Inkijkexemplaar KERN Wiskunde 4 vwo wiskunde A/C deel 1

KERN WISKUNDE

VWO A/C

LEERJAAR 4 DEEL 1

METHODECONCEPT / REDACTIE

Boom voortgezet onderwijs

AUTEURS

Benjamin del Canho

Maartje Elsinga

Gijs Langenkamp

Erik Leppen

Sibren Stienstra

Vera de Visser-Lagas

KERN WISKUNDE

VWO A/C

LEERJAAR 4 DEEL 1

BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS

© 2023 Boom voortgezet onderwijs, Meppel, The Netherlands

Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek tronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t /m 16m

Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 kb , www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 kb Hoofddorp, www.stichting- pro.nl).

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.

isbn 978 94 6442 074 6 www.boomvoortgezetonderwijs.nl

KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:

r Reproductievragen

t1 Trainingsgerichte toepassingsvragen

t2 Transfergerichte toepassingsvragen

i Inzichtvragen

Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.

Boekontwerp & omslag René van der Vooren, Amsterdam

Opmaak & technische tekeningen PPMP, Wolvega

Inhoud

1 Getallen

academie

Hoeveel pianostemmers zijn er in Chicago? 8

1.1 Maten 12

1.2 Verhoudingen 18

1.3 Procenten 24

1.4 Interpoleren en extrapoleren 30

1.5 Wiskundige modellen 36

Toetsvoorbereiding 42

Extra opdrachten 44

2 Systematisch tellen

academie

Het raadsel van de pelgrim 50

2.1 Systematisch tellen 54

2.2 Het vaasmodel 60

2.3 Permutaties en combinaties 66

2.4 Telvraagstukken 72

2.5 Tellen in roosters 78

Toetsvoorbereiding 84

Extra opdrachten 86

3 Verbanden

academie Dienstregelingen 92

3.1 Lineaire verbanden 96

3.2 Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden 102

3.3 Evenredige verbanden 108

3.4 Vergelijkingen en ongelijkheden 114

3.5 Toppen en grenswaarden 120

Toetsvoorbereiding 126

Extra opdrachten 128

Register van begrippen 132

oceanen en zeeën 97,41%

totale hoeveelheid water

overig 2,59%

grondwater 0,592%

poolkappen en gletsjers 1,984%

overig

waterdamp in atmosfeer 0,001%

rivieren 0,0001%

water in biomassa 0,0001%

bodemvocht 0,005%

meren 0,007%

1

Getallen

Getallen zijn overal. Soms met een eenheid, zoals prijzen, afstanden en tijden. Je kunt ook getallen zonder eenheid tegenkomen, zoals verhoudingen en percentages. In dit hoofdstuk leer je rekenen met getallen en leer je hoe je getallen kunt gebruiken om de wereld om je heen te beschrijven in een wiskundig model.

ACADEMIE

Hoeveel pianostemmers zijn er in Chicago? 8

1.1 Maten 12

1.2 Verhoudingen 18

1.3 Procenten 24

1.4 Interpoleren en extrapoleren 30

1.5 Wiskundige modellen 36

Toetsvoorbereiding 42

Extra opdrachten 44

ACADEMIE

DOEL  Je maakt kennis met Fermi-vraagstukken en leert hoe je deze kunt aanpakken.

Hoeveel pianostemmers zijn er in Chicago?

De Italiaanse natuurkundige Enrico Fermi (1901–1954) stond erom bekend zijn studenten tijdens mondelinge tentamens vraagstukken voor te leggen die ogenschijnlijk niet te beantwoorden zijn. Zijn bekendste vraagstuk luidt als volgt:

‘Hoeveel pianostemmers zijn er in Chicago?’

Hoe moet je hier zonder meer informatie nu een zinnig antwoord op geven? Als je zomaar een aantal roept, heb je geen idee of je enigszins in de buurt zit. Zijn het er 10 of nog minder? Of zijn het er 1000 of nog veel meer? Toch blijk je wel degelijk een redelijke schatting te kunnen geven door het vraagstuk op te delen in deelvraagstukken waarbij je wel een redelijke schatting van het antwoord kunt geven. Op de bladzijde hiernaast is dat gedaan voor het vraagstuk van het aantal pianostemmers in Chicago. Je ziet dat je door het vraagstuk op te delen in een negental kleinere vraagstukken tot een schatting komt van ongeveer 175 pianostemmers.

Omdat de getallen geschat zijn, kan het heel goed zijn dat het werkelijke aantal pianostemmers 100 of 400 is. Maar het zijn er waarschijnlijk niet minder dan 20 en ook niet meer dan 2000. Je zegt dat je schatting waarschijnlijk de juiste orde van grootte heeft. De schatting van ongeveer 175 pianostemmers blijkt inderdaad niet al te ver verwijderd van het daadwerkelijke aantal van ongeveer 290 pianostemmers dat in 2009 in Chicago werkzaam was. Dat komt doordat de overen onderschattingen bij de deelvraagstukken elkaar grotendeels opheffen. Uiteraard is het wel van belang dat je een redelijke schatting kunt geven van het antwoord op elk deelvraagstuk.

Vraagstukken waarbij je een schatting kunt maken door het in deelvraagstukken op te delen en voor elk deelvraagstuk een schatting te maken, worden Fermi-vraagstukken genoemd.

De schatting die je op deze manier maakt, heet een Fermi-schatting

In de wetenschap wordt er vaak eerst een Fermischatting gemaakt voordat er met geavanceerde methoden een nauwkeurig antwoord wordt berekend. De schatting geeft een eerste indruk van de orde van grootte en kan ook dienen als controle om na te gaan of er geen fouten zijn gemaakt in de nauwkeurige berekening. Met een Fermi-schatting kun je snel en eenvoudig een schatting krijgen van wat redelijkerwijs verwacht kan worden.

Enrico Fermi

Skyline van Chicago, de grootste stad van de Amerikaanse staat Illinois. De afdeling aan de Universiteit van Chicago waar Fermi werkte, heet tegenwoordig het Enrico Fermi Institute.

Hoeveel pianostemmers zijn er in Chicago?

Fermi-schattingen van deelvraagstukken

 Hoeveel inwoners heeft Chicago? 5 miljoen

 Hoeveel inwoners heeft een huishouden gemiddeld? 2

 Hoeveel huishoudens zijn dat? 5 miljoen 2 = 2,5 miljoen

 Hoeveel huishoudens hebben een piano? 1 op de 20

 Hoeveel piano’s zijn dat? 2,5 miljoen 20 = 125 000 piano’s

 Hoelang duurt het stemmen van een piano plus reistijd? 2 uur

 Hoe vaak moet je een piano stemmen? één keer per jaar

 Hoeveel piano’s kan één fulltime pianostemmer onderhouden? aantal werkuren in 1 jaar 2 uur ≈ 40 werkweken 36 uur 2 uur = 720 piano’s

 Hoeveel stemmers zijn er dus nodig? 125 000 piano’s 720 piano’s per stemmer ≈ 175 stemmers pianostemmer

1 In de tekst op de vorige twee bladzijden wordt uitgelegd hoe je aan de hand van een vragenlijst een schatting kunt maken van het aantal pianostemmers dat in Chicago werkzaam is. Schat op dezelfde manier hoeveel pianostemmers er in Amsterdam werkzaam zijn. T1

2 Hieronder zie je een foto van De Kwal bij Castricum, onderdeel van de waterzuivering in het Noordhollands Duinreservaat. Het is een waterinlaat waar voortdurend water de duinen in wordt gepompt. Via dit inlaatpunt komt elke seconde ongeveer 800 L IJsselmeerwater het duinlandschap in, waarna het op natuurlijke wijze wordt gefilterd. Daarna kan het opnieuw gewonnen worden als gezuiverd water. T2

a Maak een Fermi-schatting van het aantal liter water dat een gemiddeld persoon per dag gebruikt.

b Bepaal met je antwoord bij opdracht a hoeveel personen uiteindelijk van water kunnen worden voorzien door De Kwal

3 Kies een Fermi-vraagstuk uit de onderstaande lijst en maak een Fermi-schatting. I

 Hoeveel schoenen worden er per dag verkocht in Nederland?

 Hoeveel broden worden er per dag gebakken in Groningen?

 Hoeveel kappers zijn er in het Verenigd Koninkrijk?

 Hoeveel blikken verf zijn er nodig om alle muren in een wolkenkrabber te verven?

 Hoeveel pakken A4-papier gebruikt een school in een schooljaar?

 Hoeveel kilometer fietst een wielrenner per jaar?

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 orde van grootte

 Fermi-vraagstuk

 Fermi-schatting

T1 Ik kan met behulp van een gegeven vragenlijst een schatting geven van het aantal pianostemmers dat werkzaam is in een bepaalde stad.

T2 Ik kan met behulp van een gegeven vragenlijst een Fermi-schatting maken.

I Ik kan een Fermi-schatting maken door zelf een geschikte vragenlijst op te stellen.

De vergelijking van Drake

In 1961 vond het eerste wetenschappelijke congres over de zoektocht naar buitenaards intelligent leven plaats. Om de discussie hierover te stimuleren, formuleerde de Amerikaanse astrofysicus Frank Drake (1930–2022) een formule waarmee je het aantal intelligente beschavingen in ons melkwegstelsel die met ons kunnen communiceren, kunt berekenen:

N = R* fp n e fl fi fc L

Hierin is:

N = het aantal intelligente beschavingen in ons melkwegstelsel dat met ons kan communiceren

R* = het gemiddelde aantal sterren dat per jaar in ons melkwegstelsel ontstaat

f p = het deel van die sterren met planeten

n e = het gemiddelde aantal planeten in een planetenstelsel dat op de aarde lijkt

f l = het deel van die planeten waarop leven ontstaat

f i = het deel van die planeten waarop dit leven zich ontwikkelt tot intelligente levensvormen

fc = het deel van die intelligente levensvormen dat communicatietechnologie ontwikkelt

L = de gemiddelde levensduur van communicerende beschavingen in jaren

4 a Leg uit waarom de vergelijking van Drake een Fermi-schatting oplevert. T2

De eerste drie factoren in de vergelijking van Drake zijn redelijk nauwkeurig gemeten door astronomen: R* ≈ 2 per jaar, f p ≈ 1 en n e ≈ 2.

b Wat betekent het dat f p ≈ 1, n e ≈ 2? T2

De waarde van de andere factoren is grotendeels onbekend. Drake schatte f l ≈ 1, f i ≈ 1, fc ≈ 0,15 en 1000 ≤ L ≤ 100 000 000 jaar.

c Hoeveel communicerende beschavingen zijn er volgens de vergelijking van Drake met deze schattingen minimaal in ons melkwegstelsel? En hoeveel maximaal? T2 d Sommige wetenschappers denken dat f l en f i veel kleiner zijn.

Neem f l f i = 0,0002, fc = 0,15 en L = 1000. Hoeveel communicerende beschavingen in ons melkwegstelsel verwacht je dan? T2

Het SETI Institute zoekt met radiotelescopen naar signalen van buitenaards leven, onder andere met de hierboven afgebeelde Very Large Array.

Maten

DOEL  Je leert rekenen met grootheden en eenheden. Ook leer je rekenen met grote en kleine getallen.

Grootheden en eenheden Hiernaast zie je een route met de auto van Groningen naar Vlissingen. De afstand is 355 km en de reistijd is 4 uur en 9 minuten volgens een routeplanner. Hierin zijn ‘afstand’ en ‘tijd’ grootheden, ‘355 km’ en ‘4 uur en 9 minuten’ maten en ‘km’, ‘uur’ en ‘minuten’ eenheden. Bij een grootheid kun je vaak verschillende eenheden gebruiken. Zo kun je voor afstand ook de eenheden meter of mijl gebruiken. Het is afhankelijk van de situatie welke eenheid het meest geschikt is.

nauwkeurigheid In de praktijk rond je getallen vaak af. Zo is de afstand van 355 km uit het voorbeeld hierboven afgerond op hele km. In opdrachten staat niet altijd hoe je een antwoord moet afronden. Geef dan je antwoord in dezelfde nauwkeurigheid als de gegeven hoeveelheden. Het kan ook zijn dat je uit de context kunt opmaken hoe je moet afronden. Als je bijvoorbeeld 3,25 bussen nodig hebt voor een schoolreisje, dan rond je af naar 4 bussen, omdat je anders niet iedereen mee kunt nemen.

