11 Gebruiken van wiskundetaal en wiskundige representaties 30
12 Gebruiken van wiskundige instrumenten 32
c wiskunde en de wereld
13 Wiskundige attitude 34 14 Wiskunde in de werkelijkheid 38
15 Wiskunde in verschillende leergebieden 42
De nieuwe kerndoelen voor wiskunde
Vanaf 2025 worden nieuwe kerndoelen rekenen en wiskunde ingevoerd voor de onderbouw van het voortgezet onderwijs.
Deze kerndoelen leggen de nadruk op wiskundige vaardigheden, een onderzoekende houding en het toepassen van wiskunde in het dagelijks leven. De kerndoelen zijn ingedeeld in drie domeinen:
v wiskundige concepten
Traditionele vaardigheden zoals rekenen, algebra en het oplossen van vergelijkingen.
v wiskundige denk-werkwijzen
Probleemoplossend denken en modelleren.
v wiskunde en de wereld
Toepassing van wiskunde in maatschappelijke en dagelijkse contexten.
v KERN Wiskunde en de kerndoelen
KERN Wiskunde sluit volledig aan op de nieuwe kerndoelen.
Onze lesmethode legt een stevige basis in wiskundige vaardigheden én benadrukt praktische toepassingen. Leerlingen leren niet alleen wiskundige regels en technieken, maar ontdekken ook de verbanden met hun dagelijkse omgeving. Daarnaast ervaren ze de schoonheid van wiskundige patronen en structuren.
v Gebaseerd op definitieve conceptkerndoelen
Deze brochure is gebaseerd op de definitieve conceptkerndoelen die in oktober 2024 zijn vastgesteld. Hoewel er mogelijk nog kleine wijzigingen kunnen komen, blijft de inhoud grotendeels ongewijzigd. Per kerndoel laat deze brochure concrete voorbeelden zien uit KERN Wiskunde. Deze voorbeelden tonen aan dat de methode volledig aansluit op de nieuwe kerndoelen. Zo ben je voorbereid op de nieuwe richtlijnen en inspireer je je leerlingen om wiskunde met plezier en zelfvertrouwen te benaderen.
Kerndoel 1 Getallen en grootheden
Doelzin De leerling redeneert en rekent met getallen en grootheden.
Het gaat hierbij om :
v optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken ;
v wendbaar en met inzicht gebruiken van getallen en hun eigenschappen, en enkelvoudige en samengestelde grootheden en eenheden ;
v wendbaar en met inzicht gebruiken van en rekenen met verhoudingen ;
v relaties leggen tussen grootheden en eenheden, tussen grootheden onderling en tussen eenheden onderling ;
v bepalen van afmetingen en inhoud van meetkundige figuren.
aanvulling havo / vwo 3 algebra
Te denken valt aan :
v onderhouden van de opgedane wiskundige kennis, vaardigheden en inzichten uit het primair onderwijs ;
v gehele en decimale getallen, breuken en irrationale getallen ;
v eigenschappen van en rekenen met negatieve getallen, ook in concrete situaties ;
v rekenen met andere getallenstelsels, zoals binair, en rekenen met de kalender ;
v rekenen met lengte en afstand, oppervlakte, inhoud en massa ;
v bij rekengetallen kunnen nullen worden toegevoegd ( 0,5 = 0,50), maar bij meetgetallen niet ( 0,5 meter heeft een meetinterval van ± 5 centimeter).
Doelzin De leerling redeneert en rekent met getallen, grootheden, variabelen en algebraïsche uitdrukkingen.
Het gaat hierbij om :
v rekenen met standaardprocedures en eigenschappen van bewerkingen ; v herleiden van algebraïsche uitdrukkingen ; v gebruiken van de wetenschappelijke notatie van grote en kleine getallen ;
v meten van grootheden en daarbij meet(on)nauwkeurigheid en effecten daarvan bepalen.
Te denken valt aan :
v bewerkingen met breuken met standaardprocedures ;
v andere getallenstelsels, zoals het Romeinse en het Babylonische (60-tallige) ;
v uitleggen dat negatieve getallen een uitbreiding vormen van de positieve getallen ;
v meetresultaten en uitkomsten van berekeningen noteren met een relevant aantal decimalen.
.2
Decimale getallen
DOEL → Je leert wat decimale getallen zijn en wat de waarde is van een cijfer in een decimaal getal.
Decimale getallen
Decimale getallen zijn getallen waarin een komma staat. De cijfers achter de komma noem je decimalen
0 1 Je zegt: ‘nul komma een’ of ‘een tiende’.
0 25 Je zegt: ‘nul komma vijfentwintig’ of ‘een kwart ’.
0 5 Je zegt: ‘nul komma vijf’ of ‘een half
0 75 Je zegt: ‘nul komma vijfenzeventig’ of driekwart ’.
1 5 Je zegt: ‘één komma vijf’ of anderhalf ’.
Decimale getallen kun je ook op een getallenlijn plaatsen.
0 25 0 75
0 0 1 0 5 1 0 1 5
De waarde van een cijfer in een decimaal getal
De waarde van een cijfer hangt af van zijn plaats in het getal. Dat geldt ook voor decimale getallen.
Als je een stapje naar rechts doet in het getal, wordt de waarde van het cijfer 10 keer kleiner.
eenheid tiende honderdste duizendste
0,001
Voorbeeld ▸ In het getal 6,275 heeft:
0 × 1 7 × 0 1 3 × 0 01 8 × 0 001
0,738
Je zegt: ‘zeven honderdste’ of ‘nul komma nul zeven’.
het cijfer 6 een waarde van 6 × 1 = 6; het cijfer 2 een waarde van 2 × 0,1 = 0 2; het cijfer 7 een waarde van 7 × 0,01 = 0,07; het cijfer 5 een waarde van 5 × 0,001 = 0,005.
Je zegt: ‘vijf duizendste’ of ‘nul komma nul nul vijf’.
Opdrachten – Decimale getallen
22 Geef bij elk getal aan of het een geheel getal of een decimaal getal is. t1
a 3,25 d 7031 g 249 95
b 100 e 5 h 515
c 0,2 f 7 7 i 0,001
23 Hoeveel decimalen hebben de volgende getallen? t1
a 4,25 c 0 385 e 363 33
b 27 5 d 15,024 f 0,9
24 Schrijf de volgende getallen als een decimaal getal.
a een kwart r e vijf tiende t1
b anderhalf r f drie en driekwart t1
c een tiende r g twee en zeven tiende t1
d drie en een kwart t1 h twee en een kwart t1
25 Bekijk de volgende decimale getallen.
1 2 / 0 9 / 1 15 / 0 75
a Welk van deze getallen is het grootst? i
b Neem onderstaande getallenlijn over in je schrift en plaats de getallen erop. t2
0 1 2
c Leg uit waarom het decimale getal dat je het meest rechts op de getallenlijn hebt geplaatst, het juiste antwoord is bij opdracht a
d Bedenk een getal met drie decimalen dat groter is dan 0 7 en kleiner dan 1 i
26 Hoe spreek je de volgende getallen uit?
a 0,25 r c 8 25 t1 e 1,75 t1
b 0,5 r d 2 5 t1 f 3,1 t1
Inzicht in de structuur van decimale getallen.
Opdrachten – De waarde van een cijfer in een decimaal getal
27 Geef de waarde van elk cijfer 5 in de volgende getallen. t1
a 37 5 c 0 075 e 5,25
b 2,357 d 4 508 f 15,55
28 Vul in. t1 In het getal 391 275 heeft:
a 3 een waarde van 3 × 100 = 300 b 9 een waarde van × = c 1 een waarde van × = d 2 een waarde van × = e 7 een waarde van × = f 5 een waarde van × =
29 Noteer de waarde van alle cijfers in de decimale getallen. t1
a Het kleinste insect ter wereld is 0,325 millimeter klein.
b In 2018 was de gemiddelde lengte van een Nederlandse man 1 81 meter.
c De gemiddelde lengte van een Nederlandse vrouw was 1 674 meter.
d Bij een halve marathon loop je een afstand van 21 0975 kilometer.
30 Schrijf in cijfers.
a zes honderdste t2
b acht tiende t2
c drie duizendste t2
d vijfenzeventig honderdste
31 a Bedenk een getal met drie decimalen. Schrijf het getal in cijfers. t1
b Ruil van schrift met een klasgenoot.
Noteer de waarden van alle cijfers in het getal van je klasgenoot. t1
Ik weet wat decimalen en decimale getallen zijn en hoe bepaalde decimale getallen heten. r
Ik kan de waarde van een cijfer in een decimaal getal bepalen. Ook kan ik een decimaal getal uitspreken. t1
Ik kan een decimaal getal opschrijven in cijfers. Ook kan ik decimale getallen op een getallenlijn plaatsen. t2
Ik begrijp waarom een getal met drie decimalen niet groter hoeft te zijn dan een getal met één decimaal. i
Kerndoel 2 Vergelijkingen
Doelzin De leerling gebruikt wiskundige vergelijkingen.
Het gaat hierbij om :
v interpreteren van wiskundige vergelijkingen en gevonden oplossingen ; v opstellen van vergelijkingen bij situaties ; v relaties leggen tussen gegeven vergelijkingen en situaties ; v oplossen van lineaire vergelijkingen.
Te denken valt aan :
v vergelijkingen oplossen met terugrekenen ; v vergelijkingen oplossen met inklemmen ; v lineaire vergelijkingen oplossen met de balansmethode ; v oplossingen van vergelijkingen in verband brengen met concrete situaties en met karakteristieke punten van grafieken, zoals het snijpunt met de assen en het snijpunt van twee grafieken.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v oplossen van lineaire, kwadratische en machtsvergelijkingen ; v oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen ; v oplossen van ongelijkheden.
Te denken valt aan :
v kwadratische vergelijkingen oplossen door ontbinden in factoren, kwadraten afsplitsen en gebruiken van de abc-formule ; v vergelijkingen oplossen met de balansmethode ; v oplossingen van vergelijkingen die niet exact oplosbaar zijn benaderen met inklemmen.
VERGELIJKINGEN
6.2
Vergelijkingen
DOEL → Je leert wat vergelijkingen zijn en hoe je vergelijkingen kunt oplossen met de balansmethode.
Vergelijkingen Met een formule als y = x – 5 bereken je welke waarde van y bij een bepaalde waarde van x hoort. Soms is de situatie omgekeerd en wil je weten welke waarde van x bij een bepaalde waarde van y hoort. Je wilt bijvoorbeeld weten voor welke waarde van x de formule y = x – 5 als uitkomst 7 heeft. Je moet dan een waarde van x vinden waarvoor x – 5 gelijk is aan 7. Er geldt dus x – 5 = 7 Een dergelijke uitdrukking heet een vergelijking In de vergelijking x – 5 = 7 is x de onbekende variabele. Voor x = 12 hebben beide kanten van de vergelijking dezelfde waarde, want 12 – 5 = 7. De waarde x = 12 is daarom de oplossing van de vergelijking.
Het balansmodel In een vergelijking hebben beide kanten dezelfde waarde, net zoals de gewichten op een balans die in evenwicht is aan beide kanten even zwaar zijn. Als je aan beide kanten van de balans even zware gewichten weghaalt of erbij plaatst, dan blijft de balans in evenwicht. Je kunt dit balansmodel gebruiken om vergelijkingen op te lossen. De vergelijking 3 x + 6 = 12 kun je bijvoorbeeld oplossen op de manier die hieronder wordt getoond.
Aan beide kanten 6 weghalen. Beide kanten delen door 3. Dit is de oplossing van 3x + 6 = 12, want 3 2 + 6 = 6 + 6 = 12.
Vergelijkingen
23 Gegeven is de formule y = – 7 + 1 2 x T 1
a Bereken de waarde van y die bij x = 20 hoort.
b Welke vergelijking krijg je als je wilt berekenen voor welke waarde van x de formule als uitkomst –10 heeft?
24 Gegeven is de vergelijking 5x 4 = 16 T 1
a Welke waarde heeft de linkerkant van de vergelijking als x = 0?
b Leg uit of x = 0 een oplossing is van deze vergelijking.
c Leg uit of x = 2 een oplossing is van deze vergelijking.
d Voor welke waarde van x is de linkerkant van de vergelijking gelijk aan 16?
e Geef de oplossing van de vergelijking.
25 Laat steeds met een berekening zien dat de oplossing achter de vergelijking inderdaad de oplossing is. T 1 a
Het balansmodel
26 Welke vergelijking hoort bij de volgende balans? T 1
27 Hieronder zie je een balans. T1
a Welke vergelijking hoort bij deze balans? b Geef de oplossing van deze vergelijking.
28 Hieronder zie je een balans. T1
a Welke vergelijking hoort bij deze balans?
b Geef de oplossing van deze vergelijking.
29 a Teken de balans die hoort bij de vergelijking 4 x + 5 = 8 T
b Los de vergelijking stap voor stap op en teken bij iedere stap de balans die erbij hoort. T 1
Lineaire vergelijkingen oplossen met de balansmethode. Uitleg (links) en opdrachten (rechts).
KERN_Wiskunde_hv_1-B_Tweede_druk_2022_Binnenwerk_168pp.indb 53 26-11-2021 10:17 havo / vwo 1
Kerndoel 3 Data
Doelzin De leerling interpreteert, representeert en analyseert data.
Het gaat hierbij om : v opstellen van tabellen bij data ; v beredeneerd kiezen, berekenen en interpreteren van gemiddelde, modus en mediaan, en berekenen en interpreteren van spreidingsbreedte ; v maken van grafische representaties van data en daaruit conclusies trekken ; v beredeneerd kiezen van representaties ; v interpreteren van grafische representaties en beredeneren of daarbij gepresenteerde conclusies wel, niet of deels kloppen ; v grafische representaties : diagrammen, grafieken en infographics.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om : v analyseren van univariate en bivariate datasets ; v beredeneerd kiezen en gebruiken van meetniveaus : nominaal, ordinaal, interval en ratio ; v beredeneerd kiezen, berekenen en interpreteren van spreidingsbreedte en interkwartielafstand ; v vergelijken van twee datasets ; v onderscheiden van correlatie en causaliteit.
Te denken valt aan : v frequentietabellen ; v diagrammen en grafieken zoals staaf-, cirkel-, steelblad- en spreidingsdiagrammen, en lijngrafieken ; v passende getallen en schaal op de assen van diagrammen en grafieken ; v uitleggen wat er gebeurt met centrummaten als alle getallen in een dataset op eenzelfde manier veranderen, bijvoorbeeld 1 groter worden.
Te denken valt aan : v standaardafwijking ; v histogram en boxplot.
Praktische wiskunde – Marktonderzoek
DOEL → Je leert wat marktonderzoek is.
Bedrijven en organisaties vragen vaak naar de mening van klanten over hun producten of diensten. Dat doen ze door middel van een marktonderzoek. Een marktonderzoek kan op verschillende manieren worden uitgevoerd. Je kunt bijvoorbeeld mensen interviewen of ze een vragenlijst laten invullen, maar je kunt ze ook laten stemmen op hun favoriet, op een website of via sociale media.
Gegevens aflezen uit diagrammen. Rekenopdrachten met gegevens uit diagrammen.
Centraal Bureau voor de Statistiek
Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) is een organisatie die het hele jaar door gegevens verzamelt over Nederland en haar inwoners.
Het CBS levert gegevens aan de overheid over allerlei ontwikkelingen in de maatschappij, bijvoorbeeld over het gemiddelde loon dat iemand in Nederland verdient of hoeveel leerlingen welke opleidingen volgen. Op basis van de gegevens van het CBS neemt de overheid beslissingen, zoals over het aantal huizen dat er gebouwd moet worden in de komende 5 jaar.
2 3 4 5 0 5 10 Hoe lang mag de avond duren? 15 20 25 aantal uur
Resultaten van een onderzoek van een school over het organiseren van een cultuuravond.
Maandag
Welke dag komt je het slechtst uit? = 4 leerlingen
Dinsdag
Woensdag
Donderdag
Vrijdag
Opdrachten – Marktonderzoek
44 Noem drie manieren waarop je marktonderzoek kunt doen. r
De opdrachten 45 tot en met 48 gaan over de volgende situatie:
Een school gaat een cultuuravond organiseren voor de leerlingen van leerjaar 2. Tijdens deze avond is er ruimte voor twee optredens. De school heeft de leerlingen een aantal vragen gesteld over de invulling van deze avond. In de diagrammen op de linkerbladzijde zie je de resultaten.
