índice INDICE CAPITULO I
CAPÍTULO I
A LA PROGRAMACION LINEAL 1.1. INTRODUCCION INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
1
1.1.
Sistema de ecuaciones de primer grado de dos variables
1
1.2. 1.3.
Interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Inecuación lineal de dos variables
6 9
1.4
Sistema de inecuaciones lineales con dos variables
12
1.5 1.6.
Determinación de la región factible Valores máximos y mínimos en un polígono convexo
13 14
1.7. 1.8.
Método grafico y analítico de optimización lineal Teorema del punto de esquina
15 17
1.9. 1.10.
Resolución grafica de un problema de programación lineal Aplicaciones de la programación lineal
17 19
1.11.
Ejercicios desarrollados
22
1.12.
Ejercicios Propuestos
37
CAPITULO CAPÍTULOIIII EXPONENCIALES 2.2. FUNCIONES FUNCIONES EXPONENCIALESYYLOGARITMICA LOGARITMICA
44
2.1. 2.2.
Función exponencial de base “a” positiva Propiedades de la función exponencial
44 46
2.3.
El número e
47
2.4. 2.5.
Función exponencial natural (base e) Ecuación exponencial
48 49
2.6. 2.7.
Técnicas de convertibilidad Función logarítmica de base “a” positiva
49 53
2.7.1.
Definición
53
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MATEMÁTICA 5
2.7.2.
Propiedades de la función logarítmica
54
2.7.3. 2.7.4.
Definición Definición
54 55
2.8. 2.9.
Aplicación de la función exponencial y logarítmica Ecuación logarítmica
56 60
2.10. 2.11.
Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos
63 73
2.12.
Respuestas
95
CAPÍTULO CAPITULOIII III 3. 3. TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIAPLANA PLANA
97
3.1. 3.1.1.
Conceptos Básicos Trigonometría
97 97
3.1.2. 3.1.3.
Etimología Clasificación
97 97
3.1.4.
Utilidad
98
3.1.5. 3.1.6.
Triángulo Plano Ángulo Plano
98 98
3.1.7. 3.1.8.
Clases de Ángulos Planos Clases de Triángulos Planos
98 99
3.2 3.2.1.
Ángulo Trigonométrico Definición
99 99
3.2.2.
Ángulos Positivos y Negativos
100
3.2.3. 3.2.4.
Propiedades del Ángulo Trigonométrico Ángulos Especiales
100 101
3.2.5. 3.2.6.
Sistemas de Medidas Angulares Conversión de Sistema de Medidas de Ángulos
107 108
3.2.7. 3.2.8.
Longitud de Arco y Area del Sector Circular Ejercicios Desarrollados
114 121
3.2.9.
Ejercicios Propuestos
162
3.2.10. Respuestas 3.3. Funciones o Relaciones Trigonométricas MATEMÁTICA 5
192 192 www.edukperu.com
3.3.1.
Definición
193
3.3.2.
Razones o Funciones Trigonométricas Respecto a un Ángulo Agudo de un Triángulo Rectángulo
194
Propiedades Fundamentales de las Funciones Trigonométricas de un Ángulo Agudo de un Triángulo Rectángulo
195
3.3.3. 3.3.4. 3.3.5.
Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 30°, 45°, 60° Funciones o Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 180°, 270°,
200
360°, 0°
203
3.3.6. 3.3.7.
Razones Trigonométricas de los Ángulos de 37°, 53°, 74°, 16° Funciones o Razones Trigonométricas Reciprocas
205 206
3.3.8. 3.3.9.
Tangente y Cotangente de la Mitad de un Ángulo Agudo Circunferencias Trigonométricas
208 210
3.3.10. Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas 3.3.11. Líneas Trigonométricas o Líneas Circulares
211 211
3.3.12. Líneas Auxiliares
215
3.3.13. Ejercicios Desarrollados 3.3.14. Ejercicios Propuestos
216 274
3.3.15. Respuestas 3.4. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas e Identidades Trigonométricas.
301 301
3.4.1. 3.4.2.
Relaciones entre las Funciones Trigonométricas de un mismo Ángulo Identidades Trigonométricas
301 307
3.4.3.
Identidades Auxiliares
309
3.4.4. 3.4.5.
Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos
313 360
3.4.6. 3.5.
Respuestas Funciones Trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos y
376
3.5.1.
reducción al primer cuadrante Seno de la Suma de Dos Ángulos
377 377
3.5.2.
Coseno de la Suma de Dos Ángulos
378
3.5.3. 3.5.4.
Equivalencia de las Funciones de los Ángulos Negativos Seno y Coseno de la Diferencia de Dos Ángulos
379 380
3.5.5. 3.5.6.
Tangente y Cotangente de la Suma de Dos Ángulos Tangente y Cotangente de la Diferencia de Dos Ángulos
381 383
3.5.7.
Identidades Auxiliares
385
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MATEMÁTICA 5
3.5.8.
Identidades Trigonométricas de la Suma de Tres Ángulos
388
3.5.9. Arcos Complementarios y Suplementarios 3.5.10. Equivalencia de las Funciones de los Arcos Complementarios
390 391
3.5.11. Equivalencia de las Funciones de los Arcos Suplementarios 3.5.12. Equivalencia en el Primer Cuadrante de las Funciones de Arcos Mayores de
393
una Circunferencia 3.5.13. Reducción al Primer Cuadrante
393 394
3.5.14. Ejercicios Desarrollados
397
3.5.15. Ejercicios Propuestos 3.5.16. Respuestas
438 460
3.6. 3.6.1.
Funciones Trigonométricas de Ángulos dobles, triples y de ángulo mitad Seno y Coseno del Ángulo Doble
461 461
3.6.2. 3.6.3.
Tangente y Cotangente de un Ángulo Doble Seno del Ángulo Triple
462 464
3.6.4.
