L5 Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment. Segmente congruente

L5 Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment. Segmente congruente

Imaginea alăturată reprezintă un teren de tenis, văzut de sus. Am evidențiat pe desen câteva elemente cu ajutorul cărora vom caracteriza ceea ce vedem. Stabilim vizual că: 1. Sunt coliniare tripletele de puncte: A, M, D; A, P, B; B, N, C și

C, Q, D. 2. Punctele A și B sunt egal depărtate de P. Punctul M este la aceeași distanță de A și D. Punctele D și C sunt la aceeași distanță de Q. Punctul N este la jumătatea distanței dintre

B și C. 3. Distanța dintre A și D este egală cu distanța dintre B și C.

Distanța dintre A și B este egală cu distanța dintre D și C. 4. Lungimea fileului este aproximativ egală cu lățimea terenului.

A M D

P Q

B N C

Știați că ... ?

Suprafața de joc a terenului de tenis este un dreptunghi cu lungimea de 23,78 m. Pentru jocul de simplu, lățimea este 8,23 m.

În caracterizarea de mai sus au fost folosiți mai mulți termeni cu care am identificat modele matematice ale realității.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Unitățile de măsură pentru lungimi sunt cunoscute din clasele anterioare, unitatea principală fiind metrul. Pentru realizarea configurațiilor geometrice, vom folosi, de regulă, doi dintre submultiplii metrului: centimetrul și milimetrul, unități evidențiate prin diviziunile pe care le putem citi pe o riglă gradată. Rigla gradată este instrumentul geometric pe care îl vom folosi pentru a măsura lungimi mici. Considerăm punctele distincte A și B. Acestea determină segmentul AB. A B Fixăm rigla cu gradația 0 în dreptul unuia dintre capete (fie acesta A) și citim gradația indicată de riglă, în dreptul celuilalt capăt (în cazul nostru, B). A B

Cum, pe riglă, distanța dintre două puncte având coordonate numere naturale consecutive este 1 cm, iar punctul B corespunde gradației 19, deducem că: 1. Distanța de la A la B este de 19 cm și notăm AB = 19 cm. 2. Lungimea segmentuluiAB este de 19 cm și scriem, de asemenea, AB = 19 cm. Observație. Folosim notația AB pentru: segmentul AB, lungimea segmentului AB și distanța dintre punctele A și B. Din context, vom ști despre care dintre acestea este vorba. Concluzie. Lungimea unui segment, exprimată într-o unitate de măsură dată, este numărul unităților de măsură (nu neapărat natural) care se cuprind în segmentul respectiv.

Reținem

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine, atunci între lungimile segmentelor AB, BC, AC are loc relația: AC = AB + BC. Dacă între lungimile segmentelor AB, BC, AC are loc relația: AC = AB + BC, atunci punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Construcția unui segment de o lungime dată

Considerăm dat un punct A, situat pe dreapta d. Ne propunem să reprezentăm, pe dreapta d, punctul B astfel încât AB = 7 cm. Construcția cu rigla gradată Dacă folosim doar rigla gradată, fixăm diviziunea 0 în punctul A al dreptei, suprapunem marginea riglei pe dreapta d, identificăm gradația 7 pe riglă, apoi marcăm pe dreaptă punctul B corespunzător acestei gradații. Construcția cu rigla gradată și compasul Dacă folosim rigla gradată și compasul, procedăm astfel: Pasul 1. Identificăm pe riglă gradația 7. Pasul 2. Deschidem compasul cu un vârf în dreptul gradației 0 și cu celălalt vârf în dreptul gradației 7, găsită anterior. Pasul 3. Fără a modifica deschiderea compasului, fixăm acul compasului în punctul A, iar cu celălalt vârf marcăm punctul B pe dreaptă. Am obținut segmentul AB, cu lungimea egală cu 7 cm. A B d

Aplicație

a) Construiți punctele coliniare A, B, C astfel încât AB = 30 mm și BC = 10 mm. b) Pentru fiecare din cazurile întâlnite la subpunctul a), calculați lungimea segmentuliui AC. c) Verificați, folosind rigla gradată, rezultatele găsite. Soluție. a) Sunt posibile două situații: A B C A B C b) Dacă punctul B este între A și C, atunci AC = AB + BC, deci

AC = 30 + 10 = 40 (mm). Dacă punctul C este între A și B, atunci

AC = AB – BC, deci AC = 30 – 10 = 20 (mm). c) Se măsoară segmentul AC cu rigla gradată, pentru fiecare caz.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Segmente congruente

Două segmente, AB și CD, care prin suprapunere coincid, se numesc segmente congruente. C D Scriem AB CD și citim: segmentul AB este congruent cu segmentul CD (sau simplu: AB congruent cu CD). Imaginile care ilustrează lungimea unui segment, respectiv construcția unui segment de lungime dată, conduc la următoarea caracterizare a segmentelor congruente. Dacă două segmente AB și CD sunt congruente (AB CD), atunci ele au aceeași lungime (AB = CD). Dacă două segmente au aceeași lungime (AB = CD), atunci acestea sunt congruente (AB CD).

B

A

Reținem

• AB AB, oricare ar fi segmentul AB. (Orice segment este congruent cu el însuși.) • Dacă AB CD, atunci CD AB. • Dacă AB CDși CD EF, atunci AB EF.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Construcția unui segment congruent cu un segment dat

Se consideră cunoscut segmentul AB și dorim să construim un segment CD astfel încât AB CD.

