METHODECONCEPT / REDACTIE
Boom voortgezet onderwijs
AUTEURS
Benjamin del Canho
Maartje Elsinga
Jacqueline Kooiman
Gijs Langenkamp
Chantal Neijenhuis
Sibren Stienstra
Roosmarij Vanhommerig
Vera de Visser
KERN WISKUNDE
GYMNASIUM / VWO+ LEERJAAR 3
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
Inhoud
1 Getallen
academie Rijen 8
1.1
Gehele getallen 12
1.2 Rationale, irrationale en reële getallen 16
1.3 Hogeremachtswortels 20
1.4 Getaltheorie 24
1.5 Grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijke veelvoud 28
Toetsvoorbereiding 32
2 Goniometrie
academie
Perspectief tekenen 36
2.1
Gelijkvormigheid 40
2.2 Rechthoekige driehoeken 44
2.3 Goniometrische verhoudingen 48
2.4 Goniometrische berekeningen 52
2.5 Toepassingen 56
Toetsvoorbereiding 60
3 Functies
academie
Waarom is het in een stad warmer dan op het platteland? 64
3.1 Functies 68
3.2 Kwadratische functies 72
3.3 Verschillende soorten functies 76
3.4 Grafieken verschuiven en vermenigvuldigen 80
3.5 Symmetrie 84
Toetsvoorbereiding 88
4 Statistiek
academie
Florence Nightingale, de vrouw met de lamp 92
4.1 Tabellen 96
4.2 Diagrammen 100
4.3 Indelen in klassen 104
4.4 Centrummaten 108
4.5 Spreidingsmaten 112
Toetsvoorbereiding 116
5 Vergelijkingen en ongelijkheden
academie
De paradox van Galilei 120
5.1 Vergelijkingen met twee variabelen 124
5.2 Kwadratische vergelijkingen 130
5.3 Ongelijkheden 136
5.4 Vergelijkingen met machten of wortels 142
5.5 Gebroken vergelijkingen 148
Toetsvoorbereiding 154
6 Exponentiële groei
academie
Wie zijn je voorouders? 158
6.1 Procentuele groei 162
6.2 Exponentiële groei 166
6.3 Exponentiële verbanden 170
6.4 Grafieken van exponentiële verbanden 174
6.5 Exponentiële vergelijkingen 178
Toetsvoorbereiding 182
7 Meetkundig redeneren
academie
Origami 186
7.1 Bewijzen 190
7.2 Gelijkvormige en congruente driehoeken 194
7.3 Bijzondere lijnen 198
7.4 Cirkels en driehoeken 202
7.5 Construeren 206
Toetsvoorbereiding 210
8 Capita selecta
8.1 Veranderingen 214 A B C
8.2 Kansverdelingen 218 A C D
8.3 Parameters, parabolen en lijnen 222 B D
8.4 Punten, lijnen en cirkels 226 B D
8.5 Logica 230 C
8.6 Vlakken en doorsnedes 238 D
Wiskundig redeneren
W1 Werken met symbolen 242
W2 Gelijkvormigheid 244
W3 Blikwisseling 246
Bijlage 248
Register van begrippen 260
Getallen
In dit hoofdstuk leer je verschillende soorten getallen kennen en eigenschappen van getallen te bewijzen. Ook leer je wat repeterende breuken en hogeremachtswortels zijn. Daarnaast kom je te weten wat de priemfactoren van twee getallen te maken hebben met de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van deze getallen. Verder maak je kennis met de lichtenbergverhouding, met het beroemde algoritme van Euclides en met een truc van Gauss om heel snel de getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Ten slotte leer je dat oneindig plus 1 vreemd genoeg gelijk is aan oneindig en hoe je kunt bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
ACADEMIE
Rijen 8
1.1 Gehele getallen 12
1.2 Rationale, irrationale en reële getallen 16
1.3 Hogeremachtswortels 20
1.4 Getaltheorie 24
1.5 Grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijke veelvoud 28
Toetsvoorbereiding 32
ACADEMIE
DOEL Je leert wat een rij getallen is. Ook leer je wat een rekenkundige rij is en hoe je de som van een aantal termen van zo’n rij kunt berekenen.
Rijen
Rijen Een rij getallen is een opsomming van een aantal getallen. Zo bestaat de rij (5, 10, 15, 20, 25, 30) uit de eerste zes positieve veelvouden van 5.
Een rij kan ook uit oneindig veel getallen bestaan. Een voorbeeld is de rij (2, 4, 6, 8, …), die uit alle positieve even getallen bestaat. De puntjes geven aan dat de rij oneindig doorloopt. Rijen duid je met een kleine letter aan, bijvoorbeeld (a n).
Het subscript n geeft aan dat de rij uit meerdere elementen of termen bestaat: a1 is de eerste term, a2 de tweede term, enzovoort.
Als er sprake is van regelmaat, kun je soms een formule opstellen voor de termen van een rij.
Zo is de eerste term van de rij van positieve even getallen (a n) = (2, 4, 6, 8, …) gelijk aan a1 = 2, de tweede term aan a2 = 4 en de n’de term aan a n = 2n.
De n’de term van de rij (b n) = (1, 3, 9, 19, 33, …) is gelijk aan b n = 2(n − 1)2 + 1. Met een formule kun je de termen van een rij eenvoudig berekenen. Andersom is dit vaak veel lastiger. Kijk maar eens naar de rij (b n) hierboven en probeer zelf aan de hand van de rij getallen de formule te bepalen.
Rekenkundige rij In de rij van alle even getallen is het verschil tussen twee opeenvolgende termen steeds gelijk aan 2. Een dergelijke rij, waarbij het verschil tussen twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde is, heet een rekenkundige rij. Voor een rekenkundige rij kun je altijd een formule opstellen waarmee je de termen van de rij kunt berekenen. Neem bijvoorbeeld de rij (c n) = (5, 11, 17, 23, 29, …).
Dit is een rekenkundige rij, want het verschil tussen twee opeenvolgende termen is steeds gelijk aan 6. De formule die bij deze rij hoort, is c n = 5 + 6(n − 1)
Let op: je vermenigvuldigt het verschil 6 niet met n, maar met n − 1, omdat je begint bij n = 1, en niet bij n = 0. Je kunt deze formule herleiden tot c n = 6n − 1
Somformule Het verhaal gaat dat meer dan 200 jaar geleden een Duitse onderwijzer zijn leerlingen een tijdje bezig wilde houden en hun vroeg om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Tot zijn verbazing gaf een van zijn leerlingen, Carl Friedrich Gauss (1777–1855), binnen enkele ogenblikken uit het hoofd het juiste antwoord: 5050. Hij had het antwoord echter niet gevonden door alle getallen een voor een bij elkaar op te tellen. Hij had snel gezien dat als je ‘tegenoverliggende’ getallen bij elkaar optelt, je steeds 101 krijgt:
1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, ..., 99 + 2 = 101, 100 + 1 = 101. Dit komt op hetzelfde neer als de som twee keer onder elkaar opschrijven, de tweede keer in omgekeerde volgorde:
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 +
101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
De uitkomst van de som onder de streep is 100 · 101 = 10 100. Omdat je alle getallen van 1 tot en met 100 nu twee keer bij elkaar hebt opgeteld, moet je de helft nemen. De uitkomst is dus
1 2 · 100 · 101 = 5050
In het algemeen geldt voor de som van de eerste n positieve getallen:
1 + 2 + 3 + + n
De uitkomst van de som onder de streep is n(n + 1).
Ook hier moet je weer de helft van nemen, dus geldt:
1 + 2 + 3 + … + n = 1 2 n(n + 1)
De methode die Gauss toepaste, kun je bij elke rekenkundige rij gebruiken. De som van de eerste n termen kun je berekenen met de formule: som = 1 2 n(eerste term + n’de term). Deze formule heet de somformule voor een rekenkundige rij.
