índice ÍNDICE CAPITULO II CAPÍTULO Pag.
DE DE LOSLOS NÚMEROS REALES 1.1. SISTEMAS SISTEMAS NÚMEROS REALES
1
1.1.
Ampliando el Concepto de Número.
1
1.2.
Definición.
4
1.3.
Clasificación de los Números Decimales.
6
1.3.1. Número decimal exacto (decimales limitadas)
7
1.3.2. Número decimal inexacto
8
1.4.
Generatriz de un Número Decimal.
9
1.4.1. Generatriz de un Número Decimal Exacto
9
1.4.2. Generatriz de un Número Decimal Periódico Puro
10
1.4.3. Generatriz de un Número Decimal Periódico Mixto
11
1.5.
Representación Gráfica de los Números Irracionales.
13
1.6.
Conjunto de los Números Reales.
14
1.7.
Representación de los Números Reales en la Recta Numérica.
15
1.8.
Aproximación y Redondeo.
17
1.9.
Comparación de Números Reales.
19
1.10. Operaciones con Números Reales.
20
1.10.1. Adición de Números Reales
20
1.10.2. Sustracción de Números Reales
23
1.10.3. Operaciones combinadas de adición y sustracción
24
1.10.4. Valor Absoluto
25
1.10.5. Multiplicación de los Números Reales
27
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MATEMÁTICA 2
1.10.6. División de dos Números Reales
31
1.10.7. Potenciación de Números Reales
35
1.10.8. Teoría de los Signos
35
1.10.9. Propiedades de la Potenciación de Números Reales
35
1.10.10. Radicación de Números Reales
40
1.10.11. Propiedades de la Radicación de Números Reales
41
1.10.12. Operaciones con radicales
48
1.10.13. Racionalización
53
1.10.14. Radicales Dobles
57
1.10.15. Transformación de radicales dobles a radicales simples
57
1.11. Ejercicios Desarrollados.
62
1.12. Ejercicios Propuestos.
102
1.13. Respuestas.
127
1.14. Proporcionalidad Numérica
128
1.14.1. Introducción.
128
1.14.2. Razón.
128
1.14.3. Proporciones
129
1.14.4. Serie de Razones Iguales
139
1.14.5. Magnitudes Proporcionales
140
1.15. Regla de Reparto Proporcional.
142
1.15.1. Reparto Proporcional Directo.
142
1.15.2. Reparto Proporcional Inverso.
145
1.16. Regla de Tres Simples y Compuesto
147
1.16.1. Regla de Tres
147
1.16.2. Regla de Tres Simple Directa
148
1.16.3. Regla de Tres Simple Inversa
148
1.16.4. Regla de Tres Compuesta
152
1.17. Tanto por Ciento o Porcentaje.
153
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1.17.1. Introducción Histórica
153
1.17.2. Expresar un porcentaje como fracción
154
1.17.3. Expresar una fracción como porcentaje
155
1.17.4. Regla del Tanto por Ciento
156
1.17.5. Tanto por Ciento de un Número
156
1.17.6. Tanto por Ciento del Tanto por Ciento
158
1.17.7. Operaciones con Porcentajes
158
1.18. Regla de Interés.
159
1.18.1. Interés
159
1.18.2. Elementos
159
1.18.3. Clases de Intereses
161
1.19. Mezcla y Aleación.
164
1.19.1. Mezcla
164
1.19.2. Objetivos
164
1.19.3. Mezcla Alcohólica
167
1.19.4. Aleación
168
1.19.5. Ley de Aleación
168
1.20. Ejercicios Desarrollados.
169
1.21. Ejercicios Propuestos.
203
1.22. Respuesta.
236
CAPITULO II II CAPÍTULO 2. EXPRESIONESALGEBRAICAS ALGEBRAICAS 2. EXPRESIONES
237
2.1.
237
Conceptos Básicos.
2.1.1. Definición
237
2.1.2. Objetivos
237
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MATEMÁTICA 2
2.1.3. Utilidad
237
2.1.4. Símbolos que se utilizan en el álgebra
237
2.1.5. Signos utilizados en el álgebra
237
2.2.
Expresión Algebraica.
239
2.3.
Expresiones no algebraicas.
239
2.4.
Término o Monomio Algebraico.
240
2.5.
Partes de un Término Algebraico.
240
2.6.
Valor Numérico de una Expresión Algebraica.
240
2.7.
Clasificación de las Expresiones Algebraicas.
241
2.8.
Expresiones Algebraicas Racionales.
241
2.9.
Expresiones Algebraicas Irracionales.
241
2.10. Expresiones Algebraicas Racionales Enteros.
242
2.11. Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias.
