Correo del Maestro Núm. 128 - Enero de 2007 by EDILAR

Conocer para conservar V

ISSN 1405-3616

El programa de Filosofía para niños en la enseñanza de las matemáticas María del Carmen Oliver

La cábala en Borges Daniel Nicolás Rodríguez

Isaac Newton (1642-1727) Héctor Domínguez Julieta Fierro

Aceleración gravitacional Helber Baptista de Souza

De la prolífera raíz indeuropea wer-2 Arrigo Coen Anitúa

Animales mexicanos del bosque de niebla en peligro de extinción Alejandra Alvarado Annelies Alvarado

9!BLF?E@:RUPUOV!

México, D. F. Enero 2007. Año 11 Número 128

Revista mensual, Año 11 Núm. 128, enero 2007.

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Asistente editorial Celina Orozco Correa Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz Roberto Markarian Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Ana Lilia Estrella Producción editorial Rosa Elena González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

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Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Editorial

Lograr que el alumno integre los distintos conocimientos que a lo largo de su educación adquiere es una meta perseguida por el ejercicio docente, y para ello es importante generar modelos de clase flexibles y multidisciplinarios. Con esta premisa, Correo del Maestro ha preparado un número donde la historia, la física, la literatura, la matemática y la filosofía dialogan y nos enriquecen. Para comenzar los trabajos del 2007, Julieta Fierro y Héctor Domínguez nos recuerdan que hace 280 años murió uno de los personajes más revolucionarios e importantes para el avance de la ciencia: Isaac Newton. Un ameno recorrido por su biografía dan marco al estudio de sus aportes a la mecánica y a la óptica en el área de la física, y al cálculo diferencial e integral en las matemáticas. La caída de los cuerpos es un problema antiguo. Basándose en la experimentación y en la matemática, Galileo describió cómo los cuerpos caen y logró esclarecer que lo hacen con una velocidad creciente a la que llamamos aceleración. Más tarde, Newton añadió a los trabajos de Galileo sus descubrimientos sobre la fuerza gravitacional. Con algunos ejemplos prácticos, Helber Baptista nos acerca al concepto de aceleración gravitacional. El teólogo y astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) opinaba que la lengua de Dios podía encontrarse en las matemáticas y en la música; los cabalistas encuentran a la divinidad en cada letra de las Sagradas Escrituras, y para algunos literatos la escritura es divina en más de un sentido… Tales postulados son tema del artículo La cábala en Borges, de Daniel Rodríguez. Por su naturaleza, algunas materias se prestan más que otras para indagar alrededor de problemas filosóficos, pero es evidente que el lenguaje y las ciencias representan un crisol perfecto para hacerlo. La aplicación del programa Filosofía para niños en la enseñanza de las matemáticas es la propuesta de la profesora María del Carmen Oliver. Con esta entrega damos por terminada la serie de artículos sobre la extinción. Agradecemos a las investigadoras Alejandra Alvarado y Annelies Alvarado el importante aporte que han hecho para la divulgación del conocimiento y la preservación de las distintas especies mexicanas que se encuentran en riesgo de desaparecer. Asimismo, enviamos nuestros saludos al maestro Arrigo Coen Anitúa, a quien agradecemos que nos acompañe un año más en esta aventura plena de Sentidos y significados. Correo del Maestro

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Entre nosotros

Aceleración gravitacional.

Helber Baptista de Souza

Pág. 5

Antes del aula

Isaac Newton (1642-1727). Héctor Domínguez y Julieta Fierro

Pág. 11

Animales mexicanos del bosque de niebla en peligro de extinción. Alejandra Alvarado Zink y Annelies Alvarado Zink

Pág. 15

Certidumbres e incertidumbres

El programa de Filosofía para niños en la enseñanza de las matemáticas. María del Carmen Oliver Pesqueira

Pág. 40

Artistas y artesanos

La cábala en Borges. Daniel Nicolás Rodríguez León

Pág. 45

Sentidos y significados

De la prolífera raíz indeuropea wer-2. Arrigo Coen Anitúa

Pág. 53

Problemas sin número

Dominó de palabras. Claudia Hernández García y Daniel Juárez Melchor

Pág. 55

Abriendo libros

Cómo enseñar la geometría Roberto Markarian y Nelson Möller

Pág. 57

Maestros en red

Pág. 60

Portada: Escarlet Vanessa Ogando, 4 años. Páginas a color: Conocer para conservar V, pp. 25-36.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Entre nosotros

Aceleración gravitacional Helber Baptista de Souza

odo cae, por lo menos en la Tierra. Tal vez estamos tan acostumbrados a este fenómeno que ni siquiera nos preguntamos por qué los cuerpos caen. Es muy común encontrar en los periódicos noticias sobre nuevos descubrimientos en Marte, ¿será que en Marte los objetos también caen? De hecho así sucede. ¿Y será que caen del mismo modo que caen en la Tierra? Para responder a esta última pregunta es preciso saber qué parámetros físicos determinan el valor de la gravedad. La cuestión de la caída de los cuerpos es un problema antiguo; tal vez Aristóteles haya sido el primero que intentó buscar una respuesta, pero sin éxito. Mucho tiempo después, Galileo Galilei se ocupó con este problema, no buscó responder el porqué de la caída de los cuerpos, sino que solamente se limitó a describir cómo los cuerpos caen. Basándose en la experimentación y en la matemática, Galileo nos esclarece que los cuerpos siempre caen con velocidad creciente, y no solamente eso: desconsiderando el efecto del aire, observó que el incremento de la velocidad a cada segundo era siempre igual; a ese incremento de la velocidad a cada segundo la llamamos aceleración. Aceleración es, justamente, una medida que expresa la alteración del movimiento, no obstante, nada nos dice acerca de la causa de esta alteración. Podemos caracterizar la alteración del movimiento de un cuerpo solamente de tres formas: cuando la velocidad del cuerpo aumenta, cuando la velocidad disminuye o cuando el cuerpo hace una curva. Por lo tanto, cuando un cuerpo se mueve en línea recta y siempre con la misma velocidad su movimiento no tiene alteraciones, y decimos que su aceleración es nula.1 Si tomamos, por ejemplo, las órbitas de los planetas, podemos ver que sí existe una aceleración actuando en sus movimientos, pues hacen una curva. Es cierto que la alteración del movimiento de un cuerpo no surge de la nada, existe una causa específica, a esta causa la llamamos fuerza. Fuerza es un “tirón” o un “empujón”, así, fuerza y aceleración son medidas que expresan cosas diferentes, pero tienen una relación entre sí. La ciencia física reconoce en la naturaleza apenas cuatro tipos diferentes de fuerza, de modo que todos los acontecimientos en el universo están relacionados 1

Son muy raros los casos de movimiento de cuerpos en la naturaleza cuya aceleración es nula.

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Aceleración gravitacional

a una o más de éstas: la fuerza electromagnética, la fuerza nuclear fuerte, la fuerza nuclear débil y la fuerza gravitacional. Cada una de ellas imprime una alteración en el movimiento de los cuerpos en que actúa. El término aceleración gravitacional es usado cuando nos referimos a la alteración de la velocidad de un cuerpo debido a la acción de la fuerza gravitacional. Hoy es sabido, gracias al trabajo del científico Isaac Newton, que el valor de la aceleración gravitacional es determinado por medio de tres valores: la masa del cuerpo (en nuestro caso la Tierra), la distancia hasta el cuerpo que causa la gravedad y una constante. La relación matemática2 se puede expresar en estos términos:

g = G x M / r2

(1)

En esta ecuación el término “G” se llama constante de gravitación universal. Su valor es muy pequeño, vale 6.67x10 -11 Nm 2/kg 2 (este número puede ser escrito también como 0.0000000000667). El término “M” representa la masa del cuerpo celeste en cuestión, puede ser la masa de la Tierra o de otro cuerpo celeste cualquiera (el Sol, Mercurio, etc.). El término “r” representa la distancia hasta el centro del cuerpo (por ejemplo, si queremos obtener el valor de la gravedad en la superficie de la Tierra, la medida de “r” sería la distancia de la superficie hasta el centro del planeta, en este caso, el radio de la Tierra).Así, cuanto mayor sea la masa y menor el radio, más grande será la aceleración gravitacional. Para la Tierra, aplicando los valores de masa y radio conocidos, se tiene que el valor de la aceleración gravitacional en la superficie es de 9.81 m/s 2, aunque es conveniente con una finalidad didáctica aproximar este valor a 10 m/s 2. Nótese que el término que representaría la masa del cuerpo en caída no aparece en esta ecuación, esto está de acuerdo con lo que Galileo nos enseñó sobre la caída de los cuerpos: desconsiderando los efectos del aire,3 cualquier cuerpo, independientemente de su masa, presenta la misma aceleración, esto porque la masa de la Tierra es la misma para cualquier cuerpo. En otras palabras, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma de ave de la misma altura y al mismo tiempo, sin considerar el efecto del aire, ambos llegarían al suelo juntos y con la misma velocidad.4

3 4

Esta relación matemática puede ser obtenida a través de la igualdad entre la ley de gravitación universal y la segunda ley de Newton, así tendríamos que F = G.M.m/r 2 y F = m.a, donde “m” representa la masa del cuerpo sujeto a la acción de la fuerza, siendo “a” el término que representa la aceleración, tendríamos que: G.M.m/r2 = m.a, la ecuación (1) se obtiene cancelando el término “m”. El estudio de la caída de los cuerpos sin considerar los efectos del aire se llama “caída libre”. Este experimento no puede ser verificado en la Tierra, pues la pluma sufre más los efectos de la resistencia del aire que la bala de cañón.

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El valor de la aceleración de la gravedad no es un número constante, puede variar de un planeta a otro, debido a las diferencias de masa y radio. También puede variar en el mismo planeta, pero solamente debido a dos factores: la distancia del objeto respecto al centro del planeta y la latitud, este último a causa del achatamiento en los polos de la Tierra, como explicaremos más adelante.

Algunos ejemplos

Si un cuerpo empieza a alejarse de la superficie de la Tierra, como en el caso de un cohete, habrá un aumento gradual de la distancia de este cuerpo al centro de la Tierra (el valor de “r” de la ecuación 1), y con eso la gravedad disminuye; mientras mayor es la distancia “r” menor es la aceleración gravitacional. Aun así son necesarios grandes valores de altitud para que se pueda percibir una reducción significativa de la gravedad. En la tabla 1 se presentan algunos valores de la aceleración de la gravedad de acuerdo con algunos valores de altitud. TABLA 1 Altura

r (km)

(distancia del cuerpo al suelo)

(Valor inserido en la ecuación)

cero (en la superficie) 300 km* 600 km 1000 km 6378 km

6378 6678 6978 7378 12756

Gravedad (m/s2)

9.81 8.93 8.18 7.32 2.45

* Altitud media de la Estación Espacial Internacional (ISS).

Cuando vemos imágenes de astronautas flotando dentro de la Estación Espacial Internacional (ISS), en realidad no flotan porque la gravedad es cero, lo que sucede es que el movimiento orbital es esencialmente un movimiento de caída libre, es como si la estación y todos los que están dentro estuvieran cayendo juntos, y la impresión que se tiene es que el astronauta flota; esta situación puede ser llamada de gravedad artificial. Lo mismo sucede dentro de un elevador, cuando empieza a subir tenemos la sensación de que somos un poco más pesados, y cuando empieza a bajar nos sentimos más ligeros.Ahora imagine que las cuerdas del elevador se rompieran y los sistemas de seguridad fallaran, en este caso el elevador tendría una caída libre, y las personas que estuvieran dentro de él se sentirían como si flotaran dentro; no es que los objetos dejen de caer, en realidad todos caen al mismo tiempo y con la misma aceleración, juntos. También encontramos una variación en el valor de la gravedad en la Tierra debido a la latitud; esto ocurre a causa del achatamiento de los polos terrestres, pues cualquier objeto que esté próximo a los polos se encuentra ligeramente más cerca

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Aceleración gravitacional

del centro de la Tierra que los objetos localizados en el Ecuador, en consecuencia, la aceleración gravitacional en los polos es ligeramente mayor. Pero esta variación es muy pequeña en la Tierra, de modo que podemos no considerarla.

Cómo interpretar la información

Desde que nacemos estamos acostumbrados a la intensidad de la gravedad en la Tierra, pero, ¿y si pudiéramos ir a otro planeta? ¿Cómo sería sentir otro valor de la aceleración de la gravedad? Como los viajes interplanetarios aún no son posibles, podemos, a través de un ejercicio de imaginación y algunos números, tener una buena idea de cómo sería. Tomemos los valores de la gravedad en Marte y Júpiter. La elección de estos dos planetas tiene una justificación: 5 Marte, por ser un planeta donde puede existir la posibilidad de fijación humana debido a la posible presencia de agua y condiciones de temperatura y presión adecuadas, así como por recibir la visita de sondas no tripuladas de la NASA; y Júpiter, porque se trata de un caso extremo, es el planeta más grande del Sistema Solar, su masa equivale a 317 veces la masa de la Tierra (Marte tiene apenas 10% de la masa de la Tierra). Para tener una idea, pensamos que si sumamos la masa de todos los planetas del Sistema Solar (excepto Júpiter), el valor obtenido correspondería al 40% de la masa de Júpiter, es decir, ¡la masa de Júpiter es 2.5 veces mayor que la masa de todos los demás planetas del Sistema Solar juntos! Tomando la misma ecuación utilizada para obtener el valor de la aceleración de la gravedad en la Tierra, obtenemos los siguientes valores: Gravedad en Marte = 3.72 m/s2 Gravedad en Júpiter = 24.86 m/s2 Para obtener una mejor visualización simplificaremos los valores: TABLA 2 Marte 4.0 m/s

Júpiter

Tierra 2

10.0 m/s

25.0 m/s2

Un número por sí mismo no tiene significado, es preciso tener una unidad, es decir, ser un representante de una medida. En el caso de la aceleración la unidad es “metros por segundos al cuadrado, o m/s 2”. ¿Cómo interpretamos esta información? Tomemos un ejemplo: suponga que un cuerpo posee una fuerza que imprime sobre él una aceleración de 3 m/s2, suponga también que de inicio tenga velocidad cero. En el primer segundo de movimiento su velocidad será de 3 m/s2 (equivale a

El planeta más cercano a la Tierra es Venus, pero debido a las condiciones de temperatura (500ºC) y presión atmosférica (90 veces la presión en la Tierra), es muy difícil que las sondas sobrevivan por un tiempo más largo, de ahí que se piense mucho menos en la posibilidad de fijación humana.

