Сравнение Еврокод 2 и Българските норми за проектиране на стоманобетонни кострукции by Строителен Инженер

КАМАРА НА

Шшк . 1ИВЕРСИТЕ 1

•

АРХИТЕКТУРА

СТРОИТЕЛСТВО

ИНЖЕНЕРИТЕ В ИНВЕСТИЦИОННОТО

И ГЕОМЗИЯ

ПРОЕКТИРАНЕ

ЕВРОКОД 2 И БЪЛГАРСКИТЕ НОРМИ

ПIPC!^ IE КТ И F^i^kH IE ""

ЧАСТ ПЪРВА

БЕТОНИ И СТОМАНИ В КОНТЕКСТА НА ЕВРОКОД 2 И БЪЛГАРСКИТЕ НОРМИ ЗА ПРОЕКТИРАНЕ - ПРИЛОЖЕН СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ Доц. д-р инж. Богомил Петров УАСГ - Катедра „Строителни материали и изолации"

Настоящото изложение е изготвено като сравнителен анализ на Еврокод 2 и актуалните до момента български норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции в областта на прилагане на конструктивните материали. Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции (Утвърдени със Заповед № РД-02-14-257 от 1986 г. на КТСУ, обн., ДВ, бр. 17 от 1987 г., изм. № 2, ДВ, бр. 17 от 1993 г., публ. БСА, бр. 1 от 1993 г., изм. № 3, ДВ, бр. 3 от 1996 г., публ.. БСА, бр. 8 от 1996 г., изм. № 4, ДВ, бр. 49 от 1999 г., БСА, бр. 7-8 от 1999 г. и изм. № 5, ДВ, бр.17 от 58 от 2008 г.)

Еврокод 2: Проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции, Част 1-1 Общи правила и правила за сгради. Еврокод 2 е означен още като БДС EN 1992-11:2005

В периода след 2005 година с въвеждане на хармонизираните с европейските стандарти БДС EN 206-1 : 2002 „ Б е т о н част 1: Спецификация, свойства, производство и съответствие" и БДС EN 10080:2005 „Стомана за армиране на бетон. Заваряема армировъчна стомана. Общи изисквания" значителна част от принципните различия в избора и прилагането на конструктивните материали за стоманобетонни конструкции (бетон и стомана) частично бяха отстранени и отразени в горепосочените изменения на Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции от 2008 г. Настоящите сравнения са с приложна насоченост и са илюстрирани с графики и числени примери. НПБСК'87 I. Бетони

Еврокод 2 I. Бетони

1. Нормативни

документи

1. Нормативни

документи

1.1. БДС 7268-83 „Бетон.Класификация и основни технически изисквания" 1.2. БДС 4747-83 „Газобетон автоклавен. Класификация и технически изисквания" 1.3. БДС 9673-84 „Бетон. Контрол и оценка на якостта"

1.1. БДС EN 206-1 : 2002 „Бетон част 1: Спецификация, свойства, производство и съответствие" 1.2. БДС EN 206-1:2002/NA:2008 „Бетон част 1: Спецификация, свойства, производство и съответствие" - Национално приложение (НА)

2. Видове

бетони

2.1.Обикновен - с обемна плътност от 2200 kg/m3 до 2500 kg/m3; 2.2. Олекотен - с обемна плътност от 1800 kg/m3 до 2200 kg/m3; 2.3. Лек бетон - с обемна плътност от 600 kg/m3 до 1800 kg/m3;

2.1. Обикновен и високоякостен - с обемна плътност от 2200 kg/m3 до 2500 kg/m3; 2.2. Бетон с леки добавъчни материали - с обемна плътност до 2200 kg/m3;

3. Якост на натиск

3.1. Класове по якост на натиск Якостта на натиск на бетона се означава с класове по якост на натиск. Тези класове са свързани с характеристичната кубова якост на натиск (Ro,9s)Кубовата якост на натиск се определя с кубични пробни тела с размери 150 mm. Характеристичната якост на натиск на бетона е якостта с обезпеченост 95%. Тя се определя в съответствие с изискванията на БДС 9673-84. Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

3.1. Класове по якост на натиск Якостта на натиск на бетона се означава с класове по якост на натиск. Тези класове са свързани с характеристичната цилиндрична якост на натиск на бетона, определена на 28 дневна възраст (fck) и характеристичната кубова якост на натиск (fck,cube)- Цилиндричната якост на натиск се определя с цилиндри с диаметър 150 mm и височина 300 mm. Кубовата якост на натиск се Стр.14

Класовете по якост на натиск се базират на характеристичната кубова якост (Ro,9s) на бетона, определени на 28 дневна възраст. В съответствие с изискванията на БДС 7268-83 означението на класовете по якост на натиск на обикновения и тежкия бетон се извършва чрез буква В (—) и цифрово означение за характеристичната кубова якост на натиск на бетона. Характеристичната якост на бетона (Ro,9s) е стойността на якостта, под която попадат максимум 5% от множеството на всички възможни якостни определения на обема на разглеждания бетон (5% -Quantil). Класовете по якост на натиск за обикновен бетон (бетон с плътна структура и плътни добавъчни материали) са дадени в Табл. 1. Таблица 1 Клас по якост на натиск

Минимална характеристична кубова якост на натиск, R ^ s N/mni2

В 7,5

7,5

В 10

В 12.5

12,5

В 15

В 20

В 25

В 30

В 35

В 40

В 45

В 50

В 55

В 60

С Изменение № 5 на „Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции" (обн., ДВ, бр. 17 от 1987 г.; изм. № 2, ДВ, бр. 17 от 1993 г.; изм. № 3, ДВ, бр. 3 от 1996 г.; изм. № 4, ДВ, бр. 49 от 1999 г.) е нормирана зависимост между класовете бетон, което създава предпоставки за паралелно използване на двете означения за клас на бетона по якост на натиск. Същите са дадени в Таблица 2 Таблица 2 Клас по БДС EN 206-1/NA

Клас по норми и БДС7268

Допълнителен С6/8

В7,5

С8/Ю

В10

Догтьлшгтелен С10/12

В12,5

С12/15

В15

С16/20

В20

С20/25

В25

С25/30

В30

Допълнителен С28/35

В35

С30/37

Допьлннтелен С32/40

В40

С35/45

В45

С40/50

В50

С45/55

В55

С50/60

В60

определя с кубични пробни тела с размери 150 mm. Характеристичната якост на натиск на бетона е якостта с обезпеченост 95%. Тя се определя в съответствие с изискванията на БДС EN 206-1. В съответствие с изискванията на БДС EN206-1 означението на класовете по якост на натиск на обикновения и тежкия бетон се извършва чрез буква С (—/--) и цифрово означение за характеристичната цилиндрична и характеристичната кубова якост на натиск на бетона. В съответствие с изискванията на БДС EN206-1/NA означението на класовете по якост на натиск на обикновения и тежкия бетон се извършва чрез буква В (—) и цифрово означение за характеристичната кубова якост на натиск на бетона. Характеристичната якост на бетона (f ck ) е стойността на якостта, под която попадат максимум 5% от множеството на всички възможни якостни определения на обема на разглеждания бетон (5% -Quantil). Класовете по якост на натиск за обикновен и тежък бетон са дадени в Таблица 1*. Таблица 7* Клас по якост на натиск

Минимална характеристи чна цилиндрична якост на натиск, f ck,cyi N/mm2

Минимална характеристи чна кубова якост на натиск,

Клас по якост на натиск БДС EN 206-1 /NA

f ck,cubcN/mm2

Допълнителен С6 / 8

С 8 / 10

В 7,5 В 10

Допълнителен С 10/12

В 12.5

С 12/ 15

В 15

С 16/20

В 20

С 20 / 25

В 25

С 25 / 30

В 30

Допълнителен С 28/35

В 35

С 30 / 37

Допълнителен С 32/40

В 40

С 35 / 45

В 45

С 40 / 50

В 50

С 45 / 55

В 55

С 50 / 60

В 60

С 55 / 67

С 60 / 75

С 70 / 85

С 80 / 95

С 90/ 105

105

С 100/115

100

115

В съответствие с изискванията на БДС EN206-1 означението на класовете по якост на натиск на лекия бетон се извършва чрез буквено означение LC (—/—) и цифрово означение за характеристичната цилиндрична и характеристичната кубова якост на натиск на бетона. Класовете по якост на натиск за леките бетон са дадени в Таблица 2*.

Класовете по якост на натиск за олекотените и Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

Стр.14

леките бетон в зависимост от обемната плътност на бетона са дадени в Таблица 3. Таблица 3 Клас по плътност

Таблица 2* Клас по якост на натиск

Минимална характеристична цилиндрична якост на натиск, f ck^yi N/mm2

Клас по якост на натиск

D600 и D700

В2,5; В3,5; В5

D800 и D900

B2,5; В3,5; B5; Б7,5

Минимална характеристична кубична якост на натиск f ck,cube N/mm2

LC 8 / 9

LC 1 2 / 1 3

D1000hD1100

B2,5; B3,5; B5; B7,5; В10; В12,5

LC 16/ 18

D1200 и D1300

В2,5; B3,5; В5; В7,5; B10; B12,5; BL5

LC20/22

D1400 и D1500

LC 3 5 / 3 8

LC40/44

LC 45 / 50

LC50/55

LC 55 / 60

LC 60 / 66

LC 70 / 77

LC 80 / 88

B3,5; В5; В7,5; B10; B12,5; B15; B20; В25; B30

L C 2 5 / 2 8 г<

D1600 и D1700

В5; В7,5; В10; В12,5; В15; В20; В25; В30; В35

LC 3 0 / 3 3 ;

D1800 и D1900

В10; В12.5; В15; В20; В25; В30; В35; В40

D2000 и D2200

В20; В25; В30; В35; В40

Определение: Класът по якост бетона е нормативна якост обезпеченост 95%.

на натиск на натиск

на с

Класовете по плътност на леките бетони са дадени в Таблица 3*. Таблица 3* Клас по плътност Граница на плътността kg/m3

D1,0

D1.2

Dl,4

Dl,6

Dl,8

D2,0

>800 и <1000

>1000 и <1200

>1200 и <1400

>1400 и <1600

>1600 и <1800

>1800 и <2000

3.2 Изисквания за класа по якост на натиск на бетона За стоманобетонни конструкции не се допуска прилагането на обикновен бетон с проектен клас по якост на натиск, по-нисък от: - В 12,5 - при армировъчна стомана клас A-II; - В 15 - при армировъчна стомана A-III или Т-1П; - В 20 - при армировъчна стомана T-IY или A-IV; Класът на бетона по якост на натиск за стоманобетонни елементи от обикновен бетон, подложени на многократно повтарящи се натоварвания или за стоманобетонни колони и прътови елементи, подложени на натиск, се приема не по-нисък от В15. В съответствие с Наредба РД-02-20-2 от 27 януари 2012 г. класът на бетона по якост на натиск за стоманобетонни конструкции, които поемат сеизмичните сили трябва да бъде не по-нисък от В25. Допуска се за строежи с клас на значимост I да се използва бетон с клас В20.

3.2 Изисквания за класа по якост на натиск на бетона Отразено основно чрез индикативните класове за якост на натиск на бетона, които са свързани с класовете по експлоатационно въздействие. В съответствие с Наредба РД-02-20-2 от 27 януари 2012 г. класът на бетона по якост на натиск за стоманобетонни конструкции, които поемат сеизмичните сили трябва да бъде не понисък от С20/25. Допуска се за строежи с клас на значимост I да се използва бетон с клас С16/20.

3.3 Определяне на средната якост на натиск чрез характеристичната якост на натиск Чрез характеристичната якост на натиск може да се определи необходимата средна якост на натиск на бетона

3.3. Определяне на други характеристики чрез характеристичната цилиндрична якост на натиск на бетона Чрез характеристичната цилиндрична якост на натиск може да се определи средната якост на натиск на бетона (таблица 3.1 на ЕК2).

В = R,

= R

1,64 ^ ( М Р а )

fcm.cvl

Д0,95 = R m ( 1 - 1 , 6 4 - ^ ) (МРа] Кт Следователно: Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

fck.cyl

[МРа

]

В Еврокод 2 не е изрично записано, но от означението става ясно че тази формула важи Петров

Стр.14

Rm=R0<95/(l~lMCv){MPa) При възприета средна стойност на коефициента на вариация C v у нас 13,5% следва:

Rn 1-1,64*0,135

0,7786

[МРа]

Въз основа на тази формула могат да се определят минималните средни якости, които гарантират постигането на съответния клас по якост на натиск, дадени в Таблица 4. Таблица 4 Клас по якост на натиск

Минимална средна кубова якост на натиск, R ra N/mm2

само за цилиндричната якост на натиск. За кубовата якост по аналогия би трябвало да се приложи формулата: / с * ^ +10(8) (АГРс

cm ,cube

В Таблица 4* са дадени средните якости на натиск на бетона при различните класове според даденото в табл.3.1 на ЕК2 и по аналогия. Таблица 4* Клас по якостна натиск

Минимална средна цилиндрична якост на натиск, f cm,cri N/mm2

Минимална средна кубична якост на натиск, f cm.cube N/mm2

С8/10

20(18)

Допълнителен С 10/12

22 (20)

С 12/ 15

25 (23) 30(28)

В 7,5

9,63

С 16 / 20

В 10

12,84

С 20 / 25

35(33)

В 12.5

16,05

С 25 / 30

40(38)

В 15

19,26

Допълнителен С 28/35

45 (43)

В 20

25,68

С 30 / 37

47 (45)

В 25

32,10

Допълнителен С 32/40

50 (48)

В 30

38,53

С 35 / 45

55 (53)

В 35

44,95

С 40 / 50

60(58)

В 40

51,37

С 45 / 55

65 (63)

В 45

57,79

С 50 / 60

70 (68)

В 50

64,21

С 55 / 67

77(75)

В 55

70,63

С 60 / 75

85 (83)

В 60

77,06

С 70 / 85

95 (93)

С 80 / 95

105 (103)

С 90 / 105

115 (113)

Сравняване на средните якости на натиск Клас по якост на натиск

Минимална средна кубова якост на натиск, R ra N/mm2

Минимална средна кубична якост на натиск, f cm,шbe N/mm2

В 10

12,84

20(18)

С8/10

В 12.5

16,05

22 (20)

Допълнителен С 10/12

В15

19,26

25 (23)

С 12/ 15

В 20

25,68

30 (28)

С16/20

В 25

32,10

35 (33)

С 20 / 25

В 30

38,53

40 (38)

С 25 / 30

В 35

44,95

45 (43)

Допълнителен С 28/35 Допълнителен С 32/40

Клас по якост на натиск

В 40

51,37

50 (48)

В 45

57,79

55 (53)

С 35 / 45

В 50

64,21

60 (58)

С 40 / 50

В 55

70,63

65 (63)

С45/55

В 60

77,06

70 (68)

С 50 / 60

Сравняването показва, че изчислените въз основа на характеристичната якост на бетона средни якости на натиск се различават основно за класовете под клас В20 (С16/20). При възприетата предпоставка в БДС EN 1992-1-1:2005 за определяне на средната стойност на цилиндричната якост на натиск на бетона се предопределя вероятност за изменение на коефициента на вариация за различните класове бетон в границите от 5% до 31%, което не е логично и противоречи на неговата същност. При съвременното производство на бетон, коефициентът на вариация за различните производители варира обикновенно в границите 8-13%.

3.4 Якост на натиск преди и след 28 ден

Не се третира по подобие на Еврокод 2. Класът по якост на натиск pi класът по якост на осов опън се предписва за възраст на бетона, съобразена с възможните реални срокове на

В определени случаи може да се окаже подходящо да се определи якостта на натиск на бетона преди или след 28~мж ден. Когато якостта на натиск се определя на възраст по-голяма от 28

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Стр.14

натоварване на конструкциите с проектните натоварвания, с начина на изграждане и с условията на втвърдяване на бетона. Когато няма данни за сроковете на натоварване, за начина на изграждане и за условията на втвърдяване на бетона, класът на бетона по якост на натиск и якост на осов опън се предписва за 28дневна възраст. Якостта на натиск на бетона при нормални условия на втвърдяване след 3~то денонощие се приема, че се изменя пропорционално на времето по логаритмичен закон. 1 ГГ И

R„ = R-,

l g 2 8

Коефициент за възраст

-Цимент 52,5

денонощия стойностите на коефициентите а с с и act се намаляват с коефициент kt. Коефициентите а с с и a ct се използват за изчисляване на изчислителната якост на натиск и опън на бетона и чрез тях се отчитат дълговременни и неблагоприятни ефекти, породени от начина на прилагане на натоварването. Препоръчителната стойност на k t би трябвало да се намери в Националното приложение БДС EN 1992-11:2005 /NA:2011. Неговата препоръчителна стойност е 0,85. Якостта може да се определя на възраст t, различна от 28 дневната възраст. Това става например при декофриране, при напрягане и др. Якостта на натиск на бетона на възраст t зависи от вида на цимента, температурата и условията на отлежаване на пробните тела. За средна температура 20°С и отлежаване при условията, установени в БДС EN 12390, средната якост на натиск на бетона fcm за различни възрасти се определя по формулите:

-Цимент 42,5

-Цимент 32,5

= exPi5

- Български норми

където: 10

fc,n(t)

Възраст в ден. fcm

Pec

средна якост на натиск на бетона на възраст t дни; средна якост на натиск на бетона на възраст 28 дни, съгласно табл.3.1; коефициент, зависещ от възрастта на бетона t; възраст на бетона в дни Коефициент, който зависи от вида на цимента = 0,20 за цимент с класове по якост СЕМ 42.5 R, СЕМ 52.5 N, СЕМ 52.5 R (Клас R) = 0,25 за цимент с класове по якост СЕМ 32.5 R и СЕМ 42.5 N (Клас N) = 0,30 за цимент с клас по якост СЕМ 32.5 N (Клас S)

К о е ф и ц и е н т за възраст

- Цимент 52,5 • Цимент 42,5 - Цимент 32,5

Възраст

/ , „ = / , , + 8 (МР«) Въз основа на f cm (t) може да се определи и очакваната характеристична якост на възраст t по формулите:

fck(t) = f j t ) - * {МРа) за 3 < t < 28 дни

fA)=f

c k

за t > 28 дни В Еврокод 2 е записано, че тази схема за определяне на якосттга на натиск на различни Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Стр.14

възрасти не може да се използва, като доказателство за оправдаване на несъответстваща предписана якост на бетона. 3.5 Определяне R =

якост

R '

J_V

на характеристична

3.5 Връзка между характеристична цилиндрична якост на натиск на f

N -1

P(v)

- f

e J

C ,1

-foo

]>(v).flfv= J

-oo

.e"^.dv=l,0

\P{v).dv

= J

-foo

e~JJT.dv=

+«,

f P (v) . dv 1

f — ~ S^Iik

t-oo

+co

\P{v).dv=

-oo S^JLTt

-foo

s 4i7t '

-f°o

N-1

V.I = Jf

v = R,-

O f

—

l s

\ d v = 1,0

-j

0,95

2*2.dv=

( f a - U

f P(fCJ)-d{fe)= 2

d(Rc) = 0,95

В = R, - 1,64 . 5

-M

-1,64-^- I = Rm (l - \MCV

В = 0,7786 .R,„

S V

f c t = f c , n - 1-64 . S l;k=fc,n,-lM.S=fCJ,

двi95 = 5 = /гш -1,64 . 5 =

0,95

d(fc)= 0,95

-A-.V

= J —

и средна бетона

1-1,64-

или f cm = f ck +1,64 5 В Еврокод 2 табл.3.1

или # m » 1,3 . в » 1,3 i? 0

fc.m

= fet + 8

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ОПИТНИТЕ РЕЗУЛТАТИ

0,45

2Г см Е е,35 §

5 0,25 5 0,2 I РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ОПИТНИТЕ РЕЗУЛТАТИ

О а с

М М ! i °f

—

i j/

0.1

1 /

, s

0,05

S=3Q . - S%nprt 5=1.0 —95% при S=1,0 -5% при

i \ ! \ I \

0,3

5°'

5=2

А\

••/•

95% мри

5-2

Ss4

Я к о с т н а натиск на бетона

Л ч 4

-5%«рм S'3 - -JS'A, при

МРа

- •

Отклонение отсредната aKocrfcm •

4. Якост на опън Клас по якост на осов опън B t се предписва в случаите, когато класът е взет предвид в изчисленията и трябва да се контролира. Класовете по якост на опън са B t 0.8, B t 1.2, Bt 1.6, B t 2.0, B t 2.4, B t 2.8 и B t 3.2, Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

4. Якост на опън Якостта на опън се отнася до най-високото напрежение, достигнато при концентрирана опънна сила. В таблица 3.1. на Еврокод 2 са дадени следните зависисмости за определяна на: fctm = 0,30/;,.2/3 - при клас < С50/60 Стр.14

f =2 ,121nl^1 I Jc„, fck.0.05

П Иклас J) ~ Р

С50/60

= 0,7/,,,, или фрактил 5%

fck 095 = 1,3/

или фрактил 95 %

Таблица 5* Клас по якост на натиск С 12/ 15 С 16 / 20 С 20 / 25 С 25 / 30 С 30 / 37 С 35 / 45 С 4 0 / 50 С 45 / 55 С 50 / 60 С 55 / 67 С 60 / 75 С 70 / 85 С 80 / 95 С 90/ 105

f ctk.O^S

f ctM.95

N/mm2

1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

1Д 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5

2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6

Средната якост на опън при огъване f c t m f l на стоманобетонни елементи зависи от средната якост на центричен опън и височината на напречното сечение. Може да се използва следната зависимост: /c„„,=max|l,6-j^f^U

където: fctm h

средна якост на опън на бетона съгласно табл.3.1 от ЕК2; Обща височина на елемента в mm;

Когато якостта на опън на бетона е определена като якост на опън при разцепване fct>sp, приблизителната стойност на якосттта на осов опън може да се приеме:

=0,9/^

Изменението на якостта на опън във времето се влияе от условията на отлежаване и изсъхване, както и от размерите на конструктивния елемент. Като първо приближение може да се приеме, че изменението на якостта на опън във времето е: където: „ • " f clm

5. Клас по

мразоустойчивост

Класът по мразоустойчивост F се основно за бетони за конструкции от III според изискванията на БДС 7268-83. по мразоустойчивост за обикновени F50, F75, F1Q0, F150 и F200.

6. Клас по

коефициент, зависещ от възрастта на бетона t, определя се по формулата в т.3.3; а = 1 за t < 28 ~ а = 2/3 за t >28 - средна якост на опън на бетона съгласно табл.3.1 от ЕК2;

предписва и IV група Класовете бетони са

Отразени са чрез клас по експлоатационно въздействие

водонепропускливост

Класът по водонепропускливост W се предписват основно за конструкции, където се изисква водоплътност. Класовете по мразоустойчивост за обикновени бетони са W0.2, W0.4, W0.6, W0.8 и W1.0. Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Отразени са чрез клас по експлоатационно въздействие

Стр.14

7. Дълготрайност

Според условията на работа, бетоните се делят на групи: Група I - бетони, които нямат пряк допир с вода, защитени са от прякото действие на атмосферните влияния; Група II - бетони, които са постоянно под вода, но не са изложени на действието на атмосферните влияния; Група III - бетони, които са на открито и са изложени на прякото действие на атмосферните влияния; Група IV - бетони, които са подложени на променливо омокряне и изсушаване и са изложени на прякото действие на атмосферните влияния;

Една дълготрайна конструкция трябва да удовлетворява изискванията за експлоатационна годност, носимоспособност и устойчивост през проектния експлоатационен срок без значително влошаване на нейната използваемост или непредвидено поддържане. Необходимата защита на конструкцията трябва да съответства на бъдещото и предназначение, проектния експлоатационен срок, както и с работите по поддържането и. Трябва да се отчита влиянието на преки и непреки въздействия, условията на околната среда и съответстващите им ефекти. Защитата на армировъчната стомана от корозия зависи от плътността, качеството и дебелината на бетонното покритие и пукнатините. Плътността и качеството на бетонното покритие се постига чрез контролиране на максималното водоциментово отношение и минималното съдържание на цимент в бетона. Обвързва се с минимален клас по якост на натиск във функция на класа за експлоатационно въздействие.

Класовете по мразоустойчивост и водонепропускливост на бетона се приемат съгласно условията на режима на експлоатаци на сградата и климатичните фактори. Отчита се относителната влажност на въздуха в помещенията и категорията на сградата или съоръжението по нормите за натоварване и въздействия. Таблица 5 Експлоатационни условия Характерис Климатични фактори тика на режима Средно Среден брой месечна дни годишно минимална на температур преминаване а за през 0°С м.януари °С 1 Промен ливо замразя ване и раз мраз яване При водонас шцане Във въздуш но сухо състоян ие Въздейс твие на отр.тем ператур и във водонас итено състоян Въздейс твие на отр.тем ператур и в сухо състоян ие <Рш>75

75>ф1„|> 60

фпИ—60

Минимални проектни класове на бетона По мразоуст. По водонепропр. F W Категория на сградата или съоръжението

III

<-10 От-5до-10 От -2,5до-5 >-2,5

101-125 76-100 50-75 Под 50

200 150 100 75

150 100 75 50

100 75 50 35

0,4 0,2

<-10 101-125 От-5до-10 76-100 От -2,5до-5 50-75 >-2,5 Под 50 101-125 <-10 76-100 От-5до-10 50-75 От -2,5до-5 Под 50 >-2,5

too 75 50 35

75 50 35 25

50 35 25 15

0,2

75 50 35 25

50 35 25 15

35 25 15

<-10 От-5до-10 От -2,5до-5 >-2,5

75 50 35 25

50 35 25 15

35 25

101-125 76-100 50-75 Под 50

III

Таблица 6*

afHSXEmeaM I

, I 1 , 5 s рвск от юрозая аля з т з м

ЙЕЖЖ!

