ÍNDICE índice CAPÍTULO CAPITULO II 1. 1. ECUACIONES ECUACIONESEEINECUACIONES INECUACIONES
1
1.1.
Igualdad Matemática
1
1.2.
Clasificación de las Igualdades
1
1.3.
Ecuación
2
1.4.
Solución o Raíz de una Ecuación
2
1.5.
Conjunto Solución de una Ecuación (C.S.)
2
1.6.
Clasificación de las Ecuaciones
3
1.7.
Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas
6
1.8.
Ecuaciones Irracionales
8
1.9.
Ecuaciones Fraccionarias
10
1.10.
Ecuaciones Trinómicas Bicuadradas
12
1.11.
Ecuaciones Recíprocas
14
1.12.
La Recta Real
15
1.13.
Desigualdades
16
1.14.
Axioma de la Relación de Orden
17
1.15.
Definición
17
1.16.
Propiedades de la Desigualdad de Números Reales
17
1.17.
Inecuaciones
18
1.18.
Inecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas en R
21
1.19.
Inecuaciones Polinómicas
29
1.20.
Inecuaciones Fraccionarias
33
1.21.
Inecuaciones Irracionales
35
1.22.
Valor Absoluto
38
1.23.
Ejercicios Desarrollados.
43
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MATEMÁTICA 3
1.24.
Ejercicios Propuestos.
102
1.25.
Respuestas.
123
CAPITULO II CAPÍTULO 2. 2. SISTEMAS SISTEMASDE DEECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES
124
2.1.
Definición
124
2.2.
Solución de Una Ecuación Lineal
124
2.3.
Definición
125
2.4.
Solución de un Sistema de Ecuaciones
126
2.5.
Clasificación de Sistemas de Ecuaciones
126
2.6.
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas
128
2.7.
Interpretación Geométrica de un Sistema de Dos Ecuaciones con Dos Incógnita
133
2.8.
Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales con Tres Incógnitas
135
2.9.
Sistemas Especiales de Ecuaciones
136
2.10.
Matrices
139
2.11.
Determinante de una Matriz
153
2.12.
Aplicaciones de las Matrices y Determinantes en la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
161
2.13.
Ejercicios Desarrollados.
167
2.14.
Ejercicios Propuestos.
215
2.15.
Respuestas.
238
CAPITULO III III CAPÍTULO 3. 3. NOCIONES NOCIONESBÁSICAS BÁSICAS DE DE GEOMETRÍA GEOMETRÍAPLANA PLANA
239
3.1.
Punto
239
3.2.
La Recta
239
3.3.
Plano
240
MATEMÁTICA 3
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3.4.
Postulados de la Recta
240
3.5.
Líneas
241
3.6.
Partes de la Línea Recta
241
3.7.
Longitud de un Segmento
242
3.8.
Punto Medio de un Segmento
242
3.9.
Puntos Sobre una Recta
243
3.10.
Operaciones con las Longitudes de Segmentos
243
3.11.
Conjuntos Convexos y No Convexos
247
3.12.
Particiones en el Plano
247
3.13.
Ángulos
250
3.14.
Triángulos
259
3.15.
Ejercicios Desarrollados.
273
3.16.
Ejercicios Propuestos.
301
3.17.
Respuestas.
319
CAPITULO IV IV CAPÍTULO 4. 4. CONGRUENCIA, CONGRUENCIA, PERPENDICULAR PERPENDICULAR Y Y PARALELISMO PARALELISMO
320
4.1.
Segmentos Congruentes
320
4.2.
Ángulos Congruentes
321
4.3.
Congruencia de Triángulos
321
4.4.
Triángulos Rectángulos Notables
327
4.5.
Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano
328
4.6.
Ángulos Formados por Dos Rectas al Ser Cortados Por Una Recta Secante
330
4.7.
Ángulos Formados por las Bisectrices de un Triángulo
335
4.8.
Propiedades Adicionales
338
4.9.
Ejercicios Desarrollados.
339
4.10.
Ejercicios Propuestos.
364
4.11.
Respuestas.
