Correo del Maestro Núm. 99 - Agosto de 2004 by EDILAR

El lobo Alejandra Alvarado

ISSN 1405-3616

Rompiendo unidades IV Roberto Markarian

Apuntes en torno a Luis Buñuel (1900-1983) Adolfo Hernández Muñoz

Juegos y matemática: tangram Pilar Rodríguez

A propósito de Julio Cortázar Alejandro Reza

La función fática de la lengua Arrigo Coen Anitúa

Análisis pedagógico del programa oficial de matemáticas Ricardo Vázquez Chagoyán

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México D. F. Agosto 2004. Año 9 Número 99. Precio $40.00

VIDA EN...

la época medieval en una colección de tres libros

La imagen de un castillo medieval nos hace evocar poderosos señores feudales, caballeros con pesadas armaduras de hierro, juglares y saltimbanquis... ¿Qué más podemos encontrar tras sus sólidos muros? Una manera de saberlo es abrir Un castillo medieval, que nos dejará atravesar los fosos y traspasar los gruesos portones para conocer la vida dentro de estas majestuosas fortalezas. En La casa de un mercader medieval se nos permite participar de la vida cotidiana, costumbres y actividades comerciales de uno de los más poderosos mercaderes italianos del medievo, Francisco Datini. Podremos también, abriendo las páginas de Un monasterio medieval conocer la vida de los monjes, sus rutinas de culto, la cocina, la enfermería, la copia de libros y mucho más.

Esta colección nos brinda, con hermosas imágenes y apasionantes textos descriptivos muy bien documentados, una amplia visión del mundo medieval. Informes y ventas: 01 800 31222 00 • 53 65 08 70 • 53 62 88 60 Página web: correodelmaestro.com

Revista mensual, Año 9 Núm. 99, agosto 2004.

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Asistente editorial Celina Orozco Correa Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Miguel Echenique Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280. Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Fax (0155) 53 64 56 95, Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396-102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro Postal No. PP15-5040 autorizado por SEPOMEX. RFC: UFE950825-AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Editorial Progreso, S.A., Naranjo No. 248, Col. Santa María la Ribera, C.P. 06400, México, D.F. Distribución: Uribe y Ferrari Editores S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 25,000 ejemplares.

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Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

Editorial

Personaje recurrente de cuentos infantiles, mitos y leyendas; compañía de héroes y chamanes; símbolo del espíritu y la sabiduría en muchas culturas, el lobo fue alguna vez el mamífero silvestre con la distribución más amplia en el planeta y actualmente es una especie en peligro de extinción. Su fuerza, inteligencia y comunicación en jauría lo convirtieron en uno de los depredadores más exitosos y, en consecuencia, el más perseguido por el hombre. Tres décadas de intentos por proteger a esta especie compiten con los 300 años que ha durado la guerra contra los lobos. Su historia, biología y ecología la tenemos en este número de Correo del Maestro. El cine y la literatura comparten espacio en nuestra sección Artistas y artesanos. A 90 años del nacimiento de uno de los escritores latinoamericanos más queridos y leídos, Julio Cortázar, Correo del Maestro le rinde un pequeño homenaje; del mismo modo que recuerda el aniversario luctuoso del maestro del cine español, Luis Buñuel, con un agudo artículo de don Adolfo Hernández. Y para no escatimar literatura, don Arrigo Coen analiza la función fática de la lengua a partir de una curiosa epístola del argentino Jorge Luis Borges. Las series Rompiendo unidades y La escuela a examen continúan analizando distintos aspectos de la enseñanza matemática, mientras el consecutivo de Juegos y matemática nos introduce en el conocimiento del tangram, un rompecabezas que puede servir como apoyo didáctico en el aprendizaje de distintos temas matemáticos. Correo del Maestro

Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

Entre nosotros

Juegos y matemática: tangram. Pilar Rodríguez

Pág. 5

Antes del aula

Rompiendo unidades IV. Roberto Markarian

Pág. 11

El lobo. Algo de su historia, biología y ecología Alejandra Alvarado

Pág. 20

Certidumbres e incertidumbres

La escuela a examen. Análisis pedagógico del programa oficial de matemáticas de educación primaria y del libro de texto de tercer grado Ricardo Vázquez Chagoyán

Pág. 35

Artistas y artesanos

Apuntes en torno a Luis Buñuel (1900-1983) Adolfo Hernández Muñoz

Pág. 44

Los parques comunicantes. A propósito de Julio Cortázar Alejandro Reza

Pág. 47

Sentidos y significados

La función fática de la lengua. Arrigo Coen Anitúa

Pág. 55

Problemas sin número

Una porción justa. Claudia Hernández García y Daniel Juárez Melchor

Pág. 57

Abriendo libros

Una botella al mar en busca de su isla. Francisco Emilio de la Guerra

Pág. 59

Portada: Sofía Bosch. Páginas a color: Tangram, págs. 9-10; El lobo, págs. 27-29; Luis Buñuel, págs. 30-34; Julio Cortázar, págs. 51-52

Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

Correo del Maestro. Núm. 100, septiembre 2004.

Entre nosotros

Juegos y matemática: tangram Pilar Rodríguez

on las mismas piezas que conforman este cuadrado, ¿se podrá construir un rectángulo? El tangram es un rompecabezas que consta de 7 piezas. Es un juego que requiere de ingenio, imaginación y, sobre todo, paciencia. No se conoce con certeza su origen, pero hay quienes suponen que se inventó en China a principios del siglo XIX, pues las primeras noticias escritas sobre el tangram datan de esa época y lugar. En 1818 se publicaron libros de tangram en algunos países de Europa y en Estados Unidos, lo que lo hizo un juego popular y de mucho auge. El origen de la palabra ‘tangram’ es tan incierto como el del juego mismo. Hay quienes sostienen que el nombre es un invento occidental y lo atribuyen a un estadunidense o aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado la palabra cantonesa tang, que significa ‘chino’, con el sufijo inglés -gram (-grama), que significa ‘escrito’ o ‘gráfico’. Otra versión sostiene que el juego tiene su origen en la época en la que reinó en China la dinastía Tang (618 a 907), de donde se derivaría su nombre. Lo cierto es que es un juego que hoy día sigue apasionando a muchas personas. La configuración geométrica de sus piezas (cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo), así como su versatilidad por las más de mil composiciones posibles con sólo siete figuras, hacen de él un juego matemático. En la enseñanza de la matemática el tangram se puede utilizar como material didáctico que favorecerá el desarrollo de habilidades del pensamiento abstracto, de relaciones espaciales, lógica, imaginación, estrategias para resolver problemas, entre muchas otras, así como un medio que permite introducir conceptos geométricos. El tangram es un gran estímulo para la creatividad.

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Juegos y matemática: tangram

Actividad

Su construcción 1. Hacemos un cuadrado de cartulina, lo doblamos por una de sus diagonales y recortamos por la línea del doblez para obtener dos triángulos.

2. Tomamos uno de los dos triángulos obtenidos en el paso anterior y lo doblamos por el vértice del ángulo recto, de tal manera que éste quede dividido en dos ángulos iguales, y que los lados de igual tamaño del triángulo queden uno sobrepuesto al otro. Recortamos por el doblez y así obtenemos las primeras piezas de nuestro tangram: dos triángulos.

3. Con el otro triángulo que quedó del cuadrado de cartulina hacemos lo siguiente: doblamos el vértice del ángulo recto de tal manera que mire hacia el lado opuesto del triángulo, y que la línea que resulte del doblado sea paralela a ese lado. Recortamos por el doblez para obtener un triángulo –tercera pieza de nuestro tangram– y un trapecio.

4.Tomamos el trapecio y lo doblamos por uno de los vértices del lado menor, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor. Recortamos por el doblez para obtener otro triángulo –cuarta pieza de nuestro

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tangram– y un trapecio rectangular. 5. Doblamos el trapecio rectangular por el lado que tiene los ángulos rectos, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor, y dividimos en dos partes iguales el lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un cuadrado –quinta pieza de nuestro tangram– y de nuevo un trapecio rectangular.

6.Tomamos el nuevo trapecio rectangular y doblamos de tal forma que el vértice del ángulo recto del lado mayor coincida con el vértice del ángulo obtuso del lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un triángulo y un paralelogramo –sexta y séptima piezas de nuestro trangram.

Al trabajar la construcción del tangram como una actividad podemos introducir, como se puede confirmar en las instrucciones de marras, diferentes elementos de las figuras (vértice, diagonal, ángulo, lado), así como la relación de los lados en términos de paralelas y perpendiculares.

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Juegos y matemática: tangram

Otras actividades

Con fracciones A partir del cuadrado que se puede construir con las siete piezas del tangram, pedir que: Si este cuadrado es un entero, se determine: • Qué fracción de todo el cuadrado son los dos triángulos grandes. • Qué fracción de todo el cuadrado es uno de los triángulos grandes. • Qué fracción de todo el cuadrado es el triángulo mediano. • Qué fracción de todo el cuadrado es uno de los triángulos chicos. • Qué fracción de todo el cuadrado es el cuadrado. • Qué fracción de todo el cuadrado es el paralelogramo. Con áreas • A partir de definir la pieza del cuadrado como la unidad de medida de área, determinar el área de las demás piezas: triángulo grande, triángulo mediano, triángulo chico, paralelogramo. • Construir figuras: cuadrados, triángulos, rectángulos, paralelogramos, trapecios, con dos o más piezas y determinar el área de las figuras construidas a partir de definir la pieza del cuadrado como la unidad de medida de área. • Si se define el triángulo pequeño como la unidad de medida del área, determinar el área de todas las piezas. Con ángulos Una vez definidos los tipos de ángulos: agudo (menor de 90°), recto (igual a 90°) y obtuso (mayor de 90°), pedir que se determinen los tipos de ángulos que tiene

Bibliografía STEWART, Ian, Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas, Gedisa, México, 1991. CHURCHILL, E. Richard, Juguetes de papel, Selector, México, 1993. BRANDRETH, Gyles P., Acertijos fantásticos, Selector, México, 1990.

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Tangram

Figuras geométricas con el tangram ¿Qué figuras geométricas puedes construir con las piezas de un tangram? Construye las diferentes figuras de la tabla usando una, dos, tres, cuatro, cinco, seis o siete de las piezas del tangram.

Traza tus soluciones Número de piezas utilizadas Figuras

Cuadrado

Triángulo

Rectángulo

Trapecio

Paralelogramo

Rombo

Pentágono

Otras

Antes del aula

Rompiendo unidades IV Roberto Markarian

Hemos preparado una serie de artículos en los que analizaremos los contenidos matemáticos que resultan útiles para estudiar el tema de las fracciones en la enseñanza primaria y secundaria. Intentaremos que los artículos sean uniformes en su estilo y que los temas más complicados aparezcan en los artículos finales. Privilegiaremos la claridad por sobre el rigor matemático, con el fin de hacer más comprensibles las ideas centrales que queremos transmitir.

n la segunda parte de la obra Ciencia y Método (1908), al comienzo del Capítulo II ‘Las definiciones matemáticas y la enseñanza’, el insigne matemático y físico francés Henri Poincaré (1854-1912) se pregunta y responde: ¿Qué es una buena definición? Para el filósofo o para el sabio es una definición que se aplica a todos los objetos definidos y que no se aplica más que a ellos, lo que satisface las reglas de la lógica. Pero en la enseñanza esto no lo es; una buena definición es la que es comprendida por los alumnos.

Poincaré destaca en ese capítulo cómo la intuición no está prohibida, aun en el desarrollo de la ciencia matemática, pero que para ser riguroso, para consolidar el terreno, hay que demostrar, hay que dar definiciones precisas (o definiciones a secas): eso establece ‘la seguridad’ y ‘la certeza’. Él no establece una contradicción entre ambos procesos; por el contrario, considera que ambos son necesarios y complementarios. Y que la enseñanza de la disciplina debe combinar el conocimiento informal e intuitivo con el riguroso y formalizado.

En una combinación de este tipo entraremos en esta nota en que nos referiremos a la representación de los números racionales sobre una recta.

Los números en la recta Comenzaremos dando razones generales, no sólo aplicables a los números racionales, de por qué consideramos fundamental que desde el comienzo mismo del aprendizaje de los números naturales el niño conozca la correspondencia entre los números (reales) y los puntos de una recta. Las razones son varias y muy importantes. Tan importantes que, a pesar de la brevedad de su presentación, nos permitimos llamar especialmente la atención del lector sobre los argumentos pedagógicos y matemáticos que motivan nuestro interés en este asunto. Una razón, no menor, es que vinculará el aprendizaje de algunos entes geométricos elementales, puntos, rectas, con el de los números; esto le permitirá establecer una relación entre el

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Rompiendo unidades IV

y difícilmente el niño podrá tener una idea precisa de qué significa o cómo se define un número real no racional, pero sí debe intuir –al decir de Poincaré– que hay muchos más números (puntos en la recta) que los que se escriben como fracciones. También debe tenerse en cuenta que esta representación consolida la importancia de los números en la realización de medidas (de longitudes, en este caso). En diversos estudios se ha destacado que las secuencias de aprendizaje de los números racionales deben pasar por la correspondencia entre longitudes y medidas, y la necesidad de utilizar subdivisiones (graduaciones) para medir longitudes. Daremos también una razón bastante más pragmática. En el mundo actual es fundamental entender el significado de las gráficas; cualquier noticia periodística viene acompañada de ellas; cantidad de informes sobre desempeño en cualquier esfera de la producción, de la enseñanza, etc., viene explicado con gráficas. Por tanto hay que entender gráficas; y para entenderlas hay que comprender la representación de los números

97 Millones de habitantes

concepto abstracto de número y la distancia, el orden,1 etc., en la recta. Esto lleva naturalmente a resaltar la importancia de introducir modelos en los que se establecen relaciones entre entes matemáticos y algunas entidades físicas; en este caso es la recta. A pesar de la sencillez del modelo geométrico, corresponde hacer una observación general: una vez desarrollado un modelo, es necesario atenerse a las hipótesis formuladas. En el caso tan sencillo que estamos tratando bastará con mantener el origen, la unidad de longitudes y el sentido elegidos. Este contacto de los alumnos con una matemática más concreta les proporcionará, a la vez, un contrapeso y un complemento con la matemática abstracta y les creará ciertos hábitos indispensables para el uso eficaz de la matemática, para familiarizarse con el paso de lo abstracto a lo concreto y viceversa. Otra razón es que las sucesivas ampliaciones que se harán de los campos numéricos (naturales, enteros, racionales, etc.) son mucho más fácilmente entendibles si desde el comienzo se les representa (visualiza) sobre una recta. En efecto, sobre una recta en que se ha representado el cero y el uno, es inmediato pasar –como veremos más abajo– a la representación de los números naturales y enteros y, por subdivisiones de los segmentos que representan unidades, a los números racionales; luego, en un proceso más difícil, se podrá tratar de explicar que hay puntos de la recta que no se obtienen por esas subdivisiones: los números reales irracionales. Una tercera razón es que existe una correspondencia total –biunívoca– entre los números reales y los puntos de una recta. Esta correspondencia no es demostrable en la escuela primaria

1990

1995

2000

Una gráfica interesante. Población de México en los años indicados en el eje horizontal. En el eje vertical, la población (en millones de habitantes).

1 En este ciclo de notas aún no hemos hecho referencia a las relaciones de orden de los números racionales; se tratarán en la próxi-

ma. Pero aun el más desprevenido notará que la elección de un sentido en la recta determina automáticamente que los números que estén representados ‘antes’ que otros en ese sentido serán menores que los ‘siguientes’, en el sentido habitual de la palabra.

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en la recta (que en este contexto también se denomina eje numérico). ¿Por qué? Pues porque en una gráfica, la mayor parte de las veces se representan dos tipos de magnitudes (variables) sobre ejes numéricos colocados en posición transversal; en general, perpendicular.

