4 minute read
V. NOȚIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
V.1. Unghiuri
V.1.1. Unghiuri opuse la vârf; unghiuri formate în jurul unui punct; unghiuri suplementare, unghiuri complementare, unghiuri adiacente
Advertisement
Probleme Rezolvate
1 Aflați: a) complementul unghiului cu măsura de 42°28′; b) suplementul unghiului cu măsura egală cu 89°34′; c) suplementul complementului unghiului de 15°47′.
Rezolvare: a) 90° – 42°28′ = 89°60′ – 42°28′ = 47°32′; b) 180° – 89°34′ = 179°60′ – 89°34′ = 90°26′; c) Complementul unghiului de 15°47′ este: 90° – 15°47′ = 89°60′ – 15°47′ = 74°13′; apoi, suplementul unghiului cu măsura de 74°13′ este: 180° – 74°13′ = 179°60′ – 74°13′ = 105°47′.
2 Două unghiuri adiacente complementare sunt astfel încât măsura unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât măsura celuilalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.
Rezolvare:
Unghiurile fiind complementare, vor avea suma măsurilor lor egală cu 90°. Dacă notăm cele două unghiuri cu a și b, vom avea: a + b = 90° și a = 3 · b (sau b = 3 · a). Atunci, 3 · b + b = 90° ⇔ 4 · b = 90° ⇔
⇔ b = 90° : 4 ⇔ b = 22°30′, deci a = 90° – 22°30′ = 67°30′ (sau a = 22°30′, b = 67°30′).
3 Două unghiuri opuse la vârf au suma măsurilor lor egală cu 86°. Calculați măsura unuia dintre celelalte două unghiri opuse la vârf formate.
Rezolvare:
Cele două perechi de unghiuri opuse la vârf au suma măsurilor lor egală cu 360°, deci măsura unuia dintre celelalte două unghiuri opuse la vârf formate va fi egală cu (360° – 86°) : 2 = 274° : 2 = 137°.
4 Aflați unghiurile necunoscute din figura alăturată.
Rezolvare: 90 902466; AOCBOCAOCAOB=°⇒=−=°−°=°
90 903862; EOCDOCEOCEOD=°⇒=−=°−°=°
38 AOFEOD==° (unghiuri opuse la vârf);
AOE este alungit, deci are măsura egală cu 180°. Atunci: 18038142. EOFAOEAOF=−=°−°=°
Fișa de lucru 1
Unghiri opuse la vârf; unghiuri formate în jurul unui punct
1. Suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este egală cu 45°. Aflați măsura unuia dintre celelalte unghiuri opuse la vârf formate. Realizați un desen conform enunțului.
2. În figura dată, punctele A,O,B, respectiv C,O, D sunt coliniare. Măsura unghiului AOD este de 3 ori mai mare decât măsura unghiului AOC. Determinați măsurile unghiurilor AOC și BOC
3. În figura alăturată, ∢AOB este drept, ∢DOB = 68°, iar punctele D, O și C sunt coliniare. Aflați măsurile ∢AOD, ∢COB și ∢AOC.
• Două unghiuri proprii se numesc opusela vârf dacă laturile lor formează două perechi de semidrepte opuse. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
• Trei sau mai multe unghiuri care au vârful comun, nu au puncte interioare comune și care, împreună cu interioarele lor, acoperă întreg planul, se numesc unghiuriînjurul unuipunct.
• Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este 360°.
6. Aflați măsurile a trei unghiuri formate în jurul unui punct știind că primul unghi are măsura cu 20° mai mică decât măsura celui de-al doilea, iar măsura celui de-al treilea unghi este cu 20° mai mare decât măsura celui de-al doilea.
7. Măsurile a trei unghiuri formate în jurul unui punct sunt reprezentate de patru numere naturale impare consecutive. Aflați măsurile unghiurilor.
C E B O 15° x y
4. Aflați unghiurile necunoscute din figura următoare, știind că punctele A, O, B, respectiv C, O, D sunt coliniare, ∢BOE este drept, iar ∢BOD = 15°. D A
5. În figura de mai jos, punctele A, O și B sunt coliniare, ∢DOB și ∢EOF sunt unghiuri drepte, ∢COA = 60°, iar ∢BOF = 15°. Aflați măsurile ∢COD, ∢AOE și ∢FOM, unde OM este semidreapta opusă semidreptei OC
8. Măsurile a trei unghiuri formate în jurul unui punct sunt egale cu 2x + 3, 3x + 4, x – 1. Aflați valoarea lui x.
9. Măsurile a cinci unghiuri formate în jurul unui punct sunt reprezentate de numere naturale pare consecutive. Aflați măsurile unghiurilor.
10. Cinci unghiuri, reprezentate prin numere naturale consecutive, sunt formate în jurul unui punct. Găsiți măsurile acestora.
11. În figura alăturată, punctele A,O,D sunt coliniare, OB, OF sunt semidrepte opuse, iar ∢EOF este drept. Aflați măsurile unghiurilor AOB, BOC, COD, DOE și AOF
12. În figura de mai jos, punctele A,O și B sunt coliniare, ∢COD este drept, iar ∢FOE = 120°.
Aflați unghiurile necunoscute din figură. 120° 3y 2 xx A B
13. Aflați măsurile unghiurilor: AOB, BOC, COD, DOE, EOF și FOA, formate în jurul unui punct, știind că sunt îndeplinite simultan condițiile: a) B,O,E – puncte coliniare; b) unghiul DOE este drept, D și E de aceeași parte a dreptei CF; c) ∢BOC și ∢EOF sunt opuse la vârf; d) ∢BOC = 36°; e) măsura unghiului AOB este cu 12° mai mică decât măsura unghiului AOF
14. În figura de mai jos, punctele A,O și E sunt coliniare, ∢GOH și ∢COD sunt opuse la vârf, ∢GOH = 60°, iar ∢AOC și ∢BOD sunt unghiuri drepte. Aflați măsurile unghiurilor DOE, BOC, FOG, GOD b) semidreapta OE este opusă semidreptei OB; c) dublul măsurii unghiului COD reprezintă 3 5 din măsura unghiului AOB; d) măsura unghiului DOE este cu 15° mai mare decât măsura unui unghi drept.
16. În figura de mai jos, punctele E,O,B sunt coliniare, ∢AOB și ∢COD sunt unghiuri drepte, iar
∢COE = 60°. Aflați măsurile ∢DOB și ∢AOD,
∢AOC.
17. Două drepte, AB și CD, sunt concurente în punctul O Triplul măsurii unghiului AOC este cu 12° mai mic decât măsura unghiului AOD. Aflați măsurile unghiurilor proprii formate cu vârful în punctul O.
18. Dreptele AB și CD sunt concurente în punctul O. Aflați unghiurile formate în următoarele cazuri: a) ∢AOC este cu 15° mai mare decât dublul măsurii unghiului AOD; b) diferența măsurilor unghiurilor BOD și BOC este egală cu 78°; c) suma măsurilor a trei dintre unghiurile formate este egală cu 254°.
15. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE și EOA sunt unghiuri formate în jurul punctului O
Aflați măsurile unghiurilor știind că: a) unghiurile AOB și BOC, sunt adiacente suplementare;
19. Patru unghiuri formate în jurul unui punct sunt astfel încât măsura primului unghi este cu 20° mai mică decât măsura celui de-al doilea, măsura celui de-al treilea unghi este egală cu suma măsurilor primelor două unghiuri, iar măsura celui de-al patrulea unghi este egală cu suma măsurilor celui de-al doilea și celui de-al treilea unghi. Aflați măsurile celor patru unghiuri.