388
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MATEMÁTICA 3
CAPÍTULO CAPÍTULO V 5. 5. GEOMETRIA GEOMETRIADEL DELESPACIO: ESPACIO:NOCIONES NOCIONESBASICAS BASICAS
389
5.1.
Definición
389
5.2.
Punto
389
5.3.
La Recta
390
5.4.
El Plano
390
5.5.
Determinación de un plano
390
5.6.
Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio
391
5.7.
Proyección ortogonal de un punto y una recta sobre un plano
393
5.8.
Angulo entre una recta y un plano
394
5.9.
Teorema de las tres rectas perpendiculares
395
5.10.
Ángulo Diedro
395
5.11.
Planos Perpendiculares
396
5.12.
Plano Bisector de un Ángulo Diedro
396
5.13.
Clasificación de los Ángulos Diedros
397
5.14.
Ángulo Poliedro
398
5.15.
Elementos del ángulo Poliedro
399
5.16.
Clasificación de los Ángulos Poliedros
399
5.17.
Ángulo Triedro
399
5.18.
Elementos del Ángulo Triedro
400
5.19.
Clasificación de los Ángulos Triedros
400
5.20.
Poliedros
400
5.21.
Elementos de un Poliedro
401
5.22.
Propiedades de los Poliedros
401
5.23.
Medida
403
5.24.
Cono de Revolución
406
5.25.
Superficie Esférica y esfera
410
MATEMÁTICA 3
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5.26.
Ejercicios Desarrollados
414
5.27.
Ejercicios Propuestos
425
5.28.
Respuestas
435
CAPITULO VI CAPÍTULO 6. 6. ESTADÍSTICA ESTADÍSTICAYY PROBABILIDADES PROBABILIDADES
436
6.1.
Estadística
436
6.2.
Variable Estadística
436
6.3.
Clasificación de la Variable Estadística
436
6.4.
Frecuencia
437
6.5.
Rango de la Muestra (R)
440
6.6.
Representación Gráfica de Distribuciones de Frecuencias
441
6.7.
Medidas de Tendencia Central
443
6.8.
Probabilidad
447
6.9.
Ejercicios Propuestos.
452
6.10.
Respuestas.
462
Bibliografía.
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463
MATEMÁTICA 3
Ecuaciones e Inecuaciones Eduardo Espinoza Ramos
Ecuaciones e Inecuaciones
1 1
CAPÍTULO I CAPITULO I
1.
1. ECUACIONES E INECUACIONES.ECUACIONES E INECUACIONES.-
IGUALDAD MATEMÁTICA.MATEMÁTICA.1.1. 1.1.IGUALDAD Una igualdad matemática es una relación que existe entre dos expresiones matemáticas, mediante el signo “=” (igual) y que nos indica que estos tienen el mismo valor numérico. Si A y B son dos expresiones matemáticas, entonces se tiene: A=B que se denomina igualdad matemática, donde: A = es el primer miembro B = es el segundo miembro = es el signo que representa a la igualdad
CLASIFICACIÓNDE DE LAS IGUALDADES.1.2. 1.2.CLASIFICACIÓN LAS IGUALDADES.Se clasifican en dos: a)
IGUALDADES NUMÉRICAS.-
Es la igualdad formada por números, por ejemplo: 5 2 + 6 = 31
b)
IGUALDADES LITERALES.-
Es la igualdad formada por letras y números, pudiendo a su vez ser:
i)
IGUALDADES ABSOLUTAS O IDENTIDADES.Son aquellos que se verifican para cualquier sistema de valores atribuidos a sus variables. Ejemplo.- Sea ( x + y )( x − y ) = x 2 − y 2 Como podemos observar en esta igualdad se puede dar valores voluntarios a las variables y podrá comprobarse que siempre se va a verificar.
