METHODECONCEPT / REDACTIE
Boom voortgezet onderwijs
AUTEURS
Corné van Berchum
Paul Gritter
Piet Hanemaaijer
Henk Hollander
Frans Meijers
Kim van de Minkelis-Went
Marieke Spijkstra
Francisca Stinnissen
KERN WISKUNDE
VMBO-THEORETISCH / HAVO
LEERJAAR 2 A
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
© 2021 Boom voortgezet onderwijs, Groningen, The Netherlands
Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t/m 16m Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 KB, www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting pro.nl).
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.
isbn 978 94 9322 454 4 www.boomvoortgezetonderwijs.nl
KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:
R Reproductievragen
T1 Trainingsgerichte toepassingsvragen
T2 Transfergerichte toepassingsvragen
I Inzichtvragen
Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.
Boekontwerp & omslag René van der Vooren, Amsterdam
Taalredactie
Ellen Mulder
Opmaak & technische tekeningen Imago Mediabuilders, Amersfoort
Inhoud – Deel 2A
1 Ruimtefiguren
wiskundeweetje
Hoe maak je een bal? 8
1.1 Ruimtefiguren 10
1.2 Aanzichten en doorsnedes 16
1.3 Een 3D-figuur en uitslag tekenen 22
1.4 Inhoud en gewicht 28
1.5 Inhoud van ruimtefiguren 34
havo Figuren in de ruimte 40
Toetsvoorbereiding 44
2 Getallen en verhoudingen
wiskundeweetje
Bijzondere getallen 48
2.1 Breuken vermenigvuldigen en delen 50
2.2 Tijd en snelheid 56
2.3 Schaal 62
2.4 Machten en wortels 68
2.5 Rekenen met een rekenmachine 74
havo Getallen 80
Toetsvoorbereiding 86
3 Lineaire verbanden
wiskundeweetje
Hoe steil moet een trap zijn? 90
3.1 Formule bij een rechte lijn 92
3.2 Formule bij een tabel met regelmaat 98
3.3 Vergelijking 104
3.4 Twee formules vergelijken 110
3.5 Balansmethode 116
havo Formules, vergelijkingen en ongelijkheden 122
Toetsvoorbereiding 126
4 HAVO – Algebra
4.1 Substitueren en herleiden 130
4.2 Machten met variabelen 132
4.3 Haakjes wegwerken 134
4.4 Ontbinden in factoren 136
Toetsvoorbereiding 138
1 Ruimtefiguren
In dit hoofdstuk maak je kennis met ruimtefiguren. Je leert hoe je een aanzicht, een doorsnede en een uitslag van een ruimtefiguur tekent en hoe je ruimtefiguren in 3D tekent. Je leert wat inhoud en gewicht zijn en hoe je de inhoud van een ruimtefiguur berekent. Ook leer je waar je ruimtefiguren en doorsnedes in de praktijk tegenkomt, bijvoorbeeld in de zorg, de bouw en de verpakkingsindustrie.
WISKUNDEWEETJE
Hoe maak je een bal? 8
1.1 Ruimtefiguren 10
1.2 Aanzichten en doorsnedes 16
1.3 Een 3D-figuur en uitslag tekenen 22
1.4 Inhoud en gewicht 28
1.5 Inhoud van ruimtefiguren 34
HAVO Figuren in de ruimte 40
Toetsvoorbereiding 44
Wiskundeweetje – Hoe maak je een bal?
doel → Je leert dat een bal met meerdere stukken stof of leer moet worden gemaakt.
ɲ Een ronde vorm
Wil je een mooie ronde bal maken? Dat is niet zo makkelijk. Eén lap stof kun je niet rond vouwen. Dan komen er kreukels in. Ook van een vel papier kun je geen ronde vorm maken. Je zult moeten knippen of snijden om er een bal van te maken. De meeste ballen bestaan dan uit ook meerdere lappen stof die aan elkaar genaaid zijn.
Rond 1970 werd een voetbal gemaakt die uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken bestond. De vijfhoeken en zeshoeken zijn regelmatige vlakke figuren.
Bij een regelmatige vlakke figuur zijn:
ɲ alle hoeken even groot; ɲ alle zijden even lang.
Tot in de 19e eeuw werd voetbal bijvoorbeeld met een opgeblazen varkensblaas gespeeld. Rond 1900 werd een voetbal van leer gemaakt; een veel steviger materiaal. Om een mooie ronde voetbal te maken, werden platte stukken leer in een bepaalde vorm geknipt en aan elkaar genaaid.
108°
120°
regelmatige vijfhoek regelmatige zeshoek
Ook zonder regelmatige vlakke figuren kun je een ronde vorm maken. Kijk bijvoorbeeld maar eens naar de ballen die bij volleybal of honkbal worden gebruikt.
American football en rugby worden met een bijzondere bal gespeeld. Deze bal is niet rond, maar wordt toch ‘bal’ genoemd!
ɲ Voetbal
oude voetballen
ɲ Andere ballen
Hoe maak je een bal?
1 a Wat geldt er voor de hoeken van een regelmatige vlakke figuur? r
b Een vierkant is ook een regelmatige vlakke figuur. Leg uit waarom. t2
2 Werkblad 1.2
Hieronder zie je zes regelmatige vlakke figuren. t1
a Meet één hoek van de gelijkzijdige driehoek.
b Vul in de tabel op het werkblad de grootte van de hoek in.
c Vul ook het aantal hoeken in.
d Doe hetzelfde voor de andere vijf regelmatige vlakke figuren.
e Bereken telkens de som van alle hoeken en vul de uitkomst in de laatste kolom van de tabel in.
3 Je kunt de som van alle hoeken van een regelmatige
vlakke figuur ook berekenen met een woordformule: som van de hoeken = (aantal hoeken – 2) × 180
a Vul het aantal hoeken van een regelmatige zeshoek in de woordformule in en bereken de uitkomst. t1
b Is de uitkomst van opdracht a gelijk aan de uitkomst in de tabel van opdracht 2? t1
c Bereken de som van de hoeken van een regelmatige 50-hoek. i
4 Werkblad 1.4
a Welke soort regelmatige vlakke figuren zijn gebruikt om de onderstaande ballen te maken? t2
b Knip de bouwplaten op het werkblad uit en plak ze zo aan elkaar dat er een bal ontstaat. t2
1 2
gelijkzijdige driehoek vierkant regelmatige vijfhoek
regelmatige zeshoek regelmatige achthoek regelmatige tienhoek
vlakke figuur grootte van één hoek aantal hoeken som van alle hoeken
gelijkzijdige driehoek 180 vierkant …
Woorden
vijfhoek regelmatige vlakke figuur zeshoek
Doel bereikt?
ɲ Ik weet dat een bal uit meerdere delen bestaat. Ook weet ik wat een regelmatige vlakke figuur is. r
ɲ Ik kan een regelmatige vlakke figuur herkennen en benoemen. t1
ɲ Ik kan bepalen uit welk soort vlakke figuren een bal bestaat. t2
ɲ Ik begrijp waarom ik meerdere vlakke figuren nodig heb om een ronde vorm te maken. i
Ruimtefiguren
doel → Je leert wat ruimtefiguren zijn en uit welke onderdelen een ruimtefiguur bestaat. Ook leer je welke eigenschappen een balk, een kubus en een prisma hebben.
Balk en kubus
Een ruimtefiguur is een figuur in de ruimte. Dit heet ook
wel een 3D-figuur of een driedimensionale figuur.
ɲ Een ruimtefiguur heeft een lengte, een breedte en een hoogte.
ɲ De zijkanten van een ruimtefiguur heten grensvlakken
ɲ Een lijnstuk waar twee grensvlakken samenkomen, heet een ribbe.
ɲ In een hoekpunt komen drie of meer ribben samen.
Balk
Een balk is een ruimtefiguur met:
ɲ zes rechthoekige grensvlakken, waarvan de aanliggende grensvlakken loodrecht op elkaar staan;
ɲ twaalf ribben;
ɲ acht hoekpunten.
Voorbeeld 1 ▸
In balk ABCD.EFGH is:
ɲ BCGF een grensvlak;
ɲ H een hoekpunt;
ɲ AB een ribbe;
ɲ AD // EH;
ɲ AD ⊥ AE.
Kubus
Een kubus is een ruimtefiguur met:
ɲ zes even grote vierkante grensvlakken, waarvan de aanliggende grensvlakken loodrecht op elkaar staan;
ɲ twaalf ribben;
ɲ acht hoekpunten.
Voorbeeld 2 ▸
In kubus KLMN.PQRS is bijvoorbeeld vierkant KNSP even groot als vierkant PQRS.
Een prisma is een ruimtefiguur.
ɲ Het grondvlak en het bovenvlak zijn:
ɲ gelijk;
ɲ evenwijdig;
ɲ verbonden met rechthoekige zijvlakken
Voorbeelden ▸
1 Dit prisma heeft 9 grensvlakken.
Het bovenvlak en het grondvlak zijn:
ɲ gelijke zevenhoeken;
ɲ evenwijdige zevenhoeken;
ɲ verbonden met zeven rechthoekige zijvlakken.
2 In dit prisma zijn de driehoeken ABC en DEF evenwijdig en gelijk.
ɲ ΔABC is het grondvlak en ΔDEF is het bovenvlak.
ɲ De drie zijvlakken zijn: DACF, EBCF en DABE.