Voorbeelden

1 Een marathon is een hardloopwedstrijd van 42 km en 195 m. Bereken de gemiddelde snelheid in km/h van een hardloper die de marathon in 2 uur en 42 minuten loopt. Rond af op één decimaal.

2 uur en 42 minuten is 2 42 60 = 2,7 uur. De gemiddelde snelheid van de hardloper is 42,195 2,7 ≈ 15,6 km/h.

2 Een leraar wil dat 22 leerlingen een spreekbeurt houden. Per spreekbeurt trekt de docent 15 minuten uit. Hoeveel lesuren van 50 minuten moet de leraar reserveren voor de 22 spreekbeurten?

In één les passen 50 15 = 3,33… en dus 3 spreekbeurten. Voor 22 spreekbeurten zijn 22 3 = 7,33… en dus 8 lesuren nodig.

Let op: de berekening 22 15 50 = 330 50 = 6,6 en dus 7 lesuren is onjuist, omdat je er dan geen rekening mee houdt dat elke spreekbeurt in zijn geheel binnen een les moet vallen.

Groningen

Amsterdam

Den Haag

Rotterdam

Vlissingen

Antwerpen

Düsseldorf

5 a Wat is het verschil tussen grootheden en eenheden? R

b Welke begrippen hieronder zijn grootheden en welke eenheden? T1

hectometer / afstand / are / uur / lengte / inhoud / centiliter

6 a De atleet Usain Bolt heeft in 2009 een wereldrecord op de 100 m sprint gelopen door er 9,58 s over te doen. Bereken zijn gemiddelde snelheid in km/h. Rond af op één decimaal. T1

b Met een gemiddelde snelheid van 317 km/h is de treinverbinding tussen Peking en Nanjing in China een van de snelste ter wereld. De reis duurt 3 uur en 8 minuten. Bereken de afstand over het spoor tussen Peking en Nanjing in km nauwkeurig. T1

7 Een patiënt mag maximaal 700 milligram per dag van een bepaald medicijn gebruiken. Het medicijn zit in pillen van 65 milligram. Dagelijks moet zij drie keer hetzelfde aantal pillen innemen, waarbij de pillen niet doormidden gebroken mogen worden. Hoeveel pillen mag deze patiënt maximaal per keer slikken? T1

8 In Nederland valt jaarlijks gemiddeld 850 mm regen. In het Amazonegebied is dat vier keer zo veel. Bereken hoeveel liter regen er jaarlijks gemiddeld in het Amazonegebied meer valt dan in Nederland op een gebied ter grootte van een voetbalveld van 68 m bij 105 m. T2

9 Op de vloer van een laadruim van 2,55 m bij 4 m worden zoveel mogelijk pallets van 55 cm bij 70 cm geplaatst.

a Als alle pallets in dezelfde richting moeten staan, kan de vloer van het laadruim op twee manieren gevuld worden. Bereken voor beide manieren hoeveel pallets er dan op de vloer van het laadruim passen. T1

b Als de pallets niet allemaal in dezelfde richting hoeven te staan, kun je meer pallets op de vloer kwijt. Teken één zo’n manier. T2

10 Je ziet hieronder een tabel met gegevens van de vier gemeentes in Gelderland met de meeste inwoners. De gegevens dateren van 31 januari 2022. T2

gemeente aantal inwoners (× 1000) oppervlakte (km2)

Nijmegen 179 53 Apeldoorn 165 340

De bevolkingsdichtheid is het gemiddelde aantal inwoners per vierkante kilometer.

a Rangschik de vier gemeentes op basis van de bevolkingsdichtheid van hoog naar laag.

b De gemeente Bronckhorst heeft een oppervlakte van 28 350 hectare. De bevolkingsdichtheid is 127 inwoners per km2. Breid de tabel uit met de gegevens van Bronckhorst.

Rekenen met grote en kleine getallen Getallen zoals 520 000 000 000 en 0,000 046 bestaan uit veel cijfers, waardoor het lastig is te zien hoe groot of klein zo’n getal is. Daarom worden zulke getallen vaak in de wetenschappelijke notatie geschreven. Je schrijft ze dan in de vorm a 10n, waarbij a een getal is tussen 1 en 10. Je krijgt dan 5,2 1011 en 4,6 10−5

Het kan handig zijn om aan te geven hoeveel miljard 5,2 1011 is.

1 miljard is 109. Je moet 1011 daarom delen door 109. Je krijgt 1011 109 = 1011 − 9 = 102 = 100. Dus 5,2 · 1011 = 5,2 100 miljard = 520 miljard.

duizend: 103 = 1000 duizendste: 10−3 = 1 103 = 0,001

miljoen: 106 = 1 000 000 miljoenste: 10−6 = 1 106 = 0,000 001

miljard: 109 = 1 000 000 000 miljardste: 10−9 = 1 109 = 0,000 000 001

Voorbeelden

1 Hoeveel miljoenste is 4,6 · 10−5?

1 miljoenste is 10−6. Je moet 10−5 daarom delen door 10−6 . Je krijgt 10−5 10−6 = 10.

Dus 4,6 · 10−5 = 4,6 · 10 miljoenste = 46 miljoenste.

2 De snelheid van het licht is ongeveer 300 000 km/s. Een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt. Bereken hoeveel miljard km een lichtjaar is. Neem aan dat een jaar 365,25 dagen is en rond af op honderdtallen.

In een jaar gaan 365,25 · 24 · 60 · 60 = 31 557 600 seconden. Licht legt daarom in een jaar ongeveer 300 000 31 557 600 = 9,467... 1012 km af. Een lichtjaar is dus ongeveer 9,5 1012 km. Dit is 9500 miljard km.

3 Hiernaast zie je een afbeelding van het influenzavirus. In werkelijkheid heeft dit virus een diameter van ongeveer 80 nanometer (nm). Een nanometer is een miljardste meter. Bereken de schaal van de afbeelding hiernaast.

De afbeelding is 4 cm breed. Het echte virus is ongeveer 80 nm = 80 10−9 m = 80 10−7 cm breed.

4 80 10−7 = 500 000

De schaal van de afbeelding is dus ongeveer 500 000 : 1.

getal tussen 1 en 10

a · 10n

80 nm

11 Schrijf de getallen in de volgende zinnen in de wetenschappelijke notatie. T1

a Je kunt op 225 manieren 25 hokjes zwart of wit kleuren.

b De afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 384 duizend km.

c Computerchips hebben transistors van 14 miljardste meter groot.

12 Schrijf de volgende getallen voluit in cijfers. T1

a 6,3 104 c 7 1010

b 1,9 10−5 d 2,12 10−8

13 a Hoeveel miljoen is 2 · 108? T1

b Hoeveel miljard is 350 · 1010? T1

c Hoeveel duizendste is 3,1 · 10−5? T1

d Hoeveel miljardste is 4,62 · 10−7? T1

14 Mensenharen zijn ongeveer 0,05 mm dik. Hieronder zie je een afbeelding van een haar die gemaakt is met een microscoop. T1

a Bereken de schaal van deze afbeelding.

b De kleinste bacteriën zijn 500 keer zo klein als de dikte van een mensenhaar. Hoeveel micrometer (μm) groot zijn deze bacteriën? Een micrometer is een miljoenste meter.

15 Het menselijk lichaam produceert ongeveer 2,4 miljoen rode bloedcellen per seconde. Rode bloedcellen leven ongeveer 100 dagen.

a Hoeveel seconden is 100 dagen? T1

b Het aantal rode bloedcellen in het menselijk lichaam is ongeveer gelijk aan het aantal rode bloedcellen dat het lichaam in 100 dagen produceert. Hoeveel zijn dit er ongeveer? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal. T2

c Het lichaam van een volwassene bevat gemiddeld ongeveer 5 L bloed. Laat met een berekening zien dat 1 mL bloed ongeveer 4 miljard rode bloedcellen bevat. T2

16 Proxima Centauri is de dichtstbijzijnde ster en ligt op ongeveer 3,8 · 1013 kilometer van de aarde.

a Kijk nog eens naar voorbeeld 2 op de linkerbladzijde. Hoeveel lichtjaar is Proxima Centauri van de aarde verwijderd? Rond af op één decimaal. T1

b De Voyager 2 vliegt met een snelheid van 55 000 km/h door de ruimte. Hoelang zou een reis naar Proxima Centauri duren met deze snelheid? T1

Afstanden binnen ons zonnestelsel worden vaak uitgedrukt in astronomische eenheden (AE). Een astronomische eenheid is vrijwel gelijk aan de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, ongeveer 150 miljoen km. (In 2012 is een astronomische eenheid gedefinieerd als precies 149 597 870 700 meter.) Door afstanden in het zonnestelsel in AE uit te drukken, kun je ze gemakkelijker met elkaar vergelijken.

c De gemiddelde afstand van Pluto tot de zon is 39,5 AE. Hoeveel km is dit ongeveer? Schrijf je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal. T1

d Druk de afstand tot Proxima Centauri uit in astronomische eenheden. Rond af op tienduizendtallen. T2

17 Lees het nieuwsartikel hiernaast.

a Laat met een berekening zien dat er voor het zwembad bijna 1 miljoen liter water nodig is om het te vullen. T2

b Met hoeveel liter per seconde mag het zwembad maximaal gevuld worden? T2

c Hoelang duurt het vullen minimaal? T2

d Schat hoeveel kWh (kilowattuur) energie het verwarmen kost. Het verwarmen van water kost ongeveer 0,0012 kWh per liter per graad Celsius. I

18 In 2021 werden in Nederland 170 0 00 kinderen geboren. In 1946 werden 284 0 00 kinderen geboren.

a Beide aantallen zijn afgerond op duizendtallen. Hoeveel kinderen werden er in 2021 ten minste minder geboren dan in 1946? En ten hoogste? T2

b Om de hoeveel tijd werd er in 2021 gemiddeld een kind geboren? Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. T2

In 2021 telde Nederland 17,53 miljoen inwoners. In 1946 waren dat er 9,30 miljoen.

c Bereken de gemiddelde bevolkingstoename per jaar in de periode 1946–2021. Geef je antwoord in tienduizenden nauwkeurig. T2

d In een nieuwsartikel staat dat er in Nederland in de periode 1946–2021 gemiddeld elke 4 minuten en 30 seconden één persoon bij kwam. Ga met een berekening na of dit kan kloppen. I

Vullen zwembad Aquapelle gestart

In het nieuwe sportcomplex Aquapelle in Capelle aan den IJssel is men begonnen met het vullen van het zwembad met water. Het vullen van het zwembad mag niet te snel gaan, om zo schade aan het beton en het tegelwerk te voorkomen. Het water mag niet meer dan 5 cm per uur stijgen. De kraan staat ook alleen tijdens kantooruren open, zodat er voortdurend gecontroleerd kan worden. Na het vullen volgt het verwarmen van het water. Ook dit moet geleidelijk gebeuren. Per 24 uur mag de temperatuur van water met maximaal 1 °C stijgen. Het zwembad is 25 m lang, ruim 15 m breed en 2,5 m diep. In september staat de opening gepland.

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 grootheid en eenheid

 maat

 wetenschappelijke notatie

Ook weet ik hoe groot duizend, een miljoen, een miljard, een duizendste, een miljoenste en een miljardste zijn.

T1 Ik kan rekenen met verschillende eenheden en ik kan rekenen met grote en kleine getallen. Ook kan ik op de juiste manier afronden.

T2 Ik kan grote en kleine getallen in praktische situaties omrekenen naar allerlei eenheden en daarmee rekenen.

I Ik kan ingewikkelde schattingen maken.

Digitale dataopslag

Een byte (B) is een eenheid waarmee je de hoeveelheid informatie in digitale data aan kunt geven. Een byte komt overeen met een teken, bijvoorbeeld een letter, een cijfer of een leesteken. Een bladzijde tekst is ongeveer 5000 bytes en een minuut muziek is ongeveer 1 000 000 bytes. Omdat computerbestanden uit miljarden bytes kunnen bestaan, worden de SI-voorvoegsels voor grote getallen zoals kilo en mega ook voor bytes gebruikt. Hiernaast staan enkele van die voorvoegsels. Op een harde schijf met een opslagcapaciteit van 3 TB (terabyte) kun je dus ongeveer 3 000 000 000 000 tekens opslaan.