45 a Hoeveel leerlingen hebben meegedaan aan het onderzoek? t1
b Hoeveel leerlingen vinden ‘film’ het leukst? t1
c Welke invulling is het minst populair? t1
d Hoeveel procent van de leerlingen vindt ‘dans’ het leukst? t2
e Welke invulling is door een kwart van de leerlingen gekozen? I
46 a Hoeveel leerlingen vinden dat de cultuuravond 4 uur mag duren? t1
b Hoeveel uur is de modus? t1
c Bereken het gemiddelde aantal uur. t2
d Bereken de mediaan. t2
47 a Hoeveel leerlingen willen liever niet dat de cultuuravond op woensdag is? t1
b Welke dag komt de meeste leerlingen het slechtste uit? t1
48 Kijk nogmaals naar de diagrammen en naar de antwoorden bij de vragen 45 tot en met 47 Leg uit hoe de cultuuravond er waarschijnlijk zal uitzien. Geef hierbij aan welke keuzes je verwacht dat de school gaat maken. I
49 Je gaat zelf een marktonderzoek uitvoeren. De schoolkantine wil het aanbod in de grote pauze uitbreiden. De kantinebeheerder heeft je gevraagd om uit te zoeken welk lunchgerecht de leerlingen van je school nu missen.
a Bedenk zelf 6 mogelijke antwoorden op deze vraag.
b Stel de vraag aan minimaal 20 leerlingen en turf de resultaten in een frequentietabel.
c Maak een staafdiagram bij de resultaten.
d Welke conclusie kun je uit de resultaten trekken?
Woord
marktonderzoek
Doel bereikt?
Ik weet op welke manieren je een marktonderzoek kunt uitvoeren. r
Ik kan gegevens aflezen uit diagrammen. t1
Ik kan rekenen met gegevens in diagrammen. t2 Ik kan zelf een (klein) marktonderzoek uitvoeren, de gegevens visualiseren en hier conclusies uit trekken. I
Kerndoel 4 Kans
Doelzin De leerling redeneert en rekent met kansen.
Het gaat hierbij om :
v kansen weergeven als breuk, verhouding, percentage en decimaal getal ; v op basis van kansen inschatten hoe waarschijnlijk het is dat gebeurtenissen plaatsvinden ; v berekenen van verwachtingswaardes.
Te denken valt aan :
v kansen zoals bij situaties, spelen en spellen, en risico’s ; v kansproblemen, zoals hoe vaak verwacht je vier ogen bij duizend keer gooien met een dobbelsteen.
aanvulling havo / vwo 3
Doelzin De leerling berekent kansen.
Het gaat hierbij om :
v berekenen van kansen met behulp van kansregels en combinatoriek ;
v interpreteren van empirische en theoretische kansen.
Te denken valt aan :
v berekenen van kansen aan de hand van een boomdiagram ; v permutaties en roosters ; v berekenen van een kans op twee onafhankelijke gebeurtenissen.
Kans als breuk, verhouding, percentage en decimaal getal.
Kansen
DOEL Je leert wat een kans is en hoe je kansen kunt berekenen en schatten.
Kans Als je met toeval te maken hebt, weet je van tevoren niet zeker wat de uitkomst is. Een kans geeft aan hoe waarschijnlijk het is dat iets gebeurt. Als er bijvoorbeeld 95% kans is dat het morgen gaat regenen, is het erg waarschijnlijk dat het morgen echt gaat regenen. Als je in een loterij 0,01% kans hebt om te winnen, is het niet erg waarschijnlijk dat jij de gelukkige zult zijn.
Kans Als je met toeval te maken hebt, weet je van tevoren niet zeker wat de uitkomst is. Een kans geeft aan hoe waarschijnlijk het is dat iets gebeurt. Als er bijvoorbeeld 95% kans is dat het morgen gaat regenen, is het erg waarschijnlijk dat het morgen echt gaat regenen. Als je in een loterij 0,01% kans hebt om te winnen, is het niet erg waarschijnlijk dat jij de gelukkige zult zijn.
Kans
onwaarschijnlijk
onwaarschijnlijk
waarschijnlijk
waarschijnlijk
37 Neem de tabel over en vul hem verder in. T1
0 1 0,5 onmogelijk zeker
0 1 0 5 onmogelijk zeker
Kansen kun je op verschillende manieren aangeven. Zo is de kans dat je kop gooit met een geldstuk 1 op 2. Dit kun je ook schrijven als 50%, 1 2 of 0 5. In het dagelijks leven worden kansen vaak in procenten uitgedrukt. In de wiskunde worden kansen meestal aangegeven als breuk of als decimaal getal. Hoe dichter de kans bij 1 ligt, hoe waarschijnlijker het is dat iets gebeurt. En hoe dichter bij 0 hoe onwaarschijnlijker het is.
Kansen kun je op verschillende manieren aangeven. Zo is de kans dat je kop gooit met een geldstuk 1 op 2. Dit kun je ook schrijven als 50%, 1 2 of 0,5. In het dagelijks leven worden kansen vaak in procenten uitgedrukt. In de wiskunde worden kansen meestal aangegeven als breuk of als decimaal getal. Hoe dichter de kans bij 1 ligt, hoe waarschijnlijker het is dat iets gebeurt. En hoe dichter bij 0, hoe onwaarschijnlijker het is.
verhouding breuk decimaal getal percentage 1 4 1 op 10
41 Een spel kaarten bestaat uit 52 kaarten, die onderverdeeld zijn in vier soorten (harten, klaver, ruiten en schoppen). Van elk soort zijn er 13 kaarten: 2 3 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, boer, vrouw, heer en aas. Je trekt willekeurig een kaart. Bereken de kans dat je: T1
a de schoppenboer trekt.
b een aas trekt.
c een klaver 2 of schoppen 2 trekt.
Kansen berekenen Als de mogelijke uitkomsten allemaal even waarschijnlijk zijn, kun je de kans op een bepaalde uitkomst berekenen. Als je bijvoorbeeld met een dobbelsteen gooit, zijn er zes mogelijke uitkomsten die allemaal even waarschijnlijk zijn. De kans op bijvoorbeeld drie ogen is daarom 1 op 6 ofwel 1 6. De kans dat je hoger dan vier ogen gooit, is 2 6 = 1 3. Er zijn dan namelijk twee gunstige uitkomsten die beide even waarschijnlijk zijn: vijf of zes ogen. Als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, is de kans op een gebeurtenis: kans = aantal gunstige uitkomsten totaal aantal uitkomsten
Kansen berekenen Als de mogelijke uitkomsten allemaal even waarschijnlijk zijn, kun je de kans op een bepaalde uitkomst berekenen. Als je bijvoorbeeld met een dobbelsteen gooit, zijn er zes mogelijke uitkomsten die allemaal even waarschijnlijk zijn. De kans op bijvoorbeeld drie ogen is daarom 1 op 6 ofwel 1 6 De kans dat je hoger dan vier ogen gooit, is 2 6 = 1 3. Er zijn dan namelijk twee gunstige uitkomsten die beide even waarschijnlijk zijn: vijf of zes ogen. Als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, is de kans op een gebeurtenis:
kans = aantal gunstige uitkomsten totaal aantal uitkomsten
38 a Wat betekent het als de kans 0 is? R
b Wat betekent het als de kans 1 is? R
c Welke kans is groter: 8 op 15 of 0,6? T2
Kansen berekenen
39 Je gooit één keer met een dobbelsteen. T1
a Hoeveel uitkomsten zijn er mogelijk?
42 Je gooit één keer met een twintigzijdige dobbelsteen waarop de getallen 1 tot en met 20 staan. Bereken de kans dat je: T1
a 20 gooit.
b een oneven getal gooit.
c 14 of hoger gooit.
43 Je gooit met twee dobbelstenen en telt het aantal ogen op beide dobbelstenen bij elkaar op. T1
Voorbeeld
Voorbeeld
Je gooit twee keer achter elkaar een muntstuk op. Hoe groot is de kans dat je een keer kop en een keer munt hebt gegooid?
Je gooit twee keer achter elkaar een muntstuk op. Hoe groot is de kans dat je een keer kop en een keer munt hebt gegooid?
b Bij hoeveel van die uitkomsten is het aantal ogen meer dan twee?
c Wat is de kans dat je meer dan twee ogen gooit?
a Maak een roosterdiagram van de mogelijke uitkomsten.
b Bereken de kans op vier ogen.
c Bereken de kans op minstens tien ogen.
Je kunt alle mogelijkheden overzichtelijk in een roosterdiagram weergeven.
Je kunt alle mogelijkheden overzichtelijk in een roosterdiagram weergeven.
40 Je draait aan een rad met daarop de getallen 1 tot en met 10. Bereken de kans dat je: T1
44 Je gooit drie keer achter elkaar een muntstuk op en telt hoe vaak je kop hebt gegooid. T1
K M K KK KM
K M K KK KM
a 5 draait.
a Teken een boomdiagram van deze situatie.
M MK MM
M MK MM
b een even getal draait.
c lager dan 8 draait.
b Hoeveel uitkomsten zijn er in totaal mogelijk?
In het roosterdiagram zie je dat er in totaal vier mogelijke uitkomsten zijn en dat er twee uitkomsten zijn waarbij je een keer kop en een keer munt hebt gegooid (KM en MK). Elke uitkomst is even waarschijnlijk. De kans hierop is dus gelijk aan 2 4 = 1 2
In het roosterdiagram zie je dat er in totaal vier mogelijke uitkomsten zijn en dat er twee uitkomsten zijn waarbij je een keer kop en een keer munt hebt gegooid (KM en MK). Elke uitkomst is even waarschijnlijk. De kans hierop is dus gelijk aan 2 4 = 1 2
BOEK-Kern-WK-2hv-LB.indb
Berekenen van kansen aan de hand van een rooster- of boomdiagram.
BOEK-Kern-WK-2hv-LB.indb 131
c Bereken de kans dat je drie keer kop hebt gegooid.
d Bereken de kans dat je precies één keer kop hebt gegooid.
29-03-2021 08:52 hav o / vwo 2
Kerndoel 5 Patronen en verbanden
Doelzin De leerling analyseert en redeneert over patronen en verbanden.
Het gaat hierbij om :
v herkennen, beschrijven en voortzetten van patronen in rijen getallen en figuren ;
v identificeren van patronen en verbanden in datasets ; v identificeren en beschrijven van verbanden tussen grootheden ;
v weergeven van patronen en verbanden in een beschrijving, tabel, grafiek en formule, en deze weergaven in elkaar omzetten ;
v beschrijven en interpreteren van standaardverbanden in verschillende representaties.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v beschrijven van een patroon in een rij getallen met een formule ;
v uitleggen wanneer een verband een functie is ;
v beschrijven van het veranderingsgedrag van een functie ; v herkennen en beschrijven van standaardverbanden in verschillende representaties ;
v gebruiken van de eigenschappen van standaardverbanden.
Te denken valt aan :
v standaardverbanden : lineaire, kwadratische, wortel- en periodieke verbanden ;
v woordformules en formules waarin de variabelen met een letter zijn aangeduid ;
v beschrijven van toe- en afname in een tabel.
Te denken valt aan :
v standaardverbanden : veelterm-, machts-, exponentiële en gebroken functies ;
v het veranderingsgedrag van een functie beschrijven met een toenamediagram ;
v verbanden weergeven met een formule, zoals in de vorm x = a ;
v relaties leggen tussen verhoudingen en evenredige functies.
Rijen
110 Bij de rij hieronder kun je het aantal lucifers berekenen met de formule:
aantal lucifers = 4 × figuurnummer + 2
figuur 1 figuur 2 figuur 3
a Hoeveel lucifers heb je nodig voor figuur 3? t1
b Bereken het aantal lucifers dat je nodig hebt voor figuur 5 t2
c Met hoeveel lucifers neemt het aantal lucifers per figuur toe? Hoe kun je dit aan de formule zien? t2
d Teken figuur 4 in je schrift. t1
e Bereken het totaal aantal lucifers dat je nodig hebt om de eerste zes figuren te leggen. i
111 Bekijk rij A op de linkerbladzijde.
a Uit welke vlakke figuur is deze rij opgebouwd? t1
vmb o - t / hav o 2
b Hoeveel staafjes heb je nodig voor figuur 2? t1
c Kun je met 40 staafjes figuur 5 leggen? i
d Teken figuur 5. t2
112 Bij rij A is er een verband tussen het nummer van de figuur en het aantal staafjes dat je nodig hebt. Met de volgende formule kun je het aantal staafjes berekenen dat je nodig hebt om een figuur te leggen.
aantal staafjes = (nummer + 1)2 + nummer – 1
a Bereken het aantal staafjes dat je nodig hebt voor figuur 4 t2
Herkennen, beschrijven en voortzetten van patronen in rijen getallen en figuren.
b Bereken het aantal staafjes dat je nodig hebt voor figuur 7. t2
c Bereken het totaal aantal staafjes dat je nodig hebt om de eerste vijf figuren te leggen. i
d Kun je met 100 staafjes figuur 9 leggen? Leg uit. i
e Welk nummer heeft het grootste figuur dat je kunt leggen met 200 staafjes?
113 Bij rij B op de linkerbladzijde kun je het aantal staafjes berekenen met de formule:
aantal staafjes = 2 × (nummer2 + nummer)
OPDRACHTEN — OEFENEN
a Uit welke vlakke figuur is rij B opgebouwd? t1
b Teken figuur 6. t1
c Bereken het totaal aantal staafjes dat je nodig hebt om de eerste acht figuren te leggen. i
Kwadratische verbanden
Om te berekenen welk figuur je kunt leggen met een bepaald aantal staafjes kun je de volgende formule gebruiken:
42 Gegeven zijn de volgende formules.
A y = −2x2 + 5x 4 D y = x x2
nummer = (√ (2 × aantal staafjes + 1) 1) : 2
B y = x2 + 4x + 5 E y = 7x2 + 10 1 2 x C y = −5x2 + 10 F y = 3 2 x 2 8 1 3
d Welk nummer heeft het grootste figuur dat je kunt leggen met 40 staafjes? t2
a Wat is de algemene vorm van een kwadratische formule? R
Woorden
b Geef voor elke formule aan wat de waarden van a, b en c zijn. T1
c Geef voor elke formule aan of de grafiek een dal- of een bergparabool is. T1
a Neem de volgende tabel over en vul hem verder in. x 0 1 2 3 4 5 6 y
Ik weet wat kwadraten, wortels en machten zijn. Ook weet ik in welke volgorde ik berekeningen moet uitvoeren. r
b Teken de grafiek van de formule.
Weergeven van kwadratisch verbanden in een beschrijving, tabel, grafiek en formule en deze in elkaar omzetten.
46 a Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool in onderstaand assenstelsel? T1
b Geef de vergelijking van de symmetrieas van deze parabool. T1
c Geef de coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as. T1
47 Gegeven is de formule y = x2 + 4x 1 T1
a Leg uit of de grafiek van deze formule een dal- of een bergparabool is.
b Wat is de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek?
Top en symmetrieas
Ik kan kwadrateren, machtsverheffen en worteltrekken. Ook kan ik de rekenvolgorde toepassen in berekeningen. t1
44 Bereken voor de volgende formules de coördinaten van de top van de grafiek. T1
Ik kan complexe berekeningen uitvoeren met kwadraten, wortels en machten. Ook kan ik mijn kennis over kwadraten, wortels, machten en de rekenvolgorde toepassen in praktijksituaties. t2
Ik begrijp hoe ik formules kan opstellen met kwadraten, machten, wortels. Ook begrijp ik waarom de rekenvolgorde belangrijk is. i
45 Bepaal voor elk van de volgende formules de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek. Geef ook aan of de grafiek een dal- of een bergparabool is. T1
c Teken de grafiek van de formule. Maak eerst een geschikte tabel door gebruik te maken van de symmetrie van de parabool.
48 Bereken voor de volgende formules de coördinaten van de top van de grafiek. T2
a y = 12 0,8x + 1 6x 2 b y = 1 8 x 2 1 4 x + 1 3
c y = 4 0,01x 2
BOEK-Kern-WK-2hv-LB.indb 95
08:52 hav o / vwo 2
Kerndoel 6 Vorm en ruimte
Doelzin De leerling analyseert en redeneert over de twee- en driedimensionale ruimte.
Het gaat hierbij om :
v redeneren met en over eigenschappen van meetkundige figuren en begrippen en deze eigenschappen gebruiken in berekeningen en constructies ; v redeneren met kijklijnen ; v construeren en interpreteren van tweedimensionale representaties van driedimensionale figuren en relaties leggen tussen twee- en driedimensionale representaties van figuren ; v meetkundige transformaties : verschuiven, draaien, spiegelen, vergroten en verkleinen van figuren.
