Universidad San Martin de Porres Matemática para Economistas Suponga que la población de peces ( ), es un especie particular de pez, cuya población sigue la siguiente ecuación diferencial =
1−
−ℎ
(1)
donde , es la tasa de crecimiento de la biomasa y
, es la capacidad de soporte
del hábitat (saturación). El parámetro ℎ, es la remoción de cierto número constante de estos peces (la pesca para consumo humano, en toneladas). Se pide: Analizar la trayectoria de la población de peces ( ). Analizar la estabilidad, diagrama de fase, y puntos de equilibrio de la ecuación diferencial (1). Resolución La ecuación diferencial (1) puede expresarse de la siguiente manera =−
+
−ℎ
(2)
Siendo el lado derecho de (2) una ecuación cuadrática, podemos factorizarla y descomponerla en sus factores primos de la forma =− donde −
− y −
+ ℎ = −( −
)( −
)
(3)
son las raíces de +ℎ =0
(4)
raíces que son conocidas por la fórmula cuadrática ± ,
=
− 4ℎ 2
donde el discriminante
(5)
USMP, Matemática para Economistas − 4ℎ
≥0
(6)
se supondrá, positivo. Mediante la condición anterior (6), las raíces reales y satisface
−( −
)( −
>
)
y
son
. Remplazando (3) en (2) y dividiendo, se tiene (7)
=1
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables, que podemos resolver por integración directa −
( −
)( −
= +
)
(8)
el integrando en (8), podemos descomponerlo en fracciones parciales
( −
1 )( −
)
=
−
+
(9)
−
en el cual, los coeficientes desconocidos
y
en (9), deben satisfacer la siguiente
relación ( −
)+ ( −
donde
+
)=1
=0y−
(10)
−
= 1, que es un sistema de ecuaciones lineales,
cuya solución puede expresarse de la forma ∗
=
1 −
∗
1 −
=
(11)
Remplazando la solución (11) en (9) y esta última en (8) tenemos ∗
−
−
∗
+ =
=−
− ∗
1 −
1 − −
− −
∗
∗
+
−
(12)
integrando se obtiene 2
USMP, Matemática para Economistas 1 −
∗
1 −
−
=
∗(
ln −
)= +
− ln −
(13)
La ecuación (13), podemos expresarla del siguiente modo − −
=
donde
−
ln
− −
1 ∗
( + )=(
)( + ) = −(
−
)( + )
(14)
> 0, por lo que (14) se convierte en (
=
−
)(
)
(15)
despejando de (15) obtenemos la trayectoria de la variable de interés ( ) ( )=
(
− 1−
Dado que
(
−
)( )(
) )
(16)
> 0 entonces la ecuación (16) es asintóticamente estable. Esto
es lim ( ) =
→
(17)
La trayectoria de ( ) de la ecuación (16) se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Trayectoria de ( ).
En la Figura 2 se muestra el diagrama de fase de la ecuación diferencial (2), así como sus puntos de equilibrio ( ( ) = 0), en el que podemos apreciar que, en el 3
USMP, MatemĂĄtica para Economistas punto = en el punto
, ′( ) es creciente, por lo que este punto es inestable; mientras que, , ′( ) es decreciente, por lo que =
es estable, resultado que es
consistente con (17).
Figura 2. Diagrama de fase y estabilidad de ( ).
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USMP, Matemรกtica para Economistas Referencias Blanchard, P.; Devaney, R. & Hall, G. (2012). Differential Equations (4th Edition). Cengage Learning.
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