Portret van Carl Friedrich Gauss uit 1840 door de Deense portretschilder christian albrecht jensen . Gauss was een Duitse wis- en natuurkundige en wordt beschouwd als een van de grootste wiskundigen sinds de klassieke oudheid.
OPDRACHTEN
Tekstvragen
1 Gegeven is de rekenkundige rij
(a n) = (1, 4, 7, 10, 13, …).
a Wat is een rekenkundige rij? R
b Geef de volgende twee termen van deze rij. T1
c Stel een formule op waarmee je de n’de term van deze rij kunt berekenen. T2
d Geef de honderdste term van deze rij. T1
2 Gegeven zijn de volgende drie rijen: T1
(a n) met a n = 4n − 7
(b n) met b n = 2n2 + 5
(c n) met c n = (−1)n · n + 2
a Bereken van elke rij de eerste vijf termen.
b Bereken a20, b7 en c100.
c Leg voor elke rij uit of het een rekenkundige rij is.
3 a Bereken de som van de gehele getallen van 1 tot en met 50. T1
b Bereken de som van de gehele getallen van 1 tot en met 999. T2
c Bereken de som van de gehele getallen van 500 tot en met 999. T2
4 Gegeven is de rekenkundige rij
(b n) = (6, 13, 20, 27, 34, 41, …).
a Stel een formule op waarmee je de n’de term van deze rij kunt berekenen. T2
b Bereken de som van de eerste vijftig termen van deze rij. T2
c Bereken de som van de 42ste term tot en met de 80ste term van deze rij. I
Verdiepingsvragen
5 Lees de tekst Het theater van Epidaurus op de rechterbladzijde.
Op de eerste ring van het theater is plaats voor ongeveer 80 toeschouwers. Bij elke volgende ring neemt het aantal zitplaatsen met ongeveer zes toe. T2
a Hoeveel zitplaatsen zijn er ongeveer op de twintigste ring?
b Laat met een berekening zien dat er ongeveer dertienduizend toeschouwers in dit theater kunnen plaatsnemen.
c Hoeveel zitplaatsen zijn er in de tweede eeuw v.Chr. bij gekomen?
Onderzoeksopdracht
6 Je ziet hieronder drie verschillende rijen figuren. Bepaal voor elke rij uit hoeveel stippen de honderdste figuur bestaat. I
1 5 12 22
37 19 7 1
Het theater van Epidaurus, Griekenland. In de zomer worden in het theater nog steeds antieke tragedies en komedies opgevoerd.
Het theater van e pidaurus
In de Griekse stad Epidaurus ligt een beroemd openluchttheater dat meer dan 2000 jaar oud is. In het theater werden onder andere muziek, dans en toneelvoorstellingen opgevoerd.
In eerste instantie waren er 34 ringen met zitplaatsen. In de tweede eeuw v.Chr. werd het theater uitgebreid met 21 ringen.
De getallen 21 en 34 volgen elkaar op in de beroemde rij van Fibonacci. De verhouding
34 : 21 ≈ 1,619… is een goede benadering van de gulden verhouding φ. Deze verhouding kom je op onverwachte plaatsen in de wiskunde tegen en was bij de Grieken al bekend. Het is daarom goed mogelijk dat deze aantallen niet toevallig gekozen zijn.
Het theater is gebouwd in de vorm van een halve maan en biedt in totaal plaats aan tussen de 12 000 en 14 000 toeschouwers.
De akoestiek in het theater is verbluffend. Door de bijzondere constructie worden geluiden van het podium versterkt weergegeven, terwijl geluiden van buiten het theater weggefilterd worden. Als je in het midden van het podium een munt laat vallen, kun je dit dan ook overal in het theater horen; iets wat gidsen die rondleidingen door dit theater geven graag demonstreren.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat een (rekenkundige) rij is en ken de somformule voor een rekenkundige rij.
T1 Ik kan de termen van een rij berekenen met behulp van een formule. Ook kan ik een rekenkundige rij herkennen.
T2 Ik kan een formule voor een rekenkundige rij opstellen. Ook kan ik de som van de termen van een rekenkundige rij berekenen.
I Ik kan het aantal stippen van figuren met een regelmatig patroon berekenen.
B e GRIPP en rij term rekenkundige rij somformule
Gehele getallen
DOEL Je leert wat natuurlijke en gehele getallen zijn en hoe je getallen kunt ontbinden in priemfactoren.
Verzamelingen van getallen Vaak hebben de getallen die tot een verzameling behoren bijzondere eigenschappen. Zo is A = {1, 2, 4, 8} de verzameling van alle delers van 8 en B = {5, 10, 15, …} de verzameling van alle positieve veelvouden van 5. De drie puntjes geven aan dat de verzameling B oneindig doorloopt.
De getallen die tot een verzameling behoren, heten de elementen van de verzameling. Het getal 2 is bijvoorbeeld een element van A en het getal 7 niet. Je noteert dit als 2 ∈ A en 7 ∉ A
n atuurlijke en gehele getallen De getallen 0, 1, 2, 3, … heten natuurlijke getallen*. De verzameling van alle natuurlijke getallen noteer je als ℕ.
De getallen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … heten gehele getallen. De verzameling van alle gehele getallen noteer je als ℤ.
ℕ bestaat dus uit het getal 0 en de positieve gehele getallen 1, 2, 3, … ℤ is gelijk aan ℕ aangevuld met de negatieve gehele getallen −1, −2, −3, … Omdat elk element van ℕ ook in ℤ zit, is ℕ een deelverzameling van ℤ. Je noteert dit als ℕ ⊂ ℤ. Hiernaast zie je hoe je dit schematisch kunt weergeven met een venndiagram. In dit venndiagram zie je dat 4 ∈ ℕ, 4 ∈ ℤ, −8 ∉ ℕ en −8 ∈ ℤ.
Ontbinden in priemfactoren Een geheel getal groter dan 1 met precies twee positieve delers, namelijk 1 en zichzelf, heet een priemgetal. Er zijn oneindig veel priemgetallen. De eerste vijf zijn 2, 3, 5, 7 en 11.
Elk geheel getal groter dan 1 kun je schrijven als een product van priemgetallen. Zo kun je 15 schrijven als 3 · 5. Dit heet ontbinden in priemfactoren, waarbij 3 en 5 de priemfactoren zijn. Als het getal een priemgetal is, is er maar één priemfactor. Je kunt een getal ontbinden in priemfactoren door systematisch te zoeken naar steeds grotere priemgetallen waardoor je kunt delen. Hiernaast zie je hoe dit werkt voor het getal 60.
De hoofdstelling van de rekenkunde luidt dat je elk geheel getal groter dan 1 maar op één manier kunt ontbinden in priemfactoren, afgezien van de volgorde van de priemfactoren.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … }
= {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
* Soms wordt 0 niet tot de verzameling van de natuurlijke getallen gerekend. In dit boek is dit wel altijd het geval.
OPDRACHTEN — OEFENEN
Verzamelingen van getallen
7 Gegeven is de verzameling
A = {0, 3, 6, 9, 12}. T1
a Uit hoeveel elementen bestaat deze verzameling?
b Neem over en vul ∈ of ∉ in. 10 … A 6 … A −3 … A
8 Schrijf de elementen van de volgende verzamelingen tussen accolades { } op. T1
a De verzameling D van alle positieve delers van 18.
b De verzameling V van alle positieve veelvouden van 13 die kleiner zijn dan 100.
natuurlijke en gehele getallen
9 a Wat is een natuurlijk getal? R
b Met welke symbolen worden de verzameling van alle natuurlijke getallen en de verzameling van alle gehele getallen aangeduid? R
c Teken een getallenlijn van 0 tot en met 10 en geef daarop de natuurlijke getallen aan. T1
10 Neem over en vul ∈ of ∉ in. T1
a 4 ℕ c 111 ℕ e −7 ℤ
b 0 ℤ d −84 ℕ f 5 3 ℤ
11 Welke elementen van de verzameling { √1 , √2 , √3 , √4 , … , √100 } zijn ook elementen van ℕ? T2
12 Hieronder zie je een venndiagram.
a Leg uit hoe je aan dit diagram kunt zien dat ℕ ⊂ ℤ T1
b Neem het diagram over en zet de volgende getallen op de juiste plek. T2 Let op: getallen die geen element van ℕ en/of ℤ zijn, zet je buiten het diagram.