19 Een digitale foto bestaat uit miljoenen pixels in een rechthoekig rooster. Een pixel is een gekleurd vierkantje. Elke pixel neemt 3 bytes in beslag. T2

a Hoeveel bytes is een foto van 6000 bij 3600 pixels? Kies zelf een geschikt voorvoegsel.

b Hoeveel foto’s passen op het geheugenkaartje hiernaast?

Omdat in data vaak veel herhaling zit (denk aan duizenden pixels met precies dezelfde kleur), kunnen bestanden meestal compacter worden opgeslagen. Dit heet comprimeren. Een gecomprimeerd bestand neemt minder bytes in beslag.

c Stel dat je een set foto’s van 6000 bij 3600 pixels gecomprimeerd hebt tot een gemiddelde grootte van 5 MB per foto. Hoeveel van zulke gecomprimeerde foto’s passen er op een geheugenkaart van 64 GB?

In 2022 is door het Franse Bureau International des Poids et Mesures (het Internationaal Bureau voor Gewichten en Maten) officieel een nieuw voorvoegsel vastgesteld: ronna = 1027

d Hoeveel geheugenkaartjes van 64 GB kun je vullen met 1 ronnabyte aan data? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal.

Vroeger was een kilobyte 210 = 1024 bytes. Dit was handig omdat computers binair rekenen. In het binaire stelsel bestaat elk getal uit een combinatie van de cijfers 0 en 1. De berekening 1 kilobyte = 1024 bytes leverde echter verwarring op, omdat het voorvoegsel kilo normaal gesproken voor 1000 staat. Daarom heeft 1024 bytes in 1998 een eigen naam gekregen: de kibibyte (kiB).

e Hiernaast zie je de eerste vijf binaire voorvoegsels. Bereken hoeveel geheugenkaartjes van 64 GB je minimaal nodig hebt om 1 tebibite aan data op te kunnen slaan.

k = kilo = 103

M = mega = 106

G = giga = 109

T = tera = 1012

P = peta = 1015

ki = kibi = 210

Mi = mebi = 220

Gi = gibi = 230

Ti = tebi = 240

Pi = pebi = 250

Verhoudingen

DOEL  Je leert rekenen met verhoudingen.

Verhoudingen Het beeldscherm hiernaast is breder dan dat het hoog is. De verhouding tussen de breedte en hoogte is 16 : 9. Je spreekt dit uit als 16 staat tot 9. Dit betekent dat de breedte 16 9 keer zo groot is als de hoogte. Een verhouding a : b kun je opvatten als breuk a b. Als twee verhoudingen a : b en c : d aan elkaar gelijk zijn, dan geldt a b = c d Als het beeldscherm hiernaast 120 cm breed is, geldt dus 120 hoogte = 16 9 . Gelijknamig maken geeft 120 9 9 hoogte = 16 · hoogte 9 hoogte en dus 16 hoogte = 120 9. Je krijgt hoogte = 120 · 9 16 = 67,5 cm. Hiernaast zie je dat je in feite de teller van de ene breuk vermenigvuldigt met de noemer van de andere breuk en andersom. Dit heet kruislings vermenigvuldigen.

Voorbeelden

1 In 2021 was de verhouding tussen het aantal schapen en varkens in Nederland ongeveer 2 : 27. Er werden 850 duizend schapen gehouden. Hoeveel varkens werden er gehouden? Geef je antwoord in miljoenen en rond af op één decimaal.

Er waren 27 2 = 13,5 keer zoveel varkens als schapen, dus waren er 13,5 · 850 000 = 11 475 000 varkens. Er werden dus 11,5 miljoen varkens gehouden.

Je kunt dit aantal ook met kruislings vermenigvuldigen berekenen:

2 27 = 850 000 aantal varkens

2 aantal varkens = 27 850 000 aantal varkens = 27 850 000 2 = 11 475 000

2 Een treinstel heeft voor elke 3 zitplaatsen 2 staanplaatsen. Als het treinstel 162 zitplaatsen heeft, hoeveel passagiers kan het treinstel dan maximaal vervoeren?

Er geldt aantal zitplaatsen aantal staanplaatsen = 3 2 en dus 162 aantal staanplaatsen = 3 2

Dit geeft aantal staanplaatsen = 2 162 3 = 108

Het treinstel kan maximaal 162 + 108 = 270 passagiers vervoeren.

16:9

20 hoogte = 16 9

16 hoogte = 120 9 kruislings vermenigvuldigen =

20 Bereken x T1

a 2 x = 5 9 c 15 2 x = 5 32

b x 17 = 2 d 1 x = x 64 met x > 0

21 Welke van de onderstaande verhoudingen zijn gelijk aan elkaar? T1

I 8 : 20 VI 2 3 : 1

II 2 : 8 VII 10 : 25

III 20 : 30 VIII 1600 : 4000

IV 200 : 500 IX 1 : 1,5

V 1688 : 6752 X 0,25 : 1

22 a De verhouding tussen de breedte en de hoogte van een computerscherm is 21 : 9. Het scherm is 40 cm hoog. Hoe breed is het scherm? Geef je antwoord in mm nauwkeurig. T1

b Het scherm van een digitale camera is 6,0 cm breed en 4,5 cm hoog. Bereken de verhouding tussen de breedte en de hoogte van dit scherm. Schrijf de verhouding met gehele getallen en vereenvoudig zo ver mogelijk. T1

23 Op pakken filterkoffie staat dat je 7 gram koffie per 100 tot 125 mL water moet toevoegen.

a Iemand voegt 40 gram koffie aan 0,75 L water toe. Ga na of deze persoon zich aan de richtlijn heeft gehouden. T1

b Hoeveel gram koffie moet je minimaal toevoegen aan 1,25 L water? En hoeveel maximaal? T2

24 Op een bouwmarkt worden zakken met zwarte en witte grindstenen gevuld in de verhouding 3 : 7.

a In een zak zitten 42 zwarte stenen. Hoeveel stenen zitten in totaal in deze zak? T1

b De zwarte stenen wegen 250 gram en de witte 150 gram. Geef de verhouding tussen het gewicht van de zwarte stenen en het gewicht van de witte stenen in de zak. Schrijf de verhouding met gehele getallen en vereenvoudig zo ver mogelijk. T2

25 Een bekerglas bevat 50 mL zoutoplossing met een concentratie van 15 gram zout per liter water. Hoeveel water moet je erbij gieten zodat de concentratie 10 keer zo klein wordt? T2

26 Twee tandwielen met 13 en 17 tanden grijpen op elkaar in. T2

a Leg uit waarom het kleine tandwiel vaker om zijn as draait dan het grote.

b Als het kleine tandwiel 51 keer ronddraait, hoe vaak draait het grote tandwiel dan rond?

c Als het grote tandwiel 208 keer per minuut ronddraait, hoe veel keer per minuut draait het kleine tandwiel dan rond?

aantallen berekenen In de vaas hiernaast zitten 140 knikkers in de verhouding oranje : grijs = 5 : 2. Dit betekent dat er voor elke 5 oranje knikkers 2 grijze in de vaas zitten. Je zou dit kunnen zien als groepjes van 5 + 2 = 7 knikkers, waarvan er steeds 5 oranje zijn. Je kunt de knikkers in de vaas verdelen in 140 7 = 20 van zulke groepjes. Er zitten dus 20 5 = 100 oranje en 20 2 = 40 grijze knikkers in de vaas.

De vaas bevat 20 van deze groepjes.

Je kunt ook als volgt redeneren. Per 7 knikkers zijn er 5 oranje en 2 grijs. Dus is 5 7 deel van de knikkers oranje en 2 7 deel grijs. Van de 140 knikkers zijn er 5 7 140 = 100 oranje en 2 7 140 = 40 grijs.

Verhoudingen kunnen meer dan twee delen hebben. Stel dat in een vaas 270 knikkers zitten in de verhouding wit : grijs : oranje = 3 : 5 : 10. Dit betekent dat er voor elke 3 witte knikkers 5 grijze en 10 oranje in de vaas zitten. Bij verhoudingen met meer dan twee delen kun je op dezelfde manieren rekenen als bij twee delen.

Voorbeelden

1 In een vaas zitten 270 knikkers in de verhouding wit : grijs : oranje = 3 : 5 : 10. Bereken het aantal knikkers van elke kleur.

Manier 1: met groepjes

Je kunt de knikkers verdelen in groepjes van 3 + 5 + 10 = 18, waarvan er steeds 3 wit, 5 grijs en 10 oranje zijn. Er zijn 270 18 = 15 van zulke groepjes. Er zitten dus 15 · 3 = 45 witte knikkers in de vaas, 15 · 5 = 75 grijze en 15 · 10 = 150 oranje.

Manier 2: met delen

Per 3 + 5 + 10 = 18 knikkers zijn er 3 wit, 5 grijs en 10 oranje.

3 18 deel is wit, dus 3 18 270 = 45 witte knikkers.

5 18 deel is grijs, dus 5 18 270 = 75 grijze knikkers.

10 18 deel is oranje, dus 10 18 270 = 150 oranje knikkers.

2 Drie personen hebben een geldbedrag gewonnen bij een loterij. De prijs wordt verdeeld in de verhouding 2 : 4 : 7. De tweede persoon krijgt € 10 000 meer dan de eerste. Hoeveel euro krijgt elk van deze personen?

Er zijn 2 + 4 + 7 = 13 gelijke delen. Persoon II krijgt 4 − 2 = 2 delen meer dan persoon I. Dit is € 10 000. Eén deel is daarom

10 000 2 = 5000 euro.

Persoon I krijgt 2 5000 = 10 000 euro.

Persoon II krijgt 4 5000 = 20 000 euro.

Persoon III krijgt 7 5000 = 35 000 euro.

27 a In een vaas zitten 240 oranje en grijze knikkers in de verhouding oranje : grijs = 5 : 7. Hoeveel oranje en hoeveel grijze knikkers zitten er in de vaas? T1

b In een vaas zitten witte, oranje en grijze knikkers in de verhouding wit : oranje : grijs = 3 : 4 : 11. Welk deel van de knikkers is wit, welk deel oranje en welk deel grijs? T1

28 Om een rechthoek te verdelen in verschillende vierkanten, heb je minstens negen vierkanten nodig. Hieronder zie je zo’n verdeling.

31 Betonspecie bestaat uit 1 deel cement, 2 delen zand, 3 delen grind en 0,5 deel water. T2

a Voor een bouwklus heb je 260 L betonspecie nodig. Hoeveel liter cement, zand, grind en water heb je nodig?

b Zand wordt vaak geleverd in zakken van 1 kuub (1 m3), zogenaamde big bags. Hoeveel liter betonspecie kun je maken met drie big bags als je over voldoende cement, grind en water beschikt?

c Hoeveel kuub cement, grind en water moet je dan toevoegen?

Welk deel van de totale oppervlakte is oranje, welk deel is blauw en welk deel is grijs? Vereenvoudig je antwoorden zo ver mogelijk. T1

29 In een wijk zijn de 810 woningen verdeeld in koop, vrije huur en sociale huur volgens de verhouding 1 : 2 : 6. Bereken hoeveel woningen van elk soort in deze wijk staan. T1

30 Een bedrag wordt over drie personen A, B en C verdeeld in de verhouding 7 : 5 : 2. Het blijkt dat persoon B 150 euro meer krijgt dan persoon C. Bereken hoeveel euro ieder krijgt. T1

32 Een school biedt tijdens de jaarlijkse sportdag voetbal, hockey en tennis aan. Uit ervaring is bekend dat voetbal ongeveer twee keer zo vaak gekozen wordt als hockey en hockey drie keer zo vaak als tennis. Er komen 400 leerlingen op de sportdag die elk één sport kiezen. Bereken hoeveel leerlingen naar verwachting voetbal, hoeveel hockey en hoeveel tennis kiezen. T2

33 In een vaas zitten knikkers waarvan 2 5 deel wit is, 1 4 deel grijs en de rest is oranje.

a Welk deel is oranje? T1

b Maak de breuken gelijknamig en bepaal de verhouding wit : grijs : oranje. T2

34 De meeste vlaggen zijn breder dan dat ze hoog zijn. De verhouding tussen de hoogte en de breedte van de Nederlandse vlag is 2 : 3.

a Bereken de hoogte van een Nederlandse vlag met een breedte van 150 cm. T1

De verhouding tussen de hoogte en de breedte van de Duitse vlag is 3 : 5.