1?етошф:л хггат з а я и с з ь а г ж т ш ЕшлкчгЕге нз laspijsisejKiBsjiBiiia ! ш р а м з « а глн vmpoc1 гъз Ейтр=шжсгг: на сгр^п ~: мнсто s c u . 'is бетн с n p o p s n lea зЗгняЕрш м-т?.- ю к .'г-:;--; ;*г.з оз^лл 1. Кордзш. враютаК-шз oi ираошшлвя 4«г«к, ааржав ф а ф я в щ г м п а а р а * я и е я ж ш и aiu)-sa )схшя » к ж и зксжзстолзЕкгга» зрзагрзьпз Елек a n s i T p s r - s m s нз о б л я г а ешкьл лл-лл-м: яз С та сктохс-з SbUT>3 зосгаскс? писаря зъз bsTc-HSE з и ч ? ® 5 с а ш и » сз :с ль.Г'ЗЕбх»Егн хс: Взз.-х:.".. рита ЕОНТСЛ С »ЛЛг у а з а е а ш Е етззля Бетсн зъз --^-'-кг—' кз орзла i теереЕЗ нпн знсоеп Й:ЙЛК7 ЕЪ1лу%з З^ЗПЗ^З -3S. пр^ЛГЗ ^Н >Т ЛаЗЛ S s t c E зааъртвлст : ш г к г с з-злз, as на лспзллла з Шизгап к я и и т а » а я к т ж а а я ЕЛЗСПЗ ;ъигк:т51нХС2 3. Кзрошя, ярежзЕКШл от п о р а т p m r a i oi морск> мля З г ж в г , с м ц ж ш ф с $ а ю т лр>7 й к п в р > х « ш с« жкирз j с апршп с с т и р з г я а д о г а ш за х д в с т а е и , к и з т « к з р а з « а ь Ь€Ю0В 33B!.pSX3 В 9 Я В М ЖХШ Ш SMZyVI Л01 •ЙСГЕЛН Плузш ss: SHE-: BnsaEi, f i z a ета Бетгя. юллзжез S3 s s c n a n s 3 J 3f SKELTSS зща, ш: а л р к д л а тарадз а: жзстсзг.я1лзж.5нд ш ааьрллпЕ KtffEXI • Цш_-лгж> я д т ш ш г д » а з к у в а и в Гртол;:-) itiKE Н '5T>»>c':L-3n! X'pSX-ffi! 4. Хсрзш.1 прихзззЕк.ш 1 от гишрсш от аола 5тт. одцаав з р о р н в я я лруг з й т о г а р а х « ш « я и д р i t n m i с 'i'of влга « х-зри к л к в с гшг.ч а ь " , . 1 ^ солк зг жгсьд ззлд Вь ж з с ш н s сзлн «1 зиз>% яз з е к » и ю в с E K I R S n i a o » Д9ЯЮ sopens SJ3T a a j a c r a ззлз vop:^: гхзггрушш хх:. dcsra зз з р с а з з н жлжва г п ж т а з ЧзлТЕ з: XV. ХО

••mz

3*тсн

жа

<* <яяхл

j'tTC.i

mam ns

«фвк зезчеши

ярюпя

ЗЖЖ ! НЗ ЖЪХЗ 53 ЛЗ

<-10 От-5до-10 От -2,5до-5 >-2.5

101-125 76-100 50-75 Под 50

50 35 25 15

35 25 15

5. В ь з з я с г е » от n u p i m u e / pawpaiDiaf в ^ я к й & г х ш ^ с Е З ъ з л з г г з з » oi a x p i s s e ш и в а iep^iLJLTici 'З^гйчсгж пзгъ^с.тж. лолг.аз^-з: щ . j u ^ a рЗЗНр-ЗЮЗПЗ КЖЯШЗЗб

ХИ 1 щвв пзшжв» so

25 15

тзяакт аз ш ^ ю х а я и с ф а а ш ЕЗЗЕЧЖЗЗ ЗМЩВ5ЖЛШ 3£ISE:S!

н кзф^шззг НжасшЕ лоллажга: е лзелък-го ЕЛ рззкрзшглл! ЖЛИС31 Sstshhe галкает лф»£ткз яз з е м я л а сьлър!:зло та^зшдшзалестзз н к ж ъ з з з з * - vE'i s-z £3 кегезл зелз а л-зллОАеЕН нз зззсъзззззй

жълтях

101-125 <-10 От-5до-10 76-100 От -2,5до-5 50-75 >-2,5 Под 50 <-10 101-125 Or-5 до-10 76-100 От -2,5до-5 50-75 >-2,5 Под 50 <-10 101-125 От-5до-10 76-100 От -2,5до-5 50-75 >-2,5 Под 50

75 50 35 25

50 35 25 15

35 25 15

50 35 25 15

35 25 15

25 15

35 25 15

25 15

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

100 75 50

75 50

хиз^а а р

-:«тскоз- л т р л л - . т л лзллеженаг-а лъзл:

Xfi

•I гЕЛЕЗ 50ЮЖ.С-ЕГЯ5 с рагрзшлио щ о ) а » ascjcc м а

Стр.14

следната таблица на БДС EN 206-1:2002/NA:2008 Група бетон Група I Група П Група Ш Група IV

Класове по експлоатационно въздействие по БДС-KN 206-1 ХО, ХС1 (във вътрешността на сградите) ХС1 (постоянно под вода); ХС2 Частично ХСЗ (за външни бетони, непредпазени от дъжд) XC4..XF1 и XF3 Изборът на достатъчно дълготраен . бетон за защита на армировката от корозия и'защита на бетона от агресивни въздействия изисква внимателно определяне на състава на бетона. Това може да доведе до получаване на клас на бетона с по-висока якост на натиск, отколкото се

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Стр.14

изисква за конструктивното проектиране. Връзката се описва чрез т.н индикативни класове по якост на натиск. Когато избраната якост е по-висока от изискваната за конструктивното проектиране, при изчисляване на минималната армировка и ограничаване на ширината на пукнатината, стойностите на f ctm трябва да се приемат за повисоката якост. Таблица 7* | Класове по условия на околната среда съгласно Табл.4.1 Корозия на армировката Корозия на Корозия на Корозия на армировката, армировката, армировката, предизвикана от предизвикана от предизвикана от хлорвди от морска карбонизация на хлорцци вода бетона ХС1 XC2 XC3| XC4 XDl| XD2 XD3 XS1 XS2| XS3 Индикативен С20/ С25/ клас по якост 25 30 на натиск Въздействие върху бетона Без риск от агресивни въздействия ХО Индикативен клас по якост на натиск

8. Нормативни и изчислителни тики на бетона

характерис-

За нормативно съпротивление на бетона се приема якостта на натиск (призмена якост на натиск) Rbn и якостта на осов опън Rbtn, осигурени с вероятност 95%. Нормативните съпротивления на бетона R bn се приемат в зависимост от класа на бетона по якост на натиск. Ако якостта на опън не се контролира, нормативните съпротивления на бетона на опън R btn се приемат също в зависимост от класа на бетона по якост на натиск. Ако якостта на опън на бетона се контролира, нормативните съпротивления на бетона на опън Rbtn се приемат равни на класа на бетона по якост на осов опън.

Клас на бетона В 7,5 В 10 В 12.5 В 15 В 20 В 25 В 30 В 35 В 40 В 45 В 50 В 55 В 60

Изчислителните

Rbn МРа 5,5 7,5 9,5 11,0 15,0 18,5 22,0 25,5 29,0 32,0 36,0 39,5 43,0

съпротивления

на

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

бетона

С35/ СЗО/ 37 45

Въздействие от замръзване и размръзване XF1 XF2 XF3 езо/ С25/ 37 30

С30/37

С35/45

Химично въздействие на околната среда XAI | ХА2 ХАЗ С30/37

С35/45

характерис-

Стойността на изчислителната якост на натиск се определя по формулата :

Jf cd- п" cc

Ус

Където: ус

Частен коефициент за сигурност на бетона Коефициент, който отчита дълговременните ефекти върху якостта на натиск и неблагоприятните ефекти, породени от начина на прилагане на натоварването

Стойността на изчислителната якост на опън се определя по следната формула:

fctk, 005 feu,

«V, Ус

Където: ^

Rbtn МРа 0,70 0,85 1,00 1,15 1,40 1,60 1,80 1.95 2,10 2,20 2,30 2,40 2.50

С30/37

8. Нормативни и изчислителни тики на бетона

ус

Таблица 6

С12/16

С30/37

Частен коефициент за сигурност на бетона Коефициент, конто отчита дълговременните ефекти върху якостта на натиск и неблагоприятните ефекти, породени от начина на прилагане на натоварването

ус = 1,50 за дълготрайна и краткотрайна изчислителна ситуация; а сс = 0.85 при проверка на носимоспособността на нормални сечения на вертикални или наклонени елементи, изпълнени по монолитен способ а сс = 1,00 за всички останали случаи a c t = 1,00 за Стр.14

гранични състояния от първа група Rb и Rbt и за гранични състояния от втора група Rb,ser и Rbt,Ser се получават от нормативните съпротивлиния, разделени със съответните коефициенти за сигурност на бетона при натиск уЬс и при опън ybt. Таблица 7 Вид бетон

Коефициент за сигурност при натиск уьс и при опън уь! по гранично състояние Първа група Втора група Ybt при предписан клас Ybc Уьс и Ybi На натиск На опън 1,3 1,0 1,3 1,5 2,3 1,5 1,0 -

обикновен клетъчен

Таблица 8 Клас на бетона

Rb^er

Rbt,ser

В 7,5 В 10 В 12.5 В 15 В 20 В 25 В 30 В 35 В 40 В 45 В 50 В 55 В 60

4.5 6.0 7.5 8.5 11.5 14.5 17.0 19.5 22.0 25.0 27.5 30.0 33.0

0.48 0.57 0.66 0.75 0.90 1.05 1.20 1.30 1.40 1.45 1.55 1.60 1.65

5,5 7,5 9,5 11,0 15,0 18,5 22,0 25,5 29,0 32,0 36,0 39,5 43,0

0,70 0,85 1,00 1,15 1,40 1,60 1,80 1,95 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50

Таблица 8Клас по якост на натиск С 12/ 15 С16/20 С 20 / 25 С 25 / 30 С 30 / 37 С 35 / 45 С 40 / 50 С45/55 С 50 / 60 С 55 / 67 С 60 / 75 С 70 / 85 С 80 / 95 С 90 / 105

fck

fed otcc =

12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90

0,85

dec

6.8 9.1 11.3 14.2 17.0 19.8 22.7 25.5 28.3 31.2 34.0 39.7 45.3 51.0

fed - 1,00 8,0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3 36.7 40.0 46.7 53.3 60.0

fctk,0.05

fctd

1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 2.7 2.9 3.0 3.1 3.2 3.4 3.5

0.73 0.87 1.00 1.20 1.33 1.47 1.67 1.80 1.93 2.00 2.07 2.13 2.27 2.33

Таблица 9 Вид на съпротивл ението

Вид на бетона

Осов опън

Обикновен, олекотен и лек

Изчислителни съпротивления на осов опън R bt в МРа за гранични състояния от първа група при клас на бетона по якост на опън В,0.8 В,1.2 В,1.6 В|2.0 В,2.4 В,2.8 В,3.2 0,62

0,93

1,25

1,55

1,85

2,15

2,45

Сравняване на изчислителните

характеристики

на бетона

Клас на бетона Еврокод 2

fed

fctd

С 12/ 15 С 16/20 С 20 / 25 1" 25 / 30 С 30/37 С 35 / 45 С 40 / 50 С 45 / 55 С 50 / 60

6.8 9.1 11.3 14.2 17.0 19.8 22.7 25.5 28.3

8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

0.73 0.87 1.00 1.20 1.33 1.47 1.67 1.80 1.93

0.75 0.90 1.05 1.20 1.35 1.45 1.55 1.60 1.65

8.5 11.5 14.5 17.0 21.0 25.0 27.5 30.0 33.0

Клас на бетона НПБСК'87 В 15 В 20 В 25 В 30 В 35 В 45 В 50 В 55 В 60

Изчислителните съпротивления на бетона за гранични състояния от първа група се умножават с коефициент за условия на работа уьь Коефициентите за условие на работа се прилагат независимо един от друг, но тяхното произведение не трябва да бъде по-малко от 0,45. 9. Модул на еластичността

на бетона

Началният модул на еластичността на бетона Е ь при натиск и при опън е даден в зависимост от класа по якост на натиск. За бетони подложени на многократно замразяване и размразяване стойностите се умножават с коефициент за условия на работа уЬбТаблица 10 Клас на бетона В 7,5 В 10 В 12.5

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Еь МРа 20 000 22 000 23 500

Петров

9. Модул на еластичността

на бетона

Еластичната деформация на бетона зависи основно от състава и особено от вида и количеството на добавъчните материали в него. Модулът на еластичността се контролира основно чрез модулите на еластичността на основните компоненти в бетона. Секущият модул на еластичността Е с т за напрежение в границите от 0 до 40% от средната якост на натиск на бетона f c m за бетон с кварцови добавъчни материали е даден чрез следната аналитична зависимост Стр.14

В В В В В В В В В В

Таблица

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

25 27 30 31 33 35 36 37 38 39

000 500 000 500 000 000 500 500 500 500

£ „ , = 2 2 . [ ( / J / 1 0 ]

За варовикови добавъчни материали и пясъчници стойността се намалява съответно с 10% и 30%, а за базалтови се увеличава с 20%. М О Д У Л НА Е Л А С Т И Ч Н О С Т 45000 -

К л а с на бетона В 7,5 В 10 В 12.5 В 15 В 20 В 25 В 30 В 35 В 40 В 45 В 50 В 55 В 60

18 20 21 22 25 27 28 30 32 33 34 35 36

40000-

М о д у л на еластичността при автоклавна обработка

Модул на еластичността при топлинна обработка 500 000 500 500 000 500 500 000 000 000 000 000 000

12 13 16 17 20 22 24 26 27 28 29 29 30

- Кварц 35000- Взровик

30000 -

000 500 000 000 000 500 500 000 000 000 000 500 000

Пясъчник с 25000 -

Базалт

2000015000Средна якост на натиск

Таблица 9* Клас на бетона

Допуска се приемането и на други стойности за Еь, ако са доказани и съгласувани по установения ред.

Ест МРа

С 12 / 1 5 С16/20 С20/25 С 2 5 / 30 С30/37 С 3 5 /45 С40/50 С45/55 С50/60 С 55 / 67 С60/75 С70/85 С 8 0 / 95 С 9 0 / 105

27000 29000 30000 31000 33000 34000 35000 36000 37000 38000 39000 41000 42000 44000

Изменението на модула на еластичността във времето се изразява със следната формула E

Сравняване

на модулите

на еластичността

Еврокод 2

(t)

=[fJt)/fcmrEcm

на бетона

НПБСК'87

Клас на бетона Еврокод 2 С С С С С С С С С

c m

F ^ст МРа 27000 29000 30000 31000 33000 34000 35000 36000 37000

12/ 15 16/20 20 / 25 25 / 30 30 / 37 35 / 4 5 40 / 50 45 / 55 5 0 / 60

Клас на бетона НПБСК'87

Еь МРа 25000 27500 30000 31500 ЗЗООО 36500 37500 38500 39500

В В В В В В В В В

15 20 25 30 35 45 50 55 60

Модул на еластичност

6О

40000 •

35000

-Еврокод 2

5 |

• НПБСК'88

* 30000 о4

25000 15

Х а р а к т е р и с т и ч н а к у б о в а я к о с т на н а т и с к fck.cube ( М Р а )

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Стр.14

12. Съсъхване и пълзене на бетона по Еврокод 2

Пълзенето и съсъхването на бетона зависи от: - Влажността на околоната среда; - Размери на стоманобетоновия елемент; - Състав на бетона 12.1 Пълзене на бетона

Пълзенето зависи също от: - Възрастта на бетона при първоначално прилагане на товара; - продължителност на натоварването - големина на натоварването 12.1.1 Определяне на коефициента на пълзене 12.1.1.1. Чрез номограми Коефициентът на пълзене (p(t,t0) е свързан с тангенциалния модул на еластичност на бетона Ес =1,05 Е с т . Ако не се изисква голяма ТОЧНОСТ, коефициентът на пълзене може да се определи по номограми, когато бетонът не е подложен на напрежение на натиск по-голямо от 0,45 fCk(to) за възраст to на бетона при първоначалното натоварване. Въз основа на: - Относителната влажност на въздуха RH (%) -(схема А или В); - Времето t 0 -Стъпки 1+2; - Размера на елемента в (mm) - стъпки 3+4+5; се определя коефициента на пълзене (p(oo,t0);

А) При RH=50%

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Стр.14

В ) При RH=80%

12.1.1.2. Аналитично определяне

(p{t,tQ)=(p0Pc{t,tQ) Където: Основна стойност на коефициента на пълзене; Коефициент, който описва развитието на пълзенето във времето след натоварване;

фо

Pc(t,to) Първо:

% = (PRHp(fcm)P{h)

Където: Коефициент, който отчета влиянието на влажността на въздуха върху коефициента на пълзене; Относителна влажност на въздуха в %; Коефициент, който отчета влиянието на якостта на бетона върху върху коефициента на пълзене; Коефициент, който отчета влиянието на възрастта на бетона в момента на натоварване върху коефициента на пълзене;

фян

(3(fcm) (3(to)

При f c m < 35 МРа

- При f cm > 35 МРа

1-ДЯ/100 +'

од^

<Prh

(pRH

1-ДЯ/100

а.

О Д ^

U P i f J=

16,8

Където: f 1 cm

h0 Ac U

Р(ч)

V fcm

Средна якост на натиск на бетона на 28 дни в МРа; Условен размер на елемента в mm; Обща площ на бетонното напречно сечение; Периметър на напречното сечение в контакт с атмосферата;

Второ: 10,3

Р с М -

(t-tp) (Ри**-*

о)

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

Стр.14

Където: t

Възраст на бетона в разглеждания момент в дни; Възраст на бетона в момента на натоварване в дни; Продължителност на натоварването в дни; Коефициент, зависещ от относителната влажност (RH) и от условния размер на елемента h 0 ; Коефициенти отчитащи влиянието на якостта на бетона;

to t - to

Ph а

а2,аз

- При f cm > 35 МРа

При f c m < 35 МРа

Р н = l , 5 [ l + (0,012tftf) 18 ]/z 0 + 2 5 0 < 1 5 0 0

а, =

" 35 " _

0,7

а2 =

f cm

' 35"

0,2

a,5 -

"35"

Рн = l , 5 [ l + (0,012tf#) 18 ]/z 0 + 250ar 3

<\500аъ

0,5

_ J cm

_ J cm _

Влиянието на вида на цимента върху коефициента на пълзене на бетона може да се вземе под внимание посредством промяна във формулата за J3(to) на възрастта на бетона toHa бетона при натоварване:

'о ^0 ,г

+1 2 + 10 ,т

Където: to,T ос

>0,5

Възраст на бетона, коригирана в зависимост от температурата при натоварване в дни Степенен показател, който зависи от вида на цимента = -1 за цимент клас S; = 0 за цимент клас N; = +1 за цимент клас R;

Влиянието на повишената или понижена температура в интервала 0-80°С върху втвърдяването на бетона може да се вземе под внимание посредством коригиране на възрастта на бетона съгласно: -(4000/[273+г(Дг,)]-13,65)

1т

At:

;=1

Където: tT T(Atj) Ati

Коригирана възраст на бетона, която заменя t в съответните формули; Температурата в °С за периода Д^; Броят на дните с преобладаваща температура Т;

12.1.2 Определяне на деформацията

от пълзене на бетона

Деформацията от пълзене на бетона 8cc(oo,t0) в момента t = оо при постоянно натисково напрежение с с

eJ00>to)=P(00>to)-(<rc'Ec) Когато якостта на натиск на бетона на възраст t0 надвишава стойността 0,45 fCk(t0) трябва да се отчете нелинейният характер на пълзенето. В тези случаи нелинейния условен коефициент се определя по следната формула. <Pk

Ч) =

h )exp(l,5(fc f f - 0 , 4 5 ) )

Където: <pK(°°,tb)

fcm(to)

Нелинеен условен коефициент на пълзене, който заменя cp(oo,t0); Отношение между напрежение-деформация а с / fcm(to); Натисково напрежение; Средна якост на натиск на бетона в момента на натоварването;

Пример. Определяне на деформацията от съсъхеане на бетон с клас по якост на натиск С25/30, натоварен на възраст 21 дена с напрежениие 15МРа. Относителната влажност на въздуха RII-45%. Напречните размери на елемента са 25/45ст.

За избрания бетон с клас по я к о с т на натиск С25/30 f c m = 3 3 M P a и Е с т = 3 1 0 0 0 М Р а Ес=1,05Ест=32550 МРа Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

Стр.14

2A„

2.450.250 195,65 U 450 + 450 + 250 1-ЛЯ/100 , 1-45/100 (pRH =1t + p=—= 1 + ===== = 1,949 0,1 0,1^195,65 Ж,„) =

VZT

= Щ = 2,924 V33

j3(t0) =

1 — =7 L — n = 0,515 (0,1+/Г 0 ) (0,1+21 • )

рн = l,5[l + (0,012ДЯ) , 8 .к + 250 = l,5[l + (0,012.45)18Jl 95,65 + 250 = 543 < 1500

_(j3H+t-t0)_

L.543 + 90 — 2 l J

= fi^t/™ № ) = 1,949.2,924.0,515 = 2,934 <p{t, t 0 ) = %P C (*> t 0 ) = 2,934.0,519 = 1,523 15 See (°°.t0)= <p{oo,t0). (ac / Ec):-1,52332550

12.2 Съсьхване

на

0,000705

бетона

Общата деформация от съсьхване се състои от две компоненти - деформация от съсъхване при изсъхване и деформация от собствено съсъхване. Деформацията от съсъхване при изсъхване се развива бавно, тъй като тя е функция на преминаване на водата през втвърдения бетон. Деформацията от собствено съсъхване се развива по време на втвърдяването на бетона: основната част се развива в ранния етап след изливането. Деформацията от собствено съсъхване е линейна функция на якостта на натиск на бетона. Тя трябва да се разглежда в случаите, когато се излива нов бетон върху втвърден. Стойността на общата деформация от съсъхване s c s се определя по формулата:

е cs - £ccl, + еса Където: Ecs £cd ЕСА

Обща деформация от съсъхване Деформация от съсъхване при изсъхване Деформация от собствено съсъхване

12.2.1. Определяне на деформацията £с,

М = £cd,Jds

к) = ^

К А,

от съсъхване при

изсъхване

к)

Номиналните стойности на съсъхване при изсъхване ecd,o в (%о) без ограничение на деформациите за бетон с цимент клас N са дадени в следната таблица: Клас бетон 20/25

Съсъхване при изсъхване scdio в (%о) Относителна влажност в % 20

100

0,62

0,58

0,49

0,30

0,17

0,00

40/50

0,48

0,46

0,38

0,24

0,13

0,00

60/75

0,38

0,36

0,30

0,19

0,10

0,00

80/95

0,30

0,28

0,24

0,15

0,08

0,00

90/105

0,27

0,25

0,21

0,13

0,07

0,00

Съсъхването при изсъхване sCd,o може да се изчисли и аналитично: *«,.<, =0,85 (220 + 110огЛ1)е

Лещия 1 - доц.д-р ияж. Богомил Петров

Стр.16

J3RH

' RH \RHa;

=1,55

Където: f

\з

Средна якост на натиск на бетона в МРа ЮМРа Коефициент, който зависи от вида на цимента = 3 за цимент клас S; = 4 за цимент клас N; = 6 за цимент клас R; Коефициент, който зависи от вида на цимента = 0,13 за цимент клас S; = 0,12 за цимент клас N; = 0,11 за цимент клас R; Относителна влажност на околната среда в % = 100%

JLcm

ttdsl

RH RH 0

Коефициентът kh е функция на условния размер на елемента: kh 1,00 0,85 0,75 0,70

h0 100 200 300 >500

в ( tl>t ls) )=, Hds\

чb i )

+ 0,04^h3Q

{t-ts)

Където: t

гт

ho Ас

Възраст на бетона в разглеждания момент в дни; Възраст на бетона в началото на периода на съсъхване от изсъхване (когато са приключили грижите за бетона в ранна възраст); Условен размер на напречното сечение =2AC/U в mm; Площ на бетонното напречно сечение

Периметър на частта от напречното сечение, изложена на съсъхване;

12.2.2. Определяне на деформацията

£ca{t) = £са

от собствено

съсъхване

Pas(t)£ca(™)

(°°) = 2 , 5 ( f c k ~ 1 0 ) l 0 " 6

II. АРМИРОВЪЧНИ СТОМАНИ В настоящото изложение се третират проблемите на армировъчни стомани (пръти и стомана размотана от кангали). Не са разгледани стомани за предварително напрягане. НПБСК'87 1. Нормативни

документи

БДС 4758:1984 „Стомана горещовалцувана за армиране на стоманобетонни конструкции" БДС 9252:1986 „Тел стоманен нисковъглероден за армиране на стоманобетонни конструкции"

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

Еврокод 2 1. Нормативни

документи

БДС EN 10080:2005 „Стомана за армиране на бетон. Заваряема армировъчна стомана. Общи изисквания" БДС 4758:2008 „Стомана за армиране на стоманобетонни конструкции. Заваряема армировъчна стомана В235 и В420" БДС 9252:2007 „Стомана за армиране на Стр.14

стоманобетонни конструкции. армировъчна стомана В500" 2. Общи

изисквания

В съответствие с НПБСК'87 и Изм. № 3, ДВ, бр. 3 от 1996 г.; публ., БСА, бр. 8 от 1996 г. за стоманобетонни конструкции трябва се използват армировъчни стомани, които отговарят на изискванията на съответните стандартизационни документи и са съответно горещовалцувана армировъчна стомана гладка (AI) и с периодичен профил (A-II, A-III, T-III, T-IY и A-IV), както и сгуденообработена армировъчна стомана. Армировъчните стомани отговарят на изискванията на БДС 4758:1984 В съответствие с Изменение № 5 на ,Дорми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции" за стоманобетонни конструкции се използват армировъчни стомани, които отговарят на изискванията на техническите спецификации съгласно чл. 4 от Наредбата за съществените изисквания към строежите и оценяване съответствието на строителните продукти, приета с Постановление № 325 на Министерския съвет от 2006 г. (обн., ДВ, бр. 106 от 2006 г.; попр., бр. 3 и 9 от 2007 г.)." Добавя заваряема армировъчна стомана с оребрена повърхност клас В500, която се използва се използва с характеристиките и при условията за стомана клас T-IV." Съгласно чл. 4 от Наредбата за съществените изисквания към строежите и оценяване съответствието на строителните продукти, техническите изисквания към строителните продукти и техните характеристики, които произтичат от съществените изисквания към строежите, се определят с технически спецификации. Министърът на регионалното развитие и благоустройството утвърждава със заповед ръководства за определяне на връзката между съществените изисквания към строежите и експлоатационните характеристики на продуктите при разработване на техническите спецификации (с отчитане хармонизацията на терминологията и на необходимостта от установяване на нива и класове) и при оценяване на съответствието. Нивата и класовете на съществените изисквания се определят, като се отчитат националните географски и климатични условия и изискванията на нормативните актове. Строителните продукти се считат годни за употреба, ако отговарят на следните технически спецификации: български стандарти, с които се въвеждат хармонизирани европейски стандарти, европейско техническо одобрение (със или без ръководство) или признати национални технически спецификации (национални стандарти), когато не съществуват технически спецификации. Строителните продукти, за които няма Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

2. Общи

Заваряема

положения

В съответствие с Чл. 4. на Наредбата за съществените изисквания и оценка на строителните продукти, същите се оценяват в съответствие с изискванията на техническите спецификации, наричани по-нататък „европейски технически спецификации", както следва: 1. Национални стандарти на държавите - членки на Европейския съюз, с които се въвеждат хармонизирани европейски стандарти, чиито номера са публикувани в „Официален вестник" на Европейския съюз; 2. Европейски технически одобрения, когато няма технически спецификации по т. 1; 3. Национални технически спецификации, чиито номера са публикувани в „Официален вестник" на Европейския съюз, когато няма технически спецификации по т. 1 и 2. Армировката е във вид на пръти, изправена от кангали, заварени мрежи и заварени скелети. Изискванията за характеристиките на армировката са за материал, поставен във втвърден бетон. Ако строителните работи могат да повлияят върху характеристиките на армировката , тогава тези характеристики трябва да бъдат проверени след всяка обработка. Армировъчните стомани отговарят на изискванията на БДС EN 10080:2005. Правилата за заварени скелети се прилагат само ако са изпълнени от оребрени пръти.

