Universidad San Martin de Porres Matemática para Economistas Suponga que la población de peces ( ), es un especie particular de pez, cuya población sigue la siguiente ecuación diferencial =
1−
−ℎ
(1)
donde , es la tasa de crecimiento de la biomasa y
, es la capacidad de soporte
del hábitat (saturación). El parámetro ℎ, es la remoción de cierto número constante de estos peces (la pesca para consumo humano, en toneladas). Se pide: Analizar la trayectoria de la población de peces ( ). Analizar la estabilidad, diagrama de fase, y puntos de equilibrio de la ecuación diferencial (1). Resolución La ecuación diferencial (1) puede expresarse de la siguiente manera =−
+
−ℎ
(2)
Siendo el lado derecho de (2) una ecuación cuadrática, podemos factorizarla y descomponerla en sus factores primos de la forma =− donde −
− y −
+ ℎ = −( −
)( −
)
(3)
son las raíces de +ℎ =0
(4)
raíces que son conocidas por la fórmula cuadrática ± ,
=
− 4ℎ 2
donde el discriminante
(5)