Let op:
Het grondvlak van een prisma hoeft niet op de grond te liggen. Het bovenvlak hoeft niet het bovenste vlak te zijn (zie voorbeeld 2). bovenvlak grondvlak
Prisma
Balk en kubus
5 Geef een andere benaming voor een ruimtefiguur. r
6 Neem over en vul in. t1
Kies uit: grensvlak / ribbe / hoekpunt
DH is een ………
C is een
ADHE is een ………
7 Werkblad 1.7
Op het werkblad zie je ruimtefiguur ABCD.EFGH.
a Wat voor soort ruimtefiguur is dit? t1
b Geef ribbe CD een kleur. t1
c Geef alle ribben die evenwijdig zijn aan ribbe CD dezelfde kleur. t2
d Hoeveel ribben heb je gekleurd? t1
e Kleur grensvlak ABFE en geef het grensvlak er tegenover dezelfde kleur. t2
f Welk grensvlak ligt tegenover grensvlak BCGF? t2
g Welke vorm heeft grensvlak BCGF? t2
8 Hiernaast zie je kubus KLMN.PQRS. t2
a Welke ribben staan loodrecht op ribbe LM?
b Welke grensvlakken staan loodrecht op grensvlak PQRS?
9 Je ziet hieronder drie ruimtefiguren. Neem de tabel over en vul deze in. t1 soort aantal hoekpunten aantal ribben aantal grensvlakken
10 Je ziet hiernaast een prisma.
a Neem over en vul in. t2
AB // … DF // …
EF // CF // //
b Wat is de vorm van het grondvlak en het bovenvlak? t2
11 a Welke van deze ruimtefiguren zijn prisma’s? t1
b Hoeveel hoekpunten hebben de grondvlakken van de prisma’s? t2
12 Waarom kan een figuur met 3 hoekpunten geen ruimtefiguur zijn? i
doel → Je leert welke eigenschappen een piramide, een kegel, een cilinder en een bol hebben.
Piramide en kegel
Een piramide en een kegel zijn ruimtefiguren met een top in plaats van een bovenvlak.
Piramide
Een piramide heeft vier of meer grensvlakken:
ɲ een grondvlak met hoekpunten;
ɲ driehoekige zijvlakken die op het grondvlak staan en samenkomen in de top.
De hoogte van de piramide is de lengte van de loodlijn tussen de top en het grondvlak.
Voorbeelden ▸
1 Piramide ABCD.T heeft:
ɲ een vierkant grondvlak;
ɲ vier zijvlakken, namelijk
ABT, BCT, CDT en ADT
2 Piramide KLMNOP.T heeft:
ɲ een zeshoekig grondvlak;
ɲ zes driehoekige zijvlakken.
Kegel
Een kegel heeft twee grensvlakken:
ɲ een cirkelvormig grondvlak;
ɲ één gebogen zijvlak. Dit heet de kegelmantel top grondvlak kegelmantel
Cilinder en bol
Cilinder
Een cilinder is een ruimtefiguur met drie grensvlakken.
Het grondvlak en het bovenvlak zijn:
ɲ cirkelvormig;
ɲ gelijk;
ɲ evenwijdig;
ɲ verbonden door één gebogen zijvlak. Dit heet de cilindermantel grondvlak cilindermantel
Let op:
Een kegel en een cilinder hebben geen ribben, want een ribbe is altijd recht.
Bol
Een bol is een ruimtefiguur met:
ɲ een middelpunt;
ɲ één gebogen grensvlak.
De afstand van het middelpunt tot een punt op de bol is overal gelijk. Deze afstand is de straal.
middelpunt
bol straal
Piramide en kegel
13 a Noem de twee grensvlakken van een kegel. r
b Wat is het verschil tussen het grondvlak van een kegel en dat van een piramide? t1
14 Werkblad 1.14
Op het werkblad zie je piramide KLMN.T. t1
a Kleur het grondvlak rood.
b Kleur de zijvlakken groen.
c Schrijf de letter T bij de top.
d Schrijf de juiste letters bij de andere hoekpunten.
15 In piramide ABCD.T hebben alle ribben van het grondvlak dezelfde lengte.
a Welke vorm heeft het grondvlak? t2
b Hoeveel opstaande ribben heeft deze piramide? t1
c Je wilt de piramide nabouwen.
Hoeveel cm ijzerdraad heb je nodig voor alle ribben? i
16 Je ziet hier een kegel. Het grondvlak heeft een straal van 4 cm. Je vindt de rekenregels voor vlakke figuren uit leerjaar 1 in de bijlage (zie bladzijde 145). t1
a Teken het grondvlak op ware grootte.
b Bereken de omtrek van het grondvlak.
c Bereken de oppervlakte van het grondvlak.
17 Hoeveel zijvlakken heeft een piramide met 13 hoekpunten? i
Cilinder en bol
18 Werkblad 1.18
a Kleur van cilinder A het grondvlak en het bovenvlak. t1
b Kleur van cilinder B de cilindermantel. t1
c Teken het grondvlak van elk van de cilinders op ware grootte. t2
7 cm 5 cm
19 Vul het juiste woord in. r
De afstand van het tot een punt op de bol is overal gelijk. Deze afstand is de ……… .
20 Hieronder staan 4 ruimtefiguren. Neem de tabel over en vul hem in. t1
figuur soort aantal grensvlakken aantal hoekpunten aantal ribben
ɲ breinbreker
Waarom kan een balk wel bestaan uit 2 vierkanten en 4 rechthoeken, maar niet uit 4 vierkanten en 2 rechthoeken?
Praktische wiskunde – Ruimtefiguren om je heen
doel → Je leert ruimtefiguren herkennen in je omgeving.
Nhow Hotel RAI, Amsterdam
Als je om je heen kijkt, kun je allerlei verschillende ruimtefiguren in gebouwen herkennen.
Als je rondom zo’n gebouw loopt, zie je dat de zijvlakken de vorm van een vlakke figuur hebben, bijvoorbeeld de vorm van een rechthoek of een driehoek.
Als je met een drone boven zo’n gebouw vliegt, kun je de vorm van de bovenkant goed bekijken.
Woordformules vlakke figuren:
omtrek rechthoek = 2 × lengte + 2 × breedte oppervlakte rechthoek = lengte × breedte oppervlakte driehoek = basis × hoogte : 2 omtrek cirkel = π × diameter oppervlakte cirkel = π × straal × straal kantoorgebouw, Polen
Paleis van Vrede en Verzoening, Kazachstan
flatgebouw, Almere
Ruimtefiguren om je heen
Voor de opdrachten 21 tot en met 24 gebruik je de afbeeldingen van de gebouwen op de linkerbladzijde.
21 Het Nhow Hotel RAI in Amsterdam is opgebouwd uit drie ruimtefiguren.
a Welk ruimtefiguur herken je in het bovenste deel? t1
b Welke vorm hebben de zijvlakken van dit deel? t1
c Welke vorm heeft het bovenvlak van dit deel? t1
d De zijde van het bovenvlak is 59,15 m. De hoogte van deze figuur is 51,23 m. Bereken de oppervlakte van het bovenvlak. t2
22 a Welke ruimtefiguur herken je in het Paleis van Vrede en Verzoening? t1
b Je maakt met een drone precies midden boven het Paleis een foto. Welke vlakke figuur zie je op de foto? t2
Woorden
ruimtefiguur zijvlak
3D-figuur piramide driedimensionaal kegel grensvlak top ribbe gebogen zijvlak balk kegelmantel kubus cilinder prisma cilindermantel grondvlak bol bovenvlak
23 Het flatgebouw op de linker pagina is 12 m breed en 60 m lang.
a Welke ruimtefiguur herken je? t1
b Bereken de oppervlakte van het dak. t1
c Om het dak komt een hek. Bereken de lengte van het hek. t1
d Een derde deel van het dak wordt gebruikt voor zonnepanelen. Hoeveel m2 is dat? t2
24 a Welke ruimtefiguur herken je in het Poolse kantoorgebouw? t1
b Als je het kantoorgebouw van bovenaf bekijkt, welke vorm heeft het bovenvlak dan? t2
Boven op het Poolse kantoorgebouw komt een helikopterplatform. Rondom het dak wordt een hek geplaatst. De diameter van het gebouw is 30,5 m.
c Hoe lang is het hek? Rond af op hele m. t2
d Bereken de oppervlakte van het dak. Rond af op hele m2. t2
e Voor het helikopterplatform wordt 1 8 deel van het dak groen geverfd. Hoeveel hele m2 is dit? t2
Doelen bereikt?
ɲ Ik weet wat een ruimtefiguur is. Ook weet ik wat een balk, een kubus, een prisma, een piramide, een kegel, een cilinder en een bol zijn. r
ɲ Ik kan verschillende soorten ruimtefiguren herkennen. Ook kan ik de verschillende onderdelen van ruimtefiguren benoemen. t1
ɲ Ik kan de eigenschappen van ruimtefiguren gebruiken bij het beantwoorden van vragen. t2
ɲ Ik begrijp welke eigenschappen kenmerkend zijn voor bepaalde ruimtefiguren. Met mijn kennis over ruimtefiguren kan ik redeneren over de vorm van gebouwen. i
1.2 Aanzichten en doorsnedes
doel → Je leert wat een aanzicht is en hoe je aanzichten tekent.
Aanzichten
Op een 3D-tekening kun je niet alle kanten goed zien. Daarom teken je aanzichten van de kanten. Een aanzicht is een 2D-figuur. Als je vanaf de voorkant naar een 3D-figuur kijkt, dan zie je het vooraanzicht. Kijk je vanaf de zijkant, dan zie je een zijaanzicht. Kijk je vanaf boven, dan zie je het bovenaanzicht
vooraanzicht bovenaanzicht rechter zijaanzicht
Voorbeeld 1 ▸
Drie aanzichten van dit bouwwerk zijn:
vooraanzicht bovenaanzicht rechter zijaanzicht
ɲ Ook een balk heeft aanzichten.