Te denken valt aan :
v lijnen, symmetrie, gelijkvormigheid en coördinaten ;
v overstaande hoeken, gestrekte hoek, volle hoek, hoeksomeigenschap van driehoeken ;
v representaties van driedimensionale figuren : aanzichten, uitslagen, projecties en doorsneden ;
v aantonen van relaties tussen figuren aan de hand van hun eigenschappen, zoals een vierkant is een ruit, maar een ruit is niet altijd een vierkant, en een gelijkzijdige driehoek is een gelijkbenige driehoek, maar een gelijkbenige driehoek is niet altijd een gelijkzijdige driehoek ;
v meetkundige figuren zoals parallellogram, trapezium, kegel en prisma ;
v de stelling van Pythagoras in het platte vlak.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v redeneren met hoeken en eigenschappen van hoeken in meetkundige figuren ; v berekenen van hoeken en afmetingen van rechthoekige driehoeken met goniometrische verhoudingen.
Te denken valt aan :
v loodlijn, zwaartelijn, hoogtelijn en bissectrice ;
v berekenen van hoeken met behulp van Z- en F-hoeken en de hoeksomeigenschap van veelhoeken ;
v de stelling van Pythagoras in de ruimte ; v in een rechthoekige driehoek een hoek berekenen aan de hand van twee zijden en een zijde berekenen aan de hand van een hoek en een zijde ;
v van niet-rechthoekige driehoeken de hoeken en afmetingen berekenen door deze eerst te verdelen in rechthoekige driehoeken.
Kijkhoek
Een kijkhoek is de hoek tussen twee kijklijnen.
Een kijkhoek gebruik je om te bepalen welk gebied je langs obstakels kunt zien.
Hoeken van een driehoek
Je bepaalt de kijkhoek zo:
65 Hoe groot is de som van alle hoeken van een driehoek? r
Stap 1 Teken met een liniaal de kijklijnen vanaf waar je staat (punt P) precies langs de randen van de obstakels (de twee gebouwen).
66 Bereken bij elke driehoek de grootte van de hoek met het vraagteken. t1
Opdrachten — Kijkhoek
40 41
Bepaal de kijkhoek bij opdracht 39 t1
Hoeken in bijzondere driehoeken
Persoon P staat tussen twee hoge gebouwen (de blauwe delen) op de stoep. t1 a Teken de kijklijnen langs de gebouwen. b Kleur het gebied dat P kan zien. c Hoe groot is de kijkhoek?
70 Vul het juiste getal in. Alle hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn °. r
Stap 2 Meet de kijkhoek tussen de twee kijklijnen. De kijkhoek van persoon P is 92°.
Het gebied tussen de kijklijnen is wat je ziet. P ziet wel het groepje mensen bij G maar niet persoon F
71 Bereken bij elke driehoek de grootte van de hoek met het vraagteken. t1
Soorten vierhoeken
26 Gegeven is vierhoek ABCD T 1
a Wat voor soort vierhoek is ABCD? b Bereken ∠ A
29 Bereken de grootte van de hoeken met een vraagteken. T 2
67 Gegeven is ∆XYZ. Bereken
gebouw gebouw
72 Bereken ∠U t2
68 Gegeven is ∆KLM met ∠K = 60° en ∠M = 50°. Bereken ∠L t1
69 Je ziet een deel van de plattegrond van Barcelona. Bereken de hoek tussen de Avda Diagonal en de Avda Meridiana bij het Plaça de les Glóries. t2
27 Geef aan of de volgende uitspraken juist of onjuist zijn. R
73 De benen van een passer zijn even lang. Als je met een passer een cirkel met een diameter van 8 cm wilt tekenen, zet je de benen van de passer in een hoek van 18°. Bereken de grootte van de hoek tussen een been van de passer en het papier als je de cirkel tekent. t2
74 a In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken altijd scherp. Leg uit waarom. i b Kan een gelijkbenige driehoek ook een rechthoekige driehoek zijn? Leg uit. i
breinbreker Bereken ∠A en ∠C
A Een vlieger is een parallellogram.
B Een ruit heeft twee symmetrieassen.
C In een trapezium is ten minste één paar overstaande zijden evenwijdig.
D De overstaande hoeken van een parallellogram zijn even groot.
E De diagonalen van een parallellogram staan altijd loodrecht op elkaar.
28 Teken de ruit ABCD met diagonalen AC = 3 cm en BD = 7 cm. T 2 Tip: maak eerst een schets.
30 a Teken parallellogram ABCD met ∠ A = 105°, AB = 6 cm en BC = 4,5 cm. T 2 Tip: maak eerst een schets. b Teken de vlieger PQRS met ∠ P = 90°, PQ = 3 cm en QR = 8 cm. T 2 Tip: maak eerst een schets.
31 Hieronder staat een vierkant. Leg uit of een vierkant voldoet aan de eigenschappen van de volgende figuren. T 2
a een trapezium b een parallellogram c een ruit d een vlieger
Kerndoel 7 Wiskundig probleemoplossen
Doelzin De leerling lost wiskundige problemen en toepassingsproblemen op.
Het gaat hierbij om :
v analyseren hoe een probleem met wiskunde kan worden opgelost ; v bedenken en uitvoeren van een aanpak voor een niet-routinematig oplosbaar probleem ; v gebruiken van heuristieken ; v bewerken van de uitkomsten van berekeningen tot een oplossing van een probleem ; v reflecteren op aanpak, uitvoering en oplossing.
Te denken valt aan :
v problemen verhelderen door relevante gegevens te selecteren ;
v getalreferenties en meetreferenties gebruiken om ontbrekende gegevens in te schatten ;
v vooraf een inschatting geven van de oplossing ;
v probleemsituaties structureren met schema’s en abstracte modellen ;
v heuristieken zoals guess and check, vereenvoudigen van het probleem, terugredeneren en het opdelen van het probleem in deelproblemen.
doel → Je leert schatten met de afmetingen van een aantal bekende voorwerpen.
Bekende afmetingen
Je kunt de afmetingen van een voorwerp schatten door te vergelijken met bekende maten.
Voorbeelden:
Een volwassen persoon is ongeveer 1 80 meter lang.
Een deur is ongeveer 2 meter hoog en 80 centimeter breed.
Een woonkamer is ongeveer 2 50 meter hoog.
Een grijze vierkante stoeptegel is 30 x 30 cm.
Als een voorwerp precies gelijk is aan een bepaalde lengte, dan gebruik je het is-gelijk-aan teken: =’.
Als een voorwerp ongeveer gelijk is aan een bepaalde lengte, dan gebruik je het is-ongeveer-gelijk-aan teken ‘≈’.
Voorbeeld
Langs de auto op de foto tel je 16 stoeptegels. Een stoeptegel is 30 cm lang. De lengte van de auto is 16 x 30 ≈ 480 cm. De auto is ongeveer 4,8 meter lang.
Opdrachten — Bekende afmetingen
Noteer het is-ongeveer-gelijk-aan teken. r
Schrijf de afmetingen bij de tekeningen hieronder. r 20 21
vmbo-basis 2
Bekijk de foto van het huis hiernaast. a Vul in. t1 De breedte van de voordeur is b Schat hoe vaak de deur in de breedte van het huis past. t2 c Schat de breedte van het huis. t1 d Schat de hoogte van het huis. t2
Je ziet hieronder een foto van een vierkant mens-erger-jeniet-spel op een schoolplein. a Tel hoeveel stoeptegels er aan de voorkant naast elkaar in het spel liggen. t1
b Bepaal de breedte van het spel. Schrijf je antwoord in meters. t1
c Bepaal de oppervlakte van het grote vierkant waarop het hele spel is getekend in m2 t2
Een etage van het flatgebouw hieronder is 3 meter hoog. Schat de hoogte van het hele flatgebouw. t2
Bekijk de foto. t2 a Schat de hoogte van de lantaarnpaal.
b Schat de hoogte van het paaltje links op de foto.
Afmetingen schatten aan de hand van bekende maten (volwassen persoon, deur, woonkamerhoogte, stoeptegel).
Kerndoel 8 Wiskundig modelleren
Doelzin De leerling maakt en gebruikt wiskundige modellen.
Het gaat hierbij om :
v weergeven van een situatie, ook met gebruik van ICT ; v selecteren van relevante kenmerken en weglaten van niet-relevante kenmerken ;
v beredeneerd kiezen van een geschikt model en evalueren van deze keuze ; v gebruiken van abstracte modellen om rekenaanpakken te laten zien, situaties te interpreteren en problemen op te lossen.
Te denken valt aan :
v verhoudingstabellen gebruiken bij het oplossen van verhoudingsproblemen ; v boomdiagrammen gebruiken bij het redeneren met kansen ;
v herkennen en benoemen van meetkundige figuren in de werkelijkheid, zoals bij gebouwen en verpakkingen ;
v doorrekenen van een probleemsituatie, ook met gebruik van ICT ;
v met een grafiek laten zien hoe een verschijnsel zich in de tijd ontwikkelt, zoals de neerslag in een gebied of de groei van een mens.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v wiskundig modelleren volgens een modelleercyclus.
Te denken valt aan :
v vergelijkingen en formules opstellen op basis van modelmatige analyses van probleemsituaties.
formules en verbanden
Praktische wiskunde – Modelleren
doel → Je leert dat formules een model van de werkelijkheid zijn en dat ze worden gebruikt om voorspellingen te doen.
Modelleren is een manier om de werkelijkheid te beschrijven met een formule.
Als je bijvoorbeeld wilt weten hoeveel konikpaarden er volgend jaar in de Oostvaardersplassen zullen zijn, dan is dat aantal afhankelijk van meerdere variabelen, bijvoorbeeld: Het aantal veulens dat geboren wordt in de lente. Het aantal paarden dat doodgaat. De hoeveelheid voedsel die er is: hoe meer voedsel, hoe meer paarden.
Biologen houden eerst een aantal jaren data bij over de variabelen en stellen dan een formule op waarmee ze een voorspelling kunnen doen over het aantal konikpaarden in de toekomst.
Door bijvoorbeeld verschillende hoeveelheden voedsel in de formule in te voeren, kunnen ze berekenen hoeveel paarden er aan het eind van een jaar zullen zijn. Ze kunnen dan berekenen of ze de paarden moeten bijvoeren, of juist niet.
Zo’n formule is een model van de werkelijkheid. In een formule kun je niet altijd alle variabelen meenemen. Daarom blijft het een voorspelling.
Modelleren
56 Dromedarissen komen oorspronkelijk niet voor in Australië, maar zijn er in 1840 heen gebracht om als vervoermiddel te gebruiken. Op een gegeven moment zijn ze losgelaten. Omdat de dromedaris geen natuurlijke vijanden heeft in Australië, zijn er nu heel veel. Je kunt het aantal dromedarissen vanaf 2008 berekenen met de formule a = 1 000 000 × 1,11t
Hierin is a het aantal dromedarissen en t het aantal jaren, met t = 0 op 1 januari 2008
a Welk getal voor t vul je in wanneer je het aantal dromedarissen op 1 januari 2008 volgens dit model wilt berekenen? t1
b Bereken het aantal dromedarissen op 1 januari 2008 volgens dit model. t1
c Bereken het aantal dromedarissen op 1 januari 2020 volgens dit model. t1
d Vanaf welk jaar zijn er meer dan 2 miljoen dromedarissen volgens dit model? t2
e In 2013 bleek uit tellingen dat het aantal dromedarissen op 1 januari 2008 verkeerd was ingeschat. In werkelijkheid waren het er ongeveer 600 000. Stel de nieuwe formule op. t2 f In dit model wordt alleen rekening gehouden met de variabele tijd Bedenk een andere variabele die ook invloed kan hebben op het aantal dromedarissen. Leg uit.
Gebaseerd op examen vmbo-tl 2017 tijdvak 1 opdracht 22
57 Biologen hebben ontdekt dat bossalamanders steeds kleiner worden. In 1980 was de gemiddelde lengte 9 75 cm. Je kunt de gemiddelde lengte van een bossalamander berekenen met de formule
L = 9,75 × 0,99t
Hierin is L de lengte in cm en t het aantal jaren, met t = 0 op 1 januari 1980
a Maak een tabel bij de formule. Neem voor t de getallen 0, 10, 20, 30 40 en 50 t1
b In welk jaar is de bossalamander voor het eerst gemiddeld kleiner dan 7,5 cm? Leg uit.
Gebaseerd op examen vmbo-k 2017 tijdvak 1 opdracht 20
58 Biologen hebben een model gemaakt waarmee je het gewicht van een struisvogelkuiken kunt berekenen gedurende het eerste levensjaar. Vanaf het moment dat het kuiken uit het ei komt, is de formule gewicht = 950 × √ 40t + 1
Hierin is gewicht in grammen en t het aantal dagen na het uitkomen van het ei.
a Bereken het gewicht van het kuiken als het uit het ei komt. t1
b Hoe zwaar is het kuiken na 10 dagen? Geef je antwoord in hele kg. t1
c Maak een tabel bij de formule. Neem voor t de getallen 0 tot en met 100 met stapgrootte 10. Rond af op hele kg. t1
d Teken de grafiek bij de tabel van opdracht c Zet bij de y-as gewicht (kg) t1 e Na hoeveel dagen is het kuiken voor het eerst zwaarder dan 50 kg? t2 f Bij het berekenen van het gewicht van het kuiken met dit model wordt alleen rekening gehouden met het aantal dagen. Bedenk een andere variabele die ook invloed kan hebben op het gewicht van het kuiken. Leg uit. I
Gebaseerd op examen vmbo-tl 2017 tijdvak 1 opdracht 7 en 8
Woorden machtsverband modelleren exponentieel verband model groeifactor
Doelen bereikt?
Ik weet wat een machtsverband en een exponentieel verband zijn. Ook weet ik wat een groeifactor is. r
Ik kan een grafiek tekenen bij een machtsverband en bij een exponentieel verband. t1
Ik kan berekeningen maken bij machtsverbanden en exponentiële verbanden in praktijksituaties. t2
Ik kan redeneren over machtsverbanden en exponentiële verbanden. i
Formules gebruiken als model van de werkelijkheid om situaties te interpreteren.
het prisma hier-
grensvlakdiagonalen heeft het lichaamsdiagonalen heeft het
Onderzoeken
22 Lees de tekst La Grande Arche op de rechterbladzijde. In La Grande Arche kun je een aantal afgeknotte piramides herkennen. Een afgeknotte piramide is een piramide waarvan de top is afgesneden door een vlak evenwijdig aan het grondvlak.
a Uit hoeveel afgeknotte piramides bestaat La Grande Arche? T1
b Hoeveel grensvlakken, grensvlakdiagonalen en lichaamsdiagonalen heeft een afgeknotte piramide met een vierkant grondvlak? T2
hoekpunten en waarvan het honderdhoek is? hoekpunten en waarvan het grond-
I
47 m3 = km3
5 cm3 = liter
2500 m2 = ha
vwo 2
23 De Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707–1783) ontdekte dat er een verband bestaat tussen het aantal hoekpunten (H), het aantal ribben (R) en het aantal grensvlakken (V) van ruimtefiguren waarvan de grensvlakken veelhoeken zijn: H – R + V = 2 Deze formule wordt ook wel de formule van Euler voor veelvlakken genoemd.
a Onderzoek of de formule geldt voor de platonische lichamen (zie bladzijde 37). T1
b Onderzoek of de formule geldt voor een afgeknotte piramide met een vierkant grondvlak. T2
c Onderzoek of de formule ook geldt voor veelhoeken met een gat erin, zoals La Grande Arche. I
La Grande Arche is een iconisch gebouw in de Parijse zakenwijk La Défense. Het bouwwerk heeft bij benadering de vorm van een kubus met ribben van 110 m. In het midden is het bouwwerk open, waardoor het lijkt op de projectie van een vierdimensionale hyperkubus (een zogenaamde tesseract) op onze driedimensionale wereld.
La Grande Arche is ontworpen door de Deense architect Johann Otto von Spreckelsen en de Deense ingenieur Erik Reitzel, die een 20ste-eeuwse versie van de Arc de Triomphe wilden maken. Het gebouw werd op 14 juli 1989 geopend, precies 200 jaar na de bestorming van de Bastille tijdens de Franse Revolutie.
La Grande Arche staat op de Axe historique (de historische as), een denkbeeldige lijn door Parijs waarop verschillende monumenten liggen, waaronder de Arc de Triomphe en de piramide van het Louvre. La Grande Arche is zo geplaatst dat ze een tweede lijn door Parijs vormt samen met de Eiffeltoren en de Tour Montparnasse.
R Ik weet wat balken, kubussen, piramides, kegels, prisma’s, cilinders en bollen zijn.