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10.8 km/h); en dos segundos de movimiento su velocidad será la anterior más tres, o sea, 6 m/s (equivale a 21.6 km/h). Si la velocidad es una medida que expresa la distancia que un cuerpo recorre a cada unidad de tiempo, entonces cuando su movimiento es acelerado significa que cada segundo el cuerpo recorre una distancia cada vez mayor. La tabla 3 muestra valores de velocidad que un cuerpo alcanzaría en Marte, en la Tierra y en Júpiter en caso de que se dejara caer en su superficie. TABLA 3 Instante (seg)

Marte

Tierra

Júpiter

0 1 2 3 4

0 m/s 4 m/s 8 m/s 12 m/s 16 m/s

0 m/s 10 m/s 20 m/s 30 m/s 40 m/s

0 m/s 24 m/s 48 m/s 72 m/s 96 m/s

* Para tener estos valores en km/h basta multiplicarlos por 3.6

Observe que, para fines de comparación, en los tres casos los cuerpos están con velocidad cero en el instante inicial, es decir, cuando se dejan caer en las proximidades de la superficie de cada planeta. TABLA 4 Intervalo de tiempo

Marte

Tierra

Júpiter

0 seg a 1 seg 1 seg a 2 seg 2 seg a 3 seg

2 metros 6 metros 10 metros

5 metros 15 metros 25 metros

12 metros 36 metros 60 metros

Por medio de la tabla 4 es posible obtener una mejor visualización del efecto que los diferentes valores de aceleración tienen sobre la caída de los cuerpos en cada planeta. En el primer segundo de caída libre, en Marte el cuerpo solamente habría recorrido 2 metros, mientras que en la Tierra serían 5 metros y en Júpiter 12 metros. Si comparamos la distancia total recorrida después de 3 segundos de caída tendríamos los siguientes valores: TABLA 5 Tiempo recorrido

Marte

Tierra

Júpiter

De 0 seg a 3 seg

18 metros

45 metros

108 metros

Imaginen a un atleta que consigue saltar a una altura de un metro aquí en la Tierra, ¿si él estuviera en Marte, a qué altura saltaría?: siendo la aceleración Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Aceleración gravitacional

gravitacional de Marte menor, su velocidad disminuiría más lentamente, y con eso, alcanzaría una altura mayor. Si el atleta diera un salto de un metro en la Tierra, él podría saltar en Marte, con el mismo esfuerzo, el equivalente a 2.7 metros de altura (¡imaginen una partida de voleibol en Marte!). En Júpiter no es posible tocar el suelo, pues se trata de un planeta gaseoso, pero si fuera posible caminar en él, este salto equivaldría solamente a 40 cm. Una consecuencia directa de la gravedad es el peso6 de las cosas. En Marte serían más leves, por ejemplo, un cuerpo de 70 kg podría ser levantado en Marte con el mismo esfuerzo que cargamos un objeto de apenas 28 kg en la Tierra. En efecto, si quisiéramos construir edificios en Marte el costo de energía sería en promedio apenas el 40% de la energía necesaria en la Tierra. Existen ejemplos más extremos: Marte tiene dos lunas, una de ellas, llamada Phobos, posee 26 km de diámetro máximo,7 una masa un billón de veces más pequeña que la Tierra, y su valor de gravedad es de 0.0022 m/s2; con la energía que una persona de 70 kg gasta para dar un salto de un metro en la Tierra, en Phobos ese mismo salto sería de 4.5 km. El esfuerzo necesario para levantar un cuerpo de 0.5 kg en la Tierra, en Phobos sería suficiente para levantar un cuerpo de 2.3 toneladas (¡imaginen levantar objetos de más de dos toneladas utilizando solamente una de sus manos!). Por cierto que en estas condiciones nos sentiríamos con súper poderes, pero cosas así son posibles debido a que la gravedad es menor.

Algunas conclusiones

El objetivo de los ejemplos presentados en este artículo es que los alumnos comprendan que la gravedad puede tener diferentes valores de acuerdo con el cuerpo celeste que se esté considerando. Por qué la gravedad existe y actúa de esta forma son cuestiones más difíciles de responder. Newton esclarece solamente que la intensidad de esa atracción (que crea la aceleración gravitacional) depende de la masa y de la distancia entre los cuerpos. Mucho tiempo después, el propio Einstein dio una nueva interpretación de ese fenómeno a través de la Teoría General de la Relatividad, donde explica que la atracción entre los cuerpos no precisa ser entendida como una acción a distancia entre ellos, sino a través de la curvatura del espacio que los rodea. En otras palabras, la materia, según Einstein, curva el espacio de la misma forma con que un hombre puede, con su peso, curvar la plancha de un trampolín. Sin embargo, podríamos preguntarnos ¿por qué la materia curva el espacio? No existe aún una respuesta, y mientras esa incógnita no sea resuelta, podemos apenas describir, como hizo Galileo, el efecto que la gravedad ejerce sobre los cuerpos, estudiando la influencia de parámetros físicos que determinan su valor.

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Peso es una fuerza, es el “tirón” que un planeta ejerce sobre un cuerpo. Es una luna de forma irregular semejante a una papa; su eje mayor mide 26 km de longitud, y el menor 18 km.

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Antes del aula

Isaac Newton (1642-1727) Héctor Domínguez Julieta Fierro

w. ce flig lof nia en nt

t. g

lo largo de la historia han existido personajes cuya contribución ha sido fundamental para el desarrollo y consolidación de la ciencia moderna. Uno de estos científicos fue Isaac Newton, que apoyándose en los trabajos de otros grandes pensadores (como Galileo Galilei) impulsó en forma insospechada varias ramas de la física y las matemáticas. Isaac Newton nació el 25 de diciembre de 1642 en la hacienda de Woolsthorpe, en el condado de Lincolnshire, Inglaterra. Cuando vio la primera luz era tan pequeño que nadie pensó que pudiera sobrevivir (todo indica que fue un bebé prematuro), sin embargo, a la postre tendría una salud envidiable y vivió hasta los 84 años. Su padre fue un granjero prácticamente iletrado y murió tres meses antes de que su hijo naciera.

Cuando Isaac tenía 3 años, también perdió a su madre, Ana Ayscough, aunque de otro modo: ella aceptó casarse con Barnabas Smith, un viudo pastor protestante de 63 años, con quien se fue a vivir a North Witham. La ausencia de padre y madre causó gran quebranto y una huella indeleble en la personalidad de Newton. Su vida adulta se vería marcada por excesos de enojo, ira, paranoia y, en ocasionales periodos, inestabilidad emocional. (Por fortuna, la ciencia moderna puede ayudar a niños con síntomas de abandono, remitiéndolos a especialistas en psicología.) Los abuelos maternos se quedaron a cargo del pequeño Isaac, pero no se distinguieron por sus muestras de cariño; no obstante, vale la pena destacar que le brindaron lo necesario para su educación. En 1653, a los 10 años, Newton regresó a

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Isaac Newton (1642-1727)

Newton ingresó al Trinity College, en Cambridge, el 8 de julio de 1661, a los 18 años.

la casa de su madre, quien acababa de enviudar de nuevo. Ahí permaneció hasta los 12 años, cuando fue enviado a estudiar a una escuela secundaria en Grantham, a unos 8 kilómetros de Woolsthorpe; mientras estuvo ahí se alojó con la familia de un boticario, el señor Clark. En 1659 su madre lo retiró de la escuela para que se incorporara a las labores de la hacienda familiar. Este intento acabó en desastre debido a que Newton se interesaba más en la lectura de los libros que llevaba consigo cuando salía al campo y con frecuencia descuidaba el ganado que dañaba los cultivos de otros granjeros. Muy pronto quedó claro que su interés estaba en los problemas científicos planteados en los libros y no en las labores agropecuarias. Ante esta situación y escuchando la recomendación de William Ayscough, tío materno de Isaac, se decidió que volviera a la escuela con el fin de prepararse para ser admitido en Cambridge (una universidad de gran prestigio hasta la fecha). Newton

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ingresó al Trinity College (Colegio de la Trinidad) el 8 de julio de 1661, a los 18 años.

Un retiro obligado Durante sus estudios de licenciatura decidió adentrarse, al margen de los programas de estudio oficiales, en las obras de Euclides, Kepler, Galileo y Descartes, reflexionando y trabajando sobre problemas científicos que aún se encontraban sin respuesta. A mediados del verano de 1665, la peste bubónica invadió Londres, por lo que las autoridades del Colegio de la Trinidad decidieron cerrarlo y todos los estudiantes fueron enviados a sus casas. (La peste bubónica es una enfermedad que produce inflamación y muerte en los ganglios, también llamados bubas, y es transmitida a los humanos por las pulgas de ratas o de conejos; para evitar ésta y otras enfermedades es importante bañarse.) En la paz

de la hacienda en Woolsthorpe, y antes de que cumpliera 24 años, Newton concibió la mayoría de las ideas que hoy le debe el mundo.

Desde joven, Newton se interesó por estudiar las fuerzas; por ejemplo, cuando soplaba un viento violento se ponía a brincar en dirección contraria y en dirección perpendicular al viento para ver cómo se afectaban sus brincos. Al paso del tiempo trabajó en diversos oficios y desempeñó varios cargos. Ya de adulto, ocupó la presidencia de la Casa de Moneda, donde ideó una forma de moneda más ancha y con un rayado en las orillas que evitaba que a las monedas de oro, hechas a martillazos en aquel entonces, se les pudiera quitar un fragmento antes de pagar con ellas. Este diseño se emplea hasta la fecha para dar mayor resistencia a las monedas. El renombre de Newton, que ha traspasado los siglos, se debe principalmente a sus contribuciones a la mecánica y a la óptica, en el área de la física, y al cálculo diferencial e integral, en las matemáticas. Sus contribuciones a la física se apoyaron en los trabajos de Galileo y de Kepler que describían los movimientos de los planetas pero no explicaban qué era lo que los mantenía en sus órbitas; la respuesta la dio Newton con su ley de gravitación universal. Sobre este tema existe una famosa anécdota-leyenda de la caída de una manzana sobre la cabeza de Newton mientras descansaba bajo un árbol. Newton pensó que la fuerza que hacía que la manzana cayera era la misma que sostenía a la Luna girando alrededor de la Tierra, y también la misma que hacía que los planetas girarán alrededor del Sol, de ahí que le diera carácter universal a esta ley. Por cierto, en Oxford, donde nunca estuvo Newton,

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El manzano de Newton

Fotograbado de 1894 que muestra a Newton analizando un rayo de luz.

existe un pequeño peral que los estudiantes mayores usan para engañar a los jóvenes haciéndolo pasar por el famoso manzano de Newton.

Estudio de la luz Por otro lado, este ilustre científico contribuyó en forma importante al avance de otra área de la física: la óptica, de la que desarrolló la teoría de los colores. Es famosa la demostración que hizo Newton sobre el desdoblamiento de la luz blanca en un abanico de colores. En 1667 Newton regresó a Cambridge como profesor y en 1669 ocupó la prestigiada cátedra lucasiana que creó el matemático Isaac Barrow, quien fuera director del Trinity College en aquel entonces. En la Universidad de Cambridge continuó su trabajo de investigación y en 1672 publicó su primer documento científico, en el que explicaba sobre el cálculo y la teoría de los colores. Esto provocó una fuerte crítica de varios físicos que se encontraban trabajando en estos temas y, a pesar de

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Isaac Newton (1642-1727)

que Newton resolvió sus cuestionamientos, se generaron fuertes controversias, en particular con Robert Hooke y Christiaan Huygens, por lo cual decidió no publicar más. El estudio de la luz se dificulta porque no podemos mantener quieto a un fotón –una partícula de luz–, por lo que el análisis de la luz debe hacerse a través de sus efectos, por ejemplo, la dispersión de luz del Sol en un abanico de colores, como lo hizo Newton al hacer pasar un haz pequeño de luz solar a través de un prisma de vidrio. Actualmente este desdoblamiento se puede visualizar usando un disco compacto de audio haciéndole incidir luz blanca: al orientarlo se puede ver el abanico de colores del arco iris. Otra forma de mostrar que la luz blanca está compuesta de los colores del arco iris es a través del “disco de Newton”, un disco circular de cartón que se divide en “rebanadas”, a las que corresponden, a cada una, uno de los colores del arco iris; al hacer girar rápidamente este disco, los colores se pierden y se ve casi blanco.1 Principia Mathematica Otra importante disputa de Newton fue con el científico alemán Gottfried Leibnitz respecto al descubrimiento de los cálculos diferencial e integral, que sirven para estudiar y comprender el movimiento de los cuerpos acelerados y para identificar el cambio en sus velocidades, entre muchas otras aplicaciones. Posteriormente, Isaac Newton fue electo miembro de la Royal Society y durante los siguientes doce años llevó la vida típica de un profesor de Cambridge, impartiendo clases e investigando.

En 1684 el astrónomo Edmundo Halley lo visitó con el fin de solicitarle ayuda para aclarar el concepto de gravitación como fuerza de la naturaleza. Halley quedó fuertemente asombrado cuando se dio cuenta de que Newton había resuelto el problema desde hacía muchos años. Halley lo convenció para que publicara su trabajo y después de dos años de arduo esfuerzo escribió lo que resultó ser uno de los documentos más importantes que se han producido en el mundo científico. En 1687 envió su trabajo a la Royal Society y ésta se encargó de publicar su gran obra: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios Matemáticos de la Filosofía Natural). Edmund Halley utilizó los cálculos de Newton para predecir cuándo regresaría el cometa basándose en apariciones previas. Cuando se volvió a observar el cometa, ahora conocido como “Cometa Halley”, la física de Newton cobró especial credibilidad. (Por cierto, su próxima aparición será en 2067.) En 1687 la Cámara de los Comunes eligió a Newton como diputado por Cambridge. En 1701 lo nombraron director de la Casa de Moneda de Inglaterra y renunció a su cátedra en Cambridge. Dos años después se le nombró presidente de la Royal Society, cargo que ocupó el resto de su vida. En 1705 la reina Ana le concedió el título nobiliario de sir; cabe señalar que fue el primer científico inglés en recibir ese honor por su obra. Isaac Newton pasó los últimos años de su vida en Londres, donde preparó una segunda edición de su gran obra. Falleció el 20 de marzo de 1727 a los 84 años, tras haber alcanzado una reputación como ningún otro científico consiguiera hasta esa época.

Ver Serafín Pérez D., “El disco de Newton... el principio de la ciencia”, Correo del Maestro, núm. 55, año 5, diciembre de 2000.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Animales mexicanos del bosque de niebla en peligro de extinción*

J.Woodward, Atlas de biomas, Bosques tropicales, Correo del Maestro-La Vasija, México, 2005.

Alejandra Alvarado Zink Annelies Alvarado Zink

Bosque de niebla.

os bosques de niebla se encuentran en las zonas tropicales y subtropicales del planeta Tierra, desde los 500 hasta los 3000 metros sobre el nivel del mar. En México, los bosques de niebla se encuentran principalmente en la Sierra Madre Oriental y en la Occidental formando manchones, sin embargo, el bosque de niebla más extenso y conservado se encuentra en la Sierra Madre de Chiapas (ver mapa).

