Correo del Maestro Núm. 151 - Diciembre de 2008 by EDILAR

Los niños y los números V Virginia Ferrari

ISSN 1405-3616

La Guía Portage: un apoyo para conocer el desarrollo de los preescolares

Topología explicada para maestros II Roberto Markarian

María de la Paz González

Las palabras áureas Arrigo Coen Anitúa (†)

9!BLF?E@:RUPUOV!

Breve historia de la música clásica mexicana Rubén Heredia MÉXICO

DICIEMBRE 2008

AÑO 13

NÚMERO 151

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Coordinación editorial Celina Orozco Correa Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz (†) Roberto Markarian Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Ana Lilia Estrella Producción editorial Rosa Elena González Diseño, ilustración y formación digital Rosa E. González

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos • Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. • El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. • El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. • Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. • En lo posible, los textos deben presentarse a máquina. De ser a mano, deben ser totalmente legibles. • Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. • En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. • Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. • Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

© CORREO del MAESTRO es una publicación mensual editada por Correo del Maestro S.A. de C.V., con domicilio en Av. Reforma No.7, Ofc. 403, Cd. Brisa, Naucalpan, Edo. de México, C.P. 53280.Tel. (0155) 53 64 56 70, 53 64 56 95, lada sin costo al 01 800 31 222 00. Correo electrónico: correo@correodelmaestro.com. Dirección en internet: www.correodelmaestro.com. ISSN 1405-3616. Certificado de Licitud de Título Número 9200. Número de Certificado de Licitud de Contenido de la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas, S.G. 6751 expediente 1/432 “95”/12433. Reserva de la Dirección General de Derechos de Autor 04-1995-000000003396102. Registro No. 2817 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. RFC: UFE950825AMA. Editor responsable: Nelson Uribe de Barros. Edición computarizada: Correo del Maestro S.A. de C.V. Preprensa e impresión: Pressur Corporation, SA, C. Suiza, ROU. Distribución: Correo del Maestro S.A. de C.V. Tiraje de esta edición: 8000 ejemplares. Precio al público $60.00.

Año 13, Núm. 151, diciembre 2008. Circulación certificada por el Instituto Verificador de Medios. Registro No. 282/09.

editorial

n Correo del Maestro concluimos los trabajos de 2008 con la satisfacción de seguir contando con la confianza de nuestros lectores, la constancia y profesionalismo de nuestros colaboradores y el compromiso de todo un equipo que se consolida año tras año. Con entusiasmo renovado, seguiremos aportando materiales útiles para los docentes y reflexiones que nos acerquen a nuestras metas educativas. La enseñanza de las matemáticas ha sido un tema capital desde los inicios de esta publicación. Muestra de ello es la serie Los niños y los números, que hoy llega a su quinta entrega. Continuando con el tema de la numerización temprana, la maestra Virginia Ferrari propone el uso de los dedos para afianzar el conocimiento de la serie numérica del 1 al 10, las primeras estrategias de cálculo (suma y resta), la partición de números y el conocimiento de los dobles. La estrategia ahora será el uso cultural o convencional de los dedos. Del mismo modo, el especialista Roberto Markarian nos ofrece la segunda parte de la serie Topología explicada para maestros, donde aborda los conceptos fundamentales de espacio bajo una perspectiva matemática y a la luz de la obra de Piaget. Recomendamos la lectura detenida de la entrega anterior, donde se dio un panorama general del objeto de estudio de la topología, así como de sus orígenes. En esta ocasión se analizan los conceptos de espacio topológico y separación. Evaluar el comportamiento del niño en los diferentes aspectos de su desarrollo brinda la posibilidad de planear actividades que conduzcan a la adquisición de destrezas, habilidades y capacidades. Una de las herramientas recomendadas para este cometido es la Guía Portage de Educación Preescolar, un método que fue desarrollado en Estados Unidos a principios de los años setenta. La maestra María de la Paz González nos acerca a su uso y posibilidades. De acuerdo con algunos expertos en el tema, son sólo cinco las obras mexicanas de concierto que han recibido aceptación en amplios sectores de nuestra sociedad: Huapango, de Pablo Moncayo; Sones de mariachi, de Blas Galindo; Redes, de Silvestre Revueltas; La sinfonía india, de Carlos Chávez, y Ferial, de Manuel M. Ponce. Tomando en cuenta la vasta tradición musical de nuestro país, resulta triste, por decir lo menos, que el repertorio sea tan escaso. Con el objetivo de divulgar y dar a conocer la riqueza musical de México, el maestro Rubén Heredia Vázquez comparte con nuestros lectores el artículo Breve historia de la música clásica mexicana. Finalmente, y para convenir con los dorados festejos decembrinos, don Arrigo Coen se vuelca sobre las formas etimológicas del oro en el artículo Las palabras áureas. ¡Les deseamos Feliz Navidad y próspero Año Nuevo! Correo del Maestro

Dibujo de portada: “Navidad” (anónimo).

índice entre NOSOTROS

Los niños y los números V ¡SIGAMOS CON LOS DEDOS! Virginia Ferrari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

antes

Topología explicada para maestros II

DEL AULA

Roberto Markarian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

certidumbres

La Guía Portage

E INCERTIDUMBRES

UN APOYO PARA CONOCER EL DESARROLLO

DE LOS PREESCOLARES

María de la Paz González Rodríguez . . . . . . . . .

artistas Y ARTESANOS

Breve historia de la música clásica mexicana Rubén Heredia Vázquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sentidos Y SIGNIFICADOS

problemas SIN NÚMERO

abriendo LIBROS

maestros EN RED

CORREO del MAESTRO

núm. 151 diciembre 2008

Las palabras áureas ....................

Claudia Hernández García . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arrigo Coen Anitúa

(†)

¿Cuántos hay?

Contar, leer e imaginar Nora Brie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El cambio debe empezar en los adultos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CORREO del MAESTRO

núm. 151 diciembre 2008

entre NOSOTROS

Los niños y los números V ¡SIGAMOS

CON LOS DEDOS!

Virginia Ferrari

En el artículo anterior de esta serie, Los niños y los números,1 comenzamos a abordar el tema de la utilización de los dedos en la numerización temprana2 del niño. En él vimos cómo el uso de este recurso no puede dejarse a la improvisación, sino que debe planificarse cuidadosamente, a largo y corto plazos, de acuerdo con el grado escolar, las metas planteadas y las características de cada niño y cada grupo. En esa ocasión nos enfocamos en el uso espontáneo de los dedos para representar cantidades conforme a ciertos objetivos de enseñanza-aprendizaje. En este artículo nos centraremos en otra forma de utilizar los dedos, que llamamos convencional, que nos apoyará en la consecución de nuevos objetivos, como la adquisición de estrategias más sofisticadas de cálculo mental, importante paso en el desarrollo de las competencias numéricas tempranas. Al igual que en ocasiones anteriores, haremos sugerencias de actividades en el aula, mediante las cuales el profesor encontrará una secuencia didáctica para la consecución de las metas propuestas.

na vez que los niños han adquirido habilidad y seguridad en el uso espontáneo de los dedos para representar cantidades 3 (es probable que esto suceda en la segunda mitad del año de preprimaria, o en la primera mitad de primer grado), estamos listos para enseñarles la forma más común o convencional –culturalmente transmitida– que empleamos en México y en otros países de América para representar tales cantidades.

Virginia Ferrari, “Los niños y los números IV. ¡Sí a los dedos!”, Correo del Maestro, año 13, núm. 149, octubre de 2008, pp. 5-15. Véase Roberto Markarian, “Acerca de la numerización”, Correo del Maestro, año 13, núm. 147, agosto de 2008, pp. 40-45. Véase V. Ferrari, op. cit., pp. 5-15.

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“Orejitas de conejo” Esta actividad ayudará a los niños a pensar figurativamente los números de 1 a 10 y partir números de 1 a 10. Los niños forman puños con las manos y en seguida los colocan encima de su cabeza para representar dos “orejas de conejo”. El maestro dice entonces un número (por ejemplo 6) y el niño alza dedos de ambas manos para formar el número. Un niño podría alzar 4 dedos de una mano y 2 de la otra, en tanto que otro niño podría alzar 5 dedos de una mano y 1 de la otra. Un tercer niño podría alzar 3 dedos de cada mano. Los niños deben tratar de hacer esto sin mirar sus manos, pero para algunos puede ser difícil al principio y tendrán que comprobar mirando. Si se decide hacer hincapié en las combinaciones de cinco-más, se puede pedir a los niños hacer combinaciones de seis a diez con cinco en una mano; por ejemplo, 7 sería 5 y 2, y 9 sería 5 y 4. Una tarea más simple es que los niños sostengan una mano arriba de su cabeza y el maestro les pida mostrar de 1 a 5 dedos. Los niños pequeños podrían tener problemas para mantener los dedos doblados cuando no pueden verlos. En este caso, permítales verificar su patrón de dedos. Finalmente, los niños deben ser capaces de mostrar rápidamente los patrones de dedos de 6 a 10 sin contar. Varíe la actividad mostrando a los niños una tarjeta numérica y pidiéndoles que muestren las orejas de conejo correspondientes a esa cantidad. También puede ser el maestro quien muestre las orejas de conejo y pedir a los niños decir la cantidad.

Pero, ¿cómo podemos estar seguros de que el niño ya adquirió habilidad y seguridad en representar cantidades con los dedos? Si bien esto variará de uno a otro, nos daremos cuenta de que un niño ya es diestro en la representación de cantidades con los dedos cuando: a) Al solicitarle que represente una cantidad, ya no sube los dedos secuencialmente, es decir, uno por uno, sino que lo hace simultáneamente, esto es, todos a la vez. b) Ya no necesita verlos. Es decir, el niño puede representar una cantidad con los ojos cerrados o con las manos encima de la cabeza.4 El maestro se da cuenta de que el alumno tiene interiorizado a tal grado la representación de cantidades con los dedos que no necesita verlos, sino que los visualiza.5 Más adelante pasará de la visualización a la abstracción. c) Lo hace sin equivocarse.

Nuevas metas

Si el niño ya tiene esta habilidad, ¿por qué sugerimos enseñarle una forma determinada de representar cantidades con los dedos? ¿No nos estamos contradiciendo con lo dicho en el artículo anterior? En primer lugar debemos tener en cuenta que nuestras metas han cambiado, que nuestros alumnos ya han aprendido a representar cantidades mediante los dedos.Ahora se trata de dar un paso más en la enseñanza de la numerización temprana y nos interesa que el niño adquiera: • Conocimiento sólido de los números en el intervalo de 1 a 5 y luego de 5 a 10. • Habilidad en pequeñas sumas y restas, primero con los números en el intervalo de 1 a 5 y luego de 5 a 10. • Conocimiento de los dobles.6 4

* Tomado de: Bob Wright et al., Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro [en proceso de edición].

Véase recuadro “Orejitas de conejo”. El Diccionario de la Real Academia define visualizar como “imaginar con rasgos visibles algo que no se tiene a la vista”. Bob Wright et al. llaman dobles a las pequeñas sumas de números iguales, como 1+1, 2+2, 3+3, 4+4, etc., por lo general en el intervalo de 1 a 20.

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¡Sigamos con LOS DEDOS!

Al igual que antes, los dedos nos servirán como apoyo a este aprendizaje. Los emplearemos como un material didáctico más que nos ha de facilitar, en este caso, la adquisición de diversas estrategias numéricas sumamente útiles en el cálculo mental. El empleo de los dedos en el desarrollo de las primeras estrategias de cálculo es, pues, provisorio. La planificación de la enseñanza-aprendizaje de las primeras nociones numéricas desde esta perspectiva incluye que el niño los deje a un lado espontáneamente tras haber desarrollado estrategias más sofisticadas.

Aprender una convención

Para el logro de estas metas necesitamos que la representación numérica con los dedos en el intervalo de 1 a 10 sea casi automática, es decir, que el niño la haga rápidamente, no se equivoque, no dude, no tenga que recurrir a la vista. A la vez, el maestro necesita confirmar “de un solo golpe de vista” que todos sus alumnos lo han hecho correctamente. Esto último le será más sencillo si todos los niños utilizan el mismo “patrón de dedos”. El patrón de dedos que recomendamos es el que se transmite culturalmente en México y otros países de América, y que se muestra en las figuras 1 a 10. Para que a los niños les resulte más sencillo aprender esta convención, a mí me gusta decirles que,“como el dedo pulgar es el más gordito y fuerte, es el que sostiene a los demás y no permite que ninguno se escape” (observemos que es una excelente ocasión para enseñar o repasar el nombre de los dedos, a la vez que explicar que a la mano cerrada se le llama puño). Partimos del puño cerrado. El primero que se escapa es el índice, que representa 1 (fig. 1). Luego, sin bajar el índice, se suelta el dedo mayor (el del centro): así representamos 2 (fig. 2). Sin bajar los dos anteriores, subimos el dedo anular y representamos el 3 (fig. 3). Al soltar el meñique obtenemos el 4 (fig. 4); y, por último,

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Figura 1. Representación del número 1.

Figura 2. Representación del número 2.

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Figura 3. Representación del número 3.

Figura 5. Representación del número 5.

Figura 4. Representación del número 4.

todos los dedos extendidos representan el 5 (fig. 5). Hacemos este ejercicio con una mano y después con la otra. Luego representamos el 6 extendiendo los cinco dedos de una mano y el índice (el ‘1’) de la otra (fig. 6). El 7 con una mano extendida y el patrón de 2 en la otra (fig. 7).Y así sucesivamente para el 8, 9 y 10, tal como muestran las figuras correspondientes. Si mostramos la mano levantada con el puño cerrado, estaremos representando cero (fig. 11). Muchos autores afirman que los niños pequeños no tienen noción de cero, pues les resulta imposible concebir una colección en la que no hay nada (la propia palabra colección sugiere que hay algo). Sin embargo, los maestros necesitamos recurrir al cero en distintos contextos. Así, si estamos pasando la lista y vemos que no hay ningún niño ausente, eso lo representaremos con la cifra 0; si Lupita se comió las tres galletitas que tenía y se quedó sin ninguna, eso lo representaremos con la cifra 0; si tengo levantados los 5 dedos de una mano y ninguno en la otra, eso lo representaremos como 5+0; si deseo escribir el número 10, necesitamos recurrir al cero, aunque ese caso sea mucho más difícil de comprender para el niño.7 7

Sugerimos, de acuerdo con las nuevas tendencias en la didáctica de las matemáticas, que las nociones correspondientes al valor de posición, esto es, unidades, decenas, etc., no se enseñen en esta etapa del aprendizaje, sino que se posterguen hasta que el niño haya adquirido habilidad en el cálculo mental en el intervalo de 1 a 20. B.Wrigtht et al., Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro [en proceso de edición].

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¡Sigamos con LOS DEDOS!

Figura 6. Representación del número 6.

Figura 8. Representación del número 8.

Figura 10. Representación del número 10.

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Figura 7. Representación del número 7.

Figura 9. Representación del número 9.