Números racionales en la recta La introducción de las fracciones para realizar medidas más exactas está íntimamente vinculada a la representación de los números racionales en la recta. En ella la medición de longitudes adquiere todas sus propiedades. En particular la idea de precisión, tan cara a todo estudio cuantitativo, es fácilmente visualizable de esta manera. Esto pone en sus justos términos el grado de imprecisión aceptable en esos estudios. Somos de la opinión que la percepción cuantitativa de los fenómenos está directamente vinculada con la aproximación casi intuitiva a las posibles respuestas a las mediciones o cálculos que se realizan. A esto nos referimos cuando escribimos sobre la imprecisión aceptable. La precisión está relacionada por una parte con cuestiones de sentido común (la superficie de un terreno no se conoce con aproximaciones de 1 mm2) y de eficacia (dado que la precisión cuesta cara en cualquiera de los sentidos que se la quiera interpretar).2 No se puede dejar de destacar que el concepto de precisión en las medidas está relacionado con la propiedad de densidad de los números racionales, a la que nos referiremos hacia el final de este artículo.

Ya hemos indicado que la importante idea de que el conjunto de los números racionales constituye una extensión de los números enteros es fácilmente explicable a través de la representación de todos ellos en una recta. De igual manera, la explicación de la suma de fracciones se simplifica mucho trabajando sobre la recta. La equivalencia de fracciones toma toda su dimensión cuando se representa sobre la recta. Independientemente de qué fracción se tome como representante de un número racional, aquélla tendrá un único punto representándolo en la recta. Diversos estudios destacan las dificultades en la conceptualización general de la equivalencia de fracciones, y es notorio que la representación única de las fracciones equivalentes colabora muy fuertemente para salvar esta dificultad. La llamada ‘representación lineal’ de las fracciones, de la que se habla en casi todo manual sobre estos asuntos, no es más que una manera gráfica de referirse a ello. Los cuadros de fracciones equivalentes que se utilizan para representar los casos más simples se pueden llevar de inmediato a la recta numérica: Cuartos

1/4

1/8 1/8

3 4

1/4

1/8 1/8

1/4

1/8 1/8

1/4

Tercios

Doceavos

1/8 1/8 Octavos

1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

Entero

1/6 1/3 1/2

1/6 1/6

1/3 1/6 1/6

1/2 1/3

1/6 Sextos

Medios

2 También la noción de eficacia debe ser inculcada lo más rápidamente posible: cifras bien escritas, operaciones bien ordenadas, hojas

clasificadas cuidadosamente. Hay quien ha denominado esta noción de eficacia con una palabra poco usada en el idioma español, pero igualmente precisa: parsimonia, entendida en el sentido de frugalidad, moderación (aun en los gastos).

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Rompiendo unidades IV

trabaje; por suerte sus grafías son casi las mismas, por lo que no habrá confusión) y se elige un sentido creciente (positivo) a partir de él. Lo habitual es tomar la recta ‘horizontalmente’ y el sentido creciente hacia la derecha, pero ambas elecciones son totalmente arbitrarias, a pesar de ser casi universal hacerlo hacia la derecha. Dado que en estas notas estamos queriendo destacar el carácter humano de las elaboraciones matemáticas, no olvidemos que cualquier recta que usted dibuje sobre una mesa será horizontal, pero que todos preferimos llamar así a las que están colocadas en la dirección de nuestros dos ojos. O sea, paralelamente a la recta determinada por los dos ojos. Más aún, observamos que si hay dos alumnos trabajando uno de cada lado de la mesa, lo que para uno es de derecha a izquierda, para el otro es de izquierda a derecha. Esta tonta observación muestra la arbitrariedad de la elección. Y también muestra que la formulación matemática de los problemas conlleva la utilización de un lenguaje, de convenciones (matemáticas), aceptados por la comunidad (cultural) de que se trate. Los estudios antropológicos en matemática demuestran contundentemente esta afirmación. Pues bien, tenemos una recta, un punto cero y un sentido elegido. La buena comprensión de esta elección tiene gran importancia didáctica

La objeción expresada por diversos autores de que la representación de los números racionales en la recta resulta mucho más difícil de entender por el niño que el modelo ‘parte-todo’, o que el modelo ‘subconjunto de un conjunto discreto’ me parece intrascendente.3 Hay que dedicarle tiempo a mostrar que el uno es un todo y tomar sus fracciones. De hecho, ésa fue la presentación que hicimos en nuestro tercer artículo sobre esta temática. Por tanto, comencemos con un todo, con cualquier todo. Este todo puede ser un pastel, una manzana, 280 pesos, un rectángulo, un círculo…

El eje numérico El proceso de representación de los números en una recta (cualquier recta) es bien conocido pero lo resumiremos aquí. La descripción será somera; los detalles se pueden encontrar en cualquier libro que trate de los números reales con cierto cuidado, o en libros de geometría analítica. Recomiendo al lector que vaya siguiendo mis pasos sobre una hoja de papel, y que tenga a mano un lápiz, una regla y un compás. Se toma un punto sobre una recta (que representará al cero y se denominará con la letra O, o con el número cero, según el contexto en que se

2 sentidos positivos sobre la misma recta con origen 0 sentido positivo 0

sentido positivo

3 Esto no quiere decir que haya que ignorar las observaciones realizadas por esos autores, en particular las de aquellos que efecti-

vamente han experimentado con niños sobre estos procedimientos de representación. Naturalmente que si el niño nunca ha tratado la representación de los números naturales en la recta, tendrá dificultades múltiples para representar a los racionales. Nuestra propuesta es que el conocimiento de los números y su representación en la recta sean etapas simultáneas.

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porque ayuda a distinguir la existencia de dos sentidos en cualquier recta, y que la elección de un sentido determinará la futura representación de los números. En efecto, a cualquier distancia del punto cero, en el sentido positivo, marcaremos un punto uno, que determinará la escala de aquí en adelante. Las tres elecciones realizadas sobre la recta (la elección del cero, del sentido positivo y de la longitud del segmento que comienza en el cero y termina en el 1) son arbitrarias. Naturalmente que también la recta es cualquiera. Obsérvese que la elección es de un origen (el cero), de un sentido (positivo) y de una escala de medida. El carácter arbitrario de estas elecciones debe ser destacado a los niños desde el comienzo: cualquier recta sirve, cualquier cero, etc., pero una vez fijado, en cada trabajo, todo es inamovible.

Escala de longitudes Entonces, la elección del punto uno también determinará la elección de la escala de medición de las longitudes sobre la recta, pues la longitud del segmento [0,1] será uno, la del segmento mitad, un medio, y la de tres segmentos de esos, que no tengan ningún trozo común, tres. Hemos remarcado, en la frase anterior ‘que no tengan ningún trozo en común’ porque la idea central del concepto de medida es que cuando se juntan partes disjuntas (que no tienen trozos en común) la medida del total es la suma de las partes. Luego, en el mismo sentido positivo, se repite la longitud [0,1] a partir del uno y se obtiene el punto 2; y repitiendo esta operación tendremos representados en el sentido positivo todos los números naturales. Y el cero, que fue con el que comenzamos. Equipararemos a partir de ahora el punto que representa el número n, con el número n, como ya hemos hecho con el uno.

Con esto queremos decir que cuando hablemos, por ejemplo, del tres en la recta, estamos queriendo indicar el punto que, hechas las elecciones de los puntos cero y uno por el procedimiento recién indicado, ocupa la representación del número tres. Se dice que el punto tiene coordenada tres, en ese sistema de representación, o sistema de coordenadas sobre la recta. También se dice que la recta es un eje coordenado. Repitiendo la operación en el sentido opuesto (negativo), se tendrán representados los enteros negativos: se toma la longitud del segmento [0,1], a partir del 0, en el sentido negativo, y se obtiene el -1; a partir de éste se repite el segmento en el mismo sentido negativo, y se tiene el -2, etc. Hemos representado de esta manera todos los números enteros. Es claro que los números n y -n están representados en posiciones simétricas respecto a la representación del 0 (origen de coordenadas O). Esta característica se mantendrá para todos los números opuestos, por lo que no haremos particular hincapié en la representación de los números negativos: siempre serán simétricos respecto a O de su opuesto positivo.

Representación de los números racionales ¿Cómo representar los números racionales en esa recta? Comencemos representando cualquier racional entre 0 y 1, por ejemplo 5/11. Lo que se hace es dividir el segmento [0,1] en 11 partes iguales, marcando con pequeñas líneas transversales a la recta (observe que para ello hay que trazar 10 marquitas, ¡piénselo!), y se cuentan 5 a partir de la primera a la izquierda (que no sea la que representa el cero; estoy suponiendo que el orden elegido como positivo es el ‘universal’: hacia la derecha del cero). Cómo dividir en 11 partes iguales es un problema que suponemos

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Rompiendo unidades IV

Representación de fracciones m n con m < n

1 paralelas

resoluble usando lo que se llama semejanza de triángulos: se toma una recta transversal que pase por el punto cero, sobre ella se van marcando trozos iguales, hasta tener 11; se une este punto final con el punto uno, y se le trazan paralelas hasta cortar la recta base. Estos puntos de corte son las divisiones que estábamos buscando (observe que para hacer todo esto ha tenido que usar los instrumentos que le pedí tuviera a mano: regla, etcétera). Muy bien, tenemos un procedimiento para representar las fracciones entre cero y uno, que corresponden a m/n con m menor o igual a n (m ≤ n). Esto se hace así: se divide el intervalo [0,1] en n partes iguales y luego se toman las m primeras. Observe, por favor, que esto es exactamente lo que hicimos cuando definimos las fracciones como parte de un todo en nuestro tercer artículo, excepto que en aquella ocasión no nos preocu-

Representación de m

pábamos de tomar las primeras m partes; aquí sí importa porque estamos simultáneamente usando el sentido en la recta. También observe que si m = n se habrán tomado las n primeras divisiones, o sea todas, y por tanto tendremos el número punto uno, como corresponde. Para números mayores que uno se puede usar la construcción anterior, aunque m sea mayor que n. Se toma m veces el segmento [0, 1/n], uno a continuación del otro; en el extremo se tendrá representado el número m/n. También se puede hacer lo siguiente, que es más conveniente si m es mucho mayor que n. Se comienza escribiendo la fracción en la forma m/n = R + M/n con M < n (siempre se puede hacer y resulta m = R*n + M),4 luego se construye el punto de coordenadas M/n, que es menor que uno, y por último se traslada este segmento [0, M/n] de modo que el cero coincida con

con m > n

R+

M m = n n

4 Ponemos un ejemplo: 53/11 = 4 + 9/11 porque 53 = 4*11 + 9. Para los que gusten seguir hablando de los ‘números mixtos’, esto

se escribe 53/11 = 4 9 . 11

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el punto de coordenada R: el otro extremo del segmento trasladado representará a R + M/n = m/n. Para los racionales negativos T/S se realiza un procedimiento muy semejante o –de acuerdo con lo ya indicado– se representa el número positivo -T/S, y luego se simetriza respecto del origen O (usando el compás). No nos extenderemos en detalles, para no aburrir al lector (y porque nos parece que algunos de ellos no son de importancia en la enseñanza primaria). Queremos resumir diciendo que elegida una recta, un cero y un uno sobre ella (el lado de donde se toma el uno determina el sentido ‘positivo’), tendremos una única representación para cada número racional. Creo que es bueno ejercitarse en esto, representando, por ejemplo, los números 4/11, 24/18, -43/7.

Números y longitudes Se debe observar, a esta altura, que números muy cercanos quedan representados muy cercanamente en la recta. Por ejemplo, observe esto con la representación de los números 3/4 y 20/27. Más aún, si consideramos –como ya hemos dicho– que el segmento [0, 1] tiene lon-

2 puntos que distan b > 0 del origen 0

-b

b>0

gitud uno; el segmento [0, a] para cualquier a positivo tendrá longitud a; o sea que la distancia de la representación de a al origen O es exactamente a. Insistimos en esto, agregando una leve variante: si la distancia de un punto B de la recta al origen O es un número racional b, entonces ese punto representa al número racional b o -b, según esté en el mismo lado o en el opuesto del punto que representa al número 1 (sentido positivo o negativo, respectivamente). Esta observación será muy importante a la hora de buscar puntos de la recta cuya distancia al origen O no sea un número racional. Destacamos que esta relación entre medidas de longitudes en la recta y números racionales está condicionada totalmente por la elección de la unidad, o sea, por la distancia del cero al uno. Habíamos hablado antes de la longitud de un segmento; daremos ahora una idea un poco más precisa del concepto de distancia, del cual toda persona normal tiene una idea intuitiva. Este concepto también quedó determinado cuantitativamente al elegir el segmento [0, 1], porque diremos que dos puntos A y B distan entre sí, por ejemplo, 1/4, si el segmento determinado por los puntos cero y un cuarto, que representamos por [0, 1/4], al ser trasladado convenientemente, tiene uno de sus extremos en A y el otro en B. Obsérvese que aquí hemos tomado un segmento y lo hemos trasladado hacia otro lugar de la recta; ésta es una operación completamente normal, utilizada continuamente cuando se usa una regla. Obsérvese que sobre la recta este procedimiento coincide con decir que el segmento [A, B] tiene longitud 1/4 , que mide 1/4 . La definición de distancia dada con 1/4 se extiende de inmediato a cualquier distancia d, donde d es cualquier número racional positivo: se construye el segmento [0,d] y se realizan luego los mismos procedimientos.

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Rompiendo unidades IV

Densidad: tan cercanos como se quiera Dados dos números racionales cualesquiera siempre existe otro número racional entre ambos. Ésta es una afirmación simple de recordar. En términos de orden, corresponde a afirmar que dados dos números racionales distintos existe otro mayor que el menor y menor que el mayor. Escrito lo anterior nos apresuramos a aclarar que este concepto no necesita del orden de los racionales; sólo se refiere a la cercanía entre los números racionales. Que el ‘cercano’ sea menor o mayor no tiene relevancia. Incluso, la palabra usada para caracterizarla, ‘densidad’, hace referencia al carácter compacto, espeso, poblado, apretujado, de los números racionales. Y para que algo esté apretujado, etc., no se necesita de ningún orden; más bien ¡todo lo contrario! Pero, ¿es cierta? La respuesta afirmativa es fácil de demostrar para números que están relativamente ‘separados’, o sea, que difieren mucho, porque es sencillo indicar, por ejemplo, varios racionales que están entre 5/11 y 10/3. Cuando los dos números están muy próximos, la respuesta se complica un poco. Pero es fácil dar una fórmula sencilla, de interesante representación geométrica y que además tiene muchas otras puntas conceptuales. Es así: se suman los dos números y se toma la mitad; esto se denomina la semisuma. Si los números originales eran a y b, la semisuma será (a+b)/2. ¿Le resulta claro que si a < b, entonces esa semisuma está entre los dos; o sea a < (a+b)/2 < b? Más aún, ¿le resulta claro que ese número se representa como el punto medio del segmento [a, b]? En virtud de esta propiedad llamada densidad de los números racionales, es imposible decir que un número racional ‘precede’ o ‘sigue’ a otro, pues siempre hay otro entre ellos. Mostraremos ahora una propiedad directamente relacionada con la anterior: dado cualquier

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punto en la recta, tan cerca de él como se quiera hay representaciones de números racionales. Por cumplirse esta propiedad se dice que los números racionales (los puntos de coordenadas racionales) son densos en la recta. ¿Cómo se muestra que dado cualquier punto A de la recta y cualquier número racional positivo d, hay un punto a distancia menor que d de él? Se suele hacer esta construcción para números d pequeños, porque lo que interesa son distancias pequeñas. Indicaremos una manera entre tantas. Comenzamos eligiendo n de modo que 1/n sea menor que d. Es claro que esto siempre se puede hacer. ¿Por qué? Aquí le damos una respuesta muy constructiva tomando 1 dividido entre alguna potencia de dos, de modo que este número sea menor que d. Esto es realizable porque dividiendo a la mitad el segmento [0,1] se obtiene [0, 1/2], y dividiendo éste se obtiene [0, 1/4 ], y dividiendo éste se obtiene [0, 1/8 ] y si seguimos partiendo a la mitad tendremos, al cabo de k particiones, segmentos de la forma [0, (1/2)k], con este segundo número menor que cualquier d > 0. Considero muy importante que este procedimiento de bipartición, de división sucesiva a la mitad sea explicado tempranamente a los niños; se puede hacer con cuerdas, y genera naturalmente las potencias de 1/2: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32... Pero sigamos: tenemos un punto A, que está colocado entre la representación de dos números enteros E y E+1. Esto sucede siempre, a menos que A mismo ya sea la representación de un entero. En este caso, ese entero, que es también un número racional, dista cero del punto dado y, obviamente, cero es menor que d. Si no coincide, dividamos el segmento entre los números naturales E y E+1 (este segmento mide uno), en n partes iguales, por el procedimiento ya visto. Si el punto A coincide con alguna de estas divisiones, este número racional dista cero

Aproximación de puntos de la recta por racionales 1

A E+ 1

E n partes iguales

del punto A; si no coincide –éste es el caso más interesante– A estará entre dos de esas divisiones. Cualquiera de esos dos números racionales dista del punto dado A menos que 1/n y por tanto menos que d. Y se ha demostrado la densidad de los racionales en la recta porque dado cualquier punto de la recta podemos encontrar un punto de coordenada racional tan cerca como queramos de él (o sea a distancia menor que d, arbitrariamente pequeño). Toda la construcción antes explicada no es simple; no pretendo que sea entendida a partir de la mera lectura de lo que escribí. Pero es muy importante para entender la relación entre la recta y los números, que es el objetivo de este artículo.

