ÍNDICE
índice CAPÍTULO I
CAPITULO I
Pag.
yY progreciones.1.1. funciones FUNCIONES PROGRESIONES
1
1.1.
Introducción.
1
1.2.
Relaciones Binarias
7
1.3.
Funciones
16
1.3.1.
Dominio y Rango de una Función
19
1.3.2.
Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función
20
1.3.3.
Aplicaciones de A en B
23
1.3.4.
Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia
24
1.3.5.
Evaluación de una Función
26
1.4.
Operaciones con Funciones
40
1.5.
Composición de Funciones
47
1.5.1.
Propiedades de la Composición de Funciones
54
1.6.
Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas
55
1.7.
Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas
57
1.7.1.
Calculo de Rangos de Funciones Inyectivas Monótonas
59
1.8.
Función Inversa
60
1.9.
Sucesiones
62
1.9.1.
Definición
62
1.9.2.
Representación Geométrica
65
1.9.3.
Sucesiones Monótonas y Acotadas
66
1.10.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
65
1.10.1. Progresión Aritmética (P.A.) www.edukperu.com.pe
68 MATEMÁTICA 4
1.10.2. Simbología
68
1.10.3. Representación de una Progresión Aritmética
69
1.10.4. Clases de Progresión Aritmética
69
1.10.5. Propiedades de la Progresión Aritmética
70
1.10.6. Medios Aritméticos, Medios Diferenciales
74
1.10.7. Interpolación de Medios Aritméticos o Diferenciales entre dos números dados
74
1.10.8. Progresión Geométrica (P.G.)
74
1.10.9. Clases de Progresiones Geométricas
75
1.10.10. Propiedades de las Progresiones Geométricas
76
1.10.11. Medios Geométricos o Proporcionales
81
1.10.12. Interpolación de Medios Geométricos
82
1.11.
Ejercicios Desarrollados
82
1.12.
Ejercicios Propuestos
132
1.13.
Respuestas
161
CAPITULO CAPÍTULO II YY CIRCUNFERENCIA.2. 2. POLÍGONO POLIGONO CIRCUNFERENCIA
162
2.1.
Línea Poligonal
162
2.2.
Polígono
162
2.3.
Definición General del Polígono
163
2.4.
Elementos de un Polígono
163
2.5.
Clasificación de los Polígonos
164
2.6.
Propiedades de los Polígonos
166
2.7.
Cuadriláteros
175
2.7.1.
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos
176
2.7.2.
Propiedad General
182
2.8.
Circunferencia
183
MATEMÁTICA 4
www.edukperu.com.pe
2.8.1.
Definición
183
2.8.2.
Elementos de la Circunferencia
183
2.8.3.
Ángulos Relacionados con Arcos de Circunferencia
184
2.8.4.
Propiedades de la Circunferencia
187
2.8.5.
Posiciones Relativos de dos circunferencias coplanares
189
2.8.6.
Cuadriláteros Inscritos e Inscriptibles
194
2.8.7.
Puntos Notables asociados al triángulo
195
2.9.
Ejercicios Desarrollados
198
2.10.
Ejercicios Propuestos
215
2.11.
Respuestas
234
CAPITULOIII III CAPÍTULO DE TRIANGULOS, ÁREA DE 3. 3. SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES.DE TRIÁNGULOS
235
3.1.
Razón de Dos Segmentos
235
3.2.
Segmentos Proporcionales
235
3.3.
Segmentos Congruentes Determinados por Rectas que Cortan a dos Rectas Paralelas
235
3.4.
Teorema de Thales
236
3.5.
Teorema de Thales para un Triángulo
237
3.6.
Generalización del Teorema de Thales
238
3.7.
Teorema de la Bisectriz
239
3.8.
Semejanza de Triángulos
242
3.8.1.
Lados Homólogos
243
3.8.2.
Casos de Semejanza
243
3.8.3.
Propiedades de la Semejanza de Triángulos
244
3.8.4.
Líneas Notables en un triángulo
246
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MATEMÁTICA 4
3.8.5.
Teorema de Menéalo
247
3.8.6.
Teorema de Cevas
248
3.9.
Relaciones Métricas (R.M.)
250
3.9.1.
Proyección ortogonal sobre una línea recta
250
3.9.2.
Relaciones métricas en los triángulos rectángulos
252
3.9.3.
Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo
259
3.9.4.
Relaciones métricas en la circunferencia
265
3.10.
Polígonos no Regulares
269
3.10.1. Elementos del polígono
269
3.10.2. Apotema
269
3.10.3. Triángulo elemental
269
3.10.4. Fórmulas para calcular los principales elementos del polígono regular
270
3.10.5. Principales polígonos regulares
272
3.10.6. Longitud de la circunferencia
275
3.11
Ejercicios Desarrollados
277
3.12
Ejercicios Propuestos
298
3.13.
Respuestas
315
3.14.
Regiones Poligonales Regulares
316
3.14.1. Región poligonal
316
3.14.2. Área
316
3.14.3. Figuras Planas Congruentes
316
3.14.4. Figuras Planas Equivalentes
317
3.14.5. Figuras Planas Semejantes
317
3.14.6. Área de una Región Triangular
317
3.14.7. Relación de Áreas
322
3.14.8. Área de las Relaciones de los Cuadriláteros
325
3.14.9. Área de la Región del Polígono Regular
329
3.14.10. Área de las Regiones Circulares
331
3.14.11. Lúnula
333
MATEMÁTICA 4
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3.14.12. Lúnulas de Hipócrates
333
3.14.13. Ejercicios Desarrollados
336
3.14.14. Ejercicios Propuestos.
351
3.14.15. Respuestas.
362
CAPITULO IV IV CAPÍTULO 4. 4. RAZONES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS EN EN EL TRIÁNGULO EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.RECTÁNGULO
363
4.1.