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MATEMÁTICA 3
46 46
EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo
Ecuaciones e Inecuaciones
Para y = 1; x 2 = y = 1 de donde x = ± 1 entonces x1 = −1 , x2 = 1 Calculando E = x12 + x22 = (−1) 2 + 12 = 1 + 1 = 2 , la respuesta es 55
Calcular la suma de las raíces de la ecuación: a)
b) 2
1
c)
3 1+ x + x
2
b
= 3 − x − x2 d) -1
-2
e)
4
Desarrollo Desarrollo Transformamos la ecuación dada en una ecuación cuadrática para esto buscamos una expresión común en x
3 1+ x + x
2
= 3 − x − x 2 agrupando
3 2
1+ (x + x )
= 3 − ( x + x2 )
... (1)
haciendo el cambio x 2 + x = y y reemplazando en (1)
3 = 3 − y de donde 3 = (3 – y)(1 + y), efectuando 1+ y
3 = 3 + 2 y − y 2 entonces y 2 − 2 y = 0 de donde y = 0; y = 2 Si y = 0: x 2 + x = 0 ⇒ x(x + 1) = 0 de donde x1 = 0 , x2 = −1 Si y = 2: x 2 + x = 2 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 , factorizando se tiene: (x + 2)(x – 1) = 0 de donde x3 = −2 , x4 = 1 calculando la suma: x1 + x2 + x3 + x4 = 0 − 1 + 1 − 2 = −2 c
como x1 + x2 + x3 + x4 = −2 , la respuesta es 66
Resolver la ecuación suma de las raíces. a)
1
MATEMÁTICA 3
1 2
2x − x + 2
b) 2
+
2 2
2x − x + 3 c)
3
=
6 2
2x − x + 4
y dar como respuesta la
d) 4
e)
5
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Ecuaciones e Inecuaciones Eduardo Espinoza Ramos
Ecuaciones e Inecuaciones
47 47
Desarrollo Desarrollo Transformando la ecuación dada a una ecuación de segundo grado mediante la sustitución 1 2 6 , dando común denominador 2x 2 − x = z , obteniéndose la ecuación + = z +2 z +3 z +4
z + 3 + 2z + 4 6 3z + 7 6 = = de donde entonces ( z + 2)( z + 3) z + 4 ( z + 2)( z + 3) z + 4 (3z + 7)(z + 4) = 6(z + 2)(z + 3), efectuando la multiplicación
3 z 2 + 19 z + 28 = 6 z 2 + 30 z + 36 , simplificando se tiene: 3 z 2 + 11z + 8 = 0 , factorizando mediante el aspa 3z
8
8z
z
1
3z 11z
(3z + 8)(z + 1) = 0 de donde z = -1; z = −
8 3
para z = -1; 2 x 2 − x = −1 entonces 2 x 2 − x + 1 = 0
x=
1 7 1 7 −b ± b 2 − 4ac 1 ± 1 − 8 1 ± 7i de donde x1 = + i ; x2 = − i = = 4 4 4 4 2a 4 4
para z = −
x=
8 8 en 2 x 2 − x = − entonces 6 x 2 − 3 x + 8 = 0 3 3
−b ± b 2 − 4ac 3 ± 9 − 4(6)(8) 3 ± 183i , de donde = = 2a 12 12
x3 =
3 183 3 183 i + i ; x4 = − 12 12 12 12
calculando la suma de las raíces: www.edukperu.com
MATEMÁTICA 3
48 48
EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo
Ecuaciones e Inecuaciones
x1 + x2 + x3 + x4 =
1 7 1 7 3 183 3 183 + i+ − i+ + i+ − i 4 4 4 4 12 12 12 12
=
1 1 1 1 1 1 + + + = + =1 4 4 4 4 2 2
como x1 + x2 + x3 + x4 = 1 , la respuesta es 77
x+5 x−5 +6 =5 x−5 x+5
Indicar la menor solución de la ecuación:
a)
25 3
b)
25 4
a
c)
25 6
25 7
d)
e)
25 8
Desarrollo Desarrollo A la ecuación dada expresamos en la forma:
x+5 + x−5
6 x+5 x−5
=5
... (1)
A la ecuación (1) lo transformamos en una ecuación de segundo grado mediante la sustitución
x+5 =y x−5
... (2)
ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose
y+
6 = 5 de donde y 2 − 5 y + 6 = 0 , factorizando y
(y – 2)(y – 3) = 0 de donde y = 2; y = 3 para y = 2:
