Inferencia una población, estimación desviación estándar

Estadística Inferencial

Inferencia una población, estimación Desviación Estándar Presentación En el módulo anterior se vieron métodos para realizar la estimación bajo un nivel de confianza sobre la media y la proporción de una población. En esta sección se tratará la estimación para un parámetro igual de importante: la varianza; para lo cual es necesario conocer la distribución Ji cuadrada.

La varianza brinda información de gran importancia para la toma de decisiones sobre el control y eficiencia de un proceso, pues es una medida de dispersión que nos indica qué tanto se dispersan los datos alrededor del punto central; es decir, nos indican cuánto se desvían las observaciones alrededor de su promedio aritmético (Media).

Competencia A través de este módulo desarrollarás las siguientes competencias específicas: ● Comprender los procedimientos para realizar la estimación de la Varianza y de la desviación estándar ● Manejar la distribución Ji Cuadrada para la solución de la estimación de la varianza. ● Identificar, analizar y resolver problemas que requieran la estimación del parámetro de la varianza así como dar conclusiones acertadas para la correcta toma de decisiones.

Propósitos ● Identificar las características, conceptos y variables para la estimación de la varianza. ● Comprender la distribución Ji Cuadrada para la estimación de la varianza.

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Estadística Inferencial ● Comprender la relación entre la estimación de la varianza y la estimación de la desviación estándar. ● Analizar el resultado que se obtiene para dar conclusiones acertadas a los problemas.

Desarrollo Suponga que es usted dueño de una panadería que comienza a emprender en la venta de pasteles manejando 3 sabores y una sola presentación de tamaño. Sabiendo la importancia de mantener un peso estándar que le dé la confianza al cliente de que está pagando por una cantidad específica de producto, le interesa analizar la variabilidad de dichos pesos. Para ésto toma una muestra aleatoria de 10 pasteles lo cuales pesa obteniendo una media de 350g con una desviación estándar de 15g. ¿Cómo puede con ésta información estimar la variabilidad en los pesos de todos los pasteles que produce y pone a la venta? En esta sección usted aprenderá precisamente a estimar la desviación estándar de una población a través de un intervalo de confianza.

Estimación por intervalo de la desviación estándar de una población En el módulo anterior se describió lo que es un intervalo de confianza para realizar la estimación de un parámetro y se utilizó tanto la distribución normal estándar como la tStudent para calcularlo. En el caso de la varianza y por ende la desviación estándar, la distribución que se utiliza es la Ji Cuadrada, la cual se describe como:

(n−1) s2 χ= σ2 2

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χ2 depende de los grados de libertad gl= n-1 y a

nótese que la función de Ji Cuadrada

distintos valores de n tiene un comportamiento:

Así despejando la varianza de la función de Ji Cuadrada podemos determinar los límites del intervalo para la misma:

(n−1) s2 σ= χ2 2

Dado un nivel de confianza 1 -

χ2

en n-1 grados de libertad y

el valor de χ en 1 – α/2.

2

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α el límite inferior del intervalo se calcula α /2 ,

con el valor de

y el límite superior del Intervalo estará dado con

Estadística Inferencial Note que la distribución Ji Cuadrada va de derecha a izquierda, Puedes acceder a la tabla de valores de Ji Cuadrado: Tabla de chi cuadrado. http://labrad.fisica.edu.uy/docs/tabla_chi_cuadrado.pdf Consultado 22/08/2016

Ejemplo; extraído de Anderson, Sweeney, Williams. (2012). Estadística para negocios y economía. México D.F: Cengage Learning, pp 457 ej. 4: La varianza en los pesos de los medicamentos es un aspecto crítico en la industria farmacéutica. Considere un medicamento cuyo peso está dado en gramos y en una muestra de 18 unidades de producto se obtiene una varianza de s2= 0.36. a) Proporcione un intervalo de 95% de confianza para estimar la varianza poblacional de los pesos del medicamento. b) Proporcione un intervalo de 95% de confianza para estimar la desviación estándar

poblacional.

Solución; a) Objetivo: Hallar el Intervalo con un 95% confianza para la varianza poblacional:

(n−1) s2 (n−1) s2 2 ≤σ ≤ 2 χ 2α/ 2 χ(1−α /2) Datos: n=18

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Estadística Inferencial s2= 0.36

α = 0.1 Para el límite superior, el valor de con (n-1) = (18 – 1) =

χ2 1 – α/2

17 grados de libertad y con 1 – α/2 = 1-0.05/2 = 1-

0.025 = 0.975.

Donde nos da

χ2 0.975 = 7.5642

Así el límite superior queda:

(n−1) s2 (18−1)0.36 = =0.8091 2 7.5642 χ (1−α/2) Enrique Israel, 2016

se obtiene de la tabla de Ji Cuadrado

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Para el límite inferior, el valor de

χ2

α/2

se obtiene de la tabla de Ji Cuadrado con

(n-1) = (18 – 1) = 17 grados de libertad y con α/2 = 0.05/2 = 0.025

Donde nos da

χ2 0.025 = 30.1910

Así el límite inferior queda:

(n−1) s2 (18−1)0.36 = =0.2027 2 30.191 χ α/ 2 Conclusión: La varianza de peso del medicamento con un 95% de nivel de confianza va de 0.2027 a 0.8091.

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b) Objetivo: Hallar el Intervalo con un 95% confianza para la desviación estándar poblacional.

En el inciso anterior se encontró la estimación por intervalo para la varianza al mismo nivel de confianza (95%):

0.2027≤σ 2≤0.8091 y sabiendo la relación entre la varianza y la desviación estándar:

σ= √ σ2 entonces el intervalo de confianza para la desviación estándar al 95% lo podemos obtener:

√ 0.2027≤ √ σ 2≤√ 0.8091 0.4502≤σ≤0.8994 Conclusión: La desviación estándar del peso del medicamento con un 95% de nivel de confianza va de 0.4502 a 0.8994 gramos.

Actividad L2.3 Ejercicios Estimación de Varianza Realiza en clase la Actividad L2.3 en equipos de 3 personas.

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Conclusión Es importante recordar que a la hora de describir el comportamiento de una variable cuantitativa no basta con tomar como referencia su media, si no que se debe tomar en cuenta también su desviación estándar; de aquí la importancia de poder estimar bajo cierto nivel de confiabilidad la desviación estándar de una población a partir de los datos que podemos obtener de una muestra, todo esto para una mejor toma de decisión.

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