36 De toonhoogte van een toon wordt bepaald door het aantal trillingen per seconde. Dit wordt de frequentie genoemd en gemeten in Hertz (Hz). Als de verhouding tussen twee frequenties een eenvoudige breuk is, dan klinken de tonen prettig samen. In de muziek worden eenvoudige verhoudingen gecombineerd om akkoorden te maken. In het akkoord D-mineur (Dm) hebben de frequenties van de tonen D en F de verhouding D : F = 5 : 6

Voor de tonen F en A geldt F : A = 4 : 5 A F D

Dm

b Hoe groot is de grootste Duitse vlag die je kunt maken uit een rechthoekig doek van 3,50 m bij 1,80 m? T2

c Bereken de afmetingen van een Nederlandse vlag met een omtrek van 7,50 m. Doe dit ook voor een Duitse vlag. I

35 Van drie getallen A, B en C is bekend dat

A : B = 4 : 5 en B : C = 3 : 4

a Vul in: de verhouding A : B is gelijk aan 12 : T1

b Bepaal de verhouding A : B : C I

c Bepaal de verhouding A : C. Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk. I

a De toon A heeft een frequentie van 440 Hz. Bereken de frequentie van de toon F. T2 b Bereken ook de frequentie van de toon D. Rond af op een geheel aantal Hz. T2 c Wat is de frequentieverhouding tussen de tonen D en A? Geef je antwoord in vereenvoudigde vorm. I d Bepaal de verhouding D : F : A. Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk. I

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 verhouding

 kruislings vermenigvuldigen

T1 Ik kan de verhouding tussen twee grootheden berekenen. Ook kan ik kruislings vermenigvuldigen toepassen om het ene deel te berekenen als ik het andere deel weet.

T2 Ik kan verhoudingen toepassen in allerlei situaties.

I Ik kan redeneren over verhoudingen.

Beeldverhoudingen van foto’s

Een belangrijke eigenschap van een foto is de beeldverhouding. Dit is de verhouding tussen de breedte en de hoogte van een foto.

Veel digitale foto’s hebben een beeldverhouding van 4 : 3. Zo kan een digitale foto een formaat hebben van 4032 bij 3024 pixels. Dit heet ook wel de resolutie van de foto. Foto’s van analoge fotocamera’s hadden voor de komst van de digitale fotocamera meestal een andere beeldverhouding, namelijk 3 : 2. Dit zorgde voor problemen bij het afdrukken van foto’s in de overgangsperiode van analoge naar digitale fotografie. Als digitale foto’s op bestaand fotopapier werden afgedrukt, viel er een strook weg aan de onder- en/of bovenkant van de foto, werd een deel van het fotopapier niet bedrukt of werd het beeld uitgerekt. Daarom werd al snel de mogelijkheid geboden om foto’s te laten afdrukken in de beeldverhouding 4 : 3, bijvoorbeeld op fotopapier van 13,3 bij 10 cm.

digitale foto met beeldverhouding 4 : 3

afdruk met beeldverhouding 3 : 2

Onder en boven is een strook weggevallen.

afdruk met beeldverhouding 3 : 2

Rechts zit een lege rand.

37 Een digitale foto heeft een resolutie van 4032 bij 3024 pixels. T2

a Laat zien dat de beeldverhouding van deze foto 4 : 3 is.

b Deze foto kun je niet beeldvullend tonen op een beeldscherm met een resolutie van 1440 bij 960 pixels. Leg uit waarom niet.

c Je kunt de foto verkleinen zodat die helemaal op het beeldscherm past. Aan de zijkanten van het scherm blijft dan een lege rand over. Hoeveel pixels breed is de foto dan op het scherm?

d Je kunt ook een deel van de onderkant van de foto afsnijden, zodat het resultaat dezelfde beeldverhouding heeft als het beeldscherm. Hoeveel van de 3024 rijen pixels moet je dan afsnijden?

e Tegenwoordig hebben veel beeldschermen een beeldverhouding van 16 : 9. Je wilt een liggende foto van 13,3 bij 10,0 cm tonen op zo’n beeldscherm. Daarvoor moet je een deel van de boven- en onderkant afsnijden. Je snijdt aan beide kanten evenveel af. Bereken hoeveel cm je van de boven- en onderkant van de oorspronkelijke foto moet afsnijden. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.

afdruk met beeldverhouding 3 : 2 De afbeelding is in de breedte uitgerekt.

1.3

Procenten

DOEL  Je leert rekenen met procenten.

Procentuele groei Vaak worden verhoudingen in procenten gegeven. Het woord procent komt uit het Latijn en betekent letterlijk ‘van de honderd’. Dus 40% is 40 100 deel. 40% komt dus overeen met de verhouding 40 : 100 of vereenvoudigd 2 : 5.

De hoeveelheid die overeenkomt met 100% heet het geheel en de hoeveelheid die overeenkomt met een percentage heet het deel

Een percentage is dus een deel-geheelverhouding

Een hoeveelheid die met 40% toeneemt, groeit van 100% naar 140%. Je zegt dat het groeipercentage 40% is. De nieuwe hoeveelheid kun je berekenen door de oude hoeveelheid te vermenigvuldigen met de groeifactor g = 1 + 40 100 = 1,4.

Een groeipercentage kan ook negatief zijn. De hoeveelheid neemt dan af. Zo hoort bij een afname met 25% een groeipercentage van 25%. De groeifactor is dan 1 25 100 = 0,75.

Percentages rond je meestal af op één decimaal.

Voorbeelden

1 In 1980 telde China 980 miljoen inwoners. In 2022 was het inwoneraantal tot 1,410 miljard gegroeid. Met hoeveel procent is het inwoneraantal tussen 1980 en 2022 toegenomen?

1,410 miljard = 1410 miljoen

Manier 1

1410

980 · 100% – 100% = 143,87...% – 100% ≈ 43,9%

Manier 2

De toename is 1410 – 980 = 430.

430 980 · 100% ≈ 43,9%

Manier 3

1410

980 = 1,4387... (1,4387... – 1) · 100% ≈ 43,9%

Het inwoneraantal is dus met ongeveer 43,9% toegenomen.

2 Een product kost inclusief 21% btw € 550,-. Wat kost het product exclusief btw?

De btw is 21%, dus de prijs inclusief btw is 100% + 21% = 121%.

De prijs exclusief btw is 100%.

121% komt overeen met € 550, dus 100% komt overeen met 550 1,21 ≈ 454,55 euro.

Het product kost exclusief btw € 454,55.

groeifactor g = 1 + groeipercentage 100%

groeipercentage = ( g − 1) · 100% × 1,21 : 1,21 € 550,-

38 Bereken. T1

a 5,3% van 250

b 82% van 6800

c 160% van 420

d 0,045% van 1 200 000

39 a Hoeveel procent is 20 van 82? T1

b Hoeveel procent is 275 van 95? T1

c Hoeveel procent is 0,18 van 0,65? T1

40 a Een jas is afgeprijsd van € 120,- naar € 96,-. Hoeveel procent korting krijg je op de jas? T1

b Een vereniging heeft 21 leden van boven de 65 jaar. Dat is 15% van het totaal. Hoeveel leden heeft de vereniging? T1

c In 2020 had Brazilië 212 miljoen inwoners en India 1236 miljoen. Hoeveel procent meer inwoners had India ten opzichte van Brazilië? T1

d In een land is 65% van de bevolking werkend en 15% gepensioneerd. Hoeveel werkenden zijn er voor iedere gepensioneerde? Rond je antwoord af op één decimaal. T1

41 In Nederland is het algemene btw-tarief 21%. Voor sommige goederen is het btw-tarief 9%.

a Een broek kost € 95,- exclusief 21% btw. Wat is de prijs inclusief btw? T1

b Een laptop kost € 1500,- inclusief 21% btw. Wat is de prijs exclusief btw? T1

c Voor schoolboeken moet 9% btw betaald worden. Een leerling betaalt € 10,25 btw over schoolboeken. Wat kosten de boeken inclusief btw? T1

d Een winkel verkoopt schoenen. Het btwtarief is 21%. Tijdens een actie krijg je het bedrag dat je aan btw moet betalen als korting. Hoeveel procent korting krijg je op de schoenen? T2 Let op: het antwoord is niet 21%!

42 Eén dm 3 zilver heeft een massa van 10,5 kg. Een vrachtwagen vol zilver zou veel te zwaar zijn om de weg op te mogen. Een vrachtwagen heeft een laadruim van 2 m bij 2,5 m bij 12 m en een laadvermogen van 40 ton. Bereken hoeveel procent van het laadruim met zilver gevuld kan worden. T2

43 In recepten voor brood staan de hoeveelheden ingrediënten soms vermeld als percentages ten opzichte van de hoeveelheid bloem. Voor een bepaald recept gelden de volgende hoeveelheden:

zout 1,5% t.o.v. bloem gist 2% t.o.v. bloem water 52% t.o.v. bloem

Iemand wil een brood van 800 gram bakken met alleen deze vier basisingrediënten. Hoeveel gram zout, gist, water en bloem is er nodig om dit brood te bakken? Rond af op hele grammen. T2

44 In een gezond menselijk dieet leveren koolhydraten ongeveer 55% van de energie (in kilocalorieën of kcal), vetten 30% en eiwitten 15%. Vetten leveren 9 kcal/g en koolhydraten en eiwitten beide 4 kcal/g. T2

a Hoeveel procent van een dieet van 2100 kcal zou uit vetten moeten bestaan?

b Hoeveel procent zou uit koolhydraten moeten bestaan? En hoeveel procent uit eiwitten?

45 De concentratie koolstofdioxide (CO2) in de lucht was in 2022 ongeveer 417 ppm (parts per million). Dat houdt in dat de lucht voor 417 1 000 000 deel uit CO2 bestaat. Een CO2-meter geeft een alarm af als de CO2-concentratie in een kamer hoger is dan 0, 2% . Hoeveel keer zoveel CO2 zit er dan in de lucht als normaal? Rond af op één decimaal. T2

Procenten van procenten Als een hoeveelheid van 500 eerst met 25% toeneemt en daarna met 32% afneemt, dan wordt de nieuwe hoeveelheid eerst 500 1,25 = 625 en daarna 625 0,68 = 425. Je kunt de nieuwe hoeveelheid sneller berekenen door beide groeifactoren met elkaar te vermenigvuldigen: 500 1,25 0,68 = 425.

× 0,68 × 1,25

500 625 425

× 1,25 × 0,68 = × 0,85

Voorbeelden

1 Een hoeveelheid neemt eerst met 27% toe en daarna met 41% af. Wat is de totale procentuele toe- of afname?

Bij een toename met 27% hoort de groeifactor 1 + 27 100 = 1,27.

Bij een afname met 41% hoort de groeifactor 1 41 100 = 0,59.

De totale groeifactor is dus 1,27 · 0,59 = 0,7493.

Het groeipercentage is (0,7493 − 1) · 100% = − 25,07%.

De hoeveelheid neemt met ongeveer 25,1% af.

2 Een student heeft een studieschuld van € 8500,-. Hierover wordt een rente gerekend van 1,78% per jaar. Wat is de schuld na vier jaar als de student niets aflost?

De groeifactor per jaar is 1 + 1,78 100 = 1,0178.

De schuld is na vier jaar 8500 · 1,01784 ≈ 9122 euro.

3 Een bedrijf heeft 25% meer kantoorruimte dan vijf jaar geleden. Het personeelsbestand is in die tijd met 15% gegroeid. Hoeveel procent meer kantoorruimte is er per medewerker?

De kantoorruimte is met een factor 1 + 25 100 = 1,25 gegroeid.

Het personeelsbestand is met een factor 1 + 15 100 = 1,15 gegroeid.

De kantoorruimte per medewerker is daarom met een factor 1,25 1,15 ≈ 1,087 gegroeid.