Ontbinden in priemfactoren
13 Schrijf de verzameling op van alle priemgetallen die kleiner zijn dan 50. T1
14 Ontbind in priemfactoren. T1
a 38 c 256
b 99 d 700
15 Vereenvoudig de breuk 525 6000 door eerst de teller en de noemer van de breuk in priemfactoren te ontbinden. T2
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
16 Gegeven zijn de verzamelingen
A = {1, 3, 5, 7, … , 99} en B = {0, 5, 10, 15, …}. T2
a Hoeveel elementen bevat verzameling A? En verzameling B?
b Bepaal de doorsnede van A en B, de verzameling van elementen die tot zowel A als B behoren.
c Hoeveel elementen heeft de vereniging van A en B, de verzameling van elementen die tot A en/of B behoren?
d Uit hoeveel elementen bestaat de verzameling die bestaat uit de getallen die geen element zijn van B, maar wel van A?
17 Hieronder zie je vier bewerkingen. T2
I p + q III p · q
II p − q IV p q
a Stel dat p, q ∈ ℕ. Welke van de bewerkingen hebben dan altijd een element van ℕ als uitkomst? Leg je antwoord uit.
b Stel dat p, q ∈ ℤ. Welke van de bewerkingen hebben dan altijd een element van ℤ als uitkomst? Leg je antwoord uit.
18 a Ontbind 210 in priemfactoren. T1
b Gebruik de priemfactoren om het aantal positieve delers van 210 te bepalen. T2
19 a Geef de hoofdstelling van de rekenkunde. R
b Een van de redenen waarom 1 niet tot de priemgetallen wordt gerekend, is dat anders de hoofdstelling van de rekenkunde niet meer zou gelden. Laat dit zien aan de hand van een concreet voorbeeld. I
Onderzoeken
20 Lees de tekst Het hotel van Hilbert op de rechterbladzijde. T2
a Stel dat er een bus met honderd nieuwe gasten bij het hotel van Hilbert aankomt. Wat kan de receptionist aan de bestaande gasten vragen, zodat ook deze nieuwe gasten een eigen kamer krijgen?
b Stel dat er een bus met oneindig veel nieuwe gasten aankomt. Wat kan de receptionist aan de bestaande gasten vragen, zodat ook deze nieuwe gasten een eigen kamer krijgen?
21 Leg aan de hand van het hotel van Hilbert en een bus met nieuwe gasten uit dat de onderstaande verzamelingen steeds evenveel elementen bevatten. I
A ℕ en {1, 2, 3, 4, …}
B ℕ en {1, 3, 5, 7, …}
C ℕ en ℤ
Tip: een van de twee verzamelingen stelt het hotel van Hilbert voor voordat de bus met nieuwe gasten is gearriveerd en de andere verzameling het hotel van Hilbert nadat de bus met nieuwe gasten is gearriveerd.
R e K enen
R1 Het First World Hotel in Pahang, Maleisië, heeft 7351 kamers.
I Hoeveel kamers heeft het First World Hotel afgerond op honderdtallen?
II Hoeveel kamers zijn dit afgerond op duizendtallen?
III Een ander hotel heeft afgerond op honderdtallen 4700 kamers. Hoeveel kamers heeft dit hotel minimaal minder dan het First World Hotel? En maximaal?
In 2008 raakte het First World Hotel in Pahang, Maleisië, de titel van grootste hotel ter wereld kwijt. Daarom werd besloten tot de bouw van een nieuwe vleugel. Sinds 2015 is het First World Hotel met 7351 kamers weer het grootste hotel ter wereld. Maar tijdens het schrijven van dit boek werd in Mekka, SaoediArabië, al gebouwd aan het nog grotere Abraj Kudai hotel.
In 1924 beschreef de Duitse wiskundige David Hilbert (1862–1943) in een beroemde lezing een gedachteexperiment over een hotel met een oneindig aantal kamers. Hij vroeg zich af wat er zou gebeuren als er een nieuwe gast zou arriveren, terwijl alle kamers al bezet waren. Je zou in eerste instantie denken dat er geen plek was voor de nieuwe gast, want alle kamers waren immers al bezet. Maar rekenen met oneindig werkt heel anders dan rekenen met gewone getallen. Door aan alle gasten te vragen één kamer door te schuiven, kan de receptionist de eerste vrij maken. Zo blijkt er toch plek te zijn voor de nieuwe gast in het hotel van Hilbert, ook al zijn alle kamers al bezet!
Hilbert wilde met dit gedachteexperiment duidelijkheid scheppen over de vraag of oneindig plus 1 groter is dan oneindig. Iedereen snapt dat een hotel met 7352 kamers meer kamers heeft dan een hotel met 7351 kamers. Maar betekent dit ook dat een hotel met oneindig plus 1 kamers meer kamers heeft dan een hotel met oneindig veel kamers? Is oneindig plus 1 even groot als oneindig?
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat natuurlijke en gehele getallen zijn. Ook weet ik wat priemgetallen zijn en ken ik de hoofdstelling van de rekenkunde.
T1 Ik kan in simpele gevallen nagaan of een element tot een verzameling van getallen behoort. Ook kan ik een getal ontbinden in priemfactoren.
T2 Ik kan in ingewikkelde gevallen nagaan of een element tot een verzameling van getallen behoort.
I Ik kan redeneren over verzamelingen van getallen.
B e GRIPP en element natuurlijk getal geheel getal deelverzameling venndiagram priemgetal ontbinden in priemfactoren priemfactor hoofdstelling van de rekenkunde
Het First World Hotel in Pahang, Maleisië
Het hotel van Hilbert
1.2
Rationale, irrationale en reële getallen
DOEL Je leert wat rationale, irrationale en reële getallen zijn.
Rationale getallen Een getal dat je kunt schrijven als een deling of quotiënt van twee gehele getallen, heet een rationaal getal. Een rationaal getal kun je dus schrijven als p q met p, q ∈ ℤ en q ≠ 0. De verzameling van alle rationale getallen noteer je als ℚ. Omdat je elk geheel getal n kunt schrijven als het quotiënt n 1, zijn gehele getallen ook rationaal. Dit betekent dat de gehele getallen een deelverzameling zijn van de rationale getallen: ℤ ⊂ ℚ Als je een rationaal getal p q als een decimaal getal schrijft, zijn er twee mogelijkheden (zie ook bladzijde 19):
1 Het decimale getal heeft een eindig aantal decimalen, bijvoorbeeld 1 10 = 0,1 en 3 4 = 0,75. Dit is het geval als de noemer q een macht van 10 is of als je p q kunt omschrijven naar een breuk met een noemer die een macht van 10 is. Zo is 345 1000 = 0,345 en 11 8 = 11 125 8 125 = 1375 1000 = 1,375.
