Matemáticas 3 - Versión Alumno - Correo del Maestro - Conaliteg 2021-2022 by EDILAR

Rubén García Madero Javier Enriquez Brito Martín Cañas Blancá

Matemáticas 3

Tercer Grado

Matemáticas 3

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Estimada alumna, estimado alumno: El libro d e texto gratuito que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo que realizan el gobierno federal, los gobiernos estatales, las maestras y los maestros para garantizar que todas las niñas, los niños y los adolescentes que cursan la educación básica en nuestro país cuenten con materiales educativos para construir su aprendizaje, y con ello alcanzar una educación de excelencia. Tu libro de texto gratuito promoverá que te desarrolles integralmente, fomentará en ti el amor a la Patria y el respeto a todos los derechos; así reconocerás lo que te rodea, apreciarás tus fortalezas y sabrás lo que tu comunidad, México y el mundo necesitan y lo que puedes hacer por ellos.

Nombre

En el marco de la Nueva Escuela Mexicana, la equidad y la calidad son premisas de la educación. Este libro ha sido seleccionado por los docentes de tu escuela, de

Grado

entre las distintas opciones que la Secretaría de Educación Pública pone a su disposición y forma parte de los materiales educativos que se ofrecen para que, con el trabajo diario de maestras, maestros, autoridades y familias, alcances el máximo

Escuela

logro de aprendizaje y el fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad. Maestro (a)

Este libro ya es tuyo; es un regalo del pueblo de México para ti. ¡Conócelo, cuídalo y disfrútalo!

Distribución gratuita, prohibida su venta

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CORREO del MAESTRO CORREO del MAESTRO Roxana Martín–Lunas Rodríguez

coordinación editorial

coordinación editorial autoría Rubén García

Madero Javier Enriquez Brito Martín Cañas Blancá

autoría

edición

Sistema de clasificación Melvil Dewey DGMyME 501.07 G216 2021 García Madero, Rubén

Matemáticas 3: tercer grado / Rubén García Madero, Javier

Enriquez Brito, Martín Cañas Blancá ; edición Elena MartínLunas Rodríguez .— México: Correo del Maestro, 2021. 240 p.: il.

Elena Martín–Lunas Rodríguez edición

revisión técnica y pedagógica Bertha Francisco revisión técnica y pedagógica

Nicanor José Vargas Muñoz

corrección de estilo José María corrección de estilo

Fábregas Puig

colaboración especial Joaquín Berruecos Villalobos colaboración especial

ISBN 978-607-8747-06-1

1. Matemáticas – Estudio y enseñanza (Secundaria). I. Enriquez Brito, Javier, Cañas Blancá, Martín, coaut. II. Martín-Lunas Rodríguez, Elena, ed. III. t.

Aralia Valdés Vargas

cuidado de la edición Guadalupe Escalante cuidado de la edición

Ramírez

diseño de interiores Trazo Magenta, diseño de interiores

José Francisco Ibarra Meza π Rosa Trujano López/Alógrafo

formación electrónica José Francisco Ibarra formación electrónica

Meza π

diseño de cubierta José Francisco Ibarra diseño de cubierta

Meza π

investigación iconográfica Elena Martín–Lunas investigación iconográfica ilustración fotografía

José Francisco Ibarra Meza π

ilustración

fotografía

obra de cubierta © Alba obra de cubierta fotografía de cubierta

Rodríguez

Rojo Cama †, M3 , técnica: escultura en metal, 1999

fotografía de cubierta gestión de derechos y permisos correo

del maestro

gestión de derechos y permisos

ISBN:

Av. Reforma No. 7 Int. 403, Cd. Brisa Naucalpan Estado de México, México C.P. 53280 Tels. 53-64-56-70 / 53-64-56-95 correo@correodelmaestro.com

www.correodelmaestro.com Impreso en México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2817 La presentación y disposición en conjunto de Matemáticas 3, son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de la información), sin consentimiento por escrito del editor.

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Presentación Querido estudiante: El libro de texto que tienes en tus manos fue diseñado con la idea de que reconozcas que la matemática es una herramienta poderosa de razonamiento y una fuente de conocimiento, y que por medio de ella puedes resolver problemas prácticos y abstractos en contextos diversos: sociales, científicos y culturales. Como en todas las asignaturas, su aprendizaje requiere de tu curiosidad y sobre todo de una actitud en la que muestres iniciativa y capacidad de enfrentarte a esos problemas para encontrar sus soluciones. Aprender no significa memorizar o repetir, significa saber aplicar los conocimientos y experiencias adquiridos a nuevas tareas y a nuevas situaciones. A ello contribuirán las actividades de este libro. A medida que las realices y analices las situaciones planteadas en el texto, irás adquiriendo diversas habilidades que conformarán tu proceso de aprendizaje, tales como: indagar sobre lo que sabes; descubrir y construir cadenas de razonamientos; relacionar conceptos; hacer cálculos; analizar datos; representar problemas mediante expresiones algebraicas o de manera geométrica; aplicar técnicas cada vez más complejas, y desarrollar procedimientos más eficientes. Trabajarás, como lo has hecho en cursos anteriores, de manera autónoma y colaborativa para comunicar tus ideas y resultados, y al hacerlo, reconocerás y apreciarás que todos aprendemos de diversas maneras. Tú, y quienes conviven contigo en casa y en la escuela, continuarán aportando puntos de vista, maneras de ver y comprender que enriquecerán sus experiencias de vida y de aprendizaje. Cada vez será más satisfactorio para ti vincular tu ámbito familiar y entorno próximo con tu proceso de pensamiento matemático. En este camino, tus maestros y directivos te proporcionarán el sustento teórico y práctico, así como el ejemplo para convertir tus errores en oportunidades de aprendizaje. En ese sentido te guiarán, orientarán y animarán, como siempre, a buscar la satisfacción profunda que surge del convencimiento de que has dado lo mejor de ti y que has compartido lo que aprendes y lo que te emociona con tus pares. Lleva estos aprendizajes contigo a lo largo del recorrido que estás por emprender.

Autores y editores de Correo del Maestro

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Conoce tu libro

Con el apoyo del maestro,* lee las siguientes descripciones y recorre las páginas de este libro para que sepas cómo está estructurado. Cada uno de los tres Módulos cubre un trimestre del calendario escolar: agosto-noviembre diciembre-marzo abril-julio

Entrada de Módulo Te invitamos a que leas estos textos sobre el cambio climático, su repercusión en el mundo y en nuestro país. Verás que estos textos están vinculados con la ciencia y la sociedad. Los retomarás en la Evaluación del cierre de Módulo. Idea inspiradora Icono de cada Eje

Ruta de Aprendizaje

Indica el número de Módulo

Conoce los Ejes, Temas y Aprendizajes esperados del programa de la asignatura. Sigue la ruta para ver cómo se desprende cada Lección de los Aprendizajes esperados. Aquí se muestra la secuencia de las Lecciones del Módulo. Cada aprendizaje termina con una actividad que se llama Logro ir más allá, cada una se identifica con su imagen. Consulta con frecuencia esta Ruta y también el Índice de contenido. * […] Por razones de corrección política, que no de corrección lingüística, se ha extendido la costumbre de hacer explícita la alusión a ambos sexos […]. Se olvida en estos casos que en la lengua está prevista la posibilidad de referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical masculino, posibilidad en la que no debe verse intención discriminatoria alguna, sino la aplicación de la ley lingüística de la economía expresiva […] Por otra parte, [se] ha suscitado la creación de soluciones artificiosas que contravienen las normas de la gramática como “las y los ciudadanos”. Véase: Diccionario panhispánico de dudas, Real Academia Española, 2005, sustento que se utiliza en este libro.

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Lecciones En cada Módulo se distribuyen las Lecciones numeradas, que son secuencias didácticas de actividades. Exploro y Descubro y construyo son actividades que están centradas en motivar a la reflexión y la resolución de situaciones problematicas. Incluyen la intención o propósito y cierran con algunas indicaciones finales identificadas con el icono Evalúo.

Los términos o conceptos resaltados en negritas se explican a lo largo del contenido. Los términos nuevos que enriquecerán tu vocabulario están resaltados con color y se explican en el Glosario al margen de la página. Las imágenes son fotografías, dibujos, esquemas y gráficas que se leen como parte de los textos y de las actividades de cada secuencia didáctica.

Intención

Icono del Eje Título de la Lección

Actividad Descubro y construyo

Número de Módulo

Actividad Exploro Tomo Nota

Leo + Glosario

Tema

Cierre Evalúo

Términos nuevos Número y título de Lección

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Actividades Exploro

Descubro y construyo

Practico

Es la primera actividad de cada Lección. Les permitirá, a ti y al maestro, hacer un diagnóstico de lo que sabes y de tus intereses. Algunas veces la resolverás en forma individual, otras en pareja o en equipo. Son retos o situaciones problemáticas presentadas en una secuencia con números romanos. Pondrás en práctica tus competencias matemáticas y de lectura y requerirás de una actitud de trabajo y reflexión para construir nuevos conocimientos en solitario, con tus pares en equipo o en grupo. Son ejercicios para que desarrolles, en forma individual, las técnicas y destrezas matemáticas, apliques y practiques lo que has aprendido. Evalúo: es una breve valoración de tu aprendizaje con la que cierra cada actividad, en la que puedes llegar a conclusiones, concretar tus resultados y compartirlos con tus pares, en equipo o en grupo. Guarda esta evaluación en tu Itacate de evidencias, servirá como evaluación formativa y será un apoyo para que reconozcas cómo has aprendido.

Itacate

Itacate de evidencias: es la carpeta o portafolio en el que te sugerimos guardar todos los trabajos que hayas realizado, incluye tus logros de cada Evalúo. Cada vez que lo consultes, se convertirá en una guía para construir nuevos aprendizajes, y reconocer cómo has aprendido o bien para verificar tus logros al desarrollar cada secuencia de actividades. Te sugerimos revisarlo antes de Evalúo mi aprendizaje y de Evaluemos lo aprendido.

Recuadros

Tomo Nota

Formalización matemática que podrás completar al concluir las actividades. Te servirá como un apunte para tu Itacate de evidencias.

Utilizo las TIC

Te será útil en la medida en que requieras indagar, investigar y verificar tu aprendizaje, o bien si deseas profundizar en alguna información o practicar en forma interactiva. Todas las ligas electrónicas fueron consultadas en marzo de 2021.

Leo +

Son recomendaciones de lecturas de los “Libros del Rincón” y otros textos relacionados con el tema de estudio. Algunas veces incluyen imágenes.

Cierre del aprendizaje Son los conocimientos puntuales que te permitieron alcanzar parte del Aprendizaje esperado.

Evalúo mi aprendizaje

Es otra evaluación formativa que se encuentra al cierre de cada Aprendizaje; puedes realizarla en forma individual o en parejas, pero siempre con la guía del maestro. Retoma tu Itacate de evidencias antes de contestar la evaluación.

Logro ir más

Es la actividad de cierre de cada Aprendizaje. Presenta situaciones problemáticas diversas. Está relacionada con una parte de tu aprendizaje, para que practiques o juegues. Te interesará compartirla también en ámbitos no formales. Si te interesa, puedes convertirla en un proyecto.

allá

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Reconoce tus emociones

Itacate de evidencias Logro ir más allá

Recapitulo Evalúo mi aprendizaje

Evaluemos lo aprendido

Usa tu Itacate de evidencias

Lecciones que abarca un Aprendizaje esperado

Cierre de Módulo Evaluemos lo aprendido: antes de iniciar la evaluación final, te invitamos a retomar nuevamente tu Itacate de evidencias para trabajar distintos tipos de evaluación, aplicar lo que has aprendido y medir tus logros en pareja, en equipo y con el maestro. Valorarás cómo organizaste y desarrollaste tus Aprendizajes y te ayudará a establecer tus metas.

Autoevaluación Mis logros y metas

Habilidades del siglo xxi

Reconoce tus emociones: una invitación a reflexionar sobre tus emociones en relación con los textos de inicio del Módulo. Autoevaluación: cuadro para reflexionar sobre tus logros y metas. Habilidades del siglo xxi: podrás señalar las habilidades y destrezas que has logrado desarrollar a lo largo del Módulo.

Apéndice Tabla de razones trigonométricas. Tabla de correlación: es el programa de la asignatura y su relación con las páginas del libro de texto.

Bibliografía: contiene la lista de las publicaciones, impresas y electrónicas recomendadas, en caso de que deseen investigar más sobre algún tema mencionado en esta obra. Se incluyen ligas electrónicas. Créditos iconográficos.

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Índice de contenido Presentación Conoce tu libro

3 4

1er MÓDULO 14 Ruta de aprendizaje eje tema

lección

Número, álgebra y variación Número Múltiplos y divisores comunes

Resuelvo problemas para identificar múltiplos y divisores comunes. lección

Criterios de divisibilidad

Determino los criterios de divisibilidad de 2, 3, 4, 5, 6, y 10. lección

Número primos y compuestos

Distingo números compuestos de números primos.

lección

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

34 35

Mínimo común múltiplo

Resuelvo problemas que implican el cálculo del mcm, mediante procedimientos informales. lección

Máximo común divisor 42 Determino el mcd mediante la descomposición en factores primos.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

48 49

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes Expresiones cuadráticas con modelos geométricos

Uso modelos geométricos para representar expresiones algebraicas equivalentes de segundo grado. lección

Factorización y área de figuras geométricas

Reconozco el significado de factorizar y lo utilizo para representar expresiones algebraicas equivalentes.

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Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

62 63

Ecuaciones Solución de ecuaciones de segundo grado

Resuelvo problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

68 69

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos geométricos Construcción de polígonos semejantes

Construyo polígonos semejantes. lección

Semejanza de triángulos

Determino los criterios de semejanza de triángulos y los aplico en la resolución de problemas.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

84 85

Evaluemos lo aprendido 86 Autoevaluación 88

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2o MÓDULO Ruta de aprendizaje eje tema

lección

Número, algebra y variación Funciones Gráficas de movimiento y de llenado de recipientes

Identifico y comparo gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. lección

La expresión algebraica de una función cuadrática

102

Analizo y determino las características de una gráfica que modela una función cuadrática: ubicación del vértice, eje de simetría, mediante la representación algebraica y gráfica. Uso de expresiones algebraicas del tipo: y = ax2 + bx + c y del tipo y = a (x – d)2 para determinar las características de la variación. lección

Gráficas con diferente variación 110 Represento tabular, gráfica y algebraicamente una función cuadrática y la comparo con otro tipo de variación.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

114 115

Ecuaciones Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado

116

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante el método gráfico, dada la gráfica. lección

Factorización de ecuaciones cuadráticas 122 Uso ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

126 127

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos geométricos Ángulos agudos de triángulos rectángulos

128

Analizo las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

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lección

Razones trigonométricas

132

Uso las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente en la resolución de problemas. lección

Medición de distancias inaccesibles

138

Construyo un aparato (teodolito), como apoyo para medir distancias inaccesibles, aplicando la semejanza de triángulos y las razones trigonométricas.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

142 143

Análisis de datos Estadística Medidas de tendencia central y de dispersión

144

Calculo las medidas de tendencia central y de dispersión: rango y desviación media (como recordatorio), y comparo los dos conjuntos de datos. lección

Análisis de desviación media

148

Uso las medidas de dispersión (desviación media) como ayuda para tomar decisiones. Represento y/o analizó la información en gráficas de barras.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

154 155

Evaluemos lo aprendido 156 Autoevaluación 158

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3er MÓDULO

Ruta de aprendizaje eje tema

lección

160

162

Número, algebra y variación Ecuaciones Fórmula general

164

Resuelvo ecuaciones cuadráticas por medio de la fórmula general. Resuelvo problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. lección

El discriminante 170 Utilizo el discriminante para determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

174 175

Funciones Interpretación de gráficas

176

Interpreto información presentada en gráficas para analizar el comportamiento de las variables. lección

Construcción de gráficas a partir de valores de las funciones dados en tablas

182

Construyo gráficas a partir de valores dados en tablas: lineales: y = ax y afines; y = ax + b y cuadráticas escalonadas.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá tema

lección

188 189

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes Expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones

190

Identifico las diferencias entre expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones. Resuelvo problemas al respecto.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

194 195

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eje tema

lección

Forma, espacio y medida Magnitudes y medidas Medida de los lados de triángulos rectángulos

196

Establezco la relación entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo (análisis de la relación entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de los triángulos rectángulos). lección

Teorema de Pitágoras

200

Formulo y justifico el teorema de Pitágoras y Resuelvo problemas aplicándolo.

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá eje tema

lección

204 205

Análisis de datos Probabilidad La probabilidad y los juegos de azar

206

Reconozco eventos singulares, no singulares, mutuamente excluyentes. Identifico cuando un juego es justo o no para todos los participantes. lección

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

210

Determino la regla de la suma en eventos que son mutuamente excluyentes. Establezco reglas para que un juego sea justo (que incluya eventos singulares y no singulares).

Recapitulo y Evalúo mi aprendizaje Logro ir más allá

218 219

Evaluemos lo aprendido 220 Autoevaluación 222

Apéndice

224

Tabla de razones trigonométricas 226 Tabla de correlación 228 Bibliografía Recomendada para estudiantes 230 Recomendada para docentes 231 Ligas electrónicas Recomendaciones para navegar en la red 232 Consultadas 233 Generales 237 Créditos iconográficos 239

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Convertid un árbol en leña y podrá arder para vosotros, pero ya no producirá flores ni frutos Rabindranath Tagore*

Utilizo las TIC Consulta las siguientes ligas y analiza los datos: "América Latina y el Caribe muestran una tendencia de crecimiento de las emisiones de CO2", en: cmed.mx/m31 En esta liga se muestra un gráfico con datos de una década: “Tasa de variación de la emisión de CO2 por habitante, y de superficie cubierta por bosques”. Analiza la infografía, ubica en qué situación se encuentra México y reflexiona: cmed.mx/m32 Infraestructura sustentable, en: cmed.mx/m33

* Poeta indio, bengalí (1861-1914) Premio Nobel de Literatura en 1913.

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Módulo

Contar, medir y calcular... los cambios ¿Podemos estudiar de un modo científico el origen y las consecuencias del cambio climático global? El cambio es inherente al clima. El debate se centra en establecer si es o no la actividad humana la que está generando el aumento en la temperatura media global, también llamado calentamiento global antropogénico (cga). Existen herramientas para medir, estimar y calcular, mediante modelos matemáticos, los cambios atmosféricos. Con ellas se ha demostrado que la atmósfera que hoy nos envuelve es muy diferente a la que ha existido en otras épocas. En los últimos 60 años, las observaciones y los datos climáticos directos (en estaciones meteorológicas) e indirectos corroboran un aumento de la temperatura global. La quema de gasolinas y carbón, los incendios y la deforestación, aunados a otros factores, han propiciado un aumento drástico de la cantidad de bióxido de carbono (CO2) en la atmósfera y éste, junto con otros gases, han provocado que el calor proveniente del Sol quede atrapado en ella. Este fenómeno, que hoy entendemos mejor gracias a múltiples mediciones, se denomina efecto invernadero. Se puede entender, y con preocupación, que el problema ya lo tenemos encima.

Reflexiona sobre este texto, lo retomarás en la evaluación final del Módulo.

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Ruta de Aprendizaje

Eje

Número, Álgebra y Variación

Tema

Número

Usa técnicas para determinar el mcm y el mcd.

Múltiplos y divisores comunes

Criterios de divisibilidad

Número primos y compuestos

Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Proyecto

Logro ir más allá

Lección

Aprendizaje esperado

Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

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Forma, Espacio y Medida Patrones, figuras

Ecuaciones

Figuras y cuerpos geométricos

geométricas y expresiones equivalentes

Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Construye polígonos semejantes. Determina y usa criterios de semejanza de triángulos.

Expresiones cuadráticas con modelos geométricos

Factorización y área de figuras geométricas

Solución de ecuaciones de segundo grado

Construcción de polígonos semejantes

Semejanza de triángulos

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Múltiplos y divisores

Exploro

comunes

Identifico resultados en problemas de reparto. Un par de colmillos de mamut de más de dos metros de longitud descubiertos en Amealco, Querétaro, se exhibe en la Casa de la Cultura de ese lugar, donde se pide que la gente ingrese al recinto en grupos pequeños. Una maestra piensa llevar a sus 36 estudiantes y quiere formar equipos con el mismo número de integrantes, sin que sobre nadie. 1. Responde con base en la información anterior. y Si forma equipos de menos de 10 estudiantes, ¿de cuántos integrantes puede ser cada equipo? ¿Cuántos equipos formaría en este caso? y ¿Habrá otra u otras formas de dividir al grupo? Si es el caso, indica de cuántos integrantes se podrían formar los equipos. Explica qué hiciste para determinarlo. y Si en otro grupo la maestra tiene 42 estudiantes, ¿de cuántos integrantes quedarían formados los equipos sin que sobre nadie? y ¿Podría formar equipos de 2 estudiantes en un grupo de 35? ¿Y equipos de 5 estudiantes? ¿Por qué? y Si la maestra tuviera un grupo de 37 estudiantes, ¿de cuántos integrantes podría formar los equipos sin que sobre nadie? Explica tu respuesta.

Cráneo y colmillos de mamut encontrados en Tultepec. afp photo / Héctor Guerrero

2. Considera que, para ver los colmillos del mamut, ingresan a la sala grupos de 3 personas, y resuelve. y ¿En algún momento podrían estar exactamente 15 personas juntas dentro de la sala? ¿Por qué? y Considerando de 2 a 8 grupos, ¿cuántas personas estarían en la sala al mismo tiempo, en cada caso? y ¿Qué relación tienen los valores anteriores con el número 3? y Si la entrada a la sala fuera de 4 en 4 personas, ¿en algún momento pueden estar exactamente 22 personas en la sala? Explica por qué. y ¿Qué relación tienen tus respuestas con los divisores y múltiplos de un número? y ¿En qué casos utilizaste divisores? ¿En cuáles, múltiplos? . Compara tus respuestas con las de tus pares. Construyan la definición de divisor y múltiplo. Compartan con el grupo sus definiciones para validarlas o corregirlas.

Número

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Descubro y construyo

I. Resuelvo problemas relacionados con múltiplos y divisores de un número natural.

Resuelvan en pareja las siguientes actividades. 1. Con motivo de la celebración de las fiestas de una ciudad, las autoridades adornaron con luces de colores el centro de la capital. Colocaron 30 filas de focos con 42 piezas en cada una, formando diferentes figuras. y ¿Cuántos focos utilizaron en total? y ¿El número anterior es múltiplo de 42? ¿Por qué? y ¿Esta forma de acomodar los focos es única o hay otras formas de hacer filas con el mismo número de focos, sin que sobren? y ¿Podrían formarse filas con 20 focos en cada una, sin que sobren piezas? Argumenten su respuesta. y ¿Podrían formarse filas iguales con 50 focos? De las siguientes opciones, elijan las que representen el número de filas que pueden formarse con los mismos focos, de manera que todas tengan el mismo número de piezas y que no sobren focos. 28 filas 36 filas 24 filas 21 filas 64 filas 84 filas y ¿Qué hicieron para determinar las respuestas? Escriban debajo de cada número elegido la cantidad de focos que habría en cada fila. y ¿Qué relación hay entre el total de focos y las filas que se forman? y Si 15 es divisor de 30, ¿entonces también lo es de 1 260? ¿Por qué? y ¿Podrían formarse filas de 32 focos?

Tomo Nota Si n, m y r son números naturales, y si (n)(m) es igual a r, entonces r es ___________ de n y de m. Y si n ÷ m = r con residuo cero, entonces, (r)(m) = ____; por lo tanto, r y m son ___________ de n, y ____ es múltiplo de ____ y ____. Si a < c y a y c son divisores de b, entonces a es ____________ de ____.

2. Para colocar de otra manera los focos de colores se utilizarán 720 piezas. Completa las operaciones para determinar el número de focos que habría en cada fila si se formaran las que se muestran: a. En 48 filas con ____ focos, hay 48 × ____ = 720 piezas. b. En 36 filas con ____ focos, hay 36 × ____ = 720 piezas. c. En ____ filas con 12 focos, hay ____ × 12 = 720 piezas. Comparen sus resultados con los de otra pareja. ¿Qué estrategia permite determinar si un número es divisor de otro? ¿Qué relación hay entre los factores de una multiplicación de números naturales y el producto? Registren sus conclusiones.

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Múltiplos y divisores comunes

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II. Identifico múltiplos y divisores comunes de dos o más números naturales.

En equipos, resuelvan los siguientes problemas. El parque nacional de las Islas Marietas es una reserva natural protegida que se ubica en las costas del estado de Nayarit, a la cual sólo se puede llegar por lancha y con una autorización previa, a fin de tener un control de los visitantes y preservar el lugar. 1. En cierta ocasión llegaron dos grupos de turistas a visitar el lugar, uno con 72 personas y otro con 96. Los encargados del lugar tienen que acomodar a ambos grupos, por separado, de manera que en cada lancha vaya el mismo número de personas. y ¿Podrían formarse grupos de 32 personas? Expliquen su respuesta. Otra condición es que en cada lancha deben ir 20 personas como máximo y 5 como mínimo.

GLOSARIO Contingente. Grupo o conjunto de personas que se distingue, entre otros, por su mayor aportación o colaboración en alguna circunstancia.

y ¿Podría ir en las lanchas el número mínimo de personas? ¿Por qué? y ¿Podría ir en cada lancha el número máximo de personas? ¿Por qué? y ¿Qué características deben tener los grupos de cada contingente para cumplir con la condición establecida? Determinen de cuántas personas se pueden formar grupos en cada contingente: a. Contingente de 96 personas: ________________________ b. Contingente de 72 personas: ________________________ y ¿De cuántas personas se podrían formar grupos para visitar el lugar? y ¿Qué tienen en común los números de la respuesta anterior con la cantidad de turistas de cada grupo? y ¿Cuántas lanchas se necesitarían para trasportar a cada grupo? y ¿El total de turistas es múltiplo del número de personas por lancha? Argumenten su respuesta. 2. En otro momento llegaron al mismo lugar otros dos grupos, de 84 turistas, el primero, y el segundo de 70. y ¿De cuántas personas podrían formarse grupos en el primer contingente, sin que sobre nadie? y ¿Y en el segundo? y ¿Se podrían formar grupos que cumplieran con la condición establecida? ¿Por qué? y ¿De cuántos turistas se podrían formar grupos iguales en este caso?

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Consideren la siguiente información y resuelvan. 3. Marcela vende galletas de chocolate y vainilla, las cuales empaca en bolsas con el mismo número de piezas de acuerdo con su tipo de sabor. Las de chocolate van en bolsas con seis piezas y las de vainilla, en bolsas con nueve piezas. y Si Marcela ha llenado 8 bolsas de galletas de chocolate, ¿cuántas galletas ha empacado? y Si llena 7 bolsas con galletas de vainilla, ¿cuántas galletas ha empacado? y Si Marcela tuviera 72 galletas de vainilla y 72 de chocolate, ¿tendría bolsas llenas sin que le falten o sin que le sobren galletas? Expliquen sus respuestas. y ¿Se puede afirmar que 72 es múltiplo de 6 y de 9? ¿Por qué? y ¿De qué otros números es múltiplo 72? Escribe tres valores: ___________________ , ______________________ , _____________________ Marcela hizo la misma cantidad de galletas de vainilla y chocolate, el número fue menor que 150 y mayor que 80. y ¿Cuántas piezas pudo hacer de cada tipo de manera que empacara un número exacto en cada caso, sin que sobre nada? y ¿Qué operaciones realizaron para responder? Comparen sus resultados con los de otros equipos. Discutan cómo establecer si un número es divisor común o múltiplo común de dos o más números. Compartan sus conclusiones con el docente. Practico

1. Elige, encerrando en un círculo, los números que sean múltiplos de 12. 48

144

216

300

2. Joel quiere formar un rectángulo cuya área sea de 48 unidades cuadradas. ¿Qué parejas de números enteros pueden ser las medidas de los posibles rectángulos? 3. En una competencia ultra maratón de 50 km, colocaron puestos de hidratación cada 4 km y puestos de auxilio médico cada 5 km. y y y y y

¿Cuántos puestos de hidratación y de auxilio médico se colocaron? ¿En el km 30 habrá un puesto de hidratación?, ¿y de auxilio médico? ¿En qué kilómetros de la carrera hay puestos de hidratación? ¿Y puestos de auxilio médico? ¿En qué kilómetros de la carrera se colocaron puestos de ambos tipos?

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Utilizo las TIC En la siguiente liga encontrarás una calculadora que te permite obtener todos los divisores de un número natural: cmed.mx/m37; ingresa a ella y valida tus resultados.

Múltiplos y divisores comunes

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Criterios de divisibilidad

Exploro

Identifico si es posible equilibrar una balanza mediante múltiplos y divisores. La balanza es un instrumento que permite medir y comparar masas. Comenzó a usarse hace más de 3 500 años en la cultura egipcia como una herramienta para pesar y medir objetos dentro de la intensa actividad comercial de esa época. 1. Raúl tiene en su casa una balanza y pesas como las siguientes, y decidió jugar con su primo a equilibrar la balanza usando diferentes masas de sus pesas.

El juego consistía en equilibrar la balanza usando en cada plato tantas pesas de una sola medida como se requirieran. Por ejemplo, Raúl quiere equilibrar la balanza usando pesas de 2 g en un plato y de 3 g en otro plato. Leo + Para conocer más sobre la historia, el uso y la clasificación de la balanza, ingresa a la liga: cmed.mx/m38.

y Escribe tres posibles medidas para cada plato de manera que la balanza quede equilibrada. y ¿Qué relación tienen los valores anteriores con los números 2 y 3? y ¿Se puede equilibrar la balanza con 81 g? ¿Por qué? y Si usan pesas de 3 g y 5 g, ¿cuáles son tres posibles masas en cada plato para mantener la balanza en equilibrio? y Si quieren colocar masas de 55 g en cada plato, ¿podrían usar pesas de 5 g en un plato y de 10 g en el otro? Explica por qué. y Si en un plato colocan 9 pesas de 4 g, ¿será posible equilibrar la balanza colocando pesas de 6 g en el otro plato? Argumenta tu respuesta. y ¿Con cuántas pesas de 2 g se logran formar 48 g? y ¿Se puede lograr esa misma masa con pesas de 4 g? ¿Por qué? y ¿Hay alguna masa, con números enteros, que no se obtenga con pesas de 1 g? ¿Por qué?

Número

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2. Determina en cuáles de los siguientes casos es posible equilibrar la balanza, y escribe el número de pesas que se necesitan en cada caso. Plato 1

Plato 2

Plato 1

Plato 2

Plato 1

Plato 2

18 pesas de 4 g

____ pesas de 3 g

9 pesas de 5 g

____ pesas de 6 g

6 pesas de 10 g

____ pesas de 2 g

Compara tus respuestas y procedimientos en pareja. Comenten qué criterio siguieron para resolver la segunda actividad y discutan sobre la posibilidad de determinar, de manera rápida, si un número es divisor de otro. Descubro y construyo

I. Determino si un número es divisor de otro e identifico algunas regularidades.

Retomen, en parejas, el juego de la balanza de la actividad inicial y resuelvan. 1. Consideren los siguientes casos y determinen en cuáles se puede equilibrar la balanza usando pesas de la medida que se indica en cada caso. Si se puede equilibrar, anoten en los recuadros cuántas pesas se necesitan. Pesas de 4 g

86 g

Pesas de 5 g

105 g

Pesas de 3 g

72 g

Expliquen qué hicieron para determinar sus respuestas. ________________________ ___________________________________________________________________ y ¿En alguna de las tres balanzas se pueden usar pesas de 10 g para equilibrarlas?, ¿por qué? ______________________________________________________ y ¿De qué medidas se pueden usar pesas para equilibrar la primera balanza? ______ ______________________________________________________________ y ¿Qué pesas se pueden usar para equilibrar la segunda balanza? _____________ ______________________________________________________________ y En el caso de la tercera balanza, ¿qué pesas se pueden usar? ______________ ______________________________________________________________

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continúa actividad…➙

Criterios de divisibilidad

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Continúa. 2. Observen la pesa que se encuentra en la siguiente balanza y respondan.

y ¿Será posible equilibrar la balanza usando pesas de 2 g en el otro plato? ¿Cuántas se necesitarían? y ¿Será posible equilibrarla con pesas de 3 g o de 6 g? ¿Cuántas pesas se necesitarían en cada caso? y ¿Y con pesas de 5 o de 10 g? Explica tu respuesta. y ¿Qué relación hay entre la masa colocada en la balanza y las medidas de las pesas que permiten equilibrarla? 3. Consideren ahora que en la balanza se representan, en un plato, las siguientes masas. Anoten, en la columna correspondiente de la siguiente tabla, todas las medidas que pueden equilibrarla si utilizan únicamente pesas con las masas indicadas. y Por ejemplo, ¿cuáles masas son divisibles entre 2?, es decir, ¿qué masas se equilibran con pesas de 2 g? Observa el ejemplo. 235 g Pesas Masas que equilibran las balanzas

486 g 2g

550 g 3g

780 g 4g

895 g 5g

912 g 6g

10 g

486

Comparen sus resultados con los de otras parejas. ¿Hay algún criterio que permita determinar si un número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6 o 10 sin hacer operaciones? Discutan lo anterior en grupo para llegar a acuerdos. Registren sus conclusiones.

Número

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II. Determino los criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10.

En equipos, resuelvan los siguientes problemas. 1. Ingrid tiene un negocio de comida y regularmente sus clientes le pagan con billetes, por lo que siempre debe tener monedas para dar cambio. Por ello, todos los días envía a uno de sus empleados al banco a cambiar billetes por monedas de $1, $2, $5 y $10. y Si un día quiere cambiar $420 por monedas, ¿podría solicitar únicamente monedas de $2? Expliquen su respuesta. __________________________________ y Si tuviera disponibles $875, ¿podría cambiar todo el dinero por monedas de $2? ¿Por qué? ______________________________________________________ Realicen las operaciones correspondientes y elijan con una ü los casos en los que sea posible obtener solamente monedas de $2, de manera exacta. $650

$479

$386

$520

$985

$774

y ¿Qué características tienen las cantidades que eligieron? y ¿Pueden determinar qué números son divisibles entre 2 o cuáles son múltiplos de 2 sin hacer operaciones? Argumenten su respuesta. Escriban tres cantidades de dinero de cuatro cifras que puedan cambiarse por monedas de $2 de manera exacta, es decir, que sean divisibles entre 2: 2. Determinen cuáles de las siguientes cantidades puede cambiar Ingrid por monedas de $5, sin que le queden monedas o billetes de otra denominación. $285

$486

$570

$890

$925

$354

y ¿Qué características en común tienen las cantidades que elegiste? __________ ________________________________________________________________ y ¿Se pueden cambiar $5 552 por monedas de $5 de manera exacta? ¿Por qué? y Y, ¿se puede dividir $1 015 entre 5 de manera exacta? _____________________ y ¿Pueden determinar qué números son divisibles entre 5 sin hacer operaciones? Argumenten su respuesta. Escriban tres cantidades de cuatro cifras que sean divisibles entre 5: ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

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Criterios de divisibilidad

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3. Ahora, consideren que Ingrid envía a su empleado a cambiar un billete de $500 por monedas de $10. y ¿Cuántas monedas de $10 recibirá? ¿Sobrará dinero? y Si quiere cambiar $340 por monedas de $10, ¿podrá hacerlo de manera exacta? Justifiquen su respuesta. Seleccionen las cantidades que se puedan cambiar por monedas de $10 de manera exacta. $1 005 $480 $890 $701 $935 $700 y ¿Qué característica común tienen las cantidades que eligieron?

Tomo Nota Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para determinar si un número natural es divisible entre otro sin realizar la división correspondiente. Por ejemplo, un número es divisible entre 2 si su última cifra es _________ o número ___________. Todos los números divisibles entre 5 terminan en ___________ o en ___________. Los números divisibles entre 10 terminan en ___________.

4. Escriban, en cada caso, tres números de cinco cifras que sean divisibles entre los números correspondientes. Escriban los argumentos que justifiquen su elección. Números

Justificación

Divisibles entre 2 Divisibles entre 5 Divisibles entre 10

Comparen sus resultados con los de otros equipos. Discutan los criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10, y si existen diferencias, expongan ejemplos que justifiquen su postura. Compartan sus conclusiones en grupo. III. Aplico los criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10 para identificar múltiplos comunes.

Analiza la información y resuelve aplicando los criterios que determinaron. 1. Selene empaca plumas de diferentes colores en paquetes de 2, 5 y 10 piezas. y Si tiene 1 285 plumas de color azul, ¿de cuántas piezas puede hacer paquetes sin que sobre nada? y ¿De qué cantidad puede hacer paquetes si cuenta con 1 030 plumas negras? y ¿Qué característica tienen los números que son múltiplos comunes de 2, 5 y 10?

Número

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IV. Determino los criterios de divisibilidad entre 4.

Analicen, en parejas, la información y resuelvan. 1. Consideren las siguientes cartulinas de las cuales se quieren recortar cuadrados de 4 cm de lado para hacer tarjetas.

32 cm

28 cm 72 cm 70 cm

48 cm

y y y y

¿Cuántos cuadrados se pueden cortar a lo largo en cada cartulina? ¿Cuántos cuadrados se pueden cortar a lo ancho o alto? ¿En alguna de las dimensiones sobrará cartulina? ¿En cuál? Si una de las cartulinas midiera 148 cm de largo, ¿se podrían cortar cuadrados de 4 cm sin que sobrara nada? ¿Por qué? y ¿Y si la cartulina midiera 170 cm de largo? Argumenten su respuesta. 2. De las siguientes medidas, encierra en azul las que sean múltiplos o divisibles entre 2 y en verde las que sean divisibles entre 4. 1 786

2 072

1 200

3 016

1 714

3 900

3. Completen la siguiente tabla y determinen qué números son divisibles entre 4. Número

12 876

Número que forman sus dos últimas cifras

8 400

6 016

3 946

7 656

¿Es divisible entre 4?

y Si dividen las dos últimas cifras de cada número entre 4, ¿qué característica tiene el cociente que se obtiene? y ¿Observan otra regla en las dos últimas cifras de algunos números que son divisibles entre 4? y ¿Sucede lo anterior en los números que no son divisibles entre 4? y De acuerdo con lo anterior, ¿cómo determinarían si un número es divisible entre 4 sin realizar operaciones? Utilicen la respuesta anterior y escriban tres números de cinco cifras que sean múltiplos de 4: ____________ , _____________ , _____________.

Verifiquen sus respuestas con la calculadora. Después, escriban un criterio que permita determinar si un número es divisible entre 4.

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Criterios de divisibilidad

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V. Determino los criterios de divisibilidad entre 3.

Trabajen en parejas para resolver las siguientes actividades. 1. Ernesto es dueño de un terreno de 10 hectáreas donde ha sembrado piñas y tamarindos y desea comercializar botellas de jugo en cajas de tres piezas. y Si cuenta con 186 botellas de jugo de piña, ¿cuántas cajas puede formar? ¿Sobran botellas? y Si tiene 133 botellas jugo de tamarindo, ¿puede formar cajas sin que sobren botellas? Expliquen su respuesta. y Si tuviera 237 botellas, ¿podría formar cajas sin que sobren botellas? y ¿Encuentran alguna regularidad que permita establecer un criterio para determinar si un número es divisible entre 3? En caso de una respuesta afirmativa, explíquenlo. Dividan, con su calculadora, los siguientes números entre 3. Después, completen la tabla. Número

378

533

9 015

3 927

¿Es divisible entre 3? Suma de sus cifras

3+7+8=

¿La suma es divisible entre 3?

y ¿Qué regularidad observan en la suma de todos los números que son divisibles entre 3? y ¿Lo anterior se cumple en los números que no son divisibles entre 3? 2. Escriban el resultado en las divisiones que sean exactas y verifiquen si se cumple la misma regularidad de la tabla, al sumar las cifras del dividendo. 126 ÷ 3 = ______

1 005 ÷ 3 = ______

2 886 ÷ 3 = ______

1 703 ÷ 3 = ______

y ¿Cómo determinarían si un número es divisible entre 3 sin realizar la operación? Sin hacer operaciones escritas y aplicando la regularidad encontrada, elijan los casos en los que Ernesto puede formar cajas de tres botellas sin que sobren piezas. 379 botellas

598 botellas

405 botellas

726 botellas

Comparen sus conclusiones con las de otras parejas. Si tienen dudas o existen diferencias, busquen apoyo. Juntos establezcan un criterio de divisibilidad entre 3.

Número

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VI. Determino los criterios de divisibilidad entre 6.

1. Marcela tiene una florería y está haciendo arreglos para una fiesta. y Si tiene disponibles 98 rosas y quiere hacer ramos con 6 flores, ¿cuántos arreglos puede hacer? ¿Cuántas flores sobran? y Si tiene 108 jazmines, ¿cuántos arreglos de 6 flores puede hacer? ¿Cuántas flores sobran? Expliquen sus respuestas. 2. Consideren los siguientes datos y determinen si es posible hacer ramos con 2, 3 o 6 flores, en cada caso, sin que sobren flores. Anoten Sí o No según corresponda. Flores por ramo

Total de flores 86

108

315

240

816

633

2 3 6

y y y y y

¿Qué relación observan entre los números que son divisibles entre 2 y entre 6? Si un número es divisible entre 2, ¿también es divisible entre 6? ¿Qué características tienen en común los números divisibles entre 3 y entre 6? Si un número es divisible entre 3, ¿también es divisible entre 6? ¿Qué características en común tienen los números que son divisibles entre 2 y entre 3, con los divisibles entre 6? y De acuerdo con lo anterior, ¿qué característica debe tener un número para ser divisible entre 6?

Establezcan un criterio para determinar si un número es divisible entre 6 de manera exacta. Comparen su criterio con otras parejas, comenten en grupo las ventajas de usar los criterios de divisibilidad. Si tienen dudas o existen diferencias, busquen el apoyo del docente. Practico

Tomo Nota

1. En una frutería quieren colocar diferentes cantidades de frutas en canastas. Marca con una ü los casos en que se puedan colocar frutas en canastas sin que sobre ninguna. Frutas

Frutas por canasta 22

1100

186 manzanas 480 peras

2. Responde. Justifica cada respuesta y demuestra tu postura con un ejemplo. • ¿Todos los números divisibles entre 4 también son divisibles entre 2? • ¿Todos los números divisibles entre 2 también son divisibles entre 4? • ¿Qué características debe tener un número para ser divisible entre 4 y 6?

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Los criterios de divisibilidad de 3, 4 y 6 son los siguientes: Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras forman un número que sea múltiplo de _____ o si terminan en doble _____. Un número es divisible entre 3 si la ____________ de sus cifras es ________________ de 3. Un número divisible entre 6 también es divisible entre _____ y _____.

Criterios de divisibilidad

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Números primos y compuestos

Exploro

Identifico divisores y divisores comunes de números naturales. En la lección anterior trabajaste con una balanza y pesas de diferentes medidas para determinar algunos criterios de divisibilidad. 1. Retoma la situación y resuelve los siguientes problemas. Imagina que se tienen pesas de cualquier medida como número entero postivo, es decir, de cualquier número natural, y que se quieren equilibrar las siguientes balanzas usando pesas de la misma medida:

y y y y

¿Podría equilibrarse la primera balanza usando pesas de 4 g? ¿Por qué? ¿Con pesas de qué medidas se puede equilibrar la balanza 1? ¿Con pesas de qué medidas se puede equilibrar la balanza 2? ¿Qué relación hay entre el peso de cada balanza y la medida de las pesas que permiten igualar su peso?

Considera que se ponen las siguientes pesas en una balanza.

y ¿Con pesas de qué medida se podrían equilibrar cada una? Explica tu respuesta. y ¿Qué característica tienen en común los valores de las pesas anteriores?

Compara tus respuestas y procedimientos con otro integrante del grupo. Comenten qué criterio siguieron para resolver la actividad y discutan sobre la posibilidad de determinar, de manera rápida, si un número es divisor de otro.

Número

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18/05/21 15:59

Descubro y construyo

I. Determino todos los números primos menores que 100 con el apoyo de la criba de Eratóstenes.

1. Resuelvan en parejas las siguientes actividades. Como pudieron notar en la actividad de la página anterior, los números 17, 23 y 47 sólo tienen dos divisores: el 1 y el mismo número. y Considerando lo anterior, ¿cuáles serían los cinco primeros números naturales que sólo tienen dos divisores? Busquen otra medida que represente a un número natural cuyo valor cumpla con las mismas características de los números anteriores y anótenla en la pesa de la derecha. 2. Realicen en la tabla de abajo lo que se pide. Ø Coloquen una marca en los recuadros que contienen múltiplos de 2, excepto en el 2. Ø Marquen los recuadros que contienen múltiplos de 3, excepto en el 3. No es necesario que vuelvan a marcar aquellos múltiplos de 3 que coincidan con los del 2. y ¿Habrá algún múltiplo de 4 que no hayan marcado? ¿Por qué? Ø Marquen los recuadros que contienen múltiplos de 5, excepto el 5. Hagan lo mismo con el 7 y sus múltiplos. Ø Del siguiente número que no esté marcado, marquen todos sus múltiplos excepto el mismo número. Ø Repitan lo anterior con todos los múltiplos de los números que no hayan señalado. Recuerden que no deben marcar el número en cuestión. y O bserven que, una vez que marcan los múltiplos del 48, no es necesario continuar buscando los múltiplos de los siguientes números, ¿por qué? 1

100

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Números primos y compuestos

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Calculen todos los divisores de cada número que no señalaron, excepto del 1, y anótenlos. Apliquen los criterios de divisibilidad aprendidos en la lección anterior y usen su calculadora si lo requieren. y ¿Qué características tienen en común todos los números que no señalaron?

Tomo Nota Los números primos son aquellos números naturales, excepto el 1, que sólo tienen ______ divisores, el ____________ número y el número ___.

La tabla en la que trabajaron se llama criba de Eratóstenes. Recibe este nombre en honor a su creador, un matemático griego que vivió hace más de 2 000 años. Todos los números que no seleccionaste, excepto el 1, se conocen como números primos. La criba de Eratóstenes permite identificar todos los números primos menores que 100. 3. De los siguientes números, elige aquellos que sean primos. 311 439 327 163

267

Comparen sus resultados con los de otra pareja. Comenten sobre la estrategia que siguieron para determinar qué números seleccionaron como primos.

II. Represento números compuestos como el producto de factores primos.

Los números compuestos son todos los números naturales que tienen más de dos divisores; es decir, todos aquellos números que no son primos son compuestos. Todos los números compuestos pueden representarse como el producto de factores primos. 1. Representen, en pareja, los siguientes números compuestos como el producto de factores primos. Apóyense en la criba de Eratóstenes para dividir cada número de la columna izquierda entre un número primo, mismo que anotarán en la columna derecha. Pueden dividir varias veces entre el mismo número primo. Observen el ejemplo resuelto:

Utilizo las TIC En la siguiente liga: cmed.mx/m39, encontrarás una calculadora que permite descomponer números como el producto de factores primos. En esta otra liga, resuelve los ejercicios interactivos de números compuestos: cmed.mx/m310 .

72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

128

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32 128 = 105

105 =

94 =

Número

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18/05/21 15:59

La descomposición de un número compuesto, como el producto de factores primos, ayuda a simplificar fracciones a su mínima expresión. 2. Simplifiquen las siguientes fracciones, observen los ejemplos de los incisos a y c, donde se cancelan términos semejantes. Después, respondan. a. 104 = 117

2 × 2 × 2 × 13 3 × 3 × 13

b. 81 =

112

3×3

135

c. 35 =

= 2×2×2 =

5×7 2 × 2× 2 × 2× 7

d. 144 =

= 2×2×2 =

126

e. 91 =

Describan el procedimiento y argumenten por qué funciona. y D e las fracciones anteriores, ¿cuál tiene una fracción decimal equivalente? Argumenten su elección.

Comparen sus resultados con los de otras parejas. Debatan sobre las ventajas de representar un número como el producto de sus factores primos. Registren sus conclusiones. Practico

1. Analiza los números de la tabla y selecciona los que son números primos. 251

379

129

181

349

127

119

242

283

171

2. Representa como el producto de factores primos los siguientes números. Escribe el resultado como potencias cuando sea factible. a. 72 =

b. 129 =

c. 242 =

d. 243 =

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Números primos y compuestos

18/05/21 15:59

Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Los divisores de un número son aquellos números que pueden dividir al primero de manera exacta. 2. Múltiplo. Es un número que contiene a otro varias veces de manera exacta. 3. Los criterios de divisibilidad permiten determinar si un número es divisible entre otro. 4. Todos los números pares o que terminan en cero son divisibles entre 2. 5. Si la suma de las cifras de un número es un múltiplo de 3, entonces dicho número es divisible entre 3. 6. Si las dos últimas cifras de un número representan un múltiplo de 4 o terminan en doble cero, el número en cuestión es divisible entre 4. 7. Todos los números que terminan en cero o en cinco son divisibles entre 5. 8. Si un número es divisible entre 2 y entre 3 al mismo tiempo, también lo es entre 6. 9. Todos los números terminados en cero son divisibles entre 10. 10. Los números primos son aquellos números naturales que sólo tienen dos divisores: el propio número y el 1. 11. Los números compuestos son aquellos números naturales que tienen más de dos divisores.

1. Responde. a. Pedro tiene un terreno rectangular de 112 metros cuadrados. Si sus lados tienen medidas exactas, como número natural, ¿cuáles serán posibles parejas de medidas? b. Las autoridades de un municipio organizaron grupos de apoyo para ayudar a los pobladores en la entrega de recursos para iniciar la temporada de siembra de maíz. El primer grupo estaba formado por 69 personas, un segundo grupo por 76 y el último por 53 personas. • Si quieren formar equipos de entrega en el primer grupo, ¿de cuántas personas pueden hacerlos sin que sobre nadie? • ¿De cuántas personas pueden hacer equipos en el segundo grupo? • ¿De cuántas personas se pueden formar equipos en el último grupo? 2. Considera que la gente se organiza en un solo grupo de trabajo formado a partir de los tres grupos y determina si es posible formar equipos de 2, 3, 4, 5, 6 o 10 personas aplicando los criterios de divisibilidad. ¿Sí o no?

Justificación

¿Se pueden formar equipos de 2 personas? ¿Se pueden formar equipos de 3 personas? ¿Se pueden formar equipos de 4 personas? ¿Se pueden formar equipos de 5 personas? ¿Se pueden formar equipos de 6 personas? ¿Se pueden formar equipos de 10 personas?

3. Escribe los siguientes números como producto de números primos. Representa los resultados como potencias. a. 245 = c. 116 =

b. 180 =

d. 474 =

Número

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Logro ir más

allá

En una empresa farmacéutica se analizan, por orden de prioridad, los problemas y riesgos que existen para no poner en peligro la vida y la seguridad de los empleados. Para “tomar cartas en el asunto”, la empresa decide formar comisiones de apoyo con el personal de todas las áreas e implementa una estrategia para repartir los roles. A cada trabajador le hacen llegar un número del 1 al 125 por medio del correo electrónico de la empresa. Después de un par de días, cada empleado recibe un correo con el siguiente mensaje: Buenas tardes a todo el personal: Si te tocó un número divisible entre 4, te corresponde colaborar con la comisión de seguridad. Si el número que te tocó es divisible entre 3, tienes que reportarte a la comisión de higiene; el resto del personal colaborará en otras comisiones que estamos por definir. A quien tenga alguno de estos números, lo esperamos en el auditorio de la empresa el próximo miércoles a las 10:00 am. Saludos cordiales,

Roberto Gutiérrez, Director de Recursos Humanos.

y ¿A cuántas personas les tocó colaborar en ambas comisiones? Justifica tu respuesta. y ¿Qué otro número natural es divisible entre todos los números elegidos en ambas comisiones? y Si la empresa hubiera solicitado que colaboraran en la comisión de seguridad aquellos cuyos dos últimos dígitos fueran divisibles entre 4, ¿cuántos serían? y ¿Y si sólo pidiera que colaboraran aquellos cuyo último dígito fuera divisible entre 4? ¿Cuántos colaborarían? y ¿Cuántas personas con número primo asignado colaborarán en alguna comisión?