* Este artículo es el sexto y último de la serie Animales mexicanos en peligro de extinción. Recomendamos la lectura de los artículos anteriores de la serie: “Animales en peligro de extinción”, Correo del Maestro, núm. 123, año 11, agosto de 2006, pp. 9-15;“Animales mexicanos del desierto…”, Correo del Maestro, núm. 124, año 11, septiembre de 2006, pp. 21-42;“Animales mexicanos de la selva seca…”, Correo del Maestro, núm. 125, año 11, octubre de 2006, pp. 15-23, 25-36; “Animales mexicanos de la selva húmeda…”, Correo del Maestro, núm. 126, año 11, noviembre de 2006, pp. 20-42, y “Animales mexicanos del bosque de coníferas y encinos…”, Correo del Maestro, núm. 127, año 11, diciembre de 2006, pp. 14-37.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Animales mexicanos del bosque de niebla en...

Tim Harris, Atlas de biomas. Montañas, Correo del Maestro-La Vasija, México, 2005.

Figura 1. Zonas de bosque de niebla en la República Mexicana.

Los bosques de niebla reciben este nombre ya que la mayor parte del tiempo se encuentran envueltos en nubes que impulsa el viento hacia las montañas desde las zonas más bajas. Estas nubes son las que le dan a este tipo de bosque su aspecto nublado, así como la gran humedad que tienen. Caminar entre la vegetación de estos bosques es como estar en un sueño de hadas, uno se siente diminuto ante la abundante e imponente vegetación que ahí se desarrolla. En ellos hay, por ejemplo, frondosos y majestuosos helechos arborescentes que llaman la atención ya que, a diferencia de los helechos que generalmente se aprecian en los jardines y casas, llegan a alcanzar hasta 20 m de altura. Si se guarda silencio al caminar por las veredas, predomina en el ambiente el revoloteo de las mariposas y el canto de cientos de aves. En México, de acuerdo con datos de la Secretaría de Agricultura y Recursos Hidráulicos de 1992, el bosque de niebla cubría tan sólo el 0.07% del territorio nacional y a la fecha se le considera uno de los ecosistemas más amenazados del país. Las nubes son impulsadas por viento hacia las montañas.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Algunas especies de animales del bosque de niebla que se encuentran dentro de la Norma Oficial (NOM 059 SEMARNAT 2001) ESPECIES

DE AVES

ESPECIES

DE MAMÍFEROS

ESPECIES

DE REPTILES

Quetzal

Grisón

Dragoncito

Pharomachrus mocinno

Galictis vittata

Abronia gramínea

Pavón o guan cornudo

Viejo del monte

Ocotera de Oaxaca

Oreophasis derbianus

Eira barbara

Adelphicos latifasciatus

Loro corona azul

Zorrillo de espalda blanca

Amazona farinosa

Conepatus semistriatus

Culebra minadora de tierras altas Geophis mutitorques

Aves

El “quetzal centroamericano” o Pharomachrus mocinno habita en México en el estado de Chiapas. Ver a un quetzal en los bosques de niebla no es una tarea fácil, ya que su verde plumaje lo ayuda a pasar inadvertido entre la exuberante vegetación. Sin embargo, si se observa detenidamente los troncos de los árboles que tienen huecos, posiblemente se corra con suerte para avistar una de estas aves, pues su larga cola llega a alcanzar hasta 90 cm de longitud. A pesar de que el macho y la hembra no son muy diferentes en tamaño –su cuerpo mide entre 35 y 37 cm–, el macho se distingue, entre otras cosas, por presentar una cresta y una larga cola. Macho y hembra colaboran en el cuidado de las crías y llegan a reutilizar nidos de años pasados o construyen en nidos abandonados de los pájaros carpinteros, agrandándolos con ayuda de su pico. La hembra deposita dos huevos de

Tim Harris, Atlas de biomas. Montañas, Correo del Maestro-La Vasija, México, 2005.

Quetzal

Quetzal (Pharomachrus mocinno).

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Animales mexicanos del bosque de niebla en...

color azul claro, los cuales son incubados 18 días tanto por la hembra como por el macho, que toman turnos: la hembra por la noche y al mediodía, y el macho en la mañana y en la tarde. Después de nacer, las crías son alimentadas con insectos hasta por una semana. Más tarde y en la etapa adulta, su dieta se torna omnívora, aunque su principal alimento incluye diversas frutas, como aguacates silvestres y moras; cuando éstos escasean se alimentan de insectos, ranas pequeñas y lagartos. Las leyes mexicanas protegen esta ave ya que sus poblaciones han disminuido drásticamente por la destrucción de los bosques de niebla, la cacería y la captura para comerciarlos como mascotas y como ornato.

Foto: Manuel Grosselet / Juan Cornejo, Africam Safari.

Pavón cornudo

Caminando por el bosque de niebla se llega a escuchar, entre el canto de los pájaros, algunos mugidos; pero no se trata de una vaca perdida sino de un ave que emite un sonido similar: el pavón cornudo, especie Oreophasis derbianus. Para el ojo inexperto esta ave podría confundirse con un guajolote de unos 70 a 80 cm de altura pero, a diferencia de los verdaderos guajolotes, el pavón cornudo presenta el pecho blanco y la cola alargada; su plumaje en general es de color verde oscuro en el dorso, y la cola es negra con una banda horizontal blanca. Algo muy característico de esta ave es que en la cabeza tiene un llamativo cuerno rojo –de ahí su nombre común– y unas patas de color rojo brillante. En México, el pavón habita en el estado de Chiapas: se tienen registros en el Volcán de Tacaná y en los picos más altos de la Sierra Madre de Chiapas. No se sabe mucho sobre la biología de esta especie ya que no es un ave muy común, así pues, se requiere más investigación sobre ella, así como una mayor difusión de la poca información que hay disponible. Al parecer esta ave anida en lo alto de los árboles, sobre todo en áreas cercanas a los ríos; ambos padres se encargan del cuidado de las crías, que son alimentadas con insectos, semillas y frutos, como ciruelas maduras. Pavón cornudo (Oreophasis derbianus).

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El pavón cornudo es un ave en peligro de extinción que en México se encuentra protegida. Entre los factores que más han afectado a las poblaciones de pavón están la destrucción de los bosques y la cacería furtiva.

Entre la espesa vegetación del bosque de niebla difícilmente se llega a ver al loro cabeza azul, pero si uno está familiarizado con los sonidos que emite, es posible llegar a identificarlo ya que posee una voz muy ruidosa que suena como un “krrrilik” oscilante. De acuerdo con algunos investigadores que han tenido la fortuna de oírlo en campo, cuando vuela generalmente también incluye sonidos como “chop-chop” o “kyup kyup”. Este loro se encuentra en tierras bajas de Veracruz, Oaxaca, Chiapas y partes del sur de la Península de Yucatán. El loro de cabeza azul o Amazona farinosa es una especie de ave que mide entre 35 y 38 cm de largo, y pesa unos 400 g. Tiene pico negro y patas grises; su plumaje en general es verde, con plumas rojas y amarillas en los hombros; azuladas en el frente de la cabeza; amarillas alrededor de los ojos y la garganta, y rojas y amarillo-verdosas en la cola. Las aves jóvenes tienen una coloración más apagada que los adultos y tienen el iris oscuro.

Foto: Archivo Universum.

Loro de cabeza azul

Loro de cabeza azul (Amazona farinosa).

En este mapa podemos ver en gris la distribución histórica del loro de cabeza azul; actualmente sólo ha podido encontrarse en las zonas marcadas con un punto.

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Animales mexicanos del bosque de niebla en...

Este loro construye su nido en cavidades de árboles como el ramón (Brosimum alicastrum), donde la hembra llega a poner hasta 3 huevos, que incuba por unos 27 días. Se alimentan de frutas, nueces, semillas y néctar.

Los loros azules anidan en cavidades de árboles, como por ejemplo, el ramón (Brosimum alicastrum).

Las leyes mexicanas catalogan a esta especie como amenazada; sus poblaciones han disminuido debido a la desaparición y perturbación de los bosques, y por su comercio en el mercado de mascotas, pues es uno de los loros más cotizados por su gran habilidad de imitar sonidos y adaptabilidad para convivir con las personas.

Mamíferos

Enciclopedia de los animales, v. 2, Larousse, Buenos Aires, 1972.

Grisón

Grisón (Galictis vittata).

El grisón, hurón, rey de las ardillas o Galictis vittata es un mamífero generalmente solitario. No puede ser observado fácilmente en los bosques de niebla, pero se le llega a encontrar en lugares cercanos a los cuerpos de agua. En México vive en los estados de San Luis Potosí, Oaxaca, Veracruz, Tabasco, Chiapas, Campeche, Quintana Roo y Yucatán. El grisón tiene un aspecto muy característico: su pelaje es de color gris canoso, con patas negras y tiene un cuerpo largo muy musculoso, con las piernas y la cola cortas. Mide entre 60 y 74 cm, más o menos como un gato doméstico, y pesa entre 1 y 3 kg. Vive bajo las raíces de los árboles, en grietas de rocas o en las madrigueras de los armadillos.

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En estos lugares, la hembra puede dar a luz, en el mes octubre, de 2 a 4 crías. Las alimenta con leche, pero después su dieta es principalmente carnívora y consta de mamíferos como ratones y agutíes; también se sabe que algunos grisones llegan a alimentarse de peces, reptiles, pájaros, huevos de aves y algunas frutas.

La dieta del grisón consta principalmente \ de mamíferos como los agutíes.

Es una especie que se encuentra catalogada como amenazada en la Norma Oficial 059 debido a que los bosques están siendo deforestados y su hábitat se ha visto seriamente segmentado por algunas actividades humanas como la agricultura, la ganadería y los incendios forestales.

A la especie Eira barbara se le conoce en México con varios nombres comunes como cabeza de viejo, viejo del monte, sanjor y tzetzal. Se le puede encontrar en los estados de Sinaloa, Tamaulipas, Veracruz, Oaxaca, Campeche y Chiapas. Este animal es parecido a la comadreja, mide entre 60 y 70 cm de largo total y pesa de 3 a 6 kg. El pelaje de su cuerpo es café negruzco, la cabeza y la nuca son de color más claro y tiene orejas pequeñas redondas del mismo color que la cabeza; generalmente en el pecho aparece una mancha blanca de forma triangular y en la parte ventral presenta una coloración negra o marrón oscuro. Sus largas patas tienen grandes y fuertes garras. Es importante mencionar que tanto su color como su tamaño varían de acuerdo con la región en la que vive. Tras un periodo de gestación de 63 a 70 días, la hembra tiene de 2 a 3 crías entre los meses de marzo y julio; al nacer las crías pesan de 74 a 92 g, su pelaje es de color negro y a veces tienen una mancha blanca en el pecho y en la cabeza.

Enciclopedia de los animales, v. 2, Larousse, Buenos Aires, 1972.

Viejo del monte

Viejo del monte (Eira barbara).

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Animales mexicanos del bosque de niebla en...

Ilustración de Christopher Montero.

El viejo del monte es omnívoro, se alimenta principalmente de vertebrados como mamíferos, reptiles y aves, así como de algunos invertebrados, frutos y miel de los panales. Es un mamífero terrestre y arborícola de hábitos diurnos que puede estar cerca de asentamientos humanos; generalmente vive solo pero también se le llega a encontrar formando grupos de 2 a 3 individuos. Es una especie en peligro de extinción debido a la deforestación y fragmentación de su hábitat causada por prácticas agrícolas y ganaderas, para las que se elimina gran número de árboles de los bosques, así como por la tala ilegal de especies maderables. Viejo del monte cazando un agutí.

www.mammalogy.org

Zorrillo de espalda blanca La Conepatus semistriatus es una de las tres especies de zorrillos más robustos y grandes que habitan en México (ver mapa). El cuerpo de este zorrillo alcanza una longitud de entre 50 a 80 cm, y pesa entre 1 y 5 kg; los machos son más grandes que las hembras. Su pelaje, áspero y grueso, es de color negro con dos bandas dorsales anchas y blancas que van desde la cabeza hasta las patas traseras. Su cabeza es cónica, el hocico es alargado y desnudo, las orejas son cortas, con pelos negros en la base y de un brillo nocturno verdoso. Tiene una cola esponjada, de color negro en la base y blanco en el resto, que mide la mitad de la longitud total de su cuerpo. Sus patas delanteras poseen largas garras de color negro. Son animales de hábitos generalmente nocturnos, que durante el día descansan o se refugian dentro de madrigueras, donde las hembras dan a luz entre 1 y 5 crías. Éstas son alimentadas con leche materna, y ya más grandes comen insectos, pequeños vertebrados Zorrillo de espalda blanca (Conepatus semistriatus). y frutos.

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El zorrillo de espalda blanca se distribuye actualmente en los estados de Campeche, Chiapas,Tabasco y Veracruz.

Los zorrillos poseen glándulas anales que producen secreciones que constituyen su principal defensa. Es una especie que se encuentra sujeta a protección especial: sus poblaciones no son muy abundantes debido al deterioro de su hábitat y a la cacería por su piel y su carne.

Reptiles

En el musgo y la hojarasca que se acumula entre las ramas de los árboles del bosque de niebla es posible observar unas pequeñas criaturas de tonalidades verde-azules que reposan plácidamente, se trata de los “dragoncitos”, llamados también “escorpiones”, que semejan hermosas figurillas de los mitológicos dragones. El Abronia gramínea es una lagartija arborícola, no venenosa y endémica de México, que habita en los estados de Oaxaca, Puebla y Veracruz, donde aún existen bosques tanto de niebla como de pino y encino (ver mapa).

www.vivanatura.org

Dragoncito

Dragoncito (Abronia gramínea).

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Los machos y las hembras adultos miden aproximadamente lo mismo, alcanzan una longitud total de unos 26 cm. La coloración del cuerpo de los adultos varía, desde verde jade hasta café con algunas bandas transversales oscuras, mientras que en las crías la coloración generalmente es de color cobre. La hembra no pone huevos, sino que los huevos se desarrollan dentro de su cuerpo y las crías nacen vivas, a este tipo de animales se les denomina ovovivíparos. Los dragoncitos tienen hasta 4 crías en el mes de abril. Se alimentan principalmente de insectos, arañas, ciempiés y otros artrópodos, así como también de algunas crías de otras especies de lagartijas. Los dragoncitos tienen protección especial según la Norma Oficial 059, ya que los bosques de niebla son uno de los ecosistemas más amenazados debido a que las actividades humanas están transformándolo en zonas agrícolas y ganaderas; otro problema que enfrenta esa especie es su venta en el mercado ilegal de mascotas. Ocotera de Oaxaca La culebra Adelphicos latifasciatus habita en los estados de Oaxaca y Chiapas. Llega a medir entre 31 y 43 cm de longitud, y las hembras generalmente son más grandes que los machos. La coloración de las escamas de su cuerpo es de un fondo rojizo a pálido oscuro con algunas bandas laterales, mientras que las escamas de la cabeza son castaño oscuro y en el vientre tiene algunas manchas. No se cuenta con mucha información sobre esta especie ya que, de acuerdo con datos de Conabio (Comisión Nacional para el Conocimiento y Uso de la Biodiversidad), no se ha vuelto a recolectar desde 1982. La ocotera de Oaxaca está sujeta a protección especial porque los bosques de niebla de la Sierra Madre de Chiapas se encuentran gravemente afectados a causa del incremento de carreteras pavimentadas, zonas agrícolas, ganaderas y urbanas que modifican este tipo de bosques.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Tom Jackson, Atlas de biomas. Bosques tropicales, Correo del Maestro-La Vasija, México, 2005.