Dat komt neer op ongeveer (1,087 − 1) 100% = 8,7% meer kantoorruimte per medewerker.

46 Bereken de procentuele toe- of afname als een hoeveelheid: T1

a eerst met 40% afneemt en dan met 40% toeneemt.

b twee keer met 5,5% afneemt.

47 Van een vijver is 15 m2 bedekt met algen. De eerste drie weken groeit het aantal algen aan de oppervlakte met 20% per week. T1

a Met welke factor neemt de oppervlakte van de algen per week toe?

b Met welke factor neemt de oppervlakte de eerste drie weken toe?

c Hoeveel vierkante meter van de vijver wordt na drie weken door algen bedekt?

48 Een ondernemer heeft op 1 juli 2020 een bedrag van € 15 000,- geleend tegen een rente van 3,4% per jaar.

a Wat is de schuld van de ondernemer op 1 juli 2022? T1

b Op 1 juli 2022 lost de ondernemer 4000 euro af. Ditzelfde wil ze doen op 1 juli 2023 en op 1 juli 2024. De schuld die op 1 juli 2025 nog over is, lost ze in één keer af. Welk bedrag moet ze op 1 juli 2025 betalen? T2

49 Twee boeren vergelijken hun land. Een van hen heeft 18% meer land dan de ander, maar houdt 38% meer koeien. Hij zegt tegen de andere boer dat hij 20% meer koeien per hectare land houdt. Laat zien dat de boer ongelijk heeft en bereken het werkelijke percentage extra koeien per hectare land. T1

50 In de cirkeldiagrammen onderaan de bladzijde staat hoe het water op aarde is verdeeld. Zo bevatten rivieren 0,0001% van al het water op aarde. T2

a Waarom zijn er drie cirkeldiagrammen getekend en niet maar één?

b Bereken de grootte van de sectorhoek die in het middelste cirkeldiagram bij poolkappen en gletsjers hoort. Bereken ook de grootte van de sectorhoek als er één cirkeldiagram gebruikt zou zijn.

Er wordt geschat dat oceanen en zeeën in totaal 1,351 · 1018 m3 water bevatten.

c Hoeveel miljoen km3 water is dit?

d Bereken hoeveel liter water poolkappen en gletsjers bevatten. Schrijf je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal.

e Bereken de hoeveelheid water in rivieren. Geef je antwoord in liters in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal. totale hoeveelheid water

waterdamp in atmosfeer 0,001%

bodemvocht 0,005% rivieren 0,0001%

VVD krijgt 6,9% meer stemmen dan D66

Bij de Tweede Kamerverkiezingen van 2021 is de VVD met 21,9% van de stemmen de grootste partij geworden. D66 volgt daarna met 15,0% van de stemmen.

51 Lees het krantenartikel hierboven over de verkiezingen in 2021.

a Hoe heeft de journalist het percentage van 6,9% berekend dat in de kop van het artikel staat? T2

b Waarom klopt dit percentage niet? Welk percentage had daar wel moeten staan? T2

c In 2021 heeft de VVD 2,8% meer stemmen gekregen dan in 2017. Hoeveel procent van de stemmen kreeg de VVD in 2017? T2

In plaats van het juiste percentage had de journalist ook kunnen schrijven dat de VVD 6,9 procentpunt meer stemmen heeft gekregen dan D66. Een procentpunt is een punt op een procentschaal en is daarmee een absolute grootheid. Zo is een stijging van vier naar vijf procent een stijging van 25% of van één procentpunt.

d De Partij voor de Dieren heeft in 2021 18,7 procentpunt minder stemmen gekregen dan de VVD. Hoeveel procent van de stemmen heeft deze partij toen minder dan de VVD gekregen? I

52 Kleine percentages worden soms uitgedrukt in promille (‰, per duizend). In 2023 was het maximaal toegestane alcoholpromillage in het bloed voor ervaren automobilisten 0,5‰. T2

a Hoeveel procent is dat?

b Hoeveel mL alcohol is dat voor een gemiddeld volwassen persoon met 5 L bloed in het lichaam?

Iemand heeft alcohol gedronken en bij een blaastest blijkt zij een alcoholpromillage te hebben van 0,8‰.

c Hoeveel procent meer dan 0,5‰ is dat?

d Het menselijk lichaam breekt alcohol af met een snelheid van 0,1‰ tot 0,25‰ per uur. Hoelang duurt het ongeveer voordat deze persoon alle alcohol in haar bloed heeft afgebroken? Geef een onder- en een bovengrens.

53 Een boer heeft 100 kg aardappelen te drogen gelegd. Bij de oogst bestonden de aardappelen uit 99% water. De boer wacht met de verkoop tot ze voor 98% uit water bestaan. Hoeveel kg aardappelen is er dan nog over? I

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 percentage, deel, geheel

 deel-geheelverhouding

 groeipercentage en groeifactor

T1 Ik kan in eenvoudige situaties rekenen met percentages en groeifactoren.

T2 Ik kan in allerlei praktische situaties rekenen met percentages en groeifactoren.

I Ik kan werken met andere eenheden voor delen, zoals procentpunten en promillages, en ik kan misleidende percentages doorzien.

bestemming oppervlakte in 1977 (km2)

verkeer 1269

bebouwd 2588

semi-bebouwd 523 recreatie 647

agrarisch 24 372

4546 totaal 33 944

Indexcijfers

In de tabel hierboven staat hoe de landoppervlakte van Nederland in 1977 gebruikt werd voor verschillende bestemmingen. De grafiek laat zien hoe deze oppervlaktes in de periode 1977–2017 zijn veranderd. De grafieken zijn zodanig verticaal geschaald dat ze in 1977 allemaal op 100 beginnen. De waarden die je uit de grafiek afleest, zijn daarom zogenaamde indexcijfers. Aan een indexcijfer kun je zien hoe groot een stijging of daling is ten opzichte van het basisjaar. Het basisjaar heeft altijd een index van 100. Zo staat een indexcijfer van 110 voor een stijging van 10% ten opzichte van het basisjaar. Dat het om een index gaat, kun je in de grafiek zien aan de aanduiding ‘index (1977 = 100)’.

54 a Met hoeveel procent is de oppervlakte voor recreatie toegenomen tussen 1977 en 2017? T1

b Laat zien dat in 2006 de bebouwde oppervlakte ongeveer 3400 km 2 bedroeg. T2

c Bereken de procentuele afname van de oppervlakte voor verkeer tussen 1989 en 1996. T2

d Bereken met de gegevens uit de tabel hoeveel procent van de landoppervlakte in 1977 uit agrarisch gebied bestond.

Hoeveel procent was dat in 2017? T2

e De grafiek had ook getekend kunnen worden ten opzichte van basisjaar 2017. Dan waren alle grafieken in één punt geëindigd. Welke grafiek was dan in 1977 op de laagste waarde begonnen? Bereken ook die waarde. I

Interpoleren en extrapoleren

DOEL  Je leert hoe je met interpoleren en extrapoleren waarden kunt schatten. 1.4

Interpoleren en extrapoleren Als twee grootheden gezamenlijk veranderen, dan kun je de samenhang ertussen weergeven in een tabel of in een grafiek Hieronder zie je bijvoorbeeld een tabel en de bijbehorende grafiek van het gewicht van een baby gedurende het eerste levensjaar.

leeftijd (maanden)

(maanden)

Met een grafiek kun je tussenliggende waarden schatten die niet in de tabel staan. Dit heet interpoleren (het Latijnse woord ‘inter’ betekent ‘tussen’ en ‘polire’ betekent ‘gladmaken’ of ‘polijsten’). Zo kun je uit de grafiek aflezen dat de baby na 7 maanden ongeveer 7,6 kg woog.

Door de grafiek vloeiend verder te tekenen, kun je waarden aflezen buiten het bereik van de tabel. Dit heet extrapoleren (het Latijnse woord ‘extra’ betekent ‘buiten’). Hiermee kun je een schatting maken van een verder gelegen waarde. Zo zal het gewicht van de baby na 14 maanden naar schatting 9,2 kg zijn.

Schattingen die je maakt door te interpoleren zijn betrouwbaarder naarmate ze dichter bij de meetpunten liggen en als de meetpunten mooi op een vloeiende kromme liggen. Schattingen die je maakt door te extrapoleren zijn minder betrouwbaar naarmate je verder van het laatste meetpunt af komt.

interpoleren

extrapoleren

55 In de tabel hieronder staat de gemiddelde lengte van Nederlandse meisjes. T1

leeftijd (jaar) 2 4 6 12 15

lengte (cm) 86 104 118 154 166

a Maak een grafiek bij de tabel.

b Schat door te interpoleren de gemiddelde lengte van een Nederlands meisje van 8 jaar.

c Schat door te extrapoleren de gemiddelde lengte van een Nederlands meisje van 16 jaar.

d Schat ook door te extrapoleren de gemiddelde lengte van een Nederlandse vrouw van 19 jaar. Waarom is dit geen betrouwbare schatting?

56 Voor het vak biologie moet een leerling onderzoeken of tuinkers beter groeit in het licht of in het donker. Hiervoor plant hij twee tuinkerszaadjes: één in het licht en één in het donker. Elke dag meet hij de lengte van de plantjes. De resultaten zie je in de tabel hieronder. T1

57 Werkblad 1.57

In de grafiek hieronder zie je de groei van de wereldbevolking sinds 1800.

wereldbevolking (× 1 miljoen)

a Op dag 5 is er geen meting gedaan. Schat door te interpoleren de lengte van beide plantjes op deze dag.

b Schat door te extrapoleren het lengteverschil tussen de twee plantjes op dag 8.

a Met hoeveel miljard mensen is de wereldbevolking de afgelopen 100 jaar toegenomen? T1

b Schat door te extrapoleren de grootte van de wereldbevolking in 2100. T1

In 2019 voorspelden de Verenigde Naties dat de wereldbevolking in 2100 uit 10,9 miljard mensen zou bestaan. Maar in 2020 publiceerden onderzoekers aan de Universiteit van Washington een artikel waarin ze voorspelden dat de wereldbevolking tot 2064 zou groeien naar 9,7 miljard mensen en vervolgens tot 2100 zou krimpen tot 8,8 miljard mensen.

c Hoe groot is het verschil tussen jouw schatting bij opdracht b en de schatting van de onderzoekers? T1

d Stel dat er in 1920 door te extrapoleren een schatting zou zijn gemaakt van de wereldbevolking in 2000. Hoe groot zou die schatting dan zijn geweest, denk je? Geef ook een verklaring voor de grote afwijking van de werkelijkheid. T2

lineair interpoleren en extrapoleren Soms is het niet goed mogelijk om een vloeiende kromme door de punten in een grafiek te tekenen of kan dat op verschillende manieren. In plaats daarvan kun je ook uitgaan van een constante toe- of afname tussen opeenvolgende gemeten punten. De grafiek bestaat dan uit rechte lijnstukken. Als je zo tussenliggende waarden schat die niet in de tabel staan, heet dat lineair interpoleren. Je kunt ook lineair extrapoleren door aan te nemen dat de grafiek op dezelfde manier blijft doorlopen links van de eerste twee punten en rechts van de laatste twee punten. Een voordeel van lineair inter- en extrapoleren is dat je dit met de tabel kunt doen en geen grafiek hoeft te tekenen.

Voorbeelden

In de tabel hieronder staat het aantal leden van een sportclub tussen 2000 en 2022.

interpoleren

1 Schat door lineair te interpoleren het aantal leden in 2010. 2010 ligt tussen 2007 en 2011. Het aantal leden is in die 4 jaar met 80 toegenomen. Dat is een toename met gemiddeld 80 4 = 20 leden per jaar.

Je gaat er bij lineair interpoleren van uit dat de groei gedurende deze vier jaar lineair was, dus elk jaar met 20 leden. Van 2007 tot 2010 neemt het aantal leden dus naar schatting met 3 · 20 = 60 toe. In 2010 waren er naar schatting 278 + 60 = 338 leden.

2 Schat door lineair te extrapoleren het aantal leden in 2024. Gebruik de twee laatst bekende waarden om het aantal leden in 2024 te schatten. Van 2019 tot 2022 is het aantal leden met 55 afgenomen. Dit is een afname met gemiddeld 55 3 leden per jaar.