Coseno del Ángulo Triple
465
3.6.5. 3.6.6.
Tangente del Ángulo Triple Cotangente del Ángulo Triple
465 465
3.6.7. 3.6.8.
Seno y Coseno del Ángulo Mitad en Función del Coseno Tangente y Cotangente del Ángulo Mitad en Función del Coseno
468 468
3.6.9. Ejercicios Desarrollados 3.6.10. Ejercicios Propuestos
471 506
3.6.11. Respuestas
526
3.7.
Transformación de Suma y Resta de Funciones Trigonométricas a productos y viceversa
527
3.7.1. 3.7.2.
Transformación de la Suma y Diferencia de Dos Senos a Producto Transformación de la Suma y Diferencia de Dos Cosenos a Producto
527 528
3.7.3. 3.7.4.
Fórmulas Especiales Identidades Auxiliares
530 533
3.7.5.
Transformación de Producto a Suma o Diferencia
539
3.7.6. 3.7.7.
Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos
540 563
3.7.8. 3.8.
Respuestas Resolución de Triángulos
582 582
3.8.1.
Resolución de Triángulos Rectángulos
582
MATEMÁTICA 5
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3.8.2.
Fórmula para Calcular el Área de un Triángulo Rectángulo
585
3.8.3. 3.8.4.
Ángulo de Elevación y Depresión Resolución de Triángulos Oblicuángulos
586 589
3.8.5. 3.8.6.
Casos en la Resolución de Triángulos Oblicuángulos Área de los Triángulos Oblicuángulos
595 597
3.8.7. 3.8.8.
Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos
600 628
3.8.9.
Respuestas
649
3.9. 3.9.1.
Funciones Trigonométricas de Números Reales Definición
650 650
3.9.2. 3.9.3.
Definición de Función Periódica Definición de Función Par
650 653
3.9.4. 3.9.5.
Definición de Función Impar Gráficas de las Funciones Trigonométricas Básicas
653 653
3.9.6.
Gráficas Trigonométricas
657
3.9.7. 3.9.8.
Otras Gráficas Trigonométricas Ejercicios Desarrollados
663 666
3.9.9. Ejercicios Propuestos 3.9.10. Respuestas
676 689
3.10. Funciones Trigonométricas Inversas 3.10.1. Función Inversa del Seno
689 690
3.10.2. Función Inversa del Coseno
691
3.10.3. Función Inversa de la Tangente 3.10.4. Función Inversa de la Cotangente
692 692
3.10.5. Función Inversa de la Secante 3.10.6. Función Inversa de la Cosecante
693 694
3.10.7. Ejercicios Desarrollados 3.10.8. Ejercicios Propuestos
695 712
3.10.9. Respuestas
725
3.11. Ecuaciones Trigonométricas 3.11.1. Definición
725 726
3.11.2. Clases de Ecuaciones Trigonométricas 3.11.3. Solución de una Ecuación Trigonométrica
726 727
3.11.4. Clases de Soluciones de una Ecuación Trigonométrica
727
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MATEMÁTICA 5
3.11.5. Ejercicios Desarrollados
732
3.11.6. Ejercicios Propuestos 3.11.7. Respuestas
749 766
CAPÍTULO IV IV CAPÍTULO 4.
GEOMETRÍA DEL ESPACIO SUPERFICIE DE
4. GEOMETRÍA DEL ESPACIO SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN REVOLUCIÓN
767
4.1. 4.2.
Cilindro de Revolución Elementos del Cilindro de Revolución
767 767
4.3. 4.4.
Cilindro Circular Recto Área y Volumen de un Cilindro Recto
768 768
4.5.
Cilindro Circular Oblicuo
770
4.6. 4.7.
Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo Tronco de Cilindro
771 772
4.8. 4.8.1.
Cono de Revolución Elementos de Cono de Revolución
773 773
4.8.2. 4.9.
Área y Volumen de um Cono de Revolución Tronco de Cono de Revolución
774 777
4.9.1.
Elementos del Tronco de Cono de Revolución
777
4.9.2. 4.9.3.
Área Lateral Toral y Volumen de un Tronco de Cono de Revolución Variación del Radio y la Altura de un Cono de Revolución
777 779
4.10. 4.10.1
Superficie Esférica y Esfera Área de la Superficie Esférica
780 782
4.10.2. Volumen de la Esfera 4.11. Ejercicios Desarrollados
784 784
4.12.
Ejercicios Propuestos
798
4.13.
Respuestas
807
MATEMÁTICA 5
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CAPITULO CAPÍTULO V 5. 5. GEOMETRIA GEOMETRIAANALITICA ANALITICA
679
5.1.
La Circunferencia
808
5.1.1. 5.1.2.
Definición Elementos de la Circunferencia
808 809
5.1.3.
Formas de la Ecuación de la Circunferencia
809
1) 2)
809 811
Forma Ordinaria Forma Canónica
3) Ecuación General de la Circunferencia Transformación de la Ecuación General de la Circunferencia
812
5.1.4. 5.1.5.
a la Forma Ordinaria Ejercicios Desarrollados
813 815
5.2.
La Parábola
823
5.2.1. 5.2.2.
Definición Elementos de la Parábola
823 823
5.2.3.
Formas de la Ecuación de la Parábola 1° Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y eje Focal el Eje X
824 824
2° 3°
Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y eje Focal el Eje Y Ecuación de la Parábola de Vértice V(h,k) y eje Focal paralelo al eje X
827 829
4°
Ecuación de la Parábola de Vértice V(h,k) y eje Focal paralelo al eje Y
831
5.2.4. 5.2.5.
Ecuación General de la Parábola Ejercicios Desarrollados
834 835
5.3. 5.3.1.
Elipse Definición
842 842
5.3.2. 5.3.3.