Voorbeeld 2 ▸
Balk ABCD.EFGH is een ruimtefiguur. De aanzichten zijn:
vooraanzicht bovenaanzicht zijaanzicht
Aanzichten tekenen
Van een stapel kubussen van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm kun je zelf aanzichten tekenen op roosterpapier. Dat doe je zo:
ɲ Draai de stapel in je hoofd totdat je het juiste aanzicht voor je hebt.
ɲ Teken voor elke kubus die je ziet een vierkant van 1 cm bij 1 cm op de juiste plek op roosterpapier.
ɲ Bij het bovenaanzicht schrijf je in elk vierkant hoeveel kubussen er op elkaar gestapeld zijn.
Voorbeelden ▸
1 Teken de aanzichten van de stapel kubussen hierboven.
vooraanzicht bovenaanzicht
rechter zijaanzicht
2 Teken het vooraanzicht, een zijaanzicht en het bovenaanzicht van piramide ABCD.T.
vooraanzicht bovenaanzicht (de diagonalen zijn de opstaande ribben) zijaanzicht
Aanzichten
25 Van een 3D-tekening kun je verschillende aanzichten tekenen. Noem drie aanzichten. r
26 Je ziet hieronder vier aanzichten van een vliegtuig.
a Wat voor soort aanzicht is figuur A? t1
b Welke figuur is het rechter zijaanzicht? t1
c De spanwijdte is de afstand tussen de uiteinden van beide vleugels. In welke aanzichten kun je de spanwijdte van dit vliegtuig bepalen? t2
27 Werkblad 1.27
Kleur op het werkblad de aanzichten van het bouwwerk hiernaast op de juiste manier in. t2
voor zij
28 Je fotografeert van verschillende kanten een huis.
a Op welke plaats stond je voor foto A? t2
b Waar stond je bij het maken van foto B? En foto C? i
c Teken het aanzicht vanuit de overgebleven plaats. t2
Aanzichten tekenen
29 a Uit hoeveel kubussen bestaat de stapel hiernaast? t1
b Teken het vooraanzicht en het rechter zijaanzicht. t1
c Teken het bovenaanzicht. Schrijf in elk vierkant van het bovenaanzicht het aantal op elkaar gestapelde kubussen. t1
d Tel de getallen in het bovenaanzicht bij elkaar op. t1
e De antwoorden bij opdracht a en opdracht d moeten gelijk zijn. Leg uit waarom. t2
30 Je ziet het bovenaanzicht van een stapel kubussen.
a Teken het vooraanzicht van de stapel. t1
b Teken het rechter zijaanzicht van de stapel. t1
c Teken het linker zijaanzicht. t1
d Vergelijk de zijaanzichten van opdracht b en opdracht c. Wat valt je op? t2
e Je kunt aan de stapel kubussen een kubus toevoegen zonder dat het vooraanzicht en de zijaanzichten veranderen. Neem het bovenaanzicht over en geef aan waar dit kan. i
31 Teken op ware grootte het vooraanzicht, een zijaanzicht en het bovenaanzicht van de onderstaande ruimtefiguren. t2
doel → Je leert wat een doorsnede is en hoe je het diagonaalvlak van een balk op ware grootte tekent.
Doorsnedes
Een 3D-figuur kun je op verschillende manieren doorsnijden. Het snijvlak is het vlak waarlangs een 3D-figuur is doorgesneden. Een tekening van dit snijvlak heet de doorsnede.
Voorbeelden ▸
1 Dit ei is op vier verschillende manieren doorgesneden. Elke doorsnede ziet er anders uit.
Doorsnedes
op ware grootte tekenen
Als de afmetingen van een ruimtefiguur zijn gegeven, kun je een doorsnede op ware grootte tekenen.
Voorbeeld 1 ▸
Door het midden van de cilinder is een verticale doorsnede getekend. Teken de doorsnede op ware grootte.
ɲ De vorm van de doorsnede is een rechthoek.
ɲ De straal van het grondvlak is 4 cm. De lengte van de rechthoek is gelijk aan de diameter van het grondvlak: 2 × 4 = 8 cm.
ɲ De hoogte van de cilinder is 6 cm, dus de breedte van de doorsnede is 6 cm.
2 ɲ Als je deze cilinder verticaal doorsnijdt, is de doorsnede een rechthoek.
ɲ Als je deze cilinder horizontaal doorsnijdt, is de doorsnede een cirkel met dezelfde vorm en grootte als het grondvlak.
Je kunt een balk of kubus doormidden snijden over een diagonaal van een grensvlak. Je noemt deze doorsnede een diagonaalvlak
ɲ Een diagonaalvlak is een rechthoek.
Voorbeeld ▸
3 In de balk ABCD.EFGH is EBCH een diagonaalvlak.
Een diagonaalvlak van een balk op ware grootte tekenen, doe je zo:
Voorbeeld 2 ▸
Teken het diagonaalvlak van de balk ABCD.EFGH uit de linker kolom op ware grootte.
1 Maak een schets van het diagonaalvlak. Zet de hoekpunten erbij en de afmetingen die je weet.
2 Bepaal in de balk het aanzicht waarvan de onbekende zijde in je schets de diagonaal is. Teken dit aanzicht op ware grootte.
3 Meet de diagonaal van het aanzicht. Zet deze afmeting in je schets.
4 Teken het diagonaalvlak op ware grootte.
Doorsnedes
32 Welke vorm heeft het diagonaalvlak van een balk? r
33 Een appel is op drie manieren doorgesneden. Welke doorsnede hoort bij welk snijvlak ? t1
B C
34 a Je snijdt piramide A verticaal doormidden. Welke vorm heeft de doorsnede? t1
b Je snijdt piramide B horizontaal door.
Welke vorm heeft de doorsnede? t1
35 Je ziet balk ABCD.EFGH met doorsnede ABGH.
a Welke vorm heeft de doorsnede? t1
b Hoe noem je zo’n soort doorsnede? t1
c Geef een andere doorsnede van de balk met dezelfde vorm en afmeting. t2
d Hoeveel verschillende diagonaalvlakken heeft een balk? i
Doorsnedes op ware grootte tekenen
36 De balk hieronder wordt evenwijdig aan het zijvlak doorgezaagd.
a Welke vorm heeft de doorsnede van de balk? t1
b Teken de doorsnede op ware grootte. t2
c Welke vorm heeft een verticale doorsnede die niet evenwijdig is aan het zijvlak? I
37 Je ziet hiernaast kubus ABCD.EFGH. t1
a Maak een schets van diagonaalvlak
AFGD en zet een vraagteken bij de zijde die je niet weet.
b Van welk grensvlak is zijde AF de diagonaal?
c Teken het grensvlak van opdracht b op ware grootte en meet de diagonaal.
d Zet de lengte van de diagonaal in de schets van opdracht a.
e Teken nu het diagonaalvlak van opdracht a op ware grootte.
38 Je ziet balk ABCD.EFGH.
Teken het diagonaalvlak
ACGE op ware grootte. t2
ɲ breinbreker
a Je snijdt een hoek af van een kubus. Welke vorm heeft de doorsnede?
b Je snijdt een stuk af van een bol. Welke vorm heeft de doorsnede?
Praktische wiskunde – Toepassing van doorsnedes
doel → Je leert hoe doorsnedes worden gebruikt in de gezondheidszorg en in de aardrijkskunde.
In de geneeskunde wordt soms een doorsnede van een deel van het lichaam gemaakt. Het lichaam wordt dan natuurlijk niet echt doorgesneden, maar er wordt met een MRI-scan een digitale doorsnede gemaakt, bijvoorbeeld van de hersenen of van de knie.
In de aardrijkskunde wordt soms gebruikgemaakt van een getekende doorsnede van de aarde of een deel daarvan. Op die manier kun je de hoogteverschillen goed zien. Of je kunt laten zien hoe de aarde er vanbinnen uitziet.
doorsnede van Nederland bij de blauwe lijn op de kaart
afstand vanaf de Noordzee (km)
boven zeeniveau NAP onder zeeniveau
hoogte boven NAP (m) –6,8
Toepassing van doorsnedes
39 Je ziet hier 6 MRI-scans van een hoofd. Geef aan welke scan bij welke doorsnede hoort. t2
41 Je ziet een doorsnede van de aardbol bij de evenaar.
a Hoe dik is de aardmantel? t1
b Wat is de diameter van de binnenkern? t2
c Bereken de omtrek van de aarde bij de evenaar. t2
diepte in km
40 Op de linkerbladzijde zie je een doorsnede van Nederland.
a Hoeveel meter ligt Nederland boven NAP bij de grens met Duitsland in deze doorsnede? t1
b Wat is het verschil tussen het hoogste en het laagste punt in de doorsnede? t2
c Wat is het verschil tussen het laagste punt en het niveau bij de zee? t2
binnenkern buitenkern aardmantel korst
Woorden
aanzicht bovenaanzicht
2D-figuur snijvlak vooraanzicht doorsnede zijaanzicht diagonaalvlak
Doelen bereikt?
ɲ Ik weet wat een aanzicht en een doorsnede zijn. Ook weet ik wat een diagonaalvlak is. r
ɲ Ik kan het vooraanzicht, een zijaanzicht, het bovenaanzicht en de doorsnede van een ruimtefiguur herkennen. Ook kan ik de aanzichten van een ruimtefiguur tekenen. t1
ɲ Ik kan een aanzicht en een doorsnede op ware grootte tekenen. Ook kan ik mijn kennis over doorsnedes toepassen in praktijksituaties, zoals bij MRI-scans en bij aardrijkskundige vragen. t2
ɲ Ik kan beredeneren welke vorm een schuine doorsnede heeft. i
Een 3D-figuur en uitslag tekenen
doel → Je leert een balk en een kubus in 3D tekenen.
Diepte
Een vlakke figuur heeft twee dimensies: lengte en breedte. Een ruimtefiguur heeft drie dimensies: lengte, breedte en hoogte.
