L4 Metoda mersului invers

Rezolvăm și observăm

Sofia îi spune Soniei: — Mă gândesc la un număr. Adun numărul cu 23 , scad din rezultat 7, apoi înmulțesc totul cu 3 și obțin numărul 9. La ce număr m-am gândit? Sonia, ia un creion și calculează: 9 : 3 = 3; 3 + 7 = 10; 10 – 23 = 10 – 8 = 2, apoi răspunde: Te-ai gândit la numărul 2. a) Decideți dacă Sonia a răspuns corect, urmărind operațiile pe care le efectuează și ordinea în care le scrie. b) Scrieți datele problemei sub formă de exercițiu și rezolvați problema, parcurgând operațiile în ordine inversă. Soluție.a) Pornind de la numărul 2 și efectuând operațiile enumerate de Sofia, obținem rezultatul 9, deci Sonia are dreptate. Observație. Sonia efectuează operațiile corespunzătoare probei operațiilor pe care le efectuează Sofia, în ordine inversă. De exemplu, prima operație a Sofiei a fost adunarea numărului 8, iar ultima operație a Soniei a fost scăderea numărului 8. b) [(x + 23) – 7] · 3 = 9. Atunci, (x + 23) – 7 = 9 : 3; (x + 23) – 7 = 3; x + 23 = 3 + 7; x + 23 = 10; x = 10 – 23, adică x = 2.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Problemele care necesită rezolvare prin metoda mersului invers sunt formulate ca o succesiune de mai multe operații, probleme simple, iar efectuarea calculelor și realizarea raționamentelor în ordinea firească este dificilă și obositoare. În consecință, vom folosi datele problemei pentru a o descompune în mai multe probleme simple pe care le vom rezolva în ordinea inversă a prezentării. • Se pornește de la ultima relație cunoscută, raportând-o la cea anterioară (penultima). • Rezultatul obținut se raportează la antepenultima relație. • Se continuă procedeul până când ajungem la prima relație din enunțul problemei, cu ajutorul căreia găsim necunoscuta.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Dacă problema este simplă, o scriem sub formă de exercițiu, apoi aflăm necunoscuta, folosind proba operațiilor care apar în exercițiu, în ordinea inversă enunțului. Problema 1. La un concurs sportiv pentru copii, Natalia a primit o diplomă și un premiu în bani. Din acești bani și-a cumpărat două cărți a câte 15 lei fiecare și un cadou pentru părinți, în valoare de 70 de lei. Părinții adaugă la suma rămasă, o sumă de bani egală cu dublul acesteia. Natalia constată că are acum 1200 de lei, exact suma de care avea nevoie pentru următoarea deplasare. Aflați suma de bani pe care a primit-o Natalia ca premiu. Soluție. Considerând x suma de bani primită, atunci (x – 2 · 15 – 70) · 3 = 1200. Obținem succesiv relațiile: x – 2 · 15 – 70 = 1200 : 3; x – 2 · 15 – 70 = 400; x – 2 · 15 = 400 + 70; x – 2 · 15 = 470; x = 470 + 2 · 15; x = 470 + 30; x = 500. Răspuns. Natalia a primit suma de 500 lei. Dacă problema este mai dificilă, eventual are două sau mai multe necunoscute, în raționamentul prin metoda mersului invers ne putem folosi de desene, scheme, deci facem apel și la metoda figurativă.

Problema 2. Bunica le oferă nepoților piersici într-un coș și invită cei trei nepoți să-și ia câte piersici doresc. Alexandra, a luat jumătate din piersici, apoi Adriana a luat jumătate din piersicile rămase și la final, a luat și Cristian jumătate din ce mai era în coș. Bunica a observant că în coș au mai rămas 3 piersici. Aflați numărul piersicilor luate de fiecare copil și numărul piersicilor care erau inițial în coș; Soluție. Cristian a luat jumătate din ce a rămas după cele două surori, deci cealaltă jumătate a rămas în coș, adică înainte ca acesta să ia piersici, în coș erau 3 · 2 = 6 (piersici). Cu același raționament, înainte să ia Adriana piersici, erau 6 · 2 = 12 (piersici), iar la început erau 12 · 2 = 24 (piersici). Cei trei au luat, în ordine, 12, 6 respectiv 3 piersici. Răspuns. Cristian a luat 3 piersici, Adriana a luat 6 piersici, Alexandra a luat 12 piersici. În coș au fost 24 de piersici. Observație. Cu o reprezentare grafică, rezolvarea prin metoda mersului invers este foarte avantajoasă. Se consideră ca unitate segmentul corespunzător celor 3 piersici rămase în coș. Lui Cristian îi corespunde o unitate, deci 3 piersici, Adrianei îi corespund 2 unități, adică 6 piersici, iar Alexandrei îi corespund 4 unități, adică 12 piersici.

Alexandra

Adriana Cristian Se observă foarte simplu că în coș au fost inițial piersici corespunzătoare unui număr de 8 unități, fiecare reprezentând 3 piersici, deci au fost 8·3 = 24 (piersici).

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Tania primește de la bunica sa o sumă de bani.

După cecheltuiește jumătate din această sumă și încă 20 de lei, Tania rămâne cu 40 de lei. Aflați suma pe care a primit-o Tania de la bunica sa. 2. Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi parcurge jumătate din distanță, a doua zi o jumătate din distanța rămasă, iar în a treia zi, ultimii 18 km. Aflați lungimea întregului traseu. 3. Dupăîncheierea cursurilor,autobuzul școlii duce un număr de elevi acasă. La prima stație coboară 2 elevi, la următoarea stație coboară jumătate din cei rămași, iar la a treia stație coboară ultimii 9 elevi. Aflați numărul elevilor care au fost transportați acasă cu autobuzul școlii. 4. Andreeaare de rezolvat pe parcursul unei săptămâni un număr de probleme de matematică. Luni a rezolvat un sfert dintre ele,

marți o treime din restul problemelor, miercuri are zi liberă, joi rezolvă jumătate din numărul problemelor rămase și constată că mai are de rezolvat 12 probleme. Aflați numărul total de probleme pe care trebuie să le rezolve Andreea. 5. Aflați numărul x din egalitatea: 9 + 8 · {7 + 6 · [5 + 4 · (3 + x)]} = 20 081. 6. Am ales un număr, l-am înmulțit cu 3, la rezultat am adunat 5, suma obținută am împărțit-o la 7, iar din câtul împărțirii (exacte) am scăzut 9, obținând numărul 11. Determinați numărul ales. 7. Aflați numărul natural x din egalitățile: a) 21 – 2 · (7 + x : 3) = 1; b) 100 – 2·(7 + 84 : x) = 2; c) [2 · (7 + x : 3) + 9] : 5 – 5 = 0; d) [(3000 – x) : 3 + 74] : 100 = 4.

(30 p) 1. Adunând un număr cu dublul său, se obține 42. Numărul este: A. 14; B. 12; C. 6; D. 11. 2. Marian s-a gândit la un număr. A înmulțit cu 7 suma dintre acesta și pătratul lui 5, apoi a scăzut pătratul numărului 4 și a împărțit rezultatul la 2. Astfel, a obținut numărul 90. (30 p) a) Datele problemei se scriu sub formă de exercițiu: A. [(x + 25 · 7) – 16] : 2 = 90: B. (x + 25) · 7 – 16 : 2 = 90; C. [(x + 25) · 7 – 16] : 2 = 90; D. (x + 25 · 7 – 16) : 2 = 90. (30 p) b) Numărul la care s-a gândit Marian este: A. 4; B. 3; C. 6; D. 2.

Minitest

Se acordă 10 puncte din oficiu.