las formaciones tumorales que guardan características histopatológicas recientemente descubiertas y ofrecen conductas, por cuanto a su evolución, no habituales en los procesos neoplásicos del cerebro. Así pues, el panorama antes no tan halagüeño en un porcentaje significativo de casos hoy augura un mejor futuro.*

* Se invita a toda persona deseosa de obtener más información o que quiera aclarar cualquier punto a ponerse en contacto con el autor en la siguiente dirección: Av. Baja California #180-302, Colonia Roma Sur, C.P. 06760, México, D.F., o vía telefónica al número: 55 64 39 31, y al fax: 55 64 96 06.

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Certidumbres e incertidumbres

La escuela a examen Consideraciones generales acerca de la enseñanza de las matemáticas* Ricardo Vázquez Chagoyán

a vimos en las entregas anteriores que hay algunos problemas estructurales en todo el sistema educativo escolar. Pero es necesario mostrar cómo se manifiestan esos problemas en los diferentes niveles de la realidad escolar. Por ello, en las siguientes entregas haremos un análisis pedagógico de algunos de los programas y libros de texto de la escuela primaria. No obstante, en el caso de la enseñanza de las matemáticas, antes de pasar al análisis concreto del programa y del libro de texto, queremos señalar algunos problemas generales que suelen ser pasados por alto por los educadores e investigadores cuando se discute sobre este tema. Iniciaremos nuestro análisis con lo que corresponde a la asignatura de matemáticas porque es, junto con la de español, una de las que presentan mayor confusión pedagógica. Algunos de los problemas a los que se enfrenta la enseñanza de las matemáticas son semejantes a los que enfrenta la enseñanza del español, por cuanto que ambas son asignaturas instrumentales, de manera que conviene estar atentos a ello. Otros problemas son generales para todas las asignaturas, por lo que es importante que el lector atienda también a los problemas pedagógicos generales que se irán señalando. Existe gran confusión acerca de los propósitos de la enseñanza de las matemáticas, que con-

duce, evidentemente, a una confusión tanto en la selección de los contenidos pertinentes para cada ciclo, como en las estrategias pedagógicas convenientes en cada caso. Por ello, consideramos necesario hacer un breve examen de algunos problemas generales que contribuyen a generar esa confusión.

Matemática pura y aplicada 1. Lo primero que es importante tratar de aclarar es el sentido general de la enseñanza de las matemáticas en la educación básica. ¿Qué es lo que el niño debe aprender en la primaria y en la secundaria? Todos los discursos oficiales, desde siempre, coinciden en señalar que el propósito de la educación, y en especial la básica, es encaminar a los educandos hacia la formación de personas integrales: que los educandos adquieran ciertos valores, hábitos, actitudes, habilidades y conocimientos que les permitan integrarse a la vida social como personas útiles e independientes, que sepan ejercer su libertad con responsabilidad, que sean buenos ciudadanos, etc. ¿Cuál es la función que cumplen aquí las matemáticas? Se habla de que las matemáticas ejercitan al sujeto para el buen uso de la razón o para desarrollar el pensamiento abstracto. Por ello, se puede

* Este artículo es el cuarto de la serie La escuela a examen, que comenzó a publicarse a partir del número 95 (Año 8, abril, 2004) de Correo del Maestro.

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decir que se atribuye a las matemáticas el papel de un instrumento que contribuye a desarrollar habilidades de razonamiento o de pensamiento. Se afirma que son una herramienta esencial para la adquisición de conocimientos. 2. Examinemos brevemente la situación sobre el papel de las matemáticas en la formación de la persona: a) Es cierto que la matemática es, como la lógica, una herramienta utilísima en el proceso de aprender; nos ayuda a organizar nuestra interacción con el mundo. Pero cuando hablamos de matemáticas solemos confundir al menos dos planos de realidad distintos: uno, cuando utilizamos la expresión en el sentido de herramienta con la que nos ayudamos a resolver ciertos problemas que se nos presentan en la vida cotidiana, individual o comunitaria; el otro, cuando nos referimos a la Matemática como ciencia, es decir, cuando nos referimos a la herramienta como tal, independientemente de su utilización para la solución de problemas prácticos. En esta exposición utilizaremos para el primer caso la expresión ‘matemática aplicada’ (o simplemente ‘matemática’, con minúscula); para el segundo caso usaremos la expresión ‘Matemática pura’ (o simplemente ‘Matemática’, con mayúscula). b) Existe un tercer plano de realidad, puesto de manifiesto por la epistemología genética, en el que el término ‘matemática’ hace referencia a algo que se asemeja al sentido que solemos darle al término ‘lógica’ cuando nos referimos al ‘uso de la razón natural’. A este tercer plano lo llamaremos aquí ‘matemática natural’ (en correspondencia con la expresión ‘lógica natural’). Al hablar de este plano nos referimos a que hay un conjunto de operaciones y estructuras de razonamiento que los

individuos van construyendo espontáneamente a partir de su interacción con el medio natural y social (es conveniente enfatizar que no son conocimientos innatos y que el sujeto no es consciente de tales construcciones). A este plano alude Piaget con las expresiones ‘esquemas de acción’ o ‘estructuras y operaciones lógico-matemáticas’. En el proceso educativo escolar, este plano y los otros dos arriba señalados se confunden, y esta confusión contribuye al tremendo fracaso existente en la enseñanza escolar de las matemáticas, ya que tiene repercusiones negativas en la forma de abordaje pedagógico de esta asignatura (como ejemplificaremos en nuestra siguiente entrega con un breve análisis del programa y del libro de texto de tercer grado de primaria). Ahora bien, conviene precisar un poco más la caracterización de estos tres planos y sus implicaciones más importantes en la educación. c) Estos tres planos de realidad se corresponden con tres niveles de construcción cognitiva en esta área: • La matemática natural es el primer nivel de construcción cognitiva de las operaciones matemáticas; el sujeto las aprende (las construye) espontáneamente en su interacción con el medio natural y social en el que se desenvuelve (son operaciones como reunión, separación, seriación, desplazamiento, aumento, disminución, etcétera). Nadie tiene que enseñarle al niño esas operaciones, pero éste avanzará más en la construcción de las mismas en la medida que el medio en que se desenvuelve sea estimulante y le dé margen a la exploración viva de las constancias y variaciones. Comprender este punto es esencial en la educación, porque en las etapas primarias

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de este desarrollo el maestro sólo tiene que preocuparse porque el ambiente en que están los educandos sea suficientemente estimulante y, dentro de ello, que aquél les plantee retos adecuados a su edad, y los niños elaborarán sus estructuras y operaciones lógico-matemáticas por sí mismos (inconscientemente). • El segundo nivel es el de la matemática aplicada, es decir, en este plano el sujeto usa elementos del lenguaje y técnicas matemáticas desarrolladas socialmente y que se han convertido en convencionales (formas de notación, algoritmos, fórmulas estandarizadas para buscar la solución de cierto tipo de problemas, etcétera). Educativamente, este plano tiene que ver con la apropiación de algunas herramientas matemáticas convencionales específicas para la solución de problemas específicos en contextos específicos. • El tercer nivel corresponde a la Matemática pura (la ciencia Matemática). En este plano los desarrollos son plenamente formales, es decir, el avance es independiente de toda aplicación a la solución de problemas reales, lo cual no quiere decir que en un momento dado no puedan tener aplicaciones en el ámbito de las ciencias de la naturaleza y de la sociedad conforme éstas se desenvuelven. Educativamente, este nivel sólo corresponde a la formación de matemáticos profesionales en el ciclo universitario y, en todo caso, al ciclo preparatorio para aquél. d) Estos tres niveles de construcción se corresponden aproximadamente con tres etapas de desarrollo del pensamiento matemático en el proceso de evolución cognitiva del individuo.