2 Het decimale getal heeft een eindig aantal decimalen die zichzelf oneindig vaak herhalen, bijvoorbeeld 1 3 = 0,333… of 3 11 = 0,272727… Dit is het geval als je p q niet kunt omschrijven naar een breuk met een noemer die een macht van 10 is. Een dergelijke breuk heet een repeterende breuk. Je kunt zulke repeterende breuken korter decimaal noteren door een streepje boven het repeterende deel te zetten: 1 3 = 0,3 en 3 11 = 0,27. Let op: het repeterende deel hoeft niet direct na de komma te beginnen. Zo is 5 6 = 0,8333… = 0,83
Omgekeerd geldt dat alle decimale getallen met een eindig aantal decimalen en alle decimale getallen met een eindig aantal decimalen die zichzelf oneindig vaak herhalen, rationaal zijn (zie opdracht 38).
Irrationale en reële getallen Sommige getallen, bijvoorbeeld √2 en π, kun je niet schrijven als een quotiënt van twee gehele getallen (zie opdracht 65). Zulke getallen heten irrationale getallen. Irrationale getallen kun je wel als decimaal getal schrijven. Zo is √2 = 1,41421… en π = 3,14159… Het verschil met rationale getallen is dat de decimalen zich nergens vanaf een bepaalde decimaal eindeloos herhalen, ongeacht hoe ver je achter de komma kijkt. Een irrationaal getal kun je dus niet exact weergeven als een decimaal getal, want daarvoor zou je een oneindig aantal decimalen nodig hebben.
De rationale en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen De verzameling van alle reële getallen noteer je als ℝ. De rationale getallen zijn een deelverzameling van de reële getallen: ℚ ⊂ ℝ
1 7 = 0,142857142857… = 0,142857
22 15 = 1,4666… = 1,46
OPDRACHTEN — OEFENEN
Rationale getallen
22 a Wat is een rationaal getal? R
b Met welk symbool wordt de verzameling van alle rationale getallen aangeduid? R
c Hoe kun je aan een getal met een of meer decimalen zien of het een rationaal getal is? R
23 Welke van de onderstaande getallen zijn elementen van ℚ? T1
a 0,5 e π = 3,1415926535…
b 0,3333333… f −11 2
c 1,25 g 3,1415926535
d 5 7 h √2 = 1,4142135623…
24 Bereken en geef aan welke uitkomsten wel een element zijn van ℚ, maar niet van ℤ. T2
a 2 1 3 − 6 2 3 c 5 7 · 2 1 6
b 13 8 + 5 1 4 − 8 5 8 d 1 5 : 1 25
25 a Schrijf zonder rekenmachine te gebruiken de volgende getallen als een breuk. T1
1,5 / 0,25 / −6,9 / 0,375
b Schrijf zonder rekenmachine te gebruiken de volgende breuken als een decimaal getal. T1
5 8 / 4 25 / 339 500 / 199 1250
26 Geef de eerste acht decimalen van het getal
0,17828 T1
27 Welke van de volgende breuken is gelijk aan het getal 3,416? T2
Irrationale en reële getallen
28 a Wat is een irrationaal getal? R
b Met welk symbool wordt de verzameling van alle reële getallen aangeduid? R
c Hoe kun je aan een decimaal getal zien of het irrationaal is? R
29 Neem over en vul ∈ of ∉ in. T1
a b c −2 … ℚ 0 … ℤ 0,78 … ℤ d e f (−2)3 … ℕ 0,333 … ℝ 0,6 … ℚ g h i −8 … ℕ √2 … ℝ 0,443 … ℚ
30 Neem het venndiagram over en vul de volgende getallen in op de juiste plek. T2
−25,5 π 3 8 √36 0,5 −0,001 √2 3,14159
31 Leg voor elk van de volgende bewerkingen uit of de uitkomst een rationaal of een irrationaal getal is. T2
a ( √2 )3 c π + 3
b √72
1.2 OPDRACHTEN — ONTDEKKEN &
ONDERZOEKEN
Ontdekken
32 Gegeven is dat p, q ∈ ℚ. Welke van de volgende bewerkingen hebben altijd een element van ℚ als uitkomst? Leg je antwoord uit T2
I p + q III p q V p 2
II p − q IV p q VI √p
33 Geef de honderdste decimaal van het getal 0,82365. T2
34 Gegeven is de lijn met de formule y = ax met a ∈ ℝ. Afhankelijk van de waarde van a liggen één of meer roosterpunten op de lijn.
a Er is één roosterpunt dat voor elke waarde van a op de lijn ligt. Geef de coördinaten van dit roosterpunt. T2
b Geef twee andere roosterpunten die op de lijn liggen als a = 2 5 T2
c Leg uit hoeveel roosterpunten op de lijn liggen als a = √2 I
35 Welke van de volgende getallen zijn rationaal en welke irrationaal? Leg je antwoord uit. I
a 0,123456789101112131415…
b 8,76123123123123123123…
c 1,121221222122221222221…
Onderzoeken
36 Lees de tekst Repeterende breuken op de rechterbladzijde.
Bereken met behulp van een staartdeling. T1
a 204 : 12 c 795 : 6
b 966 : 7 d 100 : 3
37 Schrijf zonder rekenmachine te gebruiken de volgende breuken als een decimaal getal. T2
a 4 15 c 5 22
b 10 37 d 22 41
38 Gegeven is het getal A = 0,18. T2
a Toon aan dat 100A − A = 18.
b Laat zien dat hieruit volgt: A = 2 11.
c Leg uit dat alle decimale getallen met oneindig veel zichzelf herhalende decimalen rationaal zijn.
39 Schrijf de volgende getallen als breuk. I
a 0,76 c 0,9
b 0,723 d 0,231
R e K enen
R2 Hoeveel moet je in totaal voor de onderstaande producten betalen?
artikel aantal prijs per stuk muurverf per 10 L 1 € 28,69
laminaat per pak 12 € 12,95 plinten per 250 cm 9 € 4,52
Repeterende breuken
Een breuk als 23 54 kun je omrekenen naar een decimaal getal door de deling 23 : 54 uit te voeren. Hiernaast zie je bijvoorbeeld hoe je dit met behulp van een staartdeling doet.
230 : 54 = 4 rest 14 (tienden)
140 : 54 = 2 rest 32 (honderdsten)
320 : 54 = 5 rest 50 (duizendsten)
500 : 54 = 9 rest 14 (tienduizendsten)
140 : 54 = 2 rest 32 (honderdduizendsten)
320 : 54 = 5 rest 50 (miljoensten)
500 : 54 = 9 rest 14 (tienmiljoensten) Enzovoort.
De berekening hierboven is steeds gelijk na elk moment waarop de rest 14 is. De decimalen 2, 5 en 9 herhalen zich daarom steeds. Er geldt dus 23 54 = 0,4259.
Een soortgelijke berekening kun je voor iedere breuk maken. Er kunnen twee soorten uitkomsten zijn.
De deling kan op een gegeven moment een resultaat zonder rest opleveren. Je kunt de breuk dan schrijven als een decimaal getal met een eindig aantal decimalen.
De deling kan op een gegeven moment een rest opleveren die ook al eerder in de berekening voorkwam. Omdat je bij een deling met gehele getallen een beperkt aantal mogelijkheden voor de rest hebt, zal dit vroeg of laat gebeuren. Je kunt de breuk dan schrijven als een decimaal getal met een aantal decimalen die zichzelf vanaf een bepaalde decimaal oneindig blijven herhalen.
54/2 3,000000\0, 42592
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat rationale en reële getallen zijn. Ook weet ik wat een irrationaal getal is en wat repeterende breuken zijn.
T1 Ik kan bepalen tot welke verzameling van getallen een getal behoort. Ook kan ik breuken als een decimaal getal schrijven.
T2 Ik kan getallen in een venndiagram plaatsen en ik kan redeneren over rationale en reële getallen.
I Ik kan decimale getallen als een breuk schrijven.
B e GRIPP en quotiënt rationaal getal repeterende breuk irrationaal getal reëel getal staartdeling
1.3
Hogeremachtswortels
DOEL Je leert wat hogeremachtswortels zijn en hoe je ermee kunt rekenen.