242
2.12. Términos Semejantes.
243
2.13. Uso de los Signos de Agrupación.
244
2.14. Regla para Suprimir Signos de Agrupación.
244
2.15. Regla para Introducir Signos de Agrupación.
244
2.16. Reducción de Términos Semejantes.
245
2.17. Grado de las Expresiones Algebraicas.
247
2.17.1. Grado
247
2.17.2. Grado Absoluto
247
2.17.3. Grado Relativo
247
2.17.4. Monomios
247
2.17.5. Polinomio
248
2.18. Polinomios Especiales.
249
2.19. Ejercicios Desarrollados.
252
2.20. Ejercicios Propuestos.
273
2.21. Respuestas.
288
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2.22. Operaciones con Polinomios
289
2.22.1. Suma o Adición de Polinomios.
289
2.22.2. Resta o Sustracción de Polinomios.
292
2.22.3. Propiedad de la Suma y Resta.
294
2.22.4. Suma y Resta Combinadas de Polinomio.
295
2.22.5. Multiplicación de Polinomios.
296
2.22.6. División de Polinomios.
304
2.22.7. Divisibilidad Polinómica.
327
2.22.8. Ejercicios Desarrollados.
330
2.22.9. Ejercicios Propuestos.
357
2.22.10. Respuestas.
373
2.23. Productos y Cocientes Notables
374
2.23.1. Productos Notables.
374
2.23.2. Cocientes Notables.
384
2.23.3. Ejercicios Desarrollados.
392
2.23.4. Ejercicios Propuestos.
415
2.23.5. Respuestas.
424
2.24. Factorización
425
2.24.1. Definición.
425
2.24.2. Polinomio Sobre un Campo Numérico.
426
2.24.3. Factor de un Polinomio.
427
2.24.4. Polinomio Irreducible sobre un Campo Numérico (Polinomio Primo)
428
2.24.5. Factor Primo en el Campo Racional.
428
2.24.6. Conteo de Factores Primos.
429
2.24.7. Números de Factores Totales.
429
2.24.8. Número de Factores Algébricos o Divisores Algébricos.
430
2.24.9. Criterios de Factorización.
430
2.24.10. Ejercicios Desarrollados.
462
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MATEMÁTICA 2
2.24.11. Ejercicios propuestos.
485
2.25. Máximo Común Divisor (M.C.D.) y Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y Fracciones
494
2.25.1. Factor de un Polinomio.
494
2.25.2. Factor Común de Dos o Más Polinomios.
494
2.25.3. Máximo Común Divisor (M.C.D.).
495
2.25.4. Máximo Común Múltiplo (M.C.M.).
496
2.25.5. Propiedades del M.C.D. y M.C.M.
497
2.25.6. Cálculo del M.C.D. de dos Polinomios por Divisores Sucesivas.
498
2.25.7. Expresiones Algebraicas.
500
2.25.8. Operaciones con Fracciones.
504
2.25.9. Ejercicios Desarrollados.
509
2.25.10. Ejercicios Propuestos.
528
2.25.11. Respuestas.
537
CAPITULO III CAPÍTULO III 3.3.FIGURAS FIGURAS Y Y ÁNGULOS ÁNGULOS
538
3.1.
Figuras Derivadas de Patrones Geométricos.
538
3.2.
Línea Recta.
545
3.2.1. Partes de la Línea Recta
545
3.3.
546
Ángulos.
3.3.1. Medida de un Ángulo
546
3.3.2. Bisectriz de un Ángulo
547
3.3.3. Clasificación de los Ángulos
547
3.3.4. Definiciones
551
3.4.
552
Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano.
3.4.1. Rectas Oblicuas MATEMÁTICA 2
552 www.edukperu.com
3.4.2. Rectas Perpendiculares
552
3.4.3. Rectas Paralelas
553
3.4.4. Corolario (sobre rectas paralelas y perpendiculares)
553
3.5.
554
Triángulos.
3.5.1. Definición
554
3.5.2. Elementos de un Triángulo
555
3.5.3. Clasificación de los Triángulos
555
3.5.4. Propiedades, fundamentales sobre triángulos
558
3.5.5. Líneas notables asociadas al triángulo
559
3.6.
Ejercicios Desarrollados.
561
3.7.
Ejercicios Propuestos.
583
3.8.
Respuestas.
594
CAPITULO IV IV CAPÍTULO DEL ESPACIO: NOCIONES BÁSICOS 4. 4. GEOMETRÍA GEOMETRÍA DEL ESPACIO: NOCIONES BÁSICOS 595 4.1.
Punto en el Espacio.
596
4.2.
Línea Recta.
596
4.3.
Idea y Representación Geométrica de un Plano.
597
4.4.
Determinación de un Plano.
597
4.5.
Posición Relativas entre dos Planos.
598
4.6.
Posiciones Relativa entre una Recta y un Plano.
600
4.7.
Posiciones Relativas entre dos Rectas.
601
4.8.
Figuras Convexas.
601
4.9.
Figura no Convexas.
603
4.10. Ángulos Determinados por Dos Rectas en el Espacio.
603
4.11. Ángulos en el Espacio.
604
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MATEMÁTICA 2
4.11.1. Ángulo Diedro
604
4.11.2. Medida de un Ángulo Diedro
605
4.11.3. Clasificación de los Ángulos Diedros
606
4.12. Ejercicios Propuestos.
607
CAPÍTULO V CAPÍTULO V UNIDADES DE AREA Y VOLUMEN 5. 5. MEDIDA: MEDIDA: UNIDADES DE AREA Y VOLUMEN
609
5.1.
