.1 .2

Exerci Ii Rezolvate

1 Stabiliți care din următoarele mulțimi sunt finite și care sunt infinite, iar pentru cele finite (dacă există) stabiliți cardinalul.

a) M = { xx ∈  xx ∈  număr par}; b) N = { 3 xx∈<  3 xx∈<  2022}; c) P = { xx∈≥  xx∈≥  11}; d) Q = { xx ∈  xx ∈  multiplu al lui 3, x < 20}.

Rezolvare: a) Mulțimea numerelor pare este de forma M = {0, 2, 4, …, 2k, …}, k ∈ ℕ, deci este o mulțime infinită. b) Elementele mulțimii N respectă proprietatea 3x < 2022, adică x < 2022: 3, x < 674, deci N este o mulțime finită; cardN = 674. c) P = {11, 12, 13, 14, …} – mulțime infinită. d) Multiplii lui 3, mai mici decât 20, sunt: 0, 3, 6, 9, 12, 15 și 18, deci Q – mulțime finită ⇒ card Q = 7.

2 Scrieți, prin enumerarea elementelor, mulțimile:

Ax xx xM  ,, , 20 4 Bx xD * , 18 Cx xM * | 3 și xD24 ., unde prin Mp și Dp notăm mulțimea multiplilor numărului natural p, respectiv mulțimea divizorilor numărului natural p.

Rezolvare:

Mulțimea multiplilor lui 4 o vom obține înmulțind pe 4, pe rând, cu toate numerele naturale. În cazul nostru, ne vom opri la cei care sunt mai mici (sau egal) cu 20. Deci, 4 · 0 = 0; 4 · 1 = 4; 4 · 2 = 8; 4 · 3 = 12; 4 · 4 = = 16; 4 · 5 = 20 ⇒ A = {0, 4, 8, 12, 16, 20}.

Divizorii lui 18 sunt: 1, 2, 3, 6, 9 și 18 ⇒ B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

În mulțimea C vor apărea ca elemente numerele naturale care sunt multipli ai lui 3, dar și divizori ai lui 24, în același timp. Mai întâi, vom scrie mulțimea divizorilor lui 24. Aceasta este:

D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Din această mulțime vom alege elementele care sunt multipli ai lui 3, adică: 3, 6, 12 și 24. Deci, C = {3, 6, 12, 24}.

3 Stabiliți dacă mulțimile A și B au același cardinal, unde: A x x x 21 3 subunitară și { }459Bxxx =∈  cardB = 2.

Fișă de lucru

1 . Stabiliți dacă următoarele mulțimi sunt finite sau infinite: a) {|,42023};Axxx =∈<≤  b) {|,29};Bxxx=∈>  c) {|,divizorallui72};Cxxx =∈  lui 72}; d) {|,5Dxx=∈  5 divizor al lui x}.

2 . Determinați cardinalul mulțimilor: a) {|,4};Axxx=∈≤  b) {|,27};Bxxx =∈≤<  c) {|,237};Cxxx=∈−<  d) {|,23}.Dxxx =∈>− 

Reprezentați mulțimile folosind diagrame Venn-Euler.

3 . Care din mulțimile de la exercițiul 1 sunt egale?

Dacă cele patru mulțimi de la exercițiul 1 au același cardinal rezultă că ele sunt egale? Justificați!

4 . Precizați care dintre mulțimile următoare sunt finite:

{|213};Axx=∈−< 

{|41};Bxx=∈≤−  2 {|9};Cxx=∈≥ 

D = {mulțimea cifrelor din sistemul zecimal};

E = {mulțimea cifrelor pare din baza zece};

F = {mulțimea numerelor pare}.

5 . Fie Dn, mulțimea divizorilor numărului natural n. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor următoare: a) card D4 = 3; b) 28 6; D ∈ c) 12 4; D ∈ d) 28 7; D ∉ e) card D6 = 3.

6 . Precizați care dintre mulțimile următoare sunt infinite: a) 5 ; M b) 1024 ; M c) 288 ; D d) {|314}; xx∈+>  e) {|7 x ∈  divide };x f) * {|xx ∈  este număr natural}.

(Prin Mn s-a notat mulțimea multiplilor numărului natural n.)

• O mulțime care are un număr finit de elemente se numește finită (de exemplu, mulțimea divizorilor unui număr natural n, notată Dn ); în caz contrar, se numește infinită (de exemplu, mulțimea multiplilor unui număr natural n, notată Mn).

• Mulțimea numerelor naturale ℕ = {0, 1, 2, 3, …} și mulțimea numerelor naturale nenule, adică mulțimea numerelor naturale fără elementul zero, notată ℕ* = {1, 2, 3, …} sunt mulțimi infinite.

• Dacă o mulțime A este finită, numărul de elemente ale mulțimii A se numește cardinalul mulțimii A și se notează card A.

7 . Dați trei exemple de numere naturale pentru care mulțimea divizorilor lor au exact câte 4 elemente.

8 . Scrieți toate elementele mulțimii M12 care se găsesc cuprinse între 71 și 99.

9 . Se consideră mulțimile: { } 327,Axx=∈⋅−≤

B x x x 31 5 subunitară , { } 133.Cxxx =∈  a) Scrieți mulțimile A, B și C prin enumerarea elementelor. b) Ce relație există între mulțimile A și B? c) Ce puteți spune despre mulțimile B și C?

10 . Se dau mulțimile:

} * 273,Mxxx =∈⋅−≤−

Verificați dacă mulțimile A, B și C au același cardinal.