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Las preguntas que se nos imponen ahora son: ¿cuál de esos tres planos de la matemática debemos fomentar o enseñar en la educación básica? ¿Cuál es el momento para trabajar con los educandos en los diferentes planos? ¿Debemos olvidarnos de la educación en el plano de la matemática natural? ¿Lo que importa es que los educandos aprendan la Matemática pura desde la primaria? ¿O lo que conviene para el conjunto de la población estudiantil es trabajar con ellos esencialmente en el plano de la matemática aplicada? e) Para tales preguntas, las respuestas que se pueden derivar de las investigaciones científicas hasta hoy serían: • La matemática natural, que es corporal (porque el sujeto la va construyendo a partir de su interacción sensorio-motora con los objetos del medio) y es concreta (porque se usan objetos concretos como contenidos sobre los que se aplican las operaciones), debe ser fomentada en los educandos, porque mientras más solidez adquieran las operaciones y estructuras de la matemática corporal, mejor se constituirá la base para el uso funcional de estas herramientas y para su ulterior desarrollo en los otros dos planos. Pedagógicamente, lo que corresponde a este plano es, como se señaló arriba, que se ubique a los educandos en un ambiente estimulante, en el que ejecuten actividades diversas y con diversidad de materiales, que se les planteen problemas prácticos que, a través del desarrollo de habilidades y coordinaciones corporales, los induzcan a mejorar sus recursos lógico-matemáticos naturales. Aquí no se trata de enseñar aún las técnicas ni el lenguaje convencional de la Matemática a los educandos, aunque el maestro tiene

que saber en cada caso qué operaciones son las que deberá estimular, o qué estructuras deberá ayudar a constituir en el educando. El trabajo pedagógico que se haga en este nivel no debe reducirse al ciclo preescolar, como sucede ahora, es necesario que se continúe con él tanto tiempo como sea posible (al menos hasta que culmine el crecimiento corporal), independientemente del momento en que, paralelamente, haya que empezar a trabajar con el segundo plano. • El siguiente nivel, el de la matemática aplicada, implica que los educandos comiencen a apropiarse de las técnicas y el lenguaje convencionales de la Matemática, pero es muy importante entender que la apropiación de esas herramientas y lenguaje no son el fin, sino sólo un medio para ayudarse en la solución de problemas reales, vitales y significativos, y de interés para los educandos. En este plano se puede empezar a trabajar a partir de la primaria, en el entendido de que en este

ciclo sólo se les enseñen las técnicas y lenguaje necesarios para resolver problemas del interés de los propios educandos, aunque parezca que todo se queda en un nivel muy elemental (abundaremos en este asunto en nuestra próxima entrega, ya anunciada). Para la enseñanza secundaria debe seguir rigiendo el criterio de ofrecer sólo las técnicas y el lenguaje necesarios para resolver los problemas del interés vital de los estudiantes y los propios de la edad respectiva. En lo que se refiere al ciclo preuniversitario, el criterio para seleccionar los elementos de la matemática que conviene incluir deberá transitar gradualmente del mencionado para los ciclos precedentes hacia uno basado en las herramientas matemáticas requeridas por el tipo de actividades que caracterizan a las distintas carreras (aquí seguimos estando en el plano de la matemática aplicada, aunque con un creciente nivel de complejidad en cuanto a las técnicas y lenguaje utilizados).

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• El tercer nivel, el de la Matemática pura, únicamente concierne a quienes se dedicarán profesionalmente a esta disciplina, o a aquellos que tengan afición por ella (o bien a ciertos posgrados especializados). De manera que el criterio de seleccionar los contenidos con base en lo que es importante para la Matemática como disciplina sólo tiene cabida en el nivel universitario y en algunas asignaturas del nivel preuniversitario (para mostrar a los estudiantes la opción profesional de la Matemática pura y como preparación para quienes se decidan por esta ruta). En el ciclo medio superior, que es el ciclo preparatorio para el ingreso a la universidad, podrían introducirse conocimientos o técnicas matemáticas más elevados (álgebra, trigonometría, estadística, etc.), en función de lo que es útil para las profesiones que las utilizan (ingenierías, física, sociología, etc.). Éste tendría que ser el principal criterio de selección de contenidos en este ciclo, y dejar espacios opcionales de Matemática pura para aquellos cuyo interés se incline por ella. Insistimos, sólo tiene sentido elegir contenidos para la enseñanza de las matemáticas según un criterio basado en lo que es importante para la disciplina Matemática cuando tal enseñanza se dirija a los que eligieron la Matemática pura como profesión, o a los que tienen particular afición por ella. 3. Aparte de los aspectos arriba mencionados, es de fundamental importancia tomar en cuenta también los aspectos afectivos y motivacionales en la enseñanza de las herramientas matemáticas. Dentro de las causas del fracaso en el aprendizaje escolar de las matemáticas hay un factor del que casi nunca se habla, y es que las Matemá-

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ticas formales no despiertan el interés de la mayoría de los niños. El fracaso de muchos de ellos no se debe a una falta de inteligencia o a una incapacidad innata para las matemáticas, sino a un total desinterés, porque no se le encuentra ninguna vinculación con las situaciones vitales (en el análisis que haremos del libro de texto de tercer grado de primaria de esta materia mostraremos cómo, de hecho, en la forma de su enseñanza no se dan las condiciones para la vinculación de la herramienta con esas situaciones vitales). Desde luego, no se puede negar que hay siempre una pequeña proporción de niños a los que les gusta la matemática escolar, porque se puede ver en ella una especie de juego de signos, algo equivalente a juegos como el ajedrez, el dominó, las cartas, etc. Pero no hay razón alguna para pensar que a todos los niños les deben gustar los mismos juegos, y menos si se les imponen como obligación. Así como a algunos niños les gusta el ajedrez y podrían pasarse horas, días, meses y años jugándolo, y a otros no les gusta en absoluto o sólo les gusta para jugarlo de vez en cuando, así habrá niños a los que les guste la Matemática pura, pero no hay por qué esperar que a todos les guste. Por ello es importante ofrecer en la educación básica sólo las matemáticas de utilidad para la vida y, algo más, hacerlo de una forma mucho más natural. 4. Otro aspecto que tiene que ver con la motivación es el que se relaciona con la posibilidad de explorar y descubrir. La enseñanza escolar, al pretender que los educandos alcancen de golpe las ‘últimas verdades de la ciencia’, ofrece a aquéllos el ‘conocimiento’ (en realidad sólo información verbal o formal) como algo ya acabado y ‘listo para ser tomado’, como si fuera un objeto material y no algo que requiere ser reconstruido por el sujeto mismo. Este procedimiento anula por completo las posibi-

lidades de exploración y descubrimiento en cualquier terreno; por lo tanto, en lugar de promover una actitud de búsqueda, promueve una actitud de mero receptáculo de información. La actitud del educando termina siendo completamente pasiva, de espera a que se le otorgue el ‘conocimiento’. Con esto, el proceso de aprendizaje pierde también las condiciones para generar la alegría que se deriva del hecho de descubrir algo (aquí sólo nos referimos al descubrimiento que hace cada uno para sí mismo). Esto sucede en todas las áreas, incluyendo las matemáticas. 5. En la educación escolar, tal y como se lleva a cabo, no se hace una verdadera diferenciación pedagógica entre ‘educación básica’ y ‘educación propedéutica para una profesión’; los criterios pedagógicos que rigen en una y otra son exactamente los mismos: mera transmisión de información a destajo por vía verbal. En muchas ocasiones se oye decir que hay que introducir tales o cuales temas o contenidos en la educación básica, porque la sociedad requerirá de especialistas en esos asuntos o porque el mundo moderno adulto hará necesario ese ‘saber’ para el buen desempeño profesional o ciudadano. Pero el hecho de que se considere que tal o cual saber será una necesidad en el mundo moderno (o contemporáneo), no es razón suficiente para incluirlo en el currículo de la enseñanza primaria, ya que no cualquier conocimiento, por importante que sea, es asimilable por la mente infantil. Hay muchas cosas que, siendo muy importantes, pueden aprenderse más tarde. No todas las cosas funcionan como el aprendizaje de una segunda lengua, terreno en el que sí conviene que el aprendizaje sea relativamente temprano (aunque siempre hay límites inferiores que no es conveniente transgredir, como ya mencionamos en otra parte).