Стр.14

публикувани технически спецификации се считат годни за употреба, ако отговарят на български стандарти или българско техническо одобрение (БТО), както и на нормативните актове по проектиране, изпълнение и контрол на строежите или на отделни строителни и монтажни работи. 3.Характеристики

Поведението на армировъчната стомана се определя от следните характеристики: * Граница на провлачване; * Якост на опън; * Относително остатъчно удължение; л ,, </</" « Огъваемост;

Поведението на армировъчната стомана се определя от следните характеристики: • Граница на провлачване (fykHira fo,2k); • Максимална действителна граница на провлачване ( f y , m a x ) ; • Якост на опън ( f t ) ; • Дуктилност (чрез £Uk и ft / fyk); • Огъваемост; • Относително удължение при максимална сила (еиО; ''' ' • Характеристика на сцепление ( f p t ) ; • Размер и площ на напречното сечение; • Якост на умора; • Заваряемост; • Якост на срязване и якост на заварените съединения на заварени мрежи и скелети; При характеристиките на стоманата се използва и отношението между максималната граница на провлачване f y , ma x (означена в някои стандарти като fу,real и fy.act) и номиналната граница fykПравилата за прилагане при проектиране и конструиране в този стандарт са валидни за граница на провлачване f y k=400-600MPa, а за обичайните случаи до 500МРа. Границата на провлачване и якостта на опън на стоманата се определят като характеристичната стойност на силата при провлачване или характеристичната стойност на максималната сила при осов опън се разделят на номиналната площ на напречното сечение. Характеристиките на армировката са валидни за температурен интервал между -40°С и +100°С и са дадени в Таблица 1

За нормативни характеристики на армировката от горещовалцувана стомана се приема бракувачната граница на провлачване (физическа или условна при относително остатъчно удължение 0,2%), а за студеноизтеглените телове съответно напрежението, получено от 75% от стандартното бракувачно разрушаващо усилие, разделено на номиналната площ на напречното сечение. Нормативното съпротивление на армировката е осигурено с вероятност 95% (квантил 5%)

Характеристики

Таблица 1 Форма на продукта

Клас Характеристична граница на провлачване fyk или fbk, в МРа Минимална стойност на к=(СДД Характеристична деформация при максимална сила, EU|< Огъваемост Максимално отклонение от номиналната маса, % Сцепление: Минимална

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

Пръти и стомана, размотана от кангали

400 - 600

Изискване или квантилна стойност (квантил) % -

5,0

> 1.05

> 1.08

> 1.15 < 1.35

10,0

>2,5

>5,0

>7,5

10,0

Изпитване на огъване и разгъване При прът < 8 mm - ±6.0 При прът > 8 mm - ± 4.5

5,0

При номинален размер на пръта:

5.0

Стр.14

относителна площ на ребрата fR,min

5-6 mm - 0.035 6,5-И 2 mm - 0.040 >12 mm - 0.056

Размах на напрежението при умора (МРа) за 2.10бцшсьла с горна граница 0,6 f„k

10,0

> 150

Характеристичната стойност е долната или горната граница на статистическия доверителен интервал за който има 90% вероятност в 95% от случаите (р=0,95) за граница на провлачване (квантил 5%) и в 90% от случаите (р=0,90) (квантил 10%) за К PI да са над тази долна и под тази горна граница. Това определение се отнася за ниво на качеството в дългосрочен план. 3.1. Граница на

3.1. Граница на провлачване (

провлачване

Характеристиките на стоманата от лабораторния контрол са: Клас стомана

A-I A-II A-III T-III T-IV AIV В500

6-40 10-40 10-40 10-32 10-32 10-32 8-32

Граница на провлачване МРа 235 295 412 420 500 590 500

ЯКОСТ н а

Нормативните съпротивления класове стомана са както следва: Клас стомана

Диаметър

A-I А-П A-III T-III T-IV A-IV В500 Вр-1 B-I

6-40 10-40 10-40 10-32 10-32 10-32 8-32 3-5 3-5 6 6-12 6-14

Вв-1 Bd-I

опън МРа 370 490 590

Относително удължение 25 19 14

880

за

- f y i > 420-15=405 МРа и f y m > 420+10=430 МРа

различните

Където: j

Отделен резултат провлачване Средна стойност провлачване

у1

Нормативно съпротивление на опът Rsn и изчислителни съпротивления на опън за гранични състояния от втора група Rs,ser в МРа 235 295 410 420 500 590 500 405 405 395 450 345

Армировъчна стомана В 235 е дадена в тази част, понеже Еврокод 2 не третира стомани с граница на провлачване по-ниска от 400МРа. При оценка на резултатите от изпитване: - f y i > 235 МРа или - f y i > 235 - 12=223 МРа и f y m > 235 + 8=243 МРа При оценяване на дългосрочното ниво качеството: f v m > 235 + k.s =235 + (l,64+3,40)*s МРа

fo,2k)

fyi<iLiu

Стойностите в Таблица 1 са характеристични стойности. Максималният процент от резултатите от изпитването, попадащи под характеристичната стойност е даден като изискване или квантилна стойност. А) Армировъчна стомана В420 При оценка на резултатите от изпитване: - f y i > 420 МРа или

^ ут

При оценяване качеството:

на

за

граница

на

граница

на

дългосрочното

ниво

на

f y m > 420 + k.s = 420 + (l,64+3,40)*s МРа Където: S

Коефициент зависещ от броя на резултатите (1,64-1-3,40) Стандартно отклонение на множеството

Б) Армировъчна стомана В500 При оценка на резултатите от изпитване: - f y i > 500 МРа или - f y i > 500-10=490 МРа и f y m > 500+10=510 МРа При оценяване на дългосрочното ниво качеството: f y m > 500 + k.s = 500 + (l,64+3,40)*s МРа

на

3.2. Стойност на к

3.2. Стойност на к = (ft/fy)k

Не се третира

Стойностите в Таблица 1 са характеристични стойности. Максималният процент от резултатите от изпитването, попадащи под характеристичната стойност е даден като изискване или квантилна стойност. А) Армировъчна стомана В420В При оценка на резултатите от изпитване: - к < 1.30

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

Стр.14

- к ; > 1,08 или - ki > 1,08 - 0,02=1,06 и к т > 1.08+0=1.08 Където: к kj К

Отношение fy_max/fyk

Отделен резултат за к

Средна

При оценяване качеството:

СТОЙНОСТ

на

дългосрочното

ниво

на

k m > 1.08 + k.s =1,08 + (l,28+2.74)*s Където: К

Коефициент зависещ от броя на резултатите (1,28-i-2,74) Стандартно отклонение на множеството

Б) Армировъчна стомана В420С При оценка на резултатите от изпитване: - к < 1.30 - ki < 1,35 - kj > 1,15 или - k i > 1,15-0,02=1,13 и k m > 1.15+0=1.15 При оценяване на дългосрочното качеството: k m > 1.15 + k.s =1,15 + (l,28+2.74)*s

ниво

на

В) Армировъчна стомана В500А При оценка на резултатите от изпитване: - ki > 1,05 или - ki > 1,05 - 0,02=1,03 и k m > 1.05+0=1.05 При оценяване на дългосрочното качеството: k m > 1.05 + k.s =1,15 + (l,28+2.74)*s

ниво

на

Г) Армировъчна стомана В500В При оценка на резултатите от изпитване: - k < 1.25 или всяко < 1.28 и средното <1.23 - ki > 1,08 или - ki > 1,08-0,02=1,13 и k m > 1.15+0=1.15 При оценяване на дългосрочното качеството: k m > 1.08 + k.s =1,08 + (l,28+2.74)*s

ниво

на

Д) Армировъчна стомана В500С При оценка на резултатите от изпитване: - к < 1.25 или всяко < 1.28 и средното < 1.23 - kj < 1,35 - ki > 1,15 или - kj > 1,15-0,02=1,13 и k m > 1.15+0=1.15 При оценяване на дългосрочното качеството: k m > 1.15 + k.s =1,15 + (l,28+2.74)*s 3.3. Относително сила

удължение

при

максимална

Не се третира. Използва се относително остатъчно удължение Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

3.3. Относително сила (£ик)

удължение

при

ниво

на

максимална

Стойностите в Таблица 1 са характеристични стойности. Максималният процент от резултатите Стр.14

при разрушаване.

от изпитването, попадащи под характеристичната стойност е даден като изискване или квантилна стойност. A) Армировъчна стомана В420В При оценка на резултатите от изпитване: - Относителното остатъчно удължение > 1 4 % - Su i > 5.0 или - sUi > 5.0 - 1.0 = 4.0 % и £ и т > 5.0 + 0 = 5.0% При оценяване качеството:

на

дългосрочното

ниво

на

£u т> 5.0 + k.s =5.0 + (l,28+2.74)*s Където: S Клас стомана

A-I A-II A-III A-IV

6-40 10-40 10-40 12-32

Минимално относително остатъчно удължение 5щ 25 19 14 6

Армировъчна стомана В235 е дадена в тази част, понеже Еврокод 2 не третира стомани с граница на провлачване по-ниска от 400МРа. При оценка на резултатите от изпитване: - Относителното остатъчно удължение > 25% - £и > 2.5% - При оценяване на дългосрочното качеството: £u т > 2.5 + k.s =2.5 + (l,28+2.74)*s

ниво

на

Коефициент зависещ от броя на резултатите (l,28-f2,74) Стандартно отклонение на множеството

Б) Армировъчна стомана В420С При оценка на резултатите от изпитване: - Относителното остатъчно удължение > 16% - £u i > 8.0 или - 8Ui > 8.0 - 1.5 = 6.5 % и £ и т > 8.0 + 0 = 8.0% При оценяване на дългосрочното ниво на качеството: £u т > 8.0 + k.s =8.0 + (l,28+2.74)*s B) Армировъчна стомана В500А При оценка на резултатите от изпитване: - £ui > 2.5 или - £Ui > 2.5 - 0 . 5 = 2.0 % и£ и г а > 2.5 + 0 = 2.5% При оценяване на дългосрочното ниво качеството: £u т > 2.5 + k.s =2.5 + (l,28+2.74)*s

на

Г) Армировъчна стомана В500В При оценка на резултатите от изпитване: - £u i > 5.0 или - £Ui > 5.0 - 1.0 = 4.0 % и £ и т > 5.0 + 0 = 5.0% При оценяване на дългосрочното ниво на качеството: £u т > 5.0 + k.s =5.0 + (l,28+2.74)*s Д) Армировъчна стомана В500С При оценка на резултатите от изпитване: - £Ui > 7.5 или -£ U i> 7 . 5 - 1 . 5 = 6 . 0 % и £ и т > 7.5 + 0 = 7.5% При оценяване на дългосрочното ниво на качеството: £ц т > 7.5 + k.s =7.5 + (l,28+2.74)*s 4. Изчислителни ровката

съпротивления

на

арми-

Изчислителните съпротивления на армировката на опън Rs за гранични състояния от първа и втора група се определя по формулата:

При изчисляване на конструкциите за гранични състояния от първа група, коефициентите за Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил

Петров

4. Частни коефициенти за материалите изчислителни характеристики

За крайни гранични състояния при дълготрайна и краткотрайна изчислителна ситуация се използва частен коефициент за стоманата ys= 1,15 Частните коефициенти за стоманата при монолитни конструкции могат да бъдат редуцирани както следва: когато изпълнението е подложено на система за управление на качеството при което се Стр.14

сигурност и изчислителните съпротивления в МРа са както следва: Клас на стоманата

A-I А-И A-III T-III A-IV T-IV B500

1.05 1.05 1.10 1,10 1.15 1,15 1,15

Вр-1 B-I Вв-1 Bd-I

1.10 1.27 1.58 1.55

Изчислителни съпротивления опън натиск Надлъжна Напречна Rsc Rs Rsw 225 180 225 280 225 280 375 300 375 375 300 375 400 510 405 430 345 400 430 345 400 365 315 285 225

260 230 230 180

осигурява намаление на отклонението на напречните размери и разположението на а р м и р о в к а т а y s ,redi=l,10;

когато тези намалени отклонения са измерени y s ,red2=l,05

Изчислителната граница армировката е fyd=fyk/ Ys

на

провлачване

на

365 315 285 225

При спазване на конструктивните изисквания на чл.179 от НПБСК за конструкции от обикновен бетон се приемат следните изчислителни съпротивления на натиск R sc : - за стомана T-IY - 430МРа; - за стомана A-IV - 450 МРа; - при липса на сцепление между бетона и армировката R sc =0; При изчисляване на конструкциите за гранични състояния от втора група, коефициентът на сигурност се приема y s =l,0, а изчислителното съпротивление на опън са равни на нормативните. Изчислителните съпротивления на армировката за гранични състояния от първа група се умножават и с коефициенти за условия на работа ysi с които се отчита неравномерното разпределение на напреженията в сечението, опасността от разрушаване от умора, условията на закотвяне и ДР5.

Огъваемост

Изпитването на огъване служи за определяне на способността на стоманата да издържа пластични деформации, характеризираща се с ъгъла на огъване до поява на първа пукнатина. Пример за нормативно изискване за огъване. Стомана клас AI - до 180° при дорник 0,5d; Стомана клас All - до 180° при дорник 3d; Стомана клас AIII - до 90° при дорник 3d; Стомана клас AIV - до 45° при дорник 5d; Пример за изискване за огьване-изправяне. На променливо огъване се изпитва само стоманен тел с диаметър до 10 mm

6. Модул на еластичността

на

армировката

Огъваемост

Армировката трябва да има достатъчна огъваемост, за да позволи използването на дорник с минимални диаметри, както следва -При диаметър до 16 mm - 4 пъти диаметъра; -При диаметър над 16 mm - 7 пъти диаметъра; Пример за нормативно изискване за огъване. Стомана В235 - до 180° при дорник 0,5d; Стомана В420В - до 90° при дорник 3d; Стомана В 4 2 0 С - до 90° при дорник 3d; Пример за изискване за огьване-изправяне. Армировъч на стомана

Диаметър на дорника

Ъгъл на огъване

Ъгъл на изправяне

В420В

>20

В420С

>20

В500А

>20

В500В

>20

В500С

>20

В235

6. Модул на еластичността

< 16

на

16-25

>25

армировката

За стомани с класове AI, All, AIII, T-III, T-IV и AIV модулът на еластичността Es се приема 200000 МРа.

За стоманите по Еврокод 2 изчислителната стойност на модула на еластичността Es се приема 200 GPa или 200000 МРа.

7.Изчислителна

зависимост

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

напрежения-

зависимост

напрежения-

Стр.14

дефорамции

Не са третирани.

Изчисленията са базирани на номинална площ на напречното сечение на армировката и на изчислителни стойности, получени от характеристичните такива. При обичайно проектиране се приема една от следните две зависимости: - наклонен горен клон с гранична деформация (£Ud)

максимално

напрежение

съответстващо на £Uk . Тук k=(ft/fy деформация се приема £Ud=0,9 проверка на носимоспособността сечения £Ud=0,025 за елементи без напрягане, независимо от класа по армировъчната стомана; - хоризонтален горен клон без проверки за гранична деформация;

kfyk/ys

)k. Граничната £Uk или при на нормални предварително дуктилност на необходимите

8. Якост на умора

Изчислителното съпротивление на армировката за гранични състояния от първа група се умножава с коефициент за условия на работа y s3 с който се отчита опасността от разрушение от умора.

Якостта на умора за армировката се проверява при следните условия: Максимално напрежениеCTmax= Р fу,real = 0,6 fy.reali Например: - за стомана В420 - ~ 252 МРа - за стомана В500 - ~ 300 МРа Размах на напрежението 2 ста = 150 МРа; Брой цикли - N = 2.10 6

Клас стомана

Коефициенти за условия на работа на армировката ys3 при многократно повтарящи се натоварвания и коефициент на асиметрия на цикъла -1 -0,2 0 0,2 0,4 0,7 0,9 0,8

0,41

0,63

0,70

0,77

0,90

All

0,50

0,60

0,65

0,70

0,80

0,95

AIII

0,40

0,47

0,52

0,57

0,65

0,80

0,90

При изчисляване на елементите от обикновен бетон без предварително напрягане, подложени на огъване, за надлъжната армировка коефициентът на асиметрия зависи от отношението между максималния и минималния огъващ момент за разглежданото сечение

Литература: 1. Норми за проектиране на бетонни и стомаНо-бетонни конструкции (Утвърдени със Заповед № РД-02-14-257 от 1986 г. на КТСУ, обн., ДВ, бр. 17 от 1987 г., изм. № 2, ДВ, бр. 17 от 1993 г., публ. БСА, бр. 1 от 1993 г., изм. № 3, ДВ, бр. 3 от 1996 г., публ., БСА, бр. 8 от 1996 г., изм. № 4, ДВ, бр. 49 от 1999 г., БСА, бр. 7-8 от 1999 г. и изм. № 5, ДВ, бр.17 от 58 от 2008 г.) 2. Еврокод 2: Проектиране на бетонни и стоманобе-тонни конструкции, Част 1-1 Общи правила и правила за сгради. БДС EN 1992-1-1:2005 3. Betontechnischen Daten, Heidelbergzement Ausgabe, September 2011 4. Alfons Goris, Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2: Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, 2011 5. Eurocode 2 fiir Deutschland. Kommentierte Fassung, 2012 6. Chris R. Hendy, D. A. Smith, Designers' Guide to EN 1992-2, 2007

Лекция 1 - доц.д-р ин.ж. Богомил Петров

Стр.14

НОСИМОСПОСОБНОСТ ПРИ СРЯЗВАНЕ НА ГРЕДИ И ПЛОЧИ (ПРИЛОЖЕН СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА ЕВРОКОД 2 И БЪЛГАРСКИТЕ НОРМИ ЗА ПРОЕКТИРАНЕ) Проф. д-р инж. Атанас Георгиев УАСГ- катедра „Масивни конструкции" След продължителен и труден процес на превод, проучвания, анализи и подготовки, от началото на 2012г. конструктивните Еврокодове са въведени у нас и формално като норми за проектиране, паралелно с българските. Въпреки нарастващата популярност на европейските стандарти, притесненията на проектантите-конструктори остават, както по отношение на собствената им подготовка, така и поради неизвестните количествените измерения на резултатите от проектирането по новите критерии. Представените тук сравнения на моделите за срязване в БДС ( 1 1992-1-1 - ЕС2 [1] и в българските „Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции" - НП [2] показват, че голяма част от отдавна известни принципи и правила могат да се разпознаят в ЕС2 като разбираеми, усъвършенствани и допълнени въз основа на добрата европейска практика и на съвременните научни постижения. Сравненията са с приложна насоченост и са илюстрирани с числени примери.

0. ВЪВЕДЕНИЕ При традиционния анализ на стоманобетонните конструкции в най-общия случай се определят четири вида разрезни усилия (ефекти), които отговарят на явленията огъване М, натиск или опън N, срязване V (Q) и усукване Т. Моделите за носимоспособност на критичните сечения и области от елементите съответстват на тези усилия и на възможните комбинации между тях. На меродавно срязване са подложени областите при опорите на елементите. Ако в достатъчна дължина от такава област геометрията е регулярна и липсват концентрирани сили/товари (фиг.0.1), напрегнатото и деформираното състояние също са регурярни. Такива участъци се дефинират като В-области (от Beam, Bending). В тях хипотезата на Bernoulli е достатъчно достоверна и обобщаването на напречни сили V(Q) и огъващи моменти М е удобно за изчисляването им.

0.1. Крайно гранично състояние на области с напречна армировка В областите от стоманобетонни елементи със съвместно действие на напречни сили и огъващи моменти се установява равнинно напрегнато състояние с главни опънни и натискови напрежения, наклонени спрямо надлъжните оси. След изчерпване на опънната якост на бетона и образуването на наклонени пукнатини, разрушението на елементите (напр. греди) може да настъпи по една от следните причини (фиг.0.1): 1. Разрушение на бетонна ивица между наклонени пукнатини, вследствие големи коси натискови напрежения (форма 1). 2. Срязване на натисковата зона в края на наклонената пукнатина, предизвикано от големи напречни деформации поради недостатъчна напречна армировка - стремена (форма 2). 3. Разрушение на опънната зона в началото на пукнатината поради недостатъчна надлъжна армировка и/или недостатъчното й закотвяне (форма 3). Фиг.0.1. Форми на разрушение Тези форми на разрушение, които подлежат на проверка, могат да се моделират по различен начин, но най-разпространени и нормирани са т.н. "блокови модели" и "фермови аналогии". Моделите се основават на условията за равновесие, на якостните характеристики на материалите и в различна степен на условията за съвместимост на деформациите.

0.2. Блоков модел в НП [2] Приема се, че разрушението е по критична наклонена пукнатина, която разделя елемента на два блока. В пукнатината напречната сила се поема от стремената Qsw и от бетона в натисковата зона Q^. Обикновено се разглежда блокът откъм по-близката опора (фиг. 1.1*). Моделът съответства на т.н. начало на крайното граннчно състояние, при което напречната армировка е провлачена, но само в областта около началото на пукнатината в опънната зона. Затова за изчислително съпротивление на тази армировка (стремена и огънати пръти) се приема по-ниска стойност: Rsw = 0,8R s Едновременно с това натисковата зона запазва своята цялост и е в състояние да поема срязване. В нормите обаче частта, която се предоставя на бетона, е силно надценена - 50% от общата носимоспособност! Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

0.3. Фермов модел в ЕС2 [1] Той е насочен към края на крайното гранично състояние, когато почти цялата напречна армировка е достигнала границата на провлачане. Наклонените пукнатини са максимално развити, пресичат и натисковата зона, която повече не е в състояние да поема срязване - напречната армировка трябва по поеме цялата напречна сила.. Формира се статически определим фермов модел с решетка от натискови бетонни диагонали и опънни вертикали (нормални стремена) - фиг. 1.1. 1. ЕЛЕМЕНТИ С НАПРЕЧНА АРМИРОВКА - ГРЕДИ Представени са сравнения на параметрите и на изчислителните проверки по двата модела. Приеманията и смущаващите резултати по блоковия модел се обясняват лесно чрез предпоставките на фермовата аналогия. Въпреки това, резултатите за модела от българските норми са представени хронологично на първо място (в лявата колона на таблиците). Разгледани са елементи от обикновен бетон, конструирани с нормални стремена. Случаят с огънати пръти се прилага (вече) рядко в практиката и е представен като особен. БЪЛГАРСКИ НОРМИ (*)

ЕВРОКОД 2

1.1*. Геометрични параметри на блока

1.1. Геометрични параметри на фермата

- Статическата височина на фермата е г » 0,9 d . - Полезната височина на модела е h0. - Ъгълът на наклона на натисковите диагонали се - Проекцията на опасната наклонена пукнатина изчислява или се приема в границите се изчислява и се приема в границите: h0<c0<2,25h0. (1.1*) 1,0 < cot 9 <2,5 (45° > 0 > 22°). (1.1)

Фиг.1.1. Фермовият модел в ЕС2 Фиг.1.1*. Блоковият модел в българските НП - Широчината b на модела се приема по фиг. 1.2*.. При двойно Т и Т сечения с плоча в натисковата зона се отчита благоприятно (съмнително!) съдействие, чрез условно завишаване на изчислителното съпротивление на бетона на опън, което се приема (1.2*) 4 t =0 + Ф / № ,

- Широчината на фермата bw се приема съгласно фиг. 1.2. При променлива широчина тя е наймалката стойност в рамките на полезната височина d . Напречните сили се поемат от реброто на гредата - не се допуска съдействие на плочи дори и в натискови зони!