Om drie dimensies op een plat vlak te laten zien, teken je de lengte of breedte van de ruimtefiguur schuin naar achteren. Op die manier breng je diepte aan in je tekening.
ɲ Bij een balk en een kubus breng je diepte aan door:
ɲ De ribben die diepte aangeven schuin naar achteren te tekenen.
ɲ De ribben die je niet kunt zien met stippellijnen te tekenen.
Balk en kubus tekenen in 3D
Een kubus ABCD.EFGH met ribben van 4 cm tekenen in 3D doe je zo:
1 Teken het voorvlak op ware grootte.
balk in 3D
ɲ Bij een cilinder breng je diepte aan door:
ɲ het cirkelvormige grondvlak en het bovenvlak als een ovaal te tekenen.
ɲ Bij een kegel breng je diepte aan door:
ɲ het cirkelvormige grondvlak als een ovaal te tekenen.
2 Teken het rechter zijvlak. Neem voor de ribben die de diepte aangeven ongeveer de helft van de echte lengte en eindig op een roosterpunt. Hier ga je bijvoorbeeld twee vakjes naar rechts en één omhoog.
3 Teken het bovenvlak. Evenwijdige ribben zijn even lang.
4 Teken de ribben die je niet ziet als stippellijnen. Evenwijdige ribben zijn even lang.
5 Zet de letters bij de hoekpunten.
geen diepte wel diepte
Diepte
42 Hoe breng je diepte aan in een tekening? r
43 Werkblad 1.43
Op het werkblad zijn het voorvlak en het achtervlak van een balk getekend op ware grootte.
a Maak de 3D-tekening van de balk af. Teken de ribben die diepte aangeven schuin naar achteren. Let op: gebruik een stippellijn voor de ribbe die je niet ziet. t1
b Wat is de lengte van de balk? t1
c Wat is de hoogte van de balk? t1
d Wat is de breedte van de balk ongeveer? t2
44 Werkblad 1.44
Op het werkblad zie je het voorvlak en het achtervlak van een prisma getekend. Maak de 3D-tekening af. t1
Balk en kubus tekenen in 3D
45 Teken de kubus van de linkerbladzijde na. t1
46 a Teken het voorvlak ABFE van balk ABCD.EFGH op ware grootte. t1
b Teken de balk verder af. t1
47 Teken de volgende ruimtefiguren. t1
a een balk van 8 cm lang, 6 cm breed en 4 cm hoog
b een kubus met ribben van 3 cm
48 Werkblad 1.48
Op het werkblad zie je het begin van een balk in 3D.
Maak de balk af. t2
49 Werkblad 1.49
Op het werkblad zie je het woord KERN. Van deze letters kun je 3D-letters maken. Bij de letter K is een begin gemaakt. t2
a Maak het woord KERN in 3D af.
b Kleur de zijvlakken.
c Kleur de bovenvlakken met een andere kleur.
ɲ breinbreker
a Waarom zijn dit geen ruimtefiguren?
b Teken één van de figuren na.
doel → Je leert wat de uitslag van een ruimtefiguur is en hoe je deze tekent.
Uitslag
ɲ Als je een ruimtefiguur losknipt over een aantal ribben, zodat je deze plat kunt neerleggen, krijg je een uitslag. Als je de ruimtefiguur over andere ribben losknipt, ziet de uitslag er ook anders uit.
Voorbeeld 1 ▸
Twee uitslagen van een kubus.
Uitslag tekenen
Als je een uitslag tekent, teken je alle grensvlakken van de figuur op ware grootte.
ɲ Bij een balk en een kubus kun je dat zo doen:
1 Teken het grondvlak.
2 Teken aan elke zijde een zijvlak.
3 Teken het bovenvlak aan één van de zijvlakken.
Voorbeeld 1 ▸
Teken een uitslag van deze balk.
ɲ Bij een cilinder en een kegel moet je de mantel doorknippen om een uitslag te krijgen.
Voorbeeld 2 ▸
Een uitslag van een cilinder.
ɲ Als er letters bij de hoekpunten van een ruimtefiguur staan, zie je deze ook in de uitslag. Sommige letters komen vaker voor in de uitslag.
ɲ Bij een piramide heb je alleen stappen 1 en 2 nodig.
Voorbeeld 2 ▸
De uitslag van piramide ABCD T
ɲ Bij een cilinder teken je de uitslag zo:
1 Teken de cilindermantel op ware grootte.
Dit is een rechthoek.
2 Teken het grondvlak en het bovenvlak als cirkels aan de juiste zijden. Teken de cirkels tegenover elkaar.
Uitslag
50 Wat is een uitslag van een ruimtefiguur? r
51 Geef bij elke uitslag aan welk soort ruimtefiguur erbij hoort. t1 A B C
52 Werkblad 1.52
Op het werkblad zie je vier uitslagen van een kubus. Het grondvlak is telkens gekleurd. Kleur in de uitslagen ook het bovenvlak. t2
53 Werkblad 1.53
Op het werkblad zie je de uitslagen van een balk en een piramide. Schrijf de letters van de hoekpunten op de juiste plek.
Let op: sommige letters komen vaker voor. t2
Uitslag tekenen
54 Werkblad 1.54
Op het werkblad is een begin gemaakt van een uitslag van een balk.
Maak de uitslag af. t1
55 In opdracht 52 zie je vier verschillende uitslagen van een kubus. Teken zelf drie andere uitslagen van een kubus. i
56 a Teken het grondvlak van deze cilinder op ware grootte. t1
b Bereken de omtrek van het grondvlak. Rond af op één decimaal. t1
c Neem over en vul in. t2
Kies uit: rechthoek / hoogte / rechthoek / omtrek
De cilindermantel is een ……… .
De lengte van de is gelijk aan de van de cirkel en de breedte is gelijk aan de ……… van de cilinder.
d Teken de rechthoek tegen de cirkel aan. t2
e Teken het bovenvlak aan de andere kant van de rechthoek. t2
57 a Teken de uitslag van de piramide op ware grootte. t2
b Meet ribbe NT. Hoeveel cm is ribbe NT? t2
58 Waarom kun je geen uitslag tekenen van een bol? i
Praktische wiskunde – Eenpuntsperspectief
doel → Je leert diepte te tekenen met eenpuntsperspectief.
De rails lopen evenwijdig, maar op de foto lijken ze elkaar in de verte te snijden.
De manier waarop je in deze paragraaf hebt geleerd hoe je diepte kunt aanbrengen in je tekening heet parallelprojectie. Parallel is een ander woord voor ‘evenwijdig’: je tekent lijnen die in het echt evenwijdig lopen en even lang zijn op de tekening ook evenwijdig en even lang.
Maar als je om je heen kijkt, lijken dingen die verder weg zijn kleiner dan dingen die dichterbij staan. Als je dit in je tekening wilt laten zien, gebruik je eenpuntsperspectief.
In zo’n 3D-tekening zijn de lijnen die diepte aangeven en in het echt evenwijdig lopen, op de tekening niet meer evenwijdig. Als je ze denkbeeldig verlengt, snijden ze elkaar in het verdwijnpunt op de horizon. Dingen die verder weg liggen, zijn op de tekening kleiner.
verdwijnpunt
Een balk in eenpuntsperspectief teken je zo
1 Teken een horizontale lijn. Dit is de horizon.
2 Kies op de horizon het verdwijnpunt.
3 Teken het voorvlak van de balk.
4 Teken stippellijnen van de hoekpunten van de balk naar het verdwijnpunt.
5 Teken tussen de stippellijnen de verticale en horizontale lijnstukken van het achtervlak.
6 Maak de balk af door de ribben die diepte aangeven over de stippellijnen te tekenen.
Let op: de horizon kan op verschillende hoogtes liggen en het verdwijnpunt kun je overal op de horizon tekenen.
Eenpuntsperspectief
59 Noem twee manieren van tekenen waarmee je diepte aanbrengt in je tekening. r
60 Werkblad 1.60
Je ziet hieronder de voorvlakken van twee balken. Ook de horizon en het verdwijnpunt zijn getekend.
a Bij de linker balk zijn de stippellijnen van de hoekpunten naar het verdwijnpunt al getekend. Maak de balk af. Kies zelf hoe diep de balk is. t1
b Teken bij de rechter balk zelf de stippellijnen naar het verdwijnpunt. Maak de balk daarna af. t1
c Teken in beide balken een deur in het voorvlak en een raam in het zijvlak. t2
horizon
61 Werkblad 1.61
Op het werkblad zie je twee voorvlakken van een balk. De horizon is al getekend.
a Kies zelf de plaats voor het verdwijnpunt en maak de balken af. t1
b Wat is het verschil tussen de balken in je tekening? t2
c Leg uit hoe het verschil van opdracht b ontstaat. i
Woorden
diepte eenpuntsperspectief uitslag verdwijnpunt parallelprojectie horizon parallel
62 Werkblad 1.62
Op het werkblad staan de drie foto’s van de linkerbladzijde.
a Teken op alle foto’s de horizon. t2
b Teken op alle foto’s het verdwijnpunt. t2
c De voorste lantaarnpalen op de brug lijken groter dan de lantaarnpalen die erachter staan. Laat met stippellijnen zien of dit echt zo is. i
63 Werkblad 1.63
Je ziet hier het begin van een eenpuntsperspectief tekening. De twee strepen die er al staan kunnen een weg zijn, of de rails van een treinspoor. Kies wat jij leuk vindt. Teken gebouwen, bomen of palen langs de weg of de rails. Maak de tekening af. i
horizon
Doelen bereikt?