Elementos de la Elipse Formas de la Ecuación de la Elipse
843 844
1°
Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje X
844
2° 3°
Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje Y Ecuación de la Elipse de centro al punto C(h,k) y eje Focal
846 848
4°
paralelo al eje X Ecuación de la Elipse de centro al punto C(h,k) y eje Focal paralelo al eje Y
850
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5.3.4.
Ecuación General de la Elipse
853
5.3.5. 5.4.
Ejercicios Desarrollados La Hipérbola
854 862
5.4.1. 5.4.2.
Definición Elementos de la Hipérbola
862 863
5.4.3.
Formas de la Ecuación de una Hipérbola 1° Forma Canónica
864 864
5.4.4.
Asíntota de la Hipérbola
868
5.4.5.
2° Forma Ordinaria Ecuación General de la Hipérbola
869 871
5.5. 5.6.
Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos
872 881
5.7.
Respuestas
899
CAPITULO CAPÍTULO VI VI 6. 6. ESTADISTICA ESTADISTICAYYPROBABILIDADES PROBABILIDADES
900
6.1.
Medida de Dispersión
900
6.2. 6.2.1.
Varianza y Desviación Estándar Calculo de la Varianza
900 901
1
Varianza de Datos no Tabulados
901
2 6.3.
Varianza de Datos Tabulados Coeficiente de Variación
902 905
6.4. 6.4.1.
Probabilidad Condicionada Definición
906 908
6.4.2. 6.4.3.
Sucesos Independientes Experiencias Dependientes
910 911
6.4.4.
Experiencias Independientes
912
6.5. 6.6.
Teorema de Bayer Variable Aleatoria Discreta
913 914
6.7. 6.7.1.
Esperanza Matemática Definición
915 916
6.8. Ejercicios Propuestos BIBLIOGRAFIA MATEMÁTICA 5
917 919 www.edukperu.com
Programación LinealRamos Eduardo Espinoza
Programacion Lineal
11
CAPÍTULO CAPITULO II
1.
1. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEALLINEAL. A LA PROGRAMACIÓN Uno de los primeros en intuir, aunque en forma no tan precisa, los métodos que actualmente se concoe como programación lineal es el matemático Frances JEAN BAPTISTE – JOSEPH FOURIER (1768 – 1830) y que es una herramienta muy importante en el mundo empresarial o de los negocios, puesto que permite asignar recursos limitados entre actividades competitivas en forma óptima de la mejor manera posible. La variedad de situaciones a lo que se puede aplicar es muy grande, desde la producción de distintos tipos de artefactos que hay en una fabrica para obtener la ganancia óptima hasta las asignaciones de los recursos racionales a las necesidades de un país; así mismo se aplica en diferentes campos de la sociedad, asi por ejemplo como en los aeropuertos, en el campo de la medicina, etc. El desarrollo de la programación lineal como uno de los más importantes avances cientificos empieza a mediados del siglo XX. La programación lineal dio un gran impulso gracias a la aparición y rápida evolución de las computadoras. Los fundamentos matemáticos de la programación lineal los dio el matemático norteamericano de origen Hungaro John VON NEUMANN (1930 – 1957) en su famoso trabajo “Teoria de Juegos” la infleuncia de este extraoridinario matemático, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente en el desarrollo riguroso de esta disciplina.
1.1. 1.1. SISTEMA PRIMER GRADO CON DOS SISTEMADE DEECUACIONES ECUACIONES DE DE PRIMER VARIABLES.GRADO CON DOS VARIABLES.Todo sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tiene la sigueinte forma general. www.edukperu.com
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2 2
Eduardo Ramos EduardoEspinoza Espinoza Ramos
Programacion Lineal
a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 donde a1 , a2 , b1 , b2 , c1 y c2 son números reales x e y son las incógnitas. La solución del sistema (α) se puede obtener por los métodos de sustitución, por igualación o comparación y por sumar y restar (reducción). También existen otros métodos que son por matrices y determinantes. 1er. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.-
Consideremos el sistema de ecuaciones.
a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2
... (1) ... (2)
Este método consiste en despejar de una de las ecuaciones el valor de una de las incógnitas en términos de la otra incógnita y el resultado se reemplaza en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita, el valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita, es decir, de la ecuación (1), si b1 ≠ 0 , despejamos y, es decir:
y=
c1 − a1 x , al reemplazar en la ecuación (2) se tiene: b1
a2 x + b2 (
c1 − a1 x ) = c2 de donde b1
x=
b1c2 − b2 c1 a2 b1 − a1b2
ahora reemplazamos en la ecuación (1) se obtiene:
a1 (
b1c2 − b2 c1 ) + b1 y = c1 ⇒ a2 b1 − a1b2
Ejemplo.-
y=
a2 c1 − a1c2 a2 b1 − a1b2
3 x + 4 y = 8 Resolver el sistema 8 x − 9 y = −77
... (1) ... (2)
Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 5
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Programación Lineal Eduardo Espinoza Ramos
Programacion Lineal
3
3
Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo “y”, en una de las ecuaciones, de la ecuación (2) despejamos “y” 9y = 8x + 77 de donde y =
8 x + 77 9
Este valor de y se sustituye en la ecuación (1)
3 x + 4(
8 x + 77 ) = 8 , resolviendo esta ecuación 27x + 32x + 308 = 72 9
59x = 72 – 308, simplificando 59x = -236 de donde x = −
236 = −4 59
∴ x = -4
reemplazando x = -4, en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
3(-4) + 4y = 8 ⇒ -12 + 4y = 8 Rpta.