където фу = 0,75(6у - b)hу !{b.h0) < 0,5 . >

bf<Lb+3hf \hf

Дс

Фиг.1.2. Ефективна широчина на фермата

Фиг. 1.2*. Широчина на блоковия модел 1.2*. Меродавни напречни сили

AS1

1.2. Меродавни напречни сили

В случаите на регулярни области, когато евенВ случаите на регулярни области, когато евентуални концентрирани товари са на разстояние от туални концентрирани товари са на разстояние от опората Cj > 2,2 5hQ (или по-точно Cj > с 0 ), меро- опората av > 2 , 0 d , меродавна е (фиг. 1.3): давна е (фиг. 1.3*): Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

- за проверките на достатъчност на напречното сечение (т. 1.3.1*) и за огъващ момент по наклонено сечение (т. 1.3.3*): изчислителната стойност Qmax н а напречната сила при ръба на опората; - за проверката/изчисляването на напречна армировка (т. 1.3.2*): изчислителната стойност Q на силата на разстояние с0 от ръба на опората (за опростяване и по преценка може да се приеме силата на разстояние h0 и дори Qmax); - при индиректно подпиране на второстепенна върху главна греда за всички проверки е меродавна напречната сила Qmax. —

с j ^ ср

- за проверката на бетонните диагонали (т. 1.3.1) и при определянето на допълнителния опън (т. 1.3.3): изчислителната стойност V g j т а х на напречната сила при ръба на опората; - за проверката/изчисляването на напречна армировка (т. 1.3.2): изчислителната стойност V^ci на силата на разстояние d от ръба на опората (за опростяване и по преценка може да се приеме максималната стойност Vg^ т а х ) ; - при индиректно подпиране на второстепенна върху главна греда за всички проверки е меродавна напречната сила V ^ m a x .

•

max

Фиг.1.3*. Меродавни напречни сили

Фиг.1.3. Меродавни напречни сили

1.3*. Срязване на греди със стремена Изчисленията се провеждат за опасни наклонени сечения, които (обаче!) са в пълна дисхармония за трите форми на разрушение (фиг.0.1).

1.3. Срязване на греди със стремена Трите възможни форми на разрушение съответстват на проверки на елементите на единен фермов модел с точно определен или избран ъгъл 9 .

1.3.1*. Проверка на наклонени бет. ивици Стоманобетонните елементи се изчисляват за напречна сила по наклонени ивици между наклонени пукнатини при спазване на условието • 0max*O,32^V (1.3*) Това изискване е известно като проверка за достатъчност на напречното сечение. Парадоксално е, че се проверяват наклонени ивици, а ъгълът на техния наклона остава тайна. То съвпада по смисъл с условие (1.4) от фермовия модел и може да се изведе от него при наклон на диагоналите под ъгъл 45° (фиг.1.4*). \ho/{2 \

1.3.1. Проверка на бетонните диагонали Те се намират в условията на страничен опън, предизвикан от стремената (фиг.1.4) и бетонът показва по-ниска якост на натиск ( v f c c i « 0,6 f c c j ) . - От равновесието на силите се определя у-вието VEd ,max - VRd,max - ®fifccjbwz/(cotO + tanO). (1.3) - Най-голяма

носимоспособност

VRd,max

на

диагоналите се получава при 0 = 45° ( c o t 6 = l , 0 ) и във всички случаи трябва да е спазено условието VEd ,max ^0,3 fcdb

w •

(1.4)

В противен случай е необходимо да се увеличи напр. сечение на елемента и/или класа на бетона.

=vfcd (v*0,6)

ho\ 0,max!

45';У

Фиг.1.4*. Класически фермов модел за доказване на бетонните ивици

Фиг.1.4. Напречен ритеров разрез във фермата - От условие (1.3), прието като равенство, може да се определи най-малкият допустим ъгъл 6 : cot 0 = со /(0,5 - J o , 25 - c o 2 ) < 2,5,

Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

(1.5)

където

со = VEd>max

/(0,6fcdbwz)

(1.6)

е нормализираната (относителната) напречна сила. По преценка за cotO може да се приеме стойност по-малка от тази, изчислена по (1.5), т.е. по-голям ъгъл 0. При това ще е необходима поголяма напречна армировка (т.1.3.2), но ще се pedytfiipa „разтягането" на надлъжната опънна армировка (т. 1.3.3). Изчислената (или приета) в допустимите граници (1.1) стойност на cotO става основна за модела и се прилага за всички следващите проверки! 1.3.2. Напречна армировка - стремена

1.3.2*. Напречна армировка - стремена Напречната сила се поема от стремената и бетона в натисковата зона и зависи от проекцията с на разглежданата наклонена пукнатина (фиг.1,5*): Q ^ Qb,sw = Qsw +Qb = qsw.c

+ l,5Rbtbh$

(1.4*)

/с

- Проверката за носимоспособност при зададена напречна армировка ( A s w в един напречен ред) се извежда за ритеров разрез, успореден на бетонните диагонали (фиг. 1.5) и за нормални стремена е VEd^VRd,s=clwz-cotQ>

0 • V;

където clw

~ ^swfywd / s ~ Р w^wfywd е усилието в стремената за единица дължина. Ас А

Qb=1,5Rbtbh^/c

_ Asw S

Qb,sw = yj6Rbtbh%qsw

Геометричен коефициент zi на напречно армиране: HrAsw'fabJzOWifo/fyk

D "SW

Фиг.1.5*. Вертикалните усилията в сечение по наклонена пукнатина Минималната носимоспособността на срязване, определена по (1,.4*) е .

(1.5*)

Тя се получава при опасна пукнатина с проекция = A 5 R b t b h l ! q s w = ЪКЬ1ЪЬ1 /Q , (1.6*) която трябва де се приема в границите от (1.1 *). - Армировката се определя чрез необходимото усилие в стремената за единица дължина, което се изчислява от (1.5*):

(1.1

VEd £ z.cotQ

fywd ~Pwbwfywd

Фиг.1.5. Диагонален ритеров разрез Ако напреженията в бетонните диагонали се прк емат 0,6 f c c i , изчислителното съпротивление в напречната армировка се взема с по-ниска стойност: fywd = W y k • (1.9) Коефициентът на напречно армиране (фиг.1.5) се приема не по-малък от Pw=Asw^s\>)^Pw,mm=0M41ck

'fyk- (1Л0)

qsw=Q2/(6Rbtbh2). (1.7*) - Армировката се определя чрез необходимото За стремената, които са приети по изчисление, усилие в стремената за единица дължина, което се изчислява от (1.7): се спазва изискването за минимална армировка qsw>0,3Rbtb. (1.8*) - Оптимално конструиране може да се подбере чрез вариране на диаметъра и стъпката между стремената: Asw/s = qsw/Rsw. (1.9*) При еднакви клонове с площ Asw\

и срезност

на стремената п в един напречен ред, връзката е: -d-swl _

clsw

4w = У Ed /(*.cot6) > 0 , 0 6 4 ^ • (1.11) - Оптимално конструиране може да се подбере чрез вариране на диаметъра и стъпката между стремената от (1.8): •d-sw ' s

(1.12) При еднакви клонове с площ Asw\ и срезност на стремената п в един напречен ред, връзката е: "-fywd 1.3.3. Допълнителен опън в надл. армировка 5

133*. Изчисляване за огъващ момент Целта е да се определи допълнителният опън в нормалните сечения, вследствие на възможното срязване по наклонено сечение. За крайните инж. Атанас Георгиев

4w ! f y w d •

(1.10*)

n.R sw

Проф.д-р

- 01.201 Зг.

Той се определя от хоризонталното равновесие в напречен ритеров разрез (фиг. 1.6): AFtf =O,5|K £ J.cot0 4

(1.14)

опорни сечения на гредите, които са с нулев опън и задължително трябва да се отчита при проверката в армировката от нормалното огъване, допълни- и конструирането, прекъсването и огъването на телната сила трябва да се поеме с надеждно надлъжните опънни пръти. Със силата V£d m a x с е закотвени пръти зад опорите. определя армировката, които трябва да се закотви В нормите проверката за огъващ момент е по надеждно зад крайните (ставни) опори на гредите. съвсем различно от използваните до тук критични 0,5VEdcotG ^ наклонени сечения. Основната предпоставка за това явление (фиг.1.6*) е дефинирана най-точно от руския проф. А.С.Залесов пред 1988г.: "най-опасното наклонено сечение е това, в което напречната сила се уравновесява с напречната армировка, пресичаща наклонената пукнатина". Това 0,5VEcj cot 0 означава отказ от Q^ в натисковата зона и преход Фиг.1.6. Допълнителен опън в поясите на фермата към „чист" фермов модел. Преди 25 години този преход е трябвало да се направи и за другите Сумирането на допълнителните усилия AFtcj с проверки. И нямаше сега да се дуем, че вече усилията F d от огъване на фиг.1.7 показва, че t проектираме с „съвременен фермов модел". всъщност Ftj = М£ci / z -диаграмата се "разтяга" С П Х Ш Ю Р (измества) хоризонтално с щ =0,5z.cot0. (1.15) •jr • i t- 4 Ь i-

Фиг.1.6*. Схема на силите за проверката за огъващ момент Проекцията на меродавното наклонено сечение с се определя от вертикалното равновесие на "Разтегната" всички сили, действащи върху блока откъм MEd/z-du33p. опората. Интензивността на стремената qsw е определена в т.1.3.2* и вече е известна. Предвид Фиг.1.7. Сумирани опънни сили в надлъжната арм. очакваната голяма проекция, целесъобразно е да се отчете и разпределеното натоварване (ако е При смущаващо силно „разтягане" и необходиналично) в рамките на нейната дължина: мост от голяма надлъжна армировка зад опорите, може да се приеме по-малка стойност на cot 0, но с ~ Qmax Ktfsw + Р) • (1.11*) трябва да се преизчисли (увеличи) напречната Опънната сила в надл. армировка се определя от равновесието на моментите, спрямо центъра на армировка (т. 1.3.2). Допълнителни опънни сили се появяват и в нанатисковата зона (силата Nfr): тисковата зона, но обикновено те са с благоприятно =[Qmax-c-(qsw+P)c2/2Vzs. (1.12*) действие. 1.3.4. Конструиране на стремената

1.3.4*. Конструиране на стремената Диаметърът им се избира не по-малък от : - за греди с И < 800mm : 6 mm; - за греди с h > 800mm : 8 mm. Разстоянията между стр. се избират по изчисление при спазване на ограниченията от фиг.1.7*.

Затворени стремена с коси куки са необходими за греди с неизбежно усукване (напр. монолитни крайни) - фиг. 1.8. Други форми и заварени скелети, които не включват надлъжната опънна армировка, могат да се прилагат като вътрешни.

| I—

h^600:s<h/2 и 200 h>600:szh/3 и 500 U4

s<,0,75h 500mm

Z0,9h 400mm

£ 0.75d 400тт

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

Asw1

600mm

Фит.1.8. Стремена, други подобни форми и максимални разстояния между тях

Фит.1.7*. Стремена - максимални разстояния Проф.д-р

<b.75d

1.3.5*.Процедура за изчисляване на стремена 1. Проверява се условието Qmax<0,3Rbbho. (1.3*) и ако не е изпълнено е необходима промяна на напречното сечение и/или на класа на бетона. 2. Изчислява се qsyv=Q2/(6Rbtbh2). 2.1. Ако \,5R}jtb > qsw стойност е окончателна. 2.2. Ако qsw

0. Определя

cot 0 = со /(0,5 - Jo,25

, изчислената

= vEd

< 0,3R^b , приема се (1.8*)

3. Избират се стремена чрез връзката (1.10*): (1.10*)

4.Подходящ диаметър (чрез As\) и стъпка между стремената могат да се изберат чрез табл. 1.1.

A>-cot0);

(1.11)

qw ,

(1-13)

* qw = VEd/(2,5.z)>0№jMK-,

(1.13*)

qsw

^swi _

(1.П)

4. Подходящ диаметър (чрез As\) и стъпка s. между стремената могат да се изберат чрез табл. 1.1. Таблица 1.1: Отношение As\ / s [mm2/mm] за един

Диаметър 0 , mm 6

100

0,28

0,50

0,78

1,13

125

0,23

0,40

0,63

0,90

150

0,19

0,34

0,52

0,75

200

0,14

0,25

0,39

0,57

250

0,11

0,20

0,31

0,45

300

0,09

0,17

0,26

0,38

1.4*. Особени случаи при греди

1.4. Особени случаи при греди

1.4.1*. Области с огънати пръти

1.4.1. Области с огънати пръти

Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

^з)

n-fywd

Стъпка

Огънатите пръти, в комбинация със стремена, може (евентуално) да са целесъобразни за срязването в близост до опорите на греди с големи разпределени натоварвания (стръмни Q - диаграми) и изпълнени с високи класове на бетона. За всички проверки се прилага същият блоков модел, допълнен с опънни диагонали. Като се имат предвид и конструктивните изисквания (фиг. 1.8*), могат да се обобщят следните особености при изчисленията: (1) Бетонните ивици между наклонените пукнатини се проверяват с условие (1.3*), което е толкова постно, че не допуска никаква намеса. (2) Изчисляването на огънати пръти не е детайлирано в нормите (изключват се препоръките в редица ръководства, които нямат силата на норма).

(1.5)

3 .Ако со < 0,345, приема се cot© = 2,5 и следва:

> \,5Rbtb , преизчислява се:

n.R sw

. (1.6)

-co2);

n-Jywd

qsw=Q/h0-l,5Rbtb. ^-swi _

се со = VEd>max /{0,6fcdbwz)

1. Ако со > 0,5 —> необходима е промяна на напречното сечение и/или на класа на бетона. 2. Ако 0,5 > со > 0,345 , изчислява се:

(1.7*)

qsw=0,3Rbtb. 2.3. Ако qsw

1.3.5. Процедура за изчисляване на стремена

Огънатите пръти не обхващат надлъжните армировки и не подпомагат формирането на компактни стоманобетонни области. Затова участието им в носимоспособността на срязване в греди се ограничава до 50%, а останалата част задължително се предоставя на стремена. За всички проверки се прилага същият фермов модел, модифициран с допълнителни опънни диагонали. Трябва да се има предвид допустимото конструиране, представено на фиг. 1.9. (1) За проверка на бетонните диагонали са в сила всички анализи и резултати за cot 9 , изведени в т. 1.3.1, тъй като е меродавно нормалното сечение при ръба на опората, което не пресича огънат прът. (2) Напречната армировка при комбинирано поемане на напречните сили с нормални стремена 6

При комбинирано поемане с бетон, стремена и огънати пръти, базовото условие (1.4*) може да се запише във вида QZQb+(Qsw+Qmc)

= 1,5R bt bh£ /с + (qswc

+ lLAsjncRsw

sin a )

(1.11*)

(VRd,s)

и с

огънати пръти ( F f o / ^ ) с ъгъл на нак-

лона a = (45 -т- 60)0

се

проверява с условието (1-16)

VEd^Rd,s+VRd,sb, където vRd,s

В горното условие може да се въведе определената по (1.6*) проекцията на опасното сечение

= ( A s w f y d / J).*. cot 6 ;

(1.17)

VRd,sb = Asb • f y d sin a • (1 • 18) Предвид конструирането (фиг.1.9), за сума на c = c0=3Rbtbh%/Q. Така се получава елегантно условие за оптима- площите на огънатите пръти Asb, които пресичат ритеровия разрез с проекция z.cotO, трябва да се лен избор между стремена и огънати пръти: приеме стойността от прътите само в един напречен 4swco + Z Ду, ред. (1.12*) jncRswsina>Q/2. Освен (1.14), трябва да се спазва и изискването A (1.19) V R d , s ^ - V l 2 Сумата от площите на огънатите пръти X s,inc > които пресичат опасното наклонено сечение, тряб(3) Допълнителният опън в надлъжната армива да се преценява много внимателно. Приемането ровка във вътрешността на областите с огънати на площта на прътите, разположени в един пръти се редуцира. Това не се отнася за нормалното напречен ред, е в посока на сигурността. сечение при ръба на опората и затова като цяло този (3) При проверката за огъващ момент фиг.1.6* благоприятен ефект може да се пренебрегне. може да се допълни с първия ред ^50mm h, Д SW огънати пръти. ' <.6/2 <0,6d(1+cota) -t-tE d

0,81. ал

А s, тс

A-1.3ltxj- в on, зона А>0.71м - е нат.зона

__l

0,81ап

a =45 "60"

Фиг.1.8*. Конструиране на огънати пръти

Фиг.1.9.Принципи на конструиране на огънати пръти

1.4.2. Сили в близост до опорите

1.4.2*. Сили в близост до опорите Особеност е само изчисляването на напречната армировка. Моделът за проверка на бетонните ивици (т. 1.3.1*) е без корекции, а в тези случаи е целесъобразно цялата армировка от полето да се закотвя зад опората (т. 1.3.3*).. Изчислената проекция на опасната наклонена пукнатина с0 е нереална, ако (фиг.1.9*)

Ако силата е приложена по горната страна на гредата и в близост до опората (фиг.1.10) 0 , 5 d < a v <2,Об/, (1.20) чрез кос натиск част от нея се предава директно на опората, без необходимост от напречна армировка.

с0 =3 Rbtbh^/Q>Cj. В такъв случай интензивността на стремената се определя директно от условие (1.4*) за с = с/:' :

qsw=Q/ci~l>5Rbtbho

Icf •

0,5d<.av<2,0d (3 = av/2d

VEd, t max

(1.13*)

\F У

d(zav) Фиг.1.10. Меродавно срязване при сили до опората

Фиг.1.9*. Случай на нереална проекция с0 на опасна наклонена пукнатина

За да се реализира това явление, трябва цялата опънна надлъжна армировка от полето да се закотви зад ръба на опората. Очевидно е, че проверките на бетонните диагонали и условията за определяне на допълнителния надлъжен опън се запазват. Меродавната напречна сила за изчисляване на стремената се определя с редуцирана стойност на приноса на силата = fiVp (фиг.1.10). Приема се пълноценна работа на 75% от стремената, разположени в дължината av :

VEd<0J5T Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

Asw.fvd.

(1.21)

1.5. Числени примери за срязване на греди Пример 1: Стремена и носимоспособност

- проста града

i 4, i >»1 ь i'105kN/m 1. Бетон клас C25/30 1. Бетон клас С25/30 fed =16,7МРа Rb=17,0MPa 2. Cm. клас B500 Rbt=1,2MPa fywd=400MPa 2. Cm. клас В500 3. d=540mm. 315 Rsw =345МРа z=485mm 3. ho=540mm; bw=300mm b =300mm Използват се процедурите от т. 1.3.5 и т.1.3.3 1. Проверка на бетонните ивици 0,3.17,0.300.540.10~ 3 =826kN > 315&V-> ОК! 2. Изчисляване на стремена c j s w = 2 6 0 2 . 1 0 6 /(6.1,2.300.540 2 ) = 107iV7mm 0,3R b t b = 0,3.1,2.300 = 108 > WIN/mm -> Приема се: qsw = 1087V/mm Избор на стремена (двусрезни, 77=2) - табл. 1.1

1. Проверка на бетонните диагоноли 1.1. Изчислява се со = 315.Ю 3 /(0,6.16,7.300.485) = 0,22 1.2. ю < 0,5 - натискът в бет.диагонали е допустим! 2. Изчисляване на стремена 2.1. со <0,345

cot 0 = 2,5

2.2. qw = 260.10 3 /(2,5.485) = 215N/mm 0,064j]cj~.bw

^ L = = 0,16 — 06/18cm 5 2.345 3. Опънна сила при опората (т.1.3.3*)

с = 315.10 3 /(105 + 108) = ШОтт Ns = [315.1,48-(105 +108)1,48 2 /2]/0,485 = = 480&V

= 0,064л/25.300 = 96N / mm

Приема се: qsw = 215 N /mm 2.3. Избор на стремена (двусрезни, п=2) - табл. 1.1 Aswl 215 = 0,27 08/18cm ^ 2.400 3. Опънна сила при опората (т.1.3.3) AFtd =0,5.315.2,5 = 3 9 5 ^

Пример 2: Стремена и носимоспособност

- непрекъсната

триотворна

града

гт ?90kN/m , бф22 1. Б.клас C20/25 1. Б\ клас С20/25 г г Яо 2ф28 2ф25+2ф28 2 ф 2 8 { 14 fed =13f3MPa Rb=14,5MPa Ц/ 4—h 2. Cm. клас B500 А 470 Rbt=1,05MPa 30 fywd =400MPa 2. Cm. клас В500 3. d=540mm. Rsw =345МРа 400 z=485mm 3. ho=540mm; bw=300mm b =300mm bf=140mm Използват се процедурите от т. 1.3.5 и т. 1.3.3 Област

1. Проверка на бетонните ивици 0,3.14,5.300.540.10" 3 =705kN > 5 4 0 W - + ОК! 2. Изчисляване q

s w

на 2

стремена

= 4 4 0 . 1 0 / ( 6 . 1 , 0 5 . 3 0 0 . 5 4 0 2 ) = 3507V/TWW

0,3R bt b = 0,3.1,05.300 = 95 < 350N/mm \,5Rbt5b = 1,5.1,05.300 = 470 > 350NI mm

Приема се: qsw = 350N/mm Избор на стремена (двусрезни, п=2) - табл. 1.1 Aswl _ 350 = 0,50 010/15cm 2.345

при опора В

1. Проверка на бетонните диагоноли 1.1. Изчислява се со = 440.Ю 3 /(0,6.13,3.300.485) = 0,465 1.2. со < 0,5 - натискът в бет.диагонали е допустим! 2. Изчисляване

на

стремена

2.1. cot0 = 0,465/(0,5 - V0,25 - 0 , 4 6 5 2 ) = 1,47 2.2. c l w =440.10 3 /(1,47.485) =

0,064.//^ckK = 0,064л/20.300 = UN I mm

Приема се: c j s w = 6\1N/mm 2.3. Избор на стремена (двусрезни, п=2) - табл. 1.1 Aswl _ 617 2.400

Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

6\lN/mm

0 , 7 7 —>

0 1 0 / 1 0 c m

Област при опора

1. Проверка на бетонните ивици (вж. опора В) 2. Изчисляване на стремена -плоча в нат. зона! фу = 0,75(720-300)140/(300.540) = 0,27 < 0,5 Rbt = (1 + 0,27)1,05 = 1,33MP а - ф-ла (1.2*) qsw

= 3 0 0 2 . 1 0 6 /(6.1,33.300.540 2 ) =

\29Nlmm

1. Проверка на бетонните 1.1. Изчислява се

диагоноли

со = 400.10 3 /(0,6.13,3.300.485) = 0,345 1.2. со < 0,5 - натискът в бет.диагонали е допустим! 2. Изчисляване на стремена

0,3 Rbtb = 0,3.1,33.300 = 120 < X29NI mm

2.1. со = 0,345 = 0345

l5Rbt5b

2.2. qw =300.10 3 /(2,5.485) =

= 1,5.1,33.300 = 600 > 129N/mm

Приема се: qsw

=129 NI mm

= — - = 0,19 2.345

06/15cm или 08/25ст

3. Опънна сила при опората

24Ш/тт

0 , 0 6 4 y [ f ^ . b w = 0,064л/20.300 = UN I mm

Избор на стремена (двусрезни, п=2) - табл. 1.1 ^

приема се cot 0 = 2,5

(т. 1.3.3*)

с = 400.10 3 /(129 + 190) = 1250mm Ns =[400.1,25-(129 +190)1,25 2 /2]/0,485 =

Приема се: qsw = 248N/ mm 2.3. Избор на стремена (двусрезни, п—2) - табл. 1.1 Аш1

_248_==0

31_>

0 8 / 1 5 с т

^ 2.400 3. Опънна сила при опората (т. 1.3.3) AFtc] = 0,5.400.2,5 = 500kN

= 515 Ш Необходима армировка зад опората: 515/43,0 = \2ст2 —> 2 0 2 8 Пример 3: Сили в близост до 1. Б' клас С20/25 Rb=14,5MPa Rbt=1,05MPa 2. Cm. клас В500 Rsw =345МРа 3. ho=540mm; b =300mm C;=75

C; = 75 \300kN и HI

\300kN II

1 Со-105

опорите -r 60

av=75

и — * *

300 208

300

1. Б.клас C20/25 fed = 13,3MPa 2. Cm. клас B500 fywei =400MPa 3. d=540mm. z=485mm bw=300mm av=75

Използват се процедурите от т. 1.3.5 и т. 1.4.2 1. Проверка на бетонните ивица 3 0,3.14,5.300.540.10" =705kN > 3ООАгА^ —> ОК! 2. Изчисляване на стремена Проекция на опасната наклонена пукнатина с0

1. Проверка

на бетонните

диагоноли

со = 300.10 3 /(0,6.13,3.300.485) = 0,26 < 0,5 - ОК! 2. Изчисляване на стремена av = 750 < 2 , 0 J = 1080/77/7?

с q =3.1,2.300.540 2 /(300.10 3 ) = 1050tww

(3 = av /(2,Об/) = 750/1080 = 0,695.

с0 > Cj = 750тт .—» с0 е нереална!

Vp =300kN

Интензивността на стр. се определя от (1.13*): qsw

=300. Ю3 /750-1,5.1,2.300.540 2 /750 2 =

= \20N/mm Избор на стремена (двусрезни, п=2) - табл. 1.1 Asw\ 120 = 0,175 —> 408/25сш (в участъка с/) 2.345

Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

vEd

= $VF = 0,695.300 = 20SkN Формула (1.21): £ASW = 208/(0,75.40) = 6 , 9 c m 2 -> 808/10cm (в участъка a v )

2. СРЯЗВАНЕ НА ПЛОЧИ Областите, подложени на срязване могат д а се разглеждат в ненапукан стадий I, ако са без нормални пукнатини от огъване, което е обичайно за предварително напрегнати елементи. За елементите от обикновен стоманобетон разрушаването от срязване е характерно за области, в които се образуват пукнатини от огъване в опънната зона {shear flexure failure).