ɲ Ik weet hoe je een 3D-figuur op roosterpapier tekent. Ook weet ik wat een uitslag is. r
ɲ Ik kan herkennen van welk ruimtefiguur een uitslag is. Ook kan ik een 3D-tekening en een uitslag tekenen van een balk en een kubus. t1
ɲ Ik kan een 3D-tekening en een uitslag tekenen van andere figuren dan een balk en een kubus. t2
ɲ Ik begrijp hoe ik diepte kan aanbrengen in een tekening. i
Inhoud en gewicht
doel → Je leert wat de inhoud van een figuur is, welke inhoudsmaten er zijn en hoe je inhoudsmaten omrekent.
Inhoud en inhoudsmaten
ɲ De inhoud van een 3D-figuur is een maat voor de hoeveelheid ruimte die een figuur inneemt.
ɲ Je meet de grootheid inhoud in inhoudseenheden.
ɲ Een kubus van 1 m bij 1 m bij 1 m heeft een inhoud van 1 m3. Je zegt: ‘één kubieke meter’.
Dit is de standaardeenheid voor inhoud.
ɲ 1 cm3 is de inhoud van een kubus van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm.
ɲ Je bepaalt de inhoud door te tellen hoeveel keer een inhoudseenheid in de figuur past.
Voorbeeld ▸
Bereken de inhoud van de balk. Elke kubus is 1 cm3.
In de bovenste laag van de balk tel je 20 kubussen.
Er zijn 3 lagen, dus in totaal zijn er 60 kubussen.
ɲ De inhoud van de balk is 60 cm3.
Inhoudseenheden omrekenen
In een kubus van 1 m3 passen 1000 kubussen van 1 dm3. In een kubus van 1 dm3 passen 1000 kubussen van 1 cm3.
ɲ Een andere inhoudsmaat is liter (L).
ɲ 1 deciliter (dL) = 0,1 L
ɲ 1 centiliter (cL)= 0,01 L
ɲ 1 milliliter (mL)= 0,001 L
ɲ In een kubus van 1 dm3 past precies 1 L.
ɲ In een kubus van 1 cm3 past precies 1 mL.
1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3
ɲ Voor het omrekenen van inhoudseenheden met de eenheid m3 kun je dit schema gebruiken:
ɲ Voor het omrekenen van inhoudseenheden met de eenheid liter kun je dit schema gebruiken:
Voorbeelden > 1 80 000 cm3 = 80 000 : 1 000 000 = 0,08 m3, want van cm3 naar m3 ga je in 2 stappen naar een eenheid die groter is, dus : 1000 : 1000 = : 1 000 000
2 0,758 km3 = 0,758 × 1000 = 758 hm3, want van km3 naar hm3 ga je in 1 stap naar een eenheid die kleiner is, dus × 1000
Inhoud en inhoudsmaten
64 Wat is de standaardeenheid voor inhoud? r
65 Neem over en vul in. t1
Kies uit: omtrek / oppervlakte / inhoud
a De ……… van het plein is 500 m2.
b De van het blik verf is 5 L.
c De ……… van het weiland is 600 m.
66 Bekijk de onderstaande stapels kubussen van 1 cm³. t1
a Uit hoeveel kubussen bestaat elke stapel?
b Wat is de inhoud van elk van de stapels?
A B C
67 Een doosje wordt helemaal gevuld met suikerklontjes. Eén suikerklontje is 1 cm bij 1 cm bij 1 cm.
a Wat is de inhoud van één suikerklontje? r
b Wat is de inhoud van het doosje? t1
68 In een hoek van een loods is een aantal dozen opgestapeld. Elke doos heeft de vorm van een kubus met een inhoud van 1 m³. t2
a Hoeveel dozen zijn hier opgestapeld?
b Wat is de inhoud van de stapel dozen?
Inhoudseenheden omrekenen
69 Geef het schema voor het omrekenen van inhoudseenheden met de eenheid m3. r
70 Neem over en vul in. t1
a 1 dm³ = …… cm³ d 1,5 cm³ = …… mm³
b 26 m³ = cm³ e 7600 hm³ = km³
c 3000 dm³ = …… m³ f 430 000 cm³ = …… m³
71 Neem over en vul in. t1
a 50 cL = …… mL d 7 300 000 mL = …… L
b 980 mL = dL e 0,33 L = cL
c 36 dm3 = …… L f 2,3 mL = …… cm3
72 Neem over en reken om. t1
a 0,5 m3 = …… L d 65 cL = …… cm3
b 7 cm3 = cL e 0,03 m3 = dL
c 1300 mL = …… dm3 f 0,25 dL = …… mm3
73 Bereken. t2
a 7 m³ + 400 dm³ = …… dm³
b 2 dm³ + 1000 mm³ = cm³
c 0,5 km³ + 1300 hm³ = …… km³
d 10 L – 2000 cm³ = …… dm³
74 Een zwembad heeft een inhoud van 8 m³. t2
a Hoeveel keer moet je een emmer van 10 L water leeggooien om het zwembad te vullen?
b Je hebt per emmer 1,5 minuut tijd nodig. Hoeveel minuten heb je nodig om het hele zwembad te vullen?
c Met een tuinslang komt er iedere minuut 16 liter in het zwembad. Hoeveel minuten duurt het nu om het hele zwembad te vullen?
doel → Je leert wat gewicht is, welke gewichtseenheden er zijn en hoe je gewichtseenheden omrekent.
Ook leer je hoe je een berekening met inhoud en gewicht maakt bij een verhaal.
Gewicht en gewichtseenheden omrekenen
ɲ Gewicht is de grootheid die aangeeft hoeveel iets weegt.
ɲ De standaardeenheid voor gewicht is kilogram (kg).
Gewichtseenheden die vaak gebruikt worden, zijn: ton, kilogram, gram (g) en milligram (mg).
ɲ 1 ton = 1000 kg
ɲ 1 kg = 1000 g
ɲ 1 g = 1000 mg
ɲ Voor het omrekenen van gewichtseenheden kun je dit schema gebruiken:
× 1000 × 1000 × 1000 : 1000 : 1000 : 1000 ton kg g mg
Voorbeelden ▸
1 21 ton = … kg
21 ton = 21 × 1000 = 21 000 kg
2 0,67 g = … mg
0,67 g = 0,67 × 1000 = 670 mg
3 8900 g = … kg
8900 g = 8900 : 1000 = 8,9 kg
Inhoud en gewicht in een verhaal
In een opdracht staat soms een verhaal waarin een berekening met inhoud of gewicht verwerkt is.
Zo pak je een opdracht met een verhaal aan:
1 Lees de opdracht en schrijf de getallen op waarmee je iets moet berekenen.
2 Schrijf de berekening op en bereken de uitkomst.
3 Geef het antwoord op de vraag in een zin.
4 Controleer je antwoord.
Voorbeelden ▸
1 Een fles frisdrank van 1,5 L weegt 1578 g. In één verpakking zitten 4 flessen van 1,5 L.
Je kunt in je fietstas niet meer dan 15 kg vervoeren. Hoeveel verpakkingen kun je maximaal vervoeren?
1 1578 g; 4 flessen; 15 kg.
2 4 × 1578 = 6 312 g = 6,312 kg
15 : 6,312 = 2,376...
3 Je kunt maximaal 2 verpakkingen vervoeren.
4 Controleer de uitkomst:
2 × 6,312 = 12,624 kg is minder dan 15 kg.
3 × 6,312 = 18,936 kg is meer dan 15 kg.
2 Een vrachtwagen vervoert dozen van 6,5 kg. In de laadruimte van de vrachtwagen passen 1250 dozen. De vrachtwagen wordt helemaal volgeladen. De lege vrachtwagen weegt 3 ton en de chauffeur weegt 95 kg. Wat is het totale gewicht in tonnen?
1 6,5 kg, 1250 dozen, 3 ton, 95 kg.
2 1250 × 6,5 = 8125 kg
3 ton = 3000 kg
8125 + 3000 + 95 = 11 220 kg = 11,22 ton
3 Het totale gewicht is 11,22 ton.
4 Controleer de uitkomst: de lege vrachtwagen weegt 3 ton. De dozen wegen ongeveer 8 ton. Dit is samen ongeveer 11 ton. Het antwoord kan kloppen.
Gewicht en gewichtseenheden omrekenen
75 Vul in. Kies uit: zwaarder / lichter t1
a Een ton is 1000 keer …… dan een kilogram.
b Een milligram is 1000 keer …… dan een gram.
76 Vul de juiste gewichtseenheden in. t1
Kies uit: ton / kg / g / mg
a Een velletje A4 weegt ongeveer 5 …… .
b Een Afrikaanse olifant weegt ongeveer 6 …… .
c Een volwassen persoon weegt ongeveer 75
d Een snufje zout weegt ongeveer 350 …… .
77 Neem over en vul in. t1
a 5000 kg = …… ton c 7 kg = …… g
b 40 000 mg = g d 810 000 g = kg
78 Neem over en vul in. t2
a 0,6 kg = …… g c 26 miljard mg = …… ton
b 2,5 ton = g d 0,4 miljoen mg = kg
79 Neem over en vul in. Kies uit: < / = / > t2
a 10 100 kg … 11 ton
b 25 ton … 25 miljard mg
c 120 g 100 g + 200 mg
d 79 g … 8000 mg – 1 g
e 1,6 kg … 1 kg + 500 g + 100 000 mg
Inhoud en gewicht in een verhaal
80 Een boer melkt zijn koeien twee keer per dag. Per keer geeft een koe gemiddeld 12,5 L melk. De boer vangt de melk op in een grote tank, waarin 6 m3 past. t2
a Hoeveel liter melk levert een koe ongeveer per dag?
b De boer heeft 120 koeien. Na hoeveel dagen is de tank vol?