Figura 11. Representación del número 0.

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Algo de práctica

Actividad 1 La primera actividad será, pues, que los niños adquieran agilidad representando cantidades con este nuevo patrón de dedos. Para ello, comenzaremos con ejercicios muy sencillos en los que primero usen los dedos para representar: • • • •

La cantidad de objetos en una colección. La cantidad de pasos o brincos que da un compañerito. La cantidad de aplausos (palmadas) que da el profesor. La cantidad de golpes en una mesa, los “clap-clap” de las claves al chocar o los ”tin-tin” del xilófono al sonar. • La cantidad de objetos que uno de los niños dice que hay en una colección velada (tapada) [por ejemplo: “Debajo de este paño escondí 7 canicas”. Los demás niños muestran la cantidad correspondiente de dedos]. Otros ejercicios: • El maestro dirá un número y los niños lo mostrarán con los dedos. • El maestro mostrará con los dedos un número, de acuerdo con el patrón de dedos que estamos enseñando, y los niños dirán qué número es. • Pasará un niño por vez al frente del grupo para mostrar un patrón de dedos, y otro niño debe decir cuál es. • El maestro mostrará tarjetas con patrones de dominó del 1 al 9 y los niños mostrarán el número que corresponde con los dedos.8 • El maestro enseñará una cifra 9 en el intervalo de 1 a 10, escrita en una tarjeta numérica.10

En la revista Correo del Maestro núm. 147 [año 13, agosto de 2008, pp. 29-36 (cartel)] incluimos tarjetas con los patrones de dominó del 1 al 6. En esta ocasión completamos con los patrones del 7 al 10. 9 Se le llama cifra al signo o signos con que se representan los números; por ejemplo ‘5’ o ‘27’. Hoy en día, también se está usando la palabra numeral para indicar “número escrito”. 10 Le llamamos tarjetas numéricas (o tarjetas numerales) a las tarjetas que tienen números escritos. Con el afán de facilitar la labor del maestro en la elaboración de material didáctico, en el número 147 de esta revista incluimos tarjetas numéricas del 1 al 6. En esta edición completamos del 7 al 9 y el cero.

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¡Sigamos con LOS DEDOS!

Contar y calcular Una vez que los niños se han acostumbrado al uso de este patrón de dedos, comenzaremos a trabajar en las nuevas metas, arriba expuestas (dichas metas pueden lograrse también con diferentes materiales didácticos y otras estrategias en el contexto de distintas actividades). Debemos tener en cuenta que si bien hemos planteado las metas por separado, éstas se relacionan entre sí. De manera que, al trabajar en la formación de números, lo estaremos haciendo a la vez en pequeñas sumas y restas y, en el caso de los números pares, con los llamados dobles. Sin embargo, debemos observar que no sucede así en todos los casos: esforzarse intensamente en pequeñas sumas y restas no implica, por sí mismo, que los niños estén adquiriendo un conocimiento sólido de los números, que fue lo que propusimos como meta en primer lugar. ¿Qué queremos decir, entonces, con “tener un conocimiento sólido de los números”? Queremos decir varias cosas. En primer lugar, que el niño se sienta a gusto con los números, que se sienta seguro en su manejo; que pueda decir cuántos elementos hay en una colección; que pueda formar una colección de una cantidad indicada; que sepa hacer buenas estimaciones dentro del intervalo de números que domina (es decir, que si ve por un instante una colección de 5 elementos, no diga que hay 10); esto es, que tenga noción de la cantidad. También implica que sepa qué número está antes y cuál después de un número dado, que éste es mayor que los que le anteceden y menor que los que le siguen. Tener un conocimiento sólido de los números, es decir, tener “un buen sentido numérico”, implica saber que cada número se forma por el agregado de una unidad al número anterior y, por tanto, que si a un número le agrego 1, obtengo el siguiente en la secuencia numérica oral, y que si le quito 1, obtengo el anterior en dicha secuencia. Esto, que para los adultos puede parecer tan obvio, no lo es para el niño; hay a quienes tal aprendizaje les lleva mucho tiempo y requieren una gran variedad de actividades para lograrlo. Por ello, recomendamos hacer muchos ejercicios con los dedos, en los que el problema sea agregar y quitar 1, sin dejar de tener en cuenta –y esto es muy importante– que, por lo general, el niño podrá hacerlo con facilidad, mucho antes de inferir la regla. Pero hay más. El conocimiento sólido de los números implica saber cómo se forma cada número, por ejemplo: el 4 se puede formar por 3+1, 1+3, 2+2, 4+0 y 0+4. El 5 puede formarse por 4+1, pero también por 1+4, 2+3, 3+2, 5+0 y 0+5.Y así con cada número.A estas operaciones de partir un número en aquellos que lo componen y de combinar números para formar otro, Bob Wright y sus colaboradores las llaman combinar y partir.11 Podemos, entonces, agregar 11

Bob Wright et al., Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro [en proceso de edición].

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que, para llegar a tener un “buen sentido numérico”, el niño debe, además, aprender a combinar y partir números. Este aprendizaje puede llevar mucho tiempo, pero nos será devuelto con creces, pues con él estamos sentando las bases de una sólida numerización. Por lo mismo, debemos avanzar despacio en la enseñanza,12 consolidando primero el conocimiento y la comprensión de los números en el intervalo de 1 a 5, luego de 5 a 10 y después de 10 a 20, mucho antes de comenzar a trabajar con

Actividad 2. Dado con puntos Tomamos dos dados –en lo posible, de distinto color, uno para cada mano– a los que les cubrimos con una etiqueta pequeña el 6. Ese lado corresponderá al cero. Se arrojan los dados y los niños indicarán con cada mano la cantidad correspondiente a cada uno. El profesor preguntará: ¿Cuánto en una mano? ¿Cuánto en la otra? ¿Cuánto en total? Algunos niños podrían no entender a qué se refiere el “total”, por lo que sugerimos, además, formular la pregunta: ¿Cuánto si juntamos las dos manos? • VARIACIÓN: Los colegas habrán notado que en esta actividad estamos basando la representación de cantidades con los dedos en lo perceptual, es decir, el niño ve cantidades de puntos y luego levanta igual cantidad de dedos. Para llevarlos un paso más adelante, podemos mostrar los dados e, inmediatamente, cubrirlos con un paño o una pantalla de fomy.

Actividad 3. Dado con números Esta actividad es parecida a la anterior, pero en lugar de los dados tradicionales de puntos, se emplean dados numéricos, es decir, dados que en vez de puntos tienen una cifra en cada cara. Usaremos únicamente las cifras del 0 al 5. Se arrojarán los dados y los niños indicarán con cada mano la cantidad correspondiente a cada uno. El profesor preguntará: ¿Cuánto en una mano? ¿Cuánto en la otra? ¿Cuánto las dos juntas? ¿Cuánto en total? ¿Cuánto si juntamos las dos manos?

Recomendamos la lectura del artículo: “La formación en la escuela: tiempos y continuidades”, de Valentina Cantón Arjona (Correo del Maestro, año 2, núm. 19, diciembre de 1997, pp. 45-48).

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los algoritmos escritos tal como lo hemos estado haciendo en la enseñanza de las matemáticas.13 Por último, es necesario aclarar que las metas propuestas no se han de alcanzar únicamente con el trabajo con los dedos, lo cual constituye el tema central de este artículo. Como ya lo hemos expresado, éste es sólo uno de los muchos recursos didácticos posibles y éstas, unas pocas actividades, a modo de sugerencia, dentro de las múltiples que los profesores pueden crear y desarrollar. En la actividad 3 (pág.12) hemos elevado ligeramente el grado de dificultad. Ahora el alumno ya no tiene los elementos de la colección a la vista, ni siquiera por un instante, sino que lo que tiene es una cifra, algo mucho más abstracto. Al niño le significa tener que identificar ese numeral y adjudicarle una cantidad de objetos –en este caso, los dedos. Ya no es el acto, que podría llegar a ser mecánico, de establecer una correspondencia entre la cantidad de objetos que ve y la cantidad de dedos. Formar una colección de acuerdo con una cifra indicada –que es lo que en este caso le estamos pidiendo– implica identificar 14 la cifra y formar la colección correspondiente, por lo que el niño, en este caso, tendría mayor desarrollo en la noción de cantidad. En las actividades 5 y 6 trabajaremos con pequeñas sumas y restas, primero en el intervalo de 1 a 5 y luego con 5+ . Al usar todos los dedos de una mano como primer sumando y agregarle un número en el intervalo de 1 a 5 con los dedos de la otra, estamos sentando las bases, sin hacérselo explícito a los niños, para establecer el 5 como punto de referencia o base en la estructuración numérica, lo cual será tema de otro artículo de esta serie. Figura 13. Representación del número 5 con una mano.

Las investigaciones en matemáticas educativas y las propuestas didácticas de las últimas dos décadas muestran que los niños adquieren mejores bases para el conocimiento matemático si los primeros 2 o 3 años de primaria se destinan a establecer una sólida base de su conocimiento numérico, mucho antes de comenzar con los algoritmos tradicionales escritos con papel y lápiz, y el valor de posición. Ver bibliografía al final de este artículo. 14 Bob Wright y sus colegas distinguen entre identificar y reconocer un numeral. Ellos dicen que el niño “identifica” un número cuando, al mostrarle una tarjeta númerica (una tarjeta con una cifra escrita), puede decir la palabra-número correspondiente; el niño “reconoce” un numeral cuando, al mostrarle varias tarjetas-numéricas con distintas cifras (por ejemplo del 1 al 5) y solicitarle que señale un número determinado, puede indicarlo correctamente. La primera habilidad implica mayor dificultad que la segunda. “RECONOCIMIENTO de cifras: selección de una cifra nombrada de entre un grupo de cifras dispuestas al azar.” “IDENTIFICACIÓN de cifras: consiste en enunciar el nombre de una cifra que se muestra.” (B.Wright et al., op cit.).

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Actividad 4 En esta actividad continuaremos la práctica con el nuevo patrón de dedos, a la vez que reforzaremos la noción de que cada número se obtiene por el agregado de una unidad al número anterior. Comenzaremos con una mano para el intervalo de 1 a 5. Haremos indicaciones y preguntas a los pequeños como las siguientes: Muestra el 1. Al 1 agrégale 1. ¿Ahora cuánto tienes? Ahora tienes 2. Agrégale 1, ¿cuánto tienes ahora? Tienes 3. Si le agregas 1, ¿cuánto vas a tener? Al número que tienes ahora, agrégale 1, ¿qué obtienes? Una vez que los niños obtienen 5, mantienen los dedos de esa mano levantados y van agregando 1 con la otra, de acuerdo con el patrón de dedos que estamos trabajando (figs. 1 a 10). Nótese que en algunas de las preguntas que planteamos se espera que el niño se anticipe a la respuesta oralmente, antes de encontrarla en los dedos. Puede suceder que en el transcurso de esta actividad, los niños descubran la regla de la que hablábamos, y ya no necesiten recurrir a los dedos. • VARIACIÓN: Durante la segunda o tercera vez que los niños trabajen en esta actividad es posible intercalar preguntas que permitan la resta y el sumando faltante (número perdido). Por ejemplo, podemos preguntar: Si estás mostrando 5 y quitas 1, ¿qué obtienes? Tienes 3. ¿Cuánto te falta para tener 4?

Actividad 5 En esta actividad se trabajará con sumas de dos sumandos, cada uno de los cuales estará en el intervalo de 1 a 5. Las sumas serán orales. El profesor dirá un número que los niños representarán con una mano y después otro número que representarán con la otra. Luego, de distintas maneras, formulará la pregunta relativa al total de la suma. Si bien en un principio es recomendable decir primero el sumando más grande y después el más pequeño, también se puede jugar a aplicar la propiedad conmutativa e, inmediatamente, decir los números en el

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orden inverso. Pongamos ejemplos y observemos en las imágenes cuál es el resultado esperado, de acuerdo con el patrón de dedos que estamos practicando. Si bien al principio los niños pueden ver sus manos, es deseable que con el tiempo esta actividad se haga con las manos en los hombros o en la cabeza (“orejitas de conejo”) y que los dedos sean levantados simultáneamente (fig. 14). 2 2 4 3 2 3 4 5 4

+ + + + + + + + +

1 2 1 2 3 3 2 2 3

= = = = = = = = =

3 4 5 4 5 5 5 3 2

+ + + + + + + + +

4 4 4 5 5 3 2 5 5

= = = = = = = = =

Figura 14. Representación del 8 como 5+3.

• VARIACIÓN 1: Repetir el ejercicio, pero con un sumando en el intervalo entre 1 a 5, más 0 (fig.15). 5 1 3 2 4

+ + + + +

0 0 0 0 0

= = = = =

• VARIACIÓN 2: a) Se repetirán algunas de las sumas anteriores e, inmediatamente después, la resta. Por ejemplo:

Figura 15. Representación del 1 como 1+0.

Pon en tus dedos 5+2. ¿A cuánto es igual? Ahora, sin cerrar las manos, contesta: y si a 7 le quitas 2, ¿cuánto queda? b) Y ahora, dependiendo de las características de cada niño y del grupo, podemos formular la pregunta en torno al sumando faltante. Por ejemplo: Si tengo 4, ¿cuánto me falta para tener 5? Si tengo 5, ¿cuánto me falta para tener 7?

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Actividad 6 Esta actividad nos permite avanzar hacia el trabajo con la representación escrita. Reiteramos la actividad 5, pero en lugar de que el maestro diga los números oralmente, escribe la suma en el pizarrón, o muestra las tarjetas numéricas.

Actividad 7 En esta actividad trabajaremos únicamente con los llamados dobles en el intervalo de 1 a 5. Éstos ya se introdujeron en las actividades anteriores; sin embargo, ahora nos interesa llamar la atención del niño en cuáles son los dobles que podemos representar usando nuestras dos manos (figs. 16 y 17).

Figura 16. Representación del número 2 como doble (1+1). Figura 17. Representación del número 4 como doble (2+2).

Bibliografía BRISSIAUD,

Remi, El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos, Visor, Madrid, 1993.

HAYLOCK,

Derek, Matemáticas explicadas para maestros de primaria, Correo del Maestro [en proceso de edición].

NUNES,

Terezinha y Peter Bryant, Las matemáticas y su aplicación. La perspectiva del niño, Siglo XXI, México, 1997.

WRIGHT, Bob, Ann K. Stafford et al., Enseñar el número a los niños

de 4 a 8 años, Correo del Maestro/La Vasija [en proceso de edición].

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Topología EXPLICADA PARA maestros II www.biografiasyvidas.com/biografia

Roberto Markarian

En esta segunda entrega de Topología explicada para maestros, continuamos analizando, desde el punto de vista matemático, el significado y los alcances de la topología y sus elementos. En este artículo daremos la definición abstracta de espacio topológico y el concepto de separación. Jean Piaget (1896-1980).

n su obra La representación del espacio en el niño,1 J. Piaget y B. Inhelder defienden con mucho entusiasmo y sabiduría que: [...] el análisis geométrico abstracto tiende a mostrar que los conceptos fundamentales del espacio no son de manera alguna euclidianos, sino ‘topológicos’. Es decir, basados enteramente en correspondencias cualitativas o ‘bicontinuas’ que involucran conceptos como proximidad y separación, orden y encerramiento. Y, ciertamente, encontraremos que el espacio del niño, que es esencialmente de carácter activo y operacional, invariablemente comienza con ese tipo simple de relaciones topológicas mucho antes que se haga proyectivo o euclidiano.