Puntos (números) irracionales Lo que resta de este artículo no se refiere a la representación de los números racionales en la recta, pero lo hemos incluido por parecernos muy importante que el maestro tenga clara la (última) extensión de los números en la recta. La pregunta más natural que surge después de haber comprendido estos procedimientos es inversa. Cualquier número racional tiene su representación en la recta, pero ¿cualquier pun-

to de la recta es la representación de un número racional por el procedimiento indicado? Uno tendería a dar una respuesta afirmativa luego de entender el procedimiento de aproximación que antecede. O sea, se sentiría impulsado a responder: dado que cualquier punto es aproximable por la representación de un número racional, todo punto de la recta es representación de un número racional. Pero es falso. Aquí la intuición inmediata fracasa. El número que multiplicado por sí mismo da dos, no es racional. Se denomina raíz cuadrada de dos. En una nota publicada en Correo del Maestro 5 dimos una prueba de la irracionalidad (no racionalidad) de la raíz de dos. También observamos que el número π (pi) es irracional, pero probarlo es mucho más difícil y escapa a los cursos normales de matemática, aun de los primeros años universitarios. Recuerden que el número pi aparece como cociente entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia. La formalización de los números reales, el entendimiento pleno de que en la recta se pueden representar muchos más números que los racionales y el conocimiento fino de la estructura de los números reales significó un avance fundamental para casi todas las ramas de la matemática y sus aplicaciones.

5 Véase “Matemática y cultura II. Los números en la recta”, Correo del Maestro, Núm. 66, noviembre, 2001.

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El lobo Algo de su historia, biología y ecología Alejandra Alvarado

El lobo en diferentes culturas Tanto en América como en Europa y Asia, el lobo ha llamado la atención de los humanos. La figura del lobo ha sido fuente y depósito de símbolos, mitos y leyendas que agrupan pasiones, sentimientos y parte de la conciencia colectiva ancestral de muchos pueblos. La gran mayoría de ellos le da un papel central en la sabiduría de la naturaleza y lo enmarca dentro del misterio de lo espiritual. Los mitos dentro de la tradición cultural europea relacionan al lobo con fuerzas oscuras de la naturaleza y lo asocian con seres de la noche como brujas, demonios, hechiceros y vampiros. No obstante, lo ligan también con la imagen femenina como propiciatorio y sustentador de algunas civilizaciones, tal es el caso de la fundación de Roma. Este gran depredador aparece en cuentos infantiles, fábulas y novelas a horas crepusculares, como augurio de fatalidad, como fuente de poder y como señor de la noche. Las culturas indígenas americanas del norte le han considerado siempre como la figura central de la que se hacen acompañar brujos, curanderos, chamanes y héroes. La enorme carga simbólica con que la figura del lobo ha sido vista a través de la historia es, quizás, el motivo por el cual siempre fueron difíciles de combatir los prejuicios acerca de su legítimo papel de depredador máximo dentro de las comunidades biológicas del bosque templado, y la razón por la cual ha sufrido en todo el mun-

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do, pero notablemente en América del Norte, una persecución implacable, hasta el punto de llegar a ser considerada actualmente especie en peligro de extinción. En México, como en el resto del mundo, la razón principal de su extinción ha sido, sin lugar a dudas, la sistemática campaña de exterminio que se entabló en su contra a partir de que se le consideró enemigo principal para la ganadería y otras prácticas humanas. La fragmentación, degradación y destrucción de su hábitat natural sólo se añaden hoy como causas secundarias de este proceso. Los estudios sobre la biología de este gran depredador nos permiten ofrecer información actualizada sobre el comportamiento de los lobos y entender el papel crucial que juegan para mantener el balance en los ecosistemas.

¿Qué son los lobos? Entre las familias que constituyen la clase de los mamíferos, es decir la Mammalia, encontramos a la familia de los canes o perros, conocida como Canidae. Esta familia comprende no sólo a los animales depredadores más feroces, sino también al mejor amigo del hombre, el perro doméstico. La familia de los cánidos se encuentra dentro del orden de los carnívoros o Carnivora, que comprende un grupo diverso de mamíferos que se alimentan de carne. Al igual que muchos otros mamíferos –incluido el ser humano–, los

perros o canes poseen pelo y alimentan a sus crías con leche. Todos los cánidos son animales depredadores que cazan a sus presas. Poseen ojos al frente, excelente oído, dientes afilados y fuertes miembros. Todas las especies tienen garras en todos los dedos y sólo en una especie son semirretráctiles. Su cola es larga y está cubierta por pelo denso moteado o rayado.

La familia de los cánidos El estilo de vida depredador de los lobos los coloca en el orden de los Carnivora, entre los cuales podemos encontrar a otros mamíferos, por ejemplo, hienas, gatos, osos y mapaches. Todos los carnívoros evolucionaron de un antiguo grupo conocido como los Miácidos, que aparecieron en el periodo Terciario, hace unos 52 millones de años. El diagrama muestra la relación entre los diferentes grupos de mamíferos que se clasifican en el orden de los carnívoros. Los lobos se encuentran más cercanamente emparentados con los mapaches, las comadrejas y los osos.

El árbol genealógico de los lobos El linaje del lobo empezó hace 37 millones de años en América del Norte, con depredadores que tenían pares distintivos de dientes muy cortantes y que cazaban a sus presas. Los primeros cánidos llegaron a Europa hace siete millones de años, pero fue Eucyon, hace cuatro o seis millones de años, el que dio origen a la mayoría de los actuales cánidos, como lobos, coyotes y chacales. Para cuando los primeros pobladores de nuestro continente cruzaron el estrecho de Bering hace unos 18 000 años, el lobo gris ya se había establecido en América del Norte. Los lobos grises y los coyotes sobrevivieron la extinción que ocurrió hace aproximadamente 10 000 años. La región de América del Norte ofrece un rico acervo geológico de lobos y sus parientes más cercanos. Los fósiles son los remanentes más sorprendentes del pasado de los cuales podemos obtener información. Su valor es incalculable no sólo desde el punto de vista científico sino también estético.

Los cánidos La familia de los cánidos está compuesta por 35 especies. Ocho de ellas –entre las que se cuentan el lobo gris, el lobo rojo, el coyote, el zorro rojo, el zorro gris y el zorro ártico– habitan en América del Norte. Estas ocho especies se pueden organizar en tres grandes categorías: lobos, coyotes y zorros. Lobos (Canis lupus) Entre los cánidos, los lobos son los miembros más grandes. Ésta es la especie de la cual se originaron los perros domésticos. Los lobos fueron alguna vez los mamíferos silvestres que tuvieron la distribución más amplia; habitaban la

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El lobo

mayor parte de tierra disponible en el hemisferio norte. Debido a la destrucción de su hábitat y a la persecución por los humanos, actualmente ocupan solamente dos tercios de lo que fue su distribución en el mundo. Coyotes (Canis latrans) Los coyotes son más pequeños que los lobos. Son animales resistentes, tienen poblaciones más grandes y habitan un rango mayor que los lobos. Los coyotes son capaces de adaptarse al cambio y poseen una tolerancia mayor a la invasión humana. Al igual que los lobos, han sido perseguidos debido a su naturaleza depredadora. Actualmente sigue habiendo programas de control por toda América del Norte para atraparlos y matarlos. Zorros (Canis vulpes) Los zorros igualan a los coyotes en cuanto a su habilidad para hacer frente al hombre. Los zorros grises y rojos habitan cerca de tres cuartas partes de Estados Unidos. El zorro ártico vive en las porciones norte de Canadá, Alaska y áreas aisladas de Groenlandia.

Clasificación científica del lobo gris, Canis lupus

Reino

Animalia (todos los animales)

Filum

Chordata (animales con notocordio)

Subfilum

Vertebrata (animales con esqueleto de hueso o cartílago)

Clase

Mammalia (mamíferos)

Orden

Carnivora (carnívoros)

Familia

Canidae (familia de los perros)

Género

Canis (perro)

Especie

lupus (lobo)

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Subespecies del lobo gris mexicano El tema de las subespecies presenta problemas técnicos entre los especialistas. Una subespecie es un grupo de individuos dentro de una especie que comparten una zona geográfica y poseen algunas características físicas únicas. El lobo gris, que se distribuye por casi todo el mundo, puede agruparse en varias subespecies, de manera similar a como las poblaciones humanas se agrupan en razas. Hace algún tiempo, la mayoría de los biólogos especialistas en lobos reconocían 24 subespecies de lobo gris que vivían en América del Norte. Esta clasificación se basaba principalmente en la localización geográfica o el tipo de hábitat en el que vivían los lobos. Nuevas investigaciones, relacionadas con las medidas del cráneo, han mostrado que varias de estas subespecies son similares. Además, se ha encontrado que los lobos se dispersan viajando grandes distancias, frecuentemente cruzando barreras geográficas impuestas arbitrariamente por el hombre. Estos descubrimientos han servido como criterio para distinguir a subespecies que muestran menos diferencias y permiten proponer una reclasificación, basada no sólo en el análisis estadístico de las medidas craneales, sino en la distribución geográfica actual, basada, a su vez, en la hipótesis de que durante la última glaciación Pleistocénica algunas poblaciones se refugiaron en cinco áreas: Alaska, norte de Groenlandia, centro del actual territorio de Estados Unidos, este del mismo y la parte neártica del actual territorio de México, porque se vieron libres de los hielos. El lapso en el que tales poblaciones permanecieron aisladas no fue suficiente para una completa especiación, aunque sí para que se desarrollaran ciertos rasgos y características subespecíficas.

Las cinco nuevas subespecies propuestas para lobo gris son:

http://redescolar.ilce.edu.mx

• Canis lupus arctos. La población del norte de Groenlandia ocupó la mayor parte del Ártico, particularmente las islas Ellesmere, Victoria y Bank. El color predominante de esta subespecie es el blanco crema, que le permite camuflarse con los entornos nevados. Frecuentemente se le denomina lobo blanco o lobo del ártico. Lobo gris mexicano.

• Canis lupus baileyi. Es el lobo gris norteamericano más pequeño; originalmente se encontraba en México y en el suroeste de Estados Unidos. Comúnmente se le conoce como lobo mexicano o lobo. Los lobos mexicanos fueron exterminados de las áreas silvestres de Estados Unidos a finales de la década de 1970, pero en los últimos años han sido reintroducidos en Arizona y Nuevo México.

Longevidad El promedio de vida del lobo gris en cautiverio es de 15 años, aunque en estado silvestre se especula que sólo alcanzan a vivir entre 7 y 8 años y tan sólo se reproducen durante 8 años de su existencia.

• Canis lupus lycaon. La población de este lobo se dispersó poco, restringiéndose a la parte oriental de los grandes lagos y la región costera sur, limitación probablemente debida a la presencia de otra especie de cánido, como el lobo rojo (C. rufus ). Fue la primera especie reconocida en Estados Unidos.

Descripción Mide, del hocico a la punta de la cola, alrededor de un metro y medio, su altura puede alcanzar hasta 75 cm, y pesa entre 20 y 40 kg, es más o menos de la talla de un perro pastor alemán. Su cola es larga y peluda y frecuentemente la llevan hacia abajo o recta (erguida), pero nunca se enrosca. Sus orejas son erectas, redondeadas y miden alrededor de 5 cm.

• Canis lupus nubilus. tiene el mayor rango en América del Norte. Es comúnmente conocido como el lobo de las grandes planicies. Se creía extinto en 1926, pero algunos estudios indican que los lobos de Minnesota, Wisconsin y Michigan son descendientes de esta subespecie. • Canis lupus occidentalis. La población, originalmente de Alaska, penetró después hacia el centro y oeste del subcontinente, en las regiones correspondientes a Canadá y el noroeste de Estados Unidos; es el gran lobo de Alaska y del oeste de Canadá. Comúnmente se le conoce como lobo del valle de Mackenzie.

Cómo identificar al lobo Pero, ¿cómo distinguir entre un lobo, un coyote y un perro? Los lobos son los miembros más grandes del grupo de la familia de perros. Más adelante aparece un cuadro comparativo de estos cánidos. Los lobos, perros y coyotes son genéticamente casi idénticos, pero actualmente existen técnicas en biología molecular que permiten distinguirlos.

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http://coppercanyon.freehomepage.com/Lobo%20mexicano.htm

El lobo

to de los cánidos; una de ellas, desarrollada por Moore en 1974 y modificada posteriormente por Kennedy en 1982, es un análisis microscópico. Otra es la técnica isoeléctrica, la cual permite distinguir entre el pelo de coyote y de lobo. Esta técnica depende del examen de proteínas de la fibra que parece ser diagnóstica para especies y razas de perros domésticos. Esta técnica se realiza en los laboratorios de Caza y Pesca en Wyoming, Estados Unidos.

Los lobos suelen tener entre dos y ocho cachorros.

Color del pelaje En el lobo gris predomina el color amarillo sucio con sombreados negros en el pelo de la espalda y en las partes superiores de los flancos; la garganta suele mostrar un collar de color negro dado por las puntas de los pelos de color oscuro. Una buena parte de la cabeza es negra sobre un fondo gris; la orilla de los labios y la parte inferior de la mandíbula es de color marrón oscuro, y negro el color base del hocico, más pálido en la corona y alrededor de la superficie basal adyacente a las orejas y en la superficie convexa de éstas. Las patas son de color blanco amarillento, más profundas en los carpos y en la parte posterior de las patas traseras. En las patas anteriores existe una línea angosta rojiza o más oscura de pelos negros y grises que forman una marca conspicua. La cola también es amarilla blanquecina con pelos negros en la parte superior dorsal y en el extremo.* El pelo entre los hombros y en la parte anterior de la espalda es más largo que en el resto del cuerpo y forma una especie de melena. Actualmente existen varias técnicas para distinguir el pelo de los coyotes y los lobos del res-

Las patas Las patas de los lobos son grandes y los cojinetes anchos, con una superficie promedio de 10 cm x 8.5 cm, aunque son mayores en los lobos del Canadá. La cola mide entre 25 y 45 cm y está cubierta por pelo largo no muy denso. Están bien adaptados a la carrera y pueden mantener un trote o un paso galopante por largas distancias. Su estructura ósea refleja un bajo grado de especialización, en la que es particularmente notable la longitud relativamente grande de sus patas comparada con la del resto del cuerpo.

