Equipo T-Económica Sorensen y Jorgen (2008) Introducción a la Macroeconomía Avanzada. Ejercicio 17.2 Curva de Laffer El problema =
(1)
√
A partir de la función de producción (1), podemos encontrar la función de demanda de trabajo:
=
2 3
=
(2)
Despejando , tenemos: =
2 3
(3)
Por el lado del consumidor, sea la función de utilidad: =
1
−
(4)
Con la siguiente restricción en el consumo: = (1 − )
(5)
Aplicando la condición de primer orden para el problema restringido, tenemos1: = [(1 − ) ]
(6)
Podemos resolver este problema restringido mediante la función de Lagrange de ) y resolver la condición de prila siguiente forma: ℒ = − + ( − (1 − ) 1
mer orden.
1
Equipo T-Económica Sorensen y Jorgen (2008) Introducción a la Macroeconomía Avanzada. Ejercicio 17.2 Encontrando el equilibrio en el mercado de trabajo: 2 3
(7)
= [(1 − ) ]
Despejando el salario de equilibrio, tenemos:
∗
2 3
=
(8) (1 − )
Remplazando el resultado anterior (8) en la oferta para encontrar el empleo de equilibrio:
∗
= (1 − )
2 3
(9) (1 − )
Ahora, definiendo la función de recaudación como
∗(
) = (1 − )
2 3
∗(
)=
∗
∗
(10) (1 − )
reduciendo: ∗(
)=
(11)
(1 − )
siendo
=
2 3
>0
(12)
2
Equipo T-Económica Sorensen y Jorgen (2008) Introducción a la Macroeconomía Avanzada. Ejercicio 17.2 siendo
una función creciente con respecto a
> 0 en el intervalo
y
ya que el exponente
∈ [0,1[.
Criterio de primera derivada El problema que resolveremos será el siguiente: (13)
(1 − )
max ( ) =
La condición de primer orden para el problema (13) es ∗
( )
=
2 −3
(3 + 2 − 3)(1 − )
(14)
=0
reduciendo la expresión anterior, tenemos: ( )
=0⇒
∗
=
3−2 2 =1− 3 3
(15)
Dadas las condiciones del ejercicio , el impuesto sólo depende inversamente del parámetro . Sea que
∗∗ ∗(
>
∗
que maximiza ( ) ∗∗
=
∗
+ , de modo
, remplazando en (14), tenemos que:
)
<0
(16)
∗∗
cuyo signo, depende de los factores 2 − 3 y 3 + 2 − 3. El primero de ellos es negativo para todo el intervalo ∈ [0,1[ y 3 ∗∗ + 2 − 3 = 3 > 0 por lo que la derivada es negativa si
∗∗
>
∗
y positiva si
∗∗
<
∗
.
3
Equipo T-Económica Sorensen y Jorgen (2008) Introducción a la Macroeconomía Avanzada. Ejercicio 17.2
Figura 1.- Curva de Laffer para
= {1,2,3} y
= 0.5.
Criterio de segunda derivada Con la segunda derivada, podemos saber si la función es cóncava o convexa. La segunda derivada de la función (11) es: ( )
= ∗
2 (3 + 4 − 6) (1 − ) (2 − 3) (1 − )
<0
(17)
cuyo signo queda definido por el factor 3 ∗ + 4 − 6 quedando 2 − 3, siendo negativo para todo ∈ [0,1[ comprobando el resultado encontrado en la primera derivada.
4