Matemática para Economistas, Examen Final 2018B

Matemática para Economistas II Examen Final 2018 B 1. Sea el sistema (1.1) Clasificar el tipo de equilibrio del sistema y trazar su diagrama de fases.

Para clasificar el tipo de equilibrio del sistema en diferencias, debemos resolver la ecuación característica (1.2) y

por lo que, las raíces son el sistema es inestable.

. Podemos notar que

, esto indica que

Para construir el diagrama de fase, debemos encontrar los vectores característicos asociados a cada raíz característica hallada. Para ello, debemos resolver el siguiente sistema (1.3) Siguiendo (1.3) y, para

, se tiene (1.4)

para

, tenemos (1.5)

Entonces, la solución homogénea

,

del sistema (1.1) es (1.6)

,

Por coeficientes indeterminados, la solución particular de (1.1) es

,

, por lo que,

remplazando en (1.1), tenemos (1.7) Resolviendo el sistema (1.7) se tiene

Equipo T-Económica (1.8)

,

por el principio de la superposición, la solución general es ,

,

(1.9)

,

por lo que (1.10)

,

Las trayectorias (1.10) se presentan en la Figura 1.

yt

y’t

V3

V‐2 X0 B

x’t

xt Figura 1. Diagrama de fase del ejercicio 1.

2. Considere el siguiente sistema

2

Equipo T-Económica

(2.1)

donde ,

,

y

son constantes positivas, además

.

a. Trazar las curvas de fases y hacer el diagrama de flechas, debe hallar e indicar claramente el punto de equilibrio.

Para obtener el diagrama de fase en el caso continuo, deben graficarse las curvas y , por lo que a partir del sistema (2.1) tenemos (2.2) (2.3) La función (2.2), corresponde a

, la recta horizontal en

de la Figura 2.

La función (2.3), corresponde a

, que corresponde a la hipérbola

de

la misma figura. El punto de equilibrio del sistema (2.1), es el punto en el cual, ambas , el punto de la Figura 2. funciones están en equilibrio, esto es Partiendo de una posición de equilibrio, no es necesario partir del equilibrio simultáneo, analicemos la primera función del sistema (2.1). Esto es, si partimos de una , entonces, un incremento en por encima de , situación de equilibrio en , por lo que se incrementará, lo cual indica que, todos los puntos hará que , implica un crecimiento en dado un incremento en . Lo conpor encima de trario sucede si cae por debajo de .

Analicemos ahora la segunda función del sistema (2.1). En este caso, por medio de la siguiente derivada, encontramos que (2.4) lo que indica que, partiendo de una situación de equilibrio, se mueven en la misma dirección.

, ambas variables

3

Equipo T-Económica En la Figura 2, se presenta las flechas de variación o cuadrantes respectivos. Este indica que, el punto de equilibrio , tiene una trayectoria de ensilladura. Para encontrar el punto de equilibrio , debe resolverse las ecuaciones (2.2) y (2.3). Introduciendo (2.2) en (2.3) tenemos dicho punto de equilibrio ∗

∗

(2.5)

por lo que, las coordenadas del punto

corresponde al siguiente par ordenado

. p p’=0

p=m

f’=0

A

p= f*

βθ f+m f

Figura 2. Diagrama de Fase del Ejercicio 2.

b. Linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio. Escriba el sistema linealizado.

Para linealizar el sistema debemos recurrir a la Serie de Taylor. En efecto, utilizando la serie de Taylor al sistema (2.1), tenemos 4

Equipo T-Económica ∗

∗

(2.6) ∗

∗

∗

∗

reordenando el sistema anterior en forma matricial, tenemos

∗

∗

∗

∗

(2.7)

∗

Antes, debemos recordar (2.5), el cual indica que ∗

(2.8)

∗

por lo que podemos rescribir el sistema (2.7)

∗

∗

∗

∗

(2.9)

siendo (2.9) el sistema linealizado. c. Hacer el análisis respectivo y clasificar el equilibrio de dicho sistema (ya linealizado) A partir de (2.9), el polinomio característico del sistema es (2.10) siendo sus raíces

5

Equipo T-Económica

(2.11)

,

por lo que y silladura de la Figura 2.

, siendo estas raíces consistentes con la trayectoria de en-

3. Utilizando la condición de transversalidad

(3.1) sa.

,

,

libre

La condición de primer orden para el ejercicio (3.1) se denomina Ecuación de Euler‐ Lagrange. a. La ecuación de Euler-Lagrange para el problema planteado (3.1).

(3.2) por lo que, tenemos lo siguiente (3.3) por lo que, la ecuación diferencial resultante es (3.4) el polinomio característico asociado es el siguiente (3.5) entonces, la solución homogénea ,

(3.6)

Utilizando las condiciones iniciales o de frontera, tenemos (3.7) Adicionalmente, debemos utilizar la condición de transversalidad 6

Equipo T-Económica (3.8) siendo (3.9) y, derivando (3.6), se tiene (3.10) remplazando (3.6) y (3.10) en (3.9), tenemos (3.11) reduciendo (3.11) queda lo siguiente (3.12) evaluando la expresión anterior en

, se tiene (3.13)

y despejando (3.14)

∗

teniendo en cuenta (3.7),

queda

∗

(3.15)

Finalmente, la trayectoria óptima buscada es (ver Figura 3) ∗

∗

∗

(3.16)

7

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 3

Equipo T-EconĂłmica 2.1

1.6

1.1

0.6

0.1

-0.4

Figura 3. Trayectoria Ăłptima đ?‘Ľ ∗ đ?‘Ą del ejercicio 3.

8