x+5 x+5 25 =2 ⇒ = 4 de donde x = x−5 x−5 3
para y = 3:
25 x+5 x+5 =3 ⇒ = 9 de donde x = 4 x−5 x−5
se observa que la menor solución es x = MATEMÁTICA 3
25 , la respuesta es 4
b www.edukperu.com
Ecuaciones e Inecuaciones Eduardo Espinoza Ramos 88
Hallar la suma de las raíces de la ecuación: (
x 2 − 2 x + 14
(Admisión 1983 – UNI) a)
b) 3
2
49 49
Ecuaciones e Inecuaciones
c)
x2 + 4 x + 2
1
)2 + (
x2 + 4 x + 2 x 2 − 2 x + 14
d) 5
4
1
)2 = 2
e)
6
Desarrollo Desarrollo Como (
x 2 − 2 x + 14 2
x + 4x + 2
1
)2 =
1 1
x 2 − 2 x + 14
1 )2
x − 2 x + 14 2 ( 2 ) x + 4x + 2 (
forma siguiente
2
2
x + 4x + 2
, entonces a la ecuación dada expresamos en la
+
1 1
2
x − 2 x + 14 2 ( 2 ) x + 4x + 2
=2
... (1)
ahora transformamos a la ecuación (1) en una ecuación de segundo grado mediante la sustitución.
(
x 2 − 2 x + 14 x2 + 4 x + 2
1
... (2)
)2 = y
ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose
y+
1 = 2 de donde y 2 − 2 y + 1 = 0 como ( y − 1) 2 = 0 y
Luego ( y − 1) 2 = 0 ⇒ (y – 1) = 0 de donde y = 1 Para y = 1: (
x 2 − 2 x + 14 x2 + 4 x + 2
1
)2 = 1 ⇒
x 2 − 2 x + 14 x2 + 4 x + 2
= 1 , efectuando
x 2 − 2 x + 14 = x 2 + 4 x + 2 , simplificando 6x = 12, de donde x= 99
12 = 2 , que es la solución única, luego la respuesta es 6
a
Hallar la solución mayor de la ecuación 9 x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 a)
1
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b) 2
c)
3
d) -1
e)
1 3
MATEMÁTICA 3
290 290
EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo
Nociones Básicas de Geometría Analítica
Luego en el ∆ ADE, la suma de ángulos internos es: θ + θ + 90º + 60º = 180º, simplificando a
2θ = 30º de donde θ = 15º, la respuesta es 3232
Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. a)
b) 45º
60º
c)
d) 65º
30º
e)
70º
(Admisión UNMSM – 1994) Desarrollo Desarrollo Ilustremos el problema en un gráfico x
C
Por calcular:
θ
B α
… (1)
x = 180º - (θ - φ)
θ
del gráfico observamos en A y en B 2θ + α = 180º β
C
φ
2φ + β = 180º sumando φ
En el ACD recto en C se tiene:
… (2)
2(θ + φ) + (α + β) = 360º
A
… (3)
α + β = 90º
Ahora reemplazamos (3) en (2) obteniéndose … (4)
2(θ + φ) + 90º = 360º entonces 2(θ + φ) = 270º de donde: θ + φ = 135º Al reemplazar (4) en (1) se obtiene: x = 180º - 135º = 45º, la respuesta es 3333
b
Un cateto de un triángulo rectángulo mide 15 cm y la hipotenusa es 5 cm mayor que el otro cateto. Halle el perímetro de dicho triángulo. a)
55 cm
b) 50 cm
c)
60 cm
d) 65 cm
e)
70 cm
Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 3
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Nociones Básicas de Ramos Geometría Eduardo Espinoza
Analítica
291 291
Nociones Básicas de Geometría Analítica
Sea el triángulo ABC P = perímetro = 15 + a + (a + 5)
C
… (1)
P = 2a + 20
El valor de “a” calculamos por el teorema de
a+5
15
2
B
A
a
2
AB + BC = AC
Pitágoras:
2
a 2 + 152 = (a + 5) 2 , desarrollando
a 2 + 225 = a 2 + 10a + 25 ⇒ 10a = 200 de donde
a = 20
Reemplazando en (1) se tiene: P = 2(20) + 20 = 60 cm Por lo tanto la respuesta es 34 34