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Mínimo común

múltiplo

En países democráticos como México, la elección del presidente corre a cargo de los ciudadanos, quienes a partir de una votación determinan quién será su presidente. El periodo presidencial es diferente en cada país; por ejemplo, en México un presidente ocupa la silla presidencial durante 6 años, sin derecho a ser reelecto. En países como Estados Unidos y Argentina, el periodo presidencial dura 4 años y el presidente tiene derecho a buscar la reelección consecutiva una vez. En Chile, a partir de 2010 se establecieron periodos de 4 años, mientras que en Perú y Uruguay el periodo presidencial dura 5 años. Exploro

Identifico múltiplos comunes de dos o más números para resolver problemas. 1. Resuelve a partir de la información anterior. Imagina que en los cinco países mencionados en el texto, el día de hoy toma posesión el nuevo presidente y anota en cuántos años serán los siguientes 10 cambios de presidente en cada país. México: ________________________ Estados Unidos: _________________ Argentina: _______________________ Perú: __________________________ Uruguay: _______________________ 2. Con base en la información anterior, responde: y ¿En cuántos años volverá a coincidir la toma del poder en México y Argentina? y ¿En cuántos años volverían a coincidir los nuevos presidentes en México y Uruguay? ¿Cómo se muestra en los datos anteriores? y ¿Y los presidentes de Estados Unidos y Perú? y ¿Cómo obtuviste las respuestas? y ¿Cómo podrías determinar la siguiente toma del presidente en el mismo año en México, Estados Unidos y Uruguay? . 3. Considera que el año que se muestra en cada caso es aquel en que coincidió el cambio de presidente en cada par de países, y determina cuándo sucederá nuevamente dicho cambio en ambos países al mismo tiempo. a. Uruguay y Estados Unidos (2005): b. Perú y México (2006): c. Chile y México (2018): y ¿Cómo puedes determinar múltiplos comunes de dos o más números y establecer el menor de ellos?

Compara tus respuestas y procedimientos con otro integrante del grupo.

Número

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Descubro y construyo

I. Determino el mínimo común múltiplo (mcm) mediante diversos procedimientos.

1. Escriban, en pareja, los primeros 15 múltiplos de 4, 5 y 6. Recuerda que un múltiplo de un número es aquel número natural que contiene a otro varias veces de manera exacta. a. Múltiplos de 4: b. Múltiplos de 5: c. Múltiplos de 6: y ¿Qué números son múltiplos comunes de 4 y 6? y ¿Qué números son múltiplos comunes de 5 y 6? y ¿Qué números son múltiplos comunes de 4 y 5? y En cada caso, ¿el menor de los múltiplos comunes coincide con sus respuestas de la actividad 1 de la página anterior? y ¿En cuánto tiempo se repiten periodos de 4, 5 y 6 años al mismo tiempo? ¿Cómo lo determinaron? 2. Lean la información y resuelvan. Promotores de tres diferentes laboratorios médicos visitan, en distintos días, la clínica del doctor Nava. El promotor A visita el consultorio cada 12 días, el promotor B lo hace cada 16 días y el promotor C, cada 20 días. Si cierto día coinciden los tres promotores en la clínica del doctor Nava, calculen cuántos días tienen que pasar para que coincidan nuevamente cada par de promotores: a. Promotores A y B: b. Promotores B y C: c. Promotores A y C: y ¿Qué hicieron para obtener las respuestas? y ¿Qué relación hay entre sus resultados y el número de días implícitos en cada caso? y Realicen los cálculos necesarios y contesten: ¿Cuántos días pasarán para que los tres promotores vuelvan a coincidir? y ¿Qué dificultades encontraron en los procedimientos para encontrar la respuesta? y Las respuestas de los incisos a, b y c, ¿permiten determinar los días en que los tres promotores volverán a coincidir? Argumenten su respuesta. y Si los tres promotores visitan otra clínica cada 15, 18 y 20 días, y un día coinciden, ¿en cuántos días volverán a coincidir en su visita?

Comparen, con distintas parejas, sus resultados. Comenten sobre la estrategia que siguieron en cada situación y las dificultades que tuvieron. En grupo, busquen estrategias que permitan simplificar los procedimientos.

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Mínimo común múltiplo

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II. Desarrollo un procedimiento para el cálculo del mcm mediante la descomposición en factores primos.

Al resolver las actividades anteriores calcularon el menor de los múltiplos comunes de dos o más números; este valor se conoce como mínimo común múltiplo (mcm). Por ejemplo, el día que coinciden los promotores en la clínica del doctor Nava representa el mcm de 12, 16 y 20 (que es igual a 240). 1. Reunidos en equipos, resuelvan las siguientes actividades. Retomen los valores del problema de la visita de los promotores a la clínica del doctor Nava y descompongan cada número como el producto de factores primos. a. 12 = 2 × 2 × 3 b. 16 = c. 20 = y ¿Cuál o cuáles factores primos son comunes a los tres números? y ¿En qué caso se repite más veces el factor primo común y cuántas veces se repite? y ¿Qué factores primos no son comunes a los tres números? Ahora, multipliquen entre sí los números que correspondan a factores primos de las dos respuestas anteriores. y ¿Qué relación tiene el resultado anterior con los números 12, 16 y 20? 2. Consideren el caso de los días 15, 18 y 20 y descompónganlos en factores primos. a. 15 = b. 18 = c. 20 = y ¿Qué factor es común a los tres números y cuál es el mayor número de veces que se repite en un solo número? y ¿Qué factores no son comunes a los tres números? Como no hay factores primos comunes, multipliquen los factores no comunes entre sí y consideren, para cada factor, el mayor número de veces que se repite en un solo número: y ¿Qué resultado obtuvieron y qué relación tiene con el mcm de 15, 18 y 20? 3. Retomen el caso de los presidentes de países y determinen el mcm de 4, 5 y 6 mediante la descomposición en factores primos. Completen el procedimiento: a. 4 = 2 × 2 b. 5 = 5 c. 6 = 2 × 3 Ø Multiplicación del factor común a los tres números (el mayor número de veces que se repite): Ø Multiplicación de factores no comunes (el mayor número de veces que se repite cada uno en un solo número): Ø Multiplicación del resultado de factores comunes y no comunes, el mcm:

Verifiquen que el valor obtenido corresponda al mcm en cada caso. Si tienen dudas, coméntenlas con otros equipos para aclararlas. En grupo, establezcan un procedimiento para calcular el mcm mediante la descomposición en factores primos. Aplíquenlo con diferentes tercias de números y valídenlo en grupo.

Número

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TOM

III. Resuelvo un problema sobre el mcm mediante la descomposición en factores primos.

1. Lean en parejas la información y resuelvan. En un pequeño puerto reciben, en diferentes momentos, la visita de dos cruceros. Uno de los cruceros llega al puerto cada 36 días y el otro, cada 42 días. ¿Cada cuántos días coinciden los cruceros en el puerto? Para resolver el problema, Karla descompuso los números en factores primos y los representó como potencias: 36 18 9 3 1

2 2 3 3

42 2 21 3 7 7 1

36 = 22 × 32

TER UTI

Tomo Nota Para calcular el mcm de un número, éste se descompone en factores __________ y se multiplican los factores _________, elevados a la ________ potencia, y los factores no ____________, elevados a la mayor potencia.

42 = 2 × 3 × 7

Y seleccionó los factores comunes elevados al mayor exponente; los factores comunes son 2 y 3, y ambos están elevados a la segunda potencia: 22 y 32. Después, eligió los factores no comunes, elevados al mayor exponente: 7. y Finalmente, Karla multiplicó los valores anteriores. ¿Cuál es el resultado de multiplicar dichos números? y ¿Cuáles son los primeros 8 múltiplos de 36? y ¿Cuáles son los primeros 8 múltiplos de 42? y ¿Cuál es el mcm de 36 y 42? y ¿Coincide el resultado que encontraron al calcular los múltiplos con el que obtuvo Karla con su procedimiento?

Utilizo las TIC En la liga: cmed.mx/m311 encontrarás una calculadora para determinar el mcm. Úsala para validar los resultados de las actividades.

2. Calculen el mcm de 150, 80 y 75 siguiendo el procedimiento anterior. Descompongan los números en factores primos y represéntenlos como potencias. 150

_________

y ¿Cuál es el factor común elevado al mayor exponente? y ¿Cuáles son los factores no comunes elevados al mayor exponente? Multipliquen los valores de las dos preguntas anteriores: • El valor anterior representa el mcm de 150, 80 y 75; ¿cuál es dicho valor?

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Mínimo común múltiplo

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3. Resuelvan el siguiente problema. En una empresa de computación, los equipos se actualizan y reinician automáticamente cada cierto tiempo, por lo que el personal no puede trabajar durante una hora mientras se lleva a cabo el proceso. En el área A se reinician los equipos cada 32 días; en el área B, cada 48 días, y en el área C, cada 54 días. Si cierto día se reinician las máquinas en las tres áreas, calculen el mcm mediante la descomposición de los números en factores primos, para saber en cuánto tiempo las máquinas volverán a reiniciarse el mismo día: 32

32: _________

48: _________

54: _________

Escriban la multiplicación de factores comunes al mayor exponente y de factores no comunes al mayor exponente: y ¿Cuándo se volverán a reiniciar las máquinas de los tres departamentos el mismo día? 4. Calculen el mcm de los siguientes números: a. 25, 45 y 60 b. 80, 96 y 105

Multiplicación de los factores primos: 80 40 20 10 5 5 5 1 1

96 48 24 12 6 3 1 1 1

105 105 105 105 105 105 35 7 1

2 2 2 2 2 3 5 7

5. Analicen el siguiente procedimiento para descomponer de manera simultánea tres números en factores primos, y resuelvan la multiplicación de todos los factores obtenidos: y De acuerdo con este procedimiento, ¿cuál es el mcm de 80, 96 y 105? y ¿Coincide el resultado con el que obtuvieron en la actividad anterior? Describan el procedimiento en su cuaderno. 6. Lean la información y resuelvan. Una manera de resolver sumas y restas de fracciones con diferente denominador es por medio del mcm, por ejemplo: 8 + 21 36

y ¿Cuál es el mcm de 36 y 24? ________ Éste sería el denominador común. y ¿Por cuál número tienes que multiplicar los numeradores y denominadores para obtener fracciones con el denominador común? y ¿Cuál es el resultado de la operación? Aplica el procedimiento anterior y resuelve las operaciones:

11 + 9 = 15 18

8 + 5 = 7 12

Número

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7. Tres ciclistas entrenan en un circuito de ciclismo a diferente ritmo. Uno da una vuelta en 60 segundos promedio, el segundo la da en 90 segundos y el tercero lo hace en 110 segundos. Todos arrancaron al mismo tiempo y el entrenador ordenó terminar el entrenamiento cuando todos volvieran a coincidir en el punto donde iniciaron. y Considerando que las vueltas las dan al mismo ritmo promedio, ¿cuántos minutos durará el entrenamiento? Descompongan en factores primos de manera simultánea y resuelvan la multiplicación de todos los factores primos obtenidos. Producto de los factores primos: ____________________ 60

110

Leo + Ciclismo de pista. Bólidos del pedaleo. Entra a la liga: cmed.mx/m312 y entérate, entre otros temas, de las competencias de pista, o en qué consiste la persecución individual ¡con bicicletas que no tienen frenos!, donde mujeres y hombres van a toda velocidad para ganar la carrera en el menor tiempo posible.

El mcm de 60, 90 y 110 es _________ y ¿Cuántos minutos durará el entrenamiento? y ¿Cuántas vueltas dará cada ciclista?

a. Los números 3 y 7 son números primos, ¿cuál es su mcm? b. El número 11 también es número primo, ¿cuál es el mcm de 3 y 11? ¿Y de 7 y 11? y ¿Qué características tiene el mcm de dos números primos? y ¿Cuál es el mcm de 13 y 5?

Registren en su cuaderno sus conclusiones sobre el trabajo realizado en la lección. Practico

1. Calcula el mcm de los siguientes números. a. 6, 8 y 15 b. 12, 21 y 35

c. 32 y 45

2. Responde. y Si a y b son números primos, entonces, ¿cuál es el mcm de a y b? Justifica tu respuesta. 3. Resuelve los problemas. a. Venus le da la vuelta al Sol en 255 días y a la Tierra en 365 días. Si consideras que en este momento se encuentran alineados con el Sol, ¿en cuánto tiempo volverán a alinearse con el Sol en los mismos puntos? b. María, Ximena y Andrea son supervisoras y visitan con la misma regularidad la misma tienda. Un día coincidieron, y al despedirse María dijo: "Nos vemos en 8 días", Ximena comentó: "Regreso en 12 días" y Andrea exclamó: "¡Regreso en 20 días!" ¿En cuántos días se verán nuevamente en la tienda?

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Mínimo común múltiplo

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Máximo común divisor

Exploro

Identifico múltiplos comunes de dos o más números para resolver problemas. 1. Lee la información y resuelve. Enrique es panadero y todos los días prepara un pastel como el que se muestra en laimagen, el cual vende en rebanadas. Enrique procura cortar rebanadas cuadradas del mismo tamaño para aprovechar todo el pastel. y Si Enrique quiere ser lo más preciso posible para obtener rebanadas cuadradas del mismo tamaño, ¿qué información necesita conocer? y A partir de la información obtenida, ¿cómo puede establecer el tamaño de las rebanadas cuadradas del mayor tamaño posible? Imagina que el pastel mide 72 cm de largo y 54 cm de ancho. y Usando números naturales, ¿de qué medida podrían ser las rebanadas si se cortan por el largo del pastel? Escribe todas las medidas posibles. y ¿De qué medidas podrían ser las rebanadas sobre el lado de 54 cm para que no sobre nada? Escribe todas las medidas posibles. y De acuerdo con los datos anteriores, ¿de qué medidas podrían ser las rebanadas para que sean cuadradas y que no sobre nada? y ¿Cuál sería el mayor tamaño posible? y ¿Cuántas rebanadas se obtendrían? y ¿Cómo obtuviste las respuestas? Considera un pastel que mide 84 cm por 54 cm y calcula todas las medidas posibles de ancho y largo de manera que no sobre nada, en ninguno de los dos casos. 84 cm: ____________________ 54 cm: ____________________ y ¿Qué medida tendrían las rebanadas cuadradas del mayor tamaño posible? y ¿Cómo lo determinaste? y ¿Qué relación debe haber entre la medida del largo y la del ancho del pastel para obtener rebanadas iguales sin que sobre nada?

Comenta con otros integrantes del grupo la relación entre las medidas de los lados de un rectángulo para poder dividirlo en cuadrados de la misma medida sin que sobre nada. Registren sus acuerdos en el cuaderno con la validación del grupo.

Número

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Descubro y construyo

I. Determino el máximo común divisor (mcd) mediante diversos procedimientos.

1. Resuelvan en parejas las siguientes actividades. Se quieren dividir dos tiras de madera, una de 18 dm y otra de 30 dm en partes iguales, de manera que en ninguno de los casos sobre madera. Anoten todas las posibles medidas de los trozos de madera que se podrían obtener en ambos casos. y Madera de 18 dm: ___________ Madera de 30 dm: ___________ y ¿Cuál es la mayor longitud a la que se pueden cortar los trozos de madera para cumplir con la condición establecida? y ¿Qué relación tiene el número anterior con 18 y 30? 2. Lean la información y resuelvan el problema. Un grupo de ambientalistas desea reforestar parte de un bosque que fue destruido por la tala indiscriminada de árboles. Desean empezar por un terreno rectanguar de 110 dam de largo por 80 dam de ancho y desean sembrar todos los árboles a la misma distancia, de manera que se cubra la superficie completa. La condición es que la distancia entre cada árbol no puede ser menor de 10 m.

Tomo Nota Todo número tiene por divisor al mismo _______ y al número _______ . Para obtener el resto de los divisores de un número, éste se descompone en factores primos que se multiplican entre sí de todas las formas posibles. Por ejemplo, 36 = ___ × ___ × ___ × ___ Divisores del 36: El ___ y el ___. Multiplicando los factores primos: 2 × 2 = 4; ___ × ___ = ___, ___ × ___ × ___ = ___ × ___ × ___ = y ___ × ___ × ___ × ____ = ____

Para hallar la solución, Valeria dice que tiene que obtener el mayor de los divisores comunes de 80 y 110. y ¿Están de acuerdo con Valeria? Expliquen por qué. y ¿A qué distancias iguales se pueden colocar árboles a la largo de manera que cubran todo el terreno? y ¿A qué distancia se podrían colocar a lo ancho? y ¿Qué relación hay entre los valores que obtuvieron con los números 110 y 80, respectivamente? y ¿A cuántos decámetros de distancia se podrían colocar los árboles de manera que se cubra todo el terreno a lo largo y a lo ancho? y ¿Cuál es la mayor distancia posible?, es decir, ¿cuál es el mayor de los divisores comunes de 80 y 110? En la lección pasada calcularon el mcm mediante la descomposición de los números en factores primos. ¿Cómo podrían calcular el mayor de los divisores comunes mediante la descomposición en factores primos?

Comparen sus resultados con los de otras parejas. Comenten sobre la estrategia que siguieron en cada situación y las dificultades que tuvieron. En grupo busquen estrategias que permitan simplificar los procedimientos.

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Máximo común divisor

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II. Desarrollo un procedimiento para el cálculo del mcd mediante la descomposición en factores primos.

El mayor de los divisores comunes de dos o más números se conoce como máximo común divisor (mcd). Para obtenerlo, los números se pueden descomponer en factores primos y operar con ellos. 1. Resuelvan en equipos las siguientes actividades. Primero calculen el mcd de cada pareja de números, después, realicen lo que se pide. Descompongan en factores primos los números 18 y 30 sin utilizar potencias. 18 =_______________ 30 =_______________ y De los factores primos anteriores, ¿cuáles permiten obtener el máximo común divisor de 18 y 30? y De la respuesta anterior, ¿cuál o cuáles factores primos son comunes a los dos números? y ¿Hay factores primos no comunes? Descompongan los números 96 y 120 en factores primos sin utilizar potencias. 96 =_______________ 120 =_______________ y Considerando los factores primos anteriores, ¿qué multiplicación de los mismos permite obtener el máximo común divisor de 96 y 120? y De la respuesta anterior, ¿cuál o cuáles factores primos son comunes a los dos números? y ¿Hay factores primos no comunes? 2. Calculen el mcd de los siguientes números. Después, descompongan cada número en factores primos y multipliquen aquellos que permiten obtener el mcd. Números

mcd

Descomposición en factores primos

45 y 63

45 = 63 =

84 y 112

84 = 112 =

32, 48 y 60

32 = 48 = 60 =

Multiplicación de factores primos para obtener el mcd

Analicen los factores primos que permiten obtener el mcd en las situaciones anteriores, el número de veces que se repiten y su relación con los números involucrados. y ¿Podrían establecer una regla para obtener el mcd a partir de la descomposición de los números en factores primos? Describan el procedimiento.

Discutan sus procedimientos con otros equipos. En grupo, y con la supervisión del maestro, lleguen a acuerdos y regístrenlos en su cuaderno.

Número

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III. Resuelvo un problema sobre el mcd mediante la descomposición en factores primos.

1. Lean en parejas la información y resuelvan. Fabián tiene que cortar dos piezas de aluminio, una de 180 cm y otra de 280 cm de largo, en tiras del mismo tamaño de la mayor medida posible, sin que sobre aluminio. ¿De qué medida tiene que cortar las piezas? Para resolver el problema, descompongan los números en factores primos y represéntelos como potencias. 180 2

280 2

180 = _________

280 = _________

y ¿Cuáles son los factores comunes en ambos números? y ¿Cuál es la menor potencia a la que están elevados los factores comunes? y Si multiplican los números de la respuesta anterior, ¿qué resultado obtienen? Busquen la manera de comprobar si el número anterior representa al mcd de 180 y 280. y ¿Coincide su resultado con el de la multiplicación anterior? y ¿Cuál es la mayor medida posible de las tiras de aluminio? 2. Carlos tiene que guardar, de manera independiente, tres tipos de piezas de cerámica en cajas con el mismo número de piezas. De la figura A tiene 96 piezas, de la B, 168 y de la C, 216 piezas. La condición es que las cajas deben contener el mayor número de piezas. Para ayudar a Carlos, descompongan cada número en valores primos para saber cuál es la mayor cantidad de piezas que deben ir en cada caja. 96

168

216

_________

Utilizo las TIC En la siguiente liga: cmed.mx/m313, encontrarás una calculadora para determinar el mcd. Úsala para validar los resultados de las actividades.

Tomo Nota Para calcular el mcd de dos o más números, éstos se descomponen en factores _________, y se multiplican los factores __________, elevados a la __________ potencia.

y ¿ Cuáles son los factores comunes y cuál es el menor exponente de cada uno? y Multipliquen los valores de la pregunta anterior: ________________________ y El valor anterior representa el mcd de 96, 168 y 216; ¿cuál es la mayor cantidad de piezas que debe colocar en cada caja sin que sobre ninguna? y ¿Cuántas cajas pudo llenar con cada tipo de pieza?

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Máximo común divisor

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3. Resuelvan el siguiente problema. Aranza horneó galletas de tres diferentes tipos: 84 de nuez, 105 de chocolate y 147 de avena. Ella quiere guardar las galletas de cada sabor en bolsas con la misma cantidad y el mayor número de piezas posible, sin que sobren galletas. y Calculen el número de galletas en cada bolsa mediante la descomposición de los números en factores primos. 84

84= _________

105

147

105= _________

147= _________

Multiplicación de factores comunes con el menor exponente: y ¿De cuántas galletas se pueden hacer bolsas en cada caso, sin que sobren piezas? y ¿Cuántas bolsas se harían en cada caso? 4. Calcula el mcd de los siguientes números: a. 64, 112 y 144 b. 102, 170 y 374 64

mcm:

112

144

_______________

102

mcm:

170

374

_______________

5. Analicen el siguiente procedimiento para calcular el mcd descomponiendo de manera simultánea tres números en factores primos. Busquen el factor primo por el que se puedan dividir los tres números al mismo tiempo, y repitan lo anterior las veces que sea posible, hasta que ya no se pueda obtener. 245 49

105 21

210 42

Multipliquen los factores primos resultantes: _________________________________ Calculen el mcd de los mismos números, descomponiendo cada uno en números primos y aplicando el procedimiento visto antes para validar si el resultado anterior representa el mcd de los tres números.

Número

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6. Dividan los siguientes números entre el mismo factor primo, las veces que sea posible, y calculen el mcd en cada caso. a. b. 60

mcd:

120

______________

mcd:

286

130

______________

Comparen sus resultados y procedimientos con los de otras parejas. Si tienen dudas, busquen el apoyo del maestro para aclararlas. Practico

1. Calcula el mcd de los siguientes números. a. 48 y 144 b. 135, 90 y 240

mcd:

______________

mcd:

______________

c. 132, 99 y 165

mcd:

______________

2. Resuelve los siguientes problemas. a. José tiene en su bodega 240 kg de manzanas, 160 kg de peras y 192 kg de duraznos, que tiene que acomodar en cajas con la misma cantidad aproximada de kilogramos, sin que sobren frutas y sin mezclarlas. y ¿Cuál es la máxima cantidad de kilogramos que pueden contener las cajas de cada tipo de fruta? y ¿Cuántas cajas se llenarían en total? b. En una fábrica se produjeron jabones en colores diferentes para vender en paquetes. Con un lote de 168 jabones blancos, 308 rosas y 224 azules se formaron paquetes que contienen los tres tipos de jabones, de manera que se lograra el mayor número de paquetes posible sin que sobraran piezas. y ¿Cuántos paquetes se formaron en total? y ¿Cuántos jabones de cada color contiene cada paquete?

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Máximo común divisor

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de los números correspondientes. 2. El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de los números correspondientes. 3. Para calcular el mcm, los números se descomponen en factores primos y se multiplican los factores comunes y los no comunes, elevados a la mayor potencia. 4. Para calcular el mcd, los números se descomponen en factores primos y se multiplican los factores comunes, elevados a la menor potencia.

1. Resuelve. a. ¿Cuál es la máxima medida por lado de los cuadrados en la que se puede dividir de manera exacta un rectángulo de 72 cm por 90 cm? b. En una carretera, Manuel colocó conos a la misma distancia en un tramo de 112 m. Después, Javier colocó conos a la misma distancia de los que ubicó Manuel, cubriendo 320 m. ¿Cuál es la distancia a la que colocaron los conos, considerando que fue la mayor posible? 2. Resuelve las sumas y restas de fracciones por medio del mcm de los denominadores. Simplifica los resultados. a. 3 + 8 =

b. 13 – 9 =

c. 12 + 7 =

d. 7 – 9 =

14 30

3. Calcula el mcm de las siguientes parejas de números. a. 15 y 20 b. 18 y 14 c. 21 y 16 d. 26 y 30 4. Responde. a. ¿Cuál es el mcm y el mcd de 16 y 48? b. ¿Cuál es el mcm y el mcd de 18 y 108? c. Si un número a es divisor de b, ¿el mcd de a y b es a? Elige parejas de números en las que uno sea divisor del otro y justifica tu respuesta. d. ¿El producto de dos números a y b es igual al producto de su mcm por su mcd? Elige parejas de números que te permitan argumentar tu respuesta. 5. Calcula el mcm y el mcd de los siguientes números. a. 92 y 115 b. 27 y 42

c. 35 y 50

mcm: ____ mcm: ____ mcm: ____ mcd: ____ mcd: ____ mcd: ____ d. 28, 56 y 84 e. 150, 60 y 75 f. 72, 90 y 128

mcm: ____ mcd: ____ 48

mcm: ____ mcm: ____ mcd: ____ mcd: ____

Número

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Logro ir más

allá

1. Santiago y su esposa Mar tienen un velero con el que realizan grandes travesías y visitan diferentes puertos; es una actividad que disfrutan hacer juntos. En cierta ocasión, al llegar de noche al puerto notaron como si se encendiera la luz de un faro, unos instantes después la luz de otro faro hacía lo mismo, y posteriormente vieron la de un tercero. Para su sorpresa, unos instantes después las tres luces se vieron al mismo tiempo. Santiago notó que las luces de los tres faros estaban sincronizadas, ya que las vieron al mismo tiempo cinco veces durante tres minutos y medio. a. ¿Cada cuánto tiempo vieron la luz de cada faro? ¿Cómo lo determinaste? b. ¿La respuesta es única? Si no es así, ¿qué otros periodos de tiempo podrían corresponder al aparente encendido de los faros? 2. Imagina que te encuentras al timón de un barco en medio de la noche. La costa debe estar cerca. Buscas algo que te guíe. Por un momento te parece ver una luz. Esto se repite a los pocos segundos. ¡Es un faro! Observas con atención y percibes otra luz a tu derecha. No, ¡son dos faros! Y de repente aparece la luz de un tercer faro. Por varios minutos estás atento, las luces se alternan: un faro emite su luz cada 18 segundos; el segundo, cada 15 segundos, y el tercero, cada 24 segundos. Son las 3:25 de la mañana y la luz de los tres faros coinciden en este momento.

Leo + En el sitio: cmed.mx/m314 puedes encontrar información sobre el origen de las señales marítimas y los faros en los puertos. Ingresa al sitio y conoce el origen, la historia y demás datos interesantes sobre estas majestuosas construcciones, los faros, que han sido y son fundamentales, hasta el día de hoy, para navegar de manera segura.

y ¿Cuántas veces volverán a coincidir en la siguiente media hora? y ¿Cuántas veces se enciende cada faro antes de que vuelvan a coincidir?

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Expresiones cuadráticas con

modelos geométricos

En grados anteriores trabajaste con expresiones algebraicas de primer grado, como xy + 2, 5x + y, etc. En este grado trabajarás con expresiones algebraicas de segundo grado, es decir, aquellas en las que alguno de los términos está elevado a la segunda potencia. Exploro

Represento el área y el perímetro de figuras geométricas y la expresión correspondiente. Yuridia trabaja en una empresa que se dedica a la construcción y colocación de paneles solares fotovoltaicos, formados por celdas cuadradas que transforman la energía del Sol en electricidad, lo que permite el ahorro de energía eléctrica. Yuridia presentó los siguientes diseños a sus jefas:

GLOSARIO Fotovoltaico. Es la agrupación de ciertos componentes eléctricos que trabajan en conjunto para trasformar la energía solar en energía eléctrica. El término proviene de fotón y voltio.

Leo + ¿Qué es un panel o celda fotovoltaica? En la siguiente liga encontrarás una amplia explicación sobre las celdas fotoeléctricas o paneles solares fotovoltaicos. Comparte con tus pares la importancia de obtener energía de recursos renovables y no contaminantes. Busca información sobre el silicio, material indispensable para su producción. cmed.mx/m3554

1. Analiza las imágenes anteriores y responde. • ¿Cuál es el perímetro de cada panel en función de los cuadrados que los conforman? Describe el procedimiento para calcular la superficie que ocupa cada panel. • ¿Qué área ocupa cada panel en función del número de celdas cuadradas que los forman? Como viste antes, el lenguaje algebraico permite generalizar las fórmulas para calcular el área y perímetro de figuras geométricas. • Por ejemplo, si los lados del panel cuadrado miden x de longitud, ¿cómo expresarías algebraicamente la medida de los lados del panel rectangular? • ¿Cuál sería el perímetro de panel cuadrado en función de x? • ¿Cuál sería el perímetro del panel rectangular? 2. Escribe una expresión equivalente a las anteriores para representar el perímetro de cada panel: Panel cuadrado: __________ Panel rectangular: _____________ A partir de las fórmulas del área del cuadrado y del rectángulo, escribe el área de cada figura como una multiplicación de dos factores: Panel cuadrado: __________ Panel rectangular: _____________ • ¿De qué otra manera podrías representar de manera algebraica el área de las figuras? Compara tus respuestas con las de diferentes integrantes del grupo y verifiquen que todas sus expresiones sean correctas. Validen sus respuestas en el grupo.

Patrones, figuras geométricas y

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expresiones equivalentes

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Descubro y construyo

I. Identifico y represento de diferentes maneras el área de figuras geométricas.

1. Retomen, en parejas, el problema de los paneles y resuelvan. La siguiente imagen representa la instalación de un panel fotovoltaico formado por dos paneles unidos; las medidas de los paneles correspondientes son las siguientes:

y+4

y ¿Cómo representan el área de un cuadrado, cuyo lado mide 3, como una potencia? y ¿Qué expresión, como potencia, representa el área del panel cuadrado? y ¿Qué expresión simplificada representa la base total del panel fotovoltaico? y Aplicando la fórmula base × altura, ¿qué multiplicación representa el área que ocupan los paneles? y Desarrollen la multiplicación. ¿Qué expresión representa el área que ocupan los paneles? y ¿Qué relación hay entre las dos expresiones anteriores? y ¿Cómo demostrarían que ambas expresiones representan el área de la figura? 2. Elijan las expresiones algebraicas que representan el área de cada una de las siguientes figuras, formadas con paneles fotovoltaicos. y2 + 2y2 + 4

y(3y + 8)

Figura 1

y2 + 2y2 + 4y + 4y

y2 + y2 + y2 + 8y

y2 + 2y + 8

3y2 + 4 + 4y

2y2 + 2y2 + 4y + 4y

4y2 + 8y 2y(2y + 4)

Figura 2

2y2 + y2 + 8

2y(y + y + 4)

y2 + y2 + 4y

y ¿Qué procedimiento permite validar que las expresiones elegidas son equivalentes, es decir, que todas representan correctamente el área de la misma figura?

Consideren que y = 8 dm y sustituyan y por este valor en todas las expresiones algebraicas de la actividad, para validar que en todas obtuvieron la misma área; de lo contrario, revisen cuál es el error y corrijan. Comparen sus respuestas con las de otras parejas.

Mate 3 book 2021.indb 51

Expresiones cuadráticas con modelos geométricos

18/05/21 15:59

II. Represento expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos.

Tomo Nota Un binomio es una expresión algebraica formada por ____ términos. Un trinomio es una expresión algebraica formada por ____ términos.

1. Consideren, en equipo, las siguientes figuras y realicen lo que se pide.

Representa algebraicamente el área de las siguientes figuras 1, 2 y 3 como la suma del área de las figuras que se dividen. Figura 1

Figura 2

Figura 3 1

A =___________

y Si vemos a cada una de las tres figuras como una sola, ¿qué expresión algebraica representa su base? y ¿Cuál es la altura de cada figura? y ¿Qué expresión representa la fórmula base × altura? y ¿Qué relación hay entre las expresiones algebraicas que obtuvieron de las tres figuras y la expresión anterior? Argumenten su respuesta. 2. Observen cómo se formaron las siguientes figuras y respondan: Figura A

Figura B

Figura C 1

r r

1 1

Escriban el área de las figuras B y C como la suma de las dos configuraciones que las forman y simplifiquen las expresiones. y De acuerdo con lo visto, ¿cuál es el producto del binomio (a + 2)(a + 3)? Simplifiquen la expresión.

Patrones, figuras geométricas y

Mate 3 book 2021.indb 52

y ¿Qué tienen en común las tres configuraciones? y ¿Qué expresión representa el área de la figura A como el producto de dos binomios? y ¿Qué expresión simplificada representa el área como la suma del área de las figuras que la forman? Desarrollen el producto del binomio. y ¿Qué relación observan entre las dos expresiones anteriores?

Tomo Nota El área total de una figura puede representarse como la suma del área de las figuras que la forman. Por ejemplo, el área de un rectángulo cuya base mide: x + 2 y su altura es igual a x, aplicando la fórmula del rectángulo tenemos que A = (__+__)__, que es igual a __+__.

Comenten sobre las estrategias que siguieron para resolver multiplicaciones de binomios con un término común y cómo representan expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos.

expresiones equivalentes

18/05/21 15:59

III. Resuelvo el producto de binomios y los represento como expresiones algebraicas cuadráticas. x

Observa las siguientes piezas de madera que usa la maestra de un kínder como apoyo didáctico para trabajar con sus estudiantes. Considera que el rectángulo tiene la misma altura del cuadrado grande y que los lados del cuadrado pequeño miden lo mismo que la base del rectángulo, como se observa. 1. Escribe el área de las figuras como una multiplicación de dos binomios y como la suma del área de las figuras que las forman:

A= y

A= A=

y x x x

y y

x 2. Escribe el área de la siguiente configuración como el producto de dos binomios. A = (___ + ___ )(___ + ___) y ¿Qué expresión simplificada representa el resultado de la multiplicación anterior? y

3. Considera la siguiente configuración y responde: y ¿Qué expresión representa la base de la figura? y ¿Qué expresión representa la altura?

y y

En equipo, representen el área de la figura como un binomio al cuadrado y como el producto de dos binomios:

Tomo Nota x

x x

y ¿Qué expresión corresponde a la suma de las figuras que forman la construcción? y ¿Qué relación hay entre el binomio al cuadrado y la expresión anterior? y De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el producto de (a + 1)2? Representen el resultado como un trinomio. 4. Escriban dos expresiones algebraicas equivalentes que representen el área de una figura cuyos lados miden (2x + y) y (x + 3y): ______________ , ______________. y ¿Cómo pasan de una expresión algebraica a una equivalente y cómo pueden demostrar que son equivalentes?

Las expresiones algebraicas equivalentes se conocen como identidades matemáticas que representan una igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables; por ejemplo, x (x + y) = x2 + xy representan una identidad. Si x = 4 y y = 6, entonces se cumple que: 4(___ + ___) = (4)(____) = ____ y (___)2 + (___)(___) = ____ + ____ = ____. Y se comprueba que la igualdad se cumple.

Continúa actividad…➙

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Expresiones cuadráticas con modelos geométricos

18/05/21 15:59

Continúa…

5. Lean la información, observen las tres figuras y resuelvan.

Tomo Nota Al multiplicar dos binomios con un término común, por ejemplo (a + b)(a + c), el resultado es un trinomio cuyo primer término es el término común al _____________ (____) más la suma de los términos ____ comunes por el ____________ común (ab + ac = a (_________)); el tercer término es el producto de los términos no __________, (____)(____), (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc.

Se tiene un cuadrado de cartulina, como el de la derecha y se recorta como se muestra en la segunda figura para obtener la tercera figura. y ¿Qué parte de la figura original se recortó? y Con relación a la figura original y a la parte que se recortó, ¿qué expresión representa el área del rectángulo final? y ¿Qué expresiones representan las medidas del rectángulo resultante? y ¿Cuál es el área de la figura final, expresada como el producto de dos binomios? y Al resolver la multiplicación anterior, ¿qué expresión algebraica resulta?

a 1 1

Describan, de acuerdo con lo anterior, cómo resolver expresiones que representan diferencia de cuadrados, como: a2 – 12. 6. Utilicen modelos geométricos para resolver las siguientes diferencias de cuadrados. Usen como apoyo el ejemplo anterior. a2 – 42 = ___________ x2 – y2 = ___________ 7. Consideren que con otras piezas de cartulina se formó un cuadrado, cuyos lados medían z, pero se le quitaron algunas piezas quedando solamente el cuadrado que se muestra. 1 y ¿Qué expresión representa los lados de los rectángulos que se quitaron? 1 y ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos que se quitaron? y ¿Cuál es el área del cuadrado que se quitó? Resten al área original, la suma de las áreas de las figuras que quitaron y simplifiquen la expresión.

Tomo Nota

z2 – (____________ ) = _______________ = ______________

El producto de dos binomios con dos términos comunes es igual a un binomio al _______. (a + b)(a + b) = (___ + ___)2 y puede representarse como un trinomio: el ______ del primer término más ____ veces el producto de los dos términos más el __________ del segundo término: (a + b)2 = ___ + ____ + ___.

y ¿Cuál es el binomio al cuadrado que representa el área de la figura que quedó? y ¿Qué expresión, como el producto de dos binomios, es equivalente a la anterior? Resuelvan el binomio anterior para representarlo como un trinimio.

8. Representen los siguientes binomios al cuadrado como un trinomio, siguiendo el ejemplo anterior. Apóyense en el modelo geométrico. (a – 3)2 = ___________ (x – y)2 = ___________ Comparen sus resultados con los de otros equipos. Si tienen dudas busquen el apoyo del docente para aclararlas.

Patrones, figuras geométricas y

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expresiones equivalentes

18/05/21 15:59

IV. Uso modelos geométricos para representar expresiones algebraicas y utilizo expresiones algebraicas equivalentes para representarlas.

1. Consideren las figuras de la derecha y representen geométricamente las expresiones algebraicas indicadas en cada inciso. Después, escriban una expresión equivalente a cada expresión dada. a. r (r + 3) = b. r2 + 6 =

c. (r + 1)5 =

d. 2r2 + r = r

Validen sus modelos geométricos con los de otras parejas; si no llegan a acuerdos, recurran al apoyo del docente. Registren, en grupo, sus conclusiones sobre las ventajas de representar expresiones algebraicas equivalentes usando modelos geométricos. Practico

1. Escribe de dos maneras diferentes la expresión algebraica que representa el área y el perímetro de los siguientes rectángulos. f+3 5y 2g

A: _______________________ A: _______________________ P: _______________________ P: _______________________ 2. Escribe dos expresiones algebraicas que representen el área de las siguientes figuras.

3. Escribe una expresión equivalente a cada una de las siguientes expresiones algebraicas. a. a (2a + b) = ____________ b. 3s (s + 5) = ____________ c. (x + 2)(x + 3) = ____________ d. c2 + 4c = ____________

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Utilizo las TIC Ingresa a la liga: cmed.mx/m3556 y observa el video sobre expresiones algebraicas equivalentes que ahí se ofrece.

Expresiones cuadráticas con modelos geométricos

18/05/21 15:59

Factorización y área de

figuras geométricas

Exploro

Utilizo expresiones algebraicas equivalentes para representar el área de figuras geométricas. En grados anteriores determinaste y aplicaste las fórmulas para calcular el área de figuras geométricas como triángulos, trapecios, rombos y polígonos regulares, entre otros. Ahora analizaremos nuevamente dichas fórmulas. 1. Lee la información y resuelve de manera individual. Karla trazó un triángulo y un rombo. En el triángulo la altura mide el doble de la base, como se muestra.

2m + 4

x y ¿Qué expresión permite obtener el área del triángulo? Escribe una expresión equivalente a la expresión anterior: y ¿Qué expresión simplificada representa el área del triángulo? Justifica tu respuesta. y Considera que x = 5 cm y valida que en todas las expresiones obtuviste el mismo resultado. y ¿Qué expresión algebraica permite calcular el área del rombo? y ¿La expresión anterior es única? Justifica tu respuesta. Si no es así, escríbela de dos maneras diferentes: y ¿La expresión 2x (2x) permite obtener el área del triángulo? Justifica tu respuesta. 2. Observa las figuras y escribe la fórmula para calcular el área de dos maneras diferentes, a partir de las literales que se muestran.

b A = __________

A = __________

a B

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Si existen difererencias coméntenlas en busca de llegar a acuerdos.

Patrones, figuras geométricas y

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expresiones equivalentes

18/05/21 15:59

Descubro y construyo

I. Represento expresiones algebraicas y aritméticas como el producto de dos factores.

En la lección anterior representaste expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos como los siguientes, usando expresiones del tipo: x (x + y); (x + y)(x + y); (x + 1)(x – 1) y (x + y)(x + z).

x– 1 x+ y

x+ z

x+ y

x +1

x+ y

1. Describan con palabras, en pareja, el procedimiento para desarrollar los productos de las siguientes expresiones algebraicas, en función de los términos de cada factor. Observen el ejemplo: a. x (x + y): x al cuadrado y se suma el producto de x por y. b. (x + y)(x + y): c. (x + 1)(x – 1): d. (x + y)(x + z): y ¿Qué expresiones pueden representarse como un binomio al cuadrado? Expliquen su respuesta y represéntenlas. 2. Representen aritméticamente y desarrollen los productos de las siguientes expresiones usando números naturales. Observen el ejemplo. v El producto de un número y su consecutivo: 5(5 + 1) = 25 + 5 = 30 v El producto de un número más uno por el mismo número más uno: v El producto de un número más dos por el mismo número menos dos: v El producto de un número más dos por el mismo número más tres: 3. Ahora realicen el proceso inverso, es decir, representen las siguientes operaciones numéricas como una multiplicación de dos términos, a partir de los valores dados. v El producto de dos números consecutivos: 64 + 8 = v El producto de un número más tres por el mismo número menos tres: 36 – 9 = v El producto de un número más dos por el mismo número menos dos: 25 – 4 = v El producto de un número más tres por el mismo número menos uno: 16 + 8 – 3 = y ¿Qué procedimiento permite representar una expresión algebraica como una multiplicación de dos factores?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas. Discutan sobre el procedimiento empleado al resolver las actividades en busca de acuerdos. ¿Cómo pueden representar una expresión algebraica como el producto de dos factores? Registren las conclusiones derivadas de lo que acordaron.

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Factorización y área de figuras geométricas

18/05/21 15:59

II. Resuelvo problemas relacionados con expresiones algebraicas que representan el área de figuras geométricas.

Fernando trabaja en el diseño de un salón de fiestas. Su propuesta es que la pista de baile sea cuadrada y esté en el centro del salón, como muestra la imagen de la izquierda. Santiago, su socio, propone colocar una pista más grande, con forma rectangular y pegada a uno de los costados, para aprovechar mejor el espacio y así poder colocar más mesas, como muestra la imagen de la derecha.

Pista de baile

1. Analiza las imágenes anteriores y responde. y Si la pista que propone Fernado mide x metros de largo y en la propuesta de Santiago el largo mide 3 m más que el ancho, ¿qué expresión algebraica representa los lados del área de la pista de Santiago? y ¿Cuál es el área de la pista que propone Santiago? Escribe de dos maneras diferentes la respuesta: El dueño del salón aceptó la propuesta de Santiago, pero pidió modificar las dimensiones de la pista de tal manera que el área fuera igual a: x2 + 4x. y ¿Qué modificación en las medidas de la pista solicitó el dueño? y ¿Qué expresión representa al área como el producto de sus lados? Si también se aumenta 1 metro al ancho de la pista de Santiago, escribe la medida de los lados de la pista: y Escribe dos expresiones equivalentes que representen el área de la pista: Imagina que la pista cuadrada de lados x se modificó de tal manera que su área es igual a x2 + 4x + 4. y ¿Cómo se modificaron los lados de la pista? ¿Qué expresión representa los lados de la pista? Explica tu respuesta.

Patrones, figuras geométricas y

Mate 3 book 2021.indb 58

Compara tus respuestas con las de diferentes integrantes del grupo. Comenten cómo determinarían la medida de los lados de un rectángulo a partir de conocer la expresión algebraica que representa su área. Validen sus respuestas con el apoyo del docente.

expresiones equivalentes

18/05/21 15:59

III. Factorizo expresiones algebraicas para representarlas como el producto de dos factores.

1. Consideren el área de color de las siguientes figuras y escriban la medida de sus lados. Después, escriban la multiplicación (base por altura), es decir, el producto de dos factores, que permite obtener su área.

A = 2y2 +16 y

A = __________

A = __________ 2

a2 – 4a +4

A = __________

y ¿Qué hicieron para determinar la medida de los lados de cada figura? En lecciones previas estableciste que todo número compuesto puede representarse como el producto de factores primos, por ejemplo 6 = 2 × 3. De la misma manera, una expresión algebraica puede representarse como el producto de dos factores. Este procedimiento se conoce como factorizar. Por ejemplo, x2 puede factorizarse como (x)(x). 2. Factoricen las siguientes expresiones algebraicas. Si lo requieren, utilicen un modelo geométrico como apoyo. a. x2 + xy =

b. x2 + 6x + 9 =

c. m2 + 2m + mn + 2n =

e. m2 + 12m + 36 = (m + 6)2 =

d. 2y2 – 12y + 16 = f. n2 + 9n =

Asignen valores numéricos a las literales y validen que las identidades sean equivalentes. En caso de que no coincidan, revisen nuevamente sus expresiones. Apóyense en modelos geométricos si lo requieren.

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Tomo Nota Trinomios de la forma a2 + 2ab + b2 y a2 – 2ab + b2 que se factorizan como: ___________ ___________ y ___________ ___________ respectivamente.

Factorización y área de figuras geométricas

18/05/21 15:59

3. Representen, en su cuaderno, las figuras que correspondan a cada expresión algebraica, a partir de los siguientes modelos, y factoricen las expresiones.

a. x2 + 2xy + x =

b. 2x2 + 12x + 10 =

c. x2 – 2x + 12 =

d. 3x2 + 15x + 12 =

e. 3xy + 4x =

f. 4x2 + 8x + 4 =

y ¿Cómo pasan de una expresión equivalente a otra y cómo demostrarían que son equivalentes? y ¿Cómo demostrarían que su factorización es equivalente a la expresión correspondiente? 4. Discutan y respondan las siguientes preguntas. y ¿Cómo representarían la expresión x2 – 32 como el producto de dos binomios? Justifiquen su respuesta. y Si x = 2, representen aritméticamente las expresiones anteriores y resuélvanlas. y ¿Obtuvieron el mismo resultado en ambas operaciones? Si no fue así, revisen sus expresiones para detectar el error y corrijan. y ¿Qué multiplicación es equivalente a la expresión 3x + 3y? Resuelvan la multiplicación para comprobar que es equivalente a la suma. y Si la expresión 4x2 + 20x + 25 representa el área de una figura geométrica, ¿cuál es la medida de sus lados? ¿De qué figura se trata? y Si x = 3, representen numéricamente las expresiones de la pregunta anterior y calculen el área en ambos casos. y ¿Obtuvieron el mismo resultado? y Describan con palabras la multiplicación de dos factores representada por la expresión 3x2 + 13x + 4. y ¿Qué binomios representan la expresión anterior?

Tomo Nota Las expresiones algebraicas de la forma a2 – b2 representan el producto de la suma de un binomio por la diferencia del mismo binomio y se factorizan como: (___ + ___)(___ – ___) = ___ – ___ + ___.

Patrones, figuras geométricas y

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Comenten sus resultados con los de sus pares. Discutan y describan cómo pasar de un trinomio a una multiplicación de dos factores que incluyan dos binomios. Registren sus acuerdos en el cuaderno y describan las características de los diferentes productos trabajados en la lección.

expresiones equivalentes

18/05/21 15:59

Practico

1. Responde. Considera la fórmula para calcular el área de un trapecio: (B + b) h . 2

y ¿Qué sucede si la aplicas de la siguiente forma: ( B2 + b) h? Justifica tu respuesta con un ejemplo. y Y si se representa como: h (B + b), ¿qué sucedería en este caso? Justifica tu 2 respuesta. Explica por qué las expresiones anteriores son, o no, equivalentes. y En la fórmula para calcular el área de un polígono regular, ¿qué sucede si primero divides el perímetro entre 2 y multiplicas el resultado por la apotema? y ¿Y si divides la apotema entre 2 y multiplicas el resultado por el perímetro? Representa de dos maneras diferentes la fórmula y justifica su equivalencia. 2. Escribe en los recuadros, el área de cada figura como el producto de dos factores.

A = n2 + 7n – 30

A = z2 + 10z + 16

3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. a. 3x2 + 15 = b. x2 – 10x + 25 4. Retoma el problema del salón de fiestas, página 58, y responde: y y y y

Si el área total del salón mide x2 + 20x + 96, ¿cuánto miden sus lados? ¿Cuál es el área del salón que no ocupa la pista, que mide x2 + 4x? Si x = 4 m, ¿cuál es el área del salón de fiestas? ¿Cuál es el área del salón?

Valida tus resultados con otros integrantes del grupo. Discutan sobre los procedimientos trabajados en la lección para factorizar expresiones algebraicas. Registren sus acuerdos en el cuaderno y pidan el apoyo del docente si es necesario.

Mate 3 book 2021.indb 61

Utilizo las TIC Para practicar lo que trabajaste en esta lección, ingresa a: cmed.mx/m316 Selecciona “Simplificar” y después “Factores” y resuelve los ejercicios que ahí se ofrecen.

Factorización y área de figuras geométricas

18/05/21 15:59

Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Dos expresiones algebraicas son equivalentes si al asignar valores numéricos a las literales se obtiene el mismo resultado. 2. Las expresiones algebraicas equivalentes pueden representarse usando modelos geométricos. 3. Las expresiones algebraicas equivalentes se conocen como identidades matemáticas, que representan una igualdad que se cumple para cualquier valor adquirido por las variables. 4. Una expresión cuadrática es aquella en la que uno de los términos está elevado a la segunda potencia, por ejemplo 2x 2 + x . 5. Factorizar una expresión algebraica es representarla como el producto de dos factores. Por ejemplo, a2 + 2a = (a)(a + 2).