2.1. Крайно гранично състояние на области без напречна армировка Началните нормални пукнатини се развиват като наклонени към натисковата зона, а формата на разрушение е по една критична магистрална пукнатина, следствие от големи напречни деформации (фиг.2.1.а). Напреженията в надлъжната армировка остават под границата на провлачане и затова разрушението се дефинира като крехко. Три са основните явления, които поддържат пренасянето н; напречни сили през наклонените пукнатини: (1) 3aifeneaue между повърхностите на пукнатините. Големината на срязващите напрежения Тг (фиг.2.1.6) зависи от размера (диаметъра) на едрия добавъчен материал da, от класа на бетона и oi широчината на пукнатините. Установено е, че разстоянията м е ж д у пукнатините (и съответно техните широчини) са приблизително пропорционални на полезната височина d на елемента. Затова при постоянеь диаметър на едрия добавъчен материал, с увеличаване на d граничните срязващи напрежения от зацепване намаляват, а оттам следва редукция и на относителната носимоспособност на срязване. Този „ е ф е к т на мащаба" е съществен феномен, който задължително трябва д а се отчита. (2) Срязване на натисковата зона. Носимоспособността й зависи съществено от натиска, който м о ж е да провокира в нея наличната надлъжна опънна армировка.. Едновременно с това при по-висок коефициент ш армиране наклонените пукнатини са през по-малки разстояния и с по-малки широчини, което пък осигуря в по-голямо зацепване м е ж д у повърхностите им. ( 3 ) Дюбелно действие на надлъжната армировка. Този ефект се активира от приплъзването в наклонените пукнатини и зависи от бетонното покритие, диаметъра и количеството на армировката. Приносът м у може д а е значителен (до 25-30%), когато прътите са добре закотвени и стойностите на напреженията в т я х са далеч под границата на провлачане на стоманата. а) Критична пукнатина

наклонена

б ) Зацепване наклонена

I—I

Фиг.2.1. Форма на разрушение без напречна армировка Влиянието на т а к а групираните ефекти зависи и от много допълнителни параметри. Това предопределя емпиричен характер на съвременните критерии за носимоспособност, които се основават на резултатите от многобройни опитни изпитвания.. Въпреки това, конституирането на модели за носимоспособност, безспорно е удачен подход за разбиране на явлението срязване на плочите 2.1.1. Блоков модел в НП Приема се, че разрушението е по критична наклонена пукнатина, която разделя елемента на два блока. В пукнатината напречната сила се поема от бетона в натисковата зона Qb (фиг.2.2.а). Въз основа на експериментални изследвания с концентрирани сили е изведена хиперболичната зависимост Qb=\,5bh%Rbt/c,

(2.1)

където опасната наклонена пукнатина се приема в границите ho0,6 а) Блоков модел

<с < 2,5h '( о -

б) Фермов модел

0,6-

c/h0 2,5

Фиг.2.2. Приложните модели за носимоспособност Проф.д-р

инж. Атанас

Георгиев

01.2013г.

2.1.2. Фермов модел в ЕС2 Фермовата аналогия на фиг.2.2.б се основава на средна стойност

на „чистото" зацепване \ г

наклонените пукнатини. Бетонните натискови диагонали са с малък ъгъл на наклона 9 » а г / 2 ,

в но

напрегнатото им състояние не е меродавно. Критична е носимоспособността на опънните бетонни диагонали, която зависи от степента на зацепване т г , а не от изчислителната якост на осов опън на бетона fctd , както е в блоковия модел. Фермовият модел обяснява и появата на допълнителен опън в поясите. БЪЛГАРСКИ НОРМИ

ЕВРОКОД 2

2.2*. Меродавни напречни сили

2.2. Меродавни напречни сили

Поради по-ниската степен на срязване, при тези елементи обикновено не е необходима проверка на натисковите ивици. Меродавна е (фиг.2.3*): - за срязването по наклонена пукнатина (т.2.3.1*): изчислителната стойност Q на силата на разстояние h0 от ръба на опората; - за проверката за огъващ момент по наклонено сечение (т.2.3.2*): изчислителната стойност Qmox н а напречната сила при ръба на опората.

Поради по-ниската степен на срязване, при тези елементи обикновено не е необходима проверка на натисковите диагонали. Меродавна е (фиг.2.3): - за проверката по наклонена пукнатина (т.2.3.1): изчислителната стойност на силата на разстояние d от ръба на опората; - при определянето на допълнителния опън (т.2.3.2): изчислителната стойност на max напречната сила при ръба на опората.

VEd, max

Фиг.2.3*. Меродавни напречни сили

Фиг.2.3. Меродавни напречни сили

2.3*. Изчислителни проверки

2.3. Изчислителни проверки

2.3.1*. Носимосп. по наклонена пукнатина

2.3.1. Носимосп. по опънни диагонали

В практиката се наложи като меродавна минималната стойност от ф-ла (2.1): Q ^ Q b , m m = 0 M

t b h

(2.2*)

Трябва да се спазва условието v

< VRd,c = VRd,cKd

•

(2-2)

За граничното срязващо напрежение се приема: уедс=0,12*(100р//с*)1/3,

(2.3)

но не по-малко от

vmin =0,035^3/2/^/2^

(2.4)

където: е коеф. на мащаба (d в mm); р/ = Asi /(bwd) < 0,02 - коеф. на надл. армир.

2.3.2*. Изчисляване за огъващ момент При меродавно наклонено сечение на разстояние h0 от опората, от равновесието на блока се определя (фиг..2.4*): (2.3*) max

t 4

AFtd=VEdi

А/с 4—

Q max T "o Фиг.2.4*. Силите при проверка за or. момент Проф.д-р

инж. Атанас

Георгиев

2.3.2. Допълнителен опън в надл. армировка Анализът на фермовия модел от фиг.2.2.б показва, че поведението му е като на обичайна ферма с опънни вертикали, но с наклон на натисковите диагонали под ъгъл 0 ~ 26° (cot 9 « 2,0 ). От формула (1.14) за допълнителната сила в опънната армировка се определя

- 01.201 Зг.

(2.5)

а за „разтягането" на опънната диаграма щ - d .

(2.6)

По горната причина за фактическия коефициент на армиране р/ = Asw /(bwd) ната на

е меродавна закотве-

армировка в напречното сечение,

изместено на d от разглежданото А (фиг.2.4). fbd.

, у

,. 'bd

VEd. t

45°A

-I

Us,

Si!

k;/4®

Фиг.2.4. Дефиниране на меродавната надлъжна опънна армировка

2.3.3. Числена интерпретация на VRd

2.3.3*. Сравнение с ЕС2 Изчислителните стойности на натоварванията по българската наредба №3 от 2005г. и по европейските стандарти са почти напълно хармонизирани. Затова в случая сравненията се свеждат до съпоставяне единствено на граничните напрежения на срязване. В българските норми за проектиране за бетон клас С20/25 граничното напрежение е 0,6R b t = 0,63МРа, а за същия клас стойностите на vrj с са представени в табл.2.1. Вижда се, че за обичайните за плочите проценти на армиране в границите (0,25-0,50)%, моделът в евростандарта е с от 20 до 100% по-консервативен.

2.4*. Особен случай - огънати пръти При комбинирано поемане с бетон и огънати пръти може да се използва базовото условие (1.12*), в което отпада участието на стремената. Получава се YAsJ)lcRswsma>Q/2 (2.4*) Сумата от площите на огънатите пръти Y,A S j n c , които пресичат опасното наклонено сечение, трябва да се преценява много внимателно. Приемането на площта на прътите, разположени в един напречен ред , е в посока на сигурността. В сила са принципите за конструиране, отнасящи се за огънатите пръти, показани за фиг. 1.8*.

От таблица 2.1 може да се добие представа за влиянието на главните параметри върху стойността на граничното напрежение на срязване v p d с (с отчитане на v m } n ) . Таблицата е много удобна за проектирането. Табл.2.1. Стойности на Уцд с [МРа] за бетон С20/25 Коеф. р/,%

Полезна височина d , mm <200

400

600

1000

0,20

0,44

0,35

0,30

0,28

0,30

0,44

0,37

0,34

0,32

0,50

0,52

0,44

0,41

0,37

0,80

0,60

0,52

0,48

0,44

1,20

0,69

0,59

0,55

0,50

2.4. Особен случай - огънати пръти Обикновено дебелините на плочите се избират така, че да се избегне напречното им армиране. Ако все пак е необходима по изчисление, такава армировка се допуска само, ако плочата е с дебелина h > 2007?ш . Изчисляването и конструирането на стремена е както при гредите. Само огънати пръти (без стремена) се допускат при умерена степен на срязване:

У Ed ,max — VRd ,max /3,

(2.7)

но това условие обикновено не е критично. В съответствие с фермовия модел (фиг.2.2.б) и след изчерпване на зацепването, целесъобразно е цялата напречна сила да се поема само с площта на огънатите пръти в един ред (фиг.2.5):

Asb>VEdl{fydsma).

(2.8)

Миним. напречно армиране се контролира от

pw = Asb /(s.bw sin a ) > - Pw,min Проф.д-р

инж. Атанас Георгиев

- 01.201 Зг.

0,08 4 f c k / f y k .

(2.9)

Особеностите на конструирането на напречната армировка за плочи са показани на фиг.2.5. 6) Стремена в плочи

а) Огънати пръти в плочи

S£0,75d

Asb a=45°60° 4.

1 /

Закотвяне вж. фиг.1.9

^ SW

(0,3-0,5)d

Напречното разстояние между огънати пръти и клонове на стремена е <1,5d !

Фиг.2.5. Конструиране на огънати иръги (а) и на стремена (б) в плочи Пример

4: Срязване

на непрекъсната

еднопосочна плоча на две ал 9ri=60kN/m2 ,Л_л Dr0/1 9++19 ; | ь j фw 8Ф16/т (Р, =0,85%) I X / ; чч|1/.д _J 4Ф12/т (Р, =0,24%) 8Ф12/т(р1=0,48%)

полета

12,5

V со со N Бетон клас С20/25 Cm. клас В500 Показана е само арм. по изчисление Крайна 1. Проверка

на

опора

срязване

1. Проверка

Qb = 0,6.1,05.1000.190 = 120&V

Табл.2.1:

Q^llkN

<\20kN —• ОК !

d = 190mm,

2. Опънна

сила при

vRd,c

опората

Вътрешна на

срязване

Qb =120 kN Q = 132kN > 120kN —» необходима напр.арм. ! 2. Изчисляване ZAs,inc

на огънати

пръти

= (132/2)/(34,5.0,707) =

Приети за един ред: 4010/m - Asjnc

срязване

р/ = 0 , 2 4 %

vRd>c

0,44МРа

= 0,44.1000.190 = UkN

vEd = път<мт^ок \ 2. Опънна

1. Проверка

на

- ф-ла

(2.4*):

2,10cm2 = 3,14cm2

(Конструирането е както по ЕС2 - в два реда)

сила при

опората

опора 1. Проверка

на

Табл.2.1: d = \90mm,

р/ = 0 , 8 5 %

vRd,c

срязване v R j > c = 0 , 6 1 МРа

= 0,61.1000.190 = 116faV

Vj?d = 132 > 1 \6kN 2. Изчисляване

необх. напр. арм. !

на огънати

пръти

- ф~ла (2.8):

Asb > 132/(40,0.0,707) = 4 , 6 с т 2 Приети за един ред: 4012/ш - As jnc

= 4,52cw; 2

(Конструирането е в два реда - вж. фигурата) Pw,mm = 0,08л/20/500 = 0,07%. pw = 452 //(190.1000.0,707) = 0,33% > 0,07%. Pw.min = 0,08л/20/500 = 0,07%. Проф.д-р

инж. Атанас

Георгиев

- 01.201 Зг.

3. ПРИЛОЖЕНИЯ 3.1. За бетона В практиката масово се прилагат т.н. обикновени бетони (от клас С12/15 до С5 0/60) съгласно [1]. В числените примери са използвани най-популярните (вече!) от тях - С20/25 и С25/30. Изчислителните стойности на якостите на бетона се определят с частен коефициент у с - 1 , 5 за дълготрайни и краткотрайни ситуации и с у с = 1,2 за извънредни изчислителни ситуации: - на натиск: fcd = a c c f c k / у с (обикновено асс = 1,0 за хоризонтални елементи на сгради и асс вертикални елементи и за елементи на стоманобетонни мостове); - н а опън: /с,</ =/ С ,* : 0 ,0 5 /Ус-

= 0,85 за

Класификацията на бетоните от европейския стандарт БДС EN 206 са въведени в българските норми [21 още през 2008г. В числените примери характерестиките по българските норми са приети съгласно релацията (например): С20/25 —> В25.

3.2. За обикновената армировка В примерите е използвана най-разпространената и нас армировъчна стомана клас В500 ( f

y k=

500МРа),

която е предимно родно производствао. Тя е горещовалцувана и термично уякчена и се прилага като надлъжна и напречна във вид на пръти, зава-рени мрежи и скелети. ЕС2 допуска влагането и на стомана клас В420, която лекува носталгията по известната A-III. В ЕС2 изчислителната граница на провлачане f d = f k f y s се определя c частен коефициент у^. = 1,15 з^ дълготрайни и краткотрайни ситуации и у^ = 1,0 за извънредни ситуации. Така определеното изчислително съпротивление се отнася и за надлъжната и за напречната армировка. При използването на някои опростени модели за сразване (както е в примерите тук), за напречната армировка се приема редуцирано изчислително съпротивление f^vd = 0,8 f y k (вместо f y d - fy^ /1,15). Изчислителните съпротивления за проверките по българските норми са приети така, както са регламею тирани там - напр. за В500: Rs = ШМРа; Rsw = 0,8R s = 345МРа

3.3. Основни означения е

VEd

Изчислителна стойност на напречна сила

бь

VRd,c

Срязваща сила, поета от бетона

Qsw

VRd,s

Срязваща сила, поета от стремена

Qinc 0 Mbt

VRd,sb

Rb Rbt

Срязваща сила, поета от огънати пръти Срязващо напрежение в елементи без напречна армировка, поето от бетона

vRd,s

fck

Характерист. стойност на цилиндр. якост на натиск на бетон на 28"ия ден [МРа]

fed

Изчислителна стойност на якост на натиск на бетон на 28~ия ден Изчислителна стойност на якост на осов опън на бетон

fctd

f y k > f y d Характеристична и изчислителна стойност на съпротивление на армировка Изчислително съпротивление на напречна армировка fywd

Rsn> Rsw K b -

d bw

Полезна височина на напречно сечение Широчина на напречно сечение при срязване Ъгъл на наклона на натискови бетонни диагонали

Литература 1. БДС EN 1992-1-1:2005. Еврокод 2: Проектиране на ст.бет. конструкции. Част 1-1: Общи правила и правила за сгради. 2. Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции, 1988 (изм. 2008г.). 3. Национално приложение към БДС EN 1992-1- 1/1ЧА:2007(проект). 4. Георгиев, Ат., Несъвместимостта на моделите за носеща способност на наклонените стоманобетонни сечения в българските норми за проектиране, Юбилеен годишник на УАСГ, том 2, С,, 2002. 5. Георгиев, Ат., Парадоксите в модела за проектиране на напречната армировка в българските норми за стоманобетонни конструкции, Сп."Строителство", кн. 1, 2003. 6. Георгиев, Ат,, Уточняване на изчислителния фермов модел за срязване в Еврокод 2, DCB, Варна, 2010. 7. Георгиев, Ат., Продънване, Фатум, София, 2011. Проф.д-р инж. Атанас Георгиев - 01.201 Зг. 14

Еврокод 2 и българските норми за проектиране - приложен сравнителен анализ

ОРАЗМЕРЯВАНЕ НА СТОМАНОБЕТОННИ СЕЧЕНИЯ ЗА ОГЪВАЩ МОМЕНТ СИЛИ БЕЗ ОСОВА СИЛА ГЛАВА I: НЕЦЕНТРИЧНО НАТИСНАТИ ЕЛЕМЕНТИ С ПРАВОЪГЪЛНО НАПРЕЧНО СЕЧЕНИЕ И НЕСИМЕТРИЧНА АРМИРОВКА доц. д-р инж. Йонко Пенев, д-р инж. Борислава Николова При оформянето на методиката неоценима помощ оказаха председателят на секция „Конструкции на сгради и съоръжения" при КИИП София-град инж. Михел Иванчев и проектантите от неговото ателие инж. Драгомир Маджаров и инж. Марин Иванчев Целта на тази разработка е не само изясняване на оразмеряването съгласно Еврокод 2 на нецентрично натиснати елементи с правоъгълно сечение, но и съпоставянето му с досега действащите „Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции , както по методология, така и по количеството на получените армировки. Най-важната цел е да бъде показано, че формално процесът на оразмеряване по Еврокод 2 и НПБСК е почти еднакъв. Естествено, с отчитане на спецификите в двете методики, в които има съществени разлики. Тогава преминаването от НПБСК към Еврокод 2 би било елементарно, както и обратното при млади колеги, които не са учили и работили по НПБСК. Алгоритмите [5] и [6], разработени от доц. д-р инж. Йонко Пенев през 80-те години на миналия век (по които са учили и работили доста поколения строителни инженери) и по които са разработвани ползваните и до днес компютърни програми, биха могли почти изцяло да бъдат използвани отново. Естествено с някои промени, като по този начин преминаването от едните към другите норми за проектиране ще бъде плавно и разбираемо. Тук трябва да се подчертае, че всичко изложено по-долу не е предназначено за алгоритъм за компютърни програми. Темата за компютърно оразмеряване на произволни сечения е напълно изчерпана в докторската дисертация на д-р инж.Илия Алашки [7], с научен ръководител доц. д-р инж. Йонко Пенев. Тя е приложена в програма „Гала , закупена от проектанти в над 30 държави. Алгоритъмът на тази програма не може да бъде използван за ръчни изчисления, аналогично на алгоритмите, разработени на база на метода на крайни елементи в строителната механика. Целта на настоящата разработка е да даде възможност на проектанти и студенти ръчно да извършат оразмеряването, а на инженера, упражняващ технически контрол по елементарен и лесен начин да провери резултатите от компютърните изчисления. Не бива да се забравя, че освен грешки при въвеждането на данни, в много случаи са възможни и грешки в компютърните програми. 1. Сравнение на основните предпоставки при НПБСК и Еврокод 2

Фиг.1 - Основни означения и случаи на нецентричен натиск при НПБСК

Фиг.2 - Основни означения и случаи на нецентричен натиск при Еврокод 2 1

Таблица 1

Таблица 1' НПБСК

Еврокод 2

1. Не се използва хипотезата на Бернули за равнинност на напречните сечения след деформацията,

1. Използва се хипотезата на Бернули за равнинност на напречните сечения след деформацията.

2. Няма дефинирана връзка „напрежениядеформации , а напреженията в армировъчните пръти се определят във функция от височината на натисната зона х, която играе роля и на нулева линия. За обикновените стомани AI, All и AIII напреженията в долната армировка <rs се определят съгласно фиг.1, по приблизителната формула (4) в табл.З.

2. Във връзка с това разстоянието от горния ръб на сечението до нулевата линия се означава с х, а височината на натиснатата част от бетона с Ях, съгласно фиг.2. Физическият смисъл на Я ще бъде изяснен по-долу.

3. Изчислителните съпротивления на армировката на опън Rs и на натиск Rsc за обикновените стомани AI, All и AIII са равни. Напреженията в армировката A's са винаги натискови и равни на Rs.

3. Напреженията са в зависимост от приетите в Еврокод 1 работни диаграми „сг - Е на материалите. Тук са показани на фиг.4 и фиг.5 4. Възможните разпределения на деформациите по височина на напречното сечение в крайни гранични състояния са съгласно т.6.1. и фиг.6.1 на стр.86 от Еврокод 2. Тук са показани на фиг.З.

Както се вижда, основните предпоставки в двете методики са коренно различни, но от чисто методологическа и формална гледна точка оразмеряването и по двете норми може да се проведе по един и същи начин и разбираемо от всеки. Именно това е целта на тази разработка. 2. Основни означения и зависимости при оразмеряването по Еврокод 2

(1-А)£с1|3=0.7.1(Г е^.КГ

е-" 25.10"''

cd=l,75.l0-7

2,17.М1''заВ500 1,8/5.11}':m 1И2У

Фиг.З - Възможни разпределения на деформациите по височина на сечението в крайни гранични състояния (КГС) (фиг.6.1 на Еврокод 2, стр.86)

Фиг.4 - Идеализирани работни диаграми <rs — s s на стоманата А - с наклонен горен клон В - с хоризонтален

j-3,5.10

Фиг.5 - Идеализирани работни диаграми <тс — ес на бетона 1 - параболично-праволинейна 2 - билинейна 3 - праволинейна

Ограничението s u d = 25%о (25.1СГ 3 ) е само за работната диаграма А на фиг.4. При диаграма В ограничение няма.

2.1. Якост, означение на характеристиките и зависимост „напрежения-деформации" на бетона (уравнение на физиката). Якостта на бетона на натиск се означава с класове на якост, свързани с характеристичната цилиндрична якост fck или кубова якост fckicubeКласовете по якост съгласно Еврокод 2 се базират на характеристичната цилиндрична якост fck, определена на 28"мия ден. Те са дадени в табл.3.1, стр.29 на Еврокод 2. Примерно клас на бетона С16/20 означава бетон с характеристична цилиндрична якост fck = 16MPa(l,6kN/ст2) и характеристична кубова якост/с/с сиЬе = 20МРа(2,0 kN/cm2). Изчислителната якост на бетона на натиск е

fed.

— асс

~~ Ус

(1-1)

където асс -

у с = 1,5 -

съгласно Националното приложение 1 А.2 „при проверка на носимоспособността на нормалните сечения на вертикални или наклонени елементи, изпълнени по монолитен способ, стойността на коефициента а с с се приема 0,85. Във всички останали случаи може да се приеме 1. частен коефициент на сигурност

Фиг.6 - Напрежения в

горната армировка при o s2 при Еврокод 2

Фиг.7 - Деформации и съответните напрежения в бетона о с в напречното сечение в съответствие с работните диаграми 1,2 и 3 на фиг.5

При оразмеряване на напречни сечения Еврокод 2 допуска използването на зависимостите „напрежения-деформации , показани на фиг.5. Те са параболично-линейна (графика 1), билинейна (графика2) и правоъгълна (графика 3). Именно това са нормираните работни диаграми на бетона. Диаграмите на натисковите напрежения в бетона в напречното сечение за трите случая са показани на фиг.7. Ръчното изчисление при първите два случая е много трудно. Еврокод 2, както и правилниците на най-развитите държави, допускат случай 3, но начина на определяне на коефициентите Т] и Л (фиг.5 и фиг.7) и техните стойности варират в много широк диапазон. Образно казано, те поставят в „правоъгълен калъп получените по експериментален път реални напрежения в бетона, като площта и директрисата на резултантната на правоъгълната натискова зона приблизително да съвпадат с тези на реалната. В Еврокод 2 за бетони с клас до С50/60 се приема 77 =

А =

0,8

(1.2)

2.2. Якост, означение на характеристиките на армировката и зависимост „напрежениядеформации" на стоманата (уравнение на физиката). Якост на армировката е характеристичната граница на провлачане fyk при горещовалцованите стомани (или напрежението, съответстващо на 0,2% нееластично относително удължение /0|2к при студеновалцованите стомани) и максималната характеристична стойност ft на силата при осов опън (при достигане на граничната характеристична стойност на относителната деформация £ ик ).

fyd.

fyk/Ys ~

Ys = 1Д5 -

изчислителна стойност на максимално допустимите напрежения и при опън, и при натиск частен коефициент на сигурност

При прилагане на Еврокод 2 се използва само оребрена армировка с граница на провлачане fyk = 400 -т- 600МРа (40 ч- 60 kN/cm2). Съгласно националните приложения се препоръчват стомани с fyk = SOOMPa (50 kN/cm2) — В500. Тук ще бъдат решени примери и с #420 (подобна на АШ съгласно НПБСК) за да се направи сравнение между двата вида норми. £ud

гранична изчислителна стойност на относителната деформация. В Националното приложение се допуска s u d = 25%о (25.10~ 3 ) за всички стомани. По-долу в изложението, за краткост ще изпускаме думата „относителна , тъй като тя се подразбира. При оразмеряване на напречните сечения в ЕК-2 се допуска използването на идеализираните зависимости „напрежения-деформации , показани на фиг.4. Тук ще приемем графиката с хоризонтален горен клон, като в случая съгласно т.3.3.6 (7) на ЕК-2 деформацията не се ограничава. Съгласно точка т.6.1(3)Р, тя може да се ограничи където е необходимо. За пълнота на решението тук е прието ограничение s u d = 25%о (25.10~ 3 ). Ако то отпадне решението се опростява и случаят 1а на нецентричен натиск отпада в изложението по-долу. Изчислителната стойност на модула на еластичност- се приема 200GPa (2.10 4 kN/cm2). 3. Определяне на напреженията в бетона <тс , osl{x) и as2(х) в долната Asl и в горната As2 армировки в зависимост от възможните разпределения на деформациите по височина на сечението в крайни гранични състояния (КГС), съгласно ЕК-2 на фиг.З, уравненията на физиката "сг — е" за бетона и армировката, съгласно т.2.1 и 2.2 и местоположението х на нулевата линия. 3.1. Основни предпоставки. Възможните разпределения на деформациите по височината на сечението в крайни гранични състояния са показани на фиг.З (фиг.6.1 на стр.86 от ЕК-2). С точка А е показана граничната относителна деформация s u d = 25%о (25.10~ 3 ) на опънната армировка за всички стомани, с точка В граничната деформация ecu2 ( f cuз) — 3,5.10~3 при огъване за бетони с клас до С50/60 включително, и с точка С граничната деформация е с2 = 2.10~ 3 на центрично натиснат бетон с клас до С50/60 включително. За по-високи класове бетон относителните деформации са диференцирани в табл.З на стр.29 на ЕК-2. Правите линии на тази графика фактически представляват възможните крайни- гранични местоположения на сечението спрямо реперната линия О — О след прилагането на външното натоварване върху конструкцията. Те са прави линии поради приетата хипотеза на Бернули за равнинност на сечението след деформацията. Следователно: a) За да считаме, че в едно сечение е достигнато крайно гранично състояние, след деформирането на конструкцията неговата ос трябва да премине през една от трите точки А, В или С. Тогава разрушението започва или от опънната армировка (точка А) или от бетона при огъване (точка В) или от бетона при центричен натиск (точка С). Някои го наричат „правило на трите точки . b) В частния случай, когато оста на сечението премине едновременно през точки А и В, разрушението настъпва едновременно в опънната армировка и в бетона. c) С оглед на горното, за да се намира сечението в крайно гранично състояние, може по някакви съображения да се избере местоположението на неговата ос (нейния наклон) при задължително преминаване през една от трите точки А, В или С , а при зададени армировки - някъде между тях. Различните възможности за това са показани на фиг.8. Още тук трябва да се отбележи, че този избор трябва да се прави с оглед на оптималното решение - сумата от армировките Asl + As2 да е минимум при зададени двойка усилия М и N, както ще бъде показано в изложението. 4

3.2. Геометрична връзка между местоположението на нулевата линия и деформациите по височина на сечението. Определяне на деформациите в двете армировки Asl И Лх2 И напреженията в тях. При изложението ще бъде прието следното правило за знаците. Деформациите в бетона е с и в горната армировка ES2 са положителни при скъсяване. Напреженията в тях АС и OS2 са положителни при натиск. Деформацията на долната армировка £ sl е положителна при удължаване. Напреженията a s l в нея са положителни при опън. Възможни са следните случаи, показани на фиг. 8. —t

-tB

A '4

£sl=Eud=25.10''

3,5.10= ECU3>E,>£c2=2.10'

£с—£cu3=3,5.10"

0<£C£ECU3=3,5.10~'

,1 0'

gud>£sl£()

Фиг.8а - Достигане на КГС в т.А. Възможно е едновременно достигане на КГС в т.А и т.В

Фиг.8б - Достигане на КГС в т.В.