Hogeremachtswortels De wortel van een getal a is gelijk aan het nietnegatieve getal dat in het kwadraat weer a oplevert. Zo is √36 = 6, want 62 = 36. De wortel heet ook wel de tweedemachtswortel. Hiernaast zie je dat worteltrekken de tegengestelde bewerking is van kwadrateren. Je kunt ook hogeremachtswortels van getallen berekenen. Als je bijvoorbeeld de lengte van een ribbe van een kubus met een inhoud van 8 wilt bepalen, zoek je een getal waarvan de derde macht 8 is. Dit is de derdemachtswortel van 8 en noteer je als 3√8 Omdat 23 = 8, is 3√8 = 2. Je kunt ook andere hogeremachtswortels van getallen berekenen. Zo is 4√81 = 3, want 34 = 81.
Let goed op het volgende als je met hogeremachtswortels werkt:
v Je kunt geen even machtswortel trekken uit een negatief getal. Zo bestaat 4√−16 niet, want de vierde macht van een getal is altijd groter dan of gelijk aan 0.
v Je kunt wel een oneven machtswortel trekken uit een negatief getal. Zo is 3√−8 = −2, want (−2)3 = −8.
v Even machtswortels zijn altijd positief. Zo is 4√81 = 3, ook al geldt naast 34 = 81 ook (−3)4 = 81. Dit is een afspraak, zodat duidelijk is welk getal 4√81 is.
De n’de-machtswortel van een getal a is gelijk aan het getal dat tot de n’de macht weer a oplevert. Als n even is, dan bestaat de n’demachtswortel alleen als a ≥ 0 en is de n’demachtswortel ook groter dan of gelijk aan 0. Als n oneven is, dan bestaat de n’demachtswortel ook als a < 0 en is de n’demachtswortel in dat geval ook kleiner dan 0.
Voorbeelden
1 3√27 = 3, want 33 = 27
2 4√256 = 4, want 44 = 256
3 3√−216 = −6, want (−6)3 = −216 4 5√ 1 32 = 1 2, want (1 2)5 = 1 32 5 5√−1 = −1, want (−1)5 = −1
6 6√−1 bestaat niet
Benaderen van hogeremachtswortels Veel wortels kun je niet als een deling van twee gehele getallen schrijven en zijn dus irrationaal. Dit geldt ook voor hogeremachtswortels. De decimalen van zulke wortels herhalen zich dus nergens. Dat geldt bijvoorbeeld voor
3√100 . Dit getal is groter dan 3√64 = 4 en kleiner dan 3√125 = 5. Dit betekent dat 4 < 3√100 < 5 Met je rekenmachine kun je een nauwkeurige benadering vinden:
3√100 = 4,6415… Dus 3√100 ≈ 4,64
(n√a )n = a met a ≥ 0 als n even is
OPDRACHTEN — OEFENEN
Hogeremachtswortels
40 Neem over en vul in. T1
a 3√27 = 3, want 3 =
b 4√625 = , want 4 =
c 3√ = −4, want 3 =
41 Bereken zonder rekenmachine. T1
a 4√81 d 3√1 8
b 5√32 e 3√0,001
c 3√−125 f 999√−1
42 a Leg uit waarom 3√−64 wel bestaat, maar
4√−256 niet. T2
b Leg uit waarom 4√256 = 4 en niet 4√256 = −4, ook al geldt zowel 44 = 256 als (−4)4 = 256. T2
43 a Hoe lang zijn de zijden van een vierkant met een oppervlakte van 196 cm2? T1
b Hoe lang zijn de ribben van een kubus met een inhoud van 216 cm3? T1
c Hoe groot is de straal van een bol met een volume van 1000 m3? Geef je antwoord in meters en rond af op twee decimalen. T2
44 Bereken als dat kan. Leg anders uit waarom dit niet kan. Gebruik geen rekenmachine. T2
a 8 − 5 3√27 e 5√95 − 8√(−4)8
b 6 4√81 − √81 f 3 4√19 − 102
c 4√−256 + 2 √100 g 3 − 2 6√82
d 3√−8 − 2 9√−1 h −2 + 3√8 − 24
Benaderen van hogeremachtswortels
45 Bereken. Rond je antwoord af op drie decimalen. T1
a 3√100 d 3√−35
b 4√2 e 10√1002
c 7√−98 f 3√6,89
46 Zet de volgende getallen op volgorde van klein naar groot. Gebruik geen rekenmachine. T2
3√30 / 5√1200 / 4√40 / √64 / 3√−20 / 7√−100
47 Je ziet hieronder twee kubussen. De lengte van de ribben van de kleine kubus is 1. De inhoud van de grote kubus is vijf keer zo groot als de inhoud van de kleine kubus. Bereken de lengte van de ribben van de grote kubus. Rond je antwoord af op drie decimalen. T2 1
48 Een kubusgetal is een natuurlijk getal dat de derde macht is van een natuurlijk getal. T2
a Leg uit waar de naam kubusgetal vandaan komt.
b Geef de eerste vijf kubusgetallen.
c Ga zonder rekenmachine na welke van de volgende getallen kubusgetallen zijn.
243 / 1000 / 2197 / 10 000
1.3
OPDRACHTEN
— ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
49 Wortels waarbij het getal onder het wortelteken een kwadraat als deler heeft, kun je vereenvoudigen door het kwadraat voor het wortelteken te brengen. Zo is √8 = 2 √2 . Op dezelfde manier kun je hogeremachtswortels waarbij het getal onder het wortelteken een hogere macht als deler heeft vereenvoudigen door de hogere macht voor het wortelteken te brengen. Vereenvoudig de volgende wortels. Gebruik geen rekenmachine. T2 Tip: ontbind de getallen onder het wortelteken eerst in priemfactoren.
a 3√24 c 3√432
b 4√243 d 5√5120
50 Gebruik geen rekenmachine.
a Laat zien dat √√2 = 4√2 . T2
b Laat zien dat 6√102 = 3√10 T2
c Welke getal is groter: √2 of (5√2 )2 ? I
51 Hieronder zie je een set van gelijkvormige pannen. De grootste pan heeft een inhoud van 3,3 L. De kleinste pan heeft een inhoud van 1,5 L. Rond je antwoorden af op één decimaal. T2
a Bereken de vergrotingsfactor.
b Hoeveel keer zo groot is de oppervlakte van het deksel van de grootste pan als de oppervlakte van het deksel van de kleinste pan?
Onderzoeken
52 Lees de tekst Papierformaten op de rechterbladzijde. T2
a Je ziet op de rechterbladzijde de afmetingen van een vel papier van A0formaat. Laat zien dat deze afmetingen bij benadering voldoen aan de lichtenbergverhouding.
b Bereken de afmetingen van een vel papier van A5formaat.
c Bereken in cm2 nauwkeurig de oppervlakte van een postzegel van A11formaat.
53 Gegeven is een vel papier dat aan de lichtenbergverhouding voldoet. Als je dit vel papier in de lengte halveert, krijg je twee vellen papier waarvoor de verhouding tussen de lengte en de breedte gelijk is aan 1 : 1 2 √2 . Leg uit waarom en laat zien dat ook deze vellen papier aan de lichtenbergverhouding voldoen. I
R e K enen
R3 Een motorcoureur heeft 20 ronden op een circuit van 3,8 km afgelegd in 24 minuten.
I Wat was de gemiddelde snelheid van de motorcoureur in km/h?
II Een autocoureur heeft 15 ronden op hetzelfde circuit afgelegd met een gemiddelde snelheid van 210 km/h. Hoelang heeft hij over die 15 ronden gedaan? Geef je antwoord in minuten en seconden.