4y = 20 de donde y = 5
x = −4 y = 5
2do. MÉTODO POR IGUALACIÓN O COMPARACIÓN.Este método consiste en despejar el valor de la misma incógnita de ambas ecuaciones para luego igualarlas, obteniéndose una ecuación con una incógnita, el valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para determinar el valor de la otra incógnita. Es decir:
...(1)
a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2
...(2)
De (1), si b1 ≠ 0 , despejamos y
∴
y=
c1 − a1 x b1
De (2), si b2 ≠ 0 , despejamos y
∴ y=
c2 − a2 x b2
Igualando estos resultados:
c1 − a1 x c2 − a2 x de donde = b1 b2 www.edukperu.com
x=
b1c2 − b2 c1 a2 b1 − a1b2 MATEMÁTICA 5
Trigonometría PlanaRamos Eduardo Espinoza 130 130
187 187
Trigonometría Plana
En el sector circular hallar el área sombreada. a)
π u2
b)
d)
2π u 2
e)
π 2
π 3
u2
π
c)
4
u2
u2
2
131 131
Si el triángulo gira por el vértice A, hallar la distancia recorrida por B si el triángulo es equilátero de lado 4 y una de las caras es de color verde y la otra de color rojo.
C
verde
B
A
rojo
C' 132 132
b)
2π
c)
4 3π
d)
π
e)
2 3π
a)
24 m 2
b)
20 m 2
c)
28 m 2
d)
14 m 2
e)
19 m 2
a)
5 u2
b)
4.5 u 2
c)
4 u2
d)
3 u2
e)
3.5 u 2
Calcular el área del sector circular mostrado.
x rad (x + 1) m
Calcular el área de la región sombreada. C B 1u 1u
A
2u
4u
0 F E
134 134
4π
B' 12 m
133 133
a)
D ∧ En la figura mostrada, hallar el área del trapecio circular ABCD sí BD = h y D O C = α
radianes. www.edukperu.com
MATEMÁTICA 5
188 188
EduardoEspinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo
Trigonometría Plana
D
a)
α h2
α h2
b)
4
c)
h2 3α
c)
18 u 2
A
d) C
B
En el gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. C 3u a) 24 u 2 b) d)
4u
0
A
e)
14 u 2
En la figura mostrada, hallar el área de la región sombreada siendo “O” centro de la circunferencia.
3π m
π A
π
45° 0
B
Un sector circular de ángulo central
π
a)
52π m 2
b)
54π m 2
c)
50π m 2
d)
48π m 2
e)
46π m 2
tiene área
4 anterior, entonces área nueva / área anterior es: a)
138 138
16 u 2
D
3u
C
137 137
20 u 2
5u
B
136 136
h2 4α
e)
2
α
0
135 135
α h2
b)
6
c)
5
π 2
. Si el radio aumenta el doble del
d)
4
e)
3
En la figura AOB y AO1 B son sectores circulares. Sí OO1 = O1 A y L = área del sector circular AO1 B
A
L
4 0 MATEMÁTICA 5
a)
d)
O1
B
π
u2
b)
π u2
e)
4
π 2
u2
π 2
2
u . Hallar el
c)
3π 2 u 4
2π 2 u 3 www.edukperu.com
Trigonometría Plana
Eduardo Espinoza Ramos
139 139
De la figura mostrada calcular
A
S1
140 140
a)
54 35
b)
35 54
d)
54 17
e)
35 19
E S2 H
45 22
c)
B
La longitud de un determinado arco es π u y el área del sector circular correspondiente es 5π 2 u , entonces el ángulo central de dicho sector mide. 4 a)
141 141
189
S1 S2
C
F xg x° 0
G
189
Trigonometría Plana
108°
b)
108 g
4π rad 5
c)
d)
e)
80°
80 g
En el gráfico, AOB y COD son sectores circulares de áreas S1 y S 2 respectivamente. Calcular
S1 . S2
A C
0
θ
a)
15 9
b)
25 9
d)
25 3
e)
3
75 cm
45 cm
D
15 4
c)
B
142 142
Sean S1 y S 2 dos sectores circulares. Si el radio de S 2 es el doble del radio de S1 y el ángulo central de S 2 es tres veces el ángulo central de S1 , hallar la relación que existe entre las áreas de S1 y S 2 . a)
143 143
1 5
b)
1 10
c)
2 7
d)
1 12
e)
3 8
El perímetro de un sector circular elevado al cuadrado es igual a 16 veces su área. Cuánto mide el ángulo central. a)
2 rad
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b)
4 rad
c)
6 rad
d)
7 rad
e)
8 rad MATEMÁTICA 5
Eduardo Ramos Eduardo Espinoza Espinoza Ramos
190 190
Trigonometría Plana
144 144
Hallar el área de la región sombreada. Si los sectores AOB y COD, tienen igual área, además OA = 2 .
A
x rad y rad
0
C
B
D
a)
x–y
b)
2(x – y)
c)
4(x – y)
d)
2(y – x)
e)
4(y – x)
E
145 145
A un alumno se le pide calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es 2°, A pero él escribe 2 rad obteniendo un área A, si el área correcta es B, calcular . B
180
a) 146 146
b)
π
c)
1
d)
18
10 9
e)
18
π
En la figura mostrada calcular el área de la región sombreada. B C 3α
A
147 147
π
4α
2π m
α
D
0
a)
14π m 2
b)
12π m 2
c)
16π m 2
d)
10π m 2
e)
18π m 2
Calcular el área de la región sombreada sabiendo que “O” es centro y OA = OB = 6 . A a)
π u2
b)
2π u 2
c)
3π u 2
d)
4π u 2
e)
5π u 2
40°
0
148 148
40°
B
La figura mostrada es un sector circular con centro “O”. Hallar el área del sector circular AOB si L1 + L2 =
MATEMÁTICA 5
π
2
u. www.edukperu.com
Eduardo Espinoza Trigonometría PlanaRamos
Trigonometría Plana
C L2 L1 0
149 149
A
b)
2π 2 u 5
c)
4π 2 u 5
d)
π u2
D
2
e)
2π u 2
5
2π 2 π u el área de un sector circular con ángulo central rad , al multiplicar S 5 20 por 10, el ángulo central del sector aumentada es θ rad, Hallar θ.