Conceptos Básicos
363
4.2
Ángulos Trigonométricos
363
4.3. 4.4.
Sistemas de Medidas Angulares Ejercicios Desarrollados
372 386
4.5. 4.6.
Ejercicios Propuestos Respuestas
428 458
4.7. 4.8.
Sucesiones o Relaciones Trigonométricas Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 30°, 45°, 60°
458 466
4.9.
Funciones o Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 90º, 180°,
4.10.
270°, 360°, 0° Razones Trigonométricas de los Ángulos de 37°, 53°, 74° y 16°
469 471
4.11. 4.12.
Funciones o Razones Trigonométricas Recíprocas Tangente y Cotangente de la Mitad de un Ángulo Agudo
472 474
4.13. 4.14.
Circunferencias Trigonométricas Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas
476 477
4.15.
Líneas Trigonométricas o Líneas Circulares
477
4.16. 4.17.
Líneas Auxiliares Ejercicios Desarrollados
481 482
4.18. 4.19.
Ejercicios Propuestos Respuestas
532 558
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MATEMÁTICA 4
CAPITULO CAPÍTULO V V DEL ESPACIO: PRISMA YY PIRAMIDE 5.5. GEOMETRIA GEOMETRÍA DEL ESPACIO: PRISMA PIRAMIDE
559
5.1.
Ángulos Diedros
559
5.2.
Planos Perpendiculares
559
5.3.
Plano Bisector de un Ángulo Diedro
560
5.4.
Clasificación de los Ángulos Diedros
560
5.5.
Ángulo Poliedro
562
5.6.
Elementos del ángulo Poliedro
563
5.7.
Clasificación de los Ángulos Poliedros
563
5.8.
Ángulo Triedro
563
5.9.
Elementos del Ángulo Triedro
563
5.10.
Clasificación de los Ángulos Triedros
564
5.11.
Poliedros
564
5.12.
Elementos de un Poliedro
564
5.13.
Propiedades de los Poliedros
564
5.14.
Prisma
567
5.15.
Clasificación de las Prismas
568
5.16.
Área y Volumen del Prisma
570
5.17.
Área y Volumen del Paralelepípedo
572
5.18.
Pirámide
572
5.19.
Medida: Variación de Áreas y Volúmenes
575
5.20.
Ejercicios Desarrollados
577
5.21.
Ejercicios Propuestos
587
5.22.
Respuestas
598
MATEMÁTICA 4
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CAPITULO VI VI CAPÍTULO 6. 6. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A A LA LA GEOMETRÍA GEOMETRÍAPLANA: PLANA:LA LARECTA.RECTA 599 6.1. 6.2.
Sistema de Coordenadas Rectangulares Distancia entre dos puntos del Plano
599 600
6.3. 6.4.
Punto Medio de un Segmento de Recta Cálculo de las Coordenadas del Baricentro de una Región Triangular
602 604
6.5. 6.6.
La Línea Recta y sus Ecuaciones Forma de la Ecuación de la Recta
604 607
6.7.
Rectas Paralelas y Perpendiculares
613
6.8. 6.9.
Distancia de un Punto a una Recta Ángulo entre dos Rectas
616 619
6.10. 6.11.
Área de un Triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices Ejercicios Desarrollados
621 622
6.12. 6.13.
Ejercicios Propuestos Respuestas
630 643
CAPITULO VII VII CAPÍTULO 7. 7. ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA Y Y PROBABILIDADES.PROBABILIDADES
644
7.1.
Tabla de funciones con datos agrupados
644
7.2.
Datos estadísticos para datos agrupados
645
7.3.
Medidas de localización para variables continuos
646
7.4.
Probabilidades
650
7.5.
Potencia de un Binomio
663
7.6.
Ejercicios Desarrollados
667
7.7.
Ejercicios Propuestos
681
7.8.
Respuestas
694
Bibliografía. www.edukperu.com.pe
695 MATEMÁTICA 4
Relaciones y Funciones
Eduardo Espinoza Ramos
Relaciones y Funciones
1
1
CAPÍTULO I CAPITULO I
1.
1. FUNCIONES funciones yY progreciones.PROGRESIONES.-
1.1. INTRODUCCIÓN.1.1. introducción.a)
PAR ORDENADO.-
Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.
Ejemplo.b)
Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), etc.
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-
Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c Λ b = d Ejemplo.-
Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes.
Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es: (a,b) ≠ (c,d) ⇔ a ≠ c y/o b ≠ d Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2x– y) Desarrollo Desarrollo Para calcular el valor de x e y, aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados: x = −1 5 x + 2 y = −1 (5x + 2y, -4) = (-1, 2x – y) ⇔ ⇒ y=2 2 x − y = −4 www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
2
2
Eduardo Espinoza Ramos Eduardo Espinoza Ramos
Relaciones y Funciones
c)
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B. La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa: A x B = {(a,b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} Nota:
(a,b) ∈ A x B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B
Ejemplo.- Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} Entonces: A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano de A y B se puede realizar de diferentes formas, las más importantes son: 1° POR DIAGRAMA DE VENN – EULER.Ejemplo.- Si A = {2,4,6} y B = {1,3}. Hallar AxB
Desarrollo Desarrollo
A
B
2
1
4
3
6 AxB = {(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3)}
2° POR DIAGRAMA CARTESIANO O PLANO CARTESIANO.Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {2,4}. Hallar A x B
Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 4
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RelacionesEspinoza y Funciones Eduardo Ramos
Relaciones y Funciones
B 4
(1,4)
(1,2)
2
0
(3,4)
1
3
3
(5,4)
(5,2)
(3,2)
3
A
5
A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} 3° POR DIAGRAMA DEL ARBOL.Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {2,4}. Hallar A x B
Desarrollo Desarrollo
A 1
3
5
B
AxB
2
(1,2)
4
(1,4)
2
(3,2)
4
(3,4)
2
(5,2)
4
(5,4)
A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} OBSERVACIÓN.-
Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces: n(A x B) = n(A).n(B)
donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A. n(B): es el número de elementos del conjunto B. n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B. www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
288
288
Eduardo Espinoza Ramos
Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares
Ubicando en un gráfico los datos del problema Se sabe que BD = 9, EG = ED
F θ G
B
Se pude FD – BD C
ABGE es un paralelogramo
L
A
AB = GE = ED = L α
α E
L
θ
FD = BD c
Luego FD – BD = 0, la respuesta es 15 15
∆ EDF ≅ ∆ ABD
D
En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y en B, sus diagonales son perpendiculares
(CA ∩ BD = {m }) . En CD se ubica el punto N tal que BC // mN . Si AD = 3(BC) y AB = 20, calcular MN a)
b)
5 2
c)
5 3
d) 6
5
e)
4
(5to Concurso de Matemática 2002) b
B
Desarrollo Desarrollo
C
Se observa que: ∆ MCN ∼ ∆ ACD
k M
20
x
N
entonces 4x = 3b
3x
pero ∆ ABD ∼ ∆ ABC entonces
α α
A
4 x = 3b = 3( 16 16
16
20 3
D
20 3b 20 de donde 3b 2 = 202 ⇒ b = = b b 3
) ⇒ x = 5 3 , la respuesta es
b
En el triángulo ABC se traza la bisectriz Bm (M en AC ) en BC se ubica el punto N tal que la m∠ ) ( ABC ) = 120º , calcular AB ) ( BmN ) = 90º , BN = 2(NC) = 4u y la m ∠
MATEMÁTICA 4
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Semejanza Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Eduardode Espinoza Ramos a)
b) 3u
2u
c)
289 289
d) 5u
4u
e)
6u
(3er Concurso Nacional de Matemática) Desarrollo Desarrollo B 60º 60º
2
x
L 2 N
60º
A
30º
2 C
M
Nos piden AB = x Se traza mL // AB entonces m∠ ) BmL = m ∠ ) ABm = 60º
m ( LmN ) = 30º En el ∆ BMN: ML = BL = LN = 2 Como ∆ MCL ∼ ∆ ACB se tiene: 17 17
x 6 = de donde x = 3u, la respuesta es 2 4
b
En un triángulo ABC se inscribe el cuadrado MNPQ, donde m ∈ AB , N ∈ BC ,
P, Q ∈ AC . Si la altura Bh del triángulo ABC mide h unidades y la base AC mide b unidades. Calcular la longitud del lado del cuadrado en función de h y b (h < b) a)
bh b−h
b)
2bh b+h
c)
bh b+h
d)
b+h bh
e)
2bh b−h
(Examen Pre – UNI 1994) Desarrollo Desarrollo Indicando los datos del problema en un gráfico www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
Eduardo Espinoza Ramos
290
290
Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares
Del gráfico se tiene:
B
∆ MBN ∼ ∆ ABC M
h
18 18
x h−x de donde xh = bh – bx = b h
x
x A
N
x
x
Q
b
x(h + b) = bh despejando x C
P
x=
bh , la respuesta es h+b
c
En un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide “a”, por el punto medio Q del lado AB se traza una recta que corta al lado BC en N y a la prolongación de AC en M. Hallar MC, si además CN =
a)
a 3
a 3
b) a
c)
2a
d) 3a
e)
4a
Desarrollo Desarrollo B a 2
Aplicando el teorema de Menalao MC.NB.QA = CN.BQ.AM
2a 3
a 2
x.
N a 3
A
C
x
2a a a a . = . (a + x) 3 2 3 2
2x = a + x simplificando
M
x = a, la respuesta es 19 19
b
En un triángulo ABC se tranza las cevianas interiores AE , Bf , CD concurrentes, tal que DB = 2 + AD,
BE 2 Af 1 = y = . Calcular AB EC 3 fC 2
a)
b) 8
6
c)
10
d) 12
e)
14
Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 4
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Semejanza Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Eduardode Espinoza Ramos
291 291
Aplicando el teorema de CEVA: B
AD.BE.FC = DB.EC.AF Adecuando a las condiciones del problema
a+2
BE Af = DB. EC fC ↓ ↓ ↓ ↓ 2 1 a . = (2 + a ). operando 3 2
AD.