Hay saberes mecánicos que pueden ser aprendidos fácilmente a cualquier edad; tal es, por ejemplo, la parte operativa de una computadora (la mayoría de los que hoy son adultos mayores de treinta años aprendieron esto ya grandes, y sin ningún problema), por lo que no vale la pena dedicar tiempo a eso en la primaria, habiendo otras cosas mucho más esenciales. Hay otros casos en que se requiere cierto nivel de madurez, sea cognitiva o general (personalidad) para poder asimilar los conocimientos, como es el caso de los temas sobre la organización política del Estado o los problemas ecológicos. En estos casos, por muy importante que sea el tema, no tiene sentido incluirlos como contenidos en la educación primaria (en el caso de los problemas ecológicos más valdría educar primero a los adultos en ello, ya que no son las actividades de los niños las que deterioran el ambiente, sino las de los adultos). En cuanto a los contenidos de matemáticas, no creemos que valga la pena incluir mucho más que las operaciones aritméticas, porcentajes, regla de tres, y elementos básicos de geometría antes de la educación preparatoria para la universidad. Se objetará esto diciendo que es muy elemental y que el nivel preuniversitario es demasiado tarde para comenzar con los temas de álgebra, trigonometría, etc., y que no daría tiempo de abordar todo lo que se necesita como preparación para el ciclo universitario. Pero ese argumento no es válido, primero porque con ello se vuelve a caer en el criterio de incluir en los programas lo que es importante para la disciplina Matemática y no lo que es requerido por un saber funcional; y segundo, porque en realidad casi todo lo que se aprende de matemáticas en la secundaria (álgebra, trigonometría, etc.) no se asimila, o su aprendizaje suele ser estrictamente mecánico y despojado de significado, por lo que se olvida con rapidez, de manera que ni

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siquiera sirve como una base firme para construcciones más elevadas. Es preferible esperar a que el educando esté más maduro cognitivamente hablando; entonces el aprendizaje será más firme y, siendo así, será cada vez más rápido y efectivo su aprendizaje, por lo que, con toda seguridad, a la larga se llegará más lejos.

sar a los adultos, no a los niños. Se olvida continuamente la importancia de ajustarse al nivel de asimilación cognitiva de los educandos en cada caso. Y se olvida también, con frecuencia, que en este tipo de situaciones lo que importa no es el cuadro numérico en sí, sino el fenómeno real que quiere representarse en él.

6. De todos modos, para determinar cuáles son los contenidos que debería tener un programa de matemáticas, sería conveniente realizar investigaciones acerca de qué tipo de matemáticas es el que necesita la gente común para su vida cotidiana, y qué aspectos merecerían una profundización para mejorar la comprensión del medio en que se desenvuelve y de la información que recibe del mismo. Nuevamente, se dirá que si únicamente se enseña lo necesario para el uso cotidiano, serán cosas muy elementales lo que se enseñe en la escuela ¿Y qué con eso? Los conocimientos complejos que habitualmente se pretende enseñar, en realidad no son aprendidos o se olvidan pronto, precisamente porque no se usan en la vida cotidiana. Por otra parte, aquí sólo nos estamos refiriendo a que ese conocimiento útil para la vida cotidiana sería la referencia para el diseño del ‘programa’, y de allí se vería qué aspectos vale la pena profundizar y en qué ciclo es pedagógicamente conveniente. Por ejemplo, muchas personas no saben leer (interpretar) los cuadros estadísticos que aparecen con frecuencia en muchos diarios, revistas o libros. Podría ser de utilidad que la escuela acercara a las personas a ese conocimiento, como de hecho se pretende con los programas de primaria, pero ¿es en la primaria donde se debe enseñar esto, cuando no hay nada en la experiencia vital de los niños que requiera de ese conocimiento? La lectura e interpretación de datos en cuadros estadísticos es un conocimiento que puede intere-

7. Es necesario que los adultos detengan su ansiedad por que los niños aprendan todo precozmente; el resultado es casi siempre contraproducente, por las siguientes razones:

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a) Cuando el niño no está maduro para un aprendizaje, el aprendizaje no se realizará; y en los casos que se realice, se olvidará pronto (por lo que más tarde hay que volver a aprenderlo), o bien, se aprenderá de modo mecánico y poco o nada funcional, de manera que el niño no sabrá identificar las situaciones reales en las que conviene su aplicación. En estos dos casos, es como si no lo hubiera aprendido. El proceso, entonces, fue una pérdida de tiempo. b) El aprendizaje no procede por saltos. No es posible ‘quemar’ etapas. El aprendizaje se lleva a cabo escalonadamente, y cuando los escalones o pisos de abajo, desde las bases, no están sólidamente construidos, sucede lo mismo que sucedería con un edificio al que no se le hicieron adecuadamente los cimientos: no se podrá construir sobre ello o lo que se construya quedará endeble. La construcción de los cimientos suele ser lo que más tiempo se lleva, por ello debemos ser pacientes. Una vez que están bien construidos los cimientos, entonces lo demás tendrá un apoyo firme y a la larga se llegará más lejos, además de que vendrá un momento en que la construcción será mucho más veloz y el sujeto lo podrá hacer de manera autónoma.

8. Es dudoso que el aprendizaje de la Matemática por sí misma (pura, sin relación con fenómenos empíricos) sea un buen recurso o el mejor para estimular el desarrollo del pensamiento abstracto, ya que el pensamiento abstracto no se define por su carencia de contenido empírico o semántico, sino por su alejamiento de la exposición inmediata a la sensorio-motricidad del sujeto, o por su separación de contextos materiales definidos. En otras palabras, la Matemática pura, sus formalizaciones, se separan de los fenómenos materiales reales, por ello se dice que son abstractas; pero lo que interesa en la formación general de las personas es que desarrollen un pensamiento abstracto que les ayude a elevar su nivel de comprensión de los fenómenos de su entorno real, y las formulaciones matemáticas, sin contenido, no son un buen camino para lograrlo. De ahí que insistamos en que, fuera de quienes serán matemáticos profesionales, la enseñanza de las matemáticas para ‘el resto de los mortales’ debe estar ligada a sus aplicaciones en ámbitos definidos. En todas las

ciencias existen conceptos abstractos: sociedad, historia, revolución, Estado, poder, PIB, fotosíntesis, célula, evolución, mente, inteligencia, inconsciente, ello, órbita planetaria, fuerza, átomo, molécula, etc. Estos conceptos refieren a fenómenos de la realidad material o mental, y las matemáticas que pueden interesar a las personas comunes o a los profesionales comunes no matemáticos son aquellas que les ayudan a precisar su conocimiento de tales fenómenos, según el caso. Conforme avanzamos en el desarrollo de la Matemática pura, más nos alejamos de las referencias al mundo real, vital, de manera que, al mismo tiempo, más nos alejamos de la posibilidad de usar sus herramientas para mejorar nuestra comprensión del entorno real. La enseñanza de las matemáticas como herramienta para quienes no son matemáticos profesionales no debe desligarse de los contenidos dados por los fenómenos reales que interesa comprender. Por otra parte, no hay que olvidar que para acceder al pensamiento abstracto es necesario pasar primero por situaciones concretas, defini-

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das, reales, contextualizadas. Sólo después, poco a poco, se irá desarrollando el pensamiento abstracto. Además, cuando se pretende enseñar Matemática pura antes de que los sujetos estén maduros para ello (dejando aparte el factor interés) ocurre algo semejante a lo que sucede cuando se prescribe la lectura de textos acerca de un tema sobre el que no se tiene ninguna experiencia vital: se cae en la creencia de que con ello se desarrolla el pensamiento abstracto, siendo que en realidad sólo se está fomentando el verbalismo vacío. Así también, cuando en los ciclos de la escuela básica se pretende enseñar las matemáticas separadas de los problemas empíricos sólo se fomenta un ‘formulismo vacío’.