Je gaat er bij lineair extrapoleren van uit dat deze afname zich na 2022 op dezelfde manier voortzet. 2024 is 2 jaar na 2022, dus in 2024 zullen er naar schatting 445 − 2 55 3 ≈ 408 leden zijn.

58 In de tabel hieronder staat het inwonertal van een stad tussen 2000 en 2020. T1

jaar 2000 2005 2010 2015 2020 inwonertal (× 1000) 720 732 697 616 571

a Schat door lineair te interpoleren het aantal inwoners in 2007.

b Schat door lineair te extrapoleren het aantal inwoners in 2023.

c Schat ook het aantal inwoners in 1993.

59 Gegeven is de volgende tabel. T1 x 2 8 12 y 7 16 18

a Schat door lineair te interpoleren de waarde van y die bij x = 5 hoort.

b Schat door lineair te extrapoleren de waarde van y die bij x = 16 hoort.

c Schat door lineair te interpoleren de waarde van x die bij y = 9 hoort.

60 Het aantal abonnees van een tijdschrift heeft zich tussen 1970 en 2020 als volgt ontwikkeld. De aantallen zijn gemeten op 1 januari van het betreffende jaar.

jaar 1970 1990 2015 2020

aantal abonnees 48 500 41 400 25 200 14 900

a Schat het aantal abonnees op 1 januari 1965, 2010 en 2022 door lineair te interpoleren of lineair te extrapoleren. T1

b Laat met een berekening zien dat een schatting van het aantal abonnees in 2040 met behulp van lineair extrapoleren niet betrouwbaar kan zijn. T2

c Schat door lineair te interpoleren in welk jaar het aantal abonnees voor het eerst onder de 30 000 zakte. T2

61 Hieronder zie je een tabel met het aantal inwoners van België van 1960 tot en met 2020.

jaar aantal inwoners (in miljoenen)

1960 9,11

1975 9,76

1990 9,96

2005 10,52

2020 11,56

a Teken een grafiek bij de tabel. Teken een vloeiende kromme door de punten. T1

b Schat met behulp van je grafiek het aantal inwoners van België in 2000. T1

c Schat het aantal inwoners van België in 2000 ook door lineair te interpoleren. T1

d Schat door lineair te extrapoleren in welk jaar België voor het eerst meer dan 12 miljoen inwoners heeft. T2

62 Een tijdrit voor wielrenners is opgedeeld in drie delen. Na elk deel wordt de tijd gemeten.

Een wielrenner heeft de tijdrit in 47 minuten en 12 seconden gereden. In de tabel hieronder zie je de drie gemeten tijden van deze wielrenner. T2

afstand (km) 12 28 40

tijd (min) 14:32 31:58 47:12

a Schat door lineair te extrapoleren hoeveel km de wielrenner heeft gereden na 10 minuten.

b Schat door lineair te interpoleren hoelang de wielrenner deed over de eerste 20 km

63 In de tabel hieronder staat voor drie schooljaren hoeveel schoolvestigingen voor voortgezet onderwijs er waren en hoeveel leerlingen er op die schoolvestigingen zaten.

schooljaar aantal schoolvestigingen aantal leerlingen

2000/2001 1705 894 100

2010/2011 1413 939 500

2020/2021 1438 934 200

a Schat door lineair te interpoleren het aantal schoolvestigingen in schooljaar 2007/2008. T1

b Geef door lineair te interpoleren ook een schatting van het aantal leerlingen in dat schooljaar. T1

c Bereken het gemiddelde aantal leerlingen per schoolvestiging voor elk van de schooljaren in de tabel. T2

d Welke conclusie over het gemiddelde aantal leerlingen per schoolvestiging kun je trekken uit de tabel? T2

e Geef op twee manieren een schatting van het gemiddelde aantal leerlingen per schoolvestiging in het schooljaar 2007/2008. Gebruik voor de eerste manier je antwoorden bij opdrachten a en b en voor de tweede manier je antwoorden bij opdracht c T2

f De gevonden schattingen bij opdracht e kunnen iets verschillen. Leg uit waarom dat mogelijk is. I

64 In 2007 had 1 op de 60 leerlingen een dyslexieverklaring. In 2015 was deze verhouding gestegen tot 1 op de 6 leerlingen.

a Reken de verhoudingen in 2007 en 2015 om naar percentages. T2

b Schat door lineair te interpoleren het percentage leerlingen met een dyslexieverklaring in 2011. T2

c Neem over en vul in:

In 2011 had naar schatting 1 op de leerlingen een dyslexieverklaring. T2

d Laat zien dat je een ander antwoord krijgt als je lineair zou interpoleren tussen de waarden 6 en 60. Leg uit waarom je niet op deze manier mag interpoleren. I

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 tabel en grafiek

 (lineair) interpoleren

 (lineair) extrapoleren

T1 Ik kan in eenvoudige situaties waarden schatten door (lineair) te interpoleren of door (lineair) te extrapoleren.

T2 Ik kan in ingewikkelde situaties gegevens schatten door (lineair) te interpoleren en (lineair) te extrapoleren.

I Ik kan uitleggen waarom je andere schattingen kunt krijgen als je gegevens op verschillende manieren interpoleert of extrapoleert.

Museumcijfers

65 Ieder jaar worden er cijfers gepubliceerd over de museumsector in Nederland. In de tabel hieronder staan voor een aantal provincies het aantal musea en het aantal inwoners op 1 januari 2016. In de laatste kolom van deze tabel staat de zogenoemde museumdichtheid. Dit is het aantal musea per 100 000 inwoners.

aantal musea aantal inwoners museumdichtheid

Groningen 17 583 721

Friesland 26 646 040 4,02

Flevoland 4 404 068 0,99

Nederland 420 16 979 120 2,47

a De museumdichtheid van de provincie Groningen ontbreekt in de tabel. Onderzoek of de museumdichtheid van Groningen hoger of lager is dan de museumdichtheid van heel Nederland. T1 b De provincie Flevoland heeft de laagste museumdichtheid van alle provincies. Onderzoek hoeveel musea Flevoland er minstens bij zou moeten hebben om een museumdichtheid in deze provincie te hebben die hoger is dan 2,47. T2

De Museumkaart is een persoonsgebonden kaart die een jaar lang onbeperkt toegang geeft tot ongeveer 400 musea in heel Nederland. Het aantal Museumkaarthouders is in de periode 2011–2016 sterk gegroeid. In de tabel hieronder staan de aantallen Museumkaarthouders op 1 januari 2011 en op 1 januari 2016. Neem aan dat de groei in deze periode lineair was.

datum 1-1-2011 1-1-2016

aantal Museumkaarthouders 805 594 1 299 650

c Bereken, uitgaande van dezelfde lineaire groei in de daaropvolgende jaren, in welk jaar er voor het eerst meer dan 2 miljoen Museumkaarthouders zullen zijn. T1

d In het jaar 2011 was de Museumkaart goed voor 4,2 miljoen museumbezoeken. Dat was 20% van het totaal aantal museumbezoeken in 2011. In het jaar 2016 was de Museumkaart goed voor 8,5 miljoen museumbezoeken. Dat was toen 26% van het totaal aantal museumbezoeken. Bereken met hoeveel procent het totaal aantal museumbezoeken is gestegen in de periode 2011–2016. Geef je antwoord in hele procenten. T2

Naar examen havo wiskunde A 2021-III

Wiskundige modellen

DOEL  Je leert werken met wiskundige modellen en je leert hoe je met een grafische rekenmachine tabellen en grafieken kunt maken. 1.5

Formules Met een formule kun je aangeven hoe grootheden met elkaar samenhangen. Zo kun je met de formule TF = 1,8TC + 32 de temperatuur in graden Celsius (TC) omrekenen naar de temperatuur in graden Fahrenheit (TF). Als het bijvoorbeeld 25 °C is, kun je de temperatuur in graden Fahrenheit vinden door TC = 25 in de formule te substitueren: TF = 1,8 25 + 32 = 77. Bij een formule met twee variabelen kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. De formule TF = 1,8TC + 32 is lineair en de grafiek is daarom een lijn.

grafiek van TF = 1,8TC + 32

Plotten Je kunt met je grafische rekenmachine een tabel of grafiek bij een formule maken. Je moet dan de formule in je grafische rekenmachine invoeren. Voor een tabel geef je de beginwaarde en de stapgrootte aan. Hiernaast zie je bijvoorbeeld een tabel met beginwaarde x = 0 en stapgrootte 1 bij de formule y = x 4 − 8x 2

Let op: als je de formule TF = 1,8TC + 32 wilt invoeren, voer je in: y = 1,8x + 32

Grafieken tekenen met je grafische rekenmachine heet plotten Daarbij geef je aan tot hoe ver de assen moeten lopen. Dit worden de vensterinstellingen genoemd. Zorg ervoor dat je vensterinstellingen gebruikt waarbij het verloop van de grafiek goed in beeld is. Neem voor de grafiek van y = x 4 − 8x 2 bijvoorbeeld x van 4 tot 4 en y van 20 tot 40. Je krijgt dan een plot zoals hiernaast.

Let goed op de formulering van een vraagstuk.

 Staat er ‘Schets de grafiek van...’, dan mag je de grafiek eerst plotten met je grafische rekenmachine en hoef je bij de schets in je schrift geen getallen bij de assen te zetten.

 Staat er ‘Teken de grafiek van...’, dan maak je eerst een tabel en zet je wel getallen bij de assen.

plot van de grafiek van y = x 4 − 8x 2

66 Gegeven is de formule y = 0,2x 3 − x 2 T1

a Maak een tabel met je grafische rekenmachine met beginwaarde –2 en stapgrootte 1.

b Plot de grafiek van de formule waarbij de x-as van –2 tot 6 loopt. Maak ook een schets.

c Plot de grafiek van de formule waarbij de x-as van − 8 tot 8 loopt. Maak ook een schets.

67 Met de formule TF = 1,8TC + 32 kun je de temperatuur in graden Celsius (TC) omrekenen naar de temperatuur in graden Fahrenheit (TF). T1

a Oorspronkelijk was het nulpunt van de temperatuurschaal van Fahrenheit gedefinieerd als het smeltpunt van een salmiakmengsel. Dit smeltpunt ligt bij ongeveer − 17,8 °C. Laat met een berekening zien dat deze temperatuur ongeveer overeenkomt met 0 °F.

b Maak met je grafische rekenmachine een tabel vanaf TC = − 20 met stapgrootte 10. Hoeveel graden Fahrenheit is − 10 °C?

En 30 °C?

c Tussen welke begin- en eindwaarde zou je TF laten lopen om het verloop van de grafiek goed in beeld te krijgen tussen TC = − 20 en TC = 40? Controleer je antwoord door te plotten.

68 Plot de grafieken van de volgende formules en maak van die plots een schets. Zorg steeds dat het verloop van de grafiek goed te zien is en schrijf je vensterinstellingen op.

a y = x + 10 5 − 3 T1

b y = 0,25x 4 − 4x 2 T1

c y = 0,1x (x 2 − 9)(x 2 − 25) T2

d y = 3 x + 2 x − 10 met x > 0 T2

e y = 5000 − 0,05x 3 T2

69 Voor de kosten K in euro’s van een bepaald product geldt de formule

K = 0,1q 3 − 15q 2 + 800 q. Hierin is q de productie in honderdtallen. De maximale productie is 15 000.

a Bereken K bij een productie van 11 000. T1

b Plot de grafiek van de formule en maak een schets. T1

In januari was de productie 6400. In februari lag de productie 10% hoger.

c Bereken hoeveel hoger de kosten K in februari waren dan in januari. T2

d Het bedrijf heeft de producten voor € 5,50 per stuk verkocht. De winst bereken je door de kosten van de opbrengst af te trekken. Met hoeveel procent is de winst in februari gestegen ten opzichte van januari? T2

70 Iemand heeft de volgende plot gemaakt bij de formule y = − 30x 3 + 4x 2. Laat met een schets zien dat deze vensterinstellingen niet geschikt zijn om het verloop van de grafiek rond x = 0 goed in beeld te krijgen. T2

Wiskundig model Vaak is een formule bij een praktijksituatie een benadering van de werkelijkheid. In zo’n formule zijn bijvoorbeeld niet relevante details weggelaten, zodat de formule beter hanteerbaar is. Ook kan er een vereenvoudigde formule opgesteld zijn die zo goed mogelijk bij de gegevens past. Je werkt dan met een wiskundig model

Voorbeeld

Een patiënt neemt een medicijn in dat in het bloed wordt opgenomen. De concentratie C van het medicijn in mg per liter bloed t uur na inname kan worden benaderd met de formule C = 4t t 2 + 1 .