1. Escribe una expresión equivalente a cada una de las siguientes expresiones algebraicas. a. (x + 2)(x + 3) = b. 3s2 + 15 = c. 3a (2a + b) = c. c2 + 4c = 2. Subraya las expresiones algebraicas que representen el área de las siguientes figuras. 2a + 1

3c + 2 8

(2a + 1)2 8a2 + 8a + 2 4a2 + 4a + 1 (2a + 1)(2a + 1)

2(3c + 2c) 6c2 + 4c (2c × 3c)2 6c2 + 2(2c)

2 (4d) + 20 8d + 5 × 4 2(4d + 5) 4d × 4 × 5

3. Resuelve. Ximena tejió dos carpetas para cubrir una repisa cuadrada, pero una le quedó más grande (la de lados y) y la otra más pequeña (la de lados x), por lo que tuvo que deshacer parte de una y agregar tejido en la otra, como muestran las imágenes: 8

a. Escribe de dos maneras diferentes el área resultante en cada figura. Carpeta 1: _______ , ________ Carpeta 2: _______ , ________ b. Considera que x = 18 cm y que y = 32 cm, y sustituye las literales por dichos valores para comprobar que las expresiones son equivalentes y que ambas carpetas tienen la misma área. Carpeta 1: _______ , ________ Carpeta 2: _______ , ________ 4. Escribe el área de las siguientes figuras de dos maneras diferentes. a. Un rombo cuyas diagonales miden 4m + 2 y m + 4: b. Un polígono regular de 8 lados cuyos lados miden r y su apotema s: c. El radio de una circunferencia mide p + 3:

Patrones, figuras geométricas y

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expresiones equivalentes

18/05/21 15:59

Logro ir más

allá

La geometría, como parte de las matemáticas, ha estado siempre estrechamente vinculada con el arte; muchos artistas se han apoyado en la matemática para expresar la realidad con sus pinturas y esculturas, entre otras manifestaciones artísticas. Piet Mondrian (1872-1944) fue un pintor holandés que simplificó los elementos de la pintura y representó muy bien lo que se conoce como “arte moderno”. El manejo de figuras geométricas y colores en su obra es de una belleza y simplicidad únicas. En la imagen que se muestra podemos ver con claridad algunas figuras geométricas, básicamente cuadrados y rectángulos. Analiza con cuidado la imagen de la derecha: y ¿Cómo podrías determinar el área de la figura a partir de las formas geométricas que la componen? En la imagen se aprecia un pastel de frutas que representa el cuadro de Mondrian. Supongamos que el largo del pastel con las frutas rojas es m, el largo de las frutas oscuras es n y el largo de las frutas amarillas es l. y ¿Cómo calcularías el área del pastel completo?

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18/05/21 15:59

Solución de ecuaciones de segundo grado

Exploro

Resuelvo problemas que se representan mediante expresiones cuadráticas. La maestra presentó el siguiente rectángulo a sus estudiantes y les pidió escribir una expresión algebraica que represente el área.

x+ 3 y y y y y y

¿Qué expresión algebraica representa el área del rectángulo? ¿De qué otra manera puedes representar el área? ¿Qué valores numéricos puede adquirir x? Explica tu respuesta. Asigna un valor numérico a x y verifica que tus expresiones son equivalentes. Si x = 5, ¿cuál sería el área del rectángulo? Y si x = 8, ¿cuál sería la medida del área?

Después, la maestra planteó lo siguiente: El área del rectángulo mide 108 cm2. y ¿Cómo determinarías la medida de los lados del rectángulo? De acuerdo con las expresiones algebraicas, ¿qué características deben tener los números que representen los lados del rectángulo? Justifica tu respuesta. y ¿Cuánto valdría x en este caso? y ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? y Si el área del rectángulo midiera 40 cm2?, ¿cuáles serían las medidas del rectángulo? Explica cómo obtuviste la respuesta. y Y si el área midiera 180 cm2, ¿cuáles serían las medidas del rectángulo? y En cada caso, ¿existe algún otro valor para x que haga verdadera la igualdad?

Compara tus respuestas con las de tus pares. Comenten cómo obtuvieron los resultados. Reflexionen sobre lo siguiente: ¿Cómo representarían algebraicamente el área del rectángulo considerando las medidas que se dieron?

En equipo escriban una expresión para cada una de las medidas dadas para el área.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 64

18/05/21 15:59

Descubro y construyo

I. Resuelvo ecuaciones mediante diversos procedimientos.

1. Consideren el cuadrado de la derecha y resuelvan en parejas. y y y y y

¿Cuánto miden sus lados? Argumenten su respuesta. ¿Cuánto mide el perímetro? Si llamamos m a los lados del cuadrado, ¿qué ecuación representa su perímetro? ¿Qué ecuación representa el área del cuadrado en función de sus lados m? ¿Qué diferencia observan entre las dos ecuaciones?

A = 100 u2

Pensemos en la misma ecuación, pero ahora como un número m elevado al cuadrado que es igual a 100. y ¿Qué números cumplen con dicha característica? y ¿Cuántas soluciones tendría la ecuación en este caso? y ¿Por qué en el caso del área no se consideran ambos valores como solución del problema? 2. Ahora observen el siguiente cuadrado. Escriban el área del cuadrado como un trinomio: y Si el área del cuadrado es igual a 81 u2, ¿qué ecuación representa la situación? y ¿Qué números elevados al cuadrado son iguales a 81? y ¿Qué valores puede adquirir x para que la igualdad se cumpla? Expliquen cómo lo determinaron. y Sustituyan x por los valores encontrados para validar que la igualdad se cumple. y ¿Los dos valores encontrados son soluciones del problema? ¿Por qué?

x +2

3. Consideren la siguiente situación y resuelvan. Un número más tres por el mismo número menos tres, puede representarse como: (x + 3)(x – 3). Anoten la expresión algebraica que representa el resultado de la multiplicación: y Si el resultado de la multiplicación anterior fuera igual a 25, ¿qué ecuación correspondería a la situación? Describan lo que se tiene que hacer para determinar el o los valores que puede adquirir x. y ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas. Comenten sobre las características de las ecuaciones resultantes en cada situación y el procedimiento que siguieron para resolverlas. Registren sus conclusiones con el apoyo del maestro.

Mate 3 book 2021.indb 65

Tomo Nota Como sabes, la raíz cuadrada de un número positivo puede adquirir dos valores, uno positivo y uno negativo. Es decir, ± 36 es ___ y ___ porque __ × __ = __ × __ = 36.

Solución de ecuaciones de segundo grado

18/05/21 15:59

II. Resuelvo problemas que implican ecuaciones de segundo grado.

En grados anteriores planteaste y resolviste ecuaciones de la forma: ax + b = c, llamadas lineales o de primer grado ya que la incógnita tiene como exponente 1. Ahora resolverás ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, llamadas así porque el mayor exponente es 2, es decir, la incógnita aparece, por lo menos una vez, elevada al cuadrado. Por ejemplo, x2 + 2x = 66, representa una ecuación cuadrática. 1. Consideren, en equipo, la siguiente situación y resuelvan. Un número elevado al cuadrado más el mismo número es igual a 110. y ¿Qué ecuación cuadrática representa la situación? y ¿Cómo determinarías el valor o los valores de x? y ¿Entre qué parejas de números enteros se encuentran las raíces cuadradas de 110? y ¿Qué valores puede adquirir x para que la igualdad se cumpla? Justifiquen la respuesta. 2. Consideren, en equipo, la siguiente situación y resuelvan.

Tomo Nota Las soluciones de una ecuación de segundo grado se llaman raíces. Al resolver una ecuación cuadrática, es importante considerar el contexto para determinar si las soluciones de la ecuación tienen sentido para la situación planteada.

La medida de los lados de un réctangulo suma 14 unidades y su área es igual a 48 u2. y Si uno de los lados del rectángulo mide x, ¿qué expresión algebraica representa la medida del otro lado? y ¿Qué expresión algebraica representa el producto de los lados del rectángulo? y ¿Qué ecuación de segundo grado representa la situación? Completen la tabla, considerando la relación entre los lados. Medida del lado x (unidades)

Medida del otro lado del rectángulo (unidades)

Área del rectángulo (u2)

y ¿Qué valores de x representan la solución de la ecuación? Sustituyan dichos valores en la ecuación y comprueben que se cumpla la igualdad. 3. Escriban una ecuación para representar el área del rectángulo que se muestra, a fin de determinar la medida de los lados.

A = 132 u2

x+ 1

x+ 2

Ecuación: _____________________ y ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? y ¿Cómo lo determinaron? y Busquen el valor negativo para x que hace que la igualdad sea verdadera. ¿De qué número se trata? Continúa actividad…➙

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 66

18/05/21 15:59

Continúa…

3. Representen cada ecuación con una situación que la modele, como: "Los lados de un cuadrado miden…", o un problema de enunciado verbal, por ejemplo: "Un número más dos unidades es igual a…". Cuando sea posible, consideren factorizar el lado izquierdo de la igualdad, como apoyo. a. x2 + 2x + 1 = 64 Soluciones: x1 = ______

x2 =______

b. n2 – 32 = 144 Soluciones: n1 = ______ n2 = ______ c. 2x (x) = 98: Soluciones: x1 = ______ x2 = ______ e. 4x2 + 20x + 25 = 121 Soluciones: x1 = ______ x2 = ______ 4. Comprueben las soluciones de las ecuaciones, en cada caso. Sustituyan las incógnitas por los valores encontrados. En caso de que no se cumpla la igualdad, revisen y corrijan.

Comparen sus resultados con los de otros equipos. En consenso grupal, y con el apoyo del maestro, discutan sobre las estrategias que permiten obtener las soluciones de una ecuación cuadrática. Registren sus acuerdos en su cuaderno. Practico

1. Escriban la ecuación que represente cada situación y resuélvanla para determinar la medida de los lados de las figuras. n– 1

A = 135 u2

A = 256 u2

2r – 2

n+ 5

Ecuación: ________ Soluciones: n1 = ____; n2 = ____ Medidas de la figura: ________

Ecuación: ________ Soluciones: r1 = ____; r2 = ____ Medidas de la figura: ____

2. Resuelve los siguientes problemas. a. El cuadrado de la edad de Gabriel más su triple es igual a 54 años. ¿Cuántos años tiene Gabriel? y ¿Qué otro número es solución de la ecuación? b. Didier tiene dos años más que Nery y un año menos que Santiago. Si el producto de las edades de Santiago y Nery es de 120 años, ¿cuántos años tiene cada quien?

Mate 3 book 2021.indb 67

Utilizo las TIC Ingresa a: cmed.mx/m317; copia las ecuaciones de segundo grado que ahí se ofrecen y resuélvelas en tu cuaderno. Elige la opción que coincida con tu resultado. Después, compara las opciones que elegiste con las de otro integrante del grupo.

Solución de ecuaciones de segundo grado

18/05/21 15:59

Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella en la que la incógnita está elevada al cuadrado, al menos una vez, por ejemplo:

1. Observa el siguiente rectángulo, que representa el terreno de Matías, y responde. c 24 – c

x2 = 64, 2x2 – 4x = 4. 2. Resolver una ecuación cuadrática es encontrar el o los valores que hagan cierta la igualdad. 3. Las soluciones de una ecuación cuadrática se llaman raíces. 4. Existen algunas situaciones, como el caso de medidas o edades, en las que las raíces negativas no tienen sentido, pero permiten obtener la respuesta a los problemas. 5. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos interiores correspondientes son iguales. 6. Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales y los ángulos entre ellos miden lo mismo. 7. Todos los triángulos equiláteros son semejantes debido a que sus ángulos miden lo mismo, 60°.

y ¿Cuánto suman las medidas de sus lados? y ¿Qué expresión permite obtener el área del terreno? y Si c vale 5 m, ¿cuál es el área del terreno? y Si c vale 9, ¿cuál sería el área del terreno? y Si el área del terreno mide 140 m2, ¿qué ecuación representa la situación? y ¿Cuánto miden los lados del terreno? 2. Imagina una situación que pueda representarse con las siguientes ecuaciones y encuentra las soluciones. Si tienes dudas, factoriza el lado izquierdo de la ecuación. a. x2 = 324 x1 = _____ x2 = _____ 2 b. y + 5y + 6 = 110 x1 = _____ x2 = _____ c. 3s2 + 15 = 258 s1 = _____ s2 = _____ 2 d. c + 4c + 8 = 20 c1 = _____ s2 = _____ 3. Resuelve lo siguiente. a. Un número elevado al cuadrado más el mismo número por 3 es igual a 18. ¿Qué números son? b. La base de un triángulo es 4 unidades más grande que su altura. Si su área mide 160 u2, ¿cuánto mide de base y de altura? 4. Escribe la ecuación que represente cada situación, considerando el área de cada figura; en el segundo caso, representa el área con el color azul. Calcula la medida de x y y. 4

y 5

A = 576 cm2 Ecuación: ________________ x =

A = 441 cm2 Ecuación: ________________ y=

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 68

18/05/21 15:59

Logro ir más

allá

Los huertos urbanos son una opción muy eficaz para producir plantas y vegetales de autoconsumo, ya sean hortalizas o plantas aromáticas o frutales. Este tipo de prácticas tiene grandes ventajas porque las técnicas empleadas incluyen beneficios al medio ambiente como reciclar (materia orgánica), reutilizar materiales (botellas de pet, aluminio, vidrio, cajas, etc.) y reducir los ingredientes que se utilizan contra las plagas, por ejemplo. De esta manera podemos producir algunos alimentos de manera sustentable. Lorena ha decidido hacer un huerto en su casa. Con ese fin, ha conseguido varios cajones de madera que le servirán para sembrar ahí las diversas plantas que desea tener, entre ellas cilantro, tomate, chile, acelga, cebolla y ajo. ¡Ya se está saboreando con los ricos platillos que va a preparar usando esos productos, además del ahorro que su cultivo le va a significar! Lorena empezó con el ajo. Para sembrarlo, tomó un cajón de madera cuadrado cuya área es de 1 m2. Comenzó a poner las semillas con una separación de 5 centímetros respecto a cada orilla del cajón, y dejó 10 centímetros de separación entre semilla y semilla. y y y y y

Sustentable. Término utilizado principalmente en ecología y economía; significa que un recurso se puede mantener durante largo tiempo sin agotarlo ni causar daños graves al medio ambiente.

¿Cuántas semillas de ajo colocó Lorena en el cajón? ¿Cuántas por cada lado? ¿Cómo se podría resolver el problema? ¿Qué información tienes? ¿Cómo puedes representar algebraicamente la situación? ¿Cómo representarías la distribución de plantas en el cajón? ¿Qué operaciones necesitas realizar y qué significado tienen?

Mate 3 book 2021.indb 69

GLOSARIO

18/05/21 15:59

Construcción de

polígonos semejantes

Exploro

Identifico figuras congruentes y figuras con lados proporcionales. Una maestra de secundaria mostró a sus alumnos la estrella de mar que aparece en la fotografía y les explicó que, al nacer, las estrellas de mar ya tienen la forma característica que conservarán durante toda su vida, la cual heredan de sus padres. Cuando llegan a perder un brazo lo regeneran hasta quedar nuevamente como estaban antes de perderlo, pero esa regeneración les lleva tiempo. La mayor parte de las especies de estrellas de mar tienen cinco brazos, pero otras especies llegan a tener hasta 50. En grados anteriores trabajaste con figuras congruentes (que tienen lados y ángulos iguales) y con figuras hechas a escala, cuya forma es la misma y sus lados correspondientes son proporcionales. 1. Observa las figuras que trazaron los estudiantes imitando a una estrella de mar y responde.

Leo + Si quieres encontrar más información sobre las estrellas de mar, ingresa a la página: cmed.mx/m347

y y y y

GLOSARIO Consenso. Acuerdo producido por consentimiento entre todos los miembros de un grupo.

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 70

De las figuras que se muestran, ¿cuáles son congruentes? ¿Cómo lo determinaste? ¿Qué figuras están hechas a escala? ¿Cuál es la razón de escala o de proporcionalidad? Si tuvieras que trazar una figura proporcional a una de las estrellas, ¿qué información necesitas conocer? Compara, con un integrante del grupo, las características que definiste para trazar una estrella proporcional. Si hay diferencias, traten de llegar a un acuerdo en consenso. ¿Cómo es el tamaño? ¿Cómo es la forma? ¿Cómo son los lados y los ángulos entre dos polígonos?

geométricos

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Identifico lados y ángulos correspondientes en figuras semejantes y determino si dos figuras son semejantes.

En parejas, realicen las actividades siguientes. Si dos polígonos son semejantes, conviene nombrar cada uno de sus lados de manera que los de uno recuerden a los del otro; por ejemplo, si un lado de un polígono se llama a, el lado correspondiente en el polígono semejante podría llamarse a´. 1. En el dibujo siguiente se muestra un rectángulo con sus lados marcados. ¿Cómo llamarían a los lados del rectángulo semejante? Indíquenlo en los recuadros. b a

Tomo Nota Si dos polígonos son semejantes, los lados, vértices y ángulos que se correspondan en ambas figuras se llaman “homólogos” o “correspondientes”.

d Tomen las medidas necesarias y calculen el cociente entre los lados homólogos de las figuras. y ¿Qué relación hay entre los cocientes obtenidos? y ¿Qué sucedería con las figuras si los cocientes fueran diferentes? 2. Consideren la siguiente cancha de futbol. La maestra les pide que la reproduzcan respetando su forma y que los lados sean proporcionales a la cancha que se muestra. Consideren que el lado que mide 90 m, en su dibujo debe medir 6 cm. y ¿Cómo pueden determinar la medida del otro lado del rectángulo para que se cumpla la proporcionalidad? Expliquen. 90 m

Ahora dibujen un polígono proporcional al de la cancha y nombren sus lados de modo que hagan referencia a los del primer polígono. Midan los lados de la cancha original, en el libro, y divídanlas entre las medidas correspondientes de su dibujo. y ¿Cuál es el resultado?

60 m

Si las razones encontradas entre los lados de sus figuras son iguales, entonces se puede decir que sus polígonos son semejantes.

Discutan con otras parejas: ¿Qué características deben tener dos polígonos para ser semejantes? Debatan con argumentos para llegar a acuerdos.

Continúa actividad…➙

Mate 3 book 2021.indb 71

Construcción de polígonos semejantes

18/05/21 16:00

Continúa. Continúen trabajando en parejas para resolver las siguientes actividades.

Tomo Nota Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes miden _______ y sus lados homólogos guardan la misma _________. Se llaman razón de semejanza a el cociente entre los lados ___________ de figuras semejantes. La razón de semejanza es el número por el que hay que ___________ las longitudes de los lados de una figura para obtener las longitudes correspondientes de su ___________.

Al trabajar con polígonos semejantes, es importante identificar los ángulos homólogos. Por ello, es conveniente dar nombres que tengan cierto parecido para facilitar relacionarlos; por ejemplo, si a cierto ángulo de un polígono lo llamas a, el ángulo correspondiente podría ser a´. 1. En un parque de diversiones se construirá una pista en la que los niños aprenderán educación vial. Será un modelo fiel de un circuito que existe en la ciudad y que tiene la forma siguiente: y Nombren sus lados y ángulos a fin de facilitar el trabajo de los constructores. También, midan y anoten la medida de los lados.

y Un trabajador hizo un croquis del polígono original, como se muestra en la siguiente figura. ¿Es semejante ese croquis? Expliquen su respuesta. y Identifiquen los lados y ángulos homólogos a los de la figura original y escriban su nombre.

GLOSARIO Croquis. Dibujo rápido que se hace a ojo y sin instrumentos.

Calculen el cociente entre los lados de la figura original y sus correspondientes. y ¿Las figuras son semejantes? y Si es así, ¿cuál es la razón de semejanza?

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 72

Compartan sus respuestas con otros integrantes del grupo. Verifiquen si coinciden y si pudieron hacer una correspondencia entre los lados y los ángulos del croquis y los de la figura original. ¿La posición de una figura determina si es o no semejante a otra? ¿Qué importancia tiene que las medidas sean exactas?

geométricos

18/05/21 16:00

II. Resuelvo problemas relacionados con figuras semejantes.

Trabajen en equipo. 1. Imaginen que les piden trazar un pentágono semejante a cierto pentágono dado. y ¿Qué información necesitan conocer para trazar un pentágono semejante al que recibieron? Justifiquen su respuesta. Elaboren en el siguiente recuadro un dibujo de un pentágono regular, sin observar el trabajo de los integrantes de su equipo. Utilizo las TIC

y ¿Qué características tienen los polígonos regulares? y ¿Los polígonos que trazaron los integrantes de su equipo serán semejantes a los suyos? Justifiquen su respuesta. y ¿Los polígonos que trazaron otros equipos también serán semejantes? ¿Por qué lo consideran así? y ¿Sucederá lo mismo con otros polígonos regulares, por ejemplo, con un hexágono? Argumenten su respuesta.

Después de debatir y llegar a acuerdos en pareja, entra a la liga: cmed.mx/m318, donde encontrarás información acerca de polígonos semejantes, así como algunas herramientas interactivas para experimentar con las medidas y la forma de diferentes polígonos. Resuelve las actividades y registra tus conclusiones. En esta liga encontrarás información que estudiarás más adelante, como la razón de semejanza o el teorema de Tales, entre otros.

2. Observen el siguiente hexágono y respondan.

y ¿Cualquier hexágono irregular será semejante al anterior? ¿Por qué? Dibujen a la derecha de la figura un hexágono semejante al que se muestra y determinen la razón de semejanza.

Mate 3 book 2021.indb 73

continúa actividad…➙

Construcción de polígonos semejantes

18/05/21 16:00

Continúa. 30 m

3. En la imagen de la izquierda se muestra el diseño de un fraccionamiento en la ciudad; los datos representan las medidas reales de su perímetro. 48 m

60 m

Tracen en el siguiente espacio un diseño semejante, de manera que el lado que mide 30 m, mida 3 cm en su dibujo.

24 m 12 m

90 m

y ¿Las medidas entre los dos diseños guardan alguna proporción? ¿Cuál? y ¿Qué características tienen los ángulos de su diseño con respecto a los del original? y ¿Qué información permite garantizar que las figuras son semejantes? y ¿Basta que los lados de dos polígonos sean proporcionales para ser semejantes?

A partir de las actividades realizadas, escriban los criterios para que dos polígonos sean semejantes; también discutan sobre las condiciones que en un principio consideraron que determinaban la semejanza entre polígonos y que ahora descartan: ¿por qué no fueron suficientes? Registren sus conclusiones.

Practico

5 6

1. Observa el triángulo de la izquierda y sus medidas: y ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes al anterior? a.

2 4 3

3.3

9 5.3

y ¿Por qué los otros triángulos no son semejantes al original? y ¿Cuál es la razón de semejanza? Justifica.

continúa actividad…➙

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 74

geométricos

18/05/21 16:00

Continúa. Una “escala” es una regla de proporcionalidad; por ejemplo, “1:100” significa que una unidad en el dibujo representa 100 unidades en la realidad. Con esta información, realicen la actividad siguiente: 2. En el plano de una parcela aparecen las siguientes medidas, en centímetros, y la leyenda “escala 1:200”: 2.5 cm

2.8 cm

3 cm

y ¿Cuáles son las medidas de la parcela en la realidad? y Si la escala fuera de 1:500, ¿cuáles serían las medidas reales de la parcela? y Considera el dibujo de la parcela y traza, en el espacio de la derecha, un cuadrilátero semejante a escala 1:2.

3. La fachada de un edificio es rectangular y las medidas de sus lados son las que se muestran en la figura. Al medir con una regla el polígono dibujado descubres que: A= 8 cm. y ¿A qué escala está hecho el dibujo? y ¿Qué aspecto tendría un dibujo hecho a una escala de 1:250 en relación con otro a una escala de 1:1000?

A = 40 m

Escribe las medidas de un dibujo realizado sobre el mismo edificio si la escala del dibujo fuera de 1:800. 4. Discute en el grupo si todos los planos de un edificio representan polígonos semejantes del edificio en la realidad.

B = 12 m

Mate 3 book 2021.indb 75

Construcción de polígonos semejantes

18/05/21 16:00

Semejanza de

triángulos

L10

El empleo de triángulos semejantes es cotidiano en distintas ramas del conocimiento. Una de las revoluciones de la ciencia geológica tuvo que ver con una situación ocurrida en México en la que se aplicó el conocimiento de triángulos semejantes: hasta hace poco se pensaba que los continentes estaban inmóviles, pero varios indicios parecían indicar que se movían; cuando esto se confirmó, cambió en forma radical la concepción que teníamos de la Tierra. Representación gráfica de la costa de Oaxaca y dos “focos de terremotos” Juchitán (en la costa) Océano Pacífico

Oaxaca (tierra adentro)

195 km

Huajuapan (más tierra adentro)

140 km 34.4 km

59.1 km

Focos de terremotos (bajo tierra) Costa de Oaxaca y Juchitán.

Una de las causas de los terremotos es la deformación de las rocas cerca de una falla activa; el punto de origen del terremoto se llama “foco”. En la década de 1970 se descubrió que los focos cercanos a la costa de Oaxaca están a menor profundidad que los ubicados tierra adentro. Al medir la profundidad de sismos en diversas zonas geográficas, surgió un patrón triangular y con ello se concluyó que el fondo del océano Pacífico se está desplazando y hundiendo por debajo de nuestro país en las costas de Michoacán, Guerrero, Oaxaca y Chiapas; cada movimiento provoca un terremoto. Exploro

Identifico si dos triángulos son semejantes y justifico mis respuestas.

Los vértices de un triángulo pueden denotarse con letras mayúsculas, así: “triángulo ABC”,y para denotar cada lado escribimos las letras, que señalan los extremos del segmento, con una raya encima, por ejemplo: “AB”, “AC” o “BC”. A

1. Con base en el triángulo de la izquierda, utiliza literales consecutivas: A, B, C, D y E, y nombra los vértices en el sentido contrario de las manecillas del reloj: y Los triángulos ABE y ACD son semejantes, ¿qué te permite garantizar que se da esta relación? Toma medidas en este triángulo y determina la razón de semejanza. Junto con tus pares, reflexiona sobre lo siguiente: Para trazar o para garantizar que dos triángulos son semejantes, ¿será necesario conocer todas sus medidas, de lados y ángulos? Discutan lo anterior en busca de llegar a acuerdos.

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 76

geométricos

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Identifico triángulos semejantes y aplico un criterio para justificarlo.

1. Imagina que en tu escuela se va a realizar un festival y recibes el dibujo de un triángulo con las siguientes instrucciones para trazarlo en el patio: “El lado a debe medir 8 m, el lado b debe tener14 m, y el ángulo entre estos lados será de 90°”. Al medir el dibujo en el papel obtienes lo siguiente: lado a: 4 cm, lado b: 7 cm, y te das cuenta de que el ángulo entre ellos es de 90°; lo mides con el transportador para confirmar. Formen equipos de 3 y, con la información anterior, respondan lo siguiente: y ¿Podrían garantizar que el triángulo trazado es semejante al original? Expliquen por qué. Elaboren en el siguiente recuadro un dibujo con las medidas indicadas para sus lados.

v Nombra el lado faltante y los ángulos. v Ahora mide los lados del triángulo siguiente:

a´ b´

y ¿Qué relación encuentran entre los lados del primer triángulo y los del segundo? Las medidas dadas, ¿son información suficiente para trazar dos triángulos semejantes al original? ¿Por qué?

A partir de la actividad que acaban de realizar, escriban en su cuaderno un criterio para saber si dos triángulos son semejantes. Comparen su propuesta con distintos integrantes del grupo y valídenla trazando los triángulos.

L10

Mate 3 book 2021.indb 77

Tomo Nota Los criterios de semejanza de triángulos muestran la información mínima necesaria para garantizar que dos triángulos son semejantes.

Semejanza de triángulos

18/05/21 16:00

II. Determino si dos triángulos son semejantes y determino algunos criterios para justificarlo.

Realiza, de manera individual, las actividades siguientes. 1. Observa la figura de la derecha: Dibuja por separado los triángulos que distingas, escribe las dimensiones de sus lados y dale nombre a cada uno de sus vértices.

5 50º 8

100º 4.2

15.12 30º 28.8

y ¿Cuánto miden los otros ángulos del triángulo pequeño? Con la información que contiene tu dibujo, ¿cómo podrías demostrar que los triángulos son semejantes? Explica. y ¿Los triángulos que dibujaste son semejantes? Explica tu respuesta y verifica tus resultados. y ¿La medida de los lados será suficiente información para determinar la semejanza de los triángulos? ¿Por qué lo piensas? y Si sólo se conoce la medida de los ángulos, ¿podrías asegurar que los triángulos son semejantes? Argumenta tu postura. 2. Observa los siguientes triángulos, realiza lo que se pide y responde. y Traza, dentro de cada figura, un segmento paralelo a uno de los lados, elige un lado diferente en cada figura, para obtener figuras similares a la anterior. Nombra los nuevos vértices que se hayan formado con la recta que dibujaste. A

95º

72º

13º

72º

13º

C B

72º

13º

y ¿Distingues los dos triángulos semejantes que se generaron en cada figura? Menciona cuáles son y qué información permite garantizar que los triángulos son semejantes. Escribe junto con una pareja y con sus propias palabras, el criterio que usaron para garantizar que los triángulos que se forman con la recta que dibujaron son semejantes. Compártanlo con el grupo para validarlo.

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 78

geométricos

18/05/21 16:00

III. Establezco un nuevo criterio para determinar si dos triángulos son semejantes.

Resuelvan en parejas las siguientes actividades. 1. María va a diseñar adornos de papel, con forma de triángulo, y para lograr armonía en el diseño quiere que sean triángulos semejantes. Primero dibuja un triángulo base color anaranjado, como el que se muestra; las medidas de los dos ángulos las hizo con una de las escuadras. Después dibujó un triángulo semejante más pequeño en color verde, como se muestra: 45º 45º

15 cm

10 cm 30º

30º

21 cm

Triángulo base

y ¿Cuál es la medida del ángulo faltante en el triángulo base? y Con la información que se tiene, ¿podrías garantizar que los triángulos son semejantes? ¿Por qué? ¿Cuál debe ser la medida que María dé al lado x del triángulo verde considerando que los triángulos son semejantes? 2. Consideren la siguiente pareja de triángulos y respondan. C C´ 5.2

2.6

30º 5.4

A´

30º 2.7

B´

y ¿La información que muestran las figuras permite garantizar que los triángulos son semejantes? ¿Por qué? y Intenten trazar en su cuaderno dos triángulos semejantes a los anteriores, considerando únicamente la información que muestran. Comparen sus triángulos, entre sí; tomen las medidas necesarias y determinen si son semejantes. y ¿Coinciden sus triángulos en todos los casos? Si es así, determinen la razón de semejanza correspondiente.

Comparen sus respuestas con las de otros integrantes del grupo. Verifiquen sus resultados y procedimientos. Escriban con sus propias palabras el criterio utilizado para garantizar que los triángulos, trabajados en la actividad, son semejantes.

L10

Mate 3 book 2021.indb 79

Tomo Nota Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos miden lo mismo. Esto podría llamarse “criterio AA”, por “ángulo-ángulo”.

Continúa actividad…➙

Semejanza de triángulos

18/05/21 16:00

Continúa. Formen equipos de tres integrantes para realizar las actividades siguientes: 1. Juan y Margot van a hacer la maqueta de una pirámide cuyas caras laterales tienen forma de triángulo isósceles. Tendrá dos cuerpos, uno arriba del otro, como se aprecia en la figura; sus medidas son en centímetros: y ¿Son semejantes los triángulos FGH y HIJ? Expliquen por qué. y ¿Podrían decir a Juan y Margot cuánto deben medir los ángulos a, b, c y d? ¿Cuáles son las medidas?

H 9

40º

3 F

d 6

y ¿Cuál es la medida para el segmento IJ? 2. Un pintor apoya su escalera de 6 metros de longitud sobre una pared, y el pie de la escalera queda a 1.5 m de ésta. La escalera forma un ángulo de 60° con el piso, y desde un escalón de ella cuelga verticalmente una cuerda de 2 metros que toca el piso. Tracen un dibujo a escala que represente la situación, en el que cada metro corresponda a 2 cm en su dibujo. y ¿Existen triángulos semejantes en el dibujo que elaboraron? Expliquen su respuesta. De acuerdo con las medidas de su dibujo, ¿qué altura, sobre la pared, alcanza la escalera? Expliquen su respuesta. y ¿A qué distancia del pie de la escalera cae la cuerda?

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 80

Revisen con otros equipos las respuestas que dieron a las actividades; en particular, discutan el criterio para determinar que dos triángulos son semejantes si en uno de ellos dos ángulos miden lo mismo que los respectivos en el otro.

geométricos

18/05/21 16:00

III. Determino si dos triángulos son semejantes analizando sus lados.

Resuelve las actividades siguientes en forma individual. 1. Considera los siguientes triángulos de la derecha y sus dimensiones: y ¿Qué relación hay entre las medidas de los lados homólogos en los triángulos? y ¿Esta relación permite garantizar que los triángulos son semejantes? Explica tu postura. y A partir de lo anterior, ¿qué criterio establecerías para saber si dos triángulos son semejantes? 2. La etnia wixárika (huicholes), de Nayarit, es famosa por los diseños de su ropa tradicional, que muestran una hermosa simetría. Don Juan es un tejedor que se basa en una figura triangular grande a partir de la cual teje otros triángulos más pequeños que deben ser semejantes con el grande, y si no lo son, no los teje. Ahora él estudia los siguientes diseños: 1.5

1.5

4 3

Diseño 1

1 1.5

2.5 1.5

1.5

2.5 1

Diseño 2

2.5

1 1.5

2.5

1.5

2.5

3. Habrá un concurso de diseños en la clase de Arte, y tú planeas hacer una obra a partir de triángulos equiláteros de distintos tamaños. y ¿Serían semejantes todos los triángulos que habría en tu obra? Explica tu respuesta. y En tu obra un triángulo equilátero mide 4.5 cm de lado; ¿cuánto tendría que medir el lado de otro que estuviera en proporción 2 a 1 respecto al primero? y Si tu idea fuera trazar un triángulo en proporción 1 a 2 respecto al triángulo equilátero, que mide 4.5 cm de lado, ¿cuánto tendría que medir el lado del que fueras a dibujar? Compara tus respuestas con las de otros integrantes del grupo; en particular, discutan si un triángulo equilátero siempre es semejante a otro equilátero.

L10

Mate 3 book 2021.indb 81

6 10

7 12

GLOSARIO Simetría. Dos figuras son simétricas si al cortarlas por la mitad con una recta (mediatriz) resultan dos partes exactamente iguales pero invertidas.

Diseño 3

y ¿Qué diseño no debería tejer don Juan por no ser semejantes los triángulos que lo forman? y ¿Qué diseños recomendarías que tejiera don Juan? y ¿Cómo explicarías a don Juan por qué debe tejer los diseños que le recomendaste?

3.5

Tomo Nota Los criterios de semejanza de triángulos dan la información mínima que se requiere para determinar si dos triángulos son semejantes. Criterio 1. Si dos triángulos tienen dos _________ iguales, son semejantes. Este criterio se conoce como AA. Criterio 2. Si sus tres ________ son proporcionales, los triángulos son semejantes. Se conoce como criterio LLL. Criterio 3. Si tiene dos _________ proporcionales y el _________ entre ellos es igual, los triángulos son semejantes. Si tiene _________ proporcionales y el _________ entre ellos es igual, los triángulos son semejantes. Se conoce como criterio LAL.

Semejanza de triángulos

18/05/21 16:00

Utilizo las TIC

Practico

Ingresa a la liga: cmed.mx/m348 para repasar la información sobre criterios de semejanza de triángulos. Realiza las actividades que se indican.

1. Un terreno tiene forma de triángulo isósceles, como se ilustra A 75º en la figura de la derecha: El dueño desea dividirlo de modo que una de las partes represente un triángulo semejante al total del terreno y que sus longitudes correspondan a la mitad de las del terreno. C y ¿Una recta paralela a cualquiera de los lados cumpliría las condiciones? Muestra sobre el triángulo un dibujo que apoye tu respuesta. y ¿Cómo tendría que trazarse una recta que tocara un vértice y produjera dos triángulos semejantes que tuvieran un ángulo recto? Muestra tu respuesta con un dibujo en el recuadro. y ¿Cuál sería la razón de semejanza entre dichos triángulos? Traza en el siguiente espacio dos triángulos congruentes. Recuerda que sus ángulos y lados, correspondientes, deben ser iguales.

y ¿Los triángulos congruentes se pueden considerar semejantes? ¿Por qué? y ¿Cuál es la razón de semejanza en esos casos? Argumenta tu respuesta. 2. Calakmul es una ciudad maya casi inexplorada; ahí, un arqueólogo descubrió dos pirámides: una está bien expuesta y ya fue medida, pero la otra está semioculta por la selva, como se ilustra en la figura, y el arqueólogo no sabe cómo completar su medición. ¿Podrías ayudarlo? 38º

38º 45 m

45 m 71º

60 m

71º

29 m

71º

y ¿Cómo describirías los ángulos y el costado correspondiente de ambas pirámides? y ¿Dirías que las caras de las pirámides forman triángulos semejantes? Explica el criterio que usaste. y A partir de lo que ves, ¿cuánto mide el ángulo oculto por la selva? y ¿Cuánto mide el lado de la base de la pirámide semioculta? y ¿Cuánto mide el otro lado oculto de la cara lateral de la pirámide?

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 82

geométricos

18/05/21 16:00

3. En un museo de ciencias se instalarán nichos con forma triangular para exhibir algunas piezas de colección. Los nichos deben tener las medidas que se muestran en las imágenes.

1.80 m 0.90 m 70º

70º 70º

70º

0.66 m

y El carpintero que construirá los nichos pregunta por los ángulos de la parte superior de cada una; ¿qué le responderías? y El carpintero insiste en que no puede ser el mismo ángulo superior para los dos nichos puesto que uno es mucho más grande; ¿cómo le explicarías que su postura no es correcta? y Después pregunta el carpintero cuánto debe medir la base del nicho pequeño, ¿qué le dices? 4. En Dzibilchaltún, ciudad maya de Yucatán, en cierto día del año los rayos del Sol pasan a través de dos ventanas, de dos diferentes edificios, al mismo tiempo. El siguiente esquema muestra la situación descrita en el texto. Los puntos A y B, representan la posición de los edificios sobre el piso y los puntos V y W representan a las ventanas. W V 45º O 4m A

Piso

8m B

y El guía pregunta si los triángulos que se forman: OAV y OBW son semejantes; ¿qué le responderías? Explica tu respuesta. y Si un familiar te dice que la ventana W está a 10 m del piso; ¿es correcta su afirmación? Explica por qué. y ¿Cuál es, entonces, la altura de la ventana W por arriba del piso?

L10

Mate 3 book 2021.indb 83

Semejanza de triángulos

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes miden los mismo y sus lados son proporcionales. 2. A la relación entre los lados correspondientes de figuras semejantes se le conoce como razón de semejanza. 3. Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. Existen criterios que permiten determinar si dos triángulos son semejantes.

1. Un poste proyecta una sombra de 9 metros sobre el piso. Imagina que un amigo tuyo mide 1.77 metros; está parado junto al poste y su sombra mide 1.5 metros. Considera que el Sol está tan lejos que sus rayos son paralelos y forman un ángulo de 60° con el plano de la calle. Escribe todas las medidas que conozcas y nombra los vértices que haga falta.

Sol

Poste

4. Dos triángulos son semejantes si los lados correspondientes son proporcionales. 5. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos interiores correspondientes son iguales. 6. Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales y los ángulos entre ellos miden lo mismo. 7. Todos los triángulos equiláteros son semejantes debido a que sus ángulos miden lo mismo, 60°.

y ¿Hay triángulos semejantes? Explica tu criterio para decidirlo. y ¿Cuál es la altura del poste? 2. Existen muchos fenómenos del Universo que aparentemente no tienen relación entre sí, pero la proporción, la escala y las semejanzas entre ellos son notables. Por ejemplo, hay espirales en las galaxias, en la concha de un caracol, en los cuernos de los carneros, etcétera; aparecen hexágonos en los panales de abejas, en el caparazón de las tortugas, en las manchas de las jirafas, etcétera. y ¿Podrías mencionar algunos fenómenos en los que la simetría, la escala y la semejanza sean determinantes? Explica tu respuesta. 3. Construye un polígono semejante al polígono que se muestra y determina la razón de semejanza.

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 84

geométricos

18/05/21 16:00

Logro ir más

allá

Existen múltiples situaciones en las que es posible utilizar triángulos semejantes para determinar dimensiones que no es posible alcanzar físicamente. En los estudios del relieve terrestre el empleo de triángulos de todo tipo ha alcanzado su mayor desarrollo. Fue con triángulos semejantes que George Everest (1790-1866) calculó la altura de las montañas más altas del mundo en el siglo xix, cuando tuvo a su cargo el estudio de la topografía de la India. Analiza con cuidado la imagen de la derecha. y ¿Hay triángulos semejantes en la figura?

1.25 m

Explícalo, abajo, en un dibujo.

4.5 m

y ¿Cómo podrían escribirse las relaciones de proporcionalidad de los lados verticales y de los lados horizontales? y A partir de lo anterior, ¿cuánto mide la altura de la casa? y En un día soleado párate junto a una casa, poste, árbol o cualquier otro objeto elevado. Mide la sombra que proyecta dicho objeto y también la sombra que proyectas tú, y mide tu estatura. Después dibuja los triángulos semejantes que consideres necesarios para calcular la altura del objeto que hayas elegido medir. No debes hacer esta actividad en las horas cercanas al mediodía; ¿por qué?

Mate 3 book 2021.indb 85

L10

18/05/21 16:00

Evaluemos lo aprendido

Reconozco mis emociones Recupera el texto “Contar, medir y calcular… los cambios”, relaciónalo con el epígrafe de inicio del Módulo 1 (pp.14-15) y reflexiona: y ¿Por qué tener la capacidad de hacer cálculos sobre el impacto ambiental de nuestras acciones, incrementa nuestra responsabilidad sobre el medio ambiente?

y ¿Qué harías tú, cortarías el árbol para quemarlo o lo conservarías vivo para que pudiera producir flores y frutos?

y ¿Cómo afectaría tu decisión al medio ambiente?

Itacate

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

I. Selecciona la opción correcta. En pareja, compara tus respuestas y procedimientos.

1. Selecciona el número cuyos divisores sean 3 y 6. a. 5814 b. 303 c. 519

d. 1203

2. ¿Cuál de los siguientes es un número primo? a. 77 b. 119 c. 53

d. 85

3. Encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de 12 y 21. a. 44 b. 84 c. 56

d. 4

4. Encuentra el máximo común divisor (mcd) de 238, 340 y 204. a. 24 b. 17 c. 34

d. 41

5. Alan y Emilia juegan en equipos diferentes en la clase de educación física. A Alan le toca jugar cada 15 días mientras que a Emilia cada 20 días. Si ambos jugaron hoy, ¿cuándo coincidirán nuevamente? a. 150 días b. 300 días c. 60 días d. 80 días 6. Se tienen 200 pares de guantes y 120 bufandas que se van a donar para la temporada de frío. Se quieren hacer cajas con el mismo número de piezas, ¿cuántas cajas se pueden formar en cada caso, con el máximo número de piezas? a. 40 paquetes b. 5 y 3 paquetes c. 20 paquetes d. 10 y 6 paquetes 7. ¿Qué expresión algebraica no representa el área de la siguiente figura? x

y ¿Cómo te hace sentir el hecho de que tus actos tengan una repercusión en el medio ambiente?

2 y ¿Qué pasaría si los ciudadanos decidiéramos cortar todos los árboles y quemarlos?, ¿cómo te hace sentir esa idea?

a. x 2 + 4x + 4

b. (x + 2)2

c. x2 + 2x + 2x + 4

8. Encuentra los factores de la expresión x 2 + 2x – 15 : a. (x + 5)(x + 3) b. (x – 5)(x – 3) c. (x – 5)(x + 3)

d. (2x)(2x) + 4 d. (x + 5)(x – 3)

Mate 3 book 2021.indb 86

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9. Los valores de x en la ecuación x2 – 4 x + 3 = 0 son: a. x1 = 2, x2 = –1 b. x 1 = 3, x 2 = 0 c. x1 = –3, x2 = 1

d. x1 = 3, x 2 = 1

10. Se tiene un triángulo cuya base mide 3 unidades y cuya altura es de 4 unidades; determina cuáles de las siguientes magnitudes forman un triángulo semejante. a. Base = 15, altura = 24 b. Base = 6, altura = 8 c. Base = 12, altura = 8 d. Base = 9, altura = 16 II. Resuelve los siguientes problemas.

1. Se tiene un rectángulo de 5 cm de largo por 3 cm de ancho; ¿cuál sería el ancho de un rectángulo semejante de 7 cm de largo? 2. Calcula la estatura de Alejandra sabiendo que proyecta una sombra de 0.75 metros en el momento en el que Pepe, que mide 1.70 m, proyecta una sombra de 1.25 metros. 3. Representa, con una ecuación cuadrática, el área de un rectángulo con un lado que mida 5 u más que el otro y que su área sea de 204 u2. Determina las dos soluciones de la ecuación. III. Lee, en pareja, el texto de entrada del Módulo I y contesten.

Una de las actividades comunes que contribuyen al efecto invernadero es el uso de combustibles fósiles, que se consumen en actividades diversas, entre ellas el transporte. El uso y la frecuencia con la que utilizamos los medios de transporte afectan el medio ambiente. Si quieres saber cuál es tu huella ecológica, entra a la página: www.tuhuellaecologica.org/encuestas/transporte.asp Una persona que usa el transporte público de lunes a viernes para ir a su trabajo y además viaja el fin de semana 200 kilómetros de ida y vuelta, tiene un gasto de combustible anual aproximado de 272 kep. Este valor equivale a una energía de 11 388 096 000 joule (J). Para que te des una idea de lo que significa esta magnitud, un joule de energía es equivalente a lanzar una manzana pequeña hacia arriba, a un metro de distancia. a. El combustible promedio consumido (x) por esta persona en un día normal se define con la ecuación x 2 + x – 6 = 0. Encuentra los valores de x. b. Selecciona el valor de x que tenga sentido físico. c. ¡Imagina cuántas veces tendrías que lanzar una pequeña manzana hacia arriba, a un metro de distancia, para consumir la energía que representa el valor que encontraste de x!, ahora, calcúlalo y reflexiona sobre ello.

GLOSARIO Kep. Kilogramos equivalentes de petróleo. Es la unidad de medida que se utiliza para calcular la huella ecológica. Joule (o julio). Unidad de medida del Sistema Internacional de Unidades que se utiliza para medir energía, trabajo y calor.

Escribe un compromiso sobre las acciones que cambiarías en tu vida cotidiana para disminuir tu huella ecológica y compartirlas con tu familia y amigos. IV. Verifiquen, en parejas, que completaron correctamente los Tomo nota de este Módulo.

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18/05/21 16:00

Autoevaluación Mis logros y metas Como ya tienes completo y revisado tu Itacate de evidencias, puedes fácilmente reconocer lo que has aprendido. Completa el cuadro con lo que se pide en cada caso. Apóyate en la Ruta de aprendizaje. Logros

Lo alcancé

Casi lo alcancé, aunque debo trabajar un poco más

Determino y uso los criterios de divisibilidad y los números primos.

Uso técnicas para determinar el mcm y el mcd.

Formulo expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifico la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Construyo polígonos semejantes. Determino y uso criterios de semejanza de triángulos.

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18/05/21 16:00

No lo he conseguido aún

Mis metas

Habilidades del siglo xxi Marca con una (3) las habilidades que consideres has alcanzado: Confío en mí Percibo mis emociones Soy responsable Muestro empatía Tengo sentido de comunidad Me comunico Colaboro / participo Me adapto Muestro creatividad Muestro curiosidad e interés Tengo iniciativa Soy persistente Planteo metas positivas Resuelvo problemas Manejo la información Uso los medios Manejo la tecnología Soy consciente del mundo natural y social

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18/05/21 16:00

Cuando uno tira de una sola cosa Cuando bebas agua en la naturaleza, se encuentra recuerda la fuente… que está agarrada del resto proverbio chino del mundo. John Muir*

Utilizo las TIC Después de ver el siguiente video, reúne datos que ilustren las causas de esta situación en tu región. • ¿Cómo percibes en tu comunidad el abastecimiento de agua potable? ”Desafío hídrico en América latina y el Caribe“, en: cmed.mx/m34

* Escritor, viajero y filósofo estadounidense conocido como ”El padre del naturalismo moderno” (Escocia 1838-EUA 1914).

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Módulo

Todo está conectado Una de las transformaciones que ocurren constantemente en la Tierra se puede medir en los glaciares. La elevación de la temperatura provoca deshielos masivos, el nivel de los mares aumenta y esto tiene consecuencias biológicas, sociales y económicas en las zonas costeras. Estos enormes bloques de hielo, que son un reservorio de agua dulce, están compactados sobre los continentes polares, y al descongelarse se desprenden, provocando también una reducción en la masa polar. El cambio en la concentración de gases de efecto invernadero (gei) en la atmósfera, gestado por las actividades humanas, está modificando los promedios de las temperaturas en la atmósfera, condición que repercute en las regiones más frías del planeta. Millones de personas que viven cerca de los glaciares dependen del agua que de ahí proviene. Si debido a los cambios en la temperatura se alteran los ciclos naturales que han permitido la vida en la Tierra, nos enfrentaremos a grandes problemas, por eso es importante saber qué contar y qué conviene medir.

Reflexiona sobre esta nota porque la retomarás en la evaluación final del Módulo. módulo.

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18/05/21 16:00

Ruta de Aprendizaje

Eje

Número, Álgebra y Variación

Tema

Funciones

Aprendizaje esperado

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Resuelve problemas mediante la formulación y la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Gráficas de movimiento y de llenado de recipientes

La expresión algebraica de una función cuadrática

Gráficas con diferente variación

Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado

Factorización de ecuaciones cuadráticas

Proyecto

Lección Logro ir más allá

Ecuaciones

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18/05/21 16:00

Forma, Espacio y Medida

Análisis de Datos

Figuras y cuerpos geométricos

Estadística

Resuelve problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Compara la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

Ángulos agudos de triángulos rectángulos

Razones trigonométricas

Medición de distancias inaccesibles

Medidas de tendencia central y de dispersión

Análisis de desviación media

Mate 3 book 2021.indb 93

18/05/21 16:00

Gráficas de movimiento y de llenado de recipientes

L11

Identifico la relación entre la distancia y el tiempo de recorrido a partir de una gráfica.

Exploro

1. Lee la siguiente información y realiza en forma individual lo que se pide. Hoy salí de mi casa a las 7 de la mañana. Caminé 5 minutos hasta la parada del autobús. Esperé 10 minutos. Subí al camión y viajé 30 minutos en él mientras hacía varias paradas y se detenía en algunos semáforos. Al bajar caminé 15 minutos hasta llegar a la escuela. y ¿A qué hora llegué a la escuela? ______________________________________ y Si la parada del autobús está a dos cuadras, ¿cuánto demoro en caminar una cuadra considerando que se desplazó a un ritmo constante y que las calles miden lo mismo? __________________________________________________

Distancia (m)

La siguiente gráfica representa la descripción del recorrido anterior.

Tiempo (min)

y ¿Qué hora marca el punto A de la gráfica? _____________________________ y ¿Qué evento marca el punto B de la gráfica? _____________________________ y ¿Qué evento marca el punto C de la gráfica? _____________________________ y ¿Qué evento marca el punto D de la gráfica? _____________________________ y ¿Cuántas paradas hizo el autobús antes de que yo descendiera? _____________

Verifica, con una pareja, si hay coincidencia en sus respuestas, y si hay diferencias, analicen a qué se deben y aclaren sus dudas.

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 94

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Represento en el plano cartesiano diferentes situaciones relacionadas con el tiempo.

1. Imagina que tienes un tanque cilíndrico y realizas lo que se indica. • Si este tanque se llenara con un flujo constante de agua a través de una llave, ¿el nivel del agua ascendería de manera uniforme con el tiempo, o no? Explica por qué. a. La relación constante entre dos variables, en este caso el tiempo y la altura que alcanza el agua en el recipiente, se representa con una línea recta en el plano cartesiano.