D E
a A
C
F
4a = 6 + 3a de donde a = 6
Luego AB = a + 2 + a = 2a + 2 = 12 + 2 = 14 e
Como AB = 14, la respuesta es 20 20
En la figura AB y BC son diámetros, T es punto de tangencia si AB = 10 cm y
TD TC
AC = 13 cm, calcular
D T
A
a)
3 5
b)
O
5 8
O’
c)
C
B
4 3
d)
5 2
e)
7 3
Desarrollo Desarrollo Ubicando en la figura con los datos dados, algunas de las propiedades estudiadas. Uniendo A con D y T con O si dos
D
propiedades, para aplicar el Teorema de Thales
T
A
5
O
O’ 13
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B
C
Como AC es diámetro ⇒ m ∠ ) ( ADC ) = 90º Como T es punto de tangencia: OT ⊥ DC además OT // AD MATEMÁTICA 4
292 292
Eduardo Espinoza Ramos Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Luego aplicando el teorema de Thales en los triángulos ∆ CTO y ∆ CDA
TD OA donde OA = 5 y OC = 8 del gráfico = TC OC Por lo tanto 21 21
TD 5 = , la respuesta es TC 8
b
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza su altura Bh . Hallar BC, si AB = 30 y AH = 18 a)
b) 50
40
c)
60
d) 70
e)
80
Desarrollo Desarrollo B
Ubiquemos los datos del problema en un triángulo
30
Se conoce que:
AB 2 = AC. Ah , de donde
302 = AC.18 ⇒ AC = 50 A
18
C
H
Ahora aplicamos Pitágoras
AC 2 = AB 2 + BC 2 de donde 502 = 302 + BC 2 BC 2 = 502 − 302 = 2500 − 900 = 1600 BC 2 = 1600 de donde BC = 1600 = 40 , la respuesta es 22 22
a
Un cateto de un triángulo rectángulo es 6 cm su proyección sobre la hipotenusa es 4 cm. Hallar la hipotenusa. a)
3 cm
b) 6 cm
c)
9 cm
d) 12 cm
e)
15 cm
Desarrollo Desarrollo Dibujando los datos del problema MATEMÁTICA 4
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Semejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares Eduardo Espinoza Ramos B
Se conoce que:
293
293
AC AB de donde = AB AD
AB 2 = AC. AD , reemplazando
6
62 = (4 + n).4 A
n
4 cm
D
C
Como AC = 4 + n = 4 + 5 = 9
4+n
c
Luego la hipotenusa AC = 9, la respuesta es 23 23
36 = 16 + 4n ⇒ n = 5
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm y uno de los catetos 9 cm. Hallar la altura correspondiente a la hipotenusa. a)
b) 7, 68 cm
8,78 cm
d) 8,87 cm
9,87 cm
e)
7,87 cm
Desarrollo Desarrollo
B
9 cm
c)
Por Pitágoras se tiene:
BC 2 = AC 2 − AB 2 h
BC 2 = 412 − 92 BC 2 = 1681 − 81
A
C
41 cm
BC 2 = 1600 ⇒ bhc = 40
Para calcular la altura h, aplicamos la propiedad El producto de los catetos es igual a la hipotenusa por la altura trazada del ángulo recto de la hipotenusa. AB.BC = AC.h, al reemplazar 9.40 = 41.h ⇒ h = Como h = 8,78 ka respuesta es 24 24
360 = 8, 78 41
a
El radio de una circunferencia mide 20 ¿A qué distancia del centro se debe trazar una cuerda de longitud igual a 32? a)
6
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b) 8
c)
10
d) 12
e)
14
MATEMÁTICA 4
294
294
Eduardo Espinoza Ramos
Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares
Desarrollo Desarrollo 16
A
20
M
En el ∆ AMO aplicamos el teorema de Pitágoras
B
16
x
202 = 162 + x 2 de donde
O
x 2 = 400 − 256 = 144 x 2 = 144 entonces x = 12 Como x = 12, la respuesta es
25 25
En la figura, encontrar BD, si AB = 4 y BC = 9, “O” es el centro de la circunferencia a)
b) 4
2
d) 8
e)
c)
6
d
D A
B
C
O
10
Desarrollo Desarrollo 4 B
A
x
D 9
Prolongamos DB de tal manera que
C
x E
DB = BE por ser OB ⊥ ED O
Aplicando el teorema de cuerdas: x.x = 4.9
x 2 = 36 de donde x = 6, la respuesta es 26 26
c
¿Cuánto mide el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 10 cm de diámetro? a)
3 cm
b) 5 cm
c)
6 cm
d) 7 cm
e)
8 cm
Desarrollo Desarrollo Como D = diámetro = 2r = 10 cm entonces r = 5 cm además se conoce que en un hexágono regular: L = r MATEMÁTICA 4
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Semejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares
295
295
Eduardo Espinoza Ramos
El lado de un hexágono es igual al radio de la circunferencia en donde está inscrito el hexágono es decir L = r = 5 cm Como L = 5 cm, la respuesta es 27 27
b
Por un punto A exterior a una circunferencia de radio “R” se trazan las secantes ABC y
) (CAE ) ADE tal que BD = L10 y CE = L3 . Hallar m ∠ a)
b) 40º
37º
c)
d) 45º
42º
e)
50º
Desarrollo Desarrollo C B
A
L3
L10
36º D
E
= 360º = 36º BD = L10 ⇒ bd BD 10
)
Como
120º
)
= 360º = 120º ce CE = L3 ⇒ CE 3
)
− bd ce CE BD 120º −36º 84º = = = 42º 2 2 2
) ) (CAE ) = Luego m ∠
Como en m ∠ ) (CAE ) = 42º , la respuesta es 28 28
c
Sobre una circunferencia de radio “R” se toman los puntos consecutivos A, B, C tal que
AC = R 3 . Encontrar la medida del ángulo ABC. a)
60º
b) 80º
c)
110º
d) 120º
e)
150º
Desarrollo Desarrollo www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
296
296
Eduardo Espinoza Ramos
Segmejanza de Triángulos, área de Regiones Poligonales y Circulares
AC ac ángulo inscrito 2
)
B x
m∠ ) B = x =
A
C
de donde ac AC = 2 x
)
R 3
R
O
como AC = R 3 = L3 entonces
Pero ABC + 2 x = 360º entonces
120º + 2x = 360º de donde x = 120º
)
2x
360º ABC = = 120º abc 3
Por lo tanto la respuesta es 29 29
d
El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 12,69 cm ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia. a)
44 cm
b) 54 cm
c)
64 cm
d) 58 cm
e)
68 cm
Desarrollo Desarrollo Calculando el radio de la circunferencia Como el cuadrado es inscrito entonces: L = r 3 ósea
12, 69 = r 2 de donde r =
12, 69 2
=
12, 69 =9 1, 41
Calculando el perímetro del hexágono regular inscrito P = 6r = 6(9) = 54, la respuesta es 30 30
b
En una circunferencia de radio R se traza la cuerda AB en la cual se ubica el punto P tal que (AP)(PB) = 6 y la distancia de P al centro de la circunferencia es a)
3
b) 5
c)
7
d) 9
3 , calcular R. e)
11
Desarrollo Desarrollo MATEMÁTICA 4
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390 390 77
Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (5n) grados centesimales y (18n) grados sexagesimales. Hallar la medida del menor ángulo en radianes.