La représentation de l’espace chez l’enfant, PUF, París, 1948.

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Piaget y su Escuela diferencian estos aspectos topológicos de los proyectivos (que suponen, entre otras cosas, la capacidad del niño de percibir un mismo objeto al observarlo desde distintos ángulos) y de los euclidianos (que se refieren a tamaños, distancias y direcciones, y conducen a la medición de longitudes, ángulos, áreas, y a las figuras geométricas sencillas como triángulo, esfera, etcétera). La finalidad de estas notas es analizar desde el punto de vista matemático, para un público no especializado, el significado y los alcances de la topología y sus elementos; aclarar el uso de estos conceptos en el libro de Piaget e Inhelder y avanzar un poco en su significado matemático. En la primera nota nos hemos referido al uso de términos matemáticos en contextos diferentes del que fueron introducidos; hemos dado una

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D C Figura 1. D interseca a todos los demás subconjuntos de X. C y E intersecan sólo a D. A interseca a D y a B.

breve explicación sobre los orígenes de la topología y hemos analizado con cuidado la construcción de los conjuntos abiertos en la recta. Ahora generalizaremos aquel ejemplo, dando una definición de familia de abiertos o familia de entornos, en cualquier espacio o conjunto. Estos conjuntos, que habitualmente denotaremos por X, podrían estar formados por cualquier tipo de elementos. Piaget se refiere a los espacios topológicos en este sentido genérico. Analiza relaciones entre partes del cuerpo humano o entre diferentes objetos percibidos por el niño, y entre ellos establece relaciones topológicas. Tomemos una familia bien definida de subconjuntos de X, esto es, elegimos en X diversas partes de él; éstas se pueden intersecar, ser disjuntas, incluir a todo el conjunto (que es una parte de sí mismo), etc. Esta familia debe satisfacer ciertas propiedades simples que describiremos a continuación. En la figura 1 hemos represen tado un conjunto X y diversos subconjuntos A, B, C,... Es frecuente representar los conjuntos y sus subconjuntos de esa manera, dado que se pueden dibujar sobre una hoja de papel y a la

vez permiten ejemplificar las diversas relaciones que se establecen entre ellos. Denotaremos con la letra griega omega, 1, a esa subfamilia. En la figura 1, 1 está formada por los subconjuntos A, B, C, D y E. Cada elemento del conjunto total será llamado punto y los subconjuntos son agrupamientos de tales puntos, partes del conjunto total. En la figura 1 los puntos del conjunto X son los que quedan encerrados por el círculo mayor. Diremos que la familia 1 de conjuntos de X es una topología si satisface que: 1) La unión de cualquier cantidad numerable 2 de esos conjuntos también está en la familia. 2) La intersección de un número finito de ellos, también.

En el primer artículo hemos definido conjunto numerable de la siguiente manera: un conjunto es numerable si se puede adjudicar un número natural distinto a cada uno de sus elementos. Por tanto, los conjuntos con una cantidad finita de elementos son numerables, pero también hay conjuntos infinitos numerables. Cfr. R. Markarian, “Topología explicada para maestros I”, Correo del Maestro, núm. 149, año 13, octubre de 2008, pp. 20-21.

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3) El todo (o sea el subconjunto formado por todos los puntos) y el vacío (el conjunto formado por ningún punto) forman parte de la familia original. Esto se escribe X ¡ 1 (X pertenece a omega), Ø ¡ 1 (el vacío pertenece a omega), respectivamente. Es habitual representar con el símbolo Ø al conjunto que no contiene nada (conjunto vacío); muchas veces el uso del conjunto vacío se introduce para dar coherencia a una teoría, por ejemplo, para representar a un conjunto luego que se han sacado todos sus elementos. Cualquier conjunto de omega se denomina un abierto de esa topología. Cualquier abierto que contiene un punto de X se dice que es un entorno (o cercanía) de ese punto. Ruego al lector que compare todas estas definiciones con el estudio realizado en la recta, en el artículo anterior de esta serie.3 El lector también se merece una explicación sobre el uso de la palabra topología para designar, por un lado, a una rama de la matemática y, por otro, a una familia de conjuntos, la familia de los conjuntos abiertos de X. Esta “confusión” tiene origen en la introducción tardía de esta palabra en el lenguaje matemático y su utilización posterior. Obsérvese que habitualmente la topología designa a la ciencia y una topología a la familia de subconjuntos. Si quisiéramos bien definir todos estos conceptos, la matemática de este artículo se complicaría demasiado, lo cual está muy lejos de los propósitos de esta serie. Debe remarcarse que Piaget usa la palabra topología refiriéndose en especial a la rama de la matemática, pero reiteradamente se refiere a las cercanías, los entornos, etc., que son los conjuntos que aquí –y en

Ver R. Markarian, “Topología explicada para maestros I”, op. cit., pp. 16-22.

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Figura 2

Curva de Jordan.

el lenguaje matemático habitual– se llaman conjuntos abiertos, que forman una topología.

Separación y continuidad El concepto de separación permite diferenciar y reconocer las partes que son divididas por algún elemento geométrico. El niño parece reconocer el adentro y el afuera de ciertos objetos cerrados, el adelante y el atrás de una pared divisoria. Veamos algunos ejemplos rigurosos. Llamaremos curva cerrada simple a una curva que no tiene extremos, de manera que no se autointerseca. Por ejemplo, la curva que dibuja el ocho es una curva cerrada, pero no es simple porque la curva se corta a sí misma en el punto en que forma los dos bucles; naturalmente que el cero se dibuja con una curva cerrada simple. En el espacio no se puede relacionar la idea de separación con la de curva cerrada simple, porque la curva tiene “mucho lugar” para dar vueltas y no diferenciarse lo que queda de un lado u otro. Pero en el plano, cualquier curva cerrada simple, por más complicada que sea y por más vueltas que dé, separa al plano en dos partes bien diferenciadas. Una de ellas es no acotada, o sea

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Figura 3

Dos regiones infinitas L y M, y una región finita F.

uno se puede alejar todo lo que se quiera de la curva –“irse al infinito”– sin volverla a cortar; es lo que se llama la parte exterior a la curva. La otra parte (recordar que son sólo dos) es interior a la curva. Este resultado, aparentemente tan intuitivo, se denomina Teorema de Jordan (por el mismo C. Jordan, nombrado en el artículo anterior)4 y es de máxima utilidad para obtener diversos resultados exactos en el plano. Por ejemplo, para estudiar la evolución de fenómenos (movimientos) en el plano (ver fig. 2). Este resultado con curvas naturalmente no es válido en el espacio. Aquí, para encerrar algo necesitamos superficies semejantes a esferas, las cuales también separan regiones exteriores e interiores del espacio. La pregunta natural es: ¿qué otras curvas y superficies separan a un plano y el espacio, respectivamente, en dos partes, como se indicó antes? En el plano, ya hemos, de hecho, dado la respuesta. Se necesita una curva cerrada simple, 4

R. Markarian, ibid., pp. 19.

puesto que si la curva no se cierra, no define una región interior o pueden quedar definidas varias regiones exteriores, no acotadas. Por ejemplo, una semicircunferencia no separa regiones del plano. Y una recta, tomada entera, viniendo del infinito y yendo hacia el infinito opuesto, es una curva que separa al plano en dos semiplanos, que son dos regiones exteriores, no acotadas. De igual manera una parábola separa al plano en dos regiones exteriores. Si una curva se corta varias veces consigo misma (se autointerseca), pueden quedar definidas varias regiones interiores, como en el ejemplo ya visto del dibujo del ocho, que encierra una región acotada en cada uno de sus bucles. Es fácil dibujar curvas infinitas que encierran una región interior, y a su vez definen dos partes infinitas, exteriores, separadas (para obtener un ejemplo, haga el siguiente ejercicio: con un lápiz, o cualquier otra punta, venga del infinito, haga un bucle y luego siga para el infinito opuesto) (ver fig. 3). En el espacio, las superficies que encierran una parte interior, separada de una parte exte-

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Figura 4

y x

Un plano separa el espacio.

rior, parecen obtenerse como deformaciones de la esfera. Esto nos llevará naturalmente al concepto de continuidad o, mejor, de bicontinuidad de que habla Piaget en la cita inicial. Antes de ir a esa definición observemos que en el espacio cada plano separa al espacio en dos semiespacios. Aquí “separar” significa que para ir de un semiespacio al otro, con continuidad (con una curva que no tiene saltos), se debe pasar por el plano separador (ver fig. 4). Observe también que una circunferencia divide el plano en dos regiones, una de ellas infinita, y si se deforma la circunferencia suavemente, sin producir autointersecciones, se sigue separando de la misma manera. Este tipo de deformaciones, que es bicontinuo, mantiene las propiedades topológicas de diversos objetos de la geometría.

Continuidad En el contexto en que estamos escribiendo estos artículos, la continuidad de transformaciones (“deformaciones continuas”, “correspondencias

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cualitativas” o “bicontinuas”) está directamente asociada a la función, por lo que comenzaremos escribiendo algo sobre este tema. Lo que sigue puede ser particularmente difícil o abstracto, pero nos parece necesario referirnos con este grado de generalidad al concepto de función pues él ocupa un lugar privilegiado en la presentación formal de diversas ramas científicas y en la ajustada representación de fenómenos y relaciones que están presentes en nuestra vida cotidiana. De manera muy intuitiva, una función es una relación que a cada elemento de un conjunto le hace corresponder un solo elemento de otro conjunto. Las palabras clave son aquí: cada y solo; si a algún elemento del primer conjunto no le correspondiera uno del segundo o si a algún elemento del primer conjunto le correspondieran varios del otro, no tendríamos una función. A las funciones se les da algún nombre que aclare el carácter de la relación y, en su formato más abstracto, para denominarlas se suelen usar letras ubicadas en la parte intermedia del alfabeto latino: f, g, h.

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Veamos una definición algo más rigurosa. Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, diremos que f es una función de A en B y escribiremos f : A B si a cada elemento de A le corresponde uno solo de B. Por ejemplo, la correspondencia del conjunto de las personas al conjunto de las mujeres, que a cada persona le hace corresponder su madre, es una función porque cada persona tiene una sola madre. La relación que en el sentido inverso le hace corresponder a cada mujer sus hijos, no lo es por dos razones: porque una mujer puede tener varios hijos y porque hay mujeres que no tienen hijos. Se dice que A es el conjunto dominio y que B es el conjunto recorrido (o codominio). En el ejemplo anterior (“madre de”), el dominio son todas las personas y el recorrido, las mujeres. Observe que varios elementos del conjunto A pueden tener la misma madre y que hay mujeres que no corresponden a ninguna persona (las que no son madres). Dado un elemento x en A (x ¡ A) se dice que su correspondiente por la función f es su imagen f (x). Por ejemplo, la imagen de Roberto Markarian, por la función que venimos estudiando, es Osana Abrahamian, mi madre. Otro ejemplo: la relación que va del conjunto de los mexicanos a los números, o sea una relación que hace corresponder un número a cada mexicano, definida de la siguiente manera: a cada mexicano le corresponde su altura medida en centímetros. Naturalmente que para tener una función bien definida, habrá que hacer la medición en un año o un día bien determinado. Obsérvese que el conjunto recorrido es muy pequeño, porque los números van de 0 a 250; estoy suponiendo que no hay mexicanos que midan más de 2 metros y medio. Continuemos con estas definiciones bastante difíciles, pero necesarias. Se dice que una función f : A B es invertible si cada elemento de B es

imagen de uno y sólo uno de A. Ninguna de las funciones dadas como ejemplos anteriormente es invertible. Pero la función que va del conjunto de los mexicanos al conjunto de los números naturales y le hace corresponder a cada mexicano adulto su número de Clave Única de Registro de Población (CURP) es una función invertible, pues cada número es imagen de un solo mexicano (estamos suponiendo que todo mexicano tiene una sola CURP). Con poco rigor diremos que una función es continua si lleva puntos cercanos a puntos cercanos, si no separa mucho. Obviamente que para ello hay que definir un concepto de cercanía. A estos efectos es conveniente trabajar en espacios topológicos donde tales cercanías están dadas por los conjuntos abiertos. Diremos que una función f que va de un espacio topológico X en otro Y (esto se escribe así: f : X Y) es continua en un punto x de X, si dado un entorno U en Y de la imagen f (x) del punto x, existe un entorno E que contiene x, tal que la imagen de E está dentro de U. Esto es casi lo mismo que decir que las cercanías de un punto x ¡ X se transforman en cercanías del punto imagen f (x) ¡ Y. Las funciones continuas, como ya se observó, son uno de los conceptos fundamentales de la topología. Son funciones que no “rompen”, transforman con suavidad, sólo “deforman”. Si un proceso va a saltos no es continuo (ver fig. 5). Para nuestros efectos actuales es aún más importante el concepto de función bicontinua, llamada homeomorfismo entre los matemáticos. Son funciones invertibles, o sea que se puede ir en un sentido y en otro, y siempre tener una correspondencia bien definida. No es el caso de la función que a cada persona le hace corresponder su edad medida en años, pues si bien cada persona tiene su edad (es una función), la correspondencia inversa no está bien definida

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Topología explicada PARA MAESTROS II

Figura 5

f (E)

f (x)

Función continua: f (E) está contenido en U.

pues, dado el número 23, hay una cantidad muy grande de personas que tienen esa edad. Esta función no es invertible. Sin embargo, la función que a cada persona le hace corresponder la huella dactilar de su dedo pulgar derecho es invertible: cada huella corresponde a una sola persona; por ello es que permite identificarla. Esto claramente no sucede con el ejemplo de la edad. La importancia de las funciones que son invertibles es que no repiten valores (por ello la edad de las personas no es invertible). Se dice que se tiene una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los objetos de salida y llegada de la función. Si una función es biunívoca (supongamos, a cada persona su huella dactilar) queda definida la función inversa (a cada huella dactilar una persona). Si ambas funciones son, además continuas, tenemos un homeomorfismo. Dada una figura en el espacio o en el plano, un homeomorfismo la deforma, pero ninguna parte se traslapa (o sea,

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todos los puntos se corresponden de manera única, uno a uno), ni la figura se rompe (o sea que si dos puntos están cercanos, sus imágenes también, no hay puntos que se alejen mucho, por la correspondencia). Así, las figuras del espacio que son homeomorfas con una esfera son las que separan al espacio en una parte exterior y una interior. Es como si el espacio entero se deformara: la esfera se transforma en la nueva figura: lo de adentro queda adentro y lo de afuera, afuera. De igual manera, a través de un homeomorfismo, las líneas cerradas quedan cerradas, las intersecciones de líneas se corresponden, pero ni los ángulos, ni las distancias, ni el paralelismo, ni la alineación tienen por qué mantenerse.*

En el próximo artículo trataremos los conceptos de conexión, laberintos, orden, encerramiento, que ocupan un lugar muy importante en la concepción del espacio en el niño según Piaget.

certidumbres E INCERTIDUMBRES

La Guía Portage UN APOYO PARA CONOCER EL DESARROLLO DE LOS PREESCOLARES* María de la Paz González Rodríguez

El trabajo en el aula con grupos numerosos de preescolar, con niños cuyas edades fluctúan entre los 3.8 y los 5.7 años, da cuenta de la dificultad que representa para los maestros proponer la operación de la currícula del nivel mediante situaciones didácticas innovadoras, interesantes y motivadoras para todos los niños, considerando sus características específicas de acuerdo con su edad cronológica y su contexto social. La revisión y aplicación de la Guía Portage de Educación Preescolar es útil a los maestros para evaluar el comportamiento del niño en los diferentes aspectos de su desarrollo y brinda la posibilidad de planear actividades que conduzcan a la adquisición de destrezas, habilidades y capacidades. La Guía contiene objetivos que se basan en patrones de crecimiento y desarrollo normal y puede utilizarse con niños desde el nacimiento hasta los 6 años, así como con pequeños que presenten capacidades diferentes. Además, evalúa aspectos como área motora gruesa, área motora fina, área perceptivocognitiva, área del lenguaje y área de socialización.