Con todo lo anterior hemos querido presentar al lector algunos de los puntos problemáticos que no siempre se advierten cuando se discute el tema de la enseñanza de las matemáticas. En ello se dan muchas cosas por supuestas y se asumen como factores que no admiten discusión. Así que, uno de nuestros propósitos está en llamar la atención de los educadores e investigadores sobre tales problemas; el otro propósito está en preparar el terreno para la discusión del tema de nuestra próxima entrega, ya que allí trataremos de mostrar cómo esos problemas se manifiestan en el diseño de los programas y los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria.

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Artistas y artesanos

El son, esencia musical de México Rubén Heredia Vázquez A mi padre, primero de mis guías en esta y todas las músicas.

or su riqueza, difusión y popularidad, el son, más que cualquiera otra, es la manifestación más representativa de la música tradicional mexicana. Este género se halla ampliamente difundido en el territorio nacional en una importante variedad de estilos regionales que constituyen una expresión de diferentes zonas geográficas y culturales del país. No obstante esta diversidad, es posible establecer ciertos rasgos comunes tanto en sus orígenes como en sus características musicales, líricas y dancísticas que justifican su denominación como género y lo distinguen de otras expresiones de música tradicional mexicana como las músicas indígenas, la canción, el corrido o la música norteña. En estas páginas se intentará definir lo que es el son, se rastrearán sus orígenes y se expondrán los estilos regionales más importantes, haciendo énfasis en sus aspectos musicales.

Características En México1, se llama son a una gran diversidad de estilos de música y baile de carácter profano y festivo que ha cultivado la población, predominantemente mestiza, que habita a lo largo de las costas del Golfo y de las costas meridionales del Pacífico, en las vertientes de la Sierra Madre

Oriental y la Sierra Madre Occidental. A pesar de su variedad, todos estos estilos o subgéneros regionales comparten algunas características básicas: a) Los sones son interpretados casi siempre por grupos y raras veces por un solo músico. Los instrumentos de esos conjuntos son básicamente de cuerda y percusión. Todos los integrantes tocan algún instrumento y generalmente todos cantan, aunque suele haber uno que destaca como voz solista. b) La poesía cantada en los sones se compone invariablemente de coplas o poemas breves que encierran dentro de sí una idea completa, es decir, que para tener sentido se bastan a sí mismos. Pueden tener entre tres y diez versos (cuartetas, quintillas, décimas...) y son generalmente octosílabos. Su temática incluye el amor y descripciones de mitos, leyendas, personajes, paisajes y animales, así como acontecimientos políticos y religiosos. Un buen ejemplo de coplas en quintillas es este fragmento de El Sentimiento, conocido son de la región huasteca: Con tristeza y sentimiento las lágrimas se me ruedan, porque manera no encuentro de hacer que mis labios puedan dominar tu pensamiento.

1 Debe recordarse que en Cuba, uno de los géneros más populares de música para bailar también se llama son, aunque no parece

estar directamente relacionado con su homónimo mexicano.

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El son, esencia musical de México

Quisiera verte y no verte, quisiera hablarte y no hablarte, quisiera darte la muerte y la vida no quitarte, para no dejar de verte. Muchas de estas coplas provienen de la España del siglo XVI, aunque también existen varias de inspiración local y de origen más reciente. Sin embargo, no todas las líneas que se cantan en los sones han sido previamente escritas, pues muchas veces se improvisan versos en los que el trovador hace alarde de su ingenio, imaginación e, incluso, de su resistencia física. c) El son es un género musical estrictamente ligado al baile social, no a la danza ritual. En estos bailes suelen intervenir una o más parejas que ejecutan zapateados sobre tarimas que, además, complementan y realzan la parte rítmica de la música. Las coreografías varían en cada región. Sin embargo, como lo describe Ricardo Pérez Monfort en su libro Avatares del nacionalismo cultural: Casi siempre el zapateo comienza con el primer acento musical. Cuando el trovador entona su pregón se pasa al escobilleo. Posteriormente se ataca con mucha fuerza en los tacones y las plantas de los pies cuando los instrumentos repican, pero la suavidad reaparece en el paseo cuando se escucha la cantada. El coqueteo y el acecho son partes imprescindibles del baile. Muchos son los sones que animan a las parejas a echarse ojitos e incluso hasta imitar el cortejo de algunos animales como el gallo y la gallina o el palomo y la paloma. Sin embargo, el baile del son no permite el contacto. Ya lo decía aquella frase de un son jarocho: “Es el baile más decente, pues no se baila abrazado.”2

d) En cuanto a sus características netamente musicales, puede decirse que el son se rige por los patrones de la música occidental. Armónicamente se trata de música tonal en el sentido más básico de la palabra, pues emplea casi exclusivamente las progresiones elementales de las escalas tonales. El ritmo de casi todos los sones utiliza compases compuestos como 3/8, 3/4 o 6/8, a los cuales a veces se añade el de 5/8. Son muy pocos los sones escritos en compases simples. Aunque varias de las melodías originales pertenecieron a cantos populares traídos por los españoles, dichas tonadas han sufrido tal cantidad de modificaciones que hoy poco o nada tienen que ver con sus antepasadas peninsulares. Además, es común que cada cantante haga variaciones melódicas en un estilo muy personal, lo cual hace que a veces la melodía de un mismo son suene muy diferente en versiones de intérpretes distintos, aun pertenecientes a la misma región. La estructura del son, basada en la alternancia de coplas y partes instrumentales, suele combinar una introducción con un canto o el desarrollo de un tema melódico, un estribillo que se repite entre canto o tema y un remate final.

Raíces peninsulares Al igual que la población que le dio origen, el son es un género mestizo. Sin embargo, puede afirmarse que la raíz principal de esta expresión cultural, surgida entre los siglos XVIII y XIX, se encuentra en la música tradicional española que los conquistadores importaron al Nuevo Mundo. Aquellos aventureros, además de los artesanos, comerciantes y clérigos que llegaron poco después, trajeron consigo los romances3, los villan-

2 Ricardo Pérez Monfort, Avatares del nacionalismo cultural. Cinco ensayos, CIDHEM/CIESAS, México, 2000, pp. 127-128. 3 Se les llamó romances a los cantos populares basados en poemas que narraban ciertos episodios de los cantares de gesta medievales.