Фиг.8в - Достигане на КГС в т.С.

Фиг.8 - Деформации по височината на сечението при достигане на крайно гранично състояние (КГС) (на английски ultimate limit state (ULS)) в точки А, В или С

3.2.1. Крайно гранично състояние е достигнато в т.А при гранична деформация на стоманата £ид = 25.10~ 3 (фиг.8а). Оста на сечението след деформацията минава през тА и през т.В'. Нулевата линия е вътре в сечението на разстояние х от горния му край. В частния случай, когато деформацията на бетона е с е равна на граничната деформация £си3 = 3,5. К Г 3 , т.В' съвпада с т.В на фиг.З и имаме едновременно настъпване на крайно гранично състояние в опънната армировка и в бетона {т.А и т.В). В този случай разстоянието до нулевата линия е означено с хАВ. а) От чисто геометрически съображения съотношението на катетите на подобните триъгълници 0 4 5 ' и 0.41 е: ^

(З- 1 )

или решено спрямо х

x = -^—d £ud+£c

(3.2)

Ако се положи ЕС = SCU3 = 3,5.10 3 и SUD = 25.10 3 , това означава, че оста на сечението преминава през т.А и т.В' = В от фиг.З, съответно (фиг.8а): хАВ=

^^—-d

= 0,1228d « 0,123d

(3.3)

b) Стойността на ss2 се намира от подобните триъгълници 0А1 и 0В'4: £s2-7i7£ud Напрежението в горната армировка As2 при Es = 2.10 4 kN/cm2 ( 2 . 1 0 5 М Р а ) е

(3.4)

@S2

= EsES2

< fyd[kN/cm2]

2. Ю 4 . ^ . 25. lO- 3 =

(3.5)

При x < d2, os2 < 0 и съгласно приетите знаци това е опън, а пък

(Tsl=fyd.

Получените изрази и коментар за a s l и a s 2 са поместени във втората колонка на табл.2. 3.2.2. Крайно гранично състояние е достигнато в т.В при гранична деформация на бетона £с = £сиз = 3, 5.10~ 3 (фиг.8б). Оста на сечението след деформацията минава през т.В и през т.А' с крайно положение ВО'. Нулевата линия е вътре в сечението, на разстояние х от горния му край. а) съотношението на катетите на подобните триъгълници ОА'1 и ОВ4 е: Est d-x :ь сиз — = —x

£ si

d-x £сиз = ~~ л

(3.6)

или решено спрямо х _

сиз

£ S1

(3.7)

+ £CU3

Ако се положи £ sl = EYD = fyd/Еs се получава граничната стойност напрежението в долната армировка Asl е опън и е равно на fyd.

ХЦТ,

при която

В колонка 3, ред 4 са показани стойностите Хц т = 0,6168d за стомана В500 и Хц т = 0,6572о? за стомана В420. Когато x > xUm, тогава asl < fyd дори и при х = h става отрицателно, тъй като s s l е отрицателно. Това е показано на фиг.8б. Ь) От подобните триъгълници 023 и 0 4 5 получаваме £CU3

(3.8)

(JS2 = EsEs2 = 2 . 1 0 4 . ^ . 3,5.10" 3 = 70 ^ [ k N / c m 2 ]

(3.9)

Графжата на as2(x) е показан на фиг.6. Както се вижда, в участъка на х от нула до d2 (съгласно приетото по-горе правило за знаците и в табл.2) a s 2 (х) е опън. Това довежда до неясноти при оразмеряването, когато х е величина, съизмерима с d2. Този въпрос ще бъде изяснен по-долу. От друга страна, ако в (3.9) се положи <Js2 = f y d , то след преобразуване се получава разстоянието х, при което е удовлетворено това условие. х > 70———

(3.10)

Това е показано на фиг.6 и ще изясни и улесни оразмеряването. Именно променливото напрежение o s2 (х) в горната армировка е една от най-големите разлики между НПБСК и Еврокод 2, където съгласно табл.1 изчислителното напрежение на натиск a s c е винаги постоянно и при стомани AI, All и AIII се приема Rsc = Rs. Получените резултати са показани и коментирани в колонка 3 и колонка 4 на табл.2. 3.2.3. Крайно гранично състояние е достигнато в т.С при гранична деформация на бетона £С = Ecu2 = 2. lO"3 (фиг.8в). Оста на сечението след деформацията преминава през т.С и може да се завърти около нея до заемане на вертикално положение, когато Ес1 = Ес2 = £ sl -• Es2 = 2.10 _ 3 . Нулевата линия е извън сечението и преминава през т.О. а) От подобните триъгълници 012 и ОЗС на фиг.8в следва:

о-si = EsEs1 = 2. Ю

. ^ . 2.10-3 = 4 0 ^

< fyd < EsEC2

40 kN/cm2

(3.12)

Тъй като х > d, за asl ще се получи положителна стойност, което съгласно приетото по-горе правило за знаците и в табл.2 показва натиск. Ь) От подобните триъгълници 054 и ОЗС на фиг.8в следва:

= ESES2

£S2

x-d 2

ЕС2

x-y7d

x-d 2

"s2

„

(3.13)

x-3/7dCc2

К Г 3 = 4 0 ^ ^ < fyd = EsEC2

40 kN/cm2

(3.14)

Получените резултати са показани и коментирани в колонки 5и 6 на табл.2. Таблица 2 Деформации и напрежения в бетона и армировката при различните случаи на нецентричен натиск, съгласно фиг.8 Правило за знаците: 1. Деформациите в бетона ЕС И В горната армировка Es2 са положителни при скъсяване. Напреженията в тях АС и OS2 са положителни при натиск. 2. Деформацията на долната армировка £ sl е положителна при удължаване. Напрежението в нея <rsl е положително при опън. Случай la

Случай 1

Случай 2a'

Случай 2 а"

Случай 26

хАВ > х > 0 1

Ос

lim

fed

Ос

сиз

е >

—

H^ X

АВ

fed

—

1,25H

Хцт

fed

c — £cu3 = 3,5. 10 3

сиЗ

х > 1,25H

>X>H

Ос

d-x"ua 2

—

Ос

fed

сиЗ

—

g '~сг х — jh

£С2

— 2.10 — 3

£сиз = 3,5.10-3 = 3,5.10~ 3 Es±

£ud

— 25.10

d —x —

„,

£ud

£sl

°CU3

'-Sl

—

'-сиЗ

— £yd

25.10~ 3

сиз

3,5.

К Г

f —fyk _ fyd J yd Ys, byd Es Ys 3

= 1Д5

Es = 2 . 1 0

„ kN —cm2

B420: f y k

—

cm2

kN fydr = 3 6 , 5 — 22 cm eyd = 1 , 8 7 5 . 1 0 - 3 B500: f

y k

kN — cm2

fydy = 43,48

х—d

—

£с2 =

£ud = =

s 1

d —х където:

kN — cm2

Ако £ s l < 0 , T O В //sl има натиск, а не опън както е прието на фиг.2.

, £С2

/ у

/г

x-d х-3/?1Г" Ес2 = 2 . 1 0 - 3

2.10~ 3

£sl е винаги отрицателно, което показва че в винаги има натиск, а не опън, както е прието на фиг.2.

£sl е винаги отрицателно, което показва че в i4 sl винаги има натиск, а не опън, както е прието на фиг.2.

eyd = 2 , 1 7 4 . 1 0 ~ 3

x =

£c

£cu3 , d sl + £сиЗ

х =

при £c = £cu3 =

, d

CU3

х =

sl £сиЗ

х =

/7 h£sl -

—

sc2d

/jh£ £ sl-£c2d

• х

—£

£sl — £

Ах < h

Ах — h

при£ = 2 . 1 0 4 - ^2

с Eьs = 2 . 1 0 4 - ^2при cm

при Ео = 2. Ю 4 ——^

£cu3 = 3 , 5 . 1 0 - 3

е с2 = 2 . 1 0 - 3

С2

с2

при 3/5. Ю

sl — £yd и

и sud = 25.1СГ 3

scu3 = 3,5.10" 3

xAB = 0 , 1 2 2 8 d

за B420: Хцт = 0,65 72d за B500: хйт = 0 , 6 1 6 8 d

CTsl

sl = fyd

sl — fyd

= 70

fyd се взима от

колона 3,ред 3

sl^s

cm.2

£с2 = 2.10~ 3

=£

= £slE =

d —x

X (1

х—d

asl - натиск

\fyd\

ако a s l < 0 има натиск

fyd се взима от fyd се взима от колона 3,ред 3

х < хАВ х — d2 s2 ~ . „ £ud d —x Ако ES2 < 0 —» —•удължение при E4s = 2 . 1 0 4 - ^2 r

25.10~3

и £ud =

колона 3,ред 3

В крайно гранично състояние при £SI = Ес2 И АХ = h може да се приеме kN ^=fyd<* 0 —

x-d2 x-d2

fyd се взима от

S2 —

CU3

x-d2

S2 ~

СИ3

х - d2

£s2

~x-3/7hEc2

£ s 2

S2 > £С2 = 2-

При Es = 2 . 1 0 4 - ^ 2r *

и £cu3 = 3 , 5 . 1 0 - 3

При£ 5 = 2 . 1 0 4 - ^ 2г Л cm

и £си3 =

3,5.10_3

10_3

"X-3/7hSc2

S2 ^ £C2 = 2. 1 0 - 3

s2 = £S2^S

s2 —

при Es = 2 , 1 0 4 ^ 2cm

При£ 5 = 2.104-^ r * cm2

и £с2 = 2 . 1 0 " 3 и £c2 = 2 . 1 0 - 3

°S2 ~ S2^S = x — d2 = soo d _ ; < /

r a

fyd се взима от колона 3, ред 3

0*52

При

xAB>d2

1.1. ако х < d2 os2 < 0 това е опън и As2 се изключва 1.2. ако хАВ > х > d2 , as2 > 0 това е натиск 2. При d2 > хАВ ако х < хАВ, as2 < 0

°s2 — £s2^S x - d2 = 70 x 2 < f

CTs2 = £s2Es

= 70

х — d2 2 x

<fyd

y d

fyd се взима от колона 3,ред 3

f y d се взима от колона 3, ред 3

a s 2 = 40

х - d2 х-

x — d2

/7 h

<fyd fyd се взима от колона 3,ред 3

as2<fyd<40—2

fyd се взима от колона 3, ред 3

Ако х < d2 52 < 0 това е опън и As2 се изключва

oi2 = fyd при X >

xhd

d2 = 70 70 -fyd

В крайно гранично състояние при £ S2 = £С2 и АХ - h може да се приеме °s2

°sl

fyd ^ kN < 4 0 —1 cm

това е опън и Лз2 се изключва

4. Оразмеряване. Оразмеряването се извършва чрез условията за равновесие, които са уравнения на статиката и не зависят от нормите за проектиране, които се прилагат. Това са две моментови уравнения за центровете на тежестта на долната и горната армировка и едно проекционно уравнение. Те са показани в табл.З и табл.З', съответно с различните означения по НПБСК и ЕК-2. Две от тях (без значение кои) са независими, а третото е следствие от тях и може да се използва само за проверка на решението. По принцип, неизвестните в тези уравнения са пет на брой - количеството на двете армировки, големината на напреженията в тях и местоположението на нулевата линия х. 4.1. Както беше казано по-горе, при НПБСК по експериментален път е получена зависимост на напреженията в долната армировка <r(s) във функция от х. Тя е показана графически на фиг.1, а нейния аналитичен израз (4) е в табл.З. Напреженията в горната армировка са равни на изчислителното съпротивление на натиск Rsc. Тогава в условията за равновесие неизвестни остават AS,AS' и х. 4.2. При Еврокод-2 чрез работните диаграми на материалите (връзката а — е) в т.2, показани на фиг.4 и фиг.5, и хипотезата на Бернули (връзка Х — Е) В Т.З, напреженията в долната и горната армировки a s l и a s 2 също са изразени във функция на х. Техните стойности са поместени в табл.2, а графически са показани на фиг.2 и фиг.6. Така в условията за равновесие неизвестни остават ASL, AS2 и х. Точно същите величини като при НПБСК. Забележка: В НПБСК х е височина на натиснатата зона на бетона. При Еврокод-2, х е отстоянието на нулевата линия от горния ръб на сечението, а височината на натиснатата зона е Ах, като значението на Я = 0,8 беше изяснено в т.2.1. 4.3. Изводи 4.3.1. И двете методики водят до решение на система от две уравнения с три, едни и същи, неизвестни - двете армировки /45(Л51), As'(As2) и х. 4.3.2. За да бъде решена такава алгебрична система е необходимо да бъде зададено някое от неизвестните, но така че при зададена двойка усилия М и N да получим минимално общо количество на двете армировки. Решението може да се проведе по два начина: a) ако зададем х, напреженията в двете армировки стават известни и получаваме линейна система алгебрични уравнения с две неизвестни ^45(Л51) и As'(As2). Тя лесно може да бъде решена в затворен вид (готови формули) b) ако зададем някоя от армировките получаваме нелинейна система алгебрични уравнения. Тя може да бъде решена в затворен вид, но изразите са сложни и неудобни за работа, а лесно може да се изгуби физическия смисъл. Затова итерационното решение е по-добро и прегледно. Забележка: Битува твърдението, че итерационното решение на системата уравнения за равновесие се налага поради увеличаването на броя на неизвестните в някои от случаите. Това не е вярно. Итерационното решение няма нищо общо с броя на неизвестните, а само помага да се избегне посложното решение в затворен вид (с готови формули). При всички случаи на нецентричен натиск, неизвестните са три, едни и същи и при двете методики. 4.4. Заключение: От изчислителна гледна точка, оразмеряването съгласно НПБСК и Еврокод 2 практически не се различава. Разликата в уравненията при двете методики (табл.З) е поради това, че напреженията в долната армировка са различни функции на х, а напрежението в горната армировка при НПБСК е RSC = RS — const, а при Еврокод 2 е функция на х. От чисто математическа гледна точка решението и в двете методики е едно и също. Следователно този, който познава оразмеряването съгласно НПБСК, без никакъв проблем ще оразмерява по същия начин и по Еврокод 2 и обратно. Последното е особено важно за 9

студентите и младите инженери, които не са работили по НПБСК и биха срещнали сериозни затруднения при реконструкции на стари сгради. Особено важно е за колегите, които упражняват технически контрол без тези познания, те не биха били в състояние да контролират компютърните изчисления (а в много случаи, в тях има сериозни грешки). Именно това е целта на тази разработка. Затова в табл.З успоредно са разгледани и подробно коментирани двете методики. 5. Случаи на нецентричен натиск. За да се опрости решението, ще бъде въведено понятието „случай на нецентричен натиск . В постарите литературни източници има понятия като „случай на голям и на малък ексцентрицитет . Те не отговарят на физическия смисъл и могат да служат само за приблизително ориентиране. Този въпрос е разгледан в [3] и [5]. В табл.З и табл.З' ще бъдат разгледани подробно случаите на нецентричен натиск и процедурата за оразмеряване на всеки един от тях. На фиг. 1 и фиг.2 са показани границите на отделните случаи при НПБСК в зависимост от височината на натисковата зона х, а при Еврокод 2 - от местоположението на нулевата линия х. Фактически, случаите варират в зависимост от напреженията as(x) (респективно cr s l (x)) в долната армировка, които са показани на същите фигури. Както се вижда, те имат подобен характер. Това позволява да се направи заключението. Че случаите са сходни и тяхното разграничаване може да бъде направено по еднакъв път. Подобието е следното: НПБСК

Еврокод 2

случай 1

случай 1 и случай 1а

случай 2 а

случай 2а' и случай 2а"

случай 26

Разграничаването трябва да се направи в началото на изчислението, защото всеки от тях има собствено оптимално решение - сумата от количеството на двете армировки да е минимална. Освен това, при този подход чувствително се съкращава изчислителния процес. Точните критерии за разграничаване на отделните случаи се извеждат елементарно чрез условието за равновесие 2а, респективно (2а') от табл.З, където участват a s или a s l . Практически те представляват височината на натиснатата зона х при НПБСК или местоположението на нулевата линия х при ЕС2, изчислени със стойността на a s (cr sl ) на границата между два случая, съгласно фиг.1 и фиг.2. Както вече е известно, аналитичния израз на a s е (4) от табл.З, а на a s l в ред 5 на табл.2. Както вече беше изяснено, отделните случаи се различават чрез a s или <rsl. С изключение на случаи 1 и 1а при Еврокод 2, където asl е еднакво и равно на f y d , а разликата между тях ще бъде направена в табл.З при оразмеряването. В табл.4-4' са показани критериите за различаване на отделните случаи.

Таблица 3

Таблица 3'

Оразмеряване съгласно НПБСК

Оразмеряване съгласно Еврокод 2

. —; е = е0+~ — а; еI =иh0 — Iа —<г-п е^О м

1. £ Mi = 0 ^

х — hr 1 при A's = 0

А>

»е-ь*"ь01о-о,5х)

(1)

(h0-a')Rsc

2Ne-2As'Rsc(h0-a')

xQ = hc

bh*Rb

2Ne 1 -

1 -

bhl

-o ~~NEd e = e0+~ — d±) e' = d — d2 — e^O l.ZA*i = 0

(la)

(16)

при AS2

NEde-bAxfcci(d-0,5Ax)

Л52

(d-d2)crS2(x)

2NEde-2As2as2(x)(d-d2~)

bd2fcd

1 -

2 NEde bd2fcd.

m (la') (16')

2.ZM2

As = - Nei-bxRb(0,5x-aO

(2)

Qx0-ai)as{x)

(x)(h0-a')]

(2a)

bRb 2 Net

при As = 0 -> xQ = a' + I (a')2 + 3.Y.H = 0

Л5 = ^

[bxRb + A'SRSC - N]

(26]

as(x)

при <f = n— < ^

[2±±-l]

„p„l>f>f<

(4)

при <f > 1 Графиката на <x5(x) е показана на фиг.1, a <fR е граничната относителна височина на натисковата зона и се определя по емпиричен път. В табл.4 има стойности на за различни стомани и класове бетон. В уравнения (1), (2) и (3), от които две са независими (третото е следствие от тях и може да се използва само за проверка) има три неизвестни As, А/ их. Следователно, за да се решат тези уравнения [които и да са от (1), (2) и (3)] се задава конкретна стойност на едно от неизвестните. Неговата стойност се избира така, че за дадена двойка М и N да се получи оптимално решение , при което сумата на As + А/ да е минимална. За да бъде постигната тази цел се въвежда понятието „случай на нецентричен натиск. Съгласно графиката на фиг.1 случаите на нецентричен натиск са следните:

• Случай 1, съгласно фиг.1 х < fRh0 Тогава напреженията в долната армировка са достигнали граничните съпротивления на опън Rs. Разрушението трябва да настъпи почти едновременно в опънната и натисковата зона.Следователно е уместно да се зададе стойност на х < %RhQ. Всички стойности в този диапазон са допустими, но оптималната стойност е х = -2 {1 + т") « 0,55/i0, защото при нея As + As' е V hо/ минимум. Това се вижда ясно в пример 1 и

npHi4sl = 0

NEd.e'-bAxfcd(0,5Ax-d2) (d-d2)(Tsl

d,+

(3) 3. Е H = 0 :

където за стомани AI, All и AIII Rsc = Rs, a as(x) e: f

2. £ М

l(d2)2 +

2[NEd.e'+Aslo-sl(x)(d-dz)]

(2a')

b/cd

d7 + J(d2y +

Or)

2 NEd.e' bfcd

(26')

[bXxfcd + As2Gs2(X) - NEd] (3')

където изразите за cr sl (x) и cr s2 (x) при различните случаи на нецентричен натиск са дадени в редове 5 и 7 на табл.2, а графиките им са показани на фиг.2 и фиг.6. Както се вижда, условията за равновесие при условията на ЕК-2 се получават от тези при условията на НПБСК с добавяне на гореобсъдения в т.1 и съгласно (1.2) коефициент Л = 0,8 и следната замяна: М; N

MEd; NEd

b\ h; h0; a; a' -> b; h\ d; d d AS',AS Rb',Rs'i

Rsc

—> ASL; fcd>

AS2

fyd>

crs(x) -> ersl(x) И тук има две независими уравнения измежду (Г), (2') и (3') и три неизвестни АВЪ AS2 и х. За да се изравни броя на уравненията и неизвестните също трябва да се зададе конкретна стойност на някое от тях, но така че за дадена двойка М и N да се получи оптимално решение , при което сумата ASL + AS2 да е минимална. За да се постигне тази цел и тук се въвежда понятието „случай на нецентричен натиск. Съгласно фиг.2, фиг.9 и табл.2 се различават следните случаи на нецентричен натиск:

• Случай 1, съгласно фиг.2, фиг.9б и табл.2, кол.З

X — Xlim ~ Напреженията в долната армировка <xsl (х) са достигнали изчислителната граница на якост (граница на провлачане) f y d . Разрушението настъпва откъм бетона. За разлика от НПБСК, напреженията в горната армировка gS2 0*0 с а съгласно фиг.6. Тук е уместно да се зададе стойност на х < Хцт. Всички стойности в този диапазон са допустими, но както ще се види по-долу оптималната стойност е х = Хцт, защото тогава И

коментара към него.

сумата от двете армировки Asl + As2 е минимална. Това е показано в пример 1 и коментара към него. • Случай 1а, съгласно фиг.2, фиг.9а и табл.2, кол.2

хАВ > х > 0; osl(x) = fyd Крайното гранично състояние ще настъпи откъм долната армировка Asl в точка А. Ако се зададе Х = Х АВ съгласно табл.2, кол.2, ред 4 разрушението ще настъпи едновременно в долната армировка Asl и в бетона - точки А и В на фиг.З. В условията за равновесие (Г) и (2') остават само две неизвестни Asl и As2, подобно на случай 1. Ако хАВ > х > d2 се налага итерационно решение за определяне на х, респективно cr s2 (x). Решението е показано в пример 5 с подробен коментар. « Случай 2а, съгласно фиг.1

h0 > х > fRhQ

® Случай 2'а, съгласно фиг.2, фиг.9в и табл.2, кол.4

Хцт

В случая (съгласно (4) в табл.З), напрежението в Разрушението настъпва откъм бетона в т.В на долната армировка |<Ts| < Rs и може да бъде и опън фиг.З. В случая напрежението в долната армировка и натиск. При това положение долната армировка не |<7sl| < f y d и може да бъде и опън, и натиск. При работи пълноценно затова се приема това положение тя не работи пълноценно и се приема -А "s

=А •>—А"5,констр ™-s,min

Тогава в условията за равновесие има само две неизвестни - х и A s '. За решението се използва системата уравнения (1) и (2а), която е нелинейна спрямо х. Решението се провежда по итерационен път и е изяснено в пример 6.

-А "si

—n А s,mm

Тогава в условията за равновесие има само две неизвестни - х и A s2 . За решението се използва системата уравнения (Г) и (2а'), която е нелинейна спрямо х. Решението се провежда по итерационен път и е изяснено в пример 6', като <xsl(x) се взима от табл.2, кол.4, ред 5. * Случай 2"а, съгласно фиг.2, фиг.9г и табл.2, кол.5. Нулевата линия е извън сечението. 1,25h > х > h Разрушението настъпва откъм бетона т.В на фиг.З. Напрежението в долната армировка a s l е натиск и по-малко от f y d . При това положение тя не работи пълноценно и както в случай 2'а се приема

Аsi Решението се провежда по итерационен път по същия начин както и при случай 2'а. Само изразът за 10*0 е ДРУГ и се взима от табл.2, кол.5, ред 5. Решението е показано в пример 7'.

Случай 26, съгласно фиг. 1

h> х > h0

• Случай 26, съгласно фиг.2, фиг.9д и табл.2, кол.6 Нулевата линия е извън сечението. Крайното

Двете армировки са натиснати. Оптимално решение се получава при задаване на х = h, за да се използва цялостно бетоновото сечение. Тогава в условията за равновесие остават неизвестни само As и A's. Използват се уравнения (1) и (2).

гранично състояние ще настъпи откъм натиснатия бетон в т.С (фиг.З) при ЕС2 = 2.10 _ 3 , Сечението е изцяло натиснато, т.е. ефективната височина на натисковата зона Лх = h. При това положение в условията за равновесие остават само две неизвестни - Asl и As2. Тогава при произволно зададено х > 1,25h от табл.2, кол.6, ред 5 и 7 се изчисляват a s l и a s 2 като:

asl < fyd < 40 kN/cm2 @s2 = fyd ^ 40 kN/cm2 C така получените <rsl и a s 2 от (Г) и (2') се определят Asl и As2. Забележка: Поради приблизителността при определянето на коефициента т], отчитащ деформираната схема и неопределеността по отношение на знака на случайния ексцентрицитет еа,сл> трябва да се изчисли при т] = 1 и еа сл = 0.