Sea S =
a)
150 150
10g r
u2
π
a)
B
191
π 2
rad
b)
9π rad 20
c)
π 10
rad
d)
3π rad 20
e)
π 20
rad
El ángulo central de un sector circular es igual a 16° y se desea disminuir en 7°. ¿En cuánto hay que aumentar el radio del sector para que su área no varíe, si su longitud inicial es igual a 27 m?. a)
9m
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b)
10 m
c)
11 m
d)
12 m
e)
13 m
MATEMÁTICA 5
192 192
Eduardo Ramos EduardoEspinoza Espinoza Ramos
Trigonometría Plana
3.2.10. RESPUESTAS.3.2.10. respuestas.1
b
2
c
3
a
4
a
5
b
6
d
7
a
8
c
9
b
10
a
11
d
12
a
13
c
14
c
15
e
16
a
17
b
18
d
19
b
20
a
21
d
22
a
23
c
24
a
25
d
26
b
27
b
28
a
29
b
30
d
31
a
32
b
33
c
34
a
35
a
36
d
37
b
38
a
39
c
40
a
41
c
42
c
43
e
44
a
45
c
46
a
47
c
48
b
49
a
50
c
51
c
52
d
53
b
54
c
55
b
56
d
57
b
58
c
59
c
60
a
61
d
62
d
63
b
64
a
65
c
66
b
67
a
68
d
69
a
70
d
71
b
72
d
73
a
74
c
75
a
76
b
77
c
78
a
79
c
80
d
81
b
82
d
83
a
84
c
85
b
86
a
87
b
88
c
89
c
90
c
91
a
92
b
93
e
94
b
95
a
96
c
97
b
98
a
99
c
100
a
101
b
102
c
103
d
104
a
105
b
106
e
107
a
108
c
109
a
110
e
111
a
112
d
113
d
114
e
115
c
116
a
117
c
118
b
119
a
120
c
121
b
122
c
123
a
124
c
125
d
126
a
127
d
128
b
129
a
130
b
131
b
132
a
133
c
134
d
135
a
136
b
137
c
138
b
139
a
140
e
141
b
142
d
143
a
144
d
145
a
146
c
147
a
148
b
149
b
150
a
FUNCIONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS.3.3. 3.3. FUNCIONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS.Las relaciones trigonométricas, son los números que resultan de dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo; como son tres los lados de un triángulo y las posibilidades de dividir uno entre otro son seis, por lo tanto se tiene seis funciones circulares, también llamados funciones trigonométricas y son: Seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los valores de estas funciones para un número real x están denotados por: MATEMÁTICA 5
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Eduardo Espinoza Trigonometría PlanaRamos
Trigonometría Plana
193 193
Sen x, cos x, tag x, ctg x, sec x, cosec x. OBSERVACIÓN.- Estrictamente hablando, la palabra “trigonométrica” se usa cuando se está tratando con dominios de ángulos, y la palabra “circular” cuando se está tratando con dominios de números reales, no se insistirá en esta distinción, se usará trigonométrica en ambos casos: Ahora daremos la definición de las relaciones trigonométricas. 3.3.1. 3.3.1. DEFINICIÓN.-
Consideremos un ángulo θ en posición normal respecto del sistema de coordenadas cartesianas y tracemos una circunferencia de radio
r > 0, y centro en el origen, que corta al lado terminal del ángulo en el punto P(x,y), definimos las siguientes “relaciones trigonométricas” respecto al ángulo θ.
sen θ =
y ordenada y = , entonces sen θ = r radio r
cos θ =
x abscisa x = , entonces cos θ = r radio r
tgθ =
ordenada y = , entonces x abscisa
tgθ =
y x
ctgθ =
abscisa x x = , entonces ctgθ = y ordenada y
sec θ =
radio r r = , entonces sec θ = abscisa x x
cos ecθ =
Y
r 0
θ x
P(x,y) y
X
r radio r = , entonces cos ecθ = ordenada y y
Cada punto de la circunferencia se identifica con un par de coordenadas (x,y), donde “x” es la abscisa e “y” es la ordenada del punto P. Los valores de “x” e “y” pueden ser positivos y negativos, el valor de r es exclusivamente positivo. www.edukperu.com
MATEMÁTICA 5
194
194
Eduardo Espinoza Ramos
Trigonometría Plana
OBSERVACIÓN.-
Eduardo Espinoza Ramos
Si θ es un ángulo de x radianes, entonces el valor de cada función trigonométrica en θ está dado por su valor con el número real x.
Función
Y
Función
Trigonométrica Circular
A(a,b)
Sen x Cos x
Sen θ Cos θ
Tg x Ctg x
Tg θ Ctg θ
1 θ
0
x rad
x B(1,0)
X
Sec x
Sec θ
Cosec x
Cosec θ
Si θ es un ángulo medido en grados, convierta la medida en radianes y proceda como antes se indica. Ejemplo.-
π
1)
sen 30° = sen( rad ) 6
3)
tg 90° = tg( rad ) 2
π
π
2)
cos 45° = cos( rad ) 4
4)
cos 180° = cos(π rad )
3.3.2. RESPECTO A UN ÁNGULO 3.3.2. RAZONES RAZONES O O FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.A UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.Las razones o funciones trigonométricas definidas en 2.1. lo veremos con respecto a un ángulo agudo α y cuya notación es en la forma siguiente: Sen α: se lee seno del ángulo α, o seno de α Cos α: se lee coseno del ángulo α, o coseno de α Tg α : se lee tangente del ángulo α, o tangente de α Ctg α: se lee cotangente del ángulo α, o cotangente de α Sec α: se lee secante del ángulo α, o secante de α Cosec α: se lee cosecante del ángulo α, o cosecante de α MATEMÁTICA 5
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Trigonometría PlanaRamos Eduardo Espinoza
195 195
Trigonometría Plana
Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las razones trigonométricas de α se definen:
B
c
a
α
A
b
C
cateto opuesto a α a = Hipotenusa c
cos α =
cateto adyacente a α b = Hipotenusa c
tg α =
c tg α =
cateto adyacente a α b = a cateto opuesto a α
sec α =
c Hipotenusa = cateto adyancente a α b
cos ecα =
sen α =
a cateto opuesto a α = cateto adyancente a α b
c Hipotenusa = cateto opuesto a α a
C
Ejemplo.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo α del triángulo dado.