Reproducción El apareamiento entre los lobos ocurre durante el invierno o la primavera, según las regiones, seguido por un periodo de gestación de aproximadamente 62 días, después del cual suelen nacer entre dos y ocho cachorros que son paridos generalmente en una madriguera construida bajo tierra, por lo regular en alguna elevación del terreno, o en alguna oquedad con características similares. Los cachorros nacen ciegos y de-

* Son comunes los ejemplares completamente melánicos, particularmente en las poblaciones del noroeste americano.También pre-

senta variaciones en un mismo individuo dependiendo de la época del año y la edad.

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Especie

Lobo

Coyote

Perro

Peso

40 kg

10-17 kg

Variable.

Altura al hombro

65-86 cm

40-53 cm

Variable.

Color

Blanco, negro, todas las tonalidades de gris y café, pardo, nunca moteado.

Todas las tonalidades de gris y café. El blanco y el negro son muy raros, nunca moteado.

Variable, puede estar moteado.

Cola (cómo la porta)

Cuelga hacia abajo o recta, nunca se enrosca.

Cuelga o está recta, nunca se enrosca.

Variable, puede enroscarse.

Apariencia general

Robusta, patas largas.

Delicada, tamaño mediano, proporciones como las de un perro con cara de zorro.

Variable.

Orejas

Redondeadas, relativamente cortas.

Puntiagudas, relativamente largas.

Variable, pueden colgar.

Hocico

Largo y cuadrado.

Largo y puntiagudo.

Variable.

penden completamente de su madre. Abren los ojos después de la segunda semana de vida y comienzan a explorar el exterior de la madriguera alrededor de la tercera semana. El destete ocurre generalmente a la edad de dos meses, cuando otros miembros de la manada empiezan a asistir en la alimentación de las crías regurgitando para ellas alimento parcialmente digerido. Los lobos jóvenes pueden abandonar la manada a la edad de un año y adoptar una vida solitaria por algún tiempo, antes de hallar pareja y establecer su propio territorio.

Censos a través de la telemetría La información es fuente importante para rescatar al lobo gris. Los biólogos, veterinarios y personas interesadas en proteger a los animales en peligro de extinción los están estudiando para aprender más acerca de ellos y lograr que sus poblaciones regresen a los ambientes donde juegan un papel importante para la salud y la productividad de las comunidades naturales.

Los lobos son animales tímidos y evasivos por lo que frecuentemente son difíciles de localizar. Para encontrarlos, los biólogos utilizan la telemetría, que es un sistema compuesto por un receptor, una antena y un radiotransmisor puesto en un collar que se coloca a los animales. El pequeño radiotransmisor emite señales que pueden ser captadas por el receptor y la antena. Dependiendo de qué tan fuertes sean las señales emitidas, los biólogos pueden saber la dirección del animal y su orientación. Algunos estudios realizados con esta técnica facilitan el monitoreo de los lobos las 24 horas del día, lo que ha permitido que se conozca más acerca de las actividades diarias que realizan. Toda esta información permitirá hacer un mejor manejo de las áreas que se requiere conservar para los lobos y otras especies, tanto de animales como de plantas. Estaciones olfativas y huellas Una estación olfativa consiste de bolitas olorosas que se colocan en medio de un área donde el suelo ha sido alisado. Cuando un lobo u otro ani-

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El lobo

Cuadro de algunas medidas de las patas delanteras de algunos mamíferos Jaguar

10 cm x 12 cm

Puma

8 cm x 9 cm

Coyote

6.5 cm x 5.5 cm

Ocelote

5 cm x 5.5 cm

Jaguarundí

3 cm x 3.5 cm

Lobo

10 cm x 8.5 cm

En 1974 parecía enfrentar serios problemas en Canadá y se le declaró especie protegida en Estados Unidos y México. Desde entonces el apoyo público hacia la recuperación de la especie ha ido ganando terreno muy lentamente, y la imagen de un ejemplar se ha convertido en símbolo de la vida silvestre en peligro.

Distribución histórica y actual del lobo mexicano mal se aproxima a oler las bolitas, deja sus huellas en el suelo. Las estaciones olfativas se pueden colocar a los largo de caminos, senderos y arroyos que los lobos frecuentan. Las estaciones deben revisarse diariamente, el número de huellas debe registrarse y cada huella debe ser medida. Las huellas son fotografiadas y se hace un molde para identificarlas posteriormente. Para identificar una pisada se utiliza una guía con ilustraciones de huellas, que incluye a los animales más comunes del área e información sobre el tamaño (longitud y ancho).

Situación actual del lobo mexicano Por miles de años, los lobos fueron los segundos animales terrestres más ampliamente distribuidos, después de los seres humanos. En América, desde el Ártico hasta México, su fuerza, inteligencia y comportamiento coordinando en jauría lo convirtieron en uno de los depredadores más exitosos. Al irse incrementando la dependencia de los humanos hacia el ganado fue creciendo también la antipatía por el lobo. La guerra contra los lobos ha durado alrededor de 300 años. A principios del siglo XX este animal había casi desaparecido de la mayor parte de Estados Unidos y México.

Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

En el continente americano Históricamente el lobo mexicano, Canis lupus baileyi, se distribuyó desde el sur de Estados Unidos –comprendía los estados de Arizona, Nuevo México y Texas– hasta la cuenca de México. Esta distribución coincide con la de los grandes cuadrúpedos, mamíferos y plantas de origen neártico. En México La distribución histórica de la especie en México ocupa los estados de Chihuahua, Coahuila, Nuevo León, Durango, Zacatecas, Aguascalientes, San Luis Potosí, el Bajío y la Mesa Central, llegando incluso hasta Oaxaca (esto es, entre las dos grandes cadenas de montañas llamadas Sierra Madre Oriental y Sierra Madre Occidental, y al sur limitado por el Eje Neovolcánico). Actualmente, el lobo mexicano está representado por algunos ejemplares en cautiverio en zoológicos y encierros especiales en Estados Unidos y en México, en los siguientes lugares: zoológicos de Chapultepec y de San Juan de Aragón, en el Distrito Federal; reserva ecológica de Michilía, en Durango, y en el rancho Los Encinos, en Chihuahua. En estado silvestre habita fundamentalmente en los bosques y desiertos del norte de México.

Enciclopedia de los animales, vol. 2, Abril/Noguer/Rizzoli/Larousse, 1968.

Canis lupus

En Europa, durante la Edad Media, el terror que los lobos infundían –por ser habituales transmisores de la rabia– llegó a adquirir caracteres obsesivos. Puede decirse que cada pueblo disponía de un grupo de cazadores encargado de aniquilarlos. La psicosis de terror, unida a la ignorancia, no dejó de ocasionar víctimas inocentes entre pobres afectados de licantropía, que creían ser y eran tomados por lobos.

Los lobeznos nacen con los ojos cerrados. A los dos meses, al producirse el destete, los padres empiezan a proporcionarles carne de animales recién cazados.

Fotos: Enciclopedia de los animales, vol. 2, Abril/Noguer/Rizzoli/Larousse, 1968.

Los lobos son animales monógamos. Cada pareja permanece unida durante toda la vida. En primavera y verano los lobos cazan en parejas y durante el invierno se agrupan para formar manadas más numerosas.

Distribución del lobo gris en México

Época actual

Enciclopedia de los animales, vol. 2, Abril/Noguer/Rizzoli/Larousse, 1968.

Antes de 1964

El lobo es un animal inteligente, cauto y tenaz. Al contrario de lo que desde tiempos inmemoriales se suele creer, el lobo da incluso mayores muestras de astucia que el zorro.

David Yasha, ¿Buñuel! La mirada del siglo, MNCARS, Madrid, 1996.

Luis Buñuel (1900-1983)

El aragonés Luis Buñuel es considerado uno de los más grandes maestros del arte cinematográfico. Nació al mundo artístico con el surrealismo y en la compañía de la generación del 27 (Lorca, Alberti, Cernuda), y supo plasmar una obra revolucionaria que ya ha adquirido rango de clásica.

Fotos: David Yasha, ¿Buñuel! La mirada del siglo, MNCARS, Madrid, 1996.

“He tenido la suerte –decía Buñuel– de que mi infancia transcurriese en la Edad Media, edad dolorosa y exquisita.” En la foto (1913) aparece con su familia: Leonardo, su padre; su hermano Leonardo, y él de pie; su madre, María Portolés, con sus hijas, Conchita, Margarita, Alicia y, en segundo plano, María.

Antes de dedicarse al cine, Buñuel hizo estudios de violín y se aficionó también por la entomología. En Madrid inició la carrera de ingeniero agrónomo que abandonó para licenciarse en filosofía y letras.

En 1934 Buñuel contrajo matrimonio con Jeanne Rucar, quien había sido campeona olímpica. (Hollywood,1946.)

David Yasha, ¿Buñuel! La mirada del siglo, MNCARS, Madrid, 1996.

Emilio García Riera, Historia documental del cine mexicano, t. 5, CONACULTA/IMCINE, 1993.

El actor Pierre Batcheff en Un perro andaluz (1928), primer filme de Buñuel, que realizó en colaboración con Salvador Dalí.

Los olvidados (México, 1950) es un título fundamental en la filmografía de Buñuel, por el que recibió el Premio a la Dirección en Cannes.

Fotos: David Yasha, ¿Buñuel! La mirada del siglo, MNCARS, Madrid, 1996.

Escena de Él (México, 1952). Su carrera en México estuvo rodeada en un principio por la incomprensión y la irritación de la crítica, que calificaba sus películas de ambiguas y ateas. Sólo grupos minoritarios convirtieron en culto el cine buñueliano.

Escena de El ángel exterminador (México, 1962). La mano cortada es un símbolo que se repite en la obra de Buñuel y que se puede ver también en los trabajos de Salvador Dalí.

Fotos: David Yasha, ¿Buñuel! La mirada del siglo, MNCARS, Madrid, 1996.

Nazarín (1959), basada en la novela homónima de Benito Pérez Galdós, es tal vez la obra cumbre de ‘la época mexicana’ de Buñuel.

Tristana (1970) es considerada la obra maestra del cine español y el testamento artístico de Buñuel.

Luis Buñuel filmó su última película, Ese oscuro objeto del deseo, en París en 1977.

Certidumbres e incertidumbres

La escuela a examen Análisis pedagógico del programa oficial de matemáticas de educación primaria y del libro de texto de tercer grado* Ricardo Vázquez Chagoyán

n la entrega anterior señalamos algunos problemas que enfrenta la enseñanza de las matemáticas en el sistema escolar y que suelen ser pasados por alto por los especialistas, por los educadores y por el público en general. A lo largo de esta serie de artículos aparecerán recurrentemente ciertas ideas, lo que puede dar la impresión de redundancia, pero conviene insistir en que precisamente se trata de mostrar cómo los defectos pedagógicos del sistema escolar aparecen una y otra vez en todos los ciclos, grados y áreas del ‘conocimiento’ impartido en las escuelas. Es importante que el lector tenga presente en todo momento esos factores: pasividad corporal e intelectual, verbalismo, formulismo, principio de autoridad, fragmentación del conocimiento, etcétera. A continuación presentamos un somero análisis del programa y del libro de texto oficiales de matemáticas del tercer grado de primaria. Tómese esto sólo como un ejemplo que ilustra los problemas pedagógicos que enfrenta la enseñanza de esta asignatura en todo el sistema escolar. Para un adecuado seguimiento del análisis que presentamos a continuación recomendamos al lector tener presentes los elementos discutidos en el artículo anterior, en especial la distinción de los tres planos en que se desenvuelve la construcción de los conocimientos matemáticos:

la matemática natural (corporal), la matemática aplicada (uso de técnicas convencionales específicas para ayudarse en la solución de problemas específicos), y la Matemática pura (la disciplina o ciencia especializada).

Análisis de las directrices oficiales del programa de matemáticas 1. El primer problema con que nos topamos en la propuesta oficial de los programas de matemáticas es que no hay una definición clara de los objetivos que persigue su enseñanza en la primaria. El planteamiento oscila entre la enseñanza de la Matemática por sí misma (en tanto disciplina) y la enseñanza de la matemática como una herramienta para que los niños puedan solucionar problemas en su vida cotidiana. 2. Esta ambigüedad se advierte ya desde la presentación misma del enfoque de los programas de matemáticas en el Plan de Estudios de la Educación Primaria (SEP, 1993). Veamos algunos ejemplos: a) Nos encontramos en primer lugar simplemente con el hecho de que la Matemática exista como asignatura independiente, con una asignación de horas específicas para ella.

* Este artículo es el quinto de la serie La escuela a examen, que comenzó a publicarse a partir del número 95 (Año 8, abril, 2004) de Correo del Maestro.

Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

La escuela a examen

Esto ya nos indica, a pesar de las declaraciones en contra, que se trata de enseñar la Matemática en tanto disciplina, ‘porque asumen que es muy importante saber Matemáticas’, porque sí. De otra manera, si fuera pensada como una herramienta para ayudarnos a mejorar nuestra comprensión del entorno natural y social, no tendría por qué plantearse como asignatura independiente. Estaría integrada a las demás asignaturas; es decir, se irían introduciendo el lenguaje y las técnicas convencionales de las matemáticas cuando los propios educandos se enfrentaran a problemas al interactuar con los fenómenos naturales y sociales. b) En la introducción oficial al enfoque aparecen aseveraciones que vuelven a mostrar la ambigüedad señalada: En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también parten de experiencias concretas. Paulatinamente, y a medida que van haciendo abstracciones, pueden prescindir de los objetos físicos (...). El éxito en el aprendizaje de esta disciplina depende, en buena medida, del diseño de actividades que promuevan la construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en la interacción con los otros. En esas actividades las matemáticas serán para el niño herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las situaciones problemáticas que se le planteen.1

Se advierte cómo en un solo párrafo encontramos la ambigüedad en cuanto a la intención de esta enseñanza. Constatamos inicialmente la intención de que el niño aprenda Matemáticas como un fin en sí, con frases que nos dirigen a esa finalidad: ‘Construcción de conocimientos matemáticos’, ‘prescindir de los objetos físicos’,

‘aprendizaje de esta disciplina’, indican que la finalidad es el aprendizaje de las Matemáticas como tales, no como herramienta. No obstante, al final se dice que las matemáticas serán para el niño ‘herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las situaciones problemáticas que se le planteen’. ¿Qué se quiere dar a entender con esta afirmación? ¿Qué quiere decir aquí ‘herramientas funcionales’? ¿Funcionales para qué y para quién? ¿Funcionales para resolver problemas Matemáticos escolares únicamente o funcionales para resolver problemas de la vida? Se afirma que para resolver las situaciones problemáticas que se le planteen, ¿situaciones problemáticas escolares o de la vida extraescolar? ¿Problemas matemáticos que le plantee el profesor dentro de la escuela o problemas de la vida en que la matemática se pueda usar como herramienta? Esta ambigüedad repercute negativamente en la orientación pedagógica de esta materia. Por ejemplo, nunca se aclara realmente si la enseñanza de las matemáticas a partir de lo concreto y de la solución de problemas es sólo una estrategia pedagógica para que el niño aprenda las Matemáticas como disciplina, o si se busca que las matemáticas sean una herramienta para apropiarse de conocimientos más precisos sobre su entorno real. 3. En el mismo documento citado, al hablar de los propósitos generales del plan de estudios y de los programas, se señala: ... asegurar que los niños: 1. Adquieran y desarrollen las habilidades intelectuales (la lectura y la escritura, la expresión oral, la búsqueda y selección de información, la aplicación de las matemáticas a la realidad) que les permitan aprender permanentemente y con independencia, así como actuar con eficacia e inicia-

1 Planes y programas de estudio 1993. Educación Básica. Primaria, SEP, p.49.

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tiva en las cuestiones prácticas de la vida cotidiana. [Paréntesis del original; el subrayado es mío].2

¿Qué quiere decir aquí ‘aplicación de las matemáticas a la realidad’? ¿Se trata de que la escuela enseñe Matemáticas puras para que algún día, después de tres o cuatro lustros de escolaridad, el educando las aplique a la realidad? ¿O se trata de aprender a aplicar herramientas matemáticas conforme uno se vaya enfrentando a problemas de la vida real en que tal aplicación sea pertinente? Todo parece indicar que este es un problema que nunca han logrado definir bien las directrices oficiales de los programas y los libros de texto de matemáticas en ningún nivel de escolaridad. 4. En la enseñanza de las matemáticas la situación es similar a lo que sucede con la enseñanza del español: se pretende enseñar la herramienta separada del conocimiento del mundo natural y social. Esto ocurre a pesar de que en varias partes del programa oficial se indica explícitamente que el propósito es proporcionar una herramienta para solucionar problemas de la vida. En ese documento se afirma lo siguiente: En resumen, para elevar la calidad del aprendizaje es indispensable que los alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el conocimiento matemático, que lo valoren y hagan de él un instrumento que les ayude a reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos contextos de su interés [el subrayado es mío].3

Como se puede observar, se pretende que las matemáticas sirvan como herramienta o instrumento para solucionar problemas, supuestamente problemas de la vida cotidiana y extraescolar (‘diversos contextos de su interés’). Pero en

la práctica sucede como en la asignatura de español, el instrumento se imparte separado de su aplicación en problemas reales de la vida y del interés de los niños, separada de las experiencias de interacción con el mundo de la vida real, separada de la materia sobre la que se tendría que aplicar el instrumento. Se cree, ingenuamente, que la experiencia viva y directa con el mundo real es sustituible por coloridas ilustraciones en libros de texto de supuestos ‘escenarios del mundo real’ (zoológico, granja, etc.), o con la mera disertación verbal por parte del maestro. Ilustraremos esto con más detalle en el siguiente apartado. Se podría decir mucho más acerca de este punto, pero no queremos abrumar al lector con largas discusiones, así que es preferible pasar de una vez a ilustrar cómo las ambigüedades del enfoque oficial se manifiestan en el diseño de los contenidos de los programas y los libros de texto.