Altura del agua

Tomo Nota Recuerda que la capacidad de un cilindro depende del radio e indica cuánto puede contener. Se mide en litros o mililitros, mientras que el volumen es el espacio que ocupa el cilindro. La fórmula del volumen de un cilindro es: V= π r2 h, donde π ≈ 3.1416, r es el radio y h, la altura del cilindro.

Tiempo de llenado

b. Imagina ahora que tienes tres tanques como los que se muestran en las siguientes figuras, los cuales se llenan con llaves iguales que dejan pasar la misma cantidad de agua.

I II III y ¿Cuál tiene más capacidad? y ¿Cuál se llenará primero y cuál al final? Explica. y ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al llenado de cada tanque? Indica tu respuesta en los recuadros con el número romano que corresponda a la figura.

Altura del agua (h)

Comparte tus respuestas con un integrante del grupo y verifiquen si éstas coinciden. Lleguen a acuerdos.

L11

Mate 3 book 2021.indb 95

Continúa actividad…➙

Gráficas de movimiento y de llenado de recipientes

18/05/21 16:00

Continúa… Trabajen en parejas. c. Ahora imaginen que tenemos un tanque con la siguiente forma y que se llena con un flujo de agua constante: B A

y ¿De qué forma se podría dividir el análisis del llenado del tanque? Argumenten su respuesta? y ¿Qué parte se llenará más rápido? ¿Por qué? GLOSARIO

Analicen la gráfica y describan el llenado de este tanque. y ¿Por qué la recta que representa la parte B del tanque es menos inclinada?

Pendiente. Es la inclinación de la recta respecto al eje x.

Cuando una recta está más inclinada que otra, decimos que tiene una mayor pendiente. • ¿Qué indica la pendiente en cada segmento de la gráfica? B Altura del agua

Tiempo de llenado

d. Si el tanque tuviera una forma inversa, más ancho abajo y más estrecho arriba, como en la figura de la derecha: • ¿Cuál de las gráficas describiría esa situación? Expliquen.

0 1

0 2

0 3

e. ¿Por qué piensan que en dos de las gráficas existe un punto de corte que las divide en dos rectas? Argumenten su respuesta.

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 96

18/05/21 16:00

f. Si el tanque tuviera una sola forma de cono (en este caso, cono truncado) como en el dibujo, la gráfica tendría la forma que se muestra. Describan el llenado del tanque. y ¿Por qué consideran que la gráfica adquiere dicha forma? h

g. Traza la gráfica de llenado de un tanque más ancho de abajo, como se muestra en el dibujo.

GLOSARIO Cono. Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada que termina en un vértice, y un plano que forma su base. Cono truncado. También llamado tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta de cortar un cono por un plano paralelo a la base y remover la parte que contiene el vértice.

h. Relacionen las siguientes gráficas de llenado de agua con los diferentes recipientes. Coloquen en el recuadro el número que le corresponde.

Utilizo las TIC

0 1

0 2

0 3

0 4

Comparen sus respuestas en grupo; ¿coinciden? Si encuentran diferencias, analícenlas y corrijan si es necesario. Registren sus resultados.

L11

Mate 3 book 2021.indb 97

Revisa la liga: cmed.mx/m319, en la que encontrarás una interesante simulación de llenado de recipientes en Geogebra.

Gráficas de movimiento y de llenado de recipientes

18/05/21 16:00

II. Construyo gráficos de desplazamientos en el tiempo.

Resuelve en equipo.

Tomo Nota La relación entre la distancia y el tiempo se llama

1. Cuando andamos en bicicleta por una superficie plana, podemos sentir que con un mínimo esfuerzo logramos recorrer distancias a un ritmo constante. Si relacionamos la distancia recorrida con el tiempo empleado, tendremos una relación lineal (recta). y ¿Cómo es la relación entre la distancia y el tiempo?

Rapidez: rapidez = distancia tiempo

Distancia (d) en metros (m)

Habitualmente llamamos velocidad a la rapidez, pero el concepto físico de velocidad incluye la dirección y el sentido.

Tiempo (t) en segundos (s)

y Si nos toma 1 segundo recorrer 20 metros, ¿cuántos metros recorreremos en 5 segundos? y ¿Cuánto tiempo emplearíamos para recorrer 200 metros? y Si llevamos mayor velocidad, ¿cómo será la recta, con relación a la anterior? ¿Y si la velocidad es menor? Explica por qué. m

2. Tres bicicletas se desplazan con velocidades promedio: v1 = 5 s ; v2 = 10 s ; m v3 = 15 s . Relaciona cada desplazamiento con la gráfica que le corresponde: d

d (m)

(m)

10 5

t (s)

d (m)

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 98

18/05/21 16:00

a. Cuando nos movemos en bicicleta por una superficie inclinada, nos sentimos frenados si la recorremos cuesta arriba. En este caso la gráfica de nuestro recorrido será una curva hacia abajo, como la siguiente: Distancia

(m)

Tiempo (s)

Distancia (m)

Tiempo (s)

y ¿Por qué consideras que la gráfica tiene esa forma? Argumenta tu respuesta. b. Y cuando andamos en bicicleta por una superficie inclinada nos sentimos empujados si la recorremos cuesta abajo. En este caso la gráfica también será una curva, pero hacia arriba: y ¿Por qué consideras que la gráfica tiene esa forma? Argumenta tu respuesta. 3. Relacionen, entre equipos, las gráficas siguientes con el recorrido en bicicleta de las diferentes superficies. Anoten en el recuadro el número que corresponda.

Comparen sus respuestas en grupo; ¿coinciden? Si encuentran diferencias, analícenlas y corrijan si es necesario. Registren sus resultados.

L11

Mate 3 book 2021.indb 99

Gráficas de movimiento y de llenado de recipientes

18/05/21 16:00

Practico

GLOSARIO

1. Si se llena un tanque en forma de esfera, ¿a cuál de los siguientes recipientes se parecería su gráfica de llenado respecto al tiempo?

Esfera. En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro. Superficie de revolución. Es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana o generatriz alrededor de una recta llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.

Eje de rotación

2. Al salir de una estación, el metro aumenta su velocidad, luego mantiene una rapidez constante y finalmente frena al llegar a la siguiente estación. Realiza una gráfica que represente esta situación.

Distancia

100

Tiempo

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 100

18/05/21 16:00

3. Elige qué situación representa la gráfica siguiente (coloca el inciso en el recuadro):

d d

a. Viajo a velocidad constante, luego me detengo unos instantes, bajo por una rampa y sigo a velocidad constante. b. Viajo a velocidad constante, luego me detengo unos instantes, subo por una rampa y sigo a velocidad constante. c. Subo por una rampa, luego viajo a velocidad constante, subo por una rampa y me detengo. d. Bajo por una rampa, luego viajo a velocidad constante, bajo por una rampa y me detengo. 4. ¿Cómo sería la gráfica de llenado de un tanque cilíndrico horizontal? Represéntala en tu cuaderno.

L11

Mate 3 book 2021.indb 101

Gráficas de movimiento y llenado de recipientes

101

18/05/21 16:00

La expresión algebraica de

una función cuadrática

L12

Cuando vamos a la casa de los espejos, encontramos que algunos nos deforman, otros nos hacen más delgados y altos o chaparros y rollizos. Esos espejos no son planos como los que tenemos en casa, sino curvos. Una estructura curva particular es la parabólica, las siguientes imágenes son ejemplos de lo anterior, la imagen a, muestra una parabólica usada en reflectores; la b, en faros de los automóviles y la c, en antenas satelitales.

a Exploro

Analizo gráficas lineales y las comparo con una cuadrática. Para una tarea en casa, Gaby graficó la altura del agua en un tanque cilíndrico vertical mientras era llenado con flujo constante; y Marce graficó el porcentaje de energía (“batería”) restante de un aparato electrónico, cuando se usa de manera constante. 1. Reconoce cuáles son los gráficos de Gaby y Marce, colocando su nombre en el recuadro: y y

Tomo Nota En un plano cartesiano, el eje horizontal se llama eje de las abscisas. El eje vertical se llama eje de las ordenadas. Se llaman coordenadas de un punto al par ordenado de abscisas y ordenadas: (x, y).

102

y Imagina que realizas un saque en un partido de voleibol, ¿qué características tiene el movimiento que sigue la pelota? y Si graficamos la altura que toma la pelota respecto al tiempo transcurrido, ¿cómo piensas que será la gráfica correspondiente?

Comparte con distintos integrantes del grupo tus respuestas. Verifiquen si coinciden y comenten sus deducciones.

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 102

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Analizo la tabla que representa una variación lineal.

1. Imagina que tienes alambre de púas para cercar el perímetro de un terreno rectangular que mide 20 metros. Ancho o altura

y ¿Cómo es la relación entre los lados del rectángulo?

Largo o base

y C omo un rectángulo es una figura plana de 4 ángulos iguales (rectos) y sus lados opuestos tienen la misma medida, en este caso, ¿cuánto tiene que valer la suma de la base y de la altura?, ¿por qué? a. Analicen, en parejas, la tabla y encuentren los datos faltantes. Opción

Altura (m) 0.50 Base (m)

2 1

9.50

2.50

12 9

b. Respondan las siguientes preguntas: y ¿Cuántos valores puede adquirir la base cuando la altura es 2.50 m? ¿Por qué? y ¿Cuántos valores puede adquirir la base en la opción 12? y En la opciones 8 y 10, ¿qué valores puede adquirir la base y la altura? Explica por qué. y Si b representa la base y h la altura, ¿qué expresión algebraica representa el perímetro del terreno?

altura (m)

c. Grafiquen la situación, tomando algunos puntos de la tabla. y

base (m)

Comparen sus resultados con otras parejas. ¿Qué representa la gráfica?, ¿qué características tiene?

L12

Mate 3 book 2021.indb 103

La expresión algebraica de una función cuadrática

103

18/05/21 16:00

II. Analizo la tabla que representa una función cuadrática.

Tomo Nota

1. Resuelvan en parejas lo siguiente: a. Completen los datos de la tabla 1. Tabla 1 Lado de un cuadrado (m)

Área del cuadrado (m2)

9 64

b. Completen los datos de la tabla 2, que relaciona el lado del cuadrado con el triple de área del cuadrado: Tabla 2 Lado de un cuadrado (m) Triple del área del cuadrado (m ) 2

c. Grafiquen, en el siguiente plano cartesiano, los datos de la tabla 1. Después, tracen en su cuaderno la gráfica de la tabla 2.

2. Completen las siguientes afirmaciones:

5 48

6 108

9 192

Gráfica (Tabla 1) y

Área (m2)

Una función es la relación entre dos variables. Decimos que un valor está en función de otro si el valor del primero depende del valor del segundo. Si el valor que varía es x, entonces la regla de dependencia sobre los valores de x. En el caso de la actividad 2, cada valor de x es restado en dos unidades para posteriormente elevar el resultado al cuadrado y obtener así un nuevo valor, es decir y = (x – 2)2. Es posible hacer uso de otra variable (y) para registrar la variación del resultado del cálculo de la función: y = (x – 2)2. En este caso se dice que y está en función de x.

Si observas en la tabla 1 la relación entre la base del terreno y el área correspondiente, estás vinculando el lado de un cuadrado con el área que encierra.

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Lado (m)

En la gráfica de la Tabla 1, a un valor x del lado del cuadrado le corresponde su segunda potencia, su cuadrado, es decir ___, lo que puede escribirse como y = x2, donde y representa el valor del _______ del cuadrado y ___ el lado. En la gráfica de la Tabla 2, el área (y) se ve aumentada al triple, es decir multiplicada por ____, lo que puede escribirse: y = ________________________. Comparen con otras parejas los resultados de las tablas y las gráficas. ¿Coinciden? ¿Qué característica tienen estas gráficas?, ¿en qué difieren respecto a la que graficaron en la Actividad I? Compartan sus razonamientos para llegar a acuerdos.

104

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 104

18/05/21 16:00

III. Analizo la tabla que representa la variación cuadrática en el contexto de un objeto en caída libre.

Cuando soltamos un objeto desde lo alto, al principio parece que va despacio y luego se acelera. Veamos si esto es así. Una piedra se suelta desde diez metros de altura. En la siguiente tabla se relaciona la altura a la cual se encuentra con respecto a su tiempo de caída. El valor negativo de la altura para 1.6 segundos no tiene sentido real, sólo se usa para indicar que la piedra tocó el piso antes. Tiempo (s)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

Altura (m)

10.0

9.8

9.2

8.2

6.8

5.1

2.9

0.4

–2.5

1. Realicen, en parejas, las siguientes actividades: a. Grafiquen la situación.

Altura (m)

8 7 6 5 4 3 2 1

0.4

0.8

1.2

1.6

Tiempo (s)

b. En el siguiente texto hay dos palabras entre paréntesis; elijan la palabra adecuada tachando la que no corresponda, para que se cumplan las afirmaciones: Al principio, la piedra se encontraba a (10/0) metros y ésa fue su (máxima/mínima) altura. A partir de allí comenzó a (subir/bajar) atraída por la gravedad. Llegó al suelo un poco (antes/después) de 1.4 segundos. Al principio iba más (lento/rápido) pero luego fue más (lento/rápido). • La expresión algebraica que representa la altura de la piedra en función del tiempo es: h = –4.9t2 + 10, donde t representa al tiempo y h la altura de la piedra. • ¿En qué difiere con respecto a la que graficaron en la actividad anterior? • ¿En qué se parecen las gráficas? ¿En qué son distintas?

Verifiquen con otras parejas que las respuestas a las actividades coincidan. Si no es así, traten de encontrar el error y corrijan. Compartan sus procedimientos y conclusiones con el grupo. Traten de llegar a acuerdos.

L12

Mate 3 book 2021.indb 105

La expresión algebraica de una función cuadrática

105

18/05/21 16:00

IA R

A Y

IV. Analizo la tabla que representa una variación compleja y la relaciono con el vértice, el eje de simetría y el intervalo relevante de representación de su gráfica.

1. Realicen, en parejas, las siguientes actividades: En lugar de dejar caer una piedra desde una altura, ahora la arrojamos hacia arriba.

y 5

Analicen la siguiente tabla, que relaciona la altura de una piedra arrojada hacia arriba con respecto al tiempo.

Altura (m)

4 3 2 1 0

0.5

1.5

2.0

Tiempo (s)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Altura (m)

0.0

1.8

3.2

4.2

4.8

5.0

4.8

4.2

3.2

1.8

0.0

a. Grafiquen la situación. y ¿Después de cuántos segundos la piedra está a la mitad de su recorrido? ¿Qué altura alcanza? ¿Es la máxima altura que puede alcanzar? y Si trazan una recta, paralela al eje y, que pase por el punto más alto (altura máxima), ¿cómo divide esta recta a la gráfica? Expliquen. b. Tachen, dentro del paréntesis, la palabra que no corresponda en las siguientes afirmaciones: Al principio, la piedra se encontraba a una altura de (10/0) metros y ésa fue su (máxima/mínima) altura. A partir de allí comenzó a (subir/bajar) pero, atraída por la gravedad, se fue frenando a la mitad de su recorrido. Ésa fue su (máxima/ mínima) altura.

Tomo Nota La gráfica de una función cuadrática representa una curva, llamada parábola. La gráfica anterior representa la caída de la piedra, que incluye la subida y la bajada. Esta curva o parábola tiene un eje de simetría y el punto más alto de la parábola se le llama vértice. El vértice puede ser el mayor valor (máximo), como en el caso de la piedra arrojada hacia arriba, o el menor valor (mínimo)dependiendo de si la gráfica se abre hacia abajo (A) o hacia arriba (B). y

106

Llegó al suelo a los (2/5) segundos. Mientras subía la piedra, al principio iba más (lento/rápido) y luego más (lento/ rápido). Y en la caída, primero iba (lento/rápido) pero se aceleró y fue más (lento/rápido). y ¿En qué difiere esta descripción con respecto a la que graficaron en la actividad anterior? y ¿En qué se parecen las gráficas? ¿En qué son distintas?

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 106

18/05/21 16:00

V. Reconozco los elementos principales de una parábola: eje de simetría y vértice.

La parábola siguiente representa una pelota que es pateada hacia arriba. En el eje horizontal se grafica el tiempo en segundos y en el vertical, la altura que alcanza la pelota, con respecto al suelo, en metros:

1. Reúnanse en parejas y escriban con sus palabras en el contexto del problema: y ¿Qué representa el punto A? y ¿Qué representa el punto B? y ¿Qué representa el punto C? y ¿Por dónde pasa el eje de simetría? Explica. a. Si la posición de la pelota está descrita por la relación y = –5x2 + 10x +1, donde x representa el tiempo en segundos y y la altura de la pelota. Completen la tabla de la derecha: y Cuando el tiempo (x) es igual a cero, ¿qué altura máxima alcanzó x: tiempo (s) la pelota? y: altura (m) y Al pasar 2 segundos, ¿a qué altura se encuentra la pelota? y Aproximadamente, ¿en cuánto tiempo la pelota toca el suelo? Sustituyan el tiempo (x) por ese valor y validen qué tan cerca de y = 0 se encuentra. y Considerando la expresión general de una función de la forma: y = ax2 + bx + c, en la función anterior, ¿a es positivo o negativo? ¿Cuánto vale? y Tracen en su cuaderno la gráfica de la función y = x2. Asignen valores a x entre –5 y 5. ¿Qué diferencia hay entre ambas gráficas? En este caso, ¿cuál es el valor de a?, ¿es positivo o es negativo? –b y En la función y = –5x2 + 10x + 1, calcula x = 2a . ¿Qué valor obtienen de y en este caso? ¿Qué representa este punto en la gráfica? Expliquen. Como en los tiempos 0 y 2 la altura es la misma, 1 m, tomaremos valores decimales de la variable x entre 0 y 2.5, como se muestra en la tabla.

x: tiempo (s) y: altura (m)

0.5

4.75

0.75

Altura (m)

La expresión algebraica que describe la función del movimiento de la pelota es de la forma general: y = ax2 + bx + c

Tiempo (s)

GLOSARIO Variable. Representa un valor numérico y puede adquirir diferentes valores.

1.25

1.5

2.25

2.5

5.69

Altura (m)

b. Ahora completen la tabla con los valores indicados: 6 Si hace falta, aproximen los valores a dos decimales. 5 y Después de un segundo y medio, ¿a qué altura se 4 3 encuentra la pelota? 2 y ¿Qué sucede antes de transcurrir este tiempo? 1 y ¿En qué tiempo llega la pelota al suelo? 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 c. Grafiquen la situación: Tiempo (s) d. Completen la frase: El vértice se encuentra en: t = __ segundo y tiene una altura de __ m.

L12

Mate 3 book 2021.indb 107

La expresión algebraica de una función cuadrática

107

18/05/21 16:00

VI. Grafico una parábola con vértice desplazado del origen.

Supongamos que tenemos la expresión y = (x + 1)2. En este caso, cada valor de x se ve incrementado en 1 unidad. Así, si x toma el valor 2, y tomará el valor 9 ya que y = (2 + 1)2 = 32 = 9. x

1. Completa y analiza la tabla siguiente:

y = (x +1 )

1 –4

–3

–2

–1

–2

–3

–4

–5 16

2. Grafiquen, en parejas, la situación representada en la tabla anterior: y ¿Por dónde pasa el eje de simetría de la parábola de la función anterior? Explica. y ¿Para qué valor de x, y alcanza su valor máximo o mínimo? –b a. Escriban la función de la forma y = ax2 + bx + c y calculen x = 2a . y ¿Cuánto vale y en este caso? y ¿Qué representa este punto en la gráfica?. y ¿Cuántas unidades, con respecto al origen, se desplazó el vértice de la gráfica a la izquierda? y ¿Para qué valor de x, y vale 0? y A partir del concepto de función, ¿cómo se puede obtener el punto que corresponde al vértice de la parábola? y ¿Qué valor de la expresión general representa el punto donde la gráfica interseca al eje y? y ¿Qué valor determina hacia donde abre la parábola?

3 2

Compartan sus respuestas con otras parejas y traten de llegar a acuerdos en el grupo.

x 0

1 32

Practico

1. Completa la tabla siguiente y después traza la gráfica en los ejes coordenados:

x y= (x + 3 )2

–1

–2

–3

–4

y y y y

8 2 –5

108

–4

–3

–2

–1

¿En dónde se encuentra el vértice? ¿El vértice es un máximo o un mínimo? ¿Para qué valor de x, y vale cero? Para x = 0, ¿y =_____?

x 0

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 108

18/05/21 16:00

2. Responde. y ¿Dónde se encontrará el vértice de la función: y = (x – 2)2? Elabora una tabla dando valores a x y obtén los correspondientes de y.

x y y Traza la gráfica correspondiente en tu cuaderno y verifica contra la tabla que elaboraste. Comprueba, en la gráfica, que el vértice de la función corresponde al punto que encontraste en la pregunta anterior. 3. Lee y completa el texto: y Si se tiene un terreno rectangular, ¿cuál sería la máxima área que se puede cercar con 15 metros de alambre? Si el perímetro es de 15 metros, cada lado debe ser menor que la mitad, es decir, la suma de la base y la altura debe ser de ______ m. Por ello, a un valor de 4 m de base le corresponde un valor de ______ m de altura con un área de ______ m2. Algunos de los valores se muestran en la tabla siguiente: a. Completa la tabla: Altura (m) Base (m)

7.5

6.5

5.5

0.5

1.5

Área (m)

4.5

3.5

12.5

2.5 4

4.5 13.5

1.5

0.5

5.5

6.5

7.5

12.5

b. Grafica los dos últimos renglones de la tabla (relación entre la base y el área). c. Responde lo siguiente: y y y y y

¿Para qué intervalo de valores de la base tiene sentido calcular el área? ¿Para los valores extremos del intervalo, cuánto vale el área? ¿En qué punto del intervalo se obtiene el área máxima? ¿Cuál es el área máxima en ese punto? ¿Por qué punto pasa el eje de simetría?

El vértice se encuentra en el valor _____________ para la base, con un área máxima de _____ m2.

L12

Mate 3 book 2021.indb 109

Utilizo las TIC Para saber más sobre parábolas, revisa la liga: cmed.mx/m320, donde encontrarás información relacionada con lo que has trabajado y algo más…

La expresión algebraica de una función cuadrática

109

18/05/21 16:00

Gráficas con diferente

variación

L13

Exploro

GLOSARIO Inversión. Actividad que consiste en dedicar recursos con el objetivo de obtener un beneficio de cualquier tipo. Fluctuación. En el clima, es cualquier modificación, regular o irregular, de la temperatura, la precipitación pluvial o la presión atmosférica.

Analizo diversas gráficas y las comparo entre sí. Algunos estudiantes hicieron gráficas sobre diversos temas. Tania, que indaga sobre inversiones, graficó una inversión consistente en una cuota inicial de $1 200 y una aportación de $150 cada mes. Isabel, cuyo trabajo versa sobre meteorología, muestra una fluctuación en su gráfica de precipitaciones. Y Gilberto graficó el crecimiento de un cultivo de laboratorio que cada semana duplica su volumen: comienza con un volumen de 1 y luego pasa a 2 en la segunda semana, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, etcétera. Relaciona cada gráfica escribiendo el nombre del estudiante en el recuadro y explica el porqué de tu elección. y

x 0

Comparte tu elección con otros integrantes del grupo. Escuchen la explicación de cada quien y verifiquen si coinciden. Descubro y construyo

I. Analizo la representación algebraica de diversas variaciones y las comparo con sus tablas y gráficas.

1. Imagina que tres amigas se ponen de acuerdo en ahorrar para poner un negocio juntas, pero cada una lo hace a su modo. ð Patricia guardó $600 y ha estado ahorrando $300 cada mes. a. Completa la siguiente tabla, que representa el ahorro total de cada mes:

x : Mes y : Ahorro ($)

600

900

b. Completa la expresión algebraica que representa el ahorro mensual de Patricia: La expresión algebraica es: y = _____ x + 600.

110

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 110

18/05/21 16:00

c. Verifiquen, en parejas, los resultados de la tabla de la página anterior y la expresión algebraica. Ahorro ($) v Tracen en el plano de la derecha la relación 1 800 anterior. v Marquen en la gráfica el punto que indica el ahorro 1 500 inicial y llámenlo A. v Marquen en la gráfica el punto que indica que en el 1 200 cuarto mes había un ahorro de $1 800 y llámenlo B. 900 y ¿Cuánto tiempo le llevaría a Patricia ahorrar $5 000? ¿Cómo lo determinaron? 600 ð Alma guardó al principio $150 y el primer mes ahorró $200; el segundo, $400; el tercero, $600 y así sucesiva0 1 2 mente. Cada mes ahorra $200 más que el anterior.

Número de meses

a. Completen la siguiente tabla, que representa el ahorro total de cada mes: x : Mes y : Ahorro ($)

150

350

Ahorro ($)

1 350

b. Grafiquen a la derecha la relación anterior. y ¿Cuánto tiempo le lleva a Alma ahorrar $3 000? y ¿Reconocen esta curva? Expliquen. y ¿Qué tipo de expresión algebraica representa esta curva? ð Isabel ahorra lo que le sobra cada mes.

2 150 2 050 1 850 1 650 1 450 1 250 1 050 950 750 550 350 150 0

v Completen la siguiente tabla observando los datos de la gráfica de la derecha:

4 Número de meses

Ahorro ($) Mes Ahorro ($)

300

y ¿Esta gráfica se puede representar con una única expresión algebraica? Expliquen. y ¿Se puede anticipar cuánto tiempo le llevará a Isabel ahorrar $2 000? y ¿Cuánto ahorró durante los 5 meses que representa la tabla?

Compartan con otras parejas los resultados de las tablas, las gráficas y sus respuestas. Traten de llegar a acuerdos y registren sus resultados.

1 050 900 750 600 450 300 150 0

Número de meses

L13

Mate 3 book 2021.indb 111

Gráficas con diferente variación

111

18/05/21 16:00

II. Analizo la representación algebraica de planes de ahorro de cuota fija y de cuota variable y la relaciono con sus tablas y gráficas.

El ejecutivo de un banco te presenta dos planes de ahorro: uno de cuota fija y otro de cuota variable. Plan A: cuota fija Se da una cuota inicial de $1 000 y mensualidades de $500. En equipos, contesten las siguientes preguntas: y ¿Cuál es la razón de cambio de esta relación? y ¿Cuál es la expresión algebraica de esta relación? Comprueben las expresiones anteriores completando la siguiente tabla:

x : Meses y : Ahorro acumulado ($) Ahorro acumulado ($) 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

1 500

v Grafiquen la situación: Plan B: cuota creciente En este plan se da una inversión inicial de $200; la primera cuota es de $250, la segunda de $350, la tercera de $450, etc. Cada mes se ahorra $100 más que el anterior. El ahorro acumulado puede calcularse como y = 50x2 + 200x + 200, donde y es el ahorro total y x el número de meses ahorrados. v Comprueben los datos existentes en la siguiente tabla Número a partir del enunciado y de su formulación algebraica, de meses 5 y completen la tabla.

x : Meses y : Ahorro acumulado ($)

200

450

1 250

1 800

y A largo plazo, ¿con cuál de los dos planes se ahorra más? y Calculen el monto en la cuota del octavo mes para cada inversión. ¿Qué significa? y Elaboren la gráfica en su cuaderno y verifiquen sus respuestas. III. Analizo la representación algebraica de una variación cuadrática y la relaciono con su tabla y su gráfica.

1. Continúen el trabajo en equipos. y La trayectoria de una pelota que es arrojada hacia arriba desde una altura de 5 metros se describe con la relación: y = −5x2 + 10x + 5 x representa el tiempo, medido en segundos. y representa la altura, medida en metros. a. Completen la tabla siguiente. Si hace falta, aproximen los valores a dos decimales. x : tiempo (s)

0.5

y : altura (m)

8.75

0.75

1.25

1.5

9.69

Continúa actividad…➙ 112

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 112

18/05/21 16:00

Continúa…

Altura (m)

b. Grafiquen la situación en los ejes coordenados:

12 10 8 6 4 2

c. Completen las frases: El vértice se encuentra en ______________. La máxima altura que alcanza la pelota es de ______________.

0.5

0.75

1.25

1.5

Tiempo (s)

Compartan sus respuestas y propuestas con otros equipos. Escuchen las opiniones de todos con respeto. Si las respuestas son diferentes, encuentren el error y corrijan. Lleguen a acuerdos en consenso y registren sus resultados. Practico

1. En algunos lugares se organizan carreras entre caballos y automóviles. En una ocasión competían Tango, un caballo que recorría los 100 metros en 10 segundos sin reducir la velocidad, montado por Ariadna; y Mirta con su nuevo auto, que tiene una aceleración de 2 m/s2. Tacha dentro del paréntesis la palabra que no corresponda en las siguientes frases: Tango describe una trayectoria a velocidad (constante/variable). El auto describe una trayectoria a velocidad (constante/variable). La velocidad de Tango durante la carrera es de (0/10) m/s.

Utilizo las TIC Entra a la liga: cmed.mx/m328, donde podrás ver cómo, en un salón de clases, los estudiantes representan una variación cuadrática mediante su tabla y gráfica. Te servirá como repaso.

a. Completa la siguiente tabla, que representa la carrera de Tango.

x : tiempo (s) y : distancia (m)

La representación algebraica de lo anterior es: ___________. b. Completa la siguiente tabla, que representa la carrera del auto.

x : tiempo (s) y : distancia (m)

La representación algebraica de lo anterior es: ___________. c. En una misma gráfica, ubica las trayectorias de Tango y del auto en los 10 segundos de carrera. y ¿Cuál de los dos ganará la carrera de 100 m? y ¿Cuál ganaría si la carrera fuera más corta? y ¿Cuál ganaría si la carrera fuera más larga?

…➙

Distancia (m)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

L13

Mate 3 book 2021.indb 113

9 10 Tiempo (s)

Gráficas con diferente variación

113

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje Recapitulo 1. Si una recta está más inclinada que otra, decimos que tiene mayor pendiente. 2. Variable representa un valor numérico y puede adquirir diferentes valores. 3. Una función es una regla, representada por una expresión algebraica, que opera con cada elemento de un conjunto de valores, para obtener un valor de otro conjunto. Por ejemplo, si la regla está dada por la expresión x + 1, la función de x que suma una unidad a cada elemento que se ingrese se denota como y = x + 1. 4. Las gráficas de funciones cuadráticas, como la parábola, presentan simetría respecto a un eje vertical que pasa por el vértice. Cuando la gráfica se abre hacia arriba, primero decrece hasta el vértice, donde encuentra su valor mínimo, y luego crece. Por otro lado, cuando se abre hacia abajo, primero crece hasta alcanzar un valor máximo en el vértice, para después decrecer. 5. Todas las parábolas crecen o decrecen poco cerca del vértice, pero luego lo hacen muy rápidamente. 6. Podemos hacer uso de la representación algebraica de una función para predecir el valor que tomará en y a partir de cierto valor de entrada en x.

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

1. Para montar un negocio con amigos, necesitamos una máquina muy costosa pero que podemos alquilar según alguno de estos tres planes: a. En el primero hay que dar un anticipo de $40 000 más $5 por pieza producida. b. En el segundo hay que dar un anticipo de $58 000 más $2 por pieza producida. c. En el tercero no hay anticipo sino que se participa de la ganancia, de tal suerte que el costo de producir n cantidad de piezas se calcula así: Costo = 0.002 n2. Completa la siguiente tabla comparativa de los costos de los tres planes en relación con el número de piezas producidas: n cantidad

1 000

2 000

3 000

4 000

Costo máq. 1 ($)

45 000

50 000

55 000

60 000

90 000

Costo máq. 2 ($)

60 000

62 000

64 000

66 000

78 000

Costo máq. 3 ($)

2 000

8 000

18 000

32 000

producida

5 000

6 000

…

10 000

y y y y y

¿Cuánto cuesta hacer 3 000 piezas con la máquina 1, con la 2 y con la 3? Si van a producir menos de 4 000 piezas, ¿qué plan es más económico? ¿Y si van a producir 6 000 piezas? Si se van a producir más de 10 000 piezas, ¿cuál es el más conveniente? Si se cuenta con $ 80 000, ¿qué cantidad de piezas se puede producir con el segundo plan? En un mismo gráfico, dibuja los tres comportamientos: Costo ($) 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0

1 000

2 000

3 000 4 000

5 000

6 000 7 000

8 000

9 000 10 000 Cantidad de producto (n)

Ubiquen en la gráfica las respuestas a las preguntas anteriores.

114

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 114

18/05/21 16:00

Logro ir más Un estudio de mercado indica que la curva de la oferta es: P = 6 n2, donde P es el precio medido en pesos y n la cantidad producida medida en miles; y la curva de la demanda es: P = 1 500 – 9n2. v Completa la siguiente tabla, que indica la oferta y la demanda para cada cantidad de producto: n : cantidad (miles)

Oferta ($) Demanda ($)

216

1 464

1 176

384

864

1176

924

204

–264

v Tachen lo que no corresponda: La tabla de la oferta (aumenta/disminuye) a medida que crece la cantidad de unidades, lo que quiere decir que si el precio aumenta se produce (más/menos). La tabla de la demanda (aumenta/disminuye) a medida que crece la cantidad de unidades, lo que quiere decir que si el precio aumenta se compra (más/menos). Las dos curvas se cruzan en (10 mil/600) pesos cuando se producen (10 mil/600) unidades. Este punto es el del precio. v Traza la gráfica

allá

GLOSARIO Oferta. Es la cantidad de producto que se pone a la venta. Demanda. Es la cantidad de producto que se compra. Punto de equilibrio. Es el nivel de ventas que permite cubrir todos los costos implícitos en la producción. Una empresa está en punto de equilibrio si no pierde ni gana dinero.

Precio ($) 1 500 1 200 900 600 300 0

n (miles)

v Ubica el punto de equilibrio para este producto. v Completa las frases siguientes: A un precio de $_____, pueden venderse 10 000 unidades sin que sobren ni _______. La cantidad de mercancía que se pone a la venta es ________ que la que se compra.Si el precio fuera ________ $600, habría gente que no compraría el producto y quedaría una parte sin vender. Si el precio fuera menor que $_____, se agotaría el producto y habría faltante. y ¿Sabías que las relaciones de oferta y demanda no describen una situación cuando el bien es gratuito (P = 0)? Por ello las gráficas no llegan a los ejes coordenados.

L11

Mate 3 book 2021.indb 115

L12

L13

115

18/05/21 16:00

Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado

L14

Como sabes, una ecuación cuadrática es aquella que tiene un término elevado a la segunda potencia cuya forma general es: ax2 + bx + c = 0, con a diferente de cero; ax2 es el término cuadrático, bx el término lineal y c el término independiente. Identifico gráficamente las raíces de una ecuación cuadrática.

Exploro

1. Lee la siguiente situación y responde. GLOSARIO Un grupo organizó un viaje a fin de celebrar su graduación. Rentaron para ello un autobús por el que pagaron $2 210. Posteriormente cuatro personas más se unieron al viaje, con lo cual cada viajero original vio reducida en $40 la tarifa original. y ¿Los viajeros originales podrían ser 10? ¿Por qué?

Variables discretas. Son aquellas que no puede tomar un valor entre dos consecutivos. Por ejemplo, número de personas, de hijos, etcétera.

La situación anterior está determinada por la ecuación x2 + 4x = 221, donde x representa el grupo de personas que realizaría el viaje originalmente. y ¿Qué ecuación igualada a cero, es decir, de la forma y general ax2 + bx + c = 0, es equivalente a la ecuación anterior? y ¿Pueden ser 20 las personas que viajarían originalmente? ¿Por qué? y ¿Cuáles son las raíces de x en la ecuación? y ¿Cuántas personas viajarían originalmente? y ¿Cuánto iban a aportar y cuánto aportaron finalmente?

200 160 120 80 40 –20

–16

–12

–8

–4

–40 –80 –120 –160 –200 –240

Los puntos sobre el plano cartesiano de la izquierda modelan la función y = x2 + 4x – 221, y está asociada a la ecuación que representa el problema de la organización del viaje. y Debido a que el número de personas representan variables discretas la gráfica no es una línea continua. Pero, si se unieran los puntos para formar una línea continua, ¿qué características tiene la gráfica que se forma?

Identifica en los puntos sobre el plano los valores de x que representan las soluciones de la ecuación. y ¿Qué observas? y Si asociamos la ecuación con una función de la forma y = ax2 + bx + c, ¿qué valores debe adquirir y para que se cumpla la igualdad? Explica tu postura.

116

Compara tus respuestas con el grupo. Comenten las características de las gráficas que representan ecuaciones cuadráticas y cómo se pueden obtener las respuestas a partir de éstas.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 116

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Resuelvo gráficamente ecuaciones cuadráticas.

1. Resuelvan en parejas la siguiente situación. Patricia diseñó el marco para fotografías de la derecha. Ella hace marcos de diferentes medidas, pero conservando su grosor, que es de 4 cm, como se observa en el dibujo. y ¿Cómo se puede determinar el tamaño del espacio para la fotografía a partir del área del portarretrato? 4 cm y ¿Qué expresión algebraica permite determinar el tamaño de la fotografía? y Si x mide 16 cm, ¿cuál sería el tamaño de la fotografía? 4 cm y Si una fotografía mide 144 cm2, ¿cuál debe ser el largo del marco? y Expliquen su respuesta. Patricia diseñó un marco para una fotografía cuyo tamaño está definido por la ecuación: x2 – 16x – 80 = 0. y ¿Cuál es la medida de los lados del portarretrato? y ¿De qué tamaño es la fotografía? Posteriormente hizo otro portarretrato dado por la y ecuación: x2 – 16x = 0. 440 420 y ¿Cuáles fueron las medidas del portarretrato? 400 y ¿Cuál fue el área de la fotografía? 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

El plano cartesiano de la derecha representa las gráficas de las funciones asociadas a las ecuaciones anteriores. 2. Identifiquen, sobre cada curva, el valor que corresponde a las medidas del portarretrato que determinaron en cada ecuación, es decir, el valor de x. y ¿En qué puntos sobre el plano las gráficas cortan el eje x? Sustituyan x en cada ecuación por los valores correspondientes. y ¿Qué sucedió, qué representan dichos valores? y ¿Qué función representada por las gráficas se asocia a cada ecuación? y En cada ecuación, ¿qué otro valor para x hace verdadera la igualdad? y ¿Por qué dichos valores no son soluciones del problema? y Si representamos la ecuación x2 – 16x – 80 = 0 como una función de la forma: y = x2 – 16x – 80, ¿qué valores de y corresponden a las soluciones de la ecuación asociada?

–12 –10 –8 –6 –4 –2 0 –20 –40 –60 –80 –100 –120 –140 –160 –180

L14

Mate 3 book 2021.indb 117

4 6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado

117

18/05/21 16:00

3. Realicen lo que se pide. x + 12

Patricia también diseñó portarretratos con forma rectangular, como el que se muestra. En este caso el grosor del marco es de 5 cm y 4 cm respectivamente, y la proporción entre las medidas de los lados se conserva.

¿Qué expresión algebraica permite determinar la medida del área de las fotografías? 4 cm

Consideren que Patricia hizo tres portarretratos para fotografías cuyas medidas están dadas por las siguientes funciones:

5 cm

Tomo Nota

Portarretrato 1: y = x2 – 4x – 320

La gráfica de una función cuadrática es una __________ cuyos puntos de intersección con el eje ___ representan las ____________ de la ecuación asociada a ella, es decir, las coordenadas (x, ___) de la gráfica.

Portarretrato 2: y = x2 – 4x – 140

Portarretrato 3: y = x2 – 4x – 252 y ¿Qué valores de y hacen que la igualdad sea verdadera?

160 120 80

Observen las siguientes gráficas y, de acuerdo con lo visto en los casos previos, realicen los cálculos necesarios y determinen la gráfica de la función a la que se asocia cada ecuación. y y Considerando la ecuación asociada, ¿qué representa el punto, en cada función, cuando y = 0 ? y ¿Cuál es la solución de cada ecuación?

40 –24 –20 –16 –12

–8

–4

0 –40 –80

–120 –160 –200 –240 –280 –320

118

a. Portarretrato 1: x1 = b. Portarretrato 2: x1 = c. Portarretrato 3: x1 =

x2 = x2 = x2 =

y ¿Cuáles son las medidas de cada portarretrato y el área de cada fotografía? a. Medida portarretrato 1: Área fotografía = b. Medida portarretrato 2: Área fotografía = c. Medida portarretrato 3: Área fotografía =

Comenten con otras parejas las características de las gráficas de las funciones representan ecuaciones cuadráticas y los puntos que representan sus soluciones. ¿Por qué las soluciones se encuentran en los puntos donde la curva interseca a x? Discutan lo anterior y registren sus acuerdos en grupo.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 118

18/05/21 16:00

II. Identifico la gráfica que representa una ecuación cuadrática y determino sus raíces.

En lecciones previas ya analizaste las características de las gráficas de funciones cuadráticas. Cuando asociamos a una ecuación cuadrática con la gráfica de una función, lo que estamos haciendo es encontrar los puntos en los que la gráfica de la función y = ax2 + bx + c corta el eje de las x, estos puntos corresponden a las soluciones de la ecuación asociada.

56 52 48 44 40 36

Altura (m)

Pedro lanzó una pelota hacia arriba, a una altura que está de32 terminada por la función: h = 28t – 4.9t2, donde 28 representa 28 la rapidez en m/s, t representa el tiempo en segundos y h la 24 altura en metros. 1. Analicen, en parejas, las gráficas y resuelvan. 20 y ¿Qué puntos representan las soluciones de la ecuación 16 28 t – 4.9 t2 = 0? 12 Realicen los cálculos necesarios y determinen qué gráfica 8 representa la situación. 4 y ¿En cuánto tiempo el objeto tocó el piso? y ¿Aproximadamente qué altura máxima alcanzó el objeto? 0 0.3 0.9 1.5 2.1 y Si se conoce altura de la pelota, ¿cómo determinarían el valor desconocido, en este caso la velocidad en m/s? 2. Consideren la función: y = x2 + 3x – 18 y determinen qué gráfica le corresponde: y ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x2 + 3x – 18 = 0? y ¿Qué valores de y corresponden a los valores de x que son solución? y a b

125 120 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 –5 –10 –15 –20 –25 –30 –35 –40

x 2.7

3.3

3.9

4.5

5.1

5.7

6.3

6.9

Tiempo (s)

10 8 6

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 –5 –10 –15 –20 –25

4 2 –10 –8

–2

x 0

–2 –4 –6

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17

–8 –10 –12 –14 –16 –18

Compartan con distintas parejas sus respuestas. Corrijan si es necesario.

L14

Mate 3 book 2021.indb 119

–6 –4

–20 –22

Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado

119

18/05/21 16:00

III. Identifico la cantidad de soluciones de ecuaciones cuadráticas.

1. Analicen la siguiente gráfica y las ecuaciones, y respondan.

y ¿Qué características observan en la gráfica, comparada con las que vieron en las actividades previas? Determinen el valor de x; cuando y vale cero y sustituyan x en las siguientes ecuaciones y validen si se cumple la igualdad. –4x2 + 32 + 64 = 0 4x2 – 32x + 64 = 0 2x2 + 32x – 64 = 0 y ¿A qué ecuación está asociada la función representada en la gráfica? ¿Por qué? y De acuerdo con lo visto, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación correspondiente? Justifiquen su respuesta.

280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40

–5 –4 –3 –2 –1 0 1

2 3 4 5 6

7 8 9 10 11

Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones (solución doble), una solución y ninguna solución. y De acuerdo con lo visto, ¿qué sucede con una ecuación si la gráfica de la función que la representa, no corta, ni toca al eje x?

2. Analicen las gráficas y determinen con qué ecuación se asocia cada una. Escriban debajo de cada gráfica la función que representan y las soluciones de la ecuación correspondiente. x2 + x –12 = 0 x2 + 3x + 3 = 0 x2 – 6x + 9 = 0

12 –6

10 8

–4

–2 0 –10

x 2

–20

6 4

y ¿Cuántas soluciones tuvo cada ecuación?

2 –8

–6

–4

–2

0 –2

120

x 2

Comparen las soluciones de sus ecuaciones y gráficas con distintos integrantes del grupo. Si hay diferencias, intenten llegar a acuerdos.

48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 120

18/05/21 16:00

Practico

10 0

1. La gráfica representa la medida de los lados de un rectángulo.

–30 –20 –10

–10

10 20

–20

El área del rectángulo está dada por la expresión: (x + 6)(x + 2) = 117

–30 –40

Escribe el lado izquierdo de la ecuación como un trinomio: ________

–50 –60

y ¿Qué ecuación igualada a cero representa la situación? y ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo?

–70 –80 –90

2. Pablo dejó caer una pelota desde la azotea del edificio donde vive, con rapidez inicial cero. La gráfica de la derecha representa la caída de la pelota. y ¿Desde qué altura se lanzó la pelota? y ¿Aproximadamente en cuánto tiempo cayó al piso? y ¿Cuál de las siguientes expresiones modela la situación? h = –4.9 t2 + 45 h = –4t – t + 45

h = –4.9 t2 – 45

3. Analiza la gráfica de la función de abajo y la ecuación asociada a ella. 0 = x2 + 16x + 64 y ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? y ¿Cuáles son? y 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

–110 –120

h (m) 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

t (s) 0

0.4 0.8 1 1.2 1.6

2.4

2.8 3.2 3.6

Utilizo las TIC

–16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6

4. Crea una situación que pueda modelarse a través de la ecuación correspondiente.

L14

Mate 3 book 2021.indb 121

–100

En Geogebra puedes crear la gráfica de ecuaciones cuadráticas. Entra a la liga: cmed.mx/m312114 Se abre un archivo y en la ventana inferior, “Entrada”, escribe la ecuación, por ejemplo x^ 2+ 2*x + 4; la gráfica aparecerá en el plano. Repite la actividad con diferentes ecuaciones y valida tus resultados.

Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado

121

18/05/21 16:00

Factorización de ecuaciones

L15

cuadráticas

Las llamadas azoteas verdes se han convertido en una opción para recuperar un poco del daño ocasionado al medio ambiente. Entre otros beneficios, las azoteas verdes disminuyen la intensidad de los sonidos provenientes del exterior, ayudan a regular la temperatura en las habitaciones, disminuyendo considerablemente los gastos en aire acondicionado y consumo de energía y, lo más importante, representan pulmones verdes y hacen las veces de “ecosistemas de paso”, promoviendo la diversidad de especies como abejas, mariposas, pequeñas aves, etcétera. Exploro

I. Represento y resuelvo un problema mediante una ecuación cuadrática. Francisco decidió convertir la azotea de su casa en un espacio verde con un área recreativa, para descansar, leer y jugar con su familia. Para ello, colocó en todo el contorno protecciones de vidrio.

Largo

Ancho

y y y

Área de la azotea (m2)

El perímetro de la azotea es de 46 m y Francisco pagó $145 por cada metro de largo del perímetro. y ¿Cuánto pagó Francisco por las protecciones? y ¿Qué expresiones algebraicas representan las medidas de la azotea? y Si y representa el área de la azotea, ¿qué expresión algebraica representa el área de la azotea en función de x? En el plano cartesiano, asignen diferentes valores al largo de la azotea, determinen el área correspondiente y tracen la gráfica. ¿Qué característica tiene la gráfica? ¿Qué medidas enteras corresponden a la máxima área que puede tener la azotea? Si se sabe que el área es igual a 112 m2, ¿cuáles son las medidas del terreno?

140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

La ecuación cuadrática –x2 + 23x – 112 = 0, que representa la situación, puede plantearse como x2 – 23x + 112 = 0. y ¿Qué procedimiento se siguió para modificarla? y ¿Podrías factorizar el lado izquierdo de la ecuación? ¿Por qué? x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Compara tu expresión con la de otro integrante del grupo. Verifiquen si obtuvieron los mismos resultados y si sus gráficas coinciden.

Medida de largo (m)

122

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 122

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Factorizo ecuaciones de segundo grado e identifico las raíces de la ecuación.

Para la edificación de un conjunto habitacional, la constructora dividió el terreno en lotes de forma rectangular a partir de terrenos con forma cuadrada. Por ejemplo, partiendo de un terreno cuadrado al que le aumentaron 5 m de largo, obtuvieron terrenos de 104 m2, como muestra la imagen.

1. Resuelvan en parejas a partir de la información anterior. y ¿Qué expresión algebraica representa la relación entre las medidas de los lados del terreno? y ¿Qué ecuación, como el producto de dos factores, representa el área del terreno? _________ = 104. Desarrollen el producto y completen la ecuación: ___________ = 104 Resuelvan la ecuación para determinar las medidas de cada lote. y ¿Cuáles son las raíces de la ecuación? y ¿Cuáles son las medidas del largo y ancho del terreno? ¿Cómo lo determinaron? 2. Lean la información para factorizar la ecuación anterior y resuelvan. La ecuación del problema se puede representar como una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, como x2 + 5x – 104 = 0. Al factorizar el lado izquierdo de la ecuación se obtienen el producto de dos binomios con un término común. y De acuerdo con lo visto en las lecciones 6 y 7, ¿cuál sería el factor común? Para obtener el segundo término de cada factor, buscamos dos números cuya suma sea igual a b y cuyo producto sea igual a c. y ¿Cuánto valen b y c en la ecuación igualada a cero? y ¿Qué característica deben tener dos números enteros para que su producto sea −104? y ¿Qué parejas de números suman +5 y su producto es –104? A partir de lo anterior, escriban como el producto de dos binomios el lado izquierdo de la ecuación: (__________) (___________) = 0 y ¿Qué relación tienen los términos no comunes de los binomios con las raíces de la ecuación? y Igualen a cero cada factor, por separado. ¿Qué valores puede adquirir x en cada término para que se dé la igualdad? Justifiquen su resultado. y ¿Este procedimiento permite obtener las raíces de cualquier ecuación cuadrática?

Analicen los resultados con otras parejas y comenten la relación de los factores independientes de cada binomio con las raíces de la ecuación.

L15

Mate 3 book 2021.indb 123

Continúa actividad…➙

Factorización de ecuaciones cuadráticas

123

18/05/21 16:00

Continúa… 3. Consideren la siguiente información. En otra parte del terreno, a un terreno cuadrado le recortaron 2 m a un lado y le agregaron 6 m al otro, para obtener lotes como el que se muestra en la figura amarilla. 2

y ¿Qué expresión algebraica representa el área final de cada lote? y ¿Qué expresión como trinomio representa el área del terreno? y Si el área de cada lote resultante mide 128 m2, completen la ecuación, igualada a cero, que permite obtener la medida de los lados: _______________ = 0. 6 y Considerando la expresión general, ¿cuánto vale c? y ¿Qué tipo de números, positivos o negativos, permiten obtener como producto el valor c? y ¿Qué pareja de números sumados es igual a b y su producto es c? y A partir de lo anterior, factoricen el lado izquierdo de la ecuación:

(__________) (__________) = 0 y ¿Qué relación tienen los valores encontrados con las raíces de la ecuación? y Si en una multiplicación uno de los factores es cero, ¿cuál es el valor del producto? Considerando su respuesta, completen las siguientes operaciones a partir de la factorización anterior y despejen x para obtener su valor. ( x + ____ ) = 0 ( x – ____ ) = 0 y ¿Cuáles son los valores de x para que se cumplan ambas igualdades? Utilizo las TIC En la liga: cmed.mx/m321 encontrarás una calculadora que permite factorizar ecuaciones cuadráticas para determinar tus soluciones. Usa las teclas que se muestran para asegurar que la ecuación esté bien escrita. El símbolo "^" te servirá para escribir el exponente. Cuando termines selecciona la flecha de la derecha. Emplea este recurso una vez que hayas intentado resolver la factorización. Te servirá para verificar tus resultados o revisar el procedimiento si tienes dudas.