T1 Ik kan het aantal hoekpunten, ribben, grensvlakken, grensvlakdiagonalen en lichaamsdiagonalen van eenvoudige ruimtefiguren tellen en ik kan een kubus en een balk op roosterpapier tekenen.
T2 Ik kan het aantal hoekpunten, ribben, grensvlakken, grensvlakdiagonalen en lichaamsdiagonalen van ingewikkelde ruimtefiguren tellen. Ook kan ik ingewikkelde prisma’s herkennen.
Herkennen en benoemen van meetkundige figuren in de werkelijkheid.
I Ik kan beredeneren hoeveel hoekpunten, ribben en grensvlakken een ingewikkeld ruimtefiguur heeft.
La Grande Arche in Parijs
La Grande Arche
4.1 TELLEN: ROOSTERDIAGRAM EN BOOMDIAGRAM
Boomdiagram Als je drie paar sokken, twee broeken en vier truien hebt, kun je die op verschillende manieren met elkaar combineren. Je kunt hier geen roosterdiagram van maken, omdat je niet met twee, maar met drie keuzes te maken hebt: een paar sokken, een broek en een trui. Je kunt alle mogelijke keuzes wel op een rij zetten in een boomdiagram. In het boomdiagram hiernaast stelt het linker knooppunt de keuze voor een paar sokken voor. De knooppunten in het midden stellen de keuze voor een broek voor en de knooppunten rechts de keuze voor een trui. Elke route van links naar rechts door het boomdiagram geeft een mogelijke combinatie weer van een paar sokken, een broek en een trui. De vetgedrukte route bijvoorbeeld, geeft een mogelijke combinatie weer, namelijk die van sokken met stippen, shorts en een rode trui. In totaal zijn er 24 combinaties mogelijk, net zoveel als het aantal takken waar het boomdiagram op uitkomt.
Voorbeeld
OPDRACHTEN — OEFENEN
Boomdiagram
10 Neem over en vul in. R In een situatie met drie of meer keuzes kun je geen diagram maken, maar wel een diagram.
11 Je gooit drie keer een muntstuk op en telt hoe vaak je kop en hoe vaak je munt hebt gegooid. T1
a Maak een boomdiagram van deze situatie.
b Op hoeveel manieren kun je precies twee keer kop gooien?
c Op hoeveel manieren kun je minstens twee keer kop gooien?
12 a Op hoeveel verschillende manieren kun je vier paar sokken, vier broeken en twee truien met elkaar combineren? T1
b Op hoeveel verschillende manieren kun je twee paar sokken, vijf broeken en twee truien met elkaar combineren? T1
sokken met stippen shorts rode trui
In het boomdiagram hieronder zie je dat je zes verschillende vlaggen met drie horizontale banen kunt maken waarin elk van de kleuren rood, wit en blauw precies één keer voorkomt. rood wit blauw blauw wit wit rood rood blauw rood blauw rood wit blauw boven midden onder wit effen jeans blauw rood geel zwart blauw rood geel zwart blauw rood geel zwart blauw rood geel zwart blauw rood geel zwart blauw rood geel zwart shorts jeans shorts jeans shorts strepen stippen
13 In een restaurant heb je bij het driegangendiner keuze uit verschillende gerechten. Voor het voorgerecht kun je kiezen uit soep en salade. Voor het hoofdgerecht kun je kiezen uit kipsaté, sliptong en vegetarische tortilla. Voor het dessert kun je kiezen uit ijs, chocolademousse en koffie met lekkers. Hoeveel verschillende driegangendiners kun je samenstellen? T1
14 Bij een espressobar kun je een espresso, een cappuccino, een macchiato, een americano of een caffè latte bestellen. Je kunt deze soorten koffie in drie formaten krijgen, tall, grande en venti. Ten slotte kun je kiezen of je suiker in je koffie wilt of niet. Hoeveel verschillende soorten koppen koffie serveert deze espressobar? T1
15 Op een sportdag kunnen de leerlingen in elke ronde kiezen uit een aantal sporten. Je ziet de mogelijkheden hieronder weergegeven in een boomdiagram.
a Hoeveel verschillende combinaties van sporten zijn er mogelijk? T1
b Hoeveel verschillende combinaties van sporten zijn er mogelijk als je in de eerste ronde wilt speerwerpen? T1
c Hoeveel verschillende combinaties van sporten zijn er mogelijk als je in de tweede ronde wilt tennissen? T2 speerwerpen voetbal tennis karate karate judo karate volleybal basketbal judo judo tennis karate karate judo karate volleybal basketbal judo judo
Boomdiagrammen gebruiken bij het redeneren met kansen.
1e ronde 2e ronde 3 ronde BOEK-Kern-WK-2havo-LB-DeelA.indb 121
19-12-2022 14:15
BOEK-Kern-WK-2havo-LB-DeelA.indb
Kerndoel 9 Aantonen
Doelzin De leerling toont de juistheid van wiskundige beweringen en redeneringen aan.
Het gaat hierbij om :
v formuleren van vermoedens en beweringen ; v gebruiken van logische redeneerprincipes en daarmee conclusies trekken ;
v gebruiken van wiskundetaal en wiskundige representaties bij het formuleren en onderbouwen van een redenering ;
v kritisch evalueren van eigen en andermans wiskundige redeneringen.
Te denken valt aan :
v beweringen over getallen aantonen, zoals dat elk tweetal oneven getallen opgeteld een even getal oplevert ;
v beweringen over meetkundige figuren aantonen, zoals dat elke ruit ook een vlieger is ;
v redeneerprincipes zoals als-dan-redeneringen ;
v voorbeelden en tegenvoorbeelden geven ;
v een eigenschap van bewerkingen laten zien met meetkundige figuren, zoals de commutatieve eigenschap van vermenigvuldigen van twee getallen laten zien met een rechthoekmodel.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v wiskundig bewijzen van een bewering ; v verantwoorden van een redeneeraanpak in formele stappen.
Te denken valt aan :
v beweringen over meetkundige figuren bewijzen, bijvoorbeeld dat de hoeksom van een driehoek altijd 180 graden is.
a De auto had een remafstand van 20 m. Wat was de snelheid in m/s? Rond af op één decimaal. t1
b Hoeveel km/uur is dat? t1
c Neem de tabel over en vul in. t1
r (m) 0 10 20 30 40 50 60 v (m/s)
d Teken de grafiek bij de formule. Teken zelf het assenstelsel. t1
Met een berekening de juistheid van een bewering laten zien.
e Laat met een berekening zien dat 36 km/uur dezelfde snelheid is als 10 m/s. t1 f Teken de lijn v = 10 in het assenstelsel van opdracht d. t1
g Geef de coördinaten van het snijpunt van de lijn en de grafiek van de remafstand. t1
h Hoeveel meter heeft een auto nodig om te stoppen als hij 36 km/uur rijdt? t2
. 5 vierhoeken – 1
22 Om de beginsnelheid van een Formule 1-auto te berekenen, gebruik je de formule v = √ 38r t2
d Op de snelweg wordt aangeraden om 2 seconden afstand te houden tot je voorganger. Gebruik je antwoorden bij a en c om uit te
of
goed advies vindt. I
e Lees uit de grafiek van opdracht 21 af hoe groot de remafstand is bij snelheden van 30 km/uur en 50 km/uur. t1
f Hoeveel meter minder is de remafstand bij
30 km/uur dan bij 50 km/uur? t1
g Een automobilist rijdt met een snelheid van 45 km/uur door een straat. Op 10 meter afstand ziet hij iets op straat, waarvoor hij remt. Laat met een berekening zien of zijn auto op tijd stilstaat. I
BEWIJZEN 7.1
Woorden
wortelverband remafstand
Doelen bereikt?
Een bewijs geven Wanneer je iets moet bewijzen, kun je werken volgens het volgende stappenplan.
1 Noteer alle gegevens en maak eventueel een schets of tekening.
2 Schrijf beknopt het vermoeden op dat je moet bewijzen.
3 Schrijf het bewijs op. Let erop dat je vanuit de gegevens stap voor stap laat zien dat het vermoeden klopt.
Ik weet dat er in een formule een deelstreep, haakjes of een wortel kunnen staan. r
Trapezium en parallellogram
a Een Formule 1-auto had een remafstand van 150 m. Wat was de snelheid in km/uur? Rond af op een geheel getal.
93 Noem alle eigenschappen van een parallellogram. r
b Laat met een berekening zien dat de maximale snelheid twee keer zo groot is als de remafstand vier keer zo groot is.
94 Wat voor soort vierhoeken zijn dit? t1
vmb o - t / hav o 2
Wiskunde vmbo-th 2B (bijdruk).indb 95
95 Welke van onderstaande stellingen is juist? Leg uit. i
A Alle parallellogrammen zijn vierkanten.
B Alle vierkanten zijn parallellogrammen.
96 Gegeven is vierhoek KLMN t2
a Wat voor soort vierhoek is KLMN?
vmb o - t / hav o 2
b Bereken ∠N.
c Bereken ∠K
K N M L
97 Gegeven is vierhoek EFGH. t2
a Wat voor soort vierhoek is EFGH?
b Bereken ∠H2.
c Bereken
G1
Bij een bewijs mag je gebruikmaken van definities, van stellingen en van bekende eigenschappen. Een bewijs sluit je af met een wit vierkantje (□) of met de afkorting ‘Q.E.D.’, dat staat voor het Latijnse ‘quod erat demonstrandum’ (wat bewezen moest worden).
Ik kan rekenen met formules waarin een deelstreep, haakjes of een wortel staan. Ook kan ik een grafiek bij een wortelverband tekenen. t1
Voorbeelden
Bewijs dat de som van de hoeken van driehoek ABC 180° is.
Ik kan rekenen met formules met een deelstreep of haakjes in praktijksituaties. Ook kan ik berekeningen maken bij wortelverbanden in praktijksituaties. t2
Gegeven: Δ ABC
Te bewijzen: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Ik kan redeneren over formules met een deelstreep, haakjes of een wortel. i
Bewijs: Trek door C een lijn evenwijdig aan AB
∠C1 + ∠C2 + ∠C3 = 180° (gestrekte hoek)
∠A = ∠C1 (Z-hoeken)
∠B = ∠C3 (Z-hoeken)
Dus ∠A + ∠B + ∠C = 180°. De som van de hoeken van driehoek ABC is 180 graden. □
2 In driehoek KLM is ∠M = 90°. Punt P ligt op zijde KL met MP ⊥ KL
Bewijs dat ∠K = ∠LMP. Je mag de in voorbeeld 1 bewezen stelling over de som van de hoeken van een driehoek gebruiken.
20-02-2024 10:37
Gegeven: Δ KLM met ∠M = 90° en ∠KPM = ∠MPL = 90°
Te bewijzen: ∠K = ∠LMP
Bewijs: u ∠K + ∠KPM + ∠PMK = 180° (som van de hoeken van een driehoek)
Dus ∠K = 180° ∠KPM ∠PMK = 90° ∠PMK.
u ∠M = ∠PMK + ∠LMP = 90° (gegeven)
Dus ∠PMK = 90° ∠LMP. u Dus ∠K = 90° (90° ∠LMP) = ∠LMP. □
Uitleg over hoe je een wiskundig bewijs in stappen kunt weergeven.
BOEK-Kern-WK-3vwo-B-LB.indb 90 06-05-2022 08:02
WISKUNDIG REDENEREN
W 3 Logisch redeneren
Als je op basis van gegeven informatie moet achterhalen of iets het geval is of niet, kun je dit niet altijd direct uit de informatie halen. Probeer in zulke gevallen door te redeneren eerst uit de gegeven informatie zo veel mogelijk dingen te weten te komen die je zeker weet. Als er daarna meerdere mogelijkheden overblijven, kun je deze het best stuk voor stuk uitproberen en door te redeneren na te gaan wat de gevolgen zijn. Kom je tot een tegenspraak (iets wat niet kan), dan weet je zeker dat je een andere mogelijkheid moet proberen.
Voorbeelden
Alice zegt dat Bert liegt, Bert zegt dat Eva liegt en Eva zegt dat Alice en Bert beiden liegen. Wie liegt er en wie spreekt de waarheid?
Je loopt systematisch de mogelijkheden na. Alice kan de waarheid spreken of ze kan liegen:
Stel dat Alice de waarheid spreekt, dan liegt Bert. Dit betekent dat Eva dan de waarheid spreekt. Maar Eva zegt dat Alice liegt en dit is in tegenspraak met de aanname dat Alice de waarheid spreekt. Stel dat Alice liegt, dan spreekt Bert de waarheid. Dit betekent dat Eva liegt. Als Eva liegt, dan kunnen Alice en Bert niet allebei liegen. Dit klopt, want Bert spreekt de waarheid.
Er is geen tegenspraak als Alice liegt. De conclusie is dus dat Alice en Eva liegen en dat Bert de waarheid spreekt.
Ridder Joris komt aan bij een kasteel om een prinses te bevrijden uit de klauwen van een groep draken. Hij staat voor twee deuren. Achter elke deur is een kamer met daarin óf de prinses óf een draak. Er kan ook een draak in beide kamers zitten. Op elke deur hangt een bordje met daarop een zin die waar of onwaar kan zijn. Een wijze tovenaar zegt dat slechts op één van de bordjes de waarheid staat. Wat zit er achter de deuren?
Er zijn drie mogelijkheden: De prinses achter de linkerdeur, een draak achter de rechterdeur. De prinses achter de rechterdeur, een draak achter de linkerdeur. Achter beide deuren een draak.
In de tabel hiernaast zie je voor de drie mogelijkheden wat dit betekent voor de waarheid van de bordjes op de deuren. Als de prinses zich bijvoorbeeld achter de linkerdeur bevindt en er een draak achter de rechterdeur zit, dan is de tekst op beide bordjes waar. Maar dat kan niet kloppen, want maar één van de beweringen is waar. Aangezien maar één van de beweringen op de bordjes waar is, kun je uit de tabel afleiden dat de prinses zich achter de rechterdeur bevindt en er een draak achter de linkerdeur zit.
Achter deze deur zit de prinses en achter de andere deur een draak.
kamer links kamer rechts bordje links bordje rechts prinses draak draak draak prinses draak waar niet waar niet waar waar waar niet waar
In een van de kamers zit de prinses en in de andere kamer een draak. KERN_Wiskunde_hv_1-B_Tweede_druk_2022_Binnenwerk_168pp.indb 156 26-11-2021 10:17
Gebruiken van logische redeneerprincipes en daarmee conclusies trekken.
OPDRACHTEN
In beide kamers staat een schatkist.
De andere kamer is leeg.
16 Bekijk de bordjes op de deuren. Beide beweringen zijn waar of onwaar. Wat zit er achter de deuren?
17 Joris en de prinses komen aan bij een tweesplitsing. De ene weg leidt naar huis en de andere weg naar het hol van de draak. Ze weten niet welke weg naar huis leidt. Gelukkig staan er twee mannen bij de splitsing. Een van hen is een tovenaar die altijd de waarheid spreekt en de andere een bedrieger die altijd liegt, maar het is niet te zien wie wie is. Joris mag aan een van hen een vraag stellen. Welke vraag kan hij stellen, zodat hij zeker weet welke weg ze moeten inslaan?
18 Achter één van drie deuren is een leeuw opgesloten.
Op deur 1 hangt een briefje met de tekst ‘De leeuw zit achter deze deur’.
Op deur 2 hangt een briefje waarop staat: ‘De leeuw zit niet achter deze deur’.
Op deur 3 hangt een briefje met dit opschrift: ‘2 + 3 = 2 × 3’.
Slechts één opschrift is juist. Achter welke deur zit de leeuw?
A Achter deur 1.
B Achter deur 2.
C Achter deur 3.
D De leeuw kan zowel achter deur 1 als achter deur 2 zitten.
E De leeuw kan achter elke deur zitten.
Kangoeroe WizBrain 2018
19 Er is een stuk appeltaart gestolen en vijf kinderen worden hierover ondervraagd. Ze weten allemaal wie het gedaan heeft, maar ze spreken niet allemaal de waarheid. Als een kind liegt, dan voelt het volgende kind zich daar zo schuldig over dat het juist de waarheid spreekt. De kinderen doen de volgende uitspraken in deze volgorde: asim : ‘Coen en ik hebben het allebei niet gedaan.’
bob : ‘De dader is Coen of Dilan.’ coen : ‘Eva en ik hebben het allebei niet gedaan.’ dilan : ‘De dader is Asim.’
eva : ‘Minstens twee van de kinderen Asim, Bob, Coen en Dilan hebben gelogen.’ Wie heeft de appeltaart gestolen?