La Unidad de Área.
609
5.2.
La Unidad de Volumen.
610
5.3.
Cubo.
612
5.4.
Prisma.
614
5.5.
Clases de Prismas.
615
5.6.
Pirámide.
615
5.7.
Ejercicios Propuestos.
618
CAPITULO VI CAPÍTULO VI ESTADÍSTICA Y Y PROBABILIDADES PROBABILIDADES 6. 6. ESTADÍSTICA
620
6.1.
Introducción.
620
6.2.
Estadística.
620
6.3.
Manejo de Datos.
621
6.4.
Promedio Aritmético o Media Aritmética (M.A.)
622
6.5.
Promedio Ponderado (P.P.)
623
6.6.
Tablas de Frecuencia: Conceptos Básicos.
624
6.6.1. Población MATEMÁTICA 2
624 www.edukperu.com
6.6.2. Muestra
624
6.6.3. Variable Estadística
626
6.6.4. Frecuencia
626
6.6.5. Frecuencia Absoluta
626
6.6.6. Frecuencia Relativa
626
6.6.7. Frecuencia Absoluta Acumulada
626
6.6.8. Frecuencia Relativa Acumulada
627
6.6.9. Rango de la muestra (R)
627
6.7.
Gráficas o Diagramas.
629
6.8.
Probabilidades.
633
6.8.1. Introducción
633
6.8.2. Experimento aleatorio
633
6.8.3. Experimento determinista
634
6.8.4. Suceso o evento
634
6.8.5. Espacio muestral
634
6.8.6. Probabilidad de un evento
635
6.9.
635
Ejercicios Desarrollados.
6.10. Ejercicios Propuestos.
643
Bibliografía.
649
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MATEMÁTICA 2
186
186
25 25
Eduardo Espinoza Ramos
Sistema de Números reales
Eduardo Espinoza Ramos
En un salón de clase, antes del recreo el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es
7 . Hallar cuántas mujeres habían antes del recreo. 4
a) 16
b) 20
c) 18
d) 14
e) 12
Desarrollo Desarrollo Sean
H = el número de hombres M = el número de mujeres
De los datos del problema tenemos:
H 9 M = 5 H −8 = 7 M − 4 4
... (1) antes del recreo ... (2) después del recreo
de (1) se tiene H =
9 M −8 7 5 = M −4 4
⇒
9M 5
que reemplazamos en (2)
9 M − 40 7 de donde = 5M − 20 4
4(9M – 40) = 7(5M – 20) ⇒ 26 26
⇒
36M – 160 = 35M – 140
M = 20
la respuesta es
b
Sabiendo que el producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 256 y que uno de sus términos extremos es 8. Hallar la suma de los cuatro términos. a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 2
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Proporcionalidad Numérica Eduardo Espinoza Ramos
Sistema de Números reales
187
187
Como la razón es una proporción geométrica continua entonces:
a b = de donde a.c = b 2 b c Además de la condición del problema: De donde a.c.b 2 = 256 ⇒ Luego
a 4 = 4 8
Por lo tanto:
entonces
b 2 b 2 = 256 ⇒
b 4 = 256 = 44
⇒
b=4
a=2
a + b + b + c = 2 + 4 + 4 + 8 = 18.
La respuesta es 27 27
a.b.b.c = 256
c
La suma de tres números que guardan entre sí la relación de los números 3; 5 y 7 es igual a 120 ¿Cuáles son esos números? a) 24; 50 y 56
b) 16; 20 y 84
d) 36; 44 y 40
e) 30; 50 y 40
c) 28; 46 y 74
Desarrollo Desarrollo Sean a, b y c los tres números buscados De las condiciones del problema se tiene:
a b c = = 3 5 7 a + b + c = 120
... (1) ... (2)
A la expresión (1) aplicamos la propiedad de proporciones
a b c = = 3 5 7 www.edukperu.com
⇒
a+b+c a b c de donde = = = 3+5+ 7 3 5 7 MATEMÁTICA 2
188
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Eduardo Espinoza Ramos
Sistema de Números reales
120 a 15 = 3 120 b = 15 5 120 c 15 = 7
Eduardo Espinoza Ramos
a = 24 entonces b = 40 c = 56
por lo tanto la respuesta es 28 28
a
2 9 se convierta en puede agregarse, tanto al 3 15 numerador como al denominador. Para que la fracción
a) 1
b) 6
c) -3
d) 3
e) no es posible
(Admisión 1983 – Universidad Nacional de Trujillo)
Desarrollo Desarrollo Sea “a” la cantidad que debe agregarse al numerador y denominador, es decir:
9+a 2 de donde 3(9 + a) = 2(15 + a) = 15 + a 3 27 + 3a = 30 + 2a
⇒ 3a – 2a = 30 – 27
por lo tanto la respuesta es
29 29
⇒
a=3
d