Introducción La función pedagógica que cumple la educación preescolar se vincula con la enseñanza intencional y sistemática de un conjunto de contenidos curriculares específicos del nivel, así como también con la construcción de estrategias de exploración del medio y de aprendizaje distintas de las familiares. Como parte de dicha función –que no la única– se encuentra la preparación para el nivel

de primaria, que representa probablemente la tarea más tradicional del nivel. Aquí se enfatizan tanto contenidos curriculares como propedéuticos para el ingreso a la escolaridad elemental, principalmente los relacionados con el cálculo y la lectoescritura, además de introducir a los niños en los códigos y las reglas propias de la cultura escolar. Esto es característico del funcionamiento de un sistema educativo en el que cada nivel prepara

* La Guía Portage de Educación Preescolar –PGEE, por sus siglas en inglés– (creada en Estados Unidos a principios de la década de1970) es un programa de estudios de desarrollo dirigido a niños de 0 a 6 años, que consta de tres partes: 1) un fichero de actividades; 2) una lista de objetivos, y 3) un manual de instrucciones donde se describe el uso de la guía, la planeación de las metas del currículo y la puesta en práctica de dichas metas (véase http://www.portageproject.org/spanish/PGEE_bro.htm).

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La Guía PORTAGE

para el pasaje al nivel subsiguiente, por lo que la articulación entre niveles se basa en la continuidad de los aprendizajes alcanzados. En México, la corriente que fundamenta el currículo es la de Lev Vygotsky, y el trabajo de Ángel Villarini, de la Universidad de Puerto Rico, respecto al currículo orientado al desarrollo humano integral (CODHI). Se plantea el trabajo por competencias en seis diferentes campos formativos: Desarrollo personal y social, Lenguaje y comunicación, Pensamiento matemático, Exploración y conocimiento del mundo, Expresión y apreciación artísticas, Desarrollo físico y salud. Las educadoras fundamentan su práctica a partir de los propósitos que plantea el actual Programa de Educación Preescolar 2004 (SEP, 2004) y que expresan el perfil de egreso de los niños y las niñas, es decir, el ideal educativo del nivel. Sin embargo, la realidad en las aulas preescolares lleva a las docentes a buscar las mejores estrategias que apoyen su práctica pedagógica cotidiana, comenzando por el número de alumnos inscritos en cada grupo, así como el intervalo de edades de los pequeños. La propuesta curricular señala el trabajo y la atención individual, pero en muchas ocasiones esto se dificulta ante grupos numerosos, debido a faltas del personal por causas diversas, obligando a que el grupo de alumnos se divida entre las educadoras, razón por la que se buscaron estrategias para atender de la mejor manera a los preescolares. La Guía ofreció ese valioso recurso al poner de manifiesto las características de desarrollo de los niños en sus diferentes edades, lo que posibilitó ofrecerles situaciones didácticas graduadas e interesantes que favorecen sus aprendizajes, capacidades, habilidades y destrezas.

Observación en el aula En los más recientes ciclos escolares, en más de la mitad de los planteles preescolares de la delega-

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ción Tláhuac, sector II, en el Distrito Federal, se ha detectado la dificultad que representa para las maestras enfrentarse en la práctica cotidiana con grupos numerosos, que corresponden no solamente a los niños de su grado y grupo, sino que además deben atender entre seis y diez alumnos más debido al problema ya mencionado de ausentismo docente, ya sea por un día, o en ocasiones, por semanas o meses. En particular, se presenta el trabajo realizado en un jardín de niños, en un grupo de segundo grado del turno matutino, donde se realizaron múltiples observaciones a los 45 niños que lo integran, dentro del ciclo escolar 2006-2007. Las observaciones, registradas en la bitácora del docente, dan cuenta de las actividades que realizan los alumnos en las jornadas diarias de juego y trabajo; en ella se ponen de manifiesto algunas características del grupo: • El 2°A está integrado por 23 niños y 22 niñas, un total de 45 alumnos. Sus edades fluctúan entre los 4 años 8 meses y los 5 años 7 meses. • El nivel socioeconómico de los padres es bajo, ya que el ingreso mensual promedio es de un salario mínimo y el nivel de escolaridad de los padres, primaria. La actividad económica preponderante es el comercio informal y las tareas domésticas. • El promedio de número de hijos por familia es de tres. Hay 3% de madres solteras. También hay familias desintegradas o en vías de desintegración. • La mayoría de las familias vive en casa de los suegros o en cuartos rentados; es mínimo el número de familias que ocupan departamentos de las múltiples unidades habitacionales de la comunidad. En el desarrollo de las actividades en el aula, se observan en los alumnos los siguientes conceptos sensibilizadores:

Certidumbres E INCERTIDUMBRES • Intereses diferentes • Falta de motivación • Dificultad para aprender • Dificultad para expresarse oralmente • Falta de atención La constante observación de los alumnos fue dando pauta para determinar cuál de estos aspectos sería objeto de investigación y búsqueda de estrategias de solución. Centrar la atención en la dificultad para aprender llevó al análisis de las características de desarrollo de los niños, considerando las diferencias de edades, sus distintas capacidades, habilidades y destrezas, sus logros y dificultades. La observación centrada en estos aspectos, así como la definición de los conceptos, fue guiando la determinación del sujeto de investigación, en el marco de la teoría sociohistórica de Lev Vygotsky. En cuanto a la dificultad para expresarse oralmente, también se abordó con la teoría del mismo autor: el lenguaje desempeña un papel muy importante en la cognición. El lenguaje es un verdadero mecanismo para pensar, una herramienta mental; hace al pensamiento más abstracto, flexible e independiente de los estímulos inmediatos. El lenguaje permite imaginar, manipular, crear nuevas ideas y compartirlas con otros; es una de las formas mediante las cuales intercambiamos información, por lo que se establece que el lenguaje desempeña dos papeles: es instrumental en el desarrollo de la cognición, pero también forma parte del proceso cognitivo. El lenguaje facilita las experiencias compartidas, necesarias para construir los procesos cognitivos.1 Recordemos que Vygotsky distingue tres etapas en el uso del lenguaje: la etapa social, la egocéntrica y la del habla interna. En la etapa social, el niño se sirve del lenguaje fundamentalmente para comunicarse. El pensa-

miento y el lenguaje cumplen funciones independientes. El niño inicia la etapa egocéntrica cuando comienza a usar el lenguaje para regular su conducta y su pensamiento. Habla en voz alta consigo mismo cuando realiza algunas tareas. Como no intenta comunicarse con otros, estas autoverbalizaciones se consideran un lenguaje privado. En esta fase, el habla empieza a desempeñar una función intelectual y comunicativa. Los niños internalizan el habla egocéntrica en la última etapa del desarrollo del habla, la del habla interna. La emplean para dirigir su pensamiento y su conducta.2 Vygotsky señala estas breves conclusiones al respecto: 1. En su desarrollo ontogenético, el pensamiento y el habla tienen raíces diferentes. 2. En el desarrollo del habla del niño se constata un estadio preintelectual y uno prelingüístico. 3. Hasta determinado momento, ambos siguen líneas diferentes, independientes entre sí. 4. En ese determinado momento, dichas líneas se encuentran, por lo que el pensamiento se hace verbal y el habla, racional.3 Además de las observaciones acerca de la expresión oral de los preescolares, se considera importante tomar en cuenta el rango de edades de los pequeños, pues en ocasiones funcionan como la zona de desarrollo proximal de la que habla Vygotsky, en la que el alumno más capacitado enseña al aprendiz. Detectar los estilos de aprendizaje de los niños implicó observaciones atentas que proporcionaron un mayor conocimiento de los alumnos. En el grupo de 2°A se encuentran niños que aprenden de manera visual (12), otros de manera visual-auditiva (10) y los más (23) de forma kinestésica. 2

E. Bodrova,“Introducción a la teoría de Vygotsky”, en Herramientas de la mente, SEP, México, 2004.

J. Meece, “Desarrollo cognoscitivo”, en Desarrollo del niño y del adolescente, McGraw Hill/SEP, México, 2000. Lev Vygotsky, Pensamiento y lenguaje, Paidós, Barcelona, 1995.

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La Guía PORTAGE Fue determinante también darse cuenta del diferente nivel de desarrollo de los niños, que dificulta que avancen en sus capacidades, en sus aprendizajes, y obstaculiza el trabajo en equipo o de colaboración. Es entonces que se hace necesaria la revisión de la Guía Portage de Educación Preescolar, que sirve a los docentes para evaluar el comportamiento del niño y planear actividades que conduzcan a la adquisición de destrezas. La Guía contiene objetivos que se basan en patrones de crecimiento y desarrollo normal y puede utilizarse con niños desde el nacimiento hasta los 6 años, así como con pequeños que presenten capacidades diferentes. Esta guía evalúa los siguientes aspectos: • Área motora gruesa • Área motora fina • Área perceptivo-cognitiva • Área del lenguaje • Área de socialización En dos momentos del año escolar, al inicio (septiembre 2006) como diagnóstico y al final

(junio 2007), se llevó a cabo la evaluación en el grupo de 2°A, mediante la realización de diversas actividades que dieron cuenta de los objetivos que se plantean en las diferentes edades y que apoyan el trabajo docente al integrar equipos, al mediar la clase, etcétera. En el Anexo 1 se muestra la planificación del trabajo para realizar la evaluación diagnóstica por medio de algunas situaciones didácticas. Además, se solicitó a los padres de familia dar respuesta a un cuestionario en el que se marcaba SÍ o NO a las conductas que se señalaban de acuerdo con las áreas de la Guía Portage (por cuestiones de espacio no se presentan todos los ítems de la Guía), para cruzar la información de casa con la obtenida en las situaciones didácticas planeadas ex profeso. Los resultados se clasificaron por edades de acuerdo con cada una de las áreas de la Guía, relacionándolas con los Campos Formativos que se plantean en el PEP 2004, lo que permitió el trabajo por pequeños grupos, con integrantes de equipos de edades iguales o diferentes, según la intención pedagógica y la competencia a favorecer.

Anexo 1 Planificación del trabajo • Evaluación diagnóstica • Jardín de niños: “Arboledas” • Grado y grupo: 2° A • Periodo: septiembre

Propósito. Que los niños: • Desarrollen un sentido positivo de sí mismos; expresen sus sentimientos; empiecen a actuar con iniciativa y autonomía; regulen sus emociones; muestren disposición para aprender, y se den cuenta de sus logros al realizar actividades individuales o en colaboración. • Adquieran confianza para expresarse, dialogar y conversar en su lengua materna; mejoren su capacidad de escucha; amplíen su vocabulario, y enriquezcan su lenguaje oral al comunicarse en situaciones variadas.

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Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Competencias: • Acepta a sus compañeros y compañeras como son y comprende que todos tienen los mismos derechos y también que existen responsabilidades que deben asumir. • Mantiene el equilibrio y el control de movimientos que implican fuerza, resistencia, flexibilidad e impulso en juegos y actividades de ejercicio físico. • Interpreta canciones, las crea y las acompaña con instrumentos musicales convencionales o hechos por él. • Utiliza los números en situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo. • Practica medidas básicas preventivas y de seguridad para preservar su salud, así como para evitar accidentes y riesgos en la escuela y fuera de ella. • Experimenta con diversos elementos, objetos y materiales que no representan riesgo para encontrar soluciones y respuestas a problemas y preguntas acerca del mundo natural. Instrumento de evaluación: Guía Portage (ver cuestionario por edades).

Situación didáctica “Nos conocemos” Actividades / Intervención docente La planificación de la primera semana considera actividades con todos los niños y educadoras, procurando acompañarlos en su camino inicial por el jardín de niños, con cariño y respeto, presentándoles actividades lúdicas placenteras que favorezcan los vínculos entre sus compañeros y con los docentes, a fin de que establezcan relaciones de confianza, disfruten de la nueva experiencia y se adapten a la escuela. Esta semana, y las subsecuentes, servirán para ir conociendo a todos y cada uno de los niños, mediante actividades que permitan obtener un diagnóstico de sus capacidades, habilidades y destrezas. • Daré la bienvenida a los niños en el aula con globos, serpentinas y música. Los saludaré con el canto “El periquito azul”, invitándolos a aprenderlo. Al inicio de cada semana les enseñaré una forma distinta de saludarnos. • En una rueda nos presentaremos: les diré mi nombre y les preguntaré el suyo lanzándoles un juguete de tela. • En el patio, cada educadora dirá su nombre y el grupo que atiende, y se organizarán rondas por grupo para jugar de acuerdo con la música que se escuche: “La víbora de la mar”, “La rueda de San Miguel”, entre otras.