Conocer para conservar V

QUETZAL (Pharomachrus mocinn). Esta ave, apreciada por su vistoso plumaje, habita en los bosques de niebla de Chiapas. Sus poblaciones han disminuido drásticamente debido a la destrucción de su hábitat por la actividad humana, así como por la cacería y la captura de especies para el comercio de mascotas, por lo que se encuentra protegida por las leyes mexicanas.

Tim Harris, Atlas de biomas. Montañas, Correo del Maestro-La Vasija, México, 2005.

Ver quetzales en los bosques de niebla no es fácil pues su verde plumaje los ayuda a pasar inadvertidos entre la vegetación. Aun así, se les encuentra en los huecos de los troncos, donde hacen sus nidos. Su dieta de adultos es omnívora: cuando escasean las frutas y las bayas se alimentan de insectos, ranas pequeñas y lagartos.

PAVÓN CORNUDO (Oreophasis derbianus). Para el ojo inexperto esta ave podría confundirse con un guajolote, pero se distingue de éste por su pecho blanco y su cola alargada. Otros rasgos que lo identifican son un llamativo “cuerno” rojo en la cabeza y sus coloridas patas, también rojas. No se sabe mucho sobre la biología de esta especie, por lo que se requiere más investigación.

Foto: Manuel Grosselet / Juan Cornejo, Africam Safari.

En México, el pavón habita en el estado de Chiapas –se tienen registros en el Volcán de Tacaná y en los picos más altos de la Sierra Madre de Chiapas–. Es una especie en peligro de extinción que se encuentra protegida por las leyes mexicanas. Entre los factores que más han afectado a sus poblaciones están la destrucción de los bosques y la cacería furtiva.

Foto: Manuel Grosselet / Juan Cornejo, Africam Safari.

Foto: Archivo Universum.

LORO DE CABEZA AZUL (Amazona farinosa). Se encuentra en tierras bajas de Veracruz, Oaxaca, Chiapas y partes del sur de la Península de Yucatán. Este loro construye su nido en cavidades de árboles como el ramón (Brosimum alicastrum), donde la hembra pone hasta tres huevos que incuba por 27 días. Se alimenta de frutas, nueces, semillas y néctar.

Las leyes mexicanas han catalogado a esta especie como amenazada por la alarmante disminución de sus poblaciones. Algunas de las causas de esta pérdida son la desaparición gradual de los bosques y el comercio; su gran habilidad de imitar sonidos y su adaptabilidad para convivir con las personas lo hacen uno de los loros más cotizados en el mercado de mascotas.

Foto: Archivo Universum.

Enciclopedia de los animales, v. 2, Larousse, Buenos Aires, 1972.

VIEJO DEL MONTE (Eira barbara). Parecido a la comadreja, el viejo del monte es un mamífero terrestre y arborícola de hábitos diurnos puede vivir cerca de asentamientos humanos. Se le encuentra en los estados de Sinaloa,Tamaulipas,Veracruz, Oaxaca, Campeche y Chiapas.A causa de la deforestación y fragmentación de su hábitat, esta especie está en peligro de extinción.

Enciclopedia de los animales, v. 2, Larousse, Buenos Aires, 1972.

GRISÓN (Galictis vittata). También conocido como “hurón” o “rey de las ardillas”, este mamífero habita por lo regular en lugares cercanos a los cuerpos de agua. En México lo podemos encontrar en los estados de San Luis Potosí, Oaxaca,Veracruz,Tabasco, Chiapas, Campeche Quintana Roo y Yucatán.

El grisón vive bajo las raíces de los árboles, en grietas de rocas o en las madrigueras de los armadillos. Su dieta es principalmente carnívora y consta de mamíferos como ratones y agutíes. Es una especie catalogada como amenazada porque los bosques están siendo deforestados; su hábitat se ha visto seriamente segmentado por algunas actividades humanas como la agricultura, la ganadería y los incendios forestales.

Enciclopedia de los animales, v. 2, Larousse, Buenos Aires, 1972.

ZORRILLO DE ESPALDA BLANCA (Conepatus semistriatus). Es una de las tres especies de zorrillos más robustos y grandes que habitan en México. Son mamíferos de hábitos nocturnos que durante el día descansan en sus madrigueras. Se alimentan de insectos, pequeños vertebrados y frutos. Las secreciones de sus glándulas constituyen su principal defensa.

Enciclopedia de los animales, v. 2, Larousse, Buenos Aires, 1972.

El zorrillo de espalda blanca se distribuye en Campeche, Chiapas,Tabasco y Veracruz. Es una especie que se encuentra sujeta a protección especial ya que sus poblaciones no son muy abundantes debido a la cacería (por su piel y su carne) y al deterioro de su hábitat.

DRAGONCITO (Abronia gramínea). Esta lagartija arborícola, no venenosa, es un especie endémica de México que habita en los estados de Oaxaca, Puebla y Veracruz, donde aún existen bosques tanto de niebla como de pino y encino. Su alimentación consiste en algunos insectos, arañas, ciempiés y otros artrópodos. El dragoncito se encuentra sujeto a protección especial por la Norma Oficial debido a que su hábitat es uno de los ecosistemas más amenazados por las actividades humanas.

Foto: Carlos Balderas.

Culebra minadora de tierras altas Podemos encontrar esta culebra en los estados de Hidalgo, Querétaro, San Luis Potosí y Veracruz. La culebra minadora de tierras altas, o Geophis mutitorques, se caracteriza por presentar un hocico redondo y ojos pequeños. El cuerpo del macho mide unos 54 cm de largo, de los que 15.6% corresponde a la cola; la hembra es más grande que el macho, alcanza Culebra minadora de tierras altas (Geophis mutitorques). los 95 cm, y 11.6% de la longitud total corresponde a la cola. El dorso presenta marcas oscuras o de color pardo con escamas laterales pálidas en el margen posterior; las culebras jóvenes tienen un collar amarillo o blanco que abarca la parte posterior de la cabeza; las escamas del vientre son oscuras en los adultos y con manchas amarillas y rojizas en los jóvenes. Habita en sitios húmedos, como por ejemplo, debajo de rocas, troncos, entre la hojarasca y las grietas, por lo general en lugares abiertos del bosque, principalmente en las orillas de las carreteras. La reproducción de esta culebra se da entre marzo y abril, pero falta mucho por averiguar sobre la especie, así que se requiere hacer investigación. La Geophis mutitorques se encuentra sujeta a protección especial ya que los bosques de niebla están fragmentados y en ellos se construyen cada vez más vías de comunicación, como carreteras que ponen en peligro la vida de estas culebras que suelen ser atropelladas por los vehículos que circulan por ahí.

Conclusiones En cada uno de los artículos que conformaron esta serie nos pudimos dar cuenta de que casi todas las especies se encuentran afectadas principalmente por la desaparición o destrucción de su hábitat, así como por la transformación de los ecosistemas en zonas agrícolas, ganaderas o urbanas. Nuestro país está considerado como uno de los 12 más ricos en biodiversidad, ya que una de cada diez especies de plantas y animales habita en nuestro territorio. Como mexicanos tenemos el deber de conocer y cuidar esta gran riqueza, asimismo saber que, de acuerdo con investigadores mexicanos, cerca del 40% de las especies de flora y fauna que habitan en México están en peligro de extinción.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Animales mexicanos del bosque de niebla en...

Actualmente, instituciones académicas, gubernamentales y organizaciones no gubernamentales están tratando de trabajar en conjunto para evitar la pérdida de nuestra biodiversidad. Se han hecho campañas y elaborado proyectos de conservación para rescatar (en distintos estados de la República) a diversas especies de flora y fauna, y aquí especificamos algunos de los organismos que están trabajando para evitar que algunas especies y sus hogares desaparezcan para siempre:

• ORGANISMO: Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales (Semarnat) • PÁGINA

WEB:

cruzadabosquesagua.semarnat.gob.mx

• PROYECTO: Cruzada Nacional por los Bosques y el Agua • OBJETIVO: Involucrar a todos los mexicanos en la búsqueda y aplicación de soluciones para conservar y recuperar los bosques, el agua y los suelos de México.

• ORGANISMO: Pronatura • PÁGINA

WEB:

www.pronatura.org.mx

• PROYECTO: Cuenta con varios programas en distintos estados de la República • OBJETIVO: La conservación de la flora, la fauna y los ecosistemas prioritarios, promoviendo un desarrollo de la sociedad en armonía con la naturaleza.

• ORGANISMO: Consejo Nacional de Áreas Protegidas (Conap) • PÁGINA

WEB:

educacionparalaconservacion.conanp.gob.mx

• PROYECTO: Semana de la conservación • OBJETIVO: Encontrar una relación más armónica entre las personas, con los ecosistemas y su biodiversidad, aprender a conocer los múltiples beneficios que aportan las reservas y mejorar las condiciones de vida de las poblaciones.

• ORGANISMO: Naturalia • PÁGINA

WEB:

www.naturalia.org.mx

• PROYECTO: ConservACCIÓN • OBJETIVO: Motivar a la sociedad mexicana a participar en la conservación de nuestras especies en peligro de extinción.

Correo del Maestro. Núm. 128, enero 2007.

Todas ellas requieren que los mexicanos nos unamos para apoyarlas desde distintos frentes de acuerdo con nuestras posibilidades. Hay muchas cosas que podemos hacer tan sólo en nuestros hogares y escuelas, actuando día a día de manera informada al realizar nuestras actividades cotidianas, por ejemplo, siendo consumidores más responsables de nuestros recursos naturales; utilizando sólo lo indispensable, reutilizando y reciclando todo lo que utilizamos día a día; conociendo y haciendo respetar las leyes que protegen a nuestra flora y fauna; preguntando e investigando cómo se obtienen nuestros alimentos desde que se cultivan hasta que llegan a nuestra mesa, y evitando la compra de mascotas exóticas.

NOTA: Esta serie hubiera sido imposible sin la información que a lo largo de décadas han recopilado investigadores tanto mexicanos como extranjeros que laboran en diversas instituciones. Queremos aprovechar la ocasión para agradecer a la Secretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales (SEMARNAT), a la Comisión Nacional para el Conocimiento y Uso de la Biodiversidad (CONABIO), y a las siguientes instituciones de la Universidad Nacional Autónoma de México: Instituto de Biología, Instituto de Ecología y a la Dirección General de Divulgación de la Ciencia. Asimismo, expresamos nuestro agradecimiento a los investigadores Marco A. Gurrola, Aurelio Ramírez, Rodrigo Medellín, Gerardo Ceballos, Rurik List, Daniel Barreto, Carlos Balderas, Enrique Vargas y Arturo Orta.

Para saber más: Maestros: CEBALLOS, G., “La extinción de especies”, Revista Ciencias, núm. especial 7, 1993, pp. 5-10. LOA E., L. Neyra y P. Schmidtsdorf,“Estrategia mexicana para la conservación y el uso sostenible de la diversidad biológica”, Biodiversitas, núm. 14. MÁRQUEZ L., Las aves de México en peligro de extinción, CONABIO / UNAM / FCE, México, 2000. NORMA OFICIAL MEXICANA (NOM-ECOL-059-2001), Diario Oficial de la Federación, 16 de mayo de 2001. RUIZ VILLAREAL, Lilia, “Especies en la línea de peligro”, México Desconocido, núm. 338, abril 2005. Alumnos: CASTILLO, Alicia, El

bosque. Material didáctico para comunidades rurales, Serie Educación Ambiental, Conafe, México, 1996. y Arturo Ortega, Animales mexicanos. Material didáctico para comunidades rurales, Serie Educación Ambiental, Conafe,

DE LA PEÑA, Luis

México, 1996. MORALES, Gloria, La TORRES, Edna, El

selva. Material didáctico para comunidades rurales, Serie Educación Ambiental, Conafe, México, 1996. desierto. Material didáctico para comunidades rurales, Serie Educación Ambiental, Conafe, México, 1996.

Páginas web: CONABIO: www.conabio.gob.mx RED DE SUPERVISIÓN COMERCIAL DE LA VIDA SALVAJE: www.traffic.org

en inglés: animaldiversity.ummz.umich.edu/site/index.html Chamela: www.ibiologia.unam.mx/ebchamela INSTITUTO DE BIOLOGÍA, UNAM. Estación Los Tuxtlas: www.ibiologia.unam.mx/tuxtlas/tuxtlas.htm SEMARNAT,Vida Silvestre: www.semarnap.org.mx DIVERSIDAD ANIMAL

INSTITUTO DE BIOLOGÍA, UNAM. Estación

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Certidumbres e incertidumbres

El programa de Filosofía para niños en la enseñanza de las matemáticas

Libro para el maestro. Matemáticas.Tercer grado, Secretaría de Educación Pública, 1994.