A Asim C Coen E Eva B Bob D Dilan
Junior Wiskunde Olympiade 2014
20 In een misdaadonderzoek zijn vijf verdachten opgepakt. Ze doen allemaal één uitspraak: eva : ‘We zijn allemaal onschuldig.’ fatima ‘Precies één van ons is onschuldig.’ kees : ‘Precies één van ons is schuldig.’ manon : ‘Min stens twee van ons zijn onschuldig.’ mustafa : ‘Minstens twee van ons zijn schuldig.’
Het blijkt dat precies de schuldigen liegen en de onschuldigen de waarheid spreken. Hoeveel schuldigen zijn er onder deze vijf verdachten?
A 1 C 3 E 5
B 2 D 4
Wiskunde Olympiade 2017
157 26-11-2021 10:17 hav o / vwo 1
Getaltheorie
DOEL Je leert hoe je eigenschappen van gehele getallen kunt bewijzen en hoe je een bewering met een tegenvoorbeeld kunt ontkrachten.
Bewijzen Stel dat iemand beweert dat de som van twee oneven getallen altijd even is. Je kunt deze bewering voor elk paar oneven getallen eenvoudig controleren, bijvoorbeeld 3 + 5 = 8 en 19 + 27 = 46 Maar daarmee weet je nog niet zeker dat de bewering voor elk paar oneven getallen geldt. Dat weet je pas als je kunt beredeneren dat de bewering altijd klopt. Zo’n redenering heet een bewijs. Je maakt daarbij gebruik van andere beweringen die al eerder bewezen of per definitie waar zijn.
Voorbeeld
Om te bewijzen dat de som van twee oneven getallen altijd even is, maak je gebruik van de volgende eigenschappen van even en oneven getallen. Even getallen zijn deelbaar door 2 en kun je daarom schrijven als 2n met n ∈ . Oneven getallen zijn niet deelbaar door 2 en kun je daarom schrijven als 2m + 1 met m ∈ . Zo is 8 = 4 2 en 9 = 4 2 + 1. De som van twee oneven getallen kun je dus schrijven als 2m1 + 1 + 2m2 + 1 met m1 m2 ∈ . Dat is gelijk aan 2m1 + 2m2 + 2 = 2(m1 + m2 + 1). Dit getal staat in de vorm 2n en is dus even.
In het voorbeeld hierboven heb je gebruik gemaakt van eigenschappen van even en oneven getallen. Evenzo kun je getallen die deelbaar zijn door 3 schrijven als 3n. Bij getallen die niet deelbaar zijn door 3, houd je een rest over als je door 3 deelt. Je kunt deze getallen schrijven als 3n + 1 als de rest 1 is, of als 3n + 2 als de rest 2 is. En getallen die deelbaar zijn door 4, kun je schrijven als 4n. Enzovoort. Deze eigenschappen volgen direct uit de definitie van deelbaarheid en komen goed van pas bij het bewijzen van beweringen over gehele getallen.
Getaltheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de eigenschappen van natuurlijke en gehele getallen bestudeert.
Beweringen over getallen aantonen.
OPDRACHTEN — OEFENEN
Bewijzen
70 a Bewijs dat het kwadraat van een even getal altijd even is. T1
b Bewijs dat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is. T1
c Bewijs dat het product van twee oneven getallen altijd oneven is. T1
71 Gegeven is dat 98 23 251 = 2 278 598 Laat zonder rekenmachine zien dat 7 een deler is van 2 278 598 T1
72 Bereken met rest. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 28 : 3 c 225 : 13
b 127 : 5 d 79 813 223
73 Een natuurlijk getal dat deelbaar is door 5 kun je als 5n schrijven met n ∈ Een natuurlijk getal dat niet deelbaar is door 5 kun je als 5n + 1, 5n + 2, 5n + 3 of 5n + 4 schrijven met n ∈ Schrijf de volgende getallen in een van deze vijf vormen. T1
a 75 c 378
b 87 d 629
74 Gegeven is een natuurlijk getal n dat deelbaar is door 3 T1
a Leg uit waarom je n kunt schrijven als 3m Waaraan voldoet m?
b Bewijs dat n2 deelbaar is door 9
c Bewijs dat n3 deelbaar is door 27
75 Gegeven is een natuurlijk getal n dat niet deelbaar is door 3. Er geldt dus
n ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8, } T2
a Leg uit dat je n kunt schrijven als n = 3q + 1 of als n = 3q + 2 met q ∈
b Van welke vorm uit opdracht a is n 2?
c Bewijs dat n 2 1 deelbaar is door 3
76 a Gegeven is een oneven getal n Bewijs dat n 2 2 oneven is. T2
b Gegeven is een natuurlijk getal n Bewijs dat n 3 + n even is. T2
Tip geef eerst een bewijs voor even waarden van n. Doe daarna hetzelfde voor oneven waarden van n
77 Gegeven is een oneven getal a T2
a Bewijs dat a + 1 of a 1 een veelvoud is van 4
b Bewijs dat a 2 1 deelbaar is door 8
Tip: ontbind a 2 1 in factoren.
Kerndoel 10 Gebruiken en beschrijven van algoritmes
Doelzin De leerling bedenkt en beschrijft algoritmes.
Het gaat hierbij om :
v algoritmes met een beperkt aantal stappen ;
v beschrijven hoe een algoritme tot een vast resultaat leidt ; v beoordelen van het resultaat van een doorlopen algoritme ; v bedenken van een algoritme voor de aanpak van een probleem ;
v beschrijven van mogelijkheden en beperkingen in de bruikbaarheid van algoritmes.
Te denken valt aan :
v de werking van een algoritme beschrijven ;
v een algoritme ontwerpen voor het tekenen van meetkundige figuren ;
v vaststellen of een algoritme kan worden toegepast in een bepaalde situatie, zoals het oplossen van een vergelijking door inklemmen ;
v herkennen en benoemen dat algoritmes voorkomen in alledaagse situaties, zoals bij klantenkaarten en sociale media.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v verbeteren van een algoritme door een aanpassing te bedenken ;
v schematisch beschrijven van een algoritme.
Te denken valt aan :
v verbeteren van een algoritme voor deling van twee getallen ;
v een algoritme beschrijven in de vorm van een stroomschema ;
v een algoritme beschrijven in de vorm van een formule ;
v vaststellen of een algoritme kan worden toegepast in een bepaalde situatie, zoals het oplossen van een algemene tweedegraads algebraïsche vergelijking.
hoeken berekenen
Praktische wiskunde – Programmeren
DOEL → Je leert hoe je een programma kunt schrijven voor een robot.
Als je een robot wilt laten voortbewegen, moet je heel precieze instructies geven. Dat heet programmeren Een reeks van zulke instructies heet een programma
De instructies die je voor de robot kunt gebruiken, zijn: Ga ... vooruit.
Draai ...° rechtsom.
Draai ...° linksom.
Opdrachten – Programmeren
57 Vul in
Als je een robot wilt laten voortbewegen, moet je heel precieze instructies geven. Dit heet Een reeks van zulke instructies heet een r
58 Kijk naar de driehoek op de linkerbladzijde die de robothond heeft gelopen. t1
a Bereken ∠B van de driehoek.
b Bereken ∠C van de driehoek.
c Bereken ∠A van de driehoek.
59 Een robothond begint bij punt A en krijgt de volgende instructies:
Ga 7 m vooruit.
Voorbeeld ▸ Een robothond staat bij punt A. Je wilt hem langs punt B en punt C laten lopen en weer laten eindigen bij punt A De pijl geeft aan in welke richting de robothond staat.
Het programma voor de wandeling van de robothond is:
Ga 4 m vooruit.
Draai 125° rechtsom.
Ga 3,5 m vooruit.
Draai 110° rechtsom.
Ga 3,5 m vooruit.
1 m
Draai 141° linksom.
Ga 9 m vooruit.
Draai 141° rechtsom.
Ga 7 m vooruit.
Draai 141° rechtsom.
Ga 9 m vooruit.
a Teken de wandeling. Neem 1 m = 1 cm. t2
b Welke figuur herken je in de wandeling van de robothond? t1
c De robothond kruist zijn eigen pad één keer.
Bereken de grootte van de hoeken bij dat punt. t2
60 Een robothond begint bij punt A en heeft de volgende instructies gehad:
Ga 3 m vooruit.
Draai 90° linksom.
Ga 6 m vooruit.
61 De instructies draai 80° rechtsom en draai 280° linksom zijn hetzelfde. Leg uit waarom. i
62 Een robot heeft een aantal instructies opgevolgd en is net aangekomen in punt C Schrijf de instructies op die ervoor zorgen dat de robot een draai maakt en daarna 3 m loopt, evenwijdig aan AB t2 C
Woorden programmeren programma
Doel bereikt?
Ik weet wat programmeren is en wat een programma is. r
Ik kan een gegeven programma uitvoeren. t1
Ik kan een instructie schrijven om een robothond een bepaalde richting op te laten gaan. t2
Ik kan bepalen welke instructie een robothond nodig heeft om een bepaalde figuur te wandelen. i
1 m
Welke twee instructies heeft de robothond nodig om weer terug te komen bij de plaats waar hij begon? Rond het aantal m af op één decimaal.
Algoritmes ontwerpen bij het programmeren.
GROOTSTE GEMEENSCHAPPELIJKE DELER EN KLEINSTE GEMEENSCHAPPELIJKE VEELVOUD
Het algoritme van Euclides Een algoritme is een reeks instructies waarmee je stap voor stap een probleem oplost. Met het algoritme van Euclides kun je de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen bepalen (zie opdracht 105):
Bepaal hoe vaak het kleinste in het grootste getal past. Als je geen rest overhoudt, is het kleinste getal de grootste gemeenschappelijke deler. Houd je wel een rest over, dan doe je hetzelfde nog eens voor het kleinste van de eerste twee getallen en de rest die je overhield. Ga net zolang door tot je geen rest overhoudt. Het kleinste van de twee getallen waar je op dat moment mee werkt, is de grootste gemeenschappelijke deler.
Voorbeelden
1 Bereken ggd(350 500).
Het kleinste getal 350 past één keer in 500. Je houdt 150 over. Je gaat verder met de getallen 350 en 150. Het kleinste getal 150 past twee keer in 350. Je houdt 50 over. Je gaat verder met de getallen 150 en 50. Het kleinste getal 50 past drie keer in 150. Je houdt geen rest over, dus is 50 de grootste gemeenschappelijke deler van 350 en 500
2 Bereken ggd(400, 1440).
Het kleinste getal 400 past drie keer in 1440. Je houdt 240 over. Je gaat verder met de getallen 400 en 240 Het kleinste getal 240 past één keer in 400. Je houdt 160 over. Je gaat verder met de getallen 240 en 160. Het kleinste getal 160 past één keer in 240 Je houdt 80 over. Het kleinste getal 80 past twee keer in 160 Je houdt geen rest over, dus is 80 de grootste gemeenschappelijke deler van 400 en 1440
Het algoritme van Euclides
99 Bepaal met behulp van het algoritme van Euclides de grootste gemeenschappelijke deler van 22 en 142 Neem daarvoor onderstaande tabel over en vul hem verder in. T1 142 en 22 142 22 = 10 22 en 10 22 2 10 = 10 en 10 = 0
100 Bepaal met behulp van het algoritme van Euclides de grootste gemeenschappelijke deler van 72 en 246 Neem daarvoor onderstaande tabel over en vul hem verder in. T1
246 en 72 246 72 = 30 72 en 30 72 = en en = 0
101 Bereken met behulp van het algoritme van Euclides. T2
a ggd(60, 150) b ggd(108, 891) c ggd(1850, 4850)
102 Gegeven zijn de getallen 77 089 en 44 831 T2
a Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van deze twee getallen met het algoritme van Euclides.
b Waarom kun je de grootste gemeenschappelijke deler van deze getallen sneller met het algoritme van Euclides vinden dan door ontbinden in priemfactoren?
103 Bewijs dat de grootste gemeenschappelijke deler van twee opeenvolgende gehele getallen altijd gelijk aan 1 is. T2
Met het algoritme van Euclides bepalen van de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen.
BOEK-Kern-WK-3vwo-A-LB.indb 39 13-04-2022 10:13
relatief priem als de gemeenschappelijke deler van deze
getallen kleiner dan 20 20? priemgetal is. Hoeveel kleiner dan p zijn dan
schematisch weergegeven hoe Euclides de grootste van de getallen 350 500 350 350 van de berekening in weergegeven. schema voor de 57) = 3 tekening bij het algoritme van gemeenschappelijke
kleinste gemeenschapgetallen kunt vinden beide getallen te delen gemeenschappelijke deler. I van de priemfacgetallen, bijvoorbeeld ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
� Onderzoeken
81 Lees de tekst Algoritme en computers op de rechterbladzijde. Voer het volgende algoritme uit. Wat voor soort figuur krijg je? T1
� Ga 5 cm naar rechts.
� Ga 4 cm omhoog.
� Ga 5 cm naar links. � Ga 4 cm omlaag.
82 Ontwerp een algoritme waarmee je de volgende figuur kunt laten tekenen. T2
Algoritmes ontwerpen bij het programmeren.
De schilder moet uur werken om 350 euro te verdienen.
83 Voer het volgende algoritme uit. Wat voor soort figuur krijg je? T2 Herhaal 8 keer: � Ga 3 cm vooruit. � Draai 45°.
84 Ontwerp zelf een algoritme en laat een klasgenoot het uitvoeren. I
R E K ENEN
R5 Bereken handig uit je hoofd.
I 4 37 25 IV 99 99
II 4 67 + 6 67 V 23 38 3 38 III 98 45 VI 17 102
vwo / gymnasium 3
22-06-2021 15:17
Algoritme en computers
Een algoritme beschrijft heel precies wat je moet doen. Je hoeft er niet bij na te denken, maar alleen de instructies nauwkeurig uit te voeren. Daarom zijn computers uitermate geschikt om algoritmes uit te voeren. Computers denken zelf namelijk niet na, maar kunnen wel heel snel en nauwkeurig een reeks instructies uitvoeren.
Met de programmeertaal Logo kun je een schildpad figuren op het computerscherm laten tekenen. Je moet dan aangeven hoe de schildpad moet bewegen. Met het volgende algoritme kun je bijvoorbeeld de schildpad een vierkant laten tekenen:
� Ga n cm vooruit.
� Ga n cm naar rechts.
� Ga n cm achteruit.
� Ga n cm naar links.
stap 1 stap 3 stap 2 stap 4
Door te zeggen dat de schildpad een bepaalde stap of bepaalde stappen moet herhalen, kun je een korter algoritme schrijven:
Herhaal 4 keer:
� Ga n cm vooruit.
� Draai 90° rechtsom.
Het gebruik van herhaling is vooral nuttig als je complexere figuren wilt laten tekenen.
BOEK-Kern-WK-3vg-LB.indb 31
c Welke van de volgende getallen kies jij om in de woordformule in te vullen bij het oplossen van de vergelijking bij opdracht a: 0 3 / 30 / 300? Leg uit. i
Inklemmen
d Los de vergelijking bij opdracht a op. Gebruik de inklemtabel bij opdracht b t2
57 Een middenvelder scoorde gemiddeld 0,35 doelpunt per wedstrijd in de Nederlandse competitie. Hierbij hoort de formule: d = 0,35w
e Wat betekent de oplossing van de vergelijking? t2
Hierin is d het aantal doelpunten en w het aantal gespeelde wedstrijden. De middenvelder heeft in totaal 49 keer gescoord.
a Stel een vergelijking op die bij de situatie hoort. t1
b Neem de inklemtabel over en vul het aantal doelpunten bij 100 wedstrijden in. t1 w d = 0,35w te veel / te weinig
R Ik weet wat de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen zijn. Ook weet ik wat een algoritme is.
c Bereken het aantal doelpunten bij 200 wedstrijden. Zet je antwoord in de inklemtabel. t1 d Los de vergelijking op. Gebruik de inklemtabel. t1
T1 Ik kan de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen bepalen met behulp van de priemfactoren van beide getallen.
e Na hoeveel wedstrijden heeft de middenvelder 49 doelpunten gemaakt? t2
T2 Ik kan de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen bepalen met het algoritme van Euclides. Ik kan uitleggen waarom je de grootste gemeenschappelijke deler kunt bepalen met het algoritme van Euclides.
58 Tijdens het paragliden daal je met gemiddeld 1,2 meter per seconde. Hierbij hoort de formule: h = 1224 – 1,2t
Hierin is h de hoogte in m boven de landingsplaats en t de tijd in seconden.