III. Análisis del libro de texto de matemáticas de tercer grado de primaria 1) Si uno revisa los temas generales del programa y del libro de matemáticas es fácil darse cuenta de que han sido seleccionados desde una perspectiva de lo que se piensa que es importante para la disciplina como tal: números naturales y sus operaciones (conteo, sumas, restas, etc.); números fraccionarios (de superficies, de longitud, de capacidad, métricos, etc.); medición (sistema métrico decimal); geometría (lectura e interpretación de planos, líneas verticales, horizontales, inclinadas, paralelas y perpendiculares, figuras geométricas, simetrías, cubos, pris-

2 Planes y programas de estudio 1993. Educación Básica. Primaria, SEP, p.13. 3 Op. cit., p. 50.

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del universo natural y social (el zoológico, el mercado, la granja, el aeropuerto, el museo, etc.) y que en las lecciones se ejemplifica la utilidad de la herramienta matemática. Pero esto encuentra objeciones por dos lados:

mas, grecas); tratamiento de la información (tablas y gráficas); predicción y azar. Esto muestra claramente que se pretende que los niños aprendan los contenidos matemáticos que los expertos o especialistas consideran importantes en su disciplina, independientemente de sus posibles aplicaciones a las actividades de interés de los niños y del nivel de desarrollo cognitivo de los mismos. Como mostraremos adelante, los ‘problemas’ que se proponen en el texto para aplicar el lenguaje y las técnicas matemáticas son completamente artificiales, abstractos y descontextualizados. Esto echa por tierra la posibilidad de que los niños logren ver en las matemáticas un instrumento para ayudarse a profundizar en el conocimiento de su mundo real (natural y social). Tal y como está planteado, lo importante para el programa (y el libro de texto) no es el conocimiento de lo real, sino el conocimiento del lenguaje y las técnicas matemáticas por sí mismos. La herramienta es más importante que el mundo, de hecho sustituye al mundo; el mundo se reduce a la herramienta. Se replicará que todas las lecciones remiten a temas

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a) Ninguno de los temas arriba aludidos (zoológico, mercado, etc.) se estudia como tal. Los animales del zoológico, por ejemplo, no es un tema de estudio sino sólo un pretexto para estudiar el tema de la medición, el conteo, etc.; de ahí que cada lección cambie estos temas sin que exista el menor encadenamiento lógico o semántico entre ellos, y se usan exclusivamente los aspectos que ‘ilustran’ los temas matemáticos (lo que del tema es contable o medible). Si se cree que con ello los niños se apropiarán de las técnicas matemáticas para buscar problemas en su vida cotidiana donde se puedan aplicar, se cae en una ingenuidad. Si se piensa que el principal interés de los niños ante los animales es medir con precisión milimétrica su altura; o si se piensa que lo más atractivo para ellos en un zoológico (imaginario, por lo demás) es saber si sus prados son cuadrangulares o romboides, eso sólo muestra nuestro gran alejamiento de la mente infantil. Una pedagogía adecuada no tratará de forzar la mente de los niños a interesarse por temas matemáticos, sino que tratará de introducir la herramienta matemática en temas del interés de los niños: éste es el reto. b) El defecto mencionado se reafirma cuando observamos que en ninguna de las lecciones se hace referencia a los temas tratados en las demás asignaturas. Si la matemática aquí se conceptualizara efectivamente como una herramienta del conocimiento, se usaría para abordar los temas sustantivos de las otras materias (sin tocar por ahora los defectos pedagógicos presentes en las otras materias). Como ya

señalamos, no sería necesario que existiera una asignatura de matemáticas separada de las que se refieren al conocimiento de los fenómenos naturales y sociales. El problema de la fragmentación del conocimiento que hace la escuela no sólo está en la separación de cada una de las disciplinas entre sí, sino que el problema mayor está en separar las disciplinas instrumentales de las sustantivas, esto es: separar español (lengua, lecto-escritura) y matemáticas, de las que refieren al conocimiento de la naturaleza y la sociedad. 2) Las directrices oficiales de los programas no han profundizado en el problema del enorme fracaso que existe en el aprendizaje de las matemáticas en la escuela. Se pensará, probablemente, que puesto que algunos estudiantes tienen éxito, los demás deberían tenerlo, y si no lo tienen es porque son incapaces, holgazanes o algo semejante. Es ésta, por supuesto, la manera más cómoda de ‘resolver’ el problema; es decir, atribuir el fracaso a los demás. (Quizá sería bueno no desechar aquella ‘broma’ que recomendaba que los educadores se dedicaran algún tiempo al entrenamiento de animales, ya que cuando el ‘domador’ fracasa, la responsabilidad de ello está en el propio domador; pero cuando el aprendizaje de los niños fracasa, los educadores en general suelen atribuir el fracaso a los niños). Así, los programas tradicionales de matemáticas no sólo logran que una proporción enorme de la población estudiantil fracase, sino además, logran producir una especie de alergia hacia esta área del conocimiento, de la cual los niños y jóvenes huyen como de la peste. Como señala Alan J. Bishop: Constantemente sabemos de individuos que rechazan las matemáticas, las temen, les desagra-

dan y que, si continúan estudiándolas (cosa que muchos no hacen), recurren a métodos instrumentales y de memorización para abordar las exigencias planteadas por los exámenes. Si la enseñanza de las matemáticas trata de ayudar a las personas a relacionarse mejor con su entorno, es evidente que fracasa en esta tarea.4

En efecto, al tratar de enseñar las matemáticas como disciplina, las directrices oficiales de los programas abordan el asunto como si la idea fuera formar a todos como matemáticos profesionales. El objetivo no es que los estudiantes utilicen un instrumento para conocer su entorno, sino que aprendan el lenguaje y las técnicas matemáticas por sí. Desde luego, esas directrices oficiales señalarán que el objetivo es precisamente ofrecer a los educandos instrumentos para el mejor conocimiento de su entorno. Pero aunque éste sea el objetivo explícito, lo cierto es que el procedimiento utilizado lo contradice, lo mismo que los resultados obtenidos por los estudiantes. Es necesario comprender que hay un problema estructural en toda la concepción tradicional de lo que es la escuela. 3) Para que se aprecie mejor lo arriba señalado, analicemos brevemente, a manera de ejemplo típico, cómo está estructurado el libro de texto de tercer grado de primaria de esta asignatura, ya que es una forma clara en que se concreta el programa de ésta: a) El libro está constituido por 93 lecciones (contando cuatro que en el texto están fuera de la numeración y que rematan cada uno de los cuatro primeros bloques). De ellas, 51 lecciones (más de la mitad) proponen ejercicios cuya elaboración no requiere que el niño salga de la misma página en que está asentado cada uno, o sea, no implican al niño más

4 Alan J. Bishop, Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural, Paidós, Barcelona, 1999, pp.18-19.

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allá de la lectura de la lección y la realización de las operaciones escritas que allí se proponen. Esto ya nos indica que más de la mitad de las lecciones no implican actividades de relación con el entorno natural o social o, dicho de otro modo, el entorno del niño se reduce a la página respectiva del libro. b) Otras 14 lecciones remiten al niño al material recortable que aparece al final del libro (5 lecciones), o a material complementario como cartulina, hojas de papel, papel moneda de juguete, un calendario (6 lecciones), o bien, a la elaboración de objetos de papel (3 lecciones). Si sumamos estas 14 a las 51 mencionadas arriba, tenemos que 65 de las 93 lecciones centran la atención del niño exclusivamente en el libro, lo que significa que el 69% de las lecciones no requieren casi nada más del niño que concentrarse en el libro. Nuevamente, el entorno natural y social reales no aparecen por ningún lado. c) De las 28 lecciones restantes, algunas en ciertas partes ‘sacan’ al niño del libro para que

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realice de alguna actividad dentro del aula: medir el pizarrón o las paredes, juegos de mesa, tomarse de las manos para formar una cadena, llenar y vaciar frascos y vasos con frijoles para trabajar la noción de equivalencia, pesar cosas en una balanza, construir cajas de cartón, o realizar encuestas entre sus compañeritos. En este caso la relación de los niños con el entorno ‘se amplía’ pasando de las páginas del libro hasta las cuatro paredes del aula. Únicamente siete lecciones en alguna de sus partes remiten al niño a actividades fuera del aula, de las que cuatro se efectúan en el patio de la escuela, y entre todas las del curso sólo tres lecciones en alguna de sus partes remiten al niño a algo que implique la observación de la naturaleza en vivo: dos se refieren al registro del estado del tiempo (donde lo importante no es precisamente el estado del tiempo, sino el registro matemático como tal), y una a la medición de la altura de dos animales pequeños (como si para el niño de esa edad tuviera alguna relevancia el tamaño de los animales con precisión milimétrica; actividades que, además, se presentan por completo fuera del contexto de la vida y sin relación con las actividades que les preceden o les suceden en el programa). ¿A qué queda reducida la realidad natural y social del niño? La relación con el entorno natural y social, como se notará, está ausente. ¿Dónde queda aquí la ‘ayuda matemática’ para que el niño se relacione con el entorno? ¿Dónde está aquí la interacción con los animales? ¿Dónde la interacción con las plantas? (Tómese en cuenta que lo mismo sucede en todas las asignaturas, por lo que durante seis, nueve, doce o más años, todas las mañanas de sus días los niños sólo interactúan con palabras y formulismos al ‘abrigo’ de las cuatro paredes del aula escolar.) Se dirá que los niños podrán aplicar las herramientas mate-

máticas que allí adquieren después a su entorno cotidiano. Nada más falso que esto. Difícilmente el niño podrá relacionar las operaciones y nociones escolares con sus asuntos cotidianos, porque incluso los ejemplos de aplicación con que se ilustran los libros son ajenos a los niños, y al estar fuera de un contexto real no lograrán trasladar la ‘herramienta’ a la solución de sus problemas vitales. Esto no sucede solamente con los niños; sucede incluso con los adultos cuando se les enseñan cosas fuera del contexto de aplicación real (ojo: educación universitaria). Estamos de acuerdo con Bishop nuevamente cuando afirma: …la idea de la persona común y corriente como un ‘solucionador de problemas’ peripatético, dotado de una ‘caja de herramientas’ de técnicas matemáticas y que busca problemas que hay que resolver, es un mito. Pero es un mito muy poderoso. Domina la enseñanza de las matemáticas en la actualidad.5

d) Ilustremos todo esto con un ejemplo para que se comprenda mejor a lo que nos estamos refiriendo. Algunos de los propósitos señalados para el tema de geometría son: presentar a los niños “situaciones que favorecen la ubicación del alumno en relación con su entorno”; y “se pretende que (el niño) estructure y enriquezca su manejo e interpretación del espacio y de las formas”. Para ello, uno de los temas que aparece en cuatro actividades es el que se refiere a la lectura e interpretación de planos (croquis o mapas). En tres de los casos aparece un ‘croquis’ de un lugar imaginario (inexistente en la realidad): “El pueblo donde vive Luis”, “Caminamos para ir a la escuela”, “El plano

del zoológico”. ¿Cómo podrá el niño entender que el sentido de los croquis o planos es representar la conformación espacial de lugares reales? ¿Con qué espacio real confrontará los croquis que aparecen en su libro? ¿O se pretende que el niño ‘se ubique en el espacio’ dentro del libro? Es absurdo creer que los niños van a desarrollar su sentido espacial ‘ubicándose’ en un dibujo en la página de un libro, sin referencias a lugares reales. La lectura e interpretación de planos sólo tiene sentido por la correspondencia que se establece entre la representación gráfica asentada en el plano y los lugares reales que allí se están representando. Se argumentará que no hemos mencionado la cuarta actividad de ese tema que solicita a los niños que hagan una descripción de su casa a un compañerito. En efecto; pero ello no resuelve algunos problemas: a) el que de las cuatro actividades sólo una refiera a una representación de algo real deja en la ambigüedad el sentido de esas representaciones gráficas; b) aun suponiendo que las cuatro actividades refirieran a lugares reales, sería necesario que los niños pudieran constatar las correspondencias entre los elementos asentados en el plano y los lugares reales a partir de la exploración de los espacios reales a través de sus propios desplazamientos; c) aun resueltos esos problemas es necesario repetir las experiencias muchas veces, para consolidar el sentido real de esas representaciones. En el ejemplo señalado encontramos también cómo el énfasis absoluto está puesto en los temas matemáticos como tales, geométricos en este caso: ‘líneas paralelas y perpendiculares’, ‘descripción de trayectos’ (trazos de líneas), etc. Algunos de los pro-

5 Alan J. Bishop, op. cit., p. 25.

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blemas pedagógicos que hemos venido señalando quedan aquí de manifiesto: I. La interacción con el mundo real está ausente (el ‘entorno’ se reduce a los dibujos en el libro y al espacio encerrado del aula). II. Lo relevante son las nociones matemáticas y no su uso como herramienta (enseñanza de la herramienta separada de sus aplicaciones). III. Las actividades están fuera de los intereses de los niños y se presentan fuera de todo contexto de la vida real. IV. Fragmentación del conocimiento. No hay referencia o conexión con los temas de otras asignaturas (en este caso ni siquiera con geografía, por la interpretación de planos). V. La forma en que se trata el tema desvirtúa el verdadero sentido de la interpretación de planos. e) Precisemos ahora el defecto pedagógico esencial del programa basándonos en el libro de texto. ¿Verdaderamente lo que se preten-

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de es proporcionar a los estudiantes instrumentos para aproximarse al mejor conocimiento del mundo real? Como ya señalamos más arriba, los temas no matemáticos que se usan para ilustrar las nociones y operaciones matemáticas son sólo pretextos. Lo relevante en las lecciones no son ni los animales reales, ni el zoológico real, ni el estado del tiempo real, ni la granja, ni el mercado, ni el aeropuerto, reales; sino el lenguaje y las técnicas matemáticas. Incluso es ingenuo, cognitivamente hablando, creer que la ‘observación’ de un zoológico dibujado al interior de un libro es en algo equivalente a la visita a un zoológico real. Lo mismo, creer que porque se ilustra el libro con un zoológico imaginario se está atendiendo a los intereses de los niños. ¿Se piensa acaso que la experiencia directa del trato, percepción o convivencia con los animales en la naturaleza (o aun su observación viva en las jaulas) es equivalente a que un niño ‘experimente’ eso dibujado en un libro, por bien dibujado que esté? Siempre será

mucho más emocionante e interesante (y por tanto útil cognitivamente hablando) ver un solo elefante real que ver quinientos dibujos de elefantes o consultar todas las enciclopedias o navegar por internet para ‘saber’ del elefante. Es necesario entender que los intereses de los niños están esencialmente en el mundo de la experiencia real, sensible, corporal, y es en ese contexto en el que habría que introducir la enseñanza de las matemáticas (y todo lo demás). Se suele olvidar que expresiones aparentemente simples como ‘más grande que’, ‘más chico que’, ‘largo’, ‘corto’, ‘junto’, ‘separado’, ‘poco’, ‘mucho’, etc., ya son expresiones matemáticas, y que para llevar al niño a elaboraciones más exactas lo que tiene que hacerse es poner al niño en una situación real en la que se vea en la necesidad de medir con mayor precisión; entonces él buscará algún procedimiento pa-ra ello, y experimentará las dificultades que ello entraña. Sólo después de sentir esa necesidad y esas dificultades en una diversidad de ocasiones, estará en condiciones de hallarle sentido a las escalas de medición convencionales; será entonces cuando el niño podrá aprender significativamente los elementos del lenguaje y las técnicas matemáticas que correspondan, y lo hará, además, con gusto y entrega, porque así será una actividad llena de sentido.