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Las alabanzas a Cristo y a la Virgen en las capillas y en las imponentes iglesias-fortalezas que surgieron a lo largo del siglo XVI en la Nueva España, y la música profana, bailable o lírica, interpretada entre españoles y criollos tanto en sus juergas como en la corte virreinal durante todo ese siglo, servían de unión, a veces nostálgica, con la Madre Patria. Sin embargo, la distancia, la memoria, la influencia de todo lo nuevo, hicieron que esa música española fuera cambiando poco a poco en melodías y armonías, en ritmos, instrumentos y textos.4

Es el origen común de este género musical lo que explica, al menos parcialmente, que existan varios sones emparentados en distintas zonas del país, como es el caso de las diversas piezas llamadas La Malagueña, La Petenera, El Fandango, El Pajarillo, El Palomo, La Sirena, El Huerfanito, Los Panaderos, Las Poblanas, El Gallo o El Toro, entre

E. L. Mompradé y T. Gutiérrez, Danzas y bailes populares, Hermes, Buenos Aires, 1976.

cicos, la música militar, la música religiosa y las danzas que estaban en boga en la España del siglo XVI. Pero más que otros géneros musicales, fueron las seguidillas, tonadillas, boleras y otras expresiones del folclor de provincias como Extremadura, Castilla, Murcia y, sobre todo, Andalucía –con sus peteneras, malagueñas, fandangos, jarabes gitanos y tangos gitanos– las que contribuyeron en mayor medida en la génesis del son mexicano. Muchas de estas melodías fueron traídas a la Nueva España por grupos itinerantes de teatro ligero y se popularizaron en varias regiones del país. En esas zonas, dichas tonadas inspiraron la creación de piezas musicales a las que se dio el nombre de sonecitos de la tierra o sonecitos regionales, los cuales constituyeron los antecedentes inmediatos del son propiamente dicho. Como lo apunta Jas Reuter en su libro La música popular de México:

Litografía de un fandango mexicano (Casimiro Castro, 1864).

otros, algunas de las cuales se encuentran en casi todas las regiones donde se cultiva el son. Dicho parentesco se percibe, además del nombre, en la similitud de sus melodías, acompañamientos y en los versos. Por otro lado, resulta muy interesante observar que algunos de los subgéneros o palos del flamenco español –género que, en cierto modo, tuvo un desarrollo paralelo al del son mexicano y con el que comparte varias de sus raíces– también lleven nombres como malagueña, petenera o fandango. Sin embargo, la música española no constituyó la única materia prima del son. Desde el siglo XVI, los españoles comenzaron a traer a la Nueva España grandes contingentes de esclavos negros cuya presencia dejó huella en la música, sobre todo en la que se producía en las regiones subtropicales del país, particularmente en los actuales estados de Veracruz y Guerrero. Aunque la influencia africana sobre el son es menos obvia que la española, aportó ciertos elementos sutiles que le otorgaron un sabor muy peculiar al género que nos ocupa, sin los cuales se alteraría completamente su carácter actual. Estos elementos se traducen sobre todo en el uso muy extendido de la

4 Jas Reuter, La música popular de México, Panorama, México, 1992, p. 38.

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Baruj Lieberman et al., Antología del son de México,Música Tradicional, México, 1985.

El son, esencia musical de México

Conjunto de son calentano guerrerense.

síncopa5 y el canto responsorial, en la riqueza rítmica, en el tempo de mucha música, en la velocidad con que se cantan las coplas en algunas piezas y en cierta cadencia que suelen presentar los sones pertenecientes a las regiones con mayor influencia negra. Conviene señalar que aunque el elemento indígena seguramente contribuyó en la gestación del son, su influencia es aparentemente tan sutil que, salvo en el caso de subgéneros muy específicos –el son huasteco, entre algunos otros–, resulta muy difícil precisar qué rasgos autóctonos se hallan presentes en el gran género.

Principales estilos o subgéneros regionales Como ya se mencionó, el son floreció en varias zonas del país, en muchas de las cuales fue adquiriendo rasgos locales bien definidos. Aunque la clasificación actual de esta música por regiones varía ligeramente en algunos de los autores que han profundizado en el tema, podemos establecer al menos seis modalidades como las más representativas del género: los sones de Tierra Caliente, los sones jaliscienses, los sones de la Costa Chica y Tixtla, los sones istmeños, los sones jarochos y los sones huastecos.

I. Sones de Tierra Caliente Estos sones se interpretan en una vasta y calurosa región conocida como Tierra Caliente, compartida por los estados de Guerrero y Michoacán. Uno de los rasgos más distintivos de estos sones es un empleo muy peculiar de la percusión, que varía según la zona en que se toque. Además, en toda la región se cultiva un tipo especial de son un poco más lento, al que se conoce como gusto, de posible origen sudamericano. Algunos consideran al gusto como un género aparte. Es posible distinguir dos grandes modalidades en estos sones: a) Sones calentanos del Balsas: Se cultivan en la llamada depresión del río Balsas, que incluye parte de los estados de Guerrero y Michoacán. El conjunto instrumental de esta región se compone de uno o dos violines, una o varias guitarras y un tamborito (pequeño tambor con doble parche, de posible origen sudamericano). En estos sones son muy característicos los pasajes instrumentales con violín, que suelen requerir gran virtuosismo del intérprete. Algunos de los sones mejor conocidos de la región incluyen La Malagueña, La India, La Rema, La Mariquita, El Gallo y La Pichacua. b) Sones calentanos del Tepalcatepec: También llamados sones michoacanos o sones de arpa grande. Se interpretan en la cuenca del río Tepalcatepec (cauce sudeste del río Balsas) en el estado de Michoacán. El instrumento característico del conjunto que los interpreta es un arpa de 36 cuerdas con una amplia caja de resonancia que uno de los músicos percute con las palmas de la mano, acción conocida como cachetear el arpa. Además del arpa se usan dos violines, una

5 La síncopa es un efecto rítmico que consiste en desplazar el acento del tiempo fuerte del compás para hacerlo recaer en el débil.

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vihuela6 y una guitarra de golpe (guitarra con órdenes dobles de cuerdas para acentuar el ritmo). Además de interpretar sones, los conjuntos de arpa grande aún cantan valonas, género colonial en vías de extinción, que consiste en una narración de carácter satírico, más recitada que cantada, y que se estructura a manera de glosa, o sea, como una cuarteta, cada uno de cuyos versos sirve de pie para una décima completa. Algunos sones típicos de esta región son: La Malagueña, El Gusto Pasajero, Los Arrieros, El Maracumbé y El Tecolote.

II. Sones jaliscienses, abajeños o de mariachi Aunque originados en parte de la Sierra Madre Occidental, en la planicie de la costa central del Pacífico y la Sierra Madre del Sur, en los estados de Jalisco, Colima y parte de Michoacán, estos sones han gozado de una amplísima difusión que rebasa las fronteras nacionales, de tal modo que mucha gente –tanto en el país como en el extranjero– los considera el género musical más representativo de México. Por ser típicos de las tierras bajas o subtropicales de Jalisco, estos sones también son llamados sones abajeños. La enorme popularidad de esta expresión y el hecho de que muchos la consideren como la música mexicana por excelencia obedecen a varios factores. Uno se debe a que el conjunto del mariachi es el encargado de acompañar las coreografías del Jarabe Tapatío, que se convirtió en el baile popular nacional impuesto tanto por los medios de comunicación y por los programas educativos que establecieron los gobiernos nacionalistas posrevolucionarios. Esto fomentó que muchos conjuntos de mariachi

dejaran de ser grupos de campesinos que tocaban en sus festividades locales y se convirtieran en músicos profesionales que emigraron a la capital en busca de oportunidades. Una vez en la ciudad, durante los años veinte y treinta del siglo pasado, los mariachis tomaron el lugar dejado por la Orquesta Típica de la Ciudad de México –cuya indumentaria de charro adoptaron–, que representaba a México en diversas exposiciones internacionales y era solicitada en varios eventos oficiales. Pero quizá lo que dio mayor difusión a esta música fue su adopción por el naciente cine mexicano sonoro, que difundió en todo el mundo la imagen del charro como la del mexicano típico y el son jalisciense como la música típica de México. “Desde entonces los mariachis se convirtieron en los embajadores musicales de México, y sus sones y jarabes fueron las músicas capaces de generar un sentir nacionalista a lo largo y ancho de todo el país y en los mexicanos en el extranjero”.7 La popularidad adquirida por los grupos de mariachi ha promovido que en la actualidad estos conjuntos interpreten, además de sones, otros géneros musicales como corridos, canciones rancheras y música comercial de moda, con lo que se ha perdido la integración inicial del conjunto, así como su fidelidad al repertorio original de la región. La instrumentación tradicional del mariachi, en un principio muy similar a la de los conjuntos calentanos del Tepalcatepec, se compone de un arpa –sustituida posteriormente por el guitarrón–, tres violines, una vihuela y una o varias guitarras sextas. Sin embargo, en tiempos más recientes se han añadido, además de las típicas trompetas, otros instrumentos como clarinetes, cornetines y hasta instrumentos eléctricos, lo cual