124

Sustituyan x en la ecuación original y validen que se cumple la igualdad. y ¿Ambos valores de x permiten resolver el problema? ¿Por qué? y ¿Cuáles son las medidas de los lotes? 4. La siguiente ecuación representa otra forma de determinar la medida de los lotes en otra parte del terreno: x2 – 4x – 117 = 0. Factoricen la ecuación a partir del procedimiento anterior e igualen a cero cada factor: (_________) (_________) = 0

( x _______) = 0

y ¿Cuáles son las medidas de los lotes en este caso? y ¿Cuál es el área de cada uno?

Comenten en grupo sus respuestas y los procedimientos que siguieron para resolver las actividades. Con el apoyo del grupo, describan el procedimiento para resolver una ecuación cuadrática por medio de la factorización. Registren sus resultados.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 124

18/05/21 16:00

II. Resuelvo ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.

1. Lean, en parejas, el siguiente problema y resuelvan. Sergio inició un negocio de venta de artículos para decoración; entre los objetos que vende se hallan imanes para refrigerador, vasos, tazas y artículos para baño. Sergio estimó las ganancias potenciales con base en la expresión: I = p2 – 8, donde I representa sus ingresos y p el número de piezas vendidas. Por ejemplo, para los imanes sus ingresos diarios estarían determinados por la ecuación: p2 – 8p = 560. Igualen a cero y factoricen para determinar las raíces de la ecuación: y ¿Cuáles son las raíces de la ecuación? y ¿Cuántas piezas tiene que vender Sergio y a qué precio para obtener la ganancia esperada? 2. Factoricen y resuelvan las siguientes ecuaciones. Ecuación

Trinomio igualado a cero

Factorización

Raíces

(x + 3)(x – 1) = 60 x2 – 22x = –121 x2 – 14 = 5x –x (x + 9) = –252 (x + 3)(x + 3) = –9

Comenten en grupo sus respuestas y estrategias. Si aún tienen dudas sobre sus procedimientos, pidan apoyo al maestro. Discutan sobre la factorización como método para resolver ecuaciones y si es posible resolver cualquier ecuación mediante este procedimiento.

Tomo Nota

Practico

1. Factoriza las ecuaciones y determina las raíces de las siguientes ecuaciones. a. x2 + 3x – 4 = 0 x1 = __ x2 = __ b. y2 − 4y – 357 = 0 y1 = __ y2 = __ c. n2 + 19n + 60 = 0 n1 = __ n2 = __ d. r2 + r – 56 = 0 r1 = __ r2 = __ 2. Fernando dice que si al cuadrado de la edad de su hermana le sumas el doble de su edad y le aumentas 4 años, el resultado es igual a 84 años. y ¿Qué ecuación representa la situación? y ¿Cuántos años tiene la hermana de Fernando?

L15

Mate 3 book 2021.indb 125

Para resolver una ecuación cuadrática por medio de la factorización, la ecuación se representa así: ax2 + bx + c = 0; después se factoriza para obtener una expresión de la forma (x ± r)(x ± s) = 0, donde __ + __ = b y (__)(__) = c. De ahí tenemos que (x ± r) = 0; (x ± s) = 0. Las raíces son x1 = ± s; x2 = ± r.

Factorización de ecuaciones cuadráticas

125

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje Recapitulo

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

1. Observa la gráfica de la función y elige la ecuación que muestra sus soluciones. y

1. Un ecuación cuadrática puede representarse y resolverse gráficamente. El o los puntos donde la gráfica corta el eje x representan la solución de la ecuación. 2. Si una gráfica interseca el eje x en dos puntos, la ecuación tiene dos soluciones; si lo toca en un punto, la gráfica tiene una solución repetida; y si no toca el eje x, no tiene soluciones. 3. La factorización es un procedimiento que permite resolver una ecuación cuadrática.

y x2 –5x – 14 = 90

y (x –5)(x + 3) = 104

y x2 + 8x – 96 = 0

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –10 –20 –30 –40 –50 –60 –70 –80 –90 –100 –110 –120

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2. El volumen de un prisma rectangular que se genera al cortar las esquinas y doblar el cartón es de 1 056 cm3, como se muestra en la figura.

4. Para factorizar, la ecuación se escribe como: ax2 + bx + c = 0; después se factoriza para obtener una expresión de la forma (x ± r)(x ± s) = 0, donde r + s = b y (r)(s) = c. De ahí tenemos que (x ± r) = 0; (x ± s) = 0, por lo que las raíces son: x1 = ± s; x2 = ± r.

30 20 10

x–8 4 cm x+2

y ¿Qué ecuación igualada a cero permite obtener las medidas del área de la base? y ¿Cuáles son las medidas de la base de la caja? 3. Resuelve. a. La diferencia en las edades de Hugo, Pedro y Edgar están definidas por las expresiones x + 5 y x – 3, donde x es la edad de Hugo; Pedro es el menor y Edgar el mayor. Si la ecuación x2 + 2x – 15 = 468 representa la situación, ¿cuáles son las edades de los tres amigos? b. Se tenía un cuadrado al que se le agregaron 10 cm de un lado y se le quitaron 2 cm del otro lado, resultando un rectángulo de 160 cm2. ¿Cuáles eran las medidas del cuadrado original?

126

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 126

18/05/21 16:00

Logro ir más

allá

x 16

La exploración de Marte ha representado una alta tasa de fracaso para el ser humano, especialmente en los primeros intentos. Sin embargo, también hay historias de éxito desde 1971, año en que el ser humano alcanzó la superficie del llamado Planeta Rojo.

Utilizo las TIC Ingresa a: cmed.mx/m322 En esta liga se muestran las soluciones de tres ecuaciones cuadráticas por factorización, para que repases. En la pestaña Practica puedes resolver los ejercicios que se muestran y comprobar tus resultados. Si tienes dudas pulsa la palabra Explicación, para que revises tus procedimientos.

En una de las expediciones a Marte, la nasa envió un robot llamado Mars Science Laboratory (msl), mejor conocido como Curiosity, que era alimentado por energía nuclear; Curiosity podía vaporizar piedras con un láser, a varios metros de distancia, para analizar su composición. El 6 de agosto de 2012 el robot Curiosity aterrizó en cierto punto de Marte y comenzó a moverse a partir de ahí. La distancia entre el punto de aterrizaje y el lugar donde se encuentra el robot en cualquier momento está regida por la función D = t2 – t + 1, donde D es la distancia en kilómetros y t el tiempo en días. y Si consideramos como día cero aquel en que aterrizó, ¿qué distancia recorrió ese día? y ¿Qué otro día recorrió la misma distancia? ¿Cómo lo determinaste? El día 4 una tormenta de arena lo averió; los ingenieros lo buscaron con la sonda en órbita, pero la tormenta lo ocultaba y no daban con él. y ¿A cuántos kilómetros del punto en que aterrizó se encontraba el robot averiado? y Traza, en el plano de la derecha, la gráfica que muestre la distancia (D) recorrida por el robot en diferentes días (t). y ¿Cuántos días tendrían que pasar para que el robot recorriera 307 km? Entra a Geogebra y verifica tu trazo. Selecciona la calculadora gráfica. Para introducir la función, utiliza las teclas que se muestran en este recurso gráfico. Comparte con el grupo tus resultados.

140

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

L14

Mate 3 book 2021.indb 127

L15

9 10 11 12 13

127

18/05/21 16:00

Ángulos agudos de

triángulos rectángulos

L16

Una de las figuras más útiles en la construcción es el “triángulo rectángulo”, un ejemplo es el de la imagen que se muestra; es la de un edificio que se encuentra en la Ciudad de México. Observa que si se prolongaran los lados de su fachada, hasta juntarse, podrías ver que se formaría un triángulo rectángulo. Exploro

Identifico la relación entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y la relación entre sus lados. Te interesa hacer una maqueta a escala del edificio de la fotografía. Para hacer la maqueta conseguiste la siguiente información: “La fachada principal es un triángulo con altura de 70 metros. Además, la arista entre la fachada y la azotea mide 40.4 metros, y ésta forma un ángulo de 60° con el costado inclinado del edificio”. Un plano de la fachada te ayudaría a desarrollar tu maqueta; anota todas las medidas que conozcas en la figura de abajo.

y y y y y

128

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 128

y ¿Qué características tiene un triángulo rectángulo? y Si se sabe que un ángulo del triángulo rectángulo mide 60º, ¿cuáles son las medidas de los otros ángulos? y ¿Cómo lo determinaste? De acuerdo con lo que has aprendido sobre semejanza de triángulos, ¿tienes información suficiente para trazar la fachada del edificio? Justifica tu respuesta. Si divides la medida de la altura del edificio entre la medida del largo de la azotea, ¿cuánto obtienes? Si la azotea de tu maqueta midiera 20.2 cm y su altura fuera de 35.0 cm, ¿cuánto daría la división de la medida de la altura entre la medida del largo de la azotea? ¿Qué observas al comparar las razones obtenidas en los dos cálculos anteriores? Si quisieras que tu maqueta midiera 30 cm de altura, ¿cuánto tendría que medir el largo de la azotea para que tu maqueta fuera un triángulo semejante con la fachada real? Compara resultados con otro integrante del grupo; analicen juntos los posibles errores y discutan lo siguiente: Si se tienen dos triángulos rectángulos y un ángulo agudo en común mide lo mismo, ¿qué relación existe entre los otros ángulos?, ¿las razones entre sus lados se modifican?

geométricos

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Analizo las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Hipotenusa Cateto

Cateto

Realiza en forma individual las actividades siguientes. 1. Cuando una jirafa bebe en un estanque tiene que inclinar su cuello de modo que sus patas delanteras quedan a 1.5 metros de la orilla del agua. Las patas forman un ángulo recto con el suelo y miden 2.14 metros de altura; el ángulo entre sus patas y el cuello es de 35°. Traza en tu cuaderno un dibujo que represente al triángulo que describa la situación anterior y anota los datos en él. Considera las mismas proporciones y la medida de los ángulos. y ¿Cuánto mide el ángulo que se forma entre la cabeza de la jirafa y el suelo? y ¿Cuál es el cociente entre la altura de las patas y la distancia de éstas al agua? y ¿Está razón coincide con la razón de las medidas de tu dibujo?. Una cría de la jirafa bebe agua en un estanque junto a su madre; sus patas miden 1 metro de altura, forman un ángulo recto con el suelo y están a 0.70 metros de la orilla del agua. Traza un dibujo para representar la situación. y ¿Es una situación semejante a la de la jirafa adulta? Justifica tu respuesta. y ¿Cuál es el cociente entre la altura de las patas y su distancia al agua? y A partir de lo anterior y sabiendo que un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 35º, ¿cuáles podrían ser las medidas de sus catetos? Justifica tu respuesta.

Utilizo las TIC En la siguiente liga encontrarás información acerca de los ángulos de triángulos rectángulos: cmed.mx/m323. Haz clic sobre cualquier vértice o sobre la figura y desplaza el cursor. ¿Los dos triángulos rectángulos son semejantes? ¿Qué ocurre cuando desplazas el cursor y se modifican las medidas de los lados del triángulo? ¿Cómo son sus ángulos?

2. En una cancha de futbol, la distancia del tiro penal a la portería es de 11 metros y ésta mide 2.34 metros de altura. El tirador dispara desde el punto penal, la pelota sale formando un ángulo de 12° por arriba del suelo y contacta con el poste horizontal de la portería: la figura representa la situación. ón y ¿Cuál es el cociente entre la altura de la portería y el bal Altura de rido d r o c e R la distancia al punto de penal? la portería Punto 12° En una cancha para niños las medidas son semejantes a penal las de la cancha anterior. y Si la portería tiene una altura de 1 m, ¿cuál es la distancia de ésta al punto penal? Explica tu respuesta. y Si un adolescente tira un penal y la pelota contacta el poste horizontal de la portería, ¿cuál es el ángulo de elevación que se forma con la trayectoria? Argumenta tu respuesta. y ¿Cuál es la razón: altura de la portería entre distancia al punto penal? Realiza los trazos que requieras para validar tus respuestas. Comenta y analiza con tus pares las razones que obtuviste en cada caso y cómo éstas permiten calcular medidas Continúa actividad…➙ de los catetos a partir de conocer la medida de un ángulo agudo.

L16

Mate 3 book 2021.indb 129

Ángulos agudos de triángulos rectángulos

129

18/05/21 16:00

Continúa… Realiza en pareja las actividades siguientes. 4. Un edificio con altura de 18 metros proyecta una sombra de 72 metros sobre el piso. Los rayos del sol inciden en el piso y forman un ángulo de 14°. y ¿Qué ángulo hay entre los rayos del sol y la pared del edificio? Ilústrenlo con un dibujo, cuyas medidas sean proporcionales a las dadas. y ¿Cuál es el cociente entre las medidas de la altura del edificio y de la sombra que proyecta? y ¿El cociente es el mismo en su dibujo? ¿Por qué? y Una casa junto al edificio proyecta una sombra; de 15 m a la misma hora, ¿podrían determinar la altura de la casa a partir de los cocientes anteriores? ¿Por qué? y Si la razón entre la altura de un edificio y la sombra que proyecta es de 0.25, ¿cuál será el ángulo que proyecta el Sol en el piso? Justifiquen su respuesta. y Si la sombra mide 95 m, ¿cuál es la altura del edificio? 5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 7 cm y 10 cm , y sus ángulos agudos miden 35° y 55°. Un segundo triángulo tiene dimensiones mucho mayores y el cociente entre sus catetos es 0.7. y ¿Los ángulos del segundo triángulo miden lo mismo que los del primero? Expliquen su respuesta. 6. Se tienen dos terrenos triangulares como los que se muestran: completen la tabla, redondeen a dos cifras decimales. Utilicen los valores de estos triángulos para obtener los valores que faltan en los triángulos azul y amarillo de la tabla.

90º

Cateto menor

Cateto mayor

Hipotenusa

Verde

30.6

35.7

61.2

Anaranjado

Triángulo

35.7

90º

30.6

Azul

40º

Amarillo

C.menor _________ C.mayor

C.menor _________ hip.

Ángulos agudos

40º 0.85

0.58 0.5

0.58

61.2

y ¿Será posible conocer la medida de los ángulos de triángulos rectángulos a partir de la razón entre sus catetos? Argumenten su respuesta. Los cocientes que obtuvieron en la tabla se conocen como razones trigonométricas, las cuales se estudiarán a detalle en la siguiente lección.

130

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 130

Comparen sus respuestas con las que dieron otras parejas; si hay errores, analícenlos y corrijan. En particular, expliquen cómo se pueden obtener medidas faltantes en triángulos rectángulos a partir de la medida de sus ángulos y las razones trigonométricas.

geométricos

18/05/21 16:00

Practico

1. Una avioneta vuela a 580 metros de altura sobre un terreno plano; cuando inicia el descenso para aterrizar lo hace con un ángulo de inclinación, hacia abajo, de 24º en ese momento la torre de control le notifica que se encuentra a una distancia horizontal de 1 300 m de la pista de aterrizaje. a. Observa la imagen de la derecha que ilustra el momento mencionado en la situación anterior.

24º 580

1300

y ¿Cuánto mide el otro ángulo del triángulo que se forma? y Si la razón, altura del avión entre la distancia que tiene que recorrer la avioneta en línea recta, es de 0.4, ¿qué distancia tiene que recorrer el avión? y Imagina que la inclinación es continua durante el descenso del avión, ¿a qué altura estará si le reportan que está a 800 metros de la pista? y ¿Qué distancia tendría que recorrer para llegar a la pista? b. Cuando la avioneta está a 555 metros de altura y a 1 000 metros en horizontal de la torre de control; ¿hay un triángulo rectángulo implícito? Apoya tu respuesta con un dibujo a escala. y En ese momento, ¿la avioneta continúa con el mismo ángulo de descenso? ¿Por qué? y ¿Cuál sería el ángulo de inclinación en este caso? y ¿Cuánto miden los ángulos interiores del triángulo? 2. Analiza el razonamiento que siguieron en el grupo para encontrar los ángulos interiores de los triángulos rectángulos. Piensa en situaciones de la vida cotidiana que se puedan resolver con triángulos rectángulos, y en la importancia de encontrar procedimientos con los que se pueda calcular el ángulo agudo de un triángulo rectángulo si sólo se conocen las medidas de sus catetos. 3. En el inciso b, ¿qué cálculos hiciste para obtener que el ángulo agudo medía 29 grados? y ¿Se te ocurre otra manera? Escríbela y compártela con el grupo.

L16

Mate 3 book 2021.indb 131

Ángulos agudos de triángulos rectángulos

131

18/05/21 16:00

Razones trigonométricas

L17

GLOSARIO Topografía. Actividad que se realiza para describir y delinear con detalle la superficie de un terreno. Exploro

La palabra “trigonometría” proviene de dos vocablos griegos: trigonon, “triángulo” y metron, “medida”. Los fundamentos de la trigonometría se remontan, al menos, a hace 3000 años, cuando los egipcios, babilonios y griegos la desarrollaron para encontrar las longitudes de los lados de triángulos y las medidas de sus ángulos. En particular, los egipcios la usaban para restablecer los límites de terrenos después de la inundación anual causada por el río Nilo. Actualmente la trigonometría juega un papel fundamental en la topografía, la electrónica y otras áreas de la ingeniería y las ciencias. Identifico la razón entre los lados de los triángulos rectángulos para calcular medidas faltantes. 1. Lee la situación y resuelve. Desde que despega un avión, su “caja negra” graba todos los datos del vuelo. El avión que ves en la figura despegó y se grabaron los datos siguientes que muestra F la tabla. D y ¿Qué relación observan encuentras entre los ángulos que se forman? B 15º

Triángulo

Ángulo de elevación (°)

Distancia horizontal (m)

Elevación vertical (m)

Distancia recorrida (m)

ABC

50.0 (lado AC )

13.4 (lado BC )

51.8 (distancia AB)

ADE

80.0 (lado AE )

21.4 (lado DE )

82.8 (distancia AD)

AFG

170.0 (lado AG )

45.5 (lado FG)

176.0 (distancia AF )

y ¿Qué relación hay entre los triángulos que se forman en el esquema? y Sin medir o hacer operaciones, ¿qué relación encuentras entre los cocientes BC , DE y FG ? Explica. AB AD AF AC AE AG y ¿Qué sucede con los cocientes AB , AD , AF ? y Determina el cociente entre la distancia vertical y la distancia horizontal de los triángulos ACB, AED y AGF, y di qué observas. ¿Por qué se da la relación anterior? y Si la avioneta continúa con el mismo ángulo de elevación después de recorrer 250 m, ¿a qué altura se encontrará? ¿Cómo obtuviste la respuesta? Responde después de debatir con tus pares: ¿Qué datos necesitas para conocer la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? ¿Cómo puedes determinar la medida de los catetos a partir de conocer la medida de un ángulo y la razón entre sus catetos con la hipotenusa?

132

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 132

geométricos

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

90º

Cateto adyacente

1. Observa, en pareja, el triángulo de la derecha y completen la tabla. Calculen el cociente de cada razón, redondeando a dos cifras decimales. cateto opuesto _______________ hipotenusa

cateto adyacente ________________ hipotenusa

9.6

cateto opuesto _______________ cateto adyacente

40º

130 m

Ángulo

Cateto opuesto

H ip

La figura de la derecha muestra un triángulo rectángulo, con un ángulo llamado “a”; la hipotenusa es el lado ubicado frente al ángulo recto, es decir, opuesto a éste. En el dibujo se definen los catetos (adyacente y opuesto) con respecto al ángulo a. El cateto adyacente es el lado que está junto a ese ángulo y el cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo. Observa que si consideras el otro ángulo agudo del triángulo, los catetos intercambiarían sus nombres, ¿por qué?, pero la hipotenusa seguiría siendo la misma.

ot en us a

I. Identifico las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

40º 50º

En la lección 17, página 130, se mencionó que los cocientes entre los lados de triángulos rectángulos se conocen como razones trigonométricas. Estas razones se llaman: seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan).

90º

50º

109 m

Los valores que obtuvieron en la tabla que completaron representan el seno, coseno y tangente de los ángulos de 40º y 50º. Consulten las páginas 226 y 227, encuentren ahí los valores de las razones trigonométricas que corresponden a los ángulos anteriores y con base en ello, identifiquen qué relación, entre los lados del triángulo de la tabla de arriba, corresponde a cada razón. 2. Respondan con base en las relaciones entre los valores de la tabla y las razones trigonométricas. y ¿Cuál razón entre los lados de un triángulo define al seno? y ¿Cuál razón define al coseno? y ¿Cuál a la tangente? 3. Respondan. y Si se conoce el seno de un ángulo de 40º y el cateto opuesto mide 45 cm, ¿cómo se puede determinar la medida de la hipotenusa? Explica. y Si se conoce la tangente y el cateto adyacente mide 30 cm, ¿cuánto mide el cateto opuesto?

Comparen las razones trigonométricas que establecieron con las de otros pares. Si existen diferencias, busquen el apoyo del docente para llegar a acuerdos.

L17

Mate 3 book 2021.indb 133

Razones trigonométricas

133

18/05/21 16:00

II. Determino los valores de las razones trigonométricas de 30° y 60° por medio de un triángulo equilátero.

Tomo Nota Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, se definen como: cateto opuesto seno = _________________

Las funciones de algunos ángulos pueden deducirse a partir de figuras sencillas, como verás a continuación. Como ya has estudiado, los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180°, por lo que si dibujamos un triángulo equilátero cuyos lados midan 2 unidades, resulta lo siguiente: 60º

cateto adyacente coseno = _______________

60º

cateto opuesto tangente = _____________

Si cortamos este triángulo por uno de sus ejes de simetría quedará partido a la mitad, como se muestra: 30º

60º 1

1. Realiza en pareja lo siguiente: y ¿Cuál es el coseno del ángulo de 60º? y ¿Cuál es el seno del ángulo de 30º? y ¿Qué razón trigonométrica del ángulo de 60º pueden utilizar para calcular la medida de h? ¿Por qué? y ¿Cómo pueden obtener el valor de h en el triángulo? y Busquen en la tabla del Apéndice, páginas 226-227, las razones trigonométricas de un ángulo de 60º y calculen h. y ¿Cuánto vale h? 2. Determinen el valor de la tangente de 60°. Expresen el resultado en forma de fracción. y Si las medidas de los lados del triángulo equilátero fueran otras, ¿cambiarían las razones trigonométricas? ¿Por qué? 3. Calculen la altura de triángulos equiláteros de 8, 11 y 15 unidades por lado.

134

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 134

Comparen sus respuestas con las de otras parejas; ¿coinciden? Si encuentran diferencias corrijan los posibles errores. Analicen las figuras y comenten si los resultados que obtuvieron cambiarían de haber escogido el otro triángulo rectángulo.

geométricos

18/05/21 16:00

III. Determino los valores de las razones trigonométricas de 45° por medio de un dibujo. 1

El cuadrado de la derecha mide 1 unidad por lado. Si trazamos una diagonal cualquiera del cuadrado, ésta partirá por la mitad dos de sus ángulos y se formarán dos triángulos rectángulos, como se muestra en la figura.

90º

45º 45º

1 45º 45º

Realiza en forma individual las actividades siguientes:

90º 1

1. Dibuja por separado uno de los dos triángulos que se formaron y anota las dimensiones que conozcas con la nueva medida de sus ángulos: En la tabla de razones trigonométricas que está en el Apéndice de tu libro, busca dichas razones para el ángulo de 45º y calcula la medida de la diagonal del cuadrado. Si tomamos como referencia un ángulo de 45º, ¿cómo son su seno y su coseno? Explícalo con base en el dibujo que hiciste. y ¿Cuál es el valor de la tangente de 45°? Con los avances tecnológicos de nuestra época es muy común tener acceso a una calculadora científica para obtener las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Consulta el manual de usuario de tu calculadora, porque varía dependiendo del modelo que tengas. Tanto si usas una calculadora como si empleas una tabla, la mayor parte de los valores de las razones trigonométricas son aproximaciones. Esto debes tenerlo en cuenta en el momento en que redondees el resultado. 2. Con ayuda de una calculadora científica, o de las tablas de Apéndice, completa la siguiente tabla de los valores de las razones trigonométricas. Expresa los resultados redondeados a cuatro decimales. Ángulo del triángulo rectángulo

C. Opuesto

25º

80º 75º

C. Adyacente

Hipotenusa

10 6

Compara tus respuestas con las de diferentes integrantes del grupo. Si no coinciden, revisen sus procedimientos en busca de errores y corrijan.

L17

Mate 3 book 2021.indb 135

Leo + Antes de que existieran las calculadoras y las computadoras, para determinar las razones trigonométricas de los ángulos se utilizaban tablas que mostraban los valores en forma decimal. Para que tengas a mano estas tablas, consulta la liga: cmed.mx/m324 .

Razones trigonométricas

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18/05/21 16:00

IV. Determino los elementos de un triángulo con el uso de las razones trigonométricas.

Resuelvan, en pareja, las siguientes actividades. 1. Las definiciones de las razones trigonométricas permiten obtener todas las medidas de un triángulo rectángulo con sólo usar aquella definición que incluya dos valores conocidos y la incógnita que se desea calcular, para luego despejar ésta. Por ejemplo, en el triángulo siguiente sólo se conoce la longitud de la hipotenusa y uno de los ángulos, y se desconocen las longitudes de los dos catetos, que son las que deseamos calcular: 60º

y ¿Qué razón trigonométrica incluye el cateto opuesto y la hipotenusa? Expresen la relación en función del ángulo que conocen. y Con base en la tabla que completaron, ¿cuál es el seno de 60°? y Sustituyan este valor y el de la hipotenusa en la relación que determinaron. ¿Qué operaciones tienen que realizar para encontrar el valor de x? Expliquen su respuesta. y Con respecto al ángulo de 60°, ¿qué cateto es el lado y? y ¿Cuál es la relación trigonométrica que incluye la hipotenusa y el lado y? y ¿Qué valor obtuvieron para el coseno de 60º? Expresen la fórmula para encontrar el valor de y. y ¿Cuál es el valor de y? Anoten, en el dibujo del triángulo, los valores de x y y. 60º

Tomo Nota Cuando se conoce el valor de una razón trigonométrica y se desea obtener el ángulo que la produce, se usan las “funciones inversas” de la calculadora: seno inverso, coseno inverso y tangente inversa.

136

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 136

2. Se sabe que la tangente de un ángulo a es 2.4751. ¿Cuánto mide el ángulo a?

Compartan sus procedimientos y resultados con los de otras parejas; ¿coinciden? Si encuentran diferencias, busquen los errores y corrijan. Comenten en el grupo sus resultados y regístrenlos.

geométricos

18/05/21 16:00

Practico

Usa una calculadora o tabla trigonométrica para realizar las siguientes actividades. En la página 226 puedes consultar la tabla de razones trigonométricas. 1. Observa el triángulo de la derecha y los datos que contiene. y ¿Hay datos suficientes para calcular el seno de 35° sin una calculadora o tablas? 16.1 Explica tu respuesta. y Usando las razones trigonométricas, ¿de cuántas formas podrías calcular el valor de la hipotenusa? Argumenta tu respuesta. y La maestra le comentó a sus estudiantes: quien diga el valor correcto de la hipotenusa ganará un premio. Meche dice 13.7, Lalo dice 16.1 y Fabio dice 19.7. ¿Quién es el ganador? y Con base en la figura, ¿cuál es el valor de la tangente de 55°? Verifica tu respuesta con la calculadora o con la tabla de funciones v B trigonométricas.

35º

11.3

2. Observa la figura de la derecha. w y ¿Qué representan los datos conocidos? Explica. 27.15 y ¿Cuál es el valor del ángulo v? Deduce la medida del ángulo w. y Para calcular la longitud del lado B, ¿de cuántas formas lo puedes hacer? Explica. Calcula y verifica si obtienes el mismo valor con los diferentes procedimientos que indicaste: y De cuántas maneras puedes obtener la longitud del lado A? Muestra tus procedimientos.

13º

3. En una feria, el carrito de la Montaña Rusa asciende con un ángulo de 25° hasta llegar a una altura de 120 pies, antes de comenzar el descenso. y ¿Cómo sería el diagrama para esta situación? Dibújalo.

y ¿Cuáles son los datos? Al terminar el recorrido, el pasajero pregunta al operador cuál es la distancia en línea recta que recorrió el carrito desde la salida hasta el punto más alto. ¿Qué le responderías? Argumenta tu respuesta. y ¿Qué distancia horizontal ha recorrido? Redondea el resultado.

L17

Mate 3 book 2021.indb 137

Razones trigonométricas

137

18/05/21 16:00

Medición de distancias

inaccesibles

L18

Desde que fue iniciada por Hiparco, hacia el año 125 a.n.e., la trigonometría ha permitido medir la distancia a puntos inaccesibles, por ejemplo estrellas, cumbres de montañas, torres, etc. Esto ha sido posible gracias a que es relativamente sencillo construir aparatos para medir el ángulo que forma una visual con otra línea. Exploro

GLOSARIO Visual. Línea recta que va desde el ojo de un observador hasta un punto en la distancia. Clinómetro. Dispositivo para medir ángulos verticales por arriba o por debajo de la horizontal. Ángulo de elevación. Ángulo que forma una línea por arriba de la horizontal.

Utilizo las razones trigonométricas para calcular una medida inaccesible.

El llamado “techo de nubes” es la altura de las nubes más bajas que cubren más de la mitad del cielo. Para determinarlo, un reflector potente proyecta un círculo de luz vertical sobre la parte inferior de la nube. Un observador busca el círculo de luz en la nube con un tubo llamado clinómetro del que cuelga, en vertical, una plomada situada en un transportador que proporciona el ángulo de elevación. En la figura, el reflector se localiza a 500 metros del observador y el ángulo de elevación es de 30° según se lee en el clinómetro situado frente a los ojos del observador, a una altura de 1.70 metros.

Nube

30º Reflector

Leo + Lee en esta liga la biografía de Hiparco de Nicea, considerado el fundador de la trigonometría. Localiza en un mapa la ciudad de Nicea, hoy Iznik, lugar de nacimiento de este gran astrónomo e inventor. cmed.mx/m325 .

138

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 138

500 m

Observador 1.70 m

y ¿Qué clase de triángulo se forma en esta situación? y ¿Qué razón trigonométrica relaciona la altura con los datos que aparecen en la figura? y ¿Cómo plantearías la razón trigonométrica apropiada para el ángulo de la visual que aparece en la figura? y En tu opinión, ¿intervendría la altura del observador en la determinación de la altura del techo de nubes? Explica tu respuesta. y Si el piloto de un avión pregunta por radio cuál es la altura del techo de nubes; el observador consulta su calculadora y, ¿qué responde al piloto? Fundamenta la respuesta.

geométricos

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Construyo un clinómetro para calcular la altura de un punto inaccesible.

Para medir ángulos con mucha precisión se utiliza un aparato llamado “teodolito”, que se compone de un círculo horizontal y uno vertical, ambos graduados y provistos de anteojos. 1. Formen equipos de tres para realizar las actividades siguientes: Es posible construir un aparato parecido a un teodolito casero (clinómetro) con materiales sencillos para medir los ángulos verticales; se requiere lo siguiente: un popote, un transportador, hilo y un objeto pequeño de cierto peso (una tuerca, por ejemplo). v Procedan a armar el dispositivo como se muestra en la figura de la derecha: v Después de construir el clinómetro elijan un objeto elevado, por ejemplo, el asta bandera o un edificio. v Elaboren un diagrama sobre el siguiente dibujo, que les ayude a calcular la altura del objeto.

90º – a

y Mientras uno de ustedes está en el piso, ¿qué elementos necesitan conocer para calcular la altura del objeto elevado que eligieron? y Si carecen de una cinta métrica suficientemente larga, ¿cómo determinarían una distancia horizontal aproximada? Describan el procedimiento para medir con el clinómetro el ángulo vertical entre el piso y el objeto elevado. y Improvisen una unidad de medida, por ejemplo, los pasos de uno de ustedes, y midan la distancia que hay desde el punto donde está colocado el observador hasta la base del objeto elevado; ¿cuál es la distancia? y ¿Cuál es la lectura del ángulo (a) en el transportador? Calculen la altura del objeto elevado, expresada en la unidad de medida que improvisaron. y ¿Cómo expresarían en metros la altura del objeto? Expliquen. y ¿Cuánto mide la altura del objeto? Elijan, con otro equipo, varios objetos elevados y utilicen el clinómetro para determinar su altura.

Discutan con otro equipo los procedimientos que siguieron para calcular la altura del objeto; presten atención a los cálculos trigonométricos y al papel que juega la estatura del observador.

L18

Mate 3 book 2021.indb 139

Medición de distancias inaccesibles

139

18/05/21 16:00

II. Calculo la distancia que hay hasta un punto inaccesible.

Responde en pareja. 1. Un ingeniero del que ustedes son ayudantes, necesita medir la distancia AL a través de un lago; con el odómetro de su camioneta midió la distancia AT, que resultó de 490 metros; también midió el ángulo t de 32° y el ángulo l de 58°.

l = 58º

y ¿Observan más de una manera de calcular la distancia AL? Expliquen su respuesta. y El ingeniero determina la distancia AL usando el ángulo de 32° y se las dicta; ¿qué cifra dictó? T y Como no escucharon bien la cifra que les dictó el ingeniero, quieren comprobarla de otra forma usando el ángulo de 58°. ¿Obtienen la misma distancia AL? Muestren sus cálculos. y Antes de retirarse, el ingeniero les pide que determinen la distancia LT (imposible de medir por la presencia del lago); ustedes recuerdan que ya conocen la distancia AL. ¿De cuántas formas podrían calcular lo que les piden? y ¿Qué distancia LT obtienen? Comprueben sus resultados con las distintas formas de cálculo que mencionaron en el punto anterior.

t = 32º 490 m

GLOSARIO Odómetro. Instrumento para medir la distancia que se recorre caminando o en un vehículo.

Compartan sus resultados y procedimientos con los de otras parejas; traten de llegar a acuerdos. Practico

1. La montaña más alta del mundo es el monte Everest. Su altura fue determinada en 1856 con métodos trigonométricos mucho antes de que fuera escalada en 1953. La medición se hizo desde una gran distancia, a una altura de 4 433.32 m s.n.m. (metros sobre el nivel del mar) en otra montaña desde donde la línea recta a la cumbre del Everest mide una longitud de 43 474 m s.n.m y el ángulo de elevación es de 5.82°. 4m

43 4

5.82 º 4 433.32 m s.n.m

y Con los datos conocidos, ¿cómo te imaginas que se procedió para determinar la altura del monte Everest? y ¿Qué relación trigonométrica vincula el ángulo conocido con la hipotenusa y la altura entre ambas montañas? y ¿Qué altura tiene el monte Everest? s.n

Utilizo las TIC Utiliza tu calculadora para obtener las razones trigonométricas que hagan falta.

140

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 140

2. Desde que se calculó por primera vez ha habido mucha discusión sobre la altura real del monte Everest; aunque se ha determinado por diversos medios, ninguno goza de total aceptación. Investiga algunas de las propuestas actuales y compáralas con el cálculo que acabas de realizar.

geométricos

18/05/21 16:00

Responde individualmente lo siguiente: 3. En un negocio se va a instalar una cámara de video en un soporte de pared, de manera que mantenga enfocada una caja fuerte. Cámara Ángulo de depresión 3m Caja fuerte 8.25 m

y ¿Qué relación existe entre el ángulo de la pared y la línea visual y el ángulo de depresión? y El vigilante te pide obtener con tu calculadora el ángulo de depresión que debe formar el objetivo de la cámara con la horizontal; ¿qué resultado obtienes? Explica. 4. En una pista improvisada, un pequeño avión levanta el vuelo cuando le quedan 100 metros de pista, al final de la cual hay un árbol.

Tomo Nota Para obtener un ángulo en la calculadora científica, si cuentas con ella, emplea la tecla “inversa”; por ejemplo, para obtener el ángulo cuya tangente es 1.19 se oprime la secuencia de teclas: ; 1 . 1 9 INV TAN sin embargo, esta operación cambia según el modelo, por lo que debes leer siempre el manual.

GLOSARIO Ángulo de depresión. Es el ángulo agudo que forma una línea visual por debajo de la horizontal.

17.64 m a

100 m

• El avión despega con un ángulo de elevación de 9°; ¿alcanzará a librar el árbol? Muestra tus cálculos. • ¿Qué razón trigonométrica usarías para calcular la altura que alcanzará el avión cuando esté sobre el final de la pista? • El piloto consulta en la computadora de vuelo el ángulo mínimo con el que debe despegar para apenas librar el árbol. ¿Qué ángulo propone la computadora?

Comparte tus respuestas y procedimientos con otros integrantes del grupo. ¿Coinciden? Si existen diferencias, encuentren los errores y corrijan. • Comparen las distintas formas de obtener las razones trigonométricas inversas. • Dependiendo de la calculadora que utilicen, ¿cambian los resultados obtenidos? • Debatan en el grupo lo siguiente: Si en un triángulo la tangente de un ángulo es 1, ¿cómo son los catetos?

L18

Mate 3 book 2021.indb 141

Medición de distancias inaccesibles

141

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje Recapitulo 1. A partir del ángulo agudo de referencia (a) de un triángulo rectángulo, se definen el cateto opuesto (co) y el cateto adyacente (ca). La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto y es el lado de mayor medida. 2. Para calcular las razones trigonométricas de los ángulos, se requiere una calculadora o tabla en la mayoría de los casos. 3. Las razones trigonométricas son: seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). Se obtienen con las siguientes razones: sen (a) = co/h; cos (a) = ca/h;

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

1. Imagina que el ángulo de elevación del Sol es de 23° y que Gaby, cuya estatura es de 1.62 m, espera de pie el autobús de manera que su sombra se proyecta sobre el piso. Elabora un diagrama de la situación.

y ¿Cuánto mide la sombra que proyecta Gaby? 2. Una bióloga, de 1.65 metros de altura, situó su puesto de observación en un árbol de 28.35 metros de altura; un jaguar llega a abrevar a una distancia de 280 metros en línea recta desde el puesto de la bióloga.

tan (a) = co/ca. 4. Con las razones trigonométricas pueden obtenerse los valores desconocidos de un triángulo rectángulo.

y ¿Con qué ángulo de depresión debe apuntar su telescopio la bióloga a fin de poder enfocar al jaguar? y ¿Podrías comprobar tu resultado con otra razón trigonométrica? GLOSARIO Abrevar. Dar de beber, especialmente a animales: ganado.

142

Figuras y cuerpos

Mate 3 book 2021.indb 142

3. Como viste al calcular los cocientes de los lados de triángulos rectángulos, los valores obtenidos eran números con muchas cifras decimales, por lo que las razones trigonométricas que usamos no son exactas, sino aporximaciones. También es útil tener presente que la longitud de la hipotenusa siempre es mayor que la de cualquiera de los catetos. y ¿Cómo tendrían que ser el cateto opuesto y el adyacente para que el valor de la tangente fuera igual a 1? Argumenta. y ¿Podría la tangente ser mayor que 1? y Si la tangente de un ángulo fuera menor que 1, ¿qué podrías concluir sobre los catetos? y ¿El seno de un ángulo puede ser mayor que 1? Argumenta tu respuesta. y En un programa de concursos una persona afirma que el coseno de cierto ángulo es 1.23; ¿es posible eso? Explica por qué.

geométricos

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Logro ir más

allá Fisura en la roca

Los geólogos utilizan un tipo de brújula que incluye un clinómetro, con el que pueden medir ángulos de rocas inclinadas, alturas de colinas situadas a grandes distancias, profundidad de cañones, distancias a través de cuerpos de agua, ángulos de estrellas, y muchos otros rasgos de la naturaleza. Casi siempre trabajan en zonas inhóspitas en las que no entran vehículos, por lo que es común que midan distancias con sus pasos, de los cuales hacen mediciones para tener una medida confiable de ellos. En la imagen se muestra el clinómetro, y lo que se quiere medir es la inclinación de la fisura en la roca. El clinómetro tiene una tabla de senos, en la parte posterior, que los geólogos utilizan con frecuencia.. Realiza lo siguiente para que, por un momento, te sientas geólogo: v Da 10 pasos y mide la distancia que recorriste, calcula la longitud de uno de tus pasos. v Repite lo anterior varias veces y al final calcula la longitud promedio de tus pasos. Con esto sabrás cuánto mide un paso tuyo en promedio. v Ahora podrás medir cualquier distancia contando tus pasos. v Emplea el clinómetro que construiste y la medida de la longitud de tus pasos para calcular la altura de uno de los muros de tu casa o de un árbol pequeño, etc.; usa las razones trigonométricas. v Utiliza una cinta métrica para medir la altura real de lo que hayas elegido. Evita riesgos. v Compara la altura que calculaste con la altura real que mediste con la cinta; ¿qué opinas de tus resultados? Comparte tus resultados y procedimientos en el grupo.

L18

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143

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Medidas de tendencia central

y de dispersión

L19

Es difícil detectar un patrón en listas muy grandes de números; la única manera de hacerlo es con el cálculo de las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y de dispersión (rango y desviación media). Exploro

Comparo dos conjuntos de datos relacionados con la temperatura de una ciudad. Durante mucho tiempo se sospechó que la temperatura de la Tierra estaba aumentando, y recientemente los científicos comprobaron que, en efecto, está ocurriendo un cambio climático. En la siguiente tabla se muestran las mediciones de la temperatura máxima de cada mes en la ciudad de Tijuana, registradas a lo largo de dos diferentes años. Temperatura (ºC) Mes

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

1997 (ºC)

2017 (ºC)

Año

La ciudad de Tijuana es la más poblada del estado de Baja California y la más occidental de Latinoamérica, por lo que se le conoce como “la esquina de México”. En el año 2017, la temperatura más baja registrada en esa ciudad fue de –9.4 °C y la más alta, de 48.2 °C. Fuente: BBC weather.

144

1. Responde a partir de la información de la tabla: y ¿En qué año se presentó el mes con la temperatura más alta? y ¿La respuesta anterior permite establecer si realmente ha aumentado la temperatura de la Tierra? Explica por qué. y ¿Cómo determinarías si la temperatura aumentó en la ciudad de Tijuana entre los años 1997 y 2017? 2. Calcula la media, mediana y moda de la temperatura de cada año y responde: Media: _________ _________ Mediana: _______ _________ Moda: _________ _________ y ¿Cuál de estas medidas permite establecer si la temperatura aumentó en los últimos 20 años? y ¿Cuál es el rango de temperaturas en cada año? ¿Qué interpretación puedes dar a estos valores? y ¿En qué año las temperaturas tuvieron mayor variación? ¿Qué medida permite determinarlo?

Analiza, en pareja, cómo llegaron a las respuestas anteriores. Si existen contradicciones, coméntenlas para llegar a acuerdos, y opinen acerca de la importancia de conocer las medidas de tendencia central y de dispersión al comparar la temperatura de los diferentes años.

Estadística

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Tomo Nota

Descubro y construyo

I. Resuelvo problemas para comparar las medidas de tendencia central y de dispersión de dos conjuntos de datos. Escuela A Escuela B 1. Se tienen las calificaciones de alumnos de dos escuelas 8.4 9.7 en el examen final de inglés: • ¿Qué medida de dispersión podría usarse para sa7.2 6.1 ber en qué escuela los alumnos tienen mejor nivel 9.6 6.9 de inglés? 8.0 9.4 • ¿Qué significaría que las medias de las calificacio6.9 6.0 nes fueran muy parecidas y las desviaciones muy 7.9 9.9 diferentes? Da argumentos para tu respuesta. • Al comparar las medias de las calificaciones de ambas escuelas, ¿qué conclusión sacarías sobre el nivel de inglés en cada una? • ¿Qué información te da el rango de cada escuela acerca de la dispersión de las calificaciones? • ¿La desviación media indicaría algo sobre el nivel de inglés en cada escuela?

Discute, en pareja, los resultados obtenidos. Si existen discrepancias, revisen sus procedimientos para encontrar el porqué de éstas. Intercambien opiniones sobre cada escuela tomando como punto de partida las medidas de tendencia central y de dispersión. ¿Pueden compararse más de dos conjuntos de datos con sus medidas de tendencia central y de dispersión? 2. A diez estudiantes de una secundaria se les preguntó por el tiempo que hacen, en promedio, para llegar a la escuela. En seguida se muestran los tiempos de recorrido utilizados en cada transporte. Transporte público (min)

Automóvil (min)

• ¿Cómo se puede determinar en qué medio de transporte el tiempo de llegada tiene menos variación? • ¿Cuál de las medidas de tendencia central permite determinar en qué medio de transporte se hace menos tiempo? Argumenten su respuesta. Determinen el rango y la desviación media de la muestra con cada modo de transporte. • ¿Qué representan los valores anteriores en cuanto al tiempo de llegada a la escuela?

Comparen sus resultados en pareja. ¿Qué limitaciones tiene la desviación media para comparar dos conjuntos de datos?

L19

Mate 3 book 2021.indb 145

La dispersión, en estadística, indica qué tanto varía un conjunto de datos, es decir, qué tan alejados están los datos entre sí o respecto a un valor de referencia. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos estadísticos. La desviación media es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones, es decir, la distancia de cada dato respecto a la media del conjunto.

Utilizo las TIC En esta liga puedes ver cuatro ejemplos para calcular el rango y la desviación media de un conjunto de datos. Pulsa el botón para hacer ejercicios interactivos con los que podrás auto evaluarte. cmed.mx/m314519

Tomo Nota El rango es la medida de dispersión más sensible a los valores extremos y, por tanto, no es muy confiable ya que emplea el valor más grande y el más pequeño, que pueden ser anómalos. Sin embargo, como concepto es una herramienta útil para comprender el significado de la dispersión de los datos.

Medidas de tendencia central y de dispersión

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En cu ca de un Pu ha int po cm

ht ed ed 3q _c

Practico

1. Se enfrentaron cuatro equipos de futbol por el campeonato del mundo. Se quiere comparar cómo ha sido la trayectoria de cada uno de los equipos con base en sus resultados En la tabla se registran los goles anotados por cada equipo durante los últimos campeonatos del mundo, que se celebran cada cuatro años. Goles anotados por cada equipo Campeonato

Equipo A

Equipo B

Equipo C

Equipo D

2018

2014

2010

2006

2002

• ¿Cómo determinarías cuál ha sido el mejor equipo a lo largo de cada año? • Con base en el promedio de goles anotados por cada equipo, ¿podría pronosticarse quién ganará el campeonato? • ¿Cómo podrías determinar cuál es el equipo más constante en los goles que anota? 2. Los siguientes son los días con lluvia en tres ciudades, registrados en años distintos: Número de días con lluvia

Utilizo las TIC Ingresa a la liga: cmed.mx/m326, donde puedes usar una calculadora estadística para practicar cómo obtener la desviación media y otras medidas de dispersión. Comprueba tus resultados.

146

Año

Acapulco

Belfast

Cagliari

1960

148

125

215

1970

182

136

182

1980

167

119

221

1990

199

194

2000

213

210

2010

295

101

246

• Averigua cuál es el lugar geográfico de cada una de las ciudades. • ¿Qué medida utilizarías para determinar la ciudad que tiene el número más estable de días con lluvia? • ¿Cuál es la ciudad más lluviosa, en promedio? • ¿Cuál es la ciudad en donde las lluvias son más variables? ¿Y dónde son menos variables? • ¿Cómo podría utilizar un agricultor las medidas de dispersión para anticipar el riesgo de una inundación? • ¿Qué datos recabarías para anticipar el riesgo de que ocurra una sequía?

Estadística

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3. Para elegir a la compañía que suministrará los focos ahorradores de energía para una escuela, se solicita información a dos fabricantes. Éstos proporcionaron los siguientes datos del máximo de horas que los focos permanecieron encendidos antes de fallar, a lo largo de siete pruebas: Número de prueba

Fabricante 1 (horas)

Fabricante 2 (horas)

1 215

824

902

1 393

1 192

425

970

2 309

1 044

1 532

958

1 401

987

y ¿A qué fabricante debe elegir la escuela y por qué? y ¿Qué fabricante ofrece los focos más durables en general? 4. En la siguiente tabla se registran las horas que permanecen conectadas a la red cuatro alumnas a lo largo de cinco semanas. Semana

Alma

Beti

Ceci

Delia

5.3

6.2

7.6

12.4

5.0

5.9

6.8

3.9

9.5

7.2

7.4

8.1

10.1

10.0

8.1

9.2

5.8

12.2

7.5

10.5

y ¿Durante las cinco semanas, ¿quién permanece más tiempo conectada a la red? y ¿Quién tiene un rango menor? y ¿Cuál de las cuatro parece programar el tiempo que permanecerá conectada, y lo cumple? 5. Busca noticias en las que se comparen conjuntos de datos, por ejemplo: la evolución de los precios, los salarios de distintos países, la escolaridad de diversas etnias, el consumo de azúcar de niños y adolescentes en México, etc., y compártelas con tus compañeros. 6. Consulta la página del inegi y selecciona "Medio ambiente". Escoge "Prácticas ambientales" y analiza los datos estadísticos que se muestran. Plantea preguntas significativas y revisa cuáles son algunos de tus hábitos, por ejemplo, respecto al manejo de los desechos sólidos.

L19

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Medidas de tendencia central y de dispersión

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Análisis de desviación media

L20

En ocasiones tenemos que tomar una decisión, entre dos posibles, a partir de la información de dos conjuntos de datos. Es ahí cuando conviene realizar un análisis de los valores de tendencia central y de dispersión de dichos conjuntos.. Exploro

Elijo entre dos decisiones posibles la más conveniente. Las cooperativas escolares son asociaciones libres conformadas por estudiantes que aportan su trabajo y los recursos económicos que obtienen de éste para realizar actividades en beneficio de la escuela. Pueden elaborar alimentos, hacer reparaciones, etc., y cuentan con la asesoría de docentes y autoridades. En la cooperativa de una escuela se introdujo un nuevo tipo de comida con el fin de recabar fondos para remodelar el inmueble, y ahora los estudiantes deben decidir si continúan vendiendo los nuevos alimentos o regresan a la comida anterior. Para ello, recopilaron los datos siguientes de las utilidades mensuales, en pesos, a lo largo de dos ciclos escolares Utilidad ($) Mes Menú

Leo + Muchas escuelas públicas y privadas cuentan con cooperativas donde los estudiantes se surten de alimentos. ¿Tu escuela cuenta con una de ellas? ¿Consideras que funciona correctamente? ¿Sabes cómo tener una alimentación correcta? La Secretaría de Salud elaboró un folleto para la población mexicana, El plato del bien comer, para explicar cómo mantener una alimentación equilibrada. Lee esta información en la siguiente liga y ¡pon en práctica lo que vas a aprender! cmed.mx/m314820 .

148

Sep

Oct

Nov

Dic

May

Jun

Ene

Feb

Mar

Abr

Menú anterior ($): 2015-2016

5 221 6 424 9 842 13 076 4 927 4 986

2 639

2 899 3 370 5 740

Menú nuevo ($): 2016-2017

5 591 6 981 9 851 11 670 5 010 3 874

2 934

2 162 4 286 3 676

1. Con el análisis de la información anterior, responde: y Al observar los datos de cada año escolar, ¿detectas alguna tendencia? Explica. y ¿Sería confiable una decisión sobre continuar la venta de los alimentos, tomada sin ningún análisis? Justifica tu respuesta. y ¿Cuál es la decisión más recomendable si se toma en cuenta la media de las utilidades de cada año? y ¿Qué información aporta la desviación media de los datos de cada año? y ¿Qué decisión tomarías con base en la media y la desviación media? De acuerdo con los datos, las utilidades cambian mes con mes. Con base en esto, responde: y ¿Qué tipo de gráfica estadística trazarías para ilustrar la evolución de las utilidades de cada año? y ¿Podría elaborarse una gráfica circular? Justifica tu respuesta.