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La Guía PORTAGE

• Llevaré a los niños a conocer los baños y a mostrarles su uso. Estaré pendiente de sus actitudes y los apoyaré cuando sea necesario. • En el aula, cantaré y bailaré con ellos utilizando música popular. Les enseñaré un canto para despedirnos. • En el salón, les mostraré el material plástico de construcción que tenemos y los invitaré a conocerlo para que lo manipulen y jueguen con él de forma libre. • En el aula de usos múltiples, proyectaremos una película a los niños, procurando la integración de todos al sentarlos con niños de otros grupos y con otras educadoras. Luego, de vuelta en el salón, los invitaré a que comenten acerca de la película que vieron, si les gustó o no, por qué, cómo se sintieron, etcétera. • Mostraré a los niños los libros del área de biblioteca, los invitaré a que los conozcan y les leeré uno; luego les propondré que hagan un dibujo utilizando materiales diferentes como crayolas, plumones y pintura vinílica. • Jugaremos en un circuito de educación física, en el que cada grupo irá pasando con su educadora a jugar con pelotas y canasta de básquetbol, colchonetas, cuerda, aros y paracaídas. • Comenzaré a proponer a los niños algunos acuerdos para la mejor convivencia en el aula y la escuela, como esperar su turno para hablar, ir al baño uno a la vez, permanecer en el salón. • Trabajaré con ellos la forma de lavarse y secarse las manos antes de tomar el desayuno, así como comer sentados, no hablar con la boca llena y tirar la basura en el bote. • Invitaré a los niños a conocer el salón de Cantos y Juegos, y junto con la maestra, les enseñaré el canto “Una rueda”, moveremos el cuerpo con “La tía Mónica”, haremos un ritmo con las palmas y jugaremos al “Lobo”. Sentados en el piso, motivaré a los niños a comentar acerca de la actividad, si les gustó, por qué, si les gustaría jugar en casa con su mamá. Luego, procuraré abundar en la conversación con algunos de ellos: si tienen hermanos, cómo se llaman, cómo se llama su mamá, su papá, si tienen abuelitos, qué les gusta comer, a qué les gusta jugar... • Haremos un recorrido por toda la escuela y volveré a presentarles a cada educadora y a la directora. Les propondré hacer una representación libre con plastilina de colores. • En el patio, jugaré con los niños con paliacates, procurando que utilicen diferentes partes de su cuerpo, siguiendo instrucciones tanto en movimiento como en un solo lugar: arriba, abajo, adelante, atrás. • Contaré a los niños el cuento “Queta, la vaca coqueta”. Los invitaré a que imiten los movimientos de la vaca y luego a que hagan una representación del cuento utilizando cartón, acuarelas y papel de colores.

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Certidumbres E INCERTIDUMBRES

• En el patio, jugaré con los niños a “Las estatuas de marfil” y “A pares y nones”. Luego, en el salón, los invitaré a que expresen si les gustó, por qué, a qué les gusta jugar en su casa, con quién juegan, etc., procurando la participación de todos los pequeños. • Les propondré que elaboremos entre todos un mural de los niños de nuestro grupo, en el que aparezcan todos y cada uno de ellos, utilizando cartulina, papel de colores rasgado, pintura vinílica, pegamento, etcétera. • En el aula, platicaré con los niños acerca de las cosas que hay en el salón, cuáles les gustan a ellos y por qué. Procuraré que se fijen en las formas básicas, comenzando por el círculo, cuadrado o triángulo, de acuerdo con lo que ellos digan, y buscaremos objetos que tengan esa figura. Les sugeriré que armen o construyan objetos o sujetos con figuras de colores. • Trabajaré con ellos el lavado de manos después de ir al baño y antes de comer, procurando que cuiden el agua y no se mojen la ropa para que no se enfermen.

Situación didáctica “Interactuemos con los cuentos del salón” Actividades / Intervención docente • Como parte de la Evaluación diagnóstica, trabajaremos en pequeños grupos con 4 o 5 niños cada día, proponiéndoles una serie de actividades en las que se pretende que los niños pongan de manifiesto sus capacidades, habilidades y destrezas, a partir de la lectura de un libro. Mientras, brindaré al resto del grupo material diverso: gráfico-plástico, de construcción, rompecabezas, etcétera. • Invitaré a 4 o 5 niños a jugar conmigo y les comentaré lo que vamos a hacer. Sobre una mesa habrá varios libros, de entre ellos tendrán que elegir el que voy a leerles y les diré la consigna: “Necesito hallar el libro que les voy a leer, se llama Choco encuentra una mamá y se trata de un pájaro amarillo, ¿cuál será de todos estos? Pondré atención a los índices o referencias que utilice cada uno de los niños para tratar de localizar el ejemplar. Cuando señalen uno, les preguntaré: ¿cómo supiste?, ¿en qué te diste cuenta?, ¿qué dirá ahí?, ¿de qué se tratará el cuento? Haré las anotaciones correspondientes considerando las actitudes de los niños, si observan, si esperan a que otro tome la iniciativa, si responden a las preguntas o permanecen callados, si argumentan sus respuestas… • Una vez encontrado el libro, lo leeré desde la portada, con el título y nombre del autor, les diré que primero leeré cada página y enseguida les mostraré las imágenes.

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La Guía PORTAGE

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Los invitaré a que hagan un dibujo del cuento utilizando materiales diversos como cartulina, hojas, plumones, lápices de colores, crayolas y pintura vinílica, indicándoles que traten de recordar a cada personaje y que si quieren escriban su nombre. Invitaré a uno por uno a que den respuesta a preguntas acerca del cuento que les acabo de leer: ¿te gustó?, ¿por qué?, ¿cuántos personajes había en la historia?, ¿cuál te gustó más?, ¿por qué?, ¿en dónde vivía cada animal?, ¿cómo se sentía Choco?, ¿por qué?, ¿la señora oso podía ser su mamá?, ¿por qué?, ¿por qué creía Choco que la jirafa, el pingüino, la morsa, podían ser su mamá? También los motivaré para que expresen si el cuento les provocó algún sentimiento, que argumenten si fue risa, llanto, tristeza, alegría, enojo. Les propondré que imiten los movimientos de los animales que son personajes del cuento, para propiciar la expresión corporal, observando si participan espontáneamente o esperan a que otro inicie para imitarlo. En el salón, cada uno en una mesa tendrá un juego de tarjetas con los personajes del cuento y un recipiente con dulces. Les daré una hoja y lápiz, solicitándoles que escriban su nombre, como puedan o sepan. Luego les preguntaré cuántos animales aparecen en el cuento, y solicitaré que escriban la respuesta en la hoja. Luego, cuántos hijos esperaban en casa a la señora oso (y que también lo escriban). Enseguida les diré: “Choco quiso compartir los dulces que tenía con la jirafa, el pingüino, la morsa y la señora oso, les dio uno a cada uno, pongan un dulce a cada personaje, ¿cuántos dulces les dio en total?, escríbelo en la hoja. Y si les pone otro, ¿cuántos dulces serán en total? Escríbelo en la hoja.” También los invitaré a que hagan un dibujo del cuento utilizando materiales diversos como cartulina, hojas, plumones, lápices de colores, crayolas y pintura vinílica, indicándoles que traten de recordar a cada personaje y, si quieren, que le pongan su nombre. Los interesaré para que escriban la historia como ellos puedan (grafías convencionales o no, palitos-bolitas, etcétera). Finalmente, elaboraré el registro de cada uno de los niños, poniendo atención a todos los lenguajes que utilicen: verbal, corporal, gestual, entre otros.

Actividades permanentes: • Las relacionadas con el juego y sus diferentes formas de acuerdo con la intención que se desea lograr, apoyando el proyecto escolar que pretende que la ludoteca sea una forma de promover, favorecer y desarrollar el aprendizaje en los niños.

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Certidumbres E INCERTIDUMBRES

Otras competencias: • Utiliza el lenguaje para regular su conducta en distintos tipos de interacción con los demás. • Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial. • Reconoce que los seres humanos somos distintos, que todos somos importantes y tenemos capacidades para participar en sociedad. • Obtiene y comparte información a través de diversas formas de expresión oral. • Se expresa por medio del cuerpo en diferentes situaciones con acompañamiento del canto y de la música. • Utiliza objetos e instrumentos de trabajo que le permiten resolver problemas y realizar actividades diversas. • Comunica y expresa creativamente sus ideas, sentimientos y fantasías mediante representaciones plásticas, usando técnicas y materiales variados.

Conclusiones Una vez terminada la evaluación se pudo ubicar a los niños de acuerdo con su nivel de desarrollo y mejorar con ellos la organización del trabajo en el aula, favoreciendo su aprendizaje y el avance en sus capacidades, habilidades y destrezas. También se obtuvo un mayor conocimiento de las características de todos y cada uno de los niños que integran el grupo, de sus estilos de aprendizaje, lo que permitió planear situaciones didácReferencias BODROVA, E., “Introducción a la teoría de Vygotsky”, en Herra-

mientas de la mente, SEP, México, 2004. CRAIG,

Grace J., Desarrollo psicológico, Pearson, México, 1997.

DIKER, Gabriela, “Organización y perspectivas de la Educación

Inicial en Iberoamérica: principales tendencias”, en Revista Electrónica de Investigación Educativa, Buenos Aires, 2005. MEECE,

J. “Desarrollo cognoscitivo: las teorías de Piaget y Vygotsky”, en Desarrollo del niño y del adolescente. Compendio para educadores, McGraw Hill/SEP, México, 2000.

ticas que promovieran los aprendizajes, sin perder de vista la posibilidad de que los menos expertos aprendan de los expertos, al presentarles actividades que representen retos a superar. Se considera que los niños pueden mejorar su expresión oral socializando con otros en actividades en pequeños grupos, de manera que impliquen el trabajo y el juego en situaciones didácticas específicas y el eje sea el campo formativo Lenguaje y comunicación (Área del lenguaje en la Guía Portage). SCHUNK,

Dale H., Teorías del aprendizaje, 2a. ed., Pearson Educación, 1997.

S. BLUMA, M. Sherer, A. Frohman y J. Hilliard, “Guía Portage”,

en Revista Electrónica de Investigación Educativa, Buenos Aires, 2004. SEP,

Programa de Educación Preescolar, Conaliteg, México, 2004.

VILLARINI,

Ángel, El currículo orientado al desarrollo humano integral, Universidad de Puerto Rico, Puerto Rico, 2002.

VYGOTSKY,

Lev, Pensamiento y lenguaje, Paidós, Barcelona,

1995.

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artistas Y ARTESANOS

Breve HISTORIA de la MÚSICA clásica MEXICANA Rubén Heredia Vázquez A mis hermanos Roberto, Pastor (QEPD), Rafael y Horacio, con todo mi cariño.

Imaginemos la utopía: al día siguiente de la muerte de Blas Galindo,

periodista y divulgador de la música.

Ilustra ción: Rosa

CARLOS BECERRIL TORRES,

E. Go nzález.

todos los canales de televisión, todas las estaciones de radio y todos los diarios de mayor circulación publican y emiten, a toda su potencia, las principales aportaciones del autor de los Sones de mariachi, dan cuenta de su número de opus, publican entrevistas exclusivas y transmiten el instante en que el director, al acabar de bajar la batuta, es aplaudido por una entusiasta multitud que le agradece el haberlos puesto en contacto con las ideas estéticas de Blas Galindo […]. Pero nada de esto pasó.

ientras consulto mi semanario del ocio para ver qué conciertos habrá este fin de semana y cuál será su repertorio, vuelve a asaltarme la inquietud que ha revoloteado sobre mí durante los últimos 20 años: ¿por qué en un país que ha tenido una de las producciones musicales de concierto más antiguas, ricas, propias y desarrolladas del continente americano la proporción de obras de autores nacionales sigue siendo tan baja en relación con las Novenas, las Carminas, las Patéticas, las Inconclusas, las Cascanuezas y demás favoritas del repertorio de música de concierto? Y siempre me respondo lo mismo: es culpa del miedo y la ignorancia. “Es que a la gente no le gustan; es que no las conoce; es que se aburre con la música virreinal; es que se perdió casi toda la música decimonónica; es que Planos y la Tocatta para percusiones no son tan taquilleras como el Huapango y el Danzón n.º2; es que Enríquez y Lavista de plano les dan miedo...” Los programadores podrán esgrimir un sinfín de argumentos, pero no negarán que existe un enorme repertorio nacional de primera calidad que podría presentarse en conciertos y recitales, del cual, por desgracia, se programa sólo una mínima parte. Aunque no intento aquí dar nuevas respuestas a las inquietudes que me aquejan, creo que ésta es una buena oportunidad para dar un panorama general de la música mexicana de concierto y conocer un poco más sobre su historia.

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Artistas Y ARTESANOS

Época virreinal Al ser la música de concierto un producto de la cultura europea, la historia de la música de concierto mexicana dio inicio después de la Conquista, con el establecimiento del Virreinato de la Nueva España. La parte más importante de la vida musical de la Nueva España se desarrolló en los centros religiosos. Los miembros del clero fueron los principales promotores de la música europea durante la Colonia y fue justamente un clérigo, Fray Pedro de Gante, quien fundó, en 1524, en Texcoco, la primera escuela de música de la Nueva España, donde en realidad se adiestraba a los indios para servir como músicos en las iglesias. El centro religioso más importante fue la catedral de México, aunque en provincia hubo también catedrales notables por su actividad musical, como las de Oaxaca, Valladolid (hoy Morelia), Puebla, Durango y Guadalajara. La Iglesia utilizó la música fundamentalmente para la evangelización de los indígenas. Esto trajo consigo un gran desarrollo de la música vocal sacra, heredada de las obras de los grandes maestros del Renacimiento, como Palestrina, Victoria, Lasso, Guerrero y Cabezón, además de estimular la composición y ejecución de música en las colonias. Sin embargo, como menciona Uwe Firsch en su ensayo “Trayectoria de la música en México”: Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

[...] los militares y aventureros de toda laya que los seguían [a los religiosos] aportaron las formas de la música profana de la Europa de aquel tiempo, amén de la música popular de sus regiones de origen.1

Órgano del s. XVII. Santo Domingo, Oaxaca.

La máxima autoridad musical de la Colonia era el maestro de capilla de la catedral de México. La música compuesta por algunos maestros de capilla en diversas catedrales del país, descubierta hace relativamente poco tiempo, alcanzó un gran nivel y esplendor, y constituye una de las mayores cúspides del arte novohispano. Entre los más ilustres maestros de capilla de la catedral de México podemos mencionar a Hernando Franco (c.1532-1585), uno de los primeros; Antonio de Salazar (c.1650-1715), organista nacido quizás en Puebla, quien, además, fue maestro de capilla de las catedrales de Puebla y México, y compuso misas, salmos, motetes y villancicos en el estilo de Palestrina; el italiano Ignacio de Jerusalem y Stella (1710-c. 1769), maestro de capilla de la catedral de México de 1750 a 1760 y que, de manera paradójica, contribuyó al

Uwe Frisch, “Trayectoria de la música en México”, en Cuadernos de música, núm. 5, UNAM, México, 1970. p. 9.