Забележка: В крайно гранично състояние при х > l,25/i (Лх = h) може да се приеме £

si —

£S2

= 2.10

и съответно kN

r - < yfvd c 2 2.10 4 .2.10~ 3 = 40 — a si — as2 — Ess, cmz

Това е оптималното решение, показано в пример

6. Критерии за разграничаване на случаите на нецентричен натиск случай 1а I) < х < х дв

случай 2'ц hsх >

случаи 2 а 1,25h > х. > h

случай 26

£суЗ=3,5.10

£с>£с;

0<Ес<Есиз'

2,10

2.10'

0 < t2,c < £cuj фиг.9,а

Eud > £s2 s 6yd фиг.9.б

фиг.9.в

фиг.9.г

as s fyd < 40kN/cm2 IIpll X=« ! CJn S fyd S40kN/cnii - натиск фиг.9.д

Фиг.9 - Положение на нулевата линия х при различните случаи на нецентричен натиск

Таблица 4

Таблица 4'

НПБСК

ЕВРОКОД 2

от табл.З

от табл.З' 1

(d )2

2^NEde'+A

slcTsl(x)(d-dz)]

(2а')

bfcd

където А = 0,8 ако се положи As

— As.minl

ако се положи — (

—

при As = 0 височината на натисковата зона от (2а) е

х0 = а' + л/с 1. Ако х 0 > %RhQ

га\2

As - ASimln, с - Ш

bRb

—л

Ed.e'.

s,minffsi(x)(d-d2)

—

при As — 0 височината на натисковата зона от (2а) е

(26)

случай 2а или 26 -> т.З

+— ,

x0=j(d2+Vc) 1'. Ако л:0 > т.З

(26')

-> случай 2'а, 2"а или 26 ->

2. Ако х0 < %Rh0 или нереално (при е' < 0 т.е. силата N е над Л^) -> случай 1 или 2а

2'. Ако х 0 < <fum.d или нереално (при е' < 0 т.е. силата N е над A s 2 ) -> случай 1 , 1 а или 2'а

Между случаи 1 и 2а, при полагане в (2а) на As = As>min и за os граничното напрежение между д в а т а случая as = Rs се получава точен критерий за тяхното разграничаване:

Между случаи 1, 1а или 2'а, при полагане в (2а) на J4s1 = ASiTnin и за <js1 граничното напрежение между случаи 1 и 2а asl = fyd се получава точен критерий за тяхното различаване:

х1 = а' + Jc + kRs

(5)

при х х > $ R h 0

• при < <ft£m. d или нереално -> случай 1 или 1а (защото и в двата случая crsl = f y d )

-> случай 2а

• при 3. Ако x Q >% R h c

-> случай 2а или 26

3'. Ако xQ >

Между случаи 2а и 26, при полагане в (5] за crs граничната стойност crs = —Rs се получава точен критерий за тяхното разграничаване: х 2 = V c - kR s

(5')

= т (d2 + ,/с + k f y d )

при х х < $ R h 0 или нереално -> случай 1

(6]

при х2 < hQ или нереално -> случай 2а ако h > х2 > h0 -> случай 26, като х = х2 е реалната височина на натиснатата зона при зададена As = ASiTnin

d d

-> случай 2'а случай 2'а, 2"а или 26

При заместване на f y d в (5') с граничното напрежение a' sl между случаи 2'а и 2"а, от табл.З, кол.4, ред 5 при х = h a' sl = 70 — = 70 — = - 7 0 ^ (натиск) ^

h ^

се получава критерий за тяхното различаване: х 2 ' = j ( d 2 + J c + k<j^) (6') • ако х2 < h или нереално -> случай 2'а • ако х2 > h

-> случай 2"а или 26

4. Ако х2> h сечение е

случай 26, но цялото натиснато и е необходимо AS > ASMIN/ която се определя по изчисление при х = h от (2) в табл.З (при rj = 1 и еасл = 0) бетон

4'. При х2 > h при заместване в (6'] на a'sl с граничното напрежение а'^ между случаи 2"а и 26, от табл.З, кол.5, ред 5 при х = 1,25h

армировка

Rb в kN/cm 2

AI, R s = 2 2 . 5

AH, R s = 2 8

AIII, R s = 3 7 . 5

kN/cm 2

клас

В12.5

0.70

0.682

0.449

0.660

0.442

0.625

0.430

В15

0.85

0.673

0.446

0.650

0.439

0.615

0.426

В20

1.15

0.645

0,437

0.623

0.429

0.587

0.415

В25

1.45

0.618

0.427

0.595

0.418

0.559

0.403

се получава критерий за тяхното различаване: х2" =-л{й2 + ^+Щ_)

(6")

« ако 1,25h > х2 > h

-> случай 2 "а

® ако х2 > 1,25h

-> случай 26

7. Примери Направено е сравнение на реда на изчисление и на получените резултати при оразмеряване на нецентричен натиск съгласно НПБСК и Еврокод 2. Примерите са решени паралелно в таблица 5-5' при следните предпоставки: •

Зададените изчислителни моменти са получени при отчитане на деформираната схема на конструкцията.

•

За удобство на сравненията случайният ексцентрицитет еа съгласно чл.24 на НПБСК е приет равен на нула.

7.1. Примери 1 (1') - A'S(AS2)

> ASI-

Таблица 5.1

Таблица 5.1'

НПБСК

ЕВРОКОД 2

Пример 1: Да се оразмери колона с правоъгълно напречно сечение с размери Ь = 40cm, h = 6 0 c m , a = a' = 5cm, hQ = h — a=55cm.

Пример 1': Да се оразмери колона с правоъгълно напречно сечение с размери b = 4 0 c m , h = 6 0 c m , с^ = d2 = 5cm, d = h — dt = 60 — 5 = 55cm.

Бетон:

620, Rb = 1,15 kN/cm2 (при монолитно бетониране Rb се умножава с Пз = 0,85)

Бетон:

C16/20, fck = 16MPa = 1,6 kN/cm2. Съгласно (1.1) в т.1 acc = 1 и yc = 1,5 (при монолитно бетониране acc = 0,85) fed = асе^=

Стомана: AIII cRs = 37,5 kN/cm2

1 , 0 . ^ = 1,07 kN/cm2

Стомана: B420 c fyk = 420MPa = 42 kN/cm2. Съгласно (1.2.) в т.1. ys = 1,15 f y d = f f=

Усилия: М = 460kNm, N = 1200kN. М h 460 60 е = — + - - a = — — .100 + — - 5 = 63 ; 33 cm N 2 1200 2 е' = h0 — a' — е = 55 — 5 — 63,33 = —13,33cm

Усилия:

^=36>S0kN/cm2

MEd = 460kNm, NEd = 1200kN.

MEd

e=/V£/100 +

e' = d - d

2-dl

460

1200- 1 0 0

2 -

S = 63'33ml

- e = 5 5 - 5 - 63,33 = -13,33cm

Стойността на е' е отрицателна винаги, когато 15

Стойността на е' е отрицателна винаги, когато силата N е приложен над горната армировка.

силата N е приложен над горната армировка.

• определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4.

определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4'.

, ,ч7 2Ne' ^ 2.1200. (—13,33) с = (а')2 + т т г - = 5 2 + = —643,5 bRb 40.1,15

•с = ( d 2 y + — — bfcd

х0 = а' + л/с = 5 + д/—643,5

нереално

~ (d2 + Vc) — ^

следователно има случай 1 или 2а прието Asmin *

2.4,4. ( 5 5 - 5 ) = 40.1Д5

прието ASMIN k =

9'56

от (5) в табл.4

-747,5

747,5^ -» нереално

0,002 bh0 = 0,002.40.55 = 4,4cm 2

2Asmin(d - d2) bfcd

xx = j (d2 + Jc + kfydJ =^(5

случай 1

2.4,4. ( 5 5 - 5 ) 40.1,07

= 10,28

• оразмеряване съгласно табл.З'

а ) при х = %Rh0 = xR (за избраните класове бетон и стомана от табл.4 <fR = 0,587), Rsc = Rs, CJW ~ Rs д, s

+ V - 7 4 7 , 5 + 10,28.36,5)

нереално -> случай 1

оразмеряване съгласно табл.З

OT ( l ) - >

40.1,07

от (5'} в табл.4'

x1 = a' + sjc + kRs = 5 + 7 - 6 4 3 , 5 + 9,56.37,5 нереално

2.1200. ( - 1 3 , 3 3 )

следователно има случай 1 или 2'а

= 0,002 bh0 = 0,002.40.55 = 4,4cm 2

2Asmin(h0 - a') Mb

= 52 +

_ Ne-b^Rh0Rb(h0-Q,5x) (h0-a')Rsc

а) при xUm = flimd = xUm. От табл.2, кол.З, ред 2 за 5420 х = $Urnd = 0,6572.55 = 36,15cm. Приема се as2(x) = fyd

А — ^Еае-ЬЛхцт/с^-0,5Лхцт) _ (d-d2)<rs2(x) -

°T[1J

1200.63,33 - 40.0,587.55.1,15(55 - 0,5.0,587.55)

1 2 0 0 . 6 3 , 3 3 - 4 0 . 0 , 8 . 3 6 , 1 5 . 1 , 0 7 ( 5 5 - 0,5.0,8.36,15)

( 5 5 - 5). 37,5

( 5 5 - 5). 36,5

9 , 7 5 cm

14,15cm2

Забележка:

Ако

A'S < ASMIN

или

A'S <

0 виж

пример 2, 1

as(x) 37,5

Забележка:

Ако AS2

min

или AS2 < 0 виж

пример 2'. [b$Rh0Rb+A'sRsc-N]

[ 4 0 . 0 , 5 8 7 . 5 5 . 1 , 1 5 + 9,75.37,5 - 1 2 0 0 ] = 17,35c?n 2

1 36,5

^ A

Ако в (1) се положи х = 30,25cm се получава A's = 10,84 cm 2 и = 15,95cm 2 . Сумата AS + AS — 26,79cm 2 и е по-малка от тази, получена при х = %Rh0l където тя +^ = 27,10ст2. Разликата е малка, но по-важно е че натисковата армировка се увеличава от 9,75cm 2 на 10,84cm 2 (11%) за сметка на опънната, което дава по-добро инженерно решение при случай 1, който прилича на огъване.

+ As2fyd ~ NEd] =

[40.0,8.36,15.1,07 + 14,15.36,5 -

1200]

= 15,18cm 2

= As + A's = 1 7 , 3 5 + 9,75 = 2 7 , 1 0 ,

b) решение при x = 0,55h 0 , Математически YtA^min при x « 0,55h 0 = 0,55.55 = 30,25cm.

Т~ [bAx4mfcd Jyd

= .4 sl + As2 = 1 5 , 1 8 + 1 4 , 1 5 = 2 9 , 3 3 cm2

b) решение при x = 0,55d; Я. 0,55d = 0,8.0,55.55 = 24,2 < Xxlim = 0,8.36,15 = 28,92cm От [1') и (3') при % = 0,55.55 = 30,25cm се получава AS2 = 17,29 cm 2 и ASL = 12,74 cm 2 . Сумата ASL + AS2 = 30,08cm 2 . Тя е по-голяма от тази при х = xlim, защото в изрази (1') и (3') се работи с х = A0,55d, а математическия минимум (виж лявата колонка) е при х = 0,55d. Разликата е +2,9%, но натисковата армировка се е увеличила с 22%, което е благоприятно при случай 1, който прилича на огъване.

с) решение при x = xUm = 3 6 , 1 5 c m и стомана

В500. От табл.З, кол.З, ред От

(1')

(3')

fyd = 4 3 , 4 8 kN/cm2.

се получава As2 —

11,92cm2

Asl = 1 2 , 8 1 cm2,Y>As = 2 4 , 7 3 cm2. КОМЕНТАР КЪМ ПРИМЕРИ 1 И 1' 1. В таблица А са поместени резултатите от извършените по-горе изчисления. В първите осем колонки са поместени резултатите при близки по характеристики бетон и стомана - В20 и AIII по НПБСК и С16/20 и В420 по Еврокод 2. Въз основа на тях са направени следните сравнения: е Минималната сумарна армировка по НПБСК е 26,76cm 2 (кол.4, табл.А), получена при % = xopt = 0,55h 0 . По Еврокод 2, табл. А, колонка 8 минималната сумарна армировка 29,33cm 2 при х = xUm, или с 9,5% повече. Това е реалната разлика между двете норми в този конкретен и типичен случай. •

При изчислението на примера със стомана В500 (колонки 9, 10, 11 и 12 на табл.А) по Еврокод 2, минималната сума на армировките е 24,73cm 2 при х = Xiim, а по НПБСК най-малката сума на армировките със стомана AIII и при х = 0,55h 0 е 26,79cm 2 или с 8,3% повече от решението по Еврокод 2.

2. Въз основа на табл.Б са направени някои разсъждения: ® Интерес представлява графиката на фиг. 10. При зададени стойности на х, в табл.Б са изчислени стойностите на A s l , As2 и тяхната сума. Както се вижда (кол.2 и кол.4) напреженията a s l ( x ) и a s 2 ( x ) с е изменят в зависимост от положението (височината) х на нулевата линия. Количеството на горната армировка A s2 намалява, а на долната армировка A s l се увеличава с нарастването на х. Сумарната армировка X As има минимум в зоната около х = Xiim, което е близо до математическия минимум. От графиките се вижда, че при решението на пример 1' правилно е зададено х = x l i m . Именно това е целта на въвеждането на понятието „случай на нецентричен натиск" - да се открие диапазона на оптималното решение. От последната колонка на таблицата се вижда, че при неправилно приемане на х, сумата от армировките може да надмине оптималната при х = x l i m няколко пъти. е Минимумът на функцията A s (x) при НПБСК е при х=а', а на A sl (x) при ЕК-2 е при Ax=d2. Те са симетрични спрямо х=а' или спрямо Ax=d2, т.е. A s ( x = 0 ) = As(x=2a') и A s i ( x = 0 ) = Asl(Ax=2d2). Ако при пример 1 ' , в (2') зададем последователно Ах=0 и Ax=2d 2 =T0cM, се получава една и съща стойност Asl=8,78cm2. При Ax=d2=5cm от (2') се получава минималната Asl=8,47cm2. Както се вижда кривата е много полегата и това е показано на фиг. 10. В пример 1 при НПБСК резултатите са подобни. Тази констатация е много полезна и хвърля светлина върху оразмеряването при малка височина на натиснатата зона от порядъка на 2а' или 2d2 в следващите примери в случай 1 при НПБСК и в 1а и 1 при Еврокод 2 на нецентричен натиск. •

Минимумът на функцията A's(x) при НПБСК е при x=h0, а на A s l (x) при ЕК-2 е при Ax=d. Те са симетрични спрямо x=ho±a или спрямо Ах d+db т.е. As(x=h0-a)= As(x=h0+a) и As2(Ax=d-dt)= As2(Ax=d+di). Ако при пример 1', в (Г) зададем последователно Ax=d-dl=50cm и Ax^d+d^Ocm, се получава една и съща стойност As2=6,46cm2. При Ax=d=55cm от (1') се получава минималната As2=6,17cm2. Както се вижда кривата е много полегата и това е показано на фиг. 10. В пример 1 при НПБСК резултатите са подобни. Тази констатация е много полезна и хвърля светлина върху оразмеряването при голяма височина на натиснатата зона от порядъка на ho±a или d±d[ в следващите примери в случаи 2а и 26 при НПБСК и в случаи 2'а, 2"а или 26 при ЕК-2 на нецентричен натиск.

Таблица A НПБСК: 620,4/// 1

X [cm] 0,55/i0

EK-2: C16/20,6420 6 7

Asi [cm 2 ] 12,74 15,18

A's

[cm2]

[cm 2 ]

[cm]

[cm 2 ]

10,84 9,75

15,95 17,35

26,79 27,10

0,55 d

17,29 14,15

^lirnd

8 IL4S [cm 2 ] 30,08 29,33

EK-2: £16/20,6500 11 12, 10

[cm]

[cm 2 ]

0,55 d

14,52 12,81

^sl [cm 2 ] 10,74 11,92

2AS

[cm 2 ] 25,26 24,73

Таблица Б Еврокод 2 b = 40, h = 60, di = d 2 = 5,M = 460kN,N = 1200/ciV, C16/20,6420 1 % [cm]

\kN

[cm 2 ]

18,13

70,50

6,75

18,15

8,00

0*1 ГЛЛМ Lcm2J

^sl

7 %

[cm 2 ]

36,50

8,43

78,93

269

70,42

36,50

8,47

78,89

269

26,15

47,09

36,50

8,49

55,58

189

9,00

31,11

38,67

36,50

8,53

47,20

160

10,00

35,00

33,45

36,50

8,58

42,43

145

15,00

36,50

27,85

36,50

9,04

36,89

126

20,00

36,50

24,00

36,50

9,88

33,78

115

25,00

36,50

20,53

36,50

11,11

31,64

108

30,00

36,50

17,44

36,50

12,70

30,15

103

36,50

14,15

36,50

15,18

29,33

100

40,00

36,50

12,37

26,25

23,66

36,03

123

45,00

36,50

10,40

15,56

43,60

56,70

193

50,00

36,50

8,81

7,00

119,06

126,06

429

Lcm2. Л7Ш — 6,75

xlim

=36,15

Фиг.10 7.2. Примери 2 (2') - A's(As2) < As<min или A's(As2) < 0. Таблица 5.2

Таблица 5.2'

НПБСК

ЕВРОКОД 2

Пример 2: Да се оразмери колоната от пример 1 за усилия М = 350kNm, N = 350kN.

Пример 2': Да се оразмери колоната от пример V за усилия MEd = 350kNm, NEd = 350kN.

М h 350 60 N+ 2 - a = 350'100 + y - 5 = 1 2 5 c m е' = h0 - a' - е = 55 - 5 - 125 = - 7 5 c m

е =

e =

MEd

2 - ^ =350ЛОО+Т-5 =

Л О О +

350

e' = d - d2 - е = 55 - 5 - 125 =

125ст

-75cm

« определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4. - както в пример 1 показва случай 1

• определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4. - както в пример 1' показва случай 1

• оразмеряване съгласно табл.З

® оразмеряване съгласно табл.З

f R = 0,587, RSC = ОТ

г л л L

Rs/<js(X)=Rs

х11т = 36,15cm, os2{x) = fyd

350.125-40.0,587,55.1,15(55-0,5.0,587,55) (55—5).37,5

следователно натискова необходима. Прието

армировка

- As>min = 0,002bh 0 = 0,002.40.55 =

„ _

от

не е

4,4cm 2

При това приемане неизвестните в условията за равновесие остават две - х и As. Ще бъдат използвани изрази (1а) и (3). ако се положи Мг-

Ne - A'scrs(h0 - a')

уравнение ( l a ) добива вида

(a)

(l')^4s2 =

350.125-40.0,8,36,15.1,07(55-0,5,0,8.36,15) (55—5).36,5

следователно натискова необходима. Прието

АS 2

армировка

не

< е

0,002bd = 0,002.40.55 = 4,4cm2

При това приемане неизвестните в условията за равновесие остават две - хи. Asl. Ще бъдат използвани изрази (1а') и (3'). ако се положи

=NEde-As2as2{d-d2)

Са')

x = hr

1 -

(b)

bh20Rb\

уравнение (1а') добива вида

= 37,5 kN/cm2

x = 55

1 -

при As2

M1 = 350.125 - 4,4.37,5. (55 - 5) = 35500/ciVm -

2 Mi

при A's = AS/min = 4 A cm2; as(x) = Rs =

1 -

Cb'D

bd2fcd

4,4cm 2 os2(x) = f y d

1s,mm

= 36,5kN/cm2 Mx = 350.125 - 4,4.36,5(55 - 5) = 35720kNm

2.35500 = 16,51cm 40.55 2 .1,15

55 0 8

2.35720 = 22,73 cm 40.55 2 .1,07

Забележка 1: За разлика от НПБСК, при Еврокод 2 напреженията в горната армировка не винаги са равни на f y d , както е показано на фиг.6. Затова трябва да се направи проверка съгласно табл.2, кол.З, ред 7.

ОйОО = fyd ако

xfyd > 70

ако това условие не е спазено, решението е съгласно пример 3'. В случая 5 х = 22,73 > xfyd > 70 70_ _ 36^5 = 10,47cm f т.е.

има

основание

за

приетото

по-горе

°S2 CO = fyd

от (3> 1 ~

37^5

As=-[bxRb+A'sRsc-N]

[ 4 0 . 1 6 , 5 1 . 1 , 1 5 + 4,4.37,5 - 350] = 1 5 , 3 2 c m 2

As+A's = 4,4 + 15,32 = 19,72

от ( 3 ' ) ^ NEd= 1

36,5

cm2

Забележка: Ако се получи Мг< 0 това означава, че и минималната натисната армировка не е необходима. Тогава се задава A's = 0. Височината на натиснатата зона х0 се определя от (16) при A's = 0, a A s от (3) при

х = х0 и A's = 0.

1 -

si + As2 = 4 » 4 + 1 6 , 1 2 = 20,53 cm2

Забележка 2: Ако се получи Mt < 0 това означава, че и минималната натисната армировка не е необходима. Тогава се задава As2 = 0. Височината на натиснатата зона х0 се определя от (16') при As2 = 0, a Asl от (3') при

х = х0 и As2 = 0.

xQ — hc

о т (3)->

2.350.125 40. 5 5 2 . 1 , 1 5 AS = ^

[40.0,8.22,37.1,07 + 4,4.36,5 - 3 5 0 ] = 1 6 , 1 2 c m 2 A

За сравнение, ако в случая приемем A's = 0 от (1 б)->

[bXxfcd + As2Os2(X)

OslO)

1 -

За сравнение, ако в случая приемем A s2 = 0 d

2 Ne bh$Rb

= 21,49cm

[40.21,49.1,15 - 3 5 0 ] =

от

(16')

55 0 8

от (3')->

2 NEde bd2fcd

1 1 -

2.350.125 40. 5 5 2 . 1 , 0 7 Asl

29,60cm

= — [40.29,60.1,07 - 3 5 0 ] =

36,5

17,02cm2

18,18cm2

т.е. c пренебрегването на натиснатата армировка, опънната се увеличи с 11,1%.

т.е. с пренебрегването на натиснатата армировка, опънната се увеличи с 12,8%.

7.3. Примери 3 (3', 4') - при малка височина на натиснатата зона, от порядъка на 2а' (2d 2 ). Таблица 5.3

Таблица 5.3'

НПБСК

ЕВРОКОД 2

Пример 3: Да се оразмери колоната от пример 1 за усилия М = 180kNm, N = 180kN.

Пример 3': Да се оразмери колоната от пример 1' за усилия MEd = 180kNm, NEd = 180kN.

М h 180 60 е = - + - - а = ——. 100 + — - 5 = 125cm N 2 180 2 е' = h a' е = 55 — 5 — 125 = —75 cm • определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4. - както в пример 1 показва случай 1

= 6

MEd h 180 60 d 1 = — - 100 + — - 5 = 125cm 180 2 NEd 2 e' = d — d- — е = 55 — 5 — 125 = —75cm

• определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4'. - както в пример 1' показва случай 1 оразмеряване съгласно табл.З'

• оразмеряване съгласно табл.З A's < 0 прието A's = ASiTnin = 4,4cm 2

М1 = Ne - A'sRs(h0 - a') =

от ( l ' ) ^ 4 s 2 < 0, прието

Mt = 180.125 - 4,4.36,5(55 - 5) = 14470kNm

= 180.125 - 4,4.37,5. (55 - 5) = 14250kNm x = 55 \

2.14250 40. 55 2 .1,15

55 1 08

5,95 cm

от (3}н> AS = 6,9cm

Забележка: Решението на този случай е коректно. За всички други случаи с височина на натиснатата зона в областта на 2а' е даден изчерпателен алгоритъм в [5] и [6], внедрен в съществуващите компютърни програми. Ако се пренебрегне натиснатата армировка (както в пример 2] се получава х 0 = 9,76cm и AS = 7,17cm 2 , т.е. с 3,9% повече.

= ASi7nin = 4,4cm 2

2.14470 = 8,17cm 40.55 2 .1,07

Съгласно забележката към пример 2' за да се приеме <xs2 (х) = fyd трябва да е изпълнено условието х > if

= 70 •

f y d

70 fyd

5 70 - 36,5

10,45cm

В случай като този, когато това условие не е спазено cr s2 (x) е нелинейна функция на х и съгласно табл.2, кол.З, ред 7 (с') as2(*) = 7 0 ^ и системата от двете уравнения за равновесие (1') (и неговите производни] и (3') е нелинейна спрямо х и нейното решение е най-лесно по итерационен път. • първа итерация Тъй като (съгласно фиг.6) fyd > os2{x) > 0, в един много малък интервал Xfyd > х > d 2 , найудобно е итерационният процес да започне от една средна стойност 1 1 *1 = 2 ( d 2 +

xfyd)

2(5

+ 10 45) =

7,73ст

от (с') изчисляваме -> °s2 0 i ) = 70-

d2 7,73 - 5 , 7 , — =70 ^ = 24,72 kN/cm2 7,73

от (3')->

Asi(.Xi) 1

36,5

[bXxJcd + f yd

,min

[40.0,8.7,73.1,07 + 4,4.24,72 - 1 8 0 ] = 5 , 3 0 c m 2

от (а') към пример 2'

M^xJ = NEde - Asimlnas2{x1){d

- d2) 21

= 180.125 - 4,4.24,72(55 - 5) = 17062kNm от (b') към пример 2' (р{хг) = 55

d 1 1 Л

2М1(х1) bd2fcd

2.17062 = 9,75 cm 40. 55 2 .1,07

0 8

• втора итерация 1 = 2 (Xl + x2~d2 ^ sгzО г2 ) = 70— x 2

1 2(7'73 + 9,75) = 8 ' 7 4 с т 8,74 - 5 , , = 70 ' 8,74л = 29,96 kN ' cm2

= "Г- [bhx2fcd

+ Asiminas2(*2)

Jyd

1 36,5

- NEd] =

[40.0,8.8,74.1,07 + 4,4.29,96 - 1 8 0 ] = 6 , 7 8 c m 2

Мг(х2) = NEde - ASimtnos2(x2)(_d

- d2) =

= 180.125 - 4,4.29,96(55 - 5) = 15909WVm d

(p(x2)

1 -

_ ~

1 -

2 Mi(«2) bd2fcd

2.15909 40.55 2 .1,07

55 0 8

9,04cm

• трета итерация 1 1 *з = 2 ( x 2 + <K*2)) = 2 ( 8 < 7 4 + 9 ' 0 4 ) = 8,89cm x 3 - d2 8,89 - 5 , _ ^ г О з ) = 70— = 7 0 — — — = 30,63 kN cm2 x3

52 v 37

8,89

M±(x3) = 15761 kNm ср(хъ) = 8.95 cm Asi(x3) = 1

36,5

Jyd

[b^x3fcd

+ ASimin(Ts2(x3)

- JVKd] =

[40.0,8.8,89.1,07 + 4,4.30,63 - 1 8 0 ] = 7 , 1 c m 2

Резултатите от четири итерации са показани в следващата таблица: 1

ит.