Compara, en pareja, tus razonamientos. Discutan si, además de la media y la desviación media, otras medidas de tendencia central ayudarían a tomar la mejor decisión.

Estadística

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Descubro y construyo

I. Tomo decisiones mediante el análisis de la desviación media y de la media de dos conjuntos de datos.

Resuelvan en parejas las actividades siguientes. 1. En una escuela se entregará un premio al grupo con mejor desempeño en cuanto a sus asistencias en el año escolar, agrupadas por el bimestre en el que fueron reportadas. Bimestre

3º A

3º B

Grupo

Calculen la desviación media para cada grupo. Analicen la desviación media de las inasistencias de cada grupo y respondan: • ¿Son parecidas las desviaciones medias de ambos grupos? • ¿La menor desviación media habla bien del grupo que la tiene? Justifica tu respuesta. • ¿Cuáles son las medias de cada grupo? • ¿Consideras que debe recurrirse a la media para asignar el premio al mejor desempeño? Explica por qué. • ¿A qué grupo se debería dar el premio por mejor asistencia?

Tomo Nota Cuando se analizan dos conjuntos de datos, pueden ocurrir cuatro casos: las medias son iguales y las desviaciones medias también; las medias son iguales y las desviaciones, diferentes; las medias son diferentes; y las desviaciones son iguales; las medias y las desviaciones son diferentes. Cada uno de estos casos describe el comportamiento del fenómeno del que proceden los datos.

2. Golfo y Manchas son perros entrenados para encontrar sobrevivientes en edificios colapsados. Durante los nueve días que duró su adiestramiento (detectar, por el olfato, la presencia de personas no visibles) se llevó un registro diario del porcentaje de éxitos, como sigue: Porcentaje de éxitos Día

Golfo

Manchas

Perros

Durante un sismo, un hospital se colapsó y hay sobrevivientes atrapados. Se enviará al mejor perro de rescate entre Golfo y Manchas. • Con base en la media de cada uno de los perros de rescate, ¿a cuál debería enviarse? • Si se considera la desviación media, ¿a cuál debería elegirse?

Comenten con otras parejas el caso en que, dados dos conjuntos, la media es la misma (o muy parecida) pero la desviación media es muy diferente. Dibujen diagramas de puntos en una recta numérica.

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Análisis de desviación media

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II. Utilizo gráficas para el análisis de la desviación media y de la media de dos conjuntos de datos.

GLOSARIO Formen equipos de tres personas y resuelvan los siguientes problemas. 1. En la construcción de un puente se emplean dos tipos de grúas idénticas, operadas por Andrés y Gisela en las mismas condiciones de clima, horario, etc. Las grúas colocan trabes y el trabajo que hacen se reporta en forma gráfica semana a semana. Andrés solicita aumento de salario y argumenta que su desempeño es mejor que el de Gisela; el supervisor, para decidir si concede el aumento de sueldo, estudia la siguiente gráfica de avance semanal.

Trabe. Elemento estructural lineal colocado en forma horizontal o inclinada; se apoya por sus extremos sobre columnas a fin de soportar cargas en toda su longitud.

Cantidad de trabes

Número de trabes

8 7

7 6

5 4

Andrés

5 4

4 3

2 1

25 104 20 129 18 338

Semana 4

19 937

2. La siguiente gráfica muestra datos de los salarios mensuales de hombres y mujeres en México, según la actividad que desempeñan. Hombres

14 942 10 771 9 797

Mujeres 7 810 6 972

Tipo de Comerciantes Profesionistas Directivos actividad Educación Oficinistas Fuente: siec-enoe-trim-Inegi

150

Decidan, dentro del equipo, quién representará al supervisor, a Andrés y a Gisela. Sostengan un debate para tratar de convencer al otro, con argumentos, de su postura; usen la gráfica y los valores de las medias y desviaciones medias que obtuvieron.

Salarios mensuales

Salario

5 4

17 998

Gisela

• ¿La gráfica da información suficiente para conceder o rechazar el aumento de salario a Andrés? • Con base en la media, ¿Andrés tuvo mejor desempeño que Gisela? ¿Por qué? • Según la desviación media del número de trabes colocadas, ¿Andrés trabaja mejor que Gisela? Expliquen.

Respondan lo siguiente: • De la observación de la gráfica para cada actividad, ¿podría afirmarse que hay discriminación salarial de la mujer? • ¿Qué dice la media de los salarios de hombres y mujeres en todas las actividades? • ¿Qué puede afirmarse sobre los salarios de hombres y mujeres para todas las actividades, en relación con la desviación media?

Comenten con otros equipos la aportación del análisis estadístico de los datos a la lucha por la igualdad de los géneros, en particular la media y la desviación media.

Estadística

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III. Utilizo el análisis de la desviación media y de la media a fin de comparar tratamientos distintos para atender una enfermedad.

Cuando se desarrollan nuevos medicamentos, una parte crucial es la prueba de eficacia, para la cual se forman dos tipos de grupos: el grupo en estudio al que se administra el nuevo medicamento, y el grupo testigo al que se le administra un placebo. Ningún grupo sabe si recibe el medicamento o el placebo. Sólo los encargados del experimento lo saben. Formen equipos de tres o cuatro integrantes y respondan lo siguiente:

GLOSARIO Placebo. Sustancia que carece de efecto curativo real, pero que produce un efecto favorable en el enfermo si éste está convencido de que la sustancia es medicinal.

1. En un laboratorio farmacéutico se desarrolló una medicina para eliminar la fiebre debida al agotamiento crónico. Para probar el efecto del medicamento se formaron cinco grupos de pacientes a los que se administraron, por mitades en cada grupo, la medicina y el placebo, y después de cierto tiempo se examinó el efecto que éstos tuvieron en cada uno de los cinco grupos. La tabla siguiente muestra el porcentaje de pacientes que se alivió en cada grupo. Grupo

Tomó la medicina

72%

71%

75%

79%

73%

Tomó el placebo

55%

48%

58%

45%

59%

Pacientes aliviados (%)

y ¿Cómo se puede saber si es la medicina o el efecto placebo el que alivia a los pacientes? y ¿Cómo es la media del porcentaje de aliviados con la medicina en comparación con la de los aliviados por el efecto placebo? y ¿Qué podría decirse del efecto de la medicina y del placebo si se analizan las desviaciones medias del porcentaje de pacientes aliviados con cada uno? Representen en una gráfica los datos de la tabla de manera que cualquier persona la entienda, aun sin conocimientos de estadística.

Compartan y comparen sus gráficas y los valores que obtuvieron, con los de otros equipos; si encuentran errores, busquen su origen y corríjanlos. Reflexionen acerca del poder del efecto placebo.

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Análisis de desviación media

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IV. Utilizo el análisis de la desviación media y de la media para determinar el riesgo que hay en un juego de azar.

Tomo Nota La media de los resultados monetarios de un juego también se denomina “ganancia esperada”. Si esta última es cero, se dice que se trata de un juego “justo”.

En un juego se gana o se pierde con cierta probabilidad. Resuelvan, en equipos de cuatro integrantes, los siguientes problemas: 1. Un grupo de amigos realizó dos diferentes juegos, con tarjetas de naipes, en los que ganan y pierden puntos. La tabla muestra las ganancias y pérdidas de los jugadores en ambos juegos. Ganancias y pérdidas Jugador

– 5 000

– 3 500

+ 20 000

– 14 000

+ 1 500

– 45 000

– 40 000

+ 75 000

+ 80 000

– 70 000

Juego

Calculen la media y la desviación media. y ¿Cuál de ambos juegos ofrece las mayores ganancias según la tabla de datos? y ¿En qué juego podría tenerse una gran pérdida? y ¿Qué información brinda la desviación media de ambos juegos acerca del riesgo de tener grandes pérdidas? y ¿El rango de ganancias o pérdidas de cada juego da información sobre el riesgo? 2. En una feria hay una mesa donde se juega a lanzar un dado que se puede elegir por su color: verde o rojo. Si el dado es verde y cae par, el jugador recibirá el doble en pesos del número que caiga en el dado; pero si cae impar, el jugador pagará la cantidad de pesos que indique el dado. Si el dado es rojo y cae par, el jugador recibirá tantos pesos como marque el dado. Si el dado es rojo y cae impar, se pagará el triple del número que caiga. y Elaboren la tabla con todos los posibles resultados para cada color y cara del dado, y analícenla. Cara del dado Cara Dado

Verde Rojo

y ¿Qué dado conviene elegir, el verde o el rojo? Fundamenten su respuesta. y ¿Se trata de un juego justo? y Calculen la desviación media, ¿con qué dado se corre mayor riesgo de perder?

Debatan con el grupo si en los juegos de naipes interviene la habilidad de quien juega, y si esto hace que los casinos pierdan dinero en dichos juegos. Estadística

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Estadística

Mate 3 book 2021.indb 152

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Practico

1. Una persona afirma ser vidente y adivinar el resultado de una carta extraída al azar de una baraja, mientras ella está en otra habitación. Sus resultados se compararán con los de una persona “normal” que diga al azar el nombre de una carta también extraída en otra habitación. Se hacen 50 experimentos y se anotan los porcentajes que adivinó cada quien, como sigue: Vidente: 90, 44, 82, 83, 21, 37, 4, 52, 32, 87, 76, 63, 51, 61, 35, 2, 28, 24, 1, 24, 23, 74, 80, 31, 76, 45, 96, 81, 86, 35, 71, 59, 70, 26, 23, 12, 34, 2, 41, 36, 99, 60, 94, 27, 89, 29, 99, 91, 78, 53. Persona normal: 59, 19, 20, 52, 8, 10, 3, 66, 94, 50, 67, 3, 51, 77, 80, 68, 39, 13, 23, 29, 16, 56, 65, 13, 83, 69, 91, 60, 71, 9, 27, 9, 37, 37, 66, 99, 23, 3, 46, 93, 2, 63, 84, 75, 83, 13, 48, 94, 82, 98. Si cuentas con una computadora, en una hoja de cálculo anota los datos en dos columnas y calcula las medidas de tendencia central y dispersión que necesites, como se ilustra: Fórmulas escritas por ti para la media y la desviación media.

y ¿Es verdad que la vidente tiene poderes adivinatorios, o éstos son indistinguibles de los de una persona normal? 2. La gráfica siguiente muestra las calificaciones que obtuvieron en Historia los estudiantes de un grupo a lo largo del año escolar.

Calificaciones en Historia

12 10

Calificaciones

y Con base en la gráfica, ¿hay diferencia en el desempeño de los hombres y las mujeres? y ¿La media de las calificaciones de cada sexo indica diferencias entre ellos? y Al comparar las desviaciones medias de las calificaciones de los dos sexos, ¿qué conclusiones obtienes?

9.8 9.7

9.6

9.2

9.8

9.6 9.7 7.8

7.4

6.1

Hombres

Mujeres 4 2 0 Bimestre 1

Bimestre 2

Bimestre 3

Bimestre 5

Elabora un informe gráfico que muestre la evolución de hombres y mujeres en Historia durante el año escolar, de modo que se aprecie la tendencia de las calificaciones de cada sexo.

L20

Mate 3 book 2021.indb 153

Bimestre 4

Análisis de desviación media

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Evalúo mi aprendizaje Recapitulo 1. La estadística se utiliza para analizar grandes cantidades de datos y descubrir así los patrones de su comportamiento. 2. Los conjuntos de datos se analizan por medio de sus medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y sus medidas de dispersión (desviación media y rango). 3. Las medias y las des-viaciones medias de dos conjuntos de datos básicamente dicen si ambos tienen un comportamiento parecido o no, y por esto son un auxiliar en la toma de decisiones. 4. El cálculo de la media y la desviación media de dos conjuntos de datos no elimina la necesidad de comprender el fenómeno de que se trate. 5. La media y el rango se ven muy afectados por los valores extremos, por lo que a veces la mediana da una descripción más fiel del comportamiento de los datos. 6. Una aplicación muy frecuente de la media y la desviación media es en los juegos de azar y en situaciones parecidas, por ejemplo en los seguros de vida. 7. La desviación media es una medida del riesgo que entraña un juego de azar.

GLOSARIO Entraña. Contiene, lleva dentro de sí algo.

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Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

1. En el Instituto de Perinatología se realizaron estudios sobre el peso al nacer de gemelos y de niños únicos, entre 1960 y 2010. La gráfica siguiente muestra los datos recabados en ese periodo. Considera que los datos se refieren al peso, cuando lo correcto es masa. Peso y masa son dos conceptos distintos. Discutan en el grupo sobre esta unidad de medida. Masa de los bebés al nacer 5 4.5 3.8

4 3.5

Masa (kg)

3.1

3 2.9

2.5 2

3.3

3.4

3.2

3.9 3.9

3.1

3.4

3.5

4.3

4.2

3.5

3.6

2.4 2.5

Único Cada gemelo

1.5 1 0.5 0

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Fuente: https://www.bbmundo.com/old/peso-y-talla-de-un-recien-nacido/

Escribe un breve informe que: mencione la evolución del peso de cada tipo de nacimiento; indique si existe diferencia en el peso promedio de cada tipo de bebé y de cuánto es, y analice la dispersión del peso de cada tipo. 2. Los datos siguientes son los intentos fallidos de conectarse a internet al primer intento en dos cafés internet, xnet y rednet, registrados por semana. xnet: 1, 1, 3, 9, 7, 5, 1, 3, 5, 9, 5, 5, 5, 5, 5, 3, 3, 3, 5, 9, 9, 2, 4, 3, 4, 1, 4, 6, 2, 6, 1, 2, 3, 8, 4, 8, 5, 6, 8, 10, 5, 7, 3, 7, 6, 6, 3, 7, 3, 6. rednet: 7, 4, 4, 6, 1, 2, 7, 8, 5, 4, 7, 7, 2, 7, 4, 4, 6, 4, 7, 6, 2, 4, 5, 5, 3, 6, 8, 5, 6, 4, 5, 4, 4, 4, 2, 7, 1, 1, 5, 7, 4, 3, 1, 5, 6, 4, 4, 2, 7,4. Utiliza una hoja de cálculo para comparar la media, la desviación media y el rango de los intentos fallidos de cada establecimiento, a fin de que hagas un dictamen sobre el servicio que ofrecen. 3. El cinturón es el más importante de todos los sistemas de seguridad con que cuentan los autos, por lo que si en una empresa se hacen estudios estadísticos de calidad y un lote de broches de cinturón se sale del rango de medición segura, deben informar que implica un riesgo muy alto para el usuario. Investiga datos estadísticos sobre el uso del cinturón en México y compáralos con los de otros países. 4. Plantea un problema que sea de tu interés y que pueda resolverse y evaluarse con las medidas de tendencia central y de dispersión. Compártelo con el grupo.

Estadística

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Logro ir más

allá

El Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climático (ipcc, por sus siglas en inglés) monitorea constantemente las variables que determinan la elevación de la temperatura en el planeta, además de que hace énfasis en disminuir la quema de combustibles fósiles y en mejorar la eficiencia de los automóviles. Se verificaron 20 automóviles, modelos 2000 y 2015, en cuanto a la emisión de contaminantes (en partes por millón, ppm) y se obtuvieron los siguientes datos: Automóvil

Año

2000

Modelo

2015

141

359

247

940

882

494

306

210

105

880

200

223

188

940

241

190

300

435

241

380

140

160

223

360

220

400

217

235

380

200

175

850

650

y ¿Han mejorado los nuevos modelos de automóviles con relación a la emisión de contaminantes? Fundamenta tu respuesta con las medidas de tendencia central y de dispersión. v Representa, con una gráfica de barras o una lineal, los resultados de la evolución de los contaminantes emitidos por los 20 vehículos verificados, para mostrar la diferencia entre los modelos 2000 y 2015. v Redacta una conclusión con base en los resultados que obtuviste y en el análisis de la gráfica.

L19

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L20

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Evaluemos

Recupera el texto “Todo está conectado”, relaciónalo con el epígrafe de inicio de este Módulo 2 y con el video “Desafío hídrico en América latina y el Caribe” (pp.90-91) y reflexiona: El cambio climático nos afecta a todos, porque todo está conectado con todo, por ejemplo, el aumento de la temperatura global influye de diversas maneras en la escasez del agua. Calcular el cambio climático nos permite saber en cuánto tiempo sufriremos escasez de agua si no cambiamos nuestra relación con el medio ambiente: y ¿Cómo sería tu vida si no tuvieras agua suficiente para beber, refrescarte, bañarte o cocinar?

y ¿Qué sientes al pensar que la escasez de agua puede afectar directamente la manera en la que vives?

I. Selecciona la opción correcta. En pareja, compara tus respuestas y procedimientos.

1. Observa la siguiente gráfica e identifica con una ( ) qué llenado de recipiente representa: a. b. c. d.

Tiempo de llenado

2. Identifica la tabla correspondiente a la función: y = 0.5x2 + 2x + 1: a. x b. y x c. y x y x d. y 0

3.5

1.7

3.2

3.4

9.4

11.5

6.1

19.6

9.8

33.8

3. Identifica la gráfica de la función que muestra las soluciones de la ecuación: 0.5 x2 + 2x + 1 = 0: y b. c. a. y

8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

3 2 1

–4 –3 –2–1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

4. Encuentra los factores de la ecuación x2 + 7x + 12 = 0: a. (x + 3)(x + 4) = 0 b. (x – 3)(x – 4) = 0 c. (x + 6)(x + 2) = 0 d. (x – 6)(x – 2) = 0 5. ¿Qué soluciones tiene la ecuación x + 8x + 12 = 0? a. x1 = 4, x2 = 3 b. x1 = 2, x2 = 6 c. x1 = –4, x2 = –3 d. x1 = –2, x2 = –6 2

y ¿Cómo te hace sentir ser parte del todo?

Altura del agua

Reconoce tus emociones

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

Itacate

lo aprendido

6. ¿Qué soluciones tiene la ecuación (x + 4)(x – 1) = 50? a. x1 = 3, x2 = 5 b. x1 = – 6, x2= 8 c. x1 = 6, x2= –9 d. x1= – 9, x2= 7 7. De acuerdo con el triángulo de la derecha, identifica el cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo α: a. c.o. = b, c.a. = c b. c.o. = c, c.a. = a c. c.o. = a, c.a. = c d. c.o. = a, c.a. = b

7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1 2 3 4 x

d. y

1 –4 –3 –2–1 0 1 2 3 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

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8. Identifica el ángulo de depresión de la siguiente imagen desde la vista de la calabaza: a. γ b. β c. δ d. α

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Las rampas de frenado son salidas de las carreteras que consisten en una pendiente rellena de arena o gravilla para reducir la velocidad de vehículos que se han quedado sin frenos. La siguiente imagen muestra una rampa de frenado, con las medidas en kilómetros. Calcula el ángulo de inclinación de la rampa y el valor del cateto faltante. B= 0.9012258322 a A = 0.9 km, B = 0.901 km C C = _________ c b B= 0.9012258322 A= 0.9 Ángulo de inclinación: _________

2. Los puentes levadizos tienen la función de conectar dos puntos separados

III. Lean en parejas el texto de entrada de este Módulo 2 y contesten.

4 x

El imeca (Índice Metropolitano de la Calidad del Aire) muestra a la población los niveles de contaminación que hay en el aire. Para esto, se mide la cantidad de partículas sólidas suspendidas en el aire o de contaminantes. El 8 de septiembre de 2018 se verificó la calidad del aire por contaminante por zonas en la Ciudad de México. En la tabla se muestran los resultados de la zona norte.

40 m 400 m Hora

y al mismo tiempo permitir el tráfico marítimo a través de un cuerpo de agua. La siguiente imagen muestra un puente que se abre cuando pasan barcos de carga o alguna otra embarcación. Calcula el ángulo mínimo al que deben levantarse los brazos del puente para que pueda pasar la embarcación que mide 100 metros de alto. Explica tu procedimiento. Ángulo mínimo = 3. Un globo aerostático se encuentra volando a 350 metros de altura y distingue un pueblo mágico con un ángulo de depresión de 17°. Calcula la distancia a la que se encuentra del pueblo. Distancia al pueblo:

Zona noroeste

Zona noreste

NO2

SO2

PM10

NO2

SO2

PM10

Fuente: http://www.aire.cdmx.gob.mx/default.php?opc=aqBjnmI=&id=8

a. ¿Cuál es el promedio de partículas por contaminante, por zona? b. ¿En qué zona se encontraron más contaminantes en promedio? c. ¿Qué promedios de contaminantes fueron iguales? ¿Cuál es el rango en cada uno de los contaminantes que coincidieron? d. ¿Qué se deduce a partir de los rangos? e. Calcula la desviación media en cada zona. f. Después de analizar los datos, ¿a qué conclusión llegaron? g. ¿Qué sugerencias harían para reducir el índice de contaminantes suspendidos en el aire y ayudar a paliar el efecto invernadero?

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Lo alcancé

Casi lo alcancé, aunque debo trabajar un poco más

Resuelvo problemas mediante la formulación y la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Analizo y comparo diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Resuelvo problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Comparo la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

158

Mate 3 book 2021.indb 158

18/05/21 16:00

No lo he conseguido aún

Mis metas

159

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18/05/21 16:00

El futuro pertenece a aquellos que entienden Cuando bebas agua que hacer más con menos recuerda la fuente… es compasivo, próspero, chino duradero, proverbio más inteligente y más competitivo. P aul H awken *

Utilizo las TIC Después de revisar los videos, responde: • ¿Cómo valoras tus patrones de consumo? • ¿Qué aspectos de tu modo de vida actual empezarías a cambiar? Consulta: "Patrones de consumo”, en: cmed.mx/m35 “Biodiversidad”, en: cmed.mx/m36 Indaga qué especies han sido afectadas por el cambio climático.

* Paul Hawken (1946) Escritor estadounidense y activista ambiental.

160

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Módulo

Resolver e imaginar Si nos dedicamos a observar lo que sucede en nuestro entorno, podremos entenderlo mejor. Las herramientas con las que cuentan ahora los científicos permiten predecir algunas circunstancias climáticas que están complicando la vida en la Tierra; los cambios de la temperatura promedio en la atmósfera no sólo provocan deshielos y el aumento del nivel del mar, sino también la frecuencia de los vientos huracanados y las sequías, el deterioro de la biodiversidad y muchos otros efectos negativos para el ser humano y las demás especies. ¿Qué puede hacer cada uno de nosotros para mitigar este problema que ya tenemos encima? Conocer cómo contar y medir las posibles causas y consecuencias derivadas del modo de vida actual es hoy una prioridad. Por ello es importante que en todos los ámbitos de nuestra vida encontremos cuál es nuestro grado de participación en la generación de este problema, porque sólo así podremos entender dónde sí y dónde no podemos hacer algo. Disminuir el consumo de energía eléctrica está en nuestras manos, evitar el derroche del agua también, manejar adecuadamente los desechos mejorará la salud pública, buscar la eficiencia en nuestra movilidad nos beneficiará económicamente, conocer las nuevas herramientas para hacer más eficiente nuestra vida es posible... En pocas palabras: construir una sociedad que consuma lo que necesite, pero de manera responsable, nos permitirá concebir Reflexiona sobre esta un futuro en el que se puedan controlar nota porque la retomarás en las causas y consecuencias la evaluación final del Módulo. módulo. del cambio climático.

161

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Ruta de Aprendizaje

Eje

Número, Álgebra y Variación

Tema

Ecuaciones

Aprendizaje esperado

Resuelve problemas mediante la formulación y la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Fórmula general

El discriminante

Interpretación de gráficas

Construcción de gráficas a partir de los valores dados en tablas

Proyecto

Lección Logro ir más allá

Funciones

162

Mate 3 book 2021.indb 162

18/05/21 16:00

Forma, Espacio y Medida Patrones, figuras

Magnitudes y

geométricas

medidas

Análisis de Datos

Probabilidad

y expresiones equivalentes Diferencia las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

Formula, justifica y usa el Teorema de Pitágoras.

Calcula la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

Expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones

Medida de los lados de triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

La probabilidad y los juegos de azar

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

163

Mate 3 book 2021.indb 163

18/05/21 16:00

Fórmula general

L21

La guayaba es una de las frutas representativas de la época decembrina en nuestro país, ya que su sabor dulce le da un toque especial al tradicional ponche navideño y a la calabaza en tacha. Además, la ingesta de guayaba tiene beneficios para la salud: la planta y su fruto se utilizan para combatir más de 40 padecimientos. En México se destinan más de 21 mil hectáreas para el cultivo del guayabo, lo que hace de nuestro país el quinto productor mundial, con más de 294 mil toneladas anuales de esta fruta. Exploro Leo + Para saber más sobre el uso medicinal de esta planta, entra a la biblioteca digital de la Medicina Tradicional Mexicana: cmed.mx/m316421, una referencia valiosa para informarse sobre el uso medicinal de cientos de plantas. La importancia de la medicina tradicional centenaria de los pueblos indígenas en nuestro país nos enorgullece. Esta publicación señala: “Cabe recordar que por cada anciano sabio que muere en las comunidades indígenas, es como si una biblioteca de libros incunables terminara en llamas". Conoce la definición de libro incunable en esta liga: cmed.mx/m345

Utilizo los recursos aprendidos para resolver una ecuación cuadrática. Ernesto tiene una bodega en la que vende guayabas por caja; el precio depende del número de kilogramos que venda. El precio de venta de cada caja está determinado por la expresión 400 – 8g, donde g representa el número de cajas vendidas. y Si alguien compra 4 cajas, ¿cuánto pagaría por cada una? y Si Ernesto vende 12 cajas, ¿cuál es el precio de venta? Ernesto puede determinar sus ingresos por cliente usando la expresión: Ingreso = precio de venta × cajas de guayaba vendidas Completa algebraicamente la expresión que corresponde a los ingresos a partir del precio de venta. Recuerda que el precio de venta está dado por la expresión: 400 – 8g y que g representa las cajas de guayabas vendidas. Ingreso = ___________________________ y Según la expresión anterior, si un cliente compra 10 cajas, ¿cuál es el ingreso para Ernesto? Un cliente compró cierto número de cajas y Ernesto le pidió a un ayudante que cobrara $1 800. y ¿Qué ecuación permite determinar cuántas cajas vendió, es decir, el valor de g? Escríbela igualada a cero. Resuelve la ecuación y determina el número de cajas vendidas: y ¿Qué valores son soluciones de la ecuación? y ¿Qué procedimiento seguiste para resolver el problema? y ¿La ecuación g2 – 50g + 225 = 0 es equivalente a la que obtuviste? Explica por qué.

164

Compara tus resultados con los de otros integrantes del grupo. Si resolvieron por medio de factorización, comenten las dificultades que tuvieron.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 164

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Identifico una fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

1. Retomen en parejas el problema de la actividad anterior y resuelvan. La ecuación –8g2 + 400g – 3 648 = 0 representa el ingreso de Ernesto por una venta, la cual se puede simplificar como –g2 + 50g – 456 = 0 e intercambiar los signos de los coeficientes multiplicando por –1; –1(–g2 +50g – 456) = g2 – 50g + 456. g2 – 50g + 456 = 0 Expliquen por qué lo anterior es correcto. y ¿Es posible factorizar la ecuación original? ¿Por qué? y ¿Qué características deben tener los números de la ecuación simplificada para factorizarla? y ¿Qué tipo de números deben ser: positivos o negativos? Factoricen y resuelvan la ecuación: (x ____ ) = 0 ( x ____ ) = 0 x1 = ____ x2 = ____ y ¿Cómo resultó el proceso para resolver la ecuación por factorización? 2. Consideren lo siguiente y resuelvan. Un cliente quiso comprarle a Ernesto cierto número de cajas de guayaba, pero después de hacer cuentas decidió no venderlas porque eso le acarrearía pérdidas por $2 200. La siguiente ecuación: –8g2 + 400g + 2 200 = 0, permite representar lo que comenta Ernesto. y ¿Qué dificultades observan para factorizar y resolver la ecuación mediante dicho procedimiento? En casos como los anteriores, factorizar una ecuación para resolverla puede ser un proceso complejo: simplificar, intercambiar el cociente de los términos, etc. Por ello, seguiremos otro procedimiento para resolverla. Considerando la expresión general de una ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0, escriban los valores de a, b y c de la ecuación obtenida en el problema. a = ______ b = ______ c = ______ a. Consideren la siguiente expresión: g = – b±

b2 – 4ac

y a continuación sustituyan en la expresión dada en el inciso a a, b y c por los valores obtenidos para la ecuación. Después, continúen el procedimiento en la siguiente página: g = – (

)±

(

)2 – 4( 2(

)(

)

L21

Mate 3 book 2021.indb 165

Fórmula general

165

18/05/21 16:00

b. Resuelvan las operaciones que obtuvieron en la expresión de la página anterior para determinar el valor de g. Si cuentan con calculadora, pueden usarla. Consideren lo aprendido sobre la jerarquía de operaciones y las reglas para multiplicar y dividir números positivos y negativos. Representen, paso a paso, los resultados de cada operación en las siguientes igualdades. g = – (

)±

g = –

g= –

= g = –

–

c. Sustituyan g en la ecuación por los valores anteriores y validen sus soluciones. y ¿Por qué en el último paso se suma y después se resta? y ¿Qué relación tiene lo anterior con las raíces cuadradas de un número? y ¿La venta de cuántas cajas implicaba la pérdida que menciona Ernesto? 3. Consideren la siguiente información y resuelvan. Carlos tenía un terreno cuadrado y un amigo le vendió el terreno vecino, que es del mismo ancho que el terreno de Carlos y tiene 13 m de largo, como muestra la imagen. Ahora los terrenos unidos ocupan una superficie de 608 m2. a. Escriban, como un trinomio igualado a cero, la ecuación que representa el problema: b. Escriban el valor numérico de a, b y c.

Tomo Nota

Todas la ecuaciones cuadráticas pueden escribirse en la forma general: ___ + ___ + ___ = ___ y pueden resolverse aplicando la fórmula

x= –b±

b2 – 4ac

x= –b± x=–( ,

2a conocida como fórmula general de ecuaciones cuadráticas. Como todo número tiene dos raíces, por ello se utiliza el signo ±.

166

Sustituyan las literales, en la fórmula general, por su valor numérico y resuelvan la ecuación.

b2 – 4ac

)±

x1 = – 13 + 51 = 2

x = – (1 3) ± x=

= x = –

–

(

13 m

)2 – 4 ( 2(

) (–

)

± –

c. Sustituyan las soluciones obtenidas en la ecuación para validar que sean correctas. y ¿Ambas soluciones de la ecuación son soluciones del problema? y ¿Cuáles son las medidas del terreno?

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 166

18/05/21 16:00

4. Analicen la gráfica de la derecha, que representa a la función asociada a la ecuación: 2x2 + 2x – 16 = 0.

6 4 2

y ¿Cuáles son aproximadamente las raíces de la ecuación?

–6 –4 –2 0 –2

Para validar lo anterior, determinen los valores de a, b y c en la ecuación anterior: a = _____

b = _____

x 2

–4 –6

c = _____

–8

Resuelvan la ecuación siguiendo el procedimiento de la fórmula general.

–10 –12

–(

)±

–4(

x2 =

) (–

)

x=–(

)±

–

x2 =

–14

–16

y ¿Su resultado coincide con lo que muestra la gráfica? y ¿Qué sucedió en este caso? ¿Por qué las raíces de la ecuación no son números enteros? y ¿Es posible resolver esta ecuación por medio de la factorización? ¿Por qué? 5. La gráfica muestra las soluciones de la ecuación:

x2 + 8x + 16 = 0.

Al sustituir a, b y c en la fórmula general tenemos que:

14 10

– ( 8 )± 82 – 4 ( 1 ) ( 16 )

2(1)

y ¿Cuál es el resultado de 82 – 4 × 1 × 16? Continúen el procedimiento: x= –( x1 = –

)±

x= – x2 = –

4 2

–2

x 0

8 10

L21

Fórmula general

y De acuerdo con el procedimiento que siguieron, ¿por qué la ecuación tiene una solución única o una repetida?

Mate 3 book 2021.indb 167

167

18/05/21 16:00

6. Analicen la siguiente gráfica, que representa una función asociada a la ecuación x² + 3x + 3 = 0. y

y ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? Justifiquen su respuesta.______________________________

10 8 6

Para resolver la ecuación y validar el resultado que muestra la gráfica se siguieron los pasos del procedimiento anterior, como pueden ver: 2 x= –3± 3 –4(1)(3)

x= –3±

2 –4 –2 0

x = – 3 ± 9 – 12

2(1)

–3

y ¿Por qué no se puede continuar con el procedimiento? y En términos del número de soluciones de una ecuación cuadrática, ¿qué significa lo anterior?

Comparen sus respuestas y procedimientos con otras parejas. Si no coinciden con los valores de las gráficas, revisen el proceso en busca del error y corrijan. Si tienen dudas sobre el procedimiento para resolver ecuaciones mediante la fórmula general, busquen el apoyo del grupo.

II. Resuelvo problemas aplicando la fórmula general de ecuaciones cuadráticas. 1. Lean en parejas y resuelvan los problemas. a. Una compañía quiere lanzar al mercado un nuevo producto del cual esperan obtener ingresos por $7 200 semanales, con un precio de venta de 340x – 4x2, donde x representa el número de piezas vendidas. y ¿Qué ecuación cuadrática permite calcular el número de piezas vendidas para obtener la ganancia esperada? ________________________________ Utilicen la fórmula general y resuelvan.

x1 =

x2 =

y ¿Cuántas piezas deben venderse? _________________________________

168

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 168

18/05/21 16:00

b. Hugo tiene un terreno rectangular cuyos lados miden x + 2.4 metros y x + 1.5 metros, con un área de 79.9 m2. Escriban la ecuación de la forma general y resuélvanla. _____________________ x=

x1 =

x2 =

y ¿Cuánto miden los lados del terreno? y En ambos problemas, comprueben que las soluciones encontradas para cada ecuación son correctas, en caso contrario, revisen el procedimiento en busca del error y corrijan.

Comenten, en grupo, las ventajas de resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la fórmula general. Si tienen dudas sobre el procedimiento, extérnenlas para aclararlas en grupo. Registren sus acuerdos. Practico

1. Resuelve las ecuaciones por la fórmula general y determina el número de soluciones de cada una. Ecuación

Número de soluciones

Resolución mediante fórmula general

x – 3.5x – 30 = 0 2

x2 + 18x = –36 x2 – 14x = –49 2x2 + 2x = –27

2. Las siguientes gráficas representan funciones asociadas a las ecuaciones anteriores. Validen sus respuestas y escriban en cada gráfica la función representada. y 50 40

Utilizo las TIC

30 20 10 –50 –40

–30 –20

–10

0 –10 –20

Ingresa a la liga: cmed.mx/m316921 y resuelve los ejercicios sobre ecuaciones cuadráticas que ahí se ofrecen. Comprueba en papel las soluciones que encontraste.

–30 –40 –50

L21

Mate 3 book 2021.indb 169

Fórmula general

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L22

Exploro

discriminante

Utilizo los recursos aprendidos para resolver una ecuación cuadrática. Las autoridades municipales planean construir una pista de arcilla alrededor de un parque como parte de una campaña para el fomento de la salud. De esta manera, la comunidad tendrá un espacio para correr o caminar. El ancho de la pista será uniforme en toda su extensión; las medidas del parque se muestran en la imagen. x

40 m 51 m

y Si llamamos x al ancho de la pista, ¿qué expresión algebraica representa el área total del parque? y ¿Qué expresión representa el área de la pista? y Si se sabe que el área de la pista es de 480 m2, ¿qué ecuación permite obtener el ancho de la pista? y ¿Qué procedimiento consideras más adecuado para resolver el problema? Explica por qué. Resuelve la ecuación y determina sus raíces. x1 = ______ y ¿Cuál es el ancho de la pista? y ¿Cuál es el área del parque con la pista?

x2 = ______

1. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula general y determina el número de soluciones de cada una. x2 + 5x – 25 = 0

170

–2x2 + 2x – 75 = 0

x2 – 12x + 36 = 0

Compara tus resultados con los de un integrante del grupo. ¿Observan alguna característica en la estructura de las ecuaciones o en el procedimiento que permita saber el número de soluciones, antes de resolverlas? Descríbanla.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 170

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Calculo el discriminante de ecuaciones cuadráticas y determino el número de soluciones.

1. Resuelvan en parejas las siguientes actividades. Elena elaboró las gráficas que corresponden a las siguientes ecuaciones y notó que una de éstas tiene dos soluciones, otra no tiene soluciones y otra más tiene una solución doble. a. r2 – 5r + 6.25 = 0

Número de soluciones: Soluciones:

b. y2 + 6y – 3.25 = 0

Número de soluciones: Soluciones:

c. 2n2 – 6n + 9.5 = 0

Número de soluciones: Soluciones:

y Sin resolver, ¿podrían determinar el número de soluciones de cada ecuación? ¿Cómo? ________________________________________________________ Resuelvan las ecuaciones por medio de la fórmula general y, si asumieron alguna postura en la pregunta anterior, valídenla. y Después de resolver los incisos anteriores, ¿observaron alguna regularidad durante el proceso que permita anticipar el número de soluciones? Si es así, descríbanla. El valor que resulta de sustituir y resolver la expresión b2 – 4ac, que forma parte de la fórmula general, se llama discriminante. 2. Sustituyan en cada ecuación la expresión anterior por los valores correspondientes de a, b y c, realicen las operaciones y calculen el valor del discriminante. a. r2 – 5r + 6.25 = 0

Solución de b2 − 4ac : ____ – 4( __ )( ___ ) = __ – __ = __

b. y2 + 6y – 3.25 = 0 Solución de b2 − 4ac : ____________________________ c. 2n2 – 6n + 9.5 = 0

Solución de b2 − 4ac : _____________________________

y ¿ Qué tipo de número corresponde al resultado de la ecuación que tiene dos soluciones? y ¿Qué tipo de número corresponde al resultado de las otras ecuaciones? y En los resultados anteriores ¿tiene alguna relación el tipo de número con el número de soluciones?

L22

Mate 3 book 2021.indb 171

El discriminante

171

18/05/21 16:00

3. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones que analizaron y resolvieron en la lección anterior. Para cada ecuación asociada, calculen el valor del discriminante. Gráfica 1 6

Gráfica 2

y 16

4 2 –6 –4 –2

Gráfica 3

–4

–6

–8

–10

0 –2

–12

–2

–14

x 2

2 –6 –4 –2

x 0

–16

Utilizo las TIC Ingresa a la liga: cmed.mx/m331, donde encontrarás información sobre el discriminante, el número de soluciones en distintas ecuaciones cuadráticas y cómo se verifican estas soluciones con las gráficas correspondientes.

172

Número de gráfica

Ecuación

2x2 + 2x – 16 = 0

x2 – 8x + 16 = 0

x² + 3x + 3 = 0

Valor del discriminante b2 − 4ac

y ¿Qué tipo de número: positivo, negativo o cero corresponde al valor del discriminante en cada ecuación? y ¿Qué relación tiene lo anterior con el número de soluciones de la ecuación? ¿Se cumple la misma regularidad encontrada en la actividad anterior? 4. Calculen el discriminante en las ecuaciones de la sección Practico de la lección anterior (página 169). y ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuyo discriminante es un número negativo? y ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuando el discriminante es un número positivo? y ¿Y cuando el discriminante es cero? 5. Consideren la ecuación: 2x² – 22x + 48 = 0 y respondan. y ¿Cuál es el discriminante? y ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? y ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

Comparen sus conclusiones con otras parejas. Discutan por qué, el discriminante permite anticipar el número de soluciones. Compartan sus ideas en el grupo y lleguen a acuerdos. Registren sus resultados.

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 172

18/05/21 16:00

Tomo Nota

II. Anticipo el número de soluciones de ecuaciones cuadráticas.

Trabajen en parejas. 1. Calculen el discriminante en las siguientes ecuaciones y anticipen el número de soluciones. Después, resuelvan en su cuaderno las ecuaciones para validar sus conclusiones. Valor del discriminante

Ecuación

Número de soluciones

Raíces

(2x + 2)(2x + 2) = 28 3x2 + 18 = –9x 2x² +( –14x ) = – 24.5 10x + 30 = – x²

x² + 12x + 36 = 0

El discriminante D = b2 – 4ac es la parte de la fórmula general que está dentro de la raíz cuadrada, y permite anticipar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Si el discriminante es un número positivo, la ecuación tiene ______________; si es un número ______________, la ecuación ____________________ y si el discriminante es igual a _______, la ecuación tiene _____________________.

Comenten en grupo. Registren en su cuaderno sus conclusiones sobre las diferentes formas de resolver ecuaciones cuadráticas y cuál es más conveniente para cada tipo de ecuación. Practico

1. Calcula el discriminante en cada ecuación y determina qué gráfica representa la función asociada a cada una. –x² – 8x + 65 = 0 –x² – 6x – 12 = 0 –x² + 9x– 20.25 = 0 Discriminante = Discriminante = Discriminante = –20 –15 –10 –5 0

5 10

–2 0

–5

–35

–40

x –20 –10 0

Utilizo las TIC

–14

Ingresa a la liga: cmed.mx/m332, donde podrás hacer un repaso. Al final del texto, en: "más aquí" hallarás una calculadora para obtener las soluciones de una ecuación cuadrática y el valor del discriminante. Utilízala para verificar tus resultados.

–18

–50 –55

–12

–16

–45

–10

–30

–8

–25

–6

–20

–4

–15

–2

–10

–20 –22

2. Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas. a. 4x² + 7x – 42 = 0 b. 2x² – 10x + 25 = 0 c. x² + 9x + 56 = 0 d. x² – 14x – 49 = 0

L22

Mate 3 book 2021.indb 173

El discriminante

173

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Todas la ecuaciones cuadráticas pueden escribirse en la forma general ax2 + bx + c = 0, con a distinta de cero, y resolverse aplicando la fórmula 2 x = – b ± b – 4ac

conocida como fórmula general de ecuaciones cuadráticas. 2. El signo ± en las fórmulas muestra que la incógnita puede adquirir hasta dos valores distintos:

x= x=

– b – b2 – 4ac

– b + b2 – 4ac

2a 2a

3. El discriminante D = b2 – 4ac es parte de la fórmula general y permite anticipar el número de soluciones de una ecuación cuadrática, sin resolverla. 4. Si b2 – 4ac = número positivo, la ecuación tiene dos soluciones o raíces; si b2 – 4ac = número negativo, la ecuación no tiene soluciones en los números reales; y si b2 – 4ac = 0, la ecuación tiene una solución doble.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general. a. 4x2 + 16x = 48 b. 2x2 – 36x + 162 = 0.

x= –

x1 = ____

x2 = _____

–

x1 = ____

x2 = _____

2. El volumen de la caja que se forma al cortar y doblar las esquinas del siguiente cartón es de 320 cm3. 4 cm

x x+2 y ¿Cuáles son las medidas de la base de la caja resultante? 3. Resuelve. a. El producto de dos números consecutivos es igual a 756. ¿De qué números se trata? b. Pablo tiene 27 años y su hijo Mateo 3 años. y Si x representa la edad de Mateo, ¿qué expresión representa la edad de Pablo? y De acuerdo con lo anterior, ¿qué igualdad algebraica representa lo siguiente: el cuadrado de la edad de Mateo, es igual al doble de la edad de Pablo? y ¿Cuántos años tendrá Mateo cuando ocurra lo anterior? 4. Calcula el discriminante en las siguientes ecuaciones cuadráticas. Anota el número de soluciones. a. 1.5x2 + 6.25x – 25 = 0 D= Número de soluciones: b. 2x2 – 6x + 4.5 = 0 D= Número de soluciones: 2 c. 1.5x + 6.25x – 25 = 0 D= Número de soluciones: d. 3x2 – 16x – 48 = 0 D= Número de soluciones: 5. Elige una de las ecuaciones anteriores y plantea una situación que pueda resolverse por medio de ésta. Comparte tu planteamiento con otros integrantes del grupo para validarlo.

174

Ecuaciones

Mate 3 book 2021.indb 174

18/05/21 16:00

Logro ir más

En México, el Centro Nacional de Programas Especiales y Control de Enfermedades (cenaprece) reporta que cerca de 60% del territorio nacional presenta condiciones que favorecen la transmisión de enfermedades como dengue, paludismo, zika, chikungunya, entre otras. Las autoridades mandaron fumigar una zona de humedales para prevenir una epidemia de dengue, enfermedad provocada por el piquete de un mosquito hembra. Soltaron una carga de insecticida en cápsulas, desde un helicóptero a una altura de 900 m, con velocidad inicial igual a cero. Al tocar la superficie la carga se esparce.

allá

Leo + Para conocer las medidas que se están tomando para prevenir la proliferación de mosquitos transmisores de enfermedades y saber qué puedes hacer tú para evitarla, entra a la liga: cmed.mx/m334

Los encargados registraron, durante los primeros segundos, la distancia recorrida por la carga en función del tiempo transcurrido. La función asociada a la caída de los alimentos es h = 900 − 4.9t2, donde h representa la altura en metros y t el tiempo en segundos. Completa los valores que faltan en la tabla. Tiempo (s)

Distancia recorrida (m)

Altura de la carga (m)

900

1 2 3 4 5 6

y ¿Qué ecuación permite calcular el momento en el que la carga con insecticida toca la superficie? y ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? y ¿En cuánto tiempo la carga tocará la superficie? y Si se quiere conocer directamente la distancia recorrida por la carga, ¿qué función la representaría? y ¿Qué diferencia habría en la gráfica de ambas funciones?

L21

Mate 3 book 2021.indb 175

L22

Utilizo las TIC Ingresa a cmed.mx/m333; revisa los ejemplos resueltos y resuelve la sección Práctica. Comprueba tu respuesta para continuar con otro ejercicio.

175

18/05/21 16:00

Interpretación de gráficas

L23

Exploro

Analizo y comparo la variación de un proceso a partir de su representación gráfica. La siguiente gráfica representa la temperatura de un refrigerador que es puesto en funcionamiento. Temperatura (ºC)

25 20 15 10 5 0

Tiempo (h)

Responde las siguientes preguntas y argumenta tu respuesta: y ¿Durante cuánto tiempo se reporta en la gráfica el comportamiento de la temperatura del refrigerador? y ¿A qué hora se puso en funcionamiento el refrigerador? y ¿Cuál era la temperatura del interior del refrigerador antes de ser puesto en funcionamiento? y ¿Por qué crees que la temperatura empezó a disminuir después de haber transcurrido 6 horas desde que el refrigerador fue puesto en funcionamiento? y ¿Qué pudo haber pasado a las 12 h, de haberlo puesto a funcionar, y entre las 20 y 21 h? y ¿Qué temperatura marcaría el termómetro antes y después de lo reportado? Justifica tu postura. __________________________________________________ ______________________________________________________________

176

Comparte tus respuestas con otros integrantes del grupo. Verifiquen si coinciden. Comenten sobre la importancia de interpretar correctamente la información contenida en gráficas.

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 176

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Analizo la gráfica que representa la proporcionalidad directa en una situación de movimientos.

Una razón matemática es la relación de un cociente entre dos cantidades: a . masab m La rapidez (expresada como km h o s ), los precios de las mercancías (cantidad) y las densidades poblacionales ( habitante ) son ejemplos de razones que representan km2 situaciones científicas y vivencias cotidianas. Imagina que vas por una carretera recta en un automóvil a una rapidez constante representada en la siguiente gráfica. Distancia (km)

Tomo Nota Como sabes, la proporcionalidad directa es la igualdad de dos razones: a = c . b d Esta relación permite saber cuánto vale un elemento, conocidos los otros tres.

180 120 60 0

Tiempo (h)

y ¿Cuál es la rapidez promedio del automóvil? y ¿Qué distancia recorrió en 2 horas? Completa las siguientes razones, de manera que la igualdad se cumpla.

60 km

540 km

La razón de distancia entre tiempo, llamada rapidez, se expresa en su forma más simple con la medida del tiempo como una unidad. y y y y

Si mantienen la misma rapidez promedio, ¿qué distancia recorren en 7 horas? ¿Cuánto tiempo necesitan para recorrer 300 km? ¿Qué tipo de relación representa la situación anterior? ¿Qué expresión algebraica la representa?

Comparte y compara tus resultados con los de tus pares.

L23

Mate 3 book 2021.indb 177

Interpretación de gráficas

177

18/05/21 16:00

II. Analizo la gráfica que representa la proporcionalidad en una relación de precios.

Reúnanse en parejas y resuelvan: En la gráfica siguiente podemos observar una relación entre el precio de cierto producto, de acuerdo con la cantidad de kilogramos que se vende. Precio ($)

30 20 10 0

Cantidad (kg)

y ¿Por qué se puede afirmar que la gráfica representa una relación de proporcionalidad directa? y ¿Cuánto cuestan 4 kilogramos de producto?, ¿y diez? y ¿Qué expresión algebraica representa la relación de la gráfica? III. Reconozco las modificaciones que produce una ordenada al origen distinta de cero.

Analicen ahora la siguiente gráfica, que representa los costos de transportar una mercancía incluido el costo del flete. Precio ($) 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

Cantidad (ton)

y y y y

En este caso, ¿cuánto cuesta el transporte por sí solo? ¿Cómo lo sabes? ¿Cuánto cuesta cada tonelada de mercancía? ? ¿Qué tipo de relación representa la gráfica? ¿Qué expresión algebraica permite conocer el costo para cualquier cantidad de toneladas? y Si una persona paga $5 000 por un flete, ¿cuántas toneladas transportó? Elaboren en su cuaderno una tabla que represente el costo de acuerdo con el número de toneladas de mercancía que se transporte. y ¿Qué diferencias observan en las funciones representadas en las gráficas de esta página? Las funciones lineales muchas veces están desplazadas respecto del origen. El punto donde coinciden la gráfica y el eje de las ordenadas se llama ordenada al origen. En el caso anterior, la ordenada al origen es 1 500 y representa el costo del flete.

178

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 178

18/05/21 16:00

IV. Reconozco las características de una constante.

¿Cómo será la gráfica de la temperatura interior de un refrigerador, mientras no se abra la puerta? Temperatura (ºC)

Tiempo (m)

Un caso particular de gráfica lineal es el de las relaciones constantes, representadas por rectas horizontales. En estos casos, el refrigerador mantiene la temperatura constante mientras no se abra la puerta. Responde las siguientes preguntas: y ¿A qué temperatura funciona este refrigerador? y En este caso, ¿qué condiciones permiten que la temperatura sea constante? V. Reconozco las características de una tarifa.

Muchas tarifas de transporte son constantes por intervalos. Veamos por ejemplo la gráfica siguiente: Costo ($) 50 40 30 20 10 0

100

150

200

Distancia (km)

y Es decir que entre 0 y 50 km de distancia, ¿cuánto cuesta el viaje? y ¿Cuánto cuesta el viaje después de 50 km y hasta 100 km? y ¿Por qué la línea no es continua y se corta? Reúnanse en equipos de tres o cuatro integrantes y contesten las siguientes preguntas: y ¿Cuánto cuesta un viaje de 180 km de distancia? y ¿Entre qué distancias se cobra $50? Mencionen otros tres ejemplos de tarifas.

L23

Mate 3 book 2021.indb 179

Interpretación de gráficas

179

18/05/21 16:00

VI. Analizo gráficas para identificar intervalos de positividad, negatividad, crecimiento, decrecimiento, velocidad de cambio, valores máximos y mínimos locales.

1. La gráfica siguiente representa la variación de temperatura, durante un día completo, de una región desértica de Sonora: 40

Temperatura (ºC)

35 30 25 20 15 10 5 0 –5

Hora del día

–10

En equipos, completen las siguientes afirmaciones con respecto al gráfico anterior: ❖ ❖ ❖ ❖ ❖

Leo + La producción, el consumo humano, el crecimiento demográfico y las variaciones en el clima provocan la desertificación de los suelos. Entra a esta liga de la ONU y lee: “Cuando la tierra nos pide ayuda”. cmed.mx/m318023 Vincula el contenido de esta liga con el texto de inicio de este Módulo. Escribe una reflexión y compártela para enriquecerte.