c
En un triángulo ABC, AB = BC, se traza la bisectriz interior CF. Calcular m B , si m ( BFC ) = 102º a)
b) 44º
34º
c)
38º
d) 48º
e)
52º
Desarrollo Desarrollo Mediante un gráfico ilustraremos los datos del problema B
Por calcular: m B = x
x
Como AB = BC, entonces el ∆ ABC es
F
A
2α
isósceles de donde α α
C
m (CAB) = m ( ACB) = 2α
Ahora en el ∆ AFC se tiene el ángulo exterior es: 2α + α = 102º ⇒ 3α = 102º de donde α = 34º En el ∆ FBC, la suma de ángulos internos x + α + 102º = 180º ⇒ x + 34º + 102º = 180º de donde x = 44º Luego m B = x = 44º , la respuesta es www.edukperu.com
b MATEMÁTICA 3
292 292 3535
Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Eduardo Ramos
Nociones Básicas de Geometría Analítica
En un triángulo ABC, se traza la ceviana BE tal que: AB = BE = EC y m ( ECB) = 38º , hallar m A a)
b) 68º
64º
c)
d) 76º
72º
e)
80º
Desarrollo Desarrollo Ubicando los datos del problema en un gráfico B De los datos del problema se deduce que 38º
∆ BEC es isósceles y ∆ ABE es isósceles Por el concepto de ángulo exterior se tiene:
A
x
x
38º
E
C
x = 38º + 38º = 76º
Como m A = x = 76º , la respuesta es 3636
d
Los 3 ángulos de un triángulo están en la relación de 2 es a 3, es a 4 ¿Cuánto mide el ángulo externo correspondiente al ángulo mayor? a)
110º
b) 100º
c)
d) 80º
90º
Desarrollo Desarrollo
e)
70º
B
De los datos del problema se tiene:
3x
2x = 1er ángulo 3x = 2do ángulo 4x = 3er ángulo
A
2x
4x
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces
C
2x + 3x + 4x = 180º ⇒ 9x = 180º de donde x = 20º Luego los ángulos del triángulo son: 2x = 2(20º) = 40º, 3x = 3(20º) = 60º, 4x = 4(20º) = 80º Luego el ángulo externo correspondiente al ángulo mayor 80º es: 180º - 80º = 100º, la respuesta es MATEMÁTICA 3
b www.edukperu.com
Eduardo Espinoza Nociones Básicas de Ramos Geometría
37 37
Analítica
293
Nociones Básicas de Geometría Analítica
El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es triple del ángulo desigual ¿Cuánto vale dicho ángulo? a)
b) 106º
108º
c)
d) 102º
104º
e)
100º
Desarrollo Desarrollo
B
Representando los datos mediante un gráfico
x
Sea x = el ángulo desigual en B 0 A
a a
3x
a a
3x = el ángulo formado por las bisectrices AO y CO de los ángulos A y C del ∆ ABC
C
En el ∆ ABC, la suma de los ángulos internos es igual a 180º 2a + x + 2a = 180º, de donde
… (1)
x + 4a = 180º
En el ∆ AOC, la suma de los ángulos internos es igual a 180º a + 3x + a = 180º, de donde
… (2)
3x + 2a = 180º
Ahora comparamos (1) y (2) obteniéndose x + 4a = 3x + 2a de donde x = a … (3) al reemplazar (3) en (1) se tiene: x + 4x = 180º entonces 5x = 180º de donde x = 36º como m ( AOC ) = 3 x = 3(36º ) = 108º , la respuesta es 38 38
a
Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es el doble del otro. Hallar el valor del ángulo que se forma al encontrarse las bisectrices de dichos ángulos. a)
125º
b) 135º
c)
115º
d) 130º
e)
120º
Desarrollo Desarrollo Sea x = el ángulo agudo 2x = el otro ángulo agudo www.edukperu.com
MATEMÁTICA 3
294 294
EduardoEspinoza Espinoza Ramos Eduardo Ramos