Dividir 3024 en partes proporcionales a 3 números de manera que la primera y segunda estén en la relación de 3 a 4, y la segunda y la tercera en la relación de 5 a 7, dar como respuesta el mayor número obtenido. a) 1344
b) 960
c) 1486
d) 1538
e) 1646
Desarrollo Desarrollo Sean a, b y c los números buscados MATEMÁTICA 2
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Proporcionalidad Numérica Eduardo Espinoza Ramos
Sistema de Números reales
189
189
Como 3024 se va a repartir entre a, b y c entonces: ... (1)
a + b + c = 3024 de los datos del problema se tiene:
a 3 b 5 a b de donde = y = = b 4 c 7 3 4
y b=
5c 7
a b 5c 1 , multiplicando por se tiene: = = 3 4 28 5 a b c a+b+c 3024 = = = = = 48 15 20 28 15 + 20 + 28 63
a = 48 15 b luego = 48 20 c = 48 28
entonces
a = 48.15 = 720 b = 48.20 = 960 c = 48.28 = 1344
como el mayor número es 1344 la respuesta es 30 30
a
En una proporción aritmética, la suma de los términos extremos es igual a 52, sabiendo que los términos medios se diferencian en 16 unidades, hallar el mayor de los medios. a) 18
b) 22
c) 24
d) 28
Desarrollo Desarrollo Tomemos la proporción aritmética:
e) 34
Son los extremos
a–b=c–d Son los medios
De donde se tiene: www.edukperu.com
a+d=b+c
... (1) MATEMÁTICA 2
190
190
Eduardo Espinoza Ramos
Sistema de Números reales
Eduardo Espinoza Ramos
Por datos del problema se tiene:
a + d = 52 b − c = 16
... (2)
b + c = 52 al reemplazar (2) en (1) se tiene: sumando b − c = 16 2b = 68 además
b – c = 16
34 – c = 16
⇒
⇒
de donde b = 34
c = 34 – 16 = 18
como los medio son c = 18 y b = 34 el mayor es b = 34, la respuesta es 31 31
e
Un padre reparte 840 soles en partes directamente proporcionales a las edades de sus tres hijos, siendo esto 6; 5 y 10 años ¿Cuánto correspondrá a cada uno? a) S/ 240; S/ 200; S/ 400
b) S/ 280; S/ 300; S/ 260
c) S/ 260; S/ 220; S/360
d) S/ 300; S/ 260; S/ 280
e) S/ 320; S/ 250; S/ 270
Desarrollo Desarrollo Sean a, b y c las partes que el padre repartió De los datos del problema se tiene:
a b c = = 6 5 10
a + b + c = 840
... (1) ... (2)
aplicando la propiedad de la serie de razones iguales:
a b c a+b+c = = = 6 5 10 6 + 5 + 10
... (3)
ahora reemplazamos (2) en (3) se tiene: MATEMÁTICA 2
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Proporcionalidad Numérica Eduardo Espinoza Ramos
Sistema de Números reales
191
191
a b c 840 840 = = = = = 40 , de donde 6 5 10 6 + 5 + 10 21
a = 40 6 b = 40 5 c = 40 10
a = 40.6 = 240 b = 40.5 = 200 c = 40.10 = 400
entonces
como a cada hijo le corresponde S/ 240; S/ 200 y S/ 400 por lo tanto la respuesta es 32 32
a
En una proporción geométrica continua de términos positivos la suma de los extremos es 40 y la diferencia de los mismo es 24. Hallar la media proporcional. a) 12
b) 9
c) 10
d) 15
e) 16
Desarrollo Desarrollo
a b = b c
es la proporción geométrica continua
a + c = 40 sumando a − c = 24
de los datos del problema se tiene:
2a = 64 de donde a = como a + c = 40
a b = b c
⇒
32 + c 0 40
⇒
64 = 32 2
⇒
a = 32
c=8
⇒ b 2 = a.c ⇒ b = ac es la media proporcional
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MATEMÁTICA 2
192
192
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Sistema de Números reales
Eduardo Espinoza Ramos
Luego b = a.c = 32.8 = 256 = 16 e
Por lo tanto la respuesta es 33 33
Las edades de Juan y María es como 8 a 5 y hace 19 años estuvieron en la relación de 7 a 2 ¿En qué año la relación de sus edades será como 4 es a 3? a) 2025
b) 2022
c) 2020
d) 2030
e) 2010
Desarrollo Desarrollo Sean J = edad de Juan
;
M = edad de María
J 8 = M 5
De los datos del problema se tiene:
J − 19 7 = M − 19 2 de (1)
J 8 entonces = M 5
de (2)
J − 19 7 entonces 2(J – 19) = 7(M – 19) = M − 19 2