6 Dentro del ambiente de la música tradicional mexicana, suele llamarse vihuela a una pequeña guitarra de cinco cuerdas y cuerpo

abombado. No debe confundirse con el instrumento europeo del mismo nombre que fue antecesor de la guitarra española. 7 Ricardo Pérez Monfort, op. cit., p. 131.

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ha dado lugar a que abunden mariachis verdaderamente sinfónicos de más de veinte integrantes. El repertorio tradicional de estos grupos incluye piezas tan célebres como La Negra, La Culebra, El Carretero, Camino Real de Colima y El Triste.

III. Sones de la Costa Chica y Tixtla Estos sones, cultivados tanto en la llamada Costa Chica –que abarca parte del litoral de los estados de Guerrero y Oaxaca– como en la zona interior guerrerense de Tixtla, muestran dos influencias muy marcadas y particulares: por un lado, la de la población negroide establecida en la zona durante los siglos XVII y XVIII; y, por otro, la de la música traída por marinos desde Sudamérica, quienes remontaban las costas para comerciar con Acapulco y luego dirigirse hacia California en busca de oro a mediados del siglo XIX. Por ello, no es de extrañarse que todo un grupo de sones de esta región reciba el nombre de chilenas. Los instrumentos empleados normalmente en esta región son: una o varias guitarras, una o varias vihuelas, arpa –ya en desaparición–, y para la percusión, una artesa, especie de batea gigante de tronco de ceiba que se coloca invertida sobre la tierra para zapatearse cuando hay baile o percutirse cuando no lo hay. Aunque el poblado de Tixtla comparte esta misma tradición sonera, la instrumentación muestra diferencias notables. Como bien lo señalan Baruj Lieberman, Eduardo Llerenas y Enrique Ramírez de Arellano en los textos que acompañan a la excelente colección de discos Antología del son de México: En Tixtla aún se encuentra el arpa, y en ocasiones la guitarra sexta se sustituye por una o dos vihue-

las. El ritmo lo ejecuta el tapeador del grupo percutiendo con las manos o con una tablita en un cajón de madera. Los bailadores zapatean sobre una tarima que anteriormente era un tablado colocado sobre el piso de tierra ahuecada. Es importante mencionar que estos sones, sobre todo en la Costa Chica, están en un desafortunado proceso de desaparición.8

Entre los títulos mejor conocidos de esta región se encuentran La Petenera, El Toro Rabón, La Malagueña Curreña, El Pajarillo Jilguero y La Sanmarqueña.

IV. Sones istmeños Se les conoce en toda la zona del istmo de Tehuantepec en el suroeste del estado de Oaxaca, aunque también es cultivado en ciertas poblaciones limítrofes de Chiapas. Este subgénero constituye una excepción dentro del son mexicano, pues no cumple con varias de las características generales del son. Por un lado, sus intérpretes principales son las bandas de pueblo –cuyos instrumentos principales son los metales– o la marimba. Aunque la estructura musical sigue siendo la misma, o sea, la alternancia de coplas y partes instrumentales, se ha desarrollado la modalidad en que las coplas ya no se cantan, sino que también son tocadas por los instrumentos, sólo que conservando el carácter cantabile y más suave de las partes antiguamente cantadas. El ritmo prevaleciente es el de 3/4, muy valseado. Pero el son oaxaqueño tiene también otro rasgo que lo distingue de sus parientes de las demás regiones: constituye un puente entre el son propiamente dicho y la canción, ya que varios sones

8 Baruj Lieberman et al., notas a la colección de discos Antología del son de México, Música Tradicional, México, 1985, p. 7.

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se cantan con acompañamiento de guitarra, pero ya no como música bailable, sino como canciónvals. La ternura de sus coplas, la predominante tonalidad menor, la suavidad con la que se interpretan, convierten a los sones-canciones de Oaxaca en una de las manifestaciones musicales más amables de México.9

Algunos de los sones istmeños más famosos son: La Martiniana, La Mediu Xhiga, La Petrona, La Llorona y, por supuesto, La Sandunga.

V. Sones jarochos De manera similar a los sones de mariachi, los sones jarochos se encuentran ampliamente difundidos por todo el territorio mexicano. Florecen en la planicie sudoriental del estado de Veracruz, desde el puerto del mismo nombre, Los Tuxtlas y Catemaco, hasta Minatitlán y Coatzacoalcos, incluyendo los pueblos de la cuenca del Papaloapan y la región llanera al sur de Tuxtepec. Estos sones muestran la acentuación rítmica más completa del género, lo cual evidencia una fuerte influencia africana, como también lo demuestra el uso del canto responsorial que aparece en varios ejemplos típicos del repertorio jarocho. Curiosamente, estos sones también son los que conservan más elementos de la música barroca europea. Tanto la música como la lírica de esta expresión se hallan impregnadas de una vivacidad, una alegría, un ingenio y una picardía muy particulares. En Veracruz aún se cultiva la composición de coplas de diez versos o décimas, que también tuvieron gran arraigo en otras partes de Latinoamérica. Los trovadores o decimeros jaro-

chos muestran un talento prodigioso para la improvisación y son capaces de hacer coplas en el momento sobre casi cualquier tema. Un ejemplo de la chispa improvisadora jarocha nos lo proporciona esta copla inicial de las Décimas de la mujer inconforme: Dios con su grande poder, me castigó a su manera, dándome por compañera una inconforme mujer. No la puedo comprender, es de todo caprichosa descontenta, muy celosa, ya no la puedo aguantar y la quisiera cambiar por otra mejor esposa. La gran difusión del son jarocho se debe a que, igual que el mariachi, también entró en los círculos del poder y la comercialización. Por fortuna, en la actualidad somos testigos de un resurgimiento del género que promueven auténticos exponentes regionales que intentan separar esta música de la utilización comercial y festivalera en la que había caído. Los grupos de son jarocho se componen habitualmente de arpa, requinto jarocho –guitarrita de cuatro cuerdas punteadas con una púa– y jaranas.10 La jarana ofrece el ritmo básico; el arpa da la armonía de las notas graves, mientras que las cuerdas agudas producen constantes trinos y variaciones de la melodía, y el requinto toca en contrarritmo una variación de la melodía. En Tlacotalpan se estila el uso de un pandero hexagonal, y en la región de Los Tuxtlas el arpa ha desaparecido y se emplea gran variedad de jaranas, la más pequeña de las cuales recibe el nombre de mosquito. Los cantantes emplean una entonación

9 Jas Reuter, op cit., pp. 171-172. 10 Las jaranas son pequeñas guitarras que varían tanto en tamaño como en número de cuerdas, dependiendo de la región, y que sue-

len tener una función armónica y rítmica en la interpretación de ciertos subgéneros de sones como los jarochos y los huastecos, entre otros. No deben confundirse con la jarana yucateca que es una variedad especial de son que, como su nombre lo indica, es típica del estado de Yucatán.