5
4
Desarrollo Desarrollo Por definición de las razones trigonométricas se tiene:
α
A
sen α =
4 5
,
cos α =
3 5
,
tg α =
c tg α =
3 4
,
sec α =
5 3
,
cos ecα =
3
4 3
B
5 4
3.3.3. FUNDAMENTALES LAS FUNCIONES 3.3.3. PROPIEDADES PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.RECTÁNGULO.1ro.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo no depende de la magnitud de los lados sino más bien depende de su magnitud angular.
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MATEMÁTICA 5
Trigonometría Plana
Eduardo Espinoza Ramos
73 73
Trigonometría Plana
Del gráfico mostrado calcular M = B
A
74 74
α
a)
2 3
b)
3 2
d)
2
e)
5 2
C
D
2
287
cos α − sen β sí AE = BD cos β − sen α
β 1 E
287
c)
1 2
En la figura adjunta, hallar el valor de x sí tg (30° - θ) – ctg (30° - θ) = 0 C
θ
a)
15 m
b)
12 m
d)
10 m
e)
18 m
c)
8m
x
A
75 75
θ
D
D
20 m
Un triángulo rectángulo recto en A tiene una hipotenusa de 5. Si sen B = 2 sen C. Hallar el valor de su mayor cateto. a)
76 76
c)
2 3
3 2
d)
5 2
e)
2
Encontrar el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo, si sus lados están en progresión aritmética. a)
77 77
b)
2 5
2 5
3 2
b)
c)
3 5
d)
5 3
e)
5 2
De la figura indicada, calcular tg θ. B
1
E
a)
5 3
b)
7 3
d)
7 2
e)
6 2
8
C www.edukperu.com
D
θ
A
c)
5
MATEMÁTICA 5
288 288
EduardoEspinoza Espinoza Ramos Eduardo Ramos
Trigonometría Plana
7878
Si α y β son los ángulos M = cos ec 2α − 2 cos ecβ
7979
b)
agudos
c)
de
un
triángulo
d)
1
rectángulo
a)
2
En
un triángulo rectángulo ABC recto en B, se cumple tg A + tg C =
-2
0
e)
-1
sen A. sen C
2 3
a) 8080
b)
5 3
3 2
c)
1 2
d)
e)
calcular
3 , calcular 2
2
En un triángulo rectángulo, el menor cateto es el triple de la diferencia entre los otros 2 lados. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.
2 3
a) 8181
b)
4 3
3 2
c)
3 4
d)
e)
2
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que tg A = 3 tg C. Hallar M =2 (sen C + sen A) a)
b)
3
c)
5
d)
6
4
e)
8
c)
2
c)
5 3
(Concurso de Matemática organizado por las Academias) 8282
En la figura indicada, hallar el valor de M = B θ
a
2a
a M
A
8383
C
N
D
cos ecθ 1 + sen θ
a)
2 3
b)
3 2
d)
5 3
e)
3 5
En la figura dada ABCD es cuadrado. Calcular tg θ B
F
C
1
a)
1 3
b)
2 3
d)
2 7
e)
7 2
5 3 A MATEMÁTICA 5
D
θ
E
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Trigonometría PlanaRamos Eduardo Espinoza
84 84
En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado. Calcular M = B
C
β
α
A
85 85
Trigonometría Plana
a)
5
b)
4
d)
1
e)
2
AB BC
=
c)
3
c)
7 5
3 , calcular tg θ 2
D
17
86 86
sec 2 α c tg β + tg α
D
En el gráfico dado: si
10 θ
A
289 289
a)
4 3
b)
3 4
d)
5 7
e)
2 5
C
B
En un triángulo rectángulo BAC recto en A, se sabe que: b. cosec B + a. sen C = 10 y
b = 2 10 , calcular la tangente del mayor ángulo agudo. 10 5
a)
b)
3 10 2
c)
2 10 3
d)
10 10
e)
5 2
c)
6 3
(Concurso de Matemática de las Academias) 87 87
En la figura adjunta. Calcular tg θ. C θ
θ
B
88 88
2x
x
a)
5 5
b)
6 6
d)
3 3
e)
7 7
A
En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus catetos es el doble de la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo. a)
2 3
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b)
4 3
c)
1 3
d)
3
e)
2 MATEMÁTICA 5
290
290
89 89
Eduardo Espinoza Ramos
Trigonometría Plana
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el perímetro del triángulo rectángulo mostrado, sabiendo que tg θ = a)
76
b)
86
d)
106
e)
116
c)
3 4 96
40
θ
90 90
En un triángulo isósceles ABC, AB = AC se cumple que cos A = 0.6. Hallar tg B a)
b)
2
3 2
c)
2 3
1 2
d)
e)
3
(Admisión UNI – 1982) 91 91
En un triángulo rectángulo los números de las longitudes de sus lados son: (2x + 6), (3x) y (5x – 6) si θ es el menor de los ángulos agudos, calcular tg θ sí x > 6.