J=
8M 5
... (1)
... (2)
... (3)
2J – 7M = -95
... (4)
reemplazando (3) en (4), obteniéndose
2(
8M ) − 7 M = −95 entonces 5
19M = 475
J=
⇒
M =
475 = 25 19
8M 8 = (25) = 8(5) = 40 5 5
MATEMÁTICA 2
16M – 35M = -475
⇒
⇒
M = 25
J = 40 www.edukperu.com
286
286
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Expresiones Algebraicas
a) 1
b)
15 28
Eduardo Espinoza Ramos
c)
28 15
d)
13 28
e)
15 13
(Concurso de matemática, eliminatorias provincias) 85 85
En el polinomio: P ( x) = mx 2 + mx + 2 , se verifica que: calcular m + 1. a) 8
86 86
Si P (
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
ax + b a ) = x , calcular P(2).P(3).P(4)...P(10) ax − b b
a) 5
87 87
P(1) = 3 P(-1),
b) 25
c) 55
d) 35
e) 45
Sean los polinomio P(x) y Q(x) tal que P(x + 3) = 3x – 5 y P(Q(x)) = 6x + 4, calcular P(-1) + Q(1) a) -17
88 88
c) -9
d) 7
e) 13
Si P ( x 2 + x, y 2 − y ) = x 2 ( x + 1) + xy ( x + 1)( y − 1) − y 2 ( y − 1) 2 ; Calcular P (2, 2) a)
89 89
b) -10
2
b) 2 + 2
c) 2 − 2
d) 2 + 2 2
e) 1
En el polinomio P ( x) = 3 x 2 − 2nx + 1 , si la suma de coeficientes es 2, hallar el valor de P(-1). a) 2
90 90
c) 6
d) 8
e) 10
Si el polinomio P ( x) = 3 x + 2 − (a + 2) x 2 es mónico, calcular P(a). a) 1
91 91
b) 4
b) 2
c) 3
d) 5
e) 7
Si P ( x) = x3 , P (Q( x)) = x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 , hallar Q(5) a) 3
MATEMÁTICA 2
b) 6
c) 9
d) 12
e) 13 www.edukperu.com
Expresiones Algebraicas Eduardo Espinoza Ramos 92 92
b) 15
Si
el
d) 2
e) 27
b) -12 polinomio
c) -6
d) 12
P( x, y ) = bx a +1 y 3b −12 − (a + 2) x a −1 y b + x3a
e) 14 es homogéneo,
hallar P(1,-1) a) -1
95 95
c) 19
Sea P(x – 8) = 25x + 39 y P(F(x)) = 64x + 7, calcular F(-2). a) -14
94 94
287 287
Si: P(x + 3) = 3x – 4; además P(F(x)) = 15x + 8, calcular F(4) a) 12
93 93
Expresiones Algebraicas
b) 1
c) 0
d) 2
e) -2
En el polinomio P ( x) = 4 x 2 + 5 x + 3n + 1 , si su término independiente es 7, el valor de P(n) es: a) 13
96 96
b) 78
d) 43 donde
c) 87
e) 53
f(x – 2) = 2x + 4;
d) 93
e) 99
x2 4 x2 + 1 1 1 + 2x Dado P( ) = , F( calcular F(P(1)) = ) x x x2 + 1 1 + x2 a) 2
98 98
c) 33
Si H(x – 1) = f(x) + g(x) g ( x + 2) = 3 x 2 + 6 x + 1 . Hallar H(5) a) 62
97 97
b) 23
b) 5
c) 7
d) 10
e) 13
Dado la expresión: P(x) tal que: P(x) = P(x – 1) + P(x – 2), además P(1) = 3, P(2) = 4, calcular P(P(P(0))). a) 7
99 99
b) 4
c) 3
d) 1
e) 14
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios que cumplen P(P(x)) = Q(x), además Q(P(x)) = 8x + 14, calcular P(1) + Q(-1). a) 8
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b) 6
c) 4
d) 2
e) 1 MATEMÁTICA 2
288 288 288
Eduardo Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo Espinoza Ramos
Expresiones Algebraicas
100 100 . Hallar . Hallar el el valor valor dede “a” “a” − x(−) + x)P+(P −2(−x2) + x)P+(P −3(−x3) x=) 72 = 72 a 3a +x315 +x15 x)( x=) ax = 3ax+35+ 5y yP(P 100 Si SiP(P a)a)-2-2
b)b)2 2
c)c)4 4
d)d)8 8
e)e)7 7
2.11. respuestas.2.21.RESPUESTAS.2.21.RESPUESTAS.11 dd 22 dd 33 dd
44
c c 55 bb 66 aa 77 c c 88 bb
9 9 d d 1010 a a 1111 b b 1212 a a 1313 b b 1414 e e 1515 c c 1616 d d 1717 e e 1818 e e 1919 b b 2020 a a 2121 b b 2222 d d 2323 c c 2424 c c 2525 c c 2626 b b 2727 d d 2828 b b 2929 d d 3030 b b 3131 e e 3232 d d 3333 c c 3434 c c 3535 c c 3636 c c 3737 c c 3838 d d 3939 c c 4040 b b 4141 d d 4242 a a 4343 b b 4444 c c 4545 b b 4646 d d 4747 b b 4848 d d 4949 e e 5050 a a 5151 b b 5252 b b 5353 c c 5454 c c 5555 c c 5656 a a 5757 b b 5858 c c 5959 d d 6060 a a 6161 c c 6262 b b 6363 c c 6464 b b 6565 d d 6666 c c 6767 e e 6868 d d 6969 c c 7070 b b 7171 b b 7272 d d 7373 b b 7474 c c 7575 a a 7676 b b 7777 b b 7878 d d 7979 b b 8080 a a 8181 c c 8282 d d 8383 c c 8484 b b 8585 c c 8686 c c 8787 c c 8888 d d 8989 c c 9090 b b 9191 b b 9292 e e 9393 a a 9494 c c 9595 c c 9696 d d 9797 d d 9898 a a 9999 b b 100 100 a a