No faltará quien señale que para resolver estos problemas se requeriría de una transformación radical de la estructura de la educación escolar. En efecto; eso es lo que nosotros sostenemos. E independientemente de las enormes dificultades que ello entraña, no creemos que lo mejor sea continuar por el mismo camino que ha mostrado ser completamente estéril a lo largo de más de 40 años de reformas educativas. Tampoco debe entenderse que nosotros proponemos que se hagan más reformas generales, a nivel nacional, y que de inmediato se ‘implante’ un nuevo modelo. No, porque un nuevo modelo educativo requiere de personas preparadas para ponerlo en práctica, es decir, personas que se hayan preparado en ese nuevo modelo, lo cual no puede hacerse en cursillos de fines de semana, ni impartidos con las mismas fórmulas verbalistas (y ‘formulistas’) tradicionales, como se ha pretendido hasta hoy. La preparación de maestros en un verdadero nuevo modelo educativo tendrá que realizarse en un contexto de práctica real de ese nuevo modelo. En nuestra siguiente entrega haremos un análisis semejante al arriba expuesto, pero ahora del programa y del libro de texto del tercer grado de la asignatura de español. Posteriormente iremos haciendo lo mismo con las asignaturas restantes.

Bibliografía teórica básica (continuación) PIAGET, Jean, A dónde va la educación,Teide, México, 1982. ––––, Estudios de Psicología Genética, Emecé, Buenos Aires, 1992. ––––, La formación del símbolo en el niño, FCE, México, 1996 (1959). ––––, Psicología de la inteligencia, Psique, Buenos Aires, 1987. ––––, Psicología y Pedagogía, Ariel, México, 1983 (1969). PIAGET, Jean et al., La nueva educación moral, Losada, Buenos Aires, 1967. PIAGET, Jean y Barbel Inhelder, De la lógica del niño a la lógica del adolescente, Paidós, Barcelona, 1985 (1955). ––––, Memoria e inteligencia, Ateneo, Buenos Aires, 1972. PLATÓN, La República, Aguilar, Madrid, 1974. PODER EJECUTIVO FEDERAL, “Acuerdo del Presidente Miguel de la Madrid que establece que la educación Normal tendrá el grado académico de Licenciatura”, México, 22 de marzo de 1984.

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Artistas y artesanos

Apuntes en torno a Luis Buñuel (1900-1983) Adolfo Hernández Muñoz

la par anárquico e irreverente, pero también irritante, aunque fascinador. Su obra es una serie de acertijos en apariencia inocentes, pero que entrañan una constante libertaria: la caída de iconos; es decir, una serie de situaciones raras que, a la postre, proponen un surrealismo poético y subversivo muy de acuerdo con los postulados de André Breton, una realidad absoluta entre sueño y realidad. De esta suerte, Luis Buñuel nos presenta genialmente, brutalmente, una rara poesía de verdades escuetas. Hacedor de enigmas, él mismo termina siendo uno. Es una especie de franciscano, no creyente, que amaba los animales y los defendía; para él, las ratas, las arañas y otros seres vivientes eran en la naturaleza la rara poesía de las cosas animadas que hablaban del acertijo de la vida. Buñuel no aceptaba consignas, y a eso responde su posterior rechazo a los comunistas. De la misma manera conmueven sus comentarios sobre su breve, pero intenso, acercamiento a ese gran cineasta que ha dejado una huella perdurable en el séptimo arte y que se llamó Jean Vigo, a quien se conoce como el Rimbaud del cine. En su corto viaje por la vida nos dejó: Zéro en conduite (Cero en conducta) (1932-1933), óleo en el que se reflejan las opresoras jerarquías de la sociedad contra las que se sublevan los niños: los mal llamados ‘maestros’, que son los que reciben su ‘lección’. Buñuel siempre hablaría con respeto de este cineasta y su mensaje de tinte ácrata. Posteriormente, Vigo realizó: L’Atalante (1933-1934), un poema de amor bucó-

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lico que sigue conmoviéndonos. En suma, Vigo tendió un puente entre el surrealismo y el aliento poético del cine francés de anteguerra. De esta suerte, Buñuel vivió un mundo de obsesiones, limitaciones, convenciones, cuestionado siempre por una sociedad burguesa que lo asediaba y que, de alguna manera, lo limitaba. Buñuel ha explicado así ciertas automutilaciones: El ángel exterminador es una de esas raras películas que he vuelto a ver. Lo que veo en ella es un grupo de personas que no pueden hacer lo que quieren hacer: salir de una habitación. Imposibilidad inexplicable de satisfacer un sencillo deseo. Eso ocurre a menudo en mis películas. En La edad de oro, una pareja quiere unirse, sin conseguirlo. Ese oscuro objeto del deseo trata del deseo sexual de un hombre en trance de envejecimiento, que nunca se satisface. Los personajes de El discreto encanto de la burguesía quieren a toda costa cenar juntos y no lo consiguen. Finalmente, en Ensayo de un crimen, el personaje principal, Archibaldo de la Cruz, cuyo deseo erótico se manifiesta en impulsos homicidas que, siempre a causa de un extraño azar, no llegan a materializarse en el asesinato deseado.

En suma, el cielo buñueliano es un mundo poblado de obsesiones y limitaciones comparable –por contraste– con la inmensa ternura hacia los seres que, por desgracia, son anormales o atraviesan por situaciones de alta penuria (véase Tierra sin pan –Las Hurdes– o Los olvidados). Es un ser subversivo. Protesta hasta por su ateísmo que, por otra parte, profesó hasta su muerte.

Con profunda ironía, era el propio Buñuel quien al manifestarse iconoclasta y admirador de Sade, decía que de su Juliette le gustaba especialmente la escena entre ella y el Papa en la que éste reconoce su ateísmo. Pero, sobre todo, le gustan los silencios como ecos de épocas pasadas. Y le gusta, asimismo, llevar la contra y esbozar sarcasmos. Acerca de la existencia del hombre, su prosa es cáustica, con ribetes de poeta: Se me dice: ¿y la ciencia? ¿No intenta, por otros caminos, reducir el misterio que nos rodea? Quizá. Pero la ciencia no me interesa. Me parece presuntuosa, analítica, superficial. Ignora el sueño, el azar, la risa, el sentimiento y la contradicción, cosas todas que me son preciosas. Un personaje de La Vía Láctea decía: ‘Mi odio a la ciencia y mi desprecio a la tecnología me acabarán conduciendo a esta absurda creencia en Dios.’ No hay tal. En lo que a mí concierne, es incluso totalmente imposible. Yo he elegido mi lugar, está en el misterio. Sólo me queda respetarlo.

Bien decía Catherine Deneuve, una de sus estrellas: “Buñuel siempre fue discreto y hermético.” En cuanto a sus ideas, Román Gubern lo ha dicho incisivamente: “Buñuel sabe, como André Breton, que lo que hay de admirable en lo fantástico es que no existe lo fantástico, pues todo es real. Por eso su surrealismo tiene tal capacidad revulsiva y fascinadora…” Terrible mofa de ecos galdosianos, Nazarín dice algo de su desesperanza cuando un hombre que predicaba la voz de Cristo se da cuenta de que entre la miseria y la corrupción no puede haber ningún tipo de santidad. ¿Estamos, pues, perdidos en esta selva de apetitos? A mi entender, Buñuel declaró una guerra continua contra la actual condición humana; una lucha permanente contra la hipocresía y quizá, de vez en cuando, un rayo de luz, de esperanza.

En 1977 terminó su última película Ese oscuro objeto del deseo (Cet obscur objet du désir). Es consecuencia de la adaptación de una novela: La mujer y el pelele, de Pierre Louis. En síntesis: la frustrante vida amorosa de un hombre de edad. El mismo Buñuel dice que la escena en la cual una mano de mujer zurce cuidadosamente un desgarrón en un encaje ensangrentado lo conmueve sin que pueda decir por qué. ¿Quizás –aventuro– el acertijo de la vida? Se ha dicho que hay un constante sadomasoquismo en las relaciones humanas. Digamos, también, que en el ser humano hay que respetar una cuota de misterio. Seis años más tarde, un 29 de julio, Buñuel muere, al parecer de un coma diabético, en la Ciudad de México. Su amigo, médico y actor José Luis Barros, que fue testigo del final, lo expresó así en una entrevista con El País (3 de febrero): “La muerte, como el amor, estaba muy presente en él. Tuvo una muerte maravillosa, con toda la conciencia. En los momentos finales, contándose el pulso les dijo a sus familiares: ‘Ahora ya me muero. Maravilloso’. Sólo un hombre excepcional puede morir así.” Como epitafio (Buñuel se sublevaría si viviera) será bueno citar alguno de sus versículos favoritos del Libro de la Sabiduría: Por acaso hemos venido a la existencia, y después de esta vida seremos como si no hubiéramos sido; porque humo es nuestro aliento, y el pensamiento una centella del latido de nuestro corazón. Extinguido éste, el cuerpo se vuelve ceniza, y el espíritu se disipa como tenue aire.

Fue, a fin de cuentas, un explorador insatisfecho del alma humana. Recientemente se dieron a luz unos pensamientos suyos: “He estado siempre al lado de aquellos que buscan la verdad, pero los dejo cuando creen haberla encontrado.” Asignatura pendiente: el acertijo de la vida.

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Apuntes en torno a Luis Buñuel (1900-1983)

Filmografía Francia

1929. Un chien andalou (Un perro andaluz) en colaboración con Salvador Dalí. Argumento, guión, montaje, dirección e interpretación. 1930. L’age d’or. Argumento, guión, montaje y dirección. 1955. Cela s’apelle l’Aurora. Guión (con Luis Alcoriza y Raymond Quenau) y dirección. Con Georges Marchal y Simone Signoret. 1956. La mort en ce jardin. Guión (con Luis Alcoriza y Raymond Quenau) y dirección. Con Georges Marchal y Simone Signoret. 1966. Belle de jour. Guión (con Jean Claude Carrière) y dirección. Con Catherine Deneuve, Jean Sorel y Michel Piccoli. 1969. La Vía Láctea. Arg., guión, diálogos (con Jean Claude Carrière) y dirección. Con Paul Frankeur, Laurent Terezieff. 1972. El discreto encanto de la burguesía. Argumento, guión (con Jean Claude Carrière) y dirección. 1974. El fantasma de la libertad. Argumento, guión (con J. C. Carrière) y dirección. 1977. Ese oscuro objeto del deseo. Argumento, guión (con J. C. Carrière) y dirección.

1939. Triumph of Will. Dirección, montaje y comentarios. Largometraje para el Museo de Arte Moderno de Nueva York. 1944. The History of the Vatican. Montaje de Lothar Wolf. Versión española de Luis Buñuel.

México

España 1932. Las Hurdes. Tierra sin pan. Argumento, montaje y dirección. 1935. Don Quintín el amargao. Producción ejecutiva y supervisión, argumento, guión y dirección (aunque figura Luis Marquina). 1935. La hija de Juan Simón. Producción ejecutiva, supervisión y dirección (junto a Nemesio M. Sobrevila y J. L. Sáenz de Heredia, que figura como director). 1936. ¿Quién me quiere a mí? Productor ejecutivo, supervisión y guión. 1936. ¡Centinela alerta! Producción ejecutiva, supervisión, dirección (anónima, con Jean Grémillon) y doblaje. 1961. Viridiana. Argumento, guión y dirección. Con Francisco Rabal, Silvia Pinal y Fernando Rey. Palma de Oro en el Festival de Cannes. 1964. Llanto por un bandido. Dirección de Carlos Saura. Luis Buñuel interpreta el papel de verdugo. 1970. Tristana. Adaptación, guión, diálogos (con Julio Alejandro) y dirección. Con Catherine Deneuve, Fernando Rey y Franco Nero.

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1946. Gran casino. Dirección. Con Libertad Lamarque y Jorge Negrete. 1949. El gran calavera. Dirección. Con Fernando Soler y Charito Granados. 1950. Los olvidados. Argumento, guión y dirección. Con Alfonso Mejía, Stella Inda. Premio al mejor director en Cannes. 1950. Susana (Demonio y carne). Dirección. Con Rosita Quintana. 1951. La hija del engaño (Don Quintín el amargao). Dirección. Con Fernando Soler y Rubén Rojo. 1951. Subida al cielo. Guión y dirección. Con Lilia Prado. 1952. El bruto. Argumento y guión (con Luis Alcoriza). Con Katy Jurado y Pedro Armendáriz. 1952. Las aventuras de Robinson Crusoe. Guión, diálogos, dirección. Con Dan O’Herlihy. 1953. Él. Guión (con Luis Alcoriza) y dirección. Con Arturo de Córdoba y Delia Garcés. 1953. Abismos de pasión. Argumento, adaptación (con Julio Alejandro), dirección. Con Jorge Mistral e Irasema Diliam. 1953. La ilusión viaja en tranvía. Argumento, guión y dirección. Con Lilia Prado. 1954. El río y la muerte. Adaptación (con Luis Alcoriza) y dirección. Con Columba Domínguez. 1955. Ensayo de un crimen (La vida criminal de Archibaldo de la Cruz). Guión y dirección. Con Miroslava, Rita Macedo, Ernesto Alonso. 1958. Nazarín. Adaptación y guión (con Julio Alejandro) y dirección. Con Francisco Rabal, Marga López, Rita Macedo e Ignacio López Tarso. 1959. Los ambiciosos (La fiebre sube a El Pao). Adaptación y guión (con Luis Alcoriza). Con Gerard Philippe, María Félix y Jean Servais. 1960. La joven. Arg. y guión (con H. B. Addis) y dirección. Con Zachary Scott y Bernie Hamilton. 1962. El ángel exterminador. Argumento, diálogos, guión (con Luis Alcoriza) y dirección. Con Sylvia Pinal, Jacqueline Andere y José Baviera. 1965. Simón del desierto. Argumento y guión (con Julio Alejandro) y dirección. Con Claudio Brook y Sylvia Pinal. León de Plata en Venecia.