Nociones Básicas de Geometría Analítica
En ∆ ABC recto en A se tiene:
B x
x
2x + x = 90º
0
3x = 90º de donde x = 30º
α x
A
x/2 x/2
Luego
C
x = 15º 2
En el ∆ COB, la suma de los ángulos internos es igual a 180º x 3x 3 + α = 180º ⇒ + α = 180º ⇒ (30º ) + α = 180º 2 2 2
x+
45º + α = 180º de donde α = 35º el ángulo formado por las bisectrices, Por lo tanto la respuesta es 3939
b
En la figura, calcular “x” si AE es bisectriz interior. B 80º
x E 40º
A
a)
20º
b) 30º
d)
40º
e)
c)
35º
70º
C
Desarrollo Desarrollo Como AE es bisectriz, entonces
B 80º
θ A
θ
m ( EAB ) = m (CAE ) = θ En el
x E
∆ ABC: la suma de los ángulos
internos es igual a 180º
40º
C
80º + 2θ + 40º = 180º 2θ = 60º de donde θ = 30º
En el ∆ ACE el ángulo externo en E se tiene: x = θ + 40º = 30º + 40º = 70º, la respuesta es MATEMÁTICA 3
d www.edukperu.com
Nociones de Ramos Geometría Analítica EduardoBásicas Espinoza 40 40
295 295
Nociones Básicas de Geometría Analítica
En el triángulo rectángulo ABC, hallar θ
B D θ θ A
60º
α
E
α
a)
20º
b) 30º
d)
50º
e)
c)
40º
60º
C Desarrollo Desarrollo
Aplicando el teorema de un ángulo exterior a un triángulo de la figura dada se observa que: En el ∆ DBC recto en B el ángulo exterior en D es 2θ, es decir: 2θ = 90º + α … (1) En el ∆ EDC el ángulo exterior en E es 60º, es decir:
… (2)
θ + α = 60º
Ahora sumamos las ecuaciones (1) y (2) 3θ + α = 150º entonces 3θ = 150º, de donde θ = 41 41
150º = 50º , la respuesta 3
d
En la figura EFGH es un cuadrado. Hallar el valor de x
F
75º
x H
x 75º F Q 75º α
d)
30º
e)
c)
50º
20º
La diagonal EH es bisectriz del ángulo en H 45º
H
T
En el ∆ HPQ, la suma de los ángulos internos es iguala 180º, es decir:
P
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b) 45º
Desarrollo Desarrollo
R
E
60º
(Admisión (UNMSM – 1996)
G
E
a)
45º + 75º + α = 180º, de donde
G
α = 180º - 120º = 60º ⇒ α = 60º MATEMÁTICA 3
436 436
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CAPITULO VI CAPÍTULO VI
6.
6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES.ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES.-
ESTADÍSTICA.6.1. 6.1. ESTADÍSTICA.Es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirven para deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo a esos análisis. La estadística se divide en dos grandes áreas. 1ro.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA.-
Dedicada a la recolección, clasificación y ordenamiento de datos. 2do. ESTADÍSTICA INDUCTIVA O INFERENCIAL.Que interpreta los datos recogidos en la primera etapa y obtiene conclusiones a partir de ellos.
VARIABLEESTADÍSTICA.ESTADÍSTICA.6.2. 6.2. VARIABLE Es un símbolo que representa indistintamente a uno cualquiera de los elementos de un conjunto de datos. Ejemplo.-
Con respecto a los alumnos del 3er año de secundaria del colegio A, son variables estadística: la altura, el peso, el sexo, sus notas, etc.
CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLEESTADÍSTICA.ESTADÍSTICA.6.3. 6.3. CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLE 1ro.