Papierformaten
Er bestaan wereldwijd veel verschillende standaardpapierformaten. In Nederland wordt veel gebruik gemaakt van de Aserie, waar bijvoorbeeld het A4formaat deel van uitmaakt.
Het grootste formaat binnen de Aserie is A0. Een vel papier van A0formaat heeft afmetingen van 1189 bij 841 mm. De oppervlakte van zo’n vel is precies 1 m2. Ieder volgend formaat binnen de Aserie verkrijg je door het vorige formaat in de lengte te halveren (zie ook de afbeelding hiernaast). Indien nodig rond je de lengte in mm naar beneden af. Zo heeft een vel papier met A1formaat afmetingen van 841 bij 594 mm. De oppervlakte van zo’n vel is 0,5 m2. Het kleinste formaat dat in de praktijk wordt gebruikt is het A11formaat. Sommige kleine postzegels hebben dit formaat.
De verhouding tussen de lengte en de breedte van de vellen papier is voor de hele Aserie steeds gelijk aan √2 : 1. Deze verhouding wordt de lichtenbergverhouding genoemd. Doordat de verhouding tussen de lengte en de breedte steeds gelijk is, kun je afbeeldingen vergroten of verkleinen tot een ander formaat uit de Aserie zonder dat er delen wegvallen of dat je de afbeelding moet uitrekken of indrukken.
B e GRIPP en tweedemachtswortel hogeremachtswortel derdemachtswortel n’demachtswortel lichtenbergverhouding
De A-serie papierformaten
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat hogeremachtswortels zijn.
T1 Ik kan hogeremachtswortels berekenen.
T2 Ik kan rekenen met hogeremachtswortels. Ook kan ik zonder rekenmachine hogeremachtswortels op volgorde van klein naar groot zetten.
I Ik kan laten zien dat alle formaten van de Aserie aan de lichtenbergverhouding voldoen.
1.4
Getaltheorie
DOEL Je leert hoe je eigenschappen van gehele getallen kunt bewijzen en hoe je een bewering met een tegenvoorbeeld kunt ontkrachten.
Bewijzen Stel dat iemand beweert dat de som van twee oneven getallen altijd even is. Je kunt deze bewering voor elk paar oneven getallen eenvoudig controleren, bijvoorbeeld 3 + 5 = 8 en 19 + 27 = 46. Maar daarmee weet je nog niet zeker dat de bewering voor elk paar oneven getallen geldt. Dat weet je pas als je kunt beredeneren dat de bewering altijd klopt. Zo’n redenering heet een bewijs. Je maakt daarbij gebruik van andere beweringen die al eerder bewezen of per definitie waar zijn.
Voorbeeld
Om te bewijzen dat de som van twee oneven getallen altijd even is, maak je gebruik van de volgende eigenschappen van even en oneven getallen. Even getallen zijn deelbaar door 2 en kun je daarom schrijven als 2n met n ∈ ℕ. Oneven getallen zijn niet deelbaar door 2 en kun je daarom schrijven als 2m + 1 met m ∈ ℕ. Zo is 8 = 4 2 en 9 = 4 2 + 1. De som van twee oneven getallen kun je dus schrijven als 2m1 + 1 + 2m2 + 1 met m1, m2 ∈ ℕ. Dat is gelijk aan 2m1 + 2m2 + 2 = 2(m1 + m2 + 1). Dit getal staat in de vorm 2n en is dus even.
In het voorbeeld hierboven heb je gebruik gemaakt van eigenschappen van even en oneven getallen. Evenzo kun je getallen die deelbaar zijn door 3 schrijven als 3n. Bij getallen die niet deelbaar zijn door 3, houd je een rest over als je door 3 deelt. Je kunt deze getallen schrijven als 3n + 1 als de rest 1 is, of als 3n + 2 als de rest 2 is. En getallen die deelbaar zijn door 4, kun je schrijven als 4n. Enzovoort. Deze eigenschappen volgen direct uit de definitie van deelbaarheid en komen goed van pas bij het bewijzen van beweringen over gehele getallen.
Tegenvoorbeeld Niet alle beweringen zijn waar. Als een bewering niet waar is, kun je ook geen bewijs leveren. Maar je kunt wel laten zien dat de bewering niet klopt door één voorbeeld te geven waarbij de bewering niet waar is. Zo’n voorbeeld heet een tegenvoorbeeld. Als je een tegenvoorbeeld kunt geven, weet je zeker dat de bewering niet waar is.
Voorbeeld
Iemand beweert dat P = n 2 − n + 41 altijd een priemgetal geeft voor n ∈ ℕ n = 0 en n = 1 geven P = 41, n = 2 geeft P = 43, n = 3 geeft P = 47 en dit zijn allemaal priemgetallen. Ook voor grotere waarden van n zijn de uitkomsten priemgetallen. Maar bij n = 41 is de uitkomst geen priemgetal: P = 412 − 41 + 41 = 412 = 1681. Dit is geen priemgetal, want 412 is deelbaar door 41. n = 41 is dus een tegenvoorbeeld. De formule geeft dus niet alleen maar priemgetallen.
Getaltheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de eigenschappen van natuurlijke en gehele getallen bestudeert.
OPDRACHTEN — OEFENEN
Bewijzen
54 a Bewijs dat het kwadraat van een even getal altijd even is. T1
b Bewijs dat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is. T1
c Bewijs dat het product van twee oneven getallen altijd oneven is. T1
55 Gegeven is dat 98 23 251 = 2 278 598.
Laat zonder rekenmachine zien dat 7 een deler is van 2 278 598. T1
56 Bereken met rest. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 28 : 3 c 225 : 13
b 127 : 5 d 79 813 : 223
57 Gegeven is een natuurlijk getal n dat niet deelbaar is door 3. Er geldt dus
n ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8, … } T2
a Leg uit dat je n kunt schrijven als n = 3q + 1 of als n = 3q + 2 met q ∈ ℕ
b Van welke vorm uit opdracht a is n 2?
c Bewijs dat n 2 − 1 deelbaar is door 3.
58 Gegeven is een oneven getal a T2
a Bewijs dat a + 1 of a − 1 een veelvoud is van 4.
b Bewijs dat a 2 − 1 deelbaar is door 8. Tip: ontbind a 2 − 1 in factoren.
Tegenvoorbeeld
59 Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. T1
a Een even getal gedeeld door een even getal is altijd oneven.
b De som van twee natuurlijke getallen die beide geen priemgetal zijn, is nooit een priemgetal.
c Het enige even priemgetal is 2.
60 Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
a Als 4 en 6 delers zijn van een geheel getal, dan is 24 ook een deler van dat getal. T1
b Als 15 en 8 delers zijn van een geheel getal, dan is 120 ook een deler van dat getal. T2
61 Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
Als p een priemgetal is, dan is p − 2 of p + 2 ook een priemgetal. T2
62 Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
Het aantal gehele getallen dat tussen twee opeenvolgende priemgetallen ligt, is alleen nul bij de priemgetallen 2 en 3. T2
1.4 OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
63 Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. T2
a Als d een deler is van a en van b, dan is d ook een deler van a + b
b Als d een deler is van a en a een deler is van b, dan is d ook een deler van b
c Als d een deler is van ab, dan is d een deler van a en/of van b.
64 a Uit hoeveel priemfactoren bestaat het getal
130? En het getal 1302 = 16 900? T1
Tip: een getal als 72 = 23 · 32 bestaat niet uit twee, maar uit vijf priemfactoren.
b Bewijs dat het getal a 2 met a ∈ ℕ uit een even aantal priemfactoren bestaat. T2
65 In deze opdracht bewijs je dat √2 een irrationaal getal is. Hiervoor ga je uit van het tegenovergestelde en neem je aan dat √2 een rationaal getal is. Dit betekent dat er twee gehele getallen a, b bestaan, waarvoor geldt dat
√2 = a b I
a Laat zien dat hieruit volgt dat 2b 2 = a 2
b Waarom kunnen er geen a en b zijn die aan deze vergelijking voldoen?