О)

7,73

24,72

8,74

3 4

Mt(x)

<р(х)

5,30

17062

9,75

29,96

6,78

15509

9,04

8,89

30,63

7,10

15761

8,95

8,92

30,76

7,14

Както се вижда итерационният процес е много бързо сходящ. Количественото сравнение е направено помощта на приблизителни решения:

22.

•

при пренебрегване на горната армировка As2 = 0 от (16') се получава височина на натисковата зона х0 = 13,21 cm, а от (3') се получава Asl = 7,41 cm2 при пренебрегване на факта, че <rs2(x) < fyd и приемане на os2{x) = fyd от (а') и (б') се получава х = 8,17 cm, а от (3') Asl = 7,13 cm2, т.е. също като при точното итерационно решение.

Пример 4': Да се оразмери колоната от пример 3' за усилия MEd = 135kNm, NEd = 180kN. Както и при пример 3' c s 2 ( x ) < / y d . След третата итерация се получава х = 7,34cm и Asi - 4,64cm 2 . Количественото сравнение с приблизителни решения показва: •

при приемане на A s2 = 0 се xQ = 10,33cm и Asl = 4,76cm 2 при приемане на as2 (х) = fyd се 2 х = 5 , 5 2 с т и Л 5 1 = 4,65 cm .

получава получава

Практическите изводи от решението на примери 3' и 4' показва: «

При случай 1 на нецентричен натиск os2 (х) < fyd е при малки усилия и големи сечения, както и в една малка зона лу > х > d2.

® Пренебрегването на факта, че 0 < as2 (х) < fyd и приемането на as2 (х) = fyd практически не влияе върху резултата от точното решение. •

Пренебрегването на горната армировка A s2 води до малко увеличение на долната армировка

Asi7.4. Пример 5 - сравнение между случай 1а и случай 1 по Еврокод 2. Както вече стана ясно, Еврокод 2 дава възможност да се избира зоната за настъпване на крайно гранично състояние в армировката, в бетона или в частния случай 1а - едновременно в бетона и в армировката. Общото в случай 1 и случай 1а е, че в долната армировка напрежението a s l е винаги положително и равно на fyd. Разликата е (фиг.9), че напреженията в бетона при случай 1 е а с = fcdi а П Р И случай l a fcd > ас > 0. Освен това, натисната зона на бетона при случай 1а е много малка (от порядъка на 2d 2 ) и този случай е възможен при малки външни усилия MEd и NEd. Има обаче една малка зона, където са възможни и двата случая и това ще бъде разгледано в примери и сравнения, защото целта при проектирането е да се намери оптималното решение. Тук трябва да се отбележи, че в случай 1а дебелината на бетоновото покритите d2 е от голямо значение. Същото се отнася и за случай 1 в зоната при напрежения в горната армировка т е fyd. > as2 > - - x f y d > х > d2 съгласно фиг.6.

Таблица 5.4 Пример 5:

Да се оразмери колона с правоъгълно напречно сечение с размери b = 30cm, h 60 cm.

Бетон:

С20/25, fck = 20МРа = 2.0 kN/cm2, fed = а

с с

^ = 0 , 8 5 . ^ = 1,13

ас

0.85,

/dV/cm2

Стомана:

5500,

Усилия:

MEd = 110kNm, NEd = 100kN

fyk = 500МРа = 50 kN/cm2,

fyd = ^

= 43,48 /ciV/cm2

случай 1

случай la

xAB > x > 0 1. Решение при dt = d 2 d =h-d

5cm

= 60 - 5 = 55cm

х — d2

500 —

— = 18,13 kN/cm2

d-x 55-6,75 х — хАВ = 6,75cm, asl = 43,38 kN / cm2,

При

as2 = 18,13 kN/cm2. OT(l') As2

100.135 - 30.0,8.6,75.1,13(55 - 0,5.0,8.6,75) ( 5 5 - 5 ) . 18,13 4,32 cm 2

от (3') A s l = ——(30.0,8.6,75.1,13 + 4,32.18,13 - 100) 43,48 3,71cm 2

Забележка:

d = h — d± = 60 — 5 = 55cm

= 110 + у - 5 = 135cm

от табл.2, кол.2, ред 4 %4B = «f^d = 0,1228.55 = 6,75cm > d2 = 5cm Задава се x = = 6,75cm. В уравненията за равновесие остават две неизвестни i4 sl и As2. Подобно на случай 1 се използват уравнения (1') и (3'), които са линейна система. При случай 1а и зададено х = хАВ напрежението в горната армировка a s 2 се изчислява съгласно табл.2, кол.2, ред 7

— x ->

1. Решение при dt = d2 = 5 c m

е = e0+--d1

500-

xlim

е = eQ+--d1

= 110 + — - 5 = 135cm

от табл.2, кол.З, ред 4

xUm = f;Umd = 0,6168.55 = 33,92cm Както в примери 1', 2' и 3' задаваме — xUm — 33,93cm, a crsl = 43,38 kN/cm2.

От (1') получаваме As2 < 0, след решението е както в примери 2' и 3' Приема се As2 = Asmin

което

= 0,002.30,55 = 3,3cm 2 .

При as2 = fyd = 43,48 kN/cm2 се изчислява

Mt =NEde-

As2 minas2(d

- d2) =

= 100.135 - 3,3.43,48. (55 - 5) = 6326kNm Както в примери 2' и 3' 55

1 -

0 8

2.6326 30.552.1,13

4,38cm < d2 = 5cm

Забележка: Съгласно фиг.6, при х < d2, в горната армировка се явява опън. Тъй като това е първо приближение за х при зададено as2 = f y d , необходимо е да се проведе същото итерационно решение както в пример 3', съгласно използвания там алгоритъм. Резултатите от изчислението с показани в следващата таблица: 1

ит. X (p{x) Asi 0*0 Мг(х) • Ако при x = x AB от (3') се получи As2 < 0, това означава че и без горна армировка х < х АВ . 1 4,38 -9,90 15135 11,03 • Ако се получи A s m i n > A s2 > 0 трябва да се 2 7,71 24,60 6,65 3,15 9941 зададе A s2 = As m i n и пак ще се получи х < 3 7,18 21,25 3,78 9993 7,06 хАв« От табл.2, кол.2 се вижда, че при случай 1 a и 4 7,12 20,84 3,72 х < хАВ напрежението в бетона ос < fcd и Окончателно As2 = 3,3cm2,Asl = 3,72cm2. приемането на правоъгълна диаграма на Ако се пренебрегне горната армировка A s2 = 0, напреженията със стойност fcd е доста относително. Теоретично по-правилното Xq = 9,74 cm, Asl = 3,78cm2. -

решение в този случаи е да се използват работните диаграми 1 или 2 на фиг.5. При ръчно изчисление това е трудно и практически безсмислено, поради малките армировки при този случай. • Въз основа на казаното по-горе е очевидно, че при AS2 < A^min или AS2 < 0 решението съгласно случай 1а е неудачно и то трябва да се проведе съгласно процедурата при случай 1 в дясната колонка на тази таблица. • При приетото в т.2.2 s u d = 25%о (25.10~ 3 ) решението може да се проведе съгласно случай 1а само при хАВ > d2 и As2 > Asmin, изчислено от (1') при х = хАв. В противен случай решението се провежда по процедурата за случай 1 в дясната колонка на тази таблица. « От сравнение на резултатите по случай 1а и случай 1 се вижда, че долната армировка А-si~3,72cm2 е еднаква в двата случая. Но горната армировка Л 52 =4,32 cm2 при случай la, е с около 30% повече от 2 As2 = Asmin=3,3cm при случай 1. Това е нерационално. 2. При хАВ < d2 решението се провежда съгласно процедурата при случай 1 в дясната колонка на тази таблица.

Както се вижда при височина на натиснатата зона от порядъка на 2d 2 , пренебрегването на натиснатата армировка практически не влияе на точността на решението.

2. Решение при dt = d2 = 8 c m > хАВ = 6,75cm Решението се провежда по итерационен път по същия начин както в горната точка 1. Резултатите са х = 9,12cm, as2 = 8,60 kN/cm2,

Asl = 3,78 cm2. Ако се пренебрегне горната армировка As2 = 0, х 0 = 10,15cm, Asl = 4,03cm 2 .

Коментар на решението на пример 5 1.

От направените сравнения в табл.5.4. е ясно, че при приетото s u d = 25%о (25.10~ 3 ) решението съгласно случай 1а в някои случаи е невъзможно, а в други нерационално .

Ако sud е без ограничение, случай 1а не съществува, тъй като няма фиксирано хАв.

Извод . Решението винаги трябва да се провежда съгласно случай 1, независимо дали s u d е ограничено или не е. 7.5. Примери 6 (б') и 7 (7') - сравнение между случаи 2а и 26 по НПБСК (случаи 2'а, 2"а и 26 по Еврокод 2). Таблица 5.5

Таблица 5.5'

НПБСК Пример 6:

Да се оразмери колона с правоъгълно напречно сечение с размери b = 30 cm, h = 60 cm,

a = a' = 5cm.

ЕВРОКОД 2 Пример 6':

Да се оразмери колона с правоъгълно напречно сечение с размери b = 30 cm, h = 60 cm, d1 = d2 = 5 cm.

Бетон:

В20,

Rb = 1,15

kN/cm2

Бетон:

C16/20,

fcd = 1,07 kN/cm2

Стомана:

AII1,

Rs = 37,5

kN/cm2

Стомана:

B420,

fyd = 36,5 kN/cm2

^ = 0,587 Усилия:

M = 550kNm,

M e =

N = 2600kN

550

h +

Г "

Sum = 0,657 Усилия:

MEd

л о о

у -

MEd = 5 5 0 k N m ,

d 2~

6 =

4 6 Д 5 ш

• определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4.

= j ( . d 2 + V c ) = ~ ( 5 + д/648,67) = 38,09 >

= 0,587.55 = 32,28cm

> tumd = 0,657.55 = 34,14cm следователно има случай 2а', 2а" или 26

следователно има случай 1 или 2а ASiTnin = 0,002bho = 0,002.30.55

Задава

се

3,3 cm 2 .

3,3cm2.

от табл.4

от табл.4' bRb

= 46,15cm

определяне на случая на нецентричен натиск съгласно табл.4'.

х 0 = a' + V c = 5 + д/605,28 = 29,60 < ^ R h 0 =

2Аs.min (h0 - a')

60 - S

+ T

, , 2 NEde' , 2.2600.3,85 с = (d2)2 + , 7 = 52 + ... = 648,67 30.1,07 Ь/сcd

„ , , 2Ne' , 2.2600.3,85 с = (а 1 У + -гтг- = 5 2 + „,1 = 605,28 hRy 30.1,15

се

550 _ . 1 0 0

е' = d - d2 - е = 55 - 5 - 46,15 = 3,85cm

е' = h0 — a' — е = 55 — 5 - 46,15 = 3,85cm

Задава

NEd = 2 6 0 0 k N ,

2.3,3. (55 - 5) = 9,57 30.1,15

2 А s,min

Asmin

(d-d2)

bfcd

Критерият за различаване на случай 1 от 2а съгласно (5) в табл.4 е

= 0,002 bh0 = 0,002.30.55 =

2.3,3.(55-5) 30.1,07

10,28

Критерият за различаване на случай 2'а от 2"а съгласно табл.4, т.4.1' и ( 6 ' ) при a s l = —70 ^ е

х1 = а' + Jc + kRs = 5 + V 605,28 + 9,57.37,5 = = 36,04 > $ R h 0 = 32,28cm

случай 2a

= Т (d2 + yJc + k(Tsl ) 648,67 - 10,28.70.— | = 36,57 < 60

< h = 60cm -> случай 2'а • оразмеряване

® оразмеряване

Както беше показано в табл.З, при задаване на А? — А< в условията за равновесие остават 2 неизвестни - х и A's и за определянето им ще бъде използвана нелинейната система уравнения (1) и (2а). За улеснение тя ще бъде решена итерационно по универсалния алгоритъм на фиг.11.

Както беше показано в табл.З, при задаване на Asl = Asmin в условията за равновесие остават 2 неизвестни - х и A s2 и за определянето им ще бъде използвана нелинейната система уравнения (1') и (2'а). За улеснение тя ще бъде решена итерационно по универсалния алгоритъм на фиг.11.

I. Първа итерация: х 1 = х 1 — 36,04cm съгласно (1)

А'

Първа итерация: % = х2

= 36,57cm

съгласно (1')

2600.46,15 - 30.36,04.1,15(55 - 0,5.36,04) ( 5 5 - 5), 37,5

1 —

2600.46,15 - 30.0,8.36,57.1,07. (55 - 0,5.0,8.36,57) (55 - 5). 36,5

39,47cm2

44,97с?п 2

от табл.З 2

При

55 - 36,04 55 - 0 , 5 8 7 . 5 5 изчислените

37,5 = 25,09 kN/cm7

по-горе

с = 605,28

a si 1 = 70 При

d-x1 55 - 36,57 = 70 — — ^ г — = 35,28 х1 36,57

изчислените

по-горе

, , kN/cm2

с = 648,67

k = 9,57

k = 10,28 <р(.х i ) = j [ d 2 + J c + ka s

(p(x

= a' + yjc + kasl = = 5 + V 6 0 5 ' 2 8 + 9 > 5 7 - 2 5 ' 0 9 = 34,08cm I.

0,8

II.

Втора итерация: 1

* 2 = 2 • [*i + ф г ) ] = - . (36,04 + 34,08) =

[5 + V648,67 + 10,28.35,28] = 46,00cm Втора итерация:

*2 =

[*i + ф 0 ] = i (36,57 + 46,00) = = 41,29cm

= 35,06cm A'S 2 = 3 9 , 8 3 c m 2 - , cts2

= 28,32

= 43,39cm 2 ;

A s2,2

kN/cm2;

Трета итерация:

III.

kN/cm2

;

<К*з) = 34,72cm Четвърта итерация:

III.

Трета итерация: x 3 = ~ . (41,29 + 43,49) = 42,39cm

x 3 = - . (35,06 + 34,60) = 34,83cm = 39,91cm 2 ; <rS(3 = 29,08

23,24kN/cm2)

A's,з

(p{x2) = 43,49 cm

</?(x2) = 34,60cm И.

ersli2

As2i3 = 43,05cm 2 ; <Ts1)3 = 20,82 kN/cm2 ; <p(x2) = 42,96cm IV. Четвърта итерация: 1

= - . (42,39 + 42,96) = 42,68cm

x 4 = ~ . (34,83 + 34,72) = 34,775cm A'SA = 39,93 cm 2

At2,4

Резултатите са поместени в следната таблица:

= 42,97cm 2

Резултатите са поместени в следната таблица:

ит.

А'5{х)

os(x)

<р(х)

ит.

AS2 0 0

O"sl00

(р(х)

36,04

39,47

25,09

34,08

35,67

44,97

35,28

46,00

35,06

39,83

28,32

34,60

41,29

43,39

23,24

43,49

34,83

39,91

29,08

34,72

42,39

43,05

20,82

42,96

34,775

39,93

42,68

42,97

Както се вижда от таблицата, итерационния процес за A's е много бързо сходящ. Доказателство може да се намери в [5] и [6]. Достатъчни са две итерации. Забележка: В [5] и [6] е доказано, че при > 0,85hQ няма значение кой случай на нецентричен натиск има (2a или 26) и с достатъчна за практиката точност може да приемем х = h и с тази стойност да се изчисли A's.

Както се вижда от таблицата, итерационния процес за As2 е бързо сходящ. Доказателството за сходимост по НПБСК в [5] и [6] е валидно и при Еврокод 2, защото представлява чисто математическо решение на нелинейна алгебрична система от две уравнения с две неизвестни % и As2. На практика две итерации са достатъчни.

Пример 7: Да се оразмери колоната от пример 6 за усилия М = 200kNm, N = 2600kN.

Пример 7': Да се оразмери колоната от пример 6' за усилия MEd = 220kNm,N E d = 2600kN.

За да не се утежнява решението са дадени само крайни резултати.

е = 32,69

е' = 17,31

с = 2634

k = 9,57

Съгласно табл.4' както в пример 6' се изчислява с = 2827,6 и xQ = 72,72 > xUm = 33,92cm

х 0 = 56,32 > %Rh0 = 32,28cm следователно има случай 2a или 26

следователно има случай 2'а, 2"а или 26 27

От (6) в табл.4 се изчислява Щ = 52,7 < hQ = 55, следователно е случай 2а. Съгласно забележката към пример 6 при х 2 = 52,7 > 0,85hQ = 0,85.55 = 47,55cm може да се приеме х = h = 60cm. От (1) се и з ч и с л я в а ^ = 17,73cm 2 , As As,min 3,3cm . При итерационно решение, както в пример 6, точната стойност A's = 17,54cm 2 ce получава при втората итерация.

Задава се Asmin — 3,3cm 2 и както в горния пример се изчислява к = 10,28 и х2 = 72 > h = 60cm -> случай 2"а или 26. За да се разграничат двата случая от табл.4', точка 4.2' при % = h/Л = l,2Sh 40 •

1 , 2 5 . 6 0 - 55 = -403 /7h 1,25.60 3/ 7 60

x-d

= - 1 6 , 2 3 kN/cm2 След това чрез (7') от табл.4' се изчислява

1 0,8

[5 + V 2 8 2 7 , 6 - 10,28.16,23j = 70,72cm

Съгласно табл.4', при х 2 " = 70,72 < h/Л = 1,25 h = 75 cm -> случай 2"а. Решението е итерационно както в пример 6', съгласно фиг.11. Единствената разлика е в crsl(x), което се взима от табл.2, кол.5, ред 5 asl(x) = - 4 0 .

x-d /7h

(натиск)

Резултатите са поместени в ред 8 на табл. 11. Забележка: По аналогия с НПБСК, съгласно забележката към пример 6 в табл.5.5, в съответствие с [5] и [6], и при Еврокод 2, ако h > ЛЩ' > 0,85d и при h > ЛЩ" > 0,85 d при изчисляването на A s2 може да се приеме ефективна височина на натиснатата зона Лх = h. В числен вид това може да се види в табл.В за NEd = 2600kN и различни стойности на MEd. В кол.З е армировката A s2 в зависимост от случая при х = х^' или В кол.5 е точната армировка след итерационното решение. В кол.7 и 8 са дадени стойностите при х = h (Лх = 0,8/г) и при х = 1,25h (Лх = К). Както се вижда от табл.В при MEd = 400/dVm и по-малък, разликата между точното решение в кол.5 и приблизителните в кол.З, 7 и 8 е незначителна и без практическа стойност, Това показва, че горецитираните доказателства в [5] и [6] са валидни и при Еврокод. Пример 8: Да се оразмери колоната от пример 6 за усилия М = 100kNm, N = 2600kN.

Пример 8': Да се оразмери колоната от пример 6' за усилия MEd = 100kNm,N E d = 2600kN.

За да не се утежнява решението са дадени само крайни резултати.

е = 28,85

е' = 21,15

с = 3213

k = 9,57

xQ = 61,68 > %Rh0 = 32,28cm следователно има случай 2a или 26 h = 60cm > х ^ = 58,43 > h0 = 55cm, следователно има случай 26 и Щ е реалната

е = 28,15

е ' = 21,15

с = 3451,3

k = 10,28

х 0 = 65 > %umd = 0,6572.55 = 36,15cm следователно има случай 2'а, 2"а или 26 х'г = 79 > 1,25h = 75cm. Следователно има случай 2"а или 26. Както в пример 7' се 28

височина на натиснатата зона при зададено As = Asmin = 3,3 cm2. Тогава при х = — 58,43cm от (1) се изчислява A's = 12,28cm 2 , 2 x s,min = 3,3 cm .

изчислява = - 1 6 , 2 3 kN/cm2 и х^"" = 77,89 > 1,25/г = 75cm случай 26 и изцяло натиснато сечение и Ах = h. В условията за равновесие остават две неизвестни Asl и AJ2- След това има две възможности:

Пример 9: Да се оразмери колоната от пример 6 за усилия М = 50kNm, N = 2600/ciV.

1. При произволно со > х > 1,25h от табл.2, кол.6, ред 5 и 7 се изчисляват a s l и <rs2. Чрез тях, и при Ах = 60 от (1') и (2') или (3') се изчисляват Asi и А.2- Това решение не е икономично, тъй като Asi Ще бъде с по-малки напрежения.

Както беше указано в началото на примерите, моментите са получени при отчитане на деформираната схема и затова rj = 1 и случайният ексцентрицитет съгласно чл.24 на НПБСК е приет, равен на нула. В [3] и [6] има точна процедура за отчитането им и тук няма да бъде разглеждана. е = 26,92 с = 3504

= 23,08 к = 9,57

х0 = 64,2 > <fRh0 = 32,28cm следователно има случай 2а или 26 Съгласно (6) от табл.4 = 61,08 > h = 60, следователно има случай 26, като цялото сечение е натиснато и приетата As = Asmin не е достатъчна. Тогава се задава х = h и в уравненията за равновесие остават две неизвестни As и A's. Чрез (1) и (2) се определят A's = 9,73cm 2 , As = 4,4cm 2 > j4s>min = 3,3cm 2 . Забележка: Ако усилията са получени по недеформирана схема и е а с л 0, се изчислява при rj = 1 и е а сл = 0.

2. Съгласно Еврокод 2 (фиг.З) може да настъпи крайно гранично състояние на центрично натиснат бетон при ЕС = 2.10 _ 3 . Това може да се получи при х = оо. Тогава ЕС = ЕС2 = ES1 = £s2 = 2 . 1 0 - 3 и съответно a s i = AS2 = ES^S — 2.10~ 3 . 2.10~ 4 = 40 kN/cm2 < fyd и двете армировки са натиснати. Това може да се види и от формулите в табл.З, кол.6, ред 5 и 7. Ако се разделят числителят и знаменателят на <rsl и crs2 на х и ако се положи х = оо се получава cts1 = as2 = |40| kN/cm2. В случая, за стомана £420 fyd — 36,5 kN/cm2 и съгласно приетите знаци (jsl = —36,SkN/cm2 (натиск) и 2 os2 = 40 kNj^crn (натиск). С тези напрежения и Ах = 60 при решението на пример 8', чрез (1') и (2') или (3') се получава Asl = 13,72cm 2 и As2 = 3,75cm 2 .

Универсален алгоритъм за итерационно оразмеряване при случаи 2а и 26 при работа по НПБСК и случаи 2'а, 2"а или 26 по Еврокод 2. X-[

—

1 as(x J i (р(хг) = 7 c + ka^Xj) I х2 =

1 i

i 1 x3 = ~[x2 + (p(x2)]

Фиг.11 х е критерият, който окончателно определя конкретния случай, за който трябва да се оразмерява, независимо по кои норми се работи. Той е удобен като първо приближение в итерационния процес. Може да се приеме и друга стойност. При нереално х се приема 1

х± = - (1 + <ffl)/i0 при НПБСК, или xt = - (1 + filmed при Еврокод 2. As(x) е площта на горната армировка A's(x) при работа по НПБСК и As2(x) при работа по Еврокод 2. Взимат се от табл.З - формула (1) за НПБСК или формула (1') от табл. 3' за Еврокод 2. a s {x) е напрежението в долната армировка. При работа по НПБСК <rs(x) се взима съгласно (4) в табл.З. При работа по Еврокод 2 crs(x) е <Js2(x) и се взима от табл.2, ред 6, колонки 4 или 5 в зависимост от случая. Коефициентите с и к се взимат от табл.4 или табл.4' в зависимост от нормите, с които се работи.

Таблица В 1

MEd

х'г ИЛИ Х2

As2(.X)

[kNm]

[cm]

550

As2{X)

0,85 d = 46,75

x = h = 60

x = h/Л = 75

[cm2]

[cm]

[cm2]

Лх ^ 0,85d

As2(h)

As2{h/X)

x j = 36,57

44,97

42,68

42,97

29,95 < 0,85d

39,58

39,36

450

x j = 49,74

35,69

51,37

35,36

39,79 < 0,85d

34,09

33,88

400

х [ = 55,01

31,99

55,68

31,88

44,00 < 0,85d

31,35

31,14

370

x j = 57,94

29,94

58,16

29,91

46,35 < 0,85d

29,72

29,51

350

x j = 59,78

28,64

59,80

28,64

47,82 > 0,85d

28,60

28,41

300

x j = 64,16

25,57

63,78

25,59

51,33 > 0,85d

25,88

25,67

260

x j = 66,05

23,30

66,53

23,29

53,94 > 0,85d

23,69

23,48

200

x j = 70,72

19,99

70,93

20,00

56,58 > 0,85d

20,40

20,19

150

xl = 74,41

17,41

74,43

17,42

59,23 > 0,85d

17,66

17,48

Литература: 1. Норми за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции. 2. Еврокод 2: Проектиране на стоманобетонни конструкции. БДС EN 1992-1-1:2005 и EN 1992-1-1NA (национално приложение) 3. Пенев Й. Относно оразмеряване на стоманобетонни елементи на нецентричен натиск, сп."Строителство", бр.1,1984г. 4. Пенев Й. Оразмеряване на правоъгълно сечение със симетрична армировка на нецентричен натиск, сп,"Строителство", бр.1,1985г. 5. Пенев Й. Общи алгоритми за оптимално оразмеряване на нецентрично опънати или натиснати правоъгълни сечения на нецентричен натиск, сп."Строителство", бр,1,1986г. 6. Пенев Й. Практическо приложение на нормите за проектиране на бетонни и стоманобетонни конструкции от 1987г. при икономичното оразмеряване на елементи с правоъгълно напречно сечение на нецентричен натиск. Учебно помагало с решени примери, Печатна база ВИАС, 1987г. 7. Алашки И. Изчисляване на стоманобетонни сечения на общо огъване с осова сила. Дисертация, 2001г. 8. МаноиловЛ., проф. инж. Стоманобетон, всички издания.