LA VARIABLE ESTADÍSTICA CUALITATIVA O ATRIBUTO.-
Es aquella variable estadística que no es medible. MATEMÁTICA 3
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437
Ejemplos.- 1) La raza de un grupo de personas 2) El sexo de un grupo de alumnos. 3) El estado civil de un grupo de personas. 2do. VARIABLE ESTADÍSTICA CUANTITATIVA.Es aquella variable estadística que es medible. La variable estadística cuantitativa pueden ser discretas o continuas. DISCRETA.-
Son aquellas que se pueden contar o enumerar, toman valores enteros.
Ejemplos.- 1) El número de alumnos por colegio. 2) El número de pacientes por hospital. CONTINUA.-
Son aquellos que se puede medir, toman valores enteros o decimales.
Ejemplos.- 1) La estatura. 2) La edad 3) El peso
FRECUENCIA.6.4. 6.4.FRECUENCIA.Cantidad de veces que se repite un suceso. 6.4.1. FRECUENCIA ABSOLUTA.6.4.1. FRECUENCIA ABSOLUTA ( fi ) .-
Es el número de elementos de una muestra que representa el mismo valor y
se denota por ( fi ) sus valores son enteros que oscilan de “0” a un (n ∈ N). La suma de estas frecuencias es igual al total de datos de la muestra (n). Ejemplo.-
En la sección A del 3er año de secundaria estudian 48 alumnos, de los cuales 14 tienen 12 años, 22 tienen 13 años y el resto tiene 14 años, entonces:
f(alumnos que tienen 12 años) = 14 f(alumnos que tienen 13 años) = 22 www.edukperu.com
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f(alumnos que tienen 14 años) = 48 – (14 + 22) = 12, de donde f(12 años) + f(13 años) + f(14 años) = 14 + 22 + 12 = 48 → número de elementos de la muestra. 6.4.2. FRECUENCIA RELATIVA (hi ) .6.4.2. FRECUENCIA RELATIVA .-
Es el cociente entre la frecuencia absoluta ( fi ) y el número de elementos de la muestra (n), es decir: fi n
hi =
La frecuencia relativa se puede expresar también en porcentaje, donde el valor del cociente se multiplica por 100%, es decir: fi x 100% n
En %, hi = NOTA.-
La suma de las frecuencias relativas de una muestra determina la unidad, es decir: n
∑h =1 i
i =1
Ejemplo.-
En la sección A del 3er año de secundaria, estudian 48 alumnos de los cuales 17 son mujeres y el resto son hombres, entonces
18 h(mujer) = 48 18 30 ⇒ h(mujer) + h(hombre) = + =1 48 48 h(hombre) = 48 − 18 = 30 48 48 6.4.3. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.6.4.3. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( Fi ) .-
Es la suma en forma sucesiva y gradual de las frecuencias absolutas, es decir: Si f1 , f 2 ,..., f n son las frecuencias absolutas en una muestra, entonces MATEMÁTICA 3
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F1 = f1 F2 = f1 + f 2 F3 = f1 + f 2 + f3 . . . Fn = f1 + f 2 + f 3 + ... + f n Ejemplo.-
En la sección A del 3er año de secundaria, donde estudiaban 487 alumnos, se obtuvieron las notas siguientes, 8 alumnos obtuvieron nota 11; 16 alumnos obtuvieron nota de 13, 14 alumnos obtuvieron nota 15, 6 alumnos obtuvieron nota de 16 y 4 alumnos obtuvieron nota de 18, entonces. Sea:
Nota 11, f1 = 8
F1 = f1 = 8
Nota 13, f 2 = 16
F2 = f1 + f 2 = 8 + 16 = 24
Nota 15, f3 = 14 ⇒ F3 = f1 + f 2 + f3 = 8 + 16 + 14 = 38 Nota 16, f 4 = 6
F4 = f1 + f 2 + f3 + f 4 = 8 + 16 + 14 + 6 = 44
Nota 18, f5 = 4
F5 = f1 + f 2 + f3 + f 4 + f5 = 8 + 16 + 14 + 6 + 4 = 48
6.4.4. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.6.4.4. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H i ) .-
Es la suma en forma sucesiva y gradual de las frecuencias relativas de una muestra, es decir: Si, h1 , h2 , h3 ,..., hn son las frecuencias relativas de una muestra, es decir: H1 = h1 H 2 = h1 + h2 H 3 = h1 + h2 + h3 . . . H n = h1 + h2 + h3 + ... + hn www.edukperu.com
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Ejemplo.-
H1 = H1 =
Si de un total de 48 estudiantes de matemática, se sabe que 14 estudian solamente algebra, 26 estudian solamente aritmética y 8 estudian solamente geometría, entonces 14 48
H 2 = h1 + h2 =
14 26 40 + = 48 48 48
H 3 = h1 + h2 + h3 =
14 26 8 + + =1 48 48 48
RANGO DE LA MUESTRA (R).6.5. 6.5.RANGO DE LA MUESTRA (R).Es la diferencia entre el mayor y menor de los datos de una muestra. R = xmax − xmin OBSERVACIÓN.-
Para una mejor aprovechamiento en el estudio de datos de una muestra, se recomienda ordenar los datos por lo general de menor a mayor.