81 De sticker hieronder staat op een doos kopieerpapier. De doos zelf weegt 0,25 kg en één A4’tje weegt 5 g. Hoeveel kg weegt een doos kopieerpapier? t2
OFFICE PAPER
COPY – LASER – INKJET
A4 – 210 × 297 5 × 500 vel/blatt/sheets/feuille
Hoogwit/Hochweiss/Highly White/Haute Blancheur
82 Een aannemer wil met een auto met aanhanger over een brug waar dit verkeersbord staat. Volgens het bord mag een voertuig dat zwaarder is dan 3,5 ton niet over de brug. De auto weegt 1550 kg en de aanhanger weegt 0,6 ton.
a Wat is het totale gewicht van de auto en aanhanger samen? t1
b Mag de aannemer over deze brug rijden? t2
Op de terugweg heeft de aannemer de aanhanger beladen met een kuub zand (1 m3). Het zand weegt 1,5 kg per dm3
c Mag hij op de terugreis over de brug rijden? Leg uit. i
83 Je hebt een glazen kubus van 1 dm bij 1 dm bij 1 dm gevuld met water. De kubus zelf weegt 500 g. Water weegt 1 kg per liter.
a Wat is de inhoud van de kubus? t1
b Hoeveel weegt de kubus gevuld met water? t1
c Past er 1 kg ijzer in de lege kubus? Leg uit. i
d Past er 1 kg piepschuim in de lege kubus? Leg uit. i
ɲ breinbreker
a Wat is zwaarder, 1 kg lood of 1 kg veren?
b Wat is zwaarder, 1 dm3 lood of 1 dm3 veren?
Praktische wiskunde – Inhoudsmaten in de Verenigde Staten
doel → Je leert rekenen met Amerikaanse inhoudsmaten.
In de Verenigde Staten worden andere eenheden gebruikt om de inhoud van vloeistoffen uit te drukken. Amerikanen gebruiken de eenheden gallon, quart, pint, cup en fluid ounces. Je koopt bijvoorbeeld een quart vruchtensap en je tankt gallons benzine.
1 gallon (gal) = 4 quarts (qt)
1 quart = 2 pints (pt)
1 pint = 2 cups (C)
1 cup = 8 fluid ounces (oz.)
Als je de Amerikaanse eenheden omrekent naar ons metrieke stelsel van liters, reken je met de volgende verhouding: 1 gallon is gelijk aan 3,785 L.
Inhoudsmaten in de Verenigde Staten
84 Reken om. t1
a 5 gal = …… qt d 3 gal = …… pt
b 0,5 qt = …… pt e 5 gal = …… oz.
c 8 C = oz. f 6 qt = C
85 Bereken. t1
a 3 gal 2 qt = …… qt c 5 pt 3 oz. = …… oz.
b 4 qt 1 pt = …… pt d 1 qt 2 C = …… C
86 Reken om. t1
a 18 C = pt d 64 oz. = C
b 28 qt = …… gal e 20 C = …… qt
c 13 pt = …… qt f 16 C = …… gal
87 Reken om. Rond af op één decimaal als dat nodig is. t1
a 4 gal = …… L c 1 pt = …… L
b 1 qt = …… L d 4 pt = …… L
88 Reken om. Rond af op één decimaal als dat nodig is. t2
a 2 C = mL c 4 oz. = mL
b 1 C = …… mL d 1 oz. = …… mL
89 Je verdeelt 5 cup soep eerlijk over 24 kleine soepkommen. Hoeveel oz. soep zit er in elke kom? t2
91 In een bak past 100 gallons water. Er zit al 10 gallons in. Hoeveel liter water past er nog bij? t2
92 Van een Amerikaanse vriend krijg je een recept toegestuurd voor een fruit and yoghurt smoothie. De lijst met ingrediënten ziet er zo uit:
2 bananas 2 cups strawberries
1 cup yoghurt
2 TSP orange juice
1 TBSP white sugar 2 TSP milk
½ cup pineapple juice
Vertaal het recept naar het Nederlands. Reken de hoeveelheden om naar mL. Gebruik het omrekenschema ‘Kitchen measurement’ op de linkerbladzijde. t2
Woorden
inhoud milliliter inhoudseenheid gewicht kubieke meter kilogram liter ton deciliter gram centiliter milligram
Doelen bereikt?
ɲ Ik weet wat inhoud en gewicht zijn. r
ɲ Ik kan inhoudseenheden en gewichtseenheden omrekenen. Ook kan ik de inhoud bepalen van een figuur die opgebouwd is uit kubussen. t1
ɲ Ik kan mijn kennis over de inhoud en het gewicht van een figuur gebruiken in praktijksituaties. t2
90 Een verpakking bevat 24 waterflesjes. In elke fles zit 12 oz. Als 30 mensen elk 1 cup van het water drinken, is één verpakking van 24 flesjes dan genoeg? t2
ɲ Ik begrijp dat de inhoud van een voorwerp niets zegt over het gewicht van dat voorwerp. i
Inhoud van ruimtefiguren
doel → Je leert hoe je de inhoud van een balk, een kubus en een prisma berekent.
Inhoud van een balk en een kubus
Inhoud balk
ɲ De inhoud van een balk bereken je zo:
inhoud balk = lengte × breedte × hoogte
Voorbeeld 1 ▸
Bereken de inhoud van de doos hieronder in cm3.
hoogte = 3 cm
breedte = cm
lengte = cm
ɲ De vorm van de doos is een balk.
inhoud balk = lengte × breedte × hoogte
= 21 × 4 × 3 = 252 cm3
Let op: als je de inhoud berekent, moeten alle maten dezelfde eenheid hebben.
Voorbeeld 2 ▸
Een balk is 1 m bij 40 cm bij 6 dm. Bereken de inhoud in dm3
ɲ Reken de maten om naar dm:
1 m = 10 dm; 40 cm = 4 dm.
inhoud balk = lengte × breedte × hoogte
= 10 × 4 × 6 = 240 dm3
Inhoud kubus
ɲ De inhoud van een kubus bereken je zo:
inhoud kubus = lengte × lengte × lengte
Voorbeeld 3 ▸
Bereken de inhoud van een kubus met ribben van 5 cm.
ɲ inhoud kubus = lengte × lengte × lengte
= 5 × 5 × 5 = 125 cm3
inhoud balk = lengte × breedte × hoogte
inhoud kubus = lengte × lengte × lengte
Inhoud van een prisma
ɲ De inhoud van een prisma bereken je zo: inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
Voorbeeld 1 ▸
Het grondvlak van dit prisma is 14 dm2. De hoogte is 4 dm.
Bereken de inhoud in dm3.
ɲ De oppervlakte van het grondvlak is gegeven, dus: inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte = 14 × 4 = 56 dm3
ɲ Als de oppervlakte van het grondvlak van een prisma niet is gegeven, bereken je de inhoud zo:
Voorbeeld 2 ▸
Bereken de inhoud van dit prisma in dm3
1 Bepaal welk grensvlak het grondvlak is en welke vorm dit grondvlak heeft.
Het grondvlak is een driehoek.
2 Bereken de oppervlakte van dit grondvlak. oppervlakte driehoek = basis × hoogte : 2 = 100 × 77 : 2 = 3850 cm2
3 Bereken de inhoud van het prisma. inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte = 3850 × 120 = 462 000 cm3
ɲ De inhoud van het prisma is 462 000 cm3 = 462 dm3.
Let op: de hoogte van het grondvlak is niet hetzelfde als de hoogte van het prisma.
inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
Inhoud van een balk en een kubus
93 Geef de woordformules voor het berekenen van de inhoud van de volgende ruimtefiguren. r
a een balk b een kubus
94 Waarom hoef je van een kubus alleen de lengte van één ribbe te weten om de inhoud te kunnen berekenen? t2
95 Hieronder zie je ruimtefiguur ABCD.EFGH t1
Inhoud van een prisma
98 Bereken de inhoud van dit prisma. t1
a Wat voor soort ruimtefiguur is dit?
b Bereken de inhoud van de ruimtefiguur.
96 Een balk heeft een grondvlak van 0,5 dm bij 30 mm en een hoogte van 6 cm. t1
a Teken de balk op ware grootte.
b Bereken de inhoud van de balk in cm³.
97 Om de juiste airco te kunnen kopen voor een kantoor moet je de inhoud van de ruimte weten. Bereken de inhoud van deze L-vormige kantoorruimte. i
99 a Wat is de vorm van het grondvlak van dit prisma? t1
b Bereken de oppervlakte van het grondvlak. t1
c Bereken de inhoud van het prisma. t1
100 Werkblad 1.100 Het grondvlak van het prisma hiernaast is een lijnsymmetrische vijfhoek. t2
a Op het werkblad is de helft van het grondvlak getekend. Teken de andere helft.
b Bereken de oppervlakte van het grondvlak door deze in te lijsten.
c Bereken de inhoud van het prisma.
ɲ breinbreker
In een recept staat dat je een ronde ovenschaal moet gebruiken met een doorsnede van 20 cm en een hoogte van 7,5 cm. Je hebt alleen een ovenschaal met een doorsnede van 23 cm en een hoogte van 5,5 cm. Je hebt ook een vierkante ovenschaal met een onderkant van 20 cm bij 20 cm en een hoogte van 6 cm. Welke van deze twee kun je het best gebruiken? Leg uit waarom.
Inhoud van een cilinder
ɲ De inhoud van een cilinder bereken je zo: inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte
Voorbeeld 1 ▸
De oppervlakte van het grondvlak van deze cilinder is 8,4 m2.