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muy aguda, algo áspera, y utilizan toda una serie de gritos e interjecciones de aliento y alegría. Entre los sones jarochos más conocidos se encuentran La Bamba, El Siquisirí, La María Chuchena, La Lloroncita, El Chuchumbé, El Toro Sacamandú y El Pájaro Cú.

VI. Sones huastecos o huapangos Florecen en una amplia zona conocida como La Huasteca que abarca la gran planicie costera del noreste de México y algunas regiones de la Sierra Madre Oriental, que abarcan a los estados de Tamaulipas, Veracruz, Hidalgo, San Luis Potosí, Querétaro, Guanajuato, Puebla y hasta Nuevo León. Como La Huasteca es un área poblada por diversos grupos indígenas que mantienen muchas tradiciones ancestrales, el huapango parece acusar una influencia autóctona, que se percibe no sólo en el vigor de sus acentos rítmicos sino, además, en algunas letras que muestran un tratamiento muy particular de los animales y la naturaleza. Sin embargo, como también ocurre con el son jarocho, es posible establecer un parentesco cercano entre el huapango y las seguidillas, jotas y fandangos españoles. Otra coincidencia entre el son huasteco y el jarocho –y otros sones regionales– es el papel tan importante que tiene en ellos la improvisación tanto musical como lírica y, aunque existen coplas tradicionales bien conocidas, son raros los trovadores que escriben y compilan sus versos.

El huapango tampoco ha podido escapar a las intenciones comercializadoras y simplificadoras de los medios de comunicación, aunque al ocupar una zona tan vasta del país, esta expresión también ha logrado mostrar y recuperar infinidad de variantes dentro de su propia localidad. Los conjuntos instrumentales que interpretan son huasteco se componen básicamente de violín, jarana y guitarra quinta o huapanguera (guitarra grande con cinco órdenes de cuerdas generalmente dobles). Es muy típico que el violín toque complicados adornos en los interludios instrumentales. La voz, que muestra un fuerte resabio del cante andaluz, suele emplear característicos falsetes breves para alguna sílaba a la mitad de una palabra o hacia el final de un verso. El repertorio tradicional del huapango incluye sones como La Malagueña, La Petenera, El Querreque, El Sacamandú, La Presumida, Las Poblanitas, El Caimán, La Rosa, El Fandanguito, La Huasanga y el Cielito Lindo. Existen, por supuesto, muchas otras variedades regionales del son que se encuentran circunscritas a áreas geográfico culturales más pequeñas, que sería imposible abordar con detalle en estas breves páginas. Entre ellas podemos mencionar los sones de Río Verde y Cárdenas, en San Luis Potosí, los también llamados abajeños de la región purépecha en Michoacán, los sones mixtecos de Oaxaca, los sones tabasqueños y chiapanecos, y la jarana yucateca.

Bibliografía LIEBERMAN, Baruj, Eduardo Llerenas y Enrique Ramírez de Arellano, notas a la colección de discos Antología del son de México, Música Tradicional, México,1985. MOMPRADÉ, Elektra L. y Tonatiuh Gutiérrez, Danzas y bailes populares (Historia general del arte mexicano, vol. 6), Hermes, México-Buenos Aires, 1976. PÉREZ MONFORT, Ricardo, Avatares del nacionalismo cultural. Cinco ensayos, CIDHEM/CIESAS, México, 2000. REUTER, Jas, La música popular de México, Panorama, México, 1992.

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Sentidos y significados

Especulaciones acerca de lo fatal Arrigo Coen Anitúa

o fatal, ese mundo mágico de ‘lo dicho’, nace en la creencia primitiva de que, cuando se sabe el nombre de algo se adquiere la facultad de conjurarlo. Tal es el principio animista que, de la palabra, se extiende a la representación pictórica, en las paredes de la caverna. En efecto, fatum, la voz latina de la que proviene nuestro hado, es el participio pasivo de fari, ‘decir’, cuya raíz indeuropea es bha, esto es, ‘hablar’. Mucho, mucho antes de que el designio fuese lo escrito (piénsese en el fragmento de nuestro Himno que dice: “en el cielo tu eterno destino por el dedo de Dios se escribió”), lo ‘estatuido’, lo ‘inexorable’, lo ‘definitivo’, mucho antes, digo, era lo ‘pronunciado’, era lo ‘enunciado’ (y ‘anunciado’), lo ‘proferido’, lo ‘dicho’. La primera documentación que en nuestra lengua se tiene de ese concepto es fado, que se halla en escritos de Gonzalo de Berceo. Por ese mismo tiempo debe de haber surgido el verbo fadar, ‘interpretar el hado’, ‘predecir’, puesto que ya en Nebrija aparece, como definición de hado, “lo que se hada”, o sea, lo que ‘se fada’). Corominas nos ilustra: “Antes de ser reforzado el masculino en el Renacimiento gracias al estudio de la Antigüedad y la imitación del latín, era más frecuente en castellano el empleo de hado con el mismo sentido de hada”. Esta última dicción, en español, procede del latín fata, plural de fatum. Y en esto también nos revela Corominas que: “Ya en la Edad Media se aplicaba fata y su descendiente romance a las Parcas, personificación femenina del Hado, y se formaba un plural secundario fatae”. Así, ya en una inscripción lusitana: “cui Fate consensueruant vivere annis XLV”, ‘a quien las Hadas concedieron vivir cuarenta y cinco años’; en Alonso Fernández de Palacio: “Parce son las hadas que dixeron los paganos Cloto, Lachesis y Atropos”, y en Nebrija: “hada diosa del hado, parca”.

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Especulaciones acerca de lo fatal

Vuelvo a Corominas: “En los libros de Caballerías se aplicó hada a un ser femenino sobrenatural que intervenía de varias maneras en la vida de los hombres, y con este sentido permaneció el vocablo en la literatura maravillosa e infantil de hoy día”. Por más que los primeros romanistas germánicos, Mayer-Lubke y su compinche Wartzburg, anduvieron desviados ‘por los cerros de Úbeda’, con plausible hipótesis, habría sido suficiente haber respondido a cierto impulso de paronimia –semejanza fónica entre términos– para sospechar la recta, correcta, ascendencia de la voz. El propio Corominas nos lo confirma, pues da por seguro que el español enfadar “está tomado del gallego-portugués, donde enfadar-se significaba en la Edad Media ‘desalentarse’, ‘cansarse’, ‘aburrirse’… derivado de fado, ‘hado’, ‘destino’, especialmente el desfavorable, quizás en el sentido de ‘disculparse con la fatalidad’, ‘ceder a ella’”. Más adelante hace notar Corominas que “llama la atención la fecha tardía del castellano enfadar” (en Nebrija, siglo XIV) “ajeno al vocabulario de todos los siglos medievales. Pero está ya en las Cantigas de Alfonso X y en varios trovadores lusitanos”. Y sigue: “está bien claro que la acepción moderna ‘enojar, encolerizar’ se debe a una evolución reciente” (aunque) “todavía ajena al uso americano. Lo clásico es ‘aburrir, hastiar’. Enfadado es ‘aburrido’; desenfadar es casi siempre ‘divertir, esparcir el ánimo’, desenfado es ‘desembarazo, graciosa libertad’”. En México hemos tenido noticia, mediante el teatro lírico (de revista) de los fados portugueses, canciones ‘de queja’, ‘desventura’, esto es, ‘de hado adverso’.