Los parques comunicantes A propósito de Julio Cortázar Alejandro Reza

l tenor de los obuses alemanes que se abaten sobre Bruselas nace Julio Florencio Cortázar Scott, de padres argentinos, un 26 de agosto de 1914, mismo año en que naciera Octavio Paz, por cierto. Su padre, hijo de vasco, se desempeñaba a la sazón como delegado para asuntos comerciales en la embajada argentina. En virtud del carácter neutral de la nación de origen es que la familia puede hallar acogida en Zürich, y luego en Barcelona. En esta última ciudad reside hasta los tres años y medio, periodo durante el cual frecuenta el Parc Guell, si bien tan sólo sabría conciliar estos recuerdos como tales al acudir ulteriormente al recinto de sus juegos infantiles en 1949, para su primera travesía a Europa, apenas desembarcado en el puerto catalán: “Formas extrañas, mayólicas de colores.” De pronto le complacía saber que su admiración por Gaudí datara de antiguo. La familia regresa a Argentina en 1918. Dos años después el padre se desentiende de ellos sin más. Julio y su hermana menor quedan a la sola procura de la madre, quien “con dificultades económicas muy graves” se las arregla para sacarlos adelante. Como se verá, este abandono incide sustancialmente en el futuro del chico de seis años. Por lo que se sabe, Cortázar se abstiene de por vida de toda indagación en pos del paradero paterno. Únicamente viene a enterarse de la muerte del padre muchos años después de acaecida en virtud de un parte notarial, asunto que ningún provecho le reporta.

Se habían instalado en Banfield, una localidad a media hora de Buenos Aires por tren, donde Cortázar vivió de los cuatro a los diecisiete años: Era ese tipo de barrio, sumamente suburbano, que tantas veces encuentras en las palabras de los tangos: calles no pavimentadas, pequeños faroles en las esquinas, una pésima iluminación que favorecía el amor y la delincuencia en partes iguales, y que hizo que mi infancia fuera una infancia cautelosa y temerosa, porque las madres tenían mucho miedo por los niños. Había un clima a veces inquietante en esos lugares. Y al mismo tiempo era un paraíso: la casa tenía un gran jardín que daba a otros jardines. Un jardín lleno de gatos, perros, tortugas y papagayos: un paraíso. Pero en este jardín ya era yo Adán, en el sentido de que no conservo recuerdos felices de mi infancia –demasiadas tareas, sensibilidad excesiva, tristeza frecuente, asma, brazos rotos, primeros amores desesperados (mi cuento Los venenos tiene mucho de autobiográfico). Sin embargo, ése era mi reino, y he vuelto a él, lo he evocado en algunos cuentos, porque aún hoy lo siento muy presente, muy vivo.

La madre, Hermina Descotte, de ascendencia francesa y alemana, domina tres idiomas desde la infancia; se trata de una mujer culta, hija de intelectuales orillados al exilio, entregada a la literatura. De golpe se ve en la necesidad de emplear sus dotes a fin de sobrevivir, para lo cual le habrían resultado más que suficientes en ese entonces de haber sido hombre, pero en su

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Julio Cortázar. Iconografía, FCE, México, 1985.

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Libreta de enrolamiento, Buenos Aires, 1933.

condición de mujer todo a lo que pudo aspirar fue a empleos informales y mal pagados. Es de suponer que la precoz y marcada inclinación de nuestro autor por las letras respondiera a la imperturbada atmósfera materna: tan es así, que ya antes de la adolescencia se reconoce diferente a los demás niños en virtud de una aplomada aceptación de lo fantástico y lo sobrenatural producto de su ya para entonces vasto bagaje de lecturas, a diferencia de ellos que no entendían más que de cuentos de indios y vaqueros. De sus albores como escritor refiere: “Como todos los niños aficionados a la lectura, pronto comencé a querer escribir. Acabé mi primera novela cuando contaba nueve años de edad. Era una novela muy lacrimógena, muy romántica, en la que todo el mundo moría al final.” La primera adolescencia lo encuentra bajo el influjo de Edgar Allan Poe –cuyas obras completas habría de traducir a la postre–, época en la cual pergeña algunos sonetos, “un plagio involuntario de Poe, poemas de amor a una compañera de clase, de la que yo estaba enamorado fatalmente, con un amor que sólo podía acabar en la muerte”. Este inocuo ejercicio le vale la incursión definitiva al

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mundo de los adultos, relativo y precario, y el ser arrancado de “ese mundo de inocencia y de total confianza en el que se había creído” cuando recibe un duro golpe, pues su madre, nada menos, le depara “un dolor infinito, un dolor de niño”, al hacerse eco de un familiar dudando de su autoría y, por ende, de él mismo. Obtiene el título de maestro de primaria al terminar la secundaria y ulteriormente el de Maestro Normalista (1932) y Profesor Normal en Letras (1935). A los veintiún años se inscribe en la Facultad de Filosofía y Letras, mas se ve obligado a darse de baja y abocarse de lleno a la docencia, puesto que siendo “el único varón de la casa” se siente con la obligación de asumir la carga económica de su hermana y su madre. Entretanto se dedica a escribir, y en 1938 aparece su libro de poemas Presencia, bajo el seudónimo de Julio Denis. El magisterio lo lleva por diversos colegios e institutos del interior en un lapso de seis años, hasta que en 1945 es adscrito a la Universidad de Cuyo, en la provincia de Mendoza, para impartir clases de Literatura a jovencitas. Mas no duraría mucho en el cargo; la gente en la Facultad estaba muy politizada; o se estaba con la izquierda o con la derecha, y aunque a él no le interesa la militancia, ni siquiera la política, participa en la toma de la Universidad para evitar su clausura; se encarga de elaborar las pancartas, y lo hace con singular ingenio, a decir del presidente de los estudiantes. Acaba por declinar ante la aplanadora peronista. Se traslada a Buenos Aires, donde consigue colocación como gerente en la Cámara Argentina del Libro, a más de ejercer la traducción del inglés y del francés cuando la oportunidad se presenta. Es en esos tiempos cuando un joven muy alto, con facciones de niño, se apersona cuento bajo el brazo en la redacción de la revista Anales de Buenos Aires para someterlo a consi-

deración del director, quien no es precisamente fácil de complacer: al leerlo, Jorge Luis Borges queda gratamente sorprendido y Casa tomada es el primer relato de Cortázar en publicarse (1946). En 1948 se recibe como traductor público de inglés y francés, cursando en dos semestres lo que normalmente se hace en seis. Por lo que hace a su actividad como traductor literario destacan obras de André Gide, Alfred-Stern, lord Hughton, Jean Giono, G. K. Chesterton y, desde luego, las de Poe, que culmina al rondar los cuarenta años. En 1949 hace un viaje exploratorio a Europa, mas no es sino hasta dos años más tarde que se radica en París, de una vez por todas: “Me reconozco europeo.” Tiene que hacer de todo para complementar la simbólica beca que el gobierno francés le otorga. Con el tiempo se emplea como traductor independiente en la Unesco, institución en la que laborará de por vida. En 1981 se le concede la ciudadanía francesa.

Relatos más representativos Cortázar afirma que “en el cuento se gana por knockout: en la novela, por puntos”: Yo creo que nadie ha definido hasta hoy un cuento de manera satisfactoria, cada escritor tiene su propia idea del cuento. En mi caso, el cuento es un relato en el que lo que interesa es una cierta tensión, una cierta capacidad de atrapar al lector y llevarlo de una manera que podemos calificar casi de fatal hacia una desembocadura, hacia un final. Aunque parezca broma, un cuento es como andar en bicicleta, mientras se mantiene la velocidad el equilibrio es muy fácil, pero si se empieza a perder velocidad ahí te caes y un cuento que pierde velocidad al final, pues es un golpe para el

Ante todo, resulta conveniente, acaso imperioso, detenernos aquí en el elemento fantástico, por cuanto, más que un motivo recurrente, es el elemento esencial de la narrativa de nuestro autor. El sentimiento de lo fantástico, como le gusta llamarlo, nos dice: …porque creo que es sobre todo un sentimiento, e incluso un poco visceral, me acompaña a mí desde el comienzo de mi vida, desde muy pequeño, antes, mucho antes de comenzar a escribir. Yo vi siempre el mundo de una manera distinta, sentí siempre que entre dos cosas que parecen perfectamente delimitadas y separadas, hay intersticios por los cuales, para mí al menos, pasaba, se colaba, un elemento, que no podía explicarse con leyes, que no podía explicarse con lógica, que no podía explicarse con la inteligencia razonante.

Conque la capacidad de asombro juega un papel primordial en la vida, literaria y no literaria, de quien nos ocupa, y más que eso, se revela como una fuerza numinosa que lo remite a cuestionarse la sospechosa contundencia de las cosas y los sucesos –de los asuntos, por más mundanos– y probar a colarse por entre los intersticios, desembarazado de aprehensiones racionalistas de índole formal que, por medio de la culpa, susciten el sentir pecaminoso de que se está rompiendo de manera irresponsable con un pacto. “Ahora bien, si de ahí, ya en una forma un poco más concreta, nos pasamos a la literatura, yo creo se estará en general de acuerdo que el cuento, como género literario, es un poco la casa, la habitación de lo fantástico.” Esta dilucidación es crucial para entender la entera obra narrativa del autor, de suyo heterogénea, a fin de dilucidar la tentativa que la suscita y, en cualquier caso, para evitar caer en el lugar común de interpretar sus cuentos como un mero aserto experimental o llano alarde de destreza técnica.

autor y para el lector.

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A los dos años, en Suiza, 1916.

Fotos: Julio Cortazár, Iconografía, FCE, México, 1985.

La madre y la abuela de Julio Cortázar, Buenos Aires, ca. 1898.

Con su madre en Austria, 1963.

Con su primera esposa, Aurora Bernárdez, en la India.

París, 1976. Con su gato T.W. Adorno, 1981.

Fotos: Julio Cortazár, Iconografía, FCE, México, 1985.

Con Carol Dunlop en Francia.

Con Gabriel García Márquez, 1974.

En París, 1976.

Julio Cortázar. Iconografía, FCE, México, 1985.

Inscrito dentro de la pauta marcada por el relato señero de Tsuoang-Tsoe, en el que sueña ser una mariposa que sueña ser el propio Tsuoang-Tsoe, La noche boca arriba plantea un estado de cosas en el que la vigilia del soñador inicial va siendo desplazada por la de un soñado a medida que ambas se dejan traslapar en la peculiar mecánica del sueño. Las cosas se suceden de tal manera que un motociclista hospitalizado es frecuentado por una pesadilla en la cual encarna a un indígena de tiempos prehispánicos; éste va a ser sacrificado en tanto aquél va a ser intervenido quirúrgicamente; el primero acaba de sufrir un accidente vial, el segundo ha sido capturado al fragor de las guerras floridas, y sueña a su vez que deambula por una ciudad estrambótica montado en un “insecto de metal”. ¿Qué es primero, el huevo o la gallina? ¿Qué realidad ha de primar?, ¿la que tiene derecho de antigüedad?, ¿la más reciente?, ¿en el tiempo o en la historia? Las simetrías se conmutan una a una; la conciencia traspasa la gradiente onírica y acaba de un otro lado que es este lado, el único concebible. De muy diverso cuño es Instrucciones para John Howell. Nadie podía haber anticipado a Rice, ciudadano británico como hay tantos, que aquella noche habría de ser su debut y despedida en el teatro, al cual acudía como simple asistente. La aventura lo pesca al término del primer acto, cuando es instado a pasar a camerinos y, una vez ahí, le encasquetan vestuario –pelucas y anteojos incluidos– e instrucciones para interpretar un personaje, John Howell, cosa que acepta al darse cuenta de que existe una amenaza latente de por medio. Sale a escena dispuesto a improvisar atendiendo a las susodichas instrucciones, y no pasa mucho antes de percatarse, o creer que se percata, de que la vida de la protagonista peligra a manos de los demás personajes. A fin de impedir un desaguisado y

En París.

generar una oportunidad de escapar, resuelve hacer caso omiso de sus instrucciones, acierta a desconcertar a sus compañeros, boicotea la obra sin que el público parezca reparar en ello, y al final logra evadirse del entuerto. Lo más curioso de este cuento, sin embargo, es una famosa anécdota ligada misteriosamente a él. Resulta que a manos de Cortázar llega una misiva firmada por un John Howell. Esta persona asegura ser estudiante de la Universad de Columbia, estar familiarizado, y aun entusiasmado, con la obra de Cortázar. Refiere haber viajado a París con el propósito de conocer la ciudad que tanto ama su admirado autor, y que es sólo por timidez que al final no se atreve a ir a buscarlo; por contraparte, empero, a manera de homenaje, para sentirse vinculado a él, escribe un cuento que tiene por protagonista al propio Cortázar. Al volver a Nueva York se encuentra con un amigo que tiene una compañía de teatro amateur, quien lo invita a participar en una representación, a sabiendas de que no es actor. El hombre acepta ante el expediente de que uno de los del grupo ha caído enfermo y se aprende el papel. Por esos días acude a una librería y se topa con un libro de cuentos que incluye justamente Instrucciones para John Howell.

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Los parques comunicantes

Rayuela

Obra de Julio Cortázar

De Rayuela (1963) se ha dicho que es la novela de los escritores, como el propio Cortázar es un escritor para escritores. Lo cierto es que marca un parteaguas en las letras hispánicas por muchas y muy diversas razones. Con ella, Cortázar se plantea un proyecto desmesurado. De entrada, va a romper con la convención de ponerse saco y corbata para escribir; no ve impedimento para hacerlo en mangas de camisa. La prosa por sí misma ha de tender un puente entre el lector y lo escrito, ha de enlazar al que lee y comprometerlo mediante una cadencia que surta el efecto de un diálogo intramental. Por otra parte, busca crear una obra que no sólo haga partícipe al lector –tentativa que ha consolidado en sus cuentos y que nunca habría de relegar– sino que renuncie a subsumir al lector en medida alguna, a prescribirle un final, incluso una trama, o todavía más lejos, un orden siquiera. Acierta a un escrito totalmente abierto que dé cabida y pábulo al lector, a un texto cuya lectura se constituya en coautoría. Por lo que hace a la búsqueda metafísica de la que tanto se ha discutido, Oliveira, el protagonista, se debate en los miasmas parisinos, y luego argentinos, de una búsqueda que no admite convencionalismo alguno. La existencia descarnada en un mundo que no se acepta –ni puede aceptarse– tal como es, plantea por sí sola un dilema que, de suyo, excluye toda solución de continuidad. Ahora, y como ha insistido en señalar el autor, Oliveira es en el fondo un optimista precisamente porque arremete contra la falsedad, los sistemas filosóficos, la política; porque puede darse el lujo de comprobar que el mundo está mal, porque no se abstiene de pole-

1938 - Presencia, El Bibliófilo, Buenos Aires. 1949 - Los reyes, Gilab y Aldabaor, Buenos Aires. 1959 - Las armas secretas, Sudamericana, Buenos Aires. 1960 - Los Premios, Sudamericana, Buenos Aires. 1962 - Historias de Cronopios y Famas, Minotauro, Buenos Aires. 1963 - Rayuela, Sudamericana, Buenos Aires. 1964 - Final del juego, Sudamericana, Buenos Aires. 1965 - Fantomas contra los vampiros internacionales, Gente del Sur, Buenos Aires. 1966 - Todos los fuegos el fuego, Sudamericana, Buenos Aires. 1967 - La vuelta al día en ochenta mundos, Siglo XXI, México. 1968 - 62 Modelo para armar, Sudamericana, Buenos Aires. 1968 - Último round, Siglo XXI, México,. 1970 - Viaje alrededor de una mesa, Sudamericana, Buenos Aires. 1971 - Pameos y Meopas, Ocnos, Barcelona. 1972 - Prosa del observatorio, Lumen, Barcelona. 1973 - Libro de Manuel, Sudamericana, Buenos, Aires. 1974 - Octaedro, Alianza, Madrid. 1977 - Alguien que anda por ahí, Alfaguara, Madrid. 1978 - Territorios, Siglo XXI, México. 1979 - El perseguidor y otros cuentos, Bruguera, Barcelona. 1979 - Un tal Lucas, Alfaguara, Madrid. 1981 - Queremos tanto a Glenda, Alfaguara, Madrid. 1982 - Deshoras, Nueva Imagen, México. 1983 - Los autonautas de la cosmopista, Muchnik Editores, Buenos Aires. 1984 - Nicaragua tan violentamente dulce, Muchnik Editores, Buenos Aires. 1984 - Libro del crepúsculo, Nueva Imagen, México.

mizar ni de suscitar crisis, a sabiendas de que no va a acabar bien parado. De no ser un optimista, en cualquier caso, no queda más que descerrajarse un tiro o tomar la vida como viene. Si Rayuela es una novela que está a la altura de las búsquedas que asume, eso está por averiguarlo quien se aventure por las casillas de este gran juego.