Construcția cu rigla gradată Dacă folosim doar rigla gradată, măsurăm segmentul AB, apoi construim segmentul CD cu lungimea aflată, urmând tehnica învățată.

Construcția cu rigla negradată și compasul Dacă nu dispunem de o riglă gradată, vom face această construcție cu compasul și o riglă negradată.

Lucrare practică 2: Construcția unui segment congruent cu un segment dat. Materiale necesare: Etapele de realizare a construcţiei: • caietul de matematică; Pasul 1. Poziționăm compasul cu cele două vârfuri în punctele A și B. Evident, • un compas; distanța dintre vârfuri este egală cu lungimea segmentuluiAB. • • o riglă negradată; un creion ascuțit. Pasul 2. Identificăm unul din capetele segmentului, punctul C. Pasul 3. Fără a modifica distanța dintre cele două vârfuri ale compasului, poziționăm acul compasului în punctul C, iar cu vârful–creion descriem un arc de cerc. Dacă D este un punct oarecare situat pe arcul descris, atunci segmentele AB și CD au aceeași lungime, deci AB CD.

C D

A B

Matematică prin joc

Completați careul. 1. Lungimea segmentului MN reprezintă ... de la punctul M la punctul N. 2. Porțiunea de dreaptă mărginită la un capăt de un punct 2

P se numește ... cu originea în P. 3 3. Două segmente care au aceeași lungime sunt ... . 4 4. 5. Poate fi gradată sau negradată. Instrument cu ajutorul căruia poate fi construit un cerc. 7 6 5 6. Pot fi coliniare. 7. Trei sau mai multe puncte care se află pe o dreaptă.

Formulați un enunț adevărat care să cuprindă cuvântul găsit pe verticala AB.

1 A

B

Temă de portofoliu

Avem la dispoziție trei segmente cu lungimile: 2 cm, 6 cm, respectiv 9 cm. Folosind rigla negradată, compasul și cele trei lungimi, construiți segmentul MN, cu MN = 4 cm, și segmentul PQ, cu PQ = 23 cm. Indicație. 4 cm = 6 cm – 2 cm, iar 23 cm = 2 cm + 6 cm + 6 cm + 9 cm. Consultați manualul digital pentru a descoperi construcții similare.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Desenațitrei puncte coliniare A, B, C, în această ordine, cu AB = 3 cm și BC = 4 cm. a) Măsurați distanța dintre punctele A și C. b)Precizați valoarea de adevăr a fiecăreia dintre propozițiile: p1: AB + BC = AC; p2: BA + AC = BC; p3: AC – CB = AB. 2. Măsurați cu ajutorul riglei gradate dimensiunile unei pagini a caietului de matematică și completați, pe caiete, spațiile libere: L = … cm, l = … cm, unde L este lungimea, iar l este lățimea paginii. 3. În desenul alăturat, sunt re- C prezentate punctele A, B, C, D, oricare trei necoliniare și segmentele AB, BC, CD, DA. a) Măsurați cu ajutorul riglei gradate lungimile segmentelor și completați, pe caiete, spațiile punctate, cu rezultatele măsurării. AB = … mm BC = … mm CD = … mm DA = … mm b)Scrieți lungimile segmentelor AB, BC, CD, DA, în ordine crescătoare. 4. Desenațitrei puncte necoliniare D, E, F așa încât

EF = 3,4 cm, FG = 4,6 cm. a) Măsurați cu rigla gradată distanța dintre punctele E și G. b)Precizați dacă propoziția EF + FG > EG este adevărată sau este falsă. 5. Mircea desenează un dreptunghi și notează vârfurile acestuia cu A, B, C, D. Lungimea dreptunghiului este de 6 cm, iar lățimea este de 4 cm. Copiați tabelul pe caiete și scrieți în casetele libere litera A, dacă propoziția este adevărată, și litera F, dacă propoziția este falsă.

A D B D C

A B Propoziția

A/F

a1: Segmentele AB și CD sunt congruente. a2: Segmentele AB și AD nu sunt congruente. a3: Segmentele BC și AD au aceeași lungime. 6. Desenați punctele coliniare M, N, P, în această ordine, cu MN = 4,5 cm, MP = 9 cm. Arătați că segmentele MN și NP sunt congruente. 7. Reprezentați pe axa numerelor cu originea O, alegând ca unitate de măsură centimetrul, punctele A(2), B(5), C(7). a) Calculați distanța dintre punctele A și C. b)Calculați distanța dintre punctele B și C. c) Precizați dacă printre segmentele determinate de câte două dintre punctele O, A, B, C există segmente congruente. d)Verificați dacă OA + OB + OC = AB + BC + CA.

Minitest

1. Punctele O, A, B aparțin dreptei d astfel încât distanța între A și O este 5 cm, iar distanța între B și O este de 3 cm. (20 p) a) Realizați un desen care să ilustreze cele afirmate mai sus. Luați în calcul toate situațiile posibile. (20 p) b) Calculați lungimea segmentului AB, în fiecare situație identificată.

2.

(20 p) a) Desenați un segment AB cu lungimea 10 cm. Reprezentați punctul P în interiorul segmentului AB, astfel încât AP = 2 5 · AB, apoi reprezentați în interiorul segmentului BP punctul Q, astfel încât PQ = 2,5 cm. (30 p) b) Calculați lungimile segmentelor AP, AQ și BQ. Se acordă 10 puncte din oficiu.