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Operaciones con Polinomios Eduardo Espinoza Ramos
Operaciones con Polinomios
289 289
2.22.OPERACIONES OPERACIONES CON POLINOMIOS.2.22. CON POLINOMIOS.Las operaciones con polinomios son las transformaciones que se hacen para obtener otro polinomios equivalente cuando aquellas admiten algunas simplificación; mencionaremos las siguientes operaciones con polinomios. 2.22.1. SUMA DE DE POLINOMIOS.2.22.1. SUMAOOADICIÓN ADICIÓN POLINOMIOS.-
La suma o adición de polinomios es una operación que tiene por objeto reunir dos o más polinomios llamados sumatoria. En la suma de polinomios de acuerdo a su característica que se presentan, se tendrán los siguientes casos: 1er. CASO.- SUMA DE MONOMIOS.Para sumar dos polinomios que constan de un sólo término (suma de monomios) se escribe unos a continuación de otros, y a continuación se reducen términos que sean semejantes. Ejemplos.1) Dados los siguientes monomios:
+5 x 7 ; −6 x 7 ; +7 x 7 ; −2 x3 , efectuar la
suma de los mismos. Desarrollo Desarrollo Como los 4 monomios son términos semejantes sumamos los coeficientes y escribimos la misma parte literal, es decir:
(+5 x 7 ) + (−6 x 7 ) + (+7 x 7 ) + (−2 x 7 ) = 5 x 7 − 6 x 7 + 7 x 7 − 2 x 7 = (5 − 6 + 7 − 2) x 7 = 4 x 7 2) Dados los siguientes monomios: 5 x 2 y; 3 xy 2 ; x 2 y; 9 xy 2 y 7 y 3 , efectuar la suma de ellos. www.edukperu.com
MATEMÁTICA 2
290 290
Eduardo Espinoza Eduardo EspinozaRamos Ramos
Operaciones con Polinomios
Solución solución Agrupamos los términos semejantes y luego simplificamos
5 x 2 y + 3 xy 2 + x 2 y + 9 xy 2 + 7 y 3 = (5 x 2 y + x 2 y ) + (3 xy 2 + 9 xy 2 ) + 7 y 3 = (5 + 1) x 2 y + (3 + 9) xy 2 + 7 y 3 = 6 x 2 y + 12 xy 2 + 7 y 3 3) Efectuar la suma de los monomios que se muestran a continuación 5x; -6y; -13x; 8y; -3z y 8. Solución solución Agrupando términos semejantes y luego simplificamos 5x – 6y – 13x + 8y – 3z + 8 = (5x – 13x) + (-6y + 8y) – 3z + 8 2y – 3z + 8
= (5 – 13)x + (-6 + 8)y – 3z + 8 = -8x +
4) Efectuar la suma de los monomios que se muestran a continuación: −13x 2 y ; +2xy 3 ; −6xy 3 ; −4x 2 y Solución solución Agrupando términos semejantes y luego simplificamos
−13 x 2 y + 2 xy 3 − 6 xy 3 − 4 x 2 y = (−13x 2 y − 4 x 2 y ) + (2 xy 3 − 6 xy 3 ) = (−13 − 4) x 2 y + (2 − 6) xy 3 = −17 x 2 y − 4 xy 3 2do. CASO.- SUMA DE POLINOMIOS.Cuando los polinomios tienen más de un término; para sumar estos polinomios se escribe uno al costado del otro o también a los polinomios escribimos uno debajo del otro de tal manera que los términos semejantes queden en columna, luego se reducen los términos semejantes, separando unos de otros con sus propios signos. MATEMÁTICA 2
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Operaciones con Polinomios Eduardo Espinoza Ramos
Operaciones con Polinomios
291 291
Ejemplo.-Sumar: x – y; 2x + 3y – z; -4x + 5y
solución Solución La primera forma de sumar polinomios es escribiendo los polinomios uno al costado del otro con sus respectivos signos, luego se reduce términos semejantes, es decir: (x – y) + (2x + 3y – z) + (-4x + 5y) = x – y + 2x + y – z – 4x + 5y = (x + 2x – 4x) + (-y + 3y + 5y) – z = -x + 7y – z La segunda forma de sumar polinomios es escribiendo los polinomios uno debajo del otro cuidando que los términos semejantes queden en columna, para luego reducirlos, separándolos unos de otros con sus propios signos, es decir: x
- y
2x
+ 3y
- 4x
5y
-z sumando
-x + 7y
Rpta.