Ma. del Carmen Oliver Pesqueira

n 1968 Matthew Lipman y Ann Margaret Sharp diseñaron el programa de Filosofía para niños como respuesta a una problemática que observaron entre sus alumnos en la Universidad de Nueva Jersey; como tantos otros alrededor de todo el mundo, esos alumnos buscaban tener injerencia sobre su propia educación, entre otras demandas. Los autores del programa advirtieron la deficiencia de sus estudiantes para plantear y argumentar sobre la pertinencia y justificación de sus aspiraciones, y fueron testigos, en consecuencia, de cómo perdían muchas de las batallas que emprendían. Lipman y Sharp partieron de la creencia de que todas las personas y especialmente los niños poseen una capacidad innata para la búsqueda y el asombro por el solo hecho de ser personas; es decir, supusieron que todos los seres humanos

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tienen una disposición para hacer filosofía, independientemente de su condición social o académica. Basados en este supuesto diseñaron un programa dirigido a estudiantes desde las etapas elementales de la educación formal para desarrollar las capacidades de pensamiento e indagación. Los autores se apoyaron en la certeza de que cuando se expone a los niños a problemas filosóficos expresados en una terminología que comprenden, los niños encuentran estas situaciones intrínsecamente interesantes y por lo tanto discuten en torno a estos problemas espontáneamente y desarrollan un alto grado de compromiso tanto con lo que piensan como con la forma en que lo hacen. El programa de Filosofía para niños gira alrededor de dos ejes principales: el desarrollo de habilidades de pensamiento y el de habilidades

sociales. A semejanza de otros programas diseñados en las últimas tres décadas para enseñar a pensar, como son el de Enriquecimiento instrumental (EI) de Reuven Feverstein o el de la Estructura del intelecto (SOI) de J. P. Guilford, Filosofía para niños desarrolla habilidades de pensamiento tales como el dar y pedir buenas razones, hacer distinciones y conexiones acertadas, generalizar, descubrir supuestos, definir conceptos, distinguir lo irrelevante, pedir aclaraciones, usar y reconocer criterios, plantear buenas preguntas, hacer analogías, ofrecer puntos de vista alternativos, inferir consecuencias y otras habilidades que pretenden, en suma, desarrollar el pensamiento crítico. Aunque la lista de habilidades de pensamiento varía de un autor a otro, en general los programas desarrollados para enseñar a pensar se centran exclusivamente en cómo pensamos y aprendemos. Filosofía para niños, en cambio, plantea una segunda vertiente no menos importante que es, de hecho, lo que distingue y da sentido al programa: el desarrollo de habilidades sociales en el marco metodológico de la comunidad de indagación. En la comunidad de indagación los alumnos aprenden fundamentalmente a dialogar. Parecería poca cosa, pero dialogar no es ni conversar ni debatir. Las habilidades sociales que se ponen en juego en una comunidad de indagación o de diálogo provocan una modificación paulatina y muy silenciosa en los miembros del grupo. Nadie es capaz de advertir las transformaciones que van operando cuando se encuentra en el seno de la comunidad, sólo lo hacen quienes observan al grupo sin pertenecer a él o bien los propios miembros cuando por alguna razón no asisten a una o varias sesiones consecutivas. M. Lipman define el diálogo como el encuentro de conciencias a través de la palabra. Dicho de otro modo, en la comunidad de diálogo las habilidades sociales que se involucran

implican que cada uno de los miembros del grupo permita, dado el momento, ser modificado por los demás integrantes. Las dos habilidades sociales iniciales y primordiales son el respetar los turnos para intervenir y el construir a partir de las ideas de los demás. Estas dos condiciones permiten desarrollar el sentido de la escucha activa; cada persona de la comunidad está obligada a intervenir desarrollando su idea a partir de la construcción previa de otro miembro. Esto, a la larga, genera que las intervenciones sucesivas se vayan articulando y que las personas no se atropellen. La consecuencia inmediata es que los pensamientos se van construyendo unos sobre la base de los otros y todo el grupo se ve involucrado en una construcción común, en la que la cooperación y no la competencia es el eje rector. Puesto que la construcción del pensamiento es colectiva, los miembros de la comunidad gradualmente se van viendo inclinados a cuidar e involucrarse con la construcción del pensamiento que han deliberado y el defender una idea propia se torna en ofrecer matices cada vez más sutiles y complejos en lugar de desechar puntos de vista alternativos. Esto, por supuesto, conlleva un elemento afectivo porque la comunidad como tal empieza a construir significados comunes que serán pilares para futuras indagaciones. Aunque para fines didácticos el programa de Filosofía para niños distingue entre las habilidades de pensamiento y las sociales, lo cierto es que unas se ponen en juego al servicio de las otras en forma simultánea, y en la coyuntura de ambas se encuentra la pregunta. La capacidad de formular buenas preguntas, primero en manos del profesor o del responsable del grupo y más tarde en manos de cada integrante de la comunidad, es la piedra angular para profundizar en los problemas. Se instruye a los alumnos sobre la existencia y distinción de

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El programa de Filosofía para niños en...

una pregunta cerrada contra una abierta y de una sustantiva en oposición a una procedimental. Siempre se prefiere una pregunta abierta a una cerrada, porque las primeras son las que llaman a la indagación, pero en cuanto a las sustantivas y a las procedimentales, simplemente se las distingue como también se distingue el momento pertinente para cada una. Mientras que las sustantivas se refieren al qué y por lo tanto son motivo de indagación sobre el contenido del problema filosófico que ocupa, las procedimentales toman su turno una vez que se ha llegado a una construcción dotada de sentido que se tomará momentáneamente como correcta o como solución tentativa a un problema. En ese momento la comunidad regresa sobre sus pasos en un proceso de metacognición que le permite cobrar conciencia de cómo ha llegado a una conclusión o a un planteamiento que nunca se toma como definitivo y que siempre podrá volver a ser cuestionado. Además de su calidad de abierta, hay otros requisitos que debe cubrir una pregunta para que dé lugar a la indagación. Por una parte, la pregunta debe ser genuina, es decir que el autor de la pregunta no debe conocer de antemano la respuesta: no puede ser una pregunta retórica. Por otra parte, la pregunta debe ser muy clara. Tanto en los términos empleados como en la construcción, la formulación de una pregunta clara es medular para apuntar la indagación en una dirección definida que no permita la vaguedad ni la divagación. Además, las preguntas se someten a un examen para detectar supuestos subyacentes que permitan determinar si esos supuestos son admisibles o si deben a su vez ponerse en tela de juicio. La implantación del programa de Filosofía para niños admite dos modalidades principales: la primera es en un espacio propio en el que el material para generar las preguntas y las dis-

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cusiones es uno de los ocho textos y sus respectivos manuales diseñados por los autores para los distintos niveles desde preescolar hasta preparatoria. La otra modalidad es que el programa se involucre en las distintas asignaturas de los planes de estudios. Por su naturaleza, algunas materias se prestan más que otras para indagar alrededor de problemas filosóficos pero es evidente que el lenguaje y las ciencias (incluida la matemática) representan un crisol perfecto para hacerlo. Así, la experiencia en el salón de clase ha demostrado que los alumnos de secundaria y preparatoria tienen una inclinación espontánea por plantear preguntas con un trasfondo filosófico especialmente en torno a temas específicos como son los sistemas de numeración, la teoría atómica o el cálculo diferencial e integral. Por su parte, la enseñanza de las ciencias ha representado un problema que puede calificarse de histórico. Desde luego, son muchos los elementos que intervienen en su formulación, pero uno de esos factores parece ser la indisciplina, en el sentido de que la mayor parte de los alumnos carece de la constancia y la perseverancia que requiere su estudio. Particularmente en el caso de las matemáticas, los estudiantes se van entrenando en la solución de operaciones a medida que el campo de estudio les va resultando menos significativo; incluso, parece que hay grados escolares en los que se evidencia con más claridad esta estrategia que es adoptada progresivamente por más y más alumnos. Grados críticos aparentan ser el 3º y 5º de primaria, el 2º de secundaria y sin duda el 3º de preparatoria, cuando se empieza a estudiar cálculo. A medida que la materia va resultando más obscura, los alumnos van abandonando la posibildad de comprender y van supliendo la comprensión por la mecanización. Llegado el momento, eligen una profesión en función de que su estudio no

involucre matemáticas, eliminando de sus alternativas cuando menos la mitad del conocimiento humano. La UNESCO declaró el 2000 como el año de las matemáticas y declaró que “las matemáticas son una de las máximas expresiones de la inteligencia humana y un magnífico ejemplo de la belleza de las creaciones intelectuales”. Aunque se sabe de la importancia del estudio de las matemáticas, en la mayoría de los casos no se logra despertar en los estudiantes un aliciente propio y genuino que los conduzca a realizar los esfuerzos que se requieren para tener éxito en esa empresa. Si algo no ven en las matemáticas estos alumnos que suplen la comprensión por la mecanización, es belleza. Les resulta increíble y sorprendente que alguien pueda declarar algo semejante. Pero sabemos que las matemáticas sí son capaces de provocar un alto grado de satisfacción intelectual y de dar cabida a la creatividad que sin duda está vetada cuando el estudiante limita su ejercicio a la práctica de algoritmos. ¿Qué sucede y cómo puede Filosofía para niños ayudar a trascender esta situación? Según Jean Piaget, la construcción del conocimiento es un proceso continuo que destaca la actividad del sujeto y también se basa en el objeto considerándolo como un límite que existe independientemente de nosotros y nunca es alcanzado completamente. Existen dos condiciones funcionales de la adaptación al medio en una interacción circular entre el sujeto y su ambiente; por una parte, en la asimilación el sujeto interviene activamente según su organización integrando un dato exterior a sus estructuras; por otra parte, la adecuación es construida y se presenta cada vez que sobreviene una modificación de los esquemas de asimilación por influencia de situaciones exteriores. En el ámbito del pensamiento se dice que el sujeto está adaptado a una realidad particular cuando ha logrado asimilar

esa realidad en sus propios marcos, adecuándolos a las nuevas circunstancias presentadas por esa realidad. Así, la adaptación intelectual es un equilibrio entre la asimilación de la experiencia a las estructuras y la adecuación de esas estructuras a los datos de la experiencia. Por el contrario, el desequilibrio se presenta cuando las necesidades no son satisfechas o cuando la estructura no es adecuada, pero el desequilibrio es necesario para el progreso. Cuando los procesos de asimilación y acomodación se presentan durante el estudio de las matemáticas, existen momentos en los que las estructuras mentales de los alumnos dejan de ser adecuadas y sobreviene el desequilibrio cognitivo. En esos momentos de desequilibrio los alumnos experimentan grandes dosis de confusión y son esos momentos los que se convierten en críticos para su futuro, como también resulta crítica la intervención del profesor como mediador del proceso tanto individual como grupal. Por lo general nuestro sistema educativo fomenta el aprendizaje en un ambiente competitivo e individualista y poco hace por la construcción social del conocimiento. Además de que la estructura de los programas y la planeación de los cursos se tornan exhaustivas y con una gran cantidad de contenidos, lo cual tiende a provocar que esos momentos de desequilibrio no puedan ser atendidos adecuadamente. Cuando se presenta el desequilibrio cognitivo los alumnos tienden también a oponer resistencia al cambio y experimentan una gran tensión. Entonces es cuando sus preguntas frecuentemente suelen presentar un cariz filosófico que no siempre es detectado por el profesor o bien, aunque sea medianamente detectado, no se le da cabida para que esa pregunta pueda clarificarse con la intervención de todo el grupo. Aunque los alumnos tienden entonces a plantear sus preguntas como si la preocupación fuera de carácter procedimental (preguntan

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El programa de Filosofía para niños en...

sobre el cómo operar), la realidad es que están intentando encontrarle sentido a un concepto que por el momento carece de él. Algunos se dan cuenta, pero también comprenden que penetrar en el sentido de lo que están estudiando involucra dificultades conceptuales e incluso estructurales, y eso les resulta amenazador y de ninguna manera estimulante. Aquí es en donde Filosofía para niños ha probado ser una posibilidad de intervención de gran eficacia para dar cabida a la formulación clara y precisa de las preguntas y, por lo tanto, al planteamiento de los problemas de trasfondo que suelen estar detrás de preguntas aparentemente procedimentales, que son en realidad preguntas sustantivas que tocan problemas filosóficos. Cuando se da oportunidad a los estudiantes para que delimiten cuidadosamente la situación que les resulta conflictiva y desequilibrante, expresan que es una tarea que difícilmente podrían plantear en forma individual y que la intervención de sus compañeros en la construcción cooperativa de la pregunta es fundamental. Con el tiempo, el entrenamiento y con el ejercicio sistemático de los procesos metacognitivos se dan cuenta de que sus habilidades para definir los problemas se incrementa, y eso genera un gran sentido de competencia y por lo tanto de seguridad, además de que da lugar a altos niveles de satisfacción y eso deriva naturalmente en una fuerte motivación para remontar los siguientes obstáculos que se presentan. Un ejemplo claro y breve de lo anterior se presentó en un grupo de 3º de preparatoria que

presentaba un alto grado de recelo ante la materia de Cálculo, cuando al iniciar el tema de límites se introdujo al grupo con ilustraciones de M. C. Escher entre las que se encontraban algunos de sus desarrollos del anillo de Möbius. El conflicto se produjo cuando los alumnos advirtieron que en un sentido era infinito, pero que sin embargo tenía un límite. ¿Cómo puede ser que algo sea infinito y al mismo tiempo tenga límite? La formulación de la pregunta como tal no fue ni inmediata ni individual, tampoco fue la única pregunta que se planteó, pero su discusión condujo a una investigación sobre los números irracionales, el límite de las progresiones geométricas decrecientes infinitas y a las paradojas de Zenón de Elea. Más adelante, la obtención de límites por métodos gráficos y analíticos resultó solamente una consecuencia del problema anterior que ofreció poca dificultad, y los resultados de la evaluación fueron sorprendentemente altos. El tiempo que aparentemente se había perdido en la ilustración con los dibujos de Escher, la discusión de las preguntas que plantearon y la investigación sobre los números irracionales, las progresiones y las paradojas se recuperó casi en su totalidad al abordar los algoritmos para la obtención de límites. La filosofía como sustento en la enseñanza de las ciencias y en particular de las matemáticas es fundamental en la estructuración del pensamiento, y la metodología del programa de Filosofía para niños ha demostrado ser una herramienta pertinente y eficaz en la enseñanza de estas disciplinas.

Bibliografía SPLITTER, Laurance J. y Ann Margaret Sharp, Teaching for Better Thinking.The Classroom Community of Inquiry, ACER Press, Australia, 1997. LIPMAN, Matthew, Ann M. Sharp y Frederick S. Oscanya, Philosophy in the Classroom, Temple University Press, 1980. ——–, Thinking Children and Education, ACER Press, Australia, 1993. NICOLÁS, André, Jean Piaget, Breviarios del Fondo de Cultura Económica, México, 1979. PIAGET, Jean, Adaptación vital y psicología de la inteligencia, 7ª ed., Siglo XXI, México, 1989.

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Artistas y artesanos

La cábala en Borges Daniel Nicolás Rodríguez León

Il n’y a point de hasard dans le monde; tout y a été et sera toujours une suite de combinaisons nécessaires que l’on ne peut entendre que par la science des nombres JACQUES CAZOTTE, LE DIABLE AMOUREAUX*

l término cábala significa ‘tradición’ en hebreo y sirve para designar el estudio de interpretación de las Sagradas Escrituras por parte de una facción religiosa judía. Esta doctrina se propone explicar el sentido de la Biblia en orden a la creación del mundo y postula que las letras fueron los instrumentos de Dios en dicha labor, y no las palabras compuestas por las letras, como es la creencia más común. Por esto, los cabalistas dan significado a las letras y las estudian de diversos modos: forman alfabetos paralelos, leen de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, en forma vertical y atribuyen a las letras un valor numérico. Para ellos, las Sagradas Escrituras son de inspiración directa del Espíritu Santo y, como la inteligencia de Éste es infinita, nada en ese texto puede ser obra del azar. Ahora bien, el Dios de los cabalistas, En Soph, ha tenido 10 emanaciones, cada una derivada de la anterior. Dichas emanaciones, a medida que se alejan del En Soph, van perdiendo fuerza, hasta llegar a la que crea este mundo, que es una divinidad deficiente y que, por lo tanto, crea

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Jorge Luis Borges.

un mundo deficiente. De esta manera explican 1 la existencia del mal. Las doctrinas orientales llegaron a Occidente en los primeros siglos de nuestra era, cuando se

* No hay casualidad en el mundo, todo ha sido y será siempre una sucesión de combinaciones necesarias que no pueden ser comprendidas más que por la ciencia de los números. Jacques Cazotte, El diablo enamorado. 1 Hacemos únicamente mención de las creencias cabalísticas necesarias para el desarrollo del presente trabajo. Para una mayor comprensión del tema, ver Gershom Scholem, Las grandes tendencias de la mística judía y La Cábala y su simbolismo.