π
a)
10
b)
π
c)
20
π 30
d)
π
e)
40
π 50
Desarrollo Desarrollo Sea α = (5n) g , β = (18n)° los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, por lo tanto se tiene:
(5n) g + (18n)° = 90°
... (1)
9 9n convirtiendo (5n) g a grados sexagesimal: (5n) g = 5n(1) g = 5n( )° = ( )° ... (2) 10 2 luego reemplazando (2) en (1) se tiene: (
(
9n )° + (18n)° = 90° , operando 2
45n )° = 90° de donde n = 4, por lo tanto los ángulos son: 2
α = (5n) g = (
9n )° = 18° y β = (18n)° = 72° 2
convirtiendo el menor ángulo 18° en radianes para esto
R=
88
S R = 180 π
de donde
Sπ 18π π = = . Luego la respuesta es: a 180° 180 10
5( a + 7.6 b) , sabiendo 4b que A es el número de segundos sexagesimal y B es el número en minutos centesimales del mismo ángulo. Calcular el valor numérico que toma la siguiente expresión k =
a)
100
b)
25
c)
50
d)
60
e)
40
Desarrollo Desarrollo Se conoce la relación MATEMÁTICA 4
S c = 9 10
... (1) www.edukperu.com
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo De donde datos del problema se tiene S =
391 391
a b , c= 3600 100
que al reemplazar en (1) se obtiene:
a b = de donde A = 32.4 B , por lo tanto 9(3600) 10(100) k= 9 9
5( a + 7.6 b) 5(32.4 b + 7.6 b) = = 50 . Luego la respuesta es: c 4b 4b
La medida de una ángulo α en el sistema sexagesimal es a°b' c' ' y en el sistema radial es 0.114π rad. Hallar a + b + c. a)
b)
62
c)
63
64
d)
65
e)
70
Desarrollo Desarrollo La relación entre el sistema sexagesimal y el sistema radial es
S=
180R
π
reemplazando S =
1° → 60' 0.52° → x
⇒ x = 31.2'
180(0.114π )
π y
S R = , de donde 180 π
= 180(0.114) = 20.52°
1' → 60' ' 0.2' → x
⇒ x = 12' '
Luego α = 20.52° = 20°31'12' ' = a°b' c' ' Por lo tanto a + b + c = 20 + 31 + 12 = 63. Luego la respuesta es: b 1010
Las medidas de tres ángulos están en progresión aritmética de razón 10 g . Hallar la medida del mayor de ellos si la suma de los tres ángulos es a)
110°
b)
108°
c)
111°
5π rad . 3
d)
109°
e)
112°
Desarrollo Desarrollo www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
392
392
Eduardo Espinoza Ramos
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo
Eduardo Espinoza Ramos
Tenemos los tres ángulos en progresión aritmética en la forma: α − 10 g , α, α + 10 g , de la condición del problema, se tiene:
suma = α − 10 g + α + 10 g + α = el ángulo mayor es: α + 10 g =
5π 5π 5π , de donde; 3α = , por lo tanto: α = 3 3 9
5π 9 + 10 g = 100° + 10( )° = 109° 9 10
como α + 10 g = 109° , la respuesta es: d
11 11
Hallar la medida circular de un ángulo, si el doble de su número de grados centesimales es mayor que su número de grados sexagesimales en 11.
π
a)
20
rad
b)
π 30
rad
c)
π 15
rad
d)
π 7
rad
e)
π 13
rad
Desarrollo Desarrollo Aplicando la relación
180R 200R S R c R y y c= ... (1) = = , de donde: S = π 180 π 200 π π
de la condición del problema, se tiene: 2C – S = 11 de donde
220 R 400 R 180 R 11π π = 11 ⇒ R = − = 11 ⇒ = π 220 20 π π
por lo tanto la respuesta es: 12 12
a
Si S, C y R son las medidas de un mismo ángulo en el sistema sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, simplificar: k =
a)
0.01
b)
c)
1
(1800 + π )( S 2 + c 2 + R 2 ) (72400 + π 2 )( Sc + SR + cR) 0.05
d)
0.02
e)
20
Desarrollo Desarrollo La relación entre dichos sistemas es: MATEMÁTICA 4
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Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo
393
393
S c R = = = k1 , de donde: S = 180 k1, C = 200 k1, R =π k1 180 200 π reemplazando en la expresión: k =
(1800 + 19π )
k=
(72400 + π 2 )( Sc + SR + cR)
32400k12 + 40000k12 + π 2 k12
(72400 + π 2 ) 36000k12 + 180π k12 + 200k12π
= 1313
(
(1800 + 19π )(81k 2 + 10)
)=
(1800 + 19π )(72400 + π 2 ) (72400 + π 2 )(36000 + 380π )
1800 + 19π 1 = = 0.05 , por lo tanto la respuesta es: c 20(1800 + 19π ) 20
Si S, C y R representan las medidas sexagesimal, centesimal y radial del ángulo α. Si
S + c + R = 152 + a)
70°
2π ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo α? 5 b)
80°
c)
72°
d)
e)
71°
75°
Desarrollo Desarrollo 10 S c R = = , de donde: c = S 9 180 200 π 2π reemplazamos en la ecuación S + c + R = 152 + , de donde: 5 Aplicando la relación
S+
y
R=
πS 180
, ahora
380 + π 2π 760 + 2π 10 S π S 2π , simplificando: = S = 152 + + = 152 + 180 5 5 9 280 5
380 + π 2(380 + π ) 360 S 2 , entonces: ⇒ S= S= = 72° = 5 180 5 180 5 Luego la respuesta es: c 1414
Sean S y C los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas 1 1 1 , hallar dicho ángulo en sexagesimal y centesimal respectivamente. Si − = S c 15 radianes.