El estudio del conjunto de datos que se obtienen de una muestra requiere de su elaboración y para esto se disponen los datos en una tabla de distribución de frecuencias como se indica y que a continuación se explicara. Valores de la Variable
Frecuencia Absoluta
Es la columna encabezada por valores de variable, se ponen los distintos valores ya sean cuantitativas o cualitativas, que toma la variable cuando recorre el conjunto de datos que se obtienen de la muestra. En la columna encabezada por frecuencia absoluta, el número de veces que se da a la variable por cada dato en la muestra. MATEMÁTICA 3
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Se selecciono una muestra de 100 paquetes de café bajo investigación de su peso, al utilizar una balanza de precisión, se obtuvieron los siguientes datos.
20 paquetes parecieron con 478 gr, 4 con 428 gr, 10 con 502 gr, 34 con 503 gr, 6 con 510 gr y 26 con 499 gr. Esta información la organizaremos de acuerdo con la característica de la variable que es peso, de menor o mayor, como mostraremos en la tabla. Peso de 100 paquetes de café Valores de la variable
Frecuencia Absoluta
Peso en gr
Nº de paquetes
428
4
478
20
499
26
502
10
503
34
510
6
En la columna de frecuencias aparece el número de paquetes que corresponde a cada peso de la izquierda.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA GRÁFICA DE 6.6. 6.6. REPRESENTACIÓN DE DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.FRECUENCIAS.-
DE
Los gráficos o diagramas son muy importantes, en donde se pude analizar en una forma más concreta y exacta los datos que se han ordenado en una distribución de frecuencia, entre los más importantes tenemos. HISTOGRAMAS.6.6.1. 6.6.1. HISTOGRAMAS.-
Son diagramas de barra, donde sus bases representan intervalos de clase continua y las alturas las frecuencias.
Ejemplo.- De la siguiente tabla de distribución de frecuencias, referente a la estatura de un grupo de alumnos, elaborar un histograma. www.edukperu.com
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442
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Estatura I i
xi
fi
[1,20; 1,30>
125 135 145 155
10 20 35 15
[1,30; 1,40> [1,40; 1,50> [1,50; 1,60>
Solución solución Construimos un plano cartesiano (estatura vs nº de alumnos) Nº de alumnos 35
20 15 10
0
1,20 1,30 1,40 1,50 1,60
estatura
6.6.2. POLÍGONO DE FRECUENCIA.6.6.2. POLÍGONO DE FRECUENCIA.-
Es el gráfico elaborado tomando como base un plano cartesiano en el cual el eje de abscisas representa los valores de la variable estadística y la ordenada señala las frecuencias, luego se une los puntos de intersección mediante segmentos y la poligonal formada recibe el nombre de polígono de frecuencia. Ejemplo.-
MATEMÁTICA 3
DE la siguiente tabla de distribución de frecuencias, elaborar un polígono de frecuencia. Peso xi
fi
40 41 42 43 44 45
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