Se reportan ___ horas, es decir ___ día(s). La temperatura máxima se registró a las ___ horas y fue de ___ °C. La temperatura mínima se registró a las ___ horas y fue de ___ °C, es decir bajo cero. A las ___ y a las ___ horas se registraron temperaturas de 0 °C. Entre las ___ y las ___ horas la temperatura fue sobre cero y entre las ___ y las ___ horas y entre las ___ y las ___ horas la temperatura fue ________, es decir bajo cero. ❖ La temperatura crece entre las ___ y las ___ horas, es decir, entre los valores mínimo y máximo, y ________ de las 0 a las 3 horas y entre las 15 y las 24 horas. 2. Debatan y respondan las siguientes preguntas y registren todos los puntos de vista, tanto aquellos en los que coincida el equipo como aquellos en los que no haya coincidencia: y ¿Cómo creen que habrá sido la temperatura el día anterior y el posterior? ¿Cómo saberlo con certeza? y ¿Cómo cambiarían sus respuestas si saben que la información es el promedio de una época determinada? y ¿Cómo cambiarían sus respuestas si saben que la información es la representación de una excepción?

Compartan sus resultados y registren todas las opiniones vertidas en grupo sobre los procedimientos que utilizaron, tanto las que sean producto del acuerdo de todo el equipo como aquellas en las que no ocurra así. Estadística

180

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 180

18/05/21 16:00

Practico

1. La gráfica siguiente representa la ganancia de un negocio que se inaugura cuando comienza la gráfica: Ganancia (miles de $) Completa las siguientes afirmaciones referidas al 40 gráfico: 35 ❖ Se reportan ___ semanas, es decir ___ meses. ❖ La ganancia máxima se registró a las _____ 30 semanas y fue de $ ________. 25 ❖ La ganancia mínima se registró a las _____ 20 semanas y fue de $ ________. 15 ❖ A las ____ semanas se recuperó la inversión 10 inicial. 5 ❖ A partir de las ___ semanas la ganancia fue 0 1 2 3 4 5 6 7 positiva, pero desde la inauguración hasta las –5 primeras ___ semanas los ingresos no alcan–10 zaron a recuperar los costos de la apertura del negocio. ❖ Las ganancias crecen entre las ___ y las ___ semanas, es decir entre los valores mínimo y máximo, y ________ de las 0 a las 2 semanas y entre la __ y la ___ semana. y Para este caso, ¿qué significa haber obtenido una ganancia negativa? y ¿Cómo piensas que habrá sido la ganancia el mes siguiente? y ¿Cómo saberlo con certeza? y ¿Cómo cambian tus respuestas si sabes que la ganancia se estabiliza luego de las primeras 12 semanas? 2. La gráfica de la derecha representa la variaAltura (m) ción de la altura que alcanza el carro de una montaña rusa, en una feria, durante un viaje. Completa las siguientes afirmaciones referidas 4 3.5 a la gráfica: 3 ❖ El viaje dura ___ segundos. ❖ La altura máxima se registró a los ____ 2.5 2 segundos y fue de ___ metros. ❖ Hay otro máximo a los ___ segundos de 1.5 ___ metros. 1 ❖ El carro sube ___ metros durante ____ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 segundos, luego hay una caída hasta los –1 ___ metros de altura durante ___ segundos, –1.5 para volver a subir hasta los ___________ ___ de altura a los _________ de la partida, para terminar en el suelo a los __________ de comenzado el movimiento. 3. Después de responder las preguntas del punto 2, comparte tus resultados con varios integrantes del grupo y escucha todas las visiones. Traten de llegar a posturas en común y regístrenlas.

L23

Mate 3 book 2021.indb 181

Tiempo (semanas)

Tiempo (s)

Interpretación de gráficas

181

18/05/21 16:00

Construcción de gráficas a partir de valores de las funciones dados en tablas

L24

Exploro

Analizo y comparo la variación de un proceso a partir de una tabla de valores. Ciudad Madera (Madera), municipio del estado de Chihuahua, se localiza en la sierra madre occidental, zona tarahumara. Es una región boscosa dedicada a la explotación forestal. Sus habitantes dicen tener “doble piel” porque están curtidos por el frío. En algunos lugares se han llegado a registrar –27 ºC. ¿Será éste el lugar más frío del país?

En Ciudad Madera se registraron las siguientes temperaturas durante un día en invierno: Hora del día

Temperatura (ºC)

–2

–4

Responde las siguientes preguntas y argumenta tu respuesta: y ¿Cuál fue la temperatura a las 8 de la mañana? y ¿En qué momento se registró una temperatura de 7 ºC? y ¿En qué otro intervalo del día piensas que pudo haberse registrado la misma temperatura? y ¿Cuál fue la temperatura más baja reportada? y ¿Cuál fue la temperatura más alta reportada?

182

Comparte tus respuestas con otros integrantes del grupo y verifiquen si éstas coinciden.

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 182

18/05/21 16:00

Descubro y construyo

I. Analizo la tabla y la relaciono con su gráfica.

Retomen, en parejas, la tabla de temperaturas de la página anterior y tracen la gráfica correspondiente en el siguiente plano. Temperatura (ºC) 12 10 8 6 4 2 0 –2

10 12 14 16 18 20 22 24

Hora del día

–4 –6

y ¿Está gráfica es la única que puede trazarse con las temperaturas reportadas? Expliquen. y ¿En qué momentos la temperatura fue negativa? y ¿La temperatura máxima reportada fue la máxima del día? ¿Y la temperatura mínima reportada fue la mínima del día? Expliquen. y ¿Cuál es una temperatura probable para una hora anterior al reporte? ¿Y para una hora posterior? Tachen una de las dos palabras del texto que están entre paréntesis, para que las afirmaciones sobre la gráfica de las temperaturas reportadas sean correctas: La temperatura (baja/sube) entre las 0 h y las 6 am. Hay una temperatura (mínima/ máxima) de –4 °C a las 6 am, y luego comienza a (bajar/subir) hasta llegar a una temperatura (mínima/máxima) de algo más de 12 °C entre las 14 y las 16 horas. A partir de ese momento, la temperatura comienza a (bajar/subir) hasta que termina el reporte a las 24 horas.

Tomo Nota Estimar los valores posibles entre momentos dados con datos conocidos se llama interpolación. Preguntarse ¿qué pasó antes?, o ¿qué pasará después? se conoce como extrapolación.

L24

Mate 3 book 2021.indb 183

Construcción de gráficas a partir de valores de las funciones dados en tabla

183

18/05/21 16:00

II. Analizo la tabla y la relaciono con su gráfica en un caso que representa la proporcionalidad en una situación de movimiento.

El sonido es un efecto que se propaga como una onda en el aire. La luz, de naturaleza distinta que el sonido, también se propaga en forma constante pero a una velocidad enorme. Por ello, cuando hay tormenta el trueno se oye después de ver el rayo. Lupe, quien sabe esto, hizo una tabla que relaciona el tiempo que transcurre entre ver el rayo y escuchar el trueno, y descubrió las distancias entre ella y el lugar donde se produce la descarga eléctrica: Tiempo (s) Distancia (m)

330

660

990

4 1 650

Realicen en parejas lo siguiente: Completen los datos faltantes en la tabla anterior. En cada eje coordenado de la gráfica siguiente, completen la variable que representa (el nombre del eje), sus unidades y los datos faltantes.

330 0

Tomo Nota Llamamos razón de cambio al cociente de una cantidad respecto a otra. En este caso, por ejemplo, la razón (cociente) entre la distancia recorrida y el tiempo empleado se llama velocidad. Como estamos analizando un caso de proporcionalidad, la razón de cambio (velocidad) es constante y representa un movimiento rectilíneo uniforme (mru).

184

Respondan: y ¿Cuál es la velocidad del sonido medida por Lupe? (No se olviden de colocar las unidades adecuadas). Existe una diferencia importante entre velocidad y rapidez. La rapidez es la magnitud, el “tamaño” de la velocidad, es lo que marca el velocímetro de los vehículos. La velocidad, además de la rapidez, incluye la dirección y el sentido, es decir por dónde y hacia dónde se produce el movimiento. Como este caso es en línea recta, hemos preferido usar el término velocidad para facilitar la comprensión de la razón de cambio, teniendo en cuenta que en la situación analizada no hay confusión.

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 184

18/05/21 16:00

III. Analizo la tabla y la relaciono con su gráfica en un caso que representa una relación de precios.

La tabla siguiente reporta el precio de una mercancía líquida medida en centímetros cúbicos. y Completa la tabla. Cantidad (cm3): x Precio ($): y

15.50

31.00

46.50

50 62.00

Respondan en parejas: y ¿Cuál es la razón de cambio en los datos de la tabla? Escriban la expresión algebraica que corresponde a la situación en función de x: y = __________________ y y y y y

¿Cuánto se paga por 35 cm3 del líquido? ¿Qué cantidad de líquido cuesta $139.50? ¿Qué volumen cuesta $62.00? ¿Cuánto cuestan 0 cm3? ¿Cómo estiman que sería la gráfica? Expliquen.

Grafiquen la situación anterior, completando los valores de los ejes así como el nombre de los mismos y su respectiva unidad de medida.

60 50 40 30 20 10 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

En la liga: cmed.mx/m336 donde puedes estudiar el tema de funciones. En el primer punto verás cómo se representa gráficamente el movimiento de una persona que está en una rueda de la fortuna (noria). Si te interesa conocer a profundidad este tema, revisa cada uno de los apartados.

Compartan sus respuestas con otras parejas. ¿La gráfica que trazaron tiene todos los elementos necesarios? Si encuentran diferencias, busquen el error y corrijan. Traten de llegar a acuerdos y registren sus resultados. Después de revisar la página sobre funciones, compartan su apreciación, sus dudas y qué fue lo más relevante que aprendieron.

L24

Mate 3 book 2021.indb 185

Utilizo las TIC

Construcción de gráficas a partir de valores de las funciones dados en tabla

185

18/05/21 16:00

IV. Analizo las tablas de situaciones semejantes y las relaciono con sus gráficas para identificar variaciones en la razón de cambio.

Analicen ahora la siguiente tabla, que representa los costos de un transporte en función de los kilómetros de trayecto: En parejas: Completen la tabla, consideren que la razón de cambio es constante. 0

Distancia (km)

50 60

Precio ($)

150

200

120

150

300 180

Grafiquen la situación anterior, colocando en los recuadros las etiquetas de los ejes con sus respectivas unidades y los valores que faltan en los ejes x y y.

y ¿Cuánto cuesta hacer la parada y sólo subirse al autobús, es decir, cuánto cuesta un hipotético viaje de 0 km? Supongamos que tenemos tres tanques cilíndricos de diferente tamaño y que el flujo de llenado es el mismo. La tabla que relaciona el tamaño del tanque con el tiempo de llenado es la siguiente: Tiempo (minutos)

Altura del agua (cm) Tanque A

Altura del agua (cm) Tanque B

100

Altura del agua (cm) Tanque C

120

150

En grupos, completen las siguientes afirmaciones referidas a la tabla anterior: ❖ Se llenará primero el más pequeño, es decir el __. ❖ El más grande es el __ porque tarda ______ en llenarse. Grafiquen, en su cuaderno, el llenado de cada tanque:

186

Debatan y respondan las siguientes preguntas: y ¿Cuál es la rapidez o razón de cambio del agua al subir, es decir, cuántos centímetros sube el nivel del agua por cada minuto en cada uno de los tanques?

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 186

18/05/21 16:00

VI. Analizo la tabla de variaciones diversas.

La tabla siguiente representa la cantidad de ventas registradas un día en un negocio que abre de las 9 a las 17 h: Tiempo (h) Cantidad de ventas

9 a 10

10 a 11

11 a 12

12 a 13

13 a 14

14 a 15

15 a 16

16 a 17

150

200

300

200

150

En grupos, completen las siguientes afirmaciones referidas a la tabla anterior: y La hora de mayor venta se registró entre las ___ y las ___ h. y Cuando se monta el puesto hay pocas ventas, pero éstas aumentan en la siguientes horas, sobre todo de las ___ a las ___ h. y A partir de las ___ h comienza a disminuir la cantidad de ventas de forma simétrica a como crecieron. ___ Ventas La gráfica de la situación podría ser así:

300 250 200 150 50

Tachen lo que no corresponda de las siguientes afirmaciones referidas a la gráfica: y La relación tiene un valor (máximo/ 0 9 10 11 12 13 14 15 16 17 mínimo) en el intervalo entre las (12/300) h y las 13 h de (12/300) ventas. y La gráfica de la situación presenta un eje de simetría en torno a las (11:30/12:30) h.

Horas

La gráfica de la derecha representa la variación de altura de un terreno ante la presencia de un sismo de corta duración, con respecto al tiempo:

Altura (mm) 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4

Responde con la letra V o F si las siguientes afirmaciones referidas a la gráfica son verdaderas o falsas: ❖ El sismo produce la subida del terreno y luego éste baja en forma oscilante. ___ ❖ La primera sacudida es la más fuerte; luego va aminorando el efecto. ___ ❖ Se reportan 4 subidas y 3 descensos. ___ ❖ El suelo está por encima de su nivel normal hasta los 4 primeros segundos y entre los 6.5 y los 7.5 segundos. ___ ❖ El suelo está por debajo de su nivel normal entre los 4 y los 6.5 segundos. ___ ❖ La altura crece en los primeros 4 segundos. ___ ❖ La altura decrece entre los 2 y los 5 segundos. ___

L24

Mate 3 book 2021.indb 187

9 Tiempo (s)

Construcción de gráficas a partir de valores de las funciones dados en tabla

187

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

Recapitulo 1. La razón de cambio es el cociente de una cantidad respecto a otra. En el caso de una variación lineal proporcional, la razón de cambio (rapidez) es constante y representa un movimiento rectilíneo uniforme.

A medida que se asciende por una montaña, la temperatura disminuye a un ritmo de unos 0.65 ºC por cada 100 metros de elevación o unos 6.5 °C por cada kilómetro de ascenso.

2. Las funciones relacionan dos cantidades que varían de acuerdo con determinadas circunstancias. Esas variaciones pueden ser de muy diversa índole: rectas, curvas, oscilantes o una combinación de ellas. 3. Las tablas, gráficas y formulaciones algebraicas son formas de representar las variaciones. En ellas podremos reconocer ejes de simetría (a ambos lados el comportamiento es similar) y valores máximos y mínimos (que en el caso de la parábola se sitúan en el vértice). 4. Suele ser importante conocer también entre qué valores es positiva o negativa la variación, y los intervalos donde tiende a aumentar su valor o a disminuirlo.

y ¿Cuál es la razón de cambio a medida que se asciende (o se desciende)? y ¿La razón de cambio es positiva (aumenta la temperatura) o negativa (disminuye la temperatura)? Escribe una expresión algebraica que describa la relación de la temperatura de la atmósfera (en °C) por cada km de ascenso si al nivel del mar se registran 20 °C. Completa la tabla de valores que representa la situación. Altura (km)

Temperatura (°C)

13.5

0.5

–6

Grafica la situación en tu cuaderno y responde: y ¿A qué altura aproximada había 0 °C? y ¿Entre qué alturas la temperatura estaba sobre cero? y ¿Entre qué alturas la temperatura era bajo cero?

188

Funciones

Mate 3 book 2021.indb 188

18/05/21 16:00

Logro ir más

allá

Cuando observamos la variación de temperaturas a lo largo del tiempo en un lugar cualquiera de México, vemos una variación que aumenta del invierno al verano y luego disminuye. Observa el ejemplo. La gráfica anual tendría una forma así: Temperatura (ºC)

ene feb invierno

mar

abr may primavera

jun

jul ago verano

sep

oct otoño

nov

dic invierno

Tiempo (meses del año)

y ¿En qué mes se produce la temperatura más alta?

Si graficamos dos años, veremos que las temperaturas oscilan y que en invierno se producen las temperaturas más bajas: Temperatura (ºC)

ene mar may jul sep nov ene mar may jul sep nov feb abr jun ago oct dic feb abr jun ago oct dic

Tiempo (meses del año)

y ¿En qué mes se dan las temperaturas más bajas? La gráfica anual presentada es producto de los valores medios de cada mes. Si tuviéramos en cuenta las variaciones diarias, ¿cómo sería la gráfica? ¿Sería irregular? Explica. Imagínala y trata de trazarla en los ejes coordenados.

feb

mar

abr

may

jun

jul

ago

sep

oct

nov

dic

Tiempo (meses del año)

L23

Mate 3 book 2021.indb 189

La diferencia entre clima y tiempo meteorológico es que el primero toma valores promedio de largo plazo (años), mientras que el segundo atiende a las variaciones que se generan en cada momento. Como producto del clima podemos decir que en verano hace calor y en invierno, frío.

Temperatura (ºC)

ene

Tomo Nota

L24

Como efecto del tiempo meteorológico podemos decir que está soleado o lluvioso.

189

18/05/21 16:00

Expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones

L25

Exploro

Represento en forma algebraica diferentes situaciones y analizo sus similitudes y diferencias. 1. Lee la información y escribe, algebraicamente, cada situación. ❖ Un número elevado al cuadrado más el mismo número: __________________ ❖ El producto de dos números consecutivos es igual a 30: __________________ Durante tus estudios de secundaria, has aprendido a distinguir cuál es la diferencia entre una variable y una incógnita. y ¿Qué papel juegan las literales en las expresiones anteriores? Justifica tu respuesta. y ¿Cuántos valores pueden adquirir las literales que usaste en cada situación? Justifica tu respuesta. 2. Analiza las siguientes gráficas, que representan a las funciones asociadas a las situaciones anteriores, y responde.

–8 –6 –4 –2

0 –2

y 13

–4

–6

–8

–10

–12

–14

–16

–18

–20

–22

–24

–26

–28 –30

–5 –4 –3 –2 –1

x 1

y ¿Qué gráfica corresponde a cada situación? ¿Cómo lo determinaste? y ¿Qué tienen en común ambas gráficas y en qué difieren? y Si representamos la expresión “Un número elevado al cuadrado más el mismo número” como y = x2 + x, si x = 2, ¿cuánto vale y? y En la misma expresión, si y = 56, ¿cuánto vale x? Justifica tu respuesta. y En la expresión: x2 + x = 30, ¿cuánto vale x?

190

Compara tus resultados con los de otros integrantes del grupo. Comenten las diferencias entre las expresiones algebraicas planteadas en la actividad.

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Mate 3 book 2021.indb 190

18/05/21 16:00

Tomo Nota

Descubro y construyo

I. Identifico la diferencia entre una ecuación, una expresión algebraica y una función.

Como has aprendido, las expresiones algebraicas son un conjunto de números y literales separados por los signos de operación. En el lenguaje algebraico las literales pueden cumplir dos funciones: ir tomando valores diferentes y fungir como variables o aparecer para representar una cantidad desconocida; en este último caso se les llama incógnitas. 1. Analicen, en parejas, el modelo geométrico de la derecha y realicen lo que se pide. y ¿Qué expresión algebraica representa el área de la figura? y ¿Qué función cumple la literal en este caso? y ¿Cuántos valores puede adquirir x? Justifiquen su respuesta. y Si x = 2, ¿cuál es el área de la figura? 2. Retomen la expresión algebraica que representa el área de la figura anterior. Asignen a x los valores que se indican en la tabla y determinen el área de la figura para cada valor de x. x

Una función es una relación (correspondencia) entre dos conjuntos de valores en la cual a cada valor del primer ___________ le corresponde un solo valor del ___________ conjunto, y en la que las literales representan variables. De esta manera se relacionan dos variables, por ejemplo: y = x2, donde a cada valor de x le corresponde uno y sólo uno de y.

y: Área (u2) y ¿De qué depende el área (y) de la figura?

y 160 150

Ubiquen las parejas de puntos de la tabla en el plano y tracen la gráfica correspondiente.

140 130 120 110

y Si unen los puntos que ubicaron en el plano, ¿qué característica tiene la gráfica que se forma? y ¿Qué tipo de relación algebraica representan los datos de la tabla? Expliquen su respuesta. y ¿Qué representa x en este caso: una variable o una incógnita? ¿Por qué? y ¿Qué expresión algebraica corresponde a la situación que muestra la y en su gráfica? y ¿Qué representa la situación anterior? Justifiquen su respuesta.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

x 1

L25

Mate 3 book 2021.indb 191

Expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones

191

18/05/21 16:00

3. Consideren que el área de la figura de la página anterior es de 256 u2. y ¿Qué expresión algebraica representa el área de la figura? y ¿Qué valores puede adquirir la literal en este caso? ¿Por qué? y ¿Cómo determinarían los valores que puede adquirir x? y ¿Cuántos y qué valores adquiere x en este caso? y Si se elabora la gráfica de la función asociada a esta situación, ¿qué característica tendría? y ¿Cuál de los valores de x corresponde a las medidas de la figura?

Comparen sus resultados con los de otras parejas. Comenten las diferencias entre las actividades 1, 2 y 3, y a qué tipo de situaciones algebraicas, vistas a lo largo del ciclo escolar, corresponde cada una. Registren sus acuerdos en su cuaderno.

II. Identifico una función, una expresión algebraica y una ecuación.

1. Lean, en parejas, las siguientes situaciones, represéntenlas algebraicamente y determinen qué tipo de relación algebraica representan: función, ecuación o expresión algebraica. Justifiquen sus respuestas. a. Danae es tres años mayor que su hermana. ¿Qué edad tiene la hermana de Danae? y ¿Qué tipo de relación algebraica representa la situación anterior? y ¿Qué representa la literal? b. Pedro es dos años mayor que Hugo y el producto de sus edades es igual a 120. ¿Qué edad tiene cada uno? y ¿Qué tipo de relación representa la situación? y ¿Qué representa la literal? c. Carlos es cinco años mayor que su hermano Luis. ¿Qué edad tendrá Luis cuando Carlos tenga 12, 15 y 18 años? Escriban algebraicamente la relación. y ¿Qué tipo de relación representa la situación? Expliquen por qué. 2. Respondan. y Cuando dos cantidades están relacionadas en la forma y = ax2, ¿qué representan las literales? y ¿Qué representa la situación: una expresión algebraica, una función o una ecuación? Argumenten su postura. Escriban un problema que ejemplifique su postura.

Continúa actividad…➙

192

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Mate 3 book 2021.indb 192

18/05/21 16:00

Continúa… Consideren la última expresión de la página anterior. Si a = 2, asignen diferentes valores a x y obtengan los correspondientes de y. x = _____; por tanto y = _____ x = _____; por tanto y = _____ x = _____; por tanto y = _____ x = _____; por tanto y = _____ y Si en la expresión y = ax2 se conocen los valores de la literal y, y de la constante a y se desconoce el valor de x, ¿qué representa la situación: una función o una ecuación? ¿Por qué? y ¿Qué sucede con x: es una variable o una incógnita? ¿Por qué? y Si a = 2 y y = 72, ¿cuántos valores puede adquirir x? y ¿Qué expresión algebraica representa la situación anterior? y ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación? Escriban un problema que ejemplifique la situación.

Comenten en grupo sus resultados. Registren en su cuaderno sus conclusiones sobre las diferentes situaciones trabajadas, las similitudes y diferencias entre ambas.

Practico

1. Sabemos que la relación millas-kilómetros está dada por la expresión m = 1.609k, donde m representa las millas y k los kilómetros. y ¿Qué representa la situación: una ecuación o una función? Explica por qué. y ¿Qué papel juegan los elementos involucrados en la expresión? y Si graficas la relación, ¿cómo sería la gráfica? y ¿Qué función juegan las literales y de qué dependen sus valores? y Si m = 12, ¿qué ecuación representa la situación? y ¿Cuánto vale k? 2. Observa las siguientes gráficas y determina a qué corresponde cada gráfica: a la función y = 2x2 + 6 o a la función asociada a la ecuación x2 + x – 12 = 0.

20 18 16 14 10

8 6

4 2

❖ Completa una tabla con valores positivos y negativos para x y asigna los correspondientes a y. En el caso de la ecuación, determina las soluciones mediante la fórmula general.

–6 –4 –2 0 –2

Mate 3 book 2021.indb 193

–6 –8 –10

L25

–4

–6 –4 –2

x 0

–12

Expresiones algebraicas, funciones y ecuaciones

193

18/05/21 16:00

Evalúo mi aprendizaje

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Itacate

Recapitulo 1. En una expresión algebraica se combinan letras y números separados por los signos de operación.Las literales se llaman variables. Si la igualdad se da para cualquier valor de las literales, la expresión se llama identidad.

1. Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo de dos maneras diferentes.

r+2

2. Una ecuación es una igualdad algebraica en la que las literales sólo pueden adquirir ciertos valores. En estos casos las literales se llaman incógnitas, ya que la igualdad se cumple únicamente para ciertos valores de las literales. 3. Una función es una relación entre dos conjuntos de valores en la cual a cada valor del primer conjunto le corresponde un solo valor del segundo conjunto, y en la que las literales representan variables. 4. Una ecuación cuadrática puede asociarse a la gráfica de una función cuadrática para encontrar sus soluciones. Los puntos donde la parábola interseca al eje x, representan las soluciones de la ecuación.

r+5 Expresión algebraica: ____________________________________ Escribe el área del rectángulo como una expresión en función de r: ______________ y ¿Cuál es el área del rectángulo si r = 3? y Si el área del rectángulo está dada por la ecuación r2 + 7r – 98 = 0, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? y ¿Cuál es el discriminante? y ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? 2. Representa en la siguiente tabla la función y = x2 + 2x + 2, a partir de los valores de x que se muestran.

–3

–2

–1

y y ¿Qué coordenada corresponde al vértice de la función? y ¿En qué punto interseca la gráfica al eje y? y Si y = 101, ¿qué valores adquiere x? 3. Traza en tu cuaderno la gráfica que represente la función anterior.

194

Patrones, figuras geométricas y

Mate 3 book 2021.indb 194

expresiones equivalentes

18/05/21 16:00

Logro ir más

allá

Fernanda y Perla piensan poner a la venta papalotes de papel y están haciendo una proyección de sus posibles ganancias. Fernanda comentó: “Mira Perla, la siguiente tabla muestra el número de piezas que podemos vender de acuerdo con el precio de venta”: Precio de venta (p) ($)

Piezas vendidas (v)

750

700

650

600

550

500

Perla le respondió a Fernanda: “Para calcular la ganancia real tenemos que restarle al total de ingresos el costo de producción”: El costo de producción de cada pieza es de 3 pesos. De lo anterior tenemos que: Ingresos totales = precio de venta × piezas vendidas Costo de producción: costo por pieza × piezas vendidas Ganancia = ingresos totales – costo de producción y De acuerdo con la información de la tabla, ¿qué expresión algebraica permite calcular el número de piezas vendidas según el precio de venta? Recuerda que puedes representarla como una sucesión numérica. v = ___________________ y ¿Qué expresión algebraica permite calcular la ganancia de acuerdo con el precio de venta (p)? Utiliza la expresión algebraica que encontraste y sustitúyela en la fórmula para encontrar la ganancia. G = _______________________________ y ¿Qué diferencia hay entre las expresiones algebraicas del problema? y ¿De qué depende el número de piezas vendidas? y ¿Cuántas piezas venderían si el precio fuera de $12? ¿Y si fuera de $38? y Si esperan ingresos de $11 760, ¿qué expresión representa la situación? y ¿Cuál tiene que ser el precio de venta? y ¿Qué diferencia hay entre esta expresión y las anteriores? Representa en una tabla la ganancia que pueden obtener según el precio de venta (de 5 en 5). Después elabora la gráfica correspondiente. y ¿Para qué precio de venta la ganancia sería cero? y ¿Cuál es la ganancia máxima que pueden obtener? ¿Con qué precio se da? y ¿Cuántas piezas necesitan vender y a qué precio para obtener la ganancia máxima?

L25

Mate 3 book 2021.indb 195

195

18/05/21 16:00

Medida de los lados de triángulos rectángulos

L26

Lo que sabemos de las matemáticas de los babilonios de Mesopotamia se basa principalmente en los descubrimientos arqueológicos de miles de tablillas de arcilla, en muchas de la cuales aparecen dibujos de triángulos rectángulos y de cuadrados que dejan ver el interés que despertaba la relación entre estas dos figuras Exploro

Calculo medidas faltantes en triángulos rectángulos. Observa el triángulo verde y reconoce en la figura los catetos y la hipotenusa. a. De acuerdo con lo que aprendiste en la lección 17, ¿qué razón trigonométrica te permite obtener la medida del ángulo a? b. Utiliza dicha razón y determina la medida del ángulo a. y ¿Cuánto mide el otro ángulo agudo del triángulo? y ¿Cómo puedes obtener la medida de la hipotenusa usando las razones trigonométricas? c. Calcula la medida de la hipotenusa y redondea al número entero más cercano.

a 8

En la figura del triángulo, que se repite a continuación, se dibujaron tres cuadrados, donde uno de los lados de cada cuadrado coincide con uno de los lados del triángulo. d. Anota dentro de cada cuadrado el área correspondiente. y ¿Qué relación observas entre las medidas de las áreas? y A partir del área de los cuadrados sobre los catetos, ¿será posible obtener el área del cuadrado sobre la hipotenusa? Explica tu respuesta.

Compara con otros integrantes del grupo los resultados obtenidos. Comenten sus respuestas sobre la relación que observaron entre el área de los cuadrados. ¿Será posible obtener la medida de la hipotenusa a partir del área de los cuadrados? Discutan lo anterior en busca de llegar a acuerdos.

196

Magnitudes y medidas

Mate 3 book 2021.indb 196

18/05/21 16:00

Leo +

Descubro y construyo

I. Establezco y compruebo la relación entre los catetos y la hipotenusa de los triángulos rectángulos, y aplico esta relación para resolver problemas.

1. Se va a construir un balneario alrededor de un terreno con forma de triángulo rectángulo; sus catetos miden 12 y 35 metros, y su hipotenusa, 37 metros. En el triángulo estará un asoleadero y cada uno de sus lados colindará con un terreno cuadrado: uno para albercas, otro para área de juegos y uno más para el área de comida. Observa el terreno donde se ubicará el público y escribe en los recuadros las medidas correspondientes.

y El terreno más grande será para las albercas. ¿Cuánto mide esa área? y Una condición es que los terrenos para el área de juegos y el área de comida tengan la misma superficie que el de las albercas; ¿se cumple este requerimiento? Dibuja en tu cuaderno un plano a escala con la superficie para cada espacio, a partir del área para el asoleadero, considerando las especificaciones que se dieron arriba. y ¿Qué relación observas entre las áreas cuadradas que construyeron?

En la liga: cmed.mx/m319726 podrás conocer la filosofía de la escuela pitagórica, que tuvo gran influencia en el pensamiento de filósofos, astrónomos, físicos y matemáticos como Platón, Kepler y Galileo. Sabrás también cómo la sociedad pitagórica fue violentamente reprimida. En la siguiente lección conocerás el teorema de Pitágoras y podrás entender la importancia de la deducción, el razonamiento y la representación geométrica como parte fundamental para el desarrollo de las matemáticas y, en particular, de la geometría.

Tomo Nota Naturalmente, no sólo los números enteros cumplen la relación entre los cuadrados de los catetos y la hipotenusa, sino cualquier otro. Para resolver problemas que impliquen una incógnita elevada al cuadrado, hay que encontrar la raíz cuadrada. Utilicen la calculadora.

2. Consideren, en parejas, el triángulo morado: y ¿Cuánto da la suma del cuadrado de los catetos? y Con base en la respuesta anterior, ¿cuál es la longitud r?

Compara, con distintos integrantes del grupo, los resultados y procedimientos. Verifiquen si la representación gráfica del plano que dibujaron coincide. Si es diferente, encuentren el error y corrijan. Registren sus resultados. Después, compartan los razonamientos que utilizaron para resolver estas actividades; en particular, expongan cómo encontraron el valor de la hipotenusa, r.

L26

Mate 3 book 2021.indb 197

Medida de los lados de triángulos rectángulos

197

18/05/21 16:00

Practico

1. El papiro matemático de El Cairo o papiro de Ahmes es un documento egipcio que data del año 300 a.n.e. y contiene 40 problemas, uno de los cuales es el siguiente: Una escalera de 10 codos de longitud, apoyada en la pared, tiene su base a 6 codos de la pared. y ¿A qué altura de la pared, en codos, se encuentra la escalera?

Papiro de Ahmes o Papiro Rhind

Dibuja en el recuadro un diagrama en el que aparezcan los datos y representa con literales las cantidades desconocidas.

GLOSARIO Codo. Unidad de medida de longitud usada en la antigua cultura egipcia que equivale a la distiancia entre la muñeca y el codo del brazo de un adulto.

Millas

Con base en la relación que existe entre los cuadrados sobre los catetos y la hipotenusa, ¿qué altura, en codos, alcanza la escalera al apoyarse sobre la pared? Justifica tu respuesta. 2. Desde que un barco abandonó el puerto, los instrumentos de navegación le daban, en todo momento, las coordenadas de su posición. En el puerto se consideró que las coordenadas eran x = 0 y y = 0. Después de unas horas de navegación, el barco estaba en el punto x = 11.4 millas y y = 23.7 millas. El capitán hizo un diagrama de la posición del barco respecto al puerto, con las coordenadas marcadas. Representa gráficamente la situación descrita en el recuadro de la izquierda.

Puerto

198

Millas

y Si el piloto reportó al capitán la distancia recorrida en millas en línea recta desde el puerto; ¿qué informó? Explica tu respuesta y anota los datos en el recuadro de la izquierda.

Magnitudes y medidas

Mate 3 book 2021.indb 198

18/05/21 16:01

3. Cuando se construye un piso de madera en una habitación rectangular es esencial que las esquinas formen ángulos rectos, porque si no lo están habrá problemas también al construir las paredes, colocar mosaicos, etc. Los carpinteros siempre comprueban que el piso “cuadre” (encaje). Considera lo siguiente: Un carpintero hará un cuarto de 2.40 m × 3.60 m en una vivienda. Después de colocar el piso midió la longitud de su diagonal, que resultó ser de 4.40 metros, e hizo el croquis siguiente: 3.60 m

2.40 m

4.4

y ¿Cómo podría comprobar el carpintero que el piso cuadra? y ¿El piso cuadra como es apropiado? Explica al carpintero cuánto debe medir el lado más largo del rectángulo a fin de que el piso cuadre, si el lado corto y la diagonal mantienen sus medidas. Comparte con él tus razonamientos. 4. Existe un texto chino, del año 1261, que plantea el siguiente problema: Hay un bambú que se rompe por un extremo y queda queda erguido con 10 pies de altura; la parte rota toca el suelo a 3 pies del tronco. El texto describe la siguiente figura:

10 pies

R (extremo roto)

3 pies

y ¿Cuánto medía el bambú antes de romperse?

5. Compara con el grupo las respuestas a las actividades y comenta algunas situaciones en las que la relación entre los lados de un triángulo rectángulo resulte de utilidad para resolver problemas.

L26

Mate 3 book 2021.indb 199

Medida de los lados de triángulos rectángulos

199

18/05/21 16:01

Teorema de Pitágoras

L27

Exploro

Establezco, con una expresión algebraica, la relación que existe entre las áreas de los catetos y el área de la hipotenusa en triángulos rectángulos. 1. Lee el siguiente problema y contesta. Un albañil va a colocar una ventana en la esquina que forman los dos muros de una casa. Para verificar si el muro está a “escuadra” (90º), mide 3 cm de un lado y coloca una marca, y 4 cm del otro y también lo marca.: y ¿Cómo puedes verificar si el ángulo entre los dos muros mide 90º? Explica. ❖ Identifica los catetos en el dibujo. ❖ Traza un cuadrado sobre cada uno de los muros, uno de 3 cm de lado y el otro de 4 cm de lado. y ¿Cuál es el área de cada cuadrado? y ¿Cuál es la suma de sus áreas? y ¿Cuánto tendría que medir el área del cuadrado construido sobre el lado opuesto a dicho ángulo para garantizar que el muro está en escuadra? y ¿Cuál tiene que ser la medida del lado faltante?

4 cm

3 cm

En la lección anterior analizaste que en un triángulo rectángulo existe una relación entre la medida de los catetos y la hipotenusa. Precisamente es esa relación la que plantea el teorema de Pitágoras, que dice así:

Tomo Nota El teorema de Pitágoras es el resultado más famoso de la geometría y es una de las fórmulas que cambiaron la faz de la Tierra. En realidad, Pitágoras no descubrió el teorema que lleva su nombre, pues hay evidencias de que egipcios y babilonios ya lo utilizaban aunque no se sabe si conocían su demostración, por lo que la primera prueba tal vez sea la que hizo Arquitas, un miembro de la escuela de Pitágoras.

200

“El área de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados cuyos lados son los catetos”. La figura siguiente ilustra el significado del teorema. y Con base en la ilustración, ¿cuál es la expresión algebraica del teorema de Pitágoras? Escríbela en el recuadro de la figura. y ¿Cómo se puede obtener la medida de a, si se conocen b y c? Descríbelo y escribe una expresión algebraica. y Realiza lo mismo para b, cuando se conocen a y c, y de igual manera para c, cuando se conocen a y b.

Área = c2 Área = a2

b Área = b2

Comparte tus respuestas con otros integrantes del grupo y verifiquen que coincidan. Registren sus conclusiones sobre como obtener una medida faltante en un triángulo rectángulo, a partir de las otras dos, usando el teorema de Pitágoras.

Magnitudes y medidas

Mate 3 book 2021.indb 200

18/05/21 16:01

Descubro y construyo

I. Formulo y justifico el teorema de Pitágoras.

Observa las figuras que componen la ilustración y responde las siguientes preguntas. a. ¿Qué figuras componen la ilustración? b. ¿Cuál es la longitud de un lado del cuadrado grande? b c. Entonces, ¿cuál es el área del cuadrado grande? Represéntala como un trinomio. a c d. ¿Hay otra manera de calcular el área del cuadrado grande? Exprésala con tus propias palabras. e. ¿Cuál es el área de cada triángulo rectángulo? Usa una expresión algebraica. f. La suma del área de los cuatro triángulos rectángulos, ¿cuál es? c b g. ¿Cómo expresarías el área del cuadrado verde? h. Si sumas las áreas de los cuatro triángulos rectángulos y el área del cuadrado verde, ¿qué expresión algebraica obtienes? a y Observa que esta última expresión y la del inciso c representan el área de la misma figura, por lo que deben ser equivalentes. ¿Cómo quedaría la igualación de las expresiones de los incisos c y h? y De esta última expresión algebraica puede restarse en ambos lados el término 2ab; ¿qué expresión resulta? Observa que a, b y c representan los lados de un triángulo rectángulo; expresa con tus propias palabras la relación que acabas de encontrar para sus lados.

b c

a b

Comparte tus respuestas y procedimientos con otros integrantes del grupo y verifiquen si coinciden. Registren sus resultados.

II. Aplico el teorema de Pitágoras para calcular el área de un terreno.

Desde hace miles de años una de las aplicaciones más frecuentes del teorema de Pitágoras ha sido calcular el área de terrenos de cualquier forma (“poligonal”). El método general (método de triangulación) consiste en dividir el polígono en triángulos, calcular las distancias que haga falta para obtener el área de cada uno, y finalmente sumar las áreas. 90º

1. Realiza, en pareja, las siguientes actividades: y ¿Qué tipo de triángulo es el de la derecha? 6 y ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un triángulo? y Con los datos de la figura, ¿podrían calcular el área del terreno? Expliquen. y ¿Cómo aplicarían el teorema de Pitágoras para calcular la medida faltante de uno de los catetos?

Obtengan la medida faltante del cateto. y Ahora que tienen las medidas de ambos catetos, ¿cuál es el área del triángulo?

L27

Mate 3 book 2021.indb 201

Teorema de Pitágoras

201

18/05/21 16:01

2. Observen el siguiente plano de un terreno, con medidas en metros: y Se desea obtener el área del terreno ABCD. ¿Cómo calcularían el área por el método de triangulación, usando el teorema de Pitágoras? Indiquen, en el plano del terreno, su razonamiento.

Utilizo las TIC En la liga: cmed.mx/m338 puedes experimentar y observar, seleccionando las flechas y modificando las medidas de los lados del triángulo rectángulo, cómo se cumple el teorema de Pitágoras para cualquier triángulo rectángulo.

y ¿Cómo calcularían la distancia BD? Expliquen sus razonamientos y muestren sus cálculos. y Con la medida de BD que acaban de obtener, ¿cuál es la medida de DC?

90º 66

B 21

90º C

y Ahora que tienen las medidas de los lados de los triángulos, ¿cuál es el área del polígono ABCD?

Comenten con otras parejas los resultados que obtuvieron; si encontraron algún error, analicen a qué se debió y corrijan. Globo

III. Resuelvo problemas aplicando el teorema de Pitágoras.

Resuelve de manera individual. 1. Un globo aerostático despega en vertical durante un festival aéreo. El radar del aeropuerto cercano lo ubica a una distancia de 7 km en Radar línea recta desde el aeropuerto, y la distancia entre ambos es de 6.4 km.

7 km

6.4 km

y El ganador del festival será el globo que alcance una altura de 3 km en vertical. ¿Cómo aplicarías el teorema de Pitágoras para saber si el globo en cuestión alcanzó dicha altura? y ¿A qué altura se encuentra el globo? y ¿Es posible que este globo haya ganado el festival? Explica por qué sí o por qué no. 15

2. Vas a colocar, en el piso de la biblioteca escolar, una alfombra que mide 12 metros por 15 metros.

y ¿Cuánto debe medir la diagonal para que la alfombra “cuadre” en forma apropiada?

202

Magnitudes y medidas

Mate 3 book 2021.indb 202

18/05/21 16:01

3. Imagina que estás parado sobre un terreno plano a 30 metros de la base de un árbol; la distancia que hay entre tú y la copa del árbol es 2 metros más que el doble de la altura de éste. y ¿Cuál es el cuadrado de la hipotenusa? Anótalo en el recuadro del dibujo. y ¿Cómo expresas el teorema de Pitágoras para esta situación? y Desarrolla las expresiones cuadráticas de la ecuaTú ción anterior y reduce los términos semejantes; ¿cuál es el resultado? 30 m Resuelve la ecuación anterior y calcula la altura del árbol.

Revisa, con los integrantes del grupo, las respuestas obtenidas y los razonamientos seguidos, y corrijan los errores si los hubo. Imaginen situaciones que podrían resolverse con el teorema de Pitágoras y compártanlas. Practico 4

Ejecuta en forma individual las actividades siguientes. 1. Tus amigos van a desfilar y te piden que los grabes con tu cámara. Te colocas a 10 metros de un punto por donde pasarán, y cuando ellos están a 4 metros de éste, comienzas a grabar. y ¿Cuál es la distancia directa entre tus amigos y tú a la que debes enfocar la cámara?

Tus amigos

Utilizo las TIC

Tú

2. Una lancha de rescate busca a un náufrago con su faro buscador. La lancha ilumina al náufrago con su faro, pero en esa línea hay arrecifes que impiden llegar directamente al rescate, así que debe rodear por los lados de un triángulo. La carta de navegación indica las distancias que se ilustran.

Lancha 35 m

12 m

Arrecifes Náufrago

y ¿Qué distancia deberá recorrer la lancha para llegar al náufrago? 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 cm más que el doble del cateto más corto, y el cateto más largo mide 9 cm menos que el triple del cateto más corto. Dibuja un diagrama que represente un triángulo con esas características. y ¿Cuánto miden los lados del triángulo?

L27

Mate 3 book 2021.indb 203

Se han elaborado literalmente cientos de demostraciones del teorema de Pitágoras. En la liga: cmed.mx/m339 encontrarás varias varias de estas demostraciones. Descarga el recurso para ver las 6 demostraciones del teorema de Pitágoras. ¿Cuál te gustó más? ¿Te gustan las demostraciones geométricas? ¿Te sirvió este recurso para entender mejor la importancia del teorema de Pitágoras? Comparte tu opinión con tus pares.

Teorema de Pitágoras

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo que mide 90°.

En forma individual, realiza las actividades siguientes:

2. En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo de 90° se llaman “catetos” y el tercer lado se llama “hipotenusa”.

1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 metro más que el cateto más largo, y el cateto más corto mide 7 metros. • ¿Cómo ilustrarías esta situación?

3. El teorema de Pitágoras dice que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”, esto es:

c2 = a2 + b2, donde a y b son los catetos, y c la hipotenusa. 4. Para determinar, a partir del teorema de Pitágoras, una medida faltante en un triángulo rectángulo, se realiza lo siguiente: a = c2 – b2 b = c2 – a2 c = a2 + b2

Expresa el teorema de Pitágoras para las dimensiones de este triángulo. y ¿Una vez que desarrollaste la ecuación anterior, ¿cuánto mide el cateto más largo? 2. Un terreno tiene la forma del pentágono PQRST, formado por un cuadrado y un triángulo equilátero (es decir que PQ = QR = RS = ST = TP), como se ilustra: P Q h

El perímetro del pentágono es de 80 metros. y Se requiere medir el área del terreno; ¿qué estrategia seguirías para calcularla? y ¿Cuánto mide cada lado (L) del terreno? y ¿Cuál es el área del cuadrado? y ¿Cuánto mide el lado QS? y ¿Cómo plantearías el teorema de Pitágoras para calcular la altura, h, del triángulo equilátero? Muestra tus cálculos. y ¿Cuál es el área del triángulo? y ¿Cuál es el área total del terreno?

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Magnitudes y medidas

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Logro ir más

allá

La demostración más simple del teorema de Pitágoras es la que utiliza la idea de proporcionalidad. Realiza lo que se pide y responde para que, al terminar, puedas seguir esta demostración. P

❖ Considera el triángulo rectángulo con vértices en A, B y P, y ángulos agudos a y b:

❖ Traza una línea perpendicular desde P hasta la hipotenusa AB (base del triángulo) y marca el punto C sobre la hipotenusa; con ésta se forma un ángulo:

90º

P b a

b C

Observa que los triángulos CBP, ACP y ABP son semejantes, ¿por qué? Explica. Como los triángulos CBP, ACP y ABP son semejantes, podemos establecer la proporcionalidad de sus lados correspondientes así: AC = AP , y BC = BP AP

En la primera igualdad, multiplica ambos términos por el denominador AP, y entonces resulta: (AP)2 = (AC)(AB). y En la segunda igualdad, multiplica ambos términos por BP; ¿qué resultado obtienes? Al sumar estas dos ecuaciones se obtiene (AP)2 + (BP)2 = (AC)(AB) + (__)(__). y Factoriza AB en el segundo miembro. ¿Qué igualdad obtienes? (AP)2 + (BP)2 = Observa que AC + BC es igual a AB, por lo que si sustituyes este resultado en el lado derecho de la ecuación anterior, obtienes (AP)2 + (BP)2 = (AB)(__) =(__)_, que es lo que queríamos demostrar: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”, ¡el teorema de Pitágoras!

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La probabilidad y los juegos de

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azar

La probabilidad es el lenguaje de la incertidumbre. Por ello, es fácil imaginar que las ideas sobre probabilidad surgieron desde tiempos muy antiguos y evolucionaron poco a poco durante milenios; ya Homero en la Ilíada habla de la “Diosa Fortuna” y el “hado”; otras obras literarias mencionan palabras como “suerte”, “azar”, “casualidad”, “coincidencia”, etc. La idea de la probabilidad se formalizó en el siglo xvii, cuando Pascal y Fermat la perfeccionaron para resolver ciertos problemas de juego. Como has visto en cursos anteriores, existen eventos que pueden tener distintos resultados, aunque se repitan de manera idéntica, por ejemplo, lanzar dados o una moneda, jugar con naipes, medir el tiempo que tarda un viaje, etc. Esta clase de experiencias son “aleatorias”. Exploro

GLOSARIO Hado. En la tradición clásica, es una fuerza desconocida que obra irresistiblemente sobre los dioses, los hombres y los sucesos. Evento. Hecho imprevisto o que puede acaecer, eventualidad. Aleatorio. Que depende del azar. Relativo a los juegos de azar. Dodecaedro. Cuerpo geométrico con doce caras que son pentágonos regulares.

Identifico cuántos elementos hay en una experiencia aleatoria. Adela y dos de sus amigas juegan con un dado con forma de dodecaedro cuyas caras están numeradas del 1 al 12. Para decidir quién de las tres se llevará el dodecaedro a casa van a jugar a lanzarlo, y ganará la primera que obtenga el “7”. Margarita lanza el dodecaedro, éste rueda…, ella calcula mentalmente la probabilidad de ganar…

1. Con la información del juego, responde: y ¿De cuántas formas distintas puede caer el dodecaedro? y ¿Cuántos resultados le darían el triunfo a Adela? y ¿Qué es más probable, que salga 7 o que no salga 7? Justifica tu respuesta. y Si la regla fuera que ganaría la primera en sacar un número mayor que 10, ¿cuántos resultados serían los ganadores? . y ¿Cuál es la probabilidad de obtener alguno de esos eventos?

206

Compara tus razonamientos con los de otro integrante del grupo; si dieron respuestas distintas, determinen dónde estuvo la concepción equivocada y corrijan.

Probabilidad

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Descubro y construyo

I. Distingo eventos singulares y no singulares.

Los eventos aleatorios que sólo tienen un resultado posible se denominan “singulares”. Si tienen dos o más resultados posibles, son “no singulares”. Resuelve en forma individual las actividades siguientes. 1. Se lanza un dado con forma de dodecaedro y se observa su resultado: y y y y

El evento “cae 4”, ¿es singular o no singular? El evento “cae un múltiplo de 3”, ¿es singular o no singular? Justifica tu respuesta. El evento “cae un número primo”, ¿dirías que es singular? El evento “cae un número primo que es par”, ¿es singular o no singular?

2. Se lanza una moneda en un “volado”: y ¿Cuáles son los resultados posibles? y El resultado “cae sol”, ¿es un evento singular o no singular? Justifica tu respuesta. y ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol? Explica por qué. 3. Se lanza una moneda y un dado de seis caras al mismo tiempo: y Obtener seis y águila, ¿es un evento singular o no singular? Explica por qué. y El evento "caiga sol", ¿es un evento singular en este experimento? Argumenta tu respuesta. 4. Diseñen y definan, en pareja, dos tipos de juegos: a. Un juego con un dado regular de 6 caras, donde los eventos de ganar para cada jugador sean no singulares (cuidando la cantidad de integrantes por equipo, para garantizar que se asigne más de un caso favorable al evento de ganar para cada jugador). b. Un juego donde, usando el mismo dado, el evento de que gane un jugador sea singular, y para otro jugador sea no singular.

Piensen, junto con otras parejas, en una forma segura de saber si un evento es singular o no singular.

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Utilizo las TIC En la liga: cmed.mx/m340 puedes simular el lanzamiento de una moneda y ver cómo evoluciona la probabilidad de cada resultado de acuerdo con el número de lanzamientos realizados.