B E GRIPP EN grootste gemeenschappelijke deler kleinste gemeenschappelijke veelvoud algoritme algoritme van Euclides
a Stel een vergelijking op bij een hoogte van 828 m. t1 b Los de vergelijking op met behulp van inklemmen. t1
c Na hoeveel minuten landt de paraglider? i
59 Met de formule a = 55p bereken je hoeveel bakstenen a je nodig hebt om een muur te metselen. In de formule is p het aantal m2 muur. Een metselaar heeft 6105 bakstenen.
a Stel een vergelijking op bij deze situatie. t1 b Hoeveel m2 muur kan de metselaar metselen? t2
Oplossen van vergelijkingen door inklemmen.
Een middenvelder scoorde in zijn voetbalcarrière gemiddeld 0 35 doelpunten per gespeelde wedstrijd. Hierbij hoort de woordformule: aantal doelpunten = 0,35 × aantal gespeelde wedstrijden
De middenvelder heeft in zijn voetbalcarrière in totaal 49 keer gescoord.
60 De aanschafprijs voor twaalf zonnepanelen is € 7448,-. De gemiddelde maandelijkse opbrengst van de panelen is € 98,-.
a Stel een vergelijking op bij deze situatie. t1
Met onderstaande formule berekenen je welk bedrag b in euro’s nog niet is terugverdiend.
b Los de vergelijking op. Gebruik een inklemtabel. t2
b = 7448 – 98m
Hierin is m de maandelijkse opbrengst in euro's.
Na hoeveel jaar is de aanschafprijs terugverdiend? i
61 Met de onderstaande formule kun je de hoogte h van koraal in cm uitrekenen.
h = 2 + 0,8t
Hierin is t de tijd in jaren.
c Hoeveel wedstrijden heeft de middenvelder gespeeld in zijn carrière? t1 30
Na verloop van tijd is het koraal 1 5 m hoog.
a Stel een vergelijking op bij deze situatie. t1
b Na hoeveel jaar is het koraal 1 5 m hoog? t2
62 Met de volgende formule bereken je de inhoud i in liters van een autotank.
i = 58 – 0,08k
22-06-2021 15:17 vmb o - basis 2 vmb o - t / hav o 2
Hierin is k het aantal gereden kilometers.
Na een rit heb je nog 22 liter in de tank.
Hoeveel kilometer heb je gereden? i
63 Gegeven is de formule:
y = 44 + 13x
Je gebruikt een inklemtabel om te bepalen wanneer y gelijk is aan 525. Er zijn al twee getallen voor x ingevuld.
x y = 44 + 13x te veel/te weinig
30 434 te weinig
40 564 te veel
Welk getal voor x zou je nu kiezen?
Leg je antwoord uit.
25962_Kern-WK-2TH.indb 107 29-11-2021 09:57
Kerndoel 11 Gebruiken van wiskundetaal en wiskundige representaties
Doelzin De leerling gebruikt wiskundetaal en wiskundige representaties.
Het gaat hierbij om : v gebruiken van wiskundige symbolen, notaties en begrippen ; v leesbaar weergeven van berekeningen en probleemaanpakken ; v kiezen en bedenken van representaties om berekeningen en wiskundige redeneringen weer te geven en uit te wisselen ;
v kritisch beoordelen van een representatie ; v relaties leggen tussen verschillende representaties van een wiskundig concept.
Te denken valt aan :
v gebruiken van representaties zoals aanzichten, plattegronden, diagrammen, grafieken, infographics en formules ;
v interpreteren van representaties, zoals grafieken en diagrammen, ook als deze misleidend zijn ;
v relaties leggen tussen representaties, zoals formules en grafieken, en verschillende symbolen voor dezelfde bewerking ( × , ∙ ) ;
v tijdnotaties lezen en weergeven, zoals tienden en honderdsten van seconden.
Wiskundeweetje Infographics
DOEL → Je maakt
ɲ Getallen in beeld
Je kunt in plaats van tekst ook afbeeldingen gebruiken om informatie snel en goed over te brengen. Getallen kun je op verschillende manieren laten zien in beeld, bijvoorbeeld in tabellen, grafieken en diagrammen
Met een lijndiagram kun je laten zien hoe iets verandert in de tijd.
ɲ Infographic
In een infographic zie je een combinatie van tekst, tekeningen en diagrammen, die allemaal informatie geven over een bepaald onderwerp. Met een infographic kun je veel informatie snel en overzichtelijk overbrengen.
Opdrachten – Infographics
1 Wat is een infographic? r
vermenigvuldigingsteken
Symbolen voor vermenigvuldigen
4 Bekijk de infographic over jongeren in Nederland op de linkerbladzijde. t1 a Welke leeftijdsgroep telt de meeste jongeren? b Met welke apparaten konden jongeren in 2019 thuis internetten?
Nederlandse jongeren en internet
10 O 12 24 tijd uren)
Een staafdiagram of cirkeldiagram laat de verhouding tussen aantallen goed zien.
In een staafdiagram staat elke staaf voor een bepaalde hoeveelheid.
(°C) 10 8 6 4 2 0 kat hond
In een cirkeldiagram staat elk gekleurd deel van de cirkel voor een bepaalde hoeveelheid. Je ziet snel welk deel naar verhouding het grootst is.
In een beelddiagram staan geen getallen. Elke afbeelding in een beelddiagram staat voor een bepaald aantal.
Aantal bezoekers bioscoop
Maandag Dinsdag Woensdag
Donderdag Vrijdag Zaterdag Zondag
= 40 bezoekers
× 40 = 120 bezoekers
4,5 × 40 = 180 bezoekers
2 Wat voor soort diagrammen zie je hieronder? t1 Kies uit: lijndiagram / staafdiagram / cirkeldiagram beelddiagram
voor 10 leerlingen
c Studierichting mbo-gediplomeerden 2019
■ zorg en welzijn
■ economie en administratie
■ techniek en procesindustrie
■ handel en ondernemerschap
■ veiligheid en sport
■ horeca en bakkerij
3 Bekijk het diagram uit opdracht 2c
a Waar gaat het diagram over? t1
b Hoe kun je aan dit diagram zien in welke studierichting de meeste mbo-ers een diploma haalden? t2
28324_Kern Wiskunde vmbo-kgt 1 (bijdruk).indb
5 a Hoeveel jongeren van 10 tot en met 14 jaar waren er in Nederland in 2019? t1
b Wat is de verhouding tussen het aantal jongeren van 10 tot en met 14 jaar zonder een smartphone en het aantal jongeren in dezelfde leeftijd met een smartphone? t1
c Hoeveel jongeren tot en met 18 jaar waren er in totaal in Nederland in 2019? t2
6 Wie voelen zich minder verslaafd aan sociale media, jongens of meiden? Leg je antwoord uit.
Vroeger werd een berekening vaak in woorden omschreven, bijvoorbeeld ‘twee keer zoveel als’. Rond het jaar 1500 begon men berekeningen korter op te schrijven. Er werd van alles geprobeerd. Zo gebruikte de Nederlandse wetenschapper Simon Stevin (1548–1620) de letter M voor vermenigvuldigen. Dit is de beginletter van het woord ‘multiplicare’, Latijn voor vermenigvuldigen. De Zwitser Johann Rahn (1622–1676) gebruikte de asterisk * Het gebruik van de letter M en van de asterisk vond echter geen navolging. Dit was wel het geval bij het vermenigvuldigingsteken × dat wordt toegeschreven aan de Engelse wiskundige William Oughtred (1574–1660). Hiernaast zie je een fragment uit zijn boek The Key of the Mathematicks (1631), waarin hij het vermenigvuldigingsteken beschrijft.
ɲ Ik weet dat je cijfers kunt weergeven in verschillende soorten diagrammen. Ook weet ik wat een infographic is. r ɲ Ik kan verschillende soorten diagrammen herkennen. Ook kan ik informatie uit een diagram aflezen. t1 ɲ Ik kan berekeningen maken op basis van informatie uit een infographic. t2 ɲ Ik kan conclusies trekken over aantallen en verhoudingen aan de hand van een infographic. i
De Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) is begonnen met het gebruik van een vermenigvuldigingspunt. In 1698 schreef hij in een brief aan Johann Bernoulli (1667–1748), die toen hoogleraar wiskunde in Groningen was: ‘Ik houd niet van × als symbool voor vermenigvuldiging, omdat het gemakkelijk wordt verward met de letter x’. Leibniz schreef de vermenigvuldigingspunt net als een punt aan het eind van een zin op de schrijflijn. Tegenwoordig is het gebruikelijk om de vermenigvuldigingspunt boven de schrijflijn te plaatsen. Dit om verwarring te voorkomen met andere betekenissen van de punt.
Fragment uit ‘The Key of the Mathematicks’ (1631) door william oughtred In dit fragment wordt het vermenigvuldigingsteken geïntroduceerd. Ook gebruikt Oughtred nog een verticale streep als scheidingsteken in decimale getallen, waar tegenwoordig een komma gebruikt wordt.
Heb je het leerdoel bereikt?
verticale streep als scheidingsteken in decimale getallen
R Ik weet wat een vermenigvuldigingspunt is en waarom die gebruikt wordt.
T 1 Ik kan een formule korter schrijven en de grafiek bij een formule tekenen.
T 2 Ik kan van een formule bepalen hoe ik het assenstelsel het best kan tekenen. Ik kan zonder de grafiek te tekenen aangeven in welke kwadranten de grafiek van een formule ligt.
vmbo-kgt 1
30-09-2021 09:42
KERN_Wiskunde_VWO_1-A_Binnenwerk_160pp.indb 105
Informatie weergeven en aflezen. Verschillende soorten representaties.
Symbolen voor het vermenigvuldigingsteken.
Kerndoel 12 Gebruiken van wiskundige instrumenten
Doelzin De leerling gebruikt meetinstrumenten en andere wiskundige instrumenten.
Het gaat hierbij om :
v beredeneerd kiezen voor gebruik van een instrument op basis van de mogelijkheden, beperkingen en meetnauwkeurigheid ; v vooraf schatten van meetresultaten en uitkomsten ; v gebruiken van een instrument en de bijbehorende wiskundetaal ;
v interpreteren en beoordelen van het resultaat.
aanvulling havo / vwo 3
Het gaat hierbij om :
v uitvoeren van berekeningen met een digitaal instrument, en aangeven van de mate van nauwkeurigheid van de verkregen uitkomst.
Te denken valt aan :
v meet- en tekeninstrumenten zoals geodriehoek en kompasroos ; v beredeneerd kiezen voor het gebruik van digitale instrumenten zoals een rekenmachine, routeplanner en stopwatch ; v gebruiken van ICT om bij een dataset een diagram of grafiek te maken.
Te denken valt aan :
v gebruik van ICT, zoals een rekenprogramma en een tekenprogramma.
Kijkhoeken meten en schatten en op basis daarvan redeneren over wat een mens of dier kan zien.
Praktische wiskunde — Gezichtsveld, blikveld en dode hoek
DOEL → Je leert wat gezichtsveld, blikveld en dode hoek zijn en hoe je met kijkhoeken bepaalt wat je kunt zien.
praktische wiskunde
Gezichtsveld
Je gezichtsveld is alles wat je kunt zien zonder je ogen of je hoofd te bewegen. De oranje hoek is de kijkhoek die bij je gezichtsveld hoort.
Blikveld
Je blikveld is alles wat je kunt zien zonder je hoofd te bewegen. Je ogen mogen wel bewegen. Je blikveld is dus groter dan je gezichtsveld. De kijkhoek van je blikveld bestaat uit de oranje hoek en de grijze hoeken samen.
Het blikveld van een prooidier (bijvoorbeeld een konijn of een hert) is veel groter dan dat van een roofdier (bijvoorbeeld een vos of een wolf). Een prooidier kan daardoor veel beter de omgeving in de gaten houden en op tijd op de vlucht slaan.
Dode hoek
Het gebied dat je niet kunt zien, heet de dode hoek Je kunt je dode hoek verkleinen door je hoofd te bewegen.
Opdrachten – Gezichtsveld, blikveld en dode hoek
49 a Leg uit wat het verschil is tussen je gezichtsveld en je blikveld. t1
b Wat is je dode hoek? r
50 Werkblad 4.50
a Meet op het werkblad de grootte van de kijkhoek van het gezichtsveld van de wolf. t1
b Het blikveld bestaat uit de oranje hoek en de grijze hoeken samen. Bepaal de grootte van het blikveld van de wolf. t1
c Meet ook de grootte van de dode hoek van de wolf. t1
51 a De ogen van een prooidier zitten aan de zijkant van de kop. Leg uit wat het voordeel hiervan is. t2 b Welke van de onderstaande dieren zijn prooidieren en welke roofdieren? t2 c Waarom is het voor een roofdier juist handig om een kleiner blikveld te hebben?
52 Werk in tweetallen. Eén van jullie voert de opdracht uit. De ander schrijft de uitkomst op. Draai daarna de rollen om.
Opdracht: ga staan en steek je armen recht opzij. Kijk naar voren. Beweeg, zonder je hoofd of ogen te bewegen, je armen tegelijkertijd langzaam naar voren. Stop zodra je je handen kunt zien.
De ander schat de hoek tussen de armen en schrijft die op. Dit is de kijkhoek van het gezichtsveld van degene die de opdracht uitvoert. t2
53 Doe hetzelfde als in opdracht 52, maar nu mogen jullie je ogen wél bewegen. Je hoofd houd je nog steeds stil. Wat is nu de hoek als je je beide armen kunt zien? Schrijf die op. Dit is de kijkhoek van jouw blikveld. t2
54 a Hoeveel graden kun je links en rechts méér zien als je je ogen mag bewegen? t2
b Alles wat buiten je blikveld valt, noem je jouw dode hoek. Deze hoek ligt achter je.
Bereken hoeveel graden je dode hoek is.
Woorden gezichtsveld dode hoek blikveld
Doel bereikt?
ɲ Ik weet wat het gezichtsveld, het blikveld en de dode hoek zijn. r
ɲ Ik kan de grootte van het gezichtsveld en het blikveld van een dier meten. t1
ɲ Ik kan samen met een klasgenoot mijn gezichtsveld en blikveld bepalen. t2
ɲ Ik kan uitleggen waarom prooidieren en roofdieren verschillende blikvelden hebben. Ook kan ik samen met een klasgenoot bepalen hoe groot mijn dode hoek is. i
Kerndoel 13 Wiskundige attitude
Doelzin De school stimuleert een wiskundige attitude bij leerlingen.
Het gaat hierbij om :
v laten zien van het nut en de kracht van wiskunde in uiteenlopende toepassingen ;
v stimuleren van een onderzoekende en kritische houding ten aanzien van getallen en andere wiskundige informatie ;
v laten reflecteren op eigen en andermans rekenwijze en overig wiskundig handelen ;
v inzicht bieden in hoe leerlingen wiskunde kunnen inzetten in de bovenbouw en het verdere leven.
Te denken valt aan :
v stimuleren om vragen te stellen bij actuele situaties in de schoolomgeving en uit de media ;
v bespreken van reken- en probleemaanpakken van leerlingen ;
v activiteiten binnen en buiten het klaslokaal die het perspectief op wiskunde verbreden ;
v aandacht besteden aan de geschiedenis van wiskunde, zoals Romeinse getallen en de Hindoe-Arabische herkomst van onze huidige cijfersymbolen.
Praktische Wiskunde Pannenkoekenbakker
doel → Je leert wat een pannenkoekenbakker doet
Lieke is na haar koksopleiding bij een pannenkoekenrestaurant gaan werken. Met vier collega’s bakt ze pannenkoeken in alle soorten en maten. Een hele klus, vooral in het weekend komen veel gezinnen eten.
Op maandag en dinsdag is het restaurant gesloten. De koks werken dan wel. Ze maken dan de bestellingen klaar voor wat ze die week nodig hebben.
vmbo-basis 2
Opdrachten — Pannenkoekenbakker
Een pannenkoekenrestaurant heeft 60 zitplaatsen. Op zaterdag en zondag is het restaurant tussen 16 00 uur en 20 30 uur helemaal vol. De meeste mensen blijven ongeveer anderhalf uur zitten. t1 a Iedereen bestelt één pannenkoek. Hoeveel pannenkoeken verkoop je op een avond in het weekend?
b Hoeveel pannenkoeken verkoop je in het hele weekend?
c Op woensdag, donderdag en vrijdag is het rustiger in het restaurant. Dan worden er ongeveer 80 pannenkoeken per avond verkocht. Op maandag en dinsdag is het restaurant gesloten.
Hoeveel pannenkoeken worden er per week verkocht?
Rekenen met recepten als voorbeeld van een nuttige toepassing van wiskunde.