Bereken de inhoud van de cilinder in m3
ɲ inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte = 8,4 × 3,1 = 26,04 m3
ɲ Als de oppervlakte van het grondvlak van een cilinder niet is gegeven, bereken je de inhoud zo:
Voorbeeld 2 ▸
Bereken de inhoud van de cilinder in hele mm3
1 Bepaal welk grensvlak het grondvlak is en welke vorm dit grondvlak heeft. Het grondvlak is een cirkel.
13 mm 38 mm
2 Bereken de oppervlakte van dit grondvlak. oppervlakte cirkel = π × straal × straal = π × 13 × 13 = 530,92… mm2
3 Bereken de inhoud van de cilinder. inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte = 530,92… × 38 = 20 175,30... mm3
ɲ De inhoud van de cilinder is 20 175 mm3.
Let op: rond je tussenantwoorden niet af.
inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte
Inhoud van een piramide en een kegel
ɲ De inhoud van een piramide of een kegel bereken je zo: inhoud piramide = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
inhoud kegel = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
Voorbeeld 1 ▸
De oppervlakte van het grondvlak van deze kegel is 0,6 dm2. Bereken de inhoud van de kegel in dm3.
ɲ inhoud kegel = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3 = 0,6 × 1,4 : 3 = 0,28 dm3
ɲ Als de oppervlakte van het grondvlak van een piramide of een kegel niet is gegeven, bereken je de inhoud zo:
Voorbeeld 2 ▸
Bereken de inhoud van de piramide in hele cm3.
1 Bepaal welk grensvlak het grondvlak is en welke vorm dit grondvlak heeft. Het grondvlak is een rechthoek.
2 Bereken de oppervlakte van dit grondvlak. oppervlakte rechthoek = lengte × breedte = 8 × 5 = 40 cm2
3 Bereken de inhoud van de piramide of de kegel. inhoud piramide = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3 = 40 × 11 : 3 = 146,66... cm3
ɲ De inhoud van de piramide is 147 cm3
Let op: rond je tussenantwoorden niet af.
inhoud piramide = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
inhoud kegel = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
Inhoud van een cilinder
101 a Geef de woordformule voor het berekenen van de inhoud van een cilinder. r
b Bij welke ruimtefiguur moet je dezelfde woordformule gebruiken als bij een cilinder? t1
102 Het grondvlak van deze cilinder heeft een oppervlakte van 7,5 cm². t1
a Bereken de inhoud van de cilinder in cm³.
b Reken de uitkomst van opdracht a om naar cL.
1,4 dm
103 De diameter van een blikje fris is 65 mm en de hoogte is 115,5 mm. t2
a De vorm lijkt op een cilinder. Wat is de inhoud in mL van deze cilinder? Rond af op een geheel getal.
Een blikje wordt niet helemaal tot de rand gevuld.
Daardoor past er 5 cL minder in het blikje fris.
b Hoeveel liter gaat er maximaal in een blikje? Rond af op twee decimalen.
Inhoud van een piramide en een kegel
104 a Bereken de inhoud van de piramide in cm3. t1
b Bereken de inhoud van de kegel in dm3 t1
105 Hieronder zie je drie ruimtefiguren. t1
a Bereken de inhoud van de piramide in cm3.
b Bereken de inhoud van de kegel in dm3
c Bereken de inhoud van de cilinder in cm3.
106 De graansilo hiernaast is opgebouwd uit
twee ruimtefiguren. Figuur 1 heeft een hoogte van 40 meter en een diameter van 10 meter.
Figuur 2 heeft een hoogte van 10 meter. t2
a Welke twee ruimtefiguren zie je in dit gebouw?
b Bereken de inhoud van figuur 1.
c Bereken de inhoud van figuur 2.
d Wat is de inhoud in m³ van dit gebouw?
107 Hieronder zie je een afgeknotte kegel. Dit is een kegel waarvan de bovenkant horizontaal is afgesneden. De oorspronkelijke kegel was 27 cm hoog. Bereken de inhoud van de afgeknotte kegel. i
Praktische wiskunde – De inhoud van verpakkingen
doel → Je leert de inhoud te berekenen van een verpakking.
Als je in de supermarkt om je heen kijkt, herken je allerlei ruimtefiguren. Een doos vaatwasblokjes is een balk en een blik hondenvoer is een cilinder. Maar deze verpakkingen zitten nooit helemaal vol. De doos is bijvoorbeeld gevuld tot 10 cm onder de bovenkant. Het blikje is gevuld tot 1,5 cm onder de bovenkant. De inhoud van de verpakking is dus niet gelijk aan de inhoud van het product dat er in zit.
Bij een zak chips stopt de fabrikant extra lucht in de zak, zodat de chips minder snel breken. Ook voegt de fabrikant een speciaal gas toe aan de zak, zodat de chips langer knapperig blijven. Als je de zak opendoet, verdwijnt dat gas. Daarom worden de chips in een geopende zak ook snel slap.
Dat een kartonnen verpakking ook vaak veel groter is dan de inhoud heeft niks te maken met speciaal gas. Een fabrikant maakt de doos met vaatwasblokjes veel groter dan nodig is, zodat jij denkt dat er meer blokjes in zitten.
De inhoud van verpakkingen
108 De afmetingen van een doos vaatwasblokjes zijn 5 cm breed, 15 cm lang en 13 cm hoog.
a Welke vorm heeft de doos? t1
b Wat is de inhoud van de doos? t1
In de doos passen 50 blokjes, maar er zitten er maar 24 in.
c Hoeveel procent van de doos is gevuld? t1
d Hoeveel cm3 van de doos is gevuld? t2
Eén blokje is 33 mm bij 27 mm bij 8 mm.
Vaatwasblokjes wegen 2,5 g per cm3.
e Hoeveel wegen de vaatwasblokjes in de doos? i
109 In het blik hiernaast zit hondenvoer.
a Welke vorm heeft dit blik? t1
b Het blik wordt tot 1,5 cm onder de rand gevuld. Hoeveel mL hondenvoer zit er in het blik?
Rond af op één decimaal. t2
110 Om het blik van opdracht 109 komt een etiket. Dat etiket wordt 10,7 cm hoog. Het etiket wordt helemaal rondom het blik gelijmd, waarbij de uiteinden 1,7 cm over elkaar heen worden gelijmd.
a Welke vorm heeft het etiket? t1
b Hoe lang moet het etiket zijn? i
De etiketten worden gedrukt op een rol papier van 20 m lang en 1,07 m breed.
c Bereken hoeveel hele etiketten er op een rol papier gedrukt kunnen worden. t2
111 Bij het ijsje hiernaast zit de verpakking stijf om het ijsje gerold. De hoogte van de verpakking is 14,1 cm.
De diameter van de bovenkant van de verpakking is 5,7 cm. t2
a Wat is de inhoud in mL van één ijsje?
Rond af op een geheel getal.
b Per 100 mL zit er 12 g suiker in het ijsje.
Hoeveel g suiker zit er in één ijsje?
c Van de inhoud is 12% wafel, de rest is ijs.
Hoeveel mL ijs zit erin?
112 Sommige theezakjes hebben de vorm van een piramide. Bij deze piramide zijn alle grensvlakken even grote gelijkzijdige driehoeken. De lengte van de gelijkzijdige driehoek is 5,5 cm.
De hoogte van zo’n theezakje is 4,5 cm.
a Teken één van de gelijkzijdige driehoeken op ware grootte. t2
b Bereken de inhoud van een theezakje in cm3. i
c Kijk naar de afbeelding van het theezakje. Hoeveel cm3 thee zit er volgens jou ongeveer in? i
Doelen bereikt?
ɲ Ik ken de rekenregels voor het berekenen van de inhoud van balken, kubussen, prisma’s, cilinders, kegels en piramides. r
ɲ Ik kan de inhoud van een ruimtefiguur berekenen. t1
ɲ Ik kan mijn kennis over de inhoud van een ruimtefiguur gebruiken in praktijksituaties. t2
ɲ Ik begrijp hoe ik de inhoud van ingewikkelde ruimtefiguren moet berekenen. i
HAVO – Figuren in de ruimte
doel → Je leert hoe je punten in de ruimte met coördinaten aangeeft en wat kruisende lijnen zijn.
3D-assenstelsel
Een 3D-assenstelsel bestaat uit drie assen die loodrecht op elkaar staan.
ɲ De x-as geeft diepte weer en loopt schuin naar voren.
ɲ De y-as loopt horizontaal.
ɲ De z-as loopt verticaal.
In een 3D-assenstelsel geef je een punt aan met 3 getallen.
Voorbeeld ▸
De coördinaten van punt P met x-coördinaat = 1, y-coördinaat = 6 en z-coördinaat = 2, schrijf je als P(1, 6, 2).
Zo teken je een punt in een 3D-assenstelsel:
Teken punt A(4, 5, 3).
1 Ga 4 stappen over de x-as naar voren.
2 Ga 5 stappen evenwijdig aan de y-as naar rechts.
3 Ga 3 stappen evenwijdig aan de z-as naar boven.
4 Teken het punt en zet er een letter bij.
Kruisende lijnen
In tegenstelling tot lijnstukken zijn lijnen onbegrensd. Lijnstuk AB loopt van punt A naar punt B. Maar met lijn AB wordt de lijn door de punten A en B bedoeld.
ɲ Lijnen die in hetzelfde platte vlak liggen, kunnen elkaar snijden of evenwijdig aan elkaar zijn.
ɲ In de ruimte liggen twee lijnen soms niet in hetzelfde vlak. Deze twee lijnen kruisen elkaar.
Voorbeeld ▸
In kubus ABCD.EFGH
ɲ snijden de lijnen AB en AE elkaar;
ɲ zijn de lijnen BC en EH evenwijdig;
ɲ kruisen de lijnen AB en FG elkaar.
3D-assenstelsel
113 Geef de coördinaten van de hoekpunten van balk ABCD.EFGH. t1
114 Hieronder zie je kubus ABCD.EFGH. t1
a Geef de coördinaten van alle hoekpunten van de kubus.
b Punt K ligt op het midden van ribbe EH. Geef de coördinaten van punt K.