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MATEMÁTICA 4
394 394
Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos Eduardo
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo
π
a)
150
b)
rad
π 100
rad
c)
π 110
d)
rad
π 80
rad
π
e)
120
rad
Desarrollo Desarrollo Aplicando la relación:
Como
S c R = = = k de donde S = 180k y C = 200k ... (1) 180 200 π
Sc 1 1 1 entonces c − S = − = 15 S c 15
... (2)
200k − 180k =
Al reemplazar (1) en (2) se obtiene:
20k = (12)(200k 2 ) por lo tanto k =
como R = π k =
15 15
π 120
e
, luego la respuesta es:
para que este ángulo mida 140 grados centesimales. b)
5
1
de donde
1 120
Un ángulo en el sistema sexagesimal se expresa por: S =
a)
(180)200k 2 15
c)
121 + 5 , calcular el valor de “x” x
d)
4
e)
3
2
Desarrollo Desarrollo De la condición del problema se tiene: S = 140 g =
121 +5, x
9 convirtiendo 140 g a grados sexagesimal 140 g = 140( )° = 126° 10 como
121 121 = 126 − 5 + 5 = 140 g = 126° entonces x x
de donde MATEMÁTICA 4
121 = 121 entonces x = 1. por lo tanto la respuesta es x
b www.edukperu.com
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo 1616
395 395
La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia es 18 g . Determinar la medida en radianes del menor de los ángulos. a)
π
b)
200
π
c)
20
19π 100
π
d)
80
e)
π 3
Desarrollo Desarrollo Sean α y β los ángulos, tal que:
α + β = 18° , convirtiendo a radianes g α − β = 18
π α + β = 18°(180° )rad α − β = 18 g ( π )rad 200 g
π α + β = 10 de donde resolviendo el sistema: α − β = 9π 100 al suma se tiene 2α =
como α + β =
como β = 1717
π 10
π 200
π 9π 19π 19π de donde α = + = 10 100 100 200
entonces β =
π 10
−α =
π
19π π = 10 200 200 −
es el menor entonces la respuesta es
a
El número de grados sexagesimal que tiene un ángulo, excede a 14 veces el número de radianes en 51. Hallar en número de grados centesimales que tiene dicho ángulo (considerar π = a)
35
22 ) 7 b)
45
c)
55
d)
65
e)
75
Desarrollo Desarrollo De las condiciones del problema se tiene: www.edukperu.com
S – 14R = 51
... (1) MATEMÁTICA 4
396 396
Eduardo Espinoza Eduardo EspinozaRamos Ramos
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo
Ahora expresamos a S y R en términos de grados centesimales donde se tiene:
S=
S=
S c c R y de = = 9 10 200 π
9 22 cπ , como π = entonces c y R= 10 7 200
9 22c c y R= 10 1400
... (2)
al reemplazar (2) en (1) se obtiene: S − 14 R =
9 22c c − 14( ) = 51 10 1400
9 22c 68c c− = 51 entonces = 51 de donde C = 75 10 100 100 Luego la respuesta es e 1818
En un triángulo ABC, el ∠ ) a mide x grados sexagesimales, el ∠ ) b mide 3x grados centesimales y el ∠ ) c mide
πx
radianes, hallar en el sistema sexagesimal la diferencia 108 entre el mayor y menor de los ángulos. a)
b)
33.54°
55.90°
d)
e)
90.558°
37°
La suma de tres ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, por lo tanto
(3x)g
A
57.018°
Desarrollo Desarrollo
B
πx rad 108
x°
c)
C
x° + (3 x) g +
πx rad = 180° 108
expresando en grados sexagesimales se tiene:
x° + (3 x)(1g ) +
x° +
π x 180° 9 = 180° operando (1 rad ) = 180 ° ⇒ x° + 3 x.( )° + 10 108 π 108 πx
27 180 x° + x° = 180° simplificando 161x°=30(180°) de donde x°=33.54° 10 108
por lo tanto los ángulos serán: MATEMÁTICA 4
∠ ) a :
x° = 33.54° www.edukperu.com
Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo Eduardo Espinoza Ramos Razones Trigonómetricas en el Triángulo Rectángulo
27 27 x° = (33.54°) = 90.558° 10 10
∠ ) b :
∠ ) b − ∠ ) a = 90.558° - 33.54° = 57.018°. 1919
∠ ) c :
;
sistema centesimal?