Deze formule kun je alleen gebruiken als t ≥ 0.

Om bij deze formule een grafiek te plotten, voer je de formule y = 4x x 2 + 1 in je grafische rekenmachine in. Let op: gebruik x voor de onafhankelijke variabele.

Door eerst met je grafische rekenmachine een tabel te maken, kun je inschatten welke vensterinstellingen geschikt zijn om de grafiek goed in beeld te krijgen. Maar je kunt ook in- of uitzoomen als je de grafiek niet goed in beeld hebt. Neem bijvoorbeeld x van 0 tot 12 en y van 0 tot 3. Je ziet in de grafiek dat de concentratie 1 uur na inname maximaal is. Daarna neemt de concentratie af.

71 Kijk nog eens naar het voorbeeld op de linkerbladzijde. Voor een goede werking van het medicijn moet de concentratie C boven de 1 mg/L blijven. T1

a Neem onderstaande tabel over en vul hem in:

T 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

C 1,06

b Rond welk tijdstip is de concentratie net boven de 1 mg/L?

c Voor een nauwkeuriger antwoord kun je in de tabel stappen van 0,01 nemen. Maak met je grafische rekenmachine een nieuwe tabel en lees bij benadering af op welk moment de concentratie te laag dreigt te worden.

72 Een kanon schiet een kogel schuin omhoog. De baan van de kogel wordt beschreven door de formule h = 0,015a(75 − a). Hierin is h de hoogte van de kogel in m en a de afgelegde horizontale afstand in m. T1

a Plot de grafiek van h. Bij welke vensterinstellingen krijg je de grafiek goed in beeld?

b Hoe ver komt de kogel?

c Hoe hoog komt de kogel?

73 Een bepaalde soort plant groeit het eerste jaar sneller dan het tweede jaar. Je kunt de hoogte van de plant in de eerste twee jaar benaderen met de formule h = 3,5t + 2 t + 8 . Hierin is h de hoogte van de plant in meter en t de tijd na het planten in maanden. T1

a Hoe hoog was de plant toen hij werd geplant?

b Hoe hoog is de plant na twee jaar?

c Maak een tabel met stapgrootte 4 voor de eerste twee jaar.

d Plot de grafiek van de formule. Maak ook een schets.

e Hoeveel maanden na het planten zal de plant boven de 2,5 m uitkomen?

74 Je kunt de maximaal haalbare hartslag van volwassenen schatten met de formule

H = 208 − 0,7 leeftijd. Hierin is H in slagen per minuut.

a Schat de maximale hartslag van iemand van 50 jaar. T1

b Plot de grafiek van de formule en maak een schets. T1

c Iemand heeft volgens de formule een maximale hartslag van 166. Hoe oud is deze persoon? T2

Volgens een ander model kun je de maximale hartslag van een volwassene schatten met de formule H = 220 − leeftijd.

d Plot de grafiek van deze formule in hetzelfde venster en maak een schets. T1

e Bij welke leeftijd geven beide formules dezelfde maximale hartslag? T2

75 In een bos staat het grondwater op een diepte van 110 cm. Hoe dichter je bij de grondwaterstand komt, hoe hoger het vochtgehalte van de grond wordt. Het verband tussen de diepte d in cm en het vochtgehalte p in % wordt gegeven door de formule:

p = 280 110 − d T2

grondwaterstand

a Waarom moet gelden dat d < 110?

b Bereken het vochtgehalte op een diepte van 30 cm.

c Met hoeveel procent neemt het vochtgehalte van de grond de eerste 50 cm toe?

d Zoek uit op welke diepte het vochtgehalte van de grond 7% is.

76 De body mass index (BMI) is een onnauwkeurige, maar desondanks populaire maat om te berekenen of iemand een gezond gewicht heeft of niet. De BMI van een persoon bereken je met de formule BMI = G L 2. Hierin is

G het lichaamsgewicht in kg en L de lengte in m. Een volwassene heeft een gezond gewicht als er sprake is van een BMI tussen 18,5 en 25. T2

a Ga na of een volwassene met een lengte van 1,83 en een gewicht van 82 kg volgens de BMI een gezond gewicht heeft.

Je gaat een plot maken van de grafiek van de BMI voor personen met een lengte van 1,75 m. Het gewicht komt op de horizontale as en de BMI op de verticale as.

b Tussen welke begin- en eindwaarde zou je het gewicht laten lopen?

c Plot de grafiek en maak een schets.

d Welke gewichten zijn volgens de BMI gezond? Geef je antwoord in hele kg nauwkeurig.

Om bij een bepaalde lengte het maximale gezonde gewicht te berekenen, kun je de formule G = 25 · L 2 gebruiken.

e Laat zien hoe je deze formule afleidt uit de formule voor de BMI aan het begin van deze opdracht.

f Plot de grafiek van deze formule en maak een schets.

g Wat mag iemand met een lengte van 1,67 m maximaal wegen om volgens de BMI een gezond gewicht te hebben? Rond af op hele kg.

77 Meestal wordt ervan uitgegaan dat de snelheid van het geluid 330 m/s is. In werkelijkheid is de snelheid van het geluid afhankelijk van de luchttemperatuur. Hierbij hoort de formule

v = 20 √273 + T met v de geluidssnelheid in m/s en T de luchttemperatuur in °C.

a Bereken de snelheid van het geluid bij een luchttemperatuur van 25 °C. T2

b De temperatuur kan niet lager zijn dan 273 °C. Hoe zie je dat terug in de formule? I

c Onderzoek bij welke luchttemperatuur de snelheid van het geluid 330 m/s is. T2

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik weet wat het verschil is tussen grafieken schetsen en grafieken tekenen en ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 substitueren

 plotten

 vensterinstellingen

 wiskundig model

T1 Ik kan tabellen maken en grafieken plotten met de grafische rekenmachine. Ook kan ik met eenvoudige wiskundige modellen rekenen.

T2 Ik kan met ingewikkelde wiskundige modellen rekenen.

I Ik kan redeneren over de formules bij wiskundige modellen.

Wiskunde in bad

78 Misschien is het je na het nemen van een bad wel eens opgevallen dat het water aanvankelijk sneller wegloopt dan een tijdje later.

Aan de hand van een wiskundig model ga je dat onderzoeken. Het bad heeft bij benadering de vorm van een rechthoekige bak. Nadat de stop eruit getrokken is, wordt de hoogte van het badwater steeds lager. Deze hoogte is de waterhoogte.

Tijdens het leeglopen van een bad wordt op een aantal tijdstippen de waterhoogte gemeten. De resultaten staan in de volgende tabel.

t (s) 0 40 80 120 160

waterhoogte (cm) 49 34 21 12 5

Bij deze tabel past de formule waterhoogte = (7 − 0,03t)2.

a Laat zien dat deze formule inderdaad goed bij de tabel past. T1

b Toon met de formule aan dat het leeglopen van het bad ongeveer 233 seconden duurt. T1

c Leg met behulp van een schets van de grafiek van de waterhoogte uit dat het water aanvankelijk sneller wegloopt dan een tijdje later. T2

d Tijdens het leeglopen van het bad is het bad op een gegeven moment nog maar half vol. De waterhoogte is dan de helft van de aanvankelijke waterhoogte. De tijd die hiervoor nodig is, noem je de leeglooptijd eerste helft. De tijd die vervolgens nodig is om het bad verder leeg te laten lopen, noem je de leeglooptijd tweede helft. Die tweede helft kost natuurlijk meer tijd, het gaat immers langzamer. De verhouding tussen deze leeglooptijden noem je de leegloopverhouding. In een formule:

leegloopverhouding = leeglooptijd tweede helft leeglooptijd eerste helft

De leegloopverhouding blijkt voor alle rechthoekige baden hetzelfde te zijn. Bereken deze leegloopverhouding op één decimaal nauwkeurig. I

Naar examen havo wiskunde A1,2 2000-I

waterhoogte

Toetsvoorbereiding

Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.

 academie

79 Maak een Fermi-schatting van het aantal middelbare scholen in Frankrijk. I

 § 1.1

80 a Hoeveel miljard is 4,5 · 1012? T1

b Hoeveel honderdste is 1,9 · 10−2? T1

81 Je onderzoekt 1 L verse melk op de aanwezigheid van bacteriën. Je strijkt 0,01 mL van de melk uit op een preparaat van 4 cm 2. Door de microscoop bekijk je een oppervlakte van 0,032 mm 2 en je telt daarin 15 bacteriën. T2

a Hoeveel bacteriën zitten er naar verwachting ongeveer in het preparaat?

b Hoeveel bacteriën zitten er naar verwachting ongeveer in 1 L? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.

 § 1.2

82 In een vaas zitten witte, grijze, oranje en blauwe knikkers in de verhouding 2 : 4 : 3 : 6.

a Bereken het aantal knikkers van elke kleur als er in totaal 600 knikkers in de vaas zitten. T1

b Bereken het aantal witte, oranje en blauwe knikkers als er 100 grijze knikkers in de vaas zitten. T1

c Bereken het totale aantal knikkers als er 30 witte en grijze knikkers in de vaas zitten. T2

d Bereken het totale aantal knikkers als er 21 meer blauwe dan oranje knikkers in de vaas zitten. T2

83 Een bedrijf heeft 5256 werknemers. Voor elke 50 werknemers jonger dan 45 jaar zijn er 23 werknemers van 45 jaar of ouder. Hoeveel werknemers zijn jonger dan 45 jaar? T2

 § 1.3

84 a Het aantal leden van een vereniging is in een jaar tijd met 7,6% gegroeid. In dat jaar zijn er 35 nieuwe leden bijgekomen en zijn er 10 leden gestopt. Hoeveel leden had de vereniging aan het einde van dat jaar? T1 b Eind 2022 waren boodschappen in de supermarkt 14% duurder dan eind 2021. Hoeveel betaalde je eind 2021 voor een mand met boodschappen die een jaar later 54 euro kostte? T1

85 Op een klimrenterekening stijgt het rentepercentage tijdens de eerste vijf jaar. Daarna blijft dat percentage gelijk.

Als je een bedrag op deze rekening zet en laat staan, dan krijg je over het eerste jaar 0,4% rente, over het tweede jaar 0,6%, enzovoort. Vanaf het vijfde jaar krijg je 1,9% rente per jaar. Iemand zet € 5000,- op deze rekening. Welk bedrag staat er dan op de rekening na vijf jaar? En na zeven jaar? T2

86 In 2012 is het algemene btw-tarief van 19% verhoogd naar 21%. Met hoeveel procent zijn de prijzen inclusief btw duurder geworden? Let op: het antwoord is niet 2%. T2

 § 1.4

87 In de tabel hieronder staat het aantal inwoners van een stad in de periode van 1970 tot en met 2020.

jaar aantal inwoners

1970 19 000

1980 21 000

1990 25 000

2000 26 000

2010 29 000

2020 38 000

a De aantallen zijn afgerond op duizendtallen. Met hoeveel is het aantal inwoners maximaal gestegen in de periode van 2000 tot en met 2010? T2

b Teken een grafiek bij de tabel. T1

c Schat door te interpoleren hoeveel inwoners er in 1987 waren. T1

d Schat door te extrapoleren hoeveel inwoners er in 2030 zullen zijn. T1

e Schat het aantal inwoners in 2030 ook door lineair te extrapoleren. T1

f Leg uit welke van de schattingen van opdracht d en e volgens jou het betrouwbaarst is. I

 § 1.5

88 Gegeven is de formule y = 0,5x 3 − 4x 2 T1

a Maak met je grafische rekenmachine een tabel met stapgrootte 2. Neem vervolgens onderstaande tabel over en vul hem in.

x 4 2 0 2 4 y

b Plot de grafiek van de formule en maak een schets.