–z
Ejemplo.-Hallar la suma de: x 3 + xy 2 + y 3 , − 5 x 2 y + x 3 − y 3 , 2 x 3 − 4 xy 2 − 5 y 3
Desarrollo Desarrollo Escribiendo los polinomios uno debajo del otro.
+ xy 2
x3 x3
− 5x 2 y
− y3 − 4xy 2
2x 3
4 x 3 − 5x 2 y www.edukperu.com
+ y3
−
− 5y 3
3 xy 2 − 5 y 3
Rpta MATEMÁTICA 2
292
292
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Operaciones con Polinomios
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Ejemplo.-Hallar la suma de: x 4 − x 2 + x , x 3 − 4 x 2 + 5 , 7 x 2 − 4 x + 6 Desarrollo Desarrollo
Escribiendo los polinomios uno debajo del otro.
x4
− x2 x3
+x +5
− 4x 2 7x 2
-4x
+6
x 4 + x 3 + 2 x 2 − 3 x + 11
Rpta.
2.22.2. RESTA RESTA OOSUSTRACCIÓN DE DE POLINOMIOS.2.22.2. SUSTRACCIÓN POLINOMIOS.-
La resta o sustracción de dos polinomios llamados minuendo y sustraendo es la operación que consiste en hallar otro polinomio llamado diferencia. En la resta de polinomios de acuerdo a sus características que se presenta, se tendrán los siguientes casos: 1er. CASO.- RESTA DE MONOMIO.La resta de dos monomios es un tercer monomio, para realizar esta operación se utiliza los signos de colección o agrupación. Ejemplo.- Restar los monomios 4 x 2 y ; 5xy 2 Desarrollo Desarrollo
(4 x 2 y )
−
(5 xy 2 ) =
minuendo sustraendo
4 x 2 y − 5 xy 2 diferencia
Esta operación se efectúa escribiendo el minuendo con su propio signo y el sustraendo con signo cambiado, es decir: 4 x 2 y − 5 xy 2 como no hay términos semejantes no podemos reducir la expresión. Por lo tanto es el resultado buscado. MATEMÁTICA 2
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Operaciones con Polinomios Eduardo Espinoza Ramos
Operaciones con Polinomios
293 293
Ejemplo.- Restar los monomios − 3 x 3 y 2 ; − 5 x 3 y 2
Desarrollo Desarrollo Escribimos el minuendo con su propio signo y el sustraendo con el signo cambiado, es decir en la forma:
(−3 x3 y 2 ) − (−5 x3 y 2 ) = −3 x3 y 2 + 5 x3 y 2 , reduciendo términos semejantes = 2 x 3 y 2 que es el resultado final. NOTA.- En el caso de que el sustraendo sea negativo se acostumbra a encerrar dentro de paréntesis para distinguir el signo “-” de la resta de signo “−” del sustraendo, el signo “−” delante de un paréntesis nos indica que estamos efectuando una resta y por lo tanto debemos de cambiar el signo del sustraendo encerrado en el interior del paréntesis. Ejemplo.- Restar los monomios 7 x 2 y 3 ; − 8 x 2 y 3 Desarrollo Desarrollo Escribimos el minuendo con su propio signo y el sustraendo con el signo cambiado, es decir en la forma:
7 x 2 y 3 − (−8 x 2 y 3 ) = 7 x 2 y 3 + 8 x 2 y 3 , reduciendo términos semejantes = 15 x 2 y 3 que el resultado final 2do. CASO.- CASO RESTA DE POLINOMIOS.La resta de dos polinomios es otro polinomio llamado diferencia que se obtiene al sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo.- Restar las expresiones 3 x 2 + 4 x − 3 ; 2 x 2 − 3 x + 4
Desarrollo Desarrollo www.edukperu.com
MATEMÁTICA 2
294
294
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Operaciones con Polinomios
Eduardo Espinoza Ramos
Escribimos el minuendo con su propio signo y el sustraendo con el signo cambiado, es decir en la forma:
3x 2 + 4 x − 3 − (2 x 2 − 3x + 4) = 3x 2 + 4 x − 3 − 2 x 2 + 3 x − 4 , reduciendo términos
= x 2 + 7 x − 7 , que es el resultado final. NOTA.- Para restar en forma práctica daremos una regla general. REGLA GENERAL PARA RESTAR POLINOMIOS.Se acostumbra a escribir el sustraendo con los signos cambiados debajo del minuendo, de manera que los términos semejantes queden en la misma columna, y a continuación se procede a reducir los términos semejantes. Ejemplo.- Restar las expresiones 8 x 4 − 5 x 3 y + 3 x 2 y 2 ; 4 x 4 − 2 x 3 y + 5 x 2 y 2
Desarrollo Desarrollo Escribiremos el sustraendo con los signos cambiados debajo del minuendo, ordenándolos ambos en orden descendentes con respecto a la letra x, es decir en la forma:
8x 4
− 5x 3 y
+ 3x 2 y 2
− 4x 4
+ 2x 3 y
− 5x 2 y 2
4 x 4 − 3x 3 y − 2 x 2 y 2 final
que es el resultado
2.22.3. PROPIEDADES PROPIEDADES DEDE LALA SUMA Y RESTA.2.22.3. SUMA Y RESTA.-
1
Si se suman o restan polinomios de igual grado, no se puede predecir el grado del polinomio resultante. El máximo grado posible del polinomio resultante es igual al grado del polinomio.