50 g
b)
45 g
c)
397
5 5 x° = (33.54°) = 55.90° 3 3
Por lo tanto la respuesta es c
Un ángulo de un triángulo mide 35° y el otro
a)
397
5π rad. ¿Cuánto mide el otro ángulo en el 9
75 g
d)
83 g
e)
30 g
Desarrollo Desarrollo
B
Sean ∠ ) b = ) a = 35°, ∠
5π rad y ∠ ) c = ? 9
Se conoce que en todo triángulo se tiene:
C
A convirtiendo el ∠ ) b =
∠ ) b =
... (1)
∠ ) a + ∠ ) b + ∠ ) c = 180º
5π rad al sistema sexagesimal 9
5π 5π 180° ( ) = 100° por lo tanto rad = 9 9 π
35° + 100° + ∠ ) c = 180° de donde ∠ ) c = 45° ahora convertimos ∠ ) c = 45° al sistema centesimal
∠ ) c = 45°. 2020
200 g = 50 g por lo tanto la respuesta es 180°
a
Calcular la medida del mayor ángulo en radianes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesimales de otro ángulo vale 70 y además son suplementarios. a)
π 3
rad
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b)
π 6
rad
c)
2π rad 3
d)
3π rad 5
e)
5π rad 6
MATEMÁTICA 4
608
608
Eduardo Espinoza Ramos
Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos
Y
mL =
L P(x,y)
∴
y − y0 de donde y − y 0 = mL( x − x 0 ) x − x0 L : y − y 0 = mL( x − x 0 )
P0(x0,y0) 0
X
Ejemplo.-
Hallar la ecuación de la recta L de pendiente 2, que pasa por el punto A(1,3). Desarrollo Desarrollo
L : y − y 0 = mL( x − x 0 )
La ecuación de la recta es:
Como la recta L pasa por el punto A(1,3) y tiene mL = 2 Entonces reemplazamos en la ecuación de la recta L: y – 3 = 2(x – 1) de donde b)
∴ L: 2x – y + 1 = 0
ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE DOS DE SUS PUNTOS.La ecuación de la recta L que pasa por los puntos P0 ( x 0 , y 0 ) , P1 ( x1 , y1 ) está dado por:
L : y − y0 =
y1 − y0 ( x − x0 ), x1 ≠ x0 x1 − x0 Y
En efecto: Consideremos la recta L que pasa por los puntos P0 ( x 0 , y 0 ) ,
P1(x1,y1)
P1 ( x1 , y1 )
entonces su pendiente es:
mL = MATEMÁTICA 4
y1 − y0 x1 − x0
L
P0(x0,y0)
… (1)
0
X www.edukperu.com
Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos
Geometría Analítica
609
609
Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente, es decir: … (2)
L : y − y 0 = mL( x − x 0 ) Ahora reemplazamos (1) en (2) obteniéndose
L : y − y0 = Ejemplo.-
y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,5) y B(6,2). Desarrollo Desarrollo
La ecuación de la recta es:
L : y − y0 =
y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0
Como la recta L pasa por los puntos A(-3;5) y B(6;2) entonces reemplazamos en la ecuación de la recta.
L: y −5 = c)
2−5 ( x − (−3)) de donde 6 − (−3)
L: x + 3y – 12 = 0
FORMA PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN.La ecuación de la recta L de pendiente m y que corta al eje Y en el punto P0 (0, b) (siendo b la ordenada en el origen) está dado por: L: y = mx + b En efecto:
Y
La recta L no vertical de pendiente m, y que intercepta al eje Y en el punto
P0(0,b)
P0 (0, b) y como la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente es:
L
0
X
L : y − y 0 = m( x − x 0 ) www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
610
610
Eduardo Espinoza Ramos
Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos
Entonces reemplazamos los datos obtenidos L: y – b = m(x – 0) de donde Ejemplo.-
∴ L: y = mx + b
Hallar la ecuación de la recta L que corta al eje Y en el punto (0,3) y cuya pendiente es 2.
Y
Desarrollo Desarrollo
L
Como L: y = mx + b donde 3
m = 2 y b = 3 entonces
0
d)
X
L: y = 2x + 3 de donde ∴ L: 2x – y + 3 = 0
FORMA SIMÉTRICA.- La ecuación de la recta L que corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a,0) y B(0,b) (“a”, abscisa en el origen y b ordenada en el origen), está dado por:
x y + =1 a b
L: En efecto
Consideremos una recta L no vertical que intercepta a los ejes en los puntos A(a,0) y B(0,b) Calculando la pendiente de L se tiene: Y L
m=
B(0,b)
b−0 b =− a 0−a
ahora utilizando la ecuación en su forma punto – pendiente se tiene: A(a,0) 0
X
b L : y − 0 = − ( x − a ) , de donde a ∴ L:
MATEMÁTICA 4
x y + =1 a b www.edukperu.com
Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-
Geometría Analítica
611
611
Una recta L pasa por los puntos A(-3,0) y B(0,4) determinar su ecuación. Y
Desarrollo Desarrollo
L B(0,4)
Sea L :
x y + =1 a b
Como a = -3 y b = 4 entonces
A(-3,0) 0
X
L:
x y + = 1 de donde L: 4x – 3y + 12 = 0 −3 4
Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 2 unidades cuadradas. Desarrollo
Desarrollo
Y
Datos del problema:
b P(1,1)
A=
A 0
como P(1,1) ∈ L ⇒
a
X
a.b = 2 de donde ab = 4 2
sea L :
… (1)
x y + = 1 , la recta pedida a b
1 1 + = 1 , de donde se tiene: a + b = ab = 4 ⇒ b = 4 – a a b
ahora al reemplazar b = 4 – a en la ecuación (1), es decir: ab = a(4 – a) = 4 entonces 4a − a 2 = 4 de donde
(a − 2) 2 = 0 de donde a – 2 = 0 ⇒ a = 2 como b = 4 – a = 4 – 2 = 2 ⇒ b = 2 www.edukperu.com