89 In een bak zit heet water dat afkoelt. Je kunt de temperatuur van het water benaderen met de formule T = 667 0,22t + 23. Hierin is T de temperatuur in °C en t de tijd in minuten na 8.00 u. T2

a Hoe warm is het water volgens de formule om 8.00 u? En om 9.30 u? Rond af op hele graden.

b Plot de grafiek van de formule. Maak ook een schets.

c Zodra de temperatuur tot 12 °C is gedaald, wordt automatisch een verwarmingselement ingeschakeld waardoor het water weer opwarmt. Hoe laat is dit volgens de formule het geval?

 Hoofdstuk 1

90 Een bacteriecultuur bestaat op t = 0 uit

200 000 bacteriën. Het aantal bacteriën na t dagen wordt bij benadering gegeven door de formule B = 2 (1 + 2t)3 . T2

a In welke eenheid is B uitgedrukt?

b Bereken het aantal bacteriën na drie uur.

c Laat met de formule zien dat het aantal bacteriën na 4,5 dagen verduizendvoudigd is.

d Met hoeveel procent neemt het aantal bacteriën op de tweede dag toe volgens de formule?

91 In een enquête over angsten voor dieren werden spinnen twee keer zo vaak genoemd als slangen, slangen twee keer zo vaak als wespen en wespen twee keer zo vaak als muizen. 18% van de ondervraagde personen noemde een ander dier. Bereken voor elk van de vier genoemde dieren hoeveel procent van de ondervraagden dit dier noemde. I

Extra opdrachten

 § 1.1

92 Rond steeds op de juiste manier af. T1

a Hoeveel afleveringen van drie kwartier passen er op een dvd met een capaciteit van vijf uur?

b Hoeveel dozen van 16 kg mag je in een kast met een capaciteit van 200 kg zetten?

c Hoeveel wagons met 84 zitplaatsen zijn er nodig om 400 mensen zittend te kunnen vervoeren?

93 Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie. T1

a 240 000 c 5 600 000 000

b 0,000 041 d 0,000 000 070 8

94 Op een pak kroepoek van 120 g staat de volgende tabel.

voedingswaarde

portie (… g)

 § 1.2

95 Bij de tekenles wil een leerling blauwgrijze verf maken door verschillende kleuren verf te mengen in de verhouding blauw : wit : zwart = 5 : 3 : 2. Voor haar project mengt ze 1 L verf. Hoeveel mL verf heeft ze van elke kleur nodig? T1

96 Op een grote school zitten 874 leerlingen in de bovenbouw havo/vwo. Op het vwo hebben op elke tien leerlingen er vier wiskunde A gekozen. Op de havo zijn dit er elf voor elke negentien leerlingen. Op deze school is de verhouding tussen het aantal leerlingen op de havo en op het vwo 13 : 10. Bereken hoeveel leerlingen wiskunde A hebben gekozen. T2

De fabrikant wil niet meer dan 0,35 g zout per portie hanteren. Adviseer een geschikte portiegrootte en vul de tabel verder in. Zorg dat de verpakking een geheel aantal porties bevat. T2

 § 1.3

97 De eerste SIM-kaarten waren zo groot als bankpassen. Hieronder zie je hoe de SIM-kaarten in de loop van de tijd steeds kleiner zijn geworden. De afmetingen zijn gegeven in millimeters.

Bereken bij alle drie de stappen naar een kleinere kaart met hoeveel procent de oppervlakte is afgenomen ten opzichte van de vorige kaart. Neem aan dat de kaarten rechthoeken zijn met de gegeven afmetingen. T1

98 In 2020, tijdens de coronapandemie, adviseerde de overheid om te betalen door contactloos te pinnen, in plaats van met contant geld. In 2019 was 33% van alle betalingen in Nederland contant. In 2021 was dit percentage afgenomen naar 23%. T2

a Met hoeveel procent is het percentage contante betalingen afgenomen?

b In 2021 zijn in totaal 16% minder betalingen gedaan dan in 2019. Ga na of er in 2021 meer of minder pinbetalingen waren dan in 2019.

99 Het batterijgebruik van een smartphone wordt voor ongeveer 55% besteed aan het scherm. De overige 45% wordt besteed aan de processor, internet, telefonie, enzovoort. Een app die het scherm op een donkere stand zet, halveert het batterijgebruik voor het scherm. Met welk percentage neemt de batterijduur toe bij gebruik van deze app? I

101 In de tabel hieronder staat de gemeten buitentemperatuur gedurende een ochtend.

tijd 7.00 8.30 10.00 12.00

temperatuur (°C) 8 11 17 22

a Schat de temperatuur om 9.00 u door lineair te interpoleren. T1

b Schat hoe laat in de ochtend de temperatuur 19 °C was door lineair te interpoleren. T2

c Waarom is het niet zinvol om de temperatuur om 17.00 u te schatten door te extrapoleren? I

 § 1.5

102 Een machine produceert schroeven. De kosten hangen af van het aantal per dag geproduceerde schroeven. Je kunt de kosten berekenen met de formule

 § 1.4

100 In de tabel hieronder staat het aantal km spoor in Nederland tussen 2005 en 2020. De waarde voor 2015 is weggelaten. T1

jaar 2005 2010 2015 2020 spoorlengte (km) 2810 3013 3041

a Teken een grafiek bij deze tabel. Teken een vloeiende kromme door de punten.

b Schat met behulp van de grafiek de spoorlengte in 2015. Teken dit punt in je grafiek.

c Schat deze spoorlengte ook door lineair te interpoleren. Teken dit punt in je grafiek.

K = 0,05q 3 + q 2 + 200. Hierin zijn K de kosten in euro’s en is q het aantal per dag geproduceerde schroeven in duizendtallen. De machine kan maximaal 26 000 schroeven per dag maken. De schroeven worden voor 5 cent per stuk verkocht. De winst bereken je door de kosten van de opbrengst af te trekken. T2

a Plot de grafieken van de opbrengst, de kosten en de winst in hetzelfde venster en maak een schets.

b Als er te weinig of te veel schroeven worden geproduceerd, is de productie verliesgevend. Bij welke aantallen is de productie winstgevend? Geef je antwoord in duizendtallen nauwkeurig.

 Hoofdstuk 1

103 Een toets bestaat uit 80 meerkeuzevragen, waarvan 30 over taal, 30 over rekenen en 20 over topografie. Je kunt het cijfer C berekenen met de formule

C = aantal vragen goed 80 9 + 1

Het cijfer wordt afgerond op één decimaal. T1

a Laat met de formule zien dat het cijfer minimaal een 1 is en maximaal een 10.

b Een leerling heeft 5 6 deel van de vragen over taal goed, 9 10 deel van de vragen over rekenen en 3 5 deel van de vragen over topografie. Bereken het cijfer van deze leerling.

c Een andere leerling heeft eerst de vragen over taal en rekenen gemaakt. Daarvan heeft ze er 72% goed. Later moet ze nog de vragen over topografie maken. Wat is het hoogste cijfer dat ze nog kan halen? En het laagste?

104 In de tabel hieronder staat het aantal personen met Nederlands als moedertaal in Nederland, België, Suriname en de Caraïben. T1

land aantal personen

Nederland 1,7 107

België 6,5 106

Suriname 4,0 105

Caraïben 2,2 104

a De aantallen in de tabel zijn afgerond. Wat is het kleinst mogelijke totale aantal personen in deze landen met Nederlands als moedertaal? En het grootst mogelijke totale aantal?

b Neem voor deze opdracht aan dat de aantallen in de tabel niet afgerond zijn. Vul in: van de landen die in de tabel staan met Nederlands als moedertaal woont 1 op de personen in de Caraïben.

105 De Amen break is een drumsolo uit het muzieknummer Amen, Brother uit 1969. Het is de meest gesamplede drumsolo uit de popgeschiedenis. De Amen break duurt 7,1 seconden en bestaat uit vier vierkwartsmaten. Een vierkwartsmaat bestaat uit vier tellen.

a Het tempo van muziek wordt gemeten in tellen per minuut (beats per minute, bpm). Bereken het tempo van de Amen break Rond af op één decimaal. T2

b Een beginnende drummer oefent de Amen break op 70% van de snelheid. Hoeveel bpm is het tempo, en hoelang duurt elke maat? Rond af op één decimaal. T2

c Het nummer Amen, Brother duurt 2:36 en bestaat geheel uit vierkwartsmaten. Hoeveel zijn dit er? Neem hierbij aan dat het tempo gedurende het hele nummer gelijk blijft. Rond af op een geheel getal. I

106 De slankheid λ (‘lambda’) van een vliegtuig is de verhouding tussen de spanwijdte b en

de koorde c van de vleugels: λ = b c T2

spanwijdte

koorde c b

a Wat is de slankheid van het hierboven afgebeelde vliegtuig?

b Een vliegtuig heeft een slankheid van 9,5. De koorde van de vleugels is 120 cm. Wat is de spanwijdte van dit vliegtuig?

c Twee vliegtuigen hebben dezelfde spanwijdte, maar de vleugels van het ene vliegtuig hebben een 30% kleinere koorde dan de vleugels van het andere vliegtuig. Hoeveel procent groter is de slankheid?

107 Vietnam heeft tussen 1985 en 2015 een grote economische ontwikkeling doorgemaakt. In de tabel hieronder staat het bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking van Vietnam in Amerikaanse dollars.

jaar 1985 1995 2005 2015

bbp/hoofd ($) 596 906 1570 2595

a Met hoeveel procent is het bbp per hoofd van de bevolking van Vietnam toegenomen tussen 1985 en 2015? T1

b Schat het bbp per hoofd van de bevolking van Vietnam in 2001 en in 2019 door lineair te interpoleren en lineair te extrapoleren. T1

c Schat het bbp per hoofd van de bevolking van Vietnam in deze twee jaren ook door een grafiek te tekenen bij de tabel. T1

d In 2001 geeft lineair interpoleren een hogere schatting dan interpoleren met de grafiek. In 2019 is dat andersom. Geef hiervoor een verklaring. I

108 Een bedrijf loost continu met chloride verontreinigd water in een rivier.

Een chemicus van het bedrijf heeft na metingen bepaald dat de concentratie C van chloride (in mg/L) stroomafwaarts in de rivier benaderd kan worden met de formule:

C = 80 + 1248

20d + 4

Hierin is d de afstand tot de fabriek in km.

a Hoe groot is de concentratie van chloride stroomafwaarts vlak bij het loospunt van de fabriek? T2

b Hoe groot is de concentratie chloride op 500 m stroomafwaarts van de fabriek? T2

c Met hoeveel procent neemt de concentratie chloride in de eerste 3 km stroomafwaarts af? T2

d Vanaf welke afstand stroomafwaarts is de concentratie chloride lager dan 250 mg/L? T2

e Hoe groot is de concentratie van chloride stroomopwaarts in het rivierwater? I

109 Homeopathische middelen worden gemaakt uit grondstoffen die uit planten, dieren of mineralen komen. Uit deze grondstoffen wordt eerst een basisstof gemaakt, de zogenoemde oertinctuur. Deze oertinctuur wordt vervolgens een aantal keren verdund om geschikt te maken voor gebruik. Daarvoor worden verschillende verdunningsreeksen gebruikt.

D-reeks verdunningen van 1 : 10

C-reeks verdunningen van 1 : 100

LM-reeks verdunningen van 1 : …

Om de verdunning aan te geven, voegt men aan de naam van het middel een letter en een getal toe. Zo bestaat bijvoorbeeld het middel Arnica D3. De toevoeging D3 geeft aan dat de oertinctuur Arnica driemaal een verdunning van 1 : 10 heeft ondergaan. Dit middel bestaat dus voor 1 1000 deel uit oertinctuur Arnica. T2

a Bereken welk deel van het homeopathische middel Sulphur C6 uit de oertinctuur Sulphur bestaat.

In de C-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99% minder wordt. In de LM-reeks is die afname 99,998%.

b Bereken welk getal er in de tabel op de puntjes moet komen te staan.

Iemand beweert dat de verdunning van de hoeveelheid oertinctuur in Arnica montana D12 overeenkomt met één druppel in 20 olympische zwembaden. Een druppel bevat ongeveer 0,05 mL en een olympisch zwembad is 50 bij 25 m en is 2 m diep.

c Laat zien dat de bewering klopt.

Naar examen havo wiskunde A 2019-I