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Problemas sin número

Fichas de relleno Claudia Hernández García Daniel Juárez Melchor

Decía Platón en uno de los pasajes de su República que todos los gobernantes deberían estudiar matemáticas, porque ello les acostumbra a pensar en las cosas abstractas. Y aunque probablemente para Platón el punto era que las cosas abstractas eran las únicas dignas de tomarse en cuenta, lo cierto es que podemos decir que el estudio de las matemáticas, como reto que es para nuestro intelecto, es también un formidable entrenamiento para él: más allá de la importancia innegable que tienen los conceptos matemáticos, o para decirlo de otra manera, más allá de su valor informativo. Las matemáticas poseen también un enorme valor formativo: cuando alguien se entrena en la solución de problemas matemáticos, se está sobre todo entrenando en un modo de pensar, un modo poderoso y efectivo. Es justamente este punto el que tanto valoraba Platón.* Fausto Ongay**

En esta ocasión, la actividad que proponemos está pensada para niños de tercero de primaria en adelante. Sugerimos que primeramente se

trabaje en parejas y después se lleve a cabo una discusión a todo el grupo para comparar los resultados.

* Tomado de Máthema: El arte del conocimiento, de Fausto Ongay, FCE, México, 2000, p.17 ** Fausto Ongay es físico y matemático por la Facultad de Ciencias de la UNAM. Lleva más de veinte años haciendo investigación en la tenue línea que separa a la física de las matemáticas.

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Fichas de relleno

Actividad:

Acomoda fichas de dominó hasta cubrir cada uno de los siguientes tableros, que son muy parecidos a los del ajedrez, siguiendo estas reglas: • • • •

Una ficha de dominó ocupa exactamente dos casillas. La fichas de dominó deben estar completamente dentro del tablero. No puedes partir por la mitad ninguna ficha de dominó. Las casillas de color negro no las puedes utilizar, es decir, ninguna ficha debe quedar sobre ellas. • Puedes usar cuantas fichas de dominó necesites. • Una cosa más: no todos los tableros se pueden cubrir con las fichas. Averigua cuáles son. 4. 3. 1.

Soluciones: Las soluciones que aquí te presentamos no son únicas. Considera que estamos representando la ficha de dominó de la siguiente manera: 1.

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Abriendo libros

La inmortalidad de la locura* Alberto Antonio Hernández

on el fin de la Edad Media, el mundo occidental vio surgir ante sí una cadena de hechos que modificaron la concepción mental del hombre. Los descubrimientos e ideas de gente como Kepler, Galileo y Copérnico pueden equipararse con el valor de obras como Utopía, de Tomás Moro, o Elogio de la locura, de Erasmo de Rotterdam. El Renacimiento (en contraste con el oscurantismo de la Edad Media) es un momento de dura crítica hacia las ideas establecidas y un instante de reflexión y vuelta al estudio de la cultura griega y latina. Desiderio Erasmo de Rotterdam, quien en su juventud tomó los hábitos eclesiásticos, pero de los cuales prefirió desasirse al poco tiempo para vivir como preceptor de familias nobles, no abandonó nunca su catolicismo. No obstante, la Iglesia no se salva de su mirada clínica, y es uno de los principales objetos de crítica en Elogio de la locura. El humanista holandés, nacido en 1466, desnuda a la sociedad renacentista, partiendo del individuo común para avanzar en su exégesis rumbo a cada ámbito de la vida cotidiana, política, religiosa o matrimonial, y resulta innegable que cada capítulo sigue siendo tan esclarecedor y vigente para los hombres actuales como lo fue para los del siglo XVI. Posesionado de la voz de la locura, Erasmo realiza una disección del alma humana, sin olvi-

Erasmo de Rotterdam (1466-1536).

dar por ello que la literatura es, además de una forma de conocimiento, uno de los grandes placeres humanos. Con un lenguaje nítido y fino, sin inútiles regodeos ornamentales, Elogio de la locura se desliza alegremente en el pensamiento del lector y siempre con una horda de guiños que aluden a una agudeza de observación, lo que hace de la lectura de este libro un acto feliz y enriquecedor. Debido al parecido de la palabra moria (en griego, ‘locura’) con el apellido del inglés Tomás Moro, amigo de Erasmo, éste le dedica su libro y lo proclama defensor del mismo. Al estilo de su época, el autor justifica el tema de su obra, la

* Reseña del libro Elogio de la locura, de Erasmo de Rotterdam, Época, México, 1998, 106 pp.

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La inmortalidad de la locura

locura, trayendo a colación obras latinas y griegas construidas con ese mismo ánimo lúdico y aparentemente superficial. Elogio de la locura, claro antecedente de El libro negro o de Gog, del italiano Giovanni Papini, descubre la hipocresía que caracteriza al espíritu humano, que se esconde tras un arsenal de máscaras, y muestra sólo lo que quiere que se vea de él, pero no su auténtica esencia. Con una pluma benignamente sarcástica, Erasmo, a través de las palabras de la locura, nos convence de por qué es ella la verdadera reina de la humanidad y de los dioses mismos. Al fin y al cabo hombre del Renacimiento, este autor nos acerca a la visión griega de la vida que buscaba el equilibrio entre lo apolíneo y lo dionisiaco; es decir, entre la razón y el placer, entre la disciplina y la holgazanería. El libro define principalmente dos tipos de locura una, aquella que lleva a la humanidad, al ser humano, a cometer crímenes, actos violentos y atentar contra él mismo y contra los que lo rodean, siempre con resultados más que tristes y fatídicos. La otra, la buena locura, aquella que libera al hombre y lo lanza realmente a la vida, salvándolo de los miedos y sentimientos que lo hacen arrastrar sus días por el mundo como si fuese un muerto. De esta segunda disfrutan los ancianos y los niños que viven desenfadadamente, riendo con facilidad, sin preocuparse por los días venideros, unos por chocheo y otros por inocencia. Este tipo de locura es también la responsable del amor, el matrimonio y, por ende, de la supervivencia de la humanidad misma. De la primera, de la mala locura, provienen esas palabras de

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Emile Cioran que exclamaban: “Si yo tuviera hijos, me los comería”. En cambio, la otra vesania enceguece a mujeres y hombres y los empuja a perpetuarse antes de que puedan atisbar los sufrimientos y trabajos que padecerán a causa de la Lujuria o de Cupido. Los animales, nos explica la Locura, son mil veces mas afortunados que los hombres, pues ellos se conforman con lo que son, mientras que los hombres siempre están aspirando a ser otra cosa, a rebasar sus propias barreras, y si no a ser algo superior, sí al menos diferentes. Si en un punto recalca sus censuras Erasmo de Rotterdam es en lo que concierne al estado eclesiástico. Con valentía e inteligencia hace desfilar en las páginas de su libro a monjes, obispos, cardenales y papas, revelando el engreimiento, la vanidad, la soberbia y cada defecto que corroía a la Iglesia de su época. Elogio de la locura anuncia la disminución del papel político de la Iglesia en las cuestiones gubernamentales de los países europeos y, por supuesto, el advenimiento de la Reforma. Tras las explosiones irónicas del Elogio de la locura se percibe con total visibilidad el humanismo por el que este hombre pugnó durante toda su vida, esgrimiendo la libertad humana ante todo y el valor y la fuerza para sobreponerse a las lacras del alma como la vergüenza, la timidez, los falsos orgullos… Locura malsana llamaría yo al acto de evitar la lectura de un libro tan provechoso y divertido como este de Erasmo de Rotterdam, que hará que el duro tic-tac del tiempo pase inadvertido, y el espíritu humano se eleve unos cuantos metros por encima de su cuerpo.