115 a Teken een 3D-assenstelsel waarin de assen van 0 tot en met 8 lopen. t1
b Teken de punten A(7, 8, 8), B(0, 3, 0) en C(0, 0, 4). t1
116 Gegeven is een piramide met hoekpunten O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) en T(2, 1, 5). t2
a Teken de piramide in een 3D-assenstelsel.
b Bereken de inhoud van de piramide.
Kruisende lijnen
117 Neem over en vul in. r
Kies uit: snijdende / evenwijdige / kruisende
a Lijnen die in hetzelfde vlak liggen en elkaar niet snijden, zijn lijnen.
b Lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen, zijn ……… lijnen.
118 Gegeven is kubus ABCD.EFGH. t2
a Welke lijnen zijn evenwijdig aan lijn AB?
b Welke lijnen snijden lijn AB?
c Welke lijnen kruisen lijn AB?
119 Gegeven is prisma ABCDE FGHIJ
Geef steeds aan of de volgende lijnen elkaar snijden, elkaar kruisen of evenwijdig aan elkaar zijn. t2
a AB en FG c BI en CH
b BH en FH d AC en GJ
120 Gegeven is piramide ABCD T. Punt E ligt op ribbe CT en punt F ligt op ribbe BC. i
a Leg uit of de lijnen AE en FT elkaar snijden of kruisen.
b Leg uit of de lijnen AF en CD elkaar snijden of kruisen.
doel → Je leert wat de oppervlakte van een ruimtefiguur is en hoe je deze berekent.
De oppervlakte van een ruimtefiguur
De oppervlakte van een ruimtefiguur is de som van de oppervlaktes van alle grensvlakken van de figuur.
ɲ De oppervlakte van een ruimtefiguur is gelijk aan de oppervlakte van zijn uitslag.
Voorbeeld ▸
Bereken de oppervlakte in cm2 van deze cilinder. Rond af op één decimaal.
8 cm 5 cm
ɲ De uitslag van een cilinder bestaat uit twee cirkels en een rechthoek.
8 cm 5 cm 5 cm
ɲ oppervlakte cirkel = π ∙ straal ∙ straal
= π ∙ 5 ∙ 5 = 78,53… cm2
ɲ oppervlakte rechthoek = lengte ∙ breedte lengte = omtrek cirkel = π ∙ diameter = π ∙ 10 = 31,41… cm2
oppervlakte rechthoek = 31,41… ∙ 8 = 251,32… cm2
ɲ oppervlakte cilinder = 2 ∙ 78,53… + 251,32…
≈ 408,4 cm2
Let op:
Rond je tussenantwoorden niet af.
De oppervlakte van een ruimtefiguur
121 Bereken de oppervlakte van deze balk in cm2. t1
122 a Bereken de oppervlakte in dm2 van een kubus met ribben van 5 dm. t1
b Bereken de oppervlakte in cm2 van een balk met een grondvlak van 5 cm bij 20 cm en een hoogte van 1 dm. t1
123 a Teken een uitslag van deze cilinder op ware grootte. t1
b Bereken de oppervlakte van de cilinder. Rond af op hele cm2. t1
124 a Teken een uitslag van dit prisma op ware grootte. Het grondvlak is een gelijkbenige driehoek. t1
Tip: teken eerst het grondvlak. Meet de lengte van zijde BC om de zijvlakken te tekenen.
b Bereken de oppervlakte in cm2 van het prisma. Rond af op één decimaal. t2
125 Bereken de oppervlakte in dm2 van onderstaand prisma. t2
126 Piramide ABC.T heeft vier grensvlakken. Het grondvlak en de twee achterste grensvlakken zijn rechthoekige driehoeken. i
a Teken een uitslag van de piramide op ware grootte.
b Bereken in cm2 nauwkeurig de oppervlakte van de piramide. Meet hiervoor in de uitslag de basis en de hoogte van grensvlak BCT.
c Waarom kun je de basis en de hoogte van grensvlak BCT wel in een uitslag meten, maar niet in een 3D-figuur zoals hieronder? 4 cm 3 cm C A 4 cm B T
127 Een balk heeft een inhoud van 1 L.
a Bedenk drie verschillende afmetingen die deze balk kan hebben. t2
b Bereken voor elk van de drie afmetingen de oppervlakte van de bijbehorende balk. t2
c Welke afmetingen heeft de balk als je de oppervlakte zo klein mogelijk wilt maken? i
Woorden
3D-assenstelsel snijden
x-as evenwijdig
y-as kruisen
z-as oppervlakte
lijn
Doelen bereikt?
ɲ Ik weet wat een 3D-assenstelsel is en ik weet wanneer twee lijnen in de ruimte elkaar snijden, evenwijdig aan elkaar zijn of elkaar kruisen. Ook weet ik wat de oppervlakte van een ruimtefiguur is. r
ɲ Ik kan punten aflezen en tekenen in een 3D-assenstelsel. Ook kan ik met behulp van een uitslag de oppervlakte van een ruimtefiguur berekenen. t1
ɲ Ik kan in een ruimtefiguur de ligging van lijnen ten opzichte van elkaar bepalen. Ook kan ik de oppervlaktes van ingewikkelde ruimtefiguren berekenen. t2
ɲ Ik begrijp welke vorm een balk heeft met een zo klein mogelijke oppervlakte. i
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en de leerdoelen hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.
ɲ Wiskundeweetje
128 Een gelijkzijdige driehoek is een regelmatige vlakke figuur. Leg uit waarom. t2.
ɲ § 1.1
129 Noem zeven ruimtefiguren. r
130 Hieronder staan drie ruimtefiguren.
Neem de tabel over en vul hem in. t1
figuur soort aantal grensvlakken aantal hoekpunten aantal ribben
131 Hiernaast zie je een bouwwerk. t2
a Uit welk soort ruimtefiguren bestaat dit bouwwerk?
b Hoeveel grensvlakken heeft dit bouwwerk?
c Hoeveel hoekpunten heeft dit bouwwerk?
d Hoeveel ribben komen er in het midden bij elkaar?
ɲ § 1.2
132 Hieronder zie je een stapel kubussen.
a Teken het vooraanzicht. t1
b Teken beide zijaanzichten. t1
c Teken het bovenaanzicht. t1
d Hoeveel kubussen kunnen er worden bijgeplaatst zonder dat het vooraanzicht verandert? i
133 Je ziet hieronder kubus ABCD.EFGH. t2
a De kubus wordt verticaal doorgesneden evenwijdig aan grensvlak BCGF Teken de doorsnede op ware grootte.
b Welke vorm heeft diagonaalvlak EBCH?
c Teken diagonaalvlak EBCH op ware grootte.
ɲ § 1.3
134 a Teken een balk van 4 cm bij 4 cm bij 3 cm in 3D. t1
b Teken een uitslag van de balk op ware grootte. t1
135 Teken een uitslag van deze ruimtefiguur op ware grootte.
Begin met grensvlak ABCD. Teken vervolgens aan elke zijde het juiste grensvlak. Teken als laatste grensvlak EFGH
Maak de uitslag af. t2
136 a Van welke van onderstaande uitslagen kun je een kubus maken? t2
b Bij een dobbelsteen is het aantal ogen op overstaande vlakken samen altijd gelijk aan zeven. Van welke uitslag kan een goede dobbelsteen gevouwen worden? i
ɲ § 1.4
137 Neem over en reken om. t1
a 1 dm3 = L e 70 cm3 = dm3
b 0,165 m3 = …… dm3 f 0,023 m3 = …… dL
c 650 cL = …… L g 18 dL = …… cm3
d 0,25 kg = g h 12,6 ton = kg
138 In een bad gaat ongeveer 150 L water. Uit de kraan stroomt iedere minuut 1250 cL water. Na hoeveel minuten is het bad vol? t2
ɲ § 1.5
139 Geef de woordformule voor het berekenen van de inhoud van een prisma. r
140 Bereken de inhoud van deze ruimtefiguren. Rond af op één decimaal. t1 cm dm² 9,1 dm 14,2 cm a b
141 Een balkvormig aquarium is 1 m lang, 50 cm breed en 7,5 dm hoog. Je vult het aquarium tot 5 cm onder de rand. Het aquarium zelf weegt 25 kg en 1 L water weegt 1 kg. Hoe zwaar is het gevulde aquarium? t2
142 a Teken een 3D-assenstelsel waarin de assen van 0 tot en met 6 lopen. t1
b Teken de punten (0, 0, 0), (5, 0, 0), (0, 4, 0) (5, 4, 0), (0, 0, 3), (5, 0, 3), (0, 4, 3) en (5, 4, 3) in het assenstelsel. t1
c Bereken de oppervlakte van de figuur. t2
143 Bereken de oppervlakte van de figuur in opdracht 135. t2
144 Als je een balk op verschillende hoogtes horizontaal doorsnijdt, heeft de doorsnede steeds dezelfde vorm en dezelfde grootte.
a Welke vorm heeft zo’n doorsnede? t1
b Teken de doorsnede van de balk hierboven op ware grootte. t2
c Je tekening bij b kan ook een aanzicht zijn. Welk(e) aanzicht(en)? i
d Bij welke ruimtefiguren krijg je ook steeds dezelfde vorm en dezelfde grootte als je de figuur horizontaal doorsnijdt? Kies uit: i kubus / piramide / cilinder / prisma / kegel / bol
145 Uit een kubus met ribben van 4 cm is een kleine kubus met ribben van 2 cm weggehaald. Bereken de inhoud van de figuur die is ontstaan. t2
146 Is een kubus een prisma? Leg je antwoord uit. i
ɲ § HAVO
ɲ Hoofdstuk 1