Bibliografía ALAZRAKI, Jaime, En busca del unicornio; los cuentos de Julio Cortázar, Gredos, Madrid, 1983. PREGO, Omar, La fascinación de las palabras; conversaciones con Julio Cortázar, Muchnik Editores, Barcelona, 1985. YURKIEVICH, Saúl, Julio Cortázar, el calor de tu nombre, Ed. Legasa, Buenos Aires, 1987.

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Sentidos y significados

La función fática de la lengua Arrigo Coen Anitúa

uerámoslo o no, nuestra condición de seres gregarios nos obliga a ser también seres sociales. El autor de Robinson Crusoe tuvo que darle a su protagonista un interlocutor para apuntalar, mediante posibles situaciones comunicativas, el edificio de su integridad moral, puesta en riesgo por la soledad en que se encontró el célebre náufrago. Donde y cuando quiera que dos seres humanos estén, no podrán resistir el impulso de comunicarse. Las experiencias culturales de cada uno de ellos son las que condicionarán que el coloquio sea cómodo, interesante o desigual y, en consecuencia, desesperante para alguno de ellos. De las cartas intercambiadas entre Jorge Luis Borges y su amigo de siempre Maurice Abramowicz, en una, fechada en Palma de Mallorca el 12 de junio de 1919, nuestro genial argentino relata un diálogo que hubo de sostener con cierto sujeto con el que se encontró mientras ambos hacían antesala en espera de ser atendidos. Si el cortés lector o mi gentil lectora hace caso omiso de los agregados que entre paréntesis pone Borges, se percatará inmediatamente de lo insulso que fue el dicho diálogo por culpa de la terca curiosidad, hija de su ignorancia que acerca de Suiza revelaba su joven interlocutor He aquí el diálogo, tal como Jorge Luis lo trascribe: Yo: Hace calor. El joven: Mucho calor. Un silencio El joven: ¿Hace mucho que está usted por aquí? Yo: ¿En España? Alrededor de un mes; pero vengo de Suiza. El joven: ¡Ah! Por allá hace más frío. Yo: En efecto. Silencio. El joven: Debe haber muchas montañas. Yo: ¡Oh, sí! El joven: Suiza es el país más accidentado de Europa. Yo: Sí Silencio. El joven: ¿Usted viene de…?

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La función fática de la lengua

Yo: de Ginebra. El joven: ¿Es bonita? Yo (ditirámbico): ¡Espléndida!, ¡Qué vida, qué animación, qué alegría! ¡Ahí hay de todo! Además, la ciudad es tan hermosa con el lago y el Ródano y… El joven (sagaz): Hay muchas relojerías en Ginebra, ¿no? Yo (estupefacto): Sí… más bien… El joven (queriendo aprender cosas útiles): Los relojes son lo único que exporta Suiza, ¿no? Yo: También está el chocolate… El joven (voraz): ¡Ah, el chocolate! Yo: …y las máquinas, y la leche… El joven (cortante): Es más bien Holanda la que exporta leche. Yo: … El joven: Pero usted, usted no es suizo, usted es… ¿americano?, ¿argentino? Yo: Argentino, de la muy noble ciudad de Buenos Aires. El joven: (en tono astuto y perspicaz): Lo había adivinado por su acento. (Volviendo a la carga.) En Suiza se hace mucho alpinismo, ¿no? Te ahorro el resto. Nuestro diálogo siguió así durante un cuarto de hora largo sin que perdiera ese carácter fundamental de imbecilidad.

En nuestra realidad cotidiana no escasean las ocasiones en que, para romper un ominoso silencio –por demás incómodo para los casuales interlocutores–, comenzamos a hablar sobre un tema cualquiera –por lo regular el estado del tiempo, como en el caso de Borges–, aunque no tengamos nada de qué informar a nuestro ocasional compañero de situación. A esta función, la de mantener abierto el canal comunicante de la lengua, llaman los lingüistas función fática, o sea, ‘del habla’. En el adjetivo fático, a, reconocemos el morfema fa-, latino, de fari, ‘hablar’, - el misy automáticamente podemos remontarlo a la raíz indeuropea bha-, con mo significado. Parece que fue el lingüista Malinovski, del conocido Círculo de Praga, quien propuso la introducción de la función fática en los estudios de la lengua (H. Beristáin).

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Problemas sin número

Una porción justa Claudia Hernández García Daniel Juárez Melchor

Abro los ojos, veo el espectáculo del mundo y, claro, me maravillo. Entonces, para pensar la maravilla, considero las dos opciones que se abren ante mí. Una: el mundo es un mundo de preguntas y mi tarea es buscar las respuestas. La otra: el mundo es un mundo de respuestas y a mí me toca descubrir de qué preguntas. Las dos actitudes son aceptables, pero muy diferentes. En la primera actitud, la mente se pone en el centro del Universo y se pregunta el porqué o el para qué de las cosas. Su preocupación aquí es la causalidad y la finalidad de todo lo que acontece. En esta opción las preguntas son siempre las mismas y lo que cambia, de vez en cuando, es la variedad de las respuestas. Por este camino se llega, más temprano que tarde, al conocimiento revelado y a las creencias. La historia de creencias es la historia de las buenas respuestas. Se avanza cuando cambia la respuesta. La pregunta es pura rutina. En la otra actitud, la mente intenta excluirse a sí misma del centro del Universo y se despreocupa más sobre el cómo de las cosas, es decir, se preocupa por la inteligibilidad de todo lo que ocurre. Este camino conduce, más tarde que temprano, al conocimiento científico y a la investigación. La historia de la ciencia es la historia de las buenas preguntas. Se avanza cuando cambia la pregunta. La respuesta es casi una rutina. Un paradigma es una buena tregua entre dos buenas preguntas.* Jorge Wagensberg**

La actividad que proponemos en este número de Correo del Maestro está pensada para alumnos de primero de secundaria en adelante. Suge-

rimos que primero trabajen en parejas y después se lleve a cabo una dinámica grupal para discutir las soluciones de cada equipo.

* Tomado de Si la naturaleza es la respuesta, ¿cuál era la pregunta?, Jorge Wagensberg,Tusquets, Barcelona, 2003, pp.11-12. ** Jorge Wagensberg es doctor en Física y profesor de la Universidad de Barcelona, además de ser un activo investigador y pensador de la ciencia. Dirige la colección de libros científicos ‘Metatemas: libros para pensar la ciencia’ y desde 1991 es director del Museu de la Ciència de la Fundació ‘La Caixa’.

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Una porción justa

Actividad:

1. Lorena tiene 2 hijos llamados Juan y Jaime, para quienes todos los fines de semana compra un pequeño pastel de fresas. Como ya era costumbre, ninguno de los niños quedaba satisfecho con la mitad de pastel que le tocaba, pues ambos argumentaban que les había tocado el pedazo más pequeño. Como siempre, Lorena les compró el pastel, pero esta vez no podía ser ella la que se los repartiera porque tenía que salir. Antes de irse dejó una nota sobre la mesa pidiéndoles que compartieran el pastel ellos solos de manera que ambos quedaran satisfechos con la porción que escogieran. ¿Cómo harías tú para repartir el pastel de la manera más justa posible? 2. El caso de Luis es más grave porque él no tiene dos, sino tres hijas que son trillizas. Sus nombres son Laura, Berenice y Elizabeth. En cada cumpleaños les compra un pastel para ellas solas, pero siempre tienen la misma discusión: cada niña dice que el pedazo que le toca es más pequeño que el de sus hermanas. Para que dejaran de pelear, Luis les propuso que él cortaría el pastel, pero que ellas tenían que decidir cómo. Como ellas habrían decidido dónde hacer los cortes, tendrían que quedar contentas con su pedazo y deberían dejar de pelear. ¿Cómo crees que se las hayan arreglado?

Soluciones: Como la solución a estos problemas no es única, te invitamos a que intentes encontrar otras. 1. Primero hay que considerar que sólo uno de los niños tendrá el cuchillo en sus manos y cortará el pastel. La repartición más justa será aquella en la que el primero que escoja su pedazo no sea el que haya cortado el pastel. Ante la posibilidad de que su hermano le deje el pedazo más pequeño, el que corte el pastel procurará hacerlo justo por la mitad. Ambos tendrán que quedar satisfechos porque el que corta lo habrá hecho de la manera en que cualquier porción que le toque le parecerá justa y el otro tendrá la oportunidad de escoger la porción que a él le parezca más grande. 2. A Luis y sus hijas se les ocurrió esta manera de hacer la repartición. Luego de hacer un primer corte, él moverá el cuchillo por encima del pastel y en el momento en el que cualquiera de ellas grite “córtale”, hundirá el cuchillo y la rebanada se la entregará a la hija que haya gritado. Lo mismo hará para la segunda y dejará el último pedazo a la tercera. La primera niña a la que Luis le da la rebanada de pastel tendría que estar satisfecha con la porción que le tocó porque de lo contrario no habría gritado. La segunda también tendría que estar contenta porque no gritó para quedarse con la primera rebanada ya que el primer pedazo que se cortó no le parecía justo todavía. Esta segunda vez ella habría gritado cuando la rebanada le pareció lo suficientemente grande. La tercera niña también tendría que estar contenta porque, al no gritar la primera ni la segunda vez, habría considerado que el tamaño de las primeras rebanadas no era suficientemente grande para ella, así que se esperó hasta el final. Las tres niñas tendrían que gritar cuando consideraran que su pedazo era muy cercano a la tercera parte del pastel, porque si no se ponían abusadas, se arriesgaban a que les tocara un pedazo más pequeño que el de sus hermanas.

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Abriendo libros

Una botella al mar en busca de su isla* Francisco Emilio de la Guerra

l escritor uruguayo Mario Benedetti (Paso de los Toros, 1920) nos entrega en cada libro fragmentos de su ser profundo y secreto, guiños que afloran como poemas y cuentos para acompañar los sueños de la vigilia cotidiana. Su último texto, El porvenir de mi pasado, es un nuevo inventario del estado de su alma tras el cambio de milenio y el afianzamiento de esa ya no tan nueva crisis de paradigmas, conocida como postmodernidad. En consecuencia, El porvenir de mi pasado es un volumen vertiginoso en un doble sentido: primero, por la brevedad de sus textos (cuentos y poemas), que dejan sin aliento espiritual, y segundo, por la conciencia de los escasos asideros a los que se agarran sus personajes y lectores para no caer en este vértigo de la época actual. Mario Benedetti ha sido un autor con una preocupación constante por el tiempo y sus estragos en las pequeñas alegrías cotidianas, un escritor descontento con los tonos grises de la vida en Montevideo o en cualquier parte. Sin embargo, también es un optimista irredento y angustiado, que confía en el triunfo de la belleza o de la poesía incluso después de las peores pesadillas. El porvenir de mi pasado está dividido en cuatro partes o cuatro tiempos, que corren del porvenir al pasado y viceversa, porque en el autor uruguayo todo es viceversa, como la felicidad o la tristeza, el amor o el desamor, el exilio y los viajes. El pórtico del libro, que lleva el mismo título, es un prosema que explica el espíritu que ani-

ma el volumen, como una botella al mar, pero vacía. ‘Eso fui’, dice el poeta, pero la imagen de ese porvenir, de ese pasado, de esa ‘botella sin mensaje’, es precisamente el mensaje, un vacío contemporáneo que hay que llenar con las primaveras a destiempo, los niños con amaneceres de torres de sol, las esperanzas trepadoras de la adolescencia, los trabajos para mulas, los colores y los insomnios, deseos e inclemencias; un porvenir por corregir, un pasado por vivir, sufrir y gozar después de olvidados y descifrados. “Y pensar que todo estaba allí, lo que vendría, lo que se negaba a concurrir…” En el apartado ‘El gran quizás’, las historias se deslizan en una muerte con demasiadas aris-

* Reseña del libro El porvenir de mi pasado, de Mario Benedetti, Alfaguara, México, 2003.

Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

Una botella al mar en busca de su isla

tas, desde aquellas que son como fantasías liberadoras para viudas y viudos, los pobres consuelos de gente simple y buena, hasta las exploraciones en busca de prodigios, nada más por dejar de aburrirnos, como en ‘El hallazgo’, con una lluvia de hojas secas en pleno verano. Pero también en la muerte hay buenos amigos, como los compañeros de Medardo, quienes aburridos del soporífero más allá van a relatarles desde su triste porvenir su aún más triste pasado de liquidaciones, como la de un pianista y su piano desplazado por las desafinadas invenciones musicales del presente. O también la muerte como turista de una de nuestras ciudades (Montevideo o la Ciudad de México), aburrida como nosotros, aunque por suerte para ella algunos, por un azar desgraciado, le den bastante y agotador trabajo y conviertan países y urbes en cementerios y viceversa, para que la Parca sea cada vez más escéptica: “Menos mal que no hay Dios, masculló la muerte con su voz cavernosa. Si hubiera Dios y viniera a disputarme el azar, no tendría más remedio que morirme”. Pero no todo estuvo perdido en este porvenir sin esperanzas, y el poeta lo dice: “Sin querer me metí en una utopía y no pude salir”, pero “cuando al fin/no sé cómo/salí de aquel ensueño/la utopía hechicera ya no estaba/y el mundo me ofrecía/mal humor y abandono.” Sí, y parece que la utopía se ha vuelto instantánea y desechable, como cambiar las cartas por faxes o correos electrónicos, o la obsolescencia de los suicidios, de los espacios de juventud, de la nostalgia a cambio de la precisión de las computadoras, que sin embargo no pueden reparar este pretérito imperfecto. En fin, que Benedetti no es ajeno a los infortunios de la utopía, que también tiene su pa-

Correo del Maestro. Núm. 99, agosto 2004.

sado en un futuro incierto en el que hasta las mujeres pierden el ombligo y en vez de transformarse en ángeles son encarnaciones de una pequeña tragedia en el paraíso terrenal. “Contempló a la mujer desnuda y la mirada fue sobre todo de piedad.” ‘Brindis’ es otra puerta en esta casa de ladrillos de Benedetti, una exaltación de una ebriedad gozosa, liberadora, llena de alegría y “remotas infancias de los viejos y las futuras vejeces de los niños”, un brindis “por los jóvenes poetas que cuentan las monedas y las sílabas”. También es la reconciliación de las historias, de los jardines que se bifurcaron en tiempos de cólera, en ‘Amores de anteayer’ que encuentran su sentido en el recuerdo y el futuro, en las pausas de los vinos bebidos hasta alcanzar la última gota y el ‘Amor en vilo’ o en vuelo. Y por último (o por principio) ‘La tristeza’, esa parcela que aramos cotidianamente para que de ella nazca tenue la alegría, pues “no hay tristeza amputada de esperanza/ni alegría sin ásperos presagios/la pobre vida es una encrucijada/de regocijos y fracasos”. ‘La tristeza’ como una enfermedad que sólo se cura con la muerte, cuya alegría se desvanece en la esperanza de continuar con una vida triste. La tristeza, como síntoma de las ‘Realidades que se acaban’, dentro o fuera de nosotros, y que se deben reinventar para escapar de los calabozos y los malos sueños. El porvenir de mi pasado, ese ‘Túnel en duermevela’ que cruzamos un día en busca de aventuras y nos regresó a un pasado decrépito sin la esperanza de ser nosotros, atrapados en la piel y los miedos de nuestros antepasados. Y todo estaba ahí, en el pasado, en esa esperanza por la que los personajes de Benedetti viven y mueren.