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La cábala en Borges

imbricaron neoplatonismo, hermetismo y gnosticismo, gracias a autores como Juliano el Caldeo, Jámblico y Proclo, quienes recopilaron las ideas provenientes de diversas latitudes e hicieron posible su difusión. Posteriormente, en el Renacimiento, los estudiosos Giovanni Pico della Mirandola, Johannes Reuchlin, Cornelio Agripa, John Dee y Giordano Bruno interpretaron las ideas herméticas con fervor inusitado. Fiel a su carácter ecléctico, la magia renacentista une a sus dos tradicionales componentes (neoplatonismo y hermetismo) algunas ideas de místicos

La gran figura de la magia y el ocultismo francés en el siglo XIX fue Eliphas Lévi, gran estudioso de la cábala y el gnosticismo y lector de Jacob Boheme, Saint-Martin, Swedenborg y Favre d’Olivet. Lévi introdujo cambios en el corpus cabalístico tradicional, sobresaliendo la conexión que estableció entre la cábala y el tarot, entre las 22 letras del alfabeto hebreo y los 22 arcanos mayores del tarot, entre las cuatro letras del hebreo Tetragrammaton o nombre de Dios y las cuatro series o palos del tarot (que constutuyen los arcanos menores), y las diez cartas numeradas de cada palo con las diez sefirot.

cristianos como Dionisio el Areopagita –autor de las Jerarquías Celestiales y de los Nombres Divinos–

Así, el tarot pasó de ser un juego de mesa a un

y sobre todo la cábala judía, que desde entonces

objeto de meditación cabalística, con un hondo

pasará a ser un elemento esencial en las diferentes

trasfondo filosófico, y por su parte, la cábala

presentaciones del discurso mágico occidental, una

adquirió una conformación iconográfica nove-

cábala por supuesto cada vez menos ortodoxa-

dosa, sin perder sus elementos tradicionales.4

mente judía, cada vez más “cristiana”, aunque no por esto menos importante para el historiador de las ideas.2

Pico della Mirandola es la figura más sobresaliente de esta “cábala cristiana”, pues considera a las tres religiones abrahámicas como mutuamente complementarias y busca sus denominadores comunes, logrando una fusión de estas distintas religiones3 e insertando numerosas nociones cabalísticas en sus textos. Más tarde creció, junto a las ideas racionalistas e ilustradas, una vasta red de pensamiento mágico y místico, que influenció a pensadores románticos como Schelling y Schubert, y que se vio traducida en la Naturphilosophie, el esfuerzo romántico por unir ciencia, poesía y religión.

2 3

4 5

Si durante el Renacimiento la magia estuvo ligada a la ciencia, al arte y a las humanidades, a partir del siglo XIX las referencias culturales de la magia serán más restringidas, sobre todo al arte y la literatura. El orden industrial del siglo XIX no logró destruir el discurso mágico tal como las teorías de los ilustrados y positivistas pretendían. Lo que sí lograron fue arrinconarlo entre el arte y la religión, reducir sus aplicaciones al mundo interior y no a la naturaleza, psicologizarlo, circunscribir sus pretensiones demiúrgicas y narcisistas.5

De esta forma los elementos mágicos penetraron otros ámbitos de la cultura. El siglo XIX es fundamental ya que en él la magia se vincula

José Ricardo Chaves Pacheco, “Magia y ocultismo en el siglo XIX”, pp. 293-294. Esta búsqueda culminó siglos después en la Teosofía de Madame Blavatsky, quien incorporó elementos procedentes de tradiciones hindúes y budistas, y cuya irradación intelectual fue decisiva en el rumbo seguido por el ocultismo en Occidente, por lo menos hasta mediados del siglo XX, gracias a la fundación, en 1875, de la Sociedad Teosófica en Nueva York. Chaves, art. cit., p. 315. Ibid., p. 325.

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Un soir, après nous être épuisés en raisonnements de toute espèce autour d’un très petit flacon de vin de Chypre et de quelques marrons secs, le discours tomba sur la cabale et les cabalistes”.7

A partir de esa plática el joven protagonista se introduce en el ocultismo y se decide a invocar al Diablo. En las dos obras mencionadas de Potocki y Bulwer Lytton, ser cabalista equivale a

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fuertemente con el arte y la literatura, gracias a las circunstancias histórico-sociales que lo caracterizaron. La contribución del romanticismo fue decisiva en este sentido, pues vinculó el mundo de la razón con el de la sensación, propuso un concepto de naturaleza como ente vivo que de alguna forma es el cuerpo de Dios y brindó especial atención a la dimensión mítica y al símbolo como llave de acceso a ella.6 Al reavivamiento de lo oculto en el siglo diecinueve corresponderían en lo sociopolítico los estragos de la revolución burguesa y, en lo económico, la revolución industrial. La fama de Lévi creció gradualmente y fue admirado por escritores decimonónicos como Victor Hugo, Catulle Mendès, así como por los simbolistas y decadentes finiseculares. Algunas novelas fundamentales de la literatura fantástica del siglo XIX y principios del XX recibieron el influjo de las doctrinas cabalísticas. Así aconteció con Le Diable amoureaux (1772), de Jacques Cazotte; Manuscrito encontrado en Zaragoza (1804), de Jan Potocki; Zanoni (1842), de Edward Bulwer Lytton, y El Golem (1915), de Gustav Meyrink, por mencionar sólo unos cuantos ejemplos. El inicio de la novela de Cazotte es notable:

Eliphas Lévi, gran estudioso de la cábala y el gnosticismo en el siglo XIX.

ser sabio y poseer poderes sobrehumanos, entre los cuales destaca la inmortalidad. Por último, Meyrink recoge y transforma una leyenda popular judeocabalística para su novela.8 En el siglo XX, muchos escritores continuaron desarrollando temas con orígenes cabalísticos, pero tal vez el más representativo sea el argentino Jorge Luis Borges, quien en numerosas ocasiones a lo largo de toda su obra (tanto en prosa como en verso), hizo referencia a la cábala y a su modo de entender la creación del universo. En el libro Siete Noches explica el asunto de la siguiente manera: La idea es ésta: El Pentateuco, la Torá, es un libro sagrado. Una inteligencia infinita ha condescendido a la tarea humana de redactar un libro. El

Muchos de los románticos se interesaban y estaban influidos por el esoterismo. Wouter Hanegraaff, Gnosis and Hermeticism from Antiquity to Modern Times, p. 237. Una noche, después de agotarnos en razonamientos de todo tipo en torno a una pequeña botella de vino de Chipre y de algunas castañas secas, el discurso derivó en la cábala y los cabalistas. Jacques Cazotte, Le diable amoureaux, p. 34. Scholem señala que las elaboraciones y metamorfosis literarias y artísticas de la leyenda del golem proliferaron en las literaturas judía y alemana del siglo XIX, a partir de Jakob Grimm, Achim von Armin y E. T. Hoffmann. Gershom Scholem, La cábala y su simbolismo, p. 173.

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La cábala en Borges

Los gnósticos judíos sostenían que el hebreo de la Tora era sin duda el idioma de Dios, aunque el hombre hubiese dejado de tener acceso a las profundidades de su sentido esotérico cabal, mismo que contiene propiedades mágicas.

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Esas letras insondables cuyas combinaciones configuran los setenta y dos nombres de Dios pueden revelar, cuando se escruta en ellas, el pliegue más escondido de la significación, la cifra, la geografía del cosmos.12

Espíritu Santo ha condescendido a la literatura, lo cual es tan increíble como suponer que Dios condescendió a ser hombre. Pero aquí condescendió de modo más íntimo: el Espíritu Santo condescendió a la literatura y escribió un libro. En ese libro, nada puede ser casual.9

El concepto resultaba muy llamativo para el escritor argentino y lo retomó una y otra vez, quizá por englobar el hecho de que para los cabalistas “Dios crea el mundo mediante palabras”.10 En el ensayo titulado “Una vindicación de la cábala” del libro Discusión (1932), Borges defendió la visión escrutinadora de los cabalistas diciendo que, si se admite que las Sagradas Escrituras son de inspiración divina, es lógico recurrir a todos los caminos posibles para sacar de ellas el mayor provecho posible.11

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Jorge Luis Borges, Siete Noches, pp. 128-129. Ibid., p. 129. Jorge Luis Borges, Obras completas, tomo I, p. 212. George Steiner, Después de Babel, p. 81. Jorge Luis Borges, Obras completas, tomo I, p. 597.

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Este postulado de la cábala del lenguaje divino presente en las Sagradas Escrituras, cuyo conocimiento y apropiada manipulación conduce a la obtención de poderes inimaginables, lo encontramos tratado literariamente en el cuento “La escritura de Dios”, del libro El Aleph (1949). En él, Tzinacán, sacerdote y mago de la pirámide de Qaholom, es hecho prisionero por los españoles y comparte con un jaguar una celda dividida en dos. Recuerda que una de las tradiciones de su dios dice que éste escribió una sentencia mágica capaz de conjurar las desventuras y ruinas del fin de los tiempos. Tzinacán reflexiona largamente intentando descifrar esa sentencia: “Una montaña podía ser la palabra del dios, o un río, o el imperio o la configuración de los astros”.13 Luego trata de entender (leer) las manchas del jaguar que está en la otra parte de la prisión y que sólo puede ver por un instante cada día, cuando le dan de comer y una fugaz ráfaga de luz penetra en la prisión. Los intentos del mago Tzinacán por descifrar un lenguaje escrito en los elementos de la naturaleza nos obligan a retomar lo señalado por Antoine Faivre como uno de los rasgos funda-

mentales del esoterismo occidental: “Nature occupies an essential place. Multilayered, rich in potential revelations of every kind, it must be read like a book”.14 Asimismo, nos recuerda la idea de George Steiner al respecto, para quien “la gramática de Dios resuena en la Naturaleza, basta con que tengamos oídos para ella”.15 Steiner también enlista otros pensamientos similares: Kepler opinaba que la lengua divina podía encontrarse en las matemáticas y en la música, mientras que Angelus Silesius sostenía que desde el principio de los tiempos Dios sólo ha pronunciado una sola palabra, y en esa única emisión está contenida toda la realidad.16 Comparemos esto con lo escrito por Borges en el prólogo a El informe de Brodie (1970): He intentado, no sé con qué fortuna, la redacción de cuentos directos. No me atrevo a afirmar que son sencillos, no hay en la tierra una sola página, una sola palabra, que lo sea, ya que todas postulan el universo, cuyo más notorio atributo es la complejidad.17

En esta afirmación, junto con las nociones presentes en “La escritura de Dios”, podemos vislumbrar las ideas de la cábala que proponen correspondencias entre la naturaleza (el cosmos) o incluso la historia y textos revelados. Aquí encontramos varios ejemplos de lo que se puede denominar como physica sacra. De acuerdo con esta forma de concordancia inspirada, la escritura y la naturaleza están en armonía, y el conocimiento de una ayuda al conocimiento de la otra.

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En toda la obra literaria de Jorge Luis Borges encontramos referencias y alusiones a juegos de historias que se repiten formando una cadena infinita (regressus in infinitum), situación que, creemos, tomó –por lo menos en parte– de la teoría cabalística de la creación. Podríamos mencionar varios ejemplos, pero quizá los más representativos sean “Ajedrez” y “El Golem”, en el terreno de la poesía, y “Las ruinas circulares” en el ámbito narrativo. En el poema “Ajedrez”, del libro El Hacedor (1960), basándose en la idea de la creación presente en la cábala, y utilizando el juego de ajedrez como ejemplo, se insinúa que el ser humano es comparable a una pieza de este juego, carente de voluntad propia, pues es movido por un jugador superior (Dios), quien, a su vez, es manipulado por una voluntad superior y así ad infinitum. También el jugador es prisionero (la sentencia es de Omar) de otro tablero de negras noches y blancos días. Dios mueve al jugador y éste, la pieza. ¿Qué dios detrás de Dios la trama empieza de polvo y tiempo y sueño y agonía?18

Primero se compara a un ser humano con una pieza de ajedrez, y a su mundo de días blancos y negras noches con los dos colores del tablero, haciendo extensiva la atmósfera bélica del juego a la historia de la humanidad. Además, se despoja al ser humano de su libre albedrío sometiendo su voluntad a la de Dios, quien en realidad

La naturaleza ocupa un lugar esencial. De múltiples estratos, rica en potenciales revelaciones de todo tipo, debe leerse como un libro. Faivre, Access to Western Esoterism, p. 11. Recordemos también que el personaje de Zanoni, experto cabalista,“en sus momentos de soledad no consultaba nunca sus libros; y si en otro tiempo había sacado de ellos los vastos conocimientos que poseía, ahora sólo estudiaba en la inmensa página de la naturaleza; su gran memoria suplía lo demás”. Bulwer Lytton, Zanoni, p. 156. Steiner, op. cit., p. 83. Idem. Jorge Luis Borges, Obras completas, tomo II, p. 399. Jorge Luis Borges, El Hacedor, pp. 59-60.

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La cábala en Borges

maneja la situación. La genialidad de Borges consiste en no dejar ahí esta idea, sino que, guiándose muy probablemente por la doctrina cabalística, asimila a Dios con un ser que a su vez carece de voluntad propia y hace lo que dicta una entidad superior a Él. Ya iniciados en este juego, ese otro ser superior estaría igualmente supeditado a otro situado encima de él y, así sucesivamente, hasta formar una cadena sin fin, lo que recuerda las emanaciones (sólo que éstas limitadas) creadoras del En Soph. Con la misma raíz cabalística, el poema “El Golem”, del libro El Otro, el mismo (1964), retoma la idea de la cadena infinita de la creación, a partir de la novela del mismo nombre de Gustav Meyrink, quien a su vez –según el propio Borges– tomó la idea del Pentateuco. En este poema, un rabino estudioso de la cábala, llamado Judá León, da vida a un muñeco pronunciando uno de los nombres de Dios que se encuentran codificados en las Sagradas Escrituras, infundiéndole vida de esta manera. Sin embargo, esta creación resulta imperfecta y el rabino se cuestiona si no hubiera sido mejor no haberla llevado a cabo. El rabí lo miraba con ternura y con algún horror. “¿Cómo –se dijo– pude engendrar este penoso hijo y la inacción dejé, que es la cordura?” “¿Por qué di en agregar a la infinita serie un símbolo más? ¿Por qué a la vana madeja que en lo eterno se devana, di otra causa, otro efecto y otra cuita?”19

Judá León se arrepiente de haberle dado vida al muñeco e intuye que, así como las emanaciones del En Soph van desgastándose y haciéndose imperfectas, del mismo modo su intento de darle vida al Golem resulta fallido,

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Jorge Luis Borges, Nueva antología personal, p. 28. Idem. Jorge Luis Borges, Obras Completas, tomo I, p. 451.