Tip: kijk nog eens naar opdracht 64b
c Leg uit dat uit opdracht b volgt dat je √2 niet als een breuk kunt schrijven en dat √2 dus irrationaal is.
d Bewijs op soortgelijke manier dat √3 en 4√5 irrationale getallen zijn.
Onderzoeken
66 Lees de tekst Priemgetallen op de rechterbladzijde.
Gegeven is het getal 5041 = 7 6 5 4 3 2 1 + 1. T2
a Leg uit waarom 5041 deelbaar is door een priemgetal dat groter is dan 7.
b Laat zien dat 5041 deelbaar is door 71.
c Ontbind 5041 in priemfactoren.
67 Een priemgetal dat je kunt schrijven als 2m − 1 heet een mersennepriemgetal, naar de Franse monnik Marin Mersenne (1588 –1648). Het in 2018 gevonden priemgetal was het op dat moment 51ste bekende mersennepriemgetal: je kunt het schrijven als 282 589 933 − 1. T2
a Toon aan dat het priemgetal 127 een mersennepriemgetal is.
b Welke waarden van m ∈ {1, 2, 3, 4, 5} leveren mersennepriemgetallen op?
R
e
K enen
R4 Een stambreuk is een breuk waarvan de teller 1 is en de noemer een positief geheel getal. Zo zijn 1 5 en 1 7 stambreuken.
I Schrijf 3 4 als som van verschillende stambreuken.
II Schrijf 1 2 als som van verschillende stambreuken.
III Geef de grootst mogelijke stambreuk die kleiner is dan 4 27
Priemgetallen
In december 2018 werd een priemgetal gevonden dat bestaat uit bijna 25 miljoen cijfers. Op het moment van het schrijven van dit boek was dit het grootste bekende priemgetal. Het priemgetal is gevonden met behulp van de computers van duizenden vrijwilligers die rekenkracht van hun computers ter beschikking stellen voor het zoeken naar grote priemgetallen. Het is een kwestie van tijd tot dit record wordt verbroken. De Griekse wiskundige Euclides (ca. 300 v.Chr.) bewees namelijk al meer dan 3000 jaar geleden dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs is een zogenaamd bewijs uit het ongerijmde. Je neemt daarbij het tegenovergestelde aan van de bewering die je wilt bewijzen. Als je vervolgens kunt laten zien dat dit tot een tegenstelling leidt, moet je oorspronkelijke bewering wel waar zijn.
Neem aan dat er niet oneindig veel priemgetallen bestaan. Dan is er ook een grootste priemgetal p Kijk vervolgens naar het getal
N = p 6 5 4 3 2 1 + 1. Dit getal is niet deelbaar door 2, want je kunt het schrijven als N = 2n + 1 (met n = p 6 5 4 3 1). N is ook niet deelbaar door 3, want je kunt N schrijven als N = 3n + 1 (met n = p … 6 5 4 2 1). Op deze manier kun je laten zien dat N deelbaar is door geen enkel getal van 2 tot en met p. Dit betekent dat N een priemgetal is, of dat N deelbaar is door een priemgetal dat groter is dan p en kleiner dan N. Maar dit is in tegenspraak met de aanname dat p het grootste priemgetal is. Uit deze tegenspraak volgt dat de aanname niet kan kloppen. Er is dus geen grootste priemgetal. Hieruit volgt dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
B e GRIPP en
bewijs tegenvoorbeeld
bewijs uit het ongerijmde
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat een bewijs is en wat een tegenvoorbeeld is. Ook weet ik in welke vorm je getallen kunt schrijven die al dan niet deelbaar zijn door een bepaald getal.
T1 Ik kan eenvoudige bewijzen geven voor een bewering of een tegenvoorbeeld geven.
T2 Ik kan ingewikkelde bewijzen geven voor een bewering of een tegenvoorbeeld geven.
I Ik kan bewijzen dat √2 een irrationaal getal is.
Grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijke veelvoud
DOEL Je leert hoe je op verschillende manieren de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen kunt bepalen.
Grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijke veelvoud De grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen is het grootste getal dat een deler is van beide getallen. De delers van 10 zijn 1, 2, 5 en 10. De delers van 35 zijn 1, 5, 7 en 35. Dus geldt ggd(10, 35) = 5.
Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen is het kleinste positieve getal dat een veelvoud is van beide getallen. De veelvouden van 6 zijn 6, 12, 18, … De veelvouden van 9 zijn 9, 18, 27, … Dus geldt kgv(6, 9) = 18.
Met behulp van priemfactoren Als je de priemfactoren van twee getallen kent, kun je de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen eenvoudig bepalen. Neem bijvoorbeeld de getallen 24 en 180. Er geldt 24 = 2 2 2 3 = 23 · 3 en 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 5. De grootste gemeenschappelijke deler is gelijk aan het product van de overeenkomende priemfactoren. Er geldt dus ggd(24, 180) = 2 · 2 · 3 = 22 · 3 = 12. Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud is gelijk aan het product van de priemfactoren, waarbij je gemeenschappelijke priemfactoren één keer telt. 24 en 180 hebben de priemfactoren 2, 2 en 3 gemeenschappelijk. Daarnaast zit er in 24 nog een extra priemfactor 2 en zitten er in 180 nog een extra priemfactor 3 en een extra priemfactor 5. Er geldt dus kgv(24, 180) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360
Het algoritme van e uclides Een algoritme is een reeks instructies waarmee je stap voor stap een probleem oplost. Met het algoritme van Euclides kun je de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen bepalen (zie opdracht 79):
Bepaal hoe vaak het kleinste in het grootste getal past. Als je geen rest overhoudt, is het kleinste getal de grootste gemeenschappelijke deler. Houd je wel een rest over, dan doe je hetzelfde nog eens voor het kleinste van de eerste twee getallen en de rest die je overhield. Ga net zolang door tot je geen rest overhoudt. Het kleinste van de twee getallen waar je op dat moment mee werkt, is de grootste gemeenschappelijke deler.
Voorbeeld
Bereken ggd(350, 500) en kgv(350, 500).
Het kleinste getal 350 past één keer in 500. Je houdt 150 over. Je gaat verder met de getallen 350 en 150. Het kleinste getal 150 past twee keer in 350. Je houdt 50 over. Je gaat verder met de getallen 150 en 50. Het kleinste getal 50 past drie keer in 150. Je houdt geen rest over, dus is 50 de grootste gemeenschappelijke deler van 350 en 500.
OPDRACHTEN — OEFENEN
Grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijke veelvoud
68 Wat is de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen? R
69 Bereken. T1
a ggd(36, 54)
b ggd(75, 250)
70 Bereken. T1
a kgv(36, 54) b kgv(75, 250)
Met behulp van priemfactoren
71 Bereken door te ontbinden in priemfactoren. T1
a ggd(340, 835)
b ggd(198, 504)
72 Er geldt dat 1260 = 22 · 32 · 5 · 7 en 52 000 = 25 53 13. Bereken. T1
a ggd(1260, 52 000)
b kgv(1260, 52 000)
73 Een klok loopt per uur 14 minuten langzamer dan een goed lopende klok. Op een gegeven moment wijzen beide minutenwijzers naar de 12. Hoelang duurt het daarna, voordat beide minutenwijzers weer op hetzelfde moment naar de 12 wijzen? T2
Het algoritme van euclides
74 Bepaal met behulp van het algoritme van Euclides de grootste gemeenschappelijke deler van 72 en 246. Neem daarvoor onderstaande tabel over en vul hem verder in. T1
en 72
75 Bereken met behulp van het algoritme van Euclides. T2
a ggd(60, 150)
b ggd(108, 891)
c ggd(1850, 4850)
76 Gegeven zijn de getallen 77 089 en 44 831. T2
a Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van deze twee getallen met het algoritme van Euclides.
b Waarom kun je de grootste gemeenschappelijke deler van deze getallen sneller met het algoritme van Euclides vinden dan door ontbinden in priemfactoren?