Hiernaast zie je het recept voor pannenkoeken. Bereken hoeveel bloem, melk en eieren het restaurant nodig heeft om pannenkoeken voor de hele week te bakken. t2
Je ziet hier de verpakkingen van de ingrediënten bloem en melk Bereken hoeveel van de verpakkingen het restaurant per week bestelt. I
73 74
20% van alle pannenkoeken in een week zijn spekpannenkoeken. t2 a Hoeveel pannenkoeken zijn dat?
b Op een spekpannenkoek gaan 5 plakjes spek. Hoeveel plakjes spek heb je in totaal nodig?
c Uit 100 gram spek kun je ongeveer 10 plakjes halen. Bereken hoeveel gram spek het restaurant moet bestellen voor een week.
Het pannenkoekenrestaurant koopt per week een doos met flessen stroop. In een doos zitten 24 flessen van 500 gram. t2 a Hoeveel flessen stroop worden er per jaar verbruikt?
b Hoeveel kg stroop is dat?
Doel bereikt?
Kruis aan:
◻ Ik weet wat de taken van een pannenkoekenbakker zijn. r
◻ Ik kan berekenen hoeveel pannenkoeken er in een week t1 worden verkocht.
◻ Ik kan berekenen hoeveel van een ingrediënt nodig is om t2 een bepaald aantal pannenkoeken te bakken.
◻ Ik begrijp hoeveel verpakkingen van een ingrediënt nodig zijn om een bepaald aantal pannenkoeken te bakken.
28324_Kern
Wiskundeweetje — Romeinse en Arabische cijfers
DOEL → Je leert hoe je getallen in Romeinse cijfers met Arabische cijfers schrijft en andersom.
ɲ Getallen en cijfers
Een getal bestaat uit één of meer cijfers
Zo bestaat het getal 43 uit de cijfers 4 en 3. Meer dan tweeduizend jaar geleden ontwikkelden de Romeinen een getallenstelsel waarbij ze getallen opschreven als letters. Deze letters heten Romeinse cijfers Je ziet ze in de tabel hieronder.
Romeins cijfer waarde
Als het cijfer I, X of C vóór een hoger cijfer staat, trek je dit cijfer van het hogere cijfer af :
Opdrachten – Romeinse en Arabische cijfers
1 Hoeveel is: r
2 Schrijf de volgende getallen in Arabische cijfers.
ɲ Verschil met Arabische cijfers
Er is een groot verschil tussen Romeinse getallen en getallen met onze Arabische cijfers ( 0, 1, 2, 3 tot en met 9 ).
In Romeinse getallen heeft een cijfer altijd een vaste waarde. Het maakt niet uit op welke plaats in het getal het cijfer staat. De V staat bijvoorbeeld altijd voor 5.
Bij Arabische getallen hangt de waarde van een cijfer wel af van zijn plaats in het getal. In het getal 555 staat de eerste 5 voor 500, de middelste 5 voor 50 en de laatste 5 voor 5.
ɲ Getallen in Romeinse cijfers
Bij een getal dat bestaat uit Romeinse cijfers tel je de waarden van de cijfers bij elkaar op:
Je schrijft de Romeinse cijfers van hoog naar laag:
Op gebouwen zie je vaak getallen in Romeinse cijfers die het bouwjaar aangeven. Het station Gare du Nord in Parijs is geopend in het jaar MDCCCLXIV = 1000 + 500 + 300 + 50 + 10 + 4 = 1864.
3 Welk jaartal staat op dit gebouw? t1
Woorden getal cijfer getallenstelsel
Romeinse cijfers
Arabische cijfers
wiskundeweetje
4 Schrijf de volgende getallen in Romeinse cijfers. t2 a Je leeftijd.
b Het huidige kalenderjaar.
5 Schrijf de volgende getallen in Romeinse cijfers. t2 a 555 b 111
6 Noem een verschil tussen het Arabische en het Romeinse getallenstelsel. Leg je antwoord uit aan de hand van opdracht 5. t2
7 Schrijf 4873 in Romeinse cijfers. t2
8 Bekijk je antwoord bij opdracht 7. Wat is een voordeel van ons Arabische getallenstelsel boven het Romeinse getallenstelsel?
Doel bereikt?
ɲ Ik weet wat het verschil is tussen een cijfer en een getal. Ook weet ik wat Romeinse en Arabische cijfers zijn. r
ɲ Ik kan een getal dat is weergegeven in Romeinse cijfers schrijven in Arabische cijfers. t1
ɲ Ik kan een getal dat is weergegeven in Arabische cijfers schrijven in Romeinse cijfers. t2
ɲ Ik kan uitleggen wat een voordeel is van het weergeven van van getallen in Arabische cijfers. i
Aandacht voor de geschiedenis van wiskunde.
ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
die even grote hoeken gelijkvormig is met dit die even lange zijden gelijkvormig is met dit
24 cm bij 16 cm knip je cm brede strook af. I
Onderzoeken
66 Lees de tekst Landmeetkunde in de 17de en 18de eeuw op de rechterbladzijde. T2
a De tekst van Morgenster is geschreven in het Nieuwnederlands, dat vanaf circa 1500 algemeen gangbaar was in Nederland en Vlaanderen. Vertaal de tekst zo goed mogelijk in modern Nederlands. Bedenk hierbij dat voor de letter s in het Nieuwnederlands een teken werd gebruikt dat op de letter f lijkt.
b Schets de twee gelijkvormige driehoeken die Morgenster gebruikt heeft.
c De afmetingen die Morgenster geeft, zijn uitgedrukt in voet. Een voet was 31,4 cm. Bereken de hoogte van de toren in m.
67 Morgenster beschrijft ook een methode om de breedte van een rivier te bepalen zonder dat je de rivier hoeft over te steken.
Landmeetkunde in de 17de en 18de eeuw
a Beschrijf aan de hand van de afbeelding hieronder uit de Werkdadige Meetkonst welke handeling een landmeter moest uitvoeren om deze meting te kunnen doen.
oorspronkelijke vel papier overblijft niet gelijkovergebleven vel papier toch gelijkaan het oorspronkelijke aan één kant nog een Aan welke kant is dat en deze strook zijn? Er zijn mogelijkheden. Geef ze allebei.
In de 17de en 18de eeuw hadden landmeters nog niet de beschikking over moderne apparatuur. Om hoogtes en afstanden te meten maakten zij nog steeds gebruik van technieken die gebaseerd waren op het werk van Thales (zie bladzijde 98). Hiernaast zie je een fragment uit de Werkdadige Meetkonst (1703) van Johannes Morgenster (1682–1736), een handboek voor landmeters. In dit fragment beschrijft Morgenster hoe met behulp van gelijkvormige driehoeken de hoogte van een toren bepaald kan worden.
b Morgenster beschrijft een meting waarbij de landmeter DE = 20 BC = 5 en CE = 8 vond. Deze afmetingen zijn uitgedrukt in roeden, waarbij 1 roede 12 voet was. Bereken hiermee de breedte van de rivier in m nauwkeurig.
REKENEN
R4 Vul de puzzel in: naar rechts vermenigvuldig je met 5 naar boven vermenigvuldig je met 1 3 × 1 5 × 5
Landmeetkunde in de 17de en 18de eeuw
In de 17de en 18de eeuw hadden landmeters nog niet de beschikking over moderne apparatuur. Om hoogtes en afstanden te meten maakten zij nog steeds gebruik van technieken die gebaseerd waren op het werk van Thales (zie bladzijde 98). Hiernaast zie je een fragment uit de Werkdadige Meetkonst (1703) van Johannes Morgenster (1682–1736), een handboek voor landmeters. In dit fragment beschrijft Morgenster hoe met behulp van gelijkvormige driehoeken de hoogte van een toren bepaald kan worden.
REKENEN
Heb je het leerdoel bereikt?
Wiskundig redeneren
Bij vraagstukken waarbij de juiste aanpak niet meteen duidelijk is, kun je verschillende strategieën proberen om een oplossing te vinden. Je maakt kennis met enkele van deze strategieën: gebruikmaken van een patroon, systematisch tellen van mogelijkheden en logisch redeneren.
Deze strategieën kun je ook goed gebruiken als je meedoet aan een wiskundewedstrijd, zoals de Kangoeroewedstrijd of de (Junior) Wiskunde Olympiade.
Vul de puzzel in: naar rechts vermenigvuldig je met 5, naar boven vermenigvuldig je met 1 3 × 5
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet hoe ik een hoek met drie letters kan aangeven. Ook weet ik wanneer twee figuren gelijkvormig zijn.
T1 Ik kan aantonen dat twee figuren gelijkvormig zijn.
R Ik weet hoe ik een hoek met drie letters kan aangeven. Ook weet ik wanneer twee figuren gelijkvormig zijn.
T1 Ik kan aantonen dat twee figuren gelijkvormig zijn.
T2 Ik kan met behulp van gelijkvormigheid de lengte van de zijden van een figuur berekenen. Ik kan uitleggen hoe je de breedte van een rivier kunt bepalen met behulp van gelijkvormige driehoeken.
T2 Ik kan met behulp van gelijkvormigheid de lengte van de zijden van een figuur berekenen. Ik kan uitleggen hoe je de breedte van een rivier kunt bepalen met behulp van gelijkvormige driehoeken.
Doelzin De leerling herkent en gebruikt wiskunde in alledaagse, maatschappelijke en beroepsmatige situaties.
Het gaat hierbij om :
v gebruiken van getallen en andere wiskundige concepten in concrete, voor de leerling relevante dagelijkse en beroepsmatige situaties ; v gebruiken van wiskundige instrumenten bij meten en andere praktische handelingen ; v wiskunde gebruiken bij het nemen van beslissingen en het oplossen van problemen ; v herkennen en beschrijven dat met grafische representaties een bepaalde boodschap wordt overgebracht of benadrukt ; v gebruiken en beoordelen van wiskundige informatie uit de samenleving, de media en een beroepscontext bij het vormen van een mening ; v herkennen en beschrijven hoe wiskunde in allerlei beroepen op uiteenlopende manieren een rol speelt.
Te denken valt aan :
v situaties interpreteren met behulp van wiskunde, zoals bij sport en spel ; v alledaagse problemen oplossen, zoals bij het omgaan met geld ; v verhoudingsgewijs redeneren en rekenen bij het volgen van een recept ; v de juistheid van berichten in de media beoordelen aan de hand van referentiegetallen ; v onzichtbare wiskunde herkennen en benoemen, zoals algoritmes in digitale middelen ; v verschillen in de wereld verkennen, zoals verschillen in inkomen, bevolkingsdichtheid, klimaat en ecologische voetafdruk.
hoofdstuk 7 — ruimtefiguren
Praktische Wiskunde Houtbewerker doel → Je leert wat een houtbewerker doet.
Luna werkt als houtbewerker. Ze maakt veel verschillende dingen van hout, waaronder kinderspeelgoed. Ze krijgt hierbij te maken met veel wiskundige figuren zoals kubussen en cilinders. Om de juiste vorm te maken moet Luna het hout op de juiste manier zagen en schuren. Daarnaast moet ze ervoor zorgen dat het hout netjes is afgewerkt, zodat mensen die het gebruiken geen splinters krijgen.
Opdrachten — Houtbewerker
Waarom moet een houtbewerker het hout netjes afwerken? r
Hieronder zie je een stapel blokken. Teken het zijaanzicht en het bovenaanzicht van deze stapel. t2
vmbo-basis 2
Inzicht in hoe wiskunde relevant is voor verschillende beroepen.
28300_Kern
Hieronder zie je een houten figuur. Teken de doorsnede die je krijgt als je deze figuur over de stippellijn doorzaagt. t1
Hieronder zie je het vooraanzicht van een kubus en twee cilinders. De figuren lopen allemaal even ver door naar achteren. Teken het bovenaanzicht. t2
59
Luna gaat een vormenstoof maken. Dat is een houten doos met vier gaten bovenin waar figuren doorheen passen. Hiervoor moet Luna de vier figuren hieronder maken, en een doos met vier gaten in de bovenkant. Door ieder gat moet precies één figuur passen. Eén gat is al getekend. Teken hoe de andere gaten eruit kunnen zien.
Doel bereikt?
Kruis aan:
◻ Ik weet wat de taken van een houtbewerker zijn. r
◻ Ik kan een voor-, zij- en bovenaanzicht en een doorsnede t1 van een figuur tekenen.
◻ Ik kan een aanzicht van een figuur tekenen als een ander t2 aanzicht met extra informatie gegeven is.
◻ Ik begrijp hoe je een vormenstoof maakt.
Praktische wiskunde – Medisch rekenen
aanleggen van een infuus
doel → Je leert berekeningen maken bij een infuus, een sonde, en bij bloeddonatie. druppelsgewijs loopt een infuus in
Infuus
Als je in het ziekenhuis ligt, krijg je soms een infuus. Er wordt dan een plastic buisje via een naald ingebracht in een ader. Op dat buisje wordt een slangetje aangesloten, dat met een infuuszak verbonden is. Via het infuus druppelt er bijvoorbeeld een zoutoplossing in de ader, om je extra vocht te geven. Ook medicijnen kunnen via het infuus gemakkelijk worden toegediend. Bij operaties met veel bloedverlies wordt een infuus gebruikt om bloed toe te dienen. Dit bloed komt van donoren; mensen die een paar keer per jaar bloed laten afnemen.
Bij een infuus kun je een druppelsnelheid instellen. Daarna kun je uitrekenen hoe snel de infuuszak leeg is, zodat je deze op tijd kunt wisselen voor een nieuwe.
Sondevoeding
Sondevoeding is vloeibare voeding die door een slangetje via de neus en de slokdarm de maag inloopt. Mensen die niet zelf kunnen of mogen eten, krijgen op deze manier toch voeding binnen. Sondevoeding zit in een fles. Als je weet hoe snel de voeding inloopt, kun je uitrekenen wanneer de fles leeg is, en je deze moet vervangen.
klaarmaken van sondevoeding
Medisch rekenen
45 Bij een patiënt wordt een infuus aangebracht. Druppelsgewijs loopt er een zoutoplossing door het infuus; 1 mL komt overeen met 20 druppels. Er is een lineair verband tussen de tijd en het aantal druppels. t1
tijd (minuten) 0 5 10 15 20 aantal druppels 0 140 280 420 560
a Bepaal het startgetal van de tabel. t1
b Bepaal het richtingsgetal van de tabel. t2
c Wat betekent het richtingsgetal in deze situatie? t2
d Stel een formule op bij de tabel. t1
e Hoeveel druppels zijn er na 3 uur ingelopen? t2
f Hoeveel mL is dit? t1
46 Een andere patiënt heeft ook een infuus, maar via dit infuus lopen er 67 druppels per minuut in.
a Wat verandert er in de formule van opdracht 45? t2
b Stel een nieuwe formule op. t1
47 Een patiënt krijgt sondevoeding. Er is een fles met een inhoud van 0 5 L aangesloten. Deze tabel laat het lineaire verband zien tussen de tijd en het leeglopen van de fles.
tijd (uren) 0 1 2 3 inhoud (mL) 500 438 376 314
a Bepaal het startgetal van de tabel. t1
b Wat betekent het startgetal in deze situatie? t1
c Bepaal het richtingsgetal van de tabel. t1
d Wat betekent het richtingsgetal in deze situatie? t1
e Stel een formule op bij de tabel. t1
f Wat betekent de uitkomst van de formule in deze situatie? t2
g Hoeveel mL voeding is er na 6 uur ingelopen? i
h Na hoeveel uur is de fles leeg? i
48 Bij een donor wordt 50 mL bloed per minuut afgenomen.
a Maak een tabel bij deze situatie voor de eerste 3 minuten. t2
b Stel een formule op bij de tabel. t1
c Er wordt 10 minuten bloed afgenomen. Hoeveel liter bloed is er dan gedoneerd? t1
In plaats van bloed kun je ook bloedplasma doneren. Er wordt 15 mL bloedplasma per minuut afgenomen.
d Maak een tabel bij deze situatie voor de eerste 3 minuten. t2
e Het doneren van bloedplasma duurt langer dan het doneren van dezelfde hoeveelheid bloed. Hoe kun je dat aan de tabel zien? t2
f Stel een formule op bij de tabel. t1
g Hoeveel mL bloedplasma is er gedoneerd na drie kwartier? t1
49 a Maak bij opdracht 48 een assenstelsel met een horizontale as van 0 tot 8 minuten. Laat met grafieken in het assenstelsel beide soorten donaties zien. t2
b De ene grafiek loopt steiler dan de andere. Leg uit waarom. t2
Woord regelmaat
Doelen bereikt?