5 2
a) 92 92
2 3
c)
2 5
3 5
d)
e)
4 5
El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2.4 ¿Cuánto mide el cateto menor? a)
93 93
b)
43.8 m
b)
c)
56.33 m
d)
54 m
34.8 m
e)
46.33 m
c)
2 3
Si AB = BC y BM = MC en el gráfico, calcular tg θ. B 2θ
a)
4 9
b)
9 4
d)
3 2
e)
1 3
M
37°
A
94 94
C
En un triángulo rectángulo el semiperimetro es 60 m y la secante de uno de sus ángulos agudos es 2.6 calcular la longitud de la hipotenusa. a)
32 m
MATEMÁTICA 5
b)
42 m
c)
52 m
d)
62 m
e)
45 m www.edukperu.com
Eduardo Espinoza Trigonometría PlanaRamos
95 95
Trigonometría Plana
291
Calcular el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo sabiendo que sus lados están en progresión aritmética.
1 5
a)
96 96
b)
3 5
c)
2 5
En la figura adjunta. Calcular el valor de E = A α
P
3b
2 3
e)
1 3
c)
4
c)
4 5
c)
5 3
tg α + sen α .cos α sen α .cos α
a)
6
b)
5
d)
3
e)
2
θ
M b B
97 97
d)
a
N
C
3a
En la figura adjunta, calcular tg θ, si ABCD es un cuadrado. B
C
θ 2
a)
2 3
b)
3 5
d)
3 2
e)
3 4
1 3 D
A
98 98
En la figura adjunta. Calcular tg θ, si ABCD es un cuadrado. B
θ
M
A www.edukperu.com
C a N
a)
6 5
b)
5 6
4a
d)
3 7
e)
2 5
D MATEMÁTICA 5
292 292
EduardoEspinoza EspinozaRamos Ramos Eduardo
Trigonometría Plana
99 99
En la figura adjunta. Calcular el valor de: sec α. sec β B
C
β
D
2
1
α A
100 100
a)
5
b)
4
d)
2
e)
1
c)
3
E
En la figura adjunta. Calcular tg θ. Sí CD = 2 AB y AM = MD C θ
a)
3
3 3
b)
c)
2 3
B 45°
A
101 101
3 2
e)
D
M
Calcular el valor de E = sen x + cos x, sabiendo que: tg ( x + 19°). cos 64° = 2 cos 2 45° a)
102 102
3 5
d)
b)
2
c)
2
Se tiene en la figura que: AB =
d)
3
1 2
e)
3
2 CD , calcular el valor de E = tg α + tg θ 3
A
a)
2 3
b)
3 2
d)
1 4
e)
1
E
C
103 103
Calcular
MATEMÁTICA 5
θ α
B
D
c)
3 4
AB , para que OB = OC CD www.edukperu.com
Estadistica y Probabilidades
Eduardo Espinoza Ramos
Estadística y Probabilidades
911
911
6.4.3. EXPERIENCIAS DEPENDIENTES.6.4.3. EXPERIENCIAS DEPENDIENTES.Dos experimentos son dependientes cuando el resultado del primero influye en las probabilidades de los sucesos del segundo. Si dos experimentos A y B son experimentos dependeintes, entonces la probabilidad de que ocurran ambois experimentos se determinan asi:
B P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( ) A Si A1 , A2 y A3 son experimentos dependientes, entonces la probabilidad de que ocurren los tres experimentos se determina asi:
P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P( A1 ).P (
A2 A1 ).P ( ) A1 A1 ∩ A2
Generalizando tenemos
P( A1 ∩ A2 ... ∩ An ) = P ( A1 ).P ( Ejemplo.-
An −1 An A2 )...P ( ).P ( ) A1 A1 ∩ A2 ... ∩ An − 2 A1 ∩ A2 ... ∩ An −1
En una urna hay cuatro bolas blancas y cinco bolas rojas, se extraen consecutivamente dos bolas sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que:
a)
Se extraigan dos bolas blancas.
b) Se extraigan una bola blanca y una roja, en ese orden. Solucion solución Sea
Bi el suceso “obtener bola blanca en la i-ésima extracción” y
R j el suceso “obtener bola roja en la i-ésima extracción” El suceso “obtener dos bolas blancas” es B1 ∩ B2 cuya probabilidad es:
P( B1 ∩ B2 ) = P( B1 ).P( www.edukperu.com
B2 4 3 1 )= . = B1 9 8 6 MATEMÁTICA 5
912
912
Eduardo Espinoza Ramos
Estadística y Probabilidades
Eduardo Espinoza Ramos
4B
B
3B
5R
5R
Total 9
Total 8
El suceso “obtener primero blanca y despues roja” es B1 ∩ R2 , cuya probabilidad es:
P( B1 ∩ R2 ) = P( B1 ).P(
B2 4 5 5 )= . = B1 9 8 18
6.4.4. 6.4.4. EXPERIENCIAS EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES.INDEPENDIENTES.Se dice que dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influyen en las probabilidades de los distintos resultados de las otras. Si dos experimentos A y B son experimentos independientes, entonces la probabilidad de que ocurran ambos experimentos es el producto de sus probabilidad individuales, es decir: P(A ∩ B) = P(A).P(B) En general, si n experimentos son independientes y los sucesos
A1 , A2 ,..., An
corresponden, respectivametne a cada una de ellos, se tiene que:
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P( A1 ).P( A2 )...P ( An ) Ejemplo.a)
cuatro 6
Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces se obtenga: b) ningun 6
c)
al menos un 6
Solucion solución a)
1 1 1 1 1 P(cuatro 6) = P(6,6,6,6) = P(6). P(6). P(6). P(6) = . . . = 6 6 6 6 1296
b)
P(ningún 6) = P(no 6, no 6, no 6, no 6) = P(no 6). P(no 6). P(no 6). P(no 6)
5 5 5 5 6 2 5 = . . . = 6 6 6 6 1296 c)
P(al menos un 6) = 1 – P(ningun 6) = 1 −
MATEMÁTICA 5
625 671 = 1296 1296 www.edukperu.com
Estadistica y Probabilidades
Eduardo Espinoza Ramos
Estadística y Probabilidades
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6.5. 6.5. TEOREMA DEDE BAYER.TEOREMA BAYER.Tenemos n sucesos A1 , A2 ,..., An incompatibles dos a dos ( Ai ∩ A j = φ ) y tales que
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω SI S es un suceso cualquiera, se tiene que:
P ( S ) = P ( A1 ).P (
S S S ) + P ( A2 ).P ( ) + ... + P ( An ).P ( ) A1 A2 An Demostracion DEMOSTRACIÓN
S = Ω ∩ S = ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) ∩ S = ( A1 ∩ S ) ∪ ( A2 ∩ S ) ∪ ... ∪ ( An ∩ S ) Y como los sucesos Ai ∩ S son incompatibles dos a dos, se tiene que:
P( S ) = P( A1 ∩ S ) + P ( A2 ∩ S ) + ... + P( An ∩ S ) = P( A1 ).P(
S S S ) + P ( A2 ).P ( ) + ... + P ( An ).P ( ) A1 A2 An
APLICACIÓN AL CASO DE PRUEBAS SUCESIVAS Tenemos un experimento compuesto de dos. Los sucesos A1 , A2 ,..., An corresponden al primer experimento y cumplen la condicion anterior. El suceso S pertenece al segundo experimento. Se puede llegar a S pasando por A1 A2 ... An 1er. experimento
2do. experimento
A1
A2
A3 …….