77 Bewijs dat de grootste gemeenschappelijke deler van twee opeenvolgende gehele getallen altijd gelijk aan 1 is. T2
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
78 Twee getallen heten relatief priem als de grootste gemeenschappelijke deler van deze getallen gelijk is aan 1. T2
a Hoeveel natuurlijke getallen kleiner dan 20 zijn relatief priem met 20?
b Stel dat p een priemgetal is. Hoeveel natuurlijke getallen kleiner dan p zijn dan relatief priem met p?
79 Hieronder zie je schematisch weergegeven hoe je met het algoritme van Euclides de grootste gemeenschappelijke deler van de getallen 350 en 500 berekent. I
Onderzoeken
81 Lees de tekst Algoritme en computers op de rechterbladzijde. Voer het volgende algoritme uit. Wat voor soort figuur krijg je? T1
Ga 5 cm naar rechts.
Ga 4 cm omhoog.
Ga 5 cm naar links.
Ga 4 cm omlaag.
82 Ontwerp een algoritme waarmee je de volgende figuur kunt laten tekenen. T2
a Leg uit hoe de stappen van de berekening in het schema zijn weergegeven.
b Teken een soortgelijk schema voor de berekening van ggd(45, 57) = 3.
c Leg aan de hand van je tekening bij opdracht b uit waarom het algoritme van Euclides de grootste gemeenschappelijke deler oplevert.
80 Leg uit waarom je het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen kunt vinden door het product van beide getallen te delen door de grootste gemeenschappelijke deler. I Tip: leg dit uit met behulp van de priemfactoren van twee concrete getallen, bijvoorbeeld 350 en 500. 1.5
83 Voer het volgende algoritme uit. Wat voor soort figuur krijg je? T2 Herhaal 8 keer:
Ga 3 cm vooruit.
Draai 45°.
84 Ontwerp zelf een algoritme en laat een klasgenoot het uitvoeren. I
R e K enen
R5 Bereken handig uit je hoofd.
I 4 37 25 IV 99 99
II 4 67 + 6 67 V 23 38 − 3 38
III 98 45 VI 17 102
algoritme en computers
Een algoritme beschrijft heel precies wat je moet doen. Je hoeft er niet bij na te denken, maar alleen de instructies nauwkeurig uit te voeren. Daarom zijn computers uitermate geschikt om algoritmes uit te voeren. Computers denken zelf namelijk niet na, maar kunnen wel heel snel en nauwkeurig een reeks instructies uitvoeren.
Met de programmeertaal Logo kun je een schildpad figuren op het computerscherm laten tekenen. Je moet dan aangeven hoe de schildpad moet bewegen. Met het volgende algoritme kun je bijvoorbeeld de schildpad een vierkant laten tekenen:
Ga n cm vooruit.
Ga n cm naar rechts.
Ga n cm achteruit.
Ga n cm naar links.
stap 2
stap 1 stap 3
stap 4
Door te zeggen dat de schildpad een bepaalde stap of bepaalde stappen moet herhalen, kun je een korter algoritme schrijven:
Herhaal 4 keer:
Ga n cm vooruit.
Draai 90° rechtsom.
Het gebruik van herhaling is vooral nuttig als je complexere figuren wilt laten tekenen.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen zijn. Ook weet ik wat een algoritme is.
T1 Ik kan de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen bepalen met behulp van de priemfactoren van beide getallen.
T2 Ik kan de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen bepalen met het algoritme van Euclides.
I Ik kan uitleggen waarom je de grootste gemeenschappelijke deler kunt bepalen met het algoritme van Euclides.
B e GRIPP en grootste gemeenschappelijke deler kleinste gemeenschappelijke veelvoud algoritme algoritme van Euclides
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.
academie
85 Gegeven is de rekenkundige rij
(a n) = (5, 9, 13, 17, 21, 25, …). T2
a Ga na of 1223 een term is van deze rij.
b Bereken de som van de eerste honderd termen van deze rij.
§ 1.1
86 Gegeven is de verzameling
A = {−2, −112, −1, 0, 1 2, 1, 112, 2}. T1
a Hoeveel elementen bevat deze verzameling?
b Welke elementen van deze verzameling zijn natuurlijke getallen?
c Leg uit of A ⊂ ℤ.
87 Ontbind 1200 in priemfactoren. T1
88 De lengte van een rechthoek is a en de breedte is b met a, b ∈ ℕ en a > b T2
a Hoeveel van deze rechthoeken zijn er met een omtrek van 20?
b Hoeveel van deze rechthoeken zijn er met een oppervlakte van 20?
§ 1.2
89 Neem over en vul ℚ of ℝ in. R
a De verzameling van alle reële getallen noteer je als
b Een irrationaal getal is wel een element van , maar niet van
c is een deelverzameling van
90 Schrijf zonder rekenmachine te gebruiken de volgende breuken als een decimaal getal. T1
7 20 / 43 250 / 3007 5000 / 2 3
91 Gegeven is het getal 0,12331
a Leg uit of dit een rationaal of een irrationaal getal is. T1
b Geef de eerste acht decimalen van dit getal. T1
c Bepaal de vijftigste decimaal van dit getal. I
§ 1.3
92 Bereken als dat kan. Leg anders uit waarom dit niet kan. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 3√27 c 3√ 1 125
b 4√−16 d 1001√−1
93 Bereken zonder rekenmachine. T2
94 Een huis heeft een inhoud van 536 m3
Een schaalmodel van dit huis heeft een inhoud van 67 dm3. Op welke schaal is het schaalmodel gemaakt? T2
§ 1.4
95 Bewijs de volgende beweringen of geef een tegenvoorbeeld. T1
a Het product van een even en een oneven getal is altijd even.
b Het product van twee priemgetallen heeft altijd precies vier delers.
c Als x 2 ∈ ℕ, dan geldt ook x ∈ ℕ.
96 De verzameling W bestaat uit alle getallen van de vorm 4n + 3 met n ∈ ℕ. T2
a Geef vier elementen van deze verzameling.
b Leg uit of de som van twee getallen uit W een getal kan opleveren dat weer een element is van W.
c Bewijs dat het product van twee getallen uit W altijd rest 1 geeft als je het deelt door 4.
§ 1.5
97 Wat is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen? R
98 Er geldt dat 8712 = 23 32 112 en 146 410 = 2 5 114. Bereken. T1
a ggd(8712, 146 410) b kgv(8712, 146 410)
99 Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van de getallen 140 en 180 met het algoritme van Euclides. T2
Hoofdstuk 1
100 Neem over en vul ∈ of ∉ in. T2 a b c 0 ℕ −7 ℚ 0,1384 ℝ d e f 12 9 ℝ 3√−81 ℕ 0,16 ℚ g h i ( √3 )4 ℤ π ℚ 0,3 ℕ
101 Stel dat je op een getallenlijn alleen sprongen van 33 naar rechts en van 75 naar links kunt maken. Je begint bij 0. Hieronder zie je dat je dan na twee keer naar rechts en één keer naar links springen bij −9 staat. I
–9 + 33 – 75 + 33
a Je springt vanaf 0 drie keer naar links en twee keer naar rechts. Bij welk getal sta je dan?
b Leg uit of je vanaf 0 bij elk geheel getal kunt uitkomen.
c Je springt vanaf 0 één keer naar rechts. Met welke sprongen kom je daarna weer zo snel mogelijk bij 0?