Ik weet dat ik bij een tabel met regelmaat een lineaire formule kan opstellen. r
Ik kan een lineaire formule opstellen bij een tabel als ik het startgetal en het richtingsgetal kan aflezen. t1
Ik kan een lineaire formule opstellen bij een tabel waarin ik het startgetal en/of het richtingsgetal moet berekenen. t2
Ik kan uitleggen waarom ik bij een tabel zonder regelmaat geen startgetal en geen richtingsgetal kan berekenen. i
25962_Kern-WK-2TH.indb 102 29-11-2021
25962_Kern-WK-2TH.indb 103 29-11-2021 09:57 vmbo- t /havo 2
volledige competitie. twee keer tegen keer thuis en weergegeven in het
wedstrijden er in totaal
een volledige
Beredeneer hoeveel totaal worden
dobbelstenen en telt het dobbelstenen bij
handig om een boomte tekenen? uitkomsten er mogelijk
je in totaal zes antwoord uit.
je in totaal zeven antwoord uit.
Onderzoeken
39 Lees de tekst Morse op de rechterbladzijde. Schrijf je naam in morseschrift. T2
40 De letters van het alfabet bestaan uit één, twee, drie of vier morsetekens. T2
a Laat met behulp van een berekening zien dat je met maximaal drie tekens niet alle letters van het alfabet kunt maken, maar met maximaal vier tekens wel.
b Waarom bestaan letters die vaak voorkomen uit één teken en letters die niet zo vaak voorkomen uit vier tekens, denk je?
41 Hieronder zie je een Amerikaanse marinier die een lamp gebruikt om een bericht in morse te versturen.
a Leg uit hoe dit werkt. T1
b Bedenk zelf een andere manier om een bericht in morse te versturen.
Morse
Kort nadat hij de telegraaf had uitgevonden, ontwikkelde de Amerikaanse uitvinder en kunstschilder Samuel Morse (1791–1872) samen met Alfred Vail (1807–1859) het morse Hierbij worden cijfers en letters voorgesteld door een combinatie van korte en lange signalen. Een telegraaf werkt met elektrische pulsen en het morsealfabet maakte het mogelijk om er berichten mee te versturen.
Je kunt berichten in morse ook opschrijven. Een kort signaal wordt met een punt aangegeven en een lang signaal met een streepje. Zo stelt
het woord SOS voor.
Je kunt ook hele zinnen verzenden in morse.
Je geeft dan aan dat een woord afgelopen is door een bepaalde tijd te wachten na de laatste letter van het woord voordat je begint met de letters van het volgende woord.
Tegenwoordig is het morse in onbruik geraakt, maar vroeger werd het vaak in de scheepvaart ingezet.
REKENEN
R2 Hieronder zie je de vlag van Tsjechië. Bereken welk deel van de vlag:
I blauw is.
II rood is.
III niet wit is.
Internationale morsecode
Een punt is één eenheid. Een streepje is drie eenheden.
De ruimte tussen punten en streepjes die bij dezelfde letter of hetzelfde cijfer horen, is één eenheid.
De ruimte tussen letters is drie eenheden. De ruimte tussen woorden is zeven eenheden.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat roosterdiagrammen en boomdiagrammen zijn.
T1 Ik kan met behulp van een roosterdiagram of een boomdiagram het aantal mogelijkheden tellen.
T2 Ik kan met behulp van een roosterdiagram of boomdiagram het aantal mogelijkheden tellen als er sprake is van extra voorwaarden.
I Ik kan beredeneren hoeveel combinaties en welke uitkomsten mogelijk zijn in situaties waarbij een roosterdiagram of boomdiagram te groot zou worden.
Kerndoel 15 Wiskunde in verschillende leergebieden
Doelzin De school ondersteunt het gebruik van wiskunde in verschillende leergebieden.
Het gaat hierbij om :
v aanbieden van wiskundige concepten en denkwerkwijzen in onderlinge samenhang ;
v laten zien hoe verschillende leergebieden wiskundetaal en wiskundige representaties gebruiken ;
v afstemmen hoe rekenaanpakken en andere wiskundige aanpakken bij verschillende leergebieden worden uitgevoerd ;
v laten gebruiken van wiskundige modellen, wiskundige instrumenten, algoritmes en formules in verschillende leergebieden.
Te denken valt aan :
v wiskundige structuren in plattegronden en kaarten, zoals schaallijn, coördinaten en hoogtelijnen ;
v formules in verschillende leergebieden, zoals de wet van Ohm ( U = I × R ) en de tweede wet van Newton ( F = m × a ) ;
v schema’s in verschillende leergebieden, zoals classificatieschema’s, stroomschema’s en blokschema’s ;
v redeneren en rekenen met procenten in verschillende leergebieden ;
v laten zien van patronen en structuren, zoals bij programmeren, kunst en creatieve uitingen.
Praktische wiskunde – Economie
DOEL → Je leert hoe je de evenwichtsprijs kunt bepalen.
Als je een product verkoopt, wordt de prijs bepaald door het aanbod en de vraag. Wanneer het aanbod lager is dan de vraag, wordt de prijs hoger. Als op een veilingsite iets zeldzaams wordt aangeboden, gaan mensen een steeds hogere prijs bieden.
Wanneer het aanbod hoger is dan de vraag, gaat de prijs omlaag. Denk maar aan seizoensgroenten. In de zomer groeit er veel sla op het land en is sla goedkoop.
Bij economie laat je het verband tussen het aanbod en de prijs zien met een grafiek: de aanbodlijn De grafiek van het verband tussen de vraag en de prijs noem je de vraaglijn
a Hoe meer er van een product te koop is, hoe de prijs van dat product.
b Hoe meer mensen een product willen kopen, hoe de prijs van dat product.
47 Werkblad 3 47
Een tassenmaker verkoopt tassen. Het aantal tassen dat aangeboden wordt, bereken je met de woordformule: aantal tassen = 400 + 4 × prijs (€)
a Bereken het aanbod bij een prijs van € 200,-. t1
b Vul de tabel op het werkblad verder in. t1
c Wat is er aan de hand als de prijs € 100,- of lager is? t2
49 Kijk naar de grafieken van de opdrachten 47 en 48 a Lees de coördinaten van het snijpunt af. t2
b Bij welke prijs zijn het aanbod en de vraag gelijk? t2
c Hoeveel tassen worden er aangeboden bij deze prijs? t2
d Bij een prijs van € 500,- ligt de aanbodlijn boven de vraaglijn. Wat betekent dit?
50 Werkblad 3 50
Boeren verkopen hun melk aan melkfabrieken. De hoeveelheid die wordt aangeboden, bereken je met de woordformule: hoeveelheid (L) = 500 000 + 100 000 × prijs (€)
De hoeveelheid die wordt gevraagd door de melkfabrieken, bereken je met de woordformule: hoeveelheid (L) = 2 500 000 50 000 × prijs (€)
In beide formules is de prijs per liter in eurocenten.
hoeveelheid 10 15 5 prijs €) O aanbodlijn vraaglijn
d Teken de grafiek van het aanbod in het assenstelsel op het werkblad. Schrijf ‘aanbodlijn’ bij de grafiek. t1
20 25 30 35 40 45 50 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1
In het assenstelsel hiernaast zie je dat als de prijs hoog is, de vraag laag is. Maar er is dan wel veel aanbod, want de fabrikant wil graag zo veel mogelijk verkopen. Als de prijs laag is, zie je dat de vraag hoog is. Als een product goedkoop is, willen veel mensen het kopen. De prijs bij het snijpunt van de aanbodlijn en de vraaglijn heet de evenwichtsprijs. Bij deze prijs zijn aanbod en vraag even groot, dus in evenwicht.
Je berekent de evenwichtsprijs door de vraaglijn en de aanbodlijn met elkaar te vergelijken. De evenwichtsprijs ligt bij het snijpunt van de twee grafieken.
e De grafiek van het aanbod is altijd een stijgende lijn. Leg uit waarom. i
48 De vraag naar het aantal tassen bereken je met de woordformule: aantal tassen = 1400 2 × prijs (€)
a Bereken de vraag bij een prijs van € 200,-. t1
b Neem de volgende tabel over en vul deze in. t1
prijs €) 100 200 450 600 700 aantal
c Bij welke prijs wil niemand meer een tas kopen? t2
d Hoe zie je dit in de tabel? t2
e Teken de grafiek van de vraag in hetzelfde assenstelsel als dat bij opdracht 47. Schrijf ‘vraaglijn’ bij de grafiek. t1
f De grafiek van de vraag is altijd een dalende lijn. Leg uit waarom.
a Teken de grafieken in het assenstelsel op het werkblad. t1
b Geef de x-coördinaat van het snijpunt. t1
c Bereken de hoeveelheid die wordt aangeboden en gevraagd bij de x-coördinaat van het snijpunt. t1 d Wat is de evenwichtsprijs? t2
Woorden
aanbodlijn vraaglijn evenwichtsprijs
Doel bereikt?
Ik weet wat een aanbodlijn en een vraaglijn zijn. r Ik kan een aanbodlijn en een vraaglijn tekenen. t1
Ik kan conclusies trekken bij aanbodlijnen en vraaglijnen. t2
Ik kan redeneren over vraaglijnen en aanbodlijnen. i
2
Rekenen met verbanden in toepassingen uit verschillende leergebieden, zoals bij economie.
ACADEMY
GOAL You will learn about the evolvement of the use of perspective in art and how you can use perspective in drawings.
Drawing in perspective
Perspective in art During the Middle Ages a lot of ancient knowledge was lost. For instance, people no longer knew how to show depth or perspective in a painting. A clear example is the painting on the left by the Italian artist Simone Martini (1284–1344). Characters that are further away are depicted equally large as characters that stand close. The Italian architect Filippo Brunelleschi (1337–1446) rediscovered how to use perspective in drawings and paintings. One of the first paintings in which this discovery was used, is shown on the next page. It is a mural made by Masaccio (1401–1428) in the Santa Maria Novella church in Florence. It is almost impossible to believe that Masaccio’s artwork was made only one hundred years after Martini’s painting. Many artists gratefully used these new techniques. For example the German artist Albrecht Dürer (1471–1528), who made the woodcut shown at the bottom left of this page. It shows an artist looking at a lute (the snare instrument on the table) through a framework. This framework is the picture plane of the drawing, the scene. From a fixed point on the wall on the right a string is drawn to the lute, whereby a line of vision is created which allows the artist to determine the point of intersection of the line of vision with the scene. The helper on the left holds the drawing in different positions to the scene to create different lines of vision, which allows the artist to determine the points of intersection and to give the impression of three-dimensional space on two-dimensional paper.
Applying perspective By looking at the scene from a fixed point, the eye, you can deduce several rules for drawing in perspective. The figure in the upper-left corner on the next page is a schematic image of a painter looking through a scene at two parallel railways. Points A, B, C and D can be found on these railways. The lines of vision that connect the eye with these points, intersect the scene in the points A', B', C' and D' The line that passes
through points A' and B' in the scene corresponds to the railway that passes through points A and B The line that passes through points C' and D' in the scene corresponds to the railway that passes through points C and D You can see that these lines are not parallel in the scene, but that they converge in a vanishing point. This vanishing point lies on the horizon which is located at eye level. Lines that are parallel to the scene, like the railroad ties AC and BD, are also parallel in the scene. With these rules you can create perspective in a painting, without having to look through a framework.
If you wish to create the illusion of depth within a drawing, you must first draw the horizon. Parallel lines that are not parallel to the scene, must be drawn in the direction of a vanishing point on the horizon. All parallel lines that are parallel to the scene are also parallel in the drawing. A drawing of two cuboids with their front and back faces parallel to the scene is shown below. There are two main directions in the drawing (the y- and z-directions) that are parallel to the scene, so only a single vanishing point V is needed (for the x-direction). For this reason it is called one-point perspective. Parallel lines with a direction that differs from the main direction, like the diagonals, have their own vanishing points that also lie on the horizon (V2 and V3).
BOEK-Kern-WK-3vwo-A-LB-ENG.indb
simone martini, The Carrying of the Cross, c. 1335
albrecht dürer, The Draughtsman of the Lute, 1525.
masaccio, The Holy Trinity, c. 1425
1428
Questions about the text
1 a What is a vanishing point? R
b At what level is the horizon located? R
c Explain in your own words how the artist in Dürer’s woodcut draws a lute in perspective. T1
2 Worksheet 2 2
The cuboid shown below is drawn in one-point perspective. On your worksheet, indicate the vanishing point and draw the horizon. T1
3 Worksheet 2 3
A street in the Japanese town of Kyoto is shown below.
a On your worksheet, indicate the vanishing point and draw the horizon. T1
b How did the photographer probably make this photo: standing up, crouching or lying down? Explain your answer. Use the horizon in your explanation. T2
4 Draw a cube, a pyramid and a prism in one-point perspective. T2
In-depth questions
5 Worksheet 2 5
The cuboid shown below uses two main directions, each of which has a vanishing point. This is called two-point perspective. On your worksheet, indicate the vanishing points and draw the horizon. T2
6 Worksheet 2 6
A part of cuboid ABCD EFGH drawn in two-point perspective is shown below. Complete the cuboid on your worksheet. T2
Patronen en structuren in kunst en creatieve uitingen.
Anamorphosis
When you apply the rules for drawing in perspective on a horizontal base, you get a special optic illusion, an anamorphosis An anamorphosis made by the artist Julian Beever is shown on the right. When you look at the drawing from the other side, you can see the distortions that are needed to make it look like a normal image with depth.
Research assignment
7 Read the text Anamorphosis Create an anamorphosis in the paved schoolyard with a classmate. You need a Perspex sheet with a drawing on it, a tripod (for instance a chair) and sidewalk chalk. One of you creates the drawing on the sidewalk. The other one indicates where certain points have to be drawn while looking through the Perspex sheet with only one eye and not moving. Afterwards you connect the drawn points and colour the various areas. Start with easy figures, such as squares, cubes or cuboids. Make a picture and compare your creation with the ones made by your classmates. I
julian beever, Swimming pool in Main Street
Have you reached your goal?
R I know what perspective, lines of vision, the scene, the eye, vanishing points and the horizon are.
T1 I can determine the horizon and the vanishing point for an image drawn in one-point perspective.
T2 I can draw figures in one-point perspective and I can determine what can be seen from a specific location using lines of vision.
I I can draw an anamorphosis.
VOCABULARY
perspective vanishing point scene horizon line of vision one-point perspective eye anamorphosis
BOEK-Kern-WK-3vwo-A-LB-ENG.indb 49 16-06-2022 09:15 vwo 3 ( english edition )
Voer nu KERN Wiskunde in voor toekomstgericht wiskundeonderwijs
De nieuwe kerndoelen leggen de nadruk op wiskundige vaardigheden, een onderzoekende houding en de toepassing van wiskunde in alledaagse situaties. KERN Wiskunde sluit volledig aan op deze doelen met een aanpak die wiskundige vaardigheden en verdieping combineert met praktijkgerichte toepassingen.
Veel wiskundemethodes zijn al jaren ongewijzigd gebleven. KERN Wiskunde biedt een frisse aanpak, die zowel leerlingen als docenten actief bij het leerproces betrekt en motiveert. Door opdrachten te koppelen aan herkenbare, actuele situaties, helpt KERN Wiskunde leerlingen om wiskunde niet alleen te begrijpen, maar ook toe te passen in hun dagelijks leven en toekomstige studie- of werkcontext.
Meer informatie? — www.boom.nl / voortgezet-onderwijs
Vraag een gratis proefexemplaar aan of plan direct een bezoek met een van onze educatief adviseurs.
GYMNASIU
GYMNASIU
Persoonlijk contact
Onze educatief adviseurs komen graag langs voor een methodepresentatie.
Neem contact op via info @ boomvo.nl.
Klantenservice
Voor vragen over bestellingen of licenties, neem contact op met onze klantenservice. De klantenservice is bereikbaar op werkdagen tussen 08.00 en 17.00 uur.
Telefoon 0522–235250
E-mail service @ boomvo.nl
WhatsApp 06 466 744 42 ( alleen voor tekstberichten )
Nieuwsbrief KERN Wiskunde
Wil je op de hoogte blijven van KERN Wiskunde? Schrijf je in voor onze nieuwsflits.
boomvoortgezetonderwijs.nl / kern-wiskunde
boom.nl / voortgezet-onderwijs
Januari 2025
Boom voortgezet onderwijs BV
Stationsweg 66, 7941 hg Meppel
facebook.com / BoomVoortgezetOnderwijs
linkedin.com/company / boom-voortgezet-onderwijs
instagram.com / boomvoortgezetonderwijs
KERN Wiskunde kwam tot stand in samenwerking met DocentPlus DocentPlus is toonaangevend in het meten en verbeteren van leerprocessen in het primaire proces en is de grondlegger en ontwikkelaar van het RTTI-systeem.