MATEMÁTICA 4
612
612
Eduardo Espinoza Ramos
Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos
reemplazando en la ecuación L :
x y + = 1 se tiene: a b
L:
x y + =1 2 2
e)
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.-
de donde:
L: x + y = 2
La forma general de la ecuación de la recta L está dado por: L: Ax + By + C = 0 Donde A, B, C son constantes con la condición que A, B y C no son simultáneamente nulas. En efecto: Consideremos la ecuación de la recta en su forma cartesiana
L : y − y0 =
y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0
… (1)
a la ecuación (1) expresaremos en la forma:
L : ( y1 − y 0 )( x − x 0 ) − ( x1 − x 0 )( y − y 0 ) = 0
L : ( y1 − y 0 ) x − ( x1 − x 0 ) y + x1 y 0 − x 0 y1 = 0 de donde: OBSERVACIÓN.-
L: Ax + By + C = 0 De la ecuación general de la recta se presentan los siguientes casos:
a) Si A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ⇒ y = − b) Si A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 ⇒ x = − MATEMÁTICA 4
C , que es una recta paralela al eje X. B
C , que es una recta paralela al eje Y. A www.edukperu.com
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c)
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Si A ≠ 0, B ≠ 0 entonces y = −
A C x − , que es la ecuación de la recta en la forma B B
pendiente ordenada en el origen, de donde m = −
A , es decir: si se tiene la ecuación B
general de la recta L: Ax + By + C = 0 su pendiente es: m = −
Ejemplo.-
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La pendiente de la ecuación 3x + 4y + 9 = 0 es m = −
A B
3 4
6.7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.6.7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.-
Consideremos dos rectas L1 y L2 con pendientes mL1 y mL2 respectivamente, entonces: i)
La recta L1 es paralela a la recta L2 correspondientes son iguales, es decir:
L1 // L2 ⇔
( L1 // L2 ) sí y sólo sí sus pendientes
mL1 = mL2
Y L1
θ 0
L2
θ X
ii) La recta L1 es perpendicular a la recta L2 ( L1 ⊥ L2 ) sí y sólo sí, el producto de sus pendientes es igual a menos 1, es decir:
L1 ⊥ L2 www.edukperu.com
⇔
mL1 .mL2 = −1 MATEMÁTICA 4
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Y L2
θ1
0
Del gráfico se tiene:
L1
θ2 X
mL1 = tg θ1 y mL2 = tg θ 2
… (1)
Además del gráfico se tiene: θ 2 = 90° + θ 1 (ángulo exterior a un triángulo).
tg θ 2 = tg(90° + θ1 ) = −c tg θ1 = −
1 de donde tg θ1
tg θ 1 . tg θ 2 = −1
… (2)
Luego al reemplazar (1) en (2) se tiene:
mL1.mL2 = −1 Ejemplo.-
Determinar para qué valores de “a” la recta
L : (a + 2) x + (a 2 − 9) y + 3a 2 − 8a − 5 = 0 , es: i)
ii) Paralela al eje Y.
Paralela al eje X.
iii) Pasa por el origen de coordenadas. Desarrollo Desarrollo
Sea L : (a + 2) x + (a 2 − 9) y + 3a 2 − 8a − 5 = 0 entonces mL = −
L : eje X Sean 1 L2 : eje Y MATEMÁTICA 4
a+2 a2 − 9
mL = 0 entonces 1 mL2 = ∞ www.edukperu.com
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L // L1 −
ii)
⇔
a+2 a2 − 9
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mL = mL1 = 0 ⇒ a + 2 = 0 ⇒ a = -2
L // L 2 ⇔ mL = mL1 −
a+2 a2 − 9
=∞
⇒
a2 − 9 = 0 ⇒ a 2 = 9 ⇒ a = ± 3
iii) (0,0) ∈ L ⇒ 0 + 0 + 3a 2 − 8a − 5 = 0 (3a – 5)(a – 1) = 0 de donde a = 1, a = Ejemplo.-
5 . 3
Hallar el valor ó valores de k para que las rectas de ecuación
L1 : 2 y − kx − 3 = 0 y L2 : (k + 1) y − 4 x + 2 = 0 sean perpendiculares. Desarrollo Desarrollo
Sean:
k mL1 = 2 L1 : − kx + 2 y − 3 = 0 ⇒ L2 : − 4 x + (k + 1) y + 2 = 0 mL = 4 2 k + 1
Como L1 ⊥L 2 entonces mL1 .mL2 = −1 , de donde se tiene:
1 k 4 . = −1 ⇒ 2k = -k – 1 ⇒ 3k = 1 de donde k = − 3 2 k +1 Ejemplo.-
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(-6,4) perpendicular a la recta L1 : 4 x − 5 y + 3 = 0 Desarrollo Desarrollo
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Como P(−6, 4) ∉ L1 , además
L P(-6,4)
L1 : 4 x − 5 y + 3 = 0 ⇒ mL1 =
4 5
… (1) … (2)
L1 ⊥ L ⇒ mL1.mL = −1 L1: 4x-5y+3=0
Ahora reemplazamos (1) en (2)
5 4 mL = −1 ⇒ mL = − 4 5 como se tiene punto P(-6,4) y mL = − su forma punto – pendiente:
5 aplicamos la forma de la ecuación de la recta en 4
L1 : y − y0 = mL( x − x0 )
5 L1 : y − 4 = − ( x + 6) de donde ∴ L: 5x + 4y + 14 = 0 4 6.8. DISTANCIA DE UN A UNA A RECTA.6.8. DISTANCIA DEPUNTO UN PUNTO UNA RECTA.-
Las distancias no dirigida de un punto P0 ( x 0 , y 0 ) a una recta L: Ax + By + C = 0 está dada por la fórmula:
d ( P0 , L) =
| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2
En efecto: Por el punto P0 ( x 0 , y 0 ) trazamos una recta L1 , perpendicular a la recta L.
Y L1
L
P0(x0,y0)
A 0
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Como L ⊥ L1 ⇒ mL.mL1 = −1 Además mL = −
X
A de donde B
B A − .mL1 = −1 ⇒ mL1 = A B www.edukperu.com