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debido a que él no representa otra cosa que el último escalafón del proceso (o “infinita serie”), y por ende, todavía más imperfecto. Los últimos versos del poema tienen una función similar a los de “Ajedrez”, pues en ellos compara el sentimiento del rabino con el que probablemente Dios pudo haber sentido al momento de ver el resultado de su creación: En la hora de angustia y de luz vaga, En su Golem los ojos detenía. ¿Quién nos dirá las cosas que sentía Dios, al mirar a su rabino en Praga?20

De esta manera, Dios forma parte, consiguientemente, de una trama interminable de creadores y creaciones, lo que constituye una nítida referencia a las emanaciones del En Soph propuestas por los estudiosos de la cábala, sólo que estas últimas se presentan como limitadas en la doctrina milenaria en tanto que la ficción de Borges las prefiere infinitas. Así, estos dos fragmentos de la poesía de Jorge Luis Borges sirven claramente para descubrir los caminos de unión entre la cosmovisión cabalística y la creación literaria del argentino. Pero los ejemplos de esta interrelación no se circunscriben únicamente al campo de la lírica, sino que están presentes también en varios de sus ensayos y de sus relatos. De este modo, el cuento “Las ruinas circulares”, del libro Ficciones (1944), indaga también en el problema de la creación. En este texto, un mago se propone crear un hombre a partir de sus sueños “e imponerlo a la realidad”.21 Nuevamente, al igual que como sucedió con el rabino del poema “El Golem”, la creación revela al creador un aspecto oculto de su propio ser. El mago, que sabe de la invulnerabilidad de su creación (el hombre creado) con respecto al

fuego, descubre que él también es inmune a dicho elemento y cae en la cuenta fatal de que él es, a su vez, un sueño de alguien más. Caminó contra los jirones de fuego. Estos no mordieron su carne, estos lo acariciaron y lo inundaron sin calor y sin combustión. Con alivio, con humillación, con terror, comprendió que él también era una apariencia, que otro estaba soñándolo.22

Esta certeza confirmó, por tanto, el miedo más grande del mago, el ser un sueño de otro, pues antes había pensado en estos términos: “No ser un hombre, ser la proyección del sueño de otro hombre, ¡qué humillación incomparable, qué vértigo!”23 Desenlace que deja al lector y a su interpretación la decisión última de adjudicar ese sueño a otro mago o al propio autor, Borges, quien a su vez podría ser un sueño de otro, volviendo de esta manera a la trama infinita de creadores y creaciones antes señalada. “Ningún poeta ha fabulado con más intensidad la hipótesis de que nuestra existencia es soñada en otra parte”, señaló George Steiner atinadamente con respecto a Jorge Luis Borges, y agregó que cada elemento dentro de las fantasías de “La Biblioteca de Babel” tiene sus fuentes en el “literalismo de la Cábala y en las imágenes, bien conocidas por Mallarmé, los gnósticos y los rosacruces, que describen el mundo como un volumen único e inconmensurable”.24 Finalmente, otras reminiscencias de la cábala en la obra de Jorge Luis Borges son los laberintos dentro de laberintos en “El inmortal”, el infierno dentro del infierno de “El tintorero enmascarado Hákim de Merv” (Historia universal de la infamia, 1935) y el sueño que está dentro de una cadena infinita de sueños en “La escritura

22 23 24

“Alegoría de la Cábala” (grabado). Stephan Michelspacher, Cabala, Spiegel der Kunst und Natur, Augsbourg, 1615.

de Dios”. Así, parece quedar claramente establecida la línea de contacto entre la teoría cabalística de la creación y su representación literaria por parte de Jorge Luis Borges Acevedo, quien se regocijaba al tomar cuestiones filosóficas preestablecidas y llevarlas hasta su extremo más alejado. En este caso en particular, la teoría de emanaciones creadoras que nacen del En Soph de la cábala le sirve para proponer una visión del universo en la que la tarea de la creación no conoce final alguno, ya que siempre existe un grado inmediato de creación hacia atrás y otro hacia delante. Dos de los temas que más obsesionaron a Borges (dentro de una larga lista que incluye el infierno, los laberintos, los espejos, la ceguera, los sueños, el budismo, el Quijote) fueron la creación y la cábala. Con la vasta erudición que lo caracterizaba, el escritor argentino tomaba con

Ibid., p. 455. Ibid., p. 454. George Steiner, op. cit., pp. 89-90.

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La cábala en Borges

frecuencia ideas filosóficas preexistentes para, a partir de ellas, crear ficciones literarias que suponían un paso adelante en la indagación de las mismas. De la cábala tomó la idea de un lenguaje divino oculto a los ojos humanos, pero capaz de otorgar poderes mágicos a los iniciados en él, y la noción de emanaciones del En Soph, que consiste en una cadena limitada de creaciones que culmina con la formación de nuestro mundo y, con base en esa doctrina, el genio literario de Borges engendró historias (poemas, cuentos) que la ampliaron o exageraron, proponiendo una cadena o trama infinita de creaciones y creadores. Además, rebate la definición de Saussure del signo lingüístico como una entidad dicotómica cuyas partes –significante y significado– mantienen entre sí una relación arbitraria y puramente convencional, que se constituye en premisa básica de esta disociación entre mundo y lenguaje y cuestiona la capacidad referencial del lenguaje, la posibilidad de que éste nos relacione con la realidad. Como hemos visto, las doctrinas filosóficas orientales tuvieron un papel fundamental en la literatura fantástica del siglo XIX. Borges, ya en el siglo XX, recibió junto con la herencia fantástica el gusto por las concepciones orientales del universo, mismas que desarrolló en sus textos

mediante un tratamiento lúdico y artístico. Los puntos de contacto entre la cábala y la obra literaria de Jorge Luis Borges son, pues, abundantes, y constituyen una porción muy importante en el pensamiento del argentino. Podemos observar en su producción poética y narrativa todos los motivos presentes en el lenguaje de los gnósticos y seguidores de la cábala. El recurso del lenguaje secreto de los iniciados, la leyenda del Golem, la idea de una cadena de creadores y creaciones, son sólo algunos ejemplos de ello. Jorge Luis Borges no se propuso divulgar ni vindicar las doctrinas cabalísticas, sino que, gustando sobremanera de dichos temas y obsesionado por el misterio del universo, planteó hipótesis y soluciones metafísicas para explicarlo, pero siempre dentro de un cuadro que presuponía el juego de la invención literaria. Por último, otro ejemplo de cómo tomaba ideas filosóficas y las recreaba artísticamente, es el de la teoría de la reencarnación propuesta por los budistas, que Borges retomó y exageró en su cuento “El inmortal”, del libro El Aleph (1949), en el que alcanzó el extremo de afirmar que todos los seres hemos de reencarnar en cada uno de los otros seres y llevar su misma existencia, esto es, que usted, amable lector, algún día escribirá estas líneas y yo las estaré leyendo en su lugar…

Bibliografía: ALAZRAKI, Jaime, “El golem de J. L. Borges”, en Rinzel Pincus Sigele et al., Homenaje a Casalduero: Crítica y poesía. Ofrecido por sus amigos y discípulos, Gredos, Madrid, 1972. BARNATAN, Marcos Ricardo, La Kábala. Una mística del lenguaje, Barral Editores, Barcelona, 1974. BORGES, Jorge Luis, El hacedor, Emecé, Buenos Aires, 1960. , Nueva antología personal, Siglo XXI Editores, México, 1989. , Siete noches, Fondo de Cultura Económica, México,1993. , Obras completas, tomos I-III, Emecé, Barcelona, 1996. BULWER LYTTON, Edward, Zanoni, o el secreto de los inmortales,Valdemar, Madrid, 2001. CAZOTTE, Jacques, Le diable amoureaux, Gallimard, París, 1985. CHAVES, José Ricardo, “Magia y ocultismo en el siglo XXI”, Acta Poética núm.17, 1996, pp. 291-326. FAIVRE, Antoine, Access to Western Esoterism, State University of New York Press, Nueva York, 1994. HANEGRAAFF,Wouter, Gnosis and Hermeticism from Antiquity to Modern Times, State University of New York Press, Nueva York, 1998. POTOCKI, Jan, Manuscrito encontrado en Zaragoza, Fontamara, Barcelona, 1981. SCHOLEM, Gershom, La cábala y su simbolismo, Siglo XXI Editores, Madrid, 1978. , Las grandes tendencias de la mística judía, Siruela, Madrid, 2000. STEINER, George, Después de Babel, Fondo de Cultura Económica, México, 1980.

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Sentidos y significados

De la prolífera raíz indeuropea wer-2 Arrigo Coen Anitúa

l indeuropeo, supuesto idioma originador de varias lenguas que se extendieron desde la India hasta el extremo occidental de Europa (Portugal), nos legó dos raíces homónimas: wer-1 y wer-2. De la primera tenemos, en español, entre otras, las voces de todas las formas derivadas del adjetivo vario, a y del verbo variar, y los sustantivos viruela, várise y verruga. Pero la que nos ha inundado con una alfaguara de términos es la segunda, wer-2, cuyos significados primitivos son doblar y volver. Con una -t paragógica, *wert-, da la idea de ‘dar vueltas’, y de ahí el verbo latino vertere, ‘verter’, cuyo derivado, homónimo en español, tiene no menos de seis acepciones, los sustantivos vertedera, vertedero y vertello (dicción marina), los adjetivos vertedor, a y vertible, y de éste, la vertibilidad. El vértice es el ‘polo en torno al cual gira el cielo’ y es sinónimo de ‘cumbre’; ‘lo que va a la cumbre’ es lo vertical; su calidad, la verticalidad, y su adverbio, verticalmente. Verticalazo es el ‘mandato arbitrariamente impuesto por un superior’. Regresemos al verbo verter: hallamos dos formas prefijadas: una, con el prefijo re-, reverter, que equivale a rebasar o rebosar, en el sentido de ‘salir de sus límites o términos’; y con el prefijo tras-, trasverter, que, dicho de un líquido, es ‘rebosar por los bordes’. No aparece, en español, un supuesto verbo *vertir, pero sí, y nada menos que diez, con esa terminación: subvertir, advertir, desadvertir, revertir, divertir, invertir, convertir, controvertir, pervertir y suvertir. El participio pasivo, o supino del verbo latino vertere, versus, muy recientemente pasó al español, por vía del inglés, tal cual: versus. “Esta preposición” –nos dice el Diccionario panhispánico de dudas (DPD)– “en latín significaba ‘hacia’, adquirió en el lenguaje jurídico inglés, ya en el siglo XV, el valor de ‘contra’, y con este sentido se usa frecuentemente en el español de hoy. Aparece a menudo en la forma abreviada vs. Aunque no es censurable su empleo –pues palabras españolas como adversario, procedentes en latín de la misma raíz que versus, presentan el rasgo semántico de confrontación– se recomienda sustituir este latinismo por la preposición española contra o por la locución preposicional frente a”. Del mismo participio, versus, deriva, en latín, versare, frecuentativo de vertere, y de ella tenemos el verbo versar, ‘dar vueltas alrededor’; dicho de un libro, de un discurso o de una conversación, ‘tratar de cierta materia’; en proniminal, versarse

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De la prolífera raíz indeuropea wer-2

una persona es ‘hacerse práctica o perita, por el ejercicio de algo, en su inteligencia y manejo’; y de ahí el adjetivo versado, a. De la misma prole verbal es el adjetivo versátil, ‘que puede volverse con facilidad’; antes, voluble, ‘caprichoso’; hoy, ‘adaptable’, cuya cualidad es la versatilidad. Y llegamos a verso. En indeuropeo, ante todo, era el ‘surco que traza el arado’, porque, al llegar a cada orilla del campo, había que dar vuelta. Y, de ahí, las acepciones de ‘hilera’ y ‘línea de escritura’. En español, mediante el latín versus, es “palabra o conjunto de palabras sujetas a medida y cadencia, o sólo a cadencia” (Academia). En sentido colectivo, se contrapone a prosa; por ejemplo, ‘composición en verso’. La prosa, el ‘modo espontáneo de hablar y escribir sin sujeción a reglas de medida o rima’, debe también su origen a la raíz de que estamos tratando. Veamos cómo lo explica Gómez de Silva: “Latín prosa, femenino de prosus ‘que está en prosa; directo, recto, derecho’, de prorsus ‘directo, derecho, hacia delante’, de proversus, participio pasivo de provertere ‘voltear o girar hacia delante’, de pro- ‘hacia delante’, + vertere ‘voltear, girar’”. En este punto cabe citar la terminación -verso, del participio pasivo irregular de los siete verbos cuyo infinitivo, en español, acaba en -versar: aversar, adversar, reversar, tergiversar, malversar, conversar y desconversar... y cuyos ‘efectos y acciones’ terminan en -versación. Con traversa, cuyas dos acepciones, la de carrocería y la de marina, dan idea de travesaño, inauguramos la familia de través, del latín transversus, ‘oblicuo’: el verbo atravesar, su casi sinónimo travesar; travesear, ‘hacer travesuras’; los adjetivos travesero, a y travesío, a (del léxico ganadero), el sustantivo travesía (viaje); travesura, travieso, sa. Andaban quedándoseme divorcio y divociar, que se refieren a la ‘disolución legal de un matrimonio’. Se originan en el latín divortium, ‘separación’, ‘bifurcación’, de divortere, alomorfo de divertere, ‘desviarse’, ‘tomar sentidos diversos’ compuesto del prefijo di(s)-, ‘apartarse’, + vertere, = ‘irse cada uno por su lado’. También iba a omitir vértebra, nombre de cada uno de los huesos de la columna vertebral, de los animales vertebrados; vertebración es la acción y efecto de vertebrar, “dar consistencia y estructura internas, dar organización y cohesión” (Academia). Por último, nada menos que el prefijo re-, del latín re-, que indica repetición, no es, en postrer análisis, más que una forma metatética (traslaticia) de la susodicha raíz indeuropea wer-. P:S: (post scriptum) No faltan personas, de muy mal gusto, que les hacen a los niños ‘malacatonche’, o sea, que les dan vueltas hasta trastornarles el sentido del equilibrio. Ese trastorno es considerado como vértigo. De este sustantivo tenemos el adjetivo vertiginoso, a, que referimos sobre todo a lo ‘que da vueltas a gran velocidad’.