MATEMÁTICA 2
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Figuras y Ángulos Eduardo Espinoza Ramos
28 28
Figuras y Ángulos
589 589
Si BD = BC, m ∠ ) (BDC) = 23° y m ∠ ) (DAB) = 55° ¿Cuánto mide el ángulo ADC? A B
b) 102°
d) 115°
e) 120°
c) 110°
C
D
29 29
a) 98°
En la figura mostrada: calcular α + β + γ
β
α 30 30
b) 1080°
d) 800°
e) 700°
a) 32°
b) 24°
d) 20°
e) 11°
a) 10°
b) 15°
d) 18°
e) 20°
c) 900°
γ
Calcular “x” si AB = BD = DC
63°
B
x
A
31 31
a) 1120°
c) 21°
C
D
Si AC = BC, calcular “α”
B α
A www.edukperu.com
30°
c) 12°
C MATEMÁTICA 2
Eduardo Ramos Eduardo Espinoza Espinoza Ramos
590 590
Figuras y Ángulos
32 32
Hallar “x” de la figura: 80° x 60°
33 33
50°
7θ
d) 100°
e) 120°
a) 24°
b) 18,5°
d) 20°
e) 30°
a) 50°
b) 80°
d) 75°
e) 60°
c) 110°
c) 22,5°
θ
Hallar “α”
α
α
α
α
α 35 35
b) 80°
Hallar “θ” de la figura:
2θ 34 34
a) 90°
c) 70°
α
Los ángulos exteriores de un triángulo miden (x + 20°), (3x + 10°), (2x + 30°), calcular “x”. a) 70°
36 36
b) 60°
c) 50°
d) 45°
e) 30°
Encontrar “x”, si AB = BC, BD = BE
MATEMÁTICA 2
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Figuras y Ángulos Eduardo Espinoza Ramos 38 38
581 591
Figuras y Ángulos
En la figura indicada: los ángulos a y b son proporcionales a 2 y 3 ¿Cuánto mide el ángulo ACM? B b
a) 142°
b) 152°
d) 148°
e) 158°
a
c) 162°
C
A
M
Desarrollo Desarrollo De las condiciones del problema se tiene:
a = 2x, b = 3x
Del gráfico se observa que: a + b = 180°, de donde 2x + 3x = 180° entonces 5x = 180°
∴ x=
180° = 36° 5
como a = 2x = 2(36°) = 72° ahora aplicamos la propiedad de ángulo exterior a un triángulo, es decir: m∠ ) (ACM) = 90° + a = 90° + 72° = 162° c
como m ∠ ) (ACM) = 162°, la respuesta es 39 39
Hallar “x” de la figura mostrada. a) 110°
b) 120°
d) 100°
e) 90°
110° 50°
c) 130°
60° x
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MATEMÁTICA 2
592 592
Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Eduardo Ramos
Figuras y Ángulos
B 54°
A
41 41
D
x
2β
2θ θ
a) 15°
b) 18°
d) 24°
e) 30°
a) 20°
b) 25°
d) 45°
e) 60°
c) 21°
β
C
Hallar “x” en la figura:
x α
c) 30°
θ
α
θ 150°
42 42
Según gráfico, calcular x: si BM = MA y BC = 2(AH) B x M
H
a) 15°
b) 30°
d) 60°
e) 75°
c) 45°
(Concurso Nacional de Matemática) A
43 43
Según el gráfico, calcule x + y si α + θ = 140°
80°
y
x θ
MATEMÁTICA 2
α
a) 200°
b) 220°
d) 250°
e) 280°
c) 240°
(Concurso Nacional eliminatoria)
primera
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Figuras y Espinoza Ángulos Ramos Eduardo 44 44
Figuras y Ángulos
593 593
En la figura AB = BC = FD y CD = DE, calcular x θ C
B 2θ
A
45 45
F x
a) 30°
b) 45°
d) 20°
e) 50°
a) 30°
b) 36°
d) 45°
e) 50°
c) 60°
E
C
Calcular “x”, si AB = BD = DC B x x
A
46 46
C
D
c) 40°
Si δ + θ = 200° y AM = MN = NB = BC; calcular “β” B
a) 20°
b) 35°
d) 60°
e) 32°
a) 20°
b) 35°
d) 15°
e) 30°
c) 45°
M β
A δ
47 47
C
N
θ
Calcular “x” B θθ
N L
C
x 2α
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55° M
c) 25°
4α A MATEMÁTICA 2