La probabilidad y los juegos de azar

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II. Distingo eventos mutuamente excluyentes.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide que el otro suceda. Por ejemplo, al lanzar una moneda el hecho de que caiga águila significa que no cae sol. Esto quiere decir que dos eventos mutuamente excluyentes no tienen elementos en común. Formen equipos de tres o más integrantes y realicen las actividades siguientes: 1. La dirección de una escuela hace una encuesta entre los estudiantes con la intención de mejorar el nivel educativo; la encuesta consta de un par de preguntas: “¿Mi maestro está dispuesto a escuchar y evaluar nuevas ideas?”, y “¿Con cuánta frecuencia mis compañeros facilitan mi aprendizaje?”. Las respuestas se indican con un número que se elige dentro de una escala de cinco posibilidades: 1 (nunca), 2 (casi nunca), 3 (a veces), 4 (casi siempre) y 5 (siempre). y ¿Cuáles son las respuestas posibles para cada pregunta? y Para cada pregunta, ¿la respuesta 1 (nunca) es excluyente de todas las demás? Explica por qué. Discute con tus pares si para cada pregunta la respuesta 2 (casi nunca) es excluyente de 3 (a veces). 2. Se lanza una moneda junto con un dado común y corriente. Se usa “A” para indicar “cae águila” y “S” para indicar “cae sol”, y los resultados se registran como en el ejemplo: Si al lanzar la moneda cae sol y al lanzar el dado sale 2, el evento se registra así: S-2. y y y y

¿El resultado A-4 es excluyente de todos los demás? Explica por qué. ¿Todos los resultados son excluyentes entre sí? ¿Por qué? ¿Cuáles son todos los resultados posibles? El evento “cae sol y un par”, ¿es un evento excluyente de todos los demás resultados posibles? y El evento “cae águila y un primo”, ¿es mutuamente excluyente con el evento “cae águila y un impar”? Justifica tu respuesta. Para el juego de lanzar una moneda junto con un dado, planteen, con su equipo, algunos ejemplos de dos eventos que no sean mutuamente excluyentes, mencionen los elementos que tengan en común y comparen sus ejemplos con los de otros equipos.

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Comparen sus propuestas con las del grupo y juntos validen que los ejemplos expuestos no sean mutuamente excluyentes, si existen diferencias, expongan sus argumentos.

Probabilidad

Mate 3 book 2021.indb 208

18/05/21 16:01

Practico

1. En una feria hay un juego que consiste en lanzar dos grandes canicas, una roja y otra verde (R y V), hacia tres filas paralelas de cinco agujeros numerados del 1 al 5, como se ilustra a la derecha. Las canicas se lanzan todas las veces que haga falta hasta que ambas entren en los agujeros; por ejemplo, si una canica roja entra en un agujero con el número 2, se indica con R-2. • ¿El resultado R-3 es singular o no singular? • El jugador gana un premio si logra que las dos canicas entren en dos agujeros diferentes, marcados con “5”. ¿Es singular o no singular este resultado? • ¿El evento “verde-par” es mutuamente excluyente con “rojo-par”? Menciona algunos lanzamientos que tengan resultados no singulares. 2. Aldo va a comprar una mochila para sus útiles; hay tres colores disponibles (amarillo, blanco y café) y 4 tamaños (chica, mediana, grande y extragrande).

Realiza las siguientes actividades: Denota con letras los colores y los tamaños. • El evento “la mochila elegida es grande”, ¿es mutuamente excluyente con cualquiera de las otras elecciones posibles? El papá de Aldo le regalará la mochila en su cumpleaños y la escogerá al azar. Aldo quisiera una mochila color café. • ¿Cuáles son las elecciones posibles del papá? • ¿El evento “la mochila es café” es singular o no singular? 3. El cambio climático está haciendo que en ciertas regiones de la Tierra las lluvias sean más frecuentes e intensas. Para investigar este fenómeno se registran los días con lluvia (1, 2, 3,…, 365) y la altura en milímetros que alcanza el agua captada en un recipiente llamado “pluviómetro”, que parece una jarra cilíndrica. Una ciudad se clasifica como “lluviosa” si en 300 o más días se registran lluvias y si en 10 o más de ellos el pluviómetro registra una altura superior a los 200 milímetros. Por ejemplo: en 2017, en Villahermosa hubo 328 días de lluvia y en 15 de ellos se registraron 220 milímetros o más, por lo que esta ciudad se considera una ciudad lluviosa. Discute con tus pares si es posible escribir todos los elementos que tendría el evento “lluviosa”. Expliquen por qué. • En una ciudad se registró una lluvia que alcanzó una altura de 482 mm. ¿Este evento es excluyente de otra lluvia de la misma intensidad que pudiera ocurrir en el futuro?

En tu grupo hay personas que usan pantalones de mezclilla o lino, usan lentes o no, y son hombres o mujeres. Crea algunos eventos mutuamente excluyentes.

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Mate 3 book 2021.indb 209

La probabilidad y los juegos de azar

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18/05/21 16:01

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

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Exploro

Identifico eventos mutuamente excluyentes. Con ayuda de un diccionario, escribe qué entiendes por “exclusión mutua”.

Leo +

1. Elije, marcando con una ü cuáles de los eventos implícitos en las experiencias aleatorias que se describen a continuación son mutuamente excluyentes, y por qué: a. Se elige al azar, de la lista del grupo, a dos estudiantes para un comité formado por un hombre (H) y una mujer (M). b. Al lanzar un dado se registra si el resultado es un número primo (M) o compuesto (C). c. En una tirada de dos dados se registra si la suma es par o impar. d. En un accidente automovilístico, un automóvil es clasificado como “pérdida total” (T) o “reparable” (R). e. Un sistema para marcar jaguares y estudiar su población en la selva, lanza un dardo desde un árbol (A) y otro dardo desde un puesto de mira (M) y se registra cuál acierta. f. Un alumno puede recibir tres calificaciones: Excelente, Aprobado, Reprobado. g. En un programa contra la obesidad se analizan el ejercicio y la dieta de cada paciente; los registros pueden decir: Sedentario (D), Camina (C), Corre (R), Nada (N), Frutas (F), Grasas (G), Sal (L), Azúcar (A). h. Un auto falla en la carretera y el conductor lo revisa para buscar la causa, que puede ser: falta de gasolina (G), falla eléctrica (E) o falla mecánica (M). i. Luis, Grisel y Juan juegan a lanzar un dado junto con una moneda. Luis gana si el resultado es par y águila, el triunfo será de Grisel si sale par y sol, Juan gana si obtiene impar y águila, y el juego se repite si sale impar y sol. j. Una familia sale de vacaciones y pueden pasar varias cosas: el auto sufre o no fallas mecánicas, reciben o no una infracción, y llegan a un hotel que está lleno o que tiene cuartos disponibles.

Desde la mirada de diversos autores, la lectura de esta publicación trimestral de la revista “CECA de México” (de la Casa de Moneda de México) te llevará a descubrir el pasado, presente y futuro de estas piezas artísticas que son las monedas mexicanas, para que las atesores y disfrutes jugar "volados" con ellas. Entra a la liga y elige los textos que más te interesen... que disfrutes la lectura: cmed.mx/m346

GLOSARIO Ceca. Casa donde se fabrican y labran las monedas. La palabra ceca proviene del árabe.

210

Comparte, en pareja, las respuestas dadas a cada experiencia aleatoria, en especial los casos en que no sea tan claro que los eventos son mutuamente excluyentes.

Estadística

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18/05/21 16:01

Descubro y construyo

I. Determino la regla de la suma en eventos mutuamente excluyentes y cálculo la probabilidad de dichos eventos.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si uno puede ocurrir y el otro no (lo excluye). Si se tienen dos eventos mutuamente excluyentes, digamos A y B, el evento que consiste en que ocurra al menos uno de los dos se llama “unión”, se denota como A ∪ B y se lee “A unión B”. Es decir, la unión de dos eventos excluyentes entre sí consiste en que suceda cualquiera de los dos. Si denotamos con P(A ∪ B) la probabilidad de que ocurra la unión de los eventos, y con P(A) y P(B) la probabilidad de que sucedan los eventos A y B respectivamente, entonces se cumple que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Esto se conoce como “regla de la suma” y permite calcular la probabilidad de que ocurra uno u otro evento cuando son mutuamente excluyentes. En la escuela de Mayra hay una sala multimedios en la que puede verse la programación de tres cadenas de televisión: la cadena A transmite programas de Astronomía, la B difunde programas de Biología y la C está dedicada a Cocina; en la cadena A pueden elegirse 8 programas distintos, en la B hay 5 programas para elegir y en la C hay 3 programas posibles. En la pantalla sólo puede verse un programa a la vez, y cuando el equipo se enciende aparece el último programa que se vio. 1. Con la información anterior responde: y ¿Cuál es la probabilidad de que el último programa sea de Astronomía, Biología y Cocina, respectivamente? y E n general, los programas preferidos por las niñas son los de Astronomía y Biología; ¿es más probable que vean alguno de esos temas o que no lo vean? y L os estudiantes acordaron que verán el canal que aparezca al encender la pantalla, pero José no quiere ver nada de Biología; ¿cuál es la probabilidad de que se salga con la suya?

Compara tus resultados con un integrante del grupo. Comenten acerca del significado de que la suma de las probabilidades de los eventos A, B y C sea igual a 1.

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Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

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II. Represento con un diagrama eventos mutuamente excluyentes.

A 6 2

Los eventos mutuamente excluyentes no tienen elementos en común, porque si uno sucede el otro no. Por ejemplo, si al lanzar un dado se representan con A los tres números pares y con B los tres impares, se tendría una representación gráfica como la de la izquierda. Si existen más de dos eventos mutuamente excluyentes, se agregan los círculos correspondientes. Esta representación gráfica se denomina “Diagrama de Venn”.

B 1

Utilizo las TIC En la liga: cmed.mx/m342 puedes ver el razonamiento que se utilizó para resolver 6 experimentos aleatorios y leer más sobre el uso de diagramas de Venn de eventos mutuamente excluyentes. También se muestran diagramas de eventos que no son mutuamente excluyentes. En la última página hay ejercicios de opción múltiple. Aclara tus dudas con tus pares y con tu docente para recibir retroalimentación.

Forma equipos de tres para realizar las actividades siguientes: 1. Se lanzan juntos una moneda y un dado. María gana si el resultado de la moneda es águila y el del dado es 6, y Leticia gana si el resultado de lanzar la moneda es sol y el del dado es 1. Si no gana ninguna, la tirada se repite. Para denotar tus eventos, guíate por el siguiente ejemplo: Si el resultado de un lanzamiento es 3 y águila, el evento será A-3. y ¿Cuáles son los eventos que llevan a ganar a alguna de las dos? y ¿Cuáles son los eventos que llevan a repetir la tirada? y ¿Cuántos resultados hay en cada evento? y ¿Cómo representarían los eventos en forma gráfica? Utilicen el recuadro. y ¿María y Leticia tienen la misma probabilidad de ganar? y ¿Cuál es la probabilidad de que gane cualquiera de las dos (María o Leticia)? y ¿Es más probable que el juego se repita o que gane cualquiera de las dos? y ¿Cuál es la probabilidad de que no gane Leticia (es decir, que gane María o que el juego se repita)? 2. Dos equipos de baloncesto femenil, Gacelas y Jirafas, van a enfrentarse en el partido final de baloncesto, de donde saldrá el campeón. Los expertos opinan que las Gacelas tienen una probabilidad de ganar de 38 y las Jirafas una probabilidad de 58 . y ¿Cómo se representan gráficamente los eventos implícitos? Utiliza el espacio de la izquierda. 4 y Si los expertos opinaran que las Jirafas tienen una probabilidad de ganar de 11 , ¿cuál sería la probabilidad de ganar de las Gacelas? ¿Por qué? Los eventos "triunfo de las Gacelas" y "triunfo de las Jirafas" son mutuamente excluyentes. Piensa en lo que puede ocurrir durante el partido y describe un evento que no sea mutuamente excluyente con el triunfo de las Gacelas. Argumenta tu respuesta.

212

Comenten con otros equipos la conveniencia de utilizar diagramas para resolver problemas de probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.

Estadística

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III. Construyo una tabla de probabilidad para eventos mutuamente excluyentes.

A menudo es útil elaborar una tabla donde se muestre la probabilidad de que ocurran los distintos eventos asociados a una experiencia aleatoria. Por ejemplo: Andrés lanza un dado y gana si el resultado es algún número primo mayor que 2; Benito gana si el resultado es par, y Celia gana si el resultado es 1. Para los eventos A = {gana Andrés}, B = {gana Benito} y C = {gana Celia}, como A = {3, 5}, B = {2, 4, 6} y C = {1}, tendríamos la siguiente tabla: Evento

Total

Probabilidad

2 6

3 6

1 6

6 =1 6

Realicen las siguientes actividades en equipos de tres. 1. Para llevar a cabo un juego, se escriben en un dado las cinco vocales y la letra “M”. Las vocales “a, e, o” se llaman fuertes, mientras que “i, u” se llaman débiles. El dado se lanzará una vez. y ¿Los eventos “sale vocal fuerte”, “sale vocal débil” y “sale M” son mutuamente excluyentes? Elijan una letra mayúscula para dar nombre a los eventos anteriores. y ¿Cuál es la probabilidad de que suceda cada evento? Utilicen la siguiente tabla para anotar la probabilidad de cada evento. Evento

Vocal fuerte

Vocal débil

Letra “M”

Total

Probabilidad

y ¿Cuál tiene mayor probabilidad de ocurrir? 2. Un maestro revisa la tarea de un grupo de estudiantes, y por experiencia sabe que la 3 4 probabilidad de que no haya error es de 10 , de que haya uno es de 10 , de que haya 2 1 dos es de 10 y de que haya tres o más es de 10 . En este último caso, deberá repetirse la tarea. Con la información anterior, identifica cada evento asociado a la experiencia aleatoria de contar los errores en una tarea. Anoten en la tabla la probabilidad de los eventos. Evento

Total

Probabilidad

y Ningún estudiante quiere repetir la tarea; ¿qué tan probable es que no la repitan? y Si un miembro del grupo comete máximo un error, recibe un punto extra en su calificación final. ¿Es más probable que lo reciba o que no lo reciba?

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Mate 3 book 2021.indb 213

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

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3. Los 11 jugadores de la selección de futbol de la escuela pusieron sus playeras en un solo montón; hay cuatro tallas de playera: chica, mediana, grande y extragrande. Tres de ellos usan talla chica, cinco usan mediana, dos usan grande y uno extragrande. Les toca juego y Rubén es el primero que va a elegir al azar su playera del montón. Nombren con una letra los eventos de elegir cada talla de playera. • ¿Los eventos son mutuamente excluyentes?, ¿por qué? • ¿Cada talla tiene la misma probabilidad de ser elegida? Justifica tu respuesta. Anoten en la siguiente tabla la probabilidad que tiene cada evento de ocurrir: Evento

Total

Probabilidad

• Rubén puede usar una talla mediana o grande; ¿qué es más probable, que elija una playera que le quede o una que no le quede?

Comparen con otros equipos las tablas de probabilidad donde anotaron sus resultados y, si encuentran errores, determinen cuál fue el razonamiento erróneo en cada caso, con el fin de corregirlos.

IV. Establezco las reglas para que un juego de azar sea justo.

Realiza las siguientes actividades en pareja. 1. Un niño y su papá juegan con un dado de plástico en forma de pirámide triangular que el niño suele morder. El dado tiene cuatro caras: una estrella grabada en una cara, la luna en otra, un sol en la tercera y un relámpago en la cuarta cara. Las deformaciones del dado han hecho que la probabilidad de que salga la estrella sea 2 6 1 de 10 , de que salga la luna sea de 10 , y el sol y el relámpago tienen 10 de probabilidad de ocurrir cada uno. El niño no se quiere bañar, por lo que el papá le propone que lo decidan lanzando al aire el dado, y le dice al niño: "Si sale luna te bañas y si sale sol te puedes quedar sin bañar". • Si el niño les preguntara a ustedes si es un juego justo, ¿qué le dirían? Ayuden al niño a decidir si es un juego justo explicándoselo con una tabla de probabilidades. Evento

Total

Probabilidad

• Advertido por ustedes, el niño propone a su papá que si sale “luna” se quede sin bañar, y que le concede que si sale cualquier otra cara se bañará. El papá se rasca la cabeza; ¿es un juego justo? Expliquen por qué. • ¿Hay manera de plantear un juego justo para el niño y su papá tomando en cuenta la probabilidad de obtener cada cara al lanzar la pirámide? ¿Por qué?

214

Estadística

Mate 3 book 2021.indb 214

18/05/21 16:01

2. Alan y Bruno juegan a adivinar quién será la siguiente persona que pasará por la puerta giratoria que da acceso al auditorio de la escuela y que sólo permite el paso de una persona a la vez; quien pierda pagará el almuerzo. Establecen las reglas así: Alan gana si pasa una alumna, Bruno gana si pasa un alumno, y cada quien pagará su almuerzo si pasa una maestra. No saben que, aparte de ellos, en la escuela hay 103 alumnos, 115 alumnas y 12 maestras. y ¿Cuántas personas en total están involucradas en esta experiencia aleatoria, incluidos Alan y Bruno? y ¿Los eventos que intervienen en este juego tienen la misma probabilidad de ocurrir? Llenen la tabla de Bruno Alan Ninguna fruta probabilidad para que les ayude a decidirlo. y Bruno perdió, pero sospecha que no fue justo. ¿Tiene razón en sospechar? ¿Por qué? y Bruno pide la revancha a Alan y acuerdan la regla de que Bruno ganará si pasa una mujer, y en cualquier otro caso ganará Alan. ¿Es justo el juego? Expliquen por qué. y Bruno y Alan les piden ayuda para crear una regla que establezca un juego justo. Como ustedes saben cuántas alumnas, alumnos y maestros hay, ¿qué regla establecerían para que el juego sea justo para ambos? 3. En una feria Camilo juega al tiro al blanco; pagó $10 por el boleto y su rifle tiene 9 municiones. Hay cuatro clases de figuras: manzanas, ciruelas, uvas y cerezas, unas más grandes que otras, y el dueño del juego sabe que la probabilidad de que el tirador acierte a una manzana es de 39 , a una ciruela es de 29 , a una uva es de 19 , igual que la de acertar a una cereza, y la probabilidad de no acertar a ninguna figura es de 29 . Si derriba al menos una uva o una cereza recibirá $20 de premio. Camilo ha disparado 8 de sus 9 tiros y no le ha dado a una uva ni a una cereza, y con su última munición apunta a una uva para intentar ganar el premio (observen que por azar podría acertar a una cereza que estuviera junto a la uva a la que apunta).

Tomo Nota En la cuestión de si un juego es justo o no también intervienen las ganancias implícitas, por ejemplo: si dos personas juegan un volado y una de ellas ganará $100 si cae águila y la otra $80 si cae sol, aunque haya la misma probabilidad de que caiga águila o sol el juego no es justo porque es de esperar que una gane más dinero que la otra.

y Al ver que Camilo apunta a una uva entre dos cerezas, el dueño del juego piensa que Camilo tiene una probabilidad de 19 de llevarse el premio; ¿es correcto su razonaManzana Ciruelas Uvas Cerezas miento? Aclárenlo llenando la tabla de probabilidades. y Camilo piensa que el dueño del juego perderá dinero en su negocio porque ofrece $20 de premio cuando el boleto sólo cuesta $10. ¿Es acertado este razonamiento?

Comparen sus resultados con los de otras parejas. Analicen sobre todo las diferencias en los razonamientos. Discutan cómo se combinan la ganancia y la probabilidad cuando se trata de determinar si un juego es justo o no. La regla para que un juego de azar sea justo, ¿tiene que ver con que los resultados de cualesquier eventos tengan la misma probabilidad? Registren sus resultados y lleguen a acuerdos en el grupo.

L29

Mate 3 book 2021.indb 215

Ninguna fruta

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

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Practico

1. Habrá elecciones para elegir a los representantes escolares en una escuela secundaria; hay cuatro candidatos y las encuestas dicen que la probabilidad de que gane el 43 25 candidato 1 es de 100 , de que gane el candidato 2 es de 100 , de que gane el candi20 12 dato 3 es de 100 , y de que gane el candidato 4 es de 100 . Sólo habrá un ganador, y se permiten coaliciones entre candidatos para elevar la probabilidad de ganar. En una coalición, un conjunto de candidatos gana si al menos uno de ellos gana. Lista los eventos posibles e identifícalos con una letra. • ¿Son mutuamente excluyentes dichos eventos?, ¿por qué? • El candidato 1 presume que ganará, pero ¿tiene bases para su optimismo? Explica. • Si el candidato 2 propone al 3 y al 4 formar una coalición, pero sólo acepta el candidato 4, ¿les bastaría para ganar?, ¿por qué? • ¿Hay alguna coalición que pudieran hacer dos candidatos cualesquiera para tener mayor oportunidad de ganar al candidato 1? Justifica tu respuesta. • Imagina que los candidatos 2 y 3 se unieran para ganar al candidato 1, ¿qué podría hacer éste para volver a tener la ventaja? • Imagina ahora que los candidatos 1 y 4 se unen en coalición. ¿Es posible que el candidato 2 tome ventaja? Comprueba tus resultados anteriores llenando la tabla de probabilidades correspondiente. Candidato

Probabilidad

Representa con un diagrama los eventos implícitos.

216

Estadística

Mate 3 book 2021.indb 216

18/05/21 16:01

2. Los juguetes tradicionales mexicanos son parte de nuestra identidad; uno de ellos, la pirinola, se utiliza para juegos de azar. Es una pieza, generalmente de madera, con 6 caras planas rotuladas: “pon 1”, “pon 2”, “toma 1”, “toma 2”, “toma todo” y “todos ponen”. Nuria y sus amigas juegan con una pirinola, y antes de hacerla girar deben lanzar una moneda. Si cayera por ejemplo “águila” y “toma 2”, esto se denotaría como (aT2); si cayera “sol” y “todos ponen”, sería (sTP), y así para cada resultado. Con lo anterior, desarrolla las actividades siguientes:

a. Identifica los eventos posibles: y ¿Son mutuamente excluyentes? Explica. y Águeda se niega a jugar diciendo que no es un juego justo; ¿tiene razón?, ¿por qué? b. Ahora se añade una regla más al juego. Si cae águila la jugadora recibe $3, y si cae sol pierde $2. Después de pagar o recibir su dinero, lanza la pirinola y gana o pierde según lo que ésta indique. Imagina que Águeda y tú analizan si es conveniente jugar, para lo cual elaboran una tabla de probabilidades con el resultado monetario correspondiente a cada evento. Se muestra un dato como guía para la solución. Resultado Probabilidad

Analicen la tabla y decidan si es conveniente jugar o no.

Comparte con el grupo las dificultades que hayas encontrado y aclara tus dudas. ¿Crees que la manera en que se narran los problemas de probabilidades es importante para resolverlos?

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Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

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Evalúo mi aprendizaje

Itacate

Abre tu Itacate de evidencias y revísalo para reconocer cómo has aprendido.

Recapitulo 1. Cuando dos o más eventos son mutuamente excluyentes, si ocurre uno es imposible que ocurran los demás. 2. Los eventos mutuamente excluyentes no tienen elementos en común. 3. En un diagrama, los eventos mutuamente excluyentes se representan como círculos aislados, no se cortan.

1. En la kermés de tu escuela te harás cargo de un juego que consiste en lanzar un dardo a 3 globos de distintos tamaños, y si el jugador acierta recibirá un premio, aunque también puede fallar su tiro. Tú estimas las probabilidades de 1 acertar según el tamaño de los globos, así: P(chico) = 16 , P(mediano) = 18 , P(grande) = 14 , P(muy grande) = 38 ; sin embargo, ignoras la probabilidad de que el jugador falle su tiro. • ¿Cómo puede ayudarte una tabla de probabilidades a determinar la probabilidad de fallar el tiro?

4. Si en un diagrama los eventos se representan con círculos y algunos de ellos se cruzan, no son mutuamente excluyentes. 5. La notación A ∪ B se lee “A unión B” y significa que ocurre al menos uno de los eventos. 6. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 7. La tabla de probabilidades es una buena manera de representar eventos mutuamente excluyentes y los resultados de sus probabilidades, porque facilita calcular la probabilidad de que ocurra la unión de diversos eventos. 8. Un juego es justo si todos los que participan en él tienen la misma probabilidad de ganar.

• ¿Cuál es la probabilidad de fallar el tiro? 2. En un día domingo se registró el número de automóviles que salieron de Taxco a Iguala: Se contabilizaron 827 que partieron de Taxco y 799 que llegaron a Iguala. Ese día hubo 15 vehículos que no pudieron continuar su viaje porque una inspección detectó que estaban en malas condiciones, algunos más se accidentaron, y 10 fueron detenidos por infracciones graves y no pudieron seguir, pero el informe de esto último se extravió.

Si tienes que presentar a la aseguradora un informe sobre la carretera y usar un cartel con los eventos y el número de autos involucrados en cada evento, ¿cómo diseñarías el cartel? Haz un dibujo en el recuadro.

La compañía aseguradora requiere calcular la probabilidad de sufrir un accidente en un domingo cualquiera en dicha carretera. y ¿Los eventos son excluyentes? ¿Por qué? y ¿Cuál es la probabilidad de cada evento? Elabora la tabla de probabilidades.

• ¿Cuál es la probabilidad de un accidente?

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Estadística

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Logro ir más

allá

En ocasiones las probabilidades de cada evento cambian en el curso de una experiencia aleatoria. Ahora que estás por terminar tu curso de Química, valorarás la importancia de saber si una sustancia es ácida o básica. Entra a la siguiente liga, donde se explica cómo se utiliza el papel tornasol para realizar estas pruebas. cmed.mx/m321929 Imagina que estás en el laboratorio de tu escuela y vas a analizar diez muestras de agua de lluvia, de las cuales sabes que cuatro se obtuvieron de ciudades con la atmósfera tan contaminada que provoca lluvias ácidas. ❖ Las muestras no están identificadas. ❖ Examinas las muestras una tras otra con papel tornasol. ❖ Anotas si es ácida, desechas la muestra y continúas con la siguiente hasta probar todas.

GLOSARIO Papel tornasol. Es uno de los indicadores ácidobase más antiguos. Se presenta en tres colores: azul, rojo y neutro. Cuando el papel tornasol de color neutro está en contacto con un ácido, se torna rojo.

Denota los eventos que resultan de probar si el agua de una muestra es ácida. y ¿Son mutuamente excluyentes los eventos asociados a la prueba de cada muestra? y Antes de comenzar el experimento, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra sea ácida? y Antes de iniciar las pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra no sea ácida? y La primera prueba indica que la lluvia sí es ácida; desechas la muestra y ahora vas a probar la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta también sea ácida? y ¿Es la misma probabilidad que obtuviste antes? Explica por qué cambió la probabilidad de que la segunda muestra fuera ácida. Después de verificar que la primera prueba fue ácida, determina qué tan probable es que la segunda no lo sea. y ¿Cambia la probabilidad respecto a la que obtuviste antes de realizar la prueba? Escribe una reflexión acerca de los eventos cuya probabilidad se modifica como resultado de algo que ocurrió antes antes y compártela con diferentes integrantes del grupo.

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Evaluemos lo aprendido

Reconoce tus emociones Recupera el texto “Resolver e imaginar” (p.161), relaciónalo con los recursos tic de la página 160 y reflexiona: Hacer cálculos sobre el impacto ambiental de nuestras acciones nos permite observar los hábitos que generan el problema del calentamiento global e identificar aquellos que podemos transformar. y ¿Te sientes responsable por el medio ambiente? ¿Por qué?

y ¿Qué emoción reconoces al saber que tus acciones pueden ayudar a disminuir o incrementar el problema ambiental?

y ¿Cómo te hace sentir que la suma de las acciones negativas, pequeñas o grandes, de todos puede propiciar la extinción de otras especies?

Itacate

Revisa tu Itacate de evidencias antes de realizar tu evaluación.

I. Selecciona la opción correcta. En pareja, compara tus respuestas y procedimientos.

1. Elige la opción donde la ecuación x(3x + 4) = 2x + 1 esté en la forma ax2 + bx + c = 0. a. 3x2 − 2x + 3 = 0 b. 3x2 + 2x – 1 = 0 c. 3x2 + 6x + 1 = 0 d. 3x2 − 6x – 3 = 0 2. Usando el discriminante, elige el número de soluciones que tiene la ecuación anterior. a. 3 soluciones b. 0 soluciones c. 1 solución d. 2 soluciones 3. ¿Cuál es la solución de la ecuación – 6x2 – 6x + 12 = 0? a. x1 = 9, x2 = 7 b. x1 = 1, x2 = 12 c. x1 = –2, x2 = 1 4. Elige la opción que muestra la medida de la diagonal del rectángulo de la derecha: a. 7.06 u b. 8.06 u c. 9.06 u d. 6.06 u 5. Elige la opción que presente el cálculo correcto del cateto opuesto del vértice C del triángulo de la derecha: a. 8 u b. 7 u c. 9 u d. 6 u

d. x1 = 1, x2 = 23

b = 12.04

a=9

6. La función del pago de un plan para celular se define con y = 200x, donde x es la mensualidad. Si el usuario ha pagado $2 400 en total, ¿qué mensualidad pagó? a. 10 b. 8 c. 6 d. 12 7. ¿Qué función representa a la siguiente gráfica? a. y = 900 + 350x b. y = 900 + 1350x c. y = 1350x d. y = 900 + 600x

3500 3000 2500 2000 1500

y ¿Cuáles aspectos de tu vida has decidido cambiar para contrarrestar el problema? ¿Has pensado en cómo hacer más con menos?

8. En un juego de 52 cartas, hay 4 cartas de cada figura o número, ¿qué probabilidad hay de sacar una carta con una figura llamada jota? 1 1 4 a. 52 b. 13 c. 12 d. 13 52

1000 500 0

9. Al tirar dos dados, ¿qué probabilidad hay de que salga 5 en ambos? 2 1 2 a. 12 b. 36 c. 36 d. 12

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II. Resuelve los siguientes problemas.

1. El pronóstico del tiempo, para un mes de 30 días en verano, dice que habrá 12 días con tormentas eléctricas, 8 días con lluvia moderada a mediana y el resto estará soleado. a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tormentas eléctricas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya días soleados? 2. Un juego de pronósticos muy conocido funciona de la siguiente manera: La urna elegirá de manera aleatoria 7 esferas con los números ganadores; los primeros 6 seleccionados se llaman números naturales y el séptimo es el número adicional (los números van del 1 al 56). a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar la primera esfera de la urna, ésta sea un número par? b. ¿El anterior es un evento singular? c. Si después de sacar cinco números no ha salido el 9, ¿cuál es la probabilidad de que en la sexta extracción salga el 9? Considera que las esferas que salieron no se regresan a la urna. 3. El largo de una cama para sembrar rábanos mide 5x – 5 metros y el ancho mide x – 2 metros. Escribe la expresión algebraica que representa el área. III. Lee, en pareja, lean el texto de entrada del Módulo III y contesten. Temperatura Anómala (ºC)

y 1. ¿Han notado las consecuencias del efecto invernadero? 1.0 Quizás hayan visto las partículas de contaminantes suspendidas en el aire, o quizás hayan sentido cómo año con año 0.5 la temperatura va aumentando; ¿han escuchado de las inundaciones o el deshielo en el Ártico? 0.0 a. La gráfica de la derecha ilustra, en promedio, el cambio en la temperatura global de la superficie en relación con las –0.5 temperaturas promedio de 1951-1980. 1880 1900 1920 y ¿En qué periodo de tiempo han sido los años más cálidos? y Si la línea negra indica el cambio en promedio de la temperatura, ¿qué significan los puntos y las líneas grises? ¿Cómo se llama este tipo de variación? b. Se registra un aumento del nivel del mar causado principalmente por dos factores relacionados con el calentamiento global: los glaciares que se derriten y la expansión del agua de mar a medida que se calienta. En 1993 se empezaron a hacer mediciones (asignando un valor inicial de cero al aumento del nivel del mar) y se estimó que hay un crecimiento anual de 3.2 milímetros aproximadamente. y Si la variación fuera lineal, ¿qué función permitiría encontrar el crecimiento en el nivel del mar en cualquier periodo a partir del año 1993? y Dando un valor de cero al año en que se empezó a medir, estima con un graficador dinámico el crecimiento del nivel del mar en los últimos 20 años. ¿Cuántos mililitros había aumentado aproximadamente para el año 2003? ¿Y para el 2013?

1940

1960

Año

1980

2000

2020

Fuente: https://climate.nasa.gov

IV. Verifiquen, en parejas, que completaron correctamente los Tomo nota de este Módulo.

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Lo alcancé

Casi lo alcancé, aunque debo trabajar un poco más

Resuelvo problemas mediante la formulación y la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Analizo y comparo diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Diferencio las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

Formulo, justifico y uso el Teorema de Pitágoras.

Calculo la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

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No lo he conseguido aún

Mis metas

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Apéndice

Tabla de razones trigonométricas Tabla de correlación Bibliografía Recomendada para estudiantes Recomendada para docentes Ligas electrónicas Recomendaciones para navegar en la red Consultadas Generales

Créditos iconográficos

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Tabla de razones trigonométricas

Grados

Sen

Cos

Tan

Sen

Cos

Tan

0.0000

1.0000

0.0000

Grados 23

0.3907

0.9205

0.4245

0.0175

0.9998

0.0175

0.4067

0.9135

0.4452

0.0349

0.9994

0.0349

0.4226

0.9063

0.4663

0.0523

0.9986

0.0524

0.4384

0.8988

0.4877

0.0698

0.9976

0.0699

0.4540

0.8910

0.5095

0.0872

0.9962

0.0875

0.4695

0.8829

0.5317

0.1045

0.9945

0.1051

0.4848

0.8746

0.5543

0.1219

0.9925

0.1228

0.5000

0.8660

0.5774

0.1392

0.9903

0.1405

0.5150

0.8572

0.6009

0.1564

0.9877

0.1584

0.5299

0.8480

0.6249

0.1736

0.9848

0.1763

0.5446

0.8387

0.6494

0.1908

0.9816

0.1944

0.5592

0.8290

0.6745

0.2079

0.9781

0.2126

0.5736

0.8192

0.7002

0.2250

0.9744

0.2309

0.5878

0.8090

0.7265

0.2419

0.9703

0.2493

0.6018

0.7986

0.7536

0.2588

0.9659

0.2679

0.6157

0.7880

0.7813

0.2756

0.9613

0.2867

0.6293

0.7771

0.8098

0.2924

0.9563

0.3057

0.6428

0.7660

0.8391

0.3090

0.9511

0.3249

0.6561

0.7547

0.8693

0.3256

0.9455

0.3443

0.6820

0.7431

0.9004

0.3420

0.9397

0.3640

0.6820

0.7314

0.9325

0.3584

0.9336

0.3839

0.6947

0.7193

0.6957

0.3746

0.9272

0.4040

0.7071

1.0000

226

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Grados

Sen

Cos

Tan

Grados

Sen

Cos

0.71934

0.694658

1.03553

0.93358

0.358368

2.605089

Tan

0.731354

0.681998

1.072369

0.939693

0.34202

2.747477

0.743145

0.669131

1.110613

0.945519

0.325568

2.904211

0.75471

0.656059

1.150368

0.951057

0.309017

3.077684

0.766044

0.642788

1.191754

0.956305

0.292372

3.270853

0.777146

0.62932

1.234897

0.961262

0.275637

3.487414

0.965926

0.258819

3.732051

0.788011

0.615661

1.279942

0.798636

0.601815

1.327045

0.970296

0.241922

4.010781

0.809017

0.587785

1.376382

0.97437

0.224951

4.331476

0.819152

0.573576

1.428148

0.978148

0.207912

4.70463

0.981627

0.190809

5.144554

0.829038

0.559193

1.482561

0.838671

0.544639

1.539865

0.984808

0.173648

5.671282

0.848048

0.529919

1.600335

0.987688

0.156434

6.313752

0.990268

0.139173

7.11537

0.857167

0.515038

1.664279

0.866025

0.5

1.732051

0.992546

0.121869

8.144346

0.87462

0.48481

1.804048

0.994522

0.104528

9.514364

0.882948

0.469472

1.880726

0.996195

0.087156

11.430052

0.997564

0.069756

14.300666

0.891007

0.45399

1.962611

0.898794

0.438371

2.050304

0.99863

0.052336

19.081137

0.906308

0.422618

2.144507

0.999391

0.034899

28.636253

0.999848

0.017452

57.289962

0.913545

0.406737

2.246037

0.920505

0.390731

2.355852

0.927184

0.374607

2.475087

∞

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Tabla de Correlación

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

LIBRO DE TEXTO

MATEMÁTICAS SECUNDARIA. 3º EJES

Temas

18 a la 35

• Usa técnicas para determinar el mcm y el mcd.

36 a la 49

• Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

50 a la 63

Ecuaciones

• Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

64 a la 69

Funciones

• Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Y VARIACIÓN

Páginas

• Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Número

NÚMERO, ÁLGEBRA

Aprendizajes esperados

Patrones y ecuaciones

• Diferencia las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

94 a 115 176 a la 189

190 a la 195

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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

LIBRO DE TEXTO

MATEMÁTICAS SECUNDARIA. 3º EJES

Temas

• Construye polígonos semejantes. Determina y usa criterios de semejanza de triángulos.

Páginas

70 a la 85 128 a la 143

Magnitudes y medidas

• Formula, justifica y usa el Teorema de Pitágoras.

196 a la 205

Estadística

• Compara la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

144 a la 155

• Calcula la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

206 a la 209

Y MEDIDA

• Resuelve problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

210 a la 219

DE DATOS

ANÁLISIS

FORMA, ESPACIO

Figuras y cuerpos geométricos

Aprendizajes esperados

Probabilidad

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Bibliografía

Recomendada para estudiantes Alsina, C. (2010). Asesinatos matemáticos. Barcelona: Editorial Ariel. Frabetti, C. (2000). Malditas matemáticas. México: Alfaguara juvenil. Ko, Seok-ku. (2012). Matemáticas asombrosas de matemáticos excéntricos. México: Ediciones Castillo/sep. Col. Libros del Rincón. Lam, E. (2009). El álgebra es divertida. México: SEP/Editorial Santillana. Littan, J. (2014). Mates divertidas para gente ingeniosa. México: Ediciones sm. Magnus Enzensberger, H. (2016). El diablo de los números. México: sep/Siruela. Col. Libros del Rincón. Paenza, A. (2008). Matemática... ¿Estás ahí? Episodio 100. Argentina: Siglo Veintiuno Editores. Col. Ciencia que ladra. Potter, L. (2015). A jugar con las matemáticas. México: Col. Libros del Rincón.

sep/Hiperlibro.

Sierra i Fabra, J. (2004) El asesinato del profesor de matemáticas. México: Anaya. Tahan, M. (2014). El hombre que calculaba. México: Limusa. Tagüeña, J. & Martínez, M (2009) Fuentes renovables de energía y desarrollo sustentable. México: SEP/ADN Editores. Col. Libros del Rincón. VanCleave, J. (2009). Matemáticas para niños y jóvenes. México: Limusa-Wiley. Col. Biblioteca Científica. Wardle, T. (2003). La suma más difícil del mundo. Madrid: Ediciones sm.

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Recomendada para docentes Alagia, H., Bressan, A. & Sadovsky, P. (2005). Reflexiones teóricas para la educación matemática. Buenos Aires: Libros del Zorzal. (Formación Docente Matemática). Alanís, J. & Cantoral, R., et. al. (2008). Desarrollo del pensamiento matemático. México: Trillas. Alsina i Pastells, A. (2010). Educación matemática. El aprendizaje reflexivo en la formación inicial del profesorado: un modelo para aprender a enseñar matemática. México: Santillana. Vol. 22, Núm. 1, pp. 149-166. Planas, N. & Alsina i Pastels, A. (2009). Educación matemática y buenas prácticas. Infantil, primaria, secundaria y educación superior. Barcelona: Graó. Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1998). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. México: SEP (Biblioteca para la actualización del Maestro de la Secretaría de Educación Pública). Gascón Pérez, J. (1994). El papel de la Resolución de Problemas en la Enseñanza de las Matemáticas. Barcelona: Suma, Revista para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Marrase, P. J. (2016). La Belleza de las Matemáticas. Barcelona: Plataforma. Ramírez, M. & Block, D. (2009). La razón y la fracción: un vínculo difícil en las matemáticas escolares, Educación Matemática. México: Santillana. Vol. 21 (1), pp. 63-90. Ruiz Munzón, N., Bosch, M. & Gascón, J. (2010). La algebrización de los programas de cálculo aritmético y la introducción del Álgebra en secundaria. España: Investigación en Educación Matemática XIV, Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, pp. 545-556. Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemáticas hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Buenos Aires: Libros del Zorzal. (Formación Docente-Matemática). Sáenz de Cabezón, E. (2016). Inteligencia matemática. Descubre al matemático que llevas dentro. Barcelona: Plataforma.

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Ligas electrónicas

Recomendaciones para navegar en la red ¿Te has preguntado si sabes navegar en la red de manera segura? Te recomendamos leer el contenido del artículo que aparece en la liga y que aquí hemos resumido en 14 puntos. “La seguridad en el mundo digital” https://www.revistaciencia.amc.edu.mx/images/revista/62_3/PDF/ Seguridad.pdf 1. No te quedes en la primera referencia a la que te remite el buscador. 2. Busca páginas que contengan citas de libros especializados. 3. Busca páginas de instituciones educativas (universidades) pues éstas suelen ser permanentes y confiables. 4. Wikipedia es un buen comienzo pero no te debes quedar ahí. Conviene que revises las referencia, la bibliografía y los enlaces externos que están relacionados con la página de Wikipedia que consultaste y, además, no pierdas de vista que mucha de la información a la que remite puede ser muy técnica. 5. Wikipedia sirve para contrastar la información que se presenta en otras páginas. Normalmente es confiable, pero también insuficiente. 6. Los blogs en internet suelen caducar (no son permanentes) y por ello mucha información valiosa puede dejar de estar disponible. 7. Merece hacer el esfuerzo de establecer contacto vía correo electrónico con el autor de una página que te resulte interesante. 8. La calidad de una investigación aumenta conforme se incrementa la cantidad y calidad de sus fuentes. 9. En Ciencia y Matemáticas las páginas en inglés suelen estar más completas y contener información más actualizada. 10. Los textos que no encuentres en la biblioteca de tu escuela búscalos como archivos pdf.

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11. Busca en la red entrevistas con autores reconocidos, puedes encontrarlos como texto o como video. 12. Si escribes entre comillas, por ejemplo: “caminos, azar y probabilidad”, el buscador listará todas las páginas donde encuentre esta frase literalmente. 13. Sistematiza tus propios métodos de búsqueda. 14. Recuerda que los libros son insustituibles y que las referencias que encuentras en la red son sólo otra forma de adquirir información. Además siempre será mejor, ya sea que consultes libros o la red, que busques en los textos de los autores que generaron la información que estás investigando

Consultadas Agrega agrega.educacion.es/ Es una plataforma con contenidos educativos para profesores y alumnos, de uso directo y para su descarga. AAAMath http://www.aaamatematicas.com/ Variedad de lecciones interactivas de matemáticas con solución. APRENDE 2.0 www.aprende.edu.mx Plataforma única de contenidos educativos digitales desarrollados principalmente por la Secretaría de Educación Pública para la educación básica. Boletín UNAM http://www.dgcs.unam.mx/boletin/bdboletin/2018_477.html México debe asumir sus compromisos contra el cambio climático y volver a ser líder: Mario Molina CEPAL (Cambio climático) https://www.cepal.org/es/temas/cambio-climatico Portal de la Comisión Económica para América Latina y el Caribe (cepal), una de las cinco comisiones regionales de la Organización de las Naciones Unidas (onu).

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Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros www.condusef.gob.mx Página que depende de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, que otorga medidas preventivas para orientar, informar y promover la educación financiera, así como atender y resolver las quejas y reclamaciones de los usuarios de servicios y productos financieros. Cuéntame www.cuentame.inegi.org.mx/ Es una página de Instituto Nacional de Geografía e Informática que está dirigida a niños y jóvenes donde se otorgan cifras acerca del territorio, la población y la economía de México. Cursos y Materiales del Mevyt www.cursosinea.conevyt.org.mx/ El Modelo Educación para la Vida y el Trabajo (Mevyt) es el programa educativo del Instituto Nacional para la Educación de los Adultos que constituye la mejor alternativa de alfabetización, primaria y secundaria, para las personas jóvenes y adultas en México. Para consultar, entrar a: "Cursos de libre acceso" y en "Mis Cursos" seleccionar Mevyt en línea. En este portal de la Secretaría de Educación Pública se encuentran diversos materiales de apoyo para primaria y secundaria. Disfruta las Matemáticas www.disfrutalasmatematicas.com Aquí encontrarás muchos temas de matemáticas para entretenerte y aprender. EduCaixa https://www.educaixa.com/ Plataforma educativa de Obra Social “la Caixa” diseñada especialmente para que el maestro encuentre todo lo que necesita para preparar y organizar sus clases. Contiene recursos en línea para los alumnos y mucho más. EducaLAB http://educalab.es/ Sus creadores dicen: “Es un lugar de encuentro para la educación. Su objetivo es apoyar a los docentes y en sentido amplio a todo el sistema educativo español desde el conocimiento y la cercanía, desde los datos y el análisis y desde la investigación, la experimentación y la innovación”.

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Enseñanza de las ciencias http://ensciencias.uab.es/ Revista digital de investigación y experiencias didácticas. Los contenidos se pueden leer y descargar libremente. Espacio Procomún Educativo http://procomun.educalab.es/ Encontrarás Recursos Educativos Abiertos (rea) para su descarga y uso directo por el profesor y el alumno. Podrás buscar en “Histórico de Recursos”, por asignatura. Educaplus http://www.educaplus.org/games/matematicas Recursos de matemáticas multimedia. Ejercicios de Matemáticas https://www.ematematicas.net/ Estadística para todos http://www.estadisticaparatodos.es/ “Es un sitio de enlaces, tutoriales, artículos, recursos y contenidos estadísticos dirigido a profesores y alumnos de secundaria, para extender y estimular la educación educativa.” GeoGebra https://www.geogebra.org/ Plataforma interactiva de Matemáticas y Ciencias para enseñar y aprender. Entre los objetivos generales de las actividades propuestas aquí, siempre estarán fomentar el uso de cuatro verbos: ver, tocar, investigar y descubrir. Guía para el trabajo con Desafíos Matemáticos. Secretaria de Educación Pública http://www.sec.gob.mx/coordinacion/uploads/PETC/interiores%20 Z7508.pdf Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Historia (inegi) http://www.inegi.org.mx/ Junta de Andalucía http://www.juntadeandalucia.es/educacion/portalaverroes/contenidosdigitales/ Recursos digitales y materiales educativos.

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Khan Academy https://es.khanacademy.org Plataforma que ofrece ejercicios de práctica, videos instructivos y un panel de aprendizaje personalizado que permite a los alumnos aprender a su propio ritmo, dentro y fuera del salón de clases. Libros maravillosos www.librosmaravillosos.com Proyecto que contempla, dentro de sus objetivos, “ofrecer un conjunto de libros, no necesariamente científicos, que han impactado y que simplemente son maravillosos y gratuitos”. Matemáticas visuales http://www.matematicasvisuales.com/ Encontrarás exposiciones visuales de conceptos matemáticos. Museo Interactivo de Economía (mide) www.mide.org.mx/ Una plataforma interactiva para entender las finanzas y la economía del mundo. Plan Ceibal http://rea.ceibal.edu.uy/ Contenidos educativos organizados de acuerdo al currículo de las enseñanzas de niveles anteriores a la universidad y preparados para descarga y uso directo por los docentes y estudiantes. Portal Educativo www.portaleducativo.net/ Contenidos educativos útiles para que los alumnos puedan estudiar, practicar y resolver sus necesidades y dudas en un solo lugar. Todo esto, potenciado con aplicaciones interactivas y profesores online. Revista de cultura científica http://www.revistaciencias.unam.mx/en/ Revista de la Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México. Busca difundir información y hacer de la ciencia un instrumento para el análisis de la realidad y ampliar la cultura científica de la población. SM-Conectados www.smconectados.com/ Servicio exclusivo para profesores.

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Thatquiz www.thatquiz.org/es-0/?-j104-l9-p0 Sitio web para la enseñanza de las matemáticas. Vitutor https://www.vitutor.com Es una plataforma diseñada para el aprendizaje en línea de distintas materias. Contiene ejercicios y respuestas además de cursos y tutoriales. uno

https://mexico.grao.com/es/producto/una-vision-actualizada-de-la-didactica-de-la-matematica-en-educacion-infantil Revista de Didáctica de las Matemáticas.

Generales Acervo de recursos para el desarrollo profesional docente http://pemoodle.televisioneducativa.gob.mx/acervo/index.php “En este Acervo, los maestros encontrarán cursos, información teórica, materiales didácticos, imágenes, videos, propuestas de enseñanza y otros recursos para que seleccionen aquellos que les interesen, de acuerdo con sus necesidades de enseñanza y los diferentes contextos en que laboran”. Coolmath Store www.coolmath-games.com/ Lecciones, juegos y aplicaciones de matemáticas, divertidas y gratuitas. Correo del Maestro. www.correodelmaestro.com En esta página puedes encontrar todos los temas que abordan los docentes en la educación básica. Math worksheets and printables www.education.com/worksheets/math/ Hojas de trabajo de matemáticas para un aprendizaje atractivo (en inglés). NrichMaths (Enriqueciendo las Matemáticas) http://nrich.maths.org/frontpage Sitio de la Universidad de Cambridge donde se proponen ejercicios desafiantes de matemáticas (en inglés).

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Red Escolar Ilce http://red.ilce.edu.mx Un espacio para el fomento del aprendizaje y la cultura digitales. Revista de investigación en Didáctica de la Matemática. Pna. www.pna.es Revista de investigación en Didáctica de la Matemática cuyo fin es promover y difundir la investigación de calidad que se realiza en España y el mundo. Revista de Didáctica de las Matemáticas. Números. www.sinewton.org/numeros Publicación que incluye trabajos de interés para el profesorado de educación primaria y secundaria, principalmente. Revista Epsilon de la Saem Thales http://thales.cica.es/epsilon Revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática. Revista Iberoamericana de Educación Matemática. Unión. www.fisem.org/web/union Publicación que difunde trabajos sobre educación matemática, destinados al profesorado en activo, de todos los niveles educativos (desde educación infantil hasta la universidad). Revista Latinoamericana de Etnomatemática www.etnomatematica.org Aborda los aspectos socioculturales y políticos del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas a través de entrevistas y reseñas que divulgan trabajos de investigación de Etnomatemática. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa www.clame.org.mx/relime.htm Publicación oficial de investigación del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Revista Mexicana de Investigación Educativa www.comie.org.mx/v1/revista/portal.php Revista en la que encontrarás aportes a la enseñanza de una metodología educativa, con prioridad en México y América Latina.

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Créditos iconográficos

Bancos de imagen © Shutterstock: pp. 35, 41, 42, 49, 63, 70, 90-91, 149, 155, 160-161, 164, 175. Pixabay: pp. 14-15, 22 (arr.), 75, 85, 102, 151, 205. Unsplash: p. 69: Markus Spiske, p. 115: Bernard Hermant, p. 122: Chuttersnap, p. 188: Aaron Benson. © nasa: p. 127 © Dominio Público: p. 198

Otras fotografías Carlos Hahn Ramírez: pp. 76, 128, 143 (arr. y ab.), 144, 182, 189, 195, 210, 217. Agencia France Press (afp): p. 18

Ilustraciones Francisco Ibarra Meza p

Fotografía de portada © Carlos Hahn Ramírez © Alba Rojo Cama †, Ventana verde , técnica: papel cortado en caja de vidrio, 1999

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Este libro se terminó de imprimir en el mes de mayo de 2021, en Servicios Profesionales de Impresión, S.A. de C.V. Calle Mimosas 31. Col. Santa María Insurgentes, C.P. 06430. México, Ciudad de México.

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Nombre

En el marco de la Nueva Escuela Mexicana, la equidad y la calidad son premisas de la educación. Este libro ha sido seleccionado por los docentes de tu escuela, de

Grado

Escuela

logro de aprendizaje y el fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad. Maestro (a)

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Rubén García Madero Javier Enriquez Brito Martín Cañas Blancá

Matemáticas 3

Tercer Grado

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