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Breve historia de la MÚSICA CLÁSICA MEXICANA Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

Precesión religiosa acompañada de cánticos, en las calles de la capital novohispana.

desarrollo de la música profana y al ocaso de la época dorada de la religiosa; y Manuel de Sumaya (1680-1756), discípulo de Salazar, poseedor de un estilo melódico influido por los italianos y autor de Penélope, la primera ópera debida a un compositor novohispano. Un caso especial es el de Juan Matías de los Reyes (1617-1667), indígena que llegó a ser maestro de capilla de la catedral de Oaxaca y escribió un Tratado de armonía. Aunque perteneciente a la tradición barroca europea, la música de estos creadores, cultivada en las formas típicamente religiosas como la misa o el oratorio, mostró los efectos del choque cultural de la conquista, pues, como señala Frisch: [...] si bien la música culta europea no se modificó en sus elementos constitutivos y procedimientos técnicos al ser trasplantada a territorio novohispano, sí adquirió un sello peculiar al absorber en mayor o menor grado –según el temperamento individual de cada compositor– ciertos elementos rítmicos, melódicos y armónicos provenientes tanto de la música de los aborígenes como de los negros que fueron traídos del África en los primeros cargamentos de esclavos. Con ello, la música novohispana se convirtió en un capítulo específico de la música barroca occidental y en uno de los primeros aportes americanos al acervo cultural común.2

A pesar de que la música más importante del periodo colonial fue de corte religioso, la música profana empezó a adquirir cada vez más preponderancia hacia mediados del siglo XVIII. Fue en esta época que, en mucho gracias a la influencia de Ignacio de Jerusalem y Mateo Tollis della Rocca –dos músicos italianos que fueron maestros de capilla de la catedral de México–, el público novohispano tuvo sus primeros contactos con la música de Haydn y Mozart y, sobre todo, con la ópera italiana, cuya influencia fue determinante en la música de los primeros años del México independiente, de la cual, por desgracia, se conoce muy poco y casi nunca se programa en conciertos. 2

Uwe Frisch, op. cit., p. 10.

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Artistas Y ARTESANOS

De la Independencia al Porfiriato

Enciclopedia Ócéano de México, Barcelona, 1999.

El periodo de la guerra de Independencia parece haber estado marcado por la escasez de nombres, realizaciones o avances notables en el campo de la música de concierto. La recuperación de los altos niveles que había alcanzado este género al comienzo del periodo colonial fue lenta y sólo llegó a ser satisfactoria tras la caída del imperio de Maximiliano. Sin embargo, quizás en parte debido al debilitamiento del influjo de la música culta en el gusto del pueblo, la música tradicional o folclórica de México empezó a fortalecerse y consolidarse. En ella “se sentaron las bases de todo aquello que, andando el tiempo, vendría a hacer posible que adquiriéramos una fisonomía musical propia y distintiva”.3 Por otro lado, en los primeros años del México independiente se crearon las primeras asociaciones y organizaciones particulares de fomento de la educación y la actividad musical de concierto, como la Sociedad Filarmónica, la Academia Filarmónica y la Academia de Música. A pesar del caos y las dificultades provocados por la inestabilidad política y la lucha armada, en los últimos años de la Colonia y los primeros de la Independencia brillaron ciertos compositores, que si bien estuvieron vinculados a la Iglesia, pocos fueron maestros de capilla de la catedral de México. La mayoría de ellos mostraba una franca y notable influencia de la ópera italiana, característica a la que contribuyó la creciente llegada de músicos extranjeros, quienes, por desgracia, no siempre fueron de la mejor calidad. Así pues, en las primeras décadas del siglo XIX sobresalieron nombres como José María de Bustamante (1777-1861),

El Teatro Nacional de México, a mediados del siglo XIX.

Uwe Frisch, op. cit., p. 12.

Breve historia de la MÚSICA CLÁSICA MEXICANA

José María Aldana (1730-1810), el “virtuoso del violín”, y Mariano Elízaga (17861842). Bustamante y Elízaga en particular se distinguieron por haber compuesto algunas de las primeras óperas de ese periodo –México libre, de Bustamante, se estrenó en 1821, y La italiana, de Elízaga, en 1825. Mariano Elízaga La figura de Mariano Elízaga merece una mención especial. Este niño prodigio michoacano y organista de la catedral de Morelia a los 16 años, fue nombrado por Iturbide maestro de capilla de su corte. Sus contribuciones al desarrollo de la actividad musical en México fueron diversas: publicó varios libros de teoría musical; en 1824 fundó la Sociedad Filarmónica, y en 1825 la Academia Filarmónica, considerada el primer conservatorio de América Latina; estableció la que quizá fue la primera imprenta dedicada exclusivamente a la publicación de música, y formó y dirigió la orquesta más importante que había tenido el país hasta entonces. Además, su producción como compositor se distinguió de la de sus contemporáneos por acusar una discreta inclinación hacia la estética y técnica francesas, así como un distanciamiento de la influencia italiana.

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ú IX, n m., México, 1977.

Gusto por la ópera A mediados del turbulento siglo XIX, ya se había consolidado totalmente la preferencia del público mexicano por la ópera italiana, por lo que la parte más importante de la producción musical desde la consumación de la Independencia hasta el principio del Porfiriato se centró en la ópera. En esta época empezaron a distinguirse los primeros compositores nacidos en el siglo XIX, la mayoría de los cuales muestra una fuerte influencia del estilo italiano en boga. Entre ellos podemos citar a José Antonio Gómez (1805-1878), Cenobio Paniagua (1821-1882), Melesio Morales (1838-1908), Tomás León (1826-1893) y Aniceto Ortega (1823-1875). Quizás el más destacado de ellos haya sido Ortega pues, según se dice, su pieza Invocación a Beethoven fue interpretada en su momento por todos los pianistas de México, mientras que su conocida ópera Guatemotzin fue la primera obra mexicana de este género compuesta con tema propio, y muchos la consideran una aportación temprana al nacionalismo musical mexicano. Por desgracia, a la fecha no se ha grabado ninguna de las óperas de ese periodo.

Aniceto Ortega (1823-1875).

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Cosmopolitismo e identidad nacional El Porfiriato marcó un fuerte debilitamiento de la corriente italianizante en la música culta mexicana y el inicio de una creciente influencia francesa y, hasta cierto punto, alemana. Como bien lo señala José Antonio Robles Cahero en su interesante artículo “La música mexicana de concierto en el siglo XX”: El largo periodo histórico de más de tres décadas dominado por Porfirio Díaz fue, a pesar de sus conflictos y desaciertos, una etapa de desarrollo económico, social y cultural que sentó las bases para el surgimiento de un México moderno, vinculado con otros países europeos y americanos. Esta apertura internacional fue fundamento de un desarrollo cultural y musical que se nutrió de nuevas tendencias cosmopolitas y empezó a superar las inercias del estancamiento.4

Este desarrollo se reflejó en un paulatino cambio en la manera tanto de componer música como de difundirla. La vida musical de concierto dejó de centrarse en la ópera, se consolidó la antigua tradición pianística mexicana, se cultivó y desarrolló notablemente la producción orquestal y de cámara y, algo que tendría un fuerte impacto e importancia para la música mexicana del siglo XX, se reincorporó el folclore a la música culta. Es una época en la que, a pesar de que las composiciones toman como modelo el lenguaje principal de la música del romanticismo tardío, sobre todo el francés y el alemán, y se cultivan los valses y la música de salón, los autores empiezan a mostrar una preocupación por buscar una identidad nacional en la música. Entre los compositores más distinguidos del Porfiriato se encuentran Juventino Rosas (1864-1894) –cuyo celebérrimo vals Sobre las olas le dio fama internacional–; Gustavo E. Campa (1863-1934); Ernesto Elorduy (1853-1912), autor de diversas danzas de salón que mezclan formas tradicionales europeas con melodías de tipo hispano-mexicano; Felipe Villanueva (1863-1893), finísimo creador de música para piano, y, sobre todo, Ricardo Castro (1864-1907). Este artista, entregado a los estilos del romanticismo tardío, representó una de las más claras e importantes rupturas con la tradición musical italianizante que había dominado en el país durante todo el siglo XIX, y dejó obras de excelentísima factura que están a la altura de las de los mejores compositores de su tiempo. Es un hecho que el México decimonónico no produjo los compositores de la calidad que había emergido durante la Colonia ni de la que se daría en el siglo XX. Primero era necesario reimplantar un buen nivel profesional en la música mediante la imitación y asimilación de los modelos predominantes en las grandes

José Antonio Robles Cahero,“La música mexicana de concierto en el siglo XX”, en México en el Tiempo, núm. 38, México, septiembre-octubre 2000, p.1.

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Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

Orquesta de cámara a mediados del siglo XIX.

metrópolis culturales. Sin ello no iba a ser posible llegar a producir obras de concierto de carácter nacional con una personalidad propia y distintiva. Los maestros mexicanos del siglo XIX sentaron las bases técnicas e implantaron el alto nivel profesional imprescindibles para que, en condiciones sociales diferentes, pudiera surgir una escuela auténticamente nacional de música de concierto.5

Revolución y nacionalismo La Revolución mexicana cambió por completo la vida y la organización social y política del país, sacudió las conciencias y derribó las estructuras socioeconómicas imperantes. Esto provocó que muchas formas de vivir, pensar y sentir decimonónicas fueran eliminadas. En la música y el arte en general, la búsqueda de una identidad nacional, ya patente en muchos artistas que estuvieron activos pocos años antes de la Revolución, se convirtió en la preocupación principal. Esto dio inicio a una época fundamental para la música y el arte mexicanos en general: el nacionalismo. El México posrevolucionario favoreció el desarrollo del nacionalismo musical a partir de la política cultural aplicada por el Estado mexicano en todas las artes. Ancladas en la estética nacionalista, las instituciones culturales y educativas oficiales apoyaron la obra de artistas y compositores, y propiciaron la consolidación de una infraestructura musical moderna basada en la enseñanza y la divulgación.6

5 6

Uwe Frisch, op. cit., p. 15. José Antonio Robles Cahero, op. cit., p. 3.

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Enciclopedia de México, tomo

IX, núm., México, 1977.

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En opinión de varios estudiosos, el nacionalismo musical tuvo dos etapas o estilos principales. En la primera, a menudo llamada “nacionalismo romántico”, los compositores recurrieron a melodías y temas tomados del folclore nacional, o inspirados en él, para utilizarlos en piezas de concierto compuestas aún en un lenguaje, estilo y carácter heredados del romanticismo tardío –aunque algunos de estos autores llegaron a incursionar en su momento en el uso de técnicas de composición más modernas. Sin duda, la figura central de esta primera etapa fue Manuel M. Ponce (1882-1948), a quien debemos el repertorio nacional más representativo de la época. Destacan sus numerosas piezas para piano, su Concierto del Sur para guitarra y su abundante música de cámara, en la que pone de relieve el rescate de la canción Manuel M. Ponce (1882-1948). mexicana como base de una música nacional. Otros compositores notables de la generación de Ponce que compartieron varios de sus ideales estéticos fueron José Rolón (1876-1945), Arnulfo Miramontes (18821960) y Candelario Huízar (1883-1970). Es sobre todo en la música de este último –quien a menudo utiliza melodías de procedencia indígena– donde empezamos a detectar los rasgos que caracterizaron la segunda fase del nacionalismo musical mexicano. Así pues, la segunda fase se interna más en las raíces de la nación, por un lado, al volver por completo los ojos y oídos hacia el México indígena, y por el otro, como consecuencia de lo anterior, al abandonar los vestigios del romanticismo y buscar métodos de composición propios –aunque a menudo bastante influidos por los estilos modernistas 7 de Europa. En esta fase del nacionalismo musical mexicano, llamada “nacionalismo indigenista”, los compositores pretendían asimilar o recrear la música vernácula, no como elemento exótico dentro de una pieza de concierto convencional, sino como la base de nuevas formas, lenguajes y técnicas musicales. Carlos Chávez Este estilo indigenista fue encabezado por Carlos Chávez (1899-1978), personaje que tuvo una profunda influencia en la vida cultural mexicana. En 1928, fundó la Orquesta Sinfónica Mexicana (hoy Orquesta Sinfónica Nacional) e incorporó a su repertorio la vasta producción de aquel periodo; de 1928 a 1933 fue director 7

Modernista es un término genérico que designa todos aquellos estilos musicales de principios del siglo XX que se alejaban notablemente tanto del lenguaje romántico como del sistema tonal que había dominado por completo la música europea de los siglos XVIII y XIX.

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del Conservatorio Nacional de Música; entre 1933 y 1934 fue jefe del Departamento de Bellas Artes de la Secretaría de Educación Pública; de 1946 a 1952, director del Instituto Nacional de Bellas Artes, y de 1960 a 1965 fundó y dirigió el Taller de Composición del Conservatorio –un verdadero semillero de compositores. En su música, Chávez recurrió a las fuentes mismas del folclore, la arqueología y la etnomusicología para recrear el mundo prehispánico, y realizó toda una labor de investigación de la música indígena viva en su tiempo, lo cual muestra en obras tales como Xochipilli-Macuilxóchitl. Compositor en evolución continua, él mismo encabezó los movimientos de ruptura con el nacionalismo algunas décadas después. Galindo, Moncayo, Bernal Otros compositores que cultivaron esta y otras formas de nacionalismo en los años siguientes fueron: Blas Galindo (1910-1993), autor de música muy lírica, intimista y de un inequívoco carácter popular (Sones de mariachi), aunque, sobre todo hacia finales de su carrera, no escatimó en el uso de disonancias y ritmos complejos; José Pablo Moncayo (1912-1958), autor elegante, nítido y delicado quien, de manera estilizada y hábil, supo imprimir un carácter y espíritu nacionales en sus obras, algunas de las cuales son aún enormemente populares (Huapango), y Miguel Bernal Jiménez (1910-1956), compositor, ejecutante, director, pedagogo e investigador michoacano de espíritu neoclásico con una abundante producción de música religiosa, muy recordado por el pueblo, entre otras cosas, por su célebre villancico Por el valle de rosas. En esta generación se distinguieron Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

José Pablo Moncayo (1912-1985) fue el primer director artístico de la Orquesta Sinfónica Nacional.

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también Eduardo Hernández Moncada (1899-1995), Luis Sandi (1905-1996), Daniel Ayala (1908-1975) y Salvador Contreras (1910-1982). Silvestre Revueltas Sin pertenecer propiamente al nacionalismo indigenista, muchos ven en la obra de Silvestre Revueltas (1899-1940) la cúspide del nacionalismo musical de México y una de las mayores expresiones del arte mexicano en general. Aunque toma como principal fuente de inspiración el folclore mestizo vivo, y no el indígena, nunca lo hace de manera directa. Según sus propias palabras:

Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

Silvestre Revueltas (1899-1940).

En la mayor parte de mis obras he procurado expresar el carácter algo indiferente, sentimental tal vez, pero siempre enérgico, alegre y muy definitivamente sarcástico del pueblo de mi país. Nunca he usado temas populares o folclóricos, pero la mayor parte de los temas, o más bien, motivos que he usado, tienen un carácter popular.8

Revueltas utiliza a menudo técnicas de composición modernistas (había realizado estudios musicales en Chicago) para tratar sus melodías de carácter popular y cantable, aunque en ocasiones compone de manera muy personal, con ciertas tendencias minimalistas.9 Es en esas obras personales como Planos, Ocho por radio y algunos de sus Cuartetos de cuerdas donde suele alcanzar sus momentos más cosmopolitas.

Julián Carrillo (1875-1965).