An
S
Ejemplo.- Supongamos dos urnas con la siguiente composicion: La primer tiene dos bolsas blancas y tres bolas negras; mientras que la segunda tiene cuatro bolas blancas y una negra. Se elige una urna al azar y se extrae una bola calcular: www.edukperu.com
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Eduardo Espinoza Ramos Eduardo Espinoza Ramos
Estadística y Probabilidades
a)
La probabilidad de que la bola extraida sea blanca.
b) La probabilidad de haber elegido la primera urna, supuesto que la bola extraida ha sido blanca. Solucion solución Llamemos U1 al suceso “elegir la primer urna” y U 2 al suceso “elegir la segunda urna”, B sera el suceso de “extraer bola blanca” a)
Nos pide:
P( B) = P(U1 ).P(
B B 1 2 1 4 3 ) + P(U 2 ).P( ) = . + . = U1 U2 2 5 2 5 5
(tengase en cuenta que, como las urnas son elegidas al azar P (U1 ) = P (U 2 ) =
b) Nos pide:
1 ) 2
B 1 2 P(U1 ).P( ) . U1 P(U1 ∩ B) U1 1 2 5 P( ) = = = = 1 2 1 4 B B 3 B P( B) . + . P(U1 ).P( ) + P(U 2 ).P( ) 2 5 2 5 U1 U2
U1 ) recibe el nombre de probabilidad “a porteriori” y se calcula B mediante la fórmula anterior llamada Teorema de Bayes. La probabilidad P(
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.6.6. 6.6. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.Es toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral Ω un valor en el conjunto de lso números reales. En efecto: definamos la variable aleatoria x: número de casos obtenidas al lanzar una moneda tres veces El espacio muestral consta de ocho elementos, estos elementos son: Ω = {ccc,csc,css,ccs,sss,ssc,scs,scc} Los valores que puede tomar la variable aleatoria x están en función del número de cada elementos del espacio muestral, asi: MATEMÁTICA 5
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Estadistica y Probabilidades Eduardo Espinoza Ramos
Estadística y Probabilidades
X(ccc) = 3
X(css) = 1
X(sss) = 0
X(scs) = 1
X(csc) = 2
X(ccs) = 2
X(ssc) = 1
X(scc) = 2
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El recorrido ® de la variable aleatoria X es:
Rx = {0,1, 2,3} Ω
R
ccc csc
0
css
Donde: 0,1,2 y 3 son los valores que toma la variable aleatoria
1
ccs sss ssc
2 2
scs scc
Podemos observar que a cada elemento del espacio muestral Ω le corresponde un único numero real.
ESPERANZA MATEMÁTICA.6.7. 6.7. ESPERANZA MATEMÁTICA.Determinaremos la probabilidad de cada valor del recorrido de la variable aleatoria X del ejemplo anterior, asi:
P (0) =
1 3 3 1 ; P (1) = ; P (2) = ; P (3) = 8 8 8 8
Estos valores tabulados determinan la distribucion de probabilidad de X:
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x
0
1
2
3
P(x)
1 8
3 8
3 8
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Estadística y Probabilidades
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La distribución de probabilidades de una variable aleatoria x está determinada por la probabilidad que se origina en cada valor que toma el recorrido de dicha variable aleatoria a cada probabilidad asignada la deteminaremos pro P(x) si sumamos el producto de cada elemento del recorrido por su respectiva probabilidad obtenemos la “esperanza matemática”. 6.7.1. DEFINICIÓN.6.7.1. DEFINICIÓN.- La espereanza matemática de una variable aleatoria discreta esta definida por: n
E ( x) =
∑ x P( x ) i
i
i =1
Ejemplo.-
Considerando la variable aleatoria del ejemplo anterior x: número de caras obtenidas al lanzar un moneda 3 veces obtuvimos la siguiente distribución de probabilidades: x
0
1
2
3
P(x)
1 8
3 8
3 8
1 8
La esperanza matemática de esta variable aleatoria x está dada por:
E ( x) =
∑ xP( x) , es decir:
1 3 3 1 3 6 3 12 E ( x) = (0 () ) + (1)( ) + 2 () + 3( ) = 0 + + + = = 1,5 8 8 8 8 8 8 8 8 Por lo tanto E(x) = 2 Luego la esperanza matemática de esta variable aleatoria es 2 “Su interpretación” al lanzar una moneda 3 veces en promedio obtendremos 2 caras. MATEMÁTICA 5
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