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Problemas sin número

Dominó de palabras Claudia Hernández García Daniel Juárez Melchor La grandeza sublime del teorema de Pitágoras fue un caballo de Troya para la geometría griega, porque llevaba en su interior el germen de la profunda crisis de la secta pitagórica. Los Diálogos de Platón nos informan que la comunidad matemática griega se vio gravemente alterada por un descubrimiento que prácticamente demolía la base de la fe pitagórica en los números enteros. En efecto, el cuadrado, una de las figuras geométricas más simples, tiene un segmento, la diagonal, que no es conmensurable con el lado: no hay un submúltiplo de ambos que pueda tomarse como unidad para medirlos. La creencia de que los números podían medirlo todo era una simple ilusión. El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la historia de la geometría, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. Marcó el momento más dramático no sólo de la geometría pitagórica sino de la geometría griega y fue con gran probabilidad lo que imprimió a la matemática griega un cambio de rumbo que la convertiría en la obra de la ingeniería geométricodeductiva plasmada en los Elementos de Euclides. En efecto, la imposibilidad de calcular exactamente la diagonal del cuadrado en función del lado, es decir, la imposibilidad empírica y numérica de resolver el problema de la duplicación del cuadrado, implicaría la búsqueda de algo distinto. El espíritu griego no se arrendará ante la dificultad y pasará el ataque. Renunciando a la exactitud numérica y trascendiendo lo empírico, replanteará el problema soslayando la presencia temible e inexorable del infinito mediante la construcción geométrica.* Pedro Miguel González Urbaneja**

En este número de Correo del Maestro les proponemos una actividad pensada para niños de cuarto grado de primaria en adelante. Para los más pequeños les recomendamos escribir las

palabras en tarjetas que los niños puedan manipular. También les sugerimos que primero trabajen en parejas y que después se lleve una discusión a nivel grupal.

* Tomado de Pitágoras. El filósofo del número, de Pedro Miguel González Urbaneja, col. La Matemática en sus Personajes, Nivola, España, 2001, pp. 205-206. ** Pedro Miguel González Urbaneja es profesor de matemáticas desde hace más de 30 años. Durante este tiempo ha impartido numerosos seminarios sobre historia y enseñanza de las matemáticas en distintas universidades españolas.

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Dominó de palabras

Actividad: 1. Con las siguientes siete palabras vamos a jugar al dominó: niño, almanaque, mansión, demostrar, emperador, oportunidad, rampa. Las instrucciones son las siguientes. Para juntar 2 palabras es necesario que la letra con la que termina la primera palabra, sea la misma con la que empieza la segunda palabra. Por ejemplo, las palabras mueble-elefante pueden ir juntas ya que mueble termina con e y elefante empieza con e. ¿Podrías acomodar todas las palabras de esta forma? 2. Intenta hacer lo mismo ahora con estas ocho palabras: aretes, salud, manzana, escribir, amarillo, almanaque, omega, ropa. 3. Ahora vamos a usar estas nueve palabras: ornamento, social, jarabe, torpedo, almíbar, dolor, artefacto, beso, toronja. Pero para poder juntar dos palabras esta vez, es necesario que las dos últimas letras de la palabra sean las dos primeras letras de la siguiente. ¿Podrías acomodarlas siguiendo estas reglas?

Soluciones: Éstas son las soluciones que nosotros encontramos. 1. -mansión-niño-oportunidad-demostrar-rampa-almanaque-emperador2. -manzana-amarillo-omega-almanaque-escribir-ropa-aretes-salud3. -almíbar-artefacto-torpedo-dolor-ornamento-toronja-jarabe-beso-social-

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Abriendo libros

Cómo enseñar la geometría* Roberto Markarian Nelson Möller

n este artículo se esbozan algunos rasgos generales de la obra Reflexiones sobre la geometría y su enseñanza (Questions sur la géométrie et son enseignement), de François Boule, cuya versión en español apareció recientemente y de la cual hemos tenido el privilegio de actuar como revisores de la traducción. El objetivo principal de dicho trabajo está expuesto con claridad en sus primeras páginas: Una cuestión fundamental consiste en preguntarse si en el transcurso de la formación, hay continuidad o rupturas entre las diversas formas de actividades geométricas y los objetivos que se quieren alcanzar. La ruptura didáctica tiene ciertamente efectos devastadores, particularmente en el colegio: ¿se trata de observar o de demostrar? ¿En función de qué premisas que se suponen adquiridas? A falta de un contrato claro, explícito y justificado (¿para qué sirve demostrar lo que estamos viendo?), la enseñanza de la geometría carece de norte. Una de las finalidades de esta obra es convencer de la posibilidad de reducir las faltas de continuidad de uno a otro punto de vista, a lo largo de un mismo tema (p. 9).

François Boule presenta una reflexión pedagógica sobre la enseñanza de la geometría. La novedad principal es que se propone analizar

conjuntamente, en términos de objetivos y de contenidos, la enseñanza en la escuela primaria y la secundaria. Se trata de dar continuidad a la enseñanza de la geometría en instituciones con culturas, lógicas, objetivos, formas pedagógicas y docentes distintos, por no decir separados por un tabique bastante impermeable. Para comprender por qué Boule puede realizar con total solvencia esta reflexión que atraviesa tal diversidad de sistemas conviene tener presente los años de experiencia del autor en los Institutos Universitarios de Formación de Maestros (IUFM).1

* François Boule, Reflexiones sobre la geometría y su enseñanza, Correo del Maestro y Ediciones La Vasija, México, 2005. A esta edición corresponden las páginas indicadas en las citas. 1 Estos institutos fueron creados en aplicación de la ley de orientación de julio de 1989 propuesta por Lionel Jospin cuando era ministro de educación en Francia.

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Cómo enseñar la geometría

En 1990-1991 comenzaron los IUFM “pilotos” de las Academias de Lille, Reims y Grenoble;2 de 1991 a 1992 todas las Academias se dotaron de uno. Los IUFM sustituyeron a tres estructuras: las escuelas normales de maestros, las de aprendizaje y los centros pedagógicos regionales que formaban, respectivamente, los maestros, los profesores de enseñanza profesional y los profesores de segundo grado. En ellos se ingresa luego de algunos años de estudios postsecundarios. El primer año es aprobado por un concurso después del cual entran en el segundo año de formación con el estatus de “professeursstagiaires” (ya son funcionarios del sistema educativo francés y reciben una remuneración anual de aproximadamente 10 000 euros). Durante ese segundo año, deben entregar los trabajos de los diferentes “módulos” disciplinarios, hacer pasantías de un mes y escribir “un mémoire” que desarrolla una cuestión pedagógica de su elección. En los IUFM hay unos 90 000 estudiantes y egresan alrededor de 25 000 por año. Por tanto, el trabajo en estos institutos puso al autor en contacto con las diversas realidades del sistema educativo preuniversitario. El autor, en la presentación de su obra, dice lo que no ha querido hacer: ni un manual, ni un tratado de geometría, ni una obra de didáctica. No es ciertamente un manual. No es tampoco un tratado de geometría en el sentido clásico del término; en palabras del propio autor: No se trata de evocar toda la geometría “clásica” un volumen no sería suficiente ni siquiera sólo para el triángulo. Se trata de intentar aislar algunos ejes fundamentales y la lógica de su desarrollo a lo largo de una década de enseñanza (p. 13).

También deja claro su concepción constructivista de la enseñanza-aprendizaje:

La enseñanza pone en juego, en primera instancia, un saber que se va a enseñar, un profesor y un(os) alumno(s). El saber que se va a enseñar no es exactamente el saber como tal; los profesores, al igual que los alumnos, son portadores de concepciones propias, o están inmersos en redes de interpretaciones (familiares, sociales, psicológicas, etc.) […]. Puede decirse que, en lo esencial, la didáctica de la geometría está por hacerse. Lo cual no debe disuadir a los profesores de enseñar ni a los alumnos de aprender; y eso es lo que unos y otros siguen haciendo, sin esperar (pp. 10-11).

Podemos decir que la presentación y los primeros tres capítulos están consagrados a una visión global de la geometría y de las finalidades de su enseñanza. Sus títulos sugieren claramente los contenidos, y son los siguientes: • Espacio y geometría • Organización del espacio • Del reconocimiento global a la percepción analizada Allí analiza y enriquece los aportes de Piaget, sirviéndose de trabajos posteriores. En los capítulos siguientes, que ocupan la mayor parte del libro, se desarrollan temas específicos: • • • • • • • • • • • •

Circuitos y laberintos Rompecabezas Plegados Figuras poligonales Teselados Descripciones y construcciones Construcción de la medida Áreas Circunferencia y círculo Repertorio de configuraciones El teorema de Pitágoras El teorema de Tales

Las academias son circunscripciones administrativas de la educación nacional francesa; desde 1997 existen treinta en todo el país.

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• • • • •

Los objetos del espacio Del plano al espacio Del espacio al plano Cálculos y funciones Perspectiva Por último, hay un amplio anexo que: Se dirige directamente a los profesores y supone ya conocidas las notaciones habituales de la geometría y de la trigonometría. Se encontrarán allí prolongaciones o justificaciones que sobrepasan la práctica de clase en los niveles considerados en la obra, así como complementos de formación o de respuestas (parciales…) a algunas legítimas curiosidades (p. 13).

François Boule no comienza por los puntos, las rectas, los círculos…, ni por axiomas y teoremas elementales; se interesa en los objetos geométricos familiares, objetos un tanto heteróclitos a los que la vida cotidiana, los juegos, nuestras costumbres culturales y escolares han conferido el estatus de “objetos familiares”. Para justificar esa elección, Boule se coloca bajo el padrinazgo de Clairaut:3 Siempre se comienza por un gran número de definiciones, de preguntas, de axiomas y de

principios preliminares que parecen no prometer al lector nada más que algo seco […]. Me ha parecido más adecuado ocupar continuamente a mis lectores en resolver problemas […]. La medición de terrenos me ha parecido lo más apropiado que existe para hacer nacer las primeras propuestas de la geometría (p. 11 ).

Los objetos de naturaleza diversa que constituyen los temas de cada capítulo son el fundamento de actividades geométricas muy variadas e interesantes tanto científica como didácticamente (necesidad de utilizar las figuras, de realizar medidas exactas y aproximadas, de comparar, de plegar, de cortar, de aumentar… y siempre, de justificar, de demostrar). Así, las respuestas se apoyan sobre la práctica de la geometría en contextos variados. Este procedimiento no puede más que enriquecer la reflexión e iluminar la experiencia de cada docente. Se trata, por tanto, de una obra de referencia y apoyo, especialmente en las etapas de formación de los docentes. No es una obra elemental, pero está escrito en un lenguaje ameno y ofrece muchas pautas para la reflexión e indicaciones para la puesta en práctica de varios conceptos en diferentes niveles de la educación.

Alexis Claude Clairaut (1713-1765). Desde muy joven realizó importantes aportes en geometría, ecuaciones diferenciales, álgebra (a los 13 años presentó su trabajo Quatre problèmes sur de nouvelles courbes, en la Academia de París). Luego de publicar un importante trabajo sobre cálculo de variaciones (Sur quelques questions de maximis et minimis, 1733) se interesó por resolver cuestiones teóricas que resultaron de la expedición organizada por la Academia de Ciencias de París encabezada para medir un grado de longitud (1736-37). En 1743 publica Théorie de la figure de la Terre confirmando la conjetura de Newton-Huygens de que la Tierra está aplastada en los polos. Luego estudió la órbita de la Luna y discutió sobre la validez de las leyes de la gravedad enunciadas por Newton. Predijo con gran precisión el retorno del cometa Halley (13 marzo 1759).También estudió la aberración de la luz, escribió un libro de álgebra (que incluía la solución de las ecuaciones de cuarto grado y mostraba la necesidad de usar las notaciones algebraicas). Polemizó con las grandes figuras de la época: Euler, d’Alambert, los Bernoulli, Maupertuis,Voltaire y du Châtelet. En la introducción a sus Elements de géometrie escribió:“Me propuse volver a lo que podría haber originado la geometría, y traté de desarrollar sus principios a través de un método tan natural como el que habrían utilizado los inventores de la geometría, tratando solamente de evitar cualquier paso en falso que ellos pudieran haber dado”.

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Maestros en red

De: Gloria Martínez Para: correo@correodelmaestro.com Dirección: Mérida, Yucatán

Quiero saber si tienen revistas sólo con temas de física de secundaria, o material de física de secundaria. Muchas gracias. Estimada profesora Gloria Martínez: • ¿Qué piensan los estudiantes sobre la propagación del sonido en el agua?, Josip Slisko et al., núm. 115, diciembre de 2005. • Cómo leer un texto de ciencia, Julieta Fierro, núm. 114, noviembre de 2005. • Una técnica para impartir clase en secundaria, Julieta Fierro, núm. 106, marzo de 2005. • Einstein para maestros, Julieta Fierro, núm. 104, enero de 2005. • ¿Qué piensan los estudiantes sobre la propagación del sonido en el agua?, Josip Slisko, José Alfonso Manjarrez M., Julio Medardo Serrano S., núm. 115, diciembre de 2005.

• Densidad y tensión superficial, Julieta Fierro y Consuelo Doddoli, núm. 55, diciembre de 2000. • ¿Porqué en la Luna un astronauta pesa seis veces menos que en la Tierra?, Josip Slisko, núm. 50, junio de 2000.

• Experimentos de conductividad eléctrica, Adolfo Argüelles Pimentel y Guillermo Mosqueira P.S., núm. 102, noviembre de 2004.

• Algunos conceptos sobre la obra de Newton, Julieta Fierro, núm. 30, noviembre de 1998.

• Lentes muy fáciles de elaborar, Serafín Pérez Delgado, núm. 94, marzo de 2004.

• El método inductivo-deductivo y Charles Darwin, Román Tejeda Castillo, núm. 33, febrero de 1999.

• Elaboración de una bocina en el salón de clases, Julieta Fierro y Miguel Ángel Monroy, núm. 80, enero de 2003.

• Los sistemas de medida y su significado, L. Santiago Martínez, núm. 12, mayo de 1997.

• Placas de Chlandi: arte, geometría, física, José Manuel Posada de la Concha, núm. 74, julio de 2002. • Disco de Newton... el principio de la ciencia, Serafín Pérez Delgado, núm. 55, diciembre de 2000.

Agradecemos, en primer término, su interés por nuestra publicación, y respondiendo a su solicitud, a continuación le ofrecemos un índice de algunos artículos con temas de física para la enseñanza media que han sido publicados en Correo del Maestro. Esperamos que le sean de utilidad. Reciba cordiales saludos. Correo del Maestro

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• Algunos experimentos de Galileo, Julieta Fierro, núm. 28, septiembre de1998. • Fabricación de un reóstato, A. González Dávila, núm. 7, diciembre de 1996. • Fabricación de un fusible, A. González Dávila, núm. 3, agosto de 1996.

01 800 713 4663