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Julián Carrillo Un caso aparte entre los compositores de esta generación es el de Julián Carrillo (1875-1965) quien, poseedor de una sólida formación musical –y un oído prodigioso–, desarrolló un sistema teórico y

“Música”, en Enciclopedia de México, tomo IX, México, 1977, p. 296. Minimalismo es el uso de la repetición así como de elementos muy escasos y sencillos como la base de una composición.

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Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

Breve historia de la MÚSICA CLÁSICA MEXICANA

Promocional que anuncia a la Orquesta Sinfónica Nacional de México en París (1958).

compositivo propio y muy adelantado para su tiempo, al cual dio el nombre de “Sonido 13”. Este sistema, basado en la división de la escala en intervalos menores que el semitono, convirtió a Carrillo en uno de los precursores de la microtonalidad en la música de concierto a nivel mundial. Rodolfo Halffter En 1939, llegó a México el compositor español Rodolfo Halffter (1900-1987), hecho de gran trascendencia pues, gracias a una loable labor pedagógica, dio a conocer a varios jóvenes compositores los lenguajes de vanguardia de Europa, en particular el dodecafonismo10 de Schoenberg.

La época contemporánea Hacia mediados del siglo XX, la ideología y la estética del nacionalismo empezaron a perder vigencia. El desarrollo de los medios de comunicación, la creciente concentración de la población en las ciudades, la apertura al comercio exterior y el mejoramiento en las vías de comunicación y transporte promovieron que el arte mexicano dejara de mirar hacia sus raíces y se abriera mucho más que antes a las nuevas influencias del mundo exterior. Además, la labor docente de

El dodecafonismo es un sistema de composición que consiste en la utilización indistinta de los doce sonidos de la escala organizados en distintas series, sin tener un tono principal. El organizador de este método fue el compositor Arnold Schoenberg (1874-1951).

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Halffter y Chávez, quienes encabezaron la ruptura con las corrientes nacionalistas a finales de la década de 1950, fue fundamental pues formaron a una gran parte de los compositores mexicanos más importantes de la actualidad. Como relata Yolanda Moreno Rivas en su libro La composición en México en el siglo XX: Los años sesenta fueron importantes en el desarrollo de la música en México debido al surgimiento del taller de composición dirigido por Carlos Chávez, del cual surgen compositores como Mario Lavista (1943), Francisco Núñez (1945), Héctor Quintanar (1936) y Julio Estrada (1943), quienes van a asimilar las nuevas técnicas seriales europeas, las técnicas de música aleatoria, y se van a interesar por los nuevos lenguajes sonoros surgidos del desarrollo tecnológico.11

www.minotaurz.com

Todos estos autores han explorado con éxito diversos lenguajes musicales experimentales y de vanguardia. Gracias al apoyo de Chávez, Héctor Quintanar fundó, en colaboración con el ingeniero Raúl Pavón, el primer laboratorio de música electrónica en el Conservatorio Nacional de Música; Mario Lavista ha creado una abundante producción muy influida por la corriente denominada “renacimiento instrumental”, que busca nuevas posibilidades tímbricas y expresivas con los instrumentos musicales tradicionales, y sus obras han sido interpretadas por los ensambles más reconocidos a nivel mundial; Julio Estrada, a quien suele asociársele con el muy ecléctico estilo de la “nueva complejidad” –que experimenta con relaciones complejas y multidimensionales entre cada aspecto de los materiales musicales–, ha desarrollado técnicas de representación musical multidimensional y de formación de modelos de análisis y estructuración de alturas musicales por medio de herramientas tomadas de la teoría de conjuntos. Pero tal vez fue Manuel Enríquez (1926-1994) el compositor mexicano más influyente de la segunda mitad del siglo XX. Él creó modelos personales de escritura musical y dejó una vasta producción para instrumentos de cuerda y percusión, así como para orquesta, la cual muestra un interesante trabajo con las texturas y los timbres. Además, fue de los pioneros de la música electrónica en nuestro país. Otros notables compositores de las generaciones de ruptura con el nacionalismo son: Carlos Jiménez Mabarak (1916-1994), Joaquín Gutiérrez Heras (1927), Alicia Urreta (1931-1987), Mario Kuri Aldana (1931),

Manuel Enríquez (1926-1994).

Yolanda Moreno Rivas, La composición en México en el siglo XX, Conaculta, México, 1994, p. 64.

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Orquesta Sinfónica Nacional, Conaculta, México, 2004.

Breve historia de la MÚSICA CLÁSICA MEXICANA

En el Palacio de Bellas Artes se han presentado las más importantes orquestas de México.

Leonardo Velázquez (1935-2004) y Manuel de Elías (1939), entre muchos otros. Todos ellos se distanciaron del nacionalismo en distinto grado y por muy diversos caminos –aunque ciertos casos, como el de Kuri o el de Velázquez, bien podrían ubicarse en una especie de neonacionalismo. También vale la pena mencionar el trabajo de dos compositores extranjeros que, al igual que Halffter, desarrollaron una buena parte de su actividad en México e influyeron en su mundo musical: el estadounidense Conlon Nancarrow (1912-1997) y el alemán Gerhart Muench (1907-1988). Las generaciones siguientes han consolidado el uso de los lenguajes de vanguardia y las músicas experimentales, pero casi siempre de manera muy ecléctica e híbrida. Algunos de estos compositores han intentado recrear con nuevos recursos la música popular urbana y la música étnica de México. Hasta cierto punto, éste ha sido el caso de Arturo Márquez (1950), cuyo celebérrimo y ya clásico Danzón n.º2 le ha granjeado una abrumadora e inusual aceptación del público. Otros, como Antonio Russek (1954), Javier Álvarez (1956) (quizás el compositor mexicano vivo más reconocido en el extranjero), Roberto Morales (1958) y Manuel Rocha Iturbide (1963) han explorado las posibilidades de la música electroacústica y la informática musical. Otros creadores distinguidos de estas generaciones son Graciela Agudelo (1945), Federico Ibarra (1946), Daniel Catán (1949), Marcela Rodríguez (1951), Ernesto García de León (1952), Roberto Medina (1955), Eduardo Soto Millán (1956), Víctor Rasgado (1956), Hilda Paredes (1957), Ana Lara (1959), Gabriela Ortiz (1964) y Juan Trigos (1965). Por último, entre los compositores más jóvenes que empiezan a tener reconocimiento dentro y fuera de nuestras fronteras podemos mencionar a Georgina Derbez (1968), Leticia Cuen (1971), Rodrigo Sigal (1971) y Rogelio Sosa (1977), entre muchos otros.

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Artistas Y ARTESANOS

Obras recomendadas Época virreinal Misas y otras obras sacras de Hernando Franco, Juan Matías de los Reyes, Antonio de Salazar, Ignacio de Jerusalem y Stella, Manuel de Sumaya y obras anónimas.

Siglo XIX Mariano Elízaga • Últimas variaciones para piano

Juventino Rosas • Vals Sobre las olas

Música para piano de: Tomás León Melesio Morales Aniceto Ortega Cenobio Paniagua

Felipe Villanueva • Vals Amor, Vals Poético y otras piezas para piano

Ernesto Elorduy • Mazurkas y otras danzas para piano

Ricardo Castro • Vals Capricho y otras obras para piano • “Intermezzo” de la ópera Atzimba

Siglo XX Manuel M. Ponce • Concierto del Sur para guitarra • Concierto para violín • Estrellita y otras canciones • Intermezzo, Scherzino mexicano, • Balada mexicana y otras piezas para piano • Sonatina meridional y otras piezas para guitarra Carlos Chávez • Música para los ballets HP y Los cuatro soles • Sinfonía de Antígona • Sinfonía India • Tocatta para percusiones • Xochipilli-Macuilxóchitl para alientos y percusiones

Blas Galindo • La Manda, Sinfonía Breve y Sones de mariachi para orquesta • Titoco-tico para percusiones José Pablo Moncayo • Bosques, Huapango, Sinfonietta y Tierra de temporal para orquesta • Muros verdes para piano Miguel Bernal Jiménez • Concertino para órgano y orquesta • Cuarteto virreinal Silvestre Revueltas • Alcancías, El renacuajo paseador, La noche de los mayas, Ocho por radio, Planos, Sensemayá, Redes y otras piezas para orquesta • Música de feria y otros cuartetos de cuerdas

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Breve historia de la MÚSICA CLÁSICA MEXICANA

Siglo XX Julio Estrada • Cuartetos de cuerda • Eua’on para cinta • Memorias para teclado

Julián Carrillo • Dos piezas para cuarteto de cuerdas • Balbuceos • Horizontes • Preludio a Colón Rodolfo Halffter • Concierto para violín • Obertura festiva para orquesta • Sonatas para piano Conlon Nancarrow • Obras para pianola Manuel Enríquez • Á...2 para violín y piano • Concierto II para violín y orquesta • Concierto para ocho • Misa prehistórica para cinta • Ritual para orquesta Héctor Quintanar • Diálogos para piano y cinta • Galaxias para piano y orquesta Alicia Urreta • De la palabra, el tiempo y el poeta para percusiones Mario Lavista • Aura (ópera) • Diacronía para cuarteto de cuerdas • Madrigal para clarinete • Reflejos de la noche para orquesta

Bibliografía Juan Arturo, Cómo acercarse a la música, Plaza y Valdés, México, 2001.

Paz, Gustavo y Fernando Cataño M., Temas de cultura musical, Trillas, México, 1973.

CARRILLO

de México, tomo

IX,

Enciclopedia de México,

S. A., 1977.

CORREO del MAESTRO

Javier Álvarez • Metro Chabacano, Metro Nativitas y Metro Taxqueña para cuarteto de cuerdas • On Going On para saxofón barítono y cinta Ana Lara • Ángeles de llama y hielo para orquesta Gabriela Ortiz • Concierto Candela para percusiones y orquesta • Five Microetudes para cinta Rodrigo Sigal • Babel para flauta y medios electrónicos Georgina Derbez • Nocturno para clarinete, fagot y piano

FRISCH,

BRENNAN,

ENCICLOPEDIA

Arturo Márquez • Danzón n.º2 para orquesta • Homenaje a Gismonti y Ron-Do para cuarteto de cuerdas • Son a Tamayo para arpa y cinta

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Uwe, “Trayectoria de la música en México”, en Cuadernos de música, núm. 5, UNAM, México, 1970.

MORENO

siglo

Rivas, Yolanda, La composición en México en el México, 1994.

XX, CONACULTA,

ROBLES Cahero, José Antonio, “La música mexicana de con-

cierto en el siglo XX”, en México en el Tiempo, núm. 38, México, septiembre-octubre 2000.

sentidos Y SIGNIFICADOS

Las palabras ÁUREAS

ía d Gu

el M

ritá useo B nico, Madr i d,

200 3.

Arrigo Coen Anitúa (†)

El oro almacenado en la oscuridad de las bóvedas blindadas, en las tinieblas de las criptas de seguridad, etimológicamente no es oro, porque no luce, y el nombre de este metal, aurum, en latín, del que proviene la voz oro, significa ‘brillante’, Carro de oro, c. 400 a.C. ‘esplendente’, ‘luciente’, como que es de la misma familia de aurora y de aureola. Aurora, antes del rotacismo latino –fenómeno por el cual toda s intervocálica se convierte en r–, hubo de ser ausosa; en sánscrito queda documentada la forma ushas, que también significa aurora o crepúsculo matutino, como las voces griegas: abór laconio, auás eolio, aós dórico, eós jónico y éos ático, esta última la Eos mitológica, diosa del amanecer; todos estos términos proceden, en último análisis, de una raíz ush, ‘quemar’, que volvemos a hallar en el urere latino, equivalente del aueín griego: por ello lo urente es ‘lo que quema o se quema’ –nótese el rotacismo en las formas de us (combus-tión), que cambian a ur (comb-ur-ente). Por simple nota de información asentamos que reconocen el mismo origen: austro, el ‘viento del sur’; hélios, el sol, en griego, y la voz de genealogía germánica Este, el punto cardinal equivalente a nuestro oriente. La poesía ha representado a la Aurora saliendo del mar en un carro áureo (resplandeciente), esparciendo con sus “rosados dedos” fresco rocío. Aureola es el diminutivo de aureus, ‘dorado’, y se da este nombre al resplandor o nimbo que se figura detrás de las cabezas de las imágenes santas, o sobre ellas. Volvamos al oro: orífice es el que labra tan rico metal, y son auríferos los terrenos que lo contienen; arbor aurifera era el prodigioso árbol que en el jardín de las Hespérides daba frutos de oro. Aun hoy día, los botánicos llaman hesperidios a los frutos de las plantas cítricas, como la naranja, cuyo

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Las palabras ÁUREAS

ico, Madrid, 2003. eo Britán Guía del Mus

nombre latino, aurantium, quiere decir ‘como el oro’. Aunque aquí se trata de uno de tantos casos de etimología y morfología acomodadizas, pues aurantium y sus derivados sin n inicial, como orange en francés, inglés y alemán; oranje en neerlandés, y arancia en italiano, son sólo resultas de la buena voluntad popular de dar a estas palabras la etimología del oro por el color dorado del fruto que nombran. En realidad las formas etimológicas llevan n inicial, como nuestro naranja; naranza y naranz en italiano dialectal; laranja en portugués –nótese n sustituida por l, muy común–; neranze en valón; en medio griego, nerántzion, actual nerántzi; formas, las anteriores, derivadas del árabe naranj, que, como el indio narangi, el pali naranjo y el reciente sánscrito naranga y nagaranga, parece provenir del persa naranj, narinj, narang, nombre de este fruto, y cuya raíz, nar, significa ‘granada’. En todas las formas, la a de la raíz es larga. Regresemos a nuestro oro y tratemos de no digredir otra vez. Perseo se llamó el aurígena porque nació de una lluvia de oro, forma que asumió Júpiter para amar a Dánae. En este escandalillo olímpico hay que saber descubrir, en la aventura del más galante de los dioses, un precioso símbolo: Júpiter, transformado en lluvia de oro, es la luz del Sol que fecunda a la Tierra, y Dánae, cuyo padre Acrisio –nótese la semejanza, en griego a-crysios es ‘sin oro’– la había encerrado en una oscura caverna, en la Tierra desolada por la calígine –oscuridad, niebla, tenebrosidad, y no calor excesivo, como creen algunos– invernal. Cuando Perseo vuelve a Argos, involuntariamente mata a Acrisio con su disco, símbolo del disco solar. En las lenguas germánicas el oro tomó su nombre del adjetivo gótico gulth, amarillo. Por eso oro se dice gold en alemán e inglés, goud en neerlandés y guld entre los pueblos escandinavos. Con das Gold, ‘el oro’, los alemanes se pergeñaron das Geld, esto es, ‘el dinero’.

Llama inca, c. 1400 d. C.

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problemas SIN NÚMERO

¿Cuántos

HAY?

commons.wikimedia.org

Claudia Hernández García

‘‘

La humanidad, a lo largo de su historia,

ha estudiado las matemáticas en un orden inverso al que se sigue en nuestros centros de enseñanza, o casi. En efecto, la numeración decimal (arábigo-india) es la primera cosa que se aprende, en cuanto se va a la escuela, cuando en realidad ha sido una conquista tardía de la humanidad muy versada ya en geometría. Se podría incluso decir que la geometría es varios miles de años más antigua que la aritmética: sin lugar a dudas la geometría ha sido la primera verdadera ciencia construiMujer enseñando geometría (París, c.1314). da por el hombre, la única verdadera ciencia de la antigua Grecia: ya adulta cuando la física, la química, la biología y la geología todavía no habían nacido, y la medicina daba sus primeros pasos. Sólo la geometría estaba bastante desarrollada; pero, ¿qué era la astronomía de los caldeos, de los egipcios, de los griegos, sino geometría? Navegación implica astronomía y astronomía implica geometría: he aquí la razón por la que los antiguos pueblos navegantes del Mediterráneo tuvieran que convertirse en excepcionales geómetras. Pero también arquitectura implica geometría; y sobre todo implica geometría la agrimensura. En efecto, agri-mensura es la traducción literal, en latín, del griego geometría: en español, medida (metría) del suelo (o sea de la tierra, que en griego se dice gè: recordemos a Gea, la diosa de la Tierra).

’’

LUCIO LOMBARDO RADICE

Tomado de La matemática de Pitágoras a Newton, de Lucio Lombardo Radice, Fontamara, México, 2007, p. 23. Lucio Lombardo Radice (1916-1982) fue un importante matemático y pedagogo italiano. Obtuvo su grado de matemático en 1938 y al año siguiente consiguió una plaza para enseñar geometría analítica; sin embargo, no pudo comenzar su labor hasta después de la guerra debido a que fue perseguido por oponerse al fascismo y a la ocupación nazi en Italia. Entre sus publicaciones se encuentran más de 30 trabajos relacionados con diversas ramas de las matemáticas.

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¿Cuántos HAY?

Actividad En este número de Correo del Maestro proponemos una actividad para alumnos de sexto de primaria en adelante. Sugerimos que primero traten de resolverla en equipos de dos o tres personas y después comparen sus estrategias de solución y sus soluciones.

1. El primer reto consiste en trazar todos los caminos entre los dos puntos de esta cuadrícula, procurando pasar siempre sobre alguna de las líneas (no se valen caminos en diagonal) y cuidando no pasar dos veces por una misma línea o por un mismo punto. 2. Si en una juguería sólo hacen jugos con estas cuatro frutas: • manzana • piña • fresa • guayaba y pueden hacerlos de una sola fruta o combinados, ¿cuántos jugos diferentes se servirán en la juguería? 3. Los números capicúa son aquellos que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, ‘131’ y ‘272’ son números capicúa. El reto consiste en decir en cuántos números capicúa de tres cifras aparece el número 4 y cuántas veces hay que escribirlo. 3. El 4 aparece en 18 números diferentes y en total hay que escribirlo 29 veces: 404, 414, 424, 434, 444, 454,464, 474, 484, 494, 141, 242, 343, 545, 646, 747, 848, 949. 2. En total se pueden hacer 15 jugos diferentes: • 1 de cuatro frutas: manzana-guayaba-piña-fresa. • 4 de tres frutas: manzana-guayaba-piña; manzana-guayaba-fresa; guayaba-piña-fresa, y manzana-piña-fresa. • 6 de dos frutas: manzana-guayaba; manzana-piña; manzana-fresa; guayaba-piña; guayaba-fresa, y piña-fresa. • 4 de una fruta: manzana; guayaba; piña, y fresa. 1. Hay 12 caminos diferentes: ¿Cuál crees que sea el más largo? ¿Cuál es el más corto? ¿Por qué? ¿Cuántos caminos más crees que habría si pudieras trazar trayectorias en diagonal? ¿Cuántos caminos más encontrarías si pudieras pasar dos veces por el mismo punto? Soluciones: CORREO del MAESTRO

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abriendo LIBROS

Contar,

LEER

e imaginar Nora Brie

‘‘

El principal objetivo de estos libros es ayudar a los niños en el aprendizaje del conteo desde sus cimientos, y al mismo tiempo ofrecer a los padres y maestros material y sugerencias de trabajo para que participen activamente en este proceso. VIRGINIA FERRARI

Libros sin texto? Sí. Así son cuatro de los cinco libros que integran la colección ¡Al agua patos! (Correo del Maestro, México, 2007), pensada y dirigida por Virginia Ferrari. Diseñados para propiciar la adquisición de las primeras nociones matemáticas, estos libros permiten, además, enriquecer el vocabulario de los niños y despertar su imaginación, al darles la oportunidad de inventar y narrar las historias contenidas en las delicadas ilustraciones de Matías Bervejillo. Situaciones familiares, juegos de niños, cálidos encuentros entre animales son los temas que encierran estos volúmenes, hechos especialmente para pequeños de entre 2 y 6 años. La colección se diseñó para apoyar el desarrollo de las primeras nociones lógico-matemáticas en los niños pequeños, como la clasificación, la seriación, el número, las formas, las magnitudes, la idea de espacio y de tiempo, que se adquieren en edad temprana, en el ambiente familiar, antes de que asistan a la escuela. Los libros manejan la secuencia numérica del 1 al 10, con personajes

’’

que van apareciendo en cada lámina, lo que permite a los niños iniciar el conteo –estableciendo la correspondencia entre la palabra-número y el objeto que cuentan–, así como desarrollar la noción de que cada número se forma agregando uno al anterior. Asimismo, podrán iniciarse en el cálculo realizando pequeñas sumas y restas. Estos libros también ayudan a desarrollar el lenguaje, al tiempo que introducen al niño en el conocimiento del entorno, desde el más cercano como la familia y los amigos, hasta aquel no tan lejano como los animales –mexicanos o de lugares remotos–, que forman parte de la vida natural de nuestro planeta. En cada uno de los volúmenes hay sugerencias para padres y maestros, a fin de sacar el mayor provecho de esta colección y ayudar a los pequeños a desarrollar las bases de los primeros conceptos matemáticos, así como extender su vocabulario y consolidar valores como la convivencia, la solidaridad, la tolerancia y el respeto.

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Contar, LEER E IMAGINAR

Salto laaaargo Este libro reúne a diez amiguitos en una sesión de salto, sobre una franja de arena, como se hace en las olimpiadas. Todos los niños saltan, cada uno más lejos que el anterior, cayendo en el número correspondiente. Así, el pequeño lector podrá contar los personajes que hay en cada página y observar que en cada una de ellas va aumentando uno. En el libro hay una recta numérica –representada en la arena de salto– que pone en contacto a los niños con la secuencia numérica del 1 al 10, así pueden ver qué número está antes y cuál después. Como no tiene letras, el pequeño lector podrá asignar nombres, edades e historias personales a cada uno de estos singulares jovencitos saltarines.

La manopla En un frío bosque ha quedado olvidada una manopla de lana. Con saltos rápidos y un poco de timidez, un conejito se acerca a ella, la huele y decide entrar. ¡Se siente calientito! Así, de a poco, van llegando otros animalitos buscando refugio y piden entrar en la manopla. Este cuentito sin texto permite a los pequeños crear su propia historia y los invita a conocer la vida, las características y el entorno de los animales que allí aparecen, todos ellos habitantes de tierras mexicanas, algunos cercanos y asequibles como una tortuga, un conejito o un sapo; otros más lejanos, temibles o enigmáticos, como un puma, una víbora o un jabalí, y otros más, en apariencia tímidos, que esconden sorprendentes trucos para escapar o sobrevivir, como el tlacuache, el puercoespín, el zorrillo o el mapache. Al tiempo que construye la historia, el niño podrá iniciar el conteo y, con la guía de un adulto, adentrase jugando en el mundo de las matemáticas.

Por la sabana El elefante, la jirafa, el kudu, el guepardo, la hiena, la cebra, el rinoceronte, el ñu, el hipopótamo y el león confluyen en las enormes extensiones de la sabana para protagonizar una insólita convivencia. El elefante es el primero en llegar, y a esta contundente presencia se acercan, uno a uno, los demás animales de aquellas lejanas e interesantes regiones. Una delgada liana se ofrece para enlazar y desenlazar la historia. Como en los anteriores títulos comentados, hay sugerencias a padres y maestros que proporcionan herramientas para estimular en los niños el conteo y conocimiento de la serie numérica oral, que irán adquiriendo mientras desarrollan su capacidad de observación y su imaginación.

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Abriendo LIBROS

¿A dónde vamos? Una familia sale de paseo, ¿a dónde irá? Habrá que mirar con detenimiento. El abuelo, la abuela, los tres nietos, papá y mamá se preparan para el viaje, uno a uno se van acercando al auto, y llevan algo en sus manos que permite al atento lector imaginar hacia dónde se dirigen. Por supuesto, no faltan las mascotas: el loro, el perro y el gato que, corriendo o volando, se integran a la feliz comitiva. Con la idea principal de adentrarse en el mundo de las matemáticas, los niños podrán imaginar una historia familiar e incluso identificarse con alguno de los protagonistas. Contar los personajes, desarrollar la noción del espacio: adentro, afuera, adelante, atrás, arriba, abajo, y adquirir habilidad en pequeñas sumas y restas, son retos presentes en este pequeño volumen.

Unos amigos especiales En este libro, con breves textos, un coyote algo presumido se peina frente al espejo mientras espera a sus amiguitos. Uno a uno van llegando: el venado cola blanca, la iguana verde, la guacamaya, el mono araña, el perrito de las praderas, el cocodrilo, la vaquita marina, el armadillo cola desnuda y el quetzal. A pesar de que cada uno habita distintas regiones de nuestro país, todos comparten algo: están en peligro de extinción y es necesario protegerlos. Para que no se nos olvide, posan para la foto que toman Lupe y Pedro. Nuevamente aparece la serie numérica del 1 al 10, la oportunidad de iniciar el conteo y resolver pequeñas sumas y restas. Al mismo tiempo, el libro introduce a los niños pequeños en el conocimiento de nuestro entorno y en conceptos como ecología o animales en peligro de extinción.

Compartamos historias Además de su contenido, el encuentro con estos libros es excusa para el acercamiento familiar, ya que el niño pequeño necesitará el acompañamiento del adulto para adentrarse en las historias sugeridas y, juntos, construir la propia. De acuerdo con

cada edad, se irán tejiendo aventuras –sencillas o complejas– que podrán crecer conforme crezca el lector en edad y en comprensión. Invitamos a todos aquellos que tengan niños pequeños a su alrededor a acercarse a estos sugerentes libros y compartir divertidas historias que sólo tendrán el límite de la propia imaginación.

Reseña de la colección ¡Al agua patos!, editada por Correo del Maestro (México, 2007). Incluye los títulos: Salto laaaargo, La manopla, Por la sabana, ¿A dónde vamos? y Unos amigos especiales. Dirección y textos: Virginia Ferrari. Ilustraciones: Matías Bervejillo. Informes: lada sin costo 01 800 713 4663 www.clublectores.com

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maestros EN RED

El cambio debe empezar en los adultos EDITH GONZÁLEZ BELTRÁN

Ciencias de la educación Ixtapaluca, Estado de México.

Al conversar con algunas mamás de la primaria donde estudian mis hijas, surgió una discusión acerca de la responsabilidad. Nuestros niños tenían que llevar dos cambios de ropa, incluidos zapatos y tenis; y había sucedido, frecuentemente, el olvido y extravío de los últimos. Las dos mamás con las que conversaba aceptaban que esto sucedía sólo a los niños “irresponsables”; por mi parte, argumentaba que eso no tenía nada que ver con la responsabilidad, o al menos no reflejaba la responsabilidad académica, que es la que, en todo caso, deben observar los niños en la escuela. Para mí, era complicarles la existencia con algo que no valía la pena. Sin tener la razón ni unas ni otras, se concluyó que si se regaña a los niños cuando pierden las cosas lo van a pensar dos veces antes de volver a cometer el mismo error, “porque –comentó una mamá– así se aprende, equivocándose”. En conclusión, decían, había que hacerles las cosas difíciles para que fueran responsables. “Porque la vida es difícil y tienen que aprender a vivirla”. ¿Cómo llegaron a esta conclusión? Por su experiencia. Venimos de un sistema tradicional en el que el castigo era la herramienta para el “aprendizaje”, por ello nuestra percepción de la realidad suele ser poco positiva. Como dice Juan Delval en su artículo “La resistencia del cambio” (Revista de Psicología, UPN-UAS, Sinaloa, 1992, pp. 9-11), los adultos queremos que las nuevas generaciones sean mejores, pero que no nos desafíen; que tengan más oportunidades pero que escojan la que nosotros queremos. Los adultos que estamos inmiscuidos en el proceso de enseñanzaaprendizaje, sean padres, maestros o administrativos, tenemos miedo de reconocer que cabe la posibilidad de que la manera en la que nos educaron no haya sido la más apropiada. Esto genera angustia, que degenera en una resistencia al cambio, con añoranzas absurdas y lemas como “tiempos pasados fueron mejores”. Si usáramos la frase “eran otros tiempos” con mayor conciencia, comprenderíamos que sí, era otro momento histórico con características muy particulares, y que en su momento los papás y maestros

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Maestros EN RED

aplicaron lo que en su contexto se aceptaba como correcto. Nosotros, ahora, tenemos más herramientas, conocimientos y teorías con las cuales podemos enseñar y aprender. Los estudios, los experimentos, las teorías, como el cognoscitivismo o el constructivismo nos ayudan en nuestra labor. La idea actual de construir el conocimiento, de hacerlo significativo, lleva en sus entrañas un proceso de descubrimiento, de inventiva, de creatividad, que lo vuelve en sí mismo algo disfrutable. El hecho de que a las generaciones anteriores se nos haya quedado la idea de que el estudio es, por fuerza, aburrido y difícil, hace que así lo reflejemos a los niños. Por eso los adultos necesitamos cambiar nuestra percepción de la misma vida; pensar que complicar las cosas a los niños es darles la idea errónea de que todo es difícil, aun las cosas sencillas. Con lo anterior no pretendo que se dé a los pequeños toda la información procesada, sino procurarles las herramientas para que por sí mismos busquen, analicen y sinteticen los conocimientos, pero sin ponerles trampas o baches que les dificulten el proceso, porque creo que los malos ratos no se olvidan y el reparo en los errores perdura más que el conocimiento que les queremos dejar en la memoria a largo plazo. Disiento del “echando a perder se aprende”; y si ése fuera el caso, espero que en mi generación y en las anteriores quede lo “echado a perder” y los jóvenes sean el aprendizaje.

invitamos a maestros, alumnos, investigadores y público en general a visitar nuestra página en internet:

www.correodelmaestro.com y participar en este espacio creado para el intercambio de ideas, conocimientos e inquietudes de los docentes y su quehacer cotidiano.

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Material

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DIDÁCTICO

Recomendamos fotocopiar estas tarjetas y después recortarlas para realizar las actividades propuestas en el artículo “Los niños y los números V